Okay, wir hatten das letzte Mal mitten bei der Furie-Transformation
aufgehört und waren so weit gekommen, dass sie gesehen haben,
dass die Furie transformierte der Delta-Funktion eine Konstante ist.
Jetzt machen wir nochmal ein Beispiel,
was ein bisschen näher an der realen Funktion ist,
was aber auch gleichzeitig wahrscheinlich das wichtigste Beispiel ist,
was eine Funktion ist, die sie früher transformieren können,
nämlich die Gausskurve.
Kommen wir hier mal alles. Also wir waren hier Furie-Transformation
. Und wir beginnen mit der Gausskurve
Die kennen Sie, was habe ich, jetzt muss ich mal schauen,
was ich auf die richtige Seite komme hier, genau.
Ja. Also die Gausskurve kennen Sie, das ist das
F von X, das hängt ein bisschen wie Normierig die,
eins durch zwei, P-A-E-Hoch-x-X-Quadrat durch 2-A-Quadrat.
In der Normierung hier seht ihr einfach ungefähr so aus,
haben Sie hier F von X als Funktion von X,
die Variable A ist eine Konstante,
die definiert ihn hier im Prinzip
die Halbwertsbreite
Aber sie sehen, wenn XA ist,
dann ist der Exponent hier ungefähr ein Halb. Das heißt,
das ist auf e-och-ein-halb abgefallen, wenn X-2a ist,
dann ist es auf e-och minus ein e-och minus 2 abgefallen.
Das heißt, das definiert im Wesentlichen die Breite dieser Kurve.
Und der Vorfaktor ist genau so gewählt,
dass die Normierung von der Kurve in dem Fall genau eins ergibt.
Ja, und jetzt werden wir die Furie transformierte von dieser Funktion mal berechnen. Sie wissen,
die frühe transformierte Definition war einfach F von K,
ist eins durch 2P, das Integral von minus unendlich bis plus unendlich,
die X, F von X, ehoch-iKX, ja.
Und das können wir jetzt einfach ausrechnen, ja.
Das ist ein bisschen, es erfordert einen kleinen Trick.
Also ich setze einfach mal hier jetzt diesen,
das Jahr ein, also wir haben eins durch 2OP,
eins durch Wurzeln, 2OPA,
DX,
Ex-Quadrat durch 2a-Quadrat minus IKX. Und sage, ich kann
die in den Exponenten hier schreiben. Und wie ich jetzt
dieses integral löse, das erfordert den kleinen Trick,
nämlich eigentlich, sie müssen hier nur quadratisch ergänzen.
Dann führen sie das auf die Art und Weise
wieder auf ein Gaussintegral zurück, was sie lösen können.
Machen wir es mal explizit. Hier diesen Therm-Ex-Quadrat durch 2a-Quadrat, minus IKX.
Klammern wir einfach den Vorfaktor hier aus. Es ist minus 1 durch 2a-Quadrat,
x Quadrat plus die K, A-Quadrat, 2,
2, 2, I-K, A-Quadrat, ja.
Da habe ich eigentlich nichts gemacht. Jetzt sehen wir sich
die fast aus wie eine quadratische Funktion.
Das kann ich hier quadratisch ergänzen. Und sagen,
dann muss ich einfach IKA-Quadrat dazuzählen und wieder abziehen.
Ja, dann habe ich einfach nichts getan auf die Art und Weise.
Oh ja, ja, der ist zu lange gestorben.
Dann habe ich einfach nichts getan. Der Time hier,
der hängt nicht von X ab, den kann ich sozusagen aus dem Integral rausziehen.
Und das da ist einfach, X plus IKA, Quadrat zum Quadrat.
Ja. Ja. Zwei DKA-Quadrats, nichts vergessen. Ah,
danke, genau, sonst könnte ich das auch nicht ergänzen, ja.
Genau, hier. Richtig, genau, da steht hier. Ja,
das heißt, das Integral, was mir zu lösen haben,
ist eins durch 2P, eins durch Wurzel,
2PA,
DX. Irochminus, das haben wir hier. Eins durch zwei A-Quadrat
. X plus IKA zum Quadrat. Und außen steht,
eh hoch, also minus mal minus ist plus,
I-Quadrat geht wieder minus, eo minus, Ka-Quadrat, A-Quadrat halbe.
Also habe ich jetzt schon hier dieses 2A-Quadrat mit dem Ahoch 4 verarztet.
Und dieses Integral hier, Das behaupte ich es eins.
Woran sehen Sie das? Im Wesentlichen mache ich hier eine variablen Substitution,
indem ich einfach X plus IKA durch Y ersetze.
Und das ist nur eine Verschiebung. Und bei einer Verschiebung
ändert sich, ändern sich die Integrationsgrenzen nicht.
Und es ändert sich auch dieser DX-Faktor nicht. Das heißt,
das nimmt die Grabe, was hier steht,
ist das Gleiche wie eins durch Smooth Wurzel aus 2PA,
ohne diesen hier
Ja. Mal eh hoch, das sind die gerade über
eh hoch, minus eins durch zwei Quadrat Y Quadrat.
Das ist genau das Gleiche, was hier oben steht.
Und gibt von daher auch die gleiche Normierung, also eins.
Ein bisschen schwierig ist es in der Tat schon,
weil sie hier eine Substitution im Komplexen machen. Das heißt,
sie müssen sich schon eigentlich überlegen, wo kommen die ran,
was habe ich, habe ich irgendwelche Verschiebungen der Grenzen?
Ja, hier haben sie Grenzen von minus und endlich bis plus und eigentlich.
Und jetzt wollen sie die verschieben von minus und endlich
plus IKA bis plus und endlich plus IKA.
Sie haben sozusagen den Integrationsweg, so von der reellen Achse,
parallel verschoben in die komplexe Ebene.
Und das sollte ihnen schon einen Moment zu denken geben,
ob das überhaupt möglich ist und ob ich von diesem Randbeitrag
da sozusagen eigentlich einen Wert bekomme.
Und das kann ich Ihnen nicht erklären. Also das ist
ein bisschen komplizierter tatsächlich, sich das im Allgemeinen zu überlegen.
Aber es stimmt, ja. Und hier kommt eigentlich nur eins raus.
Und dementsprechend haben Sie die Furie transformierte der Gauss-Funktion,
ist sozusagen F, Tilde von K. Moment.
F, Tilde von K ist 1 durch 2P,
ehoch-k-quadrad,
a-quadrat durch
Gut. Was sehen Sie an der Kurve, an der Formel?
Sie sehen genau das, was wir das letzte Mal schon hatten.
Also das Erste, was Sie sehen, ist, das ist wieder eine Gausskurve.
Und das ist tatsächlich das, was die Gausskurve so interessant macht,
ist die Kurve, die in Variante ist unter der,
also Form in Variante ist unter der Folie Transformation.
Genau. Und das Zweite, was Sie sehen,
ist, dass hier im Prinzip das A steht,
hier im Nenner, hier steht es im Zähler und das bedeutet,
dass sozusagen die Breite dieser Kurve hier ist eins durch A
und die Breite dieser Kurve ist A. Und das ist genau das,
was wir das letzte Mal hatten,
eine scharfe Kurve wird durch frühere Transformation auf eine Breitekurve umgewandelt,
ja.
Man muss sich, die Kurve hier ist wirklich sowas
wie F-Tille von K als Funktion von K.
Die hat hier ihre Breite, eins durch A.
Und wenn sie jetzt den Grenzfall machen,
dann können sie auch wieder auf die Delta-Funktion kommen.
Das hier hat die Gesamtintegral 1 und wenn ich A gegen null gehen lasse,
dann wird das hier zu einer Delta-Funktion,
eine beliebig scharfe Funktion mit Gesamtgewicht 1 und die Furie transformierte,
A gegen null in dem Fall, ja.
Dann kriegen sie F von X,
geht auf die Art und Weise gegen die Delta-Funktion und F
Tilde von K. und sie A gegen null gehen lassen,
dann verschwindet ja einfach der Exponent hier.
Das heißt, hier steht eins durch zwei Pi.
Und das ist genau das gleiche Ergebnis, was wir das letzte Mal hatten.
Die Furie transformierte der Delta-Funktion, ist einfach eine Konstante,
eins durch zwei Pi. Okay, sie können diese Eigenschaft,
das ist sozusagen eine schmale Kurve auf eine Breite,
umgewandelt wird, auch noch allgemeiner, sich überlegen,
sind sich einfach mal überlegen,
wie verhält sich die Furie transformierte eine Funktion,
die sie einfach in der Breite skalieren
Skalierung, also wir nehmen einfach mal eine Funktion B von X,
die definiere ich als A, von Alphamal X. Was haben wir hier?
Und Alpha ist eine Konstante. Nehmen wir mal eine Reelle konstant,
also einfach mal eine Reelle konstante an für einen Moment,
aber das ist eigentlich in dem Fall egal.
Das ist ein breiter Nadierung. Ich nehme jetzt,
ja, nee, Alpha ist eigentlich auch wichtig, genau.
Die Behauptung ist, dass wenn sie jetzt das hier vorher transformieren,
Dann kriegen sie einfach eins durch Alpha,
mal die Furie transformierte von A. Genau andersrum skaliert, ja.
Und das kriegen sie eigentlich, dazu müssen sie nicht so
eine Rechnung, weil das kriegen sie direkt aus einer Substitution.
Wenn sie einfach hier die Definition von B von K ersetzen,
das ist einfach zwei Key-Integral-DX, eh hoch minus I-K-X-F,
ne, B von X und B von nächstes Jahr A
von Alpha
Da müssen wir nur hier substituieren. Amal X ist Y. Und
jetzt haben sich hier die Grenzen verschieben, sich nicht bei der Substitution.
Wenn ich jetzt machen wir mal hier reell,
dann haben wir da überhaupt kein Problem damit.
Die Grenzen verschieben sich nicht, aber das DX geht natürlich
durch über in DY durch Alpha.
Und hier steht ebenfalls X, Y durch Alpha her.
Das ist also eins durch 2P,
eins durch Alpha von der Integration,
D Y,
K durch Alpha, Y, A von Y.
Und das ist genau die Definition der Furie transformierten von A
mit einem K, was ersetzt es durch K plus Alpha.
Also genau die Formel, die hier steht. Das heißt,
das ist das, was sie hier am Beispiel der Gausskurve
sehen, ist ganz allgemein gültig.
Und hier ist noch die zusätzliche schöne Eigenschaft,
dass die Gausskurve selbst Form in Variante ist.
Ja. Ja. Das zeichnet, dass die Breite von
diesem Beile oder den Vertragsabschnitt.
Hier? Okay
Hier bezeichnet das sozusagen die Länge dieses Pfeils im Wesentlichen.
Die meisten Fällen kleiner als ja. Genau das hängt davon ab,
wenn sie sagen, hier ist ja alles noch eine Einheit.
Also im Wesentlichen, eins durch A ist dann größer
als A, wenn A klein wird. Also hier,
das Beispiel bezieht sich schon so ein bisschen auf den Limes,
den ich hier skizziert habe, dass ich A gegen 0 gehen würde,
dann wird es groß.
Aber ich habe hier sowieso keine Einheit angeschrieben. Das heißt,
die Bilder sind im Prinzip ziemlich bedeutungslos, so fand ich nichts dazu gesagt habe.
Die wirkliche Bedeutung ist, das hier ist eins durch A
, das ist A, wie lang das ist.
Ja. Sie sehen ja auch von der Einheit her,
ja, X sozusagen, X hat die Einheit Länge,
wenn sie dem eine Einheit geben wollen, zum Beispiel,
ja, es kann auch, wenn sie eine zeitabhängige Funktion transformieren,
X hat die Einheit Länge, das K, dann sozusagen die Variable,
der frühe Transformation, hat dann die Einheit eins durch Länge.
Ja, das ist auch das, was Sie sehen,
wenn Sie jetzt dann in den nächsten Vorlesungen zur Wellengleichung kommen,
dann ist X wirklich Ort, ja,
und K hat die Bedeutung des sogenannten Wellenvektors und es hat die Einheit eins durch Länge, ja.
Von daher ist auch klar, dass wenn hier ein A steht,
also ein Objekt mit Länge, wenn die Breite durch ein Objekt A,
die Kennzeichnisse, die Breite hier,
durch ein Objekt eins durch A sind mit der richtigen Einheit gekennzeichnet.
Das ist eine andere Art, das zu sehen.
Okay, jetzt können wir noch ein paar andere,
also das ist schon mal hier gleich eine,
eine wichtige Eigenschaft, der frühe Transformation.
Ich wollte noch ein paar andere wichtige Eigenschaften aufzählen.
Ja,
blaues Messer
Wo ist denn jetzt hier die Farmer? Die nächste Eigenschaft,
also ich gehe noch nicht in der Reihenfolge vor,
wie ich das in dem Skript gemacht habe.
Eine Eigenschaft bezieht sich auf die Normierung dieser Kurve.
Also hier sehen Sie die Kurve über Schmarrn, mit Tante,
die Kurve wird Schmäler, die Kurve wird breiter,
das sieht schon so ähnlich aus,
als ob sowas wie das Gesamtgewicht unter dieser Kurve bleibt gleich bei der Foliotransformation.
Das ist in der Tat nicht richtig, aber fast,
und sagen, wenn Sie die Normierung wissen wollen,
wie die Normierung ist, dann müssen Sie Das Quadrat der Chor integrieren.
Integralde X, F&X, Betragsquadrat ist das Gleiche wie,
das hängt immer ein bisschen von der Wahl 2B,
steht außen in der Seite.
Genau. Swopi, IntegraldeK. F, Tilde von K,
Betragsquadrat. Okay, warum ein Quadrat? Das rechnen wir
ins Format
explizit nach
So, Betragsquadrat ist Funktion mal, deren komplex konjugierten.
Okay. Können wir einfach einsetzen. Wir wissen,
eine Darstellung für F,
können wir einfach durch die F-Kommander,
die ihre Fuhre transflomierte ersetzen
Und sagen, das ist F. Und des Betrags,
komplex konrigierte von F, können wir auch durch die Frühjahr transformiert ersetzen.
Da muss ich einfach nur diesen Ausdruck nehmen und früher transformieren, komplex konjugieren.
K ist eine reelle Größe, ändert sich nicht,
ich ändere hier mal den Namen dieser Integration der Variable,
dann brauche ich die komplex konjugierte von der früher transformierten.
Und wenn ich den Exponentialfaktor, Komplexkanödie,
kriege ich
einen Minus
Jetzt haben Sie hier ein dreifaches Integral. Jetzt können Sie einfach alle,
die sozusagen die Integralliche vertauschen, nehmen Sie aber alles raus sozusagen,
was nur von K abhängt und ziehen Sie das X und
die machen das X-Integral einfach zuerst.
Wir haben sehr integral DK, DK-Strich, F von K,
F-Tilde von K Strich, komplex konjugiert, Integral DX,
Ehoch, I,
X,
K-K-Strich.
Und dieses Objekt hier, haben wir das letzte Mal kennengelernt, als die Delta-Funktion.
Wir hatten die Delta-Funktion, Delta von X ist 2P,
ist eins durch 2P, Integral DK, Ehochi, HX.
Und jetzt integrieren wir halt über X und kriegen eine Delta-Funktion in K. Okay. Das heißt,
jetzt haben Sie schon mal eins dieser Integrale beseitigt und das nächste Integral sie dann umsonst,
weil es ja hier über eine Delta-Funktion integrieren und die pickt ihnen aus diesem,
zum Beispiel aus dem K-Strich-Integral, genau den Punkt raus,
wo K-Strich gleich K ist.
Und dann steht das Ergebnis da, was sie haben wollen.
SWOP, Integral DK, FVK-Betragsquadrat. Okay. Und das
Ganze, also diese Normierungsgleichung da unten heißt Parsevalsche Gleichung.
Also nochmal, das heißt, wie gesagt, im Prinzip,
sie wissen schon, Ephonix wird breit, dann wird FK schmal.
Irgendwie bleibt das Gewicht gleich, aber nur wenn sie das
Betragsquartat integriert. Es hat auch eine physikalische Bedeutung,
wenn sie jetzt in den nächsten Vorlesungen wieder die Wellengleichen diskutieren,
dann werden sie im Prinzip feststellen,
dass F Tilde von K ist sowas wie die Energie,
die in einer Furia-Komponente der Welle steckt.
FK bedraxt man dazu, was wie die Energie und das integral
über F von X Quadrat gibt ihnen auch eine Energie. Also sowas,
wenn sie das dann nachher auf irgendwann später auf eine Wellengleichung anwenden,
dann heißt das nichts anderes,
als dass die Energie ausgedrückt in dem ursprünglichen Feld oder die Energie ausgedrückt über ihre einzelnen,
den Energiegehalt der einzelnen Moden ist das Gleiche.
Okay, die nächste wichtige Eigenschaft der früheren Transformation ist das Faltungstheorium.
Wenn Sie zwei, Sie können die Faltung von zwei Funktionen definieren,
als Integral der X, Strich B von x-x-strich,
A von X-strich.
Das definiert die Faltung,
was bedeutet das
Was ist eine Faltung? Also ich zeichne ihn deshalb mal
, zeichne mal ein Beispiel. So. Das hier ist,
sagen wir mal, das hier könnte A von X sein.
Und was bedeutet, dass sie Falten das mit einer Funktion
B von X, die so aussieht?
Ja. Also sehen schon, was das bedeutet.
Sie verschieben die Funktion B oder verschieben die Funktion A sozusagen,
sodass sie an einem Punkt X sozusagen um den Punkt X jährigt.
Und dann integrieren sie, im Prinzip heißt es,
sie glätten diese Kurve
Also zum Beispiel, wenn sie,
wenn sie hier an diesem Punkt X.0 die Faltung haben wollen da unten,
an dem Punkt X.0, dann heißt der Integralausdruck nichts anderes,
als dass sie die Kurve A sozusagen um X.0 rumschieben,
so hier.
Und dann integrieren sie das Produkt der beiden.
Und das verschmiert sozusagen diese Kurve. Weil wenn sie die
Kurve B nach hier hinten verschoben hätten, so hier,
dann ist das Faltungsintegral 0, schieben sie es ein bisschen näher hin.
Dann haben sie hier schon so einen Überlaub.
Da sehen sie schon ein bisschen. Das heißt im Prinzip,
die Faltung ist eine Verbreiterung dieser Kurve. In den Übungen
haben sie ein paar Beispiele, wo sie das explizit durchrechnen,
wo sie so eine Faltung explizit ausrechnen können.
Die Faltung sieht demnach irgendwie so aus.
C von X. Als Funktion von X. Okay,
und jetzt brechen wir mal die Furie transformierte des Ganzen.
Und die Behauptung ist, dass die Furie transformierte dieser Faltung einfach
2P, mal das Produkt der Furrät transformierten ist.
Okay. Jetzt kriegen Sie wieder im Prinzip,
wenn Sie mir einfach hier die Definition einsetzen,
Integration 1 durch 2P, Integral DX, ehoch-i-kx,
Integral DX Strich,
nur habe ich B von x minus x-a von x Strich.
Jetzt mache ich
einen kleinen Trick
Ich... Ja, eigentlich ist es wurscht.
Ich mache es mal andersrum. Anders, als ich in
der Vorlesung, als es in dem Skript steht.
Ich kann einfach hier wieder die beiden durch ihre Folie transformierten,
darstellen, oder nee, na gut,
ich mache es, ich mache es doch alles.
Ich mache einen kleinen Trick, ich führe einfach hier
ein Eins ein, ja?
E hoch, eh, äh... X-Strich.
Ich mache I-K, X-Strich.
Ja, ist nichts passiert
Okay. Und jetzt sortiere ich diese Timer einfach ein bisschen
um. Ja. Das ist sozusagen der Tim hier.
Und der Tim.
Okay. Und jetzt kann ich einfach substituieren. Sie haben
hier ein Integral über die gesamte Ebene stehen. XY,
jetzt kann sie genauso gut hier X-Minus X-Strich einfach durch Y substituieren.
Und das DX geht dir noch über in den DY.
Und dann stehen hier zwei unabhängige Integrale.
Integrale über Y, integral über X-Strich. Und diese beiden
unabhängigen Integrale gehen mir nach Definition einfach die Furier transformierten,
die hier oben stehen.
Das ist also genau das,
was da oben steht
Eins durch 2P. Aber sozusagen die Integrale geben ihn jeweils zwei PR-Tilde von K mal 2P-B-Tilde von K.
Und das ist das Ergebnis, was oben steht.
Und die Eigenschaft hier, dieses Faltungstheorie, ist eine Sache,
die die Furie Transformation so brauchbar macht.
Wenn sie wirklich konkret so eine Faltung hier berechnen wollen,
Kannst du dir ja schon vorstellen, sie haben irgendein Signal,
das hat irgendwelche Spikes, es ist viel besser,
sie wollen eigentlich nicht diese ganzen Spikes mitspeichern,
sondern was sie eigentlich interessiert, ist so eine gekletterte Variante dieser Kurve.
Wie rechnen sie so eine Kurve in der Tat,
wirklich in der Praxis aus? Sie werden wirklich,
bevor sie dieses integral machen, was ein kompliziertes Integral ist,
ist es wirklich besser, sie nehmen die Kurve an,
früher transformieren sie, sie nehmen die Kurve B,
früher transformieren sie, bilden das Produkt,
das ist einfach zu brechen und früher transformieren sie zurück.
Es ist wirklich, wir sind in der Praxis, solche Faltungen ausrechnen würden.
Weil in der Praxis ist es tatsächlich so,
dass eine numerische Brechung der Furi-Transformation lässt sich extrem effizient implementieren.
Da gibt es so Algorithmen, die heißen Fast-Furi-Transformation oder sowas,
also in das Signalverwaltung, Verarbeitung, wenn sie wirklich zu der Faltung ausrechnen will.
Es ist wesentlich besser hier über dieses,
über das Produkt der Furi-Transformierten zu gehen, ja.
Und so eine Faltung hat auch eine physikalische Bedeutung. Ich weiß jetzt nicht,
inwieweit schlägt man in den nächsten Vorlesungen Wellen in Materie besprechen wird,
aber wenn sie Wellen in Materie haben, dann werden sie sehen,
kriegen sowas wie eine Frequenzabhängige, die Elektrizitätskonstante.
Und wenn Sie das machen, dann sage ich Ihnen vielleicht
später nochmal, was das mit Faltung zu tun hat.
Das hat nämlich sozusagen, was ist eine Dilektrizitätskonstante?
Ihr sagt Ihnen, wie reagiert Materie auf ein elektrisches Feld?
Die Reaktion von Materie auf ein elektrisches Feld ist etwas extrem kompliziertes.
Sie legen hier ein elektrisches Feld an diesen Tisch.
Irgendwie wird er jetzt anfangen, die Moleküle da zu polarisieren.
Die Moleküle brauchen aber eine Zeit,
um zu reagieren
Das heißt, die Beziehung zwischen der Polarisation in dem Tisch und dem elektrischen Feld
ist irgendwie eine komplizierte, zeitliche, retardierte Beziehung.
Die Polarisation jetzt hängt irgendwie ab von dem elektrischen Feld,
was zu früheren Zeiten da war.
Und genau die Beziehung müssen sie irgendwie in den Griff bekommen,
wenn sie zum Beispiel wissen wollen, wie breitet sich eine elektrische,
elektromagnetische Welle durch Materie aus.
Das ist tatsächlich, wenn sie das als Funktion der Zeit
hinschreiben, so eine komplizierte Integralbeziehung wie das da.
Und wenn sie es früher transformieren,
dann können sie es einfach ausdrücken durch Frequenzabhängige,
die Elektrifitätskonstanten, durch Frequenzabhängige,
Brechungsindizes und so weiter
Also ich weiß nicht genau, wie gesagt,
inwieweit Herr Schleper das machen wird in der Vorlesung.
Aber falls, dann könnte man da auch nochmal eine Übungsaufnahme zu machen.
Okay, weitere Eigenschaften der frühen Transformation. Was hatte ich noch notiert?
Ich glaube, eine. Ableitungen sind natürlich noch extrem wichtig. Wenn Sie eine Funktion haben,
die einfach gegeben ist durch die Ableitung von einer anderen Funktion,
dann ist die Behauptung,
dass die Furie transformierte des Ganzen Gegeben ist durch IK,
Athilde von K. Okay, das können Sie wieder nachrechnen,
indem Sie hier die Definition von B einsetzen,
von BETLE einsetzen, eins durch SOP, Integral de X,
ehoch-iKX, D nach D X,
A von X. Okay, was müssen Sie jetzt machen?
Um hier raufzukommen, jetzt Sie müssen partiell integrieren.
Und um partiell zu integrieren, nehmen wir hier einfach an,
dass A von minus unendlich und A von Plus und endlich gleich Null
ist oder besser gesagt A, verschwindet an den Rändern.
Und wenn das der Fall ist,
dann können sie einfach partiell integrieren und dabei die Randklame vergessen,
dann kriegen sie minus eins durch zwei P. Integral DX,
je nach DX, ehoch-i-K-X, A von X.
Und die Ableitung können sie ausführen, es gibt minus I-K-Ehoch-i-K-X.
Dieses Minus verarzen sie mit diesem Minus, Und das IK
ist tatsächlich nur eine Konstante, was nicht von X abhängt.
Das können sie aus dem Integral rausziehen und sie kommen direkt auf den Ausdruck.
Und das ist die nächste extrem wichtige Eigenschaft der frühen Transformation.
Ableitungen werden auf einfache Produkte überführt. Und das ist das,
was es Ihnen möglich macht, die Fototransformation zur Lösung von Differenzialgleichung,
wie der Wellengleichung zu verwenden. Wenn Sie eine Differenzialgleichung haben,
die irgendwelche Ableitungen, eine Funktion beinhaltet, sie fuhr,
transformieren die gleiche und bekommen Sie immer eine allgebraische Gleichung,
die einfach nur Produkte, der vorher von Der Frühjahr transformierten mit diesen Argumenten beinhaltet.
Ja? Die können wir jetzt manchmal schon auch am nächsten
führen, die jetzt zum Zweifel zu machen.
Hier? Gut, ich habe hier partiell integriert.
Und die Rangtherme vernachlässigt, weil ich gesagt habe,
die Funktion verschwindet im Unendlichen.
Ja. Das ist hier. Ja, deshalb auch das
Minus hier wegen der partialen Integration
Genau. Und das mit den Ableitungen, das Spiel,
insbesondere natürlich eine Rolle,
dann werden sie die Wellen gleich und wieder diskutieren,
die Wellengleichung werden sie in höheren Dimensionen diskutieren,
aber das können sie natürlich unmittelbar verallgemeinern.
Auf Erhoche D, ja, irgendwie D gleich 1,
2, 3 und so weiter.
Also wenn sie irgendeine Funktion haben, die von Al abhängt,
Dann können sie in eine mehrdimensionale Folgetransformation einfach komponentenweise definieren.
Machen sie erst die Feuertransformation, das ist eine Funktion,
die hängt ab von x, y,
zept oder was weiß ich, wie viele Dimensionen sie haben,
dann machen sie einfach eine Folie transformierte, in jeder Komponente.
Ja, definieren sie, schreiben sie als Integral DK,
D-Hoch DK, also sozusagen haben sie ja auch mehrere eine Variable,
zu frühe Transformation von x,
eine zur frühe Transformation von Y und so weiter.
Dann haben sie
eine Frühjahr transformierte
Sozusagen die von dieser mehrdimensionalen K variabel abhängt, Eochi,
K, mal, ja,
weil das ist ja nichts anderes als Eochi, KX,
mal X, Eochi, K, Y, Y,
Eochi, K, Z, Z und so weiter.
Das heißt, das ist einfach Komponenten, jede Komponente früher transformiert. Ja,
und nachdem sie jede Komponente vorher transformiert haben,
können sie natürlich auch die Furiotransformation für jede Komponente umdrehen und dann sehen sie,
dass die Funktion F Tille von K,
Einfach gegeben ist durch eins, durch zwei P,
in dem Fall hoch
B, also Hochdreiben sind drei Dimensionen und so weiter, integral D hoch D.
F von R, ehoch-minus-i-k-r. Und zu sein,
das ist nichts anderes als dieselbe Definition. Komponentenweise, ja. Und natürlich können sie auch Vektorwertige Funktionen vorher transformieren,
dann machen sie halt die Furiotransformation für jede Komponente des Vektors,
also zum Beispiel Wenn wir sowas hinschreiben, wie eh von R,
ja, dann können Sie sowas definieren wie durch Fußballtransformation eh Tilde von K,
ja, ist einfach Vektor komponentenweise definiert,
ist eins durch 2P, jetzt schreibe ich es mal,
wenn das wirklich ein E-Feld ist,
dann sind wir hier in drei Dimensionen,
die hoch drei E von R ehoch-i
KR, ja. Also sozusagen für die XYZ-Komponente. Und da wird man dann oft irgendwann,
wenn sie dann beginnen, diese Tilden hier wegzulassen,
einfach sagen, wenn hier ein K steht,
dann weiß ich das in, das zeigt schon an,
das soll die Folie transformierte sein, wenn hier ein R steht,
dann zeigt mir das an, das soll.
Die ursprüngliche Funktion sein, aber ich versuche mal,
solange wirklich diese Tilden natürlich noch mit beizubehalten.
Okay. Und jetzt können Sie wieder das Spielchen treiben mit
den Ableitungen hier und das gilt natürlich auch komponentenweise.
Was kriegen Sie zum Beispiel, wenn Sie jetzt eine Funktion haben,
sagen wir mal B von X,
aber B von R in dem Fall,
die Sie definieren als den Gradienten, einer Skalan-Funktion F.
Und sie Furie transformieren das. Es ist nichts anderes als komponentenweise hier,
und zeigen B-X von K, Furie transformiert, ist I-K-X, F-Furie transformiert.
Und das Gleiche gilt für Y und Z und so weiter.
Das heißt im Prinzip kriegen sie B, die früher transformierte von B-S-I K,
die Fuhre transformierte von F. Wieder anstatt der Ableitung kriegen sie ein Produkt.
Jetzt halten ein Produkt mit dem Vektor, muss ja sein,
hier steht ein Vektor, die Fuhre transformierte dieses Vektorfeld,
es ist selbst ein Vektorfeld,
das ist auch ein Vektorfeld, hier steht Vektor K.
Und das Gleiche könnt ihr machen, wenn sie zum Beispiel
eine Funktion haben, F von R ist die Divigenz eines Vektorfeldes.
Jetzt fuhre transformieren sie das, Dann müssen sie ins Kalarfeld bekommen.
Wieder gilt im Wesentlichen, sollte das Ergebnis,
wird sowas sein wie ein Produkt von K,
mit der früher transformierten von E.
Es muss ein Skalar sein. Also was wird schon rauskommen
? Die frühe transformierte von K ist IK..
Also Skalarprodukt mit der früher transformierten von E. Und wenn Sie
F von A gegeben haben als die Rotation eines Feldes,
na dann sollte das auch nicht mehr überraschen,
dann kriegen Sie IK-Kreuz
E von K. Ja, und so weiter.
Also einfach Ableitungen werden überführt in Produkte. Und wenn sie
eine komplizierte Gleichung haben, wie gesagt, in der nächsten Vorlesung,
irgendwann sowas wie eine Wellengleich oder nehmen sie die.
Sowas wie die Wellengleichung, jetzt schreibe ich es einfach mal hin.
Haben sie die jetzt gemacht in der Vorlesung, vermutlich schon
, oder? Ja. Gerade ein F oder Lablas F
minus eins durch C-Quadrat, DET-Quadrat F ist null.
Dann kriegen sie halt hier Na gut, da müsste ich ihn jetzt.
Kriegen Sie hier IK., was weiß ich. IKF-
und so weiter. Aber das machen Sie nächstes Mal.
Also einfach gegen, das ist eine differenzialgleichung, kriegen Sie eine algebraische Gleichung.
Aber das sehen Sie nächstes Mal, das ist Maul.
Da müsste ich jetzt nämlich noch Ihnen sagen,
wie ich die früher transformierte bezüglich der Zeit und bezüglich dem Ort hier definiere.
Das ist eine gewisse Konvention beinhaltet und so weiter.
Okay, habe ich
was vergessen
Aha. Eigentlich sind wir damit fast durch mit der frühen Transformation.
Ich wollte noch ein, ja, es sei strammig,
ein paar Minuten haben wir noch, machen wir das noch hier.
Noch eine etwas andere Darstellung für die Folie transformierte.
Nämlich über das Spektrum. Stellen Sie sich vor,
Sie haben irgendein zeitabhängiges Signal, also ein Geräusch,
ein Ton, was Sie auch, das Signal,
was Sie, sind wir Tongenerator bekommen.
Das sieht so aus,
was weiß ich
Es ist sozusagen F, das schreibe ich immer explizit,
die Zeit T, uns nur anzudeuten, das sei jetzt ein.
Wirklich ein Signal, was von der Zeit abhängt.
Und das sei ein reelles Signal. Das können sie natürlich
purer transformieren, sozusagen eine andere Darstellung zu finden,
dann kriegen sie F von T, ist integral.
Jetzt schreibe ich einfach mal hier eine Notation, die einfach gebräuchlicher ist,
wenn sie bezüglich der Zeit transformieren, dann nehmen sie üblicherweise,
bezeichnen sie das Argument der früheren transformierten als Frequenz.
Aber solange wir nur Mathematik machen, ist es eigentlich irrelevant,
aber... So, okay. Was bedeutet das,
dass das Signal reell ist? Das bedeutet,
dass F von T gleich F von T komplex konjugiert ist.
Was bedeutet das für die Furiel transformierte,
wenn sie in reelles Signalfurio transformieren?
Was können sie daraus aus dem F-T-Kilde von Omega-Laden
Behauptung ist, das bedeutet einfach, dass F-Tilde von minus Omega,
ist F-Tilde von Omega komplex kondigiert. Ja, aus der
Tatsache, dass F-Rel ist. Das können Sie einfach nachrechnen,
denn wenn Sie wirklich die hier, wenn Sie die komplexe Kondigation,
dann kriegen Sie hier einen Minus Omeda und hier die komplex kondigierte von Omega und dann ändern Sie sozusagen,
machen Sie hier eine variablen Insubsition,
Omega durch Minus Omega und dann steht im Prinzip das hier
da.
Also das können Sie nachrechnen
Demnach können wir jetzt, wenn wir hier eine reelle Funktion parametrisieren,
eine generelle Funktion früher transformieren,
dann können wir einfach mal diese frühere transformierte, hier parametrisieren,
als F von Omega ist, sagen wir mal,
ein B von Omega, was der Betrag des Ganzen ist,
aus R, mal, Ehoch-I-Vi von Omega.
Das können Sie jede komplexe Zahl so schreiben,
das ist einfach die Polardarstellung dieser Zahl.
Und was Sie wissen, ist,
dass B von Omega gleich B von minus Omega ist
Und Vieh von Amega, gleich minus Vieh von Minussonniger.
Wegen dieser Bedingung hier, weil es komplex konjunktierte,
weil F von Minus-Omega soll das komplex konjunktierte sein.
Das geht hier sozusagen ein. Das ist nur eine andere Parameterisierung.
Und wenn wir das jetzt hier sozusagen in dieser Folie transformierte einsetzen,
dann können Sie einfach den Anteil des Integrals von null bis unendlich
und den Anteil des Integrals von null bis minus unendlich kombinieren.
Und das ist im Prinzip das Gleiche, was wir bei Furioreien gemacht haben,
um von der komplexen Darstellung auf die Auf die Cosinos- und Sinus-Darstellung zu kommen.
Wenn Sie das hier machen, kriegen Sie F von Tee,
ist integral von null bis unendlich, die Omega.
Methilde von Omega, Ehochi, Omega-Tee,
Ehochi von Omega, das ist sozusagen der positive Teil,
plus Ehoch minus i, Omega-Tee, ehoch minus i,
vi,
Omega,
das ist der negative Teil
Und das ist genau zweimal der Cosinus von Omega T plus
E.V. von Omega. Plus FIFA und Omega, ja.
Das heißt, wir haben jetzt auf die Art und Weise
in der Reelle Darstellung für diese Funktion gefunden.
Wir haben hier die Frequenzen und hier einfach nur eine Phase.
Und das B ist die Amplitude
Ja. Und auf Basis dieser Darstellung würden sie üblicherweise so
eine Spektralanalyse machen, die sie, glaube ich,
in der Experimentalphysikvorlesung auch schon zumindest für Reihen gesehen haben.
Also wenn sie das Signal analysieren und sie plotten das Spektrum,
dann würden sie hier im Wesentlichen, sagen wir mal,
das B-Quadrat zum Beispiel plotten als Funktion von Omega.
Und dann sind nur die Ampelituden hier. Und wenn sie das machen,
dann kriegen sie entweder zum Beispiel, je nachdem,
wie das Signal aussieht, wenn sie hier wohldefinierte Frequenzen bekommen,
dieses Signal, Das entspricht einem Klang oder einem Ton,
weil das enthält sozusagen nur einzelne Frequenzen,
die hoffentlich gut aufeinander abgestimmt sind, zum Beispiel die Obertöne voneinander.
Das klingt wie ein schöner, schönes Musikinstrument oder wie Sprache oder sonst irgendwas.
Während wenn sie sagen, das ist ein Ton,
wenn wenn sie jetzt bei der Analyse dieses Teils hier sehen,
die Amplituden plotten würden, sie würden finden, da kommt eigentlich alles vor.
Das ist so eine Art Rauschen oder Geräuscher.
Ich habe so ein bisschen bei der Vorbereitung für die Vorlesung
auch natürlich kommt man dann immer ein bisschen ab von dem eigentlich relevanten,
sucht so ein bisschen Internet.
Dann habe ich hier auch mal gesucht,
ob man irgendwie Tonbeispiele hier zu finden,
die finden sie natürlich, wenn sie auf Wikipedia einfach,
suchen sie mal nach White Noise oder Pink Noise oder sowas, ja.
Und dann finden sie genau Tonbeispiele, die ihnen hier das
Geräusch vorspielen, was zu solchen Frequenzspektren gehört, ja.
Und ja, also zum Beispiel, wenn sie wissen,
wenn sie das rauschen, B von Omega,
wenn das sozusagen konstant ist, dann bezeichnen sie das als weißes Rauschen,
Und wenn das irgendwie abfällt, wie eins durch Omega, Quadrat, dann ist es Braunschissrauschen. Und da gibt es noch verschiedene andere. Also hier sozusagen dieses Geräusch hier,
das enthält, sind sozusagen die hohen Frequenzen überdrückt,
unterdrückt, das hört sich relativ weich an im Hintergrund,
wenn das weiße Rauschen ist, das, was sie hören würden,
wenn sie in so ein altes Analogradio irgendwie,
wenn sie die Frequenz nicht finden,
dann spielt ihnen das auch so ein Rauschgeräusch vor,
weil irgendwie alle Frequenzen vorkomme,
das kann so aus dem aus den elektromagnetischen Wellen,
die so im Raum rumschwirren, kann es nicht richtig Informationen rausfiltern,
dann verstärkt es sozusagen den Hintergrund,
dann kriegen sie das hier.
Sie können auch im Internet, da gibt es dann so Apps,
da können Sie das Geräusch von Regen sich anhören.
Da können Sie sogar kaufen, das ist extrem teuer.
Es haben Sie so einen kleinen, also dafür,
dass es eigentlich nichts enthält, es ist so einen kleinen Tongenerator,
wir können Sie einzelnen Frequenzanteile gegeneinander abstimmen und dann haben Sie
entweder so ein Weiches Hintergeräusch oder so ein hartes Regengeräusch.
Das ist eigentlich ganz nett,
aber kaufen würde ich es dann wahrscheinlich trotzdem nicht,
aber Vielleicht können sie das als Ansporn nehmen, ja,
wenn sie in ein paar Jahren fertig sind und der Wirtschaft geht es noch gut,
können sie mit extrem wenig wissen, extrem viel Geld verdienen.
Aber ich weiß nicht,
oder wahrscheinlich viel Geld kriegen sie damit auch nicht.
Okay, damit wären wir fertig mit der Furiotransformation.
Wir kämen damit zu einem nächsten Kapitel
Genau, und wie, also hier sozusagen,
wie so ein Ton entsteht, der sozusagen nur bestimmte Frequenzanteile hat,
das haben wir das letzte Mal im Prinzip gesehen, als wir diese Seite diskutiert haben.
Wenn sie die Seite in Schwingung setzen, dann habt ihr einfach nur gewisse Frequenzanteile einfach dadurch,
dass sie sie an den Seiten fest, an den Rändern festhalten.
Und das Gleiche sehen sie auch bei anderen Musikinstrumenten,
zum Beispiel, wenn sie, wissen sie,
wie Blasinstrumente funktionieren, da haben sie einfach eine schwingende Luftsäule,
auch die hat eine gewisse Länge, da geht es darum,
dass sozusagen die Schallwellen Nur endliche Frequenzen haben können,
aber könnte da noch ein Beispiel zeigen,
aber das machen wir jetzt mal nicht, vielleicht später.
Okay. Nächstes Kapitel, Elektrodynamik. In der Elektrodynamik?
Sie sind in der Experimentalphysikvorlesung sind sie schon zu den Max-Bergleichungen gekommen heute.
Genau, und an der Stelle werde ich auch gleich einsteigen.
Ich werde dir nicht die grundlegenden Eigenschaften der Max-Begleichung wiederholen,
sondern die Theorievorlesung wird es ein paar Themen,
ein paar anspruchsvollere Themen in dem Zusammenhang aufarbeiten.
Ich schreibe ihnen aber trotzdem nochmal die Max-Begleiche hin,
so wie sie brauchen werden. Also wir haben die gleichen,
die alles, die die ganze Elektrodynamik beschreiben. Das wäre das Coole am Gesetz,
mit dem sie sich praktisch die ersten paar Wochen dieser Vorlesung beschäftigt haben,
was Die gesamte Elektrostatik beschreibt,
in dem sie hieraus eben auch wirklich das Kraftgesetz durch Airquartat ableiten können.
Sie haben das Induktionsgesetz. Was ihnen sagt,
wie in zeitlich verändertes Magnetfeld, in elektrisches Feld erzeugt.
Sie haben die DFB gleich null. Was eine mathematische Formulierung
dafür ist, dass sie keine magnetischen Monopole haben.
Und sie haben das ampirische Durchflutungsgesetz. Passieren die ganze Magneto-Statik gegeben hat,
in dem Sinne sagt, wie bekomme sie aus seinem Strom
das Magnetfeld und was sie heute wahrscheinlich in der Vorlesung gemacht haben,
ist, dass sie dieses Gesetz vervollständigt haben,
um einen Term Der sozusagen, den sie als die Max,
welche Ergänzung beschreiben.
Ja, und das haben wir hier.
Die Gleichhängen hier beschreiben ihnen alle Elektron. Magnetischen Phänomene,
wenn sie noch zusätzlich wissen natürlich,
wie reagiert Materie auf elektromagnetische Felder und das
ist genau die Lorenzkraft
So, was werde ich in der Theorievorlesung machen?
Nur, dass Sie einen Überblick haben über die nächsten Vorlesungen.
Wir werden als erstes uns überlegen, welche Erhaltungssätze können Sie aus diesen Maxberg-Gleichungen herleiten.
Was Sie wahrscheinlich schon gesehen haben, ist,
dass die Gleichung konsistent sind mit der Haltung von Ladung.
Und Sie wurden eigentlich nur dadurch konsistent,
dass Sie hier sozusagen diesen Maxberg-Sprash der Grenzung dazu geschrieben haben.
Aber genauso können wir eine Energie des elektromagnetischen Fels definieren.
Das haben wir in der Elektrostatik schon gemacht.
Das können wir auch in der Dynamik machen
Und können eine Energieerhaltung daraus ableiten. Sie können auch in den Impuls des elektromagnetischen Feldes
definieren und bekommen dann aus diesen Gleichungen den Impuls zur Haltung.
Das ist das Erste. Und dann danach werden dann beschäftigen
wir uns als nächstes mit Wellen.
Und da werde ich in der Theorievorlesung insbesondere Wellen,
in Wellenleitern diskutieren, weil sie auf die Art und Weise
nämlich dann auch Wellenausbreitungsszenen in dem Prinzip dispressiven Medium,
dann kommen wir zur Abstrahlung.
Also ich diskutiere dann, wie entstehen überhaupt elektromagnetische Wellen an
das schwingenden Depols und als letztes Thema
Kommt noch die relativistische Formulierung dieser Gleichungen. Also was sie dann sehen werden,
ist diese Gleichung im Prinzip, was sie sehen, ist,
wenn sie die Ableitung, wenn die Zeitableitungen hier null sind,
dann haben sie genau das,
was sie die ersten paar Wochen diskutiert haben.
Die Gleichung für E und die Gleichung für B sind komplett unabhängig voneinander.
Erst, das heißt, deshalb heißt das Elektrostatik und Magneto
Statik als sozusagen unabhängige Theorien. Sobald das Phänomen hier,
sobald das Problem zeitabhängig wird, sind diese gleichen intrinsisch miteinander gekoppelt,
sagen die elektrischen Felder, werden aus dem Magnet,
aus zeitabhängigem magnetischen Feldern erzeugt,
die magnetischen Felder werden aus zeitabhängigen elektrischen Feldern erzeugt.
Deshalb heißt das Ganze Elektromagnetismus, weil die beiden Konzepte nicht voneinander zu trennen sind.
Aber wenn sie sozusagen sich in ein anderes Bezugssystem setzen,
dann kommen sie automatisch von der Beschreibung nach ruhende Ladung auf eine bewegte Ladung.
Das heißt, im Prinzip ist die Frage,
ob sie hier ein Statisch oder ein dynamisches Problem haben,
in gewisser Weise nur eine Wahl des Bezugssystems
Das heißt, diese Gleichung hier, das E- und B-Feld
müssen auch verstehen, wie sie durch Änderung da war,
das Bezugssystems sozusagen von E auf B-Feld kommen.
Und das ist genau das,
was wir in der letzten Vorlesung noch machen werden,
weil die Wahl, die Änderung des Bezugssystems,
wie sie das beschreiben, das führt sie genau auf,
sozusagen die Relativitätstheorie.
Okay, aber das ist nur sozusagen als kleiner Vorgriff.
Wir machen als nächstes einfach Erhaltung von Ladung, Energie und Impuls.
Frage, sind Sie in der Vorlesung heute schon zur Ladungserhaltung gekommen?
Ja, ich muss trotzdem noch mal die entsprechende gleichen hinschauen.
Also der Clou ist, ich schreibe ihn gleich,
ich schreibe ihn trotzdem noch mal hin.
Ja. Also der Clou war ja, dass sie sozusagen
sich überlegen können, Was ist die Divergenz von Lot?
Und wenn Sie hier die Max-Beergleichung jetzt verwenden,
und zwar in dem Fall genau eben die,
bauen Sie die vierte, dann können Sie hier J einfach durch Hieb.
Was habe ich hier? Drücken Sie einfach hier gemäß der
Max-Beergleichung, J aus durch E&B. Eins durch Minull, Rotation
B minus epster.0.de nach DT. Okay. Dann haben Sie
Divergenz der Rotation verschwindet immer. Das heißt, hier steht
im Prinzip minus Äpstel 0.de. Die Zeitableitung der Dibiggenz von I
, und das ist nach der ersten Gleichung genau roh.
Also sozusagen die gleichen, die sie bekommen,
ist Divergence Y plus der Roh nach DTS
Und die haben sie auch schon früher in der Vorlesung gesehen.
Sie sind wirklich die wichtigen Punkte. Das hier folgt aus
den Max-Begleichungen. Ladungserhaltung folgt aus den Max-Begleichungen, aber nur,
wenn sie die Max begleichen, hier um diesen Term ergänzt haben.
Das ist wirklich der wichtige Punkt. Und das Zweite,
das hier ist eine Kontinuitätsgleichung, das hatten wir am Anfang schon der Vorlesung schon mehrfach dastehen.
Das ist eine Gleichung, die im Prinzip lokal eine Haltungssatz beschreibt.
Wenn sie das hier integrieren über ein beliebiges Volumen,
dann kriegen sie hier so ein Volumen in V,
Wenn Sie einfach das integrieren,
dann gebt Ihnen das hier nichts anderes als wirklich die Zeitableitung der Ladung,
die innerhalb dieses Volumens sitzt.
Und wenn ich die andere Seite integriere, dann steht hier,
das integral über die Dibagenz des Stroms,
und das können Sie mit dem gaussischen Satz umformen,
in den Oberflächenintegral, Über den Strom.
Ja. Ja. Und zwar mit der flächennormale nach außen. Das heißt,
das, was hier steht, ist der Strom,
der Fluss der Ladung aus dem Volumen, mit dem Minuszeichen,
da steht hier die Gleichung, die Änderung der Ladung innerhalb des Volumens,
ist gegeben durch den Stromfluss in das Volumen rein.
Also nochmal zur Betonung. Diese Gleichung hier, diese Lookdifferenzalgleichen,
ist nichts anderes anderes als eine lokale Formulierung, äquivalent,
zu der globalen Ladungserhaltung. Von beliebiges Volumen gilt,
Änderung innerhalb des Inneren der Ladung innerhalb des Volumens ist gegeben
durch den Fluss in das Volumen rein, ja?
Das ist nicht dann 3, 4, 5 ist aufgesprungen.
Sie könnten das hier als Gesamtstrom, aber Gesamtstrom ist natürlich,
der Strom ist ja auf dieser Oberfläche nicht konstant.
Das kann ja zum Beispiel sein,
dass die ganze Ladung hier durch das eine Loch raus,
an einer Stelle rausfließt, so, das ist die Frage,
wie, was bezeichnen Sie als Gesamtstrom?
Ja, genau, so, das hier ist genau
der Gesamtstrom
Durchaus der Oberfläche raus mit dem Minus ist es Gesamtstrom in die Oberfläche rein.
Also wenn immer sie eine Gleichung von der Form sehen,
Diveragenz von einem Vektor fällt,
plus die Zeit der Bleitung von einem Skalan-Größe hier,
dann definiert das ihnen eine Erhaltungsgröße.
Oder eine Kontinuitätsgleichung damit eine Haltungsatz. Und was wir jetzt
einfach machen, ist, wir überlegen uns,
die entsprechenden Erhaltungssätze für Strom und Impuls.
Moment, für Energie und Impuls. Okay,
fangen wir mal an
Energieerhaltung. Wir fragen uns, wenn Sie irgendwie,
wir müssen erst mal auf den richtigen Begriff für Energie kommen.
Wir kennen mechanische Energie. Wir wissen noch nicht so richtig,
wie wir überhaupt die Energie in eines elektromagnetischen Feldes definieren können.
Aber wir können das ja machen,
indem wir den Kontakt machen zur mechanischen Energie.
Wir fragen uns einfach, was ist die Arbeit,
die Sie leisten müssen oder die elektromagnetische Felder,
Anladungen verrechten.
Sie haben irgendwo
eine Ladung Kuh
Am Ort R. Die soll sich mit der Geschwindigkeit V bewegen und sie fragen,
was ist die Arbeit, die elektromagnetische Felder hier verrichten?
Und zwar irgendwie Arbeit pro Zeit. Gut, jetzt wissen Sie die Arbeit,
ist gegeben durch die Kraft auf diese Ladung mal den Weg.
Und der Weg in der Zeit,
Das ist nichts anderes als die Geschwindigkeit, mal DT.
Okay. Und diese Kraft ist genau die Lorenzkraft.
Also die Kraft, die elektromagnetische Felder, Aufladungen verrichten.
Plus V, Kreuz B. Und jetzt sehen Sie,
natürlich, hier steht V.V, Kreuz B,
also sozusagen der magnetische Teil der Kraft steht senkrecht auf
der Bewegung und leistet von daher keine Arbeit.
Die Arbeit kommt nur von dem E-Feldanteil und das Ganze ist
einfach gegeben durch Kuh, V.e
Das heißt, der wichtige Punkt, B senkrecht, sozusagen die Lohrenskraft.
Von dem B-Feldanteil. Ah, sorry. Das hier leistet
keine Arbeit. Okay, das war eine Ladung.
Wir wollen, dass wir üblich in eine kontinuierliche Schreibweise bringen.
Das ist natürlich im Prinzip genau das Gleiche.
Sie betrachten einfach eine Ladung verteilt,
Wovon R. und T. Sie sich an jedem Punkt mit irgendeinem
gegebenen Geschwindigkeit bewegen soll. Und dann ist die Arbeit,
die sie verrichten, oder anders,
was wir die Leistung, diese Provolumen hier verrichten,
ist damit einfach wie oben einfach gegeben durch,
wie in dieser Formel,
die Kraft pro Volumen,
mal die Geschwindigkeit,
die an dem kleinen Volumenelement herrscht
Sagen, das ist die Kraft, Provolumen und die Kraft,
die Provolumenelement herrscht, ist wieder genau einfach hier die Lorenzkraft.
Es ist die Ladungsdichte, die sie an dem Volumenelement haben,
mal eh von RT plus V von RT Kreuz
B von RT. Und damit gilt wieder das Gleiche wie oben,
leisten natürlich die Magnetfelder keine Arbeit, es bleibt ihnen einfach nur übrig,
dieser E-Feldanteil und Das ziehen Sie zusammen und haben Sie roh von RTV,
von RT.e, von RT.e.
Und das hier ist natürlich genau der Strom. Das heißt,
Leistung pro Volumen ist allgemein Stromdichte, mal Efeld.
Das ist die gleiche Formel wie das hier, nur kontinuierlich geschrieben. Ja,
und was wir jetzt machen, ist, wir versuchen diesen Ausdruck,
also die von den Feldern geleistete Arbeit an den,
im Universum vorhandenen Ladungen, die versuchen wir auszudrücken,
nur durch Feldgrößen und nicht durch den Strom,
um auf die Art und Weise auf eine Elektromagnetische,
auf den elektromagnetischen Anteil der Felderning zu kommen,
ja?
Ja, glaube ich, die wählt gleiche Kuma und den
entwickeln den neuen GT. Wahrscheinlich. Richtig, danke.
Sodass wir dann hier sozusagen haben, Leistung ist Kuma V.E,
genau wie hier auch Leistung ist, Kuma V. Leistung ist
F-MA V hier.
Danke. Okay
Weiß ich. Also können wir das nur ausdrücken durch Felder?
Und das machen wir wieder,
indem wir die Max beigleichen in Verwenden,
um eben genau den Strom hier auszudrücken durch E&B-Feld,
also hier die Max dergleichen Nummer.
Nummer vier. Ich lasse lieber
die Seite hier
Der Strom ist eins durch Mühe 0, das ist genau die gleiche gleiche,
die man auch bei der Ladungshaltung verwendet haben, B,
Kreuz A, minus Epster 0.de nach DT.
Okay. Und da muss man jetzt ein paar mathematische Umformungen machen,
also insbesondere diesen Time-E. Delta Kreuz B, den wollen wir nicht haben,
aber den können wir mithilfe einer Produktregel umschreiben,
wenn sie einfach Divagenz E, Kreuz B Ja,
ist sozusagen Produktträger.
Es... B. Rotation E, minus e.rotation.
B. Das kannst du nachrechnen. Ist im Prinzip,
ja, ist im Prinzip so eine Art Spartprodukt,
was wir haben
Sie verteilen das Spartprodukt um, müssen dabei aber immer ein bisschen aufpassen,
dass der Operator hier der Ableitungsapparat natürlich auf der richtigen Seite
von dem Objekt stehen zu bleiben hat, auf das er wirkt.
Und wenn sie dann hier irgendwelche E- und wenn sie das machen,
dann müssen sie sich zum Beispiel für den Time hier einfach E&B vorher vertauschen, das gibt ihm das Minuszeichen.
Sie können es aber auch Komponentenweise explizit nachrechnen. Und wenn sie diese Produktregel hier verwenden,
dann können sie den Time-E.delta Kreuz B einfach umschreiben hier und dann kriegen sie,
wenn ich das richtig geschrieben habe, E.j,
ist eins durch 00, B, Delta, Kreuz E,
minus Absteller 0, E, de, nach DT,
das ist dieser Term hier und dann brauchen wir noch den Term hier,
minus 1 durch mü 0, libergens, E,
Kreuz B.
Hier kommen jetzt nochmal die Max-Vergleichung verwenden,
das ist das Pharadäische Induktionsgesetz,
das ist minus D,
B nach DT
Und dann steht hier, zweimal was,
was nun eine Zeitableitung enthält und das hier, ehemal.de nach DT,
ist nichts anderes, als die Zeitableitung von E-Quadrat.
Ja, sozusagen, das ist die Zeitableitung vom Quadrat,
gibt es hier, das sehen Sie, DT, E-Quadrat einhalb, ja.
Und wenn Sie das hier ableiten, dann verwenden Sie die Produktregel,
kriegen Sie ehemals Zeitableitung von E plus ehemals Zeitablenken von Ede, sind halb da vorne, macht das zu dem.
Und hier haben Sie das Gleiche stehen für B,
ja, das heißt, was hier steht,
ist sowas wie eine Zeitableitung von einer Größe,
die gegeben ist, durch eins, durch zwei Mynol-B-Quadrat,
plus eins durch plus Y 0, halber E-Quadrat,
und hier steht eine Diviagenz von einem Gegenkreuz-B. Und jetzt haben Sie schon fast das,
was wir wollten, nämlich was das eine Zeitableitung von einer Skalangröße,
und hier steht die Diviagenz von einem Vektorfeld,
beiden zusammen, ergebende Kontinuitätsgleichung.
Jetzt müssen wir nur im Prinzip interpretieren,
was sind die Objekte, die hier stehen?
Ich bin mal so langsam. Also, wir,
das interpretieren wir als die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes.
Sozusagen hier, B-Quadrat plus epso 0,
halbe E-Quadrat
Und das hier sind Vector fällt, die Bezeichnungen als den Pointing Vector.
Und damit sieht das Ganze hier schon eher aus
wie eine Kontinuitätsgleichung. Steht hier sozusagen J mal E,
ist die W fällt, nach DT, plus Divagenz S.
Das unterscheidet sich von der Kontinuitätsgleichung, die wir für die Ladung hatten,
genau dadurch, dass hier ein extra Term steht.
Aber der Extra Term muss da sein,
weil die Energie des elektromarktletischen Feldes an sich nicht erhalten sein wird,
weil sie ja an Ladungen koppeln,
weil sie Energie des elektromagnetischen Feldes umwandeln können,
in mechanische Energie.
Das heißt, das hier ist eine Kontinuitätsgleichung mit einem Quellter
Der ihnen sagt, wie geben sie lokal Energie ab an die Welt außenrum.
Also sie schreiben sie immer, sie sehen es,
wenn sie das explizit sozusagen nochmal integrale Form schreiben,
dann haben sie für ein beliebiges Volumen, wieder wie vorher,
einfach, je nach DT, wie fällt,
plus weh mechanisch, ist minus Integral, Rand von Volumen
DA, Punkt S. Und in der Gleichung können Sie es interpretieren,
als ich hier, das hier DNATT, wie mechanisch, das war sozusagen das Integral über JMI.
JMAI ist die Arbeit, die Sie an den Ladungen verrichten,
das Integral darüber gibt die Änderung der mechanischen Energie. Also die Änderung der kinetischen und potenziellen Energie,
die die ganzen Ladungen haben, die sie im Raum haben,
das hier ist einfach definiert als das Integral über das Volumen von dieser Dichte,
Und damit steht hier nichts anderes, heißt,
der Fluss sitzt in die Änderung der mechanischen Energie plus die Änderung dieser,
wie auch immer, definierten Größe,
ist gegeben durch einen Fluss dieses Feldes durch die Oberfläche.
Und das interpretieren sie als einen Erhaltungssatz. Wenn Sie zum,
ja, wir machen da nächstes Mal,
ich wollte eigentlich noch ein Beispiel machen,
ich bin ein paar Minuten zu langsam, wir machen das Beispiel einfach nächste Woche,
wo ich einfach explizit sehen, ich kann Ihnen das Beispiel mal skizzieren,
vielleicht können Sie drüber nachdenken, Das Beispiel wird sein,
dass wir einfach einen Plattenkondensator uns anschauen, den wir entladen,
indem wir hier ein Draht aufspannen.
Wenn Sie das machen, dann fließt hier ein Strom.
Sie haben ein Magnetfeld und ein elektrisches Feld. Sie können explizit
diesen Energiefluss ausrechnen. Und was ist die Interpretation des Ganzen
? Wenn Sie einen Plattenkondensator haben und Sie entladen ihn,
haben Sie am Anfang Energie gespeichert, im elektromagnetischen Feld.
Das ist genau dieses Integral. Nachdem sich dieser Plattenkondensator entlagen
hat, haben Sie keine Energie mehr im elektromagnetischen Feld
Aber dieser Draht hat sich aufgeheizt. Und diese Gleichung wird ihnen dann Interpretationen geben,
dass sie, sondern wenn sie den Energiefluss ausrechnen,
dann werden sie sehen, dass der einfach ihnen gibt,
dass die Energie sozusagen in dieser Anordnung, in diese Richtung fließt.
Das heißt, sie sehen explizit, das ist einfach Energie
vom elektromagnetischen Feld, immer zentral in die Mitte fließt.
Und da ist nur noch der Draht,
und da wird sie dann mechanische Energie umgewandelt,
wie das passiert ist, wissen sie nicht.
Aber am Schluss ist dieser Draht warm. Und das ist
genau mechanische Energie. Also in dem Beispiel können sie
das explizit ausrechnen. Das ist eine sehr schönes Beispiel.
Aber das machen wir nächstes Mal am Anfang der Fotos