Wollen wir? Aussagenlogik? Ihr hattet doch nur eine Woche Ferien,
das kann doch nicht so lange dauern, sich darüber auszutauschen.
Also Aussagenlogik, in neuer Frische, neues Thema. Wir haben ja
letztes Mal vor den Ferien noch uns mit Unentscheidbarkeit beschäftigt,
Scheidbarkeit, Unentscheidbarkeit und später so in fünf,
sechs Wochen Dann nehmen wir den Faden nochmal auf und betrachten dann entscheidbare Probleme.
Und dann da teilen die nochmal so einen Klassen, dass wir sagen,
das ist entscheidbar und lässt sich auch in angenehmer Zeit lösen.
Und das ist zwar entscheidbar, dauert aber viel zu lange, das zu lösen.
Da brauche ich dann wieder irgendwie andere Techniken, um da sinnvoll heranzugehen.
Und bevor wir da hinkommen, gehen wir jetzt nochmal in
die Logik rein. Und wir wollen zwei Logiken angucken,
Aussagen, Logik und Prädikatenlogik. Aussagenlogik haben wahrscheinlich relativ viele,
vielleicht sogar schon in der Schule gesehen oder irgendwie in der RS
oder so Bulsche Algebra, so solche Geschichten,
so Nullen und Einsen,
irgendwie mit und und oder zu verbinden.
Wer kennt das aus der Schule sogar
Sowas, Logik. Wer kennt es aus dem Studium
bisher schon, so RS und solche Geschichten?
Ja. Wer kennt es noch gar nicht? Haben wir
mal so. War es auch gut. Diese Vorlesung ist
für dich. Also wollen wir heute machen, Aussagen-Logik,
Syntax-Semantik, sind tagsdefiniert, was man aufschreiben darf,
Semantik definiert, was dann die Bedeutung sein soll.
Also was meine ich eigentlich mit dem oder was meine ich
eigentlich mit dem und? Und vorher einmal der Literaturhinweis,
die nächsten fünf Wochen hier im Logikteil,
das orientiert sich sehr stark an dem Buch hier
Logik für Informatiker von Uwe Schöning
Sehr stark soll bedeuten, im Grunde, warte mal,
ich meine, man findet alles, was wir machen in dem Buch.
Er ist an zwei Stellen nicht ganz so ausführlich.
Deswegen habe ich dafür noch so ein Skriptteil geschrieben.
Aber ich will das mit dem Skript ja bei dem Teil
zur Sintax der Aussagenlogik erstmal belassen und dann da meine Schreibpause
einlegen und dann später da wieder zurückzukommen zur Komplexitätstheorie.
Also holt euch das Buch da. Gibt es auch in
der Bibliothek so 30, 40 Mal und wir machen die
Kapitel 1 und 2, außer Louis und Predikatenlogik.
Das klingt erstmal nicht so viel,
aber das Buch hat
nur drei Kapitel
Und wir machen hier eine ganz kurze, einen ganz kleinen Notationsunterschied.
Ich schreibe den Rechtsfall hier mit so einem Doppelstrich.
Er schreibt das mit einem und ich schreibe den links-rechtsfall,
auch mit so einem Doppelstrich.
Er schreibt das auch nur mit einem.
Das sind so die Hauptunterschiede. Gut, gehen wir rein
. Außer an Logik. Aussagenlogik ist so eine Basislogik,
die steckt quasi in allen anderen Logiken so als Basisbaustein mit drin.
Kann man einfache Verknüpfungen mit ausdrücken,
wie beispielsweise dieses Dach hier, das soll dann nachher bedeuten,
A und B und dieses umgedrehte Dach
soll bedeuten
A oder
Und die Idee ist nachher, dass A und B irgendwie für bestimmte Sachen stehen.
Jetzt kann man da entweder natürlich sprachlich rangehen und sagen,
ah, er soll bedeuten, es regnet,
B soll bedeuten, ich werde nass oder so.
Oder man kann da so ein bisschen mehr mit einer Informatikbrille rangehen.
Und A bedeutet, mein Programm terminiert und B bedeutet,
keine Ahnung, wenn ich den OK-Button drücke, dann passiert irgendwas.
Sowas kann ich dann versuchen, damit eben zu modellieren.
Die ganze Idee bei dieser Logik ist, mal davon abgesehen,
dass es so der Grundbaustein der Mathematik,
also wie man mathematisch argumentieren kann, ist,
was wir in der Informatik viel machen,
ich nehme was aus der realen Welt,
drücke es in der Logik
abstrakt aus
Das macht man in der natürlichen Sprachverarbeitung, genau, Softwareverifikation,
Idee, immer irgendwas aus der realen Welt nehmen, in der Logik ausdrücken.
In der Logik kann dann automatisch durch den Computern Schluss gezogen werden. Wenn der,
wenn man weiß, man hat irgendwie natürlich sprachlich ausgedrückt,
wenn es regnet, dann werde ich nass und ich weiß,
das Faktum, es regnet, gilt,
dann kann ich irgendwie relativ schnell den Schluss ziehen,
okay, dann werde ich wohl nass.
Und sowas will man dann in sehr viel komplexeren Situationen bauen
und dann eben durch den Computer Schlüssel ziehen und das
eben wieder in der realen Welt interpretieren
Und das ist in sehr, sehr fortgeschrittener Weise das,
was im Moment ganz viele Firmen versuchen zu machen,
indem sie vollautomatisch mit einem riesigen Datenschatz,
den sie haben, versuchen, irgendwelche Schlüsse zu ziehen.
Auch so Sachen wie irgendwie, ich weiß,
ihr habt durch die und die Sachen alle angeklickt, vielleicht interessiert euch noch das.
Das ist auch schon so Schlüsse ziehen aus Verhalten,
jedes Verhaltensding, jedes Ding, was ihr angeklickt habt,
ist ein Faktum in der Wissensbasis und jetzt schließe ich da irgendwie raus.
Ja, das will man machen. Wo findet das
alles Anwendung? Da haben wir so eine Liste,
Grundlage der Mathematik, okay, dass man weiß,
wie man überhaupt Schlüsse ziehen darf in der Mathematik,
für Programmiersprachen wird benutzt,
insbesondere bei Prolog
Also sprich, hinter Prolog steckt eigentlich eine Logik und logisches Schlüsselziehen.
Künstliche Intelligenzen natürlich, Datenbanken, Beschreibung von Schaltkreisen, Verifikation
und so weiter. Bei der Verifikation braucht man üblicherweise sowohl
das Logik-Thema als auch das, was wir bisher hatten,
die Automatentheorie und kann dann eben versuchen, automatisch oder semi-automatisch zu verifizieren.
Dafür ist das da, Logik allgemeine,
weil mit der Auslagengoogie kommt man meistens noch nicht so weit,
aber wie gesagt, die ist so Grundbausteine von allem.
Deswegen gucken wir die uns auch an. Also warum ausgerechnet die Aussagenlogik,
ganz grundlegende Logik an der lässt sich eben schon vieles einüben.
Dass man jemanden nicht gleich mit Fazilogic erschlägt oder so,
sondern erst mal sagt, okay, gucken wir jetzt mal Aussagenlogik an,
übt man die Begriffe ein und nachher kommen die dann immer wieder.
Und da, wer das schon kennt, so das Sattproblem,
das ist nachher das Erfüllbarkeitsproblem, in der Aussagenlogik,
gegebene Aussagenlogische Formel, kann ich die wahrmachen?
Und das wird uns dann wieder begegnen, wenn wir nachher
entscheidbare Probleme betrachten und die bezüglich ihrer praktischen Lösbarkeit klassifizieren wollen,
da schon mal so als Ausblick.
Ja, dafür ist das da. Gehen wir mal rein.
Was hat man da so? Eine Aussage im Sinne der Aussagenlogik
soll ein atomares sprachliches Gebilde sein, das wahr oder falsch ist.
Also nicht zu kompliziert, sondern nur so Sachen wie Ist männlich,
ist weiblich, ist ein Mensch, ist ein Tier,
irgendwie so Sachen, die wahr oder falsch sein können und die ganz grundlegend sind.
Und die werden dann eben durch Aussagen,
solche sogenannten atomaren Formen, hier Aussagen, sowohl A,
B, C, abgekürzt oder eben A, 1A2,
A3, wenn man ganz viele davon braucht nachher.
Und das, was die Aussagenung dann spannend macht,
bis dahin ist es ja noch nicht viel.
Bis dahin habe ich Aussagen und jeder möglichst kleinen Aussage gebe ich irgendwie ein Symbol,
A, B, C, D und so weiter.
Und das Spannende ist dann, dass die Aussagenlogik eben den
Wahrheitsgehalt einfacher Verknüpfungen betrachtet. Also wenn ich zwei einfache,
atomare Bilder habe und jetzt verknüpfe ich die irgendwie,
was ergibt sich dann als Wahrheitsgehalt
Und dann werden ihm unterschiedliche Verknüpfungen eingeführt und die sind eben auch sehr,
sehr grundlegend, so, ne,
so was wie eine Negation für nicht, ein Und oder,
wenn-dann-Beziehung und eine genau-dann-wenn-Beziehung, so, ne.
Das sind so die üblichen fünf Jungtoren, die wir gleich
auch in der Sintax einführen werden. Und wie gesagt,
die Idee ist dann, ich habe ein atomares Gebilde und
kann es jetzt damit irgendwie verknüpfen. Kann dann irgendwas Wildes machen,
da habe ich irgendwie drei atomare Gebilde, A,
B, C und dann kann ich mir angucken,
nicht, wenn nicht A,
dann B oder C und das Ganze nochmal negiert oder so
und dann wird das irgendwann sehr groß
Nur in Anwendung treten gerne mal so Formeln auf, die irgendwie 100,
200 verschiedene Aussagensymbole haben und dann irgendwie dementsprechend lang werden.
