Es ging auf die Euler-Formel zurück, mit der wir E-Hochi als Ersatzdarstellung nehmen können
für eine Summe aus Kursinus und Sinus und damit eben Sinus und Kursinus-Funktionen darstellen können.
Und wichtig war auch noch die Summe, die wir hier stehen haben,
beginnt bei minus und endlich und geht bis plus unendlich,
wo die eigentliche Foyer-Reihe bei Null beginnt und bis plus unendlich geht,
aber durch den Kunstgriff, dass diese E-Hochi-Therme, je nach Vorzeichen,
mal ein Sinus, mal ein Kursinus sein können,
kriegen wir also mit der Summe von minus unendlich bis plus unendlich
Beides in diesem einen Ausdruck zusammen, das sollten wir
im Hinterkopf behalten. Und da fangen wir jetzt an.
Wir bauen darauf auf, dass wir jede periodische Funktion,
die begrenzt ist durch eine solche reine Entwicklung darstellen können.
Und Bildfunktionen erfüllen diese Bedingung, weil wir davon ausgehen,
dass ein Bild de facto so entsteht,
dass es mit endlicher Energie erzeugt wird und der kann es
nur beschränkt sein
Hier ist nochmal die Umschreibung,
wenn Sie mal anfangen wollen, das Ganze nachzurechnen,
was dieser Ausdruck in Kernen von Sinus und Cosinus bedeutet.
Also diese knackige, kompakte Formulierung fasst uns das Ganze zusammen,
wenn wir eben diese koeffizienten CK einmal ersetzen.
Durch diese Cosinus-Thermen und diesen Sinusterm. Du kannst jetzt nicht
jetzt das A glauben, wie gerade zusammen.
Ja, die C-Karte, genau, das CK ist
ein Ersatz für diese beiden Kernen
Das ist echt... Also wenn wir diese Schreibweise nehmen mit E-Hoch-I,
dann können wir das mit diesem CK schreiben und dieses E-Hoch-I,
erzeugt uns daraus die Reihe, die wir bekommen hätten,
wenn wir zehn Formen Folien zurück, die Formel nehmen,
in der wir eine Reihe Ossinus und Cosinus haben, mit koeffizienten AK und BK.
Gut. Okay, dann hatten wir uns angeschaut,
was das in der Praxis bedeutet, diese reinen Entwicklung und gesehen,
wenn wir sowas Simples wie die Rechteckfunktion, Entwicklung darstellen wollen,
dann bekommen wir in diesen Thermen periodisch Therme,
wo wir zunächst Einschwingung haben,
die beim perfekten Rechteck hier einmal die Schwingung nach unten nimmt,
die nach oben und die entsprechenden dann einmal den,
einer einzigen Sinnerschwingung, die ist nur sehr weich und abgerundet,
sieht man hier die Flanken steigen nicht sehr steil an.
Und die nächsten Therme der Reihe, die dazukommen,
die sorgen dafür, dass diese Flanke hier immer steiler wird.
Und das ist auch genau das,
was man praktisch für die Bildverarbeitung schon hier raus lernen kann
In vielen Fällen sind unscharfe Bilder, die wir haben,
darauf zurückzuführen, dass wir in unseren Verstärkern irgendwelche Filtereffekte haben,
die dafür sorgen, dass die Schwingung,
die eine sehr kurze Periode haben,
dass die gedämpft werden und nicht auftauchen.
Also das ist genau das, was zu unscharfen Bildern führt.
Ein Filter in unserer Bildverarbeitungsanlage, was die hohen Frequenzen dämpft,
dann kriegen wir eben solche Anstiege,
die nicht perfekt von Null auf Nett gehen, in einem ganz kurzen Moment.
Also unscharfe Bilder, wenn wir sie erzwingen wollen,
sorgen wir dafür, dass die hohen Frequenzen unterdrückt werden,
dann kriegen wir diese sanften Anstiege.
Umgekehrt, wenn wir Bilder haben wollen, die Schärfe aussehen,
dann sorgen wir dafür, dass diese landperiodischen Therme gedämpft werden beim Filtern.
Dann kriegen wir Bilder, die optisch Schärfe aussehen.
Haben aber auch weniger Energie, denn man sieht diese
landperiodischen Therme hier in diesem Fall laufen.
Die sind dafür da, dass wir wirklich die deutlichen Amplitudenunterschiede kriegen.
Die kurzperiodischen Thermen bringen keine Amplituden mehr. Wenn wir aus
den Bildern den Kontrast draus nehmen wollen, die Intensität draus nehmen wollen,
das grau und grau machen wollen, dann müssen wir uns vorstellen,
dass wir im Frequenzraum die Frequenzen mit einer langen Periode rausnehmen.
Aber es ist in einem Digitalbild unmöglich,
das Bild perfekt scharf zu machen,
weil es uns nie gelingen wird, es so abzutasten,
dass wir diese Periode wirklich bis unendlich ausformulieren können.
Was wir hier auch noch sehen, bitte prägen sich mal Diesen Verlauf hier ein.
Also das sieht aus wie kuriose Szene. Hier oben
so dieses Wellenmuster drauf. Und dieses Wellenmuster ist etwas,
was für 50 Folien weiter unter dem Termen Ringen kennenlernen wollen.
Das ist auch eine Störung im Frequenzraum, die darauf zurückzuführen ist,
dass die hochfrequenten Termen nicht nur gedämpft werden, sondern komplett abgeschnitten werden.
Wenn sie komplett abgeschnitten werden. Also es gibt einfach
eine Frequenz, wo wir unsere Reihe abbrechen.
Wertperiode ist Schluss und die Termen berücksichtigen wir nicht.
Dann werden unsere Bildsignale immer genau dieses Muster haben,
wo man sieht, was noch fehlt,
was durch höher frequente Therme ergänzt werden muss.
Und wir sehen so ein Waffelmuster im Bild. Akustisch ist es
besonders schlimm, wenn man den gleichen Effekt akustisch hat,
dann fallen einem die Ohren ab, so grauslich klingt das.
Das ist eben das, was als Ringingen bekannt ist.
Wenn wir hier nochmal die Animation, wie wir so langsam uns herantasten.
Typisch sind auch diese Überschwinger hier am Anfang.
Wenn wir noch nicht die Reihe zu Ende entwickelt haben,
sieht man ganz oft beim Übergang von Hell nach Dunkel
erstmal lange Ausschläge in die beiden Gegenrichtungen,
die die Kanten betonen
Abgebrochene Rechteckfunktion. Wenn die Kanten von vornherein nicht senkrecht steigen,
sondern schräg, dann genügend ganz, ganz wenige Therme,
um das Bild einigermaßen mit wenigen Koffizienten zu approximieren.
Okay, die hatten wir. Das letzte Mal auch schon
angeguckt, auch beim Sägezahn. Da können wir ja auch nochmal
Foyer entwickeln. Und dann sind wir an der Stelle,
wo wir heute weitermachen sollten. Also auch hier beim Sägezahn
sieht man genau da, wo die steilen Übergänge sind,
wo wir für Unstätigkeit haben,
genau diese starken Überschwinger.
In der reinen Entwicklung
So, und jetzt fehlt der Übergang von diesem Foyer-Reihen,
die nur für periodische Funktionen möglich sind, zu nicht-periodischen Funktionen.
Und dafür brauchen wir eben die Foyer-Transformation. Die Foyer-Transformation,
können wir uns vorstellen, als ein Übergang,
wo wir von den diskreten Abtaschstellen zu immer dichtere Abtastung im Frequenzraum kommen,
sodass wir im Schluss zum Schluss des Summenzeichen,
das findet ja Foyer-Reihe gesehen haben,
ersetzen können
Durch ein Integral. Und im Wesentlichen bleiben unsere Gleichungen erhalten.
Wir haben anstelle der Summe ein Integral, unsere Funktionen,
die multipliziert wird mit Gewichtungskoeffizienten, die Foyertransformationen,
die uns im Kantierlichen kontinuierlichen Frequenzspektrum sagt,
mit welchem Anteil diese Frequenz vertreten ist.
Und wenn wir das zurücktransformieren wollen, also auszurechnen wollen,
wie gerade in unser G von TEOs,
verwenden wir die Inverse-Foyertransformation, die erhält ist voller Spektrum.
Und integriert es aus, in ähnlicher Weise.
Und daraus bekommen wir unseren ursprünglichen Bildfunktions zurück.
Dieses Großgel von F gibt eben an,
mit welchem Gewicht jetzt im kontinuierlichen Frequenzspektrum die Frequenzen eingehen.
Dieses GVNF, das ist eine völlig gleichwertige Repräsentation der Bilder.
