Morgen. Ich will also noch mal wiederholen,
wo wir am letzten Mal angefangen haben, damit sie auch
noch mal Möglichkeit haben, einzuhaken, falls es was gibt.
Wir hatten ja das Thema im Prozess Algebra erweitert auf die
parallele Komposition in Form von diesem neuen Operator und mit den Parallelstrichen.
Und dann die entsprechenden Transitionsregeln, also zum Erstellen des Prozessgrafen,
wo man deutlich die Eigenschaft der Folgensemantik oder Interleaving Semantic sieht,
Dann hatten wir das an einem Beispiel dargestellt, oh ja,
wo ja hier jetzt statt einem Endzustand mehrere Kopien einfach angelegt haben und dann mit der Baum entsprechend schön aussieht.
Dann gab es die Kommunikationsfunktion, ähnlich wie wir das
ganz am Anfang mit dem Transitionssystem auch schon hatten.
Und die Transitionsregeln für die Kommunikation
So, dann dazu der Prozess, Graf, der darin besteht,
dass er eben eine Erweiterung des Prozessgrafen von Eden ist,
eben um diese Kommunikation,
was dann später wieder beseitigt werden muss,
wenn wir nur die Kommunikation erhalten wollen.
Nächstes Thema war jetzt die Aktionmatisierung. Zur Vorbereitung der Aktionmatisierung
hatten wir aber zunächst nochmal diesen Left-Merch-Operator eingeführt,
also der ist in der Tat insbesondere deswegen wichtig für die
Aktionmatisierung und deswegen steht das schon hier da,
obwohl wir hier immer noch beim Prozessgrafen sind
Dann kam der Kommunikations-Merch-Operator, der also vielleicht jetzt gewissermaßen die Kommunikation erzwingt.
Und der neue Name PAP als Erweiterung von BPA.
Ja, ich habe an der Stelle nochmal ergänzt.
Ursprünglich steht ja da nur, dass eben der Parallel,
die Paralleloperatorin stärker binden als Plus.
Und das ergänzt es das Mal. Das steht also weder im Skript
noch merkwürdigerweise in dem Buch in der Quelle von Focking,
aber wie wir dann an den Aktionen gesehen haben,
ist das wohl so gemeint.
Dann der Begriff der konterrativen Erweiterung, dass du gewissermaßen an dem Talkalkül,
den wir vorher hatten, nicht sich ändert.
Und nun haben wir hier eben die Aussage über die Simulation,
dass sie eben auch hier eine Konkurrenzrelation ist,
was sich dann hier in den unteren drei Punkten ergibt,
die also neu sind gegenüber eine BPA
Nun kommen die Aktionen, das war ja der Kern der Geschichte,
dass wir den Parallelopperator mit dem Left-Merch ergänzen,
und zwar eben für den linkenden Rechten und für die Kommunikation.
Ja, die anderen sind relativ unproblematisch und für das Rechen
nützlich. Hier an dieser Stelle sieht man sehr schön,
die Funktion des Left-Merch, nicht,
dass also die erste atomare Aktion dann eben ausgeführt wird und
danach es weitergeht mit dem Parallelapperator
Ja, das Entsprechende für den Kommunikationsoperator, wo jetzt
die beiden ersten daran teilnehmen. Und jetzt die Aussagen,
dass der so erweiterte Kalkül zu PRP weiterhin korrekt ist.
Und vollständig. Und dann sind wir eben zu diesem Verdeckungsopperator gekommen,
der uns dann erlaubt,
bei einer solchen Synchronisation von Sand und Ressiv
zu kommen,
diese ursprünglichen Aktionen zu unterdrücken
Ja, dieser Apparatorabbruch hat keine Regel, weil er eben kein Verhalten hat.
Im Gegensatz zu dem Verdecken, wo also gewissermaßen,
was nicht in der Menge H ist, durchgelassen wird,
aber eben was nicht in der Menge ist,
nicht durchgelassen wird, wozu es dann auch wieder keine Regel gibt.
Ja, nicht, und das lassen wir dann eben hier
auch noch als Ergebnis der Kommunikation
eben zu
Ja, und der neue Name ist jetzt ACP.
Wenn wir jetzt also diesen Abbruch in die Verdeckung hinzunehmen.
Dazu die entsprechenden Aktionen oder Kleidungen, Veranschauungslicht an dem Prozessgrafen.
Und noch mehr zu dem Verdecken. Ja,
das war in einem Beispiel durch gerechnet, was eben darin jetzt besteht,
dass wir eben St. Null und Cent 1 oder genauer gesagt,
parallel schreiben zu Rednull und Red 1, die entsprechenden aber miteinander synchronisieren soll,
wenn sie also dasselbe Datum null oder eins eben enthalten.
Ja, dazu haben wir also Abkürzungen eingeführt, um die Schreibweise zu vereinfachen.
Und wir haben erstmal angefangen, den Ausdruck in der Klammer zu berechnen,
der dann aussieht wie A-Plots, A-Strich, parallel zu B-Plus-B-Strich.
Da dann zum ersten Mal jetzt hier im Beispiel diese Expansion des Parallelopparators angewandt
Ja, nicht und das endete dann hier drin,
wo wir dann jetzt schon sehen, dass,
wenn wir jetzt die Verdeckung noch anwenden,
nur noch das C plus C-Strich dann übrig bleibt.
Ich weiß, auf der nächsten Folie passiert.
Hier ist das entsprechende eingesetzt, was wir hier ausgerechnet haben
und am Schluss haben wir nur C plus C-Strich,
also das, wie das gewünscht war.
Nicht also dieser Operator, Parshall H. erzwingt also die Kommunikation
zwischen A und B einerseits und zwischen A-Strich und B-Strich
andererseits.
Dann wieder
die Appligaten
Strukturtheorien, wie Simulation ist eine Konkurrenz für ACP, nochmal ausgeschrieben,
jetzt eben erweitert hier auch um die, über die Verdeckung.
Und der Kalkül ist auch unkorrekt. Und vollständig. Gut,
dann hatten wir nochmal den kleinen Exkurs zur Komplexität,
wenn wir hier diese drei einfachen Ausdrücke parallel geschrieben sehen und
die dann expandieren nach der Regel,
haben wir gesehen,
dass das
sehr groß wird
Was ich dann aber, wie gesagt,
im Maschineninneren bei den Algorithmen eben intern abspielt,
wie aber so verstehen müssen und was gewissermaßen noch mal ein Reflex ist auf die Tatsache,
dass eben Parallelität in der Ausführung,
also in der Livingssemantik eben exponentiell oder super exponentiell wächst.
Im Gegensatz zu einer Darstellung mit Hilfe von Petrinetzen,
die also diese Nebenläufigkeit eben auch darstellt.
Dann hatten wir ja schon mit der Rekursion angefangen,
um erstmals auch unendliche Prozesse darzustellen, also nicht terminierend,
wie hier A, B,
A,
B und
so weiter
Und das stellen wir also durch Rekursionen.
Da, wo wir solche Rekursionsgleichungen dann eben schreiben können.
Und in der formalen Definition haben wir diese zunächst mal
nur mit einem anderen Zeichen versehen mit dem Ausrufezeichen.
Und später werden wir dann heute sehen,
dass wir dieses dann weglassen können und das verbleibende Gleichheitszeichen dann
dieselbe Bedeutung hat, wie vorher,
nämlich Äquivalent zur Bi-Simulation oder Verhaltensgleichheit
Janisch und das Groß-X sind also Prozess-Variable,
die dann internen eingesetzt werden können an Stellen,
wo vorher atomare Aktionen gestanden haben oder deren Bezeichner genauer gesagt.
Nicht und eben jeweils, um zu wissen, was da einzusetzen ist,
werden die dann in Klammer als Argument von den Thermen eben mitgeführt.
Also hier nochmal die Bemerkung zu dem Ausrufezeichen. Gut,
dann hatten wir uns überlegt, was man als Lösung einer solchen Gleichung
bezeichnen kann. Und die Antwort war, irgendwelche Prozesse,
die jetzt nun eingesetzt an den Stellen, eben Verhaltensgleichheit ergeben,
was wir im Augenblick erstmal nur durch die Simulation eben ausdrücken.
Ja, dann ging es darum,
um Beispiele von deutschen Lösungen und ihre Eindeutigkeit,
da haben wir jetzt folgende Beispiele,
dass bei dieser Spezifikation, die das einführende Beispiel war,
wir in der Tat nur eine eindeutige Lösung haben,
nämlich diese Folge,
BA und so weiter
Für X, also für Y mit B beginnt, so
wie hier dargestellt. Und für sowas hier eben auch,
was die unendliche Folge nur aus As eben darstellt.
Nicht, weil wir hier gewissermaßen das Y sozusagen dieselbe Lösung bedeutet wie X.
Dann haben wir Gegenbeispiele von Mehrdeutigkeit, wenn wir sowas schreiben,
können wir da jeden Prozess als Lösung einsetzen.
Hier können wir jeden Prozess einsetzen, der Diese Eigenschaft hier hat,
also zum Beispiel A, als Sumanten.
Wie in diesem Beispiel, nicht wo wir hier die etwas
für sie etwas schwach hier sehen, die Einsetzung.
Und wenn wir dann den Rest sehen, hat sie die Gestalt dieser Gleichung.
Oder auch, also nicht der minären Prozesse,
die man hier einsetzt würden, das eben auch lösen.
Beispielsweise dargestellt in der Form her
So, nun geht es in der Richtung,
dass wir jetzt unterm Kalkül dahingehend einschwenken wollen, dass wir eine eindeutige Lösung erhalten.
Nicht, wir wissen vielleicht in einem anderen Kontext,
dass man manchmal auch mit mehreren Lösungen arbeitet,
nicht nur bei rekursiven Gleichungen,
im anderen Kontext betrachtet manchmal die kleinste Lösung und die größte Lösung,
wo man eine Ordnung auf den Elementen hat,
das wird hier nicht gemacht, sondern hier wird fokussiert auf eine eindeutige Lösung.
Nicht, und das führt zur sogenannten geschützten Rekursion und das
bedeutet folgenden
Eine regursive Spezifikation heißt Geschützt oder Gardet,
falls die rechten Seiten ihrer Gleichung diese Form haben.
Also eine große Summe oder Alternative, wobei die Sumanten alle mit einer Aktion anfangen.
Nicht, das ist also interessant zu sehen,
dass diese Form dieser Einschränkung schon dazu führt,
dass wir eine eindeutige Lösung eben haben.
Ja, dieses Geschützt kann man vielleicht euch abgeschirmt dadurch,
dass die rechte Seite abgeschirmt ist durch diese Aktion,
eben verstehen
Das wäre aber zu speziell, weil wir hatten ja vorhin auch ein Beispiel,
einer eindeutigen Lösung, nicht wo wir x gleich y hatten,
was eben ein Verstoß dagegen war nicht.
Da stand ja in der ersten Gleichung irgendwas und in der zweiten Gleichungsstand x
gleich um y und trotzdem hatten wir eine eindeutige Lösung,
um das nicht zu verlieren, diese Möglichkeit,
gibt es jetzt aber noch eine Erweiterung.
Also alle, die diese rechten Seiten so haben oder die
mit Hilfe des ACP Kalkült in diese Form überführt werden können
Das heißt also, wenn die rechte Seite nicht die Gestalt hatten,
aber wir die rechte Seite in dem Kalkül umformen können,
in diese Form, dann soll das auch gelten.
Außerdem dürfen wir bei dieser Unforme Variable einer Rekursionsgleichung durch die entsprechende rechte Seite
ersetzt werden. Das ist also auch jetzt eine Operation,
die naheliegend ist, weil die ja nun gleichbedeutend sind,
aber in dem Kalkül bisher eben noch nicht vorgesehen sind.
Das schauen wir uns mal
ein Beispiel an
Also, das haben wir jetzt hier, diese Regressionsgleichung und
die verstoßen jetzt gleich an mehreren Stellen gegen diese Eigenschaft.
Hier bei der letzten Gleichung, die hat schon die richtige Form,
nicht, weil die rechte Seite mit einer Aktion anfängt.
Hier ist sie verletzt und hier eben auch erst recht sehen wir
überhaupt gar keine Aktion. Also, das steht hier auch,
die dritte Gleichung hat schon die gewünschte Form. Ja,
und mit dieser Einsetzungsregel können wir jetzt aber die zweite,
die mittlere Gleichung transformieren,
indem wir Z durch BZ ersetzen,
indem wir also an der Stelle hier diese Gleichung einsetzen,
dann hätten wir das für diese Gleichung
dann auch erfüllt
Ja, und die dritte, die wird dadurch transformiert,
indem wir, also auch wieder die Ersetzung vornehmen,
aber dazu müssen wir vorher den Paralleloperator expandieren,
wie man jetzt an dem Beispiel sieht.
Also hier hätten wir zunächst mal das X durch das,
durch das BZ ersetzt, Alters Z, durch auch das BZ,
also das erste durch BZ plus A und das andere durch das BZ ersetzt,
wie er das vorher gemacht hatten.
Und jetzt expandieren wir, nicht mit dem Links-Merch-Operator,
erst in der gegebenen Reihenfolge,
dann in der anderen Reihenfolge und dann mit dem Kommunikationsstrich
So, und dann wissen wir ja,
der Left-Merch-Operator zieht also dieses B eben heraus.
Wenn man vorher also distributiv gesetz anwenden,
und hier unten, was haben wir da noch gemacht?
Ja, hier, das hier bleibt. An der Stelle
haben wir den nochmal angewandt, um diese Form zu bekommen.
Nicht, dass also, das bedeutet ja,
dass hier sozusagen der parallele Teil ganz aufgelöst ist und
ihr keinen Parallelopperator mehr haben und entsprechend weiter.
Und wir sehen jetzt,
dass jetzt alle Sumanten jetzt mit einem Operator anfangen und wir
die gewünschte Form eben haben
Okay. So, und der zugehörige Satz,
bis jetzt habe ich das ja nun mal so behauptet.
Hier wird das zwar auch nicht bewiesen, aber es steht zumindest da.
Ein rekrusive Spezifikation besitzt genau dann eine eindeutige Lösung,
eindeutig natürlich Mosolo B-Simulation, wenn sie geschützt ist.
Das ist insofern bemerkenswert, dass dieser Satz nicht nur sagt,
dass die Lösungen eindeutig sind, sondern dass er gewissermaßen umfassend ist,
dass wir also keine in Formen von mit eindeutiger Lösung verpassen,
wenn wir uns auf diesem Kalkül eben einschränken.
Was ich also durch das genaue dann wenn eben austreugnen.
Ja, das ist das Beispiel, also insofern geschützt,
wenn wir diese beiden Gleichungen haben,
weil wir doch das entsprechend einsetzen können.
Und in dem Fall können wir dann von der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung sprechen.
Wenn wir vorher, man konnte mir immer nur sagen,
eine Lösung. Jetzt können wir sagen, der Lösung,
weil wir jetzt nun das Stadium erreicht haben,
wo wir wissen,
es gibt in der Form dann genau
eine Lösung
Ja, und nicht, und diese Lösung bekommt auch eine Bezeichnung,
wenn wir also eine rekursive Spezifikation hat,
dann bezeichnen wir die in solchen Spitzenklammern,
wo wir hier die entsprechende Variable haben und rechts dann eben nochmal das Gleichungssystem,
auf das sich das Ganze eben bezieht.
Und wenn das im Kontext klar ist,
kann man auch schon mal, dass ihr hier eben weglassen.
Das ist also die Bezeichnung für diese Erlösung
Okay. So, dann kommen wir jetzt eben zu den Transitionsregeln,
wenn wir jetzt also wieder den Prozessgrafen bilden wollen.
Und der soll ja jetzt nun eben im Ergebnis diese unendlichen Prozesse eben erlauben.
Ja, da betrachten wir mal jetzt als Beispiel dieses Gleichungssystem.
Ich weiß also nicht, geschützt ist wegen der zweiten Gleichung.
Ich finde, wir das gleich dafür bilden würden,
könnte der Prozessgraf ja so aussehen,
wenn wir hier die Lösung für X haben,
haben wir die Möglichkeit,
entweder mit B und das terminiert oder mit A
und wir kommen nach
Nicht und für Y haben wir die Möglichkeit,
wir kommen ohne Aktion nach X oder alternativ terminieren wir im BC.
Nicht, das führt jetzt zu einem Prozessgrafen,
wo wir Übergänge ohne Aktionen haben. Nicht,
wir werden zwar wahrscheinlich heute noch eine Erweiterung auf interne Aktionen betrachten,
aber es ist günstiger, das an der Stelle auszuschließen.
Nicht und die Lösung besteht eben darin,
diese Transitionsregeln für rekursive Spezifikation nur für geschützte Gleichungen anzuwenden.
Ich wurde dieser Fall gar nicht auftreten kann,
sodass wir also vorher diese Umformung durchführen, müssen. Ja,
und ihr seht ja, hier besteht ja gerade Dare oder kann darin bestehen,
indem wir das Y hier oben eben einsetzen.
Nicht, und das würde dann so aussehen,
nicht wo wir hier in die grüne alte Gleichung, blau,
die zweite Gleichung eben eingesetzt haben. Ja, nicht,
und wenn wir dazu jetzt erstmal intuitiv den Prozessgrafen bilden,
dann sehen wir, dieses X verhält sich mit B terminierend
und mit A kommen wir nach X plus C und X plus C,
ja, aber was kommen wir damit?
Das nutzen wir uns erst mal überlegen. Da können wir
ja davon ausgehen, dass das Äquivalent dazu ist,
dass wir das X hier wieder die rechte Seite eben einsetzen.
Also hier steht der X plus C und vor dem C
haben wir jetzt hier die rechte Seite der Gleichung. Ja,
und wenn wir uns das anschauen, dann sind wir,
wir haben hier die Alternativen B und C,
die zur Itermination führen und die Aktion A,
geh wieder zum selben,
zur selben Lösung führt und deswegen hier
die Schleife
Und wenn Sie jetzt mal die Folgen oder auch die Bissimulation ansehen,
dann ist das sozusagen intuitiv dasselbe. Aber wir haben hier den Vorteil,
dass wir hier eben alle Übergänge mit Aktionen verbunden sind.
Okay. Gut. Das heißt also,
wir werden jetzt nicht Transaktionsregeln für rekursive Spezifikation einführen,
sondern für Transitionsregeln für geschützte, rekursive Spezifikation.
Mir ist das jetzt beim Betrachten der Lettnächsten Aufgaben nochmal aufgefallen,
dass das im Skript nicht explizit so hervorgehoben ist,
dass diese Regeln, dass diese Regeln nur für geschützte,
rekursive Spezifikation gemeint sind.
Das geht nur indirekt davon, daraus hervor, dass das nach dem Kapitel dasteht.
Deswegen werde ich das demnächst dann auch nochmal entsprechend präzisieren.
Okay, das behalten wir jetzt also denn über die Überschrift
bei, also Transituationsregeln für geschützte, rekursive Spezifikation.
Nicht, und die haben ja also diese Form,
allgemein die Gleichungen und hier hätten wir ein Beispiel einer solchen geschützten,
rekursiven Spezifikation,
die wir dann vielleicht gleich noch
betrachten können
Ja, und zunächst mal betrachten wir hier eine Schlussregeln,
die jetzt behauptet, dass wir diese Lösung mit der Aktion V
zur Termination bringen können. Und die Frage wäre es,
was schreiben wir darüber als Prämisse, die uns erlaubt,
diesen Schluss zu führen? Und die Antwort ist folgendes,
das ist jetzt auch ein Übergang,
der auch wieder mit V zur Termination führt,
der aber auf der linken Seite die linke Seite der Gleichung enthält,
wo aber an den entsprechenden Variablen
die Lösungen eingesetzt sind
Also wenn das hier ein Verhaltensäquivalent sein soll,
dann ist das auf jeden Fall sinnvoll, dass die,
wie wir hier bei dem Übergang das Verhalten eben nicht ändern.
Nicht, weil eben wir voraussetzen,
dass diese rechte Seite äquivalent ist zu dieser Lösung der linken Seite,
jetzt hier gewissermaßen nochmal die Gleichung aufgeführt,
wo wir statt der Variablen die Lösungen eingetragen haben.
Ja. Gut. Ansonsten haben wir wieder denselben Fall,
wenn das hier hinten nicht zur Tabination führt,
dann sieht die andere Regel wieder entsprechend aus.
Das heißt, hier haben wir statt dem Ambinationshagen dann einen noch nicht terminierten Prozess Y.
Und das sieht ganz genauso aus, aus demselben Grund,
weil wir auch da wieder die Äquivalenz zu der rechten Seite voraussetzen.
Also in Worten heißt das, die Lösung übernimmt das Verhalten dieser rechten Seite,
die in durch diesen Therm-TI dargestellt wird,
wo an den Variablen die Lösungen eben eingesetzt werden.
Ja, probieren wir das mal aus. An einem Beispiel. Das heißt,
wir wollen jetzt die Für dieser geschützte Rekursion,
die jetzt am Anfang ja unser einführendes Beispiel war,
den Prozessgrafen ableiten, jetzt nicht intuitiv, sondern nach diesen Regeln.
Und hinterher wollen wir das hier bekommen, wo wir
dann in den Knoten, also die Lösungen stehen haben.
Und was Sie vorher gelernt haben, ist hier wieder ähnlich für
jeden Übergang haben wir eine eigene Ableitung. Schon wir wollen,
dass ja an dem Beispiel mal für den Übergang A machen,
sodass wir jetzt auf der nächsten Folie mal hier
diesen Übergang hier ableiten wollen
Dazu haben wir hier erst nochmal die Voraussetzungen jetzt hier stehen.
Also hier sind unser Gleichungssystem. Hier fehlt noch das Ausrufezeichen
. Und das ist unser Ziel. Das heißt,
wir wollen diesen Übergang hier ableiten. Ja, womit fangen
wir an? Na, wir haben ja noch,
also wir befunden uns jetzt wieder in dem Transitionskalkül.
Da haben wir ja nach wie vor nur das einzige Aktion,
was wir am Anfang hatten.
Also haben wir gar keine andere Möglichkeit,
als damit anzufangen mit V
Das können sie sich merken, auch wenn das hier so wild aussieht.
Der Anfang ist immer einfach. Und jetzt wäre also die Frage,
wie fahren wir fort, jetzt hier auf diesen Übergang zu kommen.
Das heißt, wir müssen ja irgendwann mal jetzt diese Lösungen einführen.
Nicht nur, das machen wir so, indem wir jetzt
die Produktregel hier benutzen und hier hinterher diese Lösung für Y anfügen.
Ja, wer kann sich denken, warum wir das so machen,
warum wir hier so gewissermaßen auf A,
Y gehen
Was steckt? Wir könnten ja auch noch andere Möglichkeiten.
Wir könnten da auch vielleicht X, die Lösung für X
dranhängen oder andere Dinge Sachen. Wer kann das zu dem
Stadium jetzt schon sehen, warum wir das so machen?
Ja. Ja, bitte? Ja, das bin ich
ja. Ich bin die Prüfung, das ist die Eins.
Ja. Wir können ja nicht spielen. Wir wollen gewissermaßen darauf hin,
dass wir hier etwas erzeugen, was so aussieht,
damit wir dann später per Verhaltensgleichheit, auch das X und Übergehen können,
weil wir ja dann auf der linken Seite dieses hier bekommen wollen.
Okay, mal sehen, was wir da stehen haben.
Ja, in der Tat bekommen wir jetzt hier dieses heraus,
indem wir die Regel benutzen, die wir eben eingeführt haben in abstrakter Form.
Nicht, wenn wir hier rauf schließen wollen,
dann setzen wir, wenn wir hier voraussetzen, die linke,
die rechte Seite der entsprechenden Gleichung abgeleitet haben.
Und das haben wir hier. Das hier ist ja
die rechte Seite. Also wenn wir das mal Kennzeichen,
das ist die rechte Seite dieser ersten Gleichung.
Dann können wir die unten durch die linke Seite ersetzen,
was hier dann entsprechend passiert, nicht unsere Strategie besteht,
hier die rechte Seite zu erzeugen,
sodass wir dann bei dem Übergang auf die linke Seite übergehen können,
um hier den Ausgangsterm für diesen Übergang zu bekommen.
Also wenn Sie das einmal gesehen haben, dann ist das einfach,
aber das muss man wirklich einmal verinnerlichen,
wie das funktioniert und dazu gibt es dann natürlich auch Übungsaufgaben
Ja, und jetzt machen wir jetzt nicht weiter mit diesem Beispiel,
sondern mit einem anderen Beispiel,
was in einer gewissen Weise vielleicht überraschend ist für die Darstellungsmöglichkeiten,
die wir hier haben.
Und zwar wollen wir jetzt Multimengen darstellen,
nicht Multimengen kennen sie ja schon aus dem Kontext der gefärbten Petrinetze.
Das sind also Mengen, wo man die Elemente
mit einer Vielfachheit dargestellt darstellen kann
Nicht der englische Ausdruck ist etwas, salopper Back oder eben auch Multi-Set,
aus der direkten Entsprechung, dann eben entspricht.
Und hier wollen wir als Grundmenge 0 oder 1 nehmen.
So, nicht und wir wollen jetzt diese Multimenge dadurch darstellen,
dass wir sozusagen das einfügen und auslesen aus dieser Menge jetzt als Prozess darstellen.
Nicht, das könnte dann im Prozessgrafen so anfangen,
wenn das hier der Anfangszustand ist,
wenn wir dann die Null in die Menge,
die am Anfang klär ist, eingeben,
dann können wir hinterher die Null wieder auslesen.
Und wenn wir der 1 eingeben,
Reintun, dann können wir hinterher die Eins Feder auslesen.
Und wenn wir erst eine Null einlesen, dann können wir da,
dann können wir auch hinterher eine Eins einlesen.
Und dann haben wir zwei Möglichkeiten. Wir können entweder erst
die Null auslesen und dann die Eins oder in umgekehrter Reihenfolge.
Und das ist jetzt schon ein Hinweis auf den Paralleloperator,
der jetzt hier so zu interpretieren ist,
dass er die Unabhängigkeit der Operation,
nämlich des Auslesens oder des Einlesens
eben darstellt
Nicht schon, wenn wir das also mehrfach mit der Null machen wollen,
dann ergibt sich jetzt dieser unendliche Prozessgraf, der unendlich ist nach rechts.
Und wenn wir das mit der Eins machen wollen,
wird er auch nach unten unendlich. Nicht,
dass würde also schon bedeuten, wenn wir hier lang laufen,
hätten wir einmal die Null eingegeben,
dann hier die Eins, dann wieder die Null.
Und wenn wir dann irgendwie auf einen Part zurückgehen,
ist die Menge dann wieder leer.
Okay, das ist jetzt eine spezielle Sicht,
aber nachvollziehbar, sozusagen eine operationale Darstellung dieser Multibang.
Und die Frage ist jetzt, wie stellt sich das jetzt
als rekursive Spezifikation dar, also dieser Prozessgraf.
Und wie schon angedeutet, kommt da der Parallelapparator vor,
nämlich in der folgenden Form.
Nicht diese Variable für diesen Prozess, hier wird jetzt hier dargestellt,
indem wir hier entweder mit in oder mit out beginnen können.
Und danach können wir wieder weiter mit x weitermachen,
das heißt, wir können weiter in- oder out machen,
aber wir haben gewissermaßen noch in der Hinterhand,
dass nach dem in irgendwann mal noch
das Out ansteht
Nicht und das ist sozusagen gewissermaßen unabhängig von den weiteren Eingaben.
Und auf diese Art und Weise führt sich da der Parallelopperator eben an.
Kann sich jemand denken, warum wir das hier mit Multimengen
machen und nicht mit Mengen? Was würden Sie sagen,
sind Multimengen einfacher oder Mengen sozusagen als informatisches Konstrukt?
Ist die Frage irgendwie, ist nicht so klar,
was einfacher ist? Einfach in dem Sinne,
ob man gewissermaßen, wenn man Operationen auf Multimengen ausführt,
ob man da mehr oder weniger machen muss,
als wenn man die Operationen auf Mengen ausführt
Sag denen, ist die Frage. Ja, Entschuldigung.
Wenn ich jetzt 2-0 in meiner einfachen Menge einfügen würde,
hätte ich nach der Menge Lieblingsform mal eine 0. Genau.
Genau. So kann man überhaupt erst diesen Unentschieden festbrachen. Ja,
das heißt also, bei der Menge ist es ja so,
dass wir, dass jedes Element nur einfach repräsentiert ist.
Man könnte natürlich hingehen, wenn man,
wie Sie sagen, 2-mal eine 0 einführt,
eine Liste nehmen und da zweimal eine Null ein einführen und sich denken,
die zählt nur einmal.
Aber wenn ich hinterher darauf teste,
ob die Null enthalten ist und ich die vorher einmal rausgenommen habe,
dann ist ja immer noch einmal drin
Also muss man auf irgendeine Art und Weise darauf zurückgreifen, dass eben jedes Element nur einmal gemeint ist. Und das entfällt bei den Multimengen,
weil da, nicht, das sehen Sie,
wenn Sie sagen, mal in Mord,
was wäre früher im Kontext der Smodel-Checking schon mal hatten,
jetzt die rekursiven Spezifikationen, nicht,
das wäre also hier jetzt die Operation für die Vereinigung,
es sehen und den Multimengen betrachten, dann sehen Sie,
dass wenn wir eben fragen, ob etwas drin ist,
dass hier bei den Mengen schwieriger ist,
weil wir dann noch diese Abfrage haben auf Ob das eben Eltern essen.
Also das drückt sich hier, will ich jetzt hier nicht weiter betrachten.
Das drückt sich dadurch aus, dass wir da eben weniger
Gleichungen haben zur algebraischen Definition von Mengen als für Multimengen.
Das ist aber eine andere Geschichte, die jetzt hier eigentlich nicht zugehört.
Was wir jetzt nun machen wollen, als nächstes sind jetzt natürlich
die Aktionen. Jetzt haben wir die Transitionsregeln für den Prozessgrafen
und jetzt kommen wir wieder zu den Aktionen.
Da gehen wir wieder von einem Gleichungssystem aus,
wie bisher, also Entgleichungen.
Und wir haben jetzt dort
zwei solche Aktionen
Nämlich die eine, die heißt,
das eine Aktion heißt RDP, Abkürzung von Rekursives Definitionsprinzip.
Und diese Gleichung sagt folgendes. Sie sagt folgendes,
wenn ich in meine Gleichungen die Lösungen einsetze, dann soll das Äquivalent sein.
Das heißt also hiermit fordere ich das,
was ich hier schon sozusagen angesetzt habe, nicht,
dass dieses Gleichheitzeichen irgendwie sowas wie Verhaltensgleichheit darstellen soll.
Das wird jetzt durch dieses Aktion
hier gesetzt
Das ist natürlich keine Zauberei. In dem Sinne kann man natürlich immer definieren.
Aber die ganzen Rechtfertigungssätze, dass das alles funktioniert,
wie vorher, das führen wir hier ja nicht ausführlich aus.
Das ist sozusagen dann mehr ein Zitat. Nicht,
was wir hier also machen, ist, wir gehen von der Spezifikation,
nicht, die so aussieht, zur Gleichung über,
die wir Äquivalenz oder Verhaltensgleichheit nennen und für die wir ja fordern,
dass sie gleich bedeuten, mit der Bisimulation ist.
So, jetzt haben wir nicht nur an eine solchen Axium,
sondern auch ein zweites.
Das zweite heißt RSP, Das heißt, rekrusives Spezifikationsprinzip.
Und das sagt Folgendes. Wenn wir hier sozusagen die entsprechende
Gleichung haben mit anderen variablen Namen und dafür eben auch eine Lösung betrachten,
dann sollen diese Lösungen äquivalent sein.
Nicht das bedeutet, wenn wir eine Spezifikation,
eine Gleichung haben, dann kriegen wir einfach durch Umbenennung
dieser Lösungen auch wieder eine richtige Gleichung
Nicht und die Umbenennung ist jetzt nicht nur einfach eine Umbenennung von Variablen,
sondern das können also ganze Ausdrücke sein,
die an dieser Stelle eingesetzt sind und die ich dann entsprechend dann vereinfachen kann,
zum Beispiel durch ein einfaches Zeichen.
Wir werden da gleich dann noch mehr Beispiele zu sehen.
Okay. Ja, machen wir gleich ein Beispiel jetzt auf
dieser Folie. Ich nehme jetzt mal die einfache Gleichung.
X, gleich AX. Das soll jetzt sozusagen für Endgleich
1 dieses E
jetzt sein
Dann können wir nach dem RDP daraus eben diese Gleichung machen,
dass die Lösung von dem X Verhaltensgleich ist mit dem Prozess,
der mit A beginnt und danach wieder die Lösung eben bringt.
Das ist also naheliegend. Nicht, wir schreiben das dann vielleicht auch manchmal so,
dass wir ja eigentlich hier auch noch eine Ecke geklammert drum.
Naja, wie man es auffasst, nicht,
wenn wir zu sagen sagen,
eine Lösung für das X sei das,
könnte man so machen oder man könnte auch diese spitze Klammer drum schreiben,
wenn man ausdrücken will,
dass diese beiden Seitenverhaltensgleichheit sind in Bezug auf die Lösung
So, das ist, glaube ich, naheliegend.
Nicht so naheliegend ist das für das Zweite. Da können wir zum Beispiel sagen,
wenn wir mal hier so eine Gleichung bilden,
die ja jetzt auch eine Lösung von dem hier ist,
dann müssen diese beiden Lösungen für X und Y eben äquivalent sein.
Nicht, das ist jetzt der einfache Fall,
wo jetzt in der Tat wir dann statt dem X nur
ein Groß-Y schreiben, was nicht verwunderlich ist.
Wir werden aber gleich noch ein Beispiel sehen,
wo was Komplexeres sozusagen eben ersetzt wird
Ja, das kommt, glaube ich, jetzt gleich schon.
Ich mache mal hier zu, weil man da ein bisschen
ungestörter sind. Ich betrachte jetzt mal diese Gleichung hier,
die eher so ähnlich aussieht oder praktisch ja gleich aussieht wohl vorher.
Dann können wir nach diesem RDP das Ganze auch so schreiben,
dass es eben äquivalent zu A und dann wieder die Lösung
des Gleichungssystems
Ja, und das können wir aber nochmal machen,
denn wenn wir an dieser Stelle auch wieder die rechte Seite
für das Set einsetzen, bekommen wir das.
Und wenn wir das umklammern, würde das so aussehen.
Das heißt also, dort haben wir jetzt das RDP zweimal eben eingesetzt.
Das heißt, wir sind von der Spezifikation zur Gleichung übergegangen
und haben eine andere Gleichung erdankt bekommen. So,
und jetzt können wir das RSP einsetzen,
indem wir RSP sah ja so aus,
indem wir jetzt für das hier, was wir hier gefunden haben,
jetzt das Z eben einsetzen, indem wir jetzt von der Spezifikation,
von der Einlösung zu einer anderen Lösung eben übrig kommen.
Denn wir haben ja gesehen, eine Lösung dafür ist auch eine Lösung von dafür,
also können wir die beiden Lösungen eben gleichsetzen.
Und das ist ja auch nicht so ganz trivial,
aber ich meine, man sieht das so, also das heißt ja,
es ist eine unendliche Folge von As und das ist auch eine unendliche Folge von As als Zweiergruppiert,
Paare gruppiert, aber in der unendlichen Folge sieht man das ja nicht mehr.
Trotzdem ist einem da vielleicht ein bisschen unheimlich dabei,
dass diese rechte Lösung,
wo ich das swiper oder könnte ich auch weitermachen mit 3,
4, 5, 6, dass das alles eben dieselben Lösungen sind,
ist intuitiv klar, aber man denkt,
das konnte auch irgendwie möglicherweise auch zu was Falschen führen.
Auf jeden Fall ist das ein Beispiel wieder für Spezifikation und Gleichung zu neuer Lösung.
Ja, das kann ich noch weiter erforcht führen.
Hier in unserem Stand mit 3 Und dann könnte ich da zum Beispiel,
wie angedeutet, auch mit drei Ellen Ementen machen.
Und das dann hinterher nach Y, umbenennen.
Und das ist dann wieder äquivalent. Ja,
dieser Zweifel oder im Verständnis vielleicht dafür,
das hat bei mir dazu geführt, dass ich mal eine Variante betrachtet habe.
Und zwar diese Variante, wo ich statt der rechten Seite
so da noch ein alternatives B dran geführt habe.
Und ich wollte mal sehen, was das gibt
Weil die Lösung sollte ja davon abweichen,
dass wir nur eine unendliche Folge von As haben und sehen,
was das eben gibt. Wobei wir dann entsprechend vorgehen,
schauen wir uns erstmal an, was das geben sollte.
Nicht, das sollte ja Folgendes geben. Wir haben hier
die Möglichkeit von Z mit B zu terminieren. Oder ein A,
kommen wir wieder zur Z, können wir wieder terminieren.
Das heißt, statt dieser unendlichen Folge hier oben sollten wir
hier immer Abzweigungen zur Damination machen. So,
machen wir dasselbe, was wir eben auch gemacht haben,
jetzt recht, da an der Stelle.
Gehen jetzt zu der neuen Lösung über, Klammern um,
und überlegen, was das denn jetzt als Prozessgraf gibt.
Nicht als Prozessgraf würde das ja geben,
wir haben ein Set und danach können wir A oder A B machen.
Und dann können wir ein A und zwei A machen und
dann haben wir dasselbe weder. Und jetzt können wir fragen,
ob das jetzt eigentlich wieder, nicht lange oben,
ja das Gleichheitszeichen stehen, ob das nun wirklich B-Semilar ist.
Was würden Sie sagen? Ist das diese beiden Bisemilar oder
nicht? Ja, bitte? Ich glaube ja,
weil für jedes die Gespräche zu einem neuen Bay,
das wir vorher gar nicht hatten, Ja.
Andere Meinung? Könnt ihr dann mal mit hypothetisch eine andere Meinung anfragen?
Hat da jemand vielleicht eine andere Idee? Ja, bitte?
Heute. War nur ein dem, was man gegeben hat.
Naja, die Definition von Bissjumula war ja so,
da war der Algorithmus, wir setzen am Anfang die beiden als Bi-Simular.
Wenn wir hier ein A machen, müssen wir hier
auch ein A machen und wir müssen Bi-Simular sein.
So, wenn wir hier ein B machen,
müsste hier eigentlich auch ein B existieren
Ne? Also, die Antwort ist nein. Die Frage
ist jetzt der Kalkül falsch oder wo steckt der Bug?
Die Kräuseln aber mit Recht, die Stirn ist nicht so direkt zu sehen.
Nicht, der legt hier an der Stelle hier.
Was habe ich nämlich hier gemacht von hier nach da?
Ich habe das Linksdistributivgesetz angewandt. Habe ich auch ganz schnell
gesprochen, damit wir nicht auf die Idee kommen.
Und das ist nämlich nicht gleich. Und deswegen ist die
ganze Sache nicht wie Semilar
Aber ich dachte mal so, als Übung ist das vielleicht
ganz nett, um diese Auswirkungen eben zu sehen.
Okay. Gut, gut. So,
jetzt machen wir wieder also ein Beispiel,
was auch im Skript steht, nämlich die Ableitung von sowas hier,
wo wir hier zwei Gleichungen haben,
die eine mit A und die andere mit B und die As,
die sollen verdeckt werden, wenn sie nicht durch Kommunikation in ein Zeh überführt werden.
Ja, das können wir ja auch mal interpretieren,
im Grunde sind das zwei Parallele Prozesse,
nicht der eine mit As und der andere mit Bs.
Und nach Kommunikation und Verdecken, was sollte dann da rauskommen?
Ja. Was erwarten wir? Für ihre verzögerliche Antwort bin ich
sehr dankbar, weil heute meine Hals immer das Wasser braucht.
Ja, also nochmal, was sollte da rauskommen?
Nicht, wir synchronisieren A und B,
immer wenn die auftreten und alles andere streichen,
wäre weg
Ja. Für eine unendliche Folge von Cs natürlich.
Das heißt also, die A und B, die synchronisieren immer.
Und die sind ja sozusagen im Gleichtag.
Und das sollte eben herausgucken. Mal gucken, ob die
auch die Rechnung das liefert. Nicht. Das heißt also,
rechnen wir erstmal das aus, was hier in der Klammer steht.
Da haben wir jetzt hier wieder die Anwendung von unseren M1.
Nicht die Expansion des Parallelsoperators zum Left Merch in derselben Reihenfolge
und zum Left Merch in der anderen Reihenfolge und dem Kommunikationsmerch.
Und wenn wir Das Left Merch hier anwenden,
dann können wir ja gerade das Ari da rausziehen.
Und das B und das C, und wir sehen jetzt schon,
wenn ich dann jetzt dieses Verdecken anwendung, dann fallen die beiden hier weg.
Und es bleibt nur noch das C übrig,
sodass wir also dieses haben, die linke Seite oben,
wie die hier nochmal steht, ist Äquivalent zu der rechten Seite,
die jetzt ein bisschen sehr hier unten gekommen hingekommen ist,
wo wir hier auch wieder das C haben.
Und wo wir hier
denselben Ausdruck haben
Und das Interessante ist jetzt,
dass unser zweites Aktion uns erlaubt,
diesen ganzen Ausdruck hier Z zu nennen, ja,
sodass wir dann als Äquivalent bekommen, Z ist gleich CZ,
was also genau hier der Intuition dieses Ergebnisprozesses eben entspricht.
Das heißt, hier haben wir das Beispiel,
wo wir nicht nur X in Y oder Z übersetzen,
sondern einen ganzen Ausdruck.
Das wird auch nachher wichtig sein,
nicht das Ziel ist ja,
ein Beweis des Alternierbeat-Protokolls und da kommt das dann auch
drin vorne
Gut. Ja, jetzt haben wir mal ein bisschen gezaubert mit
der Rekursion und das Ganze wird jetzt eben durch entsprechende Aussagen oder Theoräme gerechtfertigt,
zunächst mal ACP mit geschützter Rekursion,
ist eine konservative Erweiterung und B-Simulation ist eine Konkurrenzrelation.
Nicht, da steckt also allerhand mathematische Beweise dahinter,
die wir hier übergehen und wo wir nur am Anfang so
ein bisschen die Idee bekommen haben, wie das laufen könnte.
Außerdem ist der Kalkül ACP mit geschützter Rekursion korrekt bezüglich der B-Simulation.
Das heißt also, Wenn ich so eine Gleichung abgeleitet habe,
dann ist sie in der Tat Episy Müller.
Hier kann man anmerken, dies,
dass es eben nicht mehr korrekt wäre für die Ungeschützte Rekursion.
Das ist also ein weiteres, oder eigentlich das eigene Beispiel,
diese geschützte Rekursion einzuführen. Wenn wir nämlich mal diese Gleichung abgeleitet haben,
was also das Muster dieser Spitzikation besitzt,
dann hätten wir ja dieses hier als eine Lösung.
Und wenn wir Das heißt also, alle Therme,
T1 und T2 wären also Lösungen.
Und daraus würde eben folgen, dass die verschiedenen Lösungen Äquivalent sind.
Das heißt, alle Therme wären Äquivalent.
Und das ist ja nicht gewünscht. Gut. Viel,
also das ist ja sozusagen eine Fallgrube, die wir jetzt
schon umschifft haben, dass wir jetzt die geschützte Rekursion haben.
Was uns hier leider nicht davor bewahrt, dass wir für
die Vollständigkeit, dass wir die Vollständigkeit nicht gewährleisten können.
Das heißt also, dieses ACP mit den beiden Rekursionsaktionen sind nicht vollständig.
Auch nicht für geschützte Rekursion. Und deswegen kommt jetzt noch
eine weitere Einschränkung. Also jetzt sind wir sehr stark daran,
dass wir mal ein Beispiel,
wo wir diese Erweiterung führen und dir nicht einfach so glatt durchlaufen,
sondern wir noch arbeiten müssen, um unsere Strukturverträglichkeitseigenschaften beizuhalten.
Und dazu dient jetzt die sogenannte lineare,
rekursive Spezifikation
Und die sieht jetzt so aus, dass jetzt die rechte Seite nicht nur geschützt sein soll,
dass hier also die das mit Aktionen anfängt, sondern dass da hinterher nur jeweils eine einzige Variable stehen darf oder keine. Also nur die Aktion eben alleine. Der Begriff linear,
kennen Sie den auch im Kontext von formalen Sprachen oder regulären Mengen,
erinnern sich noch mal, ich weiß nicht,
ob das in FG1 vorgekommen ist, was eine lineare Menge ist,
wo genauer gesagt eine lineare Kontextfreie Sprache Nicht,
das ist sowas ähnliches, nämlich, wenn wir eine kontextfreie Sprache haben,
die kann ja zum Beispiel so aussehen, es geht nach A,
es A und S geht nach B,
vielleicht ist sinnvoller und es geht nach A,
B. So und wenn wir das aber nur auf einer Seite zulassen,
so was zum Beispiel S geht nach A,
S-Strich und L-Strich geht nach BS und vielleicht S geht nach nach A oder so,
dann nennt man das einseitig linear,
weil das immer die Gestalt hat,
dass vorne ein Terminalesymbol kommt und dann kommt ein Metasymbol.
Haben Sie sowas mal gesehen? Und was wissen Sie über
diese Sprache, die so diese Eigenschaft hat?
Nicht diesen Äquivalent zu den regulären Sprachen. Nicht,
weil man das sehr schnell auch hier als Automat interpretieren kann.
Nicht, das kann ich ja so interpretieren, nicht,
dass er das S als Variable fungiert und mit A komme
ich nach Essstrich und mit B wieder zurück.
Und von Essstrich komme ich mit A
zum Endzustand
Weiß nicht, haben wir so geschrieben? So. Und das
funktioniert eben gerade bei diesen einseitig linearen Sprachen. Nicht,
das würde auch funktionieren, wenn man nur erlauben würde,
dass das auf der anderen Seite steht.
Aber nicht, wenn das Gemischt vorkommt. Nicht,
wenn das Gemischt vor ist, kann man nämlich sowas hier simulieren,
was ja bekannterweise keine reguläre Sprache mehr wäre.
Nicht, dass hier das berühmte A auch NB-Hoch-N kommt ja
da heraus, so ungefähr zumindest. Gut, diese Bemerkung,
die habe ich jetzt hier also auch nochmal gemacht, nicht,
also diese Ähnlichkeit zu regulären, Dramatiken ist nicht rein zufällig oder die, ja.
Was führt nämlich im Grund dazu, dass die Prozessgrafen,
wenn wir diese Einschränkungen machen, sich auch sehr ähnlich aussehen wie Transitionssysteme.
Und von daher, wir also was einschränken auf eine ziemliche einfache Struktur.
So, und mit dieser Einschränkung wurde also bewiesen,
dass wir die Vollständigkeit haben. Das heißt also,
der Qualkül ACP mit Linearowa rekursiver Spezifikation, der ist,
also vollständig. Und ich glaube, dass dieser Einschub hier,
der fehlte noch im Skript,
deswegen ist er
da nochmal hervorgehoben
Ja, eine andere, eine sinnvolle und praktische Eigenschaft ist,
dass wir in unserem Kalkül die rechten Seiten modifizieren können.
Nicht also die rechten Seiten, wenn wir die rechten Seiten
mit den Aktionen für ACP modifizieren, dann bleiben die Gleichungen erhalten.
Das ist irgendwie auch naheliegend, aber muss man natürlich rechtfertigen. So,
und auch die Rekursionsvariablen in der rechten Seite dürfen durch die
rechten Seiten ihrer Regressionsgleichung ersetzt werden,
haben wir auch vorhin schon mal in der Definition gehabt,
aber allgemein musste man das eben auch wieder rechtfertigen.
Ja, machen wir mal dazu ein Beispiel.
Sowas können wir zum Beispiel ableiten, indem wir zunächst mal
das A3 anwenden hier auf der rechten Seite.
Hier haben wir zweimal zwei Gleiche zu meinten und nach unserem
Axium A3 ist das ja verhaltensgleich oder Äquivalent mit einem Semanten
Das haben wir hier unten da stehen. Dieses ist sozusagen
verhaltensgleich, in dem stehen so Manten nur einmal schreibe.
So, der nächste Schritt besteht dann,
dann kann X durch die rechte Seite von X ersetzt werden.
Nicht das X kann durch das AX ersetzt werden.
Das ist so ähnlich, was wir erfuhren, schon mal hatten.
Nicht das würde dann so aussehen. Ja,
und dann brauche ich nur noch das Aktion A5,
was die Umklammerung bezüglich des Punktes, der sequenziellen Komposition angeht.
Und dann bin ich bei meinem Ziel Und die Aussage von vorher war eben,
dass hier das erste und letzte bei dieser Umformung dann hier
auch wieder zu einer Äquivalenz erführt.
Ja? Okay. Gut, und damit ist jetzt der
Abschnitt Rekursion abgeschlossen und wir kommen zu einem weiteren Abschnitt,
der sich Abstraktion nennt. Nicht Abstraktion ist etwas,
ja, was schon häufiger in dieser Vorlesung vorgekommen ist.
Zum Beispiel erinnern Sie sich an die Abstraktion bei den Petri-Netzen
Da hatten sie, glaube ich, gelernt,
dass wenn wir hier ein solches Transitionsberanntendes Gebet,
nicht Traditionsberanntet, heißt es, dass die Pfeile,
die rein oder rausgehen, immer an Anschlussstellen dran sind,
die Transitionen sind, nicht an Stellen.
Und wenn ich ein solches Transitionsberanntetes Gebiet jetzt zu einer Transition
zusammenfasse, kriege ich wieder ein Petrinetz.
Und man kann das dann so sagen,
als grob Version dieses Verhaltens auffassen, nicht das heißt,
hier hatten wir ja gewissermaßen die zwei Starten Autos mit dem Starter.
Und wenn ich das sozusagen zu einer Transition zusammenfasse,
wäre das die Startphase. Und hier hätten wir den kritischen Abschnitt,
wo wir dann so einen Engpass hatten, könnte ich auch so zusammenfassen.
Nicht und Abstraktion ist natürlich überall in der Informatik ein wichtiges Punkt,
die ganzen Software und Hardware, Hierarchien bestehen ja in Abstraktionen.
Und so auch bei den theoretischen Modellen
Nicht bei den Transitionssystemen hatten wir ja zum Beispiel auch das Äpfelon,
sozusagen als interne Nicht-Sicht-Sparre-Operation, um internes Verhalten darzustellen.
Dasselbe bei endlichen Automaten, wo ich dann auch
so spontane Übergänge so darstellen konnte. Nicht,
das hatten wir bei dem Getränkeautomaten in der Form,
dass wir sagen konnten, ja, hier der Übergang nach dem,
wie haben wir den Euro eingeworfen?
Hier haben wir die Taste Tee gedrückt und der interne Übergang zwischen dem Einwerfen,
nee, zwischen dem Drücken der Teetaste und der Ausgabe von
dem Tee ist eine interne Aktion
Wo wir höchstens der Session hören, aber sonst nichts.
Und deswegen ist das für den Benutzer verdeckt.
Und wird dann mit Y bezeichnet. Also das Tee-Kochen wäre
dann eben intern. Ja, selber gibt es dann bei
Herrengrafen und jetzt eben auch in der Prozess Algebra.
Und in der Prozess Algebra, da benutzen wir hier den griechischen Buchstabentau.
Das ist also ganz analog mit dem Äpzilern,
aber ist vielleicht sinnvoll,
ein anderes Symbol zu nehmen,
um das
eben klar zu unterscheiden
Ich finde,
das hatten wir ja auch bei den Transaktionssystemen in Form der Abstraktion,
in dem wir aus dem System, jetzt hier für das Sender,
Empfängerproblem, hier so eine externe Spezifikation gebildet hatten,
wo wir dann hier diese gestrichelten Übergänge intern gemacht haben,
wo wir dann also jetzt hier in Rot das blaue,
externe, in Rot-interne umgewandelt hatten,
dich und für das Äpfel dann hier benutzen wir jetzt hier in der Prozess,
das Prozess Algebra,
das Tau
Da wir genauso jetzt vorgehen,
zum Beispiel wie hier an dieser Stelle,
das haben wir ja dann auch später zu dem Alternierbit-Protogolden erweitert.
Das sieht ganz ähnlich aus, was wir jetzt in der Prozessalgebra machen.
Und dazu brauchen wir dann auch den Übergang zur internen Operation,
weil wir dann nämlich das Verhalten des Alternierbrit-Protokolls durch so eine externe Spezififikation darstellen.
Und zwar auch durch einen Prozessausdruck. Das Alternierbrit-Protokoll durch einen
Prozessausdruck darstellen und dass das korrekt ist durch die B-Simulation oder
die Äquivalenz
Und dazu, um eben ganz analog vorzugehen,
brauchen wir jetzt auch diese interne Operation.
Ja, damit haben wir jetzt den ganzen Zirkus nochmal,
also Einführung von Prozessgrafen, von Gleichungen.
Dann sind wir aber fast fertig und danach können wir dann dieses Finale,
Vorhaben ausführen, nämlich den Beweis des Adanibrettoburg, Cortokoll und so nicht.
Und beim Entwerf dieses Kapitels bin ich genauso vorgegangen,
dass ich alles drin gelassen habe aus dem Focking,
was ich brauche,
um dieses Alternier-Beet-Protokoll beweisen zu können
So, zunächst mal geht es natürlich ganz einfach wieder los.
Wir haben jetzt hier ein neues Aktion, nämlich,
dass wir sagen, wenn wir nur diese interne Aktion hat,
dann soll sie eben durch diese Aktion Tau zur Termination erfinden.
Nicht, dass es jetzt irgendetwas, was man gewissermaßen extern
gar nicht sieht, aber die Terminationen kann man vielleicht eben vorstellen.
Ja, die Transitionsregeln werden nun auch so erweitert,
dass sie das Tau enthalten. Das heißt,
wir haben jetzt neue,
wir nehmen das Tau jetzt zu den Aktionsmengen A hinzu und
nennen das Ganze jetzt A-Strich
Und bei dem Gamma, was vorher von A-Kreuz-Arm ging,
haben wir jetzt auch, das A-Strich.
Okay, das ist sonst die Interpretation, die Gleiche.
Das heißt also, dieses Aktion sieht ganz analog aus wie unser A0,
wo wir statt dem Tao dann hier nur eine Aktion e.V. eben erstehen hatten.
So, und dann haben wir genau wie bei dem Verdecken jetzt wieder einen Abstraktionsoperator,
der heißt jetzt Taoui und der Index I enthält jetzt eine Menge von Aktionen,
die jetzt dann nach diesem Tau überführt werden sollen.
Das heißt, wir haben ja wieder ganz analog eine Regel wie beim Verdecken,
wenn dieses V nicht zum I gehört und wir das Taui anwenden,
ändert sich gar nichts, außer dass es angewandt wird.
Die Aktion V ist immer noch möglich. Ja,
wenn das V aber zu I gehört,
dann hatten wir ja bei dem Verdecken keine Regel,
hier aber doch nicht,
denn das soll ja jetzt dazu führen,
dass aus dem V hier ein Tau wird,
nicht wenn
das V zu dem I gehört
Das an der Stelle eben anders. Und was links jetzt verdeckt ist,
ist jetzt wieder nur das Analoge,
dass sie sozusagen hier das Ziel, die Termination ist,
nämlich wenn das X-Stich die Termination ist und das Foul nicht
zu dem I gehört, ändert sich nicht.
Und wenn das zu dem Egel hört,
dann wird aus dem V das tauen. Das ist soweit
. Klar. Der Kalkül kriegt auch einen neuen Namen.
Und der neue Namen heißt jetzt AC-P mit dem Index tau.
So, jetzt folgt aber eine kleine Diskussion.
Was wir jetzt nämlich als Axiome nehmen können,
das ist nämlich
nicht ganz unkritisch
Da haben wir jetzt folgende Argumentation. Und wenn wir jetzt mal eine Folge von ABC,
von Aktionen betrachten,
wie wir das bei den Automaten oder Transitionssystemen auch schon hatten,
dann könnten wir zum Beispiel auf die Idee kommen und sagen,
ja, das B hier, das mittlere,
das soll intern werden und das wandern wir jetzt hier in den Tau um.
Und für den externen Beobachtern sollte das ja dann Äquivalent sein,
so als wäre das Tau nicht sichtbar und es bleibt nur AC übrig,
so war das ja bei den spontanen Transitionen,
bei den endlichen Automaten,
die also solche internen Übergänge hatten und als
akzeptierte Sprache kam ja dann das RC dann in Frage
Das folgende Beispiel zeigt aber, dass solche Stillen Operationen nicht wirkungslos sind.
Nicht still bedeutet, wir machen es unsichtbar und wirkungslos,
zeigt die Auswirkung auf das Gesamtverhalten. Das heißt,
wir haben jetzt wieder so was Ähnliches wie damals,
als wir die B-Simulation und das Gegenbeispiel betrachtet haben.
Und dazu haben wir wieder so ein ganz ähnliches Beispiel.
Wir haben jetzt also hier drei Funktionseinheiten und wir haben jetzt
einen Kanal 1, über den also Daten gelesen werden.
Das ist das R1 von D. Dann haben wir hier
einen Kanal
Wo wir an diese Funktionseinheit weiterhin leiden und an Kanal 3 hierhin.
Und ja, das wird dann durch die Community,
findet hier so eine Kommunikation statt, wie wir das vorher eben hatten.
Und dann haben wir hier noch die Alternative hier herunter und
die Ausgabe hier unten, die soll blockiert werden.
Und dann können Sie schon denken, worauf das hinausläuft,
dass dort eben auf ein Gegenbeispiel hinführen,
wo dieses Blockieren dann zu einer Nichtverhaltensgleichheit eben führt
Ja, und das erreichten wir jetzt dadurch,
indem wir jetzt tatsächlich hier diese Kommunikation einführen,
nicht da 2 und 3 auf dem Kanal 2 und 3, umrandet im Groß.
Das heißt also, wir fangen hier also an, wir haben,
wir lesen also erst, dass R1 hier auf dem Kanal 1,
ich mache das jetzt mal mit dem Pointer,
komme ich sozusagen besser dran.
Also wir fangen jetzt also mal hier auf den Panal 1
und lesen da das Datum, das wäre das.
So, dann haben wir die beiden Möglichkeiten,
wir haben hier die Kommunikation auf 2 gefolgt von dem Schreiben auf den Kanal 4,
das ist der Term,
oder wir Ich haben die Kommunikation auf dem Kanal 3 gefolgt von dem Schreiben auf 5.
So, und das Ganze schließen wir ein in ein Verdecken
von S5, weil der jetzt ausgefallen sein soll.
Das heißt, der Übergang soll nicht mehr möglich sein.
So, das heißt also, jetzt hier unser S5 wird jetzt
hier zum Delta. Und was hier gelb unterlegt wird,
sind ja, betrachten wir jetzt mal als intern.
Das heißt, nur 1, 4 und 5 sind
externe Kanäle
Ja, und das führt jetzt doch zu folgenden,
wenn wir das sozusagen als interne Operation einführen und das in Tau umwandeln,
dann wird hier aus dem, Entschuldigung, das war zu schnell.
Dann führte das dazu, dass wir das R1,
und dann haben wir Tau und S4 und hier unten
haben wir auch das Tau gefolgt von Delta.
Und wenn wir jetzt hingehen und diese stillen Aktionen streichen,
also in dem Sinne, als nicht vorhanden betrachten,
Würde das ja dieses hier ergeben?
Das ist also dasselbe wieder, wo das Tau hier ganz weggefallen ist.
Und die Aussage ist jetzt, das ist jetzt nicht mehr verhaltensgleich,
obwohl das sozusagen unserer Philosophie folgt, das zu sagen,
Tau irgendwie was wegzulassen, das oder weg,
was man weglassen kann, sein soll.
Und unter Beibehaltung der Verhaltensgleichheit ist das nicht mehr gegeben.
Ja, warum nicht? Ja,
wenn wir uns das jetzt mal hier vorstellen,
dann haben wir hier zunächst mal diese Aktion und dann
haben wir hier eine Alternative
Da können wir also diese Alternative wählen oder diese Alternative.
Und wenn wir Pech haben, wählen wir diese Alternative und sind in
der Verklemmung. Hier unten kann das aber nicht passieren,
wenn wir die Aktion ausgeführt haben,
haben wir hier die beiden Alternativen und dieser Knopf ist zu sagen,
nicht drückbar oder die Aktion ist nicht möglich.
Also bleibt nur diese und wir haben keine Verklemmung. Nicht,
dass es also wieder eine ganz analoge Überlegung wie damals.
Und deswegen müssen wir an dieser Stelle eben aufpassen,
wenn wir an die Simulation denken.
Bei Folgen Äquivalenz wäre das nicht
der Fall
Ja, nicht, das kann man auch einfacher haben,
wenn ich zum Beispiel hiermit, hier wäre dasselbe,
also hier hätte ich nur die Aktion, ah,
hier könnte ich aber ich so sagen,
unbemerkt die falsche Alternative wählen und hätte gar nichts.
Hier dann das sozusagen entsprechend nur mit der Unterdrückung von dem B. Und hier,
wenn ich das und mit dem A-Plus B vergleiche,
dann eben auch wieder.
Gut. Ja, und dann fragt sich also,
wie machen wir das jetzt besser
Also eine Stille oder unsichtbare, unter interne,
taue Transaktionen zu definieren, um eben diese Bi-Simulation zu erhalten.
Das führt jetzt nicht zu einer weiteren Einschränkung der Aktionen oder auch partiell nachher auch,
aber zunächst mal sind wir ja noch bei dem Prozessgrafen und der Bi-Simulation.
Wir führen jetzt eine Verschärfung der Bi-Simulation ein und
die heißt jetzt Verzweigungssimulation
Also zum Beispiel sowas hier. Da haben wir ja,
hier können wir hier ein A oder die Alternative mit dem Tau wählen,
wenn wir aber die Alternative mit dem Tau wählen,
haben wir unsere Option nicht verloren,
dass denn wir haben immer noch die Möglichkeit,
A oder Beto zu wählen.
Das heißt, wir haben links und rechts die Möglichkeit A oder B
zu wählen nicht und wenn wir eines sozusagen durch den Ausfall ersetzen,
dann ist das auf beiden Seiten gleich.
Nicht, das sehen wir jetzt hier an diesem Beispiel,
wenn wir den Prozessgrafen uns ansehen,
hier hätten wir die Alternative A zur Termination und hier kommen wir
mit Tau zu A plus B und dann mit ARMP zur Termination recht,
das ist naheliegend.
Und die Bi-Simulation habe ich jetzt hier nicht eingezeichnet,
aber das ist naheliegend. Und wir führen jetzt eben
einen neuen Begriff oder eine Verschärfung der Bi-Simulation ein,
die also verzweifungsbi-Simulation heißt, der englische Begriff ist Branching, By-Simulation.
Und das geht folgendermaßen. Eine Verzweigungsbi-Simulation ist eine vibinäre Relation,
genauso wie vorher bei der Bi-Simulation, die jetzt aber für A-Strich gilt.
Das heißt also, wir haben auch die Option,
dass wir eine solche stille Transition eben haben
So, dann haben wir hier unter erstens zwei Möglichkeiten.
Nicht entweder kann dieser Übergang die stille Transition sein oder was anderes.
Dazu habe ich jetzt hier, glaube ich, ein Bild.
Für diesen Fall haben wir die Situation. Nicht, wenn,
also wir haben jetzt hier ja P und P Strich,
wir hatten als B-Simular oder Verzweigungs, wie sie mir da vorausgesetzt.
Und wir haben jetzt den Übergang A gleichtau hierüber.
Nicht, wenn dann ist die Behauptung,
dass wir jetzt hier dieses P-Strich dann auch,
wie Simular oder genauer gesagt,
Verzweigungsbisimilar sein muss
Dass sie es darlegen. Nicht nur der Unterschied zur B-Simulation besteht eben darin,
dass wir diesen Fall doch ja gar nicht vorgesehen hatten. Ja,
oder der andere Fall wäre der hier,
der sieht so aus,
wenn wir von dem P nach dem P-Strich kommen,
jetzt mit einem A,
dann soll hier dröhnen auch der Übergang A sein,
aber mit der Erweiterung,
dass vorher noch stille Transitionen und zwar eine endliche Anzahl
möglich sind,
aber auf jeden Fall
Ja, und da soll dann auch wieder B-Simular sein.
Nicht das heißt also, wenn wir uns das Tau wegdenken,
dann sieht das genauso aus wie vorher.
Aber jetzt diese Definition, er nimmt jetzt auch noch Rücksicht,
spezielle Rücksicht auf das Tau. Okay, Richard,
ansonsten, bei zweitens ist dasselbe wieder in einer anderen Richtung.
Und das drittens und viertens geht jetzt wieder auf die Termination ein.
Nicht, das ist auch einfach nicht. Das heißt also,
wenn die B-Simular sind, das terminiert, dann darf auf
der anderen Seite höchstens nur noch Taus sein und das terminiert dann eben auch.
Ja, also das weiß solche Prozesse heißen jetzt Verzweigungs-Bissimilar und
das wird in den Zeichen dadurch ausgedrückt,
dass über das an das Bekannte Bissimilaritätszeichen noch ein Index-Klein-B ist,
was von dem englischen Begriff Branchen entkommt.
Ich habe das so sagen, das B beibehalten,
damit das genauso aussieht wie im Buch.
Ja, schauen wir uns mal an. Das Beispiel von eben nicht,
da würden wir ja mit dem Verfahren so anfangen,
dass wir zunächst mal dieses hier als Bissimilar setzen
Und dann müsste jetzt dieses hier ja auch Bisimilar sein,
oder Verzweiflungsbeseminar, was nicht möglich ist,
weil er hier noch den Übergang A haben.
Und hier nicht. Und also unser Gegenbeispiel funktioniert jetzt auch
mit dieser Definition. Ein positives Beispiel wäre dieses hier,
nicht wo wir ja, das hatten wir ja auch,
die linke Seite zumindest schon mal gesehen,
aber die rechte Seite sieht jetzt ein bisschen anders aus.
Und da sieht die Bisimulationsrelation so aus.
Nicht, dass wir hier zunächst mal der Prozess graf.
Wir können hier mit A hier hinkommen,
terminieren und mit Tau nach A plus B kommen
Und dann mit A. und B. auch terminieren und rechts sieht das entsprechend aus.
Und wenn wir hier also das Tau haben,
dann ist also A. gleich Tau,
dann müssen die beiden hier auch B-Seminar sein,
was also diesem ersten Fall eben entspricht.
Oder für den zweiten Fall könnten wir dann hier das A nehmen,
wo wir dann jetzt hier auch die Bisimulation zu einem Element
da drüben haben müssten,
wo also vorher eine endliche Folge von Taus kommt,
hier nur eins und dann aber
auch das
So wie also das dann entsprechend haben. Das sind jetzt
nochmal Illustrationen. Nicht und wenn man das gewissermaßen ausschreiben,
dann haben wir hier entsprechend der eins, zwei,
drei, vier gestrichelten Verbindungen, hier eins,
zwei, drei, vier Gleichungen.
Nicht wobei, weil das entsprechende für die Termination zählen können oder
nicht zählen können und meistens eben nicht unbedingt aufschreiben müssten.
So, nun geht es dann also entsprechend weiter.
Diese Verzweigungsbisimitationsrelation ist zwar eine Äquivalenzrelation, aber jetzt dummerweise
keine Konkurrenz
Jetzt haben wir uns also so angestrengt, dass eben so weit hinzukriegen.
Und wir hatten ja am Anfang eben gesehen,
wie wichtig die Konkurrenz ist, hat jemand noch in Erinnerung,
warum besteht man hier so halsstarrig auf Konkurrenz?
Die Konkurrenz heißt ja, wenn ich das sozusagen zwei
miteinander kombiniere, dass das dann immer noch äquivalent ist.
Nicht, das hängt damit zusammen, weil das sozusagen in der Algebra natürlich ist.
Wenn ich irgendwie einen Ausdruck habe und mache bei beiden einen Plus irgendeinem anderen,
dann soll das, wenn die alle zueinander verhaltensgleich sind,
dann soll das wieder was Verhaltensgleiches werden.
Das ist eine typische Konkurrenzeigenschaft, die in der Gruppentheorie beispielsweise.
Und das soll natürlich hier schon gelten,
damit wir die Gleichbedeutung der Fälle dann eben haben.
Okay. Ja, Ausweg ist jetzt noch eine weitere Verschärfung,
dann ist aber Schluss. Das heißt,
wir haben jetzt noch einen weiteren Begriff von RB-Simulation,
der jetzt mit der Initialisierung zusammenhängt.
Und das heißt, in diesen Fällen werden wir also
keine Äquivalenz haben
Sich um diese Initialisierungsbedingungen führt dann auch zu dem Namen.
Das heißt jetzt, initiale Verzweigungsbedingungen, Simulation,
der englische Begriff ist, routet Branching by simulation.
Und ich mache mal das Ganze hier fertig,
das führt dann zu dem Zeichen RB,
nicht das B von Branching und hinzu kommt noch das Routing.
Und wie ist das definiert?
Da gehe ich jetzt nochmal zurück
Wenn ich hier ein Bier-Semilarespaar habe und eine Aktion habe,
dann soll für das Q diese Aktion wieder ermöglicht sein.
Und das Ganze soll dann hinterher das Ergebnis Verzweigungs-B-Semilar sein.
Das heißt also, das ist jetzt keine vollständige neue Definition,
sondern wir greifen jetzt ihr auf die eben gemachte Definition der Verzweigungs-B-Semilaration zurück.
Und auch die Unterscheidung, extrae Bedingungen für Stille und nüchtle
Aktionen fällt hier weg. Dich ist es,
A kann also eine Stille oder eine Nichtstille-Aktion sein
Nicht insofern ist der ein Schritt, zumindest textuell einfach.
Nicht das Weite ist wieder nur die Umkehrung und
das dritte und vierte, das entsprechende mit der Termination.
Und das hatten wir schon jetzt hier mit der entsprechenden Bezeichnung.
So, und jetzt fragt man, fragt sich natürlich,
wie hängen die miteinander zusammen? Das sind ja alles Relationen,
die kann man jetzt per Mengeninklusion in Beziehung setzen,
nicht, dass es ihnen offenbar auf hoffentlich geläufig, nicht,
wenn ich Relationen habe, kann ich die als Mengen darstellen,
nicht als die Menge der Paare.
Und dann kann ich mich fragen, ob die Mengen gleich
oder enthalten sind Obermengen sind. Und hier ist es ja so,
steht hier so, dass die Bi-Simulation eine Teilmenge ist,
der initialen Visimulation und das wieder eine Teilmenge der Verzweigungs-B-Simulation.
Nicht, das ist doch merkwürdig, denn das war doch
eine Verschärfung eigentlich von dem hier oder konnte man als Verschärfung,
das auch wieder eine Verschärfung, also müsste das auch weniger werden und nicht mehr.
Versteht jemand diesen anschaulichen,
anscheinenden Widerspruch
Nicht, also das mit der Verschärfung, was ich genannt habe,
war jetzt eigentlich für ein bisschen Irrtum irgendwie geführt.
Die ganze Geschichte ist natürlich konservativ. Wenn ich hier und hier
die Taus verbiete, kriege ich das Ganze hier wie hier.
Das heißt also, hier habe ich insofern mehr,
weil ich einige Tau-Übergänge eben erlaube.
Und da noch mehr. Das heißt also,
wir können das Ganze jetzt so ersetzen, kennzeichnen,
wenn Tau überhaupt nicht vorkommt, dann sind die also gleich.
Und wenn Tau vorkommt, gibt es hier mehr Paare und
dann noch mehr Paare
Ja, so erklärt sich das. Okay. Ja,
dann schauen wir uns das Ganze nochmal jetzt im Kontext der
Rekursion an. Es ist so, dass alle Prozesstherme,
die jetzt so aus den Tau gefolgt mit S,
eine Lösung dieser Spezifikation sind,
weil unter der initialen Bisimulation wir dieses Paar haben.
Ja,
das ist jetzt wieder
eine Mehrdeutigkeit
Wir müssen nämlich um diese Mehrdeutigkeit wieder zu beseiten,
jetzt auch wieder die geschützte Rekursion eben erweitern.
Das heißt, wir haben jetzt hier noch eine Erweiterung,
eine rekursive Spezifikation heißt jetzt, linear.
Also das ist zwar noch derselbe Bezeichnung, aber ist jetzt
eine Verschärfung in dem neuen Kalkül mit der Verzweiflung der initialen Simulation.
Wenn die rekursiven Gleichungen diese Form hier haben,
das ist das, was wir schon hatten,
mit dem Tau oder eine,
oder eine lineare kursive Spezifikation heißt geschützt,
wenn es keine unendliche Folge von Tau-Transitionen gibt
Das ist natürlich etwas, was man auch vermeiden will.
Denn eine unendliche Folge von Trautransitionen hat ja kein externes Verhalten.
Und da kann es natürlich alles mögliche sich abspielen.
Und das wollen wir hier also nicht betrachten. Ja,
und die geschützten linearen, rekursiven Spezifikationen sind genau diejenigen,
rekursive Spezifikationen, die eine eindeutige Lösung moduzieren, modulu,
initialer Ververschweigungsbild-Simulation haben.
Das heißt, jetzt alle Unfälle haben wir jetzt gewissermaßen bereinigt,
gerettet. Jetzt haben wir wieder die heile Welt.
Wir haben jetzt ein Kalkül, der jetzt die gewünschten Eigenschaften
eben hatten
Okay. Ja, dann haben wir den Satz entsprechend.
Die initiale Verzweigungsbinde, wie gesagt, diese Musulation ist jetzt
eine Konkurrenzelation für ACP in Extau und geschützter linearer Rekursion.
Ja, und jetzt kommen wir zur Axomatisierung und da würde ich vorschlagen,
da hören wir dann heute auch auf und das machen wir
dann in der nächsten Stunde.
Dankeschön erstmal