Uff. Und daran erinnern, dass wir in der letzten Woche
uns nebenan vor allen Dingen angefangen haben mit der Normalverteilung zu beschäftigen.
Die Normalverteilung ist die wohl wichtigste, stetige Verteilung,
sowohl von gewissen methodischen Gesichtspunkten her als auch als Verteilung für
die Erfassung empirischer Phänomene.
Deswegen wird sie relativ ausführlich hier dargestellt
Wir gucken uns nochmal an, was haben wir kennengelernt für eine Normalverteilung.
Einmal wissen wir, dass die Normalverteilung einen Erwartungswerten eine Varianz hat,
die wie üblich mit Müh- und Sigma-Quadrat bezeichnet werden.
Diese beiden Größen sind gleichzeitig die Parameter der Normalverteilung,
die eben in der konkreten dichte Funktion vorkommen und wir haben gesehen,
dass der Spezialfall das Müh gleich Null ist Und die Varianz
Sigma Quadrat gleich eins ist,
dass dieser Spezialfall als Standard-Normalverteilung besonders hervorgehoben wird.
Der Grund dafür ist eben auch,
dass die Wahrscheinlichkeitsaussagen mit der Normalverteilung nicht ganz leicht durchzuführen sind,
Wahrscheinlichkeiten nicht ganz simpel anzugeben sind.
Wir brauchen dafür tatsächlich
eine Tabelle
Oder entweder elektronische Art, wie wir es ganz kurz gesehen haben,
oder eben eine ausführliche, auf Papier.
Solch eine Tabelle haben wir uns auch kurz angeguckt gehabt.
Ich kann sie ihnen nochmal in Erinnerung rufen. Wir werden
sie im Folgenden auch noch häufiger benutzen. Diese Tabelle,
die hier als innere Einträge die Quantile hat,
die Zugehörigen, Wahrscheinlichkeiten, stehen am Rand.
Die ersten beiden Nachkommastellen sind hier nachzusehen.
Und die dritte Nachkommastelle kann man hier dann die Zugehörige Spalte
Nehmen. Diese Verteilungstabelle der Standard-Normalverteilung ist eben deswegen ausreichend,
weil wir in aller Regel bei den verschiedenen Normalverteilungen eben hin und her springen können.
Wir können von einer beliebigen Normalverteilung ausgehen,
mit Hilfe der Standardisierung. Das heißt,
wir ziehen den Erwartungswert ab und dividieren die Differenz durch die Standabweichung,
mit der wir der Standardisierung gelangen,
wir zur Standard-Normalverteilung
Und natürlich geht es auch umgekehrt. Wir können
von einer Standard-Normal verteilten Zufallsvariablen zu einer beliebigen anderen kommen,
indem wir einfach diese standardnormal verteilte Zufallsvariable mit dem Parameter Sigma multiplizieren und noch den Erwartungswert mühter zu addieren.
Dann gelangen wir zu der Normalverteilung, mit dem entsprechenden Erwartungswert Müh und der Varianz Sigma Quadrat.
Das ist beides ein Spezialfall der allgemeinen Aussage,
dass wir bei jeder Lineartransformation, also einer Veränderung,
die da darin besteht, dass wir eine konstante,
heranmultiplizieren und noch eine weitere Konstante dazu addieren,
dass wir dann im Rahmen der Normalverteilung bleiben.
Diese Eigenschaft macht es eben so günstig mit der Normalverteilung zu arbeiten.
Wir brauchen eben nur die Verteilungstabelle der Standardnormalverteilung und das hatten wir ganz kurz uns in der letzten Stunde schon angeguckt,
wenn wir beispielsweise für eine normalverteilte Zufallsvariable,
die Wahrscheinlichkeit bestimmen wollen, dass die Zufallsvariable einen Wert annimmt,
der kleiner gleich einer im vorgegebenen Zahl kleinen X ist,
brauchen wir nur in diesem Ausdruck auf der linken Seite und
auf der rechten Seite gleichsam die Zugehörige Standardisierung durchzuführen.
Der wesentliche Unterschied der beiden Seiten besteht darin,
dass hier auf der rechten Seite jetzt einfach eine konkrete Zahl
berechnet wird
Klein X ist ja irgendein konkreter Wert, Mühe und Sigma
sind auch konkrete Werte. Wir haben also hier eine konkrete Zahl.
Auf der linken Seite haben wir weiterhin eine Zufallsvariable,
eine Zufallsvariable, die wir auch mit Großz bezeichnen können,
die dann die Eigenschaft hat, wie wir eben gesehen haben,
dass sie eben standardnormal verteilt ist.
Wir bekommen also die zugehörige Wahrscheinlichkeit direkt aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
und nach Vereinbarung vom letzten Mal würde ja mit dem griechischen Buchstaben Großvieh bezeichnet.
Das ist also gerade der Wert von Großvieh an der Stelle,
klein--minus-müh durch Sigmar. Dieser Ebene hatten wir uns
angeguckt und wir hatten auch die Normalverteilungstabelle schon betrachtet. Die Zugehörigen,
Wahrscheinlichkeiten, beispielsweise, wenn wir die Zufallsvariable X uns angucken,
die den Erwartungswert sehen hat und die Varianz 4 normal verteilt sein sollen,
wie bestimmen wir dann die Wahrscheinlichkeit,
dass sie Zufallsvariable einen Wert annimmt,
der Kleiner
gleich 13 ist
Eben gesagt, wir müssen beide Seiten innerhalb des Wahrscheinlichkeitsausdrucks standardisieren.
Das heißt, den Erwartungswert abziehen durch die Standardabweichung dividieren. Auf der rechten Seite sehen Sie,
wir kriegen einfach eine Zahl, frei dividiert durch zwei,
also 1,5. Und auf der linken Seite haben wir jetzt ein Symbol zu stehen,
Cross X ist ja eine Zufallsvariable,
die können wir nicht einfach jetzt als numerischen Wert behandeln.
Die sagt ja einfach, das Ganze wird erst zu einem Wert,
wenn ich den Zufallsvorgang breche, Rechner oder durchgeführt habe,
dann kann ich sehen, welcher Wert rauskommt.
Diese Vorschrift hier auf der linken Seite innerhalb der wahrscheinlich klar aus des Wahrscheinlichkeitsausdrucks sagt ja,
wenn du einen Wert beobachtest, dann ziehe, den wir zehn ab und dividiere ihn durch Wurzel aus vier.
Aber erst, wenn du den Wert beobachtest, das ist also eine Vorschrift für das, was passiert, wenn wir was beobachten. Dafür können wir auch sagen,
die Eigenschaft, die diese Vorschrift impliziert,
ist halt,
dass die Resultierenden Werte am Ende bei null zentriert sein werden und eine Streuung haben mit der Standardabweichung 2. Wir haben also eine standardisierte Zufallsvariable und wir können die entsprechende Chance,
dass dieser standardisierte Wert kleiner gleich ist, dem Wert 3,
10, minus 10 durch Wurzel 4 ausrechnen und bekommen dann die Wahrscheinlichkeit aus der Normalverteilungstabelle an der Stelle 1,5 0,9,
3, 3, 1, 9. Wir hatten gesehen,
diese Wert ist nicht ganz exakt in der Tabelle zu finden,
wir müssen das Ganze, wie man es nennt,
linear interpolieren,
das werden wir uns in wenigen Minuten konkret einmal angucken.
Wie sieht es aus mit der Wahrscheinlichkeit,
dass X ein Wert zwischen 15 und 6 annimmt,
Sie sehen bei der 15 ist die Grenze ausgeschlossen, bei 16,
bei 6 ist die Grenze eingeschlossen und trotzdem Oder noch nicht.
Erstmal wird beides oder alle drei Ausdrücke werden standardisiert,
sowohl die ganz linke, als auch die ganz Rechte.
Und die entsprechenden konkreten Zahlen bestimmt. In der Mitte steht jetzt wieder einfach die Zufallsvariable,
die jetzt mit Z abgekürzt ist, um auszudrücken,
dass diese Operation hier in der Mitte eben zu nichts anderem führt,
als zu einer Standardnormalverteilten Zufallsvariable.
Denn wir brauchen eben die Angabe nicht konkreter, weil wir dann
die entsprechende Verteilungstabelle gehen können und daraus die Werte bestimmen können.
Das, was nochmal wichtig ist und was hier betrieben wird,
Sie sehen, ich gucke die Verteilung jeweils an den Zugehörigen bestimmten numerischen Werten an der Obergrenze,
2,5 minus Verteilungsfunktion an der Untergrenze minus 2.
Und das, obwohl eine Verteilungsfunktion immer den Wert angibt,
dass die Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner gleich der entsprechenden Grenze ist.
Also habe ich hier die Wahrscheinlichkeit, dass eine Standardnormalverteilte Zufallsvariable
einen Wert annimmt, der kleiner gleich 2,5 ist.
An dieser Stelle steht aber, dass ich eigentlich nur werde,
betrachte die kleiner sind als 2,5.
Wie wir in der letzten Stunde nochmal gesehen haben,
ist das kein Beinbruch, weil nämlich für stetige Zufallsvariablen Stets gilt,
dass die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Punkt gleich null ist.
Das heißt, wenn wir es mit stetigem Zufallsvariablen zu tun haben,
können wir ganz großzügig sein in Bezug auf kleiner,
gleich, größer, gleich oder kleiner, größer.
Dass Gleichheitszeichen spielt also keine Rolle, aber eben nur dann,
wenn wir es mit stetigen Zufallsvariablen zu tun haben.
Sie haben eine Frage
Entschuldigung. Sie meinen diese 13. Moment. Ja,
da sehen Sie, da habe ich einen Fehler gemacht.
Da habe ich offensichtlich über dieses berühmte Copy-on-Paste bei der Vorbereitung der Folie einfach gedacht,
ich spare mir den Quotienten noch mal explizit hinzuschreiben und habe
dann den Wert nicht adäquat korrigiert.
Hier müssen Sie also jetzt eine Fünf hinschreiben,
entsprechend diesen Wert, berechnet habe ich das Weitere dann natürlich richtig.
Also 15, minus 10 durch 2 ist natürlich 2,555555555,
also hier haben Sie als einziges Bitte zu korrigieren,
dass da 15 statt 13 steht,
die sonstigen Rechnungen sind offensichtlich korrekt
An der Stelle haben Sie also nochmal, also wie gesagt,
die Wichtigkeit, inwieweit wir mit dem kleiner,
kleiner, gleich großzügig operieren können,
solange es sich um stetige Zufallsvariablen haben,
können wir da großzügig sein, sobald,
und das werden wir in Kürze sehen,
aber diskrete Variablen mit ins Spiel kommen,
dann müssen wir wieder aufpassen,
bei diskreten Variablen können ja Wahrscheinlichkeiten für einzelne Werte
größer als null sein und dann macht es einen Unterschied,
ob wir kleiner,
gleich oder kleiner sagen
Hier erhalten wir den numerischen Wert in der Form wie hier
angegeben und haben damit das zugehörige Ergebnis. Wir wollen,
wie gesagt, uns nochmal angucken,
wie das aussieht mit der Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten,
unter der Voraussetzung,
dass wir eben die Werte nicht direkt aus der Tabelle bestimmen können,
sondern versuchen müssen,
damit zumindest näherungsweise etwas zu machen
Wir gehen hier so vor, dass wir uns dieser Beispielaufgabe ansehen.
Die Übungsaufgabe geht darum, dass wir eine Anzahl von Tagen betrachten,
die zwischen der Ausstellung einer Rechnung und ihrer Bezahlung
durch den Kunden verstreicht und gesagt ist einmal,
dass diese Anzahl von Tagung einer Normalverteilung folgen soll.
