Was sagt die Uhr? Oh, ja.
So. Wollen wir? So, gestern haben wir Sintax und
Semantik von den Aussagen
logischen Formeln eingeführt
Also wie man Formeln aufschreiben darf, die Sintax und wie
man die dann auswertet. Also wann so eine Aussage
logische Formel wahr ist, wenn sie falsch ist.
Sehr viel mehr passiert da auch noch nicht. Man kann
sich unterschiedliche Sachen vorstellen, die man jetzt machen könnte.
Man könnte irgendwie die Jungtoren erweitern, man könnte irgendwie,
so wie eine Präkatenlogik, mit diesen Quantoren und sowas,
wer da schon mal gesehen hat, sowas einführen.
Man könnte versuchen, weitere Wahrheitswerte einzuführen.
Also neben wahr und falsch könnte man ja sich noch überlegen,
irgendwie zumindest noch einen dritten einzuführen für irgendwie unentschlossen oder irgendwie sowas.
Und dann kommt man zu weiteren Logiken,
das kann man
alles machen
Wir bleiben jetzt erstmal bei der Aussagenlogik und Syntax und Semantik haben wir bisher,
aber wir haben irgendwie noch gar keine Beziehung zwischen Formeln.
Und da wollen wir jetzt hin,
also wenn man nochmal so an den Wahrheitswerteverlauf sich erinnert,
also sprich, ich mache eine Wahrheitstafel und dann werde ich
die komplett aus und dann ist die Spalte,
ist der Wahrheitswerteverlauf der Formel.
Und wenn ich jetzt zwei Formeln hätte, die komplett den gleichen Wahrheitswerteverlauf haben,
dann sind die so aus der Sicht dessen, dass ich sage,
mich interessiert, der Wahrheitswert sind die komplett gleich.
Und das wird dann Äquivalent sein und Folgebarkeit ist sowas ähnliches.
Da geht es halt darum, dass man sagt,
wenn ich mir wieder den Wahrheitswerteverlauf angucke und wenn ich eine Formel habe,
die überall da war,
ist,
wo die andere Formel auch wahr ist
Dann möchte ich sagen, okay,
dann folgt die aus der anderen Formel. Eine Belegung,
die die erste Formel wahrmacht, macht auch die zweite Formel wahr.
Dann kann ich sagen, okay, dann genügt es quasi,
dass die erste Formel wahrgemacht wird, um zu sagen,
dann muss die zweite auch wahrgemacht werden.
Also folgt das einfach aus der ersten. Das ist so
das erste große Thema, mit dem wir uns heute beschäftigen wollen.
Und das zweite mit Normalform, das werden wir noch einmal so am Ende kurz antouchen.
Und damit beschäftigen wir uns dann primär nächste Woche.
Also Normalform sind uns ja bei Chomsky Normalform zum Beispiel begegnet.
Da geht es immer darum, eine Form zu haben.
Da sind taktische Formen, in die ich alle äh Objekte,
die mich gerade interessieren, also in diesem Fall Formeln,
in die ich die alle überführen kann.
Und dann hat das hoffentlich irgendwelche sinnvollen Eigenschaften,
mit denen ich arbeiten kann
Erstmal wiederholen wir nochmal. Definition der Sintax. Alle
atomaren Formeln sind irgendwie Formeln, also alle, nee,
anders, alle Aussagensymbole sind Formeln, nämlich atomare Formeln.
Dass hier ASAL, das war die Menge der atomaren,
der Aussagensymbole und hier als erstes steht, jedes Aussagensymbol ist auch eine atomare Formel.
Das ist so das, was man nachher, wenn man
strukturelle Induktionen machen will, für die zeigt man es im Induktionsanfang.
Und dann kann man sich die komplexen Formeln definieren,
wenn man sagt, wenn F und G schon Formeln sind,
dann ist auch nicht öffene Formel,
F oder GF und GF impliziert G und FB impliziert
G. Alles komplexe Formeln
Und dann kann man das eben endlich oft anwenden,
diese Schritte 1, 2, 3. Und das,
was man dadurch so erzeugen kann, das sind alles die Formeln der Aussagenlogik.
Und auch wieder als Menge hat man dann hier dieses geschwungene
LAL für Language der Aussagenlogik, also Sprache der Aussagengut.
Ja, das ist die Sintax. Und darauf haben wir uns dann noch angeguckt,
Strukturbäume haben wir uns einmal kurz so Exkursartig mir angeguckt und
darauf so ein bisschen Grad und Tiefe definiert,
dass wir zwei Beispiele haben,
um für diese strukturelle Rekursion und strukturelle Induktion haben wir uns angeguckt.
Für strukturelle Induktion sehen wir heute
auch ein Beispiel
Das war die Sintax. Und bei der Semantik haben wir dann gesagt,
mit so einer Belegung, AAS weiß ich erstmal jedem Aussagesymbol,
also jeder atomaren Formel, einen Wert von 0 oder 1
zu, 0 für Falsch 1 für wahr.
Und die erweitere ich dann nach diesem Prinzip dieser strukturellen Rekursion,
erweitere ich die zu einer Funktion, die ebenfalls Belegung genannt wird,
die eben jeder Formel einen Wahrheitswert von 0 oder 1 zuweist.
Für jede Belegung sieht die dann anders aus.
Und definiert wird die so,
dass sie erstmal auf den Aussagesymbolen mit der ursprünglichen Belegung übereinstimmt
Und dann wird eben geguckt, was bei den Jungtoren passieren soll. Da hat man eben gesagt,
bei dem nicht, drehe ich den Walzwirt um,
bei dem oder ist F oder G genau dann eins,
wenn eben mindestens A von F oder A von G schon eins ist,
also mindestens eins davon, beim und genau dann,
wenn die beide eins sind und so weiter, Implikationen,
Bimplikationen.
Genau, und dann hat man diese Mantik definiert und
so sehe ich das alles in der Wahrheitstafel aus.
Da hat man hier links immer für die atomaren Formen alle Möglichkeiten,
die zu belegen und jede Zeile in der Wahrheitstafel ist dann
eben eine Belegung mit den Wahrheitswerten,
die diese Belegung eben den komplexeren Formeln irgendwie zuweist
Jede Spalte in der Wahrheitstafel ist ein Wahrheitswerteverlauf für die darüber stehende Formel und jede Zelle,
also jetzt hier nur so ein so ein Ding,
das sagt eben, das gibt den Wahrheitswert an,
die die Formel unter der Belegung dieser Zeile eben hat.
Also das, was hier ganz rechts oben steht,
dass es eben der Wahrheitswert der Formel A,
Bi impliziert B, zugewiesen wird unter der Belegung,
die eben das A zu 0 auswertet und das B auch zu null.
Wenn man das für größere Formeln machen will, dann ist hier nochmal so das Vorgehen,
dass man irgendwie so eine Tafel aufbaut, Links üblicherweise die ganzen verschiedenen Aussagensymbole notieren, die in F auftreten.
Und dann werden die zeilenweise eben von 000 bis 1-1-1 durchnummeriert. Oder nicht durchnommen,
die werden halt belegt,
aber so mit so einer Binärsichtweise ist das hier,
da sieht man ja auch irgendwie 0-0,
es bieten ja die 0, 0-1,
es bin ja die 1, 1-0,
es bin ja die 2 und 1-1,
es bin ja die 3. Genau,
und dann zerlegt man F,
also die Formel,
die einen interessiert,
immer weiter am Hauptoperator und notiert die einzelnen Teilformen in dieser Tafel
und bestimmt dann eben immer für die kleinen Teilformel den Wahrheitswert und aus den Wahrheitswerten,
die man dann ermittelt hat,
ermittelt man dann für die großen Formeln
den Wahrheitswert
Bis man schließlich irgendwie hier zuletzt den Wahrheitswerteverlauf von F hat.
Beispiel, die Formel, da hat die schon irgendwie umständlich aussieht.
Wie viele Zeilen hat die? Also ich darf jetzt nicht
als Tafel machen, wie viele Zeilen wird die Wahrheitstafel haben.
Nee. Acht. Da vorne ist noch das
C-B impliziert und dann hier halt den Rest da.
Und dann irgendwie drei verschiedene Aussagensymbole. Und dann kommen da eben acht Zeilen raus.
Also insbesondere zählt das A oder so jetzt nicht doppelt.
Das sind jetzt zwar fünf verschiedene atomare Formeln,
die da drin auftreten, wenn man so möchte,
aber halt nur drei verschiedene, also auch nur drei Aussagensymbole.
Und ich kann A halt nur einmal mit 0 oder 1
belegen und jetzt nicht irgendwie zwei As in die Wahrheitstafel schreiben.
Also acht Zeilen werde ich kriegen.
Wie viele Spalten kriege ich? Wenn ich mir wirklich
jede Teilformel hinschreibe
Ja, wenn ich alle Teilformeln hinschreibe, wie viele Spalten kriege ich?
Also sprich, wie viele Teilformeln hat die Formel?
Ja, ich glaube auch. Ich bin mir jetzt nicht
guter Präsident sicher, aber ich glaube auch acht, ne?
A, B, C, dann nicht A,
nicht A oder B, A und B,
die Implikation und die Biimplikation.
Also sollten irgendwie acht werden. So,
und jetzt hattet ihr zwei Minuten Zeit,
um darüber nachzudenken,
wie sieht der wahlswerte Verlauf aus
Ich war selbst überrascht, als ich das gestern aufgeschrieben habe.
Da wird, sieht es einer? Nee, ne?
Sieht man, glaube ich, auch nicht so.
Ist irgendwie das, was hier hinten steht, die Implikation.
Da werden wir gleich sehen, dass das eine Tautologie ist,
sprich, dass das überall eins ist.
Könnte man sich auch schnell überlegen. Die Implikation wird ja dann wahr,
wenn der vordere Teil der Implikation, also die Prämisse,
wenn die Null wird oder wenn der hintere Teil wahr wird.
Null wird der vordere Teil hier in allen Fällen,
außer wenn A und B
eins sind
Also kriege ich schon mal für alle,
egal was ich mit A und B mache,
außer wenn es beides eins ist, ist das hier schon mal eins das Ganze.
Und wenn es aber beides eins ist,
dann steht hier hinten wegen dem oder B auch eine Eins.
Sprich, die Implikation wird schon mal als Wahrheitswerteverlauf alles Einsen haben,
also eine Tautologie. Und wenn ich dann C-B impliziert eine Tautologie mache,
naja, dann habe ich also mein C und auf der rechten Seite,
das wird immer zu eins ausgewertet,
dann kriege ich genau den gleichen Wahrheitswerteverlauf wie bei C. Wenn C zu eins ausgewertet wird,
habe ich eins bi impliziert, eins, ist auch eins,
und wenn C zu 0 ausgewertet wird, null biimpliziert,
eins, ist auch eine Null.
Könnte man sich also tatsächlich irgendwie überlegen, in dem Fall,
vielleicht eine Wahrheitstafel, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7,
8. Und gehe das halt durch.
Irgendwie links, wie gesagt, die Aussagensymbole, die verschiedenen,
die in der Formel auftreten und dann hier Bienia durchgezählt.
Und dann guckt man halt, das Nicht-A brauche ich,
das tritt hier bei dem Nicht-A oder B auf.
Nicht-A wird 1, wenn A 0 ist und 0,
wenn A 1 ist. Und dann A und B,
Nicht-A oder B. A und B wird nur eins,
wenn sowohl A als auch B1 sind,
was nur hier unten bei den letzten beiden Zeilen
der Fall ist
Nicht A oder B, naja, überall da,
wo nicht Arne 1,
das kommt schon meine einzelnen und dann kann man sich bei den letzten vier Zeilen nochmal angucken,
was ist da mit dem B,
Zeile 5 und 6, das ist halt null,
dann kriege ich da null hin, A und B impliziert,
überall, wo A und B eine Null hat,
da kommt da schon mal eine einzelnen,
also in die ersten sechs Zeilen und für
die siebte und achte gucke ich dann hier,
steht bei beiden da eins und dann kommt da auch
ein einzelner und dann muss ich nur noch die Bi-Implikation auswerten
und dann bin ich fertig
Genau. So, und das Verfahren so für einen Menschen,
so bis zu irgendwie vier, vielleicht noch fünf oder auch sechs,
wenn man es drauf anlegt, Aussagesymbolen mag das noch funktionieren,
also sechs wird schon irgendwie nicht mehr lustig.
Eigentlich wird das schon ab vier nicht mehr lustig,
aber so eine Weile kann man das noch machen,
so 16 Zeilen, 32 Zeilen oder so,
mit dem Computer kann man das noch ein bisschen weiterspielen,
bis irgendwie 20 Aussagesymbole, 30,
bei 40 wird es schon unangenehm.
