Gut, dann darf ich sie zur heutigen Veranstaltung begrüßen.
Wir hatten ja in der letzten Woche uns einfach mal Wiederholungsaufgaben angeguckt und diese Wiederholung,
Schloss an einen Einstieg in die dritte, in den dritten Bereich,
an den wir in Bezug auf die Inferenzstatistik angefangen hatten.
Wir hatten ja Inferenzstatistik angesprochen,
als das den Teil der Statistik, der als Ziel hat,
Schlüsse von Stichproben auf zugrunde liegende Verteilung oder auf Grundgesamtheiten durch durchzuführen.
Und das umfasst einmal die Punktschätzung. Damit haben wir uns
zunächst beschäftigt. Dann die Konfidenzintervalle und schließlich die Tests.
Und wir hatten einen ersten Einstieg in die statistischen Tests vor
der letzten Stunde gemacht. Tests sind geeignet,
um Entscheidungen herbeizuführen, auf Stichprobenbasis,
in Bezug auf die zugrunde liegenden Verteilung und zunächst mal natürlich
in Bezug auf einzelne Parameter der
zugrunde liegenden Verteilung
Wir haben auch als Ausgangspunkt einfach das Problem genommen,
uns über die Lage spezifiziert durch den Erwartungswert der Verteilung zu betrachten.
Der Erwartungswert entweder als Idee, dass wir eine Verteilung zugrunde
liegen haben oder dass wir eine Grundgesamtheit haben und den Durchschnitt in dieser Grundgesamtheit betrachten.
In Bezug auf diesen Parameter haben wir das Problem,
uns angeguckt, dass eine Lieferung Von Butter in Bezug auf die Qualität
genauer in Bezug auf den Wassergehalt untersucht werden sollte.
Und da interessierte, ob im Durchschnitt,
im allgemeinen Durchschnitt der Wassergehalt höchstens 16 Prozent beträgt.
Wir hatten die Normalverteilung unterstellt und hatten gesehen,
wie die Tests überhaupt funktionieren, dass wir den möglichen Parameter in zwei unterschiedliche Teilbereiche aufteilen.
In unserem Beispiel in die Werte für den Parameter Müh,
die kleiner gleich 16 und die, die größer als 16 sind,
das waren die Werte, die zur sogenannten Nullhypothese gehören,
beziehungsweise zur Alternativhypothese und die Entscheidungsfindung sollte jetzt in die Richtung gehen,
dass wir jetzt auf Basis einer Stichprobe einfach sagen,
okay, wir entscheiden uns dafür zu sagen,
Mühe ist kleiner gleich oder wir entscheiden uns für die Alternative,
Mühe ist größer als 16.
Diese einfach alternativen Schlüsse sind es, die dem statistischen Test,
die mit einem statistischen Test angestrebt werden und wir hatten auch gesehen,
dass das in der Regel passiert oder zumindest erst mal in unserem Beispiel passiert,
indem wir eine geeignete Teststatistik oder Prüfgröße bei der Begriffe werden synonym verwendet,
konstruiert werden und dann geguckt wird,
ob diese Prüfgröße als Indikator in die eine oder andere Richtung zählt.
Wir hatten weiter untersucht,
dass die Zugehörigen Testentscheidungen leider nicht hundertprozentig korrekt sein müssen,
sondern mit gewissen Fehlern passieren, Fehler, die sich natürlich ausdrücken,
darüber, dass wir bei wiederholden Tests bei wiederholter Testdurchführung einen gewissen Anteil von richtigen Entscheidungen und einen gewissen Anteil von falschen Entscheidungen machen.
Wenn wir unterstellen, was wir in Realität eben im Einzelfall leider nicht wissen,
dass die Nullhypothese richtig ist, so hatten wir festgelegt,
dass die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Ablehnung der Hypothese durch eine kleine Wahrscheinlichkeit,
die mit Alpha bezeichnet wird, festgelegt ist,
Alpha ist in der Regel 0,05 oder 0,01,
also relativ klein.
Und damit können wir sagen, eine Entscheidung, Ablehnung der Nullhypothese,
obwohl es sie richtig ist, passiert sehr selten.
Und die Entscheidung für die Gegenhypothese oder Alternativhypothese wird also immer so sein,
dass wir sagen, entweder ist sie richtig,
oder wir wissen aufgrund des Vorgegebenen, der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit,
dass es höchstens selten mal passiert,
dass wir uns in dieser Richtung
falsch entscheiden
Die Konsequenz ist, dass wir der Entscheidung für die Gegenhypothese ein recht großes Vertrauen entgegenbringen. Wie gesagt,
wir haben ja entweder eine richtige Entscheidung sowieso richtig,
weil die Gegenhypothese stimmt oder wir wissen, es passiert höchstens selten mal,
dass das als Fehler auftritt und in der Statistik unterstellen wir in der Regel,
dass auch im Einzelfall das passiert, was eher zum Regelfall gehört, also wird auch im Einzelfall unterstellt,
dass dies eben eine korrekte Entscheidung ist und dementsprechend gehen wir davon aus,
dass die Entscheidung für die Gegenüberthese die korrekte Entscheidung ist.
Diese Alternative ist also, oder diese Entscheidungsrichtung ist also relativ sicher,
die andere Entscheidungsrichtung, sprich also Beibehaltung der Nullhypothese,
da haben wir gesehen anhand des Beispiels eines Tests auf einen Anteil,
dass diese Entscheidung gar nicht so sicher ist,
dass die Beibehaltung der Nullhypothese auch häufig passiert,
wenn eigentlich die Gegenhypothese richtig ist, Aber anhand des Beispiels,
Test auf P, haben wir gesehen,
wenn das wahre P, der wahre Ausschussanteil in dem Beispiel,
das wir besprochen hatten, eben nicht sehr stark verschieden ist,
von dem, der unter der Nullhypothese festgelegt ist,
dann kommt es relativ häufig noch zu einer Beibehaltung der Nullhypothese,
sodass die Entscheidung in dieser Richtung leider nicht
sehr korrekt ist oder sehr sicher ist
Insgesamt können wir als Fazit das,
was wir im letzten Mal gesehen hatten,
nochmal uns als Merksatz hier ins Gedächtnis rufen,
das ist der unterste Satz, das,
was man beweisen möchte, wird man als Gegenhypothese formulieren,
weil, wie gesagt,
die Entscheidung für die Gegenhypothese,
diejenige ist,
der wir das größte Vertrauen gegenüber einbringen
Wir wollen anhand eines weiteren Beispiels uns noch einmal,
die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art,
für die Entscheidung in Richtung der Nullhypothese angucken,
also in Bezug auf die Beibehaltung, dann eine Hypothese,
auch wenn wir jetzt eventuell zulassen, dass die Gegenüberthese richtig ist.
Diese Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art wird in der Regel in der Form betrachtet,
dass wir eher die Gegenwahrscheinlichkeit das richtige Entdecken der Abweichung betrachten,
das führte dann zu der sogenannten Gütefunktion.
Die Gütefunktion ist einfach eins, minus Wahrscheinlichkeit für den Fehler
zweiter Art, aber in Abhängigkeit vom richtigen Parameterwert.
Nehmen wir unser Beispiel der Möglichkeit der verwässerten Butter,
das heißt den Wassergehalt in der Butter,
betrachten eine Probe vom Umfang 10,
das heißt es sind zehnmal aus der Lieferung Stichproben,
A25 Gramm genommen worden,
der Wassergehalt in dieser kleinen Probe
wurde jeweils bestimmt
Und wir wollen anhand einer solchen Probe untersuchen, ob eben die Norm,
die festgegeben ist, in Bezug auf dem Wassergehalt erfüllt wird.
Ob tendenziell der Erwartungswert kleiner gleich 16 ist oder ob
wir sagen, dass größer als 16 ist.
Die Vereinfachung wollen wir weiterhin als Vereinfachung, wollen wir weiterhin unterstellen,
dass die Varianz erst mal bekannt ist,
mit einer unbekannten Varianz werden wir uns im Anschluss auseinandersetzen.
Also Sigma Quadrat soll mit 0,2,5 einfach bekannt sein
Wir hatten gesehen, dass die Entscheidung für die Gegenhypothese oder für die Beiibehaltung der Nullhypothese auf der Basis einer Teststatistik passiert. Hier ist die adäquate Teststatistik,
die ja in Richtung des Erwartungswertes geht,
dass wir uns einfach das arrithmetische Mittel als Schätzfunktion für den Erwartungswert nehmen und den Wert der Schätzfunktion mit dem hypothetischen Wert vergleichen,
hypothetischer Wert heißt, dass wir den Wert,
der hier als Öster zugelassen ist,
als Vergleichsmaß nehmen, also die Möglichkeiten,
dass das wahre Mühe noch geringer ist,
dass die Butter noch weniger Wasser enthält,
die lassen wir zugunsten des kritischsten Falles außer Acht und nehmen tatsächlich eben die Grenzsituation,
die noch zulässig ist und vergleichen jetzt unser atmetisches Mittel mit dieser Situation,
betrachten da die Standardisierte Prüfgröße,
damit wir die entsprechende Möglichkeit haben,
gleich mit der Normalverteilungstabelle umzugehen,
um da die Zugehörigen kritischen Werte
zu bestimmen
Der Ablehnbereich, der Bereich, bei dem wir uns dann gegen die Nullhypothese entscheiden,
für die Alternativhypothese, ist natürlich gegeben dadurch,
dass wir zu große Werte der Prüfgröße kommen, zu große Werte bekommen wir genau dann,
wenn das aratmedische Mittel größer ist als 16, genügend groß im Vergleich zu diesem Grenzwert ist.
Und das ist klar,
einen solchen großen Wert werden wir eben unter der Gegenhypothese erwarten,
weil ja unter der Gegenhypothese festgelegt ist, Alle Werte,
die größer als 16 sind, die sollten zur Ablehnung der Nullhypothese führen,
die sollen zu der Entscheidung führen, die entsprechende Lieferung enthält zu viel Wasser,
einen zu großen Prozentsatz und plausibel ist es dann,
dass wir natürlich dieses zu groß mithilfe des atmetischen Mittels bestimmen.
Damit der Test Dieses Niveau, was wir haben, einhält,
müssen wir dieses zu groß spezifizieren und wir haben festgelegt,
dass dieses Spezifizieren darüber passiert, dass wir den entsprechenden Wert aus der Normalverteilungstabelle bestimmen,
sodass die Wahrscheinlichkeit einen noch größeren Wert der Prüfgröße zu bekommen, exakt gleich Alpha ist.
Das heißt, wir brauchen das 1-Alpha-Quantil, dieser Prüfgröße,
wenn Tatsächlich die Nullhypothese mit diesem Grenzwert vorliegt,
wenn wir tatsächlich 16 Prozent Wasser haben, da gucken wir nach,
in dieser Situation haben wir eine Chance von Alpha,
dass wir eine noch größeren Wert bekommen der Prüfgröße als dieses Quantil und das führt dazu,
dass wir eben gerade auch unsere Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art mithilfe dieses diese Entscheidungsregel einhalten.
Wir kommen höchstens mit der Wahrscheinlichkeit Alpha zu einer Fehlentscheidung in Richtung Ablehnung der Nulypothese,
sofern sie gilt, und interpretieren einen großen Wert der Prüfgröße,
dahingehend, dass wir eben sagen,
das akzeptieren wir nicht mehr als zufälliges Ereignis unter H0,
sondern wir Schlussfolgern,
dass da offensichtlich doch eher ein systematischer Effekt zu sehen ist,
ein systematischer Effekt, der eben dadurch bewirkt wird,
dass der wahre Wert des Parameters Müh eben größer ist als dieser maximal zulässige Wert 16.
Die Gütefunktion ist, wie gesagt, die Wahrscheinlichkeit,
sich korrekt für die Gegenhypothese zu entscheiden oder überhaupt für die Gegnerhypothese zu entscheiden,
sofern das Müh größer ist als 16,
eben auch korrekt für die Gegenhypothese zu entscheiden und hängt mit dem Fehler zweiter A zusammen,
dass wir sagen können,
eins minus Fehler zweiter Art ist gleich der Wert der Gütefunktion.
Hier haben wir die Möglichkeit für diese Situation, die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten einfach zu bestimmen. Und das,
was wir in der letzten Woche im Rahmen der Übungs- und Wiederholungsaufgaben mehrfach uns angeguckt haben,
passiert hier eben auch, weil ja Untersuchen,
wie sieht es aus mit der Entscheidung für die Gegenhypothese.
Es wird bei einem statistischen Test praktisch nicht mehr unterschieden zwischen der Beobachtung eines Wertes,
der Prüfgröße, Welchen Wert bekomme ich hier für diese Prüfgröße Groß-Tee,
den kann ich ja auf Basis einer Stichprobe dann ausrechnen und kann dann entscheiden,
ob oder kann dann sehen,
ob ich einen Wert aus dem Ablehnbereich bekomme oder nicht.
