So, willkommen zur Mathematik 2 Vorlesung. Nach den Osterferien.
Ich hoffe, sie hat den schönen Ostern. Wir haben
uns ja jetzt schon eine längere Zeit nicht mehr gesehen.
Hallo Johannes, den hat mich auch vertreten.
Es sind relativ wenige. Also ich weiß nicht,
an was es liegt. Am schönen Wetter wahrscheinlich.
Kurze Wiederholung vom Stoff der letzten Woche des letzten Termins.
Kapitel 8 beschäftigt sie
Muss ich einschauen.
Gleich haben wir es
Ja, also, dieses Kapitel beschäftigt sich mit regelwertigen Funktionen,
mit Begriffen die Stätigkeit, Differenzierbarkeit und sie werden sehen,
dass sie in diesem Kapitel sehr häufig den Begriff der Folge brauchen,
was ist Konnogenz, was ist Differgenz und so weiter.
Sie werden also sehen, dass diese Begriffe, die sie kennengelernt haben,
im Kapitel zuvor, im siebten Kapitel bedeutend sind.
Ohne diese Begriffe und in diese Konzepte könnten wir Stettigkeit und Differenzierbarkeit nicht einführen.
Sie haben sich angeschaut im letzten Termin, Oder motiviert,
wieso reelle Funktionen so wichtig sind, wo die auftreten.
Also ich werde das nicht alles wiederholen, dann hier
eine Definition einer reellen Funktion. Das sollte sie auch,
an das erinnern, was wir an Marty 1 schon hatten,
in diesem Termin, Marty 1,
haben wir uns hier auch in einem Abschnitt mit Relationen und dann mit den Spezialfällen,
nämlich Funktionen beschäftigt, das hier sind ganz spezielle Funktionen,
das sind sogenannte reelle Funktionen.
Das heißt, der Definitionsbereich ist eine Timing aus den Rennen,
Zahlen und die Funktion nimmt Werte an Außenregeln zahlen
Also ich war diese Begriffe nicht alle wiederholen.
Sie haben da eine ganze Reihe von Beispielen kennengelernt,
wo zum Beispiel einfache ökonomischen Fragestellungen, reelle Funktionen auftreten,
zum Beispiel hier Telefontarife, wie man die beschreiben kann mithilfe einer reellen Funktion.
So sieht dann der Graf aus. Dann ein weiteres Beispiel war hier,
wie man die Abschreibung eines Wirtschaftsgutes in Abhängigkeit von der Zeit
beschreiben kann, mithilfe einer reellen Funktion.
Das ist der Graf dazu. Dann ein weiteres Beispiel,
wie das Ganze dann zusammenläuft, wenn man sich den Gewinn,
den Unternehmensgewinn anschaut, eine Unternehmung, Also das heißt,
die Kostenfunktion anschaut, die Umsatzfunktion und das Ganze zusammenbringt zur Gewinnfunktion.
Also ist der Kraft dazu? Also das haben sie alle schon.
Dann, was es heißt, zwei Funktionen zu verknüpfen.
Das hatten sie aber auch schon in der ersten Vorlesung Marti 1.
Ein Papaspiele, dass man Funktionen addieren, subtrahieren,
multifizieren, dividieren darf und so weiter.
Sie bekommt dann immer wieder eine reelle Funktion.
Also sie dürfen diese Funktionen miteinander verknüpfen
Dann wieder ein paar Beispiele, dann wahrscheinlich für sie
die bekannteste Klasse von Funktionen aus der Schule, Polynome.
Nochmal ein, ausführlich definiert, wie die aussehen.
Das sollten sie alles kennen aus der Schule schon.
Ich denke, in den meisten Fällen haben sie dort Polynome angeschaut.
Wir haben sie in die Kurven-Diskussion gemacht haben.
Dann hier ein Beispiel, ein konkretes Beispiel, mit Graf.
Dein ökonomisches Beispiel, da sie sehen,
wo solche Polynome auftreten,
bei Wirtschaftswissenschaften
in Fragestellungen
Dann die nächste große Klasse von Realenfunktionen sind rationale Funktionen.
Die bekommt ihr aus den Polynomen, indem sie einfach quotienten bilden.
Das heißt, so eine rationale Funktion ist definiert, ASCQ10 2 Polynomi.
Also ganz einfach. Der Unterschied ist jedoch der,
dass Polynome von Haus aus auf der Menge der ganzen reinen Zahlen definiert sind.
Und hier müssen sie jetzt natürlich aufpassen, wenn sie das tun,
denn sie wissen ja, sie dürfen nicht durch null dividieren,
also kann der Definitionsbereich nur so groß sein,
dass quasi sichergestellt ist,
dass der Nenner hier nicht null wird.
Also sie müssen die Werte außen definitiv, oder aus der Werte,
also die Menge oder Definitionsbereich besteht aus der Menge der dreien Zahlen,
wo quasi dann näher nicht null wird.
Da müssen sie quasi den näher gleich null setzen und diese
null Stellen berechnen, wenn sie das ausreichen möchten.
Diese Werte, wo der Nenner null wird,
werden als Po-Stern bezeichnet und so weiter. Aber das,
denke ich, kennen sie zum großen Teil schon aus der Schule.
Hier ein ganz einfaches Beispiel für eine rationale Funktion,
nämlich eins durch X. Da ist quasi der Zählenpolynom,
nämlich das simpelste Polynom überhaupt, nämlich eins.
Und dann, der Nenner ist auch ein sehr simples Polynom,
nämlich X,
also X und
Und diese Funktion ist natürlich nur definiert auf der Menge drehen Zahlen ohne die Nulls,
dann schätten sie ihnen nur noch eine Null stehen.
Ein anderes Beispiel, hier diese gebrochene oder diese rationale Funktion.
Hier Sans im Zähler steht ein Proynom von Grades und nennt sie
das unten im Nirna ausmodifizierenden Sansie sehr schnell aus dem Nirna,
ein Point um zwei im Grade steht.
Und da sehen sie jetzt auch den Grafen hier und sie sehen den Definitionsbereich,
ist die Menge drei in Zahlen,
aber sie müssen minus zwei und eins rausnehmen, also,
weil dann,
wenn sie eins oder minus zwei einsetzen würden,
hier und in Nirna würde dann Nirna Null werden
Also deshalb haben sie nur diesen eingeschränkten Definitionsbereich und wenn sie sich den Graphen anschauen,
stellen sie fest, was an diesen Stellen danach passiert.
Dort haben sie nämlich eine sogenannte vertikale Asymptode.
Da nähert siehst du Graph, wie lieb ich genau an,
wird aber diese Asymptode nie erreichen, also nie berühren,
genauso hier.
Haut ihnen quasi die Funktion von links kommen gegen minus zwei,
gegen plus und endlich ab und wenn sie von rechts kommen gegen minus zwei,
haut sie ihn gegen minus und endlich ab.
Ähnlich sieht es bei eins aus
Dann die nächste große Klasse von Funktion, die sie wahrscheinlich noch nicht gekannt haben.
Also in meisten Fällen wird das in der Schule nicht besprochen.
Wenn sie eine Funktion haben, eine reelle Funktion, F,
für die eine solche Gleichung erfüllt ist, wobei diese P1,
oder fangen wir hier an, Penul, P1,
P2 und so weiter, du bist PN, polynomisch sind.
Wenn sie quasi zahlen können,
da ist ihre reelle Funktion diese Gleichung erfüllt,
dann spricht man von einer algebranischen Funktion und Funktionen,
die eine solche Darstellung oder eine solche Gleichung nicht lösen,
da sind nicht algebranche Funktionen oder transzendente Funktionen.
Also diese Begriffe sind wahrscheinlich neu für die meisten von ihnen
Und man könnte eigen relativ einfach zeigen,
dass rationale Funktionen und damit auch insbesondere Polynome Spezialfälle sind von Argebragenfunktionen.
Hier ein Beispiel, das überspringe ich dann, eine Weihnachtsrecht,
Klasse von wichtigen Funktionen, die Sie schon aus der Schule kennen, sind die Potenzfunktionen.
Das heißt, Sie haben die Funktion X hoch C,
wobei C größer gleich null ist,
dann dürfen Sie auch als Definitionsbereich die Menge dreheren Zahlen,
also der positiven Realen Zahlen verwenden.
Und wenn Sie sagen, dass C-Clan ist als null,
dann müssen Sie sogar noch die Null rausnehmen
Sonst könnte es passieren, dass sie durch null dividieren.
Stellen Sie sich vor, Sie nehmen ASC minus eineinhalb,
dann hätten Sie x hochminus ein Hype stehen,
dann ist Gas, Sie dürfen für x nicht null einsetzen.
Deshalb müssen Sie hier dann die Null rausnehmen mit dem C,
klauen aus 1.0. Also auch diese Funktion, denke ich,
kennen Sie aus der Schule und haben wahrscheinlich bei der
einen oder anderen Kurvendiskussion schon mit Potenzfunktionen rechnen müssen.
Hier haben die ein paar Grafen, fünf Potenzfunktionen,
abhängig davon, wie sie das C wählen.
Exponentialfunktion, ganz wichtige Funktion,
A hoch
Ist größer als null. Und das ist die allgemeine Expezialfunktion
. Sehr häufig hat man eine ganz bestimmte Basis,
also dieses A wird als Basis bezeichnet, nehme ich die euroische Zahl.
Die kennt sie ja schon aus dem letzten Kapitel,
die definiert ist, nämlich als Grenze hat einer Folge,
oder es können sie auch als Grenzwert der Expezialreihe definieren.
Und das ist 2,71 und so weiter.
Unendlich viele Narkomastellen. Und das ist sehr häufig der Fall,
dass sie quasi diese euroische Zahl, diese Zahl eh als Basis verwenden.
Gut. Dann die Lokalrhythmusfunktion, die Umkehrfunktion von der Expezialfunktion
Haben Sie hier? Die haben Sie wahrscheinlich auch schon das
ein oder andere Mal in der Schule gehabt.
Nämlich, wenn Sie dann mit Expezialfunktionen rechnen möchten und möchten
eine Gleichung auflösen, brauchen Sie sehr schnell den Lokalrhythmus.
Gut. Auch das haben Sie schon. Hier wieder ein
Graf mit einer ganzen Reihe von Grafen oder Verläufen von Grafen
zu verschiedenen Expezialfunktionen, wo quasi also die Basis verändert wird.
Hier ist die Basis, die euroische Zahl eh.
Hier ist die Basis 2 bei diesem grünen Grafen,
ist es zehn. Und hier sind auch wieder zwei.
Allerdings ist das Argument jetzt nicht mehr,
oder hier die Hochzeiten immer x und minus
Und hier haben sie immer die entsprechenden Umkehrfunktionen angegeben.
Das sind die entsprechenden Lokalrhythmusfunktionen. Und diese, die grafisch bekommen,
haben sie auch schon gelernt. Das war in der ersten Vorleistung,
war die eins und jetzt ein Semester,
in dem sie einfach diese Grafen spiegeln an der ersten Winkelhalbirnen.
Dann bekommen sie quasi die Umkehrfunktion. Dann hat er
Lohans mit ihnen noch die trigonometrischen Funktionen wiederholt.
Die sind hier noch mal angegeben, wie die definiert sind.
Und mithilfe dieser, ja, oder mit diesen, mit Sinus-Cosinus,
Tankens und Co-Tankens können sie dann ganz einfach den entsprechenden trikonometrischen Funktionen definieren.
Hier haben sie den Sinus, hier haben sie den Cosinus,
was passiert hier? Sie haben einfach, dass dieses Argument X
hier läuft und wenn sie sich das mal anschauen, was das bedeutet.
Hier, hier ist es noch der Winkel,
aber sie können natürlich auch eine beliebige Reliza hier einsetzen,
dann können sie das interpretieren.
Oder hier am Einheitskreis ist quasi der Sinus diese Strecke hier,
diese Vatikale, des Dosinus,
der Cosinus ist diese Strecke hier vom Ursprung bis hierher,
unter Tangens ist diese Strecke hier,
diese Vatikale von hier bis hier hoch,
der Co-Tangens von hier
nach hier
Und wenn sie jetzt quasi dieses Alpha laufen lassen,
dann verändert sich natürlich hier entsprechend der Sinus,
der Cosinus, der Tangins und der Co-Tangins.
Also ich bin hier sehr schnell, ich weiß das,
aber das sollte eigentlich alles nur eine Wiederholung sein.
Falls sie das noch nicht hatten oder das wieder vergessen haben und so weiter,
sind sie jetzt natürlich da gefordert an dieser Stelle,
sich das nochmal anzuschauen.
Am besten dann vielleicht nochmal ein altes Schulbuch hernehmen.
Gut, dann gibt es noch sogenannte Additionstheorieme.
Die sind manchmal nützlich, wenn sie was ausreinen möchten.
Sie werden sehen, wie wir zum Beispiel bei Differenzierbarkeit sind,
werden wir an der einen oder anderen Stelle
so ein Additionstheorie einmal ausnützen.
Das gibt ihnen einfach Beziehungen
Zwischen Zinus und Cosinus oder es gibt auch noch andere,
die hier sicher nicht aufgeführt sind. Ich weiß nicht,
welche kommen noch, die quasi eine Beziehung zwischen Tangens und Co-Tankens herstellen.
Also das sind nützliche Werkzeuge. Tankens und Co-Tankens,
hier nochmal die Definition, Tankens ist nichts anderes als der Sinus,
getan durch Cosinus und Co-Tanken ist genau umgekehrt,
nämlich Cosinus, Kitaltosinus.
Also Tankens ist der Quotient der Sinus-Funktion und der Cosinus-Funktion und
der Co-Tankens genau umgekehrt,
der Quotient der Cosinus-Funktion und der Sinus-Funktion
Gut, soweit sind sie, glaube ich, gekommen.
Jetzt kommt eure Stoff. Wir werden uns jetzt in
diesem Abschnitt 8-2 mit Eigenschaften von Funktionen beschäftigen.
Das geht los mit ganz einfachen Eigenschaften, nenne mich Monotonie.
Dann wird Beschränktheit dazukommen. Dann kommt das Krömungsverhalten dazu,
wie man das Krömungsverhalten untersuchen,
das rund uns auf Begriffe wie Konverxität, Konkabilität führen.
Dann werden wir uns später mit Stetigkeit beschäftigen.
Was heißt das, wenn eine Funktion stetig ist?
Linksseitig stellt dich rechtzeitig stetig oder sogar stetig.
Und dann Sperre bekommt Differenzierbarkeit, das wird ein
relativ großes großer Abschnitt sein
Und dann später dann noch Integrierbarkeit. Und dann das Ganze
mehr dimensional. Also das ist so der weitere Verlauf der
Vorleisung. Also fangen wir an mit den einfachsten Eigenschaften.
Sie haben das sicherlich unter einer oder anderen Vorlesung schon gehabt,
da sie gesehen haben und vielleicht sogar auch in der Schule,
dass man sich sehr oft für folgende Fragestellung interessiert.
Zum Beispiel, von welchen Urbildern? Das heißt,
von welcher X nimmt einige gelben die Funktion F,
die vielleicht irgendwie einen wirtschaftswissenschaftlichen Zusammenhang beschreibt,
einen bestimmten Wert Y und einen
Zum Beispiel den Wert Null an. Das heißt, wir würden
dann eine Nullstelle suchen. Das wäre eine typische Fragestellung.
Oder besitzt die Funktion 11 ein Maximum oder ein Minimum oder vielleicht sogar beides.
Und wenn ja, wo liegt das Maximum oder das Minimum?
Also, dass sie quasi extremer bestimmen sollen. Welche Eigenschaften
besitzt die Funktion F und in welchen Bereichen ist sie zum Beispiel monoton waag,
sind monoton fallend oder hat sie dieses oder jenes Krümmungsverhalten,
also ist das Connect oder Concav,
ist die beschränkt oder nicht beschränkt,
solche Dinge.
Das sind typische Fragestellungen
Winti zum Beispiel nur hernehmen, Monotonie und Beschränktheit,
Unbeschränktheit, wenn sie diese beiden Eigenschaften von einer Funktion untersuchen,
können sie schon sehr, also nicht genau,
aber so ungefähr den Verlauf einer Funktion beschreiben.
Allein in diesen beiden Eigenschaften, wo ist sie monoton,
wach sind, wo monoton fallend?
Gibt es einen Bereich, wo sie dann abhaut,
gegen plus und endlich oder mir ist unendlich,
ist sie vielleicht sogar beschränkt und so weiter.
Wenn sie diese Begriffe untersucht haben,
dann haben sie einen groben Eindruck von der Funktion.
Aber sie hören zehntes Reich nicht aus,
wenn sie dann weitere Fragen stellen und untersuchen möchten.
Deshalb brauchen wir als erstes noch einmal genau die Definition,
was heißt eigentlich, monoton, wach sind, monoton fallend,
strenge Monoton wachsen, streng monoton fallend und so weiter.
Und sie waren eine zehn,
diese Ansammlung von Begriffsdefinition ist genau das,
was sie auch schon von Folgen kennen
Genau die gleiche Definition hat eine Stunde bei Folgen,
weil dort haben wir auch definiert, wann ist eine Folge monoton wachsend,
wann ist die monoton steigend, weil sie streng monoton drängen und wachsen,
streng und ton fallend und so weiter.
Oder wann ist die beschränkt, wenn ich sie nach unten beschränkt,
wenn ich sie nach oben beschränkt, das ist hier aufgeführt,
machen wir vielleicht gerade mal die ersten zwei, drei Dinge,
da wollen sie gleich sehen, das ist genau dasselbe.
Eine Funktion heißt monoton wachsend, falls gilt,
da ist der Funktionswert von F an der Stelle X1,
kleiner gleich ist, als der Funktionswert von F an der Stelle X2,
wenn X1 echt klein ist als X2.
Also das heißt, wenn sie hier X1 haben und hier X2,
also X1 ist klein, X62 Und dann gilt quasi,
dass hier die Funktion so ansteigt.
Dann heißt es, also da ist hier und dieser Stelle
der Funktionswert kleiner ist als hier. Und da hier,
das gleichzeichen noch zugelassen ist, spricht man nur von monoton wachsend.
