Gut, dann begrüße ich Sie zurück aus der Mittagspause.
Wir sprechen jetzt noch mal über Prädikaten mit Gleichheit,
aber diesmal wieder, wie wir es in Cock machen.
Und da haben wir die, zu erwartenden Themen,
wir sprechen über die Quantoren,
über beide und über Gleichheit und am Ende steht noch mal eine Zusammenfassung,
die jetzt nicht im Vortrag vorkommen wird,
sondern für sie als Nachschlagwerk sozusagen zur Verfügung steht
Gut, also, da war als erstes die Regel,
wenn wir eine Allquantifikation oder eine All quantifizierte Aussage zeigen wollen.
Hier, für alle ANA gilt viel von A,
wir haben gesagt, es reicht A, irgendein ANA beliebig,
aber fest anzunehmen und für dieses A,
wie von A, zu zeigen.
Das heißt, das Ganze ist rückwärts zu lesen,
wir wollen unten das Ziel haben und das,
was wir oben haben,
reicht dafür aus und die zugehörige Taktik in Cork
heißt Proof All
Vielleicht, wie man es auch erwartet hätte. Es reicht aus,
wenn man für alle A, FIFA und A zeigen will,
dass man FIFA und A unter der Annahme ANA zeigt und
in Cock wird der neue Buchstabe automatisch gewählt.
Man sagt also nur Proof All und er verwendet dann einen kanonischen Namen,
also wenn das A noch zur Verfügung steht,
nimmt er das A, wenn A schon irgendwie anderweitig belegt ist,
dann nimmt dann A0 und so weiter.
Ja, schauen wir uns das im Beispiel an
Wir haben jetzt hier folgende Situation. Wir sollen beweisen,
dass für alle Aussagen Haar aus Haar, Haar folgt.
Wenn wir das machen, wir machen Proof All, dann passiert Folgendes.
Er sagt sich, okay, wir nehmen ein beliebiges,
aber festes Haar als Aussage und zu zeigen ist,
Osha folgt Haar.
Wenn sie nochmal vergleichen, wie das mit der Implikation lief,
dann merken sie,
dass sie im Grunde
genau das Gleiche passiert
Das ist eigentlich das Gleiche, wie bei der Implikation.
Einziger Unterschied ist, da hat er immer ein Haar genommen.
Und wenn wir das jetzt hier P genannt hätten,
hätte er hier auch ein P hingeschrieben.
Dann haben wir andere Richtungen, die Möglichkeit,
eine allquantifizierte Aussage, die wir bereits kennen, zu nutzen.
Das war, was ihn in der Übung heute Vormittag
ein paar Probleme bereitet hat.
Also wir haben solch eine Aussage,
was machen wir damit
Nun, wenn wir irgendeinen Therm haben,
meist eine Variable, es kann auch irgendwas Komplizierteres sein,
was von diesen Typen A ist,
dann wissen wir insbesondere, dass Fifonté gilt.
Und da wir das erste bereits zur Verfügung haben,
ist das Ganze vorwärts zu lesen.
In Cork ist es jetzt noch so,
dass wir natürlich für die Voraussetzung bereits Namen haben müssen.
Das heißt also, das Haar muss gegeben sein und
das T ist eben auch ein Name oder ein Beweis
für Klein
Der entsprechende Regelnahme dann in Kork lautet, use all.
Und jetzt müssen wir eben angeben, welche allquantifizierte Aussage
wir benutzen wollen. Das tun wir mit Haar.
Und da müssen wir aber auch noch angeben,
womit wir diese All quantifizierte Aussage instanzieren wollen.
Das tun wir mit T. Deswegen
use all harte
Und das Ergebnis, was wir erhalten, wenn wir
diese Allquantifizierte Aussage mit Tee-Instanzieren, ist Thee von Tee.
Auch da haben wir, glaube ich, wieder ein Beispiel.
So ist es. Schauen wir uns das Beispiel an.