Der Erwartungswert der Normalverteilung ist gegeben und die Standardabweichung der Normalverteilung ist gegeben.
Gefragt, Ist als erstes nach der Wahrscheinlichkeit,
dass eine Rechnung spätestens 60 Tage nach Ausstellungen beglichen wird.
Gucken wir uns diese entsprechende Frage an. Und sehen zu
, wie die entsprechend zu bearbeiten ist. Die Wahrscheinlichkeit,
dass die gefragt ist,
sagt doch spätestens nach 60 Tagen soll sie bezahlt sein,
also die Zahl der Tage,
die wir streicht,
soll den Wert 60
nicht überschreiten
Wenn wir diese Wahrscheinlichkeit bestimmen wollen, dann ist es klar von dem,
was wir eben auch rekapituliert haben,
dass wir so vorgehen müssen, dass wir sagen,
gut, wir kennen den Erwartungswert und die Varianz,
also um die Wahrscheinlichkeit aus der Normalverteilungstabelle zu bekommen,
müssen wir jetzt die Standardisierung vornehmen,
den Erwartungswert abziehen und durch die Standardabweichung dividieren
Und haben dann hier auf der linken Seite die Standardnormal verteilte Zufallsvariable.
Diese Eigenschaft erlaubt uns jetzt einfach in die Normalverteilungstabelle,
wo ja die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung tabliert ist, zu gehen.
Und da nachzugucken,
wie sieht es aus mit dem zugehörigen Wert,
den wir bestimmen müssen,
nämlich den Wert der Normalverteilungstabelle an der Stelle
In der Tabelle sind als Einträge hier drin,
die zugehörigen quantile bestimmt, also die Werte, zu denen die Verteilungsfunktion,
die Zugehörigen am Rand stehenden Wahrscheinlichkeiten annimmt und wir müssen jetzt in unserer Tabelle einfach gucken,
wo finden wir den Wert drei als inneren Eintrag und sie sehen,
der Wert drei ist nicht exakt angegeben,
wir haben als beide Nachbarn 2,8782 und 3,0902.
Und wir können einfach mal die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten uns überlegen,
dass die ersten beiden Nachkommastellen sehen wir hier,
0,99 und die dritte Nachkommastelle, da müssen wir nachgucken,
was über den Blöcken steht, steht als dritte Nachkommastelle
eine 8 bzw. 9. Also wir sind an dieser Stelle
mal etwas großzügig und sagen,
hier kommt einfach
der Wert
Eins praktisch heraus. Also es ist nicht genau eins,
aber wir sind so dicht bei eins,
dass wir das an dieser Stelle mal großzügig einsetzen,
wie man konkret genauer vorgeht,
werden wir im dritten Teil der Aufgabe uns angucken.
Eine weitere Frage geht beim zweiten,
welcher Anteil der Rechnungen wird erst nach 30 Tagen bezahlt.
Also ist hier gefragt die Wahrscheinlichkeit,
dass die Zufallsvariable einen Wert annimmt,
der Größe ist als dreisig
Sie wissen, bei der Verteilungsfunktion sind ja immer die Wahrscheinlichkeiten tabelliert,
dass die Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleinergleich der Obergrenze ist.
Deswegen gehen wir zu diesem komplementären Ereignis über und der Übergang
zum komplementären Ereignis bedeutet eben auch, dass wir jetzt einfach
1 Minus der entsprechenden Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses bestimmen müssen.
Diese Wert bekommen wir jetzt natürlich wieder,
indem wir In der gleichen Form die Standardisierung vornehmen.
Diese Standardisierung wollen wir uns hier nochmal angucken.
Auf der linken Seite, weil das so einfach ist,
schreibe ich einfach gleich das Zetten und hier oben für die Obergrenze,
für den konkreten Wert, schreibe ich es nochmal ausführlich.
Da haben wir die Standardisierung, gerade in der Weise,
dass wir 30,
minus 30 Zehntel haben,
also gerade
den Wert Null haben
Diese zugehörige Wahrscheinlichkeit können wir einfach hinschreiben, ohne dass wir irgendwas in der Tabelle nachschlagen.
Wenn wir nämlich die Standard-Normalverteilungsdichte uns nochmal skizzieren,
dann ist die bei null zentriert und symmetrisch, wie wir kennengelernt haben.
Das heißt, wenn ich hier ein Stück nach links gehe und ein Stück nach rechts gehe,
haben die Werte der dichte Funktion immer den Gleiche,
die gleiche Größe. Wenn ich also die Zugehörige Wahrscheinlichkeit,
die ich jetzt aus der Tabelle bestimmen soll, mir angucke,
dann ist diese Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner gleich 30 ist,
offensichtlich gerade, die jetzt in dieser Weise schraffierte Fläche.
Wegen der Symmetrie muss diese Fläche aber gerade den Wert ein Halb
haben und auf der linken Seite gleich groß, den wird eine Halb haben.
Bei der Normalverteilung ist es immer so,
dass die Wahrscheinlichkeit einen Wert zu bekommen,
der kleiner gleich dem Erwartungswert ist,
ein Halb ist und natürlich auch die Wahrscheinlichkeit,
dass wir einen Wert bekommen, der größer gleich oder größer dem Erwartungswert ist,
diese Wahrscheinlichkeit ist natürlich ebenfalls ein Halb.
Und damit sind wir schon für diesen Spezialfall praktisch am Ende
und wir können den dritten Teil der Aufgabe uns vornehmen.
Die Zugehörige Wahrscheinlichkeit die wir hier bestimmen wollen,
ist die Wahrscheinlichkeit für das Intervall zwischen 15 bis 20 Tagen.
Wir wollen hier mal die Obergrenze einschließen. Ich hatte ja schon darauf hingedeutet,
dass es bei stetigen Verteilungen keine Rolle spielt,
ob wir kleiner gleich 20 oder gleich kleiner 20 sagen.
Die Wahrscheinlichkeit für den Wert 20 konkret ist ja null.
Also haben wir hier die Wahrscheinlichkeit,
das X kleiner gleich 20 ist minus der Wahrscheinlichkeit,
das X kleiner gleich 15 ist
Das können wir natürlich in dieser Weise auch jetzt einfach schreiben.
Wir brauchen es nicht mehr ganz so ausführlich zu machen,
dass wir den Wert aus der Standardnormalverteilungstabelle bestimmen,
indem wir einfach 20 minus 30 Zehntel hierhin schreiben und davon abziehen,
den Wert 15 minus 30 durch 10,
also gerade die Verteilungsfunktion an der Stelle minus 1 minus der Verteilungsfunktion
der Standard-Normalverteilung an der Stelle minus 1,5. Gucken wir uns jetzt an,
wie das aussieht mit der Verteilung an der Stelle minus 1.
Wir müssen wieder das zugehörige Quantil aufsuchen,
was war jetzt
Und sehen, dass der Wert minus eins auch wieder nicht exakt tabelliert ist.
Wir haben hier als Nähungswerte oder als Grenzwerte minus 1,027,
die Zugehörige Wahrscheinlichkeit ist 0,158 und als Nächstenwert minus 0,9986,
die Zugehörige Wahrscheinlichkeit ist wieder,
wir sehen die ersten beiden Nachkommastellen des 0,15 und wir befinden uns in der letzten letzten Block der Tabelle,
also die dritte Nachkommastelle, wäre dann entsprechend eine neun,
also die zugehörige Wahrscheinlichkeit wäre 0,159.
Wie können wir jetzt mit diesen Angaben den Wert an
der Stelle minus eins in dem Sinne genauer bestimmen,
dass wir nicht so wie bei dem ersten Beispiel einfach sagen,
wir machen das mal großzügig und sagen,
die Wahrscheinlichkeit ist einfach eins,
sondern dass wir sagen,
gut,
wie kann ich jetzt
näherungsweise vorgehen
Und dieses näherungsweise Vorgehen passiert einfach so, dass ich,
wenn ich die Normalverteilungsfunktion hier mal skizziere, und jetzt sage,
ich habe für zwei Punkte die Zugehörige in Eintragung in der Tabelle,
dann mache ich hier einfach eine lineare Interpolation und bestimme den
Wert der linearen Interpolation an der zugehörigen Stelle,
die uns jetzt interessiert, minus eins.
Also ich verbinde diese beiden Punkte linear und bestimme dann
den zugehörigen Wert für diesen Wert
minus eins
Das wollen wir uns jetzt angucken, wie das
entsprechend durchzuführen ist. Was wir eben gesehen haben,
wir haben in der Tabelle für den Wert minus 1,0027,
die Zugehörige Wahrscheinlichkeit 0,158 bestimmt und für den Wert an der Stelle
0,99986 haben wir die Wahrscheinlichkeit 0,159 bestimmt.
Gesucht ist der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle minus
Wenn wir uns angucken,
wie diese Differenz ist,
die entsprechende Strecke von der Stelle minus 1,0027 bis zu dem oberen Punkt,
dann sehen wir die Entfernung ist gerade 0,041 und
diese Entfernung entspricht einem Anstieg der Wahrscheinlichkeit bei der Verteilungsfunktion von
Wir wollen aber nicht die ganze Entfernung. Wir wollen ja
nicht von dem Punkt die ganze Entfernung bis zu dem,
hier eingezeichneten Punkt, sondern wir wollen nur von dem Wert
minus 1,0027 zu dem Punkt 0,9986 kommen.
Also Entschuldigung zu dem Punkt minus 1 kommen.
Also wollen wir eigentlich nur auf diese entsprechenden Achse von hier
bis zu diesem Punkt gehen.
Die Entfernung ist
Die Frage ist jetzt, welchem Anstieg entspricht diese Entfernung,
wenn der Gesamtanstieg der Strecke von 0,0041 entspricht,
gerade diesen Wert ergibt.
Das ist also das, was wir suchen,
das ist unsere unbekannte X und einfach nach dem Dreisatz ergibt sich jetzt natürlich,
dass X nichts anderes ist als 0,001 mal 0,002227
dividiert durch
Und wenn wir das ausrechnen, bekommen wir den Wert 0,007 Maus.
Das ist also der Anstieg, den wir hier haben,
das ist im Grunde genommen dieser Teil der Strecke,
der noch zu dem unteren Wert dazugeschlagen werden muss,
also haben wir den Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle minus 1 anzugeben,
als 0,158 plus 0,007 gleich 0,1587.
Das wäre also die lineare Interpolation,
mit der wir hier die Wahrscheinlichkeiten genauer bestimmen können.
Wenn wir eben nicht die konkreten Werte in der Tabelle finden,
sondern das Ganze mit der linearen Interpolation nährungsweise bestimmen müssen.
In der gleichen Weise bekommen sie die zweite Wahrscheinlichkeit,
nämlich minus
An der Stelle minus 1,5, das wäre hier 0,066666666668,
sodass diese Wahrscheinlichkeit, die hier gesucht ist,
nichts anderes ist als 0,15,
8,7 minus 0,0668,
gleich 0,09
Sie sehen,
dass das natürlich ein bisschen aufwendig ist und der Nachteil des Arbeitens mit einer solchen Tabelle,
wenn sie freien Zugang zum Rechner haben,
was ihnen speziell natürlich in der Klausur leider nicht gestattet werden kann,
dann werden sie Dieselinjahre,
Interpolation natürlich nicht unbedingt benötigen,
weil die Normalverteilungstabelle als elektronische Form natürlich in den meisten Programmen
vorhanden ist
Gut, was ich Ihnen versucht habe, an dieser Stelle nochmal zu illustrieren,
ist halt das Vorgehen bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten.
