Nachdem die Experimentalphysik jetzt schon fast mit der Magneto-Statik fertig ist,
bleibt mir leider keine Zeit mehr für irgendwelche Spielereien wie letzte Vorlesung,
um irgendwelche Probleme zu diskutieren, die man dann am Ende,
die man am Ende doch nicht braucht.
Das heißt, wir versuchen mal ein bisschen aufzuholen und machen auch weiter mit der Magneto-Statik.
Und so wie ich das verstehe, sind sie eigentlich ja schon praktisch durch.
Sie sind jetzt schon bei der Magnet, bei der Elektrodynamik.
Das heißt, wir können hier lediglich noch ein paar Sachen aufholen.
Ich wiederhole einfach nochmal die die wesentlichen Sachen, die sie gelernt haben.
Sie haben zwei in der Magnetostatik zwei Dinge gelernt. Erstens,
Magnetfelder sind verantwortlich für Kräfte auf Ladungen und zwar für Kräfte
auf bewegte Ladungen. Und das ist durch die Lorenzkraft beschrieben.
Das ist das eine. Also explizit die Kraft auf irgendeine
bewegte Ladung ist gegeben durch die Ladung mal die Geschwindigkeit Kreuz B oder wenn sie sich das aufzeichnen,
wenn sie in ein Feld haben,
was sie eben hier aus der Zeichenebene rauszeigt und sie haben ein Teilchen,
was sich hier mit positiver Ladung in die Richtung bewegt,
dann wirkt eine Kraft, die sie eben aus dieser rechten Handregel bekommen.
V, Kreuz B, das habe ich hier schon richtig gezeichnet, glaube ich.
Ja, genau, die Kraft zeigt in diese Richtung. Ja,
das ist das eine wichtige Konzept und das zweite,
was sie genannt haben, ist sozusagen das Umgekehrte,
wenn sie bewegte Ladungen haben, dann sind die verantwortlich dafür, dass es Magnetfäller gibt. Und das ist Und das ist das,
was sozusagen durch das, was Sie kennengelernt haben,
durch das bioste Wahlgesetz, also explizit,
wenn Sie eben irgendwo hier eine Schleife bewegte Ladung,
heißt der Strom, wenn Sie also hier irgendwo eine Leiterschleife haben,
längst der hier einen Strom evel liest,
dann bekommen Sie das Magnetfeld B, an irgendeinem Punkt,
in dem Sie über diese Leiterschleife integrieren, dann haben Sie hier den,
dann zu sagen, das schreibe ich jetzt nochmal hin,
DL, Kreuz r-strich, Durch arminus-a-strich hoch 3,
mal i mü 0 durch 4P.
Und das ist sozusagen das Magnetfeld im Punkt. R,
da müssen sie, hier ist der Vektor minus-a-strich.
Und hier ist DL, das Linienelement. So,
also sozusagen diese beiden Dinge, Magnetfelder sind verantwortlich für Kräfte
auf bewegte Ladungen, bewegte Ladungen sind feindlich fürs Magnetfeld.
Das sind die wesentlichen Elemente der Magnet durch Statik.
Und das ist im Prinzip, dass Ananogan zum Kulam-Gesetz in der elektrisch,
also in der Elektrostatik, Ladungen üben,
Kräfte aufeinander aus und sie erzeugen auch sozusagen das elektrische Feld.
Jetzt können wir, um zu sagen, das genauso machen wie in der Elektrostatik,
wir rollen das Ganze nochmal aus, aus, aus,
ausgehend von der lokalen Beschreibung.
Also was sie auch kennengelernt haben, ist sozusagen aus dieser Bedingung zwei,
haben sie im Prinzip durch längere Überlegungen sich die Max-Begleichungen hergeleitet,
egal ob die jetzt schon mal explizit dran standen oder nicht oder nur implizit dran standen.
Also die Rotation Von Jates, die Stromdichte. Oder von
B ist die Stromdichte und die Divergenz von B verschwindet.
Das sind sozusagen die Max-Wergleichungen. Und die gelten,
die können sie sich aus den anderen Gesetzen überlegen.
Genau dann, wenn die Stromdichte stationär ist. Ja,
diese beiden Gleichungen, wenn man hier dieses B noch erkennen würde.
Diese beiden Gleichungen sind Leichungen. Eins. So. So. Habe ich
irgendwo den. Point, der hier. Das sind die Max-Begleichen der Magneto-Statik,
also die Grundgleichungen und wir machen jetzt genau das Gleiche wie in der Elektrodynamik.
Wir fangen jetzt von diesen Gleichungen an, von der lokalen Beschreibung,
sozusagen dieser Felder und versuchen uns zu überlegen,
ob wir hier bei diesen Gesetzen ankommen,
insbesondere ob wir sozusagen aus diesen Gesetzen,
von der Voraussetzung,
dass wir die Stromdichte können,
tatsächlich das Magnetfeld ausrechnen und herleiten können
Das ist sozusagen die Umkehrung von dem.
Das ist die Fragestellung, mit der wir uns jetzt beschäftigen.
Zuerst wollte ich noch eine Bewegung machen,
eine kurze Bemerkung machen, zu dieser Tatsache hier,
was bedeutet es, dass die Stromlichte stationär ist?
Wissen Sie wahrscheinlich schon. Auch aus der Elektro,
aus der Experimentalphysik? Heute, ich muss Sie
immer erst an dieses Display gewöhnen hier
Was heisst stationärer Strom, stationärer Strom heisst,
es fließt Ladung, aber die Ladungsverteilung ändert sich nicht zeitlich.
Und das ist der Fall, sein muss,
um konsistent mit diesen Gleichjugendlichen zu sein, das sehen sie eigentlich sofort.
Denn sehen sie hier steht, Rotation Beet,
der Strom ist die Rotation eines Feldes, was sie wissen ist,
dass die Vergänz der Rotation immer verschwindet.
Die Vergänz Rott F ist null für jedes Vektorfeld F.
Damit gilt natürlich, wenn diese Gleichung da oben gelten soll,
dann kann das nur konsistent sein, mit gleichem Eins hier.
Wenn natürlich die Diviagenz, der Stromdichte selbst verschwindet, ja.