Immer wenn da bei jedem Zehner-Schritt kommt ja so ein Faktor 1000
ungefähr dazu. Also bei zwei hoch zehn ist Jahrtausend,
wenn da so zehn Aussagesymbole habt,
habt ihr zwei hoch zehn,
also grob 1000 Zeilen,
Faktor 1000, habt ihr eine Million bei 2 hoch 30,
Faktor 1000, habt ihr eine Milliarde bei 2 hoch 40,
Faktor 1000, habt ihr eine Billion.
So eine Wahrheitstaffel mit einer Billion Zeilen aufmalen, das macht schon keinen Spaß mehr.
Wer immer noch meint, dass das geht,
tut einfach nochmal so ein Zehner-Ding dazu oder noch eins
so und dann ist man im Bereich, wo man sagt,
okay, das zwingt dann jeden Computer irgendwie in die Knie.
Also mit dem Verfahren wird es auf lange Sicht nicht gehen.
Wenn man sagt, ich interessiere mich dafür,
wie hier der Wahrheitswerteverlauf aussieht,
dann irgendwann wird das mit Wahrheitstaffeln nicht mehr
so die gute Idee sein,
da braucht man
irgendwas anderes
Noch ein paar Definitionen. Die oberste hier,
die war gestern leider gar nicht auf den Folien.
Eine Belegung heißt passend zu einer Formel F, wenn sie jedem Aussagesymbolen F einen Wahrheitswert zuweist.
Einfach so eine technische Sache, dass man sagen kann,
okay, es gibt Belegungen, die passen zu einer Formel oder nicht.
Und das wird uns gleich in den Beweisen ständig begegnen,
dass man vorneweg immer sagt, okay, sei die Belegung passend.
Man kann sich auch einfach darauf einigen, dass man davon ausgeht,
okay, wenn es mir um Belegung geht und so,
dann sind die von vornherein immer passend zu allem,
was in den Formeln, die ich gerade benutze,
auftreten,
dann ist das auch okay,
dann braucht man das
gar nicht
Ja, dann hatten wir Modell, also eine Belegung A,
die eine Formel F wahrmacht, ist ein Modell für F,
nennt man auch eine erfüllende Belegung.
Die Formel F wird von dieser Belegung erfüllt, wahrgemacht.
Und wenn sie sie zu falsch auswertet, dann ist es eine falsifizierende Belegung.
Genau so, dann kann man das hier noch verallgemeinern,
dass man veröffentlicht eine Formel nimmt, sondern eine Formel Menge.
Da sagt man dann, wenn die Belegung alle Formeln in der Menge
warm macht, dann ist sie Modell für die Menge.
Weil wenn die Belegung alle Formeln in der Menge wahrmacht,
ist die Belegung Modell. Und die leere Menge,
also die Menge, die gar keine Formeln enthält,
die ist immer erfüllbar,
also die wird von jeder Belegung wahrgemacht
Genau, das war das. Und dann hatten wir noch die Definition,
F ist eine erfüllbare Formel, wenn es eine Belegung gibt,
die sie warm macht. Es ist eine falsifizierbare Formel,
wenn es eine Belegung gibt, die sie falsch macht.
Es ist eine kontingente Formel, wenn es beides gibt,
also wenn ich die sowohl wahr als auch falsch machen kann,
unerfüllbar, wenn es gar keine Belegung gibt,
die sie warm macht, allgemeingültig,
wenn jede Belegung sie wahrmacht.
Oder als Wahrheitswerteverlauf, unerfüllbar, wenn da nur Nullen stehen,
allgemeingültig, wenn da nur Einsen stehen, Kontingent,
wenn im Wahrheitswerteverlauf sowohl eine Null als auch eine Eins irgendwo steht.
Und was dann üblicherweise interessiert ist, gegebene Formel,
in welche dieser drei Klassen gehört die
Das wird deswegen interessant, weil wir gleich sehen werden,
dass so Begriffe wie Folgerbarkeit und Äquivalenz und so,
dass die auf solche Fragen zurückgeführt werden können.
Also dass, wenn ich mich dafür interessiere, sind zwei Formeln eigentlich äquivalent.
Also es ist bei zwei Formeln der Wahlswerteverlauf komplett identisch,
dann kann ich das zurückführen auf die Frage,
ob eine bestimmte andere Formel eine Tautologie ist.
Deswegen kann ich diese Eigenschaft testen, wenn ich einen Tautologie-Tester hätte.
Das ist so die Idee, warum einen oft interessiert,
einfach nur eine Formel in solche Klassen einzuteilen.
Und wie gesagt,
dann will man nachher nicht einfach die ganze Zeit immer nur Wahrheitstafeln aufmalen,
weil das die Möglichkeiten von einem so ein bisschen sprengt und
da braucht man eben andere Mittel,
um das zu machen
Erstmal fragen von euch noch.
Sind tagsklar, Semantik klar. Erstens. Dann ist die
folgende Wahrheitstafel korrekt
Untertitel der Amara.org-Community Rehe ihr drückt viertens
Also einmal kurz absprechen und dann so, 0-0, 0-30.
Das sieht auch gut aus. Nein und nein, Fehler
in. Wie macht man das, wenn man in Westeuropa
eine Vorlesung hält? In Westeuropa weiß man ja,
die Leute lesen von links nach rechts und von oben nach unten.
Also wo versteckt man typischerweise den Fehler?
Ganz weit rechts unten. Also hier bei der allerletzten Stelle
, da ist der Fehler.
Ja, und wenn nicht B0 ist, dann weiß man schon,
braucht man eigentlich gar nicht mehr weitergucken,
dann weiß man, die Implikation muss wahrgemacht werden.
Und hier steht nicht B impliziert, A, steht hier
ganz rechts unten, nicht B impliziert, A, wäre falsch.
Und wenn nicht B, aber falsch ist,
dann ist nicht B impliziert, A, auf jeden Fall richtig.
Unabhängig von A, aber kann man auch nochmal gucken,
A ist 1, okay.
Dann guckt man in der Wahrheitstaffel nach und dann weiß man
nicht B impliziert, A, ist muskbar sein.
Und all die anderen Stimmen, wenn ich das nicht falsch gemacht habe,
hat jemand noch einen anderen Fehler gesehen irgendwo?
Nö, ne? Ich meine auch, die anderen
sind richtig
So, typische Fragen, die auch gerne mal in den
Klausuren gestellt werden. Also da werden dann irgendwie fünf,
sechs solche Formeln gegeben und es steht da so zum Ankreuzen,
Tautologie, Kontradition, Kontingent, erfüllbar, falsifizierbar,
kotzen die das Richtige an.
Also wenn keine Kontradition ist, Tene, Tautologie und F-Kontingent,
in welche Kategorie gehört dann die da stehende Formel?
Ist die auch unerfüllbar, also auch eine Kontradition sowie K,
ist die auch allgemeingültig,
also auch eine Tautologie sowie Tee oder ist die Kontingent sowie
F,
welchen Wahrheitswerteverlauf hat die
Macht jede Belegung, die wahr, macht jede Belegung, die falsch.
Gibt es Belegungen, die die wahr oder falsch machen?
Kontingent sagen, die meisten. Wie geht man an sowas
ran? Man überlegt sich vom Wahrheitswerteverlauf K ist eine Kontradiktion,
wird also immer falsch gemacht. Und dann habe ich links etwas,
was immer falsch ist und das verknüpfe ich oder mit F.
Da wird also genau der Wahlswerte Verlauf von F rauskommen.
Null mit dem Wahlswert von F verknüpft,
wird immer der Wahlswert von F. Null oder 1 mit 1,
0 oder 0 wird null.
Also genau der Wahlswert von F wird rauskommen. Das heißt,
so K oder F kann ich, entweder kann ich mir merken,
ja, das wird auch wieder Kontingent oder ich merke mir,
da steht sogar genau F.
Und dann habe ich etwas, was Kontingent ist und verknüpft
mit einer Tautologie. Tautologie ist immer wahr, Das heißt,
wenn ich irgendwas habe und das mit etwas verknüpfe,
was dem weiß, wird eins hat,
dann kommt da immer der andere Wahrheitswert raus.
Wenn ich eins und eins mache, kommt da eins raus,
wenn ich null und eins mache, kommt da null raus.
Ergo-Kontingent, ne? Eine Belegung, die das Ganze falsch
macht, ist eine, die F zu 0 auswertet.
Kabel zu 0 ausgewertet, F wird zu null ausgewertet,
dann steht da null, null und eins,
steht da immer noch null.
Und eine, die das Ganze wahrmacht, ist eine,
die F zu 1 auswertet.
Das ist K oder F1 und T, auch wieder eins.
Also Kontingent ist richtig. Gleich mal zum Üben
das Ganze nochmal
Nur anders. Also irgendwie die Dings gedreht,
die Jungturen. Allgemeingültig, ja. K und F,
K ist immer falsch
Wenn ich etwas, was immer falsch ist und verknüpfe,
dann kommt da was raus, was immer falsch ist.
Also diese Nullwert, der setzt sich quasi durch.
Und dann habe ich da etwas,
was immer falsch ist oder verknüpft mit einer Tautologie.
Tautologie macht es immer wahr, fertig. Würde sogar reichen,
mir den rechten Teil anzugucken. Also wenn ich weiß,
bei einer Oder-Verknüpfung, ich habe eine sehr komplexe Formel X
und die wird oder verknüpfen in der Tautologie.
Naja, dann weiß ich diese sehr komplexe Formel X,
brauche ich mir gar nicht angucken. Ich weiß ja die Formel,
diese Tautologie wird immer zu eins ausgewertet und dann wird die Oder-Verknüpfung immer zu eins ausgewertet.
Eine der Begründungen auch, warum man an vielen Stellen eben
gar nicht die ganze Wahrheitstafel aufmalen muss. Wenn ich weiß,
hier rechts steht da diese Tautologie und links ist irgendwas,
was von mir aus aus 50 verschiedenen Aussagensymbolen besteht,
brauche ich mir ja gar nicht angucken,
ist mir ja egal, was das für ein Wahrheitswerter hat.
Ich weiß, da kommt insgesamt
immer eins raus
Da kann ich sparen. Wenn ihr üben wollt,
könnt ihr sowas nehmen hier,
dann nehmt ihr euch KF und Tee und bastelt irgendwelche Formeln
und knallt irgendwelche jungen Toren dazwischen und überlegt euch immer,
was kommt denn da raus.
Und wenn ihr bei euch bei irgendwas nicht sicher seid,
dann macht ihr eine Wahrheitstafel, dann könnt ihr es direkt ablesen.
Wie viele Zeilen hat die Wahrheitstafel? Wenn ich für die Formel
hier eine Wahrheitstafel machen würde, wie viele Zeilen hat die?
Also ja, aber nee. Kann man genauer sagen,
wie viel hat denn F
Weißt du was? Zwei, genau.
Zwei ist gut. Ich weiß, Cars eine Con-Relektion,
also steht da immer null, egal wie die intern aussieht.
Da brauche ich also für Car nicht irgendwie drei verschiedene Zeilen
machen oder irgendwie sowas oder zwei oder fünf oder so.
Da steht eh immer eine Null. Ich weiß,
bei T steht immer eine Eins, brauche ich auch nur eine Zeile für.
Also da habe ich eine Zeile bisher, wo K0 ist und T1.
Und F ist Kontingent, da weiß ich,
da kann eine Null rauskommen oder eine Eins.
Und für die beiden Fälle gibt es dann eben jeweils eine Zeile.
Da gibt es die Zeile, K0, T1,
F0. Und es gibt die Zeile K0, T1, F.
Was habe ich eben vergessen? Eins, ne?
Also die beidens heilen gibt es
Ist man relativ schnell fertig. Fies ist es,
wenn da jetzt noch sowas drin ist,
wie wenn man sagt, Karl, eine Kontradition, Tee,
eine Tautologie und F und G, beides Kontingente formeln.
Dann würde man zuerst sagen, ja, wahrscheinlich halt vier verschiedene Zeilen,
weil F und G beide 0 sein können,
0-1, 1-0, 1-1.
Und da muss man ein bisschen aufpassen,
dann könnte es ja theoretisch sein,
dass der Wahrheitswert von F und G voneinander abhängt.
Also, dass gar nicht alle vier Konstellationen auftreten.
Da müsste dann in der Aufgabe sowas stehen,
wie F und G sind kontingente Formeln,
die keine Aussagensymbole gemeinsam haben
Dann sind die Wahrheitswerte unabhängig voneinander und man ist fertig.
