So. Heute, guten Morgen. Heute den Foliensatz, Prädikat Louis Sintax und Semantik.
Ich glaube, wir waren so bis Foli 28 gekommen oder so.
Ich gehe die noch einmal durch bis dahin und wenn ihr
an irgendeiner Stelle eine Frage habt, könnt ihr Bescheid sagen.
Und dann kommt ja semantisch noch die Geschichte mit den Quanturen,
also wie man Formeln auswertet, die Quanturen enthalten.
Das machen wir dann heute noch. Und wahrscheinlich machen wir
dann schon Schluss, irgendwie fühle ich mich heute ziemlich ausgelutscht.
Keine Ahnung, wie ich das formulieren soll, irgendwie nicht gut.
Und so die 40 Minuten, bis das durch ist,
die halte ich, glaube ich,
noch durch und danach kann dann genug sein,
dann machen wir die Normalform nächstes Mal.
Wir liegen so gut in der Zeit, da können wir
uns das mal erlauben, Dienstag früh Feierabend zu machen.
Sintaxemantik. Was haben wir gemacht? Na,
da haben wir uns motivationsmäßig überlegt, was wir eigentlich machen,
was wir eigentlich erreichen wollen mit diesem Prädikat, logischen Formen.
Und Beispiel für Formeln, noch mehr Beispiele.
Und dann haben wir das Alphabet eingeführt.
Und da haben wir dann gesagt, was brauchen wir alles?
Wir brauchen Variablen, konstanten Funktionen Aktionssymbole, Prädikatensymbole.
Und dann haben wir uns schon immer diese Konventionen überlegt,
dass man gesagt hat, so Variablen,
so wie man das auch irgendwie sonst so kennt,
Kleinbuchstaben XYZ, konstanten Kleinbuchstaben, A, B,
C, irgendwie solche Konventionen.
Was brauchten wir noch? Aussagensymbole, die man im Grunde
genommen auch durch Prädikatensymbole mit Stelligkeit Null erreichen könnte.
Konstanten könnte man übrigens auch erreichen durch Funktionssymbole der Stelligkeit Null,
dann hätte man die beiden Klassen komplett raus,
aber ist irgendwie ganz angenehm, die zu haben.
Und dann brauchen wir doch die ganzen Symbole,
so Jungtouren, Quanturen und so ein bisschen Hilfssymbole.
Und dann hat man so das ganze Alphabet an Symbolen,
die man benutzen darf,
Ja, und dann hat man sich überlegt,
was will man damit jetzt basteln?
Das eine waren Therme, Therme sind immer irgendwas,
was nachher von der Semantik her mit Elementen des Universums arbeitet.
Und da kommt dann im Endeffekt ein Element des Universums raus.
Also so Variable und Konstanten, das ist klar,
die stehen ja für Elemente des Universums. Und wenn ich
ein Funktionssymbol habe und da eben nachher die ausgewerteten Therme reintue,
dann soll da eben auch wieder ein Wert des Universums rauskommen.
Aber von der Sintax erstmal sagt man,
wenn ich ein Funktionssymbol der Stelligkeit K habe und Kart Herme,
dann ist eben dieses F von T1 bis TK
auch wieder
ein Therm
Und das sind alle Therme, die man so konstruieren kann.
Also Variablen, Konstanten und eben Funktionssymbole mit Thermen in der Argumenteliste.
Wobei hier die Funktionssymbole auch beliebig geschachtelt sein können.
Also sowas wie G von F von F von A oder sowas
würde auch gehen. Genau, das sind die Therme.
Das sind ein bisschen Beispiele für Therme. Hier unten sieht man
vor allem, was nicht gehen soll. Wenn F dreistellig ist,
dann geht sowas wie F von A von X auch nicht.
F alleine geht auch nicht und die da oben gehen dann
sowieso nicht. Genau, darauf aufbauend,
dann Formeln definiert, erstmal wieder die Aussagensymbole,
damit man die Aussagenlogik quasi als Teillogik auf jeden Fall
mit drin hat
Und dann eben die Spanne,
wenn ich ein Predikatensymbol habe und in der Argumenteliste dann eben Therme,
dann ist das eine atomare Formel.
Dann das, was wir wieder aus der Aussagenlugik kennen,
irgendwie Verknüpfung mit den jungen Touren.
Und für die drei Sachen haben wir auch die Semantik schon definiert.
Und jetzt kommt das, wofür wir diese Semantik
noch nicht definiert haben, eben die quantifizierten Formeln.
Also eine Formel F mit irgendwie noch entweder im Existenzquantur oder im Allkontor
vorne. Genau, das ist so die komplette Sintax.
Wieder mit Beispielen. Und dann konnte man noch so
ein bisschen Begriffe einführen, Teilform mit Teilthermen.
Und vor allem aber diese Geschichte mit der Quantorenvariable und dem
Skopus,
ist hier nochmal
Und dass man dann eben sagen konnte,
wenn ich so eine Formel F habe und direkt vor F eben Existenz oder ein Alquantor,
dann ist das eben der Skopus dieses Quantors und alle Variablen DNF bisher frei auftraten,
die werden dann durch genau den Quantor gebunden.
Also nicht alle freien, also nicht alle freien Varianten,
sondern alle Xe, also alle freien X-Variablen werden dann da gebunden.
Wenn eine Variable gar nicht gebunden wird,
dann nennt man die frei und wenn nicht eine Formel ohne
freie Variablen habe, dann nenne ich die eben geschlossen.
Da unten war noch das Beispiel, wo man halt hier sehen konnte,
die Formel in der Prämisse ist eben für alle X,
Klammer auf, P von X oder R von XY, Klammer zu.
Das ist halt die eine Formel. Deswegen bezieht sich der Quantur
nur auf diesen vorderen Teil und dann ist das X hier hinten eben frei.
Das Y ist sowieso frei, weil das überhaupt kein Quantur
gibt mit Quanturen, war ich ja ab Y. Genau.
So, das war das zur Sintax, dir da zu tragen.
Ein bisschen Fragen gehabt. Genau,
und dann wollten wir bei der Semantik eben das,
was wir intuitiv und so über dass man irgendwie Variablen und Konstanten,
dass die eben durch Elemente der Domäne ausgedrückt werden sollen.
Also syntaktisch ist es irgendwie eine Variable. Und semantisch wird es
dann eben ein Element des Universums oder der Grundmenge sein.
Funktionssymbole will man durch Funktionen interpretieren, Predikatensymbole,
über so Tubelmengen, über der Grundmenge.
Und Aussagensmode durch Wahrheitswerte. Das erreicht man dann durch
diese Strukturen. Die spielen die gleiche Rolle in der Predikatenlogik
wie in der Aussage, durch die Belegung.
Und die bestehen eben immer aus einem Universum U.
Das ist einfach irgendeine Menge, nicht leer,
über die eben quasi über diese Argumente,
über diese Elemente
wird quasi argumentiert
Und dann hat man noch die Interpretation,
die genau all das tun soll,
was eben auf der vorherigen Folie schon so informal stand.
Dass man Variablen und Konstanten irgendwie auf Elemente aus U abbildet.
Karstellige Funktionssymbole auf tatsächlich paarstellige Funktionen. Da noch mal so
ein Karstelliges Funktionssymbol, das einfach nur purer Sintax,
irgendein Symbol und eine Karstellige Funktion ist dann eben die semantische Bedeutung dieses Symbols.