Die Entscheidung, die folgt, ist natürlich, bekomme ich
einen Wert aus dem Ablehnbereich, lehne ich null Hypothese ab.
Ich entscheide mich für die Alternative. Und dieser letzte Schritt,
der ist so selbstverständlich, dass wir ihn gar nicht mehr besonders erwähnen.
Wir setzen einfach die beiden Aktionen oder die beiden Ereignisse gleich,
nämlich einen Wert der Prüfgröße im Ablehnbereich zu beobachten und Ablehnung der Nullhypothese selbst.
Das ist für uns praktisch eins,
die Konsequenz ist so festgeschrieben, dass wir sagen können,
wir spielen das Ganze zurück auf das Entsprechen der Ereignis,
welchen Wert nimmt die Prüfgröße an und dass da entsprechend die Aktion folgt,
das wollen wir immer voraussetzen und dann nicht mehr besonders sprachlich
und das Scheiden
Also gucken wir uns einfach an, wie sieht es aus mit der Prüfgröße?
Ablehnung heißt, wir bekommen einen Wert, der im Ablehnbereich
liegt, der größer ist, als Z als Z1-Alpha.
Und wir wollen das jetzt angucken in Abhängigkeit vom Erwartungswert Mühen. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich ausrechnen,
so wie wir das in der letzten Woche im Rahmen der Aufgaben mehrfach durchgeführt haben,
indem wir, und wir springen gleich hier in die zweite Zeile,
die Prüfgröße Neustandardisieren Wir unterstellen hier das Müh,
der jetzt neuer, richtiger Wert ist und müssen dann,
um wieder mit der Normalverteilungstabelle arbeiten zu können,
die entsprechende Standardisierung mit dem jetzt richtigen Müh durchführen.
Also hier steht noch die 16, weil das der hypothetische Wert ist.
Die Unterstellung sagt, wir haben jetzt aber den Wert Müh,
also brauchen wir eine Standardisierung in dieser Form.
Und um das zu erreichen,
habe ich hier als Zwischenschritt erst einmal dieses minus 16
durch Sigma Wurzel N auf die andere Seite gebracht
Dann steht das hier nicht. Und der Schritt von hier,
nach hier, sagt, ich muss auf beiden Seiten Mühe durch Sigma
durch Wurzeln abziehen und habe das gleich hier zusammengefasst in dieser Form.
Natürlich kommt es auch auf der rechten Seite vor,
weil wir ja äquivalente Umformungen brauchen und diese äquivalenten Umformungen führen dazu,
dass die Wahrscheinlichkeiten für diese Aussagen oder diese Ereignisse gleich sind.
Jetzt haben wir hier eine Standardnormalverteilte Zufallsvariable, weil wir unterstellen,
dass Mühe Der richtige Parameter ist und können jetzt einfach sagen,
diese Wahrscheinlichkeit können wir mit der Normalverteilung direkt bestimmen und die Verteilungsfunktion an der Stelle abgezogen von dem Wert 1, ergibt gerade die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Wie sieht das jetzt aus? Wenn wir die Zugehörige,
Wahrscheinlichkeit uns grafisch darstellen, Gut, lassen Sie uns erst kurz angucken,
was hier überhaupt illustriert wird, was wir haben,
ist also unseren statistischen Test mit dem Wert 16,
als den Wert, der unter der Nullhypothese als Obergrenze festgelegt wird.
Was jetzt gemacht wird, wir gucken uns an,
was passiert denn, wenn ich das Mühe,
den wahren Erwartungswert einfach mal probeweise 16,1, 16,2 immer größere Werte einsetze,
die Wahrscheinlichkeit sich korrekterweise für die Gegenhypothese zu entscheiden,
also die Wahrscheinlichkeit, dass wir unseren Wert der Prüfgröße im Ablehnbereich bekommen,
die wird jetzt ausgegeben,
und zwar entspricht diese Wahrscheinlichkeit gerade der rot markierten Fläche,
oder anders übersetzt als wert, wird es hier einfach über dem zugehörigen Müh,
das jetzt probeweise, wie gesagt,
sukzessive Kurse eingesetzt wird, das darüber aufgetragen wird.
Hier habe ich dann entsprechend den Verlauf der Funktion für diese Wahrscheinlichkeiten.
Oben habe ich es noch sukzessiver als Fläche interpretiert und charakterisiert.
Also starten wir das Ganze nochmal und dann werden sie sehen,
wir fangen eigentlich bei 16 als Parameterwert für Mühe an.
An dieser Stelle muss natürlich die Wahrscheinlichkeit sich für die Gegenüberthese zu entscheiden,
gerade gleich 0,05 gerade gleich der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit sein.
Sofern ich aber jetzt ein etwas größeren Wert als 16 Einsätze
befinde ich mich schon in der Gegenhypothese.
Dann möchte ich ja eigentlich auch schon die Chance möglichst groß haben,
dass wir die Zugehörige Abweichung nach oben auch erkennen.
Also je größer diese Wahrscheinlichkeit ist, die Chance ist,
sich richtig für die Gegenhypothese zu entscheiden,
desto besser wäre es
Und sie sehen, wenn ich jetzt nicht 16 Prozent,
sondern knapp 17,5 Prozent habe, dann kann ich davon ausgehen,
dass ich diese Abweichung praktisch sicher erkenne,
die Wahrscheinlichkeit ist, bis auf einige Nachkommastellen praktisch eins,
dass ich mich für die Alternative entscheide.
Das heißt also, ich erkenne die Abweichung nach oben tatsächlich mit praktischer Sicherheit,
wenn ich die vorgegebene Situation habe, wenn ich also sage,
ich ziehe eine Stichprobe vom Entsprechenden Umfang und gucke mir unter den anderen Randbedingungen,
die gegeben sind, an, wie die Chance ist,
eine solche Abweichung zu decken.
Wenn ich aber jetzt beispielsweise einen Wassergehalt von 16,5 Prozent habe,
dann ist die Chance noch nicht so groß,
wenn wir 16,5 haben, dann landen wir ungefähr hier,
dass es also bei knapp 0,5, wo wir diese Abweichung entdecken können.
Das heißt, wenn wir eine Lieferung bekommen mit 16,5 Prozent Wassergehalt,
also eigentlich mit zu viel Wasser,
hat die Lieferung trotzdem noch die Chance, so in etwa 50,
50 angenommen zu werden oder richtigerweise zurückgewiesen zu werden.
Also die Situation des Kontrolleurs ist an der Stelle noch nicht
so sonderlich gut. Er findet nicht unbedingt,
dass da die Butter verwässert ist,
tendenziell hat er noch einen relativ hohen Anteil bei diesem Verwässerungsgrad,
dass die Buddha auch tatsächlich angenommen wird
Das ist also die Gütefunktion im Zusammenhang mit diesem Beispiel.
Und natürlich fragt man sich,
wie sieht es aus in Bezug auf die Möglichkeit,
auch Abweichungen von einem halben Prozent Wassergehalt zu entdecken.
Und diese Abweichung vielleicht eben nicht mehr durchgehen zu lassen.
Hier spielt eine zentrale Rolle der Umfang der Stichprobe
Wenn wir, was ist jetzt wieder los? Wenn wir
einen Stichprobenumfang von 10 haben, dann haben wir das,
was eben animiert, sich entwickelt hat, noch einmal hier zusammengefasst.
Wir haben einfach die Gütefunktion, die im rechten Teil der Grafik,
also im Bereich 16 und größer, die Wahrscheinlichkeit angibt,
sich richtigerweise für die Gegenüberthese zu entscheiden.
Und wir hatten ja schon diskutiert, dass das bei
einem Wert von 16,5 Prozent noch nicht so prickelnd ist.
Wie sieht es aus,
wenn ich jetzt eine größere Anzahl von Beobachtungen mache,
das heißt meinen Probenumfang für größere,
an mehr als zehn Stellen aus der gesamten Lieferung
Proben nehme,
sie analysiere
Und dann gucken wir uns an, was passiert,
wenn wir den Stichprobenumfang auf 20, 50 oder 100 setzen.
Und da sehen Sie, dass die Güterfunktion eben für diese
Vergrößerung des Stichprobenumfangs in Anführungsstrichen dankbar ist. Das heißt,
unsere Chance steigt dramatisch, wenn wir von zehn auf 100 gehen,
die Gütefunktion wird steiler und wir können natürlich sagen,
wir haben dann immer bessere Chancen, auch kleinere Abweichungen nach oben zu erkennen.
Es ist also einfach eine Frage des Aufwandes,
ob wir gewillt sind, diese Abweichungen nach oben zu erkennen,
wenn wir einen genügend großen Stichprobenumfang wählen,
also genügend viele Werte in unsere Probe einbeziehen,
dann können wir relativ sicher sein, dass wir auch kleinere Abweichungen nach oben erkennen.
Diese Eigenschaft statistische Tests, auch kleine Abweichungen zu erkennen,
die dann immer dort deutlicher wird, je größer der Stichproben umfangen wird,
hat auch zu der Diskussion geführt, ist denn das überhaupt sinnvoll?
Muss ich denn jede kleine Abweichung nach oben tatsächlich aufspüren,
denn sie müssen sich ja klar drüber sein,
solche Analysen kosten tendenziell ja auch Geld und das ursprüngliche Vorgehen in Prüssel bestand darin,
man glaubt es nicht, jedenfalls nicht,
wenn man als Statistiker auf die Geschehnisse guckt,
ursprünglich wurde tatsächlich einfach eine Probe genommen,
es wurde gar nicht mal zehn Proben genommen,
sondern es wurde einmal reingepiekt, Analyse betrieben und daraufhin wurde entschieden,
dass das kein sehr günstiges Vorgehen ist,
brauchen wir uns nicht zu unterhalten und hier zeigt sich ja noch einmal,
dass eine größere Anzahl wirklich notwendig ist.
Erst die Intervention im Rahmen der oder von Seiten der Statistik hat dazu geführt,
dass es ein Puzzle etwas vernünftiger zugegangen ist und seitdem eben auch eine gewisse Anzahl von Proben genommen wird,
die zur Entscheidungsfindung dann herangezogen werden.
Diese Frage, wie Stark soll die Abweichung sein,
die man mindestens noch entdecken möchte, wie groß darf die Abweichung sein,
dass man sie als irrelevant letztlich akzeptiert,
dieser Entscheidung kann eigentlich nur im Kontext mit dem jeweiligen Problem entschieden werden.
Bei diesem Fragen, die wir hier als Beispiel haben,
ist man vielleicht gewillt zu sagen, gut, es reichen zehn Proben aus,
weil eine Abweichung vielleicht von einem Prozent Wassergehalt als nicht so gravierend angesehen wird Erst dann,
wenn diese entsprechende Probe wirklich mehr als 17 Prozent Wasser enthält,
dann sollte sie auch gefälligst nicht mehr angekauft werden.
Diese Entscheidung müssen dann allerdings vor Ort getroffen werden und können
allerdings vor dem Hintergrund der Eigenschaft der Gütefunktion getroffen werden,
anhand dieser Eigenschaft der Gütefunktion immer größer zu werden mit wachsendem Stichprobenumfang,
lässt sich am Ende eben ausrechnen und bestimmen,
wie es aussieht mit dem Umfang der Stichprobe,
wie man diesen Umfang festlegen kann und sollte,
um damit die zugehörige Entscheidung herbeizuführen
Heutzutage wird Statistik an manchen Stellen ja relativ vernachlässigt,
weil oft die Vorstellung existiert, es gibt ja Computerprogramme, die das alles machen.
Das ist eine weit verbreitete Irrtum, der natürlich vernachlässigt,
dass an vielen Stellen ein Verständnis dessen, was ein Rechner ihnen ausgibt,
was ein Rechner im Hintergrund tut, ja auch nötig ist.
Aber unleugbar ist es natürlich, dass viele Anwendungen gefahren werden,
Computerausdrucke angeguckt werden müssen und dann damit die entsprechenden statistischen Entscheidungen zu fällen sind.
Wenn Sie in einer entsprechenden Verlegenheit kommen, sich irgendeinen Computerausdruck anzugucken,
sei es auch in der Regression oder sei es in einem anderen Zusammenhang,
werden Sie in aller Regel auch natürlich statistische Tests durchgeführt bekommen.
Wir werden im letzten Teil unserer diesjährigen Veranstaltung im letzten Teil
von Statistik 1 eben auch noch die Regression betrachten und sehen,
dass das eben auch auf der Basis der Inferenzstatistik,
auf der Basis der Konfidenzintervalle und Tests entsprechende Interpretationen und Schlussfolgerungen zulässt.
