Ich zarte sie dann zur heutigen Veranstaltung begrüßen. Und gleich
zu Beginn nochmal an die Worte von der letzten Veranstaltung erinnern,
dass sich sie doch herzlich bitter den leeren Pegel möglichst gering zu halten.
Wir haben in der letzten Woche uns mit stetigen Verteilungen beschäftigt.
Stetige Verteilungsfunktionen als Näherungen, als Modelle für diskrete Verteilung und für Verteilungen,
wo die Zugehörigen Zufallsvariablen viele unterschiedliche Regierungen Möglichkeiten haben.
Wir sprechen auch kurz von stetigen Zufallsvariablen,
wobei ich versucht habe, deutlich zu,
der verkürzte Sprechweise ist und die Idee der stetigen Verteilung eigentlich daraus resultiert,
dass wir zumindest reale Phänomene über solche stetigen Verteilungsfunktionen,
Nährungsweise beschreiben können, genauer die Häufigkeiten approximieren können oder Chancen,
Wahrscheinlichkeiten dafür bestimmen können, dass Zufallsvariable Diese Art ein Wert aus einem jeweiligen Intervall annehmen können.
Wir haben neben den Verteilungsfunktionen noch die sogenannten Dichten oder dichte Funktionen kennengelernt,
die dadurch charakterisiert sind,
dass diese Flächeninhalt unter dem Funktionsverlauf in einem entsprechenden Intervall gerade der Wahrscheinlichkeit entspricht,
dass die Zufallsvariable einen Wert aus diesem Intervall annimmt.
Dafür haben wir einige Beispiele betrachtet und wir wollen heute weitergehen
Und die Zugehörigen Maßzahlen für solche Verteilungen betrachten, Maßzahlen,
wie wir sie schon kennengelernt haben, für Diskreta,
Zufallsvariablen, speziell also Lage- und Streuungsmaße.
Und wir machen das ganz analog zu dem Fall,
den wir im Diskretenrahmen betrachtet haben.
Wir gehen aus von einer empirischen Situation. Zunächst hat uns
der Übergang von der Diskreten zur theoretischen Situation im Fall diskreter Zufallsvariablen
dazu geführt, dass wir das arithmetische Mittel betrachtet hatten,
als Lagemaß für diskrete empirische Verteilungen.
Und wir haben das auch athmetische Mittel hier in der Form geschrieben,
dass wir gesagt haben,
wir können statt der üblichen definitorischen Vorgehensweise sagen,
wir nehmen die unterschiedlichen Werte,
die einzelnen oder in einer Häufigkeitstabelle
zum Beispiel vorkommen
Multiplizieren Sie mit den Zugehörigen relativen Häufigkeiten und bilden die Summe
darüber und haben damit gleich das arathmetische Mittel als eine der möglichen Berechnungsweisen.
Wenn wir uns leiden lassen von der Idee,
dass bei großen Stichproben umfängen, die relativen Häufigkeiten näherungsweise gleich den Wahrscheinlichkeiten sind,
und das habe ich hier nochmal angedeutet durch dieses ungefähr PI,
Dann landen wir bei dem entsprechenden theoretischen Parameter,
der oben steht, dem Erwartungswert, dem erwarteten Wert der Zufallsvariablen,
der bestimmt wird über Summe der XI, mal den Zugehörigen Wahrscheinlichkeiten,
das ist die Zufallsvariable Kat, den Wert,
XI annimmt.
Das war der Erwartungswert, bei diskreten Zufallsvariablen,
und wir wollen sehen, wie wir das entsprechend bekommen für stetige Zufallsvariablen,
wie sich da der Erwartungswert als Maßzahl für die Lage einer theoretischen Verteilung ergibt.
Wir gehen ganz entsprechend vor,
indem wir auch wieder von der empirischen Situation losmarschieren und sagen,
wir nehmen das arathmetische Mittel der empirischen Situation, gucken nach,
wie das dann bei stetigen Verteilungen aussieht.
Natürlich müssen wir jetzt das arathmetische Mittel einer Zufall einer Variablen
nehmen, die sehr viele unterschiedliche Werte annehmen kann.
Und da sind wir in der Weise vorgegangen bei der Bestimmung des arathmetischen Mittels,
dass wir gesagt haben, wir können bei einer Stichprobe,
wo sehr viele unterschiedliche Werte vorliegen, natürlich einmal die klassische Definition nehmen,
aber wir haben häufig auch die Situation, dass wir nur eine klassierte Häufigkeitsverteilung kennen.
Und wenn wir das vorzulegen haben, nehmen wir einfach die Klassen mitten,
die hier als MI-Gekennzeichnet sind,
als Repräsentanten der Klassen und nehmen ganz entsprechend die Bildung des arathmetischen Mittels vor,
wie wir es eben auch nochmal rekapituliert haben, für Diskreta, Variablen.
Wir bilden einfach Klassenmitte, mal relative Häufigkeit und haben damit
einen Nährungswert für das Arhythmetische Mittel aus Klassierten Daten.
Wenn wir jetzt die Idee vervollständigen wollen,
um eine theoretische Größe zu bekommen, können wir zunächst einmal natürlich sagen,
die Häufigkeiten, die relativen Häufigkeiten entsprechen natürlich gerade im Histogramm,
den Flächeninhalten, der zugehörigen Klassen, der Flächeninhalt wiederum, ist nichts anderes als Grundseite mal höher.
Und dieser Ersetzung habe ich hier vorgenommen, wir haben die Häufigkeitsdichte,
mal die Länge der Klasse und das war ja gerade die Idee des Histogramms,
Flächenproportionalität haben wir es genannt, dass wir darüber auch die relativen Häufigkeiten grafisch darstellen könnten.
Diese grafische Idee setzen wir jetzt zurück in diese Formel,
und können dann uns vorstellen, dass wir bei Vergrößerung der Anzahl der Beobachtung,
bei Vergrößerung des Stichprobenumfanges, natürlich eine feinere Klasseneinteilung wehnen können und dass die Klassen trotzdem noch gut besetzt sind.
Wenn wir eine feinere Klasseneinteilung wählen,
dann wird natürlich als Konsequenz die Anzahl der Sumanten größer werden,
die Einzelnen seumanten werden natürlich kleiner
Aber diese beiden Effekte heben sich in Anführungsstrichen gegenseitig aus,
balancieren sich aus und dementsprechend haben wir die Möglichkeit,
doch über diesen Vorgang zu einem vernünftigen Resultat zu kommen und dieses Resultat ist dann tatsächlich gerade das,
was wir erreichen wollen, nämlich ein Parameter, ein Lagemaß für stetige Verteilungen.
Denn dieser Übergang Verkleinerung der Klassenbreite,
bei gleichzeitiger Vergrößerung der Anzahl der Semanten, ist eigentlich genau das,
was sie in dem Mathematikkurs bei der Bestimmung des bestimmten Integrals kennengelernt haben und dementsprechend ist es nicht verwunderlich,
dass wir im stetigen Fall an dem Grenzübergang dorthin kommen,
dass wir statt einer Summe auch das Integral haben,
die Klassenbreite, die jetzt ja immer kleiner gedacht ist,
immer kleiner wird,
die geht über in das Symbol DX
Und natürlich sind die Klassenmitten, die wir hier auf der linken Seite noch angegeben haben,
dann nicht mehr besonders kenntlich zu machen. Wir haben so kleine Intervalle,
dass wir einfach sagen können,
wir nehmen irgendeinen Wert aus der entsprechenden Klasse und haben damit natürlich einfach unser Symbol,
kleinen X. Tatsache ist es dann, dass das Histogramm,
die Histogramm- und Häufigkeitsdichte, dieses F-Klein-F-Dach natürlich in diesem Grenzwert ersetzt wird,
durch die zugehörige theoretische Dichtefunktion, wobei das nicht verwunderlich ist,
weil wir ja Einmal bei der Häufigkeitsdichte sagen,
der Flächeninhalt unter dieser Funktion entspricht der relativen Häufigkeit.
Relative Häufigkeiten gehen aber in Wahrscheinlichkeiten über, wenn wir große Stichprobenumfänger haben.
Und bei der theoretischen, dichte Funktion haben wir dann eben,
wie wir das in der letzten Woche kennengelernt haben, gerade die Situation,
dass der Flächen halt unter dieser theoretischen Dichte der Wahrscheinlichkeit entspricht.
Also haben wir die Relation zwischen empirischer Häufigkeitsfunktion und theoretischer Dichtefunktion einfach deswegen,
weil wir die zugehörige Relation zwischen relativer Häufigkeit und der theoretischen Wahrscheinlichkeit haben.
Und diese Korrespondenz drückt sich dann in diesem entsprechenden Übergang vom arathmetischen Mittel zur theoretischen Erwartungswert aus. Das bestimmte Integral,
das wird natürlich in den Grenzen ermittelt,
wo wir überhaupt etwas beobachten können und die Grenzen A und B,
die hier bei dem Integralzeichen angebracht sind, stehen natürlich dafür,
dass wir sagen, in dem zugehörigen Bereich können wir überhaupt etwas beobachten,
wenn Sie sich erinnern an die letzte Woche.
Unser Beispiel mit der S-Bahn, wir hatten idealerweise gesagt,
die S-Bahn soll keine Verspätung haben und im 20-Minuten-Takt fahren,
dann ist klar, die Wartezeit, die wir betrachtet hatten,
kann nur zwischen 0 und 20 gehen, also wäre das quasi hier vorgegeben, dass wir hier nur diese entsprechenden Werte haben.
In der gleichen Weise können wir auch bei der Varianz vorgehen. Das habe ich jetzt nicht mehr ganz so ausführlich aufgeschrieben,
wir haben einfach die Formel für die Varianz,
die sie ja kennen, aber jetzt auch in der Weise,
wie ich das hier bei dem arathmetischen Mittel schon gemacht hatte,
wir ersetzen die relativen Häufigkeiten durch den entsprechenden Ausdruck Fläche,
Flächeninhalt unter dem Histogramm über der Klasse,
was ja rein numerisch das Gleiche ist und das habe ich hier gleich entsprechend hingeschrieben und die Idee,
dass wir auch jetzt eine Vergrößerung des Stichprobenumfanges vornehmen,
um gleichzeitig die Anzahl der Klassen ebenfalls für größeren eine feinere Klasseneinteilung wählen,
führt dann natürlich dazu, dass wir sagen,
wir bekommen ganz analog wiederum ein bestimmtes Integral,
in den Grenzen von A und B,
nur dass wir hier den theoretischen Parameter,
den theoretischen Erwartungswert für den empirischen, für das empirische,
atmetische Mittel ersetzen.
Also das machen wir zusätzlich, weil wir bei dem Grenzübergang
natürlich empirischen Größen, durch die theoretischen insgesamt ersetzen.
Damit landen wir bei der Varianz, bei der theoretischen Varianz, bei einer stetigen Verteilung.
Zusammengenommen haben wir also die beiden Angaben für Erwartungswert und Varianz,
die jetzt noch einmal in der Weise modifiziert worden sind,
um das allgemein angeben zu können, dass ich einfach die Grenzen von minus bis plus unendlich bei diesen Integralen angegeben habe.
Sie sehen es in diesen beiden Formeln,
ist das noch etwas abstrakter allgemeiner formuliert worden und natürlich ist für die konkrete Bestimmung dieser Intekale jeweils zu sehen,
was ist in der Anwendung der tatsächliche Bereich,
in dem wir uns die Sachen angucken, in dem die dichte Funktion,
die theoretische Dichte von null verschieden ist, nur über diesen Bereich, muss natürlich integriert werden.
Gucken wir uns ein konkretes Beispiel an in Fortsetzung unserer Eisbahn,
Wartezeitsituation, nehmen wir allgemeine eine Gleichverteilung über dem Intervall von A bis B,
wenn sie wollen, können sie also sagen,
in der konkreten Fassung A ist gleich Null,
weniger als Null Zeiteinheiten, müssen sie nicht warten und B ist gleich 20, das ist die maximale Wartezeit in Minuten gemessen.
Für diese Gleichverteilung wollen wir die beiden Lagemaße und Streuungsmaße bestimmen,
der Erwartungswert Allgemein formuliert,
dass in bestimmtem Dekal von minus bis plus unendlich x-mal F&X DX,
wir hatten ja gesehen, wir brauchen uns nur anzugucken in der konkreten Anwendung,
in welchem Bereich ist die dichte Funktion von null verschieden,
in der konkreten Situation, die wir hier haben,
sind es die Grenzen A und B,
also brauchen wir auch nur das Integral in diesem Bereich zu betrachten,
außerhalb des Bereiches sind ja, ist ja die dichte Funktion null,
und leistet der entsprechende Beitrag des Integranten nicht zur Bestimmung des Integrals.
