So, willkommen zur Mathematikvorlesung. Nehmen Sie bitte Blatt.
Vielen, vielen ein gutes, neues Jahr. Ich hoffe,
Sie hatten einen guten Start. Ich möchte Sie bitten,
heute ein bisschen leiser zu sein als sonst.
Sie würden sagen, das geht gar nicht.
Ich glaube schon. Vielleicht haben Sie es schon bemerkt.
Die Vorleitung wird heute aufgezeichnet. Der Grund ist relativ einfach
. Am Mittwoch musst du die Vorleitung ausfallen,
wenn nach etwa fünf Minuten der Beamer defekt war.
Was die NATO herausgestellt hat, auch nicht so richtig war.
Also nach 15 Minuten lief er wieder,
aber nach zehn Minuten waren alle Studierenden verschwunden
Fang. Hier sind wir hier,
diese Vorleistung heute aufzeichnen, sodass die Leute vom Mittel,
am Mittwoch Termine, also des ersten und zweiten Zuges,
die Gelegenheit haben, auch diese Vorleistung zu verfolgen.
Das wird wahrscheinlich noch einmal so sein,
dass wir die Vorlesung aufzeichnen, und zwar am 21.,
das heißt also heute in 14 Tagen, und der Grund ist halt der,
dass am Mittwoch dann am 19. der Universitätstag ist.
Deshalb, wenn sie nicht im Internet erscheinen möchten,
wie es in der Nase bohren, oder sonst unangenehm auffallen,
dann müssen sie sich jetzt heute ein bisschen anstrengen.
Ich glaube auch, die Ton des Videos besser ist,
besser ist,
wenn die Textruppe sprechen
Also bittetscht. Kurze Wiederholung. Zu dem, was
Sie gemacht haben, vor den Terrien, vor Weihnachtsferien.
Ich wiederhole kurz den goischen Algorithmus. Nämlich, ja,
für all das, was kommt. Also in den nächsten fünf Wochen,
also heute in den nächsten vier Terminen, zentral.
Wenn Sie den beherrschen, können Sie einen großen Teil der Vorlesung.
Also deshalb kehren Sie sich dort große Mühe.
Kurze Wiederholung,
goische Algorithmus
Wenn Sie die Problemstellung haben,
dass Sie einen jahresgleichen System der Form einmal x gleich B lösen müssen,
dann ist der erste Schritt bei der Anwendung des,
glaube ich, ein Algorithmus, dass Sie ein solches Tableau aufstellen,
wo auf der linken Seite hier die Matrik steht,
die koeffiziente Matrix und auf der rechten Seite, ja,
die rechte Seite des Gleichungssystems.
Und dann können Sie, das ist immer möglich,
durch Umformungen mit den Zeilen, das heißt Zeilen, vertauschen,
Zellen mit einem Skalar, ungleich null zu multiplizieren, Zellen aufeinander zu addieren.
Sie dürfen sogar Spalten vertauschen. Wenn die das dann machen,
dann sind sie in der Lage,
nach ein paar Umformungsschritten eigentlich solche Struktur zu bekommen
Ich habe ihn da schon damals erläutert,
dass das jetzt vielleicht schlimmer aussieht als das,
was wir zuvor hatten hier,
aber wenn wir dann konkret die Beispiele uns einschauen,
wo dann relativ schnell deutlich,
was jetzt hier bedeutet und wie das zu lesen ist,
aber sie können immer eine solche Struktur erzeugen,
wo hier links oben eine Einheitsmatrik steht und dann haben sie vielleicht noch ein paar Zellen,
es muss nicht so sein, eventuell haben sie noch Zellen,
wo nur null stehen und auf der rechten Seite hier und dieser Ecke hier,
da stehen irgendwelche Zahlen.
Gut, und dann kam daraus die Lösung, ablesen,
das ist hier ganz allgemein formuliert in diesem Satz,
wie dann
die Lösung aussieht
Aber wenn man das so als allgemein formuliert, oftmals schwieriger
zu verstehen ist, habe ich eine ganze Reifenbeispiel angegeben.
Und die schauen wir uns nur mal kurz an, wie das dann funktioniert.
Hängt sie zum Beispiel dieses gleichen System lösen müssen?
Schreiben sie zuerst die Koeffizienten von der linken Seite hier in ein solches Tabelle.
Und die Einträge auf der rechten Seite, die stehen hier.
Und jetzt müssen sie halt durch elementare Zellenumformungen erreichen.
Da ist sie so eine Struktur bekommen, wie gerade er ihm gezeigt.
Und hier würde das bedeuten, dass wir zuerst hier unter der 4 Nullen erzeugen.
Und das ist wie angegeben dann geschehen. Und wir bekommen
dann am Schluss diese Struktur hier und sie sehen,
Das hier, diese Matrix hier, ist genau von der Gestalt,
wie sie hier ganz allgemein angegeben habe hier.
Sie haben hier diese Einheitsmatrix, dann haben sie noch eine Zeile,
die nur aus Nullen besteht, hier.
So, und sie haben aber keine, diesen Teil hier,
den haben sie gar nicht, der verschwindet.
Den haben sie in diesem Fall gar nicht.
Das kann auch sein, dass der gar nicht auftritt.
So, so sieht das jetzt hier aus und dann könnt ihr
jetzt die Lösung unmittelbar ablesen. Sie können nämlich jetzt ablesen,
dass X1 gleich drei sein muss und X2,
das ist ja diese Spalte hier, gleich minus eins.
Hier, das ist ein anderes Beispiel, doch Elementare,
Zellenumformung, erhalten Sie
Diese Struktur könnte wieder die Lösung ablesen und unten.
Hier ein anderes Beispiel. Doch elementare Zellenumformungen erreichen es am Schluss,
diese Struktur hier. Und hier sehen sie jetzt Folgendes.
Und das ist auch der Fall, dann den Studierenden am meisten Schwierigkeiten bereitet.
Deswegen habe ich den auch hier nochmal auf die Tafel,
an die Tafel geschrieben. Sie haben jetzt hier nämlich den
Fall, dass sie hier eine nicht eindeutige Lösung haben.
Wir wollen gleich sehen, das ist ein zweidimensionaler Raum,
der von diesen Lösungen aufgespannt wird. Sie haben nämlich hier
zwei Zellenlektoren und zwei Zellen, die nur aus Nullen bestehen.
Und da hier auch auf der rechten Zeit die Nullen stehen,
Gibt es eine Lösung, aber sogar,
oder diese Lösung ist nicht eindeutig, es gibt sogar unendlich viele Lösungen.
Und wie kann man jetzt diese Lösung aufschreiben? Wie findet man
die heraus? Als wenn sie so einen Fall haben hier,
dass sie hier so Zeilen haben,
wo nur Nullen stehen und auf der rechten Zeit steht ab
in die Null und dann gibt es eine Lösung und die ist dann nicht eindeutig.
Da haben sie also quasi unendlich viele Lösungen. Das habe ich
vor zwei, drei Wochen, also vor den Ferien,
erläutert. Bei linearen Kleidungssystemen gibt es nur drei Möglichkeiten.
Entweder sie haben genau eine Lösung, also es existiert
eine Lösung, die ist eindeutig.
Sie haben keine Lösung oder sie haben unendlich viele Lösungen.
Den Fall, da ist die zwei Lösungen, drei,
vier, fünf Lösungen haben, den gibt es nicht.
Berliner Handgleich im System. Eine,
ob keine oder
unendlich viele
Und wenn die unendlich viele haben, dann ist es immer
ein Raum, der aufgespannt wird von bestimmten Vektoren.
Und wie kippt man diesen Raum jetzt an?
Das sieht man an diesem Beispiel relativ gut.
Also ich habe hier einfach nochmal diesen Fall hier.
Diesen Teile habe ich nochmal hier aufgeschrieben, hier Sancies.
Einfach nochmal als Gleichungssystem formuliert. Hier habe ich einmal X1 und so weiter.
Das ist diese Einzieher. Und sie müssen hier berücksichtigen,
dass sie das auch richtig dann lesen. Wir haben hier
an dieser Stelle, an diesem blauen Teil, die Variablen vertauscht.
X2 und X3 vertauscht. Deswegen steht jetzt hier nicht mehr X2,
das ist nicht die Spalte für X2, sondern die Spalte für X3.
Und das ist hier jetzt die Spalte für X2.
Deswegen steht hier jetzt
Nicht minus 3x X3, sondern minus 3x
X2. Und so habe ich das Ganze jetzt abgeschrieben,
dann bekommen sie dieses, das sind ja ein Gleichungssystem.
Und die letzten beiden Zeilen hier,
da steht eigentlich nur null gleich, null da.
Das hier. So, und jetzt fahren wir das Ganze um.
Ich bringe diese minus 3x X2, diese minus 3x X4
auf die rechte Seite, genauso für die zweite Gleichung.
Zweimal X4 kommt auf die rechte Seite,
dann sind sie
hier angelangt
Da sind sie hier quasi, diesen Teil haben sie dann.
Und jetzt führe ich, das müssen sie nicht so machen,
aber es ist besser fürs Verständnis.
Man sieht dann auch schneller, was passiert. Dass man
auch sieht, welche Variablen sind freiwählbar und welches sind festgelegt.
Ich wähle jetzt für x zwei und x vier eine andere Bezeichnung.
Ich sage x zwei wäre es und x vier wäre T.
Dann kann man das auch so schreiben.
Drei. Hier diese drei habe ich vergessen, sage ich.
Drei plus. So. Dann haben sie hier drei plus dreimal
S. Plus dreimal T.
Weil ich x zwei
Als S bezeichne und X-4 als Tee und hier
unten steht dann eins, minus zweimal Tee.
Das sieht es jetzt so aus. Wie man es hier haben,
also X-1 ist gleich drei, plus dreimal S,
plus drei T und X-3 ist eins, minus zweimal Tee.
Und jetzt müssen sie das so lesen.
S und Tee können sie beliebig wählen. S und T
sind beliebige, reelle Zahlen. Und dann muss aber,
wenn sie da so ein S und T ganz beliebig wählen,
ist dadurch auch X-1 und X-3 festgelegt.
Nämlich dann müssen sie das hier einsetzen für S und VT
und dann bekommen sie reelle Werte für X-1 und X-3.
Das heißt also, S und T sind frei selber,
aber damit ist dann auch X-1 und X-3 festgelegt
Und jetzt könnt ihr das Ganze noch übersichtlicher schreiben.
Ihr Lösungswektor sieht also so wie folgt aus.
Es kennt sie einfach her und schreiben das hier in Vektorform.
Wir haben hier einen Vektor, der besteht aus den Komponenten
3010, wieso? X1 hat hier eine 3,
X2 ist ja, das habe ich so bezeichnet.