Ja. Kurzer Exkurs dann nochmal, wie man das mit dieser Sprache machen kann.
Wenn ich jetzt sage, A, bedeutet,
es regnet und B bedeutet, ich trage einen Schirm,
dann kann ich eben durch A impliziert B oder wenn A,
dann B, eben wenn es regnet,
dann trage ich einen Schirm ausdrücken.
Da wollte ich jetzt nicht so im Detail reingehen,
aber wenn ihr euch dafür interessiert,
gibt es diese schönen Module bei der Natzarbeitsgruppe so zur natürlichen Sprachverarbeitung,
wo dann eben solche Sachen und dann noch auf deutlich höherem Niveau gemacht werden.
Also wie gesagt, mit den jungen Touren kann man ja noch nicht so viel machen.
Und dann versucht man eben fortgeschrittenere Logiken einzuführen, mit denen
man deutlich mehr ausdrücken kann und damit dann eben zu arbeiten.
Ja, das zur Motivation, Sintax.
Sintax lädt fest, was sich alles bauen darf.
Also darf ich sowas schreiben wie nicht nicht A oder darf
ich sowas schreiben wie A und und B?
Bei dem einen sagt man vielleicht, naja gut,
wenn man möchte, kann man so viele Nichte hintereinander knallen,
ändert sich vielleicht nachher semantisch nicht so viel,
aber sind taktisch ist es vielleicht okay.
Zwei uns hintereinander will man vielleicht nicht haben.
Also so A und und B klingt irgendwie komisch.
Und das legt halt die Sintax fest.
Was darf ich machen, was darf ich nicht machen
Da nochmal, ne? Erstmal sind das einfach dann
nur Zeichenketten. So ähnlich wie bei den Automaten,
da sagt man auch erst mal, naja,
ein DFA besteht aus den und den und den und den Bausteinen.
Das ist im Grunde genommen erst mal die Sintax des Automaten.
So sieht er halt aus und kann aber erst mal noch nichts machen.
Erst die Rechnung und was eine Erfolgsrechnung ist, definiert dann die Semantik.
Also, was machen wir mit diesem ASAL?
AS für Aussagensymbole, das untergestellte AL für Aussagenlogik.
Kann man das nachher noch unterscheiden mit der Prädikatenlogik?
Das soll die Menge der Aussagensymbole der Aussagenlogik sein.
Üblicherweise notiert mit Großbuchstaben am Anfang des Alphabets, also so A,
B, C oder wenn man ganz viele braucht,
halt unten durchnummeriert
Sind abzählbar viele. Also ASA2er, 3er, 4er,
5 und so weiter. Und dann definieren wir uns jetzt
das geschwungene L soll für Language stehen.
Die Menge der Formeln der Aussagenlogik. Und zwar machen wir
das wie folgt. Erstmal die ganzen atomaren Dinger,
die ganzen Aussagensymbole sollen atomare Formeln sein.
Also jedes Aussagensymbol ist eine sogenannte atomare Formel.
Also es ist eine Formel, wenn man es genauer machen will,
sagt man noch, sie ist atomar.
Und dann wird weiter rekursiv definiert, wenn man sagt,
wenn ich schon eine Formel habe,
dann ist auch die Negation der Formel eben
eine Formel
Also wenn ich zwei Formeln F&G habe,
dann auch jeweils die Verknüpfung mit dem Oder,
dem Und, der Implikation und der Biimplikation.
Achso, und hier oben bei zweitens sollte auch komplex stehen.
Also bei zweitens und drittens generierten Formen sind die komplexen Formeln,
wenn man das nochmal unterscheiden will, zu den atomaren.
Und dann sagt man als viertes, weitere gibt es nicht.
Also nur endlich viele, Staff 1 bis 3,
endlich oft anwenden und mehr habe ich dann nicht.
Das ist die Sintax. Also atomaren Formeln, einfach die
Aussagensymbole, Negation davor schreiben, ist also ein Unnäherer.
Jungtor werden wir gleich sagen. Und,
und, oder Implikation und Bimplikation
sind die Binären
Ein paar Begriffe noch. Alphabet, das sind die Aussagensymbole,
die jungen Toren und die Klammern.
Man hat hier gesehen bei den vier binären Jungtoren kommt eine Klammer,
da kommt zwei Klammern dazu, bei den Negationen halt nicht.
Also man darf auch nicht irgendwie beliebig klammern oder so,
sondern nach der Definition ist es halt so,
nur wenn ich hier so ein Oder oder so ein Unt benutze,
kommen da Klammern rum. Die sind halt im Alphabet,
die Jungtoren und das Aussagen und die Aussagensymbole sind im Alphabet.
Dann werden die Operatoren der jungen Toren genannt,
die entstehenden Formeln der Reihe nach Negation, Distribution,
Konjunktion,
Implikation und Biimplikation
Dann, wenn ich mir so eine Formel F aufbaue,
dann besteht die ja irgendwie aus Teilen und diese Teile nenne
ich dann eben Teilformeln von F. Also wohlgemerkt eine Formel,
die beim Aufbau beteiligt ist, heißt Teilformel,
nicht irgendwie ein beliebiger Textdring oder so.
Also wenn ich irgendwie, Klammer auf,
F und G, Klammer zu habe,
dann ist nicht Klammer auf F eine Teilformel,
sondern irgendwie die Bausteine, die ich benutze beim Zusammenbauen der Formel.
Also das F ist eine Teilformel, das G ist eine Teilformel.
F selbst ist eine, oder F und G ist selbst
eine Teilformel von sich und das war es dann.
Und der Jungtour, der im letzten Konstruktionsschritt verwendet wird,
heißt Hauptoperator.
Wenn man sich das hier anguckt,
dann aufgrund der Klammerung habe ich die äußerste Klammer ganz links und
die äußerste Klammer ganz rechts und da kann ich gucken,
was ist der Hauptoperator, das muss denn der Operator sein,
der ein linkes und ein rechten,
einen linken oder einen rechten Operanten hat.
Dieses und hier, das hat halt hier links einen Operanten und rechts diesen Operanten B.
Also ist das und der Hauptoperator, der muss zuletzt angewandt worden sein.
Deswegen nennt man das Ganze eine Konjunktion und danach stehen da
noch die ganzen Teilformeln. A, B, C,
A oder C und die ganze Formel.
Aber eben nicht sowas wie C,
Klammer zu und B oder so,
das ist ja
keine Formel
Das ist keine Formel, das durfte man nicht machen.
Und als so, das, da ist auch erstmal keine,
weil wir ja noch keine Regeln zur Klammerersparnis haben.
Also man hat ja explizit gesagt, wenn ich das oder einführe,
muss links und rechts eine Klammer hin,
also das A oder C, ohne Klammern,
noch keine Formel.
Machen wir aber gleich, dass wir uns irgendwie Klammerersparnisregeln einführen.
Aber erstmal ist es streng genommen eben keinem.
Klausurweit? Aussagensymbole sind Hacks
Weiter, weiter. Das ist nicht eine Herausforderung. Erstmal ist es ja nur eine,
also er meinte gerade, die beiden Pfeilgeschichten hinten,
also der eine Pfeil oder auch der Doppelfall, ne?
Bitte? Genau, Folgebarkeit und Äquivalenz kann man sagen hier,
also oder Implikation und wie Implikation, die beiden,
dass die sich ja durch die anderen ausdrücken lassen.
Stimmt, dafür brauche ich aber einen Semantikbegriff,
den habe ich bisher gar nicht. Ich fühle einfach nur
sinntax ein. Ich hätte mir auch noch einführen können,
irgendwie F-Dreieck-G oder irgendwie sowas, Und für die,
die es schon kennen, man kann die Syntax auch so einführen,
dass man die gar nicht hat.
Und einige Autoren, der Schöning zum Beispiel, macht das auch so,
der hat den dann nicht und führt die einfach nur als Abkürzung ein.
Dass er sagt, wenn ich an irgendeiner Stelle jetzt aber F impliziert gehe,
es steht halt für Nicht-F oder G, werden wir später noch sehen.
Wenn ich das dann habe, dann kann ich dafür auch einfach
F impliziert G schreiben. Dann hat er den Vorteil,
dass er das schreiben kann, muss aber in Beweisen nicht darauf achten,
weil eigentlich gibt es den ja gar nicht.
Und ich wollte es so machen, damit wir halt bei
Beweisen das so ein bisschen mehr unterteilt haben.
Ja, sagst du? Und wie gesagt,
man braucht halt diese Mannschaft dafür.
Vorher kann man eigentlich noch nicht sagen,
dass man die nicht braucht
Sonst noch? Üblicherweise, also gibt es auch, kann man auch machen.
Üblicherweise lässt man ja unäre Operatoren immer ohne klammern und binäre mit.
Also auch wenn du sowas schreibst wie minus fünf,
machst du ja auch meistens keine Klammern rum,
aber fünf minus sechs machst du halt welche drum so.
Ist aber auch eine Konvention, kannst du auch anders machen.
Problem ist, dass das nachher hässlich aussieht,
wenn du so drei Negationen hast, also nicht F. So,
und du klammerst das jedes Mal,
dann sieht das schon irgendwie echt unglücklich aus
Sonst noch? Okay,
dann kann man schon mit der Sintax-Dinge tun,
also die Beispiele noch, dann kann man, ja,
mal vergessen, man kann die Formeln auch durch Strukturbäume ausdrücken,
statt die halt so sequenziell hier aufzuschreiben.
Kann man das auch als Baum machen, das ist relativ einfach.
Der Hauptoperator ist die Wurzel und links und rechts sind die beiden Teilformeln.
Dann habe ich einen linken Teilbaum für die linke Teilform,
den rechten Teilbaum für die rechte Teilformel.
