Wellen. Sie kennen, sie haben Wellen jetzt
schon zur Genüge in der Experimentalphysik vor diesem gesprochen.
Nochmal hier die wesentlichen Punkte. Jim Max aus den Max-Way-Gleichungen
bekommen sie die Wellengleichung. Und sie haben gelernt,
dass die allgemeine Lösung dieser Gleichung ihnen Felder gibt,
die sich als Ebene Wellen ausbreiten.
E ist E0, mal eh hoch, I,
K, R, minus i,
Omega T. K
ist der Wellenvektor
Dessen Betrag ihnen im Wesentlichen eins durch die.
Die Wellenlänge gibt, und Omega ist die Frequenz.
Und der wesentliche Punkt ist, Omega ist proportional zu K.
Und diese Frequenz, die Proportionalitätskonstante ist genau die Lichtgeschwindigkeit.
Und diese Frequenz ist unabhängig von, unabhängig, die Wellengeschwindigkeit ist unabhängig von der Frequenz.
Okay, das haben sie gelernt. Sie haben auch gelernt,
Diese Lösung hier, aufgrund der Max-Begleichungen, erfüllt weitere Bedingungen,
nämlich der Wellenvektor K, das elektrische Feld E,
also hier E-0 und auch das magnetische Feld B,
als ich die magnetisch, das magnetische Feld,
längst einer ähnlichen Welle bewegt,
die bilden ein ON-System.
Und der Betrag des magnetischen Feldes ist proportional zum Betrag des
elektrischen Feldes mit einer Konstante 1 durch
Das ist auch eine Information, die Sie auf jeden Fall sich merken sollten.
Das heißt, im Wesentlichen, dass das magnetische Feld in
einer gewissen Art und Weise schwächer ist als das elektrische Feld.
In einer Art und Weise, die, wenn auch kennenlernen werden heute,
was ist in welcher Art und Weise das zu interpretieren ist.
Dass zum Beispiel, wenn sich ein elektromagnetische Welle in Materie ausbreitet,
sie normalerweise den Effekt des magnetischen Feldes fast vergessen können gegenüber dem Effekt des elektrischen Feldes.
Also es ist die erste wichtige Eigenschaft. Die zweiten,
die anderen wichtigen Eigenschaften dieser Lösung hier in dieser Welle folgen
eigentlich genau aus dieser linearen Beziehung zwischen Wellenlänge und Frequenz.
Und das erste ist, Die erste Bedingung ist,
sie haben eben die Phasengeschwindigkeit. Also die Geschwindigkeit,
mit der sich die maximal oder die Null stellen oder irgendein
ausgezeichneter Punkt der Welle bewegt, ist genau durch diese Geschwindigkeit C gegeben.
Und aus der Wellen, saß dem merkst du ja gleich,
ein bisschen die C-Quadrat, ist eins durch minull, Äpstel 0,
ist eben ungefähr 3x7 noch 8 Meter pro Sekunde.
Okay, das ist das eine, die eine Eigenschaft,
die Phasengeschwindigkeit ist genau durch dieses, durch das Verhältnis von Omega und K gegeben.
Das dritte oder die zweite Bedingung ist, Das sind Ebene Wellen,
wenn sie Ebene Wellen überlagern und sozusagen sich ein Wellenpaket bauen aus Ebenen Wellen,
dann breitet sich das einfach mit einer konstanten Geschwindigkeit fort.
Es verschiebt sich nur im Raum und läuft nicht auseinander.
Und die Geschwindigkeit, mit der es sich ausbreitet, ist auch zäh.
Haben Sie das schon gelernt? Wenn nicht,
dann sehen wir es heute, heute nochmal sozusagen.
Das ist ein Dispersionslose. Ja, also hier ist
Hier ist X. Unsere Zeit, null haben sie irgendwie sowas hier.
Und zur Zeit größer, null. Das ist alles,
was sich passiert. Was passiert ist, ist,
dass ich dieses Paket hier verschoben habe, um eine Strecke CT.
Ja. Pro Pagaktion. Also das heißt, einfach,
sie haben, so sieht das Feld aus zur Zeit.
Null, das ist eine Überlagerung von eben den Wellen.
Und später hat es sich einfach nur verschoben.
Sie werden sehen, das ist auch eine Folgerung aus
genau diesem linearen Zusammenhang
Und die andere Eigenschaft, die letzte sozusagen hier,
also diese Nummern hier, okay, 1, 2,
3, 4 passt sogar, ist die Ausbreitung von Energie,
haben Sie heute auch gelernt.
Der Energiestrom oder die Energiestromdichte ist genau dieselbe Geschwindigkeit,
mal die Energiedichte. Und das ist genau die Eigenschaft,
die Sie erwarten von irgendeinem etwas,
was sich mit einer Geschwindigkeit zäh bewegt, warten Sie,
dass die Stromdichte gleich der Dichte ist mal der Geschwindigkeit.
Das haben Sie ja für Ladungsströme
schon mehrfach gesehen
Da hatten wir Strom dicht, da haben wir hingeschrieben als Ladungsdichte mal Geschwindigkeit.
Und die Beziehung gilt auch. Und die hängt auch im Prinzip von dem her. Okay,
was ich jetzt in der Vorlesung heute machen will,
ich möchte uns zu sagen,
einerseits ihr noch mal ganz kurz sozusagen ausgehen von dem,
was wir letztes Mal gelernt haben,
noch mal ganz kurz das hier diskutieren, wobei ich gesehen habe,
dass sie das auch schon relativ explizit in der Experimentalflüssigvorlesung heute gemacht haben.
Aber die Beziehung ist einfach so wichtig, dass ich sie noch mal kurz diskutieren will.
Und dann möchte ich diskutieren, was passiert eigentlich,
wenn Wellen nicht im Vakuum propagieren, sondern irgendwie gestört werden.
Also wenn sie sich in Materie propagieren oder wenn sie sich
in einem hohen Leiter oder in irgendeinem etwas propagieren,
dass ihre Bewegung eingeschränkt ist.
Weil was dann passiert ist, was sie sehen werden,
ist, dass genau diese Beziehung hier nicht mehr gilt.
Und ich möchte ihnen erklären, woher das kommt,
dass diese Beziehung nicht mehr gelten kann.
Und zwar möchte ich zu einem ganz speziellen Beispiel zeigen,
einem Beispiel, wo sie es auch explizit durchrechnen können.
Und dann möchte ich das geben, was die Konsequenz ist für die Ausbreitungseigenschaften von Wellen.
Also erstens, Muss dann nochmal ganz kurz zu dem,
zur Energie und Impuls dichte. Ja, also was wir
das letzte Mal ganz allgemein kennengelernt hatten, ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes.
Es ist gegeben durch im Prinzip E-Quadrat plus B-Quadrat, ja,
mit den Vorfaktoren hier eins durch 2.0 B-Quadrat, ja.
Und wenn Sie wissen, wenn Sie das hier wissen,
das, dies und diese dann können Sie unmittelbar hier diese Energiedichte ausrechnen.
Nehmen wir mal eben an, wir haben ein elektrisches Feld,
was jetzt, wenn Sie so schreiben, in meinem Semmer eigentlich den Realteil davon.
Also schreibe ich das hin als E-0. Koss, K-X-Omegathée.
Und das B-Feld ist dementsprechend nach genau dieser Beziehung hier E-0.
Sozusagen das B-Nol, Moment, Koss-K-K-C aus dem Psycho.
B-0, Koss-K-X-Omegathée. In dem Fall habe ich jetzt einfach der Einfachkeit mal angenommen,
dass sozusagen K Nehmen wir mal eine Welle, die halt die richtige Politisation,
also K, soll in eben die X-Richtung zeigen.
Ja, dann nehmen wir E0, lassen wir in Y-Richtung zeigen.
EY. Und dann haben sie ausgerechnet wegen dieser Tatsache,
dass die ein ON-System bilden, das dann das Magnetfeld in die Z-Richtung zeigt, ja.
Mal der Betrag ist genau der Betrag von E0 durch C.
Ja. Okay, und jetzt können sie das natürlich hier
unmittelbar einsetzen
Dann sehen Sie, dass die Energiedichte von Zeit und Ort abhängt,
weil hier ein Cosinus steht,
die Felder selbst hängen von Zeit und Ort ab.
Das heißt, die Energiedichte ist eine Größe, die sehr schnell oszilliert.
An diesen schnellen Ausstellationen sind wir nicht interessiert. Wir wollen eigentlich
nur wissen, was es im zeitlichen Mittel, die Energiedichte.
Das heißt, wir werden die nehmen und über eine Periode mitteln.
Okay, also sozusagen, wie bar definieren wir als das Integral,
Tee, W von R und Tee.
Und Tee ist eben genau die Periode der Welle,
also 2P durch die Frequenz. Und der Clou ist,
wenn Sie jetzt hier in das E fällt,
dass diese Beziehung hier einsetzen, dann steht hier ein Cosinus KX Quadrat.
Und wenn Sie den mitteln, dann kommt einfach ein Halb raus.
Das ist die einzige, die wichtige Beziehung.
Die kommt auch in der Übung, in der nächsten Übung,
übrigens häufig vor, diese Art von Mittelung.
Also Cosinus KX-Omega-Tee zum Quadrat, gemittelt über eine Periode
ist ein Halb
Weil das sehen sie sofort, wenn sie in Cosinos ins
Quadrat nehmen, sozusagen, dann sieht es so aus.
Das ist sozusagen der... Kostquadrat, ja.
Und im Mittel ist das nichts anderes als einhalb. Eins,
0, minus 1. Okay,
und wenn sie das dann hier einsetzen, dann sehen sie unmittelbar,
dass die Energiedichte einfach gegeben ist durch E-0-Quaddrat,
mal Epceno 0,
Mal eineinhalb von der Mittelung, plus eins durch zwei,
Mynull, e-0 Quadrat, durch C Quadrat, mal denselben Einhalbfaktor.
Und wenn Sie jetzt verwenden, das eins durch C-Quadrat hier,
sozusagen C-Quadrat gleich eins durch Mynull, Epsilonalis,
dann steht hier einfach Epsilon null, halbe e-0 Quadrat,
ja.
Also das ist einfach ein gegebener Ausdruck für die Energiedichte
Das ist nicht so interessant, interessanter wird es,
wenn sie den Energiestrom ausrechnen. Und den haben wir das
letzte Mal eben aus der Kontinuitätsgleichung für die Energiehaltung kennengelernt über den Pointing-Vector.
Okay. Wie bitte? Die Mittelung. Okay,
die müsste bei 1 bringen, danke,
dass es irgendeine andere Kurve, die ich gezeigt habe.
Ja. Ah, sorry
Wie wär's mit der? Hier. Sieht die besser aus
? Ein bisschen, ja. Okay. Energiestrom haben sie
kennengelernt als Pointing Vector, 1 durch My0, E-Greuz B.
Und jetzt werden sie wieder die Mittelung ausrechnen und das können sie selber machen,
um zu sagen, weil sie im Prinzip haben sie es auch gesehen,
schon, wenn Sie jetzt hier wieder dieselben Felder einsetzen und dieselbe Zeitmittelung machen,
dann sehen Sie das im Mittel, einen Energiefluss eben genau fließt, von C mal die mittlere Energiedichte.
Und das ist genau die Beziehung, wie ich ihn hier hingeschrieben habe.
Also wie ist das zu interpretieren? Die Energie fließt,
während die Welle in der Welle fließt,
die Energie schnell hin und her, lokal ausstalliert die Welle,
aber im Zeitmittel haben sie einen gerichteten Energiestrom.
Und der Zusammenhang ist genau diese Wellengeschwindigkeit.
Was sie in der Übung kennenlernen werden,
ich habe in der Übung geht es um Schallwellen
Auch Schallwellen müssen alles, jede Welle muss eine Energie- und Impulsinhalt haben.
Was ist eine Schallwelle? Eine Schallwelle ist einfach eine Oststellation der Dichte der Luft.
Ich erzeuge hier Erschwingungen, die Schwingungen breiten sich aus.
Was ist die Energie dieser Schallwelle? Die ist einfach die
kinetische Energie der Luftmoleküle, die schwingen. Plus die Energie,
die potenzielle Energie, die dadurch haben, dass sie das verzerren.
Okay, wenn sie jetzt hier, wenn ich jetzt spreche
und hier die Welle aussende, dann sende ich ihnen sozusagen Energie.
Okay, und dieser Energiefluss muss Ganz genau wie hier auch,
weil es sich um eine Welle handelt, mit dieser Dispension,
einfach proportional, der Fluss muss proportional sein,
zur Energiedichte, mal Geschwindigkeit, in dem Fall Schall.
Und besser, das gilt auch für Impuls,
wenn Sie jetzt sich überlegen, was ist der Impuls der Welle,
dann haben Sie das letzte Mal auch kennengelernt,
als eins durch C-Quadrat, mal der Pointing-Vektor selbst.
Also der Impuls, die Impulsdichte der Welle ist einfach gegeben durch
die Energie, Dichte? Energiestrom, Dichte durch C-Quadrat.
Und wenn Sie das jetzt wieder ermitteln über die Zeit,
dann kriegen Sie natürlich,
weil wir hier sozusagen die Zeitmittelung schon gemacht haben,
deren Zeit gemittelte Impuls ist, die zeitgemittelte Energie durch C. Ja.
Und das ist genau das, was Sie als relativistische,
vielleicht aus der Mechanik, als relativistische Energieimpulsbeziehung können.
Wenn Sie ein Teilchen haben, was sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt,
dann ist sein Impuls gegeben durch die Energie, durch C.
Und genau die Eigenschaft sehen Sie hier für die Welle.
Ohne dass Sie jemals über Relativitätstheorie oder Sonstiges gesprochen haben,
das folgte einfach aus der Herleitung der Energie- und Impulsbeziehung.
Jetzt gehen Sie zur Schallwellen und das können Sie sich in der Übung überlegen.
Auch eine Schallwelle muss einen Impuls haben, weil alles,
was sich bewegt, was Energie transportiert, muss auch einen Impuls haben.
Was muss der Impuls einer Schallwelle sein? Luftmoleküle bewegen sich hin und her,
aber der Impuls der Schallwelle kann nichts anderes sein als der Impuls der Luftmoleküle selbst.
Wenn die Welle einen gerichteten Impuls hat, Dann heißt es,
dass die Moleküle auch eine gerichtete Bewegung haben müssen.
Das ist was, was sie sich schwer vorstellen können vielleicht.
Eigentlich kennen sie Schall als was, was sie hin und her ausstalliert,
aber in Wirklichkeit musste es so aussehen, ja?
Sonst hätte die ja keinen Impuls.
Also in dem Sinne hat auch eine Schallwelle einen Strahlungsdruck,
genau wie Licht und Strahlungsdruck hat, genau wie sie es kennengelernt haben.
Nur bei Schall wissen sie, was Impuls ist,
da können sie sich explizit überlegen, sich explizit hinschreiben,
was ist eigentlich die Translationsbewegung, dann finden sie das raus, ja?
Sonst, dann kriegen sie den Strahlungsdruck des Schalls.
Ja, der ist natürlich, das Schöne ist,
die Beziehung ist die gleiche Energie durch Impuls, ja?
Energie durch Geschwindigkeit. Nur die Geschwindigkeit ist ein anderer
Ja, Schaltdruck kennen sie ja. Jeder,
der in einem Orchester spielt, Bratsche, der kennt,
weiß, was Schaltdruck ist, wenn er vor den Posaunen sitzt,
dann weiß man, was Schaltdruck ist.
Okay, wie auch immer. Wie gesagt, das hatten
sie eigentlich in der Experimentalphysik-Vorlesung schon gelernt. Was ich,
wie gesagt, heute machen will, das ich möchte.
Ah, ich habe die erste Seite gar nicht gespiegelt, oder?
Doch hier. Ja, ich möchte heute diskutieren,
was passiert, wenn diese Beziehung hier nicht mehr gilt.
Und das kann eben der Fall sein,
wenn sich die Welle ausbreitet in Materie in irgendwelchen eingeschränkten Geometrien.
Und nachdem ich eigentlich keine Luft habe,
ihnen nehme ich mir sozusagen alle Fälle zu diskutieren,
es reicht völlig, wenn sie das an einem Beispiel sehen.
Sie werden in der Experimentalphysik später natürlich noch phänomenologische,
weitere Beispiele sehen, aber es ist, glaube ich,
ganz gut, dass einmal an einem Beispiel sich zu überlegen,
bei der Gelegenheit werden wir auch gleich nochmal im Prinzip die Wellengleichung herleiten,
aber mit einer kleinen Modifikation eben, dadurch, dass die Welle gestört ist durch das Medium.
Aber die Herderkind wird genau die gleiche sein. Das heißt,
wenn sie das noch, wenn sie das jetzt sehen,
dann sehen sie es, nochmal ist ganz gut.
Also Wellen mit Dispersion, ja. Und das Beispiel,
was ich diskutieren will, ist eine Welle,
die sich durch einen Raum ausbreitet, indem sie einfach frei bewegliche Ladungsträger haben.
Warum nehme ich das Beispiel? Weil es offenbar das Allereinfachste
Beispiel ist, was sie wirklich explizit sich überlegen können.
Weil die Bewegung von der freien Ladung ist das Einfachste.
Es ist einfach Newtons Gleichung, Newtons Bewegungsgleichung und Lorenz Kraft.
Und wenn sie das lösen können, dann wissen sie,
wie sich die Ladung bewegen und dann genau das werden wir machen.
Die werden überlegen, wie bewegen sich die Ladung,
während so eine Welle dadurch propagiert und wie beeinflusst das wieder
die Welle
Also was wir machen müssen, wir müssen die Max-Vergleichung lösen. Die kennen sie,
eh, ist roh durch Äpstel 0 und im Unterschied zu vorher,
wenn sich diese, also sozusagen,
das hatte ich jetzt hier nur gesagt, im Skript,
habe ich das auch ausführlicher hingeschrieben, glaube ich hier.
Welle in, wie heißt das hier?
Raum mit freien Ladungen, ja. Also hier haben sie
Box und in der Box befinden sich eben hier Ladungen,
die sind beweglich und Wo finden Sie nur eine Box?
Ja, zum Beispiel, jedes Metall ist so eine Box,
die Elektronen in den Metall sind frei bewegliche Ladungsträger.
Wir finden es auch in der Atmosphäre.
Also wenn Sie an den äußeren Rand der Atmosphäre gehen,
da ist die Luft nicht, da sind die Luftmoleküle,
wenn Sie es so bezeichnen wollen, ironisiert,
weil sozusagen vom Raum Strahlung kommt, sozusagen hochenergetische Strahlung.
Das heißt, da haben Sie eigentlich eine Schicht frei beweglicher Ladung.
Und genau die Situation finden Sie dann. Okay,
nachdem Sie hier Ladungen haben, kann es sein,
dass Sie auch im Mittel eine Ladungsdichte haben,
gut im Mittel wird es sich ausgleichen, positive und negative, aber
so Dann haben sie Delta-Kreuz E ist minus DB nach DT, ja.
Delta B, jetzt haben sie auch einen Strom, ja.
Und das gilt immer noch, ja? Und die Gleichung wollen wir lösen,
die gleich sind, können sie nicht lösen,
weil die gleichen natürlich nicht vollständig sind,
fehlt Informationen und fehlt genau die Informationen, wie sieht der Strom aus?
Und die Informationen, das ist das,
was ich Ihnen zusätzlich sagen muss, wenn ich Ihnen sagen will,
wie breitet sich Welle in Materie aus?
Wir müssen wissen, wie sieht der Strom aus als Funktion der Felder?
Der Strom wird ja erst durch die Welle induziert und beeinflusst dann die Welle zurück.
Also wir brauchen J als Funktion von E und B. Ja.
Und natürlich auch die Dichte, die Ladungsdichte, aber sie wissen,
dass J und die Ladungsdichte immer durch die Kontinuitätsgleichen schon verknüpft sind.
Das heißt, es reicht vollkommen, wenn ich in eine
von den beiden sage. Und die Beziehung, die wir hier,
gibt diese Situation charakterisiert und die wir verwenden wollen,
um das zu lösen, die ist einfach die Zeitableitung von J. Ja.
Die Zeitableitung von J ist gegeben durch E-Quodrat ein Null durch M-E.
So, was haben wir hier eh? Ist sozusagen N-0,
ist die Dichte der Ladung, also sozusagen Anzahl der beweglichen Ladungen pro Volumen.
Und E soll natürlich die Ladung sein und M sind sozusagen
Ladung der einzelnen individuellen Teilchen hier.
Das schreibe ich immer hier. Die haben sozusagen eine
Ladung und die haben eine Masse M. Okay.
So, jetzt kann ich hier einfach, sobald ich,
das ist dann die Materialbeziehung.
Und wenn sie ein anderes System haben,
dann sieht diese Beziehung garantiert anders aus. Und das ist,
wie gesagt, nur eine sehr einfache im Prinzip,
die diese Situation beschreibt.
Jetzt kann ich
Ihnen die herleiten
Das ist ein bisschen, das involviert natürlich einige Approximationen.
Ich werde trotzdem sozusagen ihnen skizzieren, woher das kommt natürlich,
ja, sonst fällt es ein bisschen vom Himmel,
aber sie sollen sich davon nicht ablenken lassen.
Im Wesentlichen, sozusagen das, um was es eigentlich geht,
ist, dass sie dann nochmal sehen,
wie komme ich aus diesen Gleichungen dann auf die Wellenpropagation,
ja, mit diesem kleinen Extra, ja.
Aber trotzdem auch ganz kurz dazu, was,
woher kommt das, ja, als Kitzel, um zu sagen,
weil im Prinzip ist es nichts als freie Beschleunigung, ja.
Aber es sind so ein paar Elemente dabei,
Die Zeitableitung der Stromdichte, kennen Sie die Stromdichte,
ist die Ladungsdichte, mal die Geschwindigkeit der Teilchen.
Das haben Sie x-mal gesehen. Ja, das ist also die Zeit,
da bleibt sozusagen, das hier ist Roh mal V.
Das ist die Zeitableitung der Ladungsdichte mal V.
Plus Roh, mal die Zeitableitung der Geschwindigkeit. Okay,
jetzt sehen Sie die Beziehung, sieht recht kompliziert aus.
Und was ich jetzt machen werde,
ich werde einfach diesen Term hier wegschmeißen und diesen hier auf
die Ladungsdichte ohne Welle setzen.
Warum mache ich das
Das ist fundamental wichtig, dass man versteht, warum er das macht,
weil es geht darum zu verstehen, was überhaupt Wellen sind.
Warum kann ich das machen? Ja,
wenn sie eine Welle haben, die sich ausbreitet in dem Material,
dann, was passiert, wenn keine Welle ist,
dann ist V gleich null und die Dichte ist konstant.
Wenn jetzt eine Welle kommt, dann wird V in erster Linie
proportional sein Ensemblitude dieser Welle. Die Ableitung der Dichte,
sonst eine Ableitung ist ja normalerweise null, wird auch proportional sein zur Amplitude der Welle.
Das heißt, dieser Term hier ist proportional zur Amplitude der Welle zum Quadrat.
In dieser Term hier ist proportional zur Amplitude der Welle,
Wenn ich hier sozusagen allerdings noch die Abweichung der Dichte von dem Gleichgäbe,
von der sozusagen homogenen Gleichgewichtssicht reinsetze,
dann sind die Abweichungen wieder proportional zu Amplitude-Quadrat.
Also der Punkt ist, Wellen, wenn wir Wellenausbreitungen betrachten,
dann sind wir eigentlich immer nur daran interessiert,
an kleinen Abweichungen von dem Gleichgewicht.
Wenn Sie eine starke Welle ins Material reingehen,
dann breitet sich das nicht mehr als Ebenewelle aus.
Was dann passiert, ist einfach, dass,
nennen Sie, dass das Material schmilzt,
und danach breiten sich die Wellen garantiert anders aus
als vorher
Wenn überhaupt noch, ja. Das ist der wichtige Punkt ist,
wählen in irgendwelchen Materialien oder so, es geht immer darum,
dass die kleine Abweichung sozusagen von der Gleichgewichts, der Trivialen Gleichgewichtsverteilung haben.
Es ist also wichtig, der Punkt,
wir setzen das einfach durch N-0 mal E,
das ist sozusagen eine Ladung, mal die Anzahl,
die Ladungsdichte im Gleichgewicht, mal die V nach DT.
Okay, das sollen Sie verstehen, plus sozusagen,
dass es proportional zur Amplitude nochmal Plus, Amtidude A,
Plus, Häme, die klein sind.
Okay? Das ist der erste Punkt,
der ihnen auf sie auf so eine Materialbeziehung führt.
Der zweite Punkt ist etwas diffiziler. Ich setze DEV nach DET,
gleich DV nach DT,
wobei das hier ist die Beziehung eines Ladungs,
eines Ladungsteilchens am Ort
Jetzt denken Sie mal im Moment nach, warum ist hier
überhaupt, warum ist das überhaupt nur approximativ gültig?
Ja. Im Prinzip sieht diese Beziehung so aus,
als sei es eine triviale Identität. Ja,
die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit,
hier steht die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit der Ladungen an einem Ort
und hier steht die Beschleunigung der Ladung,
die Beschleunigung einer individuellen Ladung.
Sieht so aus,
als sei es
das Gleiche
Ist es nicht. Und ich überlasse es mal Ihnen, darüber ein bisschen nachzudenken.
Im Skript sehen Sie auch den Unterschied. Ich sage,
gib Ihnen nur einen Hinweis. Der Unterschied ist genau,
dass sozusagen, das ist immer an einem Ort,
während hier betrachten Sie in individuelle Ladung, die einen Ort verändert.
Aber wieder gilt, dass der Unterschied eigentlich nur proportional zu
dieser Amplitude Quadrat ist, das heißt, ja,
aber da können Sie mal drüber achten.
Das ist also im Wesentlichen ist das eine Beschleunigung, ja.
Und jetzt können Sie weitermachen. Sie kennen die Beschleunigung.
DV nach DT
Ist eins durch M mal die Kraft. Und die Kraft
kennen Sie, ist eh mal eh plus V-Kreuz B.
Und jetzt sind wir fast fertig, denn jetzt behaupte ich,
dass das ungefähr eins durch M eh mal e ist.
Wir haben also das hier vernachlässigt. Und das ist genau das,
was ich Ihnen am Anfang gesagt habe. Diese Beziehung hier,
wenn Sie eine Welle im Vakuum haben, Dann sehen Sie,
dass das Magnet fällt, proportionales zum,
die gleiche Amplitude hat wie das elektrische Feld durch C, ja.
Wenn wir jetzt mal in erster Ernährung annehmen,
dass diese E- und B-Felder so sind wie im Vakuum,
bei einer Welle im Vakuum, dann sehen Sie,
dass dieser Term hier sozusagen, dieser Term hier ist proportional sozusagen im Betrag,
gleich wie betragt ich,
mal V durch C.
Und das ist genau der Punkt, wenn man mich hinweglassen kann.
V ist die mittlere Geschwindigkeit dieser Teilchen
Ist die Lichtgeschwindigkeit. Solange sich diese Teilchen nicht annäherungsweise
wie Lichtgeschwindigkeit bewegen, kann ich diesen Thermen vernachlässigen.
Und das ist der Punkt, den ich gesagt hatte,
Wellen sozusagen in Materie. Dieser Therm sagt ihnen,
dass das elektrische Feld wesentlich wichtiger ist als das magnetische Feld.
Jetzt sagen die, ah, hier habe ich jetzt die Beziehung genommen für Wellen im Vakuum.
Jetzt wollen wir das in dieser Situation lesen.
Da weiß ich ja noch gar nicht, was rauskommt.
Und da haben sie recht, eigentlich müssen sie jetzt sozusagen Apost der Röhre,
nachdem sie die ganzen Sachen gelöst haben,
nochmal zurückschauen und schauen, ob das immer noch stimmt.
Und dann werden sie sehen, dass so eine Beziehung hier B ist proportional eh durch irgendwas,
was von der Ordnung ist wie C, wird immer noch rauskommen, ja.
Das heißt Aposterriore. Und damit sind sie fertig,
damit sehen Sie, dass die Beziehung,
die ich Ihnen sozusagen hier als Materialbeziehung hingeschrieben habe,
nichts anderes ist als die freie Beschleunigung, also sozusagen die,
alles nochmal zusammen, die J macht DT, ist N0E,
die V nach DT, sozusagen von dem hier.
Und von dem hier, N0E-Quadrat durch M. Mali.
Ja, also diese Materialbeziehung Ist nichts als freie Beschleunigung.
Okay, aber wie gesagt, der wesentliche Punkt war,
ich wollte eigentlich ihnen zeigen, wie man jetzt diese etwas erweiterten Max-Bergleichungen lösen kann.
Und wenn sie hiermit nicht zufrieden sind,
dann nehmen sie das einfach als gottgegebene Beziehung hin,
wenn sie es sozusagen für ein anderes System lösen,
dann sieht die Beziehung auch anders aus, ja.
Gut. Aber das hat natürlich diese spezielle Beziehung halt natürlich
interessante physikalische Konsequenzen, die wir nachher auch noch diskutieren
Lösung dieser Max-Vergleichung. Jetzt kommt der Clou. Wie können Sie das lösen?
Der wesentliche Punkt ist, diese Gleichungen sind immer noch linear.
Wir sehen e-roh, das tauchen nie Potenzen davon aus,
ja. Tauchen alle Größen tauchen nur in Erstordnung.
Auch diese Beziehung ist noch linear. Ja,
wenn ich jetzt hier sozusagen da diese ganzen Nährungen nicht gemacht hätte,
wäre das nicht mehr linear, dann hätte ich hier verloren, ja.
Aber die ist immer noch linear. Und weil sie linear ist,
können wir einfach eine pure Transformation machen und uns die Gleichungen
für die Furia-Komponenten anschauen und dann werden wir sehen,
das wird viel einfacher als das, was hier steht, ja.
Max-Bergleichungen sind zu lange linear. Das heißt, wir machen die Furia-Transformation.
Okay, Sie wissen es. Was kommt raus,
wenn Sie diese Gleichung hier, oder machen wir die Allgemeine der Furia-Ansatz,
also wenn Sie irgendeine Größe haben von der Form,
das ist also entweder, es ist manchmal für jede,
für E-E-B, für J, für Roh und für alles,
was Sie hier haben, dann setzen Sie in Furia-Transformation an.
So DK, Y-Tilde, von K und Omega,
ja, E-Hoch-I-K-R,
das war sozusagen die Formel für die Furio-Transformation bezüglich bezüglich dem Ort und sein,
das ist so eine frühe Tanzformation für jede Komponente unabhängig voneinander.
Und dann brauchen wir noch die Furio-Transformation bezüglich der Zeit.
Und die schreiben wir hin als I-Omega-Tees. Das ist,
dass wir hier I haben und hier minus I ist eigentlich
nur so eine Vorzeichenkonvention
Ich könnte natürlich, ich könnte genauso gut die frühe Transformation mit beiden Vorzeichen gleich,
gleich definieren, aber dann sieht die Physik,
sieht es nicht so schön aus, ja.
Okay, was kriegen Sie raus, wenn Sie zum Beispiel
die erste gleiche Frühe transformieren? Und das ist was,
was wir sozusagen bei der Frühtransformation schon besprochen hatten,
die Furie transformierte eine Ableitung, ist einfach das Produkt,
das ist in der Ableitung nach dem Ort,
das ist das Produkt von K, mal der Furie transformierten.
Diese Beziehung Das ist der Punkt, warum wir das eigentlich machen,
weil Ableitungen auf Produkte überführt werden. Also die Beziehung hatten wir
explizit hergeleitet, als wir über die frühere Transformation gesprochen haben.
Also das war diese, genau. Jetzt kann ich die
zweite gleichen, die zweite Max-Vergleichung nehmen. Ich steht da drüben,
ich brauche es nicht nochmal anschreiben hier, dann kriegen sie IK, Kreuz-E. Tilde.
Okay. Und sozusagen die frühere transformierte von Den nach DT von der Funktion,
ja, ist, also wir hatten immer gelernt,
Ableitung, gebe ich, Omega, jetzt steht hier,
haben wir hier die frühe Transformation mit dem unterschiedlichen Vorzeichen definiert,
dann kriegen sie hier natürlich minus E-Omega-F-Tilde, ja.
Das heißt, hier steht plus E-Omega-B-Tilde. Ja.
Dann nehmen wir gleich um drei. Also das Spiel,
IK-Kreuz B, Tilde, ist müh-null, J-Tilde,
plus eins durch C-Quadrat, minus I-Omega,
Und die nächste Gleichung ist IK.b, Tilde is null.
Und genauso transformieren Sie diese Gleichung hier, ja?
Minus I, Omega, Jat, Tilde,
plus ist ein Null, E-Quadrat durch M, Ethilde.
Ja, sagen, das sind die Gleichungen,
die Sie jetzt zu lösen haben,
anstatt dieser Max-Vergleichingel
Und sie sehen, hier haben sie es nur noch mit allgebraischen Gleichhungen zu tun.
Rein allgebraische Gleichhänge? Keine Differenzialgleichungen mehr. Das ist natürlich der Grund,
warum wir hier in die Furio-Darstellung überhaupt übergegangen sind, weil damit können wir arbeiten.
Das kommen wir hier sukzessive, das ineinander einsetzen.
Nehmen wir mal, damit was fangen wir an.
Also zuerst können wir einfach J eliminieren im Prinzip.
Wir können hier J einsetzen oder anders gesagt, wir könnten diese Gleichung mit ihr. Ich würde sagen,
wir können, ja, nee, Elemineum einfach zuerst mal B hier,
indem wir die Gleistung mit E-Omega multiplizieren,
dann steht hier E-Omega B, dann sozusagen I-K-Kreuz,
Omega ist K, steht hier, Kreuz E durch Omega,
ja, ist Mü-Null, okay, Mü-Null,
steht hier mal J, lassen wir erst mal mal stehen,
plus eins durch C-Quadrat, minus I-Omega E,
Alles mit Tilde.
Okay. Jetzt multiplizieren Sie die Gleichung einfach durch mit minus
Iomega. Okay, dann steht hier K, Kreuz,
K, Kreuz, E ist minu, minus Iomega,
Diat,
minus Omega-Quadrat durch C-Quadrat
Und nachgesprochen, dass alles die Frühjahrkomponenten. Jetzt steht hier
genau minus I-Omega-J, jetzt können Sie das eliminieren.
Dann kriegen Sie hier ein 0E-Quaddrat durch M. Etilde.
Und das hier ist sozusagen dieses Kreuzprodukt, vom Kreuzbürg,
also dann können Sie diese, kennen Sie diese Backzapp-Regel,
ja, also wie Sie Produkte ausmultiplizieren.
Das ist K, mal K-E, ja,
minus K zum Quadrat mal E, ja.
Also hier steht Hier ist noch ein Vektor in,
das ist der jetzt auch weg hier, der Nähe ist noch da, ja.
Hier steht der Vektor K, mal Skalabrium KI und hier
ist der Kakford HI. Sie kennen diese Produktregel für die Ableitung,
die wir letztes Mal hatten, sozusagen Nabla, Kreuz,
Nabla, Kreuzfeld, das ist irgendwie der Plasfeld,
plus, also die sich schwerer merken lassen.
Hier ist genau die gleiche Beziehung, nur in Vorrätetransformation.
Wenn Sie die Bagzabregel kennen, dann kennen Sie ja auch
diese Produktregel der Ableitung. Okay, was hier steht,
ist eine Gleichung für E.
Sie haben
das Problem gelöst
Schreibe Ihnen die nochmal hin. Kann ich die nochmal durchmultiplizieren
mit Omega, die Omega-Quadrat, minus K-Quadrat, C-Quadrat.
Jetzt habe ich die sozusagen nicht mit C einfach durchmultipliziert.
Mal eh, Tilde. Ist N-0-E-Quadrat durch Äpselon 0M. Ethilde,
minus C-Quadrat K-K-E. Okay. Lösen Sie die Gleichung nach eh
auf? Haben Sie eh, wenn Sie eh haben,
dann haben Sie auch B und J. Denn B kriegen Sie
nach wie vor zum Beispiel aus Gleichung
Und jetzt kriegen sie aus der letzten Gleichung. Das heißt,
die haben das Problem gelöst. Ja? Kauf mit dem
ist was gut. Das ist eine sehr gute Frage,
da kommen wir jetzt drauf, warum ist K.E.0?
Ja, weil der Brei-Mektor ist irgendwelcher Tisch.
Ja gut, das ist sozusagen dieselbe Aussage,
aber warum steht der Wellenvektor sein Krieg auf E?
Aus welcher Max-Vergleichung folgte dieses K.E.
gleich 0
Wir können einfach auf der gleichen drüben schauen. Hier steht
k.e ist Ladungsdichte. Der Wellenlektor steht senkrecht auf dem,
der weckt das, das e-fälscht senkrecht auf dem Wellenlektor,
wenn die Ladungsdichte null ist. Wir haben es aber mit,
wir haben es aber jetzt mit Wellen zu tun,
die in den Medien propagieren.
Woher weiß ich, dass die Ladungsdichte nur ist, ja?
Aber es ist ein guter Punkt,
der Term stört uns natürlich und der stört uns massiv.
Das heißt, wir wollen den loswerden, ja?
Und wie werden wir den los? Wir werden den
ganz einfach los. Betrachten Sie einfach von dieser Gleichung mal
die Komponente senkrecht zum Wellenvektor und die Komponente
parallel zum Wellenvektor,
Ich kann einfach hier, sozusagen, K ist gegeben,
nehme ich die Komponente senkrecht zum Wellenwerktor, dann spielt dieser Term keine Rolle.
Ja? Ich suche also sozusagen Lösungen mit E senkrecht K und schaue einfach,
gibt es die Lösungen, ja? Und wenn ich das tue,
dann steht hier einfach nur Omega-Quadrat, minus K-Quadrat,
C-Quadrat, minus dieser Term hier, ja,
und diesen Term, den nenne ich jetzt mal um,
und das sage ich ihnen gleich,
gehe ich den um, nenne sozusagen,
das ist einfach nur eine Notation,
E-Tilde ist null
Okay. Das sind Lösungen. Lösungen, bei denen
das Feld senkrecht steht zum Wellenweg, da also schön,
Transversalpolarisierte Wellen, solange diese gleiche Gier null ist.
Ich habe aber natürlich noch andere Lösungen, zweitens,
möglicherweise gibt es noch eine Lösung jetzt, wo plötzlich eh parallel zur Karl ist.
Dann nehmen Sie mal die Parallelkomponente und dann sehen Sie,
dass das hier C-Quadrat, mal C-Quadrat, Kack-Vertrag ist,
ja,
weil sie sozusagen die Parallelkomponente verstehen,
ist das hier einfach alles nur Skala und der Time
kürzt sich
genau weg
Heißt, hier würde die Lösung einfach heißen, Omega,
eh parallel, ist Omega-P-Quadrat, eh parallel, ja.
Und das ist eine sehr seltsame Beziehung. Das K ist verschwunden
, ja. Sie haben also eigentlich zwei Lösungen gefunden.
Eine Lösung ist eine Lösung, bei der die Schwingung komplett unabhängig ist,
von dem Wellenvektor. Aber nur mit einer Frequenz möglich ist,
nämlich dieser Zahl hier, sozusagen, die wir uns noch überlegen,
sozusagen die Einheit von dem hier,
muss ja die Einheit von Frequenz sein, weil hier steht Frequenzquadrat,
da muss auch das hier die Einheit Frequenzquadrat haben.
Das kann sich natürlich auch explizit nachprüfen,
wenn sie eh Okay, diese Lösung hier,
die wollen wir nicht betrachten, weil das ist was,
was offenbar sowieso nur bei einer Frequenz auftritt.
Wir wollen uns hauptsächlich jetzt mit diesen Lösungen hier beschäftigen.
Lösungen, die nach wie vor transversarpolarisierte Wellen sind.
Also nur Fall 1. Und in dem Fall 1 sehen Sie
das Ganze, die Max-Mergleichung ist erfüllt für den Fall,
das Omega-Qualdrat, gleich K-Quadrat, C-Qualdrat plus Omega-P-Quadrat ist.
Also sozusagen Omega, gleich plus-minus-wurzel, K-Quadrat,
C-Qualdrat plus Omega-P-Qualdrat
Und damit haben Sie die Max beigleichen gelöst. Also wenn ich jetzt Ihnen,
kann ich ja einfach allgemeine Lösungen hinschreiben, eh von,
sagen wir mal, R und T,
jetzt gehen Sie zurück in die Furiedarstellung, die sich hier überlegt haben,
die hoch 3K, E plus von K,
E hoch i, KR minus Amega von KT,
ja, das ist sozusagen die Lösungen der Anteil der Lösungen,
bei denen wir hier die Pluslösung nehmen, und D-hoch 3K,
E-Minus von K, Eho, I-K-R,
plus Ameda von K.
So weit kann ich wirklich nicht schreiben. So, okay
. Das ist die allgemeine Lösung und diese Therme hier,
die sind irgendwie bestimmt aus den Anfangsbedingungen.
Sie haben so eine Übungsaufgabe. Sie haben so eine Übungsaufgabe,
jetzt besprechen Sie heute, glaube ich, in der Übung nochmal.
Und Sie sehen, dass Sie,
wenn Sie sozusagen so einen Ansatz haben von der Lösung,
dass Sie die hier aus den aus der Lösung für Tegleichnull bestimmen.
Das heißt, wir haben das Problem gelöst, ja.
Wir betrachten ja immer diese Formeln, Transformationsfonds.
Ja. Und stehen die auch von eurer Lebens oder jeden
selbst? Die Poré kommen, genau, eigentlich,
hier steht die Transformation, so wie ich sie hier definiert habe,
ist die sozusagen für jede Komponente des Feldes einfach unabhängiger.
Also sie können hier die X-Komponente nehmen, richtig,
hier fehlen noch Vektorpfeile, sie nehmen die X-Komponente,
die Y-Komponente, die Z-Komponente,
also die X-Komponente der Furia-Transformation gibt ihnen die X-Komponente der realen Ja,
die X. Die X, die X, steht eh dann auf.
Ja, weil Ethilde sozusagen parallel ist zu eh.
Weil ich sozusagen bei der früheren Transformation das einfach für jede Komponente separat definiert habe.
Ich hätte jetzt eine ganz seltsame frühe Transformation definieren können,
die hier die Komponenten durchmischt, aber das werde ich sicherlich nicht tun.
Deshalb sind die X-Komponente von E im Realraum,
ist gegeben durch die X-Komponente von E im Kara
Also was sie jetzt sozusagen hier nochmal sehen an diesen zwei Pfunden,
ist, wie lösen sie die Wellen gleich?
Und wenn sie nochmal sozusagen nur zurückgehen wollen,
verstehen, wie lösen die Wellen gleich um Vakuum?
Ist genau dieselbe Rechnung. Der einzige Unterschied ist,
sie haben diese Gleichung hier nicht, ja.
Und wenn sie diese Gleichung hier nicht haben,
dann fehlt ihnen genau dieser Term, ja,
und dann steht hier, Omega ist K mal C.
Und das ist genau die lineare Dispressionsradation, die sie am Anfang hatten, ja.
Okay. Was wir jetzt sozusagen noch machen ist,
wir können uns überlegen, was ist die Konsequenz davon,
dass hier sie Wellen haben, bei denen die Wellen,
bei denen die Frequenz nicht mehr proportional ist, zum Wellenwecktor.
Zuerst zeichne ich ihnen mal dieser Funktion. Omega von K.
Sie das mal sehen hier. Also irgendwo haben sie diese,
wie haben sie K, sagen wenn sie gegen Null gehen, Luka gegen
Für K gegen Null steht hier einfach eine Zahl,
haben wir gesagt P. Und wenn sie K groß machen,
dann sind die, spielt dieser Term hier keine Rolle mehr.
Das heißt, dann steht hier einfach Woodslaws K,
Quadrat C Quadrat. Das heißt einfach KC. Das heißt,
sie wissen, wie sieht das aus für große,
zu sagen, hier, das ist KC dieser Linie.
Das heißt, die Funktion wird irgendwie so aussehen.
Die schmiegt sich hier einfach an. So, wir werden
es jetzt gleich überlegen, wie sehen Wie sehen Wellen aus,
die sich ausbreiten, wenn diese Relation hier herrscht?
In diese Relation gilt, vorher können wir noch sozusagen qualitativ
ein paar wichtige Dinge sehen. Erstens, Sie sehen,
es gibt, es gibt keine Wellen,
die eine Frequenz haben, die kleiner ist als diese Zahl.
Ja, es ist eine sehr bemerkenswerte Tatsache. Was bedeutet das
? Wenn Sie eine Box haben mit diesen beweglichen Ladungen und Sie strahlen von außen,
elektromagnetische Wellen ein, die eine gewisse Frequenz haben,
die hier kleiner ist als diese Zahl, ja,
als dieser Wert.
Was machen diese Wellen? Die können da nicht durch
Weil um da durchzugehen, müsste es in der Box
eine Lösung der Weltgleichung geben, mit dieser Frequenz.
Und die gibt es nicht. Alle Wellen, unabhängig von der Wellenlänge
, haben eine Frequenz, die größer ist als das.
Was machen also diese Wellen? Die werden einfach reflektiert.
Das können sie jetzt natürlich noch nicht sehen,
dass sie reflektiert werden. Die könnten genauso gut absolviert werden.
Aber sie werden in den nächsten Vorlesungen auch nochmal kennenlernen,
was passiert, wenn elektromagnetische Welle auf einer Grenzfläche trifft,
wo sozusagen diese Relation anders ist als im Vakuum.
Dann wird es teilweise reflektiert, teilweise absorbiert. In dem
Fall würden sie tatsächlich finden, dass es reflektiert wird.
Auf jeden Fall kann sie nicht durch
Und das ist genau der Grund, warum sie nicht durch
Metall durchschauen können. Ja, sie können sich überlegen,
was ist eigentlich dieser Wert hier, ja?
Omega-P-Quadrat ist N-0, e-Quadrat durch M, Äpsilon 0.
Genau. Wenn Sie hier Zahlen einsetzen,
und Sie nehmen eh gleich 1,6 mal 10 hoch,
minus 19 am Persekunden, also die Ladung eines Elektrons.
Sie nehmen M gleich neun mal,
I don't know what,
10 hoch,
minus 31 Kilogramm
Sie nehmen, ja, N-0 ist die Dichte.
Das wissen wir jetzt nicht, wie viel bewegliche Ladung
und haben sie eigentlich pro Volumen im Festkörper.
Es sind auf jeden Fall ziemlich viele, ja.
Ich weiß jetzt nicht genau, wie viele, vielleicht 10 hoch 28,
eins, das können Sie sich mal überlegen.
Auf jeden Fall ist was, was hier rauskommt,
ist eine Frequenz, die im Bereich ist vom 10 hoch 16,
ich denke mal, sowas müsste rauskommen.
Und das sind genau Frequenzen, die UV-Licht entsprechen, ja.
Also auf jeden Fall, so ein sichtbares Licht hat so
eine Frequenz von 10 hoch 15,
Sonst sagen Wellenlängen kennen, sie Wellenlängen im Bereich von einigen hundert Nanometern.
Und sagen wir, das ist genau ein bisschen trüber normalerweise.
Und das ist auch das, was sie sehen würden,
wenn sie ein Metall haben, können sie nicht durchschauen,
weil die Frequenz so niedrig ist.
Aber wenn sie ein bisschen höhere Frequenz hätten im UV nicht,
dann könnten sie plötzlich durch Metall durchschauen.
Das ist auch der Fall. Metalle werden transparent für Frequenzen,
die im UV-Bereich sind,
sozusagen aus dem Grund
Es gibt noch eine andere, nette Anwendung.
Das hatte ich so eine Art Déjà-vu-Erlebnis,
als ich hier diese Sachen für die Vorlesung zusammengesucht habe.
Ich natürlich bei Wikipedia ein bisschen gesucht,
da wird da noch ein anderer Effekt diskutiert. Nämlich die,
wissen Sie, die Reflexion von Radiowellen an der Junosphäre.
Hier ist, das ist die Erde, ich sag jetzt mal.
Das ist sozusagen die Erde hier. Und Sie wissen,
da ist die Luft, Atmosphäre und die obere Atmosphärenschicht ist ironisiert.
Wegen dieser kosmischen Strahlung. Das heißt,
eigentlich ist die Erde hier eingepackt in eine Box von Geladenen,
von beweglichen Ladungen.
Diese Dichte ist extrem gering
Ja, da oben sind ja kaum Moleküle und dementsprechend kaum geladene Moleküle.
Jetzt setzen Sie das ein. Die Frommel passt da übrigens
viel, viel besser als in den Metall.
Im Metall, da fangen Sie schon an zu denken,
ja, sind das überhaupt, ja,
soll nicht da überhaupt Newtons Gleichung verwenden und so weiter und so fort.
Hier, da machen Sie sich keine, das stimmt,
ist exakt, ja. Und diese Dichte ist so klein,
dass Sie sehen, dass die Frequenz im Megaherzbereich liegt.
Was bedeutet es? Radiowellen sozusagen, langweilige, haben eine Frequenz,
die kleiner ist. Und die kommen dann nicht durch.
Das heißt, wenn Sie hier Radiowellen abstrahlen, dann werden die einfach reflektiert.
Und das heißt, sie kommen mit ihrem Sender viel weiter,
als sie eigentlich vermuten würden, aus der Krümmung der Erde.
Wenn sie hier einfach Radiowellen abstrahlen, würden sie denken,
okay, der weiteste Punkt, den ich erreichen kann,
ist da irgendwo hier.
Stimmt nicht. Sie kommen viel weiter. Und das ist
relevant für Kurzwellen. Und wenn sie im UKW-Bereich senden würden,
dann ist das hier transparent. Abgesehen davon,
dass das wahrscheinlich sowieso viel besser absorbiert wird.
Vorher gehen die Ladungen einfach durch. Das heißt,
der Effekt ist weg
Und es ist ein ganz netter Effekt. Und das hätte ich
mich deshalb daran erinnert, weil mein Großvater des Amateurfunker,
der hat mir das schon als Kind erzählt,
dass Kurzwellen viel weitergehen als Langwellen.
Natürlich ohne auf den Effekt hier hinzuweisen.
Hätte ich wahrscheinlich auch nicht so gut heißen können,
aber da habe ich bei der Gelegenheit wie dran.
Okay, wichtig. Das ist sozusagen nur phänomenologisch. Was
bedeutet die Tatsache, dass wir hier diese Beziehung haben?
Jetzt wollen wir uns nochmal viel allgemeiner überlegen,
was bedeutet für Ausbreitung von Wellen,
wenn sozusagen diese Geschwindigkeit hier diese Frequenz nicht proportional ist zur Geschwindigkeit der oder nicht professionales zur Wellenlänge.
So, überlegen wir uns nochmal, was ist Wellen ausbreitet so.
Die Phasengeschwindigkeit. Phasengeschwindigkeit, also das betrachten Sie einfach mal,
eine Elementarwelle und eine Elementarwelle, sagen wir mal jetzt mal K in X-Richtung.
Sagen eine Elementarwelle hat genau die Form hier. Jetzt,
wo der einzige Unterschied so früher ist,
dass Omega von K eine komplizierte Beziehung ist und nicht CK
Aber es ist immer noch eine Welle. Das heißt,
die kann ich wunderbar noch zeichnen. Das ist jetzt mein E von,
einfach mal E von R hier, von E von X und Tee.
Und ich zeichne ihn jetzt mal in den Realteil von E
hier hin, als Funktion von X.
Dann haben sie bei T gleich Null, ist das so eine Cosinus-Funktion?
Ich sage T gleich Null, das ist ein Snapshot dieser Welle.
Wenn Sie jetzt sozusagen weitergehen, um eine Zeit,
die genau Ein Viertel dieser Periode entspricht, dann, was nennen sie?
Dann haben sie ja sowas hier, oder? Zu sagen,
das ist Tee gleich Teeviertel, wobei Tee genau diese Periode ist.
Omega von zwei Pedoch Omega. Weil wenn sie nämlich hier
Tee gleich zwei Pedoch Omega einsetzen,
dann steht hier genau ein Phasenfaktor von ein Viertel.
Das heißt, die Welle hat sich einfach verschoben.
Und wenn sie das für die nächsten Zeit machen, Ja.
Dann kriegen sie sowas hier. Sagen, das ist Tee
gleich Tee halbe. Und so weiter, nachdem ich hier
so viele schöne Farben habe, kann ich das wieder noch...
Das ist Tee gleich drei halbe Tee, ja?
Und was wir sehen ist, wie auch bei der Welle vorher,
diese maximal zum Beispiel oder minimal bewegen sich einfach mit einer Geschwindigkeit,
sie gegeben ist durch Ja, einfach die Wellenlänge durch die Periode.
Und die Wellenlänge ist 2P, nach wie vor, 2P durch K.
Und die Periode ist 2P durch Omega von K. Das heißt,
die Geschwindigkeit, mit der sich die hier bewegen,
ja, das DISA-Fest, drei Feste, zwei Mal.
Gut, ja, danke. Es ist dreiviertel. Und
es ist genau ein Viertel, zweiviertel, dreiviertel, genau.
Das heißt, nach wie vor gilt Omega von,
dass die Geschwindigkeit Omega von KRICK ist.
Das ist genau die gleiche Beziehung,
die ich am Anfang ihnen hingeschrieben hatte,
da sind wir schon zu weit hier, Omega nicht klar.
Da hat sich nichts verändert. Nach wie vor bewegen sich die,
bewegen sich sozusagen die Nullstellen und die maximal mit dieser Geschwindigkeit.
Jetzt schauen wir uns doch mal an,
wie diese Geschwindigkeit ist für diese Relation hier.
Das ist sozusagen, das nennen wir als,
das bezeichnen wir als Phasengeschwindigkeit,
V-Phase ist Omega von K durch K, ist sozusagen Wurzel aus C-Quadrat,
K, Quadrat plus Omega, P-Quadrat durch K.
Und das geht. Jetzt setzen Sie mal zwei Grenzfälle ein,
K gegen unendlich. Dann geht es gegen C, wunderbar.
Aber jetzt setzen Sie doch mal den Fall ein K gegen Null.
Dann kriegen Sie unendlich raus. Offenbar,
weil hier steht eine Konstante und Sie teilen durch Null
Das heisst, diese maximal diese Welle bewegen sich mit unendlicher Geschwindigkeit.
Sagen, die Welle hat in gewisser Weise unendliche Geschwindigkeit,
obwohl es eine Lichtwelle ist.
Haben wir was falsch gemacht? Ja. Haben wir jetzt
Ja, bitte? So, die Schließigkeit der Welt von
ist nicht seit der Gefängnisbestellung
Genau, das ist der Punkt. Wir haben hier einfach
Geschwindigkeit der Wellen, der Nullstellen und so weiter angeschaut.
Aber was hat es überhaupt? Ist das überhaupt die,
was, wir müssen, wenn wir uns mit beschäftigen,
mit Ausbreitung von reellen Objekten,
dann müssten wir eigentlich die Ausbreitung eines Wellenpakets uns überlegen.
Das meinen Sie, Sie bauen sich ein Wellenpaket zusammen,
das sind halt einen gewissen Energieinhalt und das schicken Sie durch den Raum.
Und das wandert, ja. Und wenn das schneller wäre als Lichtgeschwindigkeit,
dieses Paket, dann hätte ich Bedenken, ja.
Aber wenn diese Nullstellen, die haben überhaupt keine Bedeutung,
sonst wenn wir die sich bewegen, dann bewegen sie sich heimwillig Geschwindigkeit.
Ja, was bedeutet unendliche Geschwindigkeit? Das bedeutet,
sie haben eine praktisch eine stehende Welle mit langer Wellenlänge,
mit beliebig langer Wellenlänge. Ja,
sozusagen während einer Schwingung dieser Welle bewegt sich sozusagen,
wenn die fast eine stehende Welle ist,
bewegt sich die Front über die ganze Wellenlänge.
Ich meine, die Welle beliebig lang ist,
hat sich diese Front halt unendlich weit bewegt.
In einer Schwingung. Ja, aber sie haben da keine
Energie transportiert. Nichts. Sie müssen sich eigentlich immer überlegen,
wie schnell bewegt sich ein Wellenpaket.
Eine super Position
Und das können wir uns überlegen. Wir wissen ja sozusagen,
wie sehen Lösungen aus, allgemeine Lösungen, naja,
sowas hier, so eine allgemeine Lösung ist so eine super Position.
Schauen wir uns das mal an. Allgemeine Lösung,
jetzt schreibe ich ihn, ich schreibe jetzt mal nur hier
sozusagen einfach mal, wir betrachten den Realteil, DK.
Nehmen wir einfach mal wieder eine,
die in x Richtung sozusagen nur geht,
sozusagen die DKX
Ehe von KX, Ethilde von KX, Inhochi,
KXX-Ameda von K.T. Ist jetzt nur ein Beispiel sozusagen, ja.
Okay, wie sieht das bei T gleich 0 aus?
Das ist sozusagen E von X und T.
Wie sieht es bei T gleich 0 aus? Ja,
bei T gleich 0 setzen Sie einfach,
da spielte diese Frequenz hier oben überhaupt keine Rolle.
Das heißt, da steht einfach E von X,
sozusagen, nennen wir das jetzt mal E Initial,
ja,
Ist integral, Realteil, DK, dieses KX-Kommands schenken hier.
Ethilde von K. Okay, Vektorpfeile lasse ich jetzt auch mal weg.
Ich meine, sozusagen, die hat natürlich eine Richtung irgendwie, diese Welle, ja.
Aber uns geht es jetzt nur, die Richtung bleibt gleich,
ist einfach, wir dachten, eine Komponente sozusagen.
Ehoch, IKX. Okay, was hier steht,
ist die Furie transformierte dieser Funktion hier, ja,
und die Furie transformierte dieser Funktion hat natürlich irgendeine Struktur,
also können sich irgendeine Form,
Aber zu sagen, hier haben sie, sagen wir mal,
hätten hier haben sie Car, ja, und sie haben hier,
um zu sagen, das ist eh Tilde von Car.
Und das ist, muss ich sagen, ist irgendwie hier gepiept,
um einen Wert kann. Null rum. Und ja,
wenn sie das früher transformieren, dann kriegen sie dementsprechend hier irgendwas,
was, sagen wir mal, so aussieht, ja,
wo sozusagen hier dieser Abstand, dann ist es...
Also wenn das hier eine Delta-Punktion wäre,
ja, dann wäre das hier eine Welle mit Wellenlänge 2P
K0, wenn das hier ein bisschen breiter ist,
dann ist das so, sozusagen, das hatten wir häufiger,
wenn sozusagen die frühe transformierte hier so eine Breite hat von DK,
dann hat dieses,
dann hat die ursprüngliche Funktion sowas wie eine Breite von 1 durch DK,
das ist so, glaube ich, die Beziehung,
die wir für gaussche Wellen explizit kennengelernt hatten,
die aber sozusagen Handwaving, das ist dann als ein Gefühl für,
wie so eine Funktion ausschaut, immer gilt.
Ja, also das ist hier Wellenpaket,
das ist die früher transformierte und das,
so sieht es bei T gleich 0 aus,
was wir wissen wollen,
ist,
wie sieht es aus für größere Zeiten,
wie bewegt sich das
Am Anfang hatte ich Ihnen gesagt, ein Wellenpaket,
wenn Sie nur blind, wenn die Wellen im Vakuum hatten,
das verschiebt sich einfach mit der Welt,
mit der Geschwindigkeit C. Wie so eine Translationsbewegung.
Wie ist es, wenn wir hier dieses Omega von Kaham,
das ist natürlich sehr schwierig, sozusagen alle Teilwellen,
die hierzu beitragen, bewegen sich alle mit einer anderen Geschwindigkeit.
Das heißt, das hier wird seine Form ändern, auf jeden Fall.
Aber in erster Näherung können wir in erster Ernährung verschiebt sich.
Später, in weiterer Ernährung wird es auch seine Form ändern.
Und wie sich es verschiebt, das können wir hier relativ leicht extrahieren.
Wenn das hier So, sagen wir mal,
das hat eine breite DEK und jetzt schauen wir uns diese Dispensionsrelation an.
Wie sieht die aus in der Nähe von diesem Punkt K?
Wenn das hier schmal ist, können wir möglicherweise die hier einfach nähern.
Omega von K ist... Ungefähr, Omega 0,
also das ist Omega von K0, plus die erste Ableitung,
DEK an der Stelle K0, Mal ka-k.0, plus und so weiter.
Ja, nehmen wir einfach mal die Nährung hier. Und zu sagen,
hier, oder wenn Sie da zurückgehen, hier,
glaube ich, sagen, hier sind wir bei K0,
dann nähern wir das einfach hier mal so an, durch diese Gerade.
Und wenn hier ihr Wellenpaket sitzt, dann spürt es im
Wesentlichen hier, ich kann sie das gut annähern.
Okay. Was hat das hier für eine Einheit?
Omega über K hat immer die Einheiten in der Geschwindigkeit.
Ja, genau wie, wie gesagt,
Omega über K hat die Einheit der Welt der Phasengeschwindigkeit
Die Omega-nacht-DK hat auch die Einheiten der Geschwindigkeit,
in dem Fall nennen wir die, nenne ich die mal, VG.
Und jetzt können sie das einfach hier oben einsetzen.
Jetzt setzen wir hier das ein, dann kriegen sie,
ich von XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX, jetzt sind wir nicht mehr bei T gleich 0,
DK, E-Thilde von K, E hoch
I-K-X- Omega, 0T, minus VG, K,
minus K0, T, ja, plus die Thermen, die wir hier weggelassen haben.
And that's it. Jetzt stehen sie, stehen hier,
Therme drin, die überhaupt nicht von der Integrationsvariabel abhängen,
die ziehe ich jetzt einfach mal alle nach draußen,
eh hoch, eh, mhm, VG K0,
minus Omega-0-Tee.
Ja, das ist eigentlich nur ein Phasenfaktor, der hier draußen steht.
Das ist der Tam, der Tam. Und die anderen,
die lasse ich drin, im Integral. Alles,
was von K abhängt, das ist der KX-Tam und der
KVG-Täter.
So. Was ist das
Also das Gleiche wie das hier, ich habe
nur das X gesetzt, ja. Sagen eigentlich,
ich müsste mal hier jetzt sagen, zurückgehen eigentlich ein bisschen.
In dem EI nehme ich hier den Realteil raus,
dann wird es besser, wenn ich das mache. Ja,
das hier, das ist nichts anderes als dieselbe Funktion,
die wir vorher hatten, nämlich die Fugel transformierte von EK,
aber bei einem Zeitargument X, oder ein Arztargument X-VGT.
Und wenn Sie sich das aufzeichnen, dann sehen Sie,
und zu sagen, zur Zeit null, hatten wir gesagt,
haben wir das hier, ja, Tee gleich null.
Und das ist sozusagen E-I von X, T gleich null,
eine E von XT gleich null ist E-I von X.
Und wenn Sie wissen wollen, was ist E von XT größer null,
dann ist das das Gleiche wie E-I von X-minus VT.
Und das ist einfach die verschobene Funktion.
Um VGT verschoben
Also im Gegensatz zu vorher, Sie sehen,
es ist im Prinzip wieder sehr ähnlich,
die Welle verschiebt sich einfach,
aber im Gegensatz zu vorher ist diese Geschwindigkeiten,
in der er sich verschiebt, das VG.
Und das VG ist nicht das C,
des VG ist die Ableitung von Omega 8K. Ja,
das ist der wesentliche Punkt.
Translation mit VG, gleich D-Omega nach DK.
Okay, jetzt setzen Sie das ein für unsere Dispersion,
unser Beispiel
Dann kriegen Sie hier, vielleichten Sie das mal nach Omega ab,
zwei Wurzeln, C-Quadrat, K-Quadrat, plus Omega-P-Quadrat, C-Quadrat,
2K. Und sagen, das ist einfach eins durch Omega,
da steht dann einfach C-Quadrat.
Mal K durch Omega. Okay, wenn Sie wollen.
Können Sie so schreiben wollen. Jetzt sehen Sie schon,
wenn Sie jetzt sozusagen hier mal wieder die gleichen zwei Grenzfälle einsetzen,
die wir hatten, K gegen 0, dann geht jetzt VG gegen null.
Und es ist schon wesentlich sinnvoller. Als VG,
als eine Ausbreitungsgeschwindigkeit gegen unendlich, wenn wenn sie K gegen unendlich gehen lassen,
dann geht natürlich VG gegen C, ist klar,
weil dann hält sich die Welle wie eine Ebene Welle.
Das heißt, obwohl sich die Phasengeschwindigkeit unendlich ausbreitet,
die Wellenpakete selbst verschieben sich mit einer Geschwindigkeit,
die nur durch diese Gruppen, sogenannte Gruppengeschwindigkeit geben,
ist, die der Steigung der Dispression entspricht.
Wo waren hier unsere Wo war es? Ah, habe
ich nicht gespeichert. Ich bin drüber gespeichert, ja.
Die hatte ich vergessen, rüber zu spiegeln, ja.
Also die Geschwindigkeit ist nicht gegeben durch Omegadichka, sondern durch die Steigung.
Und die Steigung wird hier flach. Das heißt,
hier würde sich die Welle nicht ausbreiten oder nur das Wellenpaket muss er langsam ausbreiten.
Und dementsprechend wird auch Energie nur transportiert mit der Geschwindigkeit,
die dieser Gruppengeschwindigkeit entspricht, ja. Also es gilt nicht,
wenn sie zurückgehen, es gilt nicht, Energieausbreitungsgeschwindigkeit,
der Energiestrom ist nicht, Energiedichte, mal Phasengeschwindigkeit,
sondern höchstens Energiedichte, mal Gruppengeschwindigkeit, wobei noch natürlich dazu kommt,
ein weiterer Effekt, dass diese Wellen hier,
und das möchte ich nur sagen, skizzieren,
was ist der nächste Effekt?
Wir haben hier die Dispression linearisiert.
Wir haben hier unten, wo waren wir hier
Wir haben hier die Dispersion linearisiert. Wenn wir zur nächsten Ordnung gehen wollen,
würden wir sehen, dass sich die Wellen,
die zu diesem Wellenpaket beitragen, alle mit unterschiedlicher Geschwindigkeit beitragen.
Und das heißt, das Wellenpaket verändert seine Form.
Und läuft sozusagen auseinander. Das ist aber ein Effekt,
den ich jetzt sozusagen nicht mehr,
zumindest heute nicht mehr explizit zeigen möchte.
Okay, ich glaube, das war es für heute.
Vielen Dank