X2 ist gleich X2 und X. X4 ist gleich Tee.
S und T ist eine beliebige Realitalen. So,
deshalb steht jetzt hier für X2, weil X war ja Ässist,
da gibt es keine feste Zahl, steht hier eine Null,
aber ich habe einmal und habe null mal Tee für X2. X3 leisten sie so und dann gehen sie hierher.
Da haben sie eins, minus zweimal Tee, also steht hier für X3 1,
null mal S, aber minus zweimal Tee und X4.
Ich vergleiche Tee, also haben sie hier null stehen,
auch Hirne null stehen, aber hier haben sie einmal Tee.
Und jetzt haben sie das hinweg, durch Schreibweise geschrieben.
Jetzt seien sie, was passiert ist. Ihre Lösung,
es sind zwei demensionale Raum. Sie haben einen Vektor,
da stellen sie sich vor, sie haben,
also wir sind ja im vierdimensionalen Eich,
können sie sich das bildlich nicht mehr vorstellen.
Was macht eine Summe? Vor allem, es stellt sich
im dreidimensionalen vor. Wir sind jetzt bewegend zum dreidimensionalen,
sie haben weg oder geht irgendwo hin? Es hieß,
der hier irgendwo und dann sind sie hier und dort
gehen dann an dieser Stelle gehen zwei Wecktoren weg
Das sind diese beiden hier und die dürfen sie mit
beliebigen Reihenzahlen multiplizieren. Man wird quasi an dieser Stelle,
wo die so wegtu, hinzeigt,
hier gehen zwei andere Wektonen weg und die spannen eine Ebene auf.
Können sie dir das einigermaßen vorstellen? Und auf dieser Ebene
liegen alle Divektoren und in dieser Ebene liegen all die Vektoren,
die in die Lösung sind, dieses linearen gleichen Systems.
Also die Menge ihrer Lösungen ist ein zweiedimensionaler Raum.
Das sind unendlich viele Lösungen. Aber die haben alle
die Eigenschaft, dass sie sich so darstellen lassen.
Sie nehmen tiefen Wektor her und addieren Vielfaches und diesen Vektor
und beliebige Vielfache von diesem Vektor hinzu und damit kommen sie
auf die Art und Weise
alle Lösungen
Also sich das gut einprägen, weil... Ja,
das sind beliebte Klausuraufgaben, weil da kann man dann sehen,
ob sie auch ein bisschen schwierigere Fälle dann im Goschen-Algorithmus lösen können und nicht,
dass nur eine Lösung rauskommt, die da eindeutig ist,
sondern sie beliebig viele Lösungen haben.
Aber die Vorgehensweise ist immer klar. Sie landen bei so einer Tabelle. Sie sehen,
dass hier zwei Zeilen sind, wo nur null stehen,
auf der Rechenzeit stehen auch null,
das heißt,
es ist lösbar und es ist dann nicht eindeutig die Lösung und dann müssen sie hergehen,
das kann die Nummer in Gleichungsform schreiben,
dann lösen sie das irgendwie auf und dann zählen die
das auf einer Seite,
dann variabel entstehen
Die sie frei wählen können. Hier war es X-Wahlen,
X-4, denen gäben sie neue Bezeichnungen wie hier.
Und dann schreiben sie das Ganze mit diesem neuen Bezeichnungen um.
Dann sind sie hier. Und dann könnt ihr das ganz
einfach im Lektor schreiben, weil ich sie darstellen kann.
Gut, dann haben wir uns so angeschaut,
das war der letzte Teil, oder das hat ja Hajohanse mit denen gemacht.
Simultane die Gleichungssysteme. Und das auch hier jetzt wieder gut
aufpassen, weil das waren sie jetzt gleich brauchen.
Für die Berechnung von Inversion. Man kann mit dem
komischen Algorithmus auch gleichzeitig mehrere lineargleichen Systeme lösen
Wenn die eine gemeinsame Eigenschaft haben, wenn sie den Fall haben,
dass sie mehrere lineare Kleidungssysteme zu lösen haben,
wo diese koffizienten Matrix A immer die gleiche ist.
Das muss die gleiche sein. Aber die rechte Seite darf unterschiedlich sein. Klar,
aber sonst hätten sie das gleiche lineargleichen System und dann müssen sie
es nur einmal lösen und haben dann auch für die anderen Klinikangleichungssysteme die Lösungen.
Also wenn sie jetzt solche in den Jahren Kleidungssysteme haben,
wo nur die koffizienten, wo nur die rechte Seite sich verändert.
Man könnte die alle gleichzeitig lösen. Nun koschen Algorithmus.
Und das geht genauso wie vorher auch. Sie müssen einfach hergehen und die Verlösungsvektoren,
also diese Variablen, die sie berechnen möchten,
Hier ist ein Vektor, X1, ein Vektor X2 und so weiter,
die schreiben Tick in einem Atrix.
Quasi das hier wäre die erste Spalte, diese Matrix,
Groß X, ist der Vektor klein, X1 und so weiter.
Dann hier der Vektor X2, ist hier die zweite Spalte und
so weiter. Dann bekommen sie diese Matrix, Groß X.
Und die rechten Seiten hier von diesem linearen Kleinungssystem,
die schreiben sie auch in eine Matrix als Spalten,
dann bekommt sie diese Matrix B.
Und jetzt ist die Aufgabe, sie müssen dieses lineare gleichen System lösen,
wo halt jetzt die rechte Seite kein Werkpommen ist,
sondern eine Matrix.
Das kann man quasi nicht so veranschaulichen.
Und das sind all diese linearen Kleinungssysteme
drin enthalten
Und am besten Team und das ist ein Beispiel,
was da passiert. Wir haben jetzt die Fragestellung,
dass wir einen Produzenten haben, mit einer kompetenten Matrix.
Das ist hier diese Matrix A hier. Das ist die
Matrix A. Und die rechte Seite gibt quasi die Ressourcen an.
Und der hat dieser Hersteller oder dieser Produzent hat diese Berechnung
für verschiedene Monate zu leisten.
Und in diesen unterschiedlichen Monaten hat er unterschiedliche Ressourcen zur Verfügung.
Und das sind quasi hier unterschiedliche Rechteseiten. Das ist quasi
Erwecktor B1. Das ist ja Vektor B2 in diesem Vektor B3.
Wir haben also jetzt die Situation,
dass wir immer die gleiche Koeffizientenmatrix haben,
das ist hier diese hier,
aber unterschiedliche rechte Seiten
Und man soll jetzt für diese drei linearen gleichen Systeme,
die da entstehen,
dann soll man gleichzeitig simultan mit dem Coaching-Algorithmus die Lösung bestimmen.
Und das gilt genauso wie auch im normalen Fall.
Sie gehen einfach her und stellen dieses Tableau auf.
Hier ist die kompetente Matrix und hier haben sie jetzt halt drei rechte Seiten.
Das ist einmal die erste rechte Seite, die zweite und die dritte.
Und das Ziel muss jetzt sein, durch Zeilenumformung,
diese Matrix A, so umzuformen, dass sie wieder diese Struktur bekommen,
die ich ihnen vorher gezeigt habe.
Und das geschieht hier, die Rechnungen sind genau die gleichen.
Das heißt, Zeilen AD und voneinander abziehen,
mit Kalan multiplizieren, eventuell Spalten vertauschen, das ist alles erlaubt.
Und dann landen sie am Schluss hier,
beziehungsweise wenn sie noch ein bisschen umformen,
hier.
Und jetzt können sie hier
die Lösung ablesen
Zum Beispiel ist die Lösung für das erste lineare Gleichungssystem,
wenn also die rechte Seite bitte hier ist,
sieht die Lösung so aus, na, hier bin ich.
Die Lösung ist dann, dass X1,20 sein muss,
X2 muss minus 5 sein und X3 muss 40 sein.
Also das ist die Lösung hier für das erste lineare Gleichungssystem.
Für das zweite ist die Lösung 20, 45,30,
also das ist dieser Vektor und für das dritte Line-Anklärungssystem ist das ja die Lösung.
Also die Rechnungen sind genau gleich. Wo, was
sie halt vielleicht ein bisschen mehr arbeiten müssen. So,
und jetzt wollen sie gleich sein,
wie man Dieses simultane Lösung von den Jahren gleiches System zu berechnen,
einer sogenannten Inversion einsetzen können.
Das ist jetzt quasi der nächste Abschnitt.
Ja. Um. Könnt ihr mal die Hand heben,
das ist immer so. Jetzt hier. Also ich habe
nur den ersten Teil gehört von ihr oder den zweiten Teil
war das, glaube ich.
Irgendwas von sinnlos gehört und rechnen
Also, sonst kriege ich die Frage, die ihr nehmt.
Wir rechnen. Das weißt du, was ich die Zeit
habe. Das Ergebnis, also nicht die Sendung.
Das ist eine Freiheit. Ich habe eine große Zeit.
Ach so, jetzt weiß ich, was sie meinen.
Okay, schauen wir uns mal an. Ja, ja
, okay. Also, die Rechnung selber war nicht Sinn,
weil es ist ein Gelbnütz, es ist vielleicht schwer zu interpretieren.
So, können wir uns auf diese Sprechweise verständigen.
Da haben sie jetzt vollkommen recht. Also, die Bemorgung ist
die folgende. Wir haben jetzt hier das als Lösung bekommen und sie stellen fest,
hier an dem ersten Lösungsvektor steht da,
dass die zweite Variable minus fünf sein soll
Das macht natürlich, wenn diese Variablen eine Produktionsmenge beschreiben,
ökonomisch keinen Sinn. Sie sollen quasi vom Rohstoff hier,
wie war die Zuordnung hier für die Variablen,
also vom zweiten Rohstoff sollen sie minus fünf Einheiten verwenden.
Geht nicht. So. Ich wusste nur, was haben wir
hier vom Problem? Also ökonomisch kann man das nicht interpretieren.
Das ist jetzt vielleicht bei dieser Aufgabe unschön.
Aber dann kommen wir zum größeren Problem, Glasi.
Wenn Sie jetzt verlangen würden, darf ich die Variablen,
also quasi die Nähenbedingungen stellen würden,
dass die Variablen alle Größe gleich null sein sollen bei
den Lösungen.
Das kann man machen
Dann brauchen die andere Methoden. Das wäre dann der Symplex-Algorithmus,
den wann sie in der anderen Vorleistung kennenlernen.
Das geht. Also man kann quasi zusätzlich hineinbedingt stellen,
dass man sagt, die Lösung muss größer gleich null sein,
also bei allen Variablen, aber dann brauchen sie neue Methoden,
dass sofort mehr Aufwand.
Das ist allgemein in der Mathematik so und das ganze nächste Semester sehen.
