Ja, guten Morgen. Also willkommen zur letzten Vorlesung.
IVC in diesem Jahr. Wir hatten das letzte Mal damit begonnen,
uns ein bisschen die Mathematik zu Gemüte zu führen,
die die Basis dafür sein soll, dass wir über Bildverarbeitung im Frequenzraum sprechen können.
Und ich wollte heute das noch ein bisschen vertiefen,
indem ich ein paar Beispiele zeige,
wofür wir filtern und Modifikation des Frequenzspektrums in der Bildverarbeitung einsetzen können.
Teil davon hatten wir das letzte Mal ja schon kurz angesprochen,
aber zum Einstieg, können wir noch mal genau da beginnen,
wo wir über Filter gesprochen haben.
Also die Idee,
die Basis für unsere Bildverarbeitung im Frequenzraum ist,
dass wir uns das Signal vorstellen als eine Summe aus Anteilen verschiedener Frequenz
und dass wir Filterbausteine vorsehen,
die jetzt die einzelnen Komponenten des Signals bearbeiten und modifizieren in
ein anderes Signal
Wir stellen uns, sie füllt ja Bausteine so vor,
dass wir ein Signal, eine Abhängigkeit von der Zeit Tee hineingeben,
ein neues, transformiertes Signal, gefiltertes Signal bekommen.
Und die meiste Filtertechnik in der Bildverarbeitung geht davon aus,
dass wir ein lineares Verfahren haben,
dass wenn wir ein Signal von denen aufbauen können,
als eine Summe aus mehreren Komponenten und diese Komponenten,
Gewichten, dass wir dasselbe Ergebnis bekommen,
als wenn wir die Komponenten einzeln filtern würden und sie dann mit demselben Gewichten hier komponieren.
Und das ist eben die Basis der reinen Entwicklung,
die wir verwenden, wenn wir Signale filtern wollen.
Wir brauchen nur darüber nachzudenken, wie die Filter auf die einzelnen Komponenten
in der Reihe wirken. Also genau dieses lineare Verhalten,
dass wir die einzelnen Komponenten uns gefiltert vorstellen können und
dann eben entsprechend der Gewichtung im Eingangssignal am Resultat,
die gefilterten Komponenten zusammensetzen,
Erlaubt uns sehr effizient zu filtern und Bilder effizient zu verarbeiten,
weil wir nur über einzelne Komponenten nachdenken müssen.
Und im Foliespektrum wissen wir ja, haben wir die Reihe von Frequenzspezifischen Komponenten.
Und beschreiben tun wir den Filter eben durch die Übertragungsfunktion.
Großhafer X. Also die gibt an wie die sinnesförmigen Einzelsignale verändert werden,
Hinblick auf Phasenverschiebung. Also wenn das Filter bewirkt,
dass das Signal jetzt Stil etwas später seinen Durchgang hat,
haben wir eben eine andere Phase am Ausgangssignal oder Dämpfung,
dass die einzelnen Anteile gedämpft werden und eine geringere Amplitude haben.
Das ist das, was wir mit der Übertragungsfunktion beschreiben, so den Teil.
Lass ich mal weg. Wir gucken uns einfach jetzt nur an,
wie wir das Ganze benutzen und verhalten im Hinterkopf,
dass unsere Bildverarbeitungsfilter immer spezifisch genau das tun, entweder Phasenverschiebung oder Dämpfung machen.
Die wichtigsten Filter, die in der Bildverarbeitung eingesetzt werden,
das einmal als Hochpassfilter, Tiefpassfilter oder Bandpassfilter, Hochpass heißt,
hat die Frequenzen im Bild so modifiziert werden,
dass nur Schnellschwingende, Frequenzanteile,
also wohl im Bild schnelle Änderungen zwischen den Orten im Raum haben,
das Lied dazu führen,
dass wir dann eben im Frequenzraum hochfrequente Anteile haben und der Pass sagt,
die hohen Frequenzen dürfen passieren,
die anderen werden gesperrt.
Also ein Hochpassfilter wird eben, die kannten im Bild sehr betonen,
überall da, wo das Signal schnell variiert.
Tiefpass macht das Gegenteil, es wird überall da,
wo wir im Bild schnelle Schwingungen haben,
das Dämpfen und andere Teile
besser passieren lassen
Damit bekommen wir durch einen Tiefpassfilter, im Wesentlichen einen Weichzeichner-Effekt,
steile Kanten werden abgemildert. Und Bandpassfilter sind dazu da,
haben gezielt Störungen mit einer charakteristischen Frequenz herauszufiltern und zu unterdrücken. Ja,
entweder passieren lassen wir betonen bestimmte Frequenzen und wollen nur die haben,
wenn wir etwas suchen oder eine Bandsperre, wäre das Gegenteil,
wenn irgendwo ein Störsignal ist mit einer charakteristischen Frequenz,
wird eben eine Bandsperre genau den Teil dämpfen.
Denn es sind weitere Anwendungen, die dann auch Hauptbestandteil in der Systemtheorievorlesung werden oder eben Hm.
Multimodale Signale, wo Systemtheorie einen hohen Anteil bindet.
Ja, modellbasierte Transformationen. Wenn wir etwas über unser Bild wissen,
wie es entstanden ist und können diesen Entstehungsprozess als Funktion der Frequenzen ausdrücken.
Dann können wir versuchen, bestimmte Veränderungen am Bild rückgängig zu
machen und die Komponenten des Bildes rekonstruieren und versuchen, sie wieder herzustellen.
Wir werden da einzelne Beispiele für sehen. Und Grundidee,
ich hatte Faltungstheorien gezeigt und so weiter. Hoffnung ist,
dass wir auf diese Weise, das schneller hinkriegen,
als wenn wir Pixel für Pixel das Bild abspazieren müssen und lokal etwas am Bild machen.
Dieser optimale Tiefpass, wir stellen uns einen Filter so vor,
dass wir sagen, was mit den X-Frequenzen und bestimmten Frequenzen geschieht.
Und hier ist jetzt der Mittelbereich,
also die niedrigsten Frequenzen nach außen hin,
wird einem Teil der Frequenzen durchgelassen und dann hat der optimale Tiefpass
diese Abgruppte Sperre bei allen Frequenzen, die höher sind,
werden sie auf Null gesetzt.
Also bei der gegebenen Grenzfrequenz. Und wenn wir denen aufs Bild anwenden,
dann werden wir auf jeden Fall den Weichzeichner-Effekt bekommen.
Nur das, was langsam schwingt im Bild und variiert, wird durchgelassen.
Alles andere fehlt. Und mir ist da eigentlich nichts zuzusagen.
Beispiel für einen Tiefpassfilter mit einer sehr hohen Grenzfrequenz.
Hat eine leichte einen leichten Leichtzeichnungseffekt. Man sieht also,
dieses Bild wirkt deutlich etwas weniger scharf als das linke.
Und wir sehen hier schon die typischen Sperrungen, die das Tiefpassfilter macht,
weil eben die Frequenzen abrupt gesperrt werden, gibt es dieses Dreaming-Buffelmuster.
Das ist noch schlimmer zu sehen, wenn wir die Grenzfrequenz weiter nach unten nehmen.
Deutlicher Weichzeichner-Effekt und deutliches Ringing. Also hier sehen wir genau
diese Oberfläche der Zähne der Rechteckfunktion, die ich mir angesprochen hatte.
Wir brauchen die hohen Frequenzen, um die kleinen Schwingungen aufzufüllen
Und wenn die abrupt fehlen, haben wir diese Kunstfrequenzen drin. Gut,
vielleicht fragen Sie sich jetzt, was will man mit einem Tiefpassfilter,
wenn der einzige Sinn und Zweck ist,
dass das Bild unscharf aussieht hinterher?
Kann jemand einen Nutzen drin sehen? Ja,
das eine, es ist beliebt bei Porträtfotografen. Ja,
Krähen, Füße und so weiter, alles weg.
Man hat hinterher eine samtig weiche Babyhaut. Also dafür,
Porträts schneichelhaft auszusehen, aus 80-Jährigen, 18-Jährigen zu machen,
wird es gerne genommen. Man muss nur hinterher die Augen wieder
künstlich schärfer kriegen, weil sonst Sieht man die Schummelei?
Das Andor hat etwas mit dem Hauptthema zu tun,
worüber wir das letzte Mal gesprochen haben. Wenn wir Bilder abtasten,
warum brauchen wir zum Abtasten von Bildern einen Tiefpassfilter?
Vorher. Okay, greifen wir es bei dieser Gelegenheit nochmal
auf, weil der Punkt ist wirklich zentral und wichtig
Also jedes Bildverarbeitungsprogramm, was Bilder verkleinert, ja,
und eine geringere Pixelzahl liefert, wird,
wenn es ein seriöses Programm ist, ein Tiefpassfilter einbauen.
Einfach um eine Grenzfrequenz sicherzustellen. Nur wir hatten ja gesehen,
wenn wir Bilder abtasten und mit der Grenzfrequenz vertun,
kriegen wir diese Ilya-Sinne-Effekte. Und diese Störmuster eingestreut. Ja,
wenn wir die falsche Grenzfrequenz annehmen, also wir nehmen an,
das Bild hat eine Grenzfrequenz von 100 Schwingungen Prozentimeter und tasten dann so ab,
dass wir Jedes 50. Pixel, jedes 200. Pixel nehmen,
bei Grenzfrequenz von 200.
Von 100 brauchen wir jedes 200. brauchen wir 200 Pixel Prozentimeter abgetestet.
Wenn wir uns vertan haben, werden wir all diese schlieren und Muster sehen.
So. Und wenn wir jetzt schlichtweg keine Idee haben,
was die Grenzfrequenz im Bild tatsächlich ist,
weil wenn nicht jedes einzelne Rücktransformieren wollen und sehen wollen,
welche Frequenzen kommen vor, dann ist eben der Weg,
den sämtliche Bildverarbeitungsprogramme gehen, wenn wir ein Bild neu abtasten,
das runterskalieren auf 5012 Pixel in der Breite statt
1024. Man schickt ein Tiefpassfilter drüber, um sicherzustellen,
dass die Grenzfrequenz, so ist,
dass wir mit 5012 Punkten abtasten können, um Eliasing zu vermeiden.
