Gut, dann begrüße ich sie zurück aus der Mittagspause.
Wir waren gestern stehen geblieben bei den Foliensatz zur Aussagenlogik in Cock
, bei weitere Taktiken. Teilweise haben sie schon gemerkt,
dass sie noch an wenigen Stellen manchmal noch das eine oder andere brauchen konnten,
was sie ihnen noch nicht vorgestellt hatte,
was aber unten in der Zusammenfassung schon enthalten war.
Ich werde ihnen das jetzt sozusagen nachträglich vorstellen. Ach so,
bevor ich anfange, ich habe vergessen,
ich sollte nochmal fragen, Es ist halt,
es hat nichts mit ihrer Not oder sonst was zu tun.
Ich möchte nur einmal wissen, Überblick bekommen,
wer von ihnen hat zu Hause die Hausaufgabe gemacht?
Fünf noch, okay? Eins gemacht. Naja,
diese Cop-Datei tatsächlich aufzuschreiben, die dort auf dem Aufgabenblatt stand.
Das heißt, eine Zuhause am Rechner alles zu erstellen,
Cop zu erstellen, die entsprechende Modifikation vorzunehmen und dann die Datei abzutippen,
die dort stand
Okay. Also ganz wichtig nochmal, bitte machen Sie das,
weil ansonsten können Sie alles, was wir hier machen,
zu Hause, dann nicht nochmal nacharbeiten.
Das ist jetzt vielleicht in diesen zwei Wochen für Sie nicht
so interessant, aber danach wird es interessant,
weil Sie da nicht einfach irgendwann anfangen können.
Ja, nein. In dem, ja. Bleiben wir
auf das Kopf von der, auch wenn die dort französischen
Seine runter waren. Andere Versionen, andere Probleme.
Das ist auch alles
zumindest bei mir
Also weil das sowohl ja auch dort stattfinden wird.
Aber soweit, wie es der Recherche führt, verstanden haben,
haben wir das jetzt schon alles vorbereitet. Das heißt,
wenn wir uns das vorbildlich machen wollen oder auch nach wie vor,
es darf einfach mal ein bisschen üben wollen,
es ist schon alles klar.
Wir sind allen Räumen, aber in den Räumen,
die wir im Buch uns verändern.
Das ist ja so eine Räume, das ist schon mal lieb.
Das ist der größte Raum, wo du dein Herr Strich stehst.
Also rechts damit ist es so. Ich weiß,
es ist auch noch mal alles
Darf ich eine gute Frage sagen? Na,
ich habe ihn das ja gestern gezeigt,
dass sie ihn nun bunt oder auf der Softwarecenter gegeben,
Cock in der Suche eintippen.
Google Cock. Dann gucken Sie bei Buhnen auf der Webseite von Ubuntu
, laden sich bunt runter, installieren Ubuntu neben Windows.
Das ist problemlos möglich und machen dann weiter wie,
wie gesagt, also wir haben im Moment keine Kompatibilität mit Windows.
Wir haben sie schlicht und ergreifend nicht und dann können sie
die Zeichen erstmal nicht eintippen.
Ich verdiene das nicht. Das Problem war eher, weil
ich habe keinen Gewürfen drauf. Und das Problem war,
vor allem, wenn wir diesen Juwai haben.
Ja, weil das nur speziell für,
es gibt sicherlich auf den anderen Linux-Varianten, wird das genauso funktionieren.
Wir wüssten bisher nicht, wie das mit Windows analog geht.
Wenn du die ganzen Sachen anders entscheidest. Zum Beispiel an
unserem Wechsel und ins Fläschchen. Also sonst habe ich die
bestöhnende Amtsgemeinschaft. Ich habe keine Zeit. Das Problem ist,
auf jeden Fall das runterladen, das ist dann meiner Prokille,
der auch, aber innerhalb des Tunnels. Richtig,
die im Unimathematischen Symbole zu nutzen, führt im Moment ein,
bisher kein uns bekannter Weg daran vorbei,
mit diesem UIM zu arbeiten, was es nur unter Linux gibt.
Eventuell gibt es unter Windows Varianten, wer das herausfinden möchte,
sehr gerne. Sehr gut. Machen Sie es sehr gerne,
wir nehmen es gerne an,
denn wir wollen sie eigentlich nicht dazu zwingen,
unbedingt Ubunter zu nutzen, aber im Moment stand der Dinge,
haben wir keine Kompatibilität bezüglich dieser Lehrveranstaltung mit Windows.
Sie können wir im Moment einfach nicht anbieten.
Stand jetzt
Playoffs gebaut hat. Da musste halt auch die Erde
ein paar passen, ein Fahrer von den geborenen.
Wenn Sie vielleicht nachher noch ein bisschen Zeit haben,
dann können Sie es ja mal kurz zeigen. Ich habe das,
vorhin haben Sie es ja schon mal gesagt,
ich bin noch nicht, ich finde es noch nicht die perfekte Lösung,
weil man dann gebunden ist an die Tasten,
die man hat, aber da ja einige Symbole zusammenkommen können.
Aber immerhin ist es auf jeden Fall besser als keine Lösung.
Gut, das war jetzt nochmal der Einschub,
der mir gerade einfiel und jetzt wieder weiter im Baxt.
Also wir hatten bisher Taktiken Die Konnektive,
die logischen Konnektive analysiert haben, analysiert haben,
wenn es darum ging, etwas zu zeigen.
Also zum Beispiel A und B zu zeigen, was bedeutet das?
Ah ja, ich muss sowohl A als auch B zeigen.
Als auch Geschichten, wo wir einen logischen Kundennektive hatten,
schon bereits in der Hand hatten.
Zum Beispiel, ich habe A oder B,
wie nutze ich ihn das jetzt eigentlich?
In dem Fall noch eine Pfeilunterscheidung,
zeige meine Behauptung für A
und zeige sie für
Ein bisschen was brauchen wir allerdings noch und darum soll es
jetzt gehen. Also wenn jetzt A,
irgendeine Aussage oder ein Name für irgendeine Aussage ist,
dann können wir in Cock sagen, Kat A, was macht das?
Das ist eine Art Theorieninternes Lämmer. Heißt, wir sind eben
mal so eine Stelle. Ich zeige Ihnen das einmal.
Da habe ich gesehen, jemand hatte Nachgewiesen, dass Argelt hatte nachgewiesen,
dass aus A oder B Falls folgt und hatte Falls zu zeugen.
Und jetzt wäre so ein theoreninternes Lämmer zu sagen, du hast,
also was man gebräuchte, ist ja A oder B. Ja,
um dann den Modus Ponens zu verwenden, Und das hier sozusagen,
also A oder B und A oder B, impliziert False,
dann hat man zusammen False, was man haben möchte.
So, und jetzt ist nicht klar,
wie komme ich denn von A auf A oder B?
Und jetzt kann ich in Theorie internes Sclammer machen,
indem ich sage, Cut, A oder B,
also in Klammern das, was ich jetzt haben möchte.
Und dann sind zwei Dinge zu zeigen.
Ich schreibe die jetzt in Sprache auf. Und zwar,
das Erste ist,
wieso hilft dir das eigentlich
Und was kocht dann konkret tut, ist,
er macht dieses Falls hier weg, also das kommt dann weg,
ja, und er setzt hier A oder B impliziert False.
Das heißt, man soll zeigen,
dass wenn man jetzt A oder B hinbekommt,
dass man dann auch False hat, Das ist das erste.
Und das zweite ist, was Kork fragt,
wieso ist das korrekt? Und das heißt, als zweites,
also das ist beim ersten Teil Ziel und beim zweiten
wird er unten im Ziel schreiben,
A oder B. Okay
Und um das hier jetzt nochmal zu Ende führen,
was könnte man jetzt hier machen? Im ersten Teilziel,
sie machen Proof Implication,
dann wandert das A oder B hier oben hin,
dann haben sie irgendwie, ich schreibe das mal hier hin,
so ein H1 mit A oder B.
Und dann können sie den Modus Ponens benutzen,
das heißt Use Implication mit Hanull von Mitter 1.
Dann kriegen sie Falls hier, also dieses Hanull wird dann
ein Beweis für Falls
Dann können Sie sagen, benutze dein Hanul.
Und das Zweite, wie zeige ich das A oder B,
die zweite Anforderung mit diesen Sachen ist auch einfach.
Wir sagen, proof or left, also wir sagen,
konzentriere dich bitte auf das A. Wir haben das A
zu zeigen und da sagen wir einfach, hughes H.
So, ich glaube, hier kommt es nur nochmal, was ich gerade gesagt habe.
Aber ich sage es gerne auch noch einmal. Also zeige,
dass die angegebene Aussage hilft, ursprüngliches Ziel,
zu beweisen und zweitens zeige, dass die angegebene Aussage auch korrekt ist.
So, hier ist noch ein weiteres Beispiel. Ist es das,
was ich gerade, das ist das Beispiel,
was ich gerade gemacht habe, glaube ich?
Ja, mit C statt Falls. Und sie sehen es
jetzt hier einfach nochmal, ja. Sie haben hier jetzt die beiden Teilziele,
hier ist gecuttet mit aus A folgt,
A oder B, das wäre ja nicht nötig gewesen,
man kann auch einfach direkt mit A oder B karten.
Gut, aber wir haben es ja in den Tafel gehabt
Dann gibt es, das ist jetzt das Zweite,
das eben war Kat, und dann gibt es noch Asserd.
Und Third ist wie Kat, nur dass es die beiden Teilziele vertauscht.
Das heißt, wenn man Asserd macht, dann fragt er zuerst, wieso ist das korrekt?
Und fragt erst seit zweites, wie hilft dir das weiter?
Das ist nur eine kleine Differenz vom Sinngehalt her,
ist es so, dass sie Das ist Serd, eher benutzen,
wenn das, was sie beweisen, was sie jetzt behaupten,
was da gilt, dieses Slammer in theoriementerne Lämmer,
wenn das sehr leicht zu beweisen ist,
dann sagen sie, guck mal, das gilt doch.
Und dann machen sie weiter im Eigentlichen. Cut benutzen sie,
wenn das, was sie da behaupten,
eigentlich erstmal schwer ist, aber sie erstmal wissen wollen,
aber es ist eher klar ist,
dass es weiterhilft.
Also sie machen erst
das leichte Teilziel
Eine Frage, ja. Ich kann mir noch
kurz verzerren. Was vertauschen? Cool, zwei tauschen.
Also wenn ich A und B zubeweisen habe,
stattdessen SPOB und dann ist es ja eine interne Leihenfolge vor allem.
Ja, es geht, ich glaube, ich bin nicht
hundertprozentig sicher. Ich glaube, es geht,
indem man Fokus und dann das mit der Nummer das Teilziel angibt.
Aber sehr schön finde ich es nicht.
Also versuchen sie, das zu vermeiden, bitte.
Dann lieber Cut und Assert
andersrum verwenden
So, dann haben wir die Situation, das haben heute
auch schon einen heute Vormittag, auch schon einige gebraucht.
Wir wollen einen Lämmer benutzen, was wir bereits hergeleitet haben.
Wie mache ich das? Nun,
dafür ist dieses Effekt da, Fact und wir geben,
dass ja den Namen für das Theorie an,
also zum Beispiel weiß ich nicht,
Fact,
and commutative oder sowas,
Und was passiert? Es wird zu den Voraussetzungen ein neues,
also es wird eine neue Hypothese generiert, die das entsprechende Theorie aussagt.
Genau, und wir sehen das hier nochmal im Beispiel. Also,
hier, wir haben die Geschichte, beweisen wir gerade,
ob das jetzt sinnvoll ist oder nicht, sei dahingestellt.
Wir machen Fact, Beispiel 8 und er legt eine
neue Hypothese an und jetzt sehen Sie auch,
was Beispiel 8 war,
aus Nicht-A und A
folgt nicht
Ja. Das ist der Inhalt zum Beispiel 8. Und wenn
wir sagen, Fact Beispiel 8, dann legt ihr uns
eine neue Hypothese an, die genau das aussagt.
Das heißt, das haben wir jetzt in der Hand,
das steht uns zur Verfügung, das können wir benutzen.
In dem Fall ist Beispiel 9 einfach Beispiel 8. Ja.
Aber du, wenn Aaron A ist.
Guter Punkt. Das ist ein Problem,
was sich sehr bald in Rauch auflösen wird
Im Moment ist es so, dass sie die Sachen tatsächlich
genau für die Variablen Namen so beweisen müssen, wie,
also genau so mit den gleichen variablen Namen verwenden müssen, wie sie es bewiesen haben.
Das ändert sich, wenn wir, und da kommen wir nachher,
fangen wir an, in diese Richtung zu gehen,
wenn wir dann Quantoren einführen, dann können wir mit,
können wir die Variablen quantifizieren und können dann immer das einsetzen,
was wir gerade brauchen.
Also für sie jetzt wichtig an der Stelle,
wenn sie das Problem hatten, sehr gut,
dass sie es gemerkt haben, sehr gut,
dass sie sehen, das ist ein Problem und sie werden merken,
es löst sich in Rauch auf,
mit den Sachen,
die da noch kommen
Gut, dann haben wir noch eine weitere Sache.
Wir haben zum Beispiel bei Use Implication, ich will schon mal
kurz weg. Also wenn wir hier oben irgendwie sowas haben
wie H ist aus A folgt B und wir haben H0
Hier steht A. Und hier ist irgendwas zu beweisen.
Irgendwas, ja. Und dann wollen wir oft sagen,
okay, use, use Implication, H und Hanull.
Und was dann passiert, ist das folgende, er macht aus
dem Haar einen Beweis für B. Und jetzt kann es sein,
dass sie manchmal, sagen wir mal, hier steht,
B folgt aus A, folgt B, folgt Irgendwas.
Im Moment, ist es jetzt sinnvoll? Ja. Das
ist nicht sinnvoll. Mit uns, ja. Ich meine jetzt,
ja, gut, machen wir es so, genau.
Wenn wir das jetzt gemacht haben und sie wollen das zeigen,
okay, dann sagen sie an der Stelle,
proof end, dann sagt er ihnen, okay,
als erstes zu zeigen, ist das B,
da sagen sie kein Problem,
USH,
Und das zweite, dann würde er sagen,
jetzt beweisen wir bitte aus A folgt B. Und jetzt stehen sie
da und denken sich, oh, das ist jetzt aber ärgerlich.
Weil aus A voll B, das hatte ich doch schon.
Jetzt ist es weg. Jetzt haben sie zwei Möglichkeiten,
sie können es entweder wieder neu beweisen,
was kein Problem ist, denn sie haben B, okay.
Aber sie können auch vorher sagen,
also bevor sie jetzt hier irgendwelche Umformungen machen,
und das hier noch so aussieht, Können Sie sagen,
ich möchte das einmal sichern, dass ich das habe?
Und das machen Sie mit diesen Double.
Soll ich mir das schon mal an? Also,
Sie legen eine Kopie der entsprechenden Hypothese an. Double H,
Kopie von H. Können Sie das hier also machen?
Man würde erscheinen H1. Ist ein Beweis für AVFB.
Und jetzt können Sie, so wie eben auch sagen,
hus im, können Sie sich jetzt aussuchen mit welchen,
sagen wir mal,
Dann würde er daraus, würde er das wieder abändern zum B,
aber sie hätten kein Problem mehr, weil sie sich das gemerkt haben.
Frage? Wir nutzen niemanden, wir machen ein bisschen Bild aufbauen.
Als wenn ich das gut betreuen möchte in dem Einschreiten,
muss ich das durchmachen. Bei den einfachen Sachen ja,
aber wenn sie sehr viel Wissen haben, dann
Also ich bin nicht sicher, ob es immer sinnvoll ist, das hinten anzustellen.
Aber hier könnte man das natürlich machen, das stimmt.
Bei dem Beispiel hat sie es nicht gelohnt.
Nein, bei dem Beispiel hat es sich nicht gelohnt.
Es war um die Wirkungsweise zu erklären. Sie müssen es
ja nicht benutzen. Also wenn sie wunderbar ohne auskommen,
kein Problem. Aber wenn sie mal in Verlegenheit kommen,
weil sie sagen, ach, ich will das doch behalten,
dann machen sie Double
Feuer und alles ist gut. So,
hier kommt es auch nochmal
ein Beispiel
Nochmal ein bisschen einfacher. Also wir haben hier Hasenbeweis für A,
wir sagen Double H und er legt uns Hanull an,
was auch ein Beweis für A ist.
So, und das Letzte, wir brauchen eine Möglichkeit,
um unsere Definition anzuwenden. Und das haben Sie heute auch
schon bereits benutzt. Unfold heißt das Ganze,
also ein definierter Begriff, D haben,
also wir haben einen definierten Begriff D und gegebenenfalls eine Hypothese,
das liegt jetzt da,
um es im Ziel anwenden oder in einer der Hypothesen
Und dann heißt das Ganze eben, Unfold, D,
also zum Beispiel Unfold, Not, beziehungsweise Unfold,
Not in der und der Hypothese.
Hops, sorry. Und was eben passiert, ist,
dass der definierte Begriff durch die Definition ersetzt wird.
Zum Beispiel, wenn wir folgende Situation, hosen jetzt die Kohlender.
Wenn wir jetzt irgendwie haben, Haar ist ein Beweis für
nicht A und wir wollen irgendwie Und auch noch,
also hier sind noch irgendwelche anderen Sachen und hier unten wollen wir beweisen,
nicht, nicht, A, dann muss man zwar nicht,
aber kann man zum Beispiel sagen, okay, einmal Unfold, Not.
Und was dann passiert, ist, dass er sagt,
okay, ich leuchte das und ersetze es durch aus Nicht-A, folgt False.
Ach so, nee, das passiert übrigens nicht,
fällt mir gerade auf, weil hier ist ja nochmal nicht
A und er macht gleich beides in einem Schritt.
Wenn Sie also an Fold sagen,
dann mach Cocktail raus direkt
Aus A folgt False, folgt False. Okay.
Dann löst das wirklich komplett auf. Und hier oben,
beim H können wir es auch wegmachen,
indem wir sagen, Unfold,
Nord in H und dann würde er eben das ersetzen durchaus
A folgt False
Gut, eine Sache, die ist hier nicht aufgelistet,
die sage ich jetzt aber trotzdem noch,
wenn sie wirklich unbedingt das hier hinbekommen wollen.
Also einmal auflösen und nicht mehr, dann können sie noch was anderes benutzen.
Das heißt, ich schreibe es hier mal hin.
Change, dann sagen sie, was sie wechseln wollen.
Und dann sagen sie, Wiz, dann sagen sie wieder,
womit sie es wechseln wollen und gegebenenfalls sagen sie noch,
Im H. Aber das nur so als Zusatzinfo,
wenn da wirklich mal Not am Mann sein sollte.
Und dann haben wir ihn hier hinten, die meisten haben
das auch schon bemerkt, nochmal die verschiedenen Sachen zusammengestellt.
Hier war noch ein Fehler in der Bezeichnung.
Ich habe das inzwischen, hoffe ich, auch hochgestellt.
Also die veränderte Version. Hier stand bei einigen noch
Hughes Equif. Das muss Hughes
If heißen
Und genauso bei Proof hier unten stand auch Proof,
Equif und das muss Proof eh heißen.
Achso, gib soweit irgendwelche Fragen? Das ist nicht
der Fall, okay. Dann gehen wir jetzt zu dem
nächsten Thema über.
Ich muss das hier kurz einstellen
Ja. Gut. So, und zwar geht es jetzt
darum, wie wir Sachverhalte durch Prädikatenlogik formalisieren können.
Also wir haben uns jetzt sehr mit Auslagenlogik,
erstmal nicht in Cork und dann in Cock beschäftigt.
Und jetzt beschäftigen wir uns mit Prädikatenlogik. Und erstmal mit
dem Weg dahin. Also wir fangen mal an,
indem wir nochmal Dinge in Aussagen, also irgendwelche Sachverhalte in Aussagenlogik formalisieren.
Wir werden dann feststellen,
dass das nicht ausreichend ist und werden Prädikate einführen,
werden feststellen, dass das wiederum auch nicht ausreichend ist und so zu den Quantoren kommen.
Am Schluss kommt, glaube ich, in ein etwas ausführlicheres Beispiel.
So, und jetzt haben wir folgende Arbeitsaufgabe,
formalisieren Sie die wesentlichen Aussagen folgender Texte mithilfe von Aussagen, Logik.
Erstes Beispiel. Im Winter gibt es häufig Probleme mit der S-Bahn,
solange die Temperatur sich im positiven Bereich befindet,
ist noch alles in Ordnung
Sinken die Temperaturen jedoch unter null und es friert,
fährt die S-Bahn nicht mehr. Als ich heute hergefahren bin
, habe ich gemerkt, dass die S-Bahn fährt.
Also friert es heute nicht. Gut,
das erste ist, wir haben hier einen längeren Text,
der wirklich noch natürliche Sprache benutzt,
auch wenn es natürlich schon logisch angelegt ist.
Wir müssen jetzt die wesentlichen Informationen heraus extrahieren
Und es geht wie folgt. Das Erste ist,
wenn es friert, fährt die S-Bahn nicht.
Also im Winter gibt es häufige Probleme mit der S-Bahn.
Das lässt sich erst mal nicht logisch verpacken. Solange die Temperatur
sich im positiven Bereich befindet, ist noch alles in Ordnung.
Könnte man jetzt noch eine extra Regel machen, die dann keine Relevanz hat.
Aber erst mal nicht unbedingt nötig, das zu formalisieren.
So, sinken die Temperaturen jedoch unter null und es friert,
und es friert,
es ist keine zusätzliche Bedingung
Sondern dass es im Sprachgebrauch so, sondern es ist eine Bedingung,
also wenn es friert, fährt die erst mal nicht.
Als ich heute gefahren bin, habe ich gemerkt, dass
die S-Bahn fährt. Also, dass ich heute gefahren bin
und dass ich was gemerkt habe, ist nicht so relevant.
Was relevant ist, die S-Bahn fährt. Und jetzt ist
der logische Schluss, also friert es nicht. Das nächste,
was man jetzt tun kann, ist, irrelevante Wörter weglassen.
Wenn Frieren dann nicht S-Bahn, S-Bahn, da er nicht frieren,
das hört sich immer an wie so ein Mensch,
der so dabei ist, eine Sprache zu lernen,
die werben noch nicht entsprechend beherrscht.
So kann man so nach und nach das runterbrechen und am Ende zu einer Formel bringen,
aus F folgt nicht es und wir haben es daher nicht
F. Also wenn wir es nicht als Schluss lesen,
dann hätten wir nämlich,
also wenn wir es als Schluss lesen würden,
dann hätten wir
folgende Geschichte
Dann würden wir eher sagen, F, nicht es.
Und außerdem S, also zusammen F. Aber das war jetzt nicht das Ziel,
einen Schluss anzugeben, sondern es war das Ziel,
das in eine Formel zu packen.
Und in einer Formel sieht es dann eben so aus,
dass sich die beiden Sachen mit unverknüpfe und am Ende
eben eine Implikation habe.
Gut,
nächstes Beispiel
Wenn es sonnig ist, spiele ich Fußball,
sonst spiele ich Schach. Auch wenn es nicht regnet.
Okay. Also, wenn wir die Sonne haben,
dann Fußball. Und wenn nicht Sonne, dann Schach.
Was mache ich mit dem auch, wenn es nicht regnet?
Das kommt ja noch an, dass es nicht zusammen ist,
was trotzdem regnet.
Ja, also es gibt, ja,
es gibt solches Wetter, das ist richtig.
Was heißt das mit, also dieser Zusatz,
auch wenn es nicht regnet, wie beeinflusst er das Ganze jetzt?
Hier vorne wird es gesagt, ich weiß nicht,
ob die anderen das mitbekommen haben.
Die haben beeinflusst die Logik der Aussage überhaupt nicht, ja.
Das hat keinen Einfluss, wenn ich sage, auch dann,
das ist sonst ja auch, also das ist keine neue Information.
Ja, das ist für mich das Regen,
ein Sammeln, das ist ja eine selbe Aussage,
aber ohne Motor
Bei dem deutschen, ja, sonst, er muss genau das Bild davon haben.
Nicht so. Na, wir haben nur,
also ich mache mal den nächsten Schritt, so.
Also wir haben jetzt, wenn Sonne, dann Fußball,
so und wenn nicht Sonne, dann schau,
nicht Sonne haben sie recht, heißt nicht unbedingt,
Dass es regnet, ja.
Also, wenn ich jetzt noch eher einfüge,
dann habe ich nicht so was wie nichts Sonne Äquivalent zu regen, das ist falsch.
Ich hätte nur das aus Regen folgt, naja,
wenn wir mal so Regenbogengeschichten außer Acht lassen, ja.
Aber sie merken dieses, auch wenn es nicht regnet,
also das spielt ja einfach an der Stelle dann
keine weitere Rolle
So, und als Formel, genau,
aus Sonne folgt Fußball und aus Nicht-Sonne folgt.
Es konnte ich jetzt nicht nochmal nehmen, ist dann
K genannt, ja. Richtig, wir haben also,
das war gerade die Anmerkung mit der, mit dem Regenbogenwetter, ja.
Also das, das können wir haben, die beiden stehen in gar keinem Zusammenhang gerade.
Und deswegen können wir dir das auch, wenn,
überhaupt nicht verwerten. Also man kann einen,
auch wenn sowieso nie verwerten, weil das ist eine Information,
als wenn das ohne das, auch wenn ich gültig wäre,
was aber nicht der Fall ist,
weil wir in der Logik ja immer Dinge aufsammeln und nicht irgendwie im Nachhinein noch irgendwas ändern,
nur weil wir zusätzliche Informationen bekommen.
Also nicht in der mathematischen Logik zumindest. Weiteres Beispiel,
Menschen sind Säugetiere und Säugetiere sind Lebewesen, also sind Menschen Lebewesen.
Nun ja, Ist, glaube ich, recht naheliegend,
was man machen kann. Aus Menschsein folgt Solgetier sein und
aufs Säugetier sein folgt ein Lebewesen zu sein.
Und darum folgt, also, und es folgt dann daraus,
dass wenn ich ein Mensch bin, ich auch ein Lebewesen bin.
Und jetzt halten wir es nochmal kurz mit Shakespeare,
sein oder nicht sein.
Naja,
es oder nicht es
Also der tiefere Sinn dieser Aussage geht definitiv verloren,
denn ich bin mir ziemlich sicher,
Shakespeare wollte sich nicht zum Terzium-Nondator bekennen.
Schauen wir uns mal das nächste Beispiel an.
Der Vorfahre meines Vorfahren ist mein Vorfahre.
Wie kann ich
das machen
Vielleicht so. Was bedeutet das? Also wie würde man
das lesen? Irgendwie wäre dieser Pfeil so eine Nachzeitigkeit,
würde der jetzt hier ausdrücken. Also zunächst kommt der,
bevor ich komme und der kam bereits vor dem,
dann kommt der hier auch von mir.
Aber das ist, wie gesagt, das ist eine Nachzeitigkeit,
das ist kein, wenn,
wenn ich es als Van interpretieren möchte,
dann muss ich mir die Frage stellen,
wofür steht V0
Und dieses V0 kann schlecht stehen für Vorfahre von mir zu sein.
Wofür steht denn dein I? Ich bin Vorfahre von mir
. Nee, passt nicht. Also irgendwie, das hakt
und öst und wir kriegen das gar nicht vernünftig übersetzt.
Und dieses Konzept ist eben in Aussagenlogik auch nicht mehr vernünftig
zu formalisieren. Also brauchen wir ein mächtigeres Werkzeug.
Und damit kommen wir zu den Prädikaten
Und da haben wir zunächst einmal einstellige Prädikate. So,
als was sind Prädikate eigentlich zu sehen? Prädikate sind,
da fassen wir hier in dieser Veranstaltung zumindest als sogenannte Aussagefunktion auf.
Das heißt, wir haben eine bestimmte Anzahl von Eingaben,
wie das bei einer Funktion so üblich ist.
Und das Ergebnis, was wir haben,
ist eine Aussage.
Machen wir
ein Beispiel
Feinschmecker ist keine Aussage. Oliver ist ein Feinschmecker,
hingegen schon. Ich kann das anders schreiben. Nämlich als
Feinschmecker von Oliver, beziehungsweise nicht Feinschmecker von Günther.
Das heißt, diese Schreibweise soll nochmal suggerieren,
dass es sich um eine Funktion handelt.
Wir haben hier eine Funktion, Feinschmecker,
die bekommt Eingaben,
also in dem Fall
genau eine
Und daraus entsteht eine Aussage. Feinschmecker von Oliver ist eine Aussage
. Die kann wahr sein, die kann falsch sein.
Aber es ist eine Aussage. Genauso bei Nicht-Feinschmecker von Günther.
Jetzt kann man noch fragen, woher kommen denn eigentlich die Eingaben?
Also man sollte nicht alle Eingaben vielleicht zulassen,
denn Feinschmecker von Nordpol, Feinschmecker von Knotentheorie,
was weiß ich,
das ergibt irgendwie keinen richtigen Sinn
Also wir müssen irgendwie sagen, dass unsere Prädikate Eingaben bekommen
und wir müssen sagen, woher die Eingaben stammen sollen.
Man kann jetzt darüber streiten, woher sie kommen sollen. Man kann sagen,
Feinschmecker beziehe ich nur auf Menschen, vielleicht kann man argumentieren,
dass man es auf Tiere ausdehnen kann, aber irgendwo müssen wir sagen,
also für die Objekte folgender Klasse wollen wir das haben.
Ich nehme mich nochmal
ein paar weitere Beispiele
Ebenfalls für einstellige Prädikate, Teenager sein.
Eine natürliche Zahl zwischen 5 und 25 sein. Eine lebende
Urgroßmutter haben. Ja, sie können das beliebig erweitern.
Dann schauen wir uns mal die mehrstelligen Prädikate an.
Mehrstellige Prädikate sind dann eben wieder als mehrstellige Aussagefunktionen
zu interpretieren
Das heißt, wenn sie mal mit Relation gearbeitet haben,
dass da eine große Verwandtschaft ist, weil sie eben sagen,
dass, ja, wie erklärt man das?
Also sie geben ja zwei Eingaben ein und die sind
sozusagen dann in Relation bezüglich ihres Prädikates,
wenn ihr Prädikat bar ist mit diesen zwei Eingaben.
Vielleicht auch wieder klarer am Beispiel, was wäre so eine typische Relation,
also mehrstelliges Prädikat, in dem Fall zweistellig?
Naja, das, was wir gerade hatten.
Vorfahre sein von Vorfahre sein von, ist keine Aussage.
Oliver ist Vorfahre von, ist ebenfalls keine Aussage.
Wir müssen also beide Stellen besetzen. Oliver ist ein Vorfahrer von Günther
, ist eine Aussage. Sie mag korrekt sein oder auch nicht.
Weitere Beispiele, schwerer sein als, klüger sein als,
größer oder kleiner sein als oder aber auch,
weil das ist jetzt immer höher,
Die gleichen Hobbys haben wie. Oder einfach Gleichsein. Ja,
man, die Gleichheit ist zum Beispiel auch eine Relation oder ein zweistelliges Prädikat.
Sie geben zwei Objekte rein und die Aussage ist,
diese Objekte sind gleich.
Die kann dann wieder wahr oder auch falsch sein.
Schauen wir uns jetzt also mal an
Wie wir Sachverhalt, sollte nicht Aussagen hier heißen,
sondern diese Sachverhalte mit Prädikaten formalisieren können.
Und stellen wir uns folgende Situationen vor, ein Kind auf
irgendeiner Kirmes, versucht, seine Mutter zu überzeugen.
Maria durfte auch Karussell fahren und ich bin älter.
Erstmal implizit. Also darf ich auch Karussell fahren.
Was kommt dir vor? Einstelliges Prädikat haben wir erst
mal.
Karussell fahren dürfen
Wir haben ein zweistelliges Prädikat, älter sein als.
Und wir können dann die Aussage, die hier das Kind tätigt,
wie folgt formalisieren, Karussell fahren dürfen, Maria, ich,
älter sein als Maria, daraus folgt, Tarussell fahren dürfen ich.
Also das ist jetzt wieder diese Zwischenstufe, oder,
ich würde mir es vollständig formalisieren, K von M und älter,
IM, also I steht für ich,
und M für Maria,
daraus folgt Karussell von ich
Das ist jetzt hier die Argumentation, dieses Sachverhaltes, Entschuldigung,
die Formalisierung dieses Sachverhaltes. Und dann hatten wir vorhin hier das Problem,
dann sollte das möglichst auch klappen, der Vorfahre meines Vorfahrens ist mein Vorfahre,
naja, kann ich doch erstmal ganz gut formalisieren.
Also, wenn Y mein Vorfahr ist,
also ich steht wieder für ich und x,
der Vorfahrer von Y ist, Dann ist X der Vorfahrer,
auch der Vorfahrer von mir oder ein Vorfahr von mir.
Soweit so gut. Gebe ich Ihnen noch mal ein
anderes Beispiel. Der Vater meines Vaters ist mein Vater.
Ich habe nicht gesagt, dass die Aussage war ist.
Wenn ich das formalisiere, kommt folgendes raus.
Der Vater von mir und davon der Vater ist auch
mein Vater
Das ist offensichtlich Quatsch, aber es ist die gleiche Formalisierung.
Ja, das kann passieren. Also sie können verschiedene Sachverhalte
gleich formalisieren. Was ist jetzt, wie kann das sein?
Das eine soll ja richtig werden und das andere falsch,
wenn sie damit umgehen, wenn sie damit jetzt irgendwie hantieren.
Wo ist der Unterschied? Ja,
das ist korrekt
Und es führt zu was. Also wir haben eine
unterschiedliche Interpretation. Und was werden wir deswegen auch haben?
Solche. Außer Quatsch. Solche Kredikadien haben bestimmte Eigenschaften.
Also um zum Beispiel transitiv und nicht. Ja, genau
das ist der Punkt. Wir werden eine andere Theorie dahinter haben,
die wir sozusagen dem System, wo auch immer wir damit arbeiten,
mitgeben müssen oder dem Menschen, wo wir gerade diesen Schluss anbieten.
Und da sind jetzt die Aktionen von Vorfahre sein,
sicherlich andere als die Aktionen von Vater sein
Also der Unterschied liegt dann aufgrund dieser Axomatisierung
in der unterschiedlichen Beweisbarkeit bei der Formalisierung.
Weiteres Beispiel. Leider. Folgendes. Es gibt Menschen,
die sehen in anderen immer nur das Schlechte.
Versuchen wir es mal. Mensch von X und Mensch
von Y und X Ungleich Y schlecht von XY
Wobei natürlich S von XY bedeuten soll, X sieht in Y nur das Schlechte.
Allerdings, wie unterscheiden Sie das von Menschensehen in anderen Menschen nur das Schlechte?
Haben wir bisher keine Möglichkeit, das würden wir wieder genauso formalisieren.
Und in dem Fall können wir nicht darauf ausweichen,
dass wir sagen, ja Mensch,
wird anders interpretiert und wir haben andere Aktionen für Mensch.
Nein, wir haben hier beides mal Das Prädikat Mensch mit der gleichen Bedeutung,
mit den gleichen Aktionen, die wir irgendwie haben wollen.
Und trotzdem würde das gleich formalisiert im Moment.
Mangelsalternativen. Aber es ist eine andere Aussage.
Und die letzte ist hoffentlich, also ich hoffe,
sie stimmen da mit mir überein, definitiv falsch.
Es fehlt noch etwas.
Und damit kommen wir zum Existenzquantor
Ich nehme an den meisten, erzähle ich nichts Neues,
ich erzähle es dir aber trotzdem.
Dieses Zeichen hier bedeutet, es gibt ein PIX. Und diese Aussage,
die wir hier hatten, können wir dann wie folgs formalisieren.
Wir sagen, es gibt ein X. Jetzt kommt ein Punkt,
das heißt, so das gilt, X ist sein Mensch.
Und für Y ist ein Mensch mit X ungleich Y,
folgern wir, dass es,
also dass das X in Y
das Schlechte sieht
Nur das Schlechte war es, ne? Die sind immer
nur das Schlechte, ja. Also X sieht in Y
nur das Schlechte. So weit haben wir es erstmal hinbekommen.
Jetzt schauen wir uns mal das nächste Beispiel an.
Zu jedem Objekt gibt es ein gleiches Objekt. In Klammern
, nämlich das Objekt selbst. Sollte also wahr sein.
Wir würden das wie folgt im Moment formalisieren vielleicht.
Es gibt ein Y, sodass X gleich Y ist
Jetzt haben wir aber auch folgende Aussage, Obs.
Es gibt ein Objekt, sodass alle Objekte diesen gleich sind.
Das sollte wiederum falsch sein. Aber wie würden wir
es formalisieren? Obs? Es gibt ein Objekt,
sodass alle Objekte, sodass halt was anderes X
gleich Y ist
Das wäre die gleiche Formalisierung. Wir haben wieder das Problem,
dass wir hier keine Prädikate haben oder so,
die dann anders zu interpretieren wären.
Das heißt, irgendwie reicht unsere Sprache immer noch nicht aus.
Das heißt, es fehlt immer noch etwas.
Damit kommen wir zum Alquantor. Und dieses umgedrehte A hier
für alle X bedeutet,
für alle
Und jetzt gehen wir die beiden Beispiele noch mal durch,
zu jedem Objekt gibt es ein gleiches Objekt, ist nun,
für alle X existiert ein Y mit X gleich Y. Hingegen,
es gibt ein Objekt,
sodass alle Objekte diesem gleich sind, ist,
es gibt ein Y, sodass für alle X gilt,
X ist gleich Y.
Sie können den Unterschied sehen, Dann haben wir noch folgendes Problem.
Ich habe das eben schon angedeutet, wenn wir Prädikate haben,
wir wollten nicht haben, Feinschmecker von Nordpol.
Ja, und deswegen ist die Frage, woher stammt das
X in für alle X? Oder in es existiert X.
Gleiche Fragestellung. Und da gibt es verschiedene Möglichkeiten,
die erste Möglichkeit, die wir nicht machen, Ist, alles ist möglich.
Das ist die Variante, die Gottlob Pflege bevorzugt hat in seiner Begriffsschrift.
Also Beispiel für alle X, für alle Y,
aus X gleich Y, folgt Y gleich X.
Müssen wir auch betrachten, also wie gesagt,
Gleichheit ist ein Prädikat mit zwei Stellen, ja.
Das müssen wir auch betrachten können mit X gleich 2 und
mit Y gleich Julius Cäsar. Also sagt diese Aussage dann insbesondere,
wenn ich sie fordere, das aus gleich Julius Caesar folgt,
das Julius Caesar gleich zwei ist.
Fragen, wie ist zwei gleich Julius Caesar? Müssen dann
irgendeine Bedeutung haben? Und das ist irgendwie merkwürdig.
Frega hat das gewollt. Man muss allerdings dazu sagen,
sein System hat sich als inkonsistent, also als widersprüchlich erwiesen.
Und das hat auch damit zu tun,
dass er eben so großzügig war,
was diese Geschichten angeht
Ich will darauf nicht weiter eingehen, ich will nur sagen,
dass es diese Möglichkeiten gibt. Eine zweite Möglichkeit,
die wir ebenfalls nicht hier in diesem Kurs verfolgen,
die aber vielleicht die Variante ist,
die sie aus ihren anderen Kursen eher kennen, ist,
dass alles Objekte innerhalb einer festgelegten Theorie sind.
Zum Beispiel natürliche Zahlen oder Mengen, wenn sie nur übernatürliche Zahlen sprechen,
dann schreiben sie für alle in, für alle M,
gilt so was wie N plus M,
gleich M plus
Und dann sagen sie nicht extra,
eng ist eine natürliche Zahl, er ist eine natürliche Zahl.
Sondern die ganze Theorie, die sie gerade betrachten,
dreht sich nur um diese Objekte.
Das kann auch bei den, es kann auch sein,
dass sie irgendwie sowas ja haben, für eine X,
für alle Y.
Ja,
das ist zum Beispiel aus der Mengen-Theorie hier
Je nachdem, was eine Aktion ist,
was man fordert oder ob es ein Satz ist.
Aber auf jeden Fall wären diese X hier gemeint, dass es Mengen sind.
Und sie würden das eben dadurch realisieren, dass sie sagen,
ich bewege mich jetzt in einer Theorie und jede Quantifikation,
die ich hier mache, für alle X,
für alle Y kommen immer aus demselben Gegenstandsbereich.
Also hier kann eben nicht einmal die 2 gewählt werden und einmal Julius Caesar,
weil ich nur über Mengen rede oder ich hier nur über natürliche Zahlen rede.
2 kann ich hier benutzen, aber das M,
also für das M kann ich nicht Julius Caesar einsetzen,
sondern nur eine andere natürliche Zahl
Und dann gibt es eine dritte Variante und das ist die Variante,
die wir machen. Wir sagen immer an, woher
die Dinge stammen sollen. Also Beispiel, wir sagen,
für alle natürlichen Zahlen X und für alle natürlichen Zahlen
Y gilt X gleich Y, daraus folgt Y gleich X.
Also diesen Doppelpunkt hier sagen sie für alle X vom Typen
natürliche Zahlen. So liest sich das,
kurz ausgesprochen für alle natürliche Zahlen und für alle Y
vom Typen natürliche Zahlen
Gilt, X gleich Y folgt, Y gleich X.
Aber sie müssen nicht das Gleiche haben.
Also sie können auch haben, hatten wir so ein Beispiel.
Sie könnten zum Beispiel sowas hier haben. Für alle natürlichen Zahlen,
für alle natürlichen Zahlen ohne Null, also was anderes,
haben sie dass N durch M,
oder wir machen was andersrum, sonst kriegen wir Probleme,
N mal M durch M gleich N ist.
Also, dass sie die Division in den natürlichen Zahlen.
Dann haben sie hier jetzt verschiedene Gegenstandsbereiche, okay?
Einmal ein und einmal die natürlichen Zahlen ohne die Null
Gut. Und dann ist nochmal eine Sache, die Bindungsbereiche.
Da passen sie auf. Also wenn sie haben,
dass ein N, eine natürliche Zahl existiert,
sodass er ihnen gleich null ist, das sollten sie haben.
Und sie haben, es existiert eine natürliche Zahl,
sodass er ihnen ungleich null ist. Sollten sie auch haben
, nämlich zum Beispiel eins. Dann folgt daraus nicht,
dass sie eine natürliche Zahl haben mit N gleich null und Anne Ungleich null.
Okay. Das heißt also, Wenn Sie so eine Existenzquantor haben,
dann bezieht er sich immer nur auf den, auf seinen Wirkungsbereich,
der hier eben abgegrenzt ist durch diese Klammern, beziehungsweise diese Klammern.
Schauen wir uns noch mal ein Beispiel an. Alle Studenten,
die trotz rechtzeitiger Anmeldung in einem Semester keinen Platz für das Praktikum erhalten haben,
bekommen für das nächste Semester einen Platz zugesichert.
Und das erste, was wir uns fragen sollten,
ist, welche Prädikate tauchen hier eigentlich auf?
Da haben wir einmal Student, also Einstellprädikate, Student, und Semester.
Wir haben zweistellige Prädikate, nämlich Anmeldung im Semester A,
Übrigens, Anmeldungssemester Art ist auch ein ganz schönes Beispiel für ein Prädikat,
wo die Eingaben nichts aus den gleichen Bereichen kommen.
Das eine sind irgendwie Menschen oder Studenten und das andere ist eine Zahl.
Und wir haben Platz im Semester Pi. Außerdem,
was wir noch nicht besprochen haben, brauchen wir auch noch eine Funktion,
die jedem Semester T, das folgende Semester T-Strich zuordnet.
Und mit diesen Hilfsmitteln können wir dann, wie folgt,
eine Formalisierung finden, Wir sagen, alle Studenten,
für alle Studenten, die, trotz rechtzeitiger Anmeldung,
das ist wieder wie eben, auch wenn das Wetter, ja,
das ist nicht wichtig, in einem Semester keinen Platz bekommen haben,
also keinen Platz hier, sie haben sich angemeldet,
also dass sie sich angemeldet haben, ist wichtig,
aber dieses Trotz ist nicht wichtig.
Also für alle Studenten, für alle Semester, Semesteranzahlen,
Tee, ja,
also das so und so vielte Semester und der Student hat sich in dem so und so vielen Semester angemeldet
Und wir haben, dass er da keinen Platz in diesem Semester bekommen hat,
wird zugesichert, dass dieser Student ihm darauf folgenden Semester einen Platz bekommt.
Wir haben hier also eine Mischung von einstelligen Prädikaten,
also das S hier, na gut, nicht Prädikaten,
sondern wir haben hier die Typen S und die natürlichen Zahlen.
Wir haben hier die zweistelligen Prädikate anmelden im Semester
so und so
Und wir haben das Prädikat, einen Platz bekommen.
Also, der Student bekommt Platz im folgenden Semester.
Schreibt ihm vielleicht nochmal die Typen auf. So,
das Anmelden im Semester, das hatten wir jetzt mit A
gekennzeichnet, sieht jetzt wie folgt aus.
Wir kriegen als erstes einen Studenten und dann bilden wir
das Ganze ab
Und bekommen noch eine natürliche Zahl. Ich sage gleich nochmal
ein bisschen was zu dieser Geschichte hier.
Und wir kriegen am Ende eine Aussage.
Okay, ich glaube, das muss ich nochmal erklären.
Sie würden vielleicht Folgendes erwarten. Und ich mache das erstmal
so. Also, dann wäre die Anmeldung im Semest,
also der Student im Semester, ist dann die Aussage.
Also, Student, Klein-S hat sich im Semester Klein-N angemeldet,
ist eine Aussage.
Prop steht für Proposition
, okay
Das heißt jetzt noch nicht, dass diese Aussage wahr ist oder falsch,
sondern es ist erstmal einfach nur eine Aussage.
Und dann haben wir P für Platz im Semester,
ist ebenfalls, da sollte den gleichen Typ, wir haben Student,
wir haben das entsprechende Semester und was wir herausbekommen,
wenn wir einen konkreten Studenten und eine konkrete Zahl N einsetzen,
dann sagen wir,
okay,
der Student hat in dem und dem Semester
einen Platz bekommen
Ist die Aussage. Wieder,
ob es richtig ist oder falsch, ist damit nicht gesagt.
Nur, dass wir eine Aussage haben.
Gut. Gibt es soweit Fragen? Dann ist Ihre,
also gehen wir gleich wieder runter und Ihre Aufgabe,
wird dann seine entsprechende Formalisierung durchzuführen,
das ist dann das Blatt 3b,
was wir bearbeiten werden