Haben wir anfangen? Also, gut. Wir haben uns
das letzte Mal mit der Relativitätstheorie beschäftigt. Und die wesentliche
Zusammenfassung ist, wir haben das letzte Mal die Lorenz-Transformation gelernt.
Das heißt, wir haben gelernt,
wie müssen Sie von einem Bezugssystem auf ein anderes Bezugssystem umrechnen?
Ja, das war der Punkt. Also,
Sie schauen sich die Physik in einem Bezugssystem an,
im anderen Bezugssystem und das Relativitätsprinzip sagt Ihnen,
die Naturgesetze müssen gleich sein
Aber wie sie von dem einen Bezugssystem aufs andere umrechnen,
das sagt ihnen das Prinzip noch nicht,
das sagt ihnen die Lorenz-Transformationen und auch die Lorenz-Transformationen sind wir gekommen,
indem wir zu dem Relativitätsprinzip eigentlich nur noch eine Sache dazu genommen haben,
nämlich im Wesentlichen zu Stout genug.
Im Wesentlichen, dass wir eine lineare Transformation haben,
weil wir geradlinig bewegte Transsysteme auf geradlinig bewegte Systeme abbilden.
Und wir wollen, das ist der wichtige Punkt,
dass die Lichtgeschwindigkeit konstant ist, genau.
Und was folgt ihr dann daraus? Der neue Aspekt im Vergleich zur Intuition ist,
dass sie bei der Umrechnung von einem System aufs andere Zeit und Ort miteinander mischen müssen.
Ja, das war der wesentliche Aspekt. Und wenn Sie Zeit und Ort miteinander mischen müssen,
dann ist es natürlich ein bisschen naheliegend, dass Sie sagen,
das ist eigentlich nur, sind nur Komponenten eines Vektors, das heißt,
Sie führen, Sie betrachten die beiden Sachen nicht mehr getrennt,
sondern Sie führen eine Raumzeit ein, ja,
in der alles nur Komponenten von allen weg da sind.
Und damit fangen wir heute an. Das ist diese Minkowski
Raumzeit, ja. Genau. Und dahinter verbiegt sich,
verbirgt sich nichts anderes, als ihr seid die Zeichen hier
Alle Ereignisse finden bei einem Zeit- und Raum, zeitliche und räumliche Koordinate statt.
Sie betrachten die nicht mehr separat, sondern ordnen dir einfach einen Weck dazu.
Und dieser Vektor hier, das ist eben der Vier-Vektor,
der Ihnen sagt, wo findet das Ereignis statt?
Der hat vier Komponenten, eine zeitliche Komponente. Und die Zeit werden
hier immer die Lichtgeschwindigkeit C in der zeitlichen Komponente mitschleppen,
sodass Zeit und Ort einfach dieselben Einheiten haben.
X, Y und Z. Und üblicherweise zeichne ich natürlich
nur eine räumliche Koordinate, sonst wird es kompliziert.
Und das Ganze fassen wir einem einfach auf, als einen Vektor,
der vier Komponenten hat, X162, 3, X4.
Und das hier ist sozusagen unser Ereignis. Und was die Lorenz-Transformation damit ist,
es ist nichts anderes als eine Basisrotation in diesem Vektorraum.
Ja, also ich schreibe es nochmal hin.
In der Lorenz-Transformation rechnen sie um von dem neuen,
von dem alten Koordinatensystem auf ein neues Koordinatensystem,
in dem sie sozusagen den alten Vektor mit einer Matrix
multiplizieren und das schreiben sie üblicherweise so
Alpha. Einfach als Matrix-Motivation. Dieses Objekt hier, das sind
genau die Einträge der Matrix. Also wir haben Lamda Müh,
Alpha, ist sozusagen hier eine Matrix, die hat hier die Einträge,
Lamda 00, namen da 01 und so weiter, bis Lamda 03.
Und hier Alpha geht von 0,
summiert die Komponenten von 0 bis 3, Lamda 1.0 und so weiter.
Bis hier, Lamda 3.0, also einfach eine Matrix.
Und wir haben sogar uns das letzte Mal überlegt,
wie diese Matrix aussieht, haben es tatsächlich nur für spezielle Transformationen überlebt,
wenn wir hier eine Transformation haben,
bei der die Geschwindigkeit zum Beispiel parallel zu X-Arxis, also die Geschwindigkeit,
mit der sich das gestrichene System hier bewegt, dann war das einfach diese Transformation minus Gamma.
Diese Lore ins Transformation hier. Okay. Und der Rest
ist null. Jetzt noch sozusagen, damit wir uns heute
das Leben vereinfachen. Wir werden sehr viel solche Vektor-Matrix-Multiplikationen durchführen
und damit man nicht immer diese Summe hier mitschleppen will,
macht man einen kleinen Trick und man lässt diese Summe einfach weg.
Damit sie aber trotzdem und sagen, nicht durcheinander kommen,
gibt es eine kleine Regel
Und zwar ist die Regel ganz einfach, wenn ein Index doppelt vorkommt,
wie dieser hier, dann stellen sie sich automatisch vor,
steht hier in der Summe davor.
Und der Index muss immer einmal unten stehen,
einmal oben, was oben und unten bedeutet,
das sehen wir vielleicht später noch, im Wesentlichen.
Hier ist die Matrix ja genauso definiert, ein bisschen was
oben und unten ist. Aber das ist die Summenkonvention. So,
bevor wir uns jetzt sozusagen näher hier mit den Eigenschaften auseinandersetzen,
frage ich sie, ich habe das hier genannt,
Basisrotation in dem Sinn, ist die Transformation,
die hier steht,
eine Rotation
In dem Sinn, wie Sie Rotationen kennen. Ja,
bitte beschränken wir uns einfach mal auf diesem Block hier.
Ich meine, wir haben ja sowieso nur eine spezielle Pia,
sozusagen, dass wir die Y und Z-Komponente nicht anfassen.
Diese zweimal zwei Matrix, ist das eine Rotationsmatrix?
Ja, also ich hatte so diese Sprache verwendet.
Wer ist dafür? Und wer ist dagegen? Ah, relativ unentschlossen. Okay. Also was ist eine Rotationsmatrix? Ich zeige,
also wenn Sie einfach In zwei Dimensionen sind, ja,
und sie schreiben sich in Rotationsmatrix, dann ist das eine Basisabbildung,
die sozusagen einen Vektor XY in eine neue Basis bringt und eine Rotationsmatrix,
wenn sie die Achsen drehen und den Winkel Vieh,
sieht einfach so aus, Cosfy, dann steht hier vielleicht Sinus Vieh,
und hier steht minus Sinus Vieh, und hier steht Cosenus Vieh,
ja, und sie sehen einen wichtigen Unterschied, die ist offenbar hier antisometrisch, diese Matrix hier ist symmetrisch.
Das heißt, es ist in gewisser Weise keine keine Rotation. Sie können das,
das ist ja übrigens, auf eine sehr schöne Weise,
das können Sie sich überlegen, auch auf eine sehr ähnliche Form bringen wie hier.
Sie können das nämlich, Sie sehen,
Sie haben in der Matrix eine symmetrische Matrix und ich behaupte,
dass Sie diese Lorenz-Transformation, also diese zwei mal zwei Matrix,
in den oberen Teil hier,
dass Sie den tatsächlich parametrisieren können, fast wie hier,
als Cosinus Tetter, minus Sinus Tetter,
Minus Sinus Tetter.
Groß in Ost Tetter. Mit dem kleinen Unterschied, dass
sie hier hyperbolische Funktionen verwenden müssen. Und dann ist die
ganze Funktionsimmage. Und das können sie sich selber überlegen,
sozusagen das sich hier machen, um diese Parametisierung verwenden zu können,
muss ich Ihnen sagen, was der Winkel Tetter ist.
Tetter ist sozusagen, ich schreibe es andersrum hin, dann ist es vielleicht klarer.
Tangens Hyperbolicus Tetter ist V durch C. Ja,
weil Better war ja sozusagen die V durch C und Gamma
war eins durch Wurzel V-Quadraten, die 1 durch 1 minus
Der Ted Quartat, ja. Das heißt,
die Lawrence Transformation ist im Prinzip keine Rotation,
sondern sie können das Bezeichnen als hyperpolische Rotation,
weil hier die hyperpolischen Funktionen vorkommen.
Okay, was ist jetzt der wesentliche Unterschied zwischen einer Rotation und einer hyperpolischen Rotation?
Was ist die wesentliche Eigenschaft von der Rotation? Rotation ist
eine Basistransformation, die die Länge eines Vektors konstant lässt.
Sie drehen den Vektor nur. Eigentlich können sie sogar sagen,
eine Rotation ist definiert dadurch, dass sie die Länge konstant lässt.
Jede Abbildung, des dreidimensionalen Vektorraums auf den dreidimensionalen Vektorraum,
die die Länge konstant ist, können sie als Rotationsmatisch haben.
Das ist jetzt natürlich nur eine spezielle, sie können auch
eben Rotation um die anderen Y und in Z-Richtung einführen.
Genau. Das hier, sozusagen diese Rotation hier,
bei der ist X Bar plus Y Bar,
also die Länge im neuen Koordinatensystem ist X Quadrat plus Y Quadrat.
Ja, wenn sie sich das hier anschauen,
was hier in Variante ist, dann ist es nicht dieses,
wie sie wollen,
Skala-Produkt,
weil sie hier im genauen Minuszeichen haben
Sondern sie können nachrechnen, das werden wir später machen,
das für diese Low-Ins-Transformation, die Länge X-0,
also die erste Komponente zum Quadrat minus X-1 zum Quadrat.
Also sozusagen, wenn ich jetzt hier tatsächlich unsere Definition von X-0 einsetze,
ist das einfach C-Quadrat, T-Quadrat, minus X-Quadrat.
Diese Größe ist in Variante. Also in der neuen Basis
ist das X-Parkod hat. Das können Sie nachrichten. Das
ist eine Rotation, die nicht diese Länge konstant lässt,
sondern die diese Länge konstant lässt
Jetzt können wir uns mal kurz anschauen,
was eigentlich sich hinter dieser Länge verbirgt,
bevor wir mit formalen Dingen weitermachen.
Bedeutung, also das ist sozusagen eine Art Abstand oder Länge hier.
Bedeutung dieses Abstandes. Und da nehme ich jetzt mal nicht sozusagen das.
Das ist sozusagen eine Art Abstand zum Ursprung,
wenn Sie wollen
Bleiben wir. Wir könnten hier im Prinzip das auch beliebig verschieben,
aber wir können uns einfach mal einzeichnen in diesem Raum-Zeit-Diagramm,
was für Abstände die einzelnen Punkte denn vom Ursprung haben.
Also zeichne ich das hier. Habe ich hier CT und hier
habe ich X. Die Frage, wo liegen die Punkte,
die Abstand null vom Ursprung haben.
Ja, schauen Sie, C-Quadrat, C-Quadrat ist X-Quadrat.
Also X ist CT oder X ist minus CT.
Ja, das sind genau diese Geraden hier
So, also ich nenne es hier einfach S,
wie gesagt, S war dieser Abstand zum Ursprung.
So, und was ist das physikalisch? Diese Punkte hier,
an denen X gleich CT oder minus CT ist,
das sind genau die Punkte, die sie vom Ursprung aus erreichen,
wenn sie mit Lichtgeschwindigkeit laufen.
Und das ist das,
was ja die grundlegende Eigenschaft der Lorenz-Transformation war,
dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem System
gleich ist
Das heißt, wenn sie in einem System mit Lichtgeschwindigkeit von
einem Ereignis zum anderen laufen können, dann wissen sie,
dass sie diese beiden Ereignisse auch in jedem anderen Bezirkssystem mit Lichtgeschwindigkeit erreichen sozusagen.
Und genau das steht hier. Diese Länge ist in jedem Bezugssystem null,
in jedem Bezugssystem kommen sie von da nach da mit Lichtgeschwindigkeit.
Das heißt, diese Punkte hier bezeichnen wir deshalb auch als Lichtkegel.
So, und genauso können sie jetzt hier eigentlich weitergehen und
sie können sich auch anschauen,
was sind eigentlich die Punkte,
die hier oben liegen
Die Punkte, die hier oben liegen,
da ist offenbar dieser Abstand hier größer, neu.
Oder vielleicht kann ich sogar eine andere Farbe hier verwenden.
Hier in diesem Bereich ist dieser Abstand hier größer,
neu und hier ist er auch größer, neu,
ja, weil es ja quadratisch ist.
Und hier wäre er kleiner Null. Oder genauer gesagt,
sie können sogar eine Kurve einzeichnen, längst der hier oben konstant ist.
Und das ist eine Hypable. Also wenn sie hier einfach auflösen,
X nach, wenn sie einfach auflösen,
X nach Tee auflösen oder in dem Fall sollten sie Tee nach X auflösen,
dann kriegen sie hier S gleich konstant,
Und was ich behaupte, und was wir vielleicht nachher noch nachrechnen,
ist, dass die Lorenz-Transformation diesen Abstand hier konstant lässt.
Wenn Sie sich also überlegen, in der neuen,
wenn sich hier dieses Ereignis haben, was Sie in einem Bezirkssystem beschreiben,
und Sie beschreiben dasselbe Ereignis in einem anderen Bezugssystem,
wo liegt es in Ihrem neuen Minkowski-Diagramm?
Weiß ich jetzt im Moment nicht, das hängt ja davon ab,
was für eine Transformation ist. Aber eins kann ich Ihnen sagen,
es liegt genau auf dieser Hyperbe,
weil Sie nämlich Punkte, mit der ist größer,
nur Punkte auf erst größer, auf denselben Abstand abgehen.
Gut, jetzt würden Sie sagen,
hier unten ist ja auch noch ein Hyphabel,
die gleichen Tage kann ich jetzt nicht,
der plötzlich bei der Lawrence-Transformation die beiden mischen.
Da müssen sie im Moment länger überlegen, ob das das
nicht geht, ja. Aber der wesentliche Punkt ist,
sie bilden die Punkte hier durch die Lawrence-Transformation auf die Punkte dort ab.
So, und was bedeutet das? Diese Punkte hier,
wenn sie sich das anschauen, die sind, die können sie
im Prinzip mit Unterlichtgeschwindigkeit erreichen. Zum Beispiel in dem System,
die Punkte auf der Achse, das sind alle Punkte,
die am selben Ort sind, um dahin zu kommen,
vom Ursprung aus, da müssen die eigentlich gar nichts tun,
da müssen die bloß da bleiben, ja.
Und hier müssen sie sich mit einer Geschwindigkeit bewegen,
die kleiner als Cs, Wir müssen sich mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen, ja.
Das heißt, das sind die Punkte, die sie mit Unterlichtgeschwindigkeit erreichen können.
Das heißt, die können sie tatsächlich physikalisch beeinflussen, ja.
Da können sie irgendwie schnell genug rennen und können hier dem eins draufhauen und dann,
gut, dann haben sie das beeinflusst, ja.
Und die Tatsache ist, diese Aussage,
dass sie die Punkte nur aufeinander abbilden, heißt nichts anderes,
als dass wenn sie ein Ereignis beeinflussen können,
in einem, in einer Beschreibung, weil es sozusagen,
weil sie es mit Unterlichtgeschwindigkeit erreichen können,
dann können sie das auch in jedem anderen Bezugssystem.
Ja, also diese kausale Reihenfolge der Ereignisse,
die wird durch die Lorenz-Transformation
nicht durcheinander gemischt
Das wäre ja auch noch schöner,
wenn Sie sozusagen sagen würden, von der eine Beobachter,
für den einen Beobachter kann er das Ergebnis,
das Ereignis nicht beeinflussen, weil er sich damit unüberlich Geschwindigkeit bewegen müsste.
Aber ein anderer Beobachter, der sieht es selber und für den
kann er das einfach beeinflussen. Ja, das geht nicht.
Also zu sagen, es gibt eine absolute Reihenfolge der zeitlichen Reihenfolge. Alles,
was hier legt, alles,
was Abstand größer null hat in der Sprache,
ist sozusagen die Zukunft oder alles,
was größer null ist und hier sozusagen noch ein positives Vorzeichen hat,
weil ich, wie gesagt, diese beiden Vorzeichen auch nicht vermischen kann.
Das ist die Zukunft. Und hier haben wir
die Vergangenheit
Und diese Punkte hier,
die sind weder in der Zukunft noch in der Vergangenheit.
Denn für diese Punkte hier hängt die Tatsache,
ob die Zeit größer ist oder
kleiner nur,
hängt vom Beobachter ab
So, also ihr bezeichnet es auch als Relativität der Gleichzeitigkeit und sie können sich das sehr leicht überlegen.
Schreiben Sie sich einfach mal diesen Punkt hier hin.
Wir können ja sozusagen einfach an einem anderen Ort ist,
zur selben Zeit in meinem System,
können immer einen Beobachter finden, der sich bewegt,
in dem dieser Punkt hier sozusagen vor oder nach der Zeit ist.
Weil im Prinzip, wenn Sie hier,
aber das will ich jetzt nicht einzeichnen,
wenn Sie jetzt hier auf eine andere, oder ich zeichne es doch ein,
wenn Sie auf eine andere, auf ein anderes Koordinatensystem sind,
dann sind die Achsen hier im Prinzip verkippt.
Aber ich will eigentlich jetzt gar nicht so viel über das,
das gehört noch zum Kapitel sozusagen, eigentlich Relativitätstool,
was Sie Beständig in deinem ersten Semester,
wenn sie Relativitätsstil besprochen haben, auch schon besprochen haben,
das wahrscheinlich eher eine Wiederholung.
Okay, aber das ist der wichtige Punkt. Dieser Abstand sagt denen,
ob sie in der Zukunft oder in der Vergangenheit sind oder
ob sie in einem Bereich sind, in Zukunft Vergangenheit nicht definiert sind,
die bezeichnet man dann als raumartig.
Also raumartiger Abstand. Okay. So, so viel dazu
. Jetzt wissen wir, was der Abstand ist.
Jetzt wird es formaler
Was ist ein Vektor und was ist ein Skala? Ja,
aber wir wollen ja schließlich auch mit anderen Größen zu tun haben,
als nur mit Ortsvektoren,
wollen schließlich was mit Feldern zu tun haben und wollen wissen,
wie verändern sich die Felder von einem Bezugssystem aufs andere,
Feld wird ja möglicherweise was mit Vektor zu tun haben,
ist tatsächlich nicht der Fall,
die elektrischen Felder sind keine Vektoren in dieser Sprache,
werden wir
noch sehen
Müssen wir uns überlegen, was ist eigentlich ein Vektor,
was ist ein Scolor? Also was ist ein Scolor? Nämlich,
nehme ich ein Beispiel, ist die Länge dieses Stifts ein Scolor.
Also wir kennen Skala, Sie würden sagen, vielleicht ein Skala ist
, ist eine reelle Zahl. Und ein Vektor ist eine Zahl,
ist ein Objekt mit drei Komponenten, wenn wir halt im
Augletschenraum sind und vier Komponenten, wenn wir im Inkovski-Raum sind.
Also, oder ich könnte fragen,
wenn wir jetzt im Rellen im dreidimensionalen Raum sind,
gar nicht hier dran denken, ist X-Komponente,
also hier ist Z, X, Y ist die X-Komponente,
dieses Stifts oder dieses Vektors hier, ein Skala.
Ist ja eine reelle Zahl. Und die Antwort ist nein. Ja,
also sie können, das ist so seine, im Prinzip eine Sprachfrage.
Sie können natürlich sagen, alles, was Bälle ist,
bezeichne ich als Kala, aber das macht keinen Sinn.
Skala in der Physik bezieht sich immer auf das Verhalten bei
Wechsel des Strand des Bezugssystems. Ja,
ein Skala in der Physik ist bei Definition ein Objekt,
eine Größe, die sich bei Wechsel des Bezugssystems nicht verändert.
Das ist eine Definition,
die Sinn macht
Ich meine, sonst, und ein Vektor, genau.
Und demnach ist natürlich die X-Komponente kein Skala. Das ist
die X-Komponente eines Vektors, ja. Aber die Masse zum Beispiel
ist ein Skala. Es ist eine physikalische Eigenschaft, die völlig unabhängig ist,
zumindest jetzt hier, wenn wir in der klassischen Mechanik sind,
von dem Galiläischen Bezugssystem, ja. Das ist sozusagen das,
was wir eigentlich wissen, weil das ist auch das,
was wir wissen wollen, wenn ich Ihnen sage,
das elektrische Feld ist ein Vektor,
dann habe ich hier nicht gesagt,
das elektrische Feld ist eine Größe, die drei Komponenten hat,
sondern ich habe ihn gleichzeitig auch gesagt,
wie sie das elektrische Feld umrechnen,
wenn sie
ihr Koordinatensystem ändern
Das ist da implizit. Das elektrische Feld,
diese drei Komponenten sind sozusagen mit dem Raum verbunden.
Also wenn wir jetzt wieder nur in der Elektrostatik sind und
nicht in dem Minkovschi, mit dem Kopfs gebildet,
ja, dann haben sie nur die räumlichen Komponenten.
Dann habe ich ihnen gesagt, das zeigte eine gewisse Richtung.
Und wenn sie das Bezugssystem ändern, müssen sie auch das
elektrische Feld verändern, weil sie die Koordinatenaktenvertreter haben.
Und wenn ich ihnen gesagt habe, es sind weg,
dann habe ich ihnen auch implizit gesagt,
wie sie diese Umrechnung machen sollen.
Und genau dasselbe, Definition von Vektor und Skalar,
werden wir jetzt auch hier in dieser relativistischen Sprache verwenden.
Was ist ein Skalar? Ein Skalar ist eine Größe
Die, und sagen, ich sage,
ich nenne jetzt mal, mache jetzt hier mal eine.
Relle Größe. Die Invariante ist, und der Wechsel des Bezugssystems. So,
und damit sehen, dass die Länge dieses Stifts kein Skalar ist,
in dem Euklitsch, wenn ich nur Euklitsch im Raum betrachte,
ist die Länge des Stifts,
also sozusagen das X-Quadrat bis Y-Quadratus,
Z-Quadrat in Skalar,
weil ich nur Rotationen mache,
aber in dem Minkowski-Welt
Denn wenn ich den Stift bewege, dann sieht ein anderer Beobachter,
eine Lorenz kontraktierte Länge, also verkürzte Länge.
Und demnach ist es vom Bezirkssystem abhängig, ja?
Ja, da ist die Masse aufgesetzt. Die Masse hatte
ich vorher als Beispiel gebracht in der Mechanik, ja?
Also die Masse wird sich auch verändern. Das ist
auch im Prinzip Komponente eines Vektors und nicht eine Skalare-Komponente.
Ja, aber zum Beispiel, in Skalas,
was wir nachverwenden werden, die Elementarladung.
Die Mentalladung selbst ist eine Eigenschaft meines Teichens,
die sollte nicht von dem Bezugssystem abhängen,
sonst müssten sie was anderes überlegen.
Irgendwas ist noch an, es riecht zumindestens
noch hier nach verbrannten Dingen
Ja. Keine Ahnung, wird sich gleich zeigen.
Gut, ein Vektor. Und zwar eigentlich,
ein Vektor ist eine Komponente von vier Größen.
Ja, aber wichtig eine Komponente, vier Größen,
die sich genauso... Wie der Ortsvektor selbst transformiert
Ja. Und das bezeichnet man, genauer gesagt, als Kontra-Varianten-Vektor.
Es gibt da noch eine andere Sorte. So,
also, nichts anderes gesagt, wenn ich Ihnen sage,
diese oder jene Größe ist ein Vektor und Sie wechseln das Bezugssystem,
dann wissen Sie, dass dieser Vektor im neuen Bezugssystem genau so ausschaut,
mit der üblichen Summenkonvention.
Oder auch Sie könnten hier, das hier sozusagen ist die,
wie transformiert sich der Vektor,
also die Ableitung des des Ortsspektors in der neuen Basis,
nach der Ableitung in der alten Basis.
Also es ist, weil es eine lineare Transformation ist, ist das dieselbe Sprache.
Also der Vektor ist über seine Transformationseigenschaften hier gekennzeichnet. Okay,
das ist die wichtige Definition, weil nachher werden wir einfach sagen,
was ist in der Elektrodynamik ein Vektor und was
ist ein Skalar und wenn ich Ihnen das sage,
wissen Sie, wie transformiert das.
Okay, jetzt fangen wir an und bringe ich Ihnen ein Beispiel,
nämlich das Beispiel, was wir schon gerade hatten.
Wichtigstes Beispiel für eine Skalla offenbar, das Skallar-Produkt,
also was wir hier als Skallar,
was wir da drüben eingeführt haben,
diesen Abstand
So, ich kann ein Skalaprodukt definieren. Und das muss ich jetzt aufpassen,
dass es sozusagen hier muss ich dieses Minuszeichen mit reinbringen.
Das mache ich üblicherweise so,
indem ich eben nicht wie beim üblichen Skalaprodukt die Komponentenweise miteinander multipliziere,
sondern nicht für jede Komponente noch einen Faktor einführe.
Und das schreibt man so. Ich sage das Skalaprodukt von
Armin B, Amy, B, Alpha, okay.
Wobei G, Menü ist eine Matrix,
die glücklicherweise diagonal ist und so ausschaut
Also was hier im Prinzip steht, ist sie. Sie summieren hier,
wenn sie das lesen wollen, über Mühe und über Alpha,
aber nachdem diese Matrix hier diagonal ist,
kommen hier nur die gleichen vor und die Komponente Null bekommt
sozusagen die eins und die anderen Komponenten bekommen die minus eins.
Das heißt, wenn sie hier wirklich das außen mit dem
Beziehen steht hier, A-0, B-0, minus A-1,
B-1 minus A-2, B-2 minus A 3, B-3.
Das ist ein Objekt, was ich definieren kann und meine
Behauptung ist, das ist ein Skala. Sollte sein,
denn das ist im Prinzip genau wie sicher sehen,
das ist der Abstand, von dem ich schon längst behauptet habe,
dass er sich nicht verändert,
wenn ich hier A und B beide gleich X setze
Der Grochen nimmt zu. Seht da irgendjemand das,
was leuchtet? Draußen wird gegrillt. Ah, okay.
Ich glaube dann, dass wir das nächste Kapitel weg und...
Okay, wie auch immer. Das ist ein Skala,
das möchte ich Ihnen zeigen. Das ist ein Skala ist,
und zwar müssen wir jetzt tatsächlich hier rechnen.
Ich transformiere das einfach mal in ein neues Bezugssystem.
Geh, müh, Alpha
Arme, B-Alf. Jetzt habe ich ja nichts gemacht.
Ich habe einfach gesagt, das ist sozusagen die Größe,
die ich so definiert habe im neuen Bezugssystem.
Jetzt setze ich hier einfach mal alles ein. A,
ist ein Vektor, A, transformiert sich als Mühe.
Und jetzt sehen Sie schon das größte Problem bei der Relativitätstheorie.
Sie haben nur eine begrenzte Anzahl von griechischen Buchstaben zur Verfügung.
Und die müssen Sie auch noch unterscheiden können, je nach Handschrift.
Und das macht es wirklich sehr anspruchsvoll.
So, aber das war die Transformationsregel von den Vektor.
Das heißt, eigentlich muss ich Ihnen nur zeigen,
dass das Objekt hier Geh sozusagen wieder diese Diagonalmatrix gibt.
Und jetzt schreibe ich tatsächlich mal in Matrix Schreibweise.
Also das hier sozusagen hatte ich schon definiert als Matrix.
Jetzt führe ich hier noch mal schnell sozusagen die Lorenz,
eine Matrix, also wirklich die viermal, vier Matrix sozusagen, die Lorenz-Transulorenz-Transformation gehört.
Das ist V, also das ist die Transformation für die Geschwindigkeit des Bezugssystems V.
Das ist also Lamda, 0-0 und so weiter,
genau die Matrix, die ich Ihnen hingeschrieben hatte sozusagen,
diese viermal, vier Matrix. Und wenn Sie das machen,
dann können Sie diese Summe hier sozusagen als Matrix-Multiplikation identifizieren,
wenn sie da genau drauf schauen, ja.
Sie haben hier eine Matrix, Myalphasisumieren,
über den hier, das ist also schon so,
als ob sie hier, dieses Objekt hier,
ist es schon genauso,
als ob sie hier diese Matrix von der Seite multipliziert hätten mit dieser Matrix und dann hätten sie hier den Index Sigma übrig gelassen.
Hier sozusagen summieren sie eigentlich über den Index, Moment,
hier, das war die Alphamatik,
das heißt,
da habe ich den Gamma-Index auf ihr Seite stehen
Also ich habe hier den Index Gamma, nicht die Matik motiviert,
jetzt wollen Sie die Matiks noch einmal, wir sind da sehen,
müsste ich eigentlich hier die Indizies erst vertauschen,
damit ich das als Matrix-Multiplikation auffassen kann.
Aber das geht, vertausche ich sie halt, nämlich die transponierte Matrix,
hatte die sozusagen Lamda allgemein M-T-I-J, ist M-J-I sozusagen, transponiert.
Und von dieser Matrix hier habe ich die Sigma-Gamma-Komponente.
Und eigentlich ist die einzige Behauptung, was ich Ihnen zeigen muss,
ist, dass dieses Objekt hier wieder G ist,
also wieder die Diagonalmatrix.
Und das können Sie tatsächlich
relativ einfach sehen
Zwar behaupte ich, also das Erste,
was Sie sehen, ist, dass die Lorenz-Transformation,
ich bringe Ihnen noch mal die Lorenz 2020.
Also es reicht dann nicht, wenn wir uns das hier für diese überlegen.
Das geht natürlich auch für jede Lorenz-Transformation, also oft mit anderen Richtungen.
Also Sie sehen das symmetrisch, ja. Und was Sie auch sehen,
was ich behaupte, ist, dass G,
Lamda G. Das Gleiche ist,
wie wenn ich
die Geschwindigkeit umgedreht hätte
Und das ist das Gleiche, wie wenn sie die inverse Transformation gemacht hätten.
Und das kannst du einfach sehen. Also ich zeige,
wenn sie hier diese Matrix ausmitteln,
und zwar bloß für die zweimal zwei,
schreibe ich es mal nur für die ersten beiden Komponenten hin,
dann ist das dieses Produkt hier nichts anderes als minus eins,
dann haben sie hier Gamma, minus Gamma,
jetzt schreibe ich das Better mal explizit hin.
Gamma und dann multiplizieren sie es von dieser Seite noch mit minus eins und dann
können sie wirklich explizit sehen, das ist natürlich das Gleiche,
wie wenn sie genau Diese Komponenten hier, die Geschwindigkeit umgedreht haben.
Ja, okay, und das ist die Inverse Matrix,
weil die Rücktransformation ist die Transformation mit der negativen Geschwindigkeit. So,
und wenn Sie das jetzt verwenden, hier unten,
dann sehen Sie sowas wie Lamda, geh Lamda,
es geht Quadrat, bei G-Quadratis 1, Lamda,
geh Lamda, es geh, geh Lamda, geh,
Lamda, unfakturisiert, und das ist das Land auch hoch,
minus eins, und das ist G.
Und damit ist sozusagen essbar, wenn sie es einsetzen würden,
ist sozusagen, geh, Sigmar Gamma, A,
sag mal, B, Gamma.
Und das ist das Gleiche wie S. Und das ist das,
was wir eigentlich, wie gesagt, schon verwendet hatten.
Das Kalarprodukt, Eskala, weil sonst hätten wir es nämlich
überhaupt nicht Skalarprodukt genannt
Gut, dieses anders ausgelegt. Dieses Objekt ist color.
Im Prinzip ist Dermin Kowski-Raum, nichts andererseits ein vierdimensionales,
ein vierdimensionaler Raum, dem sie ein Skalabprodukt gegeben haben.
Wie jeder Vektorraum. Wenn sie einen Vektorraum haben wollen,
dann brauchen sie erst mal uns sagen, worauf definierten vier Zahlen?
Vier Komponenten. Und um damit Mathematik machen zu können,
müssen sie im Skalabprodukt definieren und für den Mingkowskiraum
haben sie eben dieses Skalabprodukt definiert.
Und wenn sie dieses Skalabprodukt definiert haben, dann wissen sie,
sind die Lorenz-Transformationen die,
die sozusagen mathematisch
das invaliant lassen
So, das war nur eine Rechnung, wesentlich interessanter,
ist es, wenn wir zu Ableitungen gehen, weil Ableitungen sind das,
was wir natürlich dann später bei den Max-Way-Gleichungen brauchen.
Und meine Behauptung ist, dass sie eine divergänzende, dass sie
eine Divergenz definieren können. Und diese Divergenz ist wieder,
wie im dreidimensionalen Fall, ein Skala. Sozusagen die vier Divergenz,
sozusagen die Behauptung, ist das S definiert als D-Amy,
sagen wir, wenn Amy ist jetzt ein Vektorfeld,
also ein Vektor, transformiert sich, soll abhängen.
Wenn Sie das ableiten nach Müh, also das heißt wieder nichts anderes hier,
Summen kommen wir zu, nachdem Sie jetzt hier noch nicht sehen,
was oben mal unten ist, schaue ich hier sozusagen,
diese Summe ist eine Summe über die Komponenten natürlich, steht dabei.
So, also Sie bilden die Ableitung der ersten nullten Komponente nach X0 und so weiter,
also explizit D-A-0, nach D-C-T plus D-A-1, nach D-X-1,
also nach X, plus D-A-2, nach D-Y plus D-A-3, nach die Z.
Und die Behauptung ist, dass dieses Objekt wiederum ein Skalar ist.
Oder anders ausgerückt, wenn sie die Divergenz in dem einen Koordinatensystem
sich anschauen und im anderen Koordinatensystem, kriegen sie genau das Gleiche raus.
So, und das kann sie wieder sich überlegen.
Und da müssen wir ein bisschen mehr machen.
Da müssen wir oder eigentlich nicht viel mehr.
Da müssen sie jetzt hier so eine Art Kettenregel anwenden.
Ich zeige ihnen das auch mal kurz.
Es war in dem Fall, also ins neue System transformiert.
Jetzt müssen sie sowohl sozusagen hier nach den neuen Koordinaten ableiten
Und die neue und die transformierten Vektor, nach den transformierten Koordinaten ableiten.
Also implizit hängt dieses Feld ja von X ab,
aber X kann es immer als Funktion von den neuen Koordinaten auch sehen.
Sie müssen, ja. Ich glaube, das erfüllt man
nach der Komplusion. Riechen Sie es auch schon?
Gut, mir wird es nämlich schon so ein bisschen schwindelig
Hat das jetzt einen Trick? Die Tür geht von innen
nicht auf. Also jetzt merke ich es wirklich, wenn ich,
wenn man geboren steht, dann kommt der Bruch langsam.
Wo ist denn? Wo haben wir denn die Klopfen?
Ah, hier. Und wenn man hier unten steht,
dann akkumuliert sich das so langsam.
Wahrscheinlich wäre ich in zehn Minuten kollabiert,
ohne es zu merken
Und dann, es wäre ein Desaster vermutlich,
dann würde jemand, wer stellt dann die Klausur,
dann kommt jemand anders und denkt sich nach Klausur,
muss irgendwas mit den Übungsaufgaben zu tun haben?
Schauen wir mal, was es da so gab.
Ja, okay. Also ich versuche trotzdem mal weiterzumachen.
Ich klingel mal hier in regelmäßigen Abständen.
Nachdifferenzieren unter erschwerten Bedingungen. Also hier das Amy ist
eine Transformation, ist eine lineare Transformation, Vorsicht.
Das kann ich einfach rausziehen. Alpha, je nachdem
X Müh. Alpha. So, aber jetzt steht hier
noch dummerweise in der Ableitung nach X Bar.
Ich will aber eine Ableitung nach X haben,
damit ich das auf die ursprüngliche Liebe ganz zurückführen kann.
Also leite ich halt einfach nach X ab
So, wenn ich das tue, dann muss ich allerdings hier nachdifferenzieren.
X-Mühbar. Gut. Und jetzt sollte ich noch verwenden,
das ist, was ich hingeschrieben habe,
dass die Transformation ja linear ist, das heißt im Prinzip,
dieses Lamda-Müh, Alpha war nichts anderes als die Ableitung von X-Mühbar,
nach der X-Alpha.
Das heißt,
hier steht, DEX
Mühe, nach DEX, Alpha mal D. X. Better,
nach D X. Mühe, war mal D,
nach D X Wetter, A, Alpha.
So, und jetzt müssen Sie nochmal erkennen,
was ist das? Jetzt müssen Sie das einfach umdrehen.
Sie haben hier sozusagen X Better nach X-Alpha abgeleitet,
indem du zuerst nach Rühe ableiten und dann nach Mühe nachdifferenzieren
Das heißt, hier steht D, X-Beta, nach der X-Alpha,
und das ist Delta, Alphabetta, wenn sie wollen.
Das heißt, was hier rauskommt, ist tatsächlich nichts anderes
als D, A, Alpha, D, X-Beta.
Und es ist genau die Divergenz. Also die Divergenz ist
unabhängig vom Koordinatensystem. Also ich weiß nicht,
wie man die Fenster bedient
Okay. Monitor, das ist Verdunkelung hier.
Hier steht Lasermonitor, Verdunkelung, Monitor. Laser kann eigentlich
alles nur noch schlimmer machen. Ich meine,
ich kann versuchen, die Tür hier aufzumachen,
das hilft hauptsächlich mir,
dann muss ich
wieder aufpassen
Das hilft, glaube ich, auch nur mir, aber...
Jetzt nichts, die andere Tür ist auch zu.
Ah, wir haben hier ein Problem, wir werden gegrillt.
Also zuerst, ich kann der Rest.
Der Präsident hat sicherlich ein offenes Uhr dafür,
dass man hier nur eine Lüftungsanlage eingebaut hat.
Und die holt sich natürlich die tolle Luft von draußen.
Ach so,
draußen habe ich
jetzt noch gegrillt
Ach so, das ist... Ach so. Läuft,
wo er da leuchtet, ist diese Lüftungsanlage am Arbeiten.
Gestern Abend, wenn ich noch im Cello ihnen getan führe.
Also ich kann das nicht. Okay. Das gibt es
auch nicht, da oben ist es eine Fensterarbeit.
Ja. Und wenn man ein Defense drauf macht,
weil es ja auf der Seite nicht kommt,
dann hat er irgendwie gesagt, das geht auch nicht.
Okay, gut. Da kann man nichts machen.
Kommen Sie. Die hatte ich jetzt nur aufgemacht,
aber das... Ja, wir können es wahrscheinlich so nicht
so durchzug machen
Ja, und es wäre wahrscheinlich in der Annahme nass.
Das hat er da draußen, ja,
ich grillen mit der Essen am Temperatur.
Ja,
auch das
Der letzte wichtige Punkt ist sozusagen, dass wir noch verstehen müssen,
was ist, was ich noch behaupte,
dass die zweite Ableitung hier, also genau,
die Ballienz ist ein Skala und üblicherweise bezeichnen wir jetzt im folgenden sozusagen das hier,
diese Ableitung mit dem Index unten, was natürlich Sinn macht,
weil sie da nämlich die Divigenz hier schreiben würden, als D-Better,
Alpha, und dann sehen sie an der Schreibweise fort,
das hat sie die A, Moment,
das hat sozusagen fast dieselbe Schreibweise,
wie das was,
was wir jetzt gleich einführen hier.
Okay, was dann, was wir dann sozusagen noch im Allgemeinen definieren,
das ist seine formale Schreibweise, die ich Ihnen jetzt sage,
die wir aber eigentlich nicht verwenden werden,
in dem Folgenden, also die Sprechweise nicht verwenden würden,
um sozusagen den Überblick zu behalten mit diesen oberen und unteren Indizes und diesem Skalarprodukt,
führt man etwas ein, was man als Co-Varianten Vektor bezeichnet.
Seien den, wenn ich einen Vektor habe, der Index oben hat,
dann zeichnen sie diesen Mektor hier als Co-Varianten-Vektor, der Index unten hat,
der sozusagen einmal mit dieser Matrix hier multipliziert ist.
Und das ist also nichts anderes, mit dieser Matrix zu multiplizieren,
heißt nichts anderes, als sie drehen hier die Komponenten um,
sagen, der hat dieselben Komponenten wie der Obere,
aber sie haben hier die hier umgedreht.
Und in dem Sinn und zu sagen,
können sie im Prinzip nachrechnen aus den Beziehungen,
die wir ganz analog, wie sie das hier gemacht haben,
dass sozusagen dieser Vektor hier mit der Inversen-Loren-Stransformation transformiert.
Und deshalb bezeichnen wir als Co-Varianten Vector. Ich wollte aber
das jetzt hier nicht ganz so formal machen und dementsprechend sozusagen
dieses hier transformiert sich genauso wie das hier.
Oder anders ausgedrückt, wenn man mal die, sozusagen dieses,
ja, deshalb schreiben wir hier diesen Index unten. Aber eigentlich,
wie gesagt, wenn ich darauf nicht näher eingehen,
sondern wir haben hier, ich bezeichne das mit Index unten,
sodass ich das so schreiben kann, dann ist das hier im Moment Sorry.
Hier habe ich es noch dazu falsch gemacht. Dann ist
das die Alpha-Alpha und dann sehen sich hier sozusagen die Summenkonventionen implizit.
Und das ist ein Scolor. Okay, wie auch immer. Die andere Rechnung,
die ich eigentlich noch zeigen wollte, ist oder nicht großartig zeigen wollte,
ist, dass dieses Objekt, diese zweite Ableitung,
die sagen, nichts anderes sein soll als die Ableitung nach DXMü,
also diese hier, mal die Ableitung nach DXMü.
Dass das hier auch ein Skala ist. Wenn Sie das anwenden,
wenn Sie das anwenden, auch eine Funktion, Skalara-Funktion,
dann kommt wieder eine Skalara-Funktion raus.
Das können Sie aber selber nachrechnen, das ist im Prinzip
auch so eine gleiche Rechnung wie hier mit der Nachdifferenzierung.
Und interessant, dass es hier einfach einzusetzen, was das bedeutet. Es ist sozusagen die Ableitung nach der ersten Komponente,
mal die Ableitung nach der ersten Komponente von diesem Vektor,
minus oder die Ableitung nach der zweiten Komponente,
also hier sozusagen, das ist das hier,
mal die Ableitung nach minus X oder die Ableitung nach X,
weil das hier ist sozusagen dieses X-Mühs, CT minus X,
minus Y, minus Z, minus die 2.8. Y-Quadrat minus D2,
nach die Z-Quadrat.
Anders ausgedrückt, das hier ist nichts anderes als dieser Dan-O-Bär-Operator,
den wir schon mal hatten, eins durch C-Quadrat,
die noch die T-Quadrat hat, minus Nabla-Quadrat.
Okay, also wenn, wie gesagt,
das können Sie direkt auch,
genau wie hier oben nachrechnen,
dass das hier
ein Skala sein
Was da beim Wesentlichen nur daran liegt,
dass eben diese Sache hier genau inverse transformieren,
dass X-Mühe genau inverse transformiert wie X unten Mühe und dementsprechend
die Ableitungen auch genau invest transformieren.
Das heißt, wenn Sie es transformieren, heben sich die beiden Transformationen weg.
Das ist in jedem System gleich. Okay,
und wenn, das sollen, das müssen Sie wissen.
Die ergänzen, sind in Varianten, diese zweite,
dieser Danumbär-Operator ist in Variante und diese Skalabprodukte hier sind in Variante.
Okay, und damit kommen wir jetzt zur Elektrodynamik und fragen
uns, wie transformieren Ladungen und Ströme
Das ist jetzt, der nächste Schritt ist wieder wesentlich weniger formal.
Ladung und Strom. Okay. Also Strohladung, Ladungsdichte,
ja, Pladungsdichte, ich hatte vorhin schon gesagt,
die Elementalladung ist konstant.
Was ist die Ladungsdichte?
Ist die Ladungsdichte
ein Skalar
Mehr wäre dafür, dass die Ladungsdichter ein Skala ist.
Oder wer ist dagegen? Und warum sind Sie dagegen?
Wir haben ja vorhin das Beispiel bestellt,
dass eben auch die einzelnen Konkurrenten eben kein Skala sind.
Sie lernen es dicht, würde jetzt eben auch vom Volumen,
von der Aussehung abwecken, die würde es sich dann auch geben. Genau,
das ist der Punkt, wenn Sie direkt sehen,
direkt dichte, was tue mit Volumen,
Volumen schauen Sie sich an, das unterliegt,
also die Länge des Objekts unterliegt der Lorenz-Transformation,
wenn die Elementarladung, also das wirklich die Anzahl der Elektronen,
die da drin ist,
in Variante ist und Anzahl wird ja wohl hoffentlich in Variante sein,
dann muss die Ladungsdichte umblenden.
Sie sehen es aber auch, sie sehen es auch anders.
Also wenn sie zum Beispiel eine unbewegte Ladung in einem System
haben, dann haben sie null Strom.
Wenn sie das Gleiche anschauen, sich von einem bewegten System,
sehen sie, sie haben Strom.
Das heißt, beim Wechsel des Bezugssystems geht Ladungsdichte in Stromdichte über.
Und daran sehen sie schon, dass aller Wahrscheinlichkeit nach diese
beiden Größen wieder zu einem Vektor gehören, nämlich zu einem Vierervektor.
Und wir schauen uns das jetzt mal einfach an Beispielen an
Und das erste Beispiel ist genau das, was sie sagten,
dass sie eben einfach eine ruhende Ladung, wenn sie das transformieren,
dann muss sozusagen das wegen der Lorenzkontraktion sich die Ladungsdichte verändern.
Also wir stellen uns vor, wir haben einen Draht,
der Draht ist in Ruhe und der hat sozusagen alle im Abstand Klein-L,
voneinander haben wir in diesem Draht Ladungen reingetan und das sind alles Elementarladungen,
also die sind in Variante und das heißt,
die haben eine Ladungsdichte in dem System S,
Roh ist einfach die Anzahl dieser Ladungen durch den mittleren Abstand,
durch die Fläche.
Also das ist hier die, sozusagen die Fläche dieses Drahts.
Und sie haben eine Stromdichte und wir sind jetzt hier sozusagen
nur mit, in x Richtungen ist hier.
Und diese Stromdichte ist null, weil sich hier nichts bewegen soll.
Und jetzt betrachten wir das Ganze einfach von einem anderen Bezugssystem,
nämlich von dem bewegten System, was ich mit der Geschwindigkeit V hier bewegt.
Das ist unser System Essstrich
Und in dem bewegten System, dann sehen Sie,
ist der Abstand L, ist eins durch Gamma,
ist der Abstand ein Strich, eins durch Jammer mal L.
Und das ist genau die Lorenz-Kontraktion. Okay. Und
der Rest bleibt gleich. A, Strich ist A,
war nämlich Längen, die senkrecht zur Bewegungsrichtung sind, nicht kontrahiert werden.
Das heißt, die neue Ladungsdichte, die Sie hier bekommen,
oder die sie in den neuen Systemen sehen,
ist Kunol, durch L-A, mal Gamma.
Kann man sozusagen jetzt in dem Fall,
ich will jetzt mal hier, ich könnte meinen Gamma V einführen,
das ist der, der von dieser Geschwindigkeit abhängt.
So. Also hier hatte ich jetzt schon,
sagen, Elstrich, hier steht Elstrich, Eltrich Gamma.
So, ist da so Gammaro. Kamma V. Oh.
Und der Strom, den sie im neuen System sehen,
Naja, das gilt immer, das Gleiche,
was wir immer verwendet haben, Stromdichte, ist Ladungsdichte, mal Geschwindigkeit.
Und die Geschwindigkeit der Ladungen im neuen System ist minus V,
weil sie sich in die andere Richtung bewegen wie das System.
Also es ist ja gar nicht viel tief. So,
also JX ist minus und zu sagen,
jetzt führe ich einfach mal einen C,
noch einen Faktor C hier ein.
Minus,
baut euch
Gamma. Roch. Ja. Also sie sehen,
Robert definiert wird transformiert, wie nach Damaro und sie sehen,
diese beiden Sachen sehen praktisch schon so aus wie Komponenten einer Lorenz-Transformation.
Wenn ich hier auch noch einen C einfach überall einführe,
sieht es so aus, als hätten wir hier Cero-Strich,
JX-Strich.
Es ist nichts anderes als Gamma. Und ich schreibe mir
schon mal
die ganze Lorenz-Transformation hin.
See Roh, JX. Und das Einzige,
was wir eigentlich hier noch haben, ist,
dass das hier in unserem Fall null war,
sodass ich diese Rechnung vereinfacht hatte und dass wir sozusagen eigentlich
nur jeweils eine von diesen beiden Komponenten hier übrig gelassen haben.
Aber es sieht ganz so aus,
als sei die Kombination aus Ladungsdichte und Stromdichte ein Lorenz,
ein Vier-Vektor, weil er sich nämlich,
und das war die Definition von Vier-Vektor, genauso transformiert, wie ein Arztvektor.
Aber wir haben es nur für einen speziellen Fall gezeigt,
nämlich den speziellen Fall, dass hier Diese Ladung unbewegt war im einen System.
Und was die Lawrence-Transformation in ihnen ja zum Beispiel auch sagt,
was auf den ersten Blick vielleicht ein bisschen überraschender erscheinen könnte,
ist, dass sie auch die Situation haben können,
dass sie keine Ladungsdichte haben in einem System,
aber eine Stromdichte.
Also sie schauen sich wirklich in ungeladenen Draht an,
wie das üblicherweise ist, wenn sie in Stromfluss durch den Draht haben.
Und sie schauen sich diesen ungeladenen Draht in einem anderen Bezugssystem
an und auf einmal hat er eine Ladung,
was ja die beiden miteinander transformieren.
Und das könnten wir sozusagen auch,
kann man direkt auch an einem schönen Beispiel sich überlegen,
dass es der Fall ist,
dass allerdings zig aufwendiger
Ja? Ja, wir müssen sie
nicht auch vormöglich drehen gegangen, dass sie geboren haben.
Weil wir wirklich zehn Fragen haben. Nein, Moment.
Gehe ich... Welches C haben wir hier? Ja,
richtig, danke, hier muss ich C-Ro schreiben,
weil ich habe hier einfach um zehn erweitert, sodass hier sozusagen diese,
dass dieser Therm hier sozusagen diese Struktur hat von dem Faktor in der Lawrence-Transformation.
Danke. Gut. So, und das Beispiel,
was Ihnen das sagt, da brauchen Sie also einen ungeladenen Draht,
der trotzdem einen Strom hat,
können Sie zum Beispiel in dieser Situation hier nehmen,
dass Sie hier positive Ladungen haben.
Auch im Abstand L, wie vorher, das sind alle Q0.
Und jetzt haben Sie hier oben negative Ladungen.
Und die haben auch den Abstand L und haben auch sozusagen
eine Ladung Minus Q0 und die sollen sich in die
Richtung bewegen
Und die hier sollen sich hier die andere Richtung bewegen.
Und wenn das der Fall ist, dann sehen sie in dem System,
in dem dieser Draht tut, ist die Ladungsdichte null,
weil wenn sie einen Snapshot machen zu einer Zeit,
dann heben sich die beiden genau weg.
Aber sie haben den Strom, weil die negativen Ladungen
nach links fließen und die positiven Ladungen nach rechts.
Sie haben also hier sozusagen einfach eine,
muss ich sagen, eine Ladungsdichte nochmal hier.
Die ist roh. Plus von den positiven Ladungen.
Plus roh minus von den negativen Ladungen.
Das ist da so einfach wie vorher.
Q0 durch LA
Plus minus Q0 durch LAS.0. Das sind sozusagen die negativen Multipositiven,
aber sie haben eine Stromdichte und diese Stromdichte ist roh plus mal die Geschwindigkeit,
mit der sich die Ladungen in diese Richtung bewegen.
Plus roh minus mal diese Geschwindigkeit und jetzt haben sie hier
dieses Minuszeichen hier und sich genau wegheben mit diesem Minuszeichen,
dann kriegen sie halt zwei V Q0 durch LA.
Ich sag mal so, die Standardsituation, sie haben Stromführenden Draht,
der aber von außen ungeladen erscheint und jetzt scheint haben sie sich genau dieses System an,
in einem bewegten Bezugssystem, in einem Bezirkssystem S,
was ich jetzt mit einer Geschwindigkeit U bewegen soll.
Oder U-Strich sollte ich damit, ich glaube das, nee,
ich nenne es U, ohne Strich, spielt keine Rolle hier.
Bewegt das System. So, wie sieht diese Geschichte im
bewegten System aus? Jetzt müssen wir aufpassen.
Was ist die Geschwindigkeit der positiven und negativen Ladung?
Das ist das Erste, was sie brauchen,
wenn sie den Strom sich überlegen wollen
V. Entweder der Positiven oder der negativen Ladungen oder wir krachten
einfach mal die Positiven hier. In dem bewegten System.
Naja, Sie sehen, das ist genau das Problem,
was wir bei der Geschwindigkeit, Addition das letzte Mal hatten.
Das System selbst bewegt sich mit U in dem System,
bewegt sich irgendwas mit der Geschwindigkeit V. Die Geschwindigkeit,
die Sie aus dem von dem Unbewegt, also von dem System als Strich ausmessen,
ist nicht die Summe dieser beiden Geschwindigkeiten, sondern sie müssen das Additionstheorium der Geschwindigkeiten verwenden.
Das müssen sie ja nur mit den Vorzeichen hier aufpassen. Sie wollen die Geschwindigkeit V,
die sie in dem System ess Strich messen,
in dem System als Strich bewegen,
sich die positiven Ladungen hier mit minus V. Das heißt,
die Geschwindigkeit, die sie messen, ist, u ist,
habe ich das gerade raus.
Eigentlich habe ich gesehen, als Strich messen ist.
Minus V Nee, jetzt bin ich, ah nee,
V plus minus U in dem Fall. Also die ursprüngliche Geschwindigkeit,
V plus minus U, plus U in dem, ah sorry.
V minus U, weil sie sozusagen die Geschwindigkeit abziehen müssen,
aber sie haben das Additionstheorium der Geschwindigkeiten, das heißt,
hier steht ebenfalls minus V U durch Zehpartat.
So, und wenn sie jetzt Ganze machen für die negativen Ladungen,
dann sehen sie hier, wo die Asymmetrie herkommt,
negativen Ladungen bewegen sich sozusagen die andere Geschwindigkeit.
Das heißt, hier würden sich die beiden Geschwindigkeitsbeträge aufaddieren,
aber dadurch, dass sie sozusagen diese,
dass die Formel nicht denn ja ist,
bewegen sich diese beiden Ladungen ins Dichten,
in den beiden Systemen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit.
Außerdem müssen sie sich auch noch anschauen,
wie sieht die Ladungsdichte aus in dem System.
Und dazu brauchen sie den Abstand der Ladungen. Ja,
also sozusagen die Länge Zwischen den positiven Ladungen ist nichts anderes als eins durch Gamma.
Plus, wobei Gamma plus der Geschwindigkeitsfaktor,
der Gamma-Faktor ist für die Geschwindigkeit, mit der sie sich bewegen.
Aber jetzt im Vergleich nicht zu dem ursprünglichen System,
sondern im Vergleich zu dem Ruhesystem, in dem sich die Ladung befinden.
An diese Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit im Vergleich zum Ruhesystem der Ladung,
das hier ist der Abstand. Im Ruhesystem der Ladung.
Ich schreibe mir noch mal ein kleines Plus hin.
Und das Gleiche gilt für die negativen Ladung. Dann sehen Sie,
dass aufgrund dieses unterschiedlichen Gamma-Faktors die beiden Ladungen auch unterschiedlich nahe zusammengerückt werden.
Und das ist auch genau der Grund, warum sie am Schluss
nachher sehen werden, dass das ganze Objekt geladen erscheint.
Gut, jetzt muss man hier ein bisschen überlegen,
was ist diese Länge hier, diese Abstände im Ruhesystem?
L0 ist jetzt
nichts anderes
Wir kennen L-0 nicht, wir kennen nur L, aber da können sie dasselbe Argument machen.
L, der Abstand, den sie in dem Ruhesystem des Drahts messen, ist nichts anderes als eins durch GAMA V, L-0. Gleiches Argument. Das heißt,
was sie hier sehen, wenn sie das hier einsetzen,
dann sehen sie, das ist GAMA V,
durch Gamma plus minus mal L. Also den Abstand,
den sie hier messen, können sie ausdrücken durch den Abstand,
den sie im Ruhesystem des Drahts messen und jetzt müssen sie nur noch ein bisschen rechnen,
dass er sozusagen, mache ich jeder nicht explizit vor,
sie können einfach nachrechnen,
dass zu sagen, dieser Faktor, Gamma plus minus,
den wir jetzt im Prinzip explizit ausgedrückt haben,
dass sie den schreiben können als eins minus plus V durch C-Quadrat und damit kriegen sie eine Ladungsdichte,
roh plus minus, ist in den gestrichenen Systemen,
ist plus minus Q0 durch elplus minus und Wenn Sie jetzt alles zusammensetzen,
dann gingen Sie ladungsdichte im gestrichenen System, ist Rohplus,
plus Rohminus.
Und habe ich das hier richtig gemacht?
Ja. Zeitlich gesehen, gut. Ich glaube,
das sollten Sie, das können Sie selber für sich ausrechnen.
Also das kriegt, dann kriegen Sie einfach minus Wetter, U.
Es macht keinen Sinn, wenn ich das jetzt hier
explizit für euch mal. JX. Wobei sich das JX
eben hier aus
Genau dem Ausdruck setzt. Also der Wesentliche,
und genauso können sie sozusagen zeigen,
dass wenn sie das ausrechnen als Lang V plus Strich Roplus,
plus V minus Strich Rominus, dann sollten sie eigentlich genau rausbekommen,
was das Gamma-O mal JX ist in dem Fall.
Also das können sie für sich nachrechnen. Und der Wesentliche,
der Clou an der Sache ist,
wenn sie das alles zusammensetzen, dann werden sie wiederum,
sollten sie wiederum sehen, dass die gleichen gilt.
Auch für den Fall dass, wie wir jetzt nachgerechnet haben,
die Ladungsdichte ursprünglich im einen System null war und die Stromdichte ungleich null.
Und nochmal, wie gesagt, der wesentliche Grund physikalisch anschaulich ist,
dass ich die nach links bewege, die nach rechts,
wenn sie in ein System gehen,
dann haben die anderen einfach eine stärkere Lorenzkontraktion als die anderen.
Ja, das ist der Clou an der Sache.
Das heißt, alles in allen, die Kombination C-Ro,
JX, J, Y und Jahr Z. Diese Kombination ist
ein Lorenz
4 Vektor
Was nichts anderes bedeutet, dass sie wissen, wie sie transformiert,
J-Mühbar im neuen System, ist Lamdamüh, Alpha, J-Alpha.
Es kann sein, dass im einen System das Ungeladen aussieht,
im anderen geladen, es kann sein,
dass im einen System Strom fließt, im anderen System keiner,
aber wie die beiden Sachen miteinander transformieren,
das wissen sie, das steht hier.
Wir hätten das auch wesentlich einfacher bekommen können.
Was war die wesentliche Annahme, die wir hier eigentlich haben
reinfließen lassen?
In die ganze Argumentation
Wir haben die Lorenz-Transformation verwendet. Und die wesentliche Annahme war,
dass wir gesagt haben, diese Ladung Q0, diese Elementarladung ist unabhängig von Beobachter.
Wir haben gesagt, das ist eine Substanzeigenschaft. Hängt nur
damit zusammen, wie viele von diesen Teilchen haben sie.
Das heißt, was wirklich in jedem Bezugssystem gelten muss,
das ist die Kontinuitätsgleichung, die Ladungserhaltung.
Und wenn sie sich in Volumen anschauen,
dann sagt die Kontinuitätsgleichung,
wie viel fließt raus und wie ändert sich die Anzahl der
Elektronen in den Volumen im Vergleich zu dem Fluss der Elektronen
durch das Volumen
Und diese Kontinuitätsgleichung, die muss in jedem Bezugssystem gelten.
Jetzt schauen wir uns das mal an. Kontinuitätsgleichung. Kennen Sie Dero nach DT,
plus BJX nach DX, plus DJ Y,
nach DY plus DJZ, nach DZ ist null.
Und das muss in jedem, soll in jedem, Das System gelten.
Okay. Und jetzt schreibe ich das einfach mal ein bisschen anders.
Schreibe ich das als. Je nachdem, CT,
Cero, plus D nach D X, J hat X,
plus und so weiter.
Und das ist nichts anderes als Demüt, J hat Müll.
Und was hatte ich Ihnen vorher gesagt? Ich hatte Ihnen
vorher gesagt, die Divergenz, die Viererdivergenz ist ein Skalar
Ja, wenn sie die Divergenz eines Vektorfeldes bilden, ist ein Skala.
Jetzt haben wir im Prinzip die Aussage umgedreht.
Ich habe ihnen gesagt, wenn ich ihnen nicht nachgewiesen hätte,
wie dieses Objekt hier sich verhält, bei Basistransformation, ja.
Ich habe gesagt, ja, wir basteln uns ein Objekt aus vier Zahlen zusammen.
Und wir wissen nicht, wie sich das transformiert, ja.
Aber dann sage ich Ihnen, dieses Objekt muss diese Gleichung
hier erfüllen, in jedem System. Das heißt,
diese Gleichung muss ein Skala sein. Wir wissen aber,
die Divergenz ist ein Skala, wenn da sein Vektorfeld ist,
sich selbst eben wie ein Vector transformiert.
Und die Aussage können sie jetzt umdrehen und sagen,
wenn das hier in jedem System in Skala sein,
gleich sein soll, dann muss sich dieses Objekt wie ein Vectorfeld transformieren.
Und genau das haben wir im Prinzip explizit hier nachrechnen,
weil wir haben im Prinzip nichts anderes gemacht, als die Kontinuitätsgleichung auszuwerten.
Und ich hätte ihn genauso gut einfach diese eine Gleichung hinschreiben können,
sagen, sehen Sie, das ist Kontinuitätsgleichung,
das ist ein Divergenz, Divergenz soll ein Skala sein,
damit die Divergenz ein Skala ist, muss ich dieses Objekt wie ein Vector transformieren.
Ja, und was wir das nächste Mal machen,
dann können wir, das weiß ich nicht, so
ob ich das, eigentlich wollte ich ein bisschen weiterkommen,
aber Macht nichts. Wir haben ja nächstes Mal relativ viel Zeit.
Das heißt, ich verschiebe jetzt die ganzen,
das nächste Mal schreibe ich in die Max-Begleiche,
ich schreibe sie ihnen jetzt schon mal hin.
Dann sehen Sie, wenn Sie das nächste Mal sehen,
dass sich das Vektorpotenzial wie ein Vierer-Vektor halten muss.
Und wenn Sie das wissen, dann wissen Sie zum Beispiel,
wie Sie das elektrische Feld einer Ladung bekommen,
wenn die Sie ihnen aus dem bewegten Bezugssystem anschauen.
Können dann sehr leicht ausrechnen, sich überlegen,
sind da Ladung haben, die fliegt hier vorbei,
Was ist das elektrische und magnetische Feld? Ein Problem,
was ziemlich schwierig ist, wenn sie es direkt aus den Max-Begleichungen bekommen wollen.
Und hier kriegen wir es direkt, wenn wir eins
einmal überlegt haben, wie sich das Potenzial transformieren muss.
Und dann müssen wir ja nur noch Ableitungen bilden. Okay,
also nächstes Mal, wie gesagt, werde ich, das wird ungefähr,
sagen wir mal so 20 Minuten brauchen oder vielleicht ein bisschen länger.
Und danach in der zweiten Hälfte der Vorlesung machen wir dann
ein bisschen Klausurvorbesprechung, Wiederholung. Schauen Sie mal ins Internet auch,
bis Beginn der nächsten Woche sollten eben so probe Übungsaufgaben für die Klausur vorhanden sein,
dass Sie sich die auch vorher schon mal anschauen können und gegebenenfalls Fragen stellen oder Wünsche richten,
was sozusagen noch mehr besprochen werden soll.
Und ansonsten dann einen guten Appetit oder je nachdem