Ja, schönen guten Morgen. Ich begrüße Sie ganz herzlich
zur Veranstaltung Operations Research. Die Aufzeichnung, die Veranstaltung,
sprich die Vorlesung, jetzt genau, wird aufgezeichnet.
Also alle Faxen von Ihnen wäre bildlich festgehalten.
Also passend ist ja auch, was Sie hier machen.
Ja, ich begrüße Sie, wie gesagt,
ganz herzlich zu dem Fachgebiete, Operations Research,
im deutschsprachigen Raum spricht man auch von Unternehmensforschung.
Und dieser Begriff drückt schon die Querschnittsfunktion des Operations Research aus.
Das heißt, wir sind nicht auf eine spezielle Funktion des Unternehmens beschränkt.
Wir können mit den Methoden und Modellen,
die wir im Rahmen dieser Forschungslesung kennenlernen,
nicht nur Probleme der Produktionsplanung,
der Logistik,
sondern auch beispielsweise des Marketings
sehr gut bearbeiten
Überall da,
wo sie planerisch Entscheidungen zu treffen haben und ein Optimierungskalkül haben,
ist in der Regel ein mathematisches Modell, ein Mittel,
um eine rationale Entscheidung zu treffen.
Also beschäftigen wir uns mit einem Gebiet,
das vielfältige Anwendung in ganz unterschiedlichen Bereichen hat.
Es ist auch eine Disziplin,
die eine hohe Praxisrelevanz hat
Wir wenden beispielsweise die Methoden, Modelle zur Lösung von Fußgängerproblemen an.
Wir planen beispielsweise jedes Jahr an die zwei Millionen Pilger,
die zu den Steinigungsritualen in Mekka unterwegs sind.
Anlässlich der Hatsch. Also ein Riesenpraxisproblem. Wir haben Praxisprobleme,
wo es um Distributionsnetze gibt, wo man sich überlegen muss,
was sind die geeigneten Standorte für Crosstocks,
welche Relationen sind aufzubauen
Also welche Transportverbindungen, welche externen Logistikdienstleister sind eins zu setzen,
um Zwischenlagerungen vorzunehmen. Also vielfältige Anwendungen, wo man die Methoden,
die wir hier im Rahmen der Veranstaltung kennenlernen werden,
in der Praxis anwenden kann.
Wer später bei mir in der Bachelorarbeit schreiben will,
hat eine große Chance, auch derartige Techniken,
die wir hier kennenlernen werden im Rahmen seiner Abschlussarbeit anzuwenden.
Okay, das sei Als Vorspann, als Motivation,
sich hier mit den Dingen hier intensiver zu beschäftigen, kurz erläutern.
Hoffentlich ist das motivierend. Ja, kurz zu meiner Person. Ich bin jetzt seit,
ich bin jetzt das achte Jahr hier in Hamburg,
davor war ich sieben Jahre an der Technischen Universität Dresden und
davor zwei Jahre an der Universität Hohenheim in Stuttgart.
Und habe mich dort sehr intensiv mit Fragestellungen des Operations Research,
insbesondere auch in der Anwendung,
verkehrswirtschaftlicher Problemstellung beschäftigt
Beispielsweise die Einsatzplanung von Bussen, die Personaleinsatzplanung, das Farbpersonal,
wo man komplizierte arbeitszeitrechtliche Restriktionen zu beachten hat.
Und auch diese Problemstellung können wir mit den Methoden,
die wir kennenlernen, gut bewältigen. Es gibt hierzu auch
kommerzielle Software, in denen Methoden des Operations hinterlegt sind.
Sogar ein SAP, dieses Ressort-Planning-Tool, basiert auf Modellen,
Methoden, die aus dem Operations Research kommen
Ja, unter anderem auch ein Modell, das wir im Rahmen unserer Forschungsarbeiten entwickelt haben.
Navigationssystem von Daimler Kreisler, basiert auf dem Kürzester Wege,
Verfahren, dass wir hier im Rahmen dieser Vorlesung besprechen werden.
Also vielfältige Anmal-Anwendung nochmal. Okay, ein paar organisatorische Dinge
möchte ich vorab noch erläutern. Viele, die mich schon kennen,
oder wenn sie Kommilitonen aus höherem Semester fragen,
Da hieß es immer Hase, gleich Games.
Gleich, Fragezeichen. Aber wenn sie jetzt sich den gesamten Schwerpunkt Operation Size PlyJ-Management anschauen,
werden sie feststellen, sämtliche Kollegen werden auch Algebrage,
Modellierungssprachen, wie Games ein, setzen ein.
Und all die Dinge, die wir hier besprechen,
lassen sich in Millisekunden mit solch einem Werk solch wie Games
Das ist eine allgebranche Mullierungssprache, ist,
die unmittelbar auf State of the Arts, Solver,
zurückgreifen kann und da eine ganze Palette an alternativen Säubern,
ganz leicht zur Verfügung stellt.
Nicht nur lineare, sondern auch nicht lineare,
ganzzahlige Optimierungsprobleme, sind sehr einfach dort einzubinden.
Standardmäßig ist auch für jede Problemklasse schon immer was hinterlegt.
Ja, wenn Sie sich auf sich entscheiden,
gegebenenfalls im Bereich Operation and Supply-G-Management zu vertiefen, im fortgeschrittenen Studium.
Denn sollten sie vielleicht doch die Mühe machen, die Software einmal herunterzuladen.
Ich werde auch kurz skizzieren, wie sie funktioniert.
Spätestens werden sie irgendwelche Übungsaufgaben haben, brauchen sie den Übungsleiter oder Übungsleiterin.
Nicht zu fragen. Sie können wenig Sekunden das selbst überprüfen,
ob sie richtig gerechnet haben.
Wenn sie einfach diese Hürde überwunden haben,
das Programm einmal zu installieren
Zugebenermaßen ist es besonders praktikabel für diejenigen, die auf dem Windows-System arbeiten.
Es ist wesentlich konfakt komfortabler, die Software zu nutzen.
Auch hier bin ich der Meinung, es wäre eine gute Investition,
man das herunterladen dauert zwei Minuten und höchstens wird der alles komplett automatisch installiert.
Dann haben sie so einen Eigenbraus,
die nur draufklicken und dann können sie schon loslegen. Okay,
wenn sie das Programm starten, dann kriegt er so eine Oberfläche,
in der Regel legt man ja so ein Projekt an,
speichert man in einem Ordner und alles,
was sie dann machen
Wird er in diesem Ordner zusammengefasst. Danach können sie eine Datei öffnen,
eine neue Datei und dann können sie gleich das Problem,
welches sie zu lösen haben.
Dort nahezu in der gleichen Weise, wie wir das hier
im Rahmen der Vorlesung behandeln, eins zu eins umsetzen.
Okay, also ich kann nur jeden raten,
das ernst zu nehmen und sich damit mal auseinanderzusetzen.
Wenn Sie sich später mal abgrenzen wollen von anderen Kommilitonen
anderer Universitäten und haben da ein Know-how,
dann haben Sie da einen kleinen Vorteil
Diverse Praxispartner, Fragungsan. Haben Sie denn jemanden,
der sich mit dieser mathematischen Modellierung auskennt? Ja,
haben gerade eine Anfrage beispielsweise von Feldschlösschen aus der Schweiz.
Für diejenigen, die Bier trinken, keine schlechte Alternative.
Gutes Einkommen, sichere Rente, können Sie in reinen Felden
wohnen auf der deutschen Seite. Besonders lukrativ, auch finanziell.
Schon zu meiner Dresdner Zeit sind wir auf die Idee gekommen,
Eine webbasierte Lerneinheit für die Studierenden zu erstellen.
Das ist mehr, das blendet Learning-Konzept. Das heißt,
Inhalte und Erläuterungen werden in Vorlesungen, Übungen weiterhin angeboten,
zur Vertiefung der Inhalte haben sie die Möglichkeit,
mithilfe des Klausurtrainers Aufgaben zu lösen und sehen,
ob sie die Vorgehensweise zur Beantwortung der Fragen
auch verstanden haben
Der Klausurtrainer ist so gestaltet,
dass sie jede Woche Vorlesungs- und Übungsbegleitend zu den dort besprochenen Inhalten Aufgaben freigestaltet bekommen
und müssen dann auch innerhalb einer Woche in der Regel,
manchmal können wir es auch ein bisschen länger machen,
die Aufgaben beantworten.
