Okay. Wir bleiben heute noch im Bereich der linearen Optimierung.
Wir haben einmal den primalen Algorithmus kennengelernt.
Besonderheit da dabei war, dass wir sofort eine Startlösung hatten.
Dann hatten wir den dualen Algorithmus kennengelernt, wo halt nicht
Negativitätsbedingungen verletzt waren, Oder mindestens eine verletzt war.
Und dann haben wir uns überlegt, wie kommen wir schnell zu einer zulässigen Lösung.
Und wenn wir diese Lösung hatten, haben wir normal weitergerechnet mit dem Primalsimplex-Algorithmus.
Heute wollen wir auch von der Struktur her analoge Ansätze betrachten,
zur Bestimmung einer zulässigen Lösung im Rahmen einer ersten Phase.
Und dann insofern eine zulässige Lösung überhaupt existiert. In der
zweiten Phase werden wir dann wieder den primalen Simplex-Algorithmus anwenden.
Okay. Ja, lass uns einmal kurz wiederholen, was
wir bisher kennengelernt haben. Wir haben den primalen Simplex-Algorithmus zuerst besprochen.
Bitte vergessen Sie dabei nicht, immer das Gleichungssystem,
was dahinter steckt, damit sie auch von der Struktur her verstehen,
was wir da machen.
Die Vorgehensweise ist immer
relativ einfach
War eine Startlösung. Oder in Basis war Jab, in dem
er ganz links stehen. Und in Basis fahre Jablen,
die zu den Spalten gehören, stehen immer Einheitsvektoren.
Ansonsten können wir keine zulässige Lösung ablesen. Dann haben wir
uns mal überlegt, welche Variable sollen die Basis aufgenommen werden?
Welche Variable soll die Basis verlassen? Das war der sogenannte
Basistausch. Dazu haben wir zunächst einmal die Pivo-Spalte bestimmt.
Dazu korrespondiert eine Variable
Die dadurch gekennsterweise ist, dass sie die geringsten,
also die größte Verbesserung der Zielfunktionswertes verspricht durch Aufnahme in die Basis.
Das war der kleinste Kovezient in der F-Zeile, unser Zielfunktionsseile.
Danach haben wir die Pivot Spalte bestimmt und aber acht oder
nicht Negativitätsbedingungen. Da hatten wir mal eine einfache Regel.
Wir haben uns die rechte Seite koviziert und die B-Spalte angeschaut
und haben dann geteilt durch die Kovezenten,
der gerade identifizierten Pivot spalte
Wir haben die Verhältnisse gebildet. Und da,
wo das Minimum war, ist, da haben wir dann gesagt,
das ist die Variable, die die Basis zu verlassen hat.
Also 5 durch 1, 2, 5,
9 durch 3 ist 3, das Minimum ist 3,
also Y 2, Hatwig 2, die Basis verlassen.
Dann haben wir uns überlegt,
welche Elementaroperation darf man anwenden, ohne den Informationsgehalt des gleichen
Systems zu verändern
Multifizieren mit einem Skalar ungleich null ist zulässig.
Und das Addieren einer Zeile, sprich einer gleich,
rauf in eine andere Gleichung, ist auch zulässig.
Okay, diese Elementaroperation haben wir genutzt. Um Einheitsfektor,
um das sogenannte Pivo-Element, was sich ergibt aus der Pivotspalt,
in der Pivotzeile, dort eine Einsinn zu bekommen.
Okay, das war also
die Vorgehensweise
Und wenn wir da am Ende des Verfahrens feststellen,
in der F-Zeile sind alle kovizierten Größer gleich null,
dann haben wir die Optimalitätsbedingung, Herr Reich.
Oder er ist erfüllt. Bei Minimierungsproblemen, was hat man
ganz analog anwenden könnte, wäre es genau umgekehrt.
Aber wir wissen, dass wir eine Minimierungsprobleme,
mein Maximierungsproblem transformieren können. Und deswegen kreuz und drehen wir
uns hier auf
ausschließlich auf Maximierungsprobleme
Dann haben wir den dualen Simplex kennengelernt und ich hatte
es betont, gerade im Rahmen der ganzteiligen Optimierung.
Wenn zusätzliche Nehmenbedingungen hinzukommen, die die Wertebereiche der Variablen einschränken,
sodass ein kontinuierlicher Wert hinter einem bestimmten Intervall vermieden wird,
entstehen also Teilprobleme im Rahmen der ganzzahligen Optimierung.
Da tritt halt auch dann die Bedeutung Oder wird er sichtlich
die Bedeutung des dualen Simplex-Algorithmus im Rahmen der Reoptimierung, dahinter steckt,
dass wir bereits mit einem erheblichen Aufwand eine Lösung erzielt hatten,
ohne diese neuen Nehmbedingungen, dann fehlen wir eine neue Nehmbedingung hinzu,
führt in der Regel zu einer Verletzung der Nicht-Negativitätsbedingungen.
Und dann haben wir halt mit ein,
zwei Iterationen wieder eine optimale Lösung bestimmen.
Aufbauen aus der Lösung, die wir sehr kannten,
ohne die zusätzliche Nehmbedingungen
Also Hintergrund war hier auch, und sich die Arbeit zu vereinfachen.
Wie sind wir da vorgegangen? Da wären wir nicht zuerst
die Pivotspalte, dann die Pivot-Zeile, sondern erst die Pivot-Zeile.
Und dann die Pivotspalte bei der Auswahl der Pivot-Zeile haben wir das Kriterium kennengelernt.
Dort, wo die Nicht-Negativität am stärksten verletzt ist,
sprich wo der kleinste negative Koezint ist, Das ist die stärkste Verletzung.
Und das ist die Regel auch zur Auswahl der Pivot-Zeile.
Also haben wir minus zwei und minus vier beispielsweise,
hören wir also die Zeile auswählen, wo die minus vier steht.
In unserem Zahlenbeispiel gab es nur eine rechte Seite mit negativem Wert, die minus eins.
Und dann haben wir uns als nächstes überlegt gehabt, zumindest oder der Prämisse,
wenn die Koevezienten in der Zielfunktionszeile alle größer Null sind,
größer Gleichnäuse, Dass wir denn die Variable in die Basis mit aufnehmen,
die den Zielfunktionswert am geringsten verschlechtert.
Die Sprechweise ist insofern gerechtfertigt im Rahmen der Rehaoptimierung,
wo wir vorher eine Lösung hatten, aber es sind Nehmenbedingungen hinzugefügt,
dadurch entstanden der Verletzung der Nicht-Negativitätsbedingungen, und jetzt müssen wir es reparieren,
und beim Reparieren achten wir darauf,
dass der bisherige Zielfunk sonst wird,
möglichst wenig verschlechtert wird
Und da haben wir uns dran orientiert. Zunächst einmal,
welche Kovozierten sind überhaupt negativ in der Pivot-Zeile?
Alle anderen machen keinen Sinn. Nur die Negativen, ja,
weil wir da hinterher mit minus einzeln multiplizieren, die Gleichung.
Und dann kriegen wir auf der rechten Seite auch einen positiven Wert.
In unserem Beispiel gab es ja nur die minus zwei.
In der Pivot-Zeile. Deswegen haben wir also Y1 mit in
die Basis aufgenommen
Ja. Falls das halt nicht der Fall ist,
müssen sie halt die Verhältnisse bilden,
die dann ja alle negativ sind und wählen davon den maximalen Wert.
Der Koezenten der Pivot-Seile. Also die Koezenten der F-Zeile
geteilt durch die Koezenten der Pivot-Seile.
Und davon das Maximum. Das sind alles negative Werte.
Ja, also minus vier ist kleiner als minus eins.
Dann würden sie das minus eins als eins,
da wo das Verhältnis minus eins herauskommt,
dann auswählen
Natürlich können auch die Kojienten negativ sein, der F-Seile,
aber wir werden ja das Maximum aus und das wäre dann ja
auch was Positives und dann würde dieser Wert natürlich alle negativen Werte dominieren,
ja.