Wenn sie hier sogar ein echt kleiner hitten,
dann wären wir hier im dritten Fall bei C,
dann spricht man davon, da ist die Funktion streng monoton wachsend ist.
Analog to fallend, B, monoton fallend, falls gilt,
da ist der Funktionswert, F und X1,
größer gleich F und X2 ist, für alle X1-Klarner X2.
Also wieder X1, kleiner als X2. Und wenn dann gilt,
dass die Funktion so verläuft, dann bedeutet das,
hier, der Funktionswert an dieser Stelle ist höher als hier
an dieser Stelle
Dieses Monocon Filent. Gut, dann streng monoton vor allem
und gilt hier sogar echt größer. Nach unten beschränkt heißt eine Funktion,
falls eine konstante C gibt, eine endliche Konstante.
Und diese Funktion, nur Werte annimmt, größer gleich dieser Konstanten.
Also, wenn gilt, dass F&X größer gleich zählt,
dann ist diese Funktion nach unten durch die Sekundenstante C beschränkt.
Analog kann eine Funktion natürlich auch nach oben beschränkt sein,
nämlich dann, wenn es eine konstante C gibt,
sodass die Funktionswerte von F,
Klarna gleich diesem C sind
Und jetzt kann natürlich auch noch sein,
dass eine Funktion nach unten und nach oben beschränkt ist.
Das würde bedeuten, dass der Betrag der Funktion beschränkt ist. Also,
wenn wir haben, dass es eine Kunststeinde C gibt,
sodass der Betrag der Funktion immer klarer gleich dieser Konstanten zählt,
dann ist sichergestellt, dass diese Funktion in diesem Korridor läuft,
von C und minus C. Irgendwo läuft sie da zwischendrin.
Sie nehmen keine Werte an, die größer sind als C
und keine Werte, die kleiner sind als minus C.
Das bedeutet quasi, dass Betrag von F immer klarer gleich zählt.
Ist eine Funktion nicht beschränkt, heißt sie.
Klar, unbeschränkt. Also es sind genau die gleichen Definitionen,
die wir da hatten bei Folgen. Also es sollte ihnen
keine großen Schwierigkeiten machen, diese Begriffe schnell zu lernen,
weil das haben sie alles schon mal gehabt.
Jetzt hier mal ein paar Grafen. Schauen wir uns mal
diese Funktion hier an. Hier links oben. Das zahlt
ihnen eine monoton wachsende Funktion. Warum? Immer dann,
wenn sie hier zum Beispiel X1 nehmen und dann rechts davon in X2,
dann ist die Funktion, also der Funktionswert der Funktion, größer gleich.
Bei X2 als bei, also verglichen mit Decliants.
Sie sehen diese Funktion hier, Fällt nirgends im Keimbereich,
aber sie sind, dass sie hier waagerecht verläuft.
Wir werden später dazu sagen, die Steigung ist null.
Das heißt, diese Funktion ist zwar monoton wachsend,
sie ist aber nicht streng monoton wachsend,
weil hier gibt es eine ganze Reihe von Punkten,
die auf der gleichen Ebene, auf der gleichen Höhe liegen.
Deshalb würde zum Beispiel hier jetzt nicht,
wo haben wir hier streng monoton wachsend hier,
das wird gern, es gilt hier nicht,
dass überall F&X-1 echt klar und ich sei es F&X-2,
es gilt nur das hier, F&X-1 ist kleiner gleich, FNX-2.
Diese Funktion hier ist sogar streng monoton wachsend.
Sie sehen überall Sie können zwei beliebige Punkte hier nehmen auf
der X-Achse. Und dann sind die entsprechenden Funktionswerte so,
dass quasi der Punkt war wieder rechts,
einen höheren Funktionswert bekommt als der Punkt links.
Hier haben sie eine mund- und hohen, fallende Funktion.
Auch hier gilt wieder, diese Funktion ist nicht streng mundatorend feilend,
weil sie hier einen Bereich haben, wo sie waagerecht verläuft.
Diese Funktion dagegen ist echt streng mundtonfallend. Wir sehen überall,
verringert sich die Funktionswerte, wie wir uns später sagen,
oder die Funktion hat nur eine negative Steigerung auf
dem ganzen Bereich,
ganzen Definitionsbereich
Hier haben sie eine Funktion, wo je nachdem,
welchem Intervall sie die betrachten, sind unterschiedliches Monotonieverhalten haben.
Zum Beispiel hier, wenn sie sich den Bereich anschauen,
von minus unendlich, also ich habe das noch nicht aufgezeichnet,
so irgendwo kommen sie von hier,
bis an die Stelle A her, ist die Funktion,
Monitoren steigen, sogar streng monoton steigend.
Und dann im Bereich von A
bis B
ist die fallend
Habe ich das auch aufgeschrieben, hoffentlich? Ja,
sogar Strengmundtonfeind, Stancy. Da gibt es kein Tableau,
wo sie quasi das Niveau hält, sondern die Funktionswerte verriegelt sich sukzessive.
Und AB bis plus in NTHC,
wenn sie immer weiter nach rechts gehen, steigt die Funktion ein,
sogar streng monoton steigend in diesem Bereich.
Also hier gibt es drei Bereiche mit unterschiedlichem Monotonieverhalten.
Steigend, fallend, und damit du steigend.
Wieder ein paar Pemoking dazu. Eine konstante Funktion,
das sind die Funktionen, die für alle X-Werte
den gleichen Wert annimmt
Also quasi, wenn sie die Grafenzeichen, ist das eine horizontale Linie.
Eine solche Funktion ist sowohl monoton wagsend, als auch monoton fallend.
Wenn sie sich die Definition anschauen, sehen sie das sofort.
Die erfüllt beide Definitionen. Das Monoton wachsend,
a ist auch monoton fallend. Aber sie ist natürlich
nicht streng monoton wagsend oder streng monoton fallend.
Das wäre falsch. Nur einer nach unten oder nach oben
beschränkten Funktionen wird C als Unterschranke bzw. Oberschranke von F bezeichnet.
Auch das sind wieder Begriffe,
die wir schon von Folgen her kennen
Und wenn sie sich das jetzt mal anschauen mit diesen Graphen,
dann zählen sie sofort ein, wenn sie eine Funktion F haben,
dann ist sie genau dann monoton oder streng monoton wachsend.
Wenn minus F das Umgekehrte ist, nämlich monotonfalen bzw. streng monotonfeind.
Schaut sich einfach mal hier vielleicht so in die Einfallfunktion ein,
die hier, die ist durch streng im Unter uns steigend,
wenn die jetzt anstelle dieser Funktion F minus F anschauen,
dann würde das bedeuten,
dass sie quasi hergehen und diesen Graphen hier spiegeln an der
X-Achse und dann würden sie etwas bekommen,
das hier so anfängt und so runtergeht.
Und das ist dann natürlich dann
streng monotonfallend
Umgekehrt? Hier haben sie eine Strengmonotur und fallen die Funktion.
Wenn sie jetzt hergehen und multiplizieren,
also wir trafen statt F minus F, würde das bedeuten,
sie spiegeln hier diesen Graphen wieder an der X-Achse und dann haben sie etwas,
was hier so verläuft ungefähr.
Das ist ein Strengmund und Hund steigend.
Also ich denke, das ist nicht so schwer einzusehen.
Dann das andere habe ich schon gesagt,
eine Funktion ist genau dann beschränkt, wenn es ein Zeh gibt,
sodass die Funktionswerte in einem Korridor liegen,
nämlich im Korridor von minus C
Das heißt also, es gibt irgendwie so eine Konstante C und dann könnt ihr sicherstellen,
wenn sie in die horizontale Linie ziehen bei C und eine andere,
weil da unten bei Minus C, dann verläuft der Graf zwischen diesen Beinen horizontal Linien.
Und dann, das wissen wir, das sind Dinge,
die wir schon gehabt haben, im Abschied 1-7,
also Marty 1, wenn eine Funktion injektiv ist,
das vielleicht mal wiederholen, wenn ihn das Schwierigkeiten macht,
dann ist sie, nee, ein streng monoton,
Ponotoni-Funktion, also egal, ob sie wachsen und gefallen ist,
ist stets injektiv und damit besitzt sie dann auch
eine Umkehrfunktion.
Zum Beispiel, ich halte es ja schon,
ist die Lokalrhythmusfunktion, die Umkehrfunktion der Exponenter Exponentialfunktion.
Und die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion zur Logarhythmusfunktion.
Hier mal wieder ein paar Beispiele, die etwas konkreter sind.
Hier schauen wir uns an in diesem Beispiel eine Potenzfunktion.
Warum ist das eine Potenzfunktion? Wir haben nämlich xhochd und die
kann irgendwie eine reelle Zahl sein und das T ist einfach
ein Faktor.
Eine Kunststanti
Und was habe ich da gemacht? Also solche Potenzfunktionen,
die spielen die große Rolle, ich bin überzeugt davon,
dass sie das quasi in der einen oder anderen Vorleistung schon hatten,
Mikroökonomie, Makroökonomie, sind sie da schon drauf gestoßen.
Und wenn wir jetzt zum Beispiel hergehen und setzen für zehn
gleich eins und für die drei oder einen Hype oder minus
eine Hype, und die kommen sie drei verschiedene Potenzfunktionen.
Und die sahen so aus wie Hör angegammt, das ist ja F1,
da haben wir quasi die Funktion x hoch drei.
Hier haben wir die Funktion F2,
das ist Wurzel von x oder wenn sie es anders darstellen möchten,
x hoch eineinhalb.
Und hier haben wir als F3
die Funktion 1 durchwurzel
Oder wenn sie es anders darstellen möchten, x hoch, minus eineinhalb.
Eins durch Wurzel X ist das Gleiche wie x hoch,
minus eineinhalb. Einfach rechnen mit Hochzahlen ist das. So,
und dann können die sich relativ schnell davon überzeugen,
einfach mal die genau anschauen,
dass doch zum Beispiel für diese Funktion F1 gilt,
dass F ausgewählt an der Stelle X1 stets echt kleiner ist,
wie F ausgewählt an der Stelle X2,
wenn X1 echt klein ist als X2. Hin, es ist klar,
wenn sie hier in die größere Zahl einsetzen für das X,
dann hat die noch größer.
Also da wurde die Zahl oder vergrößert, funktionsfertig und größer.
Also muss das eine streng monetonsteigende Funktion sein.
Hier haben sie den Grafen hier abgetragen,
so sieht der aus
Die zweite Funktion, da verhält es sich analog,
während sie hier von das X hier eine Zahl einsetzen,
die größer ist als eine zuvor gegebene Zahl,
dann wird auch Wurzel von X größer sein,
also bekommt es den größten Funktionswert und das ist genau das,
was sich hinter strengem Monitoren steigend versteckt,
also gilt auch hier bei dieser Wurzelfunktion,
die ungefähr so aussieht, immer beachten,
ich habe jetzt hier eine andere Scala,
hier ist die Y-Aktie, die geht von 0 bis 1000,
hier geht die Y-Axi von 0 bis 3,
also wenn ich das in die gleiche Scala verwendet hätte,
würde natürlich diese Funktion viel flacher verlaufen.
Also sie davon nicht täuschen lassen
Gut, und die dritte Funktion hier, die verhält sich ein wenig anders.
Wenn die nämlich jetzt hier anschauen, was hier passiert,
wenn sie jetzt für hier führenden X einen Wert einsetzen, der größer ist.
Also, sie hat zum Beispiel zwei Einsätze und vier,
da wollen sie feststellen, wenn sie hier vier einsetzen,
dann haben sie einen größeren Nenner und damit insgesamt einen kleineren Funktionswert,
weil der Nenner ja größer geworden ist.
Also hier ist es so, wenn sich die X vergrößern,
die werden die X-Rative größer werden,
dann wird der ganze Ausdruck der Funktionswert kleiner.
Das ist im Prinzip nichts anderes als die Aussage,
dass diese Funktion streng und toll fallend ist.
Also es gilt dieser Sachverhalt hier
Die Funktion F3, ausgewertet an der Stelle X1,
ist echt größer als der Funktionswert, der Funktion F3 an der Stelle X2.
Wenn X1, Clan ist 362. Deshalb sieht der Graf zu
dieser dritten Funktion auch so aus.
Denn, das ist eine streng monotonvereinende Funktion.
Die nähert sich asymptotisch zur X-Achse an. Erreicht sie aber
nie. Gut, also das sind sehr einfache Begriffe.
Und ein Tipp, was ihn wahrscheinlich bei dieser Vorleistung
enorm hilft, die müssen es
irgendwie schaffen
Diese Definition, die oftmals vielleicht ein bisschen abstrakter herkommt,
ein bisschen stark formal vielleicht erscheinen, aber das muss so sein.
Ich habe das immer wieder schon erwähnt, worum das notwendig ist,
weil sonst können sie das Schiffbuch allein,
sie können relativ schnell Widersprüche bekommen.
Also muss schon exakt sein. Deswegen, und Mathematikvorlesungen sind,
glaube ich, der richtige Blatt, um das zu zeigen,
was es bedeutet, exakt zu arbeiten in Wissenschaften.
Aber sie müssen dann, wenn sie diese formale Definition haben,
dann auch versuchen, den Geist dieser Definition zu erfassen,
weil es eigentlich dahinter steckt.
Und da waren sie relativ schnell in den allermeisten Fällen feststehen,
dass es ganz einfache Aussagen sind
Zum Beispiel gerade Amp bei dieser Monotonie,
wenn sie sich die Definition anschauen, mag das vielleicht schon
ein bisschen sperrig daherkommen, aber die Aussage ist ganz klar.
Und das wird auch für das,
was jetzt gleich noch kommen wird, sehr oft gelten.
Die Definitionen sind relativ länglich und machen einen sehr aufgeblähten Eindruck,
aber das ist dann halt einfach notwendig, wenn man ganz präzise sein möchte,
dass man nicht irgendwelche pathologogischen Fälle noch mit einschließt.
Um die auszuschließen, solche pathologen Fälle müssen Definitionen oftmals sehr
umständig sein, sehr formal. Aber der Geist einer solchen
Definition ist in den allermeisten Fällen sehr einfach zu fassen.
Und das reicht ihnen dann auch.
Das ist das, was sie dann auch brauchen
Also das waren wir auch relativ schnell säen,
vielleicht sogar jetzt schon bei der nächsten Definition,
nämlich wir beschäftigen uns jetzt mit dem Krümmungsverhalten von reellen Funktionen.
Auch das hatten sie bestimmt schon an der einen oder anderen Stelle in einer oder anderen Vorlesung,
nämlich wir beschäftigen uns mit Convection und Concaven-Funktionen.
Gut, was heißt das hier? Jetzt kommt wieder so ein Fall,
jetzt habe ich wieder eine Definition,
die erscheint erst einmal relativ formal, vielleicht sogar kompliziert,
aber man kann sich relativ schnell klar machen, was das bedeutet.
Also, eine reelle Funktion Heißt Kunvex, auf einer Menge I,
falls folgendes gilt. Falls der Funktionswert von F ausgewertet an dieser Konverkskombination,
das, was hier drin steht, in der Funktion,
das Argument, ist eine Converct-Kombination der beiden Realentan X1 und X2. Nämlich dieses Lamm,
da ist ein Gewicht, das läuft von 0 bis 1, also im Intervall von 0 bis 1.
Und X1 und X2 sind zwei reelle Zahlen aus dem Intervall I,
die nicht gleich sind, also die nicht identisch sind.
So, und jetzt werden sie quasi die Funktion F aus,
an dieser Konverkskombination. Und wenn jetzt stets gilt,
egal wie sie diese X1 und X2 wählen,
aus E, aus der Menge I, Und egal,
wie sie dieses Lamm da aus dem Intervall von 0 bis 1 wählen,
wenn dann stets gilt, dass dieser Funktionswert kleiner gleich ist,
als die Convex-Kombination der Funktionswerte.
Das ist jetzt was anderes. Hier haben sie
quasi innen drin die Convex-Kombination gebildet im Argument der Funktion F.
Und hier bilden sie quasi die Convex-Kombination mit den Funktionswerten.
Also Lamda, mal F und X1 plus 1 minus Lamda,
mal F und X2. Sie haben sie quasi eine Convex-Kombinator in
der Funktionswerte. Und wenn diese Ungleichen gilt,
für alle X aus I und für alle Lamda von 0 bis 1,
dann sagt man,
die Funktion ist Connect,
gilt da ist Umgekehrte
Gilt hier Stadt, Klane, gleich, Größe gleich.
Dann sagt man, sie ist Kunkav.
Ich gäbe ihnen gleich auch noch eine geometrische Interpretation dieses Sachverhaltes,
aber das ist erstmal die formale.
Und ähnlich wie bei Monotonie könnte jetzt auch noch strenge Konversität
einführen und strenge Kunkabität und Strengkondex bleibt die Definition genau die gleiche.
Nur steht halt hier dann anstelle von kleiner gleich, echt kleiner.
Dann haben sie quasi diese Definition, es ist C.
Und wenn sie streng und Karf haben möchten,
dann nehmen sie einfach die Definition von die Definition B her
für Kunkav und dann setzen hier das Größergleich durch ein echt größer.
Dann bekommen sie quasi, was eine Kunkafi-Funktion ist.
Also die Definition einer Kunkavenfunktion. So, das ist
die formale
Ja, die formale Definition, aber das können sie ja
da auch geometrisch interpretieren, was das bedeutet.
Ich habe sie mal für eine Convercy-Funktion aufgezeichnet. Was heißt
das eigentlich? Also wir haben jetzt hier eine Convercy-Funktion,
sogar eine Strengkonnex, die wollen sie gleich sehen, was wir hier eingezeichnet haben.
Und was bedeutet jetzt diese Definition? Also,
diese Definition nehme ich, dass der Funktionswert ausgewertet an der Converctscom,
an der Konnext-Kombination der Argumente X1 und X2 steht es echt klar,
und er ist AC Convercts-Kombination der Funktionswerte bedeutet einfach folgendes
Wenn Sie zwei beliebige Werte hernehmen, X1 und X2,
und dann hochgehend zur Funktion, hier, das ist die Funktionswerte zu, und entsprechend hier.