Jede einzelne Aufgabe ist dadurch gekennzeichnet, dass jeder Studierende
seine eigenen Zahlen hat. Es langt also nicht,
dass eine Lösung entwirft und die dann per Facebook verteilt.
Für die Beantwortung einer Aufgabe haben sie mehrere Versuche in der Regel,
aber die Anzahl der Versuche ist begrenzt.
Und wenn sie die Aufgabe richtig beantwortet haben,
gibt es Punkte und in Abhängigkeit der Gesamtpunktzahl,
die sie im Laufe des Semesters mit dem Klausurtrainer Wolmar,
gibt es denn Zusatzpunkte für die Klausur?
Diese Zusatzpunkte Werden ihn aber nur gewährt, wenn sie die Klausur bestanden haben.
Sie werden also nicht angerechnet, wenn sie eine Note erzielt haben,
schlechter als 4,0. Gehen Sie davon aus,
das ist immer so ein Notensprung, den man in der Regel erzielen.
Wenn sie eine 4-0 haben,
kommen sie auf eine 3-7,
drei Siegen kommen sie wahrscheinlich auf eine 3-3.
Zwei Sprünge sind
meines Erachtens äußerst selten
Ja, wie sie da hinkommen, wurde ich registrieren lassen,
müssen, sehen sie sich hier nochmal oben in der Kopfzeile auf der Folie.
Da können sie also auch, dass wenn sie mal
unterwegs sind, mit dem Smartphone die Aufgaben beantworten.
Es ist eigentlich so gestaltet, dass es auch für verschiedene
sogenannte Devices geeignet ist. Okay, also auch eine schöne
Sache damit zu arbeiten. Kann ich also auch wärmsten empfehlen
Ja, was wären wir im Rahmen dieser Vorlesung
und auch in den Übungen kennenlernen?
Wir werden uns im Wesentlichen überwiegen, sogar mit linearer Optimierung beschäftigen.
Das heißt, sie haben eine lineare Zielfunktion.
Zielfunktion drückt ein Kalkül aus, was sie maximieren wollen,
beispielsweise die Kosten minimieren, maximieren oder minimieren.
Kosten minimieren,
Erlöse maximieren
Ja. Und dann haben sie irgendwelche Nebenbedingungen, Absatzhöchstmengen,
Produktionskapazitäten. Und das wählen wir dann durch lineare Nehmbedingungen aus.
Ab. Lineare Optimierung ist nichts anderes als, zumindest so wie
wir das hier praktizieren, nichts anderes als iteratives Lösen von Gleichungssystemen.
Also sie sollten sich nochmal vielleicht damit vertraut machen,
diejenigen, für diejenigen, die das weit weg ist,
nochmal sich zu überlegen,
was ist denn
ein Gleichungssystem
Ja. Wir haben ja spezielle Gleichungssysteme, die sind
dadurch erkennzeichnet, dass wir mehr Variablen als Gleichung haben.
Und wir überlegen uns im Larahmen eines iteratives Verfahrens,
nach welchen Variablen wir das Gleichungssystem auflösen.
Haben Sie drei Gleichungen, zehn Variablen,
brauchen Sie in der Regel drei Variablen,
um dann eine Lösung zu haben für das Gleichungssystem
Also die einzige Technik im Vergleich zum iterativen Lösen vom gleichen System ist halt,
das ist immer nur eine Teilmenge an Variablen,
identifizieren müssen, Variablen repräsentierenden Produktionsmengen beispielsweise.
Nachdem sie das Leitungssystem aufzulösen haben. Dann werden wir uns
mit Grafen theoretischen Grundlagen beschäftigen. Insbesondere mit dem kürzesten Wegeproblem,
kürzeste Wegeprobleme kann man als Netzwerkflussproblem darstellen.
Wir wissen natürlich vielleicht noch nicht genau,
was das ist
Und damit ist es eigentlich auch ein lineares Optimierungsproblem.
Aber da ist eine spezielle Struktur hart, da gibt es auch spezielle Verfahren dafür.
Aber grundsätzlich ist es auch ein reines lineares Optimierungsproblem.
Das gilt auch für das klassische Transportproblem, mit dem wir uns beschäftigen werden.
Ist auch ein lineares Optimierungsproblem mit einer speziellen Struktur.
Und die wollen wir auch rausnutzen. Viele Methoden,
die sind im Bereich des Operations Research, kennenlernen könnten.
Sind dadurch gekennzeichnet, dass man die Struktur des Problems geschickt ausnutzt.
Gleichwohl gibt es heute Standardverfahren,
die automatisch bestimmte Strukturen erkennen und dann im Hintergrund diverse Techniken nutzen,
um schnell eine Lösung zu bestimmen.
Probleme, die vor zehn Jahren nicht lösbar waren,
wenn heute Millisekunden gelöst
Also sehen Sie auch eine erhebliche Entwicklung. Dann werden wir
uns mit der Netzplantechnik beschäftigen, hatten einen Bezug zur Projektplanung.
Dann überlegen wir uns, wie wir so ein Projekt zerlegen können,
einzelne Vorgänge, wie wir das dann grafisch darstellen können,
dass da die Strukturplanung.
Und dann überlegen wir uns für die einzelnen Vorgänge,
weil sie frühes und spätestens zu Beginn haben,
damit eine bestimmte Projektdauer eingehalten wird.
Also auch hier rohes hohen oder starken
Bezug zur Praxis
Und dann wäre mir die lineare Welt verlassen und uns
auch mit Problemstellungen beschäftigen, wo Entscheidungen abgebildet werden,
die so eine Art Ja-Nein-Entscheidung darstellen.
Soll ich in einer Periode die Maschine rüsten für ein bestimmtes Produkt?
Ja oder nein? Soll ich ein Investitionsprojekt durchführen?
Ja oder nein? Und solche Entscheiden, ja-Nein-Entscheidungen wären wir
denn mit sogenannten BNR-Variablen abbilden? Das heißt,
die Variable darf
nur die Werte 0 oder 1 annehmen
Und keine Werte dazwischen. Dann sind wir im Bereich der ganzzahligen Optimierung.
Wenn Sie an die Verstehtoptimierung denken, da haben Sie Schnittmuster.
Boah, ein langes Brett, der Segen, Regalbretter, unterschiedlicher Länge.
Dafür definiert man Schnittmuster. Und da ist dann die Frage,
wie häufig ein Schnittenbund es da zu nutzen ist.
Um eine Nachfrage zu befriedigen. Und da kann dann
die Variable Werte größer von eins auch annehmen.
Dann haben wir so ein ganz zeitiges Optimierungsproblem. Wir sprechen
da von einem Interchap-Problem. Natürlich gibt es auch Probleme,
wo sie kontinuierlich und ganz deutlich definierte Variablen zusammenhaben.
Das ist eigentlich der Regelfall. Dann sprechen wir von Gemischt
ganz zahlige Optimierung. In der Praxis kann es auch sein,
dass sie verschiedene Kriterien bei ihrer Entscheidung zu berücksichtigen haben.
Und dann sind wir im Bereich der mehrfachen Zielsetzung
Wir werden das relativ elementar behandeln, dort nur Probleme betrachten,
die auch mit Miniaren, die als lineares Optimierungsmodell auftauchen.
Abschließend werden wir uns denn mit mehrstufigen Entscheidungen beschäftigen,
so ein Investitionsprojekt, da ist ja die Frage,
sollen wir gleich sehr große Investitionen vornehmen oder wollen wir
Investitionen gestaffelt vornehmen,
Abhängigkeit der Marktentwicklung
Die Marktentwicklung wird dann über Umweltzustände abgebildet. Und in Abhängigkeit der eingetretenen Umweltzustände
werden wir denn uns neu positionieren und darauf aufbauen, Entscheidungen treffen.
Das sind so mehrstufige Entscheidungen. Da können Sie also nicht exakt sagen,
was Sie denn in zwei, drei Perioden machen werden.
Sondern es hängt davon ab, was der Umweltzustand ist.
Gleichwohl müssen Sie, wenn Sie heute eine Entscheidung zu treffen,
sich überlegen,
was sind denkbare Szenarien
Und die müssen sie mit einfließen lassen in die heutige Entscheidung.
Dann sind wir im Bereich mehrstufige Entscheidungen.
Wir werden das uns auch dort einfach machen,
dass wir nur absehbare Menge von Umweltzuständen betrachten.
Grundsätzlich kann man natürlich auch von kontinuierlichen, unendlichen Umweltzuständen ausgehen.