Und ich hoffe, dass da das Arbeiten mit der Tablelle
deutlich geworden ist. Der nächste Aspekt,
der für uns von Interesse ist, sind die quantile,
die ja an verschiedenen Stellen für Verteilungen schon eine Rolle gespielt
haben und natürlich auch bei der Normalverteilung eine große Rolle spielen.
Die quantile zur Erinnerung sind gegeben dadurch,
dass ich jetzt im Grunde genommen eine Wahrscheinlichkeit vorgebe und für die vorgegebenen Wahrscheinlichkeit suche,
bei welchem Wert auf der X-Achse,
die entsprechende Wahrscheinlichkeit von der Verteilungsfunktion gerade angenommen wird.
Mathematisch gesehen bedeutet das nichts anderes, als dass wir
die Inverse der Verteilungsfunktionen bestimmen. Wenn ich hier also etwa
bei der entsprechenden Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit 0,3 vorgebe und nachgucke,
welcher Wert auf der Absisse dazugehört, finden wir den zugehörigen Wert minus 0,542.
Wenn ich den Wert verändere, beispielsweise in den Wert 8,7,
dann bekommen wir die Zugehörigen Wert 1,126. Und egal welchen Wert ich jetzt für P vorgebe,
ich bekomme genau einen Wert auf der X-Achse,
auf der Absisse,
bei dem die Verteilungsfunktion gerade den vorgegebenen Wert P annimmt
Ist also das, was wir bei der Bestimmung der Quantile brauchen und machen wollen.
Allgemein, wie gesagt, bedeutet das mathematisch gesehen,
dass wir den Wert der Inversen, der Verteilungsfunktionen bestimmen wollen.
Und auch hier haben wir den großen Vorteil,
dass die quantile einer beliebigen Normalverteilung natürlich mit den Quantilen der Standardnormalverteilung zusammenhängen.
Wenn wir das Quantil einer beliebigen Verteilung mit dem Erwartungswert
Mühe der Variante Sigmaquadrat zur Wahrscheinlichkeit P mit XP bezeichnen,
dann hängt dieses XP mit dem entsprechenden Quantil der Standard-Normalverteilung zusammen.
Wir hatten gesehen, bei unserem Rekapitulieren des Stoffes von der letzten Woche,
das bei vorgegebener Standard-Normalverteilung, Zufallsvariablen, Z,
die Transformation in die Zufallsvariable X,
in dem wir Z mit Signal multiplizieren und das Müh noch addieren,
gerade zu der Zugehörigen Normalverteilung, mit dem Erwartungswert Müh,
mit der Variante Sigma-Quadrat führt
Dementsprechend sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Standardnormalverteilte Zufallsvariable Z,
einen Wert annimmt, der kleiner Gleichzeit ist,
dass diese Wahrscheinlichkeit gleich groß ist, wie die Wahrscheinlichkeit,
dass die transformierte Variable Groß X einen Wert annimmt,
der kleiner gleich myplus Sigma mal Z ist.
Diese Wahrscheinlichkeiten sind gleich. Das bedeutet doch aber,
dass sie hier Grund an dieser Stelle,
das gleiche Z haben, das bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit P,
das entsprechende Quantil-Z-Index-P und das entsprechende Quantil der transformierten Mariaple in der Weise zusammenhängen,
dass wir sagen können, das Quantil der transformierten Mariaplen ist gleich myplus,
sigma mal ZP.
Also was wir nur machen müssen, ist einfach zu sagen,
wir ergänzen diese Beziehung einfach durch gleich der Wahrscheinlichkeit P,
dann haben wir hier das entsprechende Quantil.
Hier haben wir das Quantil und der Zusammenhang ist offensichtlich Z-Index-P,
auf der linken Seite dieses Quantil ist XP und das lässt
sich gerade darstellen über my plus Sigma mal Z-P.
Also haben wir die Möglichkeit, die quantile einer beliebigen Normalverteilung
mit Hilfe der Quantile der Standard-Normalverteilung zu bestimmen,
genauso wie wir es eben beispielhaft für die Wahrscheinlichkeiten betrieben haben
Als weiterer Punkt, der an der Stelle Erwähnung finden soll,
ist die Symmetrie der quantile, um den Erwartungswert.
Diese Symmetrie bedeutet nichts anderes. Als dass ich nochmal einfach folgendes skizzieren kann,
wir nehmen uns irgendeine Normalverteilungsdichte mit einem Erwartungswert, mühe,
das ist immer der Gipfelpunkt der dichte Funktion,
Und ich stelle mir vor,
dass ich jetzt eine Strecke nach links gehe und hier einen Wert klein X bekomme.
Wenn ich die gleiche Strecke nach rechts gehe,
also die Entfernung und diese Entfernung sollen gleich sein,
dann kriege ich natürlich ebenfalls einen Punkt X Strich.
Diese beiden Punkte sind Gleichweite von dem Erwartungswert entfernt und wegen
der Symmetrie der Verteilung folgt jetzt natürlich, dass diese Flächen,
die rechts von x Strich und Links von x liegen, gleich sind.
Wenn wir diese Wahrscheinlichkeit mit P angeben,
dann ist diese Wahrscheinlichkeit auch P. Unser x, was hier steht,
ist also gerade bei dieser entsprechenden Verteilung mit diesem Erwartungswert Mühe,
das Quantil, das P-Quantil für die zugehörige Verteilung.
Und wenn wir den Wert x Strich uns angucken,
Und X-Strich auch als Quantil angeben wollen.
Dann müssen wir rechts von diesem Wert X-Strich, liegt die Wahrscheinlichkeit P.
Das ist das, was ich noch schraffiert habe.
Quantiller geben immer an, welche Wahrscheinlichkeit oder wie mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit
liegt oder nimmt die Zufallsvariable einen Wert an, der kleinergleich dementsprechenden Quantil ist.
Das heißt, wir haben hier Machen wir es so.
Wir haben hier ein Quantier, wo wir aus der Verteilungsfunktion sehen können,
wie groß die Wahrscheinlichkeitsfunktion oder die Wahrscheinlichkeit ist,
dass wir einen Wert kleiner gleich x-Strich bekommen.
Dass diese Wahrscheinlichkeit ist aber nichts anderes als x-index-1-p
die restliche Wahrscheinlichkeit zu
Weil wir auf der rechten Seite das P haben.
Also X und X Strich sind einmal das P-Quantil, XP und einmal das 1-P-Quantil.
Das ist also Gnade, die Symmetrie. Wenn ich vom
Erwartungswert Mühe gleichweit nach links und nach rechts gehe.
Gleichweit nach links oder nach rechts heißt die Entfernungen sind gleich.
Entfernungen auf der X-Achse werden aber einfach über die Differenzen bestimmt.
Wir haben auf der linken Seite Die Differenz x minus xp,
das ist der Abstand zwischen dem Peg-Vantil und dem Erwartungswert.
Und auf der rechten Seite haben wir den entsprechenden Abstand,
jetzt ausgedrückt als x-index 1-p-p-mü, einfach weil die Relation,
die Größenrelation natürlich gerade umgekehrt ist.
Wir liegen ja rechts vom Erwartungswert und dementsprechend müssen wir diese Form
der Differenz bilden, um einen Abstand angeben, anzugeben.
Diese beiden Punkte liegen also, metrisch die Differenzen,
die hier stehen, sind gleich groß und das gilt natürlich
jetzt einmal für diese spezielle Normalverteilung mit dem Erwartungswert Müh und entsprechend für die anderen.
Bei der Standardnormalverteilung gilt das natürlich auch, nur ist da der Erwartungswert null.
Also wenn ich den Erwartungswert null habe, dann ist klar,
wenn ich das als Beispiel das 0,025-Quantil betrachte,
dann habe ich einfach Hier den zugehörigen Wert, null einzusetzen,
hier habe ich das entsprechende Quantil und weil ich links vor null bin,
wird das Vorzeichen des Quantils negativ.
Auf der rechten Seite bin ich genauso weit weg von null,
mit dem 1-pequantil, peggleich 0,025,
also mit dem Müllkomma 9, 7, 5 quantil,
wenn ich rechts davon genauso weit weg von null bin,
ist das wieder der Wert 1,96,
jetzt mit positiven Vorzeichen
Das ist also die spezielle Eigenschaft der Normalverteilung,
die Symmetrie, die zum Teil auch dazu führt,
dass sie bei der Normalverteilungstabelle in sparsameren Ausgaben eben nur die positiven Werte tabelliert finden für die negativen Werte,
können sie deswegen eine Symmetrie natürlich einfach über entsprechende Umrechnungen bekommen.
Gucken wir uns an, wie das läuft mit der Bestimmung der Quantile.
Wir haben hier eine Normalverteilung mit Erwartungswert 15,
Varianz 4, Die Zugehörigen Quantile,
die jetzt mit Hilfe der eben angegebenen zu bestimmen sind,
nämlich das 0,025 Quantil, das bekommen wir hier ganz simpel dadurch,
dass wir das Ergebnis von hier oben,
was einfach angegeben ist, nehmen,
dieses Quantil mit der Standardabweichung 2 multiplizieren und noch den Erwartungswert addieren.
Das war ja gerade die eben festgestellte Relation der Quantile einer
beliebigen Normalverteilung mit der Standard-Normalverteilung
So habe ich da einfach diese Berechnung durchzuführen, Kriege für das Quantil,
den WR11,08 heraus. Analog für den anderen Fall,
dass wir das Quantil für P gleich 0,975 betrachten.
Bei der Standardnormalverteilung ist das der Wert 1,96 und für die
Normalverteilung mit Erwartungswert 15 Varianz 4 haben wir dann natürlich einfach den entsprechenden Wert,
den wir berechnen, in dem dieses zugehörige Quantilie eingesetzt wird,
Also 15 plus 2 mal 1,96 macht 18,92.
Dieser Extrapolation, diese Umrechnung der Standardnormalverteilungsquantile in beliebiger,
es ist also die andere Weise mit der entsprechenden Standardnormalverteilung, das Tabelle umzugehen.
Nehmen wir unser Beispiel von eben und fragen uns jetzt,
wie groß Oder welcher Zeitraum zur Bezahlung einer Rechnung wird von
20 Prozent der Kunden nicht eingehalten.
Wenn wir das in einer Form für die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten oder Quantilen
umsetzen wollen, dann ist ja gesagt,
im Grunde genommen wird nach einer Ausdruck gefragt,
sodass diese Wahrscheinlichkeit
gleich 0,2 beträgt
Und zwar, dass der Zeitraum zur Bezahlung nicht eingehalten wird.
Das heißt, die Zahlungszeit ist größer als irgendein Wert,
Klein-X. Welches Quantil ist gesucht? Wenn wir vom Quantilen sprechen,
denken wir immer daran, dass die Wahrscheinlichkeit,
dass wir einen Wert kleiner gleich XP haben, dass das gleich der Wahrscheinlichkeit P ist.
Wenn wir jetzt hier Die umgekehrte Relation haben,
ist klar, die Wahrscheinlichkeit, die gesucht ist,
besteht darin, dass wir dies, Entschuldigung,
der Wert, der gesucht ist,
der hat die Eigenschaft,
dass wir gerade für eine Bezahlzeit bis zu diesem Zeitpunkt die komplementäre,
die restliche Wahrscheinlichkeit zu eins haben wollen,
also die Wahrscheinlichkeit 0,8 und damit ist das gerade nichts anderes
als das 0,8-Quantil,
was wir
zu bestimmen haben
Das 0,8-Quantil, können wir zunächst einmal uns angucken,
indem wir jetzt einfach sagen, gut,
wir haben jetzt die Wahrscheinlichkeit 0,8 vorgegeben und diese Wahrscheinlichkeit steht jetzt
ja in der Normalverteilungstabelle im zweiten Teil bei P gleich 0,8 hier am Rand
Und der dritte, die dritte Nachkommastelle,
das ist natürlich dann weiterhin eine Null.