Und jetzt dann quasi den Funktionswert anschauen und hier den Funktionswert,
und davon die Kontextkombination bilden, dann bekommt die Punkte,
die liegen auf dieser grünen Geraden. Spielen Sie es mal ein bisschen durch,
wenn zum Beispiel Lamda Null wäre,
also gegen Null geht es, nicht null ernährt,
dann wird dieser Teil hier, geht gegen Null,
und dieser Teil geht gegen F und X2,
dann wandern Sie quasi hier auf die Geraden hier hoch,
dann lande ich an diesem Punkt
Wenn dagegen, das Lamm da, sich eins ernährt,
dann geht dieser zweite Summen gegen Null und der erste geht gegen F und X1,
die wandern quasi dann in diese Richtung.
Sie waren dann auf dieser geraten, hin und her,
je nachdem, wie sie das Lamm da wählen zwischen nun und eins.
Sie bekommen also all die Punkte, die auf dieser Geraden hier liegen.
Und die Aussage bei einer Strengkonwerksenfunktion ist jetzt,
dass diese Werte, diese Funktionswerte auf dieser Grünen geraten,
immer echt größer sind, als die Funktion ausgewertet an der Converks-Kombination von X162.
Und wenn sie da die Connect-Kombination von X1 und X2 bilden,
dann halten sie zum Beispiel, je nachdem,
wie sie das Land erwähnen,
diesen Punkt
Also, die Funktionswehr dazu,
wenn sie die Kontextmobilation für den XAC X2 will,
dann liegen sie hier, dementsprechenden Lamm da.
Und jetzt sind Funktionen, sie hat einen Charling to hear
und die sehen, dieser Funktionswert liegt unterhalb dementsprechenden Otto Geraden.
Und das gilt für alle Werte.
Die Funktion verläuft quasi immer unterhalb dieser grüne Geraden.
Da ist die strenge Konveraktität. Bei einer Konkavenfunktion wäre es
andersherum, da würde quasi die Funktion oberhalb der Geraden verlaufen
Zum Beispiel hier, da kann man sofort sagen,
dass jetzt eine monoton wachsende Funktion und weiter,
das ist auch eine konvergse Funktion, es ist sogar eine Strengkonvergsyfunktion,
wieso, wie sehe ich das ein?
Ich nehme einfach zwei beliebige Punkte auf dem Grafen,
den vielleicht hier und den und verbinde die doch gerade.
Und dann stelle ich fest,
zwischen diesen paar Punkten verläuft der Graf der Funktion immer unterhalb.
Das heißt, die Funktion ist streng und weg.
Aber das muss geilen, von alle beliebigen Punkte,
also wenn sie den Fall haben,
dass sie immer zwei Punkte wählen können auf dem ganzen Grafen
Zum Beispiel diesen hier jetzt und diesen hier oben und dann eine gerade Teen,
die verbinden, der muss immer gelten,
dass zwischen diesen beiden Punkten total des Grafen unterhalb verläuft.
Wenn das immer gilt, wenn das immer hergestellt ist,
dann haben sie eine strengkonvergste Funktion. Hier sieht es anders aus,
das ist zwar auch noch eine monotonen, wagsende,
sogar eine streng monoton wachsende Funktion, die ist aber nicht mehr konvergs.
Denn wenn sie jetzt zwei beliebige Punkte hernehmen,
zum Beispiel diesen hier und diesen und den verbinden,
die die beiden Punkte verbinden durch eine Gerade, dann sehen sie jetzt,
dass der Graf zwischen diesen beiden Punkten oberhalb gerannt verläuft.
Das heißt, diese Funktion ist kongrav,
Strengkung kauf
Dann hier wieder, haben Sie jetzt
eine monoton fallende Funktion und die ist sogar streng konvex.
Wieso? Wenn Sie wieder zwei beliebige Punkte wären,
die sind hier zum Beispiel und den ganz außen hier und die verbinden,
sehr entweder Graf liegt wieder unterhalb.
Das bedeutet, wenn Sie sich die Definition anschauen, die Funktion,
die Strengkontext. Und da als Sie das machen können,
für alle Punkte, das ist wichtig. Nicht,
das heißt nicht, dass es reicht, zwei Punkte zu finden,
sodass du gerade immer unterhalb dieser Geraden liegt zwischen diesen beiden speziellen Punkten,
sonst muss es beliebige Punkte gelten.
Es muss immer so sein, dass sie zwei Punkte wählen können,
um in die Tierverbindeung eine gerade Muskelgraf unterhalb,
die gerade,
Graf unterhalb dieser Geradenling
Analogio. Hier ist der NCDsco Carve. Weil der Grave
jetzt oberhalb der Geraden liegt. Gut, ich möchte nicht
langweilen. Gut, erste Bemorgung habe ich gemacht.
Zweite Bemorgung ist einfach eine Bezeichnungsweise, die sie vielleicht
dem einen oder anderen Buch dann antreffen.
Deswegen habe ich die angegeben. Zum Beispiel sagt man,
bei einer konvexen Funktion, da ist die Punktmenge oberhalb des Grafen,
der sogenannte Epigraf ist.
Also, schauen wir uns das mal an,
hier haben wir eine Connecti-Funktion und diese Menge Punktmenge
oberhalb des Grafen
ist der Epigraf
Oder hier. Auch eine Konvertifunktion. Diese Menge oberhalb des
Graphen ist der Epic Graph. Haben Sie eine Kun-Kafé-Funktion?
Dann spricht man von der Fläche unterhalb des Graphen von Hypograph.
Zum Beispiel hier, das ist eine Kun-Kafé-Funktion und die Fläche unterhalb des Graphen ist der Hypograph. Dann,
ähnlich wie bei Monotonie, können Sie sich recht schnell davon überzeugen,
wenn Sie eine Funktion haben,
die zum Beispiel Kun-Kaf ist und Sie dann,
die mit minus eins modifizieren, also minus elf anschauen,
dann ist die Konverts und umgekehrt,
haben Sie Funktionen,
die Konverts ist und die mit minus eins modifizieren,
dann ist die Kun-Kaf
Schauen Sie es mal an, wie du hier am Beispiel,
die ist offensichtlich konvex hier, weil wenn es in die
gerade ziehen verläuft, der Graf immer unterhalb begraben,
jetzt multiplizieren Sie diese Funktion mal mit minus eins.
Das heißt, Sie müssen diesen Grafen spiegeln an der x-Achse
, dann zieht die ungefähr so aus.
Und die da jetzt zwei Punkte mit einer geraten Verbinde stellen
Sie fest, dass der Graf immer oberhalb liegt.
Also, minus F ist Kunkav. Eine lineare Funktion hatten wir ja schon,
nee, eine Linearfunktion hatten wir noch nicht,
also in Zusammenhang mit Monotonie,
eine lineare Funktion ist Convex und Kunkav
Ähnlich wie eine horizontale Linie, also eine gerade mit der
Steigung null. Sowohl monoton wagsend als auch monotonfeindlich ist,
ist eine gerade, da spielst du aber keine Rolle,
ob die jetzt steigend ist oder fallend.
Die ist connect und kunkhaven. Die hat quasi kein Krümmungsverhalten
. Deswegen kann man sagen, die ist connect und man
kann sagen, die ist kunkhav, hieß sie wohl.
Also, wenn sie die Definition anschauen, werden sie feststellen,
eine gerade erfüllt beide Definitionen, nämlich Dieter Connectitären und Konkavitität.
Aber sie ist natürlich nicht streng und krav und auch
nicht streng und weg
Warum ist das so wichtig? Sie haben das sicherlich schon in der Mikroökonomie,
in der Makroökonomie gehabt,
da waren sie öfters mit konversen Funktionen konfrontiert und sie werden auch,
dass bei uns jetzt jetzt ein Sperr in der Vorlesung sehen,
Connective-Funktionen haben schöne Eigenschaften zum Beispiel, da sind sie extremer berechnen möchten,
sie da auf hinreichende Kriterien verzichten können.
Da langt es einfach,
wenn sie die notwendige Bedingung überprüfen und wenn sie dann zahlen können,
dass die Funktion konvex ist und kongrav,
können sie dann auf die Existenz von Extremer schließen.
Gut, Sie waren jetzt gleich sehen,
dass da wirklich der formale Nachweis Dur Konversität oder Konkabilität,
schon bei einfachsten Funktionen durchaus mit einem gewissen Aufwand verbunden ist.
Wie es so oft ist, solange sie nur die Definition haben,
können sie oftmals nur ganz schwer arbeiten.
Das ist dann meistens schon bei den einfachsten Funktionen sehr aufwendig.
Da werde ich jetzt zum gleichen Beispiel zeigen, wie man das machen kann.
Aber dann werde ich sie auch relativ schnell vertrösten,
denn sie werden dann später ein Instrumentarium an die Hand gegeben,
mit dem sie ganz schnell überprüfen können,
ob Punkte und Convects oder Concarf sind.
Aber dazu benötigen wir dann den Ablagenmusbegriff. Und dann können wir
quasi mit der zweiten Ableitung, oder wenn sie wollen,
auch mit der ersten ableiten und dann müssen sie sich auch die Veränderung der ersten Ableitung anschauen,
überprüfen, ob eine Funktion Convects oder Concarf ist.
Das kommt dann später. Und dann ist es eine ganz einfache Rechnung.
Dann müssen sie nur Ableitung berechnen. Aber solange sie das
nicht haben, können sie nur die Definition hernehmen.
Und jetzt habe ich ihnen da mal
ein Beispiel
Da sie sehen, wie das dann vonstatten geht.
Und dass ich eine ganz einfache Funktion, die wir untersuchen.
Wir untersuchen nämlich die Wurzelfunktion. Also wir schauen uns an, die Funktion Wurzel X.
Die hatten wir ja schon und die sieht die aus.
Dass sie sehen, was da rauskommen muss.
Funktion Wurzel X sieht wie folgt aus. Sie starten hier
bei null. Und dann sieht die ungefähr so aus.
So ungefähr. Und der Fancy, sofort was das ist,
Das ist eine. Weiß es jemand, Connect oder Concav
? Ich weiß, steht es da wahrscheinlich sogar schon?
Ja, Concav, genau. Wenn sie zwei beliebige Punkte hernehmen,
die gerade ziehen, sehen sie,
der Graf läuft immer oberhalb dieser Gran, also Disco und Karf.
Sogar Strengung Karf. Gut, aber jetzt,
wenn sie das jetzt wirklich formal nachweisen möchten, heißt das,
sie müssen zeigen, dass sie Definition erfüllt ist.
Für Ukun Karf. Und das machen wir jetzt einmal und
dann könnt ihr da später auch mit Hilfe der ersten Ableitung machen,
wenn wir diesen Begriff haben.
Also sie müssen es nicht so machen, wie es hier steht.
Ich will sie nur mal zeigen, wie man sowas
denn zahlen kann
Ich möchte nachweisen, dass diese Ungleichung erfüllt ist.
Weil wenn die gelten würde, hätte ich nachgewiesen,
dass die Funktion streng und karf ist.
Also versuche ich, das mal nachzuweisen. Dass hier aber
diese Ungleichung ist durch Äquivalent, dazu zur zweiten Zeile.
Weil was habe ich gemacht? Ich habe für F einfach
die Definition angesetzt. F ist die Wurstefunktion.
Also anstelle von 11 habe ich jetzt die Wurzelfunktion geschrieben.
Überall da, wo hier F auftaucht. Denn hier und
an dieser Stelle. So, das ist Äquivalent. Dann
der nächste Schritt ist, dass ich dieses unzärtliche Wurzelzeichen loswerde.
Damit kann man schlecht rechnen. Also nächster Schritt ist,
ich quartiere beides dahinten. Ungleich und das darf ich machen
Also beides seien quartriere,
dann fällt auf der linken und auf der rechten,
also auf der linken Seite fällt die Wurzel weg,
dann sind sie hier angelangt und auf der rechten Seite müssen sie das natürlich auch quartrieren,
aber das hier im Quadrat gibt Lamda hoch zweimal X1,
dann das hier im Quadrat gibt ihnen 1 minus Lamda hoch zwei,
mal X2 und dann, nicht vergessen, pynomische Formen,
sie müssen dann auch noch rechnen, zweimal das,
mal den, also diesen Teil haben sie ja auch noch,
also zweimal einmal B, dann haben sie hier diese dritte Zeile erreicht.
Jetzt machen wir folgendes, ich bringe Diesen Teil hier auf die linke Seite,
das heißt, ich ziehe quasi auf beiden Seiten Länder hoch,
zweimal liegst eins ab.
Dann habe ich nämlich hier Lamda mal X1 und habe dann nachher noch ein Minuslam da,
hoch zweimal X1 und dann kann ich quasi X1 ausklammern,
dann sind wir hier.
Und diesen Teil, hier bringe ich auch noch auf die linke Seite,
indem ich ihn einfach auf Bein zu ihnen abziehe.
Und dann kann ich ihn quasi mit diesem Teil zusammenfassen,
dann bekommt sie das hier.
Und dann sehen Sie hier schon in der vierten Zeile angelangt.
Also das Einzige, was ich gemacht habe, ist,
ich habe diesen Teil und diesen Teil abgezogen,
sodass er links steht.
Und dann habe ich zusammengefasst mit diesem X1,
mit diesem X2 und quasi entsprechend ausgeklammert,
dann sind Sie
hier angelangt
Gut, und jetzt könnt ihr, was ist der nächste Schritt?
Hier habe ich ein Lamda ausgeklammert, hier,
dann sind sie hier, bekommt sie das hier.
Und hier habe ich das einfach ausgerechnet, diese Klammer könnt sie ausreinen,
dazu müssen sie einfach eins minus Lamda quartrieren und ausreichen,
was rauskommt, dann bekommt sie das hier.
Und rechts, die Seite habe ich einfach wieder abgeschrieben,
dann sind sie hier angelangt. So, und jetzt haben
sie die schöne Situation, dass sie Folgendes machen können.
Sie könne mich jetzt durch eins minus Lamda dividieren.
Eins minus Lamda dürfen sie dividieren und warum dürfen sie das,
weil ja vorausgesetzt wird, dass Lamda zwischen 0 und 1 liegt.
Deshalb ist hier, wenn sie sichergestellt,
dass das immer ungleich 0 ist
Eins Mindestlam, da ist immer ungleich null.
Warum ist da so wichtig? Wenn ich durch eins
minus Lambla dividiere und es ist nicht sichergestellt,
dass eins Mindestlam da ungleich null ist,
würde ich unter Umständen durch null dividieren.
Was natürlich nicht erlaubt ist. Deswegen muss ich mir vorher überlegen,
ob ich das machen darf, aber ich darf es tun.
Und wenn sie das dann machen, dann fällt hier dieser Faktor weg.
Hier fällt er auch weg und hier fällt er auch weg.
Also, ja, ich dividiere nicht durch eins Mindestlam da,
ich mache sogar noch mehr,
ich dividiere durch Lamda mal eins,
mal eins Minuslam da
So, und dieser Faktor ist da aber auch ungleich null.
Weil Lamda zwischen 0 und 1 liegt. Mit Lamda zwischen
0 und 1 liegt, ist das ja immer ungleich null.
Und das hier auch. Also ist auch das Produkt ungleich null. Also,
wenn wir dann dividieren, durch diesen Town, rechts und links,
dann sind sie hier in der vorletzten Seile angelangt.
Und jetzt nehmt sie einfach, was rechts steht auf die linke Seite,
schauen es scharf an und stellen fest,
sie können es schreiben,
hier in dieser Form
Und jetzt stellen Sie fest, was links steht.
Ist tatsächlich immer echt größer als null,
weil ja X-1 ungleich X-2 ist, laut Definition.
Also ist das hier wirklich eine positive Zahl, also echt größer
als null. Und da hat das alles Äquivalenzumformungen waren,
gilt auch die Ausgangszeile, nämlich,
dass hier F ausgewertet an dieser Connect-Kombination echt größer ist,
ACC-Connect-Kombination der Funktionswerte.
Also, das bedeutet, die Funktion ist nicht
streng connect.
Streng und Kaff
Also, das war mit Hilfe der Definition,
aber ich habe ihnen schon gesagt, das kommt nicht in eine Klausur dran,
wir waren in Slam nicht so schwer machen.
Sie werden ja später ableiten können und was wir uns hier dann machen,
wenn sie die Ableitung mal haben, wir unter die Ableitung bilden.
Also, sie müssen uns ja zweimal ableiten,
sie müssen die zweite Ableitung bilden von Wurzelfunktion X,
also von X hocheinhalb, die zweimal ableiten und dann schauen,
ob diese zweite Ableitung größer ist oder klein als null.
Und je nachdem, wie das Vorteil ist, könnt ihr
dann darauf schließen, ob sie Connects oder Concave ist.
Das bekommt ihr aber noch. Dann einen anderen Begriff,
den sie vielleicht schon aus der Schule kennen, Nämlich,
ob eine Funktion punkthymatrisch ist oder Achsen zu mir,
brichst du übst in Achse.
Das müssen sie dann immer dazu sagen.
Bei punkthymatrisch ist es meistens klar, was man meint.
Man meint den Ursprung. Aber Achsen sind ehebrisch, ist es hilfreich,
wenn sie noch dazusagen, dass sie immer die Übsen-Achse meinen.
Und das Ganze wird dann auch als ungerade bzw. gerade Funktion bezeichnet.
Also die Definition sieht wie folgt aus. Eine reelle Funktion mit der Eigenschaft,
dass wir uns in X haben, aus dem Definitionsbereich,
auch wieder minus X im Definitionsbereich liegt. Wenn für die gilt,
das F ausgewertet an der Stelle minus X,
gleich F und X ist,
dann ist das eine zu Übs und Achse oder zur Ordinate symmetrische Funktion,
eine Aktensymmetrische Funktion und die wurde auch als gerade Funktion bezeichnet.
Sie wollen gleich sehen, wieso. Gilt dagegen,
dass F von minus X gleich minus F und X ist,
dann ist diese Funktion punktionetrisch zum Ursprung und man sagt,
es ist eine ungerade Funktion.