Ja, aber wir machen uns das an der Stelle einfach.
Und beschäftigen uns mit diskreten Umweltzuständen,
die ja insbesondere in der Regel auch eine gute Approximation darstellen
für den kontinuierlichen Fall
Ja, das also als kurze Einführung.
Wir werden uns jetzt nachfolgen, uns der linearen Optimierung annähern.
Wenn Sie in Lehrbücher reinschauen, finden Sie dort in der Regel
einen formalen Zugang und dann wird das Ganze illustriert an einem Beispiel.
Die Literatur ist vielfältig. Ich bin mit dem Lehrbuch Einführung
In Operations Research bei Darmstadt Drechsel aufgewachsen.
Sehr kompakte Darstellung. Durchaus eine empfehlenswerte Literatur. Aber da
haben sie halt auch das klassische, die klassische Vorgehensweise.
Wir machen erstmal das Ganze formal,
früher stellen das Ganze erst einmal formal da.
Und dann illustriere wir das anhand eines Beispiels.
Wir wollen ein bisschen anders vorgehen,
wir wollen die wesentliche Idee von vornherein,
anhand von Beispielen,
In der Hoffnung, dass es denn ihnen leichter fällt,
das Ganze auch formal zu verstehen.
Und damit auch allgemeiner. Okay. Ja,
was ist ein lineares Optimierungsproblem, ein lineares Optimierungsproblem,
ist dadurch gekennzeichnet, dass wir eine lineare C-Funktion haben.
Werden wir gleich noch sehen, was das ist.
Angedeutet hatte ich das ja schon. Und ausschließlich lineare Nähbedingungen
. Sobald sie irgendwo ein Therm haben mit Variablen X1,
Malek 2, dann verlassen sie schon
die lineare Welt
Augen sind nur an einem Hersteller. Okay. Ja,
wir wohnen jetzt aber zunächst einmal mit linearen Problemstellungen, Heudeberg, verschäftigen.
Wir wollen uns hier mit ein Problem aus der Logistik beschäftigen.
Oftmals findet man auch ein Problem aus der Produktionsprogrammplanung.
Aber wir aufgrund der Nähe zur Logistik haben uns jetzt für
ein Problem aus der Logistik beschäftigt.
Wir gehen davon aus, dass wir einen Frachtführer haben
Der, die Relation, diesem Beispiel Hamburg Kiel bedient.
Also er fährt von Hamburg nach Kiel oder von Kiel nach Hamburg.
Und Stelle setzt dafür ein, LKW ein. Und wir
gehen jetzt davon aus, dass wir jetzt die Situation haben,
dass es noch Kapazität gibt für eine Fahrt von Kiel nach Hamburg.
Okay, ich glaube, ich mache das hier nach vorne mit einem Hauszeiger.
Und freie Kapazität, ist jetzt einmal dadurch ausgedrückt,
dass noch fünf Ballettenstellplätze verfügbar sind und die maximale Zuladung,
neun Tonnen betragen darf. Also wir haben hier zwei Nähbedingungen,
die Anzahl der Ballettenstellplätze ist beschränkt und das maximale Zuladungsgewicht,
die müssen wir also mit beachten.
Nun informiert sich der Frachtführer auf der Frachtbörse,
was gibt es denn dort an Angeboten und dann steht der Fest auch,
es sind Paletten zu transportieren die jeweils eine Tonne wiegen und pro Palette 20 Euro Analyse erbringen.
Proming-Einheit, die wir transportieren jetzt von Kiel nach Hamburg.
Okay, prinzipiell könnte also davon fünf Paletten ja transportieren.
Hätte dann aber noch eine Restkapazität von vier Tonnen und deswegen
schaut er sich noch ein zweites Angebot an und da sind ein paar Letten zu transportieren,
ebenfalls Paletten zu transportieren, die aber drei Tonnen vigen.
Das ist jetzt hier das Besondere. Dafür gibt es dann
auch mehr Löse, 30 Euro pro Palette
Okay, die Absatzmengen sind nicht beschränkt. Gehen also davon aus,
dass man auch keine oder nur eine Palette transportieren kann,
aber auch beliebig viele.
Da brauchen wir also keine zusätzlichen Nehmenbedingungen zu beachten. So,
und jetzt stellt sich für den Frachtführer die Frage,
inwieweit nutzt du das Angebot 1 und inwieweit nutzt du das Angebot 2?
Also eine ganz einfache Aufgabe. Können Sie sicherlich auch selbst
sich jetzt überlegen, wie würden Sie
das machen
Ja. Können Sie ja mal drüber nachdenken, was wäre das
die optimale Entscheidung. Das Problem ist also einfach strukturiert,
dass Sie sagen können, okay, zwei, drei sagt er.
Hat vollgeblättert, ja. Oder Flyerfly haben sie es auch
ausgehalten. Super. Ja, aber nicht alle Probleme sollen
sofort leicht im Kopf zu lösen. So,
wir wollen uns dem Ganzen zunächst einmal Ein wenig formal jetzt annähern,
indem wir uns überlegen, was brauchen wir denn zur Darstellung eines linearen Optimierungsproblems?
Eine Aspekt ist ja,
dass wir Entscheidungen zu treffen haben über die Anzahl der Paletten,
gemäß des Angebots zu 1 und des Angebots 2. Das sind jetzt Variablen in der linearen Optimierung.
Dafür werden wir dann noch ein Verfahren kennenlernen,
dass uns die optimalen Werte für diese Variablen bestimmen
Ja. Also lineares Optimierungsproblem ist, also dadurch,
ihr kennt es euch nicht, dass wir eine Vielzahl von Variablen haben.
Und dann gibt es dazu einen Algorithmus, der uns die optimalen Variablen liefert.
Abzugrenzen davon sind Parameter, die repräsentieren die Daten des Problems.
Das wäre nur unser Beispiel die Gewichte der einzelnen Paletten.
Das werden Dann die Daten. Oftmals ist ein Parameter durch
ein Symbol A, vielleicht AJ oder so dargestellt, ja.
Das muss man ja kennen,
auch wenn jetzt nicht explizit dafür schon wert hingeschrieben worden ist.
Es handelt sich hierbei um ein Datenparameter aus Modell technischer Sicht.
Wenn Sie dem Vayablen erstmal die Daten erstmal schätzen müssen,
dann sind die Daten oftmals im Rahmen statistischer Analysen oder
ökonometrische Analysen Vayablen
Das heißt, die Ökonometriker und Statistiker haben oftmals einen anderen Vayablenbegriff als wir.
Und da muss man immer ein bisschen aufpassen, dass man
sich da richtig verständigt. Okay, also wir haben jetzt,
worüber zu entscheiden, Anzahl zu transparent, zu transportierender,
plettengemäß Angebot 1. Und dafür führen wir jetzt die Vayable X,
Index 1 an.
Wir hätten dafür natürlich auch nur X sagen können und für
das andere Angebot Y.
Zum Beispiel.
Wäre ja auch gegangen
Aber das wollen wir uns erst gar nicht angewöhnen,
dass wir jetzt für ähnliche Sachverhalte, unterschiedliche Variablenbezeichnungen verwenden.
Üblicherweise ist immer so eine Index-Beschreibung, Verwendung von Indizes.
Dann brauchen wir nur das Symbol X, Index J,
von J kann noch ein 1 bis 10.000 laufen,
haben sie 10.000, war ja blind definiert.
Das ist ein bisschen nicht praktischer,
als sich
10.000 unterschiedliche Symbole zu
Überlegen. Deswegen macht man immer diese Indizierungsschreiber.
Und deswegen schreiben wir auch X2, Anzahl zu transportieren,
da pillettengemäß Angebot 2. Das ist also eine andere Valiable.
X1 ist was anderes als X2. Naja,
und wir wollen optimale Werte für X1 und X2 bestimmen.
Okay. Wir wollen die Umsätze maximieren, gemäß Beispiel.
Und die Umsätze ergeben sich aus den Werten von X1 und X2
, ist X1 und X2 sind Valiablen.
Deswegen sind die Umsatzerlöse auch variabel
Umsatzerlöse in Euro haben wir jetzt hier mit dem Symbol F.
Als Vayable bezeichnet oder messen wir.
Üblicherweise verwendet man auch die Vayable F für die Zierfunktionsvariable.
