Wir hatten ja gesehen, dass das ein,
dieser allgebräche Ansatz zur Beschreibung von Prozessen,
also später auch Parallelenprozessen, ist ja vergleichbar mit den regulären Ausdrücken,
was ja auch dann hier solche Algebräischen Ausdrücke produziert hat,
mit den Operatoren plus und mal, die wir ja auch eingeführt hatten,
nicht Sternen, machen wir in der nächsten Stunde heute,
kommt zunächst einmal der Parallelopperator dazu.
Ja, die Prozessagierfahrt war aus der Automatentheorie entstanden,
zur Beschreibung von nebenläufigem reaktiven Prozessen und wir beginnen also zunächst mit einem Prozessor,
das heißt,
der Verallgemeinung eines Automaten und später wird das dann also heute auf mehrere parallele Automaten erweitert.
Und die Kernquelle war Jesusbuch von Focking, falls sich das hier eben auch herunterladen kann.
Dann hatte ich einen solchen Vergleich zwischen Prozessagebra,
Petrinette und Heregrafen oder Stagehart angegeben,
wo es also um die Zentrierung ging,
hier bei Petrinetzen auf Aktions- und Zustandsorientiert,
wo wir bei der Prozessagebra
dann eine Aktionsorientierung eben haben
Also bei den Petri-Netzen hatten wir sozusagen die Dualität,
die Gleichbehandlung von Zustandsinformation und Aktionsinformation.
Bei den State-Charts liegt der Fokus mehr auf den Zuständen,
obwohl es natürlich auch in Aktionen gibt.
Und in der Prozess Algebra haben wir also solche Ausdrücke,
wo man zunächst keinen Zustand sieht. Aber wir hatten ja gesehen,
in Form des Prozessgrafen gibt es die natürlich auch.
Aber die stehen nicht im Vordergrund, sondern diese Prozessgrafen,
die in dir nur zur semantischen Beschreibung,
zur Bedeutung, was das zur Beschreibung,
was das Ganze bedeutet
Ja, entsprechend haben wir dann so hier den Prozessgrafen,
der als Transitionssystem dem entspricht, was wir bei den Petri-Netzen
als Erreichbarkeitsgrafen hatten und bei den State-Charts auch entsprechend ein Transitionssystem.
Ja, diese angesprochene Komposationalität bei den der Prozess-Algebra entspricht dann
auch nicht nur den regulären Ausdrücken,
sondern eben auch der Kopplungsmöglichkeit von Automatenmodellen,
wo wir hier speziell das Beispiel des Plus haben
als Alternative beschrieben und des Mals hier als sequenzielle Komposition
Ja, und die Definition der Prozess angebracht haben,
das sieht dann auch sehr ähnlich aus wie die der regulären Ausdrücke,
dass wir mit den Atomen beginnen und dann die Komposition über
Plus und mal einführen und das Ganze dann abrunden durch die Auslöslichkeitsregel,
dass keine weiteren Konstrukte dazu gehören sollen.
Dann hatten wir Bindungsregeln wie in der Algebra,
mal stärker als Plus und manchmal auch Weglassen des Punktes.
Und dann sind wir übergegangen von den Prozessausdrücken zu den Prozessgrafen
Da hatte ich vorausgeschickt, dieses Beispiel für das Taschenrechners,
wo die Informationen, die Vergangenheit in gewissem Ausmaße beschreibt und das abzuheben,
jetzt von der Prozess Agebra,
wo wir eben die Zukunft beschreiben oder anders ausgedrückt,
die Teile des Ausdruckes, die wir noch nicht abgearbeitet haben.
Ja, das haben wir an diesem folgenden Beispiel erläutert.
Hier hat nur ein solches Transaktionssystem für diesen Ausdruck,
also zunächst die Alternative A oder B, gefolgt von C und D,
wo jetzt die Zustände noch nicht beschriftet sind.
Und das Neue ist jetzt, dass dort eben in den Zuständen die Information,
das noch abzuarbeitenden Ausdruck es steht, also zunächst der bekannte Ausdruck.
Und dementsprechend haben wir auch genau einen Anfangszustand,
nämlich diesen und einen Endzustand, denn nämlich dieser Ausdruck abgearbeitet ist.
Also nach der Wahl von A oder B haben wir dann noch C befolgt von D,
dann nach 10 noch D und am Schluss das Sonderzeichen für den MDN-Zustand.
Nicht, das ist jetzt eine informelle Semantik,
weil wir in der formalen Semantik natürlich,
formale oder mathematisch beschreiben müssen, wie diese Übergänge zu konstruieren sind.
Und das hatten wir ja dann in dem BPA, genannten Kapitel,
dann über ein Transitionssystem gemacht, was wir ja als Kalkül beschrieben hatten.
Nicht der Rahmen ist zunächst mal, der ist des Transitionssystems,
wo wir hier die Menge der Zustände, also als Ausdrücke haben,
dann die Menge der atomaren Aktionen als Transitionsbezeichner,
dann die Transitionsrelation,
was wir noch als Kalkül dann einführen,
den einzigen Anfangszustand und den einzigen Endzustand
Ja, nicht? Und diese nach Kalkül für die Übergänge
hat also eine Aktion, nicht bezogen auf alle Atome.
Und mehrere Schlussregeln, und zwar hier für das Plus,
die Alternative, wenn wir vorher wissen,
dass X durch die Aktion V zu einem Restausdruck X-Strich bleibt,
dann gilt das auch, wenn hier noch eine Alternative besteht,
die wir aber hier nicht wählen.
Nun haben wir immer wieder dasselbe Spielchen,
dass wir als Zielzustand auch die Termination haben können
Und die würde dann hier natürlich in der Frankolosio auch gelten. Ja,
die nächsten Regeln, also die nächste Regel für Plus,
ist nur die symmetrische Spiegelung, dass sie sagen,
die andere Alternative gewählt wird.
Und am Schluss haben wir dasselbe dann noch für die sequenzielle Komposition. Das heißt,
wenn wir wissen,
dass wir durch die Aktion V von X nach X Strich kommen,
dann wird hier unten also auch das X
nach X Strich kommen und es verbleibt das Y unberührt,
während bei der Termination nur das Y verbleibt
Ja, das haben wir gekennzeichnet als eine strukturelle operationale Semantik,
weil operational, weil wir ein Transaktionssystem mit Transitionsübergängen haben und strukturell,
weil das Ganze über den Termaufbau definiert wird.
Ja, das hatten wir dann an uns an dem entsprechenden Beispiel jetzt angesehen,
wo wir hier mit einer Ableitung den einzigen Übergang ableiten,
der oben in der ersten Zeile dort eben steht.
Ja, aber nicht, wenn Sie das selber machen,
müssen wir natürlich immer mit dem Aktionen anfangen und zwar in
der Aktion in der Wahl dieses Atoms, dieser Aktionsbezeichners,
der doch gegeben ist, also hier V gleich B.
Und dann geht man weiter über, also sie mettern auch mit A
anfangen können, auf jeden Fall in der untersten Ebene.
Und dann geht man weiter über die strukturelle Komposition,
also hier die Alternative,
wählt dann die entsprechende Regel für die Alternative und hat dann nach vorne jetzt noch das A,
worauf wir dann mit der Regel,
mit der Komposition das C haben und entsprechend dann auch das D. Gut,
damit hatten wir dann jetzt also diesen Punkt dann auch abgearbeitet,
nämlich die Transitionsrelation über dass den Transitionskalkülen eben beschrieben.
Und dann sind wir zu etwas gekommen,
was wir ganz am Anfang schon mal hatten, nämlich die B-Simulation,
hatten wir im Kontext von Parallelen und Synchronisierten, nee,
von zunächst mal nur von Traditionssystemen.
Nicht die Simulation bedeutet ja, gleiches Verhalten in beiden Richtungen.
Und das ist das entsprechende Beispiel eines Nicht-B-Simularen Paris, was aber folgenäquivalent ist.
Das heißt, wir haben dieselben Folgen, aber B-Simular ist das nicht.
Und zwar bestand die Begründung ja daran,
dass eben die Wahl jetzt hier in der rechten Seite vorweggenommen würde,
was dazu führt, dass bei einem Ausfall einer Seite beispielsweise wir ein unterschiedliches Verhalten eben haben.
Ja, nicht nur die formale Definition sieht dann ganz genauso aus,
wie wir das im ersten Kapitel hatten,
wenn wir von P, einem Ausdruck P,
mit einer Aktion A nach P Strich geben und wir ja vorne ein bisschen Similliarz,
sieben Milliardes Paar, PQ haben,
dann soll das auch dieser Übergang für Kuh sein und
zu einem Isimilaren Partner für Pichtrich eben führen.
Und Similmetrich nach der anderen Seite auch
Ja, das kann man dann fortführen bis zur Termination,
wo das also entsprechend ist. Und hier haben wir das
Ganze nochmal aufgeschrieben, diese vier Fälle in der Definition.
Und wir haben dann ja auch dieses Zeichen jetzt hier für,
wie sind wir da auch schon früher kennengelernt?
Ja, wenn wir das jetzt an ein Beispiel ausführen,
dann hatten wir gesehen, brauchen wir natürlich den Prozessgrafen,
weil das ja über die Aktionen definiert war.
Und das würde in dem Beispiel dann so aussehen.
Und dann versuchen wir eine Bisimulationsrelation zu konstruieren, indem wir
mal hypothetisch annehmen, dass das für die Anfangszustände gilt.
Und dann hangeln wir uns weiter über die Aktionen
Die dann auf der anderen Seite auch immer je gelten müssen,
aber auch von hier nach hier.
Und wenn wir ja dort glatt durchkommen,
dann ist das Ganze Bisimilar, sodass wir in diesem Fall
gerade diese drei Paare in der Relationen eben haben.
Und unser klassisches Gegenbeispiel ist dann vielleicht auch noch instruktiv gewesen,
wo das Ganze eben scheitert,
wo wir also jetzt diese beiden Prozessegrafen haben und die Relation
wieder anfangen zu konstruieren und dann an dieser Stelle eben scheitern,
weil wir Links wieder die Aktion C haben,
die rechts eben fehlt
Dann hatten wir hier einen Rückblick in die Literatur,
die Arbeit von Milner und nochmal dieses Automatenmodell
mit den zu drückenden, aber manchmal nicht drückbaren Knöpfen.
Dann hier diese da Form des Getränkeautomaten und den zuständigen,
die zuständigen grafischen Darstellungen der Transitionssysteme. Gut,
und dann wurde es jetzt Algebrächer,
indem wir die sogenannte Verträglichkeit der B-Simulation mit dem BPA betrachtet haben,
nicht was eben der Konkurrenz in der Algebra
eben entspricht
Zunächst mal ist das eine Bi-Simulat, eine Äquivalenzrelation,
aber es soll eben auch eine Konkurrenzrelation werden, was Folgendes bedeutet,
dass wenn wir in einem solchen Kontext hier von Tee,
das S, verhaltensgleich eben, also das heißt also Bi-Similar ersetzen,
das heißt also durch ein S-S-Strich ersetzen,
was Bi-Semilar ist,
dann soll eben diese Bi-Semilarität eben erhalten bleibt.
Ja, das ist entsprechend der Agebra wird das
auch als Konkurrenzebene bezeichnet
Ja, dann haben wir hier nochmal die abstrakte Definition.
Jetzt hier nur mit F als abstrakten Apparatoren definiert,
wo wir jetzt hier in unserem Beispiel dann eben plus und mal dann speziell hatten.
Nicht, aber das wollen wir, wird dann also bei
den späteren Operatoren entsprechend dann auch wieder dazu kommen,
sodass es hier also als Musterbeispiel eben gilt.
Okay, und jetzt nur als zitiertes Theorien, dass das in der Tat eine Konkurrenz ist.
Dann sind wir zur Aktionatisierung gekommen, nicht? Und da war eben zu beachten,
dass jetzt diese Aktimatisierung durch ein Kalkül,
also ein anderer Kalkül ist als den,
den wir gerade kennengelernt haben, denn es werden nun Ausdrücke entwickelt,
die eben diese Form haben,
wo wir links allen Thermen und Rechtseinthermen haben und in der Mitte das Gleichheitszeichen,
was dann wieder ähnlich aussieht, wie atmedische Gleichungen,
wobei aber jetzt dieses Gleichheitszeichen äquivalent sein soll zur Bi-Simulation und wir das Ganze aber jetzt kalkülhaft eben entwerfen.
Nicht nur das Ganze diente eben dazu,
dass wir später in diesem Kalkül rechnen und nicht mehr
die durchaus komplexe Überprüfung an den Grafen eben ausführen müssen
Ja, also Kalkül hat Aktionen und Schlussregeln. Und hier haben wir
dann jetzt anders als eben dem einzigen Assio-Aktium 5 Stück,
die zunächst mal Pflicht aussehen, hier Kommutativität des Plus, Assoziativität.
Und hier diese Aktion, was die Verhaltensgleichheit von einer gleichen Alternative ausgeht.
Ja, und zum anderen haben wir dann jetzt hier
noch diese Rechts-Diskuss-Dystributivität und die Assoziativität bezüglich der Multiplikation.
Und wir hatten dann gesehen, dass die symmetrische, links,
distribuktivität nicht gilt, weil die gerade zu dem eben gezeigten Gegenbeispiel eben passt.
Ja, hier noch mal die Bilder entsprechend zu den Aktionen
A4 und A5. Und hier das Gegenbeispiel mit der Linksdistributivität,
nicht wo wir hier jetzt den entsprechenden Prozessgrafen haben.
Und naja, das war wieder zu schnell,
genau wie es letztes Mal,
wo wir dann hier an der Stelle dann auch wieder die Simulationsrelation konstruieren müssten und dann hier,
drüben das Set fehlt, was wir hier auf der linken Seite dann eben haben.
Ja, zu gewissermaßen zu den Aktionen,
gehört dann auch noch die Äquivalenz, die Ärzte,
die Symmetrie und die Transitivität,
weil das Ganze eben auch wieder ein Äquivalenz in Relation sein soll und der Kontext.
Nicht, der sich jetzt allgepräglich so aussieht,
wenn wir das als Gleichung schreiben,
es gleich erst Strich und Tee gleich Stehstrich und wir
die Gleichung addieren,
dann soll wieder was endgültiges
eben herauskommen
So, und dann kommen wir zu den eigentlichen Schlussregeln,
zunächst der Substitution, wo wir also gleiche Atome beispielsweise durch gleiche Ferne ersetzen können,
wie wir an diesem Beispiel eben sehen,
nicht wo wir für XYZ hier durch entsprechende Therme in A,
B und C ersetzen,
nicht was dann in dem Beispiel oben dann so aussehen würde,
nicht was also auch zeigt, dass diese Aktione eigentlich Regelschemata sind,
wo wir für XY und so weiter beliebige Therme auch einsetzen können.
Nicht, wenn wir es vorher immer nur gewissermaßen gedanklich
als Atome betrachtet haben
Ja, Transitivität bedeutet ja, dass wir
sozusagen über zwei Schritte einer Gleichung zu einer kommen können.
Das wäre also hier von hier nach da in dir gegeben.
Und die Kontextregel, die bedeutet eben, dass wir gewissermaßen Gleichungen addieren können.
Hier also die linken Seiten und die rechten Seiten und dasselbe auch mit dem Punktoperator. So,
und das letzte Thema von der letzten Stunde war eben die Korrektheit und Vollständigkeit,
die dann jetzt also die Äquivalenz dieser B-Simulation und der Gleichheits- oder Äquivalenzrelation eben gezeigt hat.
Und das würde ja formal oder sieht formal dann so aus,
nicht, dass wir hier die B-Simulation haben,
hier so eine Gleichung und dazwischen die logische genau dann Wende ziehen.
Ja, und die beiden Richtungen, die heißen Korrektheit und Vollständigkeit,
wie das im anderen Kontext zum Beispiel der Logik eben auch, der Fall,
er ist nicht wo ein System eben oder dieses System hier korrekt ist,
dass eben, wenn wir die Gleichheit haben,
Auf der semantischen Seite die Bissimulation eben gilt,
sodass also auch eben diese Gleichheit in dem Sinne korrekt ist.
Nicht, während die Vollständigkeit die umgekehrte Richtung eben zeigt,
das heißt, wenn wir ein verhaltensgleiches Bi-Simulares Paar haben,
dann gibt es eben auch eine Gleichung dazu,
die eben ableitbar ist in dem Kalkül.
Ja, die eine, die Korrektheit,
die folgte mehr oder weniger auch formal der Argumentation der intuitiven Erklärung,
die wir jetzt eben hatten,
indem man sich die einzelnen Bilder dazu anschaut,
also dann im Prinzip ganz ähnlich aus,
wie wir das vorher hatten
Nicht während dann die Vollständigkeit abstrakter war,
da musste man richtig eine Beweisidee haben,
die dann zunächst mal über diesen Kalkül AC ging,
der sozusagen ein Teil Kalkül ist,
nur aus den Aktionen A1, A2 und die sogenannten Normalformen,
die so zu erhalten waren,
dass man bezüglich der Regeln A3,
4 und 5 so lange abgeleitet hat und zwar nur von
links nach rechts,
bis nichts mehr
möglich war
Und die werden dann, also kann man sich überlegen,
die Form haben dann ein deutsches Summen,
wobei die Summen entweder Aktionen sind oder, also nicht Aktionen,
sondern Atome sind oder mit einem Atom anfangen gefolgt,
mit einem komplexeren Term.
Also wie dieses Beispiel, wo nur vertauscht wird,
dieses während Gegengegengegengegengegengegenbeispiel, wo ja die Distributivität ausgenutzt wird,
und das wäre ja nicht mal in dem Gleich-,
nicht mal Bezug durch der Gleichheit gegeben.
Gut, nicht nur daraus haben wir erstmal ein Beispiel gesehen,
um so eine Ableitung jetzt nur mit diesen Aktionen ertreibt bis A3 bis A5,
wo wir dann hier dann zu dem Ergebnis kommen.
Und wir hatten ja später nochmal zwei verschiedene Ableitungen gesehen,
die dann auch zu einer solchen Normalform dann gekommen sind.
Der nächste Schritt war ja zunächst mal jetzt nur diese Unterscheidung dieser beiden Kalküle,
nicht wo wir hier oben eben diesen Unterkalkül AC haben,
der eben, wo die Regeln gewissermaßen symmetrisch ist,
wo man von rechts nach links und von links nach rechts gehen darf.
Im Gegensatz jetzt zu dem unteren Teil, in den wir so verwandelt haben,
dass er Gerichte der Ersetzungskalkül wurde von links nach rechts,
den wir dann jetzt alternativ als Regeln, R3,
R4 und R5 eben bezeichnet haben.
Ja, nicht? Und die Normalformen werden dann also
gerade in diesem unteren Rollenkalkül dann eben erzählt. So,
und hier haben wir dieses Beispiel mit den beiden Ableitungen,
hier zweimal derselbe Term, hier eine Kürze und hier eine längere Ableitung,
die dann hier zu Normalformen führen,
die in dem Falle sogar identisch sind,
aber im Allgemeinen
ein AC-Äquivalent
Ja, und dann sind wir zu diesem Lämmer gekommen,
was ja der Kern des Beweises ist, dass wir die Richtung zeigen,
wenn etwas B-Semilar ist für Normalform, dann ist es AC-Äquivalent.
Nicht, dass es ja ein Teil unseres großen Zieles,
wo wir zeigen wollen, wenn etwas B-Semilar ist für Beliebige,
dann ist es Äquivalent. Nicht nur die Argumentation,
erfolgte dann dem Fall, dass wir,
wenn wir eine solche Aktion haben zur Termination,
auf der linken Seite,
dass dann hier ein solcher Somant vorhanden sein muss,
der wegen der B-Semilaration auf der rechten Seite auch
vorhanden sein muss
Oder im anderen Fall, wenn wir einen, den Fall haben,
wo wir hier das A von einem Therm kommt wie hier,
muss das wegen der B-Simulation auch so sein,
dass das hier ein Therm ist, der mit einer Aktion anfängt.
Und dann durch Induktion wurde das Ganze dann auf die Restherme dann weitergespielt.
Ja, und den letzten Beweis, den kann man hier textuell nachlesen.
Und ich hatte den hier aber an dem grafischen Darstellungen so erklärt,
Unser Prämisse ist ja, S&T sind,
wie sind wir da und die Behauptung ist, die sind äquivalent.
Nicht und das ging so, dass wir zunächst einmal die Normalformen gebildet haben,
in unserem Kalkül, der ja per Definition die Gleichheit gewährleistet.
Okay, und das hier links eben auch. So,
dann sagte uns die Vollständigkeit, dass die Korrektheit wieder versprochen,
die Korrektheit, dass wir auch hier die Bisimulation eben haben,
was dann dazu führt, dass wir hier über drei Schritte
die Transitivität der B-Simulation ausnützen können und hier unten auch die Abby-Simulation eben haben.
So, und jetzt haben wir also die Prämisse unseres Lämmers erreicht,
dass wir hier eben für Normalformen die B-Simulation haben,
wobei das Lämmer dann sagte, die sind auch AC-Äquivalent.
Und wenn sie AC-Äquivalent sind, sind sie auch Äquivalent,
sodass wir jetzt umgekehrt per Transitivität hierherum auch die Äquivalent hier oben,
also erst gleich Tee erschließen können,
womit dann der Beweis abgeschlossen ist
Gut, und ganz zum Schluss hatten wir dann noch die Termination betrachtet und
das ähnlich wie das bei der Termination von Wahlprogrammen zum Beispiel gemacht haben mit einer Gewichtsfunktion,
die der Gestalt ist,
dass die Regelanwendung immer zu einem kleineren Term führt und da diese Gewichte nicht negativ werden können,
irgendwann mal man zu einem kleinsten kommen muss,
wo die ganze Ableitung dann abbricht.
Und das hatten wir dann an einem Beispiel mal hier gezeigt,
oder an den drei Regeln, wo wir hier jetzt die Gewichte haben.
Nicht ansofern ein Beispiel,
weil das natürlich auch für komplexere Therme gibt, wo das X,
Y und Z durch Therme eine andere Therme ersetzt werden kann,
aber hierfür sagen die Anwendung der Regeln,
haben wir dann hier auf der linken Seite was Größeres als auf der rechten Seite.
Gut, und das war's dann vom letzten Mal.
Und jetzt, ja, Entschuldigung, mal gucken bei Ihnen,
wofür AC, VFAC, Explorenz steht.
Ja. Jo, für die Absetzung steht
Nee, nee, ist doch richtig, dass sie fragen.
Du siehst das. Hier vielleicht das Gut. Nicht,
also zwei Terne, die sind AC im Äquivalent,
wenn ich sie überführen kann,
durch nur die Anwendung dieser ersten beiden Gleichung.
Und A und C steht das für den Hund vor.
Nö, das steht für was,
wer kann sich das denken, wofür das steht?
Kann man sehen da dran.
Aber eine gute Frage
Was bedeutet denn das hier? Sind eine Alternative,
haben wir das A. Und hier haben wir, nee,
das ist die, das ist die, das ist das C.
Das ist das C, das ist die Kommutativität.
Und die Assoziativität ist der zweite so rund.
Okay, gut. Das ist immer gut,
wenn man sich sowas damit mit bewisser dann merken kann.
Okay, gut, gut. Und wofür steht da die Abkürzung GTO
? Das C ist für Basis, Process, Algebra.
Also sagen, das Elementarste, was wir haben,
und das ist nochmal gleich weiter mit dem Parallelapparat.
Und das sozusagen die formale Definition, aber intuitiv heißt das,
wenn man sowas sieht und das vergleicht oder klammert,
da denkt man eigentlich gar nicht mehr mehr, ach,
das ist selbstverständlich, nicht so sagen, das Allgemeinste.
Und deswegen schreibt man oft hier auf diese Klammern hier unten gar nicht mehr.
Okay, noch was? Gut. Dann gehe ich dann
wieder zurück. Das ist nämlich jetzt auch gleich weiterführend, diese Frage,
weil wir nämlich aus dem Beweis jetzt ein Verfahren ableiten können,
wo wir jetzt diese Frage,
ob S- und T-Äquivalent sind und wie nämlich, ja,
der Beweis zeigte ja,
wir müssen das Ganze zu Normalformen ableiten und gucken,
ob das AC-Äquivalent ist
Ja, und da brauchen wir dann auch wieder die Definition.
Und das sieht dann also so aus,
wir wollen also S gleich Tee entscheiden, wovon wir wissen,
dass das gleichbedeutend ist, mit SB-Simular zur Tee.
Und das geht so. Wir haben also zwei Therme,
S und Tee. Und wir wollen Tro haben,
wenn die also die Äquivalenz besteht und Falls eben sonst.
So, und das heißt,
wir wenden jetzt zunächst mal die Regeln R3R4R5 in der Weise an,
wie wir das kennengelernt haben,
solange wie das geht
Und wir haben gesehen bei der Termination, das endet irgendwann mal.
So, und das Ergebnis nennen wir jetzt N,
N für Normalfunk und merken uns das.
So, und dann machen wir dasselbe für den anderen Therm
Tee und merken, dass uns das Ergebnis N-Strich.
So, und dann wissen wir,
dass die Ausgabe es war, wenn die beiden AC-Äquivalent sind.
Ja, nicht. Und dieser Schritt kann also mit den
Regeln R1 und R2 durchgeführen oder durch andere Verfahren oder durch Verfahren der Textverarbeitung,
dann müssen wir nicht mit Regeln machen.
Nicht, wobei Folgendes zu beachten, Hier müssen wir jetzt eben auf Termination achten.
Wieso müssen wir da unten auf Termination achten und oben nicht
, haben wir ja gesehen? Ja. Nicht,
wenn wir die Regeln, R1 und R2 anwenden.
Wir können ja beliebig hin und her anwenden. Das ist dann
natürlich nicht so schwer herauszufinden, wann sich das irgendwie wiederholt.
Und das muss man aber korrekterweise dann da unten eben einfügen.
Ja, machen wir das mal am Beispiel,
wo wir hier unten also nochmal als Mergzettel die Regel haben.
Und da oben haben wir zwei Therme. Können wir uns
noch mal intuitiv überlegen? Also das Ziel ist ja ungefähr
so viel VR, gefolgt von CD.
Sieht da nicht gut aus, ob das Äquivalent ist?
Oder ist das doch Äquivalent? Na,
wenn wir hier drüben auch ein A,
und das können wir zu zehnt zusammenfassen, und dann kommt ein D.
Also das geht ja vielleicht doch. Und hier vorne,
in der zweiten Alternative, haben wir B, OC,
gefolgt von D, was wir hier drüben auch haben.
Also manchmal muss man da zweimal hingucken, um das so intuitiv.
Aber bei größeren ist auch hingucken nichts,
da brauchen wir schon
das Verfahren
Nicht und dazu wird es jetzt auch auf,
in Egarden geg geben und das sollten sie wirklich machen,
weil praktisch, ich habe noch keine Klausur erlebt,
wo so eine Aufgabe nicht vorgekommen ist und das ist eigentlich leicht verdientes Geld in der Klausur,
weil das ja eine einfache Rechnung ist.
Okay, machen wir also die linke Seite, da fangen wir,
haben wir also das erste Mal die Formel und da fangen wir hier an,
vielleicht mit der Regel 3 und 10a plus A zusammen und
dann bleibt hier nur ACD eben übrig.
Als nächstes machen wir dasselbe hier mit dem D plus D
, dann bleibt nur D übrig
Und dann machen wir, hier klammern wir um,
das ist die Regel R5, wo wir nach rechts umklammern.
Und jetzt ist wohl nichts mehr anwendbar.
Außer natürlich 1 und 2, was wir ja nicht machen.
So, gucken wir auf der rechten Seite,
da fangen wir auch wieder an mit dem C-Plus C.
Und dann machen, was haben wir da gemacht?
Umgeklammert, nicht?
Das CD geklammert
Und dann haben wir das Rechtsdistributivgesetz eingesetzt. Und wir sehen,
die beiden sind AC-Äquivalent, weil sie sich nur in
der Reihenfolge der Sumanten dann unterscheiden. Also als Text,
die beiden berechneten Normalformen, das sind also Normalformen,
N- und Strich, sind Äquivalentmodule dem AC,
Kalkül und daher auch die Ausgangstherme S- und Tee.
Okay. Gut. Ja, jetzt geht es also weiter
mit der parallelen Komposition
Nicht nur, kreieren wir jetzt, also einen sogenannten Parallelopperator,
der wie so häufig durch zwei senkrechte Striche dargestellt wird.
Und der heißt im Englischen auch schon mal Merch. Nicht,
das hängt damit zusammen, weil wir hier diese Interliving-Semantik betrachten.
Das heißt, wenn wir zwei parallele Prozesse haben,
wir hier links fünf Prozesse und hier Rechtsprozesse,
dass wir die dann zusammen durch Zusammenschieben, also Interliving oder Merching,
beschreiben.
Also in dem Sinne, keine nebenläufige,
weil nebenläufige ja eigentlich unabhängige sind im engeren Sinne,
aber das ist ja
so gewissermaßen
der Oberbegriff
Ja, und nicht? Und da haben wir jetzt folgende Regeln.
Wir machen jetzt wieder dasselbe Spielchen, erst Regeln und dann Axiore.
Also Gleichungskalkül, genauer gesagt, sind ja jetzt hier
die Regeln in unserem Kalkül für den Prozessgrafen. Nicht,
da sehen wir hier folgendes,
wenn wir hier eine Aktion haben oder einen Term haben,
einen Prozess X, der nach Ausführung von V,
wo noch ein X-Frisch nachbleibt,
dann gilt das hier beim Parallel-Operator eben auch für den ersten Parallelen Teil.
Und unten für auch für den zweiten. Das ist also glaube ich, nahelegen. Ja,
und links, das habe ich extra in den Kasten gesetzt,
weil, dass wir sagen, merktechnisch einfacher,
er ist, man merkt sich nur,
dass eigentlich nur rechts oben und die Linken sind sozusagen nur die Spezialfalle,
wenn das Ganze terminiert.
Denn wenn das exterminiert,
dann bleibt ja hier von dem ersten Prozess nichts mehr zu tun,
also bleibt nur noch Y und hier dasselbe,
hier bleibt dann nur noch links.
Gut, die interessante Frage ist jetzt aber,
wie sieht der Prozess Graf
eben aus
Nicht, das heißt, wir fangen ja jetzt an mit AB
oder in einem Beispiel, zumindest AB, parallel mit BA.
Dann haben wir ja gesehen, wenn wir das A hier vorne ausführen,
dann bleibt hier links nur noch nach SB und das Rechts
bleibt unverändert und rechts das entsprechende Mitweg.
Ja, und so geht das also weiter.
Wenn wir hier das B ausführen,
oder wenn wir das B ausführen in Bezug auf den ersten Prozess,
bleibt hier nur noch das hintere BA übrig.
Und wenn wir das B auf den zweiten Prozess hier anwenden,
dann bleibt B und A parallel übrig und rechts
ganz sinngemäß
Ja, und ganz zum Schluss haben wir dann hier,
bleibt hier bei BNOA und so weiter, übrig.
Und dann haben wir ja das, was wir früher schon kennen,
nur noch eine Aktion, die dann zur Termination führt.
So. Ja, die Ausführung von, sagen wir jetzt nochmal zurück,
von Aktionen, die nichts miteinander zu tun haben,
sind ja eigentlich Uninteressant, weil erst bei einer Kommunikation,
bei einer Synchronisation irgendwas Interessantes passiert.
Natürlich kann zwischen solchen Synchronisationen auch unabhängige Aktionen stattfinden.
Aber das Spannende ist erst bei der Synchronisation und da machen wir etwas,
was sie schon, was wir in den Transitionssystemen schon hatten.
Wir definieren eine sogenannte Kommunikationsfunktion, die jetzt aus zwei sich synchronisierten Aktionen
eine kreiert und die also auch einen neuen Namen bekommen kann.
Es ist also da das Bild Gamma. Da können wir
also dann vielleicht noch sagen, ob wir Und das so
rumschreiben oder so rum oder so klammern oder so klammern, ist egal.
Das wird aber keine große Rolle im folgenden Spiel. So,
und diese Kommunikation müssen wir natürlich jetzt auch jetzt in unseren Regeln,
in unseren Traditionsregeln für den Prozess grafen, dann darstellen.
Und das geht jetzt so. Fange ich mal hier unten
an. Wenn wir jetzt hier Gamma von VW haben,
sie erinnern sich ja,
dass V und V serviert waren für Atome und X und Y für ganze Therme,
Dann können wir voraussetzen,
dass das X mit V nach X-Strich ging und das Ü-Son mit wen nach Y Strich ging.
Und dann können wir hier gewissermaßen auf beiden Seiten gleich das
zu X-Strich und Y Strich übergehen,
weil ja beide Teilprozesse einen Schritt gemacht haben.
Und der Übergang beschriftet ist mit dem neuen Namen der synchronisierten Aktion.
Sie sehen wieder die anderen, wie viel sind das?
Drei, nehme ich mal an, ja.
Regeln sind wieder im Kästchen. Das heißt,
das sind jetzt wieder nur Varianten von dem hier.
Und zwar hier, wenn hier der erste terminiert,
Dann fällt also das, dann bleibt also nur noch das Y-Strich.
Und wenn der zweite terminiert, bleibt hier nur das Ö-G-Strich.
Und wenn beide terminieren, terminiert das Ganze. Ja,
also auch wieder Merktechnik, würde ich mir nur das merken und
das andere sozusagen per von Struktion dann im Bedarfsfalle ergänzen.
Kommen wir aber wieder zur Frage, wie sieht denn jetzt
der Prozess Graf aus? Wir machen das selber wie vorher,
haben aber jetzt die Kommunikationsfunktion Gamma. Dann sehen wir ja,
wenn wir hier Also wir haben jetzt da gewissermaßen Kommunikation für alle Paare.
Das heißt also auch für das erste Paar AB. Das heißt also,
da werden wir dann irgendwie doch dann nicht um das Ergebnis soll ja zäh sein nach Synchronisation,
dann ist also A und B hat stattgefunden,
es bleibt nun noch B parallel A und dann verklassiert dasselbe und terminiert.
Das heißt, wir haben jetzt Asozi-Zeg.
Ja, ist das alles
Also das hier in meiner Grafik, hier noch so Reste sind,
können sich schon ahnen, das ist nicht alles.
Warum ist da nicht alles? Und wie sieht das aus?
Da links geht es nämlich weiter wie vorher, weil ja unsere Regeln,
die Eigenschaft haben, die fügen immer nur Übergänge hinzu.
Sie verbieten ja nichts, was wir vorher hatten.
Und genauso nach der anderen Seite. Umgekehrt ist es aber so,
bei so einer Kommunikation wollen wir eigentlich nur noch das hier haben,
was wir zuerst hatten. Und das ist sozusagen Müll,
was wir da rechts und links haben. Und dieser Beseitigung dieses Mülls,
das wird dann also nochmal eine eigene Operation eben erfordern,
wie wir gleich sehen werden. Gut, bevor wir soweit kommen,
machen wir jetzt aber wieder die symptometrischen Teil,
indem wir jetzt zu unserem Gleichungskalkül übergehen, was wir ja dann Akromatisierung nennen.
Aber ich habe bei der Vorbereitung schon gemerkt, die Folie stimmt nicht ganz.
Wir haben jetzt vorher noch einen anderen Operator,
der noch mit dem Transitionssystem zu tun hat, dass ich dann,
wenn ich das ins Netz setze, nochmal umändern.
Es ist nämlich so, dass wir später Insofern hängt das auch mit der Axomatisierung zusammen.
Vielleicht ist das ja doch gar nicht so falsch.
Dass wir dann den Parallelopperator mit Hilfe eines sozusagen schwächeren Operators ableiten,
der so aussieht in der zeichnerischen Darstellung,
wie der Parallelopperator nur noch so einen Unterstrich hat,
so das Ganze wie ein L aussieht.
Und das Ganze heißt eben auch Linksmerch-Operator. Und der besteht jetzt
eben da drin und dazu müssten wir eigentlich auch alles zeigen.
Der besteht darin, dass jetzt nur der linke Teil
abgeleitet werden kann
Dass der rechte Teil nicht abgeleitet wird,
das drückt sich hier nur dazu aus,
dass wir die entsprechenden anderen Aktionen gar nicht haben.
Migruf, ja, wir ja keine Aktion mehr haben,
können wir es auch nicht machen.
Und deswegen habe ich den noch mal eingeblendet, damit sie sehen,
und auf der nächsten Folie kommt da nichts dazu.
Das heißt also, dieser Left-Merch-Apparator verhält sich wie der Paralleloperator,
nur dass er sozusagen den ersten aufgeschriebenen Prozess weiterentwickelt.
Ja, und was war dann außerdem noch haben, ist Folgendes.
Wir haben noch einen Kommunikationsmerge-Operator, der jetzt unsere Kommunikation darstellt,
genau wie wir das eben jetzt auch schon hatten. Wenn wir hier,
wenn wir zum Beispiel hier diese Kombination anwenden,
dann schreiben wir das Ergebnis hier mit so einem Pfeil,
oder wenn wir so einen Pfeil haben,
ist damit die Kommunikation gemeint und danach bleibt jetzt wieder x Strich und Y Strich,
aber eben, und das ist wichtig zu merken,
jetzt wieder mit der wie der Parallelarbeit,
die wir eben vorher hatten.
Ja, nicht und die anderen, die sind also jetzt
auch wieder nur Ableitung, können sich mal in Ruhe betrachten.
Die kann man also aus den Fällen jetzt auch wieder konstruieren.
Das ist wieder nur der Sonderfall, wo der erste terminiert,
hier terminieren beide und hier terminiert der Rechte.
Ansonsten sieht das Leben gleich außen. Ich meine,
die haben natürlich insofern den Sonderfall,
dass hier der Parallelopperator nicht mehr auftritt,
weil ja keine Parallelität mehr ist,
aber das ist sozusagen hier eben wichtig an der Stelle
So, und jetzt gehen wir dem Ganzen auch einen Namen,
bevor wir damit weiterarbeiten. Die Erweiterung,
der elementaren Prozess Algebra, also des BPA,
Basic Posters Algebra, und die Operatorin Parallelopperator,
Linksmerch und Kommunikationsmerch-Operator, das kriegt ihr so neuen Namen,
nämlich PAP, und zwar große Prozess Algebra mit Parallelismus.
Ja, und nun haben wir auch wieder Bindungsregeln,
nicht, das heißt also,
die binden also stärker als das,
das Plus ist ja irgendwie
auch naheliegend
So, und jetzt kommt das Entscheidende, warum wir jetzt
hier diesen Links-Merch-Operator eingeführt haben. Wir können nämlich sagen,
unser Parallelopperator ist äquivalent dazu, dass wir die Alternativen haben,
das Links-Merch auf die erste Komponente,
das Links-Merch auf die zweite Komponente, nicht gesehen,
hier sind die beiden S&T vertauscht oder,
und war gerade falsch,
oder die Kommunikation
Nicht. Und insofern ist das hier vielleicht doch richtig,
dass die Überschrift Aktomatisierung da vorne stand,
weil wir das mit dem Left Merch und so weiter nur gemacht haben,
weil wir unsere Gleichung, wonachher das Gleichheitszeichen steht,
dann in dieser Form darstellen,
dass wir unseren Parallelapparator als Gleichung so definieren.
Und für die dann die Aktion beschreiben,
was meiner Meinung nach einfach nur eine Strukturierung der ganzen Geschichte ist,
damit die Regeln einfacher bleiben.
Ja, zunächst aber nochmal der Begriff der konservativen Erweiterungen haben Sie
vielleicht auch schon mal woanders gehört oder hier in dieser Vorlesung.
Nicht wenn wir eine Erweiterung haben, dann nennt man die konservativ,
wenn die größermaßen den alten Zustand lässt. Das heißt,
wenn wir in der Einschränkung bleiben, sodass nur die alten Dinge vorkommen,
dann verhalten die sich auch wie früher, da ändert sich nichts.
Nicht, und das drückt sich hier so aus,
zum Beispiel der Prozessgraph X plus Y betrachtet jetzt in PAP,
kommt ja gar nicht,
der Parallelopparator drin vor,
das verhält sich so wie wie vorher
Und das gilt jetzt eben immer. Und hier nochmal als Text,
PAP ist eine konservative Erweiterung von BPA. Das heißt,
die neuen Transitionsregeln verändern nicht die alten, anders ausgedrückt bedeutet dies,
dass der auf BPA eingeschränkter Prozessgraf unverändert bleibt. Ja,
und dann haben wir jetzt aber ohne weiteren Beweis eben die Eigenschaften,
die wir früher auch schon hatten, nämlich,
dass die Äquivalenzrelation der B-Simulation eben auch auf PAP
eine Konkurrenzrelation ist
Das heißt, wenn wir haben,
S ist Bisimilato S-Strich, TSB-Simulato T-Strich, dann auch,
wenn wir das Ganze mit Plus und Mal verbinden,
das hatten wir schon in BPA,
aber da konservative Erweiterung gilt das.
Und jetzt neuerdings haben wir das jetzt auch für den Parallelapparator,
den Left-Berge-Apparator und den Kommunikations-Apparator. Okay. So,
also wie gesagt, das Kapitel hieß so,
weil das gewissermaßen die Vorbereitung war, jetzt auf die PAP-Axiome.
Und da haben wir jetzt hier als Prominentes in der Mitte des M1 genannte,
dass wir jetzt den Paralleloperator so darstellen, wie eben,
wo hier das F-Simulationszeichen stand, das mit dem Left-Merge darstellt.
Das heißt also, Erst,
es darf entweder der linke Prozess einen Schritt machen oder der
rechte Prozess darf einen Schritt machen oder beide zusammen mit der Kommunikation.
Nicht, und die sehen, da sieht man ganz deutlich,
dass hier wir hier diese Interliving-Semantik haben. Das heißt,
wir können gar nicht darstellen, dass zwei Aktionen nebenläufig sind,
sondern wir können das nur dadurch ausdrücken,
dass sie in beiden Reihenfolgen möglich sind.
Nicht, das drückt auch diese Gleichung ganz deutlich eben aus.
Ja, nicht, und wenn Sie das kennen,
dann ist jetzt auch naheliegend wie der Left-Merch-Operator aussieht.
Aber hier haben wir zunächst mal noch was anderes,
dass der Left-Merch-Operator rechtsdistributiv sind.
Das sind also
nützliche Rechenregeln
Hier, hier sehen wir das schön mit dem mit dem Left Merch und zwar nehmen wir die mal.
Das hätte ich vielleicht vorher zeigen sollen. Hier haben wir einen beliebigen Term,
der gestaltet, also der länger als eins ist,
wo wir aber das erste Atom, die erste Aktion ausgezeichnet haben.
Der beginnt also mit einem V und einem Rest.
Und Left Merch heißt, der V wird ausgeführt und der Rest dann, also XY als Parallelopperator. Nö,
das hätte ich vielleicht vor dem, weil der hier ja nicht so interessant ist,
das ist die eigentliche Definition vor dem Left-Merch,
wo wir die Spezialisierung haben, wenn dahinter nichts mehr kommt,
also das X entfällt, also nach dem V,
das terminiert, dann bleibt gar nichts Paralleles mehr übrig,
sondern dann bleibt nach dem V nur noch das Y. Okay.
Ja, was haben wir noch? Ach ja, unsere Kommunikation,
nicht, dass ich natürlich jetzt auch so aus wie erwartet,
hier haben wir den Kommunikationsstrich und wenn wir hier ersten Atio mit V und hier mit W herausgreifen,
dann können die dann, wenn die Kommunikationsoperation so definiert ist,
das muss natürlich gewährleistet sein,
rausziehen und dann kommt der Rest jetzt wieder mit Parallelopperator.
Ja, das andere ist jetzt wieder gewissermaßen zwangsläufig,
nicht wenn wir nur Atome haben,
dann haben wir nur das Ergebnis,
hier haben wir hinter dem V nichts mehr,
sodass auch nichts parallel ist und hier haben wir hinter
dem wenigs mehr,
sodass das auch entsprechend ist
Ja, und dann haben wir hier auch noch so Rechenregeln.
Nicht, dass man die, also hier das Rechtsdiskutiv reinziehen darf, aber auch längst distributiv.
Das ist dann zum Rechnen nachher praktisch und darauf gewöhnt man sich dann mit der Zeit dran. Ja,
ich habe dann, also war diese,
die Aktion ja relativ häufig jetzt Sinn,
habe ich die nochmal zusammengestellt,
als die letzte Seite in dem Kapitel, finden Sie im Skript,
also genauer gesagt hat das mal ein früherer Student,
der auch das zu unübersichtlich fand,
mal gemacht,
sodass sie dann in der Liste
da alles zusammen haben
Und ich glaube, wir haben es zuletzt immer so gemacht,
dass wir diese Liste auch in der Klausur anhängen, sodass sie da plättern dürfen.
Sonst dürfen sie ja nicht blättern, nichts mitbringen,
aber da dürfen sie sich das dann angucken.
Muss ich noch mal dran denken, dass ich das auch wirklich mache.
Gut, good. Nicht, weil wie sie die dann,
also das Lernen ist ja relativ stumpfsinnig von den Aktionen,
aber wie sie die anwenden, haben sie ja immer noch genug vorzubereiten.
Ja, jetzt geht es erst einmal wieder mit den Standardgeschichten.
Nicht dieser PAP-Kühl ist auch wieder korrekt, das heißt,
wenn was gleich ist, ist es auch Biersimilar,
er ist auch vollständig, wenn was Biersimilar ist, ist es auch gleich.
Und jetzt kommt also dieser sogenannte Verdeckungsoperator, das ist das,
was ich vorhin angekündigt hatte, wo wir so gewissermaßen die nicht gebrauchten Zweige eben wegschneiden können. Nicht,
und das machen wir hier an einem Beispiel, später,
wenn wir hier also einen Senderempfänger im Beispiel haben,
wo wir hier die Cent-Operation haben,
wobei D beispielsweise 0 oder 1 sein kann,
Ressiv 0 oder 1, was wir dann zusammenziehen,
synchronisieren zu einer gemeinsamen Operationen kommen von 0 oder 1 in Form von Randevou-Synchronisation.
Und wenn wir das gemacht haben, sind die ursprünglichen Einzelteile
dann nicht mehr erwünscht und die werden dann weggewicht.
Mich und das geschieht dann durch einen Operator,
was eigentlich ein Anti-Operator ist in dem Sinne,
dass er kein sichtbares Verhalten hat, also gar kein Verhalten hat.
Das ist also dann schwierig, jetzt das Operator zu nennen,
aber naja, da steht mal Operator und ich habe dann als Erläuterung da nochmal Anti davor beschrieben.
Ja, und was nehmen wir denn da jetzt für
eine Transitionsregel für den Anti-Operator
Ja, wieder wie vorhin keine. Denn wo wir
keine Regel haben, da können wir auch nichts machen.
Also da steht auch schon da, es gibt daher auch keine Transaktionsregeln.
Wir können höchstens noch regeln, auf was wir diesen anwenden. Wenn wir den Operator,
den man also jetzt verdecken, auch nennen kann,
auf eine Teilmenge anwenden, dann sollen ja die anderen,
die nicht in der Teilmenge sind, noch sichtbar bleiben.
Und das macht jetzt die Regel hier. Nicht,
wenn wir jetzt hier so eine Operation V haben,
die einen Prozess X und Rechtsprozess X-Strich überführt und dieses V nicht in dem Haar drin ist,
Dann bleibt dieses V hier auch erhalten,
wenn wir das Ganze unter diesem Operator,
Delta oder Partial, Partial ist, glaube ich,
die Latisch-Bezeichnung, kommt unter partiellen Integration oder Differenzieration.
Wenn du diesen Operator Partial hier anwenden mit dem Index H,
wobei das V nicht dazu gehört. Wir sehen also wieder,
wenn das V zu dem Haar dazu gehört,
dann haben wir keine Regel,
aber wenn jetzt nicht dazugehört,
soll das ja gewissermaßen
unschädlich sein
Ja, und dann haben wir hier links dann auch wieder das Entsprechende.
Ja, also vielleicht kann man das auch abbrechen oder abwirken
oder Deadlock nennen. Da tue ich mich ein bisschen schwer
mit einer genauen Bezeichnung, wie wir diesen Operator-Ebenen.
Und was hier noch fehlt, ist das Entsprechende wieder,
wenn das X-Strich die Termination ist. Ja,
unser Gamma erweitern wir auch jetzt durch dieses Delta,
weil wir ja eben auch manchmal,
wenn wir die Kommunikation dort eben haben,
die aber auch unterdrückt werden sollen
Okay, dem Ganzen gehen wir jetzt also auch einen Namen.
Die Erweiterung des PAP-Kalküs durch die Nachschnitten-Aktionen für Abbruch und Verdeckung
wird jetzt mit ACP bezeichnet. Das heißt jetzt Algebra auf
Common Ucating Processes. Da ist der Name nicht so selbsterklärend,
aber das führt so gewissermaßen auf das Finale hin.
Nachher heißt, was wir, glaube ich, als letztendliches
entwickeln, da kommt auch noch das ACP drin vor.
Nicht, das sollte sagen der Oberbegriff
eben sein
So, und jetzt wollen wir das mit dem Abbruch jetzt
noch mal als Kalkül in unserem Gleichungskalkül darstellen.
Da haben wir als sechs, was natürlich sagt,
wenn wir X haben und die Alternative gar nichts,
dann soll das eben auch nur X sein,
was wir bildlich so darstellen können.
Nicht, wenn wir die Alternative haben, X und Abbruch,
dann wird der Abbruch also keine Rolle spielen.
Und hier, wenn wir gleich mit dem Abbruch beginnen,
dann ist das, was danach kommt, auch irrelevant.
Das würde im Bild dann auch so aussehen. Nicht,
wenn wir hier mit dem Abbruch anfangen,
dann können wir dann uns den Rest dann eben auch sparen.
Nicht, weil sowas manchmal in Konstruktionen drin vorkommt, braucht man Axio mit, die das eben ausdrücken. Gut,
wenn wir jetzt das mit diesem Verdeckungsoperator auch entsprechend machen würde,
das so aussehen, hier auch wieder,
wenn der SV nicht in dem Haar ist,
jetzt nehme ich mal, weil das so hoch ist,
hier mein Pointer, wenn das V nicht in dem Haar ist,
dann ist das unschädlich und wenn das V in dem Haar ist,
dann wird das eben Delta.
An dieser Stelle sehen wir also auch wirklich eine Wirkung,
wenn das V in H ist,
aber die Wirkung von dem hier ist ja,
dass es
sozusagen unterdrückt wird
Naja, in der Vollständigkeit auch wirkt das auch auf das Stelta selber.
Ja, und dann haben wir hier schöne Operatoren,
nicht, dass das dann über das Plus und über das Mal
dann hinweg geht, kann man schön mit rechnen.
Und hier unten haben wir dann was für den Left-Merch-Operator,
wenn, das bedeutet ja, dass die erste Aktion ausgeführt werden,
die ist aber Abbruch, also ist das gesamte Abbruch.
Nicht an dieser Stelle sieht man so ein bisschen den Vorteil,
dass man den Parallelopperator aufgebrochen hat in den Parallelapperator,
weil das jetzt natürlich mit dem Left-Merch einfacher aussieht als mit
dem Parallelapperator
Naja, aber entsprechend auch hier mit dem Kommunikationsapparator, nicht da ja beide beteiligt sind,
wirkt sich das dann auf beiden Seiten und dann eben auch.
So, jetzt kommt also das Beispiel,
wo man den ganzen Kram dann anwenden, und zwar jetzt wieder mit dem Senderempfängerbeispiel,
wo wir dann also dieses Cent und Ressiv dann nach der Kommunikation,
nach der Synchronisation, nach der Runde-Wus-Synchronisation unterdrücken wollen.
Nicht, und der entsprechende Prozesstherrn,
der sieht hier zwar zunächst mal wild auf,
ist aber nicht so wild, wir identifizieren hier am Anfang den Parallelaperator,
Rechts davon, die Alternative des Red 0 und 1,
nicht weil wir ja für das D die Werte 0 und 1 annehmen.
Und links davon, das Land 0 oder 1. Wo wir hier,
das Gama so definiert hier haben,
dass das Cent von D und das Red von D gleich dem Comfortable,
aber mit demselben D natürlich.
Das ist also auch immer genau 0 oder 1 übertragen wird. Okay,
und das wollen wir jetzt, ach so, ja,
und dann natürlich hier mit dem Unterdrücktwerden sollen die ursprünglichen Operatoren Cent 0,
Cent 1 Red 0 und Red Red 1, nicht?
Okay, das ist jetzt
unser Ziel
Das ist natürlich ziemlicher langer Text. Und zum Rechnen viel Schreibarbeit.
Und deswegen wird das Ganze jetzt mit Abkürzungen durchgeführt. Nicht,
dass wir also Sent 0 mit A, Sent 1 mit A-Strich,
Fred 0 mit B und riet eins mit B-Strich.
Und das Kommen 0 mit C,
und das Kommen 1 mit Z-Strich, bezeichnet,
sodass wir also einfacher hier diesen Ausdruck hier auszuwerten haben,
A-Plus A-Strich, parallel B-Plus B-Strich,
und davor dann noch dieses Parsche, was hier,
was wir dann hinterher machen.
Erstmal rechnen wir das aus, was hier in der Klammer
von dem Parsche steht. Und danach wenden wir das eben
an. Ja, das sieht jetzt so aus.
Wir fangen also mit dem Ausdruck an hier oben und jetzt
sehen wir mal eine typische Anwendung des Parallelapperators,
nämlich mit M1 ersetzen wir den ja oder werten wir den aus durch den Left Merch.
Zwar Left Merch mit dem Originalpaar,
Left Merch mit dem vertauschten Paar
Sie sagt schon wieder und, also oder dem vertauschten Paar oder den Kommunikationsopparat.
Und nicht, das ist ja das M1. So,
nun geht's weiter. Wir hatten ja gesehen, wir können jetzt
hier linksditroputiv über diese Summe gehen mit dem Left Merch.
Nicht so, dass wir hier A oder A-Strich haben und
drüben auch B oder B-Strich und die rechte Seite.
Und genauso hier bei dem Kommunikation sozusagen gleich alles sozusagen ausdistributiert,
sodass wir die ganzen Paare dann eben haben.
Nicht da sieht man also, dass diese anderen Rechenregeln dann
relativ zwangsläufig sind
So, nun geht's weiter. Hier haben wir ja den Left-Merch-Offerator
auf den linken Seite angewandt, wo wir nur eine Aktion haben.
Also wird daraus das Ganze mit dem Produkt.
Hier genauso? Hier auch und da auch.
Ja, und hier haben wir jetzt die Kommunikation.
A, mit B, sollte ja zu zäh werden.
Und A, Strich und B-Strich sollte zur T-Strich werden.
Und hier in der Mitte stehen zwei Paare, die nicht in der Kommunikationsrelation stehen.
Die führen also jetzt auch dann zu dem nicht erwünschten Ergebnis,
also zu dem Abbruch. Okay, sodass wir dann hinterher
dieses Ergebnis haben, wo wir die dann also auch hier weglassen können.
Gut, so, jetzt machen wir den nächsten Schritt,
dass wir jetzt unser Parshall darauf anwenden.
Das heißt also, ich wiederhole nochmal,
wir haben ja jetzt in unserem Haar das A-A-Strich und B-B-Strich,
die also die ursprünglichen Cent-Intressiv-Operationen waren, und die sollen ja verschwinden.
Nicht so, dass jetzt unser Ausdruck so aussieht,
Parshall H mit diesem Haar Und das war ja der Ausdruck,
den wir gerade ausgewertet haben.
Und da hatten wir ja folgendes Ergebnis erzielt.
Nicht, was hier unterlegt ist. Das war ja
das Zwischenergebnis aus der Seite vorher. So,
nun können wir das hier reinziehen und da das A hier
ja zu dem Haar gehört wird, daraus auch jetzt wieder der Abbruch.
Und den Rest lassen wir erstmal stehen mit dem A-Strich auch,
mit dem B auch.
Und mit dem A-Strich genauso
Ja, und bei dem C&C-Strich, das steht ja nicht da drin,
das bleibt also stehen. Und jetzt können Sie schon sehen,
wie es weitergeht, wenn wir hier den Abbruch haben,
dann können wir das Ganze weglassen, weil danach eben,
was danach folgt, relevant ist.
Nicht, das trifft auf alles zu,
bis auf das See, plus See, Strich,
sodass also in der Tat übrig bleibt,
die Kommunikation oder die das Verhalten besteht eben aus einem Kommen null und aus einem Kommen 1 sowie gewünscht.
Also ich saß nochmal wie in der letzten Stunde,
das sieht alles vielleicht zum Rechnen kompliziert aus,
aber das machen uns unsere Tools,
die per Textverarbeitung eben
sehr schnell sind
Nicht, das geht alles sehr viel schneller als beispielsweise Petri-Netz-Tools,
die die Graphen oder wirklich Nebenläufigkeit bearbeiten müssen oder der.
Okay. Haben wir nochmal eine Zusammenfassung,
hier dieses Partial H. erzwingt also die Kommunikation zwischen A und B
einerseits und zwischen A-Strich und B-Strich, andererseits in diesem Beispiel hier.
Okay. Ja, dann haben wir jetzt wieder Sätze als Theorem,
die jetzt die weiteren Schritte wieder in unserer Betrachtung hineinbeziehen.
Nicht also die B-Simulation ist jetzt auch eine Konkurrenz für ACP,
nicht auch noch mal ausgeschrieben ist,
wenn wir die bissimilaren Paare S- und S-Strich haben,
T&T-Strich haben,
dann gilt das hier auch für dieses Plus und das Mal,
das kannten wir aber schon und wird jetzt hier erweitert für die Parallel S- und T oder Left,
Links parallel,
kann man auch sagen,
Left Merch für S und T und für den Kommunikationsoperator
und auch für das Verdenken
Ja, weiter geht's dann, diesmal keine neue Folienseite,
dass der Kakül, ACP jetzt immer noch korrekt ist.
Nicht, dass immer noch dasselbe wie vorher und der Kalkül ist also auch vollständig.
Ich glaube, das wäre auch für die Klausur vielleicht ganz gut,
dass sie wissen, wie, was das bedeutet.
Ich habe die Aufgaben noch nicht gemacht,
aber denke ich gerade, wäre vielleicht eine nette Aufgabe.
Gut. Ja, Das sieht ja alles,
ich dachte gerade mit der hohen Geschwindigkeit, wie das geht.
Da kommt jetzt ein kleiner Wermutstropfen,
aber das ist vielleicht redlich, um das zu zeigen.
Wenn wir mal die folgenden Therme betrachten, AA,
parallel BB und CC, nicht wo wir jetzt,
glaube ich, die Klammern auch weglassen können.
Und dasselbe jetzt, wo das erste und das letzte vertauscht wird.
Das wird ja wohl die Seminar sein. Und ist die Frage,
wenn wir das jetzt überprüfen, was das gibt.
Da wissen wir ja, im Prinzip können wir dies überprüfen,
indem wir die Normalform von S und T berechnen und testen,
ob diese AC-Äquivalent sind
Also das haben wir zwar noch keine Übung gehabt,
diese Normalform für den Parallelapparator, das kommt in den Übungen,
mache ich vielleicht auch nächstes Mal hier, aussehen würde.
Das ist ja auch alles richtig, aber da kommt jetzt
ein einschränkendes In-Prinzip und das bezieht sich jetzt erfolgendes.
Wenn ich jetzt nämlich die Normale Form jetzt beispielsweise von S und A,
von A, B, B, C,
C mit diesem Kommunikationsioperator mal nehme,
dass also ein gleiches E ist,
dann zieht das Ganze jetzt so aus
Das will natürlich keiner abschreiben. Und das zeigt aber in umgekehrt etwas Interessantes,
Herr Molt hat ihn ja hoffentlich auch vermittelt,
dass sobald wir mit parallelen Prozessen haben,
das Verhalten sehr schnell exponentiell, sogar super exponentiell wird,
dass sozusagen das Verhalten, also beispielsweise der Erreichbarkeitsgraf,
schneller wächst als jede primitiv rekursive Funktion.
Das heißt also, jede Funktion, die ich mit irgendwelchen Ausdrücken schreiben kann.
Und das ist ja keine Eigenschaft der Petrinetze,
die sich da so schlecht verhalten,
sondern das ist eine Eigenschaft der Parallelität,
weil es so viele möglichen Kombinationen gibt
Welche und diese Kombinationen drücken sich hier auch in diesem Bild aus.
Da kommt natürlich auch die Prozessalgebrach nicht herum. Insofern finde ich
das also ganz eindrucksvoll. Umgekehrt ist es aber so,
dass so viel Parallelität wie hier in vielen Beispielen,
wie zum Beispiel in unserem Alternier-Bit-Protokoll, gar nicht vorkommt.
Nicht so, dass nachher der Beweis,
also das Ganze ist ja so aufgebaut, dieses Kapitel,
dass das im Beweis des Alternier-Bit, Alternier-Bit-Protokolls gipfeln soll.
Da haben wir sowas Schlimmes natürlich nicht,
weil so viel Parallelität kommt da überhaupt nicht vor.
Also genauer gesagt kommt da
gar keine Parallelität
Keine echte vor. Da haben wir zwar den Paralleloperator,
wo wir sagen, parallel Sender und Empfänger sind parallel,
aber die sind jetzt so synchronisiert,
dass sie eben abwechselnd arbeiten, wie sie sich daran erinnern.
Und da wird sich das dann also auswirken,
aber auch ein Rechner würde also da ja natürlich keine Probleme mit haben,
weil er dann wieder ganz viel weggestrichen wird,
aber wenn man das entsprechend weiter, ich bin für größere Beispiele,
dann gibt einem das doch schon zu bedenken.
Ja, und an der Stelle kann man nochmal sehen,
wozu also die Petri-Netzdarstellung günstig ist,
da würde ja dieses Beispiel so aussehen,
dass ich drei Prozesse habe,
einer mit AA,
BB und CC
Und wenn ich jetzt alle möglichen Schaltfolgen aufschreibe,
kriege ich ja irgendwas auch von nicht ganz so groß,
aber auch von ziemlicher Größe.
Und das eignet sich dann natürlich nicht so gut für die Analyse,
vor allem, wenn es noch mehr sind.
Und da gibt es im Modelchecking einen Ansatz mit Hilfe von Petri-Netzen
, der die sogenannten Kausalnetze benutzt. Das sind Netze,
die die Abläufe zeigen, aber Nebenläufigkeit erhalten. Das heißt,
wir beschreiben einen Ablauf, wo A und B nebenläufig sind,
so indem wir das entsprechende Netz hinmalen In diesen Kasalnetzen gibt es keine Verzweigung,
weil in den Ablauf sind die Verzweigungen ja schon entschieden.
Und auf diesen Kausalnetzen oder Petrinetzprozessen wird dann das Model Shaking ausgeführt.
Also die Frage, ob man hier irgendwo am Ende einen
bestimmten Gesamtzustand eben erreicht. Und gerade bei den Beispielen,
die eine hohe Nebenläufigkeit haben, da kann man sogar formal beweisen,
dass dann dieses Model Shaking eine sehr große Effizienzsteigerung eben hat.
Und an der Stelle wird dann eben der Vorteil der Petrinetze,
dass man Nebenläufigkeit direkt ausdrücken kann, praktisch eben wirksam.
Und das würde man eben in der Prozess Algebra eben nicht haben,
die meistens dann eben auch für solche Fälle dann eingesetzt werden,
die quasi sequentiell ablaufen, auch wenn der Parallelopperator da drin vorkommt.
Okay. Gut. Ja, dann kommen wir jetzt zu
dem nächsten Abschnitt. Und zwar heißt das ja jetzt folgendes.
Ich erinnere nochmal, wir hatten ja in den regulären Ausdrücken,
das plus das Mal und das Stern
Und jetzt in der Prozess-Algebra hatten wir ja das Fluss
als Alternative, das mal als Sequenz und den Paralleloperator.
Und die Frage ist jetzt, was machen wir mit dem Stern,
was ja intuitiv sowas ist wie eine Schleife.
Das könnte eine Waldschleife sein oder sowas. Aber da wir
es ja hier mit Gleichungen zu tun haben,
machen wir das natürlich mit Rekursion.
Die kämen alle vielleicht schon mal Rekursionsgleichungen kennengelernt.
Überhaupt die Frage, würde ich mich mal interessieren,
inwieweit sie in Ihrem Studium sozusagen funktionale Programmierung mit Rekursionen vorgekommen
Kommt vor. Ist wohl, in welchem Kontext?
Bei Software-Technik? Da gibt es eine ganze Vorlesung zu.
Also dann kennen sie, also kennen sie Rekursionsgleichung.
Mehr oder weniger. Okay, gut. Dann gibt es
das auch, okay. Weil ich nehme mich nicht mehr
so orientiert und was sie früher da machen,
wollte ich das gerne mal wissen.
Also hier machen wir auch das Ganze mit Rekursion.
Was jetzt für unseren Schleifenkonstrukt also eben steht. Also bisher
haben wir ja eigentlich auch nur Prozesse darstellen können, die eine endliche Länge haben.
Weil wir unsere Ausdrücke lesen ja immer nur die Abarbeitung zu,
die ungefähr der Länge, also eines Graphen,
wo die längsten Pfade ungefähr der Länge des Ausdruckes entsprochen hat.
Aber wenn wir zum Beispiel sowas haben wollen, ein Transitionssystem,
wo wir andauernd A, B, A,
B haben wollen, nicht was so typische Betriebssystemprozesse haben,
wo wir einen fortlaufenden Prozess betrachten, wo wir kein Ende betrachten,
also beim Betriebssystem, das betrachtet man ja auch als ständig laufend.
Und wenn man das mal ausschaltet, ist,
dass wir sozusagen eine extra Operation, die man anders darstellt,
dann würde das ja eben klassischerweise mit den Ausdrücken,
die wir bisher haben, nicht gehen.
Und dazu haben wir jetzt Rekursion und wir haben ja unseren Gleichungskalkül und wir würden das dann so darstellen,
dass wir sagen, ja, hier haben wir wieder was Neues,
wir haben ja jetzt große Buchstaben und die großen Buchstaben,
die stehen jetzt für Prozessvariablen.
Wir können also jetzt von einem Prozess X sprechen,
der verhält sich so wie eine Aktion A,
gefolgt von einem Prozess
Und der Prozess Y, der verhält sich so wie
eine Aktion B, gefolgt von dem Prozess X.
Und wenn wir das zusammenfassen, dann gibt das intuitiv ein Verhalten,
wie hier eben sozusagen als Folge oder als Transitionssystem eben dargestellt.
Ja, das sieht so sehr einfach aus,
aber Sie können sich ja schon vorstellen,
wenn wir jetzt wieder an die Aktionen und die Transitionsregeln denken,
dass man da ein bisschen aufpassen muss.
Und vor allem ist es so, dass dieses Gleichheitszeichen Das
soll ja später auch wieder mit dem Gleich als Zeichen zusammenfallen,
was wir das bisher haben, also Verhaltensgleichheit.
Zunächst ist er ja nur rein des Syntags.
Wir schreiben das erst mal so auf und kümmern uns später,
ob sich das auch so verhält.
Nicht nur um das deutlich zu machen,
habe ich das in der formalen Definition jetzt so geschrieben.
Ich habe da noch so ein Ausrufezeichen drüber gesetzt, was ausdrücken soll,
dass ich jetzt ein neues Zeichen zur Definition dieser Rekursionsgleichung.
Und später werden wir das semantisch rechtfertigen,
dass die linke Seite dieser Rekursionsgleichung, Verhaltensgleichnis mit der Rechten,
und dann können wir das Ausrufezeichen wieder streichen zurück,
dann wieder in unseren Bleichungskalkülen.
Also um das deutlich zu machen, haben wir jetzt folgendes,
eine rekursive Spezifikation ist eine Menge von Gleichungen der Form,
also endlich viele Gleichungen, X1 bis XN.
Und auf der rechten Seite stehen irgendwelche Therme,
die also dann diese Prozessvariablen dann auch wieder enthalten.
Da weiß ich jetzt auch nicht so genau, wie weit sie sowas gewohnt sind.
Deswegen wollte ich hier mal die Tafelnbeleuchtung anmachen. Sowas gibt es,
ich glaube, kennen sie ja vielleicht eben aus der Logik,
nicht wenn ich sowas hier schreibe, ein bisschen höher.
T1 von, ich schreibe mal XYZ, ja?
Wer kann sich denken, was das wohl da bedeutet?
Ja, sie haben schon fast, nein. Nicht,
das soll ein Term sein, in dem die Prozessvariablen XYZ vorkommen.
Also machen wir mal ein Beispiel,
zum Beispiel die Aktion A, gefolgt von dem Prozess X,
gefolgt von der Aktion B plus vielleicht X oder nehmen wir
jetzt mal Y,
parallel mit
Floß und dann können wir auch wieder euch das Parschel nehmen,
irgendein Haar, von, machen wir noch mal ein C,
ein X plus B oder so.
Ja, das ist ein Ausdruck, wie wir es bisher kennen,
wo an den Stellen, wo vorher die atomaren Aktionen standen,
jetzt auch unsere Variablen, vorkommen können.
Und wo aber jetzt, ja, vorkommen können.
Und wenn wir den Ausdruck so abstrakt schreiben,
nur mit T1, ist es aber wichtig, festzuhalten,
welche Variablen da drin vorkommen, weil wir nämlich,
wenn wir die Variablen durch Prozesse ersetzen,
Da müssen wir eben wissen, an welchen Stellen was zu ersetzen ist.
Und bei der Ersetzung ist es natürlich auch so,
wenn hier mehrfach das X vorkommt, dann muss das natürlich
immer konsistent ersetzt werden, also sozusagen gleichmäßig ersetzt werden.
Nicht nur, das sehen Sie ja hier jetzt, das sieht man nicht,
aber das kann man an dem Beispiel vielleicht nochmal erläutern.
Das hier wäre natürlich jetzt ein Ausdruck,
der würde T-1 von GroßY aussehen und der würde dann T-2 von Groß X
aussehen und das N wäre 2. Und hier vorne hätten wir X und Y stehen.
Oder X1 und X2. Okay, das zur Erleitung. Ja,
das steht da hier unten auch nochmal im Text mit diesem Ariadlen X1 bis XL.
So, was ich eben schon gesagt habe,
habe ich jetzt die anderen mal hingeschrieben.
Wir verwenden das Symbol mit dem Ausrufezeichen in den Gleichungen,
um zu zeigen, dass es hierbei um etwas anderes haltet,
als um die Aussagen, als die gleich,
als das Gleichheit in dem Gleichungskalkül.
Aber eben zunächst. Und später werden wir dann sehen,
dass es in der Tat,
läuft das darauf hinaus,
dass wir doch Verhaltensgleichheit haben
Und dann können wir das Ausrufezeichen dann auch wieder weglassen.
Und in dem Buch steht sozusagen eine Erfindung von mir.
In dem Buch steht auch dieses Ausrufezeichen eben nicht drin.
So, wenn wir jetzt aber eine Gleichung haben mit Variablen,
dann müssen wir jetzt natürlich sagen, was eine Lösung ist.
Wenn sie eine Gleichung haben, eine lineare,
ein lineares Gleichungssystem haben, dann sprechen sie auch mit einer Lösung.
Und eine Lösung ist natürlich dann,
wenn sie den Lehrersgleichungssystem über Zahlen haben,
dann sagen sie, eine Lösung ist,
wenn ich die Zahlen einsetze,
dann stimmt die gleiche
Und so auch hier, nicht da,
das Variablen für Prozesse sind, ist eine Lösung,
eine Menge von oder ein Tuppel von Endprozessen, der Gestalt,
dass wenn ich die einsetze, dass eine Lösung ist,
wo ich dann für, und das hier wieder als Gleichheit eben nehme.
Und so sieht jetzt auch die Definition aus, also jetzt Prozesse,
P1 bis PN werden als eine Lösung einer rekursiven Spezifikation,
nicht die ist jetzt hier sozusagen parametrisiert,
i gleich 1 bis 1, bezeichnet, falls,
wenn ich diese Prozesse einsetze, nämlich also das P1 für das X1,
dass PN für das XL, dass wir dann Verhaltensgleichheit haben.
Das heißt also, PI ist verhaltensgleich mit TE,
Front B1 bis PN. Das heißt, an der Stelle
wird also das, was ich vorher erklärt habe,
mit der Einsetzung dann eben auch ausgeführt.
Und deswegen muss ich auch wissen, was hier überhaupt einzusetzen ist,
dass ich da nämlich für Eindruck solche Gleichung beispielsweise bis zu N solche Prozessen einsetzen muss.
Müssen natürlich nicht alle vorkommen,
aber können dann
Ja, nicht, wobei wir jetzt hier an dieser,
klar, an dieser Definition noch vielleicht unklar ist,
was denn nun eigentlich diese PIs da sind.
Nicht, das sind jetzt Prozesse, wie ich sie jetzt bisher betrachtet habe,
aber wie stelle ich die denn eben da?
Und da konnte man sich zum Beispiel eben vorstellen,
dass sich die jetzt durch Prozessgrafen oder Ausdrücke darstelle,
so wie ich das bisher eben gemacht habe.
Und das bleibt hier an dieser Stelle aber eben noch ein bisschen auf.
So, die nächste interessante Frage ist jetzt,
ob das was Sinnvolles ergibt,
nicht,
wenn ich
diese Einsetzung eben mache
Und das sinnvoll heißt hier zum Beispiel eben auch,
dass wir darauf abzielen, dass die Lösung eindeutig ist.
Nicht in vielen Fällen stört das ja gar nicht oder ist sogar gewünscht,
dass es mehrere Lösungen gibt, aber hier soll das darauf hinauslaufen,
dass wir eine eindeutige Lösung haben.
Und deswegen müssen wir uns mal genauer angucken,
wie das mit der Eindeutigkeit eben ist. Also,
wir wollen, dass die Lösungen eindeutig bezüglich,
also sie können natürlich irgendwie andere Namen haben,
das kann ich aber wieder durch die B-Simulation eben ausdrücken oder
andere Gestalt haben,
aber auf jeden Fall
sollen sie
Bi-Simulationsäquivalent sein
Das heißt also, falls ich zwei solche Lösungen haben,
wie eins bis PN und Q1 bis QN,
dann sollen diejenigen jeweiligen Komponenten, also Bisimilar sein,
also das P1, Bisimilar zu dem Q1,
bis zu dem PN-B-Semilar zu QN.
Und das ist jetzt das Ziel und wir werden jetzt
eben sehen, dass das nicht unbedingt eben gegeben ist.
Wie hier steht. Da haben wir jetzt hier Beispiele.
Betrachten wir mal dieses Gleichungssystem hier, x-gleich A,
Y, Y gleich WX, das ist das,
was wir vorher hatten
Das hat als Lösung den Prozess,
den schreibe ich jetzt ja auch so nicht.
Das X verhält sich so wie die Operation A,
gefolgt von dem Prozess Y, dieser Wieder-GB und so weiter.
Das war ja das Motivierende und dann kann man beweisen,
das ist in der Tat die einzige Lösung.
An der Stelle klappt das also. Ja,
und für das Y wäre dann, dass das Entsprechende,
wo ich dann hier mit dem Y eben anfange.
Das erste wäre die Lösung vor dem X und das wäre die Lösung für,
da haben Sie auch so eine partielle Antwort zu der Frage vorher,
was diese PI denn bedeuten,
könnte ich
zum Beispiel
so aufschreiben
Machen wir ein zweites Beispiel. Was ist hiermit? Da haben wir
jetzt hier X verhält sich wie Y und Y verhält sich wie AX.
Da hat man natürlich so die Intuition, X und Y sind Verhaltensgleich.
Also könnte ich ja hier auch dieses Y gleich durch X ersetzen.
Also hätte ich die Gleichung X gleich AX und das
ist auch richtig, denn das ist die einzige Lösung.
Also X AAX und so weiter und dasselbe eben für Y.
Das wäre jetzt ein zweites Beispiel,
was positiv ausgegangen ist,
So, schon wieder sicher denken können, auf der nächsten Folie
kommen jetzt die negativen Beispiele, nämlich sowas zum Beispiel.
Hat ja keiner verboten, dass ich sowas schreiben kann.
Und das ist natürlich im Weg auf die Lösungen absolut kontraproduktiv,
weil da kann ich ja einsetzen, was ich will.
Das steht ja links und rechts dasselbe. Also ist alles eine Lösung,
aber das kann man ja vielleicht einfach ausschließen,
aber es gibt eben vertragtere Fälle, wo wir mehrere Lösungen haben.
Und so ein Fall ist hier der Fall B,
wenn ich hier mal Dieses gleiche System betrachte,
heißt das ja, der Prozess X verhält sich so,
wie ich entweder A ausführe oder wie der Prozess X selber.
Und wenn ich einen Prozess habe,
wo nur die Aktion A möglich ist,
dann kann ich ja mal überlegen, wie die Lösung zustande kommt.
Und das könnte so aussehen. Ich könnte jetzt mal auf
der linken Seite einsetzen, dass A plus X plus Y
Und wenn ich das hier in die Gleichung einsetze,
wird auf der linken Seite, also das X,
also das A plus X plus Y stehen.
Und auf der rechten Seite steht noch in A mehr.
Und wenn ich das unklammere oder so, sehen wir,
da stehen wir A plus A, was wieder Äquivalent zu A ist.
Das ist also auf beiden Seiten verhaltensgleich. Nicht aber mit dem Problem,
dass hier das P ein beliebiger Prozess sein kann,
wo ich da mal X plus Y gewählt habe.
Das heißt also, da habe ich unendlich viele Lösungen,
nämlich so viel, wie ich Prozesse formulieren kann.
Das müsste man also auch ausschließen,
wenn ich auf eine eindeutige Lösung eben hinaus will
Also das erkennen sie sich so nochmal, das war jetzt
das X und das hat dann jetzt die Struktur von diesem Gleichungssystem.
Ein anderes Beispiel, was ein bisschen an das erinnert,
was wir bei dem Abbruch hatten, wäre sowas.
Hier kann ich auch was beliebiges einsetzen, weil ja,
oder sagen wir mal, beliebig war jetzt übertrieben,
aber irgendwas nicht Terminierendes, was unendlich weiterläuft,
weil man nach dem, wenn das unendlich weiterläuft mit dem X-Men,
ja nie zu dem A kommt
Nicht also während die beiden auch verhaltensgleich. Und da haben wir
jetzt mal das Beispiel, wenn wir den Prozess nehmen,
X nur aus unendlich vielen Bs, dann kann ich das hier einsetzen.
Und dann spielt das Road A hier intuitiv gar keine Rolle.
Und das wäre dann eben auch, wären auch unendlich viele Lösungen.
Ja, da können Sie sagen, nochmal sagen,
wie definiere ich denn hier diesen Prozess mit BBB?
Dann könnte man auch wieder sagen,
ja, der ist vielleicht dadurch definiert,
dass ich da so ein Gleichungssystem schreibe,
wie wir das eben auch schon mal
eben hatten
Gut. Ja, das heißt also, wir bleiben jetzt
bei der Frage, welche Einschränkungen wir eben hervornehmen wollen.
Und das führt dann jetzt zum Begriff der geschützten Rekursion.
Das würde ich dann aber gerne am nächsten Mal machen,
also dass ich jetzt aufhöre und wir dann am nächsten Mal
dann diese Eindeutigkeitsfrage mit der geschützten Rekursion anlösen.
Erstmal vielen Dank für heute