Typisches Beispiel wäre, wenn man für F einfach A nimmt,
also die atomare Formel A und für G die atomare Formel
Nicht A. Beides kontingente Formeln, aber es ist nicht möglich,
beide auf Null zu setzen oder beide auf eins zu setzen,
weil die ja immer genau den unterschiedlichen Wahrheitswert haben.
Fragen dazu? Fragen, wir sind zweitens,
ja gut. Super. Das war es so, Synthaxemantik
Die Sachen sind sehr wichtig für den ganzen Rest der Vorlesung,
dass man diese ganzen Begriffe drauf hat mit Autoutologie, Kontraliktion, Kontingent und so.
Und jetzt geht es darum, Begriffe oder eine Beziehung zwischen Formeln einzuführen.
Und die erste Beziehung, die wir einführen wollen,
ist die Folgebarkeitsbeziehung, die ist beispielsweise in der KI sehr wichtig,
wenn man weiß, ich habe in meiner Datenbasis bestimmte Fakten,
von denen ich weiß, dass die gelten.
Und dann möchte ich daraus Dinge folgern.
Da möchte ich sagen, naja, wenn ich weiß,
dass das gilt und das gilt und das gilt,
dann muss auch das gelten.
Und das wird durch diesen Folgebarkeitsbegriff formalisiert. Da sagt man,
wenn ich so eine Formelmenge M habe,
das ist die Datenbasis,
dann sage ich eine andere Formel F,
die folgt aus dieser Formelmenge
Wenn jede Belegung, die Modell ist für M,
also die alles in M wahrmacht, auch es wahrmacht.
Notation hier wieder mit diesem Models-Zeichen,
M Models F. Genau, also die Idee wäre dann,
ich mache eine Wahrheitstafel, zum Beispiel meine Wahrheitstafel.
Und dann gucke ich mir genau die Zeilen an,
wo alle Formeln in M wahrgemacht werden. Weil hier steht,
jede Belegung, die ein Modell für M ist,
also gucke ich mir genau die Belegungen an,
die Modell für M sind, sprich die alles in M wahr machen.
Und die Belegungen, die müssen dann eben auch für F-Modell sein.
Sprich in der Wahrheitstafel, auch da,
wo F steht, muss eine 1 stehen.
Wenn das gegeben ist, dann sage ich,
okay,
die Formel folgt daraus
Und wie gesagt, das ist deswegen interessant,
weil man dann eben so Sachen machen kann,
wie in einer Datenbasis oder aus einer Datenbasis
neues Faktenwissen zu generieren oder eben zu überprüfen,
ob ein gegebenes neues Faktum tatsächlich gilt.
Bitte? Ob in F mehr wahr sein darf.
Ja, sehen wir auch gleich noch im Beispiel.
Die Forderung hier ist nur, dass jede Belegung,
die Modell für M ist, auch Modell für F ist.
Und nicht noch zusätzlich, dass man sagen würde,
in F darf nichts weiteres wahr sein.
Das wird dann eher gleich so durch diesen Äquivalenzbegriff gefordert,
wo man sagt,
die Wahlswerte verläufen müssen komplett identisch sein
Genau. Also die Notation hier und einmal schon mal kurz zum einfacher Schreiben,
wenn ich eine einelementige Menge habe,
also wenn ich eine Menge M habe,
die nur eine Formel enthält, dann notiert man das einfach so.
Ja, G-Models F, dass man dann quasi diese geschweiften Klammern um Geh sich spart.
Und F folgt aus der Formel G. Gut, Filme,
dass man mit Leben, oben nochmal die Definition,
da drunter, das hier will ich jetzt zeigen.
Also das A oder B aus A und B folgt.
Macht irgendwie Sinn zu sagen, naja, wenn ich weiß,
dass A und B gilt, dann gilt ganz bestimmt auch die Oder-Verknüpfung.
Aber um das mal einzuüben, Ich mache eine Wahrheitstafel,
A und B, A oder B und ich gucke mir jetzt die Zeilen an,
die alle Formeln der linken Seite wahrmachen.
Auf der linken Seite gibt es nur eine Formel,
also gucke ich mir die Zeile an, die A und B warm,
die Zeilen an die A und B wahrmachen.
Da gibt es aber nur diese eine, die letzte.
Und dann gucke ich mir an, wird da auch die Formel,
von der ich wissen will, folgt die,
wird die auch wahrgemacht, also dieses A oder B,
das ist der Fall.
Also kann ich sagen, okay, das folgt.
Also A oder B folgt aus A und B. Und das,
wie gesagt, hier bei A oder B,
dass da noch, dass es dafür noch weitere Modelle
gibt,
das ist egal
Wichtig ist nur, guck mir die Zeilen an,
wo meine linke Formel quasi wahrgemacht wird und in der Zeile oder in denen es heilen,
da musste noch die rechte Formel wahrgemacht werden.
Anderes Beispiel, ein bisschen größer. A, impliziert,
B und B, impliziert C. Daraus soll folgen A,
impliziert C. Macht auch wieder irgendwie Sinn, wenn ich weiß,
wenn A, dann B und wenn B, dann C,
und ich weiß, dass es beides war, dann kann ich Schluss folgen.
Naja, der muss ja auch gelten, wenn A,
dann C. Das ist ja so ein transitives Schließen so, ne?
Da brauche ich schon acht Zeilen für die Wahrheitstafel,
weil ich irgendwie drei verschiedene Aussagensymbole habe
Dann so aus. Weil dagegen checken so, hier A,
B, C, wieder wie näher durchgezählt und dann A impliziert B, überall,
wo A 0 ist, also die ersten vier Zeilen,
da wird das auf jeden Fall wahr.
Und dann hier unten noch in der siebten und achten,
weil da beides wahr ist. Also nur die beiden Zeilen,
wo A wahr ist und B, falsch,
die werden bei der Implikation falsch gemacht.
Also macht man das Ganze auch für B impliziert,
C und für A impliziert C. Und jetzt muss man sich
alle Zeilen angucken, wo alle Formeln der linken Seite wahrgemacht werden.
Also die erste Zeile und die zweite Zeile muss man sich angucken,
da werden die beide wahrgemacht, die dritte nicht,
da wird nur die eine wahrgemacht,
die vierte ist wieder wichtig, fünfte, sechste,
siebte nicht,
Dann guckt man, ob in diesen Zeilen,
also in der ersten, der zweiten, der vierten und der achten,
ob da überall auch bei allem impliziert 10-1 steht.
Ist so, also kann man wieder sagen, okay,
die Formel folgt, also A, impliziert C,
folgt aus, A impliziert B und B impliziert C.
Wie könnte ich, ja
Die Frage ist gerade, welche Vorteile die Mengen schreibweise hat,
gegenüber der Schreibweise die Formel in der Menge uns zu verknüpfen. Keine besondere,
läuft aufs Gleiche hinaus,
mit der semantischen Brille läuft das Gleiche hinaus,
aber man hat halt von den Anwendungen her jetzt relativ häufig den Fall,
dass man sagt,
ich habe die und die und die Fakten in meiner Wissensbasis und
ich will jetzt nicht alle unverknüpfen und ein einzelnes Faktum draus machen,
weil ich ja vielleicht einmal sagen will,
neben wann du hast zehn Fakten deiner Wissensbasis und du kannst
vielleicht aus dem ersten und zweiten was Neues folgern und aus
dem fünften und sechsten auch
Aber halt nicht zwingend dann irgendwie, also ja,
du kannst das dann auch mit, wenn du alles unverknüpfst,
irgendwie daraus folgern, aber dann wird es halt viel aufwendiger.
Und dann reicht es halt zu wissen,
dass eins und zwei kann ich das folgern.
Im Grunde genommen, ja, läuft auf Semantik.
Also Semantik ist die eine Begründung und die andere Begründung ist,
dass ich mir Arbeitszeit spare.
Also wenn ich immer alle unverknüpfe und dann gucke,
was ich folgern kann, dann werden die Wahrheitshafen ja viel,
viel größer.
Läuft in den kleinen Beispielen meistens aufs Gleiche
hinaus.
Sonst noch Fragen
Wie würde ich das denn widerlegen?
Also wenn ich jetzt hier von irgendetwas behaupten würde,
die Vollgabarkeitsbeziehung gilt und vielleicht gilt die gar nicht,
woran würde ich das erkennen?
Also was muss ich suchen, um sagen zu können,
oh, hier ist mein Gegenbeispiel. Wenn ich zum Beispiel
da behaupten würde, Das links lasse ich so, ne?
Impliziert BB impliziert C. Und ich würde jetzt behaupten, daraus folgt nicht
B und C. Wie widerlegt man das denn? Nee.
Nicht ganz, fast. Was brauche ich für eine Belegung
? Ich brauche nicht eine, die A impliziert B,
warm macht, sondern ich brauche eine,
die noch mehr tut
Ich will ja einen Widerspruch haben dazu, ne?
Nee, nicht die anderen, sondern? Guck mal,
hier wird gesagt, jede Belegung,
die Modell für M ist, ist auch Modell für F.
Also jede Belegung, die alles in M warm macht,
soll auch F warm machen. Und hier haben wir immer gesagt,
wir gucken uns all die Zeilen an,
die all diese Formeln in dieser Menge wahrmachen,
also in unserem Beispiel A impliziert B und B impliziert C.,
gucken uns nur die Zeilen an, die die alle wahrmachen.
Und die müssen dann dieses A impliziert C falsch machen.
Was brauche ich also als Gegenbeispiel,
wenn das jetzt irgendwo mal nicht gilt?
Das muss ich machen,
das ist schon
fast richtig
Dein Problem ist, so würdest du dir Zeilen angucken,
die gar nicht relevant sind. Das ist halt kein Widerspruch.
Was darf nicht auftreten? Wir suchen ja die ganze Zeit Zeilen,
die, in dem Beispiel in der vierten und fünften Spalte
eine Eins haben und in der sechsten muss dann auch eine Eins stehen.
Was muss ich jetzt haben jetzt wieder vor? Genau. In der ersten,
ach so, in der ersten Spalte von... Ja,
genau, das, genau. Ich suche, ich brauche etwas,
eine Belegung, die alle Formeln hier drin wahrmacht,
weil die Aussage ist ja alles,
was, also jede Belegung, die da alles wahrmacht,
Soll auch das auf der rechten Seite warm machen.
Ein Gegenbeispiel ist also eine Belegung, die alles in der Menge wahrmacht,
aber die rechte Seite falsch. Klar. Also irgendwie,
wenn ich hier bei diesem A impliziert sehe,
wenn da irgendwo eine Null steht, links stehen aber da überall Einsen,
dann habe ich mal einen Widerspruch.
Also so kann man dann gucken, dass das nicht klappt.
Noch ein Beweis, diesmal ohne Wahrheitstafel, weil da nervt es.
Da kann man sagen irgendwie, da brauche ich 16 Zeilen.
Das Beispiel kann man noch irgendwie ein bisschen doller in die
Höhe treiben. Also wenn die Wahrheitstafeln zu groß werden,
dann nervt es
Dann kann man die Folgebarkeitsbeziehung aber anders zeigen, indem man
halt so ein bisschen allgemeiner argumentiert. Dann sagt man irgendwie,
wenn ich das beweisen will, dann muss ich ja zeigen,
dass jede Belegung die Modell für die linke Seite ist,
auch Modell für die rechte Seite ist.
Das heißt, ich benutze eine Belegung,
die Modell für die linke Seite ist, überleg mir,
was habe ich denn jetzt für Eigenschaften und zeigt dann,
dass diese Belegung auch Modell für die rechte Seite ist.
Also sei ja ein Modell dafür, nur die sind ja relevant.
Die Belegung, die gar nicht Modell für die linke Seite
sind, die sind ja egal.
Die können die rechte Seite wahrmachen oder falsch, ist mir egal.
Die Definition ist, wenn ich die linke Seite warm mache,
muss ich auch die rechte Seite wahrmachen. Um das zu beweisen,
sei a also ein Modell für die linke Seite,
zeigenwillig, es ist auch ein Modell für die rechte Seite
So, was weiß ich denn über Belegung, die Modell dafür sind?
Naja, das ist alles unverknüpft, also macht es da alles wahr.
Nach der semantischen Definition von und muss dann A von A,
A von B, A, von C,
A von D, das muss alles gleich eins sein.
Und jetzt kann ich mir überlegen, hilft mir das auf
der rechten Seite? Rechts habe ich eine Oder-Verknüpfung,
C oder nicht D, ich weiß,
C wird zu eins ausgewertet, sind manche Definitionen vom Uder,
wird also auch C oder nicht D zu 1 ausgewertet,
womit wegen A von C gleich 1 und der Definition der Semantik von ihm,
oder auch das hier eins ist.
