Gut, dann begrüße ich Sie jetzt tatsächlich ganz herzlich zum Kurs.
Mathematisches Argumentieren und Beweisen hier auf den Folien habe ich noch
in Cock angefügt, weil wir viel mit Cock arbeiten werden.
Das eine ist mehr die Perspektive, worum es geht,
mathematisch argumentieren und beweisen, also das zu lernen.
Und das andere ist so ein bisschen mehr pragmatisch,
was wir auch tun werden.
Also hier dieses, was auf den Folien steht,
in Cock deutet eben auch schon an,
dass wir recht viel mit Cock arbeiten werden.
Aber der Reihe nach
Als erstes möchte ich Ihnen kurz ein paar Dinge sagen.
Das ist nämlich kein ganz gewöhnlicher Kurs, sondern dieser Kurs ist
in einer Kooperation zwischen der Uni Potsdam und eben der Uni Hamburg hier zustande gekommen.
Und er ist gefördert durch das Lehrlabor der Min-Fakultät hier.
Wir haben also eine Kooperation zwischen dem Arbeitsbereich Computer Science Education von Frau Knobelsdorf,
die heute auch noch kommen wird, Fachbereich Informatik hier,
und dem Lehrstuhl theoretische Informatik von Herrn Kreiz,
wo auch ich herkomme,
ich bin aber nicht erkreizt,
sondern ich bin ein wissenschaftlicher Mitarbeiter von Herrn Kreiz
Die Veranstaltung ist Teil eines Forschungsprojektes, welches durch das Lehrlabor der Minfakultät gefördert wird.
Also, ja, ein Teil des Universitätskollegs dieser Universität.
Das heißt insbesondere, dass zwei Dinge,
die sie vielleicht sonst nicht in den Veranstaltungen immer drin haben,
auch dazu gehören, das ist einmal die Evaluation des Kurskonzepts als wichtiger Bestandteil und zum Zweiten,
dass auch einige Umfragen und Usability-Studien während des Kurses durchgeführt werden.
Da sind dann Frau Knobelsdorf und Frau Frede,
ich stelle gleich alle nochmal vor, die entsprechenden Ansprechpartner.
Gut, dann stelle ich erstmal das Team vor.
Frau Knobelsdorf hat es jetzt ein bisschen blöd erwischt,
man sieht sie fast gar nicht im Lichtfleck.
Aber sie werden sie später noch sehen. Also wie gesagt,
ich bin von der Uni Potsdam in der theoretischen Informatik und
ich bin der Dozent der Lehrveranstaltung.
Frau Knobelsdorf, Frau Professor Knobelsdorf ist hier an der Uni Hamburg,
Computer Science Education und trägt die Gesamtverantwortung.
Dann haben wir Christiane Frede, auch von Uni Hamburg,
die sitzt hier vorne im Moment,
wissenschaftliche Mitarbeiter im Arbeitsbereich von Frau Knobelsdorf
Und dann auch für die Evaluation und diese Dinge mit zuständig. Dann haben wir die Charlotte Gerlitz,
wenn sie die Folien dann haben, auf dem Rechner,
dann sehen sie das alles nochmal ein bisschen besser, ja.
Die Charlotte Gerlitz von der Uni Leipzig,
die hier die Tutorin ist, die sitzt hier vorne,
also auch ein ganz wichtiges Gesicht, dass sie sich merken müssen,
auch sehr wichtig für den Kurs,
aber nicht hier in den zwei Wochen,
ist Carla Schreiber auch von der Uni Potsdam,
die hier SHK war,
und die Folien miterstellt hat oder größtenteils erstellt hat und
bei den Übungsaufgaben mitgeholfen hat,
die zu erstellen
Gut, dann ist das der Zeitpunkt, wo wir,
bevor ich weitermache, die erste Umfrage bereits durchführen.
Und alles Weitere, sagt da Frau Friede dazu.
Ja, genau. Also diese Umfrage dazu zu verstehen mit
... Welchen Vorkenntnissen Sie hergekommen sind, warum Sie an diesem Kurs teilnehmen?
Die ist anonym und freiwillig,
aber es würde halt helfen, wenn Sie teilnehmen,
weil wir dann den Kurs besser ihren Wünschen und Anforderungen ansprechen.
Wie heißt das?
Anpassen können. Genau
So, dann, ich mache dann schon mal weiter.
Erstmal vielen lieben Dank, dass Sie da durch das gesehen haben,
sogar alle teilgenommen haben. Das hilft uns sehr.
Kurze Frage, der Ton ist wieder da, ja.
Das ist alles gut. Okay, gut. Wunderbar.
Dann möchte ich jetzt kurz vorstellen, Ihnen Überblick geben,
was in diesen zwei Wochen eigentlich so passieren wird.
Heute Vormittag soll es erstmal um das mathematische Argumentieren gehen.
Wir werden auch schon ein bisschen über das Beweisen sprechen.
Es gibt immer die Vorlesung und dann von 10 bis 12 eine Übung,
also so ungefähr anschließend mit einer kleinen Pause verschiebt sich jetzt ein ganz bisschen nach hinten,
aber so grundsätzlich von 10 bis 12 ist es angedacht.
Und dann gibt es eine Stunde Mittagspause, dann kommt die zweite Vorlesung,
Aussagen, logische Regeln wollen wir dann besprechen.
Und dazu gibt es dann auch eine Übung,
dass alles passiert erstmal noch auf dem Papier, noch nicht mit dem System.
Da bitte ich Sie sich so ein bisschen zu gedulden,
auch am Mittwoch werden wir noch einen Rest zu den Aussagen logischen Regeln wahrscheinlich besprechen,
denn ich nehme an,
dass wir da nicht ganz durchkommen werden heute.
Und dann werde ich Ihnen morgens das Kochsystem einmal vorstellen in
der Vorlesung
Sie werden dann nochmal eine Übung machen, die auch noch einmal auf dem Papier ist. Also nicht,
dass sie sich wundern, es geht hier um Cock,
ja, das geht dann los in dem nächsten Block,
das heißt dann auch schon Aussagenlogik in Cock und dazu in
der Übung dann werden sie dann auch am System arbeiten,
am System Cock arbeiten, um Aussagen, logische,
ja, um Aussagen, logische Theoräme zu beweisen.