Auch da werden sie gleich sein, wo man die auch als ungerade bezeichnet. Nämlich,
wie tief ich dieses Beispiel, wann Sie das einsehen,
wir schauen uns einfach mal diese Monome hier an,
X hoch N und jetzt wollen wir gleich sehen,
wenn das in eine gerade Funktion ist
Dann bekommt sie, das Ende, eine gerade Zahl ist,
Entschuldigung, dann ist F eine gerade Funktion,
also eine zu Übs und Aktie,
symmetrische Funktion und in das Ende eine ungerade natürliche Zahl ist,
dann ist das eine zum Ursprung,
symmetrische Funktion, also eine ungerade Funktion.
Wie zeigt man das? Nun ganz einfach.
Wir müssen einfach zeigen, dass diese Definition erfüllt sind.
Also fangen wir mal an. Ich schaue mir an,
F von minus X. Also, wie ist denn F definiert?
F ist nichts anderes als X hoch in.
Also muss ich jetzt hergehen und minus X hoch innehmen
Und jetzt kann ich das Ganze aber auch so schreiben,
weil das hier in der Klamme ist ja nichts anderes als minus eins, mal x.
Nur die eins lässt man oft weg. So, ass ist
das Gleiche wie das hier. Und jetzt sehen die sofort,
wenn in eine gerade Zahl ist, ist das hier immer positiv.
Ist das immer eins? Dann bleibt nur x hoch entstehen,
wenn in gerade ist. Und dann sehen sie, ephund,
minus x ist gleich F und x, wenn N gerade ist.
Das ist aber laut obiger Definition genau der Fall,
dass man eine Aktensymmetrische, so Übel-Aktie, symmetrische Funktion hat.
Was bekommen wir in Ungerade ist? Rechnung genau,
die gleiche F und minus x müssen wir uns anschauen,
was da passiert
Also, setze ich wieder ein, was ist F?
Das ist Monoms, Entimonom, dann schreibe ich das wieder so wie gerade M.
Aber jetzt erinnere ich mich dran, dass in Ungerade vorausgesetzt wird.
Also, ich saß immer minus eins,
also kann ich das hier auch dafür minus schreiben,
also minus einschreiben, dann sind wir hier.
Und jetzt der Anty, das ist aber nichts anderes als
minus 11 und X. Und jetzt haben sie die Gleichung,
das F von minus X gleich minus iPhone X ist.
Und das ist genau dieser Fall hier oben,
der zweite Fall, also der, der eintritt,
wenn man eine Funktion hat, die symmetrisch ist zum Ursprung.
Eine sogenannte ungerade Funktion. Man nimmt die deswegen ungerade,
weil gerade halt die Monome mit ungeraden Hochzahlen
solche Funktionen sind
Und die anderen nennt man gerade, weil gerade die Monomen mit
geraden Hochzahlen, mit geraden Potenzen, diese Eigenschaft besitzen.
Hier haben sie mal zwei Bildchen, wo man auch sieht,
wie das aussieht, zum Beispiel X-Hoch 3,
wäre laut diesem Beispiel, wie ja das Ändern 3 ist,
also 3 ist ungerade, wir sind also in diesem Fall hier.
Diese Funktion ist ungerade, es ist eigentlich zum Ursprung
symmetrische Funktion und es ändern sie auch diszimmetrisch zum Ursprung,
wenn sie hierher gehen und spiegeln diesen Punkt am Ursprung,
dann lernt sie hier.
Und das können sie mit allen Punkten machen.
Hier diesen Spiegel, am Ursprung,
dann lernt sie hier
Das zweite Beispiel ist X hoch 4,
also N ist hier 4, eine gerade Zahl, laut dem,
was wir gerade gezeigt haben, müsste diese Funktion Accessimitus sein,
so Y-Achse und sie sehen auch, das ist der Fall,
wenn sie nämlich jetzt die Punkte spiegeln,
an der Übs- und Achse, dann landen die immer auf dem Grafen,
zum Beispiel Disney gespiegelt, dann landen sie hier,
zack, oder wenn sie den hier spiegeln,
dann landen sie sicher.
Achsensymmetrisch, so Übs- und Achse. Weiteres Beispiel.
Auch sehr einfach. Wir hatten ja im letzten Beispiel X
hoch in und jetzt haben wir eins durch X
hoch in und da könnt ihr genau die gleiche Rechnung machen
Martin das einfach mal zu Hause, genau diese gleiche Rechnung.
Die machen sie mal. Und dann waren Tessane,
bin hier, in Gerade ist, bekommen sie wieder eine Funktion,
die ist achsensymmetrisch, zu Y-Achse, so etwas.
Und wenn er in Ungerade ist, zum Beispiel 1,
3, 5, 7 und so weiter, dann bekommt sie eine Funktion,
die ist punktioniert durch den Ursprung, zum Beispiel hier.
Das wäre die Funktion 1, du X. Also, in ist 1,
Ungerade, und das ist hier der Graf der Funktion 1,
du x Quadrat, 1 zu x Quadrat,
also in ist 2,
also eine gerade Funktion.
So viel dazu
Und jetzt kommen wir zu wichtigen Begriffen,
aber da haben wir auch schon ein bisschen Vorarbeit geleistet.
Deswegen hoffe ich, das wurde ihnen nicht ganz so schwer fallen, weil es jetzt kommt.
Weil ich würde genau die gleichen Begriffe auch bei Folgen hatten.
Also das Ziel ist ja sehr oft in Wirtschaftswissenschaften ein Minimum oder ein Marktimum zu bestimmen.
Je nachdem, was für eine Fragestellung sie haben.
Und ich habe ihnen ja bei Folgen schon erläutert,
dass es oftmals so ist,
dass es ein Minimum gar nicht gibt oder ein Marktimum.
Aber trotzdem ist es so, dass sich die Funktion einem
Wert annähert, der größer ist als alle anderen Werte.
Aber reicht ihnen halt nie
Ich warte hier gleich nochmal aufzeichnen, nochmal erklären.
Und um auch solche Fälle untersuchen zu können,
muss man dieses Konzept von Minimum und Maximum ein wenig erweitern.
Und dann kommt man zu den Begriffen Intimum und zu Premium.
Und die werden dann auch gleich sehen,
das ist in der Definition nicht halten, dass ein Minimum,
ein Spezialfall ist von einem Intimum und ein Maximum,
ein Spezial von einem zum Premium.
Also Intimum zu Premium sind quasi Verallgemeinerungen von Minimum und Maximum.
Also kommen wir zur Definition
Auch hier ist es wieder so, die mag vielleicht ein bisschen sparigst aussehen,
aber wenn sie sich das Ganze an Beispielen anschauen,
was es eigentlich bedeutet, wollen sie sehen,
das ist gar nicht so schwierig.
Also, die haben wieder eine Funktion und a,
sie einfach eine Teilmenge aus dem Definitionsbereich. Und wenn sie jetzt haben,
das F auf dieser Timemenge des Definitionsbereichs nach oben beschränkt ist,
dann wird die Client, die Oberschrank von F,
in diesem Bereich, als Upremium von F in A bezeichnet und man schreibt dann das hier.
Zu Premium von F für alle X aus der Menge
Beispiel? Ich mache es mir einfach,
die Menge A soll ich, die ganze positive Realen Zahlenachse.
Und sie haben jetzt so eine Funktion hier.
The your airphone X. Das geht jetzt hier unendlich weiter.
Und die nähert sich, oder Graf nähert sich dieser horizontalen
Geraden an, so, erreicht es aber nicht.
Also geht hier so weiter. So. Diese Funktion hat
kein Maximum. Wieso hat die Funktion
kein Maximum
Was wäre es denn? Also wenn es ein Maximum hätte,
also ich habe ihn das Ganze schon mal erklärt,
befolgen, aber da es so wichtig ist,
werde ich mich gerne nochmal wiederholen.
Also verzeihen Sie mir das, wenn ich den einen oder anderen langweile.
Also, warum hat es kein Maklimum, diese Funktion?
Wenn es ein Maximum hätte, dann könnten Sie mir das nennen.
Das können Sie aber nicht. Wenn Sie jetzt hergehen und sagen,
in dem Moment, das wäre hier zwei,
da wäre zwei hier, diese gerade.
Und sagen, das ist zwei, dann würde ich
zu Ihnen sagen, die stimmt nicht.
Warum stimmt das nicht? Zwei wird nie erreicht von der Funktion
. Das ist nicht das Maximum. Die Funktion F nimmt
den Wert zwei nie an. Sie nerdigt zwar beliebig genau
an. Er wurde den Wert zwei aber nie erreichen.
Deswegen wäre es falsch zu sagen, das Maximum ist zwei.
Es gibt aber
sowas ähnliches
Was quasi das fasst, was sie so eich da sehen,
nämlich, dass es schon einen Wert gibt, der nicht überschritten wird.
Es gibt eine ganze Reihe von oberen Schranken.
Drei wären im Oberschrank, geht 2,5 und so weiter.
Aber die kleinste obere Schranke, das ist zwei.
Wenn ich jetzt noch weiter runtergehen würde, zum Beispiel auf 1,99,
dann müssen sie nur weit genug nach rechts gehen und ich
würde dann über diesen 1,999 liegen.
Deswegen die kleinste Oberschranke ist zwei. Eine kleinere Oberschranke gibt
es nicht. Und die kleinste Oberschranke, das ist das
sogenannte Subremium
Und wenn desto Premium angenommen wird, dann dürfen sie das Maximum nennen.
Zum Beispiel nehmen wir an, es wird jetzt so weitergehen,
so hoch geht und dann wieder runter.
Und tatsächlich hier an dieser Stelle, die gerade,
also diese horizontale Gerade erreicht, hier an dieser Stelle.
Wirklich angenommen wird der Wert, dann wäre das jetzt das Maximum,
wäre zwei, dieser Wert existiert,
der wird von der Funktion angenommen und danach füllt sie vielleicht.
Ja, das ist ein zu Premium.
Wenn eine Funktion nach oben nicht beschränkt ist,
also die war ja nach oben beschränkt
Die waren nach oben beschränkt. Da gibt es 3,
5, 7 oder 1000. Sind alles Oberschranken, aber die kleinste ist 2.
Also die ist eindeutig nach oben beschränkt. Wenn es jetzt aber
eine Funktion hätten, die nicht nach oben beschränkt ist.
Ich meine, die hart in ihn so ab,
die steigt und steigt. Diese Funktion ist nach oben unbeschränkt.
Was macht man dann? Was ist dort ist zum Premium?
Da gibt es keine Oberrschranke. Das kann man aber mathematisch
auch so ausdrücken. Jede Zahl, die sie nennen,
ist zu klein als Oberschranke. Also was ist seine Oberschranke
? Das ist nicht 1000, das ist nicht 100.000,
ist nicht eine Million, nicht eine Milliarde.
Das ist unendlich
Die kleinste Oberschranke ist unendlich. Und dann schreibt man quasi
das hier. Also ist F nach oben nicht beschränkt,
also unbeschränkt, dann schreibt man, dass das Upremium,
also die kleinste Oberschranke unendlich ist.
Die haut ihn ab. So, wenn sie das einigermaßen verstanden haben,
dann ist doch der zweite Teil überhaupt kein Problem.
Denn da wiederholt sich das Ganze nur für Intimum.
Sie können auch durch das Ganze auch machen mit unteren Schranken.
Mache ich das mit einer unteren,
oder mit einer Funktion, die kein Minimum besitzt.
Aber ein Infimum. Machen wir zum Beispiel mal 1
Uhr X. 1 Uhr X. Sieht du ungefähr so aus?
Und so weiter. The sancy, wenn X größer wird,
da wird 1 zu X immer kleiner, geht gegen null.
Also, dieser Graf nähert sich der X-Achse an,
wird sie aber nie erreichen. Hier zu sagen,
das Minimum ist null, wäre falsch,
weil die Funktion oder der Graf der Funktion,
den Wert null nie annimmt, wurde nie angenommen.
Null ist nicht das Minimum.
Es gibt kein Minimum
Wenn sie zum Beispiel sagen, das Minimum ist minus eins,
dann würdest du ihnen sagen,
das kann ja nicht sein, weil die wird niemals,
die X-Aktie schneiden und ins Negative gehen,
wenn sie zu mir sagen, null, dann sage ich,
kann auch nicht sein, es erreicht niemals die X-Aktie,
wenn sie mir eine positive Zahl nehmen, nennen zum Beispiel 0,1,
zu sagen, ich kann aber auch nicht sein,
wenn ich weit genug nach rechts gehe,
lege ich unter 0,1 und so weiter.
Also es gibt kein Minimum. Aber es gibt eine größte
untere Schranke. Es gibt jede Menge untere Schranken.
Das wäre hier eine. Wie weiter wäre das? Aber
es gibt noch größere untere Schranken und die größte untere Schranke,
das wäre die
Tremwerte sind. In dem Sinne, dass sie quasi größer
oder kleiner sind als alle anderen Werte, dann heißt,
wenn das Ganze auch zusammen und spricht von extrem Mal oder Optimalstellen bei diesen X.
Und bei den Zugehörigen Funktionswerten spricht man dann von extrem Mal
werden oder optimal werden. Also wenn sie,
manchmal ist es so, sie wollen es auch sehen,
wenn man dann später oder Kofen-Diskussionen machen, viele Dinge,
die wir da formulierend gelten,
vom Minima und maximal und dann wird man ganz allgemein immer von extrem Mahlstellen sprechen oder extrem Mal werden, optimal werden.
Aber das haben sie wahrscheinlich auch schon in der Schule.
Also dieses Beispiel hatten wir schon im Prinzip,
aber daran kann man jetzt ganz gut üben.
Schauen Sie sich mal das hier an
Das ist die Funktion 1, du X,
also die, die hier aufgezeichnet habe, nur habe ich
die jetzt quasi auch noch für die negativen realen Zahlen gezeichnet.
Also 1, du X ist hier abgetragen, der Graf.
Und sie säen, diese Funktion ist an der Stelle null
nicht definiert, wieso nicht? Ich darf nicht durch null
dividieren. Deswegen muss ich null aus dem Definitionsbereich rausnehmen.
Aber sonst ist die Funktion an allen anderen Stellen definiert.
Und jetzt überlegen wir uns da mal ein paar Dinge.
Zum Beispiel die erste Frage, was ist das Supremum von
F auf der Menge allerrellen Zahlen ohne die Null?
Was ist da
das Supremum
Auf der kompletten Zahnachse, außer du null,
weil die gehört nicht dazu, darf nicht nur nultividieren.
Was ist das so Premium? Schauen Sie es mal an.
Was ist das Subremen? Schauen Sie es mal an,
was hier passiert? Die haut ihn ab. Die geht
gegen unendlich, um sie nähert sie an null heranrücken,
umso größer waren die Funktionswerte, wenn sie von rechts kommen.
Also, es gibt hier keine Obrischranke. Jede Oberschranke,
also jede, gerade die sitzen hier, die horizontale Linie wird überschritten.
Also ist es so Premium unendlich. Deshalb steht hier unendlich
Ähnlich sieht es aus mit einem Infimum auf der Menge der
reinen Zahlen ohne die Null.
Weil wenn sie jetzt von links kommen und sich da null nähern,
haut ihnen die Funktion ab gegen minus und endlich.
Es gibt keine untere Schranke. Egal was sie mir angeben,
die Kleine, die so wert auch ist, zum Beispiel minus eine Milliarde.
Ich muss nur näher genug an Null heranrücken von links und dann
lege ich unterhalb diesen Wert.
Also das Intimumum ist minus unendlich. Deshalb steht hier minus
unendlich. Dann schauen wir uns jetzt an,
dass du Premium auf dem Intervall von eineinhalb bis unendlich.
Aber die Zahl eineinhalb gehöre noch dazu.
Links. Ist hier geschlossen, ist in der Wahl auf
der linken Seite. Also wir schauen jetzt nach dem Supremum
In der Wahl von einem Halb bis um ähnlich,
wobei ihren Hype noch dazugehört. Ah,
also wir schauen uns hier, ist es eingezeichnet,
das ist ein Halbpier an dieser Stelle, bis unendlich.
Und anhalb diese Stelle soll noch dazugehören. Was ist hier
, das du Premium? Schauen Sie mal,
der größte Wert, also die Oberschranke wäre doch hier,
alles oberhalb von zwei oder zwei wäre auch noch in den Oberschranke.
Weil rechts von eineinhalb, wo die Funktion nur noch kleiner sein
, so. Also das Supremium auf diesem Intervall hier,
von einer Halb bis unendlich, ist Dancy 2.
Das ist die kleinste Open-Schranke. Und da ein Halbjer noch dazugehört zum Intervall.
Das ist jetzt ganz wichtig, da ein Halb noch dazugehört,
nimmt die Funktion auf diesem Intervall diesen Wert auch an.
Zwei wird angenommen von der Funktion. Ah, sich dieses Supremum auch,
das Maximum, auf diesem Intervall, von einem Halb bis unendlich.
Also gilt, das Supremum von F ist gleich dem Maximum,
und zwar dem Funktionswert, anderer Stelle eineinhalb, und das ist zwei.
Wenn Sie jetzt aber hergehen und tun auf dem gleichen Intervall
sich dafür interessieren,
was das Intimum ist
Also hier, wie du sie in der Wahl von eineinhalb,
Hype gehört noch dazu, bis, bloß unendlich,
dann stellen sie fest, die Funktion fällt, fällt,
fällt, fällt und so weiter,
fällt, unendlich, fällt die.
Also es fällt immer weiter, aber sie wird immer oberhalb der x-Aktie bleiben.
Also die größte untere Schranke ist der Wert null.
Also das Insimum ist null. Das ist aber nicht das Minimum,
weil die Sowjette nie angenommen wird von der Funktion.
Weil es so schön war, machen wir weiter
Jetzt schauen wir uns das Intervall an,
das wir uns gerade im Ausschnitt angeschaut haben oder nicht ganz.
Wir starten bei Ihnen halb und ein Hype gehört nicht mehr dazu.