Wenn sie mehrere Variablen haben und sie stellen dann Nährenbedingungen,
dann wird das alles deutlich komplizierter.
Das wird Gegenstand der nächsten Vorleistung sein, aber diesen simples Algorithmus,
den wann sie in Operational Search wahrscheinlich lernen.
Nicht bei mir. Gut, kommen wir zum Abschnitt,
in wer auf den Matrizen
Zuerst wieder Motivation, was passiert? Sie ließen ja,
dass Matrizen im Prinzip nichts anderes hin als die Allgemeinung von reellen Zahlen.
Sie könnten so weit gehen und sagen,
dass eine reelle Zahl eine Eins-Kreuz-Eins-Matrix ist.
Also eine Matrix mit einer Zeile in einer Spalte.
Und jetzt gibt es ja bei reellen Zahlen den folgenden Sachverhalt,
wenn sie so in die Gleichung haben.
B mal arglich, armer, bäglich eins.
Also das gilt ja. Sie wissen, reelle Zahlen sind
kommutativ. Die Reihenfolge, bei der Multiplikation
keine Rolle
Das haben wir auch schon gelernt, dass es bei Matrizien nicht so ist.
Da kommt es darauf an, in welche Reihenfolge sie multiplizieren.
Aber bei reellen Zahlen spielt es keine Rolle.
Und wenn sie jetzt quasi das hier haben,
dass B mal A gleich armer Peglich eins ist,
dann ist jetzt die Frage, welche Zahl B lösen diese Gleichung?
Und das ist ganz einfach, das wissen sie,
das ist der Kehrwert von A. A, auch minus eins.
Zum Beispiel, wenn A, sieben, sieben ist,
dann wäre der Kehrwert davon ein Titel.
Also B wäre ein Zippel. Ein Zippelmaschinen gibt eins. Also solange A,
ungleich null ist, gibt es immer so eine Zahl B,
Was diese Gleichung hier auch führt, ist,
dass B mal A gleich eins ist oder umgekehrt armer B gleich eins.
Diese Zahl gibt es immer. Jetzt ist die Frage,
gibt es jetzt auch von Matrizen, weil das wäre schön.
Denn von was brauchen wir denn diesen Keo-Wert? Stellen Sie
sich mal vor, Sie haben diese Gleichung hier zu lösen.
Das ist eine ganz simple Gleichung. Das sind reelle Zahlen hier.
A mal x gleich Tee. Was machen Sie denn dann,
wenn Sie diese Gleichung lösen müssen? Sie würden jetzt sagen,
ich dividiere doch A. Wir setzen voraus, A ist ungleich null.
Das bedeutet aber, Sie multipizieren mit dem Kehrwert. Sie multipizieren hier,
beide sei in der Gleichung mit A auch minus eins.
Dann ziehen Sie quasi hier in dieser Gleichung,
aber auch minus eins mal A gibt eins
Und rechts steht dann A hoch minus 1 mal C.
Also gilt dann insgesamt x gleich A hoch minus 1 mal T.
Oder wenn sie es anders schreiben, zäh geteilt doch A.
Das heißt, da hast du mit dem Kehrwert von reellen Zahlen,
können sie Gleichungen lösen. Und jetzt wäre es schön,
wenn es sowas auch für Marktritzen gäbe. Wenn wir beißen,
ist zwar eine Nomatrix A, so eine Inversion-Matrix finden könnten,
dann könnten wir nämlich den Jahre Gleichungen relativ einfach lösen.
Und jetzt ist die Frage, kippt so etwas?
Und wie berechnet man das? Und das ist Gegenstand dieses Abschnitts.
Also schauen wir uns das Ganze mal an für Matritzen.
Stellen Sie sich vor, wir haben eine Matrix A,
das soll eine quadratische Matrix
Sondern auch sehr in der gesamte Abschnitt beschränkt sich jetzt auf
quadratische Matrizen. Ich werde ihnen das auch begründen,
wieso, weil das, was wir jetzt machen können,
nur vor quadratischem Matrize möglich sein. Für nicht quadratische,
also wo sie unterschiedlich viele Zeilen und Spalten haben,
geht das nicht. Das steht hier schon tafelverdient,
das gleiche Läutern, das müssen quadratische Matrizen sein.
Gut, also wir haben zu den Matrix A.
Und da hätten wir jetzt die Fragestellung,
dass B mal arg gleich A mal B gleich der Einheitsmatrix,
vielleicht die Einheitsmatrix sein soll.
Und das ist genau die gleiche Fragestellung wie für diese Realitalen,
denn die Einheitsmatrix ist durch die Verallgemeinung
total eind
Sie wissen, die Einheitsmatrix ist die Matrix,
da steht auf der diagonalen Einsen und sonst rechts und links davon,
also im oberen und unteren Präg-Tomatrix, stehen nur Nullen.
Und diese Einheitsmatrix, das habe ich im anderen Aftermin erläutert,
ist quasi das Gegenstück zu eins bei Zahlen.
Das ist quasi das Neutralelement bei der Multiplikation.
Und jetzt müssen wir quasi sowas hier lösen. Und so
ein B gäbe, dass diese Gleichung hier erfüllt ist,
dann wäre das toll, weil dann könnten sie folgendes machen.
Nimm mal an, sie hätten quasi so ein lineares Kleidungssystem
zu lösen. A mal x gleich C. Da könnten sie
hergehen und könnten diese Gleichung A mal x gleich C mit
dieser Matrix B multiplizieren von links
Und wie sind das auf beiden Seiten machen?
Aber da hier oben von diesem Matrix B gilt,
dass B mal A gleich der Einheitsmatrix ist,
steht dann hier, von B mal A, Einheitsmatrix,
aber die Einheitsmatrix mullifiziert mit dem Vactor X,
Capitor de Mac Vactor X.
Da passiert nichts mit dem Vactor. Die Einheitsmatrix ist quasi
das Neutral inne mit der Multiplikation, also passiert nichts.
De Sankt Black, hier ich stehen und rechts steht dann
B mal C. Sie haben quasi dieses gleichen System aufgelöst,
noch X. Steht die Lösung da, X gleich B mal C.
Sie müssen quasi nur diesen rechten Seite ihres linearen gleichen Systems
mit dieser Matrix B multiplizieren und dann haben sie die linearen,
das sind ja Glennsysteme gelöst
Also das ist die entscheidende Motivation für Involve the Matrizen.
Wenn wir so ein, in was wir Matrix hätten,
also eine Matrix mit dieser Eigenschaft.
Also, wo das Ganze definiert? Formale Definition, eine Matrix A,
die Quadrati ist und B soll auch eine quadratische Matrix zugleich in Dimension,
mit dir so eigenschaft,
dass B mal A gleich A mal B gleich der Einheitsmatrix ist,
dann wird die Matrix A als innotierbar bezeichnet.
Manchmal sagt man auch, die Matrix ist tregulär oder nicht singulär.
Und diese Matrix B,
von dir schreibt man dann oft auch A hoch minus 1,
wie bei reellen Zahlen auch
Und A, auch minus eins ist dann quasi die Invasite
der Matrix A. Und jetzt gibt es vielleicht ein paar,
ich hoffe mir nicht, die sagen,
wieso heißt diese Matrix, regulär oder nicht singulär?
Das hatten wir doch schon bei bestimmten des Ranges einer Matrix.
Vielleicht erinnern sie sich noch, wir hatten dort,
muss ich hier ein bisschen wischen,
für eine beliebige Matrix, die muss nicht quadratisch sein.
Also eine beliebige Matrix mit M-Zeilen und Entspalten. Haben wir herausgefunden,
dass Rang dieser Matrix Was ist das nochmal, dass ich die Anzahl linear,
unabhängige Zeilen der Matrix oder auch der Linie unabhängig spalten?
Das ist immer die gleiche Zahl. Und dafür haben wir geschrieben,
Rang von A, da hast du diesen Rang immer gilt,
dass diese Zahl kleiner gleich ist als das Minimum,
der Anzahl von Zeilen und der Anzahl von Spalen.
Das haben wir ganz allgemein herausgefunden und haben dann gesagt,
eine Matrix A, für die gilt,
das Rang A, gleiche Minimum ist,
weil allgemein gilt nur nach der Rang von A,
kleiner gleich ist
Da kann also auch echt kleiner sein. Aber für den Fall,
da ist der Rang von A, den makimalen Wert annimmt.
Und das ist dieses Minimum der Anzahl von Zeilen und Spalten
von diesen beiden Zahlen, das Minimum.
Wenn diese Zahl tatsächlich dran ist, dann sagt man,
die Matrix A ist tregulär oder nicht singulär.
Und jetzt auf einmal sage ich hier,
eine Matrix sortiere es, eine solche Matrix B gibt,
die heißt regulär oder nicht singulär.
Da hat man so das Gefühl, man hat die gleiche
Bezeichnung auf unterschiedliche Dinge. Sie werden aber gleich sehen,
ich werde ihnen dann die Nummer darauf hinweisen,
da ist diese Fälle, diese Bahn unterschiedlichen Definitionen für quadratische Madrids zusammenfallen.
Das heißt also, eine quadratische Matrix,
die regulär ist,
gemäß dieser Bedingung hier
Du hast quasi berannt von A gleich Endest. Also,
wenn sie eine Enpoids-En-Matrix haben, die ist dann auch invertierbar,
gemäß dieser Definition und umgekehrt.
Deswegen fallen hier diese Definitionen so ein bisschen zusammen.
Aber vielleicht ist es besser, wenn sie immer evertierbar verwenden.
Gut, also Ausgangssituationen, wir haben eine Matrix A,
die Quadratisch ist, mit Endzeilen und Entspalten.
Und für die gäbe es eine andere Matrix B,
auch mit Endzeilen in Spaten,
sodass diese gleichen hier erfülltes B mal A oder A mal B gleich Einheitsmatrix.
Dann heißt die Matrix A invertierbar und diese Matrix B,
für die schreibt man dann auch A,
hoch minus 1
und das ist Inversion
Und jetzt ist die erste Frage, wo man sich stellt,
ist diese Matrix, diese Inverse Matrix von A,
ist die eindeutig, wenn sie existiert?
Oder Existenzbeschäftigung uns sperrt, das zuerst mit der Eindeutigkeit,
diese Frage ist meistens einfach zu beantworten.
Also die erste Frage ist, wenn so eine Inverse existiert,
ist die eindeutig, oder gibt es da womöglich,
wäre zwei, drei oder vielleicht sogar unendlich viele?
Und die Antwort auf diese Frage ist die folgende,
wenn es eine Inversion Matrix gibt, dann ist die eindeutig.
Dabei weiß ich das ganz einfach. Nehmen Sie mal an,
Sie hätten zwei Matrizen, die quasi diese Vergleichung hier
erfüllen.