Die Formel hat wieder einen Hauptoperator, das ist dann wieder
die Wurzel dieses Teilbaums und so mache ich immer weiter.
Und nachher bei den Blättern habe ich
die Aussagensymbole und die ganzen Jungtouren sind die inneren Knoten
Beispiel, das Beispiel macht das ziemlich schnell klar, hier,
was sequenziell aufgeschrieben und hier als Baum und ist der Hauptoperator,
dann haben wir den hier, rechte Teilformel,
linke Teilformel, linke Teilformel ist A oder C,
das ist das oder der Hauptoperator,
dann kommt der dahin, links A,
rechts C und bei Nicht-B ist das nicht der Hauptoperator,
der hat nur ein Kind,
ist dann das B. Ist manchmal praktisch, wenn man Dinge implementiert,
dass man halt die Formel nicht als so einen sequenziellen String vorliegen hat,
sondern als so einen Baum,
weil man dann irgendwie Dinge tun kann,
wie von den Blättern losgehen und sich nach oben
durcharbeiten oder andersherum,
das hilft an etlichen Stellen
beim Implementieren
Dass ihr das einmal gesehen habt und weil wir das gleich für zwei Beispieldefinitionen brauchen,
weiß man einmal, wie dieser Strukturbaum aussieht.
So, was können wir jetzt machen? Wir haben uns
ja gerade die Sintax definiert von komplexen Formeln und von atomaren Formeln.
Und diese Art, das aufzubauen, kann man für zwei
Dinge tun. Erstens kann man Eigenschaften von Formeln nachweisen,
mittels sogenannter struktureller Induktion und man kann Funktionen auf den ganzen Formelmengen definieren, mittels struktureller Rekursion. Also zum Beispiel,
wenn man definieren will, was die Länge einer Formel ist,
man sagt länger in der Formel,
ich zähle alle Symbole in der Formel,
kann man als Mensch gut machen,
wenn ich das aber als Funktion definieren will,
ist das ein bisschen um ständig das direkt zu machen,
kann man mit struktureller Rekursion sehr elegant machen.
Und strukturelle Induktion, der erste Punkt, der bietet sich
an, wenn man Eigenschaften für alle Formeln zeigen will.
So ähnlich wie man bei den natürlichen Zahlen dann sagt,
im Induktionsanfang zeige ich es für eins,
in der Annahme nehme ich an,
es gilt für irgendeinen N und im Schritt zeige ich,
wenn es für N gilt, dann gilt es für N plus eins.
Und hier sage ich jetzt im Induktionsanfang, zeige ich,
dass es für alle Aussagensymbole gilt.
Das sind ja die Basisbausteine, dann nehme ich an,
dass es für zwei Formeln F und G gilt und zeige dann im Induktionsschritt,
dass es dann auch für Nicht-FFF und GF oder G und so weiter gelten muss.
Und dann habe ich eine Eigenschaft für alle Formeln nachgewiesen
Da nochmal im Detail,
wenn ich eine Behauptung habe für jede Formel,
beispielsweise sowas wie, wenn ich die Länge schon definiert hätte,
könnte ich sowas sagen wie die Anzahl der jungen Toren in der Formel,
ist immer geringer als die Anzahl, als die Länge der Formel.
Irgendwie sowas könnte ich dann sagen. Nicht B hat Länge 3
und hat zwei junge Toren, weniger Jungtouren als Länge der Formel.
Das könnte eine Behauptung sein. Dann will ich zeigen,
dass das für alle Formeln gilt. Dann zeige ich im Induktionsanfang,
dass es für jede atomare Formel gilt,
lege ich los und sage, sei a beliebig,
also ein beliebiges Aussagensymbol,
also gilt die Behauptung,
Annahme, annehmen, dass die Behauptung für zwei Formeln F und G gilt.
Und zumindest für die Atomane, habe ich es ja gerade gezeigt.
Und dann zeige ich im Induktionsschritt, dass eben unter dieser
Annahme bei zweitens nun auch die Behauptung für Nicht-F gilt,
für F oder GF, F und GF impliziert G und F, bimpliziert G.
Das wäre dann eine strukturelle Induktion,
wenn man das gemacht hat, dann weiß man,
oh, die Behauptung gilt für alle Formeln der Aussagenlogik.
Da könnt ihr mal zu Hause versuchen,
das zu mappen, dass ihr euch links daneben schreibt,
was ist eigentlich Induktion bei natürlichen Zahlen, wie geht das da,
Schritt für Schritt und was ist diese strukturelle Induktion?
Ihr seht ja auch, dass quasi diese Art,
die natürlich in Zahlen zu definieren, zu sagen,
null ist oder eins ist eine natürliche Zahl.
Und wenn Ende eine natürliche Zahl ist, dann auch N plus eins.
Das wird durch Induktion genau abgedeckt. Und hier wird
quasi die Definition, die Sintax-Definition genau dadurch abgedeckt.
Morgen sehen wir ein Beispiel dazu, im Beweis des Ersetzbarkeitstheoriens.
Dann werden wir es im Laufe der Vorlesung noch bei weiteren Beweisen sehen.
Es gibt ein Beispiel im Skript und wir machen auch ein Beispiel
noch in den Präsenzaufgaben und in den Übungsaufgaben habe ich auch eine eingebaut,
dass man das mal üben kann.
Genau, morgen sehen wir da so ein Beispiel zu.
Strukturelle Rekursion
Ich will eine Funktion definieren, hier F genannt,
die jeder Formel, der Aussagenlogik, irgendwie einen Wert aus D zuweist.
Bei uns wird D meistens irgendwie die natürlichen Zahlen sein oder
sowas, aber sowas würde ich jetzt machen.
Wie gesagt, Beispiel Länge, dass ich sagen kann,
eine Formel ist ein Hund so lang.
Wie mache ich das? Es genügt den Wert für jedes Aussagensymbol zu definieren,
also F von A für jedes Aussagensymbol festzulegen,
indem man beispielsweise sagt, F von A ist 1, Länge ist eins.
Und dann definiert man sich eine Funktion F-Negation,
die einen Wert aus denen nimmt und auf die abbildet.
Und für jeden dieser zweistelligen Jungtouren definiert man sich eine Funktion,
die zwei Werte aus denen nimmt und auf einen Wert auf die abbildet. Und die Idee ist dann,
dass der Wert von F auf diesem größeren Formeln, diesen komplexeren Formeln,
dass der eben definiert wird durch den Wert von Klein F aus Groß,
F und Klein F aus GroßG und die beiden Werte,
die da rauskommen, da kommen jetzt mal Werte aus dir raus,
die packe ich dann in diese Formel F und.
Und bei der Negation habe ich F von F von NichtG
und F von NichtG ist dann eben F nicht von
F und
So kam mir das einen Schritt für Schritt definieren.
Also man braucht dann quasi nur einmal den Wert von F auf den Aussagensymbolen definieren.
Wenn der denn überall gleich ist, sonst muss ich da was tun.
Und dann definiere ich mir fünf Funktionen und bin fertig.
Beispiel dazu, weil das so ein bisschen kryptisch wahrscheinlich aussieht.
Beispiel Grad und Tiefe. Gucken wir uns das mal an,
wie man das definiert, ohne zu wissen,
was das genau abbilden soll.
Können wir mal gucken, wie man das definiert.
Hier wird gesagt, für jedes Aussagensymbol soll Grad und tiefe
Null sein. Dann wird gesagt,
für die Negation ist der Grad von Nicht-F. Wird jetzt
also hier diese Funktion Grad
nicht definiert
Gerade nicht von Grad F, soll gerade gerade von F plus 1 sein.
Meine Tiefe auch. Und dann wird gesagt,
für die zweistelligen jungen Touren, da definiere ich mir gerade
von F-Kringel G als Grad von F plus Grad von G
plus 1 und die Tiefe von F-Kringel G definiere ich mir als Maximum tiefe F-Tiefe G plus 1.
Was meint ihr denn, was ist denn jetzt der Grad
einer komplexen Formel und was ist die Tiefe einer komplexen Formel
Mhm. Der Grad? Genau. Das ist es, ne?
Der Grad ist eigentlich einfacher. Grad zählt einfach immer die Anzahl
aller jungen Touren. Wenn ich irgendwie nicht habe, ja,
dann gucke ich mir an, was ist der Grad von F,
also von der kleineren Formel und da die ja eins dazu.
Wenn ich irgendeinen zweistelligen Operator habe, dann gucke ich mir an,
was ist der Grad, ist ein Operanten,
was ist der Grad des anderen Operanten unter dir eins dazu.
Das heißt, ich zähle einfach alle jungen Touren,
die da drin auftreten
Und bei der Tiefe, da zähle ich bei der Negation auch eins dazu.
Das hilft mir jetzt noch nicht so beim Verständnis.
Aber hier, wenn es um die komplexeren Formeln geht,
dann addiere ich halt nicht so wie beim Grad,
sondern ich gucke mir an die Teilformel F und die Teilformel G.
Was ist da jeweils die Tiefe? Und davon nehme ich nur
das Maximum. Und da dir dann noch eins dazu,
nämlich von dem Jungtor hier, das führt dazu,
wenn ihr an den Strukturbaum denkt,
ihr fangt quasi bei der Wurzel an, oder zählt ihr eins.
Und dann geht ihr nach links und rechts und guckt überall, was ist die Tiefe.
Und wenn da bei der einen Seite drei rauskommt und bei der anderen Seite vier,
dann sagt ihr, oh, da ist vier rausgekommen,
vier plus, also das ist das Maximum,
also die vier und noch die eins dazu,
da habt ihr eine Tiefe von fünf.
Es ist quasi, ihr geht im Baum immer weiter runter,
bis ihr ganz unten angekommen seid
Beispiel. Ja, das kann man mal so auf sich wirken lassen.