Und Karstellige Prädikatensymbole werden auf Mengen von Kartupeln abgebildet und Aussagensymbole
auf Wahrheitswerte. Dann hatten wir da wieder
dieses eine Beispiel
Achso, und man kann hier schon, steht das hier schon?
Genau. Hier könnte man genauer sagen,
an der Stelle die Interpretation I ist eine Abbildung,
die Variablen auf Elemente aus Uhr bildet.
Da könnte man schon genauer sagen, die muss eigentlich
nur die freien Variablen auf Elemente aus Uhr abbilden.
Kann natürlich auch die anderen Variablen auf was abbilden,
aber das braucht man eigentlich nicht.
Streng genommen würde da reichen, zu sagen, freie Variablen.
Sehen wir gleich bei der Semantik der Quanturen, warum das dann reicht.
Genau, und hier habe ich aber X und Y
noch irgendwie interpretiert. Braucht man an der Stelle auch,
weil hier hinten bei dem QX und Y
eben frei auftreten
Genau, und hier sieht man Kuh ist ein zweistelliges Prädikatensymbol,
in dem Fall hier ist das erste Argument gerade F von
XY und das zweite ist X und ein zweistelliges Prädikatensymbol
soll eben interpretiert werden durch eine Menge von Zweiertubeln.
Und hier sieht man auch I von Kuh, also die Interpretation von Kuh sind Zweiertubel.
Das sind ganz viele Zweiertubel drin. Und die Idee bei der Semantik ist dann,
dass man sagen kann, wenn ich dieses Tubel hier hinten auswerte,
also erstmal ist es ja nur sinntags,
wenn ich es dann auswerte, dann kann ich gucken,
ist dieses Tubel in der Interpretation von Kuh enthalten oder nicht.
Und wenn es drin ist,
dann ist die Formel wahr, diese atomare Formel,
wenn es nicht drin ist,
dann ist sie falsch
Das kommt jetzt gleich auf der nächsten Folie,
weil bisher hat man ja nur definiert,
wie diese Struktur aussieht und was sie so tut, aber noch nichts mit Wahrheitswerten.
Genau, und das kommt jetzt, jetzt wird das zu
einer Auswertung A, fortgesetzt. Also ich habe eine Struktur A,
da ist die Interpretation I drin und I erweitere ich zu
einer Auswertung und meistens schreibt man für die einfach wieder A. Also das,
was man auch, den Namen,
den man auch der Struktur gegeben hat.
Genau, und dann für Therme, Variablen und Konstanten
einfach genauso auswerten wie die Interpretation das sagt.
Da bin ich ja quasi schon mit fertig und bei
so einem Carstelling Funktionssymbol muss ich immer aufpassen,
da muss ich halt die ganzen Argumente von diesem Funktionssymbol,
also das T1 bis TK, die muss ich alle auswerten.
Dann kommt bei jedem Ding, also A von T1,
ist irgendein Element des Universums. Und diese Elemente des Universums,
die kann ich in die Interpretation von F einsetzen,
weil die Interpretation von F ist dann ja wieder eine Funktion.
Also F, Sintax, einfach nur irgendein Symbol.
I von F, semantisch ist eine Funktion,
die braucht jetzt irgendwie K viele Elemente aus U als Argumente.
Und die kriegt sie halt hier über diese A von T1 bis A von TK.
Und wenn ich das dann jetzt ausrechnen kann tatsächlich,
wenn ich I von F habe und dann all die Argumente da reintue,
dann kommt da ein Element aus U raus
Und hier allgemein, ne, bei der Auswertung von Thermen,
da kommt immer genau ein Wert aus U raus.
Irgendwas, was immer das ist. Genau, dann für die atomaren Formeln,
Aussagensymbole, auch wieder genauso wie Interpretationen das sagt.
Das ist entweder wahr oder falsch. Und das Spannende sind
dann die Prädikatensymbole. Da sagt man dann,
die Auswertung von so einem Prädikatensymbol,
die soll eben genau dann eins werden, wenn das Toopel,
wenn ich all die T1 bis TK,
wenn ich die alle auswerte,
dann kommt da ein Toopel raus,
ein Karthoopel aus Elementen aus
Und dieses Tupel, da gucke ich dann nach,
ist das in der Interpretation von P drin oder nicht.
Und wenn ja, dann ist die Formel wahr,
dann kommt da eine Eins raus und wenn nein,
dann ist die Formel falsch, dann kommt da eine Null raus.
Also in dem Beispiel hier, wo gesagt wird,
IQ wird gerade interpretiert, als die Tupel XY,
wo X kleiner ist als Y,
wenn dann Tupel nachher rauskommt bei der Auswertung,
wo das erste Element im Tupel kleiner ist als das zweite,
dann ist das eben wahr,
dieses Kuh von XY und sonst ist eben falsch.
Genau,
das ist so die Auswertung für Therme und für atomare Formeln
Und dann war hier wieder dieses Beispiel,
wo man irgendwie für diese Formeln hier links oben eine Struktur
angegeben hat und dann mal geguckt hat, was mit der Struktur passiert.
Und in dem Fall, so wie es da angegeben ist,
kommt eben für dieses A von F von A,
kommt da irgendwie 4-8 raus und dann guckt man eben,
ist 4-8 in IP drin.
Wenn ja, dann kommt hier eine 1 raus,
wir stehen da überall genau dann, wenn.
Also wenn das gilt, dann gilt hier,
dass die Formel zu 1 ausgewertet wird.
Und wenn 4-8 da nicht drin ist,
dann ist es falsch
Genau, und dann die,
das, was jetzt ein bisschen einfach ist,
da erweitert man jetzt quasi einfach die ganzen Sachen,
die man schon von Aussagen Google kennt, überträgt man auf die Prädikatenlogik.
Wenn ich dann irgendwie nicht erfahre,
dann wird das eben genau dann zu eins ausgewertet,
wenn F zu 0 ausgewertet wird und so weiter.
Also das ist genauso wie eine Aussagenlogik auch,
dass man sagt, naja,
ich breche die Formel in kleinere Teilformeln auf und gucke immer,
was ist der Weißwert der kleineren Teilformeln und danach richtet sich
dann der Wahrheitswerte größeren Formeln.
Hatten wir auch gestern noch
Genau so und dann waren wir da angekommen,
dass wir gesagt haben, okay, wir können die Formeln aufschreiben,
wir können zu einer Formel irgendwie ein Universum wählen und diese Interpretation I angeben und wir können schon beginnen,
die Formel auszuwerten und zu gucken, ob sie wahr oder falsch ist,
solange denn noch keine Quanturen da drin vorkommen.
Genau, da war noch mal ein Beispiel,
wenn man von der irgendeiner Formel ausgeht und eine bestimmte Struktur haben will,
in dem Beispiel eine falsifizierende,
dann kann man erst mal gucken,
was geben mir diese ganzen Definitionen der Semantikus,
wohin komme ich da und wenn ich hier angekommen bin,
dann weiß ich,
wonach ich gucken muss,
wenn ich jetzt
eine falsifizierende oder erfüllende Struktur haben will
Wenn ich eine erfüllende Struktur haben will, dann muss ich nur dafür sorgen,
dass die Interpretation von B in der Interpretation von P enthalten ist.
Also wenn ich B zu drei auswerte und P zu der Menge,
die drei enthält, dann habe ich sofort eine erfüllende Struktur,
egal was ich hier noch mit dem F mache.
Also sollte ich auch noch angeben, was ich mit dem F mache,
damit ich die Struktur ganz angegeben habe,
aber im Grunde genommen ist es egal.
Ich wollte auch sagen, F beliebig.