Dann habe ich gezeigt, dass eine Belegung,
die Modell für die linke Seite ist,
dass die auch Modell für die rechte Seite ist.
Bin ich fertig,
ohne mir eine Wahrheitstafel aufzumalen
Folglich, ist jedes Modell von R&B und C&D,
auch Modell von C oder nicht D. Das sind so die beiden Möglichkeiten,
mit denen man halt dann gut zeigen kann, dass eine Folgebarkeitsbeziehung gilt. Entweder Brutforce-Ansatz,
ich mache eine Wahrheitstafel und lese es ab oder ich gehe da so ran,
dass ich sage, okay, ich gucke mir eine Belegung an,
die alles auf der linken Seite wahrmacht und zeige,
dass es dann auch die rechte Seite wahrmacht.
Und der Schritt dazwischen ist eben irgendwie,
sich zu überlegen, welche Eigenschaften haben denn Belegungen,
die alles auf der linken Seite wahrmachen,
wie kann ich das nutzen,
um zu zeigen,
dass die rechte Seite
auch wahrgemacht wird
Genau, das sind die beiden Möglichkeiten und das dritte,
wenn ich eine Vollgabarkeitsbeziehung widerlegen will,
also wenn ich zeigen will, hier gilt gar keine Vollgabarkeitsbeziehung,
dann entweder Wahrheitstafel machen und das rauslesen oder einfach das Gegenbeispiel angeben.
Also es reicht ja im Grunde genommen,
die eine Zeile der Wahrheitstafel anzugeben, die zu Problemen führt.
Wenn ich das irgendwie gleich sehen kann, dann bin ich sofort fertig. Also wenn ich hier die Vollgabarkeitsbeziehung andersrum hätte,
wenn ich hier behaupten würde, aus C oder nicht,
die folgt A und B und C und D,
dann könnte ich einfach sagen, nee, das ist Unsinn,
eine Belegung mit A von C gleich 1 und alles andere wird auf Null gesetzt,
macht die linke Seite, war die rechte Seite falsch,
fertig,
brauche ich auch die weiße Tafel nicht machen
Okay, das ist der erste Begriff. Fragen dazu?
Vergab keine Beziehung. Okay. Der zweite Begriff,
Äquivalenz, zwei Formeln heißen Äquivalent, genau dann,
wenn jede Belegung beiden Formeln den gleichen Wahrheitswert zuweist.
Sprich, ich gucke in die Tabelle, ich mache eine Tabelle,
gucke mir die beiden Spalten für F und G an und die Spalten müssen komplett identisch sein.
Also wenn F zu 0 ausgewertet wird, A von FS0,
da muss auch G zu 0 ausgewertet werden,
wenn F zu 1 ausgewertet wird, A von FS1,
der muss auch G zu 1 ausgewertet werden
Notation hier mit so einem Dreifachstrich-Äquivalenz. Genau. Das ist deswegen wichtig,
weil man da im Grunde genommen dann weiß,
wenn es mir um semantische Eigenschaften geht, naja,
dann sind F und G im Grunde genommen das Gleiche.
Also kann ich vielleicht die Kürzere nehmen oder kann Ersetzungen durchführen und solche Geschichten.
Die Formel, die wir vorhin einmal im Beispiel hatten,
wo wir so ein bisschen rumgeraten haben mit diesem,
wo wir dann gesehen haben, C, das C alleine,
hat den gleichen Wahrheitswerteverlauf gehabt wie dieses C,
wie impliziert und dann dieser große Brocken da dran.
Naja, dieses Äquivalent zu C, die hatten den gleichen Wahrheitswerteverlauf,
dann kann ich mir das sparen,
diesen ganzen langen Kram aufzuschreiben und schreibe einfach zählen
Das ist das Schöne da in diesem Äquivalenzbegriff.
Zwei Anmerkungen noch. Alternativ kann man auch sagen,
zwei Formeln sind genau dann äquivalent, wenn sie dieselben Modelle besitzen.
Also A von F gleich 1, genau dann,
wenn A von G gleich 1 gilt. Das führt auch dazu,
dass überall A von F und A von G das Gleiche sind.
Wenn A von F1 ist, dann muss A von G1
sein. Und wenn A von F 0 ist,
dann darf ja nicht A von G1 sein,
weil das impliziert ja gerade A von F1,
also A von F1 impliziert A von G1,
A von F 0, A von G0,
dann habe ich genau das hier.
Also es ist genau die gleiche Definition,
ist manchmal in Beweisen
irgendwie angenehmer
Jetzt zeige ich dann, hier würde ich zeigen,
wenn A von F1 ist,
dann ist auch AVG 1 und wenn AFLF 0,
das ist auch Affen 0 und ich könnte es aber auch so immer sagen,
wenn A von F1 ist,
ist es A von G1 und wenn A von G1 ist es A von F1,
so die beiden Herangehensweisen, wie man das machen kann.
Es ist halt manchmal einfacher, nur mit Modellen zu arbeiten,
als mit falsifizierenden Belegungen. Beispiel, wieder Wahrheitstafel,
A, B impliziert B,
auf der linken Seite und auf der rechten Seite
das etwas länglichere A und B oder nicht A und Nicht
B,
Wahrheitstafel machen
A und B, nicht B, genau. Und dann guckt man sich halt die Spalte für A,
B impliziert B an und die Spalte für A und B oder nicht A und nicht B.
Und wenn diese beiden Spalten komplett übereinstimmen,
was sie hier ja tun, 1-0-0-1,
1-0-0-1,
dann sage ich ja, der Equalenzbegriff gilt,
also dritte und letzte Spalte, an denen sieht man,
dass sie den gleichen Wahlswerteverlauf haben, äqualent.
Wenn man es widerlegen will, Also so ähnlich wie eben
auch beim Volkerbarkeitsbegriff kann man das jetzt auch mit größeren,
längeren Formeln machen, da wird die Wahrheitstafel größer.
Oder man kann, ups, oder man kann so,
wie wir das im letzten Beispiel bei der Volkerbarkeit gesehen haben,
wieder so formal arbeiten, dass man sagt, sei eine Belegung,
die die linke Seite warm macht, dann gilt, dödödödö,
also muss ja auch die rechte Seite warm machen oder irgendwie sowas.
Und nochmal ein Gegenbeispiel,
weil wir es eben bei der Volkerbarkeit nicht gesehen haben,
wenn ich das hier widerlegen will,
dann muss ich eine Belegung angeben,
die die eine Seite warm macht und die andere Seite
Wenn es das nicht gibt, dann gibt es kein Gegenbeispiel,
dann muss das gelten. Also wenn es das nicht gibt,
dann machen die ja scheinbar alle Belegungen, sowohl beides,
entweder beide Seiten wahr, als auch beide Seiten falsch.
Also muss ich irgendwie gucken, dass das nicht geht. Die sind nicht äquivalent,
weil, naja, einfach mit einer Belegung,
die A zu falsch auswertet und B zu 1,
habe ich zwar ein Modell für die rechte Seite,
aber eben keins für die Linke.
Und genauso, wie wir vorhin diskutiert haben,
macht man das auch bei den Vollgamerkeitsbeziehungen
Fragen? Ganz viele Äquivalenzen. Wer möchte, kann jetzt
ganz viele Wahrheitstafeln machen und sich immer davon überzeugen, dass das gilt.
Oder man kann sich, bei den meisten kann man sich
so ein bisschen einfach überlegen, ja, ja, passt.
Wenn man hier Kommutativität Wenn ich mir so die Semantik von
dem Hund überlege, naja, beides muss eins sein,
also ob ich nun F und G schreibe oder G und F, da wird wohl nicht so viel passieren.
Bei dem Oder genauso, F- oder G und G oder F, passiert auch nicht so viel. Assoziativität überrascht einen auch wenig,
F und G und H ist das gleiche wie er von G und Hase,
hm, Distributivität, das ist das erste,
wo man vielleicht nachdenken muss, weil es hier zwei Distributivitätsgesetze gibt,
also quasi immer das, was außerhalb der Klammer steht,
spielt die Rolle der Multiplikation und das,
was in der Klammer steht, spielt die Rolle des Plusses,
aber es ist halt nicht so,
dass man sagen würde,
und es malt und oder ist Plus
Sondern es wird halt einfach immer Distruktivitätsgesetz angewandt. Kann ich
beides machen. F und G oder H ist das gleiche
wie F und G oder F und H und F oder G und H
ist das gleiche wie F oder G und F oder H. Genau,
da macht man vielleicht schnell eine Wahrheitstafel,
dann sieht man das, kann man sich auch irgendwie überlegen.
Hier, die linke Seite hier bei dem ersten Distributivitätsgesetz,
die wird ja genau dann wahr,
wenn F zu 1 ausgewertet wird.
Und mindestens einer von G oder H. Auf der rechten Seite
ist das genauso.
Ich muss immer auf jeden Fall F zu F
wahr machen
Hier ist eine Oder-Verknüpfung, also muss ich entweder die linke
oder die rechte Seite warm machen. Es geht nur,
wenn F wahr ist. Es tritt in beiden auf.
Naja, und dann halt, wenn ich Gehwarm mache,
ist super, dann ist die linke Seite wahr.
Und wenn ich Haarwarm mache, ist super, dann ist
die rechte Seite wahr. Und wenn ich beide warm mache,
ist es auch super, dann sind halt beide Seiten wahr.
Dann haben die den gleichen Wahlzwerte verlaufen. Doppelte Negation,
ja, glaubt man auch schnell, ne?
F hat irgendwie einen Wahrheitswert, nicht F hat den umgedreht,
nicht nicht F hat wieder den umgedrehten.
Wir haben nur zwei Wahrheitswerte, zweimal umdrehen für zum gleichen Wahrheitswert.
Die morgen haben wir schon mehrmals auch so mit
bezüglich Mengen diskutiert
A geschnitten B und das Ganze negiert, dass er komplementiert ist,
das Gleiche wie Kompliment von A vereinigt mit Kompliment von B,
das sieht hier ziemlich ähnlich aus. F und G,
negiert ist das Gleiche wie Nicht-F oder Nicht-G. F oder G negiert,
das ist das Gleiche wie Nicht-F und Nicht-G. Genau,
dann hat man hier noch Illiminationsregeln für die Biimplikation und für die Implikation.
Die Illiminationsregel hier für die Implikation, die ist besonders wichtig,
die tritt irgendwie ziemlich häufig auf.
Die kann man mal sich so ein bisschen ins Gedächtnis wurmen,
so das F impliziert G, das Gleiche ist wie Nicht-F oder G.
Das wird aus der Definition der Implikation ziemlich schnell klar,
weil wir da in der Semantik gesagt haben,
dass es eins genau dann,
wenn F falsch ist oder G war
Und das wird genau hierdurch ausgedrückt. Falsch,
also nicht F war oder geh wahr. Passt das auch
. Und weitere, was haben wir noch so?
Jetzt kommen noch so ein paar Regeln, Absorptionen.
Wenn ich F habe und F oder G,
das ist den gleichen Wahrheitswerteverlauf wie F,
weil hier ist quasi F oder G, naja,
was immer das ist so, das F hier wird der dominante Part sein.
F muss ich auf jeden Fall wahrmachen, um das unwahr zu machen.
Und dann ist die rechte Seite davon auch wahr.
Also was geht, tut, ist mir relativ egal.
Und hier genauso ähnliche Argumentationen,
sobald F hier bei dem Oder war,
ist mir auch auf der rechten Seite
wieder egal,
was das G tut
Also da kommt immer F raus, Idem Potenz,
F und F und F oder F ist das gleiche wie F. Okay.
Tautologie und Kontraditionsregeln. Dieses erste Symbol, dieses Clinet,
dieses etwas schmale Tee, das spricht man top und dieses umgedrehte schmale Tee, da spricht man Bottom.
Das sollen konstanten sein, die immer zu eins ausgewertet werden,
im Sinne im Falle der Tautologie hier des Tops und das Bottom Year,
das wird immer zu null ausgewertet.
Das kann man entweder so einführen,
dass man die einfach nur als Abkürzung hat für A oder Nicht-A,
im Falle der Tortologie oder A und Nicht-A,
im Falle der Kontradition oder man führt die als Konstanten beim Sintax noch ein,
dass man sagt,
es gibt die ganzen Aussagensymbole und zusätzlich noch Top und Bottom
Und dann ist relativ klar, dass die Regeln da gelten,
wenn ich irgendwie F- oder Tautologie habe.