Das ist eingebaut. Sie werden kaum noch ein Bildverarbeitungsprogramm finden,
mit dem sie Bilder unterabtasten können,
ohne dass sie vorher zwangsweise Tiefpass gefiltert werden.
Und dafür ist es eben wichtig. Nur man nimmt Nicht dieses,
total falsch benamste, optimales Tiefpassfilter, es ist in keiner Weise optimal.
Man muss nur hier auf den Bildschirm schauen,
um zu sehen, optimal ist geschmeichelt, ja?
Warum genau nutzt man jetzt der Typ, was filtert?
Ja, gut, wir hatten uns das letzte Mal
das Sumpling-Theoreben angeschaut, ja. Und gesehen, okay,
das samtling Theorien gilt nur in das Bildband beschränkt ist.
Und wir müssen die Grenzfrequenz kennen,
weil wir entsprechend der höchsten Frequenz,
die vorkommt,
abtasten müssen
So, wenn wir jetzt ein Programm haben,
wo tausende von Bildern reinkommen und wir können uns nicht leisten,
jedes einzelne anzuschauen, was die Grenzfrequenz ist,
dann wissen wir, aber wir wissen,
wir wollen sie alle so unterabtasten und der Kleine,
das sind nur noch tausend, mal tausend Pixel haben.
Dann müssen wir sicherstellen, dass die Bilder
alle eine Grenzfrequenz haben von 500 Schwingungen pro Bildbreite.
Und das erzwingen wir einfach, indem wir das Tiefpassfilter
drüber schicken mit der passenden Grenzfrequenz
Dann gehen eben nur die niedrigeren Frequenzen durch und wir sind sicher,
dass wir die Grenzfrequenz haben. Egal, was ihr vorher
war. Und das Bild, was dann entsteht,
können wir ordentlich abtesten, ohne dass wir LA-Asing sehen.
Also dafür ist genau diese Tiefpassfilterung im Wesentlichen auch da.
Wenn ich an unsere allererste Apparatur denke, zur Bildverarbeitung,
die hatten wir ja noch selbst gebaut,
als ich meine Doktorarbeit gemacht habe und an meine Diplomarbeit.
Ja, wir hatten analog Digitalkonverte, die das Kamerasignal von
den Videoern kann, wie die Con-Kameras, abgegetastet haben.
Und das erste, wo das Signal hinging,
war ein 10-Meter-Herzfilter
Was eben jedes aufgenommene Kamerasignal zwangsweise auf zehn Megahertz-Grenzfrequenz.
Abgeschnitten hat, und damit waren wir sicher,
dass wir keine LA-Laising-Effekte kriegten bei der Aufnahme.
Wenn wir die Bilder digitalisiert haben, ne? Gut,
also wenn Sie es selbst hier nachregeln, nur die Ringe sind,
wenn wir hier ganz übertrieben filtern, ziemlich groß.
Also hier ist immer noch diese Waffelstruktur drin. Ja,
übertriebene Unschärfe, also optimen Tiefpass fällt dann übertrieben total,
führt dazu, dass man kaum noch was erkennen kann.
Tiefpass füllt ja, die das Ringen vermeiden, Das sind Exponential-Tiefpassfilter,
die haben im Wesentlichen so den Verlauf der Gasschul-Knoppenkurve.
Ja, und wenn wir das machen, werden noch ein paar höhere Frequenzen durchgelaufen,
das durchgelassen gehen, werden das LEA-Singen nicht ganz ablocken.
Aber wenn es auftritt, wird es nur noch mit einem
ganz geringen Signal auftreten. Und man merkt es hoffentlich nicht.
Dieselben Bilder mit einem Exponential-Tiefpassfilter gefiltert. Also man hat den Weichzeichnungseffekt,
den man haben will, Grenzfrequenz fast sichergestellt, aber eben keine Ringingstörungen mehr.
Ich habe hier mal jetzt eine Gaussfütterung in Echtzeit mit einem Quarzkomposer.
Ja, und je nachdem, wie wir die Grenzfrequenz einstellen für ein Tiefpassfürtzbild eben zunimmt.
Unschärfer scheint auch zu schrumpfen beim Filtern,
man sich den Rand hier mal anschaut, die Idee beim Filtern ist eben,
dass man den Wert nur da berechnet, wo die Filter,
wenn sie dem Bild aufgelegt werden.
Ja, die ganz ins Bild passen.
Deshalb wird man, wenn man einen weitgreifenden Tiefpass hat,
eben am Rand nichts berechnen können.
Diese Fensterung, okay. Gut. So,
das Gegenstück zum Tiefpass ist der Hochpass.
Hochpassfilterung machen wir
Wenn wir vor allem daran interessiert sind, die Konturen im Bild zu finden,
und die Stellen zu betonen, wo das Bild steile Übergänge hat.
Auch da ist das, was man in der Praxis wirklich nimmt,
dieses Exponential-Hochpassfilter und nicht der optimale Tiefpass, der abrupt,
abschneidet, wenn wir die gleichen Probleme mit Dringen kriegen,
wie bei den Tiefpass-gefilterten Bildern.
Was so einen Hochpass macht, ist, er betont eben nur die Teile,
wo das Bild schnell schwingt. Und wir haben gesehen,
das sind nicht gerade die, wo die meiste Bildenergie ist.
Die meisten Bildenergie ist in den mit ganz niedriger Frequenz,
die geben so die Grundbestandteile, die dafür sorgen,
dass das Bild an manchen Stellen hell aussieht, an manchen dunkel.
Wenn wir eine Hochpassfilterung machen, dann fehlen natürlich diese
langsam schwingenden Teile, die die Amplitude ins Bild bringen.
Und deshalb erscheinen hochpassgepillten, filterte Bilder in der Regel grau und ausgewaschen.
Eine Anwendung habe ich hier aus dem Buch von Bellard Braun
mal rauskopiert. So ein Originalbild, ein Röntgenaufnahme vom Brustkorb
. Und was man gerne wissen möchte, ist,
hat der arme Patient gebrochene Rippen, oder nicht?
Das heißt, du musst die Rippen etwas deutlicher sichtbar machen.
Hier sind sie kaum zu sehen. Wir haben meinen Arm,
den man genau hinschaut, mit einer Hochpassfilterung,
sehen wir hier deutlich mehr Spuren der Rückenbögen und können versuchen,
eben die Übergänge im Bereich der schnellen Schwingungen,
wo wir die Verläufe der Rippen sind, zu betonen.
Aber der hell-dumpeln Übergang, dunkles Blumengewebe, helles Knochengewebe,
der ist praktisch weg,
weil eben die niedrigen Amplituden fehlen
Wenn man das Ganze jetzt ein bisschen kontrastenzerrt, kann man
also mit diesem deutlich was sehen. Was hier gemacht worden ist,
ist jetzt nicht ein reiner Hochpass, der ab der bestimmten,
niedrigen Grenzfrequenz alles passieren lässt und alles drunter wegmacht,
sondern ein sogenanntes Sci-Frequence-CM-Physis-Filter.
Das ist eins, was die tiefen Frequenzen noch etwas passieren lässt,
damit wir grob den hell Dunkelverlauf bekommen, aber die hohen Frequenzen betont.
Und das ist das, was man typischerweise nimmt,
wenn ein Bild unscharf aussieht und man möchte die letzte Schafe rauskitzeln
Denn so ein High-Frequency Emphesis füllte. Die Bildenergie im Wesentlichen
durchlassen, aber die hohen Frequenzen überbetonen.
Und wenn wir das noch pontrast entzerrt,
dann haben wir hier ein ganz passables Bild der Rippen.
Ja. Auch nochmal das Hochpassfilter. Hier mit Quarzkomposer durchgerechnet
. Den nehmen wir mal hier weg, den hatten wir
ja schon. Zum Blick vom Geomatikum Richtung Alster
An einem der seltenen Sommertage in Hamburg. Also man sieht,
dass es die Konturen hier deutlich schärfer erscheinen,
wenn wir anfangen, immer mehr die hohen Frequenzen zu betonen.
Aber es wird ab einem gewissen Zeitpunkt,
wird es auch total unnatürlich und es ist nicht besonderlich schön.
Ja, gucken wir uns mal an,
was in eine Bandsperre macht
Wir können ein Band Pass machen, bestimmte Frequenzen einfach nur durchlassen,
wenn wir etwas suchen wollen. Aber im Gegenteil, Bandsperre.
Das können wir gut verwenden, um additive Störsignale rauszunehmen.
Gelegentlich sieht mein Kabelfernsehen zu Hause ungefähr so aus.
Irgendwas streut ein. Hat eine ganz charakteristische Frequenz. Und
wenn wir uns das im Friday-Spektrum anschauen, dann sieht man,
okay, das Bild insgesamt hat ein bisschen Energie,
dass diese helle Klecks hier in der Mitte.
Aber Also das ist ja der Bereich Frequenz zu 0
-0. Ja, und die Nachbarfrequenzen dazu.
Und dann wird dieses Diagonalteil laufende periodische Muster.
Das sehen wir dann einmal bei den Frequenzen passend zum Abstand,
bei den negativen koeffizienten und einer bei den positiven wir.
Und wenn wir jetzt Folgendes machen,
im Folierspektrum einfach diese Bereiche hier ausblenden,
das ist genau, dass die Bandsperre entschmalen,
schmales Frequenzband unterdrücken und dann nur den Rest,
der dann übrig bleibt, zurücktransformieren, sollte das Bild ohne Störung übrig bleiben.
Und das ist das rücktransformierte Bild aus dem Signal.
Störung ist weg. Also sehr praktisch. Oder eins Filter,
was sie eigentlich ganz gern mal mir selbst implementieren wollte,
bin auch nicht dazu gekommen.
Bewegungsunschärfe wegmachen. Wo sind wir Bewegungsunschärfe im Frequenzraum?
Hat da jemand
eine Idee
Das linke Bild sieht ja echt hoffnungslos aus. Also man hat,
die Kamera verwissen oder der Kopf hat sich bewegt,
aber hier sieht es aus wie die Kamera von gerissen worden.