Nennen wir
die B und
Für die Gelder jeweils, B mal A oder armer Bäglich,
Einheitsmatrix und zehnmal arglich, armer, täglich Einheitsmatrix.
Das bedeutet also B und C wären in Vasematritzen zu
A. Nimm an, dass wir die gelten.
Dass wir zwei solche Matrize und BMC haben. Dann gilt folgendes
. B ist doch nichts anderes als Einheitsmatrix, multipliziert mit B.
Weil die Einheitsmatrix macht nie etwas, wenn man sie mit
meiner Matrix multipliziert. Die lässt die Matrix unverändert,
aber vor E können wir jetzt auch schreiben, zehnmal A,
weil wir hier annehmen, dass zehnmal arglich Einheitsmatrix ist.
Also könnte für das hier auch das hier schreiben.
Jetzt klammern sie ein bisschen anders, das dürfen sie tun.
Assoziativgesetz ausnützen, dann sind sie hier
Aber A mal B ist auch die Einheitsmatrix, das ist das hier.
Dann können sie für diese Klammer hier A mal B
auch die Einheitsmatrix schreiben, das sind sie hier.
Aber Tee mal Einheitsmatrix ist C. Und jetzt sehen sie B,
muss gleich Tee sein. Also, wenn es eine in
Vacematrix gibt zu einer Matrix A, ist die eindeutig.
Es ist nur die Frage, wie berechnet man die?
Das wollen sie gleich sehen, wie das funktioniert.
Und sie waren auch lang, ob die immer existiert oder nicht.
Klar ist eine wichtige Bemaukung. Wenn sie sich mit
in Vacematrix beschäftigen, dann ist immer vorausgesetzt,
dass sie
quasi quadratische Matrize anschauen
Wie viel Eigenschaft hier? Diese Gleichung kann nur erfüllt sein,
wenn a. eine quadratische Matrix ist. Wie sieht man das
ein? Also. Sie haben diese Gleichung hier.
B. mal a. Gleich armer, bäglich. Die Einheitsart.
Gleich der Einheitsmatrix. Und die Behauptung ist jetzt die folgende,
das kann nur, wenn das überhaupt möglich ist,
dass so eine Gleichung, so eine Matrix B existiert,
dass diese Gleichung erfüllt ist, dann kann das nur dann möglich sein,
wenn die Matrix A auch quadratisch ist.
Und das ist wie folgt einzusehen, aus B mal A
, folgt folgendes. Sie nehmen jetzt mal an,
dass die Matrix A Im Eins-Teilen hat und in Einspalten.
Und die Matrix B. In zwei Zöllen und in zwei Spalten.
Und das Ziel ist jetzt zu zeigen, dass im Eins
gleich in Eins ist. Dass quasi die Matrix A quatratisch ist.
Das ist das Ziel, das möchte ich zeigen.
Und das zeige ich Ihnen jetzt wie folgt?
Bier mal A. Wenn Sie überhaupt dieses Produkt produktbilden möchten.
B mal A. Das geht ja nur dann,
wenn die Matrix B so viele Spalten hat.
Wie die Matrix A zeigen, sonst können Sie dieses Matrix-Produkt
gar nicht bilden. Also muss ich schon mal gelten,
dass in zwei gleich im Eins ist. Nämlich die Anzahl,
Der Spalten von B muss gleich der Anzahl der Zellen von A sein.
Da sie dieses Produkt bilden können. Genauso auch hier,
dass sie das Produkt Ama B bilden können.
Muss die Anzahl durch Spalten von A gleich der Anzahl der Zellen von B sein.
Also muss gelten, dass in eins gleich M2 ist.
In eins gleich M2. Jetzt haben wir schon mal diese beiden Bedingungen gelten. So,
und wenn jetzt quasi das Ganze hier gelten soll,
B mal A, gleich A mal B, also diese große Gleichung hier gelten soll.
Dann muss natürlich auf der rechten Seite und auf der linken Seite
eine Matrix stehen der gleichen Dimension
Das ist eine Minimalforderung. Also, und wie
viele Zellen hatten diese Spalte hier? Dieses Produkt hier,
B mal A, wie viele Zellen hat das?
Dieses Produkt B mal A, die Anzahl, die Zellenanzahl dieses Produkts
B mal A, ist die Anzahl der Zellen von B.
Das ist aber M2. Und dieses Produkt hier A mal B,
wie viele Zellen hatten diese Matrix, die da entsteht?
Nun, die Anzahl der Zellen ist,
gleich die Anzahl der Zellen von A. Also M1.
Also muss gelten, im Zweiggleich im Einzelnen,
fühlen sie das alles zusammen, es muss gelten,
in zweigleich im Eins,
dann sind wir hier
Aber im Eins muss auch gleich im Zwei sein, dann sind sie hier.
Und hier in Eins muss gleich im Zwei sein,
dann sind sie hier und jetzt läsen sie in Zwei gleich in Eins.
Also, oder insgesamt, sie haben auch hier,
von das hier, M1 gleich in Eins,
sie haben auch im Eins gleich in Eins,
dass quasi die Matrix A quadratisch ist,
aber sie bekommen automatisch auch, dass die Matrix B quadratisch sein muss.
Also, das als Veranschallichung,
wenn ihr uns mit Rang von einer Matrix beschäftigen,
dann gilt das oder diese Überlegung für beliebige Matrizen.
Sobald wir uns aber mit der Invasion einer Matrix beschäftigen,
sind alle Betrachtungen quadratische Matrizen eingeschränkt,
weil nur dort macht es Sinn
Gut, jetzt die nächste Frage. Gibt es zu jeder Matrix
eine Invasi? Wir haben ja gesehen, wie es bei
realen Zahlen aussieht. Wie war das nochmal bei realen Zahlen?
In A. Ungleich Null ist, gibt es immer einen Kehrwert.
Wenn A. gleich Null ist, gibt es keinen Kehrwert,
weil das wäre ja eins durch Null, das ist nicht definiert.
Das wissen Sie aus der Schule. Eins durch Null
ist nicht definiert. Aber jede andere Zahl,
also jede Zahl ungleich Null hat einen Kehrwert.
Jetzt ist die Frage, gilt das auch für Matritzen?
Und dort ist die Antwort leider so,
da sieht es anders aus.
Nicht jede quadratische Matrix ist invartierbar
Und es gibt viele, viele Madridsen, auch Madrid sind
die ungleich und null Matrix sind, die nicht invertierbar sind.
Und das kann man ganz einfach einsehen.
Die nehmen wir mal einen ganz einfachen Pfeil her.
Nämlich eine Zweikreuz 2 Matrix. Das hier, diese Matrix A,
die hat nur an der Stelle eins hier links oben,
an der ersten Zeile ersten Spale in der Eins und sonst lauter Nullen.
Diese Matrix-Art überlegen wir uns jetzt mal,
ob es da überhaupt eine Inversic Game kann für diese.
Für diese einfache Matrix. Gut, nehmen wir mal an
, es gäbe eine
Oder, nee, ich fange ganz kurz an,
ich erkläre es anders. Wir nehmen jetzt eine Matrix mal her,
eine ganz beliebige 2, Kreuz 2, Matrix.
Und die hat dann irgendwelche Einträge, oh, ma,
oh, hier, V, hier,
B und X. Das sind 2 Kreuz,
2 Matrix mit ganz beliebigen Einträgen.
Wenn sie jetzt hier das Produkt bilden, diese beiden 2 Kreuz 2 Matrizen.
Das können sie auf dem Blatt Papier oder im Kopf relativ schnell überschlagen,
dann bekommen sie diese 2 Kreuz 2 Matrix so raus.
So nicht sein, die diese 2 Kreuz 2 Matrix.
Es kann niemals die Einheitsmatrix sein,
egal wie die U- und V-Wellen,
weil hier unten steht auf jeden Fall
eine Null
Und wenn eine Einheitsmatrix,
wenn so ein Invaser existieren soll und die Matrix B,
muss auf der rechten Seite die Einheitsmatrix rauskommen.
Und ich habe ihn jetzt hier in die Matrix A angegeben.
Egal, was sie hier jetzt hin multiplizieren von rechts.
Es kommt diese Matrix hier raus. ONV sähen anders aus,
je nachdem, wie viel hier dieses ONV wählen.
Aber sie waren immer hier rechts unten in Null stehen haben.
Das heißt also, das kann niemals die Einheitsmatrix sein.
Also diese Matrix A besitzt keine Inversion. Und Kleider ist es so,
dass sie existent an in Wasser eher die Ausnahme ist als die Regel.
Die meisten Matrids sind die meisten,
was Quadratschen, Matrids und haben keine Inversion
Aber wenn eine Invasimatrix existiert, dann ist es hilfreich für viele Rechnungen.
Zum Beispiel für das Lösen von den Jahren gleichen Systemen.
Gut, man kann zeigen, dass diese Beinebedingung B mal
A oder A mal B schon ausreichen.
Man muss nicht so lang das armer Beeg gleich der Einheitsmatrix
ist und das B mal A gleicht, einer ist Matrix.
Also es reicht eine dieser beiden Forderungen, das ist hier diese Bemorgung,
die ist nicht so wichtig, das überspringen sie gleich.
So, und jetzt beschäftigen wir uns mit dem Fall,
wie kann man den Eichtern,
wenn die Invaser existiert,
wie kann man
die berechnen
Dieses Beispiel zeigt Ihnen erst einmal, wie solche Innenverse Madrids
und aussehen können. Wichtig ist schon mal,
die erste Feststellung, die Innenverse hat immer die gleiche Dimension.
Also, wenn Sie eine Wahlkreuz 2-Matrix haben,
dann ist auch die Innenverse wieder die Zwei-Kreuz 2-Matrix.
Das ist das hier. Und zum Beispiel habe ich ihn hier
2 Madrids in Anbiegame. Die eine ist eine Zwei-Kreuz 2-Matrix,
die andere eine Drei-Kreuz-Drei-Matrix. Und beide Madrids sind besitzende Innenverse
. Ich habe den auch aufgeschrieben,
das hieß hier die Innovastie von A,
und das hieß hier die Innovastie von B. Und
um zu überprüfen,
ob diese Aussage stimmt
Das ist tatsächlich in Wasser sind, müssen sie lediglich
hergehen und A mit A auch minus 1 modifizieren.
Da muss die Einheitsmatrix rauskommen. Und wenn sie das VB überprüfen möchten,
müssen sie B mit der Invastor modifizieren mit B hoch minus 1 hier.
Und da muss auch die Einheitsmatrix rauskommen. Und das habe ich
hier gemacht. Ich multipliziere A mit A auch minus 1.