Also Sie haben jetzt eine runde Klammer und wir hören
auch bei zwei auf. Wir schauen also,
dass in der Wahl an von eineinhalb bis zwei,
wobei eineinhalb nicht mehr dazugehört, aber zwei gehört noch dazu.
So, was passiert dann? Desto Premu ist natürlich immer noch das Gleiche.
Das ist dann zwei, das ist die kleinste obere Schranke.
Das ist jetzt aber nicht mehr das Maximum,
weil das wurde ja nicht angenommen,
weil ich darf ja einen halb, ich nehme mich zwar,
kann mich da annähern eineinhalb, aber die wäre ein halb,
wäre ein halb, darf ich nicht mehr einsetzen,
meine Funktion wäre dann nicht mehr zum Definitionsbereich gehört.
Wenn ich mir
diesen Bereich hier anschaue
Also ist das nur, dass so Prämium aber nicht das Maximum.
Und wenn ich jetzt mir anschaue,
wo das Info umliegt, dann sage ich,
weil die Funktionen ja auf Feld fällt, fällt,
liegt das dann bei zwei und ist dann ein Hype.
Das ist Infy-Mome. Und das ist auch das Minimum,
weil zwei dazugehört. Zum Definitionsbereich. Hier habe ich
die zweite zugenommen. Das gilt irgendwie um,
gleich Minimum, und zwar gleich den Funktionswert von F,
anderer Stelle zwei ist schon halb.
Gut, weiter. Jetzt verändere ich,
dass in der Wahl dahingehend, dass ich ein Hype noch
dazunehme,
Ist genau das Gleiche in der Wahl an dieser Stelle.
Nur die, dessen Hype gehört noch dazu.
Dann verändert sich Folgendes. Hier, ich kann hier
hochwandern und hochwandern und ich darf sogar ein Hype annehmen.
Den X-Wert ein Hype einsetzen. Also wurde auch
der Wert F und 2 angenommen von dem Grafen.
Also ist dieses Supreme, um dann jetzt auch das Maximum.
Also gilt hier zur Prägung von F, ist gleich die Maximum von F.
Und das ist Wahl. Der Tal von Insimum bleibt natürlich
gleich. Weil da muss ich mir quasi die rechte Schranke
anschauen und die war vorher auch schon zwei,
oder zwei hat auch schon vorher zu zugehört.
So,
und jetzt der letzte Teil
Jetzt schauen wir uns jetzt in der Wahl an,
von minus zwei bis null.
Minus zwei und null gehören nicht mehr dazu. Null deswegen nicht,
weil null sowieso nicht eingesetzt werden darf in die Funktion.
Und minus zwei nehme ich einfach nicht dazu, das interessiert mich nicht.
Ich schaue mir quasi zwischen minus zwei und null die Funktionswerte an.
Und was ist dann dazu Premium? Die kleinste Oberschranke,
die liegt doch dann an dieser Stelle hier,
wenn ich hier die Horizontality bei Hier bei minus eineinhalb.
Weil wenn sie dann quasi minus zwei einsetzen,
hier in ihre Funktion, bekommt sie minus eineinhalb.
Das ist der größte Wert. Nee, die andere muss ich sagen.
Das ist die kleinste obere Schranke. Die kleinere Oberschranke gibt es nicht,
weil die würde dann vom Grafen überschritten werden.
Auf diesem Intervall von minus zwei bis null. So. Und
jetzt noch, der letzte Teil, was ist das Intimum?
Das Intimum ist minus und endlich, weil sie sehen,
die Haut ihnen abging, minus und endlich.
Deswegen steht hier da, Intimum ist minus und endlich auf diesem Intervall. Also,
wenn Sie das Beispiel verstanden haben, Also diese Fälle,
war sie hier jetzt eingezeichnet habe, dann haben sie verstanden,
war sie ein Supremum, was haben sie verstanden,
da haben sie verstanden, was ein Infumumum ist und sie haben auferstanden,
war es der Unterschied ist zwischen zu Bremen und Maximum,
beziehungsweise zwischen Enfumum und Minimum.
Als sich dieses Beispiel mal zu Hause anschauen,
das versuchen zu verstehen und dann haben sie eigentlich all das,
was sie da brauchen und sie haben dann das auch für Folgen verstanden,
weil verfolgen ist es genau dasselbe.
So, das machen wir noch, bevor es eine Pause gibt,
Ich habe ihn jetzt quasi erklärt,
was ist ein Infimum, was ist ein Supremum,
was ist ein Minimum und was ist ein Maximum.
Und wenn ich Minimum und Maximum sage,
meine ich so ein immer globales Minimum und globales Maximum.
Das heißt quasi, alle anderen Werte der Funktion sind,
wenn ich zum Beispiel ein globales Maximum betrachte, kleiner.
Alle anderen Funktionswerte. Und globales Minimum würde bedeuten, allen
anderen Funktionswerte sind größer. Aber sie wissen ja aus der Schule,
dass die Funktionen auch etwas anderes noch haben können,
was damit eng verwandt ist, nämlich lokale Extremer, lokales, lokales Maximum.
Und diese Definitionen hatten sie bis jetzt noch nicht und
die kommt jetzt hier
Wie ist ein lokales Minuum und ein lokales Maximum definiert?
Und das ist jetzt wieder eine formale Definition. Ich war denen
aber gleich sagen, wie sie das ganz einfach sich vorstellen können.
Und wahrscheinlich wissen sie es schon. Und dann ist es
ganz einfach. Aber wir müssen es erstmal ganz exakt definieren.
Eine reelle Funktion, Selke Game. Dann heißt,
ein Funktionswert F an der Stelle X-0, lokales,
oder manchmal sagt man auch relatives Maximum von F.
Wenn es ein offenes Intervall gibt, von Ubis V,
in dem X-0 liegt, und dann gilt,
dass innerhalb diesen offenen Intervalls die Funktionswerte immer kleiner gleich sind
als F und
Das heißt also, nichts anderes. Sie haben ein lokales Maximum,
wenn in einer unmittelbaren Umgebung von dir so stelle, alle Funktionswerten kleiner sind.
Oder höchstens gleich. Aber nicht größer. Sie müssen eine Umgebung finden können,
die zum Definitionsbereich gehört, sodass die Funktion an dieser Stelle
rechts und links von diesem X-0 nur noch kleinere Werte ernimmt.
Dann hätten sie ein relatives lokales Maximum. Das kann aber dann sein,
dass die Funktion irgendwann mal wieder nur einen Bogen macht und steigt und
dann haben sie an dir so Stelle vielleicht einen Wert,
der größer ist als diese Werte,
wo sie ihr lokales oder relatives Maximum haben.
Das waren sie gleichzeitig
ein Beispiel
Also ein lokales Marktimum muss kein globales Maximum sein.
Ähnlich sieht es aus bei einem Lokalminimum. F und X0
heißt lokales Mündigung von F. Wenn es ein offenes in der Wahl gibt,
in dem Iknu liegt, sodass die Funktionswerte um diese Stelle X-0 alle größer gleich sind.
Also wenn sie zum Beispiel hier an dieser Stelle ein lokales Minimum haben,
bedeutet das, sie können in der Wahl finden,
das kann sehr klein sein.
Aber innerhalb diesem in der Wahl sind die Funktionswerte oder Funktionen
alle größer oder höchstensgleich
Und dann sieht es quasi so aus. Aber es kann natürlich sein,
dass die Funktion irgendwann wieder einen Bogen macht und nach unten kommt.
Und dann hätten sie dann quasi an dieser Stelle,
es war ein lokales Minimum, aber kein globales,
weil es globale Minimum, wo ganz anders schlägt.
Hier ist der einzige so was. Ach, nochmal,
eine schöne Übung. Das globale Maximum liegt hier bei A
, The Sandy, der größte Funktionswert.
Von F, der liegt an der Stelle
Die Funktion liegt sonst immer unterhalb diesen Funktionswert hier.
Also ist das Maximum, wird an der Stelle auch angenommen.
Wenn es jetzt so wäre, dass ich im Definitionsbereich habe,
wo quasi A, nicht mehr dazugehört,
dann wäre diese Dele kein globales Maximum, sondern nur ein zu Premium.
So, jetzt zählen Sie,
jetzt fällt die Funktion und an dir so Stelle, mit X1,
bezeichnet, glaube ich, ja, mit X1 bezeichnet.
Das senzi, da haben Sie eine Stille,
links und rechts, ummelbar links und rechts davon,
ist die Funktion größer
Also ist das hier ein lokales Minimum. Und dann steigt
die Funktion an und an dieser Stelle hier Sancy, haben sie einen Punkt erreicht,
wo Umilbar rechts und links davon die Funktionswerte kleiner sind,
als ist das ein lokales Maximum.
Und dann geht die Funktion wieder runter. Und an dieser Stelle haben sie einen Punkt erreicht,
wo es eine unmittelbare Umgebung gibt,
wo die Funktionswerte rechts und links davon größer sind,
als sich das wieder lokales Minimum,
und wenn sie es sich jetzt anschauen, stellen sie fest,
da ist dieses lokale Minimum,
sogar das globale Minimum ist.
Die Funktion liegt immer unter diesem Wert
Und jetzt steigen sie hier hoch und dann stellen sie fest,
an dieser Stelle liegt wieder ein lokales Maximum.
Weil, das ist auch noch interessant, wieso ist das
ein lokales Maximum? Wenn sie eine unmittelbare Umgebung ziehen,
also betrachten, von dieser Stelle hier B. Und sie müssen
natürlich nur die Werte betrachten, die zum Definitionsbereich gehören.
Also nur wertet ihr links und B sind.
Weil rechts interessiert uns gar nicht, weil die Funktion rechts
von B nicht definiert ist. Aber das sehen sie,
diese Werte rechts von B sind alle kleiner.
Die Funktionswerte. Also hat die Funktion F an der Stelle B
ein lokales Maximum und da diese lokale Maximum kleiner ist,
als dieses hier ist das auch kein globales,
sondern wirklich nur lokales
Also das steht hier noch mal da,
wo sie auch ein bisschen aufpassen müssen und wahrscheinlich habe ich das auch nicht kontinent durchgehalten,
aber ich versuche das schon,
aber es gelingt nicht immer und sie waren auch sehr in den Büchern,
ist das teilweise ein bisschen durcheinander.
Wenn ich von einer Extremalstelle spreche, da meine ich immer die X-Werte,
wo quasi auf der X-Sache schauen sie und wenn ich dann eine Extremalstelle habe,
meine ich diesen X-Wert, wo wenn sie hochgehen,
dann quasi das Minimum, das Maximum liegt,
mit einer Extremalstelle.
Und bei einem Extremalwert meine ich den Funktionswert,
also quasi der Wert,
der dann von der Funktion an dieser Stelle
angenommen wird
Aber das wollen sie sehen, kann auch sein,
ich spreche mal von einer Extremarstelle und meine den Funktionswert.
Das wird immer, also es wird quasi dicht großartig verwunden,
denke ich. Und die waren auch sehr in den Büchern,
ist mir da oftmals nicht so genau. So,
nach der Pause, die dann zu Ende ist,
zehn Minuten vor zwölf, geht es weiter mit ständigen Funktionen.
So, es geht weiter und nehmen Sie bitte Blatt
Wir sind jetzt beim Abschnitt 8-3 angelangt, stetige Funktionen.
Und ich weiß, es ist heute relativ schwer,
schönes Wetter, da hat man andere Dinge im Kopf,
aber strengen sie sich noch an,
die nächsten 55 Minuten.
Was jetzt kommt,
ist sehr wichtig
Und erfahrungsgemäß, ja, ist dieser Abschnitt nicht unbedingt der
Lieblingsabschnitt der Studierenden. Aber, dass sie gute Nachricht,
die meisten von ihnen haben schon was davon gehört,
also ich gehe davon aus, dass die meisten von ihnen
schon mal was vom Begriff zur Stätigkeit gehört haben,
Stätigkeit von Funktionen.
Trotzdem waren sie sehen, dass wir das ein bisschen,
ja, präziser formulieren müssen.
Vielleicht erinnert sich es auch noch an ihre Schulzeit,
hoffe ich zumindest. Dort haben sie vielleicht gelernt,
dass eine Funktion genau dann stetig ist,
wenn man den Grafen zeichnen kann,
ohne den Stift abzusetzen
Das Schlimme ist, dass das halt nicht so im Allgemeinen richtig ist,
dass es nur unter bestimmten Voraussetzungen richtig,
die meistens dann gegeben sind, in den Fällen,
die man in der Schule so betrachtet, aber allgemein,
wenn sie diese Aussage so hinschreiben, nicht die falsch.
Ich kann Ihnen eine ganze Reihe von Funktionen,
das war uns ja auch sehr ändern bei den Beispielen,
den Graphen hinzeichnen in der Fans, sie müssen den Stift absetzen,
wenn sie den Graphen zeichnen möchten und die wird stetig sein,
diese Funktion.
Also das, was ich sagen möchte damit ist,
wir werden uns jetzt mit einem Begriff beschäftigen,
in dem sie wahrscheinlich schon kennen,
aber wir müssen ein bisschen präziser sein bei der Definition und wir müssen ihn auch ein bisschen verallgemeinern.
Wir werden nicht nur mit stetigen Funktionen zu tun haben,
sondern auch mit rechtsseitig stetigen Funktionen und mit linksseitig stätigen Funktionen und dann,
wenn beides der Fall ist,
von sogenannt stetigen Funktionen sprechen
Gut. Also fangen wir an. Stetigkeit ist für die Gesamtanalysis
von grundlegender Bedeutung. Trotzdem ist dieser Begriff richtig exakt formuliert worden.
Er ist relativ spät, nämlich vor ungefähr 250 Jahren.
Koschi und Bolzano sind hier zu nennen. Die beiden Martimardier,
die das prätisse formuliert haben, sodass sich da keine Widersprüche ergeben haben.
Und gleich vorab, dass sie das immer im Auge haben,
das, was jetzt kommt,
anschaulich gesprochen,
ist stetigkeiten
ganz einfacher Begriff
Städtigkeit ist im Prinzip nichts anderes als die Aussage,
dass wir eine Funktion haben und sie da eine Stelle X-0 anschauen und sie gehen
nur ein bisschen rechts oder links von dieser Stelle X-0,
dann sind auch die Funktionswerte nicht so unterschiedlich.
Adi, wenn sie eine Stelle X-0 haben,
sie schaden den Funktionswert, ein F und X-0 und
sie gehen jetzt ein bisschen rechts oder links von X-0,
dann ist der Funktionswert an diesen Stellen ähnlich zu F und X-0.
Das heißt also, wenn X ungefähr X-0-Liste,
also nahe bei X-0 liegt,
dann ist F und X
ungefähr F und
Und das ist deshalb so wichtig,
weil das ist eigentlich im Prinzip nichts anderes als die Aussage,
wenn Sie einen Input-Paramet ein wenig verändern, dieses X,
dann ist der Output, nämlich der Funktionswert F und X,
auch nicht so großartig unterschiedlich.
Sie haben quasi so stetige Übergänge. Das verändert sich kontinuierlich
und keine, das macht keine Sprünge.
Es könnte ja auch sein, dass Sie den Sachverhalt haben,
dass Sie das X nur ein bisschen verändern und trotzdem macht
der Funktionswert sofort
einen Riesensprung
Sie waren zähn, gerade in den Wirtschaftswissenschaften,
also ob das jetzt Betrittsdatschaftslehrer ist oder Volkswirtschaftslehrer,
dass sie es in den allermeisten Fällen mit Städtingen Funktionen zu tun haben.
Es gibt gewisse Ausnahmen, zum Beispiel so Statistik oder wenn sie Risikomanagement haben oder betriebliche Finanzwirtschaft,
da waren sie es dann auch relativ schnell mit unständigen Funktionen zu tun haben.
Aber viele der Funktionen, die sie zum Beispiel vorwenden,
um irgendwelche Theorien zu beschreiben,
der Mikro- oder Makroökonomie oder irgendwelche Produktionsfunktionen und, und,
und, das sind in den allermeisten Fällen stetige Funktionen.
Und sie werden auch sehen, fast alle Funktionen,
die sie so kennen,
sind stetige Funktionen
Es gibt Wahlmöglichkeiten, mindestens zwei, also es gibt mehr als zwei,
aber zwei, die eigentlich gelehrt werden an Unis,
wie man den Begriff zur Stätigkeit einführen kann.
Die haben sie beide im Skript. Das erste ist die sogenannte Eltern,
das sogenannte Delta-Kriterium, Äbsel und Delta-Kriterium, Entschuldigung.
Das werde ich überspringen, das erspringe ich ihnen.
Der Grund ist relativ einfach, weil es erfahrungsgemäß im Studieren ein bisschen,
ja, für sich schwierig ist, das zu verstehen.
Und zwar eins, dann für praktische Anwendung das andere Kriterium,
das ich ihnen vorstellen werde, praktikabler ist.
Also sie können mit dem anderen besser rechnen.
Deshalb war hier nur das zweite vorstellen und es genügt auch,
wenn sie dieses zweite Kriterium kennen,
weil man kann zeigen,
dass beide Kriterien äquivalent sind
Also, das machen wir nicht, das kann man zeigen,
das reicht also für sie aus, wenn sie das zweite Kriterium verstanden haben.
Also, das hier auf dieser Folie zum Elbsen und Delta-Kriterium,
das können sie sich gar nicht mal zur Hose anschauen,
ich werde aber nicht voraussetzen in irgendeiner,
ich denke auch in der Übung kommt sie nicht dran und dann klaust du dann sowieso nicht.
Gut. Hier mal ein Bildchen,
das vielleicht als kleinen Ausblick, hier haben sie die Funktion,
da waren wir dann später und sagen, die ist stetig,
weil sie können einen beliebigen Wert nehmen, Hier,
zum Beispiel hier dieses X-0 hier an dieser Stelle.
Und wenn sie jetzt ein bisschen nach rechts oder ein bisschen nach links gehen,
dann zählen sie, da ist die Funktionswerte,
auch sehr ähnlich sind zum Funktionswert iPhone X-0.
