So, ich begrüße sie zur Statistikvorlesung. Wie immer eine kurze Wiederholung der letzten Woche.
Wir haben letzte Woche hauptsächlich die Momentenmethode und die Maximum-Leitlitude-Methode kennengelernt.
Wir haben ganz am Anfang noch kurz,
darauf gehe ich auch noch schnell ein, eine weitere Eigenschaft,
eine weitere wünschenswerte Eigenschaft von Schätzfunktionen kennengelernt, die sogenannte beste bzw. wirksamste Schätzfunktion.
Das hole ich nochmal kurz. Da geht es im Grunde nur darum,
dass sie innerhalb der Klasse der erwartungstreuen Schätzfunktion die Schätzfunktion herausgreifen,
die die kleinste Wand hat. Also hier Hunden,
sie betrachten nur, also die Bemerkung fasst es nochmal zusammen,
sie betrachten nur die erwartungstreuen Schätzfunktionen.
Und die Schätzfunktionen innerhalb dieser Klasse mit der kleinsten Varianz,
das ist die sogenannte Beste, beziehungsweise die wirksamste Schätzfunktion.
Die letzte Eigenschaft, die wir dann eingeführt haben,
war die Konsistenz, das ist dann ja asymptotische Eigenschaft,
Konsistenz ist ein, also konsistent ist eine Schätzfunktion, wenn sie,
in Anführungszeichen, Für eine große Anzahl von Stichprobenziehungen,
also für eine große Anzahl von Stichproben, Zufallsvariablen,
X1 bis XN.
Stochastisch gegen den zu schätzenden Parameter, hier in dem Fall
Täter, konvergiert. Und mathematisch ausgedrückt heißt es eben,
der Grenzwert dieser Wahrscheinlichkeit hier muss eben null werden.
Für hinreichend großes N. Auch die beiden Methoden,
die wir dann in der letzten Woche kennengelernt haben,
also das heißt Momentmethode und Maximum-Likelhood-Methode
Möchte ich noch jetzt eingehen, die beiden Methoden sind,
haben beide zum Ziel, Parameter, einer gegebenen Grundgesamtheit zu schätzen.
Also das heißt, sie haben ein Modell vorliegen,
also dieses Verteilungsmodell hat eine bestimmte Anzahl von unbekannten Parametern
und sie möchten diese unbekannten Parameter mithilfe einer Stichprobe schätzen.
Und dazu haben wir zwei Verfahren kennengelernt. Wie bitte?
Teilen Sie es Ihren Kommilitonen mit? Also hier wird gebeten,
dass Sie bitte ein bisschen leiser sind,
damit man mich besser versteht.
Die, die erste Methode, die wir kennengelernt haben,
letzte Woche die Momentenmethode, ein relativ einfaches Konzept.
Sie schätzen die empirischen Momente,
sie schätzen die theoretischen Momente durch die empirischen Momente und sie
müssen dann die theoretischen Momente darstellen als Funktion der unbekannten Drameter.
Und das ist letztendlich schon alles. Also das sehen sie hier. Theoretische Momente,
geschätzt durch entsprechende empirische Momente und sie müssen dann diese theoretischen
Momente irgendwie als Funktion der unbekannten Parameter darstellen. Also das heißt,
dieser Erwartungswert von X müssen Sie darstellen,
als eine Funktion abhängig von Täter 1 bis Dettakar,
erwartungswert von X Quadrat, auch eine Funktion,
abhängig von Täter 1 bis Dettakar und bis zum Erwartungswert von X hochka,
dann haben Sie im allgemeinen Fall Kargleichungen mit K-Unbekannten und können das dann um einen linearen gleichen System lösen.
Da gehe ich noch mal kurz auf ein Beispiel ein.
Also hier haben wir ein Beispiel, Rendite-Verteilung, eine Aktie,
wird unterstellt, dass sie normal verteilt ist mit Parametern, Mühe und Siegmaquadrat.
Das heißt, Sie haben in die Verteidigung gegeben,
das ist die Normalverteilung und sie möchten die unbekannten Parameter,
Mühe und Siegmaquadrat schätzen.
Mit der Momentenmethode. Und das heißt,
wie gerade gesagt, also das heißt, nicht zentrierte,
theoretische und embierische Momente gleichsetzen. Also das ist hier geschehen,
beziehungsweise zuerst die entsprechenden theoretischen Momente durch die Parameter darstellen,
dass es in diesen drei Zeilen her passiert.
Also das heißt, das erste, nichts zentrierter theoretisch im Moment
ist gerade der Parameter Mühe. Und das zweite nicht zentrierte,
theoretische Moment ist die Summe der beiden quadrierten Parameter.
Und das heißt, Durch diese beiden Gleichungen erhalten sie dann diese beiden Gleichungen.
Also jetzt ersetzen sie im Erwartungswert von X,
durch Mühe oder Wartungswert von x Quadrat, durch Mühequadrat,
plus Siegmarktquadrat, dann haben sie diese beiden Gleichungen.
Und dann brauchen sie nur noch die Stichprobe.
Damit halten sie dann ja im Dach 1 und M nach
2. Und dort können sie dann die beiden unbekannten Parameter schätzen.
Und das ist im Grunde eine Methode. Also das heißt,
empirische Momente werden gleichgesetzt mit theoretischen Momenten. Und die zweite Methode,
die wir dann kennengelernt haben, war die sogenannte Maximum-Likel-Hot-Methode.
Die ist auch relativ einfach. Da geht es im Grunde nur darum,
dass sie Den Parameter,
Täterdach als Schätzung für den wahren Parameter Täter verwenden,
also sie nehmen als Schätzwert Täterdach für den wahren Parameter Täter genau den,
dem die größte Wahrscheinlichkeit zugeteilt wird.
Also das heißt, das ist das,
was hier blau steht, Prinzip des Dichtesten beziehungsweise wahrscheinlichsten Wertes.
Dichtester Wert im Fall von einer stetigen Verteilung und wahrscheinlichste Wert
im Fall von einer diskreten Verteilung.
Was haben wir dafür gebraucht? Das erste,
was wir konstruiert haben, war die sogenannte Lightly Hood-Funktion.
Das ist im Grunde nur die gemeinsame Dichtefunktion, also die gemeinsame Dichtefunktion der N-Stichproben-Zufallsvariablen.
Also das heißt, dieses Stichproben-Zufallsvektors hier Und das ist nur
ein Produkt aus Einzeldichten. Warum? Weil wir annehmen,
dass die einzelnen Stichproben Zufallsverjabeln alle storastisch unabhängig sind.
Also journalistische Unabhängigkeit impliziert, dass man die gemeinsame dichte Funktion erhält,
indem man die entsprechenden Randdichten miteinander multipliziert.
Und man muss keine Korrelation beziehungsweise Co-Varianzen betrachten. Also erster
Punkt, Lightly Hood Funktion. Es ist hier ein Beispiel,
da gehe ich nochmal kurz durch, wie man die Lightly Hood Funktion aufstellt.
Also hier in die Zufallsverjaablik geometrisch verteilt für die geometrische Verteilung ist hier nochmal Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben,
also geometrische Verteilung ist ja, nee, die skrete Verteilung,
die Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben und die Light-Lehood-Funktion erhalten sie jetzt dadurch,
dass sie annehmen, sie realisieren,
dieses Stichprobenexperiment eben en-mal, erhalten dann Realisierung,
X1 bis XN und daraus konstruieren sie die Light-Lehood-Funktion derart,
dass sie diese Wahrscheinlichkeitsfunktion hier eben en-mal mit sich selbst multiplizieren und die unterschiedlichen Stichprobenrealisierung hier eben einsetzen.
Also das heißt, ÖSP hoch x-minus eins, sehen sie hier,
beziehungsweise statt diesem Mix, den sie hier in XI, eben für die in verschiedenen Stichprobenrealisierungen.
Und wenn sie das dann ausrechnen bzw. geeignet umformen,
sehen sie diesen Ausdruck hier und dieser Ausdruck hängt nur noch von,
also dieser Ausdruck hängt,
wenn sie diese Stichprobe dann tatsächlich erhoben haben,
also das heißt, wenn sie N-Ziehung vorgenommen haben,
dann kennen sie dieses N,
sie kennt das Ergebnis jeder einzelnen Ziehung,
damit hängt diese Leitlude-Funktion
nur noch von T ab
Und sie sieht, wenn man sie grafisch darstellt,
also er hängt nur noch von P ab,
wenn man sie grafisch darstellt, sieht sie so aus.
Und Maximum, Leitlyhood-Prinzip, nimmt jetzt diese Like-Load-Funktion,
greift den im Fall Parameter P heraus,
an dem diese Like-Load-Funktion eben maximal ist.
Und das ist schon alles, was man über diese Maximum-Likelyhood,
oder was wir hier über diese Maximum-Likelhood-Methode kennengelernt haben,
also das heißt Likelyhood-Funktion aufstellen und diese eben maximieren.
Also da sehen Sie
den formalen Ausdruck hier
Das ist die mathematische Formulierung für Besuch, also das ist mathematische Formulierung für,
hier unten auf der X-Achse, den Parameter heraussuchen, für den diese Likeload-Funktion,
beziehungsweise diese gemeinsame dichte Funktion maximal ist, das steht hier.
Ja, ich mache ja noch,
ich gehe noch mal auf ein Beispiel ein,
und zwar das Beispiel mit der geometrischen Verteilung, das hatten wir hier,
das habe ich gerade eben auch noch mal wiederholt,
da hatten wir bereits die Likely Hood Funktion,
wenn Sie die Stichprobenrealisierung einsetzen,
wird die Like-Load-Funktion auch etwas einfacher wie das,
was wir gerade eben gesehen haben.
Sie lässt sich nämlich dann so darstellen.
Und das Einzige, was sie jetzt hier machen müssen,
ist, sie müssen das Maximum diese Funktion finden.
Also das heißt, eine Funktion maximieren bedeutet eben,
ableiten und null setzen. Also hier die erste Ableitung beziehungsweise
die zweite Ableitung muss für ein Maximum eben kleiner Null sein.
Als die erste Ableitung, dieser Ausdruck hier,
die den null setzen, erhalten sie einen Wert von 6,
35. beziehungsweise ungefähr
Und wenn man das jetzt in die zweite Ableitung einsetzt,
da hält man das, was man haben will,
nämlich die zweite Ableitung ist kleiner Null,
damit erhalten wir ein echtes Maximum.
Und dieses 0,171714 ist eben der Wert in dieser Grafik hier,
für den diese gemeinsame diche Funktion bzw. Lightly Hood-Funktion eben maximal ist.
Ja, wir haben uns dann noch mehrere Beispiele angeschaut,
auf die möchte ich alle nicht mehr eingehen.
Und wir kommen jetzt zum neuen Abschnitt,
neuer Paragraf
Und zwar sogenannte Intervallschätzung hängt vom Prinzip her relativ stark mit dem Abschnitt 3
Punktschätzung beziehungsweise Parameterschätzung zusammen. In diesem Abschnitt 4 Intervallschätzung geht es jetzt
um um folgende Situation. Sie haben eine Grundgesamtheit gegeben,
von der müssen sie nicht notwendigerweise schon irgendwelche Verteilungsvoraussetzungen.
Das ist hilfreich, aber unbedingt notwendig. Grundgegeben und sie
möchten Eine Aussage über einen bestimmten Parameter dieser Grundgesamtheit wissen.
Also beispielsweise, sie haben, sie interessieren sich wieder.
Also wie das Beispiel der letzten paar Mal ist,
sie interessieren sich für das Durchschnittseinkommen der Bevölkerung in Deutschland,
der arbeitenden Bevölkerung in Deutschland.
Und sie möchten eine Schätzung für dieses Durchschnittseinkommen neben haben.
Wie man das macht, das haben wir gerade eben gesehen mit dieser,
mit diesem Punktschätzverfahren, Momentenmethode, beziehungsweise das Maximum Leitloop-Methode.
Wenn Sie jetzt aber sagen, naja,
ich möchte nicht einen einzelnen Wert haben, sondern ich möchte einen Intervall haben,
in dem dieses Durchschnittseinkommen liegt, mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit.
Also das heißt, wenn ich Wenn ich dann eine Person nach diesen Zufallsexperienten,
wenn ich nochmal eine Person zufällig befrage,
dann möchte ich mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit haben,
dass das Einkommen dieser einen Person innerhalb von meinem Intervall liegt.
Okay. Also das heißt,
wir hatten bisher gerade eben immer Punktschätzer, das bedeutet,
wir hatten irgendeine Situation gegeben und haben einen Parameter exakt geschätzt.
Und jetzt möchten wir diesen Parameter nicht einschätzen,
also nicht eine einzige Zahl angeben, sondern wir möchten ein
ganzes Intervall angeben und zusätzlich für dieses Intervall die entsprechende Wahrscheinlichkeit.
Also das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass, wenn wir eine weitere Stichprobe erheben,
dass dann jeder einzelne Wert mit dieser entsprechenden Wahrscheinlichkeit innerhalb dieses Intervalls liegt.
Das sogenannte Intervahlschätzung. Und das steht hier in den ersten beiden Abschnitten,
also wie gesagt, im ersten Abschnitt steht Punktschätzung bzw. Parameterschätzung,
das, was wir gerade eben getan haben,
da ist eben der Nachteil, dass sie keine Aussage darüber,
also das haben wir bisher nicht gemacht,
und das machen wir auch nicht mehr,
aber man macht allgemein bei diesem Punktschätzverfahren nicht unbedingt eine Angabe darüber,
wie groß die Streuung in ihrem Schätzverfahren ist.
Also das heißt, sie nehmen irgendeine Schätzfunktion her, hoffen,
dass die gute Eigenschaften hat oder eventuell weisen sie sogar nach,
dass sie gute Eigenschaften hat Und dann berechnen sie den entsprechenden Schätzer.
Und für diesen Schätzer geben sie dann aber in der Regel
nicht unbedingt an, wie präzise der Schätzer ist.
Also sie geben nicht irgendwie an, der Schätzer wird
das Durchschnittseinkommen, es sind 60.000 Euro im Jahr.
Und was sie dann eigentlich noch dazu angeben müssten,
ist irgendwie eine Streuung oder so etwas.
Das tut man aber meistens nicht, sondern man begnügt sich mit der einzigen Zahl.
Also das ist beispielsweise auch vom statistischen Bundesamt und so weiter,
die Steuerschätzung ist immer nur eine Zahl,
die Arbeitslosigkeit ist immer nur eine Zahl,
Inflationsreit ist immer nur eine Zahl,
das sind alles Punktschätzer
Zumindest, wenn man es in den klassischen Medien liest,
ist da nie angegeben, wie genau die Schätzverfahren sind.
Also sie trinken da nie angegeben. Aber Inflationsrate,
zwei Prozent plus minus irgendetwas oder angegeben noch irgendeine Streuung,
sondern da sagt man eben, Inflationsrate zwei Prozent und das war's.
Wie genau dieses Schätzverfahren ist, wird nicht angegeben.
Und diesen Nachteil versucht diese Interwahlschätzung ein bisschen auszubessern,
indem sie eben ein ganzes Intervall angibt und zusätzlich sogenannte sogenannte Irrtumswahrscheinlichkeit.
Also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zusätzlicher Wert,
den sie aus ihrer Grundgesamtheit ziehen,
innerhalb dieses Intervalls liegt
Und das ist dann, also das bezeichnet man,
diese Ausdrücke waren sie alle kennenlernen, diese einzelnen Wahrscheinlichkeiten,
also entweder ob sie im Intervall drin liegen oder ob sie
nicht in diesem Intervall drin liegen, bezeichnet man als Irrtumswahrscheinlichkeit,
Sicherheitswahrscheinlichkeit oder sogenannte Überdeckungswahrscheinlichkeit.
So ein Intervall zu grundstrieren ist prinzipiell relativ einfach,
das gemeint zuerst mal und dann später werden wir
relativ konkrete Situationen kennenlernen und dann werden die Intervalle auch eine
ganz konkrete Gestalt haben
Also um einen Konfidenzantewahl angeben zu können, brauchen wir.
Also um so ein Intervall angeben zu können, beispielsweise für das Durchschnittseinkommen,
brauchen wir ja nur die Unternehmen und die obere Grenze.
Also von irgendeinem Intervall? Irgendein Intervall?
ABSB. Um dieses Intervall eben angeben zu können.
Brauchen sie eben nur die Grenzen A und B.
Also relativ klar
Und bei uns hier kommt jetzt noch eine Sache dazu. Das,
was ich gerade schon gesagt habe, es kommt nämlich noch hinzu,
dass wir für dieses Intervall eine bestimmte Wahrscheinlichkeit angeben wollen.
Also fangen wir ganz oben an. Wir haben wieder dieselbe
Situation. Wir möchten einen Intervall für eine Grundgesamtheit angeben.
Wir ziehen nur eine einzige Stichprobe. Da stehen hier die
entsprechenden Stichprobenzufallsvariablen, X1 bis XN. Und aus diesen Stichprobenzufallsvariablen,
also das heißt, beziehungsweise aus den ganz konkreten Realisierungen,
also das bedeutet in unserem Beispiel hingehen,
tausend Leute fragen nach ihrem Durchschnittseinkommen,
dann haben sie eine Stichprobe von tausend Personen und aus diesen tausend Werten
müssen sie jetzt eben die Untergrenze in ihrem Intervall irgendwie konzentrieren und die Obergrenze.
Und das heißt, dieses GU für die Untergrenze bzw. GU für die Umgrenze sind Schätzfunktionen.
Nämlich, sie schätzen einmal die Intervalluntergrenze und einmal die Intervall-Obergrenze.
Also da ist hier eine Schätzfunktion. Also letztendlich nichts anderes als eine Zufallsferiable,
das sehen Sie hier, bildet eben ab den Vektor,
ihre Stichprobenzufallsferiablen, im einen Fall auf die Untergrenze ihres Intervalls
und im anderen Fall auf die Obergrenze ihres Intervalls.
Und dann haben wir noch so,
also die erste Bedingung ist eine triviale Bedingung, Wir brauchen die Eigenschaft,
dass die Untergrenze wirklich kleiner ist oder im Extremfall gleich,
wie die Obergrenze, sonst haben wir natürlich gar keinen Intervall.
Also das ist diese Bedingung hier, beziehungsweise das Gleichheitszeichen kann man
noch dazunehmen, aber dann ist es ein degeneriertes Intervall.
Aber andersrum sollte es eben nicht sein, sonst haben sie
eben keinen Intervall vorliegen. Also das ist eine Trivialitätsbedingung hier
, die erste. Die zweite ist jetzt die Bedingung,
in die die Wahrscheinlichkeit für diese Intervall hinzukommt. Nämlich,
was wir wollen ist, wenn sie jetzt eine zusätzliche Stichprobe ziehen,
also wenn sie eine einzige weitere Person fragen, Dann soll die Wahrscheinlichkeit,
dass dieses Einkommen dieser einen weiteren Person innerhalb dieses Intervalls liegt,
das möchten wir irgendwie kontrollieren.
Und das kontrollieren wir mit dieser Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha Null.
Das sieht dann so aus? Also nehmen wir an,
hier sind diese ganzen Durchschnittseinkommen, diese ganzen Eurobeträge,
irgendwo hier ist die Null.
Und jetzt haben wir ein Intervall angegeben,
beispielsweise von 50.000 Euro, also 50.000 bis 50.000 bis
70.000 Euro
Und wenn Sie jetzt eine zusätzliche Person fragen,
und das steht jetzt hier in dieser Bedingung, dann soll die Wahrscheinlichkeit,
dass diese eine zusätzliche Person innerhalb ihres Intervalls liegt,
also die 50.000, in diesem Fall die Intervalluntergrenze,
klein, GU, und da ist ihr,
ist klein, GO, Intervallobergrenze.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sie innerhalb dieses Intervalls liegen,
soll eins minus Alphanull sein, und damit ist die Wahrscheinlichkeit,
dass sie außerhalb des Intervalls liegen.
Also das heißt, rechts von 70.000 bzw. Links von 50.000 Eben gerade Alpha
0. Also insgesamt die Wahrscheinlichkeit, dass sie irgendwo landen,
muss eins sein und wir wollen diese Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls zu landen,
kontrollieren und kontrollieren wir dadurch,
dass wir hier eben die Wahrscheinlichkeit außerhalb des Intervalls zu landen
angeben und damit ist die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls zu landen eben auch vorgegeben.
Und genau das steht hier, die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls zu landen,
soll größer oder gleich eins minus Alpha 0 sein.
So wie ich die Situation jetzt hier konstruiert habe,
kann man dieses Alpha 0 Kann man sogar angeben,
dieses Alpha-Null exakt zu treffen, aber das haben sie schon gelernt,
bei Diskretenverteilung, da treffen sie nicht jede Wahrscheinlichkeit,
sondern diese Wahrscheinlichkeiten, also das haben sie gesehen,
als wir entsprechende Verteilungsfunktionen gezeichnet haben,
Verteidigungsfunktionen im diskreten Fall haben immer Sprünge drin.
Das heißt, sie können nicht jede beliebige Wahrscheinlichkeit realisieren und deswegen steht hier,
weil das hier eine allgemeine Definition für den stetigen und diskreten Fall ist.
Deswegen steht hier ein größer gleich. Dieses größer gleich für
den diskreten Fall, im stetigen Fall können sie hier immer
ein Gleichheitszeichen hinmachen.
Da treffen sie
die Wahrscheinlichkeit
immer exakt
Also da ist es die Grundsituation, wir wollen dann Intervall konstruieren,
GU, bis GO und für dieses Intervall möchten wir angeben,
die entsprechende Wahrscheinlichkeit, die resultiert,
wenn wir eine weitere Stichprobe erheben oder eine weitere Ziehung vornehmen.
Und das bezeichnet mir dann, also das sehen Sie oben,
das bezeichnen wir dann als 1 minus Alpha0-Konfidenz-Intervall,
in diesem Fall ein sogenanntes zweiseitiges Konfidenz-Intervall.
Also zweiseitig deshalb, das sage ich auch noch,
wir gehen noch ganz kurz auf einseitige Konfidenz-Intervalle ein,
aber nicht so ausführlich, wir betrachten hauptsächlich zweiseitige Konfidenzen intlerweile,
ein eindeutiges Konfidenzen,
weil da kommt noch eine Bemerkung Wenn sie eine dieser beiden Grenzen auf Plus oder minus unendlich setzen.
Also wenn eine Grenze gar nicht existiert,
also diese Grenze schieben sie bis auf minus unendlich oder diese Grenze
bis auf Plus unendlich, dann hätten sie ein einseitiges Konfidenzintervall.
Also das, die Bemerkung hier, das habe ich bereits gesagt,
ein Konfidenzintervall ergibt sich aus der Einwendung zweier Schätzfunktionen,
nämlich der beiden Schätzfunktionen, GU und GO.
Ja, und das habe ich auch schon gesagt,
also es ist ein zweiseitiges Konfidenzintervall mit
eben im Allgemeinen nicht entarteten Grenzen minus unendlich und plus unendlich
Wenn Sie das tun, also auf minus unnötig oder bloß und endlich
setzen, dann haben Sie nur ein einseitiges Konfidenzen dabei.
Ein Beispiel. Ihr wieder Rendite, ein Anzieher,
also ein bekanntes Beispiel, schon aus Paragraph 3.
Die Rendite, eine Aktie. Wir nehmen an, die ist
normal verteilt. Und wir möchten jetzt für den Erwartungswert Mühe,
also für den einen Parameter Mühe, 90 Prozent Konfidenzen dabei angeben.
Und wir machen das jetzt hier ohne Zahlen,
sondern wichtig ist hier, dass Sie vor allem verstehen,
wie dieses Verfahren funktioniert.
Und in diesem Fall ist es nun mal grafisch verstehen.
Wir werden das später dann auch ganz konkret noch ausrechnen
Also was sehen Sie hier? Sie sehen hier eine Normalverteilung,
das hier, weil diese Regierung eben als Normalverteilt angenommen werden. Was Sie jetzt machen ist,
Sie nehmen eine Stichprobe, also Sie ziehen aus irgendeiner Azie,
schauen Sie sich die letzten, weiß nicht,
50 Handelstage an und ermitteln eben die Renditen,
dann haben Sie 50 Werte und mit diesen 50 Werten,
also das heißt,
mit diesen Stichprobenrealisierungen möchten Sie jetzt an 90 Prozent Konfidenzintervalle ermitteln,
also das heißt,
diese Untergrenze irgendwie festlegen und
diese Obergrenze festlegen
Und das bedeutet, innerhalb dieses Intervalls zu landen,
also wenn sie, wie gesagt, eine weitere Erhebung vornehmen,
die Wahrscheinlichkeit innerhalb dieses Intervalls zu landen,
also von GU bis GO,
so leben 90 Prozent betragen und die Wahrscheinlichkeit daneben außerhalb zu landen,
10 Prozent und das bedeutet hier links eben 5 Prozent und hier rechts auch 5 Prozent.
Also außerhalb zu landen,
10 Prozent und innerhalb zu landen, innerhalb dies Intervalls,
zu leben die Wahrscheinlichkeit
90 Prozent tragen
Und genau so funktioniert es dann später auch,
also das werden wir auch sehen, genauso funktionieren das später
dann auch, diese Konfidenz mittlerweile ganz konkret zu konstruieren.
Indem man eben hier in diesem Fall die Verteilung gegeben hat,
die zeichnet man sich daneben so und dann ermittelt man aus,
in dem Fall aus der Tabelle der Standardnormalverteilung,
ermittelt man hier unten eben das 5-Prozent-Quantil,
hier oben das 95-Prozent-Quantil,
die transformiert man dann noch geeignet und dann hat man es
im Grunde schon
Das ist der kurze Hinweis, auf die einseitigen Konfidenzen der Walle,
die sind überhaupt nicht schwieriger und so,
die kommen nur wesentlich seltener vor,
deswegen spreche ich sie höre auch nur ganz kurz an,
aber wir werden damit nicht arbeiten, also nur sehr,
also ich glaube, es gibt ein Beispiel, wo das mal vorkommt,
aber wir werden hauptsächlich symmetrische Konfidenzen hinterweile sehen, symmetrische Konfidenzen
intervalle heißt, es gibt immer so eine Untergrenze und Obergrenze,
symmetrisches Konfidenzintervall heißt nicht,
also das hier ist auch ein symmetrisches Konfidenzintervall, symmetrisches Konfidenzintervall
Heißt nicht, dass es immer, das eure Bereich und
der Unterbereich irgendwie symmetrisch zu irgendeinem Punkt sind.
Wir werden später sehen, dass wir eine He-Quadratverteilung haben werden
für die Varianz, aber das kommt später.
Und hier ist das, hier wird dann das Confidence-Interview so aussehen,
dass ihr hier die Untergrenze haben und hier die obere Grenze.
Und dieses Intervalle ist Symmetrisch, überhaupt nicht symmetrisch zu
irgendeinem Punkt, die so dicht die Funktion.
Also ihre Links werden dann zwar fünf Prozent sein und
die rechts werden dann auch gesendet sein.
Also das heißt, diese Fläche hier,
fünf Prozent
Und diese Fläche hier auch 5 Prozent. Und das ist letztendlich die einzige Symmetrie.
Also hier sind 5 Prozent und hier sind 5 Prozent,
aber diese Untergrenze und Obergrenze liegen symmetrisch in irgendeinem Punkt, diese dichte Funktion.
Sondern symmetrisches Konfidenzintervall heißt nur, dass keine der beiden Grenzen,
also weder Untergrenze noch Obergrenze, plus oder minus unendlich sind.
Solche einseitigen Konfidenzen intervalle, die erhält man relativ einfach,
indem man eben nur eine der beiden Grenzen auf minus unendlich
bzw. auf plus unendlich setzt und dann wird diese Wahrscheinlichkeitsbedingungen,
die man dann braucht, also die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls zu landen,
die wird dann eben etwas einfacher.
Die Wahrscheinlichkeit, dass wir jetzt kleiner sind oder kleiner gleich als die Obergrenze,
muss jetzt den größer,
gleich 1 minus Alpha 0 sein und hier unten die Wahrscheinlichkeit,
größer zu sein als die Untergrenze,
muss eben auch größer gleich 1 minus Alpha 0 sein.
Also das heißt,
das hier ist ein einseitiges Konfidenz in der Wahl mit der
unteren Grenze minus unendlich und das hier ist auch ein einseitiges
Konfidenzintervall mit der oberen Grenze
plus unendlich
Hier noch kurz ein Beispiel für ein einseitiges Konfidenzintervall. Also beispielsweise hier,
wenn man für das Bestehen einer Klausur nur eine bestimmte Punktezahl braucht oder
wenn man für das Bestehen einer Klausur eine bestimmte Punktezahl braucht.
Und man interessiert sich jetzt nur dafür,
ob man diese Klausur bestanden hat oder eben nicht bestanden hat.
Und man testet seine Leistungsfähigkeit eben im Bearbeiten von Probeklausuren.
Das heißt, das sind die einzelnen Stichgruben, die man dann vornimmt.
Als erste Stichprobe ist, erste Probeklausur lösen,
zweite Stichprobe, zweite Probeklausur lösen und so weiter.
Das heißt, man interessiert sich nur für das Intervall und so Grenze.
Und das ist eben gerade die Punktegrenze zu 4-0
und nach oben hin, egal wie viele Punkte wir erreicht haben.
Also ob sie, also mal angenommen,
die Punktegrenze wäre bei 30 Punkten,
ob sie dann 45 Punkte haben oder 70 Punkte oder 200 Punkte,
ist egal.
Das ist dargestellt durch dieses unendlich. Wichtig ist nur,
dass sie über diese 4-0-Grenze, also mindestens 30 Punkte eben haben.
Und das ist dann so ein Beispiel für ein einseitiges Konfidenzen dabei.
Und da steht hier, man will sich absichern,
dass eine bestimmte Punktezahl überschritten wird und
die Abwechslung nach oben
ist uninteressant
So, bevor, weil es gerade so schön ruhig ist,
bevor wir damit weitermachen,
nutze ich die Situation kurz und möchte eine kleine Ankündigung machen.
Und zwar, das wissen Sie wahrscheinlich schon,
heute in einer Woche findet die Vorlesung statt und heute in
einer Woche findet die Schwerpunktvorstellung der einzelnen Bachelorstudiengänge statt.
Also 25. Mai
Und das sind relativ viele Professoren, die dort ihre einzelnen Schwerpunkte vorstellen.
Herr Matz, unter anderem den Schwerpunkt Statistik.
Und ich war letztes Jahr auf dieser Präsentation und der,
in Anführungszeichen, also der in Anführungszeichen Nachteil ist,
dass, weil es eben so viele Schwerpunkte gibt,
jeder Dozent nur fünf bis maximal acht oder zehn Minuten Zeit hat,
seinen Schwerpunkt vorzustellen.
Und wir sind der Meinung, also Herr Matz und ich,
dass das nicht ganz ausreicht, um ihnen die Vorzüge des Statistikschwerpunkts nahezubringen.
Deswegen bieten wir ihn an, aber das ist natürlich überhaupt keine Verpflichtung,
sondern wir bieten ihnen an, dass wir einen gesonderten Termin machen,
bei dem wir ihn nahe bringen möchten,
was man mit Statistik alles machen kann.
Dieses Projekt ist relativ kurzfristig entstanden. Letzte Woche war eine Studentin bei mir
in der Sprechstunde und bei Herrn Mats waren zwei Studenten in der Sprechstunde,
die im Grunde die Frage gestellt haben,
warum sollen sie Statistik als Schwerpunkt wählen?
Damit kann man ja überhaupt nicht anfangen. Und das ist
unserer Meinung nach nicht wahr. Und bevor ich jetzt hier,
also ich erzähle nur,
ich versuche nur relativ wenig zu erzählen,
denn dafür gibt es eben diesen Termin,
den ich
gleich anschreiben würde
Ich habe jetzt auch schon hier im Gespräch mit Ihnen erfahren und
das haben Sie ja auch schon aus eigener Erfahrung erlebt,
diese Mathematik 1 und 2 und Statistik 1 und 2 Veranstaltungen,
das sind Dienstleistungen für andere Vorlesungen.
Also wir haben Marz und ich machen hier nicht das,
was wir machen würden, wenn wir Ihnen Statistik beibringen wollten.
Sondern wir machen das, was andere Vorlesungen brauchen.
Denn Lagrange-Ansatz brauchen Sie in VWL. Hypothesentests habe ich
vor kurzem mitbekommen, machen Sie anscheinend schon in Marketing.
Hypothesentest kommt jetzt erst in Paragraf 5, aber das sind
alles Dinge, die Sie für andere Vorlesungen brauchen.
Das sind nicht die Dinge, die wir mit Ihnen machen würden,
wenn wir frei in unserer Wahl wären.
Also ich würde mit Ihnen andere Dinge machen,
wenn mir gesagt, wenn man zu mir sagen würde,
Hahebel,
machen Sie,
was Sie wollen
Aber das sagt man eben nicht zu mir, sondern man sagt zu mir,
wir brauchen den Lagrange-Ansatz und wir brauchen Hypothesen-Test und wir brauchen
Zufallsvariable und wir brauchen den Erwartungswert und, und, und.
Also nutzen Erwartungswert oder erwartungswertes Nutzens, das kennen Sie aus BWL und VWL.
Diese ganzen Dinge und den Bachelor-Schwerpunkt Statistik machen wir eben
nur die Dinge, bei denen wir der Meinung sind,
die sind a, interessant und b, Praxis relevant.
Und dass das hier, weil mir durchaus bewusst ist,
dass ich hier relativ abstrakt bin, also das weiß ich auch.
Und dass das hier nicht sonderlich praxisrelevant ist in dieser Theorie,
das weiß ich auch. Aber genau dafür ist diese Sonderveranstaltung,
wenn wir ihnen eben auch zeigen möchten, dass wir in dem Schwerpunkt,
in dem Bachelor-Schwerpunkt Statistik wesentlich praxisrelevantere Dinge machen.
Und wir möchten ihnen eben auch zeigen, dass man das wirklich in der Praxis auch braucht. Und dafür,
also bevor ich jetzt mehr erzähle, dafür gibt es,
wie gesagt, nur, also ich empfehle ihnen nicht allen von ihnen,
dahin zu gehen, sondern ich empfehle denjenigen,
von ihnen dorthin zu gehen, die mit dem Gedanken spielen,
Statistik als Schwerpunkt zu nehmen.
Und wenn sie sich dort eben noch nicht hundertprozentig entschieden haben,
sondern wenn sie sagen, ja, vielleicht sollte ich es tun,
vielleicht soll ich das nicht so tun,
ich bin mir da noch nicht so sicher, dann kommen sie.
Und der Termin ist Donnerstag, 19.05., also morgen,
17 Uhr. Also ich weiß,
vermutlich werden nicht alle von Ihnen Zeit haben,
aber ja, das tut uns leid,
wir bieten nur den einen Termin an und es findet statt in Raum
1068. Und ich vermute, dass es nicht länger als 20 bis maximal 30 Minuten dauert.
Und das ist natürlich auch so gedacht, dass sie dort
alle möglichen Fragen stellen können, die sie interessieren.
Also wie sieht es aus mit Bachelor-Arbeiten,
wie sieht es aus mit Jobaussichten, was sind die Einstiegsgehälter,
wie sieht es mit Seminaren bei Ihnen am Lehrstuhl aus und so weiter,
stellen Sie die ganzen Fragen alle morgen,
wenn Sie Zeit und Lust haben,
dort vorbeizukommen
Okay, das war mal ein kurzer Einschub.
Jetzt machen wir weiter mit Statistik. Wir sind,
wir haben bis jetzt diese Untergrenze und Obergrenze für diese Konfidenz
intlerweile sehr, sehr allgemein gehalten.
Und wir betrachten jetzt ganz konkrete Situationen, für die
wir dann auch ganz konkrete Konfidenzen der Weile angeben können.
Und das erste Konfidenzen der Wahl, also da müssen sie jetzt aufpassen,
diese einzelnen Konfidenzen der Weile, die sie jetzt gleich kennenlernen werden,
die unterscheiden sich alle nur in minimalen Eigenschaften.
Also die Voraussetzungen, die sie haben,
unterscheiden sich immer nur ganz, an ganz speziellen Stellen,
machen, resultieren aber, es resultieren aber unterschiedliche Konfidenzen der Weile.
Die Grundsituation ist immer dieselbe. Wir wollen in den folgenden Vier Sätzen.
Wir wollen in den Folgen vier Sätzen immer Konfidenzintervalle für den Erwartungswert.
Den bezeichnen wir jetzt mit Mühe. Für den Erwartungswert
Mühe einer Grundgesamtheit bestimmen. Und die erste Grundgesamtheit,
da ist die Annahme, dass sie normal verteilt ist.
Also das heißt, Normalverteilung mit Parameter Mühe und Siegmark-Quadrat.
Und das steht dann hier in dem Satz,
dass der zweite Parameter Siegmark-Quadrat bekannt ist.
Also das heißt, sie haben eine Normalverteilung gegeben mit Parameter
Mühe und Siegmark-Godrat. Mühe haben sie nicht gegeben,
aber Siegmark-Quadrat
haben sie gegeben
Aus der Vergangenheit oder woher auch immer. Also Normalverteilung,
Mühe ist nicht gegeben, deswegen steht hier Konfidenz in der Wahl für Mühe.
Normalverteilte Grundgesamtheit. Und der zweite Parameter Siegmark-Quadrat ist bekannt.
Und was in dem Paragraf 4 immer gilt,
aber das galt in Paragraf 3 auch schon in den Paragraf 5 gilt es auch,
diese Stichproben-Zufallsvariablen X1 bis XN sind alle unabhängig und identisch verteilt.
Aber das ist die Standardvoraussetzung, die haben wir bei Stichprobenziehungen
immer. Also das ist nichts Neues. So,
und wenn Sie die Situation jetzt gegeben haben,
also das heißt, Normalverteilung, Sieg war Quadrat bekannt,
müheunbekannt und sie wollen einen Konfidenzintervall für Mühe bestimmen,
dann brauchen sie folgendes.
Also ich gehe dazu nochmal kurz zurück zu dieser Grafik.
Dann brauchen sie folgendes. Sie brauchen dann die,
also das müssen sie sich selber vorgeben,
sie brauchen dann diese Wahrscheinlichkeiten für diese Ränder,
also die Wahrscheinlichkeit nicht in dem Intervall zu liegen.
Die müssen nicht in dem Intervall zu liegen,
die müssen sie sich irgendwie vorgeben.
Und das ist eben unser Alpha Null.
Und das sehen sie hier
Dieses Kontividenzintervall ist dann für ein Alpha Null zwischen 0 und 1.
Also üblicherweise 1 Prozent, 5 Prozent oder 10 Prozent.
Also für so ein Alpha Null ist dann das Kontividenzintervall durch
diesen Ausdruck hier gegeben. Und das sieht aus,
auf den ersten Blick vielleicht etwas kompliziert aus,
ist es aber nicht wirklich, da stecken relativ einfache Dinge drin.
Also fangen wir mal hinten an. Sigmar, die wird
es noch aus Signalquadrat, das ist der bekannte Parameter,
den haben sie sowieso.
Dieses N ist einfach nur die Anzahl, ihre Stichprobenziehung.
Also das ist auch relativ einfach. Irgendeine natürliche Zahl.
X-Quer ist das arithmetische Mittel, also das steht hier einfach
nur das arithmetische Mittel
Ihre Stichprobenzuweisvariablen? Also hier ist es noch eine Zufallsvariable.
Wenn Sie die Stichprobe dann ganz konkreter heben, das heißt,
wenn Sie wirkliche Zahlen vor sich liegen haben,
dann ist es einfach nur ein Wert, eben das arrethmetische Mittel, der Durchschnitt.
Und das Einzige, was Sie dann noch brauchen,
ist dieses Z 1-1- Alpha-0-Halbe. Und das ist eben,
also das kennen Sie auch schon aus der Wiederholung in Statistik 2,
beziehungsweise aus Statistik 1,
das ist das 1 minus Alpha 0-Halbe Quantil der Standard-Normalverteilung.
Also das heißt,
dafür brauchen Sie jetzt diese Verteilungstabellen,
die hinten im Skript drin sind
Und man sieht hier, das ist ein symmetrisches Intervall,
denn was Sie hier machen,
ist x quer und dann minus dieser hintere Ausdruck.
Und die obere Grenze ist x quer plus dieser Ausdruck.
Also im Grunde sieht das denn so aus. Ich zeichne Ihnen
das nochmal kurz. Das sieht so aus. Sie haben
eine Normalverteilung gegeben. Wenn Sie den Erwartungswert bzw. den Parameter Müh
Der ist ja unbekannt, wenn sie den schätzen wollen.
Also das heißt, Müdach, dann Momentmethode beispielsweise,
dann könnten sie den oder könnten sie denn mit der Momentmethode schätzen durch x quer.
Und das wäre dann in diesem Fall hier unten x quer.
Und dieses Konfidenzintervall sieht es so aus. Also daran sehen sie,
dass es ein symmetrisches Konfidenzintervall gibt, symmetrisch um x quer.
Diese Konfidenzintervall sieht jetzt so aus,
dass sie von diesem x quer hier eben starten und einen bestimmten,
einen bestimmten Befrage abziehen und denselben Betrag addieren.
Und dann landen sie beispielsweise hier, beziehungsweise hier.
Und das ist dann die Untergrenze ihres Intervalls,
ihres Confidencer Device und das
ist die Obergrenze
Und genauso funktioniert diese Konstruktion hier. Und wie man da,
wie man exakt auf diese Form hier kommt,
das möchte ich Ihnen zeigen, denn das ist nicht schwer.
Und zum großen Teil haben die ganzen Dinge sogar schon kennengelernt.
Also das heißt, wie beweist man diese Aussage jetzt?
Das ist relativ einfach,
Ausgangspunkt für die Bestimmung dieses Konfidenzen und der Wahls,
ist dieser Punktschätze, groß x quer.
Also der steckt ja im Grunde
da drin.
Groß expert
Und groß X-Quer, also diese Zufallsvariable, arathmetisches Mittel,
der Stichprobenzufallsvariablen, ist normal verteilt.
Mit welchen Parametern, das haben wir, sehen Sie hier,
also Folie 165, müssten wir ein bisschen zurückgehen.
Das haben wir letzte Woche gemacht,
ist normal verteilt mit den Parametern Mühe und Siegma-Quadrat geteilt durch N.
Also da müssen Sie kurz zurückblättern. Dort haben Sie dann
die Rechnung für dieses Siegma-Quadrat geteilt durch N.
Das ist die Varianz voll nichts quer.
Und damit der zweite Parameter der Normalverteilung
Und jetzt, also wir wissen das hier jetzt,
X-Quer ist normal verteilt mit diesen Parametern.
Jetzt können sie dieses X-Quer standardisieren. Das haben wir
in Statistik 1 schon gemacht. Standardisieren heißt,
sie ziehen den Erwartungswert ab und teilen durch die Standardabwächung.
Also den Erwartungswert abziehen heißt Mühe abziehen und durch die Standardabwächung
teilen heißt, durch die Wurzel der Varianz teilen.
Also das heißt, die Wurzel aus diesem Ausdruck ist eben
gerade Sigmar, geteilt durch Wurzel N.
Jetzt haben sie diese Zufallsvariable X quer standardisiert.
Also dieser Ausdruck ist jetzt standardisiert und das heißt,
dieser Ausdruck ist normal verteilt mit Parameter 0
Und mit diesen Quotienten, also stellen Sie sich, oder ja,
x quer, minus müh, geteilt durch Sigma, durch Wurzel N.
Jetzt haben wir eine, jetzt haben wir eine Standard-Normalverteilung,
das heißt, hier ist danach die Null.
Mit diesem Ausdruck hier, also mit dem Ausdruck,
der jetzt standardnormal verteilt ist,
können wir jetzt diese Untergrenzen und Obergrenze des Konfidenzintervalls so bestimmen,
dass wir einfach sagen,
also ich mag es hier,
ich mache noch
ein neues Bild
Also hier ist die Null. Beispielsweise, wir haben es
immer Z genannt. Dieser Ausdruck hier mit dem großen X.
Dieser Ausdruck hier, das steht nach oben auf der Folie,
ist normal verteilt mit Parametern 0 und 1.
Also diesen Ausdruck nenne ich jetzt einfach Z.
Und was wir jetzt dem machen, ist,
wir berechnen einfach die Wahrscheinlichkeit für die Untergrenze
Kleiner gleich. Z. Kleiner gleich. Obergrenze. Und diese
Wahrscheinlichkeit soll eben eins minus Alpha0 sein. Genau. Genau
das steht hier. Also diesen Ausdruck einfach durch Z ersetzt,
das sind sie hier in der Tafel und Untergrenze und Obergrenze.
Wenn sie die Normalverteilung vorliegen haben,
beziehungsweise wenn sie sich die Standardnormalverteilung vorliegen haben,
so wie das hier der Fall ist,
dann können sie diese allgemeinen, diese allgemeinen Werte hier,
also Untergrenze und Obergrenze,
sogar ersetzen durch die entsprechenden Quentile
Das eins minus einfach nur halbe Quantil,
also beziehungsweise das negative eins minus einfach nur halbe Quantil.
Und hier das positive eins, wenn du das einfach nur halb Quantip.
Also das heißt, ich mache jetzt hier nochmal Beispiele.
Wenn das hier 5 Prozent ist und das hier auch 5 Prozent,
dann legt hier minus 1,96 und hier eben plus 1,96.
Das sind die entsprechenden Quantile
Und genau das steht hier. Und bis zu der Stelle
war es Statistik und alles, was man jetzt machen muss,
ist diesen Ausdruck nur noch geeignet auflösen.
Also das heißt, das hier ist nochmal abgeschrieben.
Und jetzt müssen sie, also jetzt muss man es nicht
kurz klarmachen, nach was muss man hier in Anführungszeichen umstellen?
Wir wollen einen Konfidenzintervall für den Parameter Müh haben.
Deswegen, beziehungsweise hier für den Parameter Müh.
Deswegen müssen sie diesen Ausdruck so umstellen,
dass nur noch Müh dasteht und auf der linken Seite,
beziehungsweise auf der rechten Seite,
haben sie dann die entsprechenden Intervallgrenzen,
also Intervalluntergrenze und Intervallobergrenze gegeben
Und das ist relativ einfach. Also Sigma geteilt,
ich wollte es nennen, einfach auf beide Seiten multiplizieren.
Das ist dann dieser Ausdruck hier. Und dann noch dieses X
quer auf beide Seiten rüberbringen, dann steht dieser Ausdruck hier.
Was noch passiert ist, ist dann mit minus eins multipliziert.
Also das heißt, sie müssten dieses X quer mit Minus
rüberbringen, dann wird hier auch ein Minus Müh stehen.
Das noch mit minus eins multipliziert, gibt dann genau diesen Ausdruck hier.
Und das, also wenn Sie das vergleichen mit dem Konfinenzintervall,
das Sie gerade in dem Satz gesehen haben,
dann sind das genaue Untergrenze und Obergrenze.
X quer, plus und minus, z1 minus Alpha
0 halbe, Sigma,
geteilt durch Würzläden
Und das ist die Herleitung und die ist meiner Meinung nach nicht so schwer.
Ein paar Bemerkungen dazu. Also die Breite unseres Konfidenzen
der Wahls. Also das heißt, wie weit liegt diese
unten links bzw. wie weit liegt diese Obergrenze rechts?
Diese Breite des Konfidenzintervalls hängt zum einen natürlich von der Varianz ab.
Das sehen Sie hier. Je größer die Varianz ist,
also je größer Sigma-Quadrat, desto größer Sigma.
Je größer die Varianz ist, desto weiter gehen wir hier
nach links bzw. hier
nach rechts
Also es hängt zum einen natürlich hier von der Varianz
der Grundgesamtheit ab und natürlich auch vom Stichprobenumfang in.
Unterirrtumswahrscheinlichkeit Alpha0, also von diesen drei Dingen.
Und es lässt sich jetzt irgendwie folgendes feststellen und das ist
intuitiv auch relativ klar. Wenn der Stichprobenumfang zunimmt,
also das heißt, wenn ihr N immer größer wird,
schauen wir uns hier nochmal die Formel an.
Wenn ihr N immer größer wird,
dann wird insgesamt der Bruch hier immer kleiner und damit
wird der komplette Ausdruck hier immer kleiner.
Das heißt, sie ziehen etwas relativ Kleines ab und sie
addieren einen relativ kleinen Term.
Also das heißt,
ihr Konfidenzintervall wird immer kleiner
Und warum ist das intuitiv? Klar,
das ist deswegen klar, weil je mehr Stichproben sie ziehen,
desto genauer wird ihr Konfidenzintervall, also beispielsweise,
wenn sie zehn Leute nach ihrem Durchschnittseinkommen fragen,
dann kriegen sie mit Sicherheit keine so genaue Schätzung raus,
wie wenn sie eine Million Leute fragen.
Also höhere Stichprobenumfang bedeutet, kleinere oder ein kleineres Intervall,
also kleinere Breite. Das ist der erste Punkt,
der zweite Punkt, dieses Alpha0, Beziehungsweise gehen wir noch
vielleicht mal kurz auf Siegma an, beziehungsweise Siegma Quadrat.
Das steht jetzt dir nicht in der Bemerkung,
aber das sollte eigentlich auch relativ klar sein.
Wenn ihre Streuung in der Grundgesamtheit relativ groß ist,
dann muss sich das irgendwie natürlich in ihrem Konfedenzhintervall widerspiegeln.
Also das heißt, wenn ihr Siegma Quadrat groß ist,
dann ist natürlich auch ihr Siegma groß.
Und das bedeutet, sie haben eine große Streuung in
der Grundgesamtheit und damit wird ihr Konfidenzhintervall natürlich auch breiter.
Also Sigma Groß heißt, der Bruch wird groß,
dann wird der komplette Ausdruck groß und damit ziehen sie
einen großen Teil von XKR ab,
beziehungsweise sie addieren einen großen Teil auf XKR
Also große Variabilität in der Grundgesamtheit bedeutet auch breites Konfidenzintervall.
Die Dinge sind meiner Meinung nach relativ klar.
Also wie das zusammenhängt mit Stichbobengröße und Variabilität der Grundgesamtheit,
also Varianz der Grundgesamtheit. Der dritte Punkt, was passiert,
wenn wir dieses Alpha 0 ändern, also die Irrtumswahrscheinlichkeit?
Da sieht es hier so aus.
Also die breite Diskut, wie nennt es den Interviews,
nimmt mit wachsende Sicherheitswahrscheinlichkeit als minus Alpha 0 zu.
Also das heißt, je mehr Sicherheit sie haben wollen,
desto breiter wird ihr Konfidenzintervall.
Wenn Sie jetzt, wenn Sie folgen, also stellen Sie sich vor,
dass hier ist diese Einkommensverteilung der Arbeitenbevölkerung in Deutschland.
Und Sie wollen jetzt, wenn Sie eine zusätzliche Person rausgreifen,
dann ist das hier das Bild für mit Wahrscheinlichkeit 90 Prozent liegt die Person hier drin.
Wenn wir hier 5 Prozent haben und hier 5 Prozent liegt
die zusätzlich gezogene Person mit 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit hier drin.
Wenn Sie jetzt mehr Sicherheit haben wollen,
und das bedeutet, wenn Sie sagen wollen,
die gezogene Person liegt nicht mit 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit hier drin,
sondern mit 99-prozentiger Wahrscheinlichkeit, dann müssen die das Intervall natürlich größer machen.
Dann vier Links, bis Prozent sein und die rechts außen noch ein halbes Prozent.
Und da steht hier oben im zweiten Punkt diese Bemerkung,
dass die Breite des Konfidenzintervalls mit wachsender Sicherheitswahrscheinlichkeit zunimmt.
Also je mehr Sicherheit sie haben wollen, desto größer wird diese Konfidenz intervall.
Und je mehr Sicherheit sie haben wollen, bedeutet,
dieses Alpha 0 wird kleiner. Der die Sicherheit,
in Anführungszeichen, die Sicherheit hier drin ist 1 minus Alpha 0.
Also hier nochmal Untergrenze, Obergrenze, GO.
Dann haben wir hier Alpha 0 halbe
Hier auch Alpha 0 halbe. Und hier 1 minus Alpha
0. Mehrere Sicherheit bedeutet, dieser Ausdruck muss größer werden,
damit muss Alpha 0 kleiner werden.
Ja, das ist genau das Bild, das hier.
Ein Beispiel dazu? Nochmal Rendite, eine Aktie,
also das heißt, dasselbe Beispiel wie vorher auch und die
auch schon letzte Woche
Wir nehmen wieder an, die Renditen sind normal verteilt mit Parametern,
Mühe und Siegmarktquadrat. Mühken wir nicht. Wir wissen aber
aus der Vergangenheit oder aus irgendwelchen anderen Dingen. Wir wissen,
dass der Parameter für die Grundgesamtheit, Siegmarktquadrat, gleich 0,002 ist.
Also das heißt, einen der beiden Parameter kennen wir,
den anderen kennen wir nicht. Für den Parameter Mühe,
der Grundgesamtheit, wollen wir jetzt 90 Prozent Confidence Intervall ermitteln.
Also hier 90 Prozent Confidence Intervall für den unbekannten Parameter
Mühe. Selbes Vorgehen wie in Paragraf 3 auch schon.
Wir erheben eine Stichprobe, die sehen Sie hier
Umfang 8, also nein, endlich 8.
Und mit dieser Stichbrot bebrechen wir jetzt das arithmetische Mittel,
das ist das ja, also relativ einfach.
Diese acht Werte zusammenzählen und durch acht dividieren,
gebt eine Durchschnittsrendite von 1,0, 2025. Und damit erhält man
jetzt, dass 90 Prozent Konfidenzintervall wie folgt.
Also 90 Prozent Konfidenz intervall, da müssen sie jetzt auch aufpassen,
90 Prozent Konfidenzintervall heißt, hier drin sind 90 Prozent.
Hier sind dann 5 Prozent, eben 10 Prozent halbe und hier sind auch 5 Prozent.
Und deswegen, das ist kein Schreibfehler hier, Deswegen,
für das 90 Prozent Confidence in Devall,
brauchen wir das 95 Prozent Quantil der Standard-Normalverteilung.
Also nochmal, dies 95 Prozent, das ist letztendlich das hier.
Also hier ist das 95 Prozent Quantil, Z 0,95.
Weil ihr eben hier 5 Prozent drin sind.
Deswegen 95 Prozent Quartil. Also nochmal,
90 Prozent Confidence in Devall heißt 90 Prozent hier,
5 Prozent hier, 5 Prozent hier und wegen diesen 5 Prozent hier brauchen wir das 95 Prozent.
Wenn man die Frau nimmt, auch das 5 Prozent Quantil,
aber da das bei der Normalverteilung,
beziehungsweise bei der Standard-Normalverteilung symmetrisch ist,
kann man
sich das sparen
Ich zeige Ihnen das nochmal kurz. Also wenn Sie das aufschlagen wollen,
hinten im Skript, die Tabelle, Standard-Normalverteilung, dann erhält man diese 95 Prozent,
indem Sie den Wert 0,95 innerhalb der Tabelle suchen.
Und was Sie dort eben finden, ist die beiden Werte 0,94995.
Das ist bei 1,64. Und rechts daneben 0,95 05, das ist bei 1,65. Und dann ist,
weil das eben gerade gleich weit weg ist,
von 0,95 Kann man den Kopf linear interpolieren,
deswegen ist der Wert 1,645, den sie hier,
den sie hier in der Tafel sehen, äh,
auf der Folie sehen.
Okay, also nochmal in der Zeile, wo ganz links
die 1,6 steht, dort sehen sie die beiden Wörter,
0,94, 95 und 0,95, 05.
Das ist genau gleich weit weg von 0,95. Deswegen ist es auch
gerade in der Mitte zwischen den beiden Werten 1,64 und 1,65.
Die Mitte ist eben 1,645. Also es ist nicht genau interpretiert,
sondern es ist auch proximiert in der Mitte.
Linear proximiert. Also dieses Quantil hier in der Tabelle ablesen
Und dann müssen sie jetzt alles nur noch in diese Formel einsetzen.
Also das heißt, x-quer minus, Z1 minus Alpha 0,
halbe. Und ich schreibe das auch nochmal ausführlicher hin,
beziehungsweise steht nicht da. Z, 1 minus Alpha 0
, halbe. Also wir haben jetzt ein 90 Prozent Konfidenzintervall.
Das ist Alpha 0, ist 10 Prozent
Damit ist Z 1 minus Alpha 0, halbe,
gleich Z 1 minus,
von 0 ist 0,1 bzw. dann halbe eben 0,1 halbe,
ist Z 0,95 und da sind eben gerade diese 1,645.
Also das, was total versteht. Und diese Z 0,95,
also diese hier, beziehungsweise Z1 minus Alpha 0,
halbe, wenn die in den Satz reinschauen,
das ist genau das Quartil,
das sie hier brauchen
Arrethmetisches Mittel, minus 95 Prozent Quantil, mal Sigma,
das ist bekannt, das sind die Wurzelhaus 0,002,
geteilt durch Wurzel N, N ist auch bekannt, das ist
8 und eben X Quer plus dieser ganze Ausdruck,
jetzt muss man alle Zahlen nur noch einsetzen, wir haben alles ausgerechnet,
beziehungsweise in der Tabelle abgelesen und dann erhält man als 90 Prozent Konfidenz sind,
weil dieses Intervall für die Renditen,
beziehungsweise für den unbekannten Parameter Müh.
Also das hier an 90 Prozent Konfidenz Intervall bedeutet,
sie erheben eine weitere Rendite,
die neunte Rendite und die liegt dann mit 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit
hier drin
Und das habe ich bisher noch nicht gesagt,
aber es gilt genau dasselbe wie in Paragraf 3 auch.
Und das ist, mit der Rechnung ist hoffentlich auch klar geworden,
eine andere Stichprobe führt natürlich auch wieder zum anderen Konfidenzintervall.
Also das ist wie bei der Momentenmethode oder bei der Maximum-Likeli-Hut-Methode
auch neue Stichprobe, führt zum neuen Konfidenzintervall.
Warum? Weil sie damit natürlich ein neues X quer erhalten.
Also wenn sie hier andere acht Werte haben,
gibt es ein anderes X quer und damit hier natürlich
auch ein anderes Konfidenzintervall
Die restlichen Parameter bleiben gleich, also wenn sie eine Stichprobe
der größte Achter heben, bleibt dieses Ende auch gleich.
Siegma bleibt sowieso gleich, zählt 0,95. Ist bleibt auch
immer gleich, also das ist letztendlich eine Konstante.
Nur dieses X-Quere ändert sich eben,
wenn sie eine neue Stichprobe der größte Achter heben.
Ja, hier, wenn Sie das nachvollziehen wollen,
der Datensatz und auch etwas allgemeiner programmiert in so einer Eardatei.
Das nächste Konfidenz in der Wahl,
das ich Ihnen vorstellen möchte,
ist sehr, sehr ähnlich zu dem,
dass Sie
gerade eben gesehen haben
Und unterscheidet sich nur in einer einzigen Voraussetzung, führt aber
zu eben einem anderen Konfidenzintervall. Und deswegen müssen sie aufpassen,
wenn sie dort Übungsaufgaben lösen oder wenn sie in der Klausur auf so etwas treffen,
müssen sie exakt aufpassen, welche Voraussetzungen sie gegeben haben.
Wir haben jetzt hier dieselben Voraussetzungen,
wie in dem Satz von gerade eben, mit der einzigen Ausnahme,
dass die Varianz der Grundgesamtheit auch unbekannt ist.
Also auch eben wieder Parameter Müh. Also das heißt,
wir müssen jetzt nicht nur irgendwie diesen Parameter Müh schätzen,
beziehungsweise den Konfidenzintervall angeben,
sondern wir brauchen auch irgendwie eine Schätzung für den Unbekannten
weiteren Parameter Siegmaquadrat.
Also das heißt für die Varianz eben
Und da ist ihr, liefert das entsprechende Konfidenzentervall.
Also es ist auch ein Konfidenzentervall für Mühe.
Wir haben wieder normal verteilte Grundgesamtheit. Die ersten beiden Voraussetzungen
sind gleich. Wir haben jetzt nur den Unterschied,
dass die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt ist.
Also das heißt, Siegmaquadrat, unbekannt.
Und das führt dann zu einem Konfidenzentervall, das so aussieht.
Also es läuft dann wieder alles genau gleich ab.
Sie wählen auch wieder
diese Irrtumswahrscheinlichkeit
Sie berechnen dann mit der Stichprobe, das arathmetische Mitglieds quer und zusätzlich,
das kommt jetzt eben noch hinzu,
zusätzlich berechnen sie die Varianz der Stichprobe, dieses Esthilde-Quadrat.
Und dieses Ästhetik-Quadrat, das ist jetzt nicht die Varianz,
die wir in Statistik 1 kennengelernt haben, sondern das ist die Varianz,
die wir letzte Woche beziehungsweise vorletzte Woche kennengelernt haben,
diese erwartungstreue Version der Varianz, also sie müssen durch N-minus 1 dividieren,
nicht durch N.
Also das habe ich damals,
als ich die entsprechende Schätzfunktion eingeführt habe,
mit Esthilde bezeichnet und das bleibt auch bis zum Ende
der Vorlesung so
Als Erwartungstreue Varianz Estilde,
man teilt durch N minus eins, nicht Erwartungstreue Varianz,
die, die sie in Statistik 1 kennengelernt haben,
einfach nur an S und man teilt durch N.
Und wir brauchen hier die Erwartungstreue Form der Varianz. Die sehen sie dann hier,
dieses Estilde und das Konfidenz in der Wahl funktioniert vom Prinzip
her genau gleich, wie das Konfidenzintervall von eben auch.
Also sie nehmen jeweils das arathmetische Mittel her und ziehen davon
immer einen Term ab bzw. addieren denselben Term.
Wir hatten gerade eben, also ich Die eine Intervallgrenze beziehungsweise ich ging das nochmal kurz.
Wir halten gerade eben das Intervall X quer, News,
Z, 1 minus Alpha, 0 halbe, mal Sigma,
geteilte Wurzel N und dann X quer plus denselben Ausdruck.
Und diese Konfidenz in der Wahl ist zum Aufbau her genau gleich,
also sie haben auch wieder X-Quer-Minus,
ein Quantil und dann mal Standardabweichung durch Wurzel
Also genau dasselbe haben sie ja auch x quer,
minus quantil, mal Standardabbrechung durch Russell N..
Wir haben hier nur die Standardabbrechung der Grundgesamtheit genommen, weil die bekannt war.
Wir haben jetzt die Variante der Grundgesamtheit oder die Standardabbrechung
der Grundgesamtheit nicht. Deswegen müssen wir die schätzen.
Wir schätzen durch Estilde Quadrat, beziehungsweise die Wurzel daraus.
Und dieses Wurzel Endblatt gleich. Was sich jetzt noch ändert,
ist, das sehen Sie auch gleich oder das erkläre ich Ihnen gleich.
Was sich noch ändert, ist dieses Quantil hier.
Wir haben jetzt nicht mehr das Quantil, der Standardnormalverteilung,
sondern wir haben ein Quantil einer Teeverteilung
Nämlich der T-Verteilung mit N minus 1, 2 Heizgraden und
das Quantil an der Stelle 1, minus einfach 0 halbe.
Also das ist dasselbe. Es ist wieder ein 1,
minus Alpha 0 halbe Quantil, nur eben nicht mehr der Standardnormalverteilung,
sondern der T-Verteilung. Und ja, das steht hier,
T-Verteilung, T-Verteilung hat nur einen Parameter, nämlich diesen Freiheitsgrade.
Und da steht hier aus der T-Verteilung mit N minus 1 Freiheitsgraden,
an der Stelle 1, minus Alpha 0 halbe.
So. Also nur eine Idee, nicht wirklich einen Beweis
Der Beweis läuft grundsätzlich genauso ab wie der Beweis von
dem Konfinenzintervall, bei dem Sigmar Quadrat bekannt ist.
Der einzige Unterschied ist und deswegen,
also das ist doch die Begründung dafür,
dass sie die Teeverteilung reinkommt und nicht die Standard-Normalverteilung.
Wenn ich nochmal in den Beweis kurz zurückgehe, hier,
an dieser Stelle ist die Standard-Normalverteilung ins Spiel gekommen.
Also wir haben diese Zufallsvariable X quer normiert.
Wir normieren jetzt auch, die Zufallsvariable X quer und zwar
genauso wie vorher auch,
also X quer
Das zeige ich Ihnen auch. Beziehungsweise da steht noch hier,
x-quer-minus-müh, geteilt durch, Sigmar, durch Wurzel-N.
Das hier kann ich natürlich auch schreiben als x-quer-minus-müh,
geteilt durch Sigmar, mal Wurzel-N. Das ist ja genau dasselbe.
Also, die ist Nenner hier einfach nach oben gebracht.
Und dieser Ausdruck ist jetzt genau dasselbe Ausdruck wie der hier.
Nur, dass wir nicht durch den Parameter,
also durch den bekannten Parameter Standardarbeitung dividieren,
also nicht durch den Parameter der Grundgesamtheit, sondern wir dividieren jetzt
Durch die entsprechende Schätzung, also durch die Schätzung Estil,
der Quadrat, weil diese Schätzung aber von der Stichprobe abhängt,
ist es eine Zufallsvariable.
Das heißt, in dieser Darstellung hier haben sie nur
eine Zufallsvariable, nämlich nur dieses X Quer.
In dieser Darstellung hier haben sie zwei Zufallsvariablen, X Quer,
geteilt durch Estilde. Und die Begründung dafür, dass hier
nicht mehr die Standard-Normalverteilung rauskommt, sondern eben die Teeverteilung.
Mit an der Stelle N-1 Freiheitsgarten. Und danach läuft der
Beweis genau gleich ab. Also dann müssen sie auch wieder
diese Wahrscheinlichkeit aufstellen, geeignet, umformen und dann haben sie
wieder diesen Ausdruck hier dastehen
So, was ist der Unterschied zwischen der,
also was ist der Unterschied zwischen diesen beiden Konfidenzen der Wahlen?
Der wesentliche Unterschied oder der einzige Unterschied ist,
dass bei der einen die Varianz der Grundgesamtheit bekannt ist und
bei der anderen ist die Varianz der Grundgesamtheit nicht bekannt.
Das führt zu unterschiedlichen Konfidenzintervallen und wenn sie dieses Alpha-Null so festlegen,
wie man standardmäßig eben festlegt, also relativ klein,
zehn Prozent oder kleiner, dann führt es dazu,
dass das eine Konfidenzintervall immer größer ist,
als das andere Konfidenzintervall.
Und welches ist größer
Als Konfidenzintervall, bei dem die Varianz der Grundgesellschaft nicht bekannt ist.
Also Sigmaquadrat unbekannt, das, was wir gerade eben hatten,
also genau dieser Fall hier, Sigmaquadrat unbekannt, führt zu einem größeren Konfidenzintervall,
warum anschaulich gesprochen, weil da Wälder mehrere Varianz drinsteckt.
Also sie müssen eben nicht nur, wenn wir uns das hier nochmal anschauen,
sie müssen nicht nur X-Quer aus den Daten schätzen,
sondern sie müssen auch Estilde aus den Daten schätzen.
Das heißt, da steckt mehr Varianz drin,
mehr Variabilität und deswegen muss sich das irgendwie widerspiegeln.
Und das spiegelt sich eben darin wieder,
dass dieses Konfidenzintervall verglichen mit dem, das wir davor hatten, breiter wird.
Und das kann man anschaulich auch schön sehen, nämlich anhand von diesen beiden, die ich, die Funktionen. Also das Blaue,
die dich, die Funktion der Normalverteilung, das Rote,
die dichte Funktion der Teeverteilung,
hier mit nur einem Freiheitsgrad, mit mehreren Freiheitsgraden rutscht,
die wandert sich immer weiter nach oben,
aber sie ist nie,
also der Hochpunkt hier ist nie oberhalb von dem Hochpunkt der Normalverteilung,
sondern sie bleibt da immer drunter und diese Flanken hier links
und rechts,
die bleiben auch immer oberhalb der Normalverteilung
Und das ist die Begründung für ein breiteres Konfidenzintervall. Wenn Sie nämlich,
also hier beispielsweise, das 10 Prozent Quantil,
der Standardnormalverteilung nehmen und das 10 Prozent Quantil der Teeverteilung,
dann liegt dieses Quartil der Teeverteilung weiter links.
Und das heißt, weiter links bedeutet,
dieser Ausdruck hier ist eben größer,
negativ und deswegen rutscht diese gesamte linke Grenze eben weiter nach
links und diese gesamte rechte Grenze rutscht weiter nach rechts,
weil hier das entsprechende Quantil weiter rechts liegt,
beziehungsweise hier das entsprechende Quantil
weiter links
Also da ist, der Hinweis dafür,
dass man ein breiteres Konfidenzintervall erhält, weil eben,
weil man mehr Dinge aus den Daten schätzen muss und damit
mehr Streuung in das Modell kommt.
Ja, machen wir das Beispiel nach der Pause,
machen wir jetzt 15 Minuten Pause. So, machen wir
weiter. Und zwar haben wir jetzt gerade die,
das zweite Konfidenzintervall von diesen vier Konfidenzintervallen für den Erwartungswert kennengelernt.
Das zweite Konfidenzintervall nochmal zur Wiederholung, Confidenzintervall für Mühe,
also für den Erwartungswert
Normal verteilt die Grundgesamtheit und unbekannte Varianz.
Und dazu jetzt ein Beispiel. Und wieder dasselbe Beispiel,
wie vorher auch, die Verteilung einer Aktie normal verteilt,
mit diesmal zwei unbekannten Parametern, Mühe und Siegmaquadrat.
Und aus den gegebenen Daten,
also das sind dieselben Daten, die vorher auch,
soll wieder 90 Prozent Konfidenz intervall für den Erwartungswert.
Also das heißt,
für den ersten Parameter der Normalverteilung
Mühe bestimmt werden
Also das ist nochmal in Zahlen exakt das gleiche Beispiel wie vorher auch der einzige Unterschied ist,
dass wir vorher den Parameter Siegmaquadrat gegeben hatten und den haben wir jetzt nicht gegeben.
Also der ist so der zweite Parameter Siegmaquadrat,
das ist auch unbekannt und muss damit also auch aus den Daten geschätzt werden.
Und die Daten sind zahlenmäßig genau dieselben wie vorher auch.
Also diese acht Renditedaten, wir berechnen zuerst das aratmetische Mittel,
das hatten wir damals auch schon berechnet, also 1,0225, selbe Wert wie vorher.
Und wir berechnen Schätzungen für die Erwartungstreue Varianz,
also das heißt, diese Varianzformel,
bei der sie durch eine minus eins dividieren,
statt durch enden, Also dann eben eins, geteilt durch sieben,
jede einzelne Rendite quartiert und aufsummiert und am Schluss am Schluss dieses arathmetische Mittel quartiert und geeignet noch normiert, abgezogen.
Also hierzu, da möchte ich noch kurz was sagen und
zwar zu dem Statistikprogramm R. Also ich hätte nicht gedacht,
dass es, aber anscheinend gibt es doch ein paar von ihnen,
die sich damit beschäftigen. Ich habe, ja,
ich habe vor kurzem eine E-Mail bekommen,
In der mir einer schreibt,
der hat wohl manche Werte hier abgetippt und hat gesagt,
er kommt nicht auf, er kommt nicht auf die entsprechenden Werte,
die ich hier auf der Frühlie habe.
Das lag bei dem Studenten daran, ja, irgendeinen Vektor hatte.
Also X, irgendeinen Vektor, also irgendwelche Zahlen,
X1, X2, bis irgendwo hin, XN.
Und dass dieses Student vor diesem Vektor die Varianz ausrechnen wollte,
und zwar die Varianz, die sie in Statistik 1 kennengelernt haben,
und die Varianz ist natürlich eher implementiert,
heißt dort eben wahr, Dann geht man den Vektor an.
Das eine, das einzige, was man eben wissen muss
und dazu müsste man in der Hilfe eben kurz nachschlagen.
Und das muss man, das müssen die bei Excel aber auch tun,
wenn sie das mit Excel ausrechnen. Also wenn sie in irgendeinem,
in irgendeiner Statistik-Software die Varianz ausrechnen, indem sie,
in so gut wie allen Programmen, heißt das eben immer,
VAR, indem sie einfach diesen Ausdruck eintippen und dann auf Enter drücken,
dann müssen sie in der Hilfe nachschlagen.
Welche Varianz sind dem entsprechenden Statistikprogramm implementiert ist? Denn das
ist nicht immer einheitlich. Und in R ist es eben
die erwartungstreue Schätzung der Varianz. Also eins durch N minus eins,
Summe, XI minus X quer, in Klammern zum Quadrat.
Und wenn sie Wenn sich die nicht erwartungstreue Varianz, Schätzungen haben möchten,
also das, was sie in Statistik 1 kennengelernt haben,
dann müssen sie in R eben das hier eintippen.
Also multipliziert mit N-1, individuiert durch N. Also sie multiplizieren
hier mit N minus 1 und dividieren dann durch N,
dann haben sie den Ausdruck, den sie in Statistik 1 kennengelernt haben.
Und wenn sie nur wahr eintippen, dann haben sie diese Version,
die wir hier mit dieser Estilde bezeichnet haben.
Also das nur als Hinweis, und das ist aber kein Problem VR,
sondern das ist ein Problem von allen Statistiksoftwareen, die es so gibt.
Man muss eben wissen, welche Welche Varianzformen implementiert ist in ROS,
ist diese hier. Bei Excel weiß ich es gar nicht auswendig.
Aber das muss man eben, wie gesagt, kurz immer nachschlagen.
Sonst erhält man eventuell falsche Werte. Also jetzt hier nochmal,
und das ist übrigens auch, also dieser Ausdruck,
mal N minus 1, geht teilt durch N.
Das ist, das ist unter anderem die Begründung,
warum hier hinten der Kehrwert davon steht, also mal N,
geteilt durch N minus 1, dieses Achtzebtel hier.
Bei der normalen Varianzformel haben wir gelernt,
dass wir den Erwartungswert quadriert abziehen,
weil wir hier vorne jetzt durch N minus 1 dividieren,
wenn wir dieses X-Querquadrat rausziehen möchten,
dann muss man hier hinten dieses X-Querquadrat mit N geteiltigt,
N minus 1, multiplizieren, um die korrekte,
um den korrekten Verschiebesalz angewendet zu haben.
Also wenn man das tut, dann hält man hier eine Schätzung von ungefähr 0,0019.
Damit haben wir jetzt beide Dinge ausgerechnet, also X quer
und S-Quadrat. Also das hier X quer und S-Till,
der Quadrat, N ist immer noch 8,
jetzt muss man nur noch das entsprechende Quantine blesen.
Also das machen wir jetzt. Wir wollten wieder einen 90-Prozent-Konfidenzintervall,
das heißt, die unsere Grenze und links davon müssen wieder
fünf Prozent sein und obere Grenze und rechts davon müssen auch fünf Prozent sein.
Deswegen müssen wir wieder das 95-Prozent-Quantil ablesen. Und theoretisch auch das Fünf-Prozent-Quantil,
weil die Tee-Verteilung aposymmetrisch ist, genauso wie die Standard-Normalverteilung,
reicht es, wenn wir nur ein Quantil ablesen.
Und in dem Fall reicht eben, dass 95 Prozent kein Teel.
Ich gehe noch mal kurz zurück, 95 Prozent Quantil mit N-1-Freiheitsgraden,
an der Stelle 1 minus Alpha 0 halbe.
N ist bei uns 8. Deswegen das 95-Prozent-Quantil mit sieben Freiheitsgraden,
N minus
An der Stelle 1 minus, Alpha 0,5,
Alpha 0 sind 10 Prozent,
Alpha 0,5 sind 5 Prozent und 100 Prozent,
minus 5 Prozent sind dann eben gerade diese 95 Prozent,
beziehungsweise diese 95 Prozent hier.
Also Teeverteilung mit sieben Freiheitsgraden und das entsprechende 95-Prozent-Quantil.
Wenn Sie das nochmal kurz nachschlagen wollen, hinten in der Tabelle.
Für die Teeverteilung. Das ist eben,
also das habe ich mehrfach ja schon gesagt,
als wir die entsprechenden Verteidigungstabellen uns angeschaut haben,
Für die Teeverteilung hier Quadratverteilung und F-Verteilung sind immer die entsprechenden Quantile abgetragen.
Also das heißt, sie gehen vorne in die entsprechende Zeile,
bei der N gleich sieben eben steht.
Also sieben Freiheitsgrade. Und dann 95 Prozent Quantil ist eben
dieser Wert 1,895. Und das ist dann eben genau diese Ausdrucke.
1,895 ist das 95 Prozent Ventil, eine Teeverteilung mit sieben Freiheitsraten.
Und damit haben sie jetzt alles gegeben,
also X quer ausgerechnet, Estilde ausgerechnet,
N,
einfach ablesen,
Quantil abgelesen
Damit kann man dieses, jedem, also damit kann man dieses Konfidenzintervall daneben ausrechnen,
indem man alles einsetzt und dann erhält man diese Schranken hier, beziehungsweise diese Intervall.
Und wenn sie das vergleichen mit dem Beispiel von vorhin,
dann werden sie feststellen,
dass dieses Konfidenzintervall etwas breiter ist und das steht dann auch in dieser Bemerkung hier unten,
ein etwas breiteres Konfidenzintervall und das liegt eben daran,
dass hier noch eine zusätzliche Unsicherheit reinkommt,
nämlich die Unsicherheit,
dass wir dieses S-Tilde auch noch brauchen,
also die Schätzung von Sigmar und durch diese Schätzung kommt eben
mehr Unsicherheit in dieses Konfidenzintervall und das kommt eben dadurch zum Ausdruck,
dass dieses Konfidenzintervall breiter wird
Und da steht diese Bemerkung hier. Also durch die unbekannte
Varianz der Grundgesamtheit, die müssen wir dann eben schätzen,
kommt dieses breitere Konfidenzen in der Wahl zustande.
Und vergleichen Sie die Werte mit dem Beispiel von vorhin,
dann sehen Sie, dass es auch wirklich breiter ist.
Ja, das ja auch in R umgesetzt,
wenn Sie das nachvollziehen wollen, mit den entsprechenden Werten.
Wir lernen jetzt noch zwei weitere Konfidenzen in der Weile
für den Erwartungswert, den wir mit Mühe bezeichnen,
Wir hatten bisher Konfidenzinterweile für Mühe, also genauso wie das
hier jetzt auch. Bei einer normal verteilten Grundgesamtheit und dann
hatten wir die beiden Fälle Siegmarktquadrat bekannt und Siegmarktquadrat unbekannt.
Jetzt machen wir wieder Siegmarktquadrat bekannt und Siegmarktquadrat unbekannt.
Nur das einzige, also was wir jetzt verändern ist,
wir haben jetzt keine normal verteilte Grundgesamtheit,
sondern die Grundgesamtheit ist jetzt beliebig verteilt.
Also wir wissen nicht mehr, dass die Grundgesamtheit normal verteilt ist,
sondern wir wissen gar nichts über die Grundgesamtheit irgendwie verteilt.
Also in manchen Anwendungen kann es sein,
dass man die Verteilung der Grundgesamtheit
dann auch noch kennt
Also beispielsweise Higgo hat Rad verteilt, spielt aber keine Rolle.
Also selbst wenn sie die Verteilungen kennen und sie nicht normal verteilt ist,
können sie immer noch diese Konfidenz in der Wahl hier anwenden.
Also wichtiger Unterschied ist jetzt, eben Grundgesamtheit nicht mehr normal verteilt, irgendwie anders verteilt.
Und wir wollen wieder ein Konfidenzintervall für den Erwartungslad,
also das heißt für den unbekannten Parameter Mü,
bei beliebiger Verteilung und wieder erster Fall, Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt.
Das hier Als Hinweis, das ist jetzt ein sogenanntes aproximative Konfidenzintervall.
Da steht hier oben die beiden Konfidenzintervalle, die sie davor kennengelernt haben.
Das sind exakte Konfidenzintervalle. Aproximatives Konfidenzintervall. Deswegen,
weil hier, dadurch, dass wir hier eine beliebige Verteilung haben,
muss man das irgendwie,
also findet dort eine Approximation statt und die Approximation findet derart statt,
dass wir genügend viele Stichprobenziehungen brauchen und dann,
da gehe ich jetzt nicht mehr zurück,
aber das haben wir bei den Bei den Grenzwerthätzen in Paragraph 2 ganz am Schluss kennengelernt.
Der zentrale Grenzwertsatz, also das sieht auch hier,
hat dort eine zentrale Rolle gespielt. Der zentrale Grenzwertsatz,
wenn sie dann nochmal zurückblättern, zu ganz grob gesagt,
hat er gesagt, wenn sie nur genügend viele identisch verteilte und unabhängige Stichproben,
Zugriffserblen haben oder einfach nur Zufallsvariablen, dann konvergiert die Verteilung,
die gemeinsame Verteilung dieser Zufallsvariablen gegen eine Standard-Normalverteilung.
Und wenn Sie sich noch an dieses Bild erinnern,
wann konvergiert eine Teeverteilung gegen eine Normalverteilung,
wann konvergiert eine HI-Quadratverteilung gegen eine Normalverteilung und so weiter
Hatten wir die Voraussetzungen,
dass die Freiheitsgrade mindestens 30 sein müssen, also N,
größer als 30. Und genau dieselbe Voraussetzung haben wir hier auch.
Wir haben Stichproben, Zufallsvariablen, X1 bis XN.
Und wir haben die Voraussetzung, es müssen mehr als 30 sein.
Denn nur dann ist die Annäherung durch eine Normalverteilung gut genug.
Und weil das eben eine Annäherung ist,
also weil wir diese unbekannte Verteilung, diese beliebige Verteilung aproximieren,
durch eine Normalverteilung.
Durch diese Aproximation sagt man,
dass es sich hier um abproximatives Konfidenzintervall handelt
Und es ist hoffentlich klar, je größer er ist,
desto besser ist natürlich diese Approximation. Also je mehr unabhängige,
identisch verteilte Stichprobenzufallsvajablen, X1 bis XN sie haben,
desto besser ist die Approximation durch eine Standard-Normalverteilung.
Und desto besser ist natürlich dann auch dieses Konfidenzintervall hier.
Und dieses Konfidenzintervall sieht es genau gleich aus,
wie das erste Konfidenzintervall, das wir kennengelernt haben.
Es ist nämlich wieder X-Quer-Quantil, der Standard-Normalverteilung, mal Sigma,
das kennen wir ja, ist bekannt, geteilt durch Wurzel-N.
Also es hat sich hier nichts,
das hier ist wirklich exakt derselbe Ausdruck,
wie das erste Konfident in der Wald,
das sie kennengelernt haben
Der Unterschied ist nur in den Voraussetzungen, an die Stichprobenziehung.
Es ist hier nämlich vorausgesetzt, dass wir mindestens, mindestens 31 Stichprobenziehungen brauchen.
Das war aber im ersten Konfidenzen in der Welt,
das wir heute kennengelernt haben, nicht vorausgesetzt.
Dort funktioniert es auch mit weniger. Dort brauchen sie dann
dabei eine Normalverteidigergrundgesamtheit. Ja, also das ist alles zu
diesen Voraussetzungen. Konfidenzen in der Walphonie, beliebige Verteilung,
Siegen war Quadrat bekannt, liefert ihnen diese Konfidenzintervalle und dabei
ist alles so wie vorher auch.
Also das ist auch eins minus alphanull
halbe Quantil,
der Standardnormalverteilung
Sigma ist auch wieder die Standardabweichung aus der Grundgesamtheit, Wurzel N,
die Wurzel aus der Anzahl der Stichprobenziehungen und so weiter.
X quer das arathmetische Mittel, also da ist,
da ist nichts Neues drin und der Beweis ist hier,
den habe ich nicht explizit aufgeführt in der Beweise,
läuft genauso ab wie vorher.
Das Einzige, was sie im Forus noch tun müssen,
ist, sie müssen eben nur diese Approximation herstellen,
also diese gemeinsame Verteilungsfunktion abproximieren durch eine Standard-Normalverteilungsfunktion.
Also eben den zentralen Grenzwertseits einfach anwenden
Und da steht hier, als Anwendung des Satzes von Folie 142.
Dort steht der zentrale Grenzwertsatz auf den Satz von Folie 207.
Das ist der Satz des ersten Confidence-Intervices, das wir heute kennengelernt haben.
Und bevor wir da ein Beispiel dazu machen, gleich den zweiten Satz hinterher.
Das zweite Confidence-Intervall unterscheidet sich jetzt nur dadurch,
dass die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt ist. Und das heißt,
es sieht genauso aus, also wenn Sie diese beiden vergleichen,
dieses hier von gerade eben beliebige Verteilung Sigmar Görlrad bekannt,
vergleichen mit Beliebige Verteilung, Siegwakkurat, unbekannt.
Dann stellen Sie fest, der einzige Unterschied ist nur,
dass statt hier ist Sigma, Esthilde steht.
Und statt hier sieht man auch Esthilde. Also wir schätzen
die Unbekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit eben durch diese erwartungstreue Stichprobenvariante, durch die hier.
Und der Beweis ist auch wieder genau dasselbe, zentraler Grenzwertsatz,
angewendet auf das zweite Konfidenzintervall, das wir heute kennengelernt haben.
Im zweiten Konfidenzintervall hat die Tee-Verteilung drin gesteckt,
aber wenn Sie bei der Tee-Verteilung eben mehr als 30 Realisierung nehmen,
dann können sie das auch schon sehr gut approximieren durch eine Standard-Normalverteilung und genau deswegen taucht hier wieder das Garantie der Standard-Normalverteilung auf.
Also wichtig, hier verwechseln sie diese beiden Fälle mit unbekannter Varianz nicht.
Im einen kommt eben die Teeverteilung vor und beim anderen hier kommt die Standard-Normalverteilung vor.
Und der Übergang von der Teeverteilung zur Standard-Normalverteilung kommt eben durch diese N-Größe als 30,
durch diese Approximation der Teeverteilung, durch die Standard-Normalverteilung.
Deswegen steht hier nicht mehr das Quantiler Teeverteilung,
sondern das Kantiler einer Standard-Normalverteilung.
Und sonst ist da auch alles
gleich geblieben
Ja, also da steht, das steht hier,
das, was ich gerade eben gesagt habe in dieser Bemerkung,
der Unterschied zwischen diesen beiden Sätzen bei unbekannter Variantesystemen,
die einmal die Teeverteilung, einmal die Standard-Normalverteilung und das liegt eben,
hängt damit zusammen, dass diese mehr als 30 Teeverteilung unabhängig,
diese mehr als 30 unabhängigen Teeverteilungen approximiert werden durch eine Standard-Normalverteilung.
So,
hier jetzt ein Beispiel
Beispiele für die letzten beiden Sätze, also das heißt,
wir letzten beiden Konfidenzen in der Walle,
die sind ja jetzt natürlich ein bisschen umfangreicher sein,
weil wir eben mindestens 30 Stichbomben-Realisierungen brauchen.
Also es funktioniert nicht mehr so wie vorher mit nur acht Renditen.
Da hatten wir die Voraussetzung normal verteilt,
dann braucht man nicht mehr als 30 Stichproben, Zufallsvariablen.
Aber wenn wir hier jetzt annehmen,
dass die Grundgesamtheit nicht mehr unbedingt normal verteilt ist,
brauchen wir eben eine höhere, eine höhere Stichprobe.
Und hier in dem Fall eine Stichprobe vom Umfang 50,
auch wieder Renditen einer Aktie,
unbekannte Verteilung
Erwartungswert und Varianz, also bezeichnet mit Mühe und Siegmaquadrat,
seien auch beide unbekannt. Und wir wollen jetzt
einen Kontinentsintervall für Mühe bestimmen, mithilfe von dieser Stichprobe.
Also das heißt, mithilfe von diesen 50 Werten.
Und wenn man das tut, muss man eben jetzt,
also ich gehe da noch mal kurz zurück,
muss man zwei Dinge ausrechnen, wir brauchen einmal x quer,
wir brauchen einmal Estilde, also arithmetisches Mittel und erwartungstreue Varianz.
N ist 50 und dann muss man
das Quantil eben noch ablesen
Dann kann man dieses Konfidenzen in der Wahl berechnen.
Also wenn man diese 50 Werte,
wenn man für diese 50 Werte das arathmetische Mittel berechnet,
dann kommt hier minus 0,384 heraus.
Und wenn man die erwartungstreue Varianz berechnet, kommt 5,7548 heraus.
Wie gesagt, N ist 50,
jetzt müssen wir nur noch das entsprechende Kind ablesen.
Ich habe jetzt hier mal absichtlich kein 90-Prozent-Konfidenzentral gewählt,
sondern in 95-Prozent-Konfidenzen der Wahl schauen wir uns noch mal kurz an,
was man jetzt ablesen muss.
Also 95 Prozent Konfidenzen der Wahl, noch mal zur Wiederholung,
bedeutet 95 Prozent innen und 5 Prozent außen.
Diese 5 Prozent außen, aber symmetrisch,
also 2,5 Prozent links und 2,5 Prozent rechts.
Deswegen steht hier, das 97,5 Prozent-Quantil,
eben 100 Prozent minus 2,5 Prozent
Also 97,5 Prozent Quartier. Und wenn sie das in der Tabelle ablesen wollen,
müssen sie eben bei der Standardnormalverteilungstabelle in die Tabelle reingehen und schauen,
wo sie die 0,975 finden.
Und die findet man in dem Fall exakt.
Also 0,975 ist dem gerade dieser Wert 1,96. Also diese Wertjung.
Also gehen Sie in die Teile 1,9 und dort finden Sie irgendwo
den Wert 0,975. Und den finden Sie eben unterhalb von 0,06.
Und dann haben Sie als Quentil als 797,5 Prozent Quantil, diese 1,96.
Und damit haben Sie jetzt alles gegeben.
Also hier In die Form von Conference Intervall alles einsetzen.
Und dann erhalten sie, dass sie als Confidence Intervall für Mü.
Bei unbekannter Verteilung und unbekannter Varianz. So, ich springe,
aber ich gehe da gleich zurück. Das hätte ich vielleicht
ein bisschen früher bringen sollen, aber es spielt keine Rolle.
Die vier Confidence Intervalle, die wir jetzt gerade kennengelernt haben,
Die sind hier noch mal nur die Konfidenzen in der Weile,
ohne die Voraussetzungen, zumindest ohne die Voraussetzungen, ganz explizit.
Die vier Konfidenzen in der Weile sind noch mal in dieser Tabelle gegeben.
Also das heißt, vier Konfidenzen in der Weile,
zwei für den Fall Grundgesamtheit normal verteilt.
Zwei für den Fall Grundgesamtheit beliebig verteilt. Und dann eben
immer jeweils die Unterscheidung, die Varianz der Grundgesamtheit bekannt,
beziehungsweise die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt.
Die beiden, die beiden Konfidenzen interweile für Siegma-Quadrat bekannt,
wenn sie sich die anschauen, die unterscheiden sich überhaupt nicht.
Das sind eben, da liegen eben nur andere Voraussetzungen zugrunde
Also die Frauussetzung hier ist eben, sie brauchen eine Normalverteidigungsgrundgesamtheit
und dann reicht es, wenn die Grundgesamtheit normal verteilt ist,
dann reichen ihnen auch weniger als 30 Stichprobenrealisierungen.
Wenn sie diese rechte Formel hier verwenden,
also genau die selbe wie die Linke,
dann brauchen sie und sie haben keine Normalverteilung in der Grundgesamtheit gegeben,
dann brauchen sie aber eben mindestens 31 Stichprobenrealisierungen.
Bei unbekannter Varianz gibt es einen Unterschied zwischen den beiden Formeln.
Im einen Fall haben sie ihre Teeverteilung drin stehen und im
anderen Fall die Standort Normalverteilung kommt eben,
wie gesagt, durch den zentralen Grenzwertsatz,
diese Teeverteilung wird für Endgrößer als 30 apoximiert durch die Standard Normalverteilung
Da sind diese vier Konfidenzen in der Weile,
die wir bisher kennengelernt haben, nochmal kurz zusammengefasst.
Und jetzt? Hier waren wir jetzt.
Noch ein Confidence in der Wahl. In diesem Abschnitt,
also der Abschnitt heißt ja, Confidence intervalle für Erwartungswert und Varianz.
Wir hatten bisher vier Konfidenzen intervalle für den Erwartungswert,
aber noch kein einziges für die Varianz.
Und es kommt jetzt auch nur ein eigenes Confidence intervall für
die Varianz. Also das heißt, Confidence intervall für Sigmaquadrat
Einzige Voraussetzung, sie brauchen eine normalverteilte Grundgesamtheit.
Wenn Sie das gegeben haben, also das heißt,
die geben eine normalverteilte Grundgesamtheit mit Parametern Mühe und Siegwahlquadrat.
Siegwahlquadrat unbekannt. Ob der Parameter Mühe bekannt, ob der Parameter
Mühe bekannt ist und unbekannt ist, spielt keine Rolle.
Taucht in der Berechnung nicht auf. Also ob Mühe bekannt und unbekannt
, ist egal. Nur Sigma-Korrenat ist unbekannt und dann ist
Das Konfidenzende war für diese unbekannte Varianz hier durchgegeben und wir haben wieder eine selbe Voraussetzung wie bisher auch,
also X1 bis XN, unabhängige und identisch verteilte Stichproben,
Zufall, zwei Jahre, wir brauchen wieder so eine Irrtumswahrscheinlichkeit,
Alpha Null, irgendwo echt zwischen 0 und 1.
Und dann haben sie als Confidence in der Wahl eben das hier,
N-minus 1, mal erwartungstreue Schätzung aus der Stichprobe der Varianz,
dividiert durch.
Und jetzt dividieren sie hier durch ein Quantil,
eine Achiequadratverteilung
Also sie sehen jetzt schon, wir haben bisher gebraucht,
quartil, Standardnormalverteilung, Quantilitätverteilung, jetzt kommt hier das Quartil einer C-Quadratverteilung,
die ganzen expliziten, stetigen Verteilungen,
die ich am Anfang von Statistik 2 nochmal wiederholt habe,
die kommen jetzt langsam alle zum Zug.
Also für diese Fälle braucht man die,
es fehlt nur noch, die L-Verteilung,
die kommt in Paragrafie,
aber nicht mehr,
dafür aber in Paragraf 5. Also dort brauchen wir dann auch noch entsprechende Quantile der L-Verteilung,
hielt die C-Code Radverteilung mit N-1-Freiheitsgraden,
einmal an der Stelle 1 minus Alpha0 halbe und einmal an
der Stelle Alpha0 halbe
Hier der Hinweis, die Hego Drahtverteilung ist nicht symmetrisch.
Deswegen können sie hier nicht dieselben Dinge ausnutzen,
wie bei der Teeverteilung oder bei der Standardnormalverteilung.
Also diese beiden Quantile hier sind unterschiedlich und die müssen sich auch beide ablesen.
Also sie können sich nicht durch irgendwelche Symmetrien aushelfen.
Die konnten wir bei der Teeverteilung oder bei der Standardnormalverteilung ausnutzen.
Das haben wir gerade eben ja auch immer getan.
Das funktioniert hier jetzt nicht. Ich möchte ganz kurz durch
den Beweis durchgehen. Der ist nämlich auch nicht schwierig
und funktioniert vom Prinzip her genauso wie vorher auch
Der Beweis beim ersten Confidence-Intervall, den wir etwas ausführlicher gemacht haben.
Also der Ausgangspunkt hierfür ist, wir brauchen,
also weil wir es im Satz schon gesehen haben, high Quadratverteilung,
wir brauchen eine Zufallsvariable, die high Quadrat verteilt ist.
Und hier ohne Beweis, das gebe ich Ihnen einfach an,
diese Zufallsvariable, also Erwartungstreue, Schätzung der Variante der Grundgesamtheit,
multipliziert mit Ende minus 1, dividiert durch Sigma-Kodrat.
Diese, dieser Ausdruck ist high Quadratverteilt mit N-minus 1 Freiheitsgraden
Da möchte ich Ihnen kurz zeigen, warum das so ist.
Also beziehungsweise zeigen nicht, sondern eine Idee geben,
warum das so ist. Und dazu muss ich mir noch mal
kurz zu Statistik 1 zurückgreifen, beziehungsweise Wiederholung am Anfang von Statistik
2. Wenn Sie zufallsfrei haben, Zufallsvariablen haben, 1 bis N.
Und jede einzelne Zufallsvariable ist normal verteilt,
Parameter 0 zu 1, also Standardnormal verteilt.
Und XE und XJ
sind unabhängig
Für alle I und J? Also das heißt, das,
was wir hier haben, also die letzte Bedingung meine ich damit.
Wir haben, beziehungsweise die letzten, ja nicht die letzten zwei,
wir haben unabhängige und identisch verteilte Zufallsfeierabeln,
wenn wir jetzt noch voraussetzen würden, dass die alle standardnormal verteilt sind,
dann haben wir in Statistik 1 kennengelernt.
Wenn wir jetzt hergehen, die erste Zufallsvariable nehmen und quartieren,
addieren auf die zweite, quarträte Zufallsvariable, addiert auf die dritte Quarträte Zufallsvariable bis auf
Die Ente, quartriert die Zufallsvariable, dann haben wir in Statistik 1 kennengelernt,
dass das hier hiequadrat verteilt ist, mit Endfreiheitsgarten.
Also das ist Wiederholung Statistik 1, beziehungsweise das habe ich
auch noch mal in Statistik 2 am Anfang wiederholt.
Und wenn sie sich diesen Ausdruck da oben anschauen,
der da steht, dann ist die Begründung,
dass der Ausdruck, der da oben steht,
die Begründung dafür, dass der hiequadrat verteilt ist,
ist der folgende, wir haben Estilde Quadrat,
das ist eins durch N minus 1,
Summe xi minus x quer,
in Klammern zum Quadrat.
Und i,
gleich 1 bis
Und was sie hier machen, ist, sie haben hier eine Zufallsvariable,
von der ziehen sie eine Konstante ab und quartieren das dann.
Also sie haben hier diese ganzen XIs,
sind in diesem Satz ja alles die Stichprobenzufallsvariablen,
die sind alle unabhängig und die sind alle identisch verteilt.
Und was sie jetzt machen ist, noch sie normieren das noch ein bisschen,
aber im Wesentlichen, wenn sie das hier Y bezeichnen,
im Wesentlichen quartieren sie das und summieren das dann auf.
Das ist genau dieser Ausdruck hier. Sie und aufsummieren und dann muss man es noch geeignet normieren,
also das ist der, der hier vorne steht,
mit einem minus eins Multiplizen und durch Sigma Quadrat dividieren,
aber das ist der unwesentliche Ausdruck.
Wesentlich ist, dass diese Varianz sich aus lauter Quadraten zusammensetzt,
die alle identisch verteilt sind und unabhängig sind und das ist die Das ist die Begründung dafür,
dass diese Zufallsvariable, diese neue, die da oben steht,
die Quadrat verteilt ist, nicht mit Endfreiheitsgraden, sondern mit N-1.
Aber zumindest als Grundidee, warum diese Stichproben,
also warum dieser Ausdruck, dieser neue Zufallswahl,
habe ich hier Quadrat verteilt, ist die Idee,
ist das hier und das haben wir schon in Statistik 1
kennengelernt.
Und da gehe ich nochmal kurz zurück
Parfolien hier. Genauso können sie das hier auch begründen.
Dass diese Zufallsvariable T verteilt ist, da müssen sie
noch mal kurz zurückschauen, wie eine Teeverteilung definiert war.
Die war definiert als ein Quoizenten aus Standard-Normalverteilung und High-Quadratverteilung.
Das hier ist standardnormal verteilt. Das hier ist High-Quadrat verteilt.
Das haben wir gerade eben gesehen. Und dann ist der
Quoizient eben Tee verteilt. Also das ist die Begründung,
warum hier an der Stelle eine Te-Verteilung steht. Und der restliche,
der restliche Teil, das ist wieder genauso wie vorher auch.
Also die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zufallsvariable innerhalb unserer Grenzen liegt,
also innerhalb von Untergrenze, unseres Intervalls und Obergrenzen unseres Intervalls.
Also hier, hier Quadratverteilung, Untergrenze unseres Confidence Intervalls und Obergrenze unseres Confidence Intervalls.
Die Wahrscheinlichkeit, da ist untertritts Zufallsvariable hier drin liegt,
soll eben genau unser Sicherheitswahrscheinlichkeit sein, also 1 minus Alpha0.
Und dann muss man diese Wahrscheinlichkeit eben noch geeignet umformen,
also der Unbekannte Parameter ist jetzt Ziegmaquadrat,
also das heißt,
sie müssen nach Siegmaquadrat umstellen und dann haben sie genau diese beiden Ausdrücke,
die sie gerade eben in dem Satz
auch schon gesehen haben
Diese, da ist hier eine Hi-Quadratverteilung rauskommt, also für die Quartile,
kann man auch so zumindest so ein bisschen auch noch begründen dadurch,
dass die Variante ja grundsätzlich keine negativen Watte ernehmen kann,
also im Extremfall null, und die Hi-Quadratverteilung,
beziehungsweise die dichte Funktion an die Hi-Quadratverteilung,
kann eben auch keine negativen Werte,
zumindest mit echt positive Dichte, annehmen.
Und das soll diese Grafiker nochmal verdeutlichen,
also wir haben Varianzen,
die sowieso nur positiv sind,
die dichte Funktion einer Hi-Quadratverteilung ist auch nur positiv
Und jetzt sind diese, diese Untergrenzen und Obergrenzen sind jetzt eben so,
dass diese gelbe Fläche hier eben gerade 1 minus Alpha 0
ist und dann ist die rote Fläche,
hier links und hier rechts eben gerade Alpha 0 halbe.
Also es ist wieder, so wie vorher auch,
im symmetrischen Fall mit Wahrscheinlichkeit 1 minus Alpha 0 landen sie
im Intervall und mit Alpha 0 landen sie außerhalb vom Intervall und eben mit Alpha 0 halbe links und mit Alpha 0
halbe rechts vom entsprechenden Intervall. Beispiel hierzu, wieder dasselbe Beispiel,
also diese Aktienrendite, Wieder normal verteilt, mit Parameter Mühe und Siegmark Quadrat.
Wir wollen jetzt aber keine Schätzung für den Parameter Mühe,
also kein Konfidenzintervall für den Parameter Mühemitteln,
sondern ein Konfidenzintervall für den Parameter Siegmark Quadrat.
Und letztendlich ist es egal,
das habe ich vorher schon gesagt, es ist egal,
ob wir diesen Parameter Mühe, der Grundgesamtheit haben oder nicht,
spielt bei der Ermittlung des Konfidenzintervices für Siegmark Quadrat keine Rolle.
Was wir jetzt eben brauchen, ist,
wieder die Stichprobe und damit,
daraus berechnen wir diese erwartungstreue Schätzung der Varianz,
also durch minus 1 dividiert,
das ist das hier
Da kommt wieder, das hatten wir vorher auch schon berechnet, 0,0019 heraus.
Und damit kann man jetzt das Confidence-Intervall für den unbekannten Parameter-Siegmaquadrat berechnen.
Und der einzige, oder was heißt der einzige,
der ein Unterschied hier ist jetzt unter anderem,
dass man wirklich zwei Quartille ablesen muss.
Das mussten wir bisher nicht. Wir mussten bisher immer
nur ein Quantil ablesen und aus den Meditrikgründen hatten wir dann
automatisch auch das andere Quantil.
Das ist jetzt hier nicht der Fall. Wenn Sie hier jetzt,
also wieder ein 90-Prozent-Konfidenzintervall haben wollen,
dann brauchen wir jetzt wirklich zwei verschiedene Quantile.
Und zwar einmal das 5-Prozent-Quantil
Also weil fünf Prozent der Fläche links,
fünf Prozent der Fläche rechts und 90 Prozent der Fläche innen.
Wir brauchen wirklich das Fünf-Prozent-Quartil und das 95 Prozent-Quartil.
Also es reicht nicht aus, nur eins von beiden abzulesen.
Wir haben hier wieder, also wir haben hier
eine IHI-Quadratverteilung mit N-Minus-1-Freiheitsgraden, NS-8, also HIGO
Drahtverteilung mit sieben Freiheitsgraden, Fünf-Prozent-Quartil. Und HIGO Drahtverteilung mit
sieben Freiheitsgraden, sieben Freiheitsgraden und 95 Prozent-Quartil. Und wenn wir,
wenn Sie das ablesen wollen, hinten in der Tabelle,
also gehen Sie in die Zeile, bei der endlich sieben steht.
Und dann können Sie eben ablesen, fünf Prozent,
also oben 0,05. Das sind gerade diese 2,1,
6,7 und 95 Prozent,
da sind diese
Also bei der High-Quadrator-Teile-Tabelle in die Zeile mit N
gleich 7 gehen und dann oben eben 0,05 beziehungsweise 0,95,
die entsprechenden Werte ablesen,
dann erhalten sie hier diese 2,167 beziehungsweise 14,067 und das können sie jetzt in die entsprechenden Konfidenzentwall einsetzen,
also es tillte Quadrat haben wir gerade ausgerechnet,
da sind diese 0,0019,
N ist 8 und diese beiden Quantile hatten wir gerade eben abgelesen und damit erhalten sie dann als Konfidenzentervall,
90 Prozent Konfidenzentervall für den Unbekannten Parameter Sigma-Quadrat,
dieses Intervall hier
Ja, hierzu auch eine Erdatei. Das haben Sie gerade eben gesehen,
dass es diese Zusammenfassung der Konfidenzen intervalle für den Parameter Mü,
für den Parameter Sieg mal Quadrat, also für die Varianz,
haben wir noch einen Konfidenzintervall kennengelernt.
Wir kommen jetzt noch zu einem, in diesem Abschnitt,
also in Paragraf 4 ist das kürzeren Abschnitt, und zwar,
wenn man Wenn man denn einen Anteil einer Grundgesamtheit bestimmen möchte.
Also einfach das Beispiel, der Anteil der männlichen Studierenden an der Universität Hamburg,
wenn sie dort eben keine Followerhebung vornehmen wollen, sondern auch wieder aufgrund einer Stichprobe.
Und wenn sie dann eben keinen Punktschätzer haben wollen,
sondern einen Confidence-Intervall, dann sind wir genau in dieser Situation hier.
Also Confidence-Intervall für Anteilswerte. Also wobei sie diese Grundgesamtheit,
die müssen sie geeignet kodieren, sagt man dazu,
Also es kann sich nur um eine tichotome Grundgesamtheit handeln,
also tichotom heißt,
sie haben nur zwei Merkmalsausprägungen und die eine Merkmalsausprägung,
da geben sie eine Null und der andere Merkmalsausprägung geben sie eine Eins.
Also männlich, weiblich, das ist eins davon eben Null
und das andere eins. Das ist eine wesentliche Voraussetzung,
sonst funktioniert dieses Konfidenz in der Wahl nicht.
Also tichotome Grundgesamtheit, nur zwei verschiedene Merkmale kommt vor.
Wir haben die beiden Merkmalsausprägungen 0 und 1,
also man muss es eben dann geeignet umkodieren,
wenn es irgendwie anders vorliegt
Arbeitslos und nicht arbeitslos. Irgendwie so müssen sie das
eine eben eine Null geben, das andere eine eins.
Und dann eben auch für ein bestimmtes, für eine bestimmte Irrtumswahrscheinlichkeit,
Alpha 0 zwischen 0 und 1, echt zwischen 0 und 1.
Und den entsprechenden Stichprobenzufallsvariablen. Das steht jetzt hier nicht mehr
explizit dran, aber das gilt für den kompletten Pagraphen.
Also auch alle wieder unabhängig, alle identisch verteilt, mit N
größer 30. Also das heißt, auch mindestens 31 Ziehungen aus
ihrer Grundgesamtheit brauchen sie. Warum? Das kommt daher,
das sehen sie aber auch gleich in dem Beweis.
Das kommt daher, dass wir wieder den zentralen Grenzwertsatz anwenden
und wieder eine Abruximation,
eine Verteilung vornehmen
Und wenn sie diese Voraussetzungen haben, also Dichotom, 0 und 1,
mindestens 31 Stichprobenziehungen, dann sieht das Konfidenzintervall so aus.
Und es setzt sich im Wesentlichen aus diesem P hier zusammen.
Und dieses P, sehen Sie gleich,
warum ich das B genannt habe und nicht x quer.
Die SP ist nichts anderes als das arithmetische Mittel unserer XEs.
Und diese XEs, also verwechseln Sie das nicht,
diese XEs bestehen nur aus Nullen oder Einsen.
Also sie ziehen eine Stichprobe, Also sie greifen aus irgendeiner
Grundgesamtheit herein, ziehen heraus. Und diese Stichprobe kann dann
eben nur, den wird null haben oder den Wert 1.
Und das hier ist dann eben das arithmetische Mittelal,
ihre Stichproben. X-Quer bzw. hier bezeichnet mit P,
warum P, sehen sie gleich einen Beweis.
Und dieses Confidenciner-Vall ist dann eben auch wieder so symmetrisch,
P-Minus und P-Plus. Und der Ausdruck 1 minus Alpha null
halbe Quantil, der Standardnormalverteilung, multipliziert mit diesem Wurzelausdruck,
Der Beweis ist dir auch nicht schwer. Also bei einer Dichoturm-Grundgesandtheit,
0011, mit dem Merckmeister Wolfsburg 01,
interessiert man sich bei der Zuwärtsvariablen X, der Grundgesandtheit,
jetzt für den entsprechenden Anteil.
Also das heißt, bei den Studierenden männlich,
weiblich interessieren sie sich für den Anteil der männlichen Studierenden und diesen Anteil,
der sei jetzt hier mit P gegeben.
Also das ist der Anteil der Grundgesamtheit.
Eben die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert 1 annimmt.
Also eins steht jetzt hier in dem Fall für männlich und 0
steht für weiblich. Die Wahrscheinlichkeit für eine 1,
das sei eben mit P bezeichnet
Und wenn Sie jetzt dieses Zufalls-Experiment enmal,
unabhängig voneinander realisieren, also das heißt eine Studierende befragen,
und dann die Summe über diese Zufallsvariablen bilden,
also das heißt, ersten Studenten befragen oder erste Studierende befragen,
dann halten Sie eben die Aussage,
oder die Antwort 0 und 1,
zweite Person auch 0 und 1 und so weiter.
Und wenn Sie über diese ganzen Zufallsvariablen die Summe bilden,
dann erhalten Sie ja eine Binomealverteilung. Also das heißt,
was Sie ganz am Anfang machen, ist nur ein sogenanntes Bernulli-Experiment,
Sie ziehen nur ein einziges Mal und Sie sehen nur Kopf oder Zahl, 0 oder 1.
Und wenn Sie das dann en-mal machen, unabhängig, dann landen Sie bei Nobinomealverteilung
Mit den Parametern N&P. Und das ist die Begründung,
warum ich hier P gewählt habe, weil das eben ganz direkt
mit der Bienennialverteilung und dem zweiten unbekannten Parameter der Pinomialverteilung zusammenhängt.
Und man landet hier jetzt auch wieder, also das sehen Sie hier,
man landet bei der Standard-Normalverteilung, wenn Endgrößer ist als 30,
also bei mindestens 30 Ziehungen, auch wieder wegen dem zentralen Grenzwertsatz.
Also das heißt, wir nehmen hier wieder die geeignet normierte Zufallsvariable,
x-queer-erwartungswert, die wieder durch Standarderweichung, das ist der,
der nominiertet haben, beziehungsweise der Erwartungswert von X Quer,
also das zeige ich Ihnen auch vielleicht kurz.
Der Erwartungswert von X Quer ist im Grunde,
oder was heißt im Grunde, es ist nichts anderes wie Ausprägung,
eins, mal P,
plus null,
mal 1-p
Und das ist dem gerade, also wir haben nur zwei Ausprägungen,
die eine Ausprägung 1 kommt mit Wahrscheinlichkeit P vor und damit kommt
die andere Ausprägung null mit Wahrscheinlichkeit 1 minus P vor,
null mal irgendwas fällt raus, es bleibt nur dieses P stehen.
Deswegen ist der Erwartungswert von X Quer und gleich P und die Varianz von X Quer,
das hatten wir früher schon, das ist die Varianz,
also das ist dieses Sigma-Quadrat durch N,
genau da steht im Grunde hier, P,
man 1 minus P, geteilt durch N.
Und das ist jetzt appotimativ als Anwendung des zentralen Grenzwertzeites,
apoximativ,
standardnormal verteilt
Und hiermit kann man ja jetzt, genauso wie vorher auch,
hiermit kann man jetzt diese Konfidenz in der Wahl bestimmen.
Das Einzige, was jetzt noch gemacht werden muss,
ist, wenn Sie sich das hier anschauen,
der Parameter P im Nenner,
der wird jetzt hier auch noch geschätzt durch dieses große P.
Und wir lösen nur auf nach diesem kleinen P hier.
Also nach dem hier. Und wenn Sie das dann geeignet umstellen,
dann haben Sie hier das Konfidenzintervall für diesen unbekannten Parameter P
der Grundgesamtheit.
Also für diesen Anteil
So, ein Beispiel hierzu. Also 500 befragte Personen zur
Präferenz von Parteien. Und die haben Folgendes geäußert,
also 178 von diesen 500, haben gesagt,
sie haben die Präferenz für CDU, CSU und der Rest.
Und das ist eben diese 0-1-Geschichte. Der Rest hat
nur gesagt, ja, sie haben diese Präferenz eben nicht.
Also, oder beziehungsweise alle anderen Präferenzen wurden eben zusammengefasst in
keine Präferenz für CDU, CSU.
Und mit den Angaben erhält man jetzt in 90 Prozent Konfidenzintervall für den Warenanteil
B, also für die Ein Konfidenzintervall für den Anteil der Präferenz,
für die CDU, CSU in der Grundgesamtheit.
Mit, also wir brauchen, wir brauchen das Quantil,
das ist relativ einfach. Und wir brauchen dieses,
hey, gleich X-Quer, gleich arathmetisches Mittel.
Also diesen Ausdruck müssen wir berechnen anhand der Daten, was ist relativ einfach.
Das ist X-Quer, ist gleich 1178 durch 500. Warum?
Sie haben 500 Personen befragt und jede Person sagt ihnen,
Jede Person gibt ihnen die Antwort,
sie hat eine Präferenz für die CDU, dann bekommt sie eine Eins.
Oder sie hat eben keine Präferenz für die CDU,
dann bekommt sie eine Null. Und was wir jetzt machen ist,
Summe à la XEs, das heißt Summe aller Einsen und Nullen,
es gibt nur 178 Einsen, die ganzen Nullen kann man natürlich weglassen.
Das heißt, die Summe dieser Einsen ist 178,
geteilt durch N 500, das ist X-Quere bzw. das ist P. 0,356.
Da wir ein 90% Confidence in der Wahl brauchen oder berechnen wollen,
brauchen wir das 95-Prozent-Quantil, also links fünf Prozent und rechts fünf Prozent,
das hatten wir vorher schon abgelesen,
das sind diese
Und damit kann man das Konfidenzintervall jetzt dem berechnen,
also alles einsetzen, hier Varianz durch Ende,
beziehungsweise die Wurzel davon und dann erhalten man einen Confidenzintervall von 32,08 Prozent bis 39,12 Prozent.
Und das ist die Anwendung von diesen Confidenzen in der Wahl
für Anteilswerte und das ist auch das Ende von Kapitel 4
und damit machen wir an der Stelle Schluss.
Dankeschön. Und vergessen Sie nicht, wer Interesse hat,
herzlich willkommen,
morgen 17 Uhr in Raum