Wir hatten das letzte Mal aufgehört,
mit dem Ausdruck für das Magnetfeld in der allgemeinen Stromverteilung.
Und genau, damit machen wir heute weiter.
Eigentlich die ganze Vorlesung so ein bisschen in der Richtung.
Also ich schreibe Ihnen das nochmal hin zur Wiederholung. Wir hatten uns überlegt,
dass Sie das Magnetfeld einer allgemeinen Stromverteilung immer schreiben können,
als im Prinzip Ableitung eines Potenzials, in dem Fall eben ein Vektorwertiges Potenzial.
Und dieses Vektorpotenzial, wenn Sie sozusagen noch zusätzlich für dieses Vektorpotenzial
konnten Sie zusätzlich noch vereinfachende Annahme machen, sogenannte Eichbedingungen,
sie konnten fordern, dass die Diviagenz, dieses Vektorfells verschwindet.
Und wenn sie die Annahme gemacht haben,
dann kriegen sie eine explizite Formel für das Vektorpotenzial.
Nämlich im Prinzip müssen sie dann nur die Penson-Gleichung lösen.
Und damit kriegen sie eine explizite Formel für das Magnetfeld.
Und mit der Formel wollen wir jetzt genau weitermachen.
Das war sozusagen hier das Vektorpotenzial, war einfach gegeben durch Mühe 0
durch 4P, also die Lösung der Pensorgleichung, D-Hoch-3R-Strich.
Jetzt J von Erstrich hier. Durch A-Strich. Es ist
sozusagen der Pensorgleichung für jede Komponente von A. Und das Magnetfeld,
wenn sie die Ableitung bilden, war gegeben durch Mühnull,
durch 4P-Integral,
D-Hoch-3-Strich-J von Strich-Kreuz
am Minusterstrich
Ja. Genau. Und an der Stelle machen wir weiter. Und das erste,
was wir uns überlegen wollen, möchte ich noch mal kurz Ihnen zeigen,
dass der Ausdruck tatsächlich Äquivalent ist zu dem Bioser-Wahrgesetz,
was sie aus der Experimentarphysik-Vorlesung schon kennen.
Und sie ist der einzige Unterschied, soweit,
dass sie es hier mit einer kontinuierlichen Stromverteilung zu tun haben,
während dem Bioservar-Gesetz, was sie aus der Experimentalphysik kennen,
da haben sie ein Integral über eine Leichterschleife,
aber im Prinzip ist das Äquivalent,
sobald sie sich überlegen,
wie sieht eigentlich die Stromverteilung aus für eine Leiterschleife
Und das können wir jetzt mal machen. Einfach für,
genau hier war einfach noch ein Weg da.
Genau, für sozusagen, nehmen wir mal,
vereinfachend für den Moment an, der hier nicht.
Fangen wir mal mit einem einfachen Beispiel an. Wir haben einfach ein Draht,
der keine Krümmung hat und sich einfach längst der,
sagen wir mal, X-Achse erstreckt hier.
Also wenn man Z XY und hier ist ihr Draht,
der geht hier einfach längst
der X-Achse
Und führt irgendwie in einen Strom-I in der Richtung. Und wenn wir wissen,
was ist sozusagen, wenn wir hierfür die Stromverteilung tatsächlich hinschreiben können,
dann können wir das hier einsetzen und dann sollten wir genau das Bioservargesetz kriegen,
was sie aus der Experimentalphysik vorlesen können.
Und ich behaupte einfach mal, dass die Stromverteilung,
können sie relativ leicht angeben sogar, in dem Fall.
Was wir wissen ist, der Strom ist offenbar null überall außerhalb der X-Achse. Das heißt,
ein guter Ansatz wäre wahrscheinlich sowas wie Delta von Y,
Delta von Z. Okay, dann hat er noch eine Richtung,
er fließt in X-Richtung, Es muss ein Vektor sein,
also schreibe ich mal noch einen Richtungsvektor EX hierhin.
Und dann sollte er nach irgendeinem, ja gut,
sollte noch irgendwas mit dem Strom zu tun haben.
Und ich behaupte einfach mal, dass der Vorfaktor,
der hier steht, ist einfach der Strom selbst hier.
Und das können sie auch relativ leicht nachrechnen, dass die Form bestimmt. Um nachzurechnen,
dass es stimmt, müssen sie einfach nur zeigen,
dass der Stromfluss, den sie sozusagen aus der Form,
wir bekommen durch eine beliebige Fläche, genau das ist,
was sie erwarten, nämlich genau I,
wenn das Kabel durch die Fläche durchgeht und null,
wenn das Kabel nicht durch die Fläche durchgeht,
ja?
Das ist eben Ausdruck zu geben,
Ah, ja, danke. Er muss hochdreifen. Ein bisschen besser.
Okay. Ja, das können Sie ja sich relativ leicht überlegen.
Wir brechen einfach mal hier den Fluss durch eine beliebige Fläche
und nehmen wir einfach mal hier eine Fläche,
um zu sagen, die längste.
Hier senkrecht dazu steht, im Prinzip können Sie es
genauso einfach für eine andere Fläche machen.
Hier ist eine Fläche S und ich breche jetzt einfach
mal hier das Flussintegral über J von R durch diese Fläche
Das ist gegeben durch ein Integral, die A, muss ich aufpassen, der YDZ.
XX, ja, das ist sozusagen das Flächenelement DA.
Und dann gibt es hier irgendwelche Ränder, ich meine,
die habe ich jetzt nicht näher spezifiziert,
die können sie hier sich, je nachdem,
wie die Fläche gewählt ist, hinschreiben.
Dann setzen sie hier ihre Stromdichte ein.
Ein Delta von Y, Delta von Z,
EX mal
Und dann können sie das Ergebnis natürlich unmittelbar ausführen,
weil hier steht das Integrale, wenn eine Delta-Funktion.
Und es gibt genau null. Wenn sozusagen der Punkt,
wenn dieses Kabel hier durch die Fläche durchgeht,
oder nicht durch die Fläche durchgeht, ja,
wenn sitzt denn hier, wie schreibe ich das?
Kabel geht nicht durch die Fläche.
Wir wissen, was das bedeutet hier
Und wenn es durch die Fläche durchgeht, dann gibt es das Integral über die Delta-Funktionen einfach eins und übrig bleibt die.
Das ist also genau das, was sie eigentlich erwarten, dann sagen für die Stromdichte eines Kabels, es gibt genau den Fluss, den sie hier sehen. Okay,
soweit sehr gut, das heißt,
das können wir jetzt im Prinzip unmittelbar in den Ausdruck einsetzen für unsere Strom,
für unser Magnetfeld und dann sehen sie, dass hier dieses Volumenintegral,
in dem Fall ist einfach I, Mynol,
durch VIP, Integralen, D hoch 3, R-Strich,
Delta von Y-Strich, Delta von Z-Strich natürlich, ja,
das kommt von der Stromdichte und die Stromdichtate in eine Richtung GX,
Kreuz, R-S-A-Strich an der Stelle,
durch -strich Betrag hoch 3. Und das ist im Prinzip schon,
das B-A-S-R-A-Gesetz, jetzt können Sie jedes Volumenintegral ausführen,
das heißt,
der X-Z-Strich und Y-Strich werden einfach auf Null gesetzt und
es bleibt ihnen einfach nur ein Integral über X übrig
Was in dem Fall ihm von minus unendlich bis plus und endlich geht,
ich habe jetzt nicht gesagt, wo langt der Draht genau geht,
der X-Strich, DX-Kreuz, r-strich, mal eins durch r-strich,
Betragshoch 3 an der Stelle sozusagen,
Strich ist in dem Fall X-Strich 00,
also YZ haben sie 0 gesetzt, ja.
Und das ist genau das Bioservagesetz, wie sie es kennen.
Diese Selemente DX-EX, das ist genau das Längenelement,
längst der Kurve,
Und dann haben sie das Biosawar gesetzt. Ja,
wir haben uns das jetzt hier überlegt von den Draht der längste X-Achse gestrickt ist.
Im Prinzip ist es natürlich gültig für einen beliebigen Draht und
das eigentliche Argument, was wir gemacht haben, ist,
wenn sie sich für den beliebigen Draht mal einfach überlegen,
wie sieht die Stromdichte aus?
Ist das hier ihr Draht I? Dann greifen sie einfach
so ein kleines Volumenelement, dieses Draht sie raus.
Das hat irgendwie hier eine Querschnittsfläche DA.
Und er geht in Richtung DS
in dem Fall
Dann wissen Sie, dass hier Strom, Dichte,
mal Volumen, in dem Fall mal das Volumenelement und
das Volumenelement ist einfach D-A, mal D-S-Betrag.
Ist in dem Fall das Gleiche wie,
das können Sie sozusagen hier, J hat er in dieselbe Richtung,
in dem Fall wie der Draht.
Das heißt, ihr könnt es genauso gut schreiben als J-Betrag,
D-A,
mal DS
Und das da, sagen Strom, mal Fläche,
Stromdichte mal Fläche, das ist genau ich.
Das heißt, im Prinzip, wann immer sie einen Ausdruck haben,
indem sie hier Integrale haben über Volumenintegrale, über Stromdichten haben.
Und sie haben es eigentlich mit Kabeln, also so stromführenden Fäden
zu tun, wenn sie im Prinzip die Ersetzung hier machen.
Sie ersetzen das Volumenintegral über die Stromdichte, durch ein Linienintegral,
über den Strom mal DS. D-hoch 3, J-H-Strich,
eine J von R-Strich, mal irgendwas,
dann setzen sie durch die Linienintegral, längst der Strom führenden Kurve, IDS.
Meinen Sie das eben genau machen in dem Volumenbios herwagesetzt,
dann kriegen Sie genau das, was Sie aus der Volle ist,
aus der Experimentalphysik vorlesen können, I, Müh-Null durch VIP,
Integral, geschlossene Kurve, DS-Kreuz-A-Strich.
A-Strich. Hoch drei, ja. Als das,
als die andere Version. Okay. Gibt es da
Fragen dazu
Wir könnten, was sollen wir das noch machen?
Sie haben ja die Rechnung, glaube ich, auch schon mal gemacht,
dass sie das tatsächlich für einen langen Draht ausgeführt haben,
das Integral.
Oder ich weiß nicht, ob sie es genau in der Form gemacht haben.
Man könnte es nochmal, ich kann es sie nochmal skizzieren.
Nur als Wiederholung ist es wahrscheinlich gar nicht schlecht.
Ich soll mal sehen, was das genau bedeutet hier.
In dem Fall hier für den,
nochmal für den langen Draht.
Draht längst
der X-Achse
Müssen sich einfach nur jetzt überlegen, was sind eigentlich die Elemente,
die Sie haben in diesem Integral stehen haben und zu sagen,
DS ist natürlich einfach EX, DX.
Das, was wir schon hatten, R, wo wollen wir denn berechnen?
Nehmen wir mal R ist irgendein Punkt XYZ.
Und sozusagen R-minus R-Strich in dem Integral ist demnach natürlich jetzt
in Komponenten geschrieben, x-x-x-strich, sozusagen Haben wir hier YZ.
Und dementsprechend kriegen sie das Magnetfeld im Punkt R. Einfach als I
durch IMUY0 durch VIP, integriert über den ganzen Draht hier DX-Strich.
Das haben wir hier, jetzt brauchen Sie noch EX,
also das Linienelement, Kreuz, Aminosäer Strich.
Also sozusagen 100, Kreuz x-minus x-strich YZ. Und das gibt ihnen,
ich lasse die Vorzeichenrichtung, das gibt ihnen null minus Z Y,
wenn ich das richtig sehe.
Also, die letzte Komponente ist Y,
die andere ist die zweite Komponente ist minus Z. Okay.
Das können sie auch, ja,
oder das müssen sie nicht, das können sie jetzt
direkt hier oben einsetzen
Dann kriegen Sie hier. Jetzt bin ich hier
ein bisschen DX-Strich. Dann haben Sie hier diesen Vektor.
Den vielleicht, da müssen Sie sich ja einsetzen,
dann kriegen Sie hier noch das Eins durch.
Eins durch. Das hier zum Betragsbereich hoch drei,
x-x-x-x-x-s-quadrat, plus y Quadrat plus Z-Quadrat, hoch dreihalbe,
mal dieser Vektor,
hier oben mal dieses
Als Vektor geschrieben, und das können Sie natürlich einfach rausziehen,
weil minus Zeit Y nicht abhängen, von dem Integrationspunkt.
Und dann steht hier ein Integral, DX-Strich, 1 durch.
Das hier, hier können Sie jetzt sozusagen im Prinzip gleich substituieren.
Klingt einfach x-strich, Quadrat plus Y und Quadrat
plus Z-Quadrat
Hier die Wurzel hoch 3. Und wenn sie das ausrechnen,
jetzt könnt ihr das integral im Prinzip direkt ausführen,
dann kriegen sie raus. I, my 0 4P,
in dem Fall 0 minus Z. Y mal eins durch.
Zwo durch Y und Quadrat plus Z Quadrat in dem Fall hoch.
Brauche ich genau das hier. Und das ist im Prinzip
genau die Formel, die sie auch aus der Experimentalphysik
vorlesen können
Dieses Y-Quadratus, Z-Quadrat, ist, nennen Sie sozusagen Zylinder-Koordinaten einführen würden,
dann hätten Sie hier X und Roh ist einfach der Abstand,
dann ist das einfach I, My0, durch SwOP,
EV, durch Roh, wobei EV,
das ist jetzt, sind Zylinder-Koordinaten um die X-Achse.
Okay. Wenn ich das nicht Ich glaube, es ist richtig,
ja. Okay, also das nur als Beispiel,
wenn Sie die Rechnung jetzt sozusagen, wenn Sie da jetzt nicht durchblicken,
direkt, dann empfehle ich die nochmal zu machen.
Also Sie haben die Rechnung in der Experimentatphysik gesehen, hier
noch hier gesehen. In der Übung gibt es weitere Aufgaben,
in die Sie das Bio-Sabba-Gesetz direkt anwenden. Das ist eine
ganz nette Übung, ja. Wie zensiv Patret Schritt,
wo in der Wurzel explizit Gespräche, Quadratität zu geben,
wegen Sprechen. Ah, das ist eine gute Frage.
Das ist genau eine Substitution. Sie sehen,
im Prinzip kann ich hier einfach substituieren,
sagen wir mal, x-Strich geht nach x-minus-x-strich oder sowas.
Einfach variablen Substitutionen. Oder sie führen eine Variable ein S des x-strich-minus-strich.
Wahrscheinlich wäre es die beste, die schönste Substitution,
wenn sie es schön schreiben wollen, ja.
Dann schreiben sie, dann machen sie die Substitution hier an der Stelle.
S gleich x-strich minus x durch x durch y Quadrat,
durch Rose sozusagen, ja. Durch Roh, wobei Roh gleich
y Quadrat plus Z Quadrat ist. Und dann ziehen sie das raus,
dann ist das Integrat, was übrig bleibt, einfach,
was sie zu lösen haben, einfach eins durch Wurzel,
S-Quadrat, plus eins, Integral von minus und endlich bis plus unendlich.
DS. Also das wäre sozusagen eine anders geschriebene Substitution. Okay,
aber im Prinzip, was wir eigentlich machen wollen,
ist, wir wollen nicht nur Magnetfelder von Drähten brechen,
sondern wir wollen magnetisches Moment, was haben wir hier?
Wir wollen das Magnetfeld einer beliebigen Verteilung haben und da wird es natürlich extrem schwierig,
dieses Integral irgendwann auszurechnen und da müssen wir uns das Leben etwas vereinfachen und das ist das,
worum es genau jetzt geht. Wir wollen im Allgemeinen,
sind wir an irgendwas interessiertes, wir haben eine lokalisierte Stromverteilung,
das kann zum Beispiel die Ströme sein,
die innerhalb eines einer Anordnung fließen oder auch sagen wir mal die Ströme,
die in einem in einem Atom fließen oder was weiß ich,
das ist eine sehr lokalisierte Stromverteilung.
Und was wir wissen wollen, ist das Magnetfeld außerhalb dieser Stromverteilung,
an dem Punkt, der sehr weit weg ist.
Das ist die übliche Fragestellung. Wenn wir nah rangehen,
wird es beliebig kompliziert, aber wenn wir weit weg sind,
dann werden wir sehen,
ist das Ergebnis extrem einfach und lässt sich relativ leicht charakterisieren.
Relativ unabhängig davon, wie speziell jetzt hier diese Stromverteilung aussieht.
Also hier ist J von R Strich Ungleich Null hier drin.
Und das ist irgendwie dieses Gebiet hier hat irgendwie die Abmessung. D,
sagen wir mal, und wir wollen das Ganze wissen,
in einem Punkt, er mit der Eigenschaft,
dass er sehr viel größer ist als die Abmessung.
Also wir haben eine lokalisierte Verteilung, wir sind sehr weit
weg und wir wollen das mal Knetfeld haben.
Und das ist die typische Fragestellung. Und Sie erinnern sich
vielleicht an die Elektrostatik, da hatten wir eine ganz ähnliche Fragestellung,
die uns auf diese Multipol-Entwicklung geführt hatte.
Ja, und zwar waren wir interessiert an der Verteilung,
einem Potenzial, an einem elektrostatischen Potenzial,
einer Ladungslokalisierten Ladungsverteilung
Und die konnten sie im Prinzip hinschreiben als eine Entwicklung.
Von der Form. Und so weiter. Die nächsten Thermen,
damit schlagen sie sich gerade in der Übung rum
Ja. Was ist die Idee hiervon nochmal? Sie charakterisieren
die beliebige Ladungsverteilung durch nur sehr wenige Kenntgrößen, nämlich die Momente.
Das ist im Prinzip, das ist die Gesamtladung,
das ist das Deepo-Moment und das ist das Quadtropol-Moment.
Das sind einfach Kenntgrößen dieser Ladungsverteilung, die sie explizit ausrechnen können.
Um die auszurechnen, kümmern sich im Moment noch gar nicht,
wie das Feld aussieht. Wir wissen einfach Kuh,
ist das Integral über die, sozusagen die Gesamtladung einfach,
ja, P, ist das Deepo-Moment,
haben Sie auch eine explizite Formel dafür
Einfach erstrich mal roh von Strich und so weiter. Und
fürs Quattopo-Moment haben sie eine explizite Formel, die brechen sie
einmal und dann wissen sie, wie das Feld aussieht in großer Entfernung.
Das ist einfach eine Charakterisierung der Ladungsverbraucherteilung durch ein paar wenige Kenngrößen.
Und Sie wissen, dass die Charakterisierung ist, genau in dem Sinn,
dass das Feld sozusagen die Fehler, die wir haben,
die fallen immer stärker ab mit dem Abstand.
Also dieses Feld hier fällt ab, die Eins durch Aquath R,
das wie eins durch Aquadrat im Betrag,
hier steht hier oben noch ein Radies,
das wie eins durch Aruch 3 und so weiter.
Das heißt, wenn Sie weit weg sind,
dann ist, der Rest hier sehr klein,
weil er sozusagen wie eins durch Erhoch 4 abfällt und wenn er groß ist,
geht es sehr schnell gegen null.
Das heißt, wenn sie weit weg sind, dann reichen ihnen
ein paar sehr wenige Kenntgrößen um die Ladungsverteilung zu charakterisieren.
Und genau das gleiche Prozedere können wir auch für Magnetfelder probieren.
Und ich behaupte, dass das, ich schreibe ihnen einfach erstmal das Ergebnis hin.
Das geht tatsächlich auch wesentlich leichter hinzuschreiben fürs erste oder herzuleiten,
indem sie es nicht für das Magnetfeld selbst hinschreiben,
sondern für das Potenzial
Und das Potenzial können Sie einfach hinschreiben als null plus M-Kreuz
R. Durch... Er hoch 3 plus und so weiter,
Quatsch, ein paar Momente interessieren uns jetzt nicht.
Und sagen, das ist das magnetische Monopol-Moment.
Und das ist das magnetische Depo-Moment oder einfach nur magnetisches,
das Feld, denn es ist Depos.
Und so weiter, ist also eine explizite Formel
Und wenn sie das Feld tatsächlich haben wollen,
dann müssen sie einfach nur noch ableiten hier natürlich.
Das machen wir dann später noch, ja. Und diese Kenntgröße,
dieses magnetische Moment, haben sie wieder einfach eine explizite Formel dafür.
M ist ein Halbintegral über die gesamte Ladungsverteilung, Strich Kreuz J von Strich.
Und das Schöne ist wieder, wie vorher,
Wenn Sie weit weg sind, trauen Sie sich für das,
was hier steht, überhaupt nicht mehr zu interessieren,
weil es wiederum schnell abfällt mit dem Abstand und von daher vernachlässigbar wird.
Und genau das wollen wir uns jetzt explizit überlegen,
wie kommen wir auf diese Formel hier?
Wie kommen wir erstens darauf, dass der erste Time hier
null ist und dann auch noch auf die Formeln hier.
Nächstes Mal hier Beweis. Und dafür ist es genau,
fangen wir genau an mit der Formel,
mit der allgemeinen Formel, A, von A, Moment.
Das wissen die genau. Das ist der allgemeine Integralausdruck. Müh,
4IP, Integral, die Hoch 3R, Strich,
J von A, Strich, durch r--strich zum Betrag.
Und was sie wissen, ist, dass dieses Integral,
Strich, es sozusagen auf die endliche Stromvorteilung hier beschränkt und er wird groß,
das heißt, was sie wieder machen, wir müssen diesen Ausdruck hier entwickeln.
Eins durch r-strich für Er, sehr viel größer als er Strich.
Und das ist genau die Entwicklung in Regento Polynome,
die wir da in der Multipolentwicklung kennengelernt hatten. Es war also,
wenn Sie das nachschauen, ist das eins durch Erd,
plus er, Strich durch R hoch 3,
plus Ordnung, Strich durch Hoch 3 und so weiter.
Also plus Therme, die wir vernachlässigen.
Also wir hatten das hingeschrieben durch als Entwicklung in explizit sozusagen,
wenn Sie es nachschauen, die Formel, die wir da hatten,
dann hieß das irgendwie, dann kam da Für den zweiten Term,
Strich Kostetta, durch R-Hoch 3 vor.
Wobei Kostetta war einfach der Winkel von R-Strich.
Und das ist genau das, was hier steht.
Ich habe es also nur ein bisschen anders hingeschrieben in dem Fall, ja.
Und genau mit dem Time können wir jetzt arbeiten,
wir können das explizit hier einsetzen, dann kriegen wir einen Ausdruck für das Vektorpotenzial.
Der erste Ausdruck ist einfach Mynull, durch 4P,
mal eins durch R, mal das Integral über die Stromdichte,
überall, plus Was hier noch der nächste Ausdruck ist,
MyNull durch 4P, eins durch R hoch 3, Integral, D hoch 3
R Strich, R. Strich, mal J von R Strich.
Ja, plus und so weiter. Und das hier genau ist
sozusagen das Monopolfeld, was wir eins durch R abfällt.
Und das ist genau das Deep Pullfeld. Ja,
und die beiden müssen wir jetzt separat berechnen.
Und separat überlegen, warum habe ich eigentlich heute so wahnsinnig
viele Seiten
schon vollgeschrieben
Ja. Ja, Klammer müsste da nicht der Grab stehen.
Hier, in dieser Klammer? In der? Da müsste er
Quadrat stehen, danke, ja, das ist richtig.
Mann, hier. Sodass ich sozusagen einmal mit R erweitern
kann. Und hier eins durch R hoch 3 steht.
Genau. Okay, wir wollten das rüberspiegeln.
Also das erste ist dieses Monopolfeld und das soll Null ergeben.
Sie können sich schon so ein bisschen überlegen, warum das Null ergibt.
Wenn Sie eine geschlossene Strom bleiben, Stromschleife haben,
schauen wir uns das mal an für so eine Verteilung,
wie die in etwa so hier aussieht.
Wir haben einfach eine Stromschleife, da fließt der Strom durch hier.
Und jetzt integrieren Sie hier einfach D-Hoch 3, R-Strich,
J von R-Strich über diese Stromdichte. Im Wesentlichen sehen Sie sofort,
dass der Teil hier hebt sich genau mit dem Teil hier weg sozusagen.
Wenn Sie hier durchnummerieren, 1, 2, 3,
4. Dann ist integral über den Teil 1,
es ist minus integral über den Teil 2 und integral über
den Abschnitt 3 ist natürlich genau minus integral über den Abschnitt 4.
Das heißt, das Ganze ist null. Für den Fall sehen Sie das sofort,
um das hier für eine beliebige Stromverteilung zu sehen,
können Sie entweder sich vorstellen, dass wenn Sie eine beliebige Stromverteilung haben,
dann teilen Sie die einfach ein,
in lauter so kleine Ringe.
Aber Sie können es auch direkt mathematisch sehr elegant sehen.
Das machen wir jetzt mal
Wir müssen zeigen im Prinzip, für jede Komponente hier,
um zu zeigen, dass der Ausdruck null ist, wissen wir das für jede Komponente zeigen?
Machen wir das einfach mal hier, die Hoch 3 erstrich,
J-Alpha von A-Strich, wobei Alpha nummeriert jetzt aber die Komponenten,
1, 2, 3 und so nach dem Motto X,
1 ist für den Vektor sozusagen,
von den allgemeinen Vektor A-1 ist sozusagen die X-Komponente A-2,
soll die Y-Komponente sein und A-3 soll die Z-Komponente sein,
das soll die Z-Komponente des Vektors sein, nur dass man sind damit leichter schreiben können und so weiter.
Wir brauchen also die X-Komponente oder die Alpha-Komponente von dem Ausdruck.
Das kriegen wir natürlich einfach, indem wir hier im Prinzip
den Stromvektor mit dem Einheitsvektor in Alpha-Richtung multiplizieren.
Da ist noch nichts passiert. Und jetzt mache ich
einen Trick und schreibe diesen Einheitsvektor als Gradient eines Skalanfeldes,
nämlich als Gradient des Feldes,
was genau die Alpha-Komponente ist
Das ist mal, wenn sie den Gradient der Funktion X bilden,
dann gibt es den Einheitsvektor in Richtung X. Ist auch nichts passiert.
Und jetzt steht hier ein Integral über,
eine Ableitung von der Funktion, mal eine Funktion.
Das heißt, ich kann partiell integrieren.
Machen wir das mal. Partiell integrieren sozusagen heißt,
wir, ich schreibe das als Ableitung von X Alpha,
mal J-Alpha,
mal J in dem Fall,
minus X Alpha,
mal Divergenz von
Und das hier verschwindet, weil der Strom stationär ist,
die Divergenz des Stroms verschwindet, das war genau das,
was wir, die Kontinuitätsgleichung,
die wir das letzte Mal auch hingeschrieben hatten.
Die Vergenz des Stroms verschwindet, damit die Ladungsverteilung stationär ist.
Das heißt, wir müssen uns nur mit dem ersten Teil
herumschlagen und den ersten Teil können wir nach Gauss einfach umformen,
in den Oberflächen integral
In dem Fall ein Oberflächenintegral über, wieder das ganze Volumen,
also in den ganzen R-Hoch 3, und hier steht da,
das können wir, im Prinzip können wir uns irgendeine Kugel wählen,
betrat gleich R, wie üblich,
wir lassen großartig und endlich gehen und schreiben das als Oberflächenintegral von der Funktion X Alpha mal J.
Und das ist null,
weil der Strom auf ein endliches Volumen beschränkt ist, ja,
aussieht, sobald ich dieses Blumen hier, die Ober,
das ist die Oberfläche außerhalb meiner Stromverteilung gewählt habe,
bleibt einfach nichts mehr übrig, ja.
Das heißt, hier steht einfach,
ja,
J lokalisiert
Das ist aber nichts zu sagen, das ist nichts anderes
als eine mathematische Ausformulierung dieses Arguments hier oben.
Okay, ein bisschen schwieriger wird es um den zweiten Term hier zu verarzten.
Also erstmal noch hier. Und da müssen wir erstmal einen kleinen,
das machen wir wieder komponentenweise, also wir müssen im Prinzip
hier Dieses Integral ausführen können.
Ja, und das können wir wieder komponentenweise machen.
Das sind kleinen. Und dann machen wir erstmal eine kleine Zwischenüberlegung.
Aber dich so umschieben. Okay, das ist noch genug Zeit,
ja. Das hier, behaupte ich es das Gleiche wie,
das sind die gerade über X. Better J Alpha.
Und es geht im Prinzip auf dieselben, können wir im
Prinzip auch mit demselben Trick beweisen, wie hier oben.
Es ist im Prinzip wieder D hoch 3 Strich,
X Alpha, Gradient, X Better.
Punkt J. Von Erstrich. Und dann mache ich eine partielle
Integration. Genau wie oben mit demselben Argument,
dass wir die Ableitung hier umwerfen, verwenden,
dass die Divergenz 0 ist aus dem Gastischen Satz für das Oberflächenintegral
verwenden und wieder zeigen, dass dieses Oberflächenintegral verschwindet.
Und dann steht hier nichts anderes als einfach minus die Hoch-3-R-Strich.
X-Better, J-Alpha von R-Strich. Das ist sozusagen eine kleine Zwischenüberlegung
. Genau wie oben. Und wenn wir das wissen,
dann können wir sagen, dieses Integral hier oben verarzten
Nehmen wir hiervon wieder die Alpha-Komponente. Schreibe ich einfach mal
explizit den Term hier, also Summe über Better,
x Better,
x Better Strich,
Und jetzt verwende ich genau diese Formel, die wir hier hatten.
Und genau den Ausdruck, den wir hier hatten,
und ich mache so eine Art Trick,
ich setze hier im Prinzip ein Eins, ist ein Halb plus eineinhalb, ja.
Ich erweitere den Ausdruck, nehme ich sozusagen den Ausdruck X-Betterstrich,
J-Alpha, zerlege ich in einmal diesen Ausdruck und einmal diesen Ausdruck, jeweils eineinhalb.
Dann steht hier erstmal außen X-Better, Summe X-Better,
das ist ja nicht im Integral, mal eineinhalb,
X-Better, Strich J-Alpha von Airstrich, Minus X,
Alpha, Strich, J, Better von Strich.
Ja. Und das können Sie jetzt wieder interpretieren,
als die Alpha-Komponente von... Eben dem Ausdruck, den wir vorher hatten,
eineinhalb, J von Strich minus einhalb, J. Erstrich, ja.
Ja, aber einmal machen wir hier diese Summe Better.
Summe über die Komponenten ist immer genau das Skalarprodukt.
X Better, X Better Strich ist das Skalarprodukt RR-Strich und
die Summe X Better J Better ist das Skalarprodukt R.
Und dann sehen Sie schon, dass ich einen Fehler gemacht habe.
Er muss hier sozusagen der Strich stehen und hier ist kein Strich, ja.
Und der Ausdruck hier, den können Sie wieder ruminterpretieren,
als Hier steht auch noch, das Einhalb steht außen, okay?
Diesen Ausdruck hier können Sie um interpretieren, als er,
er Kreuz, erkreuz, J-Kreuzer-Strich, ja.
Ja, einfach indem Sie den bekannten Ausdruck verwenden,
dass sozusagen A, Kreuz, B, Kreuz,
C, Sie kennen, das ist diese Backzapp-Regel,
B,
A,
Minus C-A-B. Das gilt in seinem Allgemeinen.
Und damit sind sie genau da, wo sie hinwollen.
Hier stehen Ausdrücke, die sozusagen nur von Strich abhängen.
Das R können sie einfach aus dem Integral rausziehen.
Und dann steht hier das Ganze. Einfach erkreuz, integral,
D hoch 3 erstrich, einhalb, J von Strich,
Kreuzstrich. Und das ist genau, was wir vorher als
minus M
definiert hatten
Sodass im Prinzip das gesamte Integral,
wenn wir nochmal hier eins zurückgehen würden,
wäre dann genau an der Stelle, ja,
das hatten wir hier genau als Minus-M definiert,
das gesamte Integra, wenn Sie den Ausdruck jetzt hier einsetzen,
dann kriegen Sie eben genau A von,
ist My-Null durch 4P,
M-Kreuz A durch Hoch 3. Also genau den Ausdruck,
den wir haben wollen
Zugegeben, das ist eine etwas trockene Rechnung. Sie müssen
die wahrscheinlich auch nicht explizit wiederholen können, weil wahrscheinlich,
wenn man versuchen würde, hier sich das explizit zu überlegen,
würde man garantiert zweimal gegen eine Wand laufen und nicht genau wissen,
wo man jetzt ein halb plus ein Halbgleich einsetzt.
Weil im Prinzip, was wir machen, ist,
wir setzen hier, wir addieren hier irgendwelche Therme,
die null sind,
aber nicht wie null aussehen und die nur deshalb null sind,
weil die Libergenz von J verschwindet, genau wie hier.
Im Prinzip der Tatsache, dass wir hier sozusagen diesen Ausdruck hier X,
AlphaJ Better, X BetterJ Alpha umschreiben können.
Das liegt im Wesentlichen daran, dass die Dibagenz J.0 ist.
Das heißt, es gibt jede Menge Integralausdrücke hier,
die sehr kompliziert aussehen, aber eigentlich null sind.
Und das haben wir hier irgendwie verwendet. Also wie sie genau darauf kommen,
schauen sie sich das noch ein paar Mal an,
aber genau reproduzieren müssen sie das, glaube ich, nicht.
Aber wichtig ist, dass sie tatsächlich sich diese Formel hier,
dass sie diesen Ausdruck im Gedächtnis behalten,
weil der ist auch tatsächlich relativ analog zu einer Elektrostatik,
sehen in der Elektrostatik,
ist das Depol-Potenzial einfach
Und in der Magneto-Statik haben wir das Dipo-Feld gegeben durch M.
Kreuzerdiger Hochdreis. Das ist ein sehr analoger Ausdruck.
Damit können wir jetzt weitermachen und können auch das Feld ausrechnen.
Indem wir einfach die Ableitung bilden, B von R ist
Rotation A. Ist also Rotation M. Kreuz A durch R hoch 3.
Und die Rechnung führe ich Ihnen nicht vor,
sondern ich schreibe mir das Ergebnis hin
Es ist einfach mühenull durch 4P, m.R-Quadrat durch hoch 3,
durch R hoch 5. So. Jetzt,
wenn Sie sich das Ergebnis anschauen, dann sehen Sie,
dass das im Prinzip exakt das Gleiche ist,
was Sie auch in der Elektrostatik kennen.
In der Elektrostatik wissen Sie, dass Deep Pool fällt.
Es ist einfach gegeben durch minus Gradient
von dem Deep Potenzial
Und jetzt hat er die Form 1 durch 4 Pi Epsel 0, P-A-P-A-Quadrat.
Durch, was haben wir hier? Durch R hoch 5 in dem Falle.
Also obwohl sozusagen die Rechnungen hier relativ verschieden sind,
obwohl das Potenzial selbst hier auch ganz anders aussieht.
Einmal M-Kreuz, einmal P.A., ist der Ausdruck für das Feld identisch.
Und das ist schon mal ganz gut. Und dann wissen sie auch, wie das Feld ausschaut. Wenn sie skizzieren würden,
genau das Gleiche,
was wir schon mal im Prinzip uns auch fürs Deep Pool fällt,
in der Elektrostatik überlegt haben, wenn ich irgendwo einen kleinen Deep Pool habe,
der eben zum Beispiel erzeugt wird durch einen Strom,
der hier im Kreis außen rum fließt,
dann ist das mein kleines Deepo, wo man M,
dann sieht das Deep Pool fällt genauso aus wie das
Deep Pool fällt in der Elektrostatik,
also hier wären das die Feldlinien B. Ging hier einfach
so raus
Wir können es jetzt nochmal überlegen,
wie das tatsächlich aussieht für eine gegebene Anordnung,
in dem Fall für eine Ebene Leiterschleife.
Es ist sozusagen die Standardausrüstung. Wenn Sie irgendeine Leiterschleife haben,
die einfach in der Ebene liegt,
nämlich mal lege ich Sie mal in die Z-Ebene.
Also XYZ
Und Tier fließt den Strom I im Kreis.
Wenn wir das Magnet überlegen, stellen Sie sich vor,
Sie wollen das Magnetfeld dieser Anordnung haben, weit weg von der Anordnung.
Das heißt, in einem Abstand,
der sehr viel größer ist als die Abmessung hier.
Dann ist alles, was Sie tun müssen,
erstmal das magnetische Moment dieser Anordnung auszurechnen.
Und dann können Sie es einfach hier einsetzen, dann kriegen Sie das Feld.
Und das magnetische Moment in dem Fall ist auch relativ einfach.
Das ist einfach ein Halb,
den Sie ein Halbintegral über die Schleife,
DS mal
Kreuz. Ich muss es andersrum schreiben. Sollte ja einfach das Integral über R-Kroatient sein,
also in dem Fall eher Strich, Kreuz, DS, Mali.
Ja, das ist sozusagen die Stromdichte J. Und das ist der Vektor Strich,
also hier wäre Vektor Strich, hier fließt der Strom DS.
Und wenn Sie sich anschauen, was dieser Ausdruck ist,
DS mal erstrich, das ist genau die Fläche.
Also wenn ich die Zeichen das jetzt hier nochmal Ich zeichne das nochmal
in der Ebene sozusagen, jetzt ist hier die Z-Achse,
schaut jetzt hier raus, ja.
Hier ist er Strich. Hier ist DS. Und das hier,
Strich Kreuz DS, der Betrag davon,
ist genau zweimal der Flächeninhalt von diesem Dreieck hier, ja.
Das heißt, das Gesamtentetegral, ein Halb,
gibt genau den Flächeninhalt der Kurve mal ein.
Und die Richtung ist genau die Zeitrechnung
Weil das ist eben dieses Kreuzprodukt von dem Vektorstrich mit dem Vektor S,
zeigt in die Zeitrichtung. Und das ist auch der allgemeine Ausdruck,
wenn sie eine Ebene Leiterschleife haben,
dann ist es magnetisch im Moment einfach gegeben durch die Stromstärke,
mal den eingeschlossenen Flächeninhalt und die Richtung des Ganzen geht so,
dass sozusagen der Stromfluss im Gegenurzeigersinn um diese Richtung fließt.
Also einfach mit rechter Handregel. Okay, soweit so gut.
Jetzt, okay, jetzt kommen wir zu etwas Etwas Interessanterem.
Wir haben gesehen, dass magnetisch das Moment oder überhaupt Magnetfelder,
haben immer was damit zu tun, dass irgendeine Ladung im Kreis rumfließt.
Ladung hängt natürlich jede Ladung, hängt dann im Körper,
der eine Masse hat. Wenn also irgendeine Ladung im Kreis fließt,
dann muss eigentlich irgendwo Wasser im Kreisraum fließen. Das heißt,
irgendwo, wenn sie sehen, da ist ein Magnetfeld,
da ist ein magnetisches Moment, dann wissen sie, eigentlich muss sich irgendwas drehen.
Sie sehen es vielleicht nicht, weil es vielleicht die Elektronen sind,
die sich im Atom drehen oder der Strom ist,
der sich im Kabel dreht, aber irgendwas muss sich drehen.
Jedes magnetische Moment muss irgendwie mit dem Drehmoment verbunden sein. Und das können wir uns mal überlegen,
wenn sie einfach zum Beispiel einen Körper haben,
der komogen geladen ist, und den sie um irgendeine Achse drehen hier,
sozusagen der hier hat eine homogene Ladung,
Sagen wir mal, hohe Null,
also es ist sozusagen die Ladung pro Volumen und eine Massendichte,
nenne ich die mal M0,
das ist einfach die Gesamtmasse Provolumen und Sie können sich fragen,
was ist das magnetische Moment dieses Körpers, der sich hier einfach rumdreht?
Die dreht sich hier, hat irgendwie eine Winkelgeschwindigkeit, Omega.
Das magnetische Moment ist einfach gegeben durch ein Halb, R-Kreuz,
J, Integral über den ganzen Körper, Strich, Kreuz, Stromdichte.
Was ist die Stromdichte dieses Körpers? Ja, wir wissen,
das ist sozusagen, er ist homogen geladen, das heißt,
die Strom, die ich da an einem Punkt,
das ist genau gegeben, das hätten wir uns schon mehrfach überlegt,
durch einfach die Geschwindigkeit an dem Punkt mal die Ladungsdichte.
J von A, Strich, ist die Geschwindigkeit von A,
Strich mal die Ladungsdichte, die in dem Fall einfach konstant ist.
Ja? Okay. Jetzt setze ich das hier ein,
aber ich mache einen kleinen Dreck, ich ziehe die Ladungsdichte
gleich raus und ich schreibe gleich die Massendichte rein, um ihnen
Und sagen wir es. Die Ladungsdichte ziehe ich einfach raus
aus dem Integral und steht hier die Ladungsdichte durch die Massendichte.
Mal die hoch drei Strich, Strich Kreuz, M0 mal
V. Ich habe es sozusagen hier erweitert mit der Massendichte.
Und was Sie jetzt hier sehen, ist, das,
was hier steht, ist genau der Drehimpuls.
Jetzt gehen wir nochmal die Seite. Wenn Sie sich vielleicht erinnern an der Mechanik,
dann haben Sie den Drehimpuls, Als Elke, Eich,
Er, sagen von dem Teilchen, L, gleich R,
Kreuz, P. Und P ist sozusagen MV.
Und damit ist der Ausdruck, der hier steht,
einfach der Gesamtdrehimpuls dieses Körpers. Das heißt, sie sehen,
das magnetische Moment ist eineinhalb, roh durch M0,
also Ladung, Provolumen, mal L.
Das ist in dem Fall ältest der Gesamtdrehimpuls des Körpers
Und die Beziehung gilt relativ allgemein. Also die allgemeine,
der allgemeine Inhalt ist, dass wann immer sie magnetisch im Moment haben,
ist es mit dem Drehimpuls verbunden. Dass der Vorfakt,
der hier in dem Fall genau gegeben ist,
euch ein Halbladung pro Volumen, ja,
das ist natürlich eine Spezialität des Ganzen, das ich hier angenommen habe,
dass die Ladung genauso verteilt ist wie die Masse.
Wenn es anders wäre, wenn ich jetzt zum Beispiel gesagt hätte,
okay, die Ladung sitzt nur auf der Oberfläche,
die Masse ist gleichmäßig verteilt, dann sehe die Beziehung hier anders aus.
Aber solange sie sozusagen Ladung und Masse gleichmäßig verteilt haben,
sollten sie eigentlich genau diese Beziehung hier erwarten.
Und was allgemein gilt, ist das M Gegeben ist,
durch Proportionalitätskonstante mal L und diese Proportionalitätskonstante bezeichnet einfach als das Gyro magnetische Verhältnis.
Wir können, ja, also sie können auch,
und das ist ein ganzes, das finde ich ganz nett,
sie könntet auch tatsächlich die Tatsache,
dass magnetisches Moment mit Drehimpuls zusammenhängt, direktem Experiment sehen.
Es gibt ein Experiment, was ich ihnen leider nicht vorführen kann,
weil ich halt hier sozusagen nur der Theorievertreter bin und vielleicht
ist es auch ein bisschen schwierig, das tatsächlich aufzubauen,
aber wahrscheinlich sollte man mal die Leute hier fragen,
ob sie da Interesse dran haben.
Aber es ist ein ganz netter Effekt. Stellen Sie sich vor,
Sie haben einfach einen Zylinder aus Eisen, ja?
So war es hier. Eisen. Und der soll unmagnetisch
sein, ja? Und den hängen Sie einem Faden auf
, ja? Und Sie haben auch ein äußeres Magnetfeld,
das ist jetzt nochmal ausgeschaltet hier, sozusagen B-Extern ist null.
Und das hängt, der hängt hier einfach an dem Faden
, ja
Was passiert, wenn dir das Magnetfeld anschalten? Ja?
Folgendes passiert? Das Eisen wird magnetisch. Danach hat das
Eisen hier ein riesiges magnetisches Moment M. So haben wir sozusagen
das externe Feld jetzt einfach auf ungleich Null gesetzt hier.
Okay, was wissen Sie? Sie wissen,
dass magnetisches Moment jedes magnetischen Moment geht irgendwie einher mit Drehimpuls
Okay, jetzt schauen Sie sich mal die Drehimpulsbilanz an hier
auf der rechten und linken Seite. Rechts ist der Gesamtdrehimpuls
einfach null. Warum? Das Teil dreht sich nicht,
es gibt kein Moment, im Magnet ist im Moment nichts.
Ja, es ist einfach null. Links, wissen Sie,
dass das gesamte Impuls ist immer noch null.
Weil Sie, was haben die Drehimpulse haltung?
Sie können das Dreh, den Tränenpuls nur verändern,
wenn sie ein magnetisches Moment in Drehmoment wirken lassen auf den Körper.
Und indem sie einfach nur ein homogenes, magnetisches Feld anschalten,
können sie keinen Drehmoment auf den Körper auswirken,
weil einfach aus Symmetriegründen der Anordnung, komplett zylindersymmetrisch ist,
kann sie auf die Art und Weise keinen magnetischen, keinen Drehmoment auswirken.
Das heißt, sie wissen, das Ganze ist null.
Aber sie wissen gleichzeitig, dass es gegeben durch Gamma hoch minus eins
mal das magnetische Moment M, ja, plus ein mechanisches Drehmoment.
Dieses mechanische Drehmoment ist einfach das, was sie dadurch bekommen,
dass sich der Körper selbst wirklich explizit dreht.
Und nachdem sie wissen,
dass die Summe der beiden null sein soll und sie wissen,
dass das hier ungleich null ist,
dann muss demzufolge auch dieses mechanische Drehimpuls Weil null Ungleichnull sein in dem Fall.
Das heißt, was tatsächlich passieren muss, ist, der Körper muss sich drehen.
Sobald sie das Magnetfeld anschalten, weil sie ihn magnetisieren.
Und auf die Art und Weise können sie tatsächlich explizit sehen,
dass ein magnetisches Moment immer mit einem Drehimpulten Drehmoment zusammenhängt, ja.
Und das ist ein extrem tiefer Zusammenhang, weil woher kommt eigentlich genau diese Drehung?
Was sind die? Was sind sozusagen die Elemente,
die Massenelemente, die sich bewegen in diesem Körper,
in dem sie sich in dem Eisen bewegen,
um das magnetisch zu machen.
Das könnten die Elektronen sein,
die sich in kleinen Kreisbewegungen bewegen
Dann ist es noch einigermaßen verständlich mit dem, was wir uns hier überlegt haben.
Und wenn Sie die Überlegung machen, ja,
es kann aber, es muss aber nicht sein, ja,
weil Sie können jetzt sozusagen hier explizit im Prinzip dieses Verhältnis messen,
ja, und können daraus schließen, was ist sozusagen die,
was ist das Verhältnis, Ladung, Promasse, der Elemente,
die hier sozusagen dieses Treimpuls erzeugt.
Und wenn Sie das machen würden, dann würden Sie tatsächlich,
wenn Sie es für Elektronen sich überlegen,
würden Sie tatsächlich auch einen kleinen,
auf eine kleine Überraschung stoßen, ja.
Und wenn Sie sich überlegen, Was ist das Gyro-magnetische Verhältnis?
Für ein Elektron? Okay, was sie wissen oder was sie feststellen,
wenn sie Atomphysik machen, dann werden sie feststellen,
dass Elektronen an sich schon einen Drehmpuls haben.
Also der Drehmpuls seines Elektrons ist gewissermaßen der interne,
ein interner Freiheitsgrad. Jedes Elektron verhält sich an sich
wie eine Kugel,
die sich dreht
Das können Sie einfach feststellen. Durch Messungen. Und wenn Sie jetzt versuchen,
zu sagen, dieses Verhältnis von Dreh,
von einem internen Drehmoment, des Elektrontriimpulses,
des Elektrons und dem Trimo und dem magnetischsten Moment,
was Sie messen können, das zu bestimmen, dann werden Sie feststellen,
dass das tatsächlich nicht mit diesem Ausdruck hier übereinstimmt.
Das ist nur als kleine Bemerkung.
Als wenn Sie von Elektron einfach Ladung pro Masse nehmen,
dann werden Sie feststellen,
dass dieses Verhältnis hier genau um den Faktor zwei
falsch eingeschätzt wird
Und die Konsequenz ist, dass die Anschauung des Elektronen sei
einfach eine homogen geladene Kugel, einfach nicht richtig ist.
Sie könnten sie jetzt versuchen anzufangen, das Elektron zu beschreiben als eine Kugel,
deren Ladung nur auf der Oberfläche sitzt,
aber im Prinzip hat das Elektron ja keine weiteren Freiheitsgrade,
als sozusagen diesen Drehimpuls oder des magnetischen Moment.
Das heißt, im Prinzip sind sie da in gewisser Weise
an der Grenze sozusagen dieser klassischen Vorstellung für das Elektron angestoßen,
sobald sie sehen, dass dieses Verhältnis nicht mehr genau so ist,
wie sie aus der Formel erwarten.
Und in der Tat kriegen sie das richtige Verhältnis auch nur raus,
wenn sie die Quantenmechanik verwenden. Und es ist in der Tat auch,
dass dieses Verhältnis zwischen magnetischen Moment einen Tri-Impuls eines Elektrons,
das ist eine der Größen, die in der Physik,
die im Prinzip am genauesten oder fast mit am genauesten bekannt sind,
und zwar sowohl aus der Theorie als auch aus dem Experiment.
Wir können uns aus der Quantenmechanik extrem genau dieses Verhältnis berechnen und
sie können es auch extrem genau messen und die Stimmen auch sehr gut überein.
Das ist eine sozusagen eine der größten Erfolge, sagen wir mal,
der Quantenelektrodynamik, dass man dieses Verhältnis hier relativ genau kennt. Okay,
und im Prinzip messen könnten Sie sowas,
wenn Sie hier Wissen sozusagen, dass dieses magnetische Moment nur dadurch entsteht,
dass sie sozusagen die Elektronen mit ihrem internen, magnetischen,
internen Drehmoment umrechnen, dass sie sozusagen keine Kreisbewegung der Elektronen erzeugen,
wenn sie das verstehen, dann können sie im Prinzip zum Beispiel dieses Verhältnis genau durch so ein Experiment messen.
Wenn sie dieses magnetische Moment dadurch entsteht,
dass sich in dem Material Kreisströme tatsächlich entstehen,
dann würde dieses Verhältnis hier genau richtig rauskommen mit der Ladung Promasse.
Okay, wie auch immer. Das ist neues Bemerkung.
Aber dieser Effekt hier, den können sie sich merken,
das ist der Einstein-DHs-Effekt,
heißt es hier
Ah. Okay. Übrigens, ich habe jetzt auf die Webseite hier meine Notizen,
die ich sozusagen selbst mir vorbereitet habe,
für die Vorlesung habe ich jetzt auch auf die Webseite gestellt,
für die Magneto-Staatik, weil die enthalten im Wesentlichen,
sagen wir mal, das Gleiche, was ich hier hinschreibe,
vielleicht in einer etwas anderen Reihenfolge,
aber sie sind vielleicht ein bisschen besser zu lesen.
Ich weiß nicht, ob das eher verwirrend ist,
dass sie zweimal das Gleiche haben, aber ich sage mal so,
wenn sie die Notizen zum Beispiel lesen,
die ich da draufgestellt habe, also diese Diese Notizen hier,
dann haben sie eigentlich auch alle Informationen, die ich hier habe.
Sie können also beides sich mal anschauen und schauen,
mit welchen der beiden sie einfach besser zurechtkommen.
Okay. Dann kommen wir noch, haben noch zehn Minuten,
dann kommen wir noch zum letzten Thema.
Wenn wir magnetisches Moment haben, was sie wissen,
ist, wenn sie einen magnetischen Moment haben und sie tun,
sie bringen das in ein Magnetfeld, dann wirkt da irgendeine Kraft drauf.
Und sie haben sich die Kraft auch schon überlegt in
der Experimentalphysik für eine gegebene Leiterschleife und wir können im Prinzip
dasselbe Resultat auch sehen für ein beliebiges magnetisches Moment,
also für eine beliebige Stromverteilung.
Und das wollte ich Ihnen noch kurz zeigen
. Also wenn Sie eine beliebige, lokalisierte Stromverteilung haben,
dann ist die Frage, was ist die Kraft,
die haben ein externes Magnetfeld B von R und die haben hier ihre Stromverteilung,
J, dann ist die Frage,
wie ist die Kraft?
Sie wissen, Sie kennen die Lorenzkraft, Sie wissen,
Kraft auf einen Massenpunkt ist einfach V-Kreuz
Und wenn sie jetzt das Anwenden auf eine beliebige,
verteilte Stromverteilung, dann müssen sie einfach bloß sich überlegen,
wie sie diese Stromverteilung, teilen sich ja diese Strom,
dieses Volumenelement einfach ein, ein kleines Volumenelemente,
haben sich hier irgendwie kleine Ladung, die Kuh,
die sich, sagen wir mal, mit einer Geschwindigkeit V bewegt,
dann ist die Kraft einfach die Summe über all diese Elemente,
DeQ mal V.
Und was sie wissen, ist Ladung, dichte mal,
Stromdichte, das sind Ladungsdichte mal, Geschwindigkeit ist im Prinzip die Stromdichte. Das heißt,
was sich hier dann bekommen ist einfach ein Integral über dieses ganze Volumen,
die Hoch 3, A Strich, Stromdichte am Punkt A Strich,
Kreuz B. Das ist sozusagen die Formel, was sie direkt bekommen,
das Anwenden der Lorenzkraft auf eine beliebige kontinuierliche Stromverteilung.
Sie haben sich das, Sie kennen es vielleicht,
wenn Sie wieder sozusagen die Ersetzung machen,
die wir uns am Anfang überlegt hatten, dass Sie wissen,
dass für eine Stromschleife wäre das einfach integral I,
integral D S-Kreuz B, sozusagen das ist die Formel,
die Sie eher vielleicht in der Experimentalphysik schon mal gesehen haben,
Das ist im Prinzip, kommen Sie von hier,
nach hier genau über die Ersetzung,
die wir vorher uns überlegt haben,
dass für eine allgemeine kontinuierliche Stromverteilung JTV ist einfach IDS sozusagen für diese Ersetzung.
Und jetzt können wir uns überlegen, wie ist die Kraft auf eine beliebige Stromverteilung? Wenn,
und das ist jetzt sozusagen, wenn diese Stromverteilung lokalisiert ist,
wenn die Stromverteilung auf dem endlichen Bereich beschränkt ist,
der sehr klein ist, dann ist die Annahme,
die wir machen können und die uns auch weiterhilft,
einfach die, dass sich das Magnet fällt,
über diese Stromverteilung hinweg nur wenig verändert.
Genau dann können Sie
hier weitermachen
Wenn Sie das Magnetfeld sozusagen am Punkt R einfach ersetzen,
durch das Magnetfeld von M.0 plus eine Taylor-Entwicklung in dem Fall, ja?
Also plus einfach Punkt Gradiend, angewendet auf B
an der Stelle A gleich 0 plus und so weiter.
Das ist die Näherung, die wir machen, ja.
B, wenig, muss ich sagen,
Bs,
ungefähr konstant
Innerhalb dieses Volumens V. Und das ist unser,
das Volumens V, in dem hier der Strom fließt.
Und wenn Sie das gemacht haben,
dann können Sie das wieder explizit hier einsetzen und kriegen raus,
dass die Kraft gegeben ist durch integral D-Hoch-3-R-Strich.
J, dieses B von am Punkt 0
ist sozusagen die Konstante, die können Sie einfach aus
dem Integral rausziehen
Plus, integral, die Hochdreier, Strich,
J von Strich, mal Strich, Punkt Delta,
um zu sagen, angewendet auf B, von A,
wenn sie es setzen, A gleich Null danach setzen sozusagen.
Und jetzt kommen wieder eine ganze Reihe von Rechnungen, die ähnliche ähnlich erfrischend sind wie die Rechnungen,
die wir gemacht haben, um das magnetische Moment herzuleiten.
Ja, also müssen Sie wieder überlegen, wie können Sie hier sozusagen,
also das sehen Sie sofort, das ist null, ja,
das ist das Gleiche, was wir uns vorher überlegt haben.
Das ist schon mal gut. Aber um hier weiterzurechnen,
müssen Sie halt wieder überlegen, was sind sozusagen,
wie können Sie das clever umschreiben durch Komponenten und die Rechnung,
die erspare ich Ihnen jetzt,
die können Sie aber nachlesen in den Notizen,
die ich da eben aufs Netz gestellt habe,
aber es ist wirklich eine Rechnung,
die explizit so ähnlich funktioniert, wie das,
was Sie gesehen haben und dann kriegen Sie hier tatsächlich in den netten Ausdruck raus,
ist in dem Fall,
sieht es Die Kraft einfach schreiben können als Gradient von M.B.
Das ist sozusagen die nette Formel. Und was bedeutet das
? Das ist genau das, was Sie kennen.
Das muss ich hier tatsächlich mal eine Seite dazufügen.
Gut. Aha. Jetzt probiere ich das erstmal hier rüber.
Warum er die Seite jetzt hier Ich ordne das dann nachher.
Das ist ein bisschen, kann ich die Seite danach dazufügen hier?
Nee. Wie auch immer. Also ich muss die nachher umordnen,
die Seiten, weil ich hier offenbar keine Seite danach einfügen kann.
Ja, die Formel hier, die sollte Ihnen im Prinzip bekannt vorkommen.
Das ist genau die Formel, die Ihnen sagt,
das ist ein magnetes Moment, immer ins Magnetfeld reingezogen wird.
Also stellen Sie sich vor, Sie haben irgendwie ein kleines,
einen festen Permanentmagneten, das ist sozusagen hier Ihr Depo im
Moment M.
Ihr magnetischer Depole
Und wir haben uns zu sagen,
der erzeugt dir hier ihr magnetisches Feld, B,
und sie an den kleinen Deepol, am Strich,
sozusagen hier, am Strich, im Kleinen,
dann wissen sie, dass der wird eigentlich immer angezogen.
Wenn die beiden die Pole hier parallel ausgerichtet sind,
sozusagen, wenn hier Nord, Süd, Nord,
Süd ist, dann wird der angezogen.
Und das ist genau das, was die Formel ihnen
hier sagt
M ist in dem Fall, in dem Punkt hier entgegengesetzt ausgerichtet,
wie das magnetische Feld. Nee, M ist parallel ausgerichtet,
wie das magnetische Feld, jetzt bin ich irgendwie...
Ja, genau, du passt. Also M ist parallel
, wie das magnetische Feld ausgerichtet. Das heißt,
M.b ist eine positive Größe, die zunimmt in diese Richtung.
Das heißt, der Gradient dieser Größe zeigt genau
Der Gradient von M.B. zeigt genau in Richtung des anderen Magneten.
Das heißt, der wird hier tatsächlich angezogen. Das ist
genau das, was Sie erwarten. Jetzt machen wir mal,
ich hatte hier noch was hingeschrieben für das Drehmoment.
Ich habe aber, ich möchte Ihnen lieber noch was zu
der Übung sagen, das ist vielleicht hilfreicher für Sie.
Ich habe auf der, für die nächste,
für das nächste Übungsblatt, finden Sie eine Übung,
die heißt magnetisches Monopol, ja.
Und was wir heute gelernt haben, es gibt keine
magnetischen Monopole,
Wie komme ich dazu, sozusagen eine Übung zu stellen,
in der Sie das magnetische Monopolfeld ausrechnen sollen?
Und der Trick ist eigentlich ganz einfach, ja.
Also das ist jetzt hier nur eine Bemerkung dazwischen.
Der Trick ist ganz einfach, wenn Sie,
stellen Sie sich vor, das ist Ihr Deep Pohlfeld,
der hatte Nord- und Südpol, ja.
Es gibt kein magnetisches Monopol. Es gibt nur Deep Pohlfelder.
Aber was Sie machen können, Sie können sich vorstellen,
der hier wird durch eine kleine Spule erzeugt, ja.
Was Sie machen können, ist,
ja, Sie können einfach diese Spule immer länger machen.
Stellen Sie sich mal vor,
Sie haben diese Spulenanordnung
So, wie sieht das Feld dieses Deep Puls aus?
Er ist auch wieder irgendeine Art Deep Polfeld.
Ja. So. Und jetzt schauen Sie sich das Feld an.
Hier nur in der Nähe dieses Pols.
Wenn Sie nur in der Nähe dieses Puls sind,
dann sieht es offenbar so aus, als sei der Pol hier,
wenn Sie nur weit genug Bett schieben, völlig irrelevant.
Als können Sie sozusagen in diesem Raumbereich sagen,
B sieht ungefähr aus
wie ein Monopolfeld
Und das ist auch genau der Inhalt dieser Aufgabe.
Sie sollen das sozusagen ausreichen, indem sie das Bioserwahlgesetz verwenden,
um das Magnetfeld explizit auszurechnen von der langen Spule,
wobei sie dann die Vereinfachung machen können,
dass sie sozusagen den Durchmesser dieser Spule hier klein machen,
das war einfach die Rechnung etwas.
Und dann sollten sie ja eigentlich sehen,
dass das Magnetfeld genauso aussieht wie ein elektrisches Monopolfeld.
Was im Prinzip nichts anderes heißt, wenn sie den anderen Pol
weit genug wegschieben, dann kümmert er sie nicht mehr.
Es gibt, falls sie sozusagen das hier nicht interessant genug finden,
gibt es noch eine ganz nette andere Art und Weise, das auszurechnen.
Und zwar können sie Im Prinzip auch sich vorstellen,
so wie ich es ihnen gesagt habe,
dass sie es machen sollen, heißt es einfach,
sie rechnen, sie lösen das Bios, das Bioungszabargesetz.
Analog können sie auch genauso gut sich vorstellen,
wenn sie die Abbesserung dieser Spule hier klein machen,
dann ist das hier einfach eine Anordnung von kleinen magnetischen Monopolen.
Das Argument können sie sogar machen, wenn sie eine beliebige Kurve hätten.
Stellen sich vor, ihre Leiterschleife sieht genau so aus.
Das ist irgendeine Kurve und sie haben hier sozusagen ihre Leiter,
um diese Kurve rumgewickelt und sie kümmern sich jetzt nicht mehr darum,
wie genau dieser Pfad aussieht, sondern nur noch Alles,
was wir wissen, ist, die Spule ist eng gewickelt.
Für den Fall können sie ja einfach annehmen,
also das ist einfach hier sozusagen die Summe von kleinen magnetischen Momenten DM.
DM. Und diese kleinen magnetischen Momente DM sind einfach nichts anderes als das Linienelement,
weil sie ja in diese Richtung hier gehen,
mal der Betrag und der Betrag ist einfach nichts anderes als der Strom,
mal Windung,
Anzahl der Windung pro Länge,
mal die Fläche
Und wenn sie sozusagen diesen Ausdruck hier haben, können sie
das Feld genauso gut bekommen, indem sie das Feld dieser kleinen Diepole aufsummieren.
Wir müssen also gar kein Bioservagesetz mehr rechnen,
sondern sie müssten einfach nur sagen,
das Magnetfeld in dem Punkt R ist das Integral längst der ganzen Kurve hier,
DS, und ich glaube, ich muss es anders schreiben,
sozusagen die Summe der Depolefelder.
Und jedes Depolefeld, wissen sie explizit,
das einzelne Depolefeld ist einfach DS, kommt R-S-Strich,
mal r-S-Strich, Durch minus Strich hoch 3,
oh oh 5, ja, minus sozusagen und so weiter.
Also sehen mal M, das ist sozusagen nichts anderes als die Summe über Deepole-Felder.
Und wenn Sie dieses integral hier ausrechnen, über die Kurve,
sollten Sie eigentlich dasselbe Ergebnis bekommen, was Sie auch bekommen,
wenn Sie das Bioservar-Gesetz explizit ausrechnen. Ich sage nicht,
dass es einfacher ist, es ist sogar trickreich,
das unten zu machen, aber wenn Sie das machen wollen,
dann ist es eine ganz nette Übung und dann gebe ich Ihnen einen Hinweis und zwar den Hinweis,
dass es magnetische, das Feld eines magnetischen Deepols,
genauso aussieht wie das Feld eines elektrischen Deepols.
Und das Feld eines elektrischen Deepols bekommen sie als Gradient von PR durch Rhoch 3.
Und das Feld eines magnetischen Deepols bekommen sie als Rotation M-Kreuz,
durch Rhoch 3. Wenn sie in diesem Integral den Ausdruck ersetzen,
durch den Gradienten von M mal R durch Rhoch 3 und
nicht durch Rotation von M-Kreuz, er durch Rhoch 3,
dann sind sie sozusagen im Business.
Dann kommen sie auf das Ergebnis. Aber das nur,
falls es über Pfingsten zu viel Zeit haben.
Ansonsten wünsche ich Ihnen
eine schöne Feiertage