Also grad ist umständlich da aufgeschrieben. Im Grunde genommen kam er
von links nach rechts einfach rüberlesen und alle jungen Touren zählen.
Ein oder ein und zwei Negationen macht vier.
Und bei der Tiefe, der Hauptoperator ist das und,
das heißt, ich habe oben das und.
Und dann habe ich auf der rechten Seite nicht,
nicht zäh, also ein und und zwei Nichte.
Das ist so eine Tiefe von drei,
wenn ich den Zweig im Baum entlang gehe,
dann zähle ich da drei junge Touren.
Und auf der anderen Seite zähle ich das nicht,
das oder und dann kommt das A und das
Da zähle ich also bei jedem der beiden Zweige nur zwei Jungtouren.
Da habe ich da eine Tiefe und eine Tiefe habe ich auf dem Zweig nicht,
aber der Zweig, da gibt es nur zwei Jungtouren,
dort auf den einen und zwei gibt es drei Jungtouren,
also habe ich da drei als Tiefe.
Oder anders von der Idee, wenn man den Strukturbaum aufmalt
und man malt das so Ebene für Ebene auf,
dann ist die Tiefe quasi die Tiefe des Baumes oder die Höhe des Baumes.
Und damit ließen sich jetzt so Sachen formulieren,
wie Tiefe ist immer kleiner gleich Grad von
Macht irgendwie, von der Intuition her macht das Sinn,
wenn ich bei Grad alle Jungtouren zähle und bei der Tiefe
nur die Jungtouren auf dem längsten Pfad,
dann sollte die Tiefe nicht größer werden als der Grad.
Also Tiefe von F. Kleiner gleich Grad von F. Macht da irgendwie Sinn.
Kann man schön einmal versuchen mit struktureller Induktion zu beweisen.
Oder man definiert irgendwie zweimal die Tiefe, es ist kleiner
gleich Grad von F, dann klappt das vielleicht nicht mehr.
Solche Sachen kann man dann probieren. Da steht es nochmal,
die Funktion Grad zählt die Anzahl der Jungtouren,
die Tiefe zählt die Anzahl der Jungtouren auf dem längsten Pfad
im Strukturbaum,
also quasi die tiefste Verschachtung
Und hier nochmal die Anmerkung, bei diesem Rekursionsschritt,
eben was so, dass die zweistelligen jungen Touren alle gleich definiert waren,
also hier, für Kringel irgendwas aus den zweistelligen jungen Touren,
das wurde hier alles gleich definiert, das kann man auch anders machen,
man kann das für oder anders definieren als für uns,
da kommen halt unterschiedliche Funktionen raus.
Ja, Zusammenfassung, das bisher zur Syntax der Fragen dazu
Eine Familie unteraus, aber ein Teil von der ganzen Diskussion von Strukturen
zum Strukturen geguckt. Fragen. Fragen zuerst. Okay,
dann, bevor wir in diese Semantik gehen, ja,
wir haben noch was zu tun.
Bevor wir in diese Bossung... Bevor wir in die Semantik gehen,
Da habe ich einmal 14 Fragen um die Vorlesung und was ihr so tut und so.
Mal kurz ein bisschen, um mein Gefühl dafür zu kriegen,
wie so euer Stand ist. Macht doch mal,
wie ist der, ach so, es kommt gleich noch,
also Schwierigkeitsgrad, dann kommt noch Stoffmenge und Stoffmenge und Geschwindigkeit.
Also weil das kann ja unterschiedlich sein. Man kann ja
sagen irgendwie, ich finde einen bestimmten Aspekt sehr schwierig,
aber eigentlich ist es nicht viel.
Deswegen da
die Unterscheidung
9,49. 9,1. Etwas zu hoch gehen. Stoffmenge,
das ist eine ähnliche Frage,
weiß ich aber
Musik Und Geschwindigkeit Hm
Ich lerne, ob ihr ausschließlich allein lernt oder in Lerngruppen
, ausschließlich überwiegend.
Ja, naja.
Es war spät
Ich arbeite überwiegend Vorlesung,
also Vorlesung und auf Lecture-to-Go-Folien mit einem Buchskript, Webscript,
weitere Vorlesungen, also wenn ihr zum Beispiel,
keine Ahnung, euch Vorlesungen von der,
vom Hasso,
Hanno Plus,
Hasso-Plattner-Institut anguckt oder so
Musik Gleiche Frage nochmal für das Skript
Wenn das schon so aussieht, bei den Leuten,
die noch in die Vorlesung kommen.
2767. Bitte? Nee, weiß ich nicht.
Ich sammle die IP-Adressen nur von den Leuten,
das muss genügen
Für die, die mit dem Skript arbeiten, einmal ganz,
das können wir schneller machen als mit 30 Sekunden, ne?
Als PDF im Web, beides. Wieder noch.
36, 18, 12. Jetzt für die,
die das PDS-Skript nicht nutzen, warum nicht?
Also entweder nutzt ihr das im Web oder ihr sagt,
ohne Grund,
also keine Ahnung,
Zu langatmig, zu kompliziert, zu schlechtes Layout, zu zeitaufwendig.
Ich verstehe den Stoff auch so oder einen Grund,
der nicht aufgeführt ist.
Soll es ja geben
21, 5. Was war denn 5.
Und das Gleiche nochmal für das Skript,
gleiche Frage für das Skript im Netz
Das waren ja eben auch schon so viele.
Bitte? Das geht auch schnell, ne?
So schnell will ich nicht
Da können jetzt eigentlich ja nur die 15,
die im Jahr gemacht haben, klicken, ne?
Warum sind denn das so viele Balken? Also, dass die,
die sich nicht angemeldet haben, sie nicht benutzen, kann ich mir vorstellen.
Drittens finde ich auch schön. Drittens mal glücklich. So
, vorletzte Frage. Ich benutze sie nicht, weil,
zu kompliziert, zu zeitaufwendig. Der dritte Punkt bezieht sich darauf,
ob es euch stört,
dass dass deine Firma oder dass da so eine NGO im Hintergrund ist,
viertens, weil die Studierenden dann sehen,
was ich frage,
also andere Studierende fünftens,
weil der Veranstalter sieht,
was ich frage und so weiter
Was denn geh? Habe ich mir angeguckt. 4,
1. 5, 11. So, und letzte Frage für euch
. Einmal so im Kopf zusammenrechnen, was meint ihr,
wie viel Zeit investiert ihr so inklusive Vorlesungen und Übung
grob in die Veranstaltung?
Ja,
mal so.
Musik 1996, 1992, 14, ja, alles klar.
Super. Das war die letzte.
Super. Dankeschön. Ja
Das Problem ist, das ist so formal.
Ich glaube, wir machen abends so einfach,
dass man kurz zu informal, was passiert da eigentlich?
Das ist einfach von drei Vertworten,
unnümal zu erklären
Okay, dann, dann ziehen wir das mal kurz vor.
Es war letzte, nach der letzten Veranstaltung war noch einer
vorne, hatte sich mit mir auch drüber unterhalten.
War total interessantes Gespräch. Da steckt so ein bisschen
die Denke hinter, wenn man es mir informal sagt,
dann habe ich es danach verstanden und kann es machen.
Oder besser verstanden und kannst dann machen oder irgendwie sowas
Ja, aber das sollst du ja lernen. Du sagst mir gerade,
ich will ein französisches Buch, ich will die französische Sprache lernen,
aber ich will das Buch nicht lesen.
Kannst es mir nicht auf Deutsch geben, das kann ich.
Danach kann ich auch das Französische lesen und verstehen.
Du sollst ja gerade diese Sprache lernen,
weil ihr sollt gerade in einem, aus unserer Sicht,
noch möglichst einfachen Kontext, diese mathematische Ausdrucksweise,
diese mathematische Sprache und so weiter lernt.
Damit ihr das dann im größeren Kontext,
wo es eben nicht mehr so einfach ist,
Sachen irgendwie bildlich und informal darzustellen,
dass es da dann
euch erarbeiten könnt
Ja, ja, das ist ja auch total okay,
kann ich auch verstehen. Nur, also um noch,
also auch so die anderen Bemerkungen,
die ich manchmal so kriege, um die nochmal aufzugreifen,
das kommen manchmal Studenten nach vorne, die sagen dann mir,
Frank, kann da nicht mal ein Beispiel kommen?
Dann denke ich so, okay, wozu wolltest du heute ein Beispiel?
Dann sagt der Studi zum Beispiel zur heutigen Veranstaltung,
zu diesen Strukturbäumen, da hätte ich so gerne so ein Beispiel gesehen.
Da sage ich, ja, aber das war doch ein Beispiel.
Dann sagt er, ja, aber ich hätte so gerne
ein Beispiel gesehen und ich so, okay, aber so.
Oder er sagt, guck mal, die Folie 14,
die habe ich nicht verstanden. Und dann sage ich,
okay, aber warum hast du nicht in der Vorlesung gefragt?
Also du warst doch jetzt, warum kommst du jetzt nach vorne?
Warum fragst du dich in der Vorlesung?
Vielleicht haben ja andere Leute noch
das Problem
Da weiß ich, da sagt man dann gerne so irgendwie so,
ja, naja, da vorlesen will ich mich melden,
kann ich auch verstehen.
Das ist irgendwie immer so ein bisschen schwierig.
Aber das könnt ihr zum Beispiel an den Stellen,
wo es euch irgendwie Probleme macht, noch machen.
Dass ihr irgendwie sagt irgendwie so, okay,
an der Stelle hätte ich gerne noch ein Beispiel.
Dann kann ich mir entweder eins an der Tafel schnell aus
den Fingern saugen oder ich kann irgendwie das das nächste Mal nachreichen oder so.
Aber also dazu sollte ich auch eigentlich das Skript dienen,
dass ich am Skript sehen kann, wenn ihr viel annotiert irgendwie.