Okay. So, wenn wir das haben und definiert haben,
dann können wir auch schon die Zielfunktion aufschreiben. Ja,
und das machen wir mal derart, dass wir nennen,
dass die Zielrichtung, Maximiere oder minimäre Schreiben, ja,
welche Vayable soll maximiert werden,
die Vayable F
Und die Vayable Fs, jetzt ist gleich 20 Mal X1 plus 30 Mal X2.
So berechnen wir die Umsatzerlöse. Sind X1 und X2.0.
Kommt als Ergebnis für F gleich 0 raus.
Sind beide wäre ja blind gleich eins.
Dann kommen wir auf 50, 20 plus 30.
Beide zwei haben also 40 und 60. Kommen wir auf 100.
Aber müssen wir jetzt aufpassen, wir haben ja noch Nebenbedingungen.
Ja, okay. Ja, schauen wir uns einmal zunächst
einmal die Zielfunktion an
Die wollen wir grafisch visualisieren. Grundsätzlich haben wir jetzt ja
drei Variablen, müssen, weil ich so dreidimensional darstellen.
Aber wir machen das jetzt anders.
Wir geben einen Wert vor, fair, den Zielfunktionswert F.
Und dann veranschaulichen wir uns die Zielfunktion. Nun habe ich
F gleich 60 gewählt, habe ich willkürlich gemacht.
Gleichwohl habe ich darauf geachtet, dass man es schön zeichnen
noch kann. Also F ist jetzt nicht,
gleich 60 ist jetzt nicht
Auf Basis einer tieferen, logischen Analyse entstanden.
Den habe ich jetzt einfach viel König vorgegeben. So,
wenn wir uns jetzt 11 gleich 60 jetzt wählen,
dann haben wir die Möglichkeit, die Zielfunktion für diesen Wert grafisch zu veranschaulichen.
Wir machen das so, dass wir auf der Ordinatente X2
abtragen und auf der Psysse X1. Und um eine gerade darzustellen,
braucht man ja immer nur zwei Punkte,
die man dann linear Du ihn gerade verbindet.
Und das sehen wir jetzt auch, wie wir das hier gemacht haben.
Ich habe hier nochmal die Edizierfunktion, hier in roter Farbe.
Stehen für F gleich 60, ja. Es gilt ja dieser Zusammenhang,
jetzt habe ich hier F gleich 60 hingeschrieben, ja.
Okay. So, wenn Sie jetzt eine Funktion darstellen wollen,
so ein Y-X-Diagramm, in diesem Fall haben wir X-2,
X-1, dann stellen wir mal da,
Y ist gleich und jetzt machen wir das mit X-2 ist gleich,
ja.
Das heißt, wir lösen diese Gleichung nach X-2
auf,
Und wir teilen also durch 30 und bringen dann die X2-TM auf die linke Seite
und dann die Konstante auf die rechte Seite und Ergebnis,
das sollten sie sofort nachvollziehen können, erhalten wir also X2,
ist gleich zweimal minus zwei, Drittel X1,
wenn F gleich 60 ist.
Ja, okay. Ja, ich habe gesagt,
wir brauchen zwei Schnittpunkte. Wie kann man da vorgehen?
Ja, wir setzen einfach X1 gleich 0 beispielsweise,
sind also hier,
welchen Wert muss dann
Die zwei annehmen. Ja, wenn X-1-0 ist,
dann steht da ja 30 ist gleich, R60 ist gleich 30
-2. Dann folgt auch raus, daraus X-2 ist gleich 20,
2, Entschuldigung, wenn nichts gleichen, X-1 gleich Null ist.
Dann geben wir also diesen Punkt hier. Dann können wir nochmal X-2
gleich Null setzen, unerhaltenden Fakes 1 gleich 3. Ja, Webser.
Und dann kriegen wir diesen Punkt. Und diese beiden Punkte,
die verbinden wir in diesem Fall durch eine rote gerade.
Und alle Punkte auf dieser geraden sind dadurch die Kennzeichnet,
dass die Zugehörigen X1, X2-Werte in Summe 60 ergeben.
Okay. Was Sie auch sehen,
dass die Steigung hier ist minus zwei Drittel für F gleich 60.
Nun kann man sich überlegen, wir wollen ja F maximieren,
so hoch wie möglich bekommen, sprich die Umsatzerlöse maximieren.
Wie sieht denn der Zielfunktionsverlauf aus,
wenn wir jetzt einen höheren Wert für die Umsatzerlöse annehmen.
Und das haben wir jetzt hier gemacht. F gleich 90.
Wenn Sie jetzt wieder nach X2 auflösen, sehen Sie Folgendes.
Der Ordinatenabschnitt hat sich erhöht von zwei auf drei.
Aber die Steigerung ist dieselbe. Wieder in diesem Fall negative
Steigerung minus zwei Drittel. Ja, es verändert sich also
nur der Ordinatenabschnitt. Also der Schnittpunkt mit der XAX,
X2-Achse. Und wir sehen, wenn wir jetzt F erhöhen,
ist das lediglich eine Parallelverschiebung der Zielfunktionen von F gleich 60. Also,
die Erhöhung der Stilfunktionenswertes F bedeutet eine Parallelverschiebung der Zielfunktionen.
Im Vergleich natürlich zu dem vorangegangenen Zielfunktionswert, den wir unterstellt haben.
Das heißt, wenn wir es grafisch lösen wollen,
wollen wir die Zielfunktion soweit wie möglich parallel nach oben bzw.
rechts und rechts
Denn je weiter wäre es, die Zielfunktion jetzt parallel verschieben,
desto höher wird F sein.
Okay. Nun können wir ja die Zielfunktion nicht beliebig verschieben.
Denn wir haben ja Nebenbedingungen zu beachten. Beispielsweise die Anzahl
der Palettenstellplätze. Und da gilt ja X1 plus X2,
ist kleiner gleich 5. X1 ist ja die Anzahl der Paletten gemäß Angebot 1.
Und nicht zwei gemäß des Angebotes 2. Also können wir sagen
X1 plus X2 muss kleiner gleich 5 sein
Ja. Auch diese Nehmenbedingungen wollen wir grafisch veranschaulichen,
wobei wir da so vorgehen,
dass wir uns den Fall S einmal anschauen.
X1 plus X2 gleich 5. Und daraus folgt ja,
dass X2 ist gleich 5, minus 6-1.
Und das können wir sehr leicht zeichnen.
Und auch das sehen Sie jetzt hier in dieser Grafik abgebildet.
Ist klar, wenn X-1 0 ist, ist X2,
5 ist X-2, 0 ist X-1, 5.
So kriegen wir also diese beiden Schnittpunkte hier.
Einmal auf der Ordinate und einmal auf der Absitze
Die verbinden wir jetzt wieder durch eine Gerade.
Ich habe jetzt hier eine Gepunkte, der gerade gesählt.
Aber es soll natürlich eine durchgezogene Linie letztendlich repräsentieren.
Soll halt da optisch halt an der Stelle helfen. Okay,
also für alle Punkte auf dieser Geraden gilt das X1,
plus X2 gleich 5 ist. Alle Punkte unterhalb der Gerade,
geraden, sofern X1 und X2 größer gleich null sind,
sind auch zulässige Punkte.
Also bezüglich dieser Geraden
Nee, Bedingungen sind also alle Punkte in diesem Dreier hier.
Zulässige Ausprägung der Variablen X1 und X2. Gehen wir jetzt davon aus,
wir können nur positive Mengen transportieren. Könnte natürlich sein,
dass wir schon Angebote von X1 und X2 drin haben,
nimmt ein paar Paletten raus.
Das wäre eine Möglichkeit, um auch negative Werte zuzulassen.
Das sollte eigentlich gut nachvollziehbar gewesen sein und wir schauen uns
das jetzt an für den Fall, dass wir die gewisse Restriktion jetzt vor Augen haben.
Und da erinnern wir uns dran, dass das Zuladungsgewicht mit
maximal neuen Tonnen beträgt. Wir wissen,
dass die einzelne Palette von gemäß der Paletten des Angebots eins
eine Tonne wiegen und bei dem Angebot zwei wiegt die einzelne Palette drei Tonnen.
Deswegen schreiben wir also X1, also einmalig zu eins,
plus dreimalig zwei ist kleiner gleich neu.
Das sollte Ummöbel da nachvollziehbar sein
Auch hier zur Veranschaulichung betrachten wir den Gleichheitsfall.
X1 plus 3 Mike 2 ist gleich 9, lösen.
So wie du hörst, bei den anderen Gleichungen schon gemacht haben,
nach X2 auf und erhalten dann diese Funktion 3 minus ein Drittel mal X1.
