Fangen wir mal an. Wir waren das letzte Mal.
Können wir anfangen? Können wir anfangen? Wir hatten das letzte Mal noch ein paar,
ich hätte noch ein paar Kommentare machen können zur Magneto-Statik das letzte Mal,
aber das sind eigentlich nur so Kommentare zum Aufräumen.
Und damit wir das jetzt hier nicht zur kompletten sagen,
damit ihr dann nachher kein Bruch drin ist,
denke ich, können wir einfach,
das mit der Kneto-Statik so belassen und ich fange gleich mit einem neuen Kapitel an heute.
Das bietet sich an nach zwei, nach zwei Wochen Pause.
Und das ist ein rein mathematisches Kapitel eigentlich zur Furie-Transformation,
also Hilfsmittel, die sie in den nächsten Vorlesungen mehrfach brauchen werden.
Eine Bemerkung noch, ich habe vorher gerade eine Mail bekommen
von einem der Tutoren. Es sei eine der abgegebenen Lösungen
praktisch identisch mit einer der Theorie Musterlösungen,
bis auf den Strich genau,
Also ich möchte mir jetzt nicht unbedingt vorstellen, wie diese Lösung in den Umlauf gekommen ist,
weil eigentlich habe ich die selber geschrieben und genau einmal verschickt und einmal abgespeichert.
Ist jetzt vielleicht auch nicht so wichtig,
ist nur auf meinem Laptop sozusagen abgespeichert, wenn sie,
aber nachdem meine Kontodaten nicht auf einem Laptop abgespeichert sind,
sagen wir mal,
selbst wenn sie auf den Art und Weise rangekommen sind,
ist kein Desaster, aber ich empfehle Ihnen,
schreiben Sie das nicht ab von irgendwelchen umlaufenden Musterlösungen,
schreiben Sie es lieber untereinander ab und diskutieren Sie untereinander sozusagen,
wie Sie draufgekommen sind,
dann ist das Ganze kommunikativ und so ist es
auch gedacht
Ansonsten, nein, es ist, stimmt ja,
es ist ja so gedacht, dass wir miteinander zusammenarbeiten, ja.
Ansonsten können wir ja nicht verhindern, wie die Aufgaben zustande kommen.
Okay, wir wollen frühere Transformationen besprechen. Dazu brauchen wir
zuerst mal etwas, was in der letzten Vorlesung schon drankam,
nämlich komplexe Zahlen. Wie weit kennen Sie komplexe Zahlen?
Kennen Sie die aus der ersten,
aus der ersten Mathematikvorlesung
Ja, ich werde jetzt nur ganz kurz die Sachen wiederholen,
die wir tatsächlich brauchen, auch für die frühe Transformation,
wenn sie dann tatsächlich noch Fragen haben,
dann löchern sie ihre Übungsgruppenleiter und ja, genau.
Oder mich später, ja, komplexe Zahlen. Also allgemein,
wenn sie wissen, eine komplexe Zahl,
können sie schreiben, als Summe,
als super Position von sozusagen zwei Realen,
zwei reellen Zahlen,
wobei X und Y
sind hier sozusagen der Realteil
Von Z und der Imaginärteil von Z, das sind beides reelle Komponenten.
Ah, Moment, sorry. Da haben wir ja beide,
das sind beides reelle Komponenten. Und I ist die imaginäre Einheit,
von der, wir wissen, dass das Quadrat von I minus 1 ergibt.
Und das ist sozusagen das, was bei den komplexen Zahlen
dazukommt, im Vergleich zu den reellen Zahlen.
Sie haben hier e-Quadrat gleich minus 1. Ansonsten bilden diese Objekte,
die sie so auf diese Art und Weise zusammensetzen, in den Körper.
Das heißt, damit können sie rechnen,
wie mit normalen Zahlen, sie können die addieren,
sie können die subtrahieren und sie können die multiplizieren,
also einfach Z1 plus Z2. Es einfach,
wenn sie hier damit rechnen, als normal, Z1 plus Z2,
ist natürlich sowas wie X1 plus X2 plus I,
mal Y1 plus Y2 und so weiter.
Das heißt, wir sind beim Rechnen, können sie einfach linear multiplizieren. Interessanter ist es,
wenn sie das Produkt von zwei solchen Zahlen bilden,
dann kriegen sie, wenn sie das einfach ausmultiplizieren,
X1 plus IY21 X-2 plus I,
Y 2. Das kann sie einfach ausmultiplizieren, multiplizieren.
Das sind vier Therme, X-1, X-2 plus I-Quadrat,
Y1, Y2, plus I, X-1, Y2 plus I X-2, Y1.
Das heißt, wenn sie sich das anschauen,
haben sie wieder eine neue komplexe Zahl,
dieses kleine I, ein Quadrat gibt genau minus eins.
Das heißt sozusagen, der Realteil von Z1,
Mahlzeit 2 ist einfach X-1,
Minus Y1 mal Y2 und der imaginär Teil des Produkts ist,
um zu sagen, X1, Y2 plus Y1 X2.
Also soweit ist das alles mechanisches Rechnen. Interessanter wird es,
wenn sie sozusagen eine grafische, wenn sie sich überlegen,
wie, dass dieses ist ja ein zweidimensionales Objekt,
das hat ein zwei reelle Komponenten.
Das heißt, sie können das tatsächlich darstellen
als eine Zahl in der Ebene,
als ein Punkt in der Ebene
Genau. Und damit wird das Ganze interessant.
Die machen einfach hier die zweidimensionale Darstellung, sie haben den,
im Arginärteil von Z und den Realteil von Z als zweidimensionale Ebene,
die komplexe Zahl selbst, das ist ein Punkt in dieser Ebene Z,
hier und lässt sich deshalb so als Vektor zweidimensionaler Vektor darstellen.
Ja. Und diesen Vektor können sie natürlich
nicht nur durch die kathatisischen Cop-Pordinaten hier charakterisieren,
sondern genauso durch die Länge
Den Betrag des Vektors und deinen Winkel her,
es ist eine äquivalente Darstellung,
und dann sehen Sie das sozusagen in der Darstellung einfach der,
haben Sie hier R, sinnfi,
eine Akkostfi ist der Realteil des Ganzen.
Und I sinnfi ist der Imaginärteil
Und das wäre der imaginär Teil von Z. Ja, das heißt,
dass er hier, das ist der Betrag von Z,
nennen sie den Betrag vom Z, ist einfach Realteil,
plus imaginär Teil Quadrat, Wurzel da draußen, Moment.
Ich muss sagen, das hier ist X,
Y und den Winkel, der Winkel, das ist,
sie kennen den Tangens des Winkels, der Tangens,
deswegen ist das Y durch X. Das heißt,
der Winkelvieh ist im Prinzip Arkus Tangens
Von Y durch X. Und jetzt müssen sie dann auch sozusagen hier sich entscheiden.
Ich überlege, ob sie da oberhalb oder unterhalb der Ebene
sind. Da kommen wir nachher noch drauf, wie wir
sozusagen die Phase werden. Sie sind in der Darstellung,
in der zweidimensionalen Darstellung können sie wesentlich leichter mit diesen Objekten
umgehen und da kriegen sie auch mehr Intuition dafür.
Sie sagen, die wichtige... Die wichtige Formel,
die Sie brauchen, es, dass sie diese Summe von
Cosinos und Sinus auch darstellen können, als Exponentialfunktion.
Ehoch Ifi. Das ist sozusagen die wichtigste, die
wichtige Form. Ich sollte immer mal wieder dazu rumtreiben.
Cosinos Phi plus Imas Sinus Vieh ist eh auch Ifi.
Oder anders als gut real und imaginär Teil der Exponentialfunktion
mit ihrem imaginären Argument geben,
genau Cosinos und Sinus
Ja, das ist die wichtigste Formel,
die sie sich in dem Zusammenhang überhaupt merken können.
Das kann man sich auch leicht herleiten, diese Formel aus der Taylor-Entwicklung.
Sie ist einfach die Taylor-Entwicklung für diese Exponentialfunktion hier hinschreiben,
EOIFI, dann ist das die Summe über N gleich 0 bis unendlich,
was weiß ich, EFI hoch N durch N-Fakultät.
Ja, das ist die Formel für die Taylor-Reihe.
Und jetzt nehmen Sie mal, jetzt müssen wir
hier Real teilen und nicht mehr Genährteil ausabsondern, ja.
Was wir wissen, ist E-Quadrat ist minus 1,
das heißt, wenn Sie eine gerade Potenz von I haben,
dann kriegen Sie wieder was Reelles.
Das heißt, wir sortieren das einfach mal nach Reellen
und nach geraden und ungeraden Potenzen
Das kann ich mal hinschreiben, die Geradentherme kann ich ja schreiben,
als Summe über M gleich 0 bis unendlich, 2M,
Fakultät sozusagen, dann steht hier I, hoch 2M,
und die Ungeraden schreibe ich als M gleich 0 bis unendlich,
I, Vieh hoch 2M plus 1,
durch 2M plus 1 Fakultät, ja,
habe ich eigentlich nichts gemacht, außer diesen Summationsindex umzubenennen.
Ja, und jetzt sehen sie,
haben sie hier sozusagen I, hoch 2M stehen,
I hoch 2 ist minus 1, das heißt,
was hast du jetzt bei minus 1,
hoch M
M gleich 0 bis unendlich, minus 1,
hoch M, durch 2 M-Fakultät, 4 hoch 2 M.
Und das ist genau die Taylor-Entwicklung des Cosinos. Und das Gleiche können Sie hier machen,
hier haben Sie jetzt eine ungerade Potenz von I stehen,
das heißt, einen Faktor I sehen Sie einfach raus und dann steht noch eine gerade Potenz da.
Also I mal minus 1, hoch M,
das ist sozusagen unser Minus, unser I, hoch 2M,
mal 4 hoch 2M plus 1 durch 2M plus 1 Fakultät.
Und das ist der Sinus. Ja,
und das ist das Wichtigste überhaupt, weil wenn Sie das wissen,
dann können Sie sehr leicht sich überlegen,
weil Sie mit Exponentialfunktionen leicht rechnen können,
können Sie jetzt sehr leicht sich überlegen,
was bedeutet eigentlich das Produkt von zwei komplexen Zahlen.
Ja, schauen wir uns das mal an,
wenn Sie Z1 gegeben haben als R1,
mal Eochi41.
Ja,
sozusagen, Moment
Und seit 2, als er 2, mal Eochi 4,
2, dann können sie das einfach multiplizieren.
Z1, Mahlzeit 2, ist R1, mal R2,
Eochi 4, 1, Eochi 4, 2.
Und das ist das Gleiche wie Eochi, 4-1 plus 4-2.
Und das ist das Ganze, was das Ganze hier nicht macht,
wenn sie jetzt eben diese beiden Zahlen sich in der komplexen Ebene anschauen,
dann haben sie hier Z1,
Mit einem Winkel 4-1. Und vielleicht sowas wie Z2,
meistens Winkel 4-2 hat,
dann liegt das Produkt dieser beiden Zahlen.
Irgendwo hier wahrscheinlich, ja. Z1, mal Set 2.
Und das hätte hier den Winkel 4-1 plus 4
-2. Und die Länge 1 mal R2. Nein,
das ist nicht die Darstellung der komplexen Zahlen in der Ebene.
Und das ist eigentlich alles,
was ich Was ich sagen wollte als Hilfsmittel,
was wir eigentlich brauchen tatsächlich nachher, ist nur diese Formel hier.
Vielmehr brauchen sie nicht. Vielleicht noch auf die Art und Weise
können sie jetzt auch sich beliebige Funktionen hier von komplexen Zahlen konzentrieren.
Schauen wir uns zum Beispiel mal an,
was ist die Wurzel aus Z? Das ist vielleicht noch
ein nettes Beispiel. Die Wurzel aus einer komplexen Zahl.
Ich zeichne Ihnen mal hier eine komplexe Zahl hin.
Nehmen wir zum Beispiel minus I. Das ist
die komplexe Zahl hier.
Das wäre minus
Ah, Moment, ich brauche Rot. Zeitgleich minus ich
. Was ist die Wurzel von minus ich? Ich mache
mal ein paar Vorschläge. Könnte zum Beispiel hier sein,
Vorschlag 1, Vorschlag 2, Vorschlage 3,
Vorschlag 4, das reicht schon.
Wer ist für 1? Wer wäre für Vorschlag Nummer 4
? Und der wäre für Vorschlag Nummer
Ja. Weniger und drei. Wir müssen die anderen ja alle für drei sein.
Ja. Also im Prinzip ist es ganz einfach.
Sie wissen ja, Sie wissen, zerrt das Sie.
Z des Eo-Ifi. Eo-Ifi, in diesem Fall einfach Vieh.
Jetzt hängt es ein bisschen davon ab, wie sie die Phase wählen.
Wenn Sie den Winkel genauso einzeichnen, wie wir das vorher
gemacht haben, dann wäre das hier die Phase Vieh.
Ja, und wäre das der Winkel Vieh. Und was Sie brauchen,
ist eine Zahl Wurzel-Set, der ein Quadrat-Z ergibt.
Und das ist natürlich, wenn Set gleich auch Ifi ist,
Moment, das haben wir hier. Meine Z gleich,
Errhoch IVI ist, dann kriegen sie natürlich einen Wurzel aus Z,
in dem sie einfach die Wurzel aus Err nehmen und den Winkel halbieren.
Weil damit gilt Wurzelaussetzung, Quadrat, ist einfach einmal E-O-IV.
Im Prinzip könnten sie natürlich genauso gut hier minus plus minus
einführen und das hängt sozusagen von ihrer Definition ab.
Diese Frage, ob sie hier plus oder minus wählen,
können sie auch anders formulieren.
Sie können sagen, einmal wählen sie sich
eine Phase
Sozusagen. Einmal wählen sie sich fest, die Definition der Phase.
Zum Beispiel, sie fangen hier auf dieser Achse an
und sagen, den Winkel messen sie immer von hier.
Einmal raus rumgehend um hier. Und dann defilieren sie.
Die Wurzelfunktion, als Eoch, I4 halbe. Das ist
eine wohl definierte Funktion. Und diese Funktion ist tatsächlich,
auch überall stetig und wohl definierbar, obwohl definiert.
Bis auf, ja, dann sehen sie,
haben sich hier eigentlich einen Sprung in der Funktion,
wenn sie die Definition wählen.
Sie gehen einmal rum, haben sich hier,
hätten sie jetzt den Winkel mit der Definition,
hätten sie hier den Punkt,
Z wäre hier einmal
auf der reellen Achse
Leicht drunter, ist Z,
dann kriegen sie für den Fall, wird es die Wurzel,
als die Wurzel aus dem Betrag und den Winkel müssen sie halbieren,
da landen sie da drüben, ja.
Und wenn sie sozusagen diesen Set 2 hier gewählt hätten,
dann wäre der Winkel null und wenn sie den Winkel halbieren,
dann landen sie sozusagen hier mit der Wurzel aus Z, auf der reellen Achse.
Das heißt, sie sehen einmal, wenn sie sich eine Phase wählen,
dann ist die Wurzel fast überall stetig, plus natürlich längst der Linie
Wo sie hier die Phase, wo die Phase den Sprung macht, wird das Ganze unstetig. Ja. Und in dem Sinn wählt man auch oft zum Beispiel,
wenn sie die Wurzel definieren, dann würden sie ja auch oft sagen,
okay, ich werde jetzt meine Phase so,
dass ich sagen, hier oben habe ich sozusagen,
ich wähle den Winkel von Minuswellenwinkel sozusagen von, sodass die,
kann den Winkel, die Phase kann ich auch im Prinzip so definieren,
dass sie hier Phase Pi haben, ja,
viel gleich Pi, hier hätten sie viel gleich Pi halber,
Werden Sie viel gleich null.
Da unten werden Sie viel gleich minus pihalbe.
Und hier werden Sie viel gleich minus pi. Ja,
also ist auch eine mögliche Definition. Dann setzen Sie sozusagen
den Sprung einfach hier unten rein. In dem Fall wäre
dann die Wurzel einfach überall stetig hier, überall stetig,
bis auf sozusagen die, bis auf die Linie hier unten.
Ja, ansonsten hätten Sie überall dieses EOI-Fi-Halbe definiert als wunderbar stetige Funktion.
Aber das nur als Bemerkung. Im Prinzip,
wenn Sie sowas hinschreiben, wie die Wurzel, dann impliziert es,
dass Sie sich erstmal eine Definition für die Phase gewählt haben.
Das Gleiche gilt auch für andere komplexe Funktionen,
wie zum Beispiel
den Logarithmus
Aber das nur als Bemerkung nebenbei. Okay,
wenn Sie weiter sozusagen noch weitere Fragen haben,
wie Sie generell mit komplexen Zahlen rechnen, also zu diesen Regeln,
dann fragen Sie mich später oder fragen Sie,
gehen Sie, fragen Sie Ihre Übungsgruppenleiter?
Weil wir, ich wollte jetzt eben hier früher Transformation.
Die wesentliche Aussage, Zum Thema Frühherein ist etwas,
was Sie... Moment, Vollbild. Die wesentliche Aussage zum
Thema Fuhrherein zählen Sie an diesem Bild. Die Aussage ist,
Sie können jede Funktion, die periodisch ist, darstellen,
als eine Summe von Sinus und Cosi und als Funktionen mit derselben Periodizität.
Schauen Sie sich diese Funktion hier an,
das ist die Schwarze, die ich hier gezeichnet habe,
das ist einfach eine periodische Dreiecksfunktion.
Die wiederholt sich, muss sagen, hier F von X,
hat in dem Fall Einfach die Periode. Nehmen Sie einfach
mal unten dieses A gleich 1. Es ist die Achse. Ja,
wenn Sie einfach, die Funktion ist so definiert,
dass wenn Sie die um 2P verschieben,
dann kommen Sie immer wieder beim selben Wert raus, ja.
Und diese Funktionen, die ich hier dazu geplattet habe,
das sind einfach Summen von Sinusfunktionen oder Cosinusfunktionen,
also dieses F1 hier,
das ist einfach von X,
das ist einfach
eine Cosinusfunktion
F2. Und das hat hier noch so einen Vorfaktor, ach,
durch Peak Quadrat, das ist jetzt nicht so richtig so.
Die Funktion F2, die ich hier geplottet habe,
die ist derselbe Vorfaktor, 8 durch Peak Quadrat, Cosinus von Ex.
Und dann habe ich noch sozusagen Cosinus von Dreiecks einfach dazu addiert.
Und F3 von F5 von X hier,
das ist F3, F5 von X,
das war einfach,
das hatte ich
hier gewählt als
Coss X plus, Coss 3X durch 9, ja Moment,
das hatte ich ja ernst, durch 9, plus kostet 5,
X durch 25 und so weiter. Also einfach,
sie können, ich habe das, genau, die werden,
ich werde diesmal nicht die Tafelanschrift ins Netz stellen,
sondern sozusagen meine eigenen Notizen,
dann sehen sie das hier in einem schöneren Ausdruck,
weil es ist das, wie ich das jetzt hierhin gespielt habe.
Aber die wesentliche Botschaft ist, und das ist eigentlich was sehr Anschauliches,
die haben eine periodische Funktion, Die Großinussfunktion hat dieselbe Periodizität,
sieht schon mal ungefähr genauso aus, aber nicht,
da fehlt dir irgendwas.
Wenn sie noch eine weitere Cosinusfunktion auf dazu addieren,
die auch dieselbe Periodizität hat,
dann nähern sie die Funktionen schon ein bisschen besser an.
Wenn sie hier drei Funktionen aufsummieren, von der Projizität haben sie noch eine Korrektur,
dann haben sie die Funktion schon fast getroffen.
Und wenn sie beliebig viele nehmen, hier habe ich 21 von der Reihe aufsummiert,
dann haben sie im Prinzip die Funktion genau wiedergegeben.
Und genau mit der Darstellung werden wir uns beschäftigen,
überlegen, wie die Tatsache, wir werden uns überlegen,
wie können wir eigentlich sozusagen diese Kurve,
Diese Beiträge hier bestimmen und ist es tatsächlich immer möglich,
dass wir hier diese Funktionen durch so eine Reihe darstellen können.
Genau. Also die Aussage ist, jede periodische Funktion,
wenn Sie eine periodische Funktion haben, F von X,
SF von X plus 2P periodisch.
Dann können Sie die darstellen,
als Reihe
Im Gegensatz zu dem Beispiel, was ich hier sozusagen gezeichnet habe,
was ich leichter zeichnen lässt, ist das hier eine Aussage,
die gilt für beliebige, komplexe Funktionen.
Und tatsächlich lässt es sich auch mit komplexen Funktionen hier relativ leicht arbeiten,
mal sozusagen hier nur eine Exponentialfunktion stehen,
haben und keine Sinus in Kurse in Ustamm.
Das werden sie nachher noch merken, das ist eigentlich
die einfachere Darstellung.
Allgemeine komplexe Funktion. Ja, Sie können das leicht überprüfen.
Jeder dieser Therme hier ist periodisch, das sehen Sie sofort.
Jetzt setzen Sie mal einfach ein. Dann zu sagen,
eh hoch, ich, N, X plus 2P,
ja. Ist einfach eh hoch, I, N,
X, mal eh auch I, N 2P.
Und das ist das Gleiche wie Eochi, N, X mal,
wenn Sie hier diese eulerische Formel, Cosinus, N2P,
plus Isinos 12P. Und der Sinus und der Akosinos sind periodische Funktionen.
Das heißt, das ist das Gleiche wie eins.
Und das hier ist null. Das heisst, EOI,
2P, NX ist das Gleiche wie auch eh, 2NX.
Das heisst, diese Funktion hier ist auf jeden Fall periodisch.
Wir wissen noch nicht, wie wir sozusagen diese Koeffizienten bestimmen sollen,
dass wir tatsächlich ihr F von X bekommen.
Und wir wissen auch nicht, ob es tatsächlich möglich ist,
dass sie jede Funktion tatsächlich in so eine Reihe entwickeln können.
Ich zeige Ihnen jetzt zuerst, Wie sie diese Koeffizienten bestimmen,
unter der Annahme, dass sie tatsächlich hier so eine Darstellung haben.
Okay. Die Behauptung ist, dass sie die Koeffizienten einfach bekommen,
indem sie die Funktion integrieren, von 0 bis 2P,
F von x, eoch-i NX.
Das heißt, wenn sie die Funktion gegeben haben,
kriegen sie die Koeffizienten aus einer einfachen Formel hier.
Und das können sie leicht nachrechnen. Schauen das einfach,
wir rechnen einfach mal dieses Integral hier aus, ja.
Integral von 0 bis 2P. DX, F von X
, ehoch-i-NX. Und jetzt nehmen wir einfach mal an,
dass diese Darstellung hier tatsächlich gültig ist, ja.
Dann setze ich für F und X einfach mal diese Darstellung
hier ein
Emgleich, minus unendlich, bis unendlich. CM,
jetzt muss ich jetzt sagen, hier,
ich habe nur den Summationsindex umbenannt von M nach,
von M nach M, ja,
EOI, MX, mal e-hoch-minus-i-nx.
Das heisst, das Integral bezieht sich hier nur auf diese beiden Therme, ja.
Also sie können das Ganze auch noch hier mal,
normieren wir das gleich noch mal durch 2P. Das heißt,
sie können das Integral hier reinziehen
Summe M gleich minus unendlich bis plus und endlich CM.
Integral von 0 bis 2P. DX. 1 durch 2P.
Hier sozusagen E-Hoch, i-m-n. X. Und jetzt wissen Sie,
warum wir hier gleich mit der komplexen Darstellung arbeiten,
weil wir haben sie integral stehen über eine Exponentialfunktion.
Das ist etwas, was sie leicht ausrechnen können.
Es gibt einfach, entweder, also dieser Term hier,
zwei Möglichkeiten.
Entweder M ist gleich
In dem Fall steht hier einfach E-Hoch 0,
das ist eine Konstante, das integrieren Sie von 0 bis 2P,
es gibt 2P und dann teilen Sie es durch 2P,
dann kriegen Sie eins. Und wenn M nicht gleich endet,
dann können Sie einfach die Stammfunktion hiervon hinschreiben,
das ist einfach I durch M minus M, E-Hoch I,
M minus M, in den Grenzen von X,
in den Grenzen von 0 bis 2P. Ja,
aber jetzt sehen Sie hier die Exponentialfunktion mit einem ganz zahligen,
hier, wenn Sie hier, hier haben Sie eine ganze Zahl stehen,
Jetzt setzen Sie wieder 2P ein.
Das heißt, Eo-I, ganze Zahl mal 2P, ist eins.
Und dann ziehen Sie eins ab von der unteren Grenze,
kriegen Sie nur... Wenn M. ungleich endet, ja? Genau,
die Formel kann ich bloß da nicht hinschreiben, wenn M. vielleicht endet,
weil er hier M. minus M im Nenner steht, ja?
Das heißt, dieser Term gibt einfach null,
wenn M. ungleich en ist und M, wenn M. gleich en ist.
Das heißt, von dieser unendlichen Summe sucht er sich genau
einen Term raus und das ist der Term CN.
Und das ist genau das, was wir haben wollten.
Ja, das heißt, unter der Annahme,
dass sie tatsächlich diese
Dieser schöne periodische Funktion in dieser Reihe entwickeln können,
es ist praktisch trivial, die koeffizienten rauszufiltern.
Indem sie müssen einfach nur ein Integral ausrechnen.
Und schon haben sie diese Darstellung. Okay,
wie gesagt, ich habe jetzt die Rechnung hier gemacht,
die Darstellung gemacht für komplexe Funktionen,
weil es sozusagen auch die allgemeinere Variante ist und sich oft auch leichter rechnen lässt.
Wenn sie es mit reellen Funktionen zu tun haben,
dann wollen sie natürlich eine reelle Funktion nicht als
eine Reihe von komplexen Funktionen darstellen.
Da haben sie sich das Leben ja
nur komplizierter gemacht
Und in dem Beispiel hier hatten wir ja auch gesehen,
wir können diese schöne reelle Funktion relativ gut annähern,
durch eine Reihe von reellen Kursindus- und Sinusfunktionen und nicht von diesen seltsamen,
komplexen Ektonentialfunktionen.
Das heißt, wir können uns mal überlegen,
wie sieht diese Reihe eigentlich aus,
wenn die Funktion hell ist?
Ist das okay
Wenn Sie jetzt sagen,
F von X ist eine reelle Zahl in dem Fall.
In dem Fall kann ich, würde ich einfach sagen,
Airphone X ist im gleich minus und endlich bis plus und endlich irgendwie CM,
E-Hoch-I-M-X. Und jetzt sortiere ich einfach mal die Therme hier.
Das ist die allgemeine Darstellung. Es geht auf jeden Fall,
weil eine reelle Zahl immer auch eine komplexe Zahl ist.
Jetzt sortiere ich einfach mal die Therme hier nach negativen und positiven.
Ich sortiere hier sozusagen den 10-0-Therm raus
Der C00-Termit, der hat hier EOI 0, X stehen, also die Konstante.
Und die anderen gruppiere ich, 0 bis unendlich,
CM, Ehoch-I-M-X, plus C-minus-m, Ehoch-minus-I-M-X. Und jetzt,
wenn ich wieder diese eulerische Summenformel an und überlege,
was das eigentlich nur Summen von Cosienos und Sinusfunktionen sind hier.
Das hier ist Cosinus MX plus I, Sinus MX.
Und das hier ist Cosinus minus MX, also das gleiche
wie Cosinus MX. Weil der Cosinus gerade ist.
Der Sinus ist aber ungerade, das heißt Sinus,
minus M ist das gleiche wie im Minus I Sinus MX.
Und jetzt können sie die beiden Thermen einfach kombinieren hier.
Die Cosinus Thermo, die Sinus Thermo einfach zusammensammeln.
Und dann steht hier plus Hier C0 plus um M gleich.
In dem Fall sollte ich unten eins stehen,
weil den Nullterm haben wir sozusagen hier rausgenommen.
Okay. Und jetzt haben sie sozusagen die reelle Funktion zerlegt,
in der Superposition von reellen Funktionen. Das heißt,
die Koeffizienten, die hier stehen, die müssen auch reell sein.
Und das kommt in dem Fall natürlich auch so raus.
Also sie benennen jetzt einfach diese Koeffizienten üblicherweise um.
Ich nenne das hier, nenne sie A0, AM,
Moment, hier. Das sind den Koeffizienten,
den nennen sie AM, den Koeffizienten von dem Sinus hier.
Den benennen sie auch irgendwie um als BM.
Und aus Konsistenzgründen nennen sie das auch
Und üblicherweise nennt sie das A 0 halbe,
das können sie gleich, können wir gleich sehen, warum.
Weil sozusagen, wenn sie das, wenn sie die Darstellung wählen,
dann haben sie ihre reelle Funktion zerlegt oder ihre Funktion zerlegt,
den Sinus im Cosinosterme.
Also die F von X ist in dem Fall einfach gegeben
als Reihe A 0 halbe.
Plus Summe M gleich 1 bis unendlich A
cosinus MX plus BM
Sinus MX
Ja. Und wenn Sie es jetzt überlegen,
wie Sie diese Koeffizienten hier bestimmen,
wir sind ja im Wesentlichen gegeben durch die CM-Koeffizienten,
da müssen Sie bloß die Formel zu sagen,
die wir für die CMs hier hatten, einsetzen,
das rechne ich Ihnen jetzt nicht vor,
dann kriegen Sie eine explizite Formel für die koeffizienten A,
M ist eins durch P, was haben wir hier,
integral von MOSP,
This P, DX,
F von X,
das heißt Gier unten
Und BM ist eins durch P minus People's P,
TX, F von X, Sinus MX. Ja,
also im Prinzip sieht die Formel oder sieht das Konzept,
wie sie sozusagen von den,
ja auf die Koeffizienten dieser Darstellung kommen
Und dieser reellen Darstellung kommen, sozusagen,
wenn sie es vergleichen mit dem, was wir vorher hatten,
völlig analog in der komplexen Darstellung, kriegen sie den koeffizienten CN,
in dem sozusagen die Funktion hier zusammen integrieren mit der Funktion,
eh auch minus INX.
Hier haben sie eine Darstellung als Summe über Cosinos und Sinustame und die Cosinos koeffizienten kriegen sie,
indem sie die Funktion integrieren mit dem Cosinos und die Sinus koeffizienten kriegen sie,
indem sie die Funktion hier projizieren auf den Sinus.
Und dann sehen sie auch, warum wir hier das als A05 definiert haben,
ist einfach, dass diese Formel auch für M gleich null gilt.
Also dieses sind die koeffizienten M gleich null bis um 012
und so weiter und das sind koeffizienten 1, 2,
3 und so weiter. Und an der Darstellung,
die im Prinzip noch allgemein ist, sehen sie auch sofort,
dass die koeffizienten AM und BM reelle Funktionen sind,
wenn die Funktion F reell ist,
weil die einfach nur ein reelles Integral steht.
Also F aus R, dann folgt das AM und BM
jeweils reell sind. Eine andere Sache,
die sie auch sehen und die sehr wichtige Eigenschaft ist,
dass welche dieser Koeffizienten hier verschwinden oder null sind oder
nicht nur sind,
hängt direkt mit der Symmetrie der Funktion zusammen
Wenn Sie eine Funktion haben, die gerade Symmetrie hat. Also wenn Sie wissen,
dass F von X gleich F von minus X ist,
dann verschwinden automatisch all diese Therme hier, die einen Sinus haben.
Weil der Sinus ungerade ist. Das heißt, der Integrant hier
ist sozusagen Produkt von der Funktion, die spiegelsymmetrisch ist.
Und einer, die sozusagen Antispiegel symmetrisch ist,
also wenn sie den Integranten hier sich hinzeichnen würden, dann sieht der eine,
sagen F von X sieht so aus, ist sozusagen symmetrisch.
Und der Sinus X sieht so aus. Das heißt,
das hier, dieses Integral hebt sich mit diesem Integral weg.
Das heißt, sie sehen sofort,
wenn sie eine Funktion haben, die diese Symmetrie hat,
dann brauchen sie nur die Hälfte der Prophezenten überhaupt,
um die Funktion darzustellen.
Und das Gleiche gilt, wenn sie eine Funktion haben,
die antisemetrisch ist.
Also sozusagen, wenn die Funktion selbst diese Symmetrie hat,
dann verschwinden die Cosinos-Koeffizienten
Also hier in dem Bild einfach haben sie die Funktion,
sieht so aus, ja. Von minus Pipis Pi und der Cosenus
. Im Moment, jetzt haben wir die Funktion andersrum.
Haben es jetzt hier die Funktionen, sieht ungefähr, ja,
vielleicht so aus. Und der Cosenus, es sumetrisch,
das heißt, das sind gerade über diesen Anteil hier,
würde sich mit dem Integral über diesen Anteil genau wegheben,
seien die Cosenusterme verschwinden
Okay, machen wir einfach mal ein Beispiel. Und zwar genau das Beispiel,
was ich am Anfang hingeschrieben habe von dieser Dreiecksfunktion.
Nehmen genau die Funktionen, die am Anfang hatten,
wo man so hatte, den Auszug dafür,
sollte ich mir mal eigentlich schreiben.
Nur dass ich hier sozusagen eins minus zwei X
durch P sei
Ah. Und eins plus zwei X gleich P X aus minus Pinol.
Also sowas ist immer schwierig zu sehen. Ich zeichne es einfach hin,
dann sehen Sie, was es gibt, die Funktion,
sieht hier einmal Minus Pi, Hamapi,
sagen im positiven Bereich ist einfach eins, minus 2x,
bis so gewählt, dass sie hier eins haben,
hier minus eins und das ist die Funktion einfach hier in der linearen Funktion ist.
Im negativen Bereich ist es genau das,
sagen die Spiegel und das Ganze soll fortgesetzt werden,
zwei Pi periodisch
Also es geht hier einfach so weiter. Ja,
und jetzt wollen wir diese Funktion darstellen, als eine Summe,
in dem Fall ist es eine reelle Funktion,
also wollen wir es am besten darstellen, als eine Summe von der Art.
Und wir sehen sofort, diese Funktion hier ist symmetrisch,
ja, das heisst, die Koeffizienten,
die hier den Sinus haben, die werden alle verschwinden,
wir können uns auf die Kosenusterne einfach beschränken.
Und die können sie einfach nach der Formel hier eins zu eins ausrechnen,
also AM, Es integral von Minus-Piebes-PDDX, eins durch Pi,
sind wir dann auch raus, von F von X, Cousinus MX.
Und nachdem dieses Integral hier sozusagen symmetrisch ist, über die,
das geht von Minus-Piebes-P, beide Funktionen sind symmetrisch, das heißt,
sie können einfach sozusagen zweimal, das integral über die eine Hälfte nehmen.
In dem Fall, das wäre also zwei oder ich Pi,
integral von 0 bis Pi,
DX und Dann setze ich hier die explizite Formel ein,
die mir für den Teil größer X haben,
also zwei X, durch P. Cosenospie, der Cosinos XP.
Ach ja. So,
heute bin ich eben
gar nicht
Gut. Habe ich den, Ars. Sollen wir das
explizit machen? Ja. Okay, also ich meine,
das Integral können Sie wahrscheinlich einfach selber ausreichen.
Das bringt jetzt nichts, wenn ich Ihnen das explizit vorrechne.
Das Ergebnis ist 8 durch Peak-Quadrat.
1 durch,
also 2 Möglichkeiten
Ja. Okay. Ja, das heißt,
wenn Sie die Reihe explizit hinschreiben, dann kriegen Sie F von X,
ist 8 durch Peak Quadrat, mal Cosenus X,
das ist sozusagen der M gleich 1 Term,
plus Cosinos 3X durch 9,
plus Cosinos 5X durch 25 und so weiter.
Eine explizite Darstellung als diese Reihe. Und das sind genau
die Funktionen, die ich am Anfang geplattet hatte.
Sozusagen relativ schnell diese Funktion annähern. Und das ist auch
genau das Prinzip, wollen wir das machen.
Okay. Okay, jetzt gäbe es Amazonia
Eine Sache haben wir uns tatsächlich noch nicht überlegt.
Und das ist die Frage, ob wir tatsächlich jede Funktion,
die periodisch ist, auch in so eine Reihe entwickeln können.
Das erscheint jetzt sozusagen wie eine mathematische,
das ist die Frage nach der Existenz sozusagen.
Diese Reihe erscheint wieder nach einer mathematischen Spielerei. Ich möchte trotzdem,
den du weißt, zumindest skizzieren, weil der Beweis an sich
auch relativ eine gewisse Einsicht Nochmal in eine andere Art,
sozusagen diese Forierreihe zu interpretieren, eine gewisse Einsicht geben kann.
Was haben wir hier? Wieso ist das eigentlich hier nicht
im Vollbild? Keine Ahnung, ja. Die Frage ist
, können wir jede Funktion überhaupt darstellen
Ja, das ist... Und beweist für jede Funktion
zu machen, ist natürlich relativ schwierig.
Wir können uns das Leben mal ein bisschen vereinfachen,
indem wir die Funktion einfach nur auf einem,
nachdem wir die Funktion nur auf einem diskreten Gitter von Punkten betrachten.
Also wir haben irgendeine Funktion, die sieht so aus,
die ist periodisch. Das heißt, wir wissen hier,
geht die einfach so weiter, von 0 bis 2P.
Und wir wollen zeigen, dass es tatsächlich möglich ist,
diese beliebige Funktion in die Reihe
zu entwickeln
Und es leben uns so einfach und teilen wir erstmal
dieses Intervall hier in eine diskrete Anzahl von Punkten ein.
Nehmen wir 11 Punkte, sodass sozusagen dieser Abstand hier Delta X,
das ist der Abstand Delta X, das ist einfach 2P durch L.
Und hier haben wir eine dieser Punkte, Delta X ist sozusagen XJ,
ist Delta X mal J. Und an dem Wert hat die Funktion,
den Wert FJ ist F von XJ.
Was haben wir eigentlich gemacht? Wir haben die Funktion,
die irgendwie in hier liebig kompliziertes Effekt, Objekt ist,
abgebildet, auf eine Art Vektor.
Sobald die Funktion nur spezifiziert habe, auf einem Satz von L-Zahlen,
habe ich einfach gesagt, die Funktion ist ein Vektor.
Sozusagen diskrete, diskrete X. Könnte ich einfach schreiben als F,
der gegeben ist durch genau die Werte F0,
bis FL minus 1, ja, und sagen, hier ist F0,
und hier ist FL minus 1 und F, sozusagen,
der wird, hier ist er wieder der gleiche wie F0,
sozusagen, der ist nicht unabhängig.
Ist ein Vektor, aus L-komplexen Zahlen.
Und so haben wir uns das Leben erstmal ein bisschen vereinfacht,
weil wir jetzt sozusagen nur noch mit L-dimensionalen Vektoren erstmal antieren müssen.
Jetzt können wir uns überlegen, was bedeutet eigentlich, was sind eigentlich die Furio-Komponenten? Ja,
in dieser Darstellung, schaue ich mir einfach mal diese Funktion an,
in die ich eigentlich die Funktion entwickeln will,
also hier dieses EOI-NX, ja, Diese Funktion,
wenn ich die nur auf den Diskretenwerden betrachte,
habe ich einfach einen Vektor auch.
Den nenne ich jetzt einfach mal EK. Und es geht eben
durch die Werte dieser Funktion hier, an den diskreten Punkten.
EOIK X0 und so weiter, EOIK XL. Und die Frage,
ob ich jede beliebige Funktion darstellen kann, als eine Summe,
von solchen Funktionen, hat sie jetzt reduziert,
im Prinzip auf die Frage, ob ich jeden beliebigen Vektor darstellen kann,
als die Summe von solchen Basisspektoren.
Ja, haben im Prinzip, haben wir versucht,
die Funktion, eine geeignete Basis. Diese Exponentialfunktionen und diese,
oder Kosinus und Sinusfunktionen, je nachdem, wie man es schreiben will,
bilden im Prinzip eine Basis für alle möglichen Funktionen, die periodisch sind.
Und wir müssen einfach nur beweisen, dass diese Basis hier vollständig ist.
Ja, und für sozusagen, wenn wir hier noch diskretes Gitter haben,
dann ist der Beweis relativ einfach. Das können wir einfach sozusagen,
wenn wir uns einfach überlegen, Das ist der erste Schritt,
wir müssen erst mal überlegen,
wir haben hier im Prinzip unendlich viele stehen, ja,
und da haben wir nur sozusagen einen elldimensionalen Vektor,
aber es sieht so aus, als hätten wir unendlich viele mögliche Basisfunktionen.
Das ist aber in der Tat nicht so,
weil diese sozusagen, wenn wir hier ein diskretes Gitter haben,
dann sind die hier nicht alle unabhängig, ja.
Wir können ganz einfach sehen, dass wenn sie einfach hier
auf sozusagen den Fuhrerindex um groß 11 verschieben, dann kriegen sie exakt die gleiche Funktion. Ja,
das müssen sie einfach nur einsetzen, ja, EK Plus L,
sozusagen die Jatte, Komponente davon, ist jetzt einer unserer,
der findet es einfach IK, K plus L,
XJ, ja, das ist das Gleiche wie auch IKXJ,
mal Eochi, L XJ, aber XJ ist das Gleiche,
wie sozusagen zwei P durch L mal J. Und das ist wieder eins.
Das heißt, das ist wirklich das Gleiche wie der Vektor
Das heißt, diese Vektoren hier, diese Basisvektoren im Prinzip sind nicht unabhängig,
sondern es sind jeweils nur elf voneinander unabhängig. Zum Beispiel,
ich kann die Nummer 0 bis elf minus 1 nehmen,
die sind später unabhängig, aber wenn ich den Elten dazu nehme,
der lässt sich wieder dastehen.
Also sagen wir, wir haben, wir können hier eine gewisse Auswahl wählen.
Ja. Das Nächste, was Sie sehen, ist,
dass die Vektoren, wenn ich mal so ein gewisses,
wenn ich nur älter von genommen habe,
dann sind Sie tatsächlich orthogonal zueinander und deshalb auch tatsächlich eine
Basis.
Und die orthogonalität müssen wir nachrechnen
Nehmen wir mal EK von K-gleich, irgendwie in Karl 0
bis K0, UK 0 plus 1, ja,
und so weiter bis K0 plus L minus 1, ja.
Das sind sozusagen L solche Vektoren, die sind zumindestens mal
nach der Regel hier, nicht unmittelbar, die gleichen.
Und jetzt können wir uns überlegen, ob die ortegonal sind.
Und das können wir einfach ausrechnen. EK Stern mal EK
Strich, ja. Und zu sagen, das Skalaprodukt,
ich mache, warum ich hier das Stern einzeichne,
das sehen Sie gleich,
Dann rechne ich es einfach aus. Es ist Summe über
die Komponenten, J gleich 0 bis L, minus 1.
Das sind die Komponenten hier von dem von der Darstellung.
EhochI, minus jeweils die komplex konjugierte sozusagen von dem,
weil wir hier die komplex konjugierten stehen haben, minus IK,
XJ, mal EhochI, K Strich, XJ.
Also das Gleiche wie EhochI, K-Strich, minus K-XJ.
Und jetzt haben sie wieder zwei Fälle. Entweder K-Strich ist K,
Dann steht hier eine Eins und sie summieren einfach Elmal die Eins.
Ja, in dem Fall kriegen sie einfach L. Und der
zweite Fall ist, dass Karstrich nicht das Gleiche ist wie Ka,
dann steht hier eine geometrische Reihe. Ja, das ist einmal,
sie kennen vielleicht die Reihe, Alpha plus Alpha,
Quadrat plus Alpha hoch 3 und so weiter, ja,
plus Alpha hoch M, ist das Gleiche wie 1,
minus Alpha,
oder es gibt es einfach M in 1,
Alpha hoch
Durch 1 minus Alpha. Wenn Alpha Ungleich 1 ist.
Kennst du die? Also, das macht man vielleicht manchmal,
wenn man solche Serien oder Reihen in der Mathematik 1 oder so macht.
Wenn sie das beweisen wollen, dann machen sie es einfach induktiv,
ja. Und die Formel, die geometrische Formel hier,
die kann ich jetzt einfach sozusagen hier verwenden, weil hier steht sozusagen das Alpha,
was hier bei uns, das ist genau Eochi, K-Strich-Minus
K. Das ist sozusagen unser Alpha, ein Moment, wir haben,
strich-k mal Delta X. Und dann steht hier das J sozusagen,
das J ist der Index, der läuft, ja.
Weil X-Lot ist, der ist ja einfach hier Delta
X mal J. Das heißt, wenn ich das unmittelbar verwende,
steht hier 1 minus, Eochi, k-ka-strich,
mal XL und XL ist 2P durch L, mal L, ja.
Ich würde sagen, ich habe das J durch L
ersetzt und da unten steht einfach 1 minus Eofi,
k-strich-k, irgendwas 2P durch L,
ja,
Ja. Und das hier ist eins,
weil wir jetzt wieder mit einer periodischen Funktion zu tun haben.
Das heißt, das ist womit war null. Das heißt,
was hier steht, ist, dass das Produkt,
sozusagen, dass das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren, Eochka,
mal Eochka Strich, das ist einfach L, Delta, KK Strich.
Das heißt, in der diskreten Darstellung sehen Sie,
dass die, du hast sozusagen die Furia-Komponenten, die Funktionen,
die wir entwickeln, Wir bilden einfach eine orthogonale Basis.
Ich habe hier noch nicht normiert, da steht noch
ein älter vor, aber es ist einfach orthogonal.
Das heißt, die Furiodarstellung ist nichts anderes als eine Basis,
als die Darstellung der Funktion in der geeigneten Basis.
Die Basisdarstellung von F schreibe ich einfach mal einen Vektor hin.
F kann ich entwickeln in der Basis,
als sagen wir mal
Nehmen wir jetzt mal ohne Einschränkung, können wir einfach hier zu sagen,
unser K0 werde ich jetzt mal als minus L. halbe.
Und dann geht sozusagen, die Summe läuft dann
von minus L. halbe bis L. halbe minus 1 sozusagen.
Dann steht hier BK mal CK. Jeden Vektor kann ich
in der Basis entwickeln. Und ich habe hier einfach sozusagen jetzt
L von diesen Funktionen genommen. Spielt dir ja keine Rolle sozusagen,
ob ich die von 0 bis L nehme oder die von minus 1
von 0 bis 1 minus 1 oder die von 5 bis 5 plus 11 minus 1,
jetzt habe ich es halt hier symmetrisch gewählt.
Und die Koeffizienten, ja die Koeffizienten wissen sie,
wie sie bekommen, wenn sie in die Basisdarstellung haben,
sie projizieren die einfach raus.
EK, Stern, mal F. Da können sie die Formel hier verwenden,
dann müssen sie das Ganze noch durch L dividieren,
weil sozusagen die Basis hier nicht normiert war.
Und das ist sozusagen die Entwicklung eines Vektors in der Basis
und jetzt können sie L gegen unendlich gehen lassen
Dann sehen Sie, läuft das hier?
Einfach in die Furie-Darstellung. F von X,
jetzt läuft K von minus und endlich bis plus und endlich,
E-E-Hoch-I-K-X, also das sind sozusagen diese Funktionen, C-K.
Und das hier, um zu verstehen, was das hier bedeutet,
setzen Sie hier einfach wieder sozusagen die Darstellung,
dieses Skalarprodukt hier ein,
J gleich 0 bis L minus 1,
E-K-Stern,
E-Hoch ist eh hoch minus
I, K, XJ, und FJ, das F von XJ,
und das Ganze ist durch eins, durch Älteteilen.
Und jetzt sehen Sie, wenn L gegen unendlich geht,
dann ist das hier da vorne einfach sozusagen unser Delta X,
der Abstand hier, sozusagen das eins durch L,
ist Delta X durch 2P.
Und diese Summe hier ist im Wesentlichen integral,
weil diese XJ einfach immer enger zusammenrücken.
Damit geht diese Summe,
geht in das Integral
Und das ist genau die Formel,
die wir hatten für die Koeffizienten am Anfang, die Projektionsformel.
Also im Wesentlichen die frühe Darstellung,
nichts anderes als eine Entwicklung von Funktionen in eine geeignete Basis.
Ich zeige Ihnen nochmal ein Beispiel oder das zeige ich jetzt
nur als sozusagen zur Anschauung hier,
haben wir hier
nächste Folie
Nehmen wir einfach mal eine Funktion. Jetzt eine reelle Funktion.
Und ich diskutiere die reelle Funktion, lebt es periodisch,
von 0 bis 2P. Und ich diskritisiere die,
das Intervall von 0 bis 2P,
dann sind alle reellen Funktionen im Prinzip sozusagen Linearkombinationen dieser elementaren Funktionen,
die einfach null sind, überall, bis auf den einen Wert.
Und jede Funktion kann ich offenbar schreiben als eine Linearkombination dieser Spikes.
Ja, das ist eine mögliche Darstellung von Funktionen.
Und das ist eigentlich eine relativ ungünstige Darstellung,
weil wenn ich in irgendeine Funktion gebe und sie wollen mir die wollen die beschreiben.
Da müssen sie tatsächlich normalerweise alle von diesen Koeffizienten hier angeben,
um sozusagen das Verhalten der Funktion einigermaßen zu beschreiben.
Weil es könnte ja im Prinzip sein,
dass einer dieser Werte hier irgendwie besonders groß ist.
Und wenn sie jetzt da welche weglassen, dann verpassen sie
genau diesen Wert, haben sie das meiste von der Funktion verpasst.
Vielleicht ist das hier sozusagen nicht die geeignete Basis. Ja,
dann schauen Sie sich mal an, wie sieht sozusagen die Furia-Basis aus.
Jetzt bin ich hier in der reellen Funktion, da,
ich möchte gerne, ich möchte sozusagen jetzt nicht diese komplexen Exponentialfunktionen zeichnen,
aber ich kann ja genauso die wieder kombinieren in Cosienus- und Sinusfunktionen,
das habe ich in dem in dem Text dann,
der auf dem Skript steht, näher ausformiert,
aber das geht sozusagen analog.
Können Sie im Prinzip eine andere Basis wählen, durch die Furia-Komponenten.
Das ist sozusagen der Kosenus von null Mikes, sozusagen die nullte Furia-Komponente.
Das ist einfach der Vektor, der überall konstant ist.
Kosenus von 1 mal X ist das,
und wenn Sie sozusagen diese Furia-Komponente an diesen diskreten Werten aussetzen,
dann kriegen Sie einen Vektor, der sozusagen die Einträge hat.
Und der nächste Basis-Vektor ist sozusagen hier unten,
das ist der Sinus, der sieht so aus,
der hat, ja, und so weiter.
Sagen das hier, die früher Komponenten hier an den diskreten Werten,
wenn einfach eine Basisdarstellung bei diesen endimensionalen Vektorraum.
Okay. Und jetzt ist zum Beispiel die Frage,
welche Basis wollen Sie eigentlich lieber nehmen, um eine Funktion zu beschreiben?
Und es hängt ganz davon ab, wie diese Funktion aussieht.
Schauen wir uns, wir können das genauso gut für den zweidimensionalen Fall machen.
Das braucht es ein bisschen lang zu laden.
Also im Moment, ja
Hier, habe ich eine zweidimensionale Funktion, dieses periodische,
die lebt hier auf diesen zweidimensionalen dabei,
mögliche Basis ist, wir nehmen wieder so Spikes.
Das heißt, ich sage einfach, die Funktion,
an dem Wert halt den, an dem Punkt hat den Wert,
an dem Punkt hat den Wert und so weiter.
Spezifiziere ich alle diese Werte. Eine mögliche Darstellung.
Die Furi-Entwicklung der Funktion ist einfach eine andere Darstellung.
Und die entsprechenden koeffizienten sehen so aus. Die nullste Komponente ist einfach
überall konstant. Dann kann ich eine Furientwicklung sozusagen in die X-Richtung machen,
die hat hier plus minus, also rot ist hier,
ist sozusagen plus so ein blaues minus, ja.
Die nächste Komponente ist der Kosenus sozusagen nur in X-Richtung
plus minus plus und
so weiter
Und sozusagen diese Funktionen hier, so eine äquivalente Darstellung von den Funktionen
sozusagen auf dem Gitter. Jede Funktion kann ich entweder so darstellen,
das ist eine super Position davon darstellen oder Funktion oder eine super Position der anderen.
Und das kennen Sie eigentlich, ja. Was ist diese Darstellung hier? Ich meine,
wir haben ja hier schon, wir haben es ja schon fast,
dass hier diese Funktion, eine Funktion sozusagen auf einen zweidimensaren Gitter,
die ich hier sozusagen diskritisiert habe, ist im Prinzip ein Bitmap,
ja, wenn sie ein beliebiges Bild haben,
dann müssen sie an jedem Punkt sagen, was ist die Farbe,
ja, dann müssen sie ein Farbwert zuordnen, der Farbwert,
das ist irgendwie die Zahl von 0 bis 128 oder je nachdem,
was für eine Farbtiefe sie wählen,
das ist eine Funktion
Eine Möglichkeit, das Bild abzuspeichern ist. Sie speichern als
Spitmap, das heißt, sie speichern jeden dieser Farbwerte.
Eine andere Möglichkeit ist, sie versuchen, die Informationen ein bisschen
zu komprimieren. Und in dem Zusammenhang ist es genau,
ist das genau eine gute Darstellung, weil das ist genau,
was sozusagen die JPEG-Darstellung macht.
Sie versucht, die Informationen in dem Bild zu komprimieren,
indem sie nur die relevanten Fuhrjahrkomponenten rauswählt.
Also ich kann es mal skizzieren, wie das in der Tat aussieht.
In der Tat nimmt man natürlich nicht das ganze Bild und früher
transformiert es, sondern sieht vielleicht in etwas so aus.
Sie haben irgendein Bild, ja,
was weiß ich
Dieses Gespenst, das Einzige, was ich zeichnen kann,
dann nehmen sie ihn Gitter. Das ist jetzt als Bittemark
gegeben, ja. Das heißt, sie haben hier irgendwie
eine Million Punkte. Was die JPEG-Komprimierung gemacht ist,
die teilt sich das erstmal einen, kleinere, achtmal acht Gitter.
Man nimmt sich hier sowas raus hier sozusagen, dass es,
das sind sozusagen achtmal acht Bits. Ja,
dann wählt sie sich einen von diesen Kästchen hier raus und
schaut sich das näher an, ja, sozusagen,
da haben sie hier das Geschwänz,
das sieht er sozusagen
nur halb aus,
Bild so aus, dann entwickelt sie das hier,
was in 8 mal 8 ist, entwickelt sie nach den 64 früher Komponenten,
also genau sozusagen die, die ich vorher hingezeichnet habe.
Und dann fällt sie hier zum Beispiel fest,
dass eine gute Darstellung dafür ist,
dass sie eigentlich nur im Wesentlichen diese Darstellung hier nehmen,
oder machen wir mal ein bisschen einfacher,
nehmen wir mal eins, was ein bisschen besser,
wenn man es so aussieht, so ein Bild hier aus.
Das Gespenst muss ein bisschen anders aussehen hier in der Nähe, das muss dann.
Das sagt ihr, das hat hier so eine Delle des Geschwänz.
Okay. Und jetzt stellen Sie halt fest, ja,
gut, das kann ich entwickeln als die konstante Funktion, plus
Die Funktionen, die hier Minus hat und hier Plus.
Und wenn sie die beiden addieren, dann kriegen sie die,
die sozusagen hier null hat und hier nur Minus.
Und dann hat es da noch 64 weitere, frühere Komponenten,
aber die sind alle irrelevant und das stellt dann der Algorithmus fest
und der stellt dann fest, die lasse ich einfach weg.
Und dann haben sie das komprimiert. Und der wirkliche JPEG-Algorithmus macht das natürlich sozusagen,
zerlegt vorher das noch in Farbkomponenten und typischerweise hat das Auge eine relativ schlechte Auflösung,
wenn es darum geht, Farbunterschiede lokal festzustellen.
Das heißt, in der Farb,
in den Farbwerten können sie so oft sozusagen nur niedrige Komponenten mitnehmen,
während sie ihn sozusagen mit den Helligkeitswerten saugen, eine relativ gute auflösen.
Da müssen dann mehr Komponenten mitnehmen. Mit Senzib ist das,
die Darstellung ist halt so eine Art Funktionen zu komprimieren.
In dem Zusammenhang ist auch sozusagen eine der ersten wichtigen Anwendungen für Forreotransformation oder für Frühereindarstellung.
Als Kompression von Daten. Und was ja auch in der Experimentalphysik das nächste Mal sehen,
ist auch die Analyse von Daten, sozusagen, wenn sie festgestellt haben,
sie haben eine periodische Funktion zerlegt in diese fünf Komponenten,
diese fünf Komponenten sind wichtig,
dann hat es sozusagen natürlich eine physikalische Bedeutung.
Das sind genau sozusagen in der Musik oder in der Musik
sind das genau die Frequenzen, die im Klang ausmachen.
Ich glaube, da werden wir vielleicht das nächste,
kriegen Sie Beispiele in der Experimentalphysik,
vorlesen Sie das nächste Mal und ich werde es auch noch
ein bisschen näher diskutieren
Das Signal an sich zu beschreiben,
ist die Darstellung als frühere Komponenten wesentlich sinnvoller,
als die darstellen, dass sie sagen,
das ist eine Funktion, die geht rauf,
dann geht sie wieder runter und dann kommst du wieder rauf.
Also es hat sozusagen nicht den gleichen Informationsgehalt, wie wenn sie sagen,
das hat im Wesentlichen die Grundfrequenz und die erste harmonische und sowas, ja.
Okay, also ich habe bis jetzt eigentlich nur Funktionen hingeschrieben,
die zwei PP periodisch waren. Natürlich sind Funktionen nicht immer zwei PP-periodisch,
aber natürlich können sie einfach das Nente Ball, sozusagen,
wenn die Funktion nicht zwei periodisch ist,
dann können sie einfach das Intervall skalieren,
das schreibe ich hier noch kurz hin
Ich muss sagen, beliebige Periode. Also,
wenn Sie einfach nur eine Funktion haben,
die ist gegebene F von Tee plus Groß-TS-F und T,
ist sozusagen die Periode Tee,
dann können Sie eine Frequenz definieren,
Omega,
definiere ich hier einfach als Omega gleich
SWOP durch Tee, und dann ist die Furia-Reihe einfach gegeben
durch F von Tee, ist Summe über alle.
K gleich minus unendlich bis plus und endlich EOI, K,
Omega 0T, CK und CK ist gegeben durch.
Eins durch Tee, Integral von 0 bis T, DT,
F von T, ich hoch minus ein, Amega 0.
Also ich meine, die Formel sieht praktisch genauso aus. Das Einzige,
was sie sich merken müssen, ist, die Funktion,
wir müssen natürlich genau die Periodisität haben von der Funktion, die sie entwickeln.
Und wenn sozusagen die Funktion hier, die Pajizität T hat,
dann haben die Exponentialfunktion, der Cosinusfunktionen, in die sie entwickelt,
dann müssen sie hier eine Frequenz Omega 0 reinschreiben,
damit das hier die richtige Periodizität hat.
Also einfach sehen sie ja hier, wenn sie einfach jetzt schreiben,
eh hoch, eh, K, Omega 0,
T plus T, Ist das Gleiche wie Eochika,
Omegan 0, Tee, mal Eodi, K,
jetzt hat sich das Omeda 0 ein, Svopi durch Tee,
mal Tee, und das ist eins, ja.
Also das muss, sonst können, die Funktionen müssen dieselbe Privazität haben.
Und ansonsten sieht die Formel exakt genauso aus,
wie sie sich den Vorfakt, der merken können,
ist auch einfach, indem sie einen Vorfakt,
wir muss genauso sein, dass die nullte Koeffizienz,
koeffizient, genau das richtige Ergebnis gibt,
unter den nulltikoeffizient,
gibt einfach immer das Mittel der Funktion.
Das heißt, wenn sie hier sie integrieren über eine
volle Periode und narmieren über die Länge der Periode,
das ist immer
das Gleiche,
Ja, Experten, Experten. Und aus der Zweite.
Das hier, richtig, das kommt aus dem Blauen.
Das heisst K. Danke. Genau um den Kartenkoeffizienten zu bekommen
, haben sie ihr K. Das war der zweite Karte.
Ah, okay, da stand ich schon vorne.
Dann muss dein, danke. Irgendwie bin ich etwas erkennt,
nicht auf der Höhe, offenbar.
Tee heißt unsere Integrationsvariable. Auch eine Integrationsvariable
Genau. Und ähnlich können sie auch sozusagen sich die Sinus
und Co. sehen, du kannst dir die Cosinus-Reihe hinschreiben.
Ja, ich habe irgendwie komplett verpasst letzte Woche,
dass er der Dienstag DS Akademikus ist.
Von daher hatte ich die Übungen so geplant,
dass wir eigentlich jetzt zwei Vorlesungen haben für die frühe Transformation.
Und demnach können sie jetzt noch nicht alle Übungen machen.
Es gibt eine Übung, nämlich die Aufgabe A,
in der ersten der beiden Theorieübungen, die die vorige Transformation beinhaltet.
Und das ist was, was heute nicht dran kam.
Also die ist aber nur eine kleine Aufgabe,
die können sie tatsächlich
noch nicht machen
Zweite Aufgabe ist schwierig, sagen wir mal so.
Aber das macht nichts, denn im Prinzip steht in der
Aufgabe so eine Art Rezept drin, wie sie vorgehen.
Und wenn sie sich ein bisschen, wenn sie ein bisschen darüber nachdenken,
vielleicht kommen sie mit dem Rezept zurecht, wenn sie nicht zurechtkommen,
ich werde in der nächsten Vorlesung ein relativ ähnliches Beispiel sozusagen noch durchrechnen.
Das heißt, wenn sie es bis Dienstag können, ist es gut,
wenn sie es sozusagen Nachdienstages können, ist es auch gut.
Um was es in der Aufgabe geht,
ist eine andere wichtige Anwendung, warum man vorher Transformation überhaupt macht
Und das ist früher Transformationsspiel dann eine extrem wichtige Rolle.
In der Lösung von Differenzialgleichungen. Weil wir haben, wie gesagt,
früher Transformation ist eine Darstellung einer Funktion in einer geeigneten Basis.
Wenn sozusagen dich eine Differenzialgleichung habe,
für die sozusagen diese Basisfunktionen trivial sind,
dann kann ich diese Differenz sagreichen, trivialerweise lösen,
indem ich sie Funktionen zuerst in die vorredralen Darstellung bringe,
dann die Differenzialgleichung sozusagen löse in der Darstellung und dann zurücktransformiere.
Weil sozusagen, ich meine, trivial handhaben kann mit dieser
Und das und Differenzalgleichung, wie die Porsogleichung zum Beispiel,
die im Prinzip nur eine zweite Ableitung sind,
dann sehen sie sofort, dass diese Furied-Komponenten extrem trivial sind.
Wenn sie einfach zweimal ableiten, diese koeffizienten EOCI, KX,
dann kriegen sie einfach IK, Quadrat, EOCI, KX.
Im Prinzip fast wieder das Gleiche. Das heißt,
wenn sie eine Funktion, eine Furiedarstellung haben,
dann können sie sehr einfach differenzialgleich lösen,
indem sie zuerst den Ansatz machen und dann sozusagen die Differenzialoperatoren
auf den Ansatz anwenden und dann geht es weiter.
Aber wie gesagt, ein Beispiel, Spezies Beispiel,
was sehr ähnlich ist für die Aufgabe kommt,
nächste Woche noch dran.
Aber ich habe auch versucht, ein paar Hinweise in
der Aufgabe selbst zu geben.
Okay, danke