Was wir auch schon kennengelernt haben, ist die Ladungserhaltung,
ja, nämlich, dass diese lokal auch wieder schreiben können durch eine Differenzialgleichung, nämlich die Kontinuitätsgleichung.
Die zeitliche Ableitung der Ladungsdichte, plus die Diviagenz von J
ist immer null
Also das ist Ladungserhaltung, weil die Divergenz,
wenn ich sie das integrieren, integral über die Divergenz,
ist genau Fluss des Stroms aus aus einem Volumen, nach dem Gastischen Satz.
Und das ist die Änderung der Laden innerhalb des Volumens.
Das heißt, sie sehen, wenn hier die Divergenz verschwindet,
dann ist die Ladungsdichte zeitlich konstant. Das heißt,
offenbar sind diese beiden Gleichungen da oben nur dann konsistent überhaupt
mit Ladungserhaltung, wenn der von stationären Strömen sprechen.
Das nur als Bemerkung. Ein stationärer Strom ist natürlich,
haben sie immer, wenn sie irgendwie ein Kabel haben,
ja, dann bewegen sich zwar die Ladungen hier irgendwie innerhalb dieses Kabels da im Kreis rum,
es bewegt sich also was,
aber dadurch ändert sich die Verladungsdichte sozusagen, ist zeitlich konstant,
ja, also die Ladungsdichte ist de rot nach DT.
Okay, jetzt, soweit so gut, Frage,
können wir aus diesen beiden Gleichungen hier, gegeben J,
das Magnetfeld berechnen?
Ich möchte das gleich sozusagen von vornherein ein bisschen allgemeiner aufziehen
Und zwar, indem wir eine ähnliche Fragestellung achten.
Für eine viel allgemeinere Situation. Wenn wir uns noch mal
überlegen, was war die Elektrostatik? Elektrostatik war nichts anderes,
als wir wissen, die Vergens eh,
gleich roh durch Y0 und Rotation
eh gleich null
Und wir versuchen sozusagen eh aus Rot zu berechnen, ja?
Und jetzt stehen wir vor der Fragestellung, wir wissen,
Divergenz B gleich null, Rotation B, gleich gegeben, ja?
Und wir wollen das Magnetfeld wissen, aus dem Strom, ja?
Das heißt, in beiden Fällen ist die Situation ähnlich,
wir haben, wir kennen die Quellen eines Vektorfeldes.
Und wir kennen die Wirbel dieses Vektorfeldes,
und wir wollen daraus das Vektorfeld berechnen, ja?
Wir können also jetzt die Frage noch viel allgemeiner stellen.
Nehmen wir mal an, wir haben ein Vektorfeld F,
Ja, und wir kennen die Quellen dieses Feldes,
nenne ich sie mal Q, ja.
Und wir kennen die Wirbel dieses Feldes, nenne ich sie
einfach weh, ja. Und wir wollen F bestimmen,
aus diesen gegebenen Größen, ja. Wenn Sie verstanden haben,
wie man das macht, dann wissen Sie offensichtlich sowohl,
wie man die Elektrostatik löst, was Sie sowieso schon wissen,
als auch wie Sie die Magneto-Staatik lösen, ja.
Jetzt können Sie sich fragen, kann das überhaupt sein?
Und die Frage haben wir im Prinzip schon mal gestellt,
ja, das hatte ich Ihnen, ganz am Anfang schon mal gesagt.
Im Prinzip hat das Vektorfeld drei Komponenten, XYZ.
Jede dieser Komponenten können sie in drei Richtungen ableiten.
Es gibt also im Prinzip neun Ableitungen. Von diesen neuen
Ableitungen gebe ich ihnen hier vier an. Vier Linearkombinationen,
besser gesagt davon. Und ich behaupte, wenn sie die wissen,
dann können sie daraus das Feld selbst schon überall berechnen.
Es sieht so auf den ersten Blick natürlich aus,
als sei es ein bisschen zu viel verlangt, ist es auch im Allgemeinen.
Sie brauchen dazu noch eine Randbedingung, damit es überhaupt geht.
Und die Randbedingung ist natürlich, dass das Feld im Unendlichen verschwindet.
Ja, und genau das ist das sozusagen, was der Inhalt dieses Helmholtz-Theorems ist.
Wenn sie Jetzt schreibe ich ihn nochmal sozusagen alle Bedingungen explizit hin.
F von R, sein Vektorfeld. Sie brauchen Randbedingungen,
die wir so setzen, dass das Feld selbst nach Null
gehen soll für R gegen unendlich, betagt gegen unendlich.
Und sie kennen die Quellen und Wirbel. Also f.r ist
Q von R und Rod F, von R ist W von R.
Und was sie auch wissen, Ist das auch Quellen und Wirbel
im Unendlichen verschwinden? Das ist überhaupt eine Situation,
die natürlich auf hier sowohl die Elektrodynamik, LL-Elektrostatik,
als auch die Magnetostatik zutrifft, weil Ladungsverteilung und Stromverteilung sind immer auf endlichen Raumbereich beschränkt.
Die Felder fallen vielleicht ab wie eins durch R,
aber von den Ladungen können wir meistens sogar annehmen,
dass sie außerhalb von einem gegebenen, endlichen Volumen sogar komplett null sind,
weil einfach die Ladung sitzt hier und nur hier.
Das heißt, die Annahme, die ich jetzt sozusagen mache,
ist eigentlich relativ für tatsächlich physikalische Probleme sehr vernünftig und alles,
was wir brauchen, ist nicht mal,
dass die auf ein endliches Volumen beschränkt sind, sondern es genügt,
wenn sie sozusagen schneller als eins durch R abfallen, ja.
Und das soll sowohl für die Quelle als auch hier den Wirbel gelten, sozusagen.
Das ist schneller als eins durch Quadrat in dem Fall.
Ja, das ist wichtig. So, und wenn wir
diese Bedingungen gegeben haben, dann wissen wir das Vektorfeld.
Kennen wir das Vektorfeld schon, ja. Und zwar Können
Sie das hinschreiben als die Summe von zwei Feldern?
Das eine, so habe ich es definiert,
ist der Gradient eines Skalarfeldes und das zweite ist die Rotation eines Vektorfeldes,
wobei sie diese beiden Felder explizit angeben können.
Vielleicht kommt Ihnen die vorne schon ein bisschen bekannt vor
Diese hier kommen, bin dann vielleicht nicht bekannt vor.