Also in der F-Zeile auch was Negatives stehen würde, könnte ja sein.
Okay. Geht trotzdem dieses Kriterium Maximum aus, wir.
Dann wäre dadurch auch noch eine Verbesserung des Zielfunktionswertes angezeigt.
Könnte ja prinzipiell sein. Ja,
aber sind die Kojienten in der F-Zeile alle positiv,
denn impliziert ein Basistausch
Eine Verschlechterung der Zielfunksohnswertes. Okay. Ja,
wenn wir das Pivot-Element haben, dann werden wir die klassischen,
was heißt die, Elementaroperation ein, an,
um dann wieder einen Einheitswektor unter der neuen Basisvariable zu bestimmen.
Und dann haben wir uns Gedanken gemacht darüber,
wie man einzelne Kovezienten in dem Optimaltableau interpretieren kann.
Insbesondere haben wir uns das anhand der Schlupfvariablen überlegt,
wo dann voneinander rein ein Einheitsvektor bestand.
Aber sowohl eine Startlösung hatten. Mit denen Einheitsvektoren unter
den Basis war, ja, ob dann der Startlösung.
Und haben uns dann überlegt, wenn wir das optimale Tableau uns anschauen,
wie kommen die einzelnen Wert in der Zielfunktionszeile des Optimater bloß überhaupt zustande.
Und da sind wir auf dem Begriff der Simplex-Motivator gekommen,
die dann sagen, wie häufig die Startzeile, Startgleichung,
auf die Zielfunktionszeile statiert worden ist, um die optimale Lösung zu erzielen.
Die haben wir dann sinnvollerweise mit Pi, I,
Eth Index der Zeile, bezeichnet.
Bei zwei Zeilen haben wir dann P1, P2,
P1 korrespondieren zur Zeile 1, Speed 2 zu callen,
korrespondieren zur Zeile 2. Das waren also unsere Simplex.
Sind unsere Simplex Multiplikatore. Und das Schöne halt dabei ist,
dass man die nutzen kann, um auf mögliche Alternativen
In diesem Fall haben wir ja Aufträge, jetzt zu bewerten,
hinsichtlich der reduzierten Kosten. Und das war genau diese Formel
C Querjord-CJ mal A1, JP1 minus A2, J mal P2.
Wenn wir nur zwei Nebenbedingungen haben. Die A-Skorrespondieren zu den
Koeffizienten unter der neuen Vajaplin J. Der Zeile 1 und 2.
Und mit diesem Ausdruck können wir also feststellen,
was würde Oder es hätte im Optimalabtableau in der Zielfunktionszeile gestanden,
wenn wir die Variable J von vornherein dabei gehabt hätten.
Okay, dieses Sequer-J, unsere reduzierten Kosten,
das ist nicht der aktuelle Zielfunktionskoffizient, der herausgekommen wäre,
sondern es ist nochmal mit minus eins multifiziert.
Sieht immer ein bisschen komisch aus,
aber müssen wir uns halt dran gewöhnen, von der Notation.
Okay, also wir können diese CQR-Jots reduzierten Kosten derart interpretieren
Sich der Zielfunktionswert verändern würde. Wenn wir jetzt
die Variable J mit in die Basis aufnehmen würde,
Veränderung pro Einheit da aufzunehmen, in Variable. Okay,
so wenn wir jetzt in Stadtkojizienten beispielsweise 35 hatten,
dann hatten wir hier die anser Ballettenstellplätte,
war das ja unser Beispiel, das Gewicht pro Menge einhalten.
Wenn wir da die Ausprägung 2-2 haben und
die Simplex-Motivatoren hatten wir ja mit 15 und 5 identifiziert,
dann kommen wir halt für dieses Beispiel
auf minus
Das heißt, als Zielfunktionswert würde sich pro Einheit
um fünf Einheiten verschlechtern, also geringer werden.
Wenn wir jetzt die Alternative 4 mit berücksichtigen würde.
Das macht natürlich keinen Sinn, die jetzt zu berücksichtigen.
Und diese Information haben wir jetzt erhalten, ohne dass wir
jetzt großartig die Variable X4 mit im Tableau aufgenommen haben.
Hilft also an dieser Stelle ungemein. Das Gleiche kann man
sofort ablesen, wenn eine weitere Anfrage kommt
Was mit einer bestimmten Ausprägung oder mit Ausprägungen hinsichtlich Ballettenstellplätze und Gewicht,
können wir sofort sagen, was muss mindestens an,
wie hoch der Preis mindestens sein muss,
um überhaupt darüber nachzudenken.
Für dieses Beispiel bei den Ausprägungen A142,
A24 gleich 2 muss also die Preisuntergrenze mindestens der Preis mindestens 40,
genauer gesagt mehr als 40 sein,
um dieses Angebot zu berücksichtigen
Ja, also man kann mithilfe dieser Ergebnisse dann eine Preisuntergrenze errechnen.
Das ist natürlich für einen Ökonom an dieser Stelle nicht ganz unbedeutend.
Okay. Und dann... Wollen wir uns einmal anschauen,
was zu tun ist, wenn keine zulässige Startlösung gegeben ist,
wie wir das ja kennenlernt haben.
Beim dualen Problem. Hierzu betrachten wir als folgendes Beispiel.
Wir haben eine Zielfunktion, zweimal X1, plus X2.
Und jetzt haben wir zwei größer Gleichgleichungen. X1, plus X2,
größer gleich 8, zwei X1, plus X2, größer gleich 10.
Die machen das natürlich schon mal schwierig, sofort eine Startlösung zu anzugehen.
Denn wir brauchen ja Ausprägung an dieser Stelle, Felix 1,
zu nick 2. Können also nicht mit X1,
X2 gleich neu starten.
Bei der dritten X1, plus X2,
kleiner gleich
Ist es wieder kein Problem. Ja, okay. Auch hier
wollen wir anfangen, zunächst einmal das Gleichungssystem zu transformieren,
also dass die Ungleichung und Entgleichung transformiere.
So, wir hatten ja sonst immer die Schlupfwar-Jablen kennengelernt,
in diesem Fall haben diese Schlupfwar-Jablen nicht den Rest,
sondern sie zeigen dann an,
inwieweit jetzt die rechte Seite überschritten wird
Das können wir dann also für die erste Gleichung machen,
indem wir jetzt minus Y1 hinschreiben.
Sonst hatten wir immer plus Y, eh hingeschrieben.
Okay, das Gleiche machen wir für diese zweite Gleichung.
Und für die dritte Gleichung, so wie wir das kennengelernt haben.
So, wenn wir uns das jetzt anschauen,
dann sehen wir da minus Y1 gleich 8,
wenn sie jetzt die Startlösung und der Verwendung der Y
war,
Angehen, dann halten sie also Y 1 gleich minus 8,
Y 2 gleich, minus 10,
Y 3 gleich 10 ist kein Problem.
Also können Sie an dieser Stelle prinzipiell jetzt mit dem Dual-Algorithmus starten.
Was wir jetzt aber machen wollen, ist Folgendes.
Wir, Entschuldigung, wir, vor allem eine andere Technik
jetzt kennenlernen oder zwei nahezu analoge Techniken kennenlernen,
die künstliche Vaiablen noch zusätzlich einführt
Ja. Hier sehen Sie noch einmal das, was ich
gerade beschrieben habe. Prinzipiell könnten wir das Problem schon bewerkstelligen,
indem wir jetzt den dualen, simplexen Algorithmus anwenden.
Minus acht, minus zehn sehen Sie, wir würden sie also mit Y2 anfangen.
Als Vayable, die Basis zu verlassen hat, zu verlassen.
Okay, kommen wir zu den angesprochenen Alternativen Methoden, Vorgehensweisen.
Und die erste Vorgehensweise ist die sogenannte M-Methode, M.
Wird immer gern verwendet, um eine große Zahl zu repräsentieren.
