Fang, herzlich willkommen wieder mal zur Vorlesung. Ich möchte
eine kleine Wiederholung machen von dem, was wir letztens gemacht haben.
Und letztes Thema war Wechselspannungsschwingkreise oder Wechselspannungseffekte in Kondensatorenspulen und natürlich auch in oben schon Widerständen.
Und ich möchte das vielleicht einfach anhand von einem konkreten Beispiel
noch einmal verdeutlichen, worauf es ankommen wird.
Also die Grundidee war, wir haben vielleicht irgendeine Spannungsquelle.
Und das soll in diesem Fall jetzt mal eine Wechselspannungsquelle sein.
Und wir haben hier vielleicht einen einfachen Schalkreis,
den wir mal aufbauen wollen, aus dem Widerstand.
Ganz normaler Obenscher Widerstand, R, dann ein Kondensator,
C und eine Spule mit Induktivität L.
Und die Frage ist, wie löst man jetzt eigentlich ein solches System?
Und nehmen wir mal an, dass die äußere Spannung vorgegeben ist,
irgendwas kosinos, dinosförmiges oder auch irgendetwas ganz Beliebiges,
dann könnte es hier de facto auch einen ganz kleinen Tick ruhiger sein, damit ich das erklären kann.
Also dann würde die Spannung, die man hier auf diesem Wechselstromkreis hat,
jetzt so zu verstehen sein,
dass man die Spannungen entlang dieses Weges hier aufverdiert und natürlich die Gesamtspannung herauskommen muss.
Und sie wissen, dass da ganz unterschiedliche Gleichungen jetzt
relevant sind, wenn ich versuchen will, das auszurechnen.
Also für den oben schon Widerstand würde hier einfach gelten,
u ist gleich R mal I. Für die Kapazität würde gelten,
I ist gleich C mal DTU. Also zeitliche Änderung der Spannung,
das ist das, was den Strom bewirkt.
Das ist nichts weiter als die Gleichung.
Die Ladung ist auf dem Kollensator, ist der Kapazität mal
der Spannung
Leite ich das nach der Zeit ab, damit aus der Lagerung der Strom,
ja, Kuhpunkt, Zeitableitung der Ladung, ist der Strom.
Und da muss ich natürlich auch auf der rechten Seite ableiten,
also steht da diese Gleichung hier.
Man sieht, die erste Gleichung ist einfach in U.
Die zweite Gleichung ist in der zeitlichen Ableitung von U.
Und die dritte Gleichung wäre dann die Induktion, also L,
mal DTI. Okay, und was man sieht, ist,
wenn ich das jetzt hier mit dem Strom verbinden möchte oder wenn ich den Strom hinschreiben möchte,
in der unteren Gleichung, da muss ich de facto über die Spannung integrieren.
Also mit anderen Worten, die Spule muss ich integrieren,
hier muss ich ableiten und hier kann ich einfach die Spannung so nehmen, wie sie ist.
Das heißt also, ich werde auf jeden Fall,
wenn ich irgendwie eine Kombination von Spulen, Kondensatoren, Widerständen habe, eine Differenzialgleichung erhalten, die ich jetzt eigentlich lösen muss. Und den Trick,
den man verwenden kann, um sich diese Mühe zu ersparen,
vor allen Dingen natürlich, wenn man viel,
viel komplexere Schaltung hat als das hier,
da muss man die Spannung ja nicht einfach so addieren,
sondern da muss ich de facto hingehen,
das ganze Netzwerk ausrechnen über Dinge, die sie kennen,
wie die Maschenregel, wie die Knotenregel,
mit denen man ganz normale Gleichstromkreise auch gerechnet hat,
genausoweit was müsste ich jetzt hier machen,
allerdings mit den Differenzialgleichungen jedes Mal und das macht
das Ganze sehr,
sehr mühselig
Also ist die Idee zu sagen, okay,
wir gehen lieber über in eine komplexe Schreibweise.
Und in dieser komplexen Schreibweise würde man jetzt sagen,
nehmen wir mal an, der Strom sei gegeben,
durch eine einzelne Frequenz, Omega, oder Kreisfrequenz Omega,
dann kann ich die Spannung schreiben als E-Hoch-I-Omega-Tee.
Und die Frage ist, was passiert jetzt an dieser Stelle?
Und ich habe ihn beim letzten Mal bereits vorgerechnet, was dann passiert.
Nun, wenn ich einen komplexen Strom annehme, physikalisch interpretiert,
der Realteil davon ist die ganz normale Spannung, die sie messen.
Wenn ich jetzt also eine komplexe Spannung annehme,
dann muss ich auch zu komplexen Widerständen übergehen.
Und das ganze System wird sehr,
sehr einfach
Und ich reduziere das Lösen von Differenzialgleichung auf die Addition von komplexen Zahlen.
Das ist die ganze Idee dahinter. Okay, also schauen wir an,
was wir hier als komplexen Widerstand letztes Mal schon abgeleitet haben.
Der komplexe Widerstand des oben schon Widerstandes,
also einfach von einem langen Draht,
ist nichts weiter als der ganz normale Widerstand,
den Sie schon kennen.
Da ergibt sich keine Änderung. Das liegt letzten Endes daran,
dass Sie hier in dieser Gleichung keine Ableitung oder Integrale haben.
Deswegen bleibt das so einfach.
Gar keine Änderung beim Kondensator
Erhalten Sie als komplexen Widerstand 1 durch I-Omega-C. Omega, die Frequenz,
mit der ich reingegangen bin oder genau genommen die Kreisfrequenz I ist ganz normal das komplexe E. Wurzel aus minus 1.
Und wir haben für die Induktivität als komplexen Widerstand gefunden,
I-Omega-L. Und wenn ich das mache, dann kann ich jetzt hingehen und sagen,
in diesem einfachen Schwingkreis, den ich jetzt hier habe,
das ist de facto schon Schwingkreis,
wir werden das dann gleich ausführlicher diskutieren,
müsste ich doch jetzt eigentlich hingehen können, einfach alle diese Spannung addieren,
den Gesamtstrom ausrechnen und alle Details von diesem Schaltbild ausrechnen können.
Und de facto kann ich das auch tatsächlich machen,
Ich kann jetzt nämlich hingehen und sagen, okay,
die Spannungen sollten sich hier einfach addieren.
Also addiere ich die Spannungen, rechne mir den gesamten Strom aus,
der da durchkommt. Wenn ich den komplexen Gesamtwiderstand habe.
Beim letzten Mal habe ich ihn versucht,
das noch einmal anschaulich zu machen, was das konkret heißt,
in der komplexen Ebene, also angenommen mal,
ich male jetzt hier eine komplexe Ebene für Z hin.
Das hier ist also Z. Das heißt, hier ist der Realteil von Z.
Hier ist der Imaginärteil von Z. Da wird ein rein oben
schon Widerstand jetzt irgendwie hier liegen, weil das nur der Realteil ist.
Da ist immer noch eine reelle Zahl
Also hier wäre der Obenschirmwiderstand, die Induktivität hat mit I,
Omega L immer einen rein imaginären Zahlenwert.
Und der ist sicherlich immer positiv. Das heißt also,
ich werde mit Omega, I, Omega L irgendwo hier landen.
Und wenn ich einen Kondensator nehme,
dann ist das eins durch I, Omega C,
eins durch I ist das Gleiche wie minus I. Nochmal überlegen,
eins durch I, das Gleiche wie Minoci.
Ich hoffe, das ist okay.
Dann ist das hier eins durch I,
Ja. Okay. Schreiben wir das nochmal hin.
Eins durch E ist gleich E durch E-Quadrat. Ist gleich
minus E. Mit E erweitert. Ja, Debroch. Okay,
das heißt also, ich habe heute einen rein negativen Zahlenwert für den Kondensator.
In diesem einfachen Bild würde das jetzt heißen, sie wissen,
wie sie in einer solchen Reihenschaltung die Widerstände behandeln müssen.
Sie müssen ihn einfach nur addieren. Sie addieren jetzt schlichtweg
die komplexen Widerstände. Das heißt, sie bilden hier
die Summe
In diesem Bildschirm weiß das jetzt, sie bilden die Summe
in dieser komplexen Ebene und sie erhalten an einem Gesamtwiderstand,
der irgendwie in diese Richtung zeigt.
Vermute ich mal. Das wäre jetzt hier also Z-Gesamt,
gleich Summe über die einzelnen Z-Es.
Wenn das eine solche einfache Reinschaltung ist,
dann habe ich ja die komplexen Widerstände addieren,
wie ich die normalen Widerstände addieren darf.
Okay, also wir haben jetzt keine Differenzialgleichung gelöst.
Wir haben einfach den komplexen Widerstand ausgerechnet.
Wie komme ich jetzt auf den Strom? Nun,
ich würde einfach sagen, dass der Strom wie immer gegeben ist.
Sie kennen das aus dem Gesetzchen
ungleich rmai
Dass sie das über umstellen können. Also wer eh
gleich U durch R. Und das müssen sie jetzt eben ersetzen
durch E komplex, ist gleich U komplex durch Z.
Und das ist alles. Das ist jetzt,
also Z gesamt, dann hätte man den Gesamtstrom.
Ich habe keinerlei Differenzialgleichung gelöst. Ich hatte ihn beim letzten
Mal gezeigt, okay, da stecken die Fernzialgleichung dahinter.
Und wenn ich das dann komplex schreibe für einen einzelnen Kondensator,
dann brauche ich die Differenzialgleichung gar nicht mehr zu lösen.
Ich führe einfach den komplexen Widerstand ein und gut.
Und in einer solchen Schaltung kann ich das auch machen,
ja.
Sie hatten eine Frage
Vanilletum, okay, alles klar. Okay,
so weit sind wir beim letzten Mal gekommen und jetzt wollen wir mal versuchen,
ob wir das hier ein bisschen in irgendwelche praktischen Schaltungen umsetzen können.
Gibt es jetzt im Moment dazu Fragen? Jetzt freue ich
mich einmal sehr über Fragen. Das ist auch heute so.
Okay, schauen wir mal. Gut, also das erste,
was ich behandeln möchte, das ist 6.5, Wechselstromschaltungen,
Und wir fangen mit einer bestimmten Konfiguration an.
Man könnte da jetzt alles Mögliche nehmen. Ich habe mich
jetzt hier dazu entschlossen, mal etwas zu nehmen,
was man auch praktisch ganz gut verwenden kann,
nämlich ein sogenanntes RC-Glied.
Und zwar in einer Schaltung, die man einen Hochpass nennt.
Okay, also wie sieht dieses Schaltbild dazu aus
Du hast ja diese Gestalt, wir haben irgendwie eine Eingangsspannung,
uh, die geht zunächst einmal auf einen Kondensator.
Dann auf einen Widerstand. Hier wird aber eine Spannung abgegriffen.
Hier ist der Widerstand. Und hier habe ich irgendwie die
Erde und diese Spannung. U soll eine Wechselspannung sein.
So, an dieser Stelle hier zwischen genau genommen,
zwischen diesen beiden Polen.
Da möchte ich gerne
die Ausgangsspannung UAA abgreifen
Okay, also ich benutze einfach dieses Bauteil,
um in deine Eingangsspannung,
in irgendeine Ausgangsspannung umzuwandeln und genau das möchte ich mir jetzt ausrechnen,
was da denn herauskommen würde, dann würden Sie jetzt sagen,
okay, analysieren wir das Ding mal,
wir haben jetzt hier keine Knoten, Paddon, ja doch,
wir haben keine Knoten, wir haben nur eine Masche,
das ist die Masche einmal über den Stromkreis,
wir würden jetzt also einfach schreiben können,
dass die äußere Spannung U gegeben sein muss durch den Spannungsabfall am Omischen Widerstand plus dem Spannungsabfall am Kondensator und wir schreiben das Gleiche in komplexer Schreibweise,
dann sieht das also so aus,
dass hier ZR mal I steht plus z für den Kondensator und mal i. Einfach ungleich.
Ermal i auf beide Komponenten angewendet. In komplexer Schreibweise in Reella.
Darf ich das natürlich nicht, weil das für den Kondensator
gar nicht gelten würde. Okay, das heißt also,
ich kann das jetzt hier auch nennen, das soll Z-Gesamt mal i sein.
Und z-Gesamt ist dann ja offensichtlich die Summe einfach dieser beiden komplexen Zahlen,
Z-Her, plus Z-C und das ist natürlich kein Pluszeichen hier, sondern ein Gleichheitszeichen.
Okay, ich muss jetzt also nur einfach diese beiden komplexen Zahlen,
ZR und ZC addieren. Und das ist einfach,
mit dem, was ich Ihnen gerade hingeschrieben habe,
was Sie da auch nochmal sehen auf der rechten Seite,
ist das dann hier also einfach Z-Gesamt,
ist R plus 1 durch I, Omega-C.
Das ist das Lösen einer Differenzialgleichung,
was sich gerade betreibt, auch wenn man Betreiber,
auch wenn man das nicht sieht, dass das so ist.
Und daraus kann ich dann natürlich sofort den Betrag von Z
gesamt ableiten. Das ist Realteil zum Quadrat plus Imaginärteil zum Quadrat
und daraus die Wurzel.
Der Realteil ist einfach
Zum Quadrat und der Imaginärteil ist eins durch Omega C.
Zum Quadrat. Und schon bin ich fertig.
Jetzt wollen wir mal schauen, was rauskommt.
Ich interessiere mich noch für eine weitere Sache und das
ist die Phasenlage des Stroms, der am Ende rauskommt.
Und diese Phasenlage der Stroms wird gegeben durch den Winkel in
der komplexen Ebene von diesem gesamten Widerstand.
Also was habe ich jetzt für ein Bild in dieser komplexen Ebene,
die ich vorhin hingemalt habe,
würde das jetzt also so aussehen
Hier ist wieder der Realteil von Z und hier der Imaginärteil von Z.
Jetzt zahle ich also die Situation, dass ich irgendeinen obenschen Widerstand habe.
Und ich habe jetzt ausschließlich einen kapazitiven Widerstand, eins durch E-A-Mega-C.
Das heißt also, was ich jetzt ausrechnen möchte, das ist,
naja, also das soll jetzt hier eine Vektorsumme sein,
ja, Entschuldigung, es ist schlecht gelungen.
Hier ist Z gesamt und ich möchte jetzt diesen Winkel hier gerne ausrechnen.
Und den nenne ich, wie nenne ich mal,
einen Winkel.
Ich könnte ihn mal
fie nennen von
Okay. Gut, was kommt da raus? Nun,
normalerweise macht man das bei komplexen Zahlen ja so,
dass man den Tangens bildet vom Imaginärteil und Realteil.
So machen wir das hier natürlich wieder auch. Ganz normale
Mathematik der komplexen Zahlen. Und da kommt dann raus,
dass der Tangens von Vizet gegeben ist durch minus eins durch Omega-C,
dividiert durch R. Sie sehen, was ich hier gemacht habe.
Ich habe das Minuszeichen eingeführt, damit ich hier kann,
dass das ins Negative läuft, mit der Zahl Omega-C.
Das I lasse ich natürlich weg,
weil ich jetzt hier das Video als Ebene auffassen möchte.
Und R ist dann eben ganz normaler Realteil.
Und das ist nichts als minus eins durch Omega-RC.
Deswegen heißt das Ding halt auch RC-Glied, weil immer diese
Produkte rmac auftauchen werden. Okay. Und der Gesamtwiderstand,
den kann ich dann jetzt eben auch so schreiben,
Z-Gesamt ist Z-Gesamt-Betrag.
Mal eh hoch i-VZ
Das ist also die Interpretation davon. Ich bin jetzt einfach
eine Zahl in der komplexen Zahlenhebene. Okay, jetzt kann ich
mir den Strom ausrechnen. Und dieser Stromwürdiger ist so laufen,
i ist gleich, U durch Z gesamt. So,
jetzt also der Gesamtstrom sein, der da fließt, dadurch.
Und das ist U0, e hoch i Omega Tee.
Und hier habe ich Z gesamt, e hoch ifi Z stehen.
Und das kann ich natürlich die beiden EOI-Faktoren zusammenziehen und dann erhalte ich
Das ist U0 durch den Betrag von Z. Und dann erhalte
ich eh hochi, Omega Tee minus ViZ. Das Minus war
das EOI-Vizet unterm Brustrich stand. Und da sehen Sie jetzt,
dass Strom und Spannung nicht mehr in Phase sind. Der Strom,
verlangt die Spannung, die hatte den,
sollte als komplexe Spannung angesetzt sein,
also immer in der gleichen Form mache ich das hier,
U0, eh hochi, Omega Tee,
der Zeit 0. gerade so gewählt,
dass die Spannung maximal ist zum Zeitpunkt T gleich 0,
sodass das
hier eins ist
Und dann steht da nur, oh, gleich U0.
Die Phase des Stroms dagegen ist jetzt genau um diesen Winkel hier verschoben und sie sehen,
das ist einfach der Winkel in der komplexen Ebene von diesem komplexen Widerstand.
Genau dieses Vizet, das ist auch der Winkel,
mit dem nachher dann Strom und Spannung gegeneinander Phasen verschoben sind.
Okay, es wäre auch so,
wenn ich hier irgendwie einen Anfangswinkel genommen hätte, eine Anfangsphase,
dann würde diese Anfangsphase auch hier stehen,
weil ich da keine U einsetze und dann steht hier
gerade die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom und dass wir wiederum
der Phasenwinkel in der komplexen Ebene des Widerstandes
Okay, schauen wir mal an, was das jetzt heißt,
wenn ich den Ausgangsspannung ausrechnen möchte,
also diese Ausgangsspannung hier, wie würde man das machen?
Nun, ich würde hingehen und sagen,
ich rechne mir das so aus,
dass die Ausgangsspannung UA gegeben sein wird durch den Widerstand,
ZR, also welcher Widerstand,
über welchen Widerstand hier fällt diese Ausgangsspannung ab und dann mal im Strom,
der da durchfließt, einfach ungleich RMLI,
mehr ist das hier nicht, AlE, das wäre in
diesem Fall also einfach ZR, dividiert durch Z-Gesamt.
Ich muss das mal hier anlegen. Dibidiert durch Z-Gesamt
mal U. Und dafür kann ich hier direkt hinschreiben,
ZR ist natürlich einfach der obensche Widerstand. Und wenn ich das einsetze,
also diesen Zahlenwert hier für Z-Gesamt und hier den obenschen Widerstand R,
dann sieht man, dass hier nur noch Faktoren R durch Wurzel von diesem Biest hier auftauchen.
Und das kann man dann ein wenig umschreiben.
Ich klammere das Omega-C gleich aus und dann erhalte ich
Durch die Wurzel aus 1 plus Omega-Quadrat, C-Quadrat, R-Quadrat.
Und dann steht hier U mal eh hoch, i, Omega-T-Fizet.
Opadon. Ja, so würde es auch stimmen.
Ich habe es jetzt hier in einer etwas anderen Form hingeschrieben.
Ich habe hier nicht U0 hingeschrieben,
sondern einfach U und dann ist das hier nicht EU-I, Omega-T.
Das steckt ja schon in dem U drin.
Sondern es ist das EU-Minus I-Fizet
Naja, also das wird zunächst. Jetzt versuche ich doch
nochmal. Okay. Was wir jetzt hier sehen,
das ist jetzt also relativ zur Eingangsspannung, ist die Ausgangsspannung UA,
gerade so, dass sie ein bisschen Phasen verschoben ist,
um diesen Winkel hier wieder mal in der komplexen Ebene von dem Widerstand.
Und dann taucht ein Faktor davor auf,
der Omega-CR durch 1 plus Omega-Quadrat, C-Quadrat-R-Quadrat ist.
Also ein Frequenzabhängiger Faktor
Mit anderen Worten, diese Schaltung, die hier steht,
reagiert auf unterschiedliche Frequenzen, mit denen ich hier reinkomme, völlig unterschiedlich.
Malt man sich das einmal auf, wie das aussieht.
Dann erhält man jetzt,
mal jetzt hier auf UA, die Ausgangsspannung als Betrag,
aber und hier die Frequenz Omega und ich kennzeichne hier mal
die Linie bei der UA,
gerade die Eingangsspannung U0 wäre
Und das, oder U zum Betrag kann ich dafür auch
hinschreiben, das ist ja gerade U0.
Das soll also diese Linie hier sein. Dann erhält man
als Bild eine Funktion, die sieht so aus. Okay,
das heißt also als Funktion der Frequenz ist es gerade so,
dass die Ausgangsspannung fällt bei großen Frequenzen und sehr groß ist,
bei kleinen Frequenzen.
Bei kleinen Frequenzen ist sie de facto ganz ähnlich wie die Spannung selber.
Also die Eingangsspannung selber. Opa, jetzt habe ich in
den Tiefpass hingemalt. Ich wollte ihn aber eigentlich in den
Hochpass hinmalen. Das ist keine gute Idee gewesen
Wer auch immer mir jetzt hier in meiner Zeichnung rumgefummelt hat,
ich nehme an, das war keiner von Ihnen.
Interessant. Da hat man noch immer was dazu. Also,
ich male ein Tiefpass hin, dann sieht das so aus,
pranger Hochpass hin. Also, warum ist das so? Nun,
wenn Sie hier Omega haben, Dann ist es klar,
bei Omega gleich null wird das hier schlichtweg verschwinden.
Hier steht ja immer noch eine Eins unterm Bruststrich.
Und bei sehr, sehr hohen Frequenzen ist es so,
dass sie die Eins vernachlässigen können.
Und dann ist das hier dividiert durch diesen Teil mit
der Wohlzahl an den Quadraten, die sich gegenseitig wegheben.
Gerade einfach eins. Das heißt also bei hohen Frequenzen schaltet der glatt durch.
Man kann sich das auch sehr einfach veranschaulichen, bei sehr,
sehr hohen Frequenzen mit der Widerstand von dem Kondensator einfach
sehr klein und die volle Spannung fällt hier drüber ab.
Dann ist das hier quasi ein Kurzschluss bei sehr hohen Frequenzen.
Das ist ja auch genau die Formel, die wir bekommen haben,
hier für den komplexen Widerstand vom Kondensator.
Das ging mit Eins über Omega. Kein Wunder,
dass wir das dann im Ausgang auch wiederfinden
Okay, also wir halten daraus für diesen Spannungsteil,
den wir hier im Grunde vorliegen haben zwischen Kondensator und Widerstand, ein ganz klares Frequenzverhalten.
Und solche Schaltungen werden de facto benutzt, ganz häufig in
der Elektronik, um irgendwelche Frequenzen zu filtern. Ja,
wenn sie zum Beispiel der Meinung sind,
dass ihre Stimme nicht so gut rüberkommt,
also nehmen wir mal meine Stimme hier,
die ist ihnen, sagen wir mal,
zu tief oder zu hoch oder was,
dann schalten sie halt so einen Hochpass oder Tiefpass dazwischen und schon sind die hohen Töne weggedrückt.
Oder eben durchgekommen. Ich zeige Ihnen das Gleiche jetzt nochmal
ganz kurz in einem RC-Glied als Tiefpass und dann
möchte ich Ihnen das auch mal experimentell zeigen
Okay, also, 6, 5, 2, RC-Glied.
Als Tiefpass. Okay, was würde man hier machen?
Man geht so vor,
dass man den Omschen Widerstand und den Kondensator einfach in der
Reihenfolge vertauscht und die Spannung abgreift über dem Kondensator
Das heißt also, meine Ausgangsspannung soll hier liegen.
Ich hätte das Bild natürlich auch anders malen können,
sodass Kondensator und wieder stand in der gleichen Reihenfolge bleiben und
ich einfach nicht unten abgreife, sondern oben abgreife.
Aber ich würde eine vernünftig geerdete Spannung haben. Also machen wir
das jetzt mal so, das hier ist die Ausgangsspannung.
Und ich kann jetzt wieder genauso vorgehen und hinschreiben,
dass die Ausgangsspannung gegeben ist durch ZC mal I.
Den Stromima habe ich von vorhin ausgerechnet. Der hat sich an
überhaupt nicht geändert. Der Gesamtwiderstand ist ja der gleiche.
Ob ich die Summe der beiden Widerstände in einer
oder in einer anderen Reihenfolge bilde, ist ja egal.
Das heißt also, ich halte hier ZC durch Z gesamt
Mal U. Und das kann ich sofort hinschreiben als eins durch I,
Omega-C, dividiert durch. R plus eins durch I,
Omega-C, mal U. Und damit erhält man als Durchlassfunktion,
das ist also gerade das Verhältnis, Betrag, Ausgangsspannung.
Ich lasse also die Phasen einen Unterschied weg,
die bedient durch Betrag der Eingangsspannung.
Ist dann einfach eins durch Wurzel aus eins plus Omega-Quadrat
, C-Quadrat.
Okay, das ist also die Durchgangsfunktion für einen Tiefpass.
Und diese Funktion kann man auch hinmalen, die sieht dann irgendwie so aus.
Das ist die, die ich vorhin eigentlich malen wollte.
Das hier wäre also der Tiefpass. Okay. Gut. Wir wollen
an dieser Stelle ganz kurz einmal einen kleinen Seiteneffekt machen und einmal anschauen,
was wir eigentlich mit diesen Schaltkreisen insgesamt erreichen wollen.
Normalerweise denken Sie in der Wechselspannung,
das ist ganz normale Sino-Schwingung mit einer bestimmten Frequenz,
nehmen Sie 50 Hertz aus der Steckdose
Aber de facto ist das, was wir hier natürlich
von uns geben, etwas viel, viel komplizierteres.
Also nehmen Sie eine normale Stimme, dann wissen Sie eine normale Stimme,
ist nicht so ganz einfach zu singen in dem Moment,
wo man versucht, eine reine Sino-Schwingung von sich zu geben.
Also man müsste dann schon einen wirklich genauen Ton treffen und
das werde ich jetzt mal versuchen.
Also versuchen wir mal. Also, Sie sehen, was
passiert. Ich kann das noch mal mit Flöten versuchen.
Jetzt ist die Zeiteineinstellung wieder nicht optimal her.
Wollen wir noch ein bisschen schneller werden
Gibt es noch nicht. Ups. Ach, die Einstellung
ist wieder verändert. So, ich muss jetzt mal
dauerhaft reden, damit man hier irgendwie was Gescheites sieht.
Ja, jetzt sieht man das so in etwa.
Und sie sehen, dass das Schwingungsbild wirklich kompliziert wird.
Das war schon nicht so schlecht. Aber wir haben natürlich
jede Menge Obertöne und so weiter und so weiter.
So, was nützt es jetzt, wenn man sich dieses Bildchen ja einmal anschaut?
Was nützt es, wenn man so einen Tiefpass baut?
Nur man wird natürlich jetzt ganz bestimmte Frequenzen unterdrücken damit oder
eben bevorzugen, wenn man Tiefpass oder Hofpass hat
Man muss sich das jetzt also so vorstellen, dass wir de facto eine Furiot-Zertigung machen.
Das ist genau das, was Sie bereits ja gerade bei Martin hören.
Also meine Stimme selber besteht aus etlichen Frequenzen,
irgendwie wild überlagert, mit bilden Phasenverschiebungen dadurch.
Und wenn Sie das analysieren wollen, dann passiert eigentlich zwei Schritte.
Und das ist das, was jedes elektronische Gerät letzten Endes macht.
Jedes elektronische Gerät hat eine bestimmte Kennlinie bezüglich der Frequenz.
Das ist das, was wir hier hingemalt haben bezüglich der Kreisfrequenz. Das heißt also,
jedes elektronische Gerät wird automatisch eine Frequenzanalyse der Stimme machen,
Das sind einzelne Frequenzen aufspalten,
die einzelne verschiedene Amplituden haben, dann werden diese Amplituden,
je nach Frequenz, durchkommen oder nicht durchkommen,
durch das elektronische Gerät, den Verstärker,
den sie haben, was auch immer.
Und dann im Ausgang wieder automatisch zusammengebastelt. Das ist genau das,
was bei einer Foré-Zerlegung funktioniert. Also sie haben einen Amplitudenspektrum,
oder sie haben eine Amplitude als Funktion der Zeit.
Daraus macht die Forée-Zerlegung eine Amplitude als Funktion der Frequenz.
Diese Amplituden als Funktion der Frequenz werden gedämpft oder eben
nicht gedämpft, so wie man das hier sieht
Und was dann passiert ist, dass sie nachher wieder addiert werden.
Das ist die Rücktransformation der Foyer-Transformation. Und dann hat man wieder
die Amplitude, die neue Amplitude als Funktion der Zeit.
Da oben war eine Frage. Kann man das alles über digital machen?
Das geht analog, dass man sich ihnen hier gezeigt hat,
hat ja nichts mit Digitaltechnik zu tun.
Sie sind da keine Bits oder so etwas auf dem Bildschirm.
Ich mache das rein analog. Es braucht nichts als einen
Kondensator und einen Widerstand und dann passiert das de facto analog.
Sie können also dieses ganze, dieses ganze Stimmen wäre wahr,
was ich da jetzt von mir gebe, auffassen,
dass sie das jetzt, ich denke,
das ist eine Überlagerung von vielen Sinuswellen, bei verschiedenen Frequenzen,
die unterschiedlich reagieren auf dieses Bauteil und danach natürlich dann automatisch weitergegeben werden.
Und dann sehen sie wieder nur die Summe aller dieser Effekte.
Das ist eigentlich die Stärke oder das ist eigentliche Wesen von diesen Foyer-Transformationen,
dass wir, weil die Bauteile alle frequenzabhängig sind,
zumindest die interessanten Bauteile alle frequenzabhängig sind,
dass man dann auf diese Art und Weise eine sehr,
sehr einfache Analyse machen kann zu dem, wie ein Schaltkreis tatsächlich funktioniert.
Ich will Ihnen das mal zeigen,
anhand von einer von einem kleinen Applet, das wir hier haben,
mit das de facto eine Foyer-CDU machen kann.
Also wir fangen mal an mit einer reinen Sinusschwingung
Und ich mache das mal an. Das ist noch einigermaßen
erträglich. Ein schöner, tiefer Ton, 220 Hertz.
Ich hoffe, Sie können das so einigermaßen lesen hier,
220 Hertz. Und das ist jetzt einfach eine Sinuskurve.
Hier sind die Sinusamplituden bei verschiedenen Frequenzen. Ich kann jetzt mal
eine Höre dazunehmen. Nehmen wir mal so einer hier.
Ja, das mögen Sie. Schön. Okay,
und Sie sehen, was passiert.
Die eine wird einfach auf die andere aufaddiert. Ja,
das ist genau das, was passiert. Sie sehen das
jetzt hier in dem oberen Bild als Funktion der Zeit.
Ich mache das mal wieder weg, Entschuldigung.
Ich kann da nicht gegen andere reden, ja.
Sie sehen, da bleibt so
ein etwas
Das ist so ein bisschen schwer zu erkennen.
Können Sie die rote Linie von da oben aus sehen?
Geht das? Ja. Okay. Also die ist jetzt ein bisschen wackelig,
weil ich das de facto nicht ganz zurückgenommen habe und
man hört da auch noch so einen fiesen Obertölen.
Hören Sie den? Ja, das mögen sie.
Ich mache den mal ganz weg. Okay. Dann nehmen
wir mal vielleicht eine etwas unangenehmere, etwas angenehmere Frequenz.
Dazu nehmen wir mal die hier. Und überraschenderweise ist die
Summe dieser beiden Frequenzen jetzt de facto schon etwas rechteckiges,
fast dreckig. Rechteckig, jetzt sehen Sie das.
Versuchen wir das nochmal
ein bisschen besser hinzukriegen
Vielleicht mache ich den Tick höher. Und ich bin schon
etwas rechteckiger geworden. Okay. Und sie sehen,
was passiert. Das ist eine Foyerzerlegung. Okay,
machen wir das mal lieber automatisch. Dann sehen Sie,
was jetzt passiert. Es ist mir echt zu laut hier.
Klar, meins. Ich hoffe, ihr hört das.
Da kann ich dich gegen anschreiben. Könnt ihr
einen Tick leiser drehen
Nee, nicht so leise. Das macht ja gar keinen
Spaß mehr. Ein bisschen Kampfgeist muss dabei bleiben. Okay,
also, das ist ganz ähnlich für die Übungsaufgabe,
die Sie für Mittwoch dran aussagt rechnen sollten.
Was Sie jetzt sehen, da sind verschiedene Frequenzen und Sie sehen,
welche dazu addiert werden müssen. Im bestimmten Ampitunenverhältnis sind die Grundschwingung,
die nächste deutlich kleiner, immer kleiner, werden Ampituden und
mehr oder weniger jede zweiten Eintrag haben Sie hier.
Das ist genau das, was aus der Furitzerlegung herauskommt. Wenn Sie versuchen,
eine Rechteckspannung über eine Furitzerlegung zu zeigen, ja,
und diese gelbe Linie ist jetzt nichts weiter als die,
die jetzt hier gelb gezeigt ist,
wenn ich das da rausnehme,
Entschuldigung,
lieber Hör
Hat jemand Mitleid? Also, lass uns die Höre,
das ist die hier, das ist die,
ups, jetzt habe ich die falsche erwischt,
das ist diese hier gewesen und die Grundschwerung war gerade diese hier.
Okay? Und sie sehen, dass man damit dann schön
etwas machen kann. Hops, ja komm mal her,
der will gar nicht. Okay, also mit anderen Worten,
man kann sich beliebige Formen des Signals, Hauptsache periodisch,
aus der Summe von Sinusschwingungen zusammenbasteln. So ähnlich,
wie man jede beliebige Funktion durch eine Reihe von Polynomen,
Taylor-Zerlegung, So können wir jede periodische Funktion auch so zerlegen.
Das ist der eigentliche Trick. So, jetzt machen wir mal
einen Tiefpass. Also ein Teil, bei dem hohe,
bei dem tiefe Frequenzen gut durchkommen und hohe Frequenzen nicht,
naja, was wird passieren?
Die hohen Frequenzen werden in ihrer Amplitude kleiner werden,
vielleicht sogar null, vielleicht nicht negativ, naja.
Okay, und die Grundfrequenz wird vielleicht bleiben.
Und sie halten ein etwas anderes Bild. Sie hören das
auch vom Ton her, dass das einfach anders wird.
Ja, ich zeige Ihnen das nochmal an einem anderen Beispiel,
einer Dreieckigenspannung, können Sie einen Tickel lauter machen vielleicht
Okay, das ist eine dreieckige Spannung, ja, approximiert durch Sinus-Funktionen.
Panon, in diesem Fall durch Cosinus-Funktionen. In dieser Amplitude,
dieser Amplitude, und dann kommt noch ein bisschen was dazu,
dann stirbt es aber schon sehr, sehr schnell aus.
Eine dreieckige Spannung kann man, oder eine dreieckige Wellenfunktion kann man sehr,
sehr leicht approximieren, durch Cosinus-Funktionen, ja.
Ein Hochpass würde es jetzt so machen,
dass die hohen Frequenzen besser durchkommen und die Tiefen weniger gut.
Also, was passiert in jedem elektronischen Instrument,
also in ihren Kopfhörern oder in ihrer Stehananlage oder sonst irgendetwas
Die Stehunganlage hat einen bestimmten Frequenzgang,
der ist normalerweise relativ gut in dem Bereich,
in dem sie akustisch auch was hören können.
Also sagen wir mal, irgendwo zwischen 10 Hertz und 20.000
oder so, wenn sie eine gute Anlage haben.
Und in dem Bereich geht das alles gut. Also 20.000 Hertz.
Ja, ja. Entschuldigung, ich könnte einfach nicht widerstehen.
Also diese sehr, sehr hohen Frequenzen, die sind dann super angenehm.
Wenn sie aber jetzt zum Beispiel sagen, die 50 Hertz,
die jetzt hier leider gar nicht mehr zu sehen sind,
aus der Steckdose, die wollen sie gerne ihrem Gerät unterdrücken,
dann brauchen sie etwas mehr.
Also angenommen, ich habe jetzt hier irgendwie so ein Schema,
bei dem irgendwas hier hoch ist.
Naja. Wichtig schöne Orgelpfeifen haben wir hier. Okay,
sie hören das alles heraus. Und was ist,
wenn sie jetzt einen störenden Effekt haben in ihrem Gerät?
Zum Beispiel dadurch,
dass die Steckdose 50 Hertz liefert und über den Transformator an
ihrem Gerät etc. etc. läuft diese Spannung immer noch mit durch,
wird mit verstärkt und sie haben permanent dieses 50 Hertz Brummen im Ohr.
Dann brauchen sie etwas, was eine bestimmte Frequenz unterdrückt
Aber nur die eine. Und die anderen wollen sie
möglichst alle haben. Ja, als Beispiel. Nehmen sie
ein Radio. Ja, wenn sie bei einem Radio
irgendwie 103,6 einschalten wollen, was müssen sie dann machen?
Sie müssen eine spieltimte Frequenz durchlassen und alle anderen versuchen auszublenden,
zu unterdrücken. Und dazu brauchen sie Bauelemente wie RC-Glieder,
genau genommen wie Schwingkreise, RCL-Schwingkreise und so weiter.
In der Pause werde ich damit noch ein bisschen spielen,
ja. Aber jetzt machen wir den ersten RCL-Schwingkreis.
Ja. Soll auch einer sein, dass Physik keinen Spaß macht.
Mir hat das jetzt gerade Spaß gemacht. So,
also, schauen wir uns mal an, ein RTL-Serien-Schwingkreis.
Das ist im Grunde der, den ich vorhin schon mal
am Anfang der Vorlesung bei der kleinen Wiederholung angedeutet habe.
Ja, da scheppern die Ohren. Also,
das ist 6.6. RCL.
Und ich möchte eine kleine Frage vorwegstellen. Sie haben in
der Physik 1 Vorlesung Schwingungen kennengelernt. Und da wackelten
irgendwelche Pendel rum oder irgendwelche Fehler oder sonst irgendwelche Dinge.
Haben Sie Dinge kennengelernt, wie den aperiodischen Grenzfall?
Einer nickt. Es ist immer ein gutes Zeichen,
wahrscheinlich schon in der Schule. War Teil der Vorlesung?
War sehr kurzer Teil der Vorlesung. Warum hätte ich
auf diese Antwort wetten können? Haben Sie Dinge kennengelernt,
wie die Güte eines Schwingkreises
Ja, im Praktikum. Okay, das macht ja Sinn.
Okay, schauen wir mal. Also, wenn Sie Fragen dazu haben,
ich möchte jetzt natürlich nicht die Mechanik wiederholen,
wäre das aber de facto ein bisschen doch machen müssen,
spätestens dann, wenn wir zu Wellen übergehen.
Darf ich mal fragen, haben Sie Wasserwellen besprochen?
In der Vorlegung? Keine Wellen. Nichts hat gewählt.
Nichts ist gewählt gewesen. Okay. Ja, ja.
Gut, also schauen wir mal an. Wir nehmen den
gleichen Schwingkreis, den ich vorhin hatte und vielleicht kann ich
das hier sogar
irgendwie theoretisch zumindest
Den da. Ja. Und schau mal an, was
wir da zu aufschreiben können. Eigentlich kennen wir das, ja.
Wir können jetzt hingehen und sagen, für diesen Schwingkreis bilden wir den Gesamtwiderstand.
Und weil das alles schön in Reihe ist,
brauchen wir einfach nur die Widerstände zu addieren.
Der Gesamtwiderstand ist also einfach CC plus ZL plus ZR.
Und das kann ich sofort hinschreiben, als eins durch I,
Omega, C plus I, Omega, L plus R.
Die bekannten komplexen Widerstände. Und das kann ich natürlich zusammenfassen zu R,
rein reeller Teil, plus I, der rein imaginäre Teil,
und der wird jetzt die Form haben, Omega-L minus eins durch Omega-C.
Das Minus entsteht weder durch das Eins durch I bei Omega-C. Okay,
jetzt sehen Sie schon, was passieren kann, nämlich Resonanzfälle.
Warum Resonanzfälle? Nun, angenommen, Sie haben ein gegebene
Induktivität L, und gleich werden wir irgendwie sowas wie Hunde82
Millie Henry haben und eine Kapazität von 0,047 Mikrofahrrad,
also irgendwelche feststehenden Boylemente,
und Sie gehen mal mit irgendeiner Frequenz da rein,
dann sehe ich hier dran,
dass Sie die Frequenz so einstellen können,
dass dieser Ausdruck
gerade null wird
Nur omega entsprechend zu wählen. Entsprechend dieser beiden Zahlen.
Das kann ich jederzeit einrichten. In dem Moment ist der
rein imaginäre Anteil weg und ich habe nur noch den obenschen Widerstand.
Erstaunlicherweise bedeutet das dann, dass diese beiden Bauelemente bei dieser einen speziellen Frequenz,
bei der dieser Teil verschwindet, überhaupt nicht mehr den Gesamtstrom beeinflussen.
Der Gesamtstrom wird nur noch durch den obenschen Widerstand R gegeben,
denn das ist ja das Einzige, was den Gesamtwiderstand jetzt noch ausmacht.
Okay, also in dieser Fall habe ich dann eine ganz klare Resonanz.
Bei allen anderen Werten von Omega werde ich das nicht erreichen können,
dann wird dieser Ausdruck immer ungleich null sein und wenn ich dann Betragsquadrat hiervon bilde,
bekomme ich Realteilquadrat plus einen endlichen Imaginärteilquadrat und daraus die Wurzel,
das wird dann der Gesamtwiederstand anders machen.
Das genau wollen wir jetzt ableiten. Und man kann jetzt
relativ leicht hingehen und sich überlegen, wie man das am besten analysiert.
Und ich zeige ihnen so ein bisschen schon,
wie man dann am effektivsten da rangeht.
Also ich definiere mir zwei Größen, nämlich die Eigenfrequenz dieses Schwingkreises,
Omega 0, das ist eins durch Wurzel aus LC.
Das ist also
die Eigenfrequenz
Und sie sehen, wenn sie das einmal hier einsetzen,
vielleicht schon, dass genau für diese Frequenz Omega 0
hierfür Omega eingesetzt dieser Ausdruck gerade null ist.
Das ist also eine charakteristische Größe. Eine weitere, die nenne ich R-L-C.
Und das ist gerade Wurzel aus L, dividiert durch C.
Eine allgemeine Bemerkung. Sie werden sich vielleicht wundern,
dass hier Frequenzen irgendwie was mit Kapazitäten,
also Fahrrad und Henry für die Spule zu tun haben,
passt das einheitsmäßig überhaupt?
Ist das hier, was ich hier hinschreibe,
Induktivität durch Kapazität, ist das wirklich von der Dimension
her um
Wenn man auf die Wurzel zieht. Das ist tatsächlich so. Rechnen Sie das unbedingt mal nach,
damit Sie ein Gefühl dafür bekommen, dass das alles okay ist.
Setzen Sie SI-Einheiten ein, dann ist das alles fein.
Da stecken keine verborgenen Konstanten oder so etwas da drin.
Okay. So, wenn man das hat,
diese beiden Größen, die definiere ich mir jetzt einfach mal.
Also RLC ist so ein charakteristischer Widerstand und dann,
wie gesagt, die Eigenfrequenz,
dann kann ich einmal hingehen und diesen Imaginärteil, der hier steht,
umschreiben zu Omega L minus 1 durch Omega C,
setze einfach diese beiden Größen ein, dann erhalte ich gerade Herr RLC,
das ist die eine Größe, die ich mir definiert habe.
Und dann erhalte ich einen Ausdruck Omega-Quadrat-Omega-0-Quadrat, also die Frequenz minus
der Eigenfrequenz zum Quadrat. Und hier unten steht das Produkt.
Omega, Omega-0. Okay. Und damit kann ich mir dann den Gesamtwiderstand wiederum schreiben,
als, wenn ich mal hier den Betrag nehme,
dann ist das natürlich die Wurzel aus R-Quadrat plus dieser Klammer,
die ich da oben habe zum Quadrat, Realteil,
Quadrat plus die Maginärteilquadrat.
Und das ist dann Wurzel aus R-Quadrat plus eher Quadrat LC.
Und dann steht hier noch dieser Ausdruck, Omega-Quadrat-Omega-0-Quadrat.
Durch Omega-Omega, Omega-0, Omega-0 sollte das da heißen.
Das ist der Gesamtwiderstand. Setzen die einfach die Zahlen ein
oder die Größen ein, dann kommt das so heraus.
So, was bedeutet das jetzt? Der Gesamtwiderstand ist irgendwie eine Konstante,
also vom Betrag jetzt her, enthält diese Konstante Dann als
charakteristischen Wert hier wieder einzahlen Wert, der dieser charakteristische Widerstand ist.
Und das hier ist eine dimensionslose Größe, die jetzt von der Frequenz abhängt.
Auf diese Art und Weise haben wir schön die Frequenzabhängigkeiten da zusammengezogen.
Und sie sehen, dass das tatsächlich hier eine charakteristische Größe ist,
nämlich genau das, was den frequentabhängigen Teil in seiner Stärke beschreiben würde.
Okay, dann wollen wir hingehen und bei diesem Bildchen,
das wir hier am Anfang hatten,
das ist also das Gleiche wieder links jetzt,
wollen wir mal die Spannung abgreifen und ich möchte das jetzt so machen,
dass ich die Spannung hier an dem Widerstand angreife,
abgreife, Und diese Spannung nenne ich UA.
Ich ignoriere jetzt mal, dass das Ding nicht so doll geerdet ist.
Und... Hierbei bin ich störbar. Gar nicht.
Okay, und würde dann mir diese Ausgangsspannung ausrechnen.
Und diese Ausgangsspannung UA ist dann gegeben durch den Widerstand,
an dem die Ausgangsspannung abfällt, mal dem Strom,
der fließt, durch die Anordnung.
Und das ist genauso, wie wir das freuen,
hatten ZR durch Z gesamt
Mal. Oh. Also der Eingangsspannung. Und als Durchlassfunktion
habe ich dann UA, dividiert durch U und das betragsmäßig.
Ich will jetzt also nur die maximale Größe wissen.
Das ist dann genau dieser Ausdruck, den wir hier haben.
Aus offensichtlichen Gründen. Okay. So,
schauen wir uns mal an, wie das jetzt aussieht.
Und das können wir nochmal schnell in einem Experiment vor der
Pause machen. Wir wollen jetzt also einmal, ja,
ich hole den Experten-Sicherheitshalber mal dazu
Bin ich eigentlich irgendwie auf die Kamera umschalten.
Das ist, glaube ich, die Kamera. Okay,
was haben wir hier aufgebaut? Wir haben hier genau so
einen Schwingkreis aufgebaut mit einer Kapazität und einer Induktivität,
die beide relativ kleinen Zahlenwerte sind, die Kapazität ist 182.
Milli Henry und die Kappa-Parantinduktivität und die Kapazität
ist 0,047 Mikrofahrrad
Und der Widerstand ist 4,7 Kilo rum, den wir jetzt
hier haben. Beziehungsweise kann man auch durchstimmen. Okay,
und wir wollen jetzt einmal schauen, wie das jetzt aussieht.
Das, was dieser Apparat hier kann, ist,
er verändert automatisch die Frequenz.
Und zwar fährt er die langsam mit der Zeit durch.
Das heißt, die Frequenz wird einfach immer höher werden.
Und sie werden das dann auch optisch hören,
ist jetzt eine neue Methode, akustisch hören.
Und ich weiß nicht, ist der Lautsprecher jetzt eingeschaltet?
Da hatte ich runtergedreht. Ah ja, ein bisschen mehr
. Okay. Und an diesem aus Teleskopbild,
das Sie jetzt hier sehen, werden Sie gerade diese
Ausgangsspannung sehen
Kann man nicht sagen, relativ leicht die Funktion einmal anzeigen lassen,
die da jetzt herauskommt. Also denkt sie sich so,
wir gehen mit der konstanten Spannung rein.
Sie hören das mit einer kleinen Einschränkung,
dass ihre Ohren nicht so toll sind.
Ja, also sie haben je nach Frequenz sehr,
sehr unterschiedliches Hörvermögen. Sie werden das ja auch gleich hören,
dass sie je nach frequent unterschiedliches Hörvermögen haben.
Okay. Und wir schauen uns die Ausgangsspannung an und wir
fahren das jetzt einfach mal durch.
Ich muss jetzt mal den Nullpunkt hier erwischen.
Da geht es los. Okay, dann machen wir hier
nochmal auf Null.
Ja, das war jetzt gerade optimal.
Ich mache es
gleich nochmal
Jetzt starten wir. Das geht wieder außerhalb des Bildschirms,
das war ja klar. Wir können das quasi nicht sagen
. Okay, und los geht's. Hier ist Lotscha.
Wir finden das auch lauter. Okay, also was Sie
hören, das ist die Ausgangsspannung. Ja,
und Sie hören bei einer bestimmten Frequenz, die kommt durch.
Also es ist nicht eine Frequenz,
das ist ein ganzes Frequenzbrand,
Sie sehen diese Breite hier und das wird jetzt hier durchgefahren im Frequenzbereich zwischen,
wo hört man das,
140.000 bis 10.000 Hertz, also gut in ihrem Hörbereich.
Diese Resonanzfrequenz, die Sie jetzt hier gerade sehen,
bei der die Ausgangsspannung maximal ist,
die ist 1,7 Kilo Hertz oder so etwas, war das, ne?
1,7 Kilo Hertz, genau. Okay, das heißt also,
was müssten wir jetzt machen, um das zu verstehen?
Sie müssten sich diese Funktion hier, die hier steht,
einmal anschauen. Und wenn Sie diese Zahlenwerte hier einsetzen in
die Definition von Omega-0 und von RALC, dann werden Sie sehen,
dass dieser Ausdruck gerade bei 1,7 Kilo Hertz verschwindet.
Und dann haben wir nur noch den obenschen Widerstand
Und dann ist die Ausgangsspannung maximal. Und da ist man
wieder bei der Frick bei der, nicht genau bei der richtigen Frequenz,
dann wird eben die Ausgangsspannung deutlich kleiner werden,
weil immer dieser Ausdruck hier positiv dazukommt.
Okay, da ist eine Frage. Was sein,
dass Sie bei der Mitschrift, man muss eins,
auch unter das Internet vergessen machen, bei Geburtstag bestoßen.
Ja, schon wichtig. Ja, sehr schön.
Das war die Frage eher. Super, dankeschön
Ja, das klingt logisch, ne? Das. Nochmal bitte?
Ja, Martin und Ruhe ist trotzdem mal in uns.
Das heißt, dann steht er eher durch die Wurzeln.
Ich werde trotzdem nicht mehr da sein. Ja,
ja, man sollte nie versuchen, Abkürzung zu nehmen.
Wenn man kein Navi hat. Okay, also,
schreiben wir die Formel nochmal sauber hin.
UA dividiert durch U. Ich glaube, das war es erstmal.
Wir machen gleich Pause. Dankeschön. Und ist dann also,
wenn ich das ausdividiere, das Erde rausziehe aus der Klammer,
ist das 1 plus R, Quadrat, LC, durch R-Quaddrat.
Dann taucht dieser Frequenzausdruck auf, Omega-Quadrat-Omega, Nullquadrat,
durch Omega, Omega, Null zum Quadrat und das ganze Hochminus 1.
Jetzt war das, glaube ich, richtig, ne?
Mit einiger Wahrscheinlichkeit. Okay, wir machen eine kleine Pause,
drei Minuten, mir immer, dann geht's weiter und dann möchte ich auch auf Verschiebungsströme zu sprechen kommen.
Jetzt machen wir mal weiter. Also,
was wir jetzt hier gesehen haben, gerade bei diesem Versuch ist,
dass sie durch zwei solche Bauteile oder drei,
also zwei die Meter Frequenz, zu tun haben,
wie Kondensator und Spule und einem Widerstand eben eine Frequenz erzeugen können,
die einen Frequenzgang erzeugen können, der so aussieht,
dass sie eine Resonanzfrequenz haben bei dem Ausgang,
aber hier auch eine deutliche Breite.
Das heißt also, das ist jetzt nicht gerade ein Radio,
was sie hier haben. Denn bei einem Radio,
da müssen sie sehr, sehr im Detail auch kleine Frequenzunterschiede unterscheiden können,
damit sie natürlich bei einem Sender landen und nicht bei einer Summe verschiedener Sender.
Okay, das heißt also, eines der Ziele muss es klar sein,
Bauteile zu erzeugen, die hier sehr,
sehr schmal sind
Facto geht das durch eine geschickte Wahl der Kondensatoren und der Widerstände.
Kondensator und Spule und Widerstand können sie es tatsächlich erreichen,
dass diese Breite hier auch deutlich kleiner wird bei der gleichen Frequenz.
Sie haben ja mehrere Parameter zur Verfügung, den Omenschwiderstand,
die Größe des Kondensators und der Spule, also drei Größen haben sie.
Und wenn sie diese drei Größen sich überlegen, zwei davon brauchen sie,
um diese Frequenz hinzubekommen und dann haben sie immer noch Freiheiten.
Damit können sie auch diese Breite schmaler kriegen.
Ich möchte noch auf eine andere Sache hinweisen,
die sie wahrscheinlich von Resonanzen her kennen,
aus der Mechanik
Ja, also Praktikum oder auch in der Vorlesung oder
auch einfach aus dem ganz normalen Leben.
Wenn sie irgendeinen Pendel haben und stoßen das genau mit der
richtigen Frequenz an, dann erzeugen sie immer größerer am Petun.
Diese Frequenz ist in diesem Fall einfach die Eigenfrequenz,
mit der das Pendel sowieso schwingen würde.
Und das ist hier gerade gegeben durch eins durch Wurzel aus L mal C.
Das ist die Frequenz, mit der der Kondensator und die
Spule sowieso schwingen würden, also deren Energieinhalte zum Beispiel.
Und auf der anderen Seite können sie jetzt durch eine äußere Anregung versuchen,
die Amplitude da maximal zu kriegen und wenn sie einfach mit der falschen Frequenz anstoßen,
dann wird sich irgendwann ihr Panel gar nicht mehr bewegen.
Wenn sie zum Beispiel permanent versuchen zu stoßen,
dann haben sie gar keinen Effekt mehr,
wenn sie es zu langsam machen, dann haben sie auch keinen Effekt.
Sie müssen also wirklich genau mit der richtigen eigenen Frequenz
das machen, dann funktioniert das. All das,
was sie von mechanischen Schwingungen kennen, ja, Eigenfrequenzen,
Dämpfung, alle solche Geschichten, kann man eins zu eins übertragen,
auch auf solche Schwingkreise, wie wir sie hier diskutiert haben.
Und als ein weiteres Beispiel möchte ich Ihnen zeigen,
diesen Versuch hier, ich hoffe, ich kriege das jetzt irgendwie gebacken,
ich habe jetzt keine Kamera hier,
deswegen sehen Sie das vermutlich nur hier an diesem Ausschlag von dem Stromessgerät.
Okay, also was haben wir hier aufgebaut? Hier haben
wir einen solchen Schwingkreis, der besteht aus einem Kondensator,
einer Spule und hier sind auch omische Widerstände dazu geschaltet.
Und dieser Schwingkreis ist jetzt von den Dimensionen her so,
sie sehen hier eine sehr, sehr große Spule,
eine etliche Windung, ich weiß gar nicht mehr,
was sie hat, 500 Henry, also eine richtig ordentliche Spule,
dass wir hier eine Frequenz eingestellt haben von einem Herz.
Also wir haben Omega 0, ist eins durch Wurzel LC,
L und C so eingestellt,
dass gerade Omega einer Frequenz von einem Herz entspricht
Frequenz heißt jetzt hier Nü oder F, also Omega gleich 2P,
F oder 2 Penü, je nachdem, wie sie das kennen.
Okay, als ersten Schritt wollen wir mal das Ding überhaupt aufladen.
Dazu haben wir hier eine Monsterbatterie, laden den Kondensator auf.
Der Kondensator ist jetzt aufgeladen und dann entladen wir ihn wieder über diesen Schwingkreis aus Spule,
Widerstand und Kondensator und sie sehen das jetzt hier vielleicht an diesem Messgerät
und wenn ich das da hinten auch schon richtig eingestellt hätte,
dann würden sie das auch da sehen.
Vielleicht hat er Wo ist es hier? Na, super,
das war mir ja klar. Okay, das lässt sich verbessern.
Okay, Sie sehen das jetzt vielleicht an diesem Messgerät,
dass das Ding schwingt und dann auch irgendwann wieder zur Ruhe kommt.
Das ist genau das Gleiche, was passiert,
wenn Sie irgendein mechanisches, schwingendes Objekt haben und reduzieren,
das ist wieder, ich hoffe mal,
ich kriege jetzt hier irgendwie mal die richtige Frequenz hin.
Das ist leider so lang,
so klein, dass ich das eigentlich nicht erkennen kann
Sie sehen die Schwingung hier auch auf dem Ostteleskop,
dass sie langsam abnimmt. Also mit anderen Worten,
sie haben eine am Petude, die dann in der,
mit der Zeit abnimmt durch die Dämpfung.
Diese Dämpfung entsteht natürlich durch den Obenschirmwiderschein in dem Kondensator.
Das heißt, was sie dann sehen,
in diesem Fall ist, also sie haben einen Kondensator,
den haben sie aufgeladen.
Fangen wir neu an
Das ist jetzt hier eine Gleichspannung, ja,
und dann geht das hier in einen Widerstand und eine Spule.
Und hier an dieser Stelle, super. Haben Sie einen
Schalter? Genau, genau, hier an dieser Stelle,
den Sie, entweder darüber oder darüber schalten können, ja.
Das heißt also, in der einen Schalterstellung, ah,
ich könnte wetten,
das ist Bill Gates
Okay, also wir sehen diesen Schalter hier oben,
diesen Schalter Köln, mit dem Schalter können sie einmal in dieser Stellung
hier den Kondensator aufladen und legen sie den Schalter dann um.
Dann haben sie hier ihren Schwingkreis. Dann ist dieser Kreis ja
gar nicht drin, wenn der Schalter einmal hier offen ist.
Dann haben sie ja hier keinen geschlossenen Stromkreis mehr. Okay,
und was man dann zeitlich beobachtet, ist,
dass als Funktion der Zeit die Spannung,
die sie messen,
zum Beispiel an dem Widerstand
diesen Effekt machen wird
Ganz normale, gedämpfte Schwingung. Und all das,
was sie über Dämpfung gelernt haben, aperiodischer Grenzfall als Beispiel,
all das tritt es ja auch wieder auf.
Wir können sich also auch überlegen, was sie machen können,
damit ihr Schwingkreis möglichst wenig schwingt,
was ja bei manchen elektronischen Anwendungen vielleicht auch sinnvoll ist.
Dann würden sie gerade den aperiodischen Grenzfall einstellen.
Okay, ich möchte jetzt noch zwei Dinge präsentieren.
Und zwar das einmal ist die Breite der Resonanz.
Und zwar kann man sich das so vorstellen,
ich habe jetzt diese Resonanzkurve,
die hier gezeichnet ist und möchte jetzt irgendwie die Breite definieren.
Und zwar macht man das aus praktischen Gründen einfach so,
dass man sagt, Omega 1 oder Omega 2,
mal el minus,
eins durch Omega 1,
Das soll gerade sein, plus minus der Omsche Widerstand.
Okay. Und wenn man das ein wenig umstellt,
dann findet man das Omega 1,2 zum Quadrat LC.
Ich habe jetzt einfach mit Omega mal C durchmultipliziert,
minus 1, dass das gleich plus minus Omega 1,2 CR ist.
Und diese beiden Gleichungen kann man jetzt nehmen und kann sie voneinander subtrahieren,
ein bisschen mathematisch herumeiern und findet dann einen Ausdruck für diese Frequenz,
breite Delta Omega,
gleich Omega 1 minus Omega
Und dann findet man gerade, dass das R,
dividiert durch L ist. Oder so etwas wie Omega-0,
mal R, durch Herr Elzi. Paron, wie hätte ich
das genannt, LCR, genau. Okay. Okay,
wenn man dann hingehen möchte und möchte die relative Phasenverschiebung,
Paddon, die relative Breite wissen, Delta Omega durch,
Omega-0, also durch die Eigenfrequenz, dann findet man gerade,
dass das einfach R durch RLC ist.
Und damit hat man dann also ein gutes Maß dafür,
wie man
eine schmale Resonanz einstellen kann
Gut. Vielleicht noch ein Wort zur Phasenverschiebung. Also,
wir haben jetzt natürlich auch insgesamt in dem Schwingkreis eine Phasenverschiebung zwischen dem Strom und der Spannung.
Und das würde jetzt also genau so funktionieren,
wie wir das bisher gemacht haben. Wir würden definieren,
dass diese oder benutzen das, diese Phasenverschiebung, Tangens von FIZ,
der Imaginärteil von Z gesamt dividiert durch dem Realteil von Z ist.
Jedes Mal von Z gesamt. Und wir finden dann für
diese Größe Das Tangens Vieh an der Ausgangsspannung,
das soll jetzt wieder so sein, dass das die Spannung ist,
an dem rubischen Widerstand, dass das gleich minus Tangen,
Padon, dass das gleich Plus Tangens von minus ViZ ist.
Und das ist gleich minus, homegal minus eins durch Omega-C.
Das ist gerade der Imaginärteil durch den Realteil. Und das
kann ich dann auch noch ein bisschen anders hinschreiben als minus.
RLC, dividiert durch R. Und dann taucht wieder dieser Ausdruck
charakteristisch für die Frequenz auf, omega quadratminus Omega-0-Quadrat,
ich war mega,
omega null
Okay, so, wenn man sich das einmal aufmalt,
wie das dann konkret aussieht.
Jetzt streckt das hier, oder
Hm, weiß nicht, was er so meint hat. Okay. Ich schreibe dann einfach trotzdem hier weiter. Also,
wenn man sich diese Frequenz einmal aufmalt und würde jetzt... Also,
diese Phasenverschiebung aufmalt und würde als Funktion der Frequenz,
mit der ich reingehe, hier sei mal die Eigenfrequenz Omega Null,
mir die Frequenz aufmalen von diesem Schwingkreis,
dann würde ich sehen, die Phase oftmalt von diesem Schwingkreis,
dann würde ich hier sehen, die Phasenlage von der Ausgangsspannung,
minus Pi halbe bis plus Pi halbe,
Also plus 90 Grad oder minus 90 Grad kann das Ding Phasen verschoben sein,
die Ausgangsspannung, dass ich dann ein Verhalten erhalte,
das irgendwie so aussieht, sage ich mal als lieber so,
in grün.
Okay, das heißt also,
Sie können sich das jetzt vielleicht einmal selber überlegen,
wenn Sie mit sehr kleinen Frequenzen reingehen,
der kleinen Frequenzen Omega, dann wird in einem solchen Schwingkreis,
aus oben schon Widerstand,
Kondensator und Spule bei sehr kleinen Frequenzen der Kondensator hier quasi dicht machen einen großen Widerstand haben.
Und dementsprechend hat man dann auch den Phasenunterschied. Und bei
großen Frequenzen lässt er hier komplett durch und der macht komplett nicht durch die Induktion.
Und dadurch ähnelt sich dann gerade die Phasenverschiebung dem,
was man erwarten würde von der Spule alleine.
So sieht also der Phasengang aus. Und wenn man sich
genau diesen Punkt hier anschaut, genau wenn ich auf der Resonanz bin,
dann wäre also der Phasenunterschied gerade so, dass er null ist.
Das Z-Gesamt Einfach der obensche Widerstand ist genau auf der Resonanz.
Und das UA, damit die Ausgangsspannung damit gleich der Eingangsspannung ist.
Sowohl von der Frequenz als auch von der Ampetude,
als auch von der Phasenlage. Okay, soweit zu diesem Teil.
Ich möchte als nächstes besprechen, ein RCL als Parallelschwingkreis.
Das ist jetzt also genau das Gegenteil, wenn man so möchte.
Sechs, sieben, RCL. Irgendwie nimmt er hier
keine Bilder mehr
Ich versuche, das hier umzuschalten und der mag mich nicht mehr.
Achso, die haben was zugemacht. Machen Sie einmal
einen Ball? FL. Dann halt doppelt. Und Optionen
. Fotografieren. Wollen Sie das hier machen?
Fotografieren. Fotografieren und Start.
Und der Kleine
So, dann müssen wir einmal den nochmal aktivieren.
Einmal da drauf, ja. So, Entschuldigung.
So, und jetzt. Magische Hände. Okay,
also RCL-Schwingkreis, parallel. Das heißt also,
wir haben es jetzt mit einem solchen Aufbau zu tun.
Wir fangen an mit einer Spannung. U,
Wechselspannung natürlich wieder. Wir gehen in den Kondensator und in
eine Spule und von da in einen omischen Widerstand
Ich wollte das heute nicht mehr vorführen.
Vielleicht mache ich das beim nächsten Mal noch. Ja,
komme ich heute leider nicht mehr zu. Okay, also,
das ist ein Parallel-Schwingkreis von Spule und Kondensator und da natürlich ein Omscher-Widerstand,
an dem ich jetzt meine Spannung abgreifen kann.
Die Ausgangsspannung. Und Sie wissen, wie man so etwas
behandeln muss. Ich müsste Geld also Knotenregeln und Waschenregeln hinschreiben,
die Knoten und Panon, die Maschenregel hier in diesem Bereich,
für den wir einfach liefern,
dass die Spannung an dem Kondensator gleich die Spannung an der Spule ist.
Sie können sich ja mal überlegen,
wie rum ich hier die Spannung definiert habe.
Und der Strom Das ist einfach die Knotenregel,
müsste jetzt also sein, gleich der Gesamtstrom, EL plus IC.
Und das kann ich natürlich hinschreiben als U durch ZL plus U durch ZC.
Und das will ich U durch Z gesamt nennen.
Und damit erhalte ich das Z-Gesamt gleich,
also eins durch Z-Gesamt oder Z-Gesamthoch,
minus eins,
gleich ZL hoch minus eins plus ZC
Hochminus eins ist, also ganz normal,
wie man das immer macht, bei einem Parallelsystem,
man addiert sie pro Werte der Widerstände.
Und ich möchte jetzt hier, das ist eine Größe,
die habe ich nicht, Set gesamt genannt in den Unterlagen.
Entschuldigung, ich möchte das mal verbessern, weil sonst gleich durcheinander kommen.
Die habe ich Z-Strich genannt und hier nenne ich sie auch Z-Strich.
Und Z-Strich ist jetzt also einfach nur der obere Teil von
diesem Schaltkreis. Und dann erhalte ich natürlich Z-Strich ist gleich
ZC, die wird durch ZL plus ZC.
Und das kann ich dann natürlich wieder ganz normal auswerten.
Das wäre dann hier, weil sich die Frequenzen,
die oben rauskürzen, einfach L durch C und die unten
erhalte ich I und dann steht die Omega L minus eins durch Omega C.
Und auch bei diesem Schwingkreis habe ich jetzt eine ganz ähnliche Verhältnisse.
Es dauert wieder dieser ominöse Faktor Omega L minus eins,
minus einzig Omega C auf, den wir vorhin schon mal diskutiert haben.
Und Sie sehen, auch da habe ich jetzt eine besondere Situation.
Dieser Teil wird quasi null. Das heißt also,
der Springkreis sperrt komplett, wenn ich eine bestimmte Frequenz einstelle,
Diese Frequenz ist die gleiche Eigenfrequenz von der Formel her,
die ich vorhin schon hatte.
Und bei dieser Frequenz würde jetzt dieser Schwingkreis also sperren.
Und insgesamt erhält man dann eine Situation, von der Ausgangsspannung gegenüber der Eingangsspannung,
ich ziehe das jetzt nicht mehr explizit durch.
Wenn hier die Frequenz ist, Omega, hier ist die Ausgangsspannung vom Betrag her.
Und hier sei die Eingangsspannung vom Betrag her, U0 oder U-Betrag.
Dann würde diese Ausgangsspannung jetzt so aussehen,
dass sie bei einer bestimmten Frequenz Quasi null wird.
Waren wir jetzt in null? Nun,
ich habe dann hier stehen genau bei dieser Frequenz hier eine Null,
damit wir jetzt jetzt Strich quasi unendlich groß,
wenn der Widerstand hier oben endlich groß wird,
fließt einfach kein Strom mehr.
Fertig. Okay. Also auch an dieser Stelle kann ich es vermeiden,
irgendwelche Manöver zu machen, mit dem Lösen von Differenzialgleichung.
Ich addiere einfach nur komplexe Zahlen. Das ist alles,
was man machen muss. Eigentlich eine sehr nette Methode,
um diese Probleme zu erschlagen. Gibt es damit dazu
im Moment Fragen?
Da oben
Ja, in der Metallung werden wir bei Personen...
Da gibt es was passiert, wo eine Gesundheit kommt.
Also ich glaube, die Frage war,
bei mechanischen erzwungenen Schwingungen haben sie im Resonanzfall gerade einen Phasensprung.
Und hier haben sie keinen Phasensprung, sagen sie.
Also in diesem, sie meinen jetzt hier in dem
oberen Bild,
Also ich glaube, hier ist es relativ eindeutig,
weil im Resonanzfall ja gerade der Imaginärteil, der Widerstand ist komplett verschwindet.
Ja, dann sind wir ja gerade,
ich zeige nochmal die Formel dazu.
Hier. Im Resonanzfall ist es ja gerade so,
dass die Frequenz jetzt die Eigenfrequenz ist,
also mit dieser Teil hier 0 und dann ist die Phasenverschwiebung
Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, worauf Ihre Frage abzielt.
Welche Phasensprung meinen Sie genau bei der Mechanik?
Die Phasensprung, wozwischen? Ich bin unser,
der Stürmer, was ist das, was der Finger anliegt.
Das hat der Mann in der Finanzphase geschehen, von Geheidungsschülern erinnern müssen.
Der Fehler. Habe ich im Moment keine Antwort darauf parat
Wir haben ja zwei verschiedene Schwingkreise. Also gerade bei diesem
hier ist es auch so, bei dem Parallelschwingkreis,
dass der Phasenunterschied de facto ein Tick anders aussieht.
Ja, also ich male das mal hier rüber,
wenn Sie hier die Phase der Ausgangsspannung haben,
dann als Funktion der Frequenz wieder und hier die Eigenfrequenz Omega 0
haben,
dann sieht hier der Phasengang
gerade so aus
Und hier ist wieder minus Pi halbe. Und hier ist Pi
halbe. Und da gibt es also quasi einen Sprung.
Und vielleicht ist es das, was sie meinen.
Also man müsste jetzt mal ganz genau sehen,
wie die Differenzialgleichung in dem Fall, den sie meinen,
aussieht, die Differenzialgleichung, wie sie hier aussieht,
ob wir das mit diesem Fall verbinden können.
Das habe ich aber, das übersehe ich aber im Moment nicht.
Ja? Ja, wobei ich mir nicht sicher bin,
dass das der Effekt ist, den sie meinen.
Also man muss sich mal genau anschauen,
die die Verhältnisse da sind, was die äußere Anregung ist,
an welcher Stelle sie wird, die da schwingungsfähige Bilder haben,
was wirkliche Rahmenpetude ist, die sie am Ende abgreifen.
Ob das nicht genau die Gegenteilige ist von dem her.
Ich habe ja die Spannung immer an dem Widerstand abgegriffen.
Ja, also an dem Teil, der gerade nicht schwingt,
einfach um eine Messgröße zu haben.
Ja, vielleicht wollen sie lieber dort abgreifen,
wo das System ist, das schwingt.
Und wahrscheinlich ist das ein Teil des Unterschiedes.
Aber das musste man sich mal genau anschauen,
wie das bei dem mechanischen Fall definiert war und wie es
hier definiert ist und dann sieht man das wahrscheinlich.
Ja, aber die Effekte sind alle genau die gleichen,
die physikalischen
Okay, dieses Kapitel möchte ich jetzt hier an dieser Stelle abschließen.
Ich werde das beim nächsten Mal noch einmal ganz kurz wiederholen und
sie werden sich auch in den Übungen damit natürlich befassen.
Okay, was wollen wir jetzt machen? Wir wollen mal
Richtung, wirklich Richtung Elektrodynamik gehen. Und das heißt,
Richtung elektromagnetische Wellen, Licht bis hin zum Röntgen,
de facto alle möglichen Wellen, die ich hoffen mal nochmal wiederholen muss.
Und ich möchte ihnen das aber trotzdem zunächst so einführen,
dass ich ihnen zeige, dass das,
was sie bisher an Elektrodynamik gelernt haben,
eine Katastrophe ist
Eine Katastrophe, in dem Sinn, also nicht wegen der Art,
wie sie gelehrt haben, das meine ich jetzt alles gar nicht.
Oder wie es hier präsentiert worden ist,
das meine ich auch nicht. Sondern ich meine den Effekt,
dass das ein in sich nicht schlüssiges, widerspruchshaltiges System ist,
dass auch den Experimentellen Tatsachen einfach nicht entspricht.
Und das liegt schlichtweg daran, dass sie im Moment immer
ein quasi statischen Fall diskutiert haben.
Und zum Beispiel den Fall statischer Ströme dann die Magnetfelder sich darum angeschaut haben.
Und man kann relativ leicht zeigen, dass das System der Gleichung,
das sie bisher hatten, noch nicht funktioniert.
Und ich möchte Ihnen das zunächst einmal an einem Widerspruch zeigen.
Und zwar in einem sehr, sehr einfachen Fall,
einem Magnetfeld, um den Strom durchflossenen Leiter.
Das geht jetzt also in das Kapitel 7, Max-Well-Gleichung.
Und Kapitel 7, 1, Verschiebungsstrom.
Lassen Sie sich nicht von diesem komischen Namen täuschen,
Versuch dazu, möchte ich in meinem nächsten Mal sagen.
Ihr möchtet ihn ja zunächst einmal auf eine Ex-Men auf eine
intellektuelle Art und Weise zeigen, dass da ein Problem existiert.
Also, schauen wir uns mal an, was Sie bisher haben.
Und bisher haben wir es in den Max-Fellgleichungen irgendwie so formuliert,
dass wir gesagt haben, okay, Induktion, was bedeutet das?
Nun, dadurch, dass wir ein Magnetfeld zeitlich ändern,
DTB erzeugen wir eine elektrische Umlaufspannung,
also hier ausgedrückt als Rotation E von dem E-Feld.
Elektrische Spannung, elektrisches Feld. Und das Ganze war so
ein bisschen in diese Richtung hier interpretiert,
aber das gilt natürlich
genauso andersrum
Okay, also sich ändernde Magnetfelder erzeugen elektrische Felder.
Was wir jetzt machen wollen, ist genau das Gegenteil davon,
oder die Ergänzung davon, nämlich, wir wollen sagen,
was passiert denn jetzt eigentlich, wenn ich das E-Feld ändere?
Was passiert denn hier mit den Magnetfeldern? Gibt es da nicht
auch irgendetwas? Und das ist genau das Thema jetzt,
dass Verschiebung dieses Verschiebungsstroms. Und wie gesagt,
ich zeige Ihnen das jetzt an einem Beispiel,
wo ihre bisherigen Gleichungen sagen würden, Moment,
jetzt habe ich aber ein richtiges Problem
Ihr fragt euch, ist das ein zweifaches Problem?
Das eine ist, dass die bisherigen Gleichungen mathematisch inkonsistent sind.
Und das andere ist, dass sie die elektrische Ladungserhaltung verletzen.
Wir fangen jetzt, glaube ich, nur noch mit dem ersten Teil an.
Okay, also was schauen wir uns im Detail an?
Wir wollen mal einen Kondensator nehmen und den aufladen. Naja,
vielleicht sollte man noch einen Widerstand aufbauen, aber nehmen wir
mal an, unsere Stromquelle ist gutmütig, unsere Spannungsquelle.
Und ich meine jetzt einfach ganz normales Gleichstrom aufladen. Okay,
das heißt also, hier würde jetzt ein Strom fließen,
Oh. Ist doch kein Strom. Und er würde natürlich
jetzt Ladung erzeugen. Technische Stromrichtung, das heißt also,
ich erzeuge jetzt hier positive Ladung und hier negative Ladung.
Okay, berechnen wir, das Magnetfeld um den Zuleiter
und ich möchte das berechnen in grün.
Hier herum, um diesen Zuleiter. Und Sie wissen,
wie man das machen muss. Sie würden sagen,
dass Das Linienintegral entlang dieses Umlaufes, den ich hier gezeichnet habe,
also Integral B, DS. Dass das sein sollte,
die Summe der Ströme, die durch diese Fläche hindurch fließen.
Okay. Und ja, machen wir das mal.
Dann steht hier irgendwie sowas wie Myonol,
Integral über die Oberfläche von diesem Biest,
das ich da gezeichnet habe, JDA.
Und das nennen wir einfach Myonol mal I.
So fein so gut. Da ist jetzt wenig als Fläche
eine Ebene genommen. Das heißt also,
ich meine jetzt wirklich diese Ebene,
die durch diesen Kreisring
hier gemalt ist
Okay, jetzt ändere ich mal nur die Form der Fläche,
ohne die Form des Umlaufintegrals zu ändern.
Das heißt also, dieses Integral ändere ich gar nicht.
Ich gehe hier nach wie vor rum, aber ich sage,
diese Fläche, die ich hier nehme,
ist jetzt nicht diese Fläche, die jetzt hier einfach liegt,
sondern wie eine Seifenblasenring puste ich das Ding mal auf und ihr habt dann hier so eine Fläche.
Diese Fläche ist in sich geschlossen und wird begrenzt nur durch diesen Ring.
Und nach den Regeln, die sie aus der Mathematik kennen,
ausscheiden, Integralsatz, Social Integralsatz, diese Geschichten,
ist das völlig legitim, das so zu machen.
Das heißt also, ich lege jetzt meine Integrationsfläche
so hier rum
Mitten durch den Kondensator, das ist der Trick. Okay,
also, das hier ist jetzt keine Fläche mehr, über die ich integriere.
Diese Kreisfläche, sondern dass hier dieses gesamte Biest hier,
das ist die Fläche, über die ich integriere.
Machen wir das mal. Dann steht da also integral,
BDS, wie gesagt, diesen Umlaufring, lasse ich total gleich,
keinerlei Änderungen, aber ich verforme die Fläche.
Und das muss erlaubt sein, JDA, genau das gleiche Spielchen.
Und jetzt zähle ich die Ströme, die durch diese Fläche gehen.
Und die Ströme, die durch diese Fläche gehen,
sind null
Durch diese Fläche, die ich hier gemalt habe, geht nirgendwo ein Strom durch.
Speziell hier nicht. Okay? Also mit anderen Worten,
was wir jetzt haben, ist ein mathematischer GAU, ja,
denn wir haben hier Mynol, mal E ist gleich null,
also er fließt gar keinen Strom.
Ja, natürlich kann ich keinen Strom fließen lassen,
man soll sich da keinen Stromfluss fließen lassen können in einen Kondensator.
Also mit anderen Worten, die Gleichung,
wie ich sie bisher habe, diese Gleichung,
die ich hier angewendet habe, kann einfach nicht vollständig sein.
Ich muss da irgendetwas Zusätzliches tun. So,
wenn man sich jetzt überlegt, was der Netto-Effekt davon ist,
dass da Ladungen fließen, also dass dieser Strom jetzt hier wirklich fließt,
Das ist ja wohl, dass die Ladung hier draufkommt.
Was machen die Ladungen, die da draufkommen? Nun,
die erzeugen hier zwischen ein elektrisches Feld. Okay,
ich würde also sagen, dieser Strom, der da fließt,
also genau genommen, ob da jetzt Strom von außen fließt oder
ob ich jetzt hier ein elektrisches Feld aufbaue,
das muss irgendwie das Gleiche sein.
Denn das Magnetfeld muss ja das Gleiche sein,
egal auf welcher Art und Weise ich das ausrichte.
Okay. Das heißt also,
ich muss jetzt hingehen und mir diesen Strom besorgen und das
will ich schnell eben machen
Ist ja nicht so schwierig. Kondensator, das kennen wir alle,
ja, also ich würde jetzt sagen, die Ladung,
die auf dem Kondensator fließt, ist zehnmal U. Und das kann ich,
wenn ich einen Kondensator habe und ich ziehe mich mal Vakuum-Kondensator,
ja, also ist das Äpstler 0, mal A,
die wird durch D, das ist die Kapazität des Kondensators,
mal der Spannung.
Und dann kann ich auch hingehen und Spannung durch D,
also durch den Plattenabstand D, das ist ja gerade das elektrische Feld.
Das heißt, ich kann ja auch hinschreiben,
das ist Äpstler 0, mal A, mal E. Okay.
Dann kann ich das aber auch nach der Zeit ableiten und sagen,
I ist ja gerade die Zeit,
Änderung der Ladung
Ha, Strom ist die Änderung der Ladung,
auf dem Plattenkondensator und das ist Äpstler 0, mal A,
mal DTE nach der obigen Gleichung, zeitliche Änderung des E-Feldes.
Und sie sehen so langsam näher ich mich jetzt dem,
was sie hier eigentlich erreichen wollte. Nicht, dass ich
das erreichen wollte, sondern ich muss da irgendwas tun.
Und automatisch, diesen Strom muss ich jetzt irgendwie durch diese Größe ersetzen.
Und speziell würde ich jetzt sagen, wir nennen mal diesen Strom,
weil es ist ja gar kein so richtiger Strom,
das ist ja nur eine Änderung eines E-Feldes.
Sehen Sie das? Strom ist Änderung des E-Feldes
hier zwischen
Okay, den nenne ich mal lieber nicht so richtig Strom, den nenne ich mal Verschiebungsstrom, weil ich da Ladung verschoben habe. Okay,
dann kann ich auch hingehen und sagen,
definiere ich mir mal eine Stromdichte daraus, weil diese komische Plattengröße hier,
die stört mich hier noch auf dieser Seite,
ich möchte irgendwie was Reines haben, nur in Feldern,
was nicht von der Geometrie des Aufbaus abhängt,
deswegen schreibe ich dahin, dass dieser Verschiebungsstrom, Dichte,
JV, das soll gerade sein, iV,
die wieder durch A,
also die Stromdichte,
jetzt auf die Platte bezogen und das wäre dann Y0
mal DTE
Okay, soweit so gut. Das ist eine rein symbolische Geschichte.
Dieser Strom ist kein Stroh. Das ist nur eine Änderung eines E-Feldes.
Aber er wird durch den äußeren Strom hervorgerufen. So,
das heißt also, wenn ich jetzt einfach den Integrationsfähig ändere,
was möchte man dann haben?
Nun, womit sind wir angefangen? Wir haben gesagt,
wir wollen irgendwie so ein Integral machen über einen geschlossenen Weg von BDS.
Und das war nach unserer Formulierung sowas wie das Integral über
diese Fläche J, DA. Naja,
also wenn ich das eine J habe, dieses J hat wohl gemerkt,
das ist die Stromdichte, die außen geflossen ist hier,
da addiere ich jetzt mal einfach diese Verschiebungsstromdichte dazu.
Das war die Idee von Max Well. 1870 oder so
. Und dann sind wir fähig. Das ist die gesamte
neue Physik da drin. Ich möchte das jetzt aber nicht,
es ist diese Verschiebungsstrom, die ich da ausdrücken,
sondern ich ersetze das wieder durch die Gleichung,
die wir gerade gefunden haben für das E-Feld,
also integral,
B,
Mit anderen Worten, mit einem Magnetfeld, ein Wirbelfeld,
das Magnetfeld des Magnetes, um so eine Kreisbahn herum formuliert,
wäre dann Mynol mal i,
das ist das erste Integrant, der über J geht.
Und dann steht da noch drin, plus Ypsilon 0 Mynol,
D-T vom Integral von E, D-A.
Und wir sind fertig
Da gibt es sicherlich noch viel zu zu sagen. Ja,
vor allen Dingen möchte man das ja natürlich mal experimentell machen.
Das zeige ich Ihnen aber erst beim nächsten Mal.
Ganz einfach, Plattenkondensator, hier ist er.
Und da drin müssen wir jetzt ein Magnetfeld messen.
Die machen wir das, wir legen eine Spule rein,
gucken nach, ob da ein bisschen was passiert.
Und da passiert was. Okay, das war also eigentlich
das Letzte, was Sie noch wissen müssen.
Elektromagnetismus ist komplett. All das, was Sie bisher hatten,
plus diese Änderung an den Max-Wellgleichungen.
Oder alles ist gut. Ja, Sie sind schon fast durch.
An dieser Stelle möchte ich Sie mal beglückwünschen dazu.
Ja, zweites Semester und Sie haben eine der grundlegenden Wechselwirkungen
in der Natur.
Verstanden. Also. Bis Donnerstag