Was Sie dann bekommen bei diesen durchzuführenden Tests,
sind automatische Ausdrucke, die Ihnen erlauben,
den entsprechenden Test, der dann gerade angesagt ist,
auch durchzuführen, ohne dass Sie dem Computer jeweils sagen müssen,
ich möchte den Test zum Niveau Alpha gleich 0,01 durchführen.
Ihre Kommilitonen sagt dagegen, ich möchte ihnen zum Niveau 0,05 durchführen.
Das Testniveau, das können sie ja selber wählen und
darüber sind sie Herren oder Herr und haben freie Entscheidungen.
Das 0,05 0,01 in der Regel gewählt wird, ist Konvention,
an die sie sich in Anführungsstrichen nicht mal unbedingt halten müssen.
Es sagt niemand, dass sie nicht auch 0,015 wählen dürfen.
Es ist halt nicht so üblich, aber wenn sie das für richtig halten,
in das niemand verwehren. Die Frage ist also,
wie kann man einen Test durchführen, ohne jeweils angeben zu müssen,
wie sieht es aus mit dem Signifikanzniveau mit dem Wert Alpha,
zu dem dann die entsprechende Irrtumswahrscheinlichkeit vorgegeben ist.
Hier gibt es eine Möglichkeit,
die heutzutage allgemein realisiert wird und die es eben tatsächlich ermöglicht,
dass sie mit ihrem selbst gewählten Signifikanzniveau mit ihrem selbst gewählten Alpha auf das Ergebnis gucken und sofort entscheiden können,
wie der Test ausgegangen ist,
ist er in Richtung Entscheidung für die Gegenhypothese oder ist er in Richtung Entscheidung für die Neue Hypothese ausgegangen.
Diese Möglichkeit ist der sogenannte P-Wert, der standardmäßig mit ausgegeben wird.
Der P-Wert ist die Wahrscheinlichkeit,
einen noch extremeren Wert der Teststatistik zu bekommen,
als den,
den sie
tatsächlich bekommen haben
Gucken wir uns das anhand einer grafischen Darstellung an.
Ich habe hier noch mal unsere Standardsituation aus der Einführung genommen.
Sie sehen, wir haben hier eine Standardisierte Teststatistik,
die X-Quer-Minus-Minull durch Sigma durch WhatsLN.
Der Ablehnbereich nach oben ist so festgelegt,
dass die Wahrscheinlichkeit unter der Nullhypothese gerade hier dem Wert Alpha
hat.
Das ist das, was Sie vorgegeben haben. Und jetzt ist natürlich klar,
wenn wir diese Situation haben, gucken wir nach,
wie groß ist unsere Prüfgröße auf der Basis der Stichprobe,
wenn wir einen Wert bekommen, der innerhalb dieses Bereiches liegt,
also negativ ist oder positiv, aber unterhalb dieser Grenze.
Die Grenze liegt hier bei 1,96. Dann wird die Nulypothese beibehalten und dort,
wo die Fläche rot markiert ist,
wenn wir in diesem Bereich liegen, wird die Nulypothese abgelehnt.
Jetzt habe ich hier mal eingegeben,
dass wir meinetwegen den Wert, sagen wir mal 2,2 bekommen.
Wenn wir einen solchen Wert der Prüfpröse bekommen, 2,2,
dann ist klar, wir liegen im Applehnenbereich, wir entscheiden für die Gegenüberthese.
Der P-Wert ist, wie gesagt, die Wahrscheinlichkeit,
eine noch extremeren Wert der Teststatistik zu bekommen,
als der, den wir tatsächlich erhalten haben.
Wenn wir den Wert 2,2 hier beobachtet haben für die Prüfgröße,
würde der Bereich aller Werte größer als 2,2 derjenige sein,
der dieser Definition entspricht, einen noch größeren Wert als der,
den wir beobachtet haben.
Das wäre also größer als 2,2. Und jetzt können Sie sich hier,
das ist blau, schraffiert, die Zugehörige Wahrscheinlichkeit angucken,
einen solchen Wert zu bekommen.
Klar ist es, wenn wir hier einen Wehr 2,2 beobachtet haben,
dass der Zugehörige Wert, die zugehörige Wahrscheinlichkeit noch extremer,
was zu beobachten, kleiner ist als unser Alpha.
Denn wir haben ja nur eine Teilfläche. Auch wenn ich
beispielsweise die Wahrscheinlichkeit angucke, für den wir zwei,
bin ich natürlich immer noch mit meinem Peviot kleiner als die entsprechende Orthomswahrscheinlichkeit.
Also solange ich im Ablehnbereich bin, ist die Plauschraffierte Fläche immer kleiner als Alpha.
Wenn ich aber Einen Wert der Teststatistik habe, einmal Entschuldigung,
der im Annahmebereich liegt, dann sehen Sie,
ist die Blaustraffierte Fläche natürlich größer als dieses Alpha,
weil ich ja links liege und diese Fläche mit einschließe und Da ich links von diesem kritischen Wert bin, noch zusätzliche Fläche habe.
Wir können also bei dem P-Wert folgendes sagen,
solange der P-Wert kleiner ist, als das vorgegebene Alpha.
Bedeutet das, meine Prüfgröße liegt im Ablehnbereich.
Wenn der P-Wert aber größer ist, als das vorgegebene Alpha,
bin ich im Annahmebereich. Ich kann also die Testentscheidung auch mithilfe dieses P-Wertes fällen. Ich brauche nur zu gucken,
Bin ich mit meinem P-Wert größer oder kleiner als dem vorgegebenen Niveau,
im Fall, dass der P-Wert kleiner oder gleich dem vorgegebenen Niveau ist,
werde ich die Nullhypothese ablehnen, in dem Fall,
dass der P-Wert größer ist, als das vorgegebene Signifikanzniveau, werde ich die Nullhypothese beibehalten.
Diese Möglichkeit ist natürlich jetzt realisierbar, ohne dass dieser Wert Alpha irgendwo aufgeschrieben ist. Sie müssen nur mehr oder weniger eine Vorstellung haben,
wie groß für sie das Alpha gewählt ist und können dann einfach den numerischen Wert mit ihrer persönlichen Vorstellung abgleichen und sagen,
aha, der Wert, den ich da bekommen habe,
dieser Wert P oder dieser P-Wert,
der ist kleiner oder größer als mein mir ausgedachtes,
mir vorgestelltes und vorgenommenes Alpha und dementsprechend habe ich die zugehörige Testentscheidung,
die mithilfe dieses ausgedruckten,
dieser ausgedruckten Wahrscheinlichkeit zu fällen ist
Die beiden Inferenzschlüsse, Konfidenz in der Wahl und statistische Tests
haben eine ganze Menge gemeinsam und hängen in einer gewissen Form zusammen.
Diesen Zusammenhang möchte ich Ihnen ganz kurz aufzeigen. Wir können nämlich
auch Konfidenzintervalle zum statistischen Testen verwenden und in weiteren fortgeschrittenen Überlegungen,
die wir hier nicht mehr durchführen wollen,
kann man auch dieser Tests entsprechend zur Konstruktion von Konfidenz und Novallen verwenden.
Wir wollen uns aber jetzt nur diesen Rahmen kurz angucken,
dass man Konfidenz in der Weile zum Testen verwenden kann.
Und zwar ist es so, dass wir natürlich ein Konfidenzinnovall für einen Parameter bestimmen können.
Da haben wir ja verschiedene Konfidenzinnovalle kennengelernt. Und wir können einfach sagen,
wenn wir ein Konfidenzinnovall für einen Parameter berechnen,
können wir sagen, die entsprechende Hypothetische Fragestellung,
die einen spezifischen Parameter betrifft, für das wir,
für den wir das Konfidenzen, weil bestimmen haben,
können wir in Bezug auf die Testentscheidung in der Weise zur Entscheidung bringen,
dass wir sagen, überdeckt das Konfidenzintervall,
den hypothetischen Parameter, wird die Nullhypothese beibehalten.
Im anderen Fall wird die Nullhypothese abgelehnt.
Die Möglichkeit ist hier noch einmal anhand dieser Äquivalenten Umformung verdeutlicht.
Auf der linken Seite dieser Äquivalenten Relation, sehen Sie das Konfidenzintervall für Müh?
Bei bekanntem Sigma für die Normalverteilung. Und es ist klar,
dass die beiden Grenze des Konfidenz in der Walds
den wahren Parameter mit der Wahrscheinlichkeit 1-Alpha-Absch einschließen.
Auf der rechten Seite dieser Beziehung sehen Sie die standardisierte Größe
und da haben wir jetzt natürlich den entsprechenden Wert,
gerade Müh im Zähler der entsprechenden Größe
Wenn wir uns vorstellen,
dass hier ein Parameter wert mynull als hypothethetischer Wert festgelegt ist,
dann ist das eine Aussage, wo wir sagen können,
x-quer-minus-mynull liegt im Annahmebereich,
aber dann müssen wir auch hier den entsprechenden Paarmeter Index null ran anbringen.
Das ist gleichwertig damit, dass mynull auch in
dem Konfidenzintervall liegt
Wenn wir also einen Test auf mynull durchführen,
einen zweiseitigen Test, die Nullhypothese heißt Mühe ist Gleichminull,
die Alternativhypothese mühest Ungleichminull, dann sind die beiden Aussagen gleichwertig,
die Prüfgröße liegt im Annahmebereich und auf der linken Seite der Parameterwert,
der unter H0 festgelegt wird,
liegt im Konvedenzen der Wall oder mit anderen Worten,
die Konfedenzgrenzen schließen,
diesen Parameter wird ein
Wenn diese beiden Aussagen gleichwertig sind,
ist natürlich auch die hier drunter stehende Aussage korrekt,
das nämlich genau dann der Konfidenz in der Wahl,
den Parameterwert nicht überdeckt,
wenn also Mynol links von der Untergrenze oder rechts von der Obergrenze liegt,
dann wird auch,
wenn wir hier das Mynol dransetzen,
der Wert der Prüfgröße kleiner als Minus Z oder größer
als Plus Z sein
Das heißt, wenn wir einfache Hypothesen,
einfache Nullhypothesen haben, wo ein einzelner Punkt festgelegt ist,
dann können wir auch mithilfe des Konfidenzunnervals die Entscheidung fällen,
weil diese Umformung deutlich macht, dass da eben die Äquivalenz in beiden Richtungen existiert.
Der Vorteil, den wir daraus ziehen,
der besteht einfach darin, dass wir sagen können,
dass Konfidenz in der Wahl erlaubt ja auch eine Aussage in Bezug auf die Lage des Parameterwertes.
Wir haben also dann nicht nur die Möglichkeit,
die einen Test Entscheidungen herbeizuführen, sondern haben gleich noch die Information,
in welchem Bereich wir den wahren Parameter Wert vermuten,
wären bei der Test, bei dem Test nur gesagt wird,
null Hypothese wird beibehalten oder abgelehnt,
haben wir beim Konfidenzintervall die Möglichkeit,
dann noch zu sagen, gut,
wir haben zusätzlich die Einschätzung der entsprechenden Parameter Wert,
sollte in den Grenzen liegen und wir können die Grenzen des Konfidenzintervalls entsprechend verwenden,
um etwas über die Größe des wahren Parameter Wertes auszusagen
Gucken wir uns als Schluss für die Einführung zunächst noch einmal
formal einen Ablaufschema für das Testen an und dann anhand einer konkreten Situation,
wie die zugehörige Umsetzung dieses Ablaufschemas dann jeweils zu interpretieren oder umzusetzen ist.
Ein statistischer Test erfordert natürlich im ersten Schritt,
dass wir ausgehend von einem inhaltlichen Problem meistens ein sachlogisches Problem etwa aus der ökonomischen Theorie.
Und wir brauchen dann eine Quantifizierung, das heißt also,
es reicht nicht eine allgemeine Formulierung eines Problems zu haben.
Wir müssen es umsetzen, und zwar so,
dass wir das in diesen Rahmen der statistischen Tests reinbringen können.
Dazu ist es natürlich notwendig zu sagen, wir brauchen irgendwelche Beobachtungsvariablen,
die wir letztlich in Bezug auf unser Testschema immer unterstellen,
wenn wir sagen, wir haben Zugehörige, Beobachtung mit Hilfe derer, wir zu einer Entscheidung gelangen.
Das ist hier genauso. Wir müssen also irgendeine messbare Größe formulieren,
egal ob das jetzt eine psychologische Größe ist,
die gemessen werden kann mit Hilfe von Fragebögen oder ob wir
Messungen wie beispielsweise des Wassergehaltes ermitteln können,
in dem chemische Analysen betrieben werden.
Irgendwas muss also eine messbare Form sein.
Wir brauchen eine entsprechende Angabe eines numerischen Wertes,
die eben sagt, das ist das,
was wir beobachten
Das ist natürlich der Ausgangspunkt für diese Variablen, für diese Größen,
die wir messen, brauchen wir als zweites natürlich auch noch Modellannahmen.
Wir brauchen die Beantwortung der Frage, ob überhaupt Zufallsstichproben vorliegen.