Finn sind wir Modellen, auch wenn es um Kopplungsgleichung geht,
mit ganzzahligen Wahrjahren. Big M, ja.
Okay. Normalerweise spezifiziert man diese Zahl gar nicht,
aber damit das hier ein bisschen gut nachvollziehbar ist,
gehen wir davon aus,
dass M mit 1000 eine hinreichend große Zahl soll
Okay. So, was wir jetzt einführen, ist folgendes.
Wir führen jetzt eine künstliche Variable ein für die erste, in die erste Gleichung.
Die künstlichen Variablen, die wären mir wieder sinnvollerweise durchnummeriere.
Und hier nicht zu viele unterschiedliche Symbole zu gebrauchen,
wie wir es bei X und Y auch kennengelernt haben.
Das heißt, wir versehen jeweils mit dem Index. Okay,
als erstes Filme,
die war ja Platz Z1 ein und jetzt schreiben wir dahin,
X1 plus X2 minus Y 1,
ist ja nichts Neues und jetzt kommt plus
Gleich, ach. Damit erweitern wir den Lösungsraum in
unzulässiger Weise. Das ist jetzt ja... Und da sind
die gleichen Systeme nicht mehr identisch oder das Nehmenbedingungssystems.
Okay. Sonst ist ja Z1 eine künstliche Variable,
worin besteht nun der Trick hier?
Das ist letzten Endes ja so eine Art Modellierungsgeschichte.
Wir nehmen die Variable ZEIS mit Indizierfunktion auf
Und bekommt da einen sehr schlechten Zielfunktionskoeffizienten zugewiesen. Und in
diesem Beispiel sagen wir minus Tausenden, Mahlzeit 1. So,
wenn Sie jetzt, wenn prima, simplex Algorithmus rechnen,
ist davon auszugehen, dass die Variable Z1 nicht zu optimalen Lösungen gehört.
Damit wäre es ja dann wieder eine zulässige Lösung,
hinsicht der ersten nehmen,
die Jungen
Okay, das Gleiche machen wir bei der zweiten Nebenbedingung.
Da führen wir jetzt die Vayable Set 2 ein.
Auch Z2 nehmen wir mit in die Zielfunktion auf.
Wir haben einen zu maximären Netzzieherfunktionen und schreiben da jetzt minus M
mal Set 2 hin. Und jetzt haben wir ein Injas-Optimierungsproblem,
dass wir mit dem primalen Symplex-Algorithmus lösen können.
Müssen doch konkret Werte für die Ms angeben.
Und dann lösen wir das Problem mit dem primalen Simplex-Algorithmus.
Nun kann das natürlich sein, sofern jetzt M hinreichend groß gewählt worden ist,
dass wir mit dem primalen Simplex-Algorithmus so eine Lösung erhalten.
Und wir stellen fest, dass mindestens eine von diesen Künstlichen
Variablen weiterhin in der Basislösung ist und auch noch die Optimalitätsbedingungen
erfüllt ist
Das heißt, es gelingt uns nicht, oder es uns nicht gelungen,
die künstlichen Variablen aus der Lösung zu entfernen.
Das ist dann ein Hinweis darauf, dass keine zulässige Lösung existierte.
Okay. Ja, dann sieht das ein bisschen hier etwas.
Überfüllt aus auf dieser Folie. Was habe ich da jetzt
gemacht? Wir wollen das Ganze jetzt ein bisschen umformen.
Wir haben ja hier die Zielfunktion Z1 und Z2 mit minus
1000, minus 1000 für M jetzt eingesetzt.
Und das, was wir jetzt als nächstes machen,
können wir ja auch prinzipiell innerhalb bis da bloß machen.
Wir müssen doch die Z1 und Z2 aus der Zielfunktionszeile ja entfernen,
um tatsächlich eine Lösung sofort ablesen zu können.
Es muss ja nicht nur in den alten Nebenbedingungen um die Z1,
Z2 Variablen, Einheitsfektor im Stehen,
sondern auch in der Zielfunktionszeile muss eine Null stehen
Ja, wie bekommen wir das hin,
indem wir jetzt Z1 und Z2 substituieren? Ja,
nun wissen wir ja, aufgrund der ersten Nähbedingungen X1,
plus X2, minus 71, Prozent 1 ist gleich 8. Ja,
das hatten wir hier so hingeschrieben gehabt.
So, jetzt können wir die ganze Gleichung nach Z1 umformen.
Dann halten wir also Z1 ist gleich 8,
die X1 war nicht auf die rechte Seite, minus 61.
Diese X2 waren dann auch auf die rechte Seite, minus 62.
Dann haben wir hier minus Y1 und da wird denn hier
plus y psol nice. Ja, der halten wir also Z.1,
ist ja eine Gleichung, dürfen wir so machen.
Ist gleich 8, minus 6,1, minus X2 plus 17,1.
Das Gleiche können wir jetzt auch machen für die zweite Gleichung.
Hier steht sie ja nochmal. Ja, müssen sie
nochmal stehen. Haben wir hier jetzt wiederholt, hingeschrieben.
Und dann können wir die ganze Gleichung nachts eine 2 umformen.
Also da halten wir jetzt Z2, ist gleich 10.
Diese minus 2X1 auf der linken Seite bringen wir auf
die rechte Seite
Entschuldigung, Plus 2 X1, bringen wir auf die rechte Seite,
indem wir jetzt minus 2 X1 rechnen, unterhalten hier die minus 2 X1.
Die Plus X2 wird dann auf die rechte Seite dann minus
X2 und minus Y2 wird dann Plus Y2. Ja, okay.
Ja, bei der dritten Gleichung des Nick zu machen,
das ist ja so standardmäßig, fahre eine kleine Gleichgleichung.
So, jetzt setzen wir also hier oben die Zielfunktion Z1
ein. Sprich, wir setzen Z1 durch 8,
minus XX1,
minus X2 plus
Da wird Z2 stehen und Z2 wird jetzt ersetzt durch 10,
minus 2 X1, minus X2 plus X Rollen 2.
Hier sehen Sie schon, wie wir da vorgegangen ist.
Die 2 X1 plus X2, die bleiben da stehen,
minus 1000, Klammer auf, 8, minus X1,
minus X2 plus Y1,
so wie wir es ja hier gerade berechnet hatten.
Dann haben wir hier minus 1000 Mal, und jetzt wird Z2,
und da setzen wir diesen Ausdruck dafür Z2,
also so Klammer auf,
C,
minus 2 X1,
minus X2 plus
Okay. So, und jetzt müssen Sie die einzelnen Themen zusammenfassen.
Sie sehen, hier kommen am Ende minus 18.000 raus.
Ja, minus 8 mal 1.000 minus 10 mal 1.000 ergibt zusammen minus 18.000.
So, dann gucken wir uns einmal die 2X1-Themen an.
2X1 haben wir hier einmal stehen. Minus tausendmal minus X1.
Er gibt plus 1.000 X1. Und dann haben wir hier
noch minus 1.000 mal minus 2
Dass er geht. Plus 2000, 1000 bis 2000 ist 3000 plus die 2,
so erhaltenweise 3002 X1. Analog erhalten wir die 2001, Mai X2. Okay. Ja,
die Y1 haben wir ja auch dabei, minus tausendmal,
plus Y1, er gibt ja minus 1000, Psorn 1,
in dem anderen Therm steht kein Y1 und im zweiten Therm,
da haben wir auch Y2 stehen,
er gibt auch minus tausendmal Psorn 2. Okay.
So, jetzt können wir unmittelbar Auch eine Startlösung.
Ablesen, Z1 gleich 8. Das hätten wir hier schon ablesen können.
Z1 gleich 8, Z2 gleich 10, Y3 gleich 10.
Was wir noch nicht wissen, ist Joris F.
Das sehen wir aber hier. F ist gleich minus 18.000.
Das ist also der Startwert. Okay. So,
jetzt haben wir... Dieses Optimierungsproblem,
das habe ich jetzt nicht mit
Selbst vorgerechnet, was sie jetzt hier sehen, ist die Umsetzung in Games.
