Ähm... Genau, das wollen wir heute machen.
Predikatnouis, Sintax und Semantik hab ich mit euch vor.
Und vorher wollen wir einmal kurz nochmal diesen Foliensatz mit der Resolution wiederholen.
Und dann könnt ihr zwischendurch ganz viele Fragen stellen.
Und genau, ja, was soll man...
Das wollte ich heute
mit euch machen
Kriegen. Also einmal wirklich schnell durchgehend, bis wir bei
der Folie sind, wo wir letztes Mal aufgehört haben.
Wenn euch an irgendeiner Stelle was unklar ist,
dann ruft ihr da, sonst gehe ich jetzt relativ schnell durch.
Also Resolution haben wir gemacht. Ziel war insbesondere der erste Punkt hier,
dass wir ein Erfüllbarkeits- oder Unerfüllbarkeitstest für Aussagen logische Formeln haben.
Und damit dann eben im Endeffekt auch solche Relationen zwischen Formen entscheiden können.
Ist F-Äquivalent zu G und folgt G aus F.
Die Sachen wollen wir irgendwie entscheiden können.
Erfüllbarkeit wollen wir auch entscheiden können, Unerfüllbarkeit.
Und dafür brauchen wir einen schönen Test. Und das immer
mit Wahrheitsfarfing zu machen,
ist halt doof
Und dann war die Idee bei der Prädikatenlogik oder bei Ableitungen
allgemein, dass man sich sein taktischer Muster bedient.
Und daraus Schlussfolgerungen zieht. Beispiele waren,
wenn man so ein syntaktisches Muster sieht oder so ein syntaktisches
Muster F oder Nicht-F und F und Nicht-F, dann weiß man,
egal wie F aussieht, Oberes ist eine Tautologie,
unteres ist eine Kontradition.
Da drunter noch ein anderes Beispiel. Mehr Inferenzregeln,
noch mehr Inferenzregeln. Und das war dann die Idee bei
der Resolution
Dass man gesagt hat, wenn ich zwei Klauseln habe,
nicht B oder C oder A und A oder B oder D,
wenn ich zwei solche Klauseln habe und in der Eintritt ein literal positiv auf,
das B hier und in der anderen dritten Literal negativ auf das Nicht-B hier,
dann kann ich eine Resolvente bilden.
Das bedeutet, ich nehme die beiden Klauseln,
entferne dieses einmal positiv auftreten, einem ein Negativ auftretende Literal und alles,
was dann auch übrig ist, tue ich zusammen,
um bei der Klausel dir dann anzukommen.
Das ist eine Resolventenbildung und dieses Ziel war dann nachher,
so lange Resolventen zu bilden,
bis es entweder nicht mehr geht oder?
Oder bis man
bei der Box angekommen ist
Wo wir gerade bei Schweinkram machen sind und so.
Ich bin gestern mit einem ICE von Stuttgart nach Hamburg zurückgefahren. Und für die,
die jetzt noch nicht so häufig Zug fahren,
bei der Bahn gibt es dann stehen immer so Reservierungsschilder,
dass du irgendwie beim ICE leuchtet das und beim normalen Zug sind da manchmal einfach nur so Kärtchen drin.
Dann komme ich so in dieses Abteil rein in Stuttgart
oder nicht, dass er Teil dieses Großraumding.
Und da dachte ich schon, das ist ja irgendwie komisch.
Ich sitze hier und die 20 Plätze nach mir,
da steht überall Mannheim, Hamburg.
Da habe ich schon so, okay, 20 Plätze,
Mannheim, Hamburg. Normalerweise ist das so,
da sind irgendwie vier Plätze reserviert und dann kommt vielleicht mal
wieder Frankfurt, Hamburg oder so.
Da dachte ich schon so, Mannheim, Hamburg,
was könnte das sein? Vielleicht so ganz viele Anzugträger,
die irgendwie vom Workshop kommen und sich dann da alle hinsetzen
mit ihren Laptops und so.
Vielleicht eine Rockband, keine Ahnung,
irgendwie 20 Leute so
Kommen wir in Mannheim an. Rockband war ziemlich gut getippt.
Das war die erste Damenmannschaft des Uel-Horster-Hockey-Clubs, die gerade die
Deutsche Meisterschaft gewonnen haben und die dann den ganzen im ganzen ICE-Party gemacht haben.
Dagegen war das da, so ein kleines Fiasko,
also der ICE, also Supertruppe, total nett.
Ich bin auch sitzen geblieben. Toll. Wir haben echt
effizient gearbeitet, super Musik. Selbst schlechte Musik wird ja
so viel besser, wenn 20 leicht angetrunkene Frauen im Chor mitsingen.
Falls jemand zuguckt vom Ulen-Horster-Hockey-Club,
dann widme ich euch heute diese Veranstaltung,
weil das gestern definitiv in der Top 3 meiner besten Bahnerfahrung ist.
Großartig. Großartig. Die Jungs haben leider verloren,
also die Männermannschaft, von denen ist nur Zweiter geworden.
Die waren im anderen Waggon, da war die Stimmung nicht ganz so positiv.
Die sind dann manchmal zu uns rübergekommen und haben auch Stimmung gemacht.
Ach ja. Und dann bin ich in Hamburg angekommen,
wer war gestern gegen 23 Uhr am Hamburger Hauptbahnhof
Keiner. Du, hast du auch diese schöne Nachricht wieder mitgekriegt,
denn ich dachte so, alles klar,
so 23 Uhr zu Hause schaffe ich noch, ne?
ICE pünktlich angekommen, dran zu zahlen, schaffe ich,
steige ich in die Bahn ein, ah, wir fahren noch nicht los.
Betriebsperlende Personen auf dem Gleis. Ich meine, was machen die
da immer? Ich meine, machen die das so,
dass die irgendwie, die sehen so,
ihr Zug fährt ab und denken so, oh,
den kriege ich noch, springen aufs Gleiche, laufen hinterher oder?
Nee. Dann stand ich 20 Minuten in dieser S-Bahn,
ne? Und der Typ war auch cool,
der von S-Bahn, der meinte so,
wir fahren in ein bis zwei
Minuten los
Acht Minuten später meldet er sich und sagt, er wüsste auch nicht,
was los ist. Der Typ von der Leitung hat gesagt,
in ein bis zwei Minuten darf er losfahren,
aber irgendwie steht er hier immer noch von der roten Ampel.
Okay, dann bin ich aus der S-Bahn ausgestiegen,
weil ich dachte, jetzt ist mir das egal nach 20 Minuten,
ich nehme jetzt die U-Bahn, ich steige aus,
gehe zur Treppe, höre die Türen.
Da komme ich bei der U-Bahn an, steht da in zehn Minuten,
dachte, ja, ja, ist okay.
Habe mich aber alle gut nach Hause gewartet, ist alles gut.
Ach so, das dazu? So war mein Sonntag.
Resolution. Wir wollen also das negative Literal und das
positive Literal löschen
Den Rest zusammentun und dann haben wir eine Klausel,
mit der wir weiterarbeiten können. Dann haben wir gesagt,
okay, damit das hier irgendwie,
damit wir die ganze Zeit nicht die Odas schreiben müssen und so,
haben wir so eine Mengendarstellung eingeführt, sah dann hier so aus,
die Mengendarstellung für Nicht-A oder B ist dann in einer Menge,
eh, ist in einer Menge,
nicht geh oder nicht, sie ist in einer Menge.
Dann haben wir die Resolvente definiert, war genau
das Gleiche wie das, was wir eben gemacht haben.
Dieses... Wart ihr das? Was ist denn los heute
? Wollt ihr das haben? Nee, oder
Ja. Meine Anzeige nach sind die aus. Ja,
man kann da nochmal drauf drücken. Okay. So,
dieses Minus hier ist das Mengen-Minus. Ich wurde eben darauf hingewiesen,
dass man das sonst irgendwie ja als diesen Balken benutzt,
hier dieses Minus als Mengen-Minus.
Ich meine, ich habe das gemacht,
weil er das im Schöning auch so macht,
damit man das halt, damit es ja nicht so die Verständnisprobleme gibt.
Die Idee ist, aus der Klausel K1
entferne ich das
Und aus der Klausel K2 entferne ich das Kompliment von Elben.
Also ich entferne ihn nicht beide aus beiden Klauseln,
sondern aus K1 entferne ich explizit das L aus K22 nicht explizit.
Das Nicht-L und das, was übrig bleibt, vereinige ich.
Und da habe ich die Resolventin. Da als Diagrammendarstellung und
das einmal als drei Beispiele bei dem Unteren hier,
da hat man sein Ziel erreicht,
dass man zu der Box gekommen und kann sagen,
okay, dann ist die Formel unerfüllbar.
Wenn man alles resolviert hat,
was geht und nichts Neues mehr dazukommt,
dann muss man sagen,
okay,
dann ist die Formel erfüllbar
Dann die zwei Sachen, die man auf keinen Fall machen soll,
hier irgendwie zwei Literale jeweils aus den beiden Klauseln entfernt,
das soll man nicht machen, aus jedem wird nur eins
entfernt und da innerhalb einer Klausel resolviert, geht auch nicht.
Macht auch keinen Sinn, dass hier ist die Mengendarstellung für
Nicht-B oder B, das soll ja nicht unerfüllbar sein.
Dann mehrschrittige Ableitungen, so mit Rest Null das 1 Rest 2 und so weiter.
Fragen, Fragen, Fragen, Nachbreitung. Und dann wollten wir diesen Resolutionsarzt zeigen,
der, warum man das alles macht überhaupt, dass man sagt,
eine Formel F oder eben die Klauseldarstellung dieser Formel F,
die ist unerfüllbar, genau dann, wenn ich die Box ableiten kann.
Und die Richtung von, wenn ich die Box ableiten kann,
dann ist er unerführbar, die nennt man Korrektheit und die Richtung von,
wenn F unerfüllbar ist, dann ist die Box ableitbar.
Das ist die Vollständigkeit. So,
die beiden Richtungen wollte man zeigen und dann brauchte man erst mal dieses Resolutionslemmer,
was im Grunde genommen nur gesagt hat,
wenn ich eine Formel F habe und ich resolviere zwei Klauseln,
dann kommt eine resolvente R raus.
Wenn ich die jetzt nehme und die noch unverknüpfe mit der
schon bestehenden Formel F, dann ist das Äquivalent.
Also die ursprüngliche Formel F und eine resolvente von dieser Formel F
Es sind zwei äquivalente Formeln. Und da kann ich halt
immer weiter resolventen bilden und immer weiter und dran machen.
Und wenn das irgendwie so ist, dass ich zur Box komme,
dann muss ich ja vorher mal A, nicht A gehabt haben.
Man muss F, also äquivalent sein zu F und A und nicht A.
Und A und nicht A ist nicht erfüllbar. Ja,
und die Idee bei dem Resolutionslämmer war im Grunde genommen,
sich zu überlegen, wenn ich diese resolvente bilde,
warte mal, was war der Schritt?
Also wenn A eine Belegung ist, die F wahr macht,
dann will ich zeigen, dass sie auch F vereinigt mit R war macht.
Also dass sie insbesondere R wahr macht. Wenn die vorher
alle Klauseln wahrgemacht hat und ich entferne aus K1,
dass L und aus K2 das nicht L,
ich habe vorher beide wahrgemacht, sowohl K1 als auch K2,
Man kann es nicht in beiden Fällen an dem L gelegen haben und in dem anderen an dem L quer.
Also muss ich eine davon weiterhin wahrmachen können. Okay,
dann konnte man Schluss folgern, das F-Äquivalent ist zu diesem
Reststern von F. Und dann konnte man loslegen und den Resolutionssatz zeigen.
Die Idee bei der Korrektheit, wenn ich die Box ableiten kann,
dann muss ich irgendwann mal A abgeleitet haben und irgendwo anders
nicht A. Und da F-Äquivalent ist zu eben Ressoren von F,
also da,
wo auch A und Nicht A drin ist und ich nicht beides gleichzeitig wahrmachen kann,
kann ich F auch nicht wahrmachen.
Korrektheit. Vollständigkeit, primäre Idee,
ich mache eine Induktion über die Anzahl N,
der in F vorkommenden atomaren Formeln
Und dann ist halt die Idee, also Induktionsanfang,
relativ einfach, wenn er null ist, dann ist da
nur die Box drin, die ist unerfüllbar, fertig.
Annahme angenommen für eine Klauselmenge G, die nur n-atomare Formeln enthält.
Gilt das, sprich, wenn die unerfüllbar ist, dann kann ich die Box ableiten.
Und jetzt ist die wichtige Idee im Induktionsschritt zu sagen,
ich betrachte mir jetzt eine Formel mit N plus 1 vielen atomaren Formeln.
Und dann tue ich einmal so,
als würde ich AN plus 1 mit null belegen,
dann komme ich zu so einer Formel F0 und einmal so,
als würde ich das mit 1 belegen,
dann komme ich zu einer Formel F1.
Und für die beiden Formeln F0 und F1,
da kann ich dann zeigen, die sind unerfüllbar,
ich weiß gar nicht, die Box ableiten, beiden.
Und dann füge ich beide, dann habe ich eine Ableitung
von F0 zu Box und eine von F1 zu Box.
Bei der einen führe ich einen plus 1 wieder ein,
bei der anderen nicht AN plus 1,
da habe ich halt eine Ableitung von der N plus 1,
eine Ableitung von nicht einen plus 1, nochmal ableiten, fertig.
Nicht bei der Box. Das war der Beweis.
Genau. Und dann nochmal ein paar Fragen. Und dann
sind wir da, wo wir letztes Mal aufgehört haben.
Jetzt kann man nämlich einen Algorithmus entwickeln, der basierend auf
dieser Resolution auf Unerfüllbarkeit prüft oder auch auf Erfüllbarkeit.
Und der ist halt relativ straightforward, wenn ich weiß,
dass diese mit dem Resolutionssatz, wenn ich mit dem Resolutionssatz weiß,
Resolution ist korrekt und vollständig, dann kann ich jetzt sagen,
naja, zu dieser Formel F in KNF bilde ich halt die Klauselmenge und dann bestimme ich immer alle Resolventen, die gehen.
Ich habe F, bestimmen alle Resolventen,
die gerade gehen, ob ich es gemacht habe,
denn nenne ich das wieder F und bestimmt wieder alle Resolventen von F und so weiter.
Und entweder passiert es mal, dass ich die Box erreiche,
noch irgendwie so und so viele Resolutionsschritten oder ich kann irgendwann keine Neuen mehr bilden.
Also sprich, hier wird GA auf F gesetzt,
hier werden wieder alle Resolventen gebildet, die gerade gehen.
Und wenn hier nichts Neues dazugekommen ist,
dann ist F gleich G. Also bedeutet,
F ist das Gleiche wie ResF,
kommt also nichts Neues dazu und dann höre ich auch auf.
Und wenn die Box drin ist, sage ich,
das ist unerfüllbar und wenn die nicht drin ist,
sage ich,
ist erfüllbar
Das ist der Resolutionsalgorithmus. Das ist der Resolutionsalgorithmus.
Fragen bis dahin. Resolution klar, gleich.
Also schon klar.
Okay, Hauke
Wir fahren. Ja, wenn du eine Folgebarkeit zeigen willst,
dann willst du ja sowas zeigen, wie geh folgt aus F.
Bei dir waren das jetzt größere Formeln, aber sagen wir,
geh folgt aus F können irgendwelche Formeln sein und geh folgt aus F,
gilt ja genau dann,
wenn F impliziert gehende Tautologie ist, genau dann,
wenn irgendwie F und nicht gehende Kontradiktion ist.
Und wenn du das Verfahren halt auf F und nicht geh an.
Und wenn du größere Formeln hast wie in deinem Beispiel,
dann schreibst du halt da bei F und nicht geh hin,
was es ist und wenn es darauf Resolution dann
Ist halt meistens noch so ein bisschen blöd,
weil du vorher das dann noch auf KNF bringen musst und das manchmal irgendwie langwierig ist,
aber genau, das wäre dann die Idee.
Und bei Äquivalenz im Grunde genauso, wenn ich eine Äquivalenz zeigen will,
F-Äquivalenz zu geben, dann muss ja F-B impliziert gehen,
eine Tautologie sein und nicht Klammer auf F-B impliziert gehen,
eine Kontradition, dann wendest du halt da drauf, das Resolutionsverfahren an.
Darauf hätte ich nur. Sonst noch? Sollte ja auch
einmal noch bei den Präsenzaufgaben diese Woche dann aufschreiben,
damit sich das in euer Gehirn wurmt,
dass sich halt diese Resolution,
solche Unerführbarkeitstests für allerlei Sachen benutzen kann
Hans noch. Hier ist jetzt noch wichtig, damit man weiß,
dass dieses Verfahren tatsächlich terminiert, muss hier sichergestellt werden,
dass es tatsächlich entweder irgendwann die Box abgeleitet wird oder irgendwann dieser Falleintritt,
das F gleich G ist.
Wenn das nicht passiert, also wenn ich quasi,
es könnte ja auch sein, dass ich immer weitere Resolventen bilden kann,
nur die Boxen, die dabei ist.
Also muss ich irgendwie argumentieren, dass das hier nicht passieren kann.
Sprich, ich brauche eine obere Grenze für die resolventen Bildung.
Und die gibt es auch, da sagt man halt,
Es gibt auf jeden Fall irgendwie so ein K,
sodass nichts Neues mehr dazukommt quasi.
Also was ich nach K-Schritten ableiten kann, ist das Gleiche wie das,
was ich nach Carplus Einschritten ableiten kann, Carplus 2 und so weiter.
Haben also nichts Neues mehr dazu. Hatten wir letztes Mal
schon mal kurz diskutiert, die Idee, wenn man annimmt,
dass MFN atomare Formeln enthält, dann kann man sich jetzt überlegen,
wie viel Klauseln kann es überhaupt nur geben?
Also wie viele verschiedene Klauseln kann es geben? Weil bei
jedem Resolutionsschritt wird ja eine Klausel generiert. Das heißt,
wenn ich von vornherein weiß, es gibt maximal 1000,
mehr als 1000 kann ich halt nicht produzieren.
Entweder habe ich die irgendwann alle oder es hat ja
schon vorher aufgehört, es ist nach 800
keine 9 mehr dazukam
Und diese Überlegung ist einfach eine kombinatorische,
wenn ich enatomare Formen habe,
wie viele verschiedene Klauseln kann ich mit enatomaren Formeln bilden.
In der Klausel kann A1 positiv vorkommen, negativ vorkommen,
positiv und negativ vorkommen oder gar nicht vorkommen.
Es gibt halt vier Möglichkeiten. Jede dieser informellen,
positiv, negativ, positiv und negativ oder gar nicht.
Das sind vier Möglichkeiten und dann habe ich maximal vier hochendviele Klauseln.
Mehr können dann in diesem Rest Sternhoch F gar nicht vorkommen
und entweder kommt ja in jedem Schritt wieder
was Neues dazu
In jedem Schritt von diesem Res-I von F zu Res-I
plus 1 von F muss mindestens eine Klausel dazukommen.
Wenn das passiert, ist super, dann mache ich weiter.
Und wenn es nicht passiert, naja, dann kann auch,
wenn der Rest I-Hochelf das gleiche ist wie Res-I plus
1 Rest i plus 1 von F,
dann kann auch im nächsten Schritt nichts Neues dazukommen.
Also spätestens nach vier Hochendschritten hier höre ich auf.
Und dann weiß ich, der Algorithmus ist korrekt.
Also terminiert und korrekt war sowieso. Ja,
was macht man also? Man bildet so lange Resolventen,
bis die Box kommt, dann kann man aufhören oder bis
eben keine neuen mehr dazukommen
Das ist der eher unschöne Fall, da muss man nämlich
alle bilden. In einigen Fällen ist da sehr schnell,
wenn ich irgendwie eine riesige Formel habe und da tritt irgendwie an einer Stelle
ein A auf und nicht A und ich sehe das,
dann kann ich irgendwie gleich nach einem Schritt aufhören.
In anderen Fällen ist halt nicht so schnell,
da muss man dann vielleicht alle Klauseln bilden,
die gehen und wir haben eben gesehen, es sind vier hochennen viele,
also muss man exponentiell viele Klauseln in der Größe der Formel machen.
Werden wir später sehen, dass das nicht überraschend ist,
weil wir dieses Resultat noch zeigen werden,
dass das Erfüllbarkeitsproblem in der Aussage, wo die NP vollständig ist,
schon mal so als Vorausschau, jetzt sehen wir erstmal,
okay, der Resultationsalgorithmus wird in einigen Fällen schön schnell sein.
Und in anderen leider immer noch so eine schlimme Worst-Case-Laufzeit haben. Und was man jetzt macht ist,
dieses in einigen Fällen sehr schnell,
das versucht man halt nach Möglichkeit irgendwie ein bisschen zu erzwingen,
dass man halt nicht völlig beliebig losgeht und resolventen bildet,
sondern dass man sich irgendwie einschränkt und sagt,
ich mache das mal nur auf die und die Art und Weise in der Hoffnung,
dass man dann schneller zum Ziel kommt.
Quasi so eine Art Heuristik.
Also wir wollen jetzt die Resolution verbessern
Genau. Korrekt und vollständig sollen die natürlich wieder sein nach Möglichkeit,
uns aber einschränken, sodass wir nicht zu viel Wahlfreiheit haben.
Und auch die werden wieder im schlimmsten Fall eine exponentielle Laufzeit haben,
aber werden uns vielleicht trotzdem helfen,
weil sie in vielen Fällen vielleicht eben keine exponentielle Laufzeit haben.
Also die zwei Verfahren, die es da,
oder die drei, die wir uns nochmal kurz angucken wollen,
ist Definition einmal die P-Resolution, P für positiv,
da bildet man nur Resolventen,
wenn eine der beiden Klauseln nur aus positiven Literalen besteht,
also sowas wie A,
B,
Es ist das Schöne, wenn ich zum Beispiel von vornherein
gar keine Peer-Resolution machen kann, weil es gar keine Klausel gibt,
die nur aus positiven Literalen besteht, dann kann ich sofort aufhören.
Dann weiß ich gleich, ich kann die Box nicht mit Peer-Resolution ableiten,
also muss die Formel erfüllbar sein. Macht auch Sinn,
wenn es gar keine Klausel gibt, die nur aus positiven Literalen besteht,
dann bedeutet das ja in jeder Klausel,
tritt mindestens ein negatives Literal auf,
also alle atomaren Formeln mit null Auswerte,
gibt es in jeder Klausel irgendwie was, was zu eins ausgewertet wird.
Dann habe ich das schon. Aber da die Idee ist halt,
sich einzuschränken, dass man eben jetzt nicht beliebig irgendwie Klausel miteinander resolviert,
sondern dass man sagt,
immer nur,
wenn eine davon nur aus positiven Literalen besteht
Das ist Peer-Resolution. Und in der Resolution,
im Grunde genommen das Gleiche, oder dass man sagt,
bei einer der beteiligten Klauseln nur negative Literale.
Und dann kann man eben wieder zeigen,
dass das wieder vollständig und korrekt ist.
Korrektheitsbeweis überträgt sich quasi von dem vorherigen Korrektheitsbeweis,
weil man in dem vorherigen Korrektheitsbeweis an keiner Stelle irgendwie was benutzt hat,
was relevant für die Klauseln wäre.
Also so kann man die Korrektheit ganz schnell begründen.
Oder man kann auch sagen, wenn ich eine Peer-Resolution habe,
die zur Box führt,
dann ist das ja auch eine
ganz ursprüngliche Resolution
Da da gesagt wurde, wenn ich zur Box komme,
ist die Formel unerfüllbar, gilt das hier weiterhin.
Also korrekt halt. Kriegt man Vollmenschlichkeit,
fliegt an einer Stelle auseinander und muss man dann fixen.
Wenn man sich den Beweis nochmal genau anguckt,
dann stellt man fest,
an welcher Stelle das doof ist mit der Peer-Resolution oder der N-Resolution,
warum das mit dem Vollständigkeitsbeweis nicht klappt.
Und das muss man dann fixen. Das sollt ihr euch einmal als Übungsaufgabe angucken,
damit ihr euch nochmal ein bisschen tiefer den Beweis auch wirklich anguckt und euch dann überlegt,
wo in dem Beweis ist ein Argument,
das nicht funktioniert,
wenn ich
Peer-Resolution machen will
Genau, dann gibt es noch Einheitsresolutionen,
da darf nur, also da darf man nur resolvieren,
wenn eine der beiden beteiligten Resolventen aus genau einem Literal besteht, positiv oder negativ.
Und da kann man auch wieder sagen,
Korrektheit kriegt man quasi auch wieder vererbt, Vollständigkeit ist ein Problem,
die ist nämlich nur vollständig für die Klasse der Hornformeln,
aber nicht für beliebige Formeln.
Sollte ich euch auch einmal kurz bei den Übungsaufgaben überlegen,
warum ich warum die Einheitsresolution nicht vollständig ist für beliebige Formen.
Da muss man dann gucken, dass man irgendwas konstruieren kann,
eine Formel, bei der ich Einheitsresolution nicht benutzen kann,
die aber trotzdem unerfüllbar ist.
Weil wenn ich Einheitsresolution nicht benutzen kann, würde das bedeuten,
ich komme nicht zur Box, also muss die Formel erfüllbar sein.
Wenn die Formel jetzt aber tatsächlich unerfüllbar ist, klappt das irgendwie nicht.
Dann weiß ich, das Verfahren ist nicht vollständig.
Das sollt ihr dann auch noch einmal machen.
Ja, das war es mit Aussagenlogik.
Fragen? Zur Aussagenlogik, Sintax Semantik haben wir gemacht.
Also Sintax so definiert, was dürfen wir alle schreiben?
Mit noch diesen beiden Unterpunkten, strukturelle Induktionen,
strukturelle Rekursionen, um Sachen zu definieren oder zu beweisen
Semantik, Belegung eingeführt, Wahrheitstaffeln eingeführt, diese ganzen Kategorien,
Tautologie-Kontradition, Kontingent und so weiter. Das war so die Basics von der Aussagenlogik,
die machen wir gleich auch für die Prädikatenlogik,
aber das waren erstmal so die Grundlagen für die Aussagenlogik.
Und dann haben wir da drauf diese semantischen Begriffe Vollgabarkeit und Äquivalenz definiert,
Beziehung zwischen Formeln,
eine Formel folgt aus einer anderen oder zwei Formeln sind Äquivalent
und darauf aufbauend haben wir dann konjunktive Normalform und Desjunktive Normalform eingeführt,
mit zwei Verfahren und dann eben zwei Verfahren uns noch angeguckt,
um Unerfüllbarkeit nach Möglichkeit besser zu überprüfen als mit so einem naiven Verfahren Weiztafel aufmalen und ablesen.
Die eine Idee war zu sagen, ich schränke die Formelmenge ein,
sodass ich nur noch Hornformeln habe und die andere Möglichkeit wäre
jetzt eben mit Resolution zu arbeiten,
was eben oft schneller geht und manchmal aber eben trotzdem in diesem Worst-Case-Exponentiallaufzeit ist.
Fragen? Langsam dämmert man so vor sich hin.
Fragen, keine Frage,
alles klar
Dann gehen wir mal in die Prikatenlogie. Wer kennt das
schon? Predikatenlogik so, mit Quantoren. Mit Quantoren,
so für alle XP von X, solche Geschichten.
Ja, ein, zwei, drei. So ein bisschen,
ne? Meinte eine, ja, natürlich kam das irgendwo
auf jeden Fall vor. Also ich wüsste jetzt nicht,
dass er irgendwie im ersten, zweiten Semester oder so.
Was wollen wir machen? Aussagenlogik erweitern. Außer Logik hat eine
relativ geringe Ausdrucksstärke. Ich kann damit zwar schon überraschend viel machen,
aber eigentlich nicht so viel, wie ich gerne möchte.
Ich kann irgendwie nicht über über richtige Bereiche argumentieren,
dass ich sage, für alle Autos soll irgendwas gelten,
sondern für alle habe ich sowieso nicht.
Das ist alles so ein bisschen doof. Ich kann immer nur so Aussagen,
die wahr oder falsch sein können, die kann ich miteinander verknüpfen.
Mehr kann ich nicht machen. Und was ich jetzt gerne machen möchte,
ist, Beziehung möchte ich ausdrücken zwischen unterschiedlichen Dingen und ich möchte ausdrücken,
ich möchte diese Quantifizierung haben und ich möchte mir Domänen an oder Universen
, werden wir das gleich nennen, die möchte ich mir angucken können. Was man macht ist,
man führt gleich so eine Domäno oder ein Universum ein,
das beinhaltet die Objekte, die ich jetzt betrachten will,
zum Beispiel Zahlen oder irgendwie alle Menschen,
für die ich eine Aussage machen will,
zum Beispiel in der KI macht man sowas häufig,
dass man dann irgendwie sagt, alle Menschen,
die dieses und jenes getan haben, werden,
auch dieses und jenes tun,
Da habe ich eine Allqualifizierung drin und argumentiere über die Domäne der Menschen,
oder dass ich sage, für alle Menschen gilt,
wenn sie männlich sind, dann gilt,
bla bla bla.
Das will ich mit der Domäne schon mal machen.
Dann will ich Therme haben, wobei die Therme einzelne Objekte der Domäne repräsentieren werden.
Konstante A steht für irgendeine Zahl oder die Variable X,
die dann quantifiziert ist, die geht vielleicht alle Zahlen irgendwie durch. Dann will ich die Prädikate haben,
das sind diese Dinger nachher P von X oder P von XY,
die sollen dann eben Eigenschaften oder Relation zwischen den Objekten ausdrücken,
also entweder in der Eigenschaft, die ein Objekt haben kann,
üblicherweise beim einstelligen Prädikat so, dass ich irgendwie sage,
P von X, wenn expositiv ist oder so,
das ist eher so eine Eigenschaft.
Oder bei sowas wie GXY, X ist größer als Y.
So Relation zwischen zwei Objekten. Und Formeln, die repräsentieren,
repräsentieren dann wieder genauso wie eine Aussagenlogik, die kompletten Aussagen.
Und die können dann wieder wahr oder falsch sein.
Und Prädikate werden wir sehen,
das sind die atomaren Formeln und Formeln sind dann eben
die komplexeren Formeln nachher
Ja, sowas kann man dann irgendwie ausdrücken.
Jeder Student ist jünger als irgendein Lehrer so. S von X
für X ist ein Student, also Domäne der Menschen.
Und dann sagt man, für alle X gilt, wenn X ein Student ist. Und dann 11 von X für X ist ein Lehrer und J für Jünger,
X ist jünger als Y. Und dann kann man das als Formel so ausdrücken,
dass man sagt, für alle X gilt,
egal welchen Menschen ich mir rausnehme, ich nehme jetzt irgendeinen Menschen raus,
X, dann gilt immer, wenn der ein Student ist,
sonst interessiert mich das gerade nicht, aber wenn da ein Student ist,
wenn also S von X erfüllt ist, dann gibt es irgendeinen Y,
also auch wieder irgendeinen Menschen mit der Eigenschaft,
Der ist ein Lehrer, also 11 von Y,
Y ist ein Lehrer.
Und X ist jünger als Y. Was wäre die Formel,
die Obriges irgendwie ausdrückt? Jeder Student ist jünger als irgendein Lehrer.
Wenn man das denn natürlich sprachlich einmal versuchen will, zu erfassen.
Andere Formeln, was kann man da noch so sehen?
Hier sieht man noch irgendwie ein Funktionssymbol. Das Ganze wird nachher
ein Therm sein, F von X und F ist ein Funktionssymbol.
Da kann man sowas machen wie FVX ist gleich X plus
1 oder irgendwie sowas. Hier kann man noch sehen,
Hier kann man so eine Verschachtelung von Quanturen sehen.
Und hier kann man sehen, dass X hier,
das werden wir nachher frei nennen,
weil das irgendwie davor ist gar kein Quantor.
Also das X bimmelt da irgendwie so rum.
Und das A, das wird eine Konstante sein.
Ja. So, wenn man sich das so ansieht,
als erstes ist genauso wie eine Aussagenlogik auch, Alphabet definieren.
Was habe ich eigentlich alles für Symbole,
die ich benutzen darf, um nachher Formeln aufzubauen?
Habe ich irgendwie die ganzen Variablen hier, also sowas wie XYZ
, die würde ich auf jeden Fall haben.
Dann die Konstanten, ABC, irgendwas am Anfang des Alphabets,
FGH und so weiter. Üblicherweise noch mit irgendwie einer Stelligkeit,
damit ich weiß, ist F jetzt zweistellig, dreistellig,
vierstellig. Also wie viele Argumente soll das haben?
Dann die Prikatensymbole, PQR. Beides, also sowohl die
Funktionssymbole als auch die Prädikatensymbole, haben eine Stelligkeit.
Zu beiden gehört irgendwie so ein Tupel von Werten.
Der Unterschied ist nachher, dass das Funktionssymbol mit seinem Tupel
von Werten insgesamt dann irgendwie ein Thermenelement der Domäne ergibt.
Also beispielsweise F von XY. Und wenn ich jetzt das
als natürliche Zahlen interpretiere, alles und die Additionsfunktion ist,
das ist X plus Y
wieder irgendwie
eine Zahl
Bei den Präkatensymbolen, da kommt kein Therm raus, sondern da kommt quasi ein Wahrheitswert raus.
Wenn ich bei diesem Größer gleich bleibe, gehe von XY,
entweder ist X größer als Y oder halt nicht,
also kann das Ganze wahr sein oder nicht.
Also da mit den Prädikatensymbolen, deswegen auch die Großbuchstaben.
Damit kommen wir nachher wieder zu den Wahrheitswerten,
während die Funktionssymbole nur dazu dienen, Therme an Elemente der Domäne anders auszudrücken.
Dann kann man, wenn man möchte,
noch Aussagensymbole dazu nehmen, die brauchen wir nicht zwingend,
weil man die auch als nullstellige Prädikatensymbole machen kann,
aber es ist ein bisschen angenehmer, die zu haben.
Die Jungtoren, die wir schon aus der Prädikatendogik kennen,
Quanturen und dann, anders als in der Aussagenlogik, noch diese Hilfssymbole,
Klammern, achso, die Klammern brauchte man auch und das Komma.
Genau, das sind die ganzen Symbole, die man so benutzen kann.
Und das hier sind so Konventionen,
dass die Variablen Kleinbuchstaben am Ende des Alphabets sind,
die konstanten Kleinbuchstaben am Anfang des Alphabets,
die Funktionssymbole Kleinbuchstaben, FGH,
so in dem Bereich Prädikatensymbole,
da so bei PQR und Aussagensymbole bei ABC und das
großgeschrieben,
alles Kondition
Macht das Lesen dann nachher einfacher, als wenn man sagt,
P von Klein A und dann schreibt man irgendwo nach hinten und A ist übrigens eine Konstante,
also wenn man sich so auf die Kunst,
auf die, oder A ist eine Variable,
wenn man sich auf die Konvention einlässt,
dann ist das Lesen von Formel nachher einfacher.
Genau, Alphabet gibt vor, was wir benutzen dürfen.
Sintax sagt jetzt, wie wir die Zeichen anordnen dürfen und Semantik,
wie wir die interpretieren dürfen. Als erstes werden Therme definiert,
das sind so Sachen, die F von XY oder auch
nur das X oder nur das A oder sowas.
Also jede Variable ist ein Thermen, jede Konstante ist ein Thermen.
Und wenn ich ein Funktionssymbol F habe, Stelligkeit K,
Und ich habe Kartherme, dann ist F von diesen Karthermen wieder ein Thermen.
Und mehr kann ich nicht machen. Die Schritte kann ich endlich
oft anwenden und alles, was da rauskommt, nenne ich einen Thermen.
Also zum Beispiel auch sowas wie F von F von F von X,
ist auch irgendwie intern. Gehe von F von X,
H von X oder irgendwie sowas, alles Therme. Genau,
und ein Therm, der irgendwie beim Aufbau eines größeren Therms beteiligt ist,
nennt man einen Teiltherm, genauso wie die Teilformel,
die wir schon in der Aussage gesehen haben.
Beispiele, Abi, Konstanten, also Therme. Hier wurde gesagt,
jede konstante ist ein Therm, jede Variable ist ein Therm.
Konstanten Abi sind Therme, Variablen X und Z
sind Therme
Und wenn F jetzt ein dreistelliges Funktionssymbol ist, dann ist das,
was darunter steht, auch alles Therme. Den ersten glaubt man sofort,
beim zweiten kann man einmal kurz gucken,
dass das erste Argument dieses F von AAA auch dann ein Therme ist,
wenn F dreistellig ist und das kann ich wieder als erstes Argument benutzen,
dann glaubt man das auch.
Und das Letzte ist ein bisschen schwierig zu lesen,
aber wenn ihr zu Hause sitzt,
könnt ihr ja mal Klammern zählen und dann sieht man,
dass der, glaube ich,
auch klampen müsste.
Ja. Da bist du
schon bei Semantik
Ed wird erstmal nur ein Funktionssymbol. Also im Grunde
genommen könnte man das auch irgendwie ein Blub-Symbol nennen,
aber man nennt es halt Funktionssymbol, weil es da nachher hingehen soll.
Aber erstmals ist es nur einfach irgendwie ein Symbol.
Bei dem anderen, die Frage, die können wir dann
beantworten, wenn wir bei der Symmantik sind.
Und sowas da sind ja irgendwie keine Therme.
Also auch wenn man vielleicht ein Plus nachher als Funktionssymbol einführt,
dann ist es streng genommen der Therm sowas wie Plus,
Klammer auf, A, komme X, Klammer zu.
Also so eine Infix-Notation gibt es streng genommen erstmal noch nicht.
Das zweite ist keiner, weil F ja ein dreistelliges Funktionssymbol
ist und eben nicht zweistellig. Und das dritte ist kein Therm,
weil F nicht für sich allein genommen Therm ist,
sondern eben nur mit seinen K-Filen-Argumenten
In dem Fall drei, mit seinen drei, vielen Argumenten.
Genau, das ist die Therme, und jetzt kann man
eben aufbauend auf den Thermen die Formeln definieren.
Hier wieder elf für Language, PL-Prädikatenlogik.
Erstmal jedes Aussagensymbol ist eine atomare Formel. Und dann,
wenn ich ein Karstelliges Prädikatensymbol habe und Kartherme,
dann ist P von T1 bis TK auch eine atomare Formel.
Und die Prädikatensymbole können also nicht geschachtelt werden.
Es gibt nicht sowas wie P von P von
Das macht keinen Sinn. Was Sinn macht, ist P von F und X.
Oder eben auch F von F von X. Weil beim Funktionssymbol,
wenn dann nachher als Idee die Addition hintersteckt, so,
oder die, sagen wir mal, die Inkumentation plus eins,
dann macht F von F von X Sinn,
dann ist das F von X plus eins und insgesamt dann X plus eins plus eins.
Bei Predikatensymbolen macht das keinen Sinn. Wenn wir dann Wahrheitswert hintersteckt,
dann macht das keinen Sinn, das zu verschachteln.
Ja, und wenn ich die jetzt habe,
das sind die atomaren Formeln und jetzt kann ich die erst mal wieder so verknüpfen,
wie ich das mit in der Aushandlung auch gemacht habe.
Wenn ich Formeln F und G habe,
dann kann ich da irgendwie eine Negation davor schreiben,
ich kann eine Oder-Verknüpfung machen, eine Unverknüpfung, eine Implikation, eine Bi-Implikation.
Das ist nichts Neues. Die spannende Sache nochmal, der vierte Punkt,
fände ich eine Variable X habe und eine Formel F,
dann sind eben auch, es existiert XF und für alle XF-Formeln.
Und mehr Formeln als durch Anwendung dieser vier Schritte kriege ich
eben nicht hin durch endliche Anwendung dieser vier Schritte.
Und wenn ihr euch erstens und drittens anguckt,
weil erstens und drittens steckt drin, dass die Aussagen-Logik eine Teillogik der Prädikaten-Logik ist.
Alles, was ich in der Aussagen-Logik machen kann,
kann ich mit erstens und drittens hier dann
auch machen
Genau, das sind dann die Formeln, hier wieder irgendwie Beispiele,
die ein paar davon hatten wir auch schon.
Hier sieht man schon mal hier bei drittens und viertens,
dass die Klammerung wahrscheinlich wichtig sein wird,
weil hier dieses für alle XP von X oder es existiert XP von X,
da kann man schon erahnen,
dass sich das erste für alle X wohl nur auf dieses P von X bezieht.
Während es sich hier bei der Klammerung theoretisch auch auf den hinteren Teil da beziehen könnte,
da dann aber möglicherweise von dem Existenzquanteur überschrieben wird.
Aber da sieht man schon mal,
dass die Klammerung dann relevant ist,
das führt gleich zu der Definition von Skopus,
also der Reichweite
von so einem Quantur
Ja, und keine Formeln sind dann sowas hier.
Das erste ist keine Formel, weil XX eben kein Term ist.
Das zweite ist keiner, weil so irgendwie ein Term da
Flyfel hat, frei flatternd hinzuschreiben, nicht geht.
Da muss irgendwie ein Quantor vor. Und das dritte ist keiner,
weil das dritte ein Term ist und Terme sind keine Formeln.
Ja, das ist, glaube ich, schon die ganze Sintax.
Jetzt kann man noch mal kurz sowas definieren,
so Teilformeln, genauso wie eine Aussagenlogik auch,
wenn eine Formel beim Aufbau einer größeren Formel beteiligt ist,
nenne ich sie Teilformel
Dann kann ich diesen Teil-Therm-Begriff auch auf Formeln erweitern,
sage ich nicht nur einen Therm,
der beim Aufbau eines Therms beteiligt ist,
das ist ein Teil-Therm, sondern eben auch,
wenn er beim Aufbau einer Formel beteiligt ist und jetzt diese wichtige Definition,
wenn ich sowas habe, wie es existiert,
XF oder für alle XF,
dann nennt man X die Quantoren-Variable und F ist der Skopus des Quantors.
Also beim ersten Fall ist das Exist der Quantor,
X ist die Quantoren-Variable und der Skopus dieses Quantors
ist die Formel F.
Da oben steht es nochmal
Und dann kann man sich überlegen, freie und gebundene Variablen einzuführen.
Ich nenne jetzt eine Variable X, die im Skopus
eines Quantors mit der Quantorenvariable X frei vorkommt, gebunden.
Sprich, wenn ich so eine Formel F habe,
nehmen wir mal an, das ist P von X,
dann ist das X da frei.
Und wenn ich da vorne jetzt hinschreibe, es existiert X,
dann wird gerade dieses X gebunden. Wichtig ist, dieses,
es muss, bevor ich den Quantor da quasi hinschreibe,
bis dahin muss es da frei vorkommen.
Ja, das brauche ich jetzt Definition,
weil ich sowas machen kann,
sonst wie,
es existiert XP von
Da tritt kein X frei auf. Das heißt,
wenn ich dann davor ein für alle X schreibe,
dann bindet nicht dieses für alle X jetzt das X,
sondern das wurde schon, durch das ist existiert X gebunden.
Deswegen diese etwas umständliche Definition, dass man sagt,
ich nehme eine Formel und die freien, gerade freien Auftreten,
Variablen, die werden durch den Quanto,
den ich jetzt davor schreibe, gebunden.
Und die anderen eben nicht. Und wenn die
eben nirgendwo gebunden wird, dann nenne ich sie frei.
Also freie Variablen sind nicht gebunden, gebundene Variablen sind an
ein Quanto gebunden. Und eine Formel ohne freie Variablen
nennt man geschlossen
Da unten das Beispiel, wenn man sich die Klammerung anguckt,
dann steht hier für alle X, jetzt geht eine Klammer auf,
dann steht da irgendwie P von X oder R
von XY und dann geht die Klammer wieder zu.
Das heißt, das ist die Formel, auf die sich
das für alle X bezieht. Wenn ich auch will,
dass sich das auf das Q von X bezieht,
dann muss ich es noch weiterklammern.
Also dieses für alle X, der Skopus davon,
ist jetzt gerade diese Formel P von X oder R von XY.
Das heißt, die ersten beiden X sind durch den Altquantur gebunden.
Das dritte X hinten ist nicht gebunden, tritt frei auf.
Und das Y, das muss auch frei auftreten,
weil es überhaupt gar keinen Quantur gibt mit dem
Ja, wunderbar. Die hier, die vierte?
Ja. Da tritt genau dieser Fall auf,
warum diese Geschichte mit gebunden so ein bisschen blöd formuliert klingt.
Man würde jetzt hier rechts anfangen,
sagt dieses P von X ist eine Formel,
also das ganz rechte P von X.
Das ist eine Formel,
da ist X frei
Im P von X erstmal. Nur das P von X.
Die Formel ignorieren nur das PvX X ist frei.
Gibt ja noch gar keinen Quantor. Jetzt wird da
ein Quantor vorgeschrieben und der bindet jetzt alle Xe,
die in der Formel, die danach stehen, frei vorkommen.
Das X-Tritt frei auf. Also wird das X durch den
hier gebunden. Jetzt die größere Formel, P von X
oder es existiert XP von X, größere Formel.
Jetzt kann man sich wieder angucken, welche Xe treten da frei auf.
Das X, das letzte, haben wir gerade festgestellt,
ist gebunden durch den Existenzquantur und nur das vordere X ist noch frei.
Das habe ich also eine große Formel,
vorne ein freies X, hinten gebundenes X.
Wenn ich da jetzt wieder diesen für alle X-Quantor vorstelle,
dann wird das freie X,
also das erste X,
gebunden durch den Altquantur
Also in dem Beispiel, das erste X ist durch
den Allquantur gebunden, das zweite X durch den Existenzquantur.
Genau. Also, also jetzt wissen wir,
wie man Therme schreibt, wir wissen,
wie man Formeln schreibt und wir kennen so freie gebundene Variablen,
muss man sich vielleicht nochmal dran gewöhnen, aber so.
Also, mach erstmal eine richtige Formel raus.
Für alle X gilt, nee,
mach eine richtige Formel draus
Ja, das klingt gut. Genau. Also sowas wie für alle XY
gleich Y haben wir nicht, sondern sowas wie für alle X,
F von Y. Gehst du durch hier irgendwie.
Y ist ein Term, dann ist P von Y eine Formel.
Und wenn P von Y jetzt eine Formel ist,
nennen wir sie G, dann sagt hier für alle XF ist eine Formel.
Dann hast du halt für alle XP von Y als Formel.
Oder für alle XG von Y und Y oder so,
schadet nichts. Wird semantisch wahrscheinlich keinen Effekt haben,
aber sind taktisch gilt das
Noch Fragen. Okay, dann könnte man jetzt,
so wie wir das auch in Aussagenlogik gemacht haben,
wieder induktive Beweise führen und Funktionen rekursiv definieren.
Da ist in der Prädikatenlogie das Problem oft,
dass man zum Beispiel die induktiven Beweise erst so einen
induktiven Beweis über alle Therme führen muss,
dann weiß man irgendwie was und danach nochmal über alle Funktionen oder über alle Formeln,
Entschuldigung,
das macht es relativ anspruchsvoll,
also es wird anspruchsvoller
Genauso wird Funktionen rekursiv definieren, anspruchsvoll. Also wenn wir
jetzt irgendwie sowas wie Tiefe oder Grad einer Prädikat logischen Formel definieren will, dann wird das aufwendiger.
Nur, dass ihr wisst, man könnte das machen. Ja,
Zusammenfassung zur Sintax, Alphabet mit den ganzen Bezeichnungen,
die wir da so hatten, Therme, Formeln,
Teilthermel, Teilthermen, Teil Formel,
Quantorenvariable und Skopus und für Variablen,
wann sie gebunden und frei sind und dass die ganze Formel geschlossen ist,
wenn keine freien Variablen auftreten
Dann Fragen für euch, glaube ich, ja.
Das wird wahrscheinlich ein bisschen wild, das jetzt zu lesen,
so aus dem Plenum. Probiert es mal,
an welchem Quanto ist das X in P von X gebunden?
Also, welchen haben wir denn da,
den hier
Nicht fünftens, bitte nicht fünftens. Den zweiten,
genau, dieses existiert X, Bin mir gar nicht sicher,
ob das so intendiert war von mir,
aber die Formel hier P von A impliziert P von X,
also die erste Klammer, die er hinten zugeht,
gehört noch zu dem P von X und die zweite Klammer,
die zugeht, gehört zu der Klammer,
nachdem es existiert X, das heißt,
das ist eine Formel und dann muss das X, wird gerade,
vorher war es frei, ein P von A impliziert,
P von X war es frei und die Formel wird jetzt durch diesen Existenzquantur gebildet und ja,
das ist der Skopus des Existenzquanturs und der bindet dann das X. Und der erste hier,
der überschreibt das jetzt nicht, sondern Das X ist an,
es existiert X gebunden und aus der Sicht von dem für alle X gibt es jetzt kein freies X,
das er binden würde.
Also kann er da nichts binden. Genau,
und frei kann es auch nicht sein, weil es,
wie gesagt, hier an das, es existiert X gebunden ist.
Ähnliche Frage. Wieder das P von X,
oh wir ja. Und an wen ist das
jetzt gebunden
Gehen wir das mal durch. Das P von B hier,
das ist eine Formel, und direkt davor steht der Quantor,
da ist keine Klammerung und nichts, das heißt,
das existiert X, bezieht sich nur auf das P von B.
Man kann da nichts binden,
das war das Beispiel von Hauku vorhin, der bindet da nichts,
aber von der Formel her kann das eine Formel sein.
Dann haben wir und P von X oder für alle XP
von U. P von U ist wieder eine Formel,
das für alle X bezieht sich auf die Formel direkt danach,
also bezieht sich das für alle X nur auf das P von U.
Dass das für alle X jetzt anfangen würde,
das P von X zu binden, Das klappt nicht.
Also ich binde nicht irgendwie Sachen, die vor mir standen.
Ich binde nur Sachen, die hinter mir stehen.
Also wenn ich mir die Teilformel hier ansehe, Klammer auf,
es existiert XP von B und Klammer auf,
P von X oder für alle XP von U, Klammer zu, Klammer zu.
Diese, noch eine Klammer zu, die Formel,
also von der ersten,
von der ersten öffnenden Klammer nach dem Implikationsfall bis zur allerletzten Schließenden,
das ist eine Formel und in der ist das P von X noch frei.
Jetzt kann man hier vor dem Implikationsfall gucken,
A oder P von A ist eine Formel.
Die wird noch geklammert und direkt davor steht der Al-Quantur.
Das heißt, diese Al-Quantur bezieht sich nur auf diese Formel
A oder P von A. Wenn man möchte,
dass sich der Al-Quantur auf die ganze Implikation bezieht,
dann müsste man die Formel der Implikationen noch klammern.
Das heißt, hier noch eine Klammer machen nach dem für alle X.
Und ganz ans Ende müsste noch eine Klammer hin.
Dann hätte man die Implikation richtig geklammert.
Und dann würde sich der Al-Quantur auf die ganze Implikation beziehen.
So bezieht sich der Al-Quantur nur auf die Prämisse,
also A oder P von A.
Und damit nicht auf das P von X,
das also frei.
Das X hier ist frei
2 und 4. Ja, glaube ich. Genau. So
, dann gucken wir nochmal in die Semantik rein.
Man nennt das zwar schon Funktionssymbole und Predikatensymbole,
weil die Idee ist, von der Semantik her,
die Funktionssymbole durch Funktionen auszuwerten und die Predikatensymbole durch Predikate.
Aber bis jetzt sind es einfach nur irgendwelche Symbole,
die man benutzt und die man halt in diese unterschiedlichen Klassen eingeteilt hat,
dass man gesagt hat, das Symbol ist ein Funktionssymbol,
das Symbol ist eine Konstante und so.
Aber da steckt noch keine Semantik hinter.
Die muss man
jetzt machen
Und die Idee ist, ich definiere mir,
ich setze mir erstmal eine Grundmenge, dass ich sage,
ich betrachte hier gerade Zahlen oder Menschen oder irgendwas, Grundmenge.
Und dann interpretiere ich Variablen und Konstanten durch Objekte dieser Grundmenge.
Macht auch Sinn, wenn ich jetzt Grundmenge die Zahlen festlege,
bleiben wir mal bei Zahlenbeispielen,
dann steht eine Konstante für eine ganz bestimmte Zahl.
A steht dann für drei oder irgendwie sowas.
Freie Variablen wird man auch so interpretieren,
werden wir nachher nochmal sehen, warum.
Und warum man insbesondere die Gebundenen nicht interpretieren muss.
Aber das sehen wir dann, wenn wir bei den Quarturen sind.
Erstmal so konstant durch Objekte macht Sinn
Funktionssymbole will man interpretieren durch Funktionen über der Grundmenge.
Also wenn ich ein zweistelliges Funktionssymbol habe, dann will ich,
dass die Interpretation davon eine Funktion ist,
die zwei Werte aus der Grundmenge nimmt und auf einen Wert aus der Grundmenge abbildet.
Prädikatensymbole werden Mengen der Grundmenge sein, dass die Idee,
wenn ich ein zweistelliges, da führt das O,
da ist die Idee, wenn ich ein zweistelliges Prädikatensymbol habe,
zum Beispiel sowas wie G für größer,
G XY ist x größer als Y,
dann wird das die Menge der Zweiertupel sein,
bei denen tatsächlich das erste Element größer als das zweite ist
Und dann kann ich nämlich immer gucken nachher,
wenn ich da jetzt irgendwas ausgefüllt habe,
wenn ich dann habe, gehe von 5,4,
dann gucke ich halt, ist 5,4,
ist dieses Tupel in der Menge drin oder nicht.
Wenn ja, werde ich zu ja auswendig, werde ich zu nein aus.
Sehen wir gleich im Detail. Aussagensymbole einfach durch Wahrheitswerte und
dann die komplexen Ausdrücke werden auf den ganzen Sachen aufbauen.
Genau. Gucken wir jetzt mal an, was wir brauchen.
Erstmal brauchen wir etwas hier, um die Grundmenge festzulegen und
dann definieren wir uns die Interpretation für die ganzen Sachen, die hier stehen.
Also eine Struktur, Ist ein Tupel-UI. Hier unten steht
schon diese Struktur, die spielt in der Prädikaten-Logik die Rolle,
die in der Aussage über die Belegung gespielt hat.
Also wenn wir in der Aussagen-Logik, haben wir gesagt,
ich habe eine Formel und die Semantik kommt durch eine Belegung,
die die Aussagensymbole in der Aussagen logischen Formel eben zu Null oder Eins auswertet.
Hier ist es jetzt viel komplizierter, weil wir eben nicht nur Aussagensymbole haben.
Was wir machen ist, wir haben eine Struktur,
also soll das A sein, das ist ein Tupel-UI.
U ist für das Universum oder das,
was auf den vorherigen Folien manchmal Domäne genannt wurde oder Grundmengen
oder so, dass es irgendeine nicht leere Menge,
Fürs Vorstellen, könnt ihr euch erstmal immer vorstellen, irgendwie,
dass das entweder Zahlen sind oder eine Gruppe von Menschen.
Und die Interpretation, dieses I, die ist jetzt dafür zuständig,
das, was sie auf der vorherigen Folie so informal stehen haben,
das wirklich auszuführen.
Also die Interpretation bildet ab, und zwar wie folgt,
Variablen und Konstanten auf Elemente aus U. Damit kriege ich Sinn,
dass sie eine Konstante durch einen Wert meines Universums interpretieren.
Karstellige Funktionssymbole werden auf karstellige Funktionen über U abgebildet.
Also wenn ich ein dreistelliges Funktionssymbol F habe,
dann wird das abgebildet auf eine Funktion von U-Kreuz-U-Kreuz-U,
kriege ich das auch in 3-Tubel,
Karstellige Prädikaten-Symbole, auf Mengen von K-Tupeln über U. Also ein
zweistelliges Prädikaten-Symbol habe, dann ist die Interpretation davon, eine Menge,
die ganz viele Zweiertupel enthält. Und die Idee ist halt,
dass für ein Zweiertupel, das da drin ist,
das Prädikat wahr ist und für ein zweites Pel,
das da nicht drin ist, das Präkat falsch ist.
Und Aussagensymbol auf Wahrheitswerte. Beispiel,
wenn man die Formel hier hat, für alle XP von,
Moment, für alle XP von X oder Q von F
von XY,
Und wenn man die Formel hat, ich hatte gerade überlegt,
der Skopus ist jetzt irgendwie nur das P von G
von X und nicht mehr der Rest da.
So, was muss man alles interpretieren? Man muss F interpretieren,
also das Funktionssymbol F. Man muss X und Y interpretieren.
Man muss das Funktionssymbol G interpretieren und die Prädikatensymbole P und Q.
Wobei P einstellig ist, Q2-stellig. Und genauso G-1stellig F-2-stellig
. Jetzt könnte man zum Beispiel nehmen,
dass man sagt, als Universum nehme ich die natürlichen Zahlen
Ob das gleich war oder falsch wird, ist erstmal noch nicht relevant.
Wir haben ja noch gar keinen Wahrheits- oder Falschheitsbegriff.
Wir haben jetzt gerade nur gesagt,
die Struktur soll uns helfen, diese Formeln zu interpretieren.
Also nehmen wir irgendwie das Universum N. Und die Interpretation von G,
G ist einstellig, das Funktionssymbolier ist einstellig,
das soll also eine einstellige Funktion werden.
Also sagen wir I von GSG Strich mit G-Strich von N nach N,
also von U nach U, mit so definiert.
Gehstrich von N ist N plus eins, irgendwie Nachfolger.
I von F soll zweistellig sein,
das heißt der Urbildbereiche, das muss diese Tubelmenge N-Kreuz N
sein und nach innen abbinden
Und dann eben so definiert, dass man sagt, es ist wieder die Addition.
F-Strich von N-K, M ist N-Plus M. Da seht ihr dieses,
was wir vorhin beim Sintag schon ein paar Mal angesprochen haben,
wenn ich so einen Term habe,
also sowas wie G von X oder F von XY,
das, was dann nachher rauskommt, nach der ganzen Interpretation,
ist wieder ein Element des Universums.
Also Terme repräsentieren einzelne Elemente des Universums. Die können nicht wahr oder falsch sein oder so,
wenn ihr da die natürlichen Zahlen habt und ihr habt hier F-Strich von N-K,
M, dann ist eben F-Strich von 3,5 ist halt 8,
8 ist nicht wahr oder falsch,
sondern 8 ist halt einfach ein Wert des Universums.
Und spannend werden jetzt hier diese Prädikatensymbole, P und Q P ist einstellig.
Das heißt, das wird einfach eine Teilmenge des Universums,
beispielsweise I von P gleich 2, 4, 6,
8, also gerade die geraden Zahlen. Könnte man sagen,
wenn da jetzt, wenn hier dieser ThermG von X,
wenn da nach der Interpretation ein Element des Universums rauskommt,
dann ist P von diesem Element, gerade dann war,
wenn das Element gerade ist.
Und Q, Q soll zweistellig sein,
da werden also in der Interpretation von Q Zweiertupel drin sein.
Und zwar definiert man die zum Beispiel so,
dass man sagt, die Interpretation von Q,
das sind gerade die Zweiertupel mit der Eigenschaft,
dass das erste Element kleiner ist als das zweite
Wenn also hier F von XY zu einem Zahlenwert interpretiert wird,
der kleiner ist, als das X,
dann soll das eben wahr sein.
Dann soll Kuh von F von XY, X wahr werden.
Und dann wurde da verlangt, dass auch die Werte des Universums,
Quatsch, dass auch die freien Variablen interpretiert werden.
Da sagt man zum Beispiel, IFO Y soll 5 sein
und IFO X 3. Konstanten mit Konstanten würde man
genauso verfahren.
Da nochmal der Hinweis, bisher haben wir noch gar nichts mit Wahrheitswerten.
Wir bilden erstmal nur, wir interpretieren die ganzen Sachen,
aber wir haben noch gar nichts über den Wahrheitswert.
Ich habe das zwar so ein bisschen so einfließen lassen,
aber bisher wissen wir noch nicht,
was wir jetzt war oder falsch interpretieren wollen. So,
wenn man das machen will,
dann erweitere ich dieses I jetzt zu einer Auswertung,
genauso wie wir das bei der Aussagenlogik auch gemacht haben,
dass wir gesagt haben,
die Belegung interpretiert ja eigentlich erstmal nur die atomaren Formen zu
0 und 1 und dann wurde das erweitert zu komplexen Formen.
Das machen wir hier jetzt auch
Und erstmal müssen wir rekursiv definieren, wie werten wir eigentlich Therme aus.
Wenn ich jetzt so einen ganzen Therm kriege,
von F von XY, dann weiß ich bisher nur,
wie ich F zu interpretieren habe,
wie ich X zu interpretieren habe und wie ich Y zu interpretieren habe,
aber nicht, was bei dem ganzen Therm rauskommen soll.
Die Idee ist, ich interpretiere X,
ich interpretiere Y, habe ich zwei Werte meines Universums,
die schmeiße ich in die Interpretation der Funktion rein und dann
kommt da wieder irgendein Wert des Universums raus.
Ausgeführt und formal aufgeschrieben, für jede Variable X
ist die Auswertung von X das Gleiche wie die Interpretation.
Da passiert noch nichts Spannendes, standen genauso, passiert auch noch nichts Spannendes.
Das Spannende sind die carstelligen Funktionssymbole. Wenn ich so ein carstelliges Funktionssymbol mit seinen Thermen habe,
also F von T1 bis TK,
dann ist die Auswertung davon gerade die Interpretation von F,
da kommt jetzt nämlich eine Funktion raus,
jetzt ist es nicht mehr das Funktionssymbol,
sondern jetzt ist es eine Funktion und diese Funktion wende ich an auf die Auswertung der K-Therme.
Da kommt jetzt irgendwie jeweils A von T1,
A von T2 und so,
das ist jeweils ein Wert des Universums und die kann ich
reinstecken in die Funktion und dann kommt da was raus
Interpretiere ich oder werte ich Therme aus? Die ersten
beiden Sachen sind klar. Das dritte, wie gesagt,
Funktionen interpretieren, dann kommt da, oder Funktionssymbol interpretieren,
dann kommt da die Funktion raus und in die Funktion,
die Auswertung der einzelnen Therme reinstecken.
Und dann kann man sie noch für die atomaren Formeln definieren,
für die Aussagensymbol ist wieder klar,
da mache ich das genauso wie die Interpretation, wie das sagt.
Und das Spannende auch hier, wenn ich ein carstelliges Prädikatensymbol P
habe mit seinem KTAMT1 bis TK. Ich will jetzt wissen,
wann ist die Auswertung davon 1 und wann ist die 0?
Und das mache ich so, dass ich auch wieder sage,
ich werte die einzelnen Therme aus Jetzt habe ich ein Tupel,
ein K-Tupel, mit Werten aus meinem Universum U.
Und dann gucke ich nach, ist dieses Tupel in
der Interpretation von P drin oder nicht.
Wenn es enthalten ist, sage ich es wahr.
Wenn es nicht enthalten ist, sage ich es falsch.
Genau. Beispiel. Wenn ich diese recht einfache Funktion habe,
also P von AFA. Und jetzt will ich
eine erfüllende oder falsifizierende Struktur oder sowas haben,
dann kann ich jetzt zum Beispiel erstmal sagen,
wie das Universum sind die natürlichen Zahlen.
Und jetzt muss ich die Interpret,
also ich will ja die ganze Struktur angeben.
Bis jetzt habe ich
nur das Universum angegeben
Um jetzt die Interpretation I anzugeben, muss ich angeben,
wie werde ich die konstante A aus?
Oder wie interpretiert die konstant A? Wie interpretiere ich das
Funktionssymbol Klein F und wie interpretiere ich das Predikatensymbol GroßP?
Klein F muss eine Funktion sein von U nach U und GroßP
ist zweistellig, muss also eine Teilmenge von U-Kreuz-U sein,
muss also ganz viele Zweiertupel enthalten.
Und ich mache das so, dass ich sage,
A soll 4 sein,
I von P interpretiere ich als gerade die Tupel XY,
die gerade sind
Also da NI von P ist jetzt zum Beispiel 2,2 drin,
2,4, 8,4, 8,36. Erst zu zweit, das soll immer gerade sein.
Und F interpretiere ich, das Funktionssymbol F als die Funktion F-Strich,
die muss jetzt von N nach N gehen.
Und zwar mache ich die so, dass die N gerade verdoppelt.
Und wenn man das jetzt sklavisch anwendet, also einfach die Definition abarbeitet,
dann kommt man zu sowas hier. Dann sagt man,
die Auswertung, ich habe jetzt die Struktur A,
ja komplett definiert und jetzt will ich auswerten.
Jetzt gucke ich A von P von AFA,
dass es eins genau dann, wenn.
Und jetzt arbeite ich mich hier durch diese Jetzt arbeite ich
mich hier durch diese Definition durch. A von,
da stand jetzt P von A, F und A,
das soll eins sein, genau dann,
wenn dieser Kram eintritt hier auf der rechten Seite.
Also wenn ich alle Therme auswerten kann und das,
was da rauskommt, gerade ein I von P drin ist.
Wenn ihr euch hier die nächste Zeile anguckt, da,
genau das ist hier jetzt passiert. Ich wende jetzt die
Auswertung an auf die einzelnen Therme in P von AFA,
also einmal auf das A anwenden,
einem auf das F von A anwenden und gucke,
ob das ein I von P
drin ist
Und dann mache ich weiter. Jetzt habe ich keine,
jetzt werde ich die Auswertung gerade nicht mehr auf die Formeln an, sondern auf die Therme.
Das heißt, ich gucke jetzt bei den Definitionen für die Therme nach.
A von A, A als Therm, da war die Idee,
dass A von A das Gleiche ist wie I von A,
I von A ist 4, also es ist auch A von A 4.
Hier der nächste Schritt A von A 4. Und A von F von A,
die Argumente auswerten, also in dem Fall nur das kleine A. Und das,
was da rauskommt in die Funktion I von F2,
i von F, A von A, I von FSF Strich,
A von A ist wieder 4 dann wird S-Strich von 4,
ist hier einfach zweimal enden, habe ich also 4,8. Das heißt,
die Formel wird genau dann zu 1 ausgewertet,
wenn 4,8 in, also wenn 4,8 in IP drin ist,
4 ist gerade 8 ist gerade,
also passt das.
Habe ich, ist a eine erfüllende Struktur. Ja,
man kann schon erahnen,
dass das wahrscheinlich gleich mit den Quanturen doch deutlich komplizierter wird,
aber da sieht es ja schon ein bisschen kompliziert aus.
Ist aber im Grunde genommen einfach nur händisch das Ausführen,
was man sich bei der Sintax und so vielleicht schon gedacht hat,
dass man Funktionssymbole eben gerade durch Funktionen auswerten wollte und dass
das vielleicht ein bisschen ungewohnt ist,
ist hier diese Prädikate auf diese Art und Weise auszuwerten
Es ist halt für die Prädikate keine Infix-Notation,
so wie man das sonst hat,
bei drei Kleiner gleich vier, sondern so eine Präfix-Notation.
Oder Postings. Ja, dann, das ist einfach,
I rekursiv für die Jungtouren der Aussagenlogik behandelt.
Das machen wir genauso, wie wir das in der Aussagenlogik auch gemacht haben.
Also A von Nicht-F ist eins genau dann,
wenn A von F.0 ist oder wird zu eins ausgewertet,
wenn eins von beidem zu eins ausgewertet wird und wenn beide
zu eins ausgewertet werden und so weiter.
Das ist genauso wie eine Aussagenlogik auch
Und dann kann man eben komplexere Formeln sich basteln.
Die sieht ja so ähnlich aus wie die von eben.
Dieses P von ARF von A hatten wir schon und hier steht es halt nochmal andersrum.
Dann kann man sich die Struktur genauso wie eben definieren und dann sagt man,
okay, die ganze Formel wird jetzt zu eins ausgewertet, genau dann, wenn.
Die linke Teilformel zu eins ausgewertet wird und die rechte Teilformel zu eins ausgewertet wird,
was genau dann eintritt,
wenn Auswertung auf alle Argumente hier angewendet und geguckt ist,
das in I von P. Dann rechnet man halt durch,
so wie im vorherigen Beispiel und kommt zu diesem 4-8 ist drin,
8-4 ist drin, also gilt das wieder.
Also die Jungtouren, die kennen wir ja eigentlich schon
Also mal zusammengefasst, Sintax haben wir. Struktur können wir
definieren zu einer Formel. Wir können die noch nicht für
alle Fälle auswerten, aber wir können die Struktur schon definieren.
Also wir können gegeben eine Formel, gucken wir uns
den taktisch an, was ist da alles drin.
Und dann wissen wir auch, im Grunde genommen sind taktisch,
wie müssen wir die Sachen interpretieren. Also Universum müssen wir
irgendwie wählen und dann konstantenfreie Variablen und so weiter auswerten.
Und dann kann ich für die einfacheren Formeln schon auswerten,
ob die wahr oder falsch ist.
Was wir noch nicht können, ist mit Quantoren umgehen.
Das müssen wir uns gerne mal angucken.
Fragen bis dahin. Fragen. Oh wei,
das Beispiel machen wir noch und dann machen wir Feierabend.
Quantoren machen wir morgen, das Beispiel noch. Wenn ich dafür
eine falsifizierende Auswertung habe, also eine falsifizierende Struktur haben will,
A soll irgendwie eine Struktur für F werden.
Und jetzt kann ich mir, bevor ich mir überhaupt irgendwie überlege,
wie ich die einzelnen Sachen interpretiere,
kann ich diese Definition von der Semantik anwenden und mir angucken,
was so gelten muss.
Wenn A eine Struktur für F sein soll hier,
dann muss A von PB oder P von F von B,
das wird eins genau dann, wenn.
Und jetzt geht man die Definition durch. Genau dann,
wenn dieses P von B zu 1 ausgewertet wird oder
dieses P von F von B zu 1 ausgewertet wird.
P von B wird zu 1 ausgewertet,
wenn die Auswertung von B enthalten ist in der Interpretation von
Und P von F von B wird zu 1 ausgewertet,
wenn die Auswertung von F von B, in I von P enthalten ist.
Und das hier gilt jetzt genau dann,
wenn I von BNI von P ist,
oder ihm muss nicht geschwungen sein hier, das kann ein normales I sein,
oder EMI von F von IVB und IP ist.
Soweit kann man das runterbrechen, ohne sich überhaupt irgendwie eine Struktur zu überlegen.
Und jetzt kann man halt anfangen und sich eine Struktur überlegen,
die eins von den beiden Sachen erfüllt.
Wir wollten ja aber hier eine falsifizierende Struktur haben.
Also überlegen wir uns jetzt eine Struktur, die beides nicht erfüllt.
Das heißt, wir müssen P irgendwie so interpretieren,
dass das eine Menge wird,
in der I von B
nicht drin ist
Und auch i von F und i von denen nicht drin ist.
Da habe ich irgendwie, keine Ahnung, für i von P irgendwas nehmen.
Jetzt nehmen wir wieder für das Universum die natürlichen Zahlen und
dann kann man für K sowas nehmen wie die Zahl 5
und dann darf ich weder B als 5 auswerten noch i
von F von 5 zu i von F von B dazu.
Da ist ein Beispiel, wenn wir U auf 1,2 setzen,
i von B auf 1,
während ich i von P auf die Menge 2 setze,
dann weiß ich zumindest schon mal hier, i von B,
also eins ist nicht in der Menge, die zwei enthält enthalten.
Das ist also schon mal falsch, das ist gut.
Und jetzt muss ich noch dafür sorgen, i von B
ist ja 1, dass Die Interpretation von F nach Möglichkeit,
die Eins jetzt eben auch nicht auf Zwei abbildet.
Kann ich mir die so definieren, dass sie sagt,
I von FSF-Strich. Und F-Strich ist im Grunde genommen die Identität.
Eins wird auf Eins abgebildet, Zwei auf Zwei.
Und wenn man jetzt das von hier oben alles einsetzt,
dann hat man hier eben, die letzte Zeile gilt genau dann,
wenn 1 in 2 ist oder F-Strich von 1,
was auch eins ist, in Zwei enthalten.
Also es ist beides nicht gegeben, dann habe ich
eine falsifizierende Struktur.
Für die Nachbereitung zu Hause
Genau. Und morgen machen wir dann hier mit den Quanturen weiter. Da steht noch mal die Anmerkung,
dass man üblicherweise die Funktionssymbole hier,
wenn ich jetzt ein Funktionssymbol F habe, dass die Auswertung,
ich habe es jetzt immer F-Strich genannt oder so,
meistens nimmt man da auch einfach als Funktionsbenenner dann F. Und da muss man sich aber bewusst machen,
dass auf der linken Seite, also hier,
noch ein Funktionssymbol steht und rechts schon was Semantisches.
Also da habe ich dann kein Funktionssymbol mehr,
sondern die Funktion F. Genau,
und morgen machen wir mit den Quanturen weiter in neuer Frische
dann hoffentlich.