Da kommt paarzeitig die Einheitsmatrix raus. Und hier das
gleiche VB und B hoch minus 1. So,
aber sie haben jetzt noch nicht gesehen,
wie ich dies in Wasser berechnet habe
Sie werden auch relativ schnell sehen,
dass es berechnet von Inwassen nicht so leicht geht.
Also, da sind sie durchaus ein bisschen beschäftigt.
Man kann im Prinzip sagen,
dass der gleiche Aufwand wie beim Löwen einzelnen Jahren Gleichungssystems.
Also, dass ich kein schneller Weg an den nahestgleichen System zu lösen.
Sie wollen gleich sein, wie man das löst? Deshalb,
weil das sehr aufwendig ist, eine Inwasse zu berechnen,
ist es hilfreich, wenn man vielleicht ein paar Tricks kennt.
Wenn man vielleicht weiß, wie man für bestimmte Matrizen
ganz einfach den Wasser bekommt,
ist auch wichtig für die Klausur
Wir kriegen immer wieder dann Mails oder Kommentare, die dann sagen,
ja, die glaube ich super viel zu umfangreich.
Man konnte das gar nicht machen, gar nicht lösen in dieser Zeit.
Marken sind diese, ja, Beschwerden unberechtigt.
Manchmal vielleicht auch nicht, aber Marken sind sie unberechtigt.
Und meistens haben die den ganz einfachen Ursprung. Darf man
bestimmte Dinge nicht gesehen hat. Stellen Sie sich zum Beispiel vor,
mir verlangt von Ihnen, dass sie eine Innenwasser ausreichen sollen.
Und dann gibt es da, gebe ich so Tricks.
Und hier dieser Satz fasst so ein paar Tricks zusammen.
Zum Beispiel. Wenn Sie eine Matrix A haben,
die innotierbar ist. Also, die hat ein Inversion auch
minus eins. Und jetzt sollen Sie von dieser in Wasser
wieder die Invasse bilden
Dann bekommst du wieder die Matrix A selber, also die ursprüngliche Matrix.
Das sollte sie nicht verwundern, das ist genau
das Gleiche wie bei Zahlen. Haben sie eine Matrix,
eine zorelle Tal A und bilden davon den Kehrwert, die Invassi.
Das ist eins durch A. Und sie darf und wieder den Käfer bilden,
haben die eins, doch eins durch A. Das gibt ihnen wieder A.
Das Spiel ist multiplizieren mit minus eins, wenn sie das zweimal hintereinander durchführen,
bekommt sie auch wieder das, was sie vorher hatten.
Also diese Dinge hatten wir schon mehrmals in dieser Vorlesung.
Also das ist zum Beispiel so ein Trick.
Es könnte nämlich sein, wir sind so bösartig und lassen
sie von den Matrix A,
die Invassi ausrechnen
Und dann zeigen wir um Teil B, jetzt rechnet sie
bitte von der Inwassen, wieder die Inwasse aus.
Und jetzt können sie rechnen und zehn Minuten dafür verbrauchen.
Oder sie schreiben einfach die Aufgabe, also die Matrix,
die wir ihnen gegeben haben, ich will ihn gegeben haben,
nochmal hin und dann sind sie fertig.
Das wäre das Erste. Oder der zweite Trick,
wenn eine Matrix A innotierbar ist, dann ist da auch die transponierte.
Ja, innotierbar. Transponiert bedeutet noch einmal,
sie haben den Matrix A,
eine quadratische Matrix und wenn sie jetzt dort quasi die spiegeln,
an der Hauptdiagonalen,
quasi den unteren Teil nach oben klappen und den oben nach
unten,
dann bekommt sie
die transponierte
Und verliert den Wasser ausreihen, ist relativ einfach.
Sie gehen einfach her und transponieren die Invosite von A. Also die Invosite von A transponierte,
ist nichts anderes als die transponierte von A hoch minus 1. Und auch hier wieder stellen Sie sich vor,
wir gehen in eine Matrix A, sagen zu Ihnen,
bitte rechnen Sie in die Wasser,
den Wasser aus und dann im Tal B sagen wir,
bitte rechnen Sie jetzt die Invosite von der transformierten aus.
Jetzt könnt ihr das wieder sehr umständlich ausreihen.
Sie waren gleich säen, dass es relativ umständlich ist.
Oder sie gehen einfach her und nehmen das,
was sie schon berechnet haben und transponieren und das.
Und das geht natürlich innerhalb von 20 Sekunden.
Dann, nix zu Trick, wenn Sie zweimal tritzen A
und B haben
Beide seien invotierbar. Und man sagt jetzt zu ihnen,
sie sollen jetzt von dem Produkt A mal Bete in Wasser ausrechnen.
Dann geht das auch relativ einfach.
Sie nehmen nicht einfach die in Wasser her,
von B und multiplizieren das mit der Invasion von A.
Aber beachten Sie dabei, dass ich die Reihenfolge umkehrt.
Hier steht A mal B und davon sollen Sie die in Wasser bestimmen,
aber sie müssen dann B hoch minus 1 mal A auch minus 1 rechnen.
Nicht A, auch minus 1 mal B hoch
mis 1. Das wäre falsch. Sie wissen, Matrizen sind
nicht kommutativ im Allgemeinen. Das spielt die Reihenfolge der Multivikation
die Rolle. Deswegen dürfen Sie das nicht einfacher tauschen.
Das wäre was. Würde uns
ein falsches Orgame rausbekommen
Und von meisten Fällen zumindest. Gut, und wenn sie
dann noch denkt, bist du einfach die Falle hier,
wenn sie eine invertierbare Matrix A haben.
Und sie multiplizieren diese Matrix jetzt mit einer Zahl auch,
ungleich null. Auch ist eine reelle Zahl ungleich null.
Da bekommen sie von dieser neuen Matrix auch mal A,
die Invocit, ganz einfach, indem sie den,
was sie von A her nehmen und die mit Eins doch auch multiplizieren.
So, das sind so Tricks,
die helfen an der einen oder anderen Stelle weiter.
Und manchmal ist es so bei Klausuren,
dass vielleicht sowas dahinter steckt. Hier oder Beweis sind überspringlich,
denen schauen sie sich ja bestimmt zu Hause an
Mhm. So, wir beschäftigen uns jetzt damit,
wie kann man die Invasse ausrechnen?
Und die waren zehn, das geht auch mit dem komischen Algorithmus.
Und zwar, genau so wie wir es gesehen haben,
für diese simultane Gleichungssysteme. Ich werde jetzt folgendes machen,
ich werde ihnen zeigen, dass das Berechnen einer in was,
gleichbedeutend damit ist ein Simulturn, simultan enlineare Gleichungssysteme zu lösen.
Also ich führe quasi jetzt
ein neues Problem
Die Berechnung einer Invasion auf ein altbekanntes Problem zurück.
Und dann kann ich quasi die Methoden, die wir dort
kennengelernt haben, einsetzen, um dieses Problem zu lösen.
Also ich zeige ihnen jetzt quasi,
dass man die Inwarze einer Matrix A vorausgesetzt, die existiert,
dadurch berechnen kann, dass man simultan in den Jahren gleichen Systeme löst.
Okay, und diese Ausführungen sind relativ gut zu verstehen,
als sie sich konzentrieren, dann zählen sie,
warum das Ganze funktioniert, was wir dann jetzt im Folgenden machen werden.
Wir haben eine beliebige, quadratische Matrix A.
Das ist meine Matrix A. Quadratisch. Gleich will zeilen,
also so viel zeilen die Spalten.
Und die Aufgabe ist jetzt da und die Invasse auszurechnen.
Wir setzen mal voraus,
die würde existieren
Also, ich soll A hoch minus eins ausrechnen.
Ich weiß jetzt nicht, wie die aussieht.
Und das Ziel ist ja, das zu bestimmen.
Ich weiß aber, diese Matrix hat Entspalten. Weil es
ist ja auch eine Matrix, so Dimension Endkreuz ändern.
Wenn A diese Dimension hat. So, und jetzt bezahle
ich die Spalen von A hoch minus eins mit B1,
B2 und so weiter. Also B1, B2 und so
weiter sind die Spalen von A auch minus eins.
So. Das, ja. Dann schaue ich mir diese Einheitsvektoren an.
Die hatten hier schon an der einen oder anderen Stelle kennengelernt.
Diese Einheitsvektoren haben die Eigenschaft, dass sie aus Nullen bestehen,
bis auf eine einzige Stelle
Und zwar, der erste Einheitswerk,
dort hat mir eins an der ersten Stelle,
der zweite an der zweiten Stelle und so weiter.
Und jetzt gilt folgendes. Winti? Die Aufgabe hätten.
Dies ist den Jahresgleichensystem zu lösen hier.
A, mal. Vactor XJ gleich. Jotto Einheitsvektor,
wenn sie dieses indiale Klängensystem lösen möchten. Und sie hätten
eine Inverse. Wir setzen voraus, wir hätten die schon.
Was würde das bedeuten? Da könnte ich jetzt hergehen
und könnte links auf der linken Seite der Gleichung,
auf der rechten Seite, mit A auch minus eins zu multiplizieren.
Dann bekommt sie
diese Gleichung
Und hier, auch minus eins mal A gibt ja,
so ist die Invasit definiert, die Einheitsmatrix.
Das Rennen steht hier dann Einheitsmatrix, mal X,
also X. Und rechts steht A auch minus eins mal JT-Einheitsvektor.
So. Und jetzt, das Einzige, was sie jetzt noch sehen müssen,
dass sie dann das entscheidende Schritt, das A-Hauch minus eins,
mal JT-Einheitsvektor, in nichts anderes liefert als die JT-Spalte von A auch minus eins.
Auch minus eins habe ich so bezeichnet, dass die Spalen,
die Games sind durch B1, B2 und so weiter.
Und jetzt stellen sie sich vor, sie haben eine Matrix
A oder hier in dem Fall auch minus eins.
Mit Spalten B1, B2B3. Und wenn sie jetzt herkommen und multiplizieren von rechts,
Den Jutten Einheitsvektor. Man muss einfach den ersten Einheitsvektor.
Der hat an der ersten Stelle in die Eins in 2000,
was passiert da, wenn CDC Motivation durchführen?
Sie müssen zum Beispiel die erste Zeile hernehmen und mit diesem Vektor motivieren.
Und dann haben sie quasi den ersten Eintrag in der ersten Zeile mal eins.
Aber die anderen Einträge werden alle mit null multipliziert.
Deswegen steht dann erst mal da oben,
was da rauskommt an der ersten Stelle,
der Eintrag in der ersten Zeile, der ersten Spalt oder Matrix.
Genauso dann, wenn sie die zweite Zeile motivieren mit diesem ersten Einheitsmektor.