Hier sieht es anders aus. Hier haben sie ein
X-0 und wenn sie jetzt zum Beispiel nach rechts gehen,
ein ganz klein bisschen nach rechts sehen, die findet sofort den Sprung statt.
Ein Riesensprung. Und wenn sie hier sind,
also ein bisschen rechts und dann ein bisschen nach links gehen,
also wenn sie rechts wären von dieser roten, gestrebten Linie,
dann wären sie hier oben auf dem Funktionsgrafen.
Und wenn sie jetzt ein bisschen noch nach links gehen,
dann springt die Funktion nach unten hier
Also sie haben ihren Sprung. Und da würden wir sagen,
das ist eine unstätige Funktion unter bestimmten Voraussetzungen. Voraussetzung ist,
da ist diese Funktion hier an dieser Stelle definiert ist,
dann wollen wir sagen, das ist eine Funktion,
die an der Stelle X-0 unstätig ist.
Die hat dort eine Sprungstelle. Aber bevor wir das überhaupt präzise formulieren können,
was Stätigkeit ist, benötigen wir noch einen anderen Begriff,
nämlich das Kriterium der konvergenten Funktion.
Und da wollen sie jetzt wiedersehen, wieso es so wahnsinnig
wichtig ist, dass wir uns mit Folgen beschäftigt haben.
Weil das, was jetzt kommt,
geht eins zu eins auf den Begriff der Folge zurück.
Wir gehen nämlich jetzt her und nehmen eine Folge von
x Werten
Setzen die in die Funktion ein und da gibt es ihnen eine Folge vom Funktionswerden.
Und dann schauen wir, was passiert mit dieser Folge von Funktionswerden.
Und je nachdem, ob diese Folge konvogiert oder nicht,
sprechen wir von konvogenter Funktion. Und wir werden sogar noch genauer sein,
wir werden betrachten, folgen, x Folgen,
also Werte, eine Folge von x wären,
die rechts von einer Stelle x-0 liegen und dann ging dieses x-0 sich ernähren oder nur folgen,
die links liegen und so weiter.
Und dann setzen wir diese Werte in Funktionen ein und schauen,
was mit den Funktionswerten passiert. Und je nachdem,
was da passiert, wann wir dann Begriffe haben wie rechtskonvergenz,
links, Konvergenz oder wen sogar beides gilt,
Das ist jetzt Inhalt dieser Definition. Also auch hier wieder ein formal,
aber sie waren dann, wenn wir ein Beispiel anschauen, sehen, das ist eigentlich nicht so schwer.
Da steckt nicht so viel dahinter. Also,
wir haben eine Funktion, dann heißt diese Funktion F,
an der Stelle X-0, linksseitig konvogent,
falls es mindestens eine Folge von X werden gibt,
die im Definitionsbereich liegt und für die gilt,
dass diese Werte dieser Folge, alle kleiner sind von X-0,
also links von X-0 liegen, aber die Eigenschaft haben,
dass sie sich X-0 ernähren, also gegen
X-0 konvogieren. Wenn sie so eine Folge gibt,
Und für diese Folgen, wenn es die dann gibt,
dann gilt, da ist die Funktionswerte, konvergieren, konvergieren.
Und diesen Grenzwert, wenn der dann existiert wird,
als F von X0 hoch minus 1 bezeichnet.
Das ist nur eine Bezeichnung. Dieses gleiche Doppelpunkt,
das habe ich sicherlich das ein oder andere Mal schon gesagt,
soll einfach sagen, da ist dieser Taum hier so bezeichnet wird.
Es sind einfach eine Bezeichnung. Also noch einmal,
was machen wir?
Wir haben
So, wir haben X-0. Und jetzt gehen wir her und
mittrachten eine Folge von X werden, X-0, X-1,
X-2, X-3, X-5, eine Folge von X werden.
Also, es ist besser,
wenn ich hier mit X-1 anfange zu zählen,
weil ich ja hier das, das hier schon als X-0 bezeichnet habe,
X-1, X-2, X-3 und so weiter.
Es gäbe so eine Folge, die sich von links ernährt an X-0.
Das kommt dadurch zum Ausdruck, dass sie hier fordert,
dass diese X-N alle kleiner sind als
Und diese Folge soll die Eigenschaft haben,
dass sie sich beliebig genau diesem Ignull ernähren.
Quasi gegen X-0 konvogiert. Das ist die zweite Voraussetzung,
die ich habe, die sie X-N,
diese Folge der X-N konvogiert, gegen X-0. So,
und jetzt schauen sie, was passiert mit den zugehörigen Funktionswerten.
Das gibt ja dann auch eine Folge. So,
sie setzen einfach diese X-Werte ein in die Funktion.
Dann bekommt sie quasi eine Folge von Funktionswerten.
Und wenn diese Folge von Funktionswerten konvogiert, Gegen einen Punkt.
Also wenn dieser Grenzwert hier existiert,
ist nichts anderes als die Folge hier, dieses F&X-In.
Wenn dieser Grenzwert existiert. Und immer der gleiche ist,
egal welche Folge ich hier nehme, ich könnte ja auch
eine andere Folge nehmen, die sich gegen X0 ernährt.
Und wenn dann immer gilt, dass die Funktionswerte dazugehörigen,
gegen konnogiert, und zwar gegen den gleichen Wert,
dann wird dieser Wert bezeichnet als F von X0 minus.
Und dieses minus soll ihn andeuten,
dass man quasi von links sich an die X0 angenährt hat
Und das ist dann der sogenannte linkseitige Grenzwert.
Sie schauen nämlich, was passiert mit der Funktion,
wenn sie von links kommen und sich diesem Ignul annähern.
Er existiert dieser Wert oder existiert er nicht.
Und wenn er existiert, wie groß ist er?
Was ist er wert? Und das Ganze könnt ihr natürlich
auch umgekehrt machen, wenn sie von rechts kommen.
Dann sind sie bei TALB. Sie schauen sich eine Folge
an von Werten. So. Die sich hier annähern von rechts
ein X-0. Das kommt dadurch zum Ausdruck,
dass hier gefordert wird,
dass diese X-N-Größe sind als
Und es wird weiter gefordert, dass diese Folge gegen X0 konvergiert,
aber jetzt von rechts dann. Und wenn dann gilt,
da ist die zugehörige Folge von Funktionswerten. Auch konvergiert.
Also dieser Grenzwert hier existiert, dann spricht man davon,
dass der rechtzeitige Grenzwert existiert. Und dieser Grenzwert wird bezeichnet,
ähnlich wie bei Teil A, mit F und X0,
aber jetzt anstelle eines Minus kommt hier oben ein Plus,
um anzuzeichnen, anzuzeigen,
ich komme jetzt von rechts,
ich habe die Folge betrachtet,
die von rechts kommt
So, und jetzt Teil C ist dann ganz einfach.
Eine Funktion heißt an der Stelle X-0 konvogent,
also dann könnt ihr das linkseitig und es rechtzeitig weglassen.
Falls F an der Stelle X-0 linksseitig und rechtzeitig konvogent ist
und die Grenzwerte die Beine übereinstimmt. Das heißt also,
hier sens ist schon, diese Funktion wäre auch konvogent,
weil es spielt keine Rolle,
ob ich von links komme oder von rechts.
Der Grenzwert ist immer dieser Punkt. Und der stimmt überein. Also,
es gilt sogar C, diese Funktion ist linksseitig und rechtzeitig
konvogent und die Grenzwerte stimme nur ein,
diese Funktion ist konvogent an der Stelle X-0.
Eine andere Situation, wo das nicht gilt
Sie waren nachher eine ganze Reihe von Beispielen 10.
Machen wir hier das X-0 wieder. So,
wenn Sie hier jetzt eine Folge haben,
die sich von links an X-0 ernährt und Sie schauen sich
die zugehörigen Funktionswerte an, dann landen Sie hier.
Kriegen diesen Wert diesen Funktionswert hier raus. Vielleicht eins oder sowas
. Wenn Sie von rechts kommen mit einer Folge und sich
X-0 ernähren und dann die zugehörigen Funktionswerte den Grenzwert betrachten,
bekommt Sie
diesen Wert
Ich meine, das Serie 2. Also,
die ist zwar linksseitig konvergent und rechtzeitig konvergent,
aber die beiden Grenzwerte stimmt nicht überein.
Die ist also nicht konvergent, obwohl sie linksseitig und rechtzeitig konvergent ist.
Aber sie ist nicht konvergent. Und sie sehen schon,
das hat schon ein bisschen was mit Stetigkeit zu tun.
Es waren gleich Säen, wie genau das,
was mit Stetigkeit zu tun hat. Ja,
und wenn dann eine Funktion linksseitig und rechtzeitig konvergent ist,
wie gesagt, dann heißt sie konvergent.
Und man schreibt dann für den Grenzwert,
also dass ich dann ja irgendwie eine Zahl,
ich habe die jetzt mal mit C bezeichnet
Genau. Was man auch sehr häufig sieht,
was man sehr häufig sieht in Büchern, das sagen möchte ich
das ja erwähnen, dass sie da nicht durcheinander kommen.
Man kann natürlich auch folgendes machen. Ich fange mal
hier an, das ist immer wieder das gleiche Schema.
Hier geht entgegen unendlich. Und damit bewegt sich diese XN gegen X0,
wenn entgegenwündig geht, umso weiter hier in der Folge vorangeht,
geht das hier dann gegen X0.
Ich kann das auch so schreiben, dass ich sage,
ich schreibe hier statt XNXNX und sage,
das X geht von links, also von unten gegen X0.
So kann man das auch schreiben. Das ist eine andere Schreibweise.
Oder hier bei rechtzeitiger Konvergenz anstelle das so zu schreiben,
kann ich auch so schreiben, Limes von R von X,
wenn ich von rechts komme, also mit X von oben gegen X0 gehe.
Von rechts komme ich auf den Zahnstrahl gegen X0. Und da
ich hier keine Unterscheidung machen brauche, also zutreifen brauche,
ob ich von links oder von rechts komme, ist,
da es ein waagerechter Pfeil.
Ich drücke dich noch nicht an, ob ich von links oder von rechts komme.
Ich gehe einfach mit meinem X gegen X0. Ich habe hier
keinen Pfeil von oben oder von unten, um zu sagen,
dass ich von unten oder von oben gegen X0 gehe,
sondern es soll einfach andeuten, jede beliebige Folge.
Von Werten, die gegen X0 konvergiert, gilt,
dass sie Funktion F und X sich dem RC ernährt
So, wichtig bei dieser Definition ist,
und das ist auch schon der Unterschied später zur Ständigkeit,
die sie sehen werden,
bei dieser Definition habe ich nicht gefordert,
dass X-0 überhaupt zum Definitionsbereich der Funktion gehört.
Schauen Sie mal, ich habe nichts für X-0 getroffen,
keine Annahme. Ich sage X-0 ist eine reelle Zahl,
ich habe nicht gefordert, dass es X-0 im Definitionsbereich von D liegt.
Sie können nämlich diese Überlegungen auch treffen für Werte,
die nicht im Definitionsbereich einer Funktion liegen.
Das zeige ich mal anhand eines Beispiels hier
Diese Funktion hier, F und X,
nämlich Wurzel von X plus 1, minus 1, geteilt du X,
hat als Definitionsbereich die Menge reellen Zahlen ohne die Null.
Die Null darf ich erst mal nicht einsetzen oder darf ich
nicht einsetzen, weil da wird ein Nenner Null.
Trotzdem kann ich jetzt überprüfen,
ob diese Funktion an dieser Stelle Null linksseitig konnogent ist,
rechtzeitig konnogent ist oder sogar konvogent.
Also beides, linksseitig und rechtzeitig konnogen. Und die Grenzwerte
natürlich übereinstimmen. Das kann ich machen, ich zeige ihnen
das mal,
weil,
warum geht das
Warum kann ich diese Untersuchungen treffen? Schauen Sie mal bei
diesen Definitionen. Ich habe nämlich ja, die basiert ja immer
auf Werte von XN, die echt kleiner sind als X-0 oder
echt größer als X-0. X-0 wird ja nie angenommen von meinen Werten,
die ich in die Funktion hier einsetze.
Deswegen spielt gar keine Rolle, ob F an der Stelle X-0 definiert ist oder nicht.
Ich werde die Funktion an dieser Stelle ja gar nicht aus.
Ich habe nur eine Folge von Werten, die sich beliebig genau X-0 ernährt.
Und die darf ich einsetzen. Und dafür ist,
da habe ich ja verlangt, dass diese Werte in D liegen.
Im Definitionsbereich. Und so gehe ich jetzt auch vor.
Ich nehme eine Folge her von Werten,
Mit der Eier geschafft, dass sie gegen null konvogiert.
Aber ich habe sie gar nicht geschrieben, sage ich,
aber ich hätte hier vielleicht nur angern sollen.
Die XN sehen alle ungleich null. XN sein alle ungleich null
, schreiben sie das noch hin. Alle ungleich null,
haben aber die Eigenschaft, diese Folge, da sie gegen null konvogiert.
So, und dann können wir jetzt folgende Rechnung machen.
Ich kann mir jetzt anschauen, was passiert mit dem Liebes
von F und XN, außer dem Grenzwert hier.
Jetzt reicht nicht das mal aus. Ich setze einfach die Funktion ein,
also wie F definiert ist, dann sind sie hier.
Und jetzt haben sie ein Problem, das können sie erstmal
nicht ausrechnen, wieso nicht.
Wenn sie sich jetzt überlegen, was hier passiert.
XN geht doch gegen null, also geht doch nicht mehr
gegen null
Und wenn hier XN gegen Null geht,
haben sie dann hier stehen, Wurzel von eins,
es ist eins, minus eins gibt auch nur,
sie haben null durch null.
Dann könnt ihr erstmal nicht sagen, was da rauskommt.
Aber wenn sie es geschickt machen,
können sie es umformen und dann können sie es ausrechnen.
Was mache ich jetzt? Ich multifiziere den Zähler und den Nenner mit
dem gleichen Faktor. Und zwar mit diesem Zähler hier nur,
das Minus, das setze ich durch den Plus,
wie dir so eine Klammer hier multipliziere ich.
Den Zähler und den Nenner. Und warum mache ich das?
Wenn ich das jetzt mache, kann ich die dritte pynomische Formel anwenden.
Sie säen nämlich, das ist ihr A,
das ist die UP, dann steht hier A-B und hier
steht A Plus
Und wenn sie das jetzt ausmullifizieren, kommt da raus,
A-Quadrat, minus B-Quadrat, also,
das hier im Quadrat, das ist XN plus 1.
Und eins im Quadrat ist eins, das müssen sie aber abziehen,
das heißt der Minus-B-Quadrat steht hier minus eins, so.
Und den Nenner lasse ich unverändern, dann sind sie hier angekommen.
Und jetzt zählen sie, dass eins und das minus eins
kotzt sich raus. Ja, haben sie plus eins,
sie haben sie Minus eins, kotzt sich raus.
Also steht im Prinzip hier da,
oben im Zähler XN und dann der Nenner.
Jetzt können sie quasi XN kotzen,
dann sind sie
hier angelangt
Also, das reicht nicht so aus,
1-0 ist 1, es gibt 0,
also es steht nur noch XN im Zähler, das ist der Nenner.
Und jetzt kürzen sie mit XN,
weil ja XN als Faktor in den und im Zähler und ineinander steht,
dann haben sie diesen Quotienten und jetzt sehen sie,
jetzt können sie ausreichen, was rauskommt.
Wenn jetzt Endgame unendlich geht, dann nähert sich XN der Null an.
Also steht hier, kommt hier etwas raus,
Wurzel von 1, das ist eins,
plus eins ist zwei und oben Terlo steht eins,
also haben sie eine halbe, kommt raus.
Der Grenzwert ist in halb. Also,
ich habe jetzt gezeigt, dass diese Funktion,
obwohl sie erst einmal an der Stelle null nicht definiert ist,
dort gegen den Wert ein halb konnogiert.
Und das hat Folge, konsequent, ich könnte nämlich,
wenn ich wollte, die Funktion, wollen wir später sagen, stetig fortsetzen.
Ich könnte quasi einen Definitionsbereich vergrößern, sodass die Funktion stetig bleibt.
Kevin, mal da ein Beispiel. Thesa auf der Tafel
. Nehmen Sie mal ein, Sie haben eine Funktion,
die Das ist schwierig, da ein Beispiel zu finden.
Ich glaube, nachher kommen bessere Beispiele. Ach so.
Auf das verzichtbar. Nehmen wir an, Sie haben die Funktion,
die an dieser Stelle hier erstmal nicht definiert ist, an der Stelle X-0.
Aus irgendeinem Grund soll die an dieser Stelle nicht definiert,
das habe ich ja mit so Kreisen angedeutet.
Das heißt, der letzte Punkt hier von der Funktion
wurde nicht angenommen und hier von rechts kommt genauso.
Also an die Stelle X-0 gibt es
keinen Funktionswert
Aber da sie sehen, wenn sie hier auf sich von links ernähren,
passiert folgendes mit den Funktionswehren, die konvergieren gegen diesen Wert hier.
Und wenn sie sich von rechts an die X-0 anwehren,
passiert das Gleiche, die konvergiert gerne den gleichen Wert.
Deswegen könnten sie hergehen und könnten jetzt den Definitionsbereich vergrößern und könnten sagen,
an dieser Stelle X-0 nimmt die Funktion diesen Wert hier an.
Und das ist das, was wir hier machen könnten,
wir können jetzt hergehen und könnten sagen,
an dieser Stelle ist die Funktion mal für die Eich,
für den Wert X gleich 0 nicht definiert.
Ich habe ihnen aber jetzt gerade gezeigt, dass es keine Rolle spielt,
ob es jetzt von links oder von rechts kommt,
dieser Ausdruck dann, wenn sie mit X gegen 0 gehen,
gegen einen Halb konvergiert.
Ich könnte ja jetzt definieren,
die Funktion sieht so aus
Für alle X? Ungleich null. Und für X gleich null
, setze ich in halb. Könnte ich machen. Und
dann werden wir später sehen, diese Funktion wäre stetig.
Auch an dieser Stelle hier. X gleich null. So,
aber die Botschaft dieser Bemorgung ist vor allem,
sie darauf hinzuweisen, dass in dieser ganzen Definition nicht gefordert wird,
dass X-0 ein Element des Technitionsbereiches ist.
Weil das ist die maßgemtliche Ja, Maske,
wie ein Unterschied zur Definition der Stätigkeit, die gleich kommen wird.
Weil dort werde ich fordern, dass X-0 zum Definitionsbereich gehört.
Und wenn dann noch das hier gilt, was wir hier haben,
dann wollen wir von Städtigkeit sprechen. Gut. Das Schöne jetzt,
und Sie waren auch sehr schön später,
Sie werden mit so konvogenten Funktionen, Sie haben jetzt gelernt,
was heißt, linksseitig konvogent, rechtzeitig konvogent, was heißt konvogent?
Sehr schön rechnen können. Denn letztendlich,
wenn Sie diese X-N in die Funktion einsetzen, haben Sie die Folge von Funktionswerten.
Sie haben die Folge von Funktionswerten Sie nehmen eine Folge von XN werden her,
also von reinen Zahlen, setzen die in die Funktion ein,
dann gibt ihnen das eine neue Folge von Funktionswerden.
Und dort können sie, weil das einfach eine Folge ist,
eine ganz beliebige Folge. Können sie die ganzen Rechenregeln aus dem letzten Kapitel,
die wir da hatten, wie man mit konvogenten Folgen rechnen kann,
könnt ihr anwenden.
Und das würde uns helfen dann zu untersuchen,
ob eine Funktion stetig ist,
ob eine Funktion differenzierbar ist und so weiter
Also ganz gewöhnliche Folgen. Und diese ganze Definition ja zusammenzufassen,
sagt die nichts anderes, ausalt. Bei links seid ihrer Konvergenz gilt,
dass wenn sie Werte nehmen, also bei linkseitiger Konvergenz,
einer Funktion an der Stelle X-0, heißt nichts anderes als,
dass sie eine Folge von Werten nehmen,
die von links gegen X-0 konvergiert und dann muss gelten,
da ist die Funktionswerte, die Folge der Funktionsseite auch konvergiert.
Immer gegen die gleiche Zahl. Rechtzeitig, Hykonogenz heißt,
dass sie eine Folge von Werten nehmen, von X-Werten nehmen,
die von rechts gegen X-0 konvergiert und dann muss gelten,
da ist die zugehörige Folge von Funktionswehren,
auch gegen eine feste Zahl konvergiert,
die immer
die gleiche ist
Und wenn gilt, dass es gar keine Rolle spielt,
ob sie von links oder von rechts kommen.
Also wenn die Funktion quasi linksseitig konnogenz ist und rechtzeitig konnogent.
Die Reihenfolge, die Richtung keine Rolle spielt,
wo sie sich X-0 ernähren, dann sagt man, sie ist konnogent.
Wenn sie nicht konnogent ist, dann sagt man,
sie ist divergent, wie bei Folgen auch.
Was man auch noch macht, und die dritte Bezahlungsweise,
ich habe in diese Schreibweise schon eingeführt,
dass man zum Beispiel einem linksseitigen Grenzwert das oftmals so schreibt,
dass X von uns sich gegen X0 ernährt.
Was man manchmal auch findet, ist, diese Schreibweise,
X nähert sich Ignul an und man deutet jetzt durch dieses Minus an,
dass man von links kommt.
Hier hat man es mit einem Pfeil von unten nach oben getan.
Hier macht man es mittags Minus am X-0. Weil die rechtzeitiger Konvergenz,
diese Schreibweise, wo X von oben gegen X-0 geht,
kann man auch so schreiben, das finden sie auch in Büchern,
dass X gegen X-0 geht, von rechts wurde dann angezeigt durch dieses Plus hier.
Das sind unterschiedliche Schreibweisen. Gut, jetzt schauen wir uns
ein paar Beispiele an
In den meisten Fällen waren wir uns auf gewöhnliche Konnogent beschränken,
nur im pathologischen Fällen waren wir uns wahrscheinlich nur linkszeitig, rechtzeitig Konnogent anschauen.
Ich hoffe, Sie waren jetzt gleich sehen,
dass das nicht schwerer ist hier, was wir Guardian gemacht haben,
als das Rechnen mit Folgen, mit Konnogenten folgen.
Also wenn Ihnen das keine Schwierigkeiten gemacht hat,
dann sollte das hier auch nicht zu schwer sein.
Also schauen Sie sich diese Funktion an hier und Jetzt sollen sie an der Stelle
X-0 gleich 4 untersuchen, ob die Funktion dort konvergent ist.
Was heißt das? Per Definition muss ich Folgendes machen.
Ich muss eine beliebige Folge hernehmen, die gegen diesen Wert 4 konvergiert.
Und da er mich die Konvergenz interessiert und ich die linksseitig oder rechtsseitige,
unterscheide ich auch nicht,
ob ich von links oder von rechts komme für jede Folge,
wo jede beliebige Folge, die gegen 4 konvergiert,
muss ich jetzt schauen, was passiert mit der Folge der Funktionswerte.
Also ich schaue mir quasi an, was passiert mit
diesen Funktionswerten, wenn ich da diese Folgenwerte einsetze.
Also ich schaue mir diesen Tomi an
Und schaue, was passiert, wenn N gegen Unendlich geht.
Also wenn sich diese XN quasi dann gegen dieses X0 ernähren.
Was darf ich jetzt tun? Rechnen mit Folgen. Ich darf
dieses Liebes jetzt anwenden, auf diese einzelnen Taume hier.
Also ich darf die Liebes reinziehen, jetzt sind wir hier.
Auf diesen Tau mit der A auf von XN abhängt.
Und hier, das hängt auch von XN ab.
Also auch hier, auf 15 brauche ich es nicht anwenden,
weil das hängt nicht für nix Ende ab.
Das bleibt immer konstant 15, auch wenn N sie verändert.
Das sind sie hier angelangt. Und das können sie jetzt ausrechnen
. Was passiert denn hier zum Beispiel mit diesem Lebens?
Wenn Endgegen endlich geht, wenn Endgegen unendlich gilt,
nähert sich das XN4 an
Also da kommt viel heraus, vier hoch, drei halbe,
das heißt also vier hoch, drei ist 16.
Und dann das halbe noch heißt, die müssen nicht unter die Wurzel ziehen.
Das gibt acht. Aber es haben sie zweimal acht.
Das gibt hier auch diese zweimal acht. Hier haben sie,
XN geht gegen vier und die Wurzel davon ist zwei.
Also da kommen zwei heraus. Das eigentlich steht hier minus zwei.
Hier haben sie Lehmus von XN Quadrat, aber XN geht gegen vier.
Also geht das Ganze hier gegen 16. Also steht hier 16,
minus 15. Jetzt können sie das ausreichen, da kommt 14 raus.
Also, und da ich eine ganz beliebige Folge genommen habe, Eine ganz beliebige.
Nur halt war vorausgesetzt, da ist diese Folge gegen 4 konnogiert,
habe ich somit gezeigt, da ist die Funktion F.
An der Stelle 4 konvogent ist und der Grenzwert ist 14.
Wenn sie die quasi einzeichnen würden,
also den Grafenzeichnen würden, dann würden sie feststellen,
wenn sie sich dieser Stelle X0 gleich 4 ernähren,
dass der Grafenverlauf sich dem Wert 14 ernährt.
Und zwar egal, von welcher Richtung sie kommen.
Wenn sie den Grafen dazu zeichnen würden.
Zweites Beispiel,
ähnliche Funktion
Die soll jetzt an der Stelle X-0 gleich 2 auf Konvergenz
untersucht werden. Also, was mache ich wieder?
Ich nehme eine ganz beliebige Folge her, mit der Eigenschaft,
dass sie gegen zwei konvergiert und muss mir jetzt anschauen,
was passiert dann mit diesen Funktionswerten,
wenn ich für X diese X-N-Werte einsetze und engegen und endlich gehen lasse.
Also, ich muss mir anschauen, was passiert mit diesem Ausdruck.
Gut, jetzt brauchen wir genau das Gleiche. Oder nein,
was ich mache, ist, ja,
das habe ich ihn unterschlagen noch, dass sie vielleicht ganz gut,
als ich es gerade sehe.
Hier konnte ich ganz einfach rechnen, wieso konnte ich das
so einfach machen? So wie ich ja gerechnet habe,
ich habe ja hier
einen Quotienten
Zähler und Nenner. Und wenn sie sich nochmal die Regeln
bei den konvogenenten Folgen anschauen, dürfen sie denn lieben,
es auf den Zähler und auf den Nenner anwenden, nur unter einer Voraussetzung.
Wenn nämlich sichergestellt ist vorher, dass Zähler und Nenner konvogiert und
der Nenner nicht gegen Null konvogiert. Und das ist hier der Fall,
Tee und Nenner konvogieren, Unternehmer auch, aber,
und auch der Nenner konvogiert gegen die Zahl ungleich Null,
weil XN geht gegen vier, also geht das Ganze gegen 16,
minus 15 gibt eins.
Aber hier haben sie einen anderen Fachverhalt. Ich kann jetzt
nicht hergehen und kann den Liebes auf den Zählen und auf
den Ländern getrennt anwenden, weil wenn Endgegen unendlich geht,
geht diese XN gegen zwei und eine Sancy
dann Nenner geht gegen Null
Und die Rechenregel von konvogent die Folgen, wenn sie nochmal nachschlagen,
im siebten Kapitel, sagt aus, dass sie dann,
dass Delim es nicht getrennt auf Zählelot nicht mehr anwenden dürfen.
Ich muss also das erstmal umformen, sodass sichergestellt ist,
dass sie vielleicht irgendwie was kotzen können,
sodass der Nenner nicht mehr gegen Null geht.
Und das mache ich hier,
hier ist es relativ einfach, also was heißt einfach,
man muss es halt sehen, mit ein bisschen Übung.
Sie können das nämlich hier so darstellen,
wie sie das hier ausmodifizieren, dann sehen sie,
das ist das Gleiche wie das hier.
Und dann können sie sofort Folgendes machen,
das ist der Vorteil dieser Darstellung,
sie sehen,
sie können kürzen
Diesen Faktor, XN minus 2, der taucht im Zähler und dem Nenner auf.
Und wenn sie das nämlich dann kotzen, sieht es so aus.
Dann haben sie quasi den Nenner 1,
also taucht dann gar nicht mehr richtig auf, dann nimmer.
Sieht dann so aus. Und jetzt ist kein Problem,
jetzt lassen sie entgegen unendlich gehen, dann kennt dieses X gegen 2,
also geht das unter Klamoking in 5, mal 3, geht gegen 15.
Also haben wir gezeigt, diese Funktion hier konvogiert, und zwar gegen den Wert 15.
Wenn sie den Graphen dieser Funktion einzeichnen würden,
würde der irgendwie ganz wild aussehen,
aber eins ist sicher ohne die Funktion genau untersucht zu haben,
weiß ich jetzt schon, wenn ich mich der Stelle 2 annähere,
wie das hier die Stelle 2 ist,
nähert sich der Graph irgendwie den Wert 15 an.
Egal von welcher Seite
ich komme
Ob ich von rechts oder von links mich an diese Stelle zwei ernähre.
Hier, ein weiteres Beispiel. Wie haben wir die Funktion 1
durch X plus 2 hoch 2? Da soll man jetzt
an der Stelle minus 2 auf Konvergenz untersuchen. A,
also nämlich wieder eine beliebige Folge her von XN werden,
die gegen minus 2 konvergiert und muss dann schauen,
was passiert mit den Funktionswerten. Wenn ich vor X,
XN einsetze und endgänge und endlich geht,
aber das sehen sie relativ leicht, schauen sie es mal an,
sie müssen schauen, was passiert damit mit diesem Ausdruck.
Wenn XN sich gegen minus 2 ernährt, Dann geht der Nenner gegen Null.
Nur das Problem jetzt. Jetzt hatten wir hier ja auch.
Dann nennt euch hier auch gegen Null gegangen. Nur hier
hat mir ein Entscheid, eine Sache, die ganz unterschiedlich ist.
Ich konnte nämlich den Zähler anders darstellen, konnte dann kurzen,
und dann war quasi der Nenner eins, war ungleich Null.
Egal, was mit den X-In-Wern passiert.
Hier geht es nicht, hier kann ich nichts kotzen.
Im Zähler ist nichts zum Kurzen. Deswegen, ich werde immer
den Fall haben, dass der Nenner gegen Null geht.
Wenn ich mich mit den X-In, dem Wert minus zwei ernähre,
also dieser Ausdruck hier geht gegen unendlich.
Wenn Ende nur größer wird, geht X-N gegen minus zwei,
Aishockey to Nenner gegen Null,
und damit geht der ganze Bruch gegen unendlich
Also, dieser Grenzwert existiert nicht. Die Funktion ist an der Stelle,
x gleich minus zwei nicht konvogent, das heißt,
sie ist divergent. Und wenn sie den Graphen einzeichnen,
würden diese Funktion, würde das so aussehen,
sie sehen das jetzt auch bildlich, was passiert,
ob sie von links oder von rechts kommen hier,
sie hauen ab mit ihrer Funktionswerten, die gehen gegen Blues und endlich.
Es gibt keinen endlichen Wert, gegen den die Funktion dann streben würde,
wenn sie von links und von rechts kommen.
Vorher war es 15 der endliche Wert, hier 14,
aber hier gibt es keinen endlichen Wert.
Die Funktion ist divergent an der Stelle
minus zwei
Weiteres Beispiel? Nochmal, dass ihr links seid und rechtzeitig konnogent haben.
Diese Funktion ist dann, also es ist ein ähnliches Beispiel,
wie ich es vorher gemacht habe, diese Funktion ist linksseitig und rechtzeitig konnogent.
Wieso ist die links seitig und rechtzeitig konnogent?
Andere Stelle X-0. Die stellen sie sich,
die stellen X-0 vor, dann sehen sie,
wenn sie von links mit einer Folge sich X-0 nähern,
was passiert mit den Funktionswerten,
die nähern sich immer
dem gleichen Wert an
Hier, da landen sie bei diesem Wert.
Der existiert, der Grenzwert ist A, was rauskommt.
Der Lehmus von F von X,
wenn sie von links kommen, ist A, existiert.
Also ist sie linkszeitig konnogent. Wenn sie von rechts kommen,
sich X-0 ernähren, was passiert mit den Funktionswehren?
Sie sehen, die nähern sich, den Wert beeren.
Also auch dieser Lehmus existiert, wenn sie von rechts kommen,
der Lehmus F von X, wenn X gegen X-0 geht,
von oben ist B.
Aber sie sehen, dass A ungleich Bier ist.
Da ist eine Lücke
Deswegen, die Bye, die Funktion ist zwar linksseitig und rechtzeitig konvergent,
aber die beiden Grenzwerte sind, Stimmen nicht überein.
Also, wenn Sie sich nochmal die Definition anschauen, von Konnogenz,
da muss sie ja gelten, dass die Grenzwerte übereinstimmen.
Der linke Unterrichte. Das haben wir aber leider nicht in diesem Beispiel,
deswegen ist die Funktion an der Stelle X-0 nicht konvergent.
Sie ist linksseitig konnogent und rechtzeitig, aber nicht konvergent.
Gut. So, und jetzt haben wir alles,
was wir brauchen, um ihn zu erklären,
was sind stetige Funktionen
Und auch bei ständigen Funktionen gibt es, wie beim Konnurrenzbegriff,
wieder dann linksseitig, rechtzeitig oder ganz allgemein stetig.
Also sie haben eine Funktion F und sie untersuchen jetzt ein
X-0 aus dem Definitionsbereich. Und das ist, es schauen sie hierhin,
das kommt ganz unschuldig daher, aber das ist ein wesentlicher Unterschied.
Ignul-Element D fordere ich. Bei Stetigkeit,
wenn sie auf Stetigkeit eine Funktion untersuchen,
Der Begriff der Stätigkeit ist nur für reelle Zahlen definiert,
die zum Funktionsbereich der Funktion gehören.
Bei Konvergenz war das nicht so. Sie können auch auf Konvergenz an
einer Stelle untersuchen, der gar nicht zum Definitionsbereich gehört.
Aber hier ist es so, X-0 gehört zum Definitionsbereich.
Und dann sagt man, die Funktion F heißt an der Stelle X-0,
linksseitig stetig, falls F an der Stelle X-0 linksseitig konvergent ist.
Das ist schon alles. Das heißt also,
ganz kurz gesprochen, wenn dieser Grenzwert, dieser linksseitige Grenzwert existiert,
das sieht so aus, also im Prinzip ist das die Definition von Konvergenz,
von linksseitiger Konvergenz.
Es gibt nur einen einzigen Unterschied,
dass ich jetzt fordere,
dass X-0 aus dem Definitionsbereich ist
Ähnlich bei rechtzeitig stetig, eine Funktion heizen zu stelle,
X und rechtzeitig stetig, falls F an der Stelle X-0 rechtzeitig konvergent ist.
Also, wenn das hier gilt, wenn dieser Grenzwert hier,
der rechtzeitige Grenzwert existiert, wobei wir da vorausgesetzt ist,
dass natürlich das X-0 aus dem Definitionsbereich ist.
Und Stetigkeit heißt dann einfach,
eine Funktion ist an der Stelle X-0 stetig,
falls X-0 an,
falls der F an der Stelle X-0 linksseitig und rechtzeitig
stetig ist und
die Grenzwerte übereinstimmen
Also, wenn sie konvogent ist an dieser Stelle.
Und dieses X-0 wieder zum Definitionsbereich gehört. Also,
diese Konzepte, Konvergenz und Stetigkeit sind fast identisch,
nur bei der Konvergenz muss man nicht voraussetzen,
dass das X-0 zum Definitionsbereich gehört, dass man untersucht.
Aber bei Stettigkeit ist das vorausgesetzt. Also,
Konvogenz ist immer eine notwendige Voraussetzung,
dass eine Funktion überhaupt an einer Stelle stetig ist.