Hier die Stelle verstehe ich nicht. Komisch, verstehe ich
nicht oder so. Dass man da gerade so eine Feedback-Schleife
drin gehabt hätte, sodass man darauf eingehen kann.
Und das mit den Beispielen, also Beispiele, finde ich,
sind genug drin. So, jetzt kann man sich darüber streiten,
ob man das die Meinung teilt oder nicht.
Wer findet, dass das an einigen Stellen Beispiele fehlen,
denen fordere ich gerne dazu auf, mir eine E-Mail zu schreiben und reinzuschreiben.
Ich habe mir alle Folien nochmal angeguckt. Ich finde,
da, da, da, da, da,
da fehlen Beispiele oder so. Dann kann ich die einbauen,
nachliefern, was auch immer so. Aber dieses,
wie gesagt, dieses Beispiel von eben, wenn einer sagt,
da hätte ich gerne Beispiele zu gehabt und ich wäre so,
ja, das ist doch eins. Dann kann man vielleicht sagen,
ich hätte gerne noch ein zweites oder so,
dann kann ich da irgendwie dran arbeiten, aber zu sagen,
ich hätte da gerne ein Beispiel, wo eins ist,
dann weiß ich gar nicht, was ich machen soll.
So,
da kann ich irgendwie nicht liefern
Und dann, wie gesagt,
sollt ihr ja eigentlich lernen, mit diesen Formalismen umzugehen.
Und das ist halt auch das, was euch später von,
keine Ahnung, Berufsfachschülern oder irgendwie sowas unterscheiden soll.
Wenn die Vorlesung, wenn der Vorlesungsstoff so wäre,
dass ich jedes Ding, was da drin ist,
einmal informal sage und ihr dann alle sagen könnt,
ach so, ist klar, wollen wir gar nicht nochmal angucken.
Also so ähnlich wie vielleicht einige, die jetzt in Schulmatte
keine Probleme hatten, wie für die vielleicht Schulmathematik war.
Da waren so die ganzen Typen,
die Probleme hatten mit Schulmathematik und dann wart ihr da und dachte so,
ha,
habe es mir angehört,
habe es verstanden,
Und Uni ist nicht mehr so. Und das ist ehrlich gesagt auch gut so,
weil euch das nachher von anderen Leuten unterscheiden kann, dass ihr sagt,
okay, ich habe mich da durchgebissen, ich weiß,
ich musste Zeit investieren, das war hart und so,
aber das habe ich nachher verstanden.
Wie gesagt, wenn das so wäre,
dass man das einmal informal sagt und jeder hat es verstanden,
naja, also will nicht sagen,
dann kann ich das jeder Blödbratze beibringen,
aber darauf läuft es hinaus.
Dann ist irgendwie,
ist das jetzt im Video
Ja, genau. Also, dass dieses Zeitinvestieren dazugehört.
Und wir haben ja eben diese Zeit-Investitions-Dings gesehen, wo glücklicherweise
noch so ein Gnubbel war bei sechs bis acht Stunden.
Wenn er jetzt mal so zusammenrechnet, irgendwie anderthalb Stunden Vorlesung,
anderthalb Stunden Übungsgruppe, dann sind das schon drei Stunden.
Das ist mal bei sechs bis acht sagt man, naja,
man ist noch so drei, vier, fünf Stunden damit beschäftigt.
Bitte? Ach stimmt, wir haben, dankeschön.
Haha. Also, wir haben viereinhalb Stunden vor,
also viereinhalb Stunden für Vorlesung und Übungsgruppe. Wenn man jetzt sagt,
ich investiere pro Woche sechs bis acht Stunden,
dann kommen also quasi obendrauf nochmal,
maximal dreieinhalb Stunden,
Eineinhalb bis dreieinhalb. Wenn ich mir jetzt überlege, so,
naja, in den Vorlesungen, zwischendurch döst man mal 20 Minuten weg oder so.
Und dann ist das eigentlich mit den sechs bis acht Stunden nicht sonderlich viel.
Also, dass man zum Beispiel sagt so, naja,
am Wochenende musste ich mich echt hinsetzen und mir nochmal fünf Stunden FG1 ansehen.
Scheiße. So, das kann ich streichen. So,
dann ist das, klar,
da denkt man sich irgendwie so, oh, Mist,
das wäre bestimmt besser, wenn es einfacher gegangen wäre,
dann hätte ich noch irgendwie was anderes machen können oder so.
Aber das ist Lernen. Ich meine,
ihr meldet euch ja auch nicht bei Fitnessstudio an,
weil ihr ein Sixpack haben wollt für einen Sommer und dann sagt ihr,
also, dass ihr was tun muss,
so habe ich mir das nicht vorgestellt.
Ich habe mich doch angemeldet, das muss doch reichen.
Ja, das macht ihr ja auch nicht
Und ja, es ist hart,
FG1 ist auch ein härteres Modul als andere Module,
was daran liegt, dass viele andere Module jetzt zum Beispiel so Softwareentwicklung,
die sind am Anfang so in dem ersten Eins,
vielleicht noch im zweiten Semester, sind die oft auf so einem Niveau,
dass man das alles so ein bisschen abnickt, dass man sagt,
okay, If Zen sieht halt so aus, gekauft,
weil sieht halt so aus,
gekauft.
Und später werden die natürlich deutlich anspruchsvoller,
wenn da irgendwie Konzepte reinkommen und so,
wenn man dann auch vielleicht mal denkt so irgendwie,
uff, muss ich mir nochmal angucken.
Aber da ist halt relativ viel, wo man einfach sagen kann,
okay, ist so, mache ich so, danke.
Und das ist hier halt nicht mehr so,
weil man hier ja irgendwie Einerseits eine Sprache lernen soll,
andererseits auch einen kreativen Aspekt drin hat.
Das wäre so, wie wenn er eine Vorlesung hört,
wo es um, keine Ahnung, Game-Design geht.
Und der Typ erzählt vorne einmal kurz, guck mal,
so wurden Echtzeitstrategiespiele entwickelt, so wurden Arcade-Spiele entwickelt und so sehen Simulationen aus.
Eure Hausaufgabe ist, entwickelt bis nächste Woche ein innovatives Spiel.
Danke, so richtig, was hat er uns gerade nicht an die Hand gegeben?
Vielleicht hat er euch ein bisschen Techniken an die Hand gegeben,
wie man da irgendwie kreativ sein kann oder so.
Aber im Grunde genommen seid ihr dann ein,
zwei Wochen irgendwie im kalten Wasser und sollt gucken,
ob ihr was auf die Beine stellen könnt.
Und hier ist es natürlich eine andere Art von Kreativität.
Es ist diese Kreativität, formal zu argumentieren,
also überhaupt die Idee zu haben,
wo ich hin will und das dann formal auszudrücken,
also auch noch in der richtigen Sprache
zu packen
Und das kostet einfach Zeit und Mühe.
Es lohnt sich aber, da die Zeit und Mühe reinzustecken,
weil euch das nachher halt von anderen Leuten auch unterscheidet.
Und weil das auch so teilweise halt bleibende Sachen sind,
wenn ihr jetzt irgendwie in den ersten ein,
zwei Semestern Java-Programmierung lernt und dann geht ihr in vier Jahren arbeiten und der Chef sagt,
oh ja, war ja richtig, damit haben wir auch mal implementiert.
Da müsst ihr ja eine neue Sprache beibebringen, so.
Während die Sachen üblicherweise halt bleibender sind,
wobei es auch etliche Chefs gibt, die sagen,
oh ja, Automatentheorie, da habe ich mich auch durchgequält,
habe ich nie wieder gebraucht.
Gibt es auch so, aber es gibt auch genug Leute,
die das eben zu würdigen wissen, insbesondere eben,
wenn ihr an die,
an so Positionen ran wollt,
wie irgendwie,
ich will bei Amazon
das Data Mining machen
Da könnt ihr nicht hingehen und sagen,
ich will bei Amazon das Data Mining machen,
aber die Algorithmenvorlesung, die habe ich geskippt.
Da sagt er irgendwie, echt jetzt? Und für die Algorithmenvorlesung
braucht ihr eben auch wieder diesen Stoff, ne? Genau,
zusammengefasst, um das mal, also der Aufwand lohnt sich,
es lohnt sich auch wirklich dann, die Zeit reinzustecken,
die man eben irgendwie reinstecken muss.
Man kann versuchen, das im Dialog einfacher zu machen,
aber dafür muss ein Dialog entstehen.
Also da müsst ihr mir irgendwie sagen, wo ihr noch
ein Beispiel haben wollt, dann kann man, bitte?
Und überall zählt nicht als Antwort. Wo wollt ihr noch
ein Beispiel haben? Überall? Ja, das dazu,
genau. Also schreibt mir gerne,
wenn ihr irgendwo Stellen habt, wo ihr sagt,
da sollten mir Beispiele sein oder so
Aber was halt als Arbeitshaltung quasi an der Uni nicht mehr geht und was auch gut ist,
dass es an der Uni nicht mehr geht, ist,
dass man sagt, ich war doch jetzt in der Vorlesung,
in der Übung und im Tutorium und ich habe es immer noch nicht verstanden.
Da muss man sagen, so naja,
aber du hast dich bis jetzt auch noch nicht auf deine eigenen vier Buchstaben gesetzt und geguckt,
wo wirklich dein Problem ist, dass man sich dann hingesetzt und konsumiert.
Und zu diesem Lernen auf dem Niveau zählt eben, dass man die Sachen auch macht.
Und beim Programmieren macht ihr es ja auch. Ihr sagt ja nicht,
ihr habt euch eine Programmiervorlesung angehört und gut ist,
wenn ich mir eine Programmiervorlesung anhöre,
so ein ganzes Semesterprogrammiervorlesung und am Ende sollte ich mich hinsetzen und ein Programm schreiben,
dann sitze ich da und denke so,
wie war die Sintax nochmal?
