Können wir anfangen? Also die Frage war, die elektrostatische Energie war genau die Energie,
die wir brauchen, um eine Ladungsverteilung aus dem Unendlichen aufzubauen.
Und wir haben uns das auf zwei verschiedene Arten und Weise
überlegt. Einmal haben wir, sagen wir Berlin,
was ist eigentlich die Arbeit, die ich leisten muss,
um ein paar Punktladungen heranzuschaffen. Und die Arbeit war,
also ich schreibe es jetzt mal salopp auf,
das war irgendwie Q1, mal Q2 durch 4P,
optional 0, 1 minus R2. Also einfach sozusagen die Ladung,
das ist die Ladung und der Rest hier ist das Potenzial,
indem ich die Ladung sozusagen vom Unendlichen bis im Formulendlichen rangeschafft habe.
Und der Wert ist natürlich entweder größer null oder kleiner null,
je nachdem, ob die Ladung entgegengesetzt geladen sind oder ob sie die gleiche Ladung haben.
Und das andere, was wir uns überlegt haben,
war sozusagen aus der kontinuierlichen Schreibweise, dass wir gesagt haben,
die Arbeit, die ich brauche, um eine Feld,
um eine Ladungsverteilung aufzubauen, wenn wir uns ausführlichst überlegt,
ist das Integral über das ganze Volumen,
über das Betragsquadrat des Feldes, einmal Epsodon 0,5 hier oben,
Das war immer umgeformt.
Das war sozusagen die, die, die lokale Schreibweise,
dass dieser Term hier, sowas wie die Energiedichte,
und das ist der, das ist die Energiedichte integriert,
über das ganze Volumen, gibt die Gesamtenergie.
Und man sieht natürlich sofort, dieser Wert hier ist nur größer null.
Das heißt, irgendwo in der Herleitung, indem er von
hier nach hier gegangen sind, haben wir was vergessen.
Und die Frage ist genau, was ist,
was haben wir, was haben wir vergessen?
Hat sich das jemand überlegt? Also es ist im Prinzip,
es ist eine sehr diffizile Fragestellung,
weil es hat genau damit zu tun,
dass sozusagen diese kontinuierliche Schreibweise in gewisser Weise inkonsistent ist mit
der Existenz von Punktladungen
Denn wenn wir uns überlegen, was ist in dieser kontinuierlichen Streitweise
eigentlich die Energie einer Punktladung, dann kommen da unendlich raus.
Ja, wir können uns zum Beispiel überlegen, was ist
die Energie einer Kugel? Das war Kuhquadrat durch acht,
Pi, Apcelon 0R. Und das geht natürlich für unendlich,
wenn er gegen unendlich, wenn er gegen Null geht.
Also das hatten wir das letzte Mal uns überlegt und das geht gegen unendlich. Das heißt,
in gewisser Weise haben wir hier eine andere Art von Innenkonsistenz
und das können wir sozusagen eigentlich schon uns überlegen,
was das Ganze, wie man jetzt die Schwierigkeit hier oben auflösen kann,
könnt sozusagen vorstellen, um diese Ladungsverteilung hier aufzubauen,
kann ich auf zwei Arten machen.
Also zuerst muss ich, also hier ist sozusagen,
das ist unser Raum hier. Und zuerst habe ich
die Ladung im Unendlichen, irgendwie eine kontinuierliche Ladungsverteilung.
Roh von R, ganz salopp. Und dieser Radius
geht gegen unendlich. Um jetzt diese Ladungsverteilung aufzubauen,
das macht man, zuerst müssen wir die Punktladungen bauen.
Also machen wir das hier. Wir waren sozusagen,
zuerst bauen wir hier im Unendlichen, Diese Punktladungen, ja,
und dann im nächsten Schritt bringen wir diese Punktladungen hier sozusagen Q1,
Q2 und im nächsten Schritt bringen wir die Punktladungen ins Endliche und bauen genau diese Verteilung da oben auf, ja.
Diese Arbeit hier, das ist die Arbeit,
die wir berechnet haben, sozusagen, das ist,
wie gesagt, wie eins, ja.
Und diese Arbeit hier, das ist unendlich. Die Arbeit,
die ich brauche, um diese Punktladung aufzubauen, ja.
Wenn wir dieses Integral hier unten ausrechnen,
dann rechnen wir sozusagen das da aus
Ja, das ist das und egal. Haben wir berechnet,
wie wir die kontinuierliche Ladungsverteilung aus dem Unendlichen ranbringen und hier
im Endlichen diese Punktladung aufbauen.
Und da kommt gleich und endlich raus, ja.
Das ist eine gewisse Weise braucht einen, das nicht zu wundern.
Denn den Betrag, den wir hier ausgerechnet haben,
ist es sozusagen die Differenz zu unendlich von dem Thema.
Also ich ziehe von dem Term unendlich ab und der Rest
kann irgendwie positiv oder negativ sein, ja.
Also es sollte uns nicht weiter verwundern, ja.
In gewisser Weise ist sozusagen die kontinuierliche Schreibweise nicht ganz konsistent
mit der Existenz von Punktladungen.
Denn wenn wir die kontinuierliche Schreibweise haben,
müssen wir sozusagen jeder Punktladung an sich schon eine unendliche Energie
zuschreiben.
Das ist sozusagen die Selbstenergie dieser Punktladung
Und in Wirklichkeit gibt es natürlich keine Punktladung,
in Wirklichkeit hat es, sagen wir mal, irgendwo,
hört es sozusagen die Theorie auf,
dann müssen wir irgendwie Quantenmechanik oder Quanten-Elektrodynamik oder andere Theorien verwenden,
um sozusagen hier möglich weiterzugehen.
Die Punktladung ist so eine Art, so ein Konstrukt,
was wunderbar funktioniert, aber im Prinzip hat halt jede Ladung sozusagen noch einen unendlichen Energiebeitrag.
Das heißt, es soll einen nicht weiter verwundern.
Okay, das nur dazu. Damit Damit wären wir jetzt
eigentlich für meinen Teil ziemlich fertig mit der Elektrostatik.
Wir könnten jetzt anfangen mit der Elektrodynamik, ne, mit der Magnetostatik.
Ich würde aber sehr gerne, dann habe ich mir gedacht,
noch als Einschub wollte ich mal eine Vorlesung halten und dabei ein Thema diskutieren,
was im Wesentlichen nur eine Anwendung der Konzepte ist,
die wir bisher gemacht haben.
Es ist zugegebenerweise eine relativ fortgeschrittene und relativ ausgefeilte Anwendung.
Aber trotzdem hoffe ich, dass man dabei irgendwas lernen kann.
Also es kommt jetzt eigentlich heute nichts Neues dran,
aber es kommen viele Konzepte nochmal dran.
Ich weiß auch nicht, wie weit ich eigentlich komme
Doch nicht alles hinschreiben, sondern ich habe das schon im Prinzip hier.
Ich habe das im Prinzip schon vorbereitet hier.
Lassen wir uns das ein bisschen hier anschauen können.
Kann man das sehen? Kann man das lesen? Ja,
also sie finden die Notizen auch im Netz und ich werde
auch zwischendurch natürlich ein paar Sachen zwischenzeitlich mal herleiten erklären.
Also die Frage, die Frage sozusagen,
die ich eigentlich rausgesucht habe, ist so eine Frage ist,
warum, was ist die Stabilität geladener Flüssigkeitstropfen?
Das ist ein Problem, was sozusagen, was ich schön finde,
weil es Anwendung verschiedener Konzepte liefert, aus der sowohl Vektoranalystes wiederholt,
als auch Elektrostatik. Es ist ein sehr altes Problem,
also es wurde wie alle schönen Probleme irgendwann schon 1800 sonst was untersucht von,
und sie finden, auch wenn sie irgendwie ein bisschen außenrum lesen wollen,
können sie in dem Physikjournal, nach diesen, kennen sie das?
Manche von ihnen sind wahrscheinlich schon in dieser physikalischen Gesellschaft durch,
und dann kriegt man jeden Monat so ein So ein Journal,
in dem Artikel drin sind, den man wahrscheinlich noch nicht versteht.
Also in einem dieser geht es so ein bisschen um die.
Und ich fange mal ganz, ich fange mal ganz,
du bist ganz einfach an.
Warum, stellen Sie sich vor, Sie haben einen Flüssigkeitstropfen.
Und wir verlachlesigen jetzt im Folgenden einfach Gravitationseffekte, weil die sind sozusagen,
das können wir uns später überlegen, was wichtig ist.
Erste Frage, die wir uns stellen müssen, ist,
warum ist dieser Tropfen rund?
Also warum nimmt er immer eine runde Form an?
Ja? Ein Kontrast vielleicht.
Ein Kontrast hochdenken
Okay, ich kann versuchen, dass... Also, im
Kontrast bringe ich wahrscheinlich nicht hoch. Ja. Okay,
das war die einzige Sache, die ich machen kann,
dass ich es halt auf Breite stelle.
Dann sehen wir allerdings nicht, dann sehen wir natürlich
nicht mehr allzu viel jeweils. Aber wir können das,
aber ich glaube, es dürfte noch passen sozusagen von dem,
was man jeweils sieht.
Also Frage 1, warum ist ein Tropfen rund, ja?
Und im Prinzip ist das,
was ich hier jetzt nicht erklären kann,
aber das ist einfach
eine empirische Feststellung
Und rund heißt, rund heißt minimale Oberfläche. Minimale Oberfläche bei
gleichen Volumen. Und die empirische Feststellung dazu ist einfach,
um mehr Oberfläche zu schaffen, müssen sie irgendeine Energie aufbringen.
Ja, das ist so eine Umformulierung.
Diese Energie können sie messen, das ist die Oberflächenenergie.
Und das kennen sie auch aus dem Alltag. Wenn immer
sie im Prinzip eine Oberfläche verformen, müssen sie Energie aufwenden.
Das führt dazu, dass der Tropfen rund ist. Das führt dazu,
dass ein Wasserläufer auf der Oberfläche laufen kann sozusagen, weil um einzusenken,
müsste er sozusagen die Oberfläche verformen, das kostet Energie.
Deshalb sinkt er nicht ein. Und die Energie können sie einfach messen,
Die einfachste Formel, die Sie sich vorstellen können,
die Energie ist proportional zur Oberfläche und einer Materialkonstante.
Und die Materialkonstante muss natürlich die Einheit haben,
Energie pro Fläche, was das Gleiche ist wie kraftlich,
länger, und Sie können das auch quantifizieren,
also ich habe die mal hingeschrieben für Wasser.
Also das ist die erste, das erste,
aber das weiß man einfach, sozusagen, das Energie,
Oberfläche kostet Energie, deshalb möchte der Tropfen,
jeder Tropfen kugelförmig sein, ja.
Und jetzt können wir uns fragen, was passiert eigentlich,
wenn wir jetzt so einen Tropfen nehmen,
der aus einer Leitfähigkeit, weitfähigen Flüssigkeit besteht,
zum Beispiel Quecksilber oder Wasser,
und wir laden den auf,
Möchte der immer noch rund sein. Wir können jetzt,
ich habe das mal hier hingeschrieben als eine Art Gedankenexperiment.
Wenn wir den Tropfen aufladen, müssen wir jetzt fragen,
was ist die Energie dieses gesamten, gelagenen Tropfens?
Er hat zwei Beiträge. Zum einen die Energie,
die daher kommt, von der Oberfläche kommt.
Und der andere Beitrag ist genau die Energie,
die wir brauchen, um den Tropfen aufzuladen.
Die elektrostatische Energie. Und das ist das, was wir
in letzter Vorlesung auch ausgerechnet haben, was die elektrostatische Energie ist.
Das ist die Energie einer geladenen Metallkugel, weil sozusagen, das ist geladen.
Das heißt, die Ladung verteilt sich gleichmäßig auf der Oberfläche.
Die Oberfläche ist eine equi-Potenzialfläche. Die elektrostatische Energie ist einfach
gegeben durch Ladung, mal Potenzial, mal ein Halb.
Das heißt, die Formel, die wir vorher schon hatten,
acht, die habt ihr null Kuhquadrat durch R. Okay,
das ist also unsere geladene Kugel.
Die Energie ist ein bisschen größer als nur, so.
Und jetzt können wir uns fragen, was passiert,
wenn ich diese Kugel nehmen würde und ich teile sie in zwei Hälften.
Und die beiden Hälften bringe ich uns in endliche,
sodass sie sich nicht mehr sehen.
Wie groß ist die Energie
Können Sie einfach ausrechnen, weil wir haben die Formel,
wir haben das direkt dastehen, ja?
Die eine hat jetzt die Ladung ein Halbkuh,
also jede der beiden hat die Ladung ein Halbkuh und ist natürlich kleiner,
weil ich den Radius verkleinert habe.
Und zwar habe ich den Radius natürlich so verkleinert,
dass das Volumen konstant ist, ja?
Und jetzt können Sie es zusammensetzen, hier,
also sozusagen der Oberflächenenergiebeitrag ist dann zweimal sozusagen die kleine Oberfläche.
Und wenn Sie sozusagen den Radius halbieren,
aber das Volumen bleibt gleich, dann geht die Gesamtoberfläche hoch.
Es ist klar
Das ist genau das, was wir vorher sagten,
der sozusagen die Kugel ist bei gleichen Volumen,
die Fläche mit deren Körper, mit minimaler Fläche.
Wenn Sie aber sozusagen die elektrostatische Energie ausrechnen,
können Sie sofort sehen, dass die Energie runtergeht.
Brauchen Sie nur einsetzen. Und es ist auch leicht zu verstehen,
denn was Sie machen, ist im Prinzip,
Sie haben die Ladung, die sich gerne abstoßen,
haben Sie unendlich weit voneinander repariert.
Die Art und Weise haben Sie natürlich elektrostatische Energie verringert.
Das heißt, Sie haben eigentlich zwei konkurrierende Beiträge.
Das eine ist die Oberfläche, das kostet Energie,
den Tropfen zu zerteilen und das andere ist die Ladung
Es bringt Energie und es verringert die Energie, wenn ich sie teile. Und wenn sie das irgendwie einsetzen würden,
dann wenn sie einfach, das können sie für sich machen,
dann können sie einfach feststellen, dass sozusagen die hier,
natürlich ist das Ganze der Tropfen dann instabil,
wenn eben die Energie später, also die Energie,
die sie hier, man kann das,
vielleicht kann ich sozusagen auch immer einen Teil einfach rüberspiegeln,
dann sehen sie, jetzt funktioniert hier auch,
wenn die Energie sozusagen diese Nachhalt haben von dieser Konfiguration,
wenn die geringer ist.
Und dann würden sie feststellen, dass das natürlich ab
einer gewissen Ladung Einfach sozusagen ist die Konfiguration favorisiert.
Die Konfiguration, dass sie den Tropfen zerteilt haben.
Das heißt, der Tropfen an sich ist instabil.
Das ist ein ganz einfaches Argument, das braucht man,
das kann man, braucht man jetzt gar nicht weiter,
sozusagen mathematisch ausführen.
Das spielt sogar eine Rolle. Sie können sich, invensi,
sie können sich vorstellen, sie haben solche geladenen Tropfen natürlich in der Gewitterwolke zum Beispiel.
Sie laden sich auf durch elektrostatische Reibung. Gleichzeitig gleichzeitig,
wenn sie zu einem geladenen Tropfen haben, der schwebt sozusagen rum,
dann wird er zum Beispiel mit der Zeit verdampfen.
Und dabei wird er kleiner, aber er verliert keine Ladung
Das heißt, der Radius geht runter. Und die Ladung
bleibt gleich. Und irgendwann ist die Ladung zu groß.
Und das ganze Teil wird instabil. Das heißt,
er muss wieder zerplatzen, er muss seine Ladung abgeben.
Das ist wahrscheinlich ein relativ wichtiger Prozess sozusagen in der Dynamik
von so einer. Allerdings ist es soweit so gut.
Allerdings eine Sache sozusagen haben wir bis jetzt vergessen.
Und das ist, ich lasse das mal hier.
Ist ein bisschen seltsam an der Analyse,
wo wir bis jetzt gemacht haben. Ich habe gesagt,
ich bringe diese beiden hier ins Unendliche,
aber ich habe nicht gesagt,
wie ich das tue
Und sie können sich gut vorstellen, dass die Energie zwar,
dass die Energie zwar kleiner ist als vorher,
wenn ich die mal unendlich weit separiert habe,
aber dass sie sozusagen, dass ich das sehe,
noch nicht kleiner ist,
wenn die beiden Teile noch nah beisammen sind.
Das heißt irgendwie, die Analyse sagt mir eigentlich nicht,
ob ich in der Lage bin, den Tropfen tatsächlich zu zerreißen.
Weil um das zu beantworten, müsste ich mir überlegen,
muss ich Energie bezahlen,
wenn ich sozusagen den Tropfen habe und ich verforme seine Oberfläche
nur ein bisschen
Verringere ich dann schon die Energie, weil dann würde er das machen.
Wenn er sozusagen sich zerteilen muss in uns in endliche,
seine Hälften schicken muss, dann spürt er das ja gar nicht,
dass er da sozusagen seine Energie verringert.
Und das ist genau sozusagen die Fragestellung, die wir versuchen können,
mathematisch zu analysieren, was ist die Energie,
die ich brauche, um so einen Tropfen geringfügig zu verformen.
Und das ist ein mathematisches Problem,
was wir im Prinzip sozusagen mit den Techniken,
die wir bis jetzt gelernt haben,
tatsächlich schon behandeln können.
Und das wollte ich
ein bisschen vorstellen
Okay, jetzt schauen wir mal, wie man hier,
und sagen, ich mache jetzt hier einfach mal ein bisschen langsam an der.
Das war jetzt nur zur Einführung. Jetzt machen wir hier
ein bisschen, können wir jetzt hier ein bisschen systematischer weitermachen.
Also wir müssen uns überlegen, was ist die Energie,
die wir brauchen, um so einen Tropfen zu verformen.
Schauen wir uns das mal an. Was wir verstehen müssen,
ist, wie können wir überhaupt Wie können wir überhaupt mathematisch
so eine verformte Oberfläche behandeln?
Okay. Also wir am besten... Wir schauen uns
die Kugel an. Das ist die unverformte Oberfläche.
Und jetzt haben wir hier eine leichte Verformung.
Sowas hier
Das heißt, was wir eigentlich wissen müssen, was ist
der Radius des Ganzen, Körpers als Funktion vom Winkel.
Und was ich hier gemacht habe, ist, wir haben,
ich habe einfach angenommen, dass das Ganze zylinder-symmetrisch ist.
Um sozusagen, um uns das Leben ein bisschen zu vereinfachen.
Das heißt, die Parametisierung der Oberfläche ist sowas wie der
Radius als Funktion vom Winkel in Kugelkoordinaten angegeben,
ist ein Radius, der jetzt nur vom Winkel Täter abhängt,
mal die radiale Richtung
Und habe ich das hier sozusagen dann noch weiter geschrieben bleiben.
Genau. Und was wir wollen, ist sozusagen,
dass diese Abweichung hier relativ klein ist im Vergleich zum Radius.
Weil wir wollen uns nur anschauen, was passiert,
wenn ich den ein bisschen verforme. Das heißt,
das hier soll irgendwie sehr viel kleiner sein als er.
Und das können wir sozusagen natürlich hier mathematisch einbauen,
indem wir einfach sagen, dieser Winkel als Funktion von Tetter.
Dieser Winkel als Funktion von Tetter ist der Gesamtradius mal 1
plus die Abweichung
Und es hängt nur von Tetup, ich schreibe das jetzt
als S von Co-Sinus von Tetter, das ist da ziemlich egal.
Und diese Term hier ist sehr viel kleiner als eins. Als Beispiel können wir zum Beispiel einfach sagen,
und das ist auch der Ansatz, mit dem wir dann später rechnen,
diese Funktion, die ja sozusagen von dem Winkel abhängt,
ist irgendwie gegeben durch eine Konstante, mal eine Winkelabhängige Funktion,
oder können wir eine der Funktionen nehmen,
wie wir das letzte Mal sozusagen festgestellt haben,
diese Legend-Trepolynome, P2 ist Ein, dreieinhalbe,
x-quadrat-einhalb.
Und das Ganze ist proportional irgendwie zu einem Parameter, Äpzilon.
Und das ist der Parameter, den wir dann letztlich hier klein, kleinwählen hier, Äpzilon.
Es soll letztlich sehr viel kleiner als eins sein. Ja,
wenn ich mir genau die Funktion hier anschaue,
wenn ich mir sowas hier, diese Funktion anschaue,
dann sieht es im Prinzip genauso aus wie das da.
Oder wie kann es eigentlich im Prinzip auch direkt hier einzeichnen?
Also die, oder nee, ich bin hier. Ich bin hier,
also wenn sie dieses Würdest du sagen, dieses Polynom hier hinschreiben,
als wenn sie dieses P2 von Cosinus, von Tetter,
sich tatsächlich plotten würden? Können sie machen,
dann geht es seinen Tetter von 0 bis P,
dann sieht irgendwie diese Funktion hier, dieses einfache Polynom,
ja, also es ist sozusagen bei 0,
ist das 1 und in der Mitte ist das sozusagen minus 1,5 hier.
Und das ist genau eben die Abweichung,
die sie sozusagen, die sie da drüben finden,
ja,
also hier sozusagen
Hier oben ist es ein bisschen positiv,
sozusagen bei Winkel, Täter gleich null.
Und da an der Seite ist es ein bisschen negativ, ja.
Und das gibt ihnen so eine Abweichung hier, ja.
Und das ist jetzt nicht so schön geworden wie das andere
hier, wie auch immer, sagen wir.
Täter gleich, Pi halbe. Es ist sozusagen ein bisschen kleiner.
Okay, soweit so gut. Das ist jetzt,
jetzt können Sie sich fragen, okay,
wir wollen hier generell sozusagen die Stabilität von diesen Tropfen
uns anschauen
Und jetzt machen wir einen speziellen Ansatz. Was soll das? Wenn wir das untersucht haben,
dann können wir uns fragen, was ist die Energie,
die Oberflächenenergie als Funktion, dieses Parameters Äpselon,
also sozusagen der Ablenkung der Auslenkung hier,
also diese Auslenkung hier oben wäre ja dann genau Äpselon A2.
Und diese Auslenkung hier, die wäre minus einhalb Äpselon,
sozusagen als Funktion, dieses Parameter,
das ist die Auslenkung beschreibt, können wir uns fragen,
was ist die Energie sozusagen?
Der Oberfläche, was ist die Energie der Ladung
Und wir können fragen, ist das größer oder kleiner als die Energie,
die ich messe für Epson und gleich null.
Auf die Art und Weise haben wir natürlich das Problem nicht komplett gelöst.
Wir wissen dann, ob der Tropfen sich gerne auf die
Art und Weise verformen will. Aber wir wissen nicht,
ob er vielleicht, selbst wenn wir jetzt finden,
dass das irgendwie energetisch, instabil, energetisch ungünstig ist,
wissen wir natürlich noch nicht, ob der vielleicht einen anderen Ausweg findet,
um vielleicht da oben so ein bisschen einen kleinen Auswuchs zu bilden.
Ja, das haben wir nicht. Das heißt,
im Prinzip könnten wir uns fragen,
gibt es nicht einen allgemeinen Ansatz,
dass wir sozusagen alle Verformungen auf einmal abhandeln
Und das ist in der Tag möglich und ich habe es so gemacht,
dass wir jetzt hier in der Vorlesung,
wenn ich sozusagen ein paar Rechnungen skizziere,
dann mache ich das mit dem Ansatz,
aber sie können sich das in der,
sozusagen in dem Skript können sie sich es durchlesen,
wenn sie wollen, für einen allgemeinen Ansatz.
Und im Prinzip ist das,
was wir letztes Mal und was wir letztes Mal hier eingeführt hatten,
jetzt gehe ich hier wieder raus aus sozusagen in ein anderes Programm,
wechseln wir mal hier.
Also ich hatte hier jetzt, haben wir diese Oberfläche.
Der allgemeine Ansatz, die Behauptung ist, ist einfach hier Das da,
indem ich die Funktion darstelle, als eine Summe über das Genre Polynome.
Ja, das ist jetzt nur als, warum ist das so?
Ja, und ich hatte das das letzte Mal schon angemerkt, ja.
Die Tatsache ist, dass wenn ich eine beliebige Funktion habe,
auf dem Intervall von minus 1 bis 1,
denn das ist das, wo der Cosinus läuft,
kann ich sie immer darstellen, als eine Summe von LeGen-Trepolynomen.
Die Tatsache kann ich Ihnen nicht beweisen,
aber Sie können sie sich sehr gut plausibel machen.
Ja, wenn Sie sich diese Polynome anschauen, die ich hier hingeschrieben habe.
Dann ist das Erste, ist einfach konstant.
Sie hatten das letzte Mal, waren die Polynome,
die das letzte Mal sozusagen aus der Multipol-Entwicklung bestehen.
Das Nächste ist X, das Nächste ist X-Quadratminus irgendwas,
das kommt immer eine Potenz dazu. Wenn Sie eine beliebige Funktion haben,
können Sie die sozusagen sich zuerst überlegen,
sie entwickeln die durch eine Taylor-Entwicklung,
beliebig genau durch ein Polynom von fester Ordnung.
Und offenbar können Sie jedes Polynom von fester Ordnung
auch als eine Summe von diesem Le-Gen-Trepolynomen schreiben.
Das heißt, eigentlich ist da oben nichts dabei.
Das ist ein allgemeiner Polynomeinsatz. Genauso gut hätte ich
hinschreiben können,
ich mache eine Taylor-Entwicklung
Und bestimme die Taylor-Koeffizienten der Funktionen. Habe ich auch eine allgemeine Darstellung der Funktion.
Und das ist ein ganz wichtiges Konzept sozusagen, wenn sie, ja.
Aber es ist immer noch zu Ende. Genau,
es ist Zylinder-symmetrisch, wenn ich andere Symmetrien haben wollte,
dann müsste ich sozusagen noch mehr Funktionen dazu nehmen,
die von der Zylinder-Symmetrie abweichen.
Müsste sozusagen einen Satz von Funktionen erweitern. Und das ist
auch möglich, aber das wird da noch komplizierter.
Deshalb habe ich das jetzt nicht aufgenommen. Und wir werden eigentlich auch schon,
wenn man das durchrechnet, sieht man auch tatsächlich,
dass selbst in der Zylinder-Symmetrie die einfachste Verformung eigentlich die ist,
sozusagen den meisten Energiegewinn bringt, sozusagen, das heißt,
auch die Verformungen, die die Zindersymmetrie zerstören würden,
sozusagen von der, würden mehr Energie im Allgemeinen kosten.
Aber das ist ein ganz wichtiges Konzept,
also wenn sie sozusagen mit Funktionen handhaben,
können sie die Funktionen oftmals einfach,
statt dass sie reden von dem Satz aller möglichen Funktionen,
parrameterisieren sie die Funktionen durch einen diskreten Satz von Parametern,
eben die Taylor-Koeffizienten oder die koeffizienten hier in der Entwicklung nach diesem Polyn-Umsatz,
ja.
Und auf die Art und Weise haben sie das Problem von
irgendwas Unfassbarem reduziert,
auf einfachen Satz diskreter Parameter
Das ist eigentlich ein Konzept, was Gutes,
was mal gesehen zu haben. Es ist im Prinzip,
ich kann das, ich vergesse jetzt in der Sache hier,
sozusagen das zu spiegeln. Es ist im Prinzip, ja,
im Prinzip ist das so ähnlich, wie die Vektor darstellt,
wie eine Darstellung von dem Vektor am R hochennen.
Die Funktionen, sozusagen vom Intervall, alle Funktionen auf dem
Intervall 1.0 können wir sozusagen als gewisser Weise als Vektoren aufpassen.
Genauso wie der Vektor hier, ein Vektor im Endlichen Raum ist,
sozusagen die Basis der Vektoren, sagen, was den Einheitsvektoren entspricht,
sind genau diese Polynome und so eine Darstellung als Summe,
ist genau die koeffiziente Darstellung.
Und der einzige Unterschied ist, sie haben jetzt hier
sozusagen unendlich viele Koeffizienten und hier halt endlich viele.
Also sozusagen der Satz aller Funktionen ist einfach ein Vektorraum
unendlicher Dimension und nicht deiner endlicher Dimension.
Aber ansonsten ist es vom Rechnen her sehr ähnlich.
Wir haben einen diskreten Satz von Koeffizienten und dann damit sozusagen
alle Verformungen,
alle abgehandelt
Okay. Und warum nehmen wir jetzt nicht die Taylor-Koeffizienten,
sondern warum nehmen sie die Genre, polynome, aus genau einem Grund,
weil warum nehmen sie zum Beispiel einen Backdoor-Raum, diese Basis der Einheitsspektoren,
weil die orthogonal aufeinander stehen und linear unabhängig sind, ja.
Das ist dieser Satz hier. EI.dej, des Delta IJ.
Und genau die gleiche Eigenschaft haben sie auch in diesem Satz von Polynomen,
wenn sie sozusagen das Kalarprodukt entspricht ihr dem Integral des Produkts über minus eins,
über das ganze Intervall. Und hier können sie zeigen,
dass diese sozusagen unter dieser Art von Skalaprodukt,
diese Funktionen, orthogonal sind, das heißt,
die Legende, Polynome bilden eine Orthogonalbasis, das heisst,
mit denen kann man einfach einfacher rechnen.
Das ist alles, ja. Und das ist auch gleichzeitig die wichtigste Beziehung,
die sie sozusagen brauchen, um tatsächlich dann die Rechnung,
die ich ihnen zeige, für nur den einfachen Ansatz,
um die sozusagen auf beliebigen Ansatz zu verallgemeinern.
Okay. Das nur sozusagen als Zusatzinfo.
Jetzt gehen wir mal zurück
Jetzt gehen wir mal hier zurück auf unser anderes Problem.
Wir müssen jetzt sozusagen eigentlich hier, um in unserem Problem weiterzumachen,
müssen wir die Oberflächenenergie und die elektrostatische Energie berechnen.
Und das können wir sozusagen einfach der Reihe nach abarbeitendes Programm.
Und das ist eigentlich eine ganz gute Rechenübung im Moment,
hier einfach einmal zurück, elf, 9.
Das ist eine gute Rechenübung, die wir nach dem anderen hier machen.
Wir fangen einfach mal an, das Volumen auszurechnen.
Denn das ist das Wichtige. Wir hatten gesagt,
das Volumen des Ganzen soll konstant sein. Das heißt,
wir können mal überprüfen, ob das sozusagen für den Ansatz,
den ich hingeschrieben habe, das Volumen konstant ist.
Können wir mal, wie berechnen wir das Volumen aus von dem Körper?
Das ist eine Formel, die sozusagen die, oder ein Vorgehen,
das wissen Sie. Das Volumen ist einfach gegeben,
in Kugelkoordinaten, durch das Integral von null bis 2PD4,
Integral null bis Pi, Sin Teta de Teta, Integral von null.
Und jetzt bis er von Täter, DR, R-Quadrat.
Dann sozusagen der Radius läuft nur bis er von Täter.
Ja, es ist also hier. Swoopy,
von diesem Integral, ihr steht jetzt dann,
das Integral gibt uns 0 bis P, sie in Täter, die Täter.
Und hier steht R von Täter hoch 3 Drittel.
Ja, das ist das Integral hier ausgeführt.
Und da setzt man jetzt einfach unsere Parameterisierung rein hier.
R von Täter ist R mal 1 plus,
jetzt haben wir hier diesen Ansatz, Äpsteron, A,
Pezmo von Costetta, plus Äpster und Quadrat A0. Und diesen,
da habe ich noch gar nicht gesagt,
warum ich den eigentlich in den Ansatz aufgenommen habe,
das werden wir aber gleich sehen.
Das setzen wir einfach da ein. Man muss sich jetzt
sozusagen hier das Ganze hoch drei nehmen, damit sieht man,
die Rechnung wird schon relativ aufwendig. Aber,
also hier steht 2P, Drittel, A hoch 3,
aber wir können das Ganze, und das ist die Analyse,
die wir machen, ist ja nur Apcellon, kleiner als eins.
Wir wollen ja nur das Ganze uns untersuchen,
was passiert für kleine Abweichungen von der Kugel.
Das heißt, wir können in diesem Integral einfach entwickeln,
nach Apcellon. Und das macht uns das Leben viel einfacher.
Das heißt, wir müssen eigentlich für alles, was kommt,
nie schwierige Integrale lösen, weil wir immer nur entwickeln.
Also hier zum Beispiel, sie sind Täter,
die Täter von 0 bis P. Die erste Ordnung ist eins.
Und dann kommt zu sagen, das dann sozusagen ist klein
Das ist also eins plus was Kleines. Und wir verwenden
einfach die Formel 1 plus X, Hoch 3,
es 1 plus 3 X, plus 3 X Quadrat plus und so weiter.
Also hier setze ich das ein,
dann kommt hier einfach 3 Y A, P2,
ich lasse jetzt mal dieses, oder hier steht Kosthetter,
plus 3, A, 0, Äpsel und Quadrat,
plus Drei, dann zu sagen, jetzt müssen wir dieses X da quadrieren.
Äpsteron-Quadrat, A-Quadrat, P2 von Cost-Thetter, Quadrat.
Und alle anderen Therme, die vorkommen würden, sind höhere Ordnung.
Das heißt, eigentlich steht hier nur noch ein relativ einfaches Integral.
Und das können sie im Prinzip sofort ausrechnen,
das Integral über den ersten Therm, gibt wenig überraschend.
Letztlich vier P Drittel R hoch 3. Das ist genau das
Volumen der Kugel. Das sind die gerade über den zweiten
Therm,
geht weg
Ja, weil sozusagen das Integral DX,
und das können Sie einfach sich überlegen, über die,
das Integral fällt weg und übrig bleibt.
Und zu sagen, hier, Moment, schreibe ich,
das hatte ich hier sogar.
Jetzt schreibe ich noch einen falschen Faktor auf. Ich schreibe
mich jetzt hier nochmal ab. In dieser Sache hier,
ah, da habe ich den rausgezogen, ja.
Plus 3, Y, Quadrat. Was denn nicht hier
Okay, wie auch immer. 2P, Drittel R hoch 3.
2-1-0 plus A2-Quadrat über 2 Fünftel.
Ja, okay, also das ist das Ergebnis. Und was wir daraus lernen,
warum ich das Volumen ausgerechnet habe, ist, dass,
hier sehen Sie, dass sozusagen ein Term übrig bleibt,
der proportional ist zu Y, Quadrat,
Wir wollen aber uns eine Verformung dieses Volumens anschauen,
sodass das Volumen konstant bleibt.
Der Tropfen ändert ja nicht sein Volumen. Ich kann den
ja nicht komprimieren. Das heißt, wenn ich den Ansatz hinschreibe
, dann muss ich dieses A0 so bestimmen.
Dann muss ich mein A0 so bestimmen,
dass das minus sein Fünftel A A2 zum Quadrat ist.
Und das ist ein Fick, eine feste Beziehung.
Wenn ich das geschafft habe, dann folgt Dass das Volumen
bei Epselon ist das Volumen bei Epselon gleich null.
Plus Ordnung, Epselon hoch 3. Sozusagen in niedrigster Ordnung ändert
sich das Volumen nicht. Und das ist genau das,
was wir brauchen. Okay, das heißt, wir haben,
das ist die Analyse des Volumens war sozusagen nur dazu da,
um den Ansatz zu vervollständigen.
Jetzt, das Interessantere ist, wie kriegen Sie die Fläche?
Ja, und da geht es jetzt einfach nach Schema F
Wir brauchen die Fläche, um die Oberflächen zu sagen,
um die Oberflächenenergie sich lässt sich um die Oberflächenenergie auszurechnen.
Und das ist eigentlich auch eine ganz gute Wiederholung.
Die Fläche ist allgemein, es integral,
über die gesamte Fläche von dem Infinity the Malen Flächenelement.
Und dieses infidisiale Flächenelement ist DR, nach D-Täter, Kreuz,
DR, nach Defi, D-A-D-Täter, Defi, ja.
Okay. Wobei eben dieses R von Täter und Vieh
ist genau das, was sie, was wir sozusagen,
ist genau eben die Parametisierung der Oberfläche,
die wir uns vorher hingeschrieben hatten.
Und das war R von Täter mal E-L,
also einfach hier natürlich kosthetter.
Nee, eher oben steht Ziehentäter.
Das haben wir
Sintäter, Sintäter, Kosfi, Sinfi, Kostetter.
Soweit so gut. Und das heißt, was jetzt kommt,
ist schlicht und ergreifend, Programm nach Schema F, ja?
Also der indizierte Platzbestial von Petrus für ein paar zwei.
Gute Frage. Wir haben alle nicht indizierten AS sind A2. Beziehungsweise
hatten wir sozusagen A2 eigentlich gar nicht in dem Ansatz eingeführt.
Das heißt, wir können einfach die Zweier von dem
A2 löschen
A2 ist einfach nur A. Gut, okay. Ja. Das heisst,
hier haben sie es einfach mit dem Problem zu tun,
dass sozusagen nach, was sie einfach sozusagen da nach Schema F abwandeln können.
Und ich bin jetzt tatsächlich sozusagen, also wir können,
machen wir das mal. Oh, schlecht. Die A nach
die Täter, dann zu sagen, machen wir das.
Bis mal hier die A nach die Täter ist natürlich,
wenn ich das nach Täter ableite,
dieses R von Täter
mal ER
Und das ist sozusagen der Divinical AR plus Strich von Täter,
mal Efi, die Ableitung von dem hier nach Maleteta eher.
DR, nach DV, ist einfach Air von Täter.
Sin Täter, Efi. Ja, also sie müssen sich
hier die Ableitung bilden. Es ist ja,
im Prinzip, was ich schon mal gemacht habe,
das heißt DA zum Betrag, das entwickelt diese Male Flächenelement,
ist Diese Formel hier oben,
und das kann sie im Prinzip sich dann zusammensetzen.
Okay. Gut, also das... Soweit so gut,
es ist einfach nur hier. Das heißt,
sozusagen das Flächenelement, Es ist sozusagen nicht R-Quadrat ziehen,
Täter, wie es für die Kugel wäre,
sondern es hat hier noch so einen kleinen Korrekturfaktor.
Und das ist natürlich jetzt, hier steht die Ableitung nach Tettner.
Und das ist natürlich jetzt schwierig auszurechnen, aber wir können wieder und sagen,
dass Y sehr viel kleiner als eins ist, das ist die Bedingung.
Das heißt, wir wissen, dass er Strich von Täter,
die Ableitung, ist sozusagen die R von Täter,
nach den Täter.
Und das ist proportional zu Äpzilon, sozusagen sehr viel kleiner
als eins. Das heißt, wir können diese Wurzel
hier einfach entwickeln
Das ist einfach ungefähr eins, plus eineinhalb, Strich von Täter,
das ist Täter und R ist irgendwie sehr schwierig von der Mühle zu unterscheiden.
Gut. Ja, weil das hier sozusagen ist proportional zu Apsel und hoch vier, äh, Apsel und Quadrat. Ja,
das ist zu sehen wieder eigentlich sozusagen,
Das ist ein, eigentlich ist die, die Formel,
die sie eigentlich lösen wollen, ist schwierig, ja,
weil hier müssten sie ein Integral über eine Wurzel von irgendwelchen komplizierten Funktionen rechnen,
aber sobald sie entwickeln, ist das Ergebnis,
ist das integral, was hier übrig bleibt, relativ einfach.
Das heißt, der ganze Flächeninhalt,
sozusagen das Integral von 0 bis P, die Täter,
Integral von 0 bis 2 P, D4,
von genau diesem DA-Betrag, also genau R von Täter,
Quadrat, Scene Täter,
Mal eins plus einhalb Strich von Täter durch R von Täter zum Quadrat.
Und das ist so integral, was man ausrechnen kann letztendlich.
Und da kommt dann eben genau raus,
vier P. R Quadrat plus etwas, sozusagen,
das ist der Lidrig, das ist die Fläche,
die ungesteuerte Fläche plus Äpzilon Quadrat.
Swoopy-Quadratum ist für mich hier
acht P-Arquadatifünftel.
Acht. Die Fünfter A-Quadrat. Ergothard. Plus Ordnung,
Äpsen und Hoch drei. Und das ist genau das,
was wir gesagt hatten. Sobald sie die Oberfläche verformen,
vergrößern sie die Oberfläche, weil hier ein positiver Stern steht.
Die Kugel hat die Minimaloberfläche. Die Flächeninhalte des Kugels,
der Kugel um die Verformung entwickelt.
Natürlich die Abweichung ist proportional zur Verformung zum Quadrat
Sie entwickeln um ein Minimum. Und dementsprechend haben wir jetzt
die Oberflächenenergie. ES von Epselon sozusagen. Es ist einfach
ES von Epselon gleich null. Plus Epselon,
Quadrat, mal Gamma, mal dieser Term hier.
Okay, soweit so gut. Jetzt wird es schwierig.
Genau, war das jetzt schwierig bis jetzt?
Also es ist natürlich
relativ offen
Aber das ist sozusagen, das hatte ich jetzt deshalb nochmal wiederholt,
als sozusagen, das ist eine Technik,
die wir am Anfang der Vorlesung gelernt haben,
sagen die Mathe, die mathematischen Techniken, das ist halt was,
was man immer mal wieder wiederholen muss.
Es ist so, wenn sie, ja,
ich sage jetzt vielleicht da gar nichts verbreitet dazu, das ist Hauptsicht.
Genau, schwieriger ist, und das ist was,
was eher mit Elektrotechnik zu tun hat, die elektrostatische Energie.
Okay. Und ich sehe irgendwie, dass ich wahrscheinlich wegen
der um mal anfangen, ein bisschen zu lang gebraucht habe.
Moment. Also was ich jetzt hier sozusagen in diesen Notizen
gemacht habe, ich habe Ihnen sozusagen die Rechnung wiederholt.
Ich habe die hier in den Notizen, finden Sie die Rechnung.
Allerdings finden Sie hier die Rechnung tatsächlich für den allgemeinen Ansatz.
Aber wenn Sie sozusagen gerechnet nachvollziehen wollen, dann nehmen Sie
halt einfach immer nur den niedrigsten Thermen dieses Allgemeinen Ansatzes.
Und dann steht die Rechnung im Prinzip da sozusagen.
Die können das sein. Das ist immer so,
immer so den all den sozusagen für den Ansatz,
den ich hier hingeschrieben habe, könnte das sozusagen leicht nachvollziehen.
Für den allgemeinen Ansatz muss man wirklich ein bisschen Rechenarbeit reinstecken,
deshalb habe ich ihn und hier hingeschrieben,
das steht dann hier, eine Formel sozusagen,
die etwas komplexer ist, aber für die Fläche,
wenn Sie es nachvollziehen wollen, von Sie es nach,
aber wenn Sie es sozusagen für den einfachen Fall nachvollziehen wollen,
den ich jetzt hier angeschrieben habe,
dann ist es auch okay sozusagen.
Interessanter ist, die Oberflächenenergie, die elektrisch-statische Energie.
Und das ist tatsächlich ein schwieriges Problem, denn wir wissen
die elektrostatische Energie ist sozusagen das Integral über die Ladungsdichte, mal das Potenzial.
Und was wir wissen ist, die Kugel ist leitend,
Das heißt, die Oberfläche bildet nach wie vor eine ecke Potenzialfläche.
Aber sie wissen nicht mehr, wie die Ladung verteilt ist. Denn wenn ich dich hier verteile,
hier sozusagen für vorne, dann werden vielleicht die positiven Laden,
die Ladung, die ich hier raubt brauche, haben,
die sich eher hier konzentrieren wollen, damit sie sich sozusagen weiter abschränken,
abstoßen oder wollen sie sich eher hier verteilen?
Wir wissen es nicht, ja. Aber wir müssen,
wir müssen auch die Gesamtladung, das ist Wissen,
die ist konstant, aber wir wissen,
nachdem wir nicht wissen, wie die Ladung verteilt ist,
können wir auch die Formel für das Potenzial nicht mehr anwenden.
Und das ist genau Wert, den wir brauchen, um die Oberflächenenergie.
Um die elektrostatische Energie zu berechnen. Das heißt,
wir haben eigentlich ein relativ komplexes Problem zu lösen.
Gut, was müssen wir tun, um das Potenzial zu bekommen?
Naja, wir interessieren uns für das Potenzial außerhalb.
Das heißt, überall dort, überall außerhalb der Kugel,
also für R-Größe R von Tetter. Und was wissen wir
Es hat ein typisches, elektrostatisches Randwertproblem.
Was wissen wir? Wir wissen, außerhalb ist keine Ladung.
Das heißt, das Potenzial muss die Lablasgleichung erfüllen, außerhalb.
Das ist die erste Bedingung. Wir wissen nichts weiter,
außer, dass die außer den Randbedingungen,
nämlich das Potenzial soll konstant sein auf der Oberfläche,
und die Ladung ist gegeben.
Und die Ladung ist nach dem draußen Satz des Oberflächenintegral
über das Feld
Ja, also eine Randbedingung an unser Potenzial. Wenn wir eine Funktion finden,
die diese drei Bedingungen erfüllt, dann hätten wir das Problem gelöst, ja.
Aber es ist natürlich schwierig, die Funktion zu bestimmen.
Und wir haben solche Randfeldprobleme, eigentlich auch nicht systematisch gelöst.
Das einzige Mal, wo wir sowas gelöst haben,
war bei der Bildladungsverteilung, ja, oder bei dem Bildladungsproblem.
Da hatten wir so ein Randwertproblem, wo wir im Prinzip wollten,
dass die Oberfläche auf der Metall,
das Potenzial auf der Metalloberfläche konstant ist, aber wir konnten,
wir hatten so eine Gleichung zu lösen, aber die einzige Technik,
mit der wir sozusagen versucht haben, das zu lösen,
war, dass wir es im Wesentlichen erraten haben.
Und genau das Gleiche können Sie aber auch hier machen.
Und die Idee ist, Sie wollen, Sie suchen ein Potenzial,
was außerhalb keine Ladung hat und dessen Oberflächenintegral die Gesamtladung gibt.
Das wird offenbar erfüllt, Von jedem Potenzial, was sie erzeugen,
indem sie irgendwie Ladung in die Mitte der Kugel tun,
weil in der Mitte der Kugel oder innerhalb der Kugel interessiert sie das Potenzial ja gar nicht,
die Lösung.
Tun sie einfach, verteilen sie irgendwie die Ladung Kuh innerhalb der Kugel.
Und berechnen das Potenzial. Ja, sie sind sich sicher,
dass diese Bedingung und diese Bedingung erfüllt ist.
Denn außerhalb sitzt keine Ladung und das Oberflächen integral ist Kuh.
Das heißt, sie können versuchen,
finden sie eine Ladungsverteilung innerhalb der Kugel,
die sozusagen Gesamtladung Kuh hat und die Konstantis auf der Oberfläche
Zum Beispiel, wenn das Ganze eine Kugel wäre,
dann wüssten sie die Ladungsverteilung schon.
Sie wollten nämlich einfach sagen, das ist die Punktladung in
der Mitte. Setzen Sie eine Punktladung in der Mitte,
dann ist die Gesamtladung Kuh, das Feld, sozusagen disrotationssymmetrisch.
Also es ist konstant auf der Oberfläche.
Da ist nicht da sozusagen, aber das heißt nicht,
wenn Sie die Punktladung in der Mitte setzen.
Das heißt ja nicht, dass tatsächlich in der Mitte eine
Punktladung sitzt. Die Ladung sitzt tatsächlich auf der Oberfläche.
Aber es heißt, aber Sie haben das Problem trotzdem gelöst.
Das heißt im Prinzip das Potenzial außerhalb der Google ist genau
das Gleiche wie das Potenzial der Punktladung in der Mitte
Ja, und sozusagen denselben Trick können sie auch versuchen,
jetzt anzuwenden. Raten Sie doch mal die Ladungsverteilung,
die sozusagen auf dieser Oberfläche ein konstantes Potenzial hat, ja.
Und was Sie wissen, ist, diese Ladungsverteilung sollte sozusagen zylindersymmetrisch sein.
Das heisst, am Moment, die einfachste,
den einfachsten Ansatz, den wir uns überlegen können,
ist,
was ist eigentlich
das Potenzial
Dieser Verteilung hier. Das mache ich jetzt ein bisschen langsamer
hier, obwohl es die Zeit drin steht.
Auch in den Notizen steht, weil sonst alles jetzt noch ediffizier ist.
Also wir nehmen einfach mal übertrachten, nicht eine Punktladung,
sondern wir betrachten die einfachste Zylinder-Symmetrische Ladung, die ich mir vorstellen kann.
Und das ist eine Ladungsverteilung, die einfach längst der Z-Achse
sozusagen konzentriert ist. Also ich kann dir sogar hinschreiben,
wenn sie wollen,
Ruhe von
Das ist irgendwie Delta von X, Delta von Y,
mal irgendeine Funktion von Z, die unbekannt ist.
Und ich beschränke das mal auf Minus, von irgendwie von minus A bis A.
Und die Frage ist, was ist das Potenzial außerhalb?
Ja, ja. Jetzt können sie sozusagen hergehen und können
die allgemeine Formel anwenden, die sie haben,
um das Potenzial außerhalb, um das Potenzial in der Ladungsverteilung auszurechnen.
Das ist allgemein eins durch 4P, Y0,
Integral über das ganze Volumen
Dehoch 3 erstrich, rof und er strich, durch A-Strich-Betrag.
Und in dem Fall ist sozusagen dieses,
die Ladung sitzt ja nur längst der Z-Achse.
Das heißt, hier beschränkt sich dieses Integral,
auf Integral von minus A bis A, DZ,
Sigmar von Z durch r-, jetzt der Punkt sozusagen hier, Z-E-Z sozusagen.
Also hier habe ich jetzt sozusagen der Punkt TSZ irgendwie.
Und dieser Abstand hier, dieser Lektor,
ist R-Z-E-Z. Und jetzt machen wir das Gleiche,
was sind wir bei der Multipolentwicklung gemacht haben?
Wir werden uns, wir diesen Term hier sagen,
den wollen wir als Funktion von R haben.
Und er, sozusagen wir wollen später sozusagen einfach Das Feld
weit weg sozusagen von diesem Stab hier betrachten.
Also machen wir eine Entwicklung. Weil letztlich wollen wir später
sozusagen das Feld außerhalb der Kugel haben.
Und dieser Stab sitzt innerhalb der Kugel sozusagen. Das heißt,
letztlich können wir genau diese Entwicklung versuchen und die hat mir das letzte Mal hingeschrieben.
Eins durch R. Und zu sagen, Aerminus Z mal EZ.
Ist sozusagen eins durch Wurzel, R-Quaddrat plus Z-Quaddrat,
minus 2 R
Kostetta, wobei eben Kostetta genau dieser Winkel hier ist.
Ja, und das hatten wir uns das letzte Mal überlegt,
bei der Multipol-Entwicklung, die Reihenentwicklung hierfür.
Das war Summe über alle L, gleich null bis unendlich.
Eins durch Z, hoch L,
durch R hoch L plus 1, PL, Kostetta.
Okay, das war sozusagen dasselbe wie bei der Multipol-Entwicklung
Gut. Jetzt können wir das in das Integrali einsetzen.
Die Entwicklung. Und dann steht hier,
Fi von R ist Summe über Elgleich 0 bis unendlich.
Irgendwer eins durch Hochelplus
1. 4P
Mal irgendeine Zahl, würdest du sagen, mal PL,
von Costetta, mal irgendeine Zahl QL,
und die hatte ich als Groß QL gezeichnet, bezeichnet.
Wobei eben dieses Groß QL war genau,
ist genau das verbleibende Integral über Z. Z hoch L.
Und das können wir sozusagen schreiben als QR hoch L,
mal Klein QL, wobei sozusagen das ist halt einfach,
habe ich nur sozusagen,
das ist die Einheit hier
Und das hier sozusagen hat Einheit eins, ja.
Okay, was haben wir gewonnen? Wir haben irgendwie allgemein
das Potenzial eines Stabs ausgerechnet. Ja, okay,
und wir haben das Potenzial eines Stabs hingeschrieben als eine Reinentwicklung.
Was haben wir so gewonnen? Ja,
das habe ich hier sozusagen noch,
sozusagen in dem Text kommt das Gleiche vor,
das ist ein, das hatte ich jetzt nur ausgeführt,
Wir müssen zurückgehen und fragen, was wollten wir eigentlich?
Wir wollten ein Potenzial haben, was außerhalb der Kugel
keine Ladung hat, aber sozusagen die La Plasgleichen erfüllt,
also sozusagen von einer gültigen Ladungsverteilung verwendet ist.
Und genau das haben wir berechnet. Wir haben jetzt sein Potenzial,
was Zylindersymmetrisch ist, was außerhalb der Kugel keine Ladung hat,
was aber die La Plasgleichen erfüllt. Das heisst,
wir können dieses Potenzial, ist der Allgemeinste der Ansatz für ein Potenzial,
Von der Anordnung, von dieser verformten Kugel.
Wir können einfach das hier als Ansatz für das gesuchte Potenzial verwenden und können versuchen,
diese Parameter hier, die in dem Ansatz vorkommen,
sukzessive so zu bestimmen, dass die Bedingungen drei,
also die Bedingungen auf der Oberfläche, erfüllbart.
Nämlich die Bedingung, dass der Wert dieses Potenzials der Wert
dieses Ansatzes hier konstant ist auf der Oberfläche
Und wenn wir das geschafft haben, haben wir das Problem gelöst.
Und zu sagen, nachraten. Wir haben einen allgemeinen Ansatz
gefunden für das Potenzial und wir bestimmen den Ansatz so,
dass er die Randbedingungen erfüllt. Und das ist was,
ich würde gerne noch, weil wir haben irgendwie fünf Minuten
verloren und ich glaube, am Anfang durch die Verziehung,
ich würde sozusagen gerne diese fünf Minuten länger machen.
Das heißt, die, die hier ausgehen wollen,
sollen bitte leise rausgehen. Okay, das heißt,
wir können diesen Ansatz hier verwenden und ich kann das nur noch sozusagen,
ich kann skizzieren,
weil wir relativ spät sind in der Zeit,
wie wir das sozial machen
Wieder sozusagen, wollen wir jetzt sozusagen diesen Ansatz hier,
wollen wir nur erfüllen, für kleine Abweichungen von der Kugelform.
Das heißt, wenn wir hier diese Gleichung haben,
das Potenzial auf der einen Seite, soll diese Gleichung erfüllen,
dann werde ich wiederum beide Seiten einfach nach Apcelon entwickeln.
Ja, und das kann ich einfach sukzessive machen,
indem ich sage, okay,
den Wert, den ich haben will,
dass es irgendwie in der Reihe in Apcelon und die Parameter,
die ich suche, sind irgendwie eine Reihe in Apcelon.
Und die setze ich auf beiden Seiten ein und sozusagen dann
vergleiche ich die beiden Seiten, und bestimme die Parameter so,
dass sozusagen bis zur Ordnung Epselon die beiden gleich sind.
Das ist sozusagen eine Rechnung, die man sukzessive machen kann.
Da muss man eigentlich gar nichts dazu reichen,
sondern man muss nur Taylor entwickeln, nicht integrieren,
nichts mehr machen, nur Taylor entwickeln.
Und das kommt jetzt hier, weil ich sozusagen nicht mehr
in Scheibenberg steht, hier diese Taylor-Entwicklung, okay?
Und dann kommen sie auf diese Form, würde ich sagen,
das war wirklich nur aus Taylor in Begleitung,
da ist keine Integration mehr drin.
Das heißt, sie kriegen Und das steht jetzt hier wieder
sozusagen für allgemeines L. Sie können das VL gleich 2,
also für unseren Ansatz sozusagen einsetzen,
für unseren Ansatz ist das halt einfach hier.
Offenbar ist das hier eins durch fünf.
Und das ist ein A-Quadrat. Das heißt, wir sehen,
dass der Term ist das Potenzial der Kugel, der ungestörten Kugel minus etwas.
Durch die Verformung haben wir das Potenzial abgesenkt. Und das ist das,
was wir sozusagen auch vorher schon uns überlegt haben,
eigentlich die elektrostatische Energie möchte gerne, dass die Ladungen weiter wegkommen.
Das heißt, die Kugelform ist ungünstig
Und jetzt setzen Sie das Ganze zusammen, die Gesamtenergie ist die Oberflächenenergie,
plus die eine elektrostatische Energie und setzen den ganzen Term zusammen und dann finden Sie,
wie vorher auch, sozusagen das Ganze und zu sagen,
also ich bin leider etwas spät in der Zeit,
darum gehe ich jetzt schneller durch,
dann finden Sie wie vorher hier eine gesamte Energieformel,
die sozusagen genau dann, ich schreibe das jetzt hier hin,
hier ist sozusagen genau dann zur Absenkung der Energie führt.
Wenn die Ladung groß genug ist und sagen,
das steht jetzt hier anders da, aber hier,
das Wichtige ist, weil sie wieder eine Oberflächenenergie haben,
die sozusagen mit Zunahme der Oberfläche zunimmt,
mit Zunahme der Formation zunimmt und eine Ladungsenergie haben,
die mit Zunahme der Deformation abnimmt, heißt es,
dass ab einer gewissen Ladung sozusagen diese Form,
die Kugelform nicht mehr die stabilste Form ist.
Und das ist eben genau, wenn sie das einsetzen,
kommen sie auf einen
relativ schönen Wert
Ich habe das auch mal eingesetzt, sozusagen, wenn Sie
einen Quecksilbertropfen nehmen, können Sie sich folgendes Experiment vorstellen.
Sie schließen einfach an den Gewächsel überkropfende Spannung an, ja. Okay,
solange der einigermaßen rund ist, ist die Ladung einfach gegeben,
durch 4B Äpfel oder 0 mal R, mal die Spannung, ja.
Sobald aber in dieser Ladung hier größer wird,
als die kritische Ladung, die Sie hier oben berechnet haben,
ist die Form nicht mehr stabil.
Und dieser Tropfen wird einfach platzen, ja.
Und für diesen Quecksilbertropfen kommen Sie da auf 20,
sagen wir mal so ein paar, was haben wir hier?
Ich eingesetzt
Irgendwie so zwei Millimeter, also ein relativ kleiner Tropfen,
der platzt irgendwie bei 20 Kilo Volt. Also sie müssen schon
relativ viel Spannung anlegen, damit das Ganze instabil wird.
Aber Quecksilber hat schon mal eine relativ hohe Oberflächenspannung,
nehmen sie zum Beispiel Wasser, hat eine wesentlich niedrigere Oberflächenspannung und nehmen sie,
dann kommen sie auf geringere Werte und dann kommen sie genau auf den Bereich zum Beispiel,
wo sie denken, dass das Potenzial mit dem Wassertropfen,
mit so einer Gewitterwolke zum Beispiel geladen sind.
Wenn die klein sind, die sind ja noch viel kleiner,
als die zwei Millimeter oft, dann kommen sie genau in den Bereich,
wo diese Physik wahrscheinlich eine Rolle spielt.
Okay, also das war jetzt ein bisschen wahrscheinlich Was ist wichtig?
Was ist wichtig? Wenn Sie sich das nochmal anschauen sollten,
dann... Wichtig ist, dass Sie sozusagen sich überlegen, bis wohin.
Also was haben Sie sozusagen, was haben Sie verstanden?
Was schwierig zum Beispiel zu verstehen, wie man das Volumenintegral rechnet, ja?
Dann gehen Sie zurück und überlegen Sie sich, wie man Volumenintegrale berechnet.
Wiederholen Sie das sozusagen? Und sagen, versuchen Sie das irgendwann,
die Vorlesung ist wahrscheinlich extrem anspruchsvoll, ja?
Irgendwann sozusagen steigt man mal aus. Man muss sozusagen schauen,
dass man das, was wir gemacht haben,
dass Sie sozusagen Versuchen das, was sie haben,
mitnehmen, sozusagen, dass sie nicht versuchen,
von allem irgendwie 10 Prozent zu haben, sondern es ist wichtig,
dass sie versuchen, wenn sie was nicht verstanden haben,
vielleicht zurückgehen, das sauber zu lernen, ja.
Wenn sie am Schluss da vorne sind,
nur 80 Prozent mitnehmen, haben sie 80 Prozent,
aber dann nehmen sie die mathematischen Konzepte, nehmen sie anderen Prozent,
nehmen sie die 100 Prozent mit, ja.
Am Schluss können sie die Prüfung wahrscheinlich bestehen,
wenn sie gut die mathematischen Konzepte verstanden haben,
die in dieser Zusammenfassung sind, die ich hingeschrieben habe.
Ja, das ist wichtig, das müssen sie mitnehmen.
Und natürlich ist das andere auch wichtig, das kommt irgendwann
wieder, ja, die Konzepte kommen wieder und wieder.
Wahrscheinlich hören sie die dreimal. Haben sie beim ersten Mal
nicht verstanden, verstehen sie beim nächsten Mal.
Aber wichtig ist auch, dass sie die mathematischen Konzepte mitnehmen,
ja. Also wenn sie jetzt das Gefühl haben,
das Oberflächendegral war schwierig, dann schauen sie sich nochmal an,
wie macht man das zum Beispiel, ja.
Dafür gibt es jetzt auch in dieser Woche keine Übung,
ja.
Okay,
vielen Dank