Ich möchte es immer so machen, dass ich den,
Entschuldigung, dass ich die Folien der letzten Stunde dann nochmal schnell durchblättere,
wobei sie dann die Gelegenheit haben,
sich nochmal zu erinnern oder falls sie nicht dabei waren,
sehen, was dran war.
Aber vor allem, sie können dann auch nochmal aufzeigen und Fragen stellen,
wenn was unklar war und da haben wir Gelegenheit, das nochmal zu erklären.
Nicht zunächst hatten wir ja am Organisatorisches, in der Vorstellung der beiden Veranstalter,
Dann die Ankündigung über Aufgaben, Olat und dergleichen,
dann diese Ankündigung, wann das O-Lat in dieser Woche,
in der nächsten Woche stattfindet.
Ja, und dann das Skript soll also morgen gedruckt werden und Herr Molt hat mich gebeten,
ihnen nochmal zu sagen, dass jetzt noch Nachzügler angenommen werden können,
dann sollten sie halt sich mit Herrn Molt in Verbindung setzen,
falls sie auch noch eins wollen und sich noch nicht angemeldet haben.
Gut, dann die Übungen hatten wir ja auch gesagt,
dass am Montag noch Platz ist und dass sie doch
sich dann eben melden können
Ja, ab heute oder morgen werde ich dann die Folien
auf der Webseite ablegen als PDF, sodass sie da noch nachlesen können.
Und wenn sie vorlesen wollen, dann können sie ja einfach den Link benutzen vom vergangenen Jahr.
Das unterscheidet sich nicht sehr viel. Ja,
wichtig ist dafür, dass sie den Benutzernamen und das Passwort erkennen,
nicht der Passbenutzername ist Loss soll, nicht, dass sie es sagen,
abgeleitet von Logik und Semantik, noch als Paleondrom ergänzt und unten,
das kommt von Karl Adam Petri, C.A. Petri.
Wenn sie sich das bitte notieren,
damit sie dann an die Folien
eben rankommen
Soweit alles klar. Gut. Ja,
und dann haben Sie vielleicht schon gemerkt,
dass die Aufgaben nur aus dem FGI-Netz zu laden sind.
Ich hatte mich auch gewundert, aber das soll wohl
so sein. Dann die Übergangsregelung für die Bürmen-Studiengänge,
die Sie auch auf der FGI
2 Seite finden
Ja, und dann hatten wir angefangen mit dem motivierenden Beispiel
zum Model-Checking, mit dem missglückten Raketenstart der Ariane 5.
Und etwas über die Hintergründe gelesen, dann gab es Allgemeines
zu Computernfehlern und der Bezug zu dem Begriff Bug. Ja,
dann ging es weiter mit den Hintergründen zum Ariane 5,
Fehlstart, wobei eben wichtig war, zu sehen,
welche immensen Kosten das natürlich verursacht hat und dass
das Motivation war für eine genauere Prüfung und Verifikation
Was eben zum Teil durch das Model-Checking gewährleistet wird,
was hier Gegenstand der Vorlesung ist. Ja,
zum Plättel der Vorlesung, Modellierung und Analyse,
wo wir im Augenblick mehr bei Analyse sind und ab dem
Abschnitt über Petri-Netzer geht es dann auch mehr über Modellierung.
Die beiden Teile, die beiden Pfeiler der Veranstaltung und die Ziele,
theoretische Informatik und Grundlagen paralleler und nebenläufiger Systeme.
Und dann die Übersicht, die man zum Teil
auch dem Inhaltsverzeichnis des Skriptes dann entnehmen kann
Dann Model-Checking als eine Methode,
eine Systemspezifikation gegenüber einem System zu prüfen. Das heißt,
ob ein Systemverhalten eine gegebene Systemspezifikation erfüllt,
wobei wir beides hier in diesem Kontext formal und darstellen durch Transitionssysteme,
was eben Automaten entsprechen oder bei der Spezifikation kommen dann später auch temporallogische Formeln hinzu.
Noch später kommen Petrinette,
wo auch das Verifikationsproblem betrachtet wird und ganz am Schluss
die Prozessalgebra, wo wir in beiden Spalten
die Prozessausdrücke haben
Ja, im Augenblick sind wir also bei den Transitionssystemen oder Automaten. Ja,
dieser rote Pfeil wird jetzt hier durch die Folgeninklusion der möglichen Abläufe
dargestellt und verschärft auch durch die Folgen äquivalent oder eine Bi-Simulation,
zu der wir dann heute wohl kommen werden.
Ja, deshalb zunächst eben die Wiederholung mit endlichen Automaten,
weil Transitionssysteme einerseits nichts anderes sind als Automaten,
wenn auch nicht immer endlich und die Methoden,
die dort benutzt sind,
zum großen Teil aus der Theorie der endlichen Automaten
übernommen wurde
Das war eine frühe Arbeit zur endlichen Automaten und das war das Startbeispiel mit dem Getränkeautomat,
wo wir einen Ablauf beginnen vom Anfangszustand und einem angenommenen Endzustand betrachtet haben.
Hier das 5-Tuppeln für den endlichen nicht-deterministischen Automaten bestehend aus Zustandsmenge,
Eingabealphabet, Übergangsrelation, Startzustände und Endzustände,
wobei ich dann nochmal den Begriff des Akzeptierenden Automaten motiviert hatte
an dem Vorgang des Akzeptierens von Zeichenfolgen,
das heißt das Unterscheidens von gewünschten und nicht gewünschten Zeichenfolgens bezüglich einer Spezifikation.
Und die Spezifikation besteht hier dann in dem Automaten
Ja, dann wurden das Ganze erweitert,
um die akzeptierte Sprache zu definieren,
indem wir diese Relation auf Wörtern erweitert hatten und 11 von A
ist dann die Menge dieser Abläufe und das L kommt von Language für Sprachen.
Ja, das Ganze jetzt nochmal. Hier an einem Beispiel für
eine solche Swort der Sprache oder eine solche akzeptierte Folge,
das ist die gleiche,
die wir vorher hatten,
jetzt hier unten nur eben als Folge
nochmal notiert
Dann die Abschlusseigenschaften, nicht,
dass diese Sprachen,
also die von den endlichen Automaten akzeptierten Sprachen oder wie wir später auch gesehen haben,
regulären Mengen abgeschlossen sind gegenüber Vereinigung,
Durchschnitt und Kompliment und im Cleanie-Abschluss und dann sind wir zum deterministischen Automaten gekommen,
bei dem die Besonderheit besteht,
dass zu jedem Zustand und jeder Eingabe,
also höchstens einen Übergang existiert,
sodass man diese Überführungsrelation als partielle Funktion und im Falle eines
vollständigen deterministischen Automaten als Abbildung darstellen könnt
Diese Einschränkung ist keine Einschränkung in Bezug auf die Leistungsfähigkeit.
Man kann zu jedem deterministischen Auto endlichen Automaten umgekehrt,
man kann zu jedem nicht deterministischen Automaten einen äquivalenten deterministischen,
endlichen Automaten konstruieren und äquivalent heißt, dass sie dieselbe Sprache akzeptieren.
Und die Konstruktion ist die bekannte Potenzautomatenkonstruktion. Ja,
das Beispiel bestand darin, dass ich den Automat,
den deterministischen Automat aus der Übung genommen habe und als Aufgabe
gestellt hatte oder die Aufgabe betrachtet hatte, dieselbe Wortmenge zu akzeptieren,
wobei hier das Mittelwort, aber in umgekehrter Reihenfolge vorkommt.
Nicht, das kann man leisten,
indem man die Pfeile umdreht bekommt dann eine nicht-eterministischen Automaten.
Und wenn man zum Zwecke der Programmierung beispielsweise doch einen deterministischen Automaten als Konzept haben will,
kann man die Potenzautomatenkonstruktion anwenden, nicht wo wir hier dann sehen,
dass die Zustände jetzt die Teilmengen der Zustände des ursprünglichen Automaten sind.
Also die Elemente der Potenzmenge der ursprünglichen Zustandsmenge. Also wenn
Sie Fragen haben, ich gucke das immer da vorne hin,
dann müssen Sie ein bisschen sich bemerkbar machen
Ja, Entscheidungsprobleme, Lehrheitsproblem, Universalitätsproblem und Äquivalenzproblem,
erklärt sich zum Teil vom Namen her und die alle sind eben entscheidbar,
was dann später für das Model-Shecking eben wichtig war.
Reguläre Ausdrücke. Nicht die regulären Ausdrücke werden eben zunächst mal,
also werden induktiv definiert, beginnend mit den einzelnen Zeichen des Alphabets,
dein Induktiv auf die Operatoren erweitert.
Plus für die Vereinigung mal für das Komplexprodukt und Stern für den Klini-Abschluss,
dann das leere Zeichen, ihre Menge Zeichen für die leere Menge.
Und dann das Fürth Aktion oder die Fürchteforderung der Minimalität.
Sich an dieser Stelle halte ich nochmal ein bisschen länger auf
den Unterschied zwischen Syntax und Semantik hingewiesen, was also durch dieses beschreibt, dargestellt wird.
Ja, verdeutlicht wurde es an diesem Beispiel,
wo wir hier für eine Menge hier in Blau zwei reguläre Ausdrücke haben,
die diese beschreiben, wo wir eben sehen,
dass wir für verschiedene sind taktische Darstellungen, dieselbe Zugehörgemenge haben können.
Nicht die Mengen sind immer eindeutig, die sind taktisch,
kann eben mehr deutlich sein. Ja,
an diesem Beispiel haben wir jetzt noch mal jetzt die akzeptierte Sprache studiert,
wobei der Automat erweitert worden ist,
um zu deutlich zu machen,
dass eben im allgemeinen Fall nicht alle Zustände erreichbar sein müssen
und die nicht erreichbaren Spielen dann hier also keine Rolle für
die akzeptierte Sprache
Dann kamen wir zur Konstruktion von Automaten aus regulären Ausdrücken,
wo wir uns zunächst mal bezogen haben auf den induktiven Aufbau
eines solchen gegebenen regulären Ausdruckes, indem wir jetzt diese Induktion nachvollziehen.
Und diese Konstruktion dann jetzt übertragen auf die Konstruktion von Automaten,
indem wir jetzt für die einzelnen Komponenten dann akzeptierende Automaten konstruieren und dann diese Kombinatoren,
also hier zum Beispiel das Fluss für die Vereinigung,
dann in eine Automatenkonstruktion übertragen
Dasselbe dann hier für den Stern und das Komplexprodukt und dann
nochmal das Komplexprodukt kommen wir dann zu der endgültigen Konstruktion.
Ja, und dann hier jetzt nochmal der Satz,
dass die Menge der durch endliche Automaten akzeptierten Sprache identisch ist,
mit der Menge der durch reguläre Ausdrücken beschriebenen Sprachen.
Also die Formulierung ist jetzt hier auf semantischer Seite,
auf den Sprachen und daher die Eindeutigkeit
Ja, in der anderen Richtung haben wir ja diese Konstruktion von Cleany,
die darin besteht, dass man sukzessive immer neue Zustände hinzunimmt und
auf diese Art und Weise hier diesen komplexen Ausdruck erklären kann.
Nicht, das ist eine Vereinigung von zwei Teilen ausdrücken,
die jetzt den beiden Alternativen besteht, einmal mit Umweg und ohne Umweg.
Wobei wir hier unten die erste Komponente,
dass der Teil ohne Umweg ist und mit Umweg,
haben wir ja jetzt also hier den Teil und den Teil
und zwischendurch in der Mitte dann nochmal eine mögliche Schleife zu betrachten,
die dann auch den Sternenoperator hier an dieser Stelle
eben einfügt
Ja, die regulären Mengen sind abgeschlossen unter der Durchschnittsbildung,
was man auf Kompliment und Vereinigung zurückführen können.
Für uns aber ist diese Durchschnittskonstruktion später bei den Transitionssystemen eine Konstruktionsflohe Synchronisation von Automaten
und aus diesem Fall wird die hier nochmal gesondert betrachtet.
Ja, und die funktioniert so, indem wir den sogenannten Produktautomaten konstruieren,
dessen Zustandsmenge das krathesische Produkt der ursprünglichen Zustandsmengen ist.
Und die Übergänge sind so definiert,
in dass wir von einem Element des karthesischen Produktes,
also von Paaren, ja zu einem neuen Paar kommen,
mit dem Übergang, mit dem Zeichen A, genau dann,
wenn das für die einzelnen Komponenten gilt.
Nicht dieser Index hier unter dem Pfeil bezieht sich dann immer
auf die Relation des jeweiligen Automaten A1, A2 und A3.
Das heißt, die A3-Relation für den Produktautomaten wird hier definiert
durch die Übergangsrelation von dem A1-Automaten und dem A2-Automaten.
Ja, bildlich sieht das so aus, dass das sozusagen
die gegebenen Übergänge sind und das ist der neue Übergang.
Das heißt, der neue Übergang ist genau dann möglich,
wenn die beiden Übergänge möglich sind und sie können sich das
schon als Synchronisation auch jetzt schon vorstellen
Ja, das ist nochmal der Satz dazu.
Und hier nochmal einen Ansatz eines Beweises. Nicht,
wenn wir in der einen Richtung davon ausgehen,
dass wir ein Wort aus dem Durchschnitt der beiden ursprünglichen Sprachen haben,
dann wollen wir zeigen, dass dieses Wort auch von dem,
wie eben definierten Produktautomaten akzeptiert wird.
Daher wissen wir aus der Annahme,
dass es für da das Wort aus 11 von A1 ist,
dass es doch eine solche Folge von Zuständen und Übergängen gibt,
die von einem Anfangszustand in einen Endzustand
hier führen
Und genauso für die zweite Folge. Beziehungsweise für dieselbe Folge
gilt das für den anderen Automaten. Hier haben wir dieselbe Folge dran stehen,
aber die anderen Zustände, die sich auf den anderen Automaten beziehen.
Auch hier kommen wir von dem Anfangszustand des zweiten Automaten
zum Endzustand des zweiten Automaten. Ja, und nicht,
und die Produktkonstruktion, wie wir hier oben nochmal angegeben ist,
führt ja dazu, dass wir jetzt Fahre betrachten.
Und das sind jetzt genau die Paare,
die wir jetzt hier durch diese Klammerung eben erkennen.
Und das führt dann zu einem einer solchen Folge von Zuständen und Übergängen in den Produktautomaten,
wo jetzt an den Übergängen zusammengefasst genau das gleiche Wort steht,
dass wir anfangs geführt haben.
Nicht unter dem umgekehrten Schluss,
wenn wir von einer solchen Folge ausgehen,
dann können wir das Ganze auch wieder zerlegen in die Einzelfolgen,
sodass wir dann auch die umgekehrte Folgerung
eben schließen können
Ja, wir erkennen hier nochmal,
wie die Definition des Anfangs und Zustand, Endzustandes zu wählen ist,
wir fangen jetzt hier hier in beiden Fällen mit dem Anfangszustand an,
sodass wir Produktautomaten, auch die Paare als Anfangszustände gewählt werden,
wo beide Komponenten Anfangszustände der ursprünglichen Automaten sind.
Genauso bei den Endzuständen,
wir wollen ja in beiden Fällen hier im Endzustand enden,
also wählen wir auch die Endzusternsmenge des neuen Automaten,
als die Menge der Paare,
wo beide Komponenten ursprünglich Endzustände waren,
nicht was ja nichts anderes ist als F1-Kreuz,
Ja, das war jetzt die Wiederholung zu den endlichen Automaten. Wir hatten gesehen,
den Bezug zu den formalen Sprachen, endliche Automaten,
reguläre Mengen, Determinismus gegenüber Nicht-Determinismus, reguläre Ausdrücke, Abschlusseigenschaftsprobleme,
und sind dann zu den Büchi-Automaten übergegangen. Die Büchi-Automaten,
bei den Büchi-Automaten ist sehr vieles ähnlich und wird dann mit einem Präfix-Omega bezeichnet,
was daherkommt, das gegenüber den endlichen Automaten,
wo man endliche Wörter betrachtet, und akzeptieren lässt, jetzt unendliche Wörter,
oder man sagt es dann vielleicht besser, unendliche Folgen betrachtet und akzeptieren lässt.
Aber die Eigenschaften sind zum Teil übertragbar,
wobei die Beweise dazu in manchen Fällen weniger einfach sind.
Ja, hier jetzt nochmal zum Einstieg. Wir betrachten jetzt
also statt der endlichen Wörter, unendliche Wörter für die Abläufe.
Und wir definieren jetzt wieder jetzt die Menge der von
solchen Automaten akzeptierten, unendlichen Wörtern und nennen das dann
die Omega-Sprache
Letztes Mal hatte ich schon die Frage gestellt, wie kann das denn angehen?
Weil ja das Akzeptieren eines endlichen Wortes gerade am Ende geschieht und
wie er bei einem unendlichen Wort kein Ende haben oder beobachten können.
Ja, mit Ahochomega bezeichnen wir jetzt die Menge der unendlichen
Folgen von Zeichen aus A, also sozusagen die Analogie zu dem Allstern.
Und wir schreiben dann manchmal auch das Wort W als A0 A1 A2 Pünktchen Pünktchen,
um auszudrücken, dass es ein unendliches Wort ist.
Bei den endlichen wird dann, lässt man dann hinter
den Pünktchen dann meistens noch ein AN oder so folgen
Ja, hier nochmal die Frage. Nicht bei den normalen Automaten
betrachtet man solche Folgen, die in einen Endzustand führen.
Und die Frage ist, wie machen wir das jetzt?
Und wir hatten letztes Mal ja schon gesehen,
es wird so definiert, dass wir sagen,
diese Folge soll die Menge der Endzustände unendlich oft besuchen.
Nicht dazu muss man sagen, dass es in der Literatur
sehr viele andere Varianten von solchen Akzeptierungsmöglichkeiten gibt,
die auch zum Teil unterschiedliche Ergebnisse liefern.
Nicht man könnte zum Beispiel sagen, dass nach einer bestimmten
Anfangsphase wir immer im Endzustandsmenge bleiben oder man könnte sagen,
dass alle Zustände der Endzustandsmenge immer wieder besucht werden müssen.
Wenn ich was hier an diesem Beispiel, naja,
nur angedeutet ist, aber zum Beispiel,
wenn ich das zweite Mal hier zurückkomme, na,
hier muss ich immer alle Zustände besuchen.
Aber wenn wir noch einen anderen Pfeil hätten, könnte es auch sein,
dass wir nur die beiden Zustände unendlich oft besuchen.
Das wird also alles hier nicht verlangt. Und es hat
sich eben gezeigt, dass man für die Zwecke,
die wir hier betrachten,
mit dieser
einen Akzeptierungsmethode eben auskommt
Ja, und um dieses auszudrücken,
betrachten wir das Prädikat, ein Infinite von wem,
wobei also weh, ein solches unendliches Wort ist.
Und das ist jetzt eine Menge von Zeichen aus dem Alphabet,
mit der Eigenschaft, dass dieses Zeichen A in dem Wort W unendlich oft vorkommt.
Nicht, das könnten Sie natürlich auch auf endliche Wörter anwenden,
aber dann wäre die Menge immer leer,
sodass wir im Neufall da immer ein unendliches Wort annehmen
Gut, und dann betrachten wir wieder, wieder,
wieder wie bei den endlichen Automaten vorher, solche Pfade,
die von einem Stachzustand, ja, ursprünglich doch zu einem Endzustand führen,
hier aber nicht, sondern wir müssen jetzt die neue Bedingung eben einbringen.
Und wir sagen, dieses Omega-Wort, Sigma,
gleich A0, A1, A2 und so weiter,
aus Großsigma, Hochomega, wird von einem Büchi-Automaten akzeptiert,
also der Automat selber ist so definiert wie vorher,
wenn es einen Pfad, ein A0, einen Pfad gibt,
der, wo das Wort entsprechend buchstabiert wird wo wir die Zustandsfolge S-0,
S-1, S-2, S3 und so weiter haben, wobei der Anfangszustand in,
der erste Zustand ein Anfangszustand ist, dann soll die Bedingung gelten, dass mindestens ein Endzustand unendlich oft durchlaufen wird.
Und das drücken wir jetzt formal dadurch aus,
dass diese Menge Infeinheit von S-0 und so weiter ist eins,
also die Menge der Zeichen,
die unendlich oft in dieser Folge drin vorkommen,
eine Nichtlehre Schnittmenge mit der Menge der Endzustände
eben hat
Nicht, das heißt eben, dass mindestens einer dieser Zustände
ein Endzustand ist und unendlich oft eben vorkommt. Ja,
und dann haben wir auch wieder dieses L von A,
aber jetzt mit einem Exponent Omega,
das ist jetzt die Menge der unendlichen Wörter,
die jetzt in dieser Weise, wie oben definiert,
akzeptiert werden.
Und das heißt dann, die akzeptierte Omega-Sprache.
Ja, ist das soweit? Klar. Dann sehen wir
ja jetzt auch noch Beispiele dazu. Zunächst mal,
aber noch die Familie, also die Begriffsbildung,
dass das die Familie der Omega-regulären Sprache dann ist.
So,
und dann haben wir hier
dieses Beispiel
Ein Automat hier mit hier mit Anfangszustand,
hier zwei Endzustände und das Charakteristische darin,
dass wir hier so eine Verzweigung haben.
Da hängen also im Wesentlichen zwei Schleifen dran. Nicht und
das drückt sich hier oben in dieser Darstellung so aus,
dass wir jetzt hier zwei Komponenten verbunden mit Plus haben.
Wir werden dann später auch die Omega regulären Sprachen definieren.
Da bedeutet das Plus auch wieder die Vereinigung. Das heißt,
der eine Teil bezieht sich dann hier auf die obere Schleife,
dass wir also zunächst mal haben AC und
dann eine endliche Anzahl von Ds und dann wieder hier zurück
Und die andere Komponente ist die untere, die bezieht sich darauf,
dass wir also ein B-A-D haben und dann wieder zurück sind.
Und das können wir sozusagen beliebig oft in allen
möglichen Varianten von Abwechslungen von Rot und Grün wiederholen.
Und das drückt sich dann hier durch den Operator hoch Omega aus,
die entsprechende Vereinigung von dem Stern ist,
was wir hier jetzt noch nicht haben,
aber gleich dann kennenlernen
Hier an dieser Stelle könnt ihr, Entschuldigung, das war der falsche Knopf.
Hier an dieser Stelle könnte man zum Beispiel fragen,
wenn wir wieder den oberen Teil betrachten,
warum denn nicht die folgende Folge möglich wäre,
dass wir hier ein A,
ein C machen und dann hier unendlich viele Days.
Das wäre ja auch eine unendliche Folge, die möglich ist.
Ihnen ist aber jetzt klar, warum das nicht der Fall ist,
kann das noch jemand sagen? Ja bitte. Genau,
dann würden wir Ja, das wäre ja,
aber eben, weil kein anderer Zustand eingenommen wird.
Wir haben nie mehr zu diesem Endzuständen Z3 oder Z2
dann kommen können. Gut. Ja,
und dann gibt es auch jetzt wieder deterministische Büschi-Automaten,
die jetzt so im Automatenmodell genauso definiert sind,
wie bei den endlichen Automaten.
Aber jetzt kommt schon ein großer Unterschied. Es gibt keinen
deterministischen Büschi-Automaten, der dieser Sprache A, B,
Stern und dann B hoch Omega akzeptiert.
Das sind also die Menge der Wörter,
die also
irgendwie beliebig anfangen
Endliche Wörter und dann am Schluss kommen nur noch Bs.
Unendlich viele. Die sieht ja ziemlich einfach aus und die kann man jetzt
auch durch einen allgemeinen Büchi-Automaten darstellen, wie wir jetzt sehen.
Wir fangen einfach an, mal die beiden Teile hier darzustellen,
also die endlichen Wörter aus As und Bs und würden ja
hierdurch dargestellt und dann die unendlichen Bs hier durch.
Und das Ganze kann ich dann jetzt auch noch
durch eine Kante mit B verbinden,
sodass ich also hier das Anfangswort habe und dann umschalte zu
der B-Schleife
Nicht und sie erkennen, dass das jetzt also mit
dem Endzustand hier hinten genau diese Sprache akzeptieren würde.
Und sie erkennen auch, dass das kein deterministischer Automat ist,
denn wir haben ja hier zwei B-Kanten, die von S0 ausgehen.
Was man aber jetzt nicht unmittelbar erkennt,
dass das vielleicht nicht doch mit einem deterministischen Automaten geht,
denn das könnte ja doch eine andere Konstruktion geben,
wo wir jetzt im Augenblick nicht schlau genug sind,
die zu finden,
also diese Omega-Sprache auch durch einen deterministischen Budget-Automaten akzeptiert
Ja. Nicht, und das wollen wir uns gleich nochmal in einem kleinen Beweis angucken,
der jetzt auch eben typisch ist für das Gebiet,
wie man doch solche Verhältnisse erklärt.
Ja, und das geht jetzt folgendermaßen. Wird ein indirekter Beweis,
nicht, was sie an dem Angenommenen hier oben schon sehen.
Wir nehmen mal an, es gäbe einen deterministischen Büchi-Automaten für
die besagte Sprache. So, dann wäre es so,
dass es dann natürlich eine, betrachten wir die Folge,
die nur aus Ps besteht,
und die ist natürlich in der Sprache drin,
weil wir mit dem Stern hier auch das leere Wort haben,
und wir können also
gleich mit den Ps anfangen
So. Nun ist es aber weiter so,
da diese Sprache akzeptiert wird, muss also ein Endzustand erreicht werden,
sogar unendlich oft, aber einmal genügt uns.
Und das sei jetzt, sagen wir mal,
symbolisch an dieser Stelle. So,
und jetzt gehen wir trickreich ran und ändern unsere Folge Sigmar 0 ab,
indem wir hier ein A einschmuggeln und dann wieder unendlich viele Bs folgen lassen.
Ist diese Sprache jetzt hier auch wieder in Elwe hier behauptet oder kann man ja annehmen,
vielleicht hoffen, dass ich keinen Fehler gemacht habe,
sondern geht die Frage eher in die Begründung,
warum ist das auch eine Sprache in L
Ja? Bitteschön. Ja,
oder wir fassen dann das Wort bis zu dem A,
hier in dem Anfangsteil zu sein und dann kommen die Bs.
Also es ist so,
dass diese Grenze gar nicht eindeutig zu identifizieren ist,
aber das A darf auf keinem Kötel auf keinen Fall hier
zu dem hinteren Teil, wo nur Bs sind.
So, Da hat diese Folge auch akzeptiert wird,
müssen wir wieder in einen Endzustand kommen.
Denn wir müssen ja unendlich oft in einen Endzustand kommen.
Und das möge jetzt symbolisch jetzt dieser sein. Ja,
und dann machen wir jetzt wieder den fiesen Trick und das
geht jetzt so entsprechend weiter.
Und das sei jetzt wieder ein Endzustand und das machen wir
so weiter. So, und kann es sein,
auf jeden Fall geht diese Konstruktion unendlich oft weiter.
Nicht das Argument, was wir eben hatten, geht immer weiter.
Aber die Frage ist, können diese Zustände,
die da jetzt rot markiert sind,
können die alle
verschieden sein
Nein, natürlich nicht, weil wir nur endlich viele Zustände haben.
Also muss es Wiederholungen geben. Und diese Wiederholung können wir ja jetzt vielleicht mal so symbolisieren,
dass vielleicht zufällig gerade diese beiden Zustände, die eingenommen werden,
wenn diese entsprechenden Bs da gelesen werden oder abgearbeitet werden, gleich sind.
Und dann können wir anstelle hier hinten weitermachen, auch hier
vorne weitermachen. Und dann kriegen wir ein solches Wort,
wo diese beiden As hier sozusagen in der Schleife sind, was die unendliche Wiederholung darstellt.
Und das ist jetzt natürlich kein Wort aus L. Habe ich gestern Abend noch gemacht,
Dann den Fehler, da sollte dann kein Element von L stehen,
denn auf diese Art und Weise kriegen wir da einen Widerspruch, ne?
Ja? Nicht,
dass bei den indirekten Beweisen ist immer etwas unangenehm,
dass man sich, dass man denkt, da zaubert einer,
bei den direkten Beweisen hat man oft dann auch eine Konstruktion,
aber bei solchen Unmöglichkeitsgeschichten,
da man ja sozusagen über eine unendliche Menge von möglichen Lösungen reden müssen und eben zeigen muss,
dass in dieser unendlichen Menge von möglichen Lösungen keine tatsächlich funktioniert,
sind solche indirekten Beweise,
also sinnvoll
Ja, und das führt ja zu dem Satz,
den Sie auch im Skript haben.
Nicht die terministische, pöstliche Automaten sind echt mächtiger als deterministische.
Und da haben wir dann jetzt ja auch noch mal das Beispiel,
wie das, was wir eben schon gesehen haben,
wie diese Sprache jetzt von dem nicht-deterministischen akzeptiert wird.
Und vorher hatten wir den Beweis, dass es mit einem deterministischen nicht geht.
Ja, jetzt könnten wir noch darüber sprechen,
ob das jetzt nun schlimm ist oder nicht so schlimm ist.
Nicht so schlimm ist, dass deswegen,
weil wir diese nicht-deterministischen Büchi-Automaten zum Teil benutzen als so Spezifikation
von Eigenschaften
Nicht. Und wenn wir das zur Spezifikation von Eigenschaften einsetzen,
wollen wir ja irgendwie eine Eigenschaft definieren, die diese Abläufe haben sollen.
Das heißt, wir benutzen diese Büchi-Automaten nicht als Vorbild für eine mechanistische Konstruktion,
die ja in vielen Fällen deterministisch sein sollte.
Also und für diese Zwecke, wenn wir nur sagen wollen,
wir möchten die möglichen Fälle betrachten, die dort gegeben sind,
dann ist das nicht so weiter nachteilig.
Gut. Ja, und dann hatten wir jetzt ja mehrfach jetzt
schon hier diese Schreibweise benutzt, die so aussieht wie reguläre Ausdrücke.
Das waren zwei Mengen. Und wir holen das jetzt nach.
Auch diese Konstruktion der Menge Hochomeka haben wir ja jetzt noch nicht eigentlich definiert.
Und das kommt jetzt. Also jetzt Operationen auf Omegas
Sprachen. Wir betrachten jetzt hier ein endliches Wort,
B und ein unendliches Wort U und definieren jetzt als W-Komplexprodukt U
Das endliche Wort gefolgt von dem unendlichen Wort. Das ist also
ähnlich wie bei dem Komplexprodukt bei den endlichen Wörtern. Nur,
wenn wir gewissermaßen innerhalb des Bereichs der unendlichen Wörtern bleiben,
können wir das erste Wort nicht unendlich lassen,
weil wir dann keinen Platz mehr für das Zweite hätten.
Und das Zweite können wir nicht endlich lassen,
weil wir sonst kein unendliches Wort bekommen würde.
Also variieren wir dieses klassische Komplexprodukt zwischen endlichen Wörtern so,
dass das erste ein endliches und das Zweite ein unendliches
Wort ist
Und das ist ja soweit einfach. Ja, und das wird dann aber wieder
wie im klassischen Fall auf Mengen erweitert. Wenn also weh,
eine Menge von Wörtern von endlichen Wörtern ist und eine Menge von unendlichen Wörtern ist,
dann sei groß weh, komplex, Produkt, U,
die Menge w.u, wo bei Kleinweh und Klein-U,
Elemente von Großweh und Groß-U sind.
Und das gibt dann auch wieder
eine Armeegalsprache
Ja, dann hätten wir also jetzt das Komplexprodukt,
Vereinigung, ist sozusagen Menge theoretisch schon klar,
dann brauchen wir ja nur noch den Omega-Abschluss.
Das heißt, wir definieren das auch wieder für eine Menge von
endlichen Wörtern und definieren, was jetzt wie hoch Omega ist.
Nicht, dann nehmen wir einfach eine unendliche Folge von Wörtern,
wo wir den Vorrat aus der Menge Großweh nehmen.
Nicht, das sind ja endliche Wörter, also sind die
immer mal zu Ende und wir können das Nächste nehmen.
Aber wir vermeiden, dass das WI das leere Wort ist,
falls das zufällig in der Menge
groß weh ist
Sie wissen ja, wenn zum Beispiel das W2
das leere Wort wäre, würde das ja nichts ausmachen,
weil man dann gleich von W1 nach W3 übergehen könnte.
Daher könnte sich Ihnen die Frage stellen,
warum machen wir dann jetzt hier in der Definition dieser Ausnahme nicht,
also würde ja, auch wenn das nicht notwendig würde,
nicht stören, aber man versucht ja die Definition möglichst einfach zu machen und unnötige Komplikationen zu vermeiden.
Der kann also sagen, warum ist es wichtig,
dass hier aus diesen Wörtern WI,
die aus Großweh stammen,
nie das leere Wort
gewählt werden darf
Ja, sie wissen das schon nochmal, jemand hier drüben.
Sie dann, ja bitte? Ja,
das... Nö, also das, die Konstruktion,
das ist wie bei dem freien Monoid so,
wenn man alle leeren Wörter streicht,
dann kommt man immer wieder aus selbe, eine Eindeutigkeit,
ist das noch jemand aus der Ecke,
sonst kommen sie dran,
ja?
Genau. Also ich saß noch mal laut. Wir müssen den Fall vermeiden,
dass wir am Schluss unendlich oft für die WEs das leere Wort wählen,
weil wir dann nur noch das anfangsstück hätten,
was ein endliches Wort wäre.
Und das soll also ja immer eine Omega-Sprache sein.
Das heißt, ohne das App-Sone wäre das keine widersprüchliche Definition,
aber sie würde was anderes liefern.
Nicht also hier soll es so sein, dass Whochomega immer
eine Omega-Sprache ist, die nur aus unendlichen Wörtern bestehen sollte.
Ganz extrem wäre, huch, schon wieder falsch geknippt,
ganz extrem wäre,
wenn wir alle Wörter aus das leere Wort nehmen würden,
dann hätten wir
insgesamt nur das leere Wort nehmen
Gut, dann kommen wir wieder zu etwas,
was analog ist, nämlich die Abschlusseigenschaften, die Vereinigung,
der Omega-Abschluss und die Konkertination,
die sind alle wieder gegeben und der Beweis ist ähnlich wie beim regulären Mengen.
Ja, was ist da noch zu sagen? Ja,
die Vereinigung, die Konstruktion ist ähnlich wie bei im klassischen Fall,
beim Omega-Abschluss, da kommt man auch mit einer Schleife zurecht.
Da haben wir auch wieder den Fall,
dass wir doch das leere Wort ausnehmen aus demselben Grund wie vorher
Und bei der Gemischten konnten, ja, hier kommt dazu,
also das Gemischte sogar im Wort vor,
nicht weil das erste sozusagen das W eine Menge von endlichen
Wörtern ist und das U von unendlichen Wörtern,
das ist auch ähnlich wie bei den klassischen regulären Mengen.
Nicht mehr klassisch, so klassisch ist diese Geschichte mit dem Kompliment.
Also wenn die Menge eine Omega-reguläre Menge ist,
Und dann, also was eine Omega-Reguläre Menge ist,
müssen wir eigentlich, glaube ich, noch definieren.
Aber ebenso gebildet er wird, also wenn man einem Büchi-Automaten akzeptiert,
dann ist das Kompliment auch wieder eine Omega, eine reguläre Menge.
Das ist schön, aber nicht so schön ist,
dass der Konstruktionsaufwand eben mehr als exponentiell in der Größe ist.
Und das brauchen wir leider auch bei dem Modelchecking und das
ist eine Quelle für die Komplexität der Verfahren, die hinter dem Model Shaking erstehen.
Das ist also nicht nur so,
dass der Zustandsraum exponentiell oder super exponentiell wächst,
sondern auch ein, wenn wir einen normalen,
nicht so großen Zug, aber hinreichend großen Zustandsraum haben,
dann ist auch diese Konstruktion mit dem Kompliment mindestens exponentiell und da sind also dann intelligente Lösungen eben erforderlich.
Ich habe das selbst noch erlebt, das ist also nicht nur exponentiell,
sondern ist auch schwierig, die Konstruktion. Ich hatte noch selbst noch erlebt,
wie das jahrelang eine offene Frage war, die Empirie sagte,
das ist, das Lämmer gilt, aber ein Beweis,
der seinen Stand sehr lange aus und ist nicht so offensichtlich wie bei den klassischen Automaten.
So, nun kommen wir endlich zu den Omega-Lehromega-regulären Ausdrücken. Nicht,
wenn wir ja hier jetzt sagen, wenn wir A1,
A1, B1, BN,
reguläre Ausdrücke sind über Sigma, also von endlichen Wörtern,
wobei die hinteren nicht das leere Wort enthalten,
dann kriegen wir jetzt einen Omega-Regulären Ausdruck, indem wir das so hintereinander schalten.
Da können sie sagen, ja, da kommt ja noch
kein Plus drin vor. Ja, das ist ja auch sinnvoll,
weil wir die Vereinigung ist ja abgeschlossen, dann nehmen wir noch mehrere dazu.
Das heißt, das ist jetzt ein Omega-Regulärer Ausdruck,
der dann die entsprechende Omega-reguläre Sprache beschreibt,
nicht wo wir dann hier immer wieder diese Begriffsbildung M Index A1,
M Index B1, Such Omega und so weiter nehmen.
Das ist ganz analog, wie eben vorher. Was aber erstaunlich ist,
ist, dass wir tatsächlich mit dieser, ja,
ist ja gewissermaßen eine Normalform, mit dieser Normalform tatsächlich alle Omega regulären Sprachen erreichen,
ich müsste genauer sagen, alle Sprachen, die von Büschi-Automaten akzeptiert werden.
Denn sie können sich ja vorstellen,
wir können ja von Teilen hiervon oder von dem Ganzen auch wieder das ganze Hochomeganeben,
wieder eine Vereinigung, ganze Hochomega,
ganze Gebirge von Hochomegas, das bringt alles nichts Neues,
man kann das alles runterbrechen auf diese einfache Form,
was schwierig sein kann, aber zu sagen,
gedanklich und zum Lernen natürlich sehr angenehm ist,
dass wir alle Omega-regulären, ich sage immer Omega,
das ist ja die Definition von Omega-regulär,
aber alle von Büschi-Automaten akzeptierten Sprachen durch diese Art des Omega-regulären Ausdruckes darstellen können.
Gucken wir uns dazu mal
ein Beispiel an
Nicht also hier haben wir, ja,
hier haben wir so einen Ausdruck der Form.
Wir haben hier einen regulären, normalen, regulären Ausdruck.
Dann haben wir hier in der Klammer auch einen normalen,
regulären Ausdruck und das ganze Hochomega. Das heißt also,
von dieser formalen Summe von eben haben wir jetzt hier nur
einen Sumanten, aber das ist ja immerhin ein Spezialfall.
So, und jetzt wäre die Frage,
wie kann man jetzt intuitiv erkennen,
dass das die zugehörige Menge zu diesem Omega-regulären Ausdruck jetzt genau
die Sprache ist,
die jetzt zu diesem Büchie-Automaten gehört
Nicht sowas kommt ja auch häufiger in den Aufgaben oder
auch manchmal in einfachen Formen mit den Klausuren vor.
Und da ist immer ein guter Tipp, sich das so vorzustellen,
die Konstruktion, das wollte ich jetzt noch nicht,
sich das so vorzustellen, dass man identifiziert,
wo gewissermaßen die unendliche Schleife ist und dass man erstmal einen Fahrt sucht zu dieser,
zu Beginn dieser Schleife und dann diese Schleife dann definiert.
Und das haben wir kurz durch meine Einblendung schon gesehen.
Nicht dieses Anfangsstück hier mit Eine endliche Anzahl von Cs,
dann A, B führt jetzt in diesen Zustand.
Welches der Endzustand ist. Und wenn ich von hier von diesem Endzustand aus jetzt schleifen bilde,
die immer wieder in den Endzustand zurückkommen,
dann kann ich mir vielleicht klarmachen, wie ihr diese Konstruktion zustande gekommen ist.
Nicht, dass es jetzt nur so eine Daumenregel,
das wird schon komplizierter, wenn ich mehrere Endzustände habe,
die jetzt auch noch auf diesen Faden liegen,
aber hier funktioniert das.
Also wenn ich jetzt nochmal hier in diesem Endzustand bin,
dann gibt es zwei Möglichkeiten in diesen Endzustand zurückzukehren,
Endmeter durch Bs
Eins oder viele, das würde durch das B-Plus dargestellt,
also mindestens eins,
oder indem ich hier diesen Umweg mache,
und dieser Umwege heißt ja wieder B,
eine endliche Anzahl von Cs, A und B,
bin ich wieder zurück,
und da ich diese beiden Wahlen von Rückkehren unendlich oft wiederholen kann,
kann ich da auch ein Hochomega drum schließen und auf
diese Art und Weise kommt jetzt diese Begriffsbildung dann durchstande
Da noch eine, fahren Sie dazu noch eine Frage oder?
Okay, gut. Ja, mit dieser,
mit diesem Verständnis haben wir jetzt auch wieder diesen klassischen Satz,
den ich schon erwähnt habe, dass die Familie der Omega regulären Sprachen,
und nun haben wir sie wirklich definiert,
ist genau die Familie der durch Omega regulären Ausdrücke beschriebenen Sprachen.
Das ist auch ein bisschen komisch ausgedrückt. Das sollte,
Filme werde ich nochmal ändern. Nicht, das sollte heißen,
die Menge der durch Omega reguläre Sprachen definierten Sprachen ist genau diejenige,
die durch Büschi-Automaten akzeptiert.
Es muss das ganze Skript noch mal durchforsten.
Da scheint im Grunde eine Begriffsbildung zugrunde zu legen,
dass am Anfang Amerika regulär genannt wird,
was durch durch die Automaten akzeptiert ist.
Und dadurch, Herfe ist mir auch jetzt eigentlich jetzt aufgefallen.
Aber der Tatbestand sollte klar sein, ist genau das Analoge,
wie wir für endliche Wörter haben jetzt für Amerika-Wörter.
Und die Beweise sind auch ähnlich. Das heißt,
diese Konstruktion mit dem Verbinden und mit der Klinikkonstruktion,
das funktioniert eben auch ähnlich
Ja, und jetzt kommen wir zum Produktautomaten.
Nicht Produktautomat war ja wichtig für uns wegen der Synchronisation.
Und da wir ja gerade die unendlichen Folgen in den späteren
Traditionssystemen betrachten, haben wir das Gleiche hier auch wieder.
So, dann nehmen wir uns doch einfach mal her,
den Produktautomaten und fragen,
ob der nicht vielleicht den Durchschnitt von Automaten akzeptierten Orbekersprachen akzeptiert
Das heißt also, wir nehmen hier den Produktautomat,
A3, der Nicht-Deterministin, endlichen Automaten A1 und A2,
bilden jetzt jeweils die Omega-Sprachen, El Hochomega von A3,
A1, A2 und den Durchschnitt.
Und wenn wir da keinen Omega haben,
würde ja hier das gleich stehen,
das hatten wir ja gesehen und hier sehen wir allerdings nur eine Inklusion,
Und dahinter steht, dass auch, dass die Gleichheit hier nicht gilt.
Aber es ist so, dass wir durch eine kleine Motifikation
diese Gleichheit erreichen können. Und wir müssen das dann
gleich noch begründen, wie diese Motifikation dann aussieht.
Aber zunächst mal haben wir hier die Tatsache,
dass zumindestens die eine Richtung schon mal geht,
dass also die eine Inklusion funktioniert,
wenn wir die klassische Konstruktion des Produktautomaten nehmen
Und das jetzt sieht es jetzt so aus, wieder ähnlich
wie vorher. Wir haben jetzt also die beiden Ausgangsautomaten.
Und wenn wir jetzt ein akzeptiertes Wort in den Produktautomaten nehmen,
dann haben wir hier diese Folge von diesen Paaren.
Und wenn wir uns jetzt auf die ersten Komponenten konzentrieren,
dann sehen wir, dass das auch wieder eine Folge in dem ersten Automaten ist.
Und da wir als Endzustandsmenge auch dir das Kreuzprodukt,
der Endzustandsmengen nehmen, gilt auch,
dass wir auch die erste Komponente unendlich oft einen Endzustand des
ersten Automaten besucht
Und deswegen dann auch von dem ersten Automaten akzeptiert wird und die Umkehrung gilt.
Also ähnlich. Ja, dann bleibt jetzt aber jetzt noch
zu klären, wie wir zur umgekehrten Inklusion kommen,
beziehungsweise ein Beispiel erstmal, wo das verletzt ist.
Hier haben wir zwei sehr einfache Automaten,
die sich nur dadurch unterscheiden, dass der hier anfängt,
wo wir zur nächsten A haben und der fängt an,
aber auch ein A, aber der Endzustand ist ein anderer.
Hier haben wir den Linken, ist der Endzustand und hier
ist der Rechte
So, naja, und wenn wir jetzt ein unendliches Wort betrachten,
das immer wieder unendlich oft den Endzustand besucht, dann sehen wir,
das ist das in beiden Fällen AB und deswegen ist die Omega-Sprache
sowohl von beiden Automaten als auch vom Durchschnitt AB hoch Omega,
also eine unendliche Folge von ABS, AB,
AB, AB und so weiter.
So, und jetzt wählen wir die klassische Produkt-Automatenkonstruktion,
die besteht ja jetzt aus diesen Paaren, RNOL S0 und R1 S1,
nicht im kathetischen Produkt, sind ja noch mehr Zustände,
aber wir brauchen ja nur die, das sind die einzigen, die erreichbar sind.
Ja, und wir sehen jetzt auch eigentlich akzeptiert,
Dieser Automat ja auch A-B hoch, ein Omega-Fies sein soll.
Aber wenn wir jetzt die Endzustände betrachten, sehen wir,
dass die Endzustandsmenge, die wir ursprünglich hatten, nämlich,
dass beide Komponenten Endzustände sind, hier gar nicht greift.
Es gibt also gar keinen neuen Endzustand. Und deswegen akzeptiert
dieser Automat A3 nur die leere Menge. Das heißt,
das funktioniert nicht. Nun könnten Sie bei dem Beispiel ja sagen,
dann nehmen wir eine andere Endzusteinsmenge, aber das ist nicht weiterführend.
Das ist natürlich nur ein ganz einfaches Beispiel. Und bei
komplizierteren Beispielen wird das kompliziert. Geht ja vielleicht auch,
aber die Konstruktion, die ich gleich vorführe, ist,
das ist aber allgemein eben dort einfacher und deswegen
wählt man diese hier
Ja, also der Produktautomat erhält einen gar keine erreichbaren Endzustand. Ja,
nicht und dieses Gegenbeispiel, das kann man allgemein so begründen,
nicht wenn wir hier zwei solche Folgen haben in dem Automaten
und nicht zufällig die Endzustände in den gleichen Schrittzahlen erreicht werden,
dann passiert dieses Unheil,
was wir eben hatten,
dann hätten wir nie die Situation,
dass wir in beiden Komponenten
einen Endzustand haben
Erste Frage, ist Ihnen das klar und gleich geht es weiter,
angeschlossen, haben Sie eine Idee, wie wir Abhilfe schaffen könnten?
Also die erste Frage dürfen Sie aufstellen. Und die zweite wäre,
wie können wir das jetzt umgehen? Aber wir haben das Problem,
dass wir ja nur die Wörter oder dass wir hier unten
diese Folgen akzeptieren wollen von unendlichen Folgen von Paaren,
wo in beiden Komponenten unendlich oft der jeweilige Endzustand besucht wird,
wir aber nicht davon ausgehen können,
dass das gleichzeitig passiert
Na, wenn es nicht gleichzeitig passiert, dann muss es nicht gleichzeitig passieren, also hintereinander.
Und dann müssen wir nur einfach ein Buch führen. Das heißt,
wir müssen immer gucken, wenn wir die eine Bedingung erfüllt haben,
dann versuchen wir, die andere Bedingung zu erfüllen.
Nicht und da ist das, die Endzuchtände in beiden Fällen
und endlich oft vorkommt, muss der andere Fall auch mal eintreten.
Das heißt, wir versuchen jetzt zunächst mal zu gucken,
dass wir hier in den ersten Zustand kommen oder sagen wir so,
wenn wir in dem Zustand Hier ein Endzustand war,
dann passen wir auf,
wann wir jetzt in der ersten Komponente in Endzustand kommen.
Und dann entsprechend eben weiter. Das heißt, wir führen das ein,
was wir in der Programmierung manchmal auch einen Fleck nennt. Nicht,
dass Fleck wird, wir haben sozusagen zwei Flecks,
eins und zwei, Fleck 1 gesetzt heißt, ich bin,
ich bin gerade bei der, habe gerade einen Endzustand für den,
in der ersten Komponente gesehen und passe auf,
ob einer in der zweiten Komponente kommt.
Der muss irgendwann mal eintreten, wenn das erfolgreich sein soll,
dann setze ich meinen Fleck von zwei wieder auf eins und passe auf,
ob das in der ersten Komponente wiederkommt.
Und so funktioniert das
Das sieht also so, dass Flag 1 ist immer dann,
wenn wir, bis wir warten,
dass die erste Komponente einen Endzustand hat, setzen wir auf zwei.
Und dann warten wir, bis wir in der zweiten Komponente
, dann gehen wir zurück und eins und zwei.
Und wenn wir dann gewissermaßen unendlich oft die eins beobachtet hätten,
dann wissen wir, es war auch unendlich oft die zwei
und dann wurde die Folge dann von beiden Automaten akzeptiert.
Nicht das heißt, wir gehen jetzt über von den Paaren zu trippeln,
wobei die dritte Komponente eben diesen Flag 1 und 2 dann beinhaltet.
Das heißt, wenn der Fleck 1 ist, bedeutet das,
dass dieser neue Automat, der heißt jetzt A4,
darauf wartet, dass wir einen Endzustand aus A1 einnehmen.
Durch dieser durchlaufen, so wechseln, wechselt die dritte Komponente auf E gleich 2.
Und wenn da eine 2 steht, bedeutet das entsprechend,
dass wir auf einen Endzustand auf A2 warten. Ja,
und dann ist klar,
dass wir dann zum Beispiel Endzustände nur solche zulassen,
die E gleich 1 haben und aus,
was ich eben ja schon angedeutet habe,
wenn wir unendlich oft Die eins gesehen haben, impliziert diese Konstruktion,
dass wir auch unendlich auf die zwei gesehen haben und dabei beide Bedingungen erfüllt sind.
Das heißt, das Wort wird sowohl von dem ursprünglichen Automaten A1,
also auch von dem ursprünglichen Automaten 2, als Omega-Wort,
erkannt und ist deswegen, sollte dann deswegen von A3 dann eben A4 dann erkannt werden.
Ja, das ist jetzt nur nochmal die formale Definition.
Nicht, dass wir hier also die neue Zustandsmenge sind,
also diese Trippe, wo die ersten beiden Komponenten,
die vorher sind.
Und das dritte Komponent ist eins oder zwei
Die Übergänge sind auch wieder die ersten beiden Komponenten,
definieren sich nach den ursprünglichen Automaten.
Und die dritte Komponente, so wie eben beschrieben.
Ja, und die Endzustandsmenge nehmen wir dann die Trippel,
wo wir eine Eins haben. Das ist dann... Ach,
das war erstmal die Anfangs, das war der Anfangszustände,
und das ist erst der Endzustände,
wo wir die Eins haben.
Ja, dann hätten wir das soweit jetzt abgeschlossen und wir kommen zu noch
zu einem anderen Begriff, nämlich dem sogenannten verallgemeinerten Püschi-Automaten.
Das ist ein Automatenmodell, war es eigentlich nichts Neues bringt,
aber es manchmal gestattet, die den Automat einfacher zu konstruieren,
nämlich der Unterschied besteht darin,
dass wir statt einer Menge von einer Menge von Endzuständen jetzt mehrere Endzustände haben,
also mehrere Mengen von Endzuständen,
also hier K-Stück
Nicht und die Bedingung ist jetzt die, dass jetzt alle diese Endzustandsmengen unendlich oft besucht werden müssen.
Ich also vorher hatten wir den Spezial für K gleich 1 und jetzt haben wir das eben eben erweitert,
nicht und das entspricht dann natürlich dem Durchschnitt aller dieser Einzelbedingungen und ist günstig,
wenn man irgendwie mehrere Bedingungen spezifizieren will, die alle konjunktiv,
also mit dem logischen und miteinander verbunden sind,
das ist der verallgemeinerte Püschi-Automat.
Ja und wie gesagt, kann auch nicht mehr. Ich tue jeden Fall allgemein,
hat ein Büchi-Automaten existiert, ein Büchi-Automat-Alstrich,
hat die gleiche Sprache akzeptiert und der Beweis ist auch relativ einfach,
da steht zwar viel Takes, brauchen sie aber nicht zu lesen,
der besteht einfach darin, dass man einfach jetzt sich vorstellt,
man hat Kopien von den einzelnen Automaten und lässt die parallel laufen,
so wie wir das vorher gelernt haben.
Das ist aber nur eine kleine Anmerkung,
ich weiß gar nicht,
also ihr wird auch so später bei den Fairness-Bedingungen bei Modelchecking
dann auch eine Rolle spielen und deswegen steht das hier
So, dann gehen wir jetzt nochmal zurück in unseren allgemeines Verfahren,
dass wir uns Fragen angucken bei für Püschi-Automaten,
die wir bei endlichen Automaten schon betrachtet haben,
also das Lehrheitsproblem,
das Universalitätsproblem und das Äquivalenzproblem und die sind alle drei eben entscheidbar,
wobei dann auch wieder das Lehrheitsproblem das Einfache ist,
da hatte ich ja im anderen Fall am Dienstag gefragt,
wie man das konstruiert und die Idee war ja,
dass wir uns in dem Zustandsgrafen nur einen Pfad suchen müssen,
von einem Anfangszustand zu einem Endzustand und wenn ein solcher existiert,
dann gibt es ja
mindestens ein akzeptiertes Wort
Jetzt die Frage an Sie,
was muss ich jetzt hier in dem verallgemeinerten Fall machen?
Ich habe also jetzt ein Büschi-Automat, wir sind wieder dabei noch jemand.
Also stellen Sie sich vor, Büschi-Automat heißt ja,
ich habe eine Endsüchternsmenge und ich muss diese Endzustandsmenge unendlich oft besuchen.
Unendlich oft besuchen heißt ja, jetzt können Sie,
kommen Sie rein? Ja, ich sage nochmal laut,
wir brauchen zunächst einen Pfad vom Anfangszustand in dieser Zustandsmenge
und dann
Genau, dann brauchen wir einen Zyklus von einem Endzuchtein,
von dem erreichten Endzustand wieder zurück. Und dann wissen wir
das nicht. Es gibt natürlich ganz viele andere Möglichkeiten,
aber eine Möglichkeit genügt ja. So geht das Lehrheitsproblem. Naja,
und dieses Universitätsproblem, das Äquivalenzproblem sind wieder schwieriger,
sodass wir jetzt das alles geklärt haben,
was jetzt hier wieder auf der Liste steht,
die also analog ist zur Liste bei den endlichen Automaten,
jetzt nur eben für den Omega-Fall erweitert
Gut, dann kommen wir jetzt also zu dem Konzept,
was wir eigentlich brauchen, nämlich die Transaktionssysteme.
Also in früheren Versionen dieser Vorlesung haben wir da an der Stelle angefangen und gedacht,
endliche Automaten kennen sie ja alle und sind dann im Laufe
der Zeit zur Überzeugung gekommen, das ist vielleicht doch sinnvoll,
das alles nochmal wiederzuholen mit den endlichen Automaten.
Und deswegen haben wir jetzt auch wieder ganz neue Definitionen.
Die Bezeichnungen sind etwas anders
Es aber nicht nur aus Faulheit geschehen,
dass wir die Bezeichnungen angeglichen haben, sondern einfach auch deshalb,
weil die in der Literatur so sind.
Also viele Bezeichnungen für endlichen Automaten in der englischen,
sprachlichen Literatur hauptsächlich sind so,
wie hier benutzt und viele Bezeichnungen wie hier jetzt für Traditionssysteme
sind auch so in der Literatur vorhanden und insofern ist das günstig,
wenn sie davon unabhängig sind.
Also, wir haben jetzt jetzt wieder jetzt unseren Getränkeautomaten,
den wir jetzt als Transaktionssystem auffassen und ich habe hier beides übereinander geschrieben.
Also hier, das war der nicht die terministische,
endliche Automat und unser Transaktionssystem ist jetzt genauso nur mit
anderen Buchstaben
Welch S ist jetzt eine Menge von Zuständen statt Q?
A, ist das Alphabet? Nicht, das hängt auch
damit zusammen. A, kommt von Aktion von Action.
Wir haben jetzt mehr den Standpunkt, dass wir nicht akzeptieren.
Ich sig mal ein Alphabet, irgendwie einer so taktischen Konstruktion,
sondern wir wollen Aktionsfolgen in Systemen betrachten.
Dann das TR statt dem Delta, naja,
das ist für Transitionsrelation ist naheliegend.
Ja, und dann S-0 oder S-Hoch F. Das ist ja
noch immerhin
ziemlich ähnlich
Ja gut, also wenn wir das nochmal an dem Beispiel betrachten,
die Menge der Menge S,
der Zustände in unserem Beispiel, wäre es 0 bis S5.
Dann die Menge der Aktionen wäre dann die Anschriften an den Kanten in diesem Fall.
Dann die Transaktionsrelation ist jetzt wieder eine Teilmenge von S-Kreuz A,
Kreuz S mit den neuen Bezeichnungen. Da hätten wir zum Beispiel S0,
1 Euro S1, S1, TS2 und so weiter.
Dann für die Menge der Anfangszustände steht,
wieder S0 und für die Menge der Endzustände haben wir wieder
auch S0 und diese Notation benutzen wir auch für einen solchen Übergang von S0 S1,
dass wir dann über den Pfeil die Aktion schreiben.
Ist jetzt also außer dieser Bezeichnungsunterschied gar kein anderer Unterschied oder
gibt es doch noch einen Unterschied zu den endlichen Automaten,
die wir vorher hatten?
Wer kann das sagen? Ich kann mal einen Schluck gebrauchen
, dann können Sie auch länger nachdenken
Ja, bitte. Andere bei, klassisch nicht der mäßigen Automaten auch.
Wir hatten gesagt, am deterministischen haben wir nur einen Anfang zuschnitt.
Nein, das war es nicht, sie?
Ach, steht ja da. Gut. Deswegen haben sie
auch nichts gesagt, nicht nur was schon da steht.
Jetzt verstehe ich das, nicht? Okay. Ja,
also die müssen nicht eigentlich, nicht endlich sein, eigentlich schon.
Und die Frage wäre, ist denn das überhaupt sinnvoll,
wenn wir Meutelchecking machen, nehmen wir natürlich nur endliche Erreichbarkeitsmengen.
Ist das Ja, das ist jetzt weniger eine Frage als sie,
als ein Einstieg für meine Erklärung. Ist natürlich so,
wenn ich ein reales Programm habe, ja, Java,
ist dann die Zustandsmenge dieses Java-Programms endlich oder unendlich?
Das können Sie ja vielleicht beantworten. Ja, bitte?
Bitte es? Endlich, aber warum ist das endlich?
Ja, aber ich kann doch Bänder anschließen, ne?
Wenn wir neue Bänder kaufen, wenn ich keine mehr habe,
bestelle ich mir neue
Ne, ich da schütteln sie im Kopf. Also die Frage,
die Frage ist mit einem eindeutig in den Jeinen zu beantworten.
Es hängt davon ab, wie ich das betrachte.
Wenn ich das so betrachte, wie sie,
als eine nicht erweiterbaren Speicherbereich und normalerweise hat man ja auch
nicht beliebig viel Geld, um vor allem auch Zeit,
um diese ganzen Spender da zu benutzen,
dann ist dieser Zustandsraum endlich.
Und es ist aber unpraktisch,
dass in der Definition in vielen Fällen als endlich vorauszusetzen,
das ist genauso wie bei, sagen wir mal,
kontextfreien Grammatiken oder bei Programmsprachen, Programmsprachen sind ja auch endliche Mengen.
Und trotzdem beschreibt man sie durch beispielsweise kontextfreie oder andere Grammatiken,
die unendlich viele syntaktische Konstrukte beschreiben. Einfach,
weil je Menge, der syntaktisch richtigen Programme beliebig groß sein kann,
sodass sie auch beliebig groß werden kann und es nicht sinnvoll ist,
nur die Java-Programme zu definieren, die in einem bestimmten Architekturtyp einer Firma hineinpassen.
Und deswegen betrachtet man in der theoretischen Informatik oder konzeptsionell
in der anderen. Übrigens eine Informatik,
dann auch solche unendlichen Strukturen
Jetzt und hier speziell ist es aber in der Tat,
dass man im Model-Checking nur zunächst mal nur endliche Zustandsmengen betrachtet.
Aber es gibt neuerdings interessante Erweiterungen auf unendliche Zustandsmengen. Das funktioniert so,
indem man gewissermaßen Grenzen definiert, an denen man arbeitet.
Und es gibt bestimmte Kriterien, wo man,
wenn man die Grenzen vorwärts schiebt, dass man das,
was man schon untersucht hat, dann wieder vergessen kann.
Das heißt, Speicher frei machen kann. Auf diese Art und Weise
kann man sich dann durch diesen unendlichen Zustandsraum durcharbeiten und dann
an irgendeiner Stelle abbrechen, wenn es aus irgendwelchen Gründen,
die dann eben sehr verschieden sein können.
Also, es gibt heutzutage eben auch Model-Checking auf unendlichen Zustandsräumen,
aber das behandeln wir hier nicht.
Hier bleibt nur das Konzeptionelle. Wir definieren das mal vorsichtshalber für beliebige,
weil wir zum Beispiel auch später ein Transitionssystem für ein einfaches, imperatives Programm definieren.
Und da nehmen wir auch nicht an, dass es endlich ist,
weil wir zum Beispiel Variablenwerte in Tature haben,
die beliebig groß werden können
Ja, dann geht's nun leider weiter mit anderen Begriffen oder
sogar mit neuen. Wir brauchen hier, wir definieren jetzt
hier die Menge der von den Transitionssystemen erreichbaren Zustände.
Das ist also unser Studioobjekt später bei Model-Shacking. Und das
ist klar, was das ist. Das war ja hier
oben gerade diese Menge, die ich jetzt hier umfahre.
Die einzige Schwierigkeit für sie liegt darin, sich zu merken,
nicht er kommt von Returble oder Ritability-Set.
Im Argument haben wir das Transitionssystem und S1 ist sozusagen
der mögliche Startzustand,
den wir betrachten
Ja, nicht, das ist also die Menge aller Zustände,
die wir von einem S1,
was aus dieser Menge groß S1 stammt, erreichen können,
indem wir die Aktionsfolge, die endliche Aktionsfolge, w aus Stern,
dann eben durchlaufen und dann zu einem S kommen und das sammeln wir dann in der Menge.
Und sie fragen ja,
ist denn S1 die Menge der Anfangszustände, ich unbedingt,
ist einfach manchmal praktisch sozusagen für Studienzwecke andere Mengen von Anfangszuständen zu nehmen,
aber für den Fall,
dass der Anfangszustand ist,
also wie zum Beispiel in dem Fall,
dann lassen wir hier diese zweite Komponente weg und
das bedeutet dann per Default die vorgegebene Menge der Anfangszustände
Ja, das wäre dann die Menge der erreichbaren Zustände
und dann haben wir ja auch wieder die Aktionsfolgen.
Wenn ich das heißt, hier jetzt AS,
Action-Sequence und das ist jetzt hier in unserem Falle,
wäre das gerade die jetzt hier, wo wir haben,
A, B, D, D, F, AC.
Ich habe das also irgendwann mal enden lassen,
weil Aktionsfolge heißt, ich muss nicht auf irgendwie einen Endzustand
achten,
sondern ich kann irgendwann aufhören
Ja, nicht und formal gegeben ist das jetzt so.
Die Menge der Aktionsfolgen in Bezug auf eine Menge von möglichen Anfangszustände
ist also die Menge aller Wörter aus Astern, der Gestalt,
dass ich hier in einem Zustand dieses Groß-S1 anfange.
Das Wort ablaufen lasse und dann in einem Beliebigen Zustand eben Ende.
Und wenn dieses S1 wieder die Anfangszustandsmenge ist,
dann ist das, kann ich das per Default,
die zweite Komponente eben weglassen und hier oben,
das war jetzt ein Beispiel zu dem unteren Falle,
nämlich eine Aktionsfolge hier in diesem,
in diesem Beispiel
Ja, trotzdem braucht man manchmal jetzt auch Endzustände. Das heißt,
wenn ich dasselbe wie hier mache, nur mit dem Endzustand,
das heißt nicht, dass ich hier den hinteren Zustand,
einen Endzustand sein lässt,
dann sagt man auch gerne terminale Aktionsfolge oder akzeptable Aktionsfolgen,
Männer, Menge oder akzeptierte Sprache.
Nicht also der Begriff akzeptierte Sprache ist jetzt natürlich ein bisschen
schief in dem Zusammenhang, aber wählen wir trotzdem,
weil wir da jetzt jetzt in FGI 1 schon so schön dran gewöhnt sind.
Aber denken Sie immer daran, es geht jetzt hier nicht um Akzeptanz im Syntax,
im Sinne von Syntax Definition, sondern um mögliche Abläuffolge.
Nicht, die können das ja auch so interpretieren,
das ist ein Wort, das ich akzeptiere als eine sinnvolle Folge meines Systems.
Gut. Ja, das wäre jetzt ein Beispiel,
nicht, wenn ich hier oben mit dem F aufhöre,
bin ich jetzt wieder in dem gedachten Endzustand und das wäre dann jetzt ein Element dieser akzeptierten Sprache.
Also, behalten Sie diesen Unterschied zwischen den Aktionssequenzen und den
finalen Aktionssequenzen, die wir Mit Endzuständen definieren. So,
dann kommen wir jetzt zu dem letzten Abschnitt für die heutige
Sitzung und das ist eben diese Äquivalenz von Systemen,
die schon mal angesprochen wurde.
Zwei Transitionssysteme, die heißen jetzt folgen äquivalent,
wenn sie dieselben Aktions folgen haben.
Das entspricht also der Äquivalenz bei den endlichen Automaten,
wenn alle Zustände Endzustände sind
Okay. Ja, und da haben wir jetzt hier zwei Transit-Unions-Systeme.
Und zwar jetzt wieder unseren Getränkeautomat. Und wir sehen,
das Rechte ist eine kleine Variante, dass ich hier,
wenn ich den einen Euro einwerfe,
hier in zwei verschiedene Zustände kommen kann, also nicht deterministisch.
Und die Frage ist jetzt, ob ich diese beiden Systeme
sozusagen als Äquivalent betrachten kann.
Das heißt, ob sie das gleiche Verhalten haben
Nicht, das ist jetzt sozusagen eine Meinungsfrage,
das kann ich finden und das kann ich nicht finden.
Und im Folgen will ich also begründen,
warum in manchen Zusammenhängen das sinnvoll ist, dieses zu unterscheiden.
Nicht, wenn wir als Unterscheidungsmerkmal die akzeptierte Sprache nehmen,
dann ist die natürlich in beiden Fällen gleich. Nicht,
wenn ich aber überlegen will, warum da ein Unterschied ist,
dann gehe ich jetzt mal an diese Stelle,
wo der Unterschied zustande ist und hat da jemand eine Idee,
wie man begründen könnte,
dass man diese beiden Transitionssysteme nicht als Verhaltensgleich betrachten könnte
Stellen Sie sich vor, Sie haben da den Euro eingeworfen
und Sie sind im linken Automat und Sie machen dasselbe im rechten Automat.
Was ist da der Unterschied? Ja, bitte. Genau.
Die Wahl ist also gewissermaßen schon vorher gefallen. Nicht,
das könnte man sagen, das ist ja nicht so schlimm,
aber also ich kann es auch nochmal bildlich darstellen.
Also hier haben wir links, diese Wahl ist noch möglich,
rechts aber nicht. Aber richtig schlimm wird das,
wenn wir Ausfallsituationen betrachten. Also stellen wir uns vor,
da unten haben wir einen Zustand, Beispiel einen Zugriff auf eine Platte,
Festplatte oder ein anderes Gerät und das ist ausgefallen.
Dann ist es natürlich so, dass wir hier,
wenn wir in dem rechten gelben Zustand sind, eine Verklemmung,
einen totalen Badlog haben, während wir links eben immer noch was geht.
Das heißt also, wenn wir das als Verhaltensgleich definieren würden,
dann können wir dieses unterschiedliche Verhalten im Falle eines Deadlockers nicht beschreiben
Und deswegen führen wir jetzt einen anderen Begriff der Verhaltensgleichheit ein,
nämlich die sogenannte B-Simulation, die jetzt auch diesen Fall unterscheidet.
Ja, bitte? Eine Frage? Nee, Sie haben
nur den Arm ausgestreckt. Das ist immer gefährlich.
Da spreche ich Sie immer an. Okay, gut.
Gut. Ja, und das ist also der Begriff der B-Simulation.
Und das ist jetzt hier zunächst mal eine sogenannte Aktionsbasierte B-Simulation,
was anderes kennen wir hier, werden wir hier auch gar nicht kennenlernen,
aber in der Literatur gibt es auch andere.
Und das ist folgendermaßen definiert
In den Anfang zu stellen, also zunächst mal ist
die B-Simulation eine Relation zwischen den Zustandsmengen. Das heißt,
jeder Zustand des einen Systems steht in Relation zu einem Zustand des anderen Systems.
So, und dann soll natürlich am Anfang gelten,
wenn die Verhaltensgleichsein sind, dass die beide gleichzeitig im Anfangszustand sind oder nicht.
Nicht, und B soll immer bedeuten,
in beiden Richtungen, sodass wir haben,
wenn ich in dem ersten Zustand im Anfangszustand bin,
dann gibt es auch auf der anderen Seite einen,
der das auch ist und umgekehrt
Das ist sogar schlicht und ähnlich schlicht ist auch,
dass mit dem Endzüchtern, wenn ich sozusagen ein Paar habe,
im Zustand S bin und das bis Seminare Partner R
soll dann eben auch im Endzustand sein.
So, das heißt, das eigentliche passiert zwischendurch und das
steht jetzt auf der nächsten Folie. Wenn ich nämlich hier zwischendurch
mal in einem Zustand S bin und einen Übergang nach S2 habe,
das habe ich hier bildlich nochmal dargestellt hier.
Wenn ich also in einem Zustand S1 bin und einen Übergang
A nach S2 habe, dann wird gefordert,
dass ich jetzt einen B-Similaren Partner R1 habe, Nee,
das war falsch.
Nochmal. Ich gehe also von einem Paar aus, von S1 und einem B-Seminaren-Partner
R1. So, und jetzt fange ich nochmal an.
Wenn ich einen Übergang von S1 nach S2 habe,
dann gibt es einen Zustand R2 hier drüben,
der auch einen Übergang von jetzt von den B-Simularen Partner beschreibt.
Und dieses Ergebnis muss wieder bisemilar sein zu dem Ergebnis
Also ich sage es jetzt nochmal,
wenn ich ein deutsches Bi-Simulares Partner habe und ja oben einen Schritt mache,
muss es hier unten auf der anderen Seite auch einen Schritt geben,
mit derselben Aktion, der in einen Zustand führt,
der wieder Bi-Simular ist.
Und das muss ich in beiden in Richtungen haben. Das heißt also,
ich gehe ja hier also nochmal aus von diesem Paar und frage,
ob dann dieser Übergang möglich ist und die zweite Zeile ist
nur das Symmetrische in der anderen Richtung.
Das heißt, beim Lernen müssen sich nur alle Zeile merken
und die andere dann sinngemäß eben geben,
So. Ja, und die Frage ist,
wie überprüft man das? Wir haben ja gesehen,
wir müssen die Anfangszustände müssen auf jeden Fall Bi-Simular sein.
Hier ist jetzt auch blau, die Bi-Simulationsrelation dargestellt. Nicht wir,
man schreibt das dann auch gerne mit diesem Zeichen hier,
oben ein Doppelfeil und unten ein Strich.
So, und dann ist es ja so,
dass wenn wir hier einen Übergang machen,
dann muss es ja drüben auch den Übergang geben.
Das heißt also,
wir können als Partner jetzt hier
dieses R1 wählen
Wenn ich in dieser Weise führen, gehen wir weiter.
Wenn wir hier zum Beispiel Tee wählen, müssen wir hier drüben auch Tee wählen können.
Oder wir Kaffee wählen, müssen wir hier drüben auch Kaffee wählen können.
Und auf diese Weise, wenn wir jetzt Tee kochen wählen,
müssen wir das drüben auch erwählen können. So,
und den anderen Fall, den wir hätten jetzt hier drüben auch,
oder wir können auch so sagen,
es muss auch von der anderen Seite gelten,
wenn wir hier mit dem angefangen hätten,
hätten wir hier drüben den Partner finden müssen,
also hätten wir diesen blauen Pfeil noch machen.
Und wenn wir hier jetzt nochmal Kaffee wählen und Kaffee kochen
wählen, haben wir das alle. Das heißt,
wenn wir in jedem Zustand jeden Fall wählen und das in
beiden Seiten machen, muss immer das entsprechende Element existieren.
Und wenn wir auf diese Art und Weise durchkommen,
dann sind die beiden Systeme pessimilar und wenn es an einer
Stelle mal hakt, dann sind sie eben nicht.
Und die erinnern sich ja, die Variante,
die wir eben haben, das nicht b-similaren Systems,
war ja die, wo hier dieser Pfeil eben fehlte.
Und wenn wir hier Kaffee gewählt hätten und in diesem Zustand
hätten wir hier keinen Partner gefunden und wir werden aus dem Verfahren ausgestiegen.
Nicht auf diese Art und Weise definiert man jetzt,
also überprüft man also die Bifi-Milarität
Ja, das war es jetzt eigentlich erst mal zu dem Verfahren.
Und nochmal die Frage, haben Sie da eine Frage dazu?
Kann ich noch was erklären? Weil das nächste war jetzt
schon wieder eine Eigenschaft. Die nächste Eigenschaft,
die bezirkt sich jetzt darauf, dass diese Eigenschaft echt stärker
ist als die Äquivalenz, die wir vorher hatten.
Wenn wir zwei Transaktionssysteme mit Endzuständen haben mit der gleichen Aktionsmenge,
die B-Semiliar sind, dann sind sie auch Akzeptanzäquivalenz.
Das heißt also, wir hatten ja diese Tilde definiert als
Sprachäquivalenz, nämlich das L erinnert da dran
Und das wird impliziert, wenn die beiden Systeme Bisimilla sind,
wobei dann zwischen den beiden Transitionssystemen auch das Zeichen wählen,
was ich eben auch schon für Zustände eben hatte.
Also, Bisimilla impliziert das Normale,
die Folgenäquivalenz oder Akzeptanzäquivalenz, aber nicht umgekehrt.
Nicht, das hatten wir ja schon gesehen. Nicht,
da sind zwei B-Seminare Transitionssysteme und die sind deswegen auch folgenäquivalent,
aber der Fall vorher,
wo diese Kanten nicht da wären,
die waren ja folgenäquivalent,
aber nicht Epi-Semilla
Ja, und der Beweis geht jetzt durch vollständige Induktion.
Ich habe gerade mit dem Herrn Andrea vorher gesprochen,
das hat er ja auch schon ausführlich mit Ihnen gemacht und er lässt sie auch grüßen,
weil er viele von Ihnen wieder erkannt hat.
Aber ich habe trotzdem das Bedürfnis empfunden, das nochmal zu erinnern,
weil wir jetzt ja eine vollständige Induktion nicht über natürliche Zahlen machen,
sondern über das freie Monoid A-Stern.
Und Sie erinnern sich ja bei den natürlichen Zahlen haben wir
ja eine total geordnete Menge und jetzt bei dem Monoid A-Stern
Da haben wir nicht eine total geordnete Menge. In der
total geordneten Menge, jetzt können wir ja symbolisch so darstellen,
geht ja vollständige Induktion so. Ich habe einen Induktionsanfang,
eine Induktionsvoraussetzung für N und Schließer von der Induktionsvoraussetzung auf eine Induktionsbehauptung.
So, und wenn ich jetzt eine Behauptung Alpha,
die als Parameter ein N hat, habe,
dann beweise ich die zunächst für das N gleich Null.
Und dann unter Voraussetzung, dass Alpha von Engelt,
beweise ich, dass Alpha von N plus 1 gilt
Und dann gilt das für alle N.
Und die Begründung ist eben die, dass ich ja,
wenn ich das hier für Alpha von Null haben,
mit dem allgemeinen Schluss, das auch für Alpha von 1,
2 und so weiter habe.
Das heißt also, der Schluss setzt sich so durch.
Und ich finde, das Besondere daran ist eben,
dass das eben auch für alle N,
also für den unendlichen Fall gilt.
So, ist eben klar,
wie jetzt diese Struktur jetzt unter dem Astern aussehen muss
Da ist natürlich ein Baum jetzt. Ich habe da ganz oben,
der Null entspricht das leere Wort und dann habe ich gewissermaßen als Nachfolger
das A und das B und von denen die Nachfolger,
wenn ich noch ein A anhänge und ein B,
aufhänge und auf diese Art und Weise kriege ich da so einen pinären Baum.
Und wenn ich jetzt Induktion mache,
dann weiß ich das auch zunächst mal für das leere Wort und später beweise ich das für ein beliebiges Wort Nee,
ich nehme an, dass die Induktionsvoraussetzung,
dass das für ein beliebiges Wort gilt und beweise das dann für Nachfolger,
wobei jetzt der große Unterschied ist,
dass ich jetzt hier zwei Nachfolger habe oder im Allgemeinen Fall so viele Nachfolger,
wie mein Grund Alphabet-Elemente eben hat.
Das heißt also, unter der Voraussetzung,
dass Alpha von W gilt,
beweise ich das auch für Alpha von Wege folgt,
von Klein A und für Alpha von W gefolgt von Klein B,
nicht und genau wie Links setzt sich dann die Behauptung Alpha
dann durch den gesamten Baum durch
Ja, und das machen wir jetzt also auch,
indem wir jetzt diesen Satz beweisen, denn wir müssen ja
gewissermaßen jetzt für alle, nach alle möglichen Aktionen das durchführen.
Das heißt, wir machen jetzt eine vollständige Induktion über
die Wörter von Stern, also die Aktionsfolgen. Ja,
der Induktionsanfang ist natürlich die, der,
dass die Anfangszustände B-Seminaren, also wir wollen ja zeigen,
wenn die Zustände B-Seminar, wenn die Traditionssysteme B-Seminar sind,
sind sie
auch folgenäquivalent
Also nehme ich mal an, dass Sie ein bisschen mila sind
und will jetzt beweisen, dass die Folgen äquivalent sind.
Also ich habe in beiden in den Fällen, also jetzt in dieselben Anfangszustände. So,
und wenn ich jetzt einen Schritt mache,
dann sagt mir ja meine Bedingung,
dass hier sozusagen ein beliebiges Wort,
wo ich zu meiner Induktionsvoraussetzung gekommen ist und die Induktionsbehauptung zeige ich jetzt für eine beliebige Verlängerung,
zum Beispiel durch A,
dann zeige,
muss ich zeigen,
dass sie auch wieder Epi-Semilar sind
Oder nütze ich aus, dass sie wieder B-Semilar sind.
Und nütze ich sozusagen das Allgemeinen mache, in der Definition,
es stand ja drin, für alle Aktionen gilt das,
habe ich damit den Fall abgedeckt,
dass ich das für alle Nachfolger eben bewiesen habe.
Ja, das sollten Sie sich nochmal zur Gemüte führen
und kann ich auch nächstes Mal nochmal wiederholen.
Und dass wir die Umkehrung, dass sie nicht gilt,
haben wir ja schon begründet.
Dann sind wir jetzt eigentlich fertig, dann können wir auch
jetzt auch aufhören. Ja, vielen Dank,
Helmer,
für heute