Ja, und jetzt fehlen noch die Quantoren.
Da kommen wir jetzt gleich hin.
Frank sein. Hocke
Das ist für die ganze Aussage, dass der König Vater nichts ist. Wenn du,
also erstmal, wenn du syntaktisch bei der Formel bist,
dann hast du das Problem, dass du gar nicht,
wenn du jetzt nur die Formel angibst, reinsinn taktisch,
dass du gar nicht zwingend von sowas wie gerade oder so reden kannst,
weil es kann ja sein, dass jemand kommt und sagt,
meine Struktur, die ich betrachten will,
die hat aber gar nichts mit Zahlen zu tun,
sondern mit irgendwas anderem.
Buchstaben, keine Ahnung, Ordnung auf Buchstaben. Wenn du
dann bei der Semantik bist, dann kannst du natürlich sagen,
so meine Struktur, die hat jetzt Universum,
die ganzen Zahlen und jetzt will ich mit dem Geh von größer ausdrücken oder irgendwie sowas.
Und was ist jetzt die Frage, ob du dann
das größer gleich nennst oder? Du gibst ja,
streng genommen musst du das ja so angeben wie,
hier schlechtes Beispiel, IVP oder wie bei diesem IVonQ hier vorhin, ne?
Mal nehmen wir das da. IVonP XY mit XY
sind beide gerade oder so, ne?
Dann hast du ja genau angegeben, was sie sind.
Wenn du jetzt nur natürlich sprachlich irgendwie hinschreiben willst und P
werde ich so aus, dass beide Elemente im Tubel
gerade sind
Dann, so wie du es auch mathematisch mit beischreiben würdest,
wenn das hinreichend genau ist oder dass ein Leser das verstehen kann,
dann ist ja okay. Aber so erstmal sollte man immer versuchen,
das hier so hinzuschreiben, damit man halt auch einübt,
dass die Interpretation von P irgendwie eine Menge von,
in dem Fall zwei Tubel ist und so,
dass man so ein bisschen Übung drin hat.
Genau, aber das nochmal,
weil das gerade an der Stelle auch immer wichtig ist und manchmal so zu Verwirrungen führt,
wenn man jetzt irgendwie so eine Formel angibt,
man kann sich nicht aussuchen,
dass die Struktur auf jeden Fall auf irgendwie den ganzen Zahlen oder den natürlichen Zahlen oder so arbeitet.
Man gibt eine Formel an, hat vielleicht dabei auch sowas im Hinterkopf,
wie dass man jetzt ausdrücken will, was weiß ich,
Nachfolgesachen von natürlichen Zahlen oder so, aber die,
wenn man jetzt zeigen will,
dass die Formel tatsächlich eine Tautologie ist,
dann muss man halt
alle Strukturen betrachten
Dann muss man auch wieder gucken, klappt das auch mit Universen,
die ich vielleicht gerade nicht im Kopf habe?
Sonst noch zum ersten. Gut, dann kommen wir jetzt hier zu den Quantoren. Oben noch mal die Anmerkung,
das werden wir jetzt auch relativ häufig machen,
dass man, wenn man ein Funktionssymbol F auswertet,
relativ häufig halt i von F einfach angibt, dass man sagt,
i von F ist gleich oder i von F,
Doppelpunkt,
N nach N und mit F von N gleich N plus 1 oder irgendwie sowas,
dann hat man i von F gleich F
im Grunde genommen gesetzt
Man muss halt ein bisschen aufpassen, dass man sich einfach wirklich bewusst macht,
hier ist es Sinntag, Stars ist Semantik, also I von F,
da ist das F noch sinntaktisch. Hier ist es semantisch,
das ist also eigentlich unterschiedliche Fs, sind, wer sich daran stört,
der macht das erstmal immer so wie auf den vorherigen Beispielfolien,
dass man sagt, I von F gleich F-Strich,
oder das ist das klare F, das Funktionssymbol F-Strich, jetzt wirklich eine Funktion.
Okay, Quanturen, was man jetzt machen muss ist,
man will ja irgendwie erreichen, sowas wie für alle XP von X,
da will man im Grunde genommen erreichen,
dass wenn das Universum jetzt von mir aus die Zahlen 1,
2, 3 bis 10 sind oder so,
Lass ich dann gucke, ist P von 1 war,
ist P von 2 war es, P von 3 war,
P von 4 war und so weiter.
Also muss ich es irgendwie erreichen, dass ich mir alle
Elemente des Universums angucke. Und um das gut hinzukriegen,
also und insbesondere wird dadurch immer ja überschrieben,
wie ich X auswerte. Also wenn ich eine Struktur angebe,
die X zu 5 auswertet und an irgendeiner Stelle ist X aber durch einen Quantor gebunden,
dann will ich nicht X durch 5 auswerten,
sondern sukzessive durch alle Elemente des Universums.
Und um das hinzukriegen, kann man X-Varianten benutzen.
Das sind salopp formuliert genau die gleichen Strukturen wie A,
also A ist jetzt irgendeine Struktur, eine X-Variante dieser Struktur,
die tut jetzt im Grunde genommen überall genau das Gleiche.
Nur XX wird auf eine bestimmte Art und Weise interpretiert.
Macht man wie folgt, wenn ich diese Struktur habe?
X ist irgendwie eine Variable und D ist ein Element des Universums.
Dann bezeichnet man auf diese Weise A und dann unten so ein XD,
gelesen als X wird durch D interpretiert oder X nach D oder so.
Das ist die Struktur, die überall genau das Gleiche macht,
VR, außer XX,
X wird nämlich gerade durch D interpretiert
Auch nochmal formal, für alle verfügbaren Symbole gilt.
Die Auswertung von Tau ist genau das Gleiche,
wie ohne dieses untergestellte X, nachdem außer wenn Tau gerade X ist.
Also wenn ich hier gerade X interpretieren will,
das wird zu dir ausgewertet und alles andere genauso wie in der ursprünglichen Struktur.
Das führt gleich dazu, dass man gleich so Formulierungen benutzen kann,
wie für alle DNU gucke ich mir diese X-Strukturen an.
Und dann gucke ich mir halt nach und nach DX-Struktur an,
nehmen wir mal, ich habe wieder als Universum eins bis zehn,
dann gucke ich mir erst die X-Struktur an,
die hier X zu eins auswertet,
dann die,
die X zu zwei auswertet X zu drei und
so weiter
Das kann man denn gleich machen. Das sind x Varianten,
also x auf x, durch gerade den Wert interpretieren,
der hier unten rechts dann steht.
Und jetzt kann man eben die Quanturen definieren oder diese Mantik der Quanturen.
Wenn ich jetzt eine Variable X habe und ich habe hier für alle XF,
dann soll das gerade dann eins werden,
wenn für alle Elemente des Universums,
also für alle DNU,
die X-Struktur,
die X auf D abbildet,
wenn immer diese X-Struktur F zu 1 auswertet
Wenn ich also sowas habe, wie für alle XP von X,
dann steht da jetzt A von,
für alle XP von X, ist eins genau dann,
wenn, nach und nach die X-Strukturen,
die X auf jeweils ein Element des Universums abbilden,
wenn die dieses P von X zu 1 auswerten.
P von X hat diesen Altquantur nicht mehr, der ist weg.
Das heißt, das X ist frei.
Und das wird dann durch diese X-Struktur auf D abgebildet.
Wenn das für alle D geht, dann für alle X,
F von X soll ja für alle X gelten,
wenn das also für alle Elemente des Universums geht,
dann ist super,
dann werde ich das zu eins aus
Und sonst eben zu Null. Und bei dem existiert Quantor fast genauso,
da sagt man hier halt nicht, falls für alle,
sondern falls es ein so ein Element des Universums gibt,
das mit dem die X-Struktur F eben auf Eiser bildet.
Beispiel? Genau
Genau, da wird nochmal angemerkt, dass wenn ich sowas hier habe,
für alle XP von X, nehmen wir mal in meine Struktur,
in meiner ursprünglichen Struktur A, wird X durch irgendwas interpretiert.
Also nehmen wir mal hier dieses iPhone X ist definiert. Das ist dann nicht wichtig,
weil wenn ich jetzt die Auswertung hiervon machen will,
A-Phone für alle XP von X, dann steht hier ja,
A für alle XP von X,
dass ich jetzt diese X-Strukturen mir angucke.
Und diese X-Strukturen, die überschreiben ja immer wie X interpretiert wird.
Das heißt, dieser ursprüngliche Wert iPhone X,
der ist nicht relevant
Kann man hier an der Stelle sehen,
wenn das Tau nämlich gerade X ist,
dann ist die Auswertung von X oder die Interpretation von X nämlich D.
Und nur wenn Tau Ungleich X ist, ist es gerade Y Tau.
Also deswegen hier nochmal die Anmerkung, Y von X ist unwichtig,
wenn X an einer Stelle gebunden ist.
Das ist nur wichtig für die Stellen, wo es frei ist.
Und deswegen das, was ich vorhin einmal kurz gesagt habe,
wenn man die Struktur definiert, genügt es eben streng genommen,
die Interpretation für die freien Variablen festzulegen.
Und nicht so, wie es auf der vorherigen Folie mal stand,
für alle Variablen. Man kann das zwar machen,
aber man sieht dann halt bei der Auswertung,
dass man es nicht braucht
Kann man trotzdem machen. Gut, jetzt das Beispiel.
Wenn ich die Formel hier habe, für alle X,
Klammer auf, P von X oder Q von A,
von F von X und jetzt geht erstmal die Klammer von dem Aphonix zu,
dann die Klammer von dem Q von A und dann die Klammer von der ganzen Formel.
Das heißt, dass für alle X vorne bezieht sich auf die ganze Formel.
Also beide X sind durch den Allquantur gebunden. Und wenn man sich jetzt angenommen,
man hätte jetzt so ein Universum,
was irgendwas mit Zahlen zu tun hat,
dann ist halt die Aufgabe, kriegt man es hin,
das nehmen wir mal an wieder,
man hat irgendwie als Universum
die Zahlen 1 bis
Dann will man gucken,
ist eins in der Interpretation von P drin,
ist zwei in der Interpretation von P drin, 3,
4, 5 oder wenn es irgendwo mal nicht drin ist,
ist dann Interpretation von A und Interpretation von F angewendet auf Interpretation von X,
ist das in Ifunku drin.
Da kommt man jetzt auch hin, wenn man das hier
sukzessive auswertet. Wenn man also guckt hier,
die Formel will ich gucken, wann die eins wird.
Und jetzt sage ich, okay, diese ganze Formel wird
von einer Struktur A zu 1 ausgewertet. Genau dann,
wenn, und jetzt gucke ich nach der Hauptoperate oder das,
was zuletzt passiert ist, beim Formelaufbau,
ist den Allquantur hier einzuführen,
das für alle
Dann gucke ich in der Semantik nach, bei dem für alle X steht,
die Formel hier wird zu eins ausgewertet, genau dann, wenn.
Hier steht es, die Formel A für Alex F
wird zu eins ausgewertet, genau dann, wenn.
Für alle DNU, dieser Kram gilt, A von X
D F gleich eins. Schreibt man es hier halt,
wenn für alle U, wenn für alle DNU gilt,
A von X D,
also die X-Struktur von A soll jetzt die Formel ohne den Alquantur zu eins auswerten.
Und dann guckt man wieder nach,
was ist hier jetzt der Hauptoperator,
das zahlt das oder
Dann wird also, diese X-Struktur würde die ganze Form hier zu eins auswerten,
wenn eins der beiden des Jugendde zu eins ausgewertet wird.
Das ist dann die nächste Zeile, wenn für alle DNU gilt,
entweder wird der linke Teil zu eins ausgewertet oder der Rechte oder ihm beide.
Guckt mal wieder, jetzt muss man in beiden Teilen nachgucken.
Hier ist man jetzt schon bei einer atomaren Formel angekommen.
P von X ist ja atomar. Und da war ja die Regel,
dass man gesagt hat, P von X wird zu eins ausgewertet,
wenn, ich werte die Argumenteliste von dem P aus,
das ist jetzt nur ein Element,
also gucke ich mir nur A von X an oder die X-Struktur von A,
wertet jetzt X aus, gucken wir mal,
was das ist.
Und wenn das in EP enthalten ist,
dann ist gut
Und da brauche ich jetzt nicht hinschreiben, I und dann unten XD,
weil das P ja gerade nicht X ist,
das heißt I, XD ist das gleiche wie I für P.
Und dann mache ich das hier noch für das Zweite des Jugend,
da muss ich alle Argumente von dem Puh auswerten,
also muss das A auswerten und ich muss das Funktionssymbol,
den größeren Thermen hier auswerten und gucken, ob das denn I von Kuh drin ist.
Und dann letzter Schritt, die X-Struktur, die X nach D abbildet,
naja, die wertet X gerade mit D aus,
das ist ja der Sinn von dem X nach D hier unten,
also gucke ich für alle DNU,
ob die Dinger immer gilt,
DSN-EP enthalten oder,
und hier ist die Auswertung i von A und hier wird
i von F auf D angewendet und dann gucke ich,
ob das denn i von Kuh
drin ist
So. So, jetzt hat man das runtergebrochen,
ohne überhaupt irgendwie eine Struktur einzugeben. Das,
was da bis jetzt steht, das gilt für alle Strukturen.
Also jetzt kann ich mir überlegen, suche ich eine erfüllende Struktur,
suche ich eine falsifizierende Struktur. Vielleicht würde ich mir überlegen,
ob das eine Tautologie sein muss oder nicht. Genau,
und jetzt kann ich versuchen, eine erfüllende Struktur einzugeben.
Was ist eine erfüllende Struktur? Also geht ja ganz,
ganz viele erfüllende Strukturen,
aber nennt mal eine
Ihr müsst das Universum angeben und ihr müsst angehen,
also im Grunde genommen ist ja alles angeben, was wir unten brauchen.
Ihr müsst das Universum U angeben, sonst macht die Aussage
für alle DNU keinen Sinn. Dann müsst ihr angeben,
VIP interpretiert, PS1-stellig, also wird P interpretiert,
einfach als Menge von Elementen aus U,
ist also einfach eine Teilmenge von U. Kuh ist zweistellig,
muss also eine Tupelmenge aus Elementen aus U sein.
A ist eine Konstante,
irgendwie ein Element aus U und F ist eine einstellige Funktion,
ist ein einstelliges Funktionssymbol,
muss also
eine Funktion werden von U
Schweigen. Nimm doch mal irgendwas für Uh.
Fang doch an. So, nimm mal irgendwas für Uh
. Was könnte Uh sein
Genau, nehmen wir für U, die natürlichen Zahlen ist super.
U sind die natürlichen Zahlen. Und wir wollen eine erfüllende Struktur.
Jetzt müssen wir irgendwie hier sicherstellen, dass dieses Oder erfüllt ist.
Oder ist immer gut, da können wir versuchen,
den einfacheren Teil zu erfüllen, also den vorderen Teil. Genau,
ich nehme als U die natürlichen Zahlen und wenn ich jetzt
für I von P auch die natürlichen Zahlen nehme,
ist ja eine Timing der natürlichen Zahlen,
hat die Menge selbst,
dann gilt ganz bestimmt für alle Elemente der natürlichen Zahlen,
gilt,
dass ihr
in den natürlichen Zahlen enthalten sind
Fertig. Und dann F irgendwie interpretieren, keine Ahnung,
Nachfolgerfunktion. iPhone FSF Strich mit, Strich von N
ist gleich N plus 1, fertig.
Da braucht man an der Stelle nicht, aber falsifizierende Struktur,
deutlich schwerer. Nehmen wir mal wieder die natürlichen Zahlen.
Jetzt muss ich sicherstellen, dass das beides nicht immer erfüllt ist.
Also dass es zumindest einen Fall gibt, wo das nicht beides,
wo nicht, es muss mindestens einen Fall geben,
also es muss jetzt mindestens eine natürliche Zahl geben,
bei der beide des Jungde
falsch sind
Das muss ich sicherstellen, wie kriege ich das hin?
Für U nehmen wir wieder die natürlichen Zahlen,
das ist gut. Jetzt muss ich es irgendwie sicherstellen,
dass nicht für alle Elemente der natürlichen Zahlen gilt,
dass CNI von P drin sind.
Also interpretiere ich I von P durch, zum Beispiel.
Zum Beispiel die leere Menge, ja genau, leere Mengen
ist auch immer super. So die beiden Grenzfälle sind klasse,
mit denen kann man meistens ganz viele Sachen erschlagen.
Wir haben ja jetzt irgendwie, was weiß ich,
kannst du auch die geraden Zahlen nehmen, nimmst irgendwas,
was nicht die ganzen natürlichen Zahlen sind,
irgendwie einer weniger.
Oder halt die geraden oder halt die leere Menge
Merkt euch das mal, was die beiden da gesagt haben,
mit leerer Menge und das ganze Universum zu nehmen.
Das kann man relativ häufig bei, wenn man jetzt
nun erfüllen oder nur eine falsifizierende Struktur sucht, benutzen.
Jetzt haben wir hier die leere Menge genommen, dann...
Ja, ist das immer falsch, ne? Also,
der da gilt nie. Jetzt müssen wir aber noch sicherstellen,
dass der hier auch mal irgendwann nicht gilt.
Wie kriegen wir das hin? Yvonne Kuh wird ja,
Yvonne Kuh ist eine Menge von Zweiertupeln,
über U. Genau,
wie kriegt man den hin
Bis jetzt wissen wir ja nur,
dass D-Element i von P nie wahr ist,
aber könnte ja sein, dass das andere jetzt immer wahr ist,
dann habe ich immer noch keine falsifizierende Struktur.
Muss ich also auch irgendwie mal falsch machen. Wurzel aus N
, Wurzel aus N ist ja kein Zweiertubel. Ja,
aber du musst ja irgendwie i von Kuh interpretieren und
außerdem hast du dann keine Funktion mehr,
die von den natürlichen Zahlen auf die natürlichen Zahlen geht
Also du könntest für ihn von Q vielleicht sowas nehmen wie
NP und P soll gerade die Wurzel aus N sein.
Und beides müssen natürliche Zahlen sein.
Dann hast du nur so Tupe wie 4-2,
9-3, 16-4, sowas.
Die sind dann alle in Y von Q
drin und dann kann man versuchen, da so weiterzuarbeiten.
Aber mit der Idee, die er eben hatte,
was kann man denn ganz einfach nehmen für ihn von Q?
Ein Tupel von zwei leeren Mengen
All most. Bitte? Genau. Nein,
nicht als Tupel, einfach die leere Menge.
Yvonne Cu ist wieder einfach die leere Menge.
Die leere Menge ist auch eine Teilmenge von U-Kreuz-U.
Da sind gar keine Tupel drin. Dann gibt es auch
wieder hier keine Tupel, die da drin sein können.
Wenn wir es ein bisschen spannender machen will, dann nimmt man irgendwie,
keine Ahnung, für I von P die geraden Zahlen.
Dann ist das hier für die geraden Zahlen wahr,
aber für die ungeraden falsch. Und da muss man irgendwie sicherstellen,
dass das hier auch mal falsch wird,
wenn D gerade durch eine ungerade Zahl interpretiert wird.
Denn interpretiert man, keine Ahnung,
A,
hier als Eins
Also I von AS1 und dann sorgt man hier bei I von Q dafür,
dass da überhaupt keine Tubel dabei sind, wo vorne die einsteht.
Wir sind da von mir aus als Tubel nur drin,
00, 22, 33, 4, 4,
5, 5 und so weiter.
Und wenn ich dann hier vorne AS1 interpretiert habe,
kann das dann nie drin sein.
Brauche ich mir auch wieder im F keine Gedanken machen.
Hier ein Beispiel, dass man irgendwie sagt,
für eine erfüllende Struktur nur, uh,
wieder die natürlichen Zahlen,
I von PSU,
Oder hier, was habe ich denn hier gemacht? Ach so, genau.
Durch das hier wird eben das erste des Jugend immer wahrgemacht oder wenn man I von P vielleicht irgendwie anders auswertet,
könnte man auch I von A zu 1 auswerten und I von F so durch eine Funktion F-Strich,
dass die immer auf eins abbildet, dann kommt hier immer,
egal für welches D-Element aus U kommt hier immer,
1-1 raus und dann tut man in I von Kuh das Tubel 1-1 gerade rein und dann hat man auch eine erfüllende Struktur.
Also beide, sowohl diese Struktur mit I von P gleich U,
als auch die Struktur mit dem ganzen Kram hier,
wertet die ganze Formel zu eins aus.
Das sind Erfüllende, ist eine erfüllende Struktur
Fragen. Dann fieses Klammer gelesen. Wenn das hier ein
Term ist, F von A, B und dann,
die Klammer könnte eigentlich weg hier, dann geh von X.
Also F von A, B,
G von X. Korrigieren wir das nochmal so,
dass wir sagen, hier die erste Klammer vor DMG von X
kann weg und eine von den dreien hier kann auch weg.
Also F von, Klammer auf, A,
Komma B, Komma G von X, Klammer zu.
Ist das ein, also das ist jetzt ein Term.
Und die Frage ist, was ist die Auswertung dieses Terms,
wenn man das möglichst weit herunterbricht?
Erstens, zweitens, drittens oder viertens oder fünftens oder sechstens
Musik . . . . . Der erste hier, Ich glaube,
das ist gerade der einzige, der gar keinen Sinn macht.
Der erste würde die Funktion interpretieren, dann kommt da irgendwie ein,
oder er würde das Funktionssymbol interpretieren,
dann kommt da eine Funktion raus, F von Strich,
und F Strich kann ich aber auf dieses Tupel von Argumenten hier überhaupt nicht anwenden.
Das sind irgendwelche sind taktischen Geschichten. A,
ist kein Element des Universums, A, ist einfach
nur so eine syntaktische Sache, das ist einfach eine konstante.
Das heißt, der erste, der macht tatsächlich keinen Sinn.
Der zweite macht Sinn, ist aber nicht sonderlich weiter heruntergebrochen.
Das ist einfach zu sagen, Interpretation angewendet auf den
ganzen Term
Das ist nicht so weit runtergebrochen. Der dritte,
das ist der, der sehr weit runtergebrochen ist,
dass man sagt,
iPhone F ist jetzt irgendwie eine Funktion und dann angewendet auf eben seine Argumente I von AI von B und hier dann eben auch zu sagen,
iPhone G kann eben, ist dann ja eine Funktion,
iPhone G, gehstrich, und das muss sich wieder anwenden,
genauso wie ich das hier auch mache mit dem I von AI von B,
das kann ich nicht anwenden auf X,
sondern muss das X eben auch einmal interpretieren.
Also drittens ist super, das ist schön weit runtergebrochen.
Viertens ist fast ganz weit runtergebrochen. Da hat man quasi den Schritt,
den man hier noch beim letzten Argument gemacht hat, den hat man noch nicht gemacht.
Hier macht man nur iPhone G von X. Kann auch so auftreten,
während man die Auswertung gerade macht, so Schritt für Schritt,
aber da kann man halt noch einen Schritt weitermachen,
dass man sagt, okay,
iPhone G von X ist eben gerade iPhone G angewendet auf iPhone X.
Dann, also erstens ist blöd, zweitens ist nicht,
ist zwar richtig, aber nicht weit runtergebrochen,
drittens ist schön weit runtergebrochen, viertens ist es auch richtig,
aber auch nicht so weit runtergebrochen.
Also drittens ist am besten, zwei, drei und vier
sind alle korrekt, aber drittens ist es am besten.
Fünftens ist doof, Thermen nicht zu Wahrheitswerten interpretiert werden,
sondern nur zu Elementen aus der Doomäne. Das heißt,
sechstens ist auch richtig. Jetzt kann man sich darüber streiten,
wie das sie mit dem möglichst weit heruntergebrochen gemeint ist. Also entweder ist es drittens richtig,
drittens ist super oder eben sechstens, weil man das Ganze hier unter drittens,
wenn ich die Struktur jetzt wirklich habe und das alles ausrechne,
also was ist I von A,
was ist I von B, was ist i von X,
was ist dein i von G von diesem,
was bei iPhone X rauskam und bei all den Sachen,
die dann rausgekommen ist, was ist dann,
wenn ich DNI von F rein tue.
Und dann kommt eben ein Element der Domäne raus.
Also drittens und sechstens sind gut als Antworten
Ähnliches Spiel, wenn ich die Formel hier habe,
wann ist die war?
Also wenn ich da jetzt eine Struktur drauf anwende,
eine Auswertung und ich werte das bis zum Schluss aus,
dann kommt eine dieser vier Möglichkeiten
raus,
. . .
Ja, ich habe mich auch gerade gefragt, was ich
mir dabei gedacht habe. Also der hintere Teil hier,
der ist ja schon mal okay,
dass man bei dem hinteren Teil sieht, okay,
ich muss gucken, ist das Tuple-I-A-I-A, ist das in I-A-I-P drin?
Also die vier hier, die sind alle okay. Und jetzt,
wenn man sich die Klammerung hier anguckt, dann bezieht sich,
dass es existiert, X auf dieses P von A von F von X.
Also da steht, wenn, es existiert XP von AF
von X, dann P von AA.
Und jetzt kann man die Implikation auflösen mit dieser F impliziert,
G ist ja das Gleiche wie Nicht-F oder G.
Dann ist das ja so das Gleiche wie nicht der vordere Teil oder der hintere Teil.
Und nicht der vordere Teil würde bedeuten, es gibt kein Element des Universums,
es gibt kein DNU mit der Eigenschaft, A,
F von D ist in IP drin,
also der hier, der dritte muss das sein.
Es gibt kein Element des Universums mit der Eigenschaft I von
A und I von F von D ist in IP drin oder es gilt eben der andere Teil.
Dass wenn, hat da gerade eigentlich nichts mit der Semantik zu tun,
sondern beantwortet nur diese Frage, wann ist dieses wahr,
das ist wahr, wenn, bla bla bla gilt.
Die Interpretation davon wäre also,
es gibt kein DNU mit I von A, I,
F von D Element EP oder I von A,
I von As in EP, der IP.
Die anderen machen nicht so viel Sinn, hier der hier,
wenn ein DNU existiert mit dem oder dem.
Das wäre die Aussage für,
es existiert ein X mit das eine oder das andere,
das hat er mit der Implikation nichts zu tun.
Der dritte würde sagen, nicht das erste oder das zweite?
Der zweite, Entschuldigung, der zweite würde sagen,
nicht das erste oder das zweite, das ist auch doof.
Und der dritte ist auch doof, der sagt,
der hätte das hier auch nochmal genichtet,
der wäre so wie der, aber hätte den ja vorne noch genichtet.
Also der dritte soll es sein, wenn kein DNU
existiert mit dieser Eigenschaft
Diesmal ein bisschen fies, weil man irgendwie on the fly
dieses, die Implikation da auswerten muss.
Und die sollte einfacher sein. Für alle X, Klammer auf,
P von X impliziert ist, existiert YG von XY.
Da fehlt noch eine Klammer, dann soll hier die Klammer noch zugehen.
Das ist die Klammer, die hier vor der Implikation aufgeht.
Also das für alle X bezieht sich auf die ganze Formel.
Und da auch wieder, wann es die war
Musik Musik Muss man auch wieder darauf achten,
dass die Implikation aufgelöst wurde in ein Nicht-Die-Prämisse oder die Konklusion.
Also nicht P von X oder es existiert Y G
von XY
Genau, sehr schön. Ja, die zweite macht Sinn,
da sagt man, wenn für alle DNU,
damit ist dieser Altquantüre vorne ausgehört,
für alle DNU gilt,
dass nicht P von X oder es existiert YG von XY,
also nicht P von X ist,
der soll Nicht-Elemente in EP sein,
also nicht P von X bedeutet ja P von X soll gerade falsch werden,
P von X mit falsch,
wenn die Element-EP nicht gilt,
also wenn
die nicht-Element-EP ist
Oder, wenn eben der hintere Teil erfüllt wird und der
wird erfüllt, wenn es ein Element des Universums gibt,
sodass G von XY war es.
Also, wenn D von E-Element aus IG ist für
irgendein Element des Universums. Also, die zweite klappt.
Drei und vier könnte man auch einfach sagen, naja,
hier mit dem für alle E-NU klappt das nicht.
Das ist ja nur ein Existenzkonto hier. Also,
da will man dann für alle nicht haben,
dass da mit Pflicht drittens und viertens sofort raus.
Und erstens, die Formulierung hier ist irgendwie komisch,
dass dann DE wahr ist in IG.
Das macht keinen Sinn, ne? Also,
die Aussage hier soll sein, DE soll Element von IG
sein,
dann ist
Es existiert XG von XY wahr und ein Tubel kann nicht
wahr sein in IG, das kann da enthalten sein oder nicht.
Und dann nochmal die rote Box, wenn ihr das dann,
das war jetzt so Fragen,
dass man das irgendwie mal üben kann,
ob man das so jetzt halbwegs gut verstanden hat,
wenn man das einfach mal im Kopf machen soll,
so üblicherweise macht man das ja nicht im Kopf,
sondern man nimmt irgendwie Papier und Stift dazu
Und bei den Aufgaben und auch bei der Klausur macht das schön kleinschrittig.
Macht nicht irgendwie fünf Schritte auf einmal. Dafür baut man meistens
nur Fehler ein. Wenn ihr irgendwie drei Jahre Erfahrung habt,
dann könnt ihr auch fünf Schritte auf einmal machen.
Aber am Anfang ist es irgendwie besser,
wenn man das total kleinschrittig macht,
so wie bei diesen Beispielen aus den grünen Boxen vorneweg,
wo irgendwie jeder Fitzelschritt irgendwie einzeln gemacht wurde.
Es gibt einfach die beste Übung und in den Klausuren
ist es am wenigsten Fehler auf anfällig.
Und die Aufgaben in der Klausur sind auch nicht so
wie irgendwie so ein komisches Gewurmse hier, sondern Naja,
sowas wie der, ne?
Und wenn man den halt Schritt für Schritt macht,
so viel passiert da nicht, ne?
Da wird einmal die X-Struktur für den gemacht, dann wird
die Implikation aufgelöst und dann wird nochmal der Existenzkonto aufgelöst.
Also es sind drei oder vier Zeilen. Und wenn da noch
eine Funktion drin ist, dann kommt da vielleicht noch eine Zeile dazu.
Aber das ist so,
wenn man da Schritt für Schritt macht und eben nicht sofort von da zum Ziel kommen will,
sondern wenn man Schritt für Schritt macht,
ist es nicht sonderlich viel mehr Arbeit und gibt einfach die Sicherheit,
dass man da das Richtige tut.
Oder dass man Zwischenpunkte geben kann, wenn es um
die Klausur geht. Auch immer sehr schön,
wenn man das als Klausuraufgabe hat und da steht irgendwie,
werten Sie es aus und da steht nur,
was am Ende rauskommen soll und das ist falsch.
Da hat man auch irgendwie keine Möglichkeit,
großartig Zwischenpunkte zu essen,
was sollen wir
da machen
Und wenn man halt sehen kann, dass es insgesamt alles,
vorher alles richtig ist und am Ende irgendwie nur was falsch gesehen wurde,
dann kann man halt ganz viele Punkte geben.
Genau, deswegen hier, Schritt für Schritt, einmal zum Üben,
was die Aufgaben angeht und dann eben bei der Klausur einfach,
was die Sicherheit dann angeht und auch das bepunkten. So,
jetzt nur noch einmal ganz schnell ein bisschen Begriffe,
im Grunde genommen überträgt man jetzt einfach die ganzen Begriffe,
die wir aus der Aussagenlogie kennen,
die überträgt man jetzt alle in die Prädikatenlogik,
dass man sagt, eine Struktur,
die eine Formel zu eins auswertet,
die nenne ich Modell für F,
genauso wie ich in der Aussagenlogik eine Belegung,
die F zu 1 auswertet,
Modell nenne
Bei einer Formelmenge sage ich auch, eine Struktur ist Modell
einer Formelmenge, wenn sie alle Formeln in M wahrmacht.
Genauso wie eine Aussage wirklich auch. Dann gibt es wieder Begriffe wie erfüllbar,
eine Formel ist erfüllbar, wenn ich da für Ebene ein Modell finden kann.
Formel heißt falsifizierbar, wenn ich eine Struktur finden kann,
die sie zu null auswertet und mit den Begriffen kann ich dann
diese ganzen anderen Begriffe wie Tautologie, Kontradition, Kontingent,
Folgebarkeit, Äquivalenz, das kann ich alles einfach übertragen.
Ich ersetze einfach diesen Begriff der Belegung durch den Begriff
der Struktur
Und dann habe ich das. Also bei Folgebarkeit würde ich zum Beispiel sagen,
die Prädikaten logische Formel G folgt aus der Prädikaten logischen F,
genau dann, wenn alle Strukturen, nicht alle Belegungen,
sondern alle Strukturen, die Modell sind für F, auch Modell sind für G.
Und dann habe ich den Feuerbarkeitsbegriff einfach übertragen. Da passiert ja nichts Wildes. Das Problem ist,
wenn ich, ich kann diese ganzen Begriffe zwar übertragen,
aber ich kann nicht so schön wie eine Aussagenlogik,
wenn ich jetzt zum Beispiel auf Tautologie testen will,
kann ich das nicht so schön machen wie eine Aussagenlogik und einfach sagen,
naja, ich male die Wahrheitstafel auf und wenn da überall Einsen rauskommt,
dann ist gut.
Dann ist es eine Tautologie, weil ich alleine schon durch
die durch das Universum in der Struktur.
Alleine dadurch habe ich schon unendlich viele Strukturen, die ich mir angucken muss.
Also wenn ich sage, ich habe eine Formel,
irgendeine Formel, so wie die, die wir vorhin hatten.
Und da hatten wir zum Beispiel gesagt, ich nehme als Universum die natürlichen Zahlen.
Ich kann ja auch als Universum die Menge nehmen, 1,
2 und die Menge 2, 3 und die Menge 3,
4 und die Menge 4, 5 und die Menge 5,
6 und so weiter, habe ich unendlich viele Universen.
Und für jedes ist es eine andere Struktur.
Also alleine dafür kann ich das schon nicht machen.
Noch gar nicht gesprochen von so Sachen wie,
ich nehme Zahlen, ich nehme andere Zahlen,
ich nehme Buchstaben, ich nehme Textstrinks, irgendwas.
Das gibt unendlich viele Strukturen, die kann ich
mir nicht alle ansehen
Das heißt, wenn ich von so einer Formel wie der hier,
für alle XP von X impliziert ist,
existiert ein Y mit P von Y,
wenn ich für die zeigen will,
dass es eine Tautologie ist, kann ich keine Wahrheitstafel machen.
Ich kann aber mit den ganzen Definitionen von der vorherigen Folie und mit dem,
was wir so versucht haben, in einer Aussagenlogik einzuüben,
also mit so Formulierungen wie sei A mal eine Belegung und was passiert denn jetzt?
Mit sowas kann ich jetzt arbeiten und kann auch dann in der Prädikatenlogik zeigen,
dass beispielsweise das Ding hier eine Tautologie ist. Intuitiv macht das irgendwie Sinn,
da steht, wenn für alle XP von X gilt,
dann gibt es ein Y mit P von Y. Also intuitiv,
naja, entweder sind gar nicht alle meine Elemente des Universums in P drin,
dann gilt die Prämisse nicht, ist die Implikation aber wahr.
Oder alle Elemente des Universums sind da drin, sprich für
alle X gilt dieses P von X. Also jedes Dee des Universums,
für jedes Dee des Universums gilt DSNI von P enthalten.
Naja, dann gibt es aber ganz bestimmt mindestens eins, das da drin ist.
Wenn da alle drin sind, dann ist da auch eins drin so.
Wenn man das, um das einmal zu zeigen,
wie man sowas jetzt machen würde, das hier wollen wir zeigen.
Es gilt hier ist blöd, also das ist zu zeigen,
nicht es gilt, sondern zu zeigen, zu zeigen,
ist für alle XP von X impliziert,
es existiert YP von Y. Angenommen, A ist eine Struktur,
die die Formel hier falsch macht.
Irgendwie jetzt mit Widerspruchsbeweis, angenommen, das ist eine Struktur,
die das falsch macht. Dann muss ich ja,
hier ist zuletzt diese Implikation benutzt worden, die Implikation wird nur falsch,
wenn die Prämisse wahr ist und die Konklusion falsch.
Also damit die Struktur das Ganze zu 1 zu 0 auswertet,
muss gelten, vorderer Teil wird zu 1 ausgewertet,
hinterer Teil
Dann kann man sich überlegen, wann wird das hier zu null ausgewertet?
Die Auswertung hier war ja, das wird zu eins ausgewertet,
wenn es ein Element des Universums gibt, sodass die zugehörige X-Struktur,
P von Y oder Y-Struktur in dem Fall,
sodass die zugehörige Y-Struktur, das ist ja in der Y,
P von Y zu 1 auswertet,
wenn es also eins gibt.
Das heißt, null wird es nur,
wenn für alle Elemente des Universums, also für jedes DNU,
die Y-Struktur P von Y zu 0 auswertet.
Also nur dann wird diese Existenzkontur
zu null ausgewertet
Das hier weiter auswerten bedeutet, für jedes DNU muss gelten,
D ist nicht in EP. Wenn das aber sein soll,
dann habe ich keine andere Möglichkeit als EP zur leeren Menge auszuwerten.
D nicht in EP kriege ich nur hin für alle,
für alle Elemente des Universums, wenn nicht I vom P zur leeren Menge auswerte.
Sobald da irgendwie ein Element drin ist,
sobald das eine Menge mit mindestens ein Element ist,
gibt es ja ein Element des Universums, das da drin ist.
Wenn ich aber gleichzeitig, also weiß ich nicht,
wenn ich das zu Null machen will,
dann muss ich IP zu leeren Menge auswerten.
Wenn ich aber für alle XP von X zu 1 auswerten will,
Dann muss gerade für jedes Element des Universums gelten,
dass die zugehörige X-Struktur P von X zu 1 auswertet.
Das Symantik des Altquanturs. Also den hier weiter ausgewertet,
A von X-EP von X weiter ausgewertet.
Das heißt, es muss für jedes ENU-Element aus EP gelten.
Jedes Element des Universums gelten soll, dass es da drin ist,
dann muss IP das ganze Universum sein.
Das heißt, wir haben, das erste sagt,
wir müssen IP gleich leere Menge setzen,
das zweite sagt, wir müssen IP gleich U setzen.
Also ungleich leere Menge setzen könnten, dann wären wir fertig,
dann hätten wir eine falsifizierende Struktur.
Das dürfen wir aber nach Definition von U gar nicht machen.
U darf nicht leer sein. Definition war gesagt,
die Struktur muss mindestens ein Element enthalten
Hat man insbesondere deswegen gemacht, weil sonst sowas da keine,
sonst wäre das keine Tautologie und das ist doof.
Deswegen sagt man, das Universum muss mindestens ein Element enthalten.
Über irgendwas muss ich argumentieren können. U darf nicht leer sein
und dann kann diese Struktur A, kann es dann nicht geben,
weil hier verlangt wird I von P gleich U gleich leere Menge.
Das darf nicht sein. Das heißt, es gibt so eine Struktur,
die die Formel zu Null auswertet, gar nicht.
Also müssen alle Strukturen, die wahrmachen und dann bin ich fertig,
dann weiß ich, wenn alle Strukturen die wahrmachen müssen,
muss die Formel da oben eine Tautologie sein
Und deswegen haben wir das mit diesen Saya, eine Belegung und so.
Deswegen haben wir das in der Aussagen-Glogik auch öfter schon mal eingeübt,
damit man dann jetzt eben in der Prädikaten-Logik so ein bisschen weiß,
okay, dann kann ich keine Tafeln machen,
aber kann mit solchen Argumentationen arbeiten.
Super. Fragen? Fragen? Dann
da nochmal Zusammenfassung für heute und gestern
Sind ja Axemantik, haben wir gemacht. Und hier steht
schon so, an der Semantik sieht man schon,
dass das jetzt deutlich komplizierter wird als bei der Aussagenlogoik.
Deswegen wird es jetzt auch komplizierter, sich Normalformen zu überlegen und
dann dieses Resolutionsverfahren aus der Aussagenlogik in die Prädikatenlogik zu übertragen.
Man hätte nämlich ja gerne wieder so ein Widerlegungsverfahren,
insbesondere weil wir jetzt ja nicht Wahrheitstafeln aufmalen kann.
Und dafür Resolution zu haben, wäre super.
Aber wenn diese Mantik hier schon deutlich komplizierter ist,
wird das Resolutionsverfahren wahrscheinlich auch eine Herausforderung.
Aber man kriegt tatsächlich eins hin. Da soll es
auch hingehen noch die nächsten zwei Wochen.
Und einmal noch hier Wiederholung für Sintax.
Das waren die ganzen Begriffe, die wir bei der
Sintax hatten
Das waren die ganzen Begriffe, die wir bei der Semantik hatten,
insbesondere hier die Struktur, bestehend aufs Universum und Interpretation,
dann die Erweiterung quasi der Interpretation zur Auswertung.
Und dann haben wir für die Quanturen die X-Varianten gebraucht und die drei ersten Punkte,
mit denen kann ich jetzt quasi gucken,
ob ich Formeln war oder falsch machen kann oder gegebene Struktur kann ich gucken,
erfüllt das die Formel oder nicht.
Und dann haben wir halt diese ganzen Begriffe aus der Aussagenlogik
einfach übertragen. Jetzt haben wir Sintax-Semantik,
also jetzt können wir zu einer beliebigen Prädikat logischen Formel
zumindest Modelle angeben und Strukturen angeben und mal gucken,
was passiert
Oder gegeben eine Struktur gucken, ob die die Formel war oder falsch macht.
Sowas können wir schon mal machen. Und was wir jetzt
die nächsten Male noch machen wollen, ist,
das ein bisschen einzuüben und dann aber auf Normalform zu kommen,
das Ziel wieder ist zu diesem Resolutionsverfahren zu kommen,
da brauchen wir wieder eine Normalform,
damit das irgendwie schöner ist mit dem Resolutionsverfahren zu arbeiten,
in der Aussagenlogik war es ja so,
dass die Formel in KNF
sein müssen
Hier müssen sie jetzt in sogenannter Klausel-Normalform sein. Da werden wir dies,
das mal sehen, was es damit auf sich hat.
Oder ihr könnt ja schon in den Vorab-Foliensatz da einmal reingucken.
Da ist das Ziel quasi, dass man nachher Formeln hat,
die keine Existenzquanturen mehr haben, sondern nur Altquanturen,
die Altquanturen stehen alle ganz vorne.
Und die Formel selbst ist in konjunktiver Normalform,
dann sieht das schon alles recht übersichtlich und hübsch aus.
Und dann will man da keine unterschiedlich benannten Variante drin haben
und sowas. Und das sehen wir dann nächstes Mal.
Und dann wird man eine Präditaten, logische Resolution einführen können,
die einige Dinge kann und andere Dinge aber auch nicht.
Da werden wir uns dann nochmal über Möglichkeiten und Grenzen unterhalten
Jo. Fragen? Erstens zweiten bis drittens, dann ja.
Gut, wenn ihr keine Fragen mehr habt, dann würde ich
heute frühen Feierabend machen. Dann haben wir jetzt alles,
was man für den Aufgabenzettel braucht und ihr habt ein bisschen Zeit,
die Prädikaten, logische Sintax-Semantik sacken zu lassen.
Und dann fangen wir mit den Normalformen heute nicht mehr an,
sondern machen das schön ruhig nächste Woche.
Dann haben wir jetzt noch zwei Wochen für Normalform und Prädikaten, logische Resolution.
Und danach machen wir nochmal zwei Wochen Platz und Zeitkomplexität.
Also gehen wir nochmal zu diesem Automatenteil zurück und machen nochmal
Platz und Zeitkomplexität
Supi. Letzte Chance für Fragen. Eins, zwei,
drei. Haucke, schüttelt vehement den Kopf.
Dann können wir Feierabend machen. Super. Dann schöne Woche
und wir sehen uns
nächsten Montag