Ja, schönen guten Morgen. Ich fange schon mal langsam an.
Wir hatten ja in der letzten Stunde mit der Prozess Agebra begonnen.
Und ich will noch mal ganz kurz das durchlaufen lassen.
Für Sie auch wieder die Gelegenheit, Fragen zu stellen,
wenn Sie irgendwie bei der Nachbetrachtung irgendwas aufgefallen ist.
Also Prozess Agebrahm war ja aus der Automatentheorie entwickelt worden,
zur Modellierung von Nebenläufigen und reaktiven Prozessen.
Wobei wir zunächst damit begonnen hatten, Prozesse ohne Nebenläufigkeit zu betrachten,
was gewissermaßen einem einzigen Automaten entspricht,
so wie wir das am Anfang Anfang ja auch mit den Transitionssystemen gemacht hatten.
Nicht im weiteren Verlauf werden wir dann mehrere Automaten beschreiben.
Das heißt, wir werden ja heute auch mit dem Parallelopperator
anfangen, wo wir also dann Parallelarbeit eben haben.
Nicht die zentrale Referenz ist dieses Buch von Focking,
was es eben auch herunterladbar als PDF gibt. Ja,
dann hatte ich darauf hingewiesen,
dass man eben jetzt die Prozess Agebra in Hinblick auf die Betrachtung,
auf den Fokus,
auf Aktionen und Zustände im folgenden Sinne mit Petrinnetzen und Stagehart
vergleichen kann
Während Petrinnetze also die Zustände und Aktionen gewissermaßen gleichermaßen in einer Form von Dualität behandelt,
liegt bei den States Charts ein Fokus auf den Zuständen,
während wir in der Prozess Agebra hauptsächlich von den Aktionen sprechen,
was durch diese Ausdrücke, die ja nur Aktionen enthalten,
ja auch unterstrichen wird.
Gleichwohl haben wir eine semantische Beschreibung durch Transitionssysteme,
die in der Prozess Agebra Prozessgrafen heißen.
Nächste erinnern sich bei Petrinnetzen war und dass die Erreichbarkeitsgrafen und
bei State Charts spricht man nur von Transitionssystemen
Ja, dann die Einführung dieser algebraischen Operationen plus und mal in den Prozess Agebra,
hatte ich dann nochmal motiviert durch Rückgriff auf die regulären Ausdrücke,
wo ja das Plus auch sowas etwas ist wie eine Verzweigung,
also im Sinne von Vereinigung der entsprechenden Prozesse,
während das Produkt so etwas ist,
wie die hintereinander Ausführung oder die Kundenkartination von Prozessen.
In der formalen Definition hatten wir zunächst mal die Syntax,
wo wir einfach nur die entsprechenden Prozessausdrücke definiert haben,
die genauso aussehen wie arithmetischer Ausdrücke mit Mal und Plus
Ja, wir übernehmen auch die Bindungsstärke, nicht das mal stärker bindet als Plus,
sodass wir also einfachere Schreibweisen ohne Klammern beschreiben können,
wie wir auch zuweilen den Punkt weglassen,
wenn das nicht zu mehr Deutigkeiten eben führt.
Und dieses sind dann die sogenannten Prozessausdrücke. Nicht zu unterscheiden von dem Prozess Grafen,
der also die semantische Beschreibung in Form eines Transitionssystems ergibt,
wo ich hier nochmal eine Einleitung in Form des Taschenrechners gegeben hatte,
mit der Betonung darauf,
dass wir der Prozess Algebra gewissermaßen die noch auszuführenden Aktionen in den Zuständen beschreiben,
während hier die bereits durchgeführten Aktionen notiert sind.
Ja, und dieser Prozess, Grafen werden dann als ein Transaktionssystem beschrieben nicht.
Und wir hatten uns ganz intuitiv auch überlegt,
dass dieser Ausdruck hier, dieser Therm bedeutet,
A oder B, führt dann zum selben Zustand in diesem Falle,
dann gefolgt von einem C und D.
Und das Transitionssystem wird jetzt so definiert,
dass wir als Zustände die entsprechenden Therme nehmen.
Das heißt also hier nach dem A oder B
bleibt noch C und B auszuführen
Dann hatten wir das spezielle Symbol, diesen Haken für den leeren Prozess.
Ja, das ist eine informelle Semantik, die wir...
Was ist das denn? Vielleicht irgendwie an meiner Fernbedingung fürchte ich mal.
Die wir jetzt dann durch eine formale Semantik dann präzisierst haben.
Und da haben wir zunächst also das Transaktionssystem,
wie üblich durch die Menge der Zustände,
wo die Zustände jetzt die entsprechenden Therme sind.
Das heißt also, wenn wir hier zweimal den TMD beispielsweise
hätten, dann würde das zu einem Knoten zusammengeführt.
Nicht A ist die Menge der atomaren Aktionen,
das sind die Inschriften an den Kanten.
Dann die Transitionsrelationen haben wir im Anschluss durch ein Kalkül dargestellt.
Wir haben nur einen Anfangszustand, was der Ausgangstherm ist und einen Endzustand,
der dieser Haken ist,
den wir aus grafischen Gründen manchmal dann auch mehrfach zeichnen,
um irgendwie
die Grafik übersichtlicher zu gestalten
Ja, das Traditionsdiskalkül ist vielleicht ein bisschen gewöhnungsbedürftig.
Sie können das von den anderen Kalkülen dadurch unterscheiden,
dass wir immer hier diese Pfeile vorkommen,
die an die entsprechenden Kanten im Transaktionssystem entsprechen.
Wir haben ein Aktion,
was der Einführung einer Aktion V entspricht und folgende Schlussregeln hier für die Alternative,
was eben so viel bedeutet,
dass wir aus einer Alternative X oder Y dann mit der Aktion V zu X-Strich kommen können,
wenn wir vorher schon wissen,
dass wir
von X nach X-Strich kommen können
Das heißt also, die andere Möglichkeit, nach dem
Y zu gehen, ist in dieser Regel nicht ausgedrückt.
Dafür haben wir dann eine andere Regel. Zuvor hatten wir dann aber noch den Spezialfall,
dass wenn dieses X-Strich, der Lehreprozess ist,
dass wir das hier auch noch mal getrennt aufschreiben,
was man eigentlich in diesem Stadium hier auch zusammenschreiben könnte.
Ja, das wäre dann die andere Regel zu metrisch zu dieser,
wo die Alter eine andere Alternative ausgeführt wird
Wieder das Entsprechende mit der Termination. Und was fehlt,
ist dann noch das Entsprechende für die sequenzielle Ausführung.
Wenn wir von X gefolgt mit Y mit einer Aktion zu X-Strich,
gefolgt von Y kommen,
können wir das also feststellen oder notieren, wenn wir vorher wissen,
dass wir von X mit der Aktion V zu X-Strich kommen.
Nicht der Spezialfall ist, dass diese Prämisse schon etterminiert,
dann würde hier unten dieses X-Strich entfallen und
nur noch das Y stehen,
wie hier auf der linken Seite
Ja, das Ganze nennen wir eine strukturelle,
operationale Semantik, Semantik,
weil es die Beschreibung der Bedeutung dieser Ausdrücke ist durch den Prozessgraben,
operational, weil wir ein Transaktionssystem haben,
was explizit die Operationen darstellt und strukturell,
weil es wie durch diese Regeln aufgebaut wird über
den strukturellen Aufbau der entsprechenden Ausdrücke
Ja, dann hatten wir ein Beispiel, die Ableitung,
eine Art ist ein einziges Übergang ist dieser Form und daran erkennen sie,
wenn wir sozusagen den Prozessgrafen, den wir vorhin im Beispiel hatten,
wo wir, glaube ich, vier Übergänge her hatten,
müssen wir viermal eine solche Ableitung ausführen.
Nicht, dass nur eine einzige Ableitung,
wo wir von diesem Tern hier mit der Aktion B zu
diesem neuen Zustand kommen und da wir nur ein einziges Aktionen haben,
müssen wir in diesem Falle V gleich B wählen,
weiter geht es dann über den strukturellen Aufbau,
das heißt also hier zunächst haben wir die Alternative mit B
Dann die sequenzielle Komposition mit C. Und zum Schluss die sequenzielle Komposition
mit D. Und wir haben dann hier unten als Ergebnis das,
was wir hier oben eben gefordert haben. Ja,
damit haben wir jetzt also den Prozessgrafen definiert als Transaktionssystem und
hier den offenen Punkt, die Definition der Transitionen dann ausgelöst.
Nächster Punkt war die B-Simulation,
die Sie ja schon am Anfang der Vorlesungen bei Transitionssystemen kennengelernt hatten,
hier also in dem Sinne nichts Neues.
Zunächst um halt
die Motivation
Wann zum Beispiel B-Simulation gegenüber Folgenäquivalenz bevorzugt wird.
Das war ja das entsprechende Bild mit der ausgefallenen Festplatte beispielsweise,
was wir auch eben am Anfang hatten.
Das wäre dann das Zugehörige, dazugehörige Transitionssystem,
wie wir es am Anfang halten. Und hier,
wie es beispielsweise in den Büchern steht,
das sehen Sie hier auch, dass hier eine Darstellung ist,
wo zum Beispiel diese Knoten nicht extra hervorgehoben sind,
dass hier der Fokus eben auf den Aktionen legt und
nicht auf den Zuständen
Ja, dann hier nochmal Wiederholung der B-Simulation, die wir dann hier auch nochmal grafisch dargestellt hatten. Nicht,
wenn wir von einem Zustand P oder einem Term ist,
das hier mit der Aktion nach P-Strich kommen und P eben bis in Mila zur Kuh,
ist also in dieser Relation steht,
dann wird eben gefordert, dass es in dem Kuh,
dass auch eine solche Aktion gibt, die zu einem Kuhstrich führt,
die auch eben wieder dann Bisimilla ist.
Nicht nur das B kommt daher, dass es in beiden Richtungen gehen will,
dass es gehen muss, das ist der zweite Punkt.
Nicht und so kümmern das entsprechend fortsetzen, zu längeren Prozessen. Und wenn es terminiert,
dann benutzen wir den dritten und vierten Fall,
wo wir die entsprechende Regel oder die sprechende Aussage für die Termination haben,
wo jetzt hier für das Terminationssymbol kein Relationszeichen ist,
weil wir ja nach Konditionen, dass ja nur ein Zustand ist.
Das heißt, ich hätte das hier auch zusammenzeichnen können,
dann ist das sowieso offensichtlich, dass wir da die Relation nicht einzeichnen.
Ja, das überprüfen wir, indem wir versuchen, eine solche Bisimulationsrelation zu konstruieren.
Das heißt, wir fangen mit dem hypothetischen Fall an,
dass die Ausgangspaare besimilar sind und versuchen dann uns entsprechende Definition weiterzuhangeln,
Definition ja immer so war,
wenn wir ein Paar haben, das B-Simular ist,
dann müssen die entsprechenden Nachfolgern entsprechende Eigenschaften eben haben.
Also hier, dass wir dann über dem A zu einem B kommen,
was hier drüben auch möglich ist und hier drüben auch mit dem A wieder zur anderen Seite.
Nicht, dass es in diesem Fall dann schon alles.
Und wir haben also diese Bisse-Moderation, besteht aus diesen drei Paaren.
Ja, das Gegenbeispiel würde dann entsprechend aussehen,
wo wir dann hier das Linksdistributiv gesetzt haben,
was jetzt sozusagen die arithmetische Darstellung ist, diese Ausnahme,
die wir vorher diskutiert hatten. Da wäre es dann so,
dass wenn wir dort eben anfangen mit dem Anfangspaar,
dass wir dann hier im zweiten Schritt zu einer Situation kommen,
wo wir hier die Aktion C ausführen können,
hier rechts aber nicht,
die entsprechende Aktion haben und eben dieses Gegenbeispiel dann zu dieser Aussage passt.
Ja, es folgte dann hier noch einige Bilder aus der Literatur.
Ich glaube, das hängt irgendwie damit zusammen, dass ich
hier immer das WLAN meldet, was ich nächstes Mal ausschalten
Aus der Literatur, wo wir solche, so eine B-Simulationsrelation
für Automaten oder Transitionssystemen haben. Nicht zu sehen,
der große Unterschied zu dem, was wir bisher machen,
ist, dass wir hier auch Schleifen haben,
die wir im Augenblick noch nicht haben.
Nicht Schleifen in der Prozessalgebranche, also Rekorde, sich
wiederholende Prozesse, also unendliche Prozesse, sind natürlich wichtig.
Das werden wir anfangen extra Woche dann in der Form
von Rekrusion kennenlernen oder vielleicht schon heute am Ende
Und das entsprechende Beispiel auch wieder mit dem Getränkeautomat. Gut,
und dann sind wir zu dem wichtigen Punkt der Verträglichkeit oder Konkurrenz in der B-Simulation gekommen.
Zunächst mal, die B-Simulation ist eine Äquivalenzrelation. Wir wollen aber,
das ist eine Konkurrenz ist, was eben bedeutet,
wenn wir ein B-Simulares-Paren haben und eine Operation auf beiden Seiten anwenden,
erreichen wir ja einen neuen Kontext für dieses B-Similare Paar.
Und in diesem neuen Kontext soll das auch wieder diese Verhaltensgleichheit sich übertragen oder vererbt werden.
Nicht, das versteht man dann jetzt unter einer Konkurrenz. Nicht allgemein würde das eben so aussehen,
dass wir, wenn wir zwei äquivalente Paare haben,
eine Operation anwenden, dass dann die Äquivalenz erhalten bleibt,
was in unserem Fall das F dann für das Plus und das Mahl steht und die Ausgangssituation, die B-Seminaren Paare sind.
Ja, und die Aussage ist,
dass das in der Tat eben gilt,
nicht und in der Zukunft werden wir bei neuen Operationen sehen,
dass das nicht automatisch gilt und dass immer die Anstrengung gemacht wird,
diese dann so zu modifizieren oder einzuschränken, dass wir eine Konkurrenz erhalten,
weil wir sonst eben einen nicht sehr praktikablen Kalkül eben erhalten.
Ja, und dann sind wir zur Axomatisierung gekommen,
wo wir dann einen zweiten Kalkül eingefügt, eingeführt hatten.
Ich hatte ja auch in der letzten Stunde das nochmal auf
der Tafel aufgemalt. Da wird sie das vor Augen haben.
Wir hatten ja jetzt bis jetzt den Kalkül für die Prozessgrafen
Und was wir jetzt bekommen, ist der Kalkül, der BPA,
heißt, nicht BPA hieß auch schon die Menge der Terne,
aber der entsprechende Gleichungskalkül heißt auch RBPA.
Und ganz am Schluss haben wir ja noch diesen Kalkül
nach eingeschränkt und den Kalkül mit dem Index AC bekommen.
Nicht, das wird ja dann der Übergang heute zu dem
neuen Teil dann eben sein. Ja,
und die Aktionmatisierung wurde deswegen eingefügt,
weil wie die semantische Definition sehr umständlich zu überprüfen ist und man
mit dem Gleichungskalkül eben rechnen kann und das zu effizienten Werkzeugen
eben führt
Ja, denk jeder Kalkül besteht aus Aktionen und Schluss und Regeln.
Und in unserem Fall haben wir also diese fünf Aktionen,
die wir dann im Detail behandelt haben.
Nicht Aksiume werden ja gesetzt, aber man kann sie natürlich motivieren,
dass sie das ausdrücken, was eben gewollt ist.
Nicht, das wäre zunächst mal die Kombutativität der Alternative.
Oder auch so ausgedrückt
Dann die Assoziativität der Alternative, was dazu führt,
dass wir die Klammern auch weglassen können. Dann diese Edempotent,
dass die als doppelte Alternative verhaltensgleich ist mit der einfach ausgeführten.
Dann die letzten zwei, wo nicht, wo bemerkenswert ist,
dass wir hier das rechtsdistributiv gesetzt haben,
aber das Linksdistributivgesetz eben nicht vorkommen, was eben nicht gilt,
wie wir eben gesehen haben.
Nicht und in dieser Akzeomatik ist es so,
dass dieses nicht verboten wird,
sondern einfach dadurch ausgeschlossen wird,
dass ein entsprechendes Axio nicht vorhanden ist
Und hier unten noch die Assoziativität der sequenziellen Ausführung.
Nicht dazu die entsprechenden Grafen sind denn jetzt hier dargestellt.
So, jetzt sind wir aber erstmal hier,
das WLAN Killen, was nächstes wieder passiert. Ja,
und hier nochmal, was wir eben schon gesehen hatten,
dass eben dieses Links links Disroputivität als Aktion nicht gefordert wird,
weil wir jetzt hier keine Bissigilarität haben,
was ja unser Kriterium war,
solche Gleichungen eben als gültig
zu betrachten
Dann zu den Regeln haben wir zunächst mal eine Regel,
eine dreifachen Regel, eine Gruppe, eine Dreifachgruppe,
die dazu führt, dass wir auch jetzt eine Äquivalenzrelation erhalten.
Dann haben wir eine Regel für den Kontext,
also die heißt Kontext, was also dann zur Konkurrenz führt,
was eben schon diskutiert haben.
Und eine für die Substitution, die dazu führt,
dass die Aktion als Aktion Schematan betrachtet werden kann,
können,
weil wir sozusagen die einzelnen Zeichen durch komplexe Therme ersetzen können
Dazu hatten wir folgende Beispiele, hier für die Substitutionsregel,
angewandt auf das Aktionen A4, folgende Substitution.
Das heißt, wir können hier diese XYZ als Variablen auffassen,
wo wir, also Gante Therme, substituieren,
natürlich in konsistenter Form an allen Stellen für das X das Gleiche ersetzt.
Und das führt dann zu dieser komplexeren Ergleichung,
die ihr jetzt aufgrund des Aktions und der Regel
dann eben auch zu dem Kalkül als ableitbar eben gilt.
Nächstes Beispiel war jetzt die Transitivität, aus der Gruppe dieser Äquivalenzen regeln.
Das entspricht gerade dem, dass wir sozusagen transitiv mit Gleichungen arbeiten können,
was wir, was ja auch schon ganz intuitiv ist.
Und das letzte war jetzt der Kontext zur Konkurrenz,
wo wir also jetzt hier zwei solche Gleichungen haben,
was jetzt praktisch bedeutet,
dass wir die Gleichungen addieren können und wir immer noch eine Ergleichung nehmen haben.
Ja, diese beiden Kalköle oder Darstellungen stehen ja zunächst jetzt mal Unverbunden nebeneinander,
verbunden nur durch die Erklärungen, die ich gegeben habe.
Und die formale Beziehung zwischen beiden wird dann durch die Eigenschaften
der Korrektheit und Vollständigkeit gegeben. Nicht wobei Korrektheit bedeutet,
dass alles, was wir als Gleichungen jetzt ableiten können,
dass das auch verhaltensgleich, sprich Bisimilar ist.
Und bei der Vollständigkeit haben wir das umgekehrt,
dass alles das, was wir als verhaltensgleich beobachten,
wir eben auch in den Gleichungskalkül ableiten können
Ja, nicht? Und wir haben jetzt hier nur den Satz,
dass der BPA-Kalkül korrekt ist. Nicht um die Überlegung,
also die formale Überlegung ist sehr ähnlich, der informalen Überlegung,
wie wir sie bei der Motivation der Aktionen und Schlussregeln durchgeführt haben.
Nicht, das sei ja zum Beispiel so aus,
nicht, dass wir bei den Aktionen,
also die entsprechenden Prozessgrafen uns angeschaut hatten,
bei A1, A2 und A3,
A4 und A5. Nicht mal würde man entsprechend jetzt dann auch eben argumentieren,
dass eben diese Aktionen,
die Linken und die rechten Seiten,
die Semiladen es sind
Und der BPA-Kalkül ist auch vollständig. Und da machen wir eine Ausnahme.
Das heißt, an dieser Stelle betrachten wir auch den Beweis.
Und das hat den Grund, weil aus dem Beweis
auch ein Verfahren folgt. Nicht ein konstruktives Verfahren,
was eben gestattet eben diese Äquivalenz oder B-Similarität dann auszurechnen.
So, und das ging jetzt folgendermaßen.
Zum Beweis konstruieren wir oder definieren wir einen neuen Kalkül.
Das ist dieser Unterkalkül zu dem BPA-Kalkül in der folgenden Form
Und zwar besteht ja jetzt nur darin,
dass wir nur die Aktion A1 oder A2 benutzen.
Nicht, dass wir ganz intuitive Aktionen, ist ja nicht,
dass wir das bloß vertauschen dürfen und die Klammerung gewissermaßen umsetzen oder sogar weglassen können.
Nicht, das heißt also,
dieser neue Kalkül drückt aus,
dass wir da im Grunde auch jetzt in der Aufschreibung keinen Unterschied machen,
den wir ja im Prozessgrafen im Grunde auch nicht machen,
weil doch rechts und links
keine Bedeutung haben
So, formal heißt das, wir sagen zwei Therme,
stehen in der AC-Relation, wenn in dem Ableih,
in der Ableitung oder dem Beweis, das ist nur ein anderes Wort,
nur diese Gleichungen, A1 und A2 eben benutzt werden.
Und das Interessante ist jetzt, dass wir,
wenn wir dann beliebige Therme zu Normalformen ableiten,
dass die dann die folgende Form haben,
die sich dann nur durch diese AC-Äquivalenz unterscheiden.
Diese Normalformen haben nämlich dann immer die Gestalt,
dass sie einfach eine eine große Summe sind,
wo jeder so mant, entweder nur aus einem,
einer Aktion besteht oder aus einer Aktion gefolgt von einem Term,
der jetzt nun eine beliebige Struktur haben kann.
Was jetzt eine Normalform ist,
haben wir jetzt hier nicht ausführlich definiert. Nur soweit,
das bedeutet hier, man wendet die Regeln so lange an,
bis keine außer A1 und A2 mehr anwendbar ist.
Nicht A1 und A2 können wir beliebig hin und her anwenden.
Nicht um bei den anderen, bei den anderen Regeln,
da machen wir gleich noch Einschränkungen,
wo das hin und her
eben ausgeschlossen wird
Ja, das hier wäre ein Beispiel von zwei Ausdrücken,
die in der AC-Relation steht, weil sie nur durch die Reihenfolge der Summanten sich unterscheiden.
Das wäre ein Gegenbeispiel. Und das wäre sogar ein Paar,
was nicht mal in der Gleichheitsrelation in der Äquivalenz besteht. So,
ja, und eine solche Normalform, die bekommen wir jetzt dadurch,
indem wir versuchen, immer diese Regeln hier, jetzt A3,
A4, A5 von der einfacheren Seite zu der, nee,
von der komplexeren Seite, zu der einfacheren Seite zu entwickeln,
nicht wobei das jetzt eine Setzung ist, dass ich sage,
rechts, das betrachte ich als einfacher.
Nicht und in der Folge werden wir dann diese Gleichheit durch
einen Pfeil ersetzen, was bedeutet, wir geben,
wir erlauben nur die Ableitung von links nach rechts und nicht mehr von rechts nach links.
Ich finde, das machen wir an dieser Stelle schon,
wo wir jetzt hier diese verschiedenen Regeln eben anwenden und dann am Schluss,
jetzt war ich wieder zu weit,
wo wir Weil ich bin ja ein ziemlich weit zurückgefallen.
So, da waren wir, haben wir jetzt diese Ableitung gemacht.
So, und jetzt muss ich aufpassen,
dass wir hier am Schluss eine Form haben,
die dieser Normalform entspricht,
wie eben beschrieben
Also eine Summe, wo wir am Anfang immer eine Aktion haben oder nur eine Aktion.
So, und dieser Übergang, der, wie eben beschrieben,
der kommt jetzt eben gleich, dass wir aus diesem Aktionensystem ein Ersetzungskalkül machen.
Und das sieht folgendermaßen aus. Wir unterteilen jetzt die Aktionen in die obere Gruppe,
die ersten beiden, was jetzt diese AC-Äquivalenz entspricht,
sodass wäre jetzt das AC-Gleichungskalkül, nicht was ja die Aktion immer 1A2 waren,
Im Gegensatz zu dem unteren Teil,
wo wir jetzt einen Ersetzungskalkül draus machen,
indem wir die Ableitungsrichtung Einschränkung, und zwar von links nach rechts.
Und das ist jetzt unser Ersetzungskalkül. Ich glaube,
um das zu unterscheiden, dass wir jetzt hier in dem Ersetzungskalkül arbeiten,
nennen wir das jetzt hier nicht mehr A1,
A2 bis A5, sondern R1,
R2 bis R5,
wobei in den oberen beiden Fällen das keinen Unterschied macht,
aber bei R3 R4 R5
ist also die entsprechende Richtung dann eben einzuwenden
Anzuwenden. Ja, und die Aussage mit den Normalformen ist,
dass wenn wir R3, R4, R5 anwenden,
immer wieder,
wobei wir zwischendurch eins und A2 anwenden dürfen oder nicht,
dann kommen wir auf jeden Fall zu Normalformen und verschiedene Ableitungen führen immer zu Normalformen,
die sich aber nur durch diese AC-Äquivalenz unterscheiden.
Das steht jetzt hier auch als Satz,
wendet man die Regeln dieses Kalkül immer wieder auf einen solchen Prozesstherm an,
so langt man nach einer endlichen Zahl von Schritten zu einem Prozesstherm Tee,
der nicht weiter reduziert werden kann in dem Sinne
Ja, dabei ist wichtig, dass es durchaus verschiedene solche Reduktionen geben kann. Nicht,
wenn wir mal diesen Thermen hier nehmen,
A plus A plus B plus B, in Klammern eine C,
dann können wir einerseits hier diese Umforderung machen,
wo wir hier mit R3 erstmal das A plus A zu A vereinfachen.
Dann, ich nehme mal lieber den Stock, das flackert nicht so.
Und dann wieder mit R3 das B plus B zu
einem B und dann mit dem Rechtsdistributivgesetz das Ausmodiplizierung kommen wir
zu AC plus BC
Und ich verkönne das auch umständlicher machen,
indem wir nämlich mit R4 anfangen und dass rein das Distributivgesetz an,
erst anwenden,
dann würden wir hier eben das C hier reingezogen haben und
dann können wir es nochmal reinziehen hier zu dem AC und so weiter und hier drüben auch.
Und dann fangen wir erst mit R3 an mit der Vereinfachung.
Das ist in diesem Falle klar erkenntlich, weil einfach,
dass die spätere Anwendung des Distributivgesetzes, diese Vereinfachung,
also das Streichen von den Doppelts jetzt Früher machten dadurch einfacher Macht,
während hier das häufiger gemacht werden muss.
Ich habe im allgemeinen Fallen, eben ist es so,
dass diese verschiedenen Ableitungen, oder es ist nicht erkennbar ist in Kalkülen,
welches die kürzere sind.
Und man ist dann meistens überhaupt schon froh,
dass wenn man verschiedene Ableitungen hat,
die dann zu einem vergleichbaren Ergebnis findet.
Also in vielen Fällen wie dem Lamda-Kalkül beispielsweise zum gleichen Ergebnis
oder hier eben zu einem Ergebnis, was vergleichbar ist.
Also hier ist es ja auch identisch,
aber es könnte auch eben nur AC-Äquivalent sein,
wie eben überschrieben
Ja, das ist eine Form sozusagen des Nicht-Determinismus von diesen Ersetzungskalkülen.
So, wichtig für uns ist auf jeden Fall,
dass man wir in diesem Kalkül von jedem Term zu einer Normalform eben kommen.
Und die Aussage ist jetzt, die Kernaussage dieses Beweises ist,
dass wenn wir zwei solche isimilare Normalformen haben,
dass die eben schon AC-äquivalent sind.
Was ich eben so beiläufig erwähnt habe,
steht jetzt hier nochmal unterlegt,
als diese Implikationen eben da
Ja, und das sehen wir folgendermaßen,
diese Normalformen haben ja die Form, dass sie entweder nur,
also aus einer Summe, wo jeder so meint,
entweder nur aus einer Aktion besteht,
nicht wie, also hier, wie hier,
da entweder nur aus einer Aktion oder sie beginnt mit einer Aktion und einem Rest.
Nicht unter dem Beweis wird hier zunächst der Fall betrachtet,
der hier nur aus der einen Aktion eben besteht.
Und das würde ja bedeuten, dass wir gerade die Alternative wählen,
wo wir die Aktion ausführen, was ja dann zur Termination
eben führt.
Die eine Aktion führt ja dann zur Termination
Wenn wir aber voraussetzen, dass das ganze Bi-Semilar ist,
muss das hier drüben auch möglich sein. Da kann es
verschiedene Ableitungen geben, aber die muss auch vor allem vorhanden sein.
Das heißt, das muss auch möglich sein, woraus wir
hier schließen können, dass dieser Sumant auch hier sein muss.
Nicht auf diese Art und Weise kommen wir für diesen Fall dann schon zur richtigen Schlussfolgerung,
dass diese beiden Normalformen für diesen Fall AC-Äquivalent sein müssen.
Bleibt noch der andere Fall, nämlich dieser hier,
wo wir nur eine Aktion haben, wo noch etwas folgt.
Das würde dann hier so aussehen
Wo wir denn jetzt ein A wählen, jetzt beispielsweise auf diesen Therm hier anwenden,
dann würde ja hier unten noch der Rest bleiben.
Selbe Argumentation wieder, da wir die B-Simulation vorausgesetzt haben,
muss das hier drüben auch wieder so sein,
dass wir hier dieses A ausführen können und die beiden hier unten Bi-Similar sein müssen.
Wenn ich daraus folge, dass in Bezug auf das,
auf dieses erste Zeichen,
das sieht also der entsprechende Therm jetzt hier hinten,
auch diese Struktur wieder sein muss,
nicht und durch Induktion hangelt man sich dann entsprechend weiter
und hat dann damit dann alle Fälle dann eben erledigt
Ja, das ist also der wichtige Kern des Beweises,
der jetzt nun folgt. Da steht also jetzt schon mal
vielversprechend Ende. Unser Ziel war ja immer noch,
wir wollen zeigen, wenn zwei Therme, B-Semila sind,
dann sind sie ableitbar im Gleichungskalkül.
Ja, das kann man jetzt also folgendermaßen sich überlegen.
Wir können ja zunächst mal die beiden Therme,
hier S&T in Normalform bringen durch unseren Kalkül.
Nicht und diese Normalformen,
die sollen also
Und Endstrich eben heißen. Nicht da der Kalkül ja korrekt war,
heißt, dass die Verhaltensähnlichkeit bei dieser Ableitung nicht verloren geht.
Das heißt, der Therm oder die Normalform ist Bisimular zu dem Ausgangstherm in beiden Fällen.
Nicht nur daraus folgt dann natürlich auch, dass die Normalformen Äquivalent sind.
So, für Normalformen haben wir aber dann gezeigt,
wenn sie Bisimular sind, dann sind sie AC-Äquivalent.
Und damit haben wir dann insgesamt Situation,
dass wir über diesen Schluss zeigen können,
dass eben auch die Gleichheit hier oben gilt.
Nicht da diese textuelle Beschreibung für Sie vielleicht im Augenblick nicht
so einleuchtend ist, habe ich das Ganze nochmal grafisch dargestellt.
Jetzt kommt also die gedannte Argumentation jetzt nochmal grafisch.
Die Ausgangssituation war ja, dass wir Wissen annehmen,
dass S und TB-Seminar sind. So, dann haben wir gesagt,
gehen wir doch zu den Normalformen über durch unseren Kalkül.
Von S kommen wir zu N und von T
kommen wir zu Endstrich
So, das machen wir in unserem Kalkül. Und da
der Kalkül korrekt ist, das haben wir zu sagen,
im ersten Teil ja schon erledigt, wissen wir,
dass eben diese Normalform bis Simular ist zu der Ausgangsform.
Genauso hier drüben, dass ein Strich ist B-Simular zum Tee.
So, und das ist sozusagen die Korrektheit des Kalküls.
Ja, und damit folgern wir eben auch,
dass hier die beiden Normalformen B-Simular sind,
weil wir hier einfach die Transitivität von Endstrich über T und
S nach N
eben ausnutzen
Ja, und jetzt sind wir aber angelangt an der Situation,
wo wir unseren Hilfssatz anwenden können, wo wir nämlich Bisimilare Normalformen haben.
Da hatten wir ja das Lämmer,
wenn wir B-Semilaren Normalformen haben, dann sind sie AC-Äquivalent.
Das heißt, wir können da schließen, dass sie AC-Äquivalent sind.
Wenn sie AC-Äquivalent sind, sind sie natürlich auch äquivalent,
woraus wir jetzt dort aus der Transitivität der Äquivalenz eben folgern können,
dass S&T auch ein Äquivalent sind.
Das heißt also, wir haben das so geschafft.
Nochmal, oder? Wollen Sie
das nochmal vorführen
Habe es jetzt so gut gemacht, dass es 1,60 ist, gut.
Weil sie sehen ja, man kann man lange dran kämpfen,
um das klar zu machen, wenn man das erst mal so liest,
dann muss man sich das irgendwie irgendwie mal so klar machen.
Und das geht dann so. Ja, ist jetzt damit
alles erledigt. Wir haben ja jetzt nur gesagt,
wir leiten das ab bis zu einer Normalform.
Und wir haben gesagt, wenn wir zwei solche Normalformen haben,
dann sind sie eben Bisimila. Aber dass dieser Prozess überhaupt terminiert,
das ist jetzt vielleicht gefühlt, klar, Aber muss auch eben bewiesen werden.
Das heißt also, wir müssen jetzt noch nachtragen,
dass der Ersetzungskalkül terminierend ist. Das heißt,
dass wir immer, wenn wir diese drei Regeln anwenden,
irgendwann mal zu einer Situation kommen,
wo diese drei hinteren Regeln nicht mehr angewandt werden können.
Nicht, das ist eine ähnliche Situation,
wie wir das in der Programmierung haben.
Wer erinnert sich oder wer kann sagen, wie man Interprogrammierung,
die Termination beispielsweise beispielsweise eine Waldschleife beweist?
Haben Sie das mal gemacht oder gesehen
Ja? Wäre die Waldscheibe in der Akkubedingung,
könnte man sozusagen sagen. Man muss eben nachweisen,
dass letztendlich vielen Ausführungen geschleißen und schalten rum,
dass diese Akkubedingungen eingehalten wird, je nachdem, wie das Akkubedingung gestaltet ist.
Ja, das ist auch bis jetzt nur eine Umformulierung des Problems.
Da ist noch nichts gelöst. Zum Beispiel,
ich kann das nur ein Beispiel geben, dass der einfach...
Ja, okay. Das soll die Akkubedingung wahr,
also die Schreibe wird ausgeführt,
so lange bis zwei Lenken gleich sind, das dann gezeigt,
dass er durch Induktionen über die Ausführungsführungshäufigkeit der Schleife gezeigt hat,
dass er wirklich irgendwann Okay, ja, das wäre schon eins.
Aber ihr könnt das noch vertiefen? Ich wollte das eigentlich sagen,
dass man nachzeigen muss, dass man das Kalkül ist und hat,
wenn die jeden durch und einfacher wird.
Ja, nicht, aber das ist ja, naja,
okay. Aber das sind zwei Dinge, die wir,
wie ich jetzt nochmal erklären möchte, irgendwie zusammenbringen kann.
Ich wollte nochmal anfangen bei der Korrektheit von Programme nicht.
Die wissen ja Korrektheit von Programmen, unterscheidet man die partielle
Korrektheit von der Termination. Ja, das bedeutet eben folgende,
ich weiß nicht, ob sie das wissen,
aber ich mache das trotzdem jetzt nochmal,
also nehmen wir mal an,
wir hätten so eine einfache Waldschleife,
nur jetzt als Flussdiagramm dargestellt
Hier ist der Anfang. Nicht,
dann sagt man ja, so ein Programm ist korrekt,
wenn hier am Anfang eine Bedingung Alpha auf irgendwelchen Variablen XY und so weiter gilt,
dann gilt am Schluss eine Beziehung, Gamma auf irgendwelchen Variablen.
Das heißt, man setzt dann die Anfangsbeziehung zu der Elsbeziehung in Bezug.
So, und so ein Programm heißt partiell korrekt,
das sagt man immer dann, wenn man ans Ende kommt,
dann gilt das.
Und das macht man durch in Varianten
Das sage ich jetzt nochmal, passt ja zu unserem Thema,
weil wir ja die speziellen in Varianten bei den Petri-Netzen hatten.
Und so eine Invariante ist folgendes, da ist eine solche Zusicherung,
die man idealerweise hier zum Beispiel an dieser Stelle formuliert.
Mit der Bedeutung, dass immer, wenn der Befehlszähler an
dieser Stelle kommt, dann gilt hier dieses Better.
Ja, und der Beweis der partiellen Korrektheit geht jetzt so,
wenn ich am Anfang Alpha gilt und ich erste Mal hier hinkomme,
dann gilt das.
Wenn ich hier bin, einmal die Schleife durchlaufe,
gilt sie
immer noch
Das heißt per Induktion gilt sie, wenn ich sie beliebig oft durchlaufe.
Und dann zeigt man, wenn Better gilt und ich
hier rausgehe und dann kommt die Abbruchbedingung hier ins Spiel,
dann gilt eben Gamma. Das zeigt eben nur,
wenn ich überhaupt zum Ende komme, dann gilt das.
Und das nennt man jetzt partielle Korrektheit. Und aufgrund dieser
Methoden ist es sinnvoll, das zu unterscheiden. So,
totale Korrektheit, da muss jetzt noch die Termination dazukommen.
So, und ich wollte jetzt mal fragen,
ob Sie jetzt sozusagen Ihre Aussagen präzisieren können,
indem Sie dieses Schema jetzt hier betrachten.
Was macht man da bei der Termination?
Das war ja alles richtig,
was Sie gesagt haben
Kann man da auch mit diesen in Varianten arbeiten oder so?
Ja, seht vielleicht. Variante aufnimmt,
dass es eben eine 40 Zieler wurde, wenn es etwas gibt,
der eben nur das zu gegen etwas zieht,
was mein Problem nicht vereinfacht wurde, gesagt wurde.
Ja, das klingt schon, ja, okay. Ein maximaler Anzeichen,
das eben kontinuierlich passiert, sodass es dabei da von Ausnahmen,
dann kann man eben damit sein,
zu heimlichen zweiten Schritt und genau dieses Ziel,
die maximale Einfachheit oder eben die maximale Anzahl erreicht.
Das geht in die Richtung, Sie wollen das andere ergänzen.
Oder andersrum, so eine Art Zähler, die jedes Mal verringert treffen.
Ja, das hat er ja auch schon angedeutet, genau.
Von unten nach oben, von oben nach unten.
Das ist egal. Man nennt man immer von oben nach unten,
aber wenn von unten nach oben kann man durch Substraktionen,
auf das eine, auf das andere. Ja,
das ist also, also richtig,
während man das hier jetzt zum Beispiel als Invariante bezeichnet,
ihn war Riante, bezeichnet man das bei der Termintion als Variante,
weil sie, wie ja richtig gesagt haben,
es soll sich ja was verändern, nämlich nach unten zählen.
Und so eine Variante ist jetzt eine Abbildung, irgendwie sagen wir mal,
eine Abbildung Fee von den Werten der Variablen, in eine wohlgeordnete Menge.
Man kann da eben zum Beispiel die natürlichen Zahlen nehmen und zeigt,
immer dann, wenn man einmal die Schleife durchlaufen hat,
wird der Viehwert von den Variablen echt kleiner.
Ja, das ist genau, was Sie gesagt haben,
jetzt nur formal umgestrickt und wissend, dass das nicht negativ werden kann.
Da steht also die Voraussetzung schon drin,
das geht nicht auf Z, sondern auf N,
weiß man, das muss irgendwann mal erbrechen.
Nicht, das ist so eine Art Gewichtsfunktion, die man runterzählt.
Und würde sagen, ihr zählt aber rauf,
dann nimmt man einfach eine größte Zahl Minus oder irgendwie sowas,
das kann man
alles umstricken
Und so was Ähnliches machen wir hier an dieser Stelle eben auch.
Wir definieren nämlich jetzt eine Gewichtsfunktion und die sieht jetzt folgendermaßen aus.
Wenn unser Term nur ein V enthält, eine Variable,
dann soll das Gewicht zwei sein.
Wenn der Term ein Plus enthält, dann soll das Gewicht,
der Summe der beiden Teilgewichte sein.
Und wenn der Term ein Produkt ist,
dann nehmen wir das Quadrat des Erstens Gewichtes mal dem Gewicht
mal dem zweiten Gewicht
Und jetzt kann man sich überlegen,
dass jetzt mit jeder dieser Ableitung, mit dieser Regel,
das Gewicht sinkt, aber nie negativ werden kann.
Das heißt also, auf diese Art und Weise muss diese ganze Schicht terminieren.
Und das ist also ganz ähnlich wie in dieser Waldschleife.
Das müssen wir aber noch mal verifizieren mit dem Sinken.
Da habe ich mal dieses Beispiel hier genommen.
Rechnen wir jetzt mal. Das Gewicht von X plus X,
wenn das ist, also Variablen wären das X,
dann wäre das ja zwei und BBM Plus haben wir zwei plus zwei.
Und wenn wir diese Regel anwenden,
haben wir rechts nur eine zwei,
wird also kleiner
So wie es hierbei. Hier haben wir zwei plus zwei,
das ist ein Produkt, in dem wir das Quadrat,
mal dem Set ist zwei,
das ist 32 und auf der rechten Seite,
da haben wir hier zwei hoch zweimal zwei und das Ganze zweimal ist acht plus acht,
es ist 16, wird also auch kleiner.
So und beim dritten haben wir jetzt also hier einen Drive,
also ein zweifaches Produkt, das gibt zwei hoch zweimal zwei
und dann nochmal für das andere Produkt hoch zwei,
es gibt 128, während wir rechts nur eben etwa 32 haben.
Das heißt also, diese Definition hier, die ist deswegen so gewählt,
damit zu sagen, die Rechtsklammerung leichter ist.
Nicht, wenn ich von Gewicht spreche, als seeliges Klammern.
Kann man natürlich auch anders machen. Sie sehen dann also,
genau wie bei der Beweis von In-Varianten, die Kunst darin besteht,
die richtigen In-Varianten zu finden, besteht hier sozusagen die Kunstlerin,
die richtigen Varianten zu finden, was also durchaus erträgreich sein kann.
Ja, und das Gegenargument dazu ist natürlich,
dass man, wenn man programmiert,
im Prinzip ja vielleicht so eine in Variante schon im Hinterkopf
hat und dann kann man sie auch aufschreiben oder noch besser,
man programmiert so,
dass man eine In-Variante hat und genauso mit den Varianten,
ja bitte
Werden solche Farianen für den Beweis der Termination, immer die Form eines solchen Zählers haben.
Ja, das ist ja nur indirekt ein Zähler.
Das kann ja eine komplexe Funktion sein,
aber die hat dann, man sagt,
man kann dann auch so eine sogenannte wohlgeordnete Menge nehmen,
die also immer fällt, aber irgendwann mal,
wo jede fallende Sequenz ein Ende hat.
Aber meistens kann man, definiert man das so,
weil man das alles auf diesem Fall reduzieren kann.
Also wie gesagt, der allgemeine Fall ist,
ich weiß nicht, ob das das richtige Term war,
das heißt,
eine wohlfundierte Menge ist eine,
wo jede fallende Sequenz endlich ist,
sowas braucht man dann immer
Meistens Fällen kann man das sozusagen mit den nicht negativen Integers dann eben erledigen.
Ja, nicht auf diese Art und Weise wissen wir,
wenn wir dann eine solche Ableitung haben,
dass Gewicht sinkt und kann eben nicht unendlich sinken und dadurch kommen wir auf jeden Fall zu einer solchen Termination.
Ja, und daraus folgt jetzt ein Entscheidungsverfahren,
was jetzt, glaube ich, auf der Hand liegt,
nicht nur als Algorithmus nochmal formuliert,
sieht das folgendermaßen aus.
Die Eingabe sind zwei Prozessterne,
S und
Die Ausgabe sei also wahr,
wenn die beiden Äquivalent sind und falsch, im anderen Fall.
Und das Verfahren sieht eben so ran,
dass wir also diese Regeln R3, R4, R5,
solange anwenden, wie es geht.
Und das Ergebnis nennen wir dann N. Das ist dann ein
Prozess in Normalfonds. Ein Prozesstherm in Normalfonds. Dann wenden
wir dieselben Regeln auch wieder an auf den anderen Therm.
Und das nennen wir dann das Ergebnis N-Strich
Und dann am Schluss brauchen wir nur zu schauen,
ob diese beiden Ergebnisse jetzt AC-Äquivalent sind.
Das heißt, sich auf die Reihenfolge der Sumanten unterscheiden.
Und dann sind wir eben fertig. Nicht deswegen der
ganze Beweis, weil das eben zu diesem Verfahren führt.
Und das würde dann praktisch dann so aussehen, wenn wir
mal entscheiden wollen, ob die beiden jetzt hier Äquivalent sind.
Nehmen wir, hier haben wir hier unserem Regelsystem.
Und wir fangen jetzt mal an mit der linken Seite.
Wie viel Sie sehen, der große Unterschied ist, während wir früher,
also jetzt mit den Prozessthermen arbeiten mussten, manipulieren wir jetzt nur Gleichungen.
Hier wenden wir jetzt mal, dass die Regel R1 an,
kommen dann dazu, dass wir hier dieses ACD haben,
plus den Rest, dann wenden wir R3 an,
was jetzt die Vereinfachung ist von dem Deblus D.
Und dann nochmal R3 wenden wir an, weil wir,
ach ne, R3 wenden wir an und das ist sozusagen
die Fünf wenden wir an und das ist diese Umklammerung.
Und dann können wir nichts mehr anwenden. Nicht,
wir haben gewissermaßen eine Summe und die ist rechts geklammert. So,
wenn wir das jetzt mit der anderen Seite machen,
dann würde das so aussehen,
da fangen wir jetzt wieder an mit dem Herr 3 und reduzieren diese Verdopplung.
Dann wieder mit dem R5, wo wir umklammern.
Und dann das R4, wo wir außen modiplizieren.
Und jetzt sind wir eben fertig, weil wir sehen,
wir haben hier zwar nicht die gleichen Therme, aber zwei AC-Äquivalente,
die sich nur in der Reihenfolge der Sumanten dann unterscheiden.
Also die beiden berechneten Normalformen, ein- und ein Strich,
sind Äquivalenten, wo du AC und daher sind die Ausgangstherme.
Äquivalent und da oben geht dann statt dem Fragezeichen das Jahr.
Okay, nicht, dass es also komplizierter Überlegungen vorher
vielleicht oder relativ kompliziert und aber ein sehr einfaches Verfahren,
was eben auch sehr effektiv ist, ja bitte?
Ja, das ist cool, wie vorher in dem Algorithmus.
Ja, da stand, glaube ich, ein Satz,
der herausragt. Ja, gucken wir mal,
stand für vielleicht ja was Falsches, aber zu den
Die meinen, die ganze Folge vorher, so.
Ja, wobei auch Tabination oder durch andere Passage,
der Text da, ich glaube, da fiel es.
Sieht so aus. Dieser Schritt kann mir naja durchgehören,
wobei auf Termination, ja. Und was steht in
deinem Schritt, aber haben Sie das zu liegen da?
Dann gucke ich mal zu Hause nach, nicht?
Also da ist, vielen Dank, das ist ein Verbesserungsfähig,
dann nicht,
okay,
Gut. Ja, damit können wir das also abschließen.
Und wir kommen jetzt zum neuen Thema, wie angekündigt,
zur Parallelen Komposition. Das heißt, jetzt kommt wieder was Neues.
Das heißt, wir wollen jetzt Parallelarbeit beschreiben. Dazu führen wir
einen Parallelopperator an durch diese häufig benutzten beiden fränkreichen Striche.
Und wir wollen jetzt also solche Thermen betrachten,
wo wir hier zwei Prozesse wie vorher haben, pro zwei Therme wie vorher,
die aber jetzt durch eine solche Parallel-Operator miteinander verbunden sind.
Ja, die Frage wäre jetzt an Sie, wie definiere ich das?
Und wir erinnern, wie dasselbe Verfahren wir vorher.
Wir werden erst hier wieder den Transitionskalkül beschreiben.
Ich schreibe das jetzt noch mal hin. Das war jetzt
sozusagen der Gleichungskalkül. Und hier, das war der Transitionskalkül.
Das heißt, wir haben jetzt wieder die entsprechende Geschichte mit
den Pfeilen
Ja, nicht, und das können wir jetzt folgendermaßen machen.
Wir können jetzt ja hier auf einen solches,
eine solche Transition schließen, wo wir sehen,
der rechte Teil ist der gleiche und der linke Teil hat sich verändert,
indem wir voraussetzen, dass der linke Teil einen Schritt gemacht hat mit der Aktion V.
Und das Entsprechende haben wir jetzt hier unten,
dasselbe können wir dann auch mit dem Rechten teilmachen,
wo sich das Y zu dem Y-Strich verändert
Das heißt, wir machen das, das steht jetzt auch schon mal da,
was man Folgensemantik oder Interlieving-Semantik, also in der Leading-Semantik bezeichnet,
dass wir also parallel Arbeit auflösen in die einzelnen Schritte.
Nicht das würde also hier bedeuten,
Sie erinnern sich bei den Petri-Netzen, hatte man was Ähnliches,
wenn ich hier zum Beispiel den Schritt X habe und den Schritt Y und wenn ich die Situation habe,
dass ich Y habe und dann X,
dann ist das jetzt meine Beschreibung dafür,
dass die beiden jetzt parallel ausgeführt werden.
Und bei den Petri-Netzen hat man auch die Möglichkeit, ja,
dass man X und Y parallel ausführt. Ich meine,
in Peter-Netzen hatten wir ja noch diskutiert,
dass man umgekehrt den Schluss natürlich nicht machen kann,
wenn man so ein paralleles Gramm hat,
können X und Y natürlich abhängig voneinander sein,
dass sie in diesen beiden Reihenfolgen möglich sind, aber nicht gemeinsam.
Aber so geht es natürlich auch,
dass wir sagen können, wenn es einzeln geht,
dann können wir dann auf diese Parallelarbeit eben schließen.
Und das führt dann eben zu dieser Folgen oder Interliven-Semantic Apital.
Können wir das auch gemeinsam machen, sozusagen,
dass wir beides voraussetzen und da sagen beide Schall.
Jein, das kommt dann vor, wenn wir zur Synchronisation kommen.
Nicht, und Sie erinnern sich ja, wir hatten ja
dann bei den Transitionssystemen Synchronisationspaare, das kommt auch gleich.
Aber das wäre dann ja genau das Äquivalent zu der Kante in
der Mindestpaare. Nein, das wäre ein anderer Fall.
Das wäre ja der Fall, wo die synchronisieren.
Ich meine ja hier den Fall, wo sie unabhängig voneinander passieren.
Wenn sie jetzt als, das ist der Fürchter der Petrinetze,
wo wir also eine konkrete Semantik haben,
so war es
So, als meine ich hier mit nebenläufig. Die sind unabhängig voneinander,
ohne dass sie miteinander kommunizieren. Und was sie eben angesprochen haben,
das wäre ein folgendes, kommt dann also später,
wenn ich also hier das X und das Y habe und
ich wende meine Kommunikationsabbildung X und Y ist gleich Z an, dass ich sage,
diese beiden Aktionen sind dieselbe und die nenne ich jetzt Z. Ja,
das ist das, was sie im Sinn halten.
Das ist eine Synchronisation und das ist die Unabhängigkeit,
die Nebenläufigkeit
Ich bin mir nicht sicher, was ich interessiert habe,
aber beide, also sowohl das Ex, über Fauna mit Strich,
also wo wirst du dann über Fauna Y strichen,
mit unverknüpft nach oben zu schreiben und unten x-parallel
Y über V, nach x-strich parallel Y strich belassen.
Darauf hinauslaufen würde, dass die synchronisiert sind, dann ist es wahrscheinlich.
Warten wir mal den Prozessgrafen ab, da sehen wir das dann
vielleicht anschaulich. Also hier wäre jetzt nur noch nachzutragen,
dass wir das Entsprechende auch wieder für die Termination machen,
wenn hier der obere Prozess jetzt terminiert hat,
dann ist natürlich klar, dass hier vorne nichts mehr fleibt
Und dann bleibt nur noch das Y, das ist sozusagen einer der parallelen Teile,
hat terminiert und eben im unteren Fall dann auch. So,
jetzt kommt also der Prozess Graf von diesem Beispiel jetzt mal,
wo ich A, B parallel habe mit B,
B.A. Nicht nach unserer Semantik ist es ja so,
dass ich A ausführen kann, den linken Teil,
dann bleibt hier links nur noch D, aber recht,
ändert sich nichts.
Und hier kann ich B ausführen auf der rechten Seite
und da ändert dich eben links nichts.
So, dann kann ich hier wieder B ausführen,
Das wäre jetzt hier auf der rechten Seite, dann würde B parallel A ausführen.
Und wenn ich das linke B hier ausführe, bleibt mir
auch nur die rechte Seite BA. Nicht und entsprechend,
er geht das also weiter, bis ich dann hier unten
zu den nur noch zu einzelnen Atomen gekommen bin und dann terminiert die ganze Geschichte.
Und wenn Sie jetzt mal so eine Aktionsfolge von dem Term
bis zum Terminieren betrachten, liest sich das ja folgender.
Erst kommt A, dann kommt B, Ne,
wo ich jetzt noch nicht mal weiß,
ob das das linke oder rechte ist, aber ich kann das ja ja ablesen.
Dann kommt wieder A und B. Das heißt also,
der ganze Ablauf wird beschrieben durch eine Sequenz,
ihre Folge A, B, A, B und gewissermaßen die,
was da jetzt nun parallel war und so weiter,
ist in der Ablauffolge gar nicht mehr zu sehen.
Entsprechend bei diesen Parallelogrammen, wo ich nicht weiß,
ob das jetzt nun wirklich nebenläufig war oder abhängig war,
sich und das zu sagen,
die Schwäche der Folgensemantik der Interliebing-Semantik gegen eine Semantik,
die jetzt, also diese Unabhängigkeit ausdrücken kann,
was man bei den Petrinetzprozessen, hatten sie ja auch,
Petrinetzprozesse, durch die man durch Kausaneze beschreibt,
wo man das entsprechend machen kann,
ja bitte
Das ist, kommt jetzt zweimal dazu, stabil parallel zu A vor.
Ja. Jetzt hat die beide Male aufgeschrieben, ist das,
müsste man. Müsste man zusammenfügen. Ja, ja,
genau, das ist genau dasselbe. Das kommt alles nur
einmal vor. Mich, das muss dann also kein Baum sein,
sondern auf jeden Fall sind wir immer noch im Zyklen im freien Fall.
Ja, sie müssen ja jetzt häufig Licht an und aus
machen, jetzt machen wir wieder alles.
Ja, okay, gut. Gut. Ja,
und jetzt kommen wir aber zu dem, was sie eben schon vermisst haben,
nämlich zur Synchronisation und Kommunikation. Nicht, und da haben wir etwas,
was wir eigentlich schon vorgezogen haben bei den Transitionssystemen,
dass wir die da sagen, wir haben ein Kommunikationsapparator,
der zwei Aktionen zusammenführt, synchronisiert,
wo wir noch die Möglichkeit haben, die umzubenennen,
wie ich das hier in dem Beispiel ja mit dem Set auch schon angedeutet,
eben habe.
Ja, und der ist natürlich kommutativ und was ist so
ein Assoziativ, das brauchen wir jetzt eigentlich nicht weiter.
So, und dazu machen wir jetzt auch jetzt wieder
neue Regeln, die Sie eben offensichtlich vermisst haben.
Nicht um die wichtigste Regel ist jetzt die hier.
Wenn ich hier Übergänge im X mit einem V und Von
X-Night X-Strich und Öffner öffnen einen Strich mit V&W habe.
Und wenn die in der Kommunikationsrelation stehen,
dann kann ich die auch gemeinsam ausführen und würde beide Teile,
die links und rechts sind, gemeinsam ausführen und kommt dann zu den Nachfolger.
Mir ist das, dass sie eben, glaube ich,
eben vermisst haben. So, und was jetzt,
keine Reaktion. So, was jetzt noch hier steht,
das habe ich jetzt extra auch wieder abgesetzt,
das sind gewissermaßen nur Varianten von diesem Fall
Können Sie auch als Lernhilfe verstehen. Wenn Sie sich das
merken, sind die anderen Fälle eigentlich ziemlich logisch ableitbar.
Die haben nämlich nur damit zu tun, dass die einzelnen
Teile terminieren. Nicht, wenn der erste Teil terminiert,
dann bleibt hier der erste Teil eben weg.
Und das war wieder zu weit. Und wenn der zweite
Teil terminiert hier, dann bleibt nur der erste Teil da.
Und hier haben wir den Fall,
wo beide terminieren und der terminiert die ganze Geschichte.
Und dass das hier rot ist,
hat keine Bedeutung
So, gucken wir uns jetzt mal den Prozessgrafen an.
Das geht ja jetzt auch so los und wir haben ja
den Prozessgrafen von eben vielleicht noch im Kopf,
haben wir ja lange genug drüber gesprochen.
Können Sie sich jetzt vorstellen, wie der Prozessgraf jetzt aussieht?
Also mit der Kommunikation, wollen wir jetzt mal in unserem Beispiel annehmen,
dass E2 Paare sich nach C synchronisieren, also A und B und B und A.
Und dann könnte man ja denken,
dass jetzt A und B synchronisieren sich nach C,
bleibt nur noch BA und wieder und dann terminiert die ganze Geschichte.
Aber wie sie aus meiner Formulierung entnehmen, ist das nicht so,
weil Nämlich diese Kommunikationsrelation, nur was hinzu hinzufügt,
nämlich diese Kommunikation, die alten Übergänge bleiben nämlich erhalten.
Nicht wenn ich den Kalkül so wie vorher definiert habe,
die Regeln habe ich ja nicht verboten, die andere,
sodass also auch noch hier solche Teile da sind,
wo das BM einzeln ist und das A oder Nacheinander ist und natürlich genauso der andere Fall.
Das heißt, sie sehen,
wir haben jetzt den Grafen von eben jetzt noch erweitert,
nur durch die Teile,
wo wir hier
das Erzählen hier haben
Wenn ich, das ist jetzt eine Folge der Definition durch diesen Traditionskalkül.
Und wenn wir später dieses sozusagen nur dieses haben wollen wie beim anderen,
dann müssen wir diese anderen Teile extra abschneiden,
was wir heute auch noch kennenlernen.
Ja, bitte. Das ist im Prinzip jetzt das,
was ich eben meinte. Ja, genau. Da wundert es
mich jetzt, dass dafür eine extra Kommunikationserwöhnung notwendig ist,
denn die beiden Aktionen sind ja jemand oder die ganzen Prozesse sind,
ja, nebenläufig.
Das heißt, theoretisch könnten sie auch
gleichzeitig scheiden
So schon ohne Sicherung. Ja, aber wir haben hier in
dieser Prozess Agebra nur die Inter-Livings-Semantics. Wir haben keine Möglichkeit,
dass das sozusagen unabhängig schalten, wie bei durch Petrinetz-Prozesse darzustellen.
Das ist nun mal halt so. Das ist ein Nachteil.
Bitte? Wenn Sie nicht kommunizieren, ja, ja,
genau, genau. Interessant ist, diese Kommunikation nichts weitermacht,
als genau das hinzuzufügen, aber nicht zu keinen Sinn.
So ist es, ja, genau. Das liegt an
dieser Definition durch diese Übergänge. Und wir werden dann heute lernen,
wenn wir nur diese Kommunikation, wenn wir also wollen,
dass die kommunizieren und die anderen nicht gelten,
sozusagen ins Leere gehen,
dass wir die dann extra unterdrücken
Aber da waren noch andere Meldungen oder hat sich erledigt.
War auch die Kommunikation extra, um Ausdruck zu gucken können,
dass die echt lebendläufig schalten und nicht nur nicht nur Interime.
Na, was heißt echt? Nein, nein,
die Kommunikation braucht man, um zur Konsation auszudrücken,
dass sie wirklich gleichzeitig sind.
Deswegen haben wir das ja auch mit den Transitionssystemen am Anfang so gemacht,
damit sie hier möglichst sich schon daran gewöhnt haben.
Aber ist das nicht? Das ist ja andersrum,
da sind wir pursichtlich in der Konsulation,
ja gerade dieses Abschneidende wird,
was wir jetzt
noch nicht haben
Ja, ja, also es ist so,
diese Kommunikation wird jetzt hier noch hinzugefügt.
Nicht, das können Sie kritisieren,
dass wenn man das nicht gleichzeitig macht, hinzufügen und abschneiden.
Das sind einfach nur zwei verschiedene Schritte, was nun mal
so ist. Nein, ich habe mich gewundert,
dass man sozusagen von Anfang erstmal nicht von Anfang an lang voraussetzen kann,
dass sie auch zufällig gleichzeitig ablaufen können.
Ja, ja, eben. Das ist ja eben gerade
der Vorteil der Petrinetze, wo das so sagen,
der im lokalen Kontext in Natur aus angegeben ist.
Aber weil der Prozess basiert alles auf Folgen.
Und das ist wie bei den Automaten,
da geht das eben nicht
So, jetzt haben wir also den Prozess,
Grafen und jetzt gehen wir hier wieder zu dem Gleichungskalkül,
was jetzt ja aktuell Aksomatisierung des Parallelapparates eben heißt.
Und da ist jetzt das, wird das folgendermaßen gemacht,
dass man einen sogenannten Links-Merch-Operator einführt,
der aus diesen Parallelstrichen besteht und unten so eine asymmetrische Kante dran hat.
Und die ist folgendermaßen definiert,
wenn ich von x nach x-strich mit V komme,
komme ich von x, links, Merch, y nach x-strich,
Linksmerch nach Y, dann werden sie sagen, ja,
das ist das, hatten wir doch schon vorher.
Nicht der Unterschied besteht jetzt darin, dass wir eine Regel
für die rechte Seite eben nicht haben. Das heißt,
der Linksmerch erlaubt nur die Expansion der linken Seite und hier unten drunter in dem Carsten,
ist jetzt wieder das, was wir vorher auch schon hatten für die Termination,
nicht wenn das Ganze terminiert, dann bleibt hier von dem linken Teil nichts mehr übrig.
Und später werden wir den Parallelapperator mit Hilfe dieses Linksmerch-Operators definieren,
indem wir die beiden Teile so, indem wir den mal anwenden,
auf das Argument so rum und andersrum,
was man auch natürlich sofort hätte machen könnten,
dass sozusagen nur eine Strukturierung, um die Gleichungen vielleicht besser aufzuschreiben.
So, dann kommen wir jetzt zu dem Kommunikations-Emerge-Operator.
Ach ja, dann brauchen wir ja jetzt auch nochmal,
das ist jetzt nochmal ein neuer Operator,
wo wir auch jetzt nochmal ein Transitionssystem eben erst definieren.
Und den schreiben wir jetzt durch einen einfachen Strich.
Und dieser einstrafenfache Strich, der soll eben bedeuten,
dass nur die Kommunikation ist.
Vielleicht haben die
da drauf gewartet
Der sagt jetzt jetzt, es ist nur Kommunikation angesagt, dann wären Anführungsstriche.
Bitte? Kleine der Autobahn. Da wird zumindest,
zumindest der Parallelopperator, den wir nachher haben,
der wird darin bestehen, dass wir den Left-Merch,
so rum und so rum anwenden und den hier.
Also abgeschnitten wird ja gar nichts. Es wird nur positiv
erlaubt. Das muss man eben so rumsehen. Ja,
und bei dem hier ist es dann auch wieder,
haben wir ja auch wieder die anderen Fälle mit der Termination,
die ganz analog sind
Und jetzt kommen wir erst zu dem entsprechenden Kalkül.
Und dieser Kalkül, der heißt jetzt P-A-P. Das heißt also,
will ich hier auch noch mal andeuten. Nicht den entwickeln
wir jetzt hier von dem Basic-Process Algebra zu dem P-A-P,
was jetzt so definiert ist,
dass wir die Erweiterung der elementaren Prozess Algebra haben,
durch den Parallelopperator Merch und den Links-Merch-Operator und den Kommunikationsmerch-Operator
mit diesen drei Symbolen Parallelstrich und diesen beiden anderen
Ja, nicht? Und wenn Sie nochmal Licht ausmachen,
das Wichtige ist jetzt, auf was das Ganze hinaus läuft,
den Paralleloperator, den stellen wir jetzt da durch den Left-Merch-Operator,
nämlich so rum und so rum und die Kommunikation.
Das heißt, hier haben wir sozusagen die Entwicklung,
der Prozess macht einen Schritt links, der Prozess macht einen Schritt rechts,
weil das vorher ja rechts steht und er macht einen Schritt gemeinsam.
Das heißt also jetzt, durch diese durch diese Bisimulationsgleichung,
die wir dann auch als axiomatische Gleichung dann übernehmen,
werden jetzt also diese drei Teile eben erweitern.
Ja, wichtig ist jetzt der Begriff der konservativen Erweiterung.
Nicht, wir haben ja jetzt eine Erweiterung unseres Kalküls
und sagt ihnen oder können Sie sich was dabei denken,
was eine konservative Erweiterung ist, vielleicht jemand anderes sehe, ja?
Das ist einfach alles Beständnis, was Furcht und Dauer
und eben eine reale Erweiterung ist.
Ja, das sozusagen, was schon da war,
bleibt erhalten und was könnte das
hier bedeuten?
Genau. Alles, was wir bisher gemacht haben, gilt immer weiterhin.
Das heißt, wir haben eine arme Weiterung. Und
wenn wir nur das schreiben, was wir vorher hatten,
was ja auch noch immer möglich ist, da ändert sich nichts.
Genau. Und das ist natürlich was, man haben muss,
um die ganze Sache stabil zu halten.
Und das heißt zum Beispiel konkret, nicht,
dass der Therm Xbos Y in PAP dieselbe Semantik hat, wie in PPA.
Ja, also PAP ist eine konservative Erweiterung, muss man dann eben beweisen.
Das heißt, die neuen Transitionsregeln verändern nicht die alten.
Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass der auf BPA eingeschränkte Prozesskraft unverändert bleibt.
Das heißt also, wenn ich nur das schreibe,
was ich vorher konnte, dann ist das noch genauso.
Ja, und wir haben auch wieder die Konkurrenz,
wenn wir zwei, hier zwei B-Seminare, Paare haben,
dann bleiben sie eben Busymila,
wenn wir sie mit Plus und Mal oder Alternative und Sequenz verknüpfen.
Das kannten wir schon vorher und gilt jetzt aber eben auch.
Das heißt, wenn wir sie parallel setzen mit Linksmerch oder Kommunikationsmerge
, dann bleibt das auch erhalten
So, das müssen wir erst alles nochmal nachtragen,
bevor wir jetzt endlich zu den PAP-Axiomen kommen,
was ja jetzt vielleicht nochmal neues Interesse hat. Nee,
eins kennen wir jetzt schon,
das haben wir ja jetzt vorher so sagen wir nur angedeutet,
aber das nehmen wir jetzt als Aktion auf,
was wir eben vorher so begründet haben und das ist letztendlich auch der Grund dafür,
warum wir das so definieren,
weil wir jetzt hier für dieses Linksmerge nochmal eigene Aktionen machen,
die einfach nur dadurch einfacher werden,
indem wir das Ganze gewissermaßen durch eine Art Subroutinen
dann eben aufgespalten haben
Ja, in den vielen Fällen ist dieser Leftmerge relativ harmlos.
Zum Beispiel ist er rechtsdistributiv. Nee,
das heißt ja, wenn ich hier die Alternative habe,
ist das links die Alternative habe, ist das dasselbe,
wie wenn ich die Alternative sozusagen zweimal hinschreibe.
Nicht dasselbe, verhaltensgleich. Und hier haben wir jetzt einen,
die anderen Fälle, wobei jetzt der vielleicht der Interessante ist.
Hier habe ich jetzt die linke Seite aufgespalten in das erste,
Die erste Aktion und den Rest.
Sie erinnern sich an die Konvention XYZ, sind immer Therme.
Und VW, EU und so weiter sind Aktionen.
So, dann macht der Links-Merch ja Folgendes.
Er führt die erste Aktion aus auf der linken Seite.
Das heißt, die wird ausgeführt und es bleibt ja rechts,
aber wichtig ist, mit dem Parallelopperator.
Denn was jetzt nun weiter, dieser Left-Merch-Operator bezieht sich nur auf
den einen Schritt und danach geht es eben wieder weiter.
Naja, und wenn ich dann hier weitermache,
stoße ich natürlich wieder auf den Left-Merch-Apparator
Ja, und der Spezialfall ist der hier,
wo auf der linken Seite nur noch ein einziges Atom,
eine Einzelaktion steht und wenn ich die ausführe,
dann bleibt natürlich nur noch das Y,
sodass dann also auch dieser Left-Merch, dieser eingeschränkte Parallelapperator wegfällt.
Ja, ist das soweit? Akzeptiert, gut. Ja,
nun haben wir noch ein paar mehr,
und zwar jetzt für das Kommunikationsmerch, das sieht aber ähnlich aus,
da ist das jetzt ja auch wieder so.
Nicht, dass hier jetzt die erste Aktion abgespalten wird,
Und wenn die sozusagen die Kommunikationsrelation besteht,
dann wird die ausgeführt und dann der Rechts, der Rest,
aber dann auch wieder mit dem parallelen Apparator.
Wäre das eigentlich alles dasselbe immer wieder? Also hier ist jetzt wieder der Fall,
wo ich nur, bei nur zwei Aktionen haben,
dann bleibt nur die resultierende synchronisierte Aktion.
Hier habe ich nur auf der linken Seite eine Aktion und
die rechts abgespaltet, dann habe ich da nichts mehr Paralleles.
Und hier wäre Das auf der rechten Seite.
Nicht das Entscheidende ist ja wieder das hier,
wo ich sozusagen das allgemeine Fall, wo es insgesamt längere ist,
wo ich das V&W abgespaltet habe, die dann also miteinander kommunizieren.
So, und was haben wir da noch?
Das sind jetzt noch schlicht dann Axio, wenn nicht die,
also jetzt hier die Rechts- und Linksdistributivität von dem Kommunikationsoperator zeigen.
Nicht, das ist, das spiele ich jetzt nun herunter,
aber ist natürlich wichtig zum Rechnen, dass man sowas hat.
Und wenn man das zum ersten Mal macht,
kann man natürlich böse Überraschungen überleben,
das muss man alles schön nachprüfen
Und sie haben natürlich den Vorteil, dass sie das schon mal übernehmen können,
weil das in der Literatur häufig genug überprüft worden ist.
Gut, und dann haben wir wieder dasselbe,
was wir vorher schon hatten, der PAP-Kalkül wird als korrekt nach ihm gewesen.
Das heißt, auch jetzt, wenn ich eine Gleichung habe,
es sind die Teile B-Semila und er ist auch wieder vollständig.
Das heißt, wenn ich einen PA kühle,
zwei Verhaltensäquivalente habe, also die Prozessgraphen,
bis Semila sind,
dann kann ich das eben
auch ableiten
So, und jetzt kommen wir zu dem Verdeckungsapparator,
der jetzt nun das leisten soll, was ich vorher angedeutet habe,
dass wir eben sozusagen die nicht gewollten Zweige jetzt unterdrücken.
Nicht dazu brauchen wir etwas, was Abbruch heißt,
im Original Deadlock und Verdeckung oder Encapitulation an der anderen Seite.
Nicht das soll dazu führen,
wenn wir hier einen Sender und Empfänger haben und der macht eine Send-D-Axium und eine ReceivD-Aktion,
dass das Ganze, das wir definieren können,
dass das Ganze in einer kommenden Aktion synchronisiert zusammengefasst werden kann und die Einzelteile Also wegfallen.
Also sowas werden wir dann zum Beispiel ja beim Alternierbit-Protokoll
eben machen. Ja, die Ausführung sieht jetzt etwas,
wieder etwas spitz, finde ich, aus.
Und zwar haben wir jetzt da zum Beispiel diesen Apparator Delta.
Nicht, der heißt also im Englischen Deadlock.
Und ich habe den jetzt mal Abbruch genannt,
das ist eine Wortschätzung von mir, weil ich,
als ich das zum ersten Mal geschrieben habe,
habe ich keinen deutschen Text gefunden,
der das entsprechend dargestellt habe
Dem es entgegenzusetzen, der Operator abbrechen, der Folgendes macht,
der benennt eine beliebige Aktion, um in diesen Operator.
Das heißt also, vielleicht sollte man eben das hier nicht
einen Operator nennen, sondern das ist sozusagen die Nicht-Aktion oder Anti-Aktion.
Und der Operator, der jetzt hier Abbruch heißt oder Encupsulation,
ich habe jetzt noch mal nachgegoogelt,
habe ich da inzwischen ein anderes Skript gefunden,
der nennt das Restriktion
Ja auch irgendwie nicht so das Tolle. Wichtig soll eben
mit meinen Bemerkungen, wollte ich nur darauf hinweisen,
dass sie sich die Natur dieser Gebilde anschauen müssen und nicht
so sehr von dieser Benennung leiten lassen wollen.
Und die Natur, wie will ich jetzt nochmal genauer beschreiben?
Und dazu sind natürlich jetzt hier die Traditionsregeln wichtig und
die sagen Folgendes. Wenn ich eine Aktion habe,
die einen Therm X mit V nach X-Strich überführe.
Und dieses V nicht zu einer vordefinierten Menge Haf entführt,
dann gilt das auch dann, wenn ich jetzt hier diesen Verdeckungsoperator eben anwende.
Das heißt, umgekehrt, wenn hier Stadt-Nicht-Element-Element-Stände, wäre das nicht möglich.
Dazu gibt es aber keine Regel, wo das durchgestrichen ist,
sondern dann gibt es einfach keine Regel.
Ja, das heißt, dadurch, das heißt also,
mit dieser Möglichkeit kann ich nun also gewisse Operationen durch einen
Filter durchlassen und andere bleiben mit dem Filter eben hängen.
Ja, hier steht wieder das entsprechende für,
wenn das erste terminiert,
dann terminiert,
dass auch hier unten
Und nur dazu ist jetzt diese, ich nenne jetzt mal
Anti-Aktion Delta da, um das entsprechend so beschreiben zu können.
Also hier kommt ihr noch gar nicht drin vor, diese Anti-Aktion.
Die kommt erst gleich, glaube ich, bei den Gleichungen eben vor.
Ja, nicht? Und wir erweitern jetzt also auch
diese Kommunikationsabbildung um dieses Delta, dass wir sagen können,
ein solches Paten soll also nicht ausgeführt werden.
Also hier würde es, wenn das Bild hier liegt,
dann kriegt das vielleicht einen neuen Namen und da heißt das,
das führt zu nichts
Also, dieser Verdeckungsamperator erzwingt die Kommunikation. Das heißt also,
Delta, werde ich zum Beispiel die Einzeloperation hier unterdrücke,
dann ist in dem Beispiel vorher nur noch diese Operation,
diese gemeinsame Operation dann eben ermöglichen.
Also, die Definition ist, die Erweiterung des Kalküls PAP
durch die nachstehenden Aktionen für Abbruch und Verdeckung wird mit ACP bezeichnet.
Das heißt, wir sind jetzt wieder einen Schritt weiter.
Wir kommen hier zu ACP
Und haben wir jetzt wieder eine Erweiterung,
wo wir in denselben Särmungen wiederhaben, gucken,
oh konservativ, vollständig und korrekt und so weiter.
Aber so weit sind wir jetzt noch nicht. Interessant wird es jetzt bei den Aktionen,
wo man jetzt auch wieder, glaube ich,
allerhand diskutieren kann, bei den Gleichungen jetzt in ACP.
Wie ist das damit? Wie sehen Sie das hier? Das heißt ja Folgendes,
wenn ich eine Aktion habe und alternativ dazu die Nicht-Aktion,
dann ist das verhaltensgleich mit der Aktion.
Ich glaube, das ist harmlos. Hier, Wenn ich eine Nicht-Aktion habe,
gefolgt von einer wirklichen Aktion, ist das verhaltensgleich mit der Nicht-Aktion,
weil ich ja hier gar nicht mehr hinkomme. Ja,
und wenn wir das jetzt mal jetzt wieder im Prozess greifen,
darstellen, würde dem ersten Fall ja entsprechen,
dass diesen Zweig nicht gibt, dass das also entsprechend Verhaltensgleich ist.
Und hier unten würde das dem ja entsprechen,
dass nach dem Delta ein X kommt,
aber dieses gibt es ja gar nicht,
also komme ich da gar nicht zu dem
So, das ist also die Stelle, wo dieses tatsächlich vorkommt. Und die Volkengleichung,
die befassen sich jetzt mit der Verdeckung,
wo wir jetzt hier das Entscheidende haben, wenn wir,
wenn wir ein V haben,
was nicht zu dem Großhaar gekommt, also sagen,
in dem Filter durchlässig ist, dann wird es auch durchgelassen.
Nicht nur an dieser Stelle brauchen wir das Filter.
Das heißt, wenn das V nicht im Haar ist,
dann wird das, ist das Ergebnis das Delta.
Das heißt, dieser Deadlock oder diese Verklemmung,
die tritt, also jetzt heißt es nicht im Gleichungskalkül
eben aus
Naja, und das ist dann der Vollständigkeit halber, hat man das auch noch.
Ja, unten sieht die ganze Sache wieder harmlos auf.
Das heißt also, bei Plus und Mal,
dann setzt sich das gewissermaßen humormauft durch.
Hier unten bei dem Left-Merch ist auch klar,
es soll ja die linke Zahl ausgeführt werden,
also führt das zu nichts.
Hier bei der Kommunikation auch. Und hier bei dem
habe ich auch nichts zu kommunizieren.
So, und das wollen wir jetzt mal ausprobieren.
Und zwar bei dem Beispiel,
was wir am Anfang hatten
Wir fangen also jetzt an,
wir haben jetzt hier den Parallelopperator und auf der einen Seite haben wir die Zen-Operation mit dem Argument Null und mit dem Argument 1,
so ähnlich wie das im Alternierbild-Protokoll ist und auf der anderen Seite haben wir ein,
da steht nun ein Lager-Red-Red statt Ressiv,
also ein Rednol und ein Red 1. Wir wollen aber,
dass eben das Zent und das Red miteinander synchronisieren,
wenn dieses D, also gleich ist,
also für D gleich 0 und 1. Und deswegen unterdrücken wir sozusagen die Einzelteile,
nicht das Zent Null, das Zent 1,
das Red Null
Und das redet eins. Und erwarten jetzt, wenn wir
diesen Ausdruck jetzt auswerten, dass dann wirklich nur die Kommunikation herauskommt.
Das ist jetzt ein bisschen wieder anstrengend, aber sonst später machen das ja die Tools.
Aber man muss es ja zumindest einmal verstanden haben.
Okay. Das heißt also, da steht jetzt nochmal dasselbe.
Und Sie sehen, ist das ja eine etwas verwirrende Schreiberei.
Und deswegen ersetzen wir das Ganze jetzt mal durch einfache Buchstaben,
durch A und A, Strich, B und B-Strich.
So wie du sagst, der ganze Ausdruck jetzt so aussieht,
A plus A Strich, parallel mit B plus B-Strich, mit der Kommunikationsoperator,
dass Gamma von A.B. gleich C ist und Gamma von A Strich B-Strich gleich C-Strich ist.
So, das rechnen wir jetzt mal aus. So,
dann fangen wir aber erstmal mit dem Argument an,
also innerhalb von dem Delta, und das wenden wir hinterher an.
Das wäre dann also hier,
mit dem fangen wir an und noch kein Delta,
da haben wir ja zehn Parallelapparator,
da wissen wir ja, haben wir das Aktionen,
es wird expandiert auf den Left-Merch-Apparator,
so rum und so rum und in Kommunikations-Merch-Operator
Das ist also das. Jetzt im nächsten Schritt, was
ist da passiert. Ach ja, wir wissen ja,
der Left-Merch-Operator ist links distributiv. Das heißt,
wir können das sozusagen rein sozusagen auflösen in A- und A-Strich.
Und da rechts auch. Und bei dem dritten können wir
das auch auflösen. Das ist jetzt nur diese Rechnerei.
So, was ist jetzt hier passiert? Ach so,
bei dem Left-Merch, wenn die linke Seite nur aus einer Aktion besteht,
haben wir ja gesehen, dann können wir das auch gleich hinschreiben und den Paralleloperator streichen.
Hier genauso, hier genauso.
Und hier genauso
Und hier aus dem AB mit Kommunikationsapparator wird das C,
die vorher verlangt. Das hier war keiner erlaubte Kommunikation,
das wird der Deadlock, der Abbruch, bei dem auch.
Und bei dem Arschtrich-B-Strich bleibt schon das C-Strich.
Und jetzt können Sie schon ahnen,
dass irgendwann mal nur nach hinterher nur noch das übrig bleibt,
aber das müssen wir noch vollziehen.
Dieses Deadlock kann man sowieso streichen, haben wir gesehen,
wenn der als Alternativ auftritt, das haben wir da jetzt schon gemacht.
So, auf das hier wenden wir jetzt dieses Steltern eben wie folgendermaßen hier beschrieben.
Also es ist jetzt hier nur noch mal abgeschrieben.
Mit denen haben wir angefangen, dann haben wir das zu
dem hier expandiert. Und da jetzt dieses Delta angewandt.
Und da hatten wir gesehen, wenn wir, ach so,
und das Haar sind ja hier die einzelnen Operationen.
So, und da gehört ja zum Beispiel dieses Klein A dazu.
Also wird das unter diesem Delta hier unterdrückt und wird so ein kleines Delta.
Ja, und es bleibt hier Appeplus B-Strich,
mit dem Astrich dasselbe und mit dem B auch dasselbe.
Und mit dem B-Strich
auch dasselbe
Aber das C- und zig Strich, das überlebt,
weil das ja nicht da drin ist. Ja,
und das sind dann alles, das sind ja hier sozusagen Verklemmung,
mal irgendwas, ist wieder wieder ein kleines Geld dabei,
den anderen, die fallen alle weg.
Also überlebt nur das C- plus C- Strich.
Und das ist ja das, was eben gewünscht war.
Nicht, das heißt also, dieses,
der H erzwingt die Kommunikation zwischen A und B
einerseits und zwischen A-Strich und B-Streich,
andererseits und sonst nichts
Okay, das war jetzt dieses Beispiel.
Jetzt haben wir eben noch mal diese Standardtheorieme, nicht,
dass die B-Simulation eine Konkurrenz für dieses ACP ist,
was wir jetzt haben.
Ich unterstehe das nur noch mal aufgeschrieben,
diese entsprechenden Beziehungen jetzt auch mit dem erneuen Reperator.
Ja, der Kalkül ist immer noch korrekt.
Was heißt, wenn wir so eine Gleichung haben,
dann ist das eine B-Simular.
Und der Kalkül ist eben vollständig. Ja,
dann kommen wir jetzt eigentlich zu dem interessanten Thema der Rekursion
Nicht, wir haben ja bis jetzt eben tatsächlich nur
adzügliche Strukturen gehabt und sowas hier, also solche Prozessgrafen,
wo wir eine Schleife haben und damit auch einen unendlichen Prozess,
haben wir noch nicht beschreiben können.
Nicht unendliche Prozesse sind ja gerade bei der Parallelverarbeitung Prominenz,
weil man dort immer währende Prozesse beschreiben kann,
die irgendwelche Dinge dann tun und wo man
Eigenschaften untersuchen könnte
Ja, unendliche Prozesse entsprechen ja gewissermaßen schleifen. Nicht,
sie kennen ja die Waldschleifen und sie kennen ja auch in der Programmierung,
dass man dieses auch durch Rekursion beschreiben kann.
Und so machen wir das hier. Wenn ich in der Rekursion brauchen wir Rekursionsvariablen,
die wir groß schreiben und im Unterschied zu den Aktionen,
die wir klein schreiben,
das geht also nach wie vor wieder das XY vielleicht
auch als Variablen für Therme,
aber groß
X sind jetzt Variablen für ganze Prozesse
Und das kann man sich folgendermaßen dann lesen. Dieser Prozess GroßX,
diese Variable steht ja für einen ganzen Prozess, der verhält sich genauso,
wie wenn ich eine Aktion A habe und dann ist der Restprozess Y und dieses Y,
das verhält sich folgendermaßen,
es kommt ein B und dann verhält sich das Ganze wie ein X,
wo ich wieder hier bin, nicht und sie sehen,
das entspricht intuitiv, was wir hier haben.
Das heißt, eine unendliche Folge von Hs und B. Das heißt also,
die Semantik sind jetzt, in dem Falle wären das unendliche Folgen,
so wie wir das im Motelchecking,
bei den in der temporalen Logik auch und hatten,
aber eben alles in der interliving semantik keine direkte Unabhängigkeit.
Ja, und das führt dann jetzt dazu, dass wir jetzt
diese rekursiven Gleichungen definieren, zunächst mal so in taktisch.
Und hier steht nochmal ein Ausrufezeichen da dran,
um auszudrücken, das ist jetzt reines Syntax,
nicht und später werden wir zeigen,
dass wir dieses Ausrufezeichen weglassen können im Sinne,
dass wir dann auch wieder Visimilarität haben,
dass wir dann die Verhaltensgleichheit eben haben
Ja, das war jetzt also schon weiter in dem neuen Stoff.
Soweit haben sie auch den Lesepunkt,
sodass ich an der Stelle dann aufhöre und das wäre dann
der neue Stoff dann am nächsten Dienstag.
Erstmal vielen Dank für heute