Und wenn man ein bisschen mit Bildverarbeitung beschäftigt hat,
ist es einem irgendwann Schnurzpiople,
egal ob man im Wesentlichen die Foyer transformierte des Bildes hat oder das Eigentliche,
je nachdem,
was man sehen will
Es ist eben die Repräsentation eines Bildes im Frequenzraum.
Du wirst nur beachten, das geht von S.
Das ist natürlich eine komplexe Funktion. Sieht man an
den Euler-Termen mit imaginären Koeffizienten, Exponenten, die vorkommen.
So, und wenn wir von diesen komplexen Zahlen den Betrag
der komplexen Zahlen nehmen, dann sprechen wir vom Applitudenspektrum.
Und das wird eben meistens kurz und knackig das Spektrum genannt,
das Foyer-Spektrum. Wenn jemand Foyer-Spektrum sagt, der meint,
oder sie das Amplitudenspektrum der Foyer transformiert in unserer Bildfunktion
Bildverarbeitung besteht zum größten Teil darin, dass wir lernen,
uns anzuschauen, was die Koffizienten im Foyerspektrum bedeuten.
Und dazu kann man sich einfach typische Funktionen anschauen und
sich überlegen, wie sehen die im Foyerspektrum aus? Und
man kann dann das Foyerspektrum nehmen für die Mustererkennung Interpretation,
weil eben bestimmte Phänomene sich in bestimmter Weise im Frequenzspektrum abzeichnen.
Wenn wir unsere Rechteckfunktion von eben nehmen, deren Foyerspektrum Ist die Sing-Funktion?
Also eine gedämpfte Sinus. Sinus von PEU geteilt durch PEU
. Also die Koffizienten, die benutzt werden,
sind um so niedriger, je höher die Frequenzen werden.
Aber selbst gegen unendlich werden sie nicht null.
Und das ist jetzt genau das,
was wir bei der Entwicklung gesehen haben,
als sich in der Foyer-Reihe versucht habe,
das Rechteck darzustellen
Also wenn wir die Dreiecks-Funktion haben, haben wir einen ähnlichen Verlauf.
Es ist nur das Sink-Quadrat und deshalb konvergiert die Foyer-Reihe auch viel schneller,
weil die Dämpfung hier größer ist durch das Quadrat im Expandenten.
Bei einer Gauss-Funktion, das ist das Schöne,
was uns die Mathematik einfach macht, die Foyer transformierte,
eine Gauss-Funktion ist wieder eine Gauss-Funktion und deshalb wird bei diesen gaussischen Glockenkurven,
werden die sehr, sehr gern als Filter genommen in der Bildverarbeitung,
weil wir eben Frequenzraum wieder einen ähnlichen Verlauf haben,
dass sozusagen Selbstreproduzierend.
Macht es wie mathematische Behandlung sehr angenehm. Gut,
für die Sinusfunktion, das ist nicht weiter überraschend,
weil die Basis des Ganzen ja Sinus und Cosinus ist.
Für die Sinusfunktion ist das Foyer-Spektrum, besteht es einfach aus Nadelpulsen.
Ja. Sind nur diskrete Koeffizienten, die benötigt werden.
So eine Kampffunktion. Cosinus-Funktion ähnlich. Nur hier haben wir
symmetrische Therme
Aber wenn wir im Bild sinusförmige Störung oder Ähnliches haben,
können wir davon ausgehen,
dass wir die im Foyerspektrum sofort erkennen, an lokalen Stellen,
wo wir sehr hohe lokale maximal haben und das ist dann der Schlüssel,
um Störung und Ähnliches aus dem Bild zu beseitigen,
weil eben die Sinas Cosinos, die periodischen Muster,
sich unglaublich, deutlich abzeichnen, einfach durch einzelne isolierte Picks.
Ja, ein Punkt da. Also bei Eisen und das Eis
. Entschuldigung, habe ich nicht verstanden, die Frage.
Bei minus eins und eins, bei der Freeta.
Ja. Das sind doch
zwei Feinde
Hier, das ist... Diese beiden, das sind genau diese Kerbe,
die eben hier im Foyer-Spektrum ernutzt werden, um das darzustellen.
Darauf steht es nicht. Nee, das Foyer-Spektrum ist nicht unbedingt stetig.
Aber die Funktion selbst schon. Und wenn wir einen Kamm haben,
also so eine Kampffunktion, einfach isolierte Werte, dann sehen wir im Foyer-Spektrum einen anderen Kamm.
Nur die Abstände sind hier anders. Und dieses Bild der Kampffunktion,
wo wir isolierte Peaks haben, Bestimmt ein Amplitude. Das versuchen sich mal bitte einzuprägen,
weil das brauchen wir gleich fürs App-Tastiorium,
weil man kann sich ja gut vorstellen,
wenn wir ein kontinuierliches Bild haben und wählen an diskreten Stellen die Werte,
ja, dass wir da genau das bekommen oder erhalten,
wenn wir so eine Kampffunktion nehmen und die mit dem Bild falten,
weil eben nur da,
wo die Kämmer einen Wert haben, kriegen wir Werte.
Und das ist sozusagen das Abtasten. Dafür brauchen wir die Stink.
Und merken wir uns mal, gegeben eine solche Kampffunktion,
dann ist Die Fuhr je transformierte wieder eine,
eben nur mit anderen Abständen hier.
Also vielleicht muss ich das noch erklären, was hier steht.
Diese Funktion hat einen Wert an Stellen X. Und wir bilden
die Differenz gegen einen Abstand X0 und geben das als Argument an die Delta-Funktion,
die eben nur an bestimmten, an einer einzigen Stelle einen Wert hat.
Und damit bekommen wir eben für viele Werte von X
mit Hilfe dieser Delta-Funktion
diese isolierten Peaks
Okay. Ja, also das Abtasten geschieht über Falten und
Falten, das kennen Sie vermutlich, ist schlichtweg.
Modelliert durch das Faltungsintegral. Wir nehmen zwei Funktionen,
multiplizieren Sie miteinander und integriere in das Produkt aus.
Und zwar von minus und endlich bis plus unendlich.
Und dieses Integral wird immer abgekürzt durch diesen Faltungsstern.
Und wir können die Faltung berechnen, Abhängig davon,
wie wir die beiden Funktionen übereinander legen. Also wenn wir,
wir verschieben sie um ein konstantes Off-Z-Y hier und dieses Y
geht als Parameter hier hinein, ja, um dieses Y wird,
geh gegenüber F verschoben und dieser verschobene Ausdruck wird eben ausmultipliziert und ausintegriert.
Beim Falten ist meistens die Frage, wo kriege ich
den höchsten Wert, den kleinsten Wert?
Wir wollen in der Regel, wenn wir falten,
den Wert Y finden, um dem wir das Ganze verschieben müssen,
um irgendeinen Wert zu optimieren.
Dafür sind diese Faltungsintegrale da
So, unter, weil eben für praktisch viele,
viele Bildverarbeitungsalgorithmen dieses Falten zum Optimieren,
also Vergleich zweier Funktionen so wichtig ist,
ist auch dieses Theorien hier so wichtig, weil es uns nämlich sagt,
wie man die Faltungsoperation im Frequenzraum schnell machen kann.
Also dieser Satz hier ist zentral für effiziente, schnelle Bildverarbeitung
und zeigt, weshalb man sich eigentlich mit dem Frequenzraum abplagt.
Das gilt nämlich das Folgende,
wenn wir hier ein solches Integral zu berechnen haben,
integrieren kostet Zeit, wissen wir.
Ja, möchte man sich wirklich gerne ersparen und es
schneller machen
So, für die Foyer transformierte Zweier gefalteter Funktion gilt,
dass sie das Produkt, der Fuyer transformierten, der beiden Einzelfunktionen ist.
Also schlichtweg Fuyer transformierte F multipliziert mit Fuyer transformierte G.
Und wenn man sich das mal anschaut, hier haben wir
ein simples Produkt und dieser Stern hier ist ein aufwendiges Integral.
Also um so ein Faltungsintegral zu berechnen,
ist in der Regel der Ansatz,
wir transformieren, betrachten diese Funktionen in ihrer Repräsentation im Frequenzraum
Und dann brauchen wir die Foliet-Transformierten nur zu multiplizieren,
anstatt auswendig auszuintegrieren. Klingt gut, ne? Frage ist
, sparen wir damit wirklich was? Wenn Sie vorstellen,
das auszurechnen oder unter welchen Bedingungen spart man was?
Ja, Jan? Ach so, das war Kamerabedienung.