Wir wollen ja gerade 0,800000 bis 3 Nachkommastellen.
Gebt uns die Tabelle darüber Auskunft. Also der Zugehörige Wert,
das Zugehörige Quantil, der Standardnormalverteilung,
Das Quantil, was wir hier haben wollen,
das erhalten wir mit den Relationen zwischen den allgemeinen Quantilen und dem Standard-Normalverteilungsquantil,
indem wir einfach sagen, gut,
wir müssen den Erwartungswert nehmen und die Standardabweichung noch zusätzlich mit diesem Quantil multiplizieren,
also haben wir hier 30 plus zehnmal 0,8416, sprich also 38,
4-1-6 führt dieses entsprechende Quantil.
Der zweite Teil der Aufgabe ist jetzt etwas anders. Hier gehen wir jetzt davon aus,
dass der ursprüngliche Erwartungswert von 30 Tagen,
gerade der gewährten Zahlungsfrist entspricht und Und jetzt möchte man,
dass eine Rechnung nach 40 Tagen höchstens noch mit einer Wahrscheinlichkeit
von 5 Prozent oder umgerechnet von 0,05 auf vorkommt.
Diese Wahrscheinlichkeit ist vorgegeben und der Wert für die Obergrenze ist vorgegeben,
das soll also 0,05 sein, aber man möchte jetzt an einer anderen Stellschraube drehen,
nämlich den Erwartungswert so verändern, dass daraus eine Richtige Gleichung wird.
Wenn wir den alten Erwartungswert beibehalten würden von 30,
wäre das keine richtige Berechnung, dann würde diese Wahrscheinlichkeit eben nicht 0,05 sein.
Aber wenn wir das Müh entsprechend verändern, dann können wir sagen,
wir können das Müh gerade so hinbiegen,
dass diese Wahrscheinlichkeit gerade oder diese Aussage in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit korrekt wird.
Wie können wir jetzt das zugehörige Müh bestimmen? Nun,
wir gehen genauso vor wie bisher, wir sagen,
unser Ziel ist es natürlich, dass die standardisierte Größe,
die Standardabweichung soll ja gleich bleiben, einen Wert annimmt,
der kleiner gleich 40-müh dividiert durch 10 ist, dass diese Wahrscheinlichkeit,
und sie sehen, ich habe das jetzt verändert,
aus dem Größeren habe ich jetzt ein kleiner Gleich gemacht,
dementsprechend muss ich jetzt auch die Restwahrscheinlichkeit zu 1 hier hinschreiben,
dass diese Wahrscheinlichkeit 0,95 ist.
Was wir hier dementsprechend haben, Ist nichts anderes als das Zugehörige, 0,95 Quantier.
Dieses 0,95 Quantier hat jetzt natürlich auch wieder die Eigenschaft,
dass wir sagen können,
das hängt zusammen mit dem Quantil der Standardnormalverteilung in der Weise,
dass ich den noch nicht bekannten Erwartungswert nehme dazu,
Und das Zehnfache, die Zehn als Standardfehler oder Standardabweichung,
der zugrunde liegenden Verteilung, diese Standardabweichung soll sich nicht geändert haben,
mal dementsprechenden Quantil der Standardnormalverteilung.
Das 0,95 Quantil hat jetzt als bei der Standardnormalverteilung den Wert 1,6449,
also an der Stelle 0,95 in der ersten Spalte,
weil die dritte Nachkommandschnelle eine Null ist,
lesen wir einfach diesen Quantil für die Standard-Normalverteilung ab.
Da haben wir also
1,6 449 hinzuschreiben
Ja, jetzt habe ich, sehe ich gerade,
im Eifer des Gefechtes natürlich einen Fehler gemacht.
Auf der einen Seite ist natürlich das hier korrekt,
was wir hier angegeben haben.
Aber was ich jetzt bei der Ausführung natürlich verpennt habe,
ist einfach die Tatsache, hier haben wir natürlich schon standardisiert.
Wir befinden uns also an dieser Stelle bei der Standard-Normalverteilung und das,
was wir hier haben, das ist ja unser entsprechendes Quantil,
der Standard-Normalverteilung und nicht der Ausgangsverteilung.
Also das, was wir hier bestimmen,
ist gerade unser Wert Z in der XP.
Und das entsprechende Quantil, was wir gerade abgelesen haben,
ist das Quantil, was hier steht.
Die Beziehung, die wir bekommen, ist also
In dem Sinne anders, wir haben hier 1,649.
Das ist der Wert, den wir eben abgeließen haben.
Und das ist der Wert, der hier auch gerade dieser
Relation entspricht, der gleich 40-Müh durch Zehn ist.
Diesen Fehler bitte ich zu entschuldigen.
Wir bekommen also einfach dann über das Auflösen dieser Gleichung
unser Müh zu
Moment, minus zehnmal 1,6449, also zu 23, 5551.
Gut, also an dieser Stelle bin ich ins Schleudern gekommen
oder habe dann nicht beachtet,
dass wir da schon standardisiert haben
Aber sie sehen,
dass wir natürlich auch bei der Bestimmung der Quantile und entsprechend auch bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten gegebenenfalls über diese Relationen,
die sich in Bezug auf die Quantile der Standardnormalverteilung und der Quantile einer allgemeinen Normalverteilung nicht nur jetzt einfach die Quantile oder die Wahrscheinlichkeiten bestimmen können,
sondern in dieser Relation, die wir hier verwendet haben,
natürlich auch sagen können,
wir können andere Größen als unbekannte Einsätzen,
solange wir dann jeweils eine Gleichung mit einer Unbekannten haben,
können wir natürlich auch andere Größen so festlegen,
dass gerade das Gewünschte Ergebnis herauskommt und solche Vorgehensweisen sind eben etwa im Rahmen von statistischen Qualitätskontrollen,
von Bedeutung,
wo man eben durchaus ein Qualitätsstandard erreichen möchte und an verschiedenen Stellschrauben das Ganze justieren kann und sehen kann,
dass sich gewisse Maßnahmen ergreife, vor Regeln vorgebe,
sodass gewisse Ausschussanteile eben tatsächlich nur mit einem Zugehörigen Wahrscheinlichkeit auftauchen können und das vorher die Sache anders geregelt und justiert werden kann.
Soweit zum Rechnen mit den quantilen der Standardnormalverteilung Und diese erwähnte Symmetrie bei der Normalverteilung führt auch dazu,
dass die sogenannten zentralen Schwankungsintervalle, die darin bestehen,
dass man sagt, ich nehme ein Intervall,
sodass links und rechts jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit vorliegt,
dass diese zentralen Schwankungsintervalle bei der Normalverteilung eine besondere Form haben,
dass ich nämlich gerade sagen kann,
ich muss vom Erwartungswert gleichweit nach links,
wie nach rechts gehen und habe da symmetrische Intervalle,
um den Erwartungswert.
Diese Form der zentralen Schwankungsintervalle sind bei anderen Verteilungen,
die diese Symmetrie nicht aufweisen, natürlich nicht gegeben,
da werden wir noch Beispiele kennenlernen, wo die beiden Eigenschaften auseinanderfallen,
weil die Syndenverteilung nicht symmetrisch ist.
Bei der Normalverteilung sind insbesondere die zentralen Schwankungsintervalle für K
gleich 1, 2 und 3 von Interesse.
Und ich habe ihnen hier mal die zugehörige Wahrscheinlichkeiten tabelliert.
Sie sehen die Wahrscheinlichkeit für das einfache Schwankungsintervall beträgt 68,3 Prozent.
Die Wahrscheinlichkeit für das doppelte 95,5 Prozent und für das Dreifache sogar 99,8 Prozent. Für die Anwendung bedeutet es,
dass wir bei der Normalverteilung erwarten können,
dass im einfachen Streuungsintervall, jetzt mit den empirischen Daten,
in der Regel circa 68 Prozent, das wird nicht genau der Fall sein,
aber in etwa 68 Prozent der Beobachtung liegen,
im doppelten Schwankungsintervall sogar schon 95 Prozent und praktisch alle Beobachtungen im dreifachen Schwankungsintervall.
Im Rückschluss können wir schon mal festhalten,
dass bei Vorliegen dieser Situation, wenn wir jetzt sehen,
das ist für eine konkrete Situation so zu beobachten,
dass wir dann umgekehrt schließen können, die Normalverteilung könnte dafür ein ganz gutes Modell sein.
Das wäre also ein einfacher Rückschluss von einem empirischen Sachverhalt,
weil wir unterstellen, dass eben die theoretischen Bezüge,
die jetzt sich einfach aus den Wahrscheinlichkeiten hier konkret ergeben,
im empirischen Situationen wiederfinden werden und Rückschlüsse auf die zugrunde liegende
Verteilung erlauben
Dementsprechend können wir das hier als einfache Leitlinie nehmen,
umgegebenenfalls die Normalverteilung hier zu überprüfen und zu sagen,
ob das überhaupt ein vernünftiges Modell wäre. Der andere Punkt,
der hier noch zu erwähnen ist, ist die Tatsache,
dass ihnen diese zentralen Schwankungsintervalle ja durchaus bekannt vorkommen sollten.
Das, was wir hier oben zu stehen haben,
haben wir schon kennengelernt im Zusammenhang mit der Chemiechef-Ungleichung
Die Cebitev-Ungleichung sagte ja,
wenn ich diese Wahrscheinlichkeit betrachte und eine beliebige Verteilung unterstelle,
dann kann ich eine Untergrenze für die Wahrscheinlichkeit angeben,
dann kann ich sagen,
dass diese konkrete Wahrscheinlichkeit im Einzelfall einen Mindestwert nicht unterschreiten kann.
Und dieser Mindestwert bei der Cebitev-Ungleichung ist nichts anderes
als die Untergrenze 1 minus 1 durch Karl Quadrat
Wenn wir also das einfache Schwankungssyndewall angucken. Bei der Normalverteilung haben wir 68 Prozent ungefähr,
Wahrscheinlichkeit bei der Cebitschef-Umgleichung haben wir die Untergrenze 1 minus 1
durch 1 Quadrat, also die Untergrenze null.
Das gibt praktisch keine Informationen, Wahrscheinlichkeiten sind immer größer, gleich null.
Also ist die an der Stelle überhaupt nichts wert.
Wenn wir aber K gleich 2 wählen,
ist die Untergrenze mit der Cebitschef-Umgleichung Nichts anderes als 1 minus ein Viertel, also Dreiviertel oder 75 Prozent.
Wir sehen, die Normalverteilung ist viel enger konzentriert,
die bringt sehr viel mehr Werte hervor, die in der Mitte liegen,
als die Untergrenze der Chebitschef-Ungleichung, uns das nahelegen würde.
Auch das dreifache Schwankungssinne, weil das ist bei der Chebitschef-Ungleichung
ungefähr als Untergrenze 0,3 1 minus ein Neuntel, Entschuldigung,
also 0,9, 1 minus ein Neuntel für die Normalverteilung wissen wir,
wir haben eine Wahrscheinlichkeit von 99,8 Prozent,
also doch schon fast alles.
