Okay. Ja, hätte etwas. Wunderbar. Also,
was ich sagen wollte, bei Metamaterialien,
das sollte einem jetzt mittlerweile klar geworden sein. Das heißt,
wir versuchen, von künstlichen Materialien die Einheitszelle zu definieren,
und zwar so zu definieren, dass dann das Material die Eigenschaften hat,
die wir am Ende haben wollen.
Und so ein bisschen, um das nochmal sich klar zu machen,
kann man sich vergegenwärtigen, wenn ich jetzt irgendein Element habe,
zum Beispiel Kohlenstoff, ja.
Kohlenstoff hat gewisse physikalische und chemische Eigenschaften. Und jetzt ist
es aber so, dass es verschiedene Materialien gibt,
die nur aus Kohlenstoff bestehen
Ja, zum Beispiel Diamant oder Graffitt oder Graffeen.
Und diese Materialien haben natürlich alle unterschiedliche Eigenschaften.
Und woran liegt das? Das liegt eben genau daran,
dass die Einheitszelle von diesen Materialien, die zwar immer nur
aus Kohlenstoff besteht, aber immer unterschiedlich aufgebaut ist.
Und im Prinzip ist das ähnlich wie bei den Metamaterialien.
Das heißt, wir definieren uns die Einheitszelle. Und dann
hat das Material die Eigenschaften, die wir haben wollen.
Und eine Anwendung haben wir gesehen, ist der negative Brechungsindex.
Schönen guten Morgen. Oder eine andere Anwendung,
wo wir insbesondere uns heute dann damit beschäftigen, ist,
dass man auch Anisotrope Materialien machen kann
Das heißt, das ist so ähnlich wie Phänomen,
Doppelbrechung kennt ihr vielleicht, dass je nachdem, in welche Richtung ich schaue,
hat das Material, unterschiedliches Äpstelon und unterschiedliches Müh.
Und was ich dann eben auch machen kann,
ist, dass ich Materialien habe,
wo sich das Äpstelon und das Müh von einem Ort zum anderen ändert,
also die nicht homogen sind,
so wie jetzt zum Beispiel ein Stück die Elektrikum,
weil es überall Brechungsindex 1,5 hat,
sondern der Brechungsindex ändert sich, je nachdem,
an welchem Ort im Material ich mich befinde.
Dass wir dann heute wichtig werden bei der Transformationsoptik,
aber wir sind, das habe ich ja schon ein bisschen angekündigt,
nicht ganz fertig geworden das letzte Mal
Da haben wir uns mit diesem sogenannten Fishnet-Meta-Material beschäftigt, was einen negativen Brechungsindex hat.
Und das können wir uns hier nochmal sehen.
Diese Folie haben wir das letzte Mal schon ganz kurz besprochen.
Also was hat man hier? Man hat hier ein Meta-Material,
das besteht im Grunde aus einer Multi-Lage von Halbleiter und Metall oder die Elektrikhommunmetall.
Und zwar hier 21 Lagen. Das kann man hier so
ein bisschen erkennen. Immer abwechselnd Silber und dieses Magnesium
Die Florid, das ist ein Dielektrikum mit Brechungsindex 1,4.
Das ist relativ aufwendig herzustellen, aber wurde eben hier in
der Gruppe von Shang-Sang geschafft. Und was man dann gemacht hat,
ist, man hat hier ein Löchergitter reingeschnitten in das Material
und hat dann eben das, was man als sogenanntes Fischnetz-Meter-Material bezeichnet.
Und was sie dann auch gemacht haben,
ist, sie haben Experimente gemacht, wo sie hier,
das kann man hier gut erkennen,
seitlich nochmal hier reingesägt haben in das Material,
dann bekommt man hier so ein Prisma,
kann man sich relativ gut vorstellen.
Und dann haben sie einfach hier Strahlung auf das Prisma geschickt und haben die Brechung gemessen.
Hier an diesem Interface hier von Luft zu dem Material.
Und haben die Brechungswinkel aufgenommen und konnten dann mit dem ganz normalen Brechungsgesetz,
was man aus der Schule kennt,
den Brechungsindex ausrechnen und was man dann tatsächlich sieht, ist,
dass ab etwa 1550 Nanometer das Material hier einen negativen Brechungsindex besitzt.
Und dann hat man noch Rechnungen gemacht, wie man das macht.
Das sehen wir dann bei dem Termin in zwei Wochen und konnte dann sehen,
dass der ausgerechnete Brechungsindex für so eine Struktur mit dem Gemessenen relativ gut übereinstimmt.
Und in Computersimulationen, die man dann gemacht hat,
konnte man das auch verifizieren. Das heißt,
hier sieht man im Grunde dieses Prisma, was sie hierher gestellt haben,
aus dieser Struktur, das ist sozusagen so ein Querschnitt.
Und wenn ich dann hier Strahlung draufschicke,
das ist jetzt bei einer Wellenlänge von etwa 1800 Nanometern,
Dann kam man einerseits diese negative Brechung hier unter das Lot beobachten,
also quasi so ähnlich wie hier.
Der Brechungswinkel ist leider nur relativ klein,
deswegen kann man das nicht so gut sehen.
Aber wenn man das jetzt wirklich hier geometrisch sozusagen nachmessen würde,
dann würde man sehen, dass man also hier tatsächlich negative Brechung hat.
Und was man eben auch sehen kann, ist im Material die negative Phasengeschwindigkeit.
Also wenn ihr nur in das Material guckt, dann seht ihr,
dass die Wellenfronten von Rot und Blau sich hier nach unten bewegen,
also gegen die Richtung der Ausbreitungsrichtung in dem umgebenden Material,
was denn hier einfach Luft ist.
Und das haben wir beim letzten Mal ja auch gesehen,
um negative Brechungen nachzuweisen,
reicht es eben
nicht nur aus
Oder im negativen Brechungsindex nachzuweisen,
reicht es nicht nur aus, sich anzugucken,
habe ich auch wirklich dieses Phänomen der Brechung unter das Lot,
weil das kennt man eben auch aus photonischen Kristallen,
sondern kann ich auch diese negative Phasengeschwindigkeit beobachten.
Und jetzt kann man sich natürlich fragen sozusagen,
wie hängt das denn oder warum funktioniert das denn überhaupt in diesem Fischnetzmeter-Material?
Und da gibt es im Grunde zwei Erklärungsansätze. Das erste
ist ein relativ einfaches. Man macht nämlich ein Ersatzschaltbild,
so ähnlich wie wir das beim letzten Mal bei den Splitring-Resonatoren auch schon uns angeguckt haben,
das hier ist jetzt diese berühmte Einheitszelle, von der ich immer geredet habe.
Also wenn man sich das hier jetzt lateral in diese beiden
Richtungen fortgesetzt vorstellt, dann kommt man genau zu diesem Fischnetzmeter-Material.
Und eine Einheitszelle oder wie man auch vornehm sagt,
ein Functional Layer besteht also immer aus zwei Metallschichten,
die in der Mitte von einem Dialektrikum getrennt sind.
Und dann kann man sich vorstellen,
das ist jetzt ein sehr einfaches Bild, aber das Interessante ist,
dass es sehr gut funktioniert und sehr gut anwendbar ist auf so eine Struktur,
dass man hier zwischen den Metallschichten Kapazitäten hat,
Und so ähnlich wie beim Splittring-Resonator kann man sich dann auch vorstellen,
dass man hier noch zusätzlich Induktivitäten bekommt,
sozusagen im Prinzip wäre das dann so eine Art Spule mit einer halben Windung.
Kann man sich ungefähr so vorstellen. Und dann ist es so,
dass in so einer Struktur dann ein Kreisstrom existieren kann,
hier durch das J und diesen ovalförmigen Kringel hier angedeutet.
Und dieser Kreisstrom macht dann genau diese negative Permiabilität,
die wir ja brauchen zum negativen Berechungsindex.
Wenn das elektrische Fell oder die Welle, das elektromagnetische Feld, ordentlich polarisiert ist.
Das heißt, der Carvec dort zeigt in diese Richtung,
also wir strahlen quasi von unten hier nach oben Licht durch diese Struktur durch.
Der elektrische Feldvektor zeigt entlang dieser Stäbchenrichtung hier. Das bedeutet,
die Stäbchen in dieser Richtung hier sind quasi wie ein Metall mit negativem Y.
Und diese Struktur, wo sozusagen das Haarfeld reinsticht, ja,
hierdurch macht genau wie beim Splitring Resonator die negative Permiabilität.
Und damit erwarten wir für so eine Struktur einen negativen Brechungsindex.
Und warum das besonders anzustreben ist, hier ein wirklich dreidimensionales Material zu haben,
also wo man hier mehrere Halbleiter, Metall, Multi-Lagen hat.
Das kann man hier sehr gut erkennen,
weil man im Prinzip dann diese Näherung,
dieses LC-Schwingkreises hier für jeden dieser Lagen machen kann.
Und das Interessante ist, was man dann sieht,
wenn man sich die Stromrichtung hier anguckt,
die das Feld hier hat, dann sieht man,
dass das an der Ober- und Unterseite jeweils der Metallschichten gegenphasig ist.
Und das führt dazu,
dass sich in dem Metall die Feldkomponenten hier
zumindest teilweise auslöschen sollten
Und das ist sehr wünschenswert, weil wir ja schon gesehen haben,
dass insbesondere in den Metall-Komponenten von solchen Materialien wir hohe Verluste haben.
Das heißt, so ein dreidimensionales Material sollte weniger Verluste haben,
beziehungsweise um das so auszudrücken, wie wir das letztes Mal schon definiert haben,
diese sogenannte Figure of Merit von einem solchen dreidimensionalen Material,
sollte deutlich höher sein, als von einem rein eindimensionalen Metamaterial.
Und das kann man hier tatsächlich auch zeigen. Und worauf ich auch nochmal eingehen möchte,
warum dieses Bild hier auch eine gute Beschreibung von so einem Fischnetzmeter-Material ist,
das kann man in diesen Simulationen sehen, die ich jetzt hier zeige.
Hier untersucht man nämlich im Grunde nur eine von diesen Einheitszellen. Also man sieht hier sozusagen dieses Breite,
das soll sozusagen die Anordnung sein für das negative Mühe,
quasi diese Metallschichten mit dem Elektrikum dazwischen, ja,
dass sozusagen hier ein Strom existieren kann, das liegt,
das haben wir letztes Mal auch schon gesagt,
an dem Verschiebungsstrom, der bei hohen Frequenzen eben dominant ist,
nicht mehr der Leitungsstrom,
sondern der Verschiebungsstrom aus den Max-Regleichungen Und dann hat man hier eben noch so zwei so dünne Stäbchen, die sind genau für das negative Epcelon.
Und wenn ich so eine Struktur mit Simulationen untersuche,
das sieht man jetzt hier hier, unten ist ein Deepol,
der wird sozusagen angeworfen und strahlt dann in alle Richtungen aus,
dann kann man eben auch in so einer Struktur,
die sozusagen nur aus einer Zelle besteht,
aber sehr weit fortgesetzt sozusagen in der dritten Dimension,
auch hier die negative Phasengeschwindigkeit beobachten.
Also hier strahlt ein Deepol ab und ihr seht im Material,
bewegt sich das magnetische Feld, was man dann hier hat,
auf den Deepol zu und nicht von dem Deepol weg.
Das ist genau diese negative Phasengeschwindigkeit und dasselbe kann ich
auch für das elektrische Feld sehen.
Also ich gucke mir jetzt hier nur die elektrische Feldkomponente an
Und sehe eben hier Ähnliches. Auch hier bewegt sich
das elektrische Feld eben auf den Depot zu,
zeigt hier auch diese negative Phasegeschwindigkeit.
Und da sieht man eben, dass dieses Bild dieser gekoppelten
LC-Schwingkreise eine sehr gute Beschreibung ist für ein solches Metamaterial.
Das ist sozusagen die erste Beschreibung. Es gibt aber auch
noch eine zweite, die man sich auch anschauen sollte.
Im Prinzip, wenn man das dann korrekt machen muss,
muss man eigentlich immer
eine Mischung aus beiden Bildern sich ganz genau angucken
Bei so einem Meta-Material. Und das ist das sogenannte Spoof-Blusmon
. Und wir haben ja schon das normale Oberflächen-Plasmon kennengelernt.
Relativ intensiv in zwei Vorlesungen. Das kommt immer wieder vor.
Und jetzt ist die Frage, was ist ein sogenanntes Spoof-Blusmon?
Und im Englischen Spoof bedeutet sozusagen täuschen. Und das trifft hier
ziemlich genau den Kern der Sache, weil man sich,
wie wir gleich sehen werden, eine Oberflächenwelle angucken kann.
Die sieht aus wie ein Oberflächen-Plasmon. Es ist aber
kein Oberflächen-Plasmon. Und deswegen hat Pendri,
der das als Erster hier im Jahr 2004 ausgerechnet hat,
das Boof-Blusmon genannt dann
Und zwar, was hat er sich angeguckt?
Er hat sich hier eine Struktur angeguckt, die so aussieht.
Das ist hier ein perfekter elektrischer Leiter. Das ist sozusagen,
also ein perfektes Metall, oder um das in der Schreibbeweise Y auszudrücken,
das ist ein Material, mit Y gleich minus unendlich.
Und in diesem Material ist ein Loch Array hier reingeschnitten.
Das geht sozusagen hier in X und Y Richtung,
geht das dann wieder unendlich fort. Und hier sieht man schon,
dass diese Struktur interessant ist für unser Fischnitt,
weil das sieht ja eigentlich schon fast so aus wie so ein Fischennets-Meter-Material.
Und was er dann ausgerechnet hat ist,
oder was er dann zeigen konnte, ist,
dass diese Konstruktion hier aus den regelmäßigen Löchern eine deelektrische Funktion hat,
die von der Form her mit einem Plasma übereinstimmt.
Und zweitens, die Cut-Off-Frequenz von diesem Loch Wave-Guide,
also man kann sich vorstellen,
dass in diese Löcher hier Strahlung reinkommen kann,
die diese Cut-Off-Frequenz agiert als effektive Plasma-Frequenz.
So, das hört sich jetzt noch etwas abstrakt an.
Was bedeutet das
Erstmal bedeutet das, dass man sowas hier quasi als
effektives Metall, in Anführungsstrichen, beschreiben kann.
Also wir haben auf der einen Seite hier sozusagen diesen metallischen Anteil,
dieser perfekte elektrische Leiter mit den Löchern.
Und ich kann jetzt eine effektive dielektrische Funktion aufstellen oder ausrechnen. Das heißt,
ich tue quasi so, als habe ich diese Substruktur hier gar nicht,
sondern ein homogenes Material, was dann irgendeine effektive Permetivität besitzt.
Und das Zweite, was hier sehr interessant ist, ist,
dass mit dieser sogenannten effektiven Plasmafrequenz Man kann sich jetzt vorstellen,
ich habe jetzt diese Struktur mit einer definierten Löchergröße hier.
Und wenn ich jetzt eine Welle habe,
die euch auf diese Struktur einstrahle und diese Welle hat eine Wellenlänge,
die ist sehr viel größer als die Größe dieser Löcher,
dann wird keine Strahlung in diese Löcher eindringen können.
Da kann man sich ganz naiv vorstellen.
Das heißt, die gesamte Strahlung wird wieder reflektiert.
Wenn ich jetzt die Wellenlänge dieses Eingestrahlenlichtes immer kleiner mache,
dann wird natürlich irgendwann auch Strahlung in diese Löcher kommen und
auf der anderen Seite sozusagen aus dem Material wieder austreten.
Das heißt, man hat also irgendwo einen Übergang zwischen
metallischem Verhalten und die elektrischem Verhalten
Metallisches Verhalten, alles wird reflektiert, wie beim Spiegel, Silberspiegel.
Und die elektrisches Verhalten. Ich habe sozusagen eine Welle,
die einfach durch ein Medium durchpropagiert, so wie Glas.
Kann ich aus dem Fenster gucken, sehe, was draußen ist,
einfach deswegen, weil das Licht sozusagen durch das Material kommen kann.
Und dann ist es natürlich klar, dass genau da,
wo der Übergang ist, das ist natürlich gerade eine effektive Plasmafrequenz,
also wo ich den Übergang habe,
von negativen Werten in der Permetivität, Metall,
und positiven Werten in der Permetivität, die Elektrikum.
Blasmafrequenz sozusagen, kann man hier ausdrücken als der Punkt,
wo Äpzlon
gerade null ist
Und er konnte dann ausrechnen,
das kann man hier nachlesen,
das ist für unsere Betrachtung jetzt gar nicht so interessant,
dass ich an so einem,
an so einer Struktur eine Oberflächenwelle hier ausbilden kann,
so wie man in dieser Simulation hier sehen kann,
dass man muss sich diese Simulation jetzt hier in dieser lateralen Richtung hier unendlich ausgedehnt vorstellen.
Man sieht hier nur eine Einheitszelle und zwar deswegen,
weil man dann einfach Simulationszeit sparen kann, wenn die Struktur periodisch ist,
also quasi immer gleich aussieht in einer Richtung.
Und dann seht ihr hier,
dass hier oben eine gebundene Oberflächenwelle entlang propagiert,
die das Maximum in ihrer Intensität genau auf der Oberfläche
hat und die Intensität fällt dann sozusagen in das umgebende Material
Luft,
exponentiell ab
Und die sieht genauso aus wie ein Oberflächenblasmann. Es ist
aber kein Oberflächenblasmann, insbesondere kann man das daran sehen,
dass wir ja immer noch hier sozusagen epcelon-unendlich haben.
Das sieht man auch in der Simulation, weil man genau hinguckt,
ihr seht, dass überhaupt keine Strahlung in das Material hier eindringt.
Alle Feldkomponenten sind hier wirklich an der Oberfläche und darüber lokalisiert.
Und beim Oberflächenblasmon ist es aber ganz wichtig,
dass Strahlung in das Material eindringen kann,
weil man sozusagen, ja,
die Elektronen in dem Material
kollektiv anregen muss
Um ein Oberflächenplasmon zu bekommen. Und er konnte dann hier ausrechnen,
dass die Dispersion dieser Oberflächenwelle hier so aussieht, diese rote Kurve.
Und das sieht auch sehr ähnlich aus zu dem,
was wir vom Oberflächenplasmon kennen.
Und deswegen hat Pendry diese gebundene Oberflächenwelle, Spoofblasmon, genannt.
Und das brauchen wir jetzt gleich. Wenn ihr Fragen habt,
dann natürlich immer gleich direkt fragen,
dass wir das hier dann sofort klären können.
Man kann sich nämlich jetzt sozusagen das nochmal ein bisschen genauer angucken.
Und da haben sie hier aufwändige Rechnungen gemacht in diesen
beiden Papern steht das
genau drin
Im Detail wollen wir das jetzt hier alles gar nicht so genau wissen,
sondern wichtig ist sozusagen, was das Ergebnis ist.
Hier sieht man nochmal einen Schnitt durch genau diese Struktur hier.
Also da ist sozusagen hier entlang der XZ-Ebene hier ein Schnitt gemacht worden,
dann sehe ich hier die Löcher und sozusagen hier nach in
dieser Richtung und in die Tafel-Ebene rein, setzt sich sozusagen dieser Löcher-Array fort.
Und das hier sind jetzt exemplarische Größen, die sie angenommen haben,
also AX, das ist die Lochgröße in dieser Richtung,
AY, was größer ist als AX,
ist die Lochgröße in dieser Richtung,
die sind nicht notwendigerweise gleich
Das haben wir auch bei den Fischnetz gesehen. Die Löcher
sind nicht immer quadratisch, sondern die können rechteckig sein.
Die müssen sogar auch sehr oft rechteckig sein. Und sie haben hier
eine gewisse Dicke angenommen von der Struktur, 60 Nanometer.
Das ist so typischerweise auch das, was man von einem einlagigen,
also halbleiter Metall, die Elektrikum, Metall,
Fischnet ungefähr erkennt, dass diese 60 Nanometer dick sind.
Und dann kann man hier sozusagen auch noch sozusagen so eine Gitterperiode,
dieser Abstand, die Idee,
bis sich sozusagen dieses Muster aus Metall und Loch wiederholt,
kann man dann auch noch annehmen.
Da haben sie hier 860 Nanometer angenommen.
Und dann haben sie Rechnungen gemacht für
so eine Struktur
Und haben folgendes gesehen. Sie sehen hier hohe Transmissionen,
wir gucken uns erstmal nur die schwarzen Linien an,
die roten sind noch nicht interessant.
Sie gucken, haben hier gesehen,
dass man hier an diesem Punkt eine sehr hohe Transmission bekommt.
Und haben dann nicht nur die Transmission ausgerechnet,
sondern eben auch diese effektive Permetivität, die dieses Material hat.
Und was man sieht ist, dass genau an diesem Punkt hier,
wo diese hohe Transmission ist,
dass man hier eine Permetivität gerade von Null hat
Ja. Und also, dass man sich sozusagen gerade an dieser effektiven Plasmafrequenz befindet,
also dem Übergang von metallischem Verhalten, zu deelektrischem Verhalten.
Und wenn man sich jetzt genau anguckt,
wo diese hohe Transmission und dieses Epsilon gleich null ist,
dann ist das gerade an der Stelle oder bei einer Wellenlänge, die zweimal dieser Löchergröße AY entspricht.
Und das kann man sich relativ einfach klar machen,
dass das so sein muss,
weil wenn ich jetzt eine Welle nehme mit einer sehr hohen Wellenlänge,
dann wird, sozusagen, wenn zumindest dann,
wenn das hier unendlich weit fortgesetzt ist,
wird sich keine Strahlung durch dieses Material bewegen können,
einfach weil die Welle viel zu groß ist.
Und jetzt kann man sich klarmachen,
dass natürlich sozusagen die erste Wellenlänge,
wo ich Strahlung durch das Material bekomme, ist die,
wo die Welle gerade,
oder die Wellenlänge gerade zweimal der größeren Löchergröße entspricht,
weil das sozusagen die erste Mode ist,
die in diesen Loch-Wave-Guide reinpassen kann,
gerade eine halbe Wellenlänge
Ja, das heißt,
wenn die Wellenlänge zweimal dieser Löchergröße ist und die größere Seite ist eben AY,
dann bekomme ich sozusagen die erste Grundmode in diesen Loch-Wave-Guide rein,
die sich dann auch durch diesen Wave-Guide durchbewegen kann.
Und wenn ich natürlich die Wellenlänge dann wieder kleiner mache,
dann kommen sozusagen immer mehr Moden natürlich dann auch durch.
Und gerade da, wo ich also die erste Grundmode in dieses Loch hier reinbekomme,
ist also definiert oder muss sozusagen so sein,
dass das Epslon hier gerade null ist.
Und jetzt ist die Frage, was ist jetzt
die rote Kurve
Die rote Kurve, da haben sie hier nicht mehr für das Metall
einen perfekten elektrischen Leiter mit eps und minus unendlich angenommen,
sondern sie haben wirklich Silber angenommen als Metall.
Und Silber hat eben bei diesen Wellenlängen eine Permitivität,
die ist nicht minus unendlich, sondern irgendwie,
weiß ich nicht, auf jeden Fall kleiner als null.
Und dann passiert natürlich Folgendes, dass Strahlung in das Metall
eindringen kann. Und dann kann man sich vorstellen,
dass die effektive Größe der Löcher
größer wird
Ja, also sozusagen das elektrische Feld kann in das Metall eindringen. Das heißt,
das Loch sieht sozusagen etwas größer aus als in dem Fall,
wo ich hier noch einen perfekten elektrischen Leider habe und das Feld nicht eindringen kann.
Und deswegen würde man für sowas erwarten,
und das sieht man eben auch,
dass diese effektive Plasmafrequenz hier zu etwas größeren Werten verschiebt.
Das sieht man hier zu etwa 1.400 Nanometern.
So, und jetzt kommt der wichtige Punkt. Auf der
nächsten Folie. Jetzt hat man die Struktur etwas verändert.
Und zwar hat man hier jetzt ein Dialektrikum,
zum Beispiel Luft, ist auch ein Dialektrikum mit X-Long gleich 1, hier eingebaut.
Das heißt,
diese Struktur hier ist quasi genau unser Fischnetzmetermaterial
Das haben sie nämlich jetzt auch untersucht. Und was man hier sieht,
ist, dass sich in der Transmission zusätzliche Resonanzen hier ausbilden.
Hier und hier eben auch. Und diese Resonanzen,
das kann man dann ausrechnen, wenn ich mir dann wieder das Äpselon angucke,
das Äpselon-Sin ungefähr so aus wie auf der Folie davor.
Das heißt, man hat hier wieder diesen Verlauf für große Wellenlängen,
metallisches Verhalten, negative Werte des Äpselons für kleinere Wellenlänge,
die elektrisches Verhalten, also Strahlung kommt durch,
positive Werte und irgendwo diese Plasmafrequenz, zwar ungefähr da an der Stelle,
wo man hier maximale Transmission hat.
Wenn man sich jetzt aber die Permiabilität anguckt,
dann sieht man, dass man genau an der Stelle,
wo diese zusätzlichen Resonanzen in dieser Struktur auftreten, ein,
äh, dieses lorenzförmige Verhalten hier bekommt,
wo die Permiabilität dann in einigen Bereichen negative Werte aufweisen kann.
Das heißt, wir haben hier gesehen, dass diese Resonanzen,
die sie hier ausbilden, magnetische Resonanzen sind,
die also keinen oder nur sehr wenigen Einfluss auf das Äpfeln haben,
aber eben sehr großen Einfluss auf die Permiabilität.
Und dann kann ich natürlich den Brechungsindex auch wieder ausrechnen.
Und dann sieht man, dass man hier Bereiche bekommt,
wo der Brechungsindex tatsächlich negativ ist.
Hier in dem Bereich
Und ich mache auch noch mal darauf aufmerksam,
das haben wir beim letzten Mal auch gesehen.
Wir haben in diesem Bereiche überall Äpzilon kleiner Null,
aber wir haben hier auch Bereiche,
wo das N kleiner als Null ist, hier,
aber die Permiabilität ist positiv.
Das haben wir das letzte Mal gesehen. Man braucht nicht Äpzilonomy,
Simultan, Kleiner als Null, um einen negativen Brechungsindex zu bekommen.
Gut, das haben sie jetzt gefunden,
dass man also hier offenbar magnetische Resonanzen bekommt und
dann konnten sie aus ihrer Rechnung extrahieren,
wie jetzt wirklich die elektrischen und magnetischen
Felder aussehen
Und das sieht man hier auf diesen Bildern.
Das hier ist jetzt ein Bild, wo man wirklich das
von der Seite hier sieht, also XZ-Achse sozusagen.
So ein bisschen, dass sich das ganz kurz klar machen,
damit man hier nicht verwirrt ist von den vielen Achsen.
Dieses Bild hier ist jetzt ein Bild, wo man wieder von oben drauf guckt.
Also XY-Achse ist hier aufgetragen. Und ihr seht hier auch
in weiß diese Löcher. Und was man dann sieht,
ist, dass sich hier in dieser Struktur,
in diesem sehr dünnen Dielektrikum-Wave-Guide hier eine Welle ausbildet, und zwar eine stehende Welle.
Also man hat hier sozusagen nur maximal in der Intensität und Minima.
Und diese Welle ist eine stehende Plasmonenwelle,
die sozusagen induziert wird, aus der Tatsache heraus,
dass sich an diesem Loch Wave Guide hier,
wie wir gesehen haben, solche Oberflächenwellen ausbilden können.
Also dieses Spoof-Blus-Monen. Das heißt,
man hat hier die Tatsache, dass die Strahlung,
dieses Spoof-Blus-Mons hier in diesem dünnen Dielektrikum leer reinkommen kann,
diese stehende Welle hier verursacht.
Und wenn man sich jetzt die Feldkomponenten hier wirklich anguckt,
das kann man leider nur sehr dünn sehen.
Ich weiß nicht, ob ihr das in dem Ausdruck sehen könnt,
Hier könnt euch das klarmachen, dann schauen die hier in unterschiedliche Richtungen.
Also hier in diesem Bereich schaut das elektrische Feld hier nach oben.
Und in diesem Bereich guckt es hier nach unten und hier
in der Mitte ist es dann sozusagen hier so waagrecht.
Und man bekommt hier dann genau diesen Kreisstrom durch den Verschiebungsstrom,
der uns dann diese negative Kamiabilität macht, also verantwortlich ist,
für diese magnetische Resonanz, die wir ja nur dann sehen,
haben wir ja gesehen, nur dann,
wenn wir hier diesen, die Elektrikum Layer hier wirklich einfügen,
hier, wo wir den nicht haben,
haben wir keine magnetischen Resonanzen
Und das Bemerkenswerte eben, warum es sich hier wirklich um Blasmonen handelt.
Ihr müsst euch immer klarmachen, dass die Strahlung,
bei der wir hier operieren, das haben wir ja gesehen,
das war irgend sowas wie 1500 Nanometer.
Das heißt, ich scheine quasi mit Licht einer Wellenlänge
1500 Nanometer auf diese Struktur drauf. Dieser Gap hier,
dieser die Elektrikum-Layer, der hat aber nur eine dicke von
irgendwie 50 Nanometern. Und es ist also sehr bemerkenswert,
wie ich es schaffe, so eine riesen Wellenlänge,
die eigentlich hier gar nie reinkommen würde,
weil die viel zu groß ist, dann doch schaffe,
so eine sehr stark gebundene und sehr kleine Wellenlänge habende hier wirklich in diesen Layer hier reinzubekommen.
Und das geht eben nur, wenn ich das benutze,
diese Eigenschaft, die Oberflächenplasamon eben haben, aus der abknickenden Displasionsrelation heraus,
dass ich eben sehr hohe K-Vektoren und damit sehr kleine Wellenlängen
bei Plasmonen und eben auch bei diesen Spoof-Plasamonen hier bekommen kann.
Also nur durch diese Tatsache kann ich hier überhaupt wirklich Feld
und wählen ihnen diese Struktur bringen. Und dann sieht man
noch, dass diese Resonanzwellenlänge vom Einfallswinkel unter anderem abhängt.
Das habt ihr auch in den ersten Vorlesungen gelernt,
das ist ein sehr typisches Zeichen für Plasmonen.
Und man kann natürlich dann auch ausrechnen, Dass ich diese Region,
wo so ein Material negativen Brechungsindex zeigt,
dass sich die natürlich über die geometrischen Parameter steuern kann.
Das heißt, je nachdem,
wie groß oder wie klein ich die Löcher mache,
wie dick ich die Halbleiter und Metallschichten mache, die Elektribumschichten,
kann ich dann steuern, bei welcher Wellenlänge dieses Material negative Brechungsindex hat.
Und das haben wir zum Beispiel in einer Struktur gezeigt,
das möchte ich nur ganz kurz zeigen,
das ist jetzt eine Arbeit aus unserer Gruppe,
wo wir hier in so eine Mikroröllchen,
was ja unterschiedliche Halbleiter und Metallschichten hat,
auch so ein Loch-Array hier reingeschnitten haben
Und das haben wir dann untersucht, unter anderem auch mit Simulationen.
Und da konnte man eben auch sehen, dass es hier Bereiche gibt.
Das ist jetzt diese blaue Linie, wo der Brechungsindex hier tatsächlich negativ ist.
Und das konnten wir dann auch in Simulationen, wo wir
hier auch so ein Prisma untersucht haben, eben auch nachweisen.
Und man sieht hier auch, kann man hier auch erkennen,
dass man hier auch diese negative Phasengeschwindigkeit hat.
Und was wir noch zeigen konnten hier an unserer Struktur,
ist, dass wir hier wirklich einen negativen Brechungsindex bekommen bei etwa 1000 Nanometern.
Und das ist nochmal deutlich kleiner als das,
was in der Arbeit hier aus der Senggruppe erreicht worden ist,
wo wir ja diese negative Brechungsindex-Region bei 1550 Nanometer etwa hatten
Und ein weiterer Vorteil von dieser Struktur her ist,
dass es eine MBE-gewachsene Struktur ist durch den Halbleiter.
Das heißt, über die MBE kann man wirklich Nanometer genau
seine Halbleiterschichtige definieren. Und das konnten wir dann auch zeigen,
dass wenn ich also die Halbleiterschichtige hier ändere, dass man dann diese Region,
wo der Brechungsindex negativ ist, hier wirklich tunen kann.
Also alles, was rot ist, bedeutet Bereiche negativem Brechungsindex.
Und wenn ich dann die Schichtige ändere, dann verschiebt sich diese Region,
wo der Brechungsindex negativ ist, hier in einem gewissen Frequenzbereich.
Und was man auch hat, ist, Man kann sich angucken,
das habe ich ja schon ganz kurz angesprochen,
gerade wenn ich jetzt die Löchergröße ändere,
dann ändere ich natürlich auch ganz dramatisch,
das Verhalten meiner Struktur und kann dann zum Beispiel hier zeigen,
dass man auch, wenn man die Löchergröße entsprechend ändert,
dass man dann hier ein doppelt negatives Material wiederbekommt.
Sozusagen die Ausdrucksweise vom letzten Mal. Hier sieht man die Permetivität,
die ist hier gar nicht eingezeichnet, die ist immer negativ,
das Müh, sozusagen die Permiabilität,
die man hier ausrechnen kann,
die ist hier
immer positiv
Trotzdem ist der Brechungsindex negativ, die blaue Linie.
Das heißt, das ist wieder so ein einfach negatives Material,
wie man das nennt. Negatives Apson, aber positives Müh
, brechen Sie Index negativ. Bei dieser Löchergröße hier,
sozusagen hier, wäre quasi dann so ein Loch,
das ist wieder diese Einheitszelle. Wenn ich die Löcher ändere,
also sozusagen hier etwas rechteckiger mache, nicht mehr ganz so quadratisch,
dann kann ich hier wirklich auch sehen,
dass die Permiabilität negativ wird und ich dann hier ein doppelt negatives Material habe.
Also Simultan, Äpsel und Müh,
kleiner Null und eben dann auch in diesem Bereich hier,
kann man das sehr schön sehen,
ist dann auch der Brechungsindex negativ
Das sozusagen zur Fischen-Netz-Meta-Material, warum das Fischschnetz-Meta-Material so wichtig ist,
das habe ich beim letzten Mal schon gesagt,
das ist wirklich das State of the Art Meta-Material,
um im sichtbaren Frequenzbereich auch einen negativen Brechungsindex zu bekommen.
Und dann auch daran Experimente zu machen.
Gut, ich hoffe, das war einigermaßen klar.
Gibt es noch Fragen dazu jetzt gleich? Ansonsten könnt ihr
mich natürlich immer ansprechen. Die E-Mail-Adresse steht ja auch
immer schön auf allen ersten Folien der Vorlesung drauf
Wenn es dazu jetzt keine weiteren Fragen gibt,
dann kommen wir jetzt im Prinzip zu dem nächsten Thema,
was wir dann heute sozusagen den Rest der Stunde behandeln wollen.
Das ist nämlich der Bereich Transformationsoptik. Und das ist sozusagen hier der Ausblick,
der sollte eigentlich beim letzten Mal dann drankommen,
aber wir sind ja nicht ganz fertig geworden.
Was man sich nämlich hier zunutze macht,
da kommen wir dann gleich im Detail drauf,
dass die Max-Wergleichung in Variante unter Koordinatentransformationen sind.
Und dass man dann in Meta-Materialien das Epsononomy ändern kann,
um Licht zu lenken
Das wollen wir gleich machen. Und eine Analogie,
die in der Natur vorkommt, ist die sogenannte Vater Morgana.
Es ist nämlich so, wenn ich an einem sehr heißen Tag bin,
dann habe ich den Effekt,
dass genau über der Oberfläche ist die Luft besonders heiß.
Und je höher ich dann komme, wird die Luft immer kälter.
Und jetzt muss man sich klar machen, dass der Brechungsindex
von Luft unter anderem auch von der Temperatur abhängt.
Das heißt, wenn ich jetzt so ein Temperaturgradienten habe von
heißer Luft zu immer kälterer Luft,
dann ändert sich sozusagen langsam,
aber stetig der Brechungsindex von Luft
sehr leicht
Und das führt dann dazu, dass wenn ich mir Licht angucke,
was zum Beispiel hier von dieser Palmenspitze hier kommt,
dass das so gebogen werden kann,
jetzt hier natürlich ein bisschen übertrieben in dieser Zeichnung,
sodass das hier im Auge landen kann,
auf diesem gebogenen Weg.
So, und unser Gehirn denkt aber,
dass Licht sich immer geradlinig ausbreitet und denkt dann sozusagen,
dass sich hier unten auf dem Sandboden in dem Fall diese Palme befindet.
Und wenn jetzt das Licht hier nicht von der Palmenspitze kommt,
sondern vom blauen Himmel und dann sehe ich hier irgendwas Blaues dann,
dann könnte man sich vorstellen,
dass das vielleicht Wasser ist und dann hat man
genau diesen Effekt der Vater Morgana
Das ist ein schönes analog in einer Natur. Das heißt,
ich steuere quasi den Brechungsindex, habe hier ein Brechungsindex-Kradienten,
der sich ändert und kann damit Licht lenken.
Und das kann man genau benutzen,
da wir ja Epsonomy prinzipiell beliebig einstellen können mit unseren Meta-Materialien,
um dann hier so ein Cloaking, also eine Unsichtbarkeit mit Meta-Materialien zu erreichen.
Ihr habt da ja schon bei Stefan Mendach vor zwei Wochen,
glaube ich, schon erste Bilder auch gesehen, dass man sozusagen,
wenn ich hier eine Welle habe und die kommt hier drauf und ich mache hier so eine Unsichtbarkeitsmaske drum,
das dann macht, das sehen wir gleich.
Dann kann ich sozusagen erreichen, dass das Licht hier um
diesen mittleren Ring gebogen wird und hier quasi wieder als perfekte Ebenewelle rauskommt.
Und hier drin ist überhaupt keine Strahlung und dann kann ich
sozusagen hier drehen etwas verstecken. Und was man dann auch noch,
dann gibt es hier noch so andere Anwendungen,
wenn wir dann auch noch sehen, das sogenannte optische schwarze Loch.
Also da kann ich mir dann auch vorstellen,
wie muss eigentlich mal eine Struktur aussehen,
sodass alles Licht, was auf diese Struktur trifft,
quasi so wie man das hier sieht,
in den Kern hier gezogen wird und dann nicht mehr aus dem Kern herauskommt.
Und das nennt man dann optisches schwarzes Loch, kann man
sich dann auch Gedanken machen, wie sowas aussehen muss.
Und der Hintergrund ist eben, Das ist noch mal Anhang,
den überspringe ich mal. Jetzt geht es nämlich bei der
nächsten Folie weiter. So. Hier geht es jetzt quasi weiter.
Das ist der Termin von heute dann. Der Hintergrund ist eben,
dass ich mit den Metermaterialien Epsternomy beliebig einstellen kann. So,
zweiter Termin,
also heute geht es vor allen Dingen um Transformationsoptik und die
Unsichtbarkeit mit Metermaterialien und dann noch ein sehr neuer Bereich,
der im Moment sehr en vogue ist sozusagen in der Physik
der Metermaterialien,
die sogenannte Transformationsoptik mit Graphen
Es gibt aber eine von null verschiedenen Wahrscheinlichkeiten,
dass wir dazu heute nicht mehr kommen werden.
Das heißt, das machen wir dann nächstes Mal.
Der dritte Termin ist etwas kürzer.
Das läuft dann immer so auf den dritten Termin auf.
Ich habe aber schon mal ausgeteilt, hier dieses Paper,
Transformation Optics, Using Graphine, hat sich das jeder genommen?
Gut, dann könnt ihr das,
nehmt ihr dann einfach am Ende oder seid nur ihr drei,
ja?
Ja, wenn wir das heute nicht mehr alles schaffen und das ist sehr wahrscheinlich,
dann bringt er das bitte beim nächsten Mal wieder mit mit euren anderen Materialien.
Ich bringe dann die restlichen Exemplare, die wir hier haben.
Natürlich dann auch mit, falls es jemand vergisst.
Kann man sich dann ein zweites nehmen. Gut,
aber was ist jetzt hier sozusagen los? Was ist überhaupt
der Clou an dieser ganzen Sache und was ist der Hintergrund?
Und Transformationsoptik, das werden wir gleich sehen,
ist zunächst mal ein mathematisches Hilfsmittel, was man benötigt.
Das hier, gut, ganz aktuell steht hier,
so aktuell ist es gar nicht mehr,
ist nämlich schon ein Jahr alt,
aber es war mal ein sehr großer Artikel im Physikjournal gewesen,
wo es genau um dieses Thema ging
Wenn ihr Mitglied in der deutschen physikalischen Gesellschaft seid,
dann bekommt ihr das ja immer.
Es ist auf jeden Fall empfehlenswert, sich das durchzulesen.
Der Artikel war nämlich ganz interessant,
auch wenn man jetzt nicht so den Hintergrund in Max-Way-Gleichung hat,
kann man das nämlich ganz gut verstehen.
Und das ist ein sehr intuitives Bild zum Thema Transformationsoptik mit Koordinatentransformationen.
Hier steckt im Prinzip alles drin, was wichtig ist zu
dem Thema. Man kann sich nämlich jetzt vorstellen,
dass man im freien Raum ist, im Vakuum.
Und dort habe ich
ein Koordinatensystem
Und zwar ein schönes kathesisches Gordon-Südkoordinatensystem, was sie also
so schön gleichförmig aus diesen Quadraten hier aufgebaut ist.
Und in diesem System hier freier Luft bewegt sich Licht,
geradlinig entlang. Hier geradlinig entlang der Koordinatenachsen zum Beispiel.
Und jetzt kann ich mir vorstellen,
dass dieses Koordinatensystem hier sozusagen so auf einer Gummifläche aufgemalt ist.
Und wenn ich jetzt hier ein Loch reinbohre in diese Gummifläche
und dann sozusagen mit der Hand hier ein Loch forme,
dann ist klar,
dass sich natürlich diese aufgemalten Koordinatenlinien
entsprechend verformen müssen
Und was man dann eben auch sieht,
wenn ich sozusagen dieses Loch hier aufgemacht habe in der Mitte,
dass dieses Licht, was ich ursprünglich hier mal geradlinig bewegt hat,
dann hier auf so einer gebogenen Bahn, um dieses Loch herum bewegt,
weil ich das ja sozusagen so auseinandergezogen habe.
Und jetzt kommt sozusagen der wichtige Schritt, die Frage,
die ich mir stellen muss, ist, was für ein Material,
mit welchem Epcelon und Müh muss ich denn hier in der Mitte sozusagen über diesem Loch anbringen,
um diese Situation genauso auszusehen lassen,
mit diesem kathesischen Koordinatensystem hier unten drunter sozusagen.
Also ich habe mein kathesisches Koordinatensystem mit diesen rechtwinkligen Koordinatenlinien hier,
dann baue ich ein Metamaterial drum und will das Metamaterial genau so haben,
dass diese Situation hier so aussieht,
wie die Situation mit den verbogenen Koordinatenlinien hier,
dass sozusagen dieses und dieses hier für das Licht als gleichwertig angesehen wird.
Das ist die große Frage, die man sich stellen möchte.
Und das kann man relativ einfach ausrechnen und der Hintergrund ist,
dass die Max-Vergleichungen, Formen in Varianten unter Koordinatentransformationen sind.
Das bedeutet, wenn ich zwei verschiedene Koordinatensysteme habe,
zum Beispiel hier das Koordinatensystem X und das Koordinatensystem X-Strich.
Und ich wechsle jetzt das Koordinatensystem,
also von dem ohne Striche zu dem Mitstrichen,
dann ändert sich die Form der Max-Vergleichung nicht.
Die Formen sind immer noch genau gleich aus.
Wenn ich zum Beispiel mir die Rotationsgleichungen hier angucke,
dann ändern sich die in ihrer Form nicht.
Das einzige, was sich ändert, sind die Parameter Müh.
Müh ändert sich zum Strich und Ypsilon
ändert sich zu Ypsilon-Strich
Mit anderen Worten, diese Koordinatentransformation, die ich mache,
wird alleine durch die Änderung von Äpzilon und von Müh aufgefangen sozusagen.
Und das bedeutet natürlich, das ist bekannt.
Schon seit vielen Jahrzehnten, dass das so ist,
dass die Max-Vergleichung Form in Varianten sind.
Aber diesen Sachverhalt, dass sich Mühe und Äpzilon ändern,
den kann ich jetzt sozusagen mit Metamaterialien für mich nutzbar machen,
weil eben Metamaterialen die Möglichkeit eben bieten,
Äpfel und Mühe
zunächst mal beliebig einzustellen
Und das wurde hier entwickelt in diesen sehr bekannten Papern
aus dem Jahr 2006 hier von Pentry.
Seht, ihr spielt hier eine große Rolle,
hat sozusagen im Metamaterialenbereich überall seine Finger drin.
Und ein Deutscher noch hier, Ulf Leonhardt,
der jetzt in Schottland ist an der Universität,
die haben das mathematisch untersucht.
Und damit mit diesen Publikationen hier dieses große Thema der Transformationsoptik losgestoßen.
Also obwohl diese Paper hier erst wenige Jahre alt sind,
schon tausende Male zitiert worden in der Vergangenheit.
Und wir wollen uns jetzt mal angucken,
was die hier konkret untersucht haben und wie
das Ganze funktioniert
Und ihr habt es vielleicht schon gesehen hier oben.
Ich habe hier bei den Koordinaten den Index schon mal gleich oben hingeschrieben.
Das liegt nämlich daran, dass wenn man das untersuchen will,
braucht man einen mathematischen Formalismus, den wir ganz kurz einführen.
Und das ist die sogenannte Differenzialgeometrie. Und ich weiß,
aus den vergangenen Vorlesungen der letzten Semester,
dass viele das gar nicht machen,
also das irgendwie rausgeflogen aus der Elektrodynamik Grundvorlesung der Theorie.
Und deswegen machen wir das jetzt hier alles sozusagen von Anfang
an. Und wenn es dazu natürlich dann hier im Fall
auch Fragen gibt,
auf jeden Fall Nachfragen
Was wir uns nämlich angucken wollen, ist, ja,
so eine Koordinatentransformation und eine sehr einfache Koordinatentransformation,
die ja auch in der Mathematik schon benutzt habt und die
in der Physik sehr wichtig ist,
ist die Koordinatentransformation von chathesischen Koordinaten in Polarkoordinaten.
Und das ist hier mal aufgemalt. Zweidimensional. Ihr seht hier
in blau. Dieses chathesische Koordinatensystem zu dem chathesischen Koordinatensystem gehören die kathesischen Einheitsvektoren,
in dem Fall EX und Y. Und dann habe ich irgendwo hier einen Vektor V,
der ist hier in grün eingezeichnet und den Vektor V,
den kann ich sozusagen durch meine Einheitsvektoren darstellen
Einfache Vektor-Addition. Und wenn ich mir jetzt das Polar-Koordinatensystem angucke,
das sind die roten gestrichelten Linien,
dann gehören natürlich auch zu diesem Polar-Koordinatensystem Einheitsvektoren.
Und das sind hier die roten. Das ist das ER
und das EV. Das sollte eigentlich nichts Neues sein.
Polarkoordinaten habt ihr alle schon gemacht, ne?
Ich sehe zustimmendes Nicken, das ist gut.
Was man sich jetzt angucken kann, ist dieser Punkt hier,
dass dieser Vektor V, den ich hier eingezeichnet habe,
der ist eine physikalische Größe.
Das heißt, wenn ich diesen Vektor V darstellen will,
darf der nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen
Und jetzt kann ich mir angucken,
was denn bei einer Koordinatentransformation hier mit dem Vektor V passiert.
Also das, was hier A ist,
ist nochmal genau dieses Bild, was man hier auch sieht.
Und jetzt kann ich mir den Vektor V angucken,
in der Darstellung der kathesischen Koordinaten.
Das ist das BNB. Das sieht dann so aus.
Kann man nie erkennen. Und ich kann ihn mir
aber auch angucken in der Darstellung der Polarkoordinaten.
Dann sieht das Bild so aus. Also hier seht ihr
alle, der Vektor V liegt hier zwischen den kathesischen Koordinaten
Einheitsvektoren und liegt hier, kann man hier erkennen,
unterhalb der Einheitsvektoren des Polarkoordinatensystems.
Deswegen sieht das hier so aus
Und jetzt sieht man, wenn ich das Koordinatensystem ändere,
ja, also von Kathesisch zu Polar,
dann vollziehen diese Einheitsvektoren hier eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn,
ja, also die Einheitsvektoren,
E-R und E4 sind gegen den Uhrzeigersinn gedreht, ja,
bezüglich der Einheitsvektoren des kathesischen Systems.
Der Vektor V allerdings bei der Koordinatentransformation dreht sich bezüglich der Einheitsvektoren,
aber im Uhrzeigersinn, also gerade gegenphasig,
gegenläufig zu der Drehung der Einheitsvektoren
Und deswegen muss man sozusagen diesem Sachverhalt hier verschiedene Namen geben.
Und man bezeichnet deswegen die Transformation der Basisvektoren als Co-Variant mit
Index unten, also diese Drehung hier gegen den Uhrzeigersinn.
Und die Transformation für die Komponenten des Vektors,
der sich in die andere Richtung dreht, das bezeichnet man als Kontravariant.
Und um das zu unterscheiden, tut man bei Co-Varianten Transformation
den Index nach oben
Und bei Contra-Varianten den Index nach unten setzen. Es gibt
verschiedene Definitionen und verschiedene Möglichkeiten, Contra- und Co-Variante, Transformationen einzuführen,
das hier mit den Basisvektoren ist eigentlich eine sehr intuitive,
behaupte ich mal.
Einfach weil man hier sehr schön sehen kann,
dass also die Transformation der Einheitsvektoren und die Transformation von Vector-Komponenten unterschiedlich ist.
Und jetzt muss man das natürlich noch irgendwie aufschreiben.
Ich kann den Vector V natürlich dann aufschreiben in der Darstellung
der Einheitsvektoren
Zum Beispiel der kathesischen Koordinaten, also der ungestrichenen Komponenten,
das ist, das wisst ihr alle, VI mal EI und die Summe daraus.
Also quasi die ganz normale Darstellung von Vector-Komponenten. Und die muss natürlich gleich sein,
dass sich der Vector V nicht ändern darf,
natürlich in der Darstellung der gestrichenen Koordinaten.
Also diese beiden Sachverhalte hier müssen gleich sein. Ja,
das ist jetzt eigentlich nichts Neues. Das einzige Neue,
was jetzt hier kommt, ist, dass man hier immer diese Summen hat,
also ihr seht hier, man hat hier den Index-I-Strich,
einmal oben, einmal unten und hier den Index-I,
einmal oben, einmal unten und immer diese Summe.
Und jetzt macht man folgende Konvention, Dass immer,
wenn ich diesen Sachfall hier habe,
dass sie also wiederholte Indizes habe, wie hier I-Strich,
einmal oben, einmal unten, dann kann ich diese Summe weglassen.
Das werden wir sehen, das ist relativ wichtig,
weil sonst schreibt man sich da wie verrückt und hat hier überall immer diese Summen stehen.
Und dann wäre das Ganze sehr unübersichtlich und deswegen lässt man dann das weg.
So, wer hat diese Schreibweise von Vektoren schon mal gesehen?
Oder diese, diese, diese Begriffe,
Co-Variante und Contra-Variante, wer hatte das schon mal?
Das sind ja fast alle, also doch eine ganze Menge
Gut, aber einige eben auch nicht. Und deswegen ist es
also gut, dass wir das nochmal so eingeführt haben.
So, jetzt muss man sich ein paar Sachverhalte klarmachen.
Man muss sich nämlich jetzt fragen,
was ist denn nun wirklich die Verbindung zwischen den beiden Koordinatensystemen?
Und da guckt man sich immer diese sogenannten Differenziale an und
die Differenzialoperatoren. Und jetzt ist klar,
wenn ich jetzt sozusagen das Differenzial im ungestrichenen System,
DXI, ausdrücken möchte durch DEXI-Strich, dann muss ich gucken,
Wie ändert sich denn das XI mit dem XI-Strich?
Das ist die sogenannte, einfach die Kettenregel. Und dann kann ich,
habe ich hier die Verknüpfung von dem Differenzial im Koordinatensystem i
mit dem Differenzial im Koordinatensystem i-Strich.
Und umgekehrt gilt natürlich genau dasselbe. Und genau derselbe Sachverhalt
mit diesem Differenzialen hier gilt genauso für die partiellen Ableitung,
also für die Differenzialoperatoren. Und man sieht hier,
dass hier also immer dieselben Vorfaktoren auftreten,
nämlich einmal DXI,
DXI-Strich und hier DXI-Strich
Abgeleitet nach DXI. Und deswegen bezeichnet man die auch und identifiziert
die als die sogenannten Transformationsmatrizen, die man dann hier Groß-Lamda-II-Strich nennt.
Das sind also einfach die Matrizen, die sich hier zusammensetzen
aus diesen ganzen partiellen Ableitungen der Koordinaten jeweils zueinander.
Und wir haben hier, sind ja im dreidimensionalen Raum,
das heißt, wir haben drei Koordinaten, also XI ist sozusagen einmal X1,
X2 und X3 und dann jeweils Ableitung sozusagen nach allen anderen Koordinaten.
Das heißt, diese Transformationsmatrizen, wie man dann nachher
auch sehen werden, das sind einfach dreimal,
dreimal Tritzen
Die wir dann hier betrachten. Wenn ihr zum Beispiel sowas wie allgemeine Relativitätstheorie macht,
dann kommt hier noch die Zeit dazu,
dann hat man hier auch,
nimmt man dann hier auch diese griechischen Indizes und da hätte man dann entsprechend eben viermal viermal tritzen,
die man sich dann hier angucken muss.
So, und jetzt kommt ein weiterer Punkt,
der sozusagen auch eigentlich klar ist, dass wie Vektoren natürlich auch Streckengrößen sind,
die eine definierte Länge haben und die auch nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen dürfen.
Das bedeutet, ich kann mir jetzt dieses Linienelement hier angucken,
DS-Quadrat in kathesischen Koordinaten ist DS-Quadrat, das wisst ihr alle einfach,
die X-Quadrat plus die Y, plus die Z-Quadrat.
Und wenn ich das sozusagen vornehmen schreiben möchte,
dann kann ich das so tun, wie das hier ist,
nämlich mit diesem sogenannten Chroniker-Delta, ist gerade Delta-J mal DX-I mal DX-J.
So, wer weiß, was das Chroniker-Delta ist,
das wisst ihr auch, ne?
Ja, Christian. Was ist das? Ja.
Geiles Thema. Ihr hattet das in Theorie, genau.
Und jetzt hast du mir aber immer noch nicht gesagt,
was ist denn das, Chroniker-Delta?
Weißt du das
Das ist null, wenn die Indizes hier verschieden sind.
Und es ist eins, wenn die Indizes gleich sind.
Jetzt habe ich nichts Neues erzählt. Und dann kann man
sich klar machen, dass das hier genau dem hier sozusagen entspricht.
Immer, wenn ich hier gleiche Indizes habe,
also zum Beispiel DX1, mal die DX1 oder DX,
zweimal DX2 oder DX3 mal DX3, dann ist das hier eins.
Und die ganzen gemischten Therme sind sozusagen null.
Und fallen hier dann raus. Das heißt,
mit dem Chroniker Delta kann ich das so schreiben.
Und jetzt kann ich natürlich folgendes machen.
Ich möchte sozusagen jetzt
dieses Linienelement transformieren
In das Koordinatensystem der gestrichenen Koordinaten und kann dann diesen Sachverhalt hier ausnutzen.
Das heißt, ich kann DXI ersetzen durch Lamda-I-I-Strich mal DXE-Strich.
Das ist diese Beziehung. Und das gilt natürlich für das DXJ genauso. Das heißt,
bei der Transformation eines Linienelementes von einem Koordinatensystem in das andere
wird dieser Vorfaktor hier sehr wichtig sein, nämlich dieses Delta-J-Lamda-I-I-Strich Lamda-J-Strich.
Und diesen Vorfaktor, Das ist auch wieder eine Matrix.
Diesen Vorfaktor nennt man metrischer Tensor. Metrischer Tänsor in einem
Koordinalsystem XI-Strich bezüglich, zum Beispiel des kathesischen Systems XI.
Und jetzt kann man das hier noch auf die Spitze treiben, sozusagen.
Wenn ich jetzt dieses Linien-Element mit diesem metrischen Tänsor hier beschrieben habe,
also das ist das Ding, nennt man dann G-I-Strich-J-Strich.
G-I ist der metrische Tensor. Dann kann ich das natürlich
wieder schreiben mit dem metrischen Tensor in dem System der ungestrichenen Koordinaten.
Das muss dann gerade das hier sein.
Also hier haben wir die gestrichenen Koordinaten, isstrich-j-strich,
da habe ich den metrischen Tensor, G-I-Strich-J-Strich.
Hier habe ich die Darstellung in den ungestrichenen Koordinaten und habe dann
natürlich hier den metrischen Tänsor, der ungestrichenen Koordinaten GIJ.
Und jetzt kann ich diese Koordinaten, DXXI, DXJ,
diese Differenziale hier wiederersetzen mit den Transformationsmatrizen und lande
dann wieder bei den Differenzialen der gestrichenen Koordinaten DXI-Strich-DXJ-Strich
So, das ist jetzt sozusagen linke Tasche, wächte Tasche.
Was wir hier gemacht haben, warum das interessant ist,
ist, dass man jetzt in dieser Gleichungskette sieht,
dass das, was sich hier rot unterstrichen habe,
dass das gleich sein muss.
Das heißt, es muss also gelten, G-I-S-J-S-Strich,
ist gleich G-I-J mal diese Transformationsmatrizen.
Und was wir nämlich hier gefunden haben, ist gerade die
Transformation des metrischen Tensors von einem Koordinatensystem in das andere.
Das heißt, wenn ich den metrischen Tänsor in der ungestrichenen Koordinaten habe,
Und ich möchte den der gestrichenen Koordinaten,
muss ich sozusagen nur mit den Transformationsmatrizen hier multiplizieren.
Und das kann ich jetzt auch ohne die Indizes in Matrix-Form
aufschreiben. Dann kommt hier nämlich gerade die transponierte Matrix hier
rein und man muss nur diese Matrizen-Multiplikation ausführen.
Das ist jetzt alles noch sehr technisch,
aber wir machen ja nachher gleich dieses Beispiel der Unsichtbarkeit.
Da sieht man, dass das dann alles gar nicht
so problematisch ist. Allerdings, man braucht es eben,
um das ausrechnen zu können, wirklich.
Und jetzt kommt sozusagen der absolut wichtigste Punkt in dieser Vorlesung
Man kann nämlich jetzt zeigen,
wo wir diesen metrischen Tänzer so schön eingeführt haben,
dass in Zusammenhang mit den Max-Vergleichungen bei Koordinatentransformationen der folgende Sachverhalt gilt.
So, und jetzt müsst ihr eigentlich so ein Trommelwirbel eingespielt werden noch.
Es gilt nämlich das hier. Dankeschön. Man kann nämlich
die Permetivitäten und Permiabilitäten so schreiben. Nämlich plus minus,
das ist jetzt nicht so wild hier,
das plus minus ist nur die Frage sozusagen,
ändert die Transformation der Koordinaten die Händigkeit meines Koordinatensystems.
Und dann Wurzel,
der determinante von G mal
Und zwar IJ jetzt oben, das ist gerade die inverse Metrik.
Dann hier ist der Index immer unten gewesen,
hier ist er jetzt oben, das ist sozusagen die Inverse.
Er gilt dann natürlich dieser Zusammenhang, wenn ich die Inverse
mit der Matrix molipliziere, kommt die Einheitsmatrix raus.
Also gerade das hier. So, aber was bedeutet das jetzt?
Bei Koordinatentransformationen oder in den Max-Wergleich. Und wenn ich also
die Max-Way-Geleichungen in dieser mathematischen Form der Differenzialgeometrie schreibe,
dann steht an den Stellen,
wo die Permetivität und die Permiabilität ist,
gerade der metrische Tensor,
gibt den direkten Zusammenhang
Und das bedeutet, dass sozusagen die Geometrie, die durch den metrischen Tensor beschrieben wird.
Und das Material, was durch diese Parameter-Epson und Mühe beschrieben wird,
dass das genau dasselbe ist. Und Pendry,
der sich da ja sehr lange mit beschäftigt hat,
hat das dann sozusagen noch verglichen, einen Vergleich,
den man hier sehr gut machen kann.
Zum Beispiel mit der allgemeinen Relativitätstheorie, wo ja diese Größe
metrischer Tensor auch sehr wichtig ist. Er hat nämlich gesagt,
wenn man sich sozusagen die Effekte von Massen,
auf den Raum, also die Geometrie sich anschaut,
dann sieht man, dass der Raum verformt wird.
Das habt ihr vielleicht auch schon mal gehört. Und diese
Verformung messe ich gerade mit dem metrischen Tensor G. Und wenn man jetzt also diese,
dieses mathematische Prinzip, was man aus der allgemeinen Relativitätstheorie kennt,
auch auf die Max-Vergleichung anwendet,
sieht man genau denselben Zusammenhang, nämlich dass dieser metrische Tensor,
der also über die Verformung des Raumes zuständig ist,
sich in den Max vergleicht und gerade durch diese Materialparameter Äpzlon
und Müh ausdrückt
Das heißt, mit anderen Worten bedeutet das, dass wenn ich meinen Raum ändere für das Licht,
ändere ich quasi das Medium und umgekehrt gilt das auch,
wenn ich mein Medium ändere, dann ändere ich sozusagen für das Licht den Raum.
Und ihr kennt das auch, einen Effekt,
der allgemeinen Relativitätstheorie, diese Krümmung des Raumes,
ist halt zum Beispiel dieser Effekt der sogenannten Gravitationslinse,
wo dieser gekrümmte Raum um eine sehr große Masse,
eben gerade diesen Effekt macht,
dass das Licht gekrümmt wird und ich zum Beispiel dann bei einer Sonnenfinsternis Sterne beobachten kann oder Sterne,
eigentlich in Wirklichkeit an anderen Positionen sind,
als wir sie eigentlich wahrnehmen,
nur weil sozusagen das Licht von diesen Sternen zum Beispiel an unserer Sonne sehr eng vorbeikommt und da gekrümmt wird.
Ja, das war ja einer der ersten großen Beweise,
sage ich mal, dass die allgemeine Relativitätstheorie funktioniert.
1919, glaube ich, hat man das mal dann nachgerechnet.
Und das dann auch gezeigt. Und da spiegelt sich genau
das auch wieder, dass also der metrische Tensor G
direkt Einfluss hat auf die Propagation von elektromagnetischen Wellen.
Ja, und dann sozusagen dieser Zusammenhang hier sehr naheliegend
eigentlich ist,
den man ausrechnen kann
Ja. Bitte. Jetzt ist ja das Ätzel und das Müll mit 3 kommt,
3, 3, 3, 3 Kreuz 3, Matrix, ne?
Wie kommt das denn mit dir, also bis jetzt war es so,
ist ja immer mit dem Werte ortsabhängig sein kann im Elfmetermaterial,
aber wie so haben wir jetzt dann 9,
4 zu 0. Ja, genau,
das ist sozusagen gerade das, was man anisotropes Material nennt.
Wenn ich sozusagen,
wenn ich jetzt zum Beispiel mir hier Glas angucke,
wo man sagt, ja Glas hat einen Brechungsindex von 1,5,
dann bedeutet das gerade,
dass der Brechungsindex sozusagen in jeder Raumrichtung
gleich ist
Und das ist der Grund,
warum ich das sozusagen als Zahl dann schreiben kann.
In dieser Darstellung der Matrizen würde das gerade bedeuten,
dass die Komponenten auf der Hauptdiagonalen alle gleich sind.
Wenn ich ein Anisotrobismaterial habe, ist das nicht mehr der Fall.
Da ist halt das Äpfelon in X-Richtung unterschiedlich von den Apps und den Y-Richtungen.
Und dann kann ich sozusagen mein Brechungsindex oder meine Apps
nicht mehr als einfache Zahl definieren für das Material,
sondern muss dann eine Matrix-Schreibweise einführen.
Ja, und gemischte Therme kann es eben auch geben.
Das sind dann die Einträge,
die von der Hauptdiagonalen unterschiedlich sind
Ja, das ist ein ganz wichtiger Punkt. Also ich
haben ja hier Kreide. Ich schreibe das nochmal hin,
dass natürlich, wir lernen das alle so kennen,
dass also Epsel und Mühzahlen sind.
Also wenn der Brechungsindex 1,5 ist, das bedeutet dann,
dass Epsel und ist 2,25, wenn ich von Müh gleich 1 ausgehe.
Das ist aber sozusagen nur für Dialektriker und eben Materialien,
die nicht anisotrop sind der Fall.
Das ist sozusagen ein Spezialfall. Allgemeiner ist das Epsel und
eben eine Matrix, wo hier dann gemischte Therme stehen,
erstmal die Therme
E-X-X-E-X-E-Y, X und X-X, Apps und Y, Y,
Öps und Z-Z. Das sind sozusagen in die drei Raumrichtungen.
Und gemischte Therme sind eben auch möglich. Dieser Fall würde bedeuten sozusagen,
dass hier, dass in jeder Raumrichtung natürlich gleich ist,
ich ihr also immer sozusagen 2,25 habe.
Wenn das nicht mehr so ist, dann unterscheiden sich natürlich die Werte hier.
Also dieser Fall ist sozusagen allgemeiner als der. Ja,
also das mit dem, dass wir für jede Raumrichtung werden,
Äpzilonheim, das verstehe ich noch.
Aber das ist dann, also diese gewissen Thermen, was heißt das?
Also die anderen Beiträge aus der Obierung. Ja,
das bedeutet im Prinzip, Sind diese gemischten Therme im Prinzip Therme sozusagen,
wenn ich mir eine Richtung angucke, die sich aus zwei Koordinaten zusammensetzt.
Und da muss ich sozusagen das immer gewichten. Also muss ich sozusagen
die einzelne Richtung immer gewichten und kommen dann zu den gemischten Thermen.
In der Realität ist es so, dass die gemischten Therme,
die wir hier kennen, eigentlich immer null sind.
Ja, weil ich sozusagen das immer beschreiben kann durch diese Komponenten
hier. In der Quannmechanik ist das die sogenannte Matrix-Diagonalisierung,
die ich durchführen kann. Dass dann meine,
dass ich dann erreichen kann, dass hier auf den,
dass die gemischten Therme null werden
Wie würde die denn jetzt für so einen Fischnet Metadaptial aussehen? Na,
das Fischnetz-Meter-Material, also das, was wir vorhin hatten,
das ist ja sozusagen, nehmen wir ja an,
als homogenes Material, ja, weil sozusagen nicht Anisotrop ist.
Das heißt, der Brechungsindex,
das haben wir ja ausgerechnet sozusagen von dem Fischnetz-Meter-Material,
bei einer Frequenz ist halt minus eins, meinetwegen,
und zwar in jeder Richtung.
Ja, deswegen kann ich bei dem Fischnetz-Meter-Material,
kann ich das wieder so sozusagen schreiben, einfach als Zahl, Brechungsindex minus eins.
Eigentlich ja nicht in jeder Richtung, oder?
Bei der Fisch-Index. Ja, also wenn ich, sozusagen,
wenn ich den Einfallswinkel zum Beispiel von der Strahlung verändere,
ja, dann Ist das richtig?
Man muss sagen, weil wir diese Polarisation haben. Das ist natürlich,
sozusagen dieser Effekt, das negative Brechungsindex, der ist sozusagen polarisationsabhängig.
Das heißt, wenn ich meine Polarisation jetzt fixiere,
dann kann ich sozusagen dieses als homogen annehmen,
wenn ich das natürlich die Polarisation ändere,
dann stimmt sozusagen die ganze Physik gar nicht mehr.
Und ich habe dann eine komplett neue Situation natürlich.
Also das sozusagen, das beim Fischnet war ja wichtig,
das ist sozusagen das K-Senkrecht ist das,
was wir ja vorhin hatten.
Ja, aber wenn ich sozusagen den Effekt mal außer Acht lasse,
dann ist quasi das Fischnetz
quasi ein homogenes Medium mit Brechungsindex minus eins
Sozusagen. Grund ist halt wieder, dass die Substruktur,
also die Zellgröße kleiner ist als die Wellenlänge.
Aber das ist natürlich nur eine Ernährung, das völlig richtig.
Und man muss sich immer fragen,
und das fragen wir uns eigentlich jeden Tag,
auch wenn wir dann Forschung an diesen ganzen Sachen machen,
sind die Nährung gerechtfertigt, die man da macht.
Und wir sehen eben zum Beispiel auch oft in Publikationen von anderen Gruppen,
dass dann durchaus Nährung auch nicht gerechtfertigt sind oder von denen wir behaupten,
dass sie nicht gerechtfertigt sind.
Da muss man sich dann eben immer
klar machen
Ja, ist das einigermaßen geklärt jetzt. Also der
allgemeine Fall ist sozusagen eigentlich diese Darstellung hier als Matrix.
Und das wird nämlich jetzt eben gleich wichtig werden bei
dem Cloaking, wie wir dann gleich sehen werden.
Jetzt gehen wir aber nochmal hier zu.
Also wir haben jetzt sozusagen diesen mathematisch kleinen Punkt hier,
den man hier sieht, zu so einem Kreis aufgebläht.
Oder das ist das, was wir machen wollen.
Das sieht ja sozusagen schon so aus, wie diese Cloaking-Transformation,
dass ich sozusagen hier irgendwie Licht hier rumleiten kann.
Jetzt ist das allerdings hier in kathesischen Koordinaten.
Und aufgrund der speziellen Symmetrie des Problems ist es zweckmäßig,
dass man hier solche krummlinigen Koordinaten.
Also zum Beispiel Zylinder-Koordinaten verwendet. Und wenn das der Fall ist,
dann kommt hier noch eine kleine Änderung rein,
dann muss ich sozusagen hier noch mal mit der Metrik dieser krummlinigen Koordinaten hier teilen.
Kann man dann auch ausrechnen. Und ja, das brauchen
wir jetzt gleich. Deswegen habe ich dem hier gleich schon
mal einen Namen gegeben, gleich um T2. Und ja,
diese Situation, das ist auch noch so eine Konvention,
sage ich mal, bezeichnet man als physikalischen Raum.
Das ist sozusagen der Raum, den ich dann am Ende
haben möchte für meine elektrische Strahlung.
Und dieser Raum hier vor der Transformation,
das ist der sogenannte virtuelle Raum
Und einmal haben wir eben die gestrichenen Koordinaten und einmal
haben wir die ungestrichenen Koordinaten. Und jetzt muss man noch
ein bisschen Mathematik machen. Man kann sie jetzt klar machen,
dass die Determinante von einer Matrix, eine multiplikative Abbildung ist,
also dass das hier gilt und dass die determinanten einer Matrix und ihrer transponierten gleich sind.
Und dann kann ich diese Gleichung T1,
das ist diese hier, von dieser detemetrische Tensortransformation,
kann ich dann so schreiben,
wenn ich die Determinante auf beide Seiten loslasse
Dann kann ich mir noch klarmachen, dass die Determinante einer räumlichen Metrik
immer positiv sein muss und deswegen hier Wurzelziehen auch erlaubt ist,
sodass ich das dann so schreiben kann.
Und dann kann ich das einsetzen. Ich kann also diese,
die Wurzel der Determinante G in dieser Gleichung hier ersetzen und auch das Plus-Minus-Zeichen ersetzen,
was aus dieser Händigkeit kommt,
aber das sozusagen das Vorzeichen der Determinante dieser Matrix ist immer gleich dem Vorzeichen der Händigkeit,
das heißt,
das Vorzeichen hebt sich hier auf und ich bekomme diese hier
relativ abstrakt aussehende Gleichung und das ist bezüglich der Transformationsoptik sozusagen die Mastergleichung,
weil hier steht alles drin, was man haben möchte.
Das heißt, wenn ich eine Koordinatentransformation mache und ich kenne
die Transformationsmatrix und ich kenne auch die metrischen Tensoren meiner Koordinatensysteme,
dann kann ich hier sofort ausrechnen, wie sich Äpselon und Müh ändern müssen.
Was man dann noch machen muss, das ist so ein
mathematisches Phänomen, das nennt man Lower Ring in Index.
Also wenn ich sozusagen dieses Äpselon bezüglich der Koordinaten,
die ich wirklich benutzen möchte, dann ausdrücken möchte,
muss ich hier noch einmal der Metrik Gamma hier multiplizieren.
Das sieht jetzt alles sehr abstrakt aus. Wir machen aber jetzt sofort dieses Beispiel,
da wird das dann alles sehr viel klarer werden, wie das Ganze wirklich funktioniert.
Also wir haben jetzt diese Mastergleichung und die brauchen wir,
um zu einer beliebigen Koordinatentransformation sofort die Änderung von meinem Äpzlon und meinem Müh ausrechnen zu können.
Und das Beispiel, was wir jetzt machen, ist eben dieses sogenannte zylindrische Cloaking. Das heißt,
man bläst so ein Koordinatensystem, einen mathematischen Punkt hier bei der Stelle null,
den bläst man auf zu so einem Ja,
zu so einem Kreis hier,
das muss man sich jetzt sozusagen in der Z-Richtung,
die guckt quasi aus der Tafel-Ebene raus, unendlich fortgesetzt vorstellen.
Und dann kann man dadurch erreichen,
dass sich eben Licht, was sie eingestrahlt werden,
um diesen inneren Ring hier drumherum bewegt und dann am Ende
auch das Objekt wieder verlässt und als perfekter elektromagnetische Welle wieder rauskommt.
Und das wollen wir jetzt mal durchführen anhand dem Formalismus,
den wir jetzt gerade entwickelt haben.
Und zwar kann man sich zunächst mal vorstellen,
oder klar machen, besser gesagt,
dass diese Transformation von diesem Fall zu diesem,
dass die
genau so aussehen muss
Also wir haben keine Änderung an der Atsimultalen Koordinate Vieh
und an der Koordinate Z. Aber die Radialkoordinate ändert sich,
das kann man hier schon sofort sehen,
weil ja diese Koordinatenlinien, die man hier hat,
sozusagen in diesem Ring hier mit Radios B gestaucht werden.
Das kann man jetzt hier auch mal einsetzen. Also in diesem Koordinatensystem,
weil es jetzt die gestrichenen Koordinaten hat,
wenn ich da an der Stelle R gleich null bin,
dann muss ich hier also null einsetzen für R-Strich,
dann wird dieser erste Somantia null.
Und dann bin ich gerade an der Stelle R gleich A. Das heißt,
wenn ich in diesem Koordinatensystem an der Stelle null bin,
Bin ich in diesem Koordinatensystem gerade an der Stelle A,
was also der innere Radius dieser Zylinderscheibe,
nenne ich es jetzt mal, ist.
Und wenn ich hier an der Stelle B bin,
dann muss ich hier B einsetzen,
dann kürzt sich das hier und B-A plus ASB.
Dann bin ich also auch in diesem Koordinatensystem an der Stelle B.
Das hat jeder nachvollziehen können. Das heißt,
ich kann also durch diese Transformation hier tatsächlich die Koordinatenlinien,
die hier innerhalb dieses Kreises B liegen,
in diesen Ring mit innerem Radius A und äußerem Radius
B einpressen sozusagen
Das ist also die Transformation, die ich brauche für zylindrisches Cloaking.
Weil sie jetzt erst noch machen muss allerdings,
ihr seht das ja hier, wir sind hier in diesem Zylinder-Koordinatensystem.
Jetzt muss ich natürlich erst mal eine Transformation machen von kathesischen Koordinaten in Zylinder-Koordinaten.
So, und das kennt ihr eigentlich schon. Die Transformation von kathesischen Koordinaten,
der ich jetzt die Metrik G zuordne, zu den Zylinder-Koordinaten,
denen ich dann die gestrichene Metrik G-Strich zuordne,
die sieht genau so aus.
Das sollten auch alle mal schon gesehen haben,
zumindest in den Mathematikvorlesungen
Es ist also nichts Neues. Und jetzt kann ich die Transformationsmatrix dieser Transformation ausrechnen.
Das ist also gerade hier die Matrix dieser ganzen partiellen Ableitung.
Wenn ich das alles durchführe, kommt dieses Ergebnis heraus.
Und dann kann ich natürlich, auch wenn ich das habe,
den metrischen Tensor ausrechnen. Gehstrich ist also Lamda Tee,
die transponierte, transponierte, mal G, mal Lamda und
gehe die Metrik der kathetischen Koordinaten, ist gerade die Einheitsmatrix.
Deswegen rechnen wir immer so gerne in kathesischen Koordinaten.
Und wenn ich das dann ausrechne, Also transformierte mal einer
als Rap Matrix mal. Lamda kommt das hier raus.
Und das ist sozusagen der metrische Tensor von Zylinder-Koordinaten.
Der hat eben hier bei der Vieh-Komponente, bei der Atzimotalen Komponente,
dann diesen, diesen Ausdruck R-Strich zum Quadrat. Das ist sozusagen,
spiegelt es eben im Prinzip darin wieder, dass sich,
oder warum man sozusagen gerne in diesen kathesischen Konnanten rechnet,
ist eben der Fall,
dass die Einheitswegtoren eben dort immer dieselbe Länge haben,
was in dem Zylinder-Koordinatensystem nicht mehr der Fall ist,
weil sich der Atzimotale Einheitsvektor mit der Radialkoordinate ändert.
Und deswegen ist der metrische Tänzer eben hier nicht mehr
die Einheitsmatrix, sondern ist etwas komplexer.
Und das kennt ihr im Prinzip auch alles aus der Mathematik,
wenn ihr zum Beispiel, da habt ihr sicherlich
Integrale ausgerechnet in Zylinderkoordinaten oder in Kugelkoordinaten,
da ist eben diese Transformationsdeterminante, die man da ausrechnen muss,
nicht mehr die Einheitsmatrix, sondern die sieht eben anders aus.
Zum Beispiel bei den Kugelkoordinaten ist es halt dieses R-Quadrat Sinus,
Täter, DRD, Täter DV oder wie das ist.
Das spiegelt sich im Prinzip alles genau hier drin wieder in dem metrischen Tänzer,
dass der eben dann auch nicht mehr simpel die Einheitsmatrix
ist,
sondern hier etwas komplexer aussieht
Und dann kann ich die Determinante hier ausrechnen,
da hier alles immer schön null ist.
Ja, sozusagen ist wieder sozusagen der Fall. Also das reduziert sich
hier alles auf die Hauptdiagonalen, ist dann die Determinante gerade,
erstrich zum Quadrat, sozusagen in diesem Koordinatensystem hier.
So, in mein physikalischer Raum, der die Metrigama hat,
das kann ich jetzt auch relativ schnell abhandeln,
weil das ja immer noch Zylinderkoordinaten sind.
Das heißt, die Metrigama, dieses physikalischen Raumes,
sieht also auch so aus,
nur hat hier die Komponente
eher Quadrat
Ja, weil hier habe ich sozusagen die ungestrichenen Koordinaten.
Hier habe ich die gestrichenen Koordinaten. Deswegen ändert sich nur
das R-Strich-Quadrat zu dem R-Quadrat. Und dann habe ich natürlich
auch die Determinante. Und was man auch noch braucht,
ist die inverse Metrik, die Strichhochminus 1.
Und da das eben auch alles hier schön nur Hauptdiagonale ist,
kann man einfach die Kehrwerte nehmen.
Und dann ist das hier die inverse Metrik dieses Systems.
So, das war jetzt erstmal zunächst nur Transformation von
kathesischen Koordinaten
in Zylinder-Koordinaten
Jetzt habe ich ja noch die Transformation,
die mir dieses Cloaking macht, nämlich diese hier oben.
Und jetzt kommt im Prinzip genau derselbe Schritt, dass ich
auch wieder die Transformation und Matrix lamder, dieser Cloaking-Transformation ausrechne.
Und das ist auch relativ einfach, diese Patient,
diese gemischten Ableitungen, hier sind alle null.
Diese Ableitung hier von 4 und Z jeweils nach sich,
nach den gestrichenen Komponenten sind eins.
Und nur hier oben, hier habe ich sozusagen,
wenn ich R nach R-Strich ableite,
diesen Fakt vor Faktor b-a durch B. Und B und A
sind eben
gerade hier dieser äußere und dieser innere Radius
Den man hier sozusagen erreichen möchte. Und dann kann ich die Determinante auch wieder ausrechnen,
B-A durch B. Und jetzt kann ich alles in dieser Mastergleichung hier einsetzen.
Denn jetzt habe ich im Prinzip alles. Ich habe diese ganzen Metriken hier,
ich habe die inverse Metrik von hier oben ausgerechnet.
Ich habe die Transformation meiner Cloaking-Transformation, kann ich alles einsetzen.
Das kann man hier, weil das auch alles schön diagonal ist,
per Hand eigentlich ausrechnen auf anderthalb Seiten.
Und dann kommt dieses Ergebnis hier raus, was man hier hat.
Hier steht im Prinzip drin, B- und A,
in irgendeiner Art und Weise und die Radialkoordinate, R- und R-Strich.
Wenn ich jetzt dann dieses noch mal multipliziere mit der Metrix Gamma und auch,
dass er strich durch das R ausdrücke, was man hier oben,
ich gehe noch mal zurück machen kann,
ich forme das hier um, dann steht hier,
das wird hier rübergeholt durch diesen Vorfaktor,
dann habe ich R-Strich ausgedrückt durch R,
dann kommt genau gerade dieses Ergebnis hier raus.
Das bedeutet, wenn ich also in meiner Zylinderscheibe mit innerem Radius A und äußerem Radius
B die Permetivitäten und Permiabilitäten genau so einstelle,
wie ich es hier ausgerechnet habe,
dann sollte genau dieser Effekt auftreten,
dass die elektromagnetische Welle sich um diesen inneren Kern herum rumbiegt und am Ende wieder als perfekte elektromagnetische Welle rauskommt.
Und das kann man dann zum Beispiel in einem Simulationsprogramm,
haben wir jetzt benutzt, kommen sollen, Multiphysics,
kann man das machen.
Also da haben wir genau diese Permetivitäten hier angenommen in dieser Scheibe hier.
Und da sieht man genau das Ergebnis, was man dann haben möchte.
Und hier oben auch der Pointing-Vector, also der Energiefluss,
sieht man eben sehr schön, wie sich das hier rum bewegt.
Bitte. Was war jetzt der Unterschied zwischen dem G und
dem Gamma,
also den beiden Mädchen
Die Metrik G, diese hier und im Gamma,
die Metrik G ist die Metrik dieses Systems, beziehungsweise G-Strich.
Und die Metrik Gamma ist die Metrik dieses Systems.
Also dieser Koordinaten und Deezer sind beides mal Zylinder-Koordinaten. Aber natürlich,
dadurch, dass ich hier ja diese Änderung der Koordinatenlinien habe,
sind das sozusagen zwei verschiedene Metriken, die man hier dann einsetzen muss.
Also einmal ist es eher Strich. Genau, genau.
Und ihr seht, also das funktioniert ja alles wunderbar.
Und was man hier eben auch sehen kann, ist,
Und da kommen wir jetzt gleich nämlich nochmal dazu.
Diese überlichtschnelle Phasengeschwindigkeit, die man in dieser Clouk,
wie man das nennt, in dieser Unsichtbarkeitsmaske dann hier hat.
Weil ihr seht ja sozusagen das Licht,
was sich hier drauf zubewegt, muss sich dann ganz schnell hier rumbewegen,
quasi diesen sehr langen Weg hier zurückgehen,
um hier auf die andere Seite dann zu kommen.
Und da hat man eben dann den Effekt,
dass die Phasen hier sich sozusagen mit Überlichtgeschwindigkeit dann hier rumbewegen.
Und das hat sehr limitierende Konsequenzen.
Du bist vom Fachschaftsraten, möchtest die Evaluation machen.
Gut, dann ich mache noch
diese Seite hier
gerade fertig
Genau. Erstmal kann man sich fragen sozusagen,
warum das Äpfelon und das Mü überhaupt gleich sein müssen in dieser Cloaking-Maske.
Ihr habt ja hier immer gesehen, Apps haben gleich Mühe.
Muss man sich natürlich fragen. Das liegt daran,
dass in einem perfekten Club, also wir reden jetzt vom perfekten Clug,
wo das alles sozusagen perfekt funktioniert,
das Licht natürlich in dem Klo keine Störung haben darf,
also keine internen Reflexionen oder sowas,
insbesondere auch keine Reflexionen haben darf,
an der Grenzfläche von dem äußeren Medium,
was bei uns jetzt immer Luft war und der Cloaking-Maske dann
Und das kann man ausdrucken durch eine Größe,
die man Wellenwiderstand oder Impedanz nennt,
wenn wir uns im Vakuum befinden, dann ist diese Impedanz,
das ist also eine Definition, das ist ein Widerstand,
wenn man das ausrechnet, gerade müh-null durch Äpstel 0.
Und in Materialien ist diese Impedanz gerade gegeben, auch durch diesen Faktor Mynol Äpster 0,
aber dann sozusagen verziert mit diesen effektiven Permetivitäten und Permiabilitäten.
Und wenn diese Impedanz, dieser Wellenwiderstand immer gleich sein soll,
dann muss sich dieser Vorfaktor müh durch Y gerade aufheben,
Und das führt dann dazu,
dass Appson gerade überall gleich Demüt sein soll,
damit ich sozusagen überall in meiner Cloging-Maske diese konstante Wellenimpedanz des Vakuums habe.
Das, sag ich mal, als Impedanz-Anpassung,
dass sozusagen im Prinzip diese Cloking-Maske für das Licht aussieht,
als ob sie quasi Luft wäre, in Anführungsstrichen.
Also man hat keine Reflexion,
nicht an der Grenzfläche und auch nicht in der Struktur selber.
Und dann noch zur Funktionalität, das greift nochmal gerade das
auf, was ich eben gesagt habe.
Man hat hier also diesen längeren Weg, den das Licht
zurücklegen muss. Das heißt, die Phasengeschwindigkeit muss größer sein
als die Lichtgeschwindigkeit
Das haben wir in der letzten Vorlesung schon gesehen,
das ist überhaupt kein Problem. Überlichtschnelle Phasengeschwindigkeit, negative Phasegeschwindigkeit,
negative Gruppengeschwindigkeit. Gibt es alles? Allerdings führt dieser Zusammenhang,
dass also die Phasengeschwindigkeit, die sich sozusagen hier ändert und
die da nicht mehr gleich der Gruppengeschwindigkeit ist, das führt zur Dispersion.
Also dass sich sozusagen für das Licht,
wenn ich zu einer anderen Frequenz gehe,
sich eigentlich die Permetivitäten und Permiabilitäten ändern müssen,
um den Effekt aufrechtzuerhalten.
Und deswegen funktioniert dieser Club,
so wie wir ihn hier haben,
nur wirklich bei einer Frequenz
Wenn ich dann sozusagen die Frequenz meines Lichtes ändere,
dann kommen eben diese Disversionseffekte ins Spiel und dann funktioniert das nicht mehr.
Und in diesem Paper haben die mal abgeschätzt, wie das so ist.
Also die Bandbreite, wo das noch einigermaßen gut funktioniert,
die hängt eben sehr stark von dem Objekt Querschnitt ab.
Also wie groß ist eigentlich der Bereich, den ich gloken möchte?
Und sie hängt auch ab von der Dicke dieser Cloking-Shell.
Also wenn ich meine Cloking-Shell sehr dünn machen möchte,
dann bin ich sehr stark davon abhängig,
dass ich wirklich genau der Frequenz arbeite,
für die ich meinen Clok definiert habe.
Und an der Stelle machen wir dann beim nächsten Mal weiter