Die nächste. Sieht aber sehr ähnlich aus.
Gut. Was Sie hier gemacht haben,
ist, Sie haben das Vektorfeld zerlegt in zwei Teile
Der erste Teil, und zu sagen,
ist ein Teil, der offenbar keine Rotation hat,
weil er nämlich der Gradient deines Kalarfeldes ist.
Das ist also ein wirbelfreies Feld, ja.
Und die zweite Komponente, die sagen,
weil von der zweiten Komponente wissen Sie,
dass die Divagenz verschwindet.
Das ist also
ein quellenfreies Feld
Ja, jetzt sehen Sie schon so ein bisschen auch,
was es hiermit zu tun hat.
Offenbar sozusagen wissen Sie, dass das E-Feld wirbelfrei ist.
Das sagt Ihnen die Max-Weltgleichung, gell? Das heißt,
wenn Sie diesen Satz hier anwenden würden,
dann sehen Sie ja die Zerlegung, hier sagt Ihnen,
dass sozusagen nur die Komponente übrig bleibt.
Das ist alles, was Sie schon wissen. Und später
werden wir Tier verwenden, dass das Magnetfeld ist offenbar quellenfrei.
Das heißt sozusagen, wenn Sie die Zerlegung anwenden,
dann werden Sie darauf kommen,
dass diese Darstellung schon reicht sozusagen
Und dann wird das hier sozusagen im Prinzip die explizite Formel
für das Magnetfeld sein, was hier aus dem Wirbel,
aus dessen Wirbeln, nämlich aus dem Strom herbekommen.
Okay, aber das sollten wir nochmal beweisen.
Es ist gar nicht so schwierig, wie es erscheint.
Die Hälfte davon haben wir sowieso schon gemacht in der Elektrodynamik.
Also wir müssen drei Dinge zeigen. Das eine ist,
dass sozusagen, wenn wir diese Zerlegung hier,
also diese ganze Gleichung hier haben, dann müssen wir zeigen,
dass die Divergenz von dem Ausdruck da oben, Genau,
Kuh ergibt, weil das war sozusagen die Bedingung,
wir müssen zeigen, dass aus derselben Bedingung folgt,
dass die Rotation dieses Feldes die gegebenen Wirbel ergibt und wir müssen die Eindeutigkeit beweisen.
Also das ist kein zweites Feld gibt,
was irgendwie ebenfalls diese Gleichung unten und die Randbedingung löst.
Okay, jetzt gehen wir das Programm einfach Stück für Stück
durch. Erstens, erstens ist es relativ einfach,
wir setzen einfach Diesen Ausdruck hier in die Divergenz sein.
Okay, Divergenz von minus Grad V ist der erste Teil.
Okay, machen wir das mal so, ja.
Aber wegen dem Mindestzeichen. Plus die Divergenz von Rod C.
Da ist da unten wissen sie, das ist null.
Denn Divergenzrotation verschwindet immer. Das heißt, jetzt müssen sie
nur hier Dank Dibergenz mal. Dibergenz von Gradienten,
das ist der Laplaceoperator, den kennen Sie schon.
Das ist also hier minus Laplace, wirkend auf den Ausdruck hier oben.
Okay, jetzt müssen Sie immer ein bisschen aufpassen,
wenn Sie mir den Ausdruck hier hantieren, weil wir müssen aufpassen,
worauf wirkt dieser Operator, dieser Differenzialoperator.
Der wirkt natürlich nur auf die Variablen, von denen der Integralausdruck hier abhängt.
Strich ist lediglich so eine Dummy-Variable, über die Sie integrieren.
Das heißt, er wird genau auf dieses R
Das heißt, Sie können das in das Integral reinziehen,
problemlos, machen wir das mal.
Und da oben steht noch irgendwo ein 1 durch 4P in dem Ausdruck.
Ziehen wir das ein. Hier, das hängt nicht davon ab.
Kuh von Eierstrich. Jetzt wirkt Della Plastoperator auf eins durch r-a-strich.
Und das Ganze ist sozusagen noch mit eins durch mit 4P zu modifizieren.
Und jetzt kommt der Punkt, wo ich sagte,
wir haben eigentlich die meiste Arbeit für diesen Beweis schon gemacht.
Denn was der Laplastapparator angewendet, auf eins durch r-strich ist
, haben wir längst bewiesen.
Das ist die Delta-Funktion
Oder genauer minus 4P. Delta von r-strich. Und damit steht hier,
das Integral über DER-Strich, Kuh von Erstrich, Delta von Arminus Erstrich
und das gibt es, ja, einfach Kuh von R.
Und das ist genau das, was wir zeigen wollten. Okay,
kein Wunder, dass das so einfach war,
denn wie ich schon sagte,
dieser erste Teil des Beweises ist ja nichts anderes als die Lösung
der Gleichung der Elektrostatik und damit haben wir uns schon wochenlang beschäftigt und insbesondere war relativ viel Arbeit reingeflossen,
hier diese Beziehung zu beweisen,
und die haben wir jetzt verwendet.
Das heißt, eigentlich haben wir die ganze Arbeit vorher gemacht.
Okay, zweiter Teil, wir müssen auch nachreichen,
dass die Protation dieses Ausdrucks hier genau weh ergibt.
Das ist ein Tick schwieriger. Rotation von dem Ausdruck oben
ist Rotation von minus Grad V, plus Rotation, Rotation C.
Und das ist null, soweit so gut,
weil Rotation eines Gradienten
immer verschwindet
Für den Teil hier, müssen wir ein bisschen weiterrechnen,
müssen sie sozusagen die zweiten Ableitungen, können sie zusammenfassen.
Und das ist so was, was ich hier nicht explizit vorrechne,
was da meine Beziehung ist, die trotzdem relativ wichtig ist.
Die Rotation der Rotation ist gegeben durch der Divergenz,
Kledergradient, der Divergenz, minus Laplas, angewendet auf C.
Der Ausdruck hier, wir müssen natürlich verdauen, hier steht,
hier steht ein Skala, Divergenz vom Vektorfeld ist ein Skala,
davon können sie die Gradienten bilden, steht,
der La Place-Operator angefändet auf dem Vektor fällt, das ist Komponentenweise zu verstehen.
Also überhaupt den ganzen Ausdruck, wenn sie einfach komponentenweise verstehen,
nehme ich zum Beispiel mal die X-Komponente von dem,
Rotation, Rotation C, hier von die X-Komponente,
dann ist es die X-Komponente des Kardienten, ja,
mal angewendet auf die Dibellgenz.
Und dann ziehen sie davon den La Place-Operator ab und
das ist die Summe der zweiten Ableitungen,
Angewendet auf nur die X-Komponente und genauso würden sie es für die Y und Z-Komponente ist.
Genau, und in der Form können sie den Beweis auch einfach durchziehen,
wenn sie einfach sozusagen die Definition hier komponentenweise einsetzen und das durchziehen,
dann kommen sie genau hierauf.
Und damit sind wir schon relativ weit in sozusagen Laplace angewendet auf C,
ist von der Rechnung her im Prinzip das Gleiche,
was wir gerade schon gemacht haben
Und mit den Termen hier uns anschauen, minus laplas auf C,
angegewendet für C, setzen wir jetzt wieder die Darstellung ein.
4P, D-Hoch-3-Strich, wie von Strich, Vektor,
ja, und zu sagen angewendet auf minus-a-strich. Sehen Sie,
dass die Rechnung ist sogar exakt die gleiche,
also das ist wieder die Divergenz wirkend auf diesen Teil,
ist wieder integral D-Hoch-3-Strich, Delta von A- Vector V von Air Strich.
Und das ist wieder weh von Air. Das heißt,
wir haben eigentlich, das ist das, was wir zeigen wollten.
Wir wollten zeigen, dass die Rotation dieses Ausdrucks genau Wehr gibt.
Jetzt haben wir gezeigt, dass die erste Hälfte schon Wehr gibt.
Das heißt, das hier sollte besser null sein.
Und da muss man tatsächlich ein bisschen Arbeit reinstecken.
Gibt es da Fragen? Wir müssen uns überlegen,
dass die Liebe ergänzt von dem Ausdruck hier verschwindet.
Und das geht Setz mal wieder ein, lieber Jens,
angewendet auf... Entschuldigung. Ja. Wo ist das einzelne
vier Team verspannt? Das eins durch vier Peace wieder,
es ist wieder sozusagen die selbe Rechnung da unten,
sagen La Plas, angewendet auf eins durch Amin-SR-Strich,
gibt minus vier Pedelta, ja.
Und das minus eins durch vier Peak kötzt sich mit dem
minus vier Pea. Ja. Okay, jetzt müssen wir
die Divigenz anwenden hier auf das W von, Moment,
Strich, durch A-Strich, Betrag sozusagen wieder wirkt er hier.
Wir ziehen das also rein. Mhm. Ja. Also hier steht,
Divergenz dieses Ausdrucks ist Skala-Produkt von W von A-Strich mit diesem Gradienten hier.
Das ist jetzt ein bisschen, damit können wir noch nicht
viel anwenden, aber wir können einen kleinen Trick machen,
der gar nicht so ungebräuchlich ist.
Sie sehen, hier wirkt der Gradient auf R. Ich
kann ihn aber genauso gut auf Strich wirken lassen,
wenn ich ein Minuszeichen dazu tue.
Ja? Warum? Es ist ganz einfach, wenn Sie irgendeine Funktion hier,
die hängt ja nur von der Differenz der beiden Variablen ab.
Wenn Sie nach der ersten ableiten, können Sie genauso gut
nach der zweiten ableiten und Minus der Fotos.
Es ist minus Gradient angewendet auf Erstrich
Eins durch r-a-strich. Ja, also war einfach, wie gesagt,
hier, D nach D, X von irgendeiner Funktion,
die von Tricks minus x Strich abhängt und Y und Z,
ist natürlich im Minus, D nach D x Strich,
F von x minus x Strich auf den Rest, ja.
Jetzt haben wir nicht viel gemacht. Okay, warum
haben wir das gemacht? Mal jetzt sozusagen steht hier,
sowas wie integral über Funktion mal Ableitung, Es riecht verdammt danach,
als könnten wir jetzt hier partiell integrieren.
Und genau das tun wir auch. Partielle Integration heißt immer ein bisschen,
wir müssen, natürlich hier haben wir eine mehrdimensionale Integration,
aber wir haben das eigentlich, glaube ich, auch schon mal gemacht.
Im Wesentlichen heißt es, sie verwenden hier wieder eine Art Produktregel.
Und zu sagen, indem sie,
was haben wir hier, D-Hoch 3 erstrich,
Divergenz von W von Strich Eins durch r-strich minus Divergenz,
wie von Strich, eins durch r-strich.
Ja, also dieser Ausdruck, der hier steht in den geschweiften Klammern,
ist nichts anderes als dieser Ausdruck. Oder anders ausgedrückt,
wenn sie die Divergenz bilden von dem Produkt der beiden Funktionen,
bekommen sie den ersten Term plus den zweiten Term hier
Und in Wirklichkeit brauchen wir eh noch einen Minus, glaube ich.
Aber nachdem wir sozusagen sowieso nur zeigen wollen, dass das null ist,
spielt es, glaube ich, keine Rolle hier.
Also hier stand nur, Dividenz A-Strich.
Und der Punkt bleibt einfach da. Okay, wie auch
immer. Ja, jetzt haben sie zwei Teile.
Dieser Term hier verschwindet. Warum? Weil sie wissen,
dass W die Quellen, wie sind genau die Wirbel des Vektorfeldes?
Das war unsere Bedingung
Das heißt, die bilden hier die Diviagenz der Rotation von F.
Und das ist immer null. Das heißt,
wir müssen uns nur noch mit dem ersten Time hier rumschlagen.
Und der erste Time ist genau ein Volumenintegrant über eine Diviagenz.
Und das können wir umformen in den Oberflächenintegral. Das einzige Problem ist,
das ist die Oberfläche her, im Unendlichen liegt.
Das heißt, wir müssen im Prinzip das Ganze zuerst mal
machen für die endliche Oberfläche und dann lassen wir sie gehen.
Dann lassen wir die Oberfläche nachhaltig gegen unendlich laufen.
Das ist also nichts weiter dabei. Wir integrieren über R,
Betrag gleich R. Also über eine Kugel.
Wir könnten auch jede andere Oberfläche nehmen
Die A, Punkt, wie von A,
Strich eins durch A-Strich Betrag, ja, und das Ganze hier,
Moment, das war sozusagen, können wir natürlich machen,
wenn wir hier den Satz von Gauss verwenden.
Und damit sind wir fertig, mal die Oberfläche und
zu sagen, die geht gegen R, Quadrat.
Aber wie, selbst geht gegen Null, wenn er groß wird?
Und wir haben sogar angenommen, glücklicherweise,
dass W Mal R-Quadrat im Betrag gegen Null geht,
wenn er Betrag gegen Unendlich geht. Das heißt sozusagen,
jetzt sehen Sie auch genau, warum man fordern muss,
dass sozusagen das W schneller als eins durch R-Quadrat gegen Null geht,
genau damit dieses Oberflächenintegral hier verschwindet.
Aber wie ich schon gesagt habe,
für die meisten tatsächlichen Probleme in der Elektrostatik sind diese Quellen
hier wirklich im Wesentlichen auf ein endliches Volumen beschränkt.
Das heißt im Prinzip, sobald du die Oberfläche außerhalb dieses endlichen Volumens geschoben haben,
bleibt eigentlich gar nichts mehr übrig. Das heißt,
wir sind fertig mit und zu sagen, den Beweis,
dass, wenn sie die Quellen und Wirbel des Vektorfeldes kennen,
dann wissen sie tatsächlich, dass das hier eine Lösung ist.
Das einzige, was uns noch fehlt, ist,
zu zeigen, dass es die einzige Lösung ist,
das können wir relativ kurz halten.
Das skizziere ich jetzt einfach nur. Im Prinzip haben wir
das auch schon gemacht. Wenn zum Beispiel einfach mal annehmen,
dass wir zwei Lösungen haben, die verschieden sind,
aber die dieselben Und zu sagen, dieselben Quellen haben,
ja, und dieselben Wirbel haben.
Und die beiden Unendlichen verschwinden, also die selbe Randbedingung erfüllen,
ja, dann schauen sie sich einfach die Differenz der beiden an.
Und dafür wissen Sie, dass das entfällt,
ist,
dessen Divergenz und Rotation verschwindet
Und sie wissen auch eben, dass es gegen Null geht,
weil er ging unendlich. Und dafür haben wir gezeigt,
dass F gleich Null ist in der Elektro, in der Elektrostatik.
Das war im Prinzip der Beweis, wenn sie zurückgehen,
dass die Pensorgleichung eine eindeutige Lösung hat.
Also das mache ich jetzt hier nicht nochmal sozusagen. Sie können auch sagen,
wir haben im Prinzip schon längst gezeigt,
dass wenn die Rotation des Felds verschwindet,
dann können sie in Gradienten, dann ist das Feld,
Ableitung eines Gradienten,
wenn der Laplastoperator verschwindet und die Funktion im Unendlichen verschwindet,
dann ist das Feld selbst Null
zu sagen
Wie gezeigt, wie auch immer. Also wir werden damit
fertig mit diesem Helmholz-Theorie. Jetzt können wir gleich,
wäre wahrscheinlich wichtiger, wenn ich das andere anzeigen würde, genau.
Jetzt können wir gleich noch mal das ein bisschen noch mal anschauen.
Konsequenzen, direkte Konsequenzen, eine direkte Folgerung aus diesen Theorien
Haben Sie das eigentlich abgeschrieben schon? Sonst würde ich noch mal,
oder auch nicht, sonst würde ich nämlich noch mal zurückspringen
auf das Theorienselbst hier. Die direkte Konsequenz ist,
wenn Sie, was ich vorher schon angedeutet habe,
wenn Sie ein Feld haben, was wirbelfrei ist,
dann folgt, dass Sie das Feld als Gradient schreiben lassen können.
Also im Prinzip eines, was wir unabhängig davon bewiesen haben,
was wir eigentlich sogar, wenn wir ehrlich sind,
jetzt in dem Beweis verwendet haben,
Und was Grundlage im Prinzip der Elektrodynamik ist.
Bei Elektrostatik, ich sage immer Dynamik. Immer wenn ich Dynamik sage,
bis Pfingsten meine ich Statik. Dass das Feld minus grad V,
grad V ist, und sie können das auch angeben.
Also ein elektrisches Feld ist immer, weil sozusagen es keine Wirbel hat,
lässt sich immer als Gradient deines Potenzials schreiben.
Wenn das diese Bedingung muss natürlich überall gelten,
aber ich habe ja nichts anderes gesagt, dass es nicht gilt,
wenn das hier sozusagen nicht auf dem ganzen Raum,
sagen, wir hatten diese Beispiele,
dass wenn der Raum nicht einfach zusammenhängend ist,
dann können sie sich da was kontrollieren, dass das nicht stimmt.
Aber wenn sozusagen die Wirbel überall verschwinden, dann, wenn sie das machen.
Und genauso können sie natürlich auch es auf die zweite Bedingung anwenden,
wenn sie ein Feld haben, dessen Quellen verschwenden.
Dann gibt es ein Vector-Feld,
dessen Ableitung
genau Effe gibt
Ja. Im Prinzip ist es das Analogon zu dem Potenzial in der Elektrostatik.
Es ist nur ein Potenzial zur Konstruktion von Quellenfreien Feldern.
Und das Objekt zeichnet deshalb als Vektorpotenzial zumindest,
wenn wir es dann mit der Magneto-Statik zu tun haben.
Und damit machen wir auch jetzt genau weiter. Ja,
es ist im Prinzip die Umkehrung von Divergenz von Rotation ist null.
Liebergenz von Rotation ist immer null. Umgekehrt,
wenn die Divergenz überall verschwindet, dann können sie
das Feld als Rotation eines anderen Feldes schreiben.
Okay, soweit so gut. Mit der kleinen Vorbereitung
sind wir sozusagen überqualifiziert zur Lösung der Max-Begleichungen
Denn wir wissen, dass Divergenz B gleich null ist.
Und wir wissen, dass die Rotation des Magnetfelds
gleich müh null mal die Stromdichte sein soll.
Und damit können wir sozusagen unmittelbar einfach dieses Theorien anwenden.
Und, ah, okay, steht sogar noch da hier.
Wir können es unmittelbar anhängen, anwenden und können unmittelbar einen
Ausdruck für das Magnetfeld hinschreiben. Nämlich, wir können an jedem
das B sich schreiben lässt als Rotation eines Feldes A. Und dieses Feld A,
Für das können wir sogar explizit den Integralausdruck angeben,
der in dem Fall gegeben ist durch 0-0,
durch 4P, mal das Integral über alle Ströme,
-a-strich, sozusagen.
Und dieses A heißt eben hier wieder Vector-Potenzial. Und Sie
müssen eigentlich zugeben, dass es sogar ein bisschen einfacher ist,
als das Bio ist herwahrgesetzt.
Also für mich zumindest. Oder wer von Ihnen kann sich
das Bio-Savage-Gesetz merken
Und wer muss noch nachschauen sozusagen,
in welcher Reihenfolge müssen Sie die Rotation,
Rotation von arminuser Strich mit J oder J,
mit der Krotation von arminuser Strich.
Hier, die Formel, dieser Ausdruck ist exakt der gleiche Ausdruck wie in der Elektrostatik.
Den können Sie gar nicht vergessen. Der ist nur komponentenweise
. Die X-Komponente des Vektorpotenzials ist sozusagen das Integral.
Sie bekommen das aus der allgemeinen Lösung hier, der La Blastgleichen,
wie die X-Komponente des Stroms sind für Y und Z.
Und dann müssen sie nur noch ableiten.
Also im Prinzip ist es ein Rezept, es dreht Forward,
während Im Moment hier muss ich umschalten, ja.
Wenn sozusagen bei einem anderen Fall müssen sich immer noch
ein bisschen was überlegen, ja.
Wir können uns nochmal dieses Vektorpotenzial näher anschauen.
Ich würde sagen, ist, ist dieses Vektorpotenzial.
Wir wollen gerne ein Feld haben, dessen Ableitung B ergibt,
dessen Rotation B ergibt. Die Frage ist, ist,
ist dieses Feld eigentlich eindeutig bestimmt durch die Bedingungen?
Das ist natürlich nicht der Fall, ja.
Die Frage ist, können Sie sich andere Felder überlegen,
deren Rotation das gleiche B ergibt
Überlegen Sie mal im Moment. Natürlich geht es,
ja. Im Prinzip kennen Sie das schon aus der,
hatten wir das Gleiche in der Elektrostatik nur in etwas milderer Form.
Sie wollen, dass das elektrische Feld,
Gradient eines Skalarpotenzials ist, ist das Skallarpotenzial eindeutig bestimmt.
Natürlich nicht. Sie können irgendeine beliebige Konstante drauf addieren,
ja. Genauso könnten Sie hier ein beliebiges, konstantes Feld
drauf addieren und die Ableitung gibt immer noch das Gleiche.
Aber Sie können sogar noch viel mehr machen,
nämlich Sie können sogar beliebige, relativ beliebige,
ortsabhängige Felder drauf addieren,
Jetzt schauen wir mal. Nehmen wir einfach mal an.
Wir haben ein beliebiges Skalarfeld, Lamda von R. Und wir konstruieren uns
ein anderes Vektorpotenzial, indem wir einfach auf das Vektorpotenzial,
was wir da oben schon bestimmt haben, den Gradienten,
dieses Skalanfeldes einfach drauf addieren. Dann gilt offenbar,
dass wenn sie von diesem Feld A-Strich hier sozusagen die Rotation bilden,
dann ist es die Rotation von A, die sozusagen B ergibt,
Und die Rotation des Gradienten von Lamda, was immer null ergibt.
Das heißt, sie haben viel mehr Freiheit in der Wahl von
diesem Pod Vector-Potenzial, als sie in der Elektrostatik hatten,
können im Prinzip ein beliebiges, ortsabhängiges Feld als Freiheit verwenden.
Und die Freiheit oder generell,
wenn sie irgendwie in der Physik eine Größe haben, sozusagen,
die sie verwenden, um sozusagen die Realität zu beschreiben,
die sie aber noch irgendwie frei wählen können,
dann bezeichnen sie das als Eichfreiheit
Wenn sie ihnen einfällt, ihre ganze Theorie zu formulieren,
mithilfe des Fels A Strich,
und sie haben das Feld A Strich bestimmt,
dann sind alle Folgerungen, die die daraus ziehen,
für irgendwelche messbaren Größen, also für das Magnetfeld,
völlig identisch, als wenn sie mit dem Feld A gearbeitet hätten.
In gewisser Weise ist das sogar sehr praktisch,
weil sie können auf die Art und Weise versuchen,
zusätzliche Bedingungen an das A zu stellen, die ihnen das Leben erleichtern,
solange sie sozusagen im Rahmen dieser Ich muss sagen,
Eichfreiheit bleiben, dass sie eigentlich nur da Ableitungen eines Skalafels drauf addieren,
sind sie relativ frei.
Wir können dir mal ein kleines Beispiel anschauen.
Nehmen wir zum Beispiel mal ein Magnetfeld B von A,
was einfach konstant ist und in die Z-Richtung zeigt.
Können Sie da ein Vektorpotenzial angeben, was das beschreibt?
Ich schreibe Ihnen einfach mal eins hin,
aber wir werden Sie wahrscheinlich auch selber drauf kommen.
B soll rat A sein,
versuchen wir mal A1 von
Gleich B-0, X, E-Y. Also sozusagen,
wenn Sie es in Komponenten hinschreiben würden,
dann wäre das null, B-0, Y-X. Was haben wir hier?
X-0. Jetzt können Sie sich einfach die Ableitung bilden, D-Ex oder D-Nach-D-X, hier.
Je nach DZ, angewendet auf null, B-0-X-0,
das ist sozusagen die X-Komponente, ist genau Null.
Die Y-Komponente ist, die Z ist sowieso Null, weil,
und die Z-Komponente ist D nach der X, B0X,
und das ist B0, also das war die richtige Wahl.
Ja. Aber die Behauptung ist, dass sie könnten,
das Gleiche hätten sie auch geschafft, wenn sie zum Beispiel A1,
A2 von A gewählt hätten.
Und mit Rotation, im Moment, was hatte ich?
Ich muss nur die Vorzeichen richtig bekommen, ja.
Minus B0, Y, EX, ja
Minus v0 Y 00. Das können Sie selber machen. Können Sie
davon die Rotation bilden, kommen Sie auf genau denselben Wert.
Und die Differenz dieser beiden Felder ist ja offenbar nicht nur eine Konstante,
sondern ist irgendein Feld, was eine komplizierte XY-Abhängigkeit hat.
Und was Sie wissen, ist,
wenn Sie die Differenz dieser beiden Felder hier bilden,
dann können Sie das garantiert schreiben als Gradient eines Scolorfeldes.
Oder Sie hätten auch von hier nach hier eben kommen können,
indem Sie inkredent eines Scarafels aufaddieren.
Im Prinzip könnten Sie jetzt Bedingungen eben, wie gesagt,
stellen, an die Wahl des Frektorpotenzials,
um sich das Leben zu erleichtern
Genau so was in der Art haben wir eigentlich gemacht,
um die Formel herzuleiten, implizit diese Formel hier.
Hier steht ja eine explizite Formel fürs Vektorpotenzial, gerade so,
als wäre das die einzige Art, die Elektrodynamik zu beschreiben,
aber implizit in der Herleitung dieser Formel haben wir eine Bedingung gemacht,
zusätzliche Bedingungen an das Vektorpotenzial, nämlich,
dass in dem Fall die Divergenz des Vektorpotenzials verschwindet.
Das ist was, was wir relativ, was sie auch
relativ leicht nachrechnen können im Prinzip. Und zu sagen,
dieses A von A, Gleich, integral,
die Hochdreier-Strich durch 4P, mühenull, J von Erstrich durch minus Erstrich.
Das erfüllt Divergenz A gleich null. Das können Sie selber
nachrechnen. Die Rechnung dazu ist im Prinzip genau die Gleiche,
die wir gemacht haben, um im Beweis des Helmholns-Theoriens nachzuberechnen,
dass die Divergenz von diesem Feld 10-0 war.
Weil haben wir genau, haben wir sozusagen diese Formel hier aus dem Helmholtz-Theorien verwendet.
Das heißt, der Beweis muss offenbar der Gleiche sein.
Wir können jetzt aber noch ein bisschen anders formulieren. Wir können uns auch mal die Frage stellen,
wenn ich denn zu sagen, fordere,
dass wenn ich ein Feld suche, ein Feld A suche,
dessen Rotation B ergibt, kann ich dann eigentlich immer fordern,
dass die Divergenz von diesem Feld verschwindet.
Und die Antwort ist ja. Also im Prinzip können Sie sich schon denken,
diese Gleichheit hier ist eine skalare Bedingung an das Feld.
Wir haben vorher festgestellt, als die Eichfreiheit, die wir haben,
wir können im Prinzip den Gradient eines beliebigen skalanen Feldes dazu addieren.
Ist sozusagen auch eine skallare Freiheit, die ich habe. Das heißt,
man kann sich schon vorstellen,
dass im Prinzip die Bedingung eigentlich immer erfüllbar ist und wir können es auch explizit überlegen,
Die Bemerkung, ich meine, wir wollen,
dass die Rotation von A gleich B ist,
wenn das die einzige Bedingung ist,
dann können wir immer Divergenz von A gleich Null wählen.
Das können wir nochmal explizit hinlegen. Nehmen wir einfach mal an,
wir hätten sozusagen ein Feld gefunden,
was diese Bedingung hier erfüllt,
dessen Divergenz aber nicht verschwindet
Ja, so her, aber die Begrenz von A.0 ist
ungleich null. Ja? So, dann versuchen wir jetzt
ein anderes Vectopolitan-Zahl zu finden, was denselben Effekt hat.
Wir können sozusagen diese Eichfreiheit ausnutzen. Wir können einfach ein
beliebiges Kalarpotenzial aufaddieren. Versuchen wir einfach mal. Ein skalares Feld,
Lamda von R., was die Bedingung hat,
dass sozusagen der Gradient dieses Skalagenfeldes plus A.0,
Davon die Dilegenz soll null sein.
Ja, das heißt, anders ausgedrückt, die war gern Skratt,
also La Plastoperator dieses Feldes, soll minus Divergenz A0 sein.
Was hier steht, ist einfach eine Posso-Gleichung. La Plastoperator
ist eine gegebene Funktion. Die können sie einfach lösen.
Und dann haben sie das Feld gefunden, was A0 macht.
Also sie können sogar diese Lösung explizit hinschreiben,
Lambda von R ist eins durch 4P, Integral, D hoch 3
R Strich
Divergenz A0 von Strich, allgemeine Lösung der Postergleichen.
Das ist oft genug gesehen. Das heißt,
diese Wahl hier ist etwas, was sie einfach fordern können.
Und das ist aber auch nur eine mögliche Eichbedingung an dieses Vektorpotenzial,
also oft verwenden sie auch insbesondere in der Elektrodynamik.
Und diesmal meine ich wirklich Elektrodynamik,
verwenden sie oft auch andere Bedingungen beeinflusst sozusagen,
mit diese Bedingungen hier in das Leben schwierig machen würde.
Und mit anderen Bedingungen haben sie es viel einfacher.
Und die Bedingung hier, lieber Gens A,
gleich null bezeichnet mal als Kuhlumeichung
Falls Sie das mal hören. Okay. Damit könnten wir
jetzt sozusagen im Prinzip sagen, um das nochmal zusammenzufassen,
was wir gemacht haben, wir können im Prinzip,
wo ich, ich war hier irgendwo stehen, ist auch egal.
Im Prinzip können wir diese Herleitung hier, diese Formel,
können wir noch ein bisschen die Herleitung dieser Formel,
können wir noch so ein bisschen anders formulieren.
Eigentlich alles schon gesagt, aber ich schreibe es trotzdem nochmal hin. Das ist etwas,
was man sich vielleicht in der Form relativ gut merken kann,
eine Alternative, nicht allgemeine hier, Herleitung dieser Bedingung,
dieser weg, die ich jetzt nicht nochmal hier explizit hinschreibe,
ja, also sozusagen das sind eine Argumentationskette,
die sich einfach merken sollten, ja, Divergenz B gleich Null.
Wenn Sie sehen, fällt es quellenfrei, dann wissen Sie,
es existiert ein A, Mit der Eigenschaft, Divergenz A
, eine Rotation A gleich B. Wenn Sie wissen,
wenn Sie das jetzt in die Max-Begleichungen einsetzen,
dann wissen Sie, dass das Feld diese Differenzialgleichung erfüllen soll.
Einfach nur eingesetzt. Wenn Sie das sehen, dann ist es eine zweite Ableitung. Das heißt,
Sie wenden die Produktregel an, die wir vorher schon mal hingeschrieben hatten,
die bei Gens, gerade DVA, minus Lablas A,
ist minuel J. Und jetzt sehen Sie,
dass hier eine relativ komplizierte Differenzialgleichung zu lösen haben.
Aber Sie verstehen, dieses A hier existiert,
aber es existiert nicht nur,
Sie haben sogar jede Menge Freiheit in dessen Wahl,
insbesondere können Sie zum Beispiel diese Coolum-Eichen verwenden und einfach fordern,
dass die Divergenz von A verschwindet.
Ja, und wenn Sie das tun,
dann haben Sie den ersten Teil hier unten schon erledigt.
Einfach nur durch Wahl der Eichung,
durch Wahl des sozusagen Potenzial Nullpunkts, wenn Sie sogar.
Wähle tief A gleich 0. Das heisst, sie müssen nur noch eine Post-on-Gleichung lösen.
Aber diesmal eben komponentenweise. Jetzt schreibe ich es mal explizit komponentenweise hin,
um zu sagen, lieber Gens A,
Alpha ist J. Alpha, für Alpha gleich X, Y,
Z. Und das ist was, was sie eben wissen.
Wie löse ich eine Post-on-Gleichung? Nämlich A,
Alpha von R, ist Müh 0 durch 4IP,
Integral D hoch freier Strich, J-Alpha von Strich durch minus Strich.
Das heißt, selbst wenn Sie den Beweis sozusagen für
das Helmholtz-Theorie und so weiter sich nicht merken können,
diese Argumentationskette hier ist was, was man im Hinterkopf behalten kann.
Was meiner Meinung nach auch wesentlich einfacher ist,
als sich zum Beispiel das Bioservar-Gesetz zu überlegen, merken,
weil das müssen Sie sozusagen, die Formel hier,
die müssen Sie ja sowieso wissen.
Das ist ja sowieso die Lösung der Leichen aus der Elektrostatik
Und der Clou ist, wenn sie das Vektorpotenzial haben,
was sie eigentlich nur eine Hilfsgröße ist,
dann haben sie im Prinzip auch sofort das Magnetfeld einer beliebigen Stromverteilung.
In dem Sinne nämlich einfach nur die Ableitung bilden.
Und das ist das Letzte, sozusagen die letzte Kleinigkeit,
die wir heute noch machen,
ist eigentlich keine Kleinigkeit.
Natürlich,
sondern extrem wichtig
Das Magnetfeld ist einfach gegeben durch Rotationen von A. Nämlich
Rotation von Mühe 0 durch 4IP, Integral,
D hoch 3R-Strich, J. von Strich durch A-Minus-A-Strich.
Okay, jetzt müssen Sie wieder im Prinzip aufpassen.
Wir wollen die Rotation von diesem Objekt hier haben.
Im Prinzip die Rotation von Vektor, mal Skalafeld.
Ich schreibe das nochmal raus hier, wenn Sie allgemeine Rotation von,
sagen wir mal, A von R Punkt
B von Erhaben, wobei das hier ist sozusagen ein Vektor.
Und das hier ist ein Skala. Da müssen Sie ein
bisschen aufpassen. Das gibt... Der eine Term ist einfach,
sozusagen. Sie lassen sozusagen den Operator hier auf das Skalafeld wirken.
Das gibt einfach, alles soll hier Rotation sein, ja.
Das ist sozusagen der Gradient von B,
können Sie sich einfach merken,
kann nichts anderes machen als Nabla angewendet auf Skalafeld,
kann nichts anderes sein als der Gradient.
Das Ganze muss ein Vektor ergeben
Sagen, das hier sein,
aber im Prinzip für den zweiten Teil müssen sie ein bisschen aufpassen,
sozusagen der Operator hier auf A wirkt,
dann ist es minus B von R mal Rotation,
A von der, würde ich sagen, das können sie einfach machen,
das soll sozusagen, es muss eine Produktträge sein,
also Ableitung B mal ab, plus B mal Ableitung A,
die Ableitung des Skalafelds kann eigentlich nur der Kardient sein,
die Ableitung des Vektorfelds kann eigentlich nur die Rotation sein,
sie müssen ein bisschen aufpassen,
wenn sie den hier durchziehen,
Die kriegen hier ein Minus.
Ja, und genau das werden wir hier oben verwenden.
Mit dem kleinen Vorteil, dass sozusagen diese Größe hier gar nicht von R abhängt.
Das heißt, sie können es einfach durchziehen.
Da steht hier J von R, Strich, mal Minus,
als ich es durchgezogen habe, A-Minus Strich.
Das ist der Gradient, sozusagen von 1 durch R.
Und das ist einfach R-A-Strich
Durch minus Strich. Hoch 3. Das heißt,
wenn Sie sozusagen hier weitermachen, Entschuldigung.
Ja. Kann man kein Wolfsburg? Ja, Kreuz.
Danke, ja. Hier mussten ein Kreuzprodukt rein.
Ja, weil wir genau die Formliche unten verwendet haben.
Und damit, dieses Minus geht raus,
steht hier B von
Ist müh 0 durch 4P. Integral D hoch 3R Strich.
J von R Strich, Kreuz, R-Strich, durch minus Strich, hoch 3.
Und diese explizite Formel ist genau das bioser Wahrgesetz.
Allerdings jetzt hingeschrieben für kontinuierliche Ströme. Und wenn sie sozusagen für Ströme haben,
die gerade mal auf ein Pabel eingeschränkt sind,
dann müssen sie halt dieses Volumenintegral im Prinzip auf dieses eine Kabel einschränken.
Das machen wir dann nächstes Mal,
dann kommen sie auf das sozusagen Gesetz für eine Leiterschleife,
wobei das der Einfachschritt ist,
aber generell Beschäftigung ist nächstes Mal noch ein bisschen ausgiebiger
sozusagen mit dem Ausdruck hier dann.
Okay, soweit vielen Dank