Guten Morgen, meine Damen und Herren. Haben Sie
Fragen zur Vorlesung? Wir hatten am Ende der letzten,
vor dieser Stunde begonnen mit dem solution Wachstumsmodell und ich wiederhole ihn ganz kurz,
was ich dazu gesagt hatte, es war noch nicht sehr viel.
Wir betrachten eine Zeit kontinuierlicher ein. Gut Ökonomie,
die völlig realwirtschaftlich ist. Es gibt kein Geld,
es gibt keinen Staat, es gibt keine außenhandelswirtschaftlichen Beziehungen.
Es gibt keinerlei Strahastik. Also ein sehr einfacher Modellrahmen,
in dem wir nun uns primär konzentrieren auf die Angebotsseite,
sprich auf die Produktionsfunktion, die uns beschreibt, wie Güter entstehen,
wie Güter produziert werden und zwar aus zwei privaten Produktionsinputs,
Kapital und Arbeit. Hinzu kommt technisches Wissen,
was in gewisser Hinsicht ebenfalls ein Produktionsinput ist,
aber sich von den privaten Produktionsinputs dadurch unterscheidet,
dass es eben ein öffentliches Gut ist,
sodass es frei verfügbar ist und seine Nutzung von den Nutzern
nicht entlohnt werden muss und seine Nutzung durch den einen Nutzer auch nicht widerspricht der Nutzung durch einen anderen Nutzer,
das gut technisches Wissen, also nicht rival ist, während private Produktionsinputs natürlich Rival sind und deren Nutzung entlohnt werden muss.
Wir müssen hier die Vorstellung von technischem Wissen also betrachten als etwas,
was völlig losgelöst ist von den privaten Produktionsinputs.
Insbesondere ist es nicht so, dass technisches Wissen gebunden ist
an den Menschen, sprich an Humankapital.
Über Humankapital werden wir später sprechen. Humankapital ist die Vorstellung von technischem Wissen,
was verknüpft ist mit einem Menschen bzw. mit der menschlichen Arbeitskraft Human.
Kapital muss selbstverständlich entlohnt werden. Hier haben wir aber eine
andere Vorstellung und diese Vorstellung werden wir zunächst einmal modellmäßig umsetzen,
nämlich die,
das technisches Wissen etwas ist,
was frei verfügbar ist beispielsweise,
indem sie den Output von Universitäten in Bibliotheken nachlesen oder in
den Veröffentlichungen von Forschungsinstituten nachlesen und insofern also unmittelbar das technische Wissen umsetzen können,
ohne dass es gebunden ist an die Angestellten und Arbeiter
in ihrem Betrieb
Die Produktionsfunktion ergibt sich dann also als eine Funktion F und diese Produktionsfunktion
F hat drei Argumente, K von T,
L von T und T von T,
Kapital,
Arbeit und das Niveau der Technologie durch Kombination dieser drei Elemente
wird eben Output Y von T produziert und die Abhängigkeit von der Zeit habe ich hier immer noch angegeben durch das Funktionsargument T für die einzelnen Größen.
Darauf werde ich bald verzichten. Sie müssen sich einfach merken,
dass diese Variablen grundsätzlich Funktionen der Zeit sind.
Stetige Funktionen der Zeit sind
Vorerst wollen wir annehmen, dass das technische Wissen konstant ist.
Sie behalten es einfach im Hinterkopf. Später wird sich das verändern im Zeitablauf
. Aber im Augenblick ist zunächst einmal die Analyse leichter,
wenn wir sagen, Tee ist einfach irgendwie eine feste Größe,
ein bestimmter Bestand an technischem Wissen.
Hier kommt nun das eigentliche Modell. Und es ist nicht
mehr als das, was Sie zurzeit hier sehen.
Das ist bereits das vollständige Modell, diese gelb unterlegten Gleichungen.
Was spezifiziert das historische Wachstumsmodell? Nun zum einen macht es
eine Aussage zur Output-Verwendung. Der produzierte Output Y,
der kann entweder konsumiert werden oder er kann gespart werden
Das ist keine wirkliche Modellannahme, sondern das ist eine Identität,
wie sie sie auch in der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung finden.
Nur, dass dort die Güterverwendung noch insofern etwas aufgefächert wird,
als sagen wir mal die außenwirtschaftlichen Verflechtungen gibt,
von denen wir hier abstrahieren.
Ja, aber ansonsten ist es einfach eine Identität,
alles das, was nicht konsumiert wird, das wird gespart.
Sie können es auch als Definitionsgleichung der Ersparnis auffassen.
Wie die Ersparnis bestimmt wird, dazu machen wir jetzt eine Verhaltensannahme.
Nämlich hier sagen, es gibt eine konstante und exogen gegebene,
also von den Individuen der Ökonomie nicht beeinflussbare Sparneigung.
Diese Sparneigung bezeichnen wir mit kleinen S und das
soll eine Zahl zwischen 0 und 1
Also ein Prozentsatz. Ja, wir wollen sagen,
er ist gespart, wird immer ein bestimmter Prozentsatz kleinen S
des volkswirtschaftlichen Einkommens Y. Sagen wir mal immer 10 Prozent,
dann wäre er S 0,1 oder immer 20 Prozent dann das S 0,2.
Das ist eine Annahme, die ist auch irgendwo problematisch,
die kann man später, die kann man kritisieren,
wir werden das später auch tun, ist gar nicht einzusehen,
warum man immer denselben Anteil seines Einkommens sparen soll,
unabhängig davon, wie sinnvoll ersparnisvollswirtschaftlich nun ist,
aber die anderen macht uns das Leben natürlich zunächst einmal ziemlich leicht.
Ja,
und deshalb wollen wir
sie machen
Die Annahme ist ihnen auch vertraut, aus dem Grundstudium,
denn dort haben sie oft Konsumfunktionen präsentiert bekommen.
Darin hat es geheißen, der Konsum ist klein zäh,
mal Y. Da wurde also gesagt, ein konstanter Anteil des Einkommens wird konsumiert. Nun,
da das Einkommen entweder konsumiert werden kann oder gespart werden kann,
folgt natürlich aus dieser kenzianischen Annahme,
die sie aus dem Grundstudium kennen, C ist klein zäh mal Y,
sofort das S-Klein-S mal Y ist, wobei dann das Kleine ist,
nichts anderes ist, als 1-C, also das,
was übrig bleibt von der,
vom Einkommen,
nachdem man konsumiert hat
Das ist also auch nichts Neues,
sondern es ist nur ein bisschen anders aufgeschrieben.
Sie können auch für kleine S hinschreiben,
eins minus C und dann haben sie dort die durchschnittliche Konsumquote stehen oder die marginale Konsumneigung,
wenn sie von der Konsumfunktion und absolut Glied ausgehen.
Was geschieht nun mit der Ersparnis? Nun,
die Ersparnis wird ja von den Konsumenten im Augenblick nicht benötigt.
Deshalb stellen die Konsumenten die Ersparnis, den Investoren auf dem Kapitalmarkt
zur Verfügung. Die Investoren fragen Ressourcen nach,
weil sie mit den Ressourcen Kapital finanzieren wollen.
Das Kapital können sie einsetzen,
um damit zu produzieren
Produktion, erwirtschaftet einen bestimmten Grenzertrag des Kapitals und diesen Grenzertrag des Kapitals,
den schütten die Investoren dann aus an die Haushalte in Form einer Fremdkapitalverzinsung oder einer Eigenkapitalverzinsung,
also irgendwie eine Art Verzinsung des Kapitals.
Und das ist der Anreiz für die Konsumenten
überhaupt zu sparen oder vielleicht nicht unbedingt zu sparen,
aber es ist doch der Anreiz für die Konsumenten,
die Ersparnis den Investoren zur Verfügung zu stellen.
Also das Grenzprodukt des Kapitals dann an sie fließt und eine
ersparte Einheit Geldes in der nächsten Periode sich vermehrt haben wird,
um das Grenzprodukt des Kapitals, um diesen Zinssatz.
Man kriegt dann also irgendwie eins plus R-Einheitengeldes zurück.
Deshalb leiht man den Investoren auf dem Kapitalmarkt
das Geld
Was ich hier sehe, ist keine Verhaltensannahme, sondern eine Gleichgewichtsbedingung.
Sagt ihnen, im Gleichgewicht wird es so sein,
dass die Ersparnis gleich den Investitionen ist, sozusagen der Zinssatz,
der ausgehandelt werden wird auf dem Kapitalmarkt, der wird sich so einstellen,
dass gerade das Angebot einer Sparnis gleich der Investitionsnachfrage ist.
I von Tee sind dementsprechend die Investitionen, und zwar um
es präzise zu sagen, sind es die Bruttoinvestitionen.
Also alles das, was in einer Periode investiert wird,
unter Einschluss derjenigen Investitionen, die notwendig sind,
um verschlissenes Kapital zu ersetzen, also sozusagen zu kompensieren für die eingetretenen Abschreibungen.
Nun, die Abschreibung, die kennzeichnen wir ebenfalls durch einen Parameter,
nämlich kleinen Delta. Ein Prozentsatz, der zwischen,
also Delta League zwischen 0 und 1, das ist die Abschreibungsrate.
Die beschreibt uns den physischen Kapitalverschleiß, der durch die Nutzung des Kapitalbestands im Produktionsprozess eintritt.
Diese Abschreibung hat nichts zu tun mit der steuerlichen Abschreibung,
die es in fortgeschrittene Industrieländern gibt,
die irgendwie klar vom Prinzip her dasselbe erfassen sollte,
wie eine physische Abschreibung, das aber in den seltensten Fällen tut.
Die steuerliche Abschreibung ist ein rein finanzwissenschaftliches Phänomen,
ob es Es steht sowieso noch dahin,
aber es ist jedenfalls auf das Steuersystem eines Landes,
bezogenes Phänomen, eine Größe, die mehr rechnerische Bedeutung hat,
als dass sie realwirtschaftliche Bedeutung hat.
Sowas haben wir hier in diesem Modell natürlich nicht.
Es gibt überhaupt keine Steuern in dem Modell.
Sondern das Data hier ist tatsächlich der physische Kapitalverschleiß,
also einfach die Abnutzung des Kapitalbestands, die im Produktionsprozess eintritt.
Und da kann man dann sich überlegen, in jeder Periode wird,
was weiß ich, vier Prozent des Kapitalbestands einfach verschlissen,
dieses Kapital ist ja nicht mehr nutzungsfähig,
man muss es irgendwie verschrotten, recyceln, entsorgen oder was auch immer.
Und man muss eben für diesen Kapitalverlust auch ein neues Kapital
beschaffen in Form von Investitionen
Deshalb ist die entscheidende Gleichung,
die wir jetzt im Solution Wachstumsmodell aufstellen, diese letzte,
vierte Gleichung, gleiche 5, K. von Tee ist gleich ifont-delta-kvt.
Da fragen Sie vielleicht zunächst, was ist kein Punkt von Tee?
Nun, ein Punkt kennzeichnet typischerweise eine Ableitung nach der Zeit.
Also K. von Tee ist nichts anderes als die Ableitung Cast
des Kapitalbestands nach der Zeit. Das heißt, K. von Tee
ist nichts anderes als die Veränderung des Kapitalbestands pro Zeiteinheit.
Wenn Sie das jetzt als einen Kotienten lesen, diese Ableitung,
dann ist DK ja die Veränderung des Kapitalbestands und DT ist die verstrichene Zeit.
Beides wird in einem zeitstetigen Modell Infinity Simal, klein,
man betrachtet dann so eine Art Grenzwert, den Differenzialquotienten,
das gibt uns dann die Ableitung.
K. Punkt von T ist also die Veränderung des Kapitalbestands pro Zeiteinheit.
Und diese Veränderung des Kapitalbestands pro Zeiteinheit,
die sagt gleich um fünf, besteht aus zwei verschiedenen Größen.
Nämlich einerseits verändert sich das Kapital pro Zeiteinheit dadurch,
dass pro Zeiteinheit eine bestimmte Menge an Investitionen getätigt werden.
Diese Investitionen erhöhen den Kapitalbestand. Andererseits ist es so,
dass in jeder Zeiteinheit eine bestimmte Menge an Kapital verschlissen wird,
physische Abschreibung. Das haben wir gerade festgelegt,
dieser Kapitalverschleiß wird beschrieben durch Delta, mal K von T,
das heißt der Kapitalverschleiß sollte proportional zum Kapitalbestand sein.
Sagen wir immer vier Prozent oder was auch immer
Ja. Nun, das heißt, in dieser Komponente wächst
der Kapitalbestand, weil die Investitionen immer etwas Positives sind.
In dieser Komponente fällt der Kapitalbestand, weil die Abschreibungen hier
mit einem negativen Vorzeichen eingehen. Die Differenz dieser beiden Größen
beschreibt uns dann die tatsächliche Veränderung des Kapitalbestands pro Zeiteinheit.
Und das bezeichnen wir als die Netto-Investitionen. Also, IFONT sind
die Brutto-Investitionen. Wenn ich von den Brutto-Investitionen die Abschreibungen abziehe,
dann wissen sie aus der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung,
dann bleibt die Netto-Größe übrig, also die Netto-Investitionen.
K. von T sind diese Netto-Investitionen. Das heißt,
es ist die Netto-Veränderung des Kapitalbestands,
die sie als Differenz aus Bruttoinvestitionen und Abschreibungen vergibt.
Und damit ist das die Veränderung des Kapitalbestands pro Zeiteinheit
Das ist das ganze Modell, ja. Es ist also,
wie Sie sehen, im Grunde genommen sehr einfach.
Es besteht nur aus vier Gleichungen von diesen Gleichungen sind mindestens zwei Gleichungen,
also absolute Standardgleichung, die noch nicht mal irgendwie Annahmen beinhalten,
nämlich die erste ist einfach eine Identität, Y ist C plus S.
Diese dritte hier ist einfach eine Gleichgewichtsbedingung oder wenn man es genau nimmt,
ist es sogar weniger als eine Gleichgewichtsbedingung,
die ergibt sich fast zwangsläufig in diesem Modell,
es ist gleich I,
über Sessvaras-Gesetz
Dann habe ich hier eine Verhaltensannahme drin,
dass die Ersparnis, ein konstanter Prozentsatz des Einkommens ist.
Und dann kommt hier diese Gleichung, die ebenfalls fast eine Identität ist,
nämlich dass nichts anderes als die Definition einer Nettogröße.
Eine Nettogröße, seine Bruttogröße, minus die Abschreibung.
Ja, ist eine Identität der VGR.
Es steckt nicht sehr viel an Annahmen in diesem Modell
drin und das Modell wirkt als solches betrachtet ziemlich trivial.
Es könnten jetzt vielleicht denken, naja,
mit dem Modell ist er in der nächsten halben Stunde durch.
Das ist nicht richtig. Dieses Modell wird uns ungefähr
ein halbes Semester lang beschäftigen. Und sie werden sehen,
dass das Modell außerordentlich reich ist, trotz der scheinbar einfachen Struktur,
die ich ihn jetzt hier präsentiert habe.
Ein gewisser Reichtum kommt noch oder eine gewisse Bereicherung kommt noch dadurch zustande,
dass wir den technischen Fortschritt schließlich auch noch betrachten werden.
Den haben wir jetzt hier noch nicht drin gesehen.
Achso, und die Produktionsfunktion habe ich ihn noch nicht beschrieben.
Entschuldigung, das kommt natürlich noch dem zu. Aber das
sind mir Erweiterungen des Modells, die das Modell ein bisschen verallgemeinern,
ohne dass sie eine grundsätzlichen Struktur etwas ändern. So,
die Produktionsfunktion hatte ich ihn ja schon auf der vorigen Folie gezeigt,
also die müssen sie noch hinzurechnen, Nicht vier Gleichung,
sondern fünf. Und was wir jetzt machen wollen,
ist, dass wir diese fünf Gleichung ein bisschen kondensieren.
Dass wir also zunächst mal versuchen, zu sagen,
obwohl das Modell ja ohnehin schon relativ überschaubar wirkt,
wollen wir uns noch ein bisschen überschaubarer machen,
indem wir überflüssige Variablen daraus substituieren.
Um das tun zu können, ist es hilfreich,
wenn wir die Abhängigkeit von tief vorläufig unterdrücken oder überhaupt von jetzt ab meistens unterdrücken.
Das heißt, ich schreibe hier die Kapitalakkumulationsgleichung einfach nochmal ohne
diese Funktionsargumente, Abhängigkeit von der Zeit hin.
K, Punkt ist i-delta-k
Naja, in dieser Gleichung haben wir ja jetzt zwei Variablen,
die auftauchen. Nämlich einerseits den Kapitalbestand. Und andererseits haben
wir die Investitionen drin. Was ich gerne machen möchte,
ist, dass ich diese Gleichung so umschreibe,
dass nur noch eine Variable darin auftaucht,
nämlich nur noch der Kapitalbestand.
Und das mache ich folgendermaßen. Ich verwende jetzt diese Kapitalmarkt-Gleichgewichtsbedingungen und sage,
ich weiß doch, die Investitionen sind gleich der Ersparnis.
Also ist K-Punkt gerade gleich s-delta-malkar. Nun,
die Ersparnis weiß ich durch meine Verhaltensannahmen,
ist nichts anderes als Sparneigung, mal Einkommen.
Also ist das Kleines mal Y,
minus Delta-malkar
Und Y wissen wir, wer wird produziert aus Kapital.
Und Arbeit und technischem Wissen,
aber das technische Wissen haben wir ja erstmal konstant gehalten und
die Arbeit wollen wir im Augenblick auch nicht weiter problematisieren.
Das haben wir nicht erklärt, woher die hier herkommen.
Es gibt also bestimmte Menge an Arbeiten in der Ökonomie.
Wenn wir diese beiden Größen also so ein bisschen marginalisieren wollen,
dann können wir sagen, letzten Endes steht jetzt hier K,
Punkt,
ist gleich S mal F von K und diese mehr oder weniger exogenen Größen,
L&T,
minus Delta Maka
Das heißt, in Termini von endogenen Größen gesprochen,
würden wir sagen, hier haben wir jetzt die Veränderung einer Variablen,
die abhängt von ihrer eigenen, von ihrem eigenen Niveau,
nämlich insoweit diese variablen Kapitalbestand,
die Produktion determiniert und soweit diese Variable der Kapitalbestand,
die Abschreibung determiniert.
Das heißt, eigentlich, wenn wir diese beiden Größen als Exogen auffassen,
sind wir jetzt so weit, dass wir sagen,
hier haben wir eine Gleichung in einer Variablen.
Und wenn das jetzt ein statisches Modell wäre,
dann würden wir sagen, das ist die Modelllösung,
dann lösen wir das Modell jetzt auf nach dieser einen Variablen
und wissen,
was der gleichgewichtige Kapitalbestand ist
Der Punkt des Solution Wachstumsmodells ist, dass das
kein statisches Modell ist, sondern ein dynamisches Modell ist.
Und deshalb ist es nicht so ganz einfach,
dieses Modell jetzt zu lösen im Sinne von aufzulösen nach K. Denn obwohl hier auf der rechten,
also obwohl in dieser Gleichung eigentlich nur noch K drinsteht,
steht K eben in zwei unterschiedlichen Formen drin.
Einmal als Niveau variabelig, hier und da,
auf der rechten Seite also als Niveau variable und dann als Veränderung,
der nur Niveau Variablen auf der linken Seite.
Das ist eine sogenannte Differenzialgleichung, was wir hier haben.
Ja, und diese Differenzialgleichung, die wird uns eben beschäftigen,
die ist der Kern des Solution Wachstumsmodells, diese eine Gleichung.
Wir werden sie lösen, diese Differenzialgleichung in verschiedenen Variationen
und werden sie analysieren und ihre Dynamik analysieren
Um ihnen das jetzt aber ein bisschen weniger vielleicht technisch zu gestalten,
wollen wir die Gleichung noch ein bisschen anders schreiben, indem wir sagen,
nun, jetzt teilen wir mal diese Gleichung, sechs,
hier, K., Punkt, ist erst mal F und K,
minus Delta K., die teilen wir durch K.
Also K. durch K. kriegen wir dann hier auf der linken Seite der Gleichung stehen.
Das ist nichts anderes als die Wachstumsrate des Kapitalbestands. Ja,
die Wachstumsrate des Kapitalbestands bezeichnen wir mit Gamma K. Allgemein werden wir
künftig Wachstumsraten immer mit dem Buchstaben Gamma und dann einem Index,
nämlich der entsprechenden Variablen, die gerade wächst,
bezeichnen und das wird dann also immer so sein,
dass das definiert ist,
als die entsprechende Variable abgeleitet nach der Zeit,
geteilt durch das Niveau der entsprechenden Variablen
Nun, es ist ja klar,
dass das hier eine Wachstumsrate ist,
denn das hier ist ja die Veränderung der Variablen pro Zeiteinheit,
gezeigt durch das Niveau der Variablen im Zeitpunkt.
Und da die Zeiteinheit, hier entweder die sie mal wird,
ist das praktisch die Veränderung der Variablen in einem Zeitpunkt.
Wort Infinity sie mal klein die Zeiteinheit. Also die Veränderung einer Variablen
in einem Zeitpunkt bezogen auf das Niveau der Variablen zu diesem Zeitpunkt.
Also ist das die Wachstumsrate der Variablen. Nun,
wir müssen die ganze gleiche um sechs durch K teilen,
also müssen wir auch die rechte Seite durch K teilen.
Dann steht da also die Wachstumsrate des Kapitalbestands,
ist S mal der Output,
also das Einkommen,
geteilt durch K minus Delta
Ja? Hier bleibt nur noch minus Delta übrig,
weil das Kars sich da rauskürzt.
Hier muss ich den Output teilen durch den Kapitalbestatt.
Nun überlegen Sie sich aber mal, was ist denn Output durch Kapitalbestatt?
Output durch Kapitalbestand ist nichts anderes als die Kapitalproduktivität.
Das sagt Ihnen, wie viel Output kann ich produzieren pro Kapitaleinheit?
Also steht da die Kapitalproduktivität? Jetzt habe ich
eine relativ anschauliche Gleichung stehen. Diese Gleichung postuliert also,
die Wachstumsrate des Kapitalbestands in einer Ökonomie ergibt sich aus Sparquote,
mal Kapitalproduktivität minus Abschreibungsrate
Wir sind alles messbare Größen. Man kann so ein bisschen
streiten über die Qualität, mit der der Kapitalbestand gemessen wird,
aber im Prinzip ist der Kapitalbestand eine beobachtbare messbare Größe.
Nun kann man also jetzt hergehen und können das versuchen, auch empirisch umzusetzen.
Und manchmal werden wir das auch tun und sagen,
gut, wir messen die Wachstumsrate des Kapitalbestands.
Wir messen die Sparquote, wir messen die Kapitalproduktivität und wir messen die Abschreibungsrate.
Dann können wir mal gucken, ob das Modell stimmt.
Das stellen wir noch ein bisschen hinten an,
weil wir noch einige andere Überlegungen zum Modell machen müssen,
aber darauf werden wir wieder zurückkommen.
Aber das ist die erste Aussage, die wir jetzt aus diesem Modell ableiten.
Es scheint einen einfachen Zusammenhang zu geben zwischen der Wachstumsrate des Kapitalbestands,
der Sparquote, der Kapitalproduktivität und der Abschreibungsrate
Was wir jetzt wissen wollen, ist,
also das ist die eine Art, diese Gleichung zu betrachten.
Ich habe es jetzt gleich um sechs Strich genannt.
Ich hatte ihn aber eben auch gesagt,
diese gleichen sechs Strich postuliert letzten Endes,
eine Abhängigkeit der Wachstumsrate des Kapitalbestands vom Niveau des Kapitalbestands.
Und daran erinnert ja auch gleich um sechs Strich nichts.
Hier ist immer noch so die Wachstumsrate des Kapitalbestands hängt im Wesentlichen davon ab,
wie groß das Niveau des Kapitalbestands ist,
wenn wir L&T im Augenblick mal Konstant halten.
Und die Frage ist, wie genau hängt jetzt
die Wachstumsrate ab vom Niveau des Kapitalbestands
Nun, hier habe ich ihm zunächst nochmal den Begriff der Wachstumsrate definiert,
das habe ich eben bereits erklärt,
Wachstumsrate ist eben die Veränderung einer Variablen pro Zeiteinheit bezogen auf das Niveau dieser Variablen in demselben Zeitpunkt.
Und worauf ich hier nur noch hinweisen möchte, ist,
dass sie diese Wachstumsrate sehr einfach immer dann bekommen,
wenn sie einen Logarithmus nach der Zeit ableiten.
Also es gilt zum Beispiel, wenn sie einen Logarithmus von Kanim
und den nach der Zeit ableiten, dann ist das die Wachstumsrate. Warum? Nun,
differenzieren sie Logarithmus von K nach der Zeit,
dann bedeutet das doch nichts anderes,
als dass sie zunächst einmal, also sie müssen Kettenriegel anwenden,
den Lugarithmus von K nach K differenzieren,
die Ableitung des Lugarithmus von K nach K ist 1 durch K.
Und da müssen sie K nachdifferenzieren nach der Zeit,
also DK detibeln, nur das ist K-Punkt.
Aber eins durch K, mal K, Punkt ist nichts anderes als K,
Punkt durch K und das dementsprechend die Wachstumsrate.
Das heißt, wir wissen, die Ableitung des Lugarithmus von
K nach der Zeit ist die Wachstumsrate.
Oder? Wir können es auch andersrum schreiben. Wir können schreiben,
wenn wir jetzt dieses DT hier auf die andere Seite multiplizieren,
die Veränderung des Lugarithmus von K ist gerade gleich Gama K,
mal die T,
mal sozusagen eine verstrichene Zeitperiode
Das hier ist ein Verfahren, was man zur Lösung von
Differenzialgleichungen einsetzt, was man die Trennung der Veränderlichen nennt.
In unserer Differenzialgleichung, nämlich, wenn wir dann nochmal zurückschauen,
in unserer Differenzialgleichung, hier hatten wir eigentlich zwei veränderliche Variablen.
Also erneut halten die L&T konstant,
ja gucken Sie nur auf das K,
dann haben sie jetzt eine veränderliche,
den Kapitalbestand und die andere veränderliche in dieser Ergleichung ist die Zeit.
Das ist das T, was nicht explizit hier aufgeschrieben ist,
aber was eben die Variablen beeinflusst,
weil K selbst eine Funktion der Zeit ist
Also gibt es hier zwei Größen, die sich verändern.
Der Kapitalbestand kann sich verändern und die Zeit kann sich verändern.
Und in dieser Gleichung, hier unten, da habe ich diese beiden Variablen nun getrennt.
Auf der linken Seite der gleiche entsteht nur noch der Kapitalbestand,
auf der rechten Seite der Gleichung steht die Zeit.
Ganz richtig ist es noch nicht, zu sagen,
ich hätte es getrennt, weil Sie natürlich sagen können,
gut, dieses Gama K hier,
da steckt ja auch irgendwo das K mit drin.
Dann wäre es also nicht perfekt getrennt. Aber wir wollen
diese Gleichung uns mal angucken unter der Annahme,
dass das Gama K konstant ist.
Das wäre eine konstante Wachstumsrate des Kapitalbestands haben.
Ja, dann ist es hier einfach eine Zahl.
Und dann haben wir eben die beiden Varianten wirklich getrennt,
links steht der Kapitalbestand,
rechts steht die Zeit
Nun, dann ist es einfach diese Differenzialgleichung zu lösen.
Also, unter der Annahme, dass das Gamma-K konstant ist,
brauche ich nämlich jetzt nur auf beiden Seiten der Gleichung zu integrieren.
Das Integral über den Logarithmus K ist dann gleich
dem Integral über Gamma-K die Tee. Ja? Naja,
und so ein Integral auszurechnen, das ist ganz einfach,
denn hier wird ja eigentlich nur die Funktion 1 integriert nach dem Logarithmus K. Ja,
also eigentlich steht hier unsicher mal noch eine 1 da drin.
Das heißt, wenn bei 1 integrieren nach dem Logarithmus K
, dann kommt natürlich
Lugarithmus Chaos
Und wenn wir hier eine Konstante integriere nach der Zeit,
dann ist die Stammfunktion da von Tee mal die Konstante.
Beim Integrieren erinnern Sie sich, vielleicht kommt immer noch eine
Integrationskonstante hinzu. Also ist das Lösen dieser Gleichung hier,
was sich aus der Integration ergibt, nichts anderes,
als dass wir sagen, in den Niveaus muss offenbar gelten,
der Logarithmus von K plus eine Konstante ist Tee mal Gamaka.
Wenn Sie jetzt mit dem Integrieren so ein bisschen Schwierigkeiten haben,
weil das vielleicht sonst in Ihrem Studium nicht so oft vorkommt,
dann machen Sie es einfach umgekehrt.
Dann differenzieren Sie eben
diese Gleichung
Wenn sie diese Gleichung hier differenzieren, beispielsweise nach der Zeit,
dann kommen sie wieder auf die Gleichung, von denen wir ausgegangen sind.
Dann kommen sie wieder darauf, dass D-Logorithmus K, nichts anderes ist als Gama K.
Also differenzieren sie die ganze Gleichung hier nach der Zeit,
dann sehen sie zunächst mal die Konstante fällt weg,
wie das beim Differenzieren übrig, üblich ist,
dann steht da D-Logorithmus K, D-T, ja,
und hier fällt, wenn ich nach Tee differenziere,
das T weg, dann bleibt also gerade Gama K übrig,
dann habe ich wieder die Gleichung,
von denen ich ausgegangen bin.
Also das ist hier richtig gelöst. Wir sehen jetzt
der Logarithmus des Kapitalbestands, muss gleich einer Konstanten sein,
plus T mal Gama
Jetzt ist es einfach, das Dakar zu lösen. Das heißt,
wir müssen lediglich diese Gleichung hier entlogarithmieren, indem wir sie sozusagen hoch,
nein, indem wir eh hoch diese Gleichung berechnen,
dann kriegen wir K ist eh hochminus eine Konstante,
mal E-Hochthema Gama K. Nun,
diese Konstante haben wir hier nicht näher bestimmt, das machen wir gleich.
Dafür können wir einfach schreiben,
dass es irgendeine Konstante 10-0, ja,
also eh hochminus, die Konstante schreiben wir einfach als 10-0,
ist also irgendeine konstante 10-0, mal E-Hochthema Gama K.
Von 10-0 wissen wir,
dass das eine positive Zahl sein muss,
weil eh hoch irgendwas immer positiv ist
Diese Gleichung, hier bezeichnet man als die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung.
Und wir können jetzt schnell uns überlegen, was dieses C-0 sein muss.
Denn sie sehen ja diese Gleichung, beschreibt die jetzt K,
nur noch als eine Funktion von Tee.
Deshalb ist es eine Lösung, weil jetzt nur noch
die Abhängigkeit Cars von Tees hier drin steckt.
Das ist also sozusagen K von Tee,
was ich jetzt hier ausgerechnet habe. Jetzt weiß ich explizit,
wie sich Car in Abhängigkeit von der Zeit verhält.
Nun, wir wollen es jetzt mal so machen,
dass wir Tee gleich null setzen.
Dann steht da K von null, ist gerade gleich.
C-0 mal E
hoch null,
Also, Ehoch 0 ist 1, dann steht da also
K von 0 ist gerade gleich 10-0. Nun,
damit wissen wir jetzt aber plötzlich, was das 10-0 ist.
Also statt hier 10-0 hinzuschreiben, können wir auch hinschreiben, K von 0.
Das heißt, die Lösung unserer Differenzialgleichung besagt uns,
K von T ist gerade gleich der Anfangskapitalbestand zu einem Zeitpunkt 0. Mal E-Hoch-Thema Gamaka.
Oder andersrum gesprochen, was wir hier analysiert haben,
ist, wenn Gamaka konstant ist,
dann gilt das K exponentiell wächst, nämlich folgend einer E-Funktion,
mit einem Startwert K von 0,
also zum Zeitpunkt 0 haben wir irgendeinen Kapitalbestand gegeben und
seit hier wächst K exponentiell mit einer Wachstumsrate Gamaka
Und Gamma Car war ja die Wachstumsrate. Jetzt könnten wir
wieder sagen, damit haben wir jetzt noch nicht mal
eine halbe Stunde gebraucht und haben das Modell vollständig gelöst.
Denn da steht ja die Lösung für K und dann ist
es einfach auch die Lösung für Y und für C und
für I und für S und so weiter zu berechnen.
Also noch immer ist es nicht so,
dass das Modell so sonderlich ergiebig zu sein scheint oder
so sonderlich reich an Struktur zu sein scheint.
Aber auch dieser Eindruck prügt, denn diese Annahme hier,
dass Gamma Car konstant ist, die ist natürlich kritisch.
Was wir sehen werden, ist, dass im Allgemeinen,
dass Gamma Car nicht konstant ist, sondern selbst von der Zeit abhängt.
Wenn das Gamma Car selbst von der Zeit abhängt,
dann ist die Lösung, dann ist das noch nicht die richtige Lösung.
Das ist die Lösung deutlich komplizierter und die werden wir uns
dann später mal angucken und überlegen, wie die sich qualitativ verhält.
Das wird also nicht so leicht zu lösen sein,
wie diese Art von Differenzialgleichung hier.
Auf der anderen Seite ist das hier sozusagen ein Nutz,
ein nützlicher Ausgangspunkt für unser Modell,
das ja zumindest schon mal wissen,
wie verhält sich der Kapitalbestand,
wenn die Wachstumsreite des Kapitalbestands
konstant ist
Und in gewisser Hinsicht ist es auch ein empirisch sinnvoller Ausgangspunkt.
Wir müssen da noch ein bisschen Arbeit dazwischen leisten,
aber was ich Ihnen gesagt hatte, war doch,
als ich Ihnen so die Grafen gezeigt habe,
über die Entwicklung des Bruttoinlands,
Produkts pro Kopf in Deutschland und in den USA,
da habe ich noch gesagt, die folgen in den Logarithmen ungefähr einem linearen Trend langfristig.
Das heißt, die langfristige Wachstumsrate scheinen konstant zu sein. Also,
wir haben es nicht für den Kapitalbestand gesehen,
weil es ja nicht so gute Daten gibt,
aber ich werde ihnen später zeigen,
wenn der Kapitalbestand langfristig mit der konstanten Wachstumsrate wächst,
dann wächst auch der Output langfristig mit der konstanten Wachstumsrate
Also diese Lücke zu schließen, das ist relativ einfach.
Echt? Das heißt,
aus den Daten sehen wir zumindest für manche Staaten,
wie zum Beispiel Deutschland und die USA,
das Wachstum mit einer konstanten Rate durchaus etwas empirisch Relevantes ist.
Echt? Und unser Modell sagt es nun gerade,
wenn der Kapitalbestand mit einer konstanten Wachstumsrate wächst,
naja gut, dann folgt er eben einer E-Funktion.
Das ist eine gewisse Sicht ebenfalls eine Trivialität.
Okay. So sieht das grafisch aus.
Das ist also ein relativ einfacher Verlauf. Sie tragen auf
der Abszisse
die Zeit ab
Sie gehen davon aus, dass in irgendeinem Zeitpunkt null ein
bestimmter Kapitalbestand gegeben ist, egal wie hoch der nun ist.
Und ausgehend von diesem K von null folgt der Kapitalbestand dann
eben in seinem Wachstum einer E-Funktion.
Dieses Wachstum entsprechend einer E-Funktion ist irrsinnig schnell.
Machen Sie sich das bitte ganz klar. Sie kennen ja
alle eine Normalparabel, eine quadratische Funktion oder sowas und wissen,
wie schnell eine quadratische Funktion wächst.
Eine E-Funktion wächst viel schneller als eine quadratische Funktion
Eine E-Funktion wächst schneller als jedes Polynom. Also es wächst
nicht nur schneller als x Quadrat oder x hoch 3 oder x hoch 4,
sondern es wächst auch schneller als x hoch 1000 oder x hoch eine Million.
Ja, es wächst schneller als jedes Polynom, egal wie
groß der Exponent ist. Also das ist ein sehr,
sehr schnelles Wachstum, was man dort hat.
Nun, deshalb kann es auch ohne weiteres so sein,
dass die Wachstumsrate eigentlich relativ klein ist.
Nehmen wir mal an, wir haben 1,7 Prozent Wachstum,
dann ist die Wachstumsrate also 0,017. Ja,
das ist eine ziemlich kleine Zahl.
Trotzdem ist es so, dass die E-Funktion
im Laufe der Zeit ein enormes Wachstum vorliegt
Und das haben wir in der vergangenen Woche gesehen,
dass ich ihnen gezeigt habe, dass die Wachstumsprozesse im Laufe
der Zeit eben zu enorm starken Veränderungen des Einkommens führen,
wenn man mit 1,7 Prozent Wachstum wächst.
Also die E-Funktion ist eine Funktion, deren Kraft nicht zu unterschätzen ist.
Die Funktion zu zeichnen ist ein bisschen mühsam,
weil man dann halt irgendwie so die richtige Stadtsteigerung rauskriegen muss.
Viel einfacher ist immer, wenn man das in Logarithmen macht.
Also oft werden wir auf die logarithmische Darstellung übergehen und sagen,
wir stellen nicht den Kapitalbestand auf der Ordinate dar,
sondern wir stellen den Logarithmus des Kapitalbestands auf der Ordinate dar.
Dann gilt eben, dass wir eine lineare Funktion haben und
diese lineare Funktion, die hat gerade die Steigerung Gamma Car
Dann ist es also besonders einfach zu zeichnen.
Der Ausgangspunkt hier, der Achsenabschnitt, ist natürlich dann gerade
der Logarithmus des Kapitalbestands zum Zeichen Zeitpunkt Null.
Jetzt haben wir noch dieses Problem, dass in der Produktionsfunktion
ja eben mehr drinsteckt als nur der Kapitalbestand.
Da habe ich jetzt so ein bisschen drüber hinweggebügelt und habe ihnen gesagt,
lassen Sie erstmal dieses L und das T konstant sein.
Dann konnten wir das so lösen, wie ich das gerade gemacht habe.
Aber tatsächlich steckt da eben auch die Arbeit noch drin und
das technische Wissen noch drin
Und um diese Größen angemessen behandeln zu können,
müssen wir uns ein bisschen eingehender beschäftigen mit den Eigenschaften der Produktionsfunktion,
unter bestimmten, pirisch und theoretisch durchaus plausiblen Eigenschaften,
werden es nämlich diese größten Arbeit und technisches Wissen und
das Leben nicht sonderlich schwer machen.
Also wir werden um die bereinigen können und wir müssen uns jetzt nur überlegen,
wie wir am besten um diese Größen bereinigen können.
Nun, dazu wollen wir uns mit den Eigenschaften der Produktionsfunktion
befassen und da zunächst einmal definieren,
was wir unter konstanten Skalen erträgen,
Sie kennen den Begriff möglicherweise bereits aus den Vorlesungen des Grundstudiums,
aber ich will es Ihnen hier noch einmal systematisch erläutern,
beziehungsweise vielleicht hat man im Grundstudium auch nicht so sehr mit konstanten Skalenerträgen operiert,
sondern stärker mit abnehmenden Skalenerträgen,
weil sie den Kapitalbestand als Produktionsfaktor typischerweise in den makroökonomischen Modellen des Grundstudiums konstant gehalten haben werden.
Also, wir definieren jetzt,
dass eine Produktionsfunktion der Form F von KL und T
konstantes Skalenerträge bezüglich der privaten Produktionsinputs K&L hat, wenn gilt,
dass F von Lamdakar, Lamda L und Tee.
Dasselbe ist wie Lamda mal F von K-L und T.
Und das soll gelten für alle Faktoren Lamda, für alle positiven Faktoren Lamda.
Nun zunächst mal beachten sie das Tee nicht. Sie sehen
die Konstanten Skalenerträge sind nur definiert bezüglich der privaten Produktionsinputs.
Das technische Wissen wird nicht mit Lamda multipliziert. Im Grunde
genommen bräuchte ich das hier gar nicht hinzuschreiben. Ich habe es dennoch gemacht,
weil ich gerne für sie betonen wollte,
dass das Tee eben nicht mit Lamda multipliziert wird,
wenn wir über Konzerte Skalenerträge reden,
sondern dass das eine Eigenschaft ist,
die sich wirklich nur bezieht auf den Einsatz an privaten Produktionsfaktoren
Und dann wollen wir wissen, was besagt, dass ökonomisch,
dass die Produktionsfunktion konstantes Skalenerträge hat, was soll diese Multipliziererei mit dem Lamda?
Nun die anschauliche Art und Weise, das vorzustellen,
ist die, dass man sagt,
stellen Sie sich mal vor, Lamda ist zwei.
Dann würde das bedeuten, wir möchten gerne wissen,
was passiert mit unserer Produktion, wenn wir den Kapitalbestand verdoppeln,
zweimal K einsetzen und gleichzeitig auch die Arbeit verdoppeln.
Zweimal L einsetzen. Dann sagt mir die Eigenschaft konstanter Skalenerträge,
dann kommt auch der doppelte Output heraus,
nämlich zweimal der Output, den ich erzeugen könnte,
wenn ich nur K und L einsetze
Oder anschaulich gesprochen, konstantes Galenerträge besagen, dass eine Verdoppelung
der privaten Produktionsinputs zu einer Verdoppelung des Outputs führt.
Und das aber natürlich nicht nur für den Faktor 2,
sondern für alle sinnvollen, positiven Faktoren,
also eine Verdreifachung der Inputs für zu einer Dreifachung des Outputs
und einer 1,5-Fachung der Inputs für zu einer für 1,5-Fachung der Outputs und so weiter.
Das ist also eine sehr anschauliche Eigenschaft eigentlich, die Eigenschaft,
konstanter Skalenerträge und man kann sie mathematisch eben exakt in dieser Form formulieren.
Mathematisch sagt man auch, dass F-Homogen vom Grade 1
ist,
in K und
Oder dass man sagt, F ist linear homogen in Co&L.
Also alle drei Ausdrucksweisen werden sie in einer Literatur finden.
Diese Homogenität von Gerade 1 kommt daher, dass das Lamnder,
was hier vorne steht, sozusagen einen Exponenten von 1 hat.
Da steht Lamda hoch 1. Man kann sich auch andere Formen von Homogenitäten
von Funktionen definieren. Zum Beispiel kann man sich auch definieren,
dass Lamda einen Exponenten von null hat,
dass also F von Lamda Car und Lamda L. gerade gleich F von K und Alice.
Das ist also eine Veränderung der Inputs der Funktion zu
keiner Veränderung der Outputs
Nun, das hat offensichtlich keine sinnvolle Interpretation im Bereich einer Produktionsfunktion,
aber sie kennen diese Eigenschaft vermutlich aus der Mikroökonomie,
aus dem Bereich von Nachfragenfunktionen.
Ja, im Bereich von Nachfragefunktionen, da haben sie typischerweise die Eigenschaften,
dass Nachfragefunktionen homogen von gerade null sind in Preisen und Einkommen.
Nicht, wenn sie alle Preise mit einem Faktor
zwei multiplizieren und das Einkommen mit einem Faktor zwei multiplizieren,
dann ändert sich real in der Nachfrage überhaupt nichts.
Ja, weil das sozusagen nur eine Veränderung der Skalierung der Geldeinheiten ist. Ja,
also da sollte dieser Begriff in ihre Mikrovorlesungen gefallen sein,
Homogenität von gerade null, das würde eben sagen,
da steht Lamda hoch null,
also eins vor der Funktion
Oder man kann sich auch eine Homogenität von gerade 2 vorstellen,
dann wurde das Lampen da Quadrat stehen.
Da gibt es aber nicht so viele Anwendungen für in der Ökonomie.
Also wir wollen hier konstantes Galenerträge definieren und die sind eben
definiert als Homogenität vom Grade 1 beziehungsweise durch diese Eigenschaft,
dass eine Verdopplung der Produktionsinputs zu einer Verdopplung der Outputs führt.
Stellt sich das ganz einfach vor. Die Annahme ist extrem plausibel. Wenn Sie eine Fabrik haben,
die mit einer bestimmten Ausstattung an Kapital und Arbeit eine bestimmte Menge an Output produziert,
dann können Sie doch sagen,
wenn ich jetzt genau dieselbe Fabrik nochmal baue und mit der
genau selben Menge an Maschinen ausplätte genau dieselbe Menge an Arbeitern derselben Qualifikation in dieser Fabrik beschäftige,
dann müsstest du doch mit dem Teufel zugehen, wenn ich damit nicht das doppelte an Output produzieren könnte.
Also wenn ich damit nicht genau denselben Output produzieren könnte.
Man nennt das manchmal das Kopierargument. Wenn ich eine Produktionsanlage exakt kopieren kann,
indem ich sie mit derselben Ausstattung an Produktionsstätten an Produktionsfaktoren
noch einmal auf die grüne Wiese stelle,
dann sollte diese Produktionsanlage auch dieselbe Menge an Output produzieren können.
Also es ist die natürlichste Annahme eigentlich,
die man über eine Produktionsfunktion machen kann
Hier ist ein Beispiel. Sie sind es vielleicht gewöhnt mit einer Comducles-Produktionsfunktion zu arbeiten,
aber natürlich ist, besteht die Welt nicht nur aus Comducles.
Es gibt auch andere Produktionsfunktionen. Das hier ist die sogenannte CES-Produktionsfunktion.
CES bedeutet Constant Eglesticizicity of Substitution. Das ist eine,
ich will das die meisten, die es nicht erklären,
was eine Substitutionselastizität ist, aber es ist eine Produktionsfunktion,
die eben die Eigenschaft hat,
dass die Substitutionselastizität konstant ist und die Comducles-Produktionsfunktion ist ein Spezialfall davon.
Weil die Comducles Produktionsfunktion ein Spezialfall davon ist,
ist diese Funktion hier natürlich ein bisschen Komplizierter,
sie hat die Gestalt A, mal Karufi plus 1,
minus A, mal Elhochvieh,
das ganze Ding hier in den eckigen Klammern, Buch 1 durchvieh.
Und dann soll gelten, dass A zwischen 0 und 1
ist und viel kleiner gleich 1 ist.
Bitte machen Sie das mal zur Übung, beweisen Sie,
dass diese Produktionsfunktion hier konstantes Galenerträge hat.
Setzen Sie also für K und L,
Sie sehen das T, habe ich unterdrückt,
sitzen dort Lamdaka und Lamda L ein und zeigen Sie dann,
dass dann Lamda mal F herauskommen muss
Die CES-Produktionsfunktion sehen Sie auch des Öfteren in der Literatur und
deshalb ist es wichtig, dass Sie sie einigermaßen kennen.
Vor allem ist es wichtig, dass Sie sehen,
dass die CES-Produktionsfunktion eigentlich ein einheitlicher Rahmen für die drei Typen von Produktionsfunktionen sind,
ist, die man in dem Grundstüm typischerweise vorgestellt hat.
Nämlich einerseits die Kontank des Produktionsfunktionen,
andererseits die Leontjev-Produktionsfunktion, also die Produktionsfunktion perfekter,
komplementärer Produktionsinputs und die lineare Produktionsfunktion,
die ein Spezialfall wäre von
perfekt substitutiven Produktionsinputs
Wie kann man das sehen? Nur man kann es gar nicht so ganz einfach sehen.
Am einfachsten ist es noch im Falle von perfekten Substituten. Nämlich,
wenn sie das Vieh auf einsetzen in dieser Produktionsfunktion,
nun dann sehen sie eins durch Viehs eins,
also dann können wir diesen Exponenten hier vergessen. Und das Vieh hier,
L-Hoch 1 ist ebenfalls nur einfach L und K hoch 1,
ist einfach K. Das heißt,
in diesem Fall ist die Produktionsfunktion F und KL einfach A mal K plus 1,
minus A mal L. Ja, und das ist eben eine normale,
additive Produktionsfunktion, die perfekte Substitute als Produktionsinputs ausdrückt,
mit perfekten Substituten ist gemeint,
ich kann L immer perfekt substituieren durch eine entsprechende Erhöhung von
Ja, dann kriegen sie also Isoquanten heraus, wie man
die Ihnen im Grundstudium wahrscheinlich in dieser Form hier mal gezeigt hat.
Wenn ich bei dieser letzten Produktionsfunktion, würden Sie sagen,
dass die Isoquanten bei Einsatz von L und K irgendwie so linear laufen.
Und das A, das determiniert die Steigung dieser Isoquanten dort.
Etwas aufwendiger ist es zu zeigen, dass sie die Cop-Duglas-Produktionsfunktion
erhalten, wenn das Vieh gegen Null geht.
Da müssen sie die Regel von Lobbital verwenden müssen,
also eine Grenzwertbetrachtung machen Und ebenfalls bei dem Fall der Leonief-Produktionsfunktion
müssen sie ebenfalls die Regel von Lopital verwenden.
Da muss das Vieh gegen minus unendlich gehen.
Dann kommen sie da drauf, dass die Kopdank,
dass die CES-Produktionsfunktion gegen das Minimum von K&L konvergiert.
Und dann kriegen sie die anderen Fälle,
die man ihnen im Grundstudium gezeigt hat.
Also zunächst war vielleicht der Leonief-Fall. Sie erinnern sich vielleicht
noch dran, hoffentlich erinnern sie sich dran.
Da haben sie diese Isoquanten mit dieser hässlichen Ecke.
Das ist der Fall perfekter Komplimente. Und der Cop Douglas-Fall
ist sozusagen ein Mittel zwischen diesen beiden Extremen.
Im Cop Douglas-Fall hätten sie eben Isoquanten,
die schön konvec sind
Und so verlaufen würden. Ja. Und das macht die Attraktivität
des Kopitalglistfalls letzten Endes auch aus. Also, dass man
wirklich perfekte Komplimente hat, hält man oft für eher ungewöhnlich.
Also, es gibt zwar Anwendungen dazu,
aber oft würde man sagen, es ist nicht so plausibel,
dass eine zusätzliche Menge eines bestimmten Produktionsinputs überhaupt keine zusätzliche Produktion erlaubt,
dass die praktisch völlig wertlos ist.
Ja, es ist also ein sehr extremer Fall,
diese Learney-F-Produktionsfunktion
Und der Fall perfekter Substitute ist natürlich ähnlich extrem.
Dass man also den Ausfall eines Produktionsfaktors perfekt substituieren kann durch
den Einsatz eines anderen Produktionsfaktors, ist ebenfalls eine extreme Annahme.
Deshalb macht man eben gerne eine Annahme,
wo die Isoquanten irgendwie so konvect sind.
Und das erhält man eben gerade bei der Complanctes Produktionsfunktion.
Haben Sie dazu Fragen zu dieser Annahme der konstanten Skalenerträge?
Dann wollen wir etwas sagen über Grenzproduktivitäten. Ich hatte Ihnen vorhin schon gesagt,
bei der Erläuterung des Soloischen Wachstumsmodells, dass es hier diesen Kapitalmarkt gibt,
dass also die Kapitaleigentümer, die Haushalte,
die irgendwie Einkommen erzielt haben und ein Teil dieses Einkommens sparen wollen,
dass diese Haushalte einen Sparanreiz brauchen,
damit sie den Unternehmern ihre Ersparnisse für Investitionen zur Verfügung stellen.
Sonst können Sie ja sagen, ich behalte das Geld einfach.
Wir haben zwar formal kein Bakrottrisiko in diesem Modell,
aber de facto ist es natürlich so,
dass es in der realen Welt ein Bankrottrisiko gibt und wenn es nicht eine Verzinsung gäbe,
dann würde man nicht zur Bank gehen und das Geld dort deponieren und die Bank würde es nicht anderen zur Verfügung stellen,
um damit Investitionen zu finanzieren.
Nun, ein Kreditmarkt funktioniert, also nur dann,
wenn Zinsen gezahlt werden können und Zinsen kann es nur dann geben,
wenn Kapital irgendwie eine bestimmte Art von Produktivität entfaltet.
Diese Produktivität bestimmt sich aus der Grenzleistungsfähigkeit des Kapitalbestands
und deshalb sprechen wir von der Grenzproduktivität
Wenn man jetzt kompetitive Faktormärkte unterstellt, wenn man also unterstellt,
dass auf den Märkten für die Produktionsfaktoren vollständiger Wettbewerb herrscht,
dann gilt auch das, wissen Sie, aus dem Grundstudium,
dass die Entlohnung der Produktionsfaktoren ihrem Grenzprodukt entsprechen muss.
Die Produktionsfaktoren werden so lange von den Unternehmern nachgefragt und eingesetzt,
wie die Unternehmer, für die Entlohnung der Produktionsfaktoren nicht mehr ausgeben,
als das Grenzprodukt dieser Produktionsfaktoren ist.
Auf der anderen Seite fragen die Unternehmer genau so lange nach,
bis sie eben tatsächlich das Grenzprodukt bezahlen,
denn wann immer der Lohn setzt beispielsweise niedriger wäre oder die Kapitalentlohnung niedriger wäre,
als das Grenzprodukt wäre,
es wird ein Unternehmer ja lohnen,
diese Produktionsfaktoren noch zu beschäftigen
Ergo. Wir sagen das in kompetitiven Faktormärkten, nach dem Grenzprodukt entlohnt wird.
Das nehmen wir also an, eine Annahme, die wir hier machen.
Das ist die Faktormärkte, kompetitiv sind und dann folgt das
da draus. Das bedeutet also jetzt,
dass die Bruttoverzinsung einer Einheit Kapital beziehungsweise der lohnt als einer Einheit Arbeit
, genau durch das Grenzprodukt determiniert ist.
Wir wollen mal R bezeichnen hier als die, als das Bruttogrenzprodukt des Kapitals.
Ja? Nein, Entschuldigung. Als die Bruttoentlohnung einer Kapitaleinheit,
wollen dann sagen, dass dieses R hier nichts anderes ist,
als das Grenzprodukt des Kapitals,
also die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach dem Kapitalbestand
Dieses Grenzprodukt des Kapitals schreiben wir kurzerhand oft auch einfach F-Index-K.
Also partielle Ableitung von F nach K. Und entsprechend soll der Real lohnen,
wir haben ja hier nur reale Größen, der Realunsatz wie,
nichts anderes sein als dem Grenzprodukt der Arbeit gleich sein in der Produktion,
das Grenzprodukt der Arbeit ist erneut die partielle Ableitung der Produktionsfunktion
nach der Arbeit und die bezeichnen wir mit FL.
Ich finde ehrlich gesagt, wenn ich mir diese Folie angucke,
dass ich hier nicht so ganz gut gearbeitet habe oder dass
die Darstellung nicht so ganz glücklich ist,
weil ich hier dieses Definiertzeichen gemacht habe.
Also Groß-R wird definiert als Grenzprodukt des Kapitals.
Das ist eigentlich nicht ganz richtig. Da ich so ruhig
diese Doppelpunkte an dieser Stelle weg. Ich wollte eigentlich nur
diese Begrifflichkeiten einführen und ihnen sagen, was das ist.
Aber eigentlich müsste ich ein einfaches Gleichheitszeichen stehen, weil das nämlich eine Gleichgewichtsbedingung ist.
Wir fordern sozusagen das im Gleichgewicht des Modells, der Lohnsatz,
gleich dem Grenzprodukt der Arbeit ist und der Bruttozinssatz,
gleich dem Grenzprodukt des Kapitals ist.
Also ist das hier nur eine Gleichgewichtsbedingung, nicht eine Definitionsgleichung,
während hier auf dieser Seite die Definition natürlich stimmen.
Das ist einfach nur eine abkürzende Schreibweise für diese partielle Ableitung,
die ich hier und dort gewählt habe
Nun, warum sage ich Groß-R und warum nenne ich das
Ding Brutto-Verzinsung? Deshalb, weil das natürlich das ist,
was das Grenzprodukt des Kapitals insgesamt darstellt,
also sozusagen der Brutto-Ertrag des Kapitaleinsatzes aus der Produktion ist.
Aber nicht alles von diesem Brutto-Ertrag fließt als Zinszahlung an den
Kapitalgeber zurück. Warum nicht? Nun, deshalb nicht,
weil wir ja Abschreibung haben in diesem Modell.
Das heißt, aus dem Brutto-Ertrag des Kapitals musst dunächst einmal
natürlich finanziert werden, was wir an physischem Kapitalverschleiß haben.
Das heißt, der physische Kapitalverschleiß muss ersetzt werden und
nur die Differenz zwischen Brutto-Ertrag des Kapitals und Abschreibungssatz
fließt dann als Zinszahlung an die Haushalte
Also die Netto-Verzinsung des Kapitals, die bezeichnen wir mit kleinen R.
Und die besteht aus der Brutto-Verzinsung, so ein Groß-Ehreabzüglich des physischen Kapitalverzehrs.
Delta, Klein-R ist gleich Groß-R, minus Delta.
Der Sparanreiz oder der Anreizersparnis auf dem Kapitalmarkt,
den Investoren zur Verfügung zu stehen,
besteht für die Haushalte also in diesem kleinen R
hier.
Nicht in dem Großer
Denn sie müssen sich sozusagen die Haushalte als Kapitalgeber vorstellen.
Wenn das Große einfach nur so groß wäre wie Delta,
dann wäre das kleinen Ehre ja null.
Da würde sich ein Haushalt sagen, naja,
warum soll ich Kapital für Produktion zur Verfügung stellen,
wenn der Ertrag aus der Produktion gerade mal groß genug wäre,
um den durch die Produktion eingetretenen Kapitalverschleiß zu ersetzen.
Dann bleibt in der Summe ja nichts mehr für mich übrig,
dann kann ich das Kapital genauso gleich zu Hause behalten und es nicht verleihen.
Also der Bruttoertrag des Kapitals,
der muss größer sein als die Abschreibungsrate,
damit Ersparnis
überhaupt attraktiv ist
Sollen wir diese beiden Konzepte zusammenfügen, die konstanten Skalenerträge und
die Grenzproduktivitäten der Produktionsinputs? Da gibt es das sogenannte Euler-Theorien,
was sie vielleicht auch aus Mathematikvorlesungen oder aus der Mikroökonomie kennen.
Es gilt für eine beliebige Produktionsfunktion F,
die abhängig von privaten Produktionsimputs K&L und die die Eigenschaft konstanter Skalenerträge hat,
dass der Output von KL nichts anderes ist als F&K,
mal K plus F&L,
Bis zunächst mal ein mathematisches Theorien, was da steht.
Das kann man auch beweisen. Den Beweis habe ich ihn hier aufgeschrieben.
Nun, wir wissen, das ist eine Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen.
Das heißt, es gilt er von Lamdaka und Lamda L.,
Islamda mal F, beziehungsweise Islamda mal Y,
wenn Y F ist, wenn das der Output ist.
Nun, das hier gilt für alle Lamda. Das heißt
, das ist eine Identität bezüglich Lamdas. Deshalb kann ich
diese Gleichung hier auch auf beiden Seiten nach Lamda differenzieren.
Wenn ich das tue,
wenn ich diese Gleichung hier auf beiden Seiten nach Lamda differenziere,
dann kriege ich heraus eine Gleichung,
die ich mit Lamda gleich eins auswerten kann.
Und das ist ja genau diese Gleichung hier. Das ist
der Beweis des Euler-Theoriums. Das ist also sozusagen ein Zweizeiler.
Ich habe ihm jetzt das Differenzieren, hier nicht vorgerechnet,
aber ich gebe es Ihnen als Übung auf.
Also machen Sie es zu Hause mal und beweisen Sie das.
Solche einfachen Beweise können durchaus auch mal in der Klausur abbelangt werden.
Ja, also befassen Sie sich bitte damit. Nun,
das ist also sozusagen die mathematische Struktur, die wir hier haben.
Interessant ist für uns in erster Linie die ökonomische Interpretation
Diese ökonomische Interpretation besagt, das im vollständigen Wettbewerb,
jedenfalls in der vollständigen Wettbewerb auf den Faktormärkten haben,
der gesamte Output-Wert, den Produktionsfaktoren zufließt.
Und es ist keine ökonomischen Gewinne gibt.
Dieses mathematische Theorien hat bemerkenswert starke, ökonomische Implikationen,
sagt nämlich, es gibt keine ökonomischen Gewinne.
Und alles, was produziert wird, fließt als Einkommen an die Produktionsfaktoren.
Naja, wie kommt das? Oder wie kann man das
aus diesem Produktion, aus diesem Theorien sehen?
F von KHL ist ja der Produktionswert,
das ist
Recht. Das heißt, das ist der gesamte Wert dessen,
was produziert wird und Gleichung 8, sagt mir,
dieses F von KHL ist nichts anderes als F und K
mal K plus F und L mal L. Wir wissen aber bei kompetitiven Faktormärkten,
ist F von K mal K,
gerade die Bruttoentlohnung des Kapitals.
Das heißt, das FK ist der Brutto-Lohnsatz des Kapitals,
das ist die Brutto-Verzinsung des Kapitals, mal dem Kapital ist das,
also das gesamte Kapitaleinkommen in der Ökonomie.
Und er von L ist der Lohnsatz der Realon,
multipliziert mit L,
da gibt es also das gesamte Arbeitseinkommen in der Ökonomie
Das heißt, die Gleichung sagt mir der Produktionswert,
entspricht dem gesamten Kapitaleinkommen plus dem gesamten Arbeitseinkommen.
Und es bleibt nichts übrig,
was ein ökonomischer Gewinn im Sinne einer ökonomischen Rente ist,
sozusagen, was ein ökonomischer Gewinn ist, der über die Kosten der Produktion hinausgeht.
Der Unternehmer hier, der arbeitet gerade unter einer Nullgewinnbedingung.
Gewinner als solche gibt es nicht.
Es wird alles ausgeschnitten an die Produktions-,
an die Produktionsfaktoren als sozusagen die faire Entlohnung des entsprechenden Produktionsfaktors
für seinen Einsatz im Produktionsprozess
Nun mögen Sie sagen, das ist natürlich nicht so sonderlich hübsch,
denn tatsächlich beobachten wir doch in der Realität Gewinne.
Ja, wir gucken uns den Aktienmarkt an und sehen die Aktienunternehmen,
machen meistens Gewinne und die schütten sie dann aus,
irgendwie in Form von Dividenden an die Kapitaleigner.
Das ist überhaupt kein Widerspruch zu dem,
was ich hier gesagt habe, denn ich habe nicht gesagt,
dass es auf den Aktienmärkten keine Gewinne gibt.
Ich habe gesagt, es gibt keine ökonomischen Gewinne und unter ökonomischen Gewinne versteht man Gewinne,
die hinausgehen über das angemessene Maß der Kapitalentlohnung.
Das, was Aktiengesellschaften als Dividenden an Ausschütten an ihre Aktionäre
, ist ja gerade die Entlohnung des Kapitaleinsatzes,
nämlich die Entlohnung des Eigenkapitals
Die Aktionäre sind ja in unserem Modell die Haushalte,
die auf dem Aktienmarkt, also auf dem Kapitalmarkt,
ihre Ersparnis zur Verfügung stellen, indem sie Aktien kaufen.
Damit fließt das Kapital zu den Aktienunternehmen hin,
sind Aktiengesellschaften hin, die kaufen da mit irgendwie Maschinen,
ja, produzieren mit diesen Maschinen,
erwirtschaften irgendwelche Erträge mit diesen Maschinen und werfen dann die Gewinne,
davon Gewinner ab und schütten diese Gewinner aus an die Eigenkapitalgebe,
sodass die Eigenkapitalgeber,
diese Dividende,
also als die Entlohnung für das zur Verfügung stellen,
von Kapital betrachten können
Das Euler-Theorium sagt nun, das ist gerade die faire Entlohnung, die dort ausgeschüttet wird.
Das wissen wir auf dem Aktienmarkt nicht. Wir wissen nicht,
ob die Dividende, die von Aktionären bezogen wird,
genau der fairen Entlohnung von Kapital entspricht oder ob da ökonomische Gewinne mit ausgeschüttet werden.
Das ist auch ein bisschen schwierig zu entscheiden.
Einfacher ist es, wenn man sich zunächst einmal Fremdkapital anguckt.
Fremdkapital kriegt natürlich einfach nur den Zinssatz aus,
bezahlt der eben im Augenblick der Gleichgewichtige Zinssatz ist.
Das ist also sozusagen eine Eine Orientierungshilfe für das angemessene Niveau von Kapitalentlohnung im Bereich des Fremdkapitals.
Wir könnten jetzt also sagen, es sieht so aus,
als gäbe es echte ökonomische Gewinne, wenn es so wäre,
dass man auf den Aktienmärkten in Form von Dividenden
eine dauerhaft höhere Entlohnung für Kapitaleinsatz erzielen könnte,
als auf Fremdkapitalmärkten.
Wenn also sozusagen die Rendite, die Aktien abwerfen,
langfristig gesehen höher wäre, als die Rendite,
die Fremdkapitalanlagen,
festverzinsliche Anleihen und ähnliches abwerfen
Nur da gibt es eine ganze Reihe von Studien zu und
fast alle Studien finden, dass auf Aktienmärkten höhere Gewinne erzielt werden,
als beim Geben von Fremdkapital.
Dann kann man sagen, gut, das sieht so aus,
als gäbe es doch in der Realität ökonomische Gewinne.
Und ich will das gar nicht absteigen, streiten,
dass es in einzelnen Segmenten von Märkten ökonomisch Gewinne geben kann.
Allerdings ist das aus dem bloßen Befund,
das auf den Aktienmärkten typischerweise höhere Erträge in der längeren Frist erzielt werden,
als auf Fremdkapitalmärkten, auch noch nicht ohne weiteres abzuleiten.
Denn die Differenz in den Ertragsreitenstraten zwischen Aktienmärkten und Fremdkapitalmärkten
kann man auch erklären,
mit dem höheren Risiko,
was die Aktionäre
zu tragen bereit sind
Also, in der Standardtheorie sind Haushalte typischerweise risikoscheu.
Sie ziehen also einen sicheren Ertragsstrom, einem unsicheren Ertragssturm,
einen stark schwankenden Ertragsstrom mit gleichem Erwartungswert normalerweise vor. Das heißt,
um Haushalte zu ermutigen, Aktien zu kaufen,
deren Ertrag unsicher ist und der mal höher und mal niedriger
ausfallen kann und unter Umständen sogar mal mit einem Totalverlust verbunden sein kann,
muss es vermutlich so sein,
dass auf Aktienmärkten eine höhere Dividende gezahlt wird,
eine höhere Ertragsrate erwirtschaftet wird,
als auf Fremdkapitalmärkten
Folgen aus der Eigenschaft der Risikoaversion, die man normalerweise
haushaltend unterständigt und die wahrscheinlich empirisch auch ganz plausibel ist.
Die Frage ist also etwas diffiziler noch.
Sie ist darauf zurückzuführen oder sie sollte darauf konzentriert werden,
ob der Überschuss an Ertrag, der auf Aktienmärkten,
also für Eigenkapital, relativ zu Fremdkapital erzielt wird.
Ob da eine faire Entlohnung ist für das Risiko,
was Haushalte tragen, wenn sie in Aktienbesitz investieren,
relativ zur Investition in festverzinsliche Anleihen
Und diese Frage ist ein bisschen diffizil zu beantworten,
weil man dafür die Nutzenfunktion der Konsumenten kennen muss.
Deshalb wollen wir uns in diese Untiefen nicht weiter begeben.
Das ist also aus der Empirie heraus zunächst mal nicht ganz eindeutig.
Gibt es ökonomische Gewinne oder gibt es ökonomische Gewinne nicht?
Man sollte an diese Frage vermutlich irgendwie anders herangehen und sich sagen,
ökonomische Gewinne wird es geben, wenn es nicht hinreichend großen Wettbewerb gibt.
Ja, wenn wir monopolistische oder oligopolistische Marktstrukturen haben,
dann sagt uns die Standardtheorie, das führt dazu,
dass der Produktionswert größer ist als das,
was an Einkommen an die Produktionsfaktoren ausgeschüttet wird.
Das heißt, es führt dazu,
dass ökonomische Gewinne entstehen
Und das ist wahrscheinlich die plausible Herangehensweise auch für den Aktienmarkt.
Wir müssen gucken, gibt es Segmente des Aktienmarktes,
die durch oligopolistische oder monopolistische Strukturen gekennzeichnet sind,
wo also mehr als nur null Gewinne erzielt werden können,
null Gewinne im ökonomischen Sinne,
also keine ökonomischen Gewinne oder mehr als nichts an ökonomischen Gewinnen erzielt werden kann.
Und da wird man wahrscheinlich den einen oder anderen Markt finden,
aber möglicherweise auch gar nicht so viele, wie man denkt,
weil die Wettbewerbsintensität doch relativ hoch ist.
Gut, das ist also die Interpretation des Euler-Theoriens in
unserem Modell
Folgt aus der Eigenschaft konstanter Skalenerträge der Produktionsfunktion, das sämtliche,
das ist der gesamte Produktionswert an die Produktionsfaktoren als faires Einkommen fließt und das ist keine ökonomischen Gewinne gibt,
also in diesem Sinne eine Nullgewinnbedingung in diesem Modell existiert. Das ist übrigens nicht kritisch,
diese Annahme, man kann die ganze Wachstumstheorie auch aufrollen,
indem man für oligopolistische oder monopolistische Strukturen erlaubt und dann werden eben auch ökonomische Gewinne erzielt und die werden ausgeschüttet an die Haushalte,
es ändert einen Grundparametern der Wachstumsmodelle, Theorie überhaupt nichts,
die Ergebnisse, die man erzielt, sind fast dieselben,
wie die, die wir ja auch erzielen werden,
aber es ist sehr viel einfacher,
das Modell im vollständigen Wettbewerb zu formulieren, als mit monopolistischer Konkurrenz,
was uns die rivalisierende Annahme dazu wäre.
Und deshalb wollen wir uns hier auf die Betrachtung des vollständigen Wettbewerbs konzentrieren. So,
jetzt hatte ich gesprochen über die Copdugles Produktionsfunktion und ich hatte ihn bereits in der Einleitung angekündigt,
dass wir diese Copdugles Produktionsfunktion etwas eingehender betrachten werden,
im Laufe der Vorlesung, um ihn zu erklären,
warum die Copdugles Produktionsfunktion eigentlich so beliebt ist und warum sie so bedeutend ist.
Sie lässt sich nämlich rechtfertigen, als eine Aproximation erster Ordnung,
an jede beliebige Produktionsfunktion, die konstantes Skalenerträge auffasst.
Also versuchen Sie hier mein Argument nochmal zu replizieren,
was ich Ihnen eben gesagt habe. Ich habe gesagt,
konstantes Skalenerträge, Erträge sind eigentlich eine extrem plausible Annahme aufgrund dieses Kopierarguments.
Wenn eine Fabrik einen bestimmten Output produziert,
dann sollte ich diese Fabrik im Prinzip kopieren können,
sie irgendwo anders nochmal in genau derselben Form aufbauen können,
dann müsst ihr den doppelten Output erwirtschaften.
Dieses Argument legt sehr stark nahe, dass es
konstantes Skalenerträge gibt
Und jetzt sage ich Ihnen einen folgenden Satz, die Kompdatesfunktion ist eine Approximation,
erste Ordnung an eine beliebige Produktionsfunktion mit konstanten Skalen erträgen.
Und das kann ich Ihnen auch beweisen. Ich gehe da mal kurz durch,
der Beweis ist ein bisschen länger als der,
den ich Ihnen eben präsentiert habe.
Was man macht, um das zu beweisen, ist,
dass man zunächst mal die Einheiten von K&L normiert.
Zwar so, dass K ungefähr gleich eins ist und L ungefähr gleich eins ist,
an der Stelle, an der wir die Produktionsfunktion betrachten.
Diese Normierung ist ja nur eine Frage der Einheitenwahl,
die ist also
völlig harmlos
Und dann lokaritieren wir die Produktionsfunktion, ja,
schreiben Logarithmus von Y, ist Logarithmus, F von KL.
Und das kann man genauso gut schreiben, als irgendeine Funktion F-Tilde,
die in den Logarithmen von K und von N definiert ist.
Nur diese Funktion F-Tilde, die approximieren wir jetzt durch eine
Taylor-Approximation an der Stelle Logarithmus K ist gleich Null und Logarithmus.
Ellis gleich Null. Wenn der Logarithmus von K
gleich Null ist, dann ist K ungefähr gleich eins.
Und der Logarithmus von Ell ist ebenfalls ungefähr,
wenn der Illugarithmus von Ell gleich Null ist,
dann ist Ell ungefähr gleich eins.
Das heißt, wir approximieren sozusagen an der relevanten Stelle
Die Tainer-Apoximation erster Ordnung sehen Sie jetzt hier,
dann folgt also der Logorithmus von Y,
ist F. Tilde an der Stelle 0-0 und dann hier die Ableitung von F. Tilde nach Logarithmus,
Karma, Logarithmus, Carplus, Ableitung von F. Tilde,
mal Logarithmus L., nach Logarithmus L,
mal Logarithmus L.. Nun,
das muss man lediglich ein bisschen umformen,
um zum gewünschten Ergebnis zu kommen.
Was kriegt man dann? Ich erweitere hier. Die Ableitung
von F. Tilde nach D-Logarithmus K kann ich auch schreiben als
Ableitung von F. Tilde nach DK und Ableitung von Paar
dann nach D-Logarithmus Kram.
Dasselbe mache ich an dieser Stelle
Nun, das kann ich dann aber wiederum umformen,
indem ich sage, das ist doch nichts anderes dann als DF nach,
also als DF Tilde nach DF mal die F nach DK Marca.
Denn DK nach D-Logarithmus K ist ja nichts anderes als K.
Das ist sozusagen das Inverse der Ableitung eines Logarithmus nach K.
Also dieser zweite, diese zweite Ableitung,
hier ist einfach das K und die F Tilde nach DK kann ich schreiben als,
ob es jetzt ist mein Pointer weg,
als DF Tilde nach DF,
mal die F nach DK
Dasselbe mache ich hier für das Argument der Arbeit. Nun,
das wiederum kann ich dann aber einfach schreiben,
dieses DF nach DK,
ist nichts anderes als die partielle Ableitung von F nach K,
jetzt hier geschrieben als F-Index K.
Also steht bei DFDK nichts anderes da als FK, Mark K,
Maloga Rhythmus K. Und die Ableitung von F-Tilde nach F ist,
weil F-Tilde ja gerade der Logarithmus von F ist,
nichts anderes als eins durch F. Selber argumentiere für L.
Nun wissen wir aber folgendes,
FK mal K ist gerade das gesamte Kapitaleinkommen.
Bei Constantin Sky in Erträgen
F ist das gesamte Einkommen. Das heißt, FK mal K,
Kapitaleinkommen, durch gesamtes Einkommen ist gerade der Anteil der Kapitaleinkommen am Gesamteinkommen.
Dieses Ding nenne ich Alpha. FK mal K durch F,
nenne ich Alpha und Better soll sein FL mal L durch F,
also der Anteil der Arbeitseinkommen am Gesamtsamteinkommen.
Diese beiden Größen Alpha und Better werden am Entwicklungspunkt
der Taylor Apoximation berechnet, sind folglich konstant.
Also ist das Ding hier nichts anderes als Alpha mal Lugarithmus Cap,
plus Better mal Lugarithmus L. in der ersten Hährung
F-Tilde von 0, 0 kann ich auch schreiben als Logarithmus
F von 1,1. Das ist dasselbe. Nun,
wegen der Eigenschaft konstanter Skalenerträge gilt, dass das Better gleich 1,
minus Alpha ist, folgt, ich weiß nicht,
wenn ich diese gleiche und jetzt Endlogarit miere,
Y ist F von 1, 1 mal K,
hoch Alpha, L hoch 1, minus Alpha.
Und wenn ich dieses F von 1,1 hier einfach als A bezeichne,
dann steht da Y, ist gerade gleich A,
mal Karoch Alpha, L hoch 1, minus Alpha.
Das heißt, es liegt einer kontakt des Produktionsfunktionen in Ersternährung vor. Ja,
das beweist eben, dass die Copduglas-Produktionsfunktion Proximation,
erste Ordnung, im Sinne einer Taylor-Apoximation,
an eine Produktionsfunktion, ganz beliebiger Art ist,
die nur die Eigenschaft konstanter Skalenerträge erfüllt und diese Eigenschaft konstanter Skalenerträge ist eben eine plausible Eigenschaft.
Aus diesem Grunde werden wir in der Vorlesung sehr oft mit Koplakles Produktionsfunktionen rechnen.
Sie wissen dann, dass es eine Produktionsfunktion,
die nicht etwa einfach willkürlich gegriffen ist,
weil sie mathematisch relativ leicht handhabbar ist,
sondern weil sie repräsentativ ist für eine ganz große Klasse von
Produktionsfunktionen mit einer einzigen vernünftigen Eigenschaft,
nämlich der,
dass sie Konstanteskalener Schritterträge aufweist
Haben Sie Fragen zu dem Beweis? Okay. Ich glaube,
Douglas Produktionsfunktion erfüllt eine Reihe von Eigenschaften,
denen wir Namen geben wollen, die definiere ich Ihnen hier.
Nämlich zunächst einmal die Eigenschaft positiver und abnehmender Grenzerträge.
Wir sagen jetzt eine Produktionsfunktion Y gleich F und K-L-T,
hat positive Grenzerträge bezüglich der privaten Produktionsinputs.
Also Sie können das T gleich wieder unterdrücken. Wenn für
alle K und L, für alle positiven Werte von K&L gilt,
dass das Grenzprodukt des Kapitals positiv ist und das Grenzprodukt der Arbeit positiv ist.
Dann heißt das Ding, dann sagen wir, dass die Produktionsfunktion positive Grenzerträge hat.
Was ich hier insgesamt definieren will, sind positive und abnehmende Grenzerträge.
Und das Abnehmen kommt jetzt hier in Bezug auf die zweiten Ableitungen.
Eine Produktionsfunktion hat abnehmende Grenzerträge bezüglich der privaten Produktionsinputs,
wenn über dies gilt, dass die zweite Ableitung der Produktionsfunktion nach dem Kapital,
die bezeichnen wir mit FKK, das ist also D-Quadrat F nach DK-Quadrat,
wenn die negativ ist.
Und auch die zweite Ableitung der Produktionsfunktion nach der Arbeit,
also D-Quadrat F nach DEL-Fahrrad,
wenn das negativ ist
Das ist die Eigenschaft, positiver abnehmender Grenzerträge,
die wir grafisch in der folgenden Form veranschaulichen können.
Diese Produktionsfunktion ist, wie Sie wissen, Kongrav.
Ja, und eine Konkave-Funktion dieser Art hat positive Grenzeerträge.
Ich zeige es Ihnen eben hier für den Kapitalbestand,
wenn Sie den Kapitalbestand hier betrachten, dann sehen Sie,
dass eine Zunahme des Kapitalbestands immer zu einer Zunahme der Produktion führt.
Die Funktion ist ja hier monoton steigend im K.
Also mehr Kapital führt dazu, dass wir mehr produzieren.
Und das ist die Eigenschaft eins hier.
Die F nach DK ist positiv. Ableitung von F
nach K ist positiv,
mehr Kapital bewirkt mehr Output
Aber es ist so, die Zunahme an Output, die ich erreiche,
durch eine Zunahme an Kapital, die nimmt im Zeitablauf ab.
Das wird weniger. Während ich am Anfang durch, sagen wir mal,
eine Einheit mehr Kapital, einen Output in dieser Größenordnung erwirtschafte,
einen zusätzlichen Output in dieser Größenordnung erwirtschafte, wird,
wenn ich jetzt nochmal eine Kapitaleinheit nach links gehe,
die Zunahme des Outputs etwas kleiner sein als Zufuhr.
Das heißt, der zusätzliche Ertrag einer Einheit Kapital,
der ist kleiner als Zufuhr, Optional,
und das wird durch diese Ableitung bezüglich der zweiten Durch diese Eigenschaft bezüglich der zweiten Ableitung gekennzeichnet,
wie sie vielleicht wissen, ist bei einer Funktion mit nur einem Argument,
die Tatsache, dass die zweite Ableitung negativ ist,
nichts anderes als die Aussage,
dass die Funktion streng und Kaffee ist.
Und so habe ich das hier gezeichnet. Also streng Konkave-Funktion.
Also im Wesentlichen sagt die Eigenschaft positiver abnehmender Grenzerträge aus,
dass wir es sich um eine Funktion handelt,
die monoton steigend in den beiden Produktionsinputs ist,
aber Konkave ist.
Streng Konkave ist
Jetzt kann man sich fragen, was passiert denn auf Dauer,
wenn wir einen Produktionsinput erhöhen?
Ich habe Ihnen ja eben gesagt, wir definieren uns bestimmte Eigenschaften,
wenn wir einen Produktionsinput zum Beispiel das Kapital anwachsen lassen.
Wir wissen, wenn wir mehr Kapital einsetzen für die Produktion,
dann steigt der Output. Und wir haben auch gesagt,
je mehr an Kapital wir einsetzen,
desto geringer ist der zusätzliche Output,
den wir
damit erwirtschaften können
Vielleicht sollte ich Ihnen das,
bevor ich jetzt auf diese Inada-Bedingungen komme, nochmal versuchen,
an einem Beispiel zu erklären, das positive, abnehmende Grenzerträge sind.
Stellen Sie sich mal vor, Sie sind der Besitzer eines Copyshops.
Und Sie setzen Kapital und Arbeit ein,
weil Sie nicht so wie die Copyshops,
die hier draußen vor der Tür sind, Ihre Kunden dazu animieren,
die Kopien selber zu machen, sondern da haben Sie eben Angestellte.
Die machen diese Kopien. Ja, also Sie haben Kopiergeräte
und Sie haben Angestellte. Nehmen wir mal an,
in der Ausgangssituation haben Sie pro Kopierer,
der bei Ihnen rumsteht, also pro Kopiergerät einen Angestellten.
Und dann kommen die Kunden an, geben die Kopiervorlagen ab und die Angestellten
Die kopieren das, jeder Angestellte hat seinen eigenen Kopierer.
Dann werden sie feststellen, dass ein Angestellter mit einem Kopierer in einer Zeiteinheit,
die wir mal eine Stunde, eine bestimmte Menge an Kopien herstellt.
Sagen wir mal, innerhalb einer Stunde macht er 300 Kopien.
Jetzt könnten sie sich ja überlegen,
dass sie ihre Produktionsfaktoren verändern vom Einsatz hier.
Stellen Sie sich zum Beispiel vor für einen Angestellten,
den Sie dort haben, der ein Kopiergerät zur Verfügung hat.
Da stellen Sie noch ein weiteres Kopiergerät dahin.
Der Angestellte soll also jetzt
zwei Kopiergeräte bedienen
Was sie dann normalerweise feststellen werden, ist,
dass der Angestellte imstanden ist,
mit zwei Kopiergeräten mehr Kopien in einer Zeiteinheit,
in einer Stunde zu machen, als mit einem Kopiergerät.
Also er wird nicht 300 Kopien machen,
sondern er wird mehr als 300 Kopien machen können,
weil er jetzt zwei Geräte zur Verfügung hat.
Aber auf der anderen Seite wird er vermutlich nicht imstande sein,
600 Kopien zu machen,
denn er muss ja nun wirklich beide Kopierer bedienen und ab und zu
ist er an dem einen Kopierer gefordert und kann gerade nicht das machen,
was einem anderen Kopierer erforderlich ist.
Also sagen wir mal, der springt ja immer zwischen den
beiden Kopiergeräten hin und her und schafft es 500 Kopien zu machen.
Dann ist sozusagen der Grenzertrag positiv, 200 Kopien,
gehen wir nochmal zurück zu dieser Gleichung.
DFDK ist positiv für eine konstant gehaltene Menge an Arbeit.
Dann haben sie jetzt mehr Kapital eingesetzt.
Wir sie erwirtschaften mehr in Output, nämlich 200 Kopien mehr.
Aber der zusätzliche Output entspricht nicht dem zusätzlichen Output,
den sie gehabt haben, nachdem sie einen Kopierer zunächst mal mit einem Angestellten ausgestattet haben.
Also nämlich sozusagen gedacht in einer Ausgangssituation,
wo sie nur einen Kopierer und gar keinen Angestellten haben,
den ersten Angestellten eingestellt haben, war dessen zusätzliche Output ja 300 Einheiten.
Jetzt macht er also 200 Einheiten zusätzlich.
Das ist ein bisschen weniger als die zusätzliche Einheit,
die sozusagen für den ersten Angestellten,
die für den ersten Kopierer
zu veranschlagen war
Ich habe es gerade falsch schon gesagt, ich muss es nochmal sagen.
Also wir wollen ja im Augenblick das Kapital erhöhen.
Ich korrigiere mich da. Stellt sich vor, sie haben
aber einfach nur einen Angestellten, sie haben keinen Kopierer.
Dann produziert der Angestellte offensichtlich nichts. Wenn sie jetzt den ersten Kopierer kaufen,
dann produziert der Angestellte mit diesem ersten Kopierer 300 Kopien.
Das heißt sozusagen, der Grenzertrag der ersten Kapitaleinheit ist 300 Kopien.
Wenn sie dem Angestellten jetzt einen zweiten Kopierer hinstellen,
dann produziert der Angestellte insgesamt 500 Kopien, also mehr.
DFDK ist positiv, aber er produziert nicht nochmal
300 Kopien mehr, sondern nur 200 Kopien mehr.
Das heißt, der zusätzliche Ertrag ist kleiner als bei
der Anschaffung des ersten Kopierers
Wenn sie dem armen Angestellten jetzt noch einen dritten Kopierer hinstellen und ihm sagen,
hör mal, das schaffst du auch noch.
Drei Kopierer gleichzeitig zu bedienen, dann wird er das möglicherweise schaffen,
auch auf dem dritten Kopierer noch eine Reihe von Kopien zu machen,
während die ersten zwei Kopierer gerade im Betrieb sind.
Und vielleicht schafft er das nochmal 100 zusätzliche Kopien zu machen.
Dann schafft er vielleicht mit drei Kopierern 600 Kopien.
Das heißt, der zusätzliche Ertrag des dritten Kopierers sind 100 Kopien.
Aber es wird ersichtlich immer weniger. Und wenn sie eben jetzt vier,
fünf oder sechs Kopierer hinstellen, dann werden sie feststellen,
dass sich das bald nicht mehr lohnt,
ihn noch weiter mit Kopierern auszustatten,
weil die Kosten des Kopierers viel höher sind als der zusätzliche Ertrag,
den er auf den Kopieren erwirtschaften kann
Wenn wir dieses Argument jetzt ins Unendliche hinein treiben,
dann würden wir sagen, was passiert,
wenn sie dem unendlich viele Kopierer hinstellen und dann noch einen hinzufügen?
Nun offensichtlich dieser letzte Kopierer, da wird überhaupt kein Output mehr drauf erwirtschaftet.
Ja, das schafft der arme Angestellte nicht. Und das ist das,
was hier in der Inada-Bedingung formuliert ist. Das Grenzprodukt FK,
die Ableitung, der Produktionsfunktion nach dem Kapitalbestand,
in diesem Fall also nach dem Kopiergerät, ups,
da muss ich ihn zeigen, das Grenzprodukt eines zusätzlichen Kopierers,
wenn der Kapitalbestand sowieso schon sehr groß ist,
wenn er sowieso schon unendlich viele Kopiere hat,
wenn sie ihn dann noch einen dazustellen,
dieses ganze Produkt ist null
Ja, diese zusätzliche Kapitaleinheit für den einen Arbeiter, die bringt überhaupt nichts.
Und entsprechend können wir das Argument machen mit den Arbeitern.
Also gehen Sie mal davon aus,
Sie haben anfangs ein Kopiergerät und keinen Arbeiter.
Dann können Sie offenbar auch nichts kopieren. Also Output ist
null. Jetzt stellen Sie einen Arbeiter ein und gehen wir
jetzt unserem Beispiel, produziert dieser Arbeiter 300 Kopien.
Das heißt, das Grenzprodukt des einen Arbeiters ist 300.
Jetzt sagen Sie sich nun, ja,
einer Arbeiter ist mit dem einen Kopierer nicht so beschäftigt,
nein, umgekehrt,
der eine arbeitet,
dann müsste diesen Kopierer
noch nicht vollständig aus
Denn manchmal wäre es vielleicht ganz gut,
wenn man irgendwelche anderen Handreichungen auch schon vorbereiten könnte,
während der noch dabei beschäftigt ist, sagen wir mal,
den Tonner zu wechseln oder Papier nachzufüllen oder sowas ähnliches.
Ich beschäftige jetzt zwei Arbeiter an einem Kopierer. Nun,
zwei Arbeiter an einem Kopierer können die Sache vielleicht noch
ein bisschen beschleunigen. Ja, der eine,
der sortiert schon die Vorlagen oder holt die Kopien raus
und bringt die in die richtige Reihenfolge oder was auch immer
oder holt neues Papier aus dem Keller und irgendwelche Sachen.
Jedenfalls der Output erhöht sich durch zwei Arbeiter an einem Kopiergerät.
Ja, sagen wir mal, die schaffen jetzt
400 Kopien pro Stunde. Dann ist der Grenzertrag,
dass einen zusätzlichen Arbeiter ist offenbar
100 Kopien
Wenn Sie jetzt sagen,
Sie stellen noch einen dritten Arbeiter dazu und ich war dann,
wird dann nicht mehr sehr viel an zusätzlichem Output bringen,
aber vielleicht schafft man da auch noch mal zehn Kopien mehr oder irgend sowas ähnliches.
Dann sind wir also auch 410. Da ist der Grenzertrag des dritten Arbeiters
zehn Kopien. Offensichtlich ist es so, dass sie,
wenn sie jetzt immer mehr Arbeiter an einem Kopierer beschäftigen,
dann wird der Grenzertrag zusätzlicher Arbeiter immer kleiner werden.
Im Prinzip könnte es dann sogar Verstoffungseffekte geben.
Und irgendwann treten die sich so stark auf die Füße,
dass der Grenzertrag negativ ist, aber davon wollen wir im Augenblick absehen.
Wir wollen einfach nur sagen,
wenn die Anzahl der Arbeiter gegen unendlich geht,
aber die Anzahl der Kopierer fix bleibt,
dann ist der Grenzertrag FL des letzten Arbeiters null.
Der bringt dann einfach nichts mehr
Ich denke, das sind plausible anderen.
Man dreht diese Annahmen jetzt auch um und fragt sich,
was ist sozusagen, wenn der Kapitaleinsatz gegen null geht?
Ja? Wenn ich sozusagen Arbeiter habe und sie haben
überhaupt keine Maschinen, dann produzieren sie nichts.
Jetzt könnte man sagen, wenn ich dem die erste Maschine
zur Verfügung stelle, dann ist der Grenzertrag relativ hoch.
Dieses relativ hoch kann man nicht so richtig exakt machen,
weil das von der Maschine abhängt.
Da wir uns jetzt aber hier mit Infilitisimalen Einheiten beschäftigen,
wollen wir sagen,
wenn es also nur sozusagen das erste kleine Epsilon einer Maschine ist,
dann denken wir uns an seiner Grenzertrag dann
unendlich hoch,
blieb ich hoch
Deshalb nimmt man also in diesen Annahmen hier an,
wenn ich Arbeiter habe und denen stelle ich die allererste kleine Kapitaleinheit zur Verfügung,
dann können sie gemessen sozusagen einer Größe des zur Verfügung gestellten Kapitals sehr,
sehr viel damit produzieren, weil sie unendlich Produktives sind,
weil sie also sehr viele,
sehr viel Arbeitseinsatz auf diese kleine Maschine verwenden können.
Und dementsprechend ist es der Grenzertrag dieser Maschine sehr, sehr hoch. Und andersrum,
wenn sie viele Maschinen haben,
und jetzt kommt der erste Arbeiter an und will irgendwie mit diesen Maschinen produzieren,
das hat ja auch einen sehr hohen Grenzertrag und das fassen wir vereinfachen ebenfalls damit,
dass wir sagen,
der Grentertrag des allerersten arbeitet oder der allerersten Arbeitseinheit,
der ist sehr,
sehr hoch gegeben,
dass wir
einen bestimmten Maschinenbestand haben
Diese Annahmen nennt man die sogenannten Inada-Bedingungen. Und die spielen
eine erhebliche Rolle in der Wachstumstheorie, wie sie später sehen werden.
Ich denke, sie sind zunächst einmal relativ plausibel,
insbesondere was diese Annahmen hier betrifft,
was also die Grenzbetrachtung gegen unendlich betrifft,
die auch die Grenzbetrachtung sein werden,
die für uns im Wesentlichen relevant sein werden in der Vorlesung.
Diese anderen, hier sind wir so technischer Natur,
sie werden gleich sehen, warum wir die brauchen.
Wir brauchen eigentlich nicht wirklich unendlich,
wir brauchen nur sehr groß und fassen das dann als unendlich.
Er spielt aber eigentlich nicht so stark eine Rolle,
wie diese Dinger hier,
die wir später bei der enorgenen Wachstumstheorie verletzt sehen werden
Gut, das sind also die Inhader-Bedingungen. Haben Sie
dazu fragen? Jetzt haben wir drei verschiedene Konzepte definiert und
das fassen wir jetzt zusammen in einem neuen Begriff.
Wir sprechen nämlich von einer neoklassischen Produktionsfunktion. Die Definition ist ganz einfach,
weil wir alle Vorarbeit bereits geleistet haben, eine Produktionsfunktion heißt neoklassisch,
wenn sie bezüglich der privaten Inputs K&L erstens konstantes Galenerträge hat.
Zweitens positive abnehmende Grenzerträge aufweist und drittens
die Inhader-Bedingungen erfüllt
Das ist alles mehr oder weniger plausible Eigenschaften,
die wir dort fordern von einer neoklassischen Produktionsfunktion.
Und die drei Eigenschaften haben eine kleine Implikation,
die ich ihnen jetzt nicht beweisen werde,
aber sie finden den Beweis bei Barrow und Salah Imartin auf Seite 77.
Wenn diese drei Eigenschaften erfüllt sind, dann folgt auch,
dass, wenn ich von einem Faktor nichts einsetze,
ich da nichts produzieren kann. Also F von null,
egal wie viel Arbeit und wie viel Technologie ich einsetze,
also wenn der Kapitalbestand null ist oder wenn die Arbeit null ist,
egal wie viel Kapital und Technologie ich habe,
ist immer
gleich null
Sagt dann, jeder Input ist essentiell. Ja, das
könnte man jetzt im Einzelnen beweisen. Da hat es aber
eigentlich eine Petitesse ist, würde ich das im Augenblick nicht tun.
Übung für sie, verifizieren Sie bitte,
dass die Cop-Dangles-Produktionsfunktion hier geschrieben als Amal Caro, Alpha,
Elhoch 1, Minusalpha, dass diese Produktionsfunktion neoklassisch ist.
Übung B, überlegen Sie sich, für welche Parameterwerte,
Vieh, die CES-Produktionsfunktion,
also die mit der konstanten Substitutionselastizität
nicht neoklassisch ist
So, jetzt, wenn wir uns ein bisschen diesen anderen Produktionsfaktoren zu,
nämlich Arbeit und der Technologie,
die wir im Augenblick ja so ein bisschen stiefmütterlich behandelt haben.
Gehen wir mal zur realen Daten zurück. Die allgemeine Vorstellung ist die,
dass Deutschland ein reiches Land ist und Indien ein armes Land ist.
Wenn Sie sich allerdings das reale Protoinlandsprodukt angucken,
dann stellen Sie fest, dass Deutschland im Jahre 2001 in
internationalen Dollarn gerechnet 1.500 Milliarden internationale Dollar erzeugt hat,
im Sinne von Bruttoinlandsprodukt und Indien hat 2.000 Milliarden internationale
Dollar erzeugt
Der Grund ist natürlich der, dass Indien viel größer ist,
viel mehr Bevölkerung hat. Also wie ich Ihnen schon einleitend sagte,
maßgeblich ist nicht der absolute Wert des Bruttoinlandsprodukts,
selbst wenn Sie es real messen,
sondern maßgeblich sind eigentlich für sinnvolle Vergleiche,
die pro Kopfwerte und in pro Kopfwerten finden wir genau das,
was Sie erwarten würden.
Deutschland ist wohl zehnmal so reich wie Indien, im Einkommen pro Kopf gemessen.
Da werden also die Maßstäbe wieder richtig gerückt. Das heißt,
was wir betrachten müssen in unserer Theorie,
ist nicht das Einkommen selbst, ist nicht das Y,
sondern wir müssen betrachten, das Einkommen pro Kopf der Bevölkerung.
Nur dann sind wir imstande vernünftige Querschnittsstudien zu machen,
vernünftige Vergleiche im Länderquerschnitt anzustellen
Dafür müssen wir jetzt uns überlegen, wie wir das Modell
so umformen können, dass wir nach Möglichkeit des Impro-Kopf-Einheiten ausdrücken.
Und man definiert sich dafür, einen Begriff, den man die intensive Form nennt.
Wir halten zunächst mal nach wie vor das Tee konstant,
also das technische Wissen soll immer noch konstant sein und beschäftigen
uns jetzt mit den pro Kopfgrößen in dem Sinne,
dass wir alle Größen, die wir im Modell haben, durch L teilen.
L ist ja die Anzahl der Bevölkerung oder der Anzahl der Arbeiter,
das haben wir nicht so ganz genau spezifiziert,
streng nochmal, wo wir sagen,
dass jeder in der Bevölkerung arbeitet und dann keinen Unterschied zwischen Bevölkerung und Arbeitern zu machen ist.
Also wir haben weder Kinder noch Rentner in unserer Ökonomie
Nun, wenn die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge hat,
dann ist es relativ leicht, das ganze Modell Inpro-Kopfgrößen umzurechnen.
Ich bezeichne jetzt mit kleinen Buchstaben,
die pro Kopfgrößen des Modells, also kleinen K,
ist gleich Großkar durch Großel, ist der Kapitalbestand pro Kopf.
Und dann mache ich einfach Folgendes und sage nun Y durch L,
ist ja nichts anderes,
als dass ich Y mit einem Faktor Lambda gleich eins durch L multipliziere.
Erinnert sich, dieses Lambda tauchte auf bei der Eigenschaft
konstanter Skalenerträge
Also, wenn ich sage,
die Umrechnung in Pro-Kopf-Größen läuft letzten Endes einfach darauf hinaus,
dass sich Y multipliziere mit eins durch L,
dann folgt aus der Eigenschaft konstanter Skalenerträge,
dass sich dann auch die Funktionsargumente in der Produktionsfunktion alle mit eins durch L multiplizieren muss.
Nun, da muss ich also das Großkar multiplizieren mit eins
durch L. Daraus wird also ein Kleinkar. Also,
K multipliziert mit eins durch L, gib mir Kleinkar.
Das heißt, dass die Produktionsfunktion an der Stelle Kleinkar.
Und an der Stelle, hier stand ursprünglich L,
wenn ich L mit eins durch L multipliziere,
wird daraus eins und das Team bleibt und verändert
Nur das bedeutet, dass die Produktionsfunktion jetzt eigentlich nur noch oder
den privaten Inputs ein Funktionsargument hat, nämlich den Kapitalbestand pro Kopf.
Denn das hier die Einzelne konstante. Wenn ich also pro Kopfeinheiten betrachte,
klein Y, dann hängt ja pro Kopf Output,
an dem wir eigentlich interessiert sind, nicht mehr von zwei privaten Produktionsinputs ab,
sondern nur noch von einem privaten Produktionsinput, nämlich dem Kapitalbestand pro Kopf.
Und von der Technologie. Deshalb kann ich statt eine große Produktion,
statt statt einer Produktionsfunktion Groß-F, die von zwei privaten Produktionsimputs abhängt,
schreiben, kann ich auch eine Produktionsfunktion klein F nehmen,
die schreibe null Abhängigkeit von K. Unterdrückt da drin ist auch die Abgängigkeit von Tee,
aber weil das Tee im Augenblick noch konstant ist, schreibe ich es nicht explizit hier.
Dieses kleine F von kleinen K, hier nennen wir die Produktionsfunktion in intensiver Form.
Und man kriegt sie also sofort aus der expliziten Produktionsfunktion in den Niveaugrößen,
indem ich einfach die Eigenschaft konstanter Skalenerträger ausnutze und einmal mit eins durch L durchmultipliziere.
Jetzt können Sie als Übung sich mal überlegen,
ob F von K konstantes Gralenerträge bezüglich kleinen K hat
Was Sie jetzt machen wollen, ist,
dass wir überwiegend mit dieser Produktionsfunktion einen kleinen F&K arbeiten.
Warum wollen wir das machen? Nur weil die extrem
praktisch ist. Die können wir nämlich zeichnen im Zweidimensionalen.
Die Produktionsfunktion GroßF von K und L ist ein bisschen schwierig
zu zeichnen, weil die eigentlich dreidimensional gezeichnet werden muss.
Wenn ich Ihnen Grafen präsentieren würde für die Produktionsfunktion GroßF,
dann würde das ja ungefähr so aussehen müssen.
Ich trage hier auf der Ordinate ab F von K und
L. Und da müsste ich sagen, naja gut,
jetzt habe ich zwei Produktionsinputs. Das eine ist der Produktionsinput
K und das andere, Das ist irgendwie ein Produktionsinputell.
Ja, und dann soll das Ganze dreidimensional sein.
Und dann müsste ich Ihnen hier irgendwie so ein dreidimensionales Gebilde hinmalen.
Sie kennen das aus Computergrafiken, so ein Computer kann das
sehr schön machen, aber ich kann das nicht.
Und es ist von der Anschauung her ein bisschen schwierig.
Diese Produktionsfunktion, Entschuldigung, noch eine Folie zurück.
Diese Produktionsfunktion Klein F von Klein K.,
die hängt nur ab vom Kapitalbestand pro Kopf.
Ja, die kann ich so zeichnen. Nichts ist einfacher
als das. Und da steckt alle Informationen drin,
die ich überhaupt in dem Modell nur haben möchte.
Es steckt genau dieselben Produktionsfunktionen, dieselbe Information drin,
wie in der Produktionsfunktion F von Groß-K und L,
die ich dreidimensional zeichnen müsste
Also es macht diese Analyse sehr viel einfacher, wenn dir
nur mit diesem zweidimensionalen Konzept operieren und alles immer in pro-Kopf-Einheiten transformieren.
Sprich, wenn er mit der Produktionsfunktion in intensiver Form arbeiten.
Was wir morgen machen werden, ist,
dass wir uns überlegen werden, ob die Konzepte,
die wir heute erarbeitet haben, also Konstanteskalenerträge,
positive abnehmende Grenzerträge und Inada-Bedingungen,
ob die sich übertragen auf die Produktionsfunktion in intensiver Form.
Ja, das kommt jetzt auf die nächsten Folie.
Schönen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. Bis nächste Woche.
Bis morgen,
bis morgen