Einfach systematisch verschoben. So, und was dort gemacht worden ist,
also mathematischen Tick aufwendiger, aber es soll ihm zeigen,
dass es gemacht werden kann. Was wir hier sehen,
ist die Überlagerung von, wenn Bildern, wir wissen nicht genau,
wie viele zunächst mal, nehmen wir mal an.
Und alle um eine konstante Translation gegeneinander versetzt. Also das Bild ist
die Summe von Mehreren Bildern, die alle systematisch gegeneinander verschoben sind.
Und wenn Sie jetzt mal sich zurückerinnern an die Folien,
die wir vorher hatten, über die Rechenregeln mit Foyer transformierten.
Das Interessante ist ja eben, dass wir aus einem Bildfunktion,
ihre Verschobene Foyer transformierte, ausrechnen können mit nur ein paar additiven, koeffizienten.
Was man jetzt einfach tun muss, ist,
diese koeffizienten Schätzen anhand dieses Bildes und dann kann man das Originalbild,
das mehrfach überlagert ist, Simmenanteil herausrechnet, aus dem Foyerspektrum.
Und damit dann das Originalbild hier draus rechnen. Es geht
sogar bei Fokussierungsunschärfe, also wenn Sie es falsch eingestellt haben.
Obwohl da sind die Ergebnisse eher traurig. Serien,
Sie nach Versuchen, ein Bild aufzunehmen,
kommen aber nicht weit genug mit der Kamera weg oder so.
Es kriegen nur diesen unscharfen Klecks. Handykamera. Gut,
jetzt sitzen Sie also vor diesem unscharfen Klecks und das in Ihrem Beweisverfahren,
das zeigen soll,
dass Sie an dem Tag auf keinen Fall am Tatort waren,
ist das Ihre wichtigste Beweis und Sie legen Wert drauf
Die Zahl da lesen zu können. Auch dann können sie im Frequenzraum versuchen,
das Optimierungsproblem zu lösen, dass sie Gewichtungsfaktoren einstellen.
Und dasjenige Bild rückrechnen, auf dem im Klarsten eine Ziffer zu erkennen ist.
Und die Unschärfe restaurieren. Das sind das Beste,
was man so hingekriegt hat, aber vielleicht gutgläubigen Richter
vor Gericht können sie damit vielleicht überzeugen.
Wissen Sie, wie das funktioniert? Weil es sind ja
keine kriegt die Kraftwette von mehreren Bildern.
Nee, es ist die Überlagerung von verschiedenen Bildern mit unterschiedlichen.
Ein Bandpass, ein Tiefpassfiltern drüber. Und das muss man
einfach schätzen, was da draufgekommen ist. Also man muss
wirklich da systematisch das restaurieren, was als Unschärfe herauskommt.
Wir hatten über Kameras noch nicht gesprochen.
Mach mal kurz hier
die Tabelbeleuchtung ein
Ah, danke. Bildregie klappt hier. Also, wenn wir hier eine solche,
die Unschärfe drückt, ja nur bei der Lösenkamera auf.
Und wenn hier der Brennpunkt der Linse ist und die Bildebene ist hier,
statt im Brennpunkt, wenn wir gesehen, das,
was hier ordentlich abgebildet wird.
Liefert hier hinten die Zerstreuungskreise. Und das Bild,
was wir haben, ist eine Überlagerung von vielen dieser Zerstreuungskreise hier hinten.
Und wir müssen jetzt schätzen, den Parameter dieser Entfernung hier,
Denn wir haben die Größe der Zersteuerungskreise und die Breite der Streuung.
Und das im Frequenzraum gerechnet, gibt die Überlagerung und musste sich
dann diejenige aussuchen, wo man es am besten hinkriegt.
Also im Frequenzraum ist allerhand möglich. Ich habe jetzt mal
Audiokabel reingestöpselt, damit wir uns anschauen können,
dass wir diese Filter im Wesentlichen auch im Audiobereich haben.
Nur da haben wir eben eindimensionales Signal und keine zweidimensionalen.
Gut, beim Audio machen wir
dasselbe Spielchen
Tiefpassfilter, wenn wir die Bässe betonen wollen, Hochpassfilter,
wenn wir die Höhen betonen wollen, den menschlichen Gesang oder so, ja.
Wir nehmen Bandsperren und Umgebungsgeräusche bestimmter Art auszusperren,
also wenn neben einem Presslufthammer mit dem besonderen Frequenz immer wieder tackert,
können wir versuchen, den mit einer Bandsperre zu Leibe zu rücken.
Und bei den Filtern müssen wir eben aufpassen,
dass wir auch da keine Störsignale dieser Art reinkriegen,
indem wir diese optimalen Filter nehmen, dann kriegen wir Ringing-Effekte.
Also wer jetzt Befindliche Ohren hat, sollte vielleicht eine Ohrstöpsel rausholen.
Das wird gleich etwas laut. Ich habe vielen Mal mit
kleinem Spielprogramm, das ich ganz gern verwende, Audio,
High-Jack-Pro, gesetzt von Filtern zusammengestellt.
Und wir haben zum einen ein Spektrum vorher,
dass wir sehen können, welche Spektren das Audiosignal hat.
Und dann können wir verschiedene Hoch- und Tiefpassfilter dahinter setzen.
Oh. Da scheinen Folien zu fehlen.
Oh, das ist ja gemein.
Im Ernst
Sich dafür wieder rausnehmen. Ja. Gut. Okay.
Machen wir das nächste Mal, nach Weihnachten.
Genau, es umnehmen keine Weihnachtsmusik, sondern den Teil.
Also was man eben gut hören kann, ist,
sonst müssen sie Sourcement Nicqualizer in ihrer Stereoanlage selbst mal ausprobieren.
Wenn sie die hohen Frequenzen abrupt, abschneiden,
kriegen sie genau die Ringing-Effekte akustisch und die sind extrem unangenehm.
Deshalb hatte ich die Ohrenstöpsel empfohlen, ja.
Die hohen Frequenzen abschneiden macht man aber vor allem,
wenn es darum geht, dass wir Eine Aufnahme,
die recht grauslich klingt wegen Knistern und allen möglichen,
uralte Schallplattenaufnahmen, wenn wir da das Rauschen rauskriegen wollen.
Also Rauschen, das ist so mit das Schnellste,
was variiert im Bildsignal oder akustischem Signal.
Und das wird eben gut unterdrückt durch Hochpassfilter. Nur wenn wir es falsch machen,
dann kriegen wir akustisch ein widerlich hörbarer Weise diese Ringing-Effekte,
die wir als Waffelmuster in den Bildern gesehen haben.
Gut, gucken wir uns das nächste Mal dann an
und gehen jetzt mal direkt auf Anwendung der Bildverarbeitung
So Bildverarbeitungsalgorithmen, die alle von der Art sind, Bild rein,
Bild raus. Wir wollen aus Bildern einfach andere Bilder machen,
die beim Betrachten oder Auswerten bestimmte Eigenschaften haben. Das Erste,
was man bei Bildern gern schreibt, um überhaupt eine Idee zu kriegen,
was im Signal vorhanden ist, das sind statistische Merkmale.
Mittelwert, Varianz, das Rauschen abzuschätzen, Rauschen,
beseitigen, uns anschauen, ist der Fälligkeitssektrum gut gelützt.
Und einfache Dinge finden mit Profilen und Projektionen
Nun, das ist eben der ganze Bereich der ikonischen Algorithmen
von der Art, Bild in anderen Bilder transformieren.
Im Wesentlichen brauchen wir da zwei Gruppen. Das eine sind die Photometrischen.
Das sind diejenigen, die eben die Intensitätswerte auf andere Werte abbilden,
aber im Wesentlichen die gehemetrische Anordnung der Pixel im Bild gleichlassen.
Denn die geometrischen Operationen vergrößern, verkleiden, rotieren, entzerren.
Wenn wir Bilder schräg aufgenommen haben,
schräg vor allem hochaus standen und diese widerlichen, stürzenden Linien bekommen haben,
Perspektive korrigieren, Und eigentlich gibt es alle diese Operationen,
besonders die geometrischen, sowohl im Ortsraum, als auch im Frequenzraum.
Was in diesem Bereich an Algorithmen da ist, ist weitgehend standardisiert.
Also die meisten Verfahren habe ich schon in meinem Studium kennengelernt,
in den ersten Bildverarbeitungsoperationen, Vorlesungen, die inzwischen so weit gedienen,
dass sie in viele Bildverarbeitungsgeräte und Kameras direkt eingebaut sind.
Also wenn man sie heute eine mittelteure Kamera kaufen,
haben sie praktisch die Mehrzahl dieser Bildverarbeitungsoperationen schon eingebaut in die Software
der Kamera und können die Bildverarbeitung in der Kamera selbst machen.
Und hinterher bleibt nicht mehr viel zu tun. Ist aber etwas,
was ich nie tun würde,
weil ein Kamera ist selbst mit ihren niedlichen Displays,
da sieht man schlichtweg nicht, was man dem Bild antut,
weil man Bildverarbeitung in der Kamera macht.
Also es lohnt sich immer zu warten mit der Bildverarbeitung auf den Moment,
wo man das Bild im Größ auf einem ordentlichen Bildschirm
sehen kann und dann sieht,
was los ist
Also was ich empfehlen würde, wenn Sie mich mit Plattenplatz geizen müssen,
setzen Sie Ihre Kameras so,
dass die Bilder direkt im Rohrformat oder zumindest im T-Format aufzeichnen,
sodass Sie keine Kompressionen in der Kamera haben,
kann eine verlustreiche Kompression, ja.
Wenn man einen Plan hinterher, nur JPEGs zu haben,
dann allerdings sollte man die Bildverarbeitung in der Kamera machen lassen,
bevor sie das JPEG draus macht.
Wenn das Bild erst mal im SEPEG ist, hat man verloren,
für alle Zwecke der Bildverarbeitung, die danach kommen sollte.
Von der Kamera die Bilder mit Schiff oder Rohrformat,
herunterlesen im Bildverarbeitungsprogramm, dann die Verarbeitung machen.
Und wenn man dann mit dem Bild hundertprozentig zufrieden ist,
okay, dann kannst du ein JPEG werden und man kann es in einer Kompression ablegen,
die im Plattenplatz reduziert oder das eben übertragbar macht.