Da kommt auch nur der Eintrag in der zweiten Zeile in
der ersten Spalte heraus. Und so bekommt sie sukzessive alle,
also als Lösung, die Einträge in der ersten Spalte dieser Matrix
Also allgemein gilt, welche eine Matrix multiplizieren mit dem Jutten-Einheitsvektor.
Bekommen Sie also Gelbnis daraus, die JT spalt in dieser Matrix.
Und das ist hier bei uns,
weil A auch minus eins diese Spalten hier hat,
B1 bis B1, dann halt der JT Spalte, also BJ.
Und das haben wir jetzt also gesehen. Wir können die JT Spalte,
unsere, in wahrsten, auch minus eins berechnen,
indem wir dieses in Jahre gleichen System lösen.
Die Lösung dieses in Jahren Klägensystems ist die JT Spalte in
meiner in wahrsten Matrix. Und das bedeutet jetzt also,
wenn ich alle Spalten meiner in wahrsten Matrix ausreinen möchte,
ich möchte die alle Spalten haben
Da muss ich quasi dieses ideale Kleidungssystem lösen, vor E1,
E2, E3, E4 und so weiter.
Und dann haben wir genau diesen Fall von diesen Simultanen,
von der simultanen Lösung, von mehreren den Jahren gleichen Systemen,
weil ich habe dann mehrere lineare gleichen Systeme,
die ich lösen muss, ein Stück.
Und die koeffizienten Matrix ist immer die gleiche.
Und dann kann ich quasi so vorgehen,
wie ich es vorher gezeigt habe, bei der Wiederholung.
Also, ich habe quasi diese N-linearen gleichen Systeme zu lösen,
so die koeffizienten Matrix immer die gleiche ist,
Und das kann ich ganz einfach machen mit dem coachen Algorithmus.
Ich gehe einfach her und fasse diese unterschiedlichen rechten Seiten.
Das ist EA1, E2 und so weiter,
fasse ich zusammen und das quasi zu einer Matrix.
Aber weißt du, welche Matrix gibt das? Das gibt die Einheits-Maratrix.
E1. E2, E3 ineinander geschrieben, damit kommt die Einheits-Matrix.
So, also muss ich quasi das hier lösen.
Das ist ein Spezialfall von diesem allgemeinen Fall,
den wir vorhatten bei der Wiederholung,
wo ich hier eine Matrix B stehen hatte.
Jetzt ist es die Einheits-Matrix. Und das kann ich jetzt
lösen, einen kogischen Algorithmus und das geht relativ einfach
Jetzt fahren sie gleich zehn anhand von Beispielen. Das war die Theorie,
jetzt kommt gleich die Anwendung, da wollen sie sehen,
es geht immer gleich. Sie schreiben einfach wieder,
wie beim Lösen für Niaangleichensystem, hier die koeffizienten Matrix hin.
Und auf der rechten Seite stehen ihre unterschiedlichen rechten Seiten.
Also quasi die Einheitsmatrix. Die stellt auf der rechten Seite. Und jetzt,
was sie machen müssen, ist, durch Zellenumformungen,
das heisst, multiplizieren von Zeilen, mit Zahlen ungleich null,
vertauschen von Spanen, von Tauschen,
von Zeilen, addieren von Zeilen,
das ist alles erlaubt,
bis sie am Schluss auf der linken Seite
die Einheitsmatrix haben
Und rechts steht dann irgendetwas. Und das ist irgendetwas,
ist ihre Invasse. Passt auch minus eins. Wer,
was sie rausbekommen hier, sind quasi die rechten Zeiten,
sind quasi die Lösungen, sind die Spalten weggeboren von Aaro minus eins.
Und das sind ja quasi, wenn sie das zusammensetzen,
gibt ihnen das Aaro minus eins.
Gut, soviel zur Theorie. Vielleicht noch ein, zwei Bemaukungen.
Und dann zeige ich ihnen, wie man in was sie ausrechnet.
Und dann waren sie sehen, da kann man schön rechnen.
Der eine Bemaukung habe ich schon gemacht,
aber weiß ich
Hier nochmal hier steht, mache ich
die Nummer und sie schaue auch nicht so ganz unwichtig.
Wir haben gesagt, eine Matrix, eine quadratische Matrix,
zu die es eine Invaser gibt, die ist innotierbar.
Oder auch regulär oder auch, man sagt auch nicht singulär.
Und dann habe ich ihn schon erwähnt, das war das hier,
dass wir die Bezeichnungen regulär oder nicht singulär schon hatten.
Nämlich für beliebige, rechteckige Matrizen. Aber für den Fall,
dass sie eine Quadratschimatrix haben, fallen diese beiden Begriffe zusammen.
Da nennt sie eine quadratische Matrix haben und für die existiert
eine invasi
Dann bekommt sie quasi am Schluss hier auf der linken Seite hier eine solche Einheitsmatrix.
Und auf der rechten Seite bekommt sie die in Vaussee.
Wenn es keine Invassie gibt, dann könnt ihr das hier nicht herstellen.
Dann wollen sie hier immer eine Zeile haben,
mindestens eine Zeile, vielleicht sogar mehrere Zellen und nur Nullen stehen.
Wenn sie diesen Fall haben, dann existiert keine Invasie.
Das bedeutet aber dann, dass der Rang der Matrix,
welche hat er null Wecktote dabei haben,
nicht der volle Rang sein kann.
Also hat diese Matrix nicht den vollen Rang und nimmt es
dann auch nicht regulär
Also das ist so ein bisschen die Begründung,
warum diese auch Regularitätsbegriff bei quadratischen Matrizen,
mit denen hier, den wir schon kennengelernt haben, zusammenfällt.
Gut, also vielleicht nur hier. Das ist ein Satz
dann, das kann man auch so zusammenfassen.
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar. Wie sieht es
genau dann eine Inversy, wenn sie den vollen Rang hat?
Das bedeutet also, wenn die Matrix von der Dimension N-Kreuz
N ist, dann muss der Rang N sein.
Sobald sie einen kleineren Rang haben als N,
gibt es
keine Inversy
Sowohl den vollen Rang haben. So, und jetzt zahle
ich ihn, wie man ihm auch sehr ausrechnet.
Wir fangen ganz bescheiden an. Mit einer Zweikreuz 2 Matrix.
Die Aufgabe ist hier, die in Wasser auszurechnen. Also,
Sie sehen, es läuft genauso ab wie beim Coaching-Algorithmus,
beim Lösen von linearen Gleichensystemen.
Oder bei Drannbestimmung einer Matrix
Hier steht die Matrix A. Hier steht Einheitsmatrix.
Das ist die Ausgangssituation. Sie könnte es so vorstellen,
dass es quasi die erste rechte Seite hier, dieser Vektor.
Und das ist die zweite rechte Seite. Und jetzt müssen wir
quasi das hier lösen. Sie können das quasi als ein Jahresglänzungssystem auffassen.
Mit dieser ersten rechten Seite und mit dieser veränderten rechten Seite.
Und das Ziel ist es jetzt quasi auf dieser Seite hier,
wo diese Matrix steht, 1, 3, 2,
4, die Einheitsmatrix zu erzeugen.
Doch elementare Zellen um Formen. Und das Hotel gemacht,
der erste Schritt, den ich mache, ist,
ich erzeuge hier, wo jetzt hier die 3 steht,
eine Null
Dazu gehe ich her und tiere die erste Zeile dreimal ab
von der zweiten Zäule. Hier stellt es wieder rechts,
was ich tue, da bekommt sie diese neue zweite Zeile.
Dann gehe ich her und addiere diese zweite Zeile jetzt,
diese neue zweite Zeile, auch die erste Zeile,
weil dann bekomme ich hier eine Null.
Mir kommt sie diese neue Erzieh-Zeile hier. So,
aber hier steht dann noch eine minus zwei,
das soll Abonnie 1 stehen, ASAMU,
beziehe ich jetzt diese zweite Zeile noch mit minus eineinhalb durch,
damit kommen sie diese neue zweite Zeile.
Und dann sind wir schon fertig, sie sehen,
hier steht die Einheitsmatrix und hier hat sich
die rechte Seite natürlich verändert
Und dazu, als es jetzt hier steht, diese Zweikreuz-2-Matrix ist ihre Inversy.
Das ist A-Hoch minus 1. Also A, auch minus 1
sieht so aus. Und heute darfst du nicht glauben,
da kennst du jetzt einfach her und multiplizieren die Matrix A mit
Die Formatrix hier. Das habe ich hier gemacht.
Und sie säen dann, wenn sie das ausreichen,
und da kommt tatsächlich die Einheitsmatrix raus. So geht das.
So, das war noch nicht ein ganz einfacher Fall.
Jetzt die nächste Matrix. Das sind hier drei Kreuze.
Drei Matrix. So, die schreibt mich hier rein.
Hier auf der rechten Zeit, die steht wieder,
die Einheitsmatrix.
Das ist natürlich
eine Drei-Kreuz-Drei-Matrix
Und das Ziel ist es jetzt,
hier wieder aus dieser Matrix hier eine Einheitsmatrix zu machen.
Eine 3 Kreuz, 3 Einheitsmatrix. Also machen wir das
mal. Der erste Schritt, den ich mache, ist,
ich ziehe die erste Zeile von der zweiten Zeile zweimal ab,
dass hier eine Null entsteht.
Und genauso ziehe ich die erste Zeile von der dritten Zeile
viermal ab, dass auch Hirn in Ulen steht.
Hier stellt es wieder, was ich mache.
Und damit kommt sie quasi hier, diesen Teil.
Da sind sie hier angelangt. So. Dann,
das merkste, was ich mache, ist,
ich multipliziere diese neue zweite Zeile mit minus 1,
dann bekommt sie diese neue zweite Zeile
Und addiere dann diese neue zweite Zeile auf die alte,
dritte, dritte Zeile drauf.
Und dann entsteht hier eine Null und hier entsteht auch eine Null.
So, und jetzt sind sie hier schon fertig. Weltzahnziel war etwas,
wo sie säen, dass es gar keine Invente geben können.
Weil die haben mit Hirn den Fall.
Dass hier nur Nullen stehen. Sie können hier links nicht
die Einheitsmatrix erzeugen, weil sie hier nur Nullen haben.
Wie wollen sie hier jetzt eine Eins hinkriegen?
Das geht nicht. Wenn sie irgendeine Zeile,
wenn bei diesen Berechnungen irgendeine Zeule resultiert, wo nur Nullen stehen,
dann zeigt ihnen das, es gibt kein Inverse.
Also diese Matrix hier, diese Drei-Greuz-Drei-Matrix,
bis jetzt keine Invas im Hatrix.