Konkret haben wir also als das Integral von x mal 1
durch B-A zu bestimmen. Das ist aber eine relativ leichte Aufgabe.
Wir können den konstanten Faktor 1 durch B-A vor das Integral ziehen,
die Stammfunktion, wenn der Integrant x heißt,
ist klar,
dann ist das einfach
x Quadrat halbe
Und diese Stammfunktion muss in den Grenzen von A bis B betrachtet werden,
in den Grenzen von A bis B,
das sagt die Symbolik, dass wir einfach in dieser Stammfunktion,
die hier in eckigen Klammern angegeben ist,
die Obergrenze einsetzen und entsprechend den Wert der Stammfunktion an der Untergrenze davon abziehen,
also F, Groß-F an der Stelle B,
in diesem Fall Minus-Groß-F an der Stelle A, bestimmen.
Das ist also hier geschehen, ich habe das ein Halb nicht extra geschrieben,
sondern einfach die Differenz Stammfunktion an der Obergrenze, minus an der Untergrenze,
auf den gemeinsamen Bruchstrich hier im zweiten Faktor platziert.
Sie wissen, aus der Schulmathematik B-Quadrat-A-Quadrat ist nichts anderes als B-A-Mahl B-Plus A. Das B-A,
dieser Faktor kürzt sich natürlich gegen den hier vorneweg,
also bleibt nur im Zähler der Faktor B plus A zu stehen
und natürlich der Faktor 2 oder 1 halb durch den Nenne und das ergibt schon den Erwartungswert plus B halbe.
Das ist also nichts anderes als der Mittelpunkt des Zugehörigen Intervalls.
Bei der Varianz können wir entsprechend vorgehen. Wir hatten ja die Vereinbarung,
dass Mü als abkürzendes Symbol für den Erwartungswert zu nehmen,
wenn wir dieses Integral jetzt bestimmen wollen,
müssten wir also einmal die dichte Funktion konkret einsetzen,
also F von X durch eins durch b-a und als zweites
müssten wir jetzt auch den Erwartungswert durch den Ausdruck ersetzen,
den wir eben berechnet haben, nämlich durch A plus B halbe.
Das habe ich hier mal mir geschenkt,
um die Formel nicht zu wüst werden zu lassen und sie übersichtlicher weiterhin zu gestalten,
das Integral bestimmen wir in der gleichen Form der konstante Faktor wird nach vorne gezogen,
dann wird die Stammfunktion berechnet und ausgewertet.
Das habe ich jetzt nicht mehr im Einzelnen durchgerechnet,
sondern gleich das Ergebnis aufgeschrieben, die einzelne Rechte oder die
einen Zirken oder die einzelnen Rechenschritte können sie leicht selbst nachvollziehen.
Was wir erhalten, ist offensichtlich ganz vernünftig die Varianz,
hat den Ausdruck, B-A zum Quadrat Zwölftel,
dass da der Faktor ein Zwölftel vorkommt,
das ergibt sich einfach aus der Berechnung, vernünftiges aber,
dass die Varianz von der Länge des Intervalls abhängt,
über den diese Gleichverteilung betrachtet wird.
Denn je länger das Intervall ist,
desto stärker streuen natürlich in der Tendenz die Werte der entsprechenden Zufallsvariablen,
je kürzer das Intervall ist, desto weniger streuen sie.
Also ist es klar, dass die Streuung und die Breite
des Intervalls irgendwie miteinander zu tun haben, die Berechnung zeigt,
dass es genau in der vorgegebenen Weise geschieht,
wie hier angegeben.
Das ist also die Konkretion dessen, was anschaulich naheliegt.
Das ist zumindest ein Zusammenhang geben sollte
Die Eigenschaften der Maßzahlen für die Lage und für die Streuung,
für den Erwartungswert und die Varianz sind ganz gleich zu denen,
die wir schon im letzten Semester für diskrete Zufallsvariablen kennengelernt haben.
Wir haben einmal, dass der Erwartungswert einer Lineartransformation gleich dementsprechenden linear transformierten Erwartungswert ist.
Wenn wir also unsere Werte immer in der Weise verändern,
dass wir einen Faktor B heranmultiplizieren, eine konstante A,
hin zu addieren, dann ist der Erwartungswert,
der so veränderten Werte der Zufallsvariablen X gleich dementsprechend veränderten Erwartungswert der Ausgangsvariablen.
Wenn wir eine nicht lineare Funktion beispielsweise Quadrat oder Absolutbetrag oder Quadratwurzel oder so etwas haben,
dann wird der Erwartungswert entsprechend den Angaben in der zweiten Zeile
berechnet den ersten Teil für diskrete Verteilung,
haben wir im letzten Semester schon gesehen,
im stetigen Fall gilt das ganz entsprechend.
Nur, dass wir eben auch hier wieder ein entsprechendes Integral haben.
Der Erwartungswert einer Summe zweier Zufallsvariablen ist gleich der Summe der
beiden Erwartungswerte. Hier ist es egal,
ob die Zufallsvariablen diskret oder stetig sind,
diese Beziehung gilt allgemein und in der Form brauchen wir
also auf die Unterscheidung gar keine Rücksicht mehr zu nehmen
Und genau das Gleiche gilt für die Relation der Varianz,
dass die Varianz einer Zufallsvariablen gleich dem Erwartungswert der quadrierten Zufallsvariablen ist,
minus dem Quadrat des Erwartungswertes.
Auch hier ist es egal, ob die Zufallsvariable stetig oder diskret ist,
diese Relation gilt immer. Entsprechend für die Varianz der linearen Transformation,
was wir im diskreten Fall gesehen hatten,
hier ist es einfach nochmal angegeben und gilt ganz entsprechend für den stetigen Fall auch,
dass die Varianz einer Summe natürlich gleich Summe der Varianzen ist,
falls die beiden Zufallsvariablen unabhängig sind.
Wir werden an späterer Stelle uns noch das etwas genauer angucken,
aber zunächst mal sichert die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen, dass das für die Varianz gilt.
Ich möchte anhand eines Beispiels doch noch mal eine Beispielrechnung für den Erwartungswert und die Varianz vorführen.
Wir nehmen wieder unseren ungeübten Bogenschützen, der anfängt, Pfeile auf eine Zielscheibe zu schießen. Wir unterstellen,
dass der Radius der Zielscheibe einen Meter beträgt und dass der entsprechende Abstand vom Zentrum das Interessierende Ereignis angibt,
das die Zufallsvariable, die wir hier betrachten,
gerade darüber gemessen wird, dass wir einfach gucken,
wo ist der Einschlagpunkt,
wie weit ist der vom Zentrum der Zielscheibe entfernt und wir fragen dann nach dem Erwartungswert
Und nach der Standardabweichung des Abstandes, des Einschlagpunktes vom Zentrum. Natürlich wollen wir,
wie wir das in diesem Rahmen schon bereits festgelegt hatten,
nur Situationen betrachten, wo zumindest die Zielscheibe getroffen wird und
nicht unbedingt außerhalb der Zielscheibe das Scheunentor,
an dem dieser aufgehängt ist.
Was wir brauchen, um die beiden Fragen erwartungswert und Standardabweichung zu beantworten,
ist natürlich zunächst mal die Verteilung, und zwar genauer gesagt,
um den Erwartungswert eine Varianz zu berechnen,
brauchen wir
die dichte Funktion
Also wie kommen wir an die Verteilung? Der Ansatz ist so,
dass wir einfach sagen, gut,
da der Schütze noch nicht geübt ist, also noch die Pfeile,
die er auf die entsprechende Zielscheibe schießt, relativ regelos,
sich über die ganze Fläche der Zielscheibe verteilen dürften,
gehen wir so vor, dass wir einfach die Kreisfläche,
die durch einen Punkt begrenzt ist oder durch einen Abstand begrenzt ist,
durch X, genauer gesagt, begrenzt ist, diesen Abstand bestimmen,
diese Kreisfläche Und dann das Ganze durch die gesamte Kreisfläche teilen und sagen,
diese Flächenanteil, den wir auf diese Weise bestimmen,
entspricht der Wahrscheinlichkeit,
dass der Pfeil seinen Weg in diesen entsprechenden Bereich findet.
Kreisflächen sind relativ leicht, Pi mal X Quadrat für den Zähler,
weil das der entsprechende Radius dann ist,
Pi mal 1 Quadrat, also einfach P für den Nenner,
weil die Zielscheibe vorausgesetzt oder für die Titelscheibe vorausgesetzt wurde,
dass der Radius insgesamt eins beträgt.
Also haben wir einfach eine Wahrscheinlichkeit,
dass wir einen Abstand von höchstens X haben,
der gerade durch den Wert X Quadrat, also durch das quadrierte Entfernung gegeben ist.
Und damit haben wir natürlich auch gleich die Verteilungsfunktion,
zumindest für solche X-Werte, die zwischen 0 und 1 liegen.
Werde die größer als einzeln X, wie er die größer als sind,
einzeln haben dann den Wert eins der Verteilungsfunktion,
wer der Kleine als Null haben den Wert Null der Verteilungsfunktion.
Nur im Intervall zwischen Null und Eins ist das Ganze natürlich von Interesse.
Wir haben in der letzten Woche gesehen, wie wir vorgehen können,
um aus der Verteilungsfunktion die zugehörige dichte Funktion zu gewinnen.
Wir brauchen nur die Ableitung zu bilden,
die es hier natürlich auch sehr einfach,
die ist 2x und damit haben wir die dichte Funktion.
2x natürlich im Intervall von 0 bis 1
außerhalb dieses Intervalls ist die dichte
gleich Null
Wenn wir soweit sind, können wir jetzt natürlich auch den
Erwartungswert und im zweiten Schritt die Varianz und die Standardabweichung bestimmen.
Der Erwartungswert als Formel sagt wieder, integral,
über den interessierenden Bereich, der geht von 0 bis 1,
außerhalb dessen ist der Integrant 0, dann brauchen wir ihn nicht zu berücksichtigen.
Und integral wird gebildet über x-mal Wert der dichte Funktion in
unserem Fall
Das Integral lässt sich leicht ausrechnen. Die Stammfunktion ist einfach
ein Drittel mal. X hoch 3, der Faktor 2,
den habe ich hier mit reingezogen und nicht extra behandelt.
Und jetzt muss wieder die Stammfunktion an der Obergrenze an der Stelle 1
minus an der Stammfunktion an der Untergrenze, an der Stelle null bestimmt werden.
Das ist natürlich besonders leicht. Ich habe bis hier nochmal
ausführlich aufgeschrieben an der Stelle der Obergrenze, brauchen wir nur den Wert 1 einzusetzen.
Bei der Untergrenze wird ein Wert null eingesetzt und dann ist klar,
dieser Wert ist insgesamt null,
dieser Wert eins hoch drei ist natürlich auch eins,
ist einfach zwei Drittel und damit haben wir den Erwartungswert.
Auch dieses Ergebnis ist natürlich etwas, was plausibel ist.
Wir landen nicht bei dem erwarteten Abstand bei der Hälfte des Radius.
Also nicht bei eineinhalb. Einfach deswegen, weil der innere
Kreisring von null bis eineinhalb Natürlich eine geringere Fläche aufweist,
als die äußere Kreisscheibe von ein halb bis eins.
Die hat ja einen viel größeren Flächeninhalt und die Unterstellung,
dass der Schützen eben noch so ungeübt ist,
dass die Pfeileinschläge sich gleichmäßig über die ganze Zielscheibe verteilen,
führt natürlich dazu, dass wir viel mehr Pfeile haben werden,
die auch im äußeren Bereich landen, als im Inneren,
einfach weil der Flächeninhalt größer ist.
Und das führt dazu, dass der erwartete Abstand
eben größer ist
Als eineinhalb und wie hier die Rechnung ergeben hat,
eben gerade zwei Drittel beträgt. Um die Varianz zu bestimmen,
nutzen wir die entsprechenden Eigenschaften, die wir zuvor uns gerade angeguckt haben,
aus, und zwar insbesondere diese Formel,
dass die Varianz einer Zufallsvariable gleich dem Erwartungswert der Quartrierten Zufallsvariable minus dem quartrierten Erwartungswert ist.
Das ist in vielen Situationen eine hilfreiche Formel und die verwenden wir
hier eben jedenfalls und haben damit natürlich erstmal die Aufgaben den Erwartungswert von x Quadrat zu berechnen.