Genauso mit linkszeitig und rechtzeitig stetig. Eine Funktion kann
nur dann an einer anderen Stelle X-0 linkseitig stetig sein,
wenn sie an dieser Stelle X-0 auch linkseitig konnogent ist
So, und jetzt, wir haben immer eine einzelne Stelle X-0 angeschaut,
aber oftmals interessiert man sich natürlich für ganze Bereiche des Definitionsbereiches,
ob die Funktion dort stetig ist.
Und man sagt, eine Funktion ist linksseitig stetig,
oder wo bin ich denn jetzt, na klar hier,
heißt linkseitig stetig, rechtzeitig stetig, auf einer Menge eh,
falls F für alle X-0 oder für alle X aus dieser Menge eh linksseitig,
rechtzeitig und so weiter tätig ist.
Also immer das entsprechende Einsetzen. Also wenn sie haben,
dass eine Funktion F Auf einer Menge E,
also für alle X, aus einer Menge E,
rechtzeitig stetig ist, dann sagt man auch kurz,
diese Funktion ist auf dieser Menge E rechtzeitig stetig.
Genauso mit linkseitig stetig. Während sie haben,
dass eine Funktion F für alle X aus einer Menge E linkseitig stetig ist,
dann ist sie ja auch, da sagt man,
sie ist auf dieser Menge E linkseitig stetig.
Und wenn sie haben, dass eine Funktion F für alle X
aus einer Menge E stetig ist, dann sagt man,
die Funktion ist stetig auf der Menge E.
Und der allerschönste Fall ist natürlich der,
wenn diese Menge E, die Menge der Rähen Zahlen
ist oder
der Definitionsbereich ist
Wenn Sie das haben, dass eine Funktion für alle X
aus dem Technitionsbereich, linksseitig stetig ist,
dann sagt man ganz einfach, die Funktion ist linksseitig stetig.
Ist die Funktion für alle X aus dem Technitionsbereich rechtzeitig stetig,
dann sagt man kurz die Funktion,
F ist rechtzeitig stetig und ist die Funktion für alle X aus dem Definitionsbereich stetig,
sagt man, die Funktion ist stetig.
Also, die Bezeichnung, denke ich,
sind sehr simpel und, also uncharlich intuitiv, ganz klar.
Also, noch einmal in die Zusammenfassung, Bemaukum,
damit eine Funktion F an der Stelle X0 stetig ist,
müssen die folgenden drei Bedingungen
erfüllt sein
Die Funktion F muss an der Stelle X-0 definiert sein,
schauen Sie her, X-0 muss Element des Definitionsbrechers sein.
Dann der Grenzwert von F muss für X gegen X-0 existieren.
Und dieser Grenzwert muss immer der Gleiche sein,
egal welche Folge sie hernehmen. Das sind die drei Dinge,
wenn das gilt, dann haben sie eine stetige Funktion.
Und sie wollen jetzt gleich sehen, das ist relativ formal,
aber sie wollen eine Funktion irgendwann mal relativ schnell ansehen,
wenn sie in den Grafen zählen, ob die stetig ist.
Und dann, dass so dann der nächste Schritt sein,
es kommt der nächste Woche, werde ich ihnen zeigen,
dass all die Funktionen, die sie kennen, holinome,
rationale Funktionen, Potentfunktionen, Logarhythmus, Expenzialhaarfunktionen und so weiter.
Wenn sie es addieren, diese Funktionen, wenn sie es multifizieren,
dividieren und so weiter, all diese Kombinationen, wenn sie sie verknüpfen,
dass all diese Funktionen stetig sind, auf dem kompletten Definitionsbereich.
Also brauchen sie dann gar nicht mehr viel untersuchen.
Dann können sie sich einfach auf dieses Ergebnis beschränken. Dann können sie zum Beispiel sagen,
wenn sie eine Funktion haben, die quasi irgendwie das Produkt,
die Summe, der Quotient oder die Zusammensetzung von anderen Bausteinen ist,
sehen aus, Cosinus, was weiß ich,
locker Rhythmus, Ex- und Saalfunktionen, rationale Funktionen,
dann können sie einfach sagen,
die einzelnen Bestandteile sind ja alle stetig
Diese Addition, Multikation und so weiter von ständigen Funktionen erhält aber die Städtigkeit.
Also ist die komplette Funktion stätig. So könnt ihr dann
am Schluss argumentieren. Da brauchen sie noch gar nicht mehr
viel rechnen. Gut, diese Funktion hier. Und erzählen Sie
den Unterschied zur Schule. Hätten sie wahrscheinlich dann gesagt,
mit der Definition von der Schule, diese Funktion ist nicht stetig.
Weil man lernt ja an der Schule,
also so hat man es mir noch erklärt in der Schule,
eine Funktion ist stetig, wenn man den Grafen zeichnen kann,
ohne den Stift abzusetzen.
Können Sie diesen Grafen zeichnen, ohne den Stift abzusetzen?
Ich denke nicht.
Können Sie nicht
Sie haben einen ganz speziellen Stift. Gut, also,
aber diese Funktion ist stetig. Wieso ist die stetig?
Die beiden Stellen, die Sie vielleicht in Frage stellen würden,
für Stätigkeit, sind wahrscheinlich minus zwei und eins.
Aber diese beiden Stellen gehören ja nicht zum Definitionsbereich der Funktion.
Die musste ich ja rausnehmen, weil an diesen Stellen der
Nenner null wird. Aber es macht nur bei Werten,
also an Stellen sind, nach Stätigkeit zu untersuchen,
die zum Definitionsbereich gehören.
Weil nur dafür ist der Begriff der Stätigkeit definiert
Deswegen, an allen anderen Stellen,
wo die Funktion definiert ist, ist die Funktion stetig.
Nehmen Sie mal ein ganz einfaches Beispiel her, dass Sie auch
ein Gefühl dafür kriegen, wie wir das ganz einfach sieht.
Zum Beispiel hier bei minus eins, warum ist die Funktion dort stetig?
Ob Sie jetzt von links kommen oder von rechts,
die Funktionswerte nähern sich einem Wert an,
nämlich so wie es aussieht im Wert null oder ein bisschen kleiner als null.
Minus 0,1 oder sowas. Nähern sich die Funktionswerte an.
Und zwar egal, ob Sie von links oder von rechts kommen,
weil da ist ja kein Sprung an dieser Stelle.
Es schließt sich, die Funktion schließt sich.
Genauso hier, hier, hier, hier.
Deswegen sieht man das sofort, wenn man den Grafen hat,
um die Funktion stetig ist
Sie dürfen nur nicht den Fehler machen, zu glauben,
die Funktion wäre an dieser Stelle und an dieser Stelle,
deswegen nicht stetig, weil das sind Stellen,
wo die Funktion sowieso nicht definiert ist und deswegen ist dort
der Begriff der Städtigkeit sowieso gar nicht definiert,
dann kann sie deswegen auch nicht unstätig sein.
Nächstes Beispiel, du warst trinken? Gut,
hier haben Sie eine Funktion, die sieht schon ein bisschen
komisch aus, hier Läuft sie ganz schön.
Jetzt habe ich hier so einen Kreis gezeichnet und hier habe ich auch einen Kreis gezeichnet.
Was möchte ich damit andeuten? Damit möchte ich andeuten,
dass die Funktion hier ganz normal verläuft und dann an der Stelle zwei,
hier dieser Wert, der gehört nicht mal hierzu,
sondern dann ist die Funktion für, ist das ja der Funktionswert?
Genauso hier laufen sie hier hoch,
aber an der Stelle zwei springt die Funktion hier runter.
Das heißt also an der Stelle,
X gleich zwei ist nicht das hier oben,
der Funktionswert der Funktion,
sondern dafür unten.
Gut,
und hier ist es ähnlich
Wenn Sie hier von rechts kommen,
ist das hier der Funktionswert, der gehört noch,
also an der Stelle 4 ist das zur Funktionswert und nicht das hier.
Also die Funktion läuft so schön aus,
bis zu 3,99999999999999 und so weiter, läuft die Funktion so aus,
aber an der Stelle 4 ist das zur Funktionswert.
Und hier ist es so, die Funktion läuft hier so runter,
asympathisch, nähert sich der Sex an, Gymnasium von rechts,
aber an der Stelle 6 ist der Funktionswert gegammt durch diesen Punkt,
also durch Zweige geben.
So, und jetzt untersuchen wir mal,
wo ist diese Funktion linkseitig steht,
die größte rechtzeitig ständig und wo ist die vielleicht
sogar stetig
Gut, untersuchen wir mal als erstes die Stelle X0 gleich 4. Diese Stelle.
An dieser Stelle ist die Funktion. Rechtzeitig stetig,
aber nicht linkseitig stetig. Wieso? Nehmen Sie eine Folge
von X werden, die gegen 4 konlogiert von rechts.
Was passiert mit den Funktionswerten? Die nähern sich an.
Und die konlogieren dann gegen den Wert 3. Und nass ist der Funktionswert an der Stelle 4.
Der heißt 3. Das passt. Aber wenn sie von links kommt,
hier sich an der anderen Stelle 4, dann ist das ja durch Graf
Und dann die Funktionswerte, die konvogieren, sie seien,
sie konvogieren gegen den Wert eineinhalb.
Glauben, Habisters, genau. Konvogiert gegen einen Halb.
Aber das ist nicht nur funktionswerte Funktion an der Stelle vier.
Der ist drei. Also hier gilt der linksseitige Grenzwert.
Der linksseitige Grenzwert ist, wo haben wir es denn hier, oben steht es? Von oben,
wenn ich von rechts komme, mit rechtzeitig ist drei,
das ist F und vier, also das sagen sie rechtzeitig stetig,
aber der linksseitige, wenn ich von links komme,
als ich mich von unten an die vier ernähre,
kommt ein Halb raus, das sieht man hier,
die Funktionswerte konvogieren gegen eineinhalb, aber du funktionswert ist hier oben,
der ist drei.
Und das ist halt nicht
ein Hype
Und das widerspricht durch Städtigkeit, nämlich schauen Sie,
bei linkseitiger Städtigkeit müsste diese Gleichheit hier gelten.
Da ist der linkseitige Grenzwert gleich F und X-0 ist.
Das haben wir nicht. Gut,
dann untersuchen wir mal die Stellen X-0 gleich,
2 und X-0 gleich 6. Machen wir zuerst mal X-0 gleich 2.
An der Stelle, X-0 gleich 2 ist die Funktion,
weder linksseitig noch rechtseitig stetig.
Was passiert? Wenn Sie von links sich an die Stelle
2 ernähren,
konnogieren die Funktionswerte gegen zwei
Und auch wenn die von rechts kommen, konvergieren die Funktionswerte gegen zwei.
Aber du Funktionswert ist als eins definiert an dieser Stelle.
Also gilt wieder aus der Linkseitige,
aber auch diesmal der rechtzeitige Grenzwert, ungleich dem Funktionswert sind.
Also ist sie nicht linksseitig und auch nicht rechtzeitig stetig.
Und jetzt noch, die letzte Stelle hier, die Stelle sechs.
André Dolly sechs existiert der Grenzwert nicht, also wenn sie
jetzt von links kommen, Was passiert da mit ihren Funktionswerten?
Die hauen ab, gehen gehen minus unendlich.
Auch von rechts kommen. Funktionswerte gehen gegen minus in endlich.
Aber die Funktion ist an dieser Stelle definiert als zwei.
Also gilt wieder, dass der Grenzwert nicht gleich dem Funktionswert ist an dieser Stelle.
Also nicht linksseitig und auch nicht rechtzeitig stetig.
Ja. Also auch insgesamt nicht stetig
So, und jetzt fragen sie sich, vor was braucht man überhaupt linkseitige Stätigkeit?
Sie haben sich wahrscheinlich bis jetzt immer nur mit Stätigkeit beschäftigt.
Es gibt halt viele Funktionen in anderen Bereichen,
wie zum Beispiel Statistik oder später dann,
wenn sie sich für das bewerten, von Terrivaten interessieren oder fürs Risikomanagement,
wenn sie sich mit Risikomaßen beschäftigen.
Da wollen sie sehen, dass wir in bestimmten Situationen,
man den Begriff der linksseitigen und rechtzeitigen Ständigkeit benötigt.
Deswegen habe ich das hier gemacht und ich gäbe hier mal
jetzt einfach zum Beispiel, das sie vielleicht schon hatten,
wenn sie VWL studieren, haben sie ihre Statistik.
Da haben sie wahrscheinlich auch schon einen Begriff der Verteilungsfunktion gehört oder der empirischen Verteilungsfunktion,
für diejenigen, die sie nicht hatten,
Ich habe es hier nochmal definiert, was.
Das heißt, sie müssen sich Folgendes vorstellen.
Sie haben relative Häufigkeiten von Morgmaßausprägung. Wir können zum Beispiel
Folgendes machen. Wir könnten hier jetzt die Leute,
die hier zum Hörsaal sitzen, die haben ja,
denke ich, alle im AT1 geschrieben.
Und die, denke ich mal, die allermeisten gehen wir
weiter von OSA, die haben AT1 geschrieben.
Dann könnten wir die Maulkmale untersuchen. Das mag mal
eine Note untersuchen, die sie hatten in der Matti1-Prüfung.
Und dann gibt es quasi die Maulgmaßausprägung in 1 bis,
glaube ich, 5 haben wir.
Sechs haben wir gar nicht 1 bis 5. Gut,
dann gibt es 5 Markmaßausprägungen.
Und dann könnten wir schauen, wie sind die Anteile?
Also wie ist der Anteil der einzelnen Noten? Zum Beispiel 1,
5 Prozent, 2, 20 Prozent,
30 Prozent und 4 oder was weiß ich.
Also so,
dass es im Schluss dann 100 Prozent gibt
Das wären dann die relativen Häufigkeiten. So,
aber jetzt interessiert sie oftmals auch eine andere Fragestellung.
Wie groß ist denn die relative Häufigkeit, eine Note zu haben?
Kleiner gleich zwei, also eins oder zwei. Oder wenn
sie sich dafür interessieren, wie groß ist denn die relative Häufigkeit,
die Prüfung bestanden zu haben? Das würde bedeuten,
sie interessieren sich für die relative Häufigkeit von eins, zwei,
drei und vier, weil mit diesen Noten haben wir bestanden.
Da müssten sie quasi diese relativen Häufigkeiten, diese vier addieren.
Und dann kriegen sie quasi die relative Häufigkeit für bestanden
So, und das macht man mit der sogenannten Häufigkeitsfunktion,
eine mit der empirischen Verteilungsfunktion, das hier ist die sogenannte Häufigkeitsfunktion,
die gibt ihnen an von den verschiedenen Maulkmale,
wie groß die Häufigkeit ist,
das ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die relativ Häufigkeit.
Hier hätten wir quasi, die XI wären quasi X1,
wäre dann zum Beispiel nur die 1,
X2 wäre die Note 2, X3 wäre die Note 3,
X4 wäre die Note 4, x 5, die Note 5.
So, und wenn sie jetzt hergehen und addieren,
kumulieren, die ist ja relativ in Häufigkeiten,
immer bist du und im sprechenden Wert,
wo sie sich befinden,
dann bekommen sie
die sogenannte empirische Verteilungsfunktion
Die sieht dann ungefähr so, oh, hier nochmal dazu,
da, also bleiben wir in unserem Bild mit den Noten,
da eine Note schlägt er besser als eins nicht möglich ist,
also null, minus eins,
minus zwei und so weiter, ist dann nicht möglich.
Also die relative Häufigkeit für solche Noten ist null. Ah,
es ist bis zu eins, also bis zum Wert X1,
alles kumuliert null. Dann aber, wenn ich dann anschaue,
von eins bis zwei, von zwei bis drei,
von drei bis vier und so weiter,
die sind relativ häufig keins hin, nicht null.
Und dann artiere ich immer so viele relative Häufigkeiten,
je nachdem, wie weit ich mit dem X bin.
Ich addiere die HI, die zu XI gehören,
die Klane
gleich X sind
Und wenn ich dann quasi x betrachte,
die größer sind als der größte mögliche Marktmaßausprägung,
also fünf, zum Beispiel sechs, sieben, acht,
dann ist natürlich die relative Häufigkeit aufkommuliert bis dorthin eins.
Und so sieht das Ganze dann aus. Dann bekommt sie so eine Treppenfunktion. So. Ein,
das ist der Fehler an meinem Bildchen,
ich habe ihm gerade ein Beispiel gemacht mit Noten,
dann sollten aber die Sprünge natürlich B1, bei zwei,
bei drei und bei vier sein und so weiter,
diese Grafik hier bezieht sich jetzt nicht auf das Beispiel,
das ich ihn gerade gebracht habe,
steht ganz beliebige empirische Häufigkeitsverteilung oder Verteidigungsfunktion
Also, mein Bild, das ich ihn gerade gegeben habe,
korrespondiert nicht mit meiner Grafik. Gut,
aber was ich ihn zeigen wollte, ist, also,
auch wenn sie von dem, was ich ihnen gerade eben erzählt habe,
nicht so viel verstanden haben, weil sie sich morgen müssen,
ist, es gibt sogenannte empirische Verteilungsfunktionen.
Und die haben eine solche Form, wenn sie zu einer
sogenannten diskreten Zufallsvariablen gehören. Und da sancy war es passiert,
die sind rechtzeitig stetig, aber nicht linkseitig stetig.
Wenn sie von rechts kommen, ist die Funktion stetig,
weil hier der Werte zugehört, wenn sie von links kommen,
schaut mal hier zum Beispiel an dieser Stelle,
Funktionswerte sind null,
null null
Die Funktionswerte konvogieren quasi gegen Null, aber du funktionst,
sie hat an dieser Stelle, ist nicht Null, der ist
irgendwie 0,3 oder 0,2. Also von links kommen,
konvogieren die Funktionswerte, nicht gegen den Funktionswert an dieser Stelle,
weil der ist ja oben und nicht Null.
Wenn sie aber von rechts kommen, konvogieren die Funktionswerte gegen
diesen Wert und das ist auch funktionswert an dieser Stelle.
Gut, ich würde sagen, dass wir das dann das
nächste Mal machen. Ich wünsche Ihnen einen schönen Tag,
inise Sie
das Wetter