Ich habe noch einen klitzekleinen Nachtrag zu der Vorlesung von letzten Donnerstag,
als wir uns über Wellenausbreitung unterhalten haben. Und zwar sind wir so weit gekommen,
dass wir gesehen haben, wie breiten sich Wellen aus,
wenn wir ein Medium haben, sodass die Wellengeschwindigkeit,
eine Funktion von der Frequenzwörter und einen Aspekt,
einen ganz wichtigen Aspekt, hatte ich noch nicht benannt,
den sie wahrscheinlich vielleicht auch in der Experimentarphysik schon gesehen haben,
aber ich wollte es der Vollständigkeit halber trotzdem nochmal anschreiben.
Also nochmal zur Wiederholung, was wir gesehen hatten letztes Mal war,
Dass wenn wir die Wellengleichung in Materie lösen,
also wenn die Welle sich nicht frei ausbreiten kann,
dann passiert Folgendes, dass die Frequenz eine Funktion des Wellen Vectors wird.
Oder anders ausgedrückt, die Frequenz wird eine nicht triviale Funktion der Wellenlänge.
Oder wenn sie es anders ausdrücken wollen, die Wellengeschwindigkeit,
die ja nichts anderes ist als die Frequenz durchkam,
wird eine nicht triviale Funktion der Frequenz.
Wie auch immer sie es nennen wollen. Was immer noch gilt,
Was sie sich immer noch merken können, ist,
dass in dem Fall haben sie einfach Ebene, Wellen,
die E-Hoch-I-K-R -I-Omega von KAT.
Und sozusagen immer noch beschreiben immer noch die Ausbreitung von Störungen in dem Medium.
Und was sie sehen, ist das hier, breitet sich aus mit,
eben ist eine Welle, die sich mit genau dieser Phasengeschwindigkeit hier ausbreitet. Und was sie auch haben,
sie können aus diesen Elementarwellen immer noch sich hier Wellenpaket zusammenbauen,
das hatten wir gesehen,
also die allgemeine Lösung war immer noch irgendwie von der Form,
dass sie hier eine Überlagerung bilden, In dem Fall eh,
ja, schreibe ich mal die allgemeinste Form hin,
der Wellengleichung haben Sie hier eine Überlagerung von solchen Elementarwellen,
Ehochi, KR-i-i-i-Omega von KT, ja, plus einen Anteil,
eh hoch, IKR plus, Omega von KT, ja.
Wir hatten das letzte Mal eben zwei Lösungen sozusagen,
wir hatten, entweder die, sozusagen,
gab es hier zwei Lösungen für die Bandreich,
eine mit Frequenz plus und eine mit Fränkins Minus,
ja.
Und aus denen können Sie sich so eine Überlagerung hier zusammenbauen.
Das ist die allgemeinste Form,
die Sie haben für irgendein Wellenpaket
Und was sie gelernt haben ist, dieser Anteil hier beschreibt im Prinzip Wellen,
die sich nach vorne in die Richtung PlusK bewegen.
In die PlusK-Richtung, dieser Anteil hier, der ein Pluszeichen hat,
den haben wir nicht diskutiert, aber der wird sich genau,
wird genau Wellen beschreiben, sich in die negative Richtung ausbreiten.
Also in die Richtung Minusk. Diese beiden Anteile. Und wenn sie ein Paket daraus zusammenbauen,
dann heißt es, dass hier diese früher Komponenten,
aus denen sie die Bälle zusammensetzen, irgendwie konzentriert sind,
um einen Wellenvektor herum, ja, Wellenpaket, sozusagen,
K ist ungefähr K0, ja, und irgendwie um K0 verteilt,
also eh von K sieht irgendwie so aus,
Etilde von K, um K0.
Und wenn das der Fall ist, dann haben wir gelernt,
bewegt sich das hier eben mit genau im Wesentlichen der Gruppengeschwindigkeit,
die gegeben ist durch die Ableitung,
also sozusagen das hier durch die Linearisierung von dem,
also die Bewegung dieses Wellenpakets
ist einfach sowas von der Form zur Zeit Null,
sieht das Ganze so aus
Ja, Evan X und T. Und zu einer späteren Zeit
hat sich das verschoben. Und das ist genau verschoben,
um den Betreib Gruppengeschwindigkeit mal Tee und die Gruppengeschwindigkeit war genau die Ableitung.
Der Frequenz nach dem Wellenvektor. Also, so weit waren wir gekommen.
Und ein Aspekt, den ich nicht genannt hatte, ist,
was passiert eigentlich, wenn wir über diese Linearisierung hier hinausgehen?
Okay. Was heißt diese Linearisierung? Diese Linearisierung heißt,
dass ich annehme, dass ich alle Wellen mit derselben Phasengeschwindigkeit
hier ausbreiten und mit derselben Gruppen, mit derselben Phasengeschwindigkeit ausbreiten.
Ja, wenn ich darüber hinausgehe, dann gebe ich das auf.
Dann bewegen sich Wellen mit Unterschied, sozusagen die unterschiedlichen Komponenten,
unterschiedlichen Elementarwellen, die hier dazu beitragen, bewegen sich alle mit unterschiedlicher Geschwindigkeit.
Und was das bedeutet, ist, dass als Funktion der
Zeit sozusagen die Form dieses Wellenpakets sich auch ändern muss.
Ja, das heißt, es stimmt nicht mehr,
dass dieses Wellenpunkt einfach so aussieht,
als hätte ich das genommen und hier rüber verschoben,
sondern es zerfließt auch als Funktion der Zeit, es wird irgendwie breiter.
Es verändert seine Form. Es muss nicht so ausschauen,
es kann irgendwie anders ausschauen, das hängt wirklich genau davon ab,
wie die Phasengeschwindigkeit als Funktion der Prequenz aussieht.
Aber das ist sozusagen die wirkliche Form sozusagen. Und dieser
Effekt ist durch sozusagen durch die Dispersion, nennt man das. Musst du sagen,
V, die sind unterschiedlich, sozusagen,
wenn sie diese Dispersionsrelation sich nochmal hinzeichnen und sagen,
Omega als Frequenz von K,
dann hatten wir irgendeine Funktion und wenn sie hier linearisieren,
dann haben sie Wellen,
die sich einfach nur mit der Zeit einfach mit konstanter Geschwindigkeit verschieben.
Und wenn sie über diese Linearisierung hinausgehen, dann würden sie
sehen, dass die Welle auch ihre Form verändert.
Weil einfach die Zusammensetzung der Furio-Komponenten als Funktion der Zeit sich ändert.
Einfach auf den Effekt wollte ich noch hinweisen. Wenn Sie zum Beispiel,
vorher haben Sie wahrscheinlich dieses Experiment, ich sehe hier so eine Wasserwanne,
Wenn sie da Wellen anregen, dann sehen sie,
dass sie sich tatsächlich schön fortbreiten, ohne ihre Form zu verändern, ja.
Wenn sie, also das heißt, das sagt ihnen,
dass die Wellengeschwindigkeit in dieser,
in dieser Wasserwande tatsächlich offenbar nicht abhängt von der Frequenz oder der Wellenlänge, ja.
Und es ist eine Eigenschaft dieser Wasserwellen, ja.
Und die hängt tatsächlich damit zusammen. Bei Wasserwellen ist das zum Beispiel so,
dass natürlich, das ist irgendwen, es ist ein kompliziertes Phänomen,
da schwingt Materie, die stößt an den Boden oder die wird durch den Boden gestört, ja.
Da gibt es Oberflächenspannung. Irgendwie muss garantiert die Wellengeschwindigkeit von
der Frequenz abhängen. Es ist immer so,
es ist eigentlich nur, die perfekte, die perfekte Situation,
in denen die Wellengeschwindigkeit nicht von der Frequenz abhängt,
das sind die Wellen, elektromagnetischen Wellen im Vakuum.
Aber wenn sie irgendwo sonst sind, gilt es garantiert nicht.
Also zum Beispiel bei Wasserwählen, da würden sie sehen,
dass bei Wellen, die im flachen Wasser sich ausbreiten,
da ist es tatsächlich so, dass sie sich nicht,
dass die Wellengeschwindigkeit nicht von der Frequenz abhängen würde.
Aber sobald sie ins tiefe Wasser gehen,
würde die tatsächlich auch von der Frequenz abhängen.
Das heißt, auch da würden die Wellen ihre Form verändern.
Und wenn dann so eine Welle kommt,
vom tiefen Wasser ins flache Wasser,
dann verändert sich ganz drastisch die Reform und dann wird sie zu einem Brecher oder was weiß ich.
Das ist dann aber keine lineare Theromie. Also sozusagen die Situation,
dass die Wellengeschwindigkeit hier frequenzabhängig ist, eigentlich die normale Situation.
Okay. Das aber nur als winzigen Nachtrag noch zum letzten
Mal. Wir haben ziemlich was aufzuholen von der Experimentalphysikvorlesung.
Wir haben die ganze Strahlung und Theorie der Strahlung schon abgeschlossen.
Und wir haben noch nicht mal gelernt, was ein Potenzial ist.
Das heißt, da kommt jetzt dieses Kapitel hier.
Max bei Ergleichungen inhomogene Maxi-Lösung der inhomogenen Max-Way-Gleichung ist das hier
Okay. Um was geht's? Fangen wir an. Erster Abschnitt,
Elektromagnetischen Potenziale. Sie erinnern sich in der Statik, Elektrostatik,
haben wir mit Potenzialen gearbeitet und die waren unser Lieblingshilfsmittel.
Warum? Ja, sie haben gelernt in der Elektrostatik,
hatten sie sowas wie eh, ist minus Grad Vieh.
Ja, und B war die Ableitung eines Vektorpotenzials,
Warum haben wir diese Potenziale hier so gerne gemacht? Ja,
aus dem Grund, wenn wir die eingeführt haben,
haben wir schon gewährleistet, dass die Hälfte der Max-Wergleichungen schon erfüllt ist.
Nämlich die homogene Max-Wergleichungen. Ja, wenn wir das hier
aus dieser gleichen folgte, zum Beispiel sofort,
brott eh gleich null. Oder umgekehrt aus der Tatsache,
dass Rott eh gleich null ist und die null steht hier,
weil wir hier in der Statik waren, ja,
konnten wir sagen, dass wir das als Ableitung eines Potenzials schreiben können.
Und das hier war sozusagen Äquivalent mit DIFB
gleich null
Also indem wir sozusagen gesagt haben, wir finden ein Potenzial,
das in Ableitung des EFAL ist, haben wir die Gleichung schon automatisch gewährleistet.
Und was sich dann noch ergeben hat, ist,
dass wir dann sogar die inhomogene Maxi-Vergleichung explizit lösen konnten.
Wir hatten eine Formel von der Form Vieh, waren integral,
D hoch 3R-Strich, roh von R-Strich durch r-er-strich,
wenn ich mich richtig erinnere, eins durch 4P,
Y 0. Egal, ob sie die Formel mögen oder nicht,
das ist eigentlich die einfachste Art und Weise.
Dann explizit die Gene Formel, keine Differenzzeitgleichung.
Und nachdem das so wunderbar funktioniert hat,
werden wir uns natürlich fragen, Können wir sowas ähnliches,
was Analoges auch noch machen in der Elektrodynamik?
Ja, und das ist genau Inhalt dieses Kapitels.
Okay, und die erste Hälfte haben wir eigentlich schon erledigt?
Denn diese Gleichung hier gilt immer noch. Diese Null hier ist völlig,
gilt immer, weil das heißt einfach keine magnetischen Monopole.
Magnetische Monopole tauchen auch nicht auf, dann wäre das ganze Problem zeitabhängig machen.
Und diese Tatsache hier ist Äquivalent dazu, dass sie sagen,
es existiert Ein Vektorpotenzial, dessen Ableitung, B ist.
Wir hatten da relativ lange rumdiskutiert. Wir haben das Helmholz
der Theorien, der Vektorfelder, diskutiert,
wo man sozusagen allgemein das daraus ableiten konnte und so fort.
Es war keine besonders einfache Art, das hier sozusagen zu folgern,
aber nachdem wir das mal gemacht haben, wissen wir das auch.
Und das gilt immer noch, weil diese Null steht,
in der für das E-Feld allerdings,
haben wir
ein Problem
Denn die Max-Verergleichung für die Elektrodynamik hat hier die Ableitung des B-Felds stehen,
einfach weil sozusagen das ist Pharaday gesetzt, wie Sie wissen,
weil aus einem zeitabhängigen B-Feld eben Elektro,
elektrische Felder induziert werden.
Das heißt, wir können nicht mehr sagen,
dass das elektrische Feld ein Gradient deines Potenzials ist.
Ja, weil die Rotation nicht verschwindet.
Das elektrische Feld in der Elektrodynamik ist kein konservatives Feld.
Wir können einmal im Kreis rumgehen und können eine Kraft,
können sozusagen
Energie aufsammeln
Einfach, weil ein magnetisches Feld ihnen in der Leiterschleife
eine Spannung induziert hat. Ja, okay,
das heißt, wir können das nicht mehr machen,
aber sie können hier als kleinen Trick, ja einfach mal die Form,
die wir hier für das B-Feld haben, hier einsetzen.
Und wenn sie das machen, steht hier Rotation E,
ist minus D nach D-T-Ratation A. Und diese Ableitung können sie einfach vertauschen,
ja, und dann steht hier Rotation von E,
jetzt bringe ich einfach das auf die andere Seite,
plus die A nach D-T
ist null
Und dann haben sie genau das, was sie wollen.
Die Rotation eines Feldes verschwindet. Daraus folgern sie,
sie können dieses Feld als Skalapotenzial schreiben. Ja,
und genau das ist das, die Rolle des Skalapotenzials in der Elektrodynamik.
Es existiert ein Potenzial, Vieh, mit der Eigenschaft,
dass, wenn sie jetzt bloß oder Minusgrad machen,
Grad Vieh ist genau das,
was hier steht.
E plus D
, Moment
Die A nach DT. Ja. Und das ist auch
die einzige kleine, die einzige kleines Extra.
Also ich schreibe den nochmal explizit hin. Sie haben A
und Vieh. Rod A ist B. Und das Ehefeld,
es geht jedem durch den Minus, Gradientvieh minus DA nach DT.
Also nach wie vor haben sie einfach E- und B-Felder durch
diese Potenziale ausgedrückt. Und wenn sie das hier haben,
dann haben sie gewährleistet, dass die inhomogenen Maxvergleichungen Also die,
die keine Ströme und keine Ladungen drin haben, automatisch erfüllt sind.
Ja? Okay, und jetzt gehen wir zu Schritt 2
und sagen, okay, jetzt können wir ja überlegen,
ob uns das eine einfache Form für die inhomogenen Max begleitet.
Also die homogenen Max-Vergleichungen erfüllt. Und jetzt können wir uns fragen,
gebt uns das ein einfaches Rezept, um die inhomogenen Max-Vergleichungen zu lösen.
Ja, und das wieder auf den ersten Blick,
nicht so vielversprechend aus. Denn wenn Sie jetzt anfangen,
das einzusetzen, dann wollen Sie roh durch Äpstel
Soll sowas sein wie Divergenz E? Ja. Und
jetzt wollen sie das durch die Potenziale ausdrücken.
Dann setzt man halt einfach hier unsere Form von E ein.
Dann steht hier Divergenz Grad Vieh, das ist wunderbar,
das ist La Blas Vieh. Und hier steht minus,
die nach DT, Divergenz A. Okay.
Und dann haben sie noch die andere inhomogene Max-Vergleichungen zu erfüllen,
my null, mal Strom, ist Rotation B,
plus eins durch zäh Quadrat,
die je nach DT
Das setzen Sie jetzt wieder. Hier die Form hier ein
. Das sehen Sie ein bisschen sicher. Diese übliche,
kommt hier Rott A, Rott Rott A, ja.
Rotation, Rotation A. Das war diese seltsame Produktträger,
ist minus laplace A plus tief Grad A, ja.
Also die man sich so schwer merken kann.
Zumindest nicht nur, welcher Verzeihte das Vorzeichen steht.
Das setzen sich ja ein und dann kriegen sie,
jetzt schaue ich,
beschreibe ich das am besten hier ab,
sonst habe ich noch mal hier
noch Fehler in den Vorzeichen
Wobei sie das ja auf jeden Fall merken würden.
Und mir sagen würden, von daher brauche ich mir eigentlich keine Gedanken machen.
Eins durch C-Quodrat, D-Quodrat nach DT-Quadrat, ja.
Aber woher kommt die zweite Ableitung? Die zweite Ableitung kommt,
weil hier eine Ableitung von T steht, ja,
von E steht und hier eh selbst hat eine Ableitung von A, ja.
A. Und da sollte aller Wahrscheinlichkeit noch ein Pluszeichen stehen,
das sehe ich sowas selber.
Plus, und dann sammeln sich hier noch jede Menge von
solchen Divigenzthermen auf eins durch C-Quodrat, DV nach DT.
Ja, der Therm kommt auch von in der Ableitung des Gradienten von Vieh.
Und dann haben sie noch diesen DIF Grad A. Plus oder minus, ja.
Divagenz A. Und das sind die inhomogenen Max-Vergleichungen, ausgedrückt durch die Potenzial.
Und was sie sehen, das ist äußerst unschön.
Sie sind gekoppelt. Und sie sind extrem kompliziert.
Das heißt, wir haben uns das Leben nicht vereinfacht.
Und wir müssen uns überlegen, wie wir die Situation jetzt
retten.
Wie retten wir
die Situation
Was haben wir, ja? Genau. Eichfreiheit ist das Stichwort
. Wir haben das ja schon in der Elektrostatik gehabt.
Da hatten wir irgendwie gesagt, die Begenz, A ist immer null, ja?
Und warum konnten wir das machen? Weil wir konnten ja,
wir haben sozusagen, das Einzige, was wir wollen,
ist, dass die Ableitung in der Felder,
A und Vieh, E und B ergeben.
Und da können sie natürlich die Felder A und Vieh
relativ beliebig verändern oder zu einem gewissen Grad verändern,
ohne dass sie die Ableitung mit verändern, ja?
Und das hat es zum Beispiel in der Elektrostatik uns erlaubt,
zu sagen, da den Term,
den können wir
auf Null setzen
Könnten wir ja zum Beispiel hier auch machen. Wir sehen schon auf,
dass das führt, wenn ich den Timer auf Null setze,
hätte ich hier eine Gleichung, die nur von Vieh abhängt,
habe ich sie entkoppelt, ja.
Also schauen wir uns mal an, sozusagen,
welche Freiheit haben wir sozusagen in der Wahl dieser Potenziale?
Ja, wie viel Freiheit haben wir noch ohne,
ohne die E&B-Felder zu verändern? Und die Behauptung ist,
Eichfreiheit heißt das Ganze, die Behauptung ist,
dass wenn sie folgende Transformation machen, indem sie A,
das Vektorpotenzial verändern nach A-Strich und der Unterschied ist genau
Der Gradient eines Skalan-Feldes, was völlig beliebig ist,
dann, okay, dann sehen Sie das.
Das ist das Gleiche, was wir in der Elektrostatik hatten.
Wenn die die Veränderung machen, und das setzen sie ja
oben ein, kriegen sie das gleiche B-Feld, ja?
So, jetzt sind sie dann frei, sie haben sie
jetzt noch zusätzliche Freiheit für Vieh. Tatsache ist, nein,
sie haben nicht zusätzliche Freiheit für Vieh, sondern sie müssen sogar,
wenn sie das hier gewählt haben, sie müssen sogar,
sie sind sogar festgelegt, wie sie viel verändern müssen.
Ja, das werden sie gleich sehen, ja.
Vieh müssen sie verändern nach vier Strich, ist die minus 1-delamda nach DT.
So, die Behauptung ist, dass wenn sie diese Veränderung machen,
dann sind E und B völlig unverändert.
Okay, das können wir mal nachrechnen. Wie gesagt,
für B haben wir das im Prinzip direkt schon,
hatte ich sie schon skizziert, aber ich schreibe es nochmal hin.
Die Rotation von A-Strich ist die Rotation von A. Und ich nehme jetzt mal an,
dass sozusagen A und B,
A und Vieh waren schon so,
dass sie sozusagen die Ableitung für E und B gab und ich möchte ihnen zeigen,
dass A, Strich und Viehstrich dasselbe tun.
Das heißt, das war B und dann steht hier noch Plus Rottgrad.
Aber Rottgrad ist null, das ist ein See.
Rottgrad, wie heißt es? Brot. Grad ist null
. Das heisst, das ist B,
das ist genau das, was wir wollen.
Und wie sieht es aus bei E?
Und zu sagen, schreiben wir das mal hin.
Minus Grad Viehstrich,
minus D-A-Strich nach DT
Das war minus Gradient. Vieh minus die Lander nach DT
, das war unser Viehstrich. Minus D nach DT.
Ah, Moment. A plus Grad Lambsa, ne?
Und dann sehen wir, das ist eigentlich,
das ist genau clever so gewählt ist, dass die Verschiebung,
die sie hier in Vieh gemacht haben,
genau die Verschiebung kompensiert,
die sie
im A gemacht haben
Wenn sie das nicht gemacht hätten, dann würde jetzt hier
was anderes stehen. Und das ist das,
was ich sagte, diese, sie haben hier eine Freiheit,
die können hier das Feld auf A addieren,
aber dann ist eigentlich festgelegt, was sie hier mit dem Vieh machen müssen.