Ja, so wie wir das kennengelernt haben,
kann ich ihnen auch gleich nochmal zeigen, weil sie möchten.
Und wenn sie das dann lösen, dann erhalten sie folgendes Ergebnis.
X1 ist gleich zehn, Y1 gleich zwei,
Y2 gleich zehn. Und F ist gleich 20. Ja,
das ist das Pferd, die Ergebnis jetzt,
was sie bekommen würden, wenn sie das mit dem primalen,
simplex Algorithmus nachrechnen
Tute das ruhig. Hilft ja doch immer.
Auch die Vorgehensweisen zu trainieren. Ich muss einmal gucken,
ob ich das überhaupt dabei habe.
Hätte ich natürlich
schon mal vorgucken sollen
Das sieht nach Emmett, das ist ein Beispiel.
Da haben wir das. Ja, okay. Hier sehen Sie genau das,
was ich, was ich in Ihrem Folien habe.
Was ich jetzt hier übrigens gemacht habe, ich habe hier noch Free hingeschrieben.
Müssen Sie dich hinschreiben? Und ich habe das Positive durch Non-Negative ersetzt.
Das ist eine Alternative Vorgehensweise. Ich kann dir jetzt nicht sagen,
wie lange das jetzt überhaupt zulässig möglich ist,
aber das ist ja von daher vielleicht ganz hilfreich
Spätestens, wenn Sie einen Vortrag mal halten im Rahmen
des Seminars, dann sprechen Sie vom Positiven Variablen.
Und wir würden gerne das Wort nicht negativ stattdessen hören.
Ja, okay. Das ist ja ganz gut,
wenn das hier auch noch unterstütze. Okay,
hier sehen Sie nochmal, das ergebt ja die Abbildung.
Wir haben ja diese Variablen definiert,
die Gleichung haben definiert und erstmal dadurch,
dass wir Namen vergeben,
dann die einzelnen Namen hier wiederholt mit zwei Punkte und dann kommt die eigentliche Definition der Gleiche.
Hier sehen Sie nochmal
die Ausgabe
Eine Alternative Möglichkeit und eine zusätzliche Möglichkeit ist, dass man das
auch Dreck, so eine sogenannte Datendatei von Games wegschreibt.
Okay. Hier sehen Sie auch noch über das fertige Ergebnis.
Ich zeige einmal hier, wie so eine sogenannte GDX-Datei,
die da automatisch erzeugt wird.
Dann sehen Sie ja noch mal die einzelnen Ausprägungen der Valiablen.
Marginal bedeutet, wenn wir die Valiable mit aufnehmen,
wird sich der Zielfunktion zu ändern,
minus eins bedeutet also eine Reduktion, wenn wir zwei aufnehmen würden.
Dann sehen Sie also die einzelnen Werte,
die wir ja eben auch schon gesehen haben
Das ist hier dann unser Zielfunktionswert. Okay. Entschuldigung. Okay. Also,
das habe ich Ihnen jetzt nicht nochmal ein paar Hand vorgerechnet.
Wir werden es gleich ein bisschen ausführlicher machen,
wenn wir uns jetzt die nächste Methode anschauen,
die eigentlich äquivalent ist zur M-Methode
Aber sie hat halt den Vorteil, dass wir uns
keine Gedanken machen, über eine hinreichend große Zahl.
Macht einen ja auch vielleicht etwas. Nervös,
was da jetzt der richtige Wert wohl sei.
Okay. Zwei Phasenmethode, hat natürlich zwei Phasen.
In der ersten Phase versuchen wir, die künstlichen Vayablen
zu entfernen
Wenn die alle entfernt sind, dann haben wir
eine zulässige Startlösung. Ja. Und dann können wir wieder
den primaen Simplex anwenden, oder das primae Simplex-Verfahren.
Okay. In der ersten Phase stellt sich die Frage,
wie entfernen wir denn die künstlichen Lajable?
Ja, wir werden einfach die Summe der künstlichen Variablen minimieren.
Die künstlichen Variablen sind alle größer gleich null definiert
Aber ihr seid hier funktionswert,
der Summe der künstlichen Variablen also, gleich null ist,
dann sind alle künstlichen Variablen aus der Lösung entfernt.
Okay, jetzt haben wir hier eine zweite Zielfunktion anscheinend,
und das werden Sie auch sehen,
wir werden eine zusätzliche Zielfunktion einführen,
dessen Aufgabe ist es,
die künstlichen Variablen zu entfernen,
de facto
Wenn wir das machen, ist unsere bisherige Zielfunktion,
unsere F-Zeile ja, wie eine normale Gleichung,
ist ja auch eine normale Gleichung zu behandeln.
Okay, die F-Zeile wird dann wieder relevant,
wenn alle künstlichen Variablen entfernt worden sind.
Okay. Okay, wir bleiben bei unserem Beispiel,
Wir sagen, dass wir die Summe der Künstlichen Variablen minimieren wollen.
In unserem Beispiel sind das die Variablen Z1,
Z2. Und die Zielfunktionsvariable werden wir mit Z, Großzeit.
Also Z ist gleich Z1 plus Z2 und ist zu minimieren.
So, das Erste, was wir wieder machen,
ist Folgendes. Wir wollen ja eine zulässige Startlösung erhalten
Wer, er ist ja gerade bei der M-Methode kennengelernt haben.
Das heißt, wir werden Z.1 und Z.2 wieder subsituieren.
Z.1 ist ja 8, minus 6,1,
minus X,2 plus Y,1. Haben wir ja gerade kennengelernt.
Deswegen setzen wir also, ersetzen wir Z.1 durch 8,
minus X,1, minus X 2 plus Y 1.
Das steht hier. Das ist dieser erste Teil hier.
Das ist nichts anderes als Z.1. So,
Z2 ist ja wieder zehn, minus zwei X,
1, minus X 2 plus Y 2. Das haben wir
hierhin geschrieben
Ja. Okay, da fassen wir die einzelnen Therme wieder zusammen,
haben also acht plus zehn, er gibt 18,
minus 6, 1, minus zwei XA,
jetzt ergibt minus Dreiecks 1, das ist dieser Thermie,
der Name minus 6, 2, minus 6, 2,
das sind Zusammenteile minus zwei, X, 2. Ja,
da haben wir wieder Y, 1 und Y 2,
jemals mit einmal dabei,
also bleibt was so still.
Auch hier können wir jetzt wieder sofort eine Startlösung ablesen,
Z1 gleich acht,
Z2 gleich 10. Y,
3 habe ich jetzt hier
nicht mit angegeben
Ja. Hätte man vielleicht der Vollständigkeit halber machen sollen.
Set 1 gleich 18. Ja. Y3. Vielleicht notieren sich
das selbst. Y3 ist dann gleich 10, ja.
Okay. So, jetzt wenden wir wieder das Dimplex-Tableau an,
um dieses Problem zu lösen.
Mit der neuen Zielfunktion
Unsere Z-Zeile jetzt. So, als was wir es wissen,
ist, wir können ja bisher nur Maximierung,
dass wir durch Modulation der Zielfunktionszeile mit minus eins aus dem Minimierungsziel dann ein Maximierungsziel wird.
Also minimär Z, gleich 18 minus 3X1, minus 2,
2, plus 7, 1 plus 7, 2,
multipliziert mit minus eins ergibt er ein maximärer Z,
gleich minus 18, plus 3X1 plus 2, 2,
minus Y1, minus Y2.
So, was wir jetzt hier sehen,
Dass wir unseren primalen Simplex, Algorithmus, ja anwenden wollen.