Auch die können sie gleich wieder grafisch visualisieren.
Sie überlegen sich wieder die Schnittpunkte mit der X1,
X2 Achse und verbinden sie dann durch eine gestrichelte Linie.
Also auch sehr einfach
So, dann müssen wir uns wieder überlegen,
was sind jetzt die, was ist der zulässige Lösungsraum.
Ja, sämtliche Punkte auf der gestrichenen Linie sind zulässige Punkte
und sind dadurch erkennt seine, dass dieses Zuladungsgepächt gleich neun ist.
Stückelungsaspekte habe ich an dieser Stelle extra weggelassen. Okay. So,
was sie an dieser Stelle sich auch immer überlegen müssen,
wenn sie jetzt sich eine Bedingungen, Veranschaulichung.
In welchem Bereich liegen die zulässigen Punkte? Beim Gewicht ist das
relativ einfach. Da gilt auch wieder alle Punkte auf,
der Geraden und unterhalb der Geraden,
sofern nix 1 und X2 noch positiv, nicht negativ sind.
Das sind alles zulässige Punkte. Wenn sich später sich
mit Aufgaben beschäftigen müsst, kann das aber auch sein,
dass der zulässige Lösungsbereich auf der Geraden und oberhalb der Geraden
liegt.
Da müssen Sie also
darauf achten
Weil sie grafisch eine optimale Lösung bestimmen wollen.
In welche Richtung spannt sich der zulässige Lösungsbereich auf?
Hätten wir jetzt beispielsweise größer gleich neun stehen gehabt,
dann wird es alles nach oben gehen.
Also da jetzt nicht einfach so fest abspeichern, unterhalb der
Geraden sind die zulässigen Lösungen. Es kann auch sein,
dass auf der Geraden und oberhalb der Geraden zulässige Punkte sind.
Okay, also darüber müssen Sie immer noch einmal nachdenken,
wenn Sie ein Problem grafisch lösen
So, jetzt haben wir eigentlich schon fast alle zusammen.
Jetzt haben wir Lösungsbereiche, korrespondieren aus der Anzahl der Palettenstellplätze.
Und wir haben Lösungsbereich, korrespondieren auf Basis des Zuladungsgewichts.
So, und wir haben auch noch die Forderung
des X1 und X2 größer gleich Null sein sollen.
Sprich nicht negativ sind
Auch den Begriff sollten sie sich angewöhnen,
oftmals ist man genau ich von positiv,
war ja ab dann zu sprechen im Rahmen der Nichtlinien-Optimierung,
sprechen wir mal von nicht negativ, definierten Variablen und deutlicher auszudrücken,
dass die Null dabei explizit dabei ist.
Wollen sie schon aufhören, ja.
Okay, anscheinend sind sie
jetzt aufgewacht
So, jetzt haben wir also auf Basis der einzelnen Nebenbedingungen zulässige Lösungsräume.
Und die Schnittmenge dieser Lösungsräume ist denn der Lösungsraum für unsere eigentliches Problem.
Und den haben Sie jetzt hier straffiert, dargestellt.
Für alle Punkte innerhalb dieser grauen Fläche gilt,
X1 ist größer gleich, 0X2 ist größer gleich 0.
Und auch die Anzahl der Palettenstellplätze ist kleiner gleich fünf.
Und das Zuladungsgewicht ist kleiner gleich neun
Ja. So, und wir sprechen in diesem Fall von
einem Konsexen-Lösungsraum. Konsexte Probleme sind immer schön hinsichtlich der Lösbarkeit.
Gilt im Übrigen auch für quadratische Optimierungsprobleme. Also im Bereich der
nicht linealen Optimierung, wenn sie dort ein konvexes Problem haben,
auch heute sehr gut lösbar.
Okay. Ja, wann sprechen wir von einem konvexen Lösungsraum?
Sie können sich jetzt zwei beliebige Punkte in dieser grauen Fläche
sich anschauen oder fixieren,
da eine gerade durchziehen und sie werden feststellen,
sämtliche Punkte auf dieser Geraden
Sind auch zulässige Lösungspunkte. Also jede Linearkombination, der Punkt
innerhalb des Lösungsraums, repräsentiert auch zulässige Punkte. Ja,
Hensemi, so eine Sinuskurve oder sowas als Zielfunktion,
dann betrachten dann zwei Punkten aus den, ja,
aus den Bergen und ziehen dann dann durch,
dann haben sie halt auch ein paar Punkte,
die sind oberhalb der Geraden,
wenn dann würden dann den zulässigen Lösungsbereich verlassen.
Wenn wir jetzt davon ausgehen, dass die Punkte auf und
unterhalb der Geraden
Hier zulässige Punkte darstellen. Das wäre dann ein nicht konvexes Problem.
Okay. So, ihn wollen wir ja auch grafisch,
dass er das eigentliche Ziel in unserer Vorgehensweise, die optimale Lösung bestimmen.
Ja, wir haben jetzt diesen konvexen Lösungsraum,
das heißt, wir suchen den Punkt,
oder die Punkte, die unsere Zierfunktion maximieren.
Ja, okay. So, was wir ja gelernt haben,
ist, dass wir die Zielfunktionswert für einen gegebenen Wert auch als gerade darstellen können.
Und wir haben gelernt, wir wollen diese gerade soweit,
wir mögen nach rechts
oben verschieben
Den Zielfunktionswert zu maximieren. Das ist also unsere Richtung,
in die wir die Zielfunktion jetzt parallel verschieben wollen.
Das hängt wie gesagt immer von dem jeweiligen Optimierungskalkül ab.
Es könnte auch sein, dass nach unten die Funktion zu
verschieben ist. Also es ist auch hier dran denken,
in welche Richtung muss ich die Zielfunktion verschieben,
damit ich sie maximiere.
Okay. Ja,
verschieben wir sie einmal parallel
Kommen wir beispielsweise dorthin für F gleich 90,
dann verschieben wir noch weiter parallel und wir verschieben jetzt so weit parallel,
dass wir noch mindestens einen Punkt dabei haben.
Ja, und dann landen wir genau auf diesen,
an diesem Eckpunkt. Und für diesen Eckpunkt ist der Ziel funktionswert
gleich 120. Weiter könnt ihr die gerade nicht verschieben nach oben,
weil sie ja dann den Lösungsraum verlassen würden, den Kondexen zulässigen Lösungsraum.
Also der maximale Wert unseres linearen Optimierungsproblem, ist gleich 120.
Schauen wir uns gleich noch mal an,
wie wir auf diese Werte kommen.
Was Sie anhand dieser Grafik auch sehen, ist eine Eigenschaft linearer Optimierungsprobleme.
Eine optimale Lösung ist immer an einem Eckpunkt des Konvexen Poyedas.
Konvexenlösungsraums. Es kann sein, dass eine gerade Dreck auf
einer Nebenbedingung liegt, dann sind sämtliche Werte dann optimal.
Auch sämtliche Jahre kommen dazu.
An den Ecken, die Ecken repräsentieren, optimale Werte.
Gibt es nur eine optimale Lösung?
Ist es genau ein Eckpunkt des Convexen, Lösungsraums?
Das geht nicht nur für zwei Wahljahren und das gilt allgemein.
Und Verfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme sind dadurch gecancelt,
das gekennt sein, dass gerade diese Eckpunkte abgesucht werden.
Ja, okay. Ja, hier nochmal,
wie wir genau auf die Werte gekommen sind
Fallenweise so Fanweise,
die Slot zur X1 beziehungsweise dann zu X2-Achse unterhalten an die Ausprägung,
optimalen Werte für X1 und X2 mit 3 und 2.
Dass es sich hierbei um optimale Werte handelt,
daran werden wir uns gewöhnen. Kennzeichnen wir dadurch,
dass wir hier mal so ein Sternchen hinzufügen.
Ja, das Gleiche haben wir jetzt bei X1,
62 als auch beim Zielfunktionswert gemacht.
Das ist auch eine übliche Vorgehensweise
Diese in der Literatur und Lehrbüchern finden, die optimalen Werte
mit so einem Stern zu kennzeichnen. Sie müssen ja,
weil es sich jetzt hier auch um krionkrete Werte auch handelt,
abgrenzen von der reinen Variablen,
hier mit dem Stern haben sie also jetzt konkrete Werte auch,
den Valiablen zugeordnet oder kennzeichnen, dass er sich hierbei um konkrete Werte handelt.
