Also es geht weiter. In der Pause hatte ich jetzt
einige Fragen. Und ich glaube, es ist wichtig,
nochmal was klarzustellen. Beim Lösen von linearem Gläubensystem ist es
ja so, dass wir das auch öfters praktiziert haben.
Wir haben Zellen und Spanen vertauscht. Ist vollkommen in Ordnung,
das dürfen Sie tun. Sie dürfen Zeilen und Spanen vertauschen
. Sie müssen dann natürlich, wenn Sie Spalten vertauschen,
am Schluss beim Aufschreiben der Lösung aufpassen, was sind Ihre Variablen?
Also was sind X212 und so weiter? Das war quasi
die gleiche Geschichte wie das hier an der Tafel.
So, wenn Sie die in Warte ausrechnen,
dürfen Sie auch Zeilen vertauschen, ist überhaupt kein Problem.
Sie dürfen rein theoretisch auch Spalten vertauschen,
aber da müssen Sie
bestimmte Dinge berücksichtigen
Und da das in der Regel zu Schiffbruch führt,
also das ist die Erfahrung, die ich gemacht habe,
erkläre ich ihnen auch gar nicht so genau,
was sie dann alles berücksichtigen müssen,
sondern gäbe ihnen den guten Tipp,
tun sie es nicht, wir tauschen sie keine Spalten.
Zeilen dürfen sie vertauschen. Eine andere Frage, also kurze Zusammenfassung,
bei linearen Gleitungssystemen, Zeilen und Spanen vertauschen kein Problem.
Bei Lösen oder beim Bereichen einer in was? Bitte nur
Zeilen vertauschen. Keine Spanen vertauschen. Dann kam eine Frage,
was macht man oder anders formuliert, ist da eine Maprix,
die an einer bestimmten Stelle, nämlich an der ersten Zeile,
ersten Spalte,
hier an dieser Stelle eine Null hat,
ist die denn
überhaupt invotierbar
Kann man da nicht sofort schon ablesen, dass diese Mathes
keine Invasse hat. Die Antwort lautet auch eine solche Matrix
, kann einen Invasse haben. Also auch,
wenn hier oben eine Null steht, kann es durchaus sein,
dass in Wasser existiert, welche dürfen ja Zeilen vertauschen.
Und dann könnt ihr das erreichen, dass auch dort
eine Eins zum Stehen kommt. Wenn sie sich zum Beispiel
diese Matrix hier anschauen, die hat so unten eine Null.
Die Un hat eine Null. Und trotzdem besitzt sie eine in Vase,
weil durch elementare Zeilenumformungen, Arachien sie am Schluss,
da ist hier trotzdem eine Eins dann zum Stehen kommt,
nämlich sie vertauschen hier in der Mitte einmal zehn und spalten
und dann kommt dadurch hier eine Eins zum Stehen.
Und das ist hier dann
die Invase
Also, morgen sie sich, wenn sie glauben,
wenn hier eine Null steht,
das ist keine in Wasser gibt, dann ist das falsch.
Also, so einfach geht das nicht. Sie müssen schon
ein bisschen mehr tun, ein bisschen mehr arbeiten, sie müssen rechnen.
Und wenn sie dann im Goschen-Algorithmus rechnen und sie kommen an eine Stelle,
wo in einer Zeile nur Nullen stehen,
in einer kompletten Zeile, dann gibt es keinen Invasium.
Gut, das als Klärung. So, und jetzt möchte
ich Ihnen erläutern, warum autogonale Matrizen autogonal heißen.
Das sieht schlimm aus, ich weiß,
aber es ist relativ einfach zu verstehen
Ich habe Ihnen mal das Produkt U transformiert, mal O hingeschrieben.
Und zur Erinnerung, weil die Pause war ja so lang,
was heißt nochmal, orthogonale Matrix,
O mal U transponiert, soll gleich der Einheitsmatrik sein.
Dann ist es ohne orthogonale Matrix. Also gehen wir davon aus,
außer in die orthogonale Matrix. Wenn ich jetzt dieses Produkt bilde,
U transportiert mal, uh, was heißt denn das?
Der erste Eintrag von U transponiert mal U.
Also der einen Tag in der ersten Zeile der ersten Spalt,
die an dieser Stelle, dann bekomme ich doch dadurch,
dass ich die erste Zeile hernehme von U transponiert und
die erste Spaltin von U und dort das Kalarprodukt bilde.
Was ist aber die erste Zeile von U transponiert
Das ist doch die erste Spale, die von U transponiert.
Also steht hier das da. Wie bekommt sie diesen Eintrag
? Da müssen sie hergehen und die erste Zeile von U
transponiert nehmen und die zweite Spalte von U.
Also sie müssen berechnen, U1 transponiert mal U2 und so weiter.
Und so bekommt sie diese Matrix. Und da hat es ja
eine orthogonale Matrix ist, kommt da die Einheitsmatrix raus.
Das ist die Eigenschaft einer orthogonalen Matrix, dass dort die Einheitsmatrix rauskommt.
Und jetzt könnt ihr einiges ablesen. Was bedeutet denn das
? Wenn sie diese beiden Matrixen hier vergleichen, Komponentenweise,
dann zähen sie, Dass quasi nur die Einträge auf der Hauptdiagonalen,
dir kämen ihn eins und alle Einträge oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonalen,
a gäbe null.
Das bedeutet also, wenn sie das Skalarprodukt bilden,
von OE mit OJ und E und J sind ungleich,
also sind verschieden, dann kommt da null heraus.
Und das bedeutet doch, per Definition,
dass diese Vektoren autogunal sind. Also in anderen Worten,
wir haben gezeigt damit, eine orthogonale Matrix hat die Eigenschaft,
wenn sie zwei verschiedene Spalten hernehmen.
Und das Kalarprodukt bilden, dann kommt null heraus oder in
anderen Worten, die sind autogunal.
Die spalten einer orthogonalen Matrix sind autogunal zueinander
Genau das Gleiche könnten Sie vor die Zellen zeigen.
Auch die Zellen einer orthogonalen Matrix sind orthogonal zueinander.
Und die Länge durchspalten ist eins. Das heißt,
ihre Norm ist eins, das könnt ihr hier auch ablesen,
denn sie zählen nämlich,
das Kalaberdukt von U1 mit sich selbst oder von U2 mit sich selbst,
das sind die Einträge auf der Hauptdiagonalen.
Und da kommt eins raus. Und wie ist denn die Länge
definiert von einem Elektro? Wie ist die Norm definiert?
Das ist doch nichts anderes als die Wurzel des Kalarproduktes.
Und die Wurzel von eins ist eins. Also,
zusammenfassend, eine orthogonale Matrix hat die schöne Eigenschaft,
dass die Spalen zueinander paarweise orthogonal sind
Genau, sie sind die Zöllen zueinander, Fahrways orthogonal und
die spalten und die Zöllen haben jeweils die Länge eins.
Und das hat schöne Konsequenzen. Orthogonale Matrizen wären dazu verwendet,
um Spiegelungen und Treibungen zu beschreiben. Bei Spiegelungen und Trägungen haben die Eigenschaft,
dass die Länge von Vektoren erhalten bleibt, wenn sie ihn Vektor spiegeln,
ein Vektor drehen, dann verändert er zwar seine Position,
aber die Länge des Vektors bleibt erhalten,
da wird nicht gestreckt und nicht gestaucht.
Und das heißt also, orthogonale Matrizen,
die haben diese Eigenschaft aufgrund dieses Sachverhaltes.
Man kann nämlich zeigen, Dass eine orthogonale Matrix diese Eigenschaften besitzt.
Vor allem die Eigenschaft B ist interessant. Nämlich, dass
ich die Länge erhalten bleibe. Wenchen Vektor X haben,
von einer bestimmten Länge. Und die jagen denen durch eine
orthogonale Matrix U, dann ist der neue Vektor da entsteht.
Also Oma X ist dann ja ein neuer Vektor,
der hat die gleiche Länge, die gleiche Norm,
wie der Vektor X. Also orthogonale Matrizen erhalten die Länge.
Aha, in die Norm. Es gibt noch andere Eigenschaften,
die ich ihnen hier aufgeschrieben habe.
Zum Beispiel, wenn Matrix U autogonal ist,
dann ist auch die transponierte orthogonal
Oder wenn sie zwei autogenale Matrizen, UNV haben,
dann ist auch das Produkt dieser beiden Matrizen orthogonal.
Es sind schöne Eigenschaften. Und wir werden diese autogonalen Madrid sind benötigen.
Ich habe ihn ja versprochen. Und ich denke,
wenn wir schnell genug sind, schaffe ich das auch einzulösen,
dass ich ihnen diesen Satz vom Fußball,
dass wir den beweisen oder dass wir herleiten,
wie viele Punkte erhalten bleiben, wenn man einen Fußball dreht.
Ich habe ihn ja erläutert oder dieses Beispiel gegeben, von einem Fußball,
der am Anfang des Spieles auf den Mittelpunkt gestellt wird.
Und dann wird er ja 45 Minuten getreten,
also durch den Raum
Manövriert, der dreht sich, der bewegt sich und so weiter.
45 Minuten lang. Und dann ist eine Pause,
vielleicht nicht unter Schiedsrichter mit, in die Kabine und so weiter.
Aber dann auf jeden Fall nach 60 Minuten ungefähr 60 Minuten,
von dieser Ball wieder auf den Mittelpunkt gelegt.
Und jetzt ist die Frage, wie viele Punkte auf der Oberfläche
dieses Balls liegen genau an der gleichen Stelle des Raumes,
des dreidimensionalen Raumes, wie zu Beginn des Spieles.
Wie viele Punkte gibt es da? Und das ist natürlich
eine relativ komplexe Fragestellung, die kann man so einfach gar nicht beantworten.
Man denkt, ja, das kann man gar nicht berechnen,
aber wir werden mithilfe dieses autogenalen Madrid,
dann wollte ich Ihnen zeigen, es gibt genau zwei Punkte.
Weil wir waren nämlich dann Zähn, das wollte ich Ihnen
dann zeigen, Diese Manöver, also ein kleiner Ausblick.
Wenn dir sobald getreten wird, dann gibt es Translationen,
also der wurde verschoben, dieser Ball im Raum.
Der verändert seine Position und er wird gedreht. Und man kann
diese Translationen, Translationen und diese Drehungen mit Matrizen beschreiben.
Aber die Translationen spielen gar keine Rolle. Denn der Schiedsrichter
kommt ja nach der Pause wieder und legt diesen Ball auf diesen Anstoßpunkt.
Man kennt davon aus, er macht genau die gleiche Stelle wie am Anfang.
Das heißt also, die Translationen gleicht der Schiedsrichter ja wieder aus.
Aber Trähungen, die der Ball durchführt und die vielleicht sogar
der Schiedsrichter durchführt, den er den Ball in die Kabine mitnimmt
Die waren durch den Schiedsrichter und der Regel nicht ausgeglichen.
Höchstens zufällig. Und die Wahrscheinlichkeit liegt bei null. So,
also interessieren nur die Drähungen. Und die Drähungen werden durch
solche autogenalen Madritzen beschrieben. Und wir werden dann zeigen,
dass solche autogenalen Madritzen die Eigenschaft haben,
da sie einen Vektor unverändert lassen.
Die bilden ein Vektor wieder auf sich selbst ab.
Das heißt also, es gibt eine Achse im Raum,
die durch diesen Fußball geht, die bleibt erhalten.
Und die schneidet natürlich die Oberfläche des Balles in zwei Stillen.
Und diese beiden Stellen sind die beiden Punkte,
die quasi genau an der gleichen Stelle am Ende widerlegen wie zu Beginn des Spieles.
Das war jetzt quasi so eine journalistische Erklärung und das Ganze
war immer ein bisschen Mathematikpressen später.
Und dann wollen wir
das zeigen
Gut, ein Beispiel machen wir noch dazu.
Wir haben hier eine autogenale Matrix. Und jetzt rechnen wir
mal tatsächlich aus. Also ich habe ja behauptet,
bei einer orthogonalen Matrix sind die Spalten und die Zeilen zueinander Parways orthogonal.
Und die Spalen und die Teilen haben die Länge eins.
Und jetzt nehmen wir einfach mal so in die orthogonale Matrix her,
dass wir nicht so viel rechnen müssen in 2 Kreuz 2
Matrix und überprüfen das mal,
ob das wirklich stimmt.
An einem konkreten Beispiel
Hier, U1 ist die erste Spaltung der Matrix U. U2 ist die zweite Spalte.
V1 ist die erste Zeile und V2 ist die zweite Zeile der Matrix U.
Und jetzt brechen wir einfach mal das Kolarprodukt von U1 mit U2.
Das bedeutet also, sie müssen die Einträge von U1 und U2
paarweise miteinander multifizieren und das Ganze aufaddieren.
Und wenn sie das dann machen, kommt null heraus.
Das heißt also, diese beiden Spalen der Matrix U,
diese beiden, die sie da haben, die sind tatsächlich zueinander orthogonal.
Weil orthogonal bedeutet ja, dass das Skalaprodukt null ist.
Genau das Gleiche können sie machen für die beiden Zeilen.
Da kommt auch null heraus. Bente dagegen die Länge
ausrechnen möchten
Zum Beispiel des ersten Spalten Vektors, dann heißt das,
sie müssen die Norm der ersten Spalte,
also die Länge des ersten Spalenvektors ausrechnen.
Und das geht so, sie nehmen die Komponenten her,
die Einträge des ersten Vektors, des ersten Spalenvektors,
quartrieren die, addieren das Ganze und zielen dann die Wurzel.
Und da kommt eins so raus.
Sie können das Gleiche machen von den zweien Spalenvektor,
von den ersten Zeilenvektor und von den zweien Zeilen Vektor.
Kommen jeweils eins so raus. Also,
sie seien es nur mal am konkreten Beispiel bei einer orthogenalen Matrix,
haben die Zeilen, die Spalen,
die Länge eins und die Zellen,
die Spalen sind paarweise
zueinander orthogenal
Gut,
das war Kapitel
Gut, jetzt kommen wir zum Kapitel 4 der Dominanten.
Ja. Schlechter auf die Frage zu antworten,
die man nicht verstanden hat.
Welche zwei Verfahren meinen Sie?
Also im Prinzip habt
Achso, okay. Ja, gut, dann hat sie,
wenn sie so sein, zwei. Ich würde einfach sagen,
wichtig ist, sie nehmen die Matrix O-Herd, transformieren das,
multiplizieren es und wenn da die Einheitsmatrix rauskommt,
dann haben sie gezeigt, sich die autonome Matrix.
Das geht am Schnellschen. Das geht viel schneller als diese ganzen Schwalen- und Zellenpaarweite miteinander,
Skala zu multiplizieren, da brauchen sie viel länger.
Also im Prinzip ist es das Gleiche, aber es wurde,
weil sie so viel schreien müssen, wird es länger dauern.
Gut, und der Dominanten, was sind der Dominanten?
Sie werden eine Definition bekommen von der Dominanten,
die ihnen wahrscheinlich relativ unanschaulich erscheinen wird.
Wichtig ist nur, dass sie, das wollen sie auch sehen,
dass sie sind der dominant nützlich sind. Ich werde Ihnen Definitionen liefern,
wo sie dann auch in die Definition gleich sagt,
wie man der dominanten, ah, ich im Prinzip ausrechnet.
Es gibt andere Definitionen, die sind noch viel unanschaulicher und
die sagen Ihnen nicht, wie man die der dominante ausrechnet.
Das ist als Vorwarnung. Vor was brauchen Sie der dominanten?
Ich habe es vorher schon gesagt, der dominanten zentrale Zahlen.
Das heißt also, es sind viel einfacher als Matrizen.
Es ist nämlich eine eindimensionale Größe. Und sie könnte der
dominanten ausrechnen für quadratische Matrizen, also auch nur für quadratische Matrizen.
Aber wenn sie dann diese dominante ausgerechnet haben, könnte an der einiges ablesen.
Sie können ablesen am Vorzeichen zum Beispiel, Sie können,
ja, oder sie können zum Beispiel ihre Modarin ablesen,
wenn die der dominante Null ist, dann wissen sie,
das werde ich ihnen zeigen, dass die Matrix nicht innotierbar ist.
Es gibt keine Inversion. Sie können daraus,
daraus dann auch schließen,
dass wenn sie ein Jahr das Glaubenssystem in dieser Matrix aufstellen,
also quasi in die rechte Seite wählen und dann einmal x gleich B lösen möchten,
dass dort nicht sichergestellt ist, dass es eine Lösung gibt.
Und wenn diese Lösung tatsächlich existieren sollte, dann ist die nicht eindeutig.
Also sie können mit Hilfe der Dominante relativ viele Dinge ja
schon relativ schnell dann sehen, wenn die die Dominante zur Hand haben.
Sie brauchen die Dirtumante aber auf andere Fragestellungen,
wir zum Beispiel jetzt noch nicht in dieser Vorleistung behandeln, sondern eher das nächste Semester.
Sie kennen alle aus Analysis, Kurvendiskussionen und Sie wissen,
wenn man dort eher die Ableitung bildet von einer Funktion,
in einer veränderlichen und die gleich null setzt,
dann bekommt man einen stationären Punkt und dann nimmt man diesen
stationären Punkt her und setzt ihn in die zweite Ableitung ein und dann sieht man am Vorzeichen der zweiten Ableitung, ob das ein Tiefpunkt ist oder ein Hochpunkt.
Nämlich wenn die zweite Ableitung groß ist als null,
ist es ein Tiefpunkt und wenn sie klar ist,
da ist null, ist es ein Hochpunkt.
Das haben Sie alles in der Schule gehabt,
aber wir werden uns nächstes Semester mit Funktionen beschäftigen,
die von mehreren Variablen abhängen,
nicht nur von einer
Zwei, drei, im Prinzip beliebig viele. Endstück.
So. Und dort ist das Ziel natürlich, ähnliche Kriterien herzuleiten.
Sie möchten dort an auch ein Kriterium haben,
wo sie dann ablesen können, ob ein bestimmter Punkt ein
Hochpunkt ist oder ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt oder so etwas.
Das gibt es dort auch alles. Und das geht im
Prinzip genauso. Sie rechnen in sogenannte ESD-Ableitung aus.
Das wurde dann der sogenannte Gradient sein,
setzen den gleich null, dann bekommt sie einen Punkt.
Das ist dann ihr stationärer Punkt.
Und dann setzen sie den ein in so eine Art,
weil die Ableitung, das wurde dann aber eine,
dazu müssen sie eine Matrix dann berechnen.
Das ist ja
nicht nur eine eine emotionale Größe
Wie in der Realen Analysis mit einer veränderlichen,
sondern da müssen sie schon ein bisschen mehr arbeiten.
Und dann rechnen sie von dieser Matrix die Dedominante.
Und wenn diese Betominante bestimmte Eigenschaften erfüllt,
dann können sie drauf schließen, ist ein Hoch- oder Tiefpunkt.
Und für den einen demensionalen Fall wollen sie dann erkennen,
das ist genau die Regel, die sie schon aus der Schule kennen.
Also sie lernen quasi die Verallgemeinungen, die quasi,
wenn sie es auf den Fall,
endlich eins mit einer Variablen reduzieren, genau das gibt,
was sie aus der Schule herkennen und schon seit zehn Jahren vielleicht nicht,
aber zwei, drei Jahren anwenden.
Gut, also auch das als Motivation, warum der Dominanten so wichtig sind.
Sie brauchen sie nicht nur jetzt in dieser Vorlesung.
Sie brauchen es ja auch in der nächsten Vorlesung und ich
bin überzeugt davon, sie brauchen sie auch in vielen anderen Vorlesungen
So, das ist die Definition, einer der dominante.
Das ist eine rekursive Definition. Das heißt,
ich käbe ihn jetzt nicht an, buff,
das ist die der dominante, so berechnet man die,
sondern ich definiere das Ganze rekursiv.
Quasi, ich reduziere das auf andere Dedominanten von kleineren Dimensionen.
Was es heißt, erkläre ich ihnen jetzt.
Wir haben eine beliebige N-Kreuz-En-Matrix, also eine quadratische Matrix.
Noch einmal, auch diese Ausjungen hier in diesem Abschnitt
oder im gesamten Kapitel beschränkt sich nur auf quadratische Matrizen.
So, jetzt haben wir eine quadratische Matrix und jetzt Definiere ich
in die der dominante. Wenn die Dimension dieser Matrix,
1 Kreuz 1 ist, also wenn es eine reale Zahl ist,
dann ist sie der Dominante gleich dieser realen Zahl.
Also erster Fall, wenn endgleich eins ist, dann definieren wir,
da ist sie der Dominante von A, gleich dieser realen Zahl ist.
Weil wenn diese Matrix hier von der Dimension 1 Kreuz 1 ist,
dann reduziert sie sich, reduziert sich diese Matrix auf diesen Eintrag hier in der ersten Zeile, ersten Spalte.
Und das ist dann automatisch schon irre der dominante.
Also brauchen sie da nichts rechnen. So,
vor den Pfahl, dass aber ein größer ist als eins,
und das wird in den allermeisten Fällen so sein,
wie rechnet sich die der dominante B hier angegeben
Dominante von A ist definiert, als diese Summe hier.
Und sie säen hier, sie brauchen hier wieder,
müssen hier wieder der Dominanten ausrechnen. Von einer anderen Maprix
. Und was ist das jetzt hier von dem Matrix?
Das ist die Matrix, die entsteht aus der Matrix A,
wenn sie die erste Zeile streichen und die JD spaltet.
Ich habe es Ihnen hier mal ganz allgemein aufgezeichnet hier.
Eine Matrix A mit den Indizes I und J ist die Matrix,
die sie erhalten, wenn sie die Ethik Zeile streichen.
Sie säen, hier fällt die Ethik Zeile.
Das ist die I minus ein, die Zeile und
es geht weiter mit der I plus alten Zeile.
Also die E-Mails ein, die Zeile habe ich rausgestrichen und
die JD-Spalte
fällt auch
So, und hier ist es quasi so,
in dieser Definition, dass sie diese der dominante ausrechnen,
wenn sie die der dominanten dermatritzen, bestimmen,
wo quasi die erste Zeile immer gestrichen wird und die Jte
spalte und die Jte spalte läuft von eins bis in.
So, und jetzt zahlen sie sich, Mensch als Kinder,
was ist denn das? Jetzt definiere ich eine der dominante,
mit Hilfe von anderen der dominanten, das kann doch gar nicht funktionieren. Doch,
das funktioniert schon und sie waren auch gleich sehr weh,
weil diese der dominanten sind einfacher zu berechnen als diese hier,
weil das sind jetzt der Dominanten von einer Matrix,
die eine Zeile weniger hat und eine spaltet weniger
Sie können quasi jetzt wieder hergehen und diese der dominanten auch so reduzieren,
quasi diese der dominanten, mit dieser Regel bestimmen,
wie sie am Schluss lauter 1 Kreuz 1 Matrizen haben.
Und dort wissen sie ja, wie sie dort die Dedominante bekommen.
Also, das ist, denke ich, ein bisschen unanschaulich.
Das wären gerade hier in das jetzt für die wichtigsten Fälle
mal demonstrieren, was das bedeutet.
Vielleicht noch mal kurz, wie man das Ganze bezeichnet.
Das ist die sogenannte Streich-Matrix von A,
für die erste Zeil und die JD Spalte.
Gut. Und jetzt schauen wir uns mal drei Fälle an.
Was passiert für einen Fall endlich 1? Da müssen wir
gar nichts arbeiten. Weil dann sagt die Definition,
Die Datominanbie von A ist gleich dem Eintragen der ersten Zeile der ersten Spalte,
weil das ist der einzige Eintrag, den sie haben.
So. Was machen wir jetzt in Englisch zwei gilt?
Also meine Matrik sieht so aus. Hat zwei Zeilen,
zwei Spalten. Dann sagt die denen jetzt die Definition,
die dominante von A ist gegeben durch diese Summe hier.
Das einzige, was sie machen müssen hier, ist,
sie müssen diese Summe hernehmen und vor N2 sitzen.
Weil wir ja jetzt eine Zwahlkreuz-2-Matrix haben. Und jetzt müssen
die Dat hier ausrechnen. Was kommt da raus? Also
, J läuft von 1 bis 2. Fangen wir mit J
gleich 1 an. Dann setzen sie hier oben und 1
ein, dann haben sie minus 1 hoch
2. Das ist eins. Deswegen haben wir eins
Dann setzen wir hier für J11 ein, haben Sie einmal A mit den Indizes 11.
Das gibt Ihnen diesen Teil hier. So. Und jetzt müssen Sie die Dedominant,
die dieser Matrix ausrechnen, wenn J gleich 1 ist.
Das heißt also, die Matrix, die Sie bekommen,
wenn die erste Zeile erste Spal, die gestrichen wird,
schauen wir mal an, was das bedeutet,
wenn Sie hier die erste Zeile und erste Spalte streichen,
dann bleibt nur das hier übrig.
Und davon die Dedominante von dieser 1 Kreuz 1 Matrix ist
die Zahl selber. Also habe ich hier, Party,
muss ich das hier multifizieren mit A, Indizes 2, 2.
So, jetzt der nächste Schritt ist,
jetzt erhöre ich den Index Jod um
Jetzt war Jörg gleich eins, jetzt ist Jörg gleich zwei.
Jetzt setzen Sie hier für J gleich zwei ein und dann gibt ihnen
das minus eins hoch drei, das gibt minus eins.
Deswegen steht hier ein minus. Jetzt setzen Sie hier für J2 ein,
dann gibt es ihnen A mit den in die CS1 und 2, was ist das hier?
Und jetzt müssen Sie von dieser und der Dominante den,
von dieser Matrix sind der Dominante ausrechnen, wenn J2 ist,
also die der Dominante, die entsteht,
wenn die erste Zeile und die zweite Spalte hier gestrichen wird.
A, also strahlen Sie hier die erste Zeile und die
zweite Spalte, dann bleibt das hier stehen.
Amen in den Indizes 2, 1,
das ist hier
dieser Faktor noch
Und jetzt haben sie, das können sie ausrechnen.
Das sind reelle Zahlen, die können sie auch aus der Matrix ablesen.
It santy, so geht's von zwei Kreuz zwei Matrizen.
Und jetzt machen wir den nächsten Schritt noch. Für,
ja, vielleicht noch eine Bemaugung, die ich ja schon gemacht habe.
Wenn sie sich das jetzt mal anschauen, was ist denn das?
Die Dedominante einer 2 Kreuz 2 Matrix berechnet man jetzt wohl so,
dass man hergeht und multipliziert die Werte auf der Hauptdiagonal
und zieht das Produkt der Werte, auch der nähmt diagonalen ab.
Das gibt ihnen diese Regel. Diese beiden werden hier multipliziert,
minus dem Produkt von diesen beiden werden.
Das gibt das hier. Diese Regel kommt ihnen doch bekannt vor.
Das war doch Das, was wir hatten bei der Invasion-Berechnung 102,
Kreuz 2, Matrix. Dort hatten wir doch genau diese
Regel auch, dass wir diese Zahl ausrechnen müssen.
Und wenn die ungleich nur liest, existierte in Vasi.
Das war dieser Satz. Und ich habe es ihnen da schon erwähnt,
das war kein Zufall, was wir nämlich dort ausgerechnet haben,
war die Detominante, die dieser Zweialkreuz 2, Matrix.
Und wir haben dort gesehen, wenn diese Detominante,
die so zwei Kreuz 2, Matrix, ungleich null ist,
existierte in was sie.
Und wir waren später noch Land, das gilt allgemein.
Wenn die der Dominante einer beliebigen Endkreuz N-Matrix ungleich null ist,
dann existierte in Vasi.
Für den Spezialfall 2, Kreuz 2
haben wir das schon gehabt
Ach so, darf ich diese Bemaukung hier?
Jetzt zu einer 3-Gold-3-Matiks? Die sieht also so aus
wie hier angegeben. Ganz beliebige, 3-Kreuz, 3-Matrix.
Was machen wir? Wir wenden die Definitionen. Das heißt also,
ich nehme das hier her und setze jetzt vor N
gleich 3, weil ich ja eine 3-Gold-3-Matrix habe.
Dann sind sie hier angelangt. So. Und jetzt wieder genauso
wie vorher auch. Ich beginne mit J
Setze hier dann für J gleich ein in die Formel.
Dann habe ich minus eins hoch zwei. Also habe ich
plus eins. Dann setzen sie hier für J1 ein.
Dann gibt es ihnen den A mit den Indizes 1-
1. Das ist dieser Faktor hier. Und dann müssen sie
noch am Schluss das Ganze modifizieren mit der Dedominante von der Matrix,
wo die erste Zeile und die erste Spale gestrichen ist.
Jetzt gehen sie mal da hoch und streichen sie da
die erste Zeile, die erste Zeile.
Und die erste Spalte. Dann bleibt in diese Zwahlkreuz 2
Matrix, sie bleibt übrig. Deswegen müssen sie von diesem
noch die Dedominante ausrechnen.
Das ist das hier
So, haben wir das? Nächster Schritt ist jetzt,
jetzt wird J erhöht wieder. J ist jetzt zwei.
Also, setzen Sie hier auf J2 ein.
Dann gibt es ihn minus eins hoch drei. Deswegen steht hier
ein Minus. Dann setzen Sie hier für J2 ein.
Dann gibt es ihn A mit den Intel CS1 und zwei.
Das gibt ihn diesen Faktor. Und dann noch die Detertominante von der Matrix,
die entsteht, wenn sie die erste Zeile streichen und die zweite Spalte.
Also, erste Zeile streichen und zweite Spalte.
Das heißt, es bleibt das übrig.
Und das bleibt übrig. Also diese Matrix, Sio.
Davon noch die Detertominante ausrennen.
Dann sind Sie
hier angelernt
So, und jetzt noch J gleich 3,
setzen Sie das hier ein, dann haben Sie minus 1 hoch
4. Das ist Plus 1, also steht hier im Plus.
Und dann, jetzt müssen Sie hier für J3 einsetzen,
da haben Sie hier A mit den Indizes 1 und 3,
das gibt in diesem Faktor.
Und dann müssen Sie das Ganze noch multimitieren mit der Dedominante,
der Matrix, die entsteht,
wenn Sie die erste Zeile und die dritte Spalte streichen.
Also diese erste Zeile streichen und hier die dritte Spalte streichen,
bleibt nur noch dazu übrig.
Also darf von Dieter Dominante
Gut, und jetzt sind wir quasi in dieser Zeile angelangt.
Das können wir natürlich, das ist nur keine reale Zahl.
Der nächste Schritt ist jetzt, wir müssen diese drei
der dominanten hier diese, diese und diese ausrechnen.
Jetzt könnten Sie sagen, ja, wir haben ja noch hinten gearbeitet.
Am Anfang hatten wir zu berechnen, die dominante einer Matrix.
Und jetzt soll ich die dominante ausreichen von dreimal tritzen.
Irgendwie scheint es mehr Arbeit zu werden und nicht weniger.
Aber wir haben uns schon nach vorne bewegt,
weil von diesen drei Matrizen, Köln sind ja der dominante,
relativ einfach ausrechnen, weil die in eine kleinere Dimension haben.
Das sind zweimal Kreuz zweimal tritzen jetzt.
Und davon wissen Sie ja jetzt, wie man hier von
diesen Matrizen ganz einfach die determinante bekommt.
Das war diese Regel hier
Also mache ich das? Ich rechne zum Beispiel von dieser hier,
der Dominante aus und dazu muss ich die beiden Werte multiplizieren
und die Werte auf dieses und das Produkt der Werte,
auf dieser und nähmt diagonal abziehen.
Und dann bekommt ihr das hier. Genauso für diese
der Dominante, die Werte auf der Hauptoriginal motiviertieren,
minus dem Produkt der Werte auf dieser diagonalen.
Sind Sie hier? Und genau,
also für diese hier motivierte ich diese beiden Werte und T,
das Produkt dieser beiden Werte ab, dann sind Sie hier angelangt.
So, und jetzt machen Sie noch Folgendes.
Sie ordnen das Ganze, also Sie multiplizieren das alles
aus hier
Und dann ordnen sie die positiven Torme und die negativen.
Zuerst die positive Torme, das sind drei Stück.
Und dann die negativen Torme. Und dann sind sie bei
dieser Regel hier angelangt. So, und die lernen sie
natürlich nicht auswendig. Das wäre blödsinnig, wenn sie die
auswendig lernen. Die andere von zwei Greuz,
zweimal tritt sie und die kann man sich gut morgen.
Werte auf der Hauptdiagonale motivieren, minus der Werte auf der anderen Diagonalen.
Das geht ganz einfach. Aber das hier morgen sie sich
nicht auswendig. Sie morgens sich was anderes.
Die Regel von Zarus. Die Geld wie folgt.
Also gut aufpassen
Welche, die der dominante ausreichen möchten, von einer 3-Kreuz-3-Matrix.
Da machen Sie folgendes. Sie schreiben die 3-Kreuz-3-Matrix hin,
das ist dieser Teil hier. Und dann Marentin Strich,
gedanklich könnt ihr das machen oder wie ich, tatsächlich auch physisch.
Und dann schreiben die rechts davon nochmal die ersten Beinsparten hin.
Also diese Werte hier, die rechts stehen,
sind einfach nochmal die beiden ersten Spalen hingeschrieben.
Und jetzt können sie ganz einfach die der dominante ausrechnen.
Sie multiplizieren die Werte auf dieser diagonalen,
plus den Produktorwerte auf diese diagonal,
plus den Wert
Plus den Produkt der Werte auf diese und die Originalen.
Und dann ziehen sie ab,
also Minus, den Produkt der Werte auf diese diagonalen,
minus den Produkt der Werte auf diese diagonalen,
minus dem Produkt der Werte auf dieser diagonalen.
Und wenn sie das ausreichen, werden sie feststellen, sie bekommen genau das hier.
Genau das. Ich habe ihnen quasi jetzt diese Formel grafisch veranschaulicht,
wie sie sich das dann besser merken können. Also drei Kreuz,
drei Kreuz, drei Matrix ausreichen möchten der Dominante,
schreiben sie dir der Dominante hin, machen einen Strich,
schreiben die ersten Beinspalten nochmal daneben und dann rechnet sie einfach aus,
dieses Produkt der ersten Diagonal.
Plus dem Produkt,
der diagonalen Brüder
Plus der Produkt der Werte auf der Diagonalen drüber.
Und dann ziehen sie das Produkt ab, das sie erhalten,
wenn sie die anderen Diagonalen quasi von links,
von links und nach rechts oben bin.
Damit kommt sie diese Formel. So. Und jetzt noch ein Wort der Meinung.
Sie haben jetzt relativ einfache Regeln für Madrid in der Dimension 1,
der Dimension 2, also 2 Kreuz 2,
also Dimension 1, Kreuz 1,
2 Kreuz 2 und 3 Kreuz 3. Ich habe ihn jetzt zu diesen drei Spezialfälle gezeigt,
wie man da relativ einfach die der Dominante bekommt.
Für den Pfahl, dass sie nur eine Eins,
Kreuz 1 Matrix haben,
ist es
der Wert selber
Die Definition, müssen sie nichts tun.
Den Fall einer Zwahlkreuz 2 Matrix, war es diese Formel?
Die Werte, auf dieser theoriginalen Minuswerte, auf dieses Diagonal.
Und für eine 3 Kreuz 3 Formel ist es diese Form
von den 3 Kreuz-Prämatiks, ist es diese Formel,
das könnte sich so veranschallichen, wie dieser Regel von Pharus.
Das Ganze wird auch Jägerzaunregel genannt. Warum Jägerzaun, denke ich,
ist offensichtlich. So. Aber machen Sie jetzt nicht den Fehler
und das passiert leider oft, obwohl wir es immer wieder sagen.
Klar um Sie nicht, dass das Ganze funktioniert,
diese Jägerzaunregel, für Matritz in der Ordnung
4 Kreuz 4
und höher
Es geht, es funktioniert nicht, wenn es jetzt einfach
eine 4-Kreuz 4 Matrix hernehmen und dort die ersten beiden sparen oder
die ersten 3 Spalen nochmal ranschreiben und genau so vorgehen,
dann kriegen sie ein falsches Ergebnis.
Diese Regel von Zarus funktioniert nur für 3 Kreuz 3 Matritzen.
Für 4 Kreuz 4, 5 Kreuz 5,
6 Kreuz 6 und so weiter, müssen sie was anderes berechnen.
Und da wollen sie dann zählen, wie das geht.
Das geht zum Beispiel mit dem sogenannten Entwicklungssatz von Lablas.
Da muss man dann einfach ein bisschen mehr arbeiten.
Das wird dann, wenn sie später noch lauen,
wie das funktioniert. Machen wir mal ein paar konkrete Beispiele.
Hier, mit 2 Kreuz 2 Matrix,
die dominante ausrechnen geht ganz einfach
Werte auf der Hauptoriginalen, minus Werte auf dieser anderen diagonalen.
Dann müssen Sie jetzt quasi hier ausreichen. Dann kommt raus,
minus 107, geteilter 5. 3 Kreuz, 3 Maprik.
Müssen wir ein bisschen mehr arbeiten,
aber wir können die Regel von Zarus anwenden.
Ah, was mache ich? Nee,
ich habe es Ihnen auf zwei verschiedene Arten und Weisen ausgerechnet.
Also hier 3 Kreuz 3 Matrix. Ich rechne die der
Dominanten jetzt auf zwei verschiedene Weisen aus. Mithilfe der Definition
und dann danach wenden wir die Regeln von Zarus ein.
Also zuerst mit der Definition, was muss ich machen
Dass sie da jetzt auch ein bisschen long quasi das Ausreihen mit Hilfe der Definition,
ohne dass sie die Definition nochmal sauber hinschreiben.
Also. Sie gehen her. Nimm diese Zahl hier,
die in der ersten Zeile, ihr ersten Spalte steht.
Null Mal, der detominante, der Matrix,
die sie bekommen, sie die erste Zeile und die erste Spale,
die streichen also davon, die der dominante.
Das ist das hier. Minus? Eins, mal,
to detominante Domatrix, die sie bekommen,
wenn sie die zweite Spalte streichen und die erste Zeile.
Also diesen Teil, und diesen Teil hier, die dominante ausrechnen.
Und dann Plus zweimal der dominante Intermatrix,
sie ist willkommen zu die erste Zeile streichen und die dritte Spalte.
Also die Tätung nannte die so zweigrößt zwei Matrix.
Das hier. So geht das mit Hilfe der Definition.
Und dann könnt ihr jetzt von dieser der dominanten die Regel
von zwei Greu 2 Madrids anwenden und dann landen sie hier.
Und wenn sie das Ganze ausreichen und zusammenfassen, kommt am Schluss drei heraus.
So, das war jetzt mit Hilfe der Definition.
Jetzt mit Hilfe der Jägerzaunregel oder Regeln von Zarus.
Dann geht es ganz einfach
Was wir auch sehen, man braucht eigentlich das gar nicht hinschreiben.
Wenn sie ein bisschen trainiert sind, kriegen sie das so hin.
Also es rechne ich mal mit der Jägerzaunregel hier,
die der dominante aus. Dazu muss ich die Werte
hier multiplizieren. Also null mal zwei mal null.
Plus? Eins, mal eins, mal eins.
Weil wenn sie diese Spalte hier rechts rennen schreiben,
steht hier unten die Eins.
Also eins mal eins,
mal eins
So, und dann noch zwei, mal drei, mal eins.
So, und jetzt die negativen Taume? Eins,
mal zwei, mal zwei, das gibt eins,
mal zwei, mal zwei, minus. Die nächste nehmen Diagonale,
eins, mal eins, und hier steht die Null,
wenn sie diese erste Sparte rechts in der Ebene schreiben,
also eins, mal eins, mal null.
Und dann noch null, mal drei,
mal eins
So, jetzt müssen Sie das nur noch ausrechnen.
Dann kommt eine Zahl raus, eine reelle Zahl.
Und das müsste dann auch drei sein.
So geht es mit der Jägerzaunregel. Auch wie gesagt,
nur für drei Kreuz-3-Matrizen. Jetzt käbe ich Ihnen schon mal
einen kleinen Ausblick, wie es für größere Matrizen funktionieren kann.
Für vier Kreuz, vier Matrizen. Wie kennt man davor?
Da müssen Sie im Prinzip erst einmal die Definition verwenden.
Weil bis jetzt haben Sie für solche Matrizen noch kein anderes Werkzeug.
Also, von dieser Flugkreis 4 Matrix müssen wir
die Dedominante berechnen
Also, dann zack, die Definition,
noch einmal zurück, was war die Definition?
Hier, so kann ich das berechnen.
Mit dieser Formel. Und die wende ich jetzt an.
Ah, hier. Also, ich habe minus vier.
Das ist dieser Faktor hier. Und dann muss ich dir das multiplizieren,
diese minus vier Meter detominante Dedomatrix, die ich bekomme,
wenn ich die erste Spalte streiche und die erste Zeile.
Das heißt also, der dominante, die sind der dominante,
die von dieser Format ist, von dieser Treikreuz 3 Matrix.
Das ist quasi die Matrix A,
wo die erste Zeit und die erste Spalte
gestrichen ist
Dann minus null mal der dominante, der Matrix,
wenn ich die erste zähle, und die zweite Spalte streiche,
plus null mal, der Datum 90 Tomatrix,
wenn ich die erste zähle und die dritte Spalte streiche,
minus null mal, der Datum 90 Tomatrix, die ich bekomme,
wenn ich die erste zähle und die vierte Spalte streiche.
Ich habe nur ganz strikt diese Regel hier, diese Definition hier angewandt. So,
und jetzt brauchen sie gar nicht so viel rechnen,
weil, schauen Sie mal,
Sie brauchen diese Datum 9 hier gar nicht ausrechnen,
weil ich spiele da keine Rolle, was da rauskommt,
weil es wird ja eh mit null bezogen.
Wichtig ist nur dieser Teil hier
Denn müssen sie noch ausrechnen. Und Deatrium 90 oder die Matrix A,
wo sie die irische zeigen und er sie spalte,
streichen, die sieht so aus.
Hier hat er erst die Zeile streichen und die erste Spalte
, dann bekommt sie diese Matrix.
Davon müssen sie die der Dominante ausrechnen. Und da ich nicht
so viel rechnen wollte, habe ich das so konstruiert,
das ist genau die Matrix, die wir uns hier angeschaut haben.
Da kommt drei heraus. Haben wir gerade ausgerechnet.
Also diese Deatriuminante könnte so out rein,
wie wir es zum letzten Beispiel gemacht haben.
Mit der Jägerzaunregel zum Beispiel.
So. Also, und jetzt die Lösungsidee
Doch für den allgemeinen Fall, warum ging denn das hier so gut?
Wir hatten hier eine Vierkreuz 4 Matrix und mussten gar nicht
so viel rechnen. Das hat einen einzigen Grund, warum das
so einfach ging. Wir hatten nämlich die schöne Eigenschaft,
dass in dieser ersten Zeile sehr viele Nullen stehen.
Und diese Nullen sind doch die Faktoren von diesen der Dominanten.
Deswegen muss man diese einzelnen der Dominanten nicht ausrechnen.
So, deshalb entgeht es hier so einfach.
Was machen wir aber, wenn wir eine große Matrix haben,
wo in der ersten Zeile nicht so viele Nullen stehen
Vielleicht in einer anderen Zeile oder einer anderen Spalte.
Ich werde ihn im Entwicklungssatz von Lablas, ein Instrumentarium dann liefern,
wo sie quasi auch bezüglich einer anderen Zeile einer anderen Spalte entwickeln können.
Und dann suchen sie sich danach, das heißt,
das lernt sie noch, das ist nur ein Ausblick,
sie suchen sich dann immer die Zeile oder die Spalte
und machen diese Rechnungen und das lernt sie dann noch,
wie das geht genau, wo sehr viele Nullen drinstehen.
Weil dann brauchen sie diese, dazugehörigen Determinanten nicht ausrechnen.
Alles waren sie noch lahm. Das ist der Ausblick.
Aber dann können sie prinzipiell für beliebig große Matrizen,
die der dominante ausreinen, solange sie quadratisch ist,
und das Ziel ist es dann immer,
bezüglich der Zeil und der Spalte zu entwickeln,
wo sehr viele Zeilen, sehr viele Nullen enthalten sind.
Und dann waren sie versuchen, das so lange zu reduzieren,
bis sie nur noch drei Kreuz 3 Matrizen haben oder zwei Kreuz 2,
weil für drei Kreuz 3 und zwei Kreuz 2 haben sie gesehen,
kann man die dort umnannt, die relativ einfach ausrechnen.
Und dann müssen sie das nur noch zusammensetzen, das Ergebnis.
Und am Schluss haben sie dann für ihre große Matrix die der dominante.
Das kommt aber noch. Noch eine kleine Interpretationshilfe. Man kann
der dominanten auch interpretieren, also veranschaulichen, was das ist.
Also das weiß ich jetzt hier, Mario,
beweise ich ihn nicht, sondern ich möchte ihn nur Ja,
etwas an die Hand lief und was ihnen vielleicht hilft,
sich der dominanten Venge jetzt ein bisschen zu veranschaulichen.
Wenn Sie eine Matrix haben, halen Sie noch durch,
fünf Minuten, dann haben wir es geschafft.
Aber da müssen Sie auch jetzt aufpassen.
Also wenn Sie jetzt eine beliebige Engols En-Matrix haben,
ich habe Sie nochmal hingeschrieben, dann hat die Spalten ein Stück.
Die sollen jetzt bezahlen mit A1 bis A
So, und jetzt können sie mit diesen Spalen wegtun.
Das sind ja nichts anderes als Vektoren.
Diese Spalenelektron könnt ihr hernehmen und können diese Menge bilden.
Die Menge aller Vektoren, die sie bekommen,
wenn sie diese Spalen wegtun, die Somatiks A, kombinieren.
Linear kombinieren, aber sie verlangen zusätzlich noch,
dass diese Gewichte, diese koeffizienten, zwischen 0 und 1 liegen.
So. Dann bekommen sie ein Objekt im Raum.
Stellen Sie sich vor, sie haben eine 3-Kreuz 3 Matrix.
Die hat 3 Spalten. Und diese Vektoren, diese Spalenelektoren
haben 3 Komponenten. Das sind 3 demensionale Vektoren. Die
können sie sich dann in diesem drehenden turnahen Raum anschauen.
Das sieht dann, ja, ich habe hier ein Beispiel
So aus? Sie haben den Matrix,
ne 3 kurz 3 Matrix, die erste Spalt ist A,
die zweite Spalt ist ja in der Werktrope und die dritte Spalt
ist ja in der Werktrope und die dritte Spalt ist ja
in der Werktrope und die dritte Spalt ist ja in der Werktrope,
und die wilden, das entspart, nennt man das.
Und der hat ein Volumen. Man kann zeigen,
dass es Volumen, dieses Objektes,
der Betrag oder der dominante ist, von der Matrix,
die sie bekommen, wenn sie A,
B und C zusammenschreiben in eine Matrix,
als Spaltenemektoren
Und allgemein gilt, als es sich einen Spezialfall,
dass quasi, wenn sie dieses Objekt hier anschauen,
wo sie die Spalen einer Encoid-N-Matrix hernehmen,
die mit realen Zahlen multiplizieren,
dann gibt ihnen das eine Menge von Vektoren.
Und diese Gewichte liegen zwischen 0 und 1 und das ist ein Parallelu-Top,
so nennt man das, ein Ende im Sinales.
Und Wenfi davon das Volumen haben möchten,
müssen sie einfach die dedominante ausrechnen, von der Matrix,
die sie bekommen, wenn sie diese Vektoren A1 zusammenschreiben in einem Matrix.
Es gilt quasi dieser Zusammenhang. Von dem Fall in
gleich 3, ist ein Spezialfall, wird das Ganze
auch Spart bezeichnet
Ja. Und warum? Weißt du, wir kommen solche Objekte,
sie können sich das einigermaßen vorstellen, so ein paralleler Top,
im dreidimensionalen Fall, das entsteht immer aus dem Einheitswurf.
Sie haben Einheitswurf und dann ziehen sie in einer Ecke
und dann verformt sich das zu einem solchen Gebilde.
Und wenn sie davon jetzt das Volumen haben möchten,
von diesem Körper, dann können sie das Ganze einfach ausreichen,
sie müssen einfach die determinante ausreichen von der Matrix,
die als Spanwerkton A, B und T hat.
Und dann wird das eine negative Zahl ist,
müssen sie noch
dem Draktor vernehmen
Dann haben sie das Volumen. Im zweidimensionalen Fall sind parallel loot
top noch einfacher aus. Was ist das im zweite,
im zionalen Fall, wenn sie nur zweidimensionen, Dimensionen zur Verfügung haben?
Wo habe ich es? Dann haben sie ein parallel loogramm.
Deswegen entsteht quasi aus einem, na, nicht rechtig,
so ein Quadrat, jetzt habe ich es auf einem Quadrat,
bin es ja in einer Ekettin,
dann entsteht ein solches Parallelu-Gramm und wenn sie davon den Flächling halt ausreichen möchten,
Martys ist ganz einfach, sie nehmen diesen vektorischen zweit dem Tenalo Vector
Und sie nehmen diesen Vektor her, die quasi dieses parallele Gramm aufspannen,
schreiben die quasi als Span-Vektoren einer Matrix, einer Zweierkreuz,
zwei Matrix und rechne davon aus, Dieter Dom Lanti aus.
Von dieser Zweierkreuz zwei Matrix. Und der Betrag dieses Wertes,
der da rauskommt, das ist quasi der Flächeninhalt dieses Parallelugramms.
Also sie haben jetzt hier einen Zusammenhang zwischen der Dominante einer Enkreuz,
N-Matrix und dem Volumen von solchen sogenannten Parallelut-Tops.
Und dem Drei-Däm-Senal, dem Zweit-Däm-Senal, können sie sich das doof anschaulichen.
Und dass diese Aussage stimmt, zumindest wenn es im Zweiten,
dem Zenalen, dass sie den Flächeninhalt tatsächlich bekommen,
wenn sie die dominante ausreichen in dieser Pfahlkreuz 2 Matrix,
das könnt ihr auf dieser Folie nachlesen,
was sie bestimmt zu Hause tun werden übers Wochenende.
Ich wünsche euch
ein schönes Wochenende