Ja, schönen guten Morgen. Gut, zeige. Es war
erst 12.2.14 Uhr, aber ich fange schon mal langsam an.
Wir sind ja eh nur bei der Wiederholung.
Wir hatten ja an der letzten Stunde mit der temporalen Logik
begonnen und zunächst mit LTL, der sogenannten Linia Time Logic.
Und heute wird es weitergehen mit dem Pendant der zweiten temporalen Logik,
die wir hier betrachten, nämlich dem CTL.
Aber zunächst nochmal zur Wiederholung. Wir hatten gesehen,
dass die wichtigsten Operatoren neben dem Antil und demnächst,
der irgendwann mal Operator ist oder Quantor dargestellt als Raute oder
das kleine Quadrat bedeutet denen immer Operator mit der entsprechenden Semantik,
die hier jetzt grafisch dargestellt ist.
Ja, dann hatten wir ja insbesondere die Kombination betrachten irgendwann mal immer.
Was bedeutet das ab einem bestimmten Zeitpunkt, das gilt?
Und immer irgendwann mal mal so viel wie bedeutet,
dass unendlich oft
diese Aussage pegelt
So, das war dann die Syntaxbeschreibung,
wo wir außerdem noch die Alternative Schreibweise,
die wir auch sehr häufig benutzen, das G für immer.
Und das F für irgendwann mal, sodass wir also dann solche Formeln schreiben,
wo dann auch noch das Antel und das Next mit dem X vorkommen.
Ja, das ist dann dieses syntaktische Beschreibung,
wo wir nähere, binäre Aussagen,
logische Operatoren haben und dann Unäre und binäre Quantoren für die Temporallogik.
Dann hier nochmal die inhaltliche Beschreibung und Merkhilfen für die Buchstaben und eine Erklärung für das Ante.
Und dann sind der Übergang zur formalen Beschreibung und hatten dazu diesen Operator Hochi benutzt,
der darin besteht, Die ersten E-Folge-Glieder einer unendlichen Folge abzuschneiden,
um an die entsprechende nächste Position navigieren zu können.
Da hatten wir hier dieses Beispiel schon am Mikrowellenofen erläutert und
wir hatten es insbesondere dann den Fall für das Alpha-Hoch 3 betrachtet.
Ihr Alpha-Hoch 3 bedeutet dann dasselbe wie oben,
nur dass die ersten drei Folgeglieder weggelassen wurden
Ja, das wird dann eingesetzt in der syntaktischen,
in der semantischen Beschreibung dieser temporal logischen Operatoren,
zunächst der Aussagen logischer Teil der RW traditionell ist und dann für den Nextoperator,
nicht wo wir auf das A1 uns beziehen,
dann der irgendwann mal Operator,
wo wir uns auf einen AK beziehen,
dass es aber nur irgendwie geben muss.
Und dass der Immer-Operator, der sich auf alle AE bezieht.
Ja, und als letztes eben den Antillen-Operator,
wozu wir dann noch hier eine extra Folie haben,
die eben erklärt, dass eben dieses Die Bedeutung für Alpha
Gilt F1 Antil F 2. Darin besteht, dass irgendwann
mal sicher in dieser Folge F2 eintritt für irgendein K.
Danach ist das unbestimmt. Und dass dann eben vorher bis zum
letzten Glied vorher immer das F1 gilt, das erste Argument.
Ja, daraus kann man leicht ersehen, dass wir damit das F ausdrücken können.
Wir sehen also die Operatoren sind nicht unabhängig,
sind semantisch abhängig und nicht schon, man könnte einen Minimalsatz betrachten,
was wir dann bei dem Model Shecking in der nächsten Woche
dann auch in der Tat tun
Werden. Ja, solche Identitäten kennen Sie aus der Aussagenlogik,
wie hier das der Morgan-Gesetzgesetz, was ja hier auch gilt.
Und dann, was aus der Prädikatenlogik bekannt ist,
dass sozusagen das Transportieren des Nicht-Operators über einen solchen Quantor,
den eben umtauscht in sein Gegenstück, was leichter dadurch zu erklären ist,
wenn wir die semantische Beschreibung durch Prädikatenlogik betrachten,
wo ja das entsprechende dann mit dem,
es gibt eins und für alle ein passieren würden.
Ja, dann hatten wir uns längere Zeit an Beispielen aufgehalten,
die jetzt ein bisschen Gefühl dafür gehen, was jetzt solche Formeln,
nicht, dass sie sind taktisch korrekt geformte Formeln.
Jetzt in Bezug auf eine spezielle Folge,
in Bezug auf eine spezielle Kripri-Struktur ergeben.
Also diese Folge von Zuständen ist hier rot eingezeichnet,
dass die atomaren Aussagen sind A und P und die zugehörige
Etikettenfolge oder Trace davon wäre dies hier.
Und darauf bezieht sich dann die Gültigkeit dieser Formeln und
deren Gültigkeit wird dann hier in der zweiten Spalte
dann begründet
Ja, dann hatten wir noch mal einige formale Definitionen,
beispielsweise, dass wir für eine Formel auch schon
die Sprache oder die Menge der erfüllenden Folgen definieren können.
Das heißt, wir brauchen, also wenn wir eine Formel haben,
keine Kripke-Struktur, um zu sagen zu können,
für welche unendlichen Folgen, die es gilt.
Nicht, wenn wir eine Kripke-Struktur aber vorliegen haben,
dann nehmen wir natürlich nur die Untermenge derjenigen Folgen,
die eben in dieser Kripke-Struktur eben möglich sind.
Nicht wie zum Beispiel
diese Etikettenfolge hier
Ja, und während man hier dieses Gültigkeitszeichen, die semantische Gültigkeit,
jetzt hier bezogen auf eine Kripke-Struktur und auf eine unendliche Folge P,
das ist ja dann eine Zustandsfolge,
für die gilt dein F, genau dann,
wenn F semantisch gilt für die Zugehörige Etikettenfolge oder Trace.
So, das Ganze wird dann hochgehoben für einen Zustand.
Hier haben wir eine spezielle Folge und das Ganze für einen Zustand.
Und das bedeutet dann, dass das für alle Pfade gilt,
die jetzt von diesem Zustand ausgehen und dann entsprechend
So, und das Ganze wird nochmal hochgehoben,
indem wir jetzt auch noch den Zustand weglassen.
Und dann bezieht sich das per Default auf alle Anfangszustände.
Also wiederholen nochmal für eine Gripke-Struktur, die gilt semantisch,
eine temporallogische Formel F. Genau dann,
wenn für alle Etiketten folgen oder Traces,
deren Zustandsfolgen im Anfangszustand anfangen,
dann dieses F eben gilt
Ja, das hatten wir dann nochmal erläutert an dem Beispiel des Mikrowellenofens. Hier wäre das,
wäre eine solche unendliche Folge,
die wir hier auch mit dem Omega-Symbol bezeichnen,
was einfach bedeutet, dass die Folge 1, 3,
6, 7 und dann immer nur die F4. Dann,
wenn wir beispielsweise diese Formel betrachten,
dann müssen wir für die Gültigkeit zu der entsprechenden Etikettenfolge oder Drehs übergehen,
die wir dann hier ablesen können und die diesem roten Pfad dann eben entspricht.
Und wie wir dann später gesehen haben, entspricht diese Darstellung mit dem Hochomega,
dann auch der Darstellung dieses Bei einem Wortmeldot?
Nee, das klang das auch nicht. Entspricht dieses Hochomega dann auch der Darstellung dieses Counter-Examples,
dieses Gegenbeispiels, dass der ein Motto-Checker dann angibt,
wenn er eine unendliche Folge beschreiben will,
die dann diese gegebene Folge eben nicht erfüllt,
als Gegenbeispiel für deren Gültigkeit.
Ja, das hatten wir schon. Ich will alle
zu Anfangszustände
Ja, dann hatten wir diese sogenannte Trendschärfe von LTL,
die aussagt, dass wir, wenn wir zwei Gripri-Strukturen,
M1 und M2, haben die Folgen Äquivalent sind,
dass dann eine gegebene LTL-Formel in beiden gelten muss oder
in beiden nicht gelten können, muss.
Das heißt, wir können das Verhalten dieser beiden Gripri-Strukturen nicht
anhand von irgendwelchen LTL-Formeln unterscheiden. Und folge Äquivalent bedeutet,
in diesem Falle, dass ihr dieselben Traces haben,
das heißt,
dieselben Etikettierten Zustandsfolgen
Und der Beweis dazu, das ist eine einfache Umrechnung,
die jetzt auf die Definition zurückgreift,
nicht wo hier Arem am Anfang die Gültigkeit dieses Pre in M1 und am Ende
die Gültigkeit von dem Pre in dem M2 gilt.
Ja, noch ein paar formale Definitionen. Was wir gerade hatten,
kann man eben auch mit diesem dreifachen waagerischen Strich beschreiben,
um das von der Gleichheit zu unterscheiden,
was jetzt auch wieder die semantische Äquivalenz bedeutet.
Und wenn wir nur eine Richtung davon haben,
nehmen wir ja hier auch wieder
die semantische Gültigkeit
So, dann haben wir hier eine Formel von einem einigen Gesetzen,
was mehr für sie zur Information und zur Hilfe gilt,
was wir jetzt nicht genauer behandelt hatten.
Dafür genauer hatten wir dann diese Beispiele behandelt,
wo wir jetzt einen, das ist ja dieselbe Kritische,
Kripgestruktur wie eben hatten,
aber jetzt einen anderen Pfad,
nämlich auch wieder hier den rot dargestellten und insbesondere haben wir hier auch einige Fälle,
wo die entsprechende Formel für den Pfad P
nicht gilt
So, und dann sind wir jetzt konkret zu dem Beispiel
der Mikrowelle übergegangen und wollen dort die Gültigkeit von solchen Formeln,
entweder in der linken oder in der rechten Schreibweise benutzen,
nicht wo also das Tool, was wir danach zur Rate gezogen haben,
hier die linke Schreibweise benutzt.
Nicht in anderen wird also gerade auch die Rechte benutzt,
um Eva der entsprechende Zeichenvorsatzsatz günstiger ist
Ja, dieses Tool-Mord ist also ein Tool,
was auf Thermersetzungssystemen, also für Umwandlungen von Thermen besteht,
zusätzlich mit Ersetzungstheorien und der Möglichkeit von Ersetzungsspezifikationen,
das heißt also Gleichungsdefinierte, Algebraische, Strukturen.
Nämlich ein Beispiel dafür hatten wir hier sozusagen die Algebraische oder induktive
Definition der natürlichen Zahlen, wo wir dann hier also sorten,
einstellige, zweistellige, nee, nullstellige,
einstellige,
zweistellige Operatoren haben
Variablen und Gleichungen, nicht, wo wir dann mit dem Aufruf Reduce
dann eine solche Formel beispielsweise in eine Normalform überführen können. Nicht,
das wäre jetzt für die Thermtransformation und für die Ersetzung können wir auch hier solche Grafen zugrunde legen,
nicht wo die Regeln darin bestehen, hier solche Übergänge zu machen,
was ja schon sehr nah an unseren Kripke-Strukturen ist.
Dort aber auch zum Beispiel Gleichungen definieren, wo also solche Knoten dann identifiziert werden.
Und der entsprechende Aufruf ist dann hier ein Revere-Hype, eine, ja genau. Ja,
also hier nochmal eine Arbeit, die jetzt des Einsatz von dem Mord,
durch das ist sehr viel universeller als für diesen Zweck jetzt als Modelchecker,
anspricht und einige Tests,
die sie gemacht hatten und dann hier die Darstellung unseres Mikrowellenofens jetzt als Code für dieses Mord,
wo wir hier jetzt die Übergänge haben und als Gleichungen,
die Etikette in den Zuständen, also die Gültigkeit der jeweiligen atomaren,
allen Aussagen.
Ja, und eure erste Probe, unser erstes Beispiel war dieses,
was wir jetzt dann dadurch untersucht haben,
dass wir zunächst mal in dem Antel,
das zweite Argument untersucht haben, weil ja wichtig ist,
dass wir das überhaupt erreichen für jede Folge und dann prüfen,
ob auf jedem Weg zu diesen entsprechenden Knoten immer das Notiz gilt,
was wir dann auch entsprechend kennzeichnen und gesehen,
dass das eben gilt
Ja, das zweite Beispiel haben wir dann entsprechend behandelt und
auch gesehen, dass es immer gilt. Ja,
das nächste Beispiel hat dann ein Gegenbeispiel hervorgerufen,
was dadurch ausgedrückt wird, dass wir die Darstellung einer unendlichen Folge haben,
die jetzt an diesem Semikolon in die Iteration geht.
Das heißt, wir haben ein Anfangsstück,
nur ein einziges Folgeklied und dann hier diese Schleife.
Und diese Folge wird hier jetzt einerseits durch die Zustandsfolge gegeben
und zum anderen aber auch durch die Aktionen,
die es aber nur zur besseren Lesbarkeit für die Benutzer
Ja, entsprechendes gab es dann für dieses Beispiel. Und für dieses Beispiel,
und dieses Beispiel hatte ich ja auch noch eins,
ja,
aber dieses Beispiel hier hatte ich speziell dazu nochmal kreiert,
um eine, um ein längeres Gegenbeispiel zu konstruieren,
was auch noch so ein paar Umwege machte und also länger ist als das,
was man sich so ausdenken würde,
was wir dann hier entsprechend dieser,
diesem Pfad hier nachvollzogen haben
Ja, der jetzt durchgestrichene Teil war, also das Anfangsstück
und mit dem gestrichelten, unterbrochenen Pfeilen beginnt dann die Schleife.
So, dann hatten wir wieder Beispiele betrachtet und zwar diesmal
auf diesem Pfad und die Folgen waren dann ein bisschen,
naja, komplizierter,
ein bisschen komplizierter,
aber es kamen eben andere Operatoren wie Äquivalenz und Next
vor und auch Schachtelungen
So, und dann haben wir entsprechend der Definition,
die wir eben gesehen haben, die Frage gestellt,
ob diese Formeln, die jetzt hier gleich kommen, wie diese,
nicht in Bezug auf einen vorgegebenen Fahrt gelten oder einen Zustand,
sondern für das Transitionssystem oder die Kripke-Struktur,
was dann bedeutet, dass sie für alle Anfangszustände gelten,
wo wir hier dann auch gleich zwei Anfangsstunden Zustände eben haben.
Ja, mal gültig, mal nicht gültig mit Begründung
Ja, und dann hatten wir noch so eine abstrakte,
oder eine Frage zu einer abstrakten Fragestellung,
dass eben in manchen Fällen wir davon ausgehen können,
dass sowohl die Formel als auch die Negation gelten,
und zwar, dass in Bezug auf die Pfade,
aber nicht in Bezug auf die Zustände,
wo wir aufgrund dieser Alternativen dann weder das eine noch das andere eben begilt.
Ja, und dann würden wir jetzt also gleich mit dem CDL beginnen,
aber vorher gibt es noch einen kleinen Abschnitt zu LTL
im Vergleich zum Büchi-Automaten, soweit die Wiederholung. Ja,
da ich jetzt mal vermute,
dass wir jetzt ein Maximum an Anwesenheit von Ihnen haben,
wollte ich mal fragen, wie Sie zu der Problematik stehen,
dass wir vielleicht ab der übernächsten Woche nach Stellingen umziehen,
weil dann immer die Gefahr besteht,
dass wir von den wenigen noch Anwesenden noch einige verlieren,
die hier vielleicht hinterher einen Anschlussveranstaltung haben.
Für andere ist das ja vielleicht vorteilhaft,
weil die eh vorher oder hinterher ein Stelling sind.
Also würden wir nochmal, möchte ich nochmal fragen,
wer würde nicht mehr kommen können,
wenn wir die beiden Veranstaltungen,
Dienstags und Donnerstags
nach Stellingen verlegen
Das ist zwei. Einer nicht so ganz. Und sie ist sich
auch sicher, drei nicht. Auch nicht so ganz.
Also zwei sicher und zwei unsicher. Und dann würde ich
noch mal fragen, wer würde denn nicht nach Stelligem kommen?
Also das Können und Kommen ist ja ein Unterschied,
aber da ist ja vielleicht eine nicht so sinnvolle Frage.
Also das wäre immerhin ein Einschnitt. Umgekehrt besteht ja vielleicht auch die Chance,
dann müssen wir in Übungsgruppen noch mal fragen,
dass noch ein paar andere kommen, die dann sowieso in Stellingen sind.
Da wird Herr Mold in der nächsten Woche da noch mal eine Umfrage machen.
Ach ja, und die andere Geschichte ist natürlich,
dass wir auch noch gar nicht noch nicht sicher sind,
ob jetzt die Aufzeichnung, die hier hinten stattfindet,
ob wir die da auch schaffen.
Da sind wir auch noch am Prüfen.
Da noch die Frage, wer von Ihnen nutzt die
denn überhaupt
Immerhin ein paar, weil ich dann schon mal dachte,
die wird da möglicherweise mehr von denen genutzt,
die nicht hier anwesend sind, aber interessant,
dass eben auch diejenigen, die hier sind, die nutzen.
Also das sollten wir auf keinen Fall verlieren.
Gehe ich davon aus. Prima, dankeschön erstmal. Gut,
und dann kommen wir jetzt also zu dem Thema,
dass wir jetzt LTL mit Büschi-Automaten vergleichen.
Das ist ja ganz entfernt, so eine Ähnlichkeit,
wie werden wir die Ausdrucksfähigkeit von Büschi-Automaten mit Omega regulären Ausdrücken verglichen haben.
Und wir können uns fragen, ob das,
was wir Durch RTL-Ausdrücken können, auch durch Büchiautomaten ausdrücken können und umgekehrt.
Also Nava gesagt, ist ja die Menge der unendlichen Folgen,
die jetzt gültig sind in einer LTL-Formel, eine Omega-Sprache.
Das heißt, eine Menge von unendlichen Folgen und das Entsprechende
haben wir ja für die Büchi-Automaten definiert,
sodass also diese Fragestellung es sinnvoll ist.
Ja, und das wäre also dieses Thema,
ich habe da mal ein Fragezeichen drüber gesetzt,
weil das jetzt also durchaus offen ist
So,
und dann haben wir die erste Aussage zu jeder LTL-Formel F,
kann man eine Grip-Grip-Struktur oder einen Büschi-Automaten konstruiert werden,
die genau die für effgültigen Folgen eben akzeptiert.
Nämlich an dieser Stelle sind jetzt Grip-Gestrukturen gemeint,
die auch Endzustände haben und wo wir dann den entsprechenden Akzeptierungsmodus haben,
wie bei Büschi-Automaten und deswegen
steht hier aus Büschi-Automaten in Klarmann
Ich finde, das ist natürlich enorm wichtig und das war eben auch der Anlass,
dieses Model-Checking im Kontext von Bücherautomaten zu machen,
weil wir für Büchüautomaten einerseits eine abstrakte Akzeptierungsmechanismus haben.
Andererseits auch schon eine ganze Menge mathematischer Ergebnisse und Algorithmen gab, die dort eben eingesetzt werden.
Also dieses Model-Checking genauer betrachten wir dann nächste Woche,
aber diese Tatsache hier, er ist schon gegeben.
Ja, das ist das Schöne an dem Ergebnis,
dass nicht so schön an dem Ergebnis ist,
dass die entsprechenden Algorithmen oder Fragestellungen enorme Zeit- und Plattkomplexitäten haben, nämlich zwei Hochofern F.
Und das liegt nicht daran, dass man noch nicht die
besten Methoden gefunden haben, sondern das ist prinzipiell so.
Diese obere Schranke kann nicht wesentlich verbessert werden,
denn man kann eine Folge von LTL-Formen, genannt jetzt Alpha 1,
Alpha 2, Alpha 3 und so weiter, derart konstruieren,
dass die Größe der Alpha E durch ein Polynomenten gratis beschränkt werden
Das heißt also, die Länge der Folgen, dieser Formeln,
die Größe der Formeln wächst, sozusagen mäßig,
aber die zugehörigenden Kripke-Strukturen, aber wachsen mindestens exponentiell.
Ja, das ist einerseits problematisch und man könnte denken,
ja, dann treten wir das Ganze in die Tonne. Nicht,
aber das macht man ja nicht in allen Fällen der Informatik,
beispielsweise, ist ja unentscheidbar,
ob ein Programm korrekt ist und das trotzdem programmieren wir weiter,
auch wenn wir das nicht entscheiden können.
Das heißt, man sucht dann bei wichtigen Fragen Methoden,
ob mit den tatsächlich auftretenden Problemen, dass vielleicht doch geht.
Und dazu helfen jetzt einerseits die schnelleren Rechner, die was natürlich,
wie sie wissen, bei exponentiellen Komplexitäten nur mäßig und er hilft,
aber eben auch Methoden und andere Einsichten.
Nicht der Unterschied zu dem CTL,
was wir kennenlernen wollen, besteht eben gerade darin,
dass eben bei dem CTL das entsprechende Ergebnis ist,
dass diese Komplexität poliniumiell in der Größe der Gripkrestruktur und der
Formel ist
Ja, aber da ist nur ein geringer Trost,
weil ja die Größe des Problems ja auch gerade in der Größe der Gripkrestruktur besteht.
Das heißt, wenn sie ein Programm haben einer bestimmten Länge,
dann wächst die Gripkrestruktur ja schon exponentiell.
Und dann nützt es, wenn man darauf dann
ein polynumielles Programm Algorithmus anwendet, auch nur bedingt etwas.
Und ja, aber eben dazu gibt es die entsprechenden Methoden
Ein anderer Trost jetzt gegenüber für die LTL.
Das ist ja irgendwie bezeichnend, dass einerseits,
die man hier dieses exponentielle Wachstum hat für LTL,
andererseits sieht man viele Beispiele und Anwendungen von LTL und nicht von CTL.
Und das liegt darin, dass die Größe der Formel ja
meistens sehr viel kleiner ist, als die der Kribbe-Struktur.
Denn es ist nicht nur in diesen Beispielen hier so,
sondern in vielen Fällen fragt man, ist es möglich,
dass an irgendeiner Stelle eine Verklemmung auftritt?
Und das kann man mit einer relativ kleinen LTL-Formel nicht so,
dass dann eben tatsächlich nur die Zustandsexplosion der Kripke-Struktur eben bleibt.
Trotzdem ist es wichtig, diese Verhältnisse zu kennen.
Ja, das war jetzt nur die eine Richtung.
Und man kann jetzt eben fragen, sind die Büchi-Automaten denn
nun mächtiger als LTL-Formel? Also so jeder ältere L-Formel kann ich
einen entsprechenden Büchi-Automaten konstruieren und die umgekehrte Frage wäre,
wäre, gibt es Büchi-Automaten, die mehr größere Sprachen,
größere Omega-Schwachen akzeptieren,
als ich durch LTL-Formeln beschreiben kann
Ja, na dazu nochmal zur Erinnerung,
nicht die Sprache einer Formel ist ja die Menge der unendlichen Folgen über Mengen von atomaren Aussagen,
für die also diese Formel eben gelten,
das nennen wir eben auch die Sprache.
Und das Ergebnis ist jetzt negativ, das heißt,
es gibt einen Büschi-Automaten-M, mit der Eigenschaft,
dass es das für keine LTL-Formel 11 gilt,
dass sie genau die entsprechende Sprache, er hat der akzeptierten Sprache des Bücherautomates entspricht.
Das ist also, wie gesagt, für dieses Model-Checking-Problem nicht so wichtig,
aber eben von dem Interesse. Ich würde mal könnte denken,
weil man mit diesem LTL-Formel ja schon ziemlich komplexe Strukturen aufbauen könnten,
also deswegen auch ziemlich schwierige Omega-Sprachen,
dass das dann auch bestimmt ein schwieriger und komplexer Büschi-Automat sein müsste,
der dann sozusagen noch mehr kann, als diese schon komplexen LTL-Formeln.
Ich finde das Interessante dabei ist,
dass das nicht
der Fall ist
Also ich kann Ihnen jetzt einen Büschi-Automaten zeigen oder eine Gripgy-Struktur mit Endzuständen,
die also mehr kann als jede LTL-Formel und der sieht eben so aus.
Wir brauchen nur zwei Zustände. Wir haben nur ein Alphabet von
zwei Symbolen, nämlich in Bezug auf eine atomare Aussage,
die einer Menge und die leere Menge.
Und das sieht so aus, wir fangen hier links an
und können dann ADSA akzeptieren und gehen zurück,
indem wir auch A akzeptieren oder nicht die leere Menge akzeptieren
Und wir sehen, dieser Automat ist sehr einfach,
er ist sogar deterministisch. Das heißt, man kann sogar
diese Aussage verschärfen. Es gibt nicht nur ein Büchi-Automaten,
sondern es gibt sogar einen deterministischen Büchi-Automaten.
Und man kann das sogar verschärfen. Ich brauche,
also nicht mal diese Endzustandsdefinition, nicht weil wir ja,
alle Zustände sind Endzustand und es ist nicht möglich,
dass wir irgendwie nur auf einer Seite bleiben oder dergleichen.
Das heißt, wir brauchen die Eigenschaft jetzt
von Büchi-Automaten mit Endzuständen und Gripstrukturen ohne Endzustände
gar nicht
Ja, und nicht um das einzusehen, gehen wir jetzt mal auf die nächste Seite,
wo wir erst nochmal die Tatsache hier haben.
Und die Sprache, die Omega-Sprache, die dieser Büschi-Automat akzeptiert,
ist natürlich folgende. Das ist die Folge von A0,
A1, A2, was jetzt solche Mengen sind,
der Gestalt, das in den geraden Positionen ein A-Enthalten ist.
Denn in den geraden Positionen, naja,
das ist bei der Nicht mal,
also ich stocke jetzt aus folgendem Grund,
nicht bei den Büchi-Automaten haben wir ja die Akzeptierung an den Kanten und bei den Gripbestrukturen haben wir die sozusagen,
die gucken wir in die Zustände hinein.
Nicht so, dass dieses A0 sich auf den Anfangszustand bezieht und dass
der erste Übergang sich dann auf das A0A2 eben bezieht.
Nicht ohne den Graden Positionen, naja,
das ist dann ja gerade sozusagen die erste Position,
muss man halt ein bisschen umreichen, müsste ich nochmal Gedanken machen,
ob man das vielleicht doch anders schreiben sollte,
aber im Prinzip ist das egal,
ob in den Graden oder in ungeraden Positionen,
nehmen wir mal an, das sei so.
Gut, ja, das wäre die Frage,
bei diesem simplen Büchi-Automaten kann ich denn da wirklich keine LTL-Formel erfinden,
nicht eine interessante Wahl wäre doch folgendes,
dass ich sage, also für diese Erfolge,
am Anfang gilt A und es gilt immer,
wenn A gilt,
im übernächsten Schritt habe ich wieder A,
das müsste doch
genau dieses
hier beschreiben
Ist das nicht hingegen, ein Beispiel zu der Aussage,
ja bitte? Richtig, genau, ja.
Vielen Dank, ja. Also die Antwort war,
ich könnte ja, es könnte ja sein,
dass ich nicht gerade an der geraden Position,
sondern an der ungeraten Position anfange.
Und das habe ich jetzt auch nochmal dargestellt hier.
Wir haben ja zum Beispiel diese Folge hier A-A-A,
dann die leere Menge und dann kommen nur noch As,
eine spezielle Folge.
Und die wird von den Büchernautomaten,
also nochmal zurück,
oder zwar zu viel zurück
Da muss ich erst nochmal einstellen, dass ich immer nur eins zurückgehe. Also das hier,
das wird natürlich von dem Büchi-Automaten oder von der Grippe-Struktur akzeptiert,
weil ich jetzt hier habe hin A und zurück auch wieder A,
hin wieder A, zurück auch mal leere Menge und dann immer immer nur A, ist das klappt also.
So und die nächste sagt jetzt,
warum das jetzt nicht vom nicht,
dafür nicht diese Formel F gültig ist,
da haben sie schon richtig gesagt, für die geraden Positionen gilt das,
dass wir sozusagen ja die Intention dahinter,
aber das Gegenbeispiel ist natürlich so konstruiert,
dass wir auch eine Verletzung in den ungeraden Positionen haben,
wo dann diese Formel nicht gilt
Nicht, das heißt also, man kann jetzt auch
so sagen, Spekulationen anstellen, was jetzt also dahintersteht.
Und eine Deutung ist eben vielleicht, dass die LTL-Formel irgendwie
nicht so eine Fähigkeit des Sailors hat, wie der Bushi-Automat.
Das entfernt hängt auch damit zusammen. Nicht,
dass wir diesen Next-Operator immer nur endlich oft anwenden können und
das zu gewissermaßen bis zu einer Position K zählen können.
Okay, das war jetzt nur ein kleines Intermezzo und dann würden wir jetzt,
wie angekündigt, zu dem CTL kommen,
was so viel heißt wie Computational Three Logic,
hat also mit Bäumen zu tun
Ja, und der große Unterschied besteht eben darin,
dass wir jetzt in CTL jetzt die Möglichkeit haben,
Quantoren zu schreiben,
die jetzt sich auf alle Pfade oder auf die Existenz eines Pfades beziehen.
Und dazu haben wir jetzt auch eine neue Notation.
Wir haben hier das A und E, was jetzt zu
dem G und dem 11. hinzukommt, und zwar in bestimmten Kombinationen.
Also nochmal langsam, CTL besitzt zusätzlich Zustandsformeln mit Quantoren,
das heißt, die beziehen sich auf Zustände,
die sich auf alle von einem Zustand ausgehenden Faden beziehen
ARP bedeutet dann für alle Pfade,
die von einem gegebenen Zustand erst ausgehen, gilt die Formel P.
Und EP bedeutet, es gibt Anfahrt, der von einem
gegebenen Zustand S ausgeht und für den die Formel P gilt.
Nicht und der gegebene Zustand ist also entweder der Anfangszustand oder wenn dieser Teilausdruck irgendwo geschachtelt ist,
dann der jeweilige Zustand, den ich dann erreicht habe.
Ja, wenn man mal so eine Gripri-Struktur in Form eines Baumes betrachten,
dann könnten wir beispielsweise mal diesen Zustand betrachten und doch jetzt die Kombination schreiben, AGP.
Wobei das A jetzt hier so ein CTL,
neuer CTL-Quantor ist, das heißt für alle Pfade,
die hier ausgehen und dahinter steht das,
was wir schon aus LTL erkennen, es gilt ein MRP.
Das heißt also nichts anderes für alle Pfade, die dort eben ausgehen,
gilt immer immer P, so wie hier Rot dargestellt.
Und wir sehen, der große Unterschied besteht eben darin,
dass es jetzt eben möglich ist, alle Alternativen,
die von einem Zustand ausgehen, mitzuberücksichtigen.
Ich weiß eben nicht der Fall ist in LTL,
wo ich mir immer nur eine Folge heraus betrachte,
den ganzen Kontext von irgendwelchen Abzweigungen und Alternativen weg Klasse in
der Betrachtung und dann für diese Folge das isoliert betrachte.
Nicht also diese Betrachtungsweise ist, insbesondere zum Beispiel von Bedeutung,
wenn ich irgendwie ein System habe, was eine Reset-Möglichkeit hat,
wo ich also die Möglichkeit habe,
einen gemachten Schritt wieder zurückzusetzen und hinterher andere Alternativen zu überprüfen,
wie was bei dem LTL nicht geht,
dort läuft das System gewissermaßen blind ab mit irgendwelchen Wahlen und die Alternativen sind dann nicht mehr zugreifbar.
Gut, machen wir das Entsprechende jetzt auch nochmal für das E,
jetzt zum Beispiel im Anfangszustand,
nämlich und wenn wir jetzt mal EGP schreiben,
dann bedeutet das, in diesem Anfangszustand hier gibt es einen Pfad,
für den eben GP gilt.
Und das bedeutet dann eben, dass auf diesem Pfad immer AP gilt.
Das heißt, ich beziehe das Ganze dann jetzt nur auf einen Pfad,
wie wir das vorher schon von LTL kennen.
Aber trotzdem gibt es eben einen Unterschied,
dass ich jetzt in einem Zustand jetzt die Existenz eines
Deutschen Pfades behaupten kann
Ja, dann haben wir noch mal kleine Bildchen dazu,
zum Beispiel für das AG Rot,
könnten wir sowas jetzt schreiben in Bezug auf den Anfangszustand.
Das heißt, für alle Pfade gilt immer rot.
Ja, und das AF Rot wäre für alle Pfade,
gilt irgendwann mal rot. Das heißt, wenn ich hier runtergehe,
habe ich mein Rot erreicht, wenn ich hier runtergehe,
habe ich in den verschiedensten Alternativen erreicht.
Wir stellen uns das Ganze jetzt sozusagen unendlich fortgesetzt vor,
diese Bäume,
da fehlen sozusagen die Fortsetzungspünktchen
Ja, dann hätten wir ja noch die Kombination EF Roth.
Das bedeutet, es gibt einen Pfad,
wo ich mal rot erreiche. Und das EEG-Rot würde bedeuten,
es gibt einen Pfad, wo immer rot gilt.
Das sind so die Möglichkeiten für E&F. Aber ich habe auch noch
die Möglichkeit, den Antiloperator für das F beispielsweise einzusetzen.
Nicht, das würde zum Bedeuten,
es gibt einen Pfad und wenn ich den Pfad gewählt habe,
kann ich mich ja in die Vorstellung von LTL zurück zu versetzen.
Und deswegen ist es auch sinnvoll, in dieser Reihenfolge einzuführen
Dass für diesen Pfad jetzt diese Antelformel Grün-Antelrot gilt. Wir sehen,
auf diesem Pfad ist irgendwann mal rot und der geht dann
hier noch weiter, brauche ich jetzt aber nicht.
Und auf dem Weg dahin gilt immer grün.
Und genau das Entsprechende für A, das würde ja bedeuten,
dass das entsprechende für alle Pfade gilt. Das heißt also,
den Pfad, den wir links hatten,
haben wir hier wieder, aber auch für die anderen Pfade,
wenn ich hier also hier abzweige,
komme ich auf rot oder wenn ich hier oben gleich abgezweigt
wäre,
komme ich auch auf rot
So, jetzt haben wir ja vielleicht ansatzweise verstanden,
wie dieses CTL auf Bäume unendliche Bäume wirkt.
Aber wir haben ja Kripke-Strukturen, was keine Bäume
notwendigerweise sind und schon mal gar nicht unendlich sind.
Und die Verbindung zwischen beiden geschieht durch die Abwicklung einer Kripke-Struktur. Nicht,
dass den Begriff der Abwicklung, kennen Sie vielleicht aus der Programmierung,
nicht zum Beispiel die Abwicklung einer Schleifes, sagt das jemand was,
was man darunter verstehen könnte?
Sie haben eine Waldschleife oder so eine Schleife im Flussdiagramm,
was da die Abwicklung bedeuten würde.
Ja bitte
Ja, ja, ja.
Ja. Genau, nicht? Also die Antwort war,
man kann also gewissermaßen den Schleifenkörper mehrfach als sozusagen initiale
einen Code hinschreiben und dann am Schluss die die Schleife eben ausführen.
Zum Beispiel so, nicht da hätte ich zum Beispiel diesen Test
B und C einmal rausgezogen oder das kann ich auch mehrfach machen, die hier.
Nicht in das Ganze kann man sich vorstellen wie eine Zwirnsrolle
an deren Faden mal zieht und wo dann diese Rolle eben abwickelt.
Ja, und diese Programme sind natürlich äquivalent. Wäre die Frage,
vielleicht können Sie das auch noch nachschieben,
warum ja macht man das denn dann,
wenn man nichts Neues erreicht
Ja, bitte seh. Wie bitte mal? Ja,
sie meinen also, dass die Vorstellung besser abgebildet würde und
da denen noch eine, ja, gibt verschiedene Vorschläge.
Und ihr Vorschlag? Mit dabei? Ja,
ich denke jetzt mal am Programmieren,
wenn man das Programm verändern will,
ja,
sie nochmal
Ja, man kann, also zum Beispiel daran,
wenn man weiß oder man interessiert sich nur für Anfangsstücke,
dann kann man sozusagen dieses weitertreiben.
Nein, ich denke an was anderes, aber da muss man natürlich nicht drauf kommen.
In vielen Fällen der Programmierung kommt das ja vor,
dass man zwar eine Schleife programmiert hat und dann kommt durch
eine weitere Überlegung die Anforderung, dass man sagt, ja,
nach dem ersten oder zweiten Schritt will ich was anderes machen.
Ja, dann wickelt man die ab und dann hat man
hier den ersten und zweiten Schritt isoliert und kann da denn
die Anweisung oder den Test ändern.
Das ist also auch nur so eine mögliche Anwendung. Ja,
und diese Vorstellung der Abwicklung, die wenden wir jetzt auf
Kripke-Strukturen an, haben wir hier ein Beispiel.
Und das hier wäre jetzt der Anfang einer Abwicklung.
Wir fangen jetzt hier an im Grünen Zustand
Wo wir den Übergang nach Rot und nach Schwarz haben.
Das ist ja noch nichts Neues. Aber wenn wir jetzt weitermachen,
jetzt hier von Rot, wieder zurück nach Grün,
dann malen wir das Grün nochmal neu hin als Kopie,
anstatt den Pfeil zurückzubiegen. Oder hier von Schwarz,
wenn wir hier oben wieder zur Schwach zu kommen,
dann führen wir immer wieder neue Kopien ein. Das heißt,
auf diese Art und Weise kriegen wir jetzt eine Baumstruktur als Abwicklung
der Griprestruktur und auf diese Baumstruktur können wir dann unsere Überlegungen anwenden, Ja,
zum Beispiel diese Gültigkeit von CDL-Formeln eben klarer zu machen.
Kann man natürlich auch gleich an der Kripke-Struktur sich überlegen,
aber manchmal hat das eben Vorteile.
Ja, das wäre noch ein weiterer Schritt,
der Abwicklung und die gestrichelten Kanten sind jetzt anwesend,
die andeuten, dass das dann jetzt unendlich oft weitergeht.
Nicht, weil wir hier oben in der Kripke-Struktur nie Sackgassen hatten.
Wir hatten ja gesagt, das soll ausgeschlossen sein,
ist diese Abwicklung dann immer unendlich. Ja,
Nun ist es so, dass das CTL nicht in der ganzen Mächtigkeit,
wie man sich das jetzt denken könnte, angewandt wird.
Das hat sich nämlich gezeigt, dass die vorhin genannte polynomielle Komplexität
nur dann aufrechtzuerhalten ist, wenn wir die Syntax einschränken.
Und zwar besteht die Einschränkung darin, dass für jedem dieser Pfadquantoren,
die also, die wir aus LTL erkennen,
immer einen Zustandsquantor A oder E stehen haben müssen,
wodurch es dann acht Kombinationen gibt
Nicht, wenn ich diese Einschränkung weglasse,
dann gibt es auch eine sinnvolle Logik und die hat auch einen Namen,
die heißt dann CTL Stern und das ist dann sozusagen die Obermenge von CTL und CTL und LTL.
Nicht dieses CTL Stern erbt dann natürlich die schlimme Komplexität von LTL.
Umgekehrt hat das CTL dann eben diese bessere Komplexität und zum Beispiel die Eigenschaft,
in dass wir dann diesen Model-Checking-Algorithmus auch hier in der Vorlesung behandeln können.
Ja, diese acht Kombinationen sehen dann eben so aus.
Wir haben hier in der ersten Spalte die As, in der zweiten Spalte,
ist und hinter den As die vier Kombinationen von X,
F, G und U und hier auch X,
11, G und U. Ich habe Ihnen ja gesagt,
es gibt noch mehr.
Es gibt zum Beispiel das Wegantel und dergleichen. Was ja
hier nicht betrachten ist, dann hätten wir dann zehn oder dergleichen.
Aber das genügt ja erstmal. Wichtig, dass Sie erkennen,
dass wir hier genau diese acht Kombinationen eben haben. Ja,
und entsprechend wird also die Syntax definiert mit dem Ziel,
das genau zu definieren, was wir hier im Kasten haben.
Und die Definition geht eben so
Sei also wieder eine Menge von Aussagen logischen Atomen gegeben.
Und dann wird die Syntax von TTL-Zustandsformeln wie folgt in Baku-Snower-Form definiert,
wobei P eine atomare Formel ist und F eine TTL-Pfadformel ist.
Nicht, das geht also hier so los mit True,
Frau Rutz P. und dann hier die Aussagen logischen und dann haben wir das E und A.
Das muss also immer mit E und A losgehen. So,
und wenn wir mal hier dieses Beispiel hier betrachten,
dann sehen wir, nach dem E könnte jetzt eine Pfadformel,
also ein F kommen, Und dazu brauchen wir jetzt hier eine zweite Zeile.
Und dann würde das hier mit der Variable F dann in die zweite Zeile gehen.
Dort könnten wir dann hier das F auswählen.
Und dann gehen wir wieder zurück. Und dort könnten wir
jetzt das P auswählen und hätten dann hier diese Formel.
Wenn ich Sie sehen, ich habe das hier noch ein bisschen umgeändert,
weil hier dummerweise als atomar oder als Formel G stand,
das, was wir hier oben sozusagen auch als Variable in der Bakus-Snowber-Formel haben.
Und deswegen habe ich das G da unten in den P umgewandelt,
damit, Entschuldigung, damit man da sehen kann,
dass, wie das eben,
dass man hier zu diesem P herkommt
Ja, also wir haben da jetzt so eine verbundene Rekursion oder eine Schleife,
um jetzt diese Dualität,
diese Kombinationen auszudrücken, dass immer vor einer Zustand,
nach einer Zustandsformel erst wieder eine Pfadformel kommen muss und dann kann wieder eine Zustandsformel kann,
das selber kann natürlich jetzt iteriert werden.
Ja, und nicht nur die semantische Definition ist jetzt ähnlich,
wie wir das schon vorher eben hatten.
Wir haben also jetzt hier eine Kripke-Struktur und einen Zustand
und dann wird die Gültigkeit einer CDL-Zustandsformel
folgendermaßen definiert
Der erste Teil ist wieder Aussagenlogik, wie wir das schon kennen.
Und was eben neu ist, ist das E und A.
Und da steht jetzt hier jetzt wieder nur nicht formalisiert.
Es gibt einen NS-Beginnenden Fahrt P, für den dieses eben gilt.
Und für den Pfad und eine Kripke-Struktur hatten wir
ja schon definiert in LTL, was das eben bedeutet,
sodass wir uns darauf zurückziehen können.
Ich finde dasselbe dann mit dem AF,
dann steht da statt für einen beginnenden Fahrt für alle Beginnten
in Fahrt
Gut, ja, betrachten wir mal noch mal ein Beispiel dazu.
Wir haben jetzt hier eine Kripke-Struktur mit den Zuständen 1,
2, 3 und 4 und den atomaren Aussagen PQ,
QL und P und Q. Und wir haben jetzt hier die Frage,
ob im Zustand 1 jetzt die CTL-Formel AF kugelt,
nicht was man so übersetzen kann, jeder von allen,
jeder von eins ausgehende Pfad, nicht eins,
weil das vorne steht, jeder,
weil wir ein A stehen haben, erfüllt irgendwann mal Kuh,
weil wir da irgendein einen F haben.
Also jetzt Frage, gilt das oder gilt das nicht?
Wir haben ja gar nicht so viele Möglichkeiten. Wir können
hier oben rumgehen und hier bleiben und wir können unten rumgehen.
Naja, wir müssen nicht hier bleiben.
Wir können auch hier hin und her gehen.
Ja, also sie sind schon soweit, ja?
Ja. Okay. Ja, ich wiederhole nochmal ein bisschen kürzer.
Wir werden ja in jedem Falle hier in drei oder vier oder in beiden anlangen.
Und da haben wir irgendwann mal Kuh, ja nicht,
also hier unten bräuchten wir das nicht mal,
weil wir da immer wieder zurückmessen.
Gut, das würde also gelten. Zweites Beispiel bezieht sich auf
den Zustand 3 und da steht mal auch eine Negation davor, nicht.
Also es gibt keinen von drei ausgehenden Fahrt, der MAP erfüllt.
Das E für den Pfad, den es gibt.
Und das G für immer Ja, nicht,
dass es klar 3 in 3 habe ich ja zum Beispiel auch die Möglichkeit.
Also hier in 3 selber schon zu bleiben, wo wir
nicht P haben. Gibt es also nicht. So,
nächstes Beispiel, da haben wir jetzt wieder die Kombination AGAF.
Das ist sozusagen das CTL-Pendant zu der LTL-Formel GF,
was ja bedeutete, Immer wieder, also unendlich oft,
das heißt, dass unendlich oft in CTL würde sich so darstellen und steht hier auch entsprechend beschrieben,
jeder Fahrt erfüllt unendlich oft R. Jetzt nochmal Frage an Sie,
gilt das jetzt oder gilt das nicht?
Ja, sie bitte? Ja,
wir müssen ja auch, wenn wir in Vier sind,
immer wieder nach drei und da haben wir das,
dass R.R. ja schon gültig.
Ja, vierte Beispiel ist jetzt wieder ein AG,
aber mit einer Alternative P oder Q,
in jedem erreichbaren Zustand gilt P oder Q.
Und wir sehen, in jedem Zustand gilt mindestens P oder Q.
Das ist so eine typische In-Variante, die, was dann natürlich gegeben ist.
So, und das Letzte ist jetzt mit Antel,
das heißt, wegen dem Arm gilt auf jeden Fall,
gilt P Antel Q.
Nicht, dass die Frage gilt das?
Ja, bitte
Wie? Okay. Nicht,
also das, das Ziel ist ja das Q,
das gilt in 3 und wenn ich hier oben rumgehe,
gilt vorher immer P und wenn ich unten rumgehe auch.
Ja,
erinnert sich das an was
Nicht, wenn ich mir das vorstelle, in LTL,
da war es ja auch so, wenn ich da nur,
also das A weggelassen habe, dann,
also nur P, Antil Kuh in LTL schreibe,
bezogen auf den Anfangszustand, hatten wir ja gesagt,
für jede Folge, die im Anfangszustand beginnt,
soll das Folgende gelten.
Das haben wir ja hier auch. Das heißt also,
in LTL entspricht die Aussage,
für jeden Folge aus dem Anfangszustand,
dem A,
das ich hier vorne hingeschrieben habe
Das heißt also, dieses, was wir in LTL nur inhaltlich,
informell oder in der Semantik beschrieben haben,
dass es für jeden Pfad von dem Anfangszustand gilt,
können wir jetzt hier in CTL explizit ausdrücken,
aber wenn wir das A irgendwo in der Mitte schreiben,
dann können wir das in LTL nicht ausdrücken,
zumindest nicht unmittelbar, was da die Grenzen sind,
werden wir später noch sehen,
weil ja,
die entsprechende Form jetzt in LTL nur für die Anfangszustände
gilt.
Ja, da kommen wir jetzt auch schon zu diesem, so äquivalen Lenzen.
Das heißt, das ist also ein ähnlicher Satz,
wie wir vorher schon in LTL haben, jetzt nur in CTL umgesetzt.
Nächste erinnern sich ja, ich hatte noch erwähnt, dass jetzt,
fangen wir mal hier unten an. In LTL hatten wir ja auch,
wenn wir ein Negationszeichen vor einem F haben und das reinziehen,
dann ändert sich das F in ein G.
Und hier in CTL ist so, dass sich zusätzlich auch
noch das ENA umwandelt. Also wenn ich hier nicht davor habe,
das über das E rüberziehe, Was ich ja gar nicht darf,
um in CTL zu bleiben,
muss ich das auch noch übers F rüberziehen,
dann wird sich das eh in den A und das FNG wandeln und dann hätte ich hier zweimal nicht,
was ja Äquivalent ist, zu einfach gehe.
So, und denselben Effekt habe ich jetzt hier auch mit dem G,
da würde sich das G jetzt in F übermitteln.
Ja, was auch noch sehr ähnlich ist,
ist mit dem, wir hatten ja gesehen,
dass FG in LTL ist True Antel G und das gilt
auch dann noch,
wenn ich da
ein E davor schreibe
Ja, außerdem hat der Erinnern sich schon kurz erwähnt,
dass das mit dem Wechseln nicht gilt für das X.
Das X hat ja auch nichts zum Wechseln,
aber man müsste ja nur nicht so sein, aber es ist so.
Nicht in LTL war es auch so,
wenn ich nicht X irgendwas habe, ist es dasselbe,
wie wenn ich das in die Negation reinziehe und das X bleibt.
Und hier ist es dann so,
dass nur das E-N-A geht und das X eben bleibt.
Ja, und hier unten, das sieht ganz schlimm aus,
wenn ich zum Beispiel dieses hier energieren will,
dann wird das hier
sowas Wildes
Das würde zum Beispiel einfacher werden, wenn ich zum Beispiel
das schwache Antil hatte. In gewisser Weise kann man
die Tatsache, dass hier das G2 auftreten muss,
ein bisschen hier mit dem hinteren zusammenhängt.
Aber das betrachten wir jetzt nicht genauer.
Ja, nicht. Und diese Expalenzen mit dem dreifachen Strich,
das ist ja das, was wir vorher schon mal hatten.
Nicht zwei Formeln, F und G heißen Äquivalent,
wenn sie durch kein Modell unterschieden werden können.
Modell heißt hier in unserem Fall unsere Krippestruktur.
Das hatten wir vorher schon, aber wird hier jetzt nochmal
für CTL
Wiederholt. Ja, und da haben wir jetzt
auch so eine Menge von solchen Gesetzen.
Das ist auch ähnlich, wie wir das vorher hatten.
Was ich jetzt hier aber nur zur... zur Betrachtung hinschreibe.
Man kann hier immerhin nochmal sehen, man muss aufpassen,
wenn ich zum Beispiel ein G vor einem Hund habe,
dann ist das nicht dasselbe, wie ich,
wenn ich das EEG auf die beiden anwenden.
Das hängt damit zusammen, weil hier wird ja gesagt,
es gibt einen Pfad, wo immer die Konjunktion gilt.
Und das ist was anderes, als wenn ich sage,
es gibt einen Pfad,
wo immer das erste Konjunktionsglied gilt
Und es gibt einen Pfad, wo immer das zweite Konjunktionskrieg gilt,
weil ja da nicht behauptet wird,
dass die immer gleichzeitig gelten müssen, wie auf der linken Seite.
Das ist ein typischer Effekt, der da ausgedrückt wird.
Ja, jetzt kommen wir zur Normalisierung von TTL-Formeln,
was damit zusammenhängt, was sich früher schon mal diskutiert hatte,
dass es eben manchmal günstig ist,
einen kleinen Satz von Operatoren
zu haben
Und alle anderen mit diesem kleinen Satz auszudrücken,
weil man dann, wenn man Beweise oder Algorithmen schreibt,
sich nur auf den kleinen Satz,
sozusagen die Normalisierung beziehen kann und die anderen dann sagen,
ja, das geht dann entsprechend sinngemäß.
Ja, und mit diesen Kombinationen, die wir eben kennengelernt haben,
genügt es von diesen acht Äquivalenzen,
von diesen acht Kombinationen nur drei zu benutzen.
Das heißt, unser CTL-Modelcheckle-Algorithmus muss nur für diese drei Fällen,
drei Fälle geschrieben werden.
Und warum ist das so
Ja, wenn wir zum Beispiel das EX haben,
dann können wir das AX ja ausdrücken mit der Negation,
hatten wir ja eben gesehen.
Das kann dann natürlich sein, dass wir das G negieren müssen. Dann,
was haben wir dann, wenn wir hier das EG haben,
dann können wir damit auch das AGA nehmen, wenn wir das EG haben,
dann können wir mit der Negation auch das AF ausdrücken.
Und Und der Weid, Anna. Also auf jeden Fall kann man sich überlegen,
dass man, also irgendwas mit Antil brauchen wir auch.
Und wenn wir das eh Antil haben,
dann können wir mittelbar auch das eben ausdrücken.
Jetzt mal die Frage an Sie. Also das ist ja so,
man könnte auch drei andere, drei andere sozusagen Kombinationen als Normalform nehmen.
Sieht man ja wegen dieser Äquivalenz. Der kann sich denken,
warum man dann beim Modelchecking sich gerade auf die drei bezieht,
also mit dem E und nicht mit dem A. Ja,
1, 2, 3. Ja, also die Antwort war,
weil es in der Logik günstiger ist,
wenn man nur einen Fahrt hat, um etwas als nicht gültig zu betrachten.
Ich würde mal das umgekehrt sagen, beim Moltel Shaking geht
es ja darum, dass man überprüft, ob etwas gilt.
Das hängt dann vielleicht dual auch mit, im Gegenteil zusammen. Nicht,
wenn ich im Model Checking eine Formel überprüfen will der Gestalt,
heißt das ja, ich muss prüfen,
ob es einen Pfad gilt, sodass das Ganze Geld.
Und das ist natürlich einfacher, als das für alle Pfade zu machen.
Nicht alle Fahrer, da muss man unheimliche Aufwand treiben,
Packdrecking oder dergleichen noch mehr. Aber nur einen Pfad raussuchen,
geht vielleicht einfacher, ist nicht gesichert, aber wieder sehen werden,
ist das in der Tat von Vorteil und deswegen gerade die drei Kombinationen.
Gut. Ja, jetzt kommen wir wieder zur Trendschärfe.
Sie erinnern sich, hatte ich auch heute nochmal wiederholt,
dass wir LTL formeln, Das LTL-Formeln nicht erlauben,
Äquivalente, Gripre-Strukturen zu unterscheiden, zu trennen.
Und zwar, wobei jetzt da Äquivalente heißen, folgen Äquivalente.
Und interessanterweise gibt es sowas auch für CTL,
aber bei CTL wird jetzt die Folgenäquivalenz ersetzt durch die B-Simulation.
Und da haben wir jetzt folgenden Satz. B-Similare Modelle können von keiner CTL-Formel unterschieden werden. Ich finde,
das ist eine interessante Beziehung zwischen zwei Begriffen,
die wir hier zwar eingeführt haben, aber die zunächst mal völlig unbezogen nebeneinander stehen,
dass also die Folgenäquivalenz sozusagen in Korrespond, in Korrespondenz zum LTL ist,
während die B-Simulation in Korrespondent zu dem CTL ist. Ja,
und das schauen wir uns jetzt erstmal mit einem Gegenbeispiel an und da nehmen wir jetzt erstmal unseren Getränkeautomaten,
den wir früher schon hatten, jetzt als Grippestruktur,
nicht und sie erinnern sich ja, da war es ja so,
dass wir hier diese Übergänge weniger betrachtet hatten,
als jetzt die Formeln,
die dann auch diese Übergänge nachhinein beschrieben,
nicht Alpha 1 war ja der Euro war eingegeben,
unsere Kleider und hier unten stand,
Euro war eingegeben und Tee gewählt
Und da hatten wir als Gegenstück dann diese Version und gesehen,
dass die beiden Folgen äquivalent waren und sind sie jetzt auch in der neuen Sicht,
wenn wir gewissermaßen nur diese Alpha-Es,
die Etiketten in den Zuständen betrachten,
aber dass sie nicht Bisimila sind.
So, nicht? Und das soll jetzt ein Beispiel dafür sein,
dass wir die durch CTL-Formeln unterscheiden können. Das heißt,
wir gehen jetzt der Frage nach,
ob wir eine TTL-Formel finden,
die jetzt in der Eingriffsstruktur,
also zum Beispiel in der Linken,
gilt und in der Reichten nicht
Und dann ist natürlich naheliegend, dass wir mal an die Stelle gehen,
wo jetzt dieser Unterschied zum Tragen kam,
wie wir das ja damals gesehen haben.
So, und die Frage wäre,
mit welchem Operator können wir ja jetzt erstmal diese Stelle charakterisieren?
Wir müssen jetzt, wenn wir so sagen,
unsere Formel finden, wollen erstmal an die Stelle gehen und
dann geht es irgendwie weiter
Das heißt, wir machen einen Schritt,
ein Schritt ist X, aber einen Schritt X,
allein dürfen wir nicht hinschreiben in CDL,
sondern das muss immer ein AX oder ein EX werden.
Also nehmen wir mal ein AX, ein EX-Herbera auch gegangen,
weil wir ja hier in dem Beispiel in S0 gar keine andere Möglichkeit haben.
So, und jetzt die Frage an Sie,
wie müsste ich jetzt diese Formel jetzt erweitern,
damit Sie in der einen Grip-Restruktur gilt und in der anderen
nicht gilt?
Ja, bitte
Auf dem bitte was? Ja, nicht,
dass zum Beispiel diese... Ja, wir müssen,
also wir haben ja hier, der Unterschied bestand ja darin,
dass wir hier zwei Vater haben und hier nur einen.
Und wenn wir jetzt hier jetzt irgendwie eine Formel nehmen,
die jetzt hier möglich ist, aber hier nicht, dann müsste das gehen.
Und in der Tat, was habe ich hier genommen?
Ich habe jetzt hier ein EX Alpha 2 genommen. Was bedeutet,
wenn ich jetzt hier einen Schritt mache,
es gibt also von dem S1 einen Schritt,
wo Alpha 2 gilt, Das würde zwar hier auch gelten,
aber wenn ich jetzt hier in dem hier gewesen wäre,
nicht wo ich nach dem AX ja auch hier hinkomme,
dann würde hier im nächsten Schritt nicht Alpha 2 gelten.
Das heißt, an dieser Stelle sieht man, dass das doch günstig war,
vorne das AX zu nehmen, nicht das EX,
weil wir ja dann hier zu sagen,
auch mal beide, beide Pfade haben,
aber mit dem EX wäre es auch gegangen oder hätte ich vielleicht den rechts,
den anderen Part nehmen müssen.
Ja, bitte
Die was, die an? Ja,
aber wir wollten ja, wir wollten ja die,
also ich wiederhole nochmal die Frage,
wäre es nicht möglich gewesen, die an S1 gebunden ist,
aber wir wollten ja die Gripri-Strukturen trennen, da ist die Vorstellung,
wie die Gripri-Strukturen sind gewissermaßen Blackboxes und da machen wir Experimente dran und wollen die unterscheiden und dann sind wir immer im Anfangszustand,
deswegen müssen wir erstmal an die Stelle kommen, nicht,
aber ansonsten haben sie recht, wenn man da reingucken könnte,
könnte man das auch gleich an der Stelle,
also wenn man davon ausgeht,
nicht diesen B-Simular oder nicht,
dann fangen wir da gleich an,
aber da ist sozusagen
diese Blackbox-Vorstellung dann sinnvoll
Ja, nicht, das war jetzt nochmal jetzt visuell dargestellt,
wenn wir in R6 sind, dann hätten wir hier recht,
auch wieder, die Formel bedeutet ja für alle Folgen,
also kann ich auch diese Folge hier nach rechts nehmen,
würde ich nach R6 kommen und da gilt nicht,
dass im nächsten Schritt Alpha 2 gilt,
was im Linken eben der Fall ist.
Das heißt,
wir können jetzt mit dieser CTL-Formel diese beiden Grip-Strukturen unterscheiden,
was nicht gehen würde, wenn sie b-similar sind,
nicht,
und das war ja die Variante,
wo sie B-Seminar sind und da versagt dann natürlich das Argument
und diese Formel gilt dann entweder,
gilt in beiden oder in keinem
Gut. So, als nächstes kommen wir jetzt zu dem
angemerkten CTL-Stern, was ja diese beiden Logiken enthält.
Und das dient jetzt gewissermaßen auch als Plattform,
um jetzt LTL und CTL miteinander zu vergleichen.
Ansonsten befassen wir uns nicht mit CTL-Stern. Das heißt also
, dieses CTL-Stern gilt jetzt nur für den Vergleich.
Ja, zunächst mal, was das überhaupt ist.
In CTL11-Stern ist die Koppelung von Pfad und Zustandsquantoren aufgehoben.
Das heißt, in CTL-Stern haben wir da alle möglichen Kombinationen
Und wir können dann zum Beispiel so eine Formel schreiben,
wo wir von dem E zu dem X gehen und dann zu dem Antel,
was ja keine CDL-Formel wäre,
weil vor dem Antel ja auch jetzt wieder ein Zustandsquanto,
also ein A oder E stehen müsse und auch keine LTL-Formel ist,
weil ja vorne ein E steht und kein A. Also das ist weder noch CTL,
noch LTL,
aber in CTL-Stern,
wo ich alle
diese Möglichkeiten dann eben habe
Nicht in CTL, da hätte ich dann vor dem Antel noch
ein E schreiben müssen, nur um jetzt die Beziehung nochmal darzustellen.
Also das war jetzt die Definition von CTL-Stern. Mehr machen wir
damit nicht, außer jetzt LTL und CTL miteinander zu vergleichen.
Ja, da habe ich jetzt eine Folie,
die ihnen jetzt diesen Vergleich nochmal näher bringt.
Das ist aber jetzt eine Gründe, eine Wiederholung von dem,
was wir jetzt schon gemacht haben.
Aber ich bringe das nochmal, das geht auf eine Aufgabe
zurück, die möglicherweise auch im Skript noch abgedruckt ist
Aber die im Grunde denselben Sachverhalt beschreibt, den wir jetzt schon diskutiert haben.
Also für wir vergleichen LTL und CTL, LTL,
Linia Time Logic und CTL Computation 3 Logic oder auch manchmal auch Brunching Time Logic genannt.
Und die Syntax war ja der Gestalt,
dass wir jetzt hier in dem LTL nur Pfadquantoren X,
FG und U haben durften und dass aber die Semantik so definiert war,
als ob wir doch einen Zustandsquanto A davor schreiben würde.
Und nicht, weil das ja so definiert war für
alle Pfade, die im Anfangszustand eben beginnen.
Nicht, das haben wir in LTL nicht gemacht,
weil wir da dieses A noch gar nicht kannten.
Aber jetzt, wo wir es kennen, in dem General,
in dem allgemeinen Kontext, können wir die LTL-Formeln auch so so schreiben,
dass wir eine LTL-Formel nehmen, F,
wie wir sie vorher kannten und davor ein A schreiben.
Das ist dann dasselbe. Ja, während wir jetzt in CTL,
also diese acht Kombinationen haben. Und diese Aufgabe bestand jetzt da drin,
in so einem Beispiel, was ähnlich aussieht jetzt wie dieser Getränke-Automat,
die Frage zu stellen, gegeben sind, die Folgen,
Gripri-Strukturen, M1 und M2, also links und rechts.
Und die Frage ist, gibt es Formeln in LTL,
die die Strukturen unterscheiden? Das heißt,
nur in einem Modell gelten und das Gleiche für CTL.
Ich möchte die Argumentation, geht also, wie gesagt,
ähnlich. Und nach den Sätzen ist es sowieso klar,
nicht weil die beiden Gripri-Strukturen folgen äquivalent sind.
Alle Folgen, die links sind,
sind auch rechts möglich und alles,
was rechts möglich ist,
auch links möglich
Also vorausgesetzt, das geht bei dem Gepunkteten entsprechend gleich weiter.
Und deswegen sind die also in LTL nicht unterscheidbar,
aber in CTL, was jetzt unten diese Fragen schon beantwortet.
Aber das gucken wir uns jetzt nochmal im Detail an. Nicht,
da ist es vielleicht nochmal günstig, das so zu ergänzen,
dass wir das auf P und Q erweitern. Das heißt,
in diesem Zustand gilt ja P und wenn da nicht Kuh steht,
dann bedeutet das ja, dass Nicht-Kuh gilt.
Und wenn man das so entsprechend erweitern,
noch das Nicht-Kuh hinzuschreiben,
ist das vielleicht klarer für manchen
So, das heißt also, in LTL haben wir solche Folgen.
Es beginnt mit PQ. Dann haben wir P,
Nicht-Co. Und dann haben wir nicht P, Nicht-Co.
Oder wir könnten hier auch mit Nicht-P und Kuh weitermachen.
Und dann geht es irgendwie weiter. Also am Anfang
haben wir diese beiden Möglichkeiten. Ja,
und wenn wir jetzt so eine Formel betrachten,
das war jetzt schon zu weit, so eine Formel betrachten,
für allen Folgen vom Anfang gilt.
Am Anfang gilt PQ und im nächsten Schritt gilt P
und Nicht-Co
Oder gilt P,
dann stimmt das schon und das können wir dann auch noch so erweitern,
wie, und im nächsten Schritt danach gilt Nicht-Kuh oder es gilt,
Öl-Kuh, ja, dann ist das eine Situation,
die wir in der rechten Grip-Restruktur genauso schreiben können,
weil wir hier dieselben Folgen haben und da wir uns nur auf die Folgen beziehen,
kann da ja nichts anderes rauskommen.
Das heißt, man muss sich nur tatsächlich diese Folgenäquivalenz überlegen.
Also, die Frage unten geht so aus,
Es gibt keine Formeln in LTL, die diese Strukturen unterscheiden,
die also nur in einem Modell gelten.
Und entsprechend umgekehrt für CTL. Im CTL machen wir
sowas ähnliches wie eben. Am Anfang gilt eine PQ und
dann für alle Pfade im nächsten Schritt
Schritt gilt P. Und dann gibt es im nächsten Schritt,
gilt nicht
Und im nächsten Schritt, also es gibt einen Pfad,
wo im nächsten Schritt nicht pegelt und im nächsten Schritt Kuhgeld,
das haben wir mit den beiden Möglichkeiten hier gegeben,
es gibt ja diese zweiten Pfade.
Und wenn man das jetzt recht schreiben,
dann sind wir hier schon in einer,
haben wir ja diese Auswahl schon,
ja schon getroffen und dann gilt das natürlich hier nicht mehr,
also sie sehen,
das ist die gleiche Argumentation,
die wir hier schon hatten
Ja, was aber jetzt noch nicht klar ist,
ist mal jetzt mal Formeln zu sehen,
die wirklich in dem einen gelten und dem anderen nicht gelten.
Was würden Sie denn denken, vermuten, ist jetzt CTL,
jetzt semantisch gesehen, eine Obermenge von LTL oder umgekehrt?
Syntaktisch sind die ja anders definiert, aber trotzdem könnte es ja so sein,
dass zum Beispiel alles, was NTL möglich ist,
auch in CTL möglich ist, aber nicht umgekehrt.
Vielleicht ist es wahrscheinlich aufgrund der Komplexität, dass alles,
was in CTL möglich ist, in LTL möglich ist,
weil wir gesehen hatten,
die Analyse ist komplexer.
Was würden Sie vermuten, ja
Dass du mir die Kälte so betrachten, wie eine CTE-Folge.
Ja, genau. Ja, also die Antwort war,
wir haben ja auf der Vorgänger vorher schon gesehen,
dass das LTL im TTL enthalten ist.
Also müsste die entsprechende Inklusion gelten. Das ist aber falsch gedacht.
Vielen Dank für Ihre Antwort erstmal. Und zwar aus folgendem Grund. Es gebt also,
also ich gehe erstmal jetzt mal vor zu dem Ergebnis,
um das wir dann jetzt dann begründen,
Hier, das Ganze läuft jetzt auf diese Folie hinaus,
die jetzt ausdrückt,
wir haben jetzt außenrum CTL Stern und wir haben hier CTL und wir haben LTL und wir sehen, die liegen schief zueinander.
Das heißt, es gibt Formel, die in beiden im Schnitt sind,
es gibt diese Formel, die ist in CTL,
aber das Entsprechende ist nicht in LTL ausdrückbar.
Es geht jetzt nicht irgendwie Syntax, sondern um die Semantik.
Das heißt, die Formel, die hier im Durchschnitt liegen,
die können so ein CTL und LTL syntaktisch anders aussehen,
bedeuten aber sie nannte ich dasselbe.
Das heißt, die gilten für alle Gripgestrukturen gleichermaßen oder
gleichermaßen nicht
Und dann gibt es eben auch noch Formeln,
das ist hier einfach die Disstunktion von denen genommen,
die weder in CTL noch in LTL ausdrückbar sind.
Das war vielleicht ihr Missverständnis,
dass sie an Syntax gedacht haben, aber nicht an Semantik.
Und jetzt geht es um Semantik. So, also nochmal
zurück. Da waren wir hier irgendwo
Also, und die Aussage ist, es gibt keine CTL-Formel,
die Äquivalent zur LTL-Formel, zur folgenden LTL-Formel ist.
Und zwar beginnt die eigentlich ja schon das, wie,
also das ist eine LTL-Formel,
wo wir das A jetzt wieder davor geschrieben haben und das ist unser Bekannter,
ein Kandidat, irgendwann mal gilt immer P. Nicht nur,
das bedeutet ja, auf jedem Pfad gibt es einen Zustand ab dem P immer gilt.
Das heißt, wenn wir zum Beispiel den Pfad hier betrachten,
Man gilt hier von P immer schwach.
Oder wenn man den Pfad hier betrachten, ab hier gilt das immer.
Oder wenn man den Pfad hier galten gilt, deshalb hier immer.
Ja, und hier gibt es noch andere Vater,
wo das noch nicht eingezeichnet ist.
Aber die Aussage ist, irgendwann mal später gilt P immer.
Das ist die Anschauung davon. Ich bin jetzt was weggemacht
Kommen wir später nochmal drauf zurück. Die nächste Aussage ist,
es gibt keine LTL-Formel, die Äquivalent zur folgenden CTL-Formel ist.
Da schreibe ich jetzt für jeden Pfad gilt immer,
dass irgendwann mal pegelt
Ja. Das heißt, ja, von jedem Zustand ist
ein Zustand erreichbar, in dem P gilt.
Das heißt also, das AG heißt ja,
ich springe in irgendeinem Zustand und das EF heißt,
von dort aus ist es möglich, in ein P zu kommen.
Und jetzt komme ich auf das zurück, was wir eben auch schon mal hatten.
Ist das nicht vielleicht Äquivalent zur folgenden Aussage jetzt in LTL? Nicht das,
hier sind wir ja in CTL, hier sind wir in LTL,
da steht ja auch, für alle Vater gilt,
dass immer gilt, irgendwann mal komme ich nach LP.
Also nochmal langsam, hier oben steht, für jeden Fahrt gilt,
dass Oder, ja, wenn ich in irgendeinem Zustand bin,
dass es dann möglich gibt, es gibt einen Pfad,
dass ich irgendwann mal nach P komme.
Und hier unten steht, für jeden Pfad gilt,
dass immer gilt, dass ich irgendwann mal nach P komme.
Das sieht auch verdammt danach aus, dass er dasselbe ist.
Ist aber nicht und warum nicht? Ja. Aber Entschuldigung,
wollen wir mal jemand hinten mal lassen, den Blau?
Ja, jein vielleicht eher. Ich sage Ihnen mal die Lösung und wir
können Sie selber entscheiden, ob Sie recht hatten oder nicht.
Ich weiß jetzt nicht so genau. Die Lösung ist folgendes. Nicht,
wenn wir hier mal sowas bezeichnen, immer gern als einen Kamm.
Wir haben jetzt hier sozusagen den Einstrang und hier haben wir
immer Abzweigungen. Und da ist es doch so,
dass diese Formel hier gilt, egal wo ich hingehe,
ich kann immer die Abzweigung quälen.
Aber hier in LTL ist es ja so,
für alle unendlichen Folgen soll ich ja irgendwann mal immer P erreichen.
Und da gibt es ja
auch die Folge,
die nicht abzweigt
Und für die gilt es die Formel eben nicht, ne?
Ja, bitte. Ja, das ist das,
was ich vorhin schon mal versucht habe zu erklären.
Dieses A kann ich auch weglassen und in LTL unterscheidet sich das nicht,
weil ja die Definition von LTL ist,
für jede Folge vom Anfangszustand, er gilt etwas,
was genauso wirkt wie das A. Also vielleicht wäre es hier in der Darstellung besser gewesen,
ich hätte das A weggelassen, dann hätte es ihn aber erklären müssen,
aber umgekehrt, wenn Sie die Frage stellen,
ist das natürlich aus.
Ist das jetzt angekommen?
Ja, okay, gut, prima
Ja, und dazu gucken wir uns jetzt mal nochmal Folgendes an.
Wir haben jetzt also die Behauptung,
dass dieses AG-EEFP sich nicht in LTL ausdrücken lässt.
Und da haben wir jetzt diese beiden Grip-Strukturen,
wo ich hier also so eine Pech-Schleife habe und in Gelb
eine Kuhschleife und hier habe ich nur die P-Schleife.
Und die Aussage ist jetzt, jede LTL-Formel,
die in K1 gilt,
gilt auch in
Nicht, das ist doch merkwürdig, weil die beiden Krypto-Strukturen sind ja nicht folgenäquivalent.
Wenn ich also hier, drüben habe ich zum Beispiel,
irgendwann mal kann ich Kuh machen, was in K2 überhaupt nicht drin vorkommt.
Aber die Aussage war ja nur,
wenn sie folgenäquivalent sind, dann sind die ununterscheidbar.
Also die Umkehrung kann schon durchaus sein, dass sie nicht folgenäquivalent sind,
aber trotzdem semantisch in Bezug auf LTL ununterscheidbar.
Ja, was sehen Sie das jetzt ein oder wollen Sie
nochmal einen Versuch machen, die vielleicht doch durch LTL unterscheiden?
Ich habe jetzt mal hier so einen Versuch aufgeschrieben
Nicht, das wäre doch vielleicht ein lohnender Versuch,
dass ich sage, irgendwie muss es ja mit dem Kuh zusammenhängen,
dass ich irgendwann mal vielleicht zu dem Kuh komme.
Wenn ich in der linken Folge, habe ich doch,
kann ich doch, habe ich auch zwei Möglichkeiten,
entweder ich bleibe in dem Zustand S, dann habe ich das.
Oder ich bleibe nicht, dann komme ich nach Kuh.
Und das ist auf jeden Fall in der, in der,
in dem rechten Beispiel, in Karl 2 nicht möglich.
Also, ist das jetzt nicht eine LTL-Form?
Auf jeden Fall ist das eine LTL-Formel, ja,
und ich habe das einmal mal weg, weggelassen, nicht?
Also, naja, lassen wir jetzt das Thema.
Und die Frage ist, unterscheidet das jetzt wirklich die beiden?
Ja, bitte
Ja, nächste Saison, dass ich muss ja in LTL
immer eine Folge herausnehmen. Und wenn ich zum Beispiel
diese Folge nehmen, die nur in dem Pay bleibt.
Ja, oder vielleicht wiederholen Sie es doch nochmal.
Ich komme jetzt nicht mehr richtig weiter,
noch ein bisschen lauter jetzt.
Ja. Ja, genau. Platz 2 wollte ich
mit Leuten liegen. Ja, und was folgt daraus?
Ah, also wir wollen, also wir wollen da,
also behaupten, dass es keinen Unterschied gibt, ne?
Ja, aber bleiben wir mal bei dieser,
dieser Formel hier
B. Ja, also, nein,
das ist das Nächste, wie die Unterscheidung haben.
Aber oben wird ja behauptet, jede LTL-Formel,
die in K1 gilt, gilt auch in K2.
Betrachten wir jetzt mal diese Folge jetzt hier, was wir hier haben.
Es gilt also immer P oder wir kommen irgendwann mal
nach Kuh.
Ja,
das gilt natürlich
Okay. Ja, und als nächstes betrachten wir jetzt die Situation
jetzt in CTL. Da ist es jetzt natürlich so,
dass wir die unterscheiden können, indem wir nämlich hier sagen,
AGEF bedeutet ja, in jeder Situation,
die ich hier bin, habe ich die Möglichkeit,
jetzt wieder abzuzweigen nach Kuh.
Und das ist hier natürlich nicht der Fall.
Das ist also im Grunde jetzt nur eine Gripkrestruktur für
mein Kamm-Beispiel,
was wir eben hatten
Okay, da ist das Ganze nochmal zusammengesetzt. Ja,
dazu gibt es jetzt eine interessante, einen Satz,
der auch nicht, glaube ich, am Skript enthalten ist,
sozusagen als Zusatz und das ist deswegen ein Exkurs,
das ist der Satz von Clark und irgendwie ausgesprochen.
Und das ist jetzt vollender Satz. Gegeben, eine CTL-Formel PC und gefragt ist,
gibt es eine LTL-Formel Fee, die semantisch Äquivalent ist.
Das ist ja die Frage, die wir jetzt immer nachgegangen sind.
Und die Aussage ist jetzt folgende. Seit sie eine LTL-Formel,
die aus C entsteht, wenn man alle Pfadquantoren weglässt. Das ist ja das einzig Sinnvolle,
wenn ich eine in einer CDL-Formel habe und lasse ich die Zustands,
indem ich alle Zustandsquantoren, sei es sie, die LTL-Formel,
die entsteht, indem man aus der CDL-Form alle Zustandsquantoren weglässt,
dann ist die folgende Aussage aus diesem Satz,
entweder ist das semantisch oder es gibt keine zu Psyäquivalente in RTL-Formel.
Das ist nun natürlich etwas enttäuschend,
weil wir da die Alternative haben,
entweder es gilt oder es gilt nicht,
aber das Interessante an dem Satz ist,
wenn diese einfache Konstruktion nicht funktioniert,
dann funktioniert gar keine
Und das ist immerhin ziemlich,
also gewisses Mal eine Aussage über eine unendliche Menge von Fällen.
Und das probieren wir jetzt mal aus hier an diesem Beispiel.
Für diese Formel gilt ja die, für diese Gripgestruktur
gilt ja die CTL-Formel. Es gibt einen Pfad,
sodass für alle Pfade MRP gilt, nehmen wir diesen Pfad hier.
Nicht und nach der Konstruktion hier drücken wir jetzt,
streichen wir jetzt alle Zustandsquantoren, also das E und A,
sodass nur das AGF übrig bleibt.
Das heißt ja, für alle Pfade nicht,
da steht das A wieder vorne weg, was wir auch weglassen können.
Für alle Pfade gilt immer, dass irgendwann mal App gilt und
wenn wir nach rechts gegangen sind, wäre das widerlegt.
Das geht also nicht. Dann könnte man,
wenn man den Satz nicht kennt, denken, Pech gehabt,
muss ich vielleicht eine andere LTL-Formel finden, die Äquivalent ist.
Aber der Satz sagt, diese Mühe ist gar nicht notwendig,
weil wenn das mit der Methode nicht geht,
geht das mit keiner Methode.
Und insofern ist das eine ganz nette Sache.
Ist das soweit
klar geworden
Gut, nicht? Und dann kommen wir eben zur besagten Formel,
nicht wo wir jetzt hier die bekannten Kandidaten drin stehen haben,
hier in LTL auch wieder mit dem fakultativen A davor.
Und hier ist eine CTL-Formel, die nicht wechselseitig enthalten sind. Und für das CTL-Stern,
den wir jetzt einfach, die Disjung,
sodass wir da sehen, es gibt also auch Formeln,
das ist hier kein Beispiel,
haben wir ja eigentlich auch schon Beispiele gesehen,
die semantisch Äquivalent sind, aber sind taktisch nicht,
aber es gibt welche,
die auch semantisch nicht äquivalent sind,
die dann an dieser Stelle
dann weitergehen
Ja, dann machen wir in der nächsten Woche
dann weiter mit dem Meutelchecking und ich bedanke mich erstmal
für heute