Ich glaube, ich muss demnächst mal irgendwie, keine Ahnung,
Dienstagmorgen Klausuraufgaben besprechen, ohne Livestream oder so, ohne Video.
Damit die Leute dann auch mal um sieben Uhr auf die Straße gehen.
Ich glaube, die wissen gar nicht mehr,
wie das aussieht
Wenn die dann so morgens aufwachen und um 8 Uhr so an
die Uni und so, die Uni gibt's auch um 8. Krass.
Das ist aber gruselig. 30 Leute von 400. Schlimm.
Es gab, letztes Jahr war ich auf so einem Kongress
zur, wie soll man das sagen, Lehre.
Sagen wir zur Lehre. So ein Kongress zur Lehre.
Und da hat ein Didaktikforscher, der lustigerweise Schulmeister heißt mit Nachnamen,
also der Herr Schulmeister und Didaktikforscher,
der hat Untersuchungen angestellt zum Zusammenhang zwischen Anwesenheit in der Vorlesung
und Notenerfolg
Und die Korrelation ist aus irgendwelchen Gründen total eindeutig.
Also wer viel in der Vorlesung ist, hat auch eine bessere Note.
Ich weiß gar nicht so genau, warum, weil andererseits weiß man,
dass Vorlesung halt nicht der letzte Schluss ist, was so das Wissensvermitteln angeht.
Also was ja jeder von euch selbst seiner Vorlesung sitzt,
so man kann gar nicht die ganzen 90 Minuten aufmerksam sein.
Aber trotzdem gab es halt diese starke Korrelation. Das hängt wohl irgendwie damit zusammen,
dass die, die in der Vorlesung sind,
dann doch zumindest irgendwie den Chef schon mal gehört haben und
den auch sauber nachbereiten und so.
Während halt bei denen, die nicht da sind,
die Gefahr, dass sie dann sich sagen,
ich gucke es mir später noch mal an,
aber es dann nicht tun.
Die Gefahr ist halt relativ hoch. Also von den 370 Leuten,
die jetzt fehlen, ich glaube nicht, dass die alle im Livestream sind.
Wir können ja mal ein Experiment wagen, lieber livestreamen.
Alle Leute, die jetzt gerade im Livestream sind,
schreiben wir in den nächsten fünf Minuten meine E-Mail.
Mal gucken. Entweder kriege ich jetzt 370 E-Mails oder nur so fünf.
Ich tippe auf nur so fünf. Mal gucken.
Mal schauen. So, Ja, lasst uns anfangen.
Resolution. Wir haben ja gestern Normalform gemacht und Markierungsalgorithmus.
Markierungsalgorithmus für Hornformeln war total praktisch, weil sehr schnell.
Oder auch relativ einfach zu implementieren. Weiteres nützliche Sache.
Aber funktioniert halt nicht bei allen Formeln. Und was wir gerne hätten,
wäre eine Möglichkeit, Formeln auf Erfüllbarkeit oder Unerfüllbarkeit zu prüfen,
die eben, naja, wir werden noch dazu kommen,
dass sie nicht immer sehr schnell sein kann,
weil eben satt NP vollständig ist.
Aber wir hätten gerne eine Möglichkeit,
die dann vielleicht in möglichst vielen Fällen
schön schnell ist
Und die Resolution ist so ein Verfahren. Und da nochmal
zur Motivation, so ein Unerfüllbarkeitstest will man halt haben.
Unter anderem kann man dann eben Formeln auf Erfüllbarkeit prüfen,
aber eben auch solche Beziehungen zwischen Formeln berechnen.
F-Equivalent zu G gilt genau dann, wenn F-Bimpliziert gehende Tautologie ist.
Und gefolgt aus M gilt genau dann,
wenn F impliziert gehende Tautologie ist. Das heißt,
wenn ich die beiden Formeln negiere und dann auf Unerfüllbarkeit teste,
dann weiß ich, ob diese beiden Zusammenhänge da gelten oder nicht.
Kann man mit Wahlzafeln machen,
dauert aber lange
Markierungsalgorithmus für Hornformeln geht schön schnell, schränkt uns aber ein.
Finden wir auch doof. Oder was heißt, finden wir
doof? Für den Anwendungsfall von Hornformeln ist das super.
Aber wenn wir jetzt eben gerade keine Hornformeln haben,
ist das wieder irgendwie unglücklich. Ergo, wollen wir jetzt
was anderes machen? Und Resolution ist ein rein sinntaktisches Verfahren.
Und um uns dem mal kurz zu nähern,
gucken wir uns vorher gleich noch kurz was anderes an.
Das nennt sich Ableitungen. Machen wir nicht so ganz ausführlich,
aber dass man einmal so sieht, was Ableitungen eigentlich sein sollen.
Und die Idee ist, dass ich, wenn ich bestimmte
sinntaktische Strukturen sehe in Formeln, ich Schlussfolgerungen machen kann,
die im Grunde genommen eine semantische Bedeutung haben.
Also aus den taktischen Eigenschaften auf semantische Eigenschaften schließen.
Warum ist das wichtig? Einmal habe ich so gesagt,
naja, dann haben wir halt ein Verfahren,
was vielleicht öfter schnell ist, als jetzt immer Wahrheitstafeln aufzumalen.
War jetzt Tafeln auf dem Malen, dauert halt immer zwei hochendviele Schritte.
Besonders wichtig ist es aber für andere Logiken.
Wenn ich es aus der Aussagenlogik rausgehe,
dann gibt es sowas wie Wahrheitstafeln unter Umständen nicht mehr,
insbesondere in der Prädikatenlogik.
Das heißt, da kann ich dann gar nicht die ganze
Tafel mir aufmalen und da brauche ich dann solche Verfahren,
die irgendwie mit Ableitung oder mit Resolutionen arbeiten
Und um das hier mal zu illustrieren, sind taktische Eigenschaften,
wenn man sich, die sind taktische Muster hier ansieht.
Egal, wie F aussieht. Also F kann jetzt irgendwie
eine riesige Formel sein. Wenn ich das in taktische Muster finde,
dass ich weiß, ich habe da F zweimal,
einmal ist es vorneweg noch negiert und dazwischen ist ein Oder,
dann weiß ich, das ist auf jeden Fall eine Tautologie.
Als große Formel, entweder ist die Null oder sie ist eins.
Und wenn sie eins ist, wird die oder Verknüpfung wahr.
Wenn sie null ist, dann wird halt nicht F wahr
und auch wieder die Ode-Verknüpfung wahr. Das heißt,
wenn das Muster vorliegt, weiß ich, ist Tautologie.
Das ist jetzt noch ein relativ langweiliger Fall,
aber da kann man sehen,
dass ich das allein in einem so taktischen Muster erkennen kann
Bei der Kontralektion genauso. Spannender ist dann sowas,
wenn ich irgendwie F impliziert gehe habe und ich habe F,
wenn ich quasi irgendwo,
ich habe jetzt eine große Formelmenge und ich finde irgendwo diese beiden Muster,
dass ich also irgendwie eine Implikation habe und die Prämisse der Implikation dieses F,
das habe ich irgendwo auch noch alleine.
So, und wenn ich jetzt weiß,
so noch zusätzliches Wissen, ja, das ist beides,
soll beides wahr sein so,
dann kann ich rein aus der Sintax schließen, hey,
dann muss G auch wahr sein.
Und dann kann ich das G eben ableiten,
ohne irgendwie eine Wahrheitstafel zu machen. Genau,
und jetzt kann man eben die Idee ist,
dass ich mir jetzt ganz viele solche Regeln überlege,
dann habe ich letztendlich etwas,
das nennt man Kalkül
Und mit all den Regeln kann ich dann Formeln ableiten.
Und aus all den Formeln, für all die Formeln weiß ich dann,
die müssen alle wahr sein, wenn die ursprünglich gegebenen Formeln,
aus denen ich abgeleitet habe, wahr sind.
Das hier sind so exemplarisch unterschiedliche Regeln. Das,
was über dem Bruchstrich steht, das ist immer das,
was man als Muster irgendwie vorfindet und von dem man weiß oder annimmt,
ja, die Dinger sollen wahr sein.
Und dann darf ich immer das unter dem Bruchstrich Schluss folgern und sagen,
ja, dann muss das auch wahr sein.
Wenn ihr die alle mal so durchgeht,
die machen alle irgendwie Sinn, oben so Konjunktionseinführungen,
wenn ich F und G alleine schon habe, naja,
dann kann ich auch ein Unterzwischenschreiben und das muss immer noch
wahr sein
Wenn ich sowas hier habe, desjuktiver Sylogismus, wenn ich weiß,
F oder G stimmt und ich weiß nicht gehe, stimmt.
Naja, nicht gehe, ist also irgendwie wahr, denn es gehe falsch,
dann gehe falsch ist und F oder G ist aber wahr,
dann muss das F wahr sein, wenn ich das also ableiten.
Dann den hier, den hatten wir eben,
den Modus Ponens und eine ganz klassische Schlussregel,
Modus Tollens und dann hier halt solche Sachen,
irgendwie nur sowas wie Transitivität der Implikation,
wenn ich weiß,
dass wenn F dann G wahr ist und wenn G dann Haar wahr ist,
dann muss eben auch,
wenn F dann Haar wahr sein in solchen Geschichten
Und dann kann ich eben, wie gesagt,
mir einen ganzen Palkül machen mit den ganzen Regeln, ableiten.
Da muss ich mir noch genau definieren,
was es überhaupt bedeutet, ein Muster vorzufinden.
Also was bedeutet es, dass eine Formel,
die Struktur, F impliziert G hat und so.
Und dann kann ich damit halt arbeiten. Also mit den Regeln
kann ich mir so ein Kalkül definieren und kann das dann alles ausführen.
Wollen wir jetzt nicht im Detail machen, nur dass ihr
so eine Idee habt, wo das hingehen kann mit solchen Kalkülen.
Und wir wollen uns ein ganz, ganz spezielles Ableitungsverfahren angucken,
nämlich diese Resolution. Und die ist deswegen speziell,
weil man gar nicht mehr so substanziert,
also dieses Muster vorfinden,
das macht man gar nicht mehr,
sondern das ist
fast schon grafisches Verfahren nachher
Genau, und das ist halt ein spezielles Ablehnungsverfahren,
das mit Conjunktiv, mit Formeln in konjunktiver Normalform arbeitet. Ja,
kann man auch sagen, wir sollen ein Widerlegungsverfahren sein,
weil es auf Unerfüllbarkeit testet, also wenn die Resolution nachher durchläuft,
dann wird das Ergebnis sein, die Formel ist unerfüllbar oder nicht,
wenn sie nicht unerfüllbar ist, dann weiß ich immerhin, sie ist erfüllbar.
Und wenn ihr euch jetzt ein paar von den Regeln,
die wir eben hatten, anseht, die da,
wobei die unteren drei, die habe ich nochmal quasi semantisch umgeschrieben,
da habe ich mir irgendwie bei Modus Pon,
jetzt habe ich mir überlegt, naja, F impliziert,
G ist ja das Gleiche wie Nicht-F oder G,
semantisch, wenn man sich all die Regeln da anguckt,
Er kennt hier ein Muster.