An dieser Stelle ist es an vielen Punkten mindestens diskutabel,
was im Bereich ökonomische Analysen betrieben wird, wenn wir empirische,
ökonomische Fragen oder ökonomische Fragen empirisch analysieren,
dann wird häufig auf Daten zurückgegriffen,
die etwa aus irgendwelchen allgemeinen Veröffentlichungen stammen und wo es eigentlich sehr zweifelhaft ist,
dass wir Zufallsvariablen, dass wir Zufallsstichproben, Ergebnisse haben,
weil etwa die Protosozialprodukte verschiedene Länder im Jahr 2009 betrachtet werden oder auch in diesem Jahr betrachtet werden.
Wenn wir dann verschiedene Länder haben und das zugehörige Protosozialprodukt,
dann kann man sich kaum vorstellen,
dass wir hier
eine Zufallsstichprobe haben
Im Rahmen der Philosophie gibt es Konstrukte wie viele mögliche Welten,
in denen wir uns bewegen und dass wir dann eventuell unterstellen,
dass wir eine zufällig ausgewählte Welt haben,
soweit möchte ich diese ganze Diskussion nicht treiben,
aber ich möchte wenigstens eine gewisses Gespür bei Ihnen dafür wecken,
dass an manchen Stellen statistische Tests eingesetzt werden,
wo dieser zweite Schritt,
die Überprüfung der Frage zumindest gedankliche Überprüfung der Frage,
doch sehr vernachlässigt wird und eigentlich ist es an dieser Stelle dubios,
einen statistischen Test anzuwenden.
Denn die ganze Philosophie, die ganze Logik der statistischen Tests,
basiert ja darauf, dass wir unterstellen, mit Hilfe unserer Fehlerwahrscheinlichkeiten,
dass wir die Tests mehrfach durchführen können.
Dass wir einen Zufallsexperiment haben und dass wir davon ausgehen,
dieses Zufallsexperiment könnte mehrfach durchgeführt werden und die Fehlerwahrscheinlichkeit gibt dann eine Chance an,
sich richtig zu entscheiden und die Chance ist dann Nur sinnvoll anzugeben,
wenn wir eben mehrfach die Zugehörige Tests durchführen können,
wenn wir eine einmalige Situation haben, ist das,
mit den Chancen natürlich eher fragwürdig.
Und dementsprechend müsse dieser Situation nochmal genauer durchdacht werden. Wenn wir aber von Zufallsstichproben ausgehen können,
brauchen wir auch eine Verteilung der Zufallsvariablen,
die brauchen wir insbesondere Auch unter der Nullhypothese,
damit wir den entsprechenden Annahme- und Ablehnbereich adäquat festlegen können,
wenn wir eben sagen,
die Wahrscheinlichkeit für die fälschliche Entscheidung in Richtung der Gegenhypothese soll dieses vorgegebene Niveau nicht überschreiten.
Zu der Festlegung der Verteilung gehört natürlich tendenziell auch die Festlegung der entsprechenden Varianz.
Wenn wir die Zufallsvariablen gegebenenfalls mit den Verteilungen haben,
ist im dritten Schritt die Zugehörige Hypothesenformulierung vorzubereiten,
indem mir das Problem als statistisches Testproblem in Bezug auf Parameter festlegen.
Wir müssen also da die Zugehörige Nullhypothese in Bezug auf
einen Parameter und natürlich auch die Gegenhypothese spezifizieren,
um dann mit der Festlegung des Signifikanzniveaus auch letztlich die Zugehörigen,
Annahme und Ablehnbereiche festlegen zu können
Ich hatte Ihnen schon gesagt,
üblich sind die Werte 0,01, 0,05,
als relativ groß würde ich schon den Wert 0,1 ansehen,
denn Sie müssen sich vorstellen, 0,1 für Alpha sagt,
dass sie schon zehn Prozent mögliche Fehler akzeptieren,
mögliche Fehler erster Art,
dass sie unter der Nullhypothese sich fälschlich für die Gegenhypothese entscheiden,
dann ist das Vertrauen in die Entscheidung für die Gegenhypothese
schon nicht mehr ganz so fest,
dementsprechend ist 0,1 sicherlich schon ein
relativ großer Wert
Wenn wir das haben, müssen wir aus dem,
was wir bisher wissen, die Prüfgröße festlegen,
um da eben auch die entsprechende Verteilung angeben zu können.
Wenn wir uns die Anwendung dann angucken, sieht es natürlich so aus,
dass diese Anwendung in der Regel die konkrete Situation, die vorliegt,
mit Standardsituationen vergleicht, ob wir nicht geeignet einen Test schon vorfinden.
Tatsächlich ist es so, dass ich in meinem Büro zwei Bände habe,
beide ungefähr tausend Seiten stark und in beiden stehen nichts drin als statistische Tests.
Das zeigt, dass die Frage der statistischen Tests,
soweit wie sie hier betreffen, natürlich nicht so aufwendig ist,
aber dass wir in vielen Konkreten Situationen zu unterschiedlichen Regeln kommen.
Das, was ich ihnen hier im Rahmen der Einführung in die Statistik präsentiere,
ist die Basis der statistischen Tests ist die Vorgehensweise und Philosophie,
die Umsetzung in den konkreten Einzelfällen,
die muss eben auch immer die konkreten Randbedingungen berücksichtigen,
damit eben die Zugehörigen Annahme und Ablehnbereiche adäquat festgelegt werden können.
Das kann nur passieren, indem hier die entsprechenden Schritte jeweils konkret
umgesetzt werden und sie sehen anhand dieser Erwähnung der beiden Bände,
dass offensichtlich es viele sehr unterschiedliche Situationen gibt,
die dann auch zu entsprechend unterschiedlichen Regeln führen,
wie man in den konkreten Situationen einen statistischen Test durchzuführen hat.
Das läuft immer nach dem gleichen Schema ab,
aber jeweils unter Berücksichtigung der Zugehörigen Detailinformationen der Detailsituation.
Diese Detailsituationen sind es, die zu diesen zahlreichen Tests führen,
weil da die Entscheidungsregeln im Prinzip alle ähnlich oder gleichartig
aufgebaut im Detail eben sehr unterschiedlich ausfallen
Zuletzt wird Annahme- und Ablehnbereich bestimmt und damit können wir natürlich
die Zugehörige Durchführung des Testes betreiben. Wir brauchen den Wert der Prüfgröße,
um dann die entsprechenden Entscheidungen liegt der Wert der Prüfgröße im Annahme oder liegt der im Ablehnbereich herbeizuführen.
Wenn wir das haben, müssen wir die Folgerung ziehen,
wenn wir die null Hypothese nicht verwerfen,
mit anderem Wort ein Wert der Prüfgröße im Annahmebereich bekommen,
dann wird die bisherige Situation beibehalten.
Das, was als Status praktisch quo existiert,
damit kann man in Anführungsstrichen weiter arbeiten.
Wenn allerdings die Null Hypothese abgelehnt wird, wird die Gegenhypothese angenommen,
man entscheidet sich für die Alternative,
in der Regel bedeutet das,
dass weitergehende Konsequenzen aus dem Testresultat
gezogen werden
Und dementsprechend diese Entscheidung, die schwerwiegender ist. Ja,
das ist eigentlich diese formale, auf diese formale Ablauf und
wir wollen uns zum Schluss der Einführung noch einmal das Umsetzen
dieses Schemas anhand eines Beispiels in einer neuen Situation angucken.
Wir haben als Fragestellung die Überlegung, obwohl die Reaktionszeiten auf
akustische und optische Signale unterschiedlich sind oder ob man davon ausgehen kann,
dass diese Reaktionszeiten gleich groß sind.
Was machen wir, wenn wir eine solche Frage untersuchen? Nun,
wir brauchen ein paar Probanden,
die setzen wir vor die entsprechenden Signale und messen dann einfach
die Reaktionszeit von Erscheinen oder Auftönendes Impulses oder des entsprechenden Signals und die Zeit,
die verstreicht, bis die Person reagiert, etwa indem sie einen Signalknopf drückt,
um zu verdeutlichen, dass die entsprechende Nachricht angekommen sei.
Wir bezeichnen mit Kroos X die Reaktionszeit in hundertstel Sekunden auf ein
akustisches Signal und mit Y die entsprechend gemessene Zeit auf das optische Signal.
Die Messungen kann man in aller Regel als normal verteilt annehmen. Wir wollen weiter unterstellen,
damit wir in unserem Rahmen hier die Situation vereinfachen,
dass die beiden Varianzen Für diese Zeiten gleich groß sind und unterstellen noch weiter,
dass sie sogar bekannt sein mit 52, hundertstel Sekunden zum Quadrat natürlich.
Ja, dann können wir sagen, gut,
wenn wir soweit sind,
haben wir die Modellannahme für die Messung und die Formulierung als Testproblem bedeutet,
wir müssen jetzt eine Formulierung in Bezug auf die Verteilung der
zugrunde liegenden Variablen machen
Wenn wir in Bezug auf Reaktionszeiten Gleichheiten beziehungsweise Ungleichheiten feststellen wollen,
müssen wir natürlich davon ausgehen,
dass es zufällige Schwankungen gibt und dass wir nur in Bezug auf die Lage,
auf das Niveau dieser beiden Signalreaktionszeiten etwas aussagen können,
dementsprechend betrachten wir die Fragestellung in der Form,
dass wir die Erwartungswerte miteinander vergleichen und sagen unter der Nullhypothese,
Könnte gleich sein, unter der Gegenhypothese formulieren wir,
dass die Reaktionen ungleich sind und da wir keinerlei Vorstellungen haben,
ob Menschen eventuell schneller auf das Optische als auf das Akustische Signal reagieren oder umgekehrt,
haben wir einfach die Fragestellung, so formuliert,
dass unter der Nullhypothese Gleichheit unter der Alternativhypothese Ungleichheit vorlegen soll.
Das Signifikanzniveau ist hier jetzt natürlich relativ Irrelevant in dem Sinne,
dass wir keine weitergehenden Konsequenzen aus dem Experiment ziehen werden und
damit können wir für diese Forschungsfrage einfach ein relativ hohes Signifikanzniveau ansetzen.
Wir gucken einfach bei Alpha gleich 0,1 mal nach,
ob wir zu einer Entscheidung kommen. Ja,
spannend ist es jetzt, wie sieht eine adäquate Prüfgröße aus?
Diese Situation vergleicht Zweier Stichproben, hatten wir ja bisher noch nicht und dementsprechend
Da können wir uns selber jetzt Gedanken machen,
womit können wir gegebenenfalls diese Fragestellung überprüfen,
diese Null-Lypothese Mü1 oder Müx gleich wie Y überprüfen.
Wir haben zwei Stichproben, den Parameterwert kennen wir aus keiner Stichprobe,
wir kennen weder Müx X,
noch mehr Y und wollen trotzdem den Vergleich der beiden Erwartungspferde machen.
Was wir also nur machen können,
ist halt die zugehörigen Schätzfunktionen zu nehmen,
das arathmetische Mittel der einen und das arathmetische Mittel der zweiten Stichprobe X-Quer- und Y quer.
Und diese beiden arathmetischen Mittel verwenden um einen eventuellen Unterschied in Bezug auf die Niveaus zu ermitteln.
Wir betrachten also die Differenz der beiden Zufallsgrund der beiden Stichprobenfunktionen.
Und wenn wir die Informationen verwenden, die wir oben formuliert haben,
nämlich, dass wir von Normalverteilung ausgehen und die bekannte Varianz.
Sigma Quadrat als Gleichunterstellt haben, dann ist klar,
diese Differenz ist wieder normal verteilt.
Der Erwartungswert der Differenz ist gleich, die Differenz der Erwartungswerte
Und die Varianz der Differenz, das entspricht dem,
was wir in der letzten Woche in der einen Aufgabe uns überlegt hatten,
ist nichts anderes als die Summe der zugehörigen Varianzen.
X Quer hat die Varianz Sigma-Quadrat durch den zugehörigen Stichprobenumfang,
den ich mit N1 bezeichnet hatte, Y quer hat
die Variante Sigma-Quadrat durch seinen Stichprobenumfang hier mit N2 bezeichnet.
Und dann können wir natürlich jetzt auch wieder sagen,
gut, wenn ich weiß, wie diese Differenz verteilt ist,
dann kann ich die standardisierte Prüfgröße aufstellen.
Ich dividiere die Differenz durch die zugehörige Standardabweichung und habe hier natürlich eigentlich die Differenz,
dort wo jetzt noch dieser Zeiger mit der Hand steht,
da kommt eigentlich die Differenz müh x-minus-müh y hin.
Weil aber unter der Nullhypothese Müh x Gleichmüh y steht,
haben wir hier eigentlich nur den Wert Null noch abzuziehen.
Wir vergleichen x quer minus y quer minus der hypothetischen Differenz
null und diese null können wir uns natürlich einfach sparen.
Der Ablehnenbereich ist dann, wenn wir hier die Verteilung der Prüfgröße
unter der Nullhypothese kennen, natürlich leicht. Wir haben einen zweiseitigen Ablehnenbereich,
die Differenz kann unter der Nullhypothese klein oder auch groß sein,
entweder negativ oder sehr stark positiv,
dementsprechend wählen wir einfach das zugehörige Quantil Z-Index,
Alphahalbe für die linken Seite oder Z-Index 1 minus Alphahalbe für die rechte Seite und haben dann die entsprechenden Tests.
Wir gehen aus, dass wir eine Stichprobe haben,
die braucht natürlich nicht vom gleichen Umfang zu sein,
die zugehörige Prüfgröße erhalten wir,
wenn wir die entsprechenden Werte einfach einsetzen,
das umrechnen,
dann ergibt sich der Wert der Prüfgröße von minus
Und die Testentscheidung, die benötigt jetzt natürlich den kritischen Wert.
Wir hatten gesagt, dass Alpha gleich 0,1 ist,
der zugehörige Bereich ist dann Annahmebereich,
geht dann von minus 1,6445 bis 1 plus 1,645 und entsprechend
größer werte als plus 1,645 kleinerer als minus 1,645 für uns zur Ablehnung.
Wir haben hier einen Wert von 1,027 gehabt,
das ist hier der Wert der Prüfkurse
Und sie sehen mit unserem Wert der Prüfgröße liegen wir im Intervall,
das durch die beiden kritischen Werte gegeben ist,
die liegt also im Annahmebereich, die null Hypothese wird beibehalten.
Es gibt keinen Indikator in der Richtung,
dass wir sagen, die null Hypothese müsste abgelehnt werden,
sondern im Gegenteil, wir können einfach erstmal davon ausgehen,
dass die Reaktionszeiten im Wesentlichen,
sprich also im Mittel,
die gleichen sind
Das ist also die Folgerung aus dem Ergebnis.
Wir sagen jetzt nicht, dass sie gleich sind,
aber wir haben keinen Anhaltspunkt, dass sie nicht gleich sein.
Das können wir zumindest sagen. Und das führt dazu,
dass wir erst mal so weiterarbeiten, als wären sie gleich.
Damit wollen wir eine Viertelstunde Pause machen und wir sehen uns zehnerhalb bitte wieder.
Gut, dann dürfte ich wieder um Ihre Aufmerksamkeit bitten.
Wir wollen jetzt die wichtigsten Parametertests betrachten,
die Rahmen ihres Studiums und möglicherweise auch einem weiteren Leben auf sie zukommen,
dass sie zumindest für einige Standardsituationen schon einmal gewappnet sind,
wenn sie mit entsprechenden Fragen konfrontiert werden.
Die Erwähnung dieser beiden Mammutbände von vorhin zeigt natürlich,
dass wir nur einen beschränkten, eine beschränkte Möglichkeit haben,
hier tatsächlich Tests zu besprechen, aber diese beschränkte Möglichkeit,
wie gesagt, wollen wir in der Weise nutzen,
dass wir die wichtigsten hier uns angucken.
Jeweils nach der zugehörigen Situation des Testproblems brauchen wir natürlich unterschiedliche Tests.
Und das Vorgehen bei der Besprechung und natürlich auch bei der Darstellung,
wie wir zu den Tests kommen, ist allerdings immer relativ ähnlich.
Wir müssen entscheiden, welche Parameter die Tests betreffen,
welche Hypothesen zu formulieren sind, Frage, die entscheidend wird,
ist halt, welche Teststatistik ist geeignet.
Wir wollen ja immer eine Teststatistik, eine Prüfgröße haben,
bei der wir sagen können, ohne der Nullybothese erwarten wir,
werde, die so und so sind, ohne der Alternativhypothese,
erwarten wir Werte, die anders sind.
Wenn Sie sich an unser letztes Beispiel nochmal angucken,
unterschiedliche Signale, akustisch und optische Signale,
wir haben hier die beiden arathmetischen Mittel genommen und können natürlich sagen,
wir erwarten, dass die beiden Mittelwerte Gleichheit der Signalzeit oder der Reaktionszeiten auf die Signale,
auch in etwa gleich groß sind.
Und wir erwarten bei unterschiedlichen Reaktionszeiten,
dass auch die beiden arathmetischen Mittel unterschiedlich sein werden,
in ähnlicher Form werden wir auch weitere entsprechende Testprobleme angehen.
Wir müssen letztlich den Annahme- und ab den Bereich festlegen,
das heißt insbesondere uns angucken,
welche Verteilung die Teststatistik unter H0 hat
Diese Punkte, die hier aufgelistet sind, sind die eher formalen Punkte,
die geklärt werden müssen, um die zugehörigen Tests tatsächlich aufzustellen.
Das unterscheidet sich natürlich von denen, was wir
vorhin als Schema beim Ablauf eines statistischen Tests kennengelernt haben.
Da ging es ja noch darum, dass wir eigentlich in
der Anwendung ja eine Forschungsfrage haben und die ja auch noch operalisiert werden muss.
Hier ist das Ziel viel bescheidener. Wir wollen,
wie gesagt, für die wichtigsten Situationen einige statistische Tests überhaupt
betrachten und dann nur mit Beispielen illustrieren.
Wir wollen nicht in aktuelle Forschungsfragen einsteigen, um da statistische Tests
uns zu überlegen. Ein Unterschied der statistischen Tests basiert darauf,
dass wir ein und zwei Stichpumpentests betrachten können. Ein Stichprobentest,
das bedeutet, dass wir eine Stichprobe haben mit entsprechenden,
mit einer entsprechenden Verteilung der Zugehörigen,
Zufallsvariablen und eine Vorstellung in Bezug auf den Parameter dieser Verteilung,
Diese Vorstellung ist mit Hilfe einer Stichprobe zu überprüfen.
Ein Zwei-Stichproben-Problem ist etwa eines der Formen, wie wir es
vor der Pause noch betrachtet haben, zwei unterschiedliche Signale.
Da haben wir zwei Stichproben und gucken nach,
wie sieht es aus mit den beiden Werten,
die wir da bestimmt haben, mit x quer Y quer,
als Basis um die Parameter, die wir nicht kennen,
der zugrunde liegenden Verteilung, Signal,
optisches Signal,
akustisches Signal miteinander vergleichen zu können
Wir betrachten also zunächst einen Stichprobenprobleme und hier wollen wir
die Frage erstmal nach oder der Frage nachgehen,
wie sieht es eigentlich aus mit dem Erwartungswert Müh bei Normalverteilung?
Das ist ja mit anderen Worten auch passiert bei unserem Einstiegsbeispiel.
Allerdings haben wir da die wenig Realitätsnahe Unterstellung vorgenommen,
dass die Varianz bekannt sei.
Diese Vorstellung ist in der Regel
nicht adäquat
Wenn wir davon ausgehen, dass die Varianz nicht bekannt ist,
wenn wir uns also von dieser vereinfachenden Annahme befreien und eher eine realitätsbezogenen Test betrachten wollen,
wo Sigma Quadrat nicht bekannt ist,
dann können wir dann als Gaus-Test verwendete oder bezeichnete Prüfgröße,
die mit Hilfe der bekannten Varianz arbeitet,
wo wir x-quer-minus-minül durch Sigma, durch Wurzel N betrachtet haben,
die können wir natürlich dann nicht einfach einsetzen.
Sigma wird ja jetzt Realitäts- gerechter als unbekannt vorausgesetzt,
können wir also nicht in den Nenner zur Standardisierung schreiben.
Wissen aber, tun wir von unserer Ausführung aus dem Bereich der Konfidenz in der Weile,
wie wir uns in dieser Situation helfen können.
Als wir Konfidenz in der Weile für den Erwartungswert besprochen haben,
da hatten wir ja schon das gleiche Problem,
dass tendenziell Sigma-Quadrat nicht bekannt ist.
Was haben wir gemacht? Wir haben Einfach gesagt,
wir Standardisieren mit Hilfe der Erwartungstreuen Schätzung. Wir ersetzen Sigma-Quartat
durch Sigma Dachquadrat und natürlich dann auch Sigma durch Sigma Dach
und bilden daraus die entsprechende Statistik x-quer-müh im Rahmen des Tests x-quer-minus-müh0 durch Sigma Dach durch Wurzeln.
Dieser neu standardisierte Größe können wir behandeln und wir wissen,
wie die Verteilung dieser größer aussieht, wenn wir Mynull als korrekt ansehen.
Denn dann, so hatten wir gelernt, ist diese Prüfgröße tief verteilt. Und es ist klar,
dass wieder Abweichungen, die groß sind und wo der wahre Wert tendenziell auch größer ist als der hypothetische,
zu einem entsprechenden großen Wert der Differenz führt,
also große Werte von T, die positiv sind,
führen im Rückschluss dazu, dass wir auch eher davon ausgehen,
dass der wahre Parameter Wert größer ist als der hypothetische,
kleine Werte von Tee, also negative Werte,
wohl das arathmetische Mittel sehr viel kleiner als das Mynol ist.
Das nehmen wir als Indikator dafür, dass der wahre Parameter
Wert kleiner ist als der hypothetische Wert Mynol.
Die zugehörige Verteilung ist, wie gesagt,
die Teeverteilung und dementsprechend nennen wir den entsprechenden Test auch
oder bezeichnen ihn als T-Test und haben die Entscheidungsregel mit Hilfe der Quantile der T-Verteilung zu treffen.
Und ich habe hier mal die drei Möglichkeiten,
die wir in Bezug auf die Testformulierung haben, aufgeschrieben,
wenn wir einen zweiseitigen Test haben, Gleichmühnel gegen die Alternative Mühse,
Ungleichmühnel, dann sind zu kleine Werte der Statistik und zu große Werte.
Natürlich beide Indikatoren dafür, dass da der wahre Parameter wird
vom hypothetischen Abwehr
Abweicht und wir werden den Ablehnbereich dann entsprechend so festlegen,
dass wir sagen, die Chance, einen zu kleinen Wert,
einen Wert, der zu weit links liegt,
zu bekommen, die ist genauso einzuschätzen,
wie die Chance, einen zu großen Wert,
einen Wert, der zu weit rechts liegt,
zu bekommen und wir nehmen als kritische Werte als Grenzen die zugehörigen Quantile der T-Verteilung,
die unter der Nullhypothese gegeben ist,
die T-Verteilung mit N-1-Freiheitsgraden und es ist natürlich klar,
hier habe ich zwar den Index N-Minus 1 für die Zahl der Freiheitsgrade hingeschrieben und dann noch Alpha halbe,
das Alpha halbe Quantil ist natürlich gerade wegen der Symmetrie der T-Verteilung,
das Negative der des Quantils, was hier rechts steht.
Also wenn ich hier Tee mit Alpha halbe schreibe,
können ich genauso gut schreiben,
minus Tee mit 1 minus Alpha halbe,
diese beiden Werte unterscheiden sich eben
nur im Vorzeichen
Wenn wir einen Wert der Prüfgröße bekommen,
der im Zwischenbereich liegt, also zwischen diesen beiden Werden,
dann liegt ein der Wert im Annahmebereich.
Und hier habe ich dann natürlich auf diesen Index N-1 verzichtet,
einfach aus Platzgründen, sonst wäre die Formel nicht mehr auf diese Zeile gekommen.
Aber das N-1 für die Zahl der Freiheitsgrade
ist natürlich weiterhin gültig
Wir können andere Situationen haben, wo wir einen einseitigen Test in
der Richtung vorzulegen haben, das Müh. Kleiner Gleichmühnol,
mygrößer und größer als Minute und in der Gegenüberthese ist,
dann haben wir entsprechend einen einseitigen Ablehnbereich oder andersherum unter der Nullhypothese Müh,
größer Gleichmühnol unter der Gegenüberthese, Mühkleiner Minul,
dann haben wir einen Ablehnbereich in dieser Form, dass zu kleine Werte,
die kleiner als T-Index, Alpha, zur Ablehnung führen.
Das sind die drei Möglichkeiten, die wir beim T-Test haben,
wir werden diese verschiedenen Möglichkeiten natürlich auch bei anderen Parameter-Tests sehen,
nicht immer so ausführlich aufschreiben an dieser Stelle, sei es nochmal gemacht.
Gucken wir uns ein Beispiel an,
wir nehmen eine Brutfirma, die auch Brötchen produziert,
das Gewicht sei normal verteilt und die Frage ist,
welches Gewicht haben die Brötchen das durchschnittliche Gewicht sei nach Angabe 50 Gramm.
Für Abnehmer ist natürlich interessant, zu untersuchen,
ob das Gewicht tatsächlich 50 Gramm ist oder ob es eventuell weniger ist.
