Okay, dann würde ich mal anfangen. In der
letzten Stunde waren wir ja ungefähr bis zur Stelle gekommen,
wo es um den Beweis,
Entschuldigung, dass der Vollständigkeit des BPA-Kalküls gegangen ist,
wobei der Beweis ja dann auch zu einem Verfahren führte,
was wir ja dann angeschlossen haben.
Und der Trick bestand darin, einen neuen Kalkül einzuführen oder
genauer gesagt zwei. Der erste besteht darin,
dass wir hier die beiden Aktionen, A1,
A2 ausgliedern und die entsprechenden ein Kalkül mit AC indizieren
Ja, und der Grund war dafür, dass wir,
wenn wir mit einem,
mit den anderen Regeln einen Ausdruck so weit entwickeln,
wie es geht, dass dann, egal wie wir das machen,
die beiden Ergebnisse äquivalent bezüglich dieses neuen Kalküls sind,
also bezüglich der Aktion A1 und A2,
die ja also nur Kommentativität und Assoziativität der Auswahl dargestellt haben.
Ja, haben wir hier so ein Beispiel, hier so eine Entwicklung mit den anderen Aktionen
Und das war dann die Normalform. So,
und hier haben wir jetzt nun diese Einführung des anderen Kalküls,
der jetzt aus dem unteren Teil bestand,
wo wir im Gegensatz zu vorher diese Metrie beseitigen und nur
die Entwicklung oder die Ersetzung von links nach rechts erlauben,
also in dem Sinne einen echten Ersetzungskalkül bekommen,
wie sie das auch von Grammatiken beispielsweise eben kennen.
Ja,
und die entsprechenden Regeln haben wir dann umbenannt in R1 bis R5. Ja,
hier waren so zwei Beispiele für zwei solche Reduktionen,
die dann auch unterschiedlich lang sind,
in diesem Fall zum selben Ergebnis geführt haben
Und der Kern des Beweises bestand darin,
wenn wir zwei solche Normalformen haben und wenn diese B-Seminar sind,
dann sind sie auch eben AC-Äquivalenz.
Das heißt nur diese einfachen Umformungen sind dann zu machen.
Ja, das war jetzt der Beweis für den ersten Fall,
wem wir mit einer Aktion zur Termination kommen.
Und das war der zweite Fall,
wo wir hier einen Term wählen,
wo es dann nach der Aktion
noch weitergeht
Das war diese Argumentation, die ich hier grafisch nochmal dargestellt hatte. Nicht,
wenn wir also dieses hier beweisen wollen,
wir wollen ja von hier nach da schließen,
dann wäre dieses, also die Bisimilarität von S&T beweisen wollen,
bilden wir erst die Normalfahren, die dann wegen des Kalküls,
wie Similar sind, zu ihrem Ausgangselementen.
Das ist die Korrektheit des Kalküls, was wir vorher abgeleitet haben.
Deswegen so wegen der Transitivität auch in S&T, Bisimilla
Nein, noch nicht. Deswegen sind umgekehrt, so rumgesehen,
N und N Strich, B-Semilar und mit diesem Lämmer von
vorher können wir daraus schließen, dass sie AC-Äquivalent sind.
Und jetzt kommt der umgekehrte Schluss, dass wir mit dieser
Transitivität daraus schließen, dass S und Teten Äquivalent sind.
Tja, das war es dann. Und dann hatten wir
uns noch um die Termination gekümmert. Nicht, dass es
ja durchaus sein könnte, dass wir gar nicht zu einem Ende kommen. Das geschah dann mit der Gewichtsfunktion,
die wir uns dann an einem Beispiel so veranschaulicht haben,
dass also diese drei neuen Regeln immer das Gewicht verringert haben,
was dann dazu führte, dass wir schließen können,
dass jede solche Ableitung mit diesen drei Regeln irgendwann mal zu einem Ende führen müssen,
also zu dieser Normalform.
Ja, und dann haben wir nochmal das Verfahren hier formuliert,
was im Wesentlichen darin besteht, also um zu entscheiden,
ob S&T, Visimilar oder Äquivalent sind,
dass wir also erstens mal mit den Regeln die Normalformen herstellen.
Nicht die eine heißt N, die andere heiße N Strich.
Und dass wir dann hinterher nur noch die AC-Äquivalenz überprüfen müssen.
Nicht, da war ja hier ein Teil aus dem Text rausgerutscht.
Ich weiß nicht, ob die nochmal nachgeguckt haben.
Da steht jetzt bereinigt. Dieser Schritt kann mit den Regeln
R1 und R2 durchgeführt werden. Das kann man entweder mit
den Regeln machen oder ist es vielleicht einfacher durch irgendwelche Verfahren
der Textverarbeitung, wenn das zum Beispiel lexikografisch ordnet.
Und was da rausgerutscht war, war jetzt der Bezug auf
den ersten Schritt, worauf auf Termination zu achten ist.
Was soll denn das bedeuten? Warum muss man da
auf Termination achten? Ja, das ist vielleicht jemand,
der erste? Ja, wenn ich x plus y,
ich x plus x
ersetzen kann
Kann ich so endlos weitermachen. Und da muss man dann künstlich eine Termination eben einführen.
Das fehlte da das letzte Mal. Gut, ja,
und dann hatten wir da auch ein Beispiel dazu,
wo wir dann jetzt hier diese Äquivalenz entscheiden wollen.
Haben wir die linke Seite durch diese Regeln, zwei,
drei, jetzt drei, vier und fünf,
eben in diese Form gebracht, auf der rechten Seite,
ebenfalls und gesehen,
dass dann die Normalform,
die jetzt hier auch mit N- und N-Strich bezeichnet sind,
dass diese jetzt eben AC-Äquivalent sind und damit
die Frage positiv eben ausgehen
So, dann waren wir zur Parallele-Komposition gekommen,
hatten da den Parallelen-Operatoren kennengelernt. Jetzt wie immer,
wie wir das in Zukunft auch immer werden, die beiden,
beiden Kalküle einführen, auch für die Erweiterung,
nämlich die mit dem Pfeil, nicht was zur Definition des Transitionssystems,
also des Prozessgraphen führt und dann hinterher auch wieder die Ergleichungen.
Nicht, und da hatten wir gesehen,
das ist typisch für Folgensemantik in der Living Semantics,
weil wir immer gewissermaßen nur auf einer Seite der parallelen Prozesse
einen Schritt machen
Und die Parallelarbeit durch die Wechselseitige Möglichkeit auf den verschiedenen Seiten eben darstellen.
Ja, hier nochmal das Entsprechende für die Termination.
Ja, der Prozessgraf jetzt für AB,
parallel mit BA, würde dann eben so aussehen.
Er würde dann eben so ein Graphen werden, der,
weil wir hier die Termination getrennt dargestellt haben,
wie ein Baum aussieht.
Das könnte man ja dann auch zusammenführen,
auch wie andere Knoten hier,
die zwischendurch dann identisch sind
So, dann hatten wir die Kommunikationsfunktion, ähnlich wie bei den Transitionssystemen. Nicht,
dass wir eben Synchronisation da durch darstellen,
dass wir entweder gleiche Aktionen gemeinsam ausführen oder eben allgemeiner,
indem wir eine Relation oder eine Abbildung definieren, die dieses Ausdrück,
nicht um die Abbildung, erzählt dann noch die Möglichkeit,
dass wir dieses Neue synchronisierte Aktionen dann auch noch umbenennen können.
Ja, nicht nur die entsprechenden Transitionsregeln sehen dann So aus,
wo hier dann dieser Kommunikationsozioperator vorkommt,
nicht und wir dann hier unten den Wechsel in beiden Komponenten haben.
Das heißt also, eine synchronisierte Operation. Ja, und hier drüben,
also oben in den Kästen dann wieder die abgeleiteten Fälle. Ja,
der Prozessgraf sieht dann eben so aus,
dass wir hier mit dieser Art der Kommunikation diesen neuen Pfad haben,
aber haben wir ja letztes Mal länger drüber diskutiert,
dass die alten Pfade immer noch erhalten bleiben,
wie wir dann auch mit dem letzten Mal gleich besprochenen Operatoren dann abschneiden können,
wenn wir zu sagen,
nur die Kommunikation,
die synchronisierten Abbildungen überbringen wollen,
ja bitte
Wäre diese Kommunikationsverschwörung, oder muss man die immer explizit mit allen geben, wenn man irgendeinen Prozess hat?
Ja, es ist ja problemabhängig. Also Sie haben ein Recht,
also in manchen Sprachen ist es so, dass wenn zwei Aktionen gleich benannt sind,
nicht, dass man die per Default als zu synchronisierend auffasst,
nicht zum Beispiel bei den Stageharts ist das so.
Aber hier, wenn wir ein A in dem anderen und dem anderen haben,
dann müssen wir schon sagen, dass sie dieselben sein sollen.
Nur dadurch kriegen wir ja erst die Möglichkeit, dass sie auch gleichzeitig... Ja,
ja, ja, ja, ja, ja,
ja,
Zufällig. Ja, ne, das, ja,
also das ist sozusagen bei der Inter-Living-Semantik praktisch nicht vorgesehen,
sondern das kann man sich nur denken dabei.
Nicht, dass bei dem Unabhängigen natürlich auch zufällig Gleichheit passieren können.
Ich möchte nur, wenn Sie physikalisch denken, wissen Sie,
dass es wirkliche Gleichheit ja gar nicht gibt,
dass es letzten Endes gar nicht messbar ist und wenn Sie sozusagen in quantenmechanische Überlegungen reingekommen,
es gibt nie zwei Uhr und die gleich laufen.
Also das gibt es wirklich gleich, gibt es auch gar nicht.
Aber virtuell kann man sich das vorstellen. Okay. Ja,
ja, dann haben wir schon, Donnerstag,
diskutieren wir nicht, weil ich nämlich immer denke,
intuitiver zu denken, wenn die parallel dann brauchen.
Wenn die restzeitig passieren, dass man eher sagt,
wenn man es explizit nicht würde, dass das passieren kann.
Ja, ja, ja, ja, ja. Aber insofern,
das ist auch ein Punkt, wo ich ganz,
also am Anfang gemacht habe, da auch lange meine Probleme mit hatte.
Da muss man sich echt dran dran gewöhnen. Da haben sie rechnet. So,
dann sind wir zur Aktomatisierung übergegangen, aber das stimmte hier gar nicht,
sondern wir haben erst nochmal diesen Left-Merch-Operator eingeführt,
der aber in diesen Abschnitt passt, weil der eben später zur Aksymatisierung beiträgt.
Nicht, wie wir gesehen haben,
wir konnten den Parallel-Operator als Transitionssystem ja auch schon ohne definieren,
aber später werden wir das mit dem Left-Merch-Operator eben machen,
der also erzwingt, dass sozusagen die erste Seite zunächst abgewickelt wird.
Nicht, das hängt natürlich auch damit zusammen,
dass wir, wenn wir das sozusagen textuell machen,
eine linke und eine rechte Seite haben,
aber in der Grafik haben wir zwar auch eine linke,
rechte Seite, aber das ist irrelevant,
immer das Sören mit der Sören zeichnet,
ist egal.
Gut, dann haben wir auch den Kommentations-Merch-Operator,
den wir jetzt explizit anders darstellen, wo wir also diese Kommunikation eben erzwingen.
Meiner Meinung nach geht das schon in die Richtung,
die sie vermisst haben
Und auch noch mal die abgewandelten Fälle. So,
dem Ganzen geben wir jetzt auch einen Namen und das
heißt jetzt PAP-Prozess AG Brach mit Parallelismus. So,
das war jetzt also der Parallelapparator und der Schlüssel für das folgende ist eben,
dass wir jetzt den Parallelapparator als Bisimilar betrachten können zu dieser Konvegnation,
hier mit Left Merch,
so rum und so rum und dem Kommunikationsapparator,
was wir dann später als Gleichung
dann auch fordern
Ja, dann nochmal die Bemerkung,
dass es sich um eine konservative Erweiterung ist,
was für in Zukunft nicht, immer hinschreiben,
dass sozusagen die Ergebnisse vorher nicht mehr kaputt gehen,
wenn wir da was Neues einführen, muss man natürlich es ja stellen.
Ja, das heißt zum Beispiel eben auch, dass die alte Konkurrenz,
Konkurrenz immer noch gilt, aber jetzt hier dieser Satz sagt,
dass eben die neuen Operatoren auch die Konkurrenz eben erhalten.
So, das kommen wir zu den Aktionen,
also das besagt, damit wir den Parallelapparat,
da haben wir jetzt hier als Gleichung oder als Aktion stehen,
Nicht und sie müssen immer dran denken, wir erweitern jetzt immer die Aktione,
aber in den Schlussregeln machen wir nichts mehr.
Das führt dann manchmal dazu, dass das einfach vergessen wird,
dass wenn ich früher mal in einer mündlichen Prüfung gefragt habe,
was sind denn die Schlussregeln,
dass das einfach gar nicht mehr vorhanden war,
weil irgendwie die Schlussregeln ganz am Anfang gelernt worden waren,
wenn überhaupt.
Und das dann vergessen worden ist. Aber es ist umgekehrt
das Schöne, dass wir die Schlussregeln nicht erweitern brauchen,
sondern immer nur neue Aktionen hinzunehmen.
Ja, wir haben dann in den Rechnungen gesehen,
dass diese Distributivität sehr praktisch ist,
weil da
nicht viel nachzudenken ist
Und das ist jetzt typisch hier für den Left-Merch,
nicht wenn das V nach Konvention ja wieder eine Aktion ist,
dann muss diese ausgeführt werden wegen des Left-Merch
und es bleibt der erste parallele Teil, hat dominiert,
sodass nur noch das V und der rechte Teil bleibt.
Gut, dann haben wir jetzt auch noch Axiome für
den Kommunikationsapparater, das ist dann eben ähnlich.
Und auch wie die Aussagen dieser neuen Kalkül korrekt ist und
Ja, und dann haben wir das Ganze mal ausprobiert,
beziehungsweise wir hatten vorher noch diesen Verdeckungsoperator definiert. Mit ausprobiert meinte ich,
dass wir dann mit Hilfe dieses Verdeckungsoperator eben ein solches Sender-Empfänger und Protokoll modelliert haben,
wo jetzt eben aus den ursprünglichen Cent- und Resiv-Operationen dann nur noch der Kommunikationsoperator übrig bleibt,
der also das gemeinsame Ereignis für dasselbe Datum den eben beschreiben soll.
Ja, und dazu eben dieser Anti-Operator habe ich den ja auch mal genannt,
Delta, der also nur jetzt als Opperator im Transitionssystem ausdrückt, dass da nichts auszuführen ist.
Und bei den Gleichungen kommt er nicht vor,
sondern nur in der Form dieses Verdeckungsapparator,
der dann dazu führt, dass wir eine Aktion,
die in dieser spezifizierten Menge H ist,
und wenn die im Argument vorkommt,
dass sie jetzt auf diesen Anti-Operator dann abgebildet wird und damit unterdrückt wird.
Ja, nicht, und deswegen haben wir nur die Regel für den Fall,
dass dieses V nicht in H ist und für den Fall,
dass das V in H ist, haben wir also keine Regel,
da können wir also nichts weiter ableiten.
Das ist dann also auch semantisch nicht möglich
Ja, wir tun den dann auch jetzt hier wieder in
das Bildbereich des Kommunikationsopperator, um eben zu sagen,
dass eine Kommunikation, also ein paar nicht möglich ist.
Der Wechsel ist ein Chaosschluss. Bitte? Das darf ich
nächsten Zeit wieder ausschluss. Ein wechselseitiger Ausschluss heißt ja,
dass genau eins möglich ist, hier wäre ja keins möglich.
Wie, dann wäre doch nicht möglich, dass sie gleichzeitig.
Ja, ja genau. Also insofern schon, ja genau.
Man müsste mal gucken, was sonst noch möglich ist.
Ja, insofern verstehe ich das jetzt, okay.
Gut, diese Erweiterung heißt jetzt ATP
Und wir haben jetzt hier diese Gleichung, die Aktion dazu.
Das haben wir uns, dann kann man jetzt hier an den Prozessgrafen klar machen. Nicht,
dass es sinnvoll ist, diese Äquivalenz hier zu fordern,
weil dieser Zweig ja dann eben per, ja,
per Definition oder per Absicht, kann man jetzt jetzt sagen,
beabsichtigte Semantik nicht möglich sein soll.
Genauso wie hier, nicht,
dass hier das folgende X ja gar nie ausgeführt werden kann,
weil hier oben schon Schluss ist,
sodass hier dieses A7 auch sinnvoll ist
Ja, nicht. Und mit dem Verdeckungsopperator haben wir dann
weder das, was wir vorher auch schon erwartet haben.
Das heißt, wenn das V nicht zu dem Haar gehört,
dann ist er unbürgsam. Aber wenn es dazugehört,
führt das auf dieses Delta. Und ja,
übrigens zur Bezeichnung, ich habe jetzt das letzte Mal,
glaube ich, beides hier immer als Delta bezeichnet.
Ich kenne jetzt eigentlich gar keine Bezeichnung außer ein Latisch.
Und da heißt das, glaube ich,
Differential, von der partiellen partiellen Differenzierung.
Also könnte ich ja jetzt mal Differential nennen,
um das zu unterscheiden.
Und das wäre der griechische Buchstaben Delta
So, ja, und hier unten haben wir jetzt nur wieder,
dass da sozusagen sich überträgt auf die Komponenten von Plus und Mal und hier unten auch wieder,
was man für den Left-Merch und den Kommunikationsopperator dann eben erwarten,
falls der,
die ja der Deadlock hier links oder rechts soeben vorkommt.
So, und das haben wir jetzt ausprobiert an diesem Beispiel,
wo wir jetzt hier parallel Links haben,
Sentnol und Sent 1 und rechts sind Riednol und Ried 1.
Und was wir dann im Folgenden zu A-A-B- und B-Strich
vereinfacht haben und die Kommunikation als C- und C-Strich,
nur damit der Text ein bisschen kürzer und übersichtlicher ist
Ja, und dann haben wir gerechnet,
also diesen Parallelausdruck eben erstmal ausgerechnet, aufgelöst, den Parallelopperator,
dann die Distributivitätsgesetze angewandt und sind dann zu diesem Ausdruck gekommen,
den wir ja jetzt ja dann noch diesem Verdeckungsoperator unterwerfen müssen.
Das heißt, was wir eben ausgerechnet steht,
hier Geld unterlegt als Argument des Verdeckungsoperators,
wo wir als Haar jetzt die Einzelaktionen nehmen.
Schon in der Tat bleibt dann die beiden Operationen C- und C-Strich über,
was ja sozusagen die Übertragung des Signals mit dem Wert Null
oder Eins eben war und bei dem ursprünglichen Beispiel
Also, dieser Abbruchoperator oder Verdeckungsapparat, er zwingt also die Kommunikation A und B
einerseits und zwischen A-Strich und B-Andersteig und unterdrückt die einzelnen Operationen.
So, dann haben wir jetzt hier wieder solche Standard-Aussagen,
dass jetzt auch wieder die Konkurrenz eben erhalten bleibt,
jetzt auch für diesen neuen Operator.
Und auch wieder die Korrektheit und die Vollständigkeit. Ja,
und dann hatten, das war sozusagen der Hauptgegenstand vom letzten Mal
und dann hatte ich ja schon ein bisschen auch mit der Rekursion eben angefangen.
Nicht Rekursion benutzen wir hier um unendliche Prozesse darzustellen,
weil wir bis jetzt eben nur Bäume oder Azögliche Prozessgrafen hatten,
die immer nur endliche Prozess- oder Aktionsfolgen eben erlaubten.
Und wenn wir Schleifen haben wollen, dann machen wir das
mit Rekursionen, wie in diesem einfachen Beispiel.
Und diese Rekursion benutzt also Rekursionsvariablen, die jetzt großgeschrieben werden,
die dann in Ausdrücken wie bisher an der Stelle von Aktionen vorkommen können.
Also hier denken wir uns ja auch wieder dieses Mal.
Und wenn Y, sagen wir mal,
Klein-Y der Aktionen wäre, dann hatten wir ja schon verstanden,
was A. Klein-Übster und bedeuten würde
Hier haben wir jetzt a.großy, wobei Groß-Y jetzt der Prozess ist, der durch Groß-Y dargestellt ist.
Das wiederum sehen wir hier unten in der zweiten Zeile,
wo wir eine Beschreibung von Y haben,
der wieder zurück auf die Ärzte zurückgegreift,
nicht was das Übliche ist, Dubai in Rekursion.
Und Rekursion kann man ja auch endliche Prozesse darstellen.
Nicht dann müssten wir hier vielleicht noch eine Alternative mit einer
einzelnen Aktion haben, dann, ich habe sie gesehen,
ja, dann würde man dann aus der Schleife auch austreten
können.
Ja, bitte
Vater schauen, das mit dir, das bei den Protokollzustandsstaaten.
Bei uns fühlt man sich das gleiche. Ja, schauen,
ist dort auch irgendwie, da können wir da irgendwie definieren,
wo wir quasi mit anfangen. Zunächst mal nicht,
könnte man machen, wenn man, wir schreiben die Gleichung,
geben wir ja Nummern und wir könnten immer sagen,
dass wir anfangen mit der ersten Gleichung.
Aber zunächst mal sagen wir immer, X beschreibt,
wir geben immer Lösungen für X und Y an beides.
Aber später, wenn wir zum Beispiel das Alterniertbildprotokoll beschreiben,
das ist natürlich wichtig, wie wir anfangen,
da müssen wir noch mal dran denken an Ihre Frage,
ob das da auch wirklich drin vorkommt.
Ich würde vermuten, ja, aber gucken wir da noch mal hin.
Okay, aber hier im Augenblick noch nicht.
Aber es ist auffällig, da haben Sie recht
So, da haben wir jetzt hier eine rekursive Spezifikation.
Das ist also eine solche Folge von Gleichungen,
wo wir also links diese alle Rekursionsvariablen haben und zwar nur endlich viele.
Und rechts haben wir Prozessausdrücke, wie wir sie bisher können,
wo aber jetzt auch diese Variablen drin vorkommen können.
Nicht und diese Schreibweise kennen sie aus der Logik,
dass man sagt, ja, man schreibt dann in Klammern,
geht man sozusagen als Eingabestelle, die Variablen an,
weil man da was einsetzen kann.
Aber das Ganze kann eben wie ein Ausdruck eben aussehen
Ja, eine Besonderheit,
also dann haben wir hier das Beispiel von vorher und eine Besonderheit dabei ist noch dieses Ausrufezeichen,
was sie in dem Buch oder in anderen Darstellungen nicht finden,
weil nämlich im Prinzip später das wegfällt und da wir für diese Gleichheit,
für die Äquivalenz ja schon eine Bedeutung haben,
könnte das zu Missverständnissen an dieser Stelle führen.
Also ich wollte hiermit darauf hinweisen,
dieses Gleichheitszeichen mit dem Ausrufezeichen ist nur ein syntaktischer Trainer von
der linken und in der rechten Seite.
Nicht und später werden wir eine Semantik einführen,
die dieses Gleichheitszeichen rechtfertigt und sagt,
ja,
die beiden Seiten sind auch Bisemila
Das heißt, wir betrachten dann Lösungen,
die dazu führen, dass die Linke ist,
Bisimilar zur Rechten ist und dass wir das Ganze dann auch wieder weglassen können.
Ja, da habe ich das jetzt noch mal hingeschrieben.
So, jetzt wollen wir natürlich auch wissen, was eine Lösung ist.
Nicht eine Lösung ist, sind natürlich Prozesse,
die wir jetzt für die Variablen einsetzen können. Nicht,
wenn wir also hier N-Variablen haben, brauchen wir als Lösung N-Prozesse.
Und die sollen jetzt also dann die Linke und die rechte Seite
gleiches Verhalten haben
Das wird hierdurch ausgedrückt. Nicht links steht ja dann
der Prozess PI in der Ebengleichung und rechts die Prozesse P1-PN
eingegesetzt und das Ganze soll jetzt B-Seminar sein.
Das heißt also, wir fordern jetzt schon, dass das
gültig sein soll, wenn die Geschichte eben B-Seminar ist.
Ja, und ist die Frage, wie stellen wir das da?
Können wir uns erst mal an einen Prozess grafen erhalten,
diese Prozesse
Ja, und dann wollen wir an dieser Stelle,
dass diese Lösungen eindeutig sind. Das ist eine naheliegende Forderung,
aber nicht zwingend nicht. Sie kennen ja zum Beispiel bei
der Fixpunktheorie oder sie werden das in FGE 3 kennenlernen.
Da gibt es manchmal die größte Lösung und die kleinste Lösung,
die auch eine sinnvolle Bedeutung haben.
Aber hier wollen wir Eindeutigkeit haben und zielen dann auf eindeutige Lösungen ab.
Und das braucht natürlich nur auf Modoloppie-Simulation zu sein.
Das heißt, das ist auch gleiches Verhalten
Ja, und dann müssen wir mal überlegen, wie das denn nun aussehen könnte.
Und da haben wir hier nochmal unser Gleichungssystem, was wir vorher hatten.
Und da hatten wir ja schon überlegt, das hat folgendes Verhalten.
Dieser Prozess X verhält sich so wie die Aktion A,
gefolgt vom Prozess Y, welcher sich wieder so verhält,
wie der Prozess Y gefolgt von dem Prozess B, gefolgt von X.
Das heißt also, wir hätten dann jetzt hier die,
wenn wir mit X anfangen, die Folge A,
B, A, B als Aktion.
Und wenn wir mit dem Y anfangen, dann B,
A, B, A. Das heißt also,
sie sehen in Bezug auf ihre Frage,
hier lassen wir sozusagen,
haben wir keinen Anfang spezifiziert,
sondern wir brachten einfach mal
alle Lösungen dann
Ja, sowas hat sowas auch, auch eine Lösung.
Das heißt ja, X verhält sich
so wie Y und Özlon verhält sich sowas wie AX.
Das heißt, intuitiv können wir auch sagen, ja,
wir können uns ja hier das X sparen und hier einsetzen.
Und dann hätten wir X das gleich AX und das wäre
eine unendliche Folge von AS. Und das ist ja jetzt reine Intuition,
aber später werden wir so ein Vorgehen auch rechtfertigen,
dass wir solche Einsetzungen machen dürfen,
um dann eben zu Lösungen
zu kommen
Und da haben wir das jetzt ja auch dargestellt.
Das können wir also auch so darstellen.
Oder können wir statt dem X auch Y schreiben?
Gut. Ja, dann haben wir natürlich auch gerne mal
Gegenbeispiele. Und ein Triviales Gegenbeispiel ist natürlich sowas hier,
wo ich x gleich x schreibe.
Und das ist ja natürlich eine triviale Identität.
Und jeder Prozess erfüllt das. Da ist natürlich in keiner Weise
Eindeutigkeit gegeben. Man kann also auch da nicht die Simulare
Lösungen dann eben einsetzen. Ja, ein bisschen weniger trivial
ist jetzt Folgendes
Wenn ich einen beliebigen Prozess habe,
der mit einer einzigen Aktion terminiert, nicht,
da kann es ja noch jede mögen Alternativen geben,
dann ist das immer eine Lösung dieser Spezifikation,
die ja jetzt schon nicht mehr trivial aussieht.
Können Sie das erkennen, dass das eine Lösung ist?
Er nickt. Für die anderen habe ich dann jetzt nochmal hier einen Hinweis gemacht. Nicht,
wenn wir mal als Lösung hier in sowas hier betrachten,
x-gleich A plus X plus Y,
wofür das X plus Y ja auch ganz was anderes stehen könnte.
Nicht das A ist wichtig, um hier diese Bedingungen zu erfüllen,
dass ich mit dem A hier terminiere. Dann kann ich dieses X-Level Links einsetzen,
nicht, das ist nur für die ganz vorne zu erkennen,
dass ich das hier grün unterlegt habe, sieht man,
ich sehe vielleicht nur ich und hier rechts auch,
das heißt, das hat diese Form,
dass ich etwas habe, was verhaltensgleich ist mit etwas anderem,
wo ich A und die Alternative und dasselbe eben habe.
Und da dieses Xlus Y auch ganz was anderes sein könnte,
habe ich hier sehr viele Lösungen, ja bitte. Alle Prozesse,
mit denen man nicht nur sofort mit Art terminieren könnte,
sondern auch nach einem weiteren Schritt, Ralf, A,
terminieren sind und so weiter,
dann wird jedes Mal selbst dann ja wieder
Ja, ja, hier steht ja auch nur alle Prozesse, sind Lösungen.
Nicht, dass das die einzigen sind. Nein,
aber es gibt halt jetzt heute gerade ein Prozess,
in dem man zwar jetzt mit Ars relegieren kann, aber danach nicht mehr.
Hier wäre natürlich keine Visionserfolge. Doch, das geht doch
immer, immer auf den Anfang. Es geht ja hier,
heißt das ja nur, ich habe,
also wenn er nicht terminiert in dem Restteil,
ich habe da auch nicht, ich hatte doch vorher nicht terminierten Prozess,
ganz am Anfang.
Ja, aber wir haben es dort,
wenn wir dann drittmögliche kleine Rate terminieren, der jetzt auszuprobieren.
Ja. Wenn man jetzt dieses X wieder ausbildet,
hat man wieder die Möglichkeit, da zu terminieren.
Dir das ausgerechnet, ich nehme den Kasten an,
was machst du denn auf der rechten Seite nach Dialoge?
Ja, die Aussage ist ja, die sind nicht B-Semilar,
all die Lösungen. Die denken daran, dass die B-Semilar sind
und wollen ein Gegenbeispiel machen, so konnten wir das jetzt vorher.
Nein, ich meinte eigentlich. Ja, können Sie ja
mal ein Beispiel angeben. Aber ich dachte eigentlich,
wenn man dieses X immer wieder ausführen kann, als Alter,
wenn ich bin, oder wenn man gerade revidieren kann.
Ja. Da kann man in dem Fall,
dass man im ersten Schritt nicht mit A terminiert hat,
zweite Schritt, also dann haben wir den zweiten Schritt,
die Alternative mit Asien,
die ja über X. Aber es gibt ja eventuell auch Prozesse,
war im ersten Schritt, mit der Artterminieren können wir danach nicht.
Ja, was wollen die daraus folgern? Dass nicht alle Prozesse bestehen,
die im ersten Schritt in Artterminieren, weil die viele Lösungen sind.
Dass nicht alle Prozesse? Ich fühle es ja nicht a
aus und dann geht es. Nein, das kann ich
nicht. Ja, können wir mal ein Beispiel betrachten.
Das muss man doch auch schreiben können. Was für ein
Prozess P meinen Sie denn? Mit A plus und dann?
Oder B? Och. Ja. Ich weiß nicht,
wie gesagt, es kann sein, dass Sie das halt verstanden haben,
aber da hätte man im ersten Schritt die Möglichkeit, Ja.
Wie man es nicht macht, will man also wenig. Ja. Das heißt nicht,
ob man nichts mehr länger ist mittlerweile, dann,
wenn man so... Ja, und das ist,
das wäre doch eine Lösung, nicht, weil wir A,
bloß B haben gleich A, bloß,
wenn ich das mal in den Klammern schreibe hier,
A, plus B. Das ist eine Lösung.
Mir habe ich doch nicht gesagt, dass das eine Lösung ist.
B, B. Das ist auch eine Lösung, ne?
A, plus B, B, B, so.
Das ist auch eine Lösung, ne? A,
plus B, B. Das heißt, hier drüben darf Bliebiges
stehen, ne? Deswegen habe ich immer das Gefühl,
sie wollen sagen, ich konstruiere mir was nicht besemilaut,
das ist ja gerade die Aussage,
dass ich da Beliebiges einsetzen lässt
Die Verwirrung kann und kann daher, dass ich jetzt gedacht habe,
okay, ich lehne die Alternative gar nicht.
Ja. So wie weh aus. Ja. Das ist
der Beetführer 1B aus, hat noch einen Beet.
Ja. Kann dann aber nicht mehr mit Arterminieren. Ja,
richtig, man könnte ja auch schreiben,
man könnte ja auch einen wirklichen nicht-terminärenden Prozess nehmen,
wenn ich hier mal P nehme,
P nehme A gleich A plus B, B,
B, B plus, was eine beliebige Iteration,
was wir jetzt nur durch Rekursionen darstellen können,
kann ich auch einsetzen,
das linkt
gleich rechte Seite
Okay. Ja, vielleicht denken Sie noch mal bis zum nächsten Mal nach,
dass wir das packen können, dein Ihr Argument.
So, was haben wir dann hier noch?
Ja, sowas hier. Das ist so ähnlich,
wie wir es vorher schon mal hatten mit dem Delta.
Alle nicht diterminierenden Prozesse sind jetzt Lösungen, weil ich ja
dann auf der rechten Seite nie zu dem A komme.
Nicht, also wenn ich zum Beispiel x gleich BBBB habe,
dann kann ich das links und rechts einsetzen und ich komme rechts nie zu dem A,
nicht wobei das jetzt hier wieder informell ist,
weil ich ja sowas gar nicht formulieren kann
Oder doch formulieren könnten, ich könnte das jetzt X jetzt wieder durch eine rekursive Gleichung definieren.
Deswegen habe ich das da noch angehängt. Also,
wir wollen also jetzt mal jetzt mal Gesetz eindeutige Lösungen.
Haben Sie jetzt aus dem, was wir jetzt hier sehen,
eine Idee, wie wir eindeutige Lösungen erzielen können, also was wir verbieten sollten?
Nicht, das ist ja eine ganz allgemeine Frage,
wo es vielleicht tausend Antworten geben kann,
aber die interessante Antwort ist, das sind schon die entscheidenden Gegenbeispiele,
nämlich, dass wir hier rechts wieder dasselbe X haben,
Am Anfang noch nichts davor steht,
das ist sozusagen das Entscheidende.
Man kann das auch so verstehen,
dass wir da eine Schleife haben, wo keine Aktion stattfindet.
Das schließen wir aus. Und wenn wir das ausschließen,
heißt das, eine geschützte Rekursion. Ja, und das
sieht jetzt folgendermaßen aus. Eine solche geschützt, eine solche rekursive Spezifikation.
Also das müssen wir uns auch noch mal an den Wortwahl gewöhnen. Nicht solche Gleichungssysteme,
die heißen rekursive Spezifikation, die heißt geschützt,
nicht Englisch Gardet, wenn sie die folgende Form hat,
dass sie eben zum Beispiel aus solchen Summanten besteht, also Alternativen,
aber in jeder Alternative muss als erstes eine Aktion stattfinden.
Nicht diese Aktion, nach der Aktion kann es terminieren,
wie wir eben in dem Beispiel hatten, aber es kann mit der Rekursion weitergehen, aber es muss mindestens da etwas erstehen. Das mit dem Geschütz,
das ist jetzt auch wieder eine Übersetzung von mir,
weil man, da ist auch noch was falsch geschrieben,
dass man Gigarded Commands, die habe ich auch mal geschützte Anweisungen genannt,
weil sie kennen das ja für alles,
nicht diesen geouted command, ist ja sowas,
da habe ich eine Bedingung B und dann eine Anweisung A und die Semantik davon ist,
diese Anweisung darf nur ausgeführt werden,
wenn dieses B gilt und das muss was anderes gemacht werden und ich finde,
das kommt daher,
dass man zum Beispiel hier zum Beispiel so eine Division Z wird X durch Y,
dadurch schützen kann,
dass man vorher das Y ungleich null abtestet und insofern wäre eben diese Bedingung ein Schutz dafür,
dass wir hier nicht einen Fehler laufen,
daher kommt das, das her.
Und was hier jetzt ja vielleicht nur bedingt hilft,
und deswegen habe ich mir jetzt nochmal überlegt,
oder ob da auch nochmal ein Wörterbuch nachgeguckt,
man könnte jetzt Garded auch als abgegschirmt bezeichnet,
was aber semantisch auf dieselbe Richtung hingeht.
Ich habe nur manchmal das Gefühl, wenn man solche Übersetzungen nimmt,
dann hat man im Deutschen dann manchmal ganz andere Assoziationen.
Nicht was umgekehrt, aber überhaupt nicht dafür spricht,
dass wir eben in ein Denglisch, in der Informatik verfallen sollten.
Denn dieser Informatik sprecht, wo jedes zweite Wort ein englisches Sterivat ist.
Das führt nämlich auch häufig dazu, dass eben die Semantik
überhaupt nicht stimmt. Dass ein Deutscher, der das ausspricht,
dann eine ganz andere Vorstellung mit verbindet als ein natürlich sprachliche,
also der englisch-natürliche Sprache als Müttersprache eben hat.
Insofern ist diese Hinterfragung der Begriffe schon wichtig, sei es,
man übersetzt sie ins Deutsch, sei es, man benutzt sie im Englischen. Nicht das berühmteste Beispiel,
aber es hier auch in dem Zusammenhang der Vorlesung passt,
ist nicht, dass zu sagen, eventually something will happen,
ich weiß, was wir ja auch in der Prozess,
in der moralischen Logik haben, nicht,
wie sie alle weisen, das heißt ja nicht,
eventuell wird etwas passieren, sondern irgendwann wird das passieren,
so gibt es ein paar Dinge mehr.
Gut, aber hier diese Definition ist jetzt noch nicht zu Ende,
weil es durchaus passieren kann,
dass jetzt diese Seite sich so verhält, wie hier beschrieben,
aber dass eben trotzdem da keine Aktion davor steht,
weil das irgendwie durch indirekte Umformungen erzielt werden kann.
Deswegen geht die Definition
so weiter
Oder in eben die rechten Seiten, in diese Form überführt werden können,
wo wir das überführt werden, dann eben noch spezifizieren müssen.
Außerdem dürfen bei dieser Umformung Variable eine Rekursionsgleichung durch die entsprechende rechte Seite
ersetzt werden, was wir vorhin schon mal gemacht haben.
Und da haben wir jetzt hier ein umfängliches Beispiel dazu.
Also hier haben wir jetzt eine solche rekursive Spezifikation, also ein,
zwei, drei Gleichungen, ein Kommunikationsoperator und da steht ist geschützt.
Zunächst mal ja nicht, denn, also hier haben wir als erstes
eine Aktion, hier aber nicht und hier auch nicht.
Aber wie man jetzt sehen kann, kann man das umformen.
Also der erste Punkt ist, die dritte Gleichung hat schon
die gewünschte Form. Jetzt kann ich die zweite Gleichung,
aber umformen, indem ich dieses Set hier eben einsetze.
Das heißt, wir erlauben an dieser Stelle jetzt schon,
was wir später semantisch noch rechtfertigen wollen,
dass man linke Seite durch rechte Seiten ersetzen dürfen
Nicht, wenn wir also jetzt hier in dieser Gleichung das Set ersetzen durch die rechte Seite,
dann steht ja hier auch BZ und dann hat das Ganze auch diese Form.
Das heißt, wir haben eine Summe von zwei Summanten, die alle mit einer Aktion anfangen. So,
und dann machen wir das Dritte,
in dem wir den Paralleloperator oder den Ausdruck mit dem Paralleloperator so transformieren,
indem wir das Y durch das ersetzen,
was wir jetzt gerade erzählt haben, und Z durch das ersetzen,
was wir eben auch schon gemacht haben,
nicht sodass daraus eben wird,
die aus der rechten Seiten BZ plus A Und er zählt,
er wird BZ.
Nicht so, dass wir also jetzt dann folgendes haben.
Nicht dieser, dieser, das wäre ja jetzt dieser,
diese Form, die wir jetzt aber noch umformen müssen,
weil wir ja auf eine Summe hinaus wollen.
Nicht in der Definitionsstandard soll eine Summe sein. Und das machen wir
jetzt, indem wir jetzt den Parallelopperator auflösen. Das heißt,
entweder erstmal durch Leftmerch, so rum und so rum und Kommunikationsmerch,
dann benutzen wir wieder mehrfach das disropolitiv Gesetz und gelangen dann,
ach so, und dann hier lösen wir den Leftmerch auf,
der uns ja gerade erlaubt,
hier die erste Aktion rauszuziehen
Wo wir dann hier unten zu dieser Form gelangen, wo sie sehen,
jeder, jeder so, man fängt mit der Aktion an.
Nicht, das ist übrigens jetzt auch nochmal eine weitere Motivation für das Left Merch,
weil der jetzt an dieser Stelle der Linke,
der erste Ausdruck wichtig ist.
Der Linke könnte natürlich auch der Rechte sein,
wenn sie in arabischer Sprache sozialisiert sind,
dann hörten sie lieber alles andersrum haben,
aber das ist in unserem Fall zum Glück völlig egal,
muss nur immer gleich sein.
Ja, nicht? Und die Aussage ist jetzt,
die jetzt hier jetzt nicht bewiesen wird,
eine rekrusive Spezifikation, besitzt dann immer eine eindeutige Lösung,
wenn sie geschützt ist, was wir gerade definiert haben.
Und dann Modulo, B-Simulation, das heißt,
es kann verschiedene geben, aber die sind dann B-Similar.
Und diese komplexe Konstruktion, die wir eben hatten,
die brauchen wir natürlich hier an dieser Stelle wegen des genau dann, wenn.
Nicht, wenn wir nur fordern wollten,
dass sie eindeutig ist, dann hätte sozusagen die Ergänzung nicht.
Wer hätte die Ergänzung sparen können,
wenn wir aber jede Lösung eben erfassen wollen,
dann müssen wir sowas machen und dann ist umgekehrt natürlich wieder erstaunlich,
dass diese einfache Erweiterung schon ausreicht, um jede Lösung zu finden.
Das ist also doch nicht so einfach eben einzusehen. Ja,
nicht und Gegenbeispiele hatten wir ja ganz am Anfang,
das sind jetzt ja,
waren ja Beispiele für nicht geschützte Spezifikationen und von denen
hatten wir uns ja auch überlegt,
dass wir da
mehrere Lösungen hatten
So, und wenn wir das jetzt sozusagen fest annehmen,
dann können wir jetzt eben auch von der Lösung,
wobei der jetzt kursiv, das heißt unterstrichen,
also betont ist, und das machen wir auch.
Und wenn wir jetzt von der Lösung sprechen,
dann können wir dafür auch eine Bezeichnung einführen.
Und die Bezeichnung ist auch wieder ein bisschen gewöhnungsbedürftig, aber durchaus sinnvoll.
Und die schreiben wir dann immer so in diesen spitzen Klammern.
Hier vorne steht die Rekursionsvariable und hier hinten steht die rekursive Spezifikation,
also das Gleisungssystem. Nicht das liest sich also so,
Das Ganze bezeichnet also die eindeutige Lösung für die Variable XI
in Bezug auf diese rekursive Spezifikation.
Und da haben wir auch wieder das, was wir eben diskutiert haben.
Wir haben jetzt keinen Anfangsvariable hier festgelegt, sondern wir betrachten erstmal
alle Lösungen. Okay, ja. Gut. Ja,
dann geht es jetzt natürlich wieder weiter mit dem entsprechenden Transitionssystem.
Wir haben ja mit dem Transitionssystem, mit diesem Automaten angefangen,
haben aber jetzt in unseren formalen Definitionen
diese Gleichungen definiert
Und jetzt wollen wir natürlich den Prozessgrafen auch wieder kriegen.
Und er sollte natürlich in den Fällen das Entsprechende sein.
Gucken wir uns das mal an. Also betrachten wir mal so eine Gleichung,
XE ist gleich TI, gleich X1 bis XN.
An der Stelle habe ich mir noch mal gedacht,
es könnte vielleicht den einen oder anderen geben,
der sich darunter nicht so viel vorstellen könnte.
Deswegen habe ich hier noch mal ein Beispiel genommen.
Es könnte zum Beispiel X2 sein. Und hier drüben haben wir einen Ausdruck,
in dem also an der Stelle von Aktion,
von Atomen die einzelnen Variablen drin vorkommen
Also das hier sieht ja viel wusserlicher aus als dieses hier,
aber man muss sich rumglücklich da die Möglichkeit eines komplexen Ausdruckes eben drunter drunter vorstellen.
Nicht wichtig ist eben, dass ich in der rechten Seite diese,
was für diese XI einsetzen kann,
und dann dann was Sinnvolles herauskommt, was natürlich bedeuten kann,
dass eines dieser XI gar nicht vorkommt, dann ist da nichts einzusetzen,
aber es dürfen da keine XXIs drin sind,
die hier links nicht vorkommen, so rum,
das ist das gedacht.
So, und dieses Beispiel habe ich aber jetzt auch gleich so gewählt,
dass wenn ich hier in der rechten Seite das V ausführe,
dann terminiert das Ganze, sodass die ganze,
in diesem Fall diese ganzen Variablen da, X1,
X2, X-Rei für diese Aktion keine Rolle spielen.
Und das soll natürlich in den Prozessgrafen auch so sein. Das heißt also,
wenn wir jetzt beispielsweise für irgendein XI da drin eine Lösung haben,
dann soll das natürlich auch die semantische Eigenschaft haben,
dass wenn ich mit dieser Lösung eine Aktion V ausführe,
dann terminiert das.
Ich soll ja Bisemila sein. So,
und die Frage ist, was schreibe ich denn da jetzt
über den Strich
Nicht bis jetzt war es ja immer so, dass ich hier oben
was Einfaches hatte und da drunter war was Komplizierteres nicht.
Also zum Beispiel stand da mal Plus und Mal und dergleichen um was Einfaches, ja.
Jetzt? Wenn die Lösung, die Alternative faulen hält,
oder ich weiß nicht, wie wir uns genau ausdrücken.
Ja, genau doch, wie Sie das sagen. Wie schreiben wir,
enthält die Alternative, so wie es da unten steht, ne?
Ja, nur das war doch noch nicht so ganz.
Ja, aber was weiß ich denn noch?
Oder was vordere ich denn noch über diese Lösung?
Ja, sie vielleicht. Wenn ich das Ganze lange genug Durch Einschätzung,
da weitere, dass ich irgendwann Frau als Ausbruch drinstehen habe.
Ich so, alter, nach lieb. Was meinen Sie
mit Alternativreihe? Meinen Sie da die rechte Seite eventuell?
Ja, also auf der rechten Seite kann sie sich ja
so umfahren, dass ich lauter... Ja. Durchs Plus
geht es dann jetzt aus. Ja. Ja, nicht,
aber in unserem Falle brauchen sie ja gar nichts auszuführen,
sondern sie brauchen ja nur das Verhalten zu spezifizieren.
Nicht, dass sie mit der rechten Seite dasselbe machen können.
Die brauchen ja gar nicht auszuwerten, sondern das ist ja das Verhalten. Insofern sieht das jetzt ein bisschen anders aus,
weil früher, weil jetzt anscheinend in der Prämisse,
komplizierteres steht als der Conclusio, aber inhaltlich steht da nichts anderes drin,
wenn sich die Lösung so verhält, also die linke Seite,
dann soll, wo die ja die Lösung nackt hier steht,
sodass in der rechten Seite auch so sein,
wo diese Lösungen irgendwie da eingebaut sind.
Und das beschreibt jetzt nur tatsächlich die Tatsache,
dass ich ja will,
dieses Ausrufezeichen ersetzen will später mal durch ein Gleichheitszeichen,
was bedeutet,
dass das und das
hier B-Seminar sein soll
Ich habe mal mit dem angefangen. Früher habe ich immer
mit dem Fall angefangen, wo nicht die Termination ist.
Den anderen Fall gibt es natürlich auch,
dass ich hier nach dem Ausführung von dem Fall nicht die Termination erhalte,
nämlich irgendein Y und dann steht aber hier statt der Termination das Y.
Das ist dann natürlich genau dasselbe. Und auch die Motivation ist für dieselbe,
dass eben dieses Verhalten hier, was ich hier fordere,
dass dann nämlich nach Foul der Restprozess Y ist,
dass ich das voraussetze, dass das auf der rechten Seite ist.
Ja, und die Aussage ist, das heißt,
diese Lösung übernimmt das Verhalten der rechten Seite, wobei die Lösungen alle eingesetzt sind.
Ja, das kann man jetzt hier natürlich durch schön hinschreiben,
aber vielleicht sieht man jetzt noch gar nicht, ob das überhaupt was nützt.
Und das müssen wir jetzt mal ausprobieren.
Und wir nehmen jetzt mal wieder unsere rekursive Spezifikation vom Anfang.
Und wir wollen dann jetzt diesen Prozessgrafen ableiten,
wo wir jetzt eben auch keinen Anfangszustand festgelegt haben,
wo wir statt dieser anonymen Knoten jetzt die Lösungen für X
und Y in Bezug auf dieses auf diese Spezifikation haben wollen.
Also hier müssen wir noch ergänzen, dass die also eh groß eh heißen sollen.
So, und genauso wie am Anfang ist es so,
dass sozusagen jeder Pfeil eine eigene Ableitung erfordert und machen wir
das mal für das A. Das heißt also,
von der Lösung für X kommen wir mit A zur Lösung für Y.
Oder das reliert sich so, wenn wir einen Prozess haben,
der X erfüllt, wir führen ein A aus,
haben wir einen Restprozess,
der Y erfüllt
So, das wollen wir jetzt mal ausführen.
Und diese Folie enthält jetzt eigentlich nur nochmal dasselbe,
was wir jetzt schon hatten und Platz, wo wir jetzt das ausführen.
Das heißt, hier, und rechts haben wir unser Ziel.
Hier haben wir die rekursive Spezifikation E. Und das hier,
unser Ziel. Ja, und was nehmen wir jetzt als
erstes, Axio? Ja, oder im Moment anderes.
Wenn wir also einen Übergang mit A erzielen,
das haben wir nach wie vor als einziges Aktion,
was wir dazu benutzen können.
Ja, bitte
Oder sehe ich, ja? Wollten Sie sagen, Sie wissen es
nicht, oder? Nee, keine Ahnung, jemand.
Ja, wir haben doch bis jetzt nur eine Aktion,
wo wir hier sowas hier auf dem Pfeil einführen können.
Nicht, und das ist nach wie vor dieses,
was wir ganz am Anfang hatten. Etwas anderes haben wir,
also haben Sie natürlich so im Sinne gehabt,
aber wir haben nichts anderes als dieses, wo wir EV gleich A wählen.
So, dann wird es jetzt natürlich auch spannend,
wie wir weitermachen. Das heißt, wir wollen ja irgendwie
darauf hinaus
dieses hier
Abzuleiten. Und der Haupttrick besteht jetzt darin,
dass wir jetzt sowas ähnliches machen, wie bei der Multiplikationsaktion,
wo wir, oder wir nehmen das Multiplikationsaktion,
nicht wo wir hier das Y hinterherhängen können.
Und wo wir jetzt aber sagen,
für das Y lassen wir auch unsere neue Lösung zu.
Das heißt also, wenn ich dieses hier habe und danach
die Lösung für Y ausführe,
dann muss die ganze Geschichte ja
so aussehen
Ja, das ist ein entscheidender Schritt,
auf den man am Anfang vielleicht nicht so sehr kommt nicht.
Hier sind auch die Zuweisungen in dem Aktion,
habe ich für das V das A gewählt, für das X.
Auch das A und für das Y, die Lösung,
was ich also jetzt damit eben erlaube.
So, soweit bin ich jetzt. Und die Frage ist,
wie komme ich jetzt aber von dem hier, zu dem hier?
Denn hier reicht sie das ja schon gut aus.
Das A habe ich hier schon. Nur der Anfang,
der sieht noch nicht zielführend aus.
Ja, bitte? Nein, die Spitze kann man einziehen
Ja, wäre eine Möglichkeit, aber irgendwie ist das nicht
so richtig motiviert. Eine andere Idee, sie. Jetzt
können wir die Ergleichung einwenden, über die wir geredet haben.
Genau, jetzt gucken wir unsere Gleichung an. Da steht
ja hier A Y ist verhaltensgleich mit der Lösung von X.
Und das heißt also, wir können hier die rechte Seite
durch die linke Seite. Es setzen nur in der Form jetzt,
dass wir die Lösungen machen und dann sind wir da.
Sich das motiviert jetzt auch gerade, warum wir den Schritt
hier gemacht haben. Das Ziel muss nämlich immer da sein,
die rechten Seiten einer solchen Gleichung zu erzählen,
weil wir dann den Trick anwenden können,
dass wir auf die linke Seite übergehen können
Ja, also sowas kommt dann vielleicht auch schon mal in
der Klausur vor, aber nichts wesentlich richtig schwieriges.
Das soll ja immer irgendwie in wenigen Minuten abhalten, erledigbar sein.
Aber im Prinzip muss man trotzdem Verstand hatten,
auch wenn es nur wenige Minuten dauert und ganz einfach ist.
Deswegen auch hier diese Mühe. Ja, ich habe das jetzt
noch mal hervorgehoben. Also diese Prämisse hier, die wählen wir,
weil wir hier die rechte Seite dieser Gleichung haben,
um dann diese durch die linke Seite jetzt hier violett eben zu ersetzen,
um dann eben hier von hier nach hier zu kommen,
was unser Ziel eben ist.
Mich hat das also nochmal, wir haben also angefangen,
wenn wir das hier sehen und die rechte Seite anzufangen und
dann hinterher auf der linken Seite diese Geschichte dann anzuwenden.
Gut. So, und jetzt machen wir eine kleine Pause,
nicht in dem Sinne, dass sie jetzt Kaffee trinken gehen,
sondern ein kleines anderes Beispiel nehmen.
Und zwar wollen wir jetzt mal als Beispiel einer solchen rekursiven Spezifikation
die Spezifikation einer Multi-Menge Englisch und manchmal auch als Back oder Multi-Set bezeichnet,
nehmen über der Grundmenge 0 ein.
Nicht, was eine Multimenge ist, erinnert sich noch von dem Petri-Netz.
Da haben wir ja sowas geschrieben. Sie erinnern sich ja,
als Menge geschrieben, haben wir ja sowas,
wenn wir schreiben, A, B,
dann ist das als Menge ein Gleich der Menge A,
B,
weil in einer Menge jedes Element nur einmal gezählt wird
Nicht. Und als Multimenge wäre dann dieses Hirn aber
zu schreiben, dass wir sozusagen die Vielfachheit erzählen.
Das heißt, wir haben dann gesagt, ja,
wir hören das zum Beispiel so als pseudoalgyparischen Ausdruck.
Wir haben zweimal die A, zweimal das A,
plus einmal das B, plus null mal ein C,
falls C zur Grundmenge eben auch gehören würde.
Das heißt also, die Multimengen unterscheiden sich also gerade dadurch,
dass wir hier also eine Vielfachheit betrachten. So,
wenn Sie jetzt Ihr Wissen als theoretische Informatiker mal außen vor
lassen und das mal als praktischer Informatiker oder Alprak, Informatikerin betrachten.
Was meinen Sie? Ist die Datenstruktur Menge oder Multimenge einfacher?
Mit dem Kindergarten haben wir alle eine Menge kennengelernt.
Deswegen denken wir, das ist einfacher. Aber ist das
wirklich so? Ja, man mehrere sie vielleicht mal,
die haben noch ein wenig. Die sagen es eigentlich.
Von den Operationen, die wir ausgeführt haben.
Das ist sehr richtig. Und was schließen Sie jetzt daraus?
Ja, würde ich sagen, ist in der Menge,
einfach weil es nur eine Lösung gibt
Wir brauchen also wirklich zum ersten Gucken, den wir rausfertigt,
aus ein paar Heimflügen, denke ich mal, fühlt sich kein Müll unterständig.
Bei Wo ist bei, bei, bei Menge? Also,
bei was gibt es keinen Unterschied bei Menge oder Multi-Menge?
Weil ich denke, von Elementen,
ob in die Menge oder in einem Wilkman ist,
denke ich mal, keine Unterstützung mehr.
Ja, vielleicht mal ergänzen, waren wir vor Ihnen weiter, ja?
Ja, also Entschuldigung, das, okay, ja,
weiter, ja, okay, ja, ja.
Das Einflügen, denke ich, war jetzt wieder eine Multi-Menge einfach.
Ja. Menge muss man ja auch schon drin wissen. Eben,
ne, das ist sozusagen mein, da wollte ich abheben,
nicht, wenn Sie eine Menge darstellen, dann machen Sie das ja meistens als,
zum Beispiel als Liste, Und dann müssen sie prüfen,
ob sie schon drin ist oder nicht, beziehungsweise genauso aus,
wenn sie es rausnehmen, müssen sie es auch prüfen,
ob es drin ist.
Und bei der Multimenge kann ich einfach nur den Index erhöhen oder
Andy trinken, ne? Wenn du das jetzt liest und
nicht am Set und liest, ist das dieser typische Unterschied.
Okay, okay. Und sie wollten auch noch was sagen dazu?
Ich erinnere mich auch an die, was weiß ich,
Hashtag-Implementation und wie man das so machen würde,
dann hätte man, ergreift sich einen Unterschied eigentlich,
dass die Menge nur die Elemente als solche sprechen,
die Multimenge ist zusätzlich noch mehr für die Orte drin sind.
Ja, aber müssen sie halt darstellen, ob es noch mehrfach drin ist oder nicht.
Also um den Test, ob was drin ist,
kommen sie, also wenn sie was reinfügen,
kommen sie da nicht drum hinaus, das zu sehen,
ob sie das mehrfach darstellen.
Aber das wäre von der Publiziertheit ja genauso ungefähr.
Na gut, da will ich nicht drüber streiten.
Also ich meinte diesen Aspekt, nicht mit dem Prüfen.
Und das drückt sich jetzt als Transationssystem der folgendermaßen aus.
Nicht, wenn ich ein In-Null mache, kann ich hinterher ein Out-Null machen.
Also wenn ich die Null reinlege und dann kann ich die
hinterher auch wieder raustun und genauso mit der mit der Eins.
Und das kann ich eben mehrfach machen,
wenn ich also bei einer Menge würde hier bei dem zweiten in null
kein neuer Zustand erstehen, habe ich immer noch dieselbe Menge.
Aber hier bei der Multimenge schon. Nicht so,
dass ich dann hinterher so häufig was rausnehmen kann oder mindestens
so viel rausnehmen kann, wie ich vorher reingetan habe.
Maximal genauso viel. Ja, und dasselbe natürlich auch mit der Eins.
Das würde dann noch eine weitere Dimension geben. Das heißt,
als Transitionssystem können wir das jetzt so darstellen,
wo wir hier jetzt noch keinen Prozessgrafen haben,
weil wir ja noch gar nicht wissen,
was wir hier in die Punkte reinschreiben
Und was schreiben wir da rein? Ich glaube,
da würden wir jetzt ziemlich lange brauchen, um das hier zu entwickeln.
Deswegen gebe ich Ihnen mal eine Lösung. Und zwar die rekursive Spezifikation,
benutzt jetzt interessanterweise den Parallelapparator, obwohl der überhaupt zunächst mal
das Problem mit parallel gar nichts zu tun hat,
aber mit Unabhängigkeit, wenn ich das so interpretiere.
Und das liest sich so. Ich habe hier zwei Alternativen.
Die erste Alternative sagt, ich kann ein In-Null machen,
also eine Null reinlegen und dann verhält sich das so,
wie vorher, aber ich habe außerdem noch ein Outmail,
ein Out-Null mehr
Oder ich kann eine Eins reintun, dann habe ich dasselbe wie vorher,
aber ich habe außerdem immer in jedem Fall noch ein Out 1. Das heißt,
wenn ich in den Anfangszustand wieder zurückgehe,
muss ich ja beide Seiten ausführen,
also dieses Out auch noch zusätzlich.
Das kann sozusagen nicht wegfallen, wenn ich zum Anfang zurück will,
aber wenn ich zwischendurch aufhören kann,
kann ich natürlich so machen, wie es vorher war.
Nicht insofern finde ich das ein ganz interessantes Beispiel,
weil hier dieser Parallel-Olker-Parallelapparator hier in einem sozusagen unerwarteten Kontext
dann eben vorkommt
Okay, gut. Nicht also mit der Einfachheit, meine ich auch,
wenn sie zum Beispiel eine allgebräische Spezifikation nehmen durch einfache Gleichungen,
zum Beispiel wie in dem Mord, was wir ganz am Anfang hatten,
da haben sie auch bei Multimengen einfach weniger Gleichungen als bei der,
bei der Menge,
weil sie da eben diesen Test auf Null gar nicht machen müssen.
Gut. Ja, den anderen können wir jetzt wieder über zu dem,
was wir immer machen. Wir wollen jetzt zu den Gleichungen gehen.
Wir haben ja jetzt, das war schon dieses Pseudogleichheitszeichen,
aber wir wollen dir jetzt rechtfertigen, dass wir dafür auch ein normales nehmen.
Und da haben wir zunächst mal das Axio-RDEP. Das sagt jetzt die Lösung auf der linken Seite,
ist gleich der Lösung der rechten Seite,
wenn ich da die einzelnen Lösungen einsetze und das Gleichheitszeichen ist jetzt so eins gewesen,
wie ich es früher immer benutzt habe,
dass das also gleichbedeutend mit Visimulation sein,
soll aber jetzt hier als Axiom eben gefordert.
Das ist sozusagen der einfache Teil. Und das bedeutet,
dass ich eben von der Spezifikation,
wo ich dann mal das Hilfszeichen habe,
dann übergehen kann zur Äquivalenz,
die ich
ja als Gleichung geschrieben habe
Ich habe das Ganze jetzt mal so formuliert,
weil es jetzt leider noch ein zweites Aktionen ergibt,
was üblicherweise nicht so einfach einzusehen, einzusehen, schon,
aber nicht zu erwarten ist.
Und das ist jetzt das Aktion RSP, das heißt also rekursives Spezifikationsprinzip.
Da konnte man die hängliche, das englische Akronym gleich auch im Deutschen benutzen.
Und das sagt jetzt Folgendes. Falls sich all solche Gleichung habe,
dass irgendwelche YsI gleich sind, den rechten Seiten,
wo ich die YI eingesetzt habe, Das sind ja jetzt,
Gleichheit heißt ja, wir setzen voraus,
dass das Bi-Simular sind, also Lösungen.
Dann darf ich dieses YI auch als Lösung nehmen. Das heißt also,
diese linken Seiten können dann also nicht nur Variablen sein,
sondern irgendwas, was die Lösung beschreibt.
Nicht, das kann man zum Beispiel dafür einsetzen,
wenn man schon eine Spezifikation und eine Gleichung hat,
dass man dann eine neue Lösung findet.
Und ist insofern ein bisschen wie das Duale, das heißt,
hier komme ich von der Spezifikation zur Gleichung und hier sozusagen zu einer neuen Gleichung,
zur neuen Lösung, aber es ist nur partiell eine Umkehrung.
Ja, und da das ja jetzt sozusagen irgendwie vielleicht nicht
so anschaulich ist, habe ich jetzt mal ein Beispiel dazu gemacht.
Und das sieht jetzt so aus. Ich habe ein ganz
einfaches E, X ist gleich ein AX,
nicht die Lösung ist jetzt eine unendliche Folge von As.
Und die Beispiel jetzt hier für das RDP ist natürlich die,
dass ich das Ganze hier auch als Gleichung,
als Aktion schreiben darf,
die Lösung für das X verhält sich genauso wie die Aktion A gefolgt von der Lösung.
So, das wäre das. Und hier unten,
so, ach ja, und manchmal ist das einfach lästig,
dieses eh immer mitzuschleppen. Und deswegen schreibt man dann manchmal auch,
lässt man das weg oder auch in anderen Fällen,
ist sogar auch die Spitze Klammer weggelassen.
Dann muss man irgendwie aus dem Kontext sehen,
dass es jetzt um die Lösung eben handelt.
Ja, und für unten, unten habe ich mal folgendes Beispiel gewählt.
Wenn ich jetzt mal hier weiß,
dass die Lösung für Y gleich gleich Arma,
der Gefolg von der Y ist,
dann kann ich daraus folgern,
dass die Lösung von Y gleich der Lösung von X ist
Nicht, das sieht man daraus, was ich vorher da stehen hatte,
dass wir eine neue Lösung kreieren können mit dem hier.
Ja, dazu haben wir jetzt mal ein Beispiel.
Wir fangen mal an, jetzt wieder mit dem Ähnlichen,
was wir haben. Das haben wir nur im EZ.
Z ist gleich AZ. Und mit dem R-DDP können wir jetzt
zu Folgen übergehen. Wir können jetzt hier dieses Gleichungssystem,
ja, sah ja so aus, linke Seite,
gleich A mal der rechten Seite,
also diese neue Lösung für das Set nehmen
Und jetzt können wir an dieser Stelle hier dieses Set auch
wieder hier durch die rechte Seite ersetzen, durch AZ.
Wir können das rausziehen, dass das A,
also umklammern heißt das ja nur mit A5. Und da haben wir also
dieses RDP angewandt und haben da jetzt also eine neue Gleichung eben gekriegt,
wenn wir von hier nach hier gehen.
Das heißt also, die Lösung von dieser rekrusiven Spezifikation,
die jetzt hier unendlich viele As hintereinander bedeutet,
ist dieselbe Lösung,
wo wir hier sehen,
dass wir
dort unendlich viele Doppel-As haben
Das ist ja auch dasselbe, ne? Nicht, wenn ich,
also, wenn ich also die unendliche Folge habe, A,
A, A, also in unserem Sinne dasselbe wie A,
A, gefolgt von A, A, gefolgt von A, A.
Weil sich das zu sagen, das verdoppelt dem Unendlichen nicht auswirkt.
Das ist immerhin beachtenswert, aber auch eben sinnvoll, dass sowas funktioniert.
So, mit RSP kann ich das Ganze nennen,
also auch so schreiben. Das heißt,
die Lösung von dem ursprünglichen ist gleich die Lösung von dem Neuen,
wo ich hier statt dem einen A Die zwei AS-Abend.
An der Stelle hieß man also richtig mal jetzt deutlich,
die Bedeutung von dem RSP, weil ich ja immer irgendwie einen Überblick,
auch über andere Lösungen eben kriegen will.
Nicht, dass RSP sah ja eben so aus,
nicht, wenn ich jetzt hier schon so eine Gleichung habe,
wie hier oben dargestellt, dann darf ich das auch sozusagen als neue Lösung doch eben einsetzen.
Wir sehen also von der Spezikaration und der Gleichung,
komme ich dann also zu einer neuen Lösung.
So, das Spielchen kann ich aber auch weiter treiben.
Ich kann das zum Beispiel auch mit drei AS machen
Nicht weiter aufregend, nicht dasselbe hier mit drei As geschrieben,
sieht auch immer noch so aus. Das heißt also,
wir haben dasselbe auch mit drei As. Ja,
an der Stelle hat mich das nun einmal mal gereizt,
ein bisschen rumzuspielen, um jetzt auch die Grenzen von der Geschichte zu sehen.
Und habe jetzt mal als Spielbeispiel die Variante genommen,
dass ich als Set plus AZ jetzt noch die Alternative B dazu genommen habe.
Ja, bitte? Nochmal zurück zur Frage. Ja,
das ergibt sich vielleicht irgendwann. Was genau sagt mir
das TI
Klammer auf, ganz viele dünn zu Klammern zu.
Also es ist einfach nicht eingekommen, es wird drauf sein. Ja,
da hatte ich doch diese eine... Ich schon,
oder war es nicht deutlich ungut, ich dachte mir,
das würde ich schon mal ergeben aus dem Fall.
Ja, ja, aber ich rede darum,
verstehe nicht, warum das nicht deutlich ist,
aber können wir ja gerne mal gucken.
So haben wir ein wechselseitiges Nicht-Verstehe. Mal gucken,
wo wir das jetzt über,
das war weiter vorne,
Ah ja, hier bei der geschützten Rekursion war das irgendwo.
Hier irgendwo. Nee, das war früher, ne?
Okay, dann machen wir es mal ohne. Sie meinten also,
wenn ich sowas schreibe, lasst uns das mal anschreiben
und dann sagen sie nicht, ob sie das meinen.
Also wenn ich sowas schreibe, T-T-2 von X3X4, sowas.
Das meinten sie? Ja, das ist ein Ausdruck,
In der Prozess Agebra, wo diese X3 und X4 vorkommen, sowie Atome.
Ja, das heißt also, also mal sagen wir mal A,
X3, Plus B, X4, Paralleloperator, X3,
das Ganze nochmal nach Plus C oder sowas.
Mit anderen Worten, ich habe jetzt hier was Wildes,
aber ich habe die Einsetzungsmöglichkeit von X3 und
Ja. Ja. Sowas haben sie doch auch in der Logik. In der Prädekadenlogik,
wo sie Variablen haben und wo sie dann auch sagen,
wenn das hier eine Prädekatenlogische Formel ist,
wo sie die Variablen X und Y haben,
dann könnte das so was sein wie für alle Z,
gilt X, nee, das war kein X,
X. Du musst richtig umdenken, nicht,
dass ich jetzt in Logik komme,
X und Y,
das wäre logisch,
Zeit. Nicht das Set, das gebunden hat, darf ich nichts einsetzen,
aber bei dem X und Y darf ich was einsetzen.
Ja? Nicht gebunden, das haben wir hier zum Glück nicht,
das bringen wir in der Logik viel Ärger und muss man mal aufpassen,
aber insofern ist das einfacher als in der Logik.
War das die Frage, ja? Gott sei Dank,
dann haben wir das geschafft. Okay. Gut. Aber das ist unheimlich wichtig,
finde ich, nicht, dass sie sowas fragen,
weil sie dann, wie sie schon sagten,
das dann mitschleppen, in der Hoffnung,
es kommt was und zwischendurch sind sie da nicht richtig dabei.
So,
und jetzt war ich jetzt hier ja bei meinem alternativen Beispiel
So, ich habe jetzt hier mal die Variante gewählt,
statt Z ist gleich Kleinarm,
Großz Z ist gleich klein, Großz Z plus B.
Und jetzt mache ich dasselbe wieder wie eben. Und also
hier habe ich ja abgeleitet, Z ist, achso,
und frage mich, ob das dann das entsprechende wieder gibt.
Und wenn ich das jetzt mal, ja,
und das wäre ja das Verhalten,
dass ich hier immer wieder Z machen kann und immer wieder
die Alternative mit B habe.
So, und jetzt mache ich dasselbe da drüben.
Das heißt, ich fange an mit der rechten Seite
und ersetze das Set wieder durch die rechte Seite.
So gibt es das AAZ plus B. Und wenn ich
das so ein bisschen umforme, kriege ich das hier,
was ja so viel ist, wie das hier.
Und wenn ich das jetzt sozusagen als Prozessgrafen schreibe,
dann kriege ich hier unten das. Und die Frage wäre,
ist, ob die beiden Ergebnisse jetzt bis Seminar sind?
Habe ich erst gedacht, ne? Sind Sie die Bisimilar
oder sind wir nicht? Ja, wie ist sie
Eigentlich nicht in der Sendung rechts, im zweiten seltenen Fahren.
Ja, genau. Die sind nicht nur nicht eigentlich,
sondern wirklich nicht wie Semilar,
weil ich ja hier das A machen kann und dann,
oder hier das A machen kann,
da habe ich hier das B und hier nicht.
Das ist also der Intuitiv. So,
aber oben habe ich doch gerechnet, ist da was falsch
gewesen oder habe ich auch noch dasselbe gemacht wie vorher?
Also hier haben wir uns ja gewundert, also ein bisschen gestaunt,
das habe ich jetzt weggewichen mit den doppelten As und so weiter,
dass das so geht und mit den Bs,
mit Alternative B ist das jetzt ein Unterschied.
Also hier habe ich sogar einen Takt von zwei As
und da habe ich einen Takt von einem A. Ja,
warten wir nochmal,
hat noch jemand anderes eine Idee,
woran das liegen könnte
Sonsee? Es könnte sein, dass RDP und RDP,
jetzt blieb ich das, bezüglich der Resimulation keine,
weiß nicht, warum man das sagt.
Ja, ja, könnte sein, aber es ist kalt.
Wir hatten eine heißere Idee. Wo könnte der Fehler sein
noch? Nee, das ist ein ganz trivialer Fehler.
Wenn die mal anschauen, den Schritt von hier,
habe ich extra ein bisschen schnell gesprochen.
Was sehen Sie da? Ja, sie ist ja vorhin
halb gezeigt
Der nicht so gegenseitig ist. Ja, da haben wir
so links distributiv gesetz angewandt, was ja gar nicht gilt.
Wenn ich sein darf, sodass wir an dieser Stelle hier haben, das war falsch.
Und deswegen ist das auch nicht B-Similane. Also da sieht man,
dass man, auch wenn man ganz was anderes macht,
man immer wieder auf die alten Dinge möglicherweise zurückkommen,
was so gefühlt das Ergebnis gibt,
dass das ja irgendwo alles konsistent ist,
nicht was ja da das mathematisch bewiesen ist,
auch so sein sollte.
Aber sie wissen ja alle, alles,
was mathematisch bewiesen ist, muss nicht immer richtig sein.
Das kann manchmal
Jahrhunderte dauern
Bis man merkt, das war doch nicht richtig, nicht was mathematisch.
Das heißt also, die Mathematik ist im Prinzip genauso fehlerabfällig
wie die Informatik, nur eben auf einem anderen Niveau gewissermaßen.
Gut. Ja, nehmen wir noch ein anderes Beispiel.
Und zwar machen wir jetzt mal noch ein Beispiel,
wo wir jetzt hier diesen Verdeckungsoperator eben haben.
Wir haben jetzt hier die Gleichung,
also unendlich viele As und parallel Operator unendlich viele Bs.
Und wir wollen jetzt das A und B so miteinander synchronisieren,
dass das dann hinterher eben zäh heißt.
Was wird das intuitiv ergeben? Ja, bitte. Ja
, genau. Das heißt ja, hier das, was hier drinsteht,
sind ja hier ganz viele As und hier ganz viele Bs.
Und wenn sie jetzt nun miteinander synchronisiert werden,
dann werden da ganz viele Cs und die Einzelas,
die werden ja hier abgeschnitten, so wie wir das vorher hatten.
So wollen wir das also jetzt auch haben. Und das
rechnen wir jetzt eben aus, indem wir unserem Prinzip herausfinden,
dass das dieselbe Lösung wie das hier,
was hier eine Lösung ist für den Fall,
wo wir ganz viele Erzähls haben.
Ja, und das geht jetzt folgendermaßen. Wir fangen jetzt
erstmal wieder mit dem Argument an und nehmen das später.
Da haben wir jetzt also hier den Parallelopperator,
wo wir hier wieder die drei Teile für das Left Worch,
das Linksmerch und den Kommunikationsopperator eben haben.
Dann hier bei dem Left Merch,
da können wir jetzt das A dann jetzt wieder rausziehen und
das B und das C
können wir rausziehen
Und wenn wir jetzt den, ein bisschen tief jetzt geraten,
dem Kommunikations, also den Verdeckungsoperator eben anwenden,
dann fällt, bleibt hier nur das C eben übrig.
Und hier steht was Kompliziertes, C,
mal demselben komplizierenden, was aber dasselbe ist.
Und jetzt haben wir eine Wirkung vollweise unser Aktion einzusetzen,
weil wir das Komplizierte hier jetzt auch einfach Z nennen können
und kommen dann zu der Lösung, die wir da oben haben.
Nicht, das ist übrigens ein ganz typisches Vorgehen,
wie wir dann auch später beim Alternierbildprotokoll machen werden.
Wir werden das Verhalten, das gewünschte Verhalten mit einem einfachen Set darstellen.
Aber wenn wir das Alter-Nierbit-Protokoll dann intern formulieren,
dann rechnen wir und rechnen wir und rächen wir und kriegen
irgendwas Kompliziertes auf der linken und rechten Seite.
Aber mit diesem Vereinfachungsschritt kommen wir dann wieder auf unser einfaches Verhalten zurück.
Nicht, und das ist insofern jetzt schon eine typische Vorausschau
von dem, was wir in Zukunft machen werden.
So, und jetzt kommt wieder die bekannte Leier. Nicht,
dass wir sagen, ja,
das ACP mit geschützter Rekursion ist eine konservative Erweiterung von ACP
und B-Simulation ist eine Konkurrenzrelation und ich muss alles bewiesen werden,
aber da stützen wir auf das, was andere schon für uns gemacht haben.
Außerdem der geschützte Kalkül-ACP mit geschützter Rekursation ist korrekt bezüglich Episimulation.
Nicht, das heißt also, dass wir diese Implikation haben. Ja,
und wer eben zum Beispiel nicht korrekt für ungeschützte Rekursion,
das haben wir uns ja schon an halt eines solchen Gleichungssystems eben klargemacht,
da steht im Grunde nochmal dasselbe,
was wir eben schon diskutiert haben
Ja, aber jetzt kommt ein kleiner Wermutsertropfen. Wenn wir
jetzt ACP und RSP und RDP nehmen, ist das nun leider nicht vollständig.
Und leider auch nicht für geschützte Rekursion. Das heißt also,
hier haben wir zum ersten Mal etwas, was wir gerne hätten,
aber sozusagen der einfachste Zugang ist nicht der richtige.
In den meisten Fällen ist es ja so,
dass wenn wir die einfachste Erweiterung nehmen,
dann ist die auch richtig,
weil das sozusagen in der Natur der Dinge liegt.
Aber das muss natürlich nicht sein
Und die Abhilfe davon ist jetzt folgende,
nämlich die Definition einer linearen, rekursiven Spezifikation.
Und das ist nämlich eine solche,
wo wir hier rechts jetzt wieder eine Summe stehen haben mit unseren Variablen,
aber vor jeder Variablen steht nur eine Aktion und die Variablen stehen auch allein.
Da steht also nicht hier X-1, X-2 oder dergleichen.
Dann klingelt es da wieder bei Ihnen, den Begriff linear,
haben Sie schon mal sowas gesehen,
wo sowas vorgekommen ist
Vielleicht mehrere Wortmeldungen, vielleicht nochmal eine bis jetzt
noch nicht so häufig gewesen oder sonst eher.
Naja, sie sind es jetzt. Genau, nicht?
Das ist ja bei linearen kontextfreien Grammatiken, die haben ja die folgende Form.
Nicht, dass ich irgendwie an Zeichen eine variable A
habe und das nach Entwickeln kann nach B und dergleichen.
Und nicht sowas schreibe wie A wird A mal WC.
Sowas wäre nicht linear. Nee, oder könnten auch mehrere
stehen, plus B, C plus DED oder dergleichen.
So, und was ist an diesen linearen Kontext freien Grammatiken Besonderes?
Können wir das noch ergänzen? Das weiß ich gar nicht. Ja,
das Besondere dabei ist, dass ich hier die Variablen als Zustände auffassen kann.
Und das Ganze dann eben so aussieht wie ein endlicher Automat. Nicht,
wenn ich mal sowas hier schreibe, A wird klein,
also kann ich auch das Mal so hier lassen und B wird C,
C und C wird jetzt wieder DA.
Nicht, dann kann ich das,
die als Zustände auffassen und mit A komme ich nach B
und mit C komme ich nach C. Und wenn ich eine MeD
wieder nach A und wenn ich das hier noch als Anfangszustand nehme,
dann entsprechend die Ableitung gewissermaßen Abläufen in endlichen Automaten.
Und da ich nur endlich viele Regeln haben,
entspricht die Sprache einer,
die sprach eine reguläre Sprache
Dann gab es aber noch den Zusatz links linear und rechts linear.
Wissen Sie noch, warum das, was das bedeutete?
Ja, jetzt sehen wir es aber gleich.
Dieses Territanten-Pullars hat sich ja links besinnt.
Ja, genau. Könnte das auch. Genau, das
gibt es. Ja, und da fehlt was.
Und ja, das geht natürlich genauso. Aber darf man
die auch gemischt anwenden? Also darf ich zum Beispiel haben,
A geht nach kleinen B und B geht nach Kleinweh, sowas.
Dann hätte ich ja auch zwei lineare, ja.
Dann hätten wir es aber hintenrum sozusagen, den Teil der Dürbschsprache.
Ja, dann kann ich dasselbe nämlich genauso darstellen wie A,
geht nach A, B, A, brauchst du noch eine Termination dabei.
Nicht nur diese Ersetzerei ist, also ganz ähnlich,
wie wir es hier mit den Gleichungen eben machen.
Ja, das führt also hier zu der Bemerkung,
dass diese Ähnlichkeit eben zu regulären Grammatiken nicht rein zufällig ist,
also mit regulären ist hier gemeint, linksrechtslinear und rechtslinear.
Und hier hat das aber dieselbe Konsequenz, Nämlich diese Überlegung damit,
dass ich die Variablen als Zustände interpretiere, würde hier auch funktionieren.
Und das führt eben dazu, dass eben die Prozesse,
also die Prozessfolgen, die ich mit solchen Spezifikationen beschreibe,
dann durch solche Automaten darstellen kann.
Mit anderen Worten, die endlichen, die endlichen Prozessfolgen sind also reguläre Mengen.
Das heißt, ich habe jetzt auf einmal meine rekursiven Spezifikationen
drastisch eingeschränkt und habe jetzt nur noch Prozessfolgen,
die jetzt auch durch endlich Automaten darstellbar sind,
ja bitte
Wird da durch, die auch die Toure-Gemächtigkeit massiv eingeschränkt ist.
Ja, ja. Und ist das gut oder schlecht?
Es ist insofern gut, dass wir dann beispielsweise Terminationen beweisen können.
Ja, ja. Wir sind schlecht insofern, das werde ich
mir alles berechtigen. Genau, das würde ich auch sagen.
Das hat immer zwei Seiten. Nicht und hier,
hier in dem Sinne ist es gut, weil wie wir sehen können,
damit rechnen können. Zum Beispiel das Alternier-Bit-Protokoll beweisen,
was ja auch wie ein endlicher Automat eben sich verhält.
Aber umgekehrt können wir an dieser Stelle auch nochmal die folgende
Frage anschließen lassen. Können Sie sich vorstellen,
dass man durch so eine rekrusive Spezifikation auch eine Menge von
Prozessfolgen bekommen,
die also
nicht regulär kontextfrei sind
Nicht wer Palindrom oder nee, Paletrom haben sie gesagt,
oder Deike, Deike, Tike, The Deeksprache haben sie gesagt.
Nicht, das könnte doch dann so zum Beispiel so aussehen.
Wenn ich mal diese Spezifikation nehme, X verhält sich so wie A, X gefolgt
B oder C. Ja, das würde ja mir bedeuten,
wenn ich jetzt da einen Prozessgrafen zeichne,
habe ich zunächst mal, mache ich ein A.
Und wenn ich das A sozusagen auf der rechten Seite,
also das hier wäre ja, das wäre ja gleich A, XB.
So, wenn ich das A hier ausgeführt habe, bleibt hier jetzt XB übrig.
Das X ist ja jetzt wieder gleich XB.
Also kann ich da jetzt wieder ein A ausführen.
Und hättet jetzt dann jetzt hier wieder XB. So,
aber ein B mehr, weil ich habe das ja hier ersetzt, dieses X,
das bin ich dann schon da und es kommt noch eins hinzu. So,
und wenn ich jetzt eine C ausführe, nicht,
das hier ist ja jetzt hier wieder so viel wie A,
X, das habe ich ja eben vergessen, A,
X, W plus C, kann ich hier sehen,
ausführen und dann hätte ich hier, also jetzt nur noch C, ich C, BB stehen.
So, und jetzt kann ich, jetzt hier habe ich
ausgeführt nur noch BB stehen und jetzt kann ich B ausführen,
habe ich noch ein B und nochmal B ausführen und dann habe ich terminiert.
Das heißt, auf diese Art und Weise habe ich so
eine Prozessfolge VR hoch N, C, BON.
Wenn ich das entsprechend weitermache,
also die Prozesse sehen sich so aus wie eine nicht reguläre kontextfreie,
ehe sie was sagen lassen, die andere erstmal das genießen,
Okay, und jetzt hier? Das erste, was mir auffallen würde,
wäre, dass das eine nützliche Art von Reko-7-Prozess ist,
weil da wird die richtige Stack auch bauen.
Ja, natürlich ist das absolut nützlich. Also zum Beispiel auch ein Puffer,
nicht der Prozess eines Puffers, ist eine nicht reguläre Sprache.
Also wenn Sie zum Beispiel als Petri-Netz sowas nehmen,
hier haben wir A und hier puffern wir und hier haben wir B,
dann kann B nicht häufiger ausgeführt werden als A, aber aber liebe ich oft.
Und die Prozessfolgen ist keine reguläre Sprache, also sowas Einfaches,
dass es nicht so regulär ist, gut und allseits lösend.
Den bräuchten wir auch überhaupt gar keine unendlichen Grammatiken, aber okay,
aber hier strengen wir uns in dem Sinne also ganz stark ein in dieser.
Das hört übrigens ganz am Schluss auch noch eine Aufgabe kommen,
wo jetzt das eben definiert wird,
dass eben eine solche Spezifikation regulär ist, jetzt umgekehrt,
das Ergebnis vorweg nehmen,
dass jetzt die Prozessfolgen nur reguläre Mengen sind und darüber werden dann Aussagen gemacht.
Das ist auch in dem Buch vor dem Focking,
drinnen Kapitel habe ich aber jetzt hier weggelassen und
das kommt dann nochmal als Aufgabe
Ja, und wenn wir das haben, dann haben wir jetzt auch die Vollständigkeit.
Nicht der Kalkül-ACP mit den Aktionen RDP und RSP,
ist eine vollständige Axiomatisierung für in Bezug auf B-Simulation.
Ja, und leider ist im Skript immer noch der Fehler enthalten,
dass ich hier natürlich die lineare, rekursive Spezifikation brauche.
Es wird ja aus dem ganzen Kontext klar, das fehlt,
dieser Zusatz fehlt leider immer noch im Skript,
müssen sie dann nochmal eben ergänzen
Ja, und ganz zum Schluss können wir jetzt auch noch
mal solche Umformungen machen. Wenn wir hier also ein,
zwei, so eine Geschütz, E und E sein,
jetzt geschützte, rekursive Spezifikationen, wobei E aus E entsteht,
indem die rechten Seiten der Gleichung folgendermaßen modifiziert werden,
die Aktionen für ACP mit geschützter Rekursion dürfen benutzt werden,
Rekursionsvariablen dürfen durch die rechte Seite ihrer Rekursionsgleichung ersetzt werden,
dann kann man auch jetzt das Ergebnis ableiten und
die neue Gleichung eben schreiben
Das heißt also, durch diese Methode wird jetzt gerechtfertigt,
was wir intuitiv auch mit Gleichungen eben sonst machen.
Und das gucken wir uns mal an von einem Beispiel an.
Das heißt, wir können die jetzt ableiten,
die Lösung von dem hier ist gleich der Lösung von dem hier.
Das heißt, wir haben hier gewissermaßen gleich zwei Schritte drin,
nämlich das Verdoppeln der rechten Seite bringt nichts.
Und ob ihr zweimal A oder einmal,
und das immer wieder hintereinander schreiben, ist auch gleich.
Und das können wir folgendermaßen machen. Wir fangen erst mit A3
an. Das ist X plus X ist gleich X X.
Das zielt also schon auf die rechte Seite da oben ab
Und das heißt also, dann können wir X durch die
rechte Seite AX ersetzen. Nicht, das heißt,
wir haben da oben ja nur noch einen.
Also stattdem hier haben wir nur noch das hier.
Dann können wir die rechte Seite durch AX ersetzen.
Und das heißt, wir haben jetzt dieses X hier durch AX ersetzt.
Dann haben wir X, ist gleich A, X.
Und dann sind wir im Prinzip schon da,
dass wir zuletzt noch das umklammern mit dem A5. Und
dann haben wir die Form,
die wir da recht erhoben haben
Okay, also das müssen wir dann uns dran gewöhnen, dass wir solche Umformungen mit Gleichungen machen. Ja,
das nächste Thema ist jetzt Abstraktion und Akstraktion, wissen wir vielleicht,
was das bedeutet, nochmal in einem anderen Kontext,
nicht Abstraktion haben wir bei Traditionssystemen,
haben wir auch bei Petri-Netzen, ich erinnern Sie vielleicht,
dass wir bei Petri-Netzen sowas gemacht haben, worüber wir gesagt haben,
das, was hier in dem Kästchen drin ist,
das nennen wir mal Startphase und das hier hinten kritische Phase,
wo die dass ein Engpass durchlaufen.
Und wir wollen jetzt ein Petrinetz konstruieren, dass jetzt das Innere hier verdeckt.
Und wenn man das nach bestimmten Regeln machen,
dann gibt es wieder ein Pesri-Netzen, wo das Rote,
dann eine Transition wird.
Und die inneren Tranditionen und Plätze dann eben verschwinden.
Und das ist ja in Informatik ein häufiger Vorgang,
dass man sagt, man möchte ein System unter einem bestimmten Verfeinerungsgrad betrachten.
Das heißt, alles, was feiner ist, das Abstrahieren wir weg.
Und das gibt es eben bei Stageharts und jetzt eben auch in der Prozess Algebra
Und das werden wir dann in der folgenden Weise eben anwenden.
Nicht, wenn wir zum Beispiel das Alternier-Bit-Protokoll haben,
dann wäre ja das externe Verhalten ja gerade das,
indem wir alles das, was in der gestrichelten Linie abstrahieren und nur noch das Ein-Ausgabeverhalten betrachten.
Und so wird dann auch der Beweis sein,
dass wir sagen, ja, die Spezifikation vom Sender und Empfänger,
verbunden mit dieser Kommunikation, ergibt dann ein externes Verhalten,
was sozusagen unserer Vorstellung, oder genauer gesagt, unserer Formatenspezifikation, das Alternier-Bit-Protokolls entspricht.
Und dazu brauchen wir jetzt den Begriff der abstrah dass wir
gewissermaßen Aktionen als intern labeln können.
Das ist was ähnliches, was sie aus den Automatentheorie auch erkennen.
Nicht, wenn sie so ein Automat haben,
wohin die Aktionen oder ein Zeichen A ist.
Aber wenn sie hier zum Beispiel einen Landerausdruck haben oder Y,
hieß der jetzt, glaube ich, hier, dann sagt man,
ja, der ist von außen dieser Übergang nicht sichtbar.
Nicht diese Abstraktion machen wir dann, was ist heute Dienstag
Dann am Donnerstag in dieser Vorlesung. Gut, ja,
als Pensionär, da vergisst man manchmal die Wochentage nicht,
das kann schon mal passieren.