Okay, also eine sehr einfache Vorgehensweise,
wenn sie jetzt X-1 und X-2 die optimalen Ausprägungen dieser Variablen Initiierfunktion einsetzen,
dann kommen wir auf die 120,
die wir schon vorher gesehen haben
Okay. Was man um Vertrauen in die Lösung zu haben noch überprüfen kann,
nochmal numerisch, überprüfe, ob die Nehmenbedingungen tatsächlich eingehalten werden.
Das wollen wir dann einmal machen. Wir setzen die Wahl Japan
X1 gleich 3 und X2 nochmal in die Nehmenbedingungen ein.
Wenn sie jetzt hier als Süd 3 und da die 2 einsetzen,
sehen sie, ist kleiner gleich 5, genau wahrgenommen gleich 5.
Und bei X1 und 3 mal X2 Wenn sie da die Werte 3,
Fix 1 und 2, Fix 2 Einsätzen,
dann kommen sie hier auf 9. Ja,
und damit ist die Restriktion kleiner gleich neun auch eingehalten.
Also so können sie denn, falls sie da nicht
so ganz genau gezeichnet haben, auch nochmal sehen,
ob sie jetzt da die richtigen Variablenwerte spezifiziert haben.
Okay. So, was haben wir jetzt kennengelernt?
Wir haben eine Zielfunktion kennengelernt und wir haben Nehmenbedingungen kennengelernt. So,
jetzt ausgeschrieben, Sieht das Problem also wie Volk aus,
unser lineares Optimierungsproblem, maximäre F gleich 20 X1 plus 30 Mike 2,
unter den Nehmenbedingungen oft kürzt man das mit abu.d.großendenpunkt.
Und X1 plus X2, kleiner gleich 5, X1 plus 3x
X2, kleiner gleich 9, X1 und X2 sind nicht negativ definiert.
Das wäre jetzt ein Beispiel ausgeschriebenes Beispiel in eines linearen Optimierungsproblemen.
Und mit diesem derartigen Problem wollen wir uns beschäftigen.
Das jetzt so konkret zu machen, ist natürlich nicht
so professionell und auch nicht üblich.
In der Regel verwendet man so eine eigene Branche schriftweise oder Modelldarstellung.
Das heißt, wir verwenden Summenzeichen, den Allquantor für alle.
Und in allgemeiner Form kann sich jedes lineare Optimierungsproblem jetzt
wie folgt darstellen.
Wir haben die Zielfunktion wieder mit
Unsere CEJs sind jetzt unser Zielfunktionskoeffizienten. Also in unserem Beispiel
die Werte 20 und 30. Auch die, das ist ein Parameter,
auch hier verwenden wir die Index-Schreibweise, C1, C2.
Also, wenn wir uns dieses Beispiel anschauen, C1 gleich 20, C2 gleich 30.
Und dann haben wir die Variablen XJ, in unserem Beispiel,
ja, die war Japan X1, nix mal.
Ja, und J kann jetzt beliebig weit laufen,
Ganz unendlich, ja. Ja, es gibt also
Optimierungsprobleme mit unendlich vielen Wahljahren. Sowas gibt es auch.
Zur Darstellung der optimalen Lösung werden wir sehen, wir brauchen
nur so viele Variablen, wie das System Gleichung hatte.
Haben wir nur zwei Nehmenbedingungen, dann brauchen sie nur zwei Wahl-Iaplen,
eventuell auch weniger um die optimale Lösung darzustellen.
Okay, alles. Ja, unter den Nehmenbedingungen,
jetzt haben sie hier wieder zwei
Einmal in Summenzeichen. Und dann haben sie hier auf der rechten Seite
für alle Ich stehen. Ja. Ihr verwendet man,
wie Sie es ja kennen, aus der Matrix,
aus der Linie Algebra, Matrix-Rechnung, immer für die Zeilen.
Und J für die Spalten, das haben wir jetzt hier
auch beibehalten. Also jetzt für alle E heißt jetzt,
auf unserem Beispiel, für unser Beispiel,
für i gleich 1 und für i gleich 2. Ja,
auch an dieser Schreibweise müssen Sie
sich gewöhnen
Wenn sie in allgemeiner allgebraischer Form ein Modell formulieren müssen,
dann haben sie meistens, oder kann es sein,
dass sie da so ein diffuses Gefühl haben,
da war doch irgendwie so ein, für alle stehen.
Und dann werden oftmals Ini-C seit 1000, dann steht da ein J-Stadt ein I.
Da müssen sie also genau aufpassen. Ja. Das ist
nicht etwas, was man so beiseite legen sollte,
wenn man allgemeine Age, ein Modell allgemein allgebraisch aufschreiben soll.
Ich betone es deswegen, weil man da oft Schwierigkeiten sieht,
die Studierenden sich damit zu beschäftigen. Das ist immer eine
gewisse Neigung, da in einzelnen Zahlen Beispielen zu denken.
Aber im Laufe des Studiens müssen sich dran gewöhnen,
solche allgemeinen allgebranchen Schreibweise nachzuvollziehen. Okay. Okay,
jetzt haben wir für alle E,
für unser Beispiel wäre dann E gleich 1,
E gleich 2. Und dann haben wir diese Summation,
da haben wir also diese koeffizienten AJ,
der erste Index ist der Zeilenindex und der zweite Index,
der Spaltenindex
Gehen wir noch einmal zurück in dieses Beispiel. Da haben wir
also in der ersten Zeile die Kovizienten zweimal da einstehen.
Also A, 1, 1, gleich A, 1,
2, gleich 1. Schauen wir uns die zweite Zeile an.
Das ist also eh gleich 2, teilweise A,
2, 1, Kovizient 1 und A, 2,
2, den Kovizient 3. Okay.
Und dann haben sie hier die rechte Seite.
Ja, da haben sie B, ich stehen.
Und da haben sie dann bezogen auf unseren Beispiel
B, 1, gleich 5 und B2
Was sie an dieser Darstellung auch sehen, ist,
dass man die variablen Therme immer links vom Relationszeichen schreibt.
Und den konstanten Werte immer rechts das Relationszeichen.
Die sind vorher kleiner gleich. Nun werden sie sich vielleicht
überlegt haben, ja, es gibt sicherlich auch Problemstellungen.
Da haben wir eine Gleichheitsrestriktion. Eventuell haben wir eine Größergleichrestriktion.
Beide sind hiermit abgebildet. Wenn sie eine Größergleichrestriktion haben,
dann brauchen sie nur die Gleichung mit minus eins multiplizieren
Und schon haben sie eine kleiner, gleiche Restriktion.
Weil sie eine Gleichung mit minus eins multifizieren,
dreht sich das Relationszeichen. Wenn sie eine Gleichheitsrestriktion haben,
dann können sie daraus zwei Gleichungen machen.
Die erste Gleichung. Das ist ja nicht kleiner gleich.
Relation daraus und die zweite Gleichung, die Größergleichrelation.
Wenn beide Bedingungen eingehalten werden sollen,
gilt also wieder
die Gleichheit
Die größere Gleichrelation können Sie dann wieder mit minus eins modifizieren.
Und dann kriegen Sie ja aus einer Gleichheitsrelation zwei kleiner Gleichrelationen.
Ein weiterer Aspekt ist, dass Sie gegebenenfalls eine Problemstellung haben,
wo Variablen auch negative Werte annehmen können.
Ein Beispiel, eine Variable, die in den Lagerbestand misst.
Negative Werte repräsentieren in dem Fall,
dass man verspätet ausliefert
Out of Stock ist und wieder Nachfrage, wenn nicht befriedigen,
gönne es denn durch den negativen Wert der Lagerbestandsvariable abgebildet.
Aber nun haben wir ja in unseren linearen Optimierungsproblemen die Forderung,
dass die Wahljapan alle nicht negativ definiert sind.
Keinen haben sie nun ein Problem,
wo sie auch variablen Namen liegt prinzipiell negative Werte annehmen dürfen,
es folgendes zu machen.
Wir müssen die Variable-Substitution durch eine Differenz, Zweierwahljaplen
In diesem Beispiel habe ich jetzt die Variable XJ substituiert durch die Differenz XJ plus und XJ minus.
Plus und minus sollen das darstellen, dass es sicher hierbei um zwei verschiedene Variablen handelt. Und wenn Sie das machen,
gilt, dass diese beiden Variablen auch nicht negativ definiert sind, umgesetzt jetzt,
wenn jetzt wir eine Ausprägung haben für XY plus und dann,
und das sei jetzt vielleicht schon gesagt, kann man zeigen,
dass immer nur eine von diesen beiden Variablen,
positive Werte annehmen kann, annehmen wird.
Das ist eine Eigenschaft der linearen Optimierung,
dass immer dann nur eine Variable positiv sein wird.
Wenn XY minus einen positiven Wert ist,
korrespondiert das also zu einem negativen Wert für XJ.
Wenn sie jetzt ausschließlich Variablen haben,
die auch negative Werte annehmen können,
können sie natürlich sagen, okay,
dann nummeriere ich hier
die Variablen derart
Dass die Variablen mit einem ungranen Index
sind die positiven Werte und mit einem negativen Index.
Ungraden Index sind da die negativen Variablen, ja.
Okay. Also jetzt in dieser Schreibweise dran denken,
dass X-Plus und X-Minus zwei verschiedene Variablen sind,
ähnlich wie X-1 und X-2.
Okay. Also da sind sie an dieser Stelle
auch nicht eingeschränkt
Und deswegen gilt diese Aussage, dass das hier ein allgemeines Lineares-Optimierungsproblem ist.
Denn wir können Gleichheitsrestriktionen größer, Gleichrestriktionen und auch nicht variabler mit,
die nicht beschränkt sind, explizit hier mit aufnehmen.
Ja, okay. Deswegen ist das eine allgemeine Darstellung.
So, der nächste Schritt ist jetzt,
was wir uns als nächstes anschauen wollen, ist,
wie wir ein lineares Optimierungsproblem stets in einem Gleichungssystem transformieren können
Weil ich ja schon zu Beginn gesagt habe, lineare Optimierung ist nichts anderes als
iteratives Lösen von Gleichensystemen. Brauchen wir natürlich ein gleiches System
. Und ich kriegen wir jetzt aus solchen kleiner Gleichristriktionen.
Jetzt gleich als Ressersion. Ja, Gesundheit. Das machen
wir wie Volk. Wir führen eine sogenannte Schlupfvajable ein.
Ist jetzt die erste Zeil in Unternehmensbedingungssystem Und diese Schlupfvariable bezeichnen
wir mit Y. Und die kriegen es den Index 1,
weil das ja die Variable ist aus der ersten Gleichung.
Also hier verändern wir es die Notation, dass wir jetzt
die Schlupfvariable durch Y bei Japlen abbilden. Ja,
was macht die Variable Y, die macht nichts anderes,
als die Differenz zur Anzahl der Palettenstäbletze, die nicht genutzt werden,
also nicht genutzt wird.
Jetzt, also nicht genutzt werden, ja, erfasst.
Also wenn X 1 und X 2 in Summe 3 sind,
dann wird Y 1 den Wert 2 annehmen
X1 und X2 gleich 5, der nimmt Y den Y1,
den wird 0 an. Okay,
nun könnten ja X1 und X2 in Summe 6 sein,
dann würde ja Y1 den Wert minus eins annehmen,
das gilt ja zu verhindern.
Das heißt auch für diese Y-Vagable werden wir die Nicht-Negativität fordern.
Ansonsten würden wir ihn unzulässigerweise den Lösungsraum erweitern
Wenn wir das jetzt so aufschreiben, wie Sie es jetzt
hier haben, dann haben wir also eine äquivalente Darstellung.
Wir haben also nichts verloren, also nicht das Problem verzerrt,
sofern wir natürlich auch Folgendes machen.
Die Schlupfvariable nicht mit einem koeffizienten ungleich null in die Zielfunktion aufzunehmen.
Der ist schick stehen, in die Zielfunktionsgleichung werden wir denn
die Variable nicht aufnehmen,
beziehungsweise wir schreiben null mal
Okay, also eine einfache Möglichkeit.
Dann haben wir noch die zweite Nebenbedingung bezüglich des Zuladungsgewichts.
Da hatten wir X-1 plus 3 mal X-2,
kleiner gleich 9. Jetzt sind wir in der zweiten Zeile und
also i gleich 2. Und deswegen führen wir dort die Schlupfwahrjable hübscher und 2 ein.
Und die nimmt also den, wenn das Gewicht nicht vollständig ausgenutzt wird,
wird also Y2, die nicht genutzte Kapazität bezüglich des Gewichts
messen,
wertmäßig dann abhöhen
Auch Y, 2, eine Medizinfunktion mit auf.
Und zwar mit einem Koeffizienten von null. Beziehungsweise nehmen in
dem Sinne Y, 2 nicht Initiierfunktion mit auf.
Weil der Ziel funktionskoeffizient gleich neu ist.
Okay. So, damit haben wir also auch die Nähbedingungen.
Bezüglich des Gewichts als Gleichung dargestellt. Und dann schauen wir
uns doch mal die Zielfunktion an.
Die Zielfunktion selbst ist ja von vorne
in eine Gleichung gewesen
Und nun hatte ich ja schon zu Beginn gesagt,
wir wollen uns dran gewöhnen,
dass wir die Variablenterme immer links vom Relationszeichen aufschreiben oder hinschreiben.
Und da haben wir rechts immer unser B oder eine konstante Art stehen.
Das wollen wir auch für die Zielfunktion machen. Das heißt,
wir bringen die Variablen X1 und X2 auf die linke Seite.
Also wir rechnen minus 20 X-1 und minus 30 X2 und
das führt dann zu dem Ergebnis, minus 20x1,
minus 30x2 plus F ist gleich null.
Das heißt, die Zielfunktionskoezienten sind tauchen auf einmal mit einem
negativen Wert in der Zielfunktionsgleichung auf. Wir sehen,
also wenn wir jetzt X2 erhöhen, beispielsweise den Wert eins annehmen soll,
dann steht ja minus 30 und im Ergebnis soll gleich null sein,
der muss F,
den wird 30 annehmen
Das heisst, je größer CSX2 oder X1 wählen,
desto größer wird IRF. Muss FD werden. Ja,
das heißt, auch wenn jetzt hier negative Werte stehen,
bedeutet das jetzt was Positives, in dem Sinne,
dass denn mit zunehmenden Wert für X und zunehmenden Wert für
X1 wie X1 und für die zunehmenden Wertlik 2 F-Ansteigen.
Das müssen Sie sich merken,
später werden wir da gar nicht mehr drauf eingehen,
da wundern Sie sich immer,
dass vielleicht in so einem Tableau irgendwelche negativen Werte sind und
das wir wollen auch eigentlich Max in mir und warum konzentrieren
wir uns nicht auf die positiven Werte? Der Hintergrund ist,
dass wir diese Umstellung vorgenommen haben. Also wenn wir später in einem Tableau,
was wir zur Lösung linearer Optimierungsprobleme verwenden werden,
immer in die Zielfunktionsseite schauen, wo so negative Werte,
dann müssen sie sich an dieser Umstellung erinnern.
Ja, okay. So, damit sind wir schon ein Riesenstück weitergekommen.
Wir haben also unser lineares Optimierungsproblem, was wir jetzt hier
links nochmal stehen haben, Transformier in einen gleichen System.
Das haben sie jetzt hier auf der rechten Seite stehen.
Was Sie auch sehen, ist, dass wir die Zielfunktion
jetzt nicht als in die erste Zeile geschrieben haben,
sondern in die letzte Zeile.
Und für dieses gleichen System, was Sie jetzt hier stehen haben,
da haben Sie jetzt eine bestimmte Anzahl an Variablen.
Sie haben nämlich einmal X1, 62, es sind zwei Variablen,
Y1, in Beziehungsweisen auch zwei Variablen,
haben wir in Summe 4 Variablen und die Variable F
haben wir auch noch zu beachten.
Insgesamt haben wir also
5 Variablen
Aber wir haben nur drei Gleichungen. Das heißt,
wir können nur, nach drei war ja Variablen das Gleichsystem auflösen.
Und die Vorgehensweise wird später so sein, dass wir,
wenn wir fünf Variablen haben und drei Gleichungen,
quasi immer zwei Variablen auf Null setzen und dann erhalten wir ein gleichen System,
wo wir dann eine eindeutige Lösung in der Regel bestimmen können.
So, eine zulässige Lösung für dieses Gleichen System ist beispielsweise,
wenn wir X-1 gleich Null setzen, X2 gleich 0 setzen,
dann können Sie sagen, ja,
eine Lösung ist Y gleich 1, gleich 5,
Y 2 gleich 9 und F gleich 0.
Das ist jetzt eine zulässige Lösung. Dieses Gleichsystems.
Warum können wir das sagen? Ja, weil Y1,
Y1, Y 2 und F stehen isoliert da,
sind also nicht in anderen gleich entthalten.
Deswegen können wir sofort ablesen, dass die Lösung,
wenn wir nach Y1, Y 2 in F aus,
lösen, dass Y1 gleich 5 ist, Y2 gleich.
9 und F gleich null. Das können wir für X1,
nix 2 nicht machen. Wir müssten, wenn wir jetzt wissen wollen,
eine Lösung mit X1 haben wollen, dann müssen wir es so bewerkstelligen,
dass X1 nur noch in einer Gleichung steht.
Wenn wir beispielsweise X1 in der ersten Gleichung lassen wollen,
muss X1 aus der zweiten und aus der dritten Gleichung eliminiert werden,
damit wir sagen können,
X1 ist gleich
Und die Vorgehensweise,
die wir dann auch nächste Woche kennenlernen werden,
ist wie folgt, dass wir immer eine Variable,
die bisher, nach der wir bisher aufgelöst haben,
auf Null setzen und dafür eine andere Variable dann mit in die Lösung aufnehmen wollen.
Sprich, wir isolieren dann die Variable durch Transformation des Kleigensystems derart,
dass wir auch ablesen können, X-1 ist gleich,
Y2 ist gleich FSK beispielsweise.
Das ist in die Aufgabe, transformieren von den gleichen Systemen,
also iteratives Auflösen nach bestimmten Variablen.
Das ist die Vorgehensweise, die wir dann kennenlernen.
Okay. Ja, abschließend möchte ich Ihnen kurz einmal zeigen,
wie wir jetzt hier mit Games das Problem lösen können.
Ich habe es auch mitgebracht, zufälligerweise. Ich hoffe,
das ist noch da. Wenn Sie jetzt hier Games installiert haben,
dann haben Sie hier so ein Eigen,
so wie ich das hier habe
Normalerweise gehen sie jetzt wie fort vor.
Wir drücken hier oben links bei Fall. Dann können sie
hier ein neues Projekt anlegen, dafür einen Namen vergeben.
Und ja, das können wir einfach mal machen.
In welchem Ordner bin ich? Aber ich bin im
falschen Ordner. Gut, dass ich das nochmal kontrolliert habe
Okay, und dann haben sie dieses Startbild. So,
dann können sie hier eine Datei anlegen,
wenn sie jetzt neues Optimierungsproblem beschreiben wollen,
dann müssen sie hier neu angeben.
Und dann sehen sie Folgendes,
hier wird mein Name vorgegeben
Diesen Namen können Sie ändern,
indem Sie die Datei unter einem anderen Namen abspeichern.
Nun habe ich das schon vorbereitet gehabt.
Schreibe ich Example. So, dann haben Sie also
dieses Fenster und da können Sie jetzt beliebig deppen.
So,
was ist dort zu machen
Ich will das einmal ganz kurz skizzieren, damit sie sehen können,
wie sie denn ihre Klausurtraineraufgaben als auch andere Aufgaben schnell überprüfen können.
Was müssen sie, für was haben wir jetzt kennengelernt?
Wir haben Variablen kennengelernt, die Variablen können uneingeschränkt sein,
da kann man den Begriff Frief für wählen.
Ja, ja, aber ja. Sie sehen,
dass hier Games das gleich blau hervorhebt,
das sind also Therme, Strings allgemein,
die Schlüsselbegriffe in Games darstellen und damit ins Ziel funktionswert F einmal.
Man, jeder einzelne Anweisung in Games schließt man mit
einem Semi-Cola und ab. Die nicht negativen,
definierten variablen, die werden mit dem Schlüsselwort positive eingeführt.
Und das wollen wir jetzt hier auch machen
Ähm... Sie können ja auch Plural schreiben, X-Variables.
Und da nehmen wir X-1, 1,X2. Können Sie jetzt
noch irgendwelche Kommentare zuschreiben, wenn Sie wollten?
Das lassen wir mal weg. Ja. In diesem Fall
sehen Sie, dass wir jetzt hier keine Index-Schreibweise verwendet haben.
Das ist dann der nächste Schritt. Wir machen das jetzt
so. So, dann haben Sie hier Zielfunktionen zu definieren
Das sind ja Gleichungen. Dafür brauchen wir den Schlüsselbegriff Iquation.
Zielfunktionen werden wir definieren. Paletten, vergebe ich und Gewicht
. Das sind jetzt Namen, die ich vergebe.
Dann definiere ich die Gleichungen. Und da haben wir also
20 Mal, müssen sie explizit das Malzeichen hinzuzuschreiben.
Im Übrigen großen Kleinschreibung wird nicht unterschieden. Wir bemühen uns immer,
Achso, ich hätte das hier vorne hinschreiben sollen.
War Japlen durch Großbuchstaben darzustellen. Und Datenparameter mit kleinen Buchstaben.
So würden sie jetzt die Zielfunktion definieren. Eine Besonderheit ist hier,
das Gleichheitszeichen in der Restrik in einer Gleichung wird durch dieses
Symbol gleich E gleich E dargestellt
Nun warten Sie noch ein bisschen, Sie haben eine gewisse Unruhe jetzt hier ausgestrahlt.
Das hat er schnell gemacht. Dann haben wir X1 plus
X2. Das soll kleiner gleich. Fünf sein. Obsa,
und dazu haben wir diese Besonderheit,
dass wir gleich hält gleich schreiben müssen,
was Sie nicht machen dürfen, ist da ein Blank zwischen diesen Symbolen,
zwischen das gleiche Zeichen, den Buchstaben vornehmen.
Auch hier,
der Name noch die Gewichtsrestriktion
Da schreiben wir X1 plus. Dreimal. Normalerweise kann ich schneller,
als habe ich hier das Mikrofon in der Hand.
Das ist ein kleiner Gleich. Neun. Und somit haben
sie also die Gleichung dargestellt, was sie als nächstes noch
vergeben müssen, ist ein Name für das Modell.
Schreibe ich mal LKW und dann müssen sie noch sagen,
welche Nebenbedingungen oder welche Gleichung dazugehören.
In unserem Beispiel gehören alle Gleichungen dazu
Und auch wieder ein Simikolo und nicht vergessen. Und dann
ist das Problem zu lösen. Englischsprachige Begriffe, Säuf,
das Modell LKW, maximiere F. Ich muss ja wissen,
welche Variable zu maximieren ist. Und man muss auch noch
sagen, was für ein Swiver zu verwenden ist.
Und das war es dann auch. In diesem Fall haben
wir ja ein lineares Optimierungsproblem, also ein lineares Programm.
Und dafür sollen wir einen LP-Säulver, ein lineares Programm für
LP, anwenden. Und dann können sie sich die Lösung
auch noch anschauen lassen
Display. Ich hoffe, jetzt habt ihr keinen Schreibfehler.
X1. So, was wir später kennenlernen werden, ist,
dass das zu einer Variable.
Gibt es mehrere Attribute. Das Niveau der Variable,
Level wird durch das Attribut L. gekennzeichnet.
Das gibt es aber auch in den sogenannten Margin oder in den Dualwert dazu.
Das würde man dann mit M darstellen.
Was fehlt noch? Unser Zielfunktionswert, F.L. L für Level
Okay, damit haben wir das Modell. Fertig. Und
dann gibt es hier den magischen roten Punkt hier oben oder den Pfeil.
Da müssen wir es draufdrücken. Ich hoffe,
ich habe jetzt keinen Sonntagsfehler. Ah ja,
wenn jetzt hier alles blau ist, ist gut.
Ansonsten bei Fehlern kommt was Rotes. Sie sehen den Zielfunksführungswert 120,
den wir jetzt gerade mühse, dich grafisch berechnet haben.
Wenn Sie jetzt hier auf Normal Completioner gehen, Troppel drücken.
Hopsa, naja. Dann gibt es hier so einen
listigen Fall. Jetzt mache ich das mal lieber anders.
Aufgrund der Auflösung. Dann können Sie hier sich die
Ergebnisse anschauen
Da sehen Sie dann X-1. Es ist 3,
X-2 bis 2 und erzielt es von uns wert.
Es ist 120. Also ein sehr komfortables Werkzeug,
mit dem wir derartige Probleme lösen können.
Hochprobleme, die in der Praxis auftauchen.
Herzlichen Dank für Ihre Fass
uneingeschränkte Aufmerksamkeit