Das ist aber ganz einfach, der Erwartungswert von x Quadrat,
da brauchen wir nur das x Quadrat zu nehmen, x Quadrat,
maldichte Funktion und das müssen wir entsprechend integrieren von 0 bis 1 in den gleichen Grenzen,
wie es eben gemacht hatten.
Die Stammfunktion ist entsprechend einfach,
der Exponent wird um eins erhöht und das Ganze mit dem Faktor ein Viertel versehen,
Hier sind wiederum die Werte an der Obergrenze minus dem Wert an der Untergrenze zu bestimmen,
aufgrund der Wahl von 0 bis 1 ist das besonders einfach.
Und das Ergebnis ist dann einfach zwei Viertel.
Um die Varianz im nächsten Schritt zu bestimmen,
müssen wir jetzt natürlich von diesem Wert,
den wir eben berechnet haben, den quartrierten Erwartungswert,
also zwei Drittel zum Quadrat abziehen und damit erhalten wir dann
die Varianz
Das ist ein Achtzehntel für die Varianz und die Standardabweichung ist dann dick Quadratwurzel daraus.
Wie wir das schon im letzten Semester häufiger diskutiert haben,
die Standardabweichung als Maßzahl ist leider nicht so gut interpretieren.
Wir haben uns hauptsächlich die Situation vorgestellt,
um mit der Standardabweichung irgendwas zu machen,
dass wir vergleiche anstellen in Bezug auf die Streuung,
dass wir zwei unterschiedliche Situationen haben und dann sagen können,
die eine Variable streut stärker als die andere,
aber als absolute Zahl ist es halt nicht ohne weiteres zu interpretieren.
Aber damit haben wir auch den zweiten Teil der Fragestellung erledigt.
Nun wollen wir neben diesen relativ einfachen Beispielen uns eine weitere Verteilung angucken,
die noch abgeleitet werden kann,
aus dem Rahmen, den wir bis bisher schon kennen,
der durch die Diskredenverteilung gegeben ist, und zwar konkret durch den Posonnenprozess.
Poisonverteilung ist ja ein Modell in aller Regel für die Anzahl von Vorkommnissen in einem Zeitintervall,
und wir sind zum Proesonnenprozess gekommen, weil wir gesagt haben,
wenn wir jetzt eben nicht das ganze Zeitintervall betrachten,
sondern beispielsweise nur das halbe, ist es dann nicht doch plausibel,
auch dafür eine Posonnenverteilung zu unterstellen.
Allerdings müssten wir dann sagen, wir rechnen nicht mit der
gleichen Anzahl von Vorkommnissen in dem halben Zeitintervall, wie bei dem Ganzen,
sondern natürlich nur noch mit der halben entsprechenden Anzahl.
Und das hatte dazu geführt, dass wir gesagt haben,
es liegt ein Poison-Prozess vor,
wenn die Zugehörige erwartete Anzahl von Vorkommnissen sich einfach in dem Sinne verhält,
dass wir sagen können, die Länge des Zeitintervalls,
die wir gegebenenfalls modifizieren, die wird mit dem Parameter Lamda multipliziert,
aber sonst bleiben wir im Rahmen der Personenverteilung
Hier wollen wir von diesem Idee des Poisonprozesses ausgehen und betrachten jetzt aber die Zeit,
die verstreicht, bis zum ersten Mal ein Vorkommenes eintritt.
Wenn wir also als Fragestellung oder als Konkretion uns vorstellen,
Anzahl der Fahrzeuge, die durch einen Straßenabschnitt fahren,
wäre also die Frage,
wie lange müssen wir warten,
bis das nächste Fahrzeug kommt
Hier können wir zunächst die Ausgangsvariable X uns angucken, die Zahl der Vorkommnisse. Also wir gehen von der Fragestellung der Zeit,
die verstreicht, bis zum ersten Mal etwas eintritt,
zurück zur Poisonverteilung praktisch, fragen, wie sieht das aus mit der Zufallsvariablen,
die die Anzahl von Vorkommnissen beschreibt und wir haben dann natürlich die Wahrscheinlichkeit,
dass in einem Zeitintervall, von 0 bis T,
also einem Zeitintervall, der Länge Tee, dass da kein Vorkommenes eintritt,
wenn die zugehörige Poisonverteilung gilt, dass wir sagen können,
wir haben unsere Rate, unseren Parameter Lamda,
die Länge des Zeitintervalls von 0 bis Tee ist aber gerade gleich Tee und kein Zeitintervall kein Ereignis darin,
hat dann bei der Personenverteilung aufgrund der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisonverteilung einfach diesen Wert,
der hier an der Tafel steht, dass wir einfach sagen,
die Wahrscheinlichkeit ist eh hochminus lamnder Tee, die Wahrscheinlichkeit,
dass eine Poisonverteilte Zufallsvariable eben den Wert null hat,
wenn dieses der zugehörige Parameter ist und dass das der Parameter ist,
gilt gerade wegen dieser Eigenschaft des Poisonprozesses,
wo wir dies Ausgangseinheitsintervall entsprechend verändert haben, gesagt haben,
wir gucken uns einen Zeitintervall der Länge Tee an,
nicht der Länge
Diese Aussage, dass x gleich null ist,
können wir jetzt natürlich auch übersetzen in eine Aussage,
die unser ursprünglich Interessierende Zufallsvariable Tee betrifft, die Zeit,
die verstreicht, bis das erste Ereignis eintritt.
Wie können wir die unstehende Aussage x gleich null für dieses Zeitintervall übersetzen,
in einer Aussage, die eben die Zufallsvariable Tee betrifft. Wenn wir sagen,
wir haben in diesem Zeitendevall von 0 bis Tee kein Vorkommnis,
dann ist das gleichwertig damit, dass wir sagen,
wir müssen einfach länger warten, als bis zum Zeitpunkt T,
kann ein bisschen länger sein,
es kann aber auch viel länger sein,
aber auf alle Fälle müssen wir mindestens bis zum Zeitpunkt Tee oder sogar noch länger warten.
Also haben wir die Relation dass kein Vorkommnis im Intervall von 0 bis T,
was hier angegeben ist, gerade der Aussage entspricht,
die Wartezeit ist größer als die Länge des Zeitintervalls.
Groß Tee als Zeitvariable für das Warten nimmt einen Wert an,
der größer ist als das Tee.
Und das ist von der Wahrscheinlichkeit her gerade ehochminuslamnder Tee.
Das ist gerade der Wert,
den wir hier haben
Damit haben wir aber jetzt schon Wahrscheinlichkeiten für die entsprechende Zeitdauer,
die wir warten. Wir haben zunächst die Wahrscheinlichkeiten,
dass wir länger warten müssen als Tee, die übliche Angabe sagt aber,
dass wir bei der Verteilungsfunktion immer Aussagen haben in Richtung, wir warten höchstens bis zum Zeitpunkt T.
Das ist gerade das komplementäre Ereignis und dementsprechend haben wir auch für unsere sogenannte Exponentialverteilung,
die wir mit dem Symbol Schönschrift E Kennzeichnen und dem Zugehörigen Parameter Lamda markieren,
die entsprechende Verteilungsfunktion, die sich über das komplementäre Ereignis ergibt,
also eins minus eo-lamda Tee und die Verteilungsfunktion ist hier ergänzt,
um die Angabe, dass wir natürlich Wahrscheinlichkeit null haben,
weniger als null Zeit dauern zu warten,
also kürzer als gar nicht zu warten,
geht nicht.
In diesem Bereich ist also die Verteilungsfunktion dann null für Tee kleiner als 0.
Für Tee größer gleich 0 ist sie, wie angegeben 1 minus
eo-lamnder Tee. Das ist also die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen.
Hatten Sie eine Frage? Gut, dann kriegen wir natürlich
auch schnell die dichte Funktion einfach wieder über die Ableitungen nach Tee.
Die Ableitung der Funktion 1 minus eoch-lamnder Tee führt natürlich dazu,
konstante Fallen beim Differenzieren weg. Die E-Funktion bleibt erhalten bei der Ableitung,
also eo-lamnder Tee, aber wir müssen noch die innere Ableitung bilden,
minus lamnder Tee nach Tee abgeleitet, ist einfach minus Lamda,
deswegen kommt der Faktor Lamda vor und das negative Vorzeichen,
was bei der Verteilungsfunktion noch auftaucht, neutralisiert sich,
weil wir über die innere Ableitung das Ganze natürlich mit Minuslamda multiplizieren.
Damit haben wir also die entsprechende dichte Funktion und haben die Basis
Angaben für die Exponentialverteilung. Wenn wir die dichte Funktion haben,
können wir entsprechenden Erwartungswert und die Varianz ausrechnen.
Das ist etwas aufwendiger, deswegen wollen wir das hier nicht explizit durchrechnen,
sondern einfach nur angeben. Der Erwartungswert ist eins durchlammender,
die Varianz ist eins durchlammender Quadrat. Sie müssen aufpassen,
wir haben jetzt die Exponentialverteilung über den Zusammenhang mit der Poisonverteilung kennengelernt,
aber wir benutzen diese Exponentialverteilung natürlich auch als eigenständiges Modell
Wir gehen nicht jedes Mal den Weg über die Posaunenverteilung.
Dementsprechend hat der Parameter Lamda im Zusammenhang mit der Exponentialverteilung
auch seine eigene Bedeutung. Beide Parameter, sowohl bei der Poisonverteilung
als auch bei der Exponentialverteilung, werden mit Lamda gekennzeichnet.
Dennoch ist Biden der Parameter zu eigen und ganz eigen zu interpretieren.
Hier sehen Sie der Erwartungswert der Zeitdauer bis zum ersten Ereignis
Du bist eins durch Lambda, bei der Poison-Verteilung hatten wir aber die Situation,
dass der Erwartungswert gleich dem zugehörigen Parameter Lambda ist.
Die Varianz bei der Poison-Verteilung ist ebenfalls gleich diesem zugehörigen Parameter Lambda,
bei der Exponentialverteilung, mit dem jetzt eigenen Parameter,
der hier nur zu der zugehörigen Zufallsvariablen Theke gehört,
ist jetzt die Varianz 1 durch lammnder Quadrat
Und die Zusammenhänge zwischen den Parametern und den zugehörigen Maßzahlen für Lage und Ausbreitung
sind ganz unterschiedlich bei der Poisonverteilung und bei der Exponentialverteilung.
Das muss jeweils sauber getrennt werden und kann eben nur
verwendet werden, jeweils im eigenen Zusammenhang.
Es ist aber offensichtlich, je größer das Lamm da ist,
bei der Exponentialverteilung, desto kleiner ist der Erwartungswert.
Lammda steht ja im Nenner
Wenn wir noch mal auf den Zusammenhang zurückgehen,
ist das plausibel auf den Zusammenhang mit der Poison-Verteilung.
Ein großes Lamm dabei der Poison-Verteilung bedeutet,
wir rechnen mit vielen Vorkommnissen pro Zeit in der Wahl.
Wenn wir viele Vorkommnisse in einem Zeitintervall erwarten,
dann ist tendenziell die Zeitsdauer natürlich kurz bis irgendwas beobachtet wird.
Wenn wir umgekehrt lange warten müssen,
dann wird in der Tendenz auch wenig passieren und dass Lamm
da bei der Poisonvorteilung wird natürlich dann entsprechend klein sein.
Also es hat eine innere Logik, dass hier der Erwartungswert Einzug
lamder ist und bei der Poisonvorteilung eben gleich dem zugehörigen Parameter lamder.
Wir wollen uns ein konkretes Beispiel angucken,
was nicht einfacher, warte, Zeit betrifft,
sondern mal eine etwas andere Anwendung aus dem Bereich der
Sprachwissenschaft darstellt
Wo eben auch die Exponentialverteilung in übertragener Weise
als Erwartungs- oder als Zeitdauer bis etwas vorkommt,
interpretiert werden kann oder zumindest als Zeitstrecke genauer gesagt.
Wir betrachten ein Buch und in diesem Buch wurde von Studierenden
aus den USA ausgemessen, von zufällig ausgewählten Zeilenanfängen,
wie lang ist die Strecke bis zum ersten Mal
der Buchstabe A auftaucht
Der Buchstabe A. im Englischen ist relativ häufig. Also kann man davon ausgehen,
dass in den meisten Zeilen das gar nicht so lange dauert und
dass auf jeder Zeile praktisch schon fast ein A vorkommt.
Wenn es aber trotzdem mal passieren sollte, dass in einer Zeile,
die zufällig ausgewählt wurde, kein A zu sehen war,
dann wurde einfach die Zeillänge, das war hier 3,3 in,
genommen und addiert zur nächsten Zeile die dann vermessen wurde.