Nicht Meldung. Naja gut, wir können uns noch mal
angucken, wie man diese große F-Tier berechnet
Wenn wir uns vorstellen, wir machen,
multiplizieren die für je transformierten, außer um uns das integrieren,
zu ersparen, wo kriegen wir die Folie transformierten her?
Da stehen schon wieder Integrale, ja? Das heißt,
für die Hint-Transformationen, für die Rücktransformation müssen wir auch integrieren.
Okay, weshalb hilft das Ganze? Das Ganze hilft,
erstens, wie wir später sehen werden, das ist Produkt
völlig unabhängig davon ist, von dem Wert Y?
Das ist eine der angenehmen Eigenschaften,
wir brauchen es nicht für jedes Y zu machen und zum
zweiten Wenn wir dasselbe Bild mehrfach verarbeiten wollen.
Und das müssen wir oft, ja.
Wir müssen es an vielen, vielen Stellen irgendwas machen.
Dann macht man einmal zu Anfang vorbeugen, die Foyertransformation.
Und ab dann rechnet man im Frequenzraum. Wenn man die
Foyertransformierten schon hat. Das ist so die Idee dabei.
So, das Zweite, was wichtig ist für die Frequenzraum
, das ist das Konzept der Grenzfrequenz.
Ist Ihnen sicherlich klar, was damit gemeint ist.
Wir gehen, sprechen von Bandbegrenzten, Funktionen oder Bandbeschränkten,
Gefontee,
ist Bandbeschränkt mit der Grenzfrequenz
groß weh
Denn geh von F gleich 0 ist, für F-Betrag größer weh.
Das heißt, schlichtweg, wenn wir ein Signal haben,
das periodisch variiert, dann sagen wir,
es ist bandbeschränkt, wenn es eine bestimmte Frequenz gibt,
ab der alle Koeffizienten, der Foyer transformierten Null sind.
Also diese Frequenzen kommen schlichtweg nicht vor. Und das ist
ein sehr nützliches Konzept, weil es schlichtweg unmöglich ist,
irgendwelche Verstärker oder Übertragungseinrichtungen zu bauen, die nicht bandbeschränkt wären.
Jedes physikalische Signal hat irgendwo eine Grenze,
damit unendliche Energie brauchen würde, Ein nicht bandbeschränktes Signal zu erzeugen.
Das heißt, für alles, was wir technisch erzeugen können,
existiert diese Grenzfrequenz. Man muss nur wissen, wo sie ist.
Ja. Und ich habe hier mal eine Funktion gezeichnet,
das erkennen Sie wieder, das ist der,
die Foyer-Reihe bis zu einer bestimmten Frequenz gerechnet für die Rechteckfunktion.
Also das Ding ist bandbeschränkt, ja.
Und halt dann diese unangenehmen Eigenschaften. Gut. Und jetzt
die geniale Erkenntnis von Herrn Schennen
Der den Weg zur digitalen Bildverarbeitung damit eröffnet hat.
Eine Funktion mit der Bandbreite W, also in einer bestimmten Grenzfrequenz,
ab der alle Therme in der Foyer-Reihe und Foyer transformierten Null sind,
kann exakt aus den Abtestwerten zurückgewonnen werden,
wenn diese höchstens eins durch zwei W auseinanderliegen.
Dieser Wert ist auch bekannt als Nike-Quiz-Chen,
Abstand und beide zusammen haben diese Erkenntnis gehabt.
Trotzdem wird es meistens als challenges Abtesttheorien,
zitiert der Mensch hat es einfach populärer gemacht.
Das heißt, wenn wir wissen,
dass eine Funktion bandbeschränkt ist und wir kennen ihre Grenzfrequenz,
dann können wir sie exakt rekonstruieren,
wenn wir einen vorgeschriebenen, diskreten Stellen abtasten.
Also die Abtarschstellen müssen einen Höchstabstand haben,
dann haben wir genug abgetastet und wir können den Signalverlauf
exakt rekonstruieren und vor allem mit allen Schwingungen dazwischen.
Gut, es werden sie aber vermutlich erstmal so nicht glauben,
deshalb wollen wir es
einmal beweisen
Der Beweis, ich werde ihn auf zwei Weisen führen.
Der eine zeigt uns, wie wir die Funktion rekonstruieren können.
Und der zweite Beweis, der wirklich dasselbe aussagt,
aber das ist ein Beweis, der zeigt,
was wir für Unangenehme Effekte haben,
wenn wir dieses Abtastheorien verletzen.
Also zunächst mal dieser Beweis, der uns einfach zeigt,
wie wir die Funktion rekonstruieren können.
Ja, ich beweise,
dass das Abtasten an Diskretenstellen reicht
Indem ich zeige, wie wir die Ursprungsfunktion aus den Abtarschstellen
wieder ausrechnen können. Gut, also wir nehmen an,
gehe von Tee seit Band beschränkt mit der Grenzfrequenz weh.
Daraus folgt eben, dass die Foyer transformierte gleich null ist.
Für alle Frequenzen, die Größe ja gleich weh sind.
So, und jetzt machen wir einen kleinen Kunstgriff.
Wir konstruieren eine Hilfsfunktion. Sei das hier mal von Minus W
bis Plus W, die Foyer transformierte unserer Funktion gehe.
Und jenseits von W ist sie null. Also stört es nicht,
wenn wir uns Funktion hier, jenseits von W periodisch fortgesetzt vorstellen.
Also einfach eine Hilfsfunktion, die sagt, ab da,
wo die Foyer transformierte Null, setzen wir das Foyerspektrum
immer wieder ein und kriegen damit eine periodische Funktion.
Und das Schöne bei einer periodischen Funktion ist,
haben wir ja vorher gerade angesprochen, für periodische Funktionen können wir eine Foyerreihenentwicklung machen.
Also jetzt bitte keine Knoten ins Gehirn kriegen.
Wir werden für eine Foyer transformierte eine Foyerreihenentwicklung machen.
Das ist okay. Also jetzt haben wir hier unser
G von
Mit diesem Koeffizienten, wie wir es angesprochen haben, das hat die Periode 2 weh.
Hier stehen jetzt unsere Koeffizienten mindestens, Moment, ja.
Also, die koeffizienten Beginnen bei minus W bis Plus W,
das sind die zehn Koeffizienten, die wir ausgerechnet haben.
Für die Furiy-Reihe. Und da, dieses G von F,
ja jenseits von Weg gleich Null ist, Können wir hier
die Integrationsgrenzen einfach bis minus und endlich bis plus und endlich verschieben?
Und wenn wir diese Integrationsgrenzen verschieben, dann sehen wir,
dass der Termin, der hier steht,
das ist genau die Definition der inversen Folietransformationen.
Das heißt, dass wir hier stehen haben,
ein bisschen abgekürzt im Skript, der die Herleitung tickt länger,
aber dass sie soll nur die essentiellen Stellen zeigen.
Also wenn wir die Koeffizienten der Fujära,
der fuhr,
hier transformierten haben wollen
Dann bekommen wir sie einfach aus den Abdastellen,
indem wir G von F ausrechnen,
an den Stellen K durch zwei W. Und dieser Wert circa ist schlichtweg eins durch zwei W,
also das Doppelte, die Hälfte, der Bandbreite,
multipliziert mit K durch zwei W und Das sagt uns um alle koeffizienten CEK zu kriegen,
müssen wir schlichtweg unsere Funktion an den Stellen,
K durch zwei Weg kennen.
Also für den ersten koeffizienten nimmt bestimmen wir G an der
Stelle. Ein Halbweh für den Nächsten an der Stelle.
Wie und so weiter. Ja,
also mit dem doppelten Abstand der schnellsten Schwingung,
die in der Foyer-Reihe der Funktion vorkommt,
tasten wir an exakt diesen Stellen die Funktionen ab,
haben damit die Koeffizienten der Foyer-Reihe und können damit Die Foyer transformierte bestimmen.
Und wenn wir die Foyer transformierte haben, können wir daraus unser Bild perfekt rekonstruieren.
Also diese GK durch 2W sind die Diskreten, Abtastwerte,
in genau dem Abstand, wo wir sie brauchen,
um die Funktion eindeutig zu rekonstruieren.
Okay. Und wenn wir sie kennen,
können wir da jetzt hingehen und tatsächlich aus diesen Abtastwerden
die Funktionen ausrechnen,
die wir kriegen
Wir mit ein bisschen umtransformieren, gucken wir mal,
nur hier auf den letzten Tagen der Reihe. Ja,
wenn wir alles einsetzen,
dann sehen wir, wir geben unsere Abtastwerte hier,
dass wir eine Reihe von minus und endlich bis plus und endlich kriegen,
von G von Tee.