Tautologie ist immer wahr oder verknüpft. Konnte was immer Wahres
raus. Oder F- oder Kontradition. Kontradition ist immer falsch.
Dann kommt da also das Gleiche raus, immer wie das, was bei F rauskommt. Genau,
und hier noch einmal die Standardkontradition, wenn man mal eine braucht,
F- und Nicht-F und die Standard-Tautologie, wenn man meine braucht,
F- oder Nicht-F. F- oder Nicht-F wird immer wahr,
entweder das F war oder nicht-F-S war und F- und Nicht-F ist immer falsch,
weil die ja genau komplementäre Wahrheitswerte haben
Ja, das sind einfach mal so wichtige Äquivalenzen zum sich
angucken und die meisten muss man nicht großartig lernen oder so,
Distributivität muss man sich einmal klar machen,
dass das im Grunde genommen genauso abläuft wie beim Ausklammern in der Algebra,
nur dass eben der Teil vor der Klammer immer das Mal ist und der Teil in der Klammer immer das Plus.
Und man kann das auch noch verallgemeinern hier für längere Formeln,
wenn ich sowas habe wie F und G oder H oder I,
dann funktioniert das genauso,
dann klammere ich halt auch noch F und I aus.
Oder auch wenn ich sowas habe wie A oder B und C oder D.
Auch genauso, wie man das in der Allgebrauch machen würde.
Jeder mit jedem. Und dann ist es falsch. Das ist ja
eine so verallgemeinerte Distributivitätsgesetze. Ja, genau die soll,
also die Distributivitätsgesetze, sollte man sich ein bisschen genauer angucken,
Doppelnegation und den Morgen braucht man häufig,
aber die kennt man meistens auch irgendwie, die sind nicht so schwierig.
Und hier Elimination von der Biimplikation und von der Implikation,
die sollte man sich auch nochmal ein bisschen genauer angucken.
Also dass die unteren hier ab Distributivität quasi,
das sind so die, die man ganz häufig braucht,
von denen, wie gesagt,
so die unteren zwei und die Distributivität,
die sollte man
sich nochmal genauer angucken
Genau, die überlegt man sich meistens einfach on the fly und dann ist gut.
Da nochmal kurz die Anmerkung zu diesem Top und Bottom,
dass das hier, Bottom on Top sind einfach Konstanten,
die immer zu null beziehungsweise immer zu eins ausgewertet werden und
wenn man streng formal machen will,
dann sollte man die als neue sympathische Konstrukte einführen.
Oder eben als Abkürzung für A und Nicht-A im Falle
des Bottoms und A oder nicht-A im Falle des Tops.
Genau. Fragen
Dann mit den ganzen Äquivalenzen und so, was wir jetzt machen können.
Also hier sieht man ja bei dieser Assoziativität zum Beispiel,
da sieht man, dass es im Grunde genommen egal ist,
ob ich den hinteren Teil klammere oder den vorderen Teil.
Ja, dann kann man sagen, okay,
dann kann ich halt die Klammern auch weglassen.
Wenn das eh egal ist, dann kann ich die klammern
in dem Fall weglassen. Und dann kann man sich halt
ein paar Klammerersparnisregeln einführen und was wir machen wollen,
ist, die äußeren Klammern lassen wir ab sofort immer weg.
Oder zumindest meistens. Weil die braucht man ja wirklich nicht.
Ob da außen jetzt noch Klammern stehen oder nicht,
ist irgendwie egal. Und bei mehrfachen Konjunktionen oder Disjunktionen
lassen wir auch die ganzen Klammern weg
Also wenn mich hier A oder B oder C haben oder A oder B oder C,
dann schreiben wir einfach den wichtigen Teil ohne die Klammern.
Und was wir weiterhin nicht erlauben,
sind eben solche Geschichten hier, Klammern weglassen bei der Implikation.
Wer will, kann meine Wahrheitstafel dafür machen, was passiert,
wenn ich den vorderen Teil klammere und was passiert,
wenn ich den hinteren Teil klammere.
Da kommen unterschiedliche Dinge raus. Deswegen macht es keinen Sinn,
da die Klammern wegzulassen. Die Äußeren darf man weglassen,
aber entweder sollte A impliziert B geklammert sein oder B, die CRC.
Und das hier wollen wir auch nicht, einmal oder einmal und,
da weiß man auch nicht, wie man das machen sollte. So,
und da einmal die kurze Anmerkung, es gibt Bücher,
wo sie quasi für jeden Jungtor irgendwie eine Bindungsstärke einführen und dann kann ich halt bestimmte Sachen halt dann doch schreiben,
mache ich hier nicht, außer vielleicht nachher in diesem Teil,
wo wir bei Hornformeln sind, das sind spezielle Aussagen,
logische Formeln, da will man sich dann auch sowas hier erlauben, A und B impliziert C.
Und wenn man halt sagt,
das Unbindet stärker als die Implikationen, ist eben klar,
A und B impliziert C und nicht A und B impliziert C,
aber das machen wir dann nochmal im Detail.
Was ihr euch merken solltet, einfach hier,
wir lassen die äußeren Klammern weg und wir lassen mehrfach Klammerung
bei Konjunktionen und Dissunktionen weg und dann sehen die Formeln schon
sehr viel hübscher aus
Gut. Da nochmal die beiden wichtigen Begriffe. Und beweisen dann,
wenn man eine Folgebarkeitsbeziehung oder eine Equilenz beweisen will,
Wahrheitstafel machen bei der Folgebarkeit, alles,
was alle Formen nimmt, also jede Belegung,
die alle Formeln in M war, macht,
muss auch F war machen.
Und bei der Äquivalenz, die Wahrheitswerteverläufe müssen komplett identisch sein.
Also wenn man es widerlegen will, bei der Folgebarkeit eine Zeile finden,
die alles aus M wahr macht, aber er falsch.
Und bei der Äquivalenz eine Zeile finden,
wo F und G eben unterschiedliche Wahrheitswerte haben.
Dann bin ich fertig. Die Fragen,
Verfolgbarkeit,
die Quellenz
Jawohl. Dann kommen jetzt Eigenschaften von Folgebarkeit und Äquivalenz,
die man beweisen kann und muss.
Das ist einmal eine gute Übung. Und einmal hat man dann
so ein paar Eigenschaften, mit denen man später arbeiten kann.
Dass man eben zum Beispiel weiß,
wenn F-Äquivalent zu G ist, also das hier unten,
dann ist F-B impliziert G. Was?
Was ist jetzt F-B impliziert G
Wenn F- und G-Ä-Äquivalent sind, identischer Wahlswerteverlauf, was ist
jetzt FB-Impliziert-G? Tatoologie, genau. Wenn F-E-Quellen-Zu-G ist,
gleicher Wahlswerteverlauf, FB-Impliziert-G, entweder stehen da zwei Einsen,
dann kommt dann eins hin oder stehen 2-0,
dann kommt da auch eine Einzelne.
Sowas kann man machen. Etwas schwieriger, wenn ich weiß,
F folgt aus G, was kann ich jetzt Schluss folgern,
dann kann ich auch sowas ähnliches machen,
was kann ich dann machen?
Wenn F aus G folgt, alles,
was Modell für G ist,
muss auch Modell für F sein
Welcher Fall tritt also in der Wahltafel nicht auf?
Sag mal so, salopp in Nullen und Einsen gesprochen,
welcher Fall tritt nicht auf.
Alles, was Modell für G ist, ist Modell für F.
Welcher Fall ist ausgeschlossen? Gehen wir die Fälle mal durch
. Ist 0-0 ausgeschlossen? Nö. 0-
0 ist okay. Also erstens immer für G,
zweitens für F. Also G 0 F0 ist nicht ausgeschlossen.
G 0 F1 ist auch nicht ausgeschlossen.
G1 F0, ausgeschlossen oder nicht
Ja, ist ausgeschlossen. Dann hätten wir nämlich eine Belegung,
die Modell ist für G, aber nicht für F. Ist doof.
Der Fall ist ausgeschlossen. 1-1, auch nicht ausgeschlossen.
Modell für G, Modell für F, alles okay.
Also was nicht passieren kann in unserer Wahrheitstafel, ist E1 F0.
Wo tritt dieser störende Fall so auf? Bei welchem Jungtor?
Bitte? Genau, impliziert. Also gibt es diesen Fall,
also ein Stören im Sinne von, das ist der Fall,
bei dem G impliziert, er falsch wird.
Den Fall wird es also nicht geben. Also wissen wir,
wenn FASG folgt, quasi das Geh über dieses Zeichen rüberschieben.
Und dann weiß ich, geh impliziert, F ist eine Tautologie.
Und solche Sachen sind total praktisch,
weil man dann quasi diese Symbole hier für Vollgabarkeit und für Äquivalenz,
da stellt ja Beziehungen zwischen Formeln her.
Das kann man dann auf Fragestellungen reduzieren, die man schon kennt.
Nämlich Testen ist irgendwas eine Tautologie, ja oder nein.
Und dafür kann man halt gut Tools entwickeln.
Genau. Solche Sachen wollen wir uns angucken.
Und oh, jetzt wollte ich das meistens schon verraten.
Wenn F, oh ja, das ist schön.
Wenn F-Äquivalent ist zu
Wenn F-Equialent ist zu G und das hier hieß G ist
eine Tautologie, ist dann auch F eine Tautologie.
F-G-Equialent heißt G, Tautologie gilt jetzt
auch F-Taugy
Genau. Ja, ne? Wenn F und G Äquivalenz ist,
heißt das, sie haben den gleichen Wahrheitswerteverlauf,
wenn G eine Tautologie ist, heißt es, da stehen überall Einsen.
Ja, also überall Einsen stehen und Effort den gleichen Wahrheitswerteverlauf,
heißt es, bei F stehen auch überall Einsen,
also muss F auch eine Tautologie sein.
Jetzt stehen F und G links, das bedeutet,
wenn F und G Kontradiktion sind,
gilt jetzt auch,
dass sie Äquivalent sind
Ja, genau, wenn Effene Kontradition ist,
überall nullen, wenn gene Kontradition ist, überall nullen,
naja, haben sie also in gleichen Wahrheitswerte verlaufen,
alles nullen,
dann sind sie äquivalent
Die erste und vierte haben wir gerade besprochen.
Machen wir jetzt nochmal, ein bisschen ausführlicher.
Und zweitens und drittens könnt ihr dann in den Präsenzaufgaben machen.
Die machen im Grunde genommen die gleichen Aussagen. Hier wird gesagt,
wenn FG Äquivalent ist und gehe eine Tautologie,
dann ist auch erst eine Tautologie und hier wird gesagt,
wenn FG Quident ist und gehe in eine Kontradiktion,
dann ist auch offene Kontradiktion.
Also klappt quasi fast die gleiche Argumentation. Und hier bei
drittens und vierten, sie sind auch sehr ähnlich.
Hier wird gesagt, wenn F und G Tautologien sind,
da sind sie äquivalent und hier wird gesagt,
wenn es Kontraditionen sind, sind sie äquivalent.
Also es sind irgendwie sehr, sehr, sehr ähnliche Aussagen.
Was wir einmal einüben wollen, wollen, ist,
dass wir ein bisschen wegkommen von dieser intuitiven Überlegung mit,
jaja, so sieht die Wahrheitstafel aus und dass wir da hinkommen,
irgendwie sauber zu argumentieren über Belegungen, weil uns das hilft nachher bei Sätzen
Also wenn man Dinge beweisen will, wo man eben nicht mehr
so gut mit Wahrheitstafeln argumentieren kann oder auch gar nicht mehr mit Wahrheitstafeln.
Deswegen wollen wir das einüben. Und das lässt sich hier an den Beispielen
ziemlich gut einüben, weil die noch recht übersichtlich sind.
Ich weiß, F&G sind äquivalent und gehe ist eine Tautologie.
Ich will zeigen, F ist eine Tautologie.
Also mein Ziel ist, zeigen, F ist eine Tautologie.
Das heißt, ich muss zeigen,
wenn A eine beliebige Belegung ist, dann ist A von F1.
Und ich darf benutzen, FSI QuelenzoG und gehe ist eine Tautologie.
Also sei A eine CF und gehe passende Belegung.
Jetzt kann ich mir überlegen, ich will hin
zu A von
Und wenn ich mir aufschreibe, was das beides hier bedeutet,
dann bedeutet das A von GS1 und A von F ist gleich A von G.
Da bin ich irgendwie fertig. A von GS1,
A von F ist gleich A von G.
Dann habe ich A von F gleich A von G
gleich 1. Also bin ich da, wo ich hinwollte.
Ein bisschen ausführlicherer aufgeschrieben, weil ich weiß, dass G
in der Tautologie ist. Also hier, gehe Tautologie,
gilt A von G gleich 1. Ferner weiß ich,
da ja F-Equalent zu G ist,
gilt ja A von F gleich A von G. Also
muss auch A von F das Gleiche sein wie A von G,
A von G Science,
also ist auch A von
Ich habe eine Belegung, eine beliebige Belegung A genommen und bin
dahin gekommen, dass A von F gleich 1 ist.
Also gibt es keine Belegung, die F falsch machen.
Damit ist jede Belegung ein Modell für F, folglich essende
Tautologie, fertig. Anders, wenn der vierte hier,
wenn F und G-Kontradiktion sind, dann gilt F-Äquivalent zu G.
Was müssen wir zeigen? Wir müssen zeigen, dass für jede Belegung gilt,
dass A von F und A von G gleich sind.
Naja, was weiß ich wieder wegen der linken Seite?
F ist eine Kontradiktion, also weiß ich,
A von F ist 0. G ist auch eine Kontradiktion,
also weiß ich,
A von G
Bin ich schon fertig. Sei also wieder A,
eine zu F und G, passende Belegung,
da sowohl F als auch G-Kont-Reduktionen sind. Was bedeutet es,
Kontreduktion zu sein, Kontradiktion zu sein, bedeutet,
dass stets A von F und A von G 0 sind.
Und dass sie beide null sind, sind sie gleich und bin ich fertig.
Und bei den Fällen mit Autologie und so geht das ganz genauso.
Dann schreibe ich hier eine Einzelne und bin auch fertig.
Und dann ist gut. Komplizierterer Beweis. Wenn
F E-Quelle oder F ist Äquivalent zu G,
genau dann, wenn G aus F folgt und F aus
G folgt
Da wird es schon schwieriger irgendwie mit Wahrheitstafeln zu argumentieren.
Kann man immer noch versuchen,
wird aber schon hässlich wegen dieser Und-Geschichte und solchen Sachen.
Da muss ich ja irgendwie sagen, naja,
wenn Geh aus F folgt, nee, wartet anders.
Fangen wir bei der linken Seite an. Wenn ich weiß,
FSE Quellen zu geh, dann weiß ich, die haben den gleichen Wahrheitswerteverlauf.
Also überall, wo das eine Modell ist, ist auch das andere Modell.
Okay, damit kann ich mir schnell überlegen,
dann gilt auch die Vollgabarkeitsbild mit den Gelden, beide Vollgabarkeitsbeziehungen,
das sehe ich schnell. Kann ja dann nicht auftreten,
das 1-1 wird und das andere null,
die sind ja immer beide an der gleichen Stelle 1.
Die Rückrichtung ist aber doof, wenn ich weiß, beide Vollgabarkeitsbeziehungen gelten,
dann muss ich das irgendwie so zusammenklamüstern, Äquivalenz gilt.
Also, dass ich irgendwie die Fälle ausschließen kann,
wo das eine eins hat und das andere null.
Das klappt auch, ist aber mit Wahrheitstafeln so ein bisschen,
muss man sagen, ja,
und die Zeile kann es jetzt gar nicht geben und so weiter.
Da ist es einfacher, so wie eben zu argumentieren mit Belegung A.
Erste Richtung ist einfach hier, wenn F und G
Äquivalent sind, A ist ein Modell für F.
Ich will zeigen, dass A auch Modell für G ist.
Also ich will hier den ersten Teil G folgt aus F zeigen.
Wenn die am Äquivalent sind,
ist A auch ein Modell für G und damit
gilt diese Feuerbarkeitsbeziehung sofort
Und die andere gilt genauso, wenn A ein Modell für G ist,
dann ist sie wieder wegen der Äquivalenz auch ein Modell für F.
Geht sofort, fertig. Der spannendere Fall, wenn beide Folgebarkeitsbeziehungen gelten,
dann will ich jetzt zeigen, dass diese Äquivalenz hier gilt.
Ich will also zeigen, jedes Modell für FS-Modell für G
und jedes Modell für G ist ein Modell für F.
Ja, das steht ja im Grunde genommen schon mit der Vollgabarkeitsbeziehung.
Ich will jetzt aber die Äquivalenz zeigen,
sei also A ein Modell für F,
wegen der Vollgabarkeitsbeziehung, AS-Modell für F,
das heißt A von FS1 und die Vollgabarkeitsbeziehung sagt uns,
wenn F zu 1 ausgewertet wird,
muss auch G zu 1 ausgewertet werden.
Das ist also auch A von G
Also jedes Modell für F ist auch ein Modell für G. Andersrum ist A-Strichen-Modell für G.
Jetzt wollen wir hier zeigen, A von G ist eins,
dann ist auch A von F1, die Äquivalenz abzuschließen.
Dann ist A-Strich wegen wieder der Folgebarkeitsbeziehung, er folgt aus G,
auch Modell für F. Dann bin ich fertig. Dann ist alles,
was Modell für die eine Seite ist,
auch ein Modell für die andere Seite und umgekehrt haben sie
die gleichen Modelle, gilt die Äquivalenz.
Haben wir den auch? Haben wir einen Zusammenhang hergestellt zwischen Äquivalenz und Folgebarkeit.
Also das erste war so ein bisschen zum Einüben, die ersten vier Sätze.
Der hier stellt einen schönen Zusammenhang her zwischen Äquivalenz und Folgebarkeit.
Ich weiß, wenn zwei Formen Äquivalent sind,
dann folgt jeweils die eine aus der anderen. Und noch ein paar Sätze,
die wir eben schon einmal andiskutiert haben,
wenn F und G-Äquivalent sind,
dann ist FB impliziert gehende Tautologie, wenn Geos erfolgt,
dann ist F impliziert gehende Tautologie und wenn Geos Erfolg gibt es auch noch die Möglichkeit zu sagen,
F und Nicht-G ist eine Kontradition.
Eins machen wir wieder in die Präsenzaufgaben,
muss man wieder sagen, wenn F-Equalent ist zu G,
jetzt will ich zeigen, F-B impliziert G ist eine Tautologie,
sei also a eine passende Belegung, und dann gehe ich los.
Was passiert jetzt? Wie kann ich jetzt zeigen,
dass A von FB impliziert G immer eins ist?
Dann sage ich halt, naja gut, wenn A von F1 ist,
dann ist wegen der Äquivalenz hier A von G auch eins.
Gut, dann gilt die Bi-Implikation. Und wenn A von F.0 ist,
dann ist wegen der Äquivalenz A von G auch null.
Also gilt die Bi-Implikation auch. Dann bin ich mit der
Richtung von links nach rechts schon fertig und von rechts nach links geht es so ähnlich.
So, wir wollen aber zweitens machen eigentlich. Wir wollen zeigen,
wenn GOS F folgt, dann ist F impliziert gehende Tautologie und umgekehrt.
Gelte also zunächst mal das Geoss erfolgt und sei A eine
zu F und geh passende Belegung.
Wir wollen zeigen, F impliziert, G ist eine Tautologie.
Also wir wollen zeigen, dass A von F impliziert G immer eins ist.
Jetzt splittet man das mal auf und betrachtet die Möglichkeit A von FS0 und A von FS1. A,
ist eine sehr okay passende Belegung, weil wir zeigen,
das ist eine Tautologie, das hat man vielleicht erstmal keinen Ansatz,
das kann man sagen,
na gut, dann betrachte ich mal zwei unterschiedliche Möglichkeiten,
den Fall A von F0. Der ist einfach,
dann ist die Implikation nämlich immer wahr.
Wenn man die Prämisse der Integration wahr ist, äh,
falsch ist, Entschuldigung, wenn F zu 0 ausgewertet wird,
ist die Implikation immer wahr,
einfach Semantik von dem,
von der Infikation
Anderer Fall, wenn A von F1 ist, das ist ja der Fiese.
Ich muss jetzt zeigen, dass A von G nicht null sein kann.
Wenn ich aber weiß, dass diese Folgebarkeitsbeziehung hier gilt,
das Geos F folgt und ich weiß jetzt A von FS1,
dann muss wegen der Vollgabbarkeitsbeziehung eben auch A von G1 sein.
Jedes Modell für F muss auch Modell für G sein.
Naja, wenn die beide zu eins ausgewertet werden,
dann ist das auch wieder okay,
dann wird die Implikation auch wieder zu eins ausgewertet.
Also weiß ich, wenn Geos F folgt,
ist die Implikation der Tautologie. Umgekehrt, wenn ich weiß,
F impliziert gehe ist eine Tautologie und ich will jetzt
zeigen,
F&G sind Äquivalent
Da muss ich also wieder zeigen, alles,
was Modell für F ist,
ist auch Modell für G. Alles, was Modell für G ist,
ist auch ein Modell für F. Sprich, gleiche Wahlswerte verlaufen.
Wenn A ein Modell für F ist, und ich weiß,
F-impliziert, G ist eine Tautologie, dann kann der Fall,
dass A jetzt kein Modell für G ist, gar nicht auftreten.
Das würde ja bedeuten, F wird zu 1 ausgewertet,
G zu 0, dann wird F impliziert,
G aber zu Null ausgewertet.
1-0, also 1 impliziert, 0 ist null.
Den Fall kann es also gar nicht geben.
Ich weiß ja, F impliziert G ist eine Tautologie.
Also wenn A ein Modell für F ist,
dann folgt aus der Semantik von dem Implikationsfall,
dass das hier eins sein muss
Sei umgekehrt auf einen Littledom,
seid das eine Theologie und sei ein Modell für F.
Und damit ist jedes Modell von F auch Modell von G,
warum sind wir jetzt fertig? Ach so, oh,
ich bin verrutscht. Wir wollen nicht die Äquivalenz zeigen,
sondern wir wollen zeigen, dass G aus erfolgt.
Entschuldigung. Also wir wollten ja ausgehen von F
impliziert G. Zweite Zeile hier, F impliziert G.
Davon wollten wir ausgehen und wir wollten zeigen,
dass G aus erfolgt. Und dafür reicht es zu zeigen,
wenn ich ein Modell für F habe,
dann ist es auch ein Modell für G.
Und das habe ich
gerade gezeigt und dann bin ich fertig
Für die Äquivalenz müsste ich ja jetzt noch zeigen,
dass jedes Modell für G auch Modell für F ist.
Und das kann ich, glaube ich, gar nicht zeigen.
Jo, Fragen dazu. Wie sieht man jetzt ganz schnell
den dritten? Einen dritten kann man relativ schnell sehen.
Wenn ihr noch die Äquivalenzen von dieser Folie mit denen
ganz viel Nick überletzen im Kopf habt,
dann kann man die schnell sehen, die dritte.
Wozu war F impliziert, geäquivalent?
Was war da die Idee?
Was war das
Was war das besonders? Genau,
nicht F oder G, F0 oder G1, 0,
nicht F oder G, genau. Das heißt,
ich weiß schon mal, diese Feuerbarkeitsbeziehung gilt genau dann,
wenn F impliziert gehende Tautologie ist, genau dann,
wenn nicht F oder G eine Tautologie ist.
Das ist ja das Gleiche. Naja, und wenn ich das jetzt negiere,
wenn ich eine Tautologie negiere, dann muss ja eine Kontradition rauskommen.
Also gilt, geh folgt aus 11, genau dann,
wenn, nicht F oder G, eine Tautologie ist,
genau dann, wenn dieses Nicht-F oder G negiert,
eine Tautologie, eine Kontradition ist.
Und wenn ich da dem Morgen darauf anwende,
dann kommt genau
die Formel da raus
Einmal hier, dreh drittens Volk aus. Zweitens,
man hat die Äquivalenz hier, F impliziert G, ist Äquivalent zu Nicht-F oder G.
Die Negation einer Tautologie ist eine Kontradiktion. Das heißt,
wenn ich das hier negiere, dann kommt da mit dem Morgen gerade das hier raus.
Nicht F, nicht Nicht-Nicht-FSF und nicht G. Kommt da genau aus.
Das muss dann also in der Tautologie sein. Also G folgt das F genau dann,
wenn F impliziert gehende Tautologie ist, genau dann,
wenn nicht F oder G eine Tautologie ist, genau dann,
wenn nicht Nicht-F- oder G eine Kontradiktion ist,
genau dann, wenn F und Nicht-G eine Kontradiktion ist,
einfach semantische Äquivalenzen von Formeln ausgenutzt,
dann hat man den
Super. Und genau, erstens einmal in den Präsenzaufgaben.
Und die letzten zwei Aussagen hier,
die sind relativ wichtig, dass man halt weiß,
Gefolt aus F, genau dann,
wenn F implizit gehende Tautologie ist oder eben Gefolt aus F genau dann,
wenn F und Nicht gehende Kontradiktion ist.
Warum sind die so wichtig? Weil man dann diese Folgebarkeit
zurückführen kann auf wahlweise einen Tautologie-Tester oder einen Kontradiktionstester.
Und wir haben ja auch schon gesehen,
Äquivalenz kann ich auch durch zwei Folgebarkeiten ausdrücken
FS Äquivalent zu G, genau dann, wenn FSG folgt und
G aus F folgt. Kann ich also auch in Äquivalenz,
kann ich auch Äquivalent dadurch testen, dass ich zweimal so eine Formel,
die auf Tautologie teste oder zweimal so eine Formel auf Kontradition.
Kann ich jetzt alles auf sowas zurückführen. Und weiterer Vorteil,
die Dinger hier, die lassen sich verallgemeinern, diese Folgebarkeitsbeziehung.
Ich kann da im Grunde genommen auf die linke Seite einfach Formelmengen schreiben,
dann habe ich das so stehen hier M-Vereinigt mit F,
daraus folgt G, genau dann, wenn.
Jetzt bleibt halt auf der linken Seite hier nicht nichts stehen,
sondern das M bleibt da stehen.
Ich ziehe quasi das F aus der Menge hier raus
und schreibe das vor die Implikation
Oder ich kann eben auch sagen, geh folgt aus M,
genau dann, wenn M. vereinigt mit Nicht-G unerfüllbar ist.
Also wenn ich nicht gehe, noch in die Menge mit reinnehme und wenn das unerfüllbar ist.
Es ist hier im Grunde genommen auch passiert.
Hier habe ich das G auf die linke Seite quasi geschoben,
habe gesagt, F und Nicht-G. Hier vereinige ich die,
aber eine Formelmenge ist ja genau dann nicht erfüllbar,
wenn es eine Belegung gibt,
die mindestens eine Formel daraus falsch macht.
Was gleichbedeutend damit ist, wenn ich die alle unverknüpfen würde,
muss das unerfüllbar sein. Die schon mal so,
die gucken wir uns nochmal bei Gelegenheit genauer an,
aber dass man die mal gesehen hat,
dass man das verallgemeinern kann.
Und hier sind die alle
noch einmal
Da haben wir uns gerade durchgeprügelt.
Und wenn ich es gerade richtig im Kopf habe,
ist zwei, drei und sechs in den Präsenzaufgaben.
Die anderen haben wir alle bewiesen und neun und zehn haben wir noch nicht bewiesen.
Die haben immer so da stehen gehabt. Die kann man
sich im Grunde genommen mit genau der gleichen Beweistechnik,
kann man die schnell beweisen.
Spätestens da kommt die Wahrheitstafelmethode dann an ihre Grenzen,
weil M ja auch unendlich viele Formeln enthalten kann.
Spätestens David ist irgendwie hässlich.
Welche Fragen dazu
Okay. Dann, was wir jetzt noch machen wollen,
damit wir noch einen Beweis mit struktureller Induktion mal sehen,
einen etwas kniffligen. Was wir jetzt machen wollen,
ist, wir kennen ja jetzt mehrere Äquivalenzen,
also quasi wieder einen Rückschritt vor die ganzen Sätze von eben.
Wir kennen mehrere Äquivalenzen eben zum Beispiel,
sowas wie A impliziert B ist Äquivalent zu Nicht-A oder B.
Was wir gerne machen wollen, ist, wir möchten,
wenn diese Formel A impliziert B, irgendwo als Teilformel auftritt.
Ich habe irgendwie eine große Formel und die dritte
da drin als Teilformel aus,
dann möchte ich die gerne rausnehmen können und
durch die äquivalente Formel ersetzen können
Bisher dürfen wir das eigentlich noch gar nicht machen.
Bisher wissen wir nur, die beiden Formeln sind äquivalent,
wenn ich die so als alleinstehende Formeln stehen habe,
was aber nicht zwingend bedeutet,
dass ich die rausbrechen darf und durch was das Gleiche, das Äquivalente ersetzen darf.
Das wollen wir jetzt machen. Und das Ziel ist dann nachher,
wenn man weiß, dass man das machen darf,
dann kann man diese Äquivalenzen ja immer benutzen.
Und dann gibt es so Verfahren, dass man sagt,
wenn du erstmal all die Äquivalenzen benutzt,
dann all die Äquivalenzen und dann all die Äquivalenzen,
dann kommst du zu einer bestimmten Form,
einer Normalform für alle Formeln, für alle Aussagen logischen Formeln.
Und die hat halt so diese verschiedenen Vorteile hier,
die wir auch schon bei der Trumpsky Normalform kannten
Dass die halt eine bestimmte Struktur haben, die ich in
Beweisen und Algorithmen ausnutzen kann. Und in dem Fall hier,
die haben relativ gute Eigenschaften, die mir helfen,
sowas wie Ist Autotologie oder ist Kontradiktion relativ schnell abzulesen.
Ja, was wir erstmal machen wollen, wie gesagt,
Teilformel ersetzen. Also wir wollen hier das B impliziert C,
das tritt hier so als Teilformel auf und da wollen wir einfach so was draus machen.
Rechtfertigung wird eben sein, das B impliziert C,
Äquivalent ist zu Nicht-B oder C. Ist also quasi ja egal ist,
was da steht. Der Teil hier wird B impliziert CC,
wird genau dann zu Null oder eins ausgewertet,
wenn eben auch dieses Nicht-Bio oder 10 genau den gleichen Feld zu Null oder eins ausgewertet wird.
Das heißt, für den Wahrheitsbegriff sollte das eigentlich
keinen Unterschied machen
Wenn es mir darum gehen würde, jung Toren in
der Formel zu zählen, macht es einen Unterschied.
Hier tritt nur zwei Jungtouren auf, wir treten drei Jungtoren
auf, das würde also einen Unterschied machen.
Aber wenn es mir um semantische Sachen geht, sollte es eigentlich keinen Unterschied machen.
Und die Rechtfertigung dafür ist dieses sogenannte Ersetzbarkeitstheorie,
dass ich B-Impliziert C eben durch eine ekulente Formel ersetzen darf.
Formulierung dieses Ersetzbarkeitstheoriens ist ein bisschen umständlich,
wenn ich eine Formel H habe,
also so eine große Formel,
in dem Beispiel von eben hier unten kann man das
immer so ein bisschen als Beispiel nehmen,
dass Harvere jetzt das A und B impliziert
Also Hase eine Formel. Und ich habe zwei äquivalente Formeln
F und G. Das ist das B impliziert C und das
Nicht-B oder C. Und in Hard tritt diese Formel F auf.
Also die Formel F ist bei uns das B impliziert C und
die Formel H ist das A und B impliziert C. Dann wird gesagt,
wenn ich jetzt eine Formel H-Strich mache,
indem ich aus H das F herausbreche und durch G ersetze,
also das F, B impliziert C, nehme ich weg,
also setze es durch die äquivalente Formel nicht B oder C,
dann habe ich meine Formel H-Strich und der Satz sagt jetzt,
dann sind Haar- und Haarstrich tatsächlich äquivalent
Also nochmal, ich habe zwei equalette Formen in F&G,
wenn ich eine Formel H habe,
in der F auftritt und ich nehme F raus und schreibe dann genau die gleiche Stelle,
geh hin, dann kommt eine Formel Haarstrich raus und die Aussage ist,
die beiden Formen sind äqualent.
Beweist, mittelstrukturelle Induktion. Strukturelle Induktion war das,
wo wir gesagt haben, wir zeigen erstmal, dass eine Aussage,
so wie diese hier, das ist jetzt der Satz,
den wir mit struktureller Induktion beweisen wollen,
wir zeigen erstmal,
dass der für alle Aussagensymbole gilt
Dann nehmen wir an, dass der für, dieser Satz,
für irgendwie zwei Formeln X1 und X2 gilt und zeigen,
dass er dann eben auch für X1 und X2 X1 oder X2
X1 impliziert X2 und so weiter für das alles auch gilt.
Und hier macht meine Induktion über den Formelaufbau von H. Nicht von F&G oder so,
das sollen ja gerade die äquivalenten Formeln sein,
die ich festhalte.
Ich mache eine Induktion über
Induktionsanfang, sei Haar eine atomare Formel und GH-Strich
durch Ersetzen von F durch G aus Haar hervor.
Bei atomaren Formen kann auch nicht so viel passieren,
wenn Haar eine atomare Formel ist und hier wird ja gesagt,
in dem Satz, F ist eine Teilformel von Haar.
Naja, wenn Haar eine atomare Formel ist und F ist eine Teilformel,
dann kann F irgendwie nur das Gleiche sein wie Haar,
also auch eine atomare Formel.
Das Einzige, was Äquivalent ist, zu einer atomaren Formel ist,
aber die atomare Formel selbst, also ist irgendwie,
also Moment,
stimmt das?
Nee,
bestimmt nicht
G, kann dann irgendwie eine Formel sein, die Äquivalent ist zu F.
Und das ist gerade mein Haarstrich. Und das passt aber irgendwie,
wenn eine haneatomare Formel ist und Haarstrich durchersetzen von F durch G
aus Haar hervorgeht, dann muss H gleich F sein.
Weil Hayatomar ist. Und jetzt ersetze ich F durch G
, um meinen Haarstrich zu kriegen. Du musst Haarstrich,
aber gerade das G sein. Und ich weiß ja,
aus den Vorbedingungen des Satzes, dass F- und G-Äquivalent sind.
Dann habe ich aber sofort Haar ist das gleiche wie F. F
ist Äquivalent zu G und G ist ja das gleiche wie Haarstrich.
Naja, wenn man das so liest,
so Hardl,
ist Äquivalent zu Haarstrich
Bin ich fertig. Was da zum Beispiel passieren kann,
ist das A durch, ja, durch irgendwas ersetzt wird,
was Äquivalent zu A ist und dann zum Beispiel durch.
A oder A. Ich kann A ersetzen durch A oder A,
das ist Äquivalent, also A ist Äquivalent zu A oder A.
Dann habe ich die atomare Formel A ersetzt durch A oder A.
Das ist ein blödes Beispiel. Und dann gilt das, ne? Okay. Induktionsannahme,
wir nehmen an, das H1 und H2,
also bisher hatten wir hier mit Harno gearbeitet,
wir brauchen jetzt zwei, H1 und H2 Formeln sind,
für die die Aussage des Satzes gilt.
Für die also gilt, Für jede Formel H1-Strich beziehungsweise H2-Strich,
die durch Ersetzung von F durch G aus H1 beziehungsweise H2 ja vorgegangen ist,
gilt H1-Equalent zu Heilstrich und hat 2 ist equalent zu H2-Strich.
Das ist die Annahme. Zumindest für atomare Formeln haben wir
es gerade gezeigt. Also die Annahme ist bisher,
also wir wollen zeigen,
wenn ich eine Formel Haar habe und ich ersetze da F durch G,
dann kommt eine Formel Haarstrich raus, die Äqualent zu ursprünglichen ist.
Jetzt nehmen wir an, es gibt zwei Formeln,
genannt H1 H2,
für die genau
das gilt
Sprich, wenn ich in H1 die Formel F durchgehe ersetze,
dann kommt eine Formel H1 Strich raus.
Die beiden sind äquivalent. Und es gibt eine Formel H2.
Wenn ich da F durchgehe ersetze, dann kommt eine Formel H2 Strich raus.
Und die beiden sind auch äquivalent. Und was ich jetzt machen muss im Induktionsschritt ist,
ich muss zeigen,
dass diese ganzen Verknüpfungen der beiden Formeln H1 und H2,
wenn ich also H1 oder H2 betrachte,
H1 und H2 H1 impliziert H2, dass da,
wenn ich da dann ein Auftreten von F durchgehe ersetze,
dass da dann etwas rauskommt,
was äquivalent ist zur ursprünglichen Formel H1 oder H2
und so weiter
Das muss ich jetzt machen. Das muss ich für die
ganzen Binärenjungtouren machen und für den unnäheren Jungtour. Induktionsschritt,
wenn F sollte ja immer eine Teilformel von H sein.
Jetzt kann man erstmal den Fall abfrühstücken, dass F das
Gleiche ist wie H. Dann mache ich nämlich das Gleiche, wie im Induktionsanfang.
Wenn die Formel F gerade meine Formel H ist,
naja, dann gibt es irgendwie nichts zu tun,
da bin ich sofort fertig, weil wenn F gleich H ist,
dann weiß ich HSF, F wird durch G ersetzt,
F und G sind Äquivalent, dann habe ich H,
gleich F, Äquivalent zu G,
gleich Haarstrich und bin fertig.
Der spannende Fall ist also, wenn die Formel,
die ich ersetze,
jetzt eine echte Teilformel ist
Also es genügt den Fall zu betrachten, dass F eine echte Teilformel von H ist.
Und jetzt geht man diese Fälle von der strukturellen Induktion durch,
dass man sagt, der erste Fall ist,
H ist die Negation einer Formel H1,
von der ich schon weiß, dass die Induktionsannahme gilt.
Also bei H1, das war ja die, wo wir angenommen haben,
wenn ich in H1 F durch G ersetze, ist das alles okay.
So, und wenn ich jetzt sage,
F ist nicht gleich Haar, sondern ist eine echte Thai-Formel,
dann muss F eine Teilformel von H1 sein.
Tritt also irgendwo in H1 auf. Und wir wissen nach Induktionsannahme,
es gibt so ein H1-Strich,
das geht durch Ersetzen von F durch G aus H1 hervor
Und so, dass mein Haarstrich, genau,
mein Haarstrich ist dann gleich nicht H1-Strich.
Also ich habe hier das Haar,
ich ersetze in H1 F durch G,
da kommt dann ein H1-Strich raus und dann ist mein Haarstrich gerade nicht H1-Strich.
Und was wir zeigen wollen, ist, dass Haar- und Haarstrich-Äquivalent sind.
Das ist das Ziel. Und was wir wissen,
nach Induktionsannahme ist,
dass H1 unter Einstrich-Äquivalent sind
Alter, ist der Beweis schon fast klar, wenn ich irgendwie weiß,
H1 und H1 Strich sind Äquivalent und ich negiere beide,
dann kommt da wieder was Äquivalentes raus.
Die haben beide gerade H1 und H1 Striche, haben den komplett gleichen Wahlswerteverlauf.
Ich tausche bei beiden Nullen durch Einsen und Einsen durch Nullen aus,
dann kommt wieder was raus, was komplett Äquivalent sein muss.
Gleicher Wahlswerteverlauf. Also nach Induktionsannahme gilt, die beiden sind Äquivalent.
Sei nun A eine beliebige Belegung, wir wollen zeigen,
wenn die, dass sie, wir wollen zeigen,
dass A von H das Gleiche ist VR von H
Strich,
also gleicher Wahrheitswerteverlauf
Wir wissen, weil H1 und H1 Strich Äquivalent sind,
dass A von H1 Strich das Gleiche ist VR von H1.
Und wegen der Definition der Semantik der Negation, naja,
muss dann auch das hier gelten. Und da könnte man jetzt noch ausführlicher sein,
gleich auf der nächsten Folie mache ich das auch noch mal kurz ausführlicher.
Aber hier, an der Stelle, warum gilt das jetzt? Naja,
weil A von Nicht-H1 Strich ist ja das Umgedrehte von A von H1 Strich,
also wenn A von H1 Strich 0 ist, dann ist das eins,
wenn A von H1 Strich 1 ist, ist es null.
Da die beiden hier aber gleich sind,
A von H1 Strich und A von H1,
ist es also auch das Umgedrehte von A von H1,
das Umgedrehte von A von H1 ist gerade A von Nicht-H1.
Also habe ich da eine Gleichheit. Und wenn die beiden aber gleich sind,
A von Nicht-H1-Strich und A von Nicht-H1,
und nicht H1-Strich gerade Haarstrich ist und nicht H1 gerade Haar ist,
dann habe ich das A von Haar gleich A von Haarstrich ist und damit,
dass die beiden equalent sind.
Das wollte ich zeigen. Jetzt die Fälle mit Binäranjugend tun,
das war jetzt der mit Uniam-Jugendtor, mit Binärm-Jungtor,
der Fall,
das Haar gleich H1 oder H2 ist
Kann man wieder sagen, F soll ja eine Teilformel von H sein.
Oder ist der letzte Hauptoperator. Das heißt,
wenn F eine Teilformel von H ist, dann muss es
entweder eine Teilformel von H1 sein oder eine Teilformel von H2.
Das ist irgendwie ein Stück von dem einen nimmt und
ein Stück von dem anderen funktioniert nicht.
Oder ist gerade der Hauptoperator. Kann man jetzt nicht
irgendwie komische Dinge mitbasteln. Also,
dass man irgendwie aus einem was rausnimmt oder aus dem anderen,
weil es dann keine Taiphone ist.
Für die Teilformel-Regel greifen diese Klammersparnis-Regeln nicht. Man kann nicht sagen,
ich habe A oder B oder C ohne Klammerung und jetzt
habe ich sowohl A oder B als Teilformel als auch B oder C.
Das macht keinen Sinn. Einer der beiden Operatoren wurde als
letztes benutzt und der bestimmt dann Las Link und Rechte,
was das als Taiform ist.
Also F ist Teilformel von H1 oder
Nehmen wir mal den Fall, dass es Teilformel von H1 ist.
Andere Falle funktioniert ganz genauso. Wenn es Teilformel von H1 ist,
dann gibt es ja nach Induktionsannahme, FST-Formel von H1,
dann kann ich in H1 das F wieder durch G ersetzen,
kriege so ein H1-Strich und die beiden sind äquivalent.
Also es gibt wieder so einen Einstrich,
dass aus H1 durch ersetzt für F und G
entsteht und dann nenne ich dieses H1-Strich oder H2,
das muss dann mein Haarstrich sein.
Das ist ja gerade die Ersetzung und nach Induktionsannahme gilt,
wie gesagt, H1 äquivalent zu H1-Strich.
Und ich will wieder zeigen, alles,
was Haar wahr macht,
macht auch Haarstrich wahr und umgekehrt,
also Haar- und Haarstrich
haben die gleichen Wahrheitswerteverläufe
Wenn A eine beliebige Blähung ist, dann,
weil ja H1 und H1 Strich äquivalent sind,
ist A von H1 Strich das gleiche wie A von H1.
Und jetzt kann man wieder mit der Semantik von dem Oder zeigen,
dass A von HS Strich,
das ist ja gerade A von H1 Strich oder H2,
also HS Strich ist ja so definiert,
dass das gerade H1 oder H2 ist,
also diese Gleichheit hier ist klar.
Und A von H1 Strich oder H2 ist das gleiche VA von H1 oder H2,
da kommen wir gleich nochmal zu, warum.
Und A von H1 oder H2 ist das gleiche VA von H,
weil H eben gerade H1 oder H2 ist.
Und dann hat man wieder gezeigt,
dass H- und H- Strich genau die gleichen Modelle besitzen
und ist fertig
Damit H1 gleich hart und die anderen völligen eindruckt.
Wichtig ist, warum gilt hier die Gleichheit? Bei dem
A von H1-Strich oder Hartz-Weiß, das gleiche VR von H1 oder H2.
Jetzt kann man alle Fälle durchspielen. Jetzt kann man sagen,
naja, wenn H1-Strich wahrgemacht wird, dann wird also auch die Oder-Verknüpfung hier wahr.
Ich weiß aber, wenn H1-Strich wahrgemacht wird,
dann wird wegen der Gleichheit hier A von H1-Strich das gleiche VR von H1.
Dann muss ja auch H1 wahrgemacht werden. Und wenn H1
wahrgemacht wird, dann wird auch hier H1 oder H2 wahrgemacht.
Und da habe ich also links und rechts eine
Ein stehen. Steht da das Gleiche,
ist gut
Wenn A von H ein Strich falsch gemacht wird,
also wenn Affenh ein Strich null ist,
dann ist der Wahrheitswert von diesem H-Einstrich oder H2,
das ist dann der gleiche Wahrheitswert wie der von dem H2. 0 oder H2 führt gerade zu H2.
Und ich weiß, H1 wird auch zu Null ausgewertet,
wieder wegen dem hier,
A von H ein Strich ist gleich wie A von H 1.
Und dann habe ich hier auch das Gleiche wie H2 stehen.
Also da wird der Wahrheitswert auf beiden Seiten nur von
dem Wahrheitswert von H2 bestimmt, ist also wieder gleich.
Da habe ich alle Fälle betrachtet, bin fertig,
bin immer der gleiche Wahrheitswert raus. Da steht es nochmal
als Anmerkung. Wichtig ist, dass diese Gleichheit tatsächlich gilt,
Und das folgt eben aus der Definition von ihm oder.
Und weil wir wissen, dass A von Hainstrich das gleiche VR von H1 ist.
Wenn man das expliziter machen will, dann geht man alle
Fälle durch. Dann betrachtet man, was ist,
wenn A von H1 Strich 1 ist, was ist,
wenn A von H1 Strich 0 ist und bei allen Fällen kommt man zum Ergebnis.
Da ist das nochmal ausgeführt, wie man das machen würde,
um es genau auszuführen. Ich weiß,
A von Hainstrich ist gleich wie A von H und
ich weiß diese Oder-Verknüpfung will ich zeigen,
dass da das hier in der Mitte,
will ich zeigen,
dass hier der gleiche Wahrheitswert gilt
Dann gehe ich die halt durch. Für einen A von
H1 Strich 1 ist, dann ist dö-dö-dö, alles eins.
Und wenn A von H1 Strich null ist,
dann haben die den gleichen Wahrheitswert wie A von H2,
aber eben beide Seiten. Und damit entweder das A von H20
und kommt ja bei beiden null raus oder ist es eins,
dann kommt bei beiden eins raus.
Puh, das war ein dickes Brett. Und hier der Fall,
das F eine Teilformel von H2 ist, statt von H1,
der geht genauso. Ich bin genau die gleiche Argumentation. Nur,
dass man dann hier eben irgendwie nicht A von H1 Strichs
das gleiche wie A von H1 hat,
sondern eben bei H2 Strich und
Aber das an uns geht ja genauso. Und all die
anderen Fälle und Implikation und Biimplikation müsste man jetzt alle durchexerzieren,
funktionieren im Grunde genommen aber genauso.
Dass man immer damit arbeitet, dass man weiß,
der Wahrheitswert von H1 Strich und H1 ist gleich.
Über den anderen weiß ich gerade nichts. Achso, da weiß ich auch,
dass der gleiche, der dritte das H2 einfach nur auf.
Und damit arbeite ich dann noch mit der Semantik des Jungtor
und bin fertig. Also wer es mal üben möchte,
versucht den Beweis hier nochmal für und und Implikation.
Gute Übung. Super. Was dürfen wir jetzt machen dank des Ersetzbarkeitstheoriums? Teilformeln durch andere Reformeln ersetzen,
so wie eben da beispielsweise nicht a impliziert,
nicht nicht b und dann kann man das nicht nicht b durch b ersetzen,
obwohl es ja nur eine Tai-Formel der Formel ist,
dann kann man die Implikation auflösen oder kann man auch mal
das nicht nicht a auflösen und dann sieht man,
die etwas komplizierte Formel ganz links ist das Gleiche wie A oder B.
Das dürfen wir jetzt machen. Und was wir nächstes Mal machen,
ist dann, dass wir das benutzen,
um zu einer Normalform zu kommen. Das heißt, eine Form,
in die wir alle aussagen, logischen Formeln bringen können,
nur durch Äquivalenzumformung und diese Formel wird äquivalent sein zur ursprünglichen Genau,
und jetzt kommen gleich noch irgendwie jede Menge Begriffe.
Wer möchte, kann sich die nächsten sechs,
sieben Folien, ich lasse den Foliensatz einfach mal so,
wenn ihr möchtet und stelle ihn gleich online,
wenn ihr möchtet, könnt ihr euch die Folien schon mal angucken.
Da sind jetzt so Definitionen dazu, wie diese, nee,
doch, da sind Definitionen dazu, wie die Normalform aussieht.
Also da werden jetzt so Klauseln definiert und über alle Klauseln und Literale und so.
Wenn ihr möchtet, könnt ihr euch die Begriffe schon mal ansehen.
Aber wir haben jetzt alles gehabt, was man für
den Aufgabenzettel braucht. Und da nehmen wir dann morgen,
nächsten Montag den Hut wieder auf und zeigen halt,
dass es tatsächlich diese Normalform gibt und stellen Verfahren vor,
wie man Normalform herstellen kann
Nö, dann machen wir diesmal. Ich glaube nämlich,
die Zeit ist, ja, meine Zeit ist um.
Eine Fragen? Wie heißt denn das?
Zweitens. Okay, dann viel Spaß in den Übungsgruppen und
wir sehen uns nächsten Montag wieder