Und das zeigt, dass die Normalverteilung natürlich hier viel konzentrierter
ist und wir das Arbeiten mit der Normalverteilung in dem Sinne
natürlich ertragreicher gestalten können als so eine allgemeine Abschätzung,
die wiederum den Vorteil hat,
dass sie in jeder Situation gilt und nicht eine spezielle Verteilung voraussetzt.
Vers Arbeiten mit Quantilen ist auch deswegen so wichtig,
weil wir in vielen Situationen quantildiakramme erstellen, um zu überprüfen,
ob die Normalverteilung zur Erfassung eines empirischen Phänomens überhaupt geeignet sein kann.
Wenn wir quantildiakramme zeichnen, dann können wir von der Eigenschaft Gebrauch machen,
die wir jetzt eben uns in verschiedenen Formen angeguckt haben,
dass nämlich die allgemeinen Quantile der Normalverteilung mit einem beliebigen Erwartungswert in einer beliebigen Varianz,
mit den Quantilen der Standard-Normalverteilung in einer bestimmten Form zusammenhängen.
Wenn wir nämlich ein Quantildia-Kram erstellen wollen, brauchen wir einmal
die empirischen Quantilern. Diese empirischen Quantile wählen wir so,
wie wir das schon in den Beispielen,
die wir bisher gemacht haben, jeweils betrieben haben.
Wir wählen sie einfach so,
dass die geordneten empirischen Werte gerade den empirischen Quantilen entsprechen
Wir müssen also die Wahrscheinlichkeiten P gleich eins durch N2
durch N nehmen und haben dann die Zugehörigen empirischen Quantile,
X-Index, Einsenrunden, Klammern, X in X 2 Runden,
klammern also gerade die geordneten empirischen Werte.
Das ist der Teil, der im Grunde genommen keine Arbeit macht.
Wir brauchen einfach nur unsere Daten zu nehmen,
sieh der Größe nach angeordnet zu betrachten und haben diese empirischen Quantile.
Bestimmen müssen wir noch die theoretischen und auch hier Nehmen wir wieder eine Stetigkeitskorrektur vor,
wie wir es schon bei den anderen Beispielen gemacht haben.
Wir nehmen also nicht genau P gleich V durch N für V
gleich 1, 2, 3 und so weiter,
sondern verringern das Ganze immer um 0,5 und dividieren dann die Differenz durch N.
Also 0,5 durch N 1,5 durch N und bestimmen dafür die theoretischen Quantile.
Das ist wieder die sogenannte Stetigkeitskorrektur, die wir hier vornehmen.
Wie gesagt, bei der Überprüfung mit Hilfe eines Quantillea-Krams wissen wir
ja in der Regel nicht, welcher Erwartungswert und welcher Varianz vorliegt.
Was wir also machen müssen, ist ein Quantildiagramm zu erstellen,
wo wir eben nicht sagen können, wie groß Mühe und Sigma ist.
Aber was wir machen können,
ist halt einfach das Quantildiagramm in der Weise zu zeichnen,
dass wir für die theoretischen Quantile einfach die Quantile der Standard-Normalverteilung wählen.
Die Standard-Normalverteilung, dass wir da die Quantile nehmen, können sie hier erkennen,
weil der Bereich nur von minus 2 bis plus 2 indiziert ist.
Also sind wir bei den Quantilen,
bei den theoretischen Quantilen, einfach mit den Quantilen der Standard-Normalverteilung
hier zugange und verwenden die für die Erstellung des Streudiakramms
Welche Konsequenz hat das für das Quantil dia Gramm? Nun,
einmal ist klar, dass wir jetzt nicht mehr davon ausgehen können,
dass die Punkte um eine Winkel halbierende, um die 45-Grad-Achse streuen.
Vielmehr führt die Beziehung zwischen den empirischen Quantilen und den theoretischen Quantilen dazu,
dass wir sagen können, Das für die theoretischen Quantile gilt.
Bei beliebiger Normalverteilung haben wir ja die Beziehung,
dass theoretische P-Quantile ist gleich Mühe plus Sigma, mal dem Quantil der Standardnormalverteilung.
Das empirische Quantil. Sollte ungefähr gleich dem theoretischen Quantil sein.
Also sollte das empirische Quantil ungefähr gleich Mühe plus Sigma mal ZP sein.
Das empirische Quantil unserer Verteilung hängt mit dem Vantil,
der Standard-Normalverteilung Zumindest ungefähr genauso zusammen, wie das theoretische Quantil der richtigen Normalverteilung mit dem der Standardnormalverteilung.
Wenn das aber gilt, dann sehen sie, dass wir hier nichts anderes haben,
als eine Beziehung, die geprägt ist durch eine linearität,
dadurch, dass die empirischen quantile im Wesentlichen in einer linearen Form von den Quantilen der Standardnormalverteilung abhängen.
Und das drückt sich bei dem Quantildia-Kram natürlich dann in der Form aus,
dass wir jetzt einfach gucken, wenn wir auf der Absicher,
die Quantile der Standardnormalverteilung haben,
ob die Punkte im Wesentlichen auf einer geraden liegen oder bei einer geraden gruppiert sind,
wenn das der Fall ist, Egal welche Steigung und egal welcher Achsenabschnitt vorliegt,
dann können wir davon ausgehen, dass die Normalverteilung ein adäquates Modell ist,
im anderen Fall haben wir offensichtlich keine Normalverteilung.
Wenn wir das hier entsprechend ergänzen, also hier die Zugehörige,
gerade einzeichnen, einfach als Ausgleichsgerade,
die zum Teil auch schon das einfach nochmal hervorhebt,
was wir visuell sagen würden,
dass die Punkte nämlich tatsächlich relativ gut auf einer Geraden liegen,
könne sagen, die Ausgleichsgrade macht eben deutlich,
dass diese Körpertemperatur von Männern, um die es hier geht,
eben tatsächlich relativ gut normal verteilt ist.
Und tatsächlich kriegt man in vielen Anwendungssituationen,
wo es sich um Messwerte handelt,
recht häufig eine Normalverteilung für die entsprechenden empirischen,
gemessenen Werte
Wir wollen uns noch ein zweites Beispiel angucken und zwar
die Buchdicke von 100 zufällig aus einer Bibliothek ausgewählten Büchern,
um beispielsweise den weiteren Platzbedarf der Bibliothek abzuschätzen.
Wir haben 100 Werte, die Messungen sind in Millimeter angegeben,
sie sehen, es gibt ein paar ganz dünne Bändchen dabei,
aber auch ein paar echte Schinken und um das Ganze
ein bisschen leichter von der Berechnungsseite zu machen,
habe ich jetzt einfach Folgendes gemacht.
Ich nehme jetzt für das Quantildiakram nicht alle 100 Werte. Wir haben hier fünf Blöcke,
also die sind immer in Fünferblöcken organisiert,
sondern ich nehme nur die letzte Spalte,
um das in diesem Quantildiagramm darzustellen,
also kriegen wir nur einen Ausschnitt,
aber der Ausschnitt wird schon von der Informationsseite her ausreichend sein,
um das Ganze bewerten zu können
Wenn wir also nur die letzten Blöcke nehmen,
dann also den 5., 10., 15. Wert,
dann haben wir in der zweiten Spalte hier oder in der
ersten Spalte nach dem senkrechten Strich einfach die geordneten Buchticken.
Wir haben in der mittleren Spalte die entsprechenden Werde,
für die wir die zugehörigen Quantile bestimmen müssen und in der letzten Spalte einfach die Werte,
die aus der Tabelle stammen,
die eben für die mit in der Mitte angegebenen Wahrscheinlichkeiten jeweils abgebliesen werden,
also für die Wahrscheinlichkeit 0,045 lesen wir das Quantil minus 1,695 ab und so fort.
Diese Werte werden jetzt genommen und die empirischen Vantile in Abhängigkeit von
den zugehörigen ZP dargestellt. Das Quantildiagramm hat dann die Form,
die sie jetzt hier sehen und wir brauchen uns, glaube ich,
nicht zu streiten, der versucht da eine Ausgleichsgrade durchzulegen führt ganz ein,
egal wie sie die gerade einzeichnen, dazu, dass man sagen muss,
die Punkte liegen offensichtlich nicht ganz gut auf einer Graden.
Egal, ob sie hier am Anfang sagen,
sie nehmen mich eine Grade, legen sie durch die ersten Punkte,
dann haben sie hier starke Abweichungen, legen sie die gerade so durch,
wie ich das hier versuche, mit dem Zeiger zu verdeutlichen,
haben sie natürlich auch keine gute Übereinstimmung der Punkte in Bezug auf das Liegen,
auf oder bei einer Geraden.
Das ist ein Beispiel, wo sie deutlich sehen,
zeigt das Quantil der Gramm, dass diese Punkte ganz offensichtlich
nicht sinnvoll durch eine Gerade repräsentiert werden können und die Konsequenz ist eindeutig,
dass für diese Beobachtungswerte die Normalverteilung kein gutes Modell ist.
Wir könnten für diese Buchdicken einfach nicht sagen,
dass die Normalverteilung adäquat wäre,
die Abweichungen sind so stark der Punkte von einem geraden Form,
von einem geraden Verlauf, dass wir eben hier eindeutig die Situation haben,
Egal welche andere Verteilung wir nehmen,
aber mit Sicherheit können wir nicht einfach die Normalverteilung als Modell für diese buchdicke Werte nehmen.
Da ist offensichtlich ein anderer Mechanismus im Hintergrund. Damit machen wir
Pause bis Viertel vor. Ich durfte sie dann bitten,
sich wieder hinzusetzen. Wir wollen jetzt zurückgehen auf den Ausgangssituationen,
mit der wir überhaupt die Normalverteilung eingeführt haben,
nämlich die Approximation der Binomialverteilung und wollen uns das nochmal einen Moment angucken.
Wir haben die Normalverteilung kennengelernt, in der Weise,
dass wir gesagt haben, die Bestimmung der Werte,
der Wahrscheinlichkeitsfunktion ist bei großem N natürlich nicht mehr so sonderlich einfach und dementsprechend macht es Sinn,
Nährungsformen zu entwickeln, mit der das Ganze berechnet werden kann.
Das war historisch gesehen auch tatsächlich der Ausgangspunkt Im 18.,
Anfang des 18. Jahrhunderts, 1700 noch ein bisschen,
warum man diese Normalverteilungsdichte überhaupt abgeleitet hat, um nämlich Binumialwahrscheinlichkeiten näherungsweise zu bestimmen.
Damit kriegen wir Einzelwerte der Binumialverteilung. Wenn wir aber jetzt Wahrscheinlichkeiten für irgendwelche Bereiche uns angucken,
dann müssten wir auch mit dem,
was wir bisher erreicht haben, natürlich sagen, gut,
wir gucken uns den Zugehörigen Nährungswert an allen einzelnen Stellen an,
der durch einen solchen Bereich vorgegeben ist.
Was wir dementsprechend machen können, ist halt zu sagen,
gut, wir haben zwar eine Annäherung und eine Vereinfachung,
was wir uns aber auf der anderen Seite nicht erspart haben,
ist dieses Aufsummieren von Einzelwerden.
Und hier können wir natürlich auch so vorgehen,
dass wir sagen, wir versuchen,
das zu modifizieren und auch noch weitergehend mit der Normalverteilung zu arbeiten,
ohne dass wir gegebenenfalls eine große Anzahl von Sumanten betrachten.
Tatsächlich funktioniert das über eine Vorgehensweise, die wir uns hier
kurz angucken wollen. Eine Vorgehensweise, die folgendes macht.
Ich habe das hier für eine Binomealverteilung mit den Parametern
endgleich zehn und p gleich 0,4 Mal gemacht.
Wir haben hier einfach das Stabdiagramm,
sprich die Wahrscheinlichkeitsfunktion
Und das war ja die Idee der Approximationsformel, die wir ursprünglich kennengelernt haben,
die entsprechende Höhe dieser Stäbe möglichst gut zu erfassen.
Was wir aber auch machen können, ist Folgendes.
Wir können eine Art Trink-Trick anwenden und uns überlegen,
dass wir bei der Benonialverteilung die Höhe der Stäbe,
die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion, jetzt mal noch etwas anders uns angucken.
Wir zeichnen zu jedem dieser Werte oder zu jeder dieser Repräsentanten,
der Wahrscheinlichkeitsfunktion einen Block, in dem wir von dem entsprechenden Wert
einer Albe Einheit nach rechts und eine halbe Einheit nach links gehen.
Dann bekommen wir einen entsprechend hier grau eingefärbten Block,
der die gleiche Höhe hat wie die Wahrscheinlichkeitsfunktion an der mittleren Stelle.
Aber wo wir sagen können, die zugehörige graue Fläche,
Die ergibt sich klassischerweise über das Produkt Grundrundseite mal höher.
Die Grundseite haben wir jetzt mit eins, eine halbe Einheit nach rechts,
eine halbe Einheit nach links, macht die Gesamtbreite des Blockes gleich eins.
Also haben wir hier einen Block, der gleichen Flächeninhalt hat,
wie die Höhe der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsfunktion. Diese Übertragung legt nahe,
dass wir gegebenenfalls bei der Penomialverteilung auch mit der Versteinungsfunktion oder mit dem entsprechenden Flächenargument,
Wahrscheinlichkeiten bestimmen können, die über einen ganzen Bereich gehen,
weil wir hier eben die Approximation eben auch dieser jetzt grau dargestellten Flächeninhalte mit Hilfe der Normalverteilung uns angucken können.
Natürlich wird auch diese Approximation eine Approximation bleiben, wir kriegen die Normalverteilung nicht so stufenförmig,
die bleibt glatt, Aber wir werden sehen, dass das natürlich möglich ist. Der tatsächliche,
die tatsächliche Vorgehensweise wollen wir in der Weise betreiben,
dass wir die Ausgangsidee nehmen, dass wir sagen,
wir suchen uns ein Intervall oder haben einen Intervall vorgegeben von der Untergrenze XU bis zur Obergrenze XO und können dann die zugehörige Wahrscheinlichkeit mit der entsprechenden Formel,
dass wir die Fläche unter der Normalverteilungsdichte Natürlich jetzt mit dem zugehörigen Müh und der Zugehörigen Varianz bestimmen,
das Integral über die Normalververteilung stichte, die wir ja verwenden könnten,
um die entsprechenden Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion zu apoximieren,
die allerdings eben auch gleich verwendet werden kann,
um das Histogramm, was daraus resultiert, näherungsweise zu erfassen.
Das ist also die Möglichkeit, die wir im Groben haben,
um damit die Arbeit zu reduzieren, die Arbeit,
die darin besteht, dass wir viele Semanten aufaddieren müssten,
wenn wir diese Einzelnäherungswerte nur betrachten,
hier ergibt sich das dann einfach über diese Form und sie wissen,
dass wir natürlich jetzt das Integral nicht explizit ausrechnen müssen,
sondern dass wir einfach die Werte der Verteilungsfunktion an der Obergrenze
und an der Untergrenze bestimmen müssen und die Differenz uns
den entsprechenden Wert des Integrals gibt
Gucken wir dazu an, wie das aussieht, wenn wir
die Untergrenze im Grunde genommen weglassen. Hier ist schon deutlich geworden,
wir brauchen im Wesentlichen die Verteilungsfunktion, um diese Werte zu bestimmen,
einfach Verteilungsfunktionen an der Obergrenze, Minusverteilungsfunktionen an der Unbegrenze.
Wie sieht es aber jetzt mit der Approximation der Verteilungsfunktion aus?
Wenn wir die Approximation der Verteilungsfunktionen uns angucken,
wir das einfach so machen, dass wir sagen,
wir lassen die Untergrenze praktisch nach minus unendlich wandern,
brauchen sie dann hier gar nicht mehr aufzulisten und haben allerdings das Integral entsprechend von minus unendlich bis zur Obergrenze zu bilden.
Das wäre der entsprechende Wert, den wir bestimmen müssen,
wenn wir uns das nochmal grafisch verdeutlichen wollen,
würde das einfach bedeuten,
ich muss jetzt bei einem vorgegebenen Wert XO einfach den gesamten Flächeninhalt,
der unterhalb dieser entsprechenden Treppenstufen, förmigen Form nach links hier vorliegt.
Das muss ich einfach flächenmäßig alles aufaddieren oder zusammenfügen,
rein formal als integral entsprechend berechnen. Wenn wir diese Verteilungsfunktion approximieren wollen,
dann können wir jetzt einfach sagen, wenn wir jetzt das entsprechend nehmen,
wir nehmen die Zugehörige einen Wert der Verteilungsfunktion an der Obergrenze
Und das haben wir ja jetzt schon kennengelernt, wie wir diesen Wert konkret berechnen.
Wir brauchen nur zu standardisieren in die Normalverteilungstabelle zu gucken und alles ist Paletti.
Es gibt aber eine Verbesserung, die wiederum eine sogenannte Stetigkeitskorrektur vornimmt.
Und diese Verbesserung wollen wir uns hier mal kurz angucken.
Wir haben hier die Binomialverteilung wieder mit den Parametern gleich zehn,
p gleich 0,4 und die entsprechende Verteilungsfunktion der Normalverteilung, die als glatte Kurve hier durchgelegt ist.
Wenn wir etwa für dieses Beispiel, die Wahrscheinlichkeit der bestimmen wollen,
dass die Zufallsvariabler einen Wert annimmt, der kleiner gleich vier ist,
dann bekommen wir bei der Benomialverteilung eine Wahrscheinlichkeit heraus,
die etwas über 0,6 ist, weil der Wert der Verteilungsfunktion,
die korrekt ist, die die Bindomealverteilung wiedergibt,
als Treppenfunktion an der Stelle gerade einen Sprung macht und wir
den entsprechenden Wert am oberen Treppenrand nehmen müssen.
Wenn wir die Zugehörige Normalverteilung uns angucken,
dann ist die an der Stelle vier gerade so groß,
dass wir hier sehen, wir landen etwas zu tief.
Unser Wert wird eben nicht ganz den gleichen Wert ergeben,
den die Entschuldigung, den die Pinomealverteilungstabelle angebt,
sondern wir landen im Grunde genommen in der Mitte der beiden Streppenstufen.
Und das ist deutlich weniger, als wir es eben aus der Binomealverteilungstabelle bestimmen würden.
Zudem gewünschen wird, kommen wir als Tier. An dieser Stelle hat die Normalverteilung die Verteilungsfunktion der Normalverteilung,
den gleichen Wert wie die Binomealverteilung an der Stelle 4. Wir müssen also mit unserem Wert den wir hier haben,
ein Stückchen weiter nach rechts gehen, um eine bessere Übereinstimmung der Werte zu haben,
die ich aus der Normalverteilung bestimme und die ich aus der Binomereiverteilung bestimme.
Und tatsächlich können wir einfach mal als Faustregel wieder die Korrektur nehmen, dass ich einfach ein halbes Intervallschritt weitergehe. Und wenn ich einen halben Intervallschritt weitergehe,
bedeutet das, dass ich die Verteilungsfunktion,
wenn ich die immer an der entsprechenden Stelle plus 0,5 Auswerte,
in diese Form kriege, die jetzt die rote Verteilungsfunktion zeigt,
das, was sie sehen, ist halt,
dass wir dann eine recht gute Übereinstimmung haben, der Werte,
die wir aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung und der Werte,
die wir aus der Verteilungsfunktion der Pinomealverteilung bekommen,
denn das sind gerade die Werte,
die hier immer zu Beginn dieser Treppenstufen jeweils einfallen.
Also die Veränderung,
dass wir immer einen Wert 0,5 addieren führt ganz offensichtlich dazu,
dass wir eine viel bessere Übereinstimmung der Wahrscheinlichkeiten haben und dementsprechend betreiben wir diese Approximation mit der Stetigkeitskorrektur,
dass wir sagen,
wir bilden immer den Gesuchten Wert plus 0,5 und wenn wir das konkret bestimmen wollen,
machen wir es natürlich so, dass wir wieder in die Standard-Normalverteilungstabelle gucken wollen.
Also die Zugehörige, Grenze standardisieren, den Erwartungswert abziehen und
das Ganze durch die Standardabweichung dividieren. Wenn wir in der Weise vorgehen,
haben wir also eine viel bessere Übereinstimmung aus der Normalverteilungstabelle bestimmten Werde mit den entsprechenden Werden,
die ja im Grunde genommen eine Wahrscheinlichkeitsaussage für eine binomeal verteilte Zufallsvariable ausdrücken sollen.
Also das ist eine ganz wichtige Aspekt,
dass wir hier in dieser Beziehung eine Binumialverteilte Zufallsvariable auf dem linken Teilhaben,
eine diskrete Verteilung, und dass wir in diesem Form eben nur einen Näherungswert bestimmen mithilfe der Normalverteilung.
Wir sagen nicht, dass es exakt ist, aber wir sagen,
dass das für die Anwendung in aller Regel eine ausreichend guter Näherungswert ist,
der uns viele Detailrechenarbeit erspart und einfach einen Blick in die Normalverteilungstabelle benötigt,
um den Wert zu bekommen.
Wie sieht es aus, wenn wir jetzt ganze Intervalle betrachten und Sie sehen,
dass ich hier eine Wahrscheinlichkeit angegeben habe, bei der das Intervall so angelegt ist,
dass ich die Grenzen, die Intervallgrenzen mit eingeschlossen habe.
Ich hatte schon zu Beginn dieser Veranstaltung gesagt,
Ganz wichtig ist es, dass wir uns da drüber im Klaren sind,
dass wir hier eine diskrete Verteilung haben,
die Binomialverteilung ist diskret und die zugehörige Variable bleibt natürlich diskret.
Also daran gibt es nichts zur Rüttel, Binomialverteilung ist eine
diskrete Verteilung, Binomialverteilte, Zufallsvariable ist eine diskrete Zufallsvariable.
Wir müssen also in Bezug auf die Beachtung der Relation kleiner,
kleiner, gleich, größer,
größer,
gleich aufpassen
Wir müssen sehen, ist jeweils das Gleichheitszeichen eingeschlossen oder ausgeschlossen.
Wenn wir das nicht machen, kriegen wir definitiv einen Fehler.
Hier ist es, sind beide Grenzen eingeschlossen und wir wollen
diese Wahrscheinlichkeit näherungsweise bestimmen unter Verwendung dieser Näherungsregel.
Also können wir zunächst einmal das umformen,
indem wir sagen, die Zugehörige Wahrscheinlichkeit für das Intervall,
Ist gleich der Wahrscheinlichkeit für den entsprechenden Ausdruck an der Obergrenze.
Da habe ich einfach dieses kleine Gleich hiermit berücksichtigt,
aber für die Untergrenze, wenn ich jetzt das abziehe,
dann heißt es ja, ich darf diesen Wert,
der hiermit einbezogen ist, dieses XU,
den darf ich beim Abziehen nicht berücksichtigen.
Ich müsste also groß X kleiner XU hinschreiben, ansonsten hätte ich einen Fehler,
weil hier natürlich das Klein XU mit rausgeschmissen würde.
Bei der Binumialverteilung müssen wir aber die Realisationsmöglichkeiten zu 0-1,
2-3 und so fort. Kleiner XU bedeutet dann einfach,
dass ich von XU einen Einheit nach unten gehen muss und kann dann sagen,
es ist egal, ob ich kleiner als XU oder kleiner gleich XU-minus 1 hier hinschreibe.
Das ist natürlich bei der Binumialverteilung genau das Gleiche. Aber wie gesagt,
an der Stelle haben wir aufgepasst, wir brauchten dieses minus eins,
weil wir bei einer diskreten Zufallsvariablen eben berücksichtigen müssen,
die Realisationsmöglichkeiten tragen eine positive Wahrscheinlichkeit.
Aber wenn wir das in der Form haben,
können wir jetzt für diese beiden Ausdrücke natürlich dieser Relation verwenden und einfach eingeben,
dass wir einmal den Wert an der Stelle x oben-müh
plus 0,5 bestimmen und hier
Diese minus 0,5 kommt natürlich dadurch zustande,
dass ich eigentlich diesen Wert hier nehme,
xu minus 1 und dann ganz analog zu hier oben x-u minus 1
minus mühen schreibe und dann noch plus 0,5 minus 0,5 Entschuldigung,
minus 1 plus 0,5 ergibt aber gerade das,
was hier steht,
gerade dieser Wert minus 0,5,
sodass wir hier natürlich gerade die entsprechende Form haben und
das adäquat angeben können
Im Prinzip könnten wir das natürlich auch auf die Spitze treiben und uns angucken,
was tendenziell für einen einzelnen Punkt herauskommt,
wenn XU und XO gleich ist, dann ist klar,
dann würde dieser Ausdruck dazu führen,
dass wir gerade diese Fläche insgesamt approximieren,
der Wert plus 0,5 für die Obergrenze,
der Wert minus 0,5 für die Untergrenze und wir erhalten eine Näherung für die Fläche dieses Rechtegges aus der entsprechenden Normalverteilung.
Das ist also die Approximation der Binomialverteilung und mit dieser Apoximation
können wir nochmal unsere Ausgangsfrage ein bisschen nach betrachten und sehen,
was jetzt die Möglichkeit, die Binomialverteilung mit der Normalverteilung zu approximieren,
uns an Gewinn in Bezug auf Aussagekraft gibt.
Wir hatten bei dem Der Frage,
ob der Euro fair sei, ja ein paar Überlegungen angestellt,
die letztlich auf der JB-Chef-Umgleichung basierten und die Zugehörigen Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt haben.
Dazu wurde unterstellt, dass als, wie gesagt, einfache Unterstellung,
dass die Zahlseite beim 1-Euro-Wurf die Wahrscheinlichkeit 0,49 haben soll.
Und wir haben uns angeguckt, wie sie das mit den Versuchsserien aus,
die mindestens die Hälfte der Zahlseiten nach oben aufweist.
Da die Wahrscheinlichkeit für eine Zahlseite etwas geringer als 0,5 angesetzt wurden,
konnten wir sehen, dass wir in langen Serien natürlich eine
geringere Wahrscheinlichkeit als ein Halb für solche Serien haben.
Hier gucken wir uns das entsprechend nochmal an und verwenden aber
jetzt die Normal-Approximation und betrachten einfach die Wahrscheinlichkeit für die Normalverteilung
Für den Fall, dass wir die entsprechende Binomialverteilung haben,
etwa im Ausgangsfall 100 Versuche, unsere Wahrscheinlichkeit für eine Zahlseite, war mit 0,49 angegeben.
Der Erwartungswert der Zugehörigen Normalverteilung ist einfach entsprechend hier mit P,
wann scheint Entschuldigung,
die Standardabweichung mit P mal 1 minus P durch En halbe angegeben,
weil ich hier das Gleiche in der Form mache,
dass ich nicht die Binomialverteilung, sondern die Binomialverteilung dir durch N mir angucke.
Das heißt also gleich den Anteil der Zahlseiten hier betrachte.
Und wir haben hier eine Wahrscheinlichkeit von 0,42, also schon weniger als 0,5,
dass wir in einer Serie bekommen bei 100 Würfen,
dass die zugehörige Zahlseite nach oben zu liegen kommt.
In nur 42 von 100 wird das der Fall sein,
wenn wir Eine Versuchsserie der Länge, tausend machen, dann können wir sagen,
wir haben nur noch einen Anteil von 26 Prozent von Versuchsserien,
die die Hälfte oder gar mehr der entsprechenden Ergebnisse in der Form hat,
dass die Zahlseite nach oben zu liegen kommt.
Die Zahlseite ist hier also schon ganz deutlich benachteiligt und wenn das richtig ist,
was wir hier einfach angenommen haben, sollten sie anfangen,
darüber nachzudenken, ob sie wichtige,
faire Entscheidungen noch mit einem Eurowurf entwickeln wollen oder herbeiführen wollen,
wenn sie 10.000 Würfe haben, haben wir nur noch 2,27 Prozent Serien,
wo die Zahlseite nach oben zu liegen kommt.
Also deutlich weniger als ein Halb,
was der Wert wäre, wenn die Münze fair wäre,
dann würden wir davon ausgehen, in einer,
egal wie langen Serie, sollte die Hälfte der Zahlseiten eben,
wo die Hälfte der Würfe eine Zahlseite haben,
die andere Hälfte,
die andere Seite der Münze zeigen
Insgesamt können wir sagen,
dass wir damit natürlich viel präzisere Aussagen kriegen bei der Chebi-Chef-Ungleichung
hatten wir nur Abschätzungen und das Fazit der Betrachtung ist natürlich,
dass wir einmal berücksichtigen müssen, wir kennen die wahre Wahrscheinlichkeit nicht.
Wir haben einfach unterstellt,
dass diese Wahrscheinlichkeit 0,49 sei und letztlich habe ich dann erst bei 10.000 Würfen
bei Serien von 10.000 eine sehr deutliche Abnahme der Chance verzeichnen können,
bei tausend Würfen hatten wir ja noch 24 Prozent Serien mit einer Hälfte von Zahlseiten.
Wenn Sie also im Einzelfall sich das überlegen,
dann kann man sagen, im Einzelfall,
da wir für die Entscheidung natürlich nicht 10.000 Würfe oder tausend Würfe machen,
wird es immer noch verwendet werden.
Im Großen wird man sagen,
es ist nicht ganz fair im Einzelfall,
macht es aber dann vielleicht nicht ganz so eine entscheidende Rolle
und dementsprechend bleibt es ihnen überlassen
Sich danach zu richten, wenn sie mal irgendwie eine Zufallsentscheidung herbeiführen wollen,
ob sie eine Münzewurf genauer einer 1-Euro-Münze zur Hilfe nehmen.
Das, was wir bei der Binumialverteilung haben,
wollen wir uns angucken, wie sieht denn das aus,
insgesamt, wenn wir eine andere Verteilung als Binumialverteilung haben.
Hintergrund der Situation und der Fragestellung ist der,
dass wir sagen können, die Binumialverteilung ergibt sich ja dadurch,
dass ich eine Versuchsserie durchführe, von N. Versuchen,
ich habe jetzt eben von tausend Versuchen beispielsweise gesprochen oder von 10.000 gar.
Und wir gucken bei jedem Versuch an, ist das Ereignis eingetreten oder nicht.
Das können wir beispielsweise in der Realisierung so vornehmen,
dass wir sagen, bei jedem erfolgreichen Versuch machen wir
einen Strich in unserer Strichliste und am Ende zählen wir,
wie viele Striche wir gemacht haben.
Rein formal können wir das natürlich auch so ansetzen,
dass wir sagen, Wir beschreiben jeden einzelnen Versuch X1 für
den ersten Versuch X2 für den zweiten Versuch mithilfe einer Zählung.
Diese einzelnen Variablen, X1X2 und so weiter,
die sollen einfach die Zugehörige,
das zugehörige Ergebnis zählen
Gut, um das Posage weiterzubetreiben,
diese einzelnen Zufallsvariablen X1X2 und so weiter,
sollen also für jeden einzelnen Versuch, den wir bei der Bindomealverteilung machen,
nur angeben, ob wir einen Erfolg haben,
in Anführungsstrichen einen Strichen unserer Strichliste machen würden,
in dem Jedes dieser XE einfach dem Wert 0 oder 1 annimmt.
Die Gesamtsumme der XI ist dann gerade die Anzahl der Erfolge
und wir haben die zugehörige Pinonialverteilung für die Gesamtsumme.
Also können wir sagen, wir haben eigentlich bei der Pinonialverteilung
eine Situation, wo wir die Summe von einzelnen Zufallsvariablen betrachten.
Die Frage ist jetzt, was passiert denn,
wenn wir eine andere Verteilung und für die Einzelnen zu Manten
Und das wollen wir uns anhand von ein paar Beispielen angucken.
Hier habe ich einmal eine Experiment vorbereitet,
wo wir als Ausgangsverteilung einer Rechteckverteilung nehmen,
im Intervall von 0 bis 1. Und aus den entsprechenden Daten,
die zufällig generiert wurden,
habe ich insgesamt ein Histogramm gezeichnet und habe hier
das mal in einem solchen Normalverteilungsquantildiakram dargestellt
Und sie sehen, dass die Punkte, die ich erhalten habe,
sind relativ viele, deutlich von einer geraden Form abweichen.
Wir haben also auch hier die Situation, dass wir sagen können,
wir sehen einen systematische Abweichung von der Linea, von einem linearen Verlauf.
Und damit zeigt das Quantilia Kram auch in diesem Fall die Ausgangsverteilung, ist offensichtlich keine Normalverteilung.
Das ist ja auch klar, es soll ja auch eine Rechteckverteilung sein. Wenn ich jetzt aber Mal folgendes mache,
dass ich sage, hier hatte ich 200 Zufallszahlen generiert,
wenn ich jetzt mal nicht mehr einfache Zufallszahlen nehme,
sondern im Sinne der Binomealverteilung 200 Paare von solchen Zufallszahlen nehme und dann jeweils die Summe von Zweilen betrachte,
dann bekomme ich 200 Summen von je zwei Zufallszahlen und der Effekt,
dass ich jetzt nicht einfach mehr Einfache Rechteckverteilte,
Zufallszahlen habe, sondern immer die Summe von Zweien betrachte,
sehen Sie hier,
dass wir ganz offensichtlich mit unserer Verteilung etwas besser in Bezug auf die geraten Form verlaufen.
Das bedeutet, dass wir bei der Summe,
nicht bei den Ausgangsdaten, die Ausgangsdaten,
da haben Sie das Zugehörige Histogramm immer noch auf der linken Seite.
Bei der Summe haben wir offenbar etwas, was günstiger ist
in Bezug auf die Normalverteilung. Nehmen wir sechs Sumanten,
Also wir bilden immer von sechs gleich verteilten Zufallszahlen die Gesamtsumme und sie sehen,
dass wir da praktisch schon bei der Normalverteilung sind.
Also können wir sagen, nicht nur bei dem,
was wir bei der Binomialverteilung eben gesehen haben,
sondern auch bei der Rechteckverteilung führen, die Summen dazu,
dass die entsprechenden aufsummierten Werte sich so verhalten,
als hätte ich eine normal verteilte Zufallsvariable beobachtet
Gucken wir uns noch ein anderes Beispiel an und nehmen dazu
mal eine ganz extreme Verteilung, nämlich die Exponentialverteilung.
Und jetzt habe ich wieder Folgendes gemacht. Ich habe einfach
diese Exponentialverteilung. Hier habe ich das Ausgangshistogramm, der ursprünglichen
200 Werte. Und hier habe ich für diese 200 Werte
das Quantil Diagramm mit den Normalverteilungsquantilen gezeichnet.