Wenn wir jetzt entscheiden wollen, wie die Nulllipothese und die Gegenüberthese aufzustellen sind,
ist diese Frage aus Sicht des Abnehmers natürlich praktisch selbst klar.
Das Einzige, was wir relativ sicher herausbekommen wollen und wo wir gegebenenfalls natürlich eine Handlung anschließen werden,
beispielsweise, dass wir uns an die Verbraucherzentrale wenden, ist der Nachweis,
dass wir sagen, die Brötchen sind zu leicht gewichtig.
Dementsprechend ist das, was man aufstellt, so, dass wir sagen,
unter der Gegenhypothese wird der formuliert, was wir eigentlich nachweisen wollen.
Wenn wir also nachweisen wollen, dass die Brötchen zu leicht gewichtig sind,
wird unter der Gegenhypothese Müh kleiner, kleiner Kleiner als Mynol,
kleiner 50 formuliert und unter der Nullhypothese dann entsprechend,
dass das Gewicht wie angegeben 50 Gramm oder sogar noch mehr beträgt,
zumindest im Durchschnitt, im Allgemeinen Durchschnitt,
nicht den von der Stichprobe, sondern von der gesamten Produktion her.
Hier ist es also relativ leicht zu der Entscheidung zu kommen,
wie herum möchte ich die Null und die Alternativhypothese formulieren,
wobei, wie gesagt, die Formulierung praktischerweise oft zuläuft,
dass ich mir erst überlege, In welche Richtung soll es gehen?
Und dann entsprechend die Gegenüberthese aufsteller, den anderen Teil packen wir in die Nullhypothese.
Relevant ist noch, dass in aller Regel das Gleichheitszeichen bei der Nullhypothese auftaucht. Einfach auch deswegen,
weil wir mit einem noch so großen Stichprobenumfang nicht nachweisen könnten,
dass die Gegenüberthese nicht gilt,
wenn wir dieses Mynol bei der Gegenhypothese packen würden,
der Verlauf der Güterfunktion wäre immer so, dass er bei diesem Punkt,
auch wenn wir ihn in die Gegenüberthese packen,
natürlich 0,05 oder der andere Wert ist,
den wir für Alpha vorgeben.
Das ist einfach aus der Stetigkeit der Gütefunktion begründet.
Wenn wir so herum gegen und null Hypothese formulieren,
können wir allerdings sagen, mit einem genügend großen Stichprobenumfang,
er kann möglicherweise auch sehr groß sein, könnten wir theoretisch zumindest jede Abweichung nach unten.
Jede Verringerung des durchschnittlichen Gewichtes tatsächlich nachweisen und deswegen lassen wir diese Formulierung so in aller Regel,
dass das Gleichheitszeichen zur Nullhypothese gehört und das Ungleichzeitszeichen zur Gegenüberthese.
Natürlich ist so eine Gang und zum Verbraucherschutz nicht ohne weiteres vorzunehmen,
also gegebenenfalls würde man ja heftige Konsequenzen gegen den Fabrikanten anstrengen,
was also sinnvoll ist, die Entscheidung,
wenn man sie in Richtung der Gegenüberthese trifft,
sollte relativ fundiert sein und dementsprechend wird man hier mit einem kleinen Signifikantniveau arbeiten,
weil man recht zuverlässig eigentlich das Ergebnis haben möchte.
Wir nehmen als Prüfgröße die entsprechende Statistik, die wir eben gesehen haben,
x-quer-minus-minull durch Sigmar Dach durch Wurzeln und das stellen also auch,
dass das Brötchengewicht normal verteilt sein soll und haben dann den entsprechenden Ablehnbereich,
der hier abhängig vom Stichprobenumfang angegeben ist,
ohne der Gegenhypothese erwarten wir,
dass unsere Nachwiegungen oder das Nachwegen der Brötchengewichte im Durchschnitt einen kleineren Wert ergibt.
Das ist ja das, was wir nachweisen wollen,
was wir erwarten, unter der Gegenhypothese,
dass dann leichtgewichtige Brötchen entsprechend auf der Waage landen.
Dementsprechend ist der Ablehnenbereich, wie Sie es hier sehen,
links einseitig zu kleine Werte,
Prüfgröße führen zur Ablehnung
Wenn wir, wie hier angegeben, es ist noch nicht mal angegeben,
aber unterstellt, dass N25 ist,
dann bekommen wir aus der entsprechenden Teeverteilungstabelle bei 24 Freiheitsgraden und einem Signifikanzniveau von 0,01,
das Zugehörige Quantil für T24 0,01 zu minus 2,49 Zwei.
Und wenn wir von einem gemessenen Durchschnittsgewicht bei dem 25 Brötchen von x
quer gleich 49,5 einer geschätzten Standardabweichung von 1,2 ausgehen,
dann haben wir einen Wert der Prüfgröße von minus 2,083.
Wenn Sie diesen Wert, den wir von der Prüfgröße her bestimmt haben,
mit dem kritischen Wert vergleichen, dann sehen Sie,
dass wir einen empirischen Wert der Prüfkurse haben, der größer ist als der entsprechende kritische Wert.
Wir liegen also nicht im Ablehnenbereich, der Ablehnenbereich sagt,
wir würden Werte nehmen,
die kleiner sind als der kritische Wert, die Konsequenz ist,
dass wir die Nullhypothese nicht ablehnen können und dementsprechend davon ausgehen,
dass das Brötchengewicht oder zumindest nicht nachgewiesen haben,
besser gesagt,
dass das Brötchengewicht kleiner als die einen angegebenen Wert
ist im Durchschnitt
Also wir marschieren nicht zur Verbraucherzentrale und müssen uns damit zufriedengeben,
dass wir vielleicht unsere Vermutung zwar haben,
aber bestätigt ist sie zumindest an dieser auf Basis dieser Stichprobe nicht.
Der entscheidende Punkt bei dem Beibehalten der Nullhypothese,
der eben immer vorliegen kann, ist halt,
dass wir eventuell einen Fehler zweiter Art begangen haben können.
Beibehaltung der Nullhypothese kann auch passieren, wenn eigentlich die Gegenhypothese stimmt. Das kann,
wie wir vorhin anhand der Güterfunktion gesehen haben, eventuell passieren,
wenn wir einen kleineren Stichprobenumfang haben und der Abweichung einfach noch nicht so stark ist,
dass wir es mithilfe von 25 Messungen hätten beobachten können.
Hier können wir zumindest mal einschätzen oder abschätzen, wie es aussieht,
mit der Chance für ein vieler zweiter Art. Das ist keine exakte Berechnung,
aber zumindest können wir eine Einschätzung bekommen,
indem wir einfach mal Folgendes machen, wie er, stellen uns vor,
das arathmetische Mittel ist ja die beste Schätzfunktion für den Parameterwert,
Müh, über die wir in diesem Rahmen verfügen.
Also wir tun jetzt einfach mal so, als wäre der wahre Parameterwert exakt getroffen.
Wir gucken mal nach, wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit,
sich für die Nullhypothese zu entscheiden, wenn tatsächlich der Parameterwert Gerade 49,5 ist,
also gerade gleich dem beobachteten arathmetischen Mittel.
Die Entscheidung für die Nullhypothese, das hatte ich vorhin versucht,
deutlich zu machen, ist gleichwertig damit, dass wir einem Wert im Annahmebereich bekommen.
Annahmebereich bedeutet, wir erhalten einen Wert der Prüfgröße,
der größer gleich dem kritischen Wert ist.
Also größergleich dem Tequantil mit 24 Freiheitsgraden an der Stelle 0,01.
Und wir unterstellen das Müh gleich 49,5 ist
Also machen wir Folgendes, wir nehmen die entsprechende Form unserer Statistik,
schreiben das Ganze nochmal hin,
nur dass das Tee jetzt ausgeschrieben ist.
Und ähnlich wie in dem Fall,
den wir im Zusammenhang mit der Normalverteilung ausführlich betrachtet haben,
standardisieren wir jetzt diese Prüfgröße neu und ersetzen das Mynol durch
den Wert
Wenn wir das machen und natürlich hier bei der Wahrscheinlichkeitsaussage weiterhin
Gleichheit haben wollen, dann bekommen wir diese entsprechende Beziehung.
Wir nehmen das Münüll schiebenden Teil entsprechender rechts und ersetzen es
durch 49,5 durch Sigma durch Wurzel N. Also haben wir jetzt hier
einen Ausdruck und Tier haben wir eine unter der Voraussetzung,
dass wir das an der Stelle Müh gleich 49,5 betrachten,
eine tieferteilte Zufallsvariable
In dem Rahmen haben wir noch nichts Neues gemacht.
Wir haben also eine Umstandardisierung genauso gemacht, wie wir
es bisher betrieben haben. Wir wissen, wie gesagt,
diese Größe ist teverteilt und hier haben wir jetzt einen entsprechenden Wert zu stehen,
bei dem aber noch das Sigma Dav auftaucht.
Wie gesagt, wir wollen näherungsweise diese Wahrscheinlichkeit bestimmen
Dazu müssen wir auch diesen Wert einfach nur mehrere sprechen und deswegen ersetzen wir an dieser Stelle und nur an dieser Stelle die Schätzung Sigmar Dach durch das,
was wir auch beobachtet haben, also durch den entsprechenden Wert,
den wir oben angegeben hatten,
das war 1,2 und dementsprechend können wir dann,
My0 ist 50, den Wert kennen wir,
für Sigmar Dach auf der rechten Seite setzen wir den entsprechenden Wert aus der Stichprobe ein und damit können wir diesen Wert numerisch berechnen und haben hier also eine Neustandardisierte,
Statistik, die tiefer teilt ist und wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit,
dass diese neue Statistik größer gleich dementsprechend rechtsstehenden Wert ist,
diese Wahrscheinlichkeit können wir aber mit der T-Verteilung mit 24 Freiheitsgraden beantworten und sie beträgt 0,6 5,7.
Das bedeutet, wenn wir tatsächlich Durchschnittsgewicht von 49,5 Gramm haben,
also nur ein halbes Gramm unter der entsprechenden Angabe von 50,
dann entscheiden wir auch in circa 66, also in zwei Drittel der Fälle,
auf Basis des entsprechenden Stichprobenergebnis in Richtung Null Hypothese.
Wir erkennen also die Verringerung des Gewichtes nicht, sondern haben immer noch die Einschätzung,
dass in der Regel eigentlich alles in Ordnung ist. Zumindest haben wir keine Evidenz,
dass etwas nicht in Ordnung sei,
obwohl hier die Unterstellung gilt, dass es tendenziell nicht korrekt ist,
sondern dass dieser Wert kleiner ist als 50,
aber eben nur ein halbes Gramm und das reicht nicht aus von der Wahrscheinlichkeit her,
diesen Irrtum oder diese Verringerung relativ deutlich zu erkennen,
die Fehlentscheidungsquote Ist einfach sehr hoch und wir werden uns häufiger falsch an dieser Stelle entscheiden,
als dass wir richtig die Abweichung erkennen.
Die Situation wäre natürlich anders,
wenn wir beispielsweise ein Durchschnittsgewicht von etwa 48 Gramm messen würden,
wenn wir das machen, dann kann man leicht sehen,
dass wir in aller Regel natürlich da diese stärkere Abweichung auch erkennen könnten,
kleinere Abweichung zur Erkenntnis im entsprechend schwieriger.
Damit haben wir den Test bei Normalverteilung Bei Bekannter Varianz
allem Einfangen und jetzt bei unbekannter Varianz kennengelernt und wissen,
wie wir da die Zugehörige Testentscheidung jeweils herbeiführen können.
Diese Frage nach dem Lageparameter ist aber nicht nur im Zusammenhang
mit der Normalverteilung von Interesse, sondern natürlich auch allgemeiner.
Und wir können auch bei allgemeinen Stichproben, bei allgemeinen Verteilungen ohne Normalverteilung
Approximative Tests auf den Erwartungswert angeben. Abproximativ heißt dabei immer,
dass wir einen großen Stichprobenumfang haben. Große Stichprobenumfänge erlauben nämlich,
zu argumentieren, dass auf der Basis des zentralen Grenzwertsatzes
die Verteilung des artmetischen Mittels zwar nicht exakt,
aber doch hinreichend gut durch eine Normalverteilung angenähert werden kann
Und die Verteilung benötigen wir unter der Nullenhypothese ja nur um
den kritischen Wert festzulegen. Wir brauchen nur den Wert der Prüfgröße,
dementsprechend reicht diese Eigenschaft aus, um auch bei großen Stichprobenumfang
zu einem entsprechenden Test auf den Erwartungswert zu kommen.
Wir betrachten die gleiche Prüfgröße wie eben, x-quer-minus-minul durch Sigmundach
durch Wurzel N und haben auch hier das Aproximativ standardisierte Größe,
standardnormal verteilt ist. Natürlich erinnern Sie sich,
dass bei dem zentralen Grenzwertsatz eigentlich im Nenner die korrekte Standardabweichung Sigma stehen müsste,
während bei der Prüfgröße jetzt Sigma Dach auftaucht. Das hängt damit zusammen,
dass natürlich die Standardisierung mit Hilfe der wahren Varianz gar nicht möglich oder wahren Standardabweichung gar nicht möglich ist,
dass wir also einfach aus praktischen Gründen auf diese Geschätzesstandardabweichung zurückgreifen müssen,
aber dass dieser Rückgriff, wie wir das schon im Zusammenhang mit Konvidenzintervallen gesehen haben,
erlaubt ist, wenn der Stichprobenumfang groß ist.
Da hatten wir nämlich gesagt,
dass die Verteilung der so standardisierten Größe bei der Normalverteilssituation,
Normalverteilungssituation, auch wieder am Anfang zwar die Teeverteilung ergibt,
aber bei großen Stichprobenumfängen wieder zur Normalverteilung führt.
Das hängt damit zusammen, dass die Streuung von Sigmar Dach dann einfach vernachlässigt werden kann.
Und da wir hier generell von großen Stichproben ausgehen,
können wir auch die Streuung der Schätzung im Nenner vernachlässigen und
dementsprechend landen wir dann auch hier bei der Normalverteilung.
Bisweilen wird empfohlen für kleinere Stichprobenumfänge zwischen 30 und 100,
sagen wir mal, eher zur Tiefverteilung überzugreifen,
überzugehen und zu sagen, wir nehmen noch nicht ganz die Normalverteilung,
sondern nehmen die Tiefverteilungsquantile
Da wir in der Regel mit unseren Tabellen in den Armen
dieses Kurses bei der T-Verteilung eben nicht bis 100 das Ganze tabelliert haben,
dann werden wir etwas großzügiger vorgehen und sagen,
wo die Tiefverteilungstabelle nicht mehr vorhanden ist,
dann werden wir einfach die Normalapoximation schon verwenden.
Im Sinne dessen, was die Statistiker seit langer Zeit machen,
die sagen, ein Stichprobenumfang ist dann groß,
wenn es größer ist als die vorhandenen Tabellen.
Wenn Sie allerdings außerhalb der Klausur einfach für sich sowas machen müssen,
würde ich Ihnen empfehlen, an einem Rechner in verschiedenen Programmen,
gibt es ja die Tiefverteilung, ich glaube sogar in Excel,
dann können Sie einfach da die zugehörige Empfehlung der zugehörigen Empfehlung nachfolgen und für diesen Bereich eher die Tiefverteilung einsetzen.
Gucken wir uns ein Beispiel an, wie das läuft,
im Grunde genommen ganz einfach, wir nehmen die Situation von Zählern für Haushaltsstrom,
Und gucken nach, ob die Zähler das richtige Messen.
Das ist jetzt gar nicht so leicht, wenn sie sich mal ihren Haushaltsziele angucken,
klassischerweise ist das einfach so ein Rat, was sich langsam dreht.
Wie wollen sie denn feststellen, ob das das Richtige misst? Ich meine,
Indikatoren, das ist nicht das Richtige Mist,
können sie in Anführungsstrichen immer schon dann sehen,
wenn sie meinetwegen eine Energiesparlampe einschalten,
dann werden sie merken,
dass der Zähler sich oder das Rädchen sich genau in der gleichen Weise dreht Obwohl die Energiesparlampen am Anfang einen heftigen Impuls benötigen, damit sie überhaupt angehen.
Das Rad ist viel zu träge, um diesen Energiestoß zu merken,
also in gewisser Hinsicht verbrauchen sie an dieser Stelle mehr Strom,
als dass sie zahlen.
Aber die Untersuchung, die wir hier im Blick haben,
ist anders vorgegangen. Da wurden in verschiedenen Haushalten
die Zähler ergänzt durch weitere Zähler, die in besonders geschützten
Boxen angebracht waren
Einfach um klimatische und andere Umwelteinflüsse auszuschalten und nach einer gewissen Zeit wurden die Zählungen,
die der Haushaltszähler und die in diesem geschützten Boxen miteinander verglichen.
Da stellt sich natürlich die Frage, ist dann die zugehörige Zählung adäquat,
ist der Erwartungswert der Differenzen null oder müssen wir davon ausgehen,
dass der Erwartungswerte Differenz ungleich null ist.
Hier ist natürlich erstmal überhaupt nicht klar, in welche Richtung eventuell die Abweichung gehen könnten.
Dementsprechend wird nachgeguckt ob irgendeine Abweichung nach unten oder nach oben vorliegt,
ob die Fehler dazu führen, dass wir zu viel zahlen oder gar, dass wir zu wenig zahlen.
Es sind 144 Haushalte mit diesen Zusatzzählern beschickt worden und wenn man sich die Verteilung der Messfehler anguckt,
dann ist eher die sogenannte Lablas-Verteilung,
die ich Ihnen hier mit der Hodenkurve mal verdeutlicht habe,
angebracht, denn die Normalverteilung,
die hier durch die blaue Funktion charakterisiert ist.
Also wir haben die beiden dichte Funktionen und sie sehen die rote Dichte,
die hat in der Mitte natürlich eine stärkere Konzentration bei den Werten um null,
aber wenn sie genau hingucken,
ist an den Rändern die rote Dichte über der blauen Gelegen,
das bedeutet,
wir haben in der Tendenz mehr Extreme Werte zu beobachten
als bei der Normalverteilung
Dass diese Lablasverteilung adäquat ist, können wir wieder mithilfe eines geeigneten Quantilia-Kamps sehen.
Ich habe Ihnen hier das Quantilia-Kram, für die der Plasverteilung aufgezeichnet,
Quantilia-Kramer haben wir ja schon für unterschiedliche Verteilungen gesehen.
Normalverteilungen, wir hatten eingeführtes Quantilia-Kram bei der Gleichverteilung und eine andere Verteilung
im Rahmen der Aufgaben einmal angeguckt. Egal welchen Verteilungstyp sie nehmen,
sie müssen immer das Zugehörige Quantilia-Kram nehmen, das heißt also,
man muss sich die dichte Funktion oder die zugehörigen Quantile angucken und gegebenenfalls auch ausrechnen,
dann die theoretischen quantile bestimmen und die empirischen über den theoretischen auftragen.
Sofern die Punkte in etwa auf einer Graten liegen,
ist man zufrieden, dann kann man sagen,
die Verteilung stimmt, sofern die Punkte deutlich davon abweichen,
von dem Verlauf der Graden, weiß man, diese Verteilung ist es nicht.
Und das gilt für jede Art von Quantilia-Kram,
dass wir immer einfach diesen Vergleich mit der zugehörigen Graden machen.
Hier sehen Sie einen Nachweis, dass die empirischen Zähler Fehler,
Messwälder oder Differenzen zumindest in relativ guter Näherung mit dieser Dapplasverteilung übereinstimmen.
Das stört aber jetzt gar nicht. Auch wenn wir jetzt keine Normalverteilung haben,
sondern diese Lablasverteilung, können wir trotzdem sagen, aha,
den Tee-Test können wir eigentlich nicht einsetzen,
aber wir haben die Möglichkeit,
den Approximativen Test auf den Erwartungswert durchzuführen
144 ist ein recht großer Stichprobenumfang, dementsprechend können wir
davon ausgehen, dass die Prüfgröße approximativ normal verteilt ist.
Wir bestimmen aus der Stichprobe, also das Zugehörige,
atmetische Mittel, die Schätzung der Varianz mithilfe Sirn Sigmar Dach,
und können einfach die Prüfgröße für diesen approximativen Test berechnen.
Wenn wir das machen,
bekommen wir den Wert 11,228 und da die Teeverteilung jetzt ja
durch die Normalverteilung bei so großen Stichprobenumfängen ersetzt worden ist,
können wir natürlich sagen, wir wissen, egal welches Signifikanzniveau,
ob das 0,01, 0,05 ist, der ist zugehörige Quantil,
was wir bestimmen würden aus der Normalverteilungstabelle.
Das wird zwischen minus 3 und plus 3 liegen.
Also ein so großer Wert der Teststatistik ist mit Sicherheit signifikant zu jedem vernünftigen Niveau,
insbesondere zu diesem Standardsniveau, 0,01, 0,05,
sodass wir hier ohne noch die Tabelle zu bemühen,
einfach auf der puren Größe des Werdes, den wir beobachtet haben, zu der Ablehnung der Nullobothese kommen.
Gucken wir uns noch eine Aufgabe dazu an
Na nun.
Warum funktioniert das jetzt nicht
Gut. Gucken wir uns an, was für eine Frage
vorliegt. Wir gehen von einem Privaten Paketzustelle aus,
der hat eine größere Anzahl von Fahrzeugen und bedauerlicherweise fällt ab
und zu ein Fahrzeug wegen eines technischen Defektes aus.
Die relevante Zufallsvariable, das ist jetzt offensichtlich eher stochastisch,
was hier passiert
Ist die Anzahl der Ausfälle in acht Stunden in der Wall und es wird unterstellt,
dass diese Zufallsvariable eine Paulson-Vorteilung folgt, mit dem Parameter Lamda.
Der Parameter charakterisiert die Zuverlässigkeit und wir gehen davon aus,
dass dieser den Wert fünf nicht übersteigen sollte.
N ist mit 8100 angegeben und diese Frage,
die hier Zur Untersuchung ist, ist mit dem Signifikanzniveau 0,01 zu überprüfen.
Das erste, was gemacht werden soll,
ist eine Null-Hypothese und die Alternativhypothese für die Unterscheidung aufzustellen.
Frage, wie können wir die Null-Hypothese in Bezug auf Lambda
Und wie haben wir entsprechend die Gegenüberthese in Bezug auf Lamda
zu wählen? Es ist klar, ein Wert,
der relevant ist, ist angegeben,
dass es der Wert 5. Wie herum sollten die beiden Hypothesen gewählt werden?
Sollen wir H0 Lamda größer gleich 5 und H1 Lamda kleiner
als 5 wählen? Oder soll das gerade da andersherum
formuliert werden
Die Frage ist, was sind gegebenenfalls die Konsequenzen?
Offensichtlich ist ein Wert Lander, um bei der Poisonverteilung,
ist der Erwartungswert gleich dem Parameter Wert Lamda.
Also der Wert Lamda von 5 ist offensichtlich noch akzeptabel.
Das ist die erwartete Anzahl von Ausfällen. Wenn wir ein
kleineres Lamp da haben, ist das erst recht akzeptabel,
dann ist eben die erwartete Anzahl von Ausfällen
noch geringer
Konsequenzenreicher ist es natürlich, wenn Namda größer als 5 ist,
dann fallen mehr Fahrzeuge aus.
Und das wäre eine Situation, die irgendeinen Eingriff erfordert.
Ich hatte Ihnen gesagt, das, was man versucht,
nachzuweisen, wird in die Gegenüberthese gepackt.
Wenn also die Gegenüberthese in die Richtung geht,
dass wir eine konsequente Konsequenz aus dem Ganzen ziehen müssen,
müssen wir Lamda größer als 5 in die Gegenüberthese
packen und Lamda kleiner gleich 5 in die entsprechende Nullhypothese
Wie sieht es mit der Prüfgröße aus? Wir haben endgleich 100 und Lamda,
wie gesagt, bei der Poisonverteilung ist gleich dem Erwartungswert.
Die Konsequenz ist natürlich dann,
dass wir auch hier einen Test haben,
der mit dem arithmetischen Mittel arbeitet und das arithmetische Mittel mit
dem hypothetischen Wert 5 vergleicht
Also haben wir fast unsere Standardprüfgröße. Wie sieht der Nenner
aus? Nein, also ich weiß nicht,
was mit dem Ding jetzt los ist.
Formal können wir ja erstmal so reinschreiben,
wie wir das bei der Einführung gemacht haben,
dass wir einfach sagen,
Varianz durch den Zugehörigen Stichprobenumfang
Varianz ist jetzt leicht gesagt. Wir haben ja bei unserem Aproximativen
Test auf den Erwartungswert, die theoretische Varianz durch die empirische ersetzt,
weil wir gesagt haben, das ist unrealistisch.
Wie sieht es aber im Rahmen dieser konkreten Anwendung aus?
Ist es da immer noch unrealistisch zu sagen,
Sigmaquadrat sei nicht bekannt
Nun, wir haben, wie gesagt, die Personenverteilung.
Was kennen Sie oder woran erinnern Sie sich bei der Personenverteilung
in Bezug auf die Eigenschaften
Ein wichtiger Punkt ist, der Erwartungswert ist gleich Lamdan.
Der zweite wichtige Punkt bei der Personenverteilung betrifft die Varianz.
Die Varianz ist ebenfalls gleich Lamdan. Also können wir sagen,
in unserem Sonderfall, den wir hier haben,
liegt natürlich die Situation vor, die sonst nicht ohne weiteres gegeben ist,
die Situation, dass wir unterstellen können,
das in unserem Fall aufgrund der spezifischen Verteilung unter der Nullhypothese die Varianz ebenfalls fünf beträgt.
Wenn wir also den konkreten Wert,
der hier im dritten Punkt angegeben ist,
einsetzen, haben wir den konkreten Wert, die zugehörige,
den konkreten Wert der Prüfgröße zunächst mal können wir sagen,
Diese Prüfgröße ist natürlich näherungsweise Standard-Normal verteilt.
Wenn wir den konkreten Wert 5,7 einsetzen,
erhalten wir den Wert 3,1 3-
Und den kritischen Wert bei dem Signifikanzniveau, was wir
gewählt haben, zu 2,3, 2, 2, 6.
Und wenn wir den empirischen Wert uns angucken,
von 3,130, dann ist klar,
dass sie nur Hypothese abgelehnt wird
Das Beispiel sollte insbesondere noch mal verdeutlichen,
dass jeweils nach konkreter Situation in Bezug auf die Prüfkurse und
die Verteilung der Prüfgröße zusätzlicher Informationen aus der gesamten Rahmenbedingungen verwendet werden können um zu einem korrekten Test zu kommen.
Natürlich, wenn wir hier aus der Stichprobe,
gegebenenfalls die empirische Varianz, bestimmt hätten, könnten wir immer noch sagen,
der zugehörige Test mit der empirischen Standardabweichung, die Prüfgröße,
wo wir statt der theoretischen unter Hanüll gültigen,
den theoretischen unter Hanüll gültigen, wird den empirischen Schätzwert eingesetzt hätten,
die wäre auch noch gültig.
Das ist theoretisch möglich, aber Vorteil,
den wir aus dieser Verwendung der Zusatzinformationen ziehen,
besteht natürlich darin, dass wir tendenziell eher die Zugehörige Abweichung aufdecken,
dass der Test mehr Informationen verwendet und dementsprechend in der Tendenz günstiger ist als die Zugehörige Verwendung der einfachen, aproximativen Teststatistik.
Damit haben wir den Bereich,
der es einstichprobentests auf Mühe kennengelernt und wir wollen noch eine weitere Fragestellung uns angucken,
und zwar die Fragestellung, die erlaubt, die Lage auch bei Nicht-Normalverteilung zu überprüfen und kleinen Stichproben.
Allerdings müssen wir dann als Lageparameter den Median wählen und diesen Medien anstelle des Erwartungswertes betrachten.
Wir nehmen also den Medien bei beliebigen,
stetigen Verteilungen und gucken nach, wie sieht es aus,
wenn wir jetzt diese Frage der Lage in Bezug auf den Median als Testproblem betrachten.
Wir brauchen dazu eben keine spezifische Form der Verteilung.
Wir brauchen nur die Stetigkeit der Ausstellungsverteilung, um da zu einem Test zu kommen.
Es ist klar, wenn wir den Median nehmen,
dann können wir wieder die entsprechende Fragestellung zweiseitig oder einseitig nehmen,
dass es jeweils von der konkreten Situation ganz analog zum Lageparameter Mühe zu betreiben.
Dem medialen, den theoretischen Median wollen wir entsprechend mit Mühschlange kennzeichnen als Gegenstück zum empirischen.
Charakterisiert ist der theoretische Median bei stetigen Verteilungen durch die Eigenschaft,
dass wir sagen können, die Wahrscheinlichkeit einen Wert zu beobachten,
der kleiner ist, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit,
dass dieser Wert größer ist, also gerade sind beide Wahrscheinlichkeiten gleich ein Halb.
Damit haben wir natürlich die Einschätzung, dass unter Gültigkeit eines Wertes,
des Medians in etwa gleich viele Beobachtungen links wie rechts von dem entsprechenden Median liegen werden.
Wenn der Median größer ist, werden wir mehr Werte rechts erwarten,
wenn der Median kleiner ist, also der wahre Median,
kleiner als der hypothetische, werden wir Mehrwerte erwarten, die Links von Medianen liegen.
Und das habe ich hier einfach nochmal illustriert. Es ist klar,
wenn der wahre Median rechts liegt, dann werden wir hier einen Wert haben,
wo gleichwertig die Werte links oder rechts liegen,
wenn der wahre Median kleiner ist,
als der hypothetische wird hier der entsprechende zentrale Wert liegen,
wo in etwa gleich viele links und rechts liegen.
Nur wenn der hypothetische Median gleich dem wahren Medial ist,
dann können wir sagen, okay, da liegen gleich viele rechts,
wie links, zumindest in etwa, nicht ganz exakt.
Was wir auf Grundlage dieser Einschätzung machen können,
wir können einfach die Anzahl der Beobachtungen nehmen, als Prüfgröße,
die kleiner sind als der hypothetische Median. Diese Anzahl der Beobachtungen,
die kleiner sind, wird natürlich in dem Sinne ausgewertet,
dass wir sagen, wenn diese Anzahl zu klein ist,
Bedeutet es auf eine Abweichung hin, das heißt,
das deutet darauf hin, dass der wahre Median ungleich dem Hypothetischen ist,
aber auch, wenn wir einen Wert beobachten,
der zu groß ist,
wenn wir zu viele Werte haben, die größer sind.
Das sind ja exakt diese beiden Situationen, die wir hier unten haben,
die werden jeweils zur Ablehnung der Nulypothese führen.
Nur, wenn wir eine Anzahl von Beobachtungen haben,
die im mittleren Bereich ist,
die also nicht zu extrem klein oder zu extrem groß ist,
dann werden wir
die Nulypothese beibehalten
Konkretisieren, müssen wir das,
indem wir einen kritischen Wert oder genauer zwei kritische Werte bestimmen,
einen Wert, der uns erlaubt zu sagen,
wann der beobachtete Wert der Anzahl zu klein ist oder symmetrisch
da zu wann der entsprechende Wert zu groß ist und dazwischen,
wie gesagt, liegt die Beibehaltung der Nullhypothese.
Wie sieht die Verteilung dieser Prüfgröße aus,
die wir benötigen, um jetzt die Zugehörigen kritischen Werte,
C und N-C festzulegen
Diese Verteilung ist extrem einfach. Wenn nämlich die Nullhypothese gilt,
dass mich Schlange gleich dem hypothetischen Wert ist, dann ist die Anzahl der Beobachtungen,
die kleiner sind als der hypothetische Median, eine Binomialverteilung mit dem Parameter 0,5. Das ist klar,
denn bei der Beobachtung gucken wir ja nur nach,
ob dieses Interessierende Ereignis eintritt, ist die jeweilige Beobachtung kleiner,
Als der hypothetische Maltian oder der Wert der interessierenden Beobachtung,
oder ist sie nicht kleiner, wenn sie kleiner ist,
notiere ich das und merke an,
mein Wert der Prüfgröße ist, um eins zu erhöhen,
und das mache ich jedes Mal neu.
Also habe ich gerade die entsprechende Binumialverteilung. Und damit können wir natürlich umgehen,
wir nehmen als kritische Werte bei kleinen Stichprobenumfängen die entsprechenden Werte
aus der Binumialverteilungstabelle bei großen Stichprobenumfängen,
verwenden wir die Normalapproximation um den Test durchzuführen
Dieser Test wird auch als Zeichentest bezeichnet, weil einfach
das Vorzeichen der Differenzen zum hypothetischen Median von Relevanz ist.
Ich vergleiche ja meiner Beobachtung nur mit dem hypothetischen Werten entscheide,
ist er kleiner oder größer.
Mit anderen Norten kann ich auch sagen,
wenn ich die Differenz hier nehme, die Differenz beobachteter Wert minushypothetischen Medien,
da brauche ich nur noch das Vorzeichen mir anzugucken.
Ist es negativ oder positiv? Und ich nehme einfach
die negativen Vorzeichen. Statt Vorzeichentest nennen wir
das Ganze einfach Zeichentest
Gucken wir uns eine einfache Anwendung an. Da wurde bei einem Krankenhaus eine,
oder sollte eine Laborprobentransportanlage eingebaut werden,
diese Anlage ist natürlich einmal unter dem Gesichtspunkt der Kosten zu beurteilen,
aber ein weiterer und nicht ganz unwichtiger Aspekt sagt natürlich auch,
guck mal nach,
ob tendenziell die entsprechende Anlage eine Auswirkung oder der Transport mit der Anlage eine Auswirkung hat,
auf die Zusammensetzung des Blutes.
Es kann ja sein, dass wir plötzlich
ganz andere Paare mit der Werte bei dem Blut feststellen,
dass beispielsweise dann irgendwelche Gehalt von Substanzen anders groß wird.
Und das sollte eben auch untersucht werden.
Um das zu untersuchen, wurde eine Testinstallation vorgenommen.
Es wurde eine Serie von Blutproben transportiert. Einmal wurde bei den Blutproben
die eine Hälfte mit Hilfe der herkömmlichen Methode zum Nabor gebracht
und die andere Hälfte mit der Anlage und dann wurde beispielsweise der Kreatiningehalt bestimmt in beiden Proben und die entsprechende Frage,
gibt es deutliche Unterschiede zwischen den Messwerten,
wurde dann mit Hilfe der Differenzen der Messungen untersucht,
die Differenzen der Messwerte herkömmliche Methode mit Boden,
neue Methode mit Anlage,
die jeweils halbierten Proben gaben beide einen entsprechenden sagen
wir mal, Kreatiningehalt, die Differenz bildet dann die Basis
für die entsprechende Testentscheidung. Das sind diese Differenzen,
die vorliegen und dann ist natürlich zu überprüfen,
ob der hypothetische Wert null ist,
der median gleich null oder ob er von null verschieden ist.
Alpha wurde relativ klein angesetzt, weil tendenziell natürlich dir nachweist,
dass es eine Auswirkung auf die entsprechenden Misswerte hat,
Eine relativ heftige Konsequenz auch bedeutet.
Und deswegen wurde ein kleines Alpha hier gewählt. Klar ist,
zumindest wenn die Testentscheidung hier nicht zur Ablehnung führt,
dann ist es so, dass diese Seite zumindest kein Beitrag als Argument gegen die Anlage beibringt.
Wenn allerdings eine Testentscheidung zur Ablehnung führt,
dann müsste in Bezug auf diese Anlage und die bisherige Transportmethode
per Boden nochmal genauer nachgedacht werden,
ob das eventuell eben über das Rütteln oder sonst wie zustande kommt und das zur falschen gesundheitlichen Einschätzung führt,
denn dazu wird ja das Blut analysiert.
Wir gucken uns hier nur eine kleine Vorauswertung an von elf Beobachtungen,
diese entsprechenden elf Beobachtungen sollen zunächst mal für die entsprechende Testentscheidung ausreichen.
Wir nehmen als Prüfgröße die Anzahl der Werte,
die kleiner sind als der hypothetische Medial Null und müssen dann den Ablehnbereich festlegen.
Die Binumialverteilung mit dem Parameter 0,5 ist symmetrisch. Das heißt,
wir brauchen uns nur den unteren Teil anzugucken und müssen jetzt nachgucken,
dass die Wahrscheinlichkeit für die Ex-, die Extremsten werde,
Alphahalbe, also 0,01 halbe nicht übersteigt.
0,01 halbe ist aber 0,005. Und sie sehen, wenn ich jetzt
den Ablehnbereich bis eins wähle, dann bin ich bei 0,0059.
Damit wäre ich über der Wahrscheinlichkeit 0,005. Für einen Signifikanztest
ist es wesentlich, dass wir diese Signifikanzniveau nicht verletzen.
Also muss ich hier den Ablehnbereich so wählen,
dass ich nur den linken Teil,
den Bereich der kleinen Teewerte So wähle, dass ich sage,
nur die Null führt zur Ablehnung.
Wenn ich auch die Eins dazunehmen würde, würde ich überall verheil bekommen.
Also haben wir nur den kleinsten und den größten Wert.
Bei der Stichprobe ergab sich ein Wert tegleich neun,
bei elf Beobachtungen. Und damit haben wir einen Wert,
der nicht im Ablehnbereich fällt,
denn der Ablehnbereich würde nur den Wert Null und 11 enthalten
Und damit haben wir keine Ablehnung der Nullhypothese,
von dieser Ebene her, von dieser Voruntersuchungsseite her,
hätten wir also keinen Fundament für eine Entscheidung,
in Richtung Ablehnung der Anlage.
Damit haben wir hier zunächst einmal die ins Lageproblem als Einstichprobenproblemen
kennengelernt und wir werden in der folgenden Stunde uns noch mit weiteren Aspekten,
beim Einstichprobenproblem und dann mit dem Zwei-Stichproblem beschäftigen.
Ich danke Ihnen für Ihre Aufmerksamkeit