Sie ist nicht invertierbar
Es heißt nicht regulär. Sie ist simulär. Es haben sie
drei verschiedene Bezeichnungen. Gut, nächstes Beispiel. Drei Kreuz
3 Matrix wieder. Erster Schritt. Sie schreiben diese drei
Kreuz 3 Matrix hier rein, in so eine Tabelle.
Auf der rechten Seite steht die Einheitsmatrix.
Das Ziel ist jetzt wieder durch elementare Zeilenumformungen.
Hier auf der linken Seite die Einheitsmatrix zu haben am Schluss.
Also, das Erste, was ich machen werde, ist,
ich ziehe von der zweiten Zeile die erste Zeile einmal ab.
Dann bekomme ich nämlich hier
eine Null
Dann sind sie hier angelangt. Und jetzt gehe ich her
und vertausche die Zahl, die und die dritte Zeile.
Also hier die Zweite und die dritte Zeile vertausche, dann bin ich hier angelangt.
Und was ich noch gemacht habe, ist,
ich habe hier auf diese erste Zeile, die dritte Zeile aufhadiert.
Dann bekomme ich hier diese neue erste Zeile. Also noch einmal,
was ich gemacht habe, ist,
der erste Schritt vielleicht, ich habe auf diese erste Teile,
diese dritte Zeile aufhadiert, dann bekommen sie diese neue,
erste Zeile und habe dann anschließend hier diese zweite und dritte
Zeile miteinander vertauscht.
Dann sind sie hier
The Challenges haben die fast schon erreicht, was sie möchten.
Das Einzige, was sie noch tun müssen,
ist hier, diese zweite Zeile mit minus eins modifizieren.
Das hier auch einsteht. Hat es endlich hier angelangt.
Und das, was hier wieder recht steht, ist in Wasser.
Die Elothes sieht einfach so aus. Auch minus eins
sieht so aus. Und wenn sie jetzt nicht glauben,
könnt ihr die Probe machen,
das bietet sich auch an für die Klausur,
modifizieren sie einfach die Matrix A mit A auch minus eins und dann muss dort die Einheitsmatrix rauskommen.
Habe ich hier nicht gemacht, die Probe aber.
Können sie mal zu Hause
doch rechnen
So, ja. Spalten verschieben? Teilen haben wir vertocht. Nee,
die Zeilen, hier natürlich auch, wenn sie hier Zellen vertauschen,
wir haben die zweite in der dritten Zeile vertauscht,
müssen sie ja natürlich auch hier die zweite und die dritte Zeile vertauschen.
Ah, mit Spalen hat es nichts zu tun.
Hier nicht. Hier auf keinen Fall. Wenn da
unser Eingangsmann zur Uni ist. Hier meinte das nicht,
also wenn sie in Nordsee brennt, also mein Tipp ist,
Also sie könnte es schon machen, sie dürfen ihn schon sparen,
auch vertauschen, das dürfen sie schon machen.
Die Frage war gerade M, ob man auch Spanien vertauschen darf.
Also sie dürfen das schon machen, sie dürfen all das machen,
was sie auch beim Lösen für die Jahre im gleichen System machen.
Das dürfen sie schon machen, aber ich würde ihnen beim Vertauschen von Spalten,
ja, nee, da müssen wir aufpassen, nein,
dürfen sie nicht machen hier.
Was bedeuten das, wenn sie ein Linearskleidungssystem haben und dort die Zeilen vertauschen?
Dann bedeutet es auch, dass sie quasi hier aufpassen müssen,
hier steht es ja auch, Wo vorher dann X2 stand,
stand dann X3 und so weiter,
das können sie beinahe in was nicht machen.
Also, sie können das schon machen, aber wir müssen
die Norm bei den Invason auch die Spalen vertauschen.
Und auch mit der Matrix A müssen sie dann die Spalen
vertauschen, dass sie in was ist.
Also, mein Tipp ist der, welche die in Worte
ausreichen möchten. Lassen sie das mit dem Spalen vertauschen.
Da kommt sie nur durcheinander. Es geht,
aber sie müssen dann das konsequent berücksichtigen an verschiedenen Stellen
und in Regeln geht das dann schief.
Sie wollen dann im Schlüssel ein falsches Ergebnis haben.
Deswegen, beim Löwen für linearen Kleinsystem machen sie das.
Sie müssen sich immer daran erinnern, an dieses zu tauschen
von Spalten. Hier habe ich das gemacht.
Peter in Waffen
dann nachher
Können Sie das rein theoretisch auch machen,
aber Sie müssen sich dann einen klaren drüber sein,
dass das, was Sie da bekommen,
nicht die Invaser ist von ihrer ursprünglichen Matrix A,
sondern auch dort, wenn Sie da die Spanen vertauschen.
Also dort vorsichtig sein. Deswegen lassen Sie das sein.
Gut. Was kann man mit der Invaser Matrix machen?
Ich habe Ihnen jetzt gesagt, also was, kurze Zusammenfassung?
Sie haben gesehen, dass eine Invaser Matrix nicht immer existieren muss.
Das habe ich in einem einfahrenden Beispiel gezeigt.
Dann haben Sie gesehen, wenn die Invaser Matrix existiert,
ist sie eindeutig. Und Sie haben gerade Ehren gelernt,
wie man mit dem komischen Algorithmus die Invaser berechnen können,
Winti existiert
Beziehungsweise, wenn sie nicht existiert, wie man das erkennen kann.
Sie machen immer den komischen Algorithmus, die führen diese Berechnungen durch.
Und wenn die dann an einer bestimmten Stelle ihre Rechnung nur noch
Nullen haben in einer Zäule, dann existiert keine Inverse.
Sie können also immer mit dem komischen Algorithmus anfangen.
Da liefert ihn entweder die Inverse oder sie ist ja an
einer bestimmten Stelle dann, dass es keine Inverse gibt.
So, was kann man jetzt mit der Inverse machen machen?
Sie können zum Beispiel lineare gleichen Systeme lösen. Stellt ihr sich vor,
wir haben die gleiche Matrix A wie zuvor und sie sollen
jetzt dieses lineare Kleingsystem lösen, einmal x gleich B,
wobei B,
dieses Rektor ist
Dann geht es jetzt ganz einfach.
Welche haben ja die Infos, die gerade berechnet?
Sie gehen her und multiplizieren hier auf der linken Seite dergleichen
und auf der reichen Seite der Gleichung mit A auch minus eins.
Dann gibt es hier dann auch minus eins mal A,
das ist die Einheitsmatrix, dann bleibt nur ich stehen und
rechts steht A auch minus eins mal B.
Also es bekommt quasi das hier. Und jetzt müssen sie
nur noch das ausreichen, was es ist.
A auch minus eins mal B, dann rechnet sie quasi
dieses Produkt hier aus und bekommt heraus, das ist dieser Vektor.
Und das ist ihre Lösung. Also wenn Sie die Invasse haben,
Dann können sie relativ einfach in dem Jahresclaim-System lösen.
Sie müssen nämlich nur die Invasse mit der rechten Seite multiplizieren.
Dann haben sie ihre Lösung. Nur haben sie gesehen,
dass sie es berechnet oder invasite, etwa genauso umständig oder umfangreich ist wie das lösen.
Das sind ja ein Gleichungssystems mit dem komischen Algorithmus.
Deshalb bietet sich die Verwendung der Invasion nur an,
wenn sie die sowieso schon haben.
Wenn sie aber nur ein Jahresclaim-System lösen müssen,
dann macht es eigentlich keinen Sinn,
den Wasser auszurechnen und können sie gleich den komischen Algorithmus durchführen,
zum Berechnen, nur zum Berechnen und der Lösung des in der Angleichungssystems.
Weil der Aufwand ist der gleiche
Ja. So, und jetzt kommen wir zu ein paar Spezialfällen,
die auch wichtig sind für Klausuren und so weiter,
wie sie sich Slam leichter machen können.
Es gibt nämlich Spezialfälle, wo man die Inverse relativ einfach bekommt.
Der erste Fall ist mit zwei Kreuz 2, Matrix.
Von der zwei Kreuz 2, Matrix gibt es
eine geschlossene Formel. Was sie denen weiter bekommen.
Und zwar sieht das wie folgt, glaube ich.
Wenn ihr
eine beliebige Zweikreuz-2-Matrix haben
Mit beliebigen Einträgen hier. Fan, ich habe da keine
Zahlen drin stehen, so eine Plattzahl oder irgendwelche Variablen.
A, B, C, D. Darf ich frei wählen?
So, dann ist diese Matrix, diese Zweikreuz 2,
Matrix, genau, dann invertierbar.
Also es gibt genau dann eine inversi. Wenn killt,
dass A mal D-B-Mar C ungleich null ist. Das heißt,
als wenn sie da mal reinschauen, wenn sie die Werte
auf der Hauptdiagonalen multiplizieren und davon das Produkt der Werte auf dieser näheren Diagonalen abziehen.
Wenn das, was da rauskommt, ungleich null ist,
hat diese zwei Kreuz zwei Matrix ein in Wasser.
Und in Wasser sieht dann so aus
Die kommt ja also ganz einfach, indem sie eins durch diese Zahl,
die sie gerade berechnet haben, dividieren, also eins durch diese Zahl.
Und dann gehen sie her und vertauschen die Werte auf der Hauptdiagonalen,
also dort, wo A stand, steht dann D und dort,
wo D stand, stand A,
aber ich komme zu A zum Stehen und diese Werte auf dieser Namendiagonalen,
die modifizieren sie mit minus eins.
Also das kann man sie einigermaßen gut morgen. So bekommt
sie ganz einfach von den Zwahlkreuz 2 Matrix in Wasser.
Und jetzt der Beweis geht auch ganz einfach,
dass das ein Invaser ist, sie müssen einfach nachweisen,
wenn sie diese Matrix hier multiplizieren mit der Matrix A,
dass dann die Einheitsmatrix rauskommt.
Und das mache ich hier, ich rechne das aus,
da kommt tatsächlich die Einheitsmatrix raus
Gut, das Problem ist nur,
diese einfache Rechnung geht nur für zwei, größt zwei Matrizen.
Also für drei Kreuz drei, vier Kreuz, vier,
fünf Kreuz fünf, gibt es leider nicht mehr so handliche Formen.
Es gibt aber Klassen von Matrizen, wo sie die Invosie relativ einfach berechnen können.
Da wollte ich ihnen gleich so eine Klasse vorstellen von Matrizen.
Also wir machen mal ein Beispiel. Ein konkretes Beispiel,
wie sie diese Formel anwenden können. Wenn du diese Zahlkreuz
zwei Matrix hier haben und sie möchten ihr Tierne in Warte bestimmen,
ist das erste, was sie machen, sie müssen überprüfen,
ob sie überhaupt in was sie gibt.
Und da sagt ihnen ja der letzte Satz,
wie das geht. Sie gehen her, multiplizieren eins
mal vier
Also einmal vier. Und ziehen davon ab, dreimal zwei.
Also, da kommt minus zwei heraus. Das ist ungleich, null.
Also sagt ihn der letzte Satz, es gibt ein Inversing.
Das war das hier. Amal D, minus B,
mal C, wenn das ungleich null ist, gibt es eine Inversing.
Also bei uns ist es minus zwei,
ist ungleich null, also gibt es eine Inversing.
Und wie bekommen wir die Inversing? Vier,
dividieren eins durch diese Zahl, die wir gerade berechnet haben,
also eins durch minus zwei und nehmen diese Matrix A her,
vertauschen die Werte auf der Hauptdiagonal und die Werte auf
der Damendiagonalen,
die werden mit minus eins modifiziert
Also, bekommt sie das hier, oder wenn sie
minus eineinhalb rein multifizieren, bekommt sie diese Matrix hier.
Das ist sie in Wasser. Und jetzt einen kleinen Ausblick auf
den Märktischen Abschnitt. Wir werden uns im nächsten Abschnitt,
da wollen wir heute noch damit anfangen, mit sogenannten der dominanten beschäftigen.
Und hier taucht die der dominante schon auf. Ich habe
sie noch nicht so genannt. Sie haben ja gelernt,
oder ich gesehen bis jetzt, dass Matrizen, ja,
jetzt nicht mehr so einfach zu handeln sind wie rele Zahlen.
Die sind komplexer. Die sind größer
Schwerfälliger. Manche Dinge darf man nicht mehr so machen,
wie bei realen Zahlen. Sie sind nicht kommutativ,
die Inverse auszurechnen ist umfangreicher und so weiter. Also,
jetzt wäre es doch schön, wenn es irgendwie ein Maultmarkt gäbe
in Format ritzen, wo man bestimmte Eilenschaften ablesen kann.
Die reelle Zahl, wo ich bestimmte Eilenschaften ablesen kann.
Da dachte ich so, nimm mal Abrix,
so ein Gebilde mit Endzeilen und in Spalen ist der unübersichtlich.
Schön wäre, und das versucht man immer unter Mathematik,
der wesentliche Eigenschaften von Dingen durch realital
zu charakterisieren
Wo sie dann sagen können, okay, wenn das und das gilt,
dann hat das und das Objekt die und die Eigenschaften.
Und das geht auch zum gewissen Grade auch bei Matrizen.
Und das käme mit der sogenannten der Dodominante einermatrisch.
Und das ist eine reelle Zahl.
Sie werden heute noch lernen, wie man die berechnet.
Und an der kann man dann abläfen, ja,
Optimatrix zum Beispiel invertierbar ist, ob eine Quadratsche Matrix invertierbar ist.
Und die haben wir da schon. Nämlich das,
was wir hier bei diesem Satz haben, dass einmal die,
minus B mal C, ungleich null ist,
werden sie heute noch lernen,
dass sie nichts anderes aussieht,
der Dominante einer quadratischen Matrix
Und die waren auch lang, dass man,
dass eine Matrix, eine Quadratjematrix, genau dann invotierbar ist,
wenn diese dedominante ungleich null ist und hier Sancies.
Hier, das ist nämlich die dedominante von den Zweikreuz 2 Matrix.
Ich habe es nur noch nicht so genannt, weil ich
noch nicht eingeführt habe. Das wollte ich auch noch einführen und
dann haben sie quasi wieder der dominante Einmalkmal, eine Matrix,
dass sie dieses Morgenmark könnt ihr relativ einfach berechnen.
Sie müssen zwar auch ein bisschen Arbeit investieren,
aber wenn sie dann diese Zahl haben, können sie dort einiges ablesen.
Also einiges über die Eigenschaften der Matrix. So,
und jetzt noch ein paar Matrizen, also mal gucken,
was ich noch mache,
bevor wir Pause haben
Ja, gut. Es gibt bestimmte Klarsinn von Matrizen,
wo es ganz schnell geht, eine Invasia auszurechnen.
Zum Beispiel, wenn Sie eine Diagonalmatrix haben.
Wenn Sie eine Matrix haben, von dir so Gestalt.
Und alle Einträge, all diese Werte auf der Hauptjahr genannt,
sind ungleich null. Dann könnte die Invasia ganz schnell angeben.
Den wahrste ich nämlich nichts anderes als. Die Matrix,
die sie erhalten, wenn sie die Kehrwerte,
der Einträge auf der Hauptdiagonalen bilden.
Also die sieht so aus. Sie können das leicht überprüfen,
sie gehen einfach mal her und multifizieren diese Matrix.de mit
dieser Matrix hier
Und da war uns die Serien, da kommt die Einheit Matrix raus.
Also ist das hier den Wasser. Also wenn Sie wirklich mal so,
wenn wir gut klauen sind und stellen Ihnen die Aufgabe in der Klausur,
da ist sie von einer Reagonalmatrix in Wasser ausreichen müssen,
dann macht sie das bitte so.
Und führen nicht diese umständliche Rechnung aus mit einem komischen Algorithmus.
Weil dann brauchen Sie womöglich zehn Minuten. Und so geht
es in zehn Sekunden. Hier ganz konkretes Beispiel.
Hier haben wir so eine Diagonalmatrix. Und die Einträge,
die so Diagonalmatrix auf der Hauptdiagonal sind, alle ungleich null.
Also besitzt diese Matrix
eine Inverse
Und dieses Inversum bekommt, indem sie die Kehrwerte,
diese Einträge bilden. Also ihre Inversum sieht so aus.
Und wenn sie es jetzt überprüfen möchten, müssen sie einfach
hergehen und müssen die Matrix D mit dieser Matrix multiplizieren.
Und dann bekommt sie die Einheit Matrix.
Adiosain, das ist für Diagonalmatrix ein ganz einfach.
Jetzt gibt es noch andere Matrizen, wo es ähnlich einfach ist?
Sie haben gleich Pause. Konzentrieren Sie sich noch fünf Minuten
Pscht! In irgendwelchen Didaktik-Schulungen lernt man da immer mal so
den Leid so sprechen, sodass die Studierenden das nicht mehr hören,
was man sagt und wann die automatisch leiser.
Da dauert das immer so lang. Also wir kommen
zum Abschnitt
orthogonale Matrizen
Autogonale Matrizen haben die schöne Eigenschaft, also die haben viele schöne Eigenschaften,
aber für uns jetzt hier an dieser Stelle ist entscheidend,
dass man ganz einfach den Wasser bekommt.
Also was sind orthogonale Matrizen? Muss man erst mal definieren, was es ist?
Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix-U mit der Eigenschaft,
das U multipliziert mit ihrer transponierten Matrix oder umgekehrt U
transformiert mal U, dass dort die Einheitsmatrix rauskommt.
Also eine Matrix mit der Eigenschaft,
dass wenn man sie mit ihrer transponierten multipliziert,
die Einheitsmatrix rauskommt,
das ist eine orthogonale Matrix
Ich war den Sperrt erläutern, wieso die orthogonal heißt.
Das hat einen Grund, also diese Bezeichnung,
resultiert aus etwas, was man relativ schnell sich veranschalten kann.
Das wollte ich noch machen. Das habe ich den zweiten
Teil der Vorleistung heute. Und diese Matrizen, die haben
viele schöne Eigenschaften. Ich werde entsperrt und auch erläutern,
was man damit Tolles machen kann. Aber jetzt hier für uns
, was bedeutet das? Wenn eine Maprix diese Eigenschaft hat,
dann haben sie auch ganz schnell die Inversion für diese Matrix.
Weil sie haben diese Matrix B, für die das
hier gelten soll.
Ganz einfach schon gegeben
Die wartet nochmal die Invocimatrix definiert. Ein Invocimatrix ist eine
Matrix B mit der Eigenschaft, dass wenn sie sie mit
A von links multiplizieren oder von rechts sie jeweils die Einheitsmatrix bekommt.
Und hier sehen sie bei orthogonalem Matrixen ist diese Matrix B,
diese Invocimatrix gegähmt, durch die transponierte.
Diese transsponierte ist, oder hat diese eingeschafft,
dass wir nicht auch mit U transformiert multiplitieren,
dass die Einheitsmatrix rauskommt?
Das ist genau diese Eigenschaft hier. Setzen Sie vorbei,
U transponiert einen vor AU,
dann haben Sie
genau diese Gleichung
Also, lehnt ihr eine orthogonale Matrix haben, bekommt sie
die Invoicy ganz einfach, indem sie die transponierte bilden.
Das heißt, sie spiegeln die Einträge der Hauptdiagonalen.
Und darum ist es so wichtig, stellen Sie sich mal vor,
wir machen Folgendes in der Klausur und schreiben ihn,
wie dahin, nehmen wir Atrix mit dem Text,
gegebensay, die orthogonale Matrix.
A, und dann kommt die Matrix. Bitte berechne
City Inversy. Was könnt ihr das machen? Könnt umständlich
wieder mit dem komischen Algorithmus, fünf bis zehn Minuten,
wird sie das kosten. Wenn das mit drei Kreuz,
drei oder vier Kreuz, vier oder fünf Kreuz,
fünf Matrix ist, aber wenn sie dieses Wort autogunal Säen.
Und aufgepasst haben, davor lesen, spät just jetzt,
wenn ich sie ständig darauf hinweise, dann sollten sie wissen,
okay, ich bekomme, denen war sie ganz einfach.
Ich muss sie einfach nur spiegeln an der Hauptdiagonalen,
die Einträge. Und dann kostet sie da 20 Sekunden.
Und haben dann volle Punkte für die Aufgabe.
Also, solche Dinge sich mauken. Beispiel. Patricks Ursagegame
. Und diese Matrix ist autogonal
Wie schiebt man das ein? Wenn ich jetzt nachhäusen möchte,
dass ich diese Matrix autogenal ist, muss ich die transponierte bilden?
Das ist diese Matrix hier. Die bekomme ich,
indem ich einfach hier die Einträge in der Matrix spiegel an der Hauptdiagonal.
Dann bekommt sie hier die transponierte. Und jetzt müssen sie
einfach U mit ihrer, mit U transponiert multiplizieren,
und wenn dort die Einheitsmatrix rauskommt, haben sie nachgewiesen,
dass U eine autogenale Matrix ist.
Und das mache ich hier. Ich rechne hier das Produkt aus,
U-Mai-U transponiert, und bekomme dann hier die Einheitsmatrix heraus.
Also sie müssen einfach mal zu Hause dieses Produkt ausrechnen.
Und dann war unser Sender, kommt tatsächlich
der Einheitsmatrix raus
Gut, ich glaube,
bevor wir das nächste hier machen, machen wir Pause.
Ich würde sagen, wir treffen uns 15 vor,