So, letzte Veranstaltung mit neuem Inhalt. Normalfrau,
an ungefähr der Stelle haben wir letztes Mal aufgehört.
Also gestern. Wenn ihr das nochmal durchlest,
da steht, wie man diese bereinigte Predigsform erstellt.
Die Idee bei der bereinigten Predigsform war ja,
dass man vorne so eine Kette von Quantoren hat und dass
dann quasi der ganze Rest der Formel kommt,
wo dann eben keine Kontoren mehr drin sind.
Und auch keine Variablen, ach doch,
frei dürfen die noch auftreten,
aber die Variablen sind alle
so benannt
Dass es irgendwie keine Missverständnisse gibt. Also dass man nicht irgendwie zwei Quanturen-Variablen hat,
die gleich heißen und dass man auch keine freien Variablen hat,
die genauso heißen wie eine gebundene Variable.
Und wenn man alle Quanturen nach vorne haben will,
dann kann das auch gar nicht mehr sein.
Also ich kann nicht irgendwie alle Quanturen
vorne stehen haben und noch eine freie Variable haben,
die genauso heißt wie eine gebundene Variable, das wird irgendwie nicht funktionieren.
Und was macht man der Schritt für Schritt?
Man guckt sich irgendwie alle Quanturen, alle Konturen an,
die man hat, bestimmt den Skopus.
Dann weiß man irgendwie, wo das X gebunden ist,
wo das Y gebunden ist, guckt noch,
was man für freie Variablen hat.
Und dann benennt man eben unter Umständen
erstmal gebunden um
Sodass dann da irgendwie keine Missverständnis mehr sind. Und danach macht man Äquivalenz,
um Formungen und Süd währenddessen die Quanturen nach vorne.
Und das vor Ort man dort achten musste, ist,
wann die Quanturen flippen. Und entweder eben bei der Negation
oder wenn die vorne in der Implikation stehen.
Und dann hatten wir die Punkte alle abgearbeitet.
Die obersten drei, da hatten wir abgearbeitet. Und
die untersten zwei wollte ich jetzt nochmal mit euch machen.
Genau, wenn wir die Quanturen jetzt alle ganz vorne stehen,
Dann könnt ihr immer noch freie Variablen auftreten.
Also ich kann immer noch sowas haben wie für alle XP von XY
, dann tritt das Y da irgendwie frei auf.
Und dann wird mich nachher noch stören, dass ich überhaupt Existenzkonturen habe. Dann hatten wir,
weil wir halt gesagt haben,
ja für die ersten drei Sachen geht das,
für die ersten drei Sachen geht das gut, dass man Äquivalenzumformungen macht,
für die jetzt folgenden zwei Sachen geht das eben nicht mit Äquivalenzumformungen,
aber es geht eben mit diesem Begriff der Erfüllbarkeitsäquivalenz,
wo eben gesagt wurde, zwei Formen sind genau dann Erfüllbarkeitsäquivalent,
wenn die eben entweder beide erfüllbar sind oder eben beide unerfüllbar sind.
Und wenn sie beide erfüllbar sind,
müssen sie aber eben nicht mit der gleichen Struktur erfüllt werden
Jo. Dann haben wir den gestern schon gesehen,
wenn F eine Formel ist und X eine Variable,
dass dann eben F genau dann erfüllbar ist, wenn es existiert,
XF erfüllbar ist. Und die Idee ist halt,
dass wenn jetzt X in F frei auftritt,
dann kann ich einfach vor, dass F dieses, es existiert X schreiben,
dann ist das X nicht mehr frei in F und die beiden Formeln sind aber trotzdem Erfüllbarkeitsequalent.
Das ist die Idee bei dem Satz. Oder dafür nutzen
wir den gleich. Wenn man das beweisen will,
zeigt man jetzt,
wenn man ein Modell für F hat,
dass man dann auch irgendwie ein Modell fürs existiert,
XF haben kann und wenn man ein Modell fürs existiert XF hat,
dass man dann eben auch eins konstruieren kann,
was ein Modell für F ist
Erste Richtung, wenn A ein Modell für F ist,
dann weiß man diesen hinteren Teil hier,
also das A von F gleich 1 ist.
Naja, und A wird X irgendeinen Wert zuweisen,
also sofern X denn frei ist, sonst passiert da nichts,
aber der macht das auch nichts.
Und das ist dann eben gleichbedeutend mit dieser Struktur her, also die Struktur,
die hier links steht und die Struktur A, die sind komplett identisch.
Nur, dass hier eben explizit irgendwie steht,
was mit dem X gemacht wird. Und dann kann man eben sehen,
weil das hier genau so aussieht wie bei der semantischen Definition des Existenzquanturs,
dass das eben die Begründung dafür ist,
dass es dann irgendwie so ein Element des Universums gibt,
sodass dieses A von X nach D von F gleich 1 ist und dann kann man eben sagen,
A von
Es existiert XFS1. Und dann ist, also A,
was ein Modell für F ist, ist gleichzeitig auch eins für, es existiert XF.
Da kann man also sogar die gleiche Struktur nehmen,
aber andersrum kann man eben nicht die gleiche Struktur nehmen,
wenn man das nämlich andersrum Modell hat für die,
durch einen Existenzkontur gebundene XF-Geschichte.
Dann heißt das, es gibt so ein DNU mit A
von XD F gleich 1 und das bedeutet eben,
dass ihr vorne diese X-Struktur, dass die ein Modell für F ist.
Da hat man also auch ein Modell für F und also
muss F auch erfüllbar sein.
Also beide Formeln erfüllbar oder eben beide Formeln unerfüllbar
Ja, und wie gesagt, die Idee dabei ist,
dass ich jetzt zu jeder Formel so eine geschlossene Formel finden kann.
Ich gucke mir eben an,
was sind die freien Variablen in F,
wenn das jetzt CX1 bis 6N sind,
dann schreibe ich mir einfach für das F so eine Kette von Existenzkonturen
ganz nach vorne und dann habe ich alle freien Variablen gebunden.
Und dann habe ich eine beschlossene Formel, ist erfüllbarkeitsequivalent, fertig.
Und dann haben wir keinen störenden freien Variablen mehr.
Haben uns aber eben irgendwie neue Existenzkonturen eingeführt,
aber da kann man gleich mal gucken,
was man damit macht
Joa. Und ungefähr da haben wir gestern aufgehört,
nochmal um das zu betonen,
man soll diese Existenzkonturen ganz nach vorne schreiben,
wenn ich diese Formel F habe,
jetzt gucke ich da drauf, jetzt sage ich irgendwie,
oh, das ist ja schon alles ganz schön,
weil die Quanturen stehen ganz vorne, aber was mich noch stört,
ist, dass das Y frei auftritt,
also will ich das mit dem Existenzkontur binden und dann gehört der Existenzkonto eben hier ganz nach vorne.
Die Aussage in dem Satz war ja, F ist erfüllbar genau dann,
wenn es existiert XF erfüllbar ist, also es existiert Y in diesem Fall ganz nach vorne.
Und im Allgemeinen, man kann das eben nicht einfach irgendwo hinschreiben, wo man das gerade haben möchte, sondern soll das eben ganz nach vorne schreiben. Und um ein Beispiel zu haben,
wo das auch schön falsch läuft, wenn man das jetzt hier irgendwie,
hier stellt man jetzt fest, hier hinten,
das X ist frei und das möchte man jetzt gerne binden und wenn man jetzt irgendwie denkt,
ach naja, wenn ich das Ganze nach vorne schreibe,
finde ich das irgendwie doof,
ich schreibe das mal hierhin, schön dicht dran,
also statt es möglichst weit nach vorne zu schreiben,
schreibt man es jetzt möglichst dicht an die Teilformel,
wo das X frei auftritt, dann hat man eben das Problem,
dass diese Form jetzt Äquivalent zu der hier ist,
einfach mit diesem Flippen des Quanturs und die untere Formel ist nicht mal mehr erfüllbar,
während die obere eben erfüllbar ist,
also unten sagen wir,
es geht irgendwie ein X mit P von X und gleichzeitig wollen wir das für alle X nicht P von X gilt,
also das können wir irgendwie nicht beides erfüllen,
das wird nicht klappen
Und das hier oben kriegt man sehr schön hin,
weil man eben hier das eine X mit dem Existenzkonto gebunden hat.
Und da ist es frei. Da kann man also irgendwie
eine beliebige Interpretation für machen. Und wenn man jetzt irgendwie als Universum
eins und zwei hat und sagt, ein E-Ford PS1 drin,
dann kann man X mit zwei auswerten und dann kriegt man das hin.
Dann ist einmal nicht P von zwei war und es existiert XP von X,
deswegen P von eins war und dann geht das.
So geht es also nicht und so kann man es
halt machen. Man möchte, hier kann man irgendwie erstmal
das X noch in den Y umbenennen, gebundene Umbenennung.
Auch da nochmal, um es zu betonen,
man darf die Gebundenen umbenennen, nicht die Freien.
Dann zieht man es einmal nach vorne und dann
tut man eben vor die ganze Formel,
dass es existiert
Jo. Das ist Existenz, das ist Freivariable und durch Existenzquanturen binden.
Eigentlich relativ einfach. Genau. Hatte ich gestern schon einmal
kurz erzählt. Allquanturen sind irgendwie netter als Existenzkonturen,
wenn man jetzt irgendwie daran denkt,
man hat nachher irgendwie eine Formel,
wo vorne nur noch Allquanturen stehen und dann hat man
irgendwie eine Matrix in konjunktiver Normalform
Und wenn man sich jetzt schon irgendwie vorstellt,
dass man vielleicht nachher irgendwie zu so einem Resolutionsverfahren kommen möchte,
dann hat man nachher die einzelnen atomaren Vor- oder die
einzelnen Literale irgendwie in diesem, in diesem Resolutionsverfahren drin.
Wenn die alle durch Alllquanturen gebunden sind, dann heißt das,
ich darf die Variablen durch was völlig Beliebiges ersetzen,
um irgendwie zum Widerspruch zu kommen.
Also wenn ich dann einmal das Literal P von X
habe und einmal das Literal nicht P von Y,
dann kann ich halt das X durch den A setzen und
das Y durch den A und kann Widerspruch erzeugen.
Da habe ich P von A und nicht P von A
, kann ich Widerspruch erzeugen.
Und wenn die aber nicht durch ein Alllquantur gebunden wären,
das X und das Y, dann dürfte ich eben nicht erwarten,
dass ich da was völlig Beliebiges einsetzen darf.
Der Alllquantur sagt ja, es sollte egal sein,
was ich da einsetzen muss, immer eine wahre Formel rauskommen.
Das heißt, wenn ich dann durch ein Einsätzen irgendwie
einen Widerspruch habe,
bin ich fertig
Deswegen kann man halt schöner mit Altquanturen arbeiten als mit Existenzquanturen
, wenn man an so einem Widerlegungsverfahren denkt.
Lange Rede, kurzer Sinn, die Existenzquanturen stören uns noch.
Und jetzt kann man das folgende zeigen, auch wieder erfüllbarkeitsäquivalent.
Wenn ich eine Formel habe, eine Variable und eine Konstante,
die es noch nicht gibt,
und ich betrachte jetzt diese Formel, es existiert XF,
dann ist die Äquivalent zu der Formel F und eben X durch A setzen.
Also ich nehme die Formel F,
ersetze jedes freie Auftreten von X durch A und die
dann entstehende Formel ist eben äquivalent zu dieser Formel
Idee dabei ist, wenn ich, es existiert XF erfüllen kann.
Dann gibt es ja irgendein Element des Universums, das ich
für die gebundenen Xse einsetzen kann, sodass die Formel wahr wird.
Und genau mit diesem Element des Universums interpretiere ich halt A.
Und dann ist die linke Formel auch wahr. Wenn ich
die linke Formel wahrmachen kann, ist die die gleiche formal ausgeführt.
Wenn ich ein Modell dafür habe, dann brauchen wir wieder
dieses Überführungslammer. Aber die Idee ist halt,
wenn A diese Formel wahrmacht, dann macht die Struktur,
die überall genau das Gleiche tut, VR, nur eben,
das X wird durch A von A interpretiert.
Die wertet F zu 1 aus, hier fehlt das F an der Stelle.
Also A von X nach A und dann Klammer auf F, Klammer zu.
Und das sagt das über Führungslämmer. Und dann hat man eben hier wieder dieses,
ja, diesen Fall, der für den Existenzquantur da ist,
dass man sagt, die X-Struktur von A bildet F auf 1 ab,
dann kann ich eben sagen,
es existiert irgendwie so ein Wert des Universums,
das sie für X einsetzen kann und dann das A von es existiert XF gleich Eis.
Und dann bin ich damit schon fertig
Jetzt hoffe ich mal, dass ich bei der Rückrichtung keinen Fehler gemacht habe.
Sei umgekehrt B-Modell von SexTTTXF, dann wissen wir,
es gibt so ein Universumselement mit der Eigenschaft,
das dann in die X-Struktur F zu 1 auswertet.
Und jetzt definiere ich mir eine neue Struktur, die eben
diese Formel FXA wahrmachen soll und die definiere ich mir wie folgt.
Die macht alles genauso wie B, bis auf den Wert
von A, der wird eben durch die interpretiert.
Und das war das, was ich eben versucht habe, intuitiv klarzumachen.
Ja, und weil jetzt ANF halt nicht vorkommt,
sind die drei Strukturen hier,
die tun alle
genau das Gleiche
Ja, die tun ja alle das Gleiche,
weil die sich nur darin unterstellen,
also A und B unterscheiden sich ja nur darin,
was sie mit A machen, also mit dem kleinen A.
Und wenn das in F nicht auftritt, tun all die Strukturen das Gleiche.
Und A von A, hier ist ja D,
also steht da auch überall das Gleiche.
Und dann kann man aber auf den letzten Fall hier das Überführungslämmer anwenden,
das war das, was da oben falsch stand,
und dann ist wieder, gilt wieder diese Gleichheit,
also ist A auch ein Modell für FXA.
Hier sieht man nochmal, wie das Überführungslämmer richtig ist.
Dieses Klammer-F fehlt da oben. In der zweiten Seite. Also nochmal,
die müssen Erfüllbarkeit äquivalent sein, weil ich halt,
wenn ich das, es existiert XF wahr machen kann,
dann gibt es irgendein Element des Universums,
das ich für X einsetzen kann und genau damit interpretiere ich halt A.
Und dann habe ich auch eine Struktur, die die linke Formel wahrmacht.
Und wenn ich die linke Formel wahrmachen kann,
gibt es eben irgendeine Struktur,
die irgendwas mit A macht,
um die Formel wahrzumachen und genauso interpretiere ich dann hier eben
das X in der X-Struktur
Und dann geht das. Und so kriegt man eben hier
vorne den vordersten Existenzquantur weg. Wenn er jetzt wieder
ein Existenzquanto kommt, kriege ich den so auch weg.
Und wenn wieder ein Existenzquanto kommt, kriege ich den so auch weg.
Problem habe ich jetzt noch in dem Fall,
wenn jetzt ein Allquantur kommt und dann ein Existenzquantur.
Die Regel hier, die sagt nur, wenn ganz vorne
der Existenzquantur steht, dann darf ich das machen.
Die sagt eben nichts darüber, was ich machen darf,
wenn ich sowas habe wie für alle X existierten YF.
Also ob ich das dann auch ersetzen darf.
Und da ist die Idee eigentlich auch relativ einfach,
wenn ich habe für alle Y existierten F für alle Y existierten X,
dann ist die Idee ja,
dass das X irgendwie von dem Y abhängen kann
Für alle Y existierten X, wenn Y 3 ist,
hat das X vielleicht eine bestimmte Form, wenn Y 4 ist,
hat das X eine andere Form und so weiter.
Und das kann ich durch eine Funktion ausdrücken. Dann kann
ich das X nicht wie hier durch eine Konstante ersetzen,
sondern ich durchsetze es durch eine Funktion von Y.
Da ist nochmal, dass ich es ihm gesagt habe,
der Existenzkarte muss ganz vorne stehen.
Und dann kann man das durch die sogenannte Skulemisierung verallgemeinern.
Wenn ich jetzt so eine Formel habe,
wo ich vorne erstmal eine bestimmte Anzahl von Allquanturen habe und dann erst kommt der Existenzquantur,
da zähle ich hier vorne,
wie viele Altquanturen da stehen,
da stehen jetzt K viele
Und dann führe ich mir ein neues,
carstelliges Funktionssymbol ein und ersetze jetzt eben dieses Z hier,
da steht es auch, als setze ich das Z durch Funktionen von Y1 bis YK.
Und die sind dann wieder erfüllbarkeitsäquivalent. Auch wieder von der Idee eigentlich so eben wie,
so ähnlich wie wir das eben bei der Konstanten gemacht haben,
nur dass man jetzt eben sagt, naja,
das Z wird nicht einfach nur durch eine Konstante ersetzt,
sondern immer durch irgendeinen Wert, der aber abhängen kann von den vorherigen allquantifizierten Variablen.
Ja, also wenn ich irgendwie die Größe größere Funktionen habt und ihr wollt jetzt irgendwie sagen,
für alle X existierten Y, sodass irgendwie Y größer ist als X,
wenn nehmt ihr jetzt als Funktionen bei den natürlichen Zahlen von mir aus irgendwie das zu X-1 dazu addiert wird oder so.
Dann kriegt ihr ja zu jedem X ein anderes Y. Ja.
Dann noch ein paar Begriffe, dass hier dieses F da,
das nennt man dann Skolem-Funktionen, im Falle von K gleich 0,
das, was wir eben hatten mit der Konstanten,
also dann hat man hier vorne gar keine Altquanturen,
nennt man das halt eine School im Konstante.
Das ist quasi einfach nur eine Spezialfall,
weil nullstellige Funktionssymbole sind eben Konstanten oder kann man
so sehen
Genau, dann nennt man die Bildung von F-School in Misierung
und diese entstehende Formel hier,
die nennt man dann eine School in Form.
Die ist dann in BPF, die ist geschlossen,
sie hat keine Existenzkonto in mir.
Das ist das, wo wir hinwollten. Und wenn wir jetzt
halt zusätzlich die Matrix schon mal in konjunktive Normalform noch bringt,
dann nennt man das die Klausel-Normalform.
Und mit der kann man nachher in der Resolution arbeiten.
Wir machen das mal ohne die Clicker. Ich habe die
noch gar nicht angeschlossen. Was ist denn da richtig?
Das Verfahren so stupide anwendet, genauso wie es da stand.
Dann kommt halt eine von diesen fünf Formeln raus
Wer ist für die erste? Ja, die erste ist auch doof,
da stehen ja immer noch Existenzquanturen, das wollen wir nicht.
Wäre es für die zweite? Ein zweiter ist auch doof.
Wer ist für die dritte? Dritte ist schon spannender.
Wer ist für die vierte? Wow. Vierte sieht gut
aus, wer ist für die fünfte
Fünfte könnte man auch meinen, wenn man irgendwie links und
rechts durcheinander kriegt oder so. Richtig ist die vierte.
Ich fange an hier. Als erstes habe ich eine Formel,
wo ganz vorne ein Existenzkonto steht und alles,
was dann kommt, ignoriere ich mal.
Ich gucke mir nur an, was links davor entsteht.
Links davon stehen keine Allquanturen. Also darf ich in
der Formel jedes X einfach durch eine neue Konstante ersetzen.
A, hatte ich bisher noch nicht.
Also schreibe ich mir überall, wo ich steht in allen.
Dann habe ich nur noch die Formel, ist existiert,
Y für alle Z existiert U mit P von A,
Y, Z U.
Dann steht wieder das Y ganz vorne. Also setze ich überall,
wo ein Y steht, das durch eine neue Konstante.
Also jetzt A, habe ich schon benutzt,
darf ich die nochmal benutzen,
nehme ich
Dann kommt ein Altquantur mit Altquanturen, machen wir nichts,
weil die mögen wir, die sind okay. Und dann kommt wieder ein Existenzquantur,
das U und jetzt guckt man eben links von dem U,
nur links von dem U, wie viele Altquanturen stehen da,
da steht halt nur einer.
Was ist da dran gebunden? Ein Z,
also führt man ein einstelliges Funktionssymbol ein, Neues,
dessen einziges Argument eben diese durch ein Altquantur gebundene Variable ist.
Also das Z. Dann kommt hier die vierte Formel raus. Man hat noch den Altquantur,
das X wurde durch eine Konstante ersetzt,
das Y wurde durch eine Konstant ersetzt,
die Altquantifizierte Variable haben wir stehen lassen und die Variable,
die eben durch ein Existenzkonto gebunden war,
aber derart,
dass links davon Altquanturen stehen,
die ersetzen wir eben durch dieses F von
Nö, dann hat man die.
Und noch eine.
Ausschließendes Verfahren. Man fängt an,
also man arbeitet sich wieder von links nach rechts durch.
Am Anfang kommt, es existiert X. Das heißt,
die X-Variable ganz vorne über diesem P von X,
Die muss ich durch eine Konstante ersetzen.
Links, von dem es existiert,
X ist ja noch keine All, ist noch kein Altquantor.
Also ersetzt sich das irgendwie durch eine neue Konstante,
dann fliegen schon mal die ersten beiden Möglichkeiten raus, weil dadurch,
dass X irgendwie durch was mit Funktionen ersetzt und so,
das kann nicht sein, die fliegen schon mal raus.
Gehen also nur noch irgendwie drittens, viertens oder fünftens.
Ja, dann machen die alle drei richtig weiter,
weil den Allquantor hier mit dem Y,
den fasse ich nicht an, also da passiert nichts.
Der bleibt da stehen. Es kommt als nächstes
das Z. Z ist durch eine Existenzkontur gebunden hier.
Links davon steht ein Allquantor und es steht ein Y dran.
Also muss ich das ersetzen durch eine neue Funktion,
die nur Y als Argument hat
Da fliegt also schon der fünfte Fall hier raus,
weil da das F2-Argumente. Ich nehme nicht alles,
was ich jetzt hier links stehen habe als Argumente, sondern eben nur das,
was ich hier am Alllquanto irgendwie links stehen habe.
Also muss das bisher sein, A, Y und dann F von Y.
Und als nächstes habe ich als Alllquantur U, das heißt,
das U muss stehen bleiben, hier bleibt es nicht stehen,
da passiert irgendwie was mit den durch Alllquanturen gebundenen Variablen.
Soll damit nichts passieren, muss es die dritte,
eigentlich muss es die dritte sein,
jetzt kann man noch prüfen, ob die vielleicht falsch ist,
aber hier kommt noch,
es existiert V,
Links davon stehen zwei Altquanturen
Ähm, an die sind die Variablen Y und U gebunden,
also führe ich mir eine neue Funktion ein, die soll zweistellig sein und soll als Argumente eben Y und U haben.
Also die dritte ist richtig. Und jetzt mal davon abgesehen,
dass das hier drin irgendwie kompliziert aussieht,
also in der Argumenteliste von P,
wenn man davon mal abstrahiert und einfach nur sagt, naja,
das sind ja quasi die atomaren Formeln in der Prädikatenlogik,
also das, was in der Aussagelogik irgendwie A,
B, C ist, kann man sich schon vorstellen,
dass die Formel jetzt irgendwie viel schöner aussehen,
als wenn das irgendwie völlig beliebig ist
Vorne stehen die Quantoren und danach kommt eben irgendwie solche atomaren Formeln,
die genauso verknüpft sind wie in der Aussagenlogik,
also mit uns Implikationen, Negationen und sowas.
Dann bringt man das noch in KNF und fertig. Genau. Genau,
da noch einmal zusammengefasst, was man bei der Skullimisierung machen soll,
wie man fängt mit einer BPS an,
dann geht man eben die Existenzquanturen von links nach rechts durch,
also bei der BPF stehen ja schon die ganzen Quantoren ganz vorne.
Jetzt wandere ich die von links nach rechts durch und wenn ich dann einen finde,
dann wird X eben ersetzt durch so ein neues Funktionssymbol.
Wichtig, dass es neu ist,
das darf bisher noch nicht auftreten und als Argumente kriegt dieses
neue Funktionssymbol all die Variablen,
die Links von diesem,
es existiert X
durch Allquanturen gebunden sind
Und wenn ich den Spezialfall habe, dass ich links davon
gar nichts habe, also gar keine Altquanturen habe,
dann ist es eben ein nullstelliges Funktionssymbol, also eine Konstante.
Dann ersetze ich das durch eine Konstante.
Und den Existenzkonto streiche ich dann natürlich. Genau. Ja
, da nochmal ein Beispiel. Ist das das von eben
... Nee, das ist nochmal ein anderes Beispiel,
Und da ist auch nochmal dieser Fall mit dem nullstelligen Funktionssymbol,
also links, von dem es existiert, X ist noch nichts,
also setzt sich das durch ein A und links von dem,
es existiert U und existiert V sind jeweils zwei Allquanturen,
also setze ich die eben durch Funktionen.
Und das Wichtige eben, das U wird durch F von YZ ersetzt,
wenn ich jetzt das V ersetzen würde, muss ich mir wieder ein neues Funktionssymbol nehmen,
also nehme ich mir irgendwie G oder so.
Und was man auch oft sieht ist,
weil das halt School im Misierung heißt,
dass man dann eben irgendwie als Funktionssymbole immer sowas nimmt,
wie S1, S2, S3, S4 und so,
dann findet man die,
dann weiß man ganz schnell,
welche Manuskulammisierung eingeführt hat und welche vielleicht vorher schon da waren,
wenn man das für irgendwas brauchen sollte
Ja. Und jetzt kann man,
wenn man das quasi nochmal alles zusammengefasst jetzt,
wenn man all die Schritte, die wir gestern hatten und all die Schritte,
die wir jetzt eben hatten mit schoolem Misierungen und so,
wenn man jetzt einfach irgendeine Formel kriegt,
irgend so ein F aus der Prädikatenlogik und man möchte jetzt eine Klausel-Normalform machen,
also das, wo die Quanturen ganz vorne stehen und keine Existenzkonturen auftreten,
dann macht man die folgenden Umformungsschritte,
man benennt die gebundenen Variablen um mit dem Ziel,
dass eine Formel entsteht, die bereinigt ist, sprich keine zwei,
keine zwei durch Quanturen gebundenen Variablen sind gleich benannt,
also nicht, dass da irgendwo ein,
es existiert x rum flattert und nochmal irgendwo anders und existiert x oder so,
sondern die sollen dann unterschiedlich heißen.
Und die Freien heißen auch anders als die Gebundenen.
Und wichtig dabei eben, ihr könnt nur die gebundenen Variablen umbenennen.
Dann kriegt ihr eine Formel raus, die ist äquivalent und die ist bereinigt.
Nächster Schritt, ihr bindet alle freien Variablen durch Existenzkonturen,
Existenzkonturen nach vorne schreiben, dann kriegt ihr eine Formel raus,
die ist weiterhin bereinigt und zusätzlich noch geschlossen,
also keine freien Variablen.
Da gilt aber nur noch, dass die jetzt Erfüllbarkeitsäquivalent ist.
Reihenfolge ist also ein bisschen anders,
als wir das eben Schritt für Schritt gemacht haben,
aber Jetzt kann man die Predigsform erstellen.
Also alle Quanturen nach vorne ziehen. Ein bisschen aufpassen,
wann man flippt. Und dann kommt eine Formel raus,
die zu F2 äquivalent ist. Die ist nicht mehr zu der ursprünglichen Formel F-Äquivalent,
aber zu der ursprünglichen Formel ist sie halt der Füllbarkeitsäquivalent, ne?
School amüsieren, um die ganzen Existenzquanturen rauszukriegen.
Und als letztes die Matrix, also das ohne die Quanturen,
der hintere Teil, die noch in konjunktive Normalform bringen.
Und dann hat man eine Formel F5 rausgekriegt, die ein Klausel in Normalform ist.
Und die ist eben zur ursprünglichen Erfüllbarkeitsäquivalent. Und das Wichtige ist dann halt,
wenn wir jetzt ein Wiederlegungsverfahren wie Resolution hat,
Wenn ich da jetzt F5 reintue und komme dann irgendwie zu dieser Box,
die mir dann sagt, F5 ist unerfüllbar,
der muss die ursprüngliche Formel auch unerfüllbar sein.
Weil Erfüllbarkeitsäquivalenz eben sagt, wenn einer davon erfüllbar ist,
muss die andere auch erfüllbar sein.
Sprich, wenn die unerfüllbar ist, die F5,
dann ist F auch unerfüllbar. Fragen dazu. Und korrekter,
also Beweis, du hast jetzt gerade die Abfolge der Schritte,
aber wir haben bei jedem Schritt ja irgendwie argumentiert,
dass das irgendwie Erfüllbarkeitsäquivalent oder äquivalent sein muss.
Und dann folgt eben das F5 und Erfüllbarkeitsäquivalent,
folgt dann aus den ebenbehandelten ganzen Teilsätzen und Lämmerta.
Dürft ihr ab heute dann in den Übungsaufgaben einmal in den Präsenzteil machen?
Da hast du eine so eine Aufgabe, wo man das mal machen soll.
Für die Klausur kann man vielleicht schon mal so vorweg sagen,
für die Klausur bietet sich das nicht an,
das so zu machen, sondern irgendwie so Teilschritten.
Also irgendwie gegeben, irgendeine Formel school emissieren sie mal oder gegeben,
irgendeine andere Formel, keine Ahnung,
mal bereinigen sie die oder irgendwie sowas,
weil ansonsten macht man die ganze Zeit Folgefehler und das nervt.
Also eher so die einzelnen Schritte dann
Aber in den Präsenzaufgaben, weil man da halt eben irgendwie Zeit hat,
da soll man das dann mal in einer Formel praktizieren,
damit man mal sieht, wie das irgendwie,
wie das ganze Verfahren durchwandert.
Gut. Da noch die Tipps, worauf man jetzt halt achten soll,
was ich eben so reingemischt habe, bei der gebundenen Umbenennung.
Deswegen heißt die so, nur die gebundenen Variablen umbenennt nicht
die Freien. Bei der Bindung der Freien Variablen,
die Existenzkonturen ganz nach vorne schreiben, nicht irgendwo hin,
wo man die gerade praktisch findet, sondern ganz nach vorne.
Und wenn man die Preniksform erstellt,
die Quanturen zwar nach vorne ziehen, aber eben nicht beliebig,
weil man insbesondere eben diese Regel hier hat,
oder was heißt regelt,
diese Nicht-Äquivalenz,
dass man nicht einfach
unterschiedliche Quanturen drehen darf
Und dann kann man eigentlich nicht so viel falsch machen, so.
Muss man ein paar Mal üben, aber wenn einem das
irgendwie klar ist, dann kann eigentlich nicht so viel passieren.
Ja. Und genau, das war die Zusammenfassung,
oder ist, das haben wir alles gemacht.
Den oberen Teil bei 1 gestern, den unteren Teil bei 2 heute.
Ich hatte gestern die Folie nur bis dahin online gestellt,
bis zu dem Punkt, zu dem wir gestern gekommen waren.
Ich mache das gleich so, dass ich das dann überschreibe.
Also wer jetzt schon den 11. gedruckt hat, sorry,
aber das kommt dann da drauf,
dass er jetzt nicht irgendwie dann die Hälfte vergesst oder so
Gut, das ist Elfen. Wenn ihr
keine Fragen mehr habt, kommt der letzte Foliensatz.
Fragen? Prikaten logische Resolution. Da sieht man da oben
schon, das ist so ein bisschen dicker.
Unentscheidbarkeit, Herbrand Theorie, Resolution. Da dauert auch
ein bisschen, bis man bei der Resolution ist
Das, was ich jetzt noch machen möchte, ist,
dass wir noch mal so Vogelperspektiv-artig durch diese Themen-Unentscheidbarkeit, Herbrenn-Theorie und Resolution gehen.
Das sind halt drei Kapitel aus diesem Buch von Schöning.
Da drunter steht es auch schon, wir werden halt relativ
viel jetzt nur die Aussagen behandeln und nicht die Beweise.
Ich möchte nur, dass ihr das einmal quasi aus der Vogelperspektive seht,
wie die einzelnen Themen jetzt zusammenhängen und was diese Problematik bei
der Prädikatenlogik ist und wie man dann trotzdem irgendwie zu so einem Resolutionsverfahren kommen soll.
Und was ihr halt mitnehmen sollt,
insbesondere ist einmal die Aussage, die gleich kommt,
dass Prädikatenlogik unentscheidbar ist und was das bedeutet
Und dann bei dem hinteren Teil eben dieses mit der Resolution,
dass man,
da gibt es einmal den Unifikationsalgorithmus und einmal die Prädikaten logische Resolution,
dass man so ein bisschen die Verfahren mitnimmt und zumindest in den Präsenzaufgaben sollte,
dass er dann auch einmal nochmal üben und das andere so mit herberen Theorie und so,
das soll dann nur hinführen,
dass man das mal gesehen hat,
dass man da schon mal irgendwie kennt und vielleicht kommt das dann so in FG3 im Masterstudium nochmal ein bisschen genauer.
Genau. Gut, und wer es halt lesen möchte,
man steht halt in dem Buch ja von Schöning drin und ist auch
ziemlich gut geschrieben und gut aufgeteilt und ich orientiere mich da jetzt sehr,
sehr doll dran.
Also wenn man nachher in dem Buch das nachliest,
dann findet man das alles wieder,
was ich gleich erzähle
Unentscheidbarkeit oder um da hinzukommen. Erstmal kann man sich überlegen,
wir hatten ja schon mehrmals gesagt, so naja,
in der Aussagen-Louise kann man diese Wahrheitstafeln irgendwie machen und in
der Predikat-Null gibt es unendlich viele Strukturen.
Ich kann die Struktur nehmen, bei der das Universum eins ist,
die über der das Universum 1 und 2 ist,
die bei der das Universum 1, 2,
3 ist und so weiter.
Dann kriege ich schon unendlich viele Strukturen. Tatsächlich ist es so,
es gibt sogar Formeln, bei denen ich nicht mal mit einer endlichen Struktur auskomme.
Da kann man jetzt sagen, dass es sogar noch schlimmer,
weil ich dann nicht mal mehr die Struktur aufschreiben kann oder zumindest nicht irgendwie ohne zu sagen,
dass sie die natürlichen Zahlen sind oder irgendwie sowas.
Wenn ich die Formel habe, Also ein bisschen komplizierter ist,
das ist aber gar nicht so wild hier.
Hier wird gesagt, irgendwie für alle XOP von X und FP
von, Quatsch, P von XF von X gelten.
Also irgendwie so ein zweistelliges Predikatensymbol habe ich und gesagt wird eben,
für jedes X muss eben irgendwie dieses Tupel XF von X irgendwie ein P drin sein.
Dann wird gesagt, hier die, ich nenne es jetzt mal
reflexiven Tupel, die sollen da weile nicht drin sein.
Und wenn ich UVW habe hier, dann soll,
wenn UV drin ist und VW drin ist,
dann soll auch UW drin sein.
Also von der Idee eines Grafen so, irgendwie die Schleifen
sollen alle nicht drin sein, aber der soll transitiv sein.
Wenn ich UV habe und VW als Kanten und so,
habe ich auch Uwe als Kante
Und ein Modell dafür, relativ schnell zu sehen ist,
wenn man jetzt irgendwie die natürlichen Zahlen nimmt.
Für F nimmt man die Nachfolgefunktion und für das P
nimmt man einfach die größere Relation.
Dann habe ich, wenn ich irgendeine natürliche Zahl nehme,
fünf oder so, dann steht hier fünf, sechs.
Das ist gut, weil fünf irgendwie kleiner ist als sechs.
Also der Nachfolger ist ja immer größer als der Vorgänger.
Die Pärchen 3, 3, 4,
4 und so, die sind ja alle nicht drin.
Die sind ja gleich und nicht irgendwie größer. Naja,
und wenn V größer ist als U und W,
größer ist als V, dann ist wie eben auch größer als U. Was klappt?
Also habe ich eine Struktur, die die Formel wahrmacht.
Aber sieht man hier schon,
dieses Universum ist irgendwie unendlich groß
Und jetzt kann man sich überlegen,
dass das tatsächlich gar kein endliches Modell haben kann.
Idee mal kurz als Skizze, wenn das endlich wäre,
jetzt habe ich endlich viele Elemente in U,
jetzt nehme ich mir einfach irgendeins, das nenne ich M,
nehme mal, hängt als raus.
Und dann gucke ich mir an, was macht F von M,
was macht F von F von M,
was macht F von F von M und so weiter.
Also ich fange an mit meinem Element M,
hier mal genannt M0. Und dann ist M1 eben F von
M0 und M2 ist F von M1 und so weiter.
Wenn ich so eine Folge habe und ich habe nur endlich
viele Elemente in U, muss das,
irgendwas muss ich wiederholen.
Also irgend so ein Element MX tritt von mir
aus das erste Mal
zweimal auf
Naja, und wenn das zweimal da ist,
dann folgt aus dem ersten Konjunkt hier und dem dritten Konjunkt.
Aus dem ersten und dem dritten da. Das MX-MX in EP sein muss.
Wir kommen ja von MX in dieser Folge irgendwie zu MX,
weil all die, all die,
wenn ich jeweils zwei aufeinanderfolgende Elemente hier nehme,
dann sagt mir das erste Konjunkt,
dass die immer in P sein müssen.
Und das dritte hier sagt mir, wenn ich halt diese Kette habe,
dann muss ich irgendwie von ihm im MX zu MX kommen.
Also muss ich auch das Topel MX MX MP drin haben.
Und das widerspricht aber dem hier,
dass ich solche Tubelder nicht
drin haben will
Na, also kannst kein endliches Elementmodell geben.
Eben habe ich gesehen, es gibt ein unendliches Modell.
Habe ich also eine Formel, die keine endliche,
keine endliche Struktur hat, die sie erfüllt.
Da das Ergebnis. Genau. So, das kann man
so zur Kenntnis nehmen. Das ist schon mal,
auch das ist schon mal nicht schön,
weil wenn es wenigstens nur endliche Strukturen gäbe,
dann könnte ich vielleicht sowas machen wie alle endlichen Strukturen aufzählen und dann für jede mal testen.
Dann habe ich zumindest ein Semienscheidungsverfahren, also so ein Entscheidungsverfahren,
was mir irgendwann ein Jahr ausgibt,
wenn dann die Antwort ja ist und sonst vielleicht immer weiter rechnet
Und hier, jetzt kann ich irgendwie so ein unnötig-frust-Universum,
das kann ich nicht mal mehr aufschreiben, so, nervt schon.
Lage ist aber noch schlimmer als das. Jetzt kommt eben diese Unentscheidbarkeit,
dieser Satz von Church, Gültigkeits, das Gültigkeitsproblem der Prädikatenlogik,
also gegebene Formel, ist das eine Tautologie, ja oder nein?
Das Problem ist unentscheidbar. Deswegen sagt man auch,
dass die Prädikatenlogik unentscheidbar ist. Gemeint ist dann immer,
dass das Erfüllbarkeitsproblem unentscheidbar ist, sehen wir gleich noch,
dass wir das Gültigkeitsproblem ohne Scheidbar,
ist das dann auch das Erfüllbarkeitsproblem unentscheidbar ist.
Aber das ist so historisch das,
was Church zuerst gezeigt hatte in den 30ern,
glaube ich
Und Unentscheidbarkeit kennen wir ja schon aus dem Automatenteil.
Wir müssten jetzt also irgendwie zeigen, dass es keine Touring-Maschine gibt,
die irgendwie diese Frage irgendwie lösen kann.
Und das machen wir dann, indem wir irgendwie ein Problem,
von dem wir schon wissen, dass es unentscheidbar ist, darauf reduzieren.
Also angenommen, dieses Problem wäre entscheidbar, dann dö-dö-dö-dö-dö-dö-dö.
Und ich kann das Halteproblem entscheiden oder irgendwie sowas.
Und weil Church und Touring das erstmal eine Weile so ein bisschen jemanden dahergemacht haben,
hat der ein anderes Problem genommen, nämlich dieses sogenannte Push-Korrespondenz-Problem.
Nur, dass ihr das mal seht,
da kriegt man halt irgendwie so eine endliche Folge von Tupeln,
die aus Wörtern bestehen.
Also ich habe so ein Tupel X1, Y1,
beides sind Wörter. Da habe ich ein Tupel X,
2 Y2,
beides sind Wörter und so weiter
Und da ist halt die Frage,
kann ich jetzt aus dieser gegebenen Folge von Tupeln, so Tupel rauswählen,
sodass wenn ich die ersten Elemente aneinanderreihe und die zweiten Elemente aneinanderreihe,
dass da das gleiche Wort rauskommt.
Das Problem ist unentscheidbar und das hat er eben auf dieses Gültigkeitsproblem der Prädikatendogik
reduziert und damit gezeigt, dass das Problem unentscheidbar ist.
Führt jetzt also den Beweis auszuführen,
führt jetzt für uns jetzt nicht gerade zu,
also den Beweis steckt jetzt nichts drin,
wo man dann sagen würde, oh cool,
das kann ich überall benutzen oder so,
sondern das ist mir so ein Rumgefrickel und hier ist halt echt das Ergebnis dann irgendwie spannend,
dass man weiß,
okay,
das geht offensichtlich nicht,
blöde Sache
Und dann kann man auch zeigen, dass das Erfüllbarkeitsproblem auch unentscheidbar ist.
Das ist relativ einfach, wenn ich weiß, F ist
gültig genau dann, wenn nicht, F unerfüllbar ist.
Also F ist eine Tautorie, wenn nicht F eine Kontradition ist.
Wenn ich jetzt auf Erfüllbarkeit testen könnte, dann könnte ich
gucken, ist diese Formel erfüllbar, ja oder nein.
Damit kann ich entscheiden, ob nicht F unerfüllbar ist und
dann kann ich auch entscheiden, ob F gültig ist.
Und da ich schon eben gezeigt habe,
dass ich das nicht machen kann oder gesagt habe, zumindest,
dass ich das nicht machen kann, geht das also auch nicht.
Also Erfüllbarkeitsproblem der Prädikatenlogik ist unentscheidbar,
blöde Situation
Aber da hört man ja jetzt nicht auf. Das wäre ja irgendwie
ein bisschen doof, weil man will das Problem ja trotzdem lösen.
Also was man jetzt irgendwie versuchen könnte,
wäre Prädikatenlogik einzuschränken oder Verfahren zu entwickeln,
die nicht zwingend terminieren, Verfahren zu entwickeln,
die vielleicht manchmal irgendwie die falsche Lösung geben oder so,
einfach manchmal behaupten, ja, ja, die Formel ist erfüllt,
obwohl sie das nicht ist oder so.
Das wäre vielleicht nicht so cool. Ja, da kann man
jetzt noch irgendwie ein bisschen rumspielen. Und das Erste,
was man halt versuchen kann, diese Geschichte von eben,
wo wir gesagt haben, irgendwie hey,
kann man nicht vielleicht probieren, alle Strukturen durchzuwandern.
Und man kann probieren, probieren diese Menge U hier,
die bisher so beliebige Mengen sind,
dass man die irgendwie so einschränken kann,
dass man die besser aufzählen kann,
dass man da irgendwie
schönere Strukturen hinkriegt
Und dann kann man, wenn die schöner sind,
dann kann man die nämlich irgendwie durchwandern.
Und dann kann man so ähnlich wie beim Halteproblem das irgendwie simulieren.
Dann geht man die alle durch und wenn irgendwann mal eine dabei ist,
die die Formel erfüllt, sagt man schön, die Formel ist erfüllbar.
Und wenn es das halt nicht gibt, dann arbeitet man immer weiter. Ja,
dann kann man, als Mensch kann man dann irgendwie sagen,
hey, wenn du noch einen Tag noch kein Ergebnis gefunden hast,
dann breche ich halt ab.
So, das gibt es wirklich. Und das ist
die sogenannte Herbrand-Theorie und herbere Theorie zeichnet sich dadurch aus,
dass man für die Universen eine sehr konkrete Struktur vorgibt und die wird dadurch charakterisiert,
dass man quasi, man sagt immer,
man schaltet Sintax und Semantik gleich.
Also was wir gleich machen werden, ist,
dass wir sagen werden, die Bedeutung eines Terms,
die Semantik von F von X ist gerade der Term selbst wieder.
Also gerade wieder die Sintax dieses Terms. Sieht dann so aus,
wir fangen an mit einer geschlossenen Formel, also eine Formel,
die keine freien Variablen hat und die ein School in Form ist.
Und jetzt definieren wir uns das Herbert-Universum wie folgt.
Als erstes nehmen wir alle in F-Vorkommenden Konstanten,
die packen wir alle in unser Universum, wenn wir keine haben,
dann nehmen wir halt eine dazu, nehmen wir irgendwie einen Arm.
Und jetzt gucken wir uns alle in F-Vorkommenden karstelligen Funktionssymbole an und Therme,
die wir schon gebildet haben und dann ist eben
auch F von T1 bis TK da drin
Das bedeutet, dass da alle variablen, freien Therme drin sind,
die man eben aus Bestandteilen von F aufbauen kann.
Beispiel dazu, wenn ich die Formeln habe, FGH,
konzentrieren wir uns mal auf die erste hier auf das F.
Jetzt gucke ich mir halt an, sind da Konstanten drin,
ja, da ist das C drin.
Dann nehme ich das C, also in meine Menge DF
auf und als nächstes gucke ich, sind da Funktionssymbole drin,
ja, da ist dieses einstellige Funktionssymbol F drin.
Bisher habe ich nur das C, also ist da auch
F von C drin. Als nächstes gucke ich wieder,
was habe ich für Funktionssymbol? Ich habe nur F als Funktionssymbol,
F von C habe ich schon,
aber F von F von C kann ich noch bilden und
F von F von F von C kann ich noch bilden
und so weiter
Dann habe ich das. Und bei dem Geh hier,
da wird es dann schon komplizierter,
weil da hat man jetzt auch wieder das B irgendwie als Konstante.
Und da hat man aber ein einstelliges und ein zweistelliges Funktionssymbol.
Da kann man eben alles machen,
was man irgendwie aus B, F und G machen kann.
Also irgendwie Geh von F von B, Komma,
Geh von BB oder irgendwie sowas.
Da kann man völlig beliebig das machen. Deswegen kann man
die auch nicht mehr aufschreiben, sondern nur so angeben.
Aber das Schöne ist, die könnte man eben aufzählen,
diese Strukturen. Sehen Tuney natürlich in Zahlen auch aufzählen kann,
kann man hier eben irgendwie,
hat man eine sehr einfache Konstruktionsvorschrift und kann die
irgendwie alle aufzählen
Genau, so sind die auch. Und hierfür das Haar,
das habe ich noch dazu genommen,
damit man da eben sieht, okay,
da hat man keine, da ist keine Konstante drin,
deswegen nimmt man sich eben so ein A einfach in die Menge und dann guckt man,
was kann man alles mit dem A und mit eben dem in Haar auftretenden Funktionssymbolen bauen.
Genau. Und das ist halt jetzt, der Sinn soll sein,
lass uns das irgendwie hilft, nach Modellen zu suchen.
Und zwar definiert Herbrand jetzt noch die sogenannten herberen Strukturen und Modelle.
Da sagt er, ich definiere mir das so,
das Universum soll immer mein DF sein,
also gegebene Formel F ermittle ich dieses Herbrand-Universum,
das ist mein Universum
Und dann lege ich noch die Interpretation der Funktionssymbole fest. Und zwar sage ich,
wenn ich so ein karstelliges Funktionssymbol habe und irgendwie Termity1 bis TK,
dann ist die Interpretation von F,
soll jetzt irgendwie eine Funktion sein,
die eben diese Kartherme nimmt und auf einen neuen Term in DF abbildet.
Und das Bild davon ist eben gerade wieder der Term selbst.
Damit hat man es jetzt hingekriegt, dass die Semantik,
also das iPhone F,
von diesen Termen eben gerade wieder der Sinthes entspricht.
Also ist Sinthes und Semantik
so gleichgeschaltet
Und was er halt noch nicht festlegt, ist,
was man mit dem Predikatensymbolen macht.
Alles kann er auch nicht festlegen, weil dann hätten wir
eine Vorschrift, wie wir immer Strukturen bestimmen können.
Die gibt es nicht wegen des Unentscheidbarkeitsresultats,
aber das hier hilft uns schon,
weil wir jetzt bei den Strukturen uns eigentlich nur noch über die Bedeutung der Predikatensymbole Gedanken machen müssen.
Genau, da steht es mit dem gleichgeschaltet und da drunter,
dass jetzt eben relativ viel festgelegt wird und
nur noch festgelegt werden muss,
wie wir
die Predikatensymbole interpretieren
Wie gesagt, das Ziel ist jetzt irgendwie dieses,
an dieses Erfüllbarkeitsproblem ranzukommen, von dem wir zwar wissen,
dass es unentscheidbar ist, aber ohne Schaltbarkeit bedeutet ja nicht,
dass wir gar nichts machen können, sondern eben nur,
dass wir keinen Algorithmus haben, der immer terminiert und ja oder nein sagt.
Jetzt wollen wir eben gucken, ob wir zumindest irgendwie Verfahren entwickeln können,
die uns irgendwie helfen bei dem Erfüllbarkeitstest. Super. Und jetzt kann man die folgenden Sätze zeigen,
wenn ich eine geschlossene Form in School in Form habe,
dann ist F genau dann erfüllbar,
wenn F ein Herbrand-Modell besitzt und die eine Richtung ist leicht für den F ein Herbrand-Modell besitzt,
dann ist die Formel natürlich erfüllbar,
weil dann hat sie ja irgendwie ein Herbrand-Modell,
also eine erfüllende Struktur und die andere Richtung ist schwierig.
Ich müsste zeigen, dass wenn F erfüllbar ist,
wenn es also irgendeine Struktur gibt,
die F erfüllt,
dass es dann immer auch
ein Herbrand-Modell gibt
Ist tatsächlich so. Und daraus folgt dann eben,
weil diese Menge DF dieses Universum, weil das abzielbar ist,
folgt dann das zumindest jeder erfüllbare Formel der Prädikaten,
wo ein abzielbares Modell besitzt.
Das ist ja schon mal schön. Also wenn wir vorhin gesagt haben,
irgendwie, es ist doof, es gibt Formeln,
die nur unendliche Universen enthalten. Da war zwar in dem Beispiel,
ändert das Universum und en war abzählbar,
aber es hätte ja auch sein können,
dass es noch Formeln gibt, wo das Universum nicht mal abzielbar ist.
Und der Satz sagt uns jetzt eben, hey,
immerhin ist die Lage so, dass es abzielbare Modelle gibt
für alles.
Also Modelle mit abzielbarem Universum
Ab zehnmal unendlichen Universen ausreichend sind. Also irgendwie natürliche Zahlen oder hier eben dieses D von F. So,
und das ist jetzt halt das Ziel,
dass man eben jetzt Verfahren hat,
wo man alle diese Strukturen systematisch durchgeht und wenn da mal eine erfüllende dabei ist,
dann sagt man, schön,
Formel ist erfüllbar und wenn da keine Erfüllende dabei ist,
dann ist das eben irgendwie doof.
Genau, und da die wichtige Anmerkung,
das widerspricht eben nicht dieser Unentscheidbarkeit,
weil das Verfahren eben nicht
zwingend terminieren muss
Jetzt kommt noch die Herbrand-Expanse. Herbrand war ziemlich aktiv so
in den 20er und den 30ern. Jetzt macht er noch
die Herbrand-Expansion. Gegeben so eine Formel in School in Form.
Vorne also die Altquanturen und dann ist hier die Matrix, F-Stern.
Und jetzt definiert man sich die Herbrand-Expansion wie folgt,
dass man in F-Stern, die durch Allquanturen gebundenen Variablen,
Y-1 bis Y und K, eben irgendwie durch Therme dieses Herbrand-Universums ersetzt.
Und das Schöne ist, wenn man das gemacht hat,
dann sind all die Elemente, die in all die Elemente,
die in E-E-F drin sind,
sind im Grunde genommen wie Aussagen
logische Formeln
Ja, die sehen zwar irgendwie total wild aus,
aber sind wie Aussagen logische Formen, weil in diesen Thermen,
in dem Herberen-Universum, da treten ja keine Variablen mehr auf.
Das waren ja immer geschlossene Therme. Ich habe ja die Konstanten genommen und dann alles,
was ich mit diesen Konstanten und den Funktionssymbolen machen kann.
Wenn ich das da jetzt einsetze, habe ich also irgendwie so,
also im einfachen Fall habe ich sowas wie P von A
und im komplizierten Fall habe ich halt irgendwie sowas wie P von A,
Komma, F von G von A, Komma,
was weiß ich so, also irgendwas Großes.
Aber es ist eine atomare Formel der Aussagen-Logik,
wenn es war oder falsch
Und da kann ich,
muss ich auch nicht irgendwie mit X-Strukturen arbeiten oder irgendwie sowas,
sondern ich kann halt gucken, was passiert mit diesen ganzen Konstanten,
was machen die Funktionen damit und so weiter und so weiter.
Und da kommt halt irgendwie ein eindeutiger Wert 0-1 raus und fertig ist.
Das ist also wie Aussagen. Wenn das da schon so steht,
sind quasi wie Aussagen logische Formeln, dann kann man sich schon überlegen,
dass man jetzt vielleicht irgendwie die Brücke schlagen kann von dieser prädikatenlogischen Formel hin zu irgendwas,
wo ich mit Aussagen Logik arbeiten kann.
Da hat Herbrin sich Unterstützung geholt,
hat er sich noch Skolem und Göde geholt,
dann haben sie ihren Satz bewiesen,
für jede geschlossene Formel in Skolem-Form gilt
F ist genau dann erfüllbar, wenn die Formelmenge EF im
Aussagen logischen Sinne erfüllbar ist. Weil, wie gesagt,
die Formeln hier, das sind quasi wie Aussagen logische Formeln.
Also kann ich gucken, ist diese Formelmenge erfüllbar, ja oder nein?
Im außerirdischen Sinne, wenn sie das ist,
ist die ursprüngliche Formel auch erfüllbar. Problem natürlich,
diese Formel EF, die ist im Allgemeinen irgendwie unendlich groß.
Das habe ich eine unendlich große Menge von Aussagen
logischen Formeln und muss prüfen, ob die erfüllbar sind.
Die erfüllt was. Da noch als Anmerkung,
das fand ich ganz schön, als ich es gestern gelesen habe,
Man kann halt quasi prädikat logische Formeln durch unendlich viele Aussagen logische Formeln approximieren.
So und für erfüllbar hilft uns das nicht so richtig hier,
aber für unerfüllbar hilft uns das, weil um zu zeigen,
dass EF unerfüllbar ist, reicht es, Endlichkeitssatz aus der Aussagenlogik,
irgendwie eine endliche Teilmenge von EF zu finden, die unerfüllbar ist.
Sobald ich irgendwie weiß, dass in EF sowas drin ist,
VR und nicht A, weiß ich,
die Formelmenge ist unerfüllbar, kann also nicht erfüllbar sein,
dann kann F hier auch nicht
erfüllbar sein
Dafür hilft mir das. Ich könnte also EF nehmen,
Aussagen logisch interpretieren und für die Formeln, die dann,
dann nehme ich irgendwie mehr beliebig viele Formeln aus,
EF raus, gucke, ob das unerfüllbar ist,
dann nehme ich mir eine mehr dazu,
gucke, ob das unerfüllbar ist und immer so weiter.
Da ist nochmal der Endlichkeitssatz und das ist dann der Satz von Herbrandt.
Eine Aussage F in School in Form ist genau dann unerfüllbar,
wenn es eine endliche Teilmenge gibt, die unerfüllbar ist.
Und da wir jede Formel in School in Form bringen können,
oder auch halt in Klausel-Normalform, das ist auch okay,
ist ja auch in School in Form, habe ich dann diese Aussage,
kann ich eine beliebige Prädikat logische Formel quasi Aussagen logisch annähern und dann überprüfen,
ob die unerfüllbar ist.
Aber, das ist kein terminierendes Verfahren,
also das Verfahren muss nicht entscheiden. Warum hier steht,
wenn es eine endliche Teilmenge von EF gibt,
die im außerirdischen Sinne unerfüllbar ist,
dafür müsste ich jetzt alle endlichen Teilmengen durchgehen,
kann ich bei einer unendlichen Teilmenge bei einer unendlichen Menge
irgendwie nicht machen.
Gleich kommt auch der Algorithmus
Und da nochmal,
dass wir es eben die ganze Zeit immer versucht haben zu erzählen,
das ist ein sogenanntes Semi-Entscheidungsverfahren, also das ist kein Entscheidungsverfahren,
sondern so ein halbes Entscheidungsverfahren, wenn wir nämlich eine Jahrenstunts haben,
also wenn die Formel unerfüllbar ist,
dann sagt uns das Verfahren das auch irgendwann.
Wenn die Formel aber erfüllbar ist, kann uns das Verfahren
das nicht irgendwann sagen, sondern rechnet halt immer weiter.
Und unser Problem ist eben, wir können nicht irgendwann sagen,
dass das Ergebnis ja ist oder so,
weil wir wissen nicht, kommt vielleicht noch irgendwann die Nein-Antwort.
So, wie sieht das Verfahren aus so?
Wir nehmen mal an, wir haben so eine,
boah, wir halten so eine Aufzählung von EF fest.
F1 auf 2, 3, 4,
5 auf 6. Können wir machen,
weil eben diese Formeln in EF eine stark vorgegebene Struktur haben.
Man kann ja irgendwie die Elemente dieses herberen Universums aufzählen.
Dann kann man auch die Elemente in die EF aufzählen,
in die man eben entsprechende Aufzählung des Universums substituiert.
Und dann hat man halt diese Aufzählung und jetzt kriegt man
irgendwie eine Formel in School in Form und jetzt macht man das folgende.
Kurz als Innot irgendwie setzt man N auf null und dann,
dass hier ist halt eine Schleife.
Ich erhöhe jetzt N um 1 und jetzt gucke ich,
ob F1 unerfüllbar ist
Falls ja, bin ich fertig, falls nein,
erhöhe ich hier um eins und gucke mir F1 und F2
an und gucke, ob das unerfüllbar ist.
Falls ja, bin ich fertig, falls nein,
gucke ich mir F1 und F2 und F3 an und immer so weiter.
Dann habe ich ein Verfahren, was mir aussagen logisch überprüft,
ob eine Prädikatenböhmische Formel unerfüllbar ist oder nicht.
Aber wie gesagt, muss nicht terminieren. Also man sieht ja hier,
dass falls nein, also wenn immer nein,
wenn ich immer nein als Antwort kriege,
dann gehe ich immer wieder dahin und gucke mir hier immer längere Formeln an.
Naja, und dann mache ich halt ein bisschen alle Ewigkeit
so weiter, weil die Aufzählung da oben unendlich viele
Elemente enthält
Ja, zusammengefasst, was kann man jetzt machen?
Damit kann man das Unerführbarkeitsproblem semi entscheiden. Dann kann man
auch das Gültigkeitsproblem sehen, die entscheidende, gegebene Formel.
Ich betrachte die Negation, der muss die Negation halt unentscheidbar sein.
Was man auch noch machen kann, ist, man kann
alle endlichen Modelle systematisch durchgehen. Dann kann man also gucken,
ob eine hygiene Prädikat logische Formel ein endliches Modell hat.
Und hätte ich einen Algorithmus determiniert,
wenn die Formel unerfüllbar ist, wenn die Formel gültig ist,
oder wenn die Formel erfüllbar ist mit endlichem Modell.
Und der Algorithmus terminiert aber leider nicht,
wenn die Formel erfüllbar ist,
aber nicht gültig und mit unendlichem Modell
Das heißt, wenn das Verfahren einfach weiterläuft, dann weiß man immer nicht,
fällt meine Formel noch in eine der drei hier gegebenen Klassen?
Oder ist das so eine hier erfüllbar, aber nicht gültig?
Da kommt man jetzt irgendwie nicht ran. Kann man auch noch ein bisschen weiter einschränken,
so mit speziellen prädikatlogischen Formelklassen, aber so richtig kommt man da halt nicht ran.
Genau, das ist die herberen Theorie. Und jetzt ist der Übergang zur Resolution,
dass man sich jetzt eben fragt, naja, dieses,
wenn ich mir diesen Algorithmus hier angucke,
dieses Testen auf dieses Testen auf Unerfüllbarkeit,
das muss ich ja nicht mit Wahrheitstafeln machen,
für Testen auf Unimpfüllbarkeit haben wir ein schöneres Verfahren mit der Resolution,
Also kann ich das aussagen logisch auch mit Resolution machen?
Das ist jetzt so quasi die Brücke zur Predikatenlogischen Resolution,
dass man jetzt eben sagt, ich benutze mal die aussagenlogische Resolution,
dann mache ich mir mal Gedanken darüber, was mich da dran stört.
Also sieht halt der Grundresolution, der sogenannte Grundresolutionsalgorithmus aus.
Das ist eigentlich das Gleiche wie eben, nur dass man
halt hier irgendwie immer eine Formel dazu nimmt in die Menge M.
Also erstmal so nur im Eins drin, dann ist da im F1 drin,
dann ist der F1 und der F2 drin, F1,
F2, F3 und so weiter.
Also das, was man eben durch unverknüpft hat,
das tut man jetzt alles immer weiter in diese Menge M.
Und dann guckt man eben, welche Resolventen kann ich bilden
und kommt da irgendwann mal Box raus.
Und falls ja, bin ich fertig und falls nicht,
dann mache ich immer weiter
Genau. Grund, wie heißt das ja, Grundresolutionsalgorithmus,
das hat seinen Ursprung darin, dass man halt diese Substitutionen hier,
die freien Variablen in F durch variablenfreie Therme ersetzen,
dass man die Ebene Grundsubstitution nennt.
Aber ich glaube, das brauchen wir gleich gar nicht mehr.
Die hätte ich, glaube ich,
rausschmeißen können, die Formel.
Gleich nochmal ein Beispiel
Ja, das ist auch klar, wenn die Formel halt unerfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus.
Dann hört er irgendwie nach endlich vielen Schritten auf,
weil dann muss er das irgendwie finden können.
Aber das Problem ist halt, bei denen,
die er füllbar sind, kann er halt nicht abbrechen.
Also bei der außerhalogischen Resolution selbst war es ja so,
dass der Algorithmus tatsächlich terminiert, hier halt nicht,
weil wir immer wieder noch mehr in die Menge dazunehmen,
auf die wir Resolution anwenden.
Und das Problem dabei ist eben,
und das ist jetzt gleich die Brücke zu Bridikaten, logischen Resolution,
das Problem ist, wir erzeugen im Allgemeinen viel mehr Elemente als eigentlich nötig werden.
Also wenn wir jetzt irgendwie sagen, bei dieser Herbrand-Expansion,
wir erzeugen irgendwie ein paar Elemente, gucken, ob die Formel unerfüllbar ist,
ist sie noch nicht und dann erzeugen wir noch weitere,
vielleicht brauchen wir irgendwie nur ein paar Elemente, davor.
Hier kann man das mal sehen,
wenn ich irgendwie diese Formel habe,
für alle XP von X und nicht P von F und X. Herbrat Expansion,
es ist keine Konstante drin,
also nehme ich mir das A dazu und dann bastel ich mir alles,
was ich mit diesem A und dem F machen kann.
Und in der Herbrat Expansion tue ich mir,
substituiere ich dann hier das X durch eben, die Elemente des Serbon-Universums.
Und wenn ich jetzt einmal X durch A ersetze,
dann kriege ich hier eben das P von A,
was hier, und einmal das Nicht-P von F von A, das ist hier.
Und wenn ich X durch F von A setze,
kriege ich hier F von A, das ist da,
und hier nicht P von F von A,
das ist hier
Da habe ich vier Klauseln erzeugt. Und wenn ich
halt hier die zweite und die dritte miteinander resolviere,
dann kommt da gerade die Box raus.
Aber was halt stört ist, ich wende die Substitution
immer komplett auf die ganze Formel an.
Ich mache das immer Schritt für Schritt und so.
Das stört alles. Da steht auch nochmal,
es würde eigentlich genügen, hier in einzelne Klauseln individuell zu substituieren.
Also es hätte ja gereicht, hier zu sagen,
für den vorderen Teil will ich für X F&A einsetzen und
für den hinteren Teil will ich für das XSA einsetzen.
Das hätte mir schon gereicht. Dann hätte ich nicht immer
die Substitution auf diese ganze Formel F Stern
anwenden müssen
Und wenn man das jetzt halt noch ein bisschen weiter macht,
also hier ist es ein relativ einfaches Beispiel.
Kann man sich vielleicht vorstellen, dass wenn man das irgendwie größer treibt,
dass man dann immer sehr vorausschauend das machen muss.
Und man kommt dann eben zu diesem Ergebnis,
dass diese Grundsubstitution, also das, was sie gemacht haben eben,
diese Art von Substituieren, dass die zu schnell einen einschränkt.
Was man gerne hätte ist, eine Substitution,
bei der ich mich nicht so doll einschränke,
einschränken bedeutet, ich möchte gerne nur so substituieren,
dass ich mir nicht zu viele Möglichkeiten wegnehme.
Also wenn ich sowas habe wie P von XY,
Dann wäre es cool, wenn ich nur das X ersetzen muss,
wenn ich mit dem Y noch gar nichts machen möchte.
Weil später merke ich dann vielleicht, was ich mit dem Y
machen will und dann mache ich das auch eher später.
Also so eine Art Zurückhalten zu substituieren. Wenn man die beiden hier substituieren will,
wenn man die beiden resolvieren will, P von X,
nicht Kuh von GX und nicht P von F und Y,
dann würde als Substitution eigentlich reichen X durch F von Y zu ersetzen.
Dann steht hier P von F von Y und hier
nicht P von F von Y. Wenn ich dann resolviere,
kriege ich eben X, habe ich ja durch F von Y ersetzt,
nicht Kuh von G von F von Y raus.
Und das Schöne ist halt,
jetzt habe ich das Y immer noch als Variable und kann
später da substituieren
Und wenn ich da jetzt nämlich auch gesagt hätte, Y durch A ersetzen,
dann steht da schon irgendwie nicht Kuh von Geh von F von A.
Und wenn dann irgendwann später kommt,
es gibt aber noch dieses Kuh, bla bla,
mit dem B irgendwie, dann merke ich, ja,
das war vorher doof, das Y durch den Arzt zu ersetzen,
ich will da eigentlich B haben,
da muss ich wieder ganz nach oben gehen und gucken,
ob das okay ist, das so zu ersetzen.
Ja, das will man machen können. Jetzt braucht man vorher noch zwei Begriffe,
nämlich einmal den Begriff der Unifikation und dann kann man die
Predikaten logische Resolution einführen und dann sind wir auch fertig.
Unifikation, Soldat zu dienen quasi dieses P von X und dieses P von F von Y,
die beiden zu gucken, ob man die unifizieren kann,
ob man die auf das Gleiche bringen kann.
Dass die Idee bei der Unifikation,
und das braucht man eben noch, wenn man dann sagen kann,
hey, wenn ich die beiden unifizieren kann,
dann kann ich da so eine Resolventenbildung machen.
Und dann habe ich eben hier zurückhaltend substituiert. Also Unifikation nochmal,
das kann man jetzt auch Louis gelöst von allem betrachten,
dass man irgendwie nur sagt, okay,
ich will Literale mit einer Substitution gleich machen können.
Also ich habe so
eine endliche Menge von Literalen
Und jetzt suche ich so eine Substitution Sigma,
sodass die eben alle gleich sind. Also sprich,
wenn ich die Substitution auf die Menge anwenden würde,
dann hat die gerade nur noch die Größe 1. Und dann sagen wir,
dass L-Unifizierbar ist.
Da ist es euch auch nachher noch einmal gleich,
also gleich kommt der Algorithmus, wie man das macht und
dann sollte das die Woche noch mal in den Präsenzaufgaben üben.
Allgemeinster Unifikator nennt man das,
wenn quasi jeder andere Unifikator noch irgendwie eine Substitution mehr macht.
Kann man so machen. Das Schöne ist eben,
dass gleich bei dem Algorithmus der allgemeinste Unifikator rauskommt
So, jetzt kann man nämlich zeigen, wenn ich eine Menge von Literalen habe,
dann besitzt eine unifizierbare Menge tatsächlich auch so einen allgemeinsten Unifikator
und der gleich folgende Algorithmus, der macht das.
Der ermittelt also so einen allgemeinsten Unifikator und der terminiert auch immer,
also dass jetzt tatsächlich den Entscheidungsverfahren,
sprich gegeben eine Menge von Literalen, habe ich ein Verfahren,
das ermittelt, ist die Menge unifizierbar oder nicht.
Und der sieht sowas. Ich mache folgendes. Ich fange an mit,
der bisherige Unifikator Sub, der ist erstmal leer. Und jetzt mache ich folgendes,
solange die noch mehr als ein Element enthält,
also diese Literalmenge L da auf diese Substitution angewendet,
solange das mehr als eins ist,
gehe ich von links nach rechts über die Literale rüber.
Bis ich die erste Position finde, wo sie sich unterscheiden.
Wenn beides keine Variable ist, sind sie nicht unifizierbar.
Also wenn ich habe an der einen Stelle in A und an der anderen Stelle in B,
also wenn ich zwei Literale habe,
das eine sagt mir P von A,
das andere sagt mir P von B,
dann sind die nicht unifizierbar.
Zwei Konstanten geht nicht. Wenn einzelne Variable ist und
das andere irgendein beliebiger Term, dann kann ich
sie unifizieren
Dann mache ich folgendes. Also wenn keins der beiden Variable ist,
brechen mit Nichtudifiziere ab, sonst ist eben X die Variable Tee der Term.
Und jetzt gucke ich nochmal, ob X in Tee auftritt,
falls ja, geht das auch nicht.
Also wenn ich P von X habe und P von F
von X, kann ich auch nicht so instituieren.
Weil wenn ich jetzt X durch F von X ersetzen würde,
dann habe ich auf der einen Seite P von F von X
und auf der anderen P von F von F von X.
Geht auch nicht. Und sonst hänge ich mir eben an
meine Substitution ran, dass ich X durch Tee ersetzen möchte.
Also von links nach rechts durchgehen, immer gucken,
wo ist ein Unterschied. Und dann, wenn da einer ist,
gucken ist da eine Variable dabei und falls ja,
die durch den Term ersetzen. Beispiel, Drei Literale,
P von XY, P von F von AG von XP
, von F von ZG von F&Z.
Von links nach rechts durchwandern. Beim P gibt es keinen
Unterschied. Bei der öffnenden Klammer gibt es keinen Unterschied.
Jetzt gibt es einen Unterschied. Bei dem ersten Städten X,
bei dem zweiten Städten F von A,
bei dem dritten Städten F von Z. Jetzt wählt man sich zwei Literale raus,
die sich halt unterscheiden und sagt, hier, die betrachte ich jetzt genauer.
Jetzt kann man zum Beispiel das X und das F von A nehmen. Und dann sagt man,
der erste Unterschied ist halt an der Stelle,
von dem X und dem F von A,
also nimmt man als, ach so,
eins ist eine Variable, das ist gut,
und die Variale tritt nicht in dem anderen auf.
Also F von A,
da tritt das X nicht auf, auch gut.
Also nimmt man als Substitution X
durch F&A ersetzen
Oder wenn man den Unterschied hier genommen hätte, X und F und Z,
dann hätte man auch irgendwie X durch F und Z setzen können.
Jetzt wendet man die Substitution auf die Menge an und ersetzt halt
überall X durch F von A, dann sieht das so aus.
Und wohlgemerkt, man hat das überall gemacht,
das heißt, dieses G von X,
das wird jetzt auch ein Geh von F von A an.
Dann wandert man weiter drüber, dann gibt es beim P keinen Unterschied,
bei der öffnenden Klammer, keinen Unterschied, beim F keinen Unterschied,
bei der dann öffnenden Klammer keinen Unterschied.
Und dann gibt es einen Unterschied, das CNA steht da,
ein A und da ans Set.
Boah, dann ist die nächste Substitution Z durch A zu ersetzen,
wieder anwenden auf die Menge
Und wenn man das macht,
dann werden die hinteren beiden Literale quasi schon unifiziert.
Weil wenn ich hier bei dem dritten Z durch A setze,
dann sind die schon gleich.
Das heißt, die Menge wird kleiner.
Dann zieht das so aus. Jetzt wandere ich wieder rüber
und jetzt gibt es halt hinter dem Komma wieder den Unterschied.
Hier steht ein Y, das steht G von F&A.
Also muss ich das auch noch ersetzen. Und wenn ich
die Substitution dann anwende, dann kommt als Menge etwas raus,
was nur noch ein Element enthält und dann bin ich fertig.
Und der allgemeinste Unifikator ist dann eben die drei Substitutionen hintereinander,
also X durch F&A ersetzen,
Z durch A ersetzen und Y durch G
von F&A ersetzen
Da hat man allgemeinen Sonifikator für die Menge gefunden.
Damit kann man eine Resolution machen. Die kann man benutzen,
um so eine zurückhaltende Resolution zu erreichen. Und zwar GTV folgt,
sieht von der Definition wieder ein bisschen wild aus.
Wir sehen es dann gleich in zwei Beispielen.
Resolution war ja gegeben, zwei Klauseln irgendwie resolvieren.
Das ist ja eine Prädikatenwege, auch so gegeben,
zwei Klauseln und ich will jetzt die Prädikaten logische Resolvente definieren.
Und zwar mache ich mir das wie folgt. Ich habe
diese beiden Klauseln K1 und K2 und als erstes nehme ich mir zwei Substitutionen,
S1 und S2, die ich halt auf K1 beziehungsweise K2 anwende,
sodass die keine gemeinsamen Variablen mehr haben.
Warum mache ich das? Naja, ich will gleich mit Unifikationen arbeiten,
wenn die noch gleiche Variablen hätten,
dann würde mir der Unifikationsalgorithmus an der Stelle, wo er sagt,
tritt die Variable X in dem anderen Therm auf,
dann wird er mir da irgendwie abbrechen mit,
nicht unifizierbar.
Das will ich nicht. Wenn ich in der einen Klausel
P von X habe und in der anderen Klausel nicht P von X,
dann möchte ich die gerne resolvieren können.
Dazu gehört, dass ich die unifizieren kann.
Deswegen, umbenennen, das geht relativ einfach
Jetzt wähle ich mir aus der Einmenge K1S1, nehme ich mir ein paar Literale.
Und aus der anderen nehme ich mir auch ein paar Literale.
Und das mache ich so, dass dann die Menge,
die L1-Strich bis L1-Strich enthält und von L1 bis LM das Kompliment,
das die unifizierbar ist, warum hier das Kompliment,
weil ich quasi aus der einen Menge mir vielleicht die positiven
Literale rauswähle und aus der anderen Menge die negativen Literale.
Und damit die unifizierbar sein können, dürfen die sich
nicht gleich an der ersten Stelle mit dem Negationszeichen unterscheiden.
Das ist eigentlich deswegen hier das mit dem Kompliment.
Jetzt habe ich so
ein allgemeines Unifikator
Und dann mache ich noch folgendes.
Aus der Einmenge schmeiße ich die L1 bis LM raus,
aus der anderen Menge DL1-Strich bis LNN-Strich. Und dann,
wenn ich darauf eben noch diesen, aus dem,
was übrig bleibt, und das vereine ich,
und wenn du den allgemeinsten Unifikator da drauf an.
Und dann habe ich meine Resolvente. Bisschen schwer zu lesen,
im Beispiel besser, wenn ich die zwei Mengen hier habe,
also die Klauselmenge und die Klauselmenge.
Jetzt darf ich mir aus der ersten
beliebig viele Literale ausführen und aus der zweiten auch.
Jetzt macht es natürlich keinen Sinn, welche rauszuwählen,
die nicht das gleiche Prädikatensymbol haben
Weil die haben definitiv nichts miteinander zu tun. Also ich
muss schon welche nehmen, die irgendwie das gleiche Prädikatensymbol haben.
Und jetzt nehme ich mir hier das P von F von X
und das P von Z, also die positiven Literale.
Und aus dem anderen nehme ich mir das Nicht-P von X,
also das Negative. Meine Hoffnung ist, dass ich die
jetzt unifizieren kann, dann fliegen die nämlich gleich alle raus.
Man kann die also anders als in der Aussagenlogik
mehr als irgendwie ein Element aus einer Klausel streichen.
Da werden schön viele rausgestrichen. Erster Schritt wird sein,
die so umzubenennen, dass sie keine gleichen variablen Namen haben.
Also hier ist ein X und ein Z drin und hier ist ein X drin,
das nervt mich da mit dem X,
das nenne ich U. Also im ersten Schritt hier,
da mache ich nichts auf der linken Seite.
Unterstrichen sind immer die, um die es geht.
Und hier rechts ersetzt sich das X durch ein U.
Und auch wenn es um die Unterstrichenen geht,
die Substitution wird ja auf die ganzen Klauseln angewandt.
Also hier wird auch aus dem X ein U,
aus dem G von X wird ein G von U. Ja und jetzt,
wenn ich halt auf die drei hier,
also auf P von F von X,
P von Z und nicht P von U, wenn ich jetzt den Unifikationsalgorithmus an.
Und deswegen steht da eben an dieser Stelle hier da,
dass ich den Unifikationsalgorithmus hier auf das Kompliment von diesen L1- bis LM-Anwände,
weil ich halt sonst den,
den und hier das Nicht-P von U gar nicht unifizieren könnte,
weil mir Nunifikationsalgorithmus gleich im ersten Schritt sagen würde,
gibt hier einen Unterschied.
Bei dem einen ist nicht bei dem anderen, ist das nicht,
nicht da. Also mache ich mir links zum Beispiel
ganz viele Nichte dazu und dann geht das. Genau,
dann kann ich die unifizieren und zwar,
indem ich Z auf F von X abbilde und U auch auf F von X,
dann steht da dreimal P von F von X.
Die Substitution, also diesen Unifikator Anwender auf die Menge,
dann habe ich hier P von F von X,
aus dem P von Z wird auch P von F von
Reicht es, das da einmal hinzuschreiben, aus dem P von UWP,
von F und X. Und jetzt kann ich, genauso wie eine Aussagenlogik,
resolvieren und kriege eben die Menge da unten raus.
Und das Schöne ist halt, für das X habe ich jetzt
immer noch Wahlfreiheit. Was halt passiert ist beim Resolvieren,
ich habe es nicht mehr so,
dass hier Nicht-Kuh von Z habe und hier R von G von X,
also hier hatte ich ja eine Variable und hier hatte ich eine andere Variable.
Das habe ich nicht mehr. Bei der Resolventenbildung
habe ich es jetzt, ich weiß,
dass beides muss
das Gleiche werden
Die beiden Xe da. Aber ich kann nach,
ich kann später noch mir überlegen, was ich mit dem X machen möchte.
Ich muss das nicht jetzt gleich machen. Genau, das kann man
auch kürzer machen. Gleiches Beispiel, nur kürzer zusammengefasst,
indem man eben quasi die Variablen Umbenennung und die Unifikation,
genau, und die Unifikation hier, dass man das einfach alles zusammenfasst.
Und dann hat man halt diesen, den Zwischenschritt hier,
den lässt man halt weg.
Bei den Unterzonen
Und was man noch machen kann, muss man ein bisschen üben,
weil man da ein bisschen aufpassen muss,
wenn man das noch kompakter machen möchte, wieder das gleiche Beispiel,
dass man die variablen Substitutionen hier quasi gar nicht mehr explizit angibt,
sondern quasi diese Substitution, die ja ja hintereinander ausgeführt werden,
dass man die schon gleich zusammenfasst.
Und dann hat man halt auf der einen Seite X wird
durch Uhr ersetzt und danach U durch F von X,
das kann ich zusammenfassen,
durch X wird durch F von X ersetzt und auf der
anderen Seite habe ich Z wird durch F von X ersetzt und dann sieht das so aus.
Da braucht man ein bisschen Übung für,
weil man dann quasi die Unifikation so im Kopf machen muss,
dass man weiß,
ich darf da jetzt X durch F von X ersetzen,
obwohl der Unifikationsalgorithmus einem ja eigentlich sagt,
dass man es nicht machen darf.
Da muss man also ein bisschen aufpassen. Aber mit ein bisschen Übung und mit den
, bei so kleineren Beispielen geht das halt ziemlich gut.
Also hier sieht man halt relativ schnell,
dass sich die drei irgendwie, wenn ich die drei dann vereinheitlichen will,
dass ich das irgendwie hinkriege,
indem ich hier auf der einen Seite X durch F von X ersetze und hier auf der anderen irgendwie Z durch F von X. Da geht das.
Ja. Anderes Beispiel, die gleiche Formelmenge,
aber die gleiche Klauseln,
aber wir wählen jetzt aus der linken Klausel nur dieses P
von Z aus und die andere halt nicht mehr
Wenn man das macht, wieder zuerst die Variablenumbenennung hier, X durch U.
Und wenn ich jetzt nur die beiden hier irgendwie unifizieren will,
dann gelingt das, indem ich irgendwie U durch Z ersetze.
Wenn sie das im nächsten Schritt so aus.
Und wenn ich jetzt halt unifiziere,
kann ich halt das P von Z und das Nicht-P von Z
rausschmeißen und kriege die Menge hier raus.
Und da habe ich jetzt halt weiterhin dieses P von F&X drin.
Kann man vielleicht dann später benutzen. Auch kompakter,
in der kompakteren Untertation halt so.
Da sieht man schnell,
dass das klappt
Genau. Ja, und zum Abschluss, der Resolutionssatz,
gegeben so eine Formel in School in Form,
mit dieser Matrix F. Stern, dann ist F eben genau dann unerfüllbar,
wenn ich eben diese Box mit dem Predikaten logischen Resolutionsverfahren ableiten kann.
Wobei ich mir dieses Rest Stern hier genauso definiere wie eine Aussagelogik auch.
Also beliebig viele Resolutionsschritte. Und dann hat man diesen ganzen Weg abgeschritten von das,
das Gültigkeitsproblem, das Erfüllbarkeitsproblem in der Predikatlogik unentscheidbar ist,
dann über irgendwie diesen Algorithmus von Gilmours ein Verfahren zu haben,
wo man sagt, naja,
damit kann ich wenigstens einige Sachen machen, das zu benutzen,
um zum Grundresolutionsalgorithmus zu kommen und dann daraus irgendwie zu Schluss folgern.
Das stört mich noch,
dass ich mich schon so schnell einschränke und dann kommt man eben zu diesem Predikaten logischen Resolutionsverfahren,
was schon eine ziemlich große Hilfe ist und auch ziemlich gut funktioniert,
weil man so ein bisschen mit Heuristiken arbeitet oder mit Raten und so,
dann kann man da schon für relativ viele Formeln nachweisen,
dass die tatsächlich unerfüllbar sind,
indem man irgendwie zu dieser Box kommt,
aber das Verfahren ist eben trotzdem irgendwie nur ein Semi-Entscheidungsverfahren,
sprich das muss nicht terminieren
Ist ein bisschen schade, aber... Hilfe.
So, das haben wir heute gemacht. Formeln gesehen,
die unendlich große Modelle benötigen, ganz am Anfang.
Dann haben wir gesagt, Predikatnologie ist unentscheidbar.
Und dann haben wir eigentlich motiviert durch diesen ersten Schritt,
mit den unendlich großen Modellen, erstmal noch dieses herberen Universum und so eingeführt,
um dann irgendwie sagen zu können, dass es immerhin abzählbare Modelle gibt,
dass wir also nicht unendlich große und überabzählbare Modelle haben.
Ja, und dann haben wir das Ganze zusammengefasst nachher
und sind irgendwie zu diesem Algorithmus von Gilmore,
beziehungsweise dann zu diesem Grundresolutionsalgorithmus gekommen,
haben quasi irgendwie die Brücke wieder zur Aussagenlogik geschlagen
Und dann eben doch prädikat logische Resolution und Unifikationsalgorithmus noch eingeführt. Und das,
was da im Fettdruck steht, das sollte das sein,
was ihr irgendwie euch dann in dem,
was ihr mitnehmt und was ihr dann vor allem in den Präsenzaufgaben nochmal üben solltet,
also dass da oben Unentscheidbarkeit der Predikano,
das sollte man einfach mitnehmen, so als Faktum,
dass man weiß, aussagen,
hier kann ich ganz viel machen,
bei mächtigeren Logiken geht ganz viel plötzlich nicht mehr,
insbesondere je bei Predikatenlogik ist das dann irgendwie unentscheidbar und die Verfahren da unten,
wie gesagt, die wollen wir da nochmal ein bisschen üben.
Fragen. Das war jetzt so sehr Vogelperspektivartig,
dass ihr das mal alles so ein bisschen nochmal seht,
das war bestimmt auch ziemlich anstrengend,
aber schön,
dass ihr trotz der frühen Stunde
so lange durchgehalten habt
Fragen noch. Dann beendet das quasi den Stoff so.
Nächste Woche Montag wiederholen wir nochmal. Nächste Woche Dienstag fällt
aus. Also Montag ist dann die letzte Veranstaltung.
Und ich schreibe nochmal zwei, drei E-Mails wegen den Repertatorien
wegen noch irgendwas anderem, was ich vergessen habe.
Und wegen noch etwas Drittem, was ich auch gerade vergessen habe.
Sie kriegt, also sie kriegt dann heute noch
irgendwie drei E-Mails von mir.
Gut, dann.
Servus nächste Woche.
Schöne Woche