Sonst würden sie die Felder verändern. Denn was jetzt hier
steht, ist minus grad vieh-d-a nach DT.
Und das ist genau das, was sie vorher für ihn hatten.
Das heißt, sie haben diese Freiheit und wir können versuchen,
diese Freiheit zu verwenden,
um diese ekelhaften Gleichungen auf eine einfache Form
zu bringen
Und wie ich schon sagte, also das sozusagen ermöglicht ihnen
zusätzliche Bedingung an die Wahl von Vieh und A. Zum Beispiel,
wie gesagt, könnten wir als Beispiel genau das machen,
was wir in der Elektro in der Magneto-Statik gefordert haben.
Wir können fordern, dass tief A gleich los ist.
Und sie können jetzt genau, stellen Sie sich vor,
sie hätten mal, sie hätten ein Vektorfeld gefunden,
was ihnen E und B beschreibt.
Und das hätte nicht tief A gleich 0,
dann können sie sich wie in der Magneto-Statik auch überlegen,
aber wie müsste ich jetzt mein Lamda wählen?
Damit das null wird. Das ist die gleiche Rechnung
wie in der Elektrostatik. Ja, jetzt können Sie,
jetzt sehen Sie, was hat das hier für eine Folge?
Wir sehen, die Gleichung sieht wirklich extrem einfach aus,
ja. Die Gleichung 1 wird wirklich zu minus Gradvieh,
ist rot durch Äpstel
Minus Laplasfi, ist Rodrich Epsino. Die gleichen sieht exakt genauso aus
wie in der Elektrostatik. Die Lösung steht schon da. Ja,
jetzt sollten sie ein bisschen überrascht sein,
denn sie haben in der Elektro, in der er Experimentalphysikvorlesung,
in den letzten Vorlesungen, retardierte Potenziale eingeführt.
Und sie haben gesagt, ja,
die Wirkung von der Ladung hier spüren sie im Potenzial hier
erst eine Zeit später, nämlich genauso lange missbraucht,
bis eine Störung mit Lichtgeschwindigkeit von hier nach Hierprojekt gelaufen ist.
Ich sage Ihnen,
das ist eine zulässige Lösung
Völlig instantar. Ja, das Potenzial,
so Ort er und Zeittee hängt ab von der Ladung,
vom Ort erstrich, unserer selben Zeit hier.
Ja, null Zeitarbeit. Völlig legitim. Ja. Ist auch ein Grund,
warum es manchmal recht clever sein kann, diese Beschreibung hier zu wählen.
Ja. Weil sie dich nämlich überhaupt nicht um Retellierungseffekte kümmern müssen.
Sondern nur ein elektrostatisches Problem für jede gegebene Zeit lösen.
Ja, aber sie sehen, warum machen wir das trotzdem nicht?
Ja, ganz einfach. Wenn sie jetzt hergehen,
Und diese Gleichung sich anschauen, ist die immer noch kompliziert.
Und sie hängt immer noch von der Lösung der anderen Gleichung
ab. Also sie würden jetzt dieses elektrostatische Problem lösen,
dann würden sie das gelöste Vieh hier einsetzen,
würde in der horrend komplizierte Form geben und sie müssen noch eine horrend komplizierte Differenzialgleichung lösen,
die hier Lablass, Ableitung und Diff, wie heißt das,
gerade Diff-Timer hat,
ja.
Das wollen sie nicht, ja. Deshalb wählen wir
nicht Isarchen. Diese Eichhörnchen heißt im Übrigen cooler Umreichung
, gell
Aber wie gesagt, die ist gut,
die wird insbesondere zum Beispiel in der Festkörperphysik verwendet,
wenn sie einfach nur wissen will, was ist die,
das ist das Potenzial, was ein Elektron hier erzeugt,
das Einfachste ist sie, machen da sozusagen,
wenn sie gar nicht an der Propagation hier und an dem Vektorpotenzial und Magnetfeldern interessiert sind.
Das ist eine recht gute Nährung,
aber für Elektrodynamik ist das nicht gut und für Elektrodynamik behaupte ich,
können wir eine viel bessere Wahl wählen,
nämlich wir können im Beispiel zwei, was machen wir?
Wir wählen einfach La Plas A, plus eins durch c Quadrat, D, Vieh,
nach DT gleich 0. Okay, warum machen wir das?
Na, das werden sie, das sehen sie schon,
weil wenn wir dich das nämlich null wählen,
dann verschwindet genau dieser komplizierte Therm hier drüben.
Das einzige, was sie sich überlegen sollten, geht das überhaupt immer,
sozusagen erlaubt uns diese Freiheit hier, das hier zu wählen.
Okay, das können wir uns jetzt zuerst mal,
nee, ich schreibe Ihnen zuerst mal hin,
was das eigentlich bedeuten würde, wenn sie das hier gewählt haben,
dann kriegen sie nämlich völlig entkoppelt Begleichungen,
wie sie sagen,
die Gleichung hier gibt Ihnen dann einfach
eine Wellengleiche
Musik Okay, weil Dead Time verschwindet. Und wenn sie jetzt die gleichen hier auswerten,
gebt ihnen das auch eine Wellengleichung,
weil wenn ich nämlich hier sozusagen,
kann ich ja jetzt Stif A auflösen, die Anlösung aufgibt,
die erste Ableitung kriegen sich hier die zweite Ableitung des Potenzials.
Das heißt, sie haben hier eins durch C-Quotat,
in D nach DT Tquotat, minus laplas.
Tee von Tee ist, wo von RT durch Y0,
ja. Okay, das heißt, die sind entkoppelt,
uns sind beide Wellengleichungen. Entkoppelt, übrigens,
in Nachhalt werden wir sozusagen das dann so schön,
das haben wir, den Operator haben sie in der Experiment,
wurde der schon verwendet in der Form?
Das haben oft sozusagen die Kombination,
die sehen sie ja ständig,
Das ist sozusagen die Differenzialgleichung der Wellengleichung. Die sehen sich ständig. Das heißt,
da führt man sozusagen, dass hier verallgemeinert man das.
Und nachdem das hier sozusagen sozusagen die Verallgemeinerung in gewisser Weise
dieses Operators um eine weitere Variable ist,
nämlich genau um die Zeitvariable,
schreibt man dann so ein Viereck hin und nennt das dann noch dazu Quabbler-Operator, ja?
Quabbler. Da gibt es noch einen anderen Namen,
Dallam Bär-Operator heißt es auch, ja.
Schreibe ich jetzt nicht hin. Können Sie irgendwo nachleißen.
Quabbler ist viel schöner, ja
Okay, auf jeden Fall wichtig, entkoppelte Wellengleichung,
was, was wir die ganze Zeit schon gelöst haben.
Ja, wir sollten uns vielleicht noch Momente überlegen, warum geht es hier?
Okay, warum funktioniert das? Nehmen wir einfach mal an. Also hier ist die,
nehmen wir einfach mal an, wir hätten A und Vieh,
in dem eben genau diff A plus eins durch C Quadrat,
DVI nach DT sei jetzt ungleich null.
Jetzt ist die Frage, können wir unsere sozusagen Skalarpotenzial hier so wählen,
dass das A-Strich, dass sozusagen diese Bedingung hier erfüllt ist, für A-Strich und Viehstrich. Nenne ich das jetzt sozusagen einmal C von RT. Und meine Behauptung ist,
dass wenn sie eine Lösung, wenn sie ein Lamm da finden,
was wiederum eine Wellengleichung erfüllt, Ja,
wenn Ihnen das gelingt, diese gleichen hier zu lösen,
dann, und dann machen Sie sozusagen Ihre Veränderung da,
A, geht nach A, Strich gleich A,
plus Grad, Lamda und so weiter, das,
was wir vorher hatten, ja, Viehstrich ist wie minus D,
die Lamda nach DT und so weiter,
dann folgt das sozusagen, das hier null ist,
ja, dann folgt sozusagen, dass Liva Genz,
A, Strich plus 1 durch C, Quartat,
Defi-Strich nach DT gleich null ist.
Also sozusagen kurz gesagt, wenn es Ihnen gelingt,
so eine Weltgleichung zu lösen für ein beliebiges C,
dann haben Sie auch gewährleistet,
dass Sie eigentlich diese Bedingung hier immer erfüllen können.
Und nachdem wir uns in den nächsten paar Folien damit beschäftigen,
genau der Tatsache, dass Sie für einen beliebigen,
dass Sie diese Wellengleichung immer lösen können, können Sie auch das hier.
Okay, aber das können Sie ja mal zu Hause
selbst zusammensetzen. Ich habe was vergessen anzuschreiben, nämlich,
wo ist zurück
Wir haben hier einen Retadierungseffekt, der mir alle Folien,
ich speichere das mal lieber hier.
Okay. Das ist da. Okay. Aha, da
sind einfach nur Lehre. Oh, das ist schlecht.
Das nimmt mir die Möglichkeit, heute 17 Seiten vollzuschreiben.
Weil ich habe nur 15 hier. Okay. Ja,
das hier heißt, diese Bedingung hier hat natürlich
auch einen Namen,
und zwar heißt die Lohrrennseichung
Und so steht es zum Beispiel in Wikipedia.
Oft finden sie auch Lorenz-Eichung. Und die Frage ist,
was ist richtig? Das ist tatsächlich nicht ganz klar.
Also eigentlich ist, soviel ich weiß, ist das hier sozusagen.
Warum? Nein, Moins und Lorenz sind zwei verschiedene Physiker,
die sich mit Elektro, mit der Entwicklung der Elektrodynamik beschäftigt haben.
Und sie konnten sich nicht einigen, ob sie jetzt einen Tee haben wollen oder nicht.
Der eine ist Däne, der andere ist Niederländer.
Und im Allgemeinen, glaube ich, stimmt das hier.
Aber es ist nicht so hundertprozentig klar, hatte auch ein paar Ideen,
die Lorenz vorher hatte und ja, also wie gesagt,
eigentlich das hier sozusagen ist, nee,
das ist Wikipedia, das finden sie auch irgendwo.
Auf jeden Fall Lorenzeichnung, ja. Selten, dass sie
nicht auf die Rechtschreibung schauen müssen. Hier. Okay,
wo waren wir? Hier, Seite 8. Okay, jetzt geht's weiter.
Und zwar beschäftigen wir uns jetzt mit der Frage,
können wir sozusagen genau das machen, was wir hier hatten?
Eine explizite Formel für Vieh, Und das machen wir
jetzt hier eine explizite Formel für A und Shi.
Und das Kapitel hat einen Namen, dem sie das nicht ansehen,
5.3.2, Greenfunktion der Wellenfunktion der Green, Funktion der Wellengleichung.
Aber wie gesagt, ich könnte es auch nennen,
explizite Lösung der Wellengleichung, okay? Ja, die Frage ist,
ich lasse jetzt mal diese Vectop-Pfeile und A weg,
wir wollen einfach nur die Wellengleichung lösen.
Also die Frage ist das hier, Y von RT,
gegebene Funktion F von RT und die Frage ist, was ist Y?
Es ist unser Problem und um das,
wir wollen das nicht für jedes F neu lösen,
wir wollen eine explizite Formel haben und deshalb bedienen wir uns eines Tricks,
den wir eigentlich in der Elektrostatik schon verwendet haben.
Ich schreibe Ihnen mal den Trick hin, stellen Sie sich vor,
Sie lösen das hier nicht für F,
sondern Sie lösen das für eine Delta-Funktion.
Sollte ich das, nenne ich anders,
Sie haben das Problem gelöst. Dieses Problem hier lösen Sie.
Also alle haben trotzdem Vaktorfreie hier. Ist Delta von R,
also das ist die dreidimensionale Vktorfunktion. Normalerweise schreibe ich in
dreidimensionale Alter-Funktionen nicht hin, wenn die ein Vektor-Argument hat,
dann heißt es, das ist die dreidimensionale.
Delta von Tee. Stellen Sie sich mal vor,
Sie haben das Problem hier gelöst.
Dann behaupte ich, dass Sie dann dieses Problem gelöst haben.
Für beliebiges F. Warum? Nein, ich schreibe Ihnen einfach
die Lösung hin
Y von R und T, ist integral die T-Strich,
die Hoch 3 R-Strich, geh von R-Strich, t-t-strich, t-strich.
Das ist die Lösung hiervon. Okay, warum? Naja,
das können Sie jetzt einfach nachrechnen, Sie nehmen jetzt hier
einfach mal den und wenden jetzt diesen Quabbler-Operator auf das hier an.
Also schreiben Sie hier ein Quabbler-Operator von den Quabbler-Operator wenden Sie auf dieses Integral an.
Erzählen Sie dieser Quabbler-Operator ist die Ableitung nach R und TR.
Wenn es mal hier, wenn Sie den Amt wenden,
R und T, dann wirkt er nicht auf diese Dummy-Integrationsvariabensin,
der wirkte dann bloß auf die Funktion,
wenn Sie den Außen hier hinschreiben sozusagen hierhin und dann
schreiben Sie ihn auch dahin.
So, hier schreiben Sie ihn rein.
Der wirkt ja nur auf die Funktion
Das heißt, das steht jetzt im Integral. Im Integral steht jetzt Quambla Y,
ist die Hoch 3R, DETES Trich,
im Integral steht G von r-strich, t-st-st-strich, ja,
sagen, das ist eine Funktion,
denn hier steht Y von A-strich, T-strich,
und das da, das haben wir ja gerade gelöst,
das haben wir gesagt, das ist ein,
für alle mal haben wir das gelöst,
ja,
da habe ich jetzt nur die Variablen verschoben,
verschiebe ich auf der anderen Seite diesergleichen
Minusstrich, Delta von t-t-strich, ja. Und jetzt steht hier integral,
was sie unmittelbar lösen können, weil das sind die Karibilitäter-Funktionen,
genau den Wert dieses Tams rausprojiziert.
Und das ist F von R und T. Das ist der übliche Trick,
den wir bei der Lösung von der elektrostatischen Probleme von differenzalgleichen,
allgemein von inhomogenen Differenzialgleichungen hatten.
Nämlich, wir lösen einmal das Problem mit einer Delta in Homogenität
und haben es dann für jede Inhomogenität gelöst.
Deshalb bezeichnet man Diese Lösung, geh hier und sagen,
auch als fundamentale Lösung dieser Wellengleichung oder als Krienfunktion der Wellengleichung.
Nach einem anderen Wissenschaftler, Krien. Gab es da irgendwelche
unkleidende Notation? Okay, das heißt, wir müssen uns
nur mit dieser Gleichung hier rumschlagen und meine Behauptung ist,
ja,
zwei Lösungen.
Mindestens zwei
Ja, was haben wir hier ans Lösung? Wir haben
nämlich genau gehe von Tee, ist Delta von t-herr,
bricht sie. Durch R4P. Das ist eine.
Und dann haben sie hier sozusagen noch eine zweite Lösung.
Die ist aber irrelevant aus dem Grund,
den ich am Schluss sagen würde
Okay. Hier, also Vorsicht. Normalerweise vergesse ich Laptop-Pfeile
. Hier habe ich ihn nicht vergessen. Was ist tatsächlich
der Betrag von R? Das ist ganz klar zu
meiner Stille Betrag von R. Okay.
Was bedeutet das? Bevor wir behaupten, uns Gedanken machen,
ob das stimmt, was hier steht.
So, müssen wir uns überlegen, was bedeutet das hier?
Und das sehen Sie, wenn Sie jetzt da zurückgehen und
sagen,
das mal wieder hier einsetzen
Dann kriegen Sie... Y von R und Tee ist D-Hoch 3 R-Strich,
ein D-T-Strich, Delta von T-Strich durch... Ah,
da müssen sie sorry sein.
Da haben wir hier wieder das... Haben wir hier.
T-T-Strich-R-R-Strich, also sozusagen den Betrag durchziehen.
Wir haben ja das Argument,
T-Strich durch 4PR-strich
F von Strich Tischtisch. Und was bedeutet das? Das
sind genau die retardierten Potenziale, die sie aus der,
die sie eigentlich schon angewendet haben, in der Experimentalphysikvorlesung.
Wenn sie sich überlegen, wenn sie es jetzt mal aufzeichnen hier,
haben sie irgendwo F, ungleich null, am Punkt R Strich.
Und sie fragen sich, wie beeinflusst das Y von R und T? Und sie sehen,
der Einfluss, sozusagen bei Y von R und T,
dieser Punkt Dieser Punkt hier beeinflusst Y und R&T,
aber er beeinflusst ihn zu einer Zeit,
die gegenüber der Zeit T verschoben ist.
Nämlich zurzeit T-Strich, gleich T--------------------Strich durch C,
die sie oft als auch retardierte Zeit bezeichnen.
Ja, das ist genau Inhalt dieser Gleichung.
Y ist gegeben durch F, aber gegeben durch F,
an einem früheren Zeitpunkt T.
Also vielleicht sollte ich das hier noch
ein bisschen ausschreiben zuerst hier
Firma des Integral aussäuen, das hatte ich noch nicht gemacht.
Ich führe jetzt das Zeit-integral aus, weil hier steht eine Delta-Funktion.
Das heißt, sie können das Zeit-integral einfach ausführen.
Dann steht hier F an Strich und dann entsetzen sie das T-Strich
durch t--strich durchziehen, durch 4P-strich, ja.
Okay. Das heißt dann, ja genau,
das ist genau der Ausdruck Y zur Zeit T. Mord A
wird beeinflusst von F am Ort A Strich zu einer Zeit,
um so viel nach früher verschoben ist, wie es braucht,
dass ein Signal sich mit Lichtgeschwindigkeit von Erstrich nachher ausbreitet.
Okay, Sie sehen jetzt auch, also das ist,
diese Retardierung ist ein ganz wichtiges Prinzip.
Kausalität, ja. Die Wirkung von F oder F von R&T
kann eine Wirkung auf Y haben, aber nur zu späteren Zeiten, ja.
Sie haben Ursache, Bei der Zeit Tee,
und sie kriegen eine Wirkung bei Tee oder bei T-Strich,
eine Wirkung bei Tee, nur wenn Tee größer ist als T-Strich plus die Zeit,
die sie brauchen, um dahin zu propagieren, ja.
Also wenn sie sich es aufzeichnen würden, und zu sagen,
haben sie hier r-strich, und hier Zeit Tee,
und hier ist der Anfangspunkt T-Strich,
dann kann das Signal wirklich nur in einem Gewissen,
also jede Ursache, die sie bei Zeit T-Strich und Strich haben,
eigentlich nur, in diesem Raumbereich hier eine Wirkung haben.
Nur in dem Raumbereich, den Sie erreichen,
indem Sie Signale mit Lichtgeschwindigkeit hier ausbreiten.
Okay, Sie können sich das mal überlegen,
wie das mit dieser Funktion hier ausschaut, wenn ich das Argument wiederhole.
Also bevor ich Ihnen, bevor wir überhaupt nachreichen,
dass beides hier auch Lösungen dieser Weltgleichung sein könnten,
würden Sie nämlich genau das Umgekehrte feststellen.
Wenn Sie die hier nehmen, dann würden Sie feststellen,
dass hier Ein Signal, eine Ursache zurzeit T-Strich und zum Strich,
eine Wirkung nur zu früheren Zeiten erzeugt.
Ja, was ein bisschen unsinnig ist, weshalb wir auch diese Lösung hier,
weil es hat ja auch keine Rolle spielt.
Zumindest nicht für uns. Und diese beiden Lösungen haben deshalb
auch Namen. Hier mal eins zurück hier.
Das hier heißt eben genau Retardierte. Grienfunktion oder Retardierte Fundamentalelösung
. Und das hier heißt advancierte Lösung
Oder admontierte Green-Funktionen. Und das ist eben genau die Lösung,
die wir eigentlich nicht haben wollen,
weil sie genau das falsche Kausalitätsverhalten. Okay, jetzt,
genau, jetzt stünde an, dass wir hier nachrechnen,
was wir das nachrechnen, verschiebe ich immer noch eine Station.
Ja, das ist ja irgendwie sowas wie ein bisschen beliebt,
oder? Ah, extrem gute Frage. Warum haben wir
diese zwei Lösungen? Wie komme ich eigentlich, wenn ich
ihn nur gefragt hätte, bestimmen Sie mal eine Erlösung?
Wann würden Sie auf die eine kommen und wann würden Sie auf die andere kommen?
Das ist eine sehr gute Frage. Und die Antwort auf
diese Frage ist das folgende, Hier haben Sie eine Differenzialgleichung hier.
Wenn ich die lösen will, und Sie wollen eine eindeutige Lösung haben,
muss ich Ihnen eigentlich auch eine Anfangsbedingung geben. Ja,
und genau das sollte ich Ihnen eigentlich hier noch hinschreiben,
nämlich diese Lösung bekommen Sie, wenn Sie eine Anfangsbedingung fordern,
was denken Sie, was hier für eine Anfangsbedingung ist?
Anfangsbedingung heißt die Schwitz, ja. Tee größer,
null ist keine Anfangsbedingung. Was heißt,
Anfangsbedingung heißt Funktion bei XT blablabla,
ist das,
Und die Anfangsbedingung, schauen Sie sich das doch mal an.
Hier, was ist die Anfangsbedingung dieser Lösung?
Sie haben nichts, bevor sie, bevor die Störung kommt.
Und genau das ist die Anfangsbedingung, unter der sie das
hier bekommen würden. Anfangsbedingung, gehe von R und T
, ist null für tägigen minus unendlich.
Wenn ich das fordere und diese weltgleichen löst,
dann kriegen sie eine eindeutige Lösung und das ist das.
Wenn Sie das nicht fordern, haben Sie keine eindeutige Lösung,
können Sie immer noch Lösungen der homogenen Gleichung auferlieren,
so viel sie wollen
Ich wollte es nur dann. Und wenn es das haben,
haben sie das. Und hier ist die Anfangsbedingung genau,
gehe von R und Tee, ist null für Tee gegen Plus unendlich.
Genau, ja. Das heißt, alle Störungen sind weg,
wenn sie bei Plus unendlich sind,
weil sie ja nur rückwärts in der Zeit wirken.
Okay, gute Frage. Okay, wie gesagt, jetzt,
bevor ich, bevor ich sozusagen ihnen in den letzten paar Minuten skizziere,
wie man überhaupt, wie wir das ja beweisen können,
diese Lösung.
Noch eine Noch etwas, was ich ein bisschen langsam bin,
schiebe ich das vor. Anwendung auf die E-Dynamik,
was sie ja eigentlich schon, was sie eigentlich sozusagen schon verwendet haben.
Das war unsere Wellengleichung. Ja, die wir lösen wollten.
Und jetzt sage ich, haben wir ein Rezept,
wie wir die allgemeine Wellengleichung gelöst haben.
Das steht hier, beziehungsweise hier. Das heißt,
das kann ich 1a anwenden.
A von R und
Es ist 0-0 durch 4IP. Integral D-Hoch 3,
A-Strich, J von, Herr Strich,
bei der retardierten Zeit genommen, äh, minus A-Stricher.
Und genauso kriegen sie, wenn sie hier das hier anwenden,
diese Gleichung lösen wollen,
kriegen sie Vieh von R und T. Ist eins durch 4P,
Apselon 0
Integral D-Hoch 3, A-Strich.
Roh von A-Strich genommen bei der retardierten Zeit
Durch einen USR-Strich. Im Prinzip sind diese Gleichungen,
können Sie sich die gleichen extrem leicht merken,
weil die sehen nämlich genauso aus wie die Gleichhänge in der Statik.
Mit dem einzigen Unterschied, dass in der Statik hätten Sie das Staat,
das Spectopotenzial ist gegeben, durch dieses Integrat über den Strom.
Und das Einzige, was Sie hier haben, ist,
ja, Sie nehmen auch den Strom,
aber wir müssen den Strom halt auswerten bei der Zeit,
die entsprechend soweit nach früher verschoben ist, wie es braucht,
bis das Signal propagiert.
Ja, ist völlig intuitiv. Der Strom hier, wirkt auf das Elektorpotenzial später.
Aber ansonsten ist die Formel absolut unverändert, ja.
Aber es ist nicht ganz so einfach, wie Sie denken.
Also sozusagen, das ist intuitiv hier für die Potenziale.
Jetzt schreibe ich Ihnen mal hin, die Formel für
die elektrischen, für die Felder selbst, ja.
Okay, wie wäre es damit? Wir wollen gerne wissen,
was ist das elektrische Feld an der beliebigen Ladungsverteilung, ja?
Jetzt mache ich genau das gleiche Argument, ja.
Naja, das wurde ja auch so ein Retardierungseffekt haben,
ja, das ist wie in der Elektrostatik hatten wir.
Integral Dehoch 3 erstrich,
Roh von
Strich, und dann hast du hier so ein Argument,
ja, und hier steht 4P, Apcel 0, r-strich,
oder ich, nein, ich brauche in der Abkürzung,
weil ich das jetzt ändere,
sonst schreibe ich mich nachher kaputt, ja.
R, hoch 3, mal R, wobei R gleich r-er-er-strich ist, ja. Okay,
das ist die Formel, die Sie in der Staate kennen,
da haben Sie kurz kein Zeitargument, naja,
und jetzt sagen Sie, dieses Ratedierungseffekt,
Argument ist ja recht intuitiv,
das wird ja hier auch gelten,
ja.
Teret, ja
Und da sehen sie, dass das mit dem intuitiven Argument
vielleicht doch nicht ganz hinhaut, weil die Formel ist garantiert falsch,
wie sie gleich sehen werden, während hier das funktioniert.
Also dieses schöne Argument, dass die Formel gleich greift und
sie nur die Führerzeit nehmen, funktioniert, über die Potenziale,
weil die Potenziale eben genau dieser inhomogenen Wellengleichung gehorchen.
Das Elektrische fällt nichts. Nein, warum ist das falsch? Weil sie müssen eigentlich,
wenn sie das E-Feld haben wollen, also das stimmt noch nicht ganz hier,
wenn sie das E-Fel haben wollen, aus dem Potenzial,
dann müssen sie natürlich genau das machen, die Regel anwenden,
die wir uns hergereiht haben, Sie müssen die Ableitungen bilden.
Und dann sehen Sie, gibt es ein kleines Problem,
wenn Sie die Ableitung dieser Formel hier nach dem Ort bilden,
nach dem Ort R, dann taucht der Ort R zweimal auf.
Nämlich einmal, in dem Argument hier unten und einmal implizit
in dem Retardierungsargument. Was hängt da davon ab?
Wie lange braucht das Signal um von T-Strich nach T zu propagieren?
Das heißt, wenn ich diese Ableitung hier reinziehe,
dann muss ich auch irgendwann mal diese Ableitung hier ausrechnen
In Gradienten, angewendet auf R, von dem hier.
Okay. Und das hängt natürlich hier ab, nur über
das Zeitargument. Also ich kann erst mal nach dem Zeitargument
ableiten und dann nachdifferenzieren, roh Punkt, von RT retardiert.
Und dann kriegen sie den Gradienten von Tee retardiert, in Gradient R.
Und das ist aber sozusagen, das hier ist der Gradient von R-Strich,
ja, durch C, minus Strich Betrag durch C.
Und der Gradient von dem Vektor in Errichtung Ist der Einheitszweck
da in Errichtung, oder? Ist sozusagen er durch C.
Also wenn sie dieses R hier verwenden, ja.
Okay. Und das ist der, das müssen sie dann
endlich hier die Ableitung bilden, müssen das beurchsichtigen.
Einmal haben sie die Ableitung nach dem Nenner hier unten und
dann haben sie die Ableitung noch dem Zähler.
Also die wirkliche Formel E von R und T lautet in dem Fall,
wenn sie das alles zusammensetzen, können sie ihn immer noch,
ah hier hatten sie noch einen, in der falschen Formel muss,
habe ich noch was falsch gemacht hier sozusagen, ja.
Also der erste Therm ist natürlich nicht ganz falsch,
der bleibt ihnen zu 1 überlebt erhalten,
weil der kommt ja genau von der Ableitung des Nenners.
Aber dann haben sie halt hier noch Plus,
den Therm, der die Ableitung erhält, enthält.
Und der hat unten in Airquaddrat einmal einmal hiervon und dann
braucht er noch einen C, weil...
Sonst würde das auch mit den Einheiten nicht stimmen.
Und dann haben sie natürlich noch die Ableitung hier dieses Wechselpotenzials,
die ist aber einfach, weil Das hängt ja von der Zeit nur über dieses Argument hier ab.
Das heißt, das ist minus J-Punkt von Erstrich T retarliert durch C-Quadrat.
Mal, ja. Er hat noch mal eine Potenzlinie.
Was haben wir hier? Sequated? Nein, nein,
nein, der hat überhaupt keine Potenzial. Das wäre Unsinn
. So. Okay. Und das hier ist sozusagen das,
was sie als Kulum-Gesetz in der E-Dynamik bezeichnen könnten.
Also es ist einfach ein bisschen komplizierter,
weil das Feld genauso gut abhängt von der Zeitableitung,
der Ladungsdichte und von der Zeitableitung der Stromdichte.
Das heißt, das sind genau die Therme,
die für elektromagnetische Strahlung verantwortlich sind. Also sie sehen,
dass die Therme hier auch mit anderen Potenzen abfallen.
Das heißt, die sind viel langreichweitiger, wenn sie wollen.
Und das haben sie in der Elektro, in der Experimentar
für sich schon gesehen, das werden sie nächstes Mal nochmal sehen.
Die sind eben genau für Strahlung verantwortlich, weil das,
was übrig bleibt, sozusagen, wenn sie eine zeitabhängige Ladungsverteilung haben.
Genauso können sie ein zeitabhängiges, cool am Gesetz hinschreiben,
zeitablängiges Bioservargesetz hinschreiben. Das finden sie auch im Skript,
nachdem wir damit nicht arbeiten, brauche ich ihnen das nicht hinschreiben.
Also der Weg ist klar,
wenn sie das B-Feld haben wollen und sie haben sich die Mühe gemacht,
dieses Potenzial auszurechnen, dann müssen sie nur noch ableiten.
Okay, was ich noch skizzieren wollte, ist genau die Frage,
warum gilt diese Warum gilt diese Beziehung hier?
Diese hier, ja, die müssen wir nachrechnen.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die nachzurechnen. Entweder,
sie setzen sie ein, in die Wellen gleich und finden raus, dass eine Delta-Funktion rauskommt.
Und es funktioniert auch. Und es ist auch eigentlich der schnellste Weg. Sie müssen,
wir können das mal für sich selbst machen,
sie müssen allerdings ein bisschen aufpassen,
weil sie eben hier beim Ableiten jede Menge mal nachdifferenzieren müssen,
weil sie haben halt hier,
wenn sie zum Beispiel nach dem Ortsableiten,
kriegen sie hier Ableitungen im Nenner wieder und dem Zähler
und sie müssen die alle richtig aufsummieren
Ich skizzieren ihn ganz kurz eine andere Art und Weise,
dahin zu kommen, die vielleicht auf Anhieb ein bisschen umfangreicher erscheint,
wo sie aber vielleicht das ein oder andere dabei,
also was mal eine andere Technik sozusagen lernen können.
Ich kann Ihnen das ja, wir können das,
wir machen das auch durch Einsätzen,
aber wir setzen es nicht in die gleichen einzelnen,
die setzen die Furi transformierte, in die Furi transformierte Gleichung ein.
Ja, ist völlig äquivalent, ja.
Und da müssen Sie nicht so viel nachdifferenzieren, denken,
da haben Sie andere Sachen, an die Sie denken müssen,
ist auch kompliziert, aber Sie sehen es halt ein bisschen anders.
Okay, was ist die Furio
transformierte Gleichung
Okay. Sozusagen, das wollte ich Ihnen auf jeden Fall noch sagen.
Ja, sorry. Okay, das ist die gleiche und jetzt,
früher transformiere ich die. Was kommt raus? Der Clou ist,
wenn Sie eine Furio-Transformation machen, also sozusagen geh,
tilde, von K und Omega, ist eins durch 2
Also wir haben hier diese D-Hoch 3R, die Omega,
geh von R und Tee, ehochminus IKR.
Yoch, ich, Omega Tee, ja.
Okay. Wenn Sie das machen, dann wissen Sie,
wie verhält sich die Furien transformierte in der Ableitung?
Das hatten wir jetzt mehrfach sozusagen, frühe transformierte von Krat,
von Nabla, G, ist dann sozusagen IK zum Quadrat,
also Ableitungen werden einfach, Ableitungen werden einfach Produkte mit dem Argument, geht Hilde.
Die frühe transformierte von eins durch C-Quadrat D nach DT-Quadrat gehe,
geht nach minus ii, Amega zum Quadrat durch C-Quadrat, geht Hilde.
Und die Furi transformierte von dieser Delta-Funktion, die sehen Sie hier,
da müssen Sie ja nur die Delta-Funktion da einsetzen.
Ich meine, da kommt einfach eins raus,
also das war die Furi transformierte Delta-Funktion,
ist einfach eins durch dass er eins durch 2P,
hoch 4, ja. Das war dieser Trick,
also dieses Allgemeine, was ich Ihnen da mal gesagt hatte,
dass die frühe transformierte in der Funktion, die beliebig scharf ist,
ist beliebig flach.
Ja, also die Delta von Kunstbibli scharf,
und die hier ist konstant überall. Okay,
und damit sehen Sie eigentlich, was ist die frühe transformierte,
dieser Funktion, ist es nämlich eins durch 2P, hoch 4.
Auf der Seite, und dann muss ich hier das einfach
dadurch dividieren. Hier steht ja, dieser Term minus.
Dieser Term, also Karkquadrat-Omega-Quadrat durch 10 Monate
Okay. Und dass wir jetzt sozusagen machen können, ist,
dass mit dem Einsetzen, der Track, mit dem Einsetzen,
heißt jetzt einfach, dass ich dieses Integrat explizit ausrechne.
Und es ist machbar, weil sie hier nämlich Delta-Funktionen haben.
Und dann sollten sie auf genau diesen Ausdruck kommen, ja.
Sie können das mal ausprobieren, weil ich nicht mehr
so viel Zeit habe. Ich weiß gar nicht,
ob ich es überhaupt, ob es überhaupt wichtig ist,
dass ich es anschaue, aber Sie können es mal ausprobieren.
Einen Track müssen Sie mal natürlich Ihnen sagen,
falls Sie es tatsächlich ausprobieren wollen,
dann müssen Sie erstens berücksichtigen,
dass das hier falsch ist und das sind Zeitintegral ist
Und zweitens müssen sie berücksichtigen, dass sie sozusagen eigentlich hier annehmen müssen,
dass dieser Term hier gegen Null geht für Teegegen unendlich.
Ja. Und sie können das sozusagen auch rechtfertigen,
indem sie sozusagen sagen, okay, ich nehme die Funktion,
ich schneide sie ab bei großen Zeiten und mache ganz,
und dann mache ich die Folietransformation,
und dann schiebe ich diesen Abschneidepunkt am Schluss gegen unendlich.
Weil wenn sie das nämlich nicht machen,
dann können sie das Integral nicht lösen.
Okay. Aber falls sie das machen wollen,
wünsche ich Ihnen viel Spaß dabei.
Ansonsten wünsche ich Ihnen