Mir war das grob klar, aber hm,
so und da muss man es auch machen,
damit es irgendwie in die Fingerrei geht.
Und hier müsste es halt auch machen,
damit es in die Finger reingeht
Das dazu. Fragen dazu. Könnte sein. Oder sonstige Anmerkungen.
Also ich nehme auch gerne Anmerkungen dazu, was man besser machen kann.
Ich finde das ja durchaus interessant. Nur Stoffkürzen würde ich
ungern, weil wir schon mehrmals Stoff gekürzt haben.
Und das eigentlich jetzt so ein Ding hat,
wo man irgendwann auch mal sagen muss, okay,
aber das muss jetzt auch in die Köpfe reingehen.
Das ist dann natürlich immer noch so, dass man irgendwie sagt,
jedes Mal, immer wenn man was lernen soll.
Ich kann auch das ganze Semester nur über die erste Vorlesung
reden und da sind 100 pro immer noch Leute,
die irgendwie sagen, boah ey, das ist anstrengend.
Dann denkt man so, ja,
wenn du dich jetzt einmal am Wochenende hinsetzt,
hast du
es auch verstanden
Und wenn man es halt immer weiter reduziert, dann fällt das nachher,
nachher ist es ja irgendwie keine universitäre Ausbildung mehr.
Und das ist auch Käse. Da habt ihr auch
gar nichts von. Wenn es keine universitäre Ausbildung ist,
also wenn irgendwann eine Firma sagt, also diese Informatikabsolventen von
der Uni Hamburg, die nehmen wir nicht mehr.
Das ist ja richtig Käse. Dann werdet ihr doch zum Vorstellungsgespräch
eingeladen am Ende, damit sie sich über euch lustig machen können.
Das will mir ja nun wirklich nicht so. Nee. Genau,
ihr strebt halt den, wer jetzt sagt,
nach dem Bachelor will ich aufhören,
der strebt immerhin den zweithöchsten Bildungsabschluss an und wer sagt,
hey, ich will danach auch noch Master machen,
der strebt halt den höchsten Bildungsabschluss an,
den ihr in eurem Fach kriegen könnt
Dafür? Gut. Das war eigentlich ein schöner Schlusssatz, ne?
Ja, genau. So, Sevantik, gucken wir uns
das nochmal an. Ich glaube, Semantik kennt ihr sowieso
überwiegend. Wir wollen die Bedeutung definieren. Einfache Idee,
man belegt die atomalen Formeln mit wahr oder falsch.
1 oder 0 nachher war oder falsch
Und dann definiert man halt, was bei den einzelnen Jungtoren
passieren soll. Bei Nicht kann man sich schon vorstellen,
soll wahrscheinlich einfach der Wahrheitswert gekippt werden.
Wenn eine Aussage wahr ist und ich sage dann,
nicht diese Aussage, dann wird die wohl falsch.
Bei uns kann man sich vorstellen,
nur wenn beides wahr ist, soll die Gesamtaussage wahr werden.
So wird es auch gleich gemacht. Da nochmal die Definition zur Sintax,
dass man gleich sehen kann, das wird nämlich gleich eine Definition,
die genau diesem Schema der strukturellen Rekursion entspricht.
Da wird irgendwie auf den Aussagesymbolen definiert,
wie die belegt werden oder wie die ausgewertet werden und dann wird gesagt,
wie eine Negation ausgewertet wird,
wie die vier Bausteine hier ausgewertet werden und dann ist man fertig.
Genau wie bei Grad und Tiefe auch
Nur, dass es jetzt nicht Grad und Tiefe ist,
sondern dass jetzt eine semantische Idee dahinter steckt.
Also zunächst nimmt man eine Belegung, die weist jedem Aussagesymbol
einen Wahrheitswert zu. Warum braucht man das? Weil das
quasi unterschiedliche Welten sind. Wenn ihr sagt, irgendwie,
ich habe eine atomare Formel, die steht dafür,
es regnet, dann kann diese Aussage wahr oder falsch sein.
Und dann gibt es quasi ein Universum, in dem es diese Aussage war.
Da regnet es wirklich gerade und es gibt nur Universum,
du hast sie falsch, da regnet es nicht.
Also jede Belegung spiegelt quasi ein anderes Universum oder dann
ein Zustand der Welt wieder oder sowas.
Und das sind so die atomaren Bausteine,
deswegen muss man das für die explizit festlegen.
Und dann kann man außer können dann unter einer Belegung wahr
oder falsch sein, genau. Und die Idee ist dann,
dass diese Aussage logische Semantik, die jetzt gleich kommt,
regelt wie die komplexen Formeln zu Wahrheitswerten kommen.
Wenn ich weiß, wie die einzelnen Atoman-Bausteine belegt sind,
wird geregelt, wie die komplexen Formeln zu Wahrheitswerten kommen.
Also Belegung, eine Funktion, AAS, so schnell das A,
ich glaube, das hatte keine tiefere Bedeutung.
Das AAS halt für Aussagensymbole und A für Belegung dann.
Schön weit vorne am Alphabet immer. Also jedes Aussagensymbol
der Aussagenguge kriegt einen Wert null oder eins zugewiesen.
Die Idee dahinter, null ist falsch,
eins ist wahr
Und jetzt definieren wir uns rekursiv, eine Funktion A,
die jeder Formel einen Wahrheitswert zuweist. Also genau das,
was wir in dieser strukturellen Rekursion auch machen wollten.
Jeder Formel sollte in Wahrheit, jeder Formel sollte in Wert zugewiesen werden.
Hier ist jetzt unser D eben die Menge 0-1.
Also es ist für jedes A-Element AS, also viele,
atomare Formel, ist die Belegung gerade genauso, das S muss noch runtergestellt werden hier,
ist die Belegung gerade so definiert, wie die Funktion das hier eben tut.
Und für die größeren Formeln,
da definieren wir uns das jetzt, da sagen wir jetzt,
A von Nicht F ist eins genau dann,
wenn A von F.0 ist, also wenn A von F.0 ist,
ist A von Nicht F1, wenn A von F1 ist,
ist A von Nicht F.0,
der Wert wird also gekippt
F oder G wird eins genau dann,
wenn A von F1 ist oder A von G1 ist.
Und da muss man jetzt kurz aufpassen mit der natürlich sprachlichen Formulierung mit dem Oder.
Also besser ist es, wenn man es ganz explizit angibt.
Gemeint ist an der Stelle, wenn F zu 1 ausgewertet
wird oder wenn G zu 1 ausgewertet wird oder wenn beide zu eins ausgewertet werden.
Das ist also kein exklusives oder genau eins davon,
sondern ist das oder mit, wenn eins davon zutrifft, ist es okay.
Also nur wenn AF 0 ist und AG 0 ist,
wird A von F oder G 0. A von FG gleich 1 genau dann,
wenn A von F1 ist und A von G1 ist.
Das ist einfach Implikation ist ein bisschen schwierig,
die wird eins in dem Fall, wenn A von F.0 ist,
also wenn die Prämisse, nennt man das F.4,
wenn die Prämisse null ist, dann ist die ganze Sache wahr.
Oder wenn A von G1 ist, dann schließt dann quasi
den Fall ein, dass A von F.1 ist.
Also bei drei Fällen wird das Ding wahr, wenn A von F.0 ist,
und A von G ist egal, 0 oder 1,
und der Fall A von F.1 und A von G1,
da wird es auch eins.
Also es wird nur dann falsch,
wenn die Prämisse F wahr ist und die Konklusion hinten falsch,
dann ist das Ganze eine falsche Aussage
Und hier die Bi-Implikation, die wird eins genau, dann werden die Werte übereinstimmen.
Wenn die beide eins sind oder beide null. Genau. Da nochmal,
was ich eben, glaube ich, schon gesagt habe,
das wird zu eins ausgewertet, wenn A von F1 ist
oder wenn A von G1 ist oder wenn beides gilt,
in allen anderen Fällen wird das eben zu null ausgewertet.
Kann man jetzt auch schön sich in eine Tabelle schreiben,
genau. In sogenannte Wahrheitstafeln, da sieht man es dann
sehr übersichtlich. Da steht hier links die Atomanformeln,
wir brauchen gerade nur A und B und halt die vier Möglichkeiten,
wie die ausgewertet werden können.
Die können beide zu null ausgewertet werden,
genau eins davon kann zu eins ausgewertet werden oder beide können
zu eins ausgewertet werden
Und dann ist die Negation von A,
da kippt halt hier 0-0-1-1,
das kippt halt einfach. Oder sieht man dann hier,
das wird nämlich in genau den drei Fällen,
wo mindestens eins davon zu eins ausgewertet wird,
wird das auch zu eins ausgewertet.
Bei dem Und nur an der einen Stelle,
wo beide zu eins ausgewertet werden, die Implikationen,
wird nur dann null,
wenn die Prämisse A wahr ist und die Konklusion B falsch.
Und die Bi-Implikation wird wahr, wenn beide den gleichen Wahrheitswert haben. Die Idee hier ist,
in jeder Zeile steht eine Belegung von A und B und eben,
die sich daraus ergebene Zuweisung zu den komplexeren Formeln.
Und ein Kästchen hier, so ein Kästchen,
das ist eben gerade der Wahrheitswert,
den A oder B unter der Zuweisung dann haben, die der Belegung A,
wird zu null und B wird zu null ausgewertet, entspricht.
Ja, und den Teil hier mit dem Nicht-A,
da will man auch mit einer kleineren ausgekommen, mit einer zweiteiligen,
aber so kriegt man es halt alles in eine Tabelle,
sonst wird das so ausgesehen hier.