Und dann haben wir hier wieder unser Tableau. Ja,
so wie wir das bisher kennengelernt haben. Was es jetzt
hinzugekommen ist, eine zusätzliche Zielfunktion, unsere Z-Zeile. Ja,
die einzelnen Koeffizienten sind ja hier aus Plus 3,
wird dann hier minus 3,
aus Plus 2 wird minus 2 und aus minus einmal Öpser,
ins minus Y,
einmal Y2,
wird dann
jeweils hier Plus
Der Zielfunktionswert ist minus 18. Das heißt,
wir haben eigentlich genau das Gleiche, was wir sehr hatten,
kennengelernt haben im Rahmen des Pi mal Simplex-Algorithmus.
Was jetzt hinzukommt, ist eine neue Gleichung.
Unter Z-Zeile. Und solange ihr unten rechts einen Wert
ungleich null steht, haben wir noch keine Zielfunktion,
keine zulässige Lösung
Wenn jetzt hier eine Null steht, bedeutet das ja,
Z ist gleich Null. Wenn Z gleich Null ist,
bedeutet das, dass Z1 und Z 2-0 sind.
Denn die sind ja nie negativ definiert. Also wenn Großset Null
ist, dann muss Z1 und Z2 auch Null sein.
Dass wir den Zielfunktionswert von Z verbessern können,
da sehen wir ja hier,
da steht minus 3,
Also, was ist jetzt zu machen? Sie müssen die
F-Zeile wie eine normale Gleichung behandeln. Nicht weiter im Fokus
haben, solange hier etwas noch steht, ungleich neu.
Das heißt, wir versuchen zunächst einmal Z zu verbessern.
Und wir sehen, es gibt hier mehrere Kandidaten,
die in die Basis aufzunehmen wären,
um den Zierfunksohnswert von Z mit minus 18 zu verbessern.
Das wissen wir ja, ist ja zu maximieren.
Hier haben wir eine minus drei, da haben wir eine minus zwei.
Wir nehmen wieder den kleinsten Wert. Aufnahme von X1,
versprich die stärkste Verbesserung von Z. So,
damit hätten wir also die Pivo Spalt, die identifiziert.
Wir wissen, dass X1 in die Basis mit aufzunehmen ist.
So, bei F wissen wir, das ist eine freie Variable.
Da gibt es keine Nicht-Negativitätsbedingungen. Ja, da haben wir,
das führt sich auch weiterhin nicht verändern.
F ist also kein Kandidat für ein Basistausch. Okay,
es sind wieder unsere drei Gleichungen aus unser Nehmenbedingungssystem zu betrachten
In der ersten Leichung haben wir Z1, Z2, Z1-Basiswahl,
Japan in der zweiten Z2. Und der dritten haben wir Y 3 in der Basis.
So, jetzt ist die Frage,
welche von diesen drei Vayablen die Basis zu verlassen hat,
für die neu aufzunehmende Vayablek seins.
Da werden wir wieder die Verhältnisse,
rechte Seite und den Koeffizienten der Pivotspalte,
8 durch 1, ergibt 8,
10 durch 2 ist 5 und hier haben sie 10
durch 1 nochmal
Ergib auch 10. Das Minimum ist also bei der Z2-Zeile,
sehen durch 2 bis 5. Deswegen ist also,
dass unser Pivot-Zeile Z2 hat.
Für X1, die Basis zu verlassen. Und das
entsprechende Pivot-Element ist wieder in Erging-Klammer aufgenommen. Das heißt,
diese Zeile jetzt mit dem Kehrwert von zwei multifizieren,
also mit einem Hype. Und dann hier die 1,
da die 1, da die minus zwei und da die
minus drei durch Anwendung der Elementaroperation
Entfernen, sodass wir jetzt wieder, jetzt um x1 wird
das dann ja sein, einen Einerz Vektor konstruiert haben.
Okay. Hier nochmal, was ich gerade ein bisschen erläutert habe,
also Z1 ist, Z ist zu mixen, maximieren.
Ja, es gibt hier noch eine Besonderheit,
die wir mitverwenden wollen. Eine künstliche Variable,
die die Basis bereits verlassen hat,
wird nicht erneut in die Basis aufgenommen
Das heißt, wenn jetzt eine Variable, wie jetzt hier,
Z2, die Basis verlässt, dann wären wir diese Spalte markieren,
also in dem können sie natürlich auch rauslöschen, de facto.
Und wir werden das aber für die Handrechnung dadurch kennzeichnen,
dass wir hier überall so ein X, also ein Kreuz einmal.
Sie können sich überlegen, ob sie hier,
das ist aber jetzt so eine Randbemerkung,
ist jetzt nur für, weil sie mal irgendwas nachrechnen wollen,
Für die F-Zeile noch eine Ausnahme machen.
Und hinterher die Simplex-Multikatoren eindeutig zu spezifizieren.
Müssen sie aber nicht machen. Okay. So,
wenn alle künstlichen Variablen die Basis verlassen haben,
dann haben wir eine zulässige Startlösung für unser Ausgangsproblem.
Dann können wir die Z-Zeile anschließend weglassen. Ja,
aber wir werden die streichen. Streichen der Z-Zeile,
wenn alle künstlichen Variablen die Basis verlassen haben
Ja, da haben wir eine zulässige Startlösung.
Und wir können ganz normal den primalen, simplexen Algorithmus,
wie wir den denn kennengelernt haben,
ohne diese vielleicht etwas lästig erscheinende Zgleichung.
Dann lösen. Okay. Hier sehen Sie schon das
fertige Ergebnis. Gehen wir einmal gemeinsam durch. Also was
wir ja zunächst einmal hier als Pivo-Element identifiziert haben.
Also minus drei war der kleinste Wert in der Z-Seile
Deswegen X1 ist die Basis aufzunehmen. Acht durch eins,
zehn, durch zwei, zehn durch eins.
Das Minimum liegt dann bei zehn durch zwei, sprich fünf.
Also ist das unser Pivole. Z2 verlässt,
also die Variable und X1 wird in die Variable mit aufgenommen.
Deswegen haben wir also jetzt hier die X1 stehen. So,
die ganze Gleichung jetzt mit einem Kehrwert von zwei,
sprich mit einem halb multipliziert, liefert uns dann eins hier und der X1,
ein halb und ex zwei und so weiter.
So, jetzt hatte ich ja schon gesagt gehabt,
wenn wir Eine künstliche Variable aus der Basis eliminiert haben.
Dann markieren wir das gleich, weil die nicht,
weil er berücksichtigt werden soll. Durch solch ein Kreuz oder
X, je nachdem, wird ausgeixt. Okay,
und das ist jetzt hier gekennzeichnet, weil wir wissen,
Z2 verlässt die Basis, wird sofort hier markiert.
Brauchen Sie schon mal
ein paar Werte weniger ausrechnen
Okay, wenn sie das hier nicht machen würden,
würden sie auch hinterher den simplexen Multikator in Aha genau sehen.
Okay. So, dann haben wir also die X1-Zeile in
dem zweiten Tableau und die nutzen wir jetzt um einen Einheitsvektor,
um dieses Pivo-Element, was wir hier zu konstruieren.
Das heißt, wir werden einmal die X1-Zeile von der Z1-Zeile Subtariere.
Da haben wir also hier eins, subtariert von dieser eins,
er gibt die null, die eins minus, diese einhalb,
er gibt die eine, ja minus eins, minus null,
da steht ja eine null, bleibt ein minus eins.
Hier haben sie minus einhalb stehen, da steht eine null,
minus, mal minus, er gibt plus.
Deswegen haben wir hier plus eineinhalb Stunden. Okay. Hier
haben sie fünf stehen, da hatten sie vor acht,
acht, minus fünf ergibt diese drei.
Das Gleiche machen, machen wir für die Y-Drei-Zeile
Da ziehen wir dann einmal die neu gebildete X-1-Zeile ab.
Und erhalten entsprechend die Werte, die wir hier vorfinden.
Denken Sie daran, die minus zwei hier auch nicht
zu vernachlässigen und die minus zwei zu entfernen,
müssen Sie zweimal die X-1-Zeile auf die F-Zeile addieren.
Und das werdet ihr Ergebnis, sehen Sie jetzt ja auch hier.
