Ja, schönen guten Morgen. Ich begrüße Sie herzlich zu
meinem zweiten Teil in FGE 2 und wünsche Ihnen alles Gute für dieses neue Jahr.
Prozess Algebra. Ich weiß nicht, wie weit Sie schon vorgelesen haben,
denn im Augenblick war das ja nun auch gerade nicht besonders möglich,
weil das erst, glaube ich, gestern in dem Urlaub erschienen ist,
aber Sie haben ja immerhin das Skript,
aber da das kaum eine Aufgeschlagenheit,
nämlich eher mal nicht.
Darf ich mal fragen, wer hat schon was dazu gelesen?
Immerhin doch. Das ist ja, ja,
dann haben Sie ja vielleicht auch schon ein bisschen mitgekriegt,
was man unter Prozess Algebra versteht
Kann man sich ja zum Teil auch so denken anhand des Namens.
Zumindest ist das jetzt ein ganz anderer Ansatz als das,
was sie bisher kennengelernt hatten.
Wir hatten ja nebenläufig ein verteilte System mit Transitionssystemen und Petrinnetzen
behandelt. Nicht um Prozessallgepar hat dasselbe, denselben Gegenstand,
also Modellierung von verteilten und nebenläufigen parallelen Systemen,
aber mit einer ganz anderen Methode.
Kann jemandem mal sagen, warum, was man sich unter
dem Wort Prozess und Algebra in diesem Kontext hier vorstellen kann?
Wie haben Sie das irgendwie schon mitgekriegt,
was das sein könnte
Was sagt Ihnen Algebra? Was assoziieren Sie mit Algebra?
Ja, bitte? Ich weiß nicht, man sieht,
glaube ich, allgemein Menge mit einer Struktur.
Es geht darum, bestimmte Regelmäßigkeiten mit super vielen Operationen
zu machen. Ja, ich sage nochmal für alle,
in der Mathematik eine Struktur mit gewissen Regelmäßigkeiten.
Aber das unterscheidet das noch nicht von der numerischen Mathematik.
Da hat man auch eine bestimmte Struktur und gewisse Regelmäßigkeiten.
Kann jemand anderes mal vielleicht die andere Wortmeldung? Was unterscheidet Algebra
in der Mathematik von numerischer Mathematik oder sonstigen anderen Mathematiken?
Vielleicht kann ich mal nochmal zurückgehen auf das Wort Algebra.
Weiß jemand, woher das kommt
Sieht, nee, das lernt man normalerweise
auch in der Mathematik ganz am Anfang. Nicht,
das kommt so wie wie Algorithmus auch aus dem Arabischen,
weil eben als die Araber die Mathematik der Griechen doch entscheidend vorangebracht haben.
Damals Methoden entwickelt wurden, symbolisch zu rechnen. Wenn ich
symbolisch rechnen heißt, mit Buchstaben anstelle mit Ganzen und konkreten Zahlen.
Das heißt, diese Buchstaben repräsentieren eine ganze Menge von Zahlen
und man rechnet symbolisch.
Und genau das machen wir hier auch.
Wir werden hier Ausdrücke definieren,
die Prozesse beschreiben
Und dann mit diesen Ausdrücken symbolisch arbeiten und da in dem Sinne
ganz viele Prozesse gleichzeitig eben beschreiben. Das heißt also,
diese Algebran hat jetzt den Vorteil gegenüber anderen Methoden,
vor allem den, die sie kennengelernt haben,
dass man hier mit diesen Beschreibungsmethoden rechnen kann und zwar auf eine abstrakte Algebranche Art und Weise.
Ja, der Einstieg ist zunächst mal ähnlich,
wie wir das bisher schon kennen,
dass nämlich dieser Prozess Algebra aus der Automatentheorie entwickelt worden ist,
wie also fast alles in dem Gebet nicht,
weil die Automatentheorie war ja sozusagen das erste formale Gebilde,
was wir in der theoretischen Informatik eben hatten.
Und so ist auch die Prozess-Agebra entstanden, allerdings relativ spät.
Und mit dem Ziel eben nebenläufige und reaktive Prozesse zu beschreiben,
die ja auch relativ spät in den Fokus des Interesses getreten sind.
Ja, nebenläufiger hatten wir genug, aber reaktive Prozesse.
Ich weiß nicht, ob dieses Schlüsselwort schon mal vorgekommen ist.
Kann jemand das sagen, was ein reaktives, ja bitte?
Ich glaube, es ist im zweiten Zusammenhang mit dem Goois,
dem Paprik Nutzeroberflächen. Ja, ging es eben darum,
dass von außen dafür gesorgt wird, dass überhaupt ein Prozess...
Ja. Ja, also hier würde ich wiederholen nochmal,
die Antwort war, dass gewissermaßen der Prozess von außen gesteuert wird.
Ich am Anfang innerhalb der Informatik hat man ja ein Programme,
die ein Ausgabeverhalten hat oder nicht.
Man hatte ein Problem, man hatte eine Eingabe,
das Programm lief ab und am Schluss gab es eine Ausgabe Fertigluss.
Nicht und irgendwann mal gab es die interaktiven Systeme,
wo der Rechner permanent gelaufen ist, bis er abgeschaltet wurde,
aber er hat zwischendurch immer mal irgendwelche Unterbrechungen gemacht,
um eben mit einem Benutzer oder mit einem anderen Rechner zu kommunizieren.
Und das hat auch ein ganz andere Modellbildung zur Folge
Gehabt. Nicht nur dieses Bereich, diesen Bereich nennt man reaktive Prozesse,
also sehr viel allgemeiner, als sie von Gree gesprochen haben.
Das wäre nur eine ganz konkrete Ausprägung davon. Ja,
und zunächst beginnen wir mit der elementaren Prozess Algebra,
die zum Gegenstand hat, nicht nebenläufige Prozesse zu beschreiben.
Das heißt, die in der elementaren Prozess Algebra
haben wir sowas zu tun wie mit einem einzigen Automaten.
Nicht während wir nebenläufige Prozesse und mit mehreren Automaten bearbeiten und
dann würde die Beschreibung elementare eben wegfallen und wir sprechen da
nur von der allgemeinen Prozess Algebra
Ja, und das heißt Prozessallgepar, dient dann dazu,
mehrere Automaten zu beschreiben und dann eben nebenläufige und kommunizierende Prozesse.
Ja, wir haben in diesem Falle eine Quelle,
die also ziemlich genau das abbildet, was wir hier machen.
Das heißt, umgekehrt, ich habe also diesen Teil
genau nach diesem Buch entwickelt, einiges ausgelassen.
Bin aber so weit gegangen, dass wir was Vernünftiges,
in Anführungsstrichen, damit anfangen konnten.
Und das Vernünftige ist in dem Falle eine Verifikation des Alternierbit-Protokolls.
Alternierbit-Protokoll werden wir hier dann also zum dritten Mal kennenlernen
Hatten wir ja zuerst bei den Transaktionssystemen,
dann bei den Petri-Netzen, aber nie mit einer richtigen Verifikation.
Nicht und die Prozessalgebra, mit der können wir rechnen,
in dem Sinne, dass wir diese Produkte,
die wir dort entwickeln, beweisen können auf ihre Korrektheit.
Und das ist also das Ziel. Nicht das bedeutet,
dass wir über den Anfang dieses Gebets hinausgehen.
Man hätte also auch sehr viel früher aufhören können,
um im Prinzip zu verstehen verstehen, um was das geht.
Aber wir müssen dann doch einiges kennenlernen, um tatsächlich zu
diesem Ziel zu kommen, das Alternierbit-Protokoll zu verifizieren.
Das können sich ja auch schon denken,
obwohl ein kleines Beispiel ist das ja nicht ganz ohne Schwierigkeiten.
Nicht, und das ist aus diesem Buch,
was sie eben auch online laden können,
da kriegen sie gleich dann eine PDF-Version des gesamten Buches.
Es scheint sich niemand mitschreiben zu wollen, das finden sie auch durch Google. Ja,
bevor wir jetzt also in die Prozess Algebra eintreten,
wollte ich jetzt nochmal einen Vergleich herstellen zu den Petri-Netzen und den sogenannten Stageharts oder Herographen,
weil es doch so gewisse Vergleiche oder Unterschiede gibt,
zunächst mal zu den Petri-Netzen.
Sie erinnern sich ja, wir hatten dort eine Dualität zwischen Aktionen und Zuständen,
nicht was sich durch solche Transitionsgebilde hier dargestellt haben.
Die Aktion wurde durch ein solches Rechteck beschrieben, während die
partiellen Zustände durch diese Plätze, durch Kreise dargestellt wurden.
Nicht und in vielen Aspekten haben wir gesehen, dass diese
beiden Aspekte gleich behandelt wurden. Man kann nicht sagen,
das ist zentriert auf partielle Zustand oder partielle Aktionen.
Das ist ein bisschen im Gegensatz zu den sogenannten Stagesharts oder Herographen
auch nochmal die Frage an Sie,
haben Sie das schon mal irgendwo gesehen?
Stagesharts? Also normalerweise lernt man das im Kontext der Softwaretechnik
bei UML-Spezifikationen und dergleichen, aber keine Reaktion.
Ja, doch, sie haben sie erst kennengelernt.
Mir brauchen sie auch nichts zu sagen.
Ich wollte jetzt nur noch mal darauf hinweisen,
dass diese Stay-Tards im Gegensatz zu den Petri-Netzen mehr Zustand orientiert sind.
Und das bedeutet jetzt folgendes. Wir haben bei diesen Stelltscherz
eben Zustände, aber was dann eben noch hinzukommt, unter Zustände.
Nicht, wir haben hier einen Zustand hier in so einer
gelblichen Farbe und dieser Zustand hat teilzustände hier in diesem leichten Ocker und sie sehen hier diese Übergänge.
Und dieser Haken bedeutet, dass wir am Anfang in diesem Overzustand hineingehen
Und dann, weil wir hier irgendwie jetzt nicht weitergeht,
müssen wir uns bei den Unterzuständen weiter orientieren.
Da haben wir wieder diesen Haken. Nicht und das bedeutet,
dass wir hier die Aktion B ausführen können,
C und A und so weiter und so fort.
Das klingt jetzt zunächst nicht mal besonders innovativ. Das kommt
jetzt erst beim nächsten Teilbild. Hier haben wir nämlich von
dem Oberzustand jetzt einen Übergang mit einer Aktion in einen anderen Oberzustand.
Und das bedeutet, egal in welchem Unterzustand wir uns hier befinden,
mit der Aktion D verlassen wir diesen global,
diesen Oberzustand und gehen hier in diesen Oberzustand und doch dann
wieder in den markierten Unterzustand
Das ist also eine sehr starke Eigenschaft. Nicht,
wenn sie sowas mit Petrinetzen modellieren,
müssen sie irgendwie immer gewährleisten, in welchem Unterzustand sie sind.
Und das gibt einen ziemlichen Salat von Kanten.
Nicht, das ist eines der Hauptmotive bei diesen State-Hards.
Und dann gab es dann, das ist natürlich jetzt auch
noch kein nebenläufiges Systems, wurde dort auch Nebenläufigkeit eingeführt.
Und das wird dann sehr häufig zur Spezifikation von Software und
nebenläufiger Parallelersoftware
eben benutzt
Okay, obwohl wir hier natürlich auch Aktionen haben,
kann man sagen, der Witz bei den Stage Charts liegt auf
den Zuständen und deswegen habe ich das jetzt mal zustandsorientiert genannt,
obwohl das natürlich jetzt auch nur eine echt bedürmte Sicht ist.
So und jetzt zur Prozess Algebra. Die ist jetzt nun im Gegensatz Aktionen orientiert,
das heißt, dort sprechen wir fast nur von Aktionen und die Zustände,
die es natürlich dann auch zwischen den Aktionen gibt,
die kommen erst ins Weitere Linie.
Und wie schon angedeutet, schreiben wir,
beschreiben wir dir die Prozesse durch solche Ausdrücke, nicht wie in der Algebra,
und A ist eine Aktion B ist eine Aktion,
eine Zäsenaktion, Und der Mahlpunkt und das Pluszeichen,
das bedeutet jetzt, gewisse Verknüpfungen von diesen Aktionen.
Und doch sehen wir überhaupt keine Zustände. Das heißt,
wir können mit gutem Recht sagen, dieser Prozess Algebra ist Aktionen orientiert.
Aber um die Bedeutung von einer solchen Beschreibung darzustellen,
gehen wir wieder zurück auf Transitionssysteme, was ja sozusagen unser Allgemeinhilfsmittel ist.
Und da haben wir natürlich die Zustände. Nicht um die Transitionssysteme,
die jetzt hier solche Ausdrücke beschreiben in ihrem Verhalten, die nennt man Prozessgrafen.
Ist aber nichts anderes als Transitions, ein Transitionssystem.
Nicht und Sie erinnern sich, das Entsprechende bei den Petri-Netzen hieß ja Erreichbarkeitsgraf,
das war ja auch nichts anderes als ein Transitionssystem.
Und hier spricht man üblicherweise auch einfach von Transaktionssystemen. Das heißt also,
man kann hier in der Prozess AG Bra natürlich auch Zustände identifizieren,
die bleiben aber gewissermaßen im Hintergrund nur zur semantischen,
rechtfertigen Rechtfertigungen von Dingen, die wir dort machen.
Ja, wer kann sich denn denken, was jetzt in
der Prozess AG Brach das Plus und das Mal bedeutet,
haben wir vielleicht schon gelesen?
Sie vielleicht nochmal hinten, ja
Ja, bitte? Was ist die Auswahl, also,
oder? Ja, und mal? Miteinander. Miteinander,
Ausführung, ne? Um ihnen das nahe zu bringen,
haben wir hier nochmal so ein Bill. Und zwar war das,
ist das das Bild zu den regulären Ausdrücken,
wo wir ja auch hier,
hier haben wir einen regulären Ausdruck mit Plus und wo nichts zwischensteht,
da denken wir uns ja einmal.
Und wenn wir mal hier an so eine Stelle gucken,
wo wir das Plus haben, da sehen wir,
die Realisierung als Automat ist jetzt hier gerade diese Alternative.
Ich fange hier in dem Anfangszustand an und gehe in den Teil,
der die Aktion A beschreibt oder in den Teil,
der die Aktion B beschreibt
Das heißt, auch da haben wir
die Interpretation von dem Plus durch die Auswahl oder Alternative.
Nicht und ganz entsprechend mit dem Mal. Hier hätten wir
erst eine Aktion A, gefolgt von einem Teil für die Aktionenmenge B-Stern.
Und dann haben wir hier auch jetzt die hintereinander Ausführung,
die jetzt durch diese Konstruktion bei den Automaten hervorgerufen wird.
Das heißt, im Prinzip haben wir jetzt schon verstanden,
was jetzt das Plus und das Mal bedeutet,
nicht und der Parallelapparator werden wir wahrscheinlich diese Woche,
also diese Stunde nicht schaffen,
das kommt dann
Am Donnerstag dran. Gut, dann wird es jetzt wieder
formal. Wir haben ja zunächst mal diese Prozesstherme zu definieren
und das geht also so los wie in der Arrithmetik,
wo wir As haben und hier später Plus und Mal.
Nicht nur, dass wir jetzt ein A als eine Aktion interpretieren,
dann haben wir hier die Konstruktion der Auswahl mit Plus und die Konstruktion der Sequenz und die Abschlussregel,
dass wir nur solche Therme zulassen,
die so gebildet werden und die können dann eben beliebig geschachtet werden durch diese Art der rekursiven oder induktiven Definition.
Nicht nur das Ganze heißt also dann BPA von Basic Process Allgebrach oder Terms noch dahinter.
Und der Witz dabei ist, dass wir diese Ausdrücke behandeln können,
wie wir das gewohnt sind, nämlich Allgebrageausdrücke.
Schon ganz früh, in der Grundschule haben wir ja gelernt,
was A, plus B mal Aplus B, B,
mal C und so weiter ist.
Und es ist so gewissermaßen schon, erscheint das Ganze natürlich,
dass wir, wenn wir die Klammern weglassen,
das so interpretieren, dass das mal stärker bindet als das Plus.
Und das machen wir hier auch, nicht,
dass wir so sagen, an die Gewohnheit anknüpfen können,
die wir mit arithmetischen Ausdrücken haben
Das ist natürlich einerseits schön. Andererseits ist es natürlich auch manchmal gefährlich,
weil man dann auch vielleicht falsche Übertragungen hat,
aber das müssen sie halt durch Übung lernen.
Nicht genauso, wie man hier den Entmalpunkt manchmal weglässt,
wenn klar ist, dass A und B einzelne Aktionen sind.
Ja, und sowas nennen wir jetzt Prozessausdrücke,
im Gegensatz zu den Prozessgrafen, wo wir dann gleich noch hinkommen.
Jetzt also zu den Prozessgrafen, die also die Bedeutung,
die Semantik von diesen Ausdrücken beschreiben
Da knüffe ich hier mal an ein Bild von einem Taschenrechner.
Und da könnte ein solcher Prozessgraf so aussehen.
Ich habe am Anfang in dem Display eine Null stehen,
wenn ich gleich drücke, bleibt die bei C auch.
Wenn ich bloß drücke, habe ich hier ein Plus und
dann bin ich eine Acht drücke und so weiter.
Und am Schluss steht dann hier null plus 8,
3 und dann gleich. Und dann kommt hier 8,
3. Und dann gibt es ja auch Alternativen,
dass ich auch andere Dinge drücken kann,
wobei nicht alle Möglichkeiten hier dargestellt sind
Wir sehen jetzt hier,
dass wir also hier einen Graf haben oder ein Transaktionssystem,
wo wir die Aktionen an den Kanten haben, das kennen wir.
Und wir haben hier eine Beschreibung der Zustände,
in diesem Fall durch den Inhalt der Anzeige.
Und wir können sehen, diese Anzeige beschreibt in gewissen Grenzen die Vergangenheit.
Ja, hier schon nicht mehr, aber von hier
können wir noch sehen, was bisher alles passiert ist.
Ja, und dieses Bild habe ich gewählt, um den Unterschied zur Prozess-Algebra darzustellen.
Denn in der Prozess-Algebra beschreiben wir nicht die Vergangenheit, sondern die Zukunft.
Nicht, das soll bedeuten, wir fangen mit dem ganzen Ausdruck an
Und immer dann, wenn wir eine Aktion ausgeführt haben,
schreiben wir in den neuen Zustand rein, was noch auszuführen ist.
Und das sieht dann folgendermaßen aus. Also wer kann mal sagen,
wenn wir mal dieses wieder als Beispiel nehmen,
was das semantisch, inhaltlich bedeuten soll, dieser Ausdruck,
A plus B in Klammern, mal Tee in Klammern,
mal D in Klammern.
Ja, sieh mal zur Abwechslung. Zunächst einmal A oder
B. Genau. Gefolgt von Szene, gefolgt von denen.
Ja, nicht wobei dann das C sowohl auf das A
als auch auf das B
dann folgen kann
Nicht. Und das würde dann als Transitionssystem dann so aussehen.
Nicht, wir haben hier die Alternative A und B,
die in anderen Fällen dann auch hier zu verschiedenen Zuständen führen kann, hier aber nicht.
Und dann geht es weiter mit C und D und dann ist Schluss.
So, was hier jetzt noch nicht eingeblendet ist,
wie die Zustände benannt werden, vorher nochmal die Hinweis,
dass dieser Prozessgraf ein Transitionssystem ist,
deren Zustände wir jetzt also beschreiben.
Wir sehen schon, dass am Anfang hier ganz lang,
das kommt daher, dass wir gewissermaßen im Anfangszustand den ganzen Term haben,
mit dem,
für den wir
diesen Prozessterm eben beschreiben wollen
So, und hier führen wir also entweder A und B
aus und was wird dann also hier drin stehen?
Ja, ne, sie machen ja die Aufgabennamen,
sie zeigen ja gar nicht auf, aber vielleicht sehen wir halt ja.
Genau, das heißt, hier haben wir C und D,
dann führen wir C auf und dann ist nur noch D auszuführen,
dann führen wir D auf und dann sind wir fertig,
wo wir hier diesen Haken als Sondersymbol haben dafür, dass wir alles ausgeführt haben.
Okay, ja, das ist jetzt eine informelle Definition. Meinen Sie,
dass wir da aufhören sollten mit der Definition oder meinen Sie,
dass das vielleicht unpräzise ist, ja bitte.
Also um damit formal arbeiten zu können, braucht man natürlich eine Formel spezifizierte Sinne.
Ja, so natürlich finde ich das nicht.
Also gerade jetzt bei der elementaren Prozessalgepaar käme da wohl da
schon zu Rande. Aber wenn es dann weitergeht,
dann machen wir dann Definitionen in der Semantik,
wo man durchaus verschiedene Meinungen haben kann.
Und dann ist es schon, haben Sie völlig recht,
dann brauchen wir eine formale Definition, um doch eben jede Mehrdeutigkeit zu beseitigen.
So, diese formale Definition,
die üben wir jetzt hier natürlich schon in dem Einfachen Fall
durch eine durch diesen Einstieg in diese Art und Weise,
wie wir jetzt hier Prozesskraften definieren.
Das heißt, es folgt jetzt diese formale Definition.
Die sieht zunächst mal auch so aus, wie Sie das erwarten.
Nicht hier als nochmal eingeblendetes Beispiel, was wir gerade hatten,
dass Sie sich daran orientieren könne.
Wir haben also einen Prozess Therm Tee und dass das Transitionssystem DS-Fond
Tee ist also ein Transaktionssystem, wie wir es kennen.
Wir haben eine Menge von Zuständen. Ja,
und das haben wir jetzt schon gelernt.
Die Zustände sind Therne des Transitionskalküls
So, dann haben wir eine Menge von Aktionen,
das ist unsere Grundmenge von den Aktionen,
die bezeichnen wir mit A, dann haben wir die Transitionsrelation,
das steht hier zunächst mal nur ein Fragezeichen,
weil wir die Definition davon jetzt ausgelagert haben,
das ist ein bisschen komplizierter als jetzt auf dieser,
in diesem Kasten darzustellen, dann haben wir natürlich einen Anfangszustand,
dann nehmen wir unseren Herrn Tee,
sowie an dem Beispiel, und wir haben einen einzigen Endzustand,
das ist unser Haken.
Manchmal ist es praktisch,
wenn wir zum Beispiel ganz viele Enden hier unten haben,
die mehrfach diesen Endzustand hinzumalen,
das ist dann aber nur eine Abweichung formal,
haben wir immer
nur einen Endzustand
So, bleibt jetzt also die Präzisierung dieses Punktes hier mit dem Fragezeichen.
Da kann man natürlich so eine Definition machen,
wie wir das bei den regulären Ausdrücken machen.
Die modernere Weise ist, dass durch einen Kalkül zu machen.
Das haben Sie vielleicht auch schon mal in einem anderen Kontext gesehen.
Nicht, das heißt, wir definieren jetzt einen Transitionskalkül.
Nicht ein Kalkül besteht ja wie in der Logik aus Axionen und Schlussregeln,
wo wir hier mal mit dem Axio angefangen haben.
Das heißt, wir haben nur ein Axio
Und das sehen wir schon da dran. Also diese Schlussregeln werden ja immer so dargestellt,
dass wir eine Prämisse haben,
dann einen Strich und darunter die Conclusio und eine Aktion wird immer dadurch gekennzeichnet,
dass es schon ohne Prämisse gilt,
sodass wir über dem Strich nichts stehen haben,
sodass wir daran sehen können, dieses einzige Aktion A0,
er sieht so aus wie hier dargestellt.
Und was bedeutet das? Das bedeutet Folgendes,
wenn wir hier in unserem Prozessherr nur noch
eine Aktion V haben und wenn wir es wieder ausführen,
dann sind wir fertig
Nee, das ist ja irgendwie nicht weiter. Verwunderlich. Interessanter wird,
dass wir jetzt bei den weiteren, also bei den Schlussregeln,
die alle mögliche, richtige Schlussregeln sind. Ja,
jetzt habe ich hier mal eine Schlussregel,
die jetzt zunächst mal ein Aktionenmiss ist, aber nicht,
sondern ich habe hier noch nicht eingeblendet,
was hier drüber stehen soll, was wir als Voraussetzung brauchen,
weil ich sie da fragen wollte.
Wir wollen also schließen, dass wir nach der Alternative von
X und Y mit der Aktion V noch auszuführen,
haben ein X-Strich.
Das gilt natürlich nicht sozusagen unbedingt
Bedingt. Und die Frage wäre, was für eine Prämisse
schreiben wir darüber, damit wir dieses schließen können?
Ja, bitte. Strich mal nichts plus. Gibt es
noch einen Klemmer? Nochmal langsam, nochmal schick. Also
schrich mal. Ja, ich schreibe es mal an.
X-Strich mal. Klammer auf, X-Positions. X-Pos Öfsteller. Ja,
weil wir wollen, es muss doch irgendwas mit dem Pfeil drüber stehen.
Wir müssen ja irgendwie eine Voraussetzung über eine Aktion haben.
Zumindest wollen wir das so machen. Anderer Vorschlag. X-Men-Freiheit
, so X-Strich
X mit dem Pfeil zu X-Strich. Ja und V drauf, ne? Ja,
nicht das würde bedeuten, wenn wir vorher schon wissen,
dass wir von einem Ausdruck ein X mit der Aktion V zu einem X-Strich kommen,
dann wird das natürlich auch noch gelten,
wenn wir die Alternative im Y haben,
die wir aber gar nicht benutzen.
Nicht das Ungewohnte daran ist,
dass wir diese Alternative gar nicht benutzen. Das heißt,
wenn wir die benutzen, dafür nehmen wir eine andere Regel.
Und das sieht dann folgendermaßen aus
Ja, wichtig an dieser Stelle ist natürlich,
dass wir typisieren, dass wir sagen,
was darf denn das X und was darf das V sein?
Das heißt, in diesem Fall muss natürlich das V eine Aktion sein,
aber X und X Strich, das dürfen jetzt ganze Therme sein,
was jetzt dann auch die Reduktion oder Induktion eben möglich macht.
Ja, eine Sonderheit,
deren Bedeutung ich jetzt hier oder deren Grund ich jetzt hier nicht erklären kann,
ist folgendes, dass wir jetzt für den Therm,
der hier das Ende bedeutet, immer noch eine extra Regel haben.
Das heißt also, wenn wir hier terminieren würden,
würden wir hier auch terminieren können. Das wäre sozusagen die Regel,
wenn wir statt zu dem x-Strich hier terminieren,
dann können wir auch mit der Alternative Y terminieren.
Das hat für Sie den Vorteil, Sie können sich das einfach so merken.
Sie haben diese Regel und den Sonderfall mit dem x-strich-gleich-haken,
der ist ganz genauso. Es ist nämlich also wirklich so,
dass wir, wenn Sie am Anfang gucken,
da genug Leichen Schock kriegen können, wie viele Regeln das sind,
ich weiß nicht, ob Sie da schon mal geblättert haben,
vielleicht haben Sie dann ganz schnell wieder zugemacht.
Wo war das? Wir ganz auf der letzten Seite von Prozess Algebra So,
das ist der ganze Satz von Regeln, den wir benutzen werden.
Und deshalb einer ihrer Kommilitonen in früheren Jahren lobenswerterweise mal zusammengestellt.
Das sieht aber schlimmer aus als in Wirklichkeit. Das ist,
weil wir einen Großteil erstens davon gar nicht ständig brauchen.
Und zum anderen, weil die sich jetzt hier aus der
Erklärung ergeben werden. Nicht in einem Augenblick sind wir jetzt
sozusagen bei der oberen Hälfte.
Gut,
wie geht es jetzt weiter
Ja, wir brauchen ja noch die andere Alternative, hatte ich ja eben schon angekündigt.
Nicht, wenn wir jetzt hier auf das Y-Strich volkern wollen,
dann entwickeln wir hier das Y weiter und links wäre dasselbe,
wenn das Y-Strich die Termination ist.
Nicht, dass hier auch dieses hier braucht man nicht extra zu lernen,
sondern das ist einfach nur die Variante, wenn man die alte alte,
andere Alternative wählt. Was jetzt noch bleibt,
ist irgendwas zum Malpunkt, und da haben wir ja folgendes,
wenn wir aus x mal Y, also x gefolgt,
von Y mit der Aktion V auf x-strich gefolgt von Y schließen wollen,
Dann genügt uns die Voraussetzung,
dass X mit der Aktion V zu dem X-Strich führt.
Das heißt, wir arbeiten nur hier vorne an dem X und hinten bleibt es dasselbe.
Und jetzt können Sie sich auch denken, was hier links steht.
Nicht, wenn das X-Strich der Haken ist,
dann ist das hier unten natürlich auch der Haken,
der aber nicht erscheint, weil wir immer noch das Y haben.
Das heißt, hier ist sozusagen halt das X,
der Prozess exterminiert und es bleibt nur noch der Therren ÖX.
Okay, ja, das Ganze nennt man jetzt
eine strukturelle operationale Semantik
Semantik ist klar, dass diese Regeln beschreiben jetzt
die Bedeutung formal, die wir vorher anschaulich dargestellt haben.
Und warum heißt das Ganze operationale Semantik?
Ja. Ich würde spontan so sagen, weil sie beschreibt,
wie wir mit diesen einzelnen Aktionen Algorithmen ausführen können.
Mit den Operationen. Der bezieht sich auf die Operationen,
was hier die Operationenmenge im großen A ist.
Wäre die Frage, wie geht es denn anders?
Weiß jemand zufällig? Das ist aber jetzt schon weit vorausgeschaut,
dass es noch andere Semantiken gibt
Nicht, das ist zum Beispiel Gegenstand der Vorlesung,
FGI 3, was sie dann im Masterstudium hoffentlich machen.
Da gibt es dann noch zum Beispiel eine Jagd,
kennen Sie das? Nur, das ist ein häufiger Unterschied
gemacht, was sie für operationale und Delotation.
Ja, genau, das ist das Stichwort nicht.
Und denotationale Semantik bedeutet, man beschreibt das Ganze durch Funktionen.
Das heißt, die Hintereinanderausführung wird durch die Hintereinanderausführung von Funktionen
beschrieben und so weiter. Wie schon daher kommt das?
Ich habe das nur an der Stelle schon mal eingeführt,
damit sie sich an die Begriffe gewöhnen.
Und hier ist das sozusagen,
dass wir es durch ein Transaktionssystem beschreiben,
wo wir
die Aktionen ja haben und keine Infunktion
Aber das Strukturelle, das ist jetzt eigentlich naheliegend. Nicht wir beschreiben das Ganze,
indem wir jetzt über den strukturellen Aufbau der Therme gehen.
Das gibt es ja auch im anderen Kontext sehr häufig.
Also merken Sie sich strukturelle Operationen in aller Semantik,
im Gegensatz zur denotationalen Semantik.
Ja, machen wir mal ein Beispiel. Möglicherweise,
wenn Sie noch nicht weitergelesen haben, können Sie sich möglicherweise schwer vorstellen,
wie wir jetzt einen solchen Übergang hier ableiten können.
Nicht aus der, hier steht links das,
was wir eben schon hatten.
Und wenn wir jetzt ein B ausführen, kommen wir nachts.de.
Zunächst mal ist denn das
intuitiv richtig
Hier haben wir ein Necken,
möchte einer den Kopf schütteln, dürfen Sie natürlich,
aber die Semantik sollte dann ein Ja sein, genau.
Denn wenn wir hier ein B ausführen, haben wir ja
hier vorhin die zweite Alternative gewählt und es bleibt hier nur noch C und D.
Das heißt, wir haben höchstens den Ärger mit den Klammern,
in was weiß ich, wir hier jetzt mal ausblenden.
Ja, aber die Frage ist,
wie kriegen wir das jetzt raus mit unserem Kalkül?
Ja, wenn wir mit dem Kalkül arbeiten,
müssen wir mit den Aktionen anfangen,
da wir nur ein Aktionen haben, müssen wir das wählen.
Das sah ja so aus.
Was nehmen wir denn da jetzt als V
Ja. Das B, nicht? Denn was,
also das ist ja die Einzelaktion, die wir hier ableiten wollen.
Aber das sieht überhaupt noch nicht nach dem aus.
Und das folgt jetzt als nächstes. Aber ausführlich heißt das noch mehr,
wir wählen jetzt dieses Aktion in der Instanz mit V gleich weh.
Und das ist sozusagen die Anwendung dieses Schlussstriches.
So, und jetzt geht es folgendermaßen weiter.
Nachdem wir jetzt zur Erinnerung strukturelle Semantik, dass wir,
haben wir ja ja zu dem B,
die Alternative zu dem
Und da haben wir ja die folgende Regel,
die uns hier die Alternative liefert.
Nicht und die Alternative ist ja jetzt hier unser B,
sodass wir dann mit Anwendung dieser Regel zu diesem Teilausdruck eben kommen.
Und wir sehen, wir haben jetzt schon uns vorgearbeitet,
dass wir jetzt diesen Teil hier schon erarbeitet haben.
Ja, weiter geht es jetzt mit der Bearbeitung dieses Mals für das Produkt.
Dann nehmen wir jetzt unsere Produktregeln mit dem Mal.
Und jetzt hier mit Y gleich C sehen wir ja,
wir müssen das Y auf beiden Seiten haben
Das heißt, jetzt hier dieser Haken, er setzt sich jetzt auf C
und wir haben jetzt auch schon hier den Anfang der rechten Seite geschafft.
Und der Schluss ist jetzt analog, da haben wir ja
jetzt nur noch das D wieder mit derselben Schlussregel,
sodass wir hier dann am Schluss eben Idee haben.
Nicht, das heißt also,
wenn Sie Aufgaben machen und die Aufgabe haben,
so eine Transition hier abzuleiten,
dann ist in jedem Falle der erste Schritt,
das Aktion zu wählen mit dem Foul gleich der Aktion und
dann hangelt man sich einfach strukturell in diesem Ausdruck dann
eben weiter
Ja, ist das soweit klar? Gut. Ja,
das heißt, wir haben jetzt unsere Definition abgeschlossen.
Das heißt, wir haben ja jetzt unsere Transition hier,
unser Transitionsrelation, durch einen Transitionskalkül eben eingeführt.
Und deswegen statt das Fragezeichen, das Ausrufezeichen. Gut,
nächstes Thema. Nächstes Thema ist B-Simulation. Die B-Simulation,
die Sie ja ja von den Transitionssystemen schon hinher kennen,
die ist im Grunde geführt worden oder zumindest prominent geworden.
Im Kontext dieser Prozess Algebra und ich,
und früher hat man sie erst an dieser Stelle kennengelernt.
Und wir sind hier jetzt in der vorteilhaften Lage,
dass wir das jetzt schon bei den Transaktionssystemen gemacht haben und
wir hier auf was Altbekanntes zurückgekommen können.
Nicht und historisch war es auch so, dass diese Bi-Simulation
richtige Bedeutung gewonnen hat im Kontext der Prozess Algebra.
Und dass es danach dann auch ganz viele Arbeiten gegeben hat,
die diese Bi-Simulation bei Transaktionssystemen, Automaten,
Touring-Maschinen oder was es sonst noch gibt,
untersucht haben und es dort eine reichhaltige Elitra zu geben
Wir tun jetzt hier aber so als,
also zumindest die Folien, sie sehen so aus,
als hätten wir die Simulation früher noch nicht kennengelernt,
können das aber schneller machen,
weil sie das ja alles schon gesehen haben.
Ja, auch in beiden Transaktionssystemen hatten wir ja schon
den Unterschied zwischen B-Simulationen und der Folgenäquivalenz kennengelernt.
Und hier geht es jetzt um die Äquivalenz von Ausdrücken,
die wir durch B-Simulation beschreiben wollen. Nicht, dass Äquivalenz heißt Folgendes,
wenn wir einen Therm T1 haben, beschreibt er ja ein bestimmtes Prozessverhalten.
Und wenn wir einen Therm T2 haben, dann auch.
Und in der Prozessalgebran, ist es wichtig,
dass wir ausdrücken können, wann die das Gleiche verhalten haben.
Man kann sogar sagen, dasselbe Verhalten. Und das drücken
wir dann aus durch ein solches Zeichen oder andersrum.
Und dieses Zeichen bedeutet, die B-Simulation, nicht um B-Simulation,
war ja für Transaktionssysteme definiert.
Also müssen wir das hier für die Prozessgrafen definieren.
Und später gehen wir dann aber zur Algebra über.
Da werden wir das so schreiben durch ein Gleichheitszeichen, Und dieses Gleichheitszeichen,
das bedeutet aber nicht die Gleichheit wie in der Mathematik,
sondern das bedeutet, die Verhaltensgleichheit.
Und wir werden das dann so machen,
dass wir diese Gleichheit gleichbedeutend machen mit der B-Simulation.
Das hat nämlich den Vorteil, dass wir dann solche Gleichungen
schreiben können, wie wir Gleichungen in der Arrithmetik schreiben.
Nicht also redlicher wäre es hier ein anderes Zeichen zu nehmen, vielleicht sowas.
Und wäre ja auch nicht so schlimm. Aber die Autoren,
der Erfinder, der Prozess Algebra hat, also genau wie beim Punkt und Mal,
das normale Gleichheitszeichen genommen, damit die Ausdrücke dann entsprechend aussehen.
Soweit sind wir aber noch nicht, sondern wir beginnen zunächst mal mit der RB-Simulation.
Nicht und Sie erinnern sich, unser Beispiel war ja auch,
dass diese beiden Fälle in der Folgenäquivalenz ununterscheidbar sind,
jetzt aber unterscheidbar werden sollen. Nicht,
wenn wir beispielsweise in einer Datei oder auf einer Platte ein D lesen, eine Datei,
ein Datum D lesen und das dann mit einem Reitschreiben auf eine andere Datei oder eine dritte,
dass das durchaus einen Unterschied macht, wenn wir das so modellieren,
weil wir hier nach dem Lesen immer noch beide Entscheidungen gegeben haben.
Hier aber, wir nach dieser Entscheidung hier nur noch
eine Möglichkeit hatten, was ja zum Beispiel dafür führte,
wenn wir entsprechend das entsprechende Medium ausgefallen ist, hier eine Verklemmung haben.
Nicht das ist die Motivation, die wir damals bei der
B-Simulation schon hatten und die im Grunde denn hier herkommen.
Nicht und bei Schaltfolgen, wenn wir das als Automat auffassen,
hätten wir ja hier die Folge geriet.de, weit eins,
riet.de, 3, 2 und hier auch.
Das heißt, als Folgenäquivalenz würde sich das nicht unterscheiden.
Und da die Autoren, die Erfinder der Prozess Algebra,
nun dieses im Fokus hatten, diese Äquivalenz hier durch Bisimulationen beschrieben.
Ich sage ja damals schon, was besser ist,
kann man wertneutral nicht sagen. Das hängt von der Anwendung ab.
Nicht in vielen Fällen lankt natürlich auch die Erfolgen-Equalenz. Nicht,
wir haben das damals ja in Form von Transitionssystemen in dieser Form kennengelernt,
wo wir hier jetzt nochmal die Folgen-Äquivalenz in diesem Typ des Automaten eben erkennen können.
Ja, da steht jetzt nochmal die Motivation mit der Platte 1
und Platte 2, dass ich eben schon gesagt habe,
das brauche ich jetzt nicht nochmal zu wiederholen
Ja, und die formale Definition der Bi-Simulation,
die kennen Sie auch, alle, nicht eine Bi-Simulation,
ist eine Relation, jetzt auf den Thermen,
der Prozess Algebra,
das heißt eine Teilmenge des kathesischen Produktes von BPA,
Kreuz-BPA nicht, wobei das die Menge der Prozesstherme sind mit folgenden Eigenschaften,
nicht wenn wir hier zwischen P und Q in die Relationszeichen,
die Relation haben und wenn wir in dem P eine Aktion ausführen können,
die zu einem P-Strich geht,
dann muss die auch zu dem Simulationspartner Kuh möglich sein und zu einem Kuhstrich gegen,
das seinerseits wieder in Relation zu dem Kuhstrich
steht und das Ganze auch eben umgekehrt
Ja, und zwei Prozesse, die heißen eben Bisimila,
wenn diese heißen Dabi-Similar, und das ist das Zeichen,
ja, habe ich richtig rumgemacht. Also nochmal zur Erklärung,
die erste Bedingung, es war also folgendes,
wenn wir hier ein P und ein Kuh in der Relation
haben und das P eine Aktion zu einem P-Strich möglich ist,
dann muss es hier ein Kuhstrich ergeben,
von dem also die Aktion A möglich ist,
es kann natürlich auch andere Aktionen geben,
und dieses Kuhstrich muss jetzt dann auch wieder in
der Bi-Simulations- und Relation
eben stehen
Ja, und hier haben wir dasselbe wieder wie vorhin.
Das heißt, wenn das P-Strich eine, die Termination ist
, dann wird das noch mal extra ausgedrückt.
Das war hier noch mal der symmetrische Fall. Ja,
hier noch mal, man kann das Ganze natürlich iterieren und
kommt dann zu einer Prozesskette. Und jetzt kommt jetzt die Geschichte,
wenn das dann mit dem letzten A dann terminiert.
Dazu haben wir dann die dritte und vierte Bedingung. Nicht,
wenn wir hier von dem hier mit dem A terminieren,
dann muss das hier unten mit dem A auch möglich sein zu terminieren.
Das ist alles ganz konsistent zu dem,
was wir bei den Transitionssystemen
schon kennengelernt haben
Ja, wenden wir das mal an. Da haben wir jetzt zum Beispiel den Ausdruck,
A plus A, gefolgt von B, links und rechts,
A, B oder A, mal B oder B. So,
erst die Frage, und wir wollen wissen,
ob das Bisimilarm ist und uns dann überlegen,
wie wir das überprüfen können.
Aber zum Verständnis erst nochmal die Intuition. Wird da ja
oder wird ein Nein rauskommen? Ja, bitte? Wüsste
ja rauskommen. Ja, die Begründung. Wie ich es
mir eben hergelernt habe, war schon durch Vereinfachung gesagt, Herr.
Ja. Aber wenn man es jetzt zeigen wollte,
müsste man das natürlich durch Angabe einer so Inpredation machen.
Ja, das machen wir ja gleich, aber erstmal intuitiv.
Intuitiv, wenn wir die Alternative zwischen A und A haben,
ist das das Gleiche, wenn wir sagen, einfach A ausführen.
Genau. Das ist klar. Auf der rechten Seite.
Es ist ähnlich mit dem Bähler anderen anderen AB,
für der AB-Stimme, wenn wir die Alternative wieder einblenden,
aber die Alternative zwischen zwei gleichen Möglichkeiten haben,
dann reicht es einfach, wo wir die Insel beschreiben.
Das heißt, wir haben eigentlich AB,
wie sie wieder AB und das ist natürlich so da.
Das heißt in dem Falle mehrfach die Anwendung, dass wir
zwei gleiche Möglichkeiten haben, dass durch eine dann Ebene ersetzen. So,
und hier zu dem, was sie jetzt angedeutet haben,
wie machen wir das jetzt formal, wenn wir auf die Definition zurückgehen,
jemand anderes, also sie sollen das jetzt nicht machen,
sondern was ist die Methode,
die wir jetzt anwenden,
um das jetzt mit Hilfe unserer Definition
zu entscheiden
Was müssen wir als erstes machen? Ja? Als erstes
müssen wir wieder diese... Diese Grafen da zeichnen.
Genau, diese Prozesskarte. Habe ich also hier schon mal gemacht.
Das heißt, hier haben wir ja A oder A,
dann bleibt B mit B terminiert.
Hier haben wir die beiden Möglichkeiten mit A,
im ersten Falle kommen wir zu B und im zweiten Fall
kommen wir zu B plus B und hier kommen wir mit B zur Itermination.
Hier sehen wir auch, was wir bisher noch nicht gesehen haben,
dass wir hier so eine Art Nicht-Determinismus haben können mit der A,
können wir gewissermaßen nicht determiniert den Anzweig oder den anderen Zweig eben nehmen.
So, und was machen wir jetzt
Das haben wir ja damals geübt, nicht,
wenn wir wieder zwei solche Transitionssysteme haben, zu prüfen,
ob die bis Semilar sind.
Das ist jetzt nichts Neues. Ja? Jetzt beginnen wir
beim Staatszustand. Und bauen sie nacheinander so zu.
Ja, erstmal gut. Wir beginnen beim Startzustand. Wir
nehmen mal an, das wären RB-Semilar und wenden dann unsere Regeln an.
Nicht, das geht jetzt folgendermaßen. Wir gucken,
wenn wir hier ein A haben, dann müssen wir hier auch ein A haben.
Und wir müssen wieder zu etwas kommen, was dann die Semilar ist.
Können wir hypothetisch mal machen. Aber umgekehrt,
wenn wir hier auf der anderen Seite dieses A wählen,
müssen wir auf der anderen Seite auch wieder das A wählen können,
auch zu was Bisemilaren kommen
Nicht schon entsprechend geht das weiter, wenn wir hier ein B haben müssen,
wenn wir hier terminieren, müssen wir hier auch terminieren.
Und das funktioniert in diesem Falle. Das heißt,
das Verfahren funktioniert darin, wenn wir dieses widerspruchslos,
widerspruchsfrei zu Ende führen können, dann ist die ganze Geschichte,
wie Semila, wie in diesem Fall.
Das heißt, unsere Intuition ist also hier bestätigt,
nicht in unserer B-Simul, B-Simulationsrelation,
besteht hier aus drei Paaren,
wobei hier das vierte Paar per Default eben angenommen wird.
Das wird
nicht nochmal extra ausgedrückt
Ja, Beispiel ist natürlich schön. Ein Gegenbeispiel ist ja manchmal noch ein erhellender.
Und da nehmen wir mal dieses hier. Ja,
Sie sehen, das ist genau die Einkleidung unseres Gegenbeispiels,
was wir eben vorher hatten. Nicht wenn wir hier ein A haben,
haben wir hier die Alternativaktive B oder C. Und auf
der rechten Seite haben wir die Entscheidung nicht,
die Terministe ist schon vorher.
Wir haben A, gefolgt von B und im zweiten Falle
von C. Nicht nur nach dem Vorspann sollte dann jetzt diese
Methode ein Nein ergeben
Also machen wir mal wieder dasselbe. Das heißt,
wir haben hier den Prozessgrafen für den linken Therm,
hier den Prozessgrafen für den rechten Therm. Wir fangen wieder an mit dem A,
kommen wir hierhin und wir kommen jetzt zu einem Widerspruch.
Nicht, weil wenn wir hier zum Beispiel an der Stelle das C wählen,
dann haben wir hier drüben keine Wahlmöglichkeiten und unser Verfahren bricht ab.
Also das passt zumindest nicht, denn das ist ja in keiner Weise gewährleistet,
wenn wir eine Intuition haben, eine formale Definition,
angeben, dass diese formale Definition dann das auch liefert,
was wir uns so denken.
Auf jeden Fall liefert die formale Definition,
was präzis ist, wenn sie nicht widersprüchlich ist,
aber ob wir damit zufrieden sind, das muss dann noch evaluiert werden.
Ja, okay. Gut, ich habe jetzt hier nochmal
Folien aus Büchern zur B-Simulation, die habe ich möglicherweise damals auch schon gezeigt.
Nicht, wenn wir hier so zwei Automaten haben.
Dann hatten wir ja da auch die B-Simulation definiert,
wenn wir die Automaten als Transitionssystem interpretieren. Wie Sie sehen,
der große Unterschied zu dem, was wir vorher haben,
ist, hier haben wir auch Zyklen in den Prozessthermen,
haben wir bis jetzt noch keine Zyklen.
Nicht, das wird ein späterer Schritt sein, dass wir auch solche Zyklen eben erlauben. Naja,
und hier sieht das dann eben so aus,
als wäre dann die Bi-Simulation und die Konstruktion wäre so,
wir fangen in den Anfangszuständen an und machen,
wenn wir dann ein A haben, Links haben,
müssen wir das auch rechts auch haben und dann können wir
mit dem B wieder zurück und hier auch und so weiter und so fort.
Das wäre jetzt nur nochmal
der allgemeine Fall
Oder in der Literatur gibt es jetzt auch dieses Beispiel mit dem Getränkeautomaten,
was jetzt, was wir jetzt in einer anderen Form ja hatten, nicht.
Und das ist aus einer anderen wichtigen Quelle von Robin Millner,
ja dieser Prozess Algebra eben eingeführt habt.
Nicht, und das war also noch vor 1999. Ja,
das war jetzt also der Getränkeautomat,
den wir in einer anderen Form ja kennengelernt haben,
und ich da waren das oben, zwei Pens,
die da eingeworfen werden.
Dann kamen da also Tee oder Coffee eben heraus.
Und das sind die beiden konkurrierenden Modelle,
die dann eben nicht EB-Seminar sind
Etwas anderes kann man da noch gut dran erklären,
was jetzt ein Unterschied zu den Automaten ist.
Bei den Automaten stellt man sich ja vor,
dass jetzt eine Aktion Folge beschrieben wird und man guckt,
was in dem Automaten passiert.
Was ist aber, wenn eine Aktion nicht möglich ist?
Das kann man jetzt in diesem Bild mit dem Automaten
hier da dran gut erklären. Das wird hier unten auch
so erklärt. Nicht, man drückt am Anfang,
man drückt irgendwelche Knöpfe in der Reihenfolge und das gibt unseren Prozess.
Und wenn mal hier einen Knopf nicht drücken kann,
dann heißt das,
dass diese Aktion nicht möglich ist
Nicht so kann man sich das also vorstellen,
wenn da dieser Automat nicht vollständig ist,
was dann hier zu dem Bild des reaktiven Systems eben passt.
Okay. So, jetzt kommen wir zum neuen Abschnitt.
Das heißt jetzt, eine Verträglichkeit der Bi-Simulation mit der BPA,
mit der Brasic Process Allgebrauch.
Ja, was heißt Verträglichkeit? Wir bemerken zunächst mal,
dass die Bi-Simulation eine Äquivalenzrelation ist.
Nicht eine Äquivalenzrelation ist ja folgendes
Wenn sie irgendwie eine Menge haben, die ich mal hier durchkreuze,
antrete heute, wenn das mal eine Menge ist,
dann ist eine Äquivalenzrelation eine Relation,
die gewisse von diesen hier in Beziehung setzt, der gestalten,
dass ich hinterher diese Menge in Teile einteilen kann,
wo also jeder mit jedem,
also hier würde dann noch eins fehlen,
jeder mit jedem in Relation eben steht.
Nicht, dass da die Äquivalenzrelation transitiv ist,
er muss also das hier auch der Fall sein.
Und das ist jetzt bei der Prozess, bei der B-Simulation
gegeben, haben wir vielleicht auch damals schon behandeln.
Wir wollen hier aber noch mehr, das steht hier,
das reicht nicht und wir wollen noch mehr und das kann
man folgendermaßen erklären
Wir nehmen mal an, dass wir hier eine Auswahl haben mit S-Plus-T,
für sie schlecht hier drüben. Ach so, ja,
Herr Moritz sagte schon, er schiebt das immer runter,
deswegen, weil sie immer ganz recht sitzen,
dann mache ich das jetzt auch mal.
So. So, und wenn wir jetzt Folgendes machen wollen,
wir wissen jetzt, aber bleibe ich mal auf der Seite hier stehen.
Wir wissen, wir können dieses S hier durch ein Verhalten,
gleiches S-Strich ersetzen. Ja, dann soll Folgendes sein,
wenn wir hier die Alternative von S und T haben,
dann soll das Verhaltensgleich sein,
wird der Alternative von S-Strich und
Ja, das heißt also,
wenn wir hier die Verhaltensgleichheit haben und wir führen,
wenden eine Operation in unserem Kalkül an, in unserer Algebra an,
dann soll diese Verhaltensgleichheit erhalten bleiben.
Wenn ich diese Verhaltensgleichheit oder Honormorphie und so weiter,
das kennen Sie auch aus der sonstigen Agebra.
Ich habe mir jetzt hier ein Beispiel mal überlegt,
was nicht so sehr tragend ist, aber vielleicht noch ein bisschen.
Ich schreibe jetzt mal Zahlen hin, interpretiere die aber als
formale Symbole. Zum Beispiel könnte ich sagen,
fünf ist gleich zwei plus drei
Und meine mit Verhaltensgleich, wenn ich da Strichzahlen mache, gebe das jedes Mal fünf Striche. So,
wenn ich jetzt aber dieses 5-4 durch was Verhaltensgleiches ersetze,
zum Beispiel durch 4 plus 1,
verhält sich dieses in jeder Umgebung meines Kaltskühl genauso wie die 5. Das heißt also,
wenn ich euch hier zum Beispiel 5 plus 7 schreibe,
ist das wieder dasselbe wie, oder eine Zweifelsreise,
so könnt ihr das auch schreiben, wenn zweifluss 3 plus 7,
ist wieder dasselbe wie wir plus 1 plus 7. Ist nur eine schwache Analogie,
aber in der Algebra gibt es das häufiger,
dass man Operationen hat
Und die sollen mit einer gegebenen Relation verträglich sein.
Und das wäre jetzt eben diese Verträglichkeitsrelation, die wir hier eben auch fordern.
Nicht, sondern der Algepar nennt man das eben auch gerne Konkurrenzen.
Ja, das haben wir jetzt hier nochmal in der formalen Definition.
Also eine Äquivalenzrelation, jetzt nochmal allgemein, heißt Konkurrenz, ein folgendes geht. Wenn wir hier zweimal die Konkurrenz haben,
nämlich einmal zwischen x und x Strich und öfter und üblicheren Strich,
und wir wenden auf beide, also auf die linken Paare,
auf das Paar der linken Teile diese Operation an,
dann muss das auch wieder verhaltensgleich sein oder Äquivalenz in Relation stehen,
wenn wir das mit den Rechten machen, nicht in unserem Fall heißt das folgendes,
wenn wir hier die Verhaltensgleichheit haben zwischen S- und S-Strich und T- und T-Strich und wir wenden jetzt unter Operation F an,
was jetzt hier das Fluss und das Mal sein soll,
das soll das hinterher auch noch gelben.
Ja, ob das nun gilt oder nicht,
das ist jetzt eine andere Frage und da fängt jetzt die Arbeit an,
wo sie jetzt das Vergnügen haben, dass sie das Ergebnis schon genießen können,
denn es ist so, das gilt nicht,
also die B-Simulation ist jetzt eine Konkurrenz auf BPA,
nicht in Bezug auf ihre Operation,
wo wir ja bis jetzt nur und bloß haben.
Nicht und das ist also enorm wichtig und das hört uns durch das ganze Kapitel durchziehen,
dass wenn wir neue Operationen,
wie zum Beispiel Parallelapparator einführen oder auch Verdeckung,
das heißt also, wenn wir irgendwelche Dinge verschleiern,
nicht nach außen sichtbar machen, ist immer das Ziel,
diese Konkurrenz beizubehalten, weil wir sonst nicht vernünftig operieren können.
Das heißt, wenn wir Verhaltensgleichheit getestet haben oder hergestellt haben und
wir machen irgendeine Operation, dann geht die auf einmal verloren.
Das soll nie der Fall sein. Und deswegen machen wir
das immer wieder und wie gesagt, den Beweis dazu,
den sparen wir,
der steht also in dem Buch und ist an der Stelle
auch noch relativ einfach und das Schlüsselwort ist dabei,
diese Punt-Form,
die dort eben hergestellt wird
Ja, dann sind wir jetzt bei einem ersten Abschnitt angelangt,
der eben darin bestand, jetzt diesen BPA zu definieren und diese B-Simulation.
Das heißt, wenn ich jetzt nochmal auf dieses Bild hier zu sprechen erkomme,
wir haben jetzt dieses hier eingeführt, diese B-Simulation.
Was unser Ziel ist jetzt,
ist hier diese Äquivalenz jetzt einzuführen,
dass wir also solche Gleichungen schreiben können
Nicht nur das Ganze, nennt man Axomatisierung. Richard,
da dürfte es bei Ihnen schon wieder ein bisschen klingeln,
wenn Sie an die Logik denken.
Denn in der Logik haben wir ja auch Aktionensysteme,
wie zum Beispiel das Hilbert-System, wo wir Formeln ableiten können,
die eine bestimmte semantische Bedeutung haben.
Nicht in der Logik sind das Tatoologien, also Formeln,
die bei jeder Belegung quasi sind.
Und das eine Formel wahr ist, definiert man ja ursprünglich,
indem man zum Beispiel in der Aussagenlogik alle Überlegungen durchprobiert,
dass er immer wahr rausgeht. Das heißt also,
die semantische Beschreibung würde gedacht, auf der einen Seite stehen.
Und das wird verglichen mit einer syntaktischen Beschreibung durch ein Kalkül,
wo gewissermaßen inhaltlich dasselbe hergestellt wird,
aber der Letzte der Berechnung eher zugänglich ist,
nicht das Ausprüfen der Wahrheitswerte ist ja auf jeden Fall oder exponentiell,
wenn man da den ganzen binären Baum im schlechtesten Fall durchprobieren muss.
So, auch hier. Wenn wir überlegen,
ob zwei Therme verhaltensgleich sind, bis zunächst mal das Kriterium,
die B-Simulation, wir versuchen das aber,
um dadurch zu klären,
indem wir das in unserem Gleichungskalkül eben ableiten können
Ja, das steht auch nochmal im Text. Brauche ich
jetzt nicht nochmal zu erwähnen. Wir haben jetzt also jetzt hier,
wollen wir jetzt ein Kalkül konstruieren, ein Gleichungskalkül,
der jetzt solche Gleichungen ableitet mit der Bedeutung,
dass wenn wir immer sowas abgeleitet haben,
dass X-B-Seminar zu dem Y ist und wir schreiben das durch eine Gleichheit,
was also nicht die Gleichheit der Therme bedeutet,
was ja eigentlich sonst die Buchstaben oder Zeichenmäßige Kopie bedeuten würde
Ja, oder da rechnen wir dann damit, wie in der Algebra,
wo wir dann mit abstrakten Gleichungen rechnen, in Gruppenkörpern und so weiter.
Das heißt, das Stichwort ist wieder Kalkül.
Nicht Kalkül ist es bedeutet, Axiome und Schlussregeln.
Und das ist jetzt schon der zweite Kalkül. Nicht in
der Klausur habe ich ja normalerweise nicht so die direkte Interaktion.
Ich weiß nur, aus der Zeit der Diplomprüfungen,
wo wir mündliche Prüfungen hatten, wenn ich da nach einem Aktionen,
nach den Axiomen im Prozess Algebra gefragt habe,
wurde das bei den schwächeren Antworten meistens verwechselt?
Nicht, dass wir den Kalkül hatten jetzt für die Prozesstherme
und den Kalkül für diese Gleichung. Deswegen sage ich,
dass vorneweg schon mal, wir haben jetzt den zweiten Kalkül,
wir haben jetzt auch wieder Axiome und Schlussregeln,
aber diesmal andere Aktionen und natürlich andere Schlussregeln.
Das sehen Sie schon daran. Eben hatten wir ein Axio,
jetzt haben wir fünf Aktionen. Eben hatten wir sechs,
glaube ich, Schlussregeln, jetzt haben wir, glaube ich,
drei Schlussregeln, das werden wir dann noch sehen.
Und das geht folgendermaßen los
Also, das sind jetzt die Aktionen unseres BPA-Kalküls,
durchnummeriert mit A1, A2, A3, A4, A5.
Und sie sehen schon, das hat die Form,
wie vorher beschrieben, links und herm,
rechts und herm in der Mitte das Gleichheitszeichen.
Ja, und die Bedeutung soll es sein, dass die B-Seminar sind.
Nicht, und das können wir uns zunächst mal intuitiv überlegen.
Und das überlegen wir zumindest ansatzweise dann später auch formal.
Und das heißt, wenn wir uns das intuitiv überlegen,
dann dürfen wir zum Beispiel zudem hier links und rechts den Prozessgrafen aufmalen.
Der könnte so aussehen, oder wenn wir das hier
unten zusammenlegen, so aufmalen. Und sie sehen schon,
Das ist hier, wenn man die Frage hier unten stellt,
ist das irgendwie kaum zu verstehen, die Frage.
Denn ob ich das, ob ich das so rummaßschreibe oder
Y plus X schreibe, ist für den Graphen ja ziemlich egal.
Nicht, weil in diesen grafischen Darstellungen ist links und rechts
ja überhaupt gar keine Bedeutung. In den Ausdrücken schon.
Aber dieses Aktion sagt, semantisch macht das keinen Unterschied.
Das heißt, die Operation plus ist konmutativ. Nicht,
und das erinnert uns an die Arithmetik,
wo ja auch das bloß kommutativ ist
So, Nächste wäre jetzt hier die Assoziativität der Addition.
Das heißt, wenn ich hier drei Teile habe und
die Linksklammere oder Rechtsklammere, kommt dasselbe heraus.
Und wenn ich das so aufmale, sieht man auch,
dass das ziemlich egal ist, wie ich das auffasse.
Und deswegen geht man meistens dann auch hin und lässt die Klammern weg,
weil es ja egal ist, ob ich links oder rechts klammere.
Ich sage nur meistens nur in manchen Auswertungsfragen,
dann sagt man dann, ja, wir nehmen wir jetzt an,
dass die immer links oder rechts geklammert sind.
Aber hier ist das meistens, meistens egal. Ja,
und das Axiom A3 ist das,
was wir jetzt vorher schon häufiger benutzt haben
Semantisch, das heißt, die Alternative,
wo die beiden Alternativen gleich sind, das ist verhaltensgleich,
wenn ich das Ganze nur einmal habe.
Und das würde dann hier als Prozessgraf dann eben so aussehen, wie hier dargestellt. Ja,
können wir dann hier nochmal zu den A4 und A5,
um da, weil ich da jetzt keinen Platz mehr für die Bilder habe,
habe ich das jetzt hier nochmal neu dargestellt.
Ach so, vorher wollte ich noch die Frage stellen,
was fehlt denn da, wenn Sie sozusagen an naheliegenden Analoga
zu der Arhythmetik denken?
Er hat sich im Weißen Hemd,
die habe ich bisher zur Verfügung übergangen
Der Multiplikation. Ja, nicht die fehlt. Die Multiplikation der Kommotativität,
nicht wenn ein Prozessorum oder andersrum ausgeführt wird,
dann hat das schon eine Bedeutung, das ist richtig.
Aber das bedeutet, habe ich was anderes gemeint?
Haben Sie vielleicht den Sinn gehabt? Das ist das Tributivgesetz
für die einzelne Richtung. Genau, das fehlt auch.
Wenn das Set hier vorne steht, warum fehlt das denn wohl?
Ja? Da schaffen wir die Simulationsbelastung. Das haben wir eben gerade gehabt,
das Beispiel, das zeige ich dann auch gleich nochmal.
Das heißt also, für die positiven Fälle würde das so aussehen,
hier haben wir die linke Seite von denen,
ein A4 und das war ja noch nicht
so weit
So. Die linke Seite bedeutet ja, wir haben hier X plus Y
gefolgt von Z. Ach so, das brauchen wir doch.
Das habe ich nur in das Bild nicht da.
Nicht und die rechte Seite würde ja gerade so aussehen,
dass wir Folgendes haben. Die rechte Seite, da hätten wir,
also x mal Z, plus Y, Mahlzeit.
Das heißt, wir hätten hier zunächst X und Y
und dann das Z und dann terminieren.
Das heißt, wir haben doch dasselbe,
habe ich jetzt gerade nicht richtig gesehen
Fehlt kein Bild, sondern ich habe es nur gerade nicht gemerkt.
Das heißt also, die rechte Seite können wir genauso.
Stimmt, ja. Auf der linken Seite Exzept auf der rechten Seite
. Haben Sie vollkommen recht. Jetzt brauche ich ganz schnell
einen Schwamm. Hier ist er. Also das war die
linke Seite und die rechte Seite müsste ja so aussehen.
Ich habe ja, also ja,
das war ja auch das Falsche hier, auch weg.
Also, hier haben wir ja die Möglichkeit,
entweder ein X zu machen und auch ein Y zu machen.
Und dann haben wir hier aber nur das Z.
Das ist ja
nur ein Zustand
So, nach dem Wichsel, äh,
ins Set in der Folie, schon ein anderes Zelt.
Wie so ein anderes Set. Da haben wir nur ein
Set. Wir haben doch gesagt, die Zustände in Transaktionssysteme
sind die Therme. Und wir haben nur ein Thermen-EZ.
Also, das ist noch einfacher. Ja, also doch,
war doch so, wie ich erst gedacht habe, ne.
Also, hier ist kein Fehler, also fehlt nichts.
Das heißt, dieses Bild passt zu dem,
hier und zu dem und die sind also bis Semila, ne.
So, dann haben wir, kommen wir jetzt zu dem,
zu dem Assoziativgesetz. Das würde ja dann so aussehen,
wenn ich Hitters linke nehme, dann würde hier nach dem X
noch das Y mal Set äh folgen und so weiter.
Und das rechnet dann entsprechend,
weil auch in dem Bild hier unten diese Klammerung keine Rolle,
ihre Rolle steht
Ja? Ja, jetzt habe ich noch mal überflüssigerweise das,
was fehlt, hier dargestellt. Und da haben wir dann das,
was wir eben schon gesehen haben,
wo wir dann hier keine Visimulation haben,
weil wir, wenn hier das X wählen, ja,
dass wir dann hier drüben die Möglichkeit von dem Set haben und hier eben nicht mehr.
Das heißt also, die Links,
das Linksdistributivitätsgesetz entfällt und taucht deswegen auch nicht als Aktion auf.
Und genauso, wie Sie auch richtig gesagt haben,
die Kommotativität der Multiplikation
Ja, da sind wir eigentlich schon ziemlich,
dachten wir, wir sind am Ende,
aber was fehlt, sind natürlich die Schlussregeln, ne?
Nicht Schlussregeln, da kommen wir jetzt hin.
Die Schlussregeln, die sind eigentlich entsprechend ziemlich dem,
was wir auch sonst in der Algebra erkennen.
Zunächst mal soll ja das Ganze eine Äquivalenzrelation sein.
Nicht, dann können Sie sagen, das wissen wir schon.
Nein, das wissen wir nur, auf der Seite hier
eine der B-Simulation. Wenn ich hier unten in dem Gleichungskalkül,
müssen wir das extra herstellen. Und dazu sagen wir,
dass hier auch diese Gleichungen täglich teeschreiben dürfen,
Und wir dürfen schreiben, falls Clay S gleich Tee,
dürfen wir auch Tee gleich S schreiben.
Und wir dürfen schreiben, nennt S gleich Tees und Tee
gleich U, dann ist auch S gleich U.
Nicht sie sehen, das könnte einem,
der da nicht so tief nachdenken, die da völlig überflüssig erscheinen,
weil wir mit Gleichheit diese drei Gesetze ja sowieso assoziiert.
Das liegt aber nur an unserer Wahl, das Gleichheitszeichen.
Wenn ich da ein kompliziertes anderes Zeichen schreiben, wo sie
keine semantische Zuordnung haben, dann werden sie schon einsehen.
Auf jeden Fall muss man das dann auch eben erfordern.
Das heißt also, diese Gleichungen darf ich entweder schreiben oder
aus anderen durch Vertauschen der Seiten oder Anwendung der Transitivität
wieder eine neue Gleichung bilden
So, das entspricht der Äquivalenz. Und dann der,
dem, der, der Konkurrenz, habe ich natürlich
auch was entsprechend. Das heißt hier Kontext. Nicht,
wenn ich es gleich Tee habe und Tee gleich Tee,
Strich, dann soll das in jedem Kontext gelten.
Das heißt also auch, wenn ich S plus Tee
und es ist schon wieder das Äquivalent zu S-Strich,
plus T-Strich und dasselbe mitmalen.
Ja, so, das war jetzt die Äquivalenz,
der Kontext. Und dann haben wir jetzt noch
die Substitution
Substitutionen haben Sie vielleicht in der Loge kennengelernt?
Nicht Substitutionen. Es ist ja so, dass diese Aktionen,
wenn ich zum Beispiel X, plus X gleich X habe,
dann verbirgt sich hinter dem X ja ein beliebiger Term.
Nicht nur etwa eine Aktion, nicht nur etwa eine Aktion.
Da könnte zum Beispiel stehen, wenn ich hier stehen habe,
A, bloß B, mal C und dasselbe nochmal.
A, plus B, mal C, dann ist das selbe,
wie wenn ich das Ganze nur einmal schreibe.
Also A, bloß B, mal C. Und das jetzt
in dem Kalkül auszudrücken, brauche ich eine extra Regel.
Und das mache ich durch die Substitution,
dass ich hier durch das X hier diesen ganzen Term ersetze.
Und diese Gleichung bleibt dann erhalten. Nicht,
dass erfordert natürlich, dass die Kreuzigstütze die Substitution konsistent ist,
dass ich an allen Stellen Bund X steht, dasselbe ersetze.
Das ist alles in dem Surfsituationsprojekt im Begriff enthalten.
Ja, und hier auch. Nicht,
wenn ich also die Gleichung habe, mit S gleich stehe,
wenn da so eine Substitution an, das heißt,
gewisse Zeichen ersetze ich durch ganze Therme,
an allen Stellen die gleiche,
und das bleibt das Ganze erhalten
Ja, weil das so wichtig ist,
habe ich das Ganze jetzt nochmal in konkrete Beispiele gefahren.
Und das würde dann jetzt folgendermaßen aussehen. Also,
da halten wir jetzt erstmal, habe ich mal das Axiom
A4 genommen, das war das rechtsdistributiv gesetzt.
Und jetzt habe ich da mal eine Substitution gewählt.
Nicht die Substitution könnte sein für das X,
nämlich Amal B, für das Y A und für das Set,
nehme ich C plus C,
nicht diese Substitution hörens Abbildung wird dann hier durch so
ein Pfeil mit so einem Häkchen am Anfang dargestellt
Ja, und wenn ich das jetzt ersetze, kriege ich ja folgendes.
Also dieses X wird hier durch AB ersetzt.
Hier drüben das X auch. Und da gibt es dann
keinen mehr und entsprechend weiter. Nicht nur auf diese Art
und Weise kriege ich da diese Gleichheit. Nicht,
wo sie dann jetzt in der Tat schon zweimal hingucken müssen,
dass das Verhalten gleich sind. Während wir das hier oben
ja, also ja ganz einfach schon gesehen haben.
Nicht, und das sehen Sie auch schon so ein bisschen
die Mächtigkeit, dieses Kalküls da dran.
Nicht, also hier unten müsste man sowas argumentieren. Ja,
hier habe ich die Möglichkeit, A,
B zu machen oder A,
gefolgt von C. Und hier rechts habe ich A,
B,
gefolgt von C oder
Wo ist denn hier das B hier rechts geblieben?
Aha, da steht ja da. Da ist ja was
falsch, nicht, oder? Nee, warum nicht?
Warum ist das richtig? Warum haben wir hier kein B?
Haben wir hier drüben ja auch nicht. Wenn wir hier,
wenn wir hier die zweite Alternative wählen,
dann kommen wir hier gleich nach A und C. Aber wir sehen,
da kann man sich leicht vertun, wenn man etwas komplexeren ausdrücken, intuitiv argumentiert.
Und in der Tat ist es so,
mit komplexen Prozessausdrücken wird keiner handschriftlich arbeiten,
sondern da gibt es sehr effektive Tools zu,
nicht und anderes als zum Beispiel bei Petrinetzen oder Modelchecking und
so weiter,
ist diese textuelle Bearbeitung
sehr schnell
Das heißt also, Algorithmen in der Prozess AGbra laufen sehr oft
oft sehr viel schneller, zumindest in diesen einfachen Fällen.
Nächstes Beispiel. Achso,
das war jetzt noch mal ein Beispiel dazu,
dass wir diese Regel als Schema interpretieren können,
wie ich das eben schon vorher an der Tafel erläutert habe.
Nächstes Beispiel zur Äquivalenz. Da habe ich jetzt nun mal
das dritte genommen. Das sagt ja folgendes.
Wenn das gleich stehen ist und das gleich dem ist,
dann ist auch das erste gleich dem dritten.
Das sagt ja die Trantativität. Ja,
und das sehen wir hier auch intuitiv.
Hier haben wir die Alternative zwischen X und Y
und hier Recht
eben auch
Drittes Beispiel zur Kontextregel. Das war ja folgendes,
wenn es gleich als Strich und Tegler-Strich ist,
dann ist auch SPST gleich S-Strich plus T-Strich und dasselbe mit Mal.
Dann nehme ich jetzt mal dieses hier, X ist gleich X,
hatten wir ja als Aktion und Y bis Y,
ist gleich Y, hatten wir auch als Aktion.
Und wenn wir jetzt das addieren, würde ja hier stehen,
X plus Y bis Y und hier steht Xbox Y
und das muss auch wieder gleich sein.
Also nochmal kurz innehalten, jetzt haben wir also
den zweiten Kalkül
Für heute und generell auch jetzt hier in der Prozessalgebranche kennengelernt.
Und das wird später so weitergehen. Wir werden am Donnerstag
dann ein Parallelopperator, also T1, parallel im T2, definieren.
Und da gehen wir genauso vor. Wir werden zunächst mal
semantisch klären, wie jetzt der Prozesskraft dazu auswählen wird.
Das wird gehen, aber komplex werden, erinnern sich an die Zustandsexplosion.
Und wir werden das dann wieder Durchgleichungen machen zum Rechnen.
Das machen wir aber heute noch nicht,
sondern wir befassen uns erstmal nochmal mit diesem Thema
Ja, und dieses Thema werden wir jetzt insofern vertiefen,
als wir uns jetzt mit den Themen Korrektheit und Vollständigkeit befassen.
Das ist eigentlich auch was, was Sie vielleicht auch aus
der Logik schon kennen. Nicht, wenn wir,
wir hatten ja gesagt, ich mache mal hier ein bisschen Platz,
damit das so ein bisschen übersichtlicher wird hier mit meiner Analogie.
Ich hatte ja gesagt, der Kalkül, der Gleichführungskalkül,
der entspricht zum Beispiel dem Hillberg Kalkül
In der Logik. Und hier hätten wir die Wahrheit,
wie sagt man, Wahrheitstafeln oder Wahrheitswerte. Oder schlecht Wahrheit.
Nicht, wenn wir Einsetzungen machen und die Wahrheitsoperationen üben,
überlegen. Da hat man ja zwei Dinge zu überlegen,
dass wenn man hier immer Hilbert-Kalkül was ableitet,
dass das immer eine Tautologie ist, das wäre diese Richtung.
Und umgekehrt, wenn ich eine Also vielleicht wäre der Pfeil besser, andersrum.
Wenn ich im Hilbert-Kalkül etwas abgeleitet habe, dann ist das
eine Tautologie. Und umgekehrt, wenn ich irgendwas habe,
wo ich überprüft habe, dass das eine Tautologie ist,
dann kann ich das auch im Hilbert-Kalkül eben ableiten.
Und das nennt man in der Logik die Korrektheit und die Vollständigkeit,
weil man ja eben nicht so ganz klar,
wie der Pfeil rauf oder runtergehen muss.
Was wird jetzt nun die Korrektheit sein?
Der Pfeil rauf oder der Pfeil runter
Ja, die ganze Zeit gut. Ja, wir haben
ja hier sozusagen ein Kalkül und der soll richtig funktionieren.
Das heißt, der soll immer nur wahre Dinge produzieren.
Das heißt, das hier wäre jetzt die Korrektheit und das andere müsste ja dann die Vollständigkeit sein.
Das heißt ja, alles, was wahr ist, erreiche ich auch. Ja,
nicht, das heißt also,
wenn ich jetzt hier mal in der Logik die Ableitbaren,
logischen Ausdrücke ableitbaren Ausdrücke, dann kriege ich eine ganze Menge,
die wahr sind, aber es könnte ja immer noch sein,
dass es noch mehr gibt und erst wenn ich gezeigt habe,
dass diese Supplementäre Menge leer ist, dann weiß ich,
das Ganze ist vollständig.
Ich habe sozusagen das Ganze ausgeschöpft und so, auch hier.
Das heißt, wir haben jetzt ja hier diese beiden Möglichkeiten,
nämlich die semantische Beschreibung und die sind taktisch und durch ein Kalkül.
Wir wollen zeigen, dass der Kalkül korrekt ist. Das heißt,
alles, was hier gleich ist,
soll wie Semilar sein und vollständig soll sein,
wenn überhaupt zwei Therme B-Semilar sein, dann sollen sie auch in dem Kalkül ableitbar sein.
Und da gibt es eine einfache und eine schwierige Seite Richtung.
Was wird wohl die einfacher sein, was wird die schwierigere
sein?
Von diesen beiden Richtungen
Wie läuft es da lustig, was da einfach ist, die Vollständigkeit? Ja, und warum? Weil es so ein einfaches Zeichen ist,
ob was stimmt, als zu sagen, dass man alles... Genau,
wenn man was konkretes hat, wie so ein Kalkül,
dann kann man überlegen, an jeder Regel sich induktiv,
man sagt, die Aktion bestimmen und wenn ich die Regeln anwende,
dann stimmt das auch wieder und induktiv weiß man,
dass das alle, aber umgekehrt, nicht,
wenn ich zum Beispiel eine Tautologie habe,
dann weiß ich überhaupt nicht, wie ich doch dachte,
einen Beweis heißt das ja,
eine Ableitung in einem Kalkül konstruieren muss und da braucht man ganz andere Methoden.
Und so war es auch in der Logik,
während man diese Kalküle sofort natürlich so konstruiert hat,
dass sie korrekt sind, war es zum Teil,
blieb es lange offen, ob die auch vollständig es sind.
Und da gab es ja sogar dann ganz prominente Überraschungen in Bezug auf die Vollständigkeit,
was ja dann zu dem Unvollständigkeitssatz der Prädikatenlogik dann geführt hat.
Okay, so jetzt auch hier und das bocken wir uns jetzt im Detail an.
Korrektheit und Vollständigkeit habe ich jetzt schon erklärt. Jetzt hier nochmal die Definition,
der englische Begriff für Korrektheit des Soundness,
das oder der, da ist besser der, BPA,
Kalkül heißt korrekt oder Sound, wenn für alle Thermen S&T gilt,
wenn ich die Gleichheit habe, also den Kalkül abgeleitet habe,
dann sind die auch busyvillar.
Also das war der Pfeil hier von unten nach oben.
Und die Vollständigkeit Complete Nets ist das Umgekehrte, wenn ich
die B-Simular habe, dann kann ich sie auch ableiten.
So, da haben wir jetzt also auch folgendes Ergebnisses, der BPA-Kalkül ist korrekt.
Und das ist in der Tat hier auch einfach.
Wir überlegen uns, dass die Aktionen korrekt sind. Ja,
und hier in der Fotoson haben wir das ja schon gemacht.
Ich habe ja im Grunde schon das intuitiv bewiesen. Können Sie sagen,
das ist nicht formal, aber der Schritt ist nicht mehr sehr groß.
Und die Regeln führen auch wieder korrekte Thermen in korrekte Therme.
Das haben wir auch im Grunde schon bewiesen, aber wir haben,
ich habe hier noch mal eine Folie zum Beispiel für die Substitution.
Ja, also für die Therme, die stellen beide eine
Auswahl dar. Und die sind natürlich Bisimilar,
da hatte ich vorher auch noch das Bild, den Prozesstherm,
hier nicht nochmal, nicht nochmal dargestellt, dass die Argumentation,
wie sie auch im Buch steht,
da hat man sich das nur entsprechend zu denken,
was ich
eben vorhin schon auch gesagt habe
Nicht dann bei dem Aktion 2, ob ich so rumklammere
oder so rumklammern, ist jetzt für die Bissimulation unerheblich.
Bei der Auswahl zwischen Tier- und Tee eben eben auch.
Dann haben wir hier das rechte Superrestrestdistributivität,
da wird sozusagen in deutscher Sprache nochmal genau beschrieben,
was wir auch in den Prozesstherren machen würden.
Also sowas, was wir vorher gemacht haben und hier unten bei der Assoziativität eben auch.
Das folgt also genau, das entspricht also genau dem,
was wir vorhin auch schon gemacht haben.
So, interessanter Punkt ist jetzt, der BPA-Kalkül ist vollständig.
Das ist in der Tat schwieriger,
weil wir jetzt von einem B-Seminarenpaar ausgehen und zeigen müssen,
dass wir das auch eben ableiten können,
wo wir zunächst mal gar keinen Hinweis darauf haben,
wie denn dieser Beweis zu finden wäre.
Das heißt also, wir müssen jetzt irgendwie zeigen,
dass es doch eine deutsche Ableitung eben gibt
Und da das so kompliziert ist, wird das sozusagen in zwei Stufen eingeteilt.
Wir fangen zunächst mit einer einfachen Relation an.
Und diese Relation kriegt den Namen Gleichheit und unten AC.
Und da für diese einfachere Relation beweisen wir erst
die Behauptung und dann die Behauptung des ganzen Satzes.
So, und die ist folgendermaßen definiert. Diese einfache Relation
mit dem AC, die soll genau dann gelten,
wenn nur, wenn wir nur die Axiom A1 und
A2 benutzen
Nicht A1 war ja die Kommultativität der Addition, der Alternative, sage ich jetzt besser.
Und A2 war jetzt die Assoziativität der Alternative. Nicht und wir sehen,
ob ich nun hier bei unserer Interpretation das so oder so
schreibe oder so, Klammer oder so, Klammer,
habe ich ja jetzt nur hinreichend oft argumentiert, dass das egal ist.
Das heißt, intuitiv nimmt man schon den Unterschied schon
gar nicht mehr wahr, wenn man uns,
weil wir sozusagen an die Arrathmetik eben gewohnt sind.
Aber wenn wir diese Art der also die eingeschränkte Äquivalenz nur benutzen,
dann schreiben wir das formal hier mit dem Index AC.
Ja, das hatte auch eine Bedeutung. Ja,
nicht das A steht für Assoziativität und das Ziel für Kommentativität im Englischen.
Also das heißt, ich benutze nur die Assoziativität und die Kommunikation,
Kommentativität der Auswahl und das wäre die Äquivalenz in Bezug
auf AC
So, jetzt kommen wir zu dem Begriff der Normalform.
Was ist eine Normalform? Eine Normalform kennen Sie auch aus der Logik,
das ist eine Form, die man aus jedem Ausdruck herstellen kann,
auf eine bestimmte Art und Weise und die dann dazu führt,
dass man verschiedene Ausdrücke gut miteinander vergleichen kann.
Und hier in unserem Falle nehmen wir Folgendes als Normalform,
nämlich das wie der Ausdruck nur aus einer Menge von Folgen
von Alternativen besteht,
wobei jedes dieser SI entweder
nur eine Aktion ist oder länger
Nicht, das ist insofern eine Normalform,
weil wir uns ja vorstellen können,
dass wir jeden beliebigen Ausdruck durch Anwendung der Gesetze,
die wir haben, ebenso herstellen können.
Machen wir dazu mal ein Beispiel. Also,
wenn wir zum Beispiel haben, ah, mal C plus B,
mal A, plus B, wie kriegen wir dadurch eine Normalform?
Ja, indem wir einfach munter sozusagen ausmultiplizieren. Das heißt,
wir würden jetzt hier zum Beispiel das hier rein multiplizieren.
Das heißt, wir würden bekommen einmal C-A. Klo ist D-A. Plus B.
Ja. Und in dieser Form haben wir jetzt also diese Normalform hergestellt.
Das heißt, wir haben jetzt hier das Ganze als eine Summe
dargestellt und jeder so Mann ist entweder nur eine Aktion oder was Längeres.
Ja. Okay.
Und jetzt geht es folgende, da habe ich das hier auch nochmal projiziert,
damit sie das auch der Folie auch nochmal haben.
Nicht also zum Beispiel in dieser Relation AC sind diese beiden Therme,
weil sie ja nur durch Vertauschung voneinander entstanden sind.
Aber es gilt zum Beispiel, das ist nicht in AC,
weil ich das Ganze jetzt durch die Regel arbeitsweise,
zumindest von den Hinternregeln habe, anwenden müssen.
Ja, und die Aussage ist,
wenn ich einen solchen Ausdruck in Normalform bringe, das heißt also,
soweit aus dem Multiplizierer, wie es noch geht,
dann haben wir die Eigenschaft der AC-Äquivalenz.
Und das ist sagen die Schlüsselidee bei dieser ganzen,
bei diesem ganzen Beweis jetzt. Ja,
da haben wir natürlich auch nicht,
und das ist ja nicht mal mehr gleich,
weil da würde ja nicht mal mehr das Gleichheit gelten,
weil wir da nicht die Kommentativität der ineinander Ausführung haben.
So, jetzt habe ich das Ganze hier mit den Normalformen
jetzt auch noch mal hier auf der Folie stehen.
Da rechts haben wir
die Aktionen
Und hier können wir jetzt durch Anwendung von den Regeln,
hier zum Beispiel von dem A3, würden wir bekommen,
dass aus den 2Cs nur 1C wird, sonst bleibt alles gleich.
Nicht unterstrichen ist immer wieder die Stelle, wo ich eine Anwendung mache.
Das sieht jetzt danach aus, dass ich das Recht disstributiv gesetz anwenden würde.
Da würde dann jetzt aus dem AB geklammert C werden, AC plus BC.
Jetzt, wenn dich dann nochmal das Distributivgesetz aus,
da würde jetzt aus C mal ein ACD plus BCD plus
A werden und dann Bin ich jetzt wohl fertig, ne?
Ja. Also das war jetzt zu weit.
Hätte ich auch nicht machen sollen. Das heißt,
was ich hier an der Tafel gemacht habe,
haben wir jetzt hier auch nochmal aus der Folie,
durch inreichend langes Ausmultiplizieren, bekomme ich das,
was ich jetzt hier in der Normalform bekomme.
Und Normalformen haben in anderen Kalkülen die Eigenschaft, dass sie eindeutig sind.
In unserem Falle sind sie nicht identisch, sozusagen zeichenmäßig identisch,
sondern stehen in dieser besonderen Relation mit dieser AC-Äquivalenz,
die ich eben beschrieben habe
Also, auf diese Weise erhalten wir ein Ersetzungskalkül,
bei dem zwischen den Regelanwendungen, Umfangen nur bezüglich der Relation angewendet werden können.
Und ich nenne die jetzt mal, die werden jetzt diese Regeln,
werden jetzt folgermaßen eingeführt, während wir hier vorher 1A2 haben,
nennen wir die jetzt Regel R1 und R2,
weil wir jetzt in Bezug auf unseren Kalkül,
die in beiden Richtungen anwenden können.
Denn wenn wir jetzt zur Normalform kommen,
ist ja egal,
in welcher Reihenfolge
wir das haben
Bei den anderen drei, die vorher hier A3,
A4, A5 hießen, mache ich das jetzt nicht mehr,
sondern führe jetzt zu sagen eine Asymmetrie an.
Sie sehen, hier steht nicht mehr das Gleichheitszeichen, sondern ein Pfeil.
Das heißt, ich interrementiere diese Gleichheiten jetzt als Regel.
Das heißt, ich erlaube jetzt in dem Kalkül,
auf der ich jetzt zusteuere, nur,
dass ich die linke Seite durch die rechte Seite ersetze.
Nicht mehr die rechte Seite durch die linke, ja,
warum mache ich das? Ja, deswegen war in einem
gewissen Sinne die rechte Seite einfacher ist als die linke.
Nicht, das ist bei dieser Regel
ganz offensichtlich
Ja, bei der kann man streiten,
aber in Hinblick auf die Normalform ist das natürlich schon näher
an der Normalform, in diesem Falle schon gleich.
Und hier das bei der Klammerung ist das eine Setzung. Das heißt also,
ich habe jetzt aus meinen Aktionen jetzt ein Regelsystem gemacht,
wobei manche Regeln, nämlich die ersten beiden,
in beiden Richtungen anwendbar sind und in den letzten dreien,
die nur in einer Richtung.
So, und wendet man jetzt diese Regeln an,
dann kommt man in einer endlichen Anzahl von Schritten zu
einem Therm,
der nicht
weiter reduziert werden kann
Nicht, das ist also nicht selbstverständlich,
also bezüglich 102 könnte man natürlich das beliebig oft vertauschen,
aber es sind natürlich die anderen beiden Regeln gemein.
Und diese Regel und diese Eigenschaft, die heißt Konfluent.
Nicht diese Ersetzungskalkül, das kennt ihr vielleicht auch im anderen Kontext,
wie dem sogenannten Landerkalkül, heißt Konfluent. Wenn ich zwei,
zum Beispiel auch einen Herrn in Zwei äquivalente Therme irgendwie ableite,
dann lange ich immer hier zu demselben, in manchen wirklich zu demselben.
Und bei unserem lange ich, lande ich zu einem T-1-Strich,
T-2-Strich, die aber AC-Äquivalent sind.
Und das wird also die Kernaussage dieses Beweises sein. Ja,
ich wollte eigentlich nur heute bis zu dem Anfang von dem Beweis kommen,
aber ich bin froh, dass ich jetzt schon mal den Einstieg geschafft habe.
Das heißt, ich mache jetzt erstmal Schluss und am Donnerstag
machen wir den Beweis dann richtig zu Ende und dann können Sie
vielleicht schon mal ein bisschen dahin an den Gedanken gewöhnen.
Und dann geht es dann auch wieder weiter mit Parallelopperator und
so weiter.
Erstmal vielen Dank für heute