So, willkommen zur Mathematik-Vorlesung.
Bitte nehmen Sie Platz
Sie sahen, die Vorleistung wird heute aufgezeichnet,
glücklicherweise und dankswerterweise. Also bitte ein bisschen ruhiger sein.
Kurze Wiederholung. Vom Vorleistungsstoff des letzten Mals.
Sie wissen, dass es so drittletzte Termin ist.
Also passen Sie gut auf. All die Dinge, die drankommen,
ist die Wahrscheinlichkeit relativ hoch, dass es abgefragt unter Glossou.
Kurze Wiederholung. Wir haben uns mit der Dominanten beschäftigt.
Sie haben dort die Definition kennengelernt. Und ich habe ihnen
schon gesagt, dass diese Definition vielleicht auf den ersten Blick
etwas sparig aussieht
Weil es ist jetzt keine explizite Definition, sondern rekursive Definition.
Der Grund hierfür ist der, dass wenn sie das anders definieren,
brauchen sie Begriffe, die wir bis jetzt nicht behandelt haben.
Wir haben uns dann angeschaut, wie das Ganze aussieht,
wenn wir endlich zwei haben, endlich drei,
im Falle von English 2 haben wir diese einfache Formel bekommen,
zum Berechneter der Deminente 1 und 2 Kreuz 2 Matrix und
im Fall einer 3 Kreuz 3 Matrix war es diese Formel.
Ich habe ihnen aber auch gesagt,
sie sollen diese Formel nicht auswendig lernen,
das wäre blödsinnig, wenn sie das tun,
sondern sie sollen sich einfach diese Regel von Zarus oder Jägerzahnregel merken,
die ist anschaulich relativ klar,
was da passiert
Aber sie sollen auch auf sich morgen, sich gut morgen,
dass diese Regel nicht übertragbar ist, auf Madrid sind größere Dimensionen.
Das heißt also... Das heißt also,
sie können für 4 Kreuz 4 mal 13,
5 Kreuz, 5 Madrid sind und noch größer,
die Regeln nicht einfach anwenden und übertragen, verallgemeinern,
sondern die gilt nur für 3 Kreuz 3 Madridsen.
Also nur für 3 Kreuz 3 Mal tritzen.
Und machen sie nicht den Fehler auf die Art und Weise,
zum Beispiel, die der dominante eine 4 Kreuz 4 Matrix
berechnen zu holen
Bisschen leiser bitte, denn sonst habe ich den Eindruck,
dass hier meine Wiederholung nicht interessiert sind,
dann überspringe ich die und mache gleich mit Stoff weiter.
Wir haben dann eine 4-Kreuz 4-Matrix angeschaut und haben dort dann festgestellt,
dass die Berechnung hier gar nicht so aufwendig ist und der Grund war der,
dass wir hier in der ersten Zeile relativ viele Nullen haben.
Und deshalb waren diese Koeffizienten vor diesen unter der Dominanten,
diese Minoren, alle null,
diese Faktoren und wir mussten diese da
Dominanten nicht ausrechnen
Gut, dann hatten wir auch eine geometrische Interpretation kennengelernt von der dominanten.
Ich habe ihm gesagt, wenn sie quasi eine Matrix sah,
mit Endzellen und Entspalten, also ganz allgemein,
das ist eine solche Matrix und sie hergehen und sie nehmen die Spalten und bilden alle möglichen den Ja-Kombinationen,
also diese Menge von Vektoren, wo gilt,
dass die Gewichte zwischen 0 und 1 liegen.
Das heißt also, da sind Linearkombinationen,
aber sind keine Convex-Kombinationen, weil diese TIs hier,
sie müssen sich nicht zu 1 addieren,
wenn sie quasi diese Menge betrachten,
dann ist es ein Korb am endemensionalen Raum
Und wenn sie sich dann für das Volumen und dieses Körpers
interessieren, können sie das ganz einfach ausrechnen.
Sie müssen einfach die der Dominante ausrechnen, von dieser Matrix hier,
quasi diese Spalten Vektoren von dieser Matrix, hier diese Vektoren sind.
Und dann bekommt ihr eine Zahl, und wenn das eine positive Tal ist,
ist es bereits das Volumen dieses Körpers,
und wenn es eine negative Zahl ist,
müssen sie halt einfach noch den Betrag drüberworfen.
Gut. Sie können sich das natürlich im allgemeinen Fall nicht vorstellen,
aber im dreidämmt in einem Fall,
und im zweiten emotionalen Fall geht das.
Im dreidämmt in einem Fall bekommen sie dann einen Zeugenkörper.
Das ist ein sogenannter Spart, weil der Kristall spart,
oder die Kristalle von Kalk spart
Diese Form haben, die sie Struktur haben und sie bekommen quasi das Volumen dieses Körpers ganz einfach,
indem sie diese drei Vektoren, A, B und C als Sparden,
einer 3 Kreuz 3 Matrix schreiben und dann einfach die Dotominante ausrechnen.
Im Fall einer 2 Kreuz 2 Matrix bekommt sie so etwas,
dann wird also dieser Körper zu einem Parallelugramm und der Flächeninhalt dieses Parallelugramms ist gegeben,
durch die Detominante, deren beiden Spalten, durch A und B gegeben sind.
So, dann der nächste Schritt war motiviert durch die Beobachtung,
dass wir bei dieser einen 4-Kreuz 4 Matrix,
der Triminante relativ einfach ausreichen konnten,
weil wir in der ersten Zeile viele Nullen hatten,
war dann die Überlegung, was machen wir,
wenn wir eine Matrix haben, die viele Nullen besitzt,
aber nicht in der ersten Zeile.
Und dann war dann die Überlegung, das wäre schön,
wenn wir quasi die Dodominante auch so berechnen könnten,
dass wir bezüglich einer anderen Zeile, einer anderen Spalte entwickeln.
Und das führt dann zum Entwicklungssatz von Lablas,
und der sagt, sie können beliebig,
sie können bezüglich jeder beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln.
Sie bekommen immer den gleichen Wert,
nämlich die der Dominante von
Und das hat viele Vorteile,
denn sie quenitär gehen bei einer beliebigen Matrix und schauen,
in welcher Zeile oder in welcher Spalte stehen die meisten Nullen.
Und die wählen sie dann,
diese Zeile oder Spalte und entwickeln bezüglich dieser Zeilen oder Spalte.
Und das vereinfacht das Leben erheblich und sie können so
die der dominante Großer Matrizen oftmals relativ einfach berechnen.
Das haben wir uns dann angeschaut an bestimmten Beispielen.
Und wir haben auch dort gesehen, dass es oftmals nötig ist.
Hier sieht man es zum Beispiel, diese Entwicklungssätze mehrmals hintereinander auszuführen.
Zum Beispiel hier haben wir eine 5-Kreuz 5 Matrix.
Und wenn man dort dann entwickelt bezüglich,
ich habe es hier gemacht bezüglich der ersten Zeile,
bekommt sie zwei, vier Kreuz,
vier Matrizen
Davon könnt ihr die Dominante einfach auch nicht so einfach ausrechnen.
Also wir müssen sie noch einmal entwickeln. Beide Madrid sind hier.
Und wenn sie das dann tun, bekommen sie drei Gret-Strei-Matrizen,
wo sie dann am Ende ganz einfach die Dominante ausrechnen können,
mit der Regel von Zagus.
Gut, dann der nächste Schritt war,
dass wir gesehen haben, dass für Drehgsmatrizen,
die da drum nannte, ganz einfach zu berechnen ist.
Unabhängig davon,
ob es eine obere Drehgsmatrix ist hier oder eine untere Drehgsmatrix,
sie bekommt die Detominante immer einfach dadurch,
dass sie
die Werte auf der Hauptdiagonalen
miteinander multiplizieren
Ja, dasselbe könnte natürlich dann auch die Diagonalmatritzen,
weil Diagonalmatritzen sind ja nur spezielle Trainingsmatrizen, als auch hier gilt,
dass sie der Dominante bekommen, als Produktorwerte auf der Hauptdiagonalen.
Dann haben wir gelernt, dass die der Dominante einer transformierten
Matrix gleich der dedominante, der ursprünglichen Matrix A ist.
Das ist manchmal auch hilfreich. Dann brauchen sie nicht rechnen,
wenn sie erkennen, dass das eine die transformierte Matrix der
anderen ist und sie von der einen Matrix quasi schon,
die da Dominante haben.
Dann haben wir gelernt, dass unter bestimmten Rechenoperationen
sich die Dodominante nicht verändert oder nur unwesentlich verändert.
Das heisst, das Fortsein, sie verändert. Das ist Gegenstand.
Dieser Satz ist hier, den wiederhole ich jetzt nicht,
weil letztendlich brauchen wir nur zwei Aussagen dieses Satzes.
Und die kommen, oder die wiederhole ich ihnen hier noch einmal.
Da sind hier, diese beiden Punkte,
nämlich die Sosat sagt aus, wenn sie das aufhache,
einer Zeile oder einer Sparte zu einer anderen Zeile oder Spalte
addieren,
verändert sich dadurch
die Dedominante nicht
Und der Zweite, die zweite Aussage, die wir benötigen,
ist die, wenn sie zwei Zeilen miteinander vertauschen oder auch zwei Spalten miteinander vertauschen,
dann verändert sich, also für jedes Mal, wo sie etwas vertauschen,
die der Dominante ihren Betrag nicht, sondern nur das Vorzeichen.
Das heißt also, wenn sie zweimal Zeilen oder Spalen vertauschen,
müssen sie quasi zweimal mit minus eins modifizieren,
also da würde sich nichts tun,
wenn sie aber dreimal irgendwelche Zeilen oder Spaten vertauschen,
würden sie dann mit dreimal mit minus eins modifizieren müssen.
Das würde am Schluss bedeuten, vor Zeilen verändert sich.
Und mit diesem Ergeheimnis haben wir jetzt einen neuen Weg,
um der Dominanten zu berechnen,
wie man das jetzt quasi alles zusammennehmen,
was wir gelernt haben
Wir können jetzt Folgendes tun. Wir können eine beliebige Matrix hernehmen,
mit Entzellen entspalten und können dir durch diese beiden Rechenschritte hier,
nämlich Adition des Aufwachen einer Teile oder Spalte,
zu einer anderen Zelle oder Spalte und vertauschen zwar zehn oder spalten,
können ja quasi diese Matrix stets so umformen,
dass wir eine Trainingsnatrix bekommen.
Eine obere, so wie hier angegämmt oder eine Untere,
da spielt keine Rolle. Und von dieser Tracks,
Matrix können wir ja dann die Deutominante einfach ausreichen,
das ist nämlich einfach das Produkt der Werte auf der Hauptdiagonalen.
So. Und die letzte Frohle sagt aber,
dass das Addieren des Aufwachen einer Zeile oder Spalte
zu einer anderen Zeit oder Spalte,
die der Dominante nicht verändert
Aber, dass wir tauschen zwei Azehn und sparen, quasi bedeutet,
dass ich jeweils mit minus eins modifizieren muss. Das heißt also,
diesen Wert, den ich hier rausbekomme, die Zahl hier,
wenn ich diese Werte auf der Hauptoriginalen multipiziere,
ist bis auf das Vorzeichen schon die dedominante von A. Wenn ich jetzt quasi jetzt Armutis Vorzeichen richtig haben möchte,
muss ich nur zählen,
wie oft habe ich den Zelt und Sparten vertauscht und muss das und dann entsprechend noch korrigieren.
Also bekommen sie letztendlich diese Formel hier,
dass die Dedominante von A gegeben ist durch die dedominante von D,
also dieser Trainingsmaprix und das ist einfach das Produkt der Werte auf der Hauptdiagonalen,
multifiziert mit minus eins hoch K,
wobei K die Anzahl ist,
wie oft sie zeilen oder Sparen
miteinander vertauscht haben
Und da korrigieren sie quasi das Vorzeichen, auf die Art und Weise.
Gut, und das Ganze haben uns angeschaut. Wir haben
quasi hier zum Beispiel diese Matrix hergenommen und haben die so umgeformt,
bis wir dann am Schluss hier unten quasi eine Obertreibsmatrix hatten.
Und dann bekommt sie einfach hier die der dominante,
indem sie dieses Produkt bilden, eins, mal eins,
mal acht, mal neun Viertel.
Das gibt 18, da wir aber nicht zeigen oder sparten vertauscht
haben, bedeutet das, ist schon das korrekte Ergebnis.
Also das Vorzeichen brauche ich gar nicht korrigieren. Gut,
ein zweites Beispiel haben wir uns auch noch angeschaut,
das überspringe ich. Dann sind wir übergegangen zu Eigenschaften von
der Dominanten
Wir haben ein relativ wichtiges Ergebnis kennengelernt, wo quasi so
eine Art Zusammenfassung darstellt von anderen Dingen, die wir vorher betrachtet haben.
Wir haben nämlich gelernt, dass eine quadratische Matrix A,
genau dann invertierbar ist, wenn sie den Rang N hat,
und genau dann, das ist genau dann der Fall,
wenn die der Dominante von A ungleich null ist.
Also sie haben jetzt drei äquivalente Aussagen. Eine quadratische Matrix A ist invertierbar,
wenn der Rang dieser Matrix N ist, das heißt,
wenn alle Zöllen oder alle Spalten, die ja unabhängig sind,
Und das ist genau dann der Fall,
wenn die Detominante von A ungleich null ist.
Das heißt also, sie können die Detominante einer Matrix hernehmen,
um zu überprüfen, ob der Rand der Matrix voll ist
oder ob sie eine in was sie besitzt.
Wenn die Detominante ungleich null ist, besitzt sie eine in was sie,
die ist in Matrix und hat damit auch den vollen Rand.
Und wenn die Detominante ungleich, in die Detominante gleich null ist,
ist sie nicht invartierbar,
sie hat keine Invasse und der Rang ist nicht voll.
Das ist klarer als N. Dann haben wir dieses Ergebnis kennengelernt
. Auch das hilft Ihnen wahrscheinlich an der einen oder anderen
Stelle weiter, vielleicht sogar in der Klausur.
Bin sie zwei quadratische Matritzen haben, dann bekommen sie
die Dominante
Des Produktes. Ganz einfach, indem sie dir der dominante
für ein A hernehmen und mit der dominante von B multipizieren.
Das ist der sogenannte Multiplikationssatz für Dedominanten. Das heißt also,
stellen Sie sich vor, Sie hätten schon von der Matrix A
und von der Matrix B jeweils die der dominante ausgerechnet,
dann müssen Sie die Dedominante von A-Malbe nicht umständlich ausrechnen.
Sie haben ja gesehen, das ist durchaus mit Arbeit verbunden,
sondern sie müssen einfach hergehen und die beiden reellen Zahlen,
das sind ja reelle Zahlen dann,
nämlich der dominante von A und der dominante von B
miteinander multipizieren.
Das geht innerhalb von den Kunden dann
Gut, zweite Aussage ist die,
während sie eine Matrix A mit einem Skala auch multipizieren,
dann bekommt sie eine neue Matrix auch mal A.
Und davon ist die der dominante auch hochendmal der dominante von A. Und dann das letzte Ergebnis,
wen sie von einer Matrix wissen, da sie innotierbar ist,
dann haben sie auch gerade einem gelernt vom letzten Satz,
da ist die der dominante, ungleich nur ist.
Und damit kommen sie auch die der dominante da in wahrsten,
als wenn Ahoch minus eins, ganz einfach dadurch,
dass sie den Kehrwert bilden von der Detominante von A. Also
stellen sie sie vor,
sie haben die Matrix A mit oder der dominante,
mit oder der dominante
Dann hätte die in Wasser auch minus eins dieser dominante Eins
durchziehen, also ein Zehntel. Ganz einfach. Gut,
das haben wir uns dann ein Beispiel angeschaut und noch festgestellt,
dass autogonale Matrizen die Eigenschaft haben,
dass die dritteminante immer eins oder minus eins ist.
Auch das ist ein schönes Ergebnis, dass sie sich morgen sollten.
Wir brauchen das im nächsten Kapitel.
Gut, soweit sind wir gekommen.
Es kommt neuer Stoff
Sie können mithilfen der Dominanten auch, ja, Inversit darstellen, in was sie berechnen.
Und die können auch den Jahre gleichen Systeme lösen.
Dieser Satz, den sie hier angegeben haben auf dieser Folie
, gibt ihnen eine geschlossene Darstellung in Wasser.
Also im Unterschied zum Ghost-Algorithmus, wo sie keine geschlossene Formel haben,
sondern das ist ein Algorithmus, den sie durchlaufen.
Und am Schluss bekommt sie auf die Art und Weise dann den Wasser,
haben sie hier prass eine geschlossene Darstellung für die Inversity.
Quasi, sie können es hinschreiben. So sieht in Wasser aus.
Geschlossene Darstellung. Und es sieht wie folgt aus. Der Satz sagt,
wenn sie eine quadratische Matrix haben, die invertierbar ist,
bekommt sie die Invocée auch minus eins, dadurch,
dass sie den Kehrwert bilden, von der der Dominante von A.
Und dann multiplizieren sie das mit dieser Matrix hier.
Und diese Einträge in dieser Matrix,
das sind die Atjunken, von dir so eine Matrix,
und wie die definiert sind, diese A-Sturns hier,
ist hier unten angekärmt in der letzten Zeile.
Sie gehen einfach her und bilden die Detominanten,
dieser Unterminanten, A-I, also mit Indizes IJ.
Was heißt das nochmal zur Erinnerung? Diese Matrix,
A mit den Indizes E und J,
ist die Matrix, die USA entsteht,
wenn sie die Ethik-Zeile und die J
die Spalte streichen
Und wenn sie das Ganze noch mit minus eins, hoch E-Plus J multiplizieren,
bekommt sie quasi dieses A-Ston mit in die CSI J. Und
so müssen sie quasi hier diese Werte, die hier angegeben sind,
in dieser Matrix alle berechnen und eintragen dann diese reellen Zahlen,
dann haben sie die Inversion.
Up the Saints berührt relativ viel Arbeit. Sie müssen nämlich
N-Quadrat und hier diese Wertung dann bei uns ja auch,
also Endquadrat plus eins der Dominanten ausrechnen.
Also sehr umständlich mit dieser Formel. Deshalb,
so schön, dass es aussieht,
weil das eine geschlossene Formel ist und oftmals auch so verlockend,
dass vielleicht für viele Studierende ist, diese Formel einzuwenden,
es lässt sich relativ leicht nachweisen,
dass der Goscher Algorithmus schneller ist
Also, wenn Sie dann die Möglichkeit haben, in der Close-Source
etwas auszurechnen, würde ich entfernen, den Goschen-Algorithmus zu verwenden.
Sie können natürlich auch diese Formel verwenden, wenn ihnen das lieber ist,
aber ich denke, es sind im Goschen-Algorithmus schneller.
Zumal sie ja den Goschen-Algorithmus auch für viele andere Fragestellungen brauchen.
Also, dann müssen sie sowieso lernen. Und den muss man sich auch nicht melken,
wenn sie den ein paar Mal durchgeführt haben,
da gibt es nichts zu morgen, Zeilenumformungen und so weiter durchzuführen.
Ich denke, das kann man sich gut melken.
Hier diese Formel, sie einzuprägen, ist wahrscheinlich schwieriger.
Sie müssen nämlich aufpassen, wie da sie mit den Indizes ist.
Hier ist nämlich vertauscht, also zum Beispiel hier in der ersten Zeile,
Der Eintrag, der erste Eintrag immer erhöht, eins,
zwei, drei und so weiter.
Und das wird zum Beispiel auch oftmals falsch gemacht. Gut,
schauen wir uns das Ganze aber trotzdem mal an,
anhand eines Beispiels, wie man auf die Art und Weise,
die Invasia ausrechnet. Und dann waren sie gleich dahin,
das bedeutet schon einen gewissen Aufwand, der man da betreiben muss.
Hier haben wir eine Drei-Kreuz-Drei-Matrix und für dieser Drei-Kreuz-Drei-Matrix sollen wir die Invasia ausrechnen.
Also Drei-Kreuz-Drei, das ist keine besondere große Matrix, aber sie waren zehn,
auch hier muss man schon viel arbeiten mit dieser Formel.
Sie müssen nämlich all diese der dominanten
hier ausrechnen
Hier. Zum Beispiel brauchen Sie die der dominante,
der Matrix A, mit den Indizes 1,1.
Das ist quasi die Matrix, die entsteht,
wenn sie die erste Zeile und die erste Spalte streichen.
Also sie gehen quasi hier rein in diese Matrix,
in diese 3 Kreuz 3 Matrix,
streichen die erste Zeile und die erste Spaltin,
dann bleibt nicht 2 Kreuz 2 Matrix übrig.
Und davon rechnet sie ganz einfach die der dominante Os.
In diesem Fall wäre das 0 mal 1,
minus 1 mal 3, also minus 3.
Deshalb steht hier oben, hier, links oben,
ist die erste der dominante minus
Und so berechnen sie all diese neuen der Dominanten.
Und dann brauchen sie am Schluss noch die Datumnannte von A,
also von der 3 Kreuz 3 Matrix,
denn die Formel hier sagt ja,
da ist sie mit dem Kehrwert davon multiplizieren müssen,
also brauchen wir auch noch die Dedominante von A.
Und da können sie, weil es die 3 Kreuz
3-Regel ist, Matrix ist die Regel von Zarus anwenden.
Und wenn sie das dann tun, bekommen sie den Wert
7. So, und jetzt gehen sie her.
Und versehen ist sie Werte, die sie gerade ausgerechnet haben,
diese neuen Werte vor die Dedominanten der Untermatritzen,
und so sehen sie diese mit dem richtigen Vorzeichen.
Das Vorzeichen ergibt sich ja hier als minus 1 hoch E plus J.
Sie müssen also quasi, E ist quasi der Erste,
Eintrag hier von ihrem Arschstamm und JT ist quasi der zweite Eintrag hier.
Der zweite Index. Und das möchte ich quasi jetzt berücksichtigen.
Und dann können sie hier das Vorteilen korrigieren und dann bekommt ihr letztendlich diese Matrix hier.
Und wenn sie jetzt noch das Ganze mit einzippelmultifizieren quasi hier
reinnehmen hier, dann bekommt sie die in Wasse,
die sieht so aus wie hier angegeben.
Also sie sehen, durchaus relativ aufwendig,
auch wenn es eine geschlossene Formel ist.
Achso, mit dem komischen Algorithmus fahren sie besser
Also, sie haben jetzt gesehen, wie man rein theoretisch
mithilfe von der Dominanten auch in was sie berechnen können.
Das nächste Ergebnis ist als graumische Regel bekannt. Gibt es
irgendwelche Fragen? Die nächste Regel heißt grammische Regel oder das
nächste Ergebnis und mit diesem Ergebnis können sie, ja,
die Lösung, eines in ihren gleichen Systems angegeben,
als auch in geschlossener Form.
Und wie geht das
Stellen Sie sich vor, Sie hätten die Aufgabe, dieses Seniale Gleichensystem zu lösen.
A mal x gleich B. A ist eine Endkreuz in Matrix.
Und die ist sehr invertierbar. Das heißt, wir nehmen an,
dass die Invaser existiert, dass sich Äquivalent dazu zu fordern,
dass sie der dominante Ungleichnull ist.
Und B ist die rechte Seite. So,
und jetzt definieren wir diese Madrid sind A mit Index,
diesmal in Klammern, um zu unterscheiden von dem,
was wir vorher hatten. A indexiert hier,
aber in Klammern dieses Jahr.
Das ist eine neue Matrix. Und die bekommt sie auf
ganz einfache Art und Weise. Sie nehmen einfach die Matrix
A her und ersetzen die JT Spalte.
Deswegen steht hier als Index auch JT.
Er setzt in die JT Spalte durch die rechte Seite hier
Ihre Gleichung. Durch das B hier. Durch diesen Spanien-Lektor B.
Dann bekommt sie diese neue Angroyd Ain-Matrix. Und mit die
jetzt hergehen und berechnen von dieser neuen Encreuz Ain-Matrix sind der Dominante.
Und dividieren das Ganze durch die dedominante von A,
also von der ursprünglichen Matrix A,
dann bekommt sie diesen Quotienten hier und dir so wert ist,
oder dieser Wert, den sie da erhalten, ist XY.
Das heißt, die JT-Komponente ihres Lösungsvektors.
Quasi hier dieses Xes, wo quasi dieses Seneargleichungssystem hier löst.
Also quasi hier diese Formel hier gibt ihn in geschlossener Form
die Koeffizienten ihres Lösungsvektors an
Und sie müssen das jetzt quasi für alle Koffizienten ihres Lösungswektors tun.
Sie haben ein Stück, also müssen sie quasi in
solche Quotienten ausrechnen. Gut, den Beweis, ja,
weil sie machen zugangs Beweis, dann mache ich den heute nochmal.
Silvan Zähn ist relativ einfach, das Ergebnis. Auch wenn
das vielleicht hier kompliziert aussieht oder man das Gefühl hat,
es könnte kompliziert sein, da drauf zu kommen.
Also, wie geht der Beweis? Wir nehmen Andy Matrix
A, ist innotierbar. Dann, das bedeutet,
dass die Lösung dieses in Jahren gleichen Systems einmal x gleich B wird dadurch erhalten,
dass sie einfach die in Wasser hernehmen, die existiert er dann.
Und auf beide Seiten des in Jahren Gleichungssystems anwenden und dann
bleibt links nur noch x stehen und rechts steht dann A,
hoch minus
1 mal
Also, nehmen wir jetzt an. Die Ete-Zeile? Von A
auch minus eins, die Eti-Zeile sei gegern durch diesen Zeilen weg.
Darum in den Koeffizienten A1, A2, A3 und so weiter.
Das ist einfach eine Bezeichnung, das nehme ich an.
Dann bekomme ich... Nach dem letzten Satz bedeutet das,
dass quasi diese Zellen Vector hier durch diesen Ausdruck ja gegäben ist.
Das ist nichts anderes als dieses Ergebnis hier,
wenn sie sich das anschauen und sie nehmen hier
quasi die Eti-Zeile raus
Hier haben sie den Faktor 1 und der hat um deinen DVNA.
Und dann nehmen sie entsprechend hier die Idi-Zeile und schauen sich
an, wie das Ganze hier definiert ist.
Dann bekommt sie quasi hier diese Gleichung, dass die hier gilt.
Das ist genau das hier. Und das bedeutet jetzt für
die Ethik-Komponente ihres Lösungsvektors X, den behalten sie ja ganz einfach,
indem sie quasi die Ethik-Zeile von Aaron minus 1 hernehmen und die Skalar multiplizieren mit dem Vektor B.
Das heißt also, sie müssen quasi dieses Produkt zu bilden,
Ethik-Zeile von Aaron minus 1, mal B,
gibt die Ethik-Komponente ihres Lösungsvektors
Und jetzt müssen sie quasi hier nur abschreiben, was sie
hier haben für die Eti-Zeile. Das ist dieser Ausdruck hier,
mulplizieren das hier mit diesem Vektor B und dann bekommen sie quasi hier diese Gleichung oder diese Zeile hier.
Und wenn sie sich das jetzt scharf anschauen und vergleicht mit dem,
was sie haben, beim Entwicklungssatz vom Lablas,
dann können sie, erkennen sie, dass das nichts anderes ist,
als die der dominante, der Matrix A,
wo quasi die Jotte spalte,
durch den Vektor B ersetzt worden ist.
Wenn sie nach der Edenspalte entwickeln,
also können sie das hier auch so darstellen.
Und das ist dann schon
der Beweis
Also vielleicht nochmal zu Hause anschauen.
Jetzt die Frage, wie nützlich ist diese Formel?
Auch hier gilt eine ähnliche Aussage wie beim anderen Ergebnis.
Es ist zwar eine geschlossene Formel. In diesem Fall führt
ein Lösungswerk vor eines den Jahren gleichen Systems, aber auch hier gilt,
dass sie in der Regel mit dem Goschen-Algorithmus die Lösung eines den Jahren Kleinungssystems schneller halten.
Weil hier Sancy müssen sie auch immerhin in Plus 1 der Dominanten ausrechnen.
Sie bekommen in Matrizen, indem sie immer diese Vektor-B ersetzen,
erste Spalte, zweite Spalte und so weiter dafür einsetzen,
dann bekommen sie end-neue Matrizen.
Dafür müssen sie jeweils die dominante ausrechnen.
Und dann brauchen sie auch die didominante Domatrix A noch.
Also sie müssen end-blues 1 der Dominanten ausrechnen
Deshalb, auch das ist relativ aufwendig. Trotzdem ist diese
grammische Regel relativ bekannt. Und der Grund ist einfach,
man kann mit Hilfe dieser grammischen Regel bestimmte theoretische Untersuchungen leichter durchführen.
Zum Beispiel folgt aus dieser Regel relativ einfach,
dass die Lösung eines den Jahren gleichen Systems stetig abhängt von
den Einträgen der koeffizienten Matrix A und dem Lösungswerk Tobé.
Was heißt stetig? Der eine oder andere von ihnen hat
diesen Begriff vielleicht schon mal gehört und Analysis in der Schule,
wie wir an diesem Begriff nächsten Semester genau untersuchen.
Aber letztendlich bedeutet das nichts anderes als,
wenn sie ihre Einträge in der koeffizienten Matrix A ein wenig verändern,
Und auch auf der rechten Seite im Lösungswerk Tobé, nur ein klein wenig verändern,
dann hat es auch nur kleine Auswirkungen auf die Lösung.
Das heißt, es gibt keine sprunghaften Veränderungen des Lösungswektors.
Das ist nicht möglich. Und dieses Ergeheimnis so benötigt zum Beispiel,
während sie bei irgendwelchen wissenschaftlichen Fragestellungen, linaren Gleichungssystemen,
eine Sensitivitätsanalyse durchführen möchten und sagen möchten, was passiert eigentlich,
wenn ich irgendwie meine Produktionskoffizienten ein bisschen erhöhe,
ein bisschen verringere, oder wenn meine Rohstoffkapazität,
das ist unter Regel beim linaren Gleichungssystem,
die rechte Seite,
wenn sich dort gleich kleine Veränderungen ergeben,
hat das
eine drastische Auswirkung auf meine optimale Ressourcen-Allokation
Dann lautet die Antwort aufgrund dieses Ergebnis, nein,
auch die optimale Lösung verändert sich dann nur ein wenig.
Und da gibt es keine Sprunghafenveränderungen.
Das kann man aus dieser Regel von Kram ablesen.
Deswegen hat die vor allem theoretische Bedeutung. Immer wieder habe ich
auch diese Liste erwähnt mit den 100 wichtigsten mathematischen Sätzen.
Und dort ist diese grammische Regel immerhin auf Platz 97.
Also es gehört immer hin zu den wichtigsten 100 Ergebnissen.
Gut. Jetzt noch ein Beispiel
Dass sie sehen, wie das Ganze funktioniert,
wenn sie damit ein konkretes, sind ja das Klärungssystem lösen möchten,
aber bevor ich ihnen das zeige,
schauen wir uns mal die grammische Regel an von den Spezialfall,
da ich ein Jahresgleichsystem haben, mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.
Also wo die koeffizienten Matrix, mit drei Kreuz, drei Matrix ist.
Das heißt also, wir betrachten ein solches ideales Gleichsystem. Drei Zeilen, drei Unbekannte. Wenn Sie jetzt hier die drei Komponenten des Lösungswerks ausreihen möchten,
also X1, X2 Extra, das sind ihre Unbekannten,
dann sagt die grammische Rede, Sie müssen Folgendes tun,
X1 bekommen Sie, indem Sie Die detominante der Matrix berechnen,
die sie bekommen, wenn sie diese Matrix hier,
also wenn sie diese kompetenten,
auch mit den Inditität 1-1, A,
mit den Indiz CS1-2 und so weiter,
in eine 3-Kreuz-3-Matrix schreiben.
Und dann quasi hergehen und die irrschen Spalten Vektor durch die rechte Seite hier ersetzen,
also durch den Vektor mit den Komponenten B.1, B2,
B3, dann bekommen sie diese Matrix hier hier oben,
erste Zeile,
diese Matrix.
Und davon rechnet sie dir der Dominante aus und dividieren
das Ganze durch der Dominante der Matrix
Dann bekommt ihr als Ergebnis den ersten Eintrag ihres Lösungsrektors,
also X-1. Minte X-2 haben möchten, gehen Sie her,
nehmen Sie diese Matrix A her und da setzen jetzt die zweite Spalte durch den Lösungsvektor,
also die rechte Seite B,
wir kommen zu diesem Matrix, davon,
die der dominante ausreichen und das Ganze durch die dominante von A dividieren und die redet Zahl,
die sie bekommen, ist dann X-2.
Und analog für X-3, hier müssen Sie halt einfach
die dritte Spalte aussetzen durch den Vektor B. Gut,
hier ein Beispiel,
ein konkretes Beispiel mit Zahlen
Hier haben wir ein Drei-Greuz 3 im Gleichen System und sie sehen,
dass sie vielleicht jetzt ein Novum,
also für die Vorleistung jetzt hier, nicht für die Übungen,
da haben sie da schon öfters gehabt.
Ich habe ihnen hier jetzt noch ein Parameter reingeschmuggelt,
nämlich in der ersten Gleichung,
der Koffizient hier vor X1 ist keine reelle Zahl mehr
Sondern ein P. Und das bedeutet natürlich, dass ah,
die Dinge, die wir jetzt ausrechnen, von P abhängen.
Und je nachdem,
ich P wähle, zum Beispiel existiert nicht der dominante,
also der dominante ist gleich null oder ist ungleich null,
es existiert nicht in Wasser oder nicht und so weiter.
Also all die Ergebnisse, die wir jetzt bekommen,
hängt von diesem P ab. Und in den Übungen haben sie
sicherlich schon das ein oder andere Mal so eine Aufgabe gerechnet,
wo sie quasi in einem Milliardenkleidungssystem auch Parameter hatten.
Gut, also jetzt gehen wir her, möchten hier dieses
dignale gleiche System lösen, drei Zellen, drei Unbekannte.
Wir stellen als erstes mal Die Matrix A auf und rechnen
darf und dann dieter Dominante aus. Die Matrix A,
die haben sie hier gegeben und da wurde auch gleich die dominante ausgerechnet.
Also ich hoffe, sie sehen das. Zum Beispiel hier
steht ein P, weil dieser Faktor für X1P ist.
Dann steht hier eine Eins in der ersten Zeile, zweite Spalte,
weil sie haben ein X2 hier in der ersten Gleichung.
Und sie haben 0X3. Hier taucht in der ersten gleich und kein X3 auf.
Deswegen steht hier, in der dritten Spalte der ersten Zeile
in eine Null. Die zweite, Gleichung hier,
haben sie für X1 in Koeffizienten 1,
sozusagen steht hier eine Eins,
für X2 steht minus eins und für X3 steht eins.
Deswegen bekommen sie hier
diese zweite
Zeile, in der der Domina Matrix A. Also ich denke
, das ist klar. Jetzt haben wir quasi hier diese
Matrix aufgestellt, das reicht nur die der Dominante aus.
Das geht mit der Regel von Pharus in diesem Fall,
weil es eine Treue Kreuz 3 Matrix ist. Also muss ich rechnen,
hier das Produkt der Werte auf der Halbdiagonalen, also P,
mal minus 1, mal minus 1, das GP,
dann von der nächsten diagonalen 1, mal 1, mal 0,
gib null, plus 0, mal 1, mal 2, gibt wieder null.
Und jetzt von den Gegendiagonalen ziehe ich das Produkt immer ab, null,
also minus 0, mal minus 1, mal null,
gib null, minus 2 mal 1, mal P,
Es gibt minus 2P und dann noch minus eins,
mal eins, mal eins, das gibt minus eins,
aber da ich ja abziehen muss,
gibt es plus eins.
So haben Sie das hier erhalten, das können Sie vereinfachen zu 1 minus P.
Und jetzt zählen Sie, die sind der dominante,
ist gleich null, wenn P gleich eins ist.
Wenn Sie peglich eins wählen, würden hier oben im milliaren
Klägungssystem, wäre die detominante null.
Und das würde dann bedeuten, dass keine in Wasser existiert.
Kein In Wasser existiert. Wir nehmen jetzt an,
PSA Ungleich 1. Hier, Annahme, PSA Ungleich 1,
dann ist auch die Detominante von A
ungleich eins
Und es existiert auf diese Art und Weise dann oder damit ist sichergestellt,
dass ein In Wasser existiert. Und damit ist es auch sichergestellt,
dass quasi der Rang, die Sommertricks A voll ist.
Und damit ist es auch sichergestellt, dass es genau eine Lösung gibt.
Es gibt eine Lösung und die ist eindeutig.
So, und die wollen wir jetzt ausrechnen.
Da gibt es verschiedene Möglichkeiten, das zu tun.
Da wir gerade M, die Gramusch Regel kennengelernt haben,
machen wir das mit der Gramuschen Regel.
Das heißt also, ich muss vier Dedominanten ausrechnen.
Eine der dominante habe ich ja gerade M. schon ausgerechnet,
nämlich die dedominante von A. Also ist der nächste Schritt,
ich brauche die Dedominante dieser Matrix,
wenn ich die erste Spalte hier ersetze,
durch diese rechte Seite
Das heißt quasi, wenn Sie hier von dieser Dedominante hier,
von dieser Martin-Kredite Dominante ausrechnen,
das gibt dann mit der Regel von Zarus 2,
dann der zweite Schritt ist der,
Sie nehmen diese Matrix her wieder, die Matrix A,
und das setzt in die zweite Spalte durch die rechte Seite B,
dann bekommen Sie diese neue Matrix hier.
Davon rechnet sie wieder der Dominante aus. Das gibt ein
1 minus 3 mal P und auf analoge Art und Weise
bekommt sie auch die dritte der Dominante hier.
Und jetzt sagt, die kramische Regel,
dass diese Lösungen, das sind ja an gleichen Systems,
also diese koeffizienten X1, X2X3, gegames sind,
indem sie einfach hergehen und dividieren diese zwei, auch die der dominante von A.
Da haben wir aber eins minus P erhalten. Also ist X1
nichts anderes als zwei, dividiert durch eins minus P. X2,
nehmen Sie diese der dominante hierher, diesen Wert,
eins minus dreimal P und dividieren das Ganze doch eins minus P und analog für X3.
Also wir haben jetzt quasi auf die Art und Weise mit der Kramschen Regel,
ja, die Variable, die Lösungen, X1,
ich zwei extrem ausgerechnet, die zusammen diesen Lösungsvektor bilden.
Gut, also es war nochmal eine ökonomische Einwendung. Da ist sie in den letzten Abschnitten,
in den letzten ein, zwei Kapiteln, nicht allzu viele ökonomische Beispiele hatten,
ich ihn aber natürlich zeigen möchte, dass das,
was wir gemacht haben, durchaus angewandt werden kann,
um irgendwelche Fragestellungen in der Volkswirtschaftslehre oder Betriebswirtschaftslehre zu untersuchen,
kommt jetzt zum Schluss noch zwei Anwendungsbeispiele.
Aber auch hier gilt natürlich wieder, dass diese Beispiele relativ einfach geheim sind.
Weil für kompliziertere Beispiele müsste ich einen größeren Kontext erklären,
das würde viel Zeit kosten. Also jetzt hier kommen zwar relativ einfache Beispiele,
wie sie das, was wir jetzt gelernt haben,
in diesem Kapitel anwenden können, um volkswirtschaftliche, ich glaube,
beides sind Volkswirtschaft, die Fragestellung zu untersuchen.
Sie haben in vielen, vielen anderen Vorleistungen dann die Gelegenheit,
diese Methoden weiter einzusetzen
Zu sein, dass das durchaus seinen Nutzen hat,
was sie hier gelernt haben. Gut, das erste Beispiel,
das wir uns anschauen, ist aus der Multro-Ekonomie.
Wir betrachten den Markt mit zwei Wirtschaftsgütern. Was können wir
uns da vorstellen? Stellen wir uns vor,
wir hätten zum Beispiel Blasma-Fernseher und LED-Fernseher
Ja, also einfach zwei Wirtschaftsgüter gehen Sie davon aus,
dass diese Wirtschaftsgüter, dass sie da kein drittes Wirtschaftsgut gibt,
dass sie quasi in gewisser Weise komplementär zueinander sind.
Und jetzt treffen wir die erste Annahme A1.
Da treffen wir bei euch eine Annahme für die Nachfrage.
Wie sich die Nachfrage entwickelt. Und wir haben zwei Wirtschaftsgüter
. Deswegen haben wir in eins und in zwei.
In eins ist die Nachfrage für das erste Wirtschaftsgut.
Und in zwei ist die Nachfrage für das zweite Wirtschaftsgut.
Und wir nehmen an für die, zu dieser Nachfrage,
dass sich diese Nachfrage so darstellen lässt.
Als lineare Funktion der Preise, nämlich Preis für das erste
Wirtschaftsgut,
gegeben durch
Auch als Funktion des Preises so das zweite Rotschaftsgute,
bekommen quasi diesen in Jahren Zusammenhang. Das können sie quasi jetzt
so interpretieren, schreib es mal auf für in eins.
Welches denn? Ich habe hier ein I stehen und das
I steht für eins oder zwei. Und je nachdem,
ob sie das erste Produkt anschauen und das zweite Produkt,
erhalten sie in eins oder in zwei.
Also in eins würde bedeuten, dass wir haben,
an Armin Indizes 0 und E plus A,
mit den Indizes 1 und E,
mal P1. Plus A mit den Indizes 2,
I mal
Und das I kann ich jetzt hier ja setzen,
weil ich das erste Produkt anschaue. So. Erstes Produkt.
Jetzt versuchen wir das Ganze mal zu interpretieren, was da passiert.
Das ist ja eine Konstante. Irgendwie nehmen wir an,
oder wir nehmen einen jetzt bei diesem Modell,
da ich die Nachfrage für das erste Produkt gegeben ist,
durch eine Konstante, plus zwei Torme,
die vom Preis des ersten Produktes und des zweiten Produktes abhängt.
Das heißt also quasi, dieser erste Instrument ist unabhängig von
den Preisen für das erste und das zweite Wirtschaftsgut.
Dann der zweite, summend, hängt ab vom Preis für
dieses erste Wirtschaftsgut
Und was ist zu erwarten in den meisten Fällen?
Winterpreis für dieses Wirtschaftsgut nach oben geht,
als es eins größer wird, ist natürlich zu erwarten,
dass die Nachfrage für dieses erste Wort Charles Gunnar unten geht.
Also, kleiner wird. Deswegen ist wahrscheinlich in
den meisten Fällen hier dies so koeffizient hier.
Kleiner als null. Weil dann erreichen sie,
wenn P1 größer wird, dass links in eins kleiner wird.
So, hier dagegen haben sie den Preis für das zweite Wirtschaftsgut.
Hier wird es sich andersherum verhalten, wenn hier P2 größer wird.
Das heißt also, der Preis für das zweite Wirtschaftsgut,
und Sie gehen davon aus, Sie haben einen Markt,
wo es nur diese beiden Alternativen gibt, P1,
das erste Produkt, ein zweites Produkt,
wenn also P2 größer wird, ist zu erwarten,
dass auch in eins größer wird.
Weil wenn sich der Preis der zweiten Produkte erhöht,
werden mehr Leute das erste Produkt kaufen.
Deswegen wurde in den meisten Fällen diese Koeffizientierung größer sein als null.
So könnte das interpretieren, die Nachfragefunktion für das erste Produkt
und analog für das zweite Produkt.
Gut, für das Angebot müssen wir auch noch eine Annahme treffen.
Das ist hier die zweite Annahme, der Sancy,
da wurde eine ähnliche Annahme gemacht
Es wird auch wieder unterschieden, Angebot, ja,
Angebot, so das erste Produkt,
das wäre A1 und Angebot für das zweite Produkt,
das wäre A2. Und auch hier, Sansemer 8 und Linearen.
Ein Ansatz, zum Beispiel für A1. Würde gelten,
dass das ist B01 plus B11, mal P1 plus B1, 2 mal P2.
Sony verhält sich das jetzt mit den Koeffizienten. Wenn der
Preis steigt, für dieses erste Wirtschaftsgut, ist anzunehmen,
Dass auch A1 größer wird. In den meisten Fällen,
weil wenn sie viel wirtschaften können, wenn also der Markt so ist,
dass sie einen hohen Preis bekommen für ihr Produkt, dann waren sie das natürlich eher produzieren.
Also hat dieser Koopizint hier an der Regel größer sein als 0. Aber hier würde es so sein,
dass diese Koopizienten in den meisten Fällen klarer ist,
1-0. Denn wenn sie einen hohen Preis erzielen können für ihr zweites Produkt,
dann war uns in der Regel eher das zweite Produkt produzieren und weniger das erste Produkt und deshalb,
wenn hier zunimmt,
P2 größer wurde wahrscheinlich das Angebot für A1 kleiner.
Also das ist hier die ökonomische Interpretation.
Und jetzt haben wir quasi ein Modell aufgestellt,
ja,
dann gibt es
eine Frage
Das wäre für den Peak. Ja, da ist was
drin. Einverstanden? Ja. Gut, dankeschön.
Also wir haben jetzt hier ein relativ einfaches Modell.
Und das müssen sie sich auch immer vor Augen führen,
wenn sie quasi irgendwelche Fragestellungen mithilfe Mathematik lösen.
Sie müssen dazu ein Modell aufstellen. Und all die Aussagen,
die sie natürlich davon ableiten, mithilfe mathematischen Methoden,
wir basieren immer auf diesen anderen
Und so schwach wie ihre Annahmen,
beziehungsweise schwach sind natürlich dann auch am Schluss ihre Ergebnisse.
Das müssen sie sich immer vor Augen halten und das wird leider oftmals vergessen.
Man leidet dann mit vielleicht sogar relativ ausgereift mathematischen Methoden und Modellen
irgendwelche Ergebnisse her und vergisst ganz am Schluss,
dass dort irgendwann einmal irgendwelche Annahmen getroffen worden sind und sie können
noch so viel rechnen und mit den ausgerechteten mathematischen Methoden,
wenn ihre Annahmen falsch sind.
Meine Annahmen sind eigentlich immer falsch. Sie machen ja immer
vereinfachen die Annahmen. Die Realität könnte nie eins zu eins abbilden,
aber wenn ihre Annahmen zu sehr falsch sind,
dann ist da auch das Ergebnis nichts wert.
Selbst wenn sie die besten mathematischen Methoden einsetzen.
Also da ist immer sich vor Augen führen
So, und jetzt kommt noch die dritte Einnahme.
Eine Gleichgewichtsbedingung. Wir fördern, dass Nachfrage und Angebot übereinstimmen.
Das heißt also, dass die Nachfrage nach dem ersten Produkt
gleich dem Angebot für das erste Produkt ist.
Und genau das Gleiche natürlich auch für das zweite Produkt.
Also, dass diese beiden gleich und erfüllt sind. Gut,
und das Ziel ist jetzt,
die Preise P1 und P2 zu ermitteln, die dazu führen,
dass quasi hier diese Gleichgewichtsbedingungen erfüllt ist.
Das ist das Ziel.
Wir möchten P1 und P2 bestimmen
Und da ich ja überhaupt keine konkreten Annahmen gemacht habe,
bezüglich diesen Koeffizienten hier, bezüglich diesen Asier, ist klar,
das Ergebnis, das ich bekomme, hängt davon ab.
Also ich bekomme keine geschlossene Zahl, sondern einen Ausdruck,
der von diesen Koeffizienten abhängt. Gut. Der erste Schritt,
den man da dann sinnvollerweise durchführt, ist der folgende,
man vereinfacht das Ganze. Wir haben nämlich im letztendlich drei Gleichungen,
wir haben hier zwei Gleichungen,
nämlich in eins und für in zwei,
hier zwei Gleichungen für A1 und A2 und hier nochmal zwei Gleichungen.
Das macht insgesamt sechs Gleichungen. Aber das Ganze kann man
vereinfachen, also aus diesen sechs Gleichungen
Das Ganze kann man auf ein Zwei-Kreuz-Zwei-gleichiges System zurückführen.
Sie machen einfach Folgendes. Sie nehmen diese Gleichung hierher,
diese beiden. Und ersetzen jetzt hier für N1 und N2,
das hier ein, die Annahme,
in 1 und in 2. Und auf der rechten Seite die
Annahme für A1 und für A2. Quasi hier, diese Einnahme wurde eingesetzt.
Wenn Sie das tun, das Einsetzen hier links,
die Annahmen von N1, N2 und rechts vor A1 und Artwei,
das Einsetzen und dann hergehen und diese koeffizienten C,
J und Gamajot definieren,
dann bekommt sie quasi dieses Zwei-Kreuz-2-Gleichungssystem
Also, wenn sie das jetzt nicht nachvollziehen können,
einfach mal zu Hause hergehen, hier auf beiden Seiten das einsetzen,
was wir haben für die Nachfrage,
also das hier einsetzen und hier auf der Rechenzeit ihr das fürs Angebot und dann quasi sich anschauen,
diese Cs und diese Gammas, die die definiert sind,
dann wollen sie sehen, das hier,
was sie hier bekommt, stimmt dann überein mit dem,
was sie erhalten,
wenn sie quasi hier das einsetzen.
Und jetzt haben sie in zwei Kreuz zwei gleichen Systeme mit zwei Unbekannten,
mit P1 und P2, das können sie lösen.
Gut, und da gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten,
das zu tun, sie können den goischen Algorithmus anwenden
oder kamen schon Regeln
Wenn sie zum Beispiel die grammische Regel anwenden möchten, dann würde das bedeuten, dass sie die der dominante von A benötigen. Also,
das habe ich hier als A beteiligt, die der dominante,
die dieser zwei Kreuz 2 Matrix, das geht ganz einfach auszurechnen,
sie nehmen die Werte auf der Hauptdiagonalen,
die multiplizieren sie und ziehen davon das Produkt ab,
der Werte auf der anderen diagonalen,
also Kammer 1 mal C2. Und dann bekommen sie diesen Ausdruck,
dass sich sie ihre Detominante von A. Und jetzt bekommt sie quasi P1,
dadurch, dass sie den Quotienten bilden,
das war ja die grammische Regel,
sie gehen her in dieser Matrix A,
noch setzen die erste Spalte hier durch diese rechte Seite und rechnen von diesen neuen zwei Kreuz 2 Mati,
sieht der dominante aus.
Und das, was da rauskommt, dividieren sie durch diesen Wert hier.
Und dann bekommen sie quasi hier diesen Ausdruck. Das ist
quasi ihr Ergebnis von P1. Gnade das Gleiche könnt ihr machen,
dann heilen sie den Ausdruck von P2.
So sehen ihre Preise aus. Wenn sie ihre Preise so wählen,
P1 und P2, dann erreichen sie, dass unter diesem Modell ernahmen,
und das ist wichtig, nur unter diesem Modell annahmen,
wenn die gültig sind, dass quasi Angebot gleich Nachfrage ist.
Wenn sie aber einen anderen Sachbehalt hätten,
dass sie zum Beispiel vielleicht nicht so einen linearen Zusammenhang hätten,
zwischen Nachfrage und Preis oder angebrotem Preis,
zum Beispiel irgendwelchen quadratischen, kubischen Zusammenhang, wäre durchaus denkbar,
dann gilt das das Geheimnis nicht mehr.
Dieses Ergebnis, das sie abgeleitet haben, basiert auf diesen anderen.
Nur dann, wenn die erfüllt sind,
gilt das Preis P1 und P2
so gegeben ist
Und jetzt könnten sie quasi für eine bestimmte Fragestellung,
wenn sie dann quasi diese Werte ausrechnen können,
also wenn sie diese As und diese Bs konkret gegeben haben,
dann können sie quasi das hier alles einsetzen hier in ihr Ergebnis,
also dann können sie quasi C und Gamma ausrechnen und das können sie hier einsetzen,
dann bekommt sie reelle Zahlen für ihre Preise.
Also was wir hier gemacht haben, war relativ allgemein.
Also im Rahmen dieses Modells, das ich aufgestellt habe,
habe ich nämlich keine weiteren Annahmen getroffen.
Also nicht irgendwelche spezielle Einnahmen an irgendwelche Koeffizienten.
Gut, zweites Beispiel.
Auch ist der Volkshutschustler
Wir betrachten eine relativ einfache Volkswirtschaft mit drei indogenen Variablen, als abhängige Variablen.
Wir haben ein Volkseinkommen eh. Wir haben ein gesamtwirtschaftlichen Konsum,
also was die Volkswirtschaft konsumiert und ein gesamtwirtschaftliches Steuereinnahmen.
Also das war es quasi von dieser Volkswirtschaft,
an Steuern zu bezahlen sind. Das ist gegamed durch S.
Und dann haben wir zwei Exogene, das heißt unabhängige Variablen.
Das eine ist INU, das sind die Investitionen,
die von dieser Volkswirtschaft getätigt werden und dann ANUL,
das während die Staatsausgaben
Die kompletten Ausgaben dieses zugänglichen Staates. So, und jetzt,
also wir sind unsere Variablen. Die sind jetzt mal festgelegt.
Und jetzt muss ich ein Modell aufstellen. Und jetzt wird
zur Analyse dieser Volkswirtschaft, dieser sehr einfachen Volkswirtschaft,
natürlich haben sie in Wirklichkeit viel mehr Variablen als nur fünf Stück.
Wir unterstellen jetzt dieses Modell. Also diese beiden Beispiele sollen ihnen
auch ein bisschen Geschmack geben davon, wie das Ganze läuft in verschiedenen Vorlesungen.
Nämlich, wie man Modelle aufstellt,
wie man die interpretiert und wie man dann quasi das,
was sie hier gelernt haben und vielleicht auch in späteren Vorleistungen noch lernen,
quasi dann einsetzt,
um Schlussfolgerung zu ziehen aus diesen Modellen
Gut. Also,
zu diesem Modellannahmen sage ich hier immer ein bisschen was,
ich versuche, die zu motivieren wie gerade M,
aber da lässt sich natürlich trefflich drüber streiten,
ob diese Modellenahmen in der Realität erfüllt sind.
Und sie waren natürlich relativ schnell morgen,
dass diese Modellenahmen, das geht nicht anders,
immer wieder in der einen oder anderen Art falsch sind.
Es gibt kein richtiges Modell, das gibt es nicht.
Modelle sind immer Vereinfachung der Wirklichkeit und wenn sie vereinfachen etwas,
wenn sie die Wirklichkeit vereinfachen, heißt das,
sie müssen irgendwelche starken Annahmen treffen.
Und dadurch gibt es dann Fälle,
wo diese Einnahmen dann nicht mehr erfüllt sind.
Und in diesen Fällen ist dann das Modell falsch.
Sie müssen sich also immer überlegen,
was möchten sie untersuchen und welche Annahmen sind für das,
was sie untersuchen möchten,
Und deswegen kann es sein, dass ein Modell von einer
Fragestellung das Richtige ist oder als richtig angesehen werden kann oder
als akzeptabel angesehen werden kann, aber nicht von der anderen Fragestellung.
Gut, also hier wird unterstellt,
dass das Einkommen dieser Volkswirtschaft gegeben ist durch die Summe von,
nee, wir unterstellen, dass wir eine Gleichgewichtsbedingung erfüllt haben, nämlich das Einkommen gleich Konsum plus Staatsausgaben plus Investitionen ist. Also Ja,
auch da kann man schon drüber streiten,
ob diese Gleichgewichtsbedingungen erfüllt ist, die wissen selber,
dass wir die meistens Volkswirtschaften da nicht erfüllt, ist,
dass wir leider keine solche Gleichgewichtsbedingungen haben,
dass quasi das Einkommen gleich den Ausgaben ist,
die meisten Länder sind verschuldet, dann die zwei,
die Einnahme, die getroffen wird, Konsumfunktion, das heißt,
was sind dieser Volkswirtschaft konsumiert wird, nehmen wir an,
dass wir quasi so eine konstante Eifer haben, plus Better,
mal e-s-s, e-minus-s bedeutet,
einkommen-steuern und das Ganze wird alles verfügbares Einkommen bezeichnet.
Das ist das, was diese Volkswirtschaft zur Verfügung hat,
was sie ausgeben kann
Und man macht quasi hier einen linearen Ansatz,
man unterstellt, dass der Konsum linear ansteigt.
Umso mehr verfügbares Einkommen sie haben, umso mehr,
umso größere Differenz, Einkommen minus Steuern ist, umso mehr wird konsumiert.
Also das ist durchaus eine sinnvolle Annahme. Allerdings ist fraglich,
ob die so Zusammenhang von dieser Form her ist, ob der linear sein muss.
Da könnt ihr auch irgendwie eine andere Funktion sein,
eine kompliziertere Funktion. Abo, wir unterstellen jetzt mal,
es wäre so einfach, wir hätten so einen linearen Zusammenhang.
Gut, also Alpha ist quasi der Basiskonsum,
der immer vorhanden ist, unabhängig davon,
wie groß das zu verfügbare Einkommen ist.
Und hier
Zu meinem Better, mal e-s, wird gesteuert,
wie dann mit steigendem verfügbaren Einkommen der Konsum steigt.
So, und jetzt brauchen wir noch eine Annahme für unser Steueraufkommen.
Wir unterstellen, dass die Steueraufkommen auch linear ist und zwar
eine lineare Funktion vom Einkommen. Und da wissen Sie,
zum Beispiel, wenn Sie unsere Steuertabelle hernehmen, dass das nur ansatzweise stimmt.
Wir haben bestimmte Regionen in unserem Steuersatz oder unserer Steuerberechnung,
wo quasi immer ein lineares Zusammenhang Zusammenhang hat zwischen Steuer und Einkommen,
aber es gibt auch andere Zonen wieder,
vor allem bei höheren Einkommen,
wo sie mehr zahlen müssen.
Also wo sie keinen linearen Zusammenhang haben,
sondern einen quadratischen Zusammenhang
Progressive Steuer. Zahlungen, die da stattfinden. So,
das sind unsere beiden, oh nee, drei Modellen,
anderen sind es A1, A2, A3. So.
Und diese drei Modelle nahmen, kann ich zusammenschreiben,
da bekomme ich ein Jahresgleichungssystem. Also, wenn sie hier
diese drei Gleichungen hernehmen, bekommen sie dieses Gleichungssystem.
Das besteht aus drei Zeilen und drei Unbekannten. Unsere Unbekannten
sind das Einkommen eh, der Konsum K und ja,
die Steuerzahlungen S. Und jetzt stelle ich das Ganze auf hier,
dieses Klemmsystem mit Hilfe von Matrize und Vekton,
dann sind sie hier angelangt in
dieser gleichen
Ich hoffe, es stellt für sie kein Problem bei.
Also das sollte jetzt langsam sitzen. Zum Beispiel hier zu erkennen,
wie stellt man vor zweimal in den Jahren Kleidungssystem das gleiche System
auf mit Hilfe von Matrizen, wie man quasi die Koeffizienten abliest.
Wenn sie das dann machen, sind sie hier angekommen.
Dieses indiale Kleidungssystem möchten wir lösen. Der zweite Schritt,
den wir dazu durchführen, ist, wir überlegen einmal,
wann existiert denn eine Lösung? Und wann ist die eindeutig?
Da ist eine eindeutige Lösung existiert, bedeutet oder ist gegeben,
dann, wenn quasi diese Matrix in der Tierwahr ist.
Da wissen wir aber, dazu muss sie der Dominante dieser Matrix hier,
diese koeffizienten Matrix A, Muss ungleich null sein.
Das wäre der erste Schritt, den wir jetzt durchführen.
Wir rechnen hier die der Dominante aus. Das geht wieder
relativ einfach. Wir haben eine treue Kreuz 3 Matrix.
Und dann bekommt sie als der Dominante mit der Regel von Zarus,
bekommt sie für die der Dominante mit der Regel von Zarus, diesen Ausdruck hier.
Und da untersuchen wir jetzt, wann ist dieser Ausdruck gleich null?
Also, was machen wir? Wir setzen hier das Ganze
gleich null. Wenn wir das machen und umformen quasi die Eins auf die andere Seite bringen,
dann bekommen sie quasi hier diese Gleichung,
beziehungsweise sie können hier das Bett ausklammern,
bekommen sie hier, ja, diese gleichen App,
das soll ja ungleich ein sein,
weil das hier soll ungleich null sein und dann muss quasi das hier ungleich ein sein dafür.
Und dann erkennen sie, Dass das gegelben ist und in unser Modell.
Denn wir haben unterstellt, dass Betta, wo war das?
Das Betta zwischen 0 und 1 liegt. Und dass Delta
auch zwischen 0 und 1 liegt. Das hat aber zur
Folge, dass das hier niemals eins werden kann.
Betta liegt zwischen 0 und 1 und Delta liegt zwischen 0 und 1.
Das heißt also, dieser Faktor liegt zwischen 0 und 1
, ab Ruth niemals eins.
Und auch dieser Faktor ist echt kleiner als eins.
Als ist dieses Produkt hier niemals eins, ist immer klarer
als eins. Also ist diese Detominante immer ungleich null.
Also ist diese Matrix auch involtierbar. Also gibt es genau
eine Lösung
Und diese Lösung kann ich nur jetzt aus,
zum Beispiel mit der Regel oder mit der Kramerischen Regel.
Und dazu müssen sie jetzt hergehen und müssen jetzt diese Matrix A betrachten und müssen sukzessive hier diese Spalten,
diese drei Spalten, ersetzen doch hier diese rechte Seite.
Also wenn sie zum Beispiel X1 berechnen möchten, also ihre erste Unbekannte,
das wäre hier ja dieses E, wenn sie das ausrechnen möchten,
dann müssen sie hergehen und in dieser Matrix hier die erste Spalte ersetzen durch diese erste,
durch diese rechte Seite und dann von dieser neuen Matrix, die der Dominante ausrechnen.
Und dann das Ganze dividieren durch die der Dominante von A, also von dieser Matrix. Wenn sie das tun,
Also der dominante Ausreihenden, von dieser Matrix,
wenn sie die erste Spalte ersetzen durch die rechte Seite,
bekommen sie hier diesen Ausdruck,
können sich ausreihen mit Regeln von Zarus, dann bekommen sie,
wenn sie die zweite Spalte aussetzen durch die rechte Seite,
diese der dominante, das können sie auch sein,
das gibt das hier, und genauso für die dritte.
Und jetzt bilden sie diese Quotienten, sie rechnen aus,
also eh bekommen sie zum Beispiel, wenn sie diesen Ausdruck hernehmen,
und dividieren durch die dominante von A,
also von dieser Matrix hier.
Gut, und dann bekommen sie diesen Ausdruck für E,
diesen VK und den VS
Also sie sehen das jetzt schon relativ kompliziert jetzt aus.
Der Grund ist relativ einfach. Wir haben sex Variablen,
also es ist ja drei indogene Variablen und wie viel waren es?
Exogene? Waren es zwei, also wir haben fünf Variablen,
Entschuldigung, drei endogene, zwei exogene Variablen.
Wir haben keine speziellen Annahmen gemacht, also es waren für
uns wirklich Variablen. Deshalb haben wir natürlich eine Lösung,
die von diesen Variablen abhängt und deshalb sieht das relativ schnell kompliziert aus.
Trotzdem können wir da jetzt schon gewisse Schlussfolgerungen ziehen.
Das geht. Also ich möchte da jetzt nicht
zu tief einsteigen, zum Beispiel könnten wir
Folgendes machen
Wir haben ja jetzt einen Ausdruck für E, für das Volkseinkommen.
Das ist ja diese erste Zeile. Wir können jetzt
zum Beispiel uns anschauen, wie verändert sich das Volkseinkommen,
wenn die Staatsausgaben verändert werden?
Die Staatsausgaben war A0. Also, wie kann man das untersuchen?
Das wissen Sie aus der Schule. Nicht aus dieser Vorlesung
, da haben wir das noch nicht gemacht.
Das kommt erst nächstes Semester. Wenn Sie die Veränderung
einer Funktion betrachten, was machen Sie?
Sie laden diese ab. Wir können jetzt hergehen und könnten
diesen Ausdruck hier für das Volkseinkommen
ableiten nach
Nennt man quasi die Veränderungen in Abhängigkeit von A0. Das heißt,
ich bilde diese Ableitung hier und dann stelle ich fest,
die ist größer als null. Und was heißt das?
Was Volkseinkommen steigt, wen die Staatsausgaben erhöht werden?
Also Staatsausgaben haben positiven Effekt auf das Volkseinkommen.
In unserem Modell. Woraus ist jetzt dieses Modell,
ist richtig. Dann könnten wir zum Beispiel überlegen,
was passiert mit dem Volkseinkommen, wenn die so Steuersatz hier...
Wenn dieses Steuersatz Stelta, der steuert ja quasi,
wie viel Stören zu bezahlen sind,
wenn die so Steuersatz Stelta erhöht oder verringert wird.
Und das bedeutet, sie müssen hergehen und müssen hier
diesen Ausdruck für das Volkseinkommen
eh ableiten nach Delta
Da brauchen sie dann die Potientenregel. Das kommt, wie gesagt,
nächstes Semester, aber der eine oder andere von ihnen kennt das aus der Schule.
Hoffe ich. Dann bekommt sie diesen Ausdruck hier. Und
da stellen sie fest, dass es kleiner als null.
Und das bedeutet dann, dass das Volkseinkommen sich verringert.
Wenn der Steuersatz erhöht wird. Also, so kamen,
startet man mit einem Modell und kann dann am Schluss gewisse Aussagen ableiten.
So viel mal als Ausblick, wie man mit diesen Dingen umgeht.
So, den zweiten Teil dieser Vorleistung heute,
den werde nicht ich gäben, sondern ich muss mich vertreiben lassen,
weil ich nun einen anderen Termin habe.
Ich würde sagen, wir machen jetzt Pause und es geht um halb,
was heißt das, um halb zwei, geht es weiter,
kurz nach halb zwei
So, wollen wir mal anfangen? Herzlich willkommen zur zweiten Hälfte
der Vorlesung, Mathematik 1. Wie Sie sehen, hat hier
ein fliegender Wechsel stattgefunden. Da das Kapitel 4 eben beendet wurde,
fangen wir jetzt direkt neue an mit dem Kapitel 5.
Es geht um Eigenwertprobleme, also ein sehr wichtiges Kapitel.
Wir werden mit Eigenwertproblemen an vielen Stellen konfrontiert,
unter anderem bei Wachstumsprozessen oder bei der Prognose-Rechnung beispielsweise mit der
Untersuchung der Markentreue von Konsumenten haben wir uns bereits beschäftigt,
in Kapitel 2.
Also von daher
durchaus bekannt
Wir starten direkt mit einem Beispiel zu einem Wachstumsprozess,
nämlich zu einem Beispiel bezüglich der Bevölkerungsentwicklung.
Dabei gelte das Extee die Anzahl von Männern zum Zeitpunkt TS
und YT ist die Anzahl von Frauen zum Zeitpunkt T.
Und wir wollen uns ansehen, wie entwickelt sich die Bevölkerung,
und darauf wollen wir einen Eigenwertproblem anwenden. Das heißt,
wir gucken uns erstmal die beiden Punkt A und B an,
Punkt A, wie viele Geburten haben wir, Punkt B,
wie viele sterben denn letztlich in der jeweils betrachteten Periode,
die Zahl YT plus 1 bezeichnet die Anzahl von Frauen zum Zeitpunkt T plus 1.
Das kann in der nächsten Periode sein.
Es kann morgen sein, wie auch immer. Zur Vereinfachung
werde ich T plus 1 im Folgenden häufiger als morgen bezeichnen und
die Periode T werde ich als heute bezeichnen.
Also die Anzahl an Frauen heute ist YT und die Anzahl an Frauen morgen.
NT plus 1 ist YT plus 1. YT plus 1 minus
YT gibt die Anzahl an Neugeborenen Mädchen an und zwar in
der Periode TT plus 1.
Das ist dann vielleicht
ein Jahr
Dementsprechend ist YT plus 1, dann natürlich die Anzahl an Frauen,
morgen, die wir morgen haben, nachdem die geboren sind in der Periode TT plus 1.
Das Gleiche gilt auch für die Jungen,
XT plus 1, bezeichnet die Anzahl an Jungen,
in T plus 1 oder an Männern in T plus 1,
aber XT plus 1, minus XT ist die Anzahl an Neugeborenen,
Jungen in der Periode T,
T plus 1. Und dazu soll Folgendes gelten,
die Anzahl an Neugeborenen verhält sich,
proportional und zwar bei Frauen und bei Männern,
proportional zur Anzahl an Frauen in der Periode
Und zwar für die Mädchen mit dem Proportionalitätsfaktor 0,3.
Und für die Jungen mit dem Proportionalitätsfaktor, Proportionalitätsfaktor 0,2.
Was heißt das jetzt? Proportionalitätsfaktor 0,3? Das heißt,
wenn wir in T, also heute 100 Frauen hätten,
dann würden in der Periode T, T plus 1,
30 Mädchen neu geboren werden.
Das heißt das. Bezüglich der Jungen gilt das ähnlich,
da mit dem Proportionalitätsfaktor 0,2. Aber wie gesagt, bezogen auf
die Anzahl an Frauen. Das heißt, wieder hätten wir
100 Frauen. Heute in T haben wir 20 Neugeborene Mädchen,
äh Jungen, 20 Neugeborene, Jungen in der Periode T,
T plus
Ja. Das waren die Geburten, das war Teil A,
und Teil B, da geht es um Sterben,
ja, auch das passiert in einer Periode,
in dem Zeitraum T-T-Plus 1 sterben,
also 20 Prozent der Frauen und 20 Prozent der Männer, ja.
So. Und wir wollen uns ja auf die Bevölkerungsentwicklung stürzen,
das heißt, wir wollen aus diesen Angaben eine Art lineares Gleichungssystem aufstellen.
XT plus 1 und Y T plus 1 stehen Links,
Das sind ja, wie gesagt,
die Anzahl an Frauen und Männer in der Priorität plus eins.
Also die Anzahl von denen,
die in Tee bereits da waren, zuzüglich derer,
die in der Priorität Tee plus eins geboren wurden,
aber eben abzüglich derer, die in der Periode gestorben sind.
Und da gucken wir uns mal die Zahlwerte an.
Bleiben wir mal bei den Männern, XT plus eins basiert
natürlich auf XT, also auf der Anzahl der Männern vorher.
Davon ziehen wir 20 Prozent der Zahl an Männern ab,
die wir in Tee hatten, weil wir ja gesagt haben,
der Anzahl an Frauen in der Periode Tee,
also die Zahl der Männer in Tee plus 1,
wächst um 20 Prozent der Anzahl an Frauen,
die wir in Tee hatten
Ja. Das kann man natürlich zusammenfassen. Also XT minus
0,2 XT ist gerade 0,8 XT. Und ja, 0,2
YT bleibt natürlich 0,2 YT. Das Gleiche gilt auch für
die Frauen. Also YT plus 1 basiert auf YT.
20 Prozent derjenigen Frauen aus Tee sterben, also minus 0,2 YT.
Plus 0,3 YT, das war ja gerade der Proportionalitätsfaktor,
bezogen auf die Anzahl an Frauen in der Periode Tee.
Das Beispiel hatten wir ja gerade,
wenn wir 100 Frauen in Tee haben,
dann steigt die Anzahl an Frauen in Tee
plus 1 um
So, und jetzt nähern wir uns der zentralen Frage.
Wir wollen uns die Frage stellen,
gibt es oder ist eine Bevölkerungsentwicklung möglich,
bei der die männliche und die weibliche Bevölkerung mit dem gleichen Proportionalitätsfaktor Lamda wächst oder schrumpft?
So, wohlgemerkt, wachsen bezeichnen wir mit dem Proportionalitätsfaktor Lamda größer eins,
denn jeder wert größer eins steht für einen Wachstumsprozess und ein Lamda
kleiner als eins steht gerade für einen Schrumpfungsprozess.
Warum das hier nicht Lamda gleich eins sein kann,
darauf werde ich
gleich nochmal eingehen
Wir suchen also dieses hier, ja,
wir suchen einen Proportionalitätsfaktor Lamda,
der multipliziert mit der Anzahl an Männern bzw. Frauen in Tee,
gleich der Anzahl an Frauen und Männern in Tee plus 1 ist.
Das heißt, wir gucken, gibt es sowas überhaupt?
Können wir einen Proportionalitätsfaktor angeben? Für den gilt,
dass sich beide gleich entwickeln. Also mit der gleichen Rate
wachsen oder eben schrumpfen,
wie gesagt
So, XT plus 1 und Y T plus 1 steht hier links.
Was aber ist XT plus 1 und Y T plus 1?
Das ist natürlich nichts anderes als das,
was wir ganz oben stehen haben. Denn oben haben wir
gerade Gleichung angegeben für XT plus 1 und Y T plus
1. Also XT plus 1 war ja gerade 0,8 XT plus 0,2 Y
T. Wir können also den Thermen von oben nehmen und unten einsetzen für XT plus 1.
Das Gleiche machen wir auch mit Y T plus 1. Y
T plus 1 ist nämlich gerade nur 1,1 Y T,
weil wir drei Therme hatten mit Y T und die
entsprechend zusammengefasst haben
Den tieferen Sinn hierhinter wollen wir uns vielleicht nicht besonders angucken,
denn die Entwicklung der Männer hängt von Männern und Frauen
ab und die Entwicklung von Frauen, naja.
Man sieht es, wenn man genauer hinguckt,
aber wie gesagt, wir sprechen auch über Proportionalitätsfaktoren.
Von daher darf man das vielleicht nicht zu ernst nehmen.
Gut, was wollen wir machen? Wir wollen die Angaben,
die auf dieser Folie stehen, in ein Gleichungssystem übersetzen.
Das heißt, wir nehmen eine Koeffizienten Matrix A,
wie wir sie schon kennen, und setzten die Koeffizienten von oben ein.
Die 0,8, die 0,2,
die 0 und die
Das wäre dann hier unten unsere koeffizienten Matrix A und der Vektor X,
bezeichne jetzt mal die Anzahl an Männern und die Anzahl an Frauen in Tee.
Und wir können ja groß A mal Klein X,
wenn wir einsetzen für XT plus 1,
beziehungsweise Y T plus 1. Das heißt,
wir können aus zwei Ausgleichung 2 ein lineares Gleichungssystem machen,
in dem wir für XT plus 1 und Y T
plus 1 entsprechend A mal X einsetzen.
Also die Matrix modifiziert mit dem Vektor
Gut, worauf kommen wir dann? Wir kommen auf diese
Art Lina aus Line-System, wie wir sie schon kennen.
A mal x, gleich, Lamdam mal x.
An der Stelle sehen wir vielleicht auch ganz gut,
warum Lamda hier nicht gleich eins sein kann,
denn wenn Lamda gleich eins wäre, dann müsste A,
was für eine Matrix sein, die eine als Matrix.
Und wenn wir uns mal da oben die Koeffizienten angucken,
dann sehen wir schon, die sind von der Einheitsmatrix verschieden,
von daher kann sich kein Lamda gleich eins einstellen.
Das heißt aber nicht,
dass generell kein Lamda von eins geben kann,
das kann es natürlich auch geben,
nur nicht in diesem Fall
Diese Gleichung, die Gleichung drei hier oben bezeichnet man
als Eigenwertproblem und wir berechnen zwei, zwei Dinge,
wenn wir uns Eigenwertprobleme anschauen, nämlich die Eigenwerte selbst.
Das sind die Werte für Lamda, ja.
Und die Eigenvektoren, das sind die X-Vektoren. Wohlgemerkt,
beim Eigenvektor muss man immer den Null-Vektor herausnehmen,
denn wenn der Null-Vektor auch als Eigenvektor gelten würde,
dann müsste man die Nummer da oben einsetzen.
Dann würde man nämlich feststellen, dass jeder Wert oder
jedes Lander aus R dann ein Eigenwert der Matrix wäre.
Und das natürlich nicht der Sinn der Sache,
Was jetzt passiert ist, es fällt ein Eigenwert und ein Zugehöriger Eigenvektor
X vom Himmel, wie wir die beiden berechnen, sehen wir später.
Wir haben hier einen Eigenwert von Landa gleich 1,1 und einen Eigenvektor,
der aus den Größen 2000 und 3000 besteht.
2000 ist ja die Zahl der Männer in Tee und 3000
ist die Zahl an Frauen in Tee.
Und wir gucken uns mal an, ob das hinhaut. Das,
was hier links steht, ist ja A mal X,
also unsere koeffizienten Matrix multipliziert mit dem Eigenvektor.
Der Eigenvektor war ja gerade
Als Eigenwert haben wir die 1,1 herausbekommen und die 1,1 multiplizieren wir dann auch wieder mit dem,
wir haben mit dem Eigen Vektor X gemäß Gleichung 3.
Und das haut hin, wenn man sich da ansieht,
denn 0,8 mal 2000, 1600 plus 0,2 mal 3.600.
Und das ist das Gleiche,
wie die 1,1 mit der 2.000 multipliziert,
also 2.200. Und unten genau das Gleiche und es ist natürlich noch leichter,
man sieht es auf einen Blick,
null mal 2.000 plus 1,1 mal 3.000
ist das Gleiche wie 1,1 mal 3.000
und das ist
Also, was ist das Ergebnis des Ganzen?
Wir haben einen Eigenwert von 1,1. Das heißt,
wir haben eine gleichmäßige Wachstumsrate bei Männern und bei Frauen von 10 Prozent,
denn es ist ja größer als eins, also Wachstum.
10 Prozent ist der Wert hinterm Komma,
also wir haben eine gleichmäßige Wachstumsrate von Männern und Frauen
unter der Bedingung, dass wir diesen Eigenwerk zu haben.
Haben wir also 2000 Männer zum Zeitpunkt T und 3000 Frauen zum Zeitpunkt T,
dann wachsen Männer und Frauen mit der gleichen Wachstumsrate von 10 Prozent.
Wir haben also in der Periode T plus 1
genau 10 Prozent mehr Männer und genau 10 Prozent mehr Frauen
wie im Periode
Das heißt nicht, dass es der einzige Eigenwert ist,
aber das ist eben ein Beispiel für einen Eigenwert.
Kommen wir zu einem nächsten Beispiel, zur Wirtschaftsentwicklung.
XT bezeichnet den Gesamtkonsumentee,
YYT bezeichnet die Gesamtinvestitionen im Tee und wir betrachten ein Modell,
was so aussieht wie vier hier.
Also der Gesamtkonsumentee plus eins basiert auf dem Gesamtkonsum in Periode Tee,
zuzüglich 2020 Prozent der Gesamtinvestitionen,
die wir in der Periode T haben
YT Plus 1, also die Gesamtinvestition zum Zeitpunkt hier Plus 1,
setzen sich zusammen aus zehn Prozent des Gesamtkonsums in Periode T
und 65 Prozent der Gesamtinvestitionen in T.
Wir stellen uns die gleiche Frage, ist eine,
ist eine gleichmäßige Wirtschaftsentwicklung möglich. Das heißt,
hat diese Matrix einen Eigenwert und dann natürlich einen Zugehörigen Eigenvektor?
Wir interessieren uns wieder für eine Wachstumsrate,
also entweder für einen Lamnder größer als eins oder für eine Schrumpfungsrate,
Lamder kleiner als eins
Und wir suchen demnach eine Wirtschaftsentwicklung,
wie sie ganz unten steht,
dass nämlich XT plus 1 drebst, sondern T plus 1,
also die Werte für Konsum und Investitionen in der Periode T plus 1,
über den gleichen Proportionalitätsfaktor mit dem jeweiligen Wert in der Periode Tee zusammenhängen.
Die koeffizienten Matrix können wir entsprechend ableiten,
die ist wieder die Matrix A oben, also 1,
0,2, 0,1 und 0,65 und der Vektor X ist XT und YT.
Das ist so genauso, wie wir das eben in einem
anderen Beispiel auch hatten.
Wir konstruieren oder wir betrachten wieder im gleichen System der Form
AX gleich Lamda mal
Und auch hier fällt ein Eigenwert vom Himmel, nämlich die 1,05.
Und der zugehörige Eigenvektor ist die 4.000 und die 1.000. Das heißt,
4.000 wären dann ja die oder wären die gesamt oder wäre der Gesamtkonsumentee und 1.000
wären die Gesamtinvestitionen in T. Und der Proportionalitätsfaktor wäre das Lander,
also 1,05,
er ist größer als eins.
Also haben wir es hier wieder mit einem Wachstum zu tun.
Und zwar mit einem gleichmäßigen Wachstum von 5 Prozent
auf Konsum und Investitionen
So. Setzen wir das Ganze mal ein in die Form AX,
gleich Lander X, dann stellen wir erst mal fest,
dass bei der 0,56 ein Zahlendreher ist.
Das muss hier 0,665 heißen. Und wir gucken uns
das Ganze mal an. Geht das wieder auf, ist
die Frage. Gucken wir uns mal Zeile 1 an,
also einmal 4.000 ist 4.000 plus 0,2 mal 1.000,
also plus 200 ist gerade 4.200.
Und 1,05 mal 4.000 ist auch, 4.200. Also dafür passt es schon.
Wie sieht es mit der unteren Gleichung aus?
0,1 mal 4.000 sind 4.400 und 0,65 mal 1.000 sind 650.
Also haben wir
Für die Gesamtinvestitionen in Tee plus 1. Und das sehen wir auch hier,
denn hier steht ja 1,05 mal 1.000 und 1,05 mal 1.000, der ist 1.050.
Also von daher, auch hier passt es wieder. Wohlgemerkt,
bei der Interpretation muss man immer so ein bisschen aufpassen.
Wir haben, oder wenn wir ein Wachstum von 5 Prozent haben,
dann haben wir eine gleichförmige Entwicklung von Konsum und Investitionen.
Aber unter der Bedingung, dass wir diesen Eigenwerk so haben.
Ja, also unter der Bedingung,
dass wir einen Tee,
einen Konsum haben von 4.000 und Investitionen von
Es könnte auch andere Eigenvektoren gehen,
das muss nicht der einzige sein, der zu diesem Eigenwert passt,
aber dieser Pass, das haben wir gesehen.
Ja, Frage. Gut aufgepasst, ja. Wenn wir
noch mal eine Folie zurückgehen, dann sehen wir,
hier steht plus 0,65YT. Das haben wir übertragen in die
koeffizienten Matrix. Und das steht hier unten auch noch mal,
nur leider mit dem Zahlen daher.
Ja, wie ich gerade schon angemerkt habe
Gut, wir haben hier zwei Beispiele durchgesprochen.
Einmal zur, ja, oder zwei Beispiele zum Wachstum.
Definieren wir mal allgemeingültig, was ist ein Eigenwert,
was ist ein Eigenwektor. Das ist so eine Stelle,
an der man besonders gut aufpassen muss. Wenn wir eine Matrix arm A,
und zwar aus dem R-Hoch-Endkreuz N,
dann wissen wir erst mal,
die Basis für unsere Betrachtung ist eine quadratische Matrix und das heißt für uns nur quadratische Matrizen können Eigenwert haben.
Nur wenn wir es mit quadratischen Matrizen zu tun haben,
brauchen wir sie auf Eigenwerte
zu untersuchen
Ein Vektor, x Element R hoch N,
wobei gilt x Ungleich null, das Thema hatten wir vorhin.
Ich habe gesagt, der eigene Vektor darf nicht null sein,
weil sonst ja jedes Lander ein, ja, ein Eigenwert wäre.
Ist ein Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert Lamda aus C.
Das heißt also, das Lamda oder der Eigenwert einer Matrix
muss nicht unbedingt eine reelle Zahl sein.
Es kann sich auch um eine komplexe Zahl handeln.
Ganz wichtig
Das heißt, wenn sie beispielsweise in der Klausur mal Eigenwerte
einer Matrix berechnen und sie kommen auf einen Therm,
wo sie was Negatives unter der Wurzel herausbekommen,
dann ist das noch nicht das Ende,
sondern das heißt für sie, die Eigenwerte dieser Matrix sind komplex.
Ja? Wer sich mal an die alten Klausuren gewagt hat,
wird in der Klausur vom zweiten Terminaufgabe 6.1 genau das festgestellt haben.
Das heißt, hören Sie nicht auf zu rechnen,
wenn Sie was Negatives unter der Wurzel haben,
sondern erinnern Sie sich,
die Eigenwerte können komplex sein,
also muss ich mit komplexen Zahlen weiterarbeiten
Auch noch ein wichtiger Begriff hier, die Menge aller Eigenwerte
wird als Spektrum bezeichnet. Als Spektrum der Matrix A.
Wenn Sie also nach dem Spektrum meiner Matrix gefragt werden,
steckt da nichts anderes dahinter als,
berechnen Sie die Eigenwerte dieser Matrix und schreiben Sie die Eigenwerte in eine Menge.
Ein paar Anmerkungen, die Anmerkung 1, habe ich schon
zweimal erläutert inzwischen. Anmerkungen 2 ist noch ganz interessant,
denn mit der Eigenwektor X wird durch die Matrix A
nur auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet
Das gleiche System lautet ja immer, A,
mal X, gleich, lam da mal X.
Das heißt, der Eigenvektor X wird über die Matrix A
eben auf ein Vielfaches von sich selbst,
nämlich gerade auf das Lamberfache von sich selbst abgebildet.
Das heißt also, die Matrix staucht unseren Stauch,
den Eigenvektor, beziehungsweise streckt ihn und der Stauchungs- oder Streckungsfaktor
ist da durch den Eigenwert gegeben.
Durch den Proportionalitätsfaktor Lamder. Ein ganz wichtiger Zusammenhang zwischen
den Eigenwerten und der Determinant einer Matrix
Und zwar der Matrix a-lamda mal e. Ja, ehe ist die Einheitsmatrix.
Wir kennen das schon. Das heißt, was ist überhaupt
die Matrix? Der A-Landa e. Das ist nichts anderes,
als würde man von der Matrix A auf jedem Element der Hauptdiagonalen ein Lamde abziehen.
Nichts weiter. Wir berechnen also im Grunde,
wie gehabt, die Determinante einer Matrix A,
wobei wir von jedem Element auf der Hauptdiagonalen Lamde abziehen.
Diese determinante setzen wir gleich null. Und wenn wir den Term auflösen,
wenn wir also die determinante bestimmt haben,
kommen wir auf einen gewissen Term,
auf den Term gehe ich gleich noch genauer ein,
mit verschiedenen Lamdas
Und die Lösung dieser Gleichung sind dann die Eigenwerte, die Eigenwerte lahm da der Matrix. Gut,
ja, zu dem Beweis, denke ich,
brauche ich gar nicht viel sagen, ist im Grunde selbsterklärend,
was vielleicht noch ganz wichtig ist an der Stelle ist,
vielleicht eine kleine Wiederholung für Sie,
wenn eine Matrix den vollen Rang hat,
dann heißt das immer für Ihre determinante,
dass sie determinante von null verschieden ist.
Das heißt aber auch immer, dass die Matrix regulär ist und wenn er
eine Matrix regulär ist, ist sie immer auch invertierbar.
Also ein ganz wichtiger Zusammenhang vergleichen Sie auch,
den ersten Satz in Abschnitt 4, 4 hierzu.
Das sind Zusammenhänge, die natürlich sitzen müssen. Damit können
sie sich auch um zwei wie sehr viele Rechenarbeit ersparen,
denn wenn sie mal die determinante oder den Rang an der Matrix bestimmt haben,
können sie daraus ganz einfach, und zwar verbal folgern,
wie die jeweils andere Größe aussieht.
Dann braucht man gar nicht mehr viel rechnen. So,
lösen wir jetzt die Gleichung,
Dead von A minus lande mal eh gleich null nach Lande auf,
dann erhalten wir die Eigenwerte der Matrix und den zugehörigen Eigen Vektor,
also den Vektor X, erhalten wir,
wenn wir dieses Gleichungssystem hier rechts lösen,
also A minus Lande A in Klammern,
mal X
Das, was hier steht, ist im Grunde das,
was sie brauchen, um solche Rechnungen in der Klausuren durchführen zu können.
Sie berechnen immer zuerst die Eigenwerte einer Matrix und auf Basis der Eigenwerte
berechnen dann die zu den jeweiligen Eigenwerten, zugehörigen Eigenvektoren.
Jeder Eigenwert kann mehrere Eigenvektoren haben. So, gucken wir uns mal an,
wie diese Berechnung genauer funktioniert. Dead von a-lamdae,
das ist diese Matrix, die hier steht und das war ja,
das war auch das, was ich Ihnen gerade schon erläutert habe.
Wir ziehen von jedem Element auf der Hauptdiagonalen von A,
das lande ab, das sehen wir hier ganz gut,
auf der Hauptdiagonalen, also von jedem oder von jeden Kompon,
von jeder Komponente der Matrix A-A-I-I, ja,
das sind ja gerade die Werte auf der Hauptdiagonalen,
ziehen da einmal das Land da ab.
Ähm, ja, und dann stellen wir fest, das kann man zeigen,
dass dieser, oder diese Gleichung den folgenden Summanten enthält.
Das wäre der Summant, der sich ergibt,
wenn wir die Hauptdiagonale betrachten, ja, also, A,
der A-11-Landa, mal A-22 minus Landa, bis zum letzten runter.
Das heißt, dieser Ausdruck, Dead von Arminus Landa eh,
enthält immer diesen Ausdruck bezüglich der Hauptdiagonalen.
Und das ist ganz wichtig, wir können nämlich daraus etwas folgern,
nämlich, dass das bereits der Therm ist,
der die höchste Potenz von Lamda enthält.
Wir haben ja in jedem dieser Ausdrücke Lamda drin,
Minuslanda, Minuslanda, Minuslanda und die höchste Potenz,
die wir vom Lamda nachher haben, ist natürlich Lamda hoch N.
Das ist immer die höchste Potenz.
Wir haben also auch immer einen Polynom vom gerade N.
Wenn wir das berechnen wollen hier. Die höchste Indet von
Arminus Lamda eh vorkommende Potenz von Lander ist N.
Da steht es nochmal,
ganz wichtig
So, wir können den Therm auch mal in langer Form aufschreiben.
Dead von Armin, das Lamda E ist dieser Therm hier.
Der sieht immer so aus. Wobei diese Cs,
die CEIs hier Koeffizienten sind, die entsprechende Zahlwerte annehmen,
wenn wir es rechnen.
Aber warum steht hier vorne kein Koeffizient? Warum steht da
kein CN? Warum steht da gleich minus eins hoch N?
Das liegt daran, dass es,
dass vor dem Lamda oder vor der höchsten Potenz von Lamda
nur minus eins oder plus eins
stehen kann
Das macht auch durchaus Sinn, denn wir sehen ja,
wenn wir uns die Hauptdiagonale betrachten oder einfach direkt diesen so Mann hier,
wie er hier steht,
wir haben irgendwo ein Minuslamba in Klammern hoch N drin.
Das können wir auch auseinanderziehen zu minus eins hoch N mal Lamba
hoch N. Und das ist genau das, was hier steht,
minus eins hoch N, mal Lamba hoch N. Das heißt,
haben wir eine Matrix, einer geraden Dimension,
sagen wir mal zwei Kreuz, zwei,
dann ist die höchste Potenz von Lamba,
gerade Lamba,
Plus Landerquadrat. Denn das Vorzeichen von Landa ist dann positiv.
Hätten wir eine 3-Kreuz 3-Matrix, dann hätten wir minus 1 hoch 3,
ist minus 1, multipliziert mit Landa hoch 3,
also die höchste Potenz wäre dann minus Lamda hoch
3. Das sähe dann immer so aus. Gut. So
viel dazu, da gehen wir gleich noch genauer drauf ein.
Vor allem ist es wichtig, dass dieser Therm,
diese Gleichung, wie wir sie aufstellen,
einen Namen hat und den sollten sie alle kennen.
Nämlich Dead von A minus Lamda E bezeichnen wir als
charakteristisches Polynom
Also eine ganz wichtige Bezeichnung, die sie auch,
wenn sie die Klausuren aus dem letzten Jahr sich mal ansehen,
in den Klausuren wiederfinden.
Und da ist charakteristische Polynom ist eben nichts anderes als die gleichen,
die wir gerade eben bestimmt haben,
und zu der ich eben auch schon einiges gesagt habe.
Wenn wir das charakteristische Polynom gleich null setzen,
dann bezeichnen wir diese Gleichung als charakteristische Gleichung.
Ja, also die charakteristische Gleichung ist nichts anderes als das
charakteristische Polynom einer Matrix gleich null gesetzt.
Auch den Begriff sollten sie kennen
Hier unten in der Bemerkung steht noch was Interessantes,
nämlich eine quadratische Matrix, hat immer genau N-Eigenwerte.
Das heißt, liegt eine Matrix der Dimension 3,
Kreuz 3 vor, hat diese Matrix immer genau drei Eigenwerte.
Liegt eine 2, Kreuz 2 Matrix,
wo er diese Matrix immer genau zwei Eigenwerte.
Diese Eigenwerte müssen aber nicht unbedingt verschieden sein.
Das heißt, es können auch gleiche Eigenwerte auftreten
Man kann für zwei Kuleffizienten vom charakteristischen Polynom,
die folgenden Ausdrücke angeben, CN minus 1,
das war ja geil, der Kuleffizient,
der quasi ganz vorne stand nach der oder nach der höchsten Potenz von Landa,
der oder den Kuleffizienten kann man immer berechnen über minus eins in Klammern hoch,
N minus eins,
das heißt für für ein grades N,
für eine 2 Kreuz 2 oder 4 Kreuz 4 Matrix,
haben wir immer ein minus 1,
also CM minus 1 hat ein negatives Vorzeichen und disnegative Vorzeichen
multiplizieren wir mit der Spur der Matrix
Auch ein neuer Begriff wahrscheinlich für Sie, die Spur einer Matrix
ist immer die Summe über die Komponenten auf der Hauptdiagonalen.
Auch wichtig, ganz wichtig. Wenn Sie also die Spur einer Matrix bestimmen sollen,
dann bilden Sie die Summe über alle Komponenten auf der Hauptdiagonalen.
Hier unten steht jetzt auch noch mal zusammengefasst,
Summe über alle A-I-I-I für I gleich 1 bis N. Ja,
und das N ist dann ja eben die Dimension.
Der Matrix, wir sprechen ja hier nur von quadratischen Matrizen
So, weiter kann man zeigen, oder? Wir bleiben erstmal
ein bisschen bei der Spur. Man kann nämlich zeigen,
dass zwischen den Eigenwerten,
also zwischen den Lamdas einer Matrix und der Spur einer Matrix der folgenden Zusammenhang besteht,
kennt man die Eigenwerte einer Matrix,
dann braucht man die Eigenwerte nur addieren und man hat auch die Spur der Matrix heraus.
Was sie also auf dieser Folie sehen,
sind zwei Wege zur Berechnung der Spur einer Matrix,
nämlich einmal über die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen
und einmal über die Summe der Eigenwerte,
wobei die Eigenwerte natürlich in der Regel nicht den Werten auf
der Hauptdiagonalen entsprechen
Gehen wir jetzt nochmal hoch. Hier steht nämlich 10-0. Also,
wenn wir eine Folie zurückgehen,
die letzte Komponente des charakteristischen Polynoms, 10-0,
ist immer die Determinante der Matrix A. Das heißt,
haben Sie bereits das charakteristische Polynom einer Matrix bestimmt und sollen Sie die Determinante,
der zugrunde liegenden Matrix A bestimmen,
brauchen Sie es nicht mehr separat zu machen,
denn sie steht bereits im charakteristischen Polynom und kann
direkt abgelesen werden an der letzten Komponente,
nämlich an dem
Es gibt auch einen Zusammenhang zwischen Determinant und Eigenwerten. Nämlich,
wenn man das Produkt über alle Eigenwerte bildet,
dann entspricht dieses Produkt auch der Determinante der Matrix A.
Sie haben also auf dieser Folie auch zwei Wege kennengelernt,
um die Determinante einer Matrix zu bestimmen.
Zwei weitere Wege. Sie kennen ja schon mehrere Wege.
10-0 im charakteristischen Polynom ist die Determinante von A,
die kann direkt abgelesen werden und die Determinante von Amos,
auch dem Produkt über alle Eigenwerte entsprechen
Das ist auch eine gute Probe für Sie,
dass Sie sehen können, habe ich richtig gerechnet.
Es gibt noch Mehrwege beispielsweise, war die Ente,
Hauptunterdeterminante einer Matrix, ist natürlich auch immer die Determinante der Matrix selbst.
Ja, auch hier wieder schauen Sie sich alte Klausuren an.
Es wurde gefragt nach mehreren Wegen zur Bestimmung der Determinante und
der Spur einer Matrix und die Antwort sehen Sie hier auf dieser Folie.
So, gehen wir jetzt mal Rechenbeispiele an
Gucken wir uns die folgende 3 Kreuz 3 Matrix an.
Wir bilden ja zuerst die Matrix a-lamda mal e.
Da hatten wir ja gerade eben gesehen, man zieht dann einfach
nur bei jedem Element der hauptdiagonalen Eimer das Lande ab.
Das heißt, wir kommen dann auf diese Form hier.
0-lamda minus 1 minus Lander und 3 minus Lander.
Das sind ja gerade die Werte der hauptdiagonalen nur einmal
lahm da abgezogen
Und wir sollen ja jetzt die Determinante dieser Matrix bestimmen,
also der Matrix, a-landa-e, wenn wir diesen Ausdruck dann hinschreiben,
ist das ja das charakteristische Polynom der Matrix.
Wenn wir das dann gleich null setzen, dann kommen wir zur charakteristischen Gleichung.
Machen wir das mal. Wir haben es mit einer Drei-Kreuz,
Drei-Matrix zu tun und sollen die Determinante der Drei-Kreuz 3 Matrix bestimmen.
Wie geht das? Das geht am besten über die Regel
von Sarus. Und die Regel kennen Sie ja schon.
Ich denke, ich brauche im Detail nicht darauf eingehen,
oder?
Sollen wir das
noch einmal durchsprechen
Was macht man? Man fängt bei der Hauptdiagonalen der Matrix
an und bildet das Produkt über die Elemente auf der Hauptdiagonalen.
Wobei jetzt natürlich bei jedem Element das Land dann auch hinzukommt.
Also kommen wir zuerst auf diesen Summanten, hier Nullmius Landa
mal minus 1 minus Landa, mal 3 minus Landa.
Das ist also die Hauptdiagonale. Dann würde man ja gemäß
der Regel von Sarus quasi eine diagonale weiter nach rechts wandern.
Also man würde dann die zwei hier zwei,
na mit der 1 multiplizieren und mit der zwei,
die hier unten steht, Zwei mal eins, mal zwei, ist vier.
Und das wurde hier eben direkt schon hingeschrieben.
Mir steht am Plus vier. Wir sind nur von
der Hauptdiagonalen eine Diagonale weiter nach rechts gewandert.
Zur Vereinfachung können sie sich auch die beiden ersten Zeilen der Matrix
einfach nochmal hinten dran schreiben. Dann sehen sie genau,
welche Elemente sie in das Produkt mit einemziehen müssen.
Wir waren dann wieder eine Diagonale weiter nach rechts.
Also minus eins, mal zwei, mal minus eins,
minus eins, mal minus eins, ist plus eins,
mal zwei ist zwei.
Also das wäre diese zwei hier.
Plus zwei
Wir haben jetzt also drei diagonalen nach rechts berechnet und
die Regel von Sarah sieht ja dann vor,
dass wir quasi spiegelverkehrt nochmal die diagonalen, ja,
auch wieder nach rechts hin abarbeiten.
Also, minus dann jedoch minus. Hier unten sehen wir
zweimal minus eins, minus Lander, mal minus eins.
Und das ist auch genau das, was hier in der Klammer steht.
Minus, Klammern zweimal, minus eins Minus Lander, mal minus eins.
Dann geben wir eine Diagonale weiter nach rechts wieder. Also,
Ja, minus eins, mal eins, mal minus landa.
Das ist dieses hier, minus eins ist hier unten.
Hier ist die eins und wir haben ja hier quasi die
erste Spalte mal dran geschrieben, null minus landa ist minus landa.
Also minus eins, mal eins, mal minus landa.
Ja. Einen haben wir noch. Wir gehen wieder
eine diagonale weiter nach rechts, minus drei minus landa,
mehr den wir hier unten haben, mal zwei.
Wir waren dann also jetzt nach links zu dieser zwei mal
die zwei, die ganz oben in der Mitte steht
Wenn wir das Ganze zusammenfassen,
haben wir bereits einen Ausdruck für das charakteristische Polynom.
Und wir sehen ja, hier vorne steht minus Lamda
Hoch 3. Hatten wir auch erwartet, denn wir wissen ja,
das ist immer minus eins Hoch N, mal Lamda
Hoch N. Und ja, N ist hier 3,
weil wir eine 3 kreuzt, 3 Matrix haben,
also minus eins Hoch N ist minus eins.
Daher das Minus da vorne und lande hoch N,
ist gerade Lamda Hoch 3, von daher passt das.
Was wir noch ablesen können, ist hier am Ende
die minus 8. Was ist die minus 8,
die am Ende steht
Hatten wir gerade. Was ist die minus 8,
ja? Ich habe es leider nicht verstanden. Genau,
die Determinante von A ist das. Die Determinante von A
können wir direkt ablesen und die lautet minus 8. Wohlgemerkt,
das Vorzeichen muss mitgenommen werden. Nicht das Vorzeichen da abschneiden,
das Vorzeichen vor der 8 gehört auch noch mit dazu.
Also die Determinante von A entspricht 10.0,
das stand ja, glaube ich,
auf der vorhergehenden Folie und hier ist 10.0 minus 8,
also ist die Determinante von A minus
So, wir können dieses charakteristische Polynom auch anders schreiben,
nämlich so wie es hier steht, in Klammern,
also minus, in Klammern, lamdaminus zwei zum Quadrat,
mal in Klammern Lamda plus zwei.
Und das ist eine Form, an der man direkt die Eigenwerte ablesen kann.
Denn das charakteristische Polynom müssen wir ja gleich null setzen.
Das heißt, wir müssen die charakteristische Gleichung betrachten.
Und wir interessieren uns ja für die Werte für Lamda,
für die, die die Gleichung hier null ist.
Das heißt, wir können die Eigenwerte direkt ablesen.
Gucken wir uns die Klammern mal einzeln an.
Hier vorne steht in Klammern
Lamda minus zwei
Wir suchen also einen Lamm dafür, dass diese Klammer null wird.
Das sieht man wahrscheinlich auf den ersten Blick,
lahm da gleich zwei, sorgt dafür, dass diese Klammer null wird.
Da der ganze Ausdruck multiplikativ erknüpft ist,
ist dann auch die ganze, oder ist das ganze Porynom gleich null.
Von daher ist Lamda gleich zwei, ja bereits seinen Eigenwert der Matrix.
Und zwar sogar ein doppelter Eigenwert, weil ja da steht,
lamda minus zwei, in Klammern zum Quadrat.
Ja. Zwei Eigenwerte haben wir also schon,
zwei Eigenwerte sind zwei, also plus zwei
Wir also zur nächsten Klammer,
weil auch wenn die letzte Klammer null wird,
ist ja der gesamte Ausdruck null, ja,
Lamda plus zwei wird dann null, wenn Lamda minus weiß.
Also haben wir auch den dritten Eigenwert und der ist minus zwei.
Und wir wissen ja, eine Matrix der Dimension 3,
Kreuz 3 hat genau wie viele Eigenwerte?
Drei. Ja, wir haben alle drei gefunden.
Wir haben zweimal die zwei und einmal die minus zwei.
Also wir haben einen doppelten Eigenwert drin und dann eben noch
einen anderen
Bleiben wir an der Stelle mal ganz kurz stehen.
Wir springen mal einmal nach oben. Wir haben ja
eben gesehen, wie man die Spur einer Matrix bestimmt.
Die Spur einer Matrix ist ja die Summe über die Elemente auf der Hauptdiagonalen.
Also in diesem Falle 0 minus 1.3 und minus 1 plus 3
ist plus 2. Also machen Sie aus dieser Minusfreie und meine Plus 2.
Und wir wissen ja, wir können die Spur
nicht nur über die Elemente der Hauptdiagonalen bestimmen,
sondern auch über die Summe der Eigenwerte.
Die Eigenwerte kennen wir jetzt. 2, 2,
minus 2, 2 plus 2 ist 4,
minus 2 ist 2. Also von daher,
die Spur ist 2 auf beiden Wegen.
Wir kommen zum gleichen Ergebnis
Die determinante von A, kennen wir schon,
wir haben sie abgelesen an C00, die war ja minus acht.
Wir wissen aber auch, dass für die Determinante von A
gelten muss, dass sie dem Produkt über alle Eigenwerte entspricht.
Also zwei mal zwei mal minus zwei,
muss auch der Determinante von A einsprechen.
Zweimal zwei ist vier mal minus zwei ist minus acht.
Also wir sehen auch auf dem zweiten Weg die Determinante von
A ist minus acht.
Ja. Gibt es noch Fragen zu diesem Rechenbeispiel,
bevor wir weitergehen
Ja. Ja. Weil das plus zwei sein muss.
Meine ich ja geil. Da müssen sie das minus zwei
hier unten durch plus zwei ersetzen.
Gibt es sonst noch Fragen für ein Beispiel?
Also das Konzept der Spur und der determinanten Bestimmung über das
charakteristische Polynom und die charakteristische Gleichung,
das ist verständlich
Genau. Vielleicht kommen Sie ein bisschen zur Ruhe,
sonst versteht keiner Ihre Frage.
Wir haben andere Werte natürlich, ja. Wie meinen Sie
gleich benennen? Es gibt einfach zwei Berechnungsweisen für die Spur.
Es gibt einmal die Berechnungsweise über die Werte der Hauptdiagonalen.
Das war ja Summe über alle
Das ist nicht die gleiche Notation wie über die Landers.
Nur wir können es eben auch über die Landers bestimmen,
denn wir sehen ja die Spur von A, ist die Summe,
über alle Lander, Is von Igley 1 bis N.
Das ist nicht die gleiche Formel. Ich meinte ja gerade,
die Werte auf der Hauptdiagonalen werden in der Regel nicht den Eigenwerten entsprechen.
Also machen Sie nicht den Fehler,
dass Sie auf die Hauptdiagonale gucken und denken, oh,
die Spur berechnet sich ja über die Summe der Hauptdire,
der Werte auf der Hauptdiagonalen.
Also habe ich ja meine Eigenwerte schon.
0, minus 1 und 3. Das wäre falsch, ja
. Das wäre so oder so falsch,
auch wenn Sie zufällig richtig wären,
weil man die Eigenwerte so nicht bestimmen kann
Gut. Das, was hier steht, haben wir gerade schon zusammengefasst.
Wir haben drei Eigenwerte, zwei, zwei und minus zwei.
Und das Spektrum ist ja die Menge aller Eigenwerte.
Und das Spektrum lautet dann minus zwei und zwei.
Das ist eine Mengendarstellung und bei Mengen wissen wir,
ob wir einen Wert in eine Menge doppelt darstellen oder nicht.
Ist egal, es ist das Gleiche. Also minus zwei,
zwei, zwei ist die gleiche Menge wie die Menge minus zwei,
zwei.
Da steckt ein bisschen mehr an Schritten dahinter.
In der Regel, das ist eine gute Frage.
Wie kommt man von diesem Ausdruck hier auf diesen?
Das kann man mit ein bisschen Übung sehen.
Das verlangen wir aber von ihnen in der Klausur nicht.
In der Klausur werden sie in der Regel natürlich auf diesen
Ausdruck hier kommen. Dann geben wir ihnen aber entweder schon
das charakteristische Polynom vor. Das heißt, diese Form,
da können sie die Eigenwerte ja direkt ablesen,
beziehungsweise wir geben ihnen
die Eigenwerte vor.
Ja. Ne, da wurde einfach nur eins zusammengefasst.
Das sind vielleicht noch zwei Zwischenschritte des Zusammenfassens,
aber ich denke, das kann jeder mal für sich selber rechnen.
Ja. Gut. Jetzt haben wir die Eigenwerte der Matrix bestimmt.
Wir wollen immer noch die Eigen Vektoren der Matrix bestimmen.
Wie bekommen wir die Eigen Vektoren zu den Eigenwerten,
die wir gerade bestimmt haben?
Wir lösen Reichungssysteme. Wir haben ja zwei Eigenwerte,
zwei und minus zwei, beziehungsweise drei.
Ja, wir haben nur zwei verschiedene. Von daher brauchen
wir auch nur zu den zwei verschiedenen Eigenwerten,
die zuhörigen eigene Toren zu berechnen
Wir haben also zwei lineare Gleichungssysteme zu lösen.
Einmal dieses hier und einmal dieses hier. Also einmal
haben wir für Lamba, denn da steht ja eigentlich Lamba,
plus zwei eingesetzt und einmal haben wir minus zwei eingesetzt.
Das entspricht hier oben diesem Ausdruck. A, minus Lamba E,
mal X1 war es ja und minus Lamba, also minus zwei.
Und unten ist es ja auch minus Lamba,
minus my minus us plus, also steht unten A plus zwei Ehe.
So, diese beiden Gleichsysteme wollen wir lösen,
das ist das Ziel und die Lösung dieser gleichen Systeme
sind dann die Eigenvektoren zu den jeweiligen Eigenwerten
Fangen wir mit dem ersten an, Eigenvektor X1,
zum Eigenwert Lande 1, gleich Lander 2,
denn das war ja ein doppelter Eigenwert, gleich zwei.
Wir schreiben die Matrix auf, wohlgemerkt, minus 2E haben wir hier. Ja,
wenn wir einmal zurückgehen, müssen wir Folgendes machen, wir würden,
wir müssen auf jedem Wert oder bei jeder Komponente auf der Hauptjunge,
dann müssen wir einmal minus 2 abziehen. Ja,
also gucken sich die Matrix an von vor zwei Folien,
das ist die gleiche, die hier oben steht,
nur dass wir auf den Elementen der Hauptdiagonalen,
die waren ja vorher 0, minus 1 und 3,
bei jedem Wert einmal die minus 2,
ja,
addiert haben oder eben zwei
abgezogen haben
Das gleiche System müssen wir lösen, das ist ein homogenes Gleichungssystem,
wir wissen ja noch, ein homogenes Gleichungssystem ist ein gleiches System, bei dem B gleich null gilt. Das kann man auch in den Gleichungsformulismus übertragen,
das sieht dann so aus,
wobei hier unten natürlich nicht zweimal X2 steht,
sondern zweimal X1. Das brauchen sie aber im Grunde gar nicht in den Gleichungsformalismus zu übertragen,
denn sie kennen das ja,
sie rechnen da ja für gewöhnlich mit dem Gauss-Algorithmus und sie bringen die Matrix auf,
die Zeilen in Stufenform, betrachten den Rang,
stellen dann fest,
es gibt ja eine eindeutige Lösung,
von daher können sie sogar mit dem Gauss-Euros noch weiterrechnen und die Matrix A so umformulieren,
dass es die Einheitsmatrix wird und dann können sie rechts direkt
die Lösung ablesen
Und die Lösung lautet hier eben, X1 ist gleich ein
halb 0, minus 1. Und das ist der Eigenvektor,
der zu den beiden Eigenwerten Lande 1, Eichlander 2 gleich 2 gehört.
Das Gleiche machen wir auch nochmal für den Eigenvektor X2.
Wir müssen jetzt natürlich auf jedem,
ja auf jedem Element der Hauptjagon einmal die 2 hinzuaddieren.
Also wo vorher 0, minus 1 und 3 stand,
steht jetzt 2-1, 5.
Und auf völlig analoge Weise können wir mit dem Bausalgorithmus
auch auf die eindeutige Lösung des Eigenwektors kommen.
Und der lautet hier eben X2 gleich,
dreieinhalb,
minus zwei,
So, ein weiteres Beispiel. Das Beispiel,
was wir jetzt betrachten, das ist das Beispiel zur Bevölkerungsentwicklung,
dass ich ganz am Anfang angesprochen hatte.
Die Koeffizienten Matrix A hatten wir da bereits aufgestellt.
Die lautete ja 0,8, 0,20 und 1,1.
Wir wollen ja wieder das charakteristische Polynom bestimmen. Also ziehen
wir auf jedem Element der Hauptjunge an einmal Landa ab.
Dann haben wir 0,8 minus Landa und eben 1,1 minus Landa.
Ja gut, wir bestimmen determinant einer 2-kreuz-2-Matrix.
Das macht man nicht über die Regel von Sarus,
sondern über eine spezielle Regel für zwei Kreuz-2-Matrizen
Und die lautet ja gerade,
ich nehme die Elemente auf der Hauptdiagonalen, multifiziere die,
also 0,8 minus lande mal 1,1 minus lander und ziehe davon
0,2 mal 0 ab und das ist null.
Von daher wurde das dahinten gar nicht mehr hingeschrieben. Machen Sie nicht den Fehler,
dass Sie auf zwei Kreuz zweimal tritts in die Regel von Saurus anwenden,
denn dann werden Sie feststellen, dass Sie immer auf null kommen.
Gut. Wir können am charakteristischen Polynom direkt die Eigenwerte ablesen,
denn wir müssen ja nur wieder darauf achten,
dass die charakteristische Gleichung erfüllt ist.
Das heißt, dass dieser Therm gleich null ist und
gleich null wird dieser Therm eben dann genau,
wenn mindestens eine Klammer null ist
Also entweder 0,8 minus Lamm da gleich null gilt.
Das gilt für Lamm da gleich 0,8. Oder eben, ja,
die 1,1 minus Lander gleich null gilt und das gilt für 1,1.
Das sind die beiden Eigenwerte, also wir haben ein Lamm
da, 0,8 und ein Lamm da eben 1,1.
Wir haben zwei Eigenwerte, wir betrachten eine 2 Kreuz,
2 Matrix, also haben wir alle.
Ja? So. Und wir berechnen jetzt mal den zu 0,8 gehörigen Eigenvektor.
Das läuft wieder wie über die übliche Darstellung, über dieses Kleidungssystem.
Wir ziehen also auf jedem Element der Hauptjagd und ein Eimer
das Lande ab. Lamm, da ist hier 0,8.
Also 0,8 minus 0,8 ist 0 und 1,1 minus 0,8 ist
Also ist das Gleichingssystem dann von dieser Form hier unten
und wir können zwei Gleichungen aus diesem System ziehen,
nämlich 0,2 mal X2 und 0,3 mal X2, jeweils gleich null.
So, das heißt natürlich, es liegt auf der Hand,
was X2 ist, X2 wird null sein,
was aber ist mit X1. Ist eins,
darf ja nicht null sein.
Wenn X1 null ist, und ich soll auch null ist
, dann wäre der Eigenvektor null
Wir wissen ja, es darf keinen Eigenvektor geben, der dem null Vektor entspricht,
denn sonst würde ja jedes Lander ja gerade ein Eigenvetter Matrix darstellen. Von daher,
für X1 gilt, es ist ein Parameter,
und zwar ein Parameter aus den reellen Zahlen,
sagen wir mal, A. Wobei wir natürlich noch dazu sagen müssen,
es ist ein Parameter aus den reellen Zahlen,
aber wir müssen die Null ausschließen,
weil wenn wir gerade die Null noch zulassen würden,
hätten wir genau den Fall,
den ich gerade angesprochen habe, nämlich wir hätten einen Eigenvektor,
der dem Nullweck da entspricht.
Und das ist per Definition
nicht zulässig
Gut, der Eigenvektor zum Eigenwert 0,8 lautet dann einfach A. Null. Und die Frage ist jetzt, wie interpretieren wir das? Zur Erinnerung,
wir hatten ja XT,
war die Anzahl an Männern zum Zeitpunkt T und Y Thema,
die Anzahl an Frauen zum Zeitpunkt T. Das heißt,
haben wir eine A-Männer zum Zeitpunkt T und 0 Frauen in Tee,
dann passiert was,
dann haben wir 0,8 mal A Männer in T plus 1 und 0,8 mal 0 Frauen im Zeitpunkt T plus 1. Das heißt,
beide schrumpfen sie mit der gleichen Rate, nämlich 20 Prozent,
Wobei die Frauen natürlich eigentlich nicht schrumpfen,
denn sie bleiben gleich, denn es gibt ja gar keine.
Okay. Gut. Gehen wir zum zweiten Eigenwert.
Lander 2 gleich 1,1. Der kommt ihnen auch bekannt vor,
denn das ist der Eigenwert,
der ja vorhin in dem Beispiel vom Himmel gefallen ist.
So kommen wir auf den Eigenwert.
Wir haben ihn eben am charakteristischen Polynom einfach abgelesen.
Denn für Lander gleich 1,1 hatten wir ja gerade das erfüllt,
dass das charakteristische Polynom oder dass die charakteristische Gleichung erfüllt ist,
als Polynom
gleich null ist
So, wir kommen, wenn wir jetzt für Lander 2
gleich 1,1 nehmen auf diese Form. Das heißt,
wir ziehen, ja, während der Hauptdionalen jeweils 1,1 ab.
Da oben 0,8 stand, steht da jetzt minus 0,3 und
ein Recht stand vorher 1,1, also steht da jetzt null.
Haben wir also minus 0,3 mal X1 plus 0,2 mal X2.
Gleich null. Die zweite Gleichung existiert ja quasi nicht.
Rang gleich eins. Wir können, wir können mit
der Zeit gleich nichts anfangen, ihr enthält keine Informationen.
Von daher bleiben wir bei der ersten Gleichung.
Wir werfen 0,3 X1 auf die andere Seite,
haben dann 0,2 X2
gleich 0,3
Teilen dann die gleichen durch 0,2 und haben dann X2 gleich 0,3 durch 0,2 X1.
Und das ist gleichbedeutend mit X2 gleich drei halbe Mal X1.
Also X2 ergibt sich direkt auf Basis von X1. Und zwar,
es entspricht immer den 1,5-Fachen des Wertes,
den wir für X1 haben.
Wohlgemerkt, Felix 1 dürfen wir natürlich nicht null setzen,
denn sonst hätten wir das gleiche Problem wie eben,
wir hätten den null Vektor.
X1 ist also A und A ist ein Wert aus den
reellen Zahlen, wobei die null wieder ausgeschlossen werden muss
Der Eigenvektor zu diesem Eigenwert, Lander 2,
ergibt sich also zu X-2 gleich A und 3,5 halbe
A. Interpretation ist relativ einfach und läuft eben,
das läuft immer gleich, also analog.
A, Männer zum Zeitpunkt T und 3 halbe mal A,
Frauen zum Zeitpunkt T, also 1,5 mal, so viel.
50 Prozent mehr Frauen als Männer. Zum Zeitpunkt T. Wenn das vorliegt,
wenn wir diese Konstellation haben für jedes A aus R,
wobei die Null eben nicht dabei ist,
dann haben wir eine gleichmäßige Wachstumsrate bei Männern und Frauen
in Bezug auf das nächste Jahr,
nämlich ein Wachstumsrate von 10 Prozent
Dann haben wir im nächsten Jahr nämlich 1,1 mal A-Männer,
also in X-Team plus 1. Und Y und T plus 1 ist dann ja
gerade 1,1 mal drei halbe mal A-Frauen in Y und T plus 1, ja?
Das steht übrigens auch nochmal hier oben, zusammengefasst.
Das nächste Beispiel kennen wir auch schon,
denn das ist das Beispiel zur Wirtschaftsentwicklung,
das war das zweite Beispiel zu Anfang der Vorlesung.
Wir gehen vor, wie wir immer vorgehen,
wir bestimmen das charakteristische Polynom, Also, wir bestimmen die Determinante dieser Matrix.
Zwei Kreuz, zwei Matrix, also wie gehabt. Ja,
eins, minus Lamdermal, 0,6, 5 minus Lamder,
minus 0,2 mal 0,1, ist 0,02. Also,
wir wenden die ganz normale Regel an für die Berechnung der Determinante
beinahe zwei Kreuz-2-Matrix, fassen das Ganze entsprechend zusammen.
Wir sehen ja Minusland am Mai, Minuslander,
ist minus, ja, minus eins hoch, N,
mal Lamder hoch, N, wir haben eine zwei Kreuz-2-Matrix,
also minus eins, hoch zwei,
ist plus eins und landen da auch zwei,
von daher steht hier Pluslander,
Dann haben wir minus 0,65 Lander und Minuslamda zusammengefasst,
ist minus 1,65 Lamda. Und über 1, mal 0,65 ist 0,65.
Und wir erfassen 0,65 und diese minus 0,02 am Ende direkt zusammen.
Von daher haben wir am Ende 0,63. Ja. Ja,
wir können die Determinante der Matrix wieder direkt ablesen,
den Determinante der Matrix A lautet 0,63.
Wir können die Eigenwerte aus diesem Therm relativ einfach bestimmen.
Wir haben zwei Möglichkeiten, sie kennen das ja schon
Sie können direkt die Mitternachtsformel anwenden oder aber sie stellen fest,
die Gleichung liegt in Normalform vor, das heißt A,
gleich 1. Und wenn die Normalform vorliegt,
können sie direkt die PQ-Formel anwenden.
Auf der nächsten Folie wurde jetzt mal die Mitternachtsformel angewendet,
kennen wir ja minus B, plus minus Wurzel aus,
B-Quadrat, minus 4, A, C, durch 2a.
Ja, aber wie gesagt, sie können auch die PQ-Formel anwenden.
Wenn sie das machen, kommen sie auf diese beiden Eigenwerte,
nämlich auf Landa 1,
gleich 1,05 und Landa 2,
Und den einen der beiden Eigenwerte kennen wir schon aus dem Beispiel,
zu Anfang der Vorlesung, das war die 1,05.
Hier sieht man also, wie man ihn berechnen kann.
Ja. Wir erhalten dieses Lightningssystem, wie es hier unten steht.
Wir ziehen ja, wie gesagt, nur das Lande 1
gleich 1,5, auf jedem Wert der Hauptdiagonalen ab.
Vorher stand oben links die 1, minus 1,05,
ist gerade minus 0,05. Und unten rechts stand vorher 0,65 und
0,65 minus 1,05 ist gerade minus
Wir kommen auf diese Form hier unten. X1 ist gleich 4X2,
wobei X2 wieder nicht null sein darf, sondern A ist.
Wir setzen wieder einen Parameter aus den reellen Zahlen, aber ohne null.
Das heißt, der zugehörige Eigen-Vektor zum Eigenwert 1,5 ist 4 A und A.
Was heißt das jetzt? Haben wir viermal so viel an Gesamtkonsum,
also an Konsumausgaben in der Periodität, wie in der,
oder wie bezüglich der Gesamtinvestition,
dann Haben wir eine gleiche Wachstumsrate von Gesamtkonsum und Gesamtinvestitionen,
nämlich eine Wachstumsrate von 5 Prozent.
Ja. Im Grunde machen wir jetzt immer das Gleiche.
Wir behandeln quasi ein Beispiel nach dem anderen.
Zur Berechnung von Eigenwerten, von Eigenvektoren und auch zur Interpretation.
Ist das grundlegende Konzept soweit klar geworden?
Das klingt ja nachher im klaren Jahr, oder?
Aber das macht man ja auch noch in den Übungen.
Von daher Gucken Sie sich die Beispiele nochmal in Ruhe an,
rechnen Sie dann mal ein paar Aufgaben.
Und dann denke ich, dürfte das klar werden.
Na, noch nicht. Ein bisschen haben wir noch.
Freuen Sie sich lieber, dass ich noch ein bisschen länger mache.
Nein. Gut. Also, das war das zum Eigenweck-Tor von 1,
oder zum Eigenwert 1,05. Wir haben noch den zweiten,
zweiten Eigenwert, nämlich die 0,6. Wir berechnen dazu das gleiche System.
Wir kommen also auf diese Form. Wir ziehen,
wie gesagt, auf jedem Element der Hauptdiagonalen die 0,6 ab,
kommen dann auf 0,4 und
Die Gleichung, auf die wir dann kommen, lautet,
X2 gleich minus 2 X1, wobei natürlich wieder Felix 1 gelten muss,
dass es gleich A ist, also gleich ein Parameter sein muss.
Und der Eigenvektor X1 sieht dann aus,
wie folgt A und minus 2 A. Das heißt also,
haben wir in der Periode T doppelt so viele Desinvestitionen,
Desinvestitionen deswegen, weil wir haben ja negative Investitionen,
wir haben ja Minus davor,
haben wir einen T doppelt so viele Desinvestitionen,
wie Kondomausgaben
Dann haben wir bezüglich Konsumausgaben und, ja, Gesamtinvestitionen,
die gleiche Schrumpfungsrate, nämlich 40 Prozent.
Ja, ich denke, wir haben an Beispielen genug durchgesprochen.
Gibt es noch Fragen Ihrerseits zu dem, was wir heute gemacht haben?
In der zweiten Hälfte gemacht haben. Ja. Deine Frage
geht ganz runter. Sonst nach der Stunde. Gibt es
noch andere Fragen? Gut, dann war es das.
Ich bedanke mich