Okay. Dann müssen Sie auch die minus drei hier wegbekommen
Weg bekomme die minus drei entfernt oder auf null.
Ja, in David dreimal die X1-Zeile. Auf die Z-Seile
addieren. Und dann halten wir hier dieses fertige Ergebnis.
Okay. Ja, davor stand hier minus drei.
Dreimal. Die X1-Zeile addiert, minus drei plus drei,
er gibt in die Null und ergeben sich halt
auch die anderen Werte
Wir sehen jetzt, haben wir schon hier für Z
minus 3 stehen, ist also schon deutlich besser geworden.
Okay, aber wir haben immer noch keine optimale Lösung,
zulässige Lösung, Entschuldigung, da wir immer noch einen negativen Zielfunktionswert haben für Z. Okay.
So, jetzt schauen wir uns wieder die Z-Seile an
und dort haben wir zwei Kandidaten.
Sprich nicht,
Basis Vayablen
Deren Aufnahme eine Verbesserung des Zielfunktionswertes Z versprechen. Ja,
haben wir minus eineinhalb und da war auch minus eineinhalb.
Und jetzt die Frage, welchen von diesen beiden?
Kandidaten. So ein Weg 2 oder Y 2 mit aufnehmen.
Entschuldigung. Na. So, und da können Sie jetzt
eine willkürliche Entscheidung treffen.
Offenbar haben wir
uns für Y 2 entschieden
Aber sie hätten sich auch für X2 entscheiden können.
Okay. Okay, wie Sie sehen, haben wir
also Y2 hier als neue Basis war, Yabli identifiziert.
Die nächste Frage war wieder, welche Vayable verlässt jetzt die Basis?
Jetzt haben Sie ja hier oben drei durch ein Hype,
das ergibt sechs, ja.
Hier haben Sie negativen Kovezenten, den können Sie überspringen,
da gibt es also keine Beschränkung der Vayable und hier
haben Sie fünf durch einhalb des RGC
Das Minimum ist also in der ersten Zeile hier.
Drei durch eineinhalb sechs. Wir entscheiden uns also,
dass Z-1 die Wahlbasis zu verlassen hat.
Und Y2 wird dafür in die Basis mit aufgenommen.
Das sehen Sie hier schon, da steht schon die Y2. So,
jetzt müssen wir diese eineinhalb so transformieren,
dass da eine einsteht.
Ja, das heißt,
wir werden die ganze gleiche mit zwei multifizieren
Und dann erhalten sie hier auch das Pferd, die Ergebnisse schon.
So, da haben sie ja auch festgestellt, dass Z1
die Basis verlassen hat. Denn wir haben ja uns überlegt,
dass Y-2 führt Z1, da steht das 7-2,
Vorstand der Z1, in die Basis aufgenommen wird.
Und jetzt können wir auch sofort die Variable,
die Spalte der künstlichen Variable Z1 markieren.
Und damit haben beide Künstlichen Variablen, die Basis verlassen.
Der ZielfunktionswRZ nimmt den Wert Null an. Und damit haben
wir also eine zulässige Startlösung. Wenn Sie sehen,
es ist keine Basis, war ja keine künstliche Variable mehr
in der Basis, können Sie sofort die Z-Zeile weglassen.
Deswegen sehen Sie also jetzt in diesem Tableau hier,
das dritte im dritten Tableau,
keine Z-Zeile mehr
Sie haben ja auch keine Künstliche Vaya-Able mehr in der Basis.
Z1 und Z2 sind nicht Basis war, Japlen geworden.
Nicht Basis war Japlen, haben definitionsgemäß, den werden null.
Das ist also der Grund,
dass wir hier die Z-Zeile nicht mehr stehen haben.
Okay. Prinzipiell hätten Sie natürlich auch jetzt hier die Z1,
Z2, Z2 Spalte herausstreichen können.
Aber wir, Gänze, ich nenne das durch diese Xa
hier.
Okay.
Wir haben also diese Z1-Zeile mit zwei multifiziert und für Z1,
da nimmt es dann zwei in die Basis aufgenommen und erhalten dann diese neue Y2-Zwei-Zeile.
Und die nutzen wir um diese Minus-Einheit hier wegzubekommen und eineinhalb
und die minus eins,
indem wir das entsprechende Vielfache der neu gebildeten Y2-Zwei-Zeile auf die X1-Zeile addieren,
beziehungsweise von der Y3-Zeile Subtrariere und auf die F-Zeile müssen wir was addieren,
um die minus eins weg zu bekommen
Okay. Die neuen Ausprägungen der Basis war ja Print Ypson 2,
X1, 723, sehen Sie hier,
mit 68 und 2, F, aktueller Zielfunktionswert ist 16. Okay.
So, und dann sind Sie wieder im Rennen,
so wie Sie es kennen. Sie haben ja die minus 2 stehen,
aha, durch Aufnahme von Ypson 1 in die Basis,
können wir den Zielfunktionswert verbessern.
Okay, jetzt haben Sie hier zwei negative Werte stehen,
die können Sie also überspringen. Es kann also nur diese
1 jetzt hier Das Pivo-Element sein. Y 3,
verlässt die Basis, Y 1 wird in die Basis mit aufgenommen,
steht jetzt hier schon als fertiges Ergebnis.
Ja, und die Zeile müssen sie nicht weiter mit einem
Skala multifizieren, weil ja hier schon der ein steht.
Das bleibt also so. Dann müssen sie diese minus eins auch wegbekommen,
die minus zwei, in denen sie die Y 1 Seite entsprechen,
häufig auf die X1, respektive auf die Y-Zweitseile addieren.
Die fertigen Ergebnisse sehen sie auch hier schon im letzten Dublo stehen.
Die minus zwei müssen sie entfernen, indem sie das zweifache
Der neugebildete Pson 1 Seile auf die CF-Seile addieren.
Und dann arbeiten sie. Also dieses fertige Ergebnis. Und
sie sehen in der F-Zeile sind sämtliche Werte größer gleich.
Null. Sie haben damit ein optimales Ergebnis.
Die Lösung Y 2, gleich 10,
X1,
Und Y1 gleich 2. Seefunktionswert 20. Die hatten wir schon vorgesehen.
Sind dann halt die optimalen Basisvariablen, beziehungsweise optimale Zielfunktionsherr.
Die 20 hatten wir ja schon vorgesehen gehabt als Ergebnis,
als wir uns hier die Lösung von Games angeschaut hatten.
Da hatten wir F gleich 20 und hier sehen sie
die entsprechenden Ausprägungen auch von X1, Y1,
Y2. Ich hoffe,
das ist jetzt Äquivalent hier
mit dem
Ja, sie sehen Y-12. Y-2 und X-1 auch gleich 10. Ja.
Okay. So. Gibt es dazu Fragen?
Ja. Von daher sind wir ja schon gut aufgestellt.
De facto können wir jetzt jedes lineare Optimierungsproblem lösen
Wir wollen uns jetzt hier, um die Zeit auch zu nutzen,
ich habe jetzt hier heute nicht vorgehabt,
noch ein neues Thema zu machen.
Ich muss einmal kurz die Nase schlauen, Entschuldigung.
Zwei Aufgaben, 2006 und 2007. Zu der Veranstaltung gibt es ja
einen Skript. Ich hoffe, das haben Sie auch.
Ich weiß das gar nicht. Ob das über Stine bereitgestellt wird,
falls nicht, dann müssen Sie nochmal die Übungsleiter darauf ansprechen.
Okay. So, das heißt, wir werden jetzt die
Uns bekannten Methoden jetzt nochmal anhand von weiteren Beispielen vergegenwärtigen.
Orge. Wir wollen das Ganze also jetzt nochmal vertiefen anhand eines weiteren Beispiels.
Und zwar haben wir folgendes Optimierungsproblem, minimäre F gleiche 80,
Mai X1 plus 60, Mai 2. Unter den folgenden Nähbedingungen 0,1,
0,2 Mai X1 plus 0,32, 2 kleine ja gleich,
25. X1 plus X2, gleiche 1. Okay,
jetzt sehen Sie hier schon mal wieder so eine Gleichheitsrestriktion.