Die Abtastwerte gehen ein als Gewichtungsfaktoren und dahinter steht ein Ausdruck,
der ist im Wesentlichen die Sinkfunktion.
Sink ist ja definiert, als Sinus von Pi mal U
durch Pi mal
Und genau das steht hier, als U-Gen einfach unsere
gewichteten Abtestwerte ein. Und so können wir das schreiben,
gegeben, diskrete Abtestwerte,
jetzt erstmal im Eindimensionalen einer Funktion an den Stellen K durch 2W,
dann kriegen wir die Ursprungsfunktionen raus,
indem wir sie multiplizieren,
die Abtestwerte nehmen,
mit einem Sinktarm multiplizieren und das Ganze aufaddieren
von minus und endlich bis plus unendlich
Der Punkt ist, um das wirklich exakt rauszukriegen,
müsste man wirklich bei minus unendlich bis plus unendlich das ausrechnen,
das dauert ein bisschen.
Also da muss man sich eine kleine Approximation einfallen lassen, ja?
Jetzt können Sie uns an einem Beispiel mal anschauen.
Wir haben hier unsere Abtestwerte gegeben, wir nehmen diese Sinkfunktion,
ja, zentrieren die genau um den Abtest der Wert,
den wir haben, über das Bild abgetestet haben.
Skalieren Sie mit dem Abtestwert und dann addieren wir das Ganze.
Und damit, wie versprochen, Die Funktionen,
die wir zu Anfang hatten, oh,
jetzt fängt es hier ein bisschen an, zu blenden.
Ich glaube, den grünen Verlauf sehen Sie gar nicht mehr
auf dem Bild, ne?
Ja? Gut, einen kleinen Tick machen wir es dunkler.
Erhöht die Chance. So ist es vielleicht besser.
Ja? Also, hier, das war ja der Funktionsverlauf,
den ich mal abgetastet hatte, an genau den Stellen.
Und jetzt schauen wir uns die Rekonstruktion an.
Ich lege jetzt mal einfach um die Abtaststellen,
all die vielen Sinkfunktionen,
die den Verlauf der Funktion ergeben drauf
Kleiner Genug Plattübübung. Und was wir erkennen,
diese Singfunktionen haben alle null Stellen an den Stellen,
wo die Abtastwerte sind. Die erste, die singt,
der Singterm, der um den Abtastwert zentriert ist,
hat an der Stelle den Wert 1,
wird mit dem Abtastwert multipliziert und ergibt das Maximum.
Und die Überschwingungen von den anderen singt haben,
sorgen dafür, dass die Stellen zwischen den Abtastwerten ergänzt werden.
Und durch das Ergänzen aus den anderen Thermen, die weiter weg sind,
ja, kriegen wir genau die Rekonstruktion der Überschwingung zwischen den Thermen auch raus.
Also durch die Beiträge von den weiteren Abtests werden mit ihren Singfunktionen,
die gedämpft, da mal positive mal negative Beiträge bringen,
wird eben der Verlauf zwischen den Abtaststellen ergänzt,
sodass wir den ursprünglichen Verlauf tatsächlich herauskriegen.
Also das ist ein ganz typisches Muster hier an den Abtastwerten kriegen wir die Funktionen exakt,
weil da Nur der Abtastwert mit seinem Wert 1 angeht und alle anderen mit null.
Und dazwischen helfen die anderen Sinktherme. Ja,
also die SAP-Tasteorien ist etwas, was sie wirklich zu beachten,
bitte. Beim praktischen Arbeiten mit Bildern. Ja,
also praktisch, wenn sie ein Bild haben und abtasten,
dann sollte man es nicht tun,
ohne die Grenzfrequenz des Bildes zu kennen und entsprechend der Grenzfrequenz abzutasten.
Wenn, sagen wir, Ihr Bild,
eine Frequenz hat von 256 Schwingungen auf der Bildbreite verteilt.
Und sie tasten das nur mit 128 Abtaststellen ab.
Dann kriegen sie Datenmüll. Aber kein sinnvoll abgetastetes Bild.
Weil aus den Abtastwerten können sie es nicht rekonstruieren.
Man muss immer höher abtasten als einem der Chenge-Theorien sagt oder gleich.
Aber auf keinen Fall niedriger. Alles abtasten mit einer niedrigeren Frequenz
. Ist ein massiver Kunstfehler und sollte einem nicht passieren.
Was wir dann nämlich bekommen, ist das berüchtigte Ellie-Asing
Ja. Wenn wir ein Bild unterabtasten, falsch abtasten,
dann kommen wir mit einmal Bilder, die Scheinfrequenzen enthalten,
die nicht ins Bild hineingehören.
Und das Bild ist für alle Zwecke unbrauchbar. Das ist praktisch unmöglich,
eliasing, aus dem Bild nachträglich wieder rauszukunst zu filtern.
Ja. Weil einem Informationen fehlen. Es tritt bei
echten Bildsignalen auf, wenn wir ein Bild haben,
bei dem wir davon ausgegangen sind, eine bestimmte Grenzfrequenz ist.
Ja, wir nehmen es auf mit einer Kamera,
die hat so und so viel Megapixel
Und mit einmal trägt jemand im Bild eine ganz klein gemusterte Krawatte oder
irgend so etwas. Ja, und schon ist es passiert
. Und es tritt vor allem auf in der Computergrafik,
wenn wir Bilder mit Retracing erzeugen und damit keine echte Kamera und
keinen echten Verstärker auf dem Weg haben, deine Bandbegrenzung erzeugt.
Also beim Synthetisieren von Bildern müssen wir höllisch aufpassen,
dass wir die Pixelrate des Zielbildes kennen und dafür sorgen,
dass wir keine Objekte im Bild haben,
die kleiner sind, als die Frequenzen,
mit der wir abtasten.
Sonst kriegen wir genau
dieses Eliasing-Problem
Einfach, um zu zeigen, was beim Unterabtasten geschieht,
nehmen wir mal an, das Tier ist tatsächlich das echte Bild,
ja, und wir testen es jetzt ab mit weniger Pixeln,
dann sehen wir schon,
dass ihr Details verloren gehen und wir zum Beispiel aus dem Bild mit 16 Löchern mit einmal 1 erzeugen,
was nur vier Löcher hat, oder wenn wir total daneben liegen,
ist Kanzlerlöcher mehr zu sehen.
Es ist total, kann total zufällig sein,
wenn wir mit einer zu geringen Abtastrate rangehen
Und ich weiß nicht, ob man das jetzt von ihren Plätzen sehen kann,
dass sie oben, sollte ein richtig abgetastetes Bild sein.
Und wenn man genau hinschaut,
sieht man hier unten diese Scheinfrequenzen, als solche Kreisstrukturen.
Und die zu erkennen? Genau. Also das ist das,
was man sieht, ist, wenn sie ein falsch abgetastetes Bild haben,
können sie alle möglichen Geister drin sehen, Informationen,
die überhaupt nicht vorhanden sind.
Und es gibt keine bekannten Bildverarbeitungsverfahren,
mit denen man allgemein die Scheinfrequenzen loswerden kann,
sondern man muss sie einfach bemühen,
die Bilder richtig abzutasten
Ja. Ich habe hier noch mal ein anderes Beispiel für
Scheinfrequenzen mit Quotescomposer gemacht. Hier erzeuge ich in diesem Quotes-Animationen
erzeuge ich einfach eine Folge von übers lagernden Streifen.
Und man sieht eben, wo die Streifen sich sehr nahe kommen.
Da entstehen genau diese Scheinfrequenzen. Weil da der Bildschirm
das Signal völlig falsch abtastet
Okay. Was ich hier mache, ist,
in dem Bild, das ist einfach die Animation einer Überlagerung
und versuche ein Signal zu rekonstruieren.
Das Grüne ist,
das rekonstruierte Signal,
wenn falsch abgetastet wird
Und man kann eben erkennen, dass dieses grüne Signal,
je nach Abtastung, völlig andere Funktionsverläufe gibt.
Wenn wir da einen Fehler machen. So, wo kommen
diese Scheibenfrequenzen her und weshalb sehen die so seltsam aus?
Das ist jetzt der zweite Beweis, der sie überzeugen soll,
dass das Abtastheorium gilt, weil wir da nämlich sehen können,
wo im Foyerfrequenzspektrum des abgetasteten Bildes die Scheinfrequenzen sitzen.
Also wir können, ja das Abtasten habe ich schon gesagt,
Produkt des Bildes mit einer Kampffunktion darstellen.
Also die Nadelpulse, der Kampffunktion, Abtaschstellen im Abstand X-0.
