Herzlichen Dank für die Einladung. Also ich arbeite in der Mathematik,
genauer in der diskreten Mathematik oder zur gröberen Einordnung ist das irgendwo am Grenzgebiet zur Informatik.
Tatsächlich habe ich auch eine Zeit lang in einem Informatik-Institut gearbeitet.
Und also viele Fragestellungen aus der diskreten Mathematik haben eben Infoanalogons
in der Informatik, in der Algorithmik und so weiter.
Und ein bisschen werde ich darauf auch zu sprechen kommen.
In meinem Vortrag selber möchte ich in erster Linie, wie gesagt,
das Gebiet so ein bisschen veranschaulichen und so ein bisschen darauf hindeuten,
wo die Unterschiede vielleicht zwischen der Schulmathematik und der Mathematik an der Universität sind.
Also gerade in den MIN-Fachbereichen haben wir oftmals das Phänomen,
dass die Studienanfänger, sage ich mal,
so einen kleinen Schock am Studiumbeginn erfahren,
weil die Fächer doch an der Uni ganz anders aufbearbeitet werden als seiner Schule.
Darauf möchte ich so ein bisschen eingehen. Auf der anderen Seite
sollten sie meinen Vortrag auch nicht als typische Mathematikervorlesung ansehen,
weil eine typische Mathematikervorlesung würde wahrscheinlich nur diese etwas altmodischen Objekte benutzen,
die auch als Tafel bekannt sind.
Und wir schreiben dann eigentlich nur mit Kreide die Dinger voll.
Solche Folienvorträge sind vielleicht eher untypisch, gerade auch zu Beginn des Studiums.
Aber das ist vielleicht was anderes. Okay, also ich werde versuchen,
ohne Vorwissen irgendwie ihn näher bringen oder werde versuchen,
ihn näher zu bringen,
was typische Fragestellungen in der diskreten Mathematik sind und ja,
dafür fangen wir einfach an.
Also die erste Frage ist, was machen diskrete Mathematiker oder was sind das so?
Und ja, also wenn man das im Allgemeinen sagt,
also wenn ich gefragt werde, was machst du?
Und dann sage ich, ja, ich bin Mathematik,
was für Mathematik, Diskrete Mathematik, dann kommt immer,
psch, ja.
Also alle denken irgendwie, es hat irgendwas damit zu tun,
dass man also noch verschwiegender ist als das Vorurteil über Mathematiker
vielleicht sowieso schon ist.
Aber damit hat es
sozusagen nichts zu tun
Was man ja heutzutage sonst noch machen kann,
wenn man was wissen will, man kann versuchen,
das Internet zu bemühen und eventuell schlägt man mal Wikipedia auf.
Da gibt es tatsächlich eine Auflistung der Teilgebiete der Mathematik und nur,
dass sie auch, also wenn sie da unter 2.5 schauen,
da gibt es tatsächlich diskrete Mathematik, also es ist nicht irgendwas,
was nur ich mir ausgedacht habe, so toll finde.
Und das kann man dann aufschlagen und dann findet man so gewisse Teilgebiete und so ein paar Schlagworte,
die sie vielleicht auch schon aus der Schule kennen,
also Kombinatorik, Zahlen, Theorie, Kollierungstheorie,
das würde mehr so in die informatischen Aspekte gehen,
Mengenlehre, Statistik, Grafentheorie, Spieltheorie, Kryptographie.
Und meine Spezialisierung liegt dann so im Bereich der Grafentheorie.
Nun sollte man ja Wikipedia vielleicht nicht alles anvertrauen,
also könnte man auch noch die Profis fragen.
Dafür gibt es eine internationale Vereinigung, die internationale Mathematikervereinigung,
IMU, International Mathematic Union.
Und die veranstaltet alle vier Jahre einen internationalen Kongress,
wo sozusagen die vordersten Experten aus dem Gebiet
in den Sektionen
Vorträge halten
Ja, also es ist schon eine relativ hohe Ehre,
zum Beispiel dazu eingeladen zu werden und dann dort einen Vortrag zu halten.
Bei uns am Fachbereich gibt es zurzeit drei Kollegen,
die das mal erreicht haben. Und da gibt es eben gewisse Sektionen,
die sozusagen definieren, was die Teilgebiete der Mathematik sind.
Also einige haben wir vielleicht schon gesehen, das ist die Logik,
die Algebra, die Zahlentheorie und dann kann man so ein bisschen runterscrollen.
Und unter Punkt 14 finden sie dann eben die Kombinatorik,
was wir vorhin ja schon als deutsches Wort gesehen haben und oftmals gleichgesetzt wird mit diskreta Mathematik.
Also da gibt es auch keine so genaue Unterscheidung. Insgesamt gibt es,
glaube ich, 18 Gebiete, da gehören dann eben ziemlich dicht benachbart sind,
sogar die mathematischen Aspekte der Informatik, die sie hier so finden, oder die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.
Und wenn man sich das also mal genau anschaut,
dann finden sie hier eben auch so Kombinatorial Probability,
also das ist auch ein Gebiet,
in dem ich so ein bisschen arbeite, kombinatory,
number theory, also kombinatorische Zahlentheorie als Teilgebiet der Kombinatorik.
Hier ist wieder diese Kryptografie und Kodierungstheorie aus der Informatik, die Algorithmik.
Das sind alles so sehr eng verbundene Gebiete, also das kann man nicht,
vielleicht so sollte man nicht so stark voneinander abgrenzen.
Und hier sind eben die verschiedenen Teilgebiete der Diskreten Mathematik,
wie das 2010 für den Kongress mal so festgelegt wird,
das ist auch nicht ganz starr,
das ändert sich immer mal so
ein bisschen
Und wenn man es jetzt genauer eingrenzen will,
dann arbeite ich sozusagen in der Graphentheorie und in der
probabilistischen und extremmalen Kombinatorik, was auch immer das ist.
Ja? Okay, also es gibt es zumindest, da machen auch andere.
Wenn man es jetzt einfach mal grob abgrenzen will,
dann könnte man so folgende vage Unterteilung treffen.
Also in der diskreten Mathematik beschäftigen wir uns stark mit endlichen
oder abzählbaren Mengen, so wie zum Beispiel die natürlichen Zahlen.
Das wäre so ein so ein Objekt. Das ist eine Menge,
wo irgendwie klar ist, wenn eine Zahl ist,
wann kommt die nächste und so weiter.
Das hatten wir bei den reellen Zahlen zum Beispiel nicht so,
wo es ein bisschen kontinuierlicher ist.
Also das ist so der Unterschied zwischen diskret und nicht diskret.
Bei dem einen gibt es sozusagen eine klare Abgrenzung.
Bei dem anderen geht es irgendwie von einem zum anderen
ein bisschen fließender weiter. Jetzt könnten Sie mich natürlich fragen,
was ist da mit den rationalen Teilen?
Aber wollen wir mal nicht so streng heute sein, aber die werden natürlich diskret.
Okay, also typische Fragen sind dann zum Beispiel,
gibt es Objekte mit gewissen Eigenschaften?
Ich mache das jetzt mal ein bisschen abstrakt und grob,
aber wir werden noch ein paar Beispiele sehen,
durch das das hoffentlich erläutert wird.
Also gibt es Objekte, die irgendeine besondere Eigenschaften haben.
Wenn es solche Objekte gibt, dann ist die nächste Frage,
das ist vielleicht so ein klassisches Teilgebiet der Diskretion Mathematik in der Innomerations- oder Abzähltheorie.
