Hey, gut, euer Reiz. Wir sollten loslegen. Okay,
kleine Wiederholung von dem, was wir das letzte Mal gemacht haben.
Wir sind natürlich mitten beim irgendwie Halter sein wenig.
Geht so? Okay. Irgendwie waren wir ja beim Elektromanetismus.
Wir haben ein paar nette Gleichungen abgeleitet. Die Max-Well-Gleichung,
die ich ihnen jetzt noch mal kurz anschreiben möchte.
Und wir haben dann angefangen, über Wellen zu reden beim
letzten Mal. Und was war die Idee?
Also, wir haben fundamentale Gleichungen in der Natur.
Die Max-Well-Gleichung
Nebenbei bemerkt, diese beiden Herren waren es, glaube ich,
kommen mal kurz in der Pause zu mir.
Ja, wir haben irgendwie kleine organisatorische Sache. Okay,
Max will Gleichung. Und wir haben uns darauf beschränkt,
Max Vergleichung im Vakuum zu besprechen. Und im Vakuum,
damit meine ich jetzt, dass wir freie elektromagnetische Wellen haben.
Also Wellen, die nicht von Materialien gestört werden,
aber auch in einem Raumbereich,
in dem es keine elektrischen Ladungen gibt und auch keine Ströme gibt.
Ja, keine freien Ströme. Okay,
in diesem Vakuum sehen die Max-Wellgleichung dann relativ einfach aus
Wir haben als erste gleiche, ich nenne sie jetzt normalerweise
immer A, dass Nabla eh gleich null ist.
Mit anderen Worten, in diesem Vakuum haben wir keine elektrischen Ladungen.
Das ist gleichbedeutend hiermit. Normalerweise steht da ja Ladungsdichte
durch Äpstler 0. Dann haben wir ganz ähnlich die Gleichung,
die ich aus irgendwelchen Gründen C nenne,
nämlich dort sollen auch keine magnetischen Ladungen sein.
Sie wissen, magnetische Ladungen gibt es überhaupt nicht.
Diese Gleichung gilt also immer. Dann haben wir weiter,
dass wir Nach dem Induktionsgesetz eine Rotation eines Seefeldes erzeugen kann,
wenn sich ein Magnetfeld zeitlich ändert.
Und als letzte Gleichung haben wir den Verschiebungsstrom kennengelernt,
der jetzt also so aussehen würde,
dass auch wirbelförmige Magnetfelder dadurch entstehen können,
dass sich hier elektrische Felder ändern.
DTE. Okay, Sie sehen, was sich örtlich ändert
an dieser Gleichung und was sich zeitlich ändert.
Also wie schnell sich etwas ändert, das beeinflusst andere Dinge.
Das ist so wie im normalen Leben auch
Okay, dann hatte ich ihn daraus abgeleitet, das geht eigentlich sehr,
sehr schnell und einfach, die Wellengleichung. Für das elektrische Feld,
wir haben einfach nur diese Max-Vergleichung genommen,
sonst gar nichts und sind sofort darauf gekommen, dass,
wenn sich das elektrische Feld zeitlich ändern soll,
und zwar wirklich schnell ändern soll,
also nicht nur die Ableitung von ESA an die zweite Ableitung von E muss auch noch da sein,
also beschleunigt ändert, dann bedeutet das auch,
dass sich räumlich das elektrische Feld beschleunigt ändert.
Also nicht nur in der Zeit, sondern auch bezüglich der Ortskaordinaten
eine schnelle Änderung und das sollte null sein für Wellen im Vakuum.
Okay, das ist die Voraussetzung von allem,
was wir in der Optik kennen.
Es gibt eine ganz ähnliche Gleichung auch noch für das Magnetfeld,
die ich hier nicht explizit abgeleitet habe,
beim letzten Mal auch noch gar nicht angesprochen habe, glaube ich.
Da steht haargenau das Gleiche, minus C-Quadrat,
Nablerquadrat,
B gleich null
Beides folgt aus den Obing Gleichung. Sie können an der Symmetrie
der obigen Gleichung vielleicht auch erkennen, dass das so sein muss.
Schließlich gibt es in diesen Gleichungen eine völlige Symmetrie zwischen Efeld und B-Feld.
Das einzige, was da ein bisschen stört,
sind vielleicht irgendwelche Vorzeichen und irgendwelche sogenannten Naturkonstanten. Ja,
vielleicht dieses Volkzeichen und diese Naturkonstanten hier,
aber aus den Gleichungen kommt gerade heraus,
dass diese Gleichung völlig die gleiche Struktur hat und hier auch die gleiche Konstante C steht,
die da steht.
Was ist die Interpretation davon? Nun,
ich hatte beim letzten Mal angefangen, ihn zu zeigen,
dass so etwas mit Wellen zu tun hat.
Das werden wir heute explizit machen müssen.
Aber das erste, was wir mal machen wollen,
ist,
wir wollen das nachvollziehen
Was man damals noch nicht konnte, als diese Gleichung abgeleitet worden sind.
Nämlich diese Konstante C zu bestimmen. Die ergibt sich ja nach diesen Formeln,
hatte ich ihn beim letzten Mal schon angeschrieben,
durch eins, durch Wurzel aus Äpsel 0 Mynol.
Und das wollen wir mal expointell nachmessen, ob das stimmt.
Wo wir merken, hier passiert ein fundamentaler Schritt.
Das ist nicht trivial, das ist einfach mal eben so nachzumessen.
Warum ist das fundamental? Nun, wo kam dieses Äpsel
0 her
Aus dem Kuhlamtgesetz. Wie wirken elektrische Ladungen auf andere elektrische Ladungen
? Das hat nichts mit Licht zu tun. Nichts mit
einer elektromagnetischen Welle. Das ist einfach nur das Kuhlamtgesetz.
Daher kam das Äpstel 0. Die Proportionalitätskanstantin zwischen Kraft und Ladung.
Und das Mühnol war quasi das Pendant auf der magnetischen Seite.
Wenn Sie einen kleinen Magneten haben, Elektromaneten oder sonst irgendetwas
, wie groß sind dann die Lorenzkräfte?
Die Kreisbahn von Geladenen Teilchen im Magnetfilm machen. Da kommen
diese beiden Konstanten her. Dass das jetzt gleichzeitig die Geschwindigkeit ist,
mit der sich irgendwas in der Welt ausbreitet,
ist Apriori nicht so ganz klar.
Das wollen wir
mal eben nachmessen
Mal schauen, ob ich das hinkriege. Also,
was haben wir hier für einen Aufbau? Ich hoffe,
Sie können das so einigermaßen erkennen. Wir haben hier einen
kleinen Leser. De facto ist das ein Tick raffinierter,
denn dieser Laser besteht aus einer kleinen Spiegelanordnung.
Zusätzlich, also hier habe ich meinen Leser. Das ist einfach
ein ganz normales Elektrisches. Also nicht auf gut Deutsch,
ja, im rötlichen Bereich sage ich Ihnen auch gleich.
Und das geht hier auf einen halbdurchlässigen Spiegel.
Und wenn das jetzt hier drauf trifft, wird ein Teil
hier oben hin reflektiert.
Und hier oben haben wir
ein Katzenauge hingelegt
Ja, Katzenaugen kennen sie vom Fahrrad. Damit kann man einfach
eine schöne Reflexion machen. Und sie können das hier sehen,
das hier ist so ein Katzenauge. Ich hoffe,
sie sehen das in der Kamera da so ein bisschen ewig glänzen, ja.
Einfach ein ganz normaler Reflektor. Und den lege ich hier obendrauf. Und dann sieht man,
wenn man jetzt mal rüberschaltet auf das Messinstrument, dass je nachdem,
ob ich das Bies da drauflege oder nicht, mir dann eine Reflexion bekommen.
Und was sie dort messen oder was sie dort sehen,
das ist de facto, dass das Licht,
wenn es dann wieder reflektiert wird,
durch diesen halbdurchlässigen Spiegel trifft und hier unten auf ein Auge.
Naja, also kein Auge,
sondern irgendwie ein elektronisches Messinstrument
Dem wir einfach die Lichtstärke messen. Und das Wichtige ist jetzt,
dass dieser Laser gepulst ist, ja, dieser Laserstrahl,
das heißt, er kommt zu einer bestimmten Zeit an, klar, klack.
Und wir sehen dann, wann es hier unten aufkommt und
die Position dieses Peaks hier auf dieser Zeitachse, das ist genau das.
Ja, hier messen wir also schlichtweg die Zeit. Okay,
dann ist dieser Spiegel halbdurchlässig,
sodass wir jetzt hingehen können und auch den anderen Strahl,
der dann hier herläuft, uns anschauen können.
Und hier haben wir ein weiteres Katzenauge und wir wollen natürlich nachher
die Zeit messen, die das Licht braucht auf dieser Strecke.
Ihr misst meine Geschwindigkeit,
also klar
3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10, 11. Ah, okay.
Dazu sage ich gleich noch was. Und hier haben wir
wieder ein Katzenauge. Da steht jetzt gerade quer.
Ich schalte das jetzt mal hier in diese Richtung.
Also ich drehe das jetzt mal so,
dass es den Laserstrahl wirklich dann vernünftig reflektieren kann.
Und tatsächlich sieht man ihn ein Hochkommen. Okay. Naja,
um ihn zu zeigen, dass er jetzt nicht gebastelt haben.
Herr Eggersdorf steht da so ganz ruhig in der Tür,
da hat er recht. Aber wenn ich jetzt hier nach vorne komme,
dann sehen wir auch, dass dieser Peak wandert.
Und dass er dann tatsächlich nähergerutscht ist.
Ja, also wir machen hier schon eine echte Zeitmessung
Okay, von hier aus geht das Licht dann.
Also die unterschiedliche Signalhöhe, die Sie jetzt hier sehen,
ist jetzt nicht das Wesentliche, sondern die Zeitposition.
Die Signalhöhe kommt schlichtweg darauf, dass sich der Strahl von da hinten,
obwohl wir da so eine Linse haben,
schon ein bisschen aufgeweitet hat und hier das ganze Katzenauge nicht ausfüllt.
Die Reflexion natürlich auch nicht perfekt ist. Aber wenn ich
hier dazwischen gehe, dann sehen Sie mit der Hand,
dass das Signal dann nicht verschwindet und uns interessiert jetzt die Geschwindigkeit,
also die Signalposition in der Zeit, wann das zurückkommt.
Okay, Elfmeter, ein 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
9,
10,
22 Meter, oh Wunder, und sie sehen die Zeitposition.
Jetzt warm, ups, da war ich dazwischen.
Jetzt machen wir die Teilposition auch eben genau ausmessen.
Wir haben hier dafür so eine Cursor-Geschichte. Sehen Sie da vorne wahrscheinlich,
dass ich die so hin und her fahren kann.
Wir nehmen mal hier den Peak. Und wir nehmen bei
dem anderen auch die Peak-Position. Mal schauen, was wir
jetzt gerade mal als Differenz haben. Das ist in 74,
Nanosekunden, die Zeitdifferenz, das ist diese dritte Kolonne da von oben.
74, Nanosekunden einfach in der Zeit. Das heißt,
wir haben hier ein Gerät, das Zeiten messen kann im Nanosekunden-Bereich,
also 10, minus 9 Sekunden.
Okay, wollen wir das mal ausrechnen, wie groß die Lichtgeschwindigkeit dann ist?
Das ist eine meiner Lieblingsaufgaben, ja. Also,
wir haben 22 Meter, dividiert durch 74 Nano-Sekunden hatten wir jetzt, glaube ich.
Und das Ergebnis ist 2, 9, 9, 7,
9, 2, 4, 5, 8 Meter pro Sekunde.
Okay, das ist das, was herauskommt experimentell,
wenn man das so ein Tick genauer macht, vielleicht,
als ich das jetzt hier gemacht habe, ja.
Okay, wir können das ja mal selber nachrechnen, ob das jetzt hinkommt.
Ja, also Messfehler haben ja, das ist klar.
Es geht aber, die Pre-Position kann man nicht so wahnsinnig
genau ja ablesen. Typischer Messfehler halt. Sie haben ja
auch schon mal Praktikum gemacht, oder?
Haben Sie
alle Praktikum gemacht
Nein? Okay, Messfehler gibt es.
Fein. Das ist also die Lichtgeschwindigkeit. C,
die wir jetzt hier gemessen haben. Und was ist,
wenn wir das jetzt einmal vergleichen, mit der Zahl,
die hier steht, dann ist das tatsächlich das Gleiche.
Das ist eine fundamentale Erkenntnis, dass wir übers Kolumb-Gesetz und über
die magnetische Feldstärke und Kraft auf elektrische Ladung die Lichtgeschwindigkeit ausrechnen können.
Das war auch historisch ein absoluter Durchbruch.
Jetzt hat das Ganze natürlich seine Haken und Ösen
Die erste Frage dahinter ist, ist die Lichtgeschwindigkeit eine Naturkonstante?
Und vielleicht erinnern Sie sich noch, auf welche seltsame Art
und Weise Äpfel 0 und My0 eingeführt worden sind.
Äpfel 0 und Mynol sind so eingeführt worden, dass man gesagt hat,
Mynol ergibt sich dadurch, dass sich die Kraft messe,
in einem Abstand, also irgendwie waren das zwei Leiter,
ich glaube, so haben sie es wahrscheinlich gesagt bekommen,
die Kraft zwischen zwei Leitern,
durch die ein Strom von einem Per fließt.
Irgendwie so etwas. Und das ist auch da auf einen Meter
bezogen oder so etwas. Okay. Und wie ist Appsor 0
eingeführt worden? Appsor 0 ist eingeführt worden als Diese Formel.
Schauen Sie doch mal nach in Ihrer Definition.
So müsste es da drin stehen. Mit anderen Worten,
man hat zu dem Zeitpunkt, also mit der heutigen Definition
von Epsel Nolo und Mynol, hat man bereits die Lichtgeschwindigkeit benutzt.
Warum macht man das? Nun, weil man inzwischen akzeptiert hat,
dass Relativitätstheorie universell ist, dass die Lichtgeschwindigkeit,
die ich hier produziere, genau die gleiche ist,
die ich in Amerika auf dem Mond oder sonst wo produzieren werde.
Das heißt also, das ist eine optimale Größe,
um Dinge ineinander umzurechnen, dieses C. Das ist die
eine Antwort
Die zweite Antwort und auch, deswegen bin ich der Meinung,
dass C eigentlich keine Naturkonstante ist.
Das ist, nun, wenn Sie sich anschauen,
wie das hier definiert ist, was hier steht,
dann steht hier hinten eine Zahl in Meter pro Sekunde.
Sekunde ist definiert durch irgendwie so und so viel,
keine Ahnung, in so eine komische Atomuhr,
wie viele Schwingungen macht die pro Sekunde?
Okay, wie ist das Meter definiert? Das Meter ist
definiert, als die Länge, die Licht braucht,
als die Länge,
Es ist definiert als eine Lichtsekunde. Also über
die Distanz, die Licht in einer Sekunde zurückliegt.
Das soll nämlich ganz genau 2.9,9,9,2,4,5,8 Meter sein.
Und zwar exakt. Das hat man exakt so definiert.
Da ist keine Kommastelle, keine Variation, kein gar nichts dahinter.
Das heißt also, letzten Endes ist diese Zahl,
die sie jetzt vielleicht als Naturkonstante auffassen würden, völlig willkürlich.
Hätte irgendjemand in Paris oder wo das dann auch immer war,
vielleicht auch England, ich weiß es nicht,
größere Füße gehabt, dann hätte er das Feed anders definiert.
Wenn sie das in Feed angeben wollen, also Feed pro Sekunde,
dann würden sie sagen, es ist ja eine andere Zahl.
Also wie kann der eine Zahl,
die sich in jedem Einheitenssystem ändert, in Meter pro Sekunde,
in Feed pro Sekunde oder so was,
wie kann das eine Naturkonstante sein?
Das kann keine Naturkonstante sein. Das ist Unsinn,
dass das eine Naturkonstant ist. Wir haben letzten Endes
das Einheitensystem zu irgendeinem Zeitpunkt einmal so schlecht festgelegt,
wie man das nur kann.
Nämlich über diese komische Zahl da oben. Die ist tatsächlich
relativ nah an dem Urmeter, was da jetzt herauskommt.
Aber das ist natürlich eine völlig willkürliche Geschichte.
Wenn Sie dich dafür interessieren,
was ist wirklich für Naturkonstanten gibt
Dann sollten sie das als allererste Mal herausschmeißen aus ihrer Liste.
Und ich empfehle dann einfach mal Wikipedia, die englische Version,
über etwas zu lesen, über das Planke.
Max Planck dahinter, Einheitensystem. Ja,
es lohnt sich, das mal zu lesen. Demnach ist
weder C noch das Planckische Wirkungsquantum Haarquer, eine Naturkonstante.
Sie ist einfach festgelegt, zufällig durch unser Einheitensystem.
Es ist keine fundamentale konstante der Natur. Okay. Aber
die tatsächliche Begrüßung von C verändert sich ja nicht,
egal in welchem Einheit ist der Byon.
Genau. Ja, ja, das ist schon fein.
Aber als Zahlenwert, es ist kein Naturkonstant,
es ist einfach das Verhältnis von...
Also, in einem guten Einheitensystem ist die Lichtgeschwindigkeit eins.
Eins. Ja? Nämlich eine Lichtsekunde pro Sekunde.
Okay, das gibt eins. Deswegen ist das eine gute
Definition davon. Also, sie sollten ab sofort,
was immer sie auch messen, ist immer nur in Lichtsekunden messen,
das ist eigentlich vernünftig
Praktisch kann er Schwierigkeiten haben, wenn sie ihre Körpergröße,
Lichtsekunden angeben, wird das nicht jeden erfreuen,
aber eigentlich ist das die richtige Methode.
Die Lichtgeschwindigkeit ist ja nur ein Zeichen dafür,
diese Universalität der Lichtgeschwindigkeit, das ist die Wirklichkeit,
einen universellen Zusammenhang zwischen den drei Raumdimensionen gibt und der Zeit.
Das steckt ganz tief in der speziellen Relativitätstheorie drin.
In unserem Verständnis von Raum und Zeit.
Und deswegen sage ich, das ist keine Naturkonstante. Okay,
wie immer kann ich an dieser Stelle nur auf die Physik
5-Vorlesung verweisen, wo sie das dann im Detail auseinandergedröselt bekommen
Okay, soweit so schön, das haben wir letzte Vorlesung schon fast gemacht.
Es gibt jetzt noch einen ganz wichtigen Aspekt dahinter und der hat Preisfrage,
etwas mit dem Cosinus von 22,5 Grad zu tun.
Okay, das wären wir am Ende der Vorlesung besprechen.
Sie können das ja schon mal numerisch ausrechnen,
was da herauskommt, aber vielleicht haben Sie auch eine Idee,
was die Messung von der Lichtgeschwindigkeit zwischen jetzt und am Ende dieser Vorlesung
mit 22,5 Grad und dem Cosinus davon zusammen zu tun hat.
Ich hoffe, ich denke da auch am Ende dran,
dass wir da auch wieder zurückkommen
Gut, soweit, die kleine Wiederholung. Wir haben dann angefangen mit Wellen
. Ich habe hier so ein bisschen was schwingen lassen.
Ich könnte auch jetzt noch mal was schwingen lassen.
Hier haben wir so eine kleine, über das anders geartete
Wellenmaschine, das sind einfach Metallstäbe.
Ach so, das sieht man jetzt natürlich nicht so gut.
Das war sie nicht. Das ist sie. Okay,
also wir haben hier so eine kleine Wellenmaschine.
Sie sehen die hier von oben, das sind so Metallstäbe
Man kann das ganz gut erkennen.
Ich zeige das jetzt mal so ein bisschen von unten,
weil man es dann auch besser sieht, finde ich.
Okay, und die kann ich jetzt hier schwingen lassen.
Die sind oben hier miteinander verbunden, aber sehr locker,
sodass ich da mal einen Wellenpuls da durchgeben kann.
Und sie können, glaube ich, sehen, wie der
ja hin und her läuft. Er wird da hinten reflektiert,
weil hier hinten so eine Nadel ist,
mit der das, oder so eine kleine Büroklammer ist,
mit der man das festgemacht hat.
Okay. Ist kein Musikinstrument
Sondern eine Wellmaschine. Okay, jetzt würden Sie sagen,
Sie sehen da ganz klar Wellenpulse laufen und dann werden
die hinten reflektiert und kommen wieder zurück.
Genauso wie eine Seilwelle oder wie eine Wasserwelle an der Wand reflektiert werden würde.
Ich weiß nicht, wann Sie das letzte Mal im Schwimmbad waren.
Es gibt ja Wellenbäder, probieren Sie es mal auf.
Badewanne ist auch ein toller Tipp. Quietsche Ente rausholen und
mal in der Wanne ein bisschen stehende Wellen machen.
Denn das wollen wir jetzt machen, stehende Wellen. Okay,
also ich schräge mal hier vor einigermaßen Sinus für mich an
und Sie sehen, das bereitet sich jetzt irgendwie aus.
Dann kommt aber die reflektierte Welle dazu und plötzlich hat man den Ausdruck,
den Eindruck, die Welle breitet sich ja gerne aus.
Die schwingt an einigen Stellen und an anderen steht sie scheinbar.
Sehen Sie das
Also hier haben wir jetzt so eine Stelle,
wo sie irgendwie, naja, ich mache es mal nochmal.
Ich muss die richtige Frequenz treffen und dann geht das,
ja. Dann haben sie an einigen Stellen Bewegung,
an anderen haben sie fast keine Bewegung, da vielleicht so in etwa.
Und das sollen sie natürlich dann mal in den Übungen ein bisschen nachvollziehen,
wie man so Wellen überlagert und solche Geschichten.
Wir nähern uns da schon fast der Optik,
zumindest der Optik von, naja, Well. Okay,
gut, schauen wir mal an,
was wir jetzt vorhin beim letzten Mal über Wellen gemacht haben
und ich gehe jetzt wieder in den Anhang zurück und ich hatte ihn das so definiert,
dass ich gesagt habe, Wellen?
Damit transportieren wir Energie und Impuls. Da sind wir aber
noch nicht hingekommen, dass wir das tatsächlich gezeigt haben.
Wir wollen da jetzt mal langsam rangehen. Ich hatte ihn nach meinem letzten Mal auch gezeigt,
dass das Besondere an Wellen ist,
dass ich eine Welle beschreiben kann in Ort und Zeit,
über eine Funktion, die Ort und Zeit in ganz bestimmter Linearkombination beinhaltet,
nämlich in der Form irgendeiner Amplitude und dann Cosinus,
Omega mal Tee,
minus K,
X, soll ganz normal die Ortskoordinate sein,
T ist ganz normal die Zeit und Omega und Tee sind Konstanten, die die Belle charakterisieren.
Gibt es erstmal nur. Wir werden später dann das als,
oder Sie kennen das vielleicht von der Schwingung her,
halten Sie mal das Kammerlix zu auf Ihrem Zettel,
dann steht da Cousin ist Omega-T,
das ist also ganz normal die Kreisfrequenz von der Schwingung.
Und K ist offenbar gerade das Pendant zu Omega bezüglich der Zeit,
nicht bezüglich der Zeit, sondern bezüglich der Ortskoordinate.
Also einfach das Äquivalente dazu. Okay,
sowas wollen wir eine harmonische Welle nennen und die meiste Diskussion,
die wir machen werden, bezieht sich auf so eine harmonische Welle.
Sie kennen das von der harmonischen Schwingung
Okay, jetzt kann man das natürlich auch noch malen.
Naja, das haben wir letztes Mal schon gemacht.
Das sei ebizüdlich X. Und das sei die gleiche Welle bezüglich.
Tee. Und wir nennen dann diese zeitlichen Abstände von hier,
bei der und den räumlichen Abstand von da bis da, nennen wir Lamda.
Lamda wird also die Dimension Meter haben, das ist die Wellenlänge.
Und wir haben hier den zeitlichen Abstand Groß Tee,
die Periode der Schwingung, das ist genau das,
was die Periode der Welle, das ist genau das,
was sie auch von der Periode einer Schwingung her kennen.
Das obere Bild ist bei einer konstanten Zeit aufgenommen,
was auch immer diese Zeit jetzt ist, in ein Zeit-Null-Punkt von mir aus.
Und das hier ist bei einem konstanten Ort X aufgenommen.
Ja? Okay, das sind so die grundlegenden Größen erstmal,
die wir haben. Jetzt ist es ja so,
dass ich hier die Auslenkung schon in eine bestimmte Richtung mache.
Ja, in diesem Fall wäre das hier nach oben.
Die Welle breitet sich in diese Richtung aus. De facto
habe ich hier also auch Ortskoordinaten zu bezeichnen. Und diese Ortskoordinate,
wenn man die jetzt Y nennen würde oder allgemein vielleicht mal
als Richtung der Amplitude, in der das hier ausgelenkt wird,
dann würde man das jetzt also auch vektoriell schreiben können
Und dafür hinschreiben, das F Vector von R Vector,
der Zeit, also nochmal,
was soll das jetzt heißen, ist R-Lector,
ist ganz normal die Raumkoordinator,
die ich jetzt gerade betrachte und an der ich die Welle analysieren will,
dieses F Vector ist die Richtung der Amplitude.
Denkt in eine Wasserwelle, da ist die Richtung der Amplitude
normalerweise senkrecht nach oben oder unten. Denken Sie eine Seilwelle,
die ich ihm beim letzten Mal gezeigt habe,
die kann ich auch so anregen und dann haben Sie
eine Auslenkung in diese Richtung,
dann zeigt halt F in diese oder in diese Richtung
Also wir haben zwei Vektoren, die wir miteinander immer verheiraten müssen.
Und eine Frage ist ja natürlich, in welcher Beziehung stehen die eigentlich zueinander?
Und dann kann ich auch dafür hinschreiben, dass das irgendwie
eine Amplitude im Ursprung des Koordinatensystems sein soll, F-0 Vektor.
Und dann würde hierhin kommen Cousinus von Omega-T-K mal R Vektor,
will ich dahin schreiben. Omega-Malté ist aber nur eine Skala,
eine Zahl, also muss auch K hier ein Vektor werden,
damit das insgesamt ein Skalarprodukt ist. Und wenn ich möchte,
dann kann ich hier auch noch gleich irgendwie so eine Anfangsphase dazu malen.
Also wenn ich nicht annehmen möchte,
Dass die Phase der Welle gerade null ist zum Zeitpunkt T
gleich null am Ort R gleich null,
dann führe ich noch so eine Anfangsphasenbedienung rein,
so wie die das von der Schwingung ja auch kennen.
Okay? So, was ist dann diese Größe hier?
Diese Größe hat offenbar etwas mit der räumlichen Ausdehnung der Welle
zu tun. Da steht ja schließlich eher dran,
diese Größe nennen wir den Wellen-Vektor.
Und das wird die Ausbreitungsrichtung der Welle angeben.
Ja? Okay,
das zunächst mal dazu
Gut, jetzt ist die Frage, die hängt jetzt
Omega T und K mit diesem Lambla und Groß.de zusammen.
Und das ist relativ einfach. Ich weiß ja,
dass die Welle hier nach einer vollen Periode Tee in diesem
unteren Diagramm wieder die gleiche Phasenlage hat.
Das heißt also, ich muss äquivalent auch schreiben können,
diese Welle als F-0 Cosinus. Und dann sollte hier so etwas
wie Tee stehen, in Vielfachen der ganzen Periode Großtee.
Also an dieser Stelle wäre das dann gerade die Zahl 1.
An dieser Stelle hier die Zahl 2. Und dann sehen Sie,
dass das periodisch sein muss. Und das muss natürlich
2P Vielfache sein, weil der Cosinus sich alle 2P wiederholt.
Also so muss ich das auf jeden Fall schreiben dürfen.
Und auf dieser Seite hier müsste ich eigentlich ausschreiben können,
so etwas Ähnliches, nämlich bezüglich, naja,
also wenn Ka, die Ausbreitungsrichtung der Welle ist,
dann würde ich jetzt hier gerne für hinschreiben,
auch so etwas Vielfaches davon, aber in Lamda.
Und da nehme ich R in Richtung von K in Richtung
der Ausbreitung der Welle. Und das soll gerade,
wenn es ein Vielfaches von Lamda ist,
gerade wieder 2P-Periodizität bedeuten
Okay, also R mal EK, das ist gerade die Richtung.
Paddon, der Betrag von R, aber in Ausbreitungsrichtung.
Und hier steht natürlich dann 4-0. Okay,
das erklärt dann also die Definition von Omega und von K. Ich kann daraus folgern,
dass Omega gleich zwei P,
mal der Frequenz ist und diese Frequenz hatten wir ja gerade als zwei P,
also als eins durch Tee definiert,
immer schon bei der Schwingung.
Ja, also Omega, gleich zwei Penü,
gleich zwei P durch Tee und dann
sehen Sie,
dass das jetzt genau passt
Denn hier stand ja Omega und hier steht 2P durch Tee vor dem Zeitfaktor.
Damit ist das, hoffentlich. Okay. Ja. So,
auf der anderen Seite muss ich dann auch hingehen können und hinschreiben können.
Was jetzt K ist und K, der Betrag,
der wird sein 2P durch Lammda und K-Richtung,
also EK, ist Ausbreitungsrichtung der Welle.
Okay, das sind also die wesentlichen Formeln,
die ich hier habe.
Und hier F-Vektor von R und
Wir werden das jetzt in aller Regel in dieser Form benutzen hier.
Das ist also die Standardform der Welle,
die wir demnächst benutzen wollen. Soweit klar. Gut,
dann ist die Frage als nächstes, ich hatte Ihnen ja versprochen,
dass das Ganze mit etwas mit Energietransport zu tun hat.
Wie wollen wir denn jetzt die Energie oder zumindest die Energiedichte in einer Welle formulieren?
Den Energiefluss, der mit der Welle verbunden ist,
ja, also ich will jetzt nicht auf Tsunami hinaus,
aber schalten Sie einen Laser an,
dann wissen Sie,
damit halte ich da hinten jetzt
die Wand auf
Also irgendwie haben wir Energietransporte. Das heißt, ich muss in der Lage sein,
die Energiedichte, die in diesem Wellenzug drin ist,
den ich hier habe, muss ich irgendwie beschreiben können.
Und wir werden das später noch ausführlicher machen,
aber im Moment möchte ich nur eine Analogie zur Schwingung Ihnen sagen und diese Analogie zur Schwingung wäre jetzt,
dass wir bei einer Schwingung wissen, dass,
also nehmen wir normales, keine Ahnung, Pendel oder so etwas,
dass wir dann potenzielle Energie haben können,
Und dass diese potenzielle Energie abhängt von der Höhe,
mit der ich das jetzt hier ausgelenkt habe.
Und das wäre jetzt also sowas wie MLG mal H,
aber wir nehmen jetzt einfach mal ein harmonisches Potenzial an und würden dann sagen,
die potenzielle Energie ist so etwas wie ein halb,
ah, ich habe jetzt hier eine Fehlerkonstante genommen,
war immer eine Fehlerkonstante,
das ist auch fein
Hier mit einer Masse, diese Federkonstante SID,
ich weiß nicht, wie sie das sonst bezeichnet haben.
Und diese Höhe nennen wir jetzt mal Y,
dann ist die potenzielle Energie so etwas hier.
Und die kinetische Energie ist ein halb M-Y-Punkt,
also die Geschwindigkeit in Y, Richtung hier.
Und das auch zum Quadrat. Und sie wissen natürlich,
die Summe der Energie ist erhalten und bei einer Welle,
die wir jetzt hier haben,
haben wir am Ende auch so etwas wie Schwingungen.
Das heißt, wir müssen jetzt am Ende die Summe über
solche Amplituden hier bilden oder das Integral oder so etwas.
Und dann werden wir
die Gesamtenergieinhalt einer Welle haben
Und wenn man jetzt mal die Energiedichte bezeichnen möchte,
dann wird die jetzt irgendwie proportional sein zur Amplitude, zum Quadrat.
Also in diesem Fall Amplitude Y. Irgendwie wird das quadratisch gehen,
mit Ableitung eventuell, aber irgendwie geht das quadratisch.
Das heißt also, in unserem Bild würde man das jetzt
so nennen, dass das hier die Intensität ist.
Und diese Intensität sollte jetzt proportional zu F sein,
und zwar zu F quadratisch
F dieser Bellenfunktion F&R&T. Okay, also Energiedichte, Energieprovolumen.
Gut, soweit zunächst das. Wir werden das, wie gesagt,
dann gleich sehr ausführlich, also viel ausführlicher noch machen.
Ein bisschen was haben sie auch, glaube ich,
schon bei Herrn Eckstein gehört.
Okay, gehen wir mal ganz kurz da durch,
was wir jetzt eigentlich in der Lage sein sollten,
für Wellen zu beschreiben.
Es gibt ja alle möglichen Wellen in der Natur
und Beispiele für Wellen
Nun, es gibt jede Menge,
aber ich habe ihn jetzt einfach mal so ein paar hingeschrieben.
Also was man sicherlich braucht, ist irgendwie das benachbarte Raumbereiche,
in diesem Fall hier benachbarte Stäbe, irgendwie miteinander verbunden sind.
Also irgendwie in Wechselwirkung zueinander treten können. Ja,
das können natürlich einfach Druckeffekte sein, wie bei Schall.
Das kann aber auch tatsächlich eine richtige Wechselwirkung miteinander sein,
wie zum Beispiel in einem Kristall, wo benachbarte Kristallatomisch hemisch aneinander gebunden sind.
Und wenn ich eins davon bewege, wirkt sich das natürlich auf die Nachbaratome aus.
Es kann aber auch wie im elektromanetischen Fall eine eine Wechselwirkung,
nur über die Felder selber sein, ohne irgendwelche Materie dazu.
Das heißt also, ich werde die Situation haben,
dass ich Materie habe, Wellen in Materie, aber auch Wellen im Vakuum.
Denn elektrische Felder gibt es auch im Vakuum, die Sonne scheint.
Okay, also schauen wir uns mal an,
was es jetzt für verschiedene Typen gibt. Also,
vielleicht nehmen wir mal als erstes Schall, was ist Schall,
um eine Stimmbänder oder irgendeine Membran von irgendeinem Lautsprecher, regt Wellen an
Und also reg genau genommen, die einzelnen,
also schwingt, legt dadurch die Atome an,
die in der Luft sind oder die Moleküle.
Und die bewegen sich fort. Was können die machen? Nun,
die bewegen sich jetzt mal in irgendeine Richtung, hier V.
Und sie werden dann sicherlich irgendwie einmal auf das Nachbaratom stoßen.
Und dieses Nachbaratom wird deine Geschwindigkeit Komponente bekommen.
Die ist im Detail, vielleicht jetzt so,
aber auch mal so und die Mittel in diese Richtung.
Okay, ganz normaler elastischer Stoß. Also wenn ich viele,
die stumme vieler Stößer betrachte, dann wird das sicherlich,
wenn das hier die Richtung der ursprünglichen Anregung ist,
wird das sicherlich weiter in diese Richtung gehen
Ja. Also, was haben wir?
Hier haben wir einen minimalen Transport von Molekülen,
aber durch die Stoßgeschichten und dann,
dass du durch das Abbremsen in der Originalmoleküle und die Impulsübertragung auf die nächsten,
habe ich eine longi-turinale Welle.
Die Auslenkung, relativ zur Ursprungsposition, ist in die gleiche
Richtung wie die Geschwindigkeit der Welle insgesamt.
Ja, einfach, weil es mechanischer Stoß ist.
Das Gleiche gilt in Gasen,
aber auch in Flüssigkeiten
Okay. Ich kann Schall natürlich auch in Festkörpern haben.
Ups, Sal. Das heißt Schall. Ja, also in Festkörpern.
Am besten bekannt vielleicht auch als Erdbebenwellen oder so etwas.
Und was wir da eintreten, das ist glaube ich klar,
dass das Gleiche passieren kann wie in den Gasen oder Flüssigkeiten,
habe ich hier auf dieses Ende
Dann geht vermutlich der Rechner aus, also vielleicht nehme ich irgendwas anderes,
den hier, ja. Also haue ich hier drauf,
dann habe ich natürlich einen Impulsübertrag in diese Richtung querlichen Körper,
ja. Aber es ist auch klar,
dass ich mich gleich hier mit Tinte beklecke,
also dass wenn ich hier den einmal nach unten auslenke,
dass der natürlich dann vibrieren wird,
das heißt also auch eine solche Schwingung,
wird sich in diese Richtung ausbreiten.
Stellen Sie sich das in der Erde vor oder in irgendeinem dicken Balken,
wenn ein paar Moleküle nach oben ausgelenkt werden,
ziehen Sie automatisch die Nachbarmoleküle auch nach oben aus der Gitterposition heraus,
die Sie ursprünglich hatten.
Und das Ganze bereitet sich auch wellenförmig dann in dem Festkörper
aus. Das heißt also, in einem Festkörper gibt es
sowohl Longie-Turinalwellen als auch Transversalwellen
Tatsächlich ist es auch so, dass sie bei Erdbeben unterschiedliche Geschwindigkeit haben,
die Longitourinalwellen sind etwas schneller als die Transversalwellen.
Das heißt, wenn also irgendwo eine Erdbeben passiert,
tief unter der Erde und die Anregung dort relativ wild ist,
dann wird als allererstes die Erde oben auf der Oberfläche so springen.
Und dann, je nachdem, wenn unten die Anregung eigentlich auch so war,
dann wird es oben dann auch anfangen, so zu wackeln.
Also ihnen wird dysthematisch, also die springen nicht,
also sie werden nicht nur hüppen,
sondern sie werden auch noch die Beine unterm Boden verlieren und das ist natürlich unterm Körper verlieren,
das ist natürlich dann das Tückische daran, ja.
Abgesehen davon ist es so, dass es auch noch weitere Typen von Erdbebenwellen gibt,
Sharewellen als Beispiel andere auch, aber ganz wichtig sind auch die Oberflächenwellen.
Wenn Sie an Oberflächenwellen denken, würden Sie normalerweise sagen,
klar, das ist Wasser, Wasser ist aber kompliziertes Zeug,
möchte ich jetzt eigentlich gar nicht darauf eingehen,
dazu haben wir einfach nicht die Zeit,
aber wir nehmen mal wieder eine Erdbebenwelle in der Offnung,
da ist einige Geophysiker unter uns sind Wenn das hier die Oberfläche ist,
und sie haben jetzt hier eine Welle, die,
sagen wir mal, in diese Richtung eine Longy-Turdinalwelle ist.
Und die kommt jetzt hier an die Oberfläche, was wird passieren?
Nun, die Oberflächenwelle schwingt eigentlich danach nicht nur senkrecht,
sondern nicht nur in diese Richtung,
sondern teilt sie auf in zwei Komponenten.
Und eine davon zeigt einfach, oder vielleicht hätte ich es besser sozusagen sollen.
Ja, das heißt, sie halten so eine Welle,
aber die Auslenkung da drin ist mal nach oben,
mal nach unten.
Das heißt also, sie halten auch zusätzlich noch Oberflächenwellen,
die sich wiederum mit anderer Geschwindigkeit ausbreiten
In all diesen Informationen ist natürlich dann,
oder in all diesen Wellentypen und den Auslenkungen,
die man da mit einem Seismometer auf der Erdoberfläche misst,
wenn man wirklich dreidimensional die Bewegung der Erde aufzeichnet,
ist natürlich dann wahnsinnig viel Information darüber drin.
Wie war die Geschwindigkeit dieser Longiturdinalwellen? Wie war die Geschwindigkeit
der Transversalwellen, die hier ankommen? Was sagen die Oberflächenwellen aus?
Auf die Art und Weise kann man auch sehr, sehr viel darüber lernen,
wie eigentlich der Erdboden selber bestanden, also woraus er besteht,
ohne dass man im Detail jetzt tiefe Bohrung machen muss.
Man kriegt die Kristallstruktur heraus, man kriegt die Gesteinstrupen heraus,
man sieht, ob irgendwo Flüssigkeitsbereiche sind. Naja,
wenn jetzt hier eine Welle kommt und hier ist gerade mal irgendwie Flüssigkeit,
dann wird das halt dadurch nur noch die Longitourinalkomponente geben, aber keine Transversalwellen mehr.
Also die Transversalwelle, die würde hier komplett nicht durchkommen können,
weil in Flüssigkeiten gibt es eben keine Transversalwellen.
Auf diese Art und Weise kann man Lagerstätten von Öl oder irgendwie so etwas finden.
Auf die Art und Weise findet man natürlich auch heraus,
woraus die Erde im Inneren besteht,
also wo der Innere, also der Innenratekern ist schwierig,
aber zumindest wie dick die Erdkruste ist und solche Geschichten.
Okay, also Oberflächenwellen wird ein besonderer Typ. Und was
wir sicherlich noch besprechen müssen, Es ist ja Hauptbestandteil hier
dieser Vorlesung. Das sind elektromagnetische Wellen. Ja,
das sind also elektrische Felder und magnetische Felder,
die wiederum elektrische Felder und magnetische Felder erzeugen.
Das ist zumindest so die naive Sprechweise.
De facto ist es aber schon ein bisschen komplizierter.
Auch das werden wir dann im Detail diskutieren müssen.
Der wichtige Punkt ist, da sind ebenfalls Transversalwellen
Wie kann man das zeigen, dass das Transfersalwellen sind?
Nun, das eine ist natürlich, dass mathematisch abzuleiten aus den Max-Vergleichungen.
Und das andere ist, dass man es auch experimentell zeigen kann.
Man müsste ja eigentlich in der Lage sein, wenn ich jetzt hier,
keine Ahnung, diesen Laser habe oder so, herauszubekommen,
in welche Richtung der elektrische Feldvektor,
hier zum Beispiel an dieser Position, gerade zeigt.
Also ob er so geht oder so. Oder ob es
so ist. Oder auch, ob es logiturinal ist.
Also irgendwie so etwas. Natürlich kann man das messen,
das werden wir dann gleich auch machen.
Okay, der dritte Punkt oder der letzte Punkt
ist Gravitationswellen
Gravitationsfellen sind auch äußerst interessante Objekte.
Theoretisch vorhergesagt durch die allgemeine Relativitätstheorie von Einstein.
Allgemeine Relativitätstheorie. Das ist das, was vorhergesagt ist.
Und natürlich möchte man so etwas auch messen. Experiment.
Nicht geglückt bisher. Niemand hat Gravitationswellen bisher messen können.
Das heißt nicht, dass es sie nicht gibt.
Das heißt nur, dass die Wirkung zu klein ist,
als dass man sie bisher hat messen können.
Gravitationseffekte sind wahnsinnig schwach.
Gravitationswellen obendrauf sind extra schwach
Das sind Gravitationswellen. Wahrscheinlich haben sie auch schon mal irgend so
in irgend so einem komischen Buch. Ich weiß nicht,
ob sie das in der Vorlesung schon mal richtig hatten,
gelesen, dass Gravitation in Wähligkeit eine Krümmung der Raumzeit ist.
Ja, die haben da vielleicht so komische Trichterbilder oder so etwas gelesen, ja.
Und die aber normalerweise nur das Potenzial anzeigen und nicht die Krümmung der Raumzeit, aber okay.
Und wenn diese Raumzeit zum Beispiel dadurch gekrümmt würde,
dass ich jetzt hier zwei Objekte habe,
die sich so umeinander bewegen, nehmen wir mal eine,
keine Ahnung,
irgend so ein schwarzes Loch und einen Neutronenstern drumherum oder irgendwie sowas Extremes,
was die Massen angeht, dann sendet diese Konfiguration Gravitationswellen aus,
also mit anderen Worten,
der Raum pulsiert
In seinen Längen, Ausdehnungen, auch die Zeit pulsiert.
Und dieses Pulsieren bereitet sich über Raum und Zeit aus.
Mit Lichtgeschwindigkeit. Da sind kleine Effekte,
die hat man, wie gesagt, noch nicht gesehen.
Aber es gibt auch sehr schöne Experimente.
In der Nähe von Hannover ist eins, es gibt Satellitenexperimente,
die geplant werden, die hoffentlich jetzt bald mal losgehen,
mit denen man das eigentlich sehen können müsste.
Und die bereiten sich damit Lichtgeschwindigkeit aus.
Lichtgeschwindigkeit C. Ja, genau wie die E-Mail,
elektromanetischen Wellen
Auch daran sieht man, dass dieses C oder genau genommen 0,
Y-0, My0 in dieser komischen Formel für C nicht wirklich etwas mit Elektromanetismus zu tun hat.
C ist viel fundamentaler als Elektromanetismus. Okay,
schauen wir uns jetzt da mal an,
wie wir die Wellengleichung ableiten können oder wie wir sie verwenden können,
um zu zeigen, was da wirklich physikalisch hinter steht.
Also A3 Wellengleichung. Und damit hängt natürlich zusammen Die Lösung
der Wellengleichung, die Form der Lösung genau genommen. Okay,
also zunächst einmal behaupte ich, dass das, was jetzt,
was wir schon für Elektromagnetismus aus dem Max-Vergleichung abgeleitet haben,
nämlich die Wellengleichung, dass das universell ist für alle möglichen Objekte.
Das ist schlichtweg nur eine Behauptung hier. Und zwar also,
dass die Gleichung DT-Quadrat von meiner Wellenfunktion F von R&T minus V-Quadrat,
um jetzt auch andere Wellen als nur Lichtgeschwindigkeit,
als nur Lichtwellen, also nur C jetzt hier zu berücksichtigen,
irgendeine Geschwindigkeit einer Welle,
nehmen Sie die Geschwindigkeit,
mit der sich das hier auf diesem komischen Ding ausgebreitet hat
Nabla Quadrat F, dass da es gleich null sein soll.
Das ist die allgemeine Wellengleichung. Okay. Dieses Biest hier,
ups, ah ja, das hier nennt man auch kurz in Dalombär-Operator.
Ich weiß nicht, ob sie diesen Ausdruck schon mal hatten.
Nö, so heißt er halt. Werde ich aber in
der Regel nicht benutzen. Okay, die Aussage ist jetzt
die folgende. Wir haben ja schon eine Lösung der Wellengleichung
und diese Lösung hatten wir ja schon irgendwo hingeschrieben.
Hier ist sie nochmal, diese Formel hier mit F
und Cosinus
von diesem Argument
Und hier steht Zeit und Ort in dieser speziellen Kombination drin.
Und wir haben solche Welleneffekte gesehen. Also sie haben die gesehen bei Wasserwellen.
Wir werden das ja gleich auch hier nochmal bei Wasserwellen zeigen.
Sie haben das da gesehen bei einer Seilwelle. Universell ist das so,
dass diese Form, mit der ich anrege,
mit der Funktion F, dass die sowohl in einer Zeitaufnahme,
also als Funktion des Ortes, und als eine ortsfeste Ortsaufnahme in der Zeit,
das ist die Schwingung, an einem festen Ort,
die mit der Welle einhergeht, wenn die Welle ankommt,
dann schwingt dieser Ort hier so.
Die Amplitude so, dass das völlig universell ist für alle diese Phänomene.
Und deswegen Und die Aussage, ich schreibe meine Wellenfunktion,
die ich als Lösung hierfür annehme,
mal ein klein wenig um und nenne sie einfach F,
gleich F-0, mal G von Vieh.
Und dieses Vieh hier, das soll Omega-T-K-Vector X-Vector sein.
Das heißt, Vieh selber ist eine Funktion von R und T,
habe ich das X-Vector genannt, ich meinte R Vector,
ist ja egal.
Okay, so möchte ich das gerne umschreiben.
Und in diesem konkreten Beispiel, das wir vorhin hatten,
stand an dieser Stelle
hier einfach
der Cosinus
Dann stand da Cosinos, also F-0, Marcosinus,
Omega-T-K-R. Und dann war da noch eine Anfangsphase 4-0,
aber das ist nur eine Konstante,
die verbrate ich hier in dieser Funktion gehe.
Irgendwie steckt da eine Konstante mit drin. Warum nicht? Okay,
in dieser Form möchte ich jetzt zeigen, dass diese Wellengleichung,
die wir haben, das hier ist die Wellengleichung,
ganz allgemein für alle solche Funktionen gelöst wird.
Okay, also wollen wir
das mal der Reihe
nach machen
Okay, also als erstes sehe ich,
dass wenn ich jetzt so etwas bilden möchte,
wie DTF, schauen wir es mal hierhin, DTF-Vektor,
dass ich dann offenbar diese Funktion F ableiten muss.
F ist ja hier irgendwie mit einer Konstanten zusammen, das ist trivial,
dann muss ich G ableiten und dann muss ich hier auch
noch die innere Ableitung von Vieh bezüglich der Zeit bilden,
nach der Kettenregel.
Ganz normal, ja. Das heißt also,
was ich auf jeden Fall schon mal brauche,
das ist die Zeitableitung von Vieh,
das ist einfach Omega.
Okay. Und genauso brauche ich Nabla
Oder vielleicht machen wir es mal ein bisschen einfacher.
Genauso brauche ich die Ableitung nach X von Vieh
und das wird gerade minus Karma X sein.
KK X, also Index X, nicht Karma Alex, Entschuldigung.
Okay, also wollen wir mal schauen, was da rauskommt.
Wir machen DTF und finden dafür, naja, die Konstante
bleibt davor. Dann machen wir die äußere Ableitung G,
Strich von Vieh und da müssen wir noch Viehstrich machen,
also DTV
Und das ist dann sicherlich, naja, DTV war Omega,
das heißt, wir haben Omega, mal 11.0, mal G-Strich von Vieh. Die zweite Ableitung davon,
ist auch nicht schwieriger, DT-Quadrat von F-Vektor wird dann sein,
naja, die Ableitung davon, Omega F.0 sind Konstanten,
das heißt, ich habe Omega F.0-Vektor,
dann steht hier die zweifache Ableitung inzwischen von G nach Vieh und dann wieder die innere Ableitung von Vieh,
die innere Ableitung von Vieh ist aber Omega,
Nach dieser Gleichung hier, das heißt,
hier steht einfach Omega-Quadrat.
Okay. Klingt doch akzeptabel. Dann versuchen wir mal,
die anderen Sachen zu organisieren. Also der Nabler-Quadrat hier,
nur als Erinnerung, aber Quadrat war ja sowas wie DX-Quadrat plus DY-Quadrat plus DZ-Quadrat.
Das war ein Nabler-Quadrat. Der Nabler weckt damit sich selber
multipliziert. Dazu brauche ich jetzt also DX von F.
Und ja, das kann ich genauso durchziehen,
dann finde ich
Bleibt stehen, dann finde ich G-Strich nach Vieh und dann DX von Vieh.
Der X von Vieh ist aber gerade minus K-X, das heißt,
ich finde minus K-X F0 G-Strich nach Vieh. BX Quadrat,
muss ich auch noch bilden, das ist dann,
nun ja, das Einzige, was ich tue, ist,
dass ich nochmal den Faktor minus KX nach vorne bekomme,
wenn ich hier die Ableitung,
die innere Ableitung von diesem G-Strich bilde und diese innere Ableitung,
wie gesagt, minus KX und G wird dann natürlich,
Strich geht dann über den G2-Strich, wenn ich die äußere Ableitung bilde.
Das heißt, ich habe hier insgesamt minus KX zum Quadrat, dann F-0 und G2-Strich von Vieh. Okay,
daraus kann ich dann aber auch folgern, das Nabler-Quadrat von F,
das ist ja nichts weiter als die Summe dieser einzelnen Komponenten,
also die X-Quadrat, Y, Quadrat, DZ-Quadrat,
dass das dann, naja, minus KX im Quadrat ist KX-Quadrat,
ja, V-Zeichen fällt raus,
dann steht hier nichts weiter als KX-Quadrat plus KY,
Quadrat plus KZ-Quadrat,
das ist aber
der K-Vektor
Zum Quadrat, mal F-0, mal G2-Strich von Vieh.
Okay. Falls ich mich nicht verschrieben haben sollte,
geht es gleich in die Pause. Aber bis dahin,
setzen wir das nochmal ganz kurz ein,
dann haben wir DET-Quadrat Vieh, minus V-Quadrat von Nabla-Quadrat,
Ups, Fini, F, soll das sein?
F. Das war ja die Wellengleichung,
setzen wir das da mal ein, was da steht.
Die T-Quadrat gibt im Wesentlichen einfach
ein Omega-Quadrat nach vorne
Dann steht hier minus V-Quadrat. Nambla-Quadrat gibt einfach Karl Vector zum Quadrat
nach vorne. Und der Rest bleibt einfach da stehen.
F-0. Und dann steht hier G2-Strich von Vieh für alles.
Und ja, das kann null sein. Für alle Orten,
alle Zeiten für ewige,
ewigen Raum und Zeit muss diese Gleichung erfüllt sein,
wenn das die richtige Wellengleichung sein soll.
Und das ist sicherlich dann der Fall.
Wenn das hier gleich null ist. Ja,
sonst kann ich nicht eine beliebige Funktion G haben oder
ein beliebiges
Okay, also was folgt daraus? Daraus folgt sofort das V gleich Omega durch K. sein muss. Okay,
das kommt jetzt vielleicht nicht völlig überraschend,
dass ich jetzt hier dieses V so herausbekomme,
denn wenn sie nochmal in die Gleichung gehen,
die wir vorhin hatten, um das,
mit dem wir Omega und K hingeschrieben haben,
dann waren das diese Gleichungen hier,
vielleicht steht es OP durch T und hier steht 2P durch Lamda und wenn sie das da einsetzen in die Gleichung,
die wir gerade hatten, Dann steht da ja wohl,
Lamda durch Tee, Wellenlänge durch Periodendauer.
Logisch. Was sonst? Wie lange braucht
die Welle für einen Wellenzug, für einen Lamda?
In der Zeit. Also, sie braucht Tee dafür.
Ganz klar, das muss natürlich da herauskommen.
Okay, das gibt uns also die Wellengeschwindigkeit. So,
das Verrückte daran ist jetzt, dass ich überhaupt nicht hingeschrieben habe,
wie diese Funktion G ist. Schauen Sie nochmal zurück.
Hier war das ursprünglich mal in der ersten Lösung,
die wir da hingeschrieben hatten für harmonische Wellen,
war G-Cosios.
Einfach cosios von diesem Omega-T-K-Malex
, Kammerler
De facto hätte da jetzt irgendeine Funktion stehen können.
Da hätte eine E-Funktion stehen können. Da hätte irgendwas
sein können. Denn ich habe das gar nicht benutzt.
Ich habe nur hier an diesen Stellen immer G-Strich eingeführt.
Oder die zweifache Ableitung verwendet. Und das Einzige,
worauf es ankam, dass das sich jetzt hier so ergibt,
ist, dass diese Beziehung hier dieses Omega-Quadrat minus V-Quadrat K-Quadrat,
dass das gleich null sein muss.
Also, dass die Geschwindigkeit genau das sein muss.
Dann lösen sämtliche Funktionen G, diese Differenzialgleichung.
Das heißt also, eine Welle kann eine Cosinus-Welle sein,
Ich kann auch eine E-Funktion dafür hinschreiben.
Ich kann auch hinschreiben, F-Vector gleich F-0 Vector,
E-Hoch-I, omegat-t-k-r. Wobei das hier sogar komplex sein kann.
Ich kann aber auch einfach so eine Welle haben.
Das ist jetzt eine Gaussverteilung. Ich hatte ihnen das beim Seil gezeigt,
schlag das Seil einmal an, erzeuge so eine Gaussverteilung und die breitet sich dann aus.
Also alles Mögliche kann hier passieren
Was auch immer sie haben wollen. Alles erfüllt die Wellengleichung
, vorausgesetzt diese Beziehung, die hier steht, gilt.
Okay? Gut, wir machen eine kleine Pause,
drei Minuten bis zum Punkt und dann geht's weiter.
Okay, schon geht es weiter. Gut, also,
wir wollen als nächstes mal anschauen,
was es für spezielle Formen von
Von Wellen gibt. Und wir machen das vielleicht als allererstes mal,
jetzt müsste ich glatt mal hier mit der Kamera am Raum schauen.
Okay, also ich möchte Ihnen das einmal ganz kurz hier zeigen,
was wir hier haben und mache das am besten wieder mit
dieser Kamera hier.
Na? Fünf war das
Okay, also, was haben wir hier? Wir haben
hier ein kleines Wasserbad. Wasser ist ein tolles Medium.
Solange man das nicht extrem anregt, extrem hohe Amplituden erzeugt,
verhält es sich auch ganz normal wie eine Welle.
Und was wir jetzt hier sehen, das ist so ein kleines Wasserbad,
hier kann man jetzt Wasser sehen und sie sehen,
dass wir dann das Bild, das wir am Ende erhalten,
hier dann über hier eine gewisse Optik, Lampe,
hier unten ist ein Spiegel drin.
Ja, hier, das ist der Spiegel,
dann hier zeigen. Und das ist genau das,
was sie hier auf dem großen Bild sehen,
wenn ich da meine Antwort halte,
sehen sie,
dass wir das dann dahin projizieren
Okay. So, jetzt schauen wir uns einmal erst mal an,
was passiert. Jetzt habe ich hier gerade, doch,
das ist die Intensiv, nee, das ist die Frequenz,
glaube ich, Entschuldigung, ich wollte die Intensität ändern.
Okay, also ich, was wir hier haben,
dieser, diese Maschinerie hier, das ist nichts weiter,
als ein gerade Stück Metall oder Blech, das hier in das Wasser reinhaut,
und zwar periodisch über diesen Antrieb hier.
Ja, also wir erzeugen hier eine rhythmische Anregung von außen,
das ist das Gleiche,
als wenn ich da vorne bei diesem Apparat diese Welle anrege
und jetzt drehen wir mal die Amplitude ein bisschen hoch,
das flackert hier so ein bisschen,
das ist nichts weiter als durch die Frequenz,
mit der
die Kamerabilder aufnimmt
Überlagen als hier Wellen mit einer periodischen Aufnahme von Wellen.
Das kann natürlich manchmal an komische Effekte geben. Haben die
jemals in einem Film Autoreifen rückwärts laufen sehen, relativ zur Autobewegung?
Die speichen davon. Haben die vielleicht schon mal gesehen.
Das ist genau dieser Effekt auch, ja. Okay,
also wir drehen hier mal die Ampliktute ein bisschen hoch.
Wir sind jetzt auch immer gerade bei einer schlechten Frequenz angekommen.
Ich erinnere mal ein bisschen die Frequenz, mit der das angeregt wird.
Mache die Frequenz mal höher und dann sehen sie,
dass Wasser reagiert, ganz brav auf diese autore Anregung.
Das geht hier relativ schnell und ich kann dann natürlich das mal überlagern.
Meine Welle geht dann relativ schnell wieder weg,
wird weg,
wird weggedämpft
Und sie sehen die Ebeneanregung. Das wäre jetzt also in eine ganz normale Ebene Welle,
was wir aber auch machen können, das ist einmal das Ding hier umzubauen.
Können Sie das vielleicht ganz kurz machen? Indem wir da
eine punktförmige Anregungsquelle haben, also nicht eine Ebene Front,
sondern einzelnen Punkte, an denen wir die Welle anregen.
Und auf die Art und Weise, man sieht das jetzt,
glaube ich, dass wir das jetzt hier nur noch an diesem Punkt anregen.
Und wenn man das macht, dann sieht man sofort,
dass sich hier eine Kugelwelle ergibt, die von diesem Punkt ausgeht,
vielleicht können Sie es noch so machen,
dass man hier oben das sieht, wo der Anregungspunkt ist,
weil jetzt hat man so den Eindruck, Nee,
so ein bisschen nach oben fahren, unten, ah ja,
da oben ist dieser Anregungspunkt, das ist jetzt also dieser Punkt hier.
Sie sehen das, ja. Und das,
was Sie hier sehen, dieser schwarze Balken,
das ist nichts weiter als die Begrenzung hier von dem Wasserbecken,
die können wir da aus dem Bild schlecht rausnehmen, ja.
Und Sie sehen ganz normal, dass man hier eine kugelförmige Anregung haben kann,
ja, also eine kugelförmige Wellenausbreitung in alle Richtungen.
Und das geht natürlich auch mit der Frequenz,
ich mache die Frequenz mal extrem niedrig,
dann sehen Sie einen weiteren Effekt,
das tut den Augen gut, dann sehen Sie einen weiteren Effekt,
nämlich, dass die Wellen sich weiter ausbreiten,
also dass die Wellenlänge größer wird hier,
Diesen Effekt, den nennt man Dispersion,
das wird uns auch noch in der Optik sehr stark beschäftigen.
Das ist genau der Effekt,
dass Frequenz der Anregung und Wellenlänge miteinander zusammenhängen und damit auch
die Geschwindigkeit der Wasserwelle in dem Medium sich ändert.
Und dieses Ändern der Geschwindigkeit in einem Medium ist genau die
physikalische Ursache für die Brechung von Licht an einer Linse zum Beispiel.
Ja, oder nein, prisbar.
Wir werden also noch im Rahmen der Optik drauf zurückkommen.
Okay, vielleicht können wir das noch einmal so machen,
dass Sie wieder zurückbauen. Dann zeigen wir noch einmal
der punktförmige, ein punktförmiges Hindernis oder diesen Spalt,
den Sie haben
Okay, wir sind jetzt also zurückgegangen zu dieser punktförmigen Anregung
und stellen jetzt hier einfach zwei Hindernisse rein. Ja,
und ich weiß nicht, ob man das sehen kann,
dazwischen ist ein schmaler Spalt gelassen.
Ja, also dafür reicht, glaube ich,
jetzt die Auflösung der Kamera nicht auf, dicht daran und schärfer.
Da sehen sie es, glaube ich, hier. Ja,
wir lassen einen kleinen Spalt dazwischen hier an dieser Stelle und dann sehen sie,
dass von diesem Punkt sich kreisförmige Wellen ausbreiten.
Also mit anderen Worten, ich komme mit einer Ebenenwelle an,
das ist immer noch der Ebene Wellenerreger hier
Die wir hier haben, dann trifft das hier auf den Spalt,
nur an dem Spalt kann etwas durch und von diesem Punkt
geht wieder eine kugelförmige Welle aus.
Das ist die physikalische Grundlage für das ruhigenste Prinzip,
dass wir in der Optik noch ganz intensiv diskutieren werden.
Okay, dankeschön. Könnt ihr es wieder zurück auf die Lichtgeschwindigkeit
bauen? Wir müssen ja noch Cosinos von 22 ausmessen.
Oder auch nicht? Hat schon jemand die Lösung?
Sie hatten noch drei Minuten zwischendurch Zeit. Gut,
also, was haben wir? Wir haben verschiedene Typen von
Wellen,
Da sind Ebene Wellen und Kugelwellen.
Okay, was ist mit Ebenen Wellen gemeint? Nun,
wir haben hier diesen Schieber da reingebaut,
der jetzt also die Welle erzeugt und wir sehen dann,
dass sich Wellenfronten ergeben in dieser Form und ich zeichne jetzt zum Beispiel einfach nur das Maximum,
das könnte aber auch das Minimum sein,
will ich gar nicht weiter spezifizieren und von dieser Ebene,
oder die Ausbreitungsrichtung dieser Ebenenwelle ist dann ganz klar in
diese Richtung her
Kann man verstehen, dass jetzt dieser Vektor K wirklich
die Ausbreitungsrichtung sein muss? Nun schauen wir uns zunächst einmal
an, wie die Wellenrichtung relativ zur Ausbreitungsrichtung stehen.
Und offensichtlich würde man das jetzt mathematisch so machen,
dass man sagt, ich bilde mal den Gradienten von der Amplitude.
Warum? Und der Gradient sagt einem, ja,
die Richtung des steilsten Aufstiegs. Denkt sie noch mal an
so einen Berg massiv, wie sie Gradient mal eingeführt bekommen haben.
Dann ist der Gradient dann, oder gib die Richtung an,
in der es am stallsten hochgeht.
In diesem Fall wäre das jetzt also von dem Wellenminimum hier
diese Richtung, die da eigentlich jetzt herauskommen möchte.
Und wenn ich das mathematisch formuliere, dann sieht man,
dass bezüglich jeder einzelnen Komponente von F, F war ja selber ein Vektor,
zeige ich hier senkrecht nach oben bei einer Wasserwelle,
könnt aber auch irgendwo anders hinzeigen.
Das wird also selbst bei einer Longie-Tourinalwelle so sein,
von R und Tee, dass das gerade minus K-Vektor mal F-X,
Entschuldigung, nicht F von X, sondern F-X,
die X-Komponente des Vektors F,
überall in Ort und Zeit ist,
Herr Komma
Okay. Das heißt also, und dann auch ein Ida vor.
Das heißt, also jetzt habe ich die komplexe Darstellung genommen,
aber es ist ja auch wurscht, welche ich nehme.
Das heißt also, auf jeden Fall wird dieser Gradient in K-Richtung zeigen.
Das zeigt schon mal bei so einer Ebenenwelle klar, in welcher Ausbreitungsrichtung das geht.
Und was ich mir auch überlegen kann, ist,
dass ich, wenn ich jetzt mal mir anschaue,
nehmen wir mal diesen Punkt hier in Ort und Zeit.
Auch schön. Nehmen wir mal diesen,
jetzt hat er mir meinen Anreger hier.
Naja, lassen wir das. Okay,
also nehmen wir mal
diesen Punkt hier
Hier in Raum und Zeit und schauen uns mal an,
in welche Richtung dieses Maximum der Welle an dieser Stelle sich jetzt bewegt.
Dann würde man das ja so machen, okay,
wo sich das Maximum sich hinbewegen und das Maximum ist dadurch gegeben,
dass die Phase Vieh die gleiche bleibt,
an dem ersten Ort, sagen wir mal,
das soll jetzt gerade maximal sein und an dem nächsten Ort soll es dann ebenfalls maximal sein.
Das heißt, diese Phase soll sich nicht ändern,
4-1, gleich 4-2 und das heißt,
dass wenn ich die erste Phase messe am Ort Omega T-1,
minus KR1, Die hat es natürlich so gemeint,
dass Ort sich hier auf Ort und Zeit erstreckt.
Dann soll das gerade sein, Omega T2-KR2. Und das heißt jetzt offenbar,
dass man hingehen kann und sagen kann,
wenn die Geschwindigkeit der Welle so etwas ist wie Delta X oder älter R,
durch Delta T, dann ist klar,
dass das genau dann der Fall ist oder dass das dann gegeben sein muss,
Omega ist gleich K mal V richtungsmäßig.
Und damit wissen wir also auch die Geschwindigkeit.
Also was ist diese Geschwindigkeit,
die wir jetzt ausgerechnet haben
Das nennt sich die Phasengeschwindigkeit einer Welle,
und die habe ich ja dadurch beschrieben,
dass ich gesagt habe, diese Phase hier,
wie schnell bewegt die sich durch den Raum und durch die Zeit.
Weil ich gesagt habe, die Phase soll sich gar nicht geändert haben,
also wo ist die Phase einen kurzen Moment später?
Später ist jetzt der Unterschied zwischen T2 und T1. Und wo
ist sie dann? Das ist eben R2 relativ zur Ursprungssituation
R1. Okay, das ist also jetzt die Phasengeschwindigkeit.
Wir werden später noch einen anderen Begriff für Geschwindigkeit kennenlernen.
Das ist nämlich die Gruppengeschwindigkeit. Da kommen wir dann aber
erst im Laufe der Vorlesung zu
Okay, die Phasengeschwindigkeit. Okay, und dafür finden wir,
naja, wenn wir das hier mal auflösen,
nicht mehr vektoriell schreiben, dann einfach die Beziehung,
dass V gleich Omega durch K ist, genau das,
was wir schon vermutet hatten.
Okay, dann schauen wir uns doch an, was jetzt
Polarisation bedeutet. Und wir hatten transversal polarisiert so definiert,
dass wir gesagt hatten, transversal soll die Ausrichtungslenkung senkrecht auf
der Ausbreitungsrichtung steinen,
die Auslenkungsrichtung ist
Und die soll jetzt also senkrecht auf der Geschwindigkeit,
Ausbreitungsrichtung stehen, aber das ist gerade parallel zu K.
Das heißt also, wir halten jetzt hier das F0 mal
K. Gleich Null sein muss. Und für Longietourninal polarisiert eben
F-0 ist parallel oder antiparallel sie in einem Zeitpunkt zu K.
Und damit ist eben F-0 mal K. Ungleich Null,
das würde dann bedeuten, es gibt eine Longietourninalkomponente.
Okay, das war jetzt die ganz normale Welle,
das gilt eigentlich für alle Wellen,
die ich jetzt hier hingeschrieben habe,
lokalräumlich für kleine Delta R, kleine Delta T.
Was ist jetzt
diese Kugelwelle,
die ich habe
Die ich Ihnen gerade gezeigt habe,
was wir Ihnen hier gezeigt haben, ist natürlich keine Kugelwelle,
das war ja nur zweidimensional in der Ebene,
aber unsere beste Approximation an das, was wir eine Kugeln-Advelle nennen können.
Eine Kugelwelle würde vielleicht ausgehen von einem Funken, der,
keine Ahnung, zwischen zwei Polen oder so überspringt,
dann würde man von dort eine Kugelwelle haben, also wirklich dreidimensional.
Und so eine Kugelwelle sollte die Gestalt haben,
F von R und T. Ich male jetzt mal absichtlich keine Vektorpfeile da dran,
das ist noch eine getrennte Überlegung,
in welche Richtung dann bei einer Kugelwelle die Auslenkung zeigen soll
Einfach bei Longitourdinal, bei transversal müssen wir da sicherlich ein
bisschen genauer hinschreiben. Dann wird das eine Amplitude haben.
Und dann schreibe ich es wieder als komplexe Welle,
eh hoch, eh, Omega-T-K-Betrag, mal R-Betrag.
Ich kann auch eine Phase dazu nehmen,
wenn ich möchte, 4.0, dividiert,
durch R. Also eine etwas andere Form der Welle,
vor allem steht ja das eins durch R drin.
Warum steht da eins durch R drin?
Und dieses einzig R liegt an der Energieerhaltung
Was hat das mit Energieerhaltung zu tun? Nun, diese
Welle transportiert ja Energie. Wenn bei einer Kugelwelle die Amplitude,
also F-0 ohne dieses R da, im Nenner,
einfach so stehen würde, dann würde das ja heißen,
dass überall auf dieser Kugelwelle die Amplitude völlig gleich bleibt.
Und es ist völlig klar im Unendlichen, man kann ihn nicht mehr
genauso groß sein. Wie würde man sich das vorstellen?
Und angenommen mal, wir haben hier den Erregerpunkt.
Von dort aus geht jetzt also diese Kugelwelle irgendwie kreisförmig aus
und ich denke mir jetzt mal eine Kreisschale hier drumherum.
Das ist schlecht von der Farbwahl her,
weil das so aussieht wie, als wäre es die Amplitude,
das soll aber nur eine gedachte Fläche sein,
gedachte Fläche ist schwarz
Schwarz, Kugel. Okay, was würde man
da sagen, wie groß ist jetzt die Intensität?
Und wenn ich die Intensität der Welle an dieser Stelle beschreiben möchte,
dann wäre der gesamte Energiefluss, der jetzt durch diese Oberfläche hindurchdringt,
irgendwie proportional zu dieser Fläche.
Diese Fläche geht irgendwie mit R-Quadrat, dem Radius zum Quadrat.
Und dann mal der Intensität. Die Intensität geht aber proportional
zur Amplitude zum Kopf
Quadrat. Das heißt also,
wenn ich jetzt hier für etwas stehen habe,
wie er Quadrat, F-0 Quadrat durch, naja,
diese Exponentialfaktor und dann eher Quadrat, wenn ich das jetzt einsetze,
dann sehen Sie, dass die Faktoren eher sich gerade wegheben.
Das heißt also, auch durch eine größere Kugel,
die noch weiter außen drumherum geht, würde die gesamte Energie durchfließen.
Also das hier war die Energiedichte,
das hier ist ein Maß für den Energiefluss,
durch diese Oberfläche der gedachten Kugel und dann darf das Endresultat nicht mehr von eher abhängen,
sonst wäre es ja für einen anderen Kugelradius anders.
Es kann ja nicht sein, dass du dich den
inneren Kugelradius viel durchfließt und durch den Äußeren nur wenig.
Wo ist da
die Energie hin
Ja. Okay, deswegen also muss das hier ein 1
über R-Verhalten haben wegen Energieerhaltung. Gut, der letzte Aspekt,
den ich bei den Wellen ansprechen möchte,
das ist wirklich etwas Fundamentales ebenso und das ist die Linearität.
Und super Position. Okay, grüß das Problem. Nun,
Sie wissen, dass, oder gehen wir mal zurück auf eine Schwingung.
Eine Schwingung, die war gemerkt, ist die Lichtgeschwindigkeit eigentlich noch?
Wo ist sie? Ich glaube, da ist sie.
Ha? 74? Okay. Also, nehmen wir mal
die, eine ganz normale Schwingung. Dann wissen Sie,
gehen wir mal zurück auf den Pendel. Deswegen war ich
vorhin beim Pendel angelangt. Dass wenn ich hier ein Pendel aufhänge,
Dass ich dann irgendwie über Energie und Impulsehaltung, ja doch,
Entschuldigung, über Energieerhaltung mir ausrechnen kann, wie lautet denn die Schwingunggleichung?
Und sie wissen, wie man das macht, ja,
ich gehe hin und sage, die potenzielle Energie ist MLG mal H,
und das frei kann ich schreiben als M, mal G,
mal L, mal 1 minus Cosinos Alpha, wenn das hier der Winkel Alpha ist.
Und was man dann typischerweise macht,
wenn man das als normalsterblicher Physiker lösen möchte,
dann sagt man, wir machen mal eine Taylor-Entwicklung von diesem Cosinus,
Taylor-Entwicklung von Cosinus des 1 minus Alpha-Quadrat halbe, vorausgesetzt dieser Winkel-Alpha ist klein, dann macht das Sinn.
Und wenn man das macht, dann findet man ein Hype,
M mal G, mal L, mal Alpha-Quadrat.
Das ist die Taylor-Entwicklung, also hier steht kein Gleicherzeichen,
sondern ungefähr. Das heißt, wir haben ja eine Ernährung gemacht.
Und wenn man dann hingeht, die kinetische Energie dazu addiert,
ein halb M, V, VSL mal Alpha, Winkelgeschwindigkeit, Punkt.
Und das zum Quadrat. Und dann kinetische Energie plus potenzielle
Energie richtet und sagt, zeitlich soll das konstant sein,
also nach der Zeit ableitet.
Zeitliche Ableitung gleich Null setzt, von der Summe von den beiden Thermen.
Dann kommt daraus genau die Schwingungsgleichung. Und der Punkt ist,
man erhält dann eine lineare Schwingungsgleichung der Form Alpha 2. plus Omega-Quadrat.
Alpha gleich Null. Ganz normale Schwingung. Haben sie im
ersten Semester oder so gemacht. Also erste Vorlesung wahrscheinlich oder
irgendwie sowas. Ja, ein bisschen später
Kommt Ihnen das bekannt vor? Schon mal gesehen,
ja. So, der wichtige Punkt ist nun,
Sie haben hier den Cosinus genähert, über die Taylor-Entwicklung.
Die gleiche Ableitung gibt es auch mit Kraft und da muss
man den Sinus-Teller nähern, aber es ist wurscht.
Okay, also, das bedeutet,
eine solche lineare Differenzialgleichung in der Alpha erhält man nur dann,
wenn man diese Näherung macht.
Okay, also normale Schwingungssysteme sind nicht linear.
Wenn ich das hier exakt lösen wollte,
kommt das auch nicht als nur eine einfache Differenzialgleichung raus.
Denn erhalte ich auch Therme,
die hier nicht in Alpha-Quadrat sind, sondern einfach auch vier,
sechs, acht oder ich weiß nicht was.
Und dann kam es natürlich so nicht mehr funktionieren
Okay, also, wir brauchen, genau wie bei den Schwingungen,
kleiner Auslenkungen. Und dann wissen Sie, dass alle physikalischen
Systeme bei kleinen Auslenkungen um eine Ruhelage herum immer harmonisch sind.
Warum? Nun stellen Sie sich die potenzielle Energie vor.
Das ist eine harmonische Schwingung. Wenn das hier
die potenzielle Energie ist, als Funktion der Auslenkung.
Warum gibt es ein solches potenzielle Energie eine harmonische Schwingung
Nun, wenn Sie es für kleine Auslenkungen nähern,
dann ist jede Funktion nahe des Minimums genähert, quadratisch.
Der lineare Therm ist weg,
also der Konstante interessiert sowieso nicht bei der potenziellen Energie.
Wir brauchen ja die Kraft, die leiten Sie ab,
das Potenzial, dann ist die Konstante weg.
Also die Konstante hier ist sowieso raus,
nahe des Minimums ist die erste Ableitung null,
so ist ja wohl ein Minimum definiert.
Und dann bleibt nur noch die zweite Ableitung als nächster Therm.
Das heißt, alle physikalischen Systeme nah einer Ruhelage schwingen harmonisch,
Punkt. Deswegen sind diese Wellengleichung so wichtig.
Das heißt also, kleine Auslenkungen bedeuten automatisch irgendwie eine
harmonische Schwingung
Und das heißt, wir haben eine lineare Differenzialgleichung.
Und was gilt für lineare Differenzialgleichungen? Nun, angenommen,
Sie haben eine Lösung F1. Dieser ganz normal von Omega 1 t-k1 R abhängen.
Und Sie haben eine zweite Lösung F2 von Omega 2 t-k2
R. Dann wissen Sie, Also, jede dieser Funktionen F1 von,
bla bla, F2 von bla bla, soll eine Lösung,
meines schwingungsfähigen Systems sein. Dann wissen Sie auch,
die Summe daraus, F3, gleich F1 plus F2,
F3 hängt auch, oder F1 gesamt, schreibe ich lieber.
F3 hängt auch von T&R ab,
aber natürlich ist der Zusammenhang mit Omega 1, 2,
K1, 2, kompliziert.
Das ist dann ja irgendeine super Position. Die Aussage ist
, das ist dann ebenfalls eine Lösung der Differenzialgleichung.
Das ist ja gerade die Eigenschaft linearer Differenzialgleichung,
dass sie das hier erfüllen
Okay. Was hat das damit zu tun? Dass der Leserstrahl von diesem Laser grün,
da vorne an der Wand, ja, und dieser Leserstrahl rot,
wenn ich die durcheinander durchbewege, also hier,
rechts ist hier rot, links ist grün, ja,
wenn ich die durcheinander durchbewege und jetzt müssen sie zugeben,
mich das so machen,
müssen die sich kreuzen.
Warum wird der eine Lederstrahl nicht von dem anderen abgelenkt
Super Positionsgesetz. Das ist diese Gleichung hier.
Die Welle F1 breitet sich aus. Die Welle F2 breitet
sich aus. Und dort, wo ich messen möchte,
da hinten an der Wand, kann ich die wieder addieren.
Die eine breitet sich aus, die andere breitet sich aus,
ohne dass sie sich gegenseitig stören.
Das ist der wesentliche Punkt. Was sie sich gegenseitig nicht stören,
bedeutet, Licht reagiert nicht mit Licht in dieser Näherung,
kleiner E- und B-Felder.
Bei Licht gilt oben drei noch,
dass die auch prinzipiell nicht miteinander Wechsel wirken
Die Lichtstrahlen. Das hat aber nichts mit den Merxuellgleichungen,
mit den Wellengleichungen zu tun, sondern das ist eine Eigenschaft der Max-Well-Gleichung.
Warum? Nun, die Max-Well-Gleichung selber,
sie erinnert sich vielleicht noch an die. Ja,
lieber Grenzrotation und so, da steht nicht eh Quadrat drin,
elektrisches Feld zum Quadrat oder B hoch, ein Viertel oder sonst irgendetwas.
Oder eh hoch B oder was auch immer sie haben wollen,
da steht E und B drin, lineare Differenzialgleichung,
linearere Differenzialgleichung verhalten sich anständig.
Die Summe von einzelnen Lösungen oder die Summe einzelner Lösung
ist wiederum eine Lösung.
Also der eine Lichtstrahl reagiert gar nicht mit dem anderen
Das ist nur im Elektromanetismus so. In der starken Wechselwirkung,
das Zeug, was Protone und Neutronen im Kern zusammenhält,
ist das nicht so.
Das sind keine linearen der Fernzahlgleichung. Auch nicht in der schwachen Wechselwirkung
, das ist eine Eigenschaft partikulär, der elektromanetischen Wechselwirkung.
Okay, ganz, ganz wichtiges Prinzip.
Gut, was folgt daraus? Eine ganze Reihe von Punkten
. Die Lichtgeschwindigkeit haben sie im Auge, ne?
Okay, also
F1, F-2, durchdringen sich. Ohne Wechselwirkung. Tolle
Sache. Also was machen wir? Wir haben F1,
wir haben F-2 und dort, wo wir messen wollen,
addieren wir F-1 plus F-2. Und den ganzen Weg bis dahin
, da kann man F-1 unabhängig von F2 anschauen.
Das ist nicht trivial, dass das so ist. Okay,
dann heißt das außerdem, Dass wenn das so ist,
dann kann ich auch eine beliebige Anregung,
die ich mir anschaue, in Furierkomponenten zerlegen.
Von jeder dieser Wellenlängen, das liegt dann von Omega und K abhängen,
jede dieser Furier am Platoon, zu jedem gehört eine reine Sino-Schwingung.
Dann kann ich mir anschauen,
wie bereiten sich diese reinen Sino-Schwingungen durch Raum und Zeit.
Und dann setze ich die am Ende wieder zusammen.
Das heißt, dann mache ich wieder die Rücktransformation.
Und schon habe ich das Bild. Das ist der eigentliche
Grund, warum wir in dieser Vorlesung Furi-Transformation eingeführt haben.
Elektromanetismus ist linear
Super Positionsprinzip. Deswegen macht das Ganze überhaupt Sinn.
Sonst würde das gar keinen Erfolg haben. Okay,
das heißt aber auch,
da wären wir dann in der Optik drauf kommen,
dass ich eine ebene Welle haben kann,
und die kann ich mir beschreiben, als eine super Position von Kugelwellen.
Tolle Sache, Sie haben da eine Kugelwelle gesehen.
Ja, habe ich Ihnen gezeigt. Wie haben wir
das gemacht? Ebene Welle kommt an. Kleiner Spalt,
Kugelwelle kommt hinten raus. Offensichtlich ist es jetzt so,
dass die gesamte Ebene Welle nichts weiter als eine Summe von
kleinen Spalten ist, nur dass sie die Grenzen zwischen den
Spalten einfach weglassen
Mit anderen Worten, eine Ebene, weil da muss die Summe von Kugelwelt sein.
Ja, die an verschiedenen Orten entlang dieser Wellenfront angeregt werden.
Und der letzte Punkt, den ich noch hinschreiben möchte,
ist, wie sieht es mit der Intensität aus?
Also angenommen, ich möchte die Intensität der Gesamttrailer haben,
dann ist das irgendwie proportional zu F-Gesamtquadrat, hatte ich Ihnen gesagt.
F-Gesamt ist aber so etwas wie F-1 plus F-2.
Und dann das quadratisch. Das gibt dann offenbar gerade F-1,
Quadrat plus F-2, Quadrat plus 2 F-1, Ups,
nicht da oben hin, sondern hier unten.
Das hier ist aber proportional zur Intensität eins.
Das hier ist proportional zur Intensität zwei. Mit anderen Worten,
für die Lichtstärke, für die Intensität finden wir ingesamt,
ist ungleich. I1 plus i2. Warum? Und ja,
hier hinten gibt es ja noch diesen gemischten Therm.
Dieser Therm ist Interferenz. Okay, das ist ja mal
eine Interferenz,
diesen Ausdruck
Das bedeutet zum Beispiel, dass sich Wellen am bestimmten Orten
in ihrer Intensität auch auslöschen können, sodass gar keine Intensität mehr da ist,
obwohl jede einzelne Welle Intensität dort hat.
Okay, Lichtgeschwindigkeit 74, Nanosekunden, der braucht immer noch genauso lange.
Was heißt das? 70 Jahre, sie konnten jetzt
nur die Zeit stellen. Was heißt das? Würden Sie
daraus ausschließen, dass die Lichtgeschwindigkeit gleich geblieben ist
Ich kann ja mal einen kleinen Test machen,
um zu sehen, ob wir hier Türken, nee,
wenn ich da im Weg gehe,
dann ist das Signal auch weg.
Das Zweite. Das Erste kommt ja sofort wieder an.
Das ist der erste Peak, der zweite. Ich kann
auch den ersten wegnehmen, wenn sie mir das nicht glauben.
Also, ich behaupte mal, jetzt ist er weg.
Jetzt ist er da
Ein bisschen wackelig das Ganze. Okay. Ihre Erklärung dafür
. Also, wir sind immer noch den gleichen Zeitunterschied.
Angenommen mal, die Strecke ist die gleiche geblieben.
Könnte sein, ja. Und die Zeitdauer ist auch die
gleiche geblieben, die wir messen. Dann ist möglicherweise die
Lichtgeschwindigkeit tatsächlich konstant. Was hat das mit 22,5 zu tun?
Nochmal? Nein. 22,5 brechen uns die nächste Wow.
Ja, dichtes Zeug. Ja? Nein, das hat
, was war das? Was war das? Habe ich
nicht verstanden. Guter Vorschlag, kreativ, nein.
Wir haben gerade bewiesen, dass es kein Älter gibt
Älter, sie erinnern sich, dieses Konzept,
das es ursprünglich mal gab, elektromagnetische Wellen, beeinigen in Wirklichkeit,
getragen durch einen Äther, der überall im Universum ist,
sich womöglich mit der ganzen Galaxie metrotiert oder auch nicht, völlig egal.
22,5 Grad, vor einer Stunde stand die Sonne irgendwo und seitdem
hatte ich pro Stunde die Sonne um 360 durch 24 Grad,
also die Erde ist rotiert, also pro Stunde um 15 Grad,
ja, 360 Grad in 24 Stunden, einmal drumherum,
macht 15 Grad pro Stunde,
macht 22,5 Grad in anderthalb Stunden.
Die Vorlesung ist um
Ja. Okay, was bedeutet das jetzt?
Dieser Apparat hier hat sich relativ zu irgendeinem Objekt,
das man den absoluten Raum nennen würde und von dem man denken,
es gibt die nicht, um 22,5 Grad gedreht.
Wenn dieser absolute Raum quasi so etwas wäre,
wie der Träger der elektromagnetischen Wellen, da müssten wir jetzt gesehen haben,
dass die elektromagnetischen Wellen um 22,5 Grad sich relativ zu diesem,
von mir aus ruhenden Medium Äther gedreht haben.
Und wenn sich jetzt die Erde durch diesen Eltern durchbewegt und
dann andere Orientierung dazu hat,
dann müssten wir jetzt diesen Effekt sehen.
Von Cosing aus 22,5 Grad.
Das ist 0,92 oder was hatten wir ausgerechnet
Taschenrechner, ja. Also acht Prozent.
Das Ding hat sich nicht um acht Prozent geändert.
Okay, also kein älter. Möglicherweise. Sie können ja
mal versuchen, die Fallstricke in dieser Argumentation zu finden,
die wir gerade gemacht haben.
Das soll es
gewesen sein für heute.
Schöne Theorie