Und wenn wir das machen, dann modelliert unsere Bildfunktion die Höhe der Nadelpulse.
Und das ist unser Digitalbild. Der Verlauf hochniedrig in
unsere Bildfunktion hat, modelliert auf die Kämme der Kampffunktion.
Und dann können wir unsere diskrete Bildfunktion FS,
das S soll für Samples stehen, für abgetastet.
Ja, so schreiben, dass wir eben Das Produkt nehmen FX aus einer Summe von Delta-Funktionsthermen.
Delta-Funktionen gibt ja immer nur an einer Stelle einen Weg.
Die ganzen N-Nadelpulse hier, an der Stelle x-mal N-mal x-0.
Wir sind bei eng gleich 1,
kriegen wir den Wert X-0, bei den gleich zwei,
zweimal X-0 und so weiter, die ganzen Camen.
Und die Delta-Funktion hat eben an den Stellen den Wert 1,
an allen anderen Null, die damit am Netz.
Unser Digitalbild als Kampffunktionen dargestellt. Also auf dem Bild etwa so.
Hier unsere ursprünglichen Nadelpulse haben den Wert 1 und damit hier die Bildwut,
der Verlauf der kontinuierlichen Bildfunktionen drauf modelliert und wir kriegen jetzt
in FS eben genau diese Kämme hier.
So, das zu diesem FS zu kommen,
das können wir uns jetzt so vorstellen, dass wir hier einmal das FS haben.
Wir ziehen diesen Sumanten, wenn jetzt einfach davor,
wir können das FX hier reinmultiplizieren,
als F mal N mal X-0,
weil es ja nur an den Stellen
Werte hat
Und wenn wir das so schreiben,
dann können wir diese Summe ausdrücken im Frequenzraum als ein Produkt,
der für je transformierten, dieses USA jetzt die Frequenz,
um die es geht, mit diesem Delta-Thermen hier.
Das ergibt sich einfach aus der Foyertransformation der Delta-Funktion,
die wird zehn Folien weiter zurückgesehen haben.
Jetzt müsste man eigentlich die ganzen Formeln parallel hier sehen können.
So, und weil diese Delta-Funktionen eben nur an bestimmten Stellen Werte hat,
Nämlich an denen hier. Können wir den ganzen Term hier vereinfachen?
Und im Endeffekt bei dieser Zeile hier ankommen,
wo wir sehen, dass wir die Kampffunktion,
die wir bekommen, die Foyer transformierte der Kampffunktion,
auf die kommt es jetzt an.
Dass die diese unglaublich simple Form hat,
dass einfach eins durch X-0 ist,
weil die Summe der Foyer transformierten,
bei der Frequenz u minus N mal
Also die abgetastete Funktion, die Foyer transformierte des abgetasteten Bildes,
das, was wir dann haben,
diese Nadelpulse modelliert mit der eigentlichen Bildfunktion, ist,
steht hier, eine Summe aus ganz vielen Foyerspektren überlagert.
Das ist die Essenz dieser Aussage. Also egal,
wie wir da hingekommen sind, merken wir uns,
das Foyerspektrum einer abgetasteten Funktion ist eine Summe, von überlagerten Foyerspektren.
Unserem ursprünglichen Funktionen, ja. Aber verschoben,
um Ende durch X0. Das heißt, unser abgetastetes Bild,
die Foyer transformierte des Abgetastetenbildes,
gibt uns nicht die Foyer transformierte des Originalbildes,
sondern sie gibt es uns als eine Reihe von Überlagerungen des Spektrums,
was wir haben wollen.
Ja, da steht diese Summe N. Was wir haben wollen,
ist FVNU, was wir kriegen,
als Foyer transformierte in dem abgetasteten Bild,
ist eine Summe von unendlich vielen Überlagerungen, von Efundu,
aber verschoben um N durch X0.
Das ist das, was rauskommt. Also immer wieder überlagert.
Und die Frage ist eben, dass genau die Essenz von Shannon Nike ist, Theorie.
Welche Forderung müssen wir haben? Dass wir aus dieser Reihe,
die wir hier haben, die Einzeltherme wieder rauskriegen.
Und das sind eben zwei Dinge, die es möglich machen,
nämlich zum einen, dass wir sagen,
dass wir fordern, dass es eine Grenzfrequenz gibt,
dass das FVNU ab einem bestimmten Wert minus W plus W,
dass es da null ist, dann stört die Überlagerung nicht.
Und das Zweite, was wir fordern müssen,
ist, dass dieser Abstand X0 so klein ist,
dass die einzelnen Teile sich nicht überlagern in dem Bereich.
Also erst mal fordern, ab einer bestimmten Stelle weh,
oder in dem Fall hier eben X-0,
ist das Foyer Spektrum der ursprünglichen Bildfunktion null.
Und wenn es das ist, dann stört uns diese Überlagerung
hier nicht, wenn das X0 hier groß genug ist.
Also die einfach weit genug auseinander liegen,
dass die einzelnen überlagerten Therme sich nicht addieren,
sondern im Foyersped dreulich neben liegen.
So, das können wir uns im Bild jetzt
noch mal anschauen
Dieser Verlauf hier geht von an den Stellen um. Und die Reihe,
die wir eben gesehen haben, die rauskommt,
als Foyer transformierte der abgetasteten Funktion,
ist im Idealfall sowas,
dass die Summen für alle Verschiebungen eins durch X.0 sich so verhält,
dass wir in der Summe,
die alle einfach periodisch nebeneinander zu liegen kriegen und die sich
nicht überlappen
Wenn das der Fall ist,
dann können wir aus unserem abgetasteten Bild und Erkenntnis der Grenzfrequenz sagen,
na prima, wir schneiden den Bereich hier raus,
bis zur Grenzfrequenz und haben unser Foyerspektrum und damit können wir das Bild wunderbar rekonstruieren.
Also wenn wir so abgetastet haben, dass unsere Abtarschstellen dichter zusammenlegen,
als die Grenzfrequenz, dann können wir genau das tun.
Diese Summe hier, wir nochmal hier unten,
das ist die wichtigste Formel auf dieser Folie,
diese Summe von 1 bis 1 führt dazu,
dass die einzelnen Foyerspektren periodisch wiederholt, nett nebeneinander liegen,
sauber getrennt.
Dann machen wir ein Fenster, haben hier das Geh von Ephray
konstruiert, können daraus das Bild rekonstruieren, prima.
Wenn wir uns dagegen verschätzt haben und falsch abgetastet haben.
Unsere, das hier sei das Fuyerspektrum von F, das wir rekonstruieren wollen.
Aber wir haben uns vertan und haben ihm zu großen Abstand abgetastet.
Dann wird die Überlagerung Mit diesen 1-0-X-0-Ternen,
dazu führen, dass unser überlagertes, dass die Foyer transformierte,
der abgetasteten Funktion, diese Überlagerung enthält, diese ekligen Teile hier.
Wo die beiden, wo aus den höheren Bereichen wir Einstreuung
in die unteren Bereiche haben, das sind genau diese Teile.
Und wenn wir da jetzt den Fenstertrick machen,
sehen wir das für anstatt dies hier zu rekonstruieren, das hier rekonstruieren.
Erstens fehlen mir Teile, und zweitens sind hier Teile,
die wir nicht haben wollen,
und das sind die Scheinfrequenzen
Was hatte man jetzt in diesem Fall von der Abtragsgröße,
als hier das der Punkt 0 auf jeden Fall dabei ist?
Ja, die Abtestgröße wäre hier an der Stelle, so wie ich das gezeichnet habe.
Wir haben bis 0,5 abgetastet auf beiden Seiten. So,
und es ist so eine Wurfbeschäftigung. Genau. Das wären,
also, die, das ist eigentlich das,
was uns diese zweite Art von Beweis zeigt, was die Voraussetzung ist,
dass wir die aus der abgetasteten Funktion, das wieder rekonstruieren können.
Man muss eben sich anschauen,
wo die Dass wir diese Reihe der Wiederholung so weit auseinanderziehen,
dass wir deutlich kappen können und keinen anstreuen von oberen Bereichen haben.
Also das hier sehen wir als Scheinfrequenzen und das hier sehen wir als Teile im Bild,
die fehlen, weil wir das abgeschnitten haben.
Gut, also das erklärt, wo das Eliasing herkommt und
weshalb ist so schwierig, es ist nachträglich zu korrigieren.
Ja, wenn man sich dieses Spektrum anschaut,
weiß man eben nicht, welche Therme man wegschmeißen muss,
weil man nicht weiß, was zum Bild gehört, weißt du nicht.
Das Zweite, was sich aus der Theorie ergibt es die Frage,
wie schnell eigentlich ein Signal variieren kann.
Wir haben schon einfach grafisch an den Bildern gesehen,
die Rechteckfunktionen können wir nie und nimmer richtig abtasten.
Es sei denn, wir stecken das Wissen hinein, es ist die Rechteckfunktion.
Wenn wir es aber nicht wissen, können wir Bilder mit Rechteckfunktionen,
die richtig abtesten, da werden wir immer diese Aliesing-Effekte kriegen.
Das ist mit der Grund,
weshalb in jedem System was mit Fonds arbeitet und so weiter,
Anti-Alaising eingebaut ist, da kann man nochmal überlegen,
was es eigentlich ist. Das heißt, aus der ein,
wenn wir aus einer kontinuierlichen Funktion ein Digitalbild machen wollen,
ist korrekt abtesten, dann sagen wir implizit,
im Bild kann die Funktion nicht beliebig schnell steigen.
Also wenn G von Tee Band beschränkt ist,
wir es abtesten können und wir haben auch einen maximalen Wert,
den G von Tee erreichen kann,
dann gilt Folgendes,
die erste Ableitung von G nach der Zeit muss immer kleiner
sein als zwei Pi mal Bandbeschränktheit,
mal maximaler Wert
Und damit haben wir eine Abschätzung, wie schnell und wie steil
die Funktion variieren kann. Ja, auf jeden Fall ist
aber auch klar, die erste Ableitung ist ebenfalls beschränkt.
Kann nicht schneller steigen, als ein bestimmter Wert.
Und damit können wir eben Dreiecke ganz gut hoch, aber eben nicht die Rechteckfunktion.
Also wenn, können es mal für ein typisches Fernsehbild,
hat Bernd Neumann das hier mal vorgerechnet,
diese Folie habe ich von ihm geborgt.
Wir haben, wir haben mal so ein klassisches Tivilsignal.
Eine Bandbreite von 5 Megahertz, ja. 5 Millionen Schwingungen pro Sekunde.
Und wenn wir, daraus jetzt den Abstand der Abtastwerte nehmen,
die man typischerweise nimmt, nämlich immer so 512 Werte kuppelt.
Und dann können, stellen wir fest,
dass wir alle 100, 90 Sekunden abgetastet haben.
Wir beschränken mal den Wert unseres Signals auf minus net 28 bis plus 128.
Das ergibt sich aus dem, dass man gerne mit Ach,
bitte. Pixeln abtastet. Ja,
also 0 bis 2,59. Und dann kommen wir dafür tatsächlich ausrechnen,
dass Gehstrich hier in die gleiche und ein Gesetz 2,
4 mal 5 mal 5 Meter als 128 ist.
Und wir damit herausbekommen, von einem Pixel zum nächsten,
ja, dass wir da nur einen Helligkeitssprung von 400 bekommen könnten.
Also schneller dürfte das Signal nicht variieren oder kann es nicht variieren,
wenn das Signal tatsächlich bandbeschränkt ist. Und dieses Wissen sagt uns,
dass das, was wir als Digitalbilder mit Grafik,
Kompositionsprogrammen erzeugen, physikalisch und möglich sind.
Die können gar nicht so entstehen, weil in den Bildern,
die wir mit einem Zeichenprogramm paint oder so zeichnen, haben wir Rechtecksprünge.
Wir haben in den Fonds, schwarz auf weißem Grund, Rechtecksprünge.
Und das heißt, diese synthetischen Bilder Haben inherent den Eliasing-Effekt,
weil sie nicht bandbeschränkt sind. Und als das Digitalbild,
als diskretes Digitalbild nicht darstellbar sind. Daher kommt es eben,
dass wir im Zusammenhang mit diesen grafisch erzeugten Bildern den Begriff NTA Lesing haben.
Man wandelt künstlich vor der Anzeige, die synthetischen Bilder um,
in Bilder, die eine Grenzfrequenz haben. Also schlichtweg,
die werden gefiltert, hohen Frequenzen, abgedämpft, gemildert,
ja, und transformiert, dann können wir sie abtasten und anzeigen.
Und dann sind diese Eliasing-Effekte weg. Also was man macht,
ist eine Tiefpreisfilterung, was einen Tiefpass füllt,
als wären wir gleich noch genauer anschauen.
Es ist einfach ein Filter, was das Frequenzspektrum nimmt,
die niedrigen Frequenzen passieren, lässt die hohen Frequenzen ganz stark dämpft,
sodass wir eben mit einer begrenzten Schrittweite abtasten können und dann die Bilder zur Anzeige bringen.
Und dann sind auch diese komischen Jaggies-Effekte und Setten da
weg,
Tiefpassfiltern führt, aber natürlich Zwischentöne ein, weil nach der Tiefpassfilterung
eine bandbegrenzten Signal kann man nicht mehr von schwarz auf weiß gehen,
von einem Pixel zum nächsten, ja.
Das macht also die Kanten etwas glatter. Also ein typisches Beispiel hier für so einen Tiefpass gefiltertes Bild, um ein Anti-Aliersing zu machen. Hier oben sieht man,
glaube ich, sehr schön an den durchgezeichneten Graden diese scheußlichen Jaggies und wenn wir Dies wird verarbeiten,
bevor wir es zur Anzeige bringen, mit dem Tiefpassfilter,
also nur die hohen Frequenzen aus dem Foyers-Ektrum,
entfernen oder dämpfen, das Bild zurücktransformieren,
dann bekommen wir genau sowas, wo man,
wenn hier jetzt glatte Ränder sieht,
aber man sieht jetzt eben auch alle Zwischentöne zwischen blau und weiß oder hier zwischen schwarz und weiß,
an den Rändern,
um es glatt zu machen.
Für die Bildkomposition hat dieses Anti-A-Laising aber einige unangenehme Tippen.
Also wenn wir so diese Lieblingsspiele machen in Adobe Photoshop zum Beispiel,
mit einem Lesso-Figuren rausschneiden und sie woanders in ein Bild einzupflanzen,
dann muss man darauf achten, dass man das anti-elial singt,
auf denselben Hintergrund macht, wo man die Figur reinsetzen will.
Also nicht da, wo man es ausschneidet,
sonst haben alle Figuren, die man ausgeschnitten hat, diese komischen Heiligenscheine.
Das muss man eben auf dem Entual Lesing,
auf dem Hintergrund machen, wo das letztendlich eingesetzt werden soll.
Also das sind so diese Haarlos, der sieht scheußlich aus. Gemein ist es,
wenn wir Figuren haben, die von einem strukturierten Hintergrund kommen,
dann ist es extrem schwer, dass Anti-Elising richtig zu machen,
weil für Teile der Figur muss man es auf dem schwarzen Hintergrund machen,
für andere auf dem Weißen.
Oder beim Bluescreen-Matting, wenn wir Animationen machen wollen?
Ich weiß nicht, ob der Film Ton hatte.
Also ich habe hier mal für eine Animation um Independence,
die ans Informatikum zu bringen.
Das Informatikum ausgeschnitten mit Absicht etwas dilettantisch.
Wir sehen jetzt genau
diese Anti-Alaising-Probleme
Das ist ursprünglich ja das Bild im weißlichen Hintergrund eingesetzt,
ist hier jetzt das Riesenraumschiff.
Und man sieht in der Animation, das sieht extrem scheußlich aus.
Wenn wir das jetzt etwas günstiger machen, Vor einem braunen Hintergrund.
Fragt mich, wo der Ton abgeblieben ist in dem Movie.
Oh gut, das schöne Kreischen, denken Sie sich bitte selbst.
Okay. Also das darauf zu achten, wenn Sie
hier Dinge mit Blue Screen reinbringen wollen. Das Zweite,
wo wir bei Movies oder Animationssequenzen drauf achten müssen,
ist, dass beim Abtesten in der Zeit
die gleichen Regeln gelten
Für Abtasten im Bild. Ja, wir müssen dafür sorgen,
dass wir auch bei der zeitlichen Abtastung nicht das Something-Theorium verletzen.
Also das ist etwas,
wo wir in unserer Forschungsarbeit unglaublich mit zu kämpfen haben,
weil die Bilder mit dem Benjamin Seppke und ich arbeiten,
Satellitenbilder sind, wo mit Glück der Satellit alle anderthalb Tage wieder über dieselbe Stelle kommt.
Ja, und inzwischen kann viel geschehen und das,
wir haben eigentlich nur torisch Bilder,
die das Abtastyrium verletzen und das macht es
relativ schwer
Okay. Also schlichtweg bei der Animation haben wir ja typischerweise,
ist allen klar, schlichtweg eine einzelne Folge von Bildern
haben sie in Pofrey jetzt schon erzeugt.
Und diese Folge von Bildern muss so sein,
dass wir auch da die Grundfrequenz der Phänomene kennen.
Okay. Alle weg damit. So,
also auch beim Abtasten der Zeit ist das Abtastiere
eben unbedingt zu beachten, sonst kriegen wir scheinen Bewegungen,
statt scheinen Frequenzen
Und wenn wir die Abtestfrequenz zu gering haben, kann es
sein, dass Objekte stillstehen, statt sich zu bewegen.
Nehmen wir als Testbeispiel hier so ein periodisches Muster.
Im Moment scheint sich nach rechts zu bewegen,
wenn wir so abtesten. Und jetzt fängt es an,
ein bisschen nach links zu zucken,
weil wir da eben falsch abgetastet haben
Also wir sind ein kontinuierliches Bild in der Zeit aus,
muss noch dunkler machen. Das, worauf es ankommt,
ist mich überhaupt nicht zu erkennen.
Also hier an der Stelle sollte man eine eingeschobene Glasscheibe sehen.
Also seit ich es hier unten mal, XY unsere Bildebene.
Ja, und in der liegen die roten Streifen.
Und wenn ein Objekt sich verschiebt. Im Bild nach rechts,
dann können wir uns ja das Bild so hier gestapelt vorstellen,
entlang der Zeitachse als ein Kubus.
Also die dritte Dimension unseres Bildes ist die Zeitachse.
Und die Bewegung führt dazu, dass die Balken,
wie wir im Bild hier als Streifen sehen,
dass sie sich in der Zeitachse nach rechts neigen.
Und je schneller das Objekt sich bewegt, desto flacher liegen diese Balken.
Gegen Ende würden sie hier fast ganz parallel liegen.
Und was wir jetzt hinkriegen müssen, ist, dass wir auf der Zeitachse schauen.
In welchem Abstand sich hier, die Balken wiederholen und so abtasten,
dass entlang der Zeitachse diese Folge richtig rekonstruiert werden kann.
Ja, also die Grenzfrequenz in der Zeit sollten wir kennen.
Sonst bekommen wir die Scheibenbewegung. Okay, wir sind die Abtastscheiben
jetzt besser zu erkennen. Wenn wir dieses Bild hier nehmen und sehr dicht abtasten,
dann sehen wir von einem Bild zum nächsten,
dass die Balken, die wir hier haben, sich noch überlappen.
Ja, und zwar in der richtigen Bewegungsrichtung, die wir auch Sehen wollen.
Wenn wir den Abtastabstand zu groß machen,
also entlang dieser Achse hier die falsche Abtastrate haben,
dann sehen wir, dass die Überlackung immer mit den Falschen stattfindet,
nämlich mit denen, die Links davon sind und sich schon an die Stelle bewegt haben.
Und da kommt ja genau die Scheinbewegung in die falsche Richtung
raus, ja. Berühmtes Beispiel für solche Illusionen ist die
Broken Real Illusion. Sieht man immer einen Western-Film
Wir sehen hier so das berühmte Wagenrad der Westernfilme sich drehen.
Und was typisch ist für diese Illusion, ist,
dass bei bestimmten Frequenzen die Radspeichen sich in unterschiedliche Richtungen zu bewegen scheinen.
Die Mitte das gerade, dieser Bereich, wo Speichen fehlen,
wird gelegentlich falsch abgetastet, während der äußere richtig abgetastet wird.
Und wir sehen im mittleren Bereich eine Bewegung in die Gegenrichtung
als im äußeren Bereich.
Das wird für einen kognitiven Psychologen gern als Beleg dafür genommen,
dass wir Bewegung lokal schätzen und nicht global
Im Gehirn mit ausnutzen, dass so ein Objekt eigentlich ein
starrer Körper ist, der sich als Einheit drehen sollte.
Sondern wir sehen eben zwischendrin Bewegung in eine andere Richtung.
Aber wir haben noch unsere schöne Holzscheibe,
aber dieses Moment bei Werner Hansmann eingeschlossen,
muss ja alsnächst am Montag nochmal zeigen, dass Broken Veal richtig.
Dann kann man mal kurbeln. Gut,
das lässt uns Zeit für noch ein paar mathematische Einschübe.
Ich kann auch wieder mal ein bisschen Licht machen,
jetzt kriegen wir, glaube ich,
erstmal keine Bilder mehr
Ich habe ja bisher so ein bisschen geschummelt und ihnen das Ganze als Bildverarbeitung verkauft,
obwohl wir das nur an allen dimensionalen Funktionen betrachtet haben.
Der Schritt zu den faktischen Bildern ist relativ einfach. Das,
was wir eindimensional gesehen haben am Gleichung,
damit man die Herleitung einfach besser sehen kann, funktioniert wirklich genau so,
wenn wir zweidimensionale Funktionen in den Ortskoordinaten im Bild haben,
X und Y. Wir müssen es nur ein bisschen anders schreiben.
Also die typische Notation ist, dass wir Ortskoordinaten sprechen,
X und Y, die stellen im Bild,
an dem wir die Funktionen vielleicht abtesten wollen.
Die Ortsfrequenzen, das sind die Koordinaten in der Foyer transformierten,
wenn wir im Frequenzraum sind. Und konstante C,
Bildbreite durch die Ortsfrequenz, das ist die Ortswellenlänge,
das sind eben die Abstände, mit denen die Schwingungen im Bild auftauchen.
So, und dann können wir die zweidimensale Foyer transformierte,
ganz ähnlich schreiben, wie wir es eben für eindimensionale gemacht haben,
nur dass wir jetzt eben in den Exponenten der Exponentialfunktion,
Frequenzthermen X und Y haben, die mit X und Y multipliziert werden, wenn wir Foyer transformieren.
Und die Inverse sieht wieder praktisch genauso aus, ja,
die aus der Foyer transformierten, rücktransformiert die Bildfunktion,
wenn wir das Foyer-Spektrum haben.
Gucken wir mal ein bisschen in tatsächliche Foyer-Spektren von transformierten Bildern
rein. Also wir haben hier unsere Bildfunktion,
gehe von XY,
haben die Ortsfrequenzfunktion
Und wir interpretieren jetzt die Foyer transformierte,
die wir bekommen, also den Funktionswert an der Stelle,
F-X-F-Y, als etwas, das uns die Phasenlage gibt,
mit der die Funktionen überlagert werden.
Das macht der Cousinus-Cham und der Sinostherm gibt uns den Betrag an,
mit dem das Ganze verschobene drauf addiert werden soll
Ganz schematisches Beispiel, das uns zeigen soll, was uns die Betrachtung im Frequenzraum nutzen könnte.
Wenn wir in der Bildfunktion periodische Streifenmuster haben,
das ja geradezu einladend dafür, dass man damit Frequenzanalyse rangeht,
dann werden wir, dass ein G von FFXFY sehen,
im Frequenzraum, als deutliche erhöhte Kleckse,
die entsprechend diesen Frequenzen hier auftreten.
Also wie ist das
zu lesen
Wenn wir hier einfach mal einen Schnitt in X-Richtung durchlegen,
dann sehen wir, dass wir da eine Funktion haben,
die relativ schnell in X variiert.
Und wenn wir da in Y einen Schnitt durchlegen,
sehen wir, dass es in Y sehr viel langsamer variiert.
Deshalb finden wir, dass hier bei FANX, er von Y an der Stelle,
wo wir hier kleine Experte haben und hohe Y-Werte.
Und das Gleiche Hier für die Bildfunktion, diese hier,
ja, dieses typische Muster. Also die relative Position für den Wert FX,
FF Y gibt an, in welche Richtung das im Bild fortschreitet.
Und überhaupt die Entfernung vom Ursprung gibt an, wie schnell oder wie langsam das Ganze schwingt. Und wenn wir jetzt uns vorstellen,
wir wollen ein Programm schreiben, das in Bildern Ziprastreifen findet,
wir kennen die typische Schwingung im Bild,
dann gucken wir eben ins Frequenzspektrum und schauen nach,
okay, finden wir Tatsächlich im Frequenzspektrum genau diese Tarn,
ja, würden alles andere dämpfen, nur den Tarn beibebehalten,
das Ganze zurücktransformieren und wir hätten ein Bild der gefundenen Schwingung im Bild.
Wo sind die Ziprastreifen? Das ist so die Idee dabei.
Also diese Ortsfrequenzen sagen uns, wie die Muskler im Bild laufen. Wenn wir ein Bild haben,
was jetzt nur so eine Cosinus-Funktion darstellt und nichts weiter,
also dann würden wir, ja, das ist ja das Grauwertgebirge,
ja, dann könnten wir es auch so darstellen, dass wir sagen,
wir zeichnen Hier null Stellen dieser Funktion kommen damit diese periodischen Linien im Bild.
Parallele geraden in einem bestimmten Abstand. Und die schneiden eben
die XY-Achsen. In bestimmten Abständen. Und genau das sind
die Ortsfrequenzen, auf die es ankommt. Die rate,
mit der die Nulldurchgänge, die X und Y-Achse schneiden.
Für das Rechnen mit den Foyer transformierten, vermutlich kennen Sie das
aus dem Matheteil der Vorlesung, Es gibt ein paar angenehme Eigenschaften.
Erstmal die Linearität. Ja, wenn wir eine Überlagerung zweier Bilder haben,
eine Bildfunktion mit A gewichtet, eine Bildfunktion mit B gewichtet,
dann gilt, dass wir die Bildfunktion gehe,
selbst als Fuhr je transformierte nehmen können, G1 und G2.
Und die Skalierungsfaktoren rausziehen können. Das heißt, wenn wir
mathematisch vor einer Frage stehen, wir suchen etwas suchen einen Amplitudenfaktor oder ähnliches.
Dann müssen wir unser Bild nicht für jeden Amplitudenfaktor neu transformieren,
sondern es reicht es, einmal zu transformieren und wir können dann die anderen Folie transformierten,
schlichtweg durch Multiplikation mit diesen Faktoren erzeugen, ohne neue Foyer transformieren zu müssen.
Genauso bei der Skalierung, bei der Größe, wir brauchen,
wenn wir ein bestimmtes Muster im Bild suchen,
die suchen Masken nicht in allen Größen vorhalten,
sondern wir transformieren es einmal und können dann aus dieser Transformation der Foyer transformierten,
sehr schnell die Bilder für alle Skalierungen ableiten, indem wir feststellen,
dass die Foyer transformierte an den skalierten Stellen zehnmal x,
d, mal y, sich ergibt,
nach dieser Rechenregel hier.
Lässt sich also direkt aus der anderen, vor dir hier transformierten,
ableiten. Wir müssen nicht neue Foyer transformieren.
Und besonders nützlich ist das Verschiebungstheorien
Die Foyer transformierte für das verschobene Bild, ist wieder die
Foyer transformierte fürs Unverschobene. Und der Faktor mit dem,
was multiplizieren müssen, hat angenehmerweise den Betrag 1,
sodass man ihn gar nichts berücksichtigen muss.
Einmal transformiert haben wir die Foyer transformierte,
unabhängig von der Lage im Bild. Das heißt,
praktisch alle affinen Transformationen, über die wir bisher gesprochen haben,
sind im Foyerraum
praktisch kostenlos
Und zusammenfassend lässt sie aus dem,
was wir eben gesehen haben, das Faltungstheorien herleiten,
das für die Faltungszweier-Funktion G1 und G2,
wenn eine sehr einfache Rechenregel haben für die Foyer-Transformierten.
Falten verwenden wir in der Regel, wenn wir Bilder korrelieren wollen,
also irgendein Objekt ist gegeben durch seine Schablone, die sagt,
wie es standardmäßig aussieht und wir wollen wissen,
wo kommt es im Bild vor
Was wir üblicherweise nicht wissen, ist, in welcher Größe kommt es vor?
Ist eine Frage der Skalierung? Wir wissen nicht, an welchem Ort es vorkommt.
Wir wissen nicht, mit welchen Amplituden es vorkommt. Die Regeln,
die wir gesehen haben eben, die sagen alle,
macht nichts, das kann man sehr leicht aus der Folie transformierten.
Rückrechnen, ohne dass man neue Foyer transformieren muss.
Und das Übereinanderlegen und Vergleichen, um die Korrelation zu berechnen,
machen wir eben über die Faltung. Wenn wir hier eine Funktion G1 haben,
multipliziert mit einer Funktion G2 verschoben, um bestimmte Stellen XY,
ja, dann können wir über den ganzen Raum,
jetzt erzählt er hier,
dieses Verschobene integrieren und das ist gleich dem Produkt,
der Foyer transformierten von G1,
mal der Fuhrtransformierten G2. Ja,
und wir sehen,
wir brauchen unabhängig von den Verschiebungen einfach
nur die Foyer transformierten der Basisfunktion
Und können damit das Faltungsintegral ausrechnen, die ich vorhin ja
schon angesprochen, weshalb wir die Foyer-Transformation so brauchen.
Noch ein paar Vokabeln zum Abschluss. Also die Treffen sind Bezeichnungen
. Dies gehe von etwas, was wir gesehen haben,
das nennt sich das Frequenzspektrum der 2D-Folie transformierten.
Das Betragsspektrum, oder wenn man nur Spektrum sagt,
man hat meistens eben das Betragsspektrum,
Amblikürdenspektrum ist eben der Betrag dieser komplexen Zahl
Und das Energiespektrum ist das Ganze zum Quadrat.
Man nimmt meistens das Energiespektrum, wenn man das darstellen will,
weil wenn man die Werte des Amtitudenspektrums nackt so zeigt,
ist meistens im Bild nicht viel zu erkennen.
Deshalb nimmt man gern das Energiespektrum oder Power-Spektrum.
Einfach mal jetzt diese Power-Spektren dargestellt. Ich habe ja gesagt,
so ein echtes Recht, er können wir eigentlich gar nicht perfekt darstellen.
Wir müssen irgendwo abschneiden. Das ist hier auch geschehen,
aber trotzdem kann man die typischen Eigenschaften sehen
Es so zu sehen, hier links das Original,
Bild, rechts, die Fuhr je transformierte,
und zwar umso heller, je höher die Frequenztherme sind.
Hier in der Mitte ist der Punkt 0-0.
Und das ist dann hier die komplexe Zahlenebene oft gespannt.
Und man sieht, dass so ein Bildtieren sich im Wesentlichen
abzeichnet durch Sinkfunktionen entlang dieser Reihe.
Wenn wir das Ganze rotieren, rotiert das Spektrum mit.
Wir haben ein echtes Bild aufgenommen, Dirolos bei uns im Cox-Labor
mit ein paar kleinen Störungen drin. Ja, sind schon
alt. Wir haben hier ein periodisches Muster und sehen,
dass wir die entsprechenden Frequenzen hier als maximal im Foyer-Spektrum wiederfinden.
Das heißt, wenn wir hier nach maximal suchen,
dann können wir damit ziemlich schnell und einfach herausbekommen,
was die Frequenzen hier sind. Wenn man versucht,
das zu verstehen, denken Sie zurück an die Gleichung,
Kampffunktion und Ihre Foyer transformiert, wenn man sich das diskret vorstellt,
Haben wir hier im Wesentlichen so eine Kampffunktion?
Wir hatten gesehen, in der Foyertransformierten liegen die maximal weiter auseinander.
Genau das kann man hier bewundern. Das ist mein Bild,
wo die Frequenzen nicht ganz so offensichtlich sind,
dann fängt es an, schwer zu werden.
Wir sehen aber für die Zaunlatten hier,
und ganz dicht hier in die Tafel reinkrabbelt.
Im Wesentlichen hier auch wieder diese regelmäßigen maximal.
In Realita sind die Frequenzen oft schwer zu entdecken.
Hier, schreibt mir.
Typische wiederholende Muster
Okay, aus einem der ersten Bildverarbeitungsbücher, das hatte ich
noch in meinem eigenen Studium gesehen, als ich Bildverarbeitung gehört habe.
Aber ich habe sie aufgehoben, weil die einigermaßen instruktiv sind.
Wir sehen hier, kannten die in verschiedenen Richtungen laufen und
entsprechend sehen wir auch im Frequenzraum diese Richtung.
Das heißt, man kann die Vorzugsrichtung im Bild hier auch finden.
Diese Kreise, hier sind drei nachträglich reingezeichnet,
die zeigen, wo die Energie im Spektrum ist,
die weiter außen nehmen die Energien ziemlich schnell ab
Worauf man jetzt achten sollte. Und dazu muss ich
es wieder dunkler machen. Auf die Konstantenflächen. Achten Sie
mal bitte, hier auf diesem Charminal-Bildschirm. Es ist noch
eins aus der Zeit, bevor die Flachbildschirme erfunden wurden.
Ah, ich dachte den Saturn. Moment. Ich wollte
, ja. Etwas weiter hier reingehen. Können Sie
erkennen, was man hier sieht
Dieