So, Endspurt. Heute nochmal. Heute nochmal, morgen nochmal.
Heute kommen Prädikaten, logische Normalformen. Also so in der
Aussagenlogik hatten wir ja KNFDNF. In der Prädikatenlogik wird das
ein bisschen komplizierter. Das werden wir dann heute sehen.
Morgen kommt dann aufbauend auf dieser Normalform die Prädikatenlogische Resolution.
Außerdem werden wir morgen so ein paar Sachen, naja,
so Streifen, so Vogelperspektive,
dass man so ein paar Ergebnisse nochmal sieht
Prädikat, logische Resolution ist dann wichtig, aber das,
wie das da so hinführt, das macht,
wenn man nur so Vogelperspektivartig und dann ist die Veranstaltung auch schon zu Ende.
Nächste Woche Montag mache ich dann eine Wiederholung und genau,
da habe ich gedacht, irgendwie, ich mache Wiederholung,
eine Menge Klickerfragen irgendwie einbauen und genau,
und ich wollte mal eine Fragerunde machen,
welche Themen ihr besonders schwer fandet,
damit man darauf in den Repetitorien und gegebenenfalls eben auch in
der Klausur irgendwie so ein bisschen eingehen kann,
dass wir das so ein bisschen steuern können.
Ja,
was habe ich noch
Ja. Fragen sind gut. Nochmal bitte? Ich habe es aber noch nicht...
Was war das mit dem... Achso, nee, komplett.
Also nächste Woche komplett wiederholen. Also richtig wiederholt wird dann in den Repertatorien,
aber das ist ja nochmal so irgendwie in 45 Minuten so seht,
so das und das waren die großen Punkte und so gehört das irgendwie zusammen.
Genau. Und dann kann man halt, also die Hoffnung ist,
dass sich dann die Klickerfragen so mache,
dass man vielleicht auch aus der Vorlesung rausgeht und irgendwie weiß, okay,
da kann ich nochmal irgendwie mehr Zeit zum Wiederholen reinstecken und da weiß ich,
was wichtig ist oder so.
Das ist gut. Genau, das noch und
ich wollte noch irgendwas
Ah, sind Wirtschaftsinformatiker hier? So ein paar, sehr gut.
Klausuren. Habt ihr in der Woche vom 13. bis 17.
irgendwie Klausuren? Wisst ihr das aus dem Kopf?
Kann man es lesen, die alle? Also so sieht
das im Moment aus. FG1 kann ich halt sehr,
FG1 kann ich sehen, weil die Klausur ist.
SE2 wusste ich, Mathe 2 weiß ich.
Das sind ja so die Standardsachen aus dem zweiten Semester.
Dann habe ich mich mit Fred von den SE-Leuten und mit Stevie
von den Mathe 2 Leuten abgesprochen.
Das ist so ungefähr das, was da rausgekommen ist.
Also in der Woche vom 13. bis 17. sind wir da
relativ konfliktfrei
Und wir... So, ne? Und jetzt weiß ich nicht so genau,
Zissler und Wirtschaftsinformatiker, die könnten noch irgendwie Klausuren haben, vor denen ich nichts weiß.
Zissler hier? Die noch Klausuren irgendwie? Ja, sehr schön. Ja,
gut, also auf alle Wahlmodule können wir uns nicht einstellen,
so, aber halt, dass wir uns irgendwie auf die großen,
wo jetzt, wenn da jetzt irgendwie so am 10.,
na gut, am 10. das ist nicht so wildern.
Recht, hat ihr hier RIW oder so, ne?
Okay, 17. Wann ist denn die
Also morgens oder abends oder so, das meine ich.
Weil wir bieten ja, wie machen wir denn das?
Wir wollten drei Repetitorien anbieten. Eins wollte Niklas von Montag,
Dienstag, Mittwoch in der 13 bis 16.30 Uhr Phase machen.
Eins, Jan Henrik irgendwie in den Abendstunden,
so 16.30 Uhr bis 20 Uhr dreimal.
Und eins mache ich wahrscheinlich Dienstag, Mittwoch, Freitagmorgen.
Oder halt auch Montag, Dienstag, Mittwochmorgen,
da gibt es ja keine Konflikte.
Weiß ich nicht so genau. Ihr könnt ja noch
mal gucken, die Zissler und so.
Und falls euch was auffällt,
sagt ihr Bescheid gleicher
Aber ich glaube, eigentlich müssten wir das ganz gut abdenken.
Genau, oder falls irgendjemand gerade im Livestream zusieht und weiß,
dass da irgendwie eine große Klausur ist,
dann schreibt mir doch mal kurz eine E-Mail.
Gut, weil ich wollte das heute ganz gerne eintüten.
Und dann schreibe ich noch eine Stinemail, wie ihr euch
anmeldet und so. Und dann sind die Repetitorien auch eingetütet.
Genau, dann noch Klausur und dann ist alles fertig.
Gut, Fragen. Okay, dann gucke ich mal dann.
Machen wir da vielleicht nichts, dann schiebe ich das irgendwie
auf einen anderen Tag
Gut, Prädikaten logische Nummerform. Wir machen heute auch nicht so lange,
weil um 13.25 Uhr ungefähr wollte eine Gruppe aus den Sozialwissenschaften vom Viso-Lehrstuhl,
wollten eine ganz spannende Umfrage machen zu Einstellungen zu familiären Rollenmodellen bei Studenten.
Mal gucken, was da so rauskommt. Und die brauchen irgendwie
eine Viertelstunde. Deswegen hören wir ein bisschen früher auf.
Aber ihr müsst dann bleiben und an dieser Umfrage teilnehmen.
So, Prädikaten logische Nummerform endlich anfangen hier, stofflich.
Also, brauchen wir wieder für verschiedene Beweise und Verfahren
so Resolutionen
Da brauchen wir wieder eine Normalform für.
Jetzt kann man sich in der Prädikatenlogik überlegen, dass man
unterschiedliche Normalformen einführen will. Normalerweise macht man das so,
also der didaktische Aufbau ist immer ein bisschen anders,
als er eigentlich von der Forschung her kommen würde.
Von der Forschung her würde man kommen und irgendwie sagen,
so ein so ein Verfahren, jetzt denke ich drüber nach,
wie könnt ihr das Verfahren aussehen?
Und dann merke ich immer mehr, naja,
damit das Verfahren überhaupt klappt, müssen die Formeln so und so aussehen.
Und dann überlege ich mir halt, ob ich
die Formeln wirklich alle so hinkriegen kann und so weiter.
Und wenn das irgendwie geht, dann nenne ich das Ding Normalform
und dann kann ich das schön für mein Verfahren entwickeln.
Der didaktische Aufbau ist immer so,
dass man irgendwie erst die Normalform einführt und dann sagt,
oh guck mal,
die sind super auf unser Verfahren geeicht
Deswegen fallen die Normalformen so ein bisschen vom Himmel,
der forschungsmäßige Vorgang wäre eben die Normalform auf das Verfahren hin auszurichten.
Wir machen das trotzdem mal so, wie das in der
Didaktik gemacht wird. Und jetzt kann man sich überlegen,
dass es unterschiedliche Arten von Normalformen in der Prädikatenweek geben kann.
Es kann welche geben, die auf Äquivalenz basieren,
so wie wir das auch schon in der Aussagenlogik kennen.
Und es kann welche geben, die auf Erfüllbarkeitsäquivalenz basieren.
Äquivalenz ist nämlich relativ stark, zumindest jetzt so aus Sicht
der Prädikatenlogik. Und Erfüllbarkeitsäquivalenz wird nur bedeuten,
F und Gese und Erfüllbarkeit äquivalent genau dann, wenn,
entweder beider Füllbar sind oder beide unerfüllbar sind
Das muss dann nicht mit dem, mit der gleichen Struktur geschehen,
sondern kann mit unterschiedlichen Strukturen geschehen. Aber das hilft deswegen schon,
weil wenn ich dann eine Formel irgendwie in eine andere Formel umformen kann und ich weiß,
diese Erfüllbarkeitsäquivalenz und ich habe jetzt so ein Unerfüllbarkeitstest wie Resolution,
dann reicht mir das ja.
Da sagt mir dann vielleicht die Formel, das ist unerfüllbar,
dann weiß ich auch, ah, dann ist die andere auch unerfüllbar.
Und deswegen reichen die. So, und da verstecken sich jetzt
sieben Punkte und die wollen wir uns heute alle angucken. Das eine ist,
Aussagen logische Äquivalenzen einfach übertragen, das ist einfach,
wenn ich sowas habe wie F oder Nicht-F, naja,
dann kann ich auch für F und nicht halt irgendwelche Prädikaten logischen Formeln einsetzen,
das wird weiterhin
eine Tautologie bleiben
Neue Äquivalenzen durch Quanturen werden wir uns dann angucken.
Also wie kann man mit den Quanturen irgendwie rumspielen, sodass da trotzdem eine Äquivalenz bleibt?
Und dann werden wir zwei neue Sachen machen,
nämlich gebundene Umbenennung von Variablen. Kann man sich vielleicht schon vorstellen,
dass irgendwie für alle XF von X das Gleiche sein wird,
wie für alle YF von Y, weil ja die Variable,
die Interpretation der Variable nachher gar nicht mehr benutzt wird,
sondern durch diese sogenannten X- oder Y-Strukturen eben überschrieben wird.
Und das vierte ist dann Predigsform, das ist alle Quanturen nach vorne ziehen. Wenn man das gemacht hat,
dann sieht das schon relativ schön aus, weil man vorne alle Quanturen hat,
dann kommt eine Formel, die vielleicht irgendwie ein KNF sogar ist,
und dann durch diese gebundene Umbenennung kriegt man es hin,
das nicht dass man eben nicht so was hat,
wie für alle XF von X und es existiert X,
G von X oder irgendwie sowas,
sondern die sind dann auch unterschiedlich benannt, das macht vieles irgendwie einfacher.
Dann gucken wir uns noch Normalformen an,
die auf Verfügbarkeitsequialenz basieren, Bindung freier Variablen,
dass sie eben keine freien Variablen mehr irgendwie rumflattern haben möchte,
sondern ich binde die einfach mit dem Existenzkontur, da werden wir sehen,
dass das Erfüllbarkeitsequialent ist und dann noch die zwei Sachen,
zu denen wir dann nachher kommen, Schule, Misierung und Klausel,
Normalform, weil man dann so eine Klausel- und Normalform nachher hat,
dann sieht die Formel praktisch, also schön und praktisch aus,
da kann man dann eine Menge mitmachen.
Gut, fangen wir an. Erster Punkt,
außerhangburgische Äquivalenzen übertragen
Erstmal zwei Prädikaten, logische Formeln, sind äquivalent,
so wie wir das auch in Ausland logisch definiert haben.
Wenn Sie den gleichen Wahrheitswerteverlauf haben, sprich, wenn jede Struktur
beide Formeln zum gleichen Wahrheitswert auswertet. Was kann man jetzt machen,
wenn man zwei außerorgogische Formeln nimmt, die Äquivalent sind,
kann man da einfach rein substituieren, also quasi jedes F,
was da drin ist, durch die gleiche Prädikaten logische Formel ersetzen,
jedes G, was da drin ist,
durch die gleiche Prädikaten logische Formel ersetzen.
Und dann kommen zwei äquivalente Prädikaten, logische Formeln raus.
Beispiel Kommentativgesetz, F und G
ist das gleiche wie G und F oder ist Äquivalent zu
G und
Jetzt setze ich für F halt irgendwie dieses für alle XP
von X ein und für G, es existiert Y,
Q von Y, dann kann ich das auch andersrum schreiben.
Warum gilt das mit diesem, warum ich da einfach rein substituieren kann,
wenn ihr euch erinnert an die Semantik der Predikatenlogogik,
die ganzen Quanturen, die wir schon aus der Aussagenlogik kennen,
waren genau gleich definiert.
Also das und oder Implikation und so,
das war alles genau die gleiche Definition.
Deswegen kommt dann da irgendwie auch immer das Gleiche raus.
Das können wir machen, relativ unspektakulär.
Jetzt kann man aber noch diese manche Definition der Quanturen ausnutzen
und die eben auch benutzen,
um Predikatenlogisch Äquivalenzen
Zu ermitteln. Machen wir in vier Blöcken. Einmal Dualität
von Alle und Existenzquantur. Wenn ich so eine beliebige Formel F habe,
dann ist eben nicht für alle XF das Gleiche,
wie es existiert, X, nicht F.
Und das F steht jetzt für eine Prädikat logische Formel,
wo sinnvollerweise hier wahrscheinlich irgendwie noch ein X vorkommt,
wenn da keine X vorkommt, ist das eh egal.
Aber wenn das jetzt irgendwie sowas ist wie P von X
und Q von X oder so, dann ist die Bedeutung hier eben,
dass die Negation reinziehen kann und ich muss aber den Quantor flippen
Da kann man sich auch schnell vorstellen, wenn man sowas hat,
wie nicht für alle X, gilt eben P von X,
dann muss es eben ein P von X geben, das nicht gilt.
Also es gibt ein X oder das Nicht-P von X gilt.
Dann, jetzt kommt ein großer Block,
wenn ich zwei präditatenlogische Formeln F und G habe und zusätzlich
die Eigenschaft hier oben das X nicht frei in G auftritt.
Also G kann sowas sein wie, es existiert XP von X,
dann tritt das da nicht frei drin auf oder es ist eben irgendwas,
wo überhaupt kein G drin vorkommt.
Dann kann man diese ganze Reihe von Äquivalenzen da machen
Und das, was da primär passiert,
wenn man jetzt das von links nach rechts liest,
ist, dass man den Quantor quasi nach vorne zieht.
Also wenn man sich das hier auf der linken Seite anguckt,
hier ist das und der Hauptoperator in der zweiten Zeile.
Und als nächstes ist dieser Altquantur der Hauptoperator.
Also wurde der Altquantur im Strukturbaum nach oben gezogen oder eben,
wenn man sich die Formel anguckt, nach vorne.
Und das ist überall relativ unspektakulär. Der Quantur wird
einfach nach vorne gezogen und es passiert quasi nichts.
Das Einzige, wo was passiert, sieht man das hier schon.
Ja, das Einzige, wo was passiert ist hier in
den letzten beiden Zeilen. Da wird der Quantur gedreht.
Warum wird er gedreht? Kann man sich auch relativ schnell überlegen,
noch mit dem, was man aus der Aussagenlogik kennt
Hier ist der Hauptoperator, die Implikation. Also könnte man
das mit dieser Äquivalenz A impliziert B ist das Gleiche wie Nicht-A oder B.
Kann man das auflösen zu nicht für alle XF oder G. Wenn man auf der vorherigen Folie hier weiß,
nicht für alle XF ist das Gleiche, wie es existiert,
X-Nicht-F. Dann kriegt man hier eben nicht für Alex F,
dazu, es existiert X-Nicht-F oder G und dann kann man mit der Zeile hier,
mit der fünften, dass es existiert,
nach vorne ziehen und aus dem Nicht-F impliziert,
nicht F oder G wieder die Implikation machen.
Deswegen wird der Quanto geflippt
Und in der letzten Zeile eben genauso. Also der Grund,
warum hier der Quantur nicht geflippt wird, in der drittletzten und viertletzten Zeile,
ist der, dass halt hinten nicht negiert wird.
Und also wenn man die Implikationen in die Oder-Schreibweise auflöst und hier wird negiert,
weil man da eben die, wenn man die Implikationen in
die Oder-Schreibweise auflöst, wann da vorne eine Negation steht.
Gut. Also Merkregel, wenn da irgendwo eine Negation ist,
dann flippt man den Quantur, sonst kann man das einfach nach vorne ziehen.
Dann haben wir noch für beliebige Prädikat, logische Formen,
diese beiden, da steht jetzt dritte Motivgesetze, der Quantur,
der Al-Quantur kann halt bei dem unten nach vorne gezogen werden und
der Existenzquantur kann bei dem oder nach vorne gezogen werden.
Was aber nicht gilt, also nicht Äquivalenzen hier,
dass man den Allquantur auch bei dem oder nach vorne ziehen dürfte und
dass man den Existenzquantur bei dem unten nach vorne ziehen dürfte.
Gegenbeispiel hierfür, für das, für alle oder?
Was ist dein Gegenbeispiel
Wenn ihr an natürliche Zahlen denkt und an gerade und ungerade, Genau.
Wenn ich F von X nehme für X ist gerade und
G von X für G F von X nehme für X
ist gerade und gehe von X für X ist ungerade,
dann wird die rechte Formel hier erfüllt,
weil für alle natürlichen Zahlen gilt,
dass sie gerade sind oder ungerade
Die hier wird aber nicht erfüllt,
weil eben nicht für alle natürlichen Zahlen gilt,
dass sie gerade sind und auch nicht für alle natürlichen Zahlen gilt,
dass sie ungerade sind.
Also habe ich eine Struktur, die die rechte Formel wahrmacht,
die linke aber falsch, kann die Äquivalenz nicht gelten.
Gleiches kann ich hier machen, auch mit der gleichen Struktur,
dann würde auf der linken Seite gesagt werden,
es gibt eine natürliche Zahl, die gerade ist.
Das ist bestimmt so. Und es gibt eine natürliche Zahl,
die ungerade ist, das ist auch bestimmt so.
Also ist die linke Formel wahr und auf der rechten Seite
würde ich mir wünschen, dass es eine natürliche Zahl gibt,
die gerade ist und ungerade.
Das kriege ich irgendwie nicht hin,
also ist die rechte Formel falsch,
aber ich finde eine Struktur,
die ihr eine Seite warm macht,
die andere falsch
Und hier oben für die Äquivalenzen kann man sich eben überlegen,
also man müsste das dann irgendwie komplett ausbuchstabieren,
aber die Idee ist halt, eine Struktur,
die das hier auf der linken Seite wahrmacht,
die würde einmal das für alle XF wahrmachen und einem das für alle XG.
Ja, das würde bedeuten, dass F von X eben für jedes X wahr ist,
egal welches ich da einsetze und gehe von X,
auch für jedes X, egal welches ich da einsetze.
Wenn wir an Zahlen denken,
dann ist also F von 1, F von 2,
F, von 3, F von 4 und so weiter,
die sind alle wahr und gehe von 1,
G von 2G von 3G von 4 und so weiter,
die sind auch alle wahr.
Naja, und wenn das der Fall ist,
dann kann ich auch einfach hier direkt mir F von 1 und G von 1,
F von 2 und D von 2,
F von 3 und G von 3
angucken,
die müssen dann auch alle
wahr sein
Also gilt da die Äquivalenz und unten kann man eben argumentieren,
dass wenn es existiert, XF war es oder es existiert XG,
war es. Da gibt es also irgendwie ein X,
das entweder F war, macht oder geh, vielleicht auch beide,
aber eins reicht und das kriege ich dann hier auf der rechten Seite auch hin.
Letzte Äquivalenzengruppe hier, ich kann Quanturen drehen,
also jetzt nicht drehen im Sinne von dem Flippen,
dass ich aus dem Allquanturen Existenzquantur mache,
sondern drehen im Sinne von tauschen, für alle X,
für alle Y ist das gleich,
wie für alle Y und für alle X,
aber man kann eben nur gleiche Quanturen tauschen
Also da stehen jetzt zwei Altquanturen,
die kann ich in ihrer Reihenfolge drehen oder zwei Existenzquanturen,
was ich nicht machen kann, ist eben sowas.
Das heißt übrigens auch, das hätte ich vielleicht nochmal dazuschreiben sollen,
das heißt auch, dass ihr sowas, wenn ihr habt,
für alle X existierten Y für alle Z. Dann dürft ihr
jetzt auch nicht die Altquanturen austauschen oder so.
Dafür müsste man ja einmal das hier benutzen dürfen,
dass man einmal den Altquanturen in den Existenzquantur tauscht oder so.
Also die Idee ist nicht,
dass man Altquanturen nach Belieben austauschen kann,
sondern dass wenn man zwei Altquanturen direkt hintereinander hat,
dass man dann
deren Reihenfolge tauschen kann.
Ein Beweis mal, die gehen alle recht ähnlich,
aber hier mal so ein Beweis,
wenn man hat für alle X F und G oder eben für alle X Klammer auf F und G,
dann ist die Behauptung, dass das Äquivalent ist.
Wie zeigt man das? Man fängt halt mit einer Struktur an,
die eine von den beiden zu eins auswertet und zeichnet durch eine Folge von genau dann Van-Beziehungen,
wo man im Grunde genommen einfach nur die ganze Zeit die
Semantik ausnutzt und in dem Beispiel eben noch das X nicht frei ist,
dass man dazu kommt, dass die andere Formel auch zu eins ausgewertet wird.
Das sieht dann irgendwie so aus. Erste Zeile, wie gesagt,
ich fange an und sage, das ist eins und jetzt
arbeite ich mich erstmal an der semantischen Definition ab.
Hier ist der Hauptoperator das und
Also sich die nächste Zeile so aus. Das muss beides
zu eins ausgewertet werden. Als nächstes bei dem ARG
habe ich jetzt gerade nicht so viel zu tun,
aber bei dem A für alle XF kann ich noch was machen.
Da ist die semantische Definition, dass für alle Elemente des Universums
eben die Zugehörige X-Struktur F zu 1 auswerten muss.
Jetzt kommt das eine, die eine Sache,
wo man irgendwie aufpassen muss oder wo man ein bisschen nachdenken muss,
hierfür für dieses A von G gleich 1 kann ich eben,
weil X ja nicht frei ist in G,
auch das hier machen
Warum die beiden Strukturen hier dieses A und das A mit
dem untergestellten X nach D, die sind ja identisch,
bis auf, dass das Untere eben X2D abbildet.
Naja, wenn X aber nicht frei vorkommt und gehe,
dann bringt das nix. Dann hat das keinen Effekt.
Also sind die beiden gleich. Und jetzt habe ich halt wieder den Fall,
dass hier zweimal die gleiche Struktur steht und dann kann ich wieder
die und die Semantik von und benutzen und komme dann zu der vorletzten Zeile.
Und als letztes kann ich dann eben diese Mantik des Alkontos
benutzen und dann bin ich bei der letzten Zeile und dann steht hier eben,
dass die eine Formel zu 1 ausgewertet wird,
genau dann, wenn die andere Formels 1 ausgewertet wird,
sprich die Formeln haben genau die gleichen Modelle und dann sind
sie Äquivalent
Wer ein bisschen üben möchte, kann sich ja von den anderen
ein paar Mal nehmen. Also man muss jetzt nicht alle machen,
aber dass man vielleicht aus jedem Blog mal eine genommen hat
und sich mal daran versucht hat,
die eine sollte ja auch in den Übungsaufgaben oder den Präsenzaufgaben machen.
Zumindest die eine Nicht-Äquivalenz. Da kriegt man dann
ein ganz gutes Gefühl für diese ganzen Schreibweisen.
Ja. Fragen? Also es waren jetzt erstmal Aussagen,
logische Äquivalenzen und Prädikaten, neue Prädikaten, logische Äquivalenzen,
die um irgendwas mit Konturen zu tun haben.
Fragen, Fragen, Fragen
Wenn man das ein, zwei Mal gemacht hat,
ist, also wenn man nachher versucht, eine Formel in
so eine Klausel-Normalform umzuwandeln, dann ist das relativ klar.
Also bevor jetzt irgendwie jemand fragt,
ob man all diese Äquivalenzen auswendig lernen muss,
die sind relativ einfach, die basieren alle darauf,
dass man die Quantoren nach vorne zieht.
Also sehr viel mehr passiert da nicht. Sehen wir auch
gleich mal. Eine Sache noch kurz. Wir hatten ja
auch in der Aussagenlogik diese Äquivalenzen und damit man die sinnvoll benutzen kann,
um eine Normalform zu erzeugen,
aber auch mit so einer Ersetzbarkeitstheorie,
damit man
irgendwie Teilformeln durch äquivalente Teilformeln ersetzen kann
Kann man hier auch machen. Satz klingt genauso,
nur dass es jetzt eben keine Aussagen logischen Formeln sind,
so eine Prädikat, logische Formeln. Wenn ich also zwei Formeln F&G habe,
die äquivalent sind und F tritt in H als Teilformel auf,
dann kann ich F durch G ersetzen und kriege eine äquivalente Formel raus.
Kann man auch wieder mit struktureller Induktion machen.
Geht quasi alles wie im Außergelogischen Fall. Ein einziges Ding,
was man ja auch in der Außergelogen noch nicht hatte,
sind eben diese Quanturen. Das heißt,
was man in einem der Induktionsschritte zeigen will, ist,
dass wenn H1 und H1 einen Strich schon äquivalent sind,
dann sind eben auch, wenn ich da Existenzquanturen davor schreibe,
die Formen äquivalent,
beziehungsweise wenn ich All-Quanturen davor schreibe,
die Formeln äquivalent
Und für den Existenzkontofall sieht das eben so aus,
man darf ja davon ausgehen, dass HS und H1 Strich äquivalent sind.
Und jetzt nimmt man sich ein Modell für,
es existiert XH1, also für die Formel hier,
und zeigt, dass das dann auch ein Modell ist,
so existiert XH1 Strich.
Da arbeitet sich wieder erstmal in der Symantik ab.
Die Bedeutung davon, dass A ein Modell davon ist,
ist, dass es irgendwie ein Element des Universums gibt,
sodass diese zugehörige X-Struktur H1 eben zu 1 auswertet.
Daher 1 und H1 Strich, jetzt aber Äquivalent sind,
heißt das, alle Strukturen werten
die gleich aus. Das heißt, diese X-Struktur,
wenn die H1 zu 1 auswertet,
dann wertet ihr eben auch H1 Strich zu 1 aus
Genau, müsst ihr hier stehen wegen H1-H1-Strich,
ist dann eben auch, gilt dann auch,
dass es 1D gibt, sodass die Ex-Struktur eins zu eins auswertet.
Und damit ist dann eben wieder A von,
es existiert XH1-Strich 1 und man ist fertig.
Und der für alle Fall läuft analog. Das ist eigentlich genau das Gleiche,
nur das hier steht, dann gibt es ein DNU,
da steht dann, dann gilt für alle DNU.
Das A von X nach DH1 gleich 1 ist. Und
dann hat man das als Setzbarkeitstheorie und dann darf man das alles machen.
Also die Equalenzumformung darf man dann machen. Beispiel,
Unten steht schon mal drunter, nicht,
dass ihr irgendwie darüber nachgerübelt, was die Formel jetzt bedeuten soll.
Das ist also die Beispiele, die heute in der Vorlesung sind,
dass es einfach irgendwie Formeln hingeklatscht, damit man sehen kann,
wie die Umformung funktionieren. Erster Schritt,
ich will die Negation dich da an die atomare Formel ranziehen,
also zieh es über den Quantor rüber,
dabei muss ich den Quantor drehen.
Zweiter Schritt, ich will das vordere,
es existiert X
nach vorne ziehen
Also bis jetzt steht da ja,
es existiert XP von X und das impliziert irgendwas und ich möchte,
dass die Implikation der Hauptoperator wird.
Also zieh es nach vorne und da war die Geschichte,
wenn ich das aus der Prämisse der Implikation nach vorne ziehe,
dann dreht sich der Quanto auch. Eben Begründung nochmal,
weil A impliziert B eben Äquivalent ist zu Nicht-A oder B,
also versteckt sich da so eine Integration.
Und als drittes ziehe ich noch
den Existenzkonto nach vorne
Frage, ist das? Ja. Nochmal? Das hier,
die Frage war nochmal,
wie man von der zweiten auf die dritte Zeile kommt
Ja, wenn das so aussieht, also F finden ist ja egal,
es geht ja nur um den vorderen Teil.
Hier vorne steht jetzt ein Existenzquantur. Den wollen wir nach vorne ziehen.
Und die Idee jetzt, warum der hier flippen muss,
ist, dass diese Äquivalenz hier gilt. Wenn man die benutzt,
wird das Äquivalent zu, das ist jetzt mal A,
und das ist mal B. Also wohl gemerkt, die ganze hier,
das ist, es existiert XP von X ist das A,
das ist die Prämisse.
Also habe ich nicht,
es existiert
Ja. Also die Implikation aufgelöst, jetzt ziehe ich
die Negation rein. Und jetzt war ja die Idee,
wenn keine neuen Variablenbindungen auftreten, also wenn in dem F,
das X nicht frei vorkommt,
dann darf ich den Al-Quantur nach vorne ziehen.
Also kann ich jetzt diesen Al-Quantur hier nach vorne ziehen und kriege dann Das raus.
Und als letztes kann ich eben wieder mit der Äquivalenz hier
dieses Nicht-P von XO oder F dafür wieder P von X impliziert F schreiben.
Wow. Okay, die letzte Zeit ist stark gekrakelt.
Jetzt klar. Klar
Und hier kann man auch ganz gut sehen, warum sich
der Quantum nicht flippt, wenn er hier hinten steht.
Da kann ich das Gleiche machen. Da steht hier halt
der Quantor und da ist nichts mit Negation.
Das heißt, der ändert sich nicht. Und wenn ich den
dann nach vorne ziehe, bleibt er so, wie er ist.
Also nur, wenn das vorne in der Implikation steht,
nur wenn das vorne in der Implikation steht,
soll sich das drehen und sonst eben nicht.
Achso, und das ist der Quanto bei so einer Negation.
Flippt ist euch klar, dass irgendwie nicht für alle X
das Gleiche ist, wie es existiert,
ein X mit nicht irgendeiner Eigenschaft
Ja. Weil das ein Fehler ist, danke.
Also das Y hier muss weg. Das,
das und das, die drei müssen weg. Na,
also hier nicht für alle Y, da soll das flippen,
ist klar, es existiert Y nicht Q von Y, danke.
Da macht ja auch gar keinen Sinn,
das ist ja gar keine Formel mehr und so,
das ist ja ein totaler Käse
Habe ich auch immer im Vorlesen nicht gesehen. Sehr schön.
Gut. Frage dazu noch. Darf ich die zwei hier
drehen? Für alle X? Also darf ich hinschreiben,
es existiert Y für alle X und dann die Formel?
Ist das Äquivalent? Ja oder nein? Wer ist für Jahr
? Echt, warte, Moment, Moment, Moment,
Moment, Moment. Okay, wer ist dafür,
dass sich die Quantur, wenn ich, wer ist dafür,
dass wenn ich die Quanturen drehe,
dass ich dann eine äquivalente Formel kriege
Frage nochmal. Also ich bin dafür. Wer meint,
dass das nicht so ist, wer meint,
dass da was nicht Äquivalentes rauskommt?
Auch niemand. Jetzt habe ich euch alle verunsichert.
Warum? Ja
Ja. Stimmt alles? Also er hat gerade gesagt,
ich darf ja die Quanturen nicht drehen,
wenn die irgendwie unterschiedlich sind und so.
Stimmt alles, ich habe trotzdem recht. Warum? Warum,
warum, warum? Was passiert, wenn ich,
ich habe doch hier im, lass mich nachdenken,
beim Übergang vom zweiten zum dritten.
Habe ich zuerst den vorderen Quantur rausgezogen.
Das ist existiert, X habe ich rausgezogen.
Also aus dem existiert X habe ich ihn für Alex gemacht,
aber das war der, der zuerst rausgezogen hat.
Was passiert,
wenn ich den anderen zuerst rausziehe
Ja, dann steht der vorne. Weil die beiden, eine Frau, die... Genau. In dem Fall,
also die Formel wird tatsächlich auch äquivalent dazu,
dass ich die beiden hier drehen darf,
aber der Schritt ist eben nicht,
dass ich hier ankomme und jetzt sage, oh,
dann kann ich die ja auch drehen,
sondern der Schritt wäre gewesen, hier vom zweiten zum dritten,
zuerst,
dass es existiert,
Y nach vorne zu ziehen und dann das,
es existiert X und daraus halten für alle X
zu machen
Und dann wäre das Äquivalent. Aber normalerweise, also im
generellen Fall, darf man die Quantur nicht einfach so drehen.
Hier ist es zufällig so, dass Äquivalente Formeln rauskommen.
Schreibe ich nochmal als Anmerkung dazu. So, jetzt,
ja. Stimmt, diese Äquivalenz. Ja, nein,
vielleicht, manchmal. Was meint ihr?
Ist falsch
Musik Ja, finde ich auch. Eine Begründung war irgendwie,
wenn für alle XF von X gilt und für alle XMG von X,
dann ist also F1 auf 2 auf 3 und G1 G2G3,
die sind irgendwie alle wahr, dann passt das.
Gilt das da? Was habe ich noch überhaupt? Für
alle XF von X oder G von X oder eben für alle
X, Klammer auf, Aphonix oder G von X,
Klammer zu
Musik Wer ist für manchmal? Ne,
ich finde das ja gut, weißt du manchmal?
Niemand outet sich. Wer, wer kann Nein begründen?
Also nein, ist richtig, aber wer kann das begründen?
Warum Nein? Hast du dann 22 Leute hineingedrückt,
das muss ja noch mehr geben hier, die sich melden.
Ja, schieß los.
Das stand eben auf der Folie. Nein, nein,
nein. Weißt du, ein Gegenbeispiel? Ja. Ja,
er meinte gerade, hier ist es nicht gebunden,
da hinten ist es gebunden, ist richtig,
begründet noch nicht, warum das nicht Äquivalent sein darf.
Also wenn ich begründen, wenn ich euch jetzt irgendwie zwei
Formeln gebe und ich sage, sind die Äquivalent ja oder nein?
Dann könnt ihr entweder sagen, ja,
und dann müsst ihr so einen Beweis führen oder ihr sagt,
nein, dann gebt ein Gegenbeispiel an.
Und hier ist ein Gegenbeispiel, basiert natürlich auf der Idee,
Ein Gegenbeispiel ist, ihr macht F irgendwie leer,
dann wird der Teil ja nie wahr, da das auch nicht.
Und dann interpretiert ihr auf der linken Seite X mit, was weiß
ich, drei und G interpretiert ihr mit der Menge,
die drei enthält, dann wird das hier sofort wahr,
weil das Rechte des Jugend halt wahr ist.
Und hier aber nicht, weil eben weiterhin nicht alle Xe in G drin sind.
Eine ganz einfache, ein ganz einfaches Gegenbeispiel.
Letzte Frage. Darf ich das, was ich eben gemacht
habe, mit dem Existenzkonto machen
Musik Aha. Möchte sich diesmal jemand von den drei,
die manchmal gedrückt haben, mauten? Jetzt repräsentierst du wenigstens
ein drittes oder nicht ein, 22., so wie eben.
Damit kann ich neu irgendwie leben. Noch jemand, manchmal
ist richtig, warum? Wenn jetzt sind die hier,
dann auch die oder die Matratik zuhörst. Das ist egal. Ja,
kann man noch mehr ausweiten, also nicht nur Tautologin und Kontradition, sondern Ja. Genau. Genau,
sinngemäß, wenn das X da nicht drin vorkommt,
genauer formuliert, wenn X da nicht frei drin vorkommt,
weil es darf halt vorkommen in so einer Art,
wie für alle XP von X oder so,
solange es da nicht frei darin vorkommt, stimmt die Äquivalenz,
wenn es da frei darin vorkommt, stimmt sie nicht.
Jetzt kann man sich darüber streiten,
wie das hier gemeint ist mit G,
also wenn man so eine Formel gibt und nichts dazu sagt,
dann würde man normalerweise vielleicht davon ausgehen,
hier vorne steht F von X,
wenn hier nichts steht,
dann ist G also ein Aussagesymbol und dann würde die Äquivalenz auch gelten,
weil dann tritt das X ja nicht frei da drin auf
Also das ist so ein bisschen so, hier ist das okay,
so zum Nachdenken, aber als Klausurfrage ist das nicht geeignet.
Es sei denn, man sagt ganz explizit,
G soll irgendwie eine Prädikaten logische Formel sein,
dann ist das ja klar.
Aber wenn das da jetzt irgendwie einfach nur so gegeben ist,
ist das doof. Da einmal zur Nachbereitung und jetzt die
Frage, was stört uns denn jetzt noch?
Also wir wollen ja irgendwie so eine Normalform haben.
Bei einer Normalform kann man sich ja erstmal ganz viele Dinge wünschen.
Was wir ja schon vielleicht hinkriegen, ist irgendwie,
wir können Äquivalenzumformungen machen, vielleicht sowas erstellen wie so eine Art konjunktiver Normalform oder so.
Dann haben wir da noch irgendwie Quantore,
die können wir so ein bisschen nach vorne ziehen und so.
Aber was könnt ihr uns
noch stören
Wenn ihr euch was wünschen dürftet, was wollt ihr in
euren Prädikaten, logischen Formeln alles nicht mehr haben?
Was stört euch? Stört euch gar nichts? Wir stören
ganz viele Dinge. Wenn wir uns das Beispiel da angucken,
Auch Äquivalenzumformung bei dem, es existiert XP von X-Forne,
da mache ich irgendwie gar nichts. Aber bei dem anderen hier,
da ziehe ich jetzt irgendwie in die Negation rein,
mit diesem Demorgen-Gesetz, kommt er irgendwie nicht von PEA und nicht,
es existiert X, Q von X raus.
Jetzt kann ich hier den Quantor flippen, um die Negation,
da dich da reinzuziehen. Und dann kann ich noch,
weil das X ja hier nicht auftritt, in dem Nicht-Pvn A,
kann ich das X noch irgendwie nach vorne ziehen.
Also richtig dufte sieht das aber nicht aus.
Also mich stören da mindestens zwei Sachen.
Und eigentlich noch eine dritte, wenn ich die Formel
ein bisschen umändere
Also, mich stört, dass das X hier zweimal auftritt.
Da ist es an den Existenzquantur gebunden,
da ist es an den Alquantur. Das nervt mich schon,
weil der muss sich irgendwie aufpassen, was ich tue,
welches X jetzt mit was gemeint ist und so.
Das stört mich, dann stört mich auch,
dass mich das daran hindert, diese Quanturen weiter nach vorne zu ziehen.
Ich würde das nämlich voll gerne machen,
alle Quanturen vorne haben, aber das kann ich jetzt nicht.
Finde ich auch doof. Also, einen kann ich ja irgendwie,
einen kann ich weiter nach vorne ziehen, aber den anderen dann nicht.
Das finde ich doof. Also, ich hätte gerne,
dass die gebundenen Variablen alle unterschiedlich heißen, das werde ich ja wohl hinkriegen.
Und ich möchte gerne alle Quanturen nach vorne ziehen können,
das werde ich dann folgern können.
Und was mich auch noch ein bisschen stört ist,
hier steht jetzt zwar ein A, Und A,
ist eine Konstante und so und das wäre irgendwie noch okay.
Aber nehmen wir mal, dass wir eine Variable, so ein Y oder so.
Das stört mich auch. Dass ich dann irgendwie,
dann habe ich da, oder noch schlimmer,
es wäre ein X. X könnte hier ja auch noch zusätzlich stehen und frei auftreten.
Dann dürfte ich in der Altquantur nicht mal vor das Umziehen.
Wenn das eine andere Variable ist, sowas wie ein Y,
dann stört mich das auf, weil freie Variablen sind irgendwie immer doof.
Will ich eigentlich auch nicht haben. Das alles stört mich
noch. Also gleiche Variable kann an unterschiedlichen Quantoren stehen,
nervt mich, Hilfsmittel, gebundene Umbenennung,
gebundene Variablen werden wir gleich umbenennen dürfen.
Dann stört mich,
dass eine Variable frei und gebunden
auftreten kann
Da hilft auch gebundene Umbenennung. Und dann stört mich,
dass die Quarturen so verstreut sind. Die hätte ich alle
gerne vorne. Die drei Sachen machen wir jetzt gleich noch.
Und danach kann man sich noch, was dann nämlich auch noch stört,
dass überhaupt solche freien Variablen auftreten, die binden wir dann mit Existenzquanturen.
Das wird aber nur noch Erfüllbarkeitsequivalenz sichern. Und dann stört uns
tatsächlich noch das überhaupt Existenzquanturen auftreten. Die Begründung dafür ist,
wenn ich die nicht habe, wenn ich nur noch Allquanturen habe,
dann lässt sich viel leichter mit diesen Formeln arbeiten,
weil man dann quasi, wenn da irgendwo ein X oder ein Y steht,
irgendein beliebiges Universumselement einsetzen kann.
Und wenn man Widerspruchsbeweise führen will, ist das herrlich,
weil man, um eine so allqualifizierte Formel zum Widerspruch führen zu können,
muss man ja nur ein Gegenbeispiel finden.
Also irgendwie ein Wert des Universums, den ich da einsetzen kann
, sodass ich einen Widerspruch habe
Wenn ich durch Existenzquanturen gebundene Variablen habe,
ist Widersprüche finden doof, weil wenn ich jetzt zeigen kann,
naja, mit dem Wert geht das nicht,
vielleicht geht es mit irgendeinem anderen.
Das nervt. Ergo will ich dir auch weghaben. Und
wenn man sich überlegt, dass das da alles erreicht ist,
dann kann man sich schon vorstellen, wie die Formeln aussehen.
Dann habe ich vorne so eine Folge von Altquanturen.
Dann kommt in der sogenannten Matrix die eigentliche Formel.
Die kann ich jetzt noch in konjunktive Normalform bringen, das ist schön.
Und da treten auch nur noch irgendwie Variablen auf,
die alle schön unterschiedlich benannt sind und die alle allqualifiziert sind.
Also der quasi in der Matrix die ganze Info.
Und damit kann ich dann quasi wieder Resolution machen.
Da wollen wir hin
Erster Schritt, gebundene Umbenennung. Kann man sich schon vorstellen,
dass irgendwie, wie gesagt,
für alle XF von XA irgendwie das Gleiche ist,
wie für alle Y, F von Y. Aber wenn man das ausführen möchte,
dann fühlt man sich erst mal so eine Variablensubstitution ein.
Wenn ich eine Formel habe, F,
eine Variable X und ein Therm Tee, dann schreibe ich
eben F und jetzt direkt dahinter dieses X nach Tee.
Für die Formel, die aus F hervorgeht,
wenn nicht jedes Auftreten von X,
jedes freie Auftreten von X durch Tee ersetze.
Boah, das kann man machen. Und jetzt kann man
sich das sogenannte Überführungslämmer angucken
Sag ich gleich mal mündlich was dazu, wir es dann genau lesen möchte,
hier steht im Buch von Schöning als Übung drin und er hat ja hinten seine Lösung.
Die Idee ist,
wenn ich jetzt so eine Formel F habe und ich substituiere da X durch Tee,
dann ist der Wert, den eine Struktur dieser dann entstehenden Formeln zuweist,
der gleiche wie die Struktur A eben die X,
den Wert A von Tee zuweist.
Und dann kann ich mir F angucken. Warum ist das so? Naja,
hier auf der linken Seite habe ich eben alle X durch
irgendwie diesen Term Tee ersetzt und werte das irgendwie aus.
Auf der rechten Seite mache ich das im Grunde genommen auch,
weil die Xe, die jetzt hier auftreten, Da steht jetzt,
sind taktisch weiterhin X und semantisch ist das hier eben gerade die Struktur,
die die Xe zu A von Tee auswertet,
also die das Gleiche tut,
wie wenn ich die Struktur A direkt auf die Formel FXT anwende.
Da muss irgendwie das Gleiche rauskommen. Auf der linken Seite
wird quasi sintaktisch ersetzt und dann die Struktur A darauf angewendet
und auf der rechten Seite habe ich nicht sintaktisch ersetzt,
Sorge dann aber auf semantischer Ebene dafür, dass sich das X eben richtig ersetze.
Aber das beweisen würde, brauchen wir wieder so einen etwas länglichen Induktionsbeweis.
Von der Idee her ist das aber recht einsichtig.
Dass da das Gleiche passieren muss. Und damit kann man
jetzt eben gebundene Umbenennung schön definieren
Dass man eben sagt, wenn ich so eine Formel habe,
F und ich betrachte jetzt die qualifizierte Formel,
es existiert XF,
dann kann ich eben auch die Formel betrachten, F,
in der ich X durch Y ersetze und dann qualifiziere ich die mit.
Es existiert Y. Und das Y darf halt vorher nicht in F auftreten,
weil ich sonst eben so Probleme kriege mit,
dass ich plötzlich Bindungen einführe und so, das will ich nicht.
Beweis dazu, ich will wieder die Äquivalenzen zeigen,
wir machen wieder nur den linken Fall hier,
den für den Existenzquantur,
der Alquantur-Fall geht dann analog
Fängt mal wieder an und sagt, ich habe jetzt irgendwie
eine Struktur, die die eine Seite eben zu eins auswertet.
Hier fange ich jetzt mal mit der rechten Seite der Äquivalenz an und ich will zeigen,
dass es auch die linke Seite zu eins auswertet.
Und jetzt arbeite ich mich wieder an der, an den
semantischen Definitionen ab und einmal benutze ich eben dieses Überführungslemmer.
Dann sagt man hier, diese mannische Definition des Existenzkontos ist,
dass es ein Element des Universums gibt mit der Eigenschaft,
dass die zugehörige X-Struktur die Formel eben zu eins auswertet.
Nun, jetzt kommt der Schritt eben mit dem Überführungslemmer.
Hier habe ich die Formel F in der X durch Y
ersetzt wird und diese Struktur wertet das zu eins aus
Dann muss die Struktur, die überall das Gleiche tut,
wie dieses A Y,
nach D, eben noch mit der zusätzlichen Eigenschaft,
dass sich jetzt das X auf den Wert A von Y
abbildet und A von Y ist eben gerade D. Genau,
und die Struktur, die muss dann das Gleiche tun,
die muss das auch zu eins auswerten.
Also hier war ja die Idee da,
da schreibe ich jetzt A von T hin,
also den Wert, den ich für das X hinschreiben möchte,
da gucke ich in der Struktur nach, was das ist.
Hier möchte ich X durch Y ersetzen,
also muss ich X ersetzen durch A von Y und A
von Y ist eben gerade D,
weil das ja die Struktur ist hier,
die Y
gerade auf D abbildet
Joa, und dann kann ich wieder die Quantoreninterpretation benutzen.
Es gibt ein D mit eben der Eigenschaft X nach D von FS1,
also kann ich da jetzt den Existenzkonto für das X hinschreiben.
Und dazu guterletzt das Y eben nicht freien F-Auftritt,
das ist ja hier oben eine Forderung, Y,
die nicht in der F vorkommt.
Habe ich dann, A-Phone ist existiert XF.
Gleich eins muss da noch stehen. Hier muss sowohl da jetzt
auch da noch eine einstehen in den letzten beiden Zahlen.
Und dann hat man das
Und der Beweis ist jetzt so ein bisschen,
also auch das mit dem Überführungslämmer und so ist ein bisschen kompliziert,
aber die händische Ausführung nachher, die ist total einfach.
Da guckt man sich irgendwie an, den Quantor,
an den eine Variable gebunden ist, was bindet die alles
für Variablen und die alle benenne ich dann eben um.
Also oben steht nochmal der Satz, unten steht eben,
was uns das erlaubt, also gebundene Umbenennung,
erlaubt uns, gebundene Variablen umzubenennen.
Und das solltet ihr im Toolies nicht machen,
also Freivariablen solltet ihr nicht umbenennen,
das erhält die Äquivalenz nicht.
Die beiden Formen hier sind offensichtlich
irgendwie nicht äquivalent
Weil ich dann in der Struktur mir aussuchen kann,
wie ich X und wie ich Y interpretiere,
das kann ich Äquivalent sein.
Ihr seid gebundene Umbenennung, sind F und G-Äquivalent,
kriegt man das hinten.
Was habe ich
noch gemacht
Musik Oh. Ja, nein,
manchmal weiß ich nicht.
Manchmal, nee
Wer ist denn für Nein und warum? Also ja,
ist richtig, aber vielleicht möchte ja jemand sein Nein kurz begründen.
Wenn ihr euch anguckt, hier dieses,
es existiert X hier vor dem Q von X,
das bezieht sich ja tatsächlich nur auf das Q von X,
sonst müsste das alles geklammert sein.
Sonst müsste er stehen, es existiert X, Klammer auf,
Q von X oder R von X, Klammer zu.
Und so wie es hier halt steht,
bindet diese Altquantur das X von dem P von X
und es bindet das X bei dem R von X hier
Und hier wurde jetzt eben nicht das Ding hier umbenannt,
das X bei dem Q,
sondern es wurde halt das durch den Allkontur gebundene X in
Y umgewandelt und dann erinnert sich eben das und das.
Also ist ja in dem Fall richtig. Über die Sinnhaftigkeit
der Formel kann man sich wieder streiten, aber...
Außerdem fehlt da noch eine Klammer, ne?
Das macht das Ganze zusätzlich doof. Also die schließende Klammer
von dem hier fehlt. Für alle X öffnende Klammer und
er musste sich da wieder schließen.
Die fehlt noch
Ja. Und da? Da ist es noch ein bisschen mehr passiert,
da wurde jetzt nicht einfach nur Umbenennung gemacht,
sondern der hier ist auch noch nach vorne gewandert, ne?
Also da sind zwei Schritte passiert,
eine Äquivalenzumformung und dann eine Umbenennung
Musik Ne, genau. Problem hier ist, Hab den hier irgendwie nach vorne gezogen.
Dabei binde ich den jetzt aber plötzlich neu, das darf ich nicht machen.
Also bisher ist ja das, auch wenn die Form jetzt irgendwie anders aussieht,
als eben mit der Implikation, von der Klammerung und so,
ist das das Gleiche, was auch bedeutet,
dass hier hinten wieder die schließende Klammer fehlt.
Und der erste Existenzkonto,
der bindet dann eben das P von X und das R von X,
also das X in dem P von X und das X
in dem R von X. Und dann darf ich den hier nicht einfach nach vorne ziehen und dadurch,
dass X neu binden.
Das geht nicht.
Ja, und zuletzt die hier
Sind die beiden Äquivalent, es existiert XP von XU oder P
von X, U oder P von X?
Oh. Nein, nein, nein, nein,
nein, nein. Der Satz ist gebundene Umbenennung,
man darf nur
gebundene Variablen umbenennen
Hier habt ihr aus dem X ein Z gemacht oder das X ist aber frei.
Dann habt ihr Freivariablen und bin dann Freivariablen nicht umbenennt,
nur gebundene Variablen umbenennen. Es gibt so ein paar ganz
typische Fehler, die immer bei diesen Normalformerstellungen gemacht werden.
Das ist halt einer davon. Deswegen steht es da gleich auch
nochmal irgendwie. Da nochmal die Beispiele nachher zum Nachbereiten.
Immer gucken, worauf sich so ein Quantur bei seiner Benennung
da bezieht und dann eben dementsprechend umbenennen.
Also hier kann man zum Beispiel aus dem,
was habe ich noch gemacht? Im ersten Schritt habe ich hier,
dass es existiert, XQ von X,
da habe ich ein existiert Z gemacht
Und dann habe ich das noch nach vorne gezogen.
Mir ist da nicht passiert. Man hätte auch irgendwie,
hier habe ich aus dem X,
das durch den Altquantur gebunden ist, eine U gemacht,
dann wird halt hier aus dem X&U und da hinten aus dem X auch ein U.
Und der hier ändert sich nicht,
weil der eben ja gebunden ist an den Existenzkontur.
Und dann kann ich auch da, dass es existiert,
nach vorne ziehen und habe irgendwie eine andere Formel.
Das kann man halt machen und eben nie freie Variablen umbenennen.
Also hier kann ich irgendwie aus dem X&Z machen und hier
vorne das umbenennen
Aber ich kann eben nicht das hintere Set umbenennen, das ist nicht äquivalent. Und der Sinn ist eben,
dass man durch diese gebundenen Umbenennung zum einen diesen Fall hier vermeide,
dass ich hier ein P von X, äh,
ein X habe,
was an den Allquantur gebunden ist und hier ein X,
das an den Existenzquanto gebunden ist,
sondern dass das irgendwie schick so aussieht, dass ich weiß,
hier ist ein X und da ist ein X und die sind beide an dieses X da gebunden,
an den Allquantur.
Das ist das eine, was ich möchte und das andere ist,
dass ich eben nicht Sonnenfall hier haben möchte,
weil das da manchmal verwirrend ist, eben irgendwie festzustellen,
worauf sich der Quanto,
ob der Quanto sich jetzt nicht doch auch noch auf das Buch von explizit oder so,
das ist so halt einfach irgendwie eindeutiger.
Also freie Variablen und gebundene Variablen sollen
unterschiedlich benannt sein
Deswegen kann man das jetzt noch irgendwie schön benennen.
Dann sagt man, Formel ist bereinigt,
wenn eben keine Variable sowohl freier als auch gebunden auftritt.
Und wenn alle Quanturen unterschiedliche Quanturenvariablen aufweisen. Und das kriegt man
eben mit dieser gebundenen Umbenennung hin. Und dann kann man auch sagen,
sie ist in Prenex-Form, wenn sie die Form hat,
dass vorne so eine Reihe von Quanturen ist.
Und dann kommt eben eine Formel G, die keine Quanturen mehr enthält.
Und dann nennt man diese Quanturenfolge auch das Prefix und
die Formel hinten das G,
das nennt man
die Matrix
Und wenn eine Formel all das hat,
wenn sie bereinigt ist und in Predigsform,
dann nennt man die eben in BPF oder in bereinigter Predigsform.
Und das ist schon irgendwie schick. Aber da können eben noch
diese Existenzquanturen auftreten und es können noch freie Variablen auftreten.
Jetzt kann man erstmal noch zeigen, was man jetzt schon vermutet,
dass sich halt zu jeder Formel so eine äquivalente Formel in bereinigter Predigsform finden kann.
Und was man eben erstmal machen kann, ist,
man macht mit der gebundenen Umbenennung,
arbeitet man so lange,
bis eben alle Variablen unterschiedlich benannt sind und keine durch den
Quantur gebundene Variable anders genauso heißt
wie eine freie Variable
Den hat man da schon mal. Und um den Beweis hier ein bisschen abzukürzen,
gehen wir nochmal davon aus, dass wir keine Biimplikation haben.
Sonst kriege ich die irgendwie, sonst ist es A,
Biimpliziert B eben das gleiche VR, impliziert B und B impliziert A.
Dann habe ich die rausgenommen. Und dann kann man eben
mit struktureller Induktion das beweisen. Anfang ist einfach,
wenn F-Atomar ist, dann ist es bereits im Bereich der Premix-Form.
Und dann kommt eben diese Induktionsannahme, wo ich davon ausgehe,
dass F-1 und F-2 zwei Formeln sind mit diesen Äquivalenten,
bereinigten Premixformen. Und dann darf ich erstmal,
wie gesagt, wegen dem Satz von eben eben annehmen,
dass die Variablen, diese ganzen XIs und die ganzen YIs,
dass die alle schön unterschiedlich benannt sind und dass
auch keine davon so heißt wie eine Freivariable
Und was ich mir jetzt eben im Induktionsschritt angucke, ist,
was passiert bei F1 oder F2, bei F1 und F2,
bei F1 impliziert, F2 und so,
kriege ich das immer in eine bereinigte Predigsform.
Und die ersten Fälle sind eben einfach und oder und die
Quantoren sind einfach, warum, weil da nichts passiert.
Also bei dem und habe ich dann für F1 und F2,
das ist Äquivalent zu diesem,
zu dem ersten Prefix mit G1 und dem zweiten Prefix mit G2
und dann kann ich einfach alle Quantoren nach vorne ziehen.
Und sich erst die von diesem G1 da vorne und dann
die von dem G2 fertig, bei dem oder genauso.
Und wenn da eben Quantor auftritt,
also dieses existiert XF1 oder für alle XF1,
Wenn das X vorher nicht auftrat, dann ist das in BPF vorne.
Es sind ja die ganzen Quanturen. Und wenn das vorher auftrat,
also wenn X das Gleiche ist wie irgend so ein XI,
naja, dann kommt das X eben in der Formel,
wie sie vorher war, wie die Formel,
die Feuerequillenpa zu F1, nicht mehr frei vor.
Und dann sind die eben irgendwie alle gleich.
Dann ist existiert XF1 das Gleiche wie für alle XF1 und das
ist eben Äquivalent zu F1 oder eben zu diesem Q1 bis Dings.
Das ist einfach und dann ist der schwierige Fall,
oder das ist schwierig gefallen, eben die Negation und das,
was bei der Implikation passiert,
bei der Negation geht man eben einmal über alle Quanturen
rüber und flippt die
Ist die Negation ganz vorne, vor dem G1.
Und bei der Implikation, die Quantoren, die vorne stehen,
flippen, die Quantoren, die hinten stehen, nicht flippen.
Fertig. Also, lange Rede, kurzer Sinn,
wenn man eine Formel in BPF bringen will,
erst die Variablen so umbenennen,
dass gebundene Variablen anders heißen als freie Variablen,
dann die Variablen nochmal so umbenennen, dass keine zwei gebundenen Variablen gleich heißen.
Und dann mache ich Äquivalenzumformungen, die darauf basieren,
einfach alle Quantoren immer nach vorne zu ziehen.
Und bei Negation und bei Implikationen muss ich eben aufpassen.
Bei der Negation muss ich sie flippen, die quanturen,
wenn ich das nach vorne ziehe.
Und bei der Implikation muss ich die Quantoren flippen,
die vorne in der Prämisse stehen
Fertig. Genau. Und das ist das Verfahren,
das ist das, was ich eben erzählt habe.
Da steht es auch nochmal nur gebundene Variablen, umbinde nicht die Freien.
Und dann kriege ich eine Äquivalente, Bereinigte. Dann durch
die Äquivalenzumformung die Quantoren nach vorne ziehen und eben bei der
Negation und bei der Prämisse der Implikation, die Quantoren flippen.
Und dann hat man schon eine BPF, wenn man jetzt möchte,
kann man eben noch bei der Matrix ein bisschen arbeiten,
sodass die dann in KNF oder DNF ist,
je nachdem,
was man
gerade haben möchte
Genau. Beispiel dazu ist in den Übungsaufgaben passiert eigentlich nicht so viel.
Also wenn man das ein, zwei Mal gemacht hat, ist das relativ einfach.
Fragen dazu. Dann die oberen drei Sachen haben wir erledigt.
Jetzt sieht die Formel eigentlich schon ganz cool aus,
aber was uns immer noch stört ist,
freie Variablen treten auf und Existenzkonturen treten auf.
Versteht auch schon, was man macht, Bindung durch Existenzkonturen, Schoolimisierung.
Erstmal die beiden Sachen, also bisher, das alles,
was wir jetzt erledigt haben, die waren ja alle,
das waren ja alles Äquivalenzumformungen, also diese Formel,
die wir rauskriegen, die in Predigsform ist,
die ist Äquivalent zur ursprünglichen Formel.
Um jetzt die Sachen noch wegzukriegen, die uns auch stören,
klappt das mit Äquivalenz nicht mehr, aber es klappt mit Erfüllbarkeitsäquivalenz.
Und zwar zwei Formeln sollen erfüllbarkeitsäquivalent sein,
wenn F genau dann erfüllbar ist,
wenn die
eher füllbar ist
Meistens schreibt man das aus, meistens sagt man,
die sind erfüllbarkeitsäquivalent, wenn man das mal irgendwo machen möchte.
Ich habe so dieses Äquivalentzeichen mit so einem kleinen E,
mache ich dann manchmal, um zu sagen, das ist erfüllbarkeitsäquivalent.
Und das Wichtige ist eben, so das,
was in der Definition drinsteht, zwei Formen sind erfüllbarkeitsäquivalent,
wenn sie beide erfüllbar sind, muss aber nicht mit den gleichen Strukturen passieren.
Oder wenn sie beide unerfüllbar sind. Und das eben,
dieses, dass ich jetzt zu einer Formel komme,
die nur erfüllbarkeitsäquivalent ist, das reicht halt bei so einem Verfahren wie Resolution.
Und wenn ich da zeigen kann, dass das unerfüllbar ist,
weiß ich, die ursprüngliche Formel ist auch unerfüllbar.
Deswegen ist das ganz nett. Und was man jetzt eben machen kann als erstes,
freie Variablen binden, Wenn ich eine Formel-F habe und ich habe eine Variable X,
dann sage ich, F ist genau dann erfüllbar,
wenn für alle XF erfüllbar ist.
Nicht mehr Äquivalent, aber Erfüllbarkeitsäquivalent, ne? Also dieses
F ist genau dann erfüllbar, wenn für alle XF erfüllbar ist.
Das ist gerade die Definition hier. Wenn F genau dann erfüllbar ist,
wenn G das ist. Also könnte man auch sagen,
F und es existiert, XF sind Erfüllbarkeitsäquivalent.
Und daraus folgt dann, wenn ich das habe,
dann kann ich eben sagen, naja gut,
jetzt nehme ich mir eine Formel F,
bei der vielleicht noch ein paar freie Variablen dabei sind und
all diese freien Variablen binde ich,
indem ich vorne Existenzquanturen hinschreibe
Dann weiß ich, ich habe eine Erfüllbarkeits-äquivalente Formel und es
treten keine freien Variablen mehr auf.
Ich führe mir aber noch mehr Existenzkonturen ein. Ich habe
ja vorhin schon gesagt, ich will die eigentlich nicht haben.
Jetzt führe ich mir noch mal ein paar ein,
aber nachher kommen die alle weg.
Könnt ihr noch? Nein. Ich weiß auch nicht,
die müssten eigentlich kommen. Eigentlich ist eure Kavallerie schon unterwegs
. Ich weiß nicht, was die aufgehalten hat.
Aber wir machen noch ein bisschen. Das ist ja vom
Ausführen nachher nicht schwierig. Da beweist es halt so
ein bisschen knifflig
Was macht man wieder? Man muss jetzt zeigen,
wenn ich ein Modell für F habe,
dann habe ich auch ein Modell für, es existiert XF.
Der Unterschied kann aber sein, es muss halt nicht mehr das Gleiche sein.
Also ich darf irgendwie an den Modellen ein bisschen rumbasteln.
Wenn ich aber ein Modell für F habe,
dann heißt das ja, A von F ist 1.
Und das bedeutet, wenn ein F jetzt irgendwie die Form,
die Variable X frei auftritt,
dass ich X ja zu A von X auswerte.
Also wie gesagt, wenn X in F frei auftritt,
aber so ist diese Struktur hier,
diese Struktur ja, die sind gleich,
die machen genau das Gleiche,
die beiden Strukturen
Und das Schöne hier ist aber, da kann ich,
sehe ich halt schon, es gibt irgendwie ein D im Universum,
sodass A von X nach D von F gleich 1 ist.
Nämlich gerade dieses A von X. Also A von X ist ja
irgendein Wert im Universum, das nenne ich jetzt mal D.
Und dann habe ich wieder genau das da stehen,
was ich eben brauche für die Aussage,
das A von ist existiert, XF gleich 1 ist.
Also in dem Fall ist es sogar die gleiche Struktur,
die da Modell ist. Also wenn A ein Modell für F ist,
dann ist A auch ein Modell für, es existiert XF.
Umgekehrt, wenn A ein Modell ist für existiert XF,
dann gibt es so ein D eben mit dieser Eigenschaft,
A von X
nach D von
Symatische Definitionen von dem Existenzbandtor. Und das bedeutet ja aber,
dass hier dieses A von X nach D, das ist ja wieder eine Struktur.
Die ist fast so VR mit der einen Ausnahme X,
bildet sie auf D ab.
Das macht A ja nicht unbedingt. Und dann bedeutet das aber,
dass die Struktur Jan Modell für F ist.
Folglich ist das ein Modell für F und F ist damit erfüllbar.
Also sind die beiden Formen in der Füllbarkeitsäquivalent,
wenn eben auch nicht Äquivalent, sind sie immerhin Erfüllbarkeitsäquivalent. Naja,
und dann kann man ganz schnell Schluss folgern,
dass man zu jeder Prädikatenlogischen Form in der Füllbarkeitsäquivalente geschlossene Formel finden kann,
wie ich nehme die Formel, gucke mir an,
was sind die freien Variablen und dann bilde ich eben zu F dieses,
es existiert X1, Düdüdübüs, es existiert XNF und die sind Erfüllbarkeitsequilient.
Wenn man das im Detail zeigen will, macht man das mit vollständigen Optionen.
Aber das ist wirklich einfach, da sagt man irgendwie,
naja, für eine Variable Stimmen geht das.
Das sagt ja der Satz von eben,
für N-Variable geht es nicht auf N plus eine.
Und da nochmal, ah, da ist eure Kavallerie.
Das ist gut. Wollt ihr die Urfrage machen?
Wie verbraucht ihr? Ich glaube,
da hat sich der eine oder andere
hier eine höhere Zahl gewünscht
Ich glaube, die nächste Folie ist eine gute Abschlussfolie.
Ich mache nochmal kurz, bis es ein guter Punkt
zum Abschluss ist und dann machen wir Feierabend.
Was wir also machen, ist, wenn wir gucken,
ob da freie Variablen in der Formel drin sind,
wenn sie da drin sind, dann binden wir die durch Existenzkontrollen.
Und das Wichtige ist eben, hier die Existenzquanturen kommen ganz nach vorne.
Da steht es dann nochmal so im Fettdruck.
Also wenn ihr so eine Formel habt,
für alle XP von eximplizit P von Y,
dass das Y frei ist, stört uns.
Also wollen wir es irgendwie binden. Dann machen wir das
so. Wir schreiben vorne, vor die ganze Formel schreiben
wir den neuen Existenzquantur hin.
Im Allgemeinen nämlich nicht so
Also ihr sollt den Existenzquarturen nicht irgendwo hinschreiben,
wo ihr das gerade gut findet,
soll dann ganz nach vorne vor die Formel.
Gut, das ist nochmal ein Beispiel dazu.
Da sieht man auch, dass das Unfug ist.
Hier ist das X da hinten, das tritt jetzt irgendwie frei auf.
Also denkt man, hey, ich bin nur das durch ein Existenzquantur,
dann schreibt man da die Existenzquantur hin und zieht noch die Negation nicht daran,
also flippt den Quantur.
Ja, und dann ist die oberste Formel erfüllbar,
die unterste aber nicht. Die unterste sagst,
es gibt ein X oder das P von X
gilt und für alle X gilt P von X nicht.
Das kann ich
irgendwie nie erfüllen
Und die obere Formel kann ich aber erfüllen, wenn ich irgendwie,
nehmen wir mal ein K von drei es war,
dann wird das hier wahr.
Und P von vier ist vielleicht falsch, dann interpretiere ich
das freie X hier durch vier, dann ist das insgesamt wahr.
Deswegen klappt das nicht. Und so müsste man das machen.
Man benennt vorne hier, das benennt man erst mal um,
gebundene Umbenennung, zieht es nach vorne, wenn man möchte.
Und dann kann man eben vor diese Formel ganz nach vorne,
das ist existiert, X schreiben und hat dieses X gebunden.
Erfüllbarkeitsäkulente Formel. Ja, und das, jetzt haben wir
noch Existenzquanturen, die sind nicht so schön wie Altquanturen,
die wollen wir noch loswerden.
Und das machen wir dann morgen.
Und dann machen wir Feierabend und ihr könnt loslegen