Wir sind hier jetzt in der Situation,
das wir zu zeigen haben für alle Aussagen.
I gilt L und
Wenn wir jetzt machen, use all, H. Ah,
sorry, das war Unsinn gerade.
Also es stimmt, dass wir das zu zeigen haben,
weil das ist nicht der entspringende Punkt.
Der springende Punkt ist, es ist ja sogar grün markiert,
dass wir eine Hypothese haben, die sagt, kein Problem.
Sehr gut, jetzt kann man es besser sehen.
Ich habe mich nur vertan, weil ich es nicht so richtig gesehen habe.
Nein, okay. Also wir haben jetzt eine Hypothese,
die sagt folgendes in grün.
Für alle J, für alle I-Aussagen gilt J und
So, und damit wollen wir an der Stelle arbeiten.
Und das können wir tun, indem wir sagen,
okay, benutze dein Wissen, um diese allquantifizierte Aussage,
H, und zwar muss ich jetzt irgendeine bestimmte Aussage nehmen,
die habe ich hier mit L zur Verfügung.
Und was eben rauskommt,
ist diese neue Aussage hier wieder grün markiert, H0,
wo sie sehen gegenüber H,
haben wir zwar jetzt noch immer eine allquantifizierte Aufsage,
aber dieses erste,
diese erste Variable hier über die quantifiziert wird,
die fällt weg und ist ersetzt durch das
Dann kommen wir jetzt zum Existenzquantor. Um die Existenz oder um eine Existenz
zu zeigen, hatten wir gesehen, das Folgendes nötig ist.
Wir müssen irgendein Theam finden, der ein A ist.
Bisher war das immer eine Variable,
aber das muss nicht unbedingt
so sein
Und für diesen Therm muss die Aussage Fee von Tee gelten.
Wir picken uns also ein konkretes Element aus A heraus und zeigen,
wie für dieses Element. So, das heißt also,
wir haben irgendwie so einen Therm und das Ganze ist rückwärts zu lesen.
Wir wollen oder die ganze Taktik heißt dann Proof,
Ex für Existence,
also beweise die Existenz und dann müssen wir ihm natürlich sagen,
welchen Therm wir
hier ins Auge gefasst haben
Also die Existenz beweisen wir durch Angabe eines konkreten Terms.
Und wir müssen ihm sagen, welchen konkreten Term wir nehmen,
um das Ganze zu zeigen.
So, und da haben wir jetzt auch noch mal ein Beispiel.
Wir wollen hier die Grünen markierte Aussage zeigen.
Also es gibt eine Aussage ii, sodass aus J,
was das schon als Aussage bekannt ist,
i folgt
Und jetzt können wir sagen, okay, wir beweisen eine Existenz
und wir tun das, indem wir uns auf J festlegen.
Und dann sagt er, okay, das ist in Ordnung,
was du jetzt noch zu zeigen hast, ist,
dass aus JJ folgt. Warum? Weil gesagt haben,
um das zu zeigen, reicht es es, reicht es,
dass für ein bestimmtes I namentliche J zu zeigen,
und das ist hier das Ziel.
Wenn wir das bekommen, haben wir
auch das Obere
Und jetzt geht das ganze Spielchen wieder anders herum.
Wir haben eine Existenz, eine Aussage mit einer Existenz gegeben.
Das ist hier der Fall. Und wir wollen eine Aussage psy beweisen.
Und die Frage ist, wie können wir das?
Also wie können wir unsere, anders gesagt, wie können wir unsere Existenzaussage nutzen?
Nun ja, und wir können das tun,
indem wir Hier, ein beliebiges A aus A,
beliebig, aber fest annehmen für das Vieh von A gilt.
Und unter diesen beiden Annahmen hier, dass Psy zeigen.
Also, wir haben die Voraussetzung der Existenzaussage.
Wir lesen es vorwärts. Wir sagen also dem System,
benutze die Existenz. Ha, und was das System nun macht,
Das ursprüngliche Ziel ist unter den Annahmen A und Fee von A zu zeigen.
Ja, und was das jetzt dir macht,
zeigen wir am besten nochmal ein Beispiel.
Wir haben hier folgende Existenzaussage gegeben hier beim Haar.
Es gibt eine Aussage Ii mit aus J-Folk Ii. Und
wenn wir diese Existenz jetzt benutzen wollen, sagen wir Use Existence Haar.
Und was passiert ist, dass er zwei Dinge passieren.
Man kann leider nur eins grün machen hier,
aber es passieren zwei Dinge
Das hier ist das Zweite und Wichtige,
aber auch nicht zu vergessen ist, es wird gesagt,
I sei jetzt eine beliebige, aber feste Aussage.
Das ist diese Zeile. Und es wird dann gesagt,
das Haar jetzt, also das Haar wird umgewandelt,
nicht mehr in J folgt I, der hintere Teil,
sondern, Entschuldigung, doch, in J folgt I,
genau.
Es wird in J folgt I umgewandelt,
nur das I ist jetzt beliebig, aber fest gewählt.
Während es
vorher im Existenzquantor gebunden war bei
Damit kommen wir zur Gleichheit. Wir hatten ganz einfache Regel,
um eine Gleichheit zu zeigen, nicht viel Spielraum diesbezüglich,
nämlich wir können Gleichheit erstmal nur dann zeigen,
wenn wir im Ziel auf beiden Seiten der Gleichheit genau denselben Thermen zu stehen haben.
Das heißt, Wir wollen so etwas beweisen und dann können
wir es rückwärts lesen, in gewissem Sinne, dahingehend,
dass anstatt dass wir es beweisen, nichts mehr zu tun haben.
Also wir können unseren gesamten Beweis damit beenden,
sofern das jetzt nicht nur ein Unterziel ist,
sondern dass gerade unser Hauptziel darstellt,
dann können wir dieses Ziel beenden.
Der Name ist Beweise, eine Gleichheit, Proof-Equality, kurz E-Qu-U.
Und ein Beispiel dafür ist das folgende
Wir sind hier in der Situation, unten steht J gleich J.
Und wir machen Proof Equality. Und er sagt uns,
keine weiteren Unterziele mehr vorhanden. Dann hatten wir
noch folgende Regel, den Cock für die Gleichheit.
Und zwar jetzt wieder zum Nutzen der Gleichheit. Wenn ich habe,
dass A gleich B ist und ich weiß viel von A,
dann weiß ich viel von B. Wie nutzen wir nun
die Gleichheit in Cock
Zunächst einmal müssen wir irgendeine gleiche,
ich habe es jetzt eh für die Quality genannt, irgendeine Gleichheit,
Gleichheitsbeweis für A gleich B haben und eben auch, und das ist wichtig,
noch das Wissen um Vieh von A. Das heißt also,
irgendwie muss Vieh von A schon irgendwo stehen.
Und dann können wir jetzt Folgendes tun.
Wir können sagen, use, equality, E-E-E-H. Also,
benutze die Gleichheit, die wir hier haben,
in H.
Und was passiert
Das alte Haar wird ersetzt und wir kriegen einen Beweis für Vieh von B.
Jetzt kann man fragen, ja, muss das nicht auch andersrum gelten?
Also so eine Schlussregel? Ja. Eigentlich nicht nötig.
Wir hatten vorhin ja schon mal diesen Betrieb behindert mit einem
hießen Not dahinter. Genau. Also wir könnten zwar fordern,
aber es ist nicht nötig, man sollte irgendwie nie
mehr Schluss regeln und Axiome fordern, als nötig sind.
Das macht es irgendwie unschick, wenn man sich immer auf mehr abstützt.
Und das hier können wir bereits ins Regel herleiten.
Also brauchen wir das nicht. Wir haben auch hier nochmal
ein Beispiel. Wir haben jetzt, ja, okay.