Es ist nicht verwunderlich, die Punkte liegen nicht auf einer geraten.
Wir haben keine Normalverteilung. Das hätten sie mir auch
so verraten
Weil wir ja eine Exponential verteilten Datensatz erzeugt haben.
Also gucken wir nach, wie sieht es denn aus,
wenn ich jetzt hier Summen bilde. Beispielsweise das,
was bei der Gleichverteilung schon sehr gut war,
nämlich sechs Werte zu summieren,
das führt hier auch bei der Exponentialverteilung zu einer deutlichen Verbesserung im Sinne,
dass die Punkte in diesem Normalverteilungsquartil, die er kam,
vielmehr auf einer Geraden liegen.
Wenn ich die Zahl der sumanten noch weiter erhöhe,
Wir machen das jetzt mal recht großzügig, der Computer rechnet ja für uns.
Wir nehmen jetzt 60 Semanten, dann sehen Sie,
die Punkte liegen im mittleren Teil ganz gut offener Geraden am Rande.
Natürlich noch nicht. Und wenn ich das mehrmals wiederhole,
sehen Sie, es hängt auch vom konkreten Datensatz ein bisschen ab,
aber insgesamt ist die Summe offensichtlich, zumindest in der Näherung,
schon wesentlich besser als bei sechs Semanten.
Und wenn ich die Zahl der Sumanten noch weiter vergrößere,
das könnten wir hier
noch einmal machen
Meinetwegen machen wir ja 150 Werde, die wir jeweils aufsummieren,
dann haben wir hier einen äußeren Bereich immer noch unserer entsprechenden Abweichungen,
aber wir haben auch Stichproben, wo das manchmal schon sehr gut aussieht.
Die Konsequenz ist also offensichtlich funktioniert, die entsprechende Näherung auch bei Verteilungen,
wenn wir eben keine Binonialverteilung haben,
sofern wir nur die Summe von vielen Beobachtungen bilden,
dann können wir praktisch davon ausgehen, dass wir die Verteilung,
die Wahrscheinlichkeitsaussagen in Bezug auf die Summe mit Hilfe der Normalverteilung durchführen können.
Das ist der Inhalt des sogenannten zentralen Grenzwerts hat es,
der sagt, wenn ich unabhängige Zufallsvariablen mit gleichem Erwartungswert und gleiche Varianz habe,
Und dann die entsprechende Summe Bilder,
dann ist die Standardisierte Summe näherungsweise Standard-Normal verteilt.
Ich kann also Wahrscheinlichkeitsaussagen mit Hilfe der Normalverteilung durchführen,
vorausgesetzt, dass die Anzahl der Sumanten groß genug ist.
Natürlich stellt sich sofort die Frage,
was heißt denn groß genug für die Anzahl der Sumanten
Diese Frage, und dazu können wir die ebengesehene Illustration natürlich heranziehen,
lässt sich nicht allgemeingültig beantworten. Tatsächlich können wir sagen,
bei einer Ausgangsverteilung, die eine Gleichverteilung ist,
da reichen schon sechs Sumanten, dann sind wir eigentlich schon mit Aussagen,
in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten, wo wir die Normalverteilungshilfe nehmen,
recht gut und machen keine großen Fehler.
Wenn die Ausgangsverteilung eine Exponentialverteilung ist, dann brauchen wir mehr Summanten,
damit die Wahrscheinlichkeitsaussagen in etwa gleichdehnend sind,
die wir mit der richtigen Verteilung betreiben würden,
die sich eben bei der Summe von Exponential verteilten Zufallsvariablen ergeben würde.
Häufig ist es tatsächlich so,
dass wir diese konkrete Verteilung dann gar nicht kennen,
dass es uns nichts übrig bleibt,
als auf der Basis des zentralen Grenzwerts hat es eben zu sagen,
ich bestimme die Wahrscheinlichkeiten, näherungsweise über diese Möglichkeit der Normalverteilung,
unter Bewusstsein, dass das in der Regel nur für größere N funktioniert.
Das gilt auch, wenn wir unterstellen,
dass wir das arathmetische Mittel aus Werden bilden.
Eine Summe und das zugehörige arathmetische Mittel unterscheiden sich ja nur dadurch,
dass sich die Summe noch durch die Zahl der semanten dividiere
Und wenn ich auf der Basis dieses zentralen Grenzwertsatzes sagen kann,
dass die Summe normal verteilt ist,
dann ist auch die Summe multipliziert mit dem Faktor 1 durch N,
weiterhin normal verteilt. Natürlich ändern sich dann der Erwartungswert,
statt des Erwartungswertes N-Malmü, den die Summe besitzt,
hat das arathmetische Mittel 1 durch Summe einfach den Erwartungswert Mühe und die Varianz die sich ergibt,
entspricht einfach der Ausgangsvarianz, dividiert durch die Zahl der Romanten.
Das ist aber nichts anderes als das,
was wir beim Rechnen mit Erwartungswert und Varianz schon kennengelernt haben.
Hier wollte ich für diese spezielle Situation der arathmetischen Mittel von Piniennaden,
das ist eine Aufgabe,
die ein Professor seinen Studenten in den USA gestellt hat,
sammelt mal viele Piniennade, messt mal aus, wie lang sie sind.
Und dann haben die fleißigen Studierenden 30.000, Entschuldigung, 3000,
das reicht immer noch, 3.000 solche Durchschnitte gebildet, von jeweils 250 Längenmessungen.
Also da ist schon ganz schön Arbeit dahinter und wir wollen uns angucken,
was dann sich in Bezug auf die Verteilung natürlich jetzt in Bezug auf die empirische Verteilung dieser Pinienadeln ergeben hat.
Hier bei so vielen Werten brauchen wir nicht mehr ein Quantil,
der Kram, ich habe ihn mal zur Abwechslung,
das empirische Histogramm und eine zugehörige Normalverteilungsdichte dargestellt.
Und sie sehen aber, dass die Übereinstimmung durchaus sehr gut ist,
ein Quantilediagramm würde eben Punkte zeigen,
die direkt auf einer Graden liegen und dementsprechend haben wir hier
für diese empirischen Treithaus-Durchschnittswerte von jeweils 250 Pininadelängen tatsächlich das Resultat,
das wir sagen können,
prima normal verteilt
In der praktischen Anwendung wird bei diesem zentralen Grenzwertsatz natürlich immer so vorgegangen,
dass wir die Summe oder die veränderte Summe des Arrathmetische Mittel nehmen und dann sagen,
dass die Summe näherungsweise normal verteilt ist,
dass wir die Wahrscheinlichkeiten mit der Normalverteilungstabelle bestimmen können.
Natürlich muss dann der Erwartungswert en-mal-müh berücksichtigt werden,
das ist der Erwartungswert der Summe und die zugehörige Varianz en-mal-sigma-Quadrat
bzw. Standardabweichung Wurzel aus, N-Mahl, Sigma.
Damit haben wir unabhängig von der Ausgangsverteilung der einzelnen XI
die Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten für die Summe zu bestimmen.
Gucken wir uns dazu auch noch eine zugehörige Aufgabe an.
Und wir betrachten hier... Moment. Die Nettomiede von
zwei Zimmerwohnungen
Die Informationen, die wir haben, ist einmal,
dass in der Grundgesamtheit die Miete im Mittel
505 Euro beträgt und die Standardabweichung 150 Euro ist.
50 solcher Wohnungen werden zufällig ausgewählt und die Frage ist,
danach, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass das arathmetische Mittel dieser 50 Mieten unter 500 50 Euro bleibt.
Wir wollen uns nur diesen ersten Teil der Frage ansehen,
der Rest läuft, wie gehabt, ganz analog.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass das arabatmetische Mittel kleiner,
gleich oder Entschwörung brauchen wir es genauer.
Kleiner ist als 550. Das Erste, was wir machen können,
ist natürlich zu sagen, von dem,
was wir eben besprochen haben,
wie sieht es mit der Bestimmung der Zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aus
Wir können bei 50 werden, aus denen dieses arathmetische Mittel gebildet ist,
einfach sagen, wir nehmen mal an,
dass die Anzahl groß genug ist, um mit dieser Normal-Approximation zu arbeiten.
Das wird kenntlich gemacht dadurch, dass sich bei dem Schlangezeichen,
was ich immer verwende, um zu sagen,
ist verteilt wie, dass ich da noch einen Punkt drauf setze,
das heißt, das ist näherungsweise verteilt wie,
das gilt eigentlich erst,
wenn der Stichprobenumfang die Zahl der Sumanten
groß genug ist
Was ist der zugehörige Erwartungswert des arathmetischen Mittels? Ich hatte
es eben versucht, bei den Pinien-Nadel-Längen deutlich zu machen,
das ist natürlich nichts anderes als der Ausgangserwartungswert, der ist angegeben mit
50025. Und die Varianz ist dann natürlich nichts anderes als die Ausgangsvarianz,
die haben wir nicht direkt,
wir haben die Standardabweichung zur Varianz kommen wir,
indem wir das quartieren und müssen das jetzt natürlich noch durch die Anzahl der Sumanten dividieren,
also haben wir eine Varianz von 150 zum Quadrat dividiert durch 50.
Damit können wir jetzt zumindest näherungsweise sie gesuchte Wahrscheinlichkeit angeben.
Die Wahrscheinlichkeit, die gesucht ist, ist näherungsweise,
zu bestimmen mit der Normalverteilung und das kennen Sie jetzt in der Zwischenzeit,
wir nehmen natürlich wieder die Standardnormalverteilung,
um da mit der Tabelle die Zugehörige Wahrscheinlichkeit ablesen zu können bzw. bestimmen zu können.
Und um das zu machen, müssen wir natürlich die zugehörige Obergrenze standardisieren.
Das heißt, wir müssen den Erwartungswert abziehen.
Und das Ganze durch die Standardabweichung dividieren,
ich schreibe es nochmal ausführlich hin, also Standardweichung,
Wurzel aus der Varianz.
Der Wert, den wir hier erhalten,
indem wir das einfach ausrechnen,
der beträgt
7, 8, 7, und die Wahrscheinlichkeit,
die wir dann aus der Normalverteilungstabelle erhalten, ist 0,9,
5, 0,5, 3. Entschuldigung,
jetzt habe ich irgendwo mich in der Zeile geirrt,
der Wert ist natürlich nicht korrekt,
der wäre der korrekt, es ist 0,8,
8,
Die anderen Fragen, die hier angegeben sind, also die Fragen 2 und 3,
die wollen wir jetzt uns nicht mehr groß angucken.
Ich denke, das ist klar. Hier brauchen wir nur wieder das Arbeiten mit der Normalverteilungstabelle,
die wichtige Aussage, die hier natürlich eine Rolle spielt,
ist einfach die Aussage, die wir hier aufgeschrieben haben,
dass wir auf der Basis des zentralen Grenzwertes sagen können.
Hier ist es offensichtlich so,
dass wir bei 50 Semannten eben sagen können,
die Summe ist aproximativ normal verteilt,
dann ist es auch das Zugehörige arathmetische Mittel,
Summe dividiert durch Anzahl der Semanten und mit dieser Normalverteilung können wir,
wie gesagt, zumindest näherungsweise die Zugehörigen Wahrscheinlichkeiten bestimmen unter Verwendung der Normalverteilungstabelle.
Gut, soweit wollte ich heute kommen und damit bedanke ich
mich für Ihre Aufmerksamkeit und wünsche eine angenehme Woche