Okay. Ja, die Bildverarbeitungssoftware, was sollte man so
kennen? Also wenn man ein bisschen Geld übrig hat,
kann man in einen Photoshop investieren,
Photoshop hat halbwegs komfortabel benutzbar die meiste Bildverarbeitung eingebaut
Dieselben Operationen war mit einer anderen Art der Navigation in
den Menüs und so, hat man beim kostenlosen GIMP.
Also wenn jemand Wert drauf legt,
es ist gute Frühwert zu haben und zweitens,
und wirklich alles machen zu können, dann würde ich sagen,
dümm installieren, das ist die Wahl.
Die ikonische Bildverarbeitungsalgorithmen sind zum großen Teil auf den Grafikkarten
der Rechner
schon vorhanden
Gucken wir mal von dem ikonischen uns zuerst an,
was man so mit globalen Bildeigenschaften machen kann.
Das globale Bildeigenschaften beschreiben das Bild als Ganzes und nicht die Details im Bild.
empirischer Mittelwert, Testogramme, Projektionen, Profile oder Frequenzspektrum.
So, simpelste ist der empirische Mittelwert. Das kann dir alles überhaupt sagen.
Also wenn daraus kommt, der Mittelwert ist null, ja,
dann haben wir wahrscheinlich ein pechschwarzes Bild ohne jegliches Signal.
Das ist schlecht, wenn der Mittelwert 255 ist beim 8-Bit-Bild,
auch nicht besser,
dann haben wir
ein Stück schneeweißen
Hellen Hintergrund. Also der ist vor allem dafür da,
um uns zu sagen, ob wir ganz gut die Mitte getroffen haben.
Und gut, wenn wir,
also Mittelwert einfach als Sünde der Grauwerte an allen Zeilen und Spalten
nehmen und das dann durch die Zahl der Pixel teilen,
haben wir unseren Mittelwert.
Man macht es in der Notation oft so, dass man,
wenn man nur über Pixel im Einzelnen statistisch redet,
dass man sich nicht darum kümmert, wie die im Bild arrangiert sind.
Sondern wir stellen sie uns alle in einer langen Reihe hintereinander vor.
Und wenn das Bild nur eben mal Eine Julian Pixel hat mega Pixelbild.
Dann zählen wir hier eben von K gleich 0 bis 999.000
999.999 und stellen jetzt alle Pixel in der Reihe vor und nehmen das als Mittelwert.
Okay. Auch unsere Kameras, wenn wir Bilder aufnehmen,
bestimmen den Mittelwert des Bildes und nutzen den bei der Belichtungsautomatisierung.
Wenn Sie Bilder aufnehmen und haben Belichtungsautomatik eingestellt,
dann Muss die Kamera ja irgendwie schätzen,
wie viel Licht ist eigentlich in der Szene vorhanden?
Und wie dann passend die Belichtung zu wählen. Und was
praktisch jedes Belicht automatische Belichtungsprogramm macht, ist, das Bild,
die Belichtung so einzustellen, dass im Mittel das Bild grau ist.
Also wenn sie mit acht Bit, Intensitätswerten aufnehmen,
wird die Belichtung so eingestellt,
dass der Mittelwert der Graubwerte in ihrem Bild 128 ist.
Und das ist im Allgemeinen okay,
wenn man davon ausgeht, sie haben eine Szene aufgenommen,
da ist gleich viel weiß wie schwarz drin und
die Objekte sind nett
Arrangiert, aber wenn sie eine Nachtaufaufnahme machen, ist das absolut der Käse.
Was sie dann als Resultat bekommen mit einer Belichtungsautomatik,
weil das eben versucht, ihr Bild so zu erzeugen,
dass die schwarze Nacht grau aussieht.
Oder wenn sie ein Gönn-Nicht-Aufnahmen machen, also für Menschen aufnehmen,
die auf einen weißen Sandstrand spielen.
Belichtungsautomatik aufgenommen sind diese Bilder immer völlig falsch aus.
Die Menschen sind schwarz, der Hintergrund grau und gibt entsetzliche Bilder.
Also in den Fällen muss man eben sehen,
Mittelwert gibt der Kamera einen Rechtwert und mein Selbst muss dann die Bilder kräftigst überbelichten.
Die Varianz sagt ihnen, ob das Bild Ja, variiert.
Ich habe seine Bildfunktion haben, die deutliche Amplituden hat und Variation im Bild.
Und die wird genommen, um das Digitalisieren einzustellen. So,
auch da nochmal, was kann jetzt die Varianz sagen?
Danke. Wenn wir hier, vielleicht jetzt nur als Zeitsignal
entlang einer Zeile haben und unser Signal variiert, so.
Okay. Und diese Amplituden sind hier Grauwertunterschiede von drei. Wenn wir das so digitalisieren,
dass wir hier bei Grauheitunterschieden von drei,
aber trotzdem die Grauwerte so nehmen,
dass wir hier minus 128. plus 128 haben,
dann kriegen wir ein Bild, wo überhaupt kein Signalunterschied zu sehen ist.
Die geschätzte Varianz, die uns sagt, naja,
das ist das, was das Bildsignal variiert,
können wir nutzen,
dass wir diesen Grauwert von drei auf plus 128 abbilden und
denen von minus drei hier auf minus 128 und damit
ein Intensitätsbereich des Bildes gut ausnutzen
Dafür brauchen wir dieses Signal. Als Abschätzung, was im Bild zur Struktur
vorhanden ist. Und klar, was die Varianz noch,
das sollten alle aus dem Statistikteil der Vorlesung kennen.
Sigmarquadrat ist eben dequadrierte Abweichung vom Mittelwert.
Hier geht unser Mittelwert ein, den wir eben bestimmt haben.
Und das oft summiert über das ganze Bild. So,
tierischer Mittelwert. Es gibt eine einfache Art, ihn zu berechnen,
in der Bildverarbeitung. Bilder sind groß, weil speziell,
wenn man jetzt an das denkt, was so heutzutage auf dem Markt ist,
schon billige Knipskandereis formbadieren, uns mit 16 Megapixel-Bildern.
Also da sind ziemlich viele Pixel durchzuarbeiten. Man möchte natürlich,
dass die Bildverarbeitungsoperationen schnell gehen. Und wenn sie bei den statistischen Operationen,
die Formen ganz nett, die uns sagen,
wie man diese Mittelwerte laufend berechnen kann,
also wir haben da schon den Mittelwert, haben die Varianz haben,
für die ersten Carminus 1 Pixel im Bild.
Und jetzt kommt nach mir ein Ausschnitt ein Tick größer und wollen das jetzt auch fürs Kartepixel noch haben,
dann sagen uns diese Formeln hier,
wie wir aus dem Mittelwertinnen für die ersten Carminus 1 hatten,
durch ihn zu addieren, des nächsten Grauwertes,
den alten Mittelwert weiterverwenden können und nicht alles neu rechnen müssen.
Das gilt auch für die empirische Varianz. Also diese Formeln
sind ganz praktisch. Okay. Ja, wenn wir jetzt
wieder eine Frequenz zu denken, das Rauschen im Bild.
Wir können uns rauschen vorstellen, als eine Komponente,
die additiv dem perfekten Signal überlagert ist, was wir gerne hätten.
Also wenn unser Signal in Wahrheit So eine Stufe sein sollte.
Und die Verstärker der Sensor addieren eine statistische Variation dazu.
Können wir uns das Signal, was wir beobachten, so vorstellen,
dass wir sagen, es ist das perfekte Signal, plus ein Rauschanteil.
Und die Hoffnung, die wir haben,
wenn wir rauschen aus dem Bildsignal herausbekommen wollen,
ist, dass dieses Rauschen ein gutartiges Signal ist.
Das, ein Gutartiges Rauschsignal ist sogenanntes weißes Rauschen.
Weißes Rauschen sagt das
Es in allen Frequenzen mit gleicher Amplitude auftritt,
also keine Frequenz besonders bevorzugt ist. Und zum Zweiten fordern wir
noch ein bisschen mehr, was sind die Algorithmen eingeht.
Also wenn mir ein echtes weißes Rauschen haben,
dann können wir es modellieren über eine Normalverteilung,
das Rauschensignal hat einen Mittelwert, gleich null.
Und eine Varianz, die größer als null ist, So,
mit diesen Werten können wir unser Rauschsignal durch ihr Wahrscheinlichkeitsdichte beschreiben.
Wahrscheinlichkeit vom Rauschen ist eins durch Signal, Wurzel 2,
Pi mal eh hoch, Ginnes R-Quadrat durch zwei Signalquadrat.
Ja, Normalverteilung. Zusätzlich vor der Mühe, dass unser Sensor
so gebaut ist, dass das Rauschen räumlich und zeitlich unkorreliert ist.
Also die Art, wie im Sensor Pixel 1 rauscht,
soll nicht beeinflussen, wie das Pixel 2 rauscht.
Keine Korrelation. Und Das können wir so ausdrücken, dass wir sagen,
der Erwartungswert über das Rauschen in zwei verschiedenen Pixeln im Bild ist null.
Produkt des Rauschens an verschiedenen Stellen. Dasselbe nehmen wir
auch für die zeitliche, zeitlichen Verlauf an.
Also wenn das Pixeln eben so gerauscht hat,
soll es im nächsten Moment nicht davon abhängen,
wie es eben gerauscht hat, wie das neue Rauschen wird.
Gut, mit diesen anderen können wir rauschen, leicht korrigieren,
die traurige Nachricht, die ich sagen muss, ist,
dass diese Annahmen immer hoffnungsfroh gemacht werden und dass sie
eigentlich nie stimmen
Das heißt, man muss beim, den Rauschkorrekturalgorithmen sehr kritisch überprüfen,
was rauskommt, weil es ist wichtig, dass man,
wenn man sich darauf erlassen muss, dass diese Eigenschaften stimmen,
dass man die für einen Sensor, den man verwendet,
ausmisst und feststellt, ist es wirklich so.
Gut, also dann haben wir besonders mit Rauschen zu kämpfen,
dass bei schlechten Lichtverhältnissen, wenn wir, also beim Schatten,
bei Nacht in schlecht beleuchteten Gebäuden aufnehmen,
dann haben wir einem sehr schwaches Signal,
aber das Rauschen ist so stark,
wie es auch wäre,
wenn das Signal hoch ist
Meine Nachtaufnahme mit meiner Videokamera. Ja. Nein, kein
Update bitte. Also kann man schon erkennen, ne?
Diese kleine Movie, wir sehen hier,
dass der dunkle Nachttimmel total vor sich hin rauscht, ja?
Und jetzt können wir uns auch mal von den zeitlichen Eigenschaften überzeugen.
Also das Rauschen variiert zeitlich auch,
wenn wir hier auf die Elefantenhaut mal schauen.
Auch das rauscht da ziemlich
Und der Originalton auch. Gut. Okay. Wir haben
immer ein bisschen weiter. Okay. Hier zum Vergleich,
Bilder bei gutem Lichtverhältnissen. Der erste neue Part,
den ich im freien Wildbaden begegnet bin.
Der hat aber kein Interesse an mir, glücklicherweise.
Okay. Gut
Gut. Nennen wir jetzt mal auch ein Stück Elefantenhaut hier anschauen,
dann sehen wir, was das Rauschen so ausmacht.
Händeteile, dunkle Teile, alles wirr durcheinander gewürfelt.
Das ist ein Rauschen, was man so halbwegs mit der Annahme
Normal verteilt, unkorreliert, räumlich und zeitlich modellieren kann.
Und wenn wir tatsächlich so ein Rauschen haben,
dann nehmen wir folgende Methode, um es zu beseitigen.
Also wenn der Mittelwert des Rauschens gegen Neugier,
das ist ja das,
was wir reingesteckt haben
Dann sollte Folgendes gelten, wenn wir das Bild zu
vielen Zeitpunkten nehmen und das Bild gleich bleibt.
Nur das Rauschen variiert. Und wir mitteln dann das Bildsignal mit
Additiven Rauschen. Sollte das Rauschen mit der Zeit verschwinden,
weil sein Erwartungswert ja null ist. Also für holten,
hohe Werte von K sollte dies Verhältnis einst durch K-Pixel gemittelt.
Gegen null gehen wird so bittes Rauschanteils,
weil Rauschen ja den Mittelwert null haben soll
Wie machen wir das Mitteln? Es ist zwei Möglichkeiten.
Wir hatten zeitliche Unkorreliertheit gefordert und räumliche Unkorreliertheit. Wir können räumlich mitteln,
indem wir uns auch mit einem Pixel ein Bild setzen und
die Nachbarschaft hineinmitteln, das unkorrelierte Rauschen ringsherum,
wegmitteln und stecken die Annahmen in ein das Bildsignal an der Stelle,
ist konstant.
Dann werden wir damit das Rauschen los oder wir nehmen mehrere zeitliche Stichproben des Pixels,
weil wir eben auch die Hoffnung haben,
das entlang der Zeit Axelessrauschen unkorreliert ist,
zu verschiedenen Zeitpunkten
Und mitteln das. Auf was würden Sie eigentlich übersetzen wollen?
Räumliches Mittel oder zeitliches Mitteln? Sie besinnen, ja.
Ich glaube, lieber auf das zeitliche,
aber das scheidet bei einem Foto ja eigentlich aus.
Gut, meine Kappe warten schnellen Auslöser. Ich glaube eigentlich
auch das zeitliche. Ja, was passiert denn beim räumlichen Mitteln?
Warum ist das schlecht? Naja, wir müssen ja nicht,
welche Künstlerin der Nachbarschaft jetzt traust schon,
welche Forminalton haben wir jetzt, nur beim zeitlichen,
dadurch, dass sie sich das nicht verändert,
das können wir, glaube ich, besser herausziehen.
Noch jemand anderes an sich dazu, beim räumlichen?
Ein Punkt beim räumlichen Mitteln ist, wie gesagt,
wir wissen nicht genau, welche Pixel exakt dasselbe Bildsignal haben sollten,
weil da eben Kanten im Bild sind.
Dass räumliche Mitteln wird im Wesentlichen scharfe Kanten verschnieren.
Das heißt, das Bild wird hinterher unschärfer aussehen.
Wir kriegen einen Effekt wie eine Tiefpassfilter.
Richtig, Kugel selber vorgeben, dann kann man das
ja erinnern
Wir müssten sozusagen ein Testbild aufnehmen, um das Rauschen zu schätzen.
Ja, oder wir haben in dem Bild irgendwas,
wo wir eine Information zu haben haben.
Mhm. Ja. Okay. Der Punkt ist einfach,
wenn du mal kurz... Die Tafeln nehmen können,
also nehmen wir an, wir nehmen eine Zeile des Bildes.
Ja, und gucken uns den Helligkeitsverlauf an und eigentlich wollten
wir einen weißen Tisch auf dem schwarzen Untergrund haben.
Dann würde der Intensitätsverlauf wahrscheinlich optimalerweise so aussehen.
Nur dummerweise legt das Rauschsignal drüber. Und was wir beobachten,
ist eben die Summe aus beiden. Also dieser Schlenkerverlauf.
Wenn wir jetzt räumlich mitteln, sagen wir mal,
immer die fünf Fenster der Breite fünf nehmen,
Mittelwert bestimmen, dann wird das hier ganz gut klappen.
Weil durch Mitteln dieser Werte werden wir im Wesentlichen das Signal
vom Untergrund kriegen und das andere sollte sich wegheben,
weil das Rauschen, ja wie versprochen,
mit Mittelwert null rauscht
Das geht gut, geht auch in diesem Bereich gut.
Auch da werden wir dann hier dieses hohe Niveau rausrechnen können.
Und das wird gnadenlos schiff gehen in diesem Bereich,
wenn wir genau über dieser Stufe sind, von Hell nach Dunkel.
Da werden wir stattdessen durch das Mitteln irgendwie sowas rauskriegen. Das heißt,
das Bild wird, wenn wir das rauschten, beseitigen,
durchglätten mit einem solchen Glättungsfilter, was Mittelwerte berechnet,
wird es in der Gegend der scharfen Kanten unscharf.
Im Endeffekt weiß oder sowas, dann kann man ja auch
verhindern, dass die so was auch wirklich aufgenommen wird.
Und dann denke ich mir, ja, machen wir schon mal.
Zumindest, also es wird nie perfekt werden. Genau,
das ist das, was sie in vielen Seiten der Bildverarbeitungslehrbücher finden.
Heuristiken, wie vermeide ich über Stufen hinwegzumitteln? Ja,
dass man einfach mit Mitteln an der Stelle aufhört und
da lieber das Rauschen in Kauf nimmt.
So beim, also wenn wir es im Bild machen,
kriegen wir Inschärfe rein an den Kanten.
Wenn wir jetzt zeitlich mitteln und sagen, naja,
wir nehmen einfach viele Bilder nacheinander auf, ganz schnell.
Kameras haben Automatik, mit denen man sagen kann,
nehmen mal zehn Bilder pro Sekunde auf oder so.
Ja, oder wir haben ein Video
Mit den Stablessoliebe an der Zeitachse,
dann sollten diese Kanten perfekt erhalten bleiben.
Unter einer Bedingung. Ja? Genau. Also solange wir
statische Szenen haben, sonst kriegen wir Bewegungs- und Schärfe rein.
Bei bewegten Objekten kriegen wir eben die Bewegungsunschärfe.
So, jeder Stück Elefanten haut super geglättet.
Mit einem 10 mal 10 Filter, 100 Pixel in die Mitte.
Also so schier und rein sah die Haut des Elefanten
wahrscheinlich in Wahrheit
gar nicht aus
Gut, die Frage ist ja, wie stark müssen wir denn mitteln?
Also weil wir dann nur wissen, dass es starke Mitteln,
Unschärfe reinbringt, wollen wir die Mittelungsfilter so klein wie möglich machen,
um die Schärfe weitgehend zu erhalten.
Und dazu kommen wir einfach in unseren geschätzten Rauschwert,
RK, das Dach hier soll geschätzt sein,
als Zufallsvariable betrachten und als eine der Mittelwert und Varianz
von dem K abhängt,
wie viel Pixel wir
gelittelt haben
Wir mitteln das Rauschen, in dem wir eins durchkamen,
mal Summe der K-Rauschpipixel nehmen. Der Erwartungswert hatten wir gefordert
, sei null. Und wenn wir jetzt überlegen,
wie der tatsächlich die Differenz des tatsächlichen Rauschwärts RK geschätzt,
gegenüber dem Erwartungswert von RK zum Quadrat ist, Dann sehen wir,
dass wir da ausgerechnet haben, ist die Varianz des Ganzen.
Angst durch K-Quadrat. Und wenn wir das einsetzen in der Normalverteilung,
es sollte ja normal verteilt sein, kriegen wir raus,
dass der Erwartungswert der Abweichung von RK von null eben,
also das, was ein Rauschen verbleibt,
dass der Schlichtwechsel knack Quadrat durch K ist.
Heißt folgendes, weil die Varianz des Rauschens hier oben
im Quadrat angeht,
müssen wir
relativ stark mitteln
Um den Erwartungswert des Rauschens zu verringern. Also wenn wir den erwarten,
das Rauschen in seiner Amplitur der halbieren wollen, müssen wir den,
müssen wir vier Pixel mitteln, um das hinzukriegen.
Also es geht praktisch mit dem Quadrat. So, um
das Rauschen zu halbieren, brauchen wir mindestens vier Pixel.
Das kann ja auch erträglich sein, wenn wir große Bilder haben,
die mir das größte Entfernung betrachtet,
dann Das ist ein 2-mal-2-Feld zu mitteln,
das ist noch nicht so schlimm,
aber damit sind wir das Rauschen erst zur Hälfte los.
Ein paar Beispiele für die Mittelnung aus dem Buch von Taugans Halles gescannt.
Also hier das Ergebnis nach dem Firma 4 Mitteln hier unten.
Und dort oben sitzt es deutlich besser aus.
Okay. Das aus Band Möllmanns Folien übernehmen,
der hatte das mal durchgerechnet mit verschiedenen Mittelungsfiltern.
Wir können uns jetzt auch mal anschauen,
wie man im Ortsraumfilter schreibt, nämlich in dieser Maskennotation.
Das hier ist wie folgt zu lesen. Wenn wir
im Ortsrauben filtern und mitteln wollen, nehmen wir ein,
in diesem Fall ein 5 mal 5 Feld im Bild,
hier 5 Pixel lang, 5 Pixel breit.
Und wir wichten jedes Pixel in dem Feld mit einem Faktor 1
und addieren das alles auf und hinterher teilen wir es durch die Anzahl der Pixel,
nämlich durch 25.
Und das führt dann zu dem Ergebnis, was wir hier unten sehen.
Hier oben haben wir schöne scharfe Kanten und hier unten.
Ja, total verschmiert. 5 mal 5 ist schon
ziemlich stark und übertrieben, aber das Rauschen ist weg
So die Methoden dessen, die Kanten zu erhalten,
auch auf Bernd Folien hier mal anzuschauen.
Er hat sich die Mühe gemacht,
all die Formeln zu schreiben, wollte nicht normal machen.
Also das simple Mitteln ist ja einfach,
alle Pixel aufsummieren und durch die Mächtigkeit der Domäne zu teilen.
Also in dem Fall waren es die 25. Andere Methode ist,
dass man einfach da reinschaut, sich anschaut,
was ist im Bereich der Mittelwert?
Und brutal sämtliche Pixel die stark vom Mittelwert abweichen, ersetzen durch den Mittelwert.
Also Ausreißer raus. Ja. Also das ist ein bisschen
brutale Methode. Wir nehmen den Mittelwert und wenn die Abweichung
des Pixels vermitteln wird, größer ist als eine Schwelle,
dann nehmen wir schlichtweg den Mittelwert, andernfalls behalten wir es bei.
Ja, also das ist hier zu lesen.
Also wenn der Minzen Ausreißer ist, durch den Mittelwert ersetzt,
andernfalls lassen wir das Bild, wie es ist.
Auf diese Weise bleiben tatsächlich Kanten in der Regel ganz gut erhalten.
Oder Ihm. Eine ganz gute Kompromisslösung. Gewichtetes Mittel.
Die vermitteln rücksichtigen wir Pixel, die weiter weg sind,
nicht so stark wie die, die in der Mitte sind.
Also in dem Fall würde aus unserer Maske die 1-
1-1 einziehen. Stattdessen einige werden,
wo wir sagen, das mittlere Pixel hat drei Stimmen,
die direkten Nachbarn zwei und die in den Ecken nur noch eine.
Und das teilen wir dann durch die Gesamtzahl der Stimmen
Was ich finde, was bei echten Kanten tatsächlich
am besten funktioniert, ist das bi-modale Mitteln.
Wir bestimmen zunächst mal den Mittelwert. Und dann teilen wir
unsere Pixel ein in zwei Gruppen. Eine Pixel,
die größer gleich dem Mittelwert sind und eine Gruppe,
die kleiner als der Mittelwert sind.
Und für diese beiden Pixelgruppen machen wir das Mittel separat.
Jede Gruppe für sich kriegt ihr einen privaten Mittelwert,
durch den sie ersetzt wird.
Das funktioniert, wenn wir nur eine Kante in dem Ausschnitt haben.
Wenn wir drei oder vier sind,
hilft es immer
noch nicht viel
Aber solange wir nur eine Kante haben, die durchs Bild
geht an der Stelle, funktioniert das ganz gut.
Also hier im Ölbereich A, alle Pixel,
die größer als der Mittelwert sind, hier alle,
die kleiner als der Mittelwert sind.
Und dann ersetzen wir diesen Bereich eben durch die privaten Mittelwerte.
Und zwar können das den Sohn mitteln.
Und wenn wir mal die Bücher aus dem Bildverarbeitungsbücher aus den
70er und 80er Jahre
Wenn Sie von maturell her Briefmarkensammler sind und Algorithmen sammeln wollen,
es gibt hunderte von Algorithmen, wie man geschickt mittelt und Kanten zu erhalten, Kanten zu erhalten.
Die beliebte Methode war auch, Mittel mit einer rotierenden Maske,
also dass man jetzt nicht nur das B-Modal im Mitteln macht,
sondern guckt, wo ist Struktur und feststellt,
was kriege ich denn an Mittelnwerte heraus,
wenn ich solche Masken darüber lege, feststelle,
wie viel Varianz ist da drin und ich suche dann die Masken raus,
die in ihrem Fenster die geringste Varianz haben.
Und daraus berechne ich die Mittelwerte. Also einfach die Stellen ohne Struktur finden.
Das ist vom Ansatz her ganz raffiniert. Nur das Problem ist,
wenn man größeres Rauschen beseitigen will,
klappt das damit nämlich auch nicht, weil die Stellen,
die stark verrauscht sind, leider eine so große Varianz haben,
dass wir genau die nicht mitteln.
Also das ist von hinten durch die Brust.
Und was man heutzutage tun sollte, um Bilder zu glätten,
ist schlichtweg. Sie mit einer sehr hohen Auflösung aufnehmen,
die deutlich größer ist als die Auflösung,
die man braucht
Entweder zeitlich oder räumlich und dann es zu mitteln für kleinere Bilder,
sodass man von vornherein auf diese Weise die Unschärfen durchs Mittel entsteht,
nicht sieht, weil das Bild, was man letztendlich verwendet,
ja eine viel geringere, räumliche Auflösung hat.
Das Zweite, was man tun sollte, vorbeugen,
mich voll auf die Werbeprospekte abfahren, die sagen, 60 Megatixelkamera oder so.
Also diese kleine Sensoren mit unglaublich vielen Pixeln haben praktisch
kein Signal, um an den Pixelwerte aufzunehmen.
Die haben Die Superchips heutzutage mit einer sehr hohen Pixelrate.
Die haben ein so schlechtes Signal. Rauschverhältnisse,
dass man die Bilder sie an ihre Haare reiben kann.
Also sie fahren deutlich besser mit Kameras,
die einen größeren Sensor haben, wo die Pixel eine große Sensorfläche haben.
Und lieber von vornherein weniger Pixel gemessen werden,
die dann ein sehr gutes Signal Rauschverhältnis haben, als die 60 Megapixel,
die in die Platte vollmüllen und mit Daten, die nicht gut sind.
Ja, ein Rauschfüllter, wenn man es denn
mehr partout nehmen muss, das ich ganz gern nehme,
ist das Medianfüllter
Und die Median-Filter ist eins aus der großen Gruppe von Filtern,
die alle in die Gruppe Rangordnungsfilter gehören.
Ja, was machen wir? Wir nehmen unseren Ausschnitt,
in dem wir das Bild glätten wollen und sagen,
im Wesentlichen wird das Pixel die Helligkeit und das Signal gehabt haben,
dass Einen Intensitätswert hat, der in der sortierten Rangordnung aller Pixel in der Mitte liegt.
Also wir nehmen einfach hier diese Stichprobe, wie zum Beispiel diese neuen,
oder ich habe meistens 25 genommen, 5x5 Fenster,
sortieren unsere Pixel, aufsteigend, absteigend, egal.
Und dann greifen wir in die Mitte hinein und nehmen als Stellvertreter
das Pixel, was in der Mitte von allen liegt,
in der Hoffnung, dass es kein Ausreißer ist.
Denn Ausreißer werden nach unten oder nach oben sortiert.
Also das ist eigentlich der eigentliche Wert,
der kommt aus der Mitte und den nehmen wir als Repräsentanten
Also das gibt sehr schön raususchgefilterte Bilder. Und auch das
wird natürlich Übergänge kannten, klein wenig verändern. Ja,
wenn du gerade an einer solchen Kanten sind,
hängt es davon ab,
auf wem du gerade links oder rechts der Kante sind,
wo unsere Medianen liegen wird.
Also was man feststellen wird im Median gefilterten Bildern ist,
dass die nicht mehr in der Intensität rauschen,
sondern mehr im Ort der Pixel
Nehmen wir ein Beispiel hier. Erst in Median, das Pixel 15 hier.
Ja, das liegt in der Mitte von allen.
Die Wirkung des Filters, können wir uns so vorstellen,
dass die medialen Pixel in die Mitte des Feldes verschoben werden.
Also wir kriegen eine kleine Verschiebung im Ort.
Ja. Okay. Teufel mit dem Bilzebub ausgetrieben, ne?
Was über die Medianfilter so sind, das sind eben Spezialfälle der Rangordnungsfilter.
Und wir haben hier jetzt den Rang Mitte in der Liste
aller Pixel genommen, ja, um da ein Pixel auszuwählen.
Das kann man gleich generalisieren und sagen, ja,
was passiert denn
Statt des mittleren Wertes immer den kleinsten nehmen.
Das Bild durch alle Ausreißer nach unten ersetzen.
Das nennt sich auch vorne den Expansionen der dunklen Bereiche.
Noch wenn wir immer den kleinsten nehmen, kann man
sich leicht vorstellen, wird der Mittelwert unseres Bildes sinken.
Das Bild wird insgesamt etwas dunkler. Und es wird dazu führen,
dass dunkle Bereiche im Bild, dass die Tick breiter werden.
Also wenn wir hier Sagen wir mal, hier hingucken.
Der niedrigste Wert ist elf und vermutlich beginnt hier ein Bereich für das Bild
etwas dunkler ist und wir sehen hier den letzten Einstreuer,
wo wir so einen niedrigen Wert haben von elf eben.
Wenn wir jetzt Disbixel hier durch elf ersetzen,
wird es im Endeffekt dazu führen, dass der dunkle Bereich,
den wir hatten, einen Tech größer wird.
Nach allen Seiten wird er sie etwas ausbreiten. Etwas,
was man gerne nimmt, wenn wir Strichzeichnungen aufnehmen und dafür sorgen wollen,
dass die Linien zusammenhängend bleiben und gut zu erkennen sind.
Das kann man genau durch solche Rangordnungsfilter machen.
Die dunklen Bereiche vergrößern
Vor allen Dingen, wenn das Verfahren iterativ ein paar Mal macht.
Immer wieder, die kleinsten Wert ersetzen in die Mitte
und dann kriegen wir immer breitere, dunkle Striche.
Und umgekehrt, wenn wir immer den höchsten Rang nehmen,
dann kriegen wir auf diese Weise eine Expansion der Heldenbereiche und
können damit so die Konturen von den hellen Bereichen ein bisschen deutlicher machen.
Gut. Großes Schimbleur hatten wir schon, brauchen wir nicht.
Sie sind nackt open
Okay. Ja, nun sollten wir noch mal auf die Histogramme schauen.
Das, was jede Kamera heutzutage einem auch schon anzeigen kann
im Sucher, während man das Bild fotografiert.
Also schauen Sie bei Ihren Fotoaufnahmen ruhig auf die Histogramme,
wenn Sie die sehen und gucken sich an,
wie wird hier der Gesamtbereich ausgenutzt.
Haben wir einen deutlichen Unterschied, das Objekt,
was wir sehen wollen und der Hintergrund.
Und sehen wir, haben wir hier viele unserer Objektpixel oder nicht.
All das sind gute Indikatoren, ob wir da eigentlich dabei
sind,
das Bild vernünftig aufzunehmen
Gut, Testogramme sind jetzt diskrete Werte gezählt,
in einzelnen Pixeln im Bild. Für die Quantenwerte konnten wir
128, haben wir mit der und der Häufigkeit Quantenwert.
127 mit der und so weiter. Ist eine diskrete Apoximation an die Wahrscheinlichkeitsdichte.
Und die Cystogramme kann uns dann zeigen, ob die Bilder,
die wir aufgenommen haben, in irgendeiner Weise Sinn machen.
Typische Anwendung, Skriptschrift scannen. Was man gerne haben möchte,
ist, dass sich die Schrift sehr gut vom Hintergrund abhebt
Und wir eine Grauwertverteilung haben, wo es eher so aussieht hier.
Deutliche Peaks für Hintergrund, für Schrift.
Wahrscheinlich ist das der Hintergrund und das ist die Schrift.
Und im Wesentlichen sollte zwischen den Bereichen, die uns interessieren,
dass das Programm leer sein, dass man gut klassifizieren kann,
was ist Schrift, was ist Hintergrund.
Typischerweise wird so aussehen, dass wir hier zwei Überlagerungen haben,
die sich schön mischen und in dem Bereich ist es
nicht ganz klar
Hystogramm, Schärfen, deutlicher, besser,
erkennbares Histogramm zu sehen. Kann man zum Beispiel machen,
indem man einfach nur Deep Pixel zählt,
die nicht gerade auf einer Kante liegen, also man hell Dunkelübergang haben.
Das ist das, was hier unten gemacht worden ist,
das Bernd davor exerziert hatte. Alle Pixel,
die am Übergang von hell nach Dunkel liegen,
wegzulassen und sich den anzugucken, ja,
wir sehen eigentlich die großen Bereiche aus im Bild,
die ich habe
Was man auch gern nimmt, sind maskierte Histogramme,
die Sharp in den wagenlichen Beispiel dafür,
dass wir nur solche Pixel zählen, für die ein Prädikat erfüllt ist.
Also wir zählen die Häufigkeit von Grauwerten EJ,
eine bestimmte Eigenschaft A haben und außerdem gilt noch ein weiteres Prädikat an der Stelle geehrt.
Wenn wir beispielsweise nur solche Pixel berücksichtigen wollen,
in der Grauwert wenig variiert, könnten wir dieses Prädikat so ausformulieren,
dass man sagt, Summe,
die Absolutbeträge der Differenzen zu den Nachbarpixeln diagonal gezielt,
sollten kleiner sein als eine Schwelle.
Gradienten ist Programme. Hier mal, dass man sie anschaut,
wie steil sind die Gradienten im Bild?
Das Bild links. Hier der Betrag der Gradienten,
also Gradientenvektor an die Bildfunktionen berechnet, dessen Betrag des Vektors genommen.
Im Bild selbst mal ein histogramm mit Graphicon Wörter
Häufigkeitsverteilung dargestellt. Im Wesentlichen, hier ist das
der graue Vordergrund und das ist die dunklen Hintergründe.
Und hier sehen wir, die Helligkeitsübergänge sind allesamt sehr hoch.
Die tummeln sich alle am rechten Ende. Puh. Also ein solches Hystogramm,
wo sie alles an einem Ende tummelt, ist mal ein Zeichen dafür,
dass etwas faulen ist und man sollte nochmal von vorne beginnen.
Die Histogramme können wir nehmen zur Kontrastentzerrung.
Wir hatten es schon bei der Frage der optimalen Quantisierung angesprochen
Was Bildverarbeitungsprogramme oft machen, wenn sie den Knopf Bild verbessern,
in Hans drücken, ist etwas in der Art hier.
Wenn das Bild, so wie es ursprünglich aussieht,
eine Helligkeitsverteilung hat, die ungefähr so ist,
alles bleibt sich hier um einen Wert und nach links und rechts wird es weniger,
dann kann es eben sein, dass man hier in diesen Bereichen Helligkeitsbereichen,
dass die überhaupt nicht benutzt werden und man die Bereiche hat,
wo man halt nicht Details sieht.
Wenn wir jetzt sagen, das Optimum hätten wir, Wenn jeder grau wird,
der im Bild verwendet wird, gleich oft verwendet wird.
Ja, also der Grau wird null,
genauso oft verwendet wird wie der Grauwert 255 und alle,
genau die gleich häufig verwendet werden, dann ist,
würde das Histogramm so aussehen, dass wir hier in die Gleichverteilung über alle Grauwerte haben.
So, und das Rühnepping-Verfahren zur Kontrastverbesserung macht jetzt einfach Folgendes.
Das denkt sich, alle Grauwerte des Bildes entsprechend der Anzahl
aufsteigend sortiert
Und dann weiß man, ah, wir haben eine Million Grauwerte.
So. Eine Million Pixel. Haben 256 Grauwerte.
Jetzt muss ich die Grauwerte zu den Pixeln so zuordnen,
dass ihre relative Ordnung erhalten bleibt.
Aber eine Million durch 256 Pixel, alle den Grauwert null kriegen.
Also die ersten Pixel kriegen alle den Grauwert null.
Dann die Grauwert 1 kriegen wieder exakt genauso viele.
Die nächsten aus der Sortierfolge unserer Pixel und so weiter.
Und am Ende habe ich dann ein Grauwert,
hast du gerade was so aussieht
Und das heißt, jeder Grauwert, den die auf dem Bildschirm nutzen kann,
um das Bild darzustellen, wird auch ausgenutzt.
Und was ist die Wirkung? Wir sehen hier zum Beispiel
einen Straßenpflaster, jetzt sehr viel mehr Details als vorher.
Weil wir eben jedem verfügbaren Grauwert genutzt haben und irgendeinen Wichsel
hat den. Und möglichst gleich viele für jeden Bereich.
Dazu müssen wir eben das Ganze hier Teile, Aufteilstreifen gleiten.
Ist der gleichen Breite auf der Achse,
sondern eben gleich viele Pixel
Sollten in diesen Bereichen sein und die werden dann hier gleich verteilt
auf dieser Achse angebracht. Und damit haben wir es dann geschafft.
Es geht am besten, wenn man das Bild aufnimmt,
mit mir in einer besseren Grauwertauflösung, als wir letztendlich haben.
Also viele Kameras zum Beispiel können TÜVs, 16 Bit-TÜVs aufnehmen,
aber hinterher speichern wir den ganzen Kram nur mit zwar in der 6 und 5,
mit 8 mit TÜVs und haben eben deutlich weniger Grauwerte als vorher.
Und dann kann man diese Umkodierung sehr schön so machen.
Die weitere simple Operation im so einem globalen Bildeigenschaften sind die Projektionen.
Also einige von ihnen haben das vielleicht schon im Bildverarbeitungspraktikum auch mal ausprobiert,
wo man uns darum ging, Objekte zu finden.
Eine Projektion eines Bildes besteht darin, dass wir im Bild hier uns eine Zeile vorgeben.
Und dann senkrecht dazu, Summen aller Helligkeit berechnen.
Also wir legen hier mal einfach diese schräge Linie rein und
dann senkrecht dazu gehen wir durchs Bild und addieren alle Grauwerte auf.
Und die Hoffnung ist, dass wir in dem Profil,
was wir dann bekommen, entlang der Linie mit allen Grauwerzen,
dass wir da eine typische Bildstrukturen erkennen können.
Wenn wir beispielsweise einen Text scannen wollen,
hier haben wir ja diese Textzeilen, es ist zu erwarten,
wenn wir als Projektionslinie die senkrechte Linie nehmen und dann senkrecht dazu Alle Grauwerte aufaddieren,
dass da, wo der dunkle Text ist,
dass wir da im Mittel einen dunkleren Grauwert finden,
als in den hellen Zeilen zwischen den Textzeilen.
Und wir sehen dann,
wenn wir uns hier den Intensitätsverlauf hier so aufgetragen vorstellen,
dass wir hier diese Kenner haben mit lokalen maximal,
in denen wir genau erkennen, wo hier Schrift ist.
So, wenn man jetzt noch hofft, dass man auf
die gleiche Weise auch die Buchstaben in der Zeile findet,
das geht hier nicht so gut.
Warum nicht
Es ist leider eine Proportionalschrift, ne? Und wo
die Buchstaben in den einzelnen Zeilen an unterschiedlichen Stellen sind.
Es geht immer wunderbar, wenn sie ein Fixed-Witz von haben, ja?
Schriften mit fester Schrittweite, dann geht das auch. Aber da werden die Zeilen,
da macht das ja auch nicht wirklich karmantisch,
weil die werden es bescheidden können und dann können wir es selber befangen werden.
Genau, dann kann man die Zeilen nochmal wieder aufbasteln, genau. Ja,
und hier haben wir jetzt noch, nein,
das angewendet und beispielsweise auf dem Fließ beim Teile zu finden,
ja, solange wir einzelne klare Objekte haben,
können wir damit ganz gut feststellen,
wo der Roboter am Fließband hingreifen soll,
um das zu finden,
wenn sie alles überlappt,
ist natürlich dumm
Wir hatten dieses Verfahren mal angewendet, lang,
lang ist es her, als wir programmiert hatten,
unsere erste Bildverarbeitungsrechtenanlage sollte Musik vom Blatt spielen,
Notenblatt vor die Kamera gehalten und das sollte dann eben nach ein bisschen drüber nachdenken.
Das bisschen hat ein bisschen gedauert,
also der hat gut zehn Minuten gebraucht,
um auf die Regie von alle Vögel sind schon da zu
schauen und dann erklären irgendwann unerwartet die Musik.
Und wir hatten das gemacht in den,
damit beispielsweise die Notenlinien zu finden
Wenn du das Notungssystem finden willst, dann war eigentlich die Hoffnung,
Notenlinie sollten parallel sein und wir können die gut durch ein Zeilenprofil aufnehmen.
Also bei den Kameras, die wir damals hatten,
war das absolut unmöglich. Es ging nicht. Und wenn
wir bei Gelegenheit nochmal darüber reden, warum eigentlich?
Was wir da gesehen hatten, war schlichtweg die saumäßige Geometrie
einer Röhrenkamera
Also die früheren Kameras, das waren ja alles so,
in der Anfangszeit des Fernsehens, Videokameras, die,
eine Röhre haben, Sturmfläche,
wo eine lichtempfindliche Schicht draufgedampft ist und ein Elektronenstrahl,
der Kondensatorplätten abgelenkt wird, tastet das Bild ab.
So. Und diese Kondensatorenkondensatoren, die den Elektronenstrahl gelenkt hatten,
die waren bei den ersten Kameras absolut nicht linear im Verhalten.
Ja, das Abtasten der Zeilen waren eigentlich immer solche Reperbeln.
Statt der schönen, geraden Umbild in die frühen Vidia-Kameras,
mit denen wir gearbeitet hatten, schlichtweg diese saubmäßige Geometrie,
durchhängende, gerade hyperbeln, die alle gerade darstellen sollten.
Und bevor man nicht die Geometrie korrigiert hat,
brauchte man mit solchen Verfahren, wie eben besprochen, gar nicht anzufangen.
Dass bei Digitalkameras heutzutage besser, da haben sie schlichtweg
die Geometrie der Zeilen und Spalten auf dem Sensor.
Und das ist ein Traum. Gut. Ja,
wenn wir nur ein Objekt haben, was wir finden müssen,
industrielle Bildverarbeitung, simpelster Form, auf dem Fließband liegt irgendwo das Objekt,
was wir greifen wollen, reicht oft schon ein Querschnitt,
Einmal drüber abtasten und in diesen Zeilenverlauf und man sieht sofort,
wo das Objekt ist. Ja, all die Masse,
über die wir eben gesprochen haben, diametrische Eigenschaften, setzen voraus,
dass wir in irgendeiner Weise Abstandsmaße im Bild berechnen können.
Also sowas wie eine lokale Umgebung,
die nächsten Nachbarn und so weiter. Alles hängt dran,
dass wir Abstände zwischen Pixeln im Bild messen können.
Und in der Bildverarbeitung möchte man gern
das berechnende Abstände sehr,
sehr schnell machen
Das heißt, die Metrik, die wir verwenden, sollte
schnell berechenbar sein. Aber sie sollte weiterhin eine Metrik sein.
Weil um viele Beweise geht ein, dass die Eigenschaften einer
Metrik gelten für die Abstandsmaße, die wir verwenden.
Deshalb nun mal zur Erinnerung, was ist eine Metrik?
Ich hoffe, es ist in den ersten beiden Semestern Mathe schon vorgekommen.
Zum einen ist eine Funktion, eine Metrik, wenn sie positiv ist.
Also kein Abstand sollte kleiner als Null sein.
Und wenn der Abstand gleich Null ist für zwei Punkte,
dann soll daraus folgen dürfen, dass der Punkt identisch ist, dass nichts gleich Y ist.
Außerdem soll sie symmetrisch sein, denn den Abstand berechnen,
um von Punkt X nach Punkt Y zu kommen,
dann soll das derselbe Abstand sein, wie wenn wir von Y zu X zurück wollen.
Das ist, also der Rückweg soll nicht länger sein,
plötzlich als der Hinweg. Können Sie sich ein Beispiel denken,
wo Wege tatsächlich für den Weg von X nach Y
länger sein können als von Y nach X oder so
Gilt für jede Stadt, für die Straßen, Einlandstraßen sein können, ne?
Also wenn wir gerichtete Wege haben, ja, dann kann das passieren.
Also für eine Metrik fordern wir aber, dass die Abstände
symmetrisch sind und das Allerwichtigste, die Dreiecksumgleichung muss gelten.
Wenn wir einen Umweg machen über Punkt Y von X
nach Z und wir laufen den Umweg über Punkt Y,
dann muss die Summe der Strecken durch den Umweg größergleichst
dem direkten Weg sein
Gut, typische Abstandsmaße, die das erfüllen und mit denen man rechnen sollte,
das ist einmal der eukitsche Abstand, der Altbekannte,
wenn wir hier einen Punkt haben in den Koordinaten EJ,
dann im zweiten HK,
dann ist eben einfach der Abstand von diesem Punkt zu dem der Betrag des Differenzwektors zwischen diesen beiden Punkten.
Gut, also der Euklitscherabstand, was auch eine Metrik ist,
kann man beweisen, werde ich aber nicht tun,
ist die City-Block Distance, das ist das Abstandsmaß,
wenn wir uns in einem Raster bewegen,
wo man nur senkrecht und horizontal laufen kann, aber nicht diagonal.
Dann ist, wenn wir einen Diagonal entfernt liegenden Punkt erreichen wollen,
müssen wir immer erst mal senkrecht und dann gerade laufen oder erst gerade und dann senkrecht auf jeden Fall,
haben wir da für die diagonalen Punkte den Abstand 2. Das nennt sich City Block Distance,
weil wir eben wie in Manhattan immer um die Hochhausblöcke rumlaufen müssen.
Dritte Metrik, Abstandsmaß, das eben eine Metrik ist,
ist die Schachtbrett
Netric. Chessboard Distance. Und da sind die,
stellen wir uns vor, dass wir die Entfernung messen mit der Schrittweite,
die die Dame auf dem Schachtbrett machen kann,
wenn sie einen Schritt tut.
Sie darf eben auch diagonal laufen und der Abstand,
die original gemessen ist, auch eins.
Das sind, okay. Und für diese Mülltritten kommen da
so Einheitskreise zeichnen, ja, je nachdem, welche wir haben.
Also für das, für die Schachbrettmetrik wäre das hier auch der Einheitskreis,
weil wir hier eben Diagonal immer noch den Abstand 1 haben.
Die eure Klitsche Distanz gibt uns diesen Kreis und das hier wäre der Einheitskreis.
Für die City Block Metrik. Okay. Weshalb ich das Ganze erzähle,
ist, wenn man anfängt, Rechenzeit zu sparen,
fängt man meistens an, an den Stellen zu basteln,
wo man Abstände berechnet und mal kurz eben zu runden oder abzuschneiden.
Und das ist fatal. Einfach diese Warnung.
Wenn eine diskrete Modifikation in einem euklidischen Abstand vornimmt,
keins davon geht eigentlich gut
Wenn wir den euklidischen Abstand einfach abrunden,
mit gründeten Werten rechnen und ganz zeilige Werte zu haben,
dann ist der keine Metrik mehr.
Das Gleiche gilt, wenn wir sagen, okay,
naja, also gut, das Runden lassen wir weg,
aber wir verzichten drauf, die Wurzel zu ziehen.
Wurzeln aus dem Euklitschen Abstand ziehen, weglassen und schwupps,
es ist auch keine Metrik mehr.
Oder wenn wir jetzt statt zu runden,
gut, dann schneiden wir systematisch immer nach unten ab.
Es ist auch keine Metrik mehr
Wie beweisen wir das? Das kann man simpel durch Gegenbeispiele
beweisen und davon können wir uns noch mal zwei anschauen.
Der Trick, um zu beweisen,
dass etwas keine Metrik ist, dass es immer einfach,
man sucht ein Gegenbeispiel findet so und hat damit gewonnen.
Zu beweisen, dass das eine ist, ist meistens aufwendiger.
Also hier suchen wir mal, um zu zeigen,
dass geründete eklitische Abstand keine Metrik ist,
einfach mal drei Beispielpunkte aus.
XY und Z, X im Ursprung,
dann gehen wir diagonal einen Schritt weiter,
einens einzelnen auf 2-
So, wenn wir jetzt den Abstand von X
nach Y berechnen und dann den von Y nach Z,
dann ist dieser Abstand hier X nach Y,
ist Wurzel 2 geründet.
Wir wollen ja zeigen, dass der geründerte eukletische Abstand keine Metrik ist.
Also, wir runden 1,4,1 und so weiter auf 1.
Der Schritt von Y nach Z, auch wieder geründet gibt.
Auch den Wert 1, aber der direkte Weg von X
nach Z, das ist zweimal Whatzel 2 gerundet, 2,8,2.
Das müssen wir zu drei runden. Und was wir jetzt haben,
als Gegend Beispiel ist eben, dass mit diesen Werten,
für dieses Abstandsmass die Dreiecksungleichheit nicht erfüllt ist,
weil der Umweg über Y ist kürzer als der direkte Weg.
Und das über die Dreiecksungleichung scheitern eigentlich alle anderen Modifikationen.
Wenn wir aufs WhatsApp-Zielen verzichten, haben wir das gleiche Schlammnasse,
dann ist der Abstand von X nach Z sogar vier und nicht nur drei.
Und damit ist der direkte Weg deutlich länger wieder als
der Umweg über den Punkt
Und ja, Abstände sind auch nicht unbedingt ganze Zahlen.
Oder wenn die das einfach nur abschneiden nach unten, selbe Spielchen bloß,
dann müssen wir schon ein bisschen andere Punkte finden.
XY und Dezept mal ein bisschen beiseite tun, auf drei, vier.
Also dann klappt auch da das Gegenbeispiel. Ja, für
einen abgeschnittenen Euglitschen Abstand kriegen wir eben raus. Dreiecksungleichung,
wieder nicht erfüllt, weil vier kleiner ist als fünf.
Okay, damit möchte ich es für heute mal bewenden lassen.
Ich wünsche Ihnen schöne Weihnachtstage, einen guten Rutsch und
wir sehen uns dann im nächsten Jahr hoffentlich wieder