Wie viele gibt es denn? Wie viele gibt es davon
? Wir werden gleich ein ganz klassisches Beispiel sehen.
Wie sieht das größte kleinste typische Objekt mit den Eigenschaften aus?
Also das sind die strukturellen Fragen, mit denen wir uns sozusagen beschäftigen,
was meiner Meinung nach schon deutlich ein bisschen davon weggeht,
was so im Schulstoff behandelt wird.
Im Schulstoff würde man eventuell noch die erste Frage machen oder
ab und zu mit einfacher Kombinatorik fragt man vielleicht,
wie viele gibt es, aber so nach größten kleinsten typischen Objekt,
das ist dann schon ein bisschen untypischer vielleicht.
Ja, das hatte ich bereits gesagt,
also in gewisser Weise ist diskrete Mathematik eben eng verwandt mit der Informatik,
weil die Objekte oder die Grundmengen, die wir zur Verfügung haben,
diskret sind, was sowas ähnliches wie digital,
da gibt es nur 0 und 1, das ist irgendwie klar voneinander abgrenzbar, im Gegensatz zu kontinuierlich.
Wie gesagt, das ist erstmal nur so eine ganz grobe, vereinfachte Darstellung.
Okay, kommen wir mal zu dem ältesten Beispiel vielleicht oder ja,
also abgesehen davon, dass Menschen vielleicht schon immer mit den Fingern irgendwas gezählt haben.
Ein ganz klassisches Beispiel sind natürlich zum Beispiel die Objekte,
die natürlichen Zahlen, uns die anschauen.
Ob wir jetzt mit der Null oder der Eins anfangen,
das ist vielleicht eher eine philosophische Diskussion.
Heute fange ich mal mit der Eins an. Und das
ist also die Grundmenge, in der wir irgendwie arbeiten oder agieren wollen.
Und dann gibt es eben spezielle Objekte. Das könnten zum Beispiel
die Primzahlen sein. Die sind ihnen ja sicherlich aus der
Schule vertraut. Das sind also die Zahlen, die,
abgesehen von der Eins nur sich selbst als Teiler haben.
Es geht immer so los mit der untypischen Primzahl 2,
weil die gerade ist. Danach kommen natürlich nur noch ungerade
Zahlen. 1001 gehört nicht dazu, ist meine Lieblings-Nicht-Primzahl,
weil eigentlich könnte man denken, ist eine Primzahl ist aber
11 mal 13. Deswegen gehört es nicht in diese Menge.
Und ja, das sind so die Zahlen,
die schon seit Urzeiten, als die Bausteine der Multiplikation bekannt sind.
Und dann eben die erste Frage, die man vielleicht stellen
kann, wie groß ist denn diese Menge?
Also wie viele Primzahlen gibt es denn so? So eine
ganz einfache Frage. Wir haben eine relativ einfaches Objekt definiert.
Wir haben uns diese Menge P, irgendwie ist klar,
was die sein soll. Und jetzt kann man sich fragen,
geht das denn immer so weiter oder ist irgendwann Schluss?
Und ja, die meisten von ihnen werden vielleicht wissen,
also bereits 300 Jahre vor Christus, wusste man,
dass es unendlich viele gibt
Also das hat, wusste man, oder es wurde,
man hat es nicht nur gewusst, sondern Euklid hat das tatsächlich bewiesen.
Und das ist vielleicht so der entscheidende Unterschied von der Mathematik zu anderen quantitativen Wissenschaften.
Irgendwann weiß man es, ja, und dann stimmt es.
Ja, das mache ich gleich noch ein bisschen präzis,
aber es ist nicht nur, dass man es weiß. Okay,
also wie es bei mir jetzt immer so typisch oder oftmals war,
also man wurde so gefragt, erzähl mal ein bisschen mehr,
dann kommt man so mit diesem Beispiel,
dann sagt man, ja, Euklid hat gezeigt,
dass es irgendwie unendlich viele Prinzen gibt und dann gibt es Reaktionen von Leuten,
die habe ich mal hier so ein bisschen zusammengefasst.
Aha, ja. Hat man schon gemerkt, das Interesse flachte schon so
ein bisschen ab. Dann gab es so die Oberschlauen,
die irgendwie in ihrer Schule mit Kurvendiskussionen gequält wurden.
Ich weiß nicht, haben Sie das auch noch?
Also wo man da ewig die Polynome ableiten muss und Extremwerte berechnen
muss und so in zehn Schritten irgendwie so eine vollständige Kurve.
Also eine Kurve vollständig diskutieren musste, die,
also in meiner Generation war das noch sehr starker Schulstoff,
gerade in der Oberstufe, was bei vielen irgendwie zu gewissen Traumatas geführt hat.
Und die haben das dann sozusagen hier gleich rauf projiziert,
haben gesagt, ah, das ist bestimmt Kurvendiskussion.
Das gab es natürlich auch, ja
Okay, und dann gab es auch Leute, die gesagt haben, warum nicht? Ja,
ist doch klar, es gibt unendlich viele,
habe ich das ja, ja, ist doch klar,
es gibt unendlich viele Primz, es gibt unendlich viele Zahlen,
da muss es doch unendlich viele Primzahlen geben, was wollt ihr denn überhaupt?
Falls Sie zu dieser Gruppe gehören,
will ich nur ein Beispiel nennen, wo man mal sieht,
dass es nicht immer so einfach ist,
wenn wir zum Beispiel die Primzahlen als die Bausteine der natürlichen Zahlen über Multiplikation definieren,
können wir ja mal mit einer anderen Operation anfangen mit der Addition.
Mit der Addition, die Bausteine,
mit der ich alle Zahlen additiv generieren kann,
die natürlichen, ist einfach nur eine Operation,
nämlich plus eins
Also mit der Eins kann ich alle natürlichen Zahlen über Additionen erzeugen.
Da brauche ich nur eine, brauche ich nicht unendlich viele.
Multiplikationen, was ja eigentlich vielleicht eine viel mächtigere Operation ist,
da brauche ich auf einmal unendlich viele.
Ja, also das ist vielleicht nicht ganz offensichtlich, dieses ist doch klar.
Heißt entweder, dass sie doch relativ tiefe Einsicht haben,
aber so ganz so klar ist es eben nicht.
Genau, und diese Diskussionen nicht ewig führen zu müssen,
also haben wir Mathematiker uns darauf geeinigt,
dass wir ein Beweisverfahren oder Beweisverfahren im Allgemeinen anerkennen.
Und hier ist es auch relativ schön, der Beweis.
Einige von ihnen werden den vielleicht schon mal gesehen haben.
Der passt nämlich auf diese halbe Seite und der geht so
Also, was macht, was hat euer Gleed gemacht,
da hat so einen genannten Widerspruchsbeweis gemacht, also wir wollen zeigen,
dass es unendlich viele Primzahlen gibt, also nehmen wir mal an,
es gibt nicht unendlich viele, was so viel heißt wie,
es gibt endlich viele und dann können wir die alle aufschreiben,
es gibt die erste, das wäre die zwei,
es gibt die zweite,
das wäre die drei und so weiter und irgendwann ist Schluss,
das ist die letzte Primzahl, die es gibt.
Ja, das nehmen wir jetzt an als Widerspruchsannahme,
also wir stellen uns auf so ein bisschen neben uns selbst
und tun mal so, als wäre es nicht wahr.
Dann kann man, wenn es endlich viele Zahlen sind,
kann man die zusammen multiplizieren,
das ist erlaubt und dann kriegt man wieder eine Zahl raus,
weil wir uns mal darauf geeinigt haben,
dass wenn man natürliche Zahlen multipliziert,
dass man eine neue natürliche Zahl bekommt
Und diese Zahl, die kennen wir zwar nicht,
aber wir haben ja Buchstaben, deswegen nennen wir die einfach Air.
Also das Produkt dieser endlich vielen Primzahlen nennen wir.
Und dann machen wir einen Trick, darauf muss man kommen.
Also schon auf das Zusammenultiplizieren ist sicherlich ein Trick, Frage.
Achso. Ne, achso, ja,
das sollte ich vielleicht sagen, wenn Sie Fragen haben,
jederzeit, falls ich Ihre Meldung oder so nicht sehe,
dann mich kurz darauf hinweisen.
Okay, also dann kommt ein Trick und der Trick ist,
dass wir also auf diese Zahl R, die wir nicht kennen,
die uns aber sozusagen auch eigentlich nicht interessiert.
Eins drauf addieren, auch das ist eine Sache,
die in den natürlichen Zahlen erlaubt ist
Dann braucht man, sag ich mal, ein kleines Argument,
aber man kann sich, man kann einsehen,
dass R und Kuh, Kuh ist dieses R plus 1,
dass die Teile fremd sind.
Zwei benachbarte Teilen haben nie gemeinsam Teile. Aber was heißt das
? Er hat ja schon alle Primzahlen als Teile aufgesammelt.
Das heißt, die Teiler von Kuh sind von denen von R fremd.
Das heißt, entweder die Primteiler von Kuh liegen außerhalb dieser
Menge oder Kuh selber wäre vielleicht auch noch eine Primzahl.
Das könnte auch noch sein, dass Kuh gar keine Teile hat.
In jedem Fall hätten wir eine Primzahl gefunden,
die nicht in dieser endlichen Menge drin war.
Ergo, die endliche Menge konnte gar nicht existieren.
Das heißt, es gibt doch unendlich viele Primzahlen
Ja. Okay. Wie gesagt,
das ist so jetzt ein Beweis, der ist für,
ja, den hat der Gliedliedin vielleicht abgewandelter Form damals niedergeschrieben.
Und uns Mathematikern reicht das, um jetzt festzustellen,
dass diese Menge P tatsächlich unendlich ist.
Das habe ich, wie gesagt, meinen Bekannten oder so erzählt.
Dann gibt es natürlich auch Reaktionen darauf. Aha,
das waren die, die nur noch freundlich zugehört haben. Ja,
ein paar Leute sind wieder auch ein bisschen ehrlicher und sagen,
ich verstehe es einfach nicht,
jetzt lass uns mal über Fußball reden oder so
Es natürlich auch so Leute, die sagen,
300 Jahre vor Christus, da hat man ja vielleicht auch noch geglaubt,
die Erde ist eine Scheibe oder hat er noch ganz andere Theorien über die Welt?
Stimmt das denn noch? Ja, und das ist eben
das Schöne in der Mathematik, stimmt es dann für immer,
wenn der Beweis richtig war. Und einmal muss ich zugeben,
hatte ich auch diese Reaktion, dass jemand,
also das so toll fand wie ich selber und gesagt hat,
das ist ja fantastisch,
ich sollte sozusagen eigentlich auch Mathe studieren oder was kann man denn nicht weitermachen?
Das war ein Biologe. Okay. Naja,
man kann weitermachen und zum Beispiel eine
ziemlich eng verbannte Frage stellen
Also jetzt haben wir festgestellt, es gibt unendlich viele Primzahlen,
eine andere naheliegende Frage auf die Leute gekommen sind,
wenn sie mit Primzahlen gespielt haben.
Ist zum Beispiel, gibt es unendlich viele Paare von Primzahlen,
die nur durch den Minimalabstand zwei voneinander getrennt sind.
Wir hatten ja die zwei war so ein bisschen extra.
Danach wissen wir, alle Primzahlen sind ungerade.
Das heißt, der Abstand zwischen zwei benachbarten Primzahlen,
die also in der Aufzählung direkt hintereinander kämen, ist mindestens zwei.
Und dann kann man so gucken und dann sieht man,
also drei und fünf wäre so ein paar fünf und sieben,
ist noch ein paar.
Das nächste wäre dann elf und 13 und so weiter und
so fort
Und dann gibt es Leute, die rechnen halt,
5.099 und 5.101, das ist auch so ein Paar.
Und dann gibt es hier ein relativ großes Paar,
also das ist schon eine riesige Zahl, also zwei hoch,
was sind das, 6066.6069. Also das ist schon eine Zahl,
die ungefähr so über 200.000 Stellen hat.
Und man könnte sich fragen, also gibt es davon nun endlich viele solche Paare?
Und das ist eben bekannt, als das Prinkzahl-Zwillinge-Problem. Und das ist,
Entschuldigung, das ist völlig ungelöst oder ziemlich offen zurzeit noch.
Und da kommt man eben manchmal eben an die Grenzen. Also gerade,
wenn man besonders schön beweist für ein Problem gesehen hat,
dann haben die manchmal leider die Eigenschaft,
dass sie wirklich genau nur dieses Problem lösen.
Und wenn man das Problem ein bisschen abwandelt, dann hilft das
alles nichts mehr. Also wir können ja gerne mal versuchen,
den Beweis irgendwie in diese Richtung zu biegen,
aber es sollte ihnen eigentlich nicht gelingen.
Wurde schon oft probiert. Und das ist zum Beispiel also
immer noch Gegenstand aktueller Forschung, sogar relativ aktueller Forschung.
Da gab es eine Serie von Arbeiten in den Nullerjahren,
die betrachtet haben, wie verhält sich denn der Abstand gegenüber der
logarhythmischen Größe der Primzahlen und die dann schon mal gezeigt haben,
dass der Grenzwert davon gegen Null geht.
Das heißt, dass die Abstände zumindest unendlich oft im kleinen O vom logarhythmischen Wachstum sind.
Also kleiner, viel, viel kleiner als logarhythmisches Wachstum.
Das ist schon mal ein erster minimaler Schritt,
weil man ungefähr weiß,
wie die Primzahlen verteilt sind und wenn hier eine Konstante stehen würde,
dann wäre das sozusagen, würde das einfach nur die Primzahlverteilung wiedergeben.
Aber dadurch, dass man hier eine Null gezeigt hat,
war es so ein erster Fortschritt.
Tatsächlich wurde das dann noch ein bisschen weiter fortgeschrieben
Vor kurzem, also vor einigen Jahren,
zu einer 2013 zum Beispiel, gab es den ersten Beweis,
der das auf eine Konstante runtergebrochen hat.
Also diese Beweise haben sowas gesagt, diese Abstände sind klein,
aber das klein war immer noch unbegrenzt.
Und hier wurde gezeigt, dass tatsächlich es unendlich viele Paare gibt,
deren Abstand maximal 50 Millionen oder sowas ist.
50 Millionen ist jetzt vielleicht deutlich größer als zwei,
aber es war ein erster Schritt in die Richtung.
Also manche Fragen sind so schwer, da sind wir schon
über so einen Fortschritt glücklich. Das wurde dann später verbessert und
mittlerweile ist man auch mit einer besseren Analyse dazu gekommen,
dass man meinen Abstand unterhalb von 10.000 oder so hat.
Aber wie gesagt, weil sie eigentlich nur sagen will,
das ist auf der einen Seite gibt es ein Problem,
was relativ einfach ist, einen relativ einfachen Beweis hat.
Vor 2.000 Jahren hat man die Antwort gehabt und dann wandelt man
das Problem ein bisschen ab und ist in aktueller Forschung.
Das ist vielleicht das. Also das galt als ziemlich großer Durchbruch. Hat sogar,
ich wusste das gar nicht, dass Nature Breaking News hat,
anscheinend hat heutzutage nicht nur News-Webseiten Breaking News,
sondern auch Wissenschaftsseiten.
Naja, okay. Gut,
also das sind wir dann so
ein bisschen die Primzahlen
Das Gegenstand, sagen wir mal, analytischer Zahlentheorie,
was da sehr stark betrieben wird,
vielleicht ein bisschen weiter weg von meinem Gebiet.
Bis in dicht da dran ist, da geht es um Muster in Trinkzahlen.
Eben hatten wir ja schon so ein Muster,
dass der Abstand maximal zwei ist.
Hier haben wir ein bisschen eine relaxierte Variante. Eine Fragestellung,
die indirekt schon in der Arbeit von Erdisch und Thuran
aus den 30er Jahren des letzten Jahrhunderts kam.
Hier steht sie sozusagen. Ich habe nur diese Frage herausgegriffen.
Also sie haben eine Frage gestellt und die Konsequenz wäre,
dass man in den Primzahlen beliebig lange arithmetische Folgen finden würde
Also wir haben ein bisschen allgemeinere Fragen gestellt, aber eine Konsequenz,
wenn diese Frage richtig beantwortet, wäre die Folgende,
dass man innerhalb der Primzahlen beliebig lange arithmetische Folgen findet.
Was jetzt eine arithmetische Folge, eine arithmetische Folge ist eine
Teilmenge der natürlichen Zahlen, wenn man die geordnet aufschreibt,
ist der Abstand zwischen zwei Folgegliedern immer derselbe. Ja,
ich mache jetzt Mau, ohne dass ich in Primzahlen bin,
zum Beispiel 5, 14,
23,
da ist der Abstand 9 und das wäre eine arathmetische Folge der Länge 3. Ja,
und jetzt kann man sich ja fragen,
enthalten die Primzahlen arithmetische Folgen der Länge 3 und
dann kann man so ein bisschen gucken und dann findet man
das relativ schnell
Hier finden Sie mal innerhalb der Primzahlen,
also das sind die Primzahlen bis zu 2100,
finden Sie eine arithmetische Folge der Länge 10. 1099, 409,
609 19 und so weiter, also der Abstand für die,
die schnell rechnen können, sollte 210 sein.
Und sie starten mit 199 und dann landen sie immer auf einer Primzahl.
Das wäre jetzt so eine arithmetische Folge der Länge 10. Und wie gesagt,
was erdisch und Thuran in den 30er Jahren damals gefragt hatten,
ist, gibt es auch welche der Länge,
es gibt es welche der Länge, 12,
gibt es für jedes K eine solche arithmetische Folge.
Die bricht dann höchst wahrscheinlich danach ab, sonst hätte man noch das nächste Folgelied hingeschrieben,
aber vielleicht kann man ja später anfangen und bei einem anderen Abstand eine längere Folge finden.
Und das sind natürlich Fragen,
wo man auf der einen Seite den Computer einsetzen kann,
man kann den losjagen, der soll immer die Prinzahlen durchsuchen,
aber wenn er dann eine Folge der Länge 23 gefunden hat,
weiß man nicht, ob es noch eine gibt,
die 24 lang ist.
Also so ein Computer, es wäre in der Informatiksprache,
ist das irgendwie ein semi-entscheidbares Problem, wenn man es einfach Blutforce macht.
Auch in den Nullerjahren gab es dazu eine wichtige Arbeit,
die auch basierend war auf den Resultaten,
die ich vorhin genannt habe,
von Ben Green und Terence Thow,
die das bewiesen haben
Also die haben das gezeigt mit einem Argument,
was verschiedene Teilgebiete der Mathematik benutzt,
zum Beispiel auch selbst so aus der Kombinatorik,
aber eben auch Sätze aus der analytischen Zahlentheorie,
die ich auf der Folie in den Folien ein bisschen hatte.
Und auch Methoden, die so ein bisschen erinnern an dynamische Systeme,
also sowas aus der Analyse. Das sind also TAO gilt als,
ist einer der führenden Mathematiker zurzeit,
hat auch den höchsten Mathematikerpreis bekommen, den es gibt,
den Fieldspreis und galt schon früh als Wunderkind und vielleicht sozusagen als kurze Anekdote.
Also hier sehen Sie Tau als Kind. Und das ist erdisch,
damals als alter Mann. Also das ist sozusagen erdisch,
der in den 30er Jahren mit Touran die Frage gestellt hat.
Und ich denke mal, das Foto wird wahrscheinlich aus den
80er Jahren sein. Erdisch ist berühmt dafür gewesen,
dass er viel durch die Welt gereist ist und eigentlich jeden,
der bereit war, über Mathematik ernsthaft zu reden,
auch ernst genommen hat, egal wie alt der Gesprächspartner war.
Tau selber konnte sich noch daran erinnern, wie ernst er genommen wurde,
konnte sich aber nicht mehr daran erinnern, was hier auf dem Zettel stand.
Und den hat er wohl auch nicht mehr gehabt. Aber wie gesagt,
es ist eigentlich schön, wie sich der Kreisland sozusagen schließt,
dass er eine der Lieblingsvermutungen von Erdischer,
er dann 20 Jahre später bewiesen hat.
Okay, das war vielleicht ein Beispiel, was ich mal so geben wollte,
was mehr aus dem Grenzgebiet zur Zahlentheorie kommt.
Ich hatte ja gesagt, ich arbeite mehr in der Grafentheorie
und würde da vielleicht auch noch auf ein klassisches Beispiel jetzt eingehen wollen.
Genau, also was ist Grafentheorie? Oftmals wird gesagt,
Grafentheorie beginnt mit diesem Bild. Das ist Königsberg vor 300 Jahren
. Da sieht man, hier ist so eine Insel.
Hier ist ein Fluss, der ich hier so um oder durch Königsberg fließt,
mit verschiedenen Armen, wie Prägel, obere und untere.
Und damals gab es so ein Rätsel,
was irgendwie populär war und das Rätsel ging wie folgt,
kann man alle Brücken der Stadt Königsberg, die hier auf dem Bild sind,
ablaufen, genau einmal und danach wieder am Startpunkt sein.
Und wie es bei solchen Problemen ist,
wenn es eine Lösung gibt und die nicht so kompliziert ist,
dann kann man die vielleicht finden. Also ich glaube,
hier gibt es sieben Brücken oder so, dann kann man irgendwie,
irgendwann kann man vielleicht mal alles ausprobiert haben,
ein paar Sachen clever ausschließen, noch klein genug.
Schwierig werden, oftmals ist es oftmals in der Mathematik
zu zeigen, dass es irgendetwas nicht gibt.
Weil man kann ja sozusagen nicht sagen,
ich habe es nicht gefunden, also gibt es das nicht.
Das wäre sozusagen über, würde man sich übermäßig intelligent bezeichnen.
Also das reicht nicht als Argument oder um als Beweis durchzugehen.
Und ja, hier gibt es aber ein ganz einfaches
Argument und dafür abstrahiert man erstmal das Problem.
Also ich habe mich die Brücken eingezeichnet, das sind diese sieben Brücken.
Also wie gesagt, hier ist eine, da ist eine,
das sind so vier Brücken von dieser Insel zum Nordufer und zum Südufer.
Hier gibt es eine zu diesem Mittelufer und dann gibt es
hier noch eine und da noch eine
Und das hat König, das hat Euler gelöst,
der damals im Königsberg gewohnt hat und man kann seine Arbeit nachschlagen,
die für kann man alle oder die meisten arbeiten von Euler sind falsch zugänglich.
Das ist höchstwahrscheinlich die Arbeit, in der es drin steht.
Sie ist in Latein verfasst. Ich kann keinen Latein,
aber ich glaube es einfach mal. Tatsächlich gibt es ein
paar Bilder in diesem, in diesem, in dieser Aufzeichnung,
die darauf hindeuten, dass es auch wirklich diese Arbeit ist.
Genau, also was man eben macht, ist man,
man in der Mathematik reduziert,
man versucht man erstmal das Problem aufs Wesentliche zu reduzieren.
Ja, also dieses Bild ist einfach zu kompliziert.
Da passiert zu viel, das lenkt zu sehr ab
Das ist schon mal ein deutlich einfacheres Bild und das
findet man eben auch in der Arbeit von Euler.
Wie gesagt, man hat hier diese Insel, die wurde dann mit A bezeichnet.
Hier sind diese sieben Brücken, das sind diese vier,
also zwei zum Nord, zwei zum Südufer,
eine hier rechts rüber und dann gibt es da nochmal diese Insel.
Um diese sieben Brücken geht. Und jetzt kann man
es eben noch weiter reduzieren und das ist ein Objekt,
was man heutzutage vielleicht Graf nennen würde.
Also in Wirklichkeit interessiert uns ja nur sowas wie Land und Brücke.
Mehr müssen wir eigentlich nicht wissen. Der Rest ist für
das Problem irrelevant. Und wir müssen wissen,
welche Landstücke von einer Brücke verbunden werden und eine Brücke
verbindet typischerweise
zwei Landstücke
Das heißt, was man jetzt eben macht, ist,
man fühlt für jedes Landstück so einen Punkt ein,
den nennt man dann Ecke oder Knoten von einem Grafen.
Und wenn zwischen zwei Landstücken eine Brücke existiert,
dann legt man da so eine Linie durch,
die nennt man dann eben Kanten.
Hier haben wir noch ein bisschen was Besonderes. Es gibt eben
auch diese beiden Ecken sind durch zwei Kanten verbunden,
dann spricht man vielleicht formal schon von einem Multigrafen,
aber da müssen wir jetzt nicht uns weiter dran stören lassen.
Und jetzt ist sozusagen, kommen wir nur noch über dieses Objekt,
reden wir schon mal deutlich vereinfachtes.
Also dieses Bild von Königsberg, das war ja wirklich so
Unübersichtlich, jetzt können wir nur noch darüber nachdenken.
Und jetzt können wir die Frage formulieren und die Frage ist eben,
gibt es, also Euler hat das natürlich nicht Euler-Tour genannt,
aber im Nachhinein wurde es nach ihm benannt.
Gibt es einen Weg, der alle diese Ecken abläuft und
bei der Ausgangsecke wieder ankommt und dabei jede Kante genau einmal benutzt hat?
Das ist jetzt einfach dieselbe Frage, nur noch eben rein abstrakt betrachtet. Naja,
und da gibt es einen relativ einfachen Grund,
warum das nicht sein kann, und zwar der Grund ist einfach der,
wenn ich eine Brücke benutze und in so eine Ecke,
also eine Landmasse hineinlaufe,
dann muss ich ja auch wieder hinauslaufen
Das heißt, bei jedem Durchgang gehe ich einmal hinein und einmal hinaus.
Und bei der Anfangsecke muss ich am Ende wieder hinein.
Also es gilt tatsächlich immer einmal rein, einmal raus.
Das heißt, die Anfall der Brücken,
die zu jeder Ecke verlaufen müssen, muss gerade sein,
weil ich muss einmal hinein und dann wieder hinaus.
Das heißt, bei jedem Durchlauf brauche ich zwei.
Und wenn ich mehrmals durchlaufe, dann eben vier, sechs und so weiter.
Ja, und das sehen wir, ist hier absolut nicht erfüllt.
Hier ist es drei, drei, drei, fünf.
Das sind alles ungerade Zahlen. Also es kann hier einfach
nicht klappen. Und das ist ein einfaches Argument.
Und tatsächlich, also der Satz von Euler sagt,
das ist jetzt nicht nur in Königsberg so,
sondern eben allgemein
Wenn man so ein Objekt studiert,
dann existiert so eine Euler-Tour genau dann, wenn.
Das Ding muss natürlich zusammenhängend sein, wenn das zwei Komponenten hat,
zwischen denen wir nicht hin und her laufen können,
dann kann ich natürlich nicht alles ablaufen.
Und in jede Ecke darf nur eine gerade Anzahl von Kanten hineingehen.
Dann, das ist eine ganz klar eine notwendige Bedingung,
wie das Argument zeigt. Und der Trick ist jetzt eben
zu zeigen, dass es auch hinreichend ist.
Also wenn es gerade ist, in jeder Ecke,
dann gibt es auch so eine Tour.
Dafür muss man ein bisschen mehr arbeiten. Und das ist vielleicht
der interessante Teil, aber um die ursprüngliche Frage auszuschließen,
muss man sich nur das
eben klar machen
Okay, jetzt kann man das Problem ein bisschen abwandeln,
haben wir ja vorhin in dem Beispiel schon gesehen.
Hier werden wir diesmal ein bisschen erfolgreicher sein. Und zwar kann man,
die Euler-Tour hat ja so ein bisschen die Spezialität,
ich wollte jede Brücke ablaufen und am Ende am Anfang wieder ankommen.
Vielleicht reicht es mir ja auch,
jede Brücke abzulaufen und Anfang und Ende können verschieden sein.
Das nennt man dann einen Euler-Weg. Und das kennen Sie vielleicht.
Das ist ein berühmtes Beispiel ist dieses Haus vom Nikolaus.
Also da wollen Sie sowas,
Sie wollen das zeichnen in einem Zug,
das heißt ja eigentlich nichts anderes als jede Kante
einmal ablaufen
Und da werden sie vielleicht gemerkt haben,
wenn sie das als Kind probiert haben, das klappt nur,
wenn sie sozusagen in einer Ecke ungeraden Grad anfangen und in einer Ecke ungeraden Grad aufhören.
Bei demselben Argument, was sie vorhin versucht haben,
ihnen zu erklären, und alle anderen Ecken,
wo man nicht gerade anfängt oder aufhört,
da muss man ja hinein und hinaus, jedes Mal,
das heißt, da müssen die gerade, gerade sein.
Und hier werden sozusagen genau diese Punkte,
wo sich die Linien kreuzen, also nicht dieser,
aber diese Punkte werden dann sozusagen die Ecken von dem Grafen
und dann kann man das eben nachprüfen.
Und tatsächlich, wenn man heutzutage sich Königsberg anguckt,
Mehr oder weniger aktuelles Satellitenbild. Dann sieht man,
dass ein paar Brücken existieren nicht mehr. Hier die gibt
es nicht mehr. Und die gibt es nicht mehr.
Ein paar Brücken sind hinzugekommen und jetzt kann man es nachprüfen und
dann würde man wissen, es gibt heutzutage zumindest eine Eulatur.
Also das hat sich, ich weiß jetzt nicht,
ob sich die Situation verbessert oder verschlechtert hat, aber es ist...
Okay, gut. Abschließend möchte ich vielleicht mit einem Beispiel
mit einer anderen Variation von dem oder einem eng verwandten Problem,
was auf Hamilton zurückgeht. Und zwar, was passiert denn,
wenn ich nicht alle Kanten ablaufen will,
sondern ich will nur alle Ecken einmal ablaufen.
Das nennt man dann
einen Hamilton-Kreis
Also jetzt hat man wieder so ein Objekt wie das,
was wir eben gesehen haben.
Grafen mit Ecken. Und da gibt es einige Kanten.
Und man möchte so lang laufen, dass man in einer Ecke anfängt,
dann irgendwie jede andere Ecke abläuft und in der Anfangsecke wieder endet.
In einem Kreis, deswegen heißt es eben Pamilton Preis. Wie gesagt,
das ist benannt nach Hamilton, berühmter Mathematiker, mehr oder denke,
hat mehr wichtigere Beiträge in der mathematischen Physik geliefert oder im Grenzmiet zur Physik.
Aber er hat ein Spiel erfunden, wo man
sowas suchen sollte.
Also das ist dieses Spiel
Wo man irgendwie so einen Hamilton-Kreis da setzen sollte.
Und das war irgendwie so schwer, also ist kein Verkaufsschlager geworden.
Ich denke, dafür wird auch keiner von Ihnen heutzutage schon
mal gespielt, oder? Ja. Okay, aber sozusagen,
er hat das, also ein Knobelspiel damit herausgebracht,
anscheinend wurde es auch ein paar Mal produziert.
Aber die Frage, wie gesagt, ist es dann in
der Grafentheorie aufgegriffen worden und da ist sie relativ interessant.
Und wenn man solche nach Hamilton-Kreisen zum Beispiel die Literatur durchsucht,
findet man sehr viele Artikel in der Grafentheorie,
die sich mit Bedingungen beschäftigen,
die solche Hamilton-Kreise zwingen
Die Hamilton-Kreise haben aber noch ein anderes Phänomen und da möchte
ich die Brücke jetzt ein bisschen zur theoretischen Informatik schlagen.
Diese Hamilton-Kreise sind in gewisser Weise sehr leicht verifizierbar. Das heißt,
wenn ich Ihnen eine Lösung gebe,
hier ist der Graf und ich sage Ihnen,
laufen Sie so lang, dann haben Sie gefunden,
dass der Graf so einen Hamilton-Kreis hat.
Wenn ich Ihnen aber nur den Grafen gebe,
dann ist es sehr schwierig, so eine Lösung zu finden.
Also das Problem, die Lösung von diesem Problem,
wenn Sie eine raten könnten, ist leicht verifizierbar,
ein polyndomärler Zeit oder,
aber sehr,
sehr schwer auffindbar
Wenn man das untersucht. Und tatsächlich gibt es da auch
eine Klassifizierung in der theoretischen Informatik. Und da fällt dieses Problem
in eins der klassischen Probleme von NP Vollständigkeit. Das heißt,
das ist die Klasse der Probleme, wo man eine geratene Lösung,
wenn einem die einer präsentiert, in polynumieller Zeit überprüfbar ist.
Das heißt leicht verifizierbar. Auf der anderen Seite sind die Probleme so mächtig,
dass man die abwandeln kann, um alle anderen Probleme in der Klasse zu lösen.
Das heißt, man kann mit polynumiellen Reduktionen von einem Problem zum anderen kommen.
Und das heißt, wenn man dieses Hamilton-Kreis-Problem tatsächlich lösen könnte effizient,
dann kann man alle Probleme in der Klasse NP lösen,
ohne dass sich das jetzt genauer definieren will.
Sind also so vielleicht die schwersten, relativ natürlichen Probleme, die man so finden kann. Okay,
und dieses Problem, wenn Sie das also lösen würden,
das ist tatsächlich eine Million Dollar wert,
in Anlehnung an einen berühmten Vortrag von Hilbert beim internationalen Mathematiker-Kongress in der Jahrhundertwende zuvor,
hat man sich zur Jahrtausendwende überlegt, mal fundamentale mathematische Probleme zu benennen,
die so zentral wichtig und bedeutend sind,
dass man dafür einen Preis ausgeschrieben hat.
Und die finden Sie hier, also sieben, also Ruels ist kein Problem.
Also diese sieben Probleme und dieses NP-Vollständigkeit oder P gleich NP-Problem,
ist es auch bekannt, das finden Sie sozusagen hier.
In der Zwischenzeit wurde auch eins gelöst,
die Ponkaré-Vermutung, also es ist nicht völlig unmöglich,
so ein Problem zu lösen, aber das wurden eben,
sind so bedeutende zentrale Probleme, einige, viele,
viele 100 Jahre alt, im Jahr 2000 sozusagen veröffentlicht wurden,
nach gewissen Regeln natürlich, wann gilt ein Problem als gelöst?
Der Beweis muss akzeptiert und geprüft sein. Und das ist eben
eins von diesem Problem. Also hier geht es eher darum,
P gleich NP, aber was ich nur sagen will,
ist, wenn sie dieses Hamilton-Kreis-Problem zum Beispiel lösen würden und dafür einen Algorithmus finden würden,
dann würden sie zeigen, dass P gleich NP ist und würden dieses Problem lösen.
Und wenn ihr Beweis übersteht, die Prüfung,
wissenschaftliche Prüfung, dann kriegen sie irgendwann eine Million.
Ja, ist aber, wie gesagt,
wahrscheinlich schwer
Es gibt eine andere Variante, die jetzt auch ganz,
also da könnte man ja noch sagen,
das ist vielleicht alles so ein bisschen unangewandt und rein theoretisch.
Und ich bin vielleicht von meiner Forschungsrichtung auch eher in der theoretischen Mathematik zu Hause.
Aber tatsächlich gibt es ein sehr enges Problem,
was sehr eng damit verwandt ist,
das sogenannte Problem des Handlungsreisenden oder Traveling Siltment-Problemen.
Da müssen Sie sich das so vorstellen,
als hätten Sie Gewichte noch auf den Kanten.
Und vielleicht haben Sie alle Kanten. Also das Problem wird immer so formuliert,
Sie haben Endstädte und zwischen den Städten wissen Sie,
haben Sie eine Kostenfunktion,
wie lange,
wie teuer ist es von Stadt A
nach Stadt B
zu rennen
Sie für alle und jetzt der Handlungsreisende soll alle Städte ablaufen und
am Ende will er natürlich wieder nach Hause zu seiner Familie.
Das heißt, sie suchen jetzt einen Hamilton-Kreis auf dem Grafen,
wo sie alle Kanten haben,
aber die Kanten haben Gewichte und sie suchen den billigsten Hamilton-Kreis.
Und das ist sozusagen das Problem des Handlungsreisesten, Reisenden,
das ist noch schwieriger. Ja, man kann das Hamilton-Kreisproblem
relativ einfach darauf reduzieren. Und ja, man könnte das sehen,
irgendwie als gewichtete, als gewichtetes Hamilton-Kreisproblem ist tatsächlich noch älter.
Also es gab tatsächlich mal bereits 8832 in so einem,
in so einem Buch für Handlungsreisenden,
wo dann dieses Problem sozusagen schon mal erwähnt.
Und man kann sich eben zum Beispiel Deutschland hier alle Städte einzeichnen,
ab einer gewissen Größe und kann eben versuchen, solche Touren zu berechnen.
Das war eben die, die bereits damals bekannt war.
Das waren 45 Städte und die Anzahl der Möglichkeiten, die steigt halt rapide an.
Weil wenn sie 45 Städte in einer Reihenfolge besuchen wollen,
haben sie sozusagen 45 Fakultätmöglichkeiten, grob gesagt,
das ist schon mal eine Zahl mit 56 Nullen.
Das heißt, sie können jetzt nicht einfach alle ausprobieren,
ausrechnen und dann gucken,
welches die Preiswerteste
In den 70er Jahren wurde sehr stark der Computereinsatz populärer in der Mathematik.
Und tatsächlich konnte man dann aber mit etwas,
ja schon relativ ausgefuchsten Methoden, eine optimale Tour mit 120 Städten berechnen.
Dass Skrötsche in den 70er Jahren gelungen, dass diese blaue Tour,
diese Originaltour aus diesem Originalproblem, das war diese Grüne.
Und dann ist so der Sport entstanden, wie clever kann man Algorithmen implementieren,
ab wann kann man Lösungen ausschließen und so weiter.
Wie viele Städte kann man machen? Und vor einigen Jahren,
also war der Weltrekord, mittlerweile gibt es noch besser,
aber innerhalb von Deutschland eine Tour mit 15.112 Städten.
Das sind wahrscheinlich irgendwie alle Städte mit 10.000 Einwohnern oder irgend sowas.
Und das ist dann schon eigentlich aus so vielen Möglichkeiten die optimale rauszufischen,
dass, wie gesagt, kann man jetzt nicht mehr mit dem,
mit Brut-Force-Methoden, in denen man alle ausrechnet.
Und das ist diese rote, die hier eingezeichnet ist.
Also wie gesagt, nur mal zum Vergleich. Also so
viele Sekunden hat ein Jahr und da so viele Möglichkeiten gäbe es hier.
Da braucht man also viel, sage ich mal,
muss man irgendwie mit anderen Methoden rankommen.
Man kann nicht einfach so sagen, ich rechne mal
alle aus und dann nehme ich die die preiswerteste.
Und das ist in gewisser Weise so die Essenz von solchen NP vollständigen Problemen.
Okay, also das ist vielleicht so die Brücke,
die ich hier schlagen wollte, vielleicht noch ein paar Schlussbemerkungen.
Was vielleicht für ein Laien nicht so oder ein bisschen überraschend ist,
also die Mathematik für die Leute, die Mathematik betreiben,
hat auch gewisse ästhetische Aspekte. Ja, also den ersten,
ich habe ja in diesem Vortrag jetzt nur einen Beweis gezeigt,
zum Beispiel den von Euler, da würden viele sagen,
dieser Beweis entweder, ja,
der spricht zu einem oder er spricht nicht zu einem,
also man kann dafür so ein Schönheitsempfinden haben
Ist der elegant oder ist der irgendwie nicht so elegant?
Ja, ist es einfach nur Rechnen oder ist das langweilig?
Und da gibt es so ein paar Bemerkungen oder Zitate.
Das eine geht, glaube ich, zurück auf Hardy,
der sozusagen gesagt hat, also Schönheit ist in der Mathematik,
das einzige Kriterium, was Mathematik überlebensfähig macht.
Also nur die Sätze, die irgendwie elegant sind oder die Beweise,
die elegant sind, haben eine Chance zu überdauern.
Das andere wird man eben irgendwie vergessen. Und das ist natürlich auch ein Aspekt,
den wir versuchen,
dann in der Forschung oder in weiterführenden Vorlesungen den Ständen nahe zu bringen,
sozusagen wegzukommen von dem reinen,
wir rechnen jetzt mal hier eine Lösung aus,
sondern eben auch elegante Beweise sehen,
wo man eben überrascht ist,
welche Ideen manchmal zum Erfolg führen
Ein ähnliches Zitat gibt es von Erdisch. Erdisch hat ab und zu gesagt,
sozusagen als Mathematiker ist es nicht so wichtig,
ob man religiös ist oder ob man irgendwas glaubt.
Das Einzige, woran man als Mathematiker glauben muss, ist,
dass es irgendwo so ein Buch gibt mit den elegantesten Beweisen.
Und oftmals hat er eben, wenn Leute ihm Lösungen,
also er hat sehr viele Probleme postuliert und dann,
wenn Leute das gelöst haben,
vielleicht erst mal mit so einem etwas mehr Brutforce oder hässlichen Argument,
hat er dann gefragt, naja,
aber jetzt muss man ja noch den richtigen Beweis finden.
Also einer, der auch elegant ist und vielleicht auch erklärt,
warum das Problem so ist, wie es ist.
Und sozusagen, man sollte dann nur an dieses,
an dieses Buch müsste man dann schon noch glauben,
als Mathematiker oder es stimmt vielleicht auch in gewisser Weise und
das versuchen wir auch sozusagen im Mathestudium teilweise zu vermitteln,
neben natürlich den Grundlagen, die auch gelehrt werden müssen.
Dafür habe ich jetzt kein Bild gefunden. Der Witz geht
dann so ein bisschen weiter, nachdem erdisch gestorben ist,
ist er dann sozusagen im Himmel und darf in das Buch hineinschauen.
Und dann steht im Buch trivial, trivial, trivial sozusagen.
Also das ist dann sozusagen, wenn man zu viel Macht hat,
dann ist es vielleicht auch nicht mehr interessant,
aber ja,
da würde ich
vielleicht für einen Vortrag beenden
Genau, also ich habe jetzt nur den Vortrag mehr so versucht,
da so einen Einblick zu geben,
was so eine Brücke zwischen Schulmathematik und Mathematik an der Universität
aus meiner Sicht in meinem Gebiet sein könnte.
Wenn sie natürlich Fragen haben zum Studienablauf und solche Sachen,
dann ist es vielleicht einfacher, wenn wir die direkt besprechen.
Und das können wir gerne machen. Also wenn ich
die Fragen nochmal wiederholen darf, also es geht darum,
also welche Anwendungsgebiete der Mathematik gibt es dann außerhalb der Universität,
ich sag mal in Anführungsstrichen, im echten Leben sozusagen.
Da ist es natürlich vielfältig. Da gibt es verschiedene Spezialisierungen,
die wir auch anbieten, zum Beispiel in dem Studiengang Wirtschaftsmathematik
Wo besonders solche Aspekte auch trainiert und geübt werden während des Studiums. Ein Problem,
zum Beispiel dieses mit dem Handlungsreisenden war jetzt ja
nicht ganz so weit weg von einem tatsächlichen Problem,
wenn sie sich zum Beispiel vorstellen oder vielleicht heutzutage ein bisschen nicht mehr ganz die aktuelle Technik,
aber vor einigen Jahren mussten ja Leiterplatten zum Beispiel noch gebohrt werden.
Das heißt, man hat so eine Leiterplatte gehabt und musste
irgendwie dort eine Million Löcher reinbohren und der Bohrer musste jetzt
nichts anderes machen als sozusagen von einem Loch alle Löcher abzulaufen,
jeweils an diesen Ecken sozusagen ein Loch zu bohren und wieder zur Ausgangsposition zurückzukehren.
Und wenn sie dort eine bessere Tour finden, die sozusagen maschine effizienter arbeiten lässt,
dann spart das eben eventuell so eine Maschine zusätzlich zu kaufen.
Also das wäre jetzt eine Anwendung, die sozusagen implizit in diesem Vortrag vorkam.
Allgemein sind beliebte Handlungshelder, sowas geht dann in die Richtung Operations Research,
wo man eben versucht, Industrieprozesse zu optimieren.
Da kommt man oftmals auf relativ einfache, mathematische Probleme,
die sich oftmals eben auch mit Graphen modellieren lassen.
Anderes berühmtes Beispiel ist zum Beispiel auch kürzeste Wege finden,
ein Straßennetzwerken und sowas. Das ist eine Branche,
also Logistikbranche oder eben Optimierung, mathematische Optimierung in Industrieprozessen,
wo zum Beispiel Mathematiker benutzt werden oder eingesetzt werden.
Dann gibt es ganz andere, thematisch ganz andere Aspekte,
zum Beispiel, wenn man mehr in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik geht.
Gerade in Hamburg,
dann gibt es die Finanz- oder noch stärker die Versicherungsmathematik,
in der einfach Mathematiker gesucht werden, die diese Grundkenntnisse mitbringen,
um diese Prozesse eben doch analysieren zu können, mathematisch analysieren zu können.
Wie sind die Risiken, wie sind die Risiken zu bewerten?
Das läuft oftmals auf mathematische Probleme hinaus. Ja,
also das sind, da gibt es relativ vielfältige Anwendungen,
die ich jetzt auch gar nicht alle aufzählen kann.
Und in dem Studium legt, wird sozusagen im klassischen Mathematikschuhen wird ein Grundstock gelegt,
auf die man dann eben so ankoppeln kann.
Wie gesagt, also wenn sie so direkte Fragen haben zum
Studienablauf oder im Nachgang vielleicht dazu noch, sich Fragen ergeben,
finden sie eigentlich auch alles dokumentiert auf den Webseiten von unserem, von unserem Pachbereich.
Also das ist vielleicht ganz grob gesagt, die Anfangsvorlesungen sind relativ klar strukturiert.
Das heißt, es gibt nicht ganz so viele Wahlmöglichkeiten.
Das erste zweite Studiengas sind relativ streng festgelegt, gibt ein paar Wahlmöglichkeiten,
aber es ist eigentlich klar, was man zu studieren hat.
Und da werden die Grundlagen geklärt und dan... liegt man sich dann fest,
wie man eben,
in welche Gebiete man spe man spitalisieren will und wie man,
und wie man nach Themen,
das muss noch nicht unbedingt immer gleich mit einer Anwänd de,
mot.
Das proflos. deint. prozent, d,
prodel, weil es ist auch nicht mat,
mat, mat,
de. de
Muss ich gestehen, weiß ich, weiß ich gar nicht.
Also die größere Zahl sind Studienanfänger, die,
sage ich mal, den Bachelor nicht machen.
Also wir haben eine sehr großen, oder wir haben einen Schwundfaktor,
die sozusagen das Bachelorstudium vom Bachelorstudium beginnt zum Ende.
Das liegt sicherlich in der Größenordnung von oberhalb von,
so um die 40 Prozent, würde ich sagen.
Also es ist einfach so,
dass viele an den ersten beiden Studienjahren in der Mathematik einfach merken,
dass der falsche Studiengang ist
Also mit den falschen Erwartungen studieren oder beziehungsweise das Studium führt
zu schwer achten oder sich einfach umorientieren während dieser Zeit.
Also gibt es sicherlich vielfältige Gründe. Das ist,
sage ich mal, der größere Anteil von einer Kohorte,
die verloren geht, als die,
die dann, einige entscheiden sich auch nach dem Bachelor,
dass es dann reicht, einfach sozusagen,
die das Studium nach dem Bachelor abschließen.
Und die Anfängerzahlen bei Master sind deutlich geringer als die Anfängerzahlen beim Bachelor.
Also gibt es sozusagen von den Anfängerzahlen vom Bachelor
zum Anfängerzahlen vom Master, das liegt ungefähr eher so bei
einem Faktor
Das kann man nicht genau sagen, wenn man ja nicht genau weiß,
wann jemand angefangen hat und ob er jetzt in der Regel Schönfeld beendet hat.
Aber wenn man einfach nur die Anfängerzahlen vergleicht,
dann liegt da, sage ich mal, ein deutlicher Faktor dazwischen.
Und das liegt eher daran, dass die Leute den Studiengang wechseln.
Also es ist allgemein in MIN-Studienfächern relativ häufig so,
dass, sage ich mal, vielleicht nicht 50 Prozent,
aber eher in so einer Größenordnung die Leute sich umorientieren.
Der Herr fragt nach den Unterschieden zwischen dem Studium der Mathematik
und dem Studiengang Lehramt, Mathematik für Lärm.
Da gibt es starke Unterschiede. Also man muss erstmal unterscheiden
, welche Art von Lehramt. Also insgesamt haben wir
vier Lehramtsstudiengänge
Ich nenne mal die beiden Größen. Das eine ist eben
für die Oberstufe oder Gymnasial, Ella Gym.
Das andere ist für die Grundschule oder das für die Primär- und Sekundarstufe 1.
Da gibt es schon Unterschiede in den mathematischen Anforderungen.
Also für die Grundschullehrer sind die Anforderungen in der Mathematik etwas geringer.
Gibt es auch Spezialvorlesungen, während die Gymnasiallehrer in den normalen Mathematikveranstaltungen der Bachelor-Mathematiker sitzen.
Zwar etwas entzerrt, aber sie müssen sozusagen diese Grundvorlesung,
die für viele Studienempfänger, die starken Hürden sind.
Analysis 1, Analysis 2, lineare Algebra 1,
lineare Algebra
Die müssen die Gymnasiallehrer hören und erfolgreich bestehen. Der Unterschied ist hier,
bei den Gymnasiallehrern verteilt sich das auf die ersten beiden Jahre,
die machen im ersten Jahr nur die lineare Algebra, nach dem Regelstudienplan.
Im zweiten Jahr die Analysis, während die Bachelor-Mathematiker alles
auf einmal hören. Aber das ist sozusagen derselbe Stoff,
die sozusagen im selben Hörsaal und kriegen vielleicht ein spezielles Tutorium,
aber sagen wir mal, zu 95 Prozent,
die kriegen dieselben Klausuren und müssen dieselben Prüfungen bestehen.
Für die Primarstufe ist es ein bisschen anders,
da gibt es speziellere Veranstaltungen und es ist häufig auch so,
dass einige Lehrämter dann eben wechseln in die Primarstufe,
weil die mathematischen Anforderungen dort ein bisschen anders gelegt werden.
Und insgesamt danach unterscheidet sich es aber sehr stark.
Also bei der mathematischen Vertiefung,
da haben die Lehremplayer dann eben noch die Fachdidaktik und noch
ein Nebenfach und haben jetzt sozusagen nicht so viele fortführende Mathematikerveranstaltungen.
Also zum Beispiel sieht man das sehr deutlich,
die Lehrämpler können ja wählen,
in welchem Fach sie ihre Arbeit schreiben,
ob in der Didaktik oder in der Mathematik oder im Nebenfach
und es ist sehr selten,
dass sie es in der Mathematik schreiben