Jetzt muss ich
kurz nochmal zurück
Okay, hier ist ein kleiner Fehler drin, sorry,
das muss ich sagen. Hier müsste stehen, Use Equality,
eh, und jetzt in Haar, damit wir sagen,
dass wir es in einer anderen Hypothese verwenden.
Und beim Beispiel ist es jetzt ein bisschen anders,
sie werden das sehen. Hier sagen wir nämlich,
use Equality H. Also, wir haben hier auch eine Gleichheit,
aber wir sagen jetzt nicht,
dass wir diese Gleichheit in einer anderen Hypothese benutzen,
sondern wir schreiben eine Use Equality
Und was dann passiert, ist, dass die Gleichheit,
diese Gleichheit hier unten im Ziel benutzt wird. Das heißt,
dass die Gleichheit I gleich J wird im Ziel benutzt und das bedeutet,
dass das I, was im Ziel steht, durch das J ersetzt wird.
In allen Stellen, wo es auftaucht, das taucht hier
nur hier auf. Also wird aus J gleich I,
weil das I durch J ersetzt wird, J,
gleich J. Hätten wir jetzt hier, das sage ich immer an der Tafel,
die Situation dass ich gleich J und wir bereits hätten als Hypothese,
dass J gleiten, ja, das ist ein bisschen unglücklich.
Weiß ich nicht, wir hätten noch das J oder kam meinetwegen.
Und wir halt irgendwas zu zeigen, sollen uns nicht weiter interessieren.
Dann könnten wir jetzt sagen, use, equality.
Und dann könnten wir sagen, ha, In Haarstrich.
Also, das ist die Möglichkeit. Die eine Hypothese in
der anderen zu verwenden. Und was dann passieren würde,
das war Unsinn, das ist einmal zurückmachen.
Hier soll jetzt natürlich I oder K stehen.
Denn ansonsten würde gar nichts passieren. Also,
wenn ich das in dieser Situation mache, Use Equality H in H-Strich,
dann würde er die Vorkommen von I in Haarstrich durch J ersetzen.
Und das heißt, konkret dass er die Sache hier ändern würde zu J oder K.
So, jetzt haben wir ein bisschen längeres Beispiel,
wenn ich das richtig sehe, ist das in den Folien drin, genau so ist es.
Können wir also hier durchklicken. Schauen wir uns erstmal die Aussage an. Die Aussage ist,
es gibt eine Aussage, sodass für, also wenn es eine Aussage gibt,
sodass für alle Aussagen gilt, gleich J,
dann haben wir für alle Aussagen J, das I gleich J ist.
Ja, außer es ist jetzt inhaltlich vielleicht nicht so bedeutend,
aber es geht auch nicht darum, sondern es geht darum,
dass wir sehen, wie wir vernünftig mit den Quantoren und den Gleichheiten umgehen.
Was passiert also hier? Das erste, ach so,
das habe ich jetzt betippen,
Proof Imp ein im System und was wir bekommen,
ist, dass wir diese Aussage hier annehmen und die andere,
also die Konklusion hier unten übrig bleibt, als neues Ziel,
was wir zu beweisen haben.
Was wir nun getan haben, ist, dass wir die All-Quantifikation,
ich gehe nochmal einen Schritt zurück, die All-Quantifikation hier genutzt haben,
sorry, sondern wir wollen diese All-Quantifikation hier zeigen.
Es steht ja für alle I, für alle J gilt I
gleich J. Also für alle I und irgendwas kommt dahinter.
Und um sowas zu zeigen, nehmen wir I,
beliebig aber fest an, und zeigen den Rest.
Das machen wir mit Proof All. Okay. Jetzt haben
wir immer noch eine All quantifizierte Aussage zu zeigen.
Also können wir auf jeden Fall hier auch wieder Proof All eintippen.
Schauen wir mal, ob das das nächste ist.
So ist es. Und es ist dann I gleich J zu zeigen.
Und jetzt müssen wir, um mir irgendwie weiterzukommen,
an diesem Haar arbeiten
Und das Haar sagt uns, okay, wir haben eine Existenz.
Und wenn wir eine Existenz nutzen wollen,
dann können wir das machen mit Hughes, Existence Haar.
Und was er dann tun sollte, ist,
dass er ein beliebiges, aber festes J wählt,
was jetzt aber nicht das J mehr sein kann.
Achten Sie da gleich drauf. Und dann sagt,
dass wir diese Aussage hier haben für dieses neue,
aber festgewählte J0 oder so.
Ja, er nennt sie halt null. Also hier haben
wir jetzt J0 und den Rest der Aussage hier unten,
haben wir jetzt mit diesem J0
zur Verfügung
So, dann haben wir eine allqualifizierte Aussage Haar, die
wir benutzen können. Naja, dann machen wir das doch
mal. Und zwar, ich gehe mal eins zurück.
An der Stelle, womit wollen wir es denn instanzieren?
Naja, wir wollen auf jeden Fall irgendwie das Ganze mit dem
hier matchen. Hier, I gleich J. Und wenn ich
jetzt irgendwas anderes als I für dieses allquantifizierte I eingebe,
dann steht hier nicht mehr I.
Wir wollen aber, dass dort I steht. Also nehmen
wir das I. Und dann haben wir I gleich J. Null.
So, was machen wir jetzt? Ah. Jetzt kommt
ein Trick, genau. Jetzt kommt ein kleiner Trick.
Jetzt kann man fragen, was machen wir denn jetzt?
Können wir jetzt noch
was tun
Jo, und jetzt kommt eine Idee, und zwar hier,
haben wir immer noch die allqualifizierte Aussage, die ist ja nicht verschwunden.
Wir können ja allquantifizierte Aussagen nicht nur einmal benutzen,
sondern wir können die immer wieder benutzen, verschiedene Instanzen nehmen.
Naja, und eine Möglichkeit ist die folgende,
wir machen das Ganze nicht nur mit I,
wir machen das Ganze auch noch mit J. Das geht genauso.
Jetzt haben wir I gleich J.0 und J
Und damit wollen wir jetzt zusammen I gleich J beweisen.
Okay. Also der Schritt ist ein bisschen tricky hier,
ja, dass man nochmal darauf kommt, dieses Haar zu instanzieren
mit dem J. Und jetzt können wir unsere Gleichheiten benutzen.
Wie, naja, wir haben hier das, die,
das ist gleich null und das taucht hier unten auf.
Und dann ist es möglich, dieses I hier im Ziel
durch J0
zu ersetzen
Indem wir sagen, used equality H0. Und dann passiert genau das.
Das I, was hier stand, ist durch J0 ersetzt worden,
weil ich gleich J0 ist. Und was einmal geht,
das geht auch zweimal. Wir können jetzt die Gleichheit,
die wir hier in H1 haben, genauso benutzen.
Das heißt, dieses J durch J0 ersetzen,
hast du es hier geschehen?
Mit Use Equality H1
Jetzt ist die Vogel leider zu Ende, aber sie können mir glauben,
unten steht, ich schreibe Ihnen das einmal an.
J0. Gleich. J0, ja. Und um J0,
gleich null zu beweisen, können wir einfach sagen, proof equality.
Und er sagte uns, keine weiteren Ziele mehr vorhanden.
Und dass wir nun fertig sind, dass die entsprechende Theorie
definiert ist. So, das ist sogar schon alles,
was ich zu der Thematik zu sagen habe. Das heißt,
wir haben jetzt noch gut Zeit, um uns den Übungsaufgaben zuzuwenden.
Das ist auch ganz praktisch, weil ich gesehen habe,
dass sie doch noch ein bisschen Zeit brauchen für die Aufgaben
von neun Vormittag und sich dann auch noch den Aufgaben,
die für heute Nachmittag angedacht waren,
gut widmen können.
Gut,
dann gehen wir wieder runter in die Räume 142