Am Donnerstag, ganz kurz, geht es auch nochmal um Aussagenlogik,
das dauert also ein bisschen Und dann werden wir so Richtung Kredikatenlogik gehen.
Das heißt erst mal formalisieren von irgendwelchen Gegebenheiten durch Prädikatenlogik.
Dann wird es wieder um die Regeln gehen.
Und wir werden ein bisschen darüber sprechen,
wie man das in Cock umsetzt und das Ganze jeweils auch
noch mit ein paar Sachen wie Gleichheit angereichert.
Am Samstag, dadurch, dass wir eben heute erst beginnen können,
am Dienstag gibt es eben am Samstag auch Veranstaltungen.
Das ist so ein bisschen so ein Paket,
was auf die nächste Woche vorbereitet,
also Theorie mit Zugleichheit, Lande ausdrücken.
Und die Frage, wie suche ich eigentlich in Cock
nach Theorien
Dazu gibt es dann eine Übung und sie sehen,
danach ist ein Block, der höchstwahrscheinlich auch gebraucht werden wird,
bei Sachen, die sich so im Laufe der Woche ansammeln,
die wir nicht fertig kriegen, die dann dort fertiggestellt werden können.
In der zweiten Woche wird es dann,
also bis dahin ist ja alles rein Logik und ab der
zweiten Woche geht es dann um Datentypen.
Und da werden wir uns erstmal mit nicht rekursiven Datentypen befassen,
dann mit Listen,
später mit natürlichen Zahlen
Sie sehen, es geht anderthalb Tage und anderthalb Tage mit Binärbäumen.
Was sie auch sehen in der zweiten Woche,
so ganz grob, sie merken die Übungsanteile werden größer.
Da werde ich weniger Neues erzählen, ein bisschen schon, aber weniger.
Und sie werden noch mehr selbstständig arbeiten mit dem System und Aufgaben lösen.
Gut. Dann wollen wir kurz gucken, was haben wir heute?
Also ich möchte ein bisschen was zur Motivation für den Kurs sagen.
Sie haben jetzt ja gerade auch verschiedene Dinge dazu ausgefüllt,
dann können Sie mal ein bisschen abgleichen.
Und dann soll es eben um mathematisches Argumentieren und um den mathematischen Beweis dann auch gehen.
Gut, jetzt vordergründig hört sich immer so ein bisschen negativ
ein, aber es ist nicht negativ gemeint.
Nur es ist tatsächlich in der Sache etwas,
was nicht irgendwie tiefer liegende Erkenntnisse bringt.
Wir wollten diesen Kurs ursprünglich als Vorkurs konzipieren zu dem Kurs Algorithmen und Datenstrukturen.
Das ist jetzt nicht mehr unbedingt der Fall, aber es zeigt irgendwie,
dass es ein bisschen gedacht ist, darauf hinzuarbeiten.
Und Ja, das nochmal präziser zu haben. Der Grund für die hohen Durchfallquoten war,
so scheint es uns, aufgrund so einiger Beobachtungen,
die jetzt auch stattgefunden haben schon,
dass das weniger an dem groben Verständnis liegt,
irgendwie wie die Dinge sich zueinander verhalten,
sondern mehr daran formal und präzise Argumentation durchführen zu können.
Also formal präzise Beweise zu führen, an Formalia irgendwie zu
arbeiten und die nicht irgendwie zu scheuen und zu versuchen,
so einen Weg drumherum irgendwie zu gehen
Und anderer auch in einem gewissen Sinne vordergründiger Punkt ist,
dass wir mit diesem Kurs eben ihnen die Möglichkeit geben wollen, Beweise zu erlernen.
Und zwar mit einem modernen Ansatz. Das ist jetzt alles nichts Schlechtes.
Ich möchte aber trotzdem noch ein paar tiefergehende Aspekte benennen,
die vielleicht, sie können sich das so wie Rosinen picken,
sie können sich da die einzelnen Rosinen rauspicken,
die ihnen jeweils zusagen oder nicht zu sagen mögen.
Das erste ist,
Menschen machen Fehler
Und zwar, wenn sie irgendwie hören,
dass irgendwas Schlimmes passiert ist, dann ist immer die Frau,
war es jetzt ein technischer Fehler oder war es irgendwie menschliches Fehlersorgen, ja?
Und dann ist es eben fast immer die Ursache der Mensch,
weil der irgendwie was falsch gemacht hat oder, ja.
Oder es ist, weil die Technik von einem Menschen
programmiert ist und dort irgendwo der Fehler war.
Aber es ist meistens nicht, dass irgendwas einfach kaputt gegangen ist.
Insbesondere können viele eben beim Programmieren auftreten und dann können sie eben,
und das sehen wir leider immer wieder, Geld kosten.
Das ist meistens der Fall, hin und wieder aber sogar Menschenleben.
Und das ist dann besonders unschön
Und dieses Tool, was wir ihnen vorstellen, sie lernen dort zu Beweil,
also sie lernen dort alles, was sie brauchen,
um zu beweisen, dass ihre Programme korrekt arbeiten.
Also so wie sie das auch spezifiziert haben. Und das
ist natürlich eine Riesensache, wenn es ums Thema Sicherheit geht.
Also das ist ein Punkt, der sie eventuell interessieren könnte.
Ein zweiter Punkt ist, dass man die Wirkprinzipien begreifen lernt. Viele Sätze,
die wir haben, das werde ich auch noch einige Male wiederholen,
erst mal nicht so, dass man sagt so,
wow, damit hätte ich nicht gerechnet.
Sondern wir werden viele Dinge beweisen, wo sie sagen,
naja, das ist mir doch eigentlich klar,
dass das so ist. Und der Punkt ist,
wenn sie sich darauf einlassen und nicht nur sehen,
aha, nicht nur sehen wollen, dass das Theorien gilt,
sondern auch, warum das Theorien gilt,
dann ist das hier die Motivation.
Das Begreifen der zugrunde liegenden Wirkprinzipien. Das heißt,
wir wollen ihr analytisches Denken schulen
Ein weiterer Punkt, vielleicht nicht für jeden, der Punkt,
der ihn am meisten anspricht, aber durchaus auch möglich.
Sie können auch herangehen und sagen, ich finde,
Beweise irgendwie ästhetisch, weil da alles zusammenpasst und sich alles zueinander ergibt,
dass das in der Historie der Mathematik eine große Rolle gespielt hat,
sehen Sie bei den Peter Gurean.