Aber dann passt das so wie eben alles
in eine Tabelle.
Fragen dazu? Semantik
Also mit einer Belegung, die atomaren Formeln belegen,
mit Wahrheitswerten, und die dann rekursiv zu so einer Funktion A,
nennt man auch meistens einfach eine Belegung, erweitern,
die dann eben ganze Formeln auswertet.
Nach diesem Schema der Wahrheitstafel. Fragen? Okay. Wenn
man jetzt halt eine komplexe Formel kriegt, dann kann man,
wenn man möchte, eine Wahrheitstafel dafür machen,
und dann bricht man die eben in die ganzen Teilformen auseinander
Und wenn da jetzt irgendwie A,
B und C als atomare Formeln vorkommen,
dann schreibe ich mir hier ganz links A, B,
C hin und halt alle Möglichkeiten,
die mit Nullen und Einsen zu belegen.
Das ist immer binäres Durchzählen von alles Null bis alles Eins.
Also von 0-0-0,
0-0-1, 0-1-0,
0-1-1 und immer so weiter, ja.
Ob das einen bestimmten Grund hat, dass das X-Ohr fehlt.
Sind taktisch, haben wir es nicht eingeführt.
Wir haben halt nur nicht oder und so weiter eingeführt.
Und semantisch lässt sich das ausdrücken durch andere von denen
Ja, man kann, man kann noch
ein paar weitere Jungtoren einführen, wenn man das möchte.
Da hat man halt noch vier, fünf weitere Jungtoren,
kann man machen. Man kann auch noch weitere unnähere Jungtoren
einführen, die sind dann teilweise aber wirklich blöd.
Also man kann unnäheren Jungtor einführen, der alles immer
zu null macht oder alles immer zu eins oder so.
Die bringen aber nicht viel. Und die kann man sich
alle einführen im Sintax und dann auch in der Semantik,
hat dann das Problem beispielsweise bei der strukturellen Induktion,
müsste ich die dann alle behandeln.
Das bläht das extrem auf. Deswegen versucht man immer mit
einem kleineren Satz an jungen Toren auszukommen, der vollständig ist,
also mit dem ich alles ausdrücken kann, alle anderen Jungtouren,
der aber möglichst klein ist.
Also das, was er vorhin gesagt hatte,
ob man nicht auf die beiden hier Implikationen und Biomplikationen auch verzichten könnte.
Wenn man jetzt den Schwerpunkt legt,
auch ich will bestimmte Beweisführungen machen,
dann verzichtet man auf die
auch gleich noch
Nach Fragen. So sind wir dick. Jetzt könnte man hier diese größere,
komplexere Formel hier nicht A oder nicht B und dieser Teil
dann gegundet mit C und nicht D. Und dann bricht man
das halt auf am Hauptoperator und dann hat man hier C und nicht die,
hier hat man die Formel,
also da steht jetzt nicht alles drin,
man hätte die Formel A oder nicht B
und dann hätte man zusätzlich noch
diese Formel nicht davor
Und dann hätte man noch die Formel nicht B und die
Formel Nicht D, dann wird die Tabelle also größer.
Man würde das für alle Teilformeln machen. Also konsequenterweise müsste da noch stehen,
nicht B, nicht D und noch die hier,
diese Nicht-A oder Nicht-B müsste da auch noch stehen.
Aber so mit denen kann man Zeit, man muss nicht immer
alle Spalten aufschreiben, die kann man relativ schnell ermitteln.
Und genau, kann das nochmal. Wie sehe denn
die erste Zeile aus? 0, 0, 0,
0 und dann? Was ist A oder Nicht B
Ja. Ja, genau. Und C und Nicht-D ist
C und Nicht-D ist? Null, ne? C ist Null,
also wer das insgesamt null, sogar egal, was nicht D,
jetzt braucht man sich gar nicht angucken, aber wäre eins,
aber dann hat man null und eins, bringt nichts.
Dann ist, wenn das hier eine Null ist,
dann wird die Unverknüpfung hier auch zu einer Null, ne?
Und dann kann man das so weitermachen für all die Zeilen
da und dann kommt das irgendwie
so raus
Und dann sieht man hier diese Spalte hier der ursprünglichen Formel,
das nennt man dann den Wahrheitswerteverlauf der Formel.
Die hat halt fast überall Nullen,
nur an der Stelle hat sie eine Eins.
Sonst ist alles Null. Die wird fast immer zu falsch ausgewertet.
Nur das eine Mal wird sie zu Eins ausgewertet. Ja,
also da fehlen erstmal müsste man dann noch die anderen Tai-Formeln dazu machen,
wenn man die denn haben möchte.
Und genau, hier, weil wir ja noch keine Klammerersparnisregeln haben,
hier müssten noch Klammern hin, ne?
Das ist richtig. Und hier auch eigentlich,
bei der ganzen Formel. Ich habe quasi die
äußersten Klammern weggelassen
Morgen sehen wir auch die Klammerspannsregel, die das rechtfertigt.
Da habe ich es einfach weggelassen.
Ja, dann gibt es noch so ein paar Begrifflichkeiten.
In jeder Zeile steht eine Belegung, das hatten wir schon.
Jede Zeile beschreibt einen prinzipiellen möglichen Zustand der Welt oder jedem Universum.
Der nächste Punkt ist wichtig,
wenn man eine Formel hat mit enden verschiedenen atomaren Formeln,
also mit entverschiedenen Aussagensymbolen, dann hat die Tafel zwei hochenden viele Teilen.
Hier hatten wir D-Stück, vier Stück, ABCD.
Und da geht es halt von 4 Nullen bis vier Einsen
binär durchgezählt
4-1 steht für 15 und dann kommt noch 0-0-0 dazu,
also hat man da genau 16 Zeilen, genau, zwei hochendviele Zeilen.
Aber wenn jetzt noch das E dazukommt,
dann hat man quasi alles, was hier steht,
einmal mit einer Null von und einmal mit einer Eins vorne,
dann hat man 32 und immer so weiter.
Also hat man, wenn man Aussage, enatomaren Formeln hat,
hat man zwei Wochen Zeilen in der Tafel. Da sieht man schon dran,
dass das, wenn man gegeben eine Formel wissen möchte,
ob ich die erfüllen kann, eine Wahrheitstafel aufzumalen,
nicht immer so die idealste Möglichkeit ist,
wenn ich irgendwie eine Formel mit 100 verschiedenen atomaren Formeln habe,
dann habe ich eine Tafel mit zwei hoch 100 Zeilen,
das werde ich irgendwie nicht mehr
aufmalen können
Und die Spalte wird als wahrheitswerte Verlaufe zugehörigen Formel bezeichnen.
Genau. Dann noch zwei weitere Folien mit so ein bisschen Begrifflichkeiten.
Wenn ich eine Belegung habe, die eine Formel zu eins auswertet,
dann nenne ich die ein Modell oder eine erfüllende Belegung.
Und wenn sie F zu 0 auswertet, dann nenne ich die
eine falsifizierende Belegung. Wenn ich nicht nur eine Formel habe,
sondern ich habe eine ganze Formelmenge, dann nenne ich eine Belegung,
die alle Formeln aus der Formelwenge wahrmacht.
Auch ein Modell und dafür schreibt man dann meistens abkürzend auch
sowas hier A von M
Nicht, muss man auch zusätzlich definieren,
weil man ja A von A ist ja nur für Formeln
definiert und nicht für Mengen und dann sagt man,
na gut, dann erweitere ich das noch für Mengen,
A von MS1 genau dann,
wenn ich jede Formel aus F oder jede Formel aus M warmachen kann.
Und da nochmal, besonderer Fall, eine Belegung ist immer Modell der Lehrmenge.
Lehre Menge ist also erfüllbar. Warum? Weil man hier eine Allquantifizierung drin hat,
eine Belegung, die alle Formeln aus M warm macht,
ist ein Modell für M, naja, wenn da gar keine drin sind,
dann macht sie quasi ohne irgendwas zu tun,
alle Formeln daraus wahr, also ist sie ein Modell.
Und da wichtige Begriffe für uns erstmal, eine Belegung,
wenn die eine Formel F wahr macht,
dann ist sie ein Modell für F und sonst
ist es eine falsifizierende Belegung
Dann noch, wenn eine Formel mindestens eine erfüllende Belegung besitzt,
also wenn in der Tafel eine Eins steht an irgendeiner Stelle,
dann nenne ich das eine erfüllbare Formel.
Wenn sie mindestens eine falsifizierende Belegung besitzt,
also wenn in Wahrheitswerte verlaufende Null steht, dann in der nächsten falsifizierbare Formel,
wenn sie sowohl erfüllbar als auch falsifizierbar ist,
dann nenne ich sie Kontingent.
Kann ich wahrmachen und falsch machen,
wenn sie gar kein Modell besitzt, dann nenne ich sie unerfüllbar,
also wenn der Wahrheitswerteverlauf nur aus Nullen besteht oder eben eine Kontradiktion.
Und wenn sie nur Einsen hat im Wahrheitswerteverlauf,
dann nennt man sie gültig oder allgemeingültig oder als nun
Und das sind so die Begriffe, Schreibweisen dafür,
wenn A ein Modell für F ist,
dann schreibt man das hier so, A, Balken,
Balken, Balken, F. Wenn A F falsifiziert,
dann streicht man das Ding noch durch.
Wenn F eine Tautologie ist, dann notiert man das so.
Die Idee dahinter ist, links davon würde jetzt eine Belegung stehen,
dass aber egal ist, welche Belegung ich dahin schreibe,
jede Belegung ist ja Modell, lasse ich es einfach weg.
Also eine Tautologie wird ja immer wahrgemacht,
also es ist jede Belegung ein Modell von der Formel F
und dann gilt das hier halt für jede Belegung A und
dann kann ich das A auch gleich weglassen,
dann habe ich das so geschrieben
Und Kontradition, da ist die Idee zu sagen, naja,
wenn ich mir das so eingeführt habe für die Autotologie,
dann schreibe ich das F einfach auf die andere Seite für Kontradition.
Dann kann man sich das überlegen. Man kann sich das
auch nachher überlegen mit dem Vollgabarkeitssymbol, das Symbol wird auch
für Vollgabarkeit nachher benutzt, aber erstmal genügt uns das so.
Also wenn A-Modell ist für F, also wenn AF wahr macht,
A von FS1, notiere ich das so,
wenn A von F.0 ist, notiere ich das so.
Und wenn F eine Tautologie ist,
schreibe ich da dieses Model-Symbol und dann F dahin.
Frank? Also das war jetzt gerade drei,
vier Folien, einfach Begrifflichkeiten.
Ja, genau. Also hier hatten wir
die Semantik eingeführt
Da im Grunde genommen eine Semantik eingeführt mit Wahrheitstafeln, hier die Wahrheitstafel gemacht.
Und dann Begriffe, Modell, erfüllende Belegungen, falsifizierende Belegungen,
erfüllbar, falsifizierbar, Kontingent, unerfüllbar, Tautologie, einfach Begriffe lernen. Und Notation. Fragen? Das hier ist,
glaube ich, klar, dass man,
wenn man jetzt eine größere Formel hat,
dann kann man so eine Wahrheitstafel machen wenn man irgendwie eine komplexe Formel hat,
kann man eine Wahrheitstafel machen,
bricht die Formel halt an den einzelnen Hauptoperaturen immer auf,
schreibt alle Teilformeln in die oberste Zeile hier und dann geht man hier links halt alle Möglichkeiten durch die atomaren Formeln zu belegen und am besten immer,
damit das einheitlich ist, damit man das schnell lesen kann,
macht man das immer so mit diesem binären Durchzählen.
0-1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 und so weiter.
Einfach binäres Durchzählen. Und dann guckt man eben immer,
was sind die einzelnen Teilformeln, welchen Bereitswert haben die.
Und dann fängt man halt bei den kleinsten Teilformeln an
und geht sukzessive zu den komplexeren Formeln
Und wenn man dann hier in dem Wahrheitswerteverlauf der Formel,
die einen ursprünglich mal interessiert hat,
wenn da nur Nullen stehen, Kontradiktion,
wenn da nur Einsen stehen, Tautologie,
wenn da Nullen und Einsen stehen, Kontingent.
Was sind so die Begriffe? Okay,
jetzt kann man ja relativ viel mit Wahrheitstafeln schon machen,
also gegebene Formeln mache ich eine Wahrheitstafel.
Man kann aber auch sehr gut einüben in eine Aussagenlogik ohne
Wahrheitstafeln zu argumentieren und an vielen Stellen wird man das
auch brauchen und ist gerade in der Aussagenlogik immer in einem
recht übersichtlichen Setting
Da kann man also nochmal ganz cool so
ein bisschen beweisen üben, wenn man das hier beweisen will.
F ist gültig, genau dann, wenn nicht F. unerfüllbar ist.
Also mit Wahrheitstafel, ist einem das vielleicht klar,
wenn ich eine Wahrheitstafel mache für F und ich weiß,
F ist gültig, dann stehen da überall einsende Wahrheitswerteverlauf.
Nicht F, jetzt gucke ich mir diese mannische Definition von nicht an,
die sagt, mach aus jeder einzelnen Null und aus jeder Null eine Eins.
Jetzt habe ich ja nur Einsen bei F, also habe ich
nur Nullen bei Nicht-F. Naja, dann ist nicht F unerfüllbar.
Also mit Wahrheitshuffle ist einem da schnell klar
Man kann aber auch sehr elegant und später wird das halt wichtig,
weil man später nicht mehr unbedingt mit einer Weiztafel argumentieren kann,
oder vielleicht auch an einigen Stellen nicht möchte.
Man kann sehr schön allgemein argumentieren mit den Belegungen.
Nicht die Richtung von links nach rechts zeigen will,
also wenn ich zeigen will, wenn F gültig ist,
dann ist Nicht F unerfüllbar.
Sei F gültig, wir wollen zeigen, dass Nicht F unerfüllbar ist.
Jetzt kann man sich aber vorstellen, was will ich überhaupt zeigen?
Ich will zeigen, dass Nicht F unerfüllbar ist.
Ich will also zeigen, dass jede Belegung A
nicht F zu 0 auswertet. Also für jede Belegung,
also gelten A
von Nicht F ist
Na gut, nehme ich mir jetzt also mal, sage ich mal,
sei a, eine Belegung und was kann ich nutzen?
Ich kann nutzen, dass F gültig ist. Naja,
wenn a, irgendeine Belegung ist, dann ist A von F1.
Das sei ja also a, eine beliebige,
zu erst passende Belegung, passend bedeutet, sie weist jedem,
hat jede atomaren Formel in F einen Wahrheitswert zu.
Dann ist A von F1, weil F gültig ist,
einfach nach Definition. Da will ich hin,
A von Nicht F soll 0 sein,
A von FS1, naja,
mit der Semantik von der Nicht bin ich schon fertig,
wegen der semantischen Definition von Nicht F ist dann A von Nicht F
0. Also wenn Affen F1 ist,
ist A von Nicht F 0 fertig
In die Richtung. Und die andere reden im Grunde genommen
genauso. Dann sage ich, sei nicht F. unerfüllbar.
Ich will zeigen, F ist gültig, sei also A.
irgendeine Belegung, A. von Nicht-FS0 und so weiter.
Sei umgekehrt, nicht F. unerfüllbar, A. eine beliebige,
passende Belegung und so weiter. Und so kann man oft sehr elegant argumentieren,
in der Aussagenlogik kann man sich aber meistens so die Gültigkeit von
solchen Sätzen noch klar machen, indem man irgendwie an Wahrheitstafeln denkt.
Kann man ganz vielen Stellen nochmal kurz so überlegen,
wie sie das bei der Wahlstafel auf,
ja, müsste stimmen oder dürfte nicht stimmen oder so.
Oft ist es dann aber einfacher, so zu argumentieren.
Oder auch wenn man beispielsweise zeigen will,
dass die Formel A und B und C und E und E und F und G
, dass die Kontingent ist.
Wenn man da jetzt die Wahrheitstaffel aufmalt,
dann für den Computer mag das noch gehen,
aber für einen selbst da schon relativ anstrengend.
Das ist irgendwie sieben, sieben atomare Formeln drin.
Dann bin ich da schon in so einem Bereich,
wo ich das eigentlich nicht mehr aufmalen will mit 108 Teilen.
Man kann nicht einfach sagen, naja, klar ist die Kontingent,
die Belegung A1 mit A1 von A, A1 von B,
A1 von C und so weiter, alles gleich eins.
Die macht die Formel wahr und die mit alles zu null
auswerten, die macht die Formel falsch.
Also habe ich eine erfüllende Belegung, eine falsifizierende Belegung bin fertig.
Da muss ich nicht die ganze Tafel aufmalen.
Und das kann man halt an vielen anderen Stellen
auch machen
Werden wir morgen auch sehen. In dem Beispiel hier,
wo man gesehen hat, dass beide Richtungen sehr ähnlich gehen,
da kann man das auch schneller machen,
wenn man das so aufschreibt, ne?
F ist gültig, genau,
dann werden jede Belegung ein Modell von F ist, genau,
dann werden A von F gleich 1 ist für jede Belegung von A.
Das ist einfach nur die Definition, genau dann,
wenn A von Nicht F0 ist für jede Belegung A.
Nach Eigenschaft von der semantischen Definition, von der Negation,
genau dann, wenn keine Belegung ein Modell von Nicht F ist,
genau, dann werden nicht unerfüllbar ist.
Da hat man
beide Richtungen auf einmal
Das nochmal so, dass man das schon mal gesehen hat.
Hier die Zusammenfassung einmal zur Sintax. Das waren die Begriffe zur Sintax,
die wir gemacht haben. Dazu gibt es noch einen Skriptteil,
weil das im Schöning ein bisschen kurz kommt,
hier mit struktureller Induktion, eine strukturelle Rekursion.
Im Web ist das schon, das PDF stelle ich gleich online.
Gleich oder heute Abend, muss ich nochmal gucken. Genau,
wiederholt die Begriffe gut, weil da ist wichtig,
dass die gut sitzen, weil nachher ja alles darauf aufbaut.
Sonst fehlen euch quasi die grundlegenden Vokabeln.
Das haben wir
zur Semantik gemacht
Definiert Schöning auch alles in seinem Buch. Belegung, Auswertung,
also Belegung nur auf den atomaren Formeln, Auswertung auf den Komplexen.
Kann man aber auch Belegung nennen, wenn man möchte.
Wahrheitstafeln, Weizwerteverlauf, erfüllen, falsifizieren, Modell sein,
Kontingent, allgemeingültig, unerfüllbar.
Tautologie, Kontradiktion und die Notation. Erste Notation für A
ist Modell für F, zweite für A falsifiziert F,
dritte für F ist eine Tautologie, vierte für F ist eine Kontradiktion.
Da nochmal, rote Box, das sind die Grundlagen.
Morgen machen wir damit schon weiter. Das heißt,
am besten heute nochmal angucken, eine halbe Stunde oder Stunde,
dass die Begriffe gut setzen.
Sintax und Semantik
Und damit es 42 Folien sind,
morgen machen wir das, äquivalente Formeln und Normalform.
Brubbel, Brubbel, Brubbel. Ich habe da noch zehn
Minuten, glaube ich, oder? Naja, acht.
Habt ihr noch Fragen? Erstens, zweitens, drittens.
Okay,
dann bis morgen.