Und das erfordert die Einführung einer Z-Variable.
Eine Schlupfvariable brauchen Sie an der Stelle nicht.
Ist ja schon von vorne an eine Gleichung.
Und bei Gleichung brauchen wir auch eine künstliche Variable
Alternativ hätten Sie aus der Gleichung natürlich zwei gleich ungleicher machen können,
indem sie geschrieben hätten, nix, eins, plus X2,
kleiner gleich eins, X1 plus X2, größer gleich eins.
Ja, und dann hätten sie halt für X1 plus X2 nur eine Schlupfwahljable eingeführt.
Und ja, bei der zweiten hätten sie sich überlegen können,
starten sie mit dualen simplexen Algorithmus oder machen sie es dort auch mit einer künstlichen Wahl ja?
Also eine Gleichheitsrestriktion können sie immer in zwei Ungleichungen transformieren.
Sodass die Gleichheit ja immer gewährleistet bleibt. Okay. Ja,
wir machen das direkt, wie wir es ja jetzt kennen.
Wir führen ja eine künstliche Variable 1Z1. Und wenn wir jetzt die M-Methode anwenden wollen,
wieder mit 1000 jetzt, dann sehen wir ja hier schon,
das fährt die Ergebnis, hier der Modellierung, 0,2,
hier haben wir die Schlupfweihe, Plöpson 1, Nikel,
erste Gleiche eingeführt.
Hier haben das Z1, Z1 ist auch mit die C-Funktion aufgenommen. So,
was ich jetzt hier beachten müssen, ist, sie haben eine Minimierungs-Zierfunktion,
was denn die Motivation, wie wir es sonst standardmäßig haben,
in dem Fall müssen wir plus tausendmal Z1 schreien.
Jetzt ist ja der unattraktive Kovizient, was,
da ich gekennze,
als er Tierfunktionswert steigt
Wenn wir jetzt nicht eins in der Basis haben.
Und wir haben ein Minimierungsproblem, wollen die Zielfunktionswelt so weit
wie möglich runterbringen. Und solange Z1,
die künstliche Variable Z1 in der Basis ist,
haben wir einen sehr hohen Zielfunksohn.
Das gilt jetzt zu vermeiden. Also nicht immer minus tausendmal Variable hinschreiben,
sondern gucken erst einmal Arme hier,
ein Minimierung oder ein Maximierungsproblem vorliegen
Bei Minimierung plus maximierung minus. Das sage ich auch.
Okay. So, jetzt haben wir wieder diese Zielfunktion F.
Mit minus eins multipliziert wird daraus eine Maximierungsziehfunktion. So,
jetzt wissen wir, das Set 1 aufgrund dieser gleichen ist
ja nichts anderes als eins, minus X1, minus X2.
Und da setzen wir dann auch ein in die Zielfunktion.
Also wir setzen Z1 durch 1, minus 61, minus X2.
Und so wie wir es hier stehen haben, und dann
haben wir hier Das zu lösende Optimierungsproblem mit der zu künstlichen Variable Z1.
Und natürlich auch der Schlupf war Yapel Y1. Okay.
Und das Problem können wir jetzt wieder lösen, ganz normal mit dem primalen Simplex-Algorithmus.
Auch das habe ich jetzt hier nicht im Detail ausgeführt.
Das ist natürlich jetzt hier mit den krummen Werten etwas fummeliger,
aber sie sehen ja hier, wie sie vorzugehen haben,
sie müssen als erstes X-2 die Basis mit aufnehmen.
Sie sehen dafür, dass Y Ja. Müssen also eins durch eins rechnen,
0,25 durch 0,32, das ist ein größerer 7 und 1,
wird das erste, die Basis verlassen.
Und ja, nach wenigen Iterationen kommen sie dann zu diesem fertigen Ergebnis.
Auch das können wir, kann ich Ihnen nochmal zeigen,
oder auch nicht. Schon wieder weg. Wie das
mit Games gelöst wird
Oder wie die Games-Lösung aussieht, das war es, Aufgabe 2,6, ja.
Ja, wie ist das hier richtig Tage bestellt?
Achso, hier ist das Pferd die Ergebnis für.
Ah ja, okay, hier sieht es besser aus.
Also das ist dann das Problem, was sie dann zu
lösen haben mit Hilfe des primalen Simplex-Algorithmus. Und wenn wir das lösen,
so mache ich das dann immer, bin ich immer zu faul,
dass immer alles so mit der Hand zu rechnen.
Und dann sehen sie hier auch, Die entsprechenden Werte,
oder auch nicht. Wie komme ich da jetzt rüber?
Da sehen Sie den entsprechenden Werte. Und die würden Sie
dann auch mit der Handrechnung herausbekommen sollen. Falls nicht,
gibt es vielleicht Rundungsfehler oder ist es irgendwas schiefgelaufen?
Ja. Okay, also den primaen Simplex Algorithmus beherrschen Sie ja,
es ist sicherlich mittlerweile, von daher können Sie das Problem auch.
Schnell nochmal Selbstnachrichten. So, und schauen wir es für
dieselbe Problemstellung, die zwei Phasenmethode noch einmal näher an.
Wir haben ja XIs plus X2 plus Z1 gleich 1,
zu minimieren des Z1, ja,
Z1 ist ja nichts anderes als 1 minus X1 minus X2,
multipliziert mit minus 1,
liefert uns dann
die Zielfunktions
Z ist gleich minus 6, 1, minus 1,
plus 6, 1 plus 6, 2.
Und hier sehen Sie auch noch mal etwas detaillierter ausgeführt,
was wir jetzt dort gemacht haben in den einzelnen Iterationen.
Wir haben jetzt hier in der dieses folgende Z-Seite vorliegen.
Offenbar gibt es hier wieder zwei Kandidaten. Ja,
mit minus 1 und der X1, minus 1 und Dake 2.
Man kann jetzt hier wieder willkürlich entscheiden,
ob X1 oder X2. Offenbar haben wir uns hier entschieden,
X1 in die Basis
Für Z1 aufzunehmen. Denn das ist ja das Pivo-Element.
Ja. So, sie rechnen wieder eins durch eins,
das ergibt eins, 0,25 geteilt durch 0,2,
das wird auf jeden Fall größer eins sein.
Deswegen ist das Josep-ivo-Element. Ja, Pivoge bald ist jetzt
willkürlich ausgewählt worden, die Wohlzeile ist aber wieder eindeutig,
ja. 0,2555 durch 0,220. Ihr werdet wertgrößer eins,
eins durch eins, Liefern 1. Deswegen ist das hier
unser Pivoge
Zeile und damit haben wir auch das Pivo-Element.
Spezifiziert. Okay. Ja, hier steht das nochmal
im Detail ausgeführt, die einzelne Operation. Okay,
jetzt müssen wir dann die Pivot oder die Elementaroperation anführen,
um ausführen und der der Variable X1 ein Einheitswerk dort zu bekommen,
die entsprechenden Vorgehensweisen sehen Sie jetzt hier
Die Z1-Zeile musste ja überhaupt nicht verändert worden. Sie brauchen
nur hier X11-Sets dafür eintragen. Z1 verlässt die Basis,
deswegen haben sie hier gleich Xe stehen, ja, ausgeeks.
Und die entsprechenden Werte der anderen Zeilen, kovizienten,
haben sie jetzt auch nochmal die Angaben, was dort gerechnet wurde.
Okay. Die Z-Zeile können sie sofort weglassen,
weil keine... Künstliche Vaiable mehr in der Basis enthalten ist.
Deswegen haben sie also hier nicht nochmal
die Z-Zeile stehen
So, schauen Sie hier rein, was steht denn da
minus 20? Okay. Das ist also offenbar,
versprich also eine Verbesserung des Zielfunktionswertes, weitere negative Werte.