Das war ja fast sektengleich, was die da,
wie die Mathematik mit ihrer Religion verbunden haben.
Das ist jetzt keine Anforderung an Sie, aber dass sie die Mathematik,
also vor allen Dingen dieses, Selbst bei einfachen Theorien zu verstehen,
wie die sich das zusammenbauen, wie man das begründen kann.
Das hat auch eine gewisse Ästhetik. Und eventuell ist das
auch ein Punkt, der sie motivieren kann. Und das Letzte,
wenn sie hier vor allen Dingen jetzt diese ganze Logik,
die wir in der ersten Woche machen werden, sich herausnehmen,
dann ist die eben auch eine Grundlage für handfeste Diskussion,
weil die Menschen auch immer wieder unlogisch argumentieren.
Das heißt, sie können hier lernen, wie sie vernünftig
und aufgrund von Fakten und aufgrund der logischen Regeln argumentieren,
auch im Ausnahmemathematischen Kontext.
Das ist dann natürlich nicht immer eindeutig, dann ist immer
die Frage, welche Fakten nimmt man zur Rate?
Wie gewichtet man einzelne Dinge? Aber es schadet auf jeden Fall nicht,
einen logischen Grundstock zu haben, auf den man dort aufbaut.
Gut, dann habe ich jetzt für Sie eine kleine Aufgabe.
Sie diskutieren jetzt bitte mit Ihrem Sitznachbarn,
wo jetzt drei in einer Reihe so nebeneinander setzen,
diskutieren dann halt drei. Folgende Beispiele, und zwar,
ob es sich dabei um mathematische Argumentation handelt.
Es sind drei Stück, ich lese die jetzt alle
einmal vor
Beispiel 1, seit meiner Geburt ging die Sonne jeden Tag auf und wieder unter.
Also ist dies immer der Fall. Zwei, Herr Meier
besitzt, fünf Kühe, 20 Hühner und zehn Schafe.
Das sind zusammen 35 Tiere. Also muss dafür das
große Festessen für seinen 35. Geburtstag noch zehn Tiere kaufen,
da 35 plus 10 gleich 45.
Und die drei, Beispiel 3,
in jeder nicht leeren Kneipe gibt es normalerweise
auch Gäste,
die gerade nichts trinken
Manchmal, zum Beispiel, wenn eine Runde ausgegeben wird,
kann es auch sein, dass alle Gäste trinken.
In jeder Kneipe gibt es daher einen Gast,
sodass alle trinken, wenn er trinkt. Lassen Sie das
mal in Ruhesacken. Und besprechen Sie dann zu zweit,
beziehungsweise wo es nicht anders passt, zu dritt,
ob es sich jeweils um mathematische Argumentationen handelt.
So, die fünf Minuten sind rum.
Ich habe auf jeden Fall auch akustisch einiges wahrgenommen.
Ich hoffe,
dass das
Ich denke, dass da auch ganz gute Sachen dabei sind,
teilweise habe ich das auch durchaus gehört.
Danke. Schauen wir uns mal die erste Aussage an.
Vielleicht mal eine Stimme, wenn nicht ganz viel zu,
aber eine Stimme aus dem Publikum, möchte ich mal was dazu sagen.
Ja? Da kann man vielen Metern und Michael Melzieg drauf anwenden.
Also die Aussage, so ist es nicht richtig,
das hat John Hum bewiesen,
aber wenn man da jetzt mal ins Detail geht,
warum sie nicht richtig ist,
dann kommt man dann in die Statistik rein
Also man klammt jetzt 400 Mandemative drüber tragen,
dass diese Aussage meiner Marder Studie hinmorgen ist.
Ja, da hinten ist eine Meldung, dann... Ja. Genau,
genau, also hier ist eine Menge Empirier am Werk,
vielleicht dann noch die letzte Million, ja? Die Frage,
die ich noch gestellt habe,
war super mit einer strukturellen Betrachtung da von der Betrachtungsteleberantik, ja,
wenn wir diese beide gestreiften, dann kann man natürlich die ganze Halste abgehen,
als wenn man das versucht bei denen zu wissen, dass wir alle Kopfabends beurteilen.
Ja, also ich glaube,
worauf das jetzt schon so ein bisschen anspielt, ist,
Was nicht unbedingt das Entscheidende ist, also das erste ist,
ist es nicht gültig, weil in Skandinavien,
in Schweden oder so, wenn sie dort sind,
dann haben sie da tatsächlich im Sommer zum Beispiel,
dass da jeden Tag die Sonne überhaupt nicht untergeht,
sondern entsprechend am Himmel bleibt und im Winter eben gar nicht aufgeht.
Das beantwortet aber noch nicht die Frage, das kam mir vorne,
glaube ich, und das ist auch richtig,
ob das eine mathematische Argumentation ist oder nicht.
Und da ist es jetzt wiederum richtig,
es ist eine empirische Argumentation, heißt dann auch induktive Argumentation,
wir müssen jetzt ein bisschen aufpassen,
wir werden den Begriff induktiv in dieser Veranstaltung auch sehr häufig benutzen.
Allerdings hat diese, das ist dann,
was sie auch schon von der vollständigen Induktion kennen,
das hat dann ein bisschen eine andere Bedeutung.
Das ist dann nämlich nicht wirklich ein induktives Argument,
aber es hat sich trotzdem mathematischen Sprachgebrauch so eingebürgert.
Und hier steht jetzt sozusagen grundsätzlich die Frage dahinter,
was kann man mit solchen Erfahrungsdingen machen,
unabhängig von dem konkreten Beispiel, wenn ich die Frage richtig verstanden habe.
Ja, und ganz allgemein,
also diese Dinge würde sind nach allen Mathematikern,
die ich so kenne,
würde das nicht als mathematisch eingestuft
Das heißt aber nicht, dass solche Argumentationen nicht irgendwie sinnvoll wären, ja.
Also ich möchte das hier überhaupt nicht schlecht machen.
Das ist vielleicht ein bisschen ungünstig, sich in ein falsches Beispiel genommen habe,
denn oft sind diese induktiven Argumentationen durchaus diese empirischen Argumentationen,
nenne ich es mal lieber, durchaus von Nöten.
Zum Beispiel jetzt irgendwie in der Landwirtschaft. Nehmen wir mal ein bisschen was Konkretes,
dann könnte ich irgendwie sagen, naja,
im Winter ist es ungefähr,
weiß ich nicht,
0 Grad und im Sommer ist es halt deutlich wärmer und ich gehe davon aus,
dass das in den nächsten Jahren auch immer wieder so sein wird und darauf aufbauen mache ich Aussaat und so weiter und so fort, ja.
Also das ist natürlich eine wichtige Sache,
aber es ist keine mathematische Argumentation
So. Dann haben wir das zweite Beispiel, Herr Meier und
das Festessen, kurze Stellungnahme von einem von Ihnen.
Wir finden, ja. Ja, 5, 5. Genau.
Also so wie es jetzt ist, ist es wilde Zahlenjongliererei.
Und ich glaube, wir beide haben uns abgesprochen.
Ich mache mal gleich zwei auf
Also, die Frage ist direkt, was fehlt, ja?
Ja? Die implizite Änder mit der Sessel seinen Entengeburtstag im Tier beschlechten möchte.
Ja, genau. Und dann kann man das entsprechend modellieren.
Genau so ist es. Sehr schön. So,
und jetzt bin ich mal gespannt bei dem dritten.
Was sind da Ihre Meinungen? Mal jemand? Warum habe ich
ein VR-Exel-Spiel, ja? Das kam ja in diesem Bürg,
wo er gesagt hat, das ist schon mal, das ist das letzte,
was die Lieberkneipe, da wird ja schon mal davon ausgegangen,
Am Anfang ist er die zweite Liste, ja.
Ja. Und dann gibt es normalerweise jetzt nichts drinnen,
aber jeder Platte soll uns einen Gast geben,
was alles drinnen bei der Erste ist.
Weil manchmal eine Runde ausgebildet wird, aber es ist toll.
Es scheint, er scheint ihnen ein bisschen wir.
Wollen wir vorhin nochmal? Man müsste es etwas präzisieren,
dann stimmt der Satz. Und zwar muss es gesagt werden,
in jeder Kneipe gibt es zu jedem einzelnen Zeitpunkt einen Gast,
zu der
das Alter trinken
Am Ende des Dings. Ich habe ja nicht
zwei Zeitpunkte nimmt, dann stirbt die Aussage nicht mehr.
Kann man ja Ping-Pong machen. Zeitpunkt A,
ein Gast trinkt der andere nicht, Zeit kommt wesentlich vertauschen.
Ja. Wenn wir es auf die Jetzt-Zeit beziehen, also es gibt,
es ist ja nicht, es gab, sondern es gibt...
Wenn es eine Anfällung, dann ist die Aussage gekommen.
Ja, das ist eine normale korrekte Argumentation.
Also genau, das sind zwei verschiedene Dinge.
Das erste ist, die Aussage ist tatsächlich korrekt.
Das zweite ist, es ist eine mathematische Argumentation,
obwohl Keine und deswegen habe ich das Beispiel genommen.
Überhaupt keine Zahlen oder sowas vorkommen. Auch irgendwie nicht irgendwelche
Objekte oder so, die sie aus der Mathematik jetzt kennt.
Trotzdem bleibt es ein mathematische Argumentation. Die ist tatsächlich ein bisschen verwirrend,
die sollte man, kann man auch noch besser darstellen,
kleinstrittiger. Aber im Grunde ist es eine korrekte Argumentation.
Sie müssen aufpassen mit diesem Wenn. Wenn,
das hat so eine, und deswegen war das sehr gut,
was sie gerade gesagt haben, das hat so einen temporalen Anklang.
Man stellt sich vor, der Gast setzt an und alle anderen kippen sofort hinterher.
So ist das nicht gemeint, dass wenn in der Mathematik.
Das ist einfach nur die Situation, wir haben jetzt die Kneipe,
die haben uns rausgesucht und jetzt gucken wir uns die Leute an und wenn dort gerade einer sitzt,
der nicht trinkt, dann wird die Aussage,
alle trinken, wenn er trinkt, war,
weil er nicht trinkt.
Aus was Falschen kann man alles folgern. Ich nehme sofort
dran. Und wenn er, also wenn aber alle trinken,
dann können wir uns einen rausnehmen,
denn wir haben ja nicht eine
nicht leere Kneipe
Ja, und sagen, okay, wenn der trinkt,
trinken alle, ja, es ist dann trivial erfüllt, weil es trinken alle.
Jetzt sollten sie noch einen Kommando. Aber dann kann man das aufbauen.
Es ist schon Prädikatenlogik, die dahinter steckt, ne? Also,
wenn man es jetzt ordentlich formalisiert,
wo ich jetzt noch gar nicht hin will,
weil das dauert alles noch, das machen wir kleinstrittiger,
aber merken Sie sich das einfach nur mal als so ein kleines,
so, boah, das ist eine mathematische Argumentation.
Und es gilt auch in Lehrenkneipe, Nein,
da gibt es keine Person, weil sie finden,
dass das Sven ist okay, aber sie finden nicht mehr,
dass es gibt eine Person.
Kommen wir dann dazu, können wir bei Prädikatenlogik sind,
okay? Sehr schön. So. So,
dann wollen wir uns mal der Frage dann zuwenden,
nachdem sie so für sich ein bisschen ausklamüsert haben und wir
das jetzt nochmal besprochen haben an konkreten Beispielen.
Jetzt allgemein, was ist eigentlich mathematisches Argumentieren? Und das
ist ein bisschen schwierig, weil ich behaupte jetzt nicht,
dass es eine einheitliche und klare Sicht gibt
Ich will nur ein paar Punkte nennen,
die ich für wesentlich halte und die ihnen sozusagen nahe bringen.
Es wird keine klare Definition am Ende stehen. Also,
ich möchte ein paar Aspekte betonen mit anderen Worten.
Das erste ist mathematisches Argumentieren benutzt. Ich möchte eigentlich sagen,
immer, ich bin vorsichtig und sage deswegen fast immer.
Aber ich denke eigentlich immer mathematische Logik.
Das mag für sie vielleicht verwunderlich sein und das liegt daran,
dass sie zumeist implizit benutzt wird, Unbewusst,
also man ist sich dessen gar nicht bewusst, dass man Logik benutzt.
Und es ist auch oft nicht transparent.
Ich gebe Ihnen da jetzt mal ein Beispiel.
Und zwar Beispielsatz des Pythagoras mit so einer Skizze,
wo der Beweis jetzt mal angedeutet ist, ja. Also Sie sehen hier,
also ich mache es mal anhand der Rechnung, C-Quadrat,
ist das Ganze, minus die 4-3-Ecke,
die Dreiecke jeweils A, mal B, halbe, ja.
Und dann rechnen Sie das aus, was hier geschieht.
Und beim Ausrechnen kommt am Ende A,
Quadrat plus B,
Quadrat heraus
Und es sieht erst mal nicht so aus,
als würde dort irgendwas mit Logik auftauchen.
Und das ist nicht richtig. Und ich möchte Ihnen
das kurz zeigen. Es gibt viele Aspekte,
ich möchte Ihnen aber jetzt einfach mal zwei herausgreifen.
Das erste Reihen hier unten in der Gleichheitskette taucht Logik auf.
Denn Gleichheit, was wir hier haben, ist sowas.
Wir haben A gleich B gleich C. Und was dahinter
an Logik steckt, ist so was.
Wir haben A gleich B.
Wir haben B gleich
Und wir Schlussfolgern aus gewissen Gründen daraus, dass dann auch A gleich C ist.
Das ist jetzt ja nicht so, dass A und C
nichts miteinander zu tun hätten. Wenn man das ordentlich formalisiert,
dann müssen solche Schlussregeln in irgendeiner Art und Weise vorkommen.
Ob nun axomatisch oder ersetzt, aber irgendwie müssen sie vorkommen.
Das zum Beispiel ist etwas,
was wir jetzt anhand des restlichen Kalküls dann beweisen können,
die Transitivität in dem Fall der Gleichheit. Das heißt also,
dass wir hier aufgrund dieser Gleichungskette tatsächlich am Innen haben,
das C-Quadrat, gleich A-Quadrat plus B-Quadrat ist.
Und nicht nur, dass Wo fängt der letzte Therm an, dieser Therm hier?
A-Quadrat plus B-Quadrat ist. Und ein zweiter Aspekt ist,
in der Skizze, sie sehen dort,
dass wir dort das Quadrat mit dem C haben und die Dreiecke.
Und das sind halt verschiedene Voraussetzungen, die wir machen.
Wir machen, wenn das Dreiecke sind und das
ein Viereck ist und die so liegen, das.
Das ist halt, sie merken das schon, wenn und,
und jetzt kommt, dann folgt überall Logik.
So. Dann ein zweiter Punkt ist, wir benutzen in irgendeiner Form Bekanntes,
um die neue Behauptung zu erreichen, die wir zeigen irgendwie oder begründen wollen.
Es ist ja erstmal nur eine mathematische Argumentation.
Das Bekannte kann, aber muss nicht irgendwie was Axomatisches sein.
Das kann doch irgendwie eine Sache sein, die sie einfach von,
ich sag jetzt mal, Kindesbeinen auf angelernt haben,
zum Beispiel, dass 5 x 6,
gleich 6 x 5 ist.
Wenn wir eine mathematische Argumentation haben,
dann ist das völlig in Ordnung,
wenn sie solche Dinge einfach aus ihrem Erfahrungsschatz
her beweisen
Und ich würde noch eine Minimalanforderung stellen wollen an mathematische Argumentation,
die Schlüsselargumente sollten enthalten sein. Es darf Lücken geben,
aber der eigentliche Kern, warum,
also was hier eigentlich passiert, wo man versteht,
dieses Warum,
nicht nur das,
das sollte
irgendwie enthalten sein
So, und da möchte ich jetzt nicht in Abgrenzung,
sondern in Weiterführung, also als schwieriger zu erfüllendes Kriterium,
auch von Beweisen sprechen.
Jeder Beweis sollte auch eine mathematische Argumentation sein, aber nicht andersherum.
Und ignorieren Sie mal, bis dieses bis circa 1900,
das erkläre ich später, denken Sie jetzt erstmal einfach nur an Beweise.
Beweise sind charakteristisch für die Mathematik und sind sozusagen der Eckpfeiler dafür,
dass sich die Mathematik die sicherste aller Wissenschaften
nennen kann
Das, wir die Beweise haben,
es schafft in gewisser Hinsicht eine Abgrenzung,
weil die anderen Wissenschaften eben diese Art von Beweisen so nicht hat,
deduktive Beweise, also schlussfolgernde Beweise, sondern empirische Beweise,
Statistiken und so weiter.
Aber das schafft eine gewisse Abgrenzung und vielleicht auch eine gewisse Rechtfertigung,
sich mit Mathematik zu befassen,
weil es eben die sicherste Wissenschaft aufgrund dieser Charakteristik ist
Sie dürfen sich aber nicht täuschen lassen,
wenn sie mal in die Geschichte der Mathematik schauen,
und ich werde ihn gleichen Beispiel zeigen,
sehr bekanntes Beispiel, die meiste Zeit über war Mathematik,
alles andere als streng.
Und ich spiele jetzt mal den Advocatus Diaboli,
auch heute ist die meiste Mathematik noch alles andere als streng.
Das heißt also, das ist eine Aussage,
die gilt in abgeschwächter Form
auch durchaus bis heute
Ich gebe Ihnen ein Beispiel. Und zwar ist dieses Beispiel aus Aclets Elementen,
ich kann hier nicht in alle Details gehen,
aber ganz kurz, das ist ein Buch,
was um wann hat euch Glied gelebt, minus 300,
minus 400 so um den Dreh, im antiken Griechenland zusammengestellt wurde,
vermutlich gar nicht mal nur von einem Auto,
aber das soll uns jetzt hier nicht kümmern.
Und es ist so das erste bekannte axomatische Werk,
wo alles wirklich axomatisch aufgebaut ist,
zumindest im Anspruch nach und dann deduktiv
alles weitere hergeleitet wird
Und hier direkt der allererste Satz oder die allererste Konstruktion,
um genau zu sein, ist auf einer gegebenen,
geraden Strecke ein gleichzeitiges Dreieck errichten.
Und ich will das mal kurz mit Ihnen durchsprechen,
da hat er immer ein bisschen sagen, was dahinter steckt.
Also warum das, was dort steht, erlaubt sein soll?
Und dann werden wir mal sehen, dass da noch was,
obwohl das schon sehr genau zu sein scheint,
noch was fehlt, um streng zu sein.
Also es sei die gerade Strecke AB gegeben,
die sehen Sie hier unten. Es soll auf AB ein
gleichzeitiges Dreieck errichtet werden. Und Euklid schreibt jetzt erstmal vor,
wenn man die Konstruktion durchführt und dann beweist er,
dass die Konstruktion
das Gewünschte leistet
Das ist übrigens eine Sache, die werden sie dann in der zweiten Woche sehr ähnlich machen.
Nur eben mit anderen Datentypen, nicht mit Geometrie. So,
es ist um A mit Radius AB, der Kreis,
die Bezeichnungen sind immer ein bisschen unglücklich,
finde ich persönlich, BCD zu zeichnen.
Also A, im Mittelpunkt können wir einen Kreis drum zeichnen,
kann ich Ihnen verraten, ist genau eines seiner Aktionen.
Bei ihm heißt es Postulate, nicht Aktionen, aber darum,
um die Wortwahl will ich mich jetzt nicht kümmern.
Was wir heute unter Aktionen verstehen, würde das garantieren.
Und um B, analog mit Radius BA, der Kreis,
Sie sehen also diese beiden Kreise hier in der Skizze und das sichern die Aktionen,
dass wir die zeichnen können.
Vom Punkt C, in dem sich die Kreise schneiden,
sind zu den Punkten A und B die Strecken C-A und C-B zu ziehen.
Wieder eine Sache, die Euglied aksomatisch legitimiert.
Zwischen zwei Punkten kann eine Grade gezogen werden. Stets.
Deswegen können wir hier die beiden Graden ziehen. So,
da der Mittelpunkt A, Mittelpunkt des Kreises CDB ist,
ist AC gleich A, B. Also,
A ist der Mittelpunkt des Kreises und wenn wir zwei andere
Punkte auf dem Kreis haben, dann sind die gleich weit entfernt.
Auch das ist wieder aksomatisch gesichert
Da wiederum B, Mittelpunkt des anderen Kreises ist,
ist B-C, gleich, wo bin ich, B-C,
gleich B-A. Gleiche Argumentation, auch nochmal aufgeführt. So,
es wurde aber auch schon gezeigt, es ist eine Ausführlichkeit,
die sie normalerweise heute nicht mehr in mathematischen Texten finden würden,
dass CA gleich AB ist und somit sind beide C-A- und C-W,
beide gleich Abi.
Also die beiden Strecken sind beide gleich AB.
Und jetzt argumentiert er sehr ausführlich, denken Sie an diese
Geschichte hier. So ähnlich ist das jetzt
auch hier
Das, da dasjenige, das demselben Gleiches auch unter sich
gleich ist, ist auch CA gleich CB.
Also da hätten sie vielleicht ein bisschen kürzer gefasst.
Aber er ist da sehr genau und das sind die Aktionen,
die ihm das geben, um diese Sache zu Schluss folgern.
Also sind CA, AB und BC am Ende alle gleich.
Und das ist die Definition vom gleichzeitigen Dreieck und damit
ist gezeigt, dass das ein gleichzeitiges Dreieck ist.
Und das ist dann was auszuführen war. Nicht coole Idee,
sondern was auszuführen war, weil es eine Konstruktion ist.
Gut, warum zeige ich Ihnen das
Sie sehen, es ist eigentlich ziemlich penibel.
Aber es ist trotzdem mein Fehler drin. Ja, für
unsere einen? Nichts sagt uns, dass sie überall existiert.
Ja, das ist der Punkt, ja? Ja,
das ist der Punkt, ja. Das geht um die
Ebene, also das Ebene Geometrie an der Stelle.
Aber genau das ist der Punkt. Dieses vom Punkt C,
in dem sich die Kreise schneiden, dafür gibt es keine akzematische Begründung.
Das ist eine anschauliche Sache, dass sie sich in C schneiden.
Das können sie sagen, ne, aber das sieht man doch
Wenn sie aber dieses, das sieht man doch beibehalten wollen,
dann wird es in diesem Kurs schwierig, weil die meisten Dinge,
die wir machen, sieht man irgendwie gefühlt.
Aber es geht darum, sie ordentlich zu begründen.
Und hier ist, wohlgemerkt, aus heutiger Perspektive, ein Lapsus drin.
Man muss natürlich sagen, es ist trotzdem ein beeindruckendes Werk für diese Zeit.
Das steht außer Frage. Aber es sind halt, und nicht nur hier,
sondern auch dann im weiteren Werk von der Glied,
immer wieder auch Ungenauigkeiten drin, auch teilweise offensichtlichere,
die wir heute so nicht durchgehen lassen würden.
Also nicht alle Beweise sind immer streng. So, was gehört also
noch zu beweisen? Wir müssen die Voraussetzungen klar benennen.
Also worauf gründen wir das System, was wir gerade untersuchen?
Welche Annahmen treffen wir? Was sind die Voraussetzungen jetzt speziell
? Also was sind hier die Dreiecke? Welche Längen sind
gegeben und so weiter? Es sollte möglichst gar keine Lücken
geben oder nur solche, die sich einsehbar schließen lassen
Sie merken dieses Wort einsehbar schließen lassen können. Oder diese
drei Wörter, die machen das Ganze bereits ein bisschen vage.
Und das ist auch so. Es gibt erstmal,
zumindest deswegen jetzt bis 1900, die Beweise,
die bis 1900 oder bis genauer bis zu fräges Begriffsschrift,
falls Ihnen das jetzt irgendwas sagt, wenn nicht,
ist nicht so schlimm.
Bis dahin ist das so irgendwie diese vage Vorstellung vom Beweis
und die ist nicht ganz klar.
Und das ist aber auch der Beweis,
wie sie heute meistens noch finden
Deswegen, das sind jetzt nicht so, es ist nicht
so, dass ab 1900 alle Beweise anders sind.
So ist das nicht gemeint, sondern bis 1900,
bis circa 1900 finden sie nur solche Beweise und danach finden sie auch etwas andere Beweise.
Und bevor ich dazu komme, mache ich einen ganz kurzen
Einschub in Syntax und Semantik. Ich muss aber gleich dazu sagen,
es geht mir jetzt nur so viel Basis diesbezüglich,
Wissen zu erzeugen, dass sie den Unterschied zwischen Syntax und Semantik verstehen.
Es ist nicht um irgendwelche Feinheiten, nicht um Unterschiede wie Referenz,
Bedeutung, was ja auch teilweise ganz unterschiedlich dann interpretiert wird.
Darüber werde ich jetzt hier nicht sprechen. Also es geht
ganz grob nur um den Unterschied zwischen Syntax und Semantik.
Kurz erklärt, Syntax als Spiel mit Zeichenketten. Beispiel,
der Hund hat eben keine Zunge, sondern der hat vier Buchstaben,
weil ich jetzt den Hund, deswegen hier auch die Anführungszeichen,
als das Wort, was hier geschrieben steht,
betrachte und nicht als den Hund, der irgendwie,
ja es kommt gleich als Beispiel,
der da entsprechend bellt,
sondern es geht hier wirklich um das Wort Hund und das Wort
hat vier Buchstaben
Wir können sie sonntags nutzen, sehr gut nutzen,
um damit Schluss, also Schlussregeln zu vollziehen,
um so ausgegebenen Zeichenketten, neue Zeichenketten herleiten zu können.
Ich werde das Ihnen gleich auch noch am Beispiel zeigen.
Das Ganze ist sehr gut, insofern,
als dass es Sicherheit gibt und die Korrektheit der Schlussweisen,
weil wir nicht irgendwas reinmixen können.
Es ist sehr einfach gestrickt Und es gibt keinen Raum,
es gibt eigentlich keinen Spielraum, um Fehler reinzubringen.
Es hat auch Nachteile, wenn wir uns nur aufs Sonntags stützen,
dann haben wir sehr lange Argumentationen zu sonst eigentlich auch einfachen Beweisen.
Gut, dann zur Semantik, bei der Semantik nutzen wir
Interpretationen von Aussagen.
Und zwar, sorry
Und zwar belegen wir das Ganze irgendwie mit Sinn und oder Referenz.
Hier ist jetzt die Sache, wo ich sage,
ich gehe nicht näher drauf ein.
Es ist eigentlich nur die Abgrenzung zu Syntax wichtig.
Wir meinen jetzt nicht das Wort,
sondern wir meinen irgendwie den Gegenstand oder irgendwas in der Art.
Ich bleibe hier bewaage, weil näher brauchen wir es an der Stelle nicht.
Beispiel, Hunde können bellen. Da geht es jetzt nicht mehr um das Wort,
sondern es geht um das Objekt Hund oder um die verschiedenen Objekte,
Hunde,
die bellen können
Was daran immer problematisch ist, sobald wir, semantisch,
semantisch argumentieren, ist, dass wir leicht irgendwelche Dinge vergessen,
was uns offensichtlich erscheint,
weil das in unserem Kopf automatisch aktiviert ist und deswegen in der Argumentation außen vor gerät.
Ja, also sind taktische Argumentationen sind etwas sicherer,
aber hier kann man oft besser den Kern der Argumentation zum
Beispiel sehen und sie sind kürzer, prägnanter. So,
und jetzt, also der Einschub war,
um jetzt nochmal zu erklären, wie Beweise sich das Bild von beweisen,
dann so mit Pfleges Begriffsschrift und in der darauffolgenden Zeit so ein bisschen verändert hat,
zumindest in Teilen der Mathematik, längst nicht überall.
Da muss man fair halt halber dazu sagen,
dann kann man Beweise sehen als eine Sequenz von Aussagen.
Also ich beweise nach und nach verschiedene Aussagen anhand gewisser Schlussregeln.
Ich kann neue Aussagen beweisen, entweder als Axiome oder vermittelt
es der Schlussregeln. Es verläuft eben rein,
sind praktisch dem idealen Anspruch nach und entsprechend ist keine Intuition
zum Nachvollziehen nötig
Und das, was wir am Ende haben, ist die
bewiesene Aufgabe, was sozusagen der letzte Teil der Sequenz.
So, das ist jetzt vielleicht alles theoretisch.
Deswegen machen wir das jetzt noch mal an einem praktischen Beispiel.
Also, Taun Sigma sollen Wörter bei B sein.
Jetzt muss ich erst mal erklären, was Wörter sind.
Wörter sind einfach irgendwelche Zusammensetzungen von Zeichen.
Jetzt in dem Fall aus As und Bs.
Das muss nicht ein sinnvolles Wort sein. Also ab,
ab, aber BB, A, B, B,
B sind jetzt alles Wörter
Nicht unbedingt Wörter der deutschen Sprache, sondern hier Wörter.
Und wir haben hier Regeln. Und jetzt sage ich Ihnen
erst mal, wie das zu lesen ist.
Hier oben steht immer, was die Voraussetzung sind.
Und der Strich sagt dann immer, wenn du die oberigen
Voraussetzungen hast, gehe ich erst mal hier rauf.
Also wenn du Sigmund Tau hast, bewiesen hast,
dann kannst du auch das Wort Sigma Tau beweisen.
Also das Wort, wo erst alle Buchstaben aus Sigma
kommen und dann alle Buchstaben aus Tau.
Hier, wo oben nichts steht, bedeutet das einfach,
du brauchst keine Voraussetzung.
Du kriegst
das Ganze geschenkt
Also alles, was da drunter steht, kannst du einfach akzomatisch
dir holen. Okay. Schauen wir uns mal an,
was sind also Wörter in der Sprache?
Das erste Wort in der Sprache, hier ist AB.
Warum? Naja, weil ich AB ohne irgendwelche Annahmen bekomme.
Das heißt, AB kann ich herleiten. Genauso kann ich
BAB herleiten. Zweite Regel hier. So,
wenn ich jetzt aber erstmal Wörter hergeleitet habe,
dann kann ich weitere Wörter herleiten.
AB habe ich ja schon. Und jetzt gibt es hier
eine Regel,
namentlich die Regel
AB ist jetzt mein Sigma, dann kriege ich A,
Sigma B, also A, A, B,
B. Das ist, was hier steht.
Ja, sie können mir folgen. Gut. Dann beim nächsten,
ich weiß nicht, ob es da jetzt schon mehrere Möglichkeiten gibt,
auf jeden Fall können wir das Wort A, B,
B, A, B folgendermaßen beweisen.
Wir können A, B beweisen und wir können B,
B beweisen. Und dann gibt es die Regel 3,
die uns sagt, wenn wir zwei Wörter beweisen können,
dann können wir auch die hintereinanderschreibung beweisen.
Das haben wir jetzt hier
Und beim letzten, also beim vorletzten, sorry,
was haben wir da? BAB. Warte so,
das ist das, was wir schon haben, erkennen sie wieder.
ABB, A, B. Und dann sind vorne zwei As und hinten zwei Bs.
Wenn sie diese Struktur irgendwie sehen, dann wissen sie, was jetzt passiert.
Sie nehmen die vierte Regel aus dem Sigma einmal,
fügen sie vorne in den Aran, hinten B,
haben sie ein neues Wort.
Und wenn sie die Regel 4 nochmal auf dieses neue Wort
an. Wir haben so zwei As vorne und zwei Bs
hinten noch dran gesetzt
So, und was soll das jetzt hier mit dem Ad Silon?
Ja, ich hätte jetzt einfach auch nichts hinschreiben können,
aber das hätte sie nur irritiert. Wenn ich über Wörter spreche,
dann kann ich auch von dem sogenannten Lehrenwort sprechen,
das heißt also dem Wort, ohne irgendwelche Zeichen.
Und wenn ich da wirklich kein Zeichen hinschreiben würde,
dann wäre das nicht zu erkennen, dass ich hier das leere Wort nehme.
Also brauche ich ein Zeichen für das Wort ohne Zeichen.
Und da nimmt man üblicherweise Ad Silon. Und dieses Wort
können wir hier auch ableiten. Warum? Naja,
wir können AB ableiten, das haben wir gesehen.
Und jetzt gucken wir uns mal die letzte Riege an,
die haben wir, glaube ich,
auch noch nicht benutzt
Da steht, wenn wir A, Sigmar B ableiten können,
in dem Fall ist Sigmar Epstilon.
A, alle Zeichen von Sigmar, kein Zeichen.
B ist einfach A, B, das können wir herleiten.
Dann können wir auch das Sigmar, also das Y,
Herlein. Also haben wir auch das. So,
dann können Sie mir jetzt bei den nächsten beiden Wörtern
mal helfen,
vielleicht erstmal das erste
Ja. Dann der dritten. Ja. Also wir haben
ab AA, BB, haben wir sogar schon hergeleitet.
Das können wir nutzen. Und dann können wir hier
die dritte Regel benutzen mit BAB zusammen.
Okay. So können wir ein neues Wort herleiten.
Und wie sieht es beim letzten aus
Ja? Ja, so kann man auch argumentieren,
genau, kann ja, da muss man noch sehen,
dass die letzte Regel da nicht irgendwas verwurschtelt, aber stimmt,
so kann man argumentieren oder man kann auch einfach zählen,
wie viele As und Bs es gibt und sie sehen,
dass immer durch die Regeln höchstens ein B mehr dazugefügt wird.
Also es gibt jetzt verschiedene Möglichkeiten,
da ranzugehen und zu sehen, dass das nicht funktioniert,
aber sie müssten sich da irgendwie so metamäßig was überlegen.
Also woran scheitert das jetzt? So, also wie gehen
Sie da bei vor? Es ist, glaube ich,
schon geklärt, aber warum ist das schwierig,
wenn Sie mir die Frage noch beantworten?
Ich glaube, das ist das Letzte.
Fast, ja, wir vorne vielleicht nochmal. Ja,
ich muss doch, das ist der Alter,
wenn der so
... Ja
Ineinander. Ja. Noch zusätzlich, was es so schwer
macht, ist, es kann mehrere Möglichkeiten geben.
Das heißt, wir wissen gar nicht,
ob das dystomatisch oder wenn wir es auf dem Raum aufrufen müssen.
Ja, also wir sind so ein bisschen orientierungslos, ja.
Und dadurch müssen wir die Möglichkeiten durchgehen, ja.
Noch schlimmer, die fünfte Regel verkürzt die Wörter hier.
Deshalb kennen die Ableitung, wie lieb ich dank werden will,
wenn es nur vergrößert, wir kriegen geguckt,
wir wirkt nicht die ganze Zeit.
Das stimmt, wir haben hier grundsätzlich das Problem,
dass wir nicht irgendwann sagen können, wissen wir,
es geht nicht einfach durch, dass wir die Möglichkeiten durchgegangen sind.
Da müssen wir uns irgendwie was anderes überlegen,
wie zum Beispiel hinten kann kein A erscheinen oder sowas, ja.
Genau. Ja, und es ist eben schwierig,
weil uns die Struktur fehlt.
Wir müssen die Möglichkeiten irgendwie durchgehen. Das liegt daran,
weil wir keine gute Intuition für das haben, was dort passiert.
Es ist jetzt ja irgendwelche beliebigen Regeln, ja.
Und so ist es ja oft nicht.
Oft haben sie eine Intuition, wenn sie Mathematik machen.
Sie haben irgendwie die Intuition zu natürlichen Zahlen beispielsweise
und können deswegen gezielt suchen,
anstatt wahllos
alles Mögliche durchzugehen
Also das ist es, also das ist zumindest ein Aspekt,
der sie sehr schwierig macht, dass es rein zu intaktisch
ist und sie nicht im Hinterkopf eine Semantik dafür haben.
Oft haben sie dann im modernen System auch was,
was rein sinntaktisch funktioniert, aber sie haben im Hinterkopf immer noch eine Semantik.
Das heißt also, sie wollen eigentlich irgendwas Bestimmtes ansprechen,
beschreiben und dann handeln sie eigentlich nach ihrer Semantik und übertragen das
dann immer nur auf die Syntax, damit alles ordentlich ist.
Das haben sie jetzt hier in dem Beispiel nicht die Möglichkeit.
Dann, ach so, eine letzte Sache noch,
ohne die Interpretation gibt es eben, ja,
das ist im Grunde der Punkt, Schwierigkeiten beim Menschen,
für den Computer ist das aber kein Problem und das ist
so ein bisschen die Überleitung dann zur nächsten Vorlesung heute Nachmittag.
Ja,
dann war es das jetzt