Und auf diese Weise erhielt man eine Gesamtstrecke bis zum ersten A. Wie gesagt,
die Zeilen wurden in diesem Buch dann zufällig ausgewählt.
Und insgesamt wurden dann in 1980 solche Zeilen dauerlängen bestimmt.
Also übertragen auch eine Art Wartezeit und die Zugehörige Verteilung,
empirische Verteilung der Häufigkeiten,
sehen Sie hier als Histogramm
Und rot eingezeichnet eine dichte Funktion der Exponentialverteilung, die ganz offensichtlich relativ gut mit dem empirischen Histogramm übereinstimmt.
Diese Form der dichten Funktion ist typisch für die Exponentialverteilung.
Wir haben an der Stelle null den größten Wert und dann eben ein starkes Abfallen in Richtung null. Dieses Abfallen dauert natürlich länger,
wenn der Erwartungswert größer ist,
dass Lamm da kleiner ist und geht schneller,
je größer das Lamm da ist,
desto kleiner ist der Erwartungswert aufgrund der Relation,
Erwartungswert ist eins durch Lamm da,
dann brauchen wir eben nicht so lange zu warten und die konkrete Umsetzung sagt dann immer,
wie schnell die dichte Funktion letztlich gegen Null geht,
aber die Form,
die sie hier anhand der Rot eingezeichneten Dichte sehen,
ist wie gesagt
die typische Form der Dichte einer Exponentialverteilung
Wir hatten in der letzten Woche schon ein einfaches Quantildiakram, uns angeguckt.
Es war für die Wartezeiten. Und solche Quantildiakramme sind,
wie erwähnt, insgesamt für stetige Verteilungen von großer Bedeutung.
Auch die Überprüfung, ob eine Verteilung,
ein adäquates Modell für einen empirischen Sachverhalt sein kann, mithilfe des Quantilliakramps,
ist natürlich für eine Bedeutung, wenn wir uns drum kümmern wollen,
ob für einen solchen Sachverhalt die Exponentialverteilung adäquat ist.
Was wir machen müssen, ist natürlich zunächst einmal die quantile zu bestimmen,
die empirischen quantile, das hatten wir uns klargemacht,
da nehmen wir einfach die geordneten Werte,
die wir beobachtet haben, die geordneten Werte des konkreten Datensatzes.
Das ist das eins durch N, das zwei durch N,
drei durch N-Quantil und so fort, für die theoretischen quantile
müssen wir jeweils die Verteilung kennen und aus der Verteilung die zugehörigen Quantile bestimmen.
Bei der Exponentialverteilung haben wir hier zu sagen,
um die Quantile zu bestimmen,
wir geben die Wahrscheinlichkeit P vor und suchen jetzt das Quantil mit anderen Worten,
den Punkt auf der Absisse, sodass die Verteilungsfunktion an dieser Stelle gerade gleich P ist.
Also Tee in XP für das theoretische Quantil ist der gesuchte Wert,
die Relation, die gegeben ist, sieht zu aus,
P ist der vorgegebene Wahrscheinlichkeit.
Wir wissen, bei der Exponentialverteilung ist die Verteilungsfunktion durch diese
Formel gegeben und wir müssen jetzt einfach die entsprechende Beziehung,
Klein P ist gleich 1 minus, ehochminuslamter,
Tenex P, nach dem entsprechenden Quantil auflösen.
Wir bringen den Wert 1 auf die andere Seite multiplizieren alles
mit minus eins und gehen zum Logorithmus über,
wenn wir dann noch das Lamm da rüberstellen,
kriegen wir am Ende die Relation heraus, die hier angegeben ist.
Das theoretische Quantil ist also einfach gegeben durch minus eins
durch Lamm da, mal Logorithmus, Naturalis von 1 minus P.
Diese theoretische Beziehung hat einen Problem. Wenn wir versuchen bei einem empirischen Datensatz uns anzugucken,
ob die Exponentialverteilung überhaupt ein gutes Modell ist,
dann kennen wir in aller Regel den Parameter Lamda nicht.
Wenn wir ihn kennen würden, dann würden wir wahrscheinlich schon wissen,
dass es ein gutes Modell ist oder dann hätten wir zusätzliche Informationen.
Wenn wir einfach von den konkreten Situationen ausgehen, dann ist das fehlende Lamda natürlich störend, aber das ist nicht so wild. Wenn wir nämlich jetzt einfach das Quantildiagramm in der Weise zeichnen,
dass wir den Faktor 1 durch Lamm da mal weglassen,
und die Ausgangsidee nehmen, das nämlich bei einem Quantildiagramm,
die theoretischen und die empirischen Quantile in der Tendenz gleich groß sein sollten,
ein Streudiagramm ergeben, das im Wesentlichen um eine gerade gruppiert ist,
dann funktioniert das auch, wenn wir diesen Faktor 1 durch Lamda hier weglassen,
dann haben wir als einzige Veränderung gegenüber dem,
was wir bisher gemacht haben, dass die gerade, die wir bestimmen,
eben nicht mehr unbedingt eine 45 Grad winklige gerade ist,
sondern eine gerade mit der entsprechenden Steigung 1 durch Lamda,
aber das ist ja nicht weiter wild, der einzige wichtige Aspekt ist halt,
dass die Punkte, die wir dann bekommen, wiederum um eine gerade gruppiert sein sollten damit wir die Einschätzung haben, die Exponentialverteilung ist adäquat.
In den Folien, die sie wahrscheinlich vorzulegen haben,
ist noch folgender Fehler gewesen, den sie bitte berichtigen,
die Darstellung, da hatte ich das Minuszeichen hier weggelassen,
das müssten sie also ergänzen,
die entsprechenden empirischen Quantile werden in Abhängigkeit von Minuslogorithmus 1-p dargestellt
Das sind gerade die Quantile der Exponentialverteilung mit dem Paar Metalanda
gleich 1 und wie gesagt, für uns reicht das,
weil wir dann einfach die Beurteilung anhand irgendeiner Ausgleichsgraden vornehmen können.
Die Steigung der Geraden ist also von 1 verschieden,
die beträgt dann tendenziell eins durch Lamda,
aber abgesehen von diesem Aspekt sollten die Punkte wiederum um den
Wert,
um eine solche Gerade streuen
Wir bestimmen die theoretischen Quantile natürlich wieder für den Fall,
dass wir sagen, wir wählen unsere Wahrscheinlichkeiten nicht genau eins durch N2 durch N,
sondern entsprechend führen wir eine Stetigkeitskorrektur durch und betrachten die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten,
für die wir die Quantile bestimmen, mit V-0,5 durch M.
Ich habe ihnen hier einfach mal für relativ viele Werte,
für insgesamt 799 Beobachtungen, die Zeitintervalle,
die Werde von Zeitintervallen zwischen Nervenimpulsen einer Nervenbahn aufgezeigt und sie sehen,
dass hier offensichtlich die Exponentialverteilung, insbesondere im unteren Bereich,
ein relativ gutes Modell für dieses Vorkommen ist,
im oberen Bereich ist es nicht mehr ganz so überzeugend,
aber die sind immer noch so, dass man sagen kann,
sicherlich ist für dieses Phänomen die Exponentialverteilung auch ein ganz gutes Modell.
Das ist einfach aus einem ganz anderen Bereich, wo es
eben auch um Zeit dauern geht, mal ein Beispiel.
Und wir nehmen ein kleineres Beispiel um diese Bestimmung hier etwas genauer uns anzugucken.
Wir nehmen die Zeit dauern, zwischen jeweils zwei Unglücksfällen in einem Bergwerk.
Wir haben die Zeit dauern, schon der Größe nach geordnet,
also dass es nicht tatsächlich in der Weise beobachtet wurden,
sondern schon in der Größe nach sortiert und wollen gucken,
ob auch für diese Zeiten von einem Unglück bis zum nächsten,
bis wieder vorkommendes passiert,
ob man da auch eine Exponentialverteilung als Modell für eine solche
Wartezeit verwenden kann
Wenn wir das umsetzen, haben wir zunächst in der
ersten Spalte natürlich einfach eine Nummerierung mit dem V angegeben.
In der zweiten Spalte sind dann die Zugehörigen geordneten, beobachteten Werte,
aufsteigen geordnet und haben in der dritten Spalte die entsprechenden Anteile oder Wahrscheinlichkeiten,
für die wir die Zugehörigen wahrscheinlich quantile bestimmen müssen.
Also diese P-Werte werden der Bestimmung der quantile verwendet und in die zugehörige Formel eingesetzt,
die wir hier oben haben, Ellen 1-p.
Dieser Werte müssen wir dann bestimmen, die sind relativ genau
hier in der letzten Spalte unter diesem TP jeweils angegeben.
Da habe ich natürlich dann einfach einen Rechner verwendet, um das zu bestimmen,
gegebenenfalls wurde man einen Taschenrechner verwenden, um das auszurechnen.
Das ist in der Regel natürlich nicht tabelliert oder anders nicht zu bekommen. Die grafische Darstellung Zeigt,
dass die zugehörigen Punkte, die hier blau eingetragen sind,
relativ gut um eine gerade streuen, die gerade ist,
einfach als Ausgleichsgrade hier eingezeichnet, mithilfe einer Regression bestimmt.
Regression ist ja das Mittel, was wir haben,
um so eine Ausgleichsgrade zu bestimmen und damit können wir ganz zufrieden sein,
einfach unter dem Gesichtspunkt, dass wir sagen, gut,
die Punkte streuen nach relativ eng um eine Grade,
wir können davon ausgehen,
dass die MP und die theoretischen Quantile sich höchstens marginal unterscheiden.
Und dann, das ist das Wichtige,
eben nicht systematisch unterschiedlich sind, sondern höchstens zufällig unterschiedlich sind.
Und dementsprechend können wir hier von einer guten Anpassung sprechen.
Und bei solch so wenigen Werden,
die wir hier haben, ist das das Probatemittel,
um tatsächlich eine empirische Verteilung durch eine theoretische anzunähern oder
zu gucken,
ob ein theoretisches Modell adäquat ist
Für eine empirische Verteilung. Und das ist eigentlich der Weg,
den wir in den meisten Fällen bei stetigen Verteilungen auch einschlagen werden,
wenn wir keine zusätzlichen Anhaltspunkte haben,
dass wir sagen müssen, könnten,
wir haben die eine oder andere Verteilung vorzulegen und ich habe versucht,
das letzte Mal deutlich zu machen,
dass bei stetigen Verteilungen es in den seltensten Fällen tatsächlich gegeben ist,
dass wir aus modellmäßigen Überlegungen auf die eine oder andere Verteilung geführt werden.
Meistens wird es in der Form passieren, wie sie
es eben gesehen haben. Wir gucken letztlich nach,
ob eine Verteilung, die zumindest in vielen Anwendungen,
in dem Rahmen schon mal erfolgreich war,
ob die auch in einer konkreten Situation wiederverwendbar ist.
Wir wollen an dieser Stelle jetzt noch uns relativ knapp
mit der gemeinsamen Verteilung Zweier, Zufallsvariablen,
Zweier stetiger Zufallsvariablen beschäftigen,
einfach um die Basis für das Weitere nochmal
zu legen
Wir haben das relativ ausführlich gemacht im Zusammenhang mit Diskretenzufallsvariablen und wollen nur kurz antippen,
wie weit die entsprechenden Konzepte auf stetige Variablen zu übertragen sind.
Wir haben einmal natürlich in der gleichen Weise die Vorstellung,
dass wir sagen können,
wir betrachten jetzt zwei Zufallsvariablen und haben Wahrscheinlichkeiten,
dass die eine Zufallsvariable, die nennen wir sie X,
einen Wert aus einem vorgegebenen Devall von Untergrenze bis Obergrenze,
X, U bis X,
O annimmt und gleichzeitig die zweite Variable einen Wert zwischen der Zugehörigen unteren Obergrenze Y und Y,
Entschuldigung Y, U und Y, O.
Dadurch wird also ein Rechteck festgelegt und im Fall von empirischen Daten hatten sie gesehen,
dass wir bei einer solchen Situation zu einer Häufigkeitstabelle gekommen sind,
die einer Kreuzklassifikationen spricht, bei Klassierten Daten.
Wir machen in ungefähr fünf Minuten Pause. Vielleicht können Sie
Ihren Redetrank noch diese fünf Minuten bezähmen oder zurückhalten und dann
können Sie wieder loslegen. Im empirischen Fall hat man gesehen,
dass wir da entsprechend eine Häufigkeitstabelle bekommen haben,
wo die Ränder eben durch diese Klasseneinteilung gegeben sind
Die grafische Umsetzung hat dann zu einem B-Varianten Histogramm geführt,
wo über dem entsprechenden Rechteck quasi ein Hochhaus,
ein Block errichtet wurde und das Volumen dieses Blockes jetzt die entsprechende relative Häufigkeit repräsentierte.
Wir haben natürlich uns gehütet, dass grafisch beliebig häufig umzusetzen,
weil, das hatten wir ja an ausgewählten Beispielen gesehen,
die Perspektive,
da eine große Rolle spielt,
damit man überhaupt
was erkennen kann
Aber was wir hier natürlich entsprechend betrachten können,
ist die Situation für den Stetiger, für den stetigen Rahmen.
Wir haben dieses B-Variante-Histogramm in eine analoge Form,
und zwar in der Weise, dass wir eine Oberfläche haben,
die durch diese Funktion zweier Variablen gegeben ist,
und bei dieser dichte Funktion wird eben auch der zugehörige Volumen über einem gewissen Rechteck unnerhalb dieser Funktion,
dieser Fläche, die durch die Funktion gegeben ist,
die entsprechende Wahrscheinlichkeit charakterisiert.
Wenn wir also das Volumen unter dieser Funktion als Wahrscheinlichkeit ansehen können,
dann ergeben sich natürlich automatisch die Eigenschaften der B-Varianten Dichte,
einmal müssen wir fordern, dass die B-Variate Dichte größer gleich null ist,
damit wir kein negatives Volumen haben, das wird negative Wahrscheinlichkeiten bedeuten
Und wir müssen fordern, dass das Gesamtvolumen gleich eins ist.
Das würde formal jetzt bedeuten, wir müssen in beide Richtungen
integrieren oder ein Doppelintegral bilden, um das zu bestimmen.
Eine konkrete Anwendung einer solchen B-Variaden-Situation haben wir bei Fortsetzungen unseres Beispiels von den Bogenschützen,
wenn wir jetzt den entsprechenden Einschlagpunkt mit den beiden Koordinaten einmal in
der X einmal in der Y-Richtung X Ausrichtung soll die horizontale Y Richtung die Vertikale sein.
Wenn wir diesen Einschlagpunkt mit den beiden Koordinaten als zufälligen Punkt ansehen,
als Realisation der beiden Variablen X und Y, haben wir eine solche zweidimensionale Situation.
Wenn wir insgesamt von unserer Vorstellung ausgehen,
dass sich die Einschlagpunkte gleichmäßig entsprechend dem Flächeninhalt verteilen,
kommt, resultiert das in einer Gleichverteilung über der Kreisfläche,
eine Gleichverteilung im B-Variadensinne, heißt einfach die gemeinsame Dichte ist konstant,
über der gesamten Kreisfläche.
Wir haben also quasi das, was man als Torte
bezeichnet und die Höhe muss jetzt gerade so sein,
dass natürlich das Gesamtvolumen gleich eins ist. Wenn wir das fordern,
ist die Höhe einfach mit eins durch Pi anzugeben und damit
haben wir die B-Variade Dichte für alle Werte,
die durch einen Punkt repräsentiert werden und der in der Kreisfläche liegt,
ist die Bivariate Dichte 1 durch Bi Punkte außerhalb der Kreisfläche,
ist die Bivariate Dichte null.
Wenn wir diese Bi-Variade Dichte haben,
können wir natürlich ganz ähnlich wie bei den Diskreten-Mariablen uns fragen,
wie sie denn das jetzt aus mit den Randverteilungen,
mit den einfachen Verteilungen der einen bzw. der anderen Koordinate.
Überlegen Sie sich mal selber, Sie gehen davon aus,
dass die Punkte hier dadurch gegeben sind,
dass wir gleichmäßig über die ganze Fläche irgendwelche Einschlagpunkte haben.
Wenn Sie jetzt nur die X-Koordinate nehmen und gucken,
wie Sie denn die Verteilung der X-Koordinate aus.
Welche Form wird diese Verteilung wohl haben? Wo werde ich
tendenziell häufiger Punkte haben, wo werde ich seltener
Den entsprechenden Wert haben, wenn wir, wie gesagt,
jetzt nur in der X-Richtung, also nur hier hingucken.
Das bedeutet, wenn wir beispielsweise dort,
wo jetzt der Pointer ist, wenn wir diesen Punkt haben,
dann gucke ich eben nur nach seiner X-Koordinade.
Wenn ich hier entsprechend den Wert habe,
gucke ich auch nur nach der X-Koordinate.
Wenn ich also immer nur die X-Koordinate angucken,
wo werde ich in der Tendenz
die Punkte am häufigsten haben,
am häufigsten
die X-Koordinate beobachten
Die Punkte in der Mitte werden viel häufiger vorkommen als am Rande.
Ganz entsprechend wird es natürlich sein, wenn ich die Y-Koordinate
angucke und immer vergesse, wie die X-Koordinate ist.
Also ich projiziere den Einschlagpunkt nur auf die Y-Axt,
die hier jetzt nicht eingezeichnet ist, die wir uns denken müssen und gucke nach,
wie groß ist der Wert in der Höhenrichtung.
Auch da werde ich natürlich in der Mitte viel häufiger die Beobachtung machen,
viel häufiger Abstände haben, die in der Y-Richtung eher in der Mitte liegen.
Und das ist auch das, was wir tatsächlich bekommen,
formal müssten wir wieder die Dichtefunktion integrieren,
einmal in Bezug auf die Variable Y,
um die entsprechende dichte Funktion der X-Variablen zu bekommen bzw. nach X,
um die Variablen Richtung Y zu bekommen.
Das, was Sie hier sehen mit den Degralen,
ist einfach die Fortsetzung dessen, was sie kennen,
von den Randverteilungen im Diskretenfall.
Dort ging es darum, einfach die Summe über die Eintragungen
der Tafel in der Zeile beziehungsweise in der Spalte zu bilden.
Und hier haben wir die Summen zu ersetzen durch die entsprechenden Integrale.
Sonst ist es in der Idee her genau das Gleiche.
Auch die Bildung der bedingten Dichter ist natürlich ganz entsprechend.
Wir müssen einfach die gemeinsame Dichte dann durch die Randdichten dividieren
Der Konkretion unseres Beispiels heißt das, dass wir uns überlegen müssen,
in welchem Bereich müssen wir denn überhaupt integrieren.
Und das ist natürlich hier etwas aufwendiger. Ich möchte Ihnen
das nur anhand unserer Zielscheibe verdeutlichen. Es ist klar,
wenn ich jetzt beispielsweise in der Y-Richtung integriere und jetzt für dieses X das Zugehörige,
den zugehörigen Wert der Randdichte bestimmen,
dann kann ja nur von diesem Wert bis zu diesem Wert irgendwas passiert sein in der Y-Richtung.
Also muss ich in diesem zugehörigen Bereich integrieren. Wenn ich hier
ganz weit am Rand bin, ist natürlich der Bereich,
über den ich nigrieren muss, noch viel kürzer, weil außerhalb ist ja alles null. Das heißt,
eher die Grenzen sind hier in dem Beispiel bedeutsam und das führt dazu,
dass wir hier eben für die Grenzen die Zugehörigen werde hier anders bestimmen müssen und erhalten einen entsprechendes Ergebnis,
was gerade dem entspricht, was sie auch gesagt haben,
wir haben eine dichte Funktion, die so eine parabelförmige Gestalt hat,
mit dem Hochpunkt im Zentrum bei Null und anderen Rändern,
geht sie natürlich gegen Null.
Y hat die gleiche Dichte aufgrund der Symmetrie und die bedingte Dichte
hat dann allerdings eine U-Form, die einfach über diesen Kotienten zu ermitteln ist.
Damit haben wir nur noch einen Aspekt, den ich erstmal überblättert tate,
Wir haben uns zumindest an dem Beispiel mal kurz illustriert,
wie das mit den Randdichten und den bedingten Dichten eventuell ist.
Aber das, was ganz wesentlich ist und was wir in diesem Semester häufiger brauchen,
ist die letzte Beziehung hier auf der Folie, nämlich die Unabhängigkeit.
Im diskreten Fall hatten wir gesehen, Unabhängigkeit liegt vor,
wenn die Wahrscheinlichkeiten in der zugehörigen Konnigenztafel diese PIJ sich gerade ergeben haben,
über das Produkt der Randwahrscheinlichkeiten.
Ganz entsprechend haben wir im stetigen Fall Unabhängigkeit vorzulegen,
wenn die gemeinsame Dichte gegeben ist durch das Produkt der Randichten.
Das ist also auch die Fortsetzung oder Übertragung der Situation vom Diskreten auf den stetigen Fall.
Im Rahmen unseres Beispieles haben wir natürlich keine Unabhängigkeit,
denn es ist klar, wenn wir einen Einschlagpunkt haben,
der relativ weit am Rande liegt, rechts am Rand legt,
dann ist die Möglichkeit der Y-Variable nach oben oder nach unten zu legen,
viel kleiner, viel eingeschränkter, als im mittleren Bereich,
wo die Y-Variable dann fast von minus bis plus 1 gehen kann.
Rein formal können wir sagen, wir brauchen nur eine Situation,
uns anzugucken, wo eben das Produkt der Randdichten nicht gleich dem Produkt Entschuldigung,
nicht gleich, der gemeinsam Dichte ist.
Und das ist etwa gegeben, wenn ich die beiden Werte 0,9 wähle,
dieser Beobachtungspaar 0,9, 0,9 legt nicht mehr auf der Zielscheibe,
die gemeinsame Dichte ist also null,
aber die randichten haben natürlich noch positive Werte.
Es ist generell möglich,
dass diese Abstände in der einen oder anderen Richtung beobachtet werden,
aber wir haben hier natürlich, dass es null die Zugehörige,
das zugehörige Produkt herandichten, ist größer als null und dementsprechend haben wir hier Abhängigkeit.
Damit wollen wir erst mal eine Viertelstunde Pause machen.
Ich habe Ihnen bei dem B-Varianten Dichten natürlich ganz kurz nur die entsprechenden Formen,
an die Tafel geworfen. Einmal ist es tatsächlich so,
dass wir im folgenden die Bestimmung von diesen B-Varianten Größen nicht als zentral im folgenden Ansehen.
Trotzdem sollten sie natürlich einmal sehen, wie aufwendig das werden kann,
wenn die Zugehörigen Berechnungen tatsächlich durchgeführt werden und bei B-Varianten-Dichten ist das
einfach aufwendiger als im Uni-Variantenfall und kommt eben leicht zu etwas aufwendigeren Formeln,
als wir es sonst gewohnt sind.
Sie sollten also eher das als Hintergrundinformation in diesem Rahmen sehen,
denn als den Schwerpunkt der Veranstaltung ohne den Hintergrund oder eine Ahnung von dem,
wie schwierig das Leben sein könnte, kann man eigentlich nicht richtig würdigen,
wie einfach es einem manchmal im Leben gemacht wird.
Gut, das, was wir von dem B-Variantenfall noch brauchen,
ist die Co-Varianz und die Korrelation in diesem Rahmen. Und da ergibt sich eben doch,
dass wir die Möglichkeit haben, ohne zu viel Aufwand,
auch in dem Fall zumindest die Angaben dequat angeben zu können,
über Erwartungskovarianz, unter Verwendung der Form,
die wir im Rahmen des Greta-Verteilungen schon kennengelernt haben,
dass wir nämlich sagen können, die Co-Varianz Zweier, Zufallsvariablen,
ist der Erwartungswert des Produktes von x-myx, mal y-my.
Also ich zentriere beide Variablen und Builders Produkt und davon den
zugehörigen Erwartungswert. Das ist die Form für die Co-Varianz Und
der Korrelationskoffizient ergibt sich natürlich dann ganz entsprechend wieder dadurch,
dass sich die Kurvarianz einfach durch das Produkt der Standardabweichungen dividieren.
In der formalen Beschreibung kommt jetzt überhaupt nicht mehr zum Tragen
und ist gar nicht mehr zu sehen,
ob ich eine diskrete oder eine stetige Zufallsvariabler habe.
Und das ist also tatsächlich so, dass wir sagen können,
in dieser Formulierung ist die entsprechende Form auch für stetige Zufallsvariablen, korrekt.
Also haben wir, wenn wir diese Formulierung verwenden,
diese Art von Formeln, die Gültigkeit der Beziehung in beiden Situationen,
sowohl bei stetigen als auch bei diskreten Variablen,
da brauchen wir das nicht mehr zu unterscheiden.
Und das ist natürlich ein Vorteil,
gerade wenn sie eben nochmal den Rest vor der Pause sich überlegen,
wie schwierig es manchmal werden kann im Zusammenhang mit der Integration,
von dichten,
gerade auch im Rahmen bivariade Verteilung
Dieser Co-Varianz spielt eine zentrale Rolle, insbesondere bei der Bildung von Summen
und dann der Bestimmung der Varianz einer Summer oder einer Differenz.
Wenn wir die Varianz einer Summe bestimmen wollen,
dann ist das gleich der Summe der einzelnen Varianzen plus zweimal
der Co-Varianz der beiden Variablen bei der Differenz,
ist es die Summe der einzelnen Varianzen minus zweimal der Co-Varianz
Es ist klar, wenn die Co-Varianz 0 ist,
dann haben wir in beiden Fällen einfach Summe der Varianz dazustehen.
Aber die Co-Varianz schlägt sich eben nieder, wenn sie von null verschieden ist.
Einmal im Positiven, einmal mit dem negativen Vorzeichen.
Gucken wir uns in der Richtung ein Beispiel an.
Und da diese Beziehung generell gilt, unabhängig von stetig oder diskreten Variablen,
brauchen wir uns also auch bei dem Beispiel nicht drüber zu unterhalten, stetig oder diskret sind.
Es gilt halt insgesamt, wir nehmen einmal eine Zufallsvariable,
die die Einstufung bezüglich der Bedeutung außer häuslicher Aktivitäten darstellt,
wie stark das eine Person für sich benotet und das Zweite,
wie stark die entsprechende Person dieser Einstufung in Bezug auf Geselligkeit,
das Zusammensein mit anderen bewertet.
Beide Variablen sollen zwischen 0 und 10 ihrem möglichen Werde haben.
Und wir wollen dann angucken, wie sieht es mit der Summe aus.
Da können wir eventuell sagen, dass es überhaupt ein Indikator für
den gesellschaftlichen Unternehmensgeist rauszugehen oder sie mit anderen zu treffen.
Die Differenz X1 minus X2 können wir interpretieren als Bevorzugung der außerhäuslichen Aktivitäten gegenüber der Geselligkeit.
Also jemand ist vor allen Dingen lieber draußen als Es gibt
den Mehrwert als den zweiten Aspekt, dass er mit anderen zusammen ist.
Wenn wir diese Variablen haben, dann ist gerade die Frage,
wie sieht es aus in Bezug auf Varianz, der beiden Variablen.
Dazu müssen wir natürlich die Varianzen und die Co-Varianz der Ausgangsvariablen
kennen. Hier ist einfach mal unterstellt,
dass die Varianz der ersten Variablen X1 gleich 4 die Varianz
der zweiten Variablen 4,4 die Co-Varianz der beiden Variablen 3 ist.
Diese Werte wollen wir einfach als gegeben annehmen und dann können wir
natürlich mit diesen gegebenen Werten auch die Varianz der beiden Variablen Y1 und Y2 bestimmen.
Die Varianz von Y1 ist einfach die Summe der einzelnen Varianzen,
also plus 4,4 und zweimal der Co-Varianz, also plus 2 mal 3.
Das ergibt insgesamt 14,4 Sie sehen die Varianz von Y1 ist natürlich
weit mehr als das Doppel als die einfache Summe der Varianzen.
8,4 wäre einfach die Summe, die Co-Varianz,
die hier eine Rolle spielt, führt dazu,
dass die Gesamtvarianz von Y1 viel größer ist, als die einfache Summe.
Die Varianz von Y2, da müssen wir das Doppelte der Co-Varianz von der Einfachungssumme abziehen.
Damit haben wir eine relativ geringe Varianz bei der Differenz,
die entsprechende Streuung der Variablen Y2 ist zu nehmend gering,
viel geringer, als es eben die einfache Differenz in Unabhängigkeitsfall wäre.
Das ist also nur ein Illustrationsbeispiel, wie stark sich die
Co-Varianz auswirkt und dass wir gerade bei der Co-Varianz natürlich auch berücksichtigen müssen,
ob wir eine Summe oder die Differenz zweier Zufallsvariablen betrachten.
Wenn wir, was wir im Folgenden häufig tun,
Unabhängigkeit, Voraussetzen der beiden Zufallsvariablen, dann brauchen wir ja
nur jeweils die Summe der Einzelvarianten zu nehmen und dieser zweite Therm,
der hier jeweils eine Rolle spielt, fällt natürlich weg.
Damit ist die Summe bei unabhängigen Variablen oder hat die Summe die gleiche Varianz wie die Differenz. Soweit also einfach noch diesen Aspekt der Co-Variante,
um den Rahmen der zweidimensionalen Zufallsvariablen an dieser Stelle abzuschließen,
Vorteil, den wir haben, ist halt,
dass wir im Rahmen der Co-Varianz,
aber auch bei der Bestimmung von Erwartungswerten Varianz,
wenn wir einfach mit den Symbolen arbeiten,
in vielen Fällen die Unterscheidung zwischen Diskreten,
stetigen Variablen gar nicht brauchen und dementsprechend auch nicht auf die
konkrete Integration eingehen müssen,
die hier sonst natürlich eine Rolle spielt
Gut, wir wollen jetzt uns mit der Normalverteilung beschäftigen.
Ich hatte ja schon bei der Übersicht über dieses Semesters gesagt,
die Normalverteilung ist eine der ganz wichtigen Verteilungen in der Statistik
und die Bedeutung der Normalverteilung führt eben auch dazu,
dass ihr praktisch ein eigenes Kapitel gewidmet ist.
Diese Normalverteilung wollen wir hier kennenlernen, anhand der Fragestellung ist
der Euro fair. Als der Euro eingeführt wurde,
haben polnische Mathematiker, die Welt, in Anführungsstrichen, erschreckt,
mit der Nachricht, dass der Euro nicht fair ist.
Und einer fairen Münze verstehen wir eine,
die wir guten Gewissens zur Entscheidungsfindung verwenden können,
wo beide Parteien zwischen denen entschieden werden sollen,
beispielsweise mithilfe eines Münzwurfes zu einer Unvoreingenommenen Auswahl der ein oder anderen Partei gelangen.
In der Form werden solche Münzwürfe ja gerne eingesetzt.
Und die Volksmeinung ist halt,
dass normale Münze mit gleicher Chance die eine oder die andere Seite
zeigen wird auf die eine oder andere Seite fallen wird und dementsprechend beide Parteien die gleiche Wahrscheinlichkeit haben,
in dem Sinne gezogen zu werden.
Und die polnischen Mathematiker hatten dann gesehen, beim Euro ist
das nicht mehr der Fall. Also ist die Frage,
können wir etwa unvoreingenommene Entscheidungen weiterhin mit einem Münzwurf unter Verwendung eines 1-Euro-Stückes
treffen oder müssen wir auf den Euro verzichten und eine andere Münze nehmen,
die tendenziell wenigstens fair ist.
Um diese Frage zu beantworten, können wir natürlich zurückgreifen auf das Instrument
dass wir schon kennen, nämlich auf das Instrument der statistischen Wahrscheinlichkeit. Wir wissen,
dass über langer Versuchsserien natürlich die theoretische Wahrscheinlichkeit praktisch ermittelbar ist,
einfach auf der Basis der Tatsache, dass wir wissen,
die relativen Häufigkeiten einer Zahlseite beispielsweise weichen in langen Versuchsserien immer weniger
vom tatsächlichen Wert der Wahrscheinlichkeit ab und das würde uns gegebenenfalls das Instrument in die Hand geben,
um dann zu sagen, fair oder nicht fair.
Wenn wir jetzt nicht so viel Geduld haben, 200.000,
300.000 Millionen mal so eine Münze durch die Luft zu werfen und immer zu notieren,
ob die Zahlseite nach oben zu liegen kommt,
dann stellt sich die Frage, können wir mit unserem Instrumentarium,
was wir bis jetzt schon kennen,
gegebenenfalls wenigstens etwas aussagen über die Ungleichheit der Chancen,
der beiden Seiten eines, einer 1-Euro-Münze.
Wir können das zumindest mal versuchen und gedanklich ein bisschen durchschecken.
Dazu erinnern wir uns, die Anzahl der Zahlseiten,
das ist ziemlich sicher eine Binomialverteilung,
wenn wir eine Münze nehmen und sie mehrmals werfen,
nur die Anzahl der Zahlseiten festhalten.
Und wenn wir sie klein-en-mal werfen,
dann Ist das eine Binomialverteilung mit den Parametern gleich eng für
die Anzahl der Versuche und dem Parameter P für die Erfolgswahrscheinlichkeit,
für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlseite nach oben zu liegen kommt?
Wir wissen auch bei der Binomialverteilung über den Erwartungswert und die Varianz Bescheid.
Wir haben sie hier nochmal angegeben, Erwartungswert ist einfach NIP-Varianz,
ist N mal P mal 1 minus P.
Da wir von der Idee ausgehen, dass wir ja langer Versuchsserien haben wollen,
ist die konkrete Berechnung von Wahrscheinlichkeiten nicht unbedingt ganz das,
was wir machen werden und wollen. Wir können ja davon aus,
dass wir gegebenenfalls 10.000 Mal werfen und 10.000 da in Binumialkonfizient,
das wird tendenziell sehr schwierig und entsprechend,
wenn wir das in den Exponenten von 0,5 schreiben,
kommt auch ein sehr kleiner Wert raus,
wenn sie 0,5 hoch 10.000 haben.
Das ist nicht
so prickelnd
Dementsprechend gucken wir nach, was wir sonst noch kennen,
um da Wahrscheinlichkeiten zumindest abzuschätzen oder Wahrscheinlichkeitsaussagen machen zu können.
Und ein Instrument, was sie kennen,
was wir zur Verfügung haben, ist die Chebitschef-Ungleichung.
Die Chebitschef-Ungleichung sagt ja, dass wir mit einer Mindestwahrscheinlichkeit,
die untere Grenze ist, hier, oh,
was war das?
Die Mindestwahrscheinlichkeit ist hier 1,
minus 1 durch Karquadrat
Diese Mindestwahrscheinlichkeit steht als Untergrenze dafür,
dass wir einen Wert der relativen Häufigkeit,
also der Anteile der Zahlseiten,
an allen Würfen in einer solchen Serie beobachten werden,
die dadurch gekennzeichnet ist, dass wir den Anteil zwischen einem WRP,
zwischen einer Erfolgswahrscheinlichkeit und einem entsprechenden Ausdruck,
den wir abziehen haben und P plus diesem entsprechenden Ausdruck.
Der Ausdruck ist das K-Fache der Standardabweichung der relativen Häufigkeit.
Sie haben ja hier die Varianz der Ausgangsvariablen. Hier haben Sie X durch N,
die Varianz von X durch N ist natürlich P mal 1 minus P durch N,
weil wir eigentlich das Ganze durch N Quadrat devidieren müssen und
dieses End sich einmal gegen das Quadrat Nenner bekürzt.
Also es bleibt übrig,
Varianz von X durch N ist gleich dem massiert unter dem
Quadratwurzelzeichen steht und die Quadratwurzel ist dann
gerade die Standardabweichung
Wir haben also das Karfache zentrale Schwankungsintervall, wie es heißt,
und dass wir einen Wert aus diesem Intervall erhalten,
ist also gegeben, dadurch, als Untergrenze,
was auf der rechten Seite steht, 1 minus 1 durch Karl Quadrat.
Das ist eine Abschätzung, die wir zumindest haben,
und die gegebenenfalls ausnutzbar ist, um überhaupt zu sehen,
was passiert denn tendenziell, wenn ich mir mal vorstelle,
die Münzen sind nicht fair, die 1 Euro münzen,
sondern die Chance für eine Zahlseite ist Beispielsweise 0,49,
also etwas geringer als 0,5. Was kann ich denn dann in Bezug auf solche Wahrscheinlichkeiten sagen?
Wir gehen davon aus,
dass bei 0,49 die Wahrscheinlichkeit gleich weit nach unten oder gleich weit nach oben einen Wert zu beobachten,
immer noch relativ gleich groß ist,
dass die Wahrscheinlichkeit also für den Anteil kleiner als 0,48 genauso groß ist wie der Anteil für einen Wert,
größer als 0,5,
0,48 und 0,5 sind ja beide gleichweit von dem unterstellten Wert,
den wir hier haben, 0,49 entfernt.
Also das ist ein symmetrisches Intervall, um 0,49,
0,49 ist der einfach mal unterstellte Wert,
sodass wir für diesen Wert einfach mal uns überlegen,
was könnten wir gegebenenfalls für diese Versuchsserien erwarten.
Mithilfe der JB-Chef-Umgleichung können wir dann die Zugehörigen Grenzen angeben,
mit denen wir sagen können, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass wir einen Wert aus dem entsprechenden Intervall zwischen 0,48 bzw. 0,5 erhalten.
Das ist der symmetrische Intervall, was ja durch die angegebene Form der Cebitschev-Umgleichung direkt abgeschätzt werden kann.
Und wir sehen hier Anteile, dass wir sagen können,
wir haben hier bei 50 Würfen bei einer Serie von 50 Würfen die Hälfte von solchen Serien zu erwarten, mit einem Anteil, der in dem entsprechenden Erwalt liegt. Wir haben bei 10.000 Würfen schon eine Wahrscheinlichkeit,
die 0,9975 als Untergrenze hat, dass unsere Versuchsserie einen Anteil zeigt,
der eben in dem Intervall liegt,
ein Anteil von Zahlzeiten zwischen 0,48 und 0,5. Und das ist natürlich relativ hoch,
aber auf der anderen Seite,
und das zeigt die Spalte ganz rechts, die sie hier haben,
wir haben natürlich entsprechend immer noch etliche Serien,
bei denen wir davon ausgehen können,
in diesen Serien haben wir nur wenig, weniger,
oder wir haben nur wenige Serien dieser entsprechenden Länge,
bei denen wir davon ausgehen können, wir haben mehr als die Hälfte Zahlseiten,
insgesamt werden wir eine Tendenz, also sehr viele Versuchsserien haben,
die weniger als 50 Prozent Zahlseiten zeigen und das bedeutet natürlich,
dass wir davon ausgehen müssen,
dass bei längeren Versuchen oder bei häufigeren Durchführungen solcher Entscheidungen mit Hilfe einer Euromünze die entsprechenden Chancen für die Personen,
die auf die Zeithalte tippen, relativ ungünstig sind,
weil wir ja dann davon ausgehen,
die Wahrscheinlichkeiten drücken sich ja in den relativen Häufigkeiten aus und die Leute,
die auf Zahl tippen,
kommen in der Tendenz schlechter weg.
Aber was wir auch sagen müssen,
wir haben hier bei dieser Überlegung natürlich unterstellt,
wir wissen ja noch nicht, wie groß diese Wahrscheinlichkeit genau ist,
sondern wir haben unterstellt, dass diese Wahrscheinlichkeit 0,49 ist.
Wenn dem so ist, dann kommen die Zahltipper eben wirklich entsprechend schlechter weg.
Aber insgesamt haben wir natürlich bei kürzeren Serien immer noch relativ häufig
Auch eine Serie mit mehr als 0,5 Anteil Zahlseiten.
Erst bei großen Serien wird dieser Anteil entsprechend kleiner.
Das war einfach unter Verwendung der Chebitschef-Ungleichung. Und die Frage ist natürlich,
kann man irgendwie ein bisschen bessere Aussagen treffen,
insbesondere auch für den Fall,
dass wir längere Versuchsserien haben,
bei Versuchsserien mit endgleich 100,
könnten wir das tendenziell ja sogar noch
direkt selber berechnen
Dazu wollen wir die Benumialverteilung approximieren. Das heißt,
wir wollen eine Approximationsformel bestimmen oder angeben, die die Eigenschaft hat,
dass sie relativ einfach zu berechnen ist, nicht mit diesem P hoch,
irgendwie einem hohen Exponenten und nicht mit einem Benumialkoffizienten,
sondern mit einem relativ einfachen Ausdruck.
Und natürlich sollen trotzdem mit Hilfe dieser Ernährungsformel die Wahrscheinlichkeiten der Benumialverteilung möglichst gut nachgebildet werden.
Das können wir tatsächlich erreichen. Und wir wollen uns zunächst angucken,
dass für diese Form der Approximation natürlich zu berücksichtigen ist,
dass bei einer Vergrößerung des Stichprobenumfangs eine Vergrößerung der Anzahl der Versuche bei der Binumialverteilung zu beachten ist,
dass natürlich die Binomialverteilung immer weiter auseinanderläuft,
immer mehr Werde zu berücksichtigen sind.
Wir haben hier die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für den Fall,
dass N gleich 10 ist,
dass es hier angegeben und die Erfolgswahrscheinlichkeit 0,5. Dann erhalten wir
also diese Grafik und wenn ich jetzt das N vergrößere,
beispielsweise auf 100 Sätze, dann sehen wir
Dass die entsprechende Wahrscheinlichkeitsfunktion tatsächlich weiter auseinanderläuft. Sie haben hier
nur Werde der Wahrscheinlichkeitsfunktion dargestellt bekommen, zwischen circa 35 bis 65.
Die anderen Werte sind natürlich immer noch möglich,
weil der Binomealverteilung sind ja alle Realisationsmöglichkeiten zu berücksichtigen,
die von 0 bis N gehen, für die Darstellung sind,
aber hier ausgespart, weil einfach die Zugehörigen Wahrscheinlichkeiten so klein sind,
dass wir sie grafisch nicht mehr erkennen können und einfach jetzt eine lange Linie,
ohne irgendwelche erkennbaren Abweichungen von Null, wollte ich nicht zeichnen.
Deswegen habe ich hier nur diesen Ausschnitt grafisch gewählt für die Darstellung.
Das wird natürlich entsprechend noch schlimmer, wenn wir beispielsweise die
Bindomialverteilung uns angucken in dem Bereich von 0 bis 500,
also N nochmal vergrößern Und dann sehen sie,
dass wir tendenziell natürlich noch mehr Realisationsmöglichkeiten berücksichtigen müssen,
die einzelnen Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktionen werden noch kleiner,
aber die Zahl der Werte, die wir berücksichtigen, wird natürlich größer.
Auch hier habe ich mich auf dem mittleren Bereich beschränkt,
weil außerhalb dieses Bereiches eben quasi kein nichts mehr zu erkennen ist.
Die Zugehörige, Approximation, die ich schon erwähnt habe,
die Werde der Wahrscheinlichkeitsfunktion, näherungsweise zu bestimmen erlaubt,
wird sich also auch entsprechend auf den mittleren Teil der Verteilung konzentrieren, die Ränder tendenziell weglassen.
Und dieser mittlere Teil ist gerade gleich dem,
was wir im Zusammenhang mit der Chebi-Chef-Ungleichung auch hatten.
Wir gehen von der Ausgangsvariablen aus und nehmen den Erwartungswert,
das ist ja gerade N mal P, und hier sehe ich gerade wieder,
dass ich einen Fehler habe, den ich bisher noch nicht entdeckt hatte.
Hier muss natürlich ein Minuszeichen stehen, also an dieser Stelle N mal P-K,
mal der Standardabweichung, kleiner, gleich X, kleiner,
gleich N mal P, plus Karmal der Standardabweichung.
Also an der Stelle bitte ich Sie einfach, die Korrektur vorzunehmen.
Für diesen zentralen Bereich, wie gesagt,
den wir ja auch schon im Wesentlichen bei der JB-Chef-Ungleichung betrachtet haben,
Da lässt sich tatsächlich eine solche Approximation erreichen, und zwar mit der Funktion,
die sie hier sehen, die von der E-Funktion ausgeht,
und im Exponenten eine entsprechende Standardisierung der Werte vornimmt.
Wir nehmen die zugehörigen X-Werte, die hier stehen,
ziehen davon N mal P ab,
bevor wir das Ganze quartieren und dividieren,
das noch durch die Varianz
Dass wir damit eine adäquate Apoximation bekommen, wollen wir uns
hier erst mal klarmachen, bevor wir den weiteren Aspekte angucken.
Und jetzt habe ich nochmal die entsprechende Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomealverteilung hier angegeben,
aber gleichzeitig diese Funktion, die ich eben angegeben hatte, nochmal mit eingezeichnet. Sie sehen,
dass jetzt bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht nur die blauen Stäbe,
sondern am Ende der blauen Stäbe noch so Kreise angebracht sind,
um die Obergrenzen deutlicher zu machen und diese rote Kurve läuft
nicht ganz an allen Stellen durch diese oberen Spitzen,
durch diese Kreise, aber ist relativ nahe.
Und wenn wir die entsprechende Anzahl von Versuchen vergrößern,
beispielsweise auf 80 von 20, dann Haben wir durchaus den Eindruck,
dass die Zugehörige Approximation tendenziell eher besser wird?
Und das passiert natürlich noch stärker,
wenn wir hier unseren Umfang noch weiter vergrößern.
Wir haben hier weiterhin eine relativ gute Übereinstimmung. Und
wenn wir unseren P-Wert verändern, dann bleibt das gleich.
Sie sehen, wir haben jetzt ngleich 200p gleich 107,
ngl und p
Also der Erwartungswert ist 140 und um diesen Wert haben wir
eben tatsächlich eine relativ gute Annäherung der Spitzen der Wahrscheinlichkeitsfunktion,
also der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion, durch diese rote Funktion.
Und wir könnten jetzt natürlich die Zugehörigen Wahrscheinlichkeiten in dieser Form
auch einfach mit Hilfe der Funktion berechnen,
so wie sie hier angegeben ist.
Wir brauchen nicht
auf die Originalformel der Binomialverteilung zurückzugehen
Das Einzige, was wir beachten müssen,
dass dieser Randbedingung natürlich bedeutet,
dass wir einen genügend großes N haben,
damit die Übereinstimmung vernünftig ist und dass dieses N zusammenhängt mit der Erfolgswahrscheinlichkeit P in der Weise,
die hier ganz unten angegeben ist,
dass N mal P mal 1 minus P größer als neun sein muss.
Im anderen Fall, dann kann es passieren, dass die Approximation nicht so günstig ist.
Wenn wir also beispielsweise auf 20 zurückgehen und P gleich 0,1 wählen,
dann sehen Sie, dass da die Übereinstimmung offensichtlich nicht ordentlich funktioniert.
Hier haben wir also durchaus starke Abweichungen, sowohl an dieser Stelle,
also auch an dieser Stelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion von der Approximierenden Funktion und das zeigt eben,
dass in diesen Fällen Tatsächlich diese Formel nicht verwendbar ist.
Verwendbar ist sie dann, wie die Daumenregel hier sagt,
wenn eben diese Randbedingungen erfüllt ist,
20 mal 0,1 sind eben doch nur zwei und 2 mal 0,8,
da sind wir eben bei Weitem nicht bei der geforderten Grenze von Neuen,
dementsprechend ist die Daumenregel in der Grafik,
die wir eben gesehen haben,
nicht erfüllt und das zeigt,
dass die Berücksichtigung dieser Daumenregel eben durchaus
einen wichtigen Aspekt darstellt
Wir gucken uns diese Näherungsformel nochmal etwas genauer an. Der Exponent der E-Funktion,
den wir hier haben, der hat ja die Gestalt,
die hier nochmal explizit angegeben ist, bis auf die Zugehörige Quartrierung.
Dementsprechend haben wir hier gerade die Differenz zwischen dem Wert Klein
X und dem zugehörigen Erwartungswert im Zähler und wir haben gerade den Ausdruck für die Varianz in Nennern.
Dementsprechend können wir diesen Exponenten auch in der Weise angeben,
dass wir einfach sagen, wir haben ein halbmal x-minus Müh,
Müh als Abkürzung für N mal P,
in Klammern zum Quadrat, dividiert durch Sigmaquadrat.
Und dieses Sigma vertrat,
kommt jetzt natürlich auch noch hier in diesem Faktor vor,
einfach weil das bei dieser Approximationsformel hier eben auch nochmal unter dem Zeichen der Quadratwurzel hier vorkommt.
Das müssen wir also entsprechend berücksichtigen. Und wenn wir das
in dieser Weise einfach ersetzen, können wir das auch durch Sigmaquadrat ersetzen.
Damit haben wir aber jetzt eine geeignete Form,
die selbst eine sogenannte Dichte darstellt,
eine dichte Funktion in der Weise, dass wir sagen können,
dass sie überall größer als null ist und dass die Gesamtfläche unter der dichte Funktion gleich eins ist.
Gucken wir uns diese Normalverteilungsdichte nochmal an. Das war eigentlich
die Grafik, die wir eben auch schon gesehen hatten,
brauchen wir eigentlich jetzt dann nicht mehr
Damit haben wir die Möglichkeit,
ähnlich wie wir es vorhin bei der Exponentialverteilung gemacht hatten,
zu sagen, auch wenn wir jetzt die Normalverteilung aus einem konkreten Zusammenhang gewonnen haben,
können wir diese dichte Funktion gegebenenfalls auch als eigenständige Verteilungsdichte betrachten und verwenden,
wir brauchen nicht immer auf diesen konkreten Zusammenhang zu rekurrieren,
sondern können eben auch sehen,
wie Das ist die Normalverteilungsdichte sonst gegebenenfalls noch verwendbar.
Können wir gegebenenfalls andere Situationen auch,
oder können wir sie für andere Situationen auch als Modell verwenden,
um zu verdeutlichen, dass wir empirische Beobachtungen gegebenenfalls so ansehen können,
als würde die Normalverteilung im Hintergrund diese Beobachtung generieren.
Bei dieser Normalverteilung hat der Parameter Mü Und hat auch der Parameter Sigma-Quadrat
naheliegende inhaltliche Bedeutungen, dass nämlich Mühe der Parameterkreise gleich dem Erwartungswert ist.
Und Sigma-Quadrat gerade gleich der Varianz ist. Und diese beiden Parameter,
die wir ja natürlich jetzt über diese Penonialverteilung eigentlich kennengelernt haben und eingeführt haben,
die haben bei der Normalverteilung eine eigene Form und einen eigenen Stellenwert.
Wir haben hier folgende Situationen. Wir haben die dichte Funktion
einer Normalverteilung mit Mügleich Null und Sigma Quadrat gleich 1 und
können uns jetzt mal überlegen, was passiert denn,
wenn ich die Zugehörige Form betrachte,
sodass Mühe
eben verschieden ist
Von gleich dem Wert null. Und sie sehen,
wenn ich mühe, gleich zwei Einsätze,
aber Sigma-Quadrat nicht verändere, dann verschiebt sich diese dichte Funktion.
Wir haben also eine einfache Verschiebung. Das ist deswegen so bemerkenswert,
weil ja bei der Binonialverteilung NMP als Erwartungswert und NMP
mal 1 minus P als Varianz zusammenhängen.
Bei der Binonialverteilung können wir nicht den Erwartungswert verändern,
ohne dass wir gleichzeitig auch die Varianz verändern.
Bei der Normalverteilung, bei dieser Approximierenden Funktion,
da hau das aber hin. Da können wir sagen,
wir können den Erwartungswert verändern und die Varianz gleich lassen.
Das führt dann einfach zu einer tatsächlichen Verschiebung.
Wir können auch das so machen, dass wir sagen,
gut, wir können natürlich weitergehend auch noch
die Varianz verändern
Bei der Grün eingetragenen Dichtefunktion haben wir jetzt den gleichen Erwartungswert
wie bei der Rot eingetragenen, nämlich Mühe gleich zwei.
Da sind die beiden Erwartungswerte gleich. Aber jetzt habe ich
noch die Varianz verändert, Sigma Quadrat ist jetzt vier.
Und das bedeutet offensichtlich, dass wir beide Parameter getrennt voreinander
festlegen können.
Mühe hat einfach
den Verschiebungseffekt
Das ist ja auch gerade der Erwartungswert und der Erwartungswert
gibt ja die Lage der Verteilung an.
Von daher ist dieser Effekt ganz sinnvoll.
Und Sigmaquadrat misst die Ausbreitung der Verteilung in dem Sinne,
dass wir ein größeres Sigmaquadrat offensichtlich dann haben,
wenn die Kurve flacher verläuft. Das bedeutet natürlich auch,
dass wir weniger starke Konzentrationen der Beobachtung in der Mitte haben,
sondern dass wir häufiger auch mal extreme Werte beobachten.
Die Varianz wird einfach größer, was ja auch auch das
Sigma-Quadrat gleich 4 im Vergleich zu Sigma-Quadrat gleich 1 aussagt.
Also haben wir hier bei der Normalverteilung beide Parameter getrennt voneinander
und das ist natürlich durchaus ein Vorteil gegenüber der Binumialverteilung,
wo Erwartungswert und Varianz eng zusammenhängen.
Das führt dann zur sogenannten Standard-Normalverteilung,
die Standard-Normalverteilung liegt vor, wenn der Erwartungswert null und
die Varianz 1 ist
Dann sprechen wir von der Standard-Normalverteilung und wir heben die zugehörige Verteilungsfunktion
auch hervor und nennen diese Verteilungsfunktion nicht mit unserem Groß-F,
sondern verwenden dafür das Symbol aus dem Griechen großes Vieh von Z,
die Standard-Normalverteilte Zufallsvariable wird in aller Regel mit Z bezeichnet.
Die zugehörige Dichtefunktion ist dann das kleine Vieh von Z,
also auch aus dem griechischen Alphabet
Diese beiden Formen sind es oder diese Form der standardisierten Variablen,
ist es die für uns, in Anführungsstrichen,
am bedeutsamsten wird, einfach,
weil wir über die Standardisierung und über die Transformation zwischen den verschiedenen Normalverteilungen hin und her springen können,
die Standardisierung führt dazu, dass wir von irgendeiner Normalverteilung ausgehen können,
mit einem Erwartungswerden einer Varianz, die Standardisierungstransformation,
die wir das letzte Mal wiederholt hatten, ausführen können,
dann heißt es nichts anderes,
als dass ich die Zufallsvariable X zentriere,
also Mühe abziehe und die Differenz noch durch die Standardabweichung dividiere und in unserem Fall landen wir dann bei der Normalverteilung.
Natürlicherweise mit Erwartungswert null und Standardabweichung bzw. Varianz 1.
Dass wir im Wesentlichen eben den Verteilungstypen nicht ändern,
dass wir auch bei dieser Standardisierung im Rahmen der Normalverteilungen bleiben,
ist der große Nutzen der Standardisierung in diesem Zusammenhang.
Denn wir werden gleich sehen, auf diese Weise wird es
möglich, die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nach relativ leicht zu bestimmen.
Wir können natürlich auch umgekehrt vorgehen von einer Standardisierten Variablen
zu einer anderen Normalverteilten Zufallsvariablen zu kommen,
indem wir einfach die Standard-Normalverteilte Zufallsvariable mit einem Faktor mittiplizieren und
dann noch eine Konstante dazu addieren
Das führt dann wieder zu einer Normalverteilung mit Sigmar-Quadrat, also Faktor zum Quadrat für die Varianz und dem Erwartungswert Mühe.
Damit haben wir die Möglichkeit zwischen den verschiedenen Verteilungen hin und her zu springen und allgemein formuliert,
führt jede Lineartransformation von einer normalverteilten Zufallsvariablen wieder zu einer normalverteilten Zufallsvariablen,
die Rechenregeln für Erwartungswerten Varianz habe ich in mehrfach vorgesagt,
sodass es kein Wunder sein soll,
dass wir aus dem Ausgangserwartungswert den neuen,
nämlich A plus B-Manü und aus der Ausgangsvariante Sigma Quadrat,
die neue Varianz, B mal Sigma Quadrat bekommen.
Das ist also der wichtigste Punkt für die Normalverteilung zunächst,
dass wir bei einer Veränderung in dieser Form im Rahmen der Normalverteilung bleiben.
Damit können wir jetzt zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeit nehmen,
bei der Normalverteilung übergehen, wenn wir zunächst die Verteilungsfunktion irgendeine Normalverteilung haben,
ist das große Problem, das wir haben,
dass wir für die Verteilungsfunktion keine konkrete Formel zur Verfügung haben.
Wir können nicht einfach sagen, wir berechnen das mit Hilfe einer konkreten Formel.
Das ist beispielsweise möglich bei der Exponentialverteilung. Da hatten sie ja eben gesehen,
dass der Verteilungsfunktion gegeben ist über 1, minus,
eoch-lamdamalté, wenn sie Lamder kennen,
können sie das einfach ein Taschenrechner eintippen und ausrechnen
Für jedes konkrete Tee haben sie die zugehörigen Werte relativ leicht.
Da brauchen sie keine anderen Angaben. Beide Normalverteilungen ist das alles nicht mehr so einfach.
Da können wir für die Verteilungsfunktion keinen geschlossenen Ausdruck angeben.
Was wir aber machen können, ist Teil zu sagen,
wir haben zumindest die Möglichkeit von einer beliebigen Normalverteilung loszugehen und das zurückzuführen auf die Standardnormalverteilung.
Wir brauchen nicht für jede Normalverteilung Selbst uns Gedanken zu machen,
sondern können das zurückführen auf die Standard-Normalverteilung,
indem wir die Zugehörigen Wahrscheinlichkeiten in der Weise bestimmen,
dass wir hier einfach sagen,
auf beiden Seiten führe ich diese Standardisierung durch,
sowohl für die Zufallsvariable, als auch für die Obergrenze,
für die wir die Zugehörige Wahrscheinlichkeit bestimmen wollen.
Und jetzt haben Sie folgenden Effekt. Das,
was hier steht, Kroos x-minus müde durch Sigma,
Das ist ja nichts anderes als eine Standardisierte, normal verteilte Zufallsvariable.
Das ist ja gerade die Standardisierung,
die eine Folie vorher zu der Zufallsvariablen Z geführt hat.
Dementsprechend ist diese Wahrscheinlichkeit, die hier zu bestimmen sind,
mit Hilfe der Standard-Normalverteilten, Zufallsvariablen zwischen Stimmen,
wir brauchen nur die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung an dieser entsprechenden Stelle
x-minus-müde durch Sigma zu bestimmen und haben damit
die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Wenn wir diese Wahrscheinlichkeit bestimmen wollen, gibt es für diejenigen unter ihnen,
die das Statistiklabor nutzen, aber sicherlich auch in anderen Zusammenhängen
die Möglichkeit, einfach die elektronische Tabelle zu verwenden.
Ich habe hier einfach für die Werte 2,
6 und 4,5, also für drei verschiedene X-Werte,
bei gegebenen Wert von Mühe,
bei gegebenem Wert von Sigma,
die zugehörigen Werde der Verteilungsfunktion aufgerufen und wir haben mit einer
einfachen Funktion die Möglichkeit,
uns diese Werte anzugeben
Das ist die einfache Variante, wenn man einen Rechner zur Verfügung hat,
wenn man keine Rechnung zur Verfügung hat,
dann ist es notwendig auf die entsprechende Normalverteilungstabelle zurückzugreifen,
die sie auch im Rahmen oder die sie auch als auf der Homepage zur Verfügung gestellt kriegen,
wir haben hier die Normalverteilungstabelle in der Form,
dass wir Wahrscheinlichkeiten an den Rändern angegeben haben.
Sie sehen hier die Zugehörigen Ps,
das sind die ersten beiden Nachkommastellen für die Zugehörigen Wahrscheinlichkeiten,
die dritte Nachkommastelle ist hier oben angegeben,
sodass wir sagen können, für eine Wahrscheinlichkeit,
beispielsweise von 0,555 müssen wir, in der entsprechenden Zeile,
0,55, das sind die ersten beiden Nachkommenstellen,
bis zu dem Block gehen,
wo auch die dritte Nachkommastelle übereinstimmen und die Eintragung,
die wir hier haben, ist dann das zugehörige Quantil der Normalverteilung.
Umgekehrt, wenn wir einen Wert auf der X-Achse haben und
die zugehörige Wahrscheinlichkeit für die Verteilungsfunktion bestimmen wollen,
dann müssen wir hier drinnen suchen und den entsprechenden Wert
der Wahrscheinlichkeit am Rand ablesen
Diese Verteilungstabelle, wie gesagt, können Sie auch aus der Webseite herunterladen.
Gucken wir uns hier noch ein Beispiel für die Bestimmung, diese Wahrscheinlichkeiten an.
Wir fragen bei einer Normalverteilung mit Erwartungswert 10, Varianz 4,
wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Wert kleiner gleich 13 ist.
Das Vorgehen ist eben so, dass wir beide Seiten standardisieren
Dann ist die standardisierte Variable mit Z abgekürzt und
wir müssen einfach den Wert an der Obergrenze 1,5 bestimmen,
wenn wir in die Tabelle gehen, an der Stelle 1,5.
Dann müssen wir hier suchen, wo eben die Zugehörige,
das Zugehörige Quantil ist. Wir sehen,
dass wir 1,5 nicht exakt zur Verfügung haben,
das liegt zwischen diesen beiden Werden,
also liegt die Wahrscheinlichkeit zwischen
3 und 0,934, wie wir da konkret vorgehen,
um diesen Wert zu bestimmen,
werden wir noch in der nächsten Stunde uns genauer angucken.
Da werden wir die lineare Interpolation betreiben.
Für heute bedanke ich mich für Ihre Aufmerksamkeit