So, nachdem wir jetzt, warte,
nachdem wir gestern jetzt die letzte Vorlesung zur Aussagenlogik hatten mit dem Resolutionsteil,
kommen heute Prädikatenlogik, dass es diese Logik so mit Quanturen
für alle X und es existierten Y und solche Sachen,
wer kennt die denn schon?
Außer Logik kannten ja quasi alle schon irgendwie.
Wer kennt Prädikatenlogik schon? Hatte das ja so irgendwie so.
Aber das wahrscheinlich dann nicht so formal eingeführt, sondern höchstens mal so irgendwie,
dass man die Quanturen mal gesehen hat oder so. Und das in der Prädikaten,
also wer es schon kennt, Kann sich schon vorstellen,
dass das jetzt gleich irgendwie aufwendiger wird, weil da Aussagen so geht,
gab es halt irgendwie die Aussagensymbole und man hat die irgendwie mit 0 oder 1 belegt.
Ja, da hat man sich überlegt, was man irgendwie
mit und oder und sowas machen kann. So bulsche Algebrei irgendwie,
also wenn ich nur zwei Werte habe, 0 und 1,
dann gibt es auch immer nur irgendwie vier Möglichkeiten,
die zu kombinieren, also 0 und 0 und 0 und 1,
1 und 0, 1 und 1,
dann ist das relativ einfach, sich zu überlegen,
was die jungen Toren machen.
Dann habe ich davon sogar auch nur noch jener Standpunkt
3 oder 5, also wir haben 5 eingeführt.
Das macht das Ganze halt relativ einfach.
Und in der Predikatenduo gekommen jetzt halt diese ganzen Skoli-Variablen dazu,
die konstanten Funktionssymbole, Predikatensymbole und dann vor allem eben auch
diese Quanturen
Und sich dann eben formal eine Semantik dazu zu überlegen und
sich zu überlegen, wie man die jetzt auswerten soll,
die Formeln, das wird dann schon relativ kompliziert.
Genau, müssen wir mal gucken, dass das gleich gut funktioniert irgendwie.
Ich mache das so ähnlich wie in einer Aussagenlogik.
Wir führen erstmal irgendwie das Alphabet ein,
dann wie Therme aussehen dürfen und dann wie Formeln aussehen dürfen.
Und dann führen wir halt die Semantik dafür ein und dann kommen
zwischendurch immer Beispiele. Und jetzt habe ich eben festgestellt,
jetzt habe ich nicht mal mehr eine Tafel.
Also vorher hatte ich immer diese kleine Schiebetafel,
die ist jetzt auch noch irgendwie abhandengekommen.
Da wollte ich eigentlich was draufmalen. Jetzt mache ich das
gleich so, dass ich dann irgendwie alte Aufgabenzettel einblende.
Das wäre nochmal ein bisschen Aufgaben zum Gucken
haben gleich
Also, Predikatenlogik, Erweiterung der Aussagenlogik, größere Ausdrucksstärke. Ich meine,
deswegen führt man die ein und erlaubt eben so eine feinere Differenzierung,
dass man nicht nur sagen muss, irgendwie A oder B,
sondern dann kann man eben irgendwie sagen, ah,
von X und dann hat X eben bestimmte Eigenschaften,
wenn dann dieses Prekatensymbol A zutrifft.
Genau, dann sind eben auch Beziehungen und Relationen ausdrückbar,
deswegen auch Predikatensymbol oder eben Relationssymbole.
Da kann man sowas machen wie G von XY,
um irgendwie auszudrücken, dass X größer ist als Y.
Da drücke ich irgendwie eine Beziehung zwischen X und Y
Und dann sollen Therme nachher Objekte repräsentieren. Also ich habe dann
so ein Universum, zum Beispiel irgendwie die natürlichen Zahlen oder sowas.
Und die einzelnen Therme, damit sind jetzt irgendwie gemeint
die Variablen, die Konstanten und irgendwie die Funktionssymbole.
Die repräsentieren dann Objekte in meinem Universum und die Prädikatensymbole
werden dann eben Relation oder Eigenschaften der Objekte repräsentieren.
Und die ganze Formel repräsentiert dann wieder eine Aussage,
die wahr oder falsch sein kann, so von der Semantik her.
Wenn man jetzt also zum Beispiel sowas ausdrücken will irgendwie,
jeder Student ist jünger als irgendein Lehrer,
Das kann man sich erstmal überlegen, okay,
jeder Student, wie drücke ich das mit so einem,
für alle und es existiert, mit so einer Formulierung aus,
dann würde man vielleicht sagen, für alle Studenten gilt,
sie sind jünger oder für alle Studenten gilt,
es gibt einen Lehrer, der älter ist.
Dann mal sowas irgendwie machen, dann sagt man,
S von X, S ist jetzt das Prädikatensymbol, X,
die Variable und das soll dafür stehen, dass X ein Student ist,
so dieses S-Phone X ist genau dann wahr, wenn X ein Student ist.
Elf und X, genau dann war,
wenn X ein Lehrer ist und J von XY X ist jünger als Y.
Wenn man jetzt die obere Aussage oder diese obere natürlich sprachliche Formulierung Wenn man das als Formel ausdrücken will,
dann kann man irgendwie zu sowas kommen, dass man sagt,
für alle X gilt, wenn X ein Student ist,
dann gibt es irgendwie ein Y mit der Eigenschaft,
dass Y ein Lehrer ist und X,
also der Student eben jünger ist als der Lehrer.
Also was kann man dann damit ausdrücken? Da steckt auch schon fast alles drin,
was wir gleich so haben werden,
die Funktionssymbole fehlen noch und die Konstanten,
da kann man dann auch sowas ausdrücken wie S von F von X oder so,
nennen es Effen-Funktionssymbol.
Dann kann das, was weiß ich,
dann ist F von X,
dann wird X auf seinen Freund abgebildet oder irgendwie sowas
Könnte man so was ausdrücken, wie wenn X ein Student ist,
dann gibt es auch einen Freund von ihm,
der ein Student ist oder so.
Ja, das ist das, was wir sagen,
das ist die Sperre. Ja. Cool. Bitte?
Ja, kann man ziemlich viel mit ausdrücken.
Und das ist jetzt zum Beispiel irgendwie aus der natürlichen Sprache so,
das braucht man jetzt üblicherweise nicht,
aber kann man sich vielleicht schon vorstellen,
dass man damit auch irgendwie Sachen ausdrücken kann für Programmiersprachen oder
eben auch in künstlichen Intelligenzen,
dass man damit jetzt
irgendwie Folgerungen machen kann
Noch zwei Beispiele. Für alle X gilt, wenn P von X,
dann gibt es ein Y mit Q von F von XY.
Da steckt jetzt irgendwie dieses Funktionssymbol hier drin. Und das
zweite, warum habe ich das gemacht? Ach so,
da sieht man hier bei dem A, da hat man
eine Konstante. Und dann kann man hier schon sehen,
in dem unteren Beispiel, in dem unteren Beispiel hinten,
also hier bei diesem P von XY,
da werden wir nachher sagen,
dass das X und das Y durch die Quanturen gebunden ist.
Und hier vorne, da ist das X irgendwie,
da flattert das frei in der Gegend rum.
Da ist das an keinem Quantur gebunden.
Da wird es dann darum gehen, dass es eine
freie Variable ist
Muss man sich auch noch überlegen, wie man damit umgeht. Gut, das so,
damit man schon mal so ein paar Formen gesehen hat,
damit man so ein bisschen weiß, wo das hingehen soll, was man alles haben will.
Also wir wollen irgendwie hier Konstanten haben, ah,
wir wollen Variablen haben, X, wir wollen Funktionssymbole haben,
F, dann wollen wir irgendwie, die Klammern und das Komma haben,
wir wollen die Quanturen haben, wir wollen die jungen Touren haben,
die wir früher hatten und wir wollen die Predikatensymbole haben,
dieses P und das Q und sowas.
Und dann wollen wir die alle noch verbinden können. Ja,
Ergo, Alphabet, erstmal das Alphabet der Predikatenlogik,
was will ich alles haben, eine Menge von Variablen,
üblicherweise irgendwie die kleinen Buchstaben hinten im Alphabet XYZ
Oder wenn man eben viele braucht, X-1, X-2,
X-3, X-4 und so weiter. Konstanten,
üblicherweise die Kleinbuchstaben am Anfang des Alphabets, A, B,
C. Oder eben A, 1 hat 2 und so weiter.
Das sind aber nur Konventionen, die Art quasi,
kann man nachher aus der Formel rauslesen.
Also wenn ich so eine Formelie habe und hier vorne steht so ein P von irgendwas,
dann kann das P eben keine Variable sein,
sondern man kann halt an der Formel erkennen, dass das ein Predikatensymbol sein muss.
Das sehen wir gleich noch, wenn wir diesen Tags einführen.
So, Variablen, Konstanten, Funktionssymbole,
FGH oder auch da wieder, wenn man viele braucht,
auf 1 auf 2
und so weiter
Und mit den dreien werden wir gleich die sogenannten Therme bauen.
Und dann kann man mit den Thermen die Formeln zusammenbauen.
Und bei den Formeln darf man dann noch diese Prädikatensymbole benutzen.
Groß, Pegros, Kugos, R. Aussagensymbole kann man auch
weiterhin haben. Ja, und dann gibt es jetzt eben
noch die jungen Toren, die wir schon kannten.
Die Quanturen. Und dann als Hilfssymbole, die klammern.
Und zusätzlich gibt es jetzt noch das Komma.
Also bei der Aussagenlogik hatten wir als Hilfssymbole
nur die Klammern
Und da traten die auch nur auf, wenn ich komplexe
Reformen zusammenbaue. Hier treten die Klammern ja schon auf,
wenn ich sowas habe wie F von X. Ist das X
irgendwie eingeklammert oder wenn ich habe P von X oder sowas.
Das heißt, die brauche ich und dann brauche ich zusätzlich noch das Komma,
weil ich ja unter Umständen mehrstellige Funktionssymbolen und Predikatensymbole habe.
Also so wie in diesem Beispiel von vorhin so P von X,
Komma A. Genau, damit man das noch weiß vom Alphabet her,
ist jedem Funktions- und Predikatensymbol noch so eine Stelligkeit zugewiesen,
dass man eben weiß,
okay,
das Predikatensymbol oder das Funktionssymbol soll eben K
viele Argumente haben
Und das ist das ganze Alphabet. Und jetzt muss man
sich noch überlegen, wie man da mit Formeln bauen darf.
Also man könnte ja zum Beispiel auch sagen,
dass sowas möglich sein sollte wie F von P von X.
Also dass die Funktions, dass die Funktionen auf die Prädikatensymbole angewendet werden darf oder so.
Das könnte man sich zumindest vorstellen. Das schließt man aber aus,
weil die Funktionssymbole, das sollen eben Funktionen sein,
die irgendwie ein Element der Domäne auf ein anderes Element der Domäne abbildet.
Also wieder, wenn ich in den natürlichen Zahlen bin und
ich habe jetzt irgendwie F von X,
ist gleich X plus 1, dann steckt da eine natürliche Zahl rein,
kriegt eine andere natürliche Zahl raus.
Und der Unterschied zum Prädikatensymbol ist eben,
das kann nicht wahr oder falsch sein.
Oder eine Funktion bildet eben irgendwie Elemente der Domäne auf
neues Element der Domäne ab.
Und das kann nicht
wahr oder falsch sein
Deswegen wird sowas wie F und P nachher nicht möglich sein.
Genau, so jetzt hatte ich ja schon gesagt,
mit den oberen Dreien kann man die Therme definieren.
Die sehen jetzt wie folgt aus. Jede Variablösentherm,
jede konstante ist ein Therm. Und dann eben das
eigentlich Wichtige, wenn ich schon K viele Therme habe.
Und ich habe ein Funktionssymbol der Stelligkeit K,
dann ist dieses F von T1 bis TK auch ein Therm.
Und das kann ich dann immer weiter Verschachtlichkeit zum Beispiel haben,
dass X eine Variable ist, dann ist F von X auch wieder ein Therm.
Und dann ist auch sowas wie F von F von X
wieder ein Therm.
Sie kann das immer weitermachen
Und ich darf das aber nur endlich oft machen,
so wie wir das auch bei dem sinntax der Aussagen,
glaube ich, gemacht haben.
Also sowas wie F von F von F von F von
F von F und F und unendlich viel weiter,
das will ich nicht machen, sondern irgendwann soll ich abbrechen.
Genau, das sind Thermen und dann sagt man eben,
wenn irgendwie ein Therm beim Aufbauen eines anderen Therms beteiligt ist,
dann nenne ich das eben Teil Therm.
Aber das brauchen wir, glaube ich, höchst selten.
Nur so, dass man es mal gesehen hat. Ja,
jetzt hat man die Therme und die Idee ist nachher,
dass Thermen kann ich noch keinen Wahrheitswert zuweisen,
eine Variable kann irgendwie einen Wert haben oder eine Konstante kann
einen Wert haben,
aber die kann ich wahr oder falsch sein
Eine konstante 3 oder so, die kann ich wahr oder falsch sein.
Das ist halt 3. Was halt wahr oder falsch sein kann,
ist sowas wie 3 ist gleich 1 plus 2.
Und das steckt dann aber schon, mit dem ist gleich noch eine Relation drin.
Also das, was wir hier versuchen durch Prädikatensymbole gleich auszudrücken.
Deswegen, jetzt wollen wir die Menge der Prädikaten logischen Formeln definieren.
Da sagen wir jetzt, jedes Aussagensymbol ist eine atomare Formel,
die kannten wir schon aus Aussagen, Logik,
die wollen wir auch weiterhin haben.
Und jetzt kommt der neue spannende Teil. Wenn ich jetzt
zum Prädikatensymbol P habe, Und ich habe k viele Therme,
dann soll auch P von T1 bis TK eine atomare Formel sein.
Um in dem Beispiel von eben zu bleiben,
wenn ich so Gleichheit ausdrücken will, dann würde ich da
mir jetzt irgendwie ein Prädikat zum Wohl G einführen für Gleichheit mit zwei Argumenten X und Y.
Und dann ist G von XY eben genau dann wahr,
wenn X gleich Y ist.
Dann kann ich sowas machen wie G von 3,
F von 1,2. F ist dann vielleicht für die Addition.
Dann kommt bei F von 1, 2,
3 raus und dann ist wirklich drei gleich drei.
Und da kann ich dann sagen, dass das wahr
oder falsch ist
Ja, so, jetzt kann man genau das Gleiche machen wie in der Aussagenlogik auch,
also die Formeln wieder irgendwie verbinden mit jungen Toren.
Und dann gibt es eben noch jetzt den, wieder den neuen,
spannenden Fall, dass sich irgendwie was mit den Quanturen machen kann,
wenn ich eine Variable X habe und eine Formel F,
dann kann ich eben auch schreiben,
es existiert XF oder für alle XF.
Das ist der sogenannte Existenzquantur, dieses umgedrehte E und das
umgedrehte A, ist der Alquantur.
Und dann auch da wieder nur endlich oft anwenden
Fragen bis dahin. Das ist jetzt erstmal nur pure Sintaxo.
Jetzt kommt auch nochmal dieses mit Teilthermen und Teilformeln und so.
Und das Spannende wird jetzt gleich noch sein,
wir hatten ja vorhin ganz am Anfang in diesem Beispiel,
wie gesagt, die Variable kann gebunden oder frei auftreten.
Und das kann man gleich noch definieren über eben,
ob wenn jetzt hier in dem F ein X frei auftritt,
dann soll das eben durch diesen Quantor da vorne,
bei dem es existiert,
XF gebunden werden.
Und so kann man dann eben frei und
gebundene Variablen einführen
Dieser ganze Aussage. Das ist eine Frage war nochmal
nach Thermen und Formeln. Wenn du dir das anguckst,
Therme treten quasi oben bei Formeln gar nicht auf,
sondern irgendwie maximal hier irgendwie als Argumente.
Also du kannst keinen Thermtee haben, der eine Formel ist.
Macht auch, wie gesagt, keinen Sinn,
weil Thermen kann man keinen Wahrheitswert zuweisen.
Also wenn du dir überlegst, wie Thermen definiert waren,
das war ein variablen Konstanten oder eben Funktionssymbole mit irgendwie ihrer Argumentenliste.
Und da macht halt der Begriff Wahrheit
keinen Sinn
Also X kann nicht wahr sein, A kann nicht wahr
sein und F von XY kann auch nicht wahr sein.
Es ist quasi, wenn man sich das,
wenn man jetzt irgendwas braucht, woran man sich festhalten will,
so Algebra oder sowas, dann wäre ein Term eben irgendwie etwas,
was auf einer Seite das Gleichheitszeichen steht.
Also drei oder vier plus fünf oder sowas. Und spannendes Ding,
was wahr oder falsch sein kann, wird es eben erst,
wenn eine Relation dazwischen steht. Wenn ich irgendwie sage,
drei plus vier ist kleiner gleich Y oder irgendwie so,
was diese Aussage kann, wahr oder falsch sein.
So, Taiformel, genauso wie Teiltem im Grunde genommen definiert,
eine Formel ist Teilformel,
wenn sie
beim Aufbau beteiligt ist
Dann kann man auch noch sagen, dass ein Teiltherm einer Formel ist.
Nämlich auch genau, dann wieder Ventil beim Aufbau von H. beteiligt ist.
Oder eben Teiltherm eines Therms ist, für den das gilt.
Und jetzt kommt noch diese Sache mit den Quantoren.
Bei dem, es existiert XF und für alle XF wird
X als Quantorenvariable bezeichnet und F als Skopus des Quantors.
Also das wird der Bereich sein, auf den sich der Quantor bezieht.
Ja, man kann da auch wieder sehen,
sehen nicht über der Negation, dass das nicht geklammert ist oder so.
So muss man so ein bisschen aufpassen,
so wie wir die Sintaxia definieren,
dass sich das jetzt existiert,
XF eben
nur auf das F bezieht
So, da das nochmal mit diesem Quanto und dem Skopus,
damit man die jetzt folgenden Definitionen gut versteht. Eine Variable X,
die im Skopus F eines Quanturs mit der Quanturenvariable X frei vorkommt,
ist durch den Quanto in dieser Position gebunden.
Das soll heißen, wenn ihr eine Variable X habt,
die in der Formel F nicht durch ein Quantur gebunden ist.
Also wenn ihr sowas habt wie P von X,
dann flattert das X da irgendwie jetzt nicht durch den Quantur gebunden.
Und wenn ihr da jetzt davor halt so ein Quantur schreibt,
dann wird das X gebunden. Während wenn ihr sowas habt wie,
es existiert X für alle X, P von X,
dann wird das X schon durch den für Altquantur gebunden und
nicht nochmal durch diesen Existenzquantur
Naja, und wenn sie halt nicht an Quanto gebunden ist,
nennen wir sie frei und eine Formel ohne freie Variablen heißt geschlossen.
Und da wollte ich jetzt eigentlich nochmal hin,
da kann man es sehen am Beispiel,
wenn ihr die Formel da unten habt,
für alle XP von X oder RXY, impliziert Q von X,
dann sind halt durch die Klammerung sieht man halt,
genau, durch die Klammerung, die erste eröffnende Klammer,
die gehört zu der schließenden Klammer hier vor der Implikation
Das heißt, das ist die Formel,
auf die sich der Allqualentür hier vorne bezieht.
Und diese Formel, dieses für alle P-Phone X oder R
von XY, das Ganze impliziert dann Q von X.
Und das heißt, dass dieser Alquanto sich halt nur auf
die Formel P von X oder R XY bezieht.
Und dann ist das Q von X,
bei den Q von X das X frei.
Und die ersten beiden X sind durch den Alquantour gebunden,
das hintere X ist frei.
Die Sinnhaftigkeit davon sei jetzt mal so dahingestellt,
aber dass man sehen kann, was irgendwie frei und gebunden ist.
Und das Y hier, das ist auch frei.
Und dass das frei ist, das sieht man halt relativ schnell,
weil da überhaupt kein Quanto dabei ist,
der irgendwie das Y binden könnte
Es gibt kein Quantumity Y. Ist das klar?
Den freien und gebundenen Variablen? Klar,
ja,
nein, vielleicht
Ja. Ja, die Frage war gerade, ob eine Formel,
die nur Konstanten enthält, also erstmal gar keine Variante,
ob die immer gleich geschlossen ist, ja.
Also bei diesem geschlossenen Begriff geht es im Grunde
genommen nur darum, dass man keine freien Variablen hat.
Weil freie Variablen im Grunde genommen immer so ein bisschen nerven,
also die braucht man eigentlich auch nicht
Man kann auch nachher bei der Semantik sehen,
dass man freie Variablen im Grunde genommen von der Semantik
hier genauso behandelt wie Konstanten.
Kannst du noch fragen zum ersten?
Zum zweiten
Das wollte ich nicht. Kann man das lesen?
Ja. Also wenn man sich die obere da anguckt,
gehen sie davon, also ganz viel Text.
Gehen Sie davon aus, dass F1 einzelne Prädikat logische Formel ist,
die aber jetzt ohne Berücksichtigung von Benennungskonventionen geschrieben wurde.
Also wie gesagt, haben irgendwie XYZ-Säulen für Variablen stehen und so.
Und jetzt soll man eben für diese ganzen Symbole,
die hier drin auftreten, angeben,
welcher Kategorie sie angehören und welche Stelligkeit sie haben und so
weiter und ob es für irgendwelche Symbole Alternativen und Mehrdeutigkeiten gibt
Ja. Kann man machen. Was kann denn
das A sein? Also das kleine A,
für den du feiertest, doch noch ein großes Auftritt nehmen.
Was kann denn das kleine A sein?
Genau. A ist entweder eine konstante oder eine freie Variable.
In dem Fall netterweise entspricht das sogar noch den Konventionen irgendwie,
das kleine A für eine Konstante zu nehmen.
Genau, ist entweder eine konstante oder eine
freie Variable
Was ist das kleine O? Genau,
man hat hier noch irgendwie den Alquantor da,
dann muss das eine Variable sein,
also sonst hätte man auch sagen können,
es könnte auch eine Konstante sein, wenn der Alquantor nicht da wäre,
wenn da so ein Quanto dabei ist,
dann muss das eine Variable sein.
Was ist das, was haben wir da noch da,
was ist das kleine U?
Auch wieder, ne? Ja. Genau, ne?
Hier ist der Existenzquantur, da ist das kleine U,
dann ist das auch wieder eine gebundene Variable.
Ich glaube, das zweite O hier hinten,
das dürfte eine freie Variable wieder sein. Ich glaube,
das ist nicht mehr durch den Altquantur gebunden,
wobei ich dafür jetzt meine Hand nicht ins Feuer legen will.
Ja, das zweite, also das O da hinten,
das ist, glaube ich,
frei.
Ist gebunden
Echt? Oh, warte mal, hier, also da
hinten, ne? Die hier, die erste schließende,
die gehört zu dem da. Die zweite gehört zu dem.
Und die dritte hier müsste zu dem gehören, ne?
Und damit zieht sich das nur da drauf. Also normalerweise wäre
es bei sowas auch sinnvoll, irgendwie unterschiedliche Klammertypen noch zu benutzen.
Also irgendwie noch solche hier und eckige oder irgendwie sowas,
dann kann man das ein bisschen besser sehen.
Aber wenn man das jetzt mal üben will.
Das ist jetzt ganz gewaltig, weil wir definierten ja Gradialitäten
Und die Formel. Das sind eigentlich keine Fahrtworte,
die sind in der Paris auch in der Vorlage, aber es kann die Beziehung vermeiden.
Nee, wir haben ja jetzt gerade den Sintax eingeführt.
Wir haben die Sintax für Predikaten logische Formeln eingeführt und da haben wir gesagt,
für alle XF und damit sie sich das X auf die Formel F.
Und jetzt kann man hier halt gucken,
ob die Formel hier bei der ersten öffnenden Klammern startet und bis da hinten geht,
dann würde sich das für alle wo auf diese Formel beziehen.
Sie bezieht sich halt nur auf die Formel,
die direkt danach kommt und die Formel,
die direkt danach kommt,
die endet halt hier vor dem oder
Du hast halt für alle OF oder... Es existiert,
uh, bla bla bla. Dann bezieht sich das
nur da drauf, sonst müsstest du anders klammern.
Was haben wir denn noch? Was ist denn das große D
? Genau. D ist ein Predikatensymbol, das große M.
Auch ein Predikatensymbol, ne? Warum sind das
keine Funktionssymbole
Aus. Ja. Ah, das ist ja.
Ah, ja. Nee, kann es nicht.
D kann kein Funktionszimmer sein. Warum nicht?
Weil was
Nee, ich könnte ja, ich könnte ja sowas haben
wie F von G von H von X zum Beispiel.
Genau, der da, ne? Genau, perfekt.
Wir hatten gesagt, wenn F und G Formeln sind,
dann ist auch F impliziert gehende Formel. Das heißt,
der Teil links von diesem Implikationszeichen muss eine Formel sein und
nirgendwo haben wir gesagt, dass ein Thermen eine Formel wäre.
Und Herm ist halt ein Therm. Das heißt,
dass D von irgendwas muss halt eine Formel sein und
dann muss das ein Predikatensymbol sein
Das führt zu der schönen Frage, was das große L hier ist.
Normalerweise würde man sagen, Predikatensymbol, weil so schön groß
geschrieben, aber... Er hat arbeiten lassen. Genau,
und dann ist es was, du hast gesagt,
ein Formel, aber das hast du nicht gemeint.
Genau, L. Groß, El ist ein Funktionssymbol,
sonst könnte das nicht als Argument innerhalb von dem Prädikat
GroßK auftreten
Genau. Ja. Und an dem Beispiel kann man das irgendwie so ein bisschen üben,
aber normalerweise ist das ja relativ gut durch die Konvention vorgegeben,
was jetzt irgendwie sein sollte,
aber trotzdem sollte man sich das eben irgendwie ein bisschen bewusst machen,
auch zum Üben am Anfang, wo denn Prodikatensymbole stehen,
wo Funktionssymbole stehen und so weiter, ne?
Also zusammengefasst,
ne, die Therme aufgebaut aus konstanten Variablen und Funktionssymbolen,
das sind die Dinger, die innerhalb der Argumente von Prädikatensymbolen stehen,
oder die die Argumente der Prädikatensymbole sind,
die flattern also nicht irgendwie frei rum,
sondern sind immer in so einem Prädikatensymbol drin
Genau, und dann hat man eben Predikatensymbol von irgendwie einer Kette von Thermen.
Das ist dann eine atomare Formel. Ja,
und die kann man dann eben irgendwie mit uns,
Odas und so weiter verbinden. Und dann kann man noch
die Quantoren benutzen und die binden eben die Quantorenvariable,
die direkt hinter dem Quantor steht,
die wird dann eben in der direkt danach folgenden Formel gebunden.
Joa, jetzt können wir uns noch dabei zweitens unten,
es seien XY und Z Variablen,
bestimmen sie für FAA,
welche Variablen in welcher Position,
durch welchen Quantor gebunden wird
Ja, das ist ja fröhliches Klammern zählen.
Also die Formel hier, jetzt kann man sich überlegen,
jetzt im Grunde genommen guckt man jetzt erstmal,
ist wohin die Formel direkt hinter dem Allquantur geht.
Also die fängt hier irgendwie an. Und jetzt sucht man halt dazu
die schließende Klammer. Irgendwann. Also die ganze Formel danach,
da steht für alle X, Klammer auf,
und dann steht der F impliziert G, Klammer zu.
Also dass alle Xe sind... Oh ne,
das stimmt nicht ganz. Das X hier ist durch den
Alquantur gebunden
Das erste X bei dem P-Phone X ist durch den Altquantur gebunden.
Das zweite X hier bei dem RPhone XY, das ist
durch den Existenzquantur gebunden. Das wird ja nicht aufgehoben,
weil er vorhin einmal erzählt, dieses,
wenn ich habe für alle X existierten X X F von X,
dann wird das X in dem F von X durch den ersten Quantur da gebunden,
also durch das es existiert X.
Weil die Formulierung ja war,
dass der Quantur all die freien Auftretenden Xe bindet.
Und es existiert X F von X, da tritt kein X frei auf.
Das heißt, der Altquanturturtur kann es nicht mehr binden.
Oder hier in dem Beispiel dieses X bei dem RPN XY
, das ist schon durch den Existenzkonto gebunden
Und dann kann das halt nicht durch den Alkontur neu gebunden werden.
Ja, und jetzt kann man nochmal gucken,
hier dieser Existenzquanto, dieses existiert X,
das bezieht sich nur auf die Formel Airphone XY oder QZ,
weil da endet die Formel wieder.
Das heißt, dass X bei dem M hier das,
stimmt das, was ich sage?
Ja, das ist wieder durch den Alkontur gebunden.
Ja, und die Zs sind alle frei
Und das Y, die Y sind alle durch den ersten Existenzkonto gebunden.
Das ist zu doll. Wenn man sich jetzt
noch dieses F1B anguckt. Erstes Y frei oder gebunden?
Gebunden, ne? Durch den ersten Existenzquantur
Da ist noch einfach, das sieht man sofort.
Erstes X ist frei, sieht man auch, steht irgendwie kein Quanto davor.
Und jetzt kommt halt der anstrengende Teil. Dann kann man sich halt überlegen,
das X hier bei dem Airphone XY, wurde ich jetzt das gebunden?
Durch den oder durch den? Genau,
dass durch den ersten Existenzkonto hier gebunden, dann tritt eben in,
es existiert XR von XY kein freies X mehr auf und
dann kann das für alle X dann nichts mehr binden.
Welche ist denn nochmal spannend? War eigentlich gar nichts mehr
spannend. Der hier das Q von X,
der wir dann durch den Allquantur gebunden.
Und das bei dem M-Phonix wird er auch durch den Allquantur gebunden.
Und bei dem Y müsste man jetzt die ganzen Klammern sich
angucken und so wie das hier geklammert ist, da geht das auf.
Bei dem R geht die Klammer auf und hier,
ganz hinten geht sie dann zu, dann ist das Y,
da sind das eine ganze Formel.
Da steht da, es existiert Y. F.
Und in dem F ist dann dieses M von XY drin.
Das heißt, das Y hier wird auch durch den Existenzquanto
da gebunden
Okay, das war jetzt erstmal nur Sintax. Kann man erstmal alles so schlucken,
kann man sagen, okay, kann man ja so definieren.
Es steckt natürlich irgendwie eine Idee dahinter, warum man das so macht,
gleich für die Semantik. Aber erstmal sind das einfach nur Regeln,
was gesagt wird, so dürfen die Formeln aussehen,
das sind die freien Variablen, das sind die gebundenen Variablen.
Kurzer Exkurs, noch bevor wir zur Semantik kommen,
Jetzt kann man natürlich, die Definitionen waren wieder so,
ja, das bei der Aussagenlogik kannten.
Jetzt kann man da drauf wieder induktive Beweise führen und Funktionen rekursiv definieren.
So wie wir das in der Aussagenlogik auch gemacht haben.
Das wollen wir jetzt hier nicht machen,
aber könnt ihr euch vielleicht vorstellen, dass das auch geht,
dass man dann auch wieder zeigen kann,
irgendwie ein induktiver Beweis über die Termin zum Beispiel, da zeige ich dann,
dass eine Aussage für alle Variablen gilt und für alle Konstanten.
Und dann sage ich, naja,
wenn die jetzt also für Termin T1 bis TK gilt und
F irgendwie ein Carstudios Funktionssymbol ist, dann gilt das auch dafür.
Dann bin ich fertig bei den induktiven Beweisen über den Formelaufbau
eben, so wie in der Aussagenlogik,
nur dass jetzt noch die Quantoren dazukommen
Schritt und dass sich im Induktionsanfang noch neben den Aussagesymbolen
die Prädikatensymbole behandeln muss. Dann habe ich das auch.
So, Semantik. Semantik wird schwierig. Die ist relativ knifflig,
weil man muss ja jetzt irgendwie diese ganzen Symbole,
das sind ja erstmal alles nur Symbole,
die muss man jetzt irgendwie auf, naja, in Anführungsstrichen,
sinnvolle Dinge abbilden, sodass man dann nachher irgendwie zum Wahrheitswert kommen kann.
Und die Idee ist halt, dass sich erstens alles durch,
dass ich irgendwie so eine Grundmenge habe,
nennt man auch Domäne oder Universum,
über diese Menge argumentiere ich quasi.
Das kann irgendwie die Menge aller Menschen sein und ich kann dann
da wie am Anfang mit diesem S von X und L
von X irgendwie die Studenten und die Lehrer rausfiltern.
Das können Zahlen sein und ich kann dann irgendwie die Graden
und die ungeraden Zahlen rausfiltern und damit irgendwas machen.
Ich brauche irgendeine Grundmenge. Und dann ist die Idee,
dass ich freie Variablen und Konstanten eben durch Objekte der Grundmenge interpretiere.
Wenn ich bei Zahlen bin, dann kann ich die konstante A
zum Beispiel durch drei interpretieren. Wenn ich bei Menschen bin,
dann kann ich die konstante A durch irgendwie einen bestimmten Menschen interpretieren.
Funktionssymbole werden durch Funktionen über der Grundmenge interpretiert,
wenn ich die zwei zweistellige Funktion F habe,
dann kann ich da zum Beispiel sagen, hey,
und ich bin bei der Grundmenge natürliche Zahlen,
dann kann ich sagen, es soll die Addition sein.
Ja, die nimmt dann zwei natürliche Zahlen und bildet sie irgendwie auf die Summe ab.
Prädikatensymbole sollen Mengen über eine Grundmenge sein. Da ist die Idee,
um bei diesem größer Gleichbeispiel zum Beispiel zu bleiben,
wenn ich irgendwie habe, GXY,
dann wird das jetzt auf die Menge der zwei Tupel abgebildet,
bei denen immer das erste Element in Tupel klein ist als das zweite.
Dann kann ich damit größer gleich ausdrücken. Sehen wir auch
gleich noch. Aussagensymbole werde ich einfach mit Wahrheitswerten interpretieren und
komplette Ausdrücke kann ich dann eben auf dem Obigen aufbauen definieren
Genau, das wird schon ganz schön viel Arbeit,
das jetzt irgendwie formal zu machen. Genau, Weizwerte geben sich
dann eben dadurch, wie ich das da oben alles mache.
Was brauche ich? Ich brauche eine Struktur,
also man nennt ja Struktur, das ist quasi das,
was vorher in der Aussage die Belegung war.
Jetzt ist das leider nicht mehr so schön,
dass ich einfach sage, naja,
ich bilde jedes Aussagesymbol auf null oder eins ab,
sondern ich muss all die Abbildungen machen, die ich eben beschrieben habe.
Weil deswegen wird das jetzt so ein Tupel-U und I-U ist
einfach nur das Universum oder die Grundmengen oder die Domäne,
sprich irgendeine Menge, so natürliche Zahlen, Menschen,
irgendwie sowas.
Ein wichtiger Punkt hier,
die sollen nicht
leer sein
Also im Universum soll immer irgendwas drin sein. Das darf endlich sein,
es darf unendlich sein, es darf nicht, nicht leer sein.
Im Moment darf nicht nicht leer. Weil es darf nicht
durch leer sein. Ihr wisst, was ich meine.
Also da muss was drin sein. So, und dann die Interpretation,
das wird jetzt eine Abbildung und die tut Folgendes,
die bildet quasi, die sind taktischen Sachen,
die wir haben, auf bedeutungstragende Elemente ab.
Also sowas wie F ist erstmal nur irgendwie ein Symbol und
das wollen wir abbilden auf tatsächlich eine Funktion.
Das ist dann die Bedeutung von F. Was wir also machen
ist, Variablen und Konstanten bilden wir einfache Elemente von U
Darstellige Funktionssymbole. Deswegen stand übrigens beim Alphabet,
dass zu jedem Symbol eine Stelligkeit gegeben sein muss,
weil man sonst diese Abbildung nicht machen könnte.
Wenn ich ein zweistelliges Funktionssymbol habe, muss ich
das auf was anderes abbilden, als ein dreistelliges Funktionssymbol.
Und wenn das jetzt karstellig ist,
dann bilde ich das auf eine karstellige Funktion über U ab.
Sprich, wenn F2-stellig ist, dann bilde ich das auf
eine Funktion ab, die von U-Kreuz-U abbildet auf U.
Karstellige Prädikatensymbole werden auf Mengen von K-Tupeln abgebildet.
Also zweistelliges Prädikatensymbol wird auf eine Teilmenge von U-Kreuz-U abgebildet.
Und die Idee ist dann, wenn ich jetzt die Interpretation
auf die ganzen Variablen konstanten Funktionssymbole und so anwende,
Und ich habe sowas wie P von T1 T2.
Dann kann ich jetzt den Wert von T1 und T2 ausrechnen.
Dann habe ich irgendeinen Zwei-Tupel und dann kann ich gucken,
ob das in der Interpretation des Prädikatensymbols enthalten ist oder nicht.
Wenn es drin ist, sage ich,
die ganze Aussage soll wahr sein, wenn es nicht drin ist,
sage ich, sie ist falsch.
Also wenn ich, um bei diesem größer Gleichbeispiel zu bleiben,
wenn ich mir das so definiere, dass ich sage,
gehe von XY soll eben genau die Tupel enthalten,
bei denen Y größer ist als X.
Dann wäre sowas wie 3,5 okay. Das sind das Element
, ist größer. Sowas wie 3,1 ist nicht okay
Das ist quasi eine Prefix-Schreibweise für die Infick-Schreibweise, die ihr schon kennt.
Normalerweise schreibt man ja sowas wie drei kleiner gleich fünf.
Stimmt oder stimmt nicht. Und hier schreibt man jetzt eben
so was wie kleiner Gleichklammer auf, 3,5 Klammer zu.
Das ist einfach eine Prefix-Schreibweise. Das Predikatensymbol wird nach vorne gezogen
. Ja, und Aussagesymbole bilden wir auf Wahrheitswerte ab.
Das macht ihn. Beispiel dazu, wenn wir die Formel da oben haben, dann Kann man jetzt, ne? Jetzt kann man sich überlegen so,
ich habe hier irgendwie ein frei auftretendes X,
ich habe ein frei auftretendes Y, das heißt,
die muss ich irgendwie auswerten, ich muss das Funktionssymbol F,
das die Stelligkeit 2 hat,
das muss ich auf eine zweistellige Funktion abbilden,
ich muss das Funktionssymbol gehen, was Stelligkeit 1 hat,
muss ich auf eine einstellige Funktion abbilden,
ich muss das Prädikatensymbol P, was auch nur einstellig ist,
das muss ich auf eine Teilmenge von U abbilden und ich muss das Prädikatensymbol Kuh,
was zweistellig ist,
auf eine Teilmenge von U-Kreuz-Uhr abbilden
So, was man jetzt zum Beispiel machen kann,
man kann irgendwas völlig Beliebiges machen,
aber was man beispielsweise machen kann,
ich kann als Universum Udi natürlich in Zahlen nehmen.
So, und jetzt D muss, wie gesagt,
einstellig sein. Da habe ich jetzt gesagt, okay,
dann ist iPhone G eben die Funktion D-Strich,
die ich mir wie folgt definiere.
Gehe Strich geht von N nach N mit eben,
gehe von N gleich N plus
1. Also die Nachfolgefunktion auf die natürlichen Zahlen. iPhone F-Strich sein,
F-Strich muss jetzt aber zweistellig sein, das heißt,
F-Strich geht von N-Kreuz N nach N.
Und da habe ich mir gesagt,
das soll einfach
die Additionsfunktion sein
Und die Dinger, die sind völlig beliebig wählbar.
Also die könnten auch irgendwie, hier statt die Addition,
den minus eins rechnen, muss man ein bisschen aufpassen,
dass das auch wirklich immer definiert ist.
Da kann man irgendwas machen. Was halt wichtig ist,
ist, wenn ihr als Universum hier irgendwas nehmt,
also in dem Beispiel die natürlichen Zahlen,
dann ist G-Strich eben von U nach U und F-Strich von U-Kreuz U nach U.
Also das sind Funktionen über diesem Universum oder eben über Kreuzprodukten
des Universums. Ja, P muss man so interpretieren,
das ist eine Teilmenge von U ist,
geraden Zahlen genommen, Kuh soll man so interpretieren,
dass es eine Teilmenge von U-Kreuz-U ist.
So habe ich einfach gesagt,
dass so die kleine Relation sein und Y und X
als Freivariablen müssen wir noch irgendwie was für angeben.
Das sind einfach direkt Elemente des Universums.
Fünf und treiben. Und die D wird nachher sein,
dass wenn hier jetzt, wenn ich das jetzt alles ausrechne sozusagen,
dann kommt da ja irgendein Wert raus.
Da können wir sogar mal machen in dem Beispiel,
so wie das da definiert ist.
X soll 3 sein, Y soll 5 sein,
dann ist F-Strich von 3,5
ist dann irgendwie
Dann ist da das Tupel irgendwie vorne steht,
die 8 und hinten, x wurde ja zu 3 ausgewertet.
Das ist ja das Tupel 8-3 drin.
Und jetzt wird eben nachgeguckt, ob dieses Tupel 8-
3 in der Interpretation von Kuh drin ist.
Wenn er jetzt irgendwie hier in eine 8 einsetzt und da
eine 3, 8 kleiner als 3 gilt nicht,
also ist das Tupel da nicht drin.
Also würde man sagen, bei der hier angegebenen Struktur
wird dieser hintere Teil nicht zu eins ausgewertet.
Also er wird zu null ausgewertet. Das wird gleich die
Idee sein. Und bei dem Allquantur wird die Idee sein,
halt alle Elemente des Universums einzusetzen
Und dann zu gucken, ob das immer erfüllt ist.
Und wenn ich jetzt als Elemente des Universums hier nacheinander 1,
2, 3, 4, 5, 6,
7 einsetze und dann immer gucke, was ist gestrich davon.
Ich gucke nicht, was gehe von 1, 2,
3, 4, 5 ist, sondern ich interpretiere ja gehe noch als gehstrich.
Und dann kommt immer der Nachfolger raus. Das heißt,
hier stehen dann die Zahlen 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9,
10 und so weiter. Und dann gucke ich immer,
ob das NP drin ist, ist es halt leider nicht,
weil ich irgendwie hier P so nur als die geraden Zahlen definiert habe.
Das heißt, ich würde nachher sagen,
dass das eine falsifizierende Struktur ist,
so wie ich auch falsifizierende Belegungen hatte,
wäre das
eine falsifizierende Struktur
Wenn ich das Gehstrich hier nicht, ah,
hier müsste G-Strich stehen und hier müsste F-Strich stehen.
Hat er das gesehen? Also G soll ja einfach
nur sinntax sein und G-Strich soll die semantische Bedeutung sein.
Das heißt, hier muss G-Strich stehen und da muss F-Strich stehen.
Und wenn ich G-Strich so definieren würde, dass ich sagen würde,
G-Strich von N ist zweimal N, dann wäre es wieder okay.
Dann würden hier nämlich nur die Zahlen zwei, vier,
sechs, acht und so weiter stehen und die sind auch alle NP drin.
Dann hätte ich eine erfüllende Belegung, eine erfüllende Struktur.
Aber das war jetzt schon mal Ausblick für das,
was gleich kommt
Bisher hatten wir nur die Struktur, wenn ich irgendwie
die Formel habe, dann gucke ich mir halt an,
alle sind taktischen Konstrukte, die in meiner Formel auftreten.
Und die muss sich dann eben interpretieren. Also für die
muss ich angeben, was die Interpretation mit denen machen soll.
Und ich muss eben Funktionssymbole auf Funktionen abbilden und Predikatensymbole auf Predikate.
Und die Stelligkeit sagt mir immer, auf was für Funktionen und was für Predikate.
Also bezüglich der Signatur. Fragen? Die Frage war,
ob es auch möglich wäre, G-Strich von NN-Halve zu setzen.
Nee, weil das ja eigentlich keine Funktion von N
nach innen ist
Also du musst hier schon, also das,
was du da definierst, musst schon zu dieser Signatur passen.
Was du machen kannst, wäre, dass du sagst,
geh Strich von N ist eine halbe, wenn N gerade ist und,
was weiß ich, N plus 1 halbe sonst oder irgendwie sowas.
Dann hast du wieder eine Funktion, die von N nach N geht.
Das kannst du machen. Aber behaltet auch mal im Hinterkopf,
dass das jetzt mit den Zahlen, ich glaube,
ich habe jetzt ganz viel, also meine Beispiele sind,
glaube ich, gerade alle Zahlenbeispiele, aber das muss nicht so sein.
Man kann da auch irgendwie mit anderen Dingen Also beispielsweise dieses Lehrer- und Studentenbeispiel,
weil das Universum, die Menschen oder man nimmt als Universum die Position im Programmcode,
die man so hat und macht sich dann Gedanken darüber,
ob man die anspringen kann oder nicht.
Also all sowas kann man ins Universum nehmen. Also man ist
nicht auf diese Zahlen irgendwie fixiert. Das ist nur so,
dass man damit das teilweise hier ganz gut illustrieren kann.
Und was man eben auch machen kann hier, hier ist das Universum jetzt unendlich.
Das muss aber so nicht sein. Ich kann das Universum
auch irgendwie einfach nur die Menge nehmen, die 1, 2, 3 enthält.
Dann kann ich sogar eine Tafel machen, wenn ich möchte.
Aber so im Allgemeinen kann man keine Tafel mehr machen.
Ach du genau, was hier auch noch auffällt ist,
Ich könnte dann zwar eine Tafel machen für diese eine speziell festgehaltene Struktur,
was ich recht offensichtlich schon nicht mehr machen kann,
ist eine Wahrheitstafel für alle Strukturen.
Früher, also bei der Aussage-Nuhi konnte ich ja
eine Wahrheitstafel machen, wo ich alle Belegungen angegeben habe.
Jede Belegung war eine Zeile und es gab halt nur zwei hochendviele Belegungen.
Das kann ich hier nicht mehr machen, weil ich alleine
schon durch das Universum hier unendlich viele Strukturen kriege. Also ich habe einmal die Struktur,
wo das Universum nur aus der Eins besteht,
wo es aus 1 und 2 besteht,
wo es das 1, 2, 3 besteht,
aus 1, 2, 3, 4 und so weiter,
dadurch kriege ich ja schon endlich viele Universen.
Und dann habe ich noch sehr, sehr, sehr viel mehr.
Also kann man mit dem Universum die reellen Zahlen nehmen.
Häuser, Studenten, Flugzeuge, alles mögliche,
kann dem, was ich will.
Und da habe ich auch noch ganz viel Wahlmöglichkeit,
was ich da mache
Also das werden unüberschaubar viele Strukturen. Da kann ich
nicht mehr so was Schönes machen wie in der Aussagenlogik.
Deswegen ist es hier umso wichtiger, dass man Verfahren hat für Erfüllbarkeits- und Unerfüllbarkeitstests.
Also wo wir in der Aussagenlogik gesagt haben, naja,
Resolution kann man zwar machen, aber ich kann auch einfach eine Wahrheitstafel machen.
In der Aussagenlogik stimmt es, in der Prädikatenlogik stimmt es nicht mehr.
Da brauche ich nämlich solche Verfahren dann wirklich, damit ich irgendwie überhaupt vorankommen kann.
So, jetzt kommt, jetzt wird es richtig knifflig.
Jetzt hatten wir bisher, jetzt hatten wir bisher die Sintax und die Struktur festgelegt. So,
und jetzt kann man diese Struktur, wie er jetzt erstmal nur sagt,
was man mit den Symbolen macht, die kann man jetzt quasi rekursil fortsetzen,
sodass man sagt, wie diese Interpretation eine Formel auswerten soll.
Also das, was ich eben schon so ein bisschen informal
erzählt habe, das versucht man jetzt formal zu fassen.
Und zwar macht man das so,
I wird jetzt zu einer Auswertung fortgesetzt und I und A,
das geht so ein bisschen fröhlich durcheinander manchmal,
die Struktur ist ja eigentlich A und die ist das Tupel-U-KMAI
und I ist dann eigentlich halt die Abbildung und für ihn
schreibt man dann ganz oft aber auch einfach
So, und jetzt machen wir folgendes. Die Definition für
die Therme, also wie werte ich Therme aus?
Eine variable X, die wird einfach genauso interpretiert,
wie die Interpretation mir das sagt. Wir werden nachher sehen,
dass das nur dann Sinn macht, wenn die Variable frei ist,
weil das ansonsten, wenn sie gebunden ist, überschrieben wird.
Aber das kommt später. Erstmal sagen wir,
Variable wird genauso interpretiert, wie die Interpretation uns das sagt.
Konstante auch, wird genauso interpretiert, wie die Interpretation uns
das sagt. Jetzt kommt der spannende Teil,
wenn ich ein carstelliges Funktionssymbol habe und diese Kartherme T1 bis TK,
dann werte ich dieses F-Fond T1 bis TK wie folgt aus
Ich gucke mir bei den Thermen an, T1 bis die K wie die ausgewertet werden.
Das könnten jetzt ja wieder Funktionssymbole sein oder so,
aber gehen wir mal von dem Fall aus,
dass wir sowas haben wie F von A,
B. Und jetzt will ich wissen,
was ist die Auswertung von F von A,
B. Dann würde ich jetzt hier halt gucken,
was ist die Auswertung von dem Kleinen?
A, was ist die Auswertung von dem Kleinen B?
Da kommen dann irgendwie Werte in meinem Universum raus.
Und dann gucke ich mir an, was ist die Interpretation des Funktionssymbols F?
Und da kommt dann ja wirklich wieder eine Funktion raus,
etwas, wo man nicht semantisch arbeiten kann.
Und dann kann ich das hier ausrechnen,
dieses E von F, Klammer auf A von T1
bis A von TK
Also das, was wir eben informal einmal kurz gemacht hatten,
so macht man es vom Alpen.
Und so ähnlich sieht es dann aus bei den atomaren Formeln.
Da sagt man dann, die Aussagensymbole, die werte ich
wieder genauso aus, wie die Interpretation mir das sagt.
Aus Hangsymbole treten auch kaum auf in der Prädikatlogik,
aber da hätte man nochmal welche.
Und für ein Karstelliges Prädikatensymbol und Card Thermity 1 bis TK,
da mache ich jetzt sowas ähnliches wie hier oben bei den Karstelligen Funktionssymbolen.
Mit dem einem Unterschied, wenn ich jetzt wissen will,
was ist die Auswertung von P von T1 bis TK,
dann werte ich wieder erstmal die ganzen Therme aus
Da kommt irgendein Tupel raus aus, U-Kreuz, U-Kreuz,
U-Kreuz, U-Kreuz, U. Und dann gucke ich,
ob dieses Tupel in der Interpretation von P enthalten ist oder nicht.
Und falls das der Fall ist, kriegt diese atomare Formel,
wird dann zu eins ausgewertet. Und falls das nicht der
Fall ist, wird die atomare Formel zu null ausgewertet.
Grob klar. Beispiel, ja, Beispiel,
sehr gut. Wenn ich die Formel da oben habe,
die sieht jetzt ein bisschen langweilig aus,
aber damit man das mal üben kann,
P von A,
F von
Und jetzt soll ich eine Struktur angeben. So,
und jetzt sehe ich in der Formel,
es tritt das A auf, das ist eine Konstante.
Es tritt das F auf, das ist ein einstelliges Funktionssymbol.
Und es tritt das P auf, das ist ein zweistelliges Predikatensymbol.
Jetzt kann ich mir überlegen, okay,
dann nehme ich vielleicht als U wieder die natürlichen Zahlen.
Und I, die Interpretation muss ich jetzt noch festlegen,
da sage ich jetzt I von A soll 4 sein,
eine Konstante soll ja durch einen Wert des Universums interpretiert werden.
I von P soll die muss ja eine Teilmenge von U-Kreuz-U sein.
Und da habe ich dann einfach gesagt, das sollen jetzt
die Tupel sein, bei denen beide Elemente gerade sind.
Also da geht es jetzt übrigens nicht darum,
irgendwie eine Sinnhaftigkeit da drin zu finden, sondern das nur irgendwie einmal anzuwenden.
So kann man sich eine Struktur halt gerade definieren. Und ihr von FSF-Strich,
wobei F-Strich jetzt von N nach N gehen soll, mit eben,
da ist jetzt diese Geschichte, dass ich einfach verdoppel.
Und jetzt kann man sich überlegen, dann ist also A von
Also P von AFA wird zu eins ausgewertet, genau dann, wenn. Und jetzt guckt man in der Definition nach. Und die Definition sagt,
das wird genau dann zu eins ausgewertet,
wenn die Auswertung der einzelnen Argumente hier,
also die Auswertung von A und die Auswertung von F von A,
wenn das ein Element ist in der Interpretation von P. Und dann guckt man nach,
das ist genau dann der Fall, wenn,
was ist eigentlich A von A, kann man hier oben nachgucken,
A von A ist I von A,
also ist das 4. Und dann muss man hier nachgucken,
A von F von A und da war die Idee,
die einzelnen Argumente von F wieder auszuwerten und das Tubel,
was da rauskommt, eben der Interpretation von F vorzulegen.
Also E von F sich anzugucken und als Argument A von A vor zu liegen.
Dann guckt mal wieder, evon F ist gerade F-Strich,
das heißt, da schreibe ich auf Strich hin,
A von A ist wieder 4, da schreibe ich 4 hin.
Und dann sage ich, F-Strich von 4, da soll das verdoppelt werden,
also kommt da irgendwie ein Acht raus und dann gucke ich,
ob 4, 8 in EP drin ist.
Und so wie ich das hier definiert habe, das X und Y,
gerade sein sollen, gilt das also, also 4,
8 ist in EP drin, die ganzen, genau,
da werden Beziehungen nach oben lesen, das heißt,
ich werte die Formel zu 1 aus, also habe ich eine erfüllende Struktur.
Und was man normalerweise ganz gut machen kann, ist,
dass man, wenn man jetzt eine größere Formel hat,
man macht erstmal diese ganzen Schritte,
bis man das möglichst weit aufgegliedert hat
Und dann überlegt man sich, was könnte eine
erfüllende Struktur sein und was könnte eine falsifizierende Struktur sein.
Sehen wir auch gleich nochmal ein Beispiel für. Jetzt kommt
der einfache Schritt. Also das war jetzt relativ kompliziert.
Jetzt kommt der einfache Schritt. Wird weiter rekursiv zu einer Auswertung
fortgesetzt. Die jungen Touren werden wie eine Aussagenlogik behandelt.
Das heißt, wir haben sowas. Also wenn ich
Formeln F&G habe und eine Struktur A,
dann das A von Nicht-F eben genau dann eins,
wenn A von F.0 ist.
Und für Uder und Implikation und Bioinflikation,
genauso wie wir das in der Aussagenlogik kennen
Genau, das ist quasi der langweilige Teil in der Definition.
Das kennt man schon aus der Aussagenlogik. Und was jetzt
noch fehlt, das letzte Element, was uns fehlt,
ist, wie wir jetzt mit den Quanturen umgehen.
Und wir hatten ja gesagt, ich interpretiere irgendwie eine,
also dass ich für eine Variable X irgendwie angebe,
wie ich
das interpretieren möchte
Und die Interpretationen wollen wir jetzt ja im Allgemeinen nicht benutzen.
Also wenn ich sowas habe, wie für alle XF von X,
dann will ich nicht X einfach nur durch iPhone X interpretieren,
sondern weil für alle XF von X steckt ja irgendwie drin,
dass ich alle,
nach und nach alle Elemente des Universums einsetzen soll.
Und damit man das formal ausdrücken kann,
gibt es diesen Begriff der X, der X-Struktur.
Und das sieht, wie war so ein Beispiel erst noch,
Entschuldigung, das machen wir gleich. Einmal hierfür noch so ein Beispiel,
wenn man jetzt so ähnlich wie eben P von AFA und P von FAA hat,
dann kann man so wenig wie eben irgendwie sagen,
die Auswertung davon ist eins genau dann,
wenn Der erste Teil eben betrachtet wird und der zweite Teil irgendwie betrachtet wird.
Da muss irgendwie die Auswertung von A und die Auswertung von F und A
muss in EP enthalten sein und die Auswertung von F und A
und die Auswertung von A muss auch in EP enthalten sein.
Und dann macht man eben genauso weiter wie eben auch und
kommt dann irgendwie dazu, dass das genau dann gilt,
wenn 4, 8 in EP ist und 8,
4 in EP ist.
Das wäre die im Beispiel von eben beides gegeben.
Also wäre das eins. Wichtig nur ist hier,
dass ihr einmal sehen könnt, man macht das jetzt genauso wie eben eigentlich auch.
Man guckt sich hier einfach nur an,
wie dieses und definiert ist und bei dem und steht hier eben,
dass es genau dann eins,
wenn A von F1 ist und A von G1 ist
Dass das, was wir hier benutzen, dass man sagt,
das hier ist eins genau dann, wenn.
A von PA FA1 ist und A von PFA1 ist.
Das ist eben beides eins. Genau dann,
wenn und dann das, was da steht.
Aber da kann man schon sehen, das wird nachher relativ groß,
also wenn da irgendwie noch mehr Dinge stehen, wird das umfangreich.
So, jetzt kommt das mit den X-Strukturen.
Die Idee bei den X-Strukturen ist einfach nur,
ich habe jetzt so eine Struktur und ich habe
eine Variable X und irgendwie ein Wert D aus U. Dann
bezeichne ich jetzt mit dieser Abkürzung hier A und unten gestellt XD.
Das soll jetzt die Struktur sein,
die überall genau das Gleiche tut wie
Außer bei der Stelle X,
deswegen steht das hier unten auch extra mit diesem XD.
Das X soll es auf D abbilden und alles andere macht es gleich.
Und bei dem i kann man das auch noch dahin schreiben, wenn man das möchte.
Also kann man auch formulieren, für alle verfügbaren Symbole. Tau gilt,
A von XD, Tau, das ist D,
vent Tau gerade X ist und sonst tut es genau das Gleiche,
wie die Interpretation in der Struktur A.
Also eine Struktur, die überall das Gleiche tut,
VR mit der einen Ausnahme, das,
was unten im Subindex hier steht,
XD,
dass die X
halt nach D abbildet
De muss ein Element des Universums sein, X eine Variable, fertig.
Und jetzt kann ich mir damit die Semantik des All- und des Existenzkontos definieren.
Und zwar, damit schließen wir das jetzt auch ab.
Ich mache das jetzt für jede Variable X und jede Formel
F und jede Struktur A, mache ich das folgende.
Für alle XF wird genau dann zu eins ausgewertet, wenn,
für alle DENU gilt, dass diese X-Struktur AXDF, wenn das eins ist.
Damit kriege ich es nämlich insbesondere hin,
dass wenn ich in der Struktur A Also jetzt nicht in der X-Struktur,
sondern in der Struktur A. Wenn ich da X mit irgendwas interpretiere,
dann wird gerade das durch diese X-Struktur hier überschrieben.
Und durch die Formulierung hier vorne,
falls für alle DNU, damit es erreicht,
dass sich für X nach und nach alle Elemente des Universums einsetzen muss.
Und bei dem Existenzkonto sage ich eben nicht für alle,
sondern falls es ein DNU gibt mit dieser Eigenschaft.
Das sieht auf den ersten Blick ein bisschen komisch aus,
wenn man irgendwie das Gefühl hat, da steht ja auf beiden das Gleiche,
aber streng genommen ist dieser Altquantur hier links, dieses umgedrehte A.
Das ist Sintax, während die Formulierung hier,
falls für alle DNU geht, die ist semantisch.
Die kann ich dann
wirklich ausführen
Ja, so wertet man die aus. Und das wird
vor allem bei geschachtelten Quantoren relativ anstrengend, wenn ich sowas habe,
wie für alle X existierten Y mit irgendwelchen Eigenschaften.
Dann komme ich da nachher mit der semantischen Auswertung zu sowas wie,
falls für alle DNU gilt, dass ein ENU existiert mit.
Und dann habe ich sowas wie AXD und dann noch YE oder irgendwie sowas.
Dann habe ich quasi so eine XY-Struktur, also wo dann klar ist,
dass ich X auf D abbilde und Y auf die.
Genau, da steht es auch nochmal
Mit diesen X-Strukturen eben, der ursprüngliche Wert der Quanturenvariable unerheblich ist.
Also wenn ich so eine Formel habe für alle XP von X,
dann ist der Wert von i von X eben nicht wichtig,
weil der nicht benutzt wird.
Der wird durch die X-Struktur überschrieben. Das ist ja
die einzige Stelle, wo die Extruktur was anderes macht.
So, Beispiel dazu. Da kann man jetzt auch sehen,
dass das schön umfangreich wird. Wenn ich jetzt sowas habe,
für alle XP von X oder Q von A,
F von X. Und der Al-Quantur bezieht sich gerade auf die
ganze Formel
Jetzt kann man, und nehmen wir mal an,
unsere Aufgabe ist, eine erfüllende Struktur zu finden,
eine erfüllende und vielleicht auch noch eine falsifizierende.
Jetzt kann ich erst mal losgehen und
die semantischen Definitionen einfach benutzen und das immer weiter runterbrechen.
Das sieht dann so aus. Ich fange an mit A von,
für alle X, Dönedünen, ist eins genau dann wenden.
Jetzt überlege ich mir, was ist da gerade
die letzte Operation gewesen beim Aufbau der Formel.
Das war eben der Alquantor. Also wenn man sich das
wieder als Strukturbaum vorstellen würde,
wenn man diese Strukturbäume aus der Aussagelosik erweitern würde,
dass für alle X wäre gerade
der oberste Knoten
Die Interpretation davon ist,
dass diese Formel ist eins genau dann, wenn,
eben nach Definition der Semantik da für alle DNU gilt,
dass diese X-Struktur der Formel gleich eins ist.
Da sieht man, die Formel ist kleiner geworden,
weil der Altquantur weggegangen ist und die Semantik da vorne,
die ist größer geworden und ich habe hier die Struktur.
Jetzt guckt man sich als nächstes an, wann ist das denn eins?
Das oder, da ist jetzt das oder der Hauptoperator.
Ergo ist das eins, wenn eine der beiden Teilformeln
eins sind. Wenn also für alle DNU gilt,
entweder werde ich das P von X zu 1 aus oder
dieses Kuh von A,
F von
Und wohlgemerkt, jetzt arbeite ich aber mit dieser Struktur AXD
hier. Also muss ich bei beiden AXD hinschreiben.
Und jetzt mache ich im Grunde genommen einfach so weiter,
wie wir das eben auch schon gemacht haben.
Für alle DNU gilt, also dieser Teil hier,
AXDP von X, der wird eins,
wenn die Auswertung von X in i von P enthalten ist.
Das ist das, was dann hier steht.
A von XDX soll in i von P enthalten sein oder
in dem unteren Teil die Auswertung von A und die Auswertung
von F von X in i
von Q enthalten ist
Ja, und hier, dann hat man hier noch den letzten Schritt mit dem F von X,
und da war ja die Idee, dass ich X auswerte und das, was da rauskommt, in i von F reintun. Und jetzt kann man hier noch gucken,
hier habe ich jetzt das X,
und das soll ja gerade die Struktur sein,
die X auf D abbildet,
das heißt AXD von X ist eben gerade D,
ich weiß, ich habe hier für alle DNU soll gelten,
D-Element aus EP, oder hier habe ich A von XDA,
das wird iFul A, weil das A eben nicht X ist,
das heißt, das tut das Gleiche wie A von,
groß A von A,
genau,
und hier,
das X wird auf D abgebildet von der Struktur,
und dann habe ich hier iF und A und i
von F von
Einmal sacken lassen
Was wären erfüllende Struktur? Was wäre eine erfüllende Struktur?
Es gibt eine Möglichkeit, das total einfach zu machen.
Genau. Also die einfache Möglichkeit ist, ich gucke mir hier,
also bei dem oder weiß ich ja erstmal,
ich brauche eigentlich nur eins davon wahrmachen.
Also wenn es möglich ist,
dass ich einen Teil davon die ganze Zeit warm mache,
bin ich
schon zufrieden
Man entsteht hier quasi, wenn ich es hinkriege, dass alle DNU,
was für die alle GD-Elemente aus I von P. Naja,
dann interpretiere ich P. einfach als das ganze Universum.
Also als U nehme ich irgendwas, die natürlichen Zahlen,
I von P. ist auch die natürlichen Zahlen,
dann gilt für alle DNU, dass ihr ein D von,
dass ihr ein I von Peterin sind.
Dann habe ich das fertig. Ich könnte auch sowas machen
wie das A hier auf Eins abbilden. Als F nehme ich die konstante Funktion,
also je jedes Element des Universums wird auf sich selbst abgebildet.
Dann nehmen wir mal wieder die natürlichen Zahlen.
Und dann habe ich die Tupel 1, 1,
2, 1, 3, 1, 4,
1, 5, 1, 6 und so weiter.
Und die tue ich alle in den Kuh rein.
Oder ich nehme als F eine Funktion, die,
egal was im Universum ist, egal was die ist,
ich bilde das immer auf eins ab.
Dann brauche ich in Kuna 1,1 reintun. Ich glaube,
das habe ich gemacht. Genau. Also U sollen die natürlich in Zahlen sein,
I vom PSU, den Rest kann ich beliebig machen.
Dann habe ich eine Beliebung, dann habe ich eine erfüllende Struktur.
Oder ich mache irgendwie A, werde ich zu eins aus
und F wird die Funktion F-Strich mit der Eigenschaft,
dass alles auf eins abgebildet wird.
Und dann tue ich in Kuh einfach das Tupel 1
rein und dann habe ich eine erfüllende Struktur
Da wie kriege ich eine falsifizierende hin? Ist auch
relativ einfach, ich kann das einfach kaputt machen.
Ja, es sind ja längere. Ja,
sowas kann man auch mal genau,
ich mache P als leere Menge und Kuh,
auch als leere Menge und dann bin ich schon fertig.
Ja, sehr schön.
Fragen dazu
Hm. Naja. Was wir jetzt hatten, war,
wir haben die Syntax eingeführt. Wobei da der,
also jetzt mal davon abgesehen,
dass man die Begriffe einmal kurz alle lernen muss,
ist da der wichtige Punkt eigentlich, dass man weiß,
was die freien und die gebundenen Variablen sind.
Dann hat man halt die Syntax. Und dann wurde
diese Mantik halt schrittweise eingeführt, indem man die einmal,
die Struktur eingeführt hat.
Dann die Auswertung der Therme,
die Auswertung der atomaren Formeln
Und dann halt noch mal die Auswertung für die Jungtouren und
die Auswertung der Quanturen und Letzteres eben mit den X-Strukturen.
Und dann hat man das Ganze. Und wenn man jetzt eben gegebene Formel,
irgendwie eine erfüllende oder falsifizierende Struktur finden will,
dann bietet sich das an, irgendwie so vorzugehen,
das einmal so runterzurechnen und dann irgendwann hier raus sich zu überlegen,
was sie erfüllen und eine falsifizierende Struktur sein könnte.
Und dann kann man die angeben und dann muss man auch irgendwie argumentieren,
dass das tatsächlich jetzt eine erfüllende, beziehungsweise falsifizierende Struktur ist,
so wie wir das eben gemacht haben.
Wenn man irgendwie sagt, wenn ich I vom P zu U auswerte,
dann ist offensichtlich die immer in IVP drin.
In dem Beispiel gibt es nicht viel zu argumentieren.
Bei anderen Sachen ist es ein bisschen aufwendiger
Genau. Man kann auch versuchen, das ein bisschen mit Wahrheitstafeln
zu machen. Das ist aber nicht immer so gut anwendbar.
Also man kann das. Man kann das irgendwie so hier
in dem Beispiel, geht das jetzt mal ganz schick,
weil U eben dann auch irgendwie endlich ist, dann wird diese Struktur da angegeben.
Also irgendwie A soll auf 3 abgebildet werden,
B auf 6. F ist eine einstellige Funktion
P ist ein einstelliges Prädikatensymbol. Er ist ein zweistelliges Prädikatensymbol
und XYZ sind irgendwie Variablen. Und dann kann man
die Struktur oder so wie da in der Tabelle angeben.
Und dann kann man halt mit dieser Struktur eben für die
drei Formeln hier versuchen, den Wahrheitswert zu bestimmen.
Und da geht es dann sogar noch mit einer Tabelle,
weil ihm die Struktur so schick endlich ist
Komm, das ist jetzt beides irgendwie alle. Wenn man oben die Struktur hat und dann kann man sich halt überlegen,
hier tritt irgendwie das A auf, das B, das FVA,
das F von B und dann kann man sich angucken hier von AFMB.
Ach genau, jetzt guckt man halt AS3 nach der Interpretation,
hier ist AR3 und F soll 3 auf 6 abbilden,
also das F von A hier irgendwie 6 unter der Struktur A2.
Und FVB wird dann irgendwie 9 und dann kann man sich angucken,
ob er von AB1 ist und ob er von F von AB1 ist,
wenn A3 ist und B6, muss man jetzt hier halt nachgucken,
ob 3, 6 und er drin ist,
was der Fall ist und ob 6,
9 in er drin ist,
was auch der Fall ist,
also kriege ich das beides den Wert 1. Dann habe ich hier 1-1 und bei der Bioimflikation wird das halt zu eins ausgewertet.
Dann habe ich das da mit einer Wahrheitstafel gemacht oder mit so einer Tafel,
was aber jetzt im Allgemeinen nicht unbedingt so klappen muss.
Deswegen ist die andere Variante eigentlich schöner. Bei dem da drunter kann man das auch machen,
da fängt es dann halt an,
da muss man dann irgendwie aufpassen, jetzt sehe ich irgendwie,
ich habe hier so ein Alquantor, Naja,
und dann muss ich halt nach und nach all die X-Strukturen betrachten,
wo X halt zu 3, 6 und 9 ausgewertet wird.
Da sieht man schon, das Verfahren wird versagen,
wenn ich irgendwie ein unendlich großes Universum habe.
Und dann müsste ich da irgendwie unendlich viele Zeilen machen.
Aber in dem Beispiel kann man das noch machen,
dann kann man halt nach und nach X durch 3,
6, 9 auswerten. Z tritt hier frei auf.
Das heißt, ich gucke einfach nur in der Struktur,
wie Z ausgewertet wird, wird zu 9 ausgewertet.
Also ist das hier immer 9. Und dann kann ich halt
wieder gucken. 3 NPI von P drin,
ist 6 in I von P drin,
ist 9 in I von P drin,
dann sehe ich hier PS nur 6 und 9.
Also muss das bei der 3
eine 0 werden und bei den anderen beiden eins
Ich das hier auch nochmal, da auch nochmal,
dann sehe ich halt, was die Formel ist.
Ja, und warum steht hier jetzt eine Null?
Bei dem F22, warum steht da eine Null?
Wo müssten in der Tabelle überall Einsen stehen,
damit ich da
eine Einzelne schreiben darf
Genau. Hier müsst ihr auch noch eine einstehen.
Ich habe ja hier ein Allquantur vorne,
das heißt für alle X-Strukturen, die ich hier betrachte,
muss diese Formel zu eins ausgewertet werden.
Und das passiert hier halt nicht. Da steht eine Null,
deswegen kommt da auch eine Null hin. Wenn ein Existenzkonto
vorne stünde, dann würde das zu eins ausgewertet werden.
Genau, so kann man das auch mit den Wahrheitstafeln machen
Jo, und was man jetzt halt noch machen muss,
ist halt diese ganzen, die Begriffe,
die wir schon aus der Aussagenlogie kennen, die überträgt man jetzt.
Das geht jetzt relativ fix, dass man sagt,
irgendwie eine Struktur heißt Modell für F, wenn die eben F zu 1 auswertet.
Ja, das ist die Strukturmodell einer Formelmenge,
wenn sie alle Formeln in M wahrmacht,
also genauso wie in der Aussagenlogik auch. Formel heißt erfüllbar,
wenn es eine Struktur gibt, die sie eben wahrmacht,
also wenn es irgendwie ein Modell für die Formel gibt,
sie heißt falsifizierbar, wenn es eine Struktur gibt,
die sie eben zu falsch auswertet, also zu null.
Und dann kann man eben genauso auch diese ganzen Begriffe allgemeingültig kontingent,
Autologie, Kontradition, Folgebarkeit,
Äquivalenz,
das kann man
alles übertragen
Und das Problem ist halt, dass ich ja bei sowas wie Tautologie,
da hätte ich jetzt so eine Formulierung drin,
wie alle Strukturen müssen die Formel wahrmachen.
Und diese formulieren dann alle Strukturen. Das beinhaltet halt,
dass ich wirklich mir alle Strukturen mit beliebigen Domänen und Interpretationen angucke.
Und das ist halt nicht mehr mit Wahrheitstafeln möglich.
Ich kann irgendwie anders argumentieren, aber nicht mit Wahrheitstafeln. Ja,
und dann gibt es halt die Möglichkeit, dass ich entweder versuche,
ganz normal in Anführungsstrichen mathematisch zu argumentieren, dass du sagst,
AEA, eine Struktur und dann zeige ich,
dass sie das auf jeden Fall zu eins auswertet,
oder dass ich eben versuche,
solche Verfahren zu entwickeln,
wie eben Resolution,
Ableitungsverfahren,
Resolutionsverfahren.
Jo. Ein letztes Beispiel, damit man einmal sieht,
hier Tautologie, wir wollen jetzt zeigen,
dass die oben stehende Form in der Tautologie ist.
Also wenn für alle XP von X gilt,
dann gibt es auch ein Y mit P von Y.
Von der Idee her ist das klar,
wenn nämlich es gar kein Element gibt, das P warm macht,
dann ist dieses für alle XP von X falsch.
Und Wenn es ein Paar gibt, aber nicht alle,
ist der vordere Teil falsch und der hintere Teil ist vielleicht wahr,
aber das macht nichts, das ist dann immer noch insgesamt richtig.
Und wenn der vordere Teil wahr ist, dann heißt es ja,
dass alle Elemente des Universums eben in I von P
drin sind und dann gibt es ganz bestimmt auch eines,
das in I von P drin ist.
Also von der Idee her ist das relativ schnell klar, dass das funktioniert.
Also wenn man das jetzt formal aufschreiben will, so.
Angenommen, wir haben so eine Struktur,
die die Formel eben falsch macht.
Und das wollen wir jetzt zum Widerspruch führen.
Wir wollen ja zeigen, dass es eine Tautologie ist.
Also wollen wir
das jetzt zum Widerspruch führen
Naja, das klappt nur. Der Hauptoperator hier ist ja eine Implikation.
Das klappt nur, wenn der vordere Teil die Prämisse,
wenn die zu eins ausgewertet wird und der hintere Teil die Konklusion zu null.
Also wir wissen ein A-Phone für alle XP von XBS 1 und A
von, es existiert YP von Y ist null.
Und jetzt kann man sich bei beiden angucken,
was muss eigentlich gelten, damit das eins oder null ist?
A von, es existiert YP von Y ist null.
Das gilt nur dann, wenn,
die Formulierung ist ja, dass es genau dann eins,
wenn es ein D in U gibt mit der Eigenschaft des DNIP drin ist.
Das heißt, jetzt wissen wir, wenn jedes D-Element U,
A von Y D, P Y 0 ist.
Also egal welches, durch welches, die ich das Y
ersetze, die es nie in P drin.
Also alles formuliert hier. Wenn für jedes DNU D nicht
in EP drin ist. Naja, und das kann nur dann gelten,
wenn, so ähnlich wie wir eben gesagt haben,
I von P interpretieren wir mit dem ganzen Universum.
Das hier kann jetzt nur klappen, wenn wir I von P
mit der Lehrenmenge interpretieren. Sobald wir das nicht machen,
sobald wir da irgendein Element aus U reintun,
gibt es eben irgendein Element in U,
das da drin ist
Ja, und für den anderen Fall, dafür,
damit das gilt, damit das eins ist,
müsste dann für jedes Element in U, für das Element ENU,
muss dann eben ein A-X-E-P von X-1 sein.
Also egal, durch welches ehe ich das X ersetze,
ehe es immer in der Interpretation von P drin, das da.
Lernt damit, das gilt,
das ist jetzt das Gleiche, was wir vorhin hatten,
dafür müsste dann aber I von P gerade U sein.
Und dann haben wir hier gesagt,
es muss I von P gleich leer sein und hier gesagt,
I von P muss U sein
Das wäre nur dann möglich, wenn U gleich die leere Menge ist.
Und wir haben aber gesagt, in der Definition,
dass U gerade nicht leer sein soll.
Ergo kann es diese Struktur, von der wir angenommen haben,
dass es sie gibt, die kann es nicht geben.
Also gibt es keine Struktur mit der Eigenschaft,
dass sie die Formel zu Null auswertet.
Also wir hatten alle Strukturen, die Formel zu eins aus.
Also ist die Formel der Tautologie
Genau, das kann man halt machen. Oder man wendet eben
nachher Resolutionsverfahren und sowas an. Weil das hier wird jetzt,
wenn die Formeln irgendwie größer werden,
also wenn die Formel dann irgendwie aus 20, 30,
40, 50 Elementen besteht, dann ist das hier nicht mehr handhabbar.
Dann brauche ich irgendwie ein sinnvolleres Verfahren, um das zu machen.
Also das da ist ja schon irgendwie von der Notation her
gewöhnungsbedürftig und kann man sich bestimmt vorstellen, stellt euch mal vor,
ihr habt irgendwie 50 solche Teilformeln hier,
die irgendwie miteinander verknüpft sind und wollt dafür sagen,
ob das jetzt eine Tautologie ist oder nicht
Und dieser Tautologie-Test ist ja auch deswegen wieder spannend,
weil das ist wieder was mit Vollgabbarkeit zu tun hat.
Also diese Sätze, die wir schon aus der Aussagenlogik kennen,
so, geh folgt aus F genau dann,
wenn F. impliziert gehende Tautologie ist.
Das gilt auch weiterhin in der Prädikatenlogik. Und deswegen ist
auch wieder so ein Tautologie- und so auch ein Redaktionstest spannend,
weil ich dann wieder an Voreigerbarkeitsbeziehungen rankomme.
Gut, Fragen? Dann in dem aktuellen Aufgabenzettel geht es um... Resolution,
das was wir gestern gemacht haben und eben um einen Einstieg in diese Prädikatenlogische Symantik.
Das sollte ja einmal auf den Präsenzaufgaben machen und einmal in
den Übungsaufgaben und probiert mal das dann in den Präsenzaufgaben so zu machen,
wie wir das eben in den Beispielen hier hatten,
also nicht irgendwie mit einer Wahrheitstafel oder so,
sondern versucht man das irgendwie formal durchzuexerzieren,
damit ein Gefühl für die Semantik kriegt.
Das ist echt, wenn man das ein paar Mal gemacht hat,
dann kann man das nachher ganz schnell machen.
Gut, einmal kurz Wiederholung, was haben wir heute gemacht?
Sind halt Semantik. Wie gesagt, sinntags einfach nur,
was man alles aufschreiben darf und wie man das alles aufschreiben darf und
dann vor allem frei und gebundene Variablen und Semantik dann eben sukzessive für die einzelnen Blöcke definiert,
Struktur eingeführt,
X-Struktur eingeführt und dann eben Auswertung der Therme der atomaren Formeln,
der komplexen Formeln und der Formeln mit Quantoren
Und was man jetzt, was wir jetzt nächstes Mal machen,
denn man hat ja eben an dem Beispiel schon gesehen,
so mit so direkten Formulierungen wird das anstrengend irgendwie zu beweisen,
dass etwas eine Tautologie ist oder nicht.
Wahrheitstafel geht auch nicht, was ja also jetzt die nächsten
zwei Termine noch machen wollen, ist das da, Ausblick.
Wir wollen wieder eine Normalform einführen. Das heißt,
hier Klausel-Normalform, die wird ganz schicke Eigenschaften haben,
nämlich insbesondere alle Quanturen werden ganz vorne stehen.
Sie wird in konjunktiver, also der Rest wird in
konjunktiver Normalform sein und es werden keine Variablen frei auftreten.
Das ist irgendwie dann nett. Achso,
und alle Quanturen werden Altquanturen sein, das ist auch nett
Und dann werden wir mit dieser Normalform uns noch die prädikatlogische Resolution einführen.
Dann kann man nämlich eine Formel zuerst in die Normalform
bringen und dann kann man darauf prädikatlogische Resolution anwenden,
um halt festzustellen, dass das eine Kontradiktion oder nicht.
Dann kann man wieder all die schönen Sachen,
über die wir schon geredet haben, so Folgebarkeit, Äquivalenz,
also kann man dann wieder darauf zurückführen und kann dann eben mit Prädikaten logischer Resolution eine Menge machen,
mit eben der Einschränkung,
dass das eben nicht so schön ist wie in der Aussagenlogik,
dass der Algorithmus immer terminiert.
Man hat zwar weiterhin diesen Resolutionssatz,
dass die Formel unerfüllbar ist genau dann,
wenn ich an die Box rankomme
Aber ich weiß dann eben im Ablauf immer nicht,
komme ich jetzt noch irgendwann zur Box oder geht das gar nicht mehr?
Deswegen kann ich immer nicht sagen,
ob eine Formel vielleicht erfüllbar ist oder so. Gut,
das machen wir nächsten Montag und nächsten Dienstag und übernächsten Montag
machen wir dann, wenn das alles gut läuft,
übernächsten Montag einfach nur noch Wiederholung.
Gut, Frank, zum zweiten, zum dritten.
Dann die Leute, die eingeschlafen sind, jetzt aufwachen,
weil jetzt ist es Feierabend.
Das ist jetzt ein guter Moment zum Aufwachen.
Und Schluss für heute