Also erkennt ihr etwas, was bei all den Regeln,
die jetzt möglichst weit rechts immer stehen,
bei all den Regeln passiert die gleiche Sache im Grunde genommen.
Wenn man sich anguckt, was über dem Bruchstrich,
über dem Bruchstrich steht und das, was unter dem Strich steht,
dann passiert da überall eine Sache, die identisch ist.
Und wie ihr sagt jetzt,
da sind überall F und Gs
Genau, eine Variable fliegt raus. Kannst du doch genauer fassen, welche?
Also ich streiche nämlich nicht beliebig, sondern, was passiert immer?
Bitte? Was passiert genauer? Also es wird einige strichen,
das ist richtig, aber du streichst ja jetzt nicht irgendwie,
also warum ist im ersten zum Beispiel, bleibt das F übrig?
Warum bleibt das F übrig? Und beim zweiten bleibt das G übrig.
Was passiert da? Fast nicht, wenn sie mehr,
also auch ja, auch wenn sie Mehrheit einmal auftreten,
aber nicht irgendwie, sondern oder auch integration.
Fast, also ja, also dieses,
man braucht so ein Pärchen, komplementäre Literale,
also einmal so ein F und einmal so ein Nicht-F
und die müssen auch scheinbar irgendwie in den unterschiedlichen sein.
Hier beim ersten habe ich einmal nicht gei und einmal FG
und dann fliegt irgendwie geh und nicht, geh fliegt raus.
Hier sieht man es irgendwie bei dem allerletzten Recht sieht man es noch besser.
Da habe ich einmal nicht FG und einmal nicht GH,
sondern es ist dieses G nicht geh,
das Pärchen komplementäre Literale.
Die fliegen beide raus und die anderen beiden schiebe ich zusammen
Und da... Der gibt tot komische, laute Töne von sich.
Seitdem ich mal in so einer Wohnung gewohnt habe,
wo er mit die Elektrik um die Ohren geflogen ist,
mache ich mir hier immer ein bisschen Sorgen,
wenn es irgendwo neben mir so komisch summt.
Ja. Jetzt stelle ich mich einfach nicht
so direkt daneben
So, genau. Also man schmeißt dieses Pärchenkomplementäre Literale raus
und das ist im Grunde genommen auch schon die ganze Idee bei der Resolution.
Ich mache eine KNF, bei einer KNF habe ich ja ganz viele solche Klauseln,
also immer so Dinger, die irgendwie oderverknüpft sind.
Und dann gucke ich halt immer,
kann ich zwei solche Klauseln finden, derart,
dass in der einen Klausel ein Literal auftritt und in anderen Klauseln gerade das komplementäre Literal.
Und falls ja, mache ich einen Resolutionsschritt und schmeiße
dieses Pärchen komplementäre Literale raus und alles andere schiebe ich zusammen
Und die Idee ist, wenn ich irgendwann,
da fliegt ja immer was raus,
wenn ich irgendwann zu einer leeren Klausel kommen kann,
dann muss ich ja mal sowas gehabt haben,
wie einmal eine Klausel, die F ist,
einmal eine Klausel, die Nicht-F ist, resolviert,
beides rausgeflogen, kann nichts Neues mit dazukommen,
dann ist die Klausel leer.
Und dann ist die Idee dann zu sagen, naja,
dann muss sie unerfüllbar sein. Von der Idee macht es auch Sinn,
weil wenn ich einmal eine Klausel F habe und einmal eine Klausel Nicht-F,
in KNF bedeutet das,
ich habe gerade F und Nicht-F. F und Nicht-F ist so die ganz typische Kontrarektion,
da möchte ich also, dass es unerfüllbar ist.
Das ist also die Kernidee bei der Resolution.
Jetzt muss man noch sich überlegen, warum funktioniert das wirklich
und funktioniert das auch immer.
Aber das ist so die Idee in der Pärchen
komplementäre Literale entfernen
Und das eben dann verallgemeinern. Ja, und da steht es nochmal,
zwei Formeln, sofern sie die Voraussetzungen erfüllen, werden genommen,
eine neue wird generiert und da so als Vorausschau, so wird das dann aussehen.
Jetzt hat man hier einmal so eine Klausel, Nicht-B-C-A,
hier hat man eine Klausel A-B-D,
enttritt links das Nicht-B auf rechts das B,
also dieses Pärchenkomplementäre Literale und da darf ich so einen Resolutionsschritt machen,
wo eben das Nicht-B aus der Einklausel rausfliegt,
das B aus der anderen und alles andere wird zusammengeschoben und dann kriege ich halt als Klausel C-A-A-D,
das Aber, wenn jetzt nur einmal schreiben,
dann hat man als Klausel irgendwie C-A-D,
das wird
gleiche Resolution sein
Gut. Genau. Und wie gesagt,
die Idee ist dann zu versuchen zu leeren Klausel zu kommen.
Und wenn das geht, ist die Formel unerfüllbar. Was wir brauchen,
damit wir nicht hier die ganze Zeit so diese Udas schreiben
und damit wir hier nichts doppelt haben und so,
hat sich eingebürgert, so eine Mengendarstellung zu machen.
Ein bisschen hochtrabend formuliert dafür, dass man im Grunde genommen
einfach aus solchen Dingern hier eine Menge macht.
Also was macht man, wenn ich so eine Klausel habe,
also eine Uda-Verknüpfung von ganz vielen Literalen?
Naja, dann ist die Mengendarstellung dazu eben die Menge,
die all diese Literale enthält. Okay, passiert auch nicht
so viel. Wenn ich eine Formel habe und die ist jetzt in KNF,
dann nehme ich mir halt für jede Klausel, die da drin ist,
nehme ich mir die Mengendarstellung dieser Klausel und packe die dann alle,
also all diese Mengen, packe ich dann wieder in eine Menge und das ist dann die Mengendarstellung von F.
Das macht man deswegen,
weil es dann nachher in den Beweisen einfacher ist,
Dinge zu formulieren, erstens und zweitens, weil die Notation für,
wenn man jetzt wirklich Resolution ausführt, weil die dann einfacher ist,
weil man sich die ganzen Oders und so spart.
Genau, dann die leere Klausel, also die Mengendarstellung zu dem Bottom,
die wird mit so einer Box abgekürzt oder bezeichnet
Und jetzt kann man noch die Art und Weise,
wie der Wahrheitswert berechnet wird, anpassen.
Eigentlich bezieht sich eine Belegung irgendwie auf atomare Formeln oder Formeln.
Und jetzt haben wir die Formeln eben nicht mehr so wie hier als Klausel,
K gleich und dann eine Uder-Verknüpfung von Literalen gegeben, sondern eben als Menge.
Das ist ja im Grunde genommen das Gleiche und jetzt muss man halt anpassen,
was ist der Wahrheitswert dieser Menge. Und dann sagt man eben,
A von K ist das Maximum von allen ALs,
also ich nehme alle Literale,
die in der Klausel sind, gucke mir an,
was ist der Wahrheitswert und von denen nehme ich
das Maximum
Macht deswegen Sinn, weil in der Klausel,
also in diesem K, da ist ja alles oder verknüpft.
Sobald also ein Literal zu eins ausgewertet wird, wird die
ganze Klausel zu eins ausgewertet. Und die Maximumsbestimmung hier,
da sind ja nur Werte eins oder null drin.
Also sobald einer eins ist, ist das ganze Eis.
Und hier Minimum, weil sobald eine Klausel zu null ausgewertet wird,
und die Klauseln sind ja alle unverknüpft, kriege ich als wahrheitswert null.
Und dann kann man damit eben gleich arbeiten.
Ist halt im Grunde genommen nichts anderes, als zu sagen,
was ist eigentlich der Wahrheitswert von dieser Klausel?
Der ist nämlich auch irgendwie das Maximum und der all
den ALIs
Gut. Gut, ja, nein. Einer hat es verstanden,
das reicht mir, mache ich weiter. Ja,
als Beispiel, wenn ich das hier als Formel habe,
drei Klauseln, nicht A oder B, ist eine Klausel,
ehe ist eine Klausel, nicht G oder Nicht-C ist eine Klausel,
dann habe ich eben für die drei Klauseln,
jeweils hier fettgedruckten Kainz-K2-K3-Klauseln in Mengendarstellungen,
da passiert also echt noch nichts,
außer dass ich die Oders weg sind und das in
eine Menge geschrieben wird
Und als Formel F nehme ich mir oder als Mengendarstellung der Formel F,
nehme ich dann jetzt eben diese Mengendarstellung von K1,
K2, K3 und tue die alle in eine Menge.
Dann kriege ich das als Mengendarstellung der Formel F. Und wenn ich
jetzt irgendeine Belegung A habe und ich will jetzt A von K1 ermitteln,
dann sage ich eben, guck dir an, was ist A von Nicht A,
was ist A von B und von denen das Maximum.
Wenn da einmal eine Eins auftritt, dann wird K1
auch zu Eins ausgewertet. Macht ja auch Sinn,
sobald ein Literal hier bei so einer Ruderverknüpfung zu Eins
ausgewertet wird,
ist die Klausel warm
Und hier dann eben das Minimum über die Klauseln,
weil sobald eine davon zu null ausgewertet ist und diese werden ja unverknüpft,
wird das Ganze eben zu null ausgewertet.
Das dazu. Jetzt die Resolvente definieren,
da war ja die Idee, ich habe zwei Klauseln,
K1K2 und in einer dritten Literal positiv auf und in der anderen dritten Literal negativ auf.
Dann ist die Idee, okay,
jetzt kann ich eine Resolvente bilden, aus der,
wo es positiv auftritt, schmeiße ich das Positive raus,
aus der, wo es negativ auftritt,
schmeiße ich das Negative raus,
alles andere vereinige ich.
Also so wie in
Den Beispiel hier, ne? Hier das Nicht-B rausgeschmissen,
das negative Literal, da das B rausgeschmissen, das positive Literal,
alles andere zusammengenommen. Formal. Keins, K2 Klauseln,
Ellen Literal und L tritt in K1 auf und L überdacht,
was jetzt eben gerade das Gegenteil sein soll.
Also wenn L gleich nicht immer, dabei ist LA-Fall,
genau, wenn L nicht A ist,
dann ist das Gegenteil eben A und wenn LA ist,
dann ist das Gegenteil nicht A. Also
genau das Umgedrehte
Also in einem Tritt positiv auf dem anderen negativ.
Und jetzt nehme ich aus K1 das L raus und aus K2
das Gegenteil von L. raus und vereinige dann alles andere.
Und das ist dann die Resolvente von K1 und K2.
Und im Spezialfall, dass K1 gerade nur noch L ist
und K2 gerade nur noch das Gegenteil von L,
dann ist die Resolvente eben leer und wird durch dieses Box-Symbol symbolisiert.
Und da hatten wir ja schon gesagt,
so das Box-Symbol soll zu Null ausgewertet werden, macht auch Sinn,
weil hier gerade sowas wie A und Nicht A vorliegt und dann macht das Sinn,
dass man sagt,
naja,
das kann nicht
wahr werden
Das ist die Resolvente. Und genau, da nochmal die
Definition. Und dann kann man das entweder so schreiben,
wenn man das linear aufschreiben will oder was sich so eingebürgert hat,
diese Darstellung als Diagramm, die wir vorhin auch schon gesehen haben.
Fragen? Klaus meint? Für die Idee? Da kommen
zwei Folien, glaube ich, wo Fett in Rot ist.
Ach ne, jetzt sind noch die Beispiele. Also erstes Beispiel,
tritt das C auf, rechts tritt das Nicht-C auf,
also einmal literalpositiv, einmal negativ, die Beine rausschmeißen, Rest zusammenschmeißen.
Zweites Beispiel, nicht wie auf der linken Seite,
B, auf der rechten Seite, den Rest zusammennehmen.
Und weil das eine Menge ist, brauche ich das A
eben nicht doppelt hinschreiben. Das ist, glaube ich,
genau das Beispiel, was vorher in dieser grünen Box war,
nur dass da das halt noch mit Odas stand und so.
Und hier ist in Mengendarstellung. Und wenn ich eben
das Literal alleine in der einen Klausel habe und genau das
Gegenteil alleine in der anderen Klausel,
wenn ich die reserviere,
dann komme ich eben zur Box
So funktioniert das Verfahren. Und das Interessante ist natürlich nachher,
dass man zeigen kann,
man kann das immer benutzen und wenn eine Formel unerfüllbar ist,
dann komme ich tatsächlich auch zur Box.
Und wenn ich zur Box komme,
dann muss die Formel auch tatsächlich unerfüllbar sein.
Also ein korrektes und vollständiges Verfahren werden wir dann sagen,
als dass man also immer benutzen kann.
Und in der Aussagenlogik ist es sogar so,
ich kann immer alle möglichen Resolventen bilden und entweder ist nachher die Box dabei oder nicht.
Und dann weiß ich eben, Formel ist unerfüllbar oder nicht.
In der Prädikatenlogik wird es nicht mehr so sein.
Wenn ich zur Box komme, weiß die Formel ist unerfüllbar,
aber ich kann auch unendlich viele Resolventen bilden.
Also Verfahren bricht nicht mehr zwingend ab.
So, hier sehen wir, was geht.
Was darf man nicht machen
Schön in Rot, weil das immer wieder falsch gemacht wird.
Sowas darf man nicht machen. Wirklich nicht, nein,
nein, nein und so weiter.
Warum nicht? Da hat man zwei Pärchen von komplementären Literalen,
aber in der Definition steht ja ganz explizit,
ich nehme einmal dieses L aus K1 und einmal das Overline L aus K2.
Die beiden schmeiße ich raus und den Rest vereinige ich. Hier passiert,
ich nehme einmal das Literal Nicht B aus der einen und
dazu das komplementäre B aus der anderen und ich nehme nochmal
das C aus der einen und dazu das komplementäre Nicht-C aus der anderen.
Also ich mache irgendwie mehrere Dinge auf einmal.
Das ist von der Definition nicht gedeckt.
Sowas geht also nicht.
Macht auch keinen Sinn
Wenn man sich überlegt, was für eine KNF da im Hintergrund ist.
Wenn das die Mengendarstellung von der Formel ist,
dann sind diese beiden Mengen da, das sind Klauseln,
also Nicht-B oder C, B oder Nicht-C und die beiden unverknüpft.
Die kann ich aber wahrmachen. Ich werde B zu 1
aus dem C zu 1 aus, dann habe ich eine Belegung,
die die Formel wahrmacht. Wäre also irgendwie doof,
wenn ich zur Box komme und damit behaupte, hey, die Formel ist unerfüllbar.
Das will man also definitiv nicht haben. Klar,
wenn ich B und C zu 1 auswerte,
mit B zu 1 wird diese Klausel wahr,
mit C zu 1 wird die Klausel wahr,
beides unverknüpft ist immer noch wahr
Also da habe ich eine Belegung, die die Formel wahrmacht.
Da macht es keinen Sinn, zu dem Schluss zu kommen
mit dem Verfahren, hey, die Formel ist unerfüllbar.
Das wäre irgendwie ein ziemlich blödes Verfahren dann.
Also das nicht. Und was man auch nicht haben will,
sowas hier, dass ich irgendwie von Nicht-BB komme und sage,
hey, ich reserviere innerhalb der Klausel.
Macht auch keinen Sinn. Zum Reservieren brauche ich
immer zwei Klauseln. Auch da macht es keinen Sinn.
Hier wird die Klausel nicht B oder B ausgedrückt,
die ja nun gerade eine Tautologie ist und eben gerade nicht unerfüllbar.
Also die beiden Sachen nicht. Weder gefühlt zwei Schritte auf einmal machen,
aber das ist deutlich mehr als zwei Schritte auf einmal zu machen.
Das geht nämlich nicht so, wenn ich die resolviere.
Ich kann die resolvieren, da tritt ja ein Pärchen komplementäre Literale auf.
Aber wenn ich die resolviere, was kommt dann raus?
Nicht die Box, sondern? Genau. Genau. Entweder B,
Nicht-B oder C, Nicht-C. Und dann kann ich mit den
beiden zwar weiterarbeiten, aber es bringt nicht so viel.
Also habe ich nicht BB und das kann ich nochmal resolvieren mit einer von den beiden,
aber dann kommt irgendwie genau das Gleiche wieder raus.
Also das bringt alles irgendwie nicht so viel. Also die bringt mir
nichts. Und da geht es halt auf keinen Fall.
Da habe ich irgendwie nur eine Klausel, da kann ich nicht resolvieren.
Ja, und dann definiert man sich noch Ähnlich wie bei
den Ableitungen haben wir jetzt gar nicht gemacht.
Also man führt jetzt mehr schrittige Resolventenbildung ein, dass man sagt,
Rest 0 hoch F ist eben F. Und dann will ich,
Rest 1 hoch F, da will ich sagen,
alles, was in F ist, plus alle Resolventen,
die ich mit zwei Klauseln aus F bilden kann.
Naja, und dann kann ich immer weitermachen.
Dann ist Rest 2 Hoch F quasi all das,
plus das, was ich jetzt noch neu resolvieren kann.
Rest 3 Hoch F ist alles,
was ich bis dahin schon habe, plus das,
was ich neu resolvieren kann und immer so weiter.
Und Rest Sternhoch F letztendlich ist alles,
was ich irgendwie aus Formeln aus F
resolvieren kann
Also bei der Definition, da passiert eigentlich nicht so viel,
außer dass man sagt, das,
was in Res-I hoch F ist, das ist eben das,
was sich durch i-Schrittige Anwendung der Resolventenregel erreichen kann.
Also ich bilde einmal eine Resolvente, nochmal eine Resolvente,
nochmal eine Resolvente. Und wenn ich ihr Resolventen gebildet habe,
das ist all das, was in Res-I hoch F drin ist.
Oder eben bis zu I. Weil alles,
was ich da vormachen kann, ist auch drin.
Fragen. Wenn du eine Tauchduille, du meinst,
wenn du eine so eine Klausel hast,
die für sich genommen eine Tautologie ausdrückt.
Also sowas wie hier bei dem da. Ja,
also die Frage war gerade,
ob man
die einfach weglassen kann
Man kann jetzt nicht einfach löschen, weil wenn es nur die gäbe,
dann hättest du jetzt plötzlich die leere Formel so.
Also da muss man einmal kurz als Spezialfall aufpassen. Aber ansonsten genau,
ansonsten bringt die dir quasi nichts, weil du kannst,
wenn du mit der resolvierst und du hast, nehmen wir mal an,
du hast irgendwo das Nicht-B drin und du sagst,
oh cool, dann resolviere ich damit.
Dann kommt das Nicht-B aus deiner jetzt neuen Klausel da,
das fliegt raus und hier fliegt das B raus,
dann reservierst du die und da kommt von dir das Nicht-B wieder dazu,
also es ist gar nichts passiert.
Und im anderen Fall genauso. Also wenn du mit der resolvierst,
kriegst du genau die Klausel wieder raus, die du vorher hattest,
also wenn du die mit K resolvierst, kommt K raus,
bringt also nichts, die alleine kannst du auch nicht resolvieren so,
also bringt die dir irgendwie überhaupt nichts.
Also genau, kannst du es im Grunde genommen ignorieren
Mithalten, diesem einem Spezialfall, man kann jetzt nicht einfach behaupten,
oh, ich habe nur solche Dinger,
also schmeiße ich die alle weg, also habe ich die leere Klausel,
weil dann hast du nicht die leere Klausel,
sondern die leere Formel, das ist wieder was anderes.
Ja, genau, aber ansonsten,
genau, richtig, kann man ignorieren.
Jo. Sonst noch? Ob man sich in den Sackgas...
Also die Frage war gerade, ob man sich in
eine Sackgasse menugieren kann
Nee, also wenn du jetzt, in der Aussagenlogie ist es so,
du kannst halt immer weiter Resolventen bilden und irgendwann geht es,
irgendwann kommt keine neuen mehr dazu,
weil bei der Aussagenlogik ist es,
gibt es halt so eine obere Grenze, wo man sagt,
Karrieresolventen kann es nicht geben, kann man sich auch gleich überlegen,
welcher das sein muss.
Und genau, die kannst du alle ermitteln und wenn da
die Box nicht dabei ist, dann weiß die Formel das erfüllbar,
weil da ist die Box nicht ableitbar.
Sonne? Ja, ganz kurz, ich war eine
der Arbeiten in Box
Auch nicht mehr so gut. Es gibt ja auch MP.
Nee, mit MP hat es noch nichts zu tun.
Das, was du jetzt meinst, ist so was,
wie wenn du, du nimmst jetzt halt nur in bestimmten Pfad so.
Und dann, ja, wenn du jetzt das spiegelt ja quasi wieder,
dass du aus deiner Formel nur bestimmte Klauseln betrachtest.
Und die können ja weiterhin erfüllbar sein. Und wenn du also,
da könntest du in eine Sackgasse geraten,
ist jetzt nicht so richtig in die Sackgasse,
ist mehr, dass du feststellst, oh,
dieser Weg führt nicht zum Ziel,
also muss ich irgendwie die anderen noch benutzen.
Sonst noch
Gut. Dann, wenn ich die Formel da oben in Klauselmenge habe,
also A, nicht B, nicht A, B,
nicht C, A, B. Welche der fünf Klauseln ist nicht reservierbar?
Also in beliebig vielen Schritten. Reststern von F geht in
beliebig vielen Schritten. Also sprich,
ich reserviere erstmal die drei da miteinander und das,
was dann rauskommt, das darf ich miteinander reservieren oder auch
mit den vorherigen Formeln und so weiter.
Welche von den fünf ist nicht reservierbar
Musik . .
Sehr eindeutig unentschlossenes Bild. Welche Klausel ist nicht in der SCF,
muss ich selbst anlegen, kriege ich A hin,
falls ja wie? Wie? Erste und dritte,
genau, wenn ich die ersten die dritte nehme,
dann bleibt das A übrig, also A und nicht B,
resolviert mit A und B,
also die erste und die dritte,
dann habe ich nicht B in der ersten B in der zweiten,
Pflicht B nicht B raus,
A bleibt übrig
Also die erste geht. Zweite, wie nicht C. Genau.
Zweite und dritte, in der zweiten ist nicht A drin,
in der dritten ist A drin, die beiden fliegen raus,
Rest vereinigen, bleibt B nicht C übrig,
klappt also.
Nicht C, kriege ich das hin?
Hast du C gedrückt
Aber ich habe mich da eingebracht,
was ich jetzt zitieren kann, wo man auch wieder weiter,
mit der Erforschung, mit allem gegessen hat.
Gott, sie steht alleine Gottes, spricht da technisch für.
Es ist ja Meta-Logik plus Verdacht. In Teilen
sechs Leute, deine Meinung. Oh ja, genau,
wie geht fünf? Frage ans Plenum, wie geht fünf
? Wie geht fünf
Genau, das erste und zweite,
und dann nehme ich halt nicht BB als Pärchenkomplementäre Literale.
Da sind ja zwei Pärchenkomplementäre Literale,
kann ich mir so aussuchen, wenn ich es sich nehme.
Ich nehme B, nicht B,
dann fliegen die beiden raus und dann bleibt A,
nicht A, nicht C, übrig.
Gibt keinen Grund, das zu machen mit der gleichen Begründung wie vorhin.
Die stört mich nachher nur, aber die kann ich auch reservieren.
Und die vierte A, nicht C. Welche nimmt man?
Die bereits abgedeutet oder der Punkt
Genau. Zweitens wussten wir schon, dass das geht,
B und nicht C. Und wenn ich B und nichts C
nehme und mit der ersten aus F resolviere, B,
nicht B, fliegt raus und bleibt A, nicht C übrig.
Also nach Ausschlussverfahren müsste es jetzt das dritte sein, es sei denn,
es ist wieder so eine Frage von mir, wo gar nichts stimmt.
Aber ich meine tatsächlich, auf Nicht-C kommt man nicht. Die Falle,
in die man laufen könnte, wäre eben, dass man sagt,
ich nehme die erste und die zweite und tue das,
was verboten ist, was ich nicht tun soll,
schmeiße A, Nicht-A raus und B, Nicht-B,
dann bleibt halt nur nicht sie übrig,
aber das sollen wir ja gerade nicht tun.
Und dann kommt man eben nicht an dieses Nicht-C ran
Wenn man das genau durchführen will,
dann müsste man jetzt alle Resolventen bilden, die gehen.
Wenn ich mich da gestern nicht vertan habe,
dann sollte man aber nicht zu dem dritten kommen können.
Oder hat einer eine Idee, wie man zu dem dritten kommt?
Ne, ne. Ja, doch, das geht nicht.
Also drittens, wer richtig, drittens ist die, die nicht geht.
Wie ist die resolvente Zweierklauseln K1, K2 definiert?
Muss man jetzt nicht die Definition im Kopf für haben,
aber wenn man sich nochmal in Erinnerung ruft,
was gemacht wird, K1, K2 sind die zwei Klauseln,
was mache ich jetzt so?
Ich mache irgendwie, tue ich Dinge weg und ja,
wem entspricht das da
am ehesten
Musik Musik Genau, das Zweite. Die Sachen,
die mit Schnitt zu tun haben,
die sind immer schon, die kann man gleich ausschließen,
weil bei dem Schnitt wahrscheinlich noch sehr viel mehr rausfliegt als das,
was ich möchte, das rausfliegt.
Also erstens so ein fünftens wird es wohl irgendwie nicht sein. Und bei zweitens,
drittens und viertens, da hat es zwar mit Vereinigung zu tun,
aber bei drittens und viertens passiert halt irgendwie zu viel.
Wenn ich bei vierten sage,
ich fahre einige erstmal alles aus K1 und K2 und schmeiße dann die beiden Literale da raus,
dann schmeiße ich eben auch bei den Beispielen,
die wir vorhin hatten,
mit diesem,
dass irgendwo A und Nicht-A-Auftritt in der Klausel,
dann schmeißt die da plötzlich beide raus
Was ich ja nicht will, ne? Ich will irgendwie aus einer Klausel
das Literal positiv rausschmeißen und aus der anderen Klausel das Literal negativ.
Und das wird eben nur durch diesen zweiten Fall erreicht, dass ich sage,
aus K1 schmeiße ich das positive raus aus K2, das Negative.
Und das, was übrig bleibt, das vereinige ich.
Letzte Frage, wie die erste quasi, wenn ich die
Klauselmenge da habe oder die Formel da habe in der Klauselmenge.
Wieder die Frage, welche Klausel ist jetzt nicht in
diesem Reststern von F
Musik Musik Musik Ja, super. Die anderen gehen alle A,
nicht C, geht tatsächlich als einzige nicht die anderen kriege ich meistens relativ schnell, ne?
AC kriege ich hin, wenn ich die erste und dritte
reserviere. A, nicht B, C und B,
C. Ich bin nicht B, Pärchenkomplementäre Literale, bleibt A, C übrig.
A, nicht B, tritt irgendwie nur hier auf, ne?
A, nicht B, das C kriege ich weg,
indem ich mit Nichts sehe, reserviere, bleibt A,
nicht B, übrig.
Nicht A, hier nicht A, C mit dem Nichts
hier reservieren, bleibt das nicht erübrig. Und die Box,
die kriege ich, wenn ich hier nichts sehe,
mit B, C und nicht C mit Nicht-AC,
also überall das C rausschmeißen,
dann habe ich B alleine,
nicht A,
alleine und nicht C alleine
Jeweils alleine. Also genau die, die hier auftreten,
jeweils alleine und dann reserviere ich die halt nach und nach alle drei
mit der Klauselmenge und dann bleibt da irgendwie immer nur,
wird immer einer weniger, bis es leer ist.
Also ist die Box ableitbar und dann werden wir nachher feststellen,
dann muss die Formel sogar unerfüllbar sein.
Und dieses A-Nicht-C, kann man sich auch überlegen,
dass das nicht geht, nicht c tritt hier alleine auf.
Das heißt, immer wenn ich das resolviere,
dann fliegt C-Nicht-C aus dieser Klauselmenge raus,
dann habe ich das nicht zehn nicht mehr und ich kriege
das nicht irgendwie zu so einem A dazu.
Also das wird definitiv
nicht funktionieren
Das ist so... Ach genau, hierbei zweitens,
bei der Frage hier, da war ja nur gefragt,
wie diese Reservente definiert ist und das hier,
das macht natürlich nur Sinn, wenn L1 auch in K1
drin ist und L quer hier auch in K2 drin ist.
Also die Definition ist ja,
sein K1 kann zwei Klauseln mit L-Element aus K1 und L-Querelement
aus K2. Deswegen steht das hier nochmal explizit.
Ja, super. Was wir jetzt machen wollen,
jetzt haben wir das Verfahren, jetzt haben wir auch so
eine grobe Vorstellung dafür, wie das Verfahren funktioniert.
Und das macht natürlich nur Sinn, wenn das Verfahren jetzt
auch irgendwie tatsächlich immer die richtige Antwort liefert.
Also wenn die Box rauskommt, dann soll die Formel auch tatsächlich unerfüllbar sein.
Und was auch immer eine sehr schöne Eigenschaft vom Verfahren ist, diese Vollständigkeit.
Ich kann auch wirklich jede Formel da reintun und kriege das
richtige Ergebnis. Also wenn ich da eine Formel reintue,
die tatsächlich unerfüllbar ist, dann kommt auch die Box raus.
Das wollen wir zeigen. Also eine Klauselmenge ist unerfüllbar. Genau dann,
wenn die Box ableitbar ist und die Richtung von rechts nach links,
die nennt man eben hier die Korrektheit, wenn die Box ableitbar ist,
dann ist F unerfüllbar und Vollständigkeit eines Verfahrens,
wenn F unerfüllbar ist,
dann ist die Box ableitbar.
Das macht irgendwie im Studium immer mal wieder,
sorgt immer wieder für Verwirrung,
was diese Korrektheit und Vollständigkeit bedeutet
Da gibt es ja manchmal so Antworten wie,
wenn man das in der mündlichen Prüfung fragt,
sagen die Leute oft sowas wie, ja, korrekt ist es,
weil es korrekte Antworten liefert und vollständige, weil es korrekt ist.
Ja, es trifft es jetzt nicht ganz so.
Die Idee ist ja, ich habe irgendwie ein Verfahren.
Und um jetzt überhaupt von Korrektheit und Vollständigkeit reden zu können,
muss ich das Verfahren mit irgendwas in Beziehung setzen,
was ich damit überhaupt tun will.
Und hier ist diese Beziehung, also das Verfahren ist irgendwie zur Box zu kommen.
Das ist aber erstmal nur ein Verfahren. Die Beziehung,
die ich herstelle, ist dazu, dass ich sage,
Formel ist unerfüllbar oder nicht. Wenn ich so eine Beziehung
nicht habe, wenn ich nur das Verfahren habe,
macht es ja gar keinen Sinn, von Korrektheit zu reden.
Also ich muss ja irgendwie mal sagen,
was ich denn damit ausdrücken will mit dem Ergebnis.
Und hier will ich ja ausdrücken, die Formel ist unerfüllbar.
Und Korrektheit sagt dann auch, naja,
wenn dein Algorithmus das Ergebnis liefert, die Formel ist falsch,
dann ist das auch tatsächlich unerfüllbar, dann ist es auch tatsächlich so.
Das ist immer der Korrektheitsbegriff. Verfahren liefert irgendwas. Wenn dein Verfahren diese Box liefert,
womit du ausdrücken willst, dass die Formel unerfüllbar ist,
dann ist es auch tatsächlich so, dann ist die Formel unerfüllbar.
Und die Vollständigkeit eines Verfahrens sagt immer,
dass alle Fälle, die ich hier haben möchte,
also wenn so eine Formel unerfüllbar ist,
dann liefert mein Verfahren das auch tatsächlich.
Vollständigkeit. Wenn ein Verfahren nicht vollständig ist,
dann bedeutet es, es gibt unerfüllbare Formeln,
die ich
da reinstecken kann
Für die mein Verfahren dann aber möglicherweise sagt, ui,
da bin ich mir nicht sicher. Dann ist das Verfahren vielleicht
immer noch okay, es liefert ja keine falschen Aussagen,
es sagt dann halt nur bei einigen Formeln, weiß ich nicht.
Ist noch okay, ne? Damit kann man auf jeden Fall
noch mehr anfangen, als wenn ich ein Verfahren habe,
das bei einigen unerfüllbaren Formeln auch bei einigen erfüllbaren Formeln auch die Box sagt oder so.
Das wäre richtig blöd, das will man nicht haben.
Aber allgemein will man auch Vollständigkeit haben. Also Korrektheit,
das, was das Verfahren liefert, sollte auch das sein,
was ich haben will und Vollständigkeit für alle diese Formeln,
die diese Eigenschaft haben,
liefert mein Verfahren das auch
Ja. Nicht zwingend. Also wenn es nicht unerfüllbar sagt,
also vielleicht tut es das ja gar nicht. Es kann ja sein,
dass das Verfahren dann wieder in dieser Situation ist,
dass es bei solchen Formeln dann gar nicht anhält.
Also dass das Verfahren eben auch tatsächlich nur bei unerfüllbaren Formeln
überhaupt anhält und sagt, Box. Und bei den anderen Formeln
eben nicht zwingt. Und dann weißt du halt wieder nicht,
hält das irgendwann nochmal an und sagt, ja,
die Formel ist unerfüllbar, also Box,
oder terminiert das gerade gar nicht, weil die Formel nicht unerfüllbar ist.
Bei der Prädikatenlogik zum Beispiel wird das so sein,
dass wir sagen können,
wenn ich zur Box komme,
dann ist die Formel unerfüllbar
Aber das Verfahren terminiert halt nicht zwingend und dann weißt du halt nicht,
ist diese Formel oder Filber,
kommt da irgendwann noch die Box oder wenn ich gerade irgendwo in die Irre gelaufen oder irgendwie,
vielleicht ist die Formel erfüllbar oder sowas und dann kann man mit dem Verfahren nicht ganz so cool arbeiten wie mit solchen,
aber immer noch okay ändern.
Als Mensch behilft man sich dann meistens,
indem man sagt, naja,
wenn ich bei der Formel gehe ich davon aus,
nach zwei Minuten müsste mal das Ergebnis produziert worden sein,
wenn ich nach einer Stunde noch keins habe,
dann ist ja wohl irgendwie entweder mein Algorithmus falsch oder die Formel der Filber.
Als Mensch kann man sich da ja immer behelfen oder in
vielen Fällen. Jo, das wollen wir jetzt machen.
Eine Klauselmenge ist unerfüllbar genau dann,
wenn die Box ableitbar ist
Da nochmal so als komplettes Beispiel,
was wir eben so gemacht haben, schon in den Fragen,
wenn ich jetzt so eine große Formel habe oder eine größere Formel habe,
dann bin ich zuerst die Klauselmenge und dann resolviere ich halt.
Und hier sieht man auch so mehrschrittige Resolventen,
was wir eben ja auch schon gemacht haben,
dass sich die Sachen, die ich resolviert habe,
die kann ich jetzt halt wieder benutzen.
Ich kann die auch benutzen,
um wieder mit irgendwas da oben zu resolvieren.
Also alles, was ich resolviert habe, kann wieder miteinander resolviert werden.
Da gibt es also keine Einschränkungen. Ziel ist einfach,
zur Box zu kommen. Sieht schon einer,
warum es nur endlich wie eine Resolventen geben kann
Also wenn ich mit sowas hier anfahre, mit sowas
hier anfange, warum kannst du endlich viele Reserventen geben?
Nicht, weil es kürzer wird. Das kann ja auch
länger werden, wenn ich irgendwie zwei Klauseln resolviere,
die aus vier, warte, aus vier Literalen bestehen.
Dann kommt da vielleicht eine der Länge sechs raus.
Also mit kürzer hat es erstmal noch nichts zu tun.
Ins eine. Ja, man könnte sagen, 4,
4 ist acht und dann kommt nur sechs raus.
Das könnte man irgendwie versuchen zu argumentieren,
geht aber
noch eleganter
Nö, ich kriege die auch wieder rein. Also insbesondere,
wenn ich sowas habe, wie B, nicht B irgendwie,
dann kriege ich die auch wieder irgendwie dazu.
Wäre das noch nicht. Wie können,
wenn ihr Sonneformel hier habt, das da oben?
Da tritt ja eine endliche Anzahl von verschiedenen atomaren Formeln auf.
Also A, B, C, D und dann irgendwann Schluss.
Und wie viele unterschiedliche Klauseln kann ich jetzt bilden?
Das sind ja Mengen. Jede atomare Formel kann in
der Klausel positiv auftreten. A, negativ auftreten,
nicht A, positiv und negativ auftreten.
A, nicht A und
gar nicht auftreten
Mehr Fälle gibt es nicht. Und wenn ihr jetzt irgendwie
K-Fiele habt, für jeder habt ihr immer vier Möglichkeiten,
dann habt ihr vier hochk verschiedene Klauseln.
Und dann weiß man, es gibt nur endlich viele. Und irgendwie,
werde ich die ja, also entweder höre ich schon vorher auf,
weil nichts Neues mehr dazukommt oder nach,
wenn ich alle vier hochk habe, kann nichts Neues mehr dazukommen.
Also so Sachen wie, BBB ist halt die gleiche Klausel wie B,
also die da mehrfach zu haben, macht keinen Sinn,
wegen dieser Mengennotation.
Also gibt es nur vier hochk-Fiele. Und dann weiß ich
, das Verfahren terminiert auf jeden Fall.
Machen wir auch nachher nochmal, aber so von der Idee,
dass ihr schon mal gehört habt
Nee, da kommt ja nichts Neues dazu. Wenn du die Tortologieklauseln hast? Genau,
aber du machst es ja nicht so,
dass du immer wieder machst, nur weil es geht,
sondern du gehst los in deiner Weisschleife, du sagst irgendwie,
okay, ich habe jetzt 100 verschiedene Klauseln,
ich resolviere jetzt alles miteinander, was geht.
Und wenn du das gemacht hast, erzählst du nochmal,
wie viel habe ich denn jetzt?
Und wenn du weiterhin 100 Klauseln hast,
dann weißt du, oh, ist nichts Neues dazugekommen,
also wird auch beim nächsten Schritt nichts Neues dazukommen, also kannst aufhören.
Ansonsten hast du recht, wenn man immer nur guckt,
kann ich noch resolvieren, dann könntest du immer weitermachen unter Umständen,
das wäre doof.
Und in der Prädikatenlogik werden wir aber sehen,
dass ich tatsächlich auch immer wieder Neues resolvieren kann und
deswegen habe ich kein Abbruchkriterium,
kann immer was Neues dazukommen
Ja, so, jetzt machen wir Resolutionssatz, also den hier,
Klausemenge unerfüllbar, genau dann, wenn ich die Box ableiten kann.
Und dann wollen wir daraus einen Algorithmus ableiten, um auf Unerfüllbarkeit
zu testen. Algorithmus ist dann relativ einfach, resolvier,
bis es nicht mehr geht und wenn die Box dabei ist,
ist es unerfüllbar. Da nochmal die Mengendarstellung in der Wiederholung,
also alle Klauseln in der Menge tun,
all diese Mengen von Klauseln in der Formel tun und dann
eben hier für die Wahrheitswertberechnung,
A von Cars,
das Maximum über die Literale und A von F
das Minimum über die Klauseln
So, und um den hier zu zeigen,
diesen Resolutionssatz, zeigen wir jetzt als erstes dieses Resolutionslämmer.
Das sagt, wenn ich so eine resolvente bilde,
dann kann ich diese resolvente zu der Formel dazu nehmen.
Also ich mache quasi, das ist da die Mengendarstellung
der Formel, die ich ursprünglich hatte und die Resolvente.
Also Vereinigung drückt da ja und aus auf der Ebene.
Und die Idee ist, dass ich sage,
dass die Formel F und wenn ich die Formel nehme und noch R,
Rand konjugiere, dass das dann äquivalente Formeln sind.
Das sagt das Resolutionslämmer
Deswegen wichtig, weil ich dann weiß,
wenn ich eine Klausel kriege, aus zwei Resolventen, ey Quatsch,
wenn ich eine Klausel kriege aus zwei vorherigen Klauseln durch Resolution,
dann gilt da so ein Äquivalenzbegriff.
Und wenn ich nachher irgendwann zur Box komme,
und ich weiß, die Box ist unerfüllbar, naja,
dann kann ich Schluss folgern, oder der muss auch das vorherige,
unerfüllbar sein, weil das ja alles äquivalent ist.
Dann sagt das Lämmer hier,
das folgt dann ganz schnell aus dem Resolutionslammer,
dass all diese Mengen äquivalent sind,
das sieht man dann ganz schnell,
wenn ich hier irgendwie habe,
dass F und F vereinigt mit R-Äquivalent ist,
dann natürlich auch,
wenn ich noch die nächste Resolvente dazu nehme und die nächste
und die nächste und die nächste und die nächste,
und dann müssen halt die ganzen Mengen hier
äquivalent sein
Das brauchen wir für den Korrektheitsbeweis,
die beiden Sachen und für den Vollständigkeitsbeweis werden wir dann anders vorgehen,
aber beides wird dann eben in diesem Resolutionssatz münden.
Bereit? So, jetzt beginnt der Spaß der Vorlesung.
Also, Resolutionslemmer. Wenn ich das zeigen will,
dann will ich ja eine Äquivalenz dir zeigen. Das heißt,
ich werde davon ausgehen, sei A ein Modell für F,
dann ist es auch eins für F vereinigt mit R,
sei A ein Modell für F vereinigt mit R,
dann ist es auch eins für F.
Das muss ich
irgendwie zeigen
Erster Schritt, wenn A eine Belegung ist,
die jetzt passend ist und so weiter, und angenommen,
die es Modell für F vereinigt mit R. Dann wird hier gesagt,
dann gilt sofort auch, dass sie Modell für F ist.
Darunter steht so, warum? Frage ins Plenum,
warum? Wenn sie Modell ist, verfeinigt mit R,
und das, was ich vorhin so erzählt habe,
was das soll,
da mit einer R-Wert ran konjunktiert und so,
warum ist sie jetzt auch eine für F
Genau. Diese Vereinigung, das ist ja eine Unverknüpfung oder
symbolisiert die Unverknüpfung. Das heißt, wenn ich eine,
nehmen wir mal ein FSK1 und K2 und K3,
also drei Klauseln unverknüpft, dann steht da gerade, A,
ist Modell für K1 und K2 und K3 und R. Das heißt,
die muss jede von diesen Klauseln wahrmachen,
dann muss sie das also auch wahrmachen, wenn ich das eher wegnehme.
Da muss ich also auch K1 und K2 und K3
alleine warm machen.
Das ist relativ einfach
Und F kann auch nicht leer sein,
weil dann könnte ich ja gar keine Resolvente gebildet haben.
Also es ist tatsächlich irgendwie was, was ich wahrmachen kann.
Spannendere Richtung, wenn ich F wahr mache,
dann muss ich jetzt zeigen, dass ich auch eher noch wahrmachen kann.
Also ich muss jetzt zeigen, Ars-Modell für F,
dann ist es also auch eins für F vereinigt mit R.
Dass ich all die Klauseln aus F wahr mache,
weiß ich schon, weil A macht ja F wahr,
aber ich muss jetzt zeigen, sie macht auch Erva.
So, jetzt gucke ich mir erst mal an,
wenn ich weiß, dass sie F warm macht,
was weiß ich denn jetzt überhaupt?
Ich weiß, alle Klausel aus F
mache ich wahr
Gut, dann weiß ich das. Und jetzt kann ich
mir noch überlegen, was weiß ich über R?
Naja, über R weiß ich nicht, sonderlich viel,
außer wie es aussieht. Ich weiß, er hat irgendwie diese Form,
wobei K1 und K2 eben Klausel aus F sind.
Elli ist ein Literal, das in K1 auftritt und L
Quer ist ein Literal, das in K2 auftritt.
Also genau das komplementäre Literal. Das weiß ich.
Und bevor wir gleich die Fallunterscheidung machen,
die Idee ist jetzt, diese Belegung A,
die kann ja nur entweder L war machen oder L Quer
Beide kann ich ja nicht wahrmachen. Die sind ja
komplementär zueinander. L und L quer. Das mache ich
eins davon wahr, das andere mache ich falsch.
Wenn ich das eine aber falsch mache, nehme man,
ich mache das L hier falsch, dann habe ich also K1 wahrgemacht.
L mache ich falsch. Und in K1 ist ja alles oder verknüpft.
Ich habe da also sowas wie I oder J oder P oder L.
So und L mache ich falsch, damit ich das Ganze aber wahr mache,
muss ich also irgendwas von den anderen Dingern bar machen.
Die sind ja oder verknüpft. Sprich, ändert nichts,
dass ich hier das L rausschmeiße.
Ich werde das, was übrig bleibt, weiterhin warm machen.
Weil L habe ich falsch gemacht, um K1 wahrzumachen,
muss ich schon was von den anderen wahrgemacht haben.
Die mache ich auch weiterhin wahr. Und wenn ich,
wenn L quasi der Grund war, warum ich K1 wahrgemacht habe,
also wenn ich alles aus K1 falsch mache,
außer L, und ich schmeiße jetzt L raus,
dann mache ich K1 minus L jetzt nicht mehr wahr,
aber mit der gleichen Argumentation von Ebene,
wenn ich L warm mache, dann mache ich L quer falsch,
dann muss also,
ist in K2 einen anderen Grund geben,
warum ich K2 zu wahr ausgewertet habe
Das ist im Grunde genommen die ganze Idee, ausgeführt,
es gibt zwei Fälle.
Entweder mache ich L wahr oder ich mache 11 falsch.
Wenn ich L falsch mache, mache ich halt L quer war.
Erster Fall, ich mache L wahr,
dann muss ich aber K2 ohne L quer wahrmachen,
weil ich ja K2 warm mache und L quer nicht.
In K2 ist alles oder verknüpft. Wenn ich beinahe Oder-Verknüpfung
eins dieser des Junkte nicht wahr mache,
dann muss ich eins von den anderen wahrmachen.
Damit eben K2 wahrgemacht wird. Und dann mache ich
auch K2 ohne dieses L quer wahr.
Klappt also
Und wenn ich elquer falsch mache,
das ist im Grunde genommen die gleiche Argumentation,
wenn ich quer, wenn ich elf falsch mache,
dann mache ich eh quer wahr.
Also aus elf Falschmachen folgt eben, weil ich ja K1 war,
mache, dass ich dann K1 ohne L warmachen muss.
Das heißt, meine Belegung macht entweder diesen Teil hier wahr
, K2 ohne L quer oder diesen Teil,
K1 ohne L. Ist das nochmal vereinigt,
aber das ändert ja nichts daran, das sind ja dann Oder-Verknüpfungen.
Hier waren es Unverknüpfungen bei F vereinigt mit R, hier sind es Oder-Verknüpfungen.
Das heißt, in beiden Fällen mache ich eher wahr.
Wenn ich also F war, mache und er war mache,
mache ich F vereinigt mit R war.
Dann bin ich also fertig
Fragen? Also immer wenn ich jetzt eine Reservente dazu nehme,
weiß ich, dass es Äquivalent zum Ursprünglichen Also ich verunde die Resolvente quasi ran.
Ich fange mit irgendwie einer Formel an,
dann bin ich eine Resolvente, das ist quasi eine Unverknüpfung,
dann bin ich wieder ein und das ist auch eine Unverknüpfung,
bilde wieder ein und das ist auch eine Unverknüpfung und so weiter.
Und alles das, was da entsteht, ist Äquivalent zum Ursprünglichen,
das ist die Aussage von dem Satz.
Und die Begründung ist halt, wenn ich aus der Resolventen
oder für die resolventen Bildung L und L
Quer hier rausschmeiße und ich weiß aber, K1,
K2 war vorher schon wahr, der muss eins davon weiterhin wahr sein. Ja,
und dann kann man eben dieses weitere Lämmer ableiten,
wie gesagt,
wenn ich irgendwie F habe und ich nehmen jetzt eine Resolvente und pack
die damit undran und dann vielleicht noch eine und noch eine und noch eine,
bis ich alle habe, die ich mit einem Schritt ableiten kann.
Naja, dann sagt das Resolutionslämmer, naja,
das muss alles äquivalent bleiben,
dann müssen auch die ganzen Formelmengen äquivalent sein und das kann ich dann eben weitermachen mit Rest 2,
Rest N und so weiter und letztendlich eben Reststern.
Das folgt dann sofort. Ja, und jetzt sind wir
gut gerüstet, um den Resolutionssatz zu beweisen.
Erste Richtung Korrektheit. Angenommen, wir können die Box ableiten
, dann wollen wir zeigen,
F ist unerfüllbar
Die einzige Möglichkeit zur Box zu kommen, ist,
dass ich irgendwann mal Klauseln resolviert habe oder vielleicht am Anfang schon hatte,
aber irgendwo in meiner Resolutionsableitung gibt es eine Klausel A
und eine Klausel Nicht-A und die reserviert zur Box.
Das ist die einzige Möglichkeit zur Box zu kommen.
Ich darf ja nicht zwei Literale irgendwo rausschmeißen oder so,
das heißt, die einzige Möglichkeit, da hinzukommen ist,
irgendwo A, irgendwo nicht A, reservieren zur Box zu kommen.
Mit dem von eben, das sind ja zwei Resolventen dann irgendwo,
A, nicht A, das Lämmer von eben sagt,
Dass die ursprüngliche Formel zu der Unverknüpfung mit all den resolventen Äquivalent ist.
Das heißt,
ich habe eine Unverknüpfung von ganz vielen Klauseln und unter anderem
tritt er als Klausel A auf und nicht A. Das heißt,
ich habe irgendwie K1 und K2 und K3 und K4 und K5 und A und Nicht A.
Und dieses und A und Nicht A,
das sorgt ja schon dafür, dass die ganze Unverknüpfung nicht erfüllbar ist.
Naja, bin ich schon fertig. Also eine weiße,
die Form ist so dafür, wenn ich irgendwie zur Box kommen kann,
muss ich vorher mal A und Nicht A gehabt haben.
Wenn ich A und Nicht A habe,
ist die Formel unerfüllbar.
Also angenommen, ich kann die Box ja ableiten.
Wir wollen zeigen, dass sie unerfüllbar ist.
Box kann nur durch Resolution von einer Klausel K1,
die nur das Literal Ellen hält und einer Klausel K2,
die nur das komplementäre Literal enthält, entstanden seien.
Jetzt kann man sich überlegen, naja, Box in Reststern bedeutet,
es gibt irgendein I, sodass die Box in Res-I ist,
also dass ich danach I-Schritten hinkomme.
Oder hier habe ich es Ende genommen, ne?
Also wegen der Definition muss es ein N geben,
sodass die Box in diesem Rest N von F ist.
Und wenn die Box da drin ist,
dann sind aber auch die beiden Literalen,
die beiden Klauseln K1 K2 da drin, also die,
die nur das Literal Ell hat und nur das Literal quer
Ja, und weil dann eben da keine Belegung,
sowohl K1 als auch K2 erfüllen kann, ist eben Res-N-Hoch-F unerfüllbar.
Und dann ist, weil die ja Äquivalent sind,
mit dem vorherigen Lämmer und mit dem Resolutionslammer, ist,
wenn Res-N-Hoch-F unerfüllbar ist, muss auch F unerfüllbar sein.
Und dann bin ich schon fertig.
Also Korrektheit geht relativ schnell. Man sagt irgendwie,
okay, wenn ich zur Box kommen kann,
dann muss ich vorher zu A und Nicht-A gekommen sein.
Das ist schon unerfüllbar,
da das Äquivalent ist zu ursprünglich ein Formel,
ist die auch unerfüllbar
Rückrichtung, also Korrektheit, hatten wir,
wenn wir zur Box kommen, ist die Formel tatsächlich unerfüllbar.
Was wir jetzt noch zeigen können, was wir jetzt noch zeigen wollen,
ist, wenn die Formel unerfüllbar ist,
dann komme ich auf jeden Fall auch zur Box.
Oder was heißt auf jeden Fall, wenn die Formel unerfüllbar ist,
dann gibt es eine Ableitung zur Box,
das will ich noch zeigen.
Bei der Aussagenuhr gilt sogar auf jeden Fall,
aber in der Prädikatnologie halt nicht mehr.
Also sei nun F als unerfüllbar angenommen, wir wollen zeigen,
dass sie die Box ableiten kann.
Und die Idee im Beweis ist,
ich mache eine Induktion über die Anzahl der verschiedenen Aussagensymbole in
der Formel
Also wenn da irgendwie A1, A2, A3, A4 auftritt,
über diese Anzahl von verschiedenen Aussagensymbolen oder atomaren Formen, mache ich jetzt eine Induktion. Anfang ist ganz einfach,
wenn ich null habe, also wenn ich gar keine,
gar keine atomaren Formeln in meiner Formel habe, naja,
dann habe ich nur die leere Klausel,
sondern besteht meine Formel aus der leeren Klausel,
die ist auf jeden Fall ein Reststern von F drin,
F ist immer eine Timing von Reststern von F, naja,
und da ist auch die Box drin, das heißt,
die Box ist in Reststern von F
drin.
Um sich ein bisschen abzusichern, kann man nochmal für N
gleich 1 das machen, wenn ich nur eine verschiedene atomare Formel habe.
Und die Formel ist ja unerfüllbar,
also F ist unerfüllbar mit nur einer atomaren Formel,
dann muss es irgendwo so eine Klausel geben,
die nur A ist und eine Klausel, die nur nicht A ist.
Alles die Formel, dann komme ich mit den beiden zur Box.
Also bei der Formel selbst kann es noch sowas sein wie
A oder A oder A und nicht A oder nicht A oder nicht A oder nicht A,
also die Dinger halt beliebig häufig,
aber in der Formelschreibweise reduziert sich das dann ja hinter Mengen schreibweise,
reduziert sich das zu A,
nicht A,
einmal reservieren bin ich bei der Box
Also weiß man auch, okay, für N gleich eins geht das auch.
So, Anfang ist gut. Annahme. Angenommen für jede Klauselmenge,
die nur bis zu enatomare Formeln enthält, klappt das.
Also wenn ich jetzt irgendeine Klauselmenge habe,
die bis zu enatomare Formeln enthält, dann gilt,
wenn die unerfüllbar ist, dann kann ich die Box ableiten.
Ganz wichtig an der Stelle, dass man sich einmal genau überlegt,
was ist jetzt eigentlich die Induktionsannahme,
also die Induktionsannahme ist nicht sowas wie,
wenn ich eine Klauselmenge mit enatomaren Formeln habe,
kann ich
die Box ableiten
Das macht ja überhaupt keinen Sinn,
wenn ich eine Klauselmenge mit enatomaren Formeln habe,
das könnte ja auch eine Tautologie sein oder eine wie auch immer erfüllbare Formel.
Also ich muss schon annehmen, wenn ich eine Klauselmenge habe,
mit enatomaren Formeln und die unerfüllbar ist,
dann komme ich auch wirklich zur Box.
Sowas weiß ich, also das nehme ich jetzt an.
Und zumindest für zumindest für
Nächster Versuch. Zumindest für endgleich null.
Und auch endgleich 1 haben wir uns das eben überlegt.
Aber jetzt nehmen wir halt an, eine Klauselmenge,
die nur einen atomaten Formeln enthält oder bis zu Ende atomaten formeln.
Und die unerfüllbar ist, für die gilt,
ich kann die Box ableiten. Und jetzt kommt der Induktionsschritt
. Und beim Induktionsschritt müssten wir es jetzt irgendwie hinkriegen.
Da haben wir jetzt N plus 1 atomare Formeln.
Und wir müssen es hinkriegen, auf eine Formel zu kommen,
die nur n-atomare Formeln enthält und die wir irgendwie benutzen können im Beweis.
Und die Kernidee im Beweis ist, es reicht nicht einfach zu sagen,
naja, dann streiche ich eine, streiche A1 und dann gucke ich mal, was rauskommt.
Weil das, was rauskommt, ist vielleicht gar nicht unerfüllbar.
Den kann ich meine Induktionsannahme nicht anwenden und so. Das ist doof. Das,
was gemacht wird, ist, der Kern,
die Kernidee ist, ich nehme mir F, also meine Formel,
die jetzt irgendwie aus N plus 1 atomaren Formen besteht und tue mal so,
als würde ich AN plus 1,
also mein neues Aussagensymbol mit null belegen.
Und dann vereinfache ich. Und dann tue ich einmal so,
als würde ich das mit eins belegen und vereinfache.
Dann kommen zwei Formeln raus,
F0 und F1 und bei der einen wurde so getan,
als hätte ich AN plus eins mit null belegt
So getan soll bedeuten, wenn da in einer Klausel AN plus 1 auftrat,
dann habe ich ja sowas wie A1 oder AN plus 1.
Wenn ich so tue, als hätte ich die mit null belegt,
dann kann ich die einfach auf der Klausel rausschmeißen.
Weil der Wahrheitswert der Klausel, der richtet sich jetzt nach den anderen.
Und wenn die negativ in der Klausel auftritt,
dann schmeiße ich die ganze Klausel raus,
weil die dann ja schon wahr ist.
Dann komme ich zu zwei Formeln F0 und F1,
was jetzt machen kann, ist, ich kann zeigen, die sind unerfüllbar.
Sehen wir gleich, warum. Und wenn ich dann weiß,
dass die unerfüllbar sind,
dann kann ich die Induktionsannahme benutzen und dann weiß ich,
bei F0 komme ich zur Box und bei F1
komme ich zur Box
Da habe ich also hier so eine Ableitung von F0,
hier so eine Ableitung von F1. Und jetzt sage ich,
naja, das, was ich eben gestrichen habe,
das füge ich jetzt einfach wieder ein.
Auf der einen Seite habe ich die AN plus 1 gestrichen,
auf der anderen Seite die Nicht-AN plus 1,
wenn ich die wieder einfüge, dann komme ich nicht mehr zur Box,
sondern auf der Seite zur N plus 1,
auf der Seite zu Nicht-AN plus 1,
ein Resolutionsschritt fertig
Beispiel von ihm. Wenn du eine Formel hast mit nur einer atomar,
wenn du eine Formel hast mit nur einer atomaren Tai-Formel,
also eine Formel mit nur einem Aussagesymbol drin.
Zum Beispiel A und nicht A. Nicht erfüllbar.
Nur eine atomare Formel drin. Zwei Literale, einmal positiv,
einmal negativ, aber atomare Formel ist nur eine drin,
das A. A, nicht A. Ja.
Also da ist auch ganz wichtig, dass man sagt,
ich habe jetzt ja eine Klauselmenge,
die jetzt nur eine atomare Formel enthält und die unerfüllbar ist.
Da gibt es eben nur diese Möglichkeit A und nicht A. Also
bis auf so Nicklichkeiten wie A oder A oder A und A oder A oder A
und nicht A oder nicht A oder nicht da oder so.
Wenn du das alles irgendwie reduzierst, dann kommt da irgendwie
raus A und nicht A.
Und die ist unerfüllbar
Und kann er jetzt nicht dir auch überlegen, auch für zwei,
drei, vier und so gibt es immer irgendwelche Unerfüllbaren.
Deswegen ist das okay zu sagen, hier in der Induktionsannahme angenommen,
ich habe jetzt so eine Klauselmenge,
die nur enatomare Formeln enthält und unerfüllbar ist.
Und wenn die unerfüllbar ist, dann komme ich halt zu
dieser Box. Genau, und jetzt der Schritt,
wie eben skizziert, sei es eine unerfüllbare Formelmenge,
die jetzt end plus eins viele atomare Formeln enthält.
Was wir jetzt machen müssen, ist, wir müssen irgendwie
auf eine Formel kommen, die nur Endfiele enthält.
Und die Idee ist, Kernidee des Beweises,
ich baue mir zwei Formeln F0 und F1, Und zwar wie folgt.
Für F.0 tue ich so, als würde ich semantisch AN
plus 1 mit null belegen und dann vereinfachen.
Wenn ich 1 plus 1 mit null belege, dann entsteht F.0,
indem ich jedes Vorkommen von AN plus 1 in einer Cloudel
streiche und bei Vorkommen von Nicht-AN plus 1 die ganze Klausel streiche.
Wenn jetzt so Spezialfälle auftreten wie, ich könnte ja
eine Klausel haben, die nur AN plus 1 enthält.
Wenn ich jetzt so tue, als würde ich die mit null belegen,
dann habe ich da also die Box plötzlich.
AN plus 1 wird ja hier gestrichen, wenn er in
plus 1 in einer Klausel auftritt, dann streiche ich die.
Naja, wenn dann die Klausel danach leer ist,
dann habe ich da eben sofort
die Box
Ist halt so. Werden wir gleich sehen, dass das okay ist.
Macht ja aber auch Sinn, das kommt dann ja halt falsch raus.
Genau, und bei Vorkommen von Nichter NPlus 1
, da streiche ich die ganze Klausel. Auch okay,
weil NPlus 1 zu 0 auswerten, nicht dein Plus 1 ist 1,
dann wird die ganze Klausel auf jeden Fall zu 1 ausgewertet,
kann ich ja rausnehmen.
Für F1 fast das Gleiche. Ich vereinfache,
ich tue jetzt so, als würde ich das mit eins belegen,
dann mache ich das jetzt genau andersrum.
Ein Vorkommen von Nicht-AN plus 1 streiche ich in der Klausel
und wenn AN plus 1 positiv auftritt,
streiche ich die ganze Klausel
Verstehe ich auch nochmal. Jedes Vorkommen von Nicht-Einplus 1 in
der Klausel streichen und bei Vorkommen von Endplus 1 die ganze Klausel streichen.
Jetzt habe ich zwei Formeln, F0 und F1,
die ich irgendwie konstruiert habe. Der Gedanke dahinter ist,
deswegen auch auf 0 und F1,
dieses Endplus 1 der Aussagesymbol entweder mit Null zu belegen oder mit 1. Und das,
warum man das macht, ist, weil man tatsächlich damit jetzt,
wenn man denn jetzt hier gleich zeigen kann,
dass sie unerfüllbar sind,
dann kann ich auf die Induktionsannahme anwenden.
Warum müssen die, warum müssen die unerfüllbar sein?
Ich habe mir ja, ich habe die ja gerade so gebastelt,
dass ich quasi so getan habe,
als hätte ich IN plus 1 mit Null oder 1 belegt
Wenn die jetzt also erfüllbar wären, diese,
nehmen wir mal ein F0 wäre erfüllbar,
dann nehme ich mir genau diese Belegung,
die jetzt F0 wahrmacht und sage zusätzlich noch, naja,
und dann werde ich noch N plus 1 zu 0 aus.
Und dann habe ich plötzlich eine Belegung, die F wahrmacht.
Und wir sind ja losgegangen hier von der Formel da,
F, die unerfüllbar sein soll, sei F eine unerfüllbare Formel.
Wenn ich jetzt also F.0 plötzlich wahrmachen kann,
gucken wir uns die nochmal an, hier F.0,
wenn ich die plötzlich wahrmachen kann, nehme ich mir jetzt mal die Belegung,
die F.0 wahrmacht und setze AN plus 1 zusätzlich noch auf null.
Also werte die noch mit null aus. Dann mache ich plötzlich F.V.,
weil ich habe ein F.0, Die Klauseln gestrichen,
bei denen nicht AN plus 1 auftrat.
Die nehme ich jetzt wieder dazu. Und da ich AN plus 1
jetzt ja zu null auswerte, wird die Klausel wahr.
Also da habe ich plötzlich etwas, was die ganze Formel F wahrmacht.
Das kann nicht sein. Wenn wir denn zeigen können,
dass die unaufhörbar sind, angenommen F-0 hat eine Belegung,
die F-0 erfüllt.
Dann mache ich jetzt Folgendes. All die Aussagensymbole A1 bis AN,
die werte ich so aus, wie Armin das sagt.
Und AN plus 1, die werte ich zu null aus.
Dann habe ich plötzlich eine erfüllende Belegung von
Weil NF ist ja alles so wie bei F0 auch,
bis auf, dass ich diese Klauseln gestrichen habe,
wo er N plus 1 negiert auftrat.
Und genau die Klauseln werden jetzt plötzlich wahrgemacht oder auch wahrgemacht.
Das ist also doof. Das mache ich genauso für F1.
Da habe ich eine erfüllende Belebung, wenn ich alles genauso mache,
aber ein plus 1 zu 1 auswerte, kann es also auch nicht geben.
Das heißt, ich weiß, die beiden Formen sind unerfüllbar.
Und wenn ich weiß, dass die unerfüllbar sind,
dann habe ich jetzt zwei Formeln,
die bestehen nur aus N-vielen atomaren Formeln und sind unerfüllbar.
Und dann sagt mir die Induktionsannahme hier, da.
Dann habe ich jetzt eine Klauselmenge, die nur enatomare Formen enthält und die unerfüllbar ist.
Und dann sagt Minuktionsannahme, dann kann ich die Box ableiten.
Also nach Induktionsannahme kann ich die Box aus F0 ableiten und die Box aus FIs.
Klar. Also erster Schritt, ich überlege mir, hey,
ich will eine Induktion machen über die Anzahl der atomaren Formeln.
Dann lege ich los, eine Induktionsannahme kriege ich hin,
eine Induktionsannahme kriege ich hin und im Schritt kreative Akt,
muss ich mir irgendwie überlegen, wie komme ich auf Formeln,
die NoSN-atomaren Formeln bestehen und die Idee,
die hier verfolgt wird, ist,
ich tue mal so,
als würde ich das neue Aussagensymbol 1 plus 1
mit null belegen oder mit
Und dann merke ich, hey, die Formel sind unerfüllbar,
also kann ich die Inuktionsannahme anwenden, dann weiß ich,
ich kann die Box ableiten.
Und was weiß ich dann, wenn ich die Box ableiten kann? Das bedeutet,
wenn man das jetzt nochmal durchexerzieren will, es gibt ein F0,
so eine Folge von Klauseln, K1 bis KM,
sodass die letzte in der Folge eben die Box ist.
Ich sage ja gerade, ich kann die ableiten.
Und all die Klauseln davor sind eben entweder schon in der Formelmenge
drin oder es sind Resolventen von zwei Klauseln, die ich davor resolviert habe.
Gleiche für F1 mit eben diesen Klauseln hier. K1 bis
KT, kein einstimmiges KT-Strich. Und was man jetzt macht,
ist, man hat ja in F0 in den Klauseln,
das, was hat man gestrichen,
das AN plus 1. Also in F0 habe ich das IN plus 1 gestrichen.
Da bin ich ja davon ausgegangen, ein plus 1 wird
auf null gesetzt, also streiche ich das in den Klauseln.
Ich habe auch, um zu F0 zu kommen,
komplette Klauseln gestrichen, aber die spielen ja jetzt keine Rolle,
die Klauseln, die ich komplett gestrichen habe in F0,
die können hier bei K1 bis KM ja gar nicht auftreten.
Die gibt es ja gar nicht in F0.
Um 11-0 zu kommen, habe ich Klauseln gestrichen,
die können da also nicht auftreten.
Aber hier können Klauseln auftreten, bei denen ich im Vergleich
zu F das AN plus 1
gestrichen habe
Und ich nehme jetzt genau diese Resolventenbildung hier und überall,
wo dieses Einplus 1 drin ist, da füge ich das wieder ein.
Das führt dazu, dass ich bei dieser ganzen Resolventenbildung,
wenn da einmal irgendwie 9 plus 1 auftritt,
dann schleppt sich das die ganze Zeit mit durch und ich habe
keine Ableitung mehr zur Box, sondern zu AN plus 1.
Also ich führe allen plus 1 in diese Klauseln wieder ein,
dort, wo es gestrichen wurde.
Und dann habe ich eine Folge von Klauseln, die mir eben zeigt,
dass ich AN plus 1 ableiten kann in Reststern von F.
Weil wenn ich in diese Klauseln der N plus 1 wieder einfüge,
dann habe ich plötzlich Klauseln, die in F sind,
dann habe ich eine Ableitung in F,
eine Resolutionsableitung und da kommt eben AN plus 1
dann am Ende raus
Kurz Anmerkung hier, die zweite zuerst noch,
die hatten wir schon hier, zur Herstellung von F.0
wurden die Klauseln mit Nicht-AN plus 1 gestrichen.
Die spielen jetzt aber keine Rolle, weil die eben bei
den K1 bis Kheim nicht auftreten. Das heißt,
hier kann eben nicht noch zusätzlich das Nicht-AN plus 1 auftreten oder so.
Da kann nur das 1 plus 1 auftreten. Und zweite Anmerkung,
es könnte ja sein, dass ich hier nur Klauseln benutze,
bei denen AN plus 1 gar nicht auftritt.
Naja, dann komme ich auch in F zur Box und bin sofort fertig.
Also dann habe ich Sofortbox auch in den Reststern von F.D.
bin ich sofort fertig. Also der spannende Fall ist eigentlich nur,
dass das tatsächlich passiert, dass ich da oben irgendwo
eine Klausel benutze mit AN plus
Wie ich das aber habe, dann kann ich die gleiche
Argumentation hier mit den Klauseln K-1-Strich bis KT-Strich machen von F1.
Und da füge ich ja aber das Nicht-AN plus 1 wieder ein.
Und da habe ich zwei Ableitungen in F. In der Einableitung
habe ich ja N plus 1 abgeleitet, in der anderen Nicht-AN plus 1.
Da bin ich fertig. Also ebenso erhält man aus denen
durch Wiedereinführung von Nicht-AN plus 1 die Folge,
die mir zeigt, dass ich nicht einen plus 1 ableiten kann.
Ja, und dann habe ich das da.
Insgesamt kann ich jetzt AN plus 1 ableiten und ich kann nicht
einen plus 1 ableiten und dann noch einen Schritt machen,
die beiden resolvieren.
Und dann habe ich
die Box
Das zeigt die Vollständigkeit. Also, rekapitulieren.
Erster Schritt, Korrektheitsbeweis, basiert auf dem Resolutionslammer.
Einfach sagen, wenn ich die Box ableiten kann.
Wenn ich die Box ableiten kann, dann muss ich vorher
irgendwie so ein A und so ein Nicht-A mal abgeleitet haben.
Und weil mir das Resolutionslammer sagt,
dass die alle äquivalent sind,
also dass die ursprüngliche Formel mit der Formel und AN
und nicht äquivalent ist,
weiß ich unerfüllbar
Und bei Vollständigkeitsbeweis, vollständige Induktion über die Anzahl der atomaren Formeln machen,
diese beiden Formeln, F-0 und F-1 konstruieren, also vorher natürlich Induktionsanfragen und Induktionsannahme,
dann F-0 und F-1 konstruieren, zeigen, dass die unerfüllbar sind.
Induktionsannahme benutzen und AN plus 1 und nicht einen plus 1 in die beiden Ableitungen wieder einführen. Das ist da so die komplette Idee. Genau,
kurze Nebenbemerkung noch, das klappt so, wie wir es gemacht haben,
hier klappt das erstmal nur mit so einer endlichen Klauselmenge für F. Andere Sachen brauchen wir auch erstmal nicht,
aber man kann das verallgemeinern für unendliche Klauselmengen,
dann braucht man eben noch diesen Endlichkeitssatz aus diesem Kapitel 1.4 bei Schöning,
das war das Kapitel, habe ich jetzt übersprungen,
so die anderen Kapitel haben wir jetzt gemacht im Schöning,
der Kapitel zur Aussagen, Logi,
haben wir da jetzt gemacht.
So 1, 1, 1, 1, 2,
1, 3, 1, 5. Nur,
dass da unten Werdeendlichkeitssatz, also wenn ich eine Menge von Formeln habe,
dann ist die genau dann erfüllbar,
wenn jede endliche Timinge von M erfüllbar ist.
Also spannend für Mengen M mit unendlichen Formelnmengen,
für unendliche Formelmengen M ist das spannend.
Und wenn man den Satz hat, dann kann man eben sagen,
okay, damit klappt Resolution auch für solche.
Fragen. Zum Resolutionslemmer,
Resolutionssatz und so weiter
Typische Klausuraufgabe, was ist Zeile 4 in dem Beweis
oder so, was man halt so Fragen hört.
Zeile 4, achtes Symbol. Ja,
das war wirklich eine gute Frage, so Multiple Choice.
Was ist das achte Symbol? Fragen, Fragen,
Fragen von den Fragen. Okay, dann einmal,
um euch zum Schluss noch ein bisschen zu triezen,
der Resolutionssatz besagt,
welche Richtung war Korrektheit
Musik Ja, genau, oder? Wenn ich die Box ableiten kann,
dann ist die Formelion der Filme, das ist Korrektheit.
Also wenn das, wenn die Ausgabe des Verfahrens tatsächlich damit übereinstimmt,
warum ich das Verfahren überhaupt mache,
dann ist das die Korrektheit des Verfahrens.
Dann das Resolutionslammer besagte, Babadamm, an welcher Stelle im
Beweis des Resolutionssatzes haben wir das gebraucht beim Korrektheitsbeweis, beim Vollständigkeitsbeweis?
Oder haben wir es da gar nicht gebraucht?
Könnt ihr euch an eine Stelle erinnern,
wo ich gesagt habe, und da brauchen wir
voll wichtig
das Resolutionslammer
Ich hätte noch mal so viertens dazu nehmen müssen,
viertens, nein, ich habe die letzte Stunde geschlafen.
Fünftens,
Resolutions, was
In zwei, oh, die Mehrheit verliert. Beim Korrektheitsbeweis
haben wir es gebraucht, ne? Beim Vollständigkeitsbeweis, ja
, nee, da brauchen wir das nicht, ne?
Beim Vollständigkeitsbeweis machen wir die ganze Zeit diese vollständigen Deduktionen über
die Anzahl der atomaren Formeln. Und da brauchen wir ja nirgendwo,
dass wir eine resolvente bilden und dass die dann auch wieder äquivalent ist.
Das benutzt man halt. Wir wollen ja nur irgendwie zur Box kommen.
Beim Korrektheitsbeweis brauchen wir das. An der Stelle,
wo wir sagen, wenn ich also zur Box komme,
dann muss ich vorher mal zu A und Nicht A
gekommen sein
Und das muss dann ja Äquivalent zu ursprünglichen Formel sein,
also die ganze Unverknüpfung. Und da ist genau dieses,
dann sind F- und F-Vereinigt mit R-Äquivalent.
Wenn es einmal das R-A-Eimer ist, das R nicht A,
und dann muss also F-Äquivalent sein zu F-Vereinigt mit A vereinigt
mit Nicht-A. Und das ist es nicht, ne?
Also beim Korrektheitsbeweis brauchen wir das einmal ganz doll.
Und letzte Frage, uh, beim Beweis der Vollständigkeit
wird im Resolutionssatz eine Induktion worüber gemacht?
Das geht auch in mündlichen Prüfungen immer munter durcheinander.
Deswegen hier nochmal
Musik Ja, das ist knapp die Mehrheit.
Es ist keine strukturelle Induktion. Strukturelle Induktion wäre sowas wie,
wir zeigen, dass es für atomare Formeln gilt.
Dann zeigen wir, dass es unter der Annahme,
dass es für zwei Formeln F und G gilt,
auch für Nicht-F gilt und F und G und F oder G und sowas.
Und das wäre hier auch sehr schwierig,
das mit einer strukturellen Induktion zu machen,
weil man dann irgendwie argumentieren müsste, welche Formeln unerfüllbar sind.
Und es lässt sich schwierig argumentieren, dass ich irgendwie sage,
wenn F und Ge unerfüllbar sind, dann ist auch F impliziert ge-unerfüllbar.
Das ist ja zum Beispiel nicht so. So müsste ich irgendwie noch mitbenutzen,
bei welchen Verknüpfungen ich das überhaupt machen darf und so.
Also strukturelle Induktion ist ganz doof. Wir machen eine vollständige Induktion über
die Anzahl der Aussagensymbole oder die Anzahl der atomaren Formeln der verschiedenen eigentlich.
Ja, da steht es auch nochmal.
Über die Anteil der verschiedenen atomaren Formeln
Super. Da machen wir nächstes Mal weiter.
Resolutionsalgorithmus dann. Im Grunde genommen, sagt der Resolutionsalgorithmus,
nur Bastel so lange weiter resolventen,
bis du zur Box kommst oder bis nichts Neues mehr passiert.
Das wird dann der Resolutionsalgorithmus sein. Da werden wir uns
einmal kurz angucken mit dieser Idee von vorhin,
dieses 4 hochk, dass der auch tatsächlich immer terminiert.
Wenn ich immer weitere Resolventen bilden könnte, dann würde der nicht zwingend terminieren.
Wenn es aber eine obere Grenze gibt, muss der terminieren.
Das machen wir noch einmal ganz kurz. Nächstes Mal seht
ihr schon, da sind nur noch so sechs,
sieben Folien.
Das heißt,
nächstes Mal einmal
das wiederholen
Dann einmal ganz kurz noch reinschnuppern in Einschränkung der Resolution,
Stichwort P- und N-Resolution. Und dann haben wir dieses Thema Aussagenlogik
auch schon abgeschlossen und machen dann nächste Woche mit Prädikatenlogik weiter.
Also so Quanturen und solche Geschichten. Also noch mal ein
bisschen Resolution. Und dann Sintax und Semantik der Prädikatenlogik.
Super, das war anstrengend heute, ne? Gut,
dann Fragen. Ersten, zweiten, dritten, vierten.
Dann schöne Woche und wir sehen uns nächsten Montag.