Kurze Wiederholung vom letzten Mal. Wir haben gesprochen über Grenzwerte und stetige Funktionen.
Ich habe Ihnen gesagt, dass der Begriff des Grenzwertes einer Funktion
ganz zentral ist für das, was jetzt kommt.
Sie werden sehen, wir brauchen das Bestätigkeit bei Differenzierbarkeit und bei Integrierbarkeit.
Und dass das Ganze überhaupt Sinn macht, ist es notwendig,
dass man sich zuerst einmal anschaut, was ist denn ein Häufungspunkt.
Und das ist ein relativ einfacher Begriff,
eine Zahl X0 aus der Menge dreien Zahlen,
heißt Häufungspunkt einer Menge Idee, wenn diese Zahl X0 die Eigenschaft hat,
dass in ihrer unmittelbaren Umgebung unendlich viele andere Zahlen legen.
Also sie können beliebiges Äpfel und Herr nehmen, größer als 0,
dann gilt, dass es unendlich viele von diesen X gibt,
die weniger als Y von X0 entfernt sind.
Das ist ein Häufungspunkt der Menge D. Und wieso brauchen wir das?
Wir wollen uns gleich anschauen, Situationen,
wo wir uns dafür interessieren, dass wir eine Folge von Werden haben,
die gegen ein X0 konvogieren, also sich beliebig nahe diesen X0 kommen.
Und das geht natürlich nur dann, wenn dieses X0-Häufungspunkt ist,
weil nur dann gibt es unendlich viele Punkte oder Zahlen in unmittelbarer Umgebung.
Nur dann können wir so eine Folge wählen.
Das ist also so eine technische Voraussetzung,
die immer wieder jetzt dann auch formuliert wurden in Definitionen in den Sätzen,
dass diese Stellen,
die wir uns da anschauen,
Häufungspunkte sind
Da sollte sie aber nicht weiter beunruhigen.
Dann sind wir zum Begriff des Grenzwertes einer Funktion gekommen.
Das ist auch, also die Definition liest sich,
wenn man sich das jetzt hier anschaut, relativ lang.
Man denkt, das ist ein komplizierter Begriff. Aber was passiert da?
Sie haben eine Funktion, also ein Graphen einer Funktion F.
Und jetzt interessiert sie auf der X-Achse eine Stelle X-0.
Und jetzt nähern sie sich damit beliebigen werden an diese Stelle X-0.
Also sie nehmen eine Folge, die gegen dieses X-0 konvergiert.
Und dann schauen sie sich die Zuge in Funktionswerte ein,
offen Graphen, was mit denen passiert.
Ob diese Funktionswerte, diese Folge von Funktionswerten,
ob die auch konvergiert gegen eine reale Zahl.
Und wenn das der Fall ist, dann sagt man,
diese Funktion F ist für X gegen
X-0 konvergent
Und die Zahl, die da rauskommt,
wenn sie so eine Folge von werden, XM betrachten,
die gegen X0 konvergiert, wenn sie dann die Funktionswerte dazu anschauen,
der Grenzwert, in der existierte, dann heißt,
wie gesagt, die Funktion F,
Konvergent für X gegen X0 und der Grenzwert ist dann halt,
oder der Wert, der da rauskommt, ist dann der Grenzwert von dieser Funktion.
Für X gegen X0. Und man schreibt dann auch oft,
hier, liebes F und X für X gegen X0 gleich C,
oder das ist eine andere, oder auch das hier,
das sind zwar alternative Schreibweise im Verein oder dasselbe
Hier sieht man das, was das bildlich bedeutet.
Sie haben eine Stille X-0 auf der X-Achse und man nähert
sich jetzt mit Zahlen, also mit anderen Zahlen,
hier beliebig nahe dieser Stelle X-0 an und dann schaut man,
was passiert denn mit den Funktionswerten.
Konnogieren die dann auch, nähern sich diese Funktionswerte auch einer
anderen Zahl an, beliebig nahe, so einem Wert Chi.
Hier ist es so, und dann sagt man,
die Funktion F ist an der Stelle X-0 konnogent.
Da haben sie ein paar Beispiele angeschaut
Dann kann man das Ganze natürlich auch einseitig betrachten. Das heißt,
diese Definition ist genau dasselbe wie gerade eben zuvor,
wenn sie sich die anschauen mit der anderen vergleichen.
Nur es ist jetzt so, dass wir Folgen betrachten,
also werde von XN, die zum Beispiel nur unterhalb von X0 liegen,
die also von links sich ein X0 ernähren.
Und wenn dann quasi dieser Grenzwert wieder existiert, dann sagt man,
die Funktion ist linksseitig konvergent an der Stelle X0,
weil sie nur Folgen betrachten, die sich von links ein X0 ernähren.
Und das Ganze könnte natürlich auch rechtzeitig machen, hier,
das wäre dann die nächste Definition,
wenn sie quasi nur XN betrachten, die von rechts kommen,
also die größer sind als X0,
aber sich diesem X0 beliebig beliebig nahe kommen.
Und wenn dann der Grenzwerter Funktionswerter existiert, dann sagt man,
die Funktion ist rechtzeitig konvogent für X gegen X0.
Und man schreibt dann bei linkseitiger Konvergenz, dass X gegen X0 geht von unten.
Bisher hat man hier so ein Pfeil, der von unten nach oben geht.
Oder man findet auch diese Schreibweise wieder. The Sancy,
da wird durch dieses Minus hier oben angedeutet,
dass man quasi von links kommt,
sich an das X0 von der negativen Seite von links ernährt.
Oder auch das ja wieder eine so eine alternative Schreibweise.
Und bei rechts seitiger Konvergenz ist es so,
dass quasi der Pfeil jetzt von oben nach unten geht,
weil sie nähern sich jetzt mit X von oben an X0 an.
Oder das hier wäre eine Alternative Schreibweise. Hier sitzen Plus,
um anzudeuten, sie kommen von der rechten Seite.
Von der positiven Seite
Also das sind ganz wichtige Begriffe.
Dann haben Sie gelernt, wann ist eine Funktion konvogent?
Weil Sie kennen ja jetzt drei Begriffe für Konvogenz. Allgemeine Konvogenz,
da wird nicht unterschieden, wie sie sich an die Stelle
X0 ernähren, ob von links oder von rechts.
Das sind alle Folgen zugelassen. Die können mal von links,
mal von rechts die Werte sich annähern.
An dieser Stelle X-0. Dann haben Sie die linksseitige Konvogenz kennengelernt.
Da haben Sie quasi voll im Klettertief von links sich an
X-0 ernähren und dann noch rechtzeitig Konvergenz, wo die sich von rechts ernähren.
Und wie hängen diese drei Begriffe jetzt zusammen? Da gibt
es in dieser Satz eine Auskunft und diesen Satz kann man
sich relativ leicht morgen, der ist auch sehr intuitiv.
Eine Funktion F ist an der Stelle X-0 genau dann konvergent,
wenn sie dort linksseitig und rechtzeitig konvergent ist.
Und die beiden Grenzwerte übereinstimmen. Hier, dann gilt,
dass quasi der Grenzwert von F, hier,
wenn sich X gegen X-0 ernährt und dass diese Schreibweise bedeutet,
spielt keine Rolle, ob sie von links oder von rechts kommen.
Wenn das gleich dem linksseitig und umgleich dem rechtzeitigen Grenzwert ist.
Und wieso brauchen wir diese einseitige Konvergenz? Nun,
oftmals haben wir Funktionen, weil sie sich nur vor einer Seite an eine Stelle X-0 ernähren können.
Zum Beispiel wäre diese Würzefunktion so ein Fall,
wenn sie dort die Stelle X gleich null betrachten,
können sie nur von Recht sich ernähren,
an diese Stelle null, weil von links,
dann würden sie quasi von negativen Seiten kommen,
mit negativen Zahlen, da ist ja die Wurzel nicht definiert.
Also es gibt viele Fragestellungen, wo sie halt einfach
die einzige Konvergenz benötigen
Dann haben wir diesen Konnugenzbegriff verwendet, um den Begriff der Stätigkeit zu definieren.
Und sie werden dann auch heute noch sehen,
man braucht diesen Konnugenzbegriff auch für Differenzierbarkeit.
Also sie werden sehen, die Konnugenz von Funktionen,
die zieht sich wie ein roter Faden durch diese Vorlesung.
Es ist nicht umsonst wahrscheinlich so wichtig, der Begriff
einer alles ist. Also wir wollen den ständig brauchen.
Bevor ich aber ihnen da die formale Definition gegeben habe,
habe ich ihnen auch gesagt, was bedeutet Stätigkeit, anschaulich.
Das ist ein wichtiger Begriff. Stätigkeit bedeutet einfach oder eine Funktion sagt,
man ist stetig, an einer Stelle X-0, wenn gilt,
wenn sie andere Werte X hernehmen, die sehr nahe bei X-0 liegen,
also ungefähr gleich X-0 sind, dann muss auch gelten,
dass der Funktionswert F und X ungefähr FNX-0-List.
Das ist Abo eine sehr, ja, schwammige Formulierung,
das ist sehr labidar, man kann damit nicht arbeiten.
Das ist nicht formal genug. Man muss das präzisieren,
dass wir damit arbeiten können. Was heißt, X ist
ungefähr X-0, dann muss F&X auch ungefähr von X-0 sein.
Das wollen wir uns noch anschauen oder wollen wir uns nicht präzise Definition anschauen.
Und warum ist das so wichtig? Das habe ich Ihnen auch schon gesagt. Nun,
die meisten Funktionen, die Sie so kennen, in den Wirtschaftswissenschaften,
die sind stetig, die haben diese Eigenschaft, das bedeutet,
wenn Sie einen Inputfaktor, um nur ein bisschen verändern,
dann gehen Sie auch davon aus,
dass sich der Output nur ein bisschen verändert und nicht sprunghaft gleich einen ganz anderen Wert einnimmt.
Es gibt auch Funktionen, die sind nicht stetig,
die sind aber eher
die Ausnahme
So, und was bedeutet die Stetigkeit konkret? Das ist ja die Definition.
Wenn Sie sich die anschauen, dann stellen Sie fest,
ist sehr ähnlich zum Begriff des Grenzwertes einer Funktion.
Es sind nur zwei Details, da muss man genau hin sein,
dass man die dann erkennt, wo da der Unterschied liegt.
Das ist quasi noch ein bisschen verschärft jetzt hier diese Definition.
Das ist mehr als Konmpagenz. Man sagt eine Funktion F
ist an der Stelle X0 stetig. Falls X0 kein Häufungspunkt ist,
das habe ich Ihnen schon gesagt, die pathologischen Fälle,
Damit schließen wir die sie alle aus.
Also wenn ich nur kein Häufungspunkt ist,
wenn es also gar keine Folge gibt von werden,
die sich ignull ernähren kann,
dann sagen wir ein paar Definition F ist an dieser Stelle X-0 stetig.
Morgens ist sich das einfach, sollte sie nicht weiter beunruhigen.
Der zweite Fall ist jetzt der, mit dem wir
vor allem arbeiten müssen. Wenn X-0 ein Häufungspunkt ist,
dann sagt man F ist stetig an der Stelle X-0.
Wenn gilt, dass F für X gegen X-0 konvergent ist?
Hier. Und der Grenzwert C gleicht den Funktionswert von F
an der Stelle X-0 ist. Das ist die eine Besonderheit,
vorher bei der Konvergenz war einfach,
dass da in der C rauskommen muss
Jetzt muss sie sogar der Funktionswert von F an der Stelle
X-0 sein. Und die zweite Besonderheit ist,
dass man hier noch fordert bei der Stätigkeit,
dass dieses X-0 auch ein Element des Definitionsbereiches sein muss.
Das war bei der Definition des Grenzwertes auch nicht der Fall.
Da war X-0 ein beliebiger Wert. Da wurde nicht verlangt,
dass das ein Element des Definitionsbereiches ist. Also,
sie können sich das so morgen,
Städtigkeit von F an einer Stelle X-0 ist im Wesentlichen das Gleiche
wie die Konvergenz von F-Gängen X-0 mit zwei zusätzlichen Forderungen,
nämlich das X-0 zum Definitionsbereich gehört und dass der Grenzwert dann
nicht ein beliebiger Wert zählt,
sondern der Funktionswert von F anstelle
So, das haben wir gehabt, das war die Stätigkeiten.
Hier haben wir so ein Bildchen, links die Funktion,
die ist stetig an der Stelle, X-0. Man sieht nämlich,
wenn sie sich hier annähern, an diese Stelle X-0 mit X werden,
dann passiert Folgendes mit den Funktionswehren, die nähern sich F und X-0 an.
Hier, seien sie, die konnorieren dann gegen F und X-0.
Hier ist es nicht so. Hier ist es nur so,
wenn sie von links kommen,
wenn sie sich von links an X-0 ernähren,
dann nähert sich auch der Funktionswert an die Stelle F und X-0 an,
weil dieser Punkt hier, der ist noch auf diesen,
also F und X-0, das ist dieser Punkt hier,
der Funktionswert von F und stelle X-0 ist dieser Punkt.
Kommt sie von rechts an die Stelle X-0 an,
dann kommen sie hier auf diesen Tag Grafen entlang
und ernähren sie sich hier diesen Punkt hier an.
Das ist aber nicht der Funktionswert von R von der Stelle
X.0. Das sehen sie, dass der es nicht ausgezeichnet,
das ist nicht ausgefüllter Punkte oben.
Das ist nur ein Kreis, der nicht ausgefüllt ist.
Da sieht man, der Funktionswert liegt hier unten.
Das heißt also, die Funktionswerte konnotieren nicht gegen F. X.0,
weil der Wert legte unten. Da haben sie also quasi die Diskrepanz,
da haben sie quasi einen Sprung von der Funktion.
Also die Funktion F ist an der Stelle X.0 nicht stetig. Und deswegen,
man kann, Also da muss ein bisschen vorsichtig sein,
in der Schule London oft, wenn man den Begriff Stätigkeit behandelt,
dass die Lehrer dann sagen, man sieht einer Funktion F an,
schon am Grafen, ob sie stetig ist oder nicht,
nämlich wenn man den Grafen zeichnen kann,
ohne den Stift abzusetzen, dann ist sie stetig.
Und wenn das nicht der Fall ist,
dann ist sie unstätig. Das stimmt so nicht ganz,
weil sie müssen nur eins zusätzlich dann machen, sie müssen schauen,
dort, wo der Sprung ist, wie hier,
an dieser Stelle X-0, ob das ein Element des Definitionsbereiches ist.
Wenn es kein Element des Definitionsbereiches ist,
darf die Funktion dort durchaus einen Sprung haben,
sie ist trotzdem noch stetig,
weil wenn der Wert X-0 nicht zum Definitionsbereich gehört,
dann ist der Begriff der Stätigkeit
dort gar nicht definiert
Der kann ihnen die Stätigkeit gar nicht kaputt machen,
weil der Begriff wird dieses X-0 nicht definiert ist.
Da schauen sich einfach mal die Definitionen an,
der Sensor X-0 muss ein Element des Definitionsbrilles sein.
Also, sie sehen zum Grafen wie folgt an,
sie schauen sich den Grafen an,
wenn sie den überall zeichnen können, ohne den Stift abzusetzen,
dann ist sie schon mal ganz sicher stetig.
Wenn es Stellen gibt, wo die Funktion Sprünge macht,
wie hier zum Beispiel, dann müssen sie noch schauen,
ob diese Sprungstellen zum Definitionsbereich gehören.
Wenn die nicht zum Definitionsbereich gehören, ist die Funktion trotzdem stetig.
Ist da aber eine Sprungstille dabei, wo diese Stelle,
wo der Sprung stattfindet,
zum Definitionsbereich gehört,
dann ist sie nicht stetig
Gut, deswegen, man kann das eigentlich
auch am Grafen ablesen, wie man denn hat.
Aber oftmals hat man den ja gar nicht. Wir haben uns
ein paar Beispiele angeschaut. Und dann sind wir auch hier
zum Begriff der einseitigen Stätigkeit gekommen, ähnlich wie beim einseitigen Grenzwert.
Sie haben ja diese Verwandtschaft gesehen zwischen Grenzwerdenstätigkeit. Und dann ist natürlich auch naheliegend,
dass man das Ganze dann auch einseitig machen kann,
wie man es bei jedem Grenzwerden gemacht hat.
Es gibt also auch hier den Begriff einseitige Stätigkeit, also linkseitige Stätigkeit und rechtzeitige Stätigkeit.
Und die ist auch wieder völlig analog definiert, Man sagt jeder,
eine Funktion F heißen an der Stelle X-0 linksseitig stetig,
wenn X nur kein Häufungspunkt ist, dann ist die per Definition stetig dort.
Und wenn X-0 ein Häufungspunkt ist,
dann betrachten sie jetzt halt einfach den Fall,
dass sie sich jetzt ein X-0 von links ernähren,
also von unten kommen und da und dann,
ob der Grenzwert existiert.
Der muss dann auch existieren bei Stetigkeit von links und muss gleich dem Funktionswert sein.
Genau dasselbe wieder wie vorher wieder bei der letzten Definition,
nur dass sie jetzt nur das jetzt zulassen oder verfordern zusätzlich,
dass sie sie von unten an X-0 ernähren
Und bei Rechtzeitige Städtigkeit genau dasselbe, nur dass sie jetzt von oben kommen.
X nähert sich von oben an X0 an. Genau die gleiche Definition,
nur dass sie jetzt zusätzlich formen, dass sie von oben kommen.
Und es keine Rolle spielt mehr. Vorher hat sie keine
Rolle gespielt, ob sie von links oder von rechts kommen.
Jetzt muss es so sein, dass sie von oben kommen.
Gut, und auch hier wieder die Frage,
wie hängen diese einseitigen Begriffe zusammen mit dem zweiseitigen Begriff?
Da gilt jetzt analoge Aussage zu Grenzwerten. Man kann zeigen,
eine Funktion ist an einer Stelle X0 genau dann stetig,
wenn sie dort auch links und rechtzeitig
stetig ist
Ähnlich wie beim Grenzwert. Da war es auch so eine Funktion,
konvergiert für X gegen X0. Bin quasi für X-Gang nichts,
nur linkszeitig und rechtzeitig konvergiert und der Grenzwert übereinstimmt.
Deswegen ist das hier keine Überraschung. Und dann haben wir
uns hier vielleicht das hier nochmal zur Wiederholung,
weil da ist viel in Teilen in dieser Abbildung.
Wenn Sie sich zum Beispiel diese Stelle vier anschauen,
dann stellen Sie fest, die Funktion ist an dieser Stelle
hier nicht stetig.
Wieso? Sie haben eine Sprungstelle
Und an dieser Sprungstelle ist die Funktion definiert, dass sie
oben ist der Funktionswert, an der Stelle 4. Sie sehen also,
die Funktion ist zwar rechtzeitig stetig,
weil wenn sie von Rechtssicht an die Stelle 4 ernähren,
dann wandern sie quasi hier auf dem Grafen und landen hier,
und das ist der Funktionswert von F an der Stelle X.0,
sie ist aber nicht linksseitig stetig,
weil wenn sie sich hier von links an die Stelle 4 ernähren,
dann landen sie quasi hier auf diesem Zweig und dann konmogieren die gegen diesen Wert hier,
das ist ungefähr 1,75, glaube ich hier.
Und das ist nicht gleich dem Funktionswert.
Er hängt nämlich hier oben. Und hier seien sie,
an der Stelle 2 ist die Funktion weder linksseitig,
noch rechtzeitig, stetig,
weil egal ob sie von links sich an zwei ernähren
oder von rechts,
die Funktionswerte konnogieren immer gegen zwei hier
Aber das zwei ist nicht der Funktionswert von F an der Stelle 2.
Das ist eins, eins ist der Funktionswert. Also,
hier könnt ihr das alles noch ein bisschen ablesen.
Aber wenn Sie zum Beispiel hier,
nehmen Sie mal an dieser Stelle 0,5,
hier an dieser Stelle 0,5, ist die Funktion stetig.
Weil wenn Sie von rechts kommen,
an die Stelle 0,5 und von links, was passiert dann?
Sie nähern sich hier von links und von rechts
immer an diese Stelle hier an. An diesen Punkten,
das ist der Funktionswert. Der liegt auf dem Grafen.
Also an allen anderen Stellen, außer an diesen 3 hier,
2, 4 und 6 ist die Funktion stetig.
An allen anderen Stellen. Also an diesen Stellen,
bis auf die Stelle 2,
4 und
Und hier, das ist hier so ein typisches Beispiel,
welches sie später haben und Statistik, da wollen sie sehen,
dass dort einseitig stetige Funktionen in Form von empirischen Verteilungsfunktionen relativ häufig vorkommen.
Aber das ist Zukunftsmusik,
das habe ich hier nur mal aufgeführt, dass sie sehen,
dass es auch sie später noch beschäftigen wird.
Gut, ein paar Beispiele hier. Dann kamen ein paar
angenehme Refolien, die nicht ganz so technisch waren.
Da haben sie gelernt, dass eigentlich so alle Funktionen,
die sie kennen,
stetig sind
Ein Grund dafür ist dieser Satz. Der Satz besagt nämlich,
wenn sie zwei Funktionen F und G haben,
die an einer Stelle X-0 stetig sind,
dann ist auch die Summe, die Differenz, das Produkt,
das Kalarivielfache, an dieser Stelle X-0 stetig.
Sogar der Quotient ist an dieser Stelle stetig. Wenn sie sichergestellt ist,
dass sie Funktion gehe, die im Länder steht,
dann an dieser Stelle X-0 nicht gleich null ist,
weil sonst klar dürfen sie das ganze Schreiben F geteilt doch gehen.
Also das Ergebnis könnte sich ganz einfach morgen,
die Summe, die Differenz, das Produkt,
der Koozent von stetigen Funktionen ist wieder stetig
Also, wenn sie zweistetige Funktionen addieren, multiplizieren,
dividieren und so weiter, kriegen sie eine neue Funktion,
aber dies zu verstetigen. Und weiter gilt auch,
das zu knüpfen, die Komposition von stetigen Funktionen ist widerstetig.
Das heißt also, wenn sie eine Funktion hernehmen,
die stetig ist und die in eine andere Funktion einsetzen,
die auch stetig ist, bekommen sie eine neuere Funktion.
Meistens ist sie komplizierter, aber die ist dann auch wieder stetig.
Die Umkehrfunktion ist stetig, also wenn sie eine streng monetonische Funktion haben,
dann gilt, dass auch die Umkehrfunktion automatisch tätig ist.
Das hat zur Folge, dass zum Beispiel Wenn die Ehefunktionen haben,
dass dann auch die Umkehrfunktion, E-Funktion ist ja streng und tonstrengend,
die Umkehrfunktion ist LN, dass der LN automatisch tätig ist.
So, und damit bekommt man jetzt folgendes. Man kann zeigen jetzt,
im Buch habe ich das auch gemacht, du könntest,
wenn sie wohl nachlesen,
man zeigt als erstes mal zum Beispiel das Monomi,
also Funktionen in der Form, x hochn.
Das ist eine ganz einfache Funktion. x hochn, dass
die stetig ist. Dann folgt jetzt aus den Sätzen,
die ich in gerade einem gezeigt habe, dass auch jedes Polynom stetig ist,
weil ein Polynom ist nichts anderes als die Summe von Monomen.
Also, wissen Sie, Polynomen sind schon mal stetig.
Wenn aber polynomisch tätig sind,
dann sind auch rationale Funktionen stetig,
weil rationale Funktionen sind ja nichts anderes als der Kotzeen von
zwei Polynomen
Ja. Und so weiter. Man kann damit also zeigen,
dass polynome rationale Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, trickonometrische Funktionen,
dass die alle stetig sind. Und sogar noch viel mehr gilt,
alle Funktionen, die sie bekommen, durch Verknüpfen,
also Einsätzen ineinander, addieren, zu trainieren, multifizieren,
dividieren, dieser Funktionen ergibt wieder eine stetige Funktion.
Deshalb ist es relativ klar, dass die Funktionen,
die ja sehr kompliziert aussehen, die sind alle stetig,
weil wenn sie sich die anschauen,
die ergäben sich als Summe, Differenzprodukt,
Verknüpfung von einfacheren Funktionen, von denen sie wissen,
dass sie stetig sind.
Zum Beispiel hier Monome, die waren addiert,
dann wird der Konzent gebildet und so weiter,
haben sie nur Betragsfunktionen und so weiter.
Das hier ist dann insgesamt wieder eine stetige Funktion oder hier.
Sie wissen, das ist hier eine allgemeine Expensialfunktion, die ist stetig.
Dann wird dann noch was addiert, das bleibt stetig,
dann wird eine Wurzel gezogen, das bleibt so eng stetig.
Hier haben sie den LN, das ist eine stetige Funktion,
das wird dividiert durch einen Polynorm.
Polynorm ist auch stetig, der Quotient von Stetting, Fyntom wird stetig.
Also ist das hier auch stetig, Betrag erhöht die Stetigkeit,
dann wird das Ganze noch multifiziert mit einer stetigen Funktion,
bleibt wieder stetig und, und, und.
Also das ist Relativ einfach alles. Trotzdem wurden sie sich
an der einen oder anderen Stelle in dieser Vorlesung und auch in
anderen Vorlesungen noch vergewissern müssen, ob eine Funktion stetig ist.
Bei diesen Funktionen, die irgendwie was zu tun haben mit LN,
E-Funktion, Polynum, rationale Funktion, ist sichergestellt,
dass sie stetig sind und alle Verknüpfungen und so weiter,
die sind alle stetig.
Aber in den Wirtschaftswissenschaften ist es häufig so,
dass es keine einzelne Funktion gibt, die ihnen den ökonomischen Sachverhalt,
den sie beschreiben möchten, adäquat wiedergibt auf den kompletten Bereich, der es interessiert.
Also oft ist es so, dass sie feststellen,
dass in einem bestimmten Intervall sie eine bestimmte Funktion brauchen,
in einem anderen in der Wahl ist es eher eine andere Funktion,
die den Sachverhalt gut beschreibt.
Also sie werden häufig solche Funktionen haben,
die abschnittsweise definiert sind
Und dann kann es sein,
auf den einzelnen Abschnitten haben sie ganz schöne, angenehme Funktionen,
von denen sie wissen, dass sie stetig sind,
zum Beispiel habe ich hier ein Beispiel,
E-Funktion ist stetig oder auf diesem Abschnitt hier ist jetzt diese rationale Funktion ist auch stetig und hier dann für x größer gleich viel,
es ist diese LN-Funktion ist auch stetig,
aber an den Übergängen, da haben sie zwei Stück hier,
bei minus drei halbe und bei vier,
wo quasi eine Funktion in die nächste übergeht,
da müssen sie noch schauen, ob dieser Übergang stetig ist,
also sie haben hier eine Funktion,
jetzt kommt hier an dieser Stelle hier der Übergang,
jetzt ist die Frage,
geht die schön glatt über in die nächste Funktion oder macht sie hier einen Sprung und hier geht dann die nächste Funktion weiter,
wir haben hier quasi da eine Sprungstelle,
wo die Funktion definiert ist und damit nicht stetig
Das ist die Frage, ob da solche Sprungstellen existieren und deshalb in
so einem Fall müssen sie dann nochmal genau sich das anschauen und das geht relativ einfach.
Sie wissen nämlich zum Beispiel, dass diese Funktion hier überall stetiges,
bis auf die Stellen, minus drei, halbe und vier.
Nur noch diese Bahnstellen müssen sie untersuchen. Also machen wir
das und wie macht man das? Man schaut sich an,
was passiert mit dem Funktionswert, wenn sie sich an so eine Stelle von links annähern und wenn sie sich von rechts ernähren. Also,
wenn sie sich an minus drei, halbe von links ernähren,
dann müssen sie diese Funktion nehmen,
weil für ex-klarner als minus drei,
halbe gilt diese Funktion, dann stellen sie fest,
wenn sie sich mit x hier oben minus drei,
halbe ernähren,
dass hier rauskommt,
dann können sie für x dann auch den Grenzübergang machen und
das dann hier einsetzen,
dann kommt hier
raus eins
Aber das ist auch der Funktionswert von F an der Stelle
minus drei halbe. Weil, das können Sie ausrechnen,
stellen Sie mal, wenn x, minus drei halbe ist,
dann müssen Sie diese Funktion nehmen und jetzt müssen Sie da
hier für x und hier unten minus drei halbe einsetzen und dann kriegen Sie raus,
dass auch tatsächlich hier auch eins rauskommt.
Also sehen Sie, wenn Sie sich von links an minus drei halbe ernähren,
kommt als Grenzwert heraus der Funktionswert von F an dieser Stelle.
Also, die ist dort stetig. Wenn Sie dagegen die andere Stelle anschauen,
die Stelle vier und sich dort von links ernähren, also,
wenn ich mich von links an die Stelle vier ernähre,
dann muss ich diese Funktion jetzt hier nehmen,
weil für x kleiner als vier gilt diese rationale Funktion hier
Da wird hier der Grenzübergang gemacht und dann kriegen sie raus,
wenn sie in den Grenzübergang bilden.
Dass da minus 26, 51 Stuhl rauskommt,
das ist aber ungleich den Funktionswert von F an der Stelle 4.
Also die Funktion ist an der Stelle 4 nicht stetig.
Hier kriegen sie also als Ergebnis, diese Funktion ist überall stetig,
bis auf die Stelle 4. Also wenn sie diese Funktion plotten würden,
dann würden sie feststellen, dass sie überall schön zusammenhängend ist,
aber an der Stelle 4 macht sie einen Sprung.
Da hat sie eine Sprungstelle. So,
dann sind wir zu ein paar Grundbegriffen gekommen, noch.
Sie haben gelernt, was ist das Infimum und zu Premium
einer Funktion
Nun, Sie haben eine beschränkte Funktion,
dann ist die nach oben beschränkt, ja,
wenn sie nach oben beschränkt ist,
dann gibt das so Geraden, die liegen drüber.
Da gibt es sogar unendlich viele, die da drüber liegen.
Und jetzt interessiert sie quasi die gerade, die sie
am weitesten runterschieben können, sodass sie noch oberhalb des Grafen liegt.
Und der Wert, also die Höhe dieser Geraden,
das ist dann das Subpremium.
Anders ausgedrückt, also mathematisch formuliert, das Subpremium ist die
kleinste obere Schranke
Es gibt unendlich viele Oper-Schranken,
aber die kleinste Oper ist das Upremium, ähnlich beim Infimum.
Sie haben eine Funktion, die ist nach unten beschränkt irgendwie.
Dann gibt es natürlich eine ganze Reihe von unteren Schranken
und jetzt interessiert sie die größte untere Schranke.
Also die Gerade, die sie gerade noch so weit hochschieben können,
dass sie nicht irgendwo oberhalb des Funktionsgrafen liegt.
Also die größte untere Schranke, das ist das Infimum.
Und wieso braucht man die Begriffe? Nun, das liegt daran,
dass manche Funktionen kein Minimum und kein Maximum besitzen,
weil es jetzt nicht einen Wert asymptodisch ernähren,
aber der nie erreichen
Also wenn Sie eine Funktion haben,
die sich quasi asymptodisch der Eins ernährt, also quasi hier gegen Eins konnogiert,
gegen diese gerade hier auf der Höhe Eins,
dann könnt ihr nicht sagen, das Maximum ist eins.
Weil wenn Sie das sagen würden, dann würde ich Sie
sofort fragen, ja, wo wird das Maximum angenommen?
Und dann können Sie mir keine Stelle nehmen, wo
dieses Maximum angenommen wird. Weil die Funktion nähert sich ja
nur beliebig genau an der Stelle eins.
Aber wird sie nie erreichen. Also gibt es kein X,
das eingesetzt in die Funktion einzugibt. Aber was Sie mir angärmen können,
ist das so Premium, die kleinste obere Schranke,
das ist eins
Also, Sie können, wenn Sie so wollen,
sich das Supreme immer ein Stück weit im Maximum vorstellen,
aber sich im Klaren, Sie müssen sich im Klaren darüber sein,
dass da ein Unterschied besteht, ein Supremium muss nicht angenommen werden.
Im Gegensatz zu einem Maximum. Ähnlich beim Minimum und Infimum. So,
ich habe schon die Begriffe erwähnt, Maximum Minimum,
dann haben Sie auch noch die Definition bekommen, die formale.
Sie müssen anschaulich alle, was ein Maximum ist,
aber man muss das formalisieren, weil später drüben ja damit rechnen.
Man braucht eine ganz prätise Definition dafür. Und man sagt jetzt,
ein X-0 aus einer Teilmenge EU des Definitionsbereiches von F ist eine Global,
eine globale, globale Maximalstelle von F auf O, wenn es gilt,
dass alle Funktionswerte von F auf dieser Menge U kleiner gleich sind.
Also wenn F und X nur der größte Funktionswert ist von
F auf dieser Menge U. Und dann schreibt man,
diese Symbole hier, Maximum von F und X für XOSO,
das ist quasi das globale Maximum.
Wenn Sie so wollen, ist ein globales Maximum ein angenommenes Supremum.
Also ein Supremum, das tatsächlich von der Funktion angenommen hat.
Da gibt es nämlich so ein X0,
wo dann gilt, dass der Funktionswert größer,
gleich alle anderen funktionswert ist
Und ähnlich ist es bei einem globalen Minimum oder einer globalen Minimalstelle.
Man sagt, X-0, Element aus einer Timing EU,
ist eine globale Minimalstelle von F auf die Sonne EU.
Wenn gilt, dass alle anderen Funktionswerte von F auf dieser
Men EU größer gleich sind, als das jetzt hier gilt.
Also ein globales Minimum ist, wenn sie so wollen,
ein angenommenes Infinum
Dann haben wir uns da ein Beispiel angeschaut hier und ich hoffe,
sie haben das alles mal versucht,
ein bisschen nachzuvollziehen zu Hause und dann kriegen sie da ein bisschen Übung,
um zu unterscheiden, was ist jetzt eigentlich ein Infimum,
was ist ein Soupremum.
Ich kann Ihnen da immer viel erzählen, kann versuchen,
das möglichst anschaulich zu machen, aber sie waren nicht dran vorbeigekommen,
sich mal solche Beispiele anzuschauen,
um es dann wirklich auch richtig zu verstehen.
Aber wenn Sie sich die Zeit nehmen und sich nochmal
die Definition genau anschauen, dann denke ich,
dass diese Begriffe ihnen dann irgendwann mal keine größere Schwierigkeiten bereiten.
Nur, Sie müssen sich daran gewöhnen.
Sie werden im weiteren Verlauf des Studiums oftmals Definitionen sehen,
wo nicht Minimum und Maximum steht, sondern in Fimmung und so Premium.
Und da müssen Sie wissen, warum,
was das bedeutet, wie Sie das zu interpretieren haben und
die Gründe habe ich ihnen genannt
So, und jetzt natürlich noch der Begriff des lokalen Minimums
und des lokalen Maximums. Das ist natürlich eh nicht definiert
wie das globale Minimum und das globale Maximum.
Nur Dynamo sagt es, sind das jetzt maximal oder minimal,
die nun einer bestimmten Umgebung, die Größen oder Kleinsten Werte sind.
Und wie formalisiert man das? Nun, ein X-0 aus
dem Definitionsbereich heißt lokale Maximalstelle. Wenn es gilt,
dass der Funktionswert an dieser Stelle X-0 größer gleich ist,
wie alle anderen Funktionswerte in einer solchen Absolutengelbung von X-0.
Das heißt also, sie betrachten jetzt alle X aus D,
die in diesem Intervall auch liegen.
Also sie müssen im Definitionsbereich liegen und in diesem Intervall hier
Und dieses Äpsteln kann sehr klein sein, das muss halt
größer sein als null. Und das heißt also,
sie haben hier, dass diese Umgleichung nur gilt,
in unmittelbarer, in einer ummelbaren Umgebung von X0.
In dem Sinne ist es quasi null lokal. Es kann
genauso sein, sie haben hier so einen Hochpunkt hier.
Also hier geht es so hoch, nahmen sie hier diesen Hochpunkt
und in unmittelbare Umgebung, davon sind die Werte kleiner.
Und dann geht die wieder runter und dann keine Zeit,
geht nachher wieder hoch.
Und dann kamen sie sogar noch größere Werte und Umständen.
Aber das ist dann schon wieder außerhalb diesem Intervall.
Ähnlich bei einer lokalen Minimalstelle
Und dann habe ich hinter einem Bildschirm gezeigt,
wo sie sehen, wie das Ganze sich so gestaltet.
Da sehen sie, die globale Maximalstille ist hier.
Also hier unten, und das ist das globale Maximum,
die globale Minimaßstille ist hier, das ist hier das globale Minimum.
Und dann sehen sie, wir haben eine ganze Reihe von lokalen Minimalstellen.
Zum Beispiel ist das hier eine lokale Minimalstelle,
weil in unmittelbarer Umgebung davon sind die Funktionswerte nur größer.
Auch das hier ist eine lokale Minimalstelle hier,
weil in unmittelbarer Umgebung davon sind die Funktionswerte größer.
Und auch das hier ist eine lokale Minimalstelle,
also oder lokales Minimum
Und ähnlich mit den lokalen maximal. Das ist hier eine
lokale Maximalstelle, weil hier, das ist lokales Maximum,
säen sie in unmittelbarem Gebung davon, sind die Werte kleiner.
Ähnlich hier und hier. So,
und dann sind wir zu den tollen Eigenschaften übergegangen,
die, nein, nicht der tollen Eigenschaft von Städten,
die Funktionen, die kommen erst noch.
Das ist eine tolle Eigenschaft von Convercen und Konkarvenfunktion.
Sie wissen ja schon aus der Schule,
und das wird ein weiteren Verlag dieser Vorlesung, ja,
uns stark beschäftigen, dass wir Funktionen haben,
die wir quasi minimieren oder maximieren möchten.
Das heißt, wir möchten die Minimal- und Maximalstellung berechnen
Aber es ist klar,
dass sie im Prinzip das globale Maximum interessiert und das globale Minimum,
wenn sie zum Beispiel, nehmen wir an,
dass diese Funktion dieser Graf beschreibt, irgendwie einen ökonomischen Fachverhalt.
Und sie möchten diese Funktion maximieren, dann interessiert sie natürlich,
diese Stelle hier, dieses Maximum interessiert sie, nicht ein lokales,
hier das hier oder das hier oder das hier,
sondern dort, wo die Funktion den größten Wert einnimmt.
Aber wie finden Sie jetzt diese Werte? Und das ist nicht
so einfach. Sie werden später sehen, das Instrumentarium,
das wir an die Hand bekommen, ist eigentlich nur geeignet,
um lokale, maximal und minimalstellend zu identifizieren, mit ableiten und so weiter.
Sie kennen das, ich bin die erste Abladung,
setzen gleich null, schauen sich dann die zweite Ableitung an,
ob die größer oder kleine null ist und so weiter,
das kommt alles nochmal.
So macht man das ja, aber das ist nur geeignet
im Prinzip, um lokale, maximal,
um Minimalständen zu identifizieren.
Sie möchten aber
die globalen
Und da gibt es einen schönen Spitarfall,
wo sie sich da gar keine Sorgen drum machen müssen.
Und das sind Konvexe und Konkafe-Funktionen. Es gilt nämlich
dieser Satz, wenn Ihre Funktion konvex ist,
dann ist ein lokales Minimum automatisch auch das Globale.
Das ist dann wirklich der Wert, wo die Funktion den kleinsten,
den absolut den kleinsten Wert nimmt. Und wenn sie Konkafe ist,
dann ist ein lokales Maximum automatisch auch das globale Maximum.
Das heißt also, bei Convexen-Funktionen und Konkafen-Funktionen reicht es,
wenn sie einfach die lokalen extremer bestimmen,
weil das sind automatisch dann auch die globalen.
Sie werden aber sehen, im Allgemeinen bei anderen Funktionen,
die Nicht-Konverks und Nicht-Konkafe sind,
werden wir erstmal nur die lokalen bestimmen
Und bei den, da müssen wir uns später noch
die lokal extremer anschauen, müssen schauen,
welche von diesen lokalen extremer ist denn tatsächlich auch das globale.
Also da hat man doch noch einen Schritt mehr Arbeit zu tun.
So, netzt du den schönen Eigenschaften von stetigen Funktionen.
Das durfte jetzt neuer Stoff sein. Das erste Ergebnis ist
der Satz vom Minimum und Maximum. Ich habe Ihnen gesagt,
dass der Grund für die Betrachtung des Infimums und zu Premiums ist,
dass manchmal sein kann,
dass eine Funktion gar kein Maximum-Minimum-Minimum besitzt
Aber bei stetigen Funktionen auf einem abgeschlossenen und beschränkt in der Wahl kann Ihnen das nicht passieren.
Das ist die Aussage von diesem Satz. Geht nämlich wie folgt,
wenn Sie eine Funktion F haben, die stetig ist,
also FC ist stetig, und auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall definiert,
dann sagt dieser Satz aus,
dass es eine globale Minimaßstelle X1 gibt und eine globale Maximalstelle X2.
Also dieses Minimum, diese Funktion besitzt ein globales Minimum und ein globales Maximum.
Also es gilt, dass F&X1 kleiner, gleich F&X ist,
und das ist klar und gleich einfach nichts zwei,
für alle X-Dos im Intervall.
Also X1 ist das globale Minimum und X2
ist das globale Maximum
Also bei stetigen Funktionen auf abgeschlossenen, beschränkten in der Wahlen
wissen sie schon mal, dass es globale Extremer gibt.
Nur das Problem ist jetzt,
wenn sie die ausrechnen wollen, wo die liegen.
Sie möchten manchmal nicht nur wissen, ob es welche gibt.
Also nicht nur die Existenzfrage klären, sondern die dann auch berechnen,
da hilft ihr in dieser Satz nicht nur weiter.
Der sagt nur, für stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen und
beschränkten in der Wahl gibt es die.
Aber wo die liegen, hilft ihnen dieser Satz nicht weiter.
Da waren sie Serien, brauchen wir dann die Differenzialrechnung dazu.
Also es ist nun ein Existenzsatz.
Noch zwei weitere Ergebnisse, die versteht die Funktion gelten
Ja. Dazwischen der Satz ist auch relativ anschaulich,
dieses Ergebnis. Wenn sie wieder eine stetige Funktion haben,
auf einem abgeschlossenen Beschränk in der Wahl, ist wieder genau die gleiche Voraussetzung.
F sei stetig und definiert auf einem abgeschlossen und beschränkt in der Wahl,
dann ist die Aussage die, dass sie von jedem beliebigen
WRC zwischen dem Kleinsten und dem größten Funktionswert von F. Ein X-0-Gip-U-F genau diesen WRT ernimmt.
Also sie können beliebiges C wählen, aus diesem Intervall,
also zwischen dem Kleinsten und dem größten Funktionswert von F.
Und dann gibt es zu diesem WRC eine Stelle X-0,
wo F genau diesen WRC ernimmt
Und das ist das eigentlich so klar? Sie haben eine Funktion,
die ist definiert auf dem Intervall von A bis B. Und jetzt wissen Sie die stetig.
Die ist da aber auf dem Abgestoßenen beschränkt in der Wahl definiert.
Das heißt, die können gar keine Sprungstellen haben, wenn sie stetig ist.
Sie durfte nur dann eine Sprungstelle haben und trotzdem noch stetig sein,
wenn es in x-0 gibt, wo sie nicht definiert ist.
Aber dann wäre es ja nicht auf dem kompletten Intervall von A bis B definiert.
Also die hat also einen Grafen, der ist irgendwie,
also der zusammenhängt, zum Beispiel wie hier gezeichnet hier,
da gibt es keine Sprungstellen. Und das ist ja klar,
wenn sie jetzt irgendwann Wert nehmen,
zwischen dem größten Funktionswert und dem kleinsten,
hier auf diesem Niveau hier und zeichne jetzt hier eine Horizontale ein,
dann wird diese horizontale irgendwo den Grafen schneiden, mindestens einmal,
vielleicht sogar öfters.
Weil sie macht ja keine Sprünge, diese Funktion.
Das muss stattfinden. Es könnte nur sein,
aber das weiße Städtige ist, ist das nicht möglich,
dass sie hier von diesem WRC keinen Funktionswert nehmen.
Wenn sie jetzt hier einen Sprung macht an dieser Stelle und
dann gleiche Uni jetzt weitermacht hier. Oder hier an dieser
Stelle einen Sprung macht, wenn er sie unweiter macht.
Aber da sie stetig ist, ist das nicht möglich.
Also sie können zu jedem beliebenden Funktionswert zwischen dem Kleinsten und
dem Größten immer ein Eknull finden von dieser Funktion,
wo dieser Funktionswert genau angenommen wird
Das ist die Aussage Zwischenwertsatz. Jeder Wert wird angenommen zwischen
dem Kleinsten und dem Größten Zwischenwertsatz.
Geht nur vor stetige Funktion auf abgeschlossen und beschränkte Wahlen.
Ja, und da haben Sie gleich eine ganz schöne Folgerung.
Wenn jetzt gilt, dass das Produkt der Funktionswerte am Äußeren,
also am linken in der Wahlgrenze und der Rechner in der Wahlgrenze negativ ist.
Als Sie sie nehmen, die Link-Intervallgrenze setzen das ein und
dann nehmen Sie die Rechte, setzen das ein und bilden das Produkt.
Wenn dieses Produkt negativ ist, was bedeutet denn das
Genau einer der beiden Faktoren negativ ist. Entweder F&A und F&B.
Das heißt also, entweder links oder rechts vom Intervall ist
die Funktion negativ und dann zur anderen Zeit ist sie positiv.
Das muss also in die Funktion sein.
Zum Beispiel hier startet im Positiven bei F&A ist positiv und da
muss sie, die können irgendwie verfahren,
aber bei F&B muss sie dann negativ sein.
Aber da wir wissen, das sagt der Zwischenwertsatz,
da sie zwischendrin jeden Wert einnimmt.
Wissen wir, sie muss eine Nullstelle haben.
Sie muss irgendwo
die X-Achse geschnitten haben
Genauso, wenn sie links einen negativen Wert haben,
bei A, FNA ist negativ,
und dann die Stille B ist F&B positiv,
dann wissen sie, die muss irgendwo die X-Akte geschnitten haben,
sonst kommen sie gar nicht so hoch.
Das sagt sie in der Zwischenwert, sagt jeder Wert,
zwischen F&A und F&B wird angenommen. Und da F&A zum Beispiel
positiv ist und F&B negativ, muss sie irgendwo null werden.
Also es gibt eine Nullstille. Das ist der sogenannte Nullstellensatz.
Das folgt unmittelbar aus dem Zwischenwertsatz. Also sie haben jetzt gelernt,
eine stetige Funktion,
die auf einem abgeschlossenen und beschränkt in der Wahl definiert ist,
und wo sie wissen,
dass sie an der einen Intervahlgrenze die Funktion positiv,
an der anderen negativ ist,
dass es
eine Nullstille geben muss
Unchale ich, Unchale ich eigentlich auch klar. Nur,
dass sie beweisen, ist gar nicht so einfach.
Sie sehen, ich habe ihnen den Beweis des Zwischenwertsatzes,
wo ja der Nullstelnsatz folgt, gar nicht angegeben.
Weil man muss schon ein bisschen arbeiten, bis man dieses Offensichtliche bewiesen hat.
Aber auch dieses Ergebnis ist noch nicht ganz befriedigend,
weil der Satz sagt ihnen nicht, wie sie diese Nullstelle bekommen.
Er sagt ihnen nur, es gibt eine,
aber nicht,
wo die liegt
Und wie man das bestimmen kann, wie man solche Nullsternen
bestimmen kann, das wissen sie zum Teil schon.
Sie haben ja gelernt, dass man zum Beispiel wieder
PQ-Formel oder Mitternacht-Formel für quadratische Funktionen null Stellen berechnen kann.
Sie wissen auch für andere einfache Funktionen, die das manchmal funktioniert,
zum Beispiel durch Ausklammern von einem X und so weiter.
Aber im Allgemeinen haben sie noch kein Lösungsrezept,
wenn die Funktion ein bisschen komplizierter ist.
Und da waren wir uns sehr dominährungsverfahren beschäftigen.
Sie kriegen das Judenverfahren, sie kriegen noch das Sekantenverfahren geliefert,
mit dem sie quasi dann auch für komplizierte Funktionen
Nullstern berechnen können
Hier ist ein Beispiel für eine Funktion,
wo es sie nicht so einfach nullstern ausrechnen könnten.
Hier diese Funktion. Die könnte nicht einfach analytisch auflösen nach X.
Es wird ihn nicht so ohne weiteres gelingen. Aber trotzdem können
sie relativ schnell argumentieren, dass es eine Nullstelle gibt.
Im Interview von 0 bis 2. Wieso definieren sie einfach mal diese Funktion F hier,
wo sie einfach hier diesen linken Teil der Gleichung hernehmen,
das ist ihre Funktionsvorschrift.
Und jetzt setzen sie den Wert 0 ein ihres Intervalls.
Wenn sie das hier einsetzen, bekommen sie minus 5 voraus.
Das fällt hier weg. Es gibt 0, das gibt hier auch 0,
da haben sie hier minus 5 Mal eh hoch null,
aber eh auch null ist 1, also haben sie minus 5 mal 1, also minus 5.
Das ist negativ. Setzen sie die andere Intervallgrenze 2 ein,
hier, wenn sie da ein bisschen rechnen, kriegen sie raus,
das ist 4, minus 25, 3 doch eh hoch 2,
das ist eine Zahl größer als null, wenn sie das ausreichen mit dem Taschenrenner. Also wissen Sie,
diese Funktion F ist auf dem Intervall von 0 bis 2 stetig,
weil es ist überall eigentlich stetig, stetig,
ist eine Zusammensetzung von Monomen und Exponentialfunktion,
da hat man Differenzen und Zumgebildet, das bleibt stetig alles,
also auf diesem Intervall von 0 bis 2 ist die auf jeden Fall stetig und sie wissen,
links in diesem Intervall null ist sie negativ und rechts,
weil 2 ist sie positiv, also sagt dazwischen wird so,
es muss eine Nullstille geben.
Aber wo die liegt, da hilft in dieser Seite
nicht weiter
So, der Nullstellensatz oder allgemein der Zwischenwert hat,
der hat für viel ökonomische Fragestellung eine große Bedeutung,
weil sie werden sich wahrscheinlich in der einen oder anderen VWL-Vorlesung vor allem damit beschäftigen,
dass bestimmte ökonomische Systeme ein Gleichgewichtszustand besitzen.
Und wenn Sie solche Fragen stellen, untersuchen,
er interessiert sie manchmal gar nicht, wo dieser Gleichgewichtszustand liegt,
sondern nur, ob es einen gibt.
Und da hilft ihnen dann oftmals der Zwischenwertzeit weiter.
Also den werden Sie sicherlich auch an der einen oder anderen
Stelle in einem Studium noch benötigen.
So, und jetzt kommt ein konstruktives Ergebnis,
also etwas, mit dem Sie wirklich rechnen können.
Das ist der Fixpunktsatz von Banach
Da hilft Ihnen Gleichungen zu lösen. Aber die gleichen müssen
eine bestimmte Struktur haben. Nämlich diese Gleichungen müssen so aussehen.
Sie müssen eine sogenannte Fixpunktgleichung haben. X-gleich F&X. Erinnern Sie
sich an den Jahre Algebra. Da haben wir uns
mit Eigenwertproblemen beschäftigt. Da haben wir die Fragestellung untersucht,
gibt es ein Back to X,
der multipliziert mit einer Matrix A gleich Lamda mal X so gibt,
als wo der Vector X auf sein Land auf Fahres abgebildet wird.
Und das ist so eine ähnliche Fragestellung hier. Nur,
dass wir halt jetzt eine allgemeine Funktion F haben.
Und wir sind interessiert daran, ob es ein X gibt,
das durch F wird auf X abgebildet wird
Und da ist es jetzt so,
dass sie jetzt gleich sehen würden,
dass bei bestimmten stetigen Funktionen sichergestellt ist,
dass es so ein X gibt und wie man das sogar berechnen kann.
Also relativ einfach berechnen dieses X. Also dieser Wert X,
der diese Gleichung hier erfüllt, wird als Fixpunkt von FB2,
weil der wird quasi von F nicht bewegt.
X wird durch F wieder auf X abgebildet. So,
und die Idee ist die folgende,
um diesen Fixpunkt dann zu berechnen,
sie wären ein Startwert X0,
ein Belieblingsstadtwert
Und dann bilden sie solche Werte hier. Die nehmen quasi
X-0, setzen erst in F1, dann kriegen sie X-1.
Und dieses X-1 setzen sie wieder in F ein, dann bekommen sie X-2.
X-2, setzen sie wieder in F ein, dann bringt X-3.
Und dann bekommen sie quasi eine Folge von Werten,
Iterationsfolge über diese Folge bezeichnet. Und man kann dann zeigen,
dass bei stetigen Funktionen, die eine gewisse Zusatzeinschacht erfüllen,
die ich ihnen gleich zeigen werde,
dass quasi diese Folge konvergiert, gegen diesen Fixwert,
oder Fixpunkt,
Also den sich beliebig genau ernährt. Das erscheint jetzt erstmal verblüffend,
dass dir so einfach geht. Ich nehme ins Stadtwert X0 her,
setzt in den F ein, dann bekomme ich ein X1.
Das setze ich wieder in F ein,
bekomme ich ein X2 und so weiter.
Und da ist diese Werte sich immer mehr, diesen Fixpunkt ernähren,
ist erstmal nicht klar. Aber sie waren es gleich sämen,
man kann das anschaulich darlegen, warum dem so ist.
Aber erstmal das Ergebnis ist ein ganz bekanntes Ergebnis aus Analysis.
Dass das sicherstellt. Und das Ergebnis ist nicht so kompliziert.
Wir haben die Funktion auf einem abgeschlossenen in der Wahl
mit der folgenden Eigenschaft
Nämlich, dass die Funktionswerte an zwei Stellen X und Y,
wenn sie da die Differenz betrachten und den Betrag drüberworfen,
dass es immer gleich mal gleich Kuh mal den Betrag von X minus Y
ist und Kuh muss eine konstant Design kleiner als eins.
Was bedeutet das? Die Funktion hat die Eigenschaft,
dass ihre Funktionswerte immer enger beieinander liegen als die O-Bilder,
weil das Kuh sollen wert sein, kleiner als eins.
Also liegen hier, wenn das hier gilt,
diese Ungleichung, liegen hier die Funktionswerte enger beieinander
als hier X und
Wenn Sie so eine Funktion haben, kann man sagen,
dass Sie automatisch auch stetig ist,
also eine Funktion mit dieser Eigenschaft ist automatisch stetig und dann skillt die folgende Aussage,
wenn Sie jetzt hergehen und das machen,
was ich gerade beschrieben habe, nämlich dieses Iterationsfolge,
wir bilden hier diese Folge nach diesem Rechengesetz hier,
Sie nehmen den Wert X-0 her, einen beliebigen Stadtwert,
setzen den in den F ein, das gibt ihr X-1,
das setzen Sie wieder in den F ein,
das gibt X-2, das X-2 setzen Sie wieder in F ein,
gibt X-3 und so weiter, dass diese Folge von Funktionswerten,
wenn Sie das beliebig oft wiederholen,
sich immer mehr diesen Fixpunkt X-0 ernährt,
also einem Wert X für den gilt,
einem Wert X von dem gilt als Effen
X gleich
Und es gelben sogar noch diese Fehlabschätzungen.
Das eine ist die sogenannte Apriouri-Fehlabschätzung, das zweite die Aposto-Jori-Fehlabschätzung.
Die geben ihnen an, wie groß der Fehler ist,
denn sie machen, wenn sie irgendwann mal aufhören, weiter anzunähern.
Nämlich, dass quasi das Entefolgenglied, das sie so berechnen,
von dieser Folge, die sich im Fixpunkt ernährt,
ein Abstand hat zu dem gesuchten Fixpunkt, der Kleiner gleich diesem Ausdruck hier ist.
Und das können sie ausrechnen, relativ einfach,
wenn sie den Stadtwert haben und den ersten Iterationswert und diese Schranke-Kuh,
dann könnt ihr diesen Pferd ausrechnen.
Und das ist eine weitere Abschätzung, da brauchen sie halt
das Folgenglied XN und XN plus 1.
Also sie wollen gleich ein Beispiel sein,
wie sie sein,
wie man das ausrechnet
Aber jetzt hier noch mal zur Interpretation, dass Sie sehen,
dass es eigentlich gar nicht so verblüffend ist.
Kann man geometrisch veranschaulichen, was da passiert? Was machen
wir denn? Wir haben eine Funktion F. Und setzen die
gleich X hier. Das könnt ihr auch so auffassen,
sie haben eine Funktion F und dies setzen sie gleich einer
anderen Funktion, nehme ich mit der ganz einfachen Funktionsvorschrift X.
Und das ist durch die Winkelhalbierende. Y und gleich X
ist die Winkelhalbierende. A, sie suchen den Schnittpunkt
dieser Funktion F mit der Winkelhalbierenden, den suchen sie.
Hier seid ihr das, sie haben die Funktion
Und sie haben die Winkel happy und die.
Und jetzt suchen sie, das X, wo das gilt,
das F von X gleich Diss und Winkel happy und dann ist,
also gleich X ist.
Sie suchen diese Stelle hier, wo iPhone X gleich X ist.
Und wie macht man das? Die Iterationsvorschrift geht wie folgt,
die wählen beliebigenden Stadtwert. Der ist jetzt hier mit X-0 angegeben.
Jetzt nehmen sie diesen Wert X-0 und setzen denen die Funktion ein.
Dann lernen sie hier oben, das ist der Funktionswert,
an der Stelle X-0. So. Jetzt setzen sie das gleich.
Also das gibt ihnen ihr X-1, soll das ja geben,
aber wie bekommt sie dieses X-1? Das ist hier,
sie setzen das 1, das X-0,
das gibt ein F von X-0 und das soll ihr X-1 ergeben.
Wir bekommen es jetzt dieses X-1. Nur das geht ganz einfach
. Das ist hier ihr Funktionswert, F und X-0,
das soll ihr X-1 dann sein
Also, wie bekommt sie aber jetzt das Zügegewährte unten auf
der X-Achse? Sie gehen einfach her,
fahren hier horizontal rüber, bis sie die Winkelhaarbierende schneiden.
Und dort haben sie den gleichen Funktionswert noch. Das ist auch
immer noch Aphonic 0, das ist die gleiche Höhe.
Aber hier an dieser Stelle, dieser Punkt hat die Eigenschaft,
dass auch das O-Bild, der gleiche, der gleiche Wert ist.
Also, wenn sie hier jetzt runtergehen, dieser Abstand hier.
Von hier bis hier, das ist gleich F&X 0,
das ist diese Strecke hier. Jetzt haben sie hier F&X 0,
das ist aber gleich ein X1. So,
und dieses X1 nehmen sie wieder und setzen das ein in
die Funktion F.
Dann lernen sie hier
So, und jetzt machen Sie genau das Gleiche.
Jetzt möchten Sie dazu den Zugehen Wert haben,
weil F und X1 soll ja X2 ergeben.
Und den zu bekommen, gehen Sie jetzt hier so rüber,
bis Sie hier die Winkelhabbier und die Schneiden, da sind Sie hier.
Und wenn Sie jetzt runtergehen, bekommen Sie X2.
Das setzen Sie wieder ein in die Funktion,
dann gibt es F und X2 und der soll dann Ihr Extra geben,
dann gehen Sie quasi hier hoch, F und X2 ist hier oben.
Und jetzt, das ist hier F und X2,
das soll gleich X3 ergeben.
Also gehen Sie hier so rüber, bis Sie die Winkelhabbier unterschneiden,
gehen jetzt hier wieder runter und dann haben Sie die Ohren hier X3.
Das setzen Sie wieder ein in die Funktion F.
Dann ist das hier F und
Und das soll jetzt X4 Game,
also gehen Sie wieder hier so rüber und so weiter.
Es ist einem was passiert, wie Sie sich hier immer mehr diesen Schnittpunkt ernähren.
So funktioniert dieses Vorgehen. Und das geht nur dann,
wenn F die Eigenschaft hat, dass die Funktionswerte näher beisammlingen als die U-Bilder.
Weil wenn das nicht der Fall wäre, zum Beispiel,
wenn die Funktionswerte ganz weit auseinander liegen,
das ist bei Funktion gegamed, die eine ganz starke Steigung haben.
Zum Beispiel bei X Quadrat,
wenn Sie da die Differenz anschauen zwischen zwei und drei,
U-Bilder 3, da steht die Differenz 1.
Wenn Sie das einsetzen in die Funktion,
haben Sie einmal bei X Quadrat 4 und das andere Mal 9,
wenn nicht die Differenz schon fünf
Also x Quadrat würde diese Eigenschaft nicht erfüllen.
Und daher könnte es dann sein, bei solchen Funktionen,
also da muss es keinen solchen Fixpunkt geben,
weil da kann es sein, sie haben so eine Funktion,
die fängt hier an und die haut ihnen hier ab,
weil sie ganz stark, ganz stark gesteigen hat.
Dass es da gar keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt,
weil die einfach so stark ansteigt,
dass sie ihnen vorher sich wegrümmt von der Winkel-Halbyunte.
Aber wenn die Steigung flach ist,
dann müssen sie irgendwann einmal hier diese Winkelhabierende schneiden.
Das hängt oder das ist hier diese Bedingung Kuh.
Also wenn sie sich damit beschäftigen und sie ein paar Gedanken machen,
dann wollen sie sehen,
dass es gar nicht
so unplausibel ist
So, und jetzt wendet man das Ganze mal an.
Stellen Sie sich vor, Sie müssen diese Gleichung hier lösen.
Dann ist es gar nicht so einfach,
weil Sie können die Mitternachtsformel nicht einwenden.
In X könnt ihr auch nicht ausklammern. Also ist es erstmal
gar nicht so einfach, das jetzt hier zu lösen.
Sie werden später mit dem Judenverfahren eine Methodik lonnen,
wo das lösbar wäre, relativ leicht lösbar wäre.
Aber Sie können es jetzt auch anders lösen.
Nämlich mit dem Fixpunktsatz von Bernach geht das.
Nämlich, wie folgt, Sie definieren diese Funktion hier.
Sie bekommen Sie einfach, indem Sie diese Funktionsgleichung hernehmen und
jetzt auf Bein sein durch zwei dividieren.
Es steht hier links
Ein Viertel mal x hoch 3 plus ein Fünftel.
Dann haben sie quasi x gleich einem Tom. Und das rechts,
das ist ihr Funktionswert, Ephonics dann hier, das hier.
Dann haben sie quasi genau diese Situation hier.
x gleich Ephonics. Und jetzt schauen wir uns diese Funktion
erst mal an, ob die, die Voraussetzung erfüllt,
dass man den Satz von Banach anwenden können.
Diese Funktion müssen wir uns anschauen. Schauen wir uns mal
das Bild an, den Betrag der Differenz von Zwahlbildern.
Das ist hier der Funktionswert ausgewählt an der Stelle X.
Und das ausgewertet an der Stelle Y. Das säen sie da
kürzlich dieses ein Fünftel hier raus und dann sind sie hier.
Das ein Viertel könnte rausziehen
Was sind Sie hier? Und jetzt, wir interessieren uns
für X und Y im Intervall von 0 bis 1.
Nur da interessieren wir uns für diese Werte. Und dann werden Sie ein bisschen umprobieren,
Sie können auch den Taschenrenner zur Hälfte nehmen,
dann werden Sie relativ schnell einsehen,
dass im Intervall von 0 bis 1 X hoch 3 einen kleinen Abstand von Y hoch 3 besitzt,
wenn X und Y immer Werte sind zwischen 0 und 1 als X von Y.
Weil dieses Hoch 3 macht die Abstände kleiner,
wenn Sie sich im Intervall von 0 bis 1 befinden.
Deshalb, es gilt diese Ungleichung hier,
dass das hier die Funktionswerte Der Abstand der Funktionswerte,
klar und gleich ist, als der Abstand der U-Bilder mal ein Viertel.
Das ist quasi ihr Kuh hier. Und das ist kleiner als eins.
Wir haben also gezeigt, die Voraussetzung des Satzes und Beinach
ist erfüllt. Und jetzt sagt uns der Satz,
wenn wir diesen Fixpunkt bestimmen möchten, geht es ganz einfach,
wähle einfach einen Startwert und setzt ihn immer wieder in die Funktion F ein.
Und die Folge, die Werte, die dann resultieren,
werden sich immer mehr diesem Fixpunkt ernähren. Und das machen wir mal,
als Wert habe ich null gewählt, X-0 sei nur,
wenn sie das dann einsetzen in die Funktion hier und dann stellen sie fest,
es gibt hier nur ein Fünftel, also kommt ein Fünftel raus,
das ist 0,2 hier.
Jetzt nehmen sie diesen Wert 0,2, setzen wieder einen in F,
dann kommt raus, 0,202 und so weiter.
Diesen Wert setzen sie wieder ein in F,
dann kriegen sie diesen Wert und so weiter.
Und das konvergiert relativ schnell. Sie haben schon quasi an
der vierten Stelle den tatsächlichen Wert erreicht, wo quasi gilt,
dass X gleich iPhone X ist, an diesen Fixpunkt berechnet.
Sein, wenn sie es unendlich oft wiederholen würden,
also quasi beliebig genau berechnet, haben sie genau die gleiche Zahl,
die sie quasi schon nach der vierten Interration haben.
Und das können sie zum Beispiel auch fehlerabschätzung sich anschauen,
wenn sie es so wollen.
Zum Beispiel könnten sie jetzt ausrechnen, wie groß ist X 3
Also nimm sie mal an, in diesem Wert noch nicht.
Ich habe das ja jetzt weitergeverfolgt und weiß jetzt,
das ist schon der richtige exakte Wert.
Ich meine, sie hätten nur diesen Wert hier.
Und sie möchten jetzt wissen,
wie stark wer sich vom Tarzan den Fixpunkt entfernte oder abweicht,
dann könnte es hergehen und diese Apriori-Abschätzung oder Apostriori-Abschätzung verbinden.
Und dann gilt, dass X3 vom Tatsachen Fixpunkt ein Abstandbesitz
der Klane gleich diesen Traum hier ist.
Und da setzen sie einfach ein, was sie für X1
und für X0 haben. Kuh ist ein Viertel,
das setzen sie einfach hier ein an diesen Stellen hier.
Und dann rechnen sie das aus und dann stellen sie fest,
dass X3 vom Fixpunkt nur einen Abstand haben kann,
der weniger ist als
Und mit der anderen bekommen sie sogar mit anderen Abschätzungen noch eine bessere Abschätzung hier.
Das sagt, dass X3 von diesem tatsächlichen hin tatsächlichen Fixpunkt
weniger als 8,08 mal 10 hoch, minus 5 entformt ist.
Hatte die ersten fünf Stellen sind schon mal null.
Also das ist der Fixpunktsatz von Bernach. Sie haben jetzt,
also schon mal ein Ergebnis kennengelernt, mit dem sie Gleichungen lösen können.
Voraussetzung ist aber, dass ihre Gleichung von dieser Form ist.
Das kann man aber relativ oft herstellen, indem man quasi geeignet umformt,
dass man die Gleichung hat, X gleich einfach nix.
Links steht in X und rechts steht irgendwie eine Funktion.
Und dann müssen sie ja noch nachweisen,
dass diese Funktion direkt steht,
diese Angschaft hier besitzt hier
Wenn das erfüllt ist, dann könnt ihr ganz einfach diesen Fixpunkt berechnen.
Eigentlich ein erstaunliches Ergebnis und das ist auch der Grund,
oder erstaunlich ist es nicht so,
wenn man sich die geometrische Veranschaltlichung anschaut,
aber es ist so einfach, dieses Ergebnis,
dass man diesen Fixpunkt wirklich so einfach berechnen können.
Immer nur ein Stadtwert wählen und den dann einsetzen,
die Funktionen und dann konnotiert das automatisch.
So viel dazu, kommen wir zum nächsten Kapitel, Differenzierbarkeit.
Da haben sie ja alle schon sehr gute Vorkenntnisse.
Ich gehe davon aus, dass sie sich während ihrer Schulzeit,
Abglase 10 wahrscheinlich, vielleicht auch erst elf,
relativ ausführlich mit dem Ableiten von Funktionen
beschäftigt haben
Gut, was jetzt kommt, greift das alles nochmal auf.
Also ich wiederhole das alles noch einmal,
was sie dann in der Schule gemacht haben.
Nur der Unterschied wird der sein, in der Schule haben sie
sich da wahrscheinlich ein halbes Jahr oder ein Jahr dann beschäftigt.
Und bei mir waren es 30 Minuten sein.
35, vielleicht sind es auch 40 Minuten.
Ich war da
alles behandelt
Also ich werde Ihnen zeigen, wie ist das definiert,
was heißt Differenzierbarkeit noch einmal?
Wie ist das exakt definiert? Wie kann man das anschaulich interpretieren?
Welche Funktionen sind differenzierbar und wie rechnet man die erste Ableitung aus?
Also dann kommen wieder so Dinge wie Kettenregel, Produktträger, Quazentenregel.
Das wird alles kommen. Aber ich werde das machen,
wahrscheinlich wieder auf eine Art und Weise,
die ein bisschen formaler ist als in der Schule,
weil wir das später ja verallgemeinern möchten.
Also das Ziel wird ja sein, dann in späteren Kapiteln,
dass wir das Gleiche machen für Funktionen,
die nicht nur von einer Variable abhängen, sondern von beliebig vielen.
10, 20, 100 oder 1000 Variablen.
Und um da quasi diesen Schritt gehen zu können,
Dass sie sehen, dass es wirklich eins zu eins dasselbe ist,
müssen wir jetzt ein bisschen mehr reinstecken, dass sie später ein bisschen einfacher wird.
Aber sie waren sehr, so wie ich das mache,
durfte ihnen das nicht ganz unbekannt sein.
Also auch sie haben wahrscheinlich schon gehört,
in der Schule oder das so eingeführt, dass das Ableihen,
die erste Ableitung einer Funktion eigentlich nichts anderes ist,
als die Stellung der Tangent von dieser Funktion an dieser Stelle.
Und so werden wir auch den Ableitungsbegriff einführen. So,
und ich weise da nochmal darauf hin,
dass ihnen auch die Tragweite dieses Momentes bewusst ist,
wir beginnen jetzt quasi mit der Infitestimalrechnung.
Das heißt also, mit dem ersten Teil der Infitestimalrechnung,
die besteht nämlich aus Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit.
Und damit, da würde ich jede Wette eingehen,
lernen sie wahrscheinlich die größte Errungenschaft der Menschheit kennen.
Also es ist tatsächlich so, es gibt sicherlich viele,
die würden jetzt sagen, okay,
es gibt die ein oder andere Kunstdisziplin oder in der Musikwissenschaften oder in der Biologie oder Naturwissenschaften,
wo man ja auch Bedeutendes geleistet hat.
Aber glauben Sie mir, und ich denke mir, ich glaube auch,
dass die meisten da auch aus anderen Wissenschaftsgebieten da übereinstimmen,
dass die Infizationalrechnung die Wissenschaft ist oder das Ergebnis,
die Leistung menschlichen Geistes, mit den größten Auswirkungen.
Sie brauchen die nämlich für alle Ingenieurwissenschaften,
für alle Naturwissenschaften, für Wirtschaftswissenschaften, zu Zahlwissenschaften,
ohne Ableiten und Integrieren wäre unsere Welt nicht ganz andere.
Sie hätten keinen Fernseher, sie hätten keine Handys und,
und, und.
Das würde alles,
ohne das nicht existieren
Also, sind sie dann jetzt gewappnet, dass sie sich mit der Größenerrung schafft des Mönchengeistes auseinandersetzen dürfen? Und die waren zehn, dass diese Konzepte gar nicht so kompliziert sind. Nach dieser eher allgemeinen Motivation,
speziell für die Wirtschaftswissenschaften, wollen sie sehen,
sie werden das differenzieren brauchen, zum Beispiel bei der Portfolio-Optimierung,
der Analyse der Veränderung von Güternachfrageverhalten von Haushalten,
der Bewertung von verschiedenen Investitionen, wann sie das brauchen,
dann wollen sie sehen, wenn sie Produktionskostenfunktionen ermitteln,
werden sie Differenzierbarkeit, die Konzepte der Differenzierbarkeit benötigen,
Sensitivitätsanalysen bei Wertpapieren, da kriegen sie dann auch von mir Beispiele,
brauchen wir das auch, Bestimmung optimaler Angebotspreise,
Aufstellung optimierter Maschinenbelegungspläne, Untersuchung der Aussuchung einer Steuererhöhung oder Senkung,
also all diesen Gebieten und auch vielen,
vielen anderen,
kommen sie ohne Ableiten nicht zurecht.
Also, das war die Motivation, jetzt fangen wir an,
was bedeutet das? Also das Ziel ist es,
die momentane Änderungsrate einer Funktion zu bestimmen.
Sie möchten also bestimmen für eine Funktion F,
wie die an einer Stelle X-0 sich verändert,
ob die ansteigt oder ob sie fällt
Und dazu brauchen wir als erstes mal
eine beliebige Funktion F, die wir jetzt betrachten.
Wir nehmen eine betriebige Stelle X0 aus dem Definitionsbereich her.
Und dann haben wir quasi so ein Delta X,
das ist ganz einfach definiert. Wir haben nämlich eine weitere
Stelle X1 und die Differenz von X1 zu X0 sei dieses Delta X.
Das gibt ihnen also quasi den Abstand zwischen X0 und X1
an, dieses Delta X. Und das Gleiche machen wir für
die Funktionswerte. Sie setzen einmal X0 ein, sitzen einmal
X1 ein und die Differenz, die so beiden Funktionswerte.
Das ist der Delta Y, also Delta Y gibt ihnen an,
wie weit die Funktionswerte dann auseinanderliegen,
wenn quasi X0 X1 sich ein bisschen unterscheiden
So, das eine ist die sogenannte Argumentendifferenz.
Wie tun sich die Argumente, die U-Bilder unterscheiden?
Und das andere ist hier die Funktionswertdifferenz. Und jetzt betrachten
wir mal die Einfachste Funktion, die wir kennen.
Das ist eine affinen Jahre Funktion, quasi so eine Gerade hier.
Die hatte diese Funktionsgleichung. A, mal x plus B
, A und B sind beliebige relle Zahlen.
Und das Ziel ist es jetzt hier,
die momentane Änderungsrate von einer solchen Geraden zu bestimmen.
Wie verändert die sich? Und da wissen Sie ja schon
an Charlie bei so einer Geraden,
dass die Veränderung einer bestimmten Stelle überall die gleiche ist.
Ich habe bestimmt irgendwas in die Gerade
Wir können auch, ja, nehmen wir mal Sony gerade hier,
diese gerade hier so sandy hier, das Änderungsverhalten dieser Funktion hier,
ist an dieser Stelle genau das Gleiche wie hier oder hier.
Sie sandy, steigt immer an und zwar mit der gleichen Steigung.
Hier bei dieser krummlinigen Funktion F ist es nicht so,
dass säen sie an dieser Stelle hier, wie sie da hochgehen,
ist die Steigung nicht so groß, wie zum Beispiel hier.
Da ist die Funktion Fisch steiler. Also, wir betrachten jetzt als erstes mal Funktionen,
die affinen Jahr sind, die überall das gleiche Stellungsverhalten haben.
Und da kriegen wir folgendes Ergebnis heraus, das wundert sie nicht.
Wenn sie sich dort den Quotienten anschauen,
zwischen Veränderung der Funktionswerte und Veränderung der O-Bilder, der Argumente,
das heißt also, sich diesen Quotienten anschauen,
dann müssen sie quasi hier, das ist die Definition hier,
Das hier ist für Delta Y, ist das ja die Definition.
Ah, also es ist setzen Sie hier vor F,
für X, äh, den Wert X1 ein,
das gibt das hier, minus dem, was rauskommt,
wenn Sie F X0 einsetzen, das ist das hier.
Geteilt durch Delta X. Jetzt zählen Sie die Kunst, Stand,
die kürzt sich raus und dann sind Sie hier angekommen.
Und jetzt können Sie Delta X kürzen, da bleibt nur A stehen.
Was kommt raus? Das wissen Sie. Die momentane Änderungsrate
einer Geraden ist ihr Steigungsparameter A. Das gibt quasi die Steigung an.
So, das ist der erste Schritt. Und jetzt haben
wir Eine beliebige Funktion, die nicht affin in Jahr ist.
Die Mamas sind dort und jetzt ist das,
das ist typisch für Mathematik, aber auf andere Wirtschaftswissenschaften ist versucht man,
das auf das zurückzuführen, was man schon kennt.
Man versucht jetzt vor eine krummlinige Funktion, die nicht so schön aussieht,
überall gleich verläuft, sondern halt ihr Steigenverein ändert,
quasi dort die Steigen einer bestimmten Stelle zu berechnen,
mit Hilfe von dem, was sie schon wissen,
nämlich wie die Steigen von Geraden aussieht.
Und dann bekommen sie folgendes Konzept. Wir haben eine Funktion F hier,
das ist die blaue, die verläuft so,
und da werden wir es in beliebige Stelle X0 heraus,
hier zum Beispiel.
Es gehen wir hoch, dann ist das hier
der Funktionswert F und
Und jetzt nähern wir an die weitere Stelle X1. Ich habe sicher rechts gewählt.
Das X1 ist also X0 plus Delta X. Hier,
das ist rechts, das könnte auch links liegen,
aber ich habe mich für rechts entschieden. So,
und dann sind wir hier, das setzen Sie jetzt ein in die Funktion,
dann bekommt hier um den Funktionswert hier, das ist der hier.
Dann ist also quasi dieser Wert hier,
das ist die Differenz der beiden Funktionswerte hier und dieser Wert,
also dieser Abstand von hier und nach hier,
dass die Differenz dabei, oh Bilder, X0 und X1. So,
und wenn Sie da jetzt den Quotienten bilden, diese Werte,
also Delta Y, geteilt durch Delta X,
bekommen Sie das hier
Und das ist doch offensichtlich hier. Das sehen Sie,
das ist doch die Steigung dann von dieser Geraden hier,
die durch diesen Punkt geht und diesen hier, wird S bezeichnet.
Sie haben nämlich hier den Abstand der Y-Werte,
getarnt durch den Abstand der X-Werte.
Das ist die Steigerung von dieser Geraden. Und da die
durch diesen Punkt und diesen Punkt geht, wird die allseekante bezeichnet.
Und davon wissen wir jetzt die Steigerung.
Die Steigung ist einfach das hier. Das ist die Steigung
. MS steigen, dass sie kante S. So,
und jetzt ist das Ziel mit Hilfe dieser Steigung,
die Steigung von F an dieser Stelle zu berechnen.
Und wie macht man das? Nun, man sagt sich,
man lässt jetzt einfach Delta X immer mehr gegen Null
gehen,
also Delta
Ist offensichtlich bis jetzt ein Wert, der größer als Null ist,
das werden liegen wir hier rechts von X-0 mit diesem Wert.
Und das lassen die Delta X gegen Null gehen.
Dann passiert doch Folgendes. Diese Stelle ernährt sich X-0 an und dieser Funktionswert,
hier dieser Punkt, dieser Rote, der wandert auf dem Graphen Richtung dieses Punktes.
Und was passiert mit der Sekante, die verläuft so,
die wird immer dann, wenn der Punkt hier ist,
dann hier durchgehen und hier, dann sieht sie so aus,
dann wird es ein bisschen steiler, wenn der Punkt dann hier ist,
dann geht sie durch diese beiden Punkte und dann wird sie noch steiler und so weiter.
Diese Sekante geht dann quasi über in diese Tangente hier.
In diese Gerade hier, wenn nämlich dieser Punkt runtergelaufen ist
bis zu diesem, wenn die sich quasi vereinigt haben,
dann haben sie quasi nur noch einen Punkt
Nämlich einen doppelten Punkt. Die beiden sind zusammen oder diese Punkte,
auf denen draufgelaufen. Wenn dieses Delta X gegen Null geht,
dann wandern sie nämlich von hier,
nach hier und mit diesem Punkt auf dem Grafen hier runter.
Und dann macht es doch Sinn, Folgendes zu machen,
zu sagen, der Grenzwert, der steigend dieser Sekanten,
also der Grenzwert von diesem Ausdruck, wenn Delta X gegen Null geht,
sei die Steigung von F an dieser Stelle X-0,
weil das so dann die Steigung von dieser Tangente sein.
Also die Idee ist die folgende.
Wir nehmen jetzt quasi diese Kernsteigung her und schauen an,
was passiert, wenn Delta X gegen Null geht.
Wir betrachten quasi den Grenzwert von diesem Ausdruck
Also wir betrachten diesen Traum hier. Und in dieser Grenzwert existiert,
dann sagt man, die Funktion F ist an der Stelle
X-0 differenzierbar und die erste Ableitung ist das, was da rauskommt.
Das ist F-Strich-Andertitel X-0. Also ich habe ihn gerade versucht,
anschaulich zu machen, was ist die erste Ableitung. Nämlich,
sie haben eine beliebige Funktion, da haben sie eine Stelle X-0,
jetzt werden sie einen Punkt rechts oder links davon,
hier ist das rechts,
wo sie einen weiteren Punkt auf dem Grafen hernehmen,
legen die Sekante durch und jetzt rechnen sie da die Steigung von dieser Geraden aus.
Das wissen wir, wie das geht. Nämlich Differenz der Funktionswerte,
geteilt durch die Differenz der Argumente und dann schauen sie,
was passiert, wenn Delta X immer kleiner wird,
dann kennt nämlich die Sekante über in diese Tangente und das,
was da rauskommt,
macht Sinn als Steigung von F an der Stelle
X-0 zu definieren
Das ist die Idee. Und das finden Sie jetzt hier in dieser Definition wieder.
Das ist dann formalisiert, die Differenzierbarkeit. Also,
wir haben eine beliebige Funktion F, X-0 ist ja wieder ein Häufungspunkt,
ich habe es Ihnen schon gesagt, das ist nun eine technische Voraussetzung,
dass wir uns überhaupt dieser Stelle X-0 ernähren können.
Gönnen Sie, wenn Sie wollen, auch überlesen. So,
dann heißt F, andere Stelle X-0, differenzierbar, falls dieser Grenzwert hier existiert.
Das ist der hier, bei dem ich gerade gesprochen habe.
Das ist quasi die Steigung, dass sie kannte,
durch die beiden Stellen X-0 und X-0 bis Delta X und diese steigen hier.
Wenn die noch existiert, wenn Delta X gegen 0 geht,
dann wo das quasi die Steigung oder Tangente sein und diese
Steigung sei die Die Ableitung von F an der Stelle X-Null.
Und dann schreiben wir quasi F-Strich vor diesen Grenzwert hier.
F-Strich, Andruck der Leaks 0. Ja, noch eine Bemorgung, die steht hier.
Sie haben in unserer Schule oftmals bestimmt auch Grangleichungen aufstellen müssen.
Und da haben Sie gelernt, da gibt's zwei Möglichkeiten.
Wenn Sie von einer gerade zwei Dinge wissen,
dann könnt ihr damit die zugehörige Grangdecken aufstellen.
Sie wissen zum Beispiel von einer Geraden,
dass sie durch diesen Punkt geht und durch diesen Punkt,
dann ist Sklaven, ist damit die gerade festgelegt,
wenn sie durch diesen und durch diesen Punkt geht.
Und mit diesen beiden Informationen, wenn sie zwei Punkte haben,
könnt ihr mit der sogenannten zwei-Punkte-Formel, Iran gleich noch aufstellen.
Das ist die eine Möglichkeit. Und die andere Möglichkeit ist die,
wenn sie von einer geraden im Punkt haben,
sie wissen, geht durch diesen Punkt hier,
dann können sie so aussehen oder so oder so.
Aber wenn sie dann noch die Steigung haben,
also diesen Punkt und die Steigung, dann ist die auch festgelegt.
Also durch eine Steigung und einen Punkt,
also durch die Steigung geraten und durch den Punkt,
wo sie gehen soll, ist sie gerade auch festgelegt.
Und das ist das, was man hier ausnützt,
dass sich dann die sogenannte Punktsteigungsformel, die besagt,
wenn sie wissen, dass eine gerade die Steigung A hat.
Und sie wissen, dass sie durch den Punkt mit den Cordnaten X0 und Y00 geht,
dann bekommen wenn sie, wenn sie diese Funktionsgleichung aufstellen,
dann bekommt er auf die Art und Weise die Geradengleichung.
Und das haben wir hier gemacht. Also wenn sie
die Geradengleichung unter Sekante aufstellen möchten hier. Von dieser,
sie kannte hier. Dann können sie das machen auf zwei verschiedene Anweisen.
Sie können die beiden Punkte hernehmen, wo sie durchgeht.
Diesen und diesen. Dann brauchen sie die Zwei-Punkte-Formel. Scheinen sie
mal in ihre Formelslangung von der Schulter nach oder die Punktsteigungsformel.
Dann nehmen sie nämlich eine der beiden Punkte her,
zum Beispiel hier diesen und die Steigung.
Die haben ja auch, die Steigung ist das hier.
Also sie steigen von dieser Sekante hier.
Und das macht man dann, das setzt man einfach an
die Punktsteigung
ins Formel ein
Y-0 ist hier F von X-0,
das ist der Funktionswert an der Stelle X-0. Dann,
die steigen an von meiner Sekante, ist das hier,
dieser Potient hier, das ist die Steigung meiner Sekante.
Und dann schreiben sie wieder ab, mal X-Muse X-0.
So sieht quasi die Gerangleichung aus von ihrer Sekante.
Doch diese beiden Punkte hier und hier. Aber wichtig ist
vor allem hier diese Definition. Dies sollen sie sich verinnerlichen,
dass sie wissen, anschaulich, was heißt differenzieren?
Und nochmal formal, was bedeutet das, wie man es definiert?
Nämlich das mit einem Grenzeübergang macht, bei diesem Differenzinquotienten,
bei diesen Sekantensteigungen. Und wenn der Grenzwert existiert,
ist er von der Stelle
X-0 differenzierbar
Jetzt fragen Sie mich, wieso brauche ich diese anschauliche Definition oder
diese formale Definition? Sie waren später bei der Koffendiskussion.
Nur wenn Sie diese Konzepte verstanden haben, auch verstehen,
warum es zum Beispiel eine notwendige Bedingung ist für eine Funktion,
dass die erste Ableitung null sein muss in einem Intervall,
in einem offenen Intervall, dass dort ein lokales Extremum ist.
Bei einer differenzierbaren Funktion. Oder warum man die zweite Ableitung hernehmen kann,
um zu überprüfen, ob es ein Minimum oder Maximum ist.
Das könnte nur verstehen, wenn Sie das hier verstanden haben in dieser Definition.
Bei solchen müssen Sie es auswendig lernen. Da müssen Sie immer sich morgen,
okay, zwei, die Ableitung größer als null,
spricht vom Minimum und zweite Ableitung kleiner als null spricht vom Maximum und so weiter,
brauchen Sie sich alles nicht morgen.
Also ich kann mir solche Sachen nie morgen,
ich mag mir immer die Konzepte und dann,
wenn ich es brauche,
kann ich mir das dann überlegen,
wie das sein muss
Haben wir noch ein bisschen Zeit, noch zwei,
drei Minuten, bevor es Pause gibt?
Die Definition geht noch ein bisschen weiter.
Eine oder die Funktion F heißt differenzierbar auf der Menge E,
wenn sie vor jede Stelle in Knull aus der Menge E differenzierbar ist.
Also diese Definition zuerst hat sie auf eine ganz bestimmte Stelle X-0 bezogen.
Und wenn jetzt die Funktion F auf einer ganzen Menge differenzierbar ist,
also wie jede Stelle X-0 aus dieser Menge E,
dann sagt man, F ist auf dieser Menge eh differenzierbar.
Und wenn sie, das ist natürlich der schönste Fall,
und das wird auch meistens so sein,
für jede Stelle ihres Definitionsbereiches sogar differenzierbar ist,
für alle X-0 aus D also,
dann sagt man einfach,
F ist differenzierbar
Dann lässt man das weg mit der Stelle. Dann sagt man nicht mehr,
an dies und dieser Stelle, sondern sie ist dann überall
differenzierbar und dann sagt man einfach kurzum, F ist differenzierbar.
Also andersherum, wenn zu ihnen jemand sagt,
die Funktion ist differenzierbar, dann sagt er ihnen damit auch,
dass sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist.
Sie können quasi an jeder Stelle X-0 diesen Differenzier-Patienten bilden und
dann den Grenzübergang und da kommt eine endliche Zahl raus.
Wenn die da rauskommt, ist dann die erste Ablage von F
an dieser Stelle X-0. Wenn sie die Tangenten gleich aufstellen möchten,
also sie möchten zum Beispiel hier die Gleichung von dieser Tangente bestimmen,
geht es genauso wie bei etwas Bekanntengleichung
Sie gehen wieder her, nimm den Punkt,
zum Beispiel diesen hier und die Steigung von der Tangente.
Und damit können sie dann mit der Punktscheigensformel die Geradengleichung aufstellen.
Das wurde hier gemacht, Titangente lautet dann wie folgt,
nehmen sie F und X0 plus Steigung durch eure Geraden, mal x-x-x-x-x-0.
Ich wende also diese Formel hier an.
A, ist die Steigung meiner Geraden? Das ist jetzt
bei der Tangente ein Strich von XRF-Strich,
an der Stelle X-0 und der Funktionswert Y ist F und
X-0 und dass die jetzt wieder abgeschrieben hier.
Einfach die Punktstellungsformel
Sie können es auch anders betrachten, wenn ihnen das Schwierigkeit macht.
Sie können auch so argumentieren. Das hier musste Geradengleichung von dieser Tangentesign,
weil sie können sich sofort davon überzeugen, dass zwei Dinge übereinstimmen.
Diese Geradengleichung hat die Steigung F-Strich an der Stelle X-0.
Das ist offensichtlich hier von dieser Geraden hier, auch die Steigung an dieser Stelle X-0.
Ja, weil diese Gerade hier hat ja als Steigung
gerade die Steigung von der Funktion F an dieser Stelle X-0.
Und das ist ein paar Definitionen, nichts anderes, 1111-Strich.
Und sie säen auch, wenn sie den Punkt X-0 einsetzen
für X, Setzen Sie mal vor X, hier X-0
ein an dieser Stelle, dann fällt es hier weg,
das wird hier nur, dann kommt F und X Nuller raus.
Sie wissen also auch,
diese Gerade hat nicht nur die gleiche Steigung wie die sicher,
sondern sie geht auch durch diesen Punkt hier.
Wenn aber zwei Geraden die gleiche Stellung haben und einen
gemeinsamen Punkt, dann müssen sie komplett übereinstimmen.
Also viele Worte von ganz einfachen Zafferhalten. Dann noch etwas,
was Sie auch mal gehört haben sollen, ist,
wenn man sagt, eine Funktion ist stetig differenzierbar.
Dann drückt man damit aus, dass ihre Funktion nicht nur differenzierbar ist,
sondern dass das, was da wieder rauskommt,
die erste Ableitung,
dass das
auch wieder stetig ist
Also, wenn jemand ihn sagt, die Funktion ist stetig differenzierbar,
dann ist es noch mehr als differenzierbar. Nämlich,
dass die Funktion differenzierbar ist und das, was rauskommt,
hat die angenehme Eigenschaft, dass die Funktion sogar noch stetig ist.
Es kann sogar sein, dass die Funktion selber wieder differenzierbar ist,
die da rauskommt. Dann wäre sie zweimal differenzierbar,
aber die Definition kriegen sie gleich. So,
und dann noch etwas, was auch aus der Abbildung ersichtlich
wurde und das war ein Spiel, das so eine große Rolle.
Sie werden in vielen, vielen Vorlesungen immer wieder das eine
oder dasselbe machen. Sie haben komplizierte Sachverhalte,
wo sie komplizierte Funktionen betrachten, um das zu beschreiben,
irgendwie einen ökonomischen Sachverhalt mit einer komplizierten Funktion
Aber dann morgen sie, dass diese Funktion F zu kompliziert ist, um sie weiter zu untersuchen.
Und dann machen sie folgendes. Sie sagen sich nämlich,
wenn sie so eine Funktion F haben,
und sie interessieren sich jetzt so eine Stelle X-0,
wie sich für F an dieser Stelle X-0 oder um diese Stelle X-0 verhält,
dass sie dann sagen, nun,
ich linearisiere diese Funktion, ich betrachte nicht mal F,
sondern eine lineare Approximation, also eine Funktion,
die linear ist, also eine gerade darstellt.
Und das ist das, was man dann macht.
Man würde dann hier an dieser Stelle hier die Tangenti anlegen,
das seien sie, die Grüne gerade hier.
Und dann zählen sie, dass diese Tangente in unmittelbarer Umgebung von X-0
doch eine ganz gute Approximation von der Funktion darstellt hier.
Da liegt die gerade nahezu auf der Funktion. Wenn sie natürlich
weit weg gehen von X-0, Nach links rum, mach rechts,
säentlich, da ist der Abstand zwischen Funktion und geraden immer größer wurde.
Also weit weg von X-0 ist das dann keine gute Aproximation mehr.
Wenn sie aber nur Werte interessieren, nahe von X-0,
dann liefert ihr intelligent die an dieser Stelle ganz gute Aproximation für die Funktionswerte.
Und das macht man sehr häufig, weil sie werden sehen,
dass sie in Jahre Funktion bestimmte Eigenschaften immer erhalten.
Und dann kann man da viel leichter rechnen. Das machen
wir in vielen, vielen Bereichen so. Wahrscheinlich haben sie
das eine oder andere vielleicht sogar schon kennengelernt in der einen oder anderen Vorleistung,
wenn sie sich das jetzt mal überlegen, was sie da gemacht haben,
wenn sie oftmals feststellen, es war eine lineare Aproximation.
Man hat eine Funktion an einer bestimmten Stelle,
aproximiert durch eine lineare, also durch eine gerade.
Also das wird bestimmt mehrere Dutzend Malen im Studium vorkommen.
Vor allem, wenn sie in dem Bereich Versicherungs- und Finanzwirtschaft
Gut, das hier haben wir noch. Was war das hier?
Dann noch, bevor wir dann Beispiele machen nach der Pause.
Es gibt noch andere Schreibweisen. Sie kennen aus der Schule F-Strich.
Aber wenn Sie Bücher aufschlagen, sollte sie das nicht verwundern,
dass sie auch noch andere Schreibweisen sehen werden.
Zum Beispiel das ist auch eine typische Schreibweise. Das ist
auch die erste Ableitung von F an der Stelle in Knull.
Sie kann auch sein, sie finden das hier.
Es kann auch sein, sie finden das hier in Büchern
oder das hier. Also das soll ich nur mal zeigen,
dass sie da nicht verwundert sind.
Das sind alternative Schreibweisen. Ich werde in den meisten Fällen
das hier verwenden
Das hier nur dann, also ein Ausnahmefällen, wenn es
irgendeinen Grund dafür gibt. Das sollen sie dann vielleicht sehen.
Aber in 99 Prozent der Fällen werde ich mit F-Strich arbeiten.
Ja, und dann diese Taume hier,
DF und DX, das sind sogenannte Differenziale.
Die waren ihnen zum Beispiel auch wieder der Integralreichung auftauchen.
Sie wissen ja integral, da taucht hinten immer dieses DX auf.
Das ist quasi dieses Differenzial hier.
Und da waren sie sehr ähnlich wie Bedeutung das hat.
Das kommt dann später. Gut, wir machen nach der
Pause dann vielleicht ein paar Beispiele.
Wir treffen uns dann wieder um 14.50 Uhr