Gibt es nicht in der F-Zeile, das ist also unser Pivot-Spalte,
also X2, ist in die Basis mit aufzunehmen.
So, jetzt rechnen wir wieder eins durch eins.
Ja, 0,05 geteilt durch 0,12. Sie teilen durch ein etwas
Größeres als 0,05, also kommt da etwas kleiner eins raus
Also ist das unser Pivo-Element hier. Die entsprechenden Transformationen sind
jetzt hier wieder angegeben und auch das fährt die Ergebnis haben sie angegeben.
Sie halten also F gleich, minus 71,6.
Das ist aber für das Maximierungsproblem, ja.
Sie müssen also den Zielfunk so und es werden noch
mit minus eins wieder multiplizieren und dann kriegen sie den Zielfunk
so undswert
ihrer Minimierungs
Zielfunktion heraus. Wir waren ja gestartet hier. Wo haben wir
das hier nochmal? Na, hier haben wir es nicht
explizit stehen. Werden ja minus 80 X1 plus 602,
haben wir transformiert mit minus eins um eine Maximierungs-Sehfunktion zu erhalten.
Und das Maximum ist irgendwas mit 71, also minus 71,
multifiziert mit minus eins, ergibt den Zielfunktionswert für unser eigentliches Optimierungsproblem, dem Minimierungsproblem.
Also F ist mit minus eins zu multifizieren. Okay.
Auch hier noch einmal das fertige Ergebnis mit Games ermittelt.
Wobei wir uns keine Gedanken gemacht haben,
bezüglich irgendwelcher Transformationen Wir sehen Sie es noch einmal.
Da können Sie gleich frih wieder hinschreiben. Wir haben jetzt
ein bisschen dran gewöhnen. Dass wir das einheitlich verwenden. Und in Games,
wenn sie es mit Games, gleiches wäre es,
wenn sie es mit RPL oder Lingo lösen würden,
dann wird das nahezu analog ausschauen, ja.
Hier nochmal vorgeführt, das fette Ergebnis. Listing. Sehen
sich hier auch nochmal die bekannten Werte. Den Aufwand,
den sie betreiben, um das mit Hand zu rechnen,
den haben sie hier natürlich nicht.
Das nimmt ihnen alles so einen Standardzoll war ab.
Brauchen sie also nicht extra in einem Maximierungsproblem transformieren
Oder aus Ungleichungen, Gleichungen konstruiere, das einführen,
künstlicher Variablen, ist nicht erforderlich. Das nimmt ihn alles.
Der Solver, der Standard Solver ab. Okay. Ja,
schauen wir mal so ein weiteres Beispiel an. Und zwar haben wir hier ein Beispiel,
Das mit der Zwei-Phase-Methode zu lösen ist, maximäre F,
gleich 2 X1 plus 3 X2, X1 plus 2,
2, kleiner 2. 6 X1 plus 4, 2,
Größe gleich 24 und sie sehen,
wie der die Größe gleich Restriktion,
macht es uns schwierig, hier sofort eine Lösung abzulesen.
Okay. So. Gehen wir wieder ganz stringent vor. In
der ersten Gleichung haben wir, das sind die ersten Nebenbedingung ist eine kleine Gleichbedingung.
Da führen wir jetzt eine Schlupfwar-Iaple, Y1111. Das zweite können
wir jetzt auch machen für die zweite Gleichung,
wobei Y2 jetzt das Übersteigen der rechten Seite erfasst.
So, ja, zwei Phasenmethode bedeutet, dass wir jetzt
hier in der zweiten Gleichung eine künstliche Variable ablesen.
Denn wir können Y1 gleich 2, Y2 gleich minus 24,
wäre jetzt das Ergebnis, dualer Simple Exphäre denkbar.
Aber wir sollen ja hier gemäß Aufgabenstellungen, die zwei Phasenmethode anwenden.
Eisen führen wir hier in eine künstliche Variable Z1 an
Naja. Wir nummerieren die künstlichen Variablen der Fortlaufenden,
so wie sie benötigt werden. In diesem Fall ist Z1 ja nicht
die künstliche Variable der ersten Gleichung, sondern der zweiten Gleichung.
Okay. So, und dann erhalten wir also folgendes Minimierungsproblem. 24,
minus 6, 6, 1, minus 4,
2 plus 7, 2. Das heißt, wir haben wieder Z1 isoliert,
indem mir die Therme hier auf die rechte Seite gebracht haben.
Also Z1 ist gleich 24, minus sechs, x1,
minus 4x 2 plus Y2. Unsere Zielfunktions lautet ja Z1, gleich Z1.
Und wie gesagt, Z1 ist ja nichts anderes als 24,
minus 6, 61, minus 4x2 plus Y2.
Und da steht jetzt hier, das ist eine zu minimierende Zielfunktion.
Wir haben es angewöhnt immer nur Maximiliumsprobleme zu betrachten.
Wir multifizieren die Zielfunktion
Da mit minus eins unterhalten dann maximäre Z gleich minus 24 und so weiter.
Okay. Das Ergebnis sehen Sie jetzt auch schon hier, ja.
Hier haben wir also das Tableau mit der zusätzlichen Zielfunktionszeile Z. Ja
, wie können wir Z am stärksten verbessern?
Ja, indem wir die Variablix 1 mitten die Basis aufnehmen
So, dann rechnen wir wieder zwei durch eins,
6, 24 durch sechs,
offenbar haben wir hier das in der Y-Einzeile,
das minimale Verhältnis der B-Koeffizienten und der entsprechenden Koeffizienten der Pivot-Spalte.
Zwei durch eins ist eins, Entschuldigung, zweite ich eins.
Zweit durch eins natürlich. Zwei,
24 durch sechs ist dann vier,
also das ist dann
nur so
Pivotzeile, okay, das wäre die Ergebnisse, Sie hier,
Sie brauchen die Pivotzeile ja nicht weiter verändern.
Hier steht ja schon eine Eins,
Sie müssen halt nur X-1 für Y1 aufnehmen,
deswegen haben wir hier als X-1 stehen und schreiben nochmal die gleiche dahin.
Jetzt müssen wir die Sechse wegbekommen, ja,
indem wir das Sechsfache dieser Zeile auf die Z1-Zeile addieren.
Das wäre die Ergebnisse, sehen Sie hier.
Dann müssen Sie die minus zwei hier noch wegbekommen,
indem Sie das zweimal die X-1-Seile auf die alte F2 Seil addieren, unterhalten.
Dieses wertige Ergebnis. Hier haben sie minus sechs stehen,
müssen das sechsfache dieser Zeile auf die Z-Seile addieren und haben
dann hier dieses Ergebnis. Also eine Z-Stadtseile steht jetzt,
dass der Z-Funktionswert von ZS minus zwölf und sämtliche
Kovizienten unter den Variablen der Spalten in der Z-Seile
sind größer gleich null
Damit haben wir hier ein optimales Ergebnis vorlegen.
Der Zielfunktion zur Z kann nicht weiter gesteigert werden.
Aber der Zielfunktionswerte ist weiterhin negativ.
Es existiert also keine zulässige Lösung für dieses Optimierungsproblem.
Damit haben sie also den Nachweis geliefert,
dass das Problem
keine zulässige Lösung besitzt
Hätten Sie vielleicht durch Hinschauen auch rausbekommen,
aber hier haben Sie jetzt die grundsätzliche Vorgehensweise,
um zu überprüfen, ob überhaupt eine zulässige Lösung besteht.
Es gelingt Ihnen also nicht, die Künstliche Variable Z1 aus
der Basis zu eliminiere. Okay, ja auch hier,
dass wir hier auch nochmal kurz zeigen,
wie das in der Verwendung von Games ausschaut
Ja. Lösen wir einmal das Problem.
Und sehen Sie auch hier? Na? Model has been
proven invisible
Okay. Gibt es dazu Fragen? Ich sehe hier
keine Wortmeldung. Dann lasse sie jetzt hier.
Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit