Gut, dann begrüße ich Sie frisch und munter zurück aus der Mittagspause.
Ton ist alles okay. Ja, gut. Dann kommen
wir zur zweiten Vorlesungsteil, den wir heute beginnen.
Und ich nehme mal an, heute nicht beenden werden,
sodass das dann nach morgen, morgen sozusagen herübergereicht wird.
Also es soll darum gehen, jetzt konkret Aussagen,
logische Regeln sich anzugucken
Etwas differenzierter sieht unser Programm wie folgt aus.
Es soll erstmal um Sicherheit und Korrektheit von Beweisen gehen.
Wir werden darauf anschließend auf die Kommunikation zwischen Menschen und Maschine zu sprechen kommen.
Ich werde das weitere Vorgehen ein wenig erläutern. Und dann,
und das ist so ein bisschen der Hauptteil,
ist alles in vier gesteckt,
nämlich für die einzelnen logischen Konnektoren, die wir haben,
oder Jungtoren auch genannt,
die entsprechenden Regeln,
sich zu überlegen und aufzuzeigen
Gut, hier sehen Sie sich,
Sie lösen irgendeine Aufgabe, Übungsaufgabe, reichen die ein,
schreiben da drunter, QID oder weiß ich nicht,
ein Kästchen oder was auch immer Sie da hinschreiben, um zu sagen,
diese Aussage ist nun bewiesen oder der Professor macht es aber,
woher wissen Sie denn, dass der Beweis tatsächlich korrekt ist?
Naja, da haben Sie verschiedene Möglichkeiten. Als erstes,
yay, der Tuto hat gesagt, volle Punktzahl,
3 von 3, 10 von 10,
ich weiß nicht,
je nachdem,
welche Punkte
halt gegeben werden
Jetzt könnte man aber sagen, naja,
der hat aber immer noch ein bisschen was rangeschrieben,
mal abgesehen davon, vielleicht weiß, der ist zwar gut,
aber vielleicht weiß das auch nicht perfekt.
Vielleicht stimmt es ja nicht. Ich muss mich also vielleicht
an höhere Instanz, wenn ein Professor direkt selbst nochmal fragen.
Der hat natürlich eine ganze Menge Ahnung,
aber nichtsdestotrotz ist auch ein Mensch, er ist auch fehlbar.
Also eine hundertprozentige Sicherheit kann auch das nicht geben. Schon alleine,
weil verschiedene Professoren, auch verschiedene Bewertungen treffen,
was für den einen korrekt ist,
ist für den anderen immer noch nicht korrekt
Also, es ist nicht klar, dass so ein soziales Netz absolute Gewissheit schafft.
Sie können das natürlich noch auf die Spitze treiben, die sagen,
ich gehe nicht zu einem Professor, sondern ich gehe zu verschiedenen Professoren.
Ich stelle eine Frage, eine ganz breite Community von Experten. Ja,
dann ist es zwar richtig, irgendwie gewinnen sie immer mehr an Sicherheit,
aber es wird halt nie hundertprozentig, also es ist zumindest nicht klar.
Es ist nicht klar, dass solche ein soziales Netz am Ende
absolute Gewissheit schafft. Ich persönlich denke sogar eher nein,
aber selbst wenn sie denken, Doch, so ein soziales Netz,
das ist dann schon okay irgendwann. Muss ich sagen,
leider ist solch ein soziales Netz für sie in der Regel nicht möglich,
weil es will sich ja nicht immer die gesamte Community aller
Experten mit ihren Übungsaufgaben beschäftigen und ihren Lösungen dazu.
Das heißt also,
sie fragen in der Regel eher ihren Kumpel und so weiter
und das soziale Netz ist zwar auch besser als nichts,
aber es ist natürlich nicht sicher genug, um zu sagen,
jetzt ist es klar, das gilt.
Also, was haben wir für Alternativen?
Wir können mit dem Computer arbeiten
Denn der Computer steht immer zu ihrer Verfügung.
Er hat eine wahnsinnige Rechenleistung. Aber jetzt ist das Problem,
der ist auch ein bisschen speziell.
Und da kommen wir zum zweiten Punkt von heute.
Nämlich der Kommunikation zwischen Mensch und Maschine.
Wie Sie alle wissen, natürliche Kommunikation ist nicht möglich.
Ich kann nicht in mein Terminal gehen beispielsweise und schreiben,
hallo Computer, wie geht es dir?
Bitte mach doch nochmal das Bild vom letzten Sommerurlaub ab auf,
wo ich neben der Palme sitze,
das ich so schön finde.
Das funktioniert nicht.
In der Art und Weise nicht
Jetzt wären vielleicht der ein oder andere so was wie Siri
einwenden oder Spong bei Google inzwischen sehr gut,
wenn man irgendeine Frage hat, wirklich genau diese Fragenwort für Wort eintippen kann.
Aber das ist schon noch ein Unterschied,
weil da sind irgendwelche Datenbanken dahinter, da sind Dinge abgespeichert,
da wird drauf zugegriffen und darauf basierend werden dann die Antworten generiert.
Das ist jetzt nicht eine wirklich flexible Antwort.
Jeder Computer da gibt. Und entsprechend,
wenn Sie da jetzt irgendeinen mathematischen Text eingeben,
dann wissen die beiden auch erstmal so nicht weiter
So, Außerrück. Das heißt also, wir brauchen irgendwie
eine formale Sprache als Schnittstelle zwischen beiden, wo wir kommunizieren können.
So. Da möchte ich jetzt mit Ihnen reden über explizite Informationen,
denn die Rechner können nur explizite Informationen verarbeiten. Deswegen ist der Titel dieser Folie,
mein Name ist Hase und ich weiß von nichts,
also Sie kennen diesen Spruch vielleicht,
vielleicht der eine oder andere auch nicht, aber es geht einfach darum,
dass man sich so ein bisschen dumm stellt, solange man,
bis man es wissen muss, so ungefähr.
Und so reagiert der Computer tatsächlich. Und das unterscheidet ihn vom Gehirn. Im Gehirn,
ich will da jetzt gar nicht auf Einzelheiten eingehen,
aber sie wissen so ungefähr, da sind Neuronen,
da vernetzen sich Dinge.
Und sie arbeiten mit ihrem Gehirn und während sie arbeiten,
verändert sich das Gehirn. Das heißt,
das ist ihr Prozessor, das ist ihr Festplattenspeichern, ein.
Und das ist halt beim Computer nicht so. Das ist alles getrennt,
das ist nicht so flexibel und entsprechend kann der Computer auch
nicht so flexibel reagieren,
wie der Mensch
Der eben auf offene Fragen und offene Probleme gut agieren kann.
Ich möchte jetzt nicht,
wenn jetzt irgendwelche Leute aus der KI sind oder so,
ich weiß nicht, inwieweit ich sich da jemanden zu nahe trete,
aber nach meinem Kenntnisstand würde ich sagen,
das ist im Moment von Computern noch nicht gut zu leisten.
So, das heißt, der Rechner weiß nur etwas,
wenn man ihm sagt, dass er es weiß.
Argumentation wie, naja, das sieht man doch.
Du weißt schon, was habe ich hier noch?
Das sind die beiden
Das sind Sachen, damit kann der Computer nichts anfangen.
Analog gilt offenbar trivial in mathematischem Kontext. Kann der Computer
auch überhaupt nichts mit anfangen. Wenn das analog ist,
zu Wort, muss es trotzdem noch mal durchführen.
Das heißt, wenn wir mit dem Computer sprechen,
dann müssen wir alles explizit angehen.
Wir müssen alles explizit begründen, auch das Banalste.
Und da folgen jetzt einige Beispiele, Nehmen wir mal Folgendes.
Es scheint die Sonne, es liegt Schnee.
Also gilt, es liegt Schnee und es scheint die Sonne.
Das ist eine Sache. Nochmal, die für den Rechner
nicht selbstverständlich ist. Das müssen wir,
wir müssen ihm erklären, dass er das dann weiß.
Wir müssen ihm erklären, dass er das schlussfolgern kann.
Anderes Beispiel. Alice ist genauso alt wie Bob.
Bob ist genauso alt wie Charlie. Also gilt, Alice ist
genauso alt wie Charlie. Auch das ist eine Sache,
die der Computer nicht automatisch weiß, die wir ihm beibringen müssen,
die wir ihm erklären müssen, woran das liegt.
Also dass das korrekt ist. Weiteres Beispiel. Heute ist Samstag,
am Samstag geht Alice zum Sport,
wenn Alice zum Sport geht, packt sie ihre Turnschuhe ein.
Also gilt, Alice packt heute ihre Turnschuhe ein.
Das Beispiel ist insofern schon ein bisschen kritischer,
als dass es vielleicht auch als Mensch man schon zwei Blicke draufwerfen muss,
um die Logik dahinter zu sehen,
zu sagen,
ja,
das ist richtig
Noch ein weiteres Beispiel für jeden Fußballspieler und für jeden Schachspieler
gilt, dass er gewinnen möchte.
Also gilt für jeden Schachspieler und jeden Fußballspieler gilt,
dass er gewinnen möchte. Also beide Sachen verdreht herum.
Auch das, dass wir das sozusagen schlussfolgern können,
dass wir von dem einen zum anderen kommen,
ist für den Rechner keine Selbstverständlichkeit.
Das heißt also bei Rechnern, wenn wir damit arbeiten wollen,
jetzt gerade schon Bezug auf Beweise,
Dann müssen wir irgendwie mit den Aktionen und explizit genannten Schlussregeln arbeiten.
Und ohne von dem Computer irgendwelche Interpretationen zu verlangen.
Der muss das tatsächlich, was er ja sehr gut kann,
mechanisch abarbeiten. Und der Computer kann dafür ohne Probleme,
was uns wiederum große Probleme macht, einfach mit riesigen Datensätzen umgehen.
Dieses, er kann sozusagen nur die stupiden Tätigkeiten,
das wissen sie ja alle, aber die kann er eben sehr schnell.
Und da ist er uns weit überlegen und der macht auch
viel weniger Fehler
als wir
Dass wir diese Fehler machen, das liegt natürlich auch daran,
dass wir so flexibel auf unsere Probleme, die wir haben, reagieren.
Und dann möchte ich jetzt nochmal dazu kommen,
also was der Rechner eben nicht hat,
in dem Sinne ist eine Intuition, die wir bereitstellen können.
Und ich möchte zur Intuition ein paar Dinge sagen.
Also das erste ist, ich denke, das ist,
kann man nicht bezweifeln, Intuition ist wichtig.
Ohne Intuition ist es schwer, einen Überblick zu gewinnen.
Sie haben das heute schon gemerkt,
bei dem Beispiel mit den Zeichenketten, wo wenig Intuition ist,
es ist sehr viel schwerer, einen Überblick zu gewinnen.
Was könnte hier eigentlich passieren? Wie kann ich hier überhaupt argumentieren?
Es ist auch kraftsparend Intuition zu nutzen. Wenn Sie mal ein beweisen,
das werden Sie jetzt ja auch öfters tun,
Sie haben eine Idee, die ist eigentlich sehr schnell da,
diese Idee, die ist eigentlich auch klar.
Also alles, so es ist im Grunde lückenlos,
aber wenn Sie es wirklich formalisieren,
runterbrechen und das nicht nur auf der Ebene Intuition machen,
werden sie merken, dass das ganz schön anstrengend.
Und diese Anstrengungen haben sie halt nicht auf dem Level der Intuition,
das ist ein großer Vorteil. Und oft ist es auch so,
dass Intuition im Grunde ausreichend ist. Ich muss nicht immer,
wenn ich eine Vorlesung halte, jeden Satz penibelst beweisen.
Das ist gar nicht klar, dass das so viel bringt.
Aber, also mit der Intuition komme ich eben,
oder kann ich es erreichen,
dann in so einer Vorlesung, dass klar wird,
okay,
was sind hier eigentlich
die grundsätzlichen Ideen
Das ist auf jeden Fall möglich und oft reicht es auch Intuition zu benutzen.
Aber eben nicht immer. Und das ist so mein Gegenpunkt.
Intuition ist eben nicht immer, also es ist oft ausreichend,
aber nicht immer. Und hier hole ich jetzt ein bisschen aus,
um das, also ich möchte das erklären,
warum ich der Meinung bin oder was da passiert,
anhand von Beispielen aus dem Sport.
Nehmen Sie Leichtathletik
Ich habe hier Hochsprung oder den Sprint genommen mit oder ohne Startelf.
Wenn Sie versuchen, machen wir mal erst mal Hochsprung.
Und ich gebe Ihnen die Aufgabe und Sie hälten jetzt
nicht schon tausendmal Olympia gesehen und Leichtathletik-WM. Sie könnten,
als auch so ein Sportunterricht, Sie hätten das nicht so gelernt,
sondern ich will Ihnen einfach eine Aufgabe geben,
hier ist eine Stange, versuch mal darüber zu hüpfen.
Ja, wie würden Sie das machen, wenn man einen Vorschlag?
Ja, so eine, wie heißt das, Hechtrolle oder so?
Ich bin da nicht Firmen, aber so würde man
es irgendwie probieren.
Das wäre so
der erste Ansatz
Die kennen das nun aber aus Olympia, die springen da
irgendwie anders. Die springen so, die rennen so komisch
an und dann so halb mit dem Rücken irgendwie rüber.
Und der Punkt ist, die naheliegende Variante ist jetzt sozusagen
zum Vergleichen mit der Intuition. Sie kommen sehr schnell,
sehr weit, also kriegen schnell eine gute Höhe hin.
Aber wenn sie Spitzenergebnisse erzielen wollen hier, dann müssen sie sozusagen,
müssen sie auf eine andere Art und Weise springen.
Für die ganz großen Ergebnisse reicht das hier nicht.
Da müssen sie etwas, müssen sie eine Variante nehmen,
die eben weniger naheliegend ist
Sie können sich also nicht komplett darauf verlassen. Weiteres Beispiel,
ähnlich beim Basketball, wenn ich Ihnen einen Korb gebe und einen Ball und sage,
werfen Sie mal rein und Sie hätten das vorher nicht tausendmal schon gesehen.
Viele Kinder machen das dann auch so, auch weil da
mehr Kraft ist, werfen erstmal so, nicht irgendwie so.
Und das ist eine ähnliche Geschichte. Natürlich,
wenn Sie das dann öfter gemacht haben und einige werfen so,
dann werden Sie merken, ah, das ist irgendwie besser,
weil dann wird man nicht so schnell geblockt und so weiter.
Aber die naheliegende Variante, die die erstmal auch einigermaßen gut
funktioniert,
ist die Geschichte
Ein Beispiel, was man nicht aus dem Sport kommt, Sinnestäuschung.
Normalerweise alles, was Sie sehen, das ist eigentlich ziemlich zuversichtlich.
Also wenn ich dort eine Tür sehe und eine Klinke und ich drücke da drauf,
dann kann ich auch ziemlich zuversichtlich sein,
dass ich eine Tür tatsächlich öffne und da durchgehen kann und nicht gegen die Wand laufe oder ähnliches.
Normalerweise funktioniert das sehr gut, aber es gibt auch Beispiele,
das kennen Sie vielleicht so, hier Beispiel hohle Gesichtsform,
Sie haben so eine Maske und die ist so gekrümmt und
Sie sehen erstmal die Außenseite,
das sieht dann so aus
Und was sehen Sie? Sie sehen Gesicht mit der Außenseite
. Alles ganz normal. Und jetzt fängt sich an,
diese Maske zu drehen und irgendwann,
also die dreht sich dann und irgendwann sehen sie,
die Seite, die so gewölbt ist.
Und was sehen Sie? Wir sehen immer noch das hier.
Obwohl die Maske so gewölbt ist. Und das zeigt,
also es ist wieder so ein Beispiel dafür,
dass etwas,
was im ersten Ansatz gut erscheint und naheliegend ist und eben auch oft funktioniert,
eben nicht immer funktioniert und dass wir manchmal
uns auch auf andere Dinge zurückziehen müssen
So, dazu noch so eine persönliche These,
nur kurz am Rande, das ich mal erwähnt habe.
Es ist noch nicht so ein rein akademisches Konstrukt, denke ich,
sondern wenn wir uns auf Intuition oder immer nur auf das naheliegende verlassen,
was sehr verleitend ist, dann ist das ein Problem,
weil wir irgendwann gewisse Erkenntnisse auch einbringen müssen,
die sich eben nicht aus der Intuition ergeben.
Und auch in diesem Sinne ist es eben wichtig,
dass wir bereit sind, uns auf etwas einzulassen,
was eben explizite Informationen braucht, wo wir nicht über,
also was eben ohne Intuition auskommt.
Ich habe das vorhin schon mal gesagt, ich sage es aber gerne nochmal.
Es geht darum, die Wirkprinzipien zu verstehen.
Nicht nur zu verstehen, das bei vielen Sätzen,
die ihnen intuitiv einleuchtend sind, sondern auch zu verstehen, warum.
Also nicht verächtlich zu einfachen Sätzen sein und als Beispiel dafür zu setzen,
wie aus x gleich Y folgt Y gleich x.
Wie gesagt, das sind keine Sätze, wo sie sagen,
boah, das hätte ich nicht erwartet
Es sind nicht die Theorieme selbst, die sie hier lernen werden,
die interessant sind, sondern es ist die Art und Weise,
wie sie diese beweisen können.
Und was sie dahinter verstehen können, was die Mechanismen sind.
Gut, dann möchte ich das weitere vorgehen, kurz skien,
skizzieren. Zunächst geht es darum, den entsprechenden Schlussapparat,
den wir aufbauen zu systematisieren, und zwar zunächst noch ohne Rechner.
Das heißt, wir wollen die Regeln Und vor allen Dingen
den Grund für die jeweiligen Regeln verstehen und diese Regeln dann auch anwenden.
Und zwar für die einzelnen logischen Konnektive. Und danach
werden wir uns dann den Rechnern widmen. Wie gesagt,
morgen stelle ich das dann am Morgen vor und am Nachmittag
arbeiten sie dann auch mit den Rechnern.
Konjunktion, also und Verknüpfung mit uns in der Alltagssprache.
Stellen Sie sich vor, ein Kind sagt zu Ihnen,
ich kann jocklieren und ich kann einen Handstand machen.
Oder zwei Kinder reden so zueinander und das eine sagt,
ich kann jonglieren und ich kann einen Handstand machen.
Wie wird das andere Kind reagieren? Ja, beweise es
mir, ja. Und wie tut man das?
Wie beweist man, dass man jonglieren und einen Handstand machen
Naja, man nimmt sich drei Bälle, fängt an zu jonglieren,
gegebenenfalls auch mehr, und man macht einen Handstand.
Also, man führt beide Tätigkeiten aus. Auf der anderen Seite,
angenommen, sie wissen oder sie können, sowohl ein,
also sie können sowohl jonglieren als auch einen Handstand machen.
Wie teilen sie dann beispielsweise im Zirkusdirektor mit oder Talentförderung
oder was auch immer sie wollen,
dass sie
mindestens zwei Kunststücke beherrschen
Sie müssen dann, der Zirkusdirektor versteht sie auch so,
wenn sie sagen, ich kann das und das,
dann weißt du, was Sache ist.
Aber wenn sie es so ein bisschen zerteilen wollen,
dass sie wirklich zwei Dinge haben,
dann müssen sie dieses Und nehmen, was sie haben.
Ich kann jonglieren und einen Handstand machen und umwandeln in,
ich kann jonglieren. Und ich kann einen Handstand machen.
Verstehen Sie den Unterschied? Das eine ist ein zusammengesetzter,
außer das andere sind zwei verschiedene Aussagen.
Und Sie müssen jetzt hier aufteilen und sagen,
ich habe die zusammengesetzte Sache,
also habe ich
auch die einzelnen
Also, wenn ich Schachspieler und Fußball-Fan bin, dann muss ich
irgendwie daraus auch herleiten können, dass ich Schachspieler bin.
Das muss irgendwie gehen. So, das habe ich schon gesagt. Also,
nochmal, es ist so, dass wir diese beiden Sachen das haben,
beziehungsweise J ist, wenn wir J und Ha haben,
dass das eben nicht selbstverständlich ist,
zumindest nicht für den Rechner
Müssen die ihnen das als Regel in irgendeiner Form mitgeben.
Und der Grund dafür ist, dass der Rechner dieses Zeichen,
das und Zeichen nicht interpretiert, zumindest so lange nicht,
bis wir ihm sagen, wie er damit umzugehen hat.
Okay. So, das heißt,
wir brauchen entsprechenden Regeln, die uns sagen,
wie wir J und H erhalten,
wenn wir die zusammengesetzte Aussage haben,
J und
So, und dann schauen wir uns mal an,
wie diese Regeln aussehen.
Sie haben das heute Morgen ja schon gesehen bei den Wörtern.
Wir haben hier sogenannte Schlussregeln und diese Schlussregel hier besagt,
dass wenn ich A bereits bewiesen habe und ich B bereits bewiesen habe,
ich auch A und B beweisen kann.
Also die zusammengesetzte Aussage A und B.
Sie wissen noch,
welches Beispiel das war
Also A und B sind gegeben, wir wollen A und B haben.
Das Beispiel dazu ist, ich kann jonglieren und ich kann
auch einen Handstand machen. Wenn sie das zeigen wollen,
wissen sie beides einzeln tun, dann ist das A hier,
du hast Jonglieren und das B hier den Handstand zu machen.
Und dann haben sie sie zusammengesetzte Aussage,
ich kann jonglieren und ich kann einen Handstand machen.
Und auf der anderen Seite müssen wir Schlussfolgern können,
dass wenn wir A und B haben,
Wir A haben auf der einen Seite und auch B. Das haben wir hier.
Also A und B, dann können wir A Schluss folgen
und eine andere Regel haben wir auch noch,
dass wenn wir A und B haben, wie auch B, Schluss folgern können.
So, das heißt, A und B ist gegeben und
wir wollen die einzelnen Bestandteile jeweils haben.
Und das zugehörige Beispiel dazu war, oder ein Beispiel,
das jetzt hier steht, ich kann jonglieren und einen Handstand machen,
also kann ich,
ich möchte fast sagen,
insbesondere einen Handstand machen
So, dann kommen wir jetzt zum Oder.
Wir gehen jetzt tatsächlich die ganzen Konnektoren der Reihe nach durch.
Das dauert ein bisschen. Bis die Junktion,
also das Oder in der Alltagssprache. Nehmen wir mal
ein folgendes Beispiel. Das Wetter im Urlaub war schrecklich.
Immer nur Regen oder die Sonne brannte so doll,
dass man sich nur ins Hotelzimmer verkriechen konnte.
Wie zeigen Sie sowas
Naja, Sonntag kriegen, Montag und Dienstag, Hitze,
Mittwochregen und so weiter. Also sie müssen,
wenn sie so ein Oder zeigen wollen,
jeweils immer auf einen der beiden verweisen, auf eine der beiden Möglichkeiten.
Eine andere Chance an ein Oder zu kommen,
haben sie, ich füge jetzt schon mal an,
konstruktivistisch nicht und alles andere,
wo mich konstruktivistisch gesagt habe,
kommt später
Dann ein anderer Punkt, oder wird unterschiedlich gebraucht in der Alltagssprache.
Beispiel, ich heiße mit Vornamen Sebastian oder mit Nachnamen Böhne.
Also nur für diejenigen, die sich nicht mehr erinnern,
ich heiße tatsächlich Sebastian Böhne.
Das sollten sie jetzt als Basisinformation durchaus haben.
Die Frage ist, ist diese Aussage korrekt?
Und dann würde ich sie bitte einmal um Handzeichen bitten.
Wer ist der Meinung, dass diese Aussage hier korrekt ist,
der hebe bitte einmal die Hand?
Wer würde
diese Aussage für falsch halten
Und du, das ist jetzt alter, sprachlich, oder?
Also jetzt außer mutig. Sie würden das unterscheiden, ja? Ja,
wenn du mal einen Tag lang und ich weißt du,
Sebastian, dann heißt er entweder so ein Wasser.
Okay, gut, dann ist da ein Unterschied.
Ich wollte ganz kurz nochmal, ist jemand grundsätzlich auf
der Nein-Seite da hinten, war eine Meldung, ne?
Ja. Okay. Also, der Punkt ist,
es gibt keinen guten Grund,
das eine dem anderen vorzuziehen
Also erst mal, man kann sowohl ein Oder einführen,
das sind einfach zwei Oders für unterschiedliche Bedeutungen. Und ich habe mal gehört,
dass die Lateiner das auch so einigermaßen unterschieden haben mit Well und Out,
also zwei verschiedenen Wörtern, für Oder, wobei das Well,
glaube ich, dafür stehen soll für das,
oder was jetzt sagt, ja, in dem Fall,
und das Out für das,
was in dem Fall sagt, nein.
Das Problem leider an dieser schönen Geschichte ist,
ich habe woanders dann gelesen,
dass das überhaupt nicht stimmt und dass die Lateiner das genauso
kreuz und quer gemacht haben,
wie wir auch
Aber trotzdem vielleicht eine ganz nette Geschichte. Das ist tatsächlich
zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, das zu interpretieren. Nun,
wie machen wir es? Also das hatte ich schon.
Wie machen wir es? Wir setzen es als wahr.
Und zwar als wahr, ich mache es jetzt mal
ganz empirisch, als Grund, es hat sich bewährt.
Es ist viel praktischer, das Einschließen oder zu nehmen,
als das sogenannte Ausschließen oder wo man genau eine von beiden Varianten hat.
Es gibt dann gerade in der Informatik natürlich auch einige Bereiche,
wo man mit einem sogenannten X-Ohr oder wie auch immer man das dann nennt,
auch oft arbeitet.
Das kommt schon auch vor
Aber in aller, also gerade in der Mathematik ist eben das Einschließen oder viel praktischer.
Das ist einfach eine empirische Erfahrung und es gibt keinen guten,
trifft den Grund, der in der Sache selbst liegt,
sondern mehr einfach die Erfahrung, die man damit gemacht hat,
dass man damit besser arbeiten kann,
wenn man es so versteht.
Machen wir mal ein weiteres Beispiel.
Der Lehrer berichtet in meiner Klasse gibt es nur sehr gute
und sehr schlechte Schüler
Daher ist es sehr laut. Jetzt werden Sie sagen,
Moment, wir sprechen noch über Dissunktionen und oder.
Da muss ich Ihnen leider sagen,
hier ist eine Disstunktion, obwohl das Wort und auftaucht.
Das ist ein bisschen verwirrend manchmal, aber die Alltagssprache ist
da in Kombination mit den sonstigen Satzstrukturen nicht ungenau,
aber funktioniert da ein bisschen anders.
Also die gemeint ist, die Schüler sind sehr gut oder sehr schlecht.
Die Schüler sind nicht gleichzeitig sehr gut und sehr schlecht.
Das ergibt keinen Sinn. Also hier ist tatsächlich ein
Oder gemeint an der Stelle
Und die Frage ist jetzt, ja doch,
das mache ich an der Stelle schon mal.
Dieses, wieso daher ist es sehr laut? Naja,
die Argumentation, die hier implizit ist, wäre zum Beispiel,
naja, die sehr guten, die müssen überhaupt nicht aufpassen.
Deswegen machen die die ganze Zeit nur Quatsch. Und diese
schlechten, die haben eh keine Chance, was mitzubekommen.
Deswegen machen die auch nur die ganze Zeit Quatsch.
Und deswegen ist es laut. So,
dann schauen wir uns mal
die Regeln
An der Distribution. Das erste ist, wir müssen Aussagen irgendwie abschwächen können.
Also, wenn ich mit Vornamen, Sebastian heiße,
dann sollte ich mit Vornamen auch Sebastian heißen oder ich sollte mit Vornamen Daniel heißen.
Das ist eine Abstechung, die dir aber auch manchmal eben brauchen.
Das heißt, das ist jetzt ein bisschen vorwärts gelesen.
Es ist aber meistens nicht die Art und Weise,
wie wir das Ganze benutzen werden, sondern was viel häufiger vorkommt,
ist, wir wollen A oder B haben, Ja,
dann reicht es, wenn wir eins von beiden haben.
Also das ist jetzt die Lesart,
wie es viel einprägsamer ist und wie es öfter vorkommt.
Wir wollen Auderby haben und dann müssen wir eins von beiden tatsächlich angeben.
So, und hier ist nochmal das Beispiel dazu.
Zugegebenermaßen hakt ein bisschen, weil da ist auch schon,
das ist eine Allquantifikation mit drin.
Das Wetter war immer schrecklich, aber dazu kommen wir später.
Erstmal, wie haben wir
das hier bewiesen
Das Wetter war immer schrecklich. Also jetzt für jeden Tag
haben wir folgendes gemacht. Wir haben immer,
um zu zeigen, Regen oder Hitze haben wir gemacht,
wenn wir gesagt haben, Montag, Regen,
Dienstag geht es um Mittwoch, Hitze, Donnerstag, Regen,
was weiß ich, nehmen wir immer konkret eins angegeben haben.
So, jetzt kommt was Neues ins Spiel. Ich nehme nicht an,
dass das, was rechts steht, ihnen unmittelbar klar ist,
um A oder B zu benutzen,
Oder wenn wir das benutzen wollen,
dann wird es ein bisschen schwieriger.
Wir haben A oder B, wir wollen irgendwie so einen C zeigen.
Wie können wir das, ich glaube, das können wir da machen?
Naja, wir können A annehmen, wir machen eine Fallunterscheidung.
Wir nehmen A an und zeigen sie einmal. Und dann
nehmen wir einmal B an und zeigen C auch in diesem Fall.
Und dann wissen wir, dass aus A oder B C folgt.
Okay? Und das ist, was dieses Kästchen hier besagt.
Also wir wissen A oder
Und wenn wir haben, dass unter der Annahme A,
das besagt das Kästchen, wir nehmen an, wir haben A,
wir schreiben A hin, als wenn es eine Aktion wäre.
Und wenn wir daraus C-Schluss folgern können,
deswegen steht das C unter diesem,
in Klammern A. Wenn wir daraus das C-Schluss folgern können und genau das gleiche Spiel auch haben,
wenn wir, also mit der Annahme B,
dass wir also auch aus der Annahme B, das C-Schluss folgern können,
dann können wir insgesamt aus A oder B das C-Schluss folgern.
Mal die Schreibweise ist hier ganz wichtig, gegen Klammern,
um das A und B bedeuten, wir nehmen das an.
Und die Aussage, dass dieses eckige Klammer A über dem Zeh steht,
bedeutet, unter der Annahme A können wir das Zeh herleiten.
Gut, und das Beispiel dazu wäre das Beispiel mit den
lauten Schülern. Also, in meiner Klasse gibt es
nur sehr gute und sehr schlechte Schüler.
Daher ist es sehr laut. Also,
Schüler sehr gut oder sehr schlecht
Dann haben wir sehr gute Schüler. Das ist jetzt hier die Anna,
wir nehmen jetzt an, wir haben einen sehr guten Schüler.
Das ist hier die Annahmen mit dem A. Und wir müssen jetzt erklären,
dass der laut ist. Und das hatte ich ihm gesagt,
wenn ich so einen sehr guten Schüler habe,
dann passt der nicht auf, weil der jetzt nicht nötig aufzupassen.
Dann wird er unruhig, dann wird er laut.
So. Und dann musste ich genauso bei den sehr schlechten Schülern,
das ist jetzt die zweite Annahme,
ich habe einen sehr schlechten Schüler, dann argumentiere ich wieder,
okay, wenn ich den habe,
dann passt der nicht auf,
weil das bringt ihm eh nichts,
er kommt nicht mit und der ist auch
sehr laut
Dann haben Sie so einen Schluss, wie er hier steht.
Kommen wir jetzt zur Implikation. Standardbeispiel,
immer wenn es um Implikationen geht, ist,
wenn es regnet, wird die Straße nass geschrieben.
Aus er folgt in. Und jetzt ist die Frage,
wie zeigt man das? Und da gibt es grundsätzlich
Zwei Varianten. Die erste, die wir nicht machen,
ist, wir lösen das Ganze auf in Nicht-Ehr oder N.
Das hat ein paar Haken. Das erste ist,
wir müssen, also nee, ich fange mal hier an.
Das Nicht kommt überhaupt erst später, das haben wir noch nicht definiert.
Und wenn Sie sich angucken, wie wir es definieren,
werden Sie feststellen, dass wir dafür Implikationen brauchen.
Und dann wäre es jetzt sehr schlecht,
wenn wir die Implikation über das Nicht definieren,
das nicht wiederum über die Implikation,
dann haben wir einen Zirkel,
das wollen wir natürlich nicht
Aber auch die Wahrheitstabelle ist problematisch, das werden wir später noch sehen,
die Verwendung von Wahrheitstabellen benutzt, nämlich das Terzium Nondator.
Dazu kommen wir später. Die zweite Möglichkeit,
die aber sehr viel unproblematischer und eigentlich auch viel natürlicher ist,
wir zeigen N unter der Annahme, dass er gilt.
Wie kann sowas aussehen? Naja, wir nehmen an,
es regnet und jetzt, was wissen wir dann?
Wenn es regnet, heißt das Wasser fällt auf die Straße,
also fällt auf alle Orte,
aber insbesondere auf die Straße
Und auf der Straße ist es nun eben so,
weil der Thea ist, da kommt das Wasser eben nicht durch.
Da kann es nicht in den Boden sickern und
es sammelt sich daher auf der Straßenoberfläche.
Das ist die Art und Weise. Hier natürlich in einer
natürlichsprachlichen Argumentation, wie man eine Implikation zeigen kann.
Nehmen wir mal ein weiteres Beispiel und schauen mal an,
wie wir das verwenden können. Also erstmal das Beispiel,
wenn gestreikt wird, komme ich zu spät zur Arbeit.
Ich weiß nicht, wie es hier in Hamburg ist,
aber streiken und S-Bahn-Probleme sind in Berlin der Raum immer
ein Dauerproblem
Ich kann... Was? Hier nicht. Okay. Ich hoffe,
dass Sie mit dem Beispiel trotzdem etwas anfangen können.
Wann kann ich diese Information nutzen? Erstens,
wenn gestreikt wird, zweitens, wenn nicht gestreikt wird,
drittens, wenn ich zu spät gekommen bin, viertens,
wenn ich nicht zu spät gekommen bin.
Ja? Beim zweitens, dann kann ich trotzdem noch
sich da zur Arbeit kommen
Dann im dritten auch da,
man könnte aus anderen Gründen zur Stadt bekommen sein.
Und hier muss man drüber, obwohl es nicht falsch ist,
man kann trotzdem noch mit sich haben.
Also ruhig erstmal. Ja, es ist ein Einwurf.
Es wurde ja explizit angenommen, noch mehr Swiftplatt zu spät
kommen, wenn ihr streitet.
Das ist ja so. Definitiv. Genau. Was heißt
das? Können wir mit viertens was anfangen? Ja.
Was nehme ich? Dann müssen wir nämlich, ja.
Nee,
war kein Teil
Aber da ist einer. Das ist nicht gestreift.
Das ist ein Streifen. Ah, richtig. Ja,
also hiermit können wir tatsächlich was anfangen, weil wenn gestreikt
worden wäre, dann wäre ich ja zu spät gekommen.
Also die Sache können wir damit auch folgern. Bleiben also übrig,
Information 1 und 4. So, und dann schauen wir uns also
die Regeln an für die Implikation zunächst zum Beweis der Implikation.
Sie erinnern sich an das Beispiel, das mal schon mal
rauf, wenn es regeln wird, die Straße nass.
Also, wir nehmen an, es regnet,
es regnet mir in dem Fall A, wir nehmen es an,
zeigen unter dieser Annahme durch eine Reihe, Schlussfolgerung
B, dann können wir sagen, okay, wenn wir das haben,
dann können wir diese Annahmen wieder streichen und erhalten insgesamt die Aussage aus A,
folgt B.
Und dann ist eben noch die Frage,
wie nutzen wir eigentlich Implikation
Das haben wir noch nicht explizit besprochen. Also wir haben aus A,
Furt B und die Frage ist, was kann ich damit eigentlich anfangen?
Und das erste Beispiel, was sie gesehen haben,
also wir hatten eben diese zwei Informationen, die hilfreich waren,
und das erste, das sehen sie hier als Regel,
aus A, Furt B und A,
kann ich B folgern.
Diese Regel hat übrigens einen relativ berühmten Namen,
das ist der Modus Ponens,
oder ein bisschen genauer noch Modus Ponendo,
Also, Beispiel, wenn gestreikt wird, komme ich zu spät zur Arbeit.
Es wird heute gestreikt, also komme ich zu spät zur Arbeit.
Die sehen auch für das andere, haben wir keine Regel.
Ja, also wir hatten ja noch eine zweite Informationsmöglichkeit.
Da war es Fan gestreikt, dann zu spät,
aber wir hatten dann noch diese Möglichkeit,
nicht zu spät als weitere Aussage.
So in dem Fall nicht B, konnten wir nicht
A folgern. Haben Sie eine Vermutung, warum ich
das hier nicht aufgelistet habe
Ja? Wir hatten die Nächte noch, konnte ich definiert.
Oh ja, das ist natürlich auch ein Punkt.
Das wird es auch verhindert, dass ich es hier nehmen kann.
Das ist richtig. Aber es folgt auch später nicht.
Es folgt auch nach der Definition von mich nicht.
Es ist im Grunde ganz simpel. Ich muss das nicht
maximatisch fordern als Regel, denn ich kann sie herleiten.
Okay, ich kann sie dann mit den restlichen Sachen,
die ich dann habe, herleiten.
Aber natürlich muss ich dafür wissen, wie das nicht definiert
ist.
Das ist völlig korrekt
So, bin ich richtig in der Zeit,
wenn ich 15 Minuten ungefähr habe ich noch?
Ist das richtig? Moin. Noch neun. Gut.
Äquivalenz. Wie zeigt und nutzt man Äquivalenz? Zunächst mal
müssen wir wissen, was ist eigentlich die Bedeutung einer Äquivalenz?
Und eine Äquivalenz ist nichts anderes als eine Abkürzung.
Es ist eine Abkürzung für aus A
Und aus B folgt A. Das heißt, das,
was wir eigentlich benötigen, wenn wir die nächsten beiden mal direkt,
sind einfach nur folgende Regeln.
Ich brauche also eigentlich gar keine Regeln,
um genau zu sein, weil es ist einfach,
ich kann es einfach umschreiben und damit daraus folgt und mit dem Bund agieren.
Wenn ich aber irgendwelche Regeln haben möchte, dann kann ich
nehmen aus Afulk B und aus B folgt A,
dann habe ich bitteschön auch das A-Äquivalent ist
Und auf der anderen Seite, ja,
sag ich gleich, finde ich A-Äquivalent zu B habe,
da möchte ich sowohl haben, dass das A,
B folgt, als auch das aus BA folgt.
Das ist vielleicht an der Stelle nicht ganz günstig dargestellt.
Es ist besser, dass durch zwei Regeln darzustellen,
weil das Komma unten oft eher als oder interpretiert wird.
Ist jetzt für uns nicht so relevant,
aber wichtig ist, dass sie verstehen,
dass jetzt die beiden Sachen
daraus geschlussfolgert werden können
Und das heißt, dass die Handhabung von, ah,
Äquivalenz zu B, im Grunde sehr, sehr einfach ist.
Aber erfahrungsgemäß machen Äquivalenzen den Studenten große Probleme.
Deswegen ist es ganz wichtig, dass sie verstehen,
dass eine Äquivalenz, eine Abkürzung für diese Geschichte ist,
damit es die Äquivalenzen auch richtig benutzen.
Denn ansonsten passiert das und ich kann Ihnen nicht sagen,
wie oft ich entsprechende Aufgaben gesehen habe, wo dann ständig Inquivalenzen stehen,
das ganze Argument geht nur in die eine Richtung durch.
Und in der anderen ist es überhaupt nicht dran gedacht worden.
Also wenn sie in die Äquivalenz zeigen, zeigen sie immer zwei Dinge.
Sie zeigen die Hinrichtung und sie zeigen die Rückrichtung.
Warum? Weil sie ein Unzeigen müssen. Und sie wissen,
wenn sie ein Unzeigen müssen, müssen sie das erste und
das zweite zeigen.
Und das ist die Hinrichtung,
das ist die Rückrichtung
Gut, dann kommen wir zur Wahrheit. Da gibt es
erstmal verschiedene Bezeichnungen. Also wir haben ein großes T,
ein großes True, ein klein geschriebenes True.
Eins vielleicht, ja, und dann die Falschheit,
das kommt dann später entsprechend mit Null.
Ist eigentlich egal, wie wir es bezeichnen. Wichtig ist nur,
dass wir irgendwie einigermaßen verständliche Notationen verwenden. Übrigens in Cock,
Ist das hier die wahre Aussage, die wird so geschrieben?
Und deswegen schreiben wir ja auch direkt das Ganze mit True.
Also True ist immer gültig. Mit anderen Worten,
man muss überhaupt nichts tun, um zu zeigen,
dass die Wahrheit gilt. Und auf der anderen Seite,
wenn ich True in der Hand habe,
wenn ich also schon weiß,
das True gilt,
habe ich dadurch eigentlich
überhaupt nichts Neues gewonnen
Es ist irrelevante Information. Heißt, man kann Thu überhaupt nicht nutzen.
Man kann Thu beweisen, man kann es aber nicht nutzen.
Deswegen haben wir diesmal nicht zwei Regeln, eine zum,
wie kann ich es beweisen, uns eine zweite zum,
wie kann ich es benutzen, sondern nur eine Regel,
die sagt, wie kann ich es beweisen und wie diese Regel aussieht,
das können sie seit heute Morgen auch schon erahnen.
Ich muss ohne irgendwelche Voraussetzungen Thu beweisen können.
Und jetzt werden sie vielleicht schon so innerlich sagen,
ach, was soll denn der Aufhebens, ja,
natürlich,
aber das brauche ich doch nicht
Täuschen sie sich nicht. Sobald sie anfangen in Cock,
beweise zu führen, werden sie merken, dass sie das ständig brauchen.
Sie müssen ständig irgendwelche Geschichten, wo sie dann irgendeinen Fall
haben und dann mal schnell so eine Tour beweisen müssen.
Das kommt einfach vor und sie müssen es abschließen können.
Und dafür werden sie dann die Regeln in der Hand haben.
So, dann mache ich jetzt noch die Falschheit und danach setzen wir einen Schnitt.
Okay, also auch hier wieder verschiedene Bezeichnungen, analog,
F, Falls groß geschrieben,
klein geschrieben oder die Null zum Beispiel
Erste Frage, kann man Fouls zeigen? Naja, es sollte
keine eigene Riege geben, das wäre schlecht, ja.
Also ich sollte nicht im Normalfall ein Fouls ja leiden können.
Natürlich kann ich, wenn ich schon irgendeinen Quatsch habe,
ja, kann ich Fouls ja leiden,
also aus was Falschem kann ich auch aus Falschem folgern, das ist okay.
Aber es gibt keine eigene Regel, wie ich es schaffen kann, Falls herzuleiten.
Okay, bei widersprüchlichen Aussagen können wir es aber dennoch manchmal tun. Und auch wieder,
das ist keine Spitzfindigkeit, sobald sie anfangen,
Es ist heute, wenn ich so ein bisschen Gebetsmühlenartig bin heute,
aber sobald sie anfangen, in Cock zu programmieren,
werden sie feststellen, dass sie dieser Teil,
dass sie etwas, dass sie Falls nachweisen müssen,
mit anderen Worten, dass sie nachweisen müssen,
dass sie ihre Annahmen widersprüchlich sind.
Das wird eine unfassbar wichtigere Rolle spielen,
als sie das aus den Papier- und Stiftbeweisen gewöhnt sind.
Das staucht ständig auf. Also es ist ganz,
ganz wichtig. Kann man Falls nutzen?
Logik hat die Aufgabe wahrheitserhaltend zu sein. Naja,
aber wenn ich schon keine Wahrheit mehr habe,
wenn ich schon falsch habe, dann kann ich nichts mehr kaputt machen.
Also kann ich alles folgern. Es gibt noch eine andere Begründung,
warum man aus was Falschem alles folgern können sollte.
Denn Theorien, die ich aufbaue, sollten möglichst widerspruchsfrei sein.
Und eine Theorie, in der ich alles beweisen kann,
ist unnütz. Es ist also eine schlechte Theorie.
Und deswegen ist es gut, dass wenn ich dann doch
einen Widerspruch drin habe, ich dann alles beweisen kann.
Jetzt können Sie sagen, naja, das ist jetzt aber,
natürlich habe das doch so gelernt aus was Falschen,
kann ich alles beweisen.
Das weiß doch jedes Kind. Und ich sage Ihnen
ganz so einfach ist es dann doch nicht.
Denn es gibt Parakonsistente Logiken. Ich bin da selbst
nicht im Übermaß bewandert. Das gebe ich ehrlich zu.
Aber ich will Ihnen das einmal trotzdem mit auf
den Weg geben
Es gibt Parakonsistente Logiken, wo dieser Schluss aus was Falschen
, kann man alles folgern, nicht gilt.
Und es gibt auch Mathematiker und Philosophen,
manchmal auch in einer Person, die dafür eintreten als Hauptlogik,
als Logik, die man nimmt, um wirklich seine Argumentation durchzuführen.
Eine solche Parakonsistente Logiken zu verwenden, die also zulassen,
dass Aussagen sowohl wahr, als auch falsch sind,
ohne dass daraus alles geschlussfolgert werden kann. Das heißt,
Es ist nicht so offenbar, dass diese Regel zu benutzen ist,
dass wir aus was Falschem alles folgern können.
Aber wir tun es in dieser Veranstaltung. Gut,
dann... Achso, dann haben wir noch die Regel.
Genau, das ist die letzte Folie. Also,
wie benutzen wir Fals? Wenn wir Fals haben,
können wir alle Schlussfolgern ein beliebiges A,
was vorher in den Voraussetzungen nicht auftaucht, können wir dann dadurch herleiten.
Dann war es das jetzt mit der Vorlesung,
wir setzen dann morgen an der Stelle an,
also bei der Negation
Und wir gehen dann, haben wir jetzt einen Beamer schon?
Nicht angetroffen. Dann bleiben wir heute hier und machen hier die Übung,
weil wir sie eh noch auf Papier und Stift
machen und regeln dann alles so weit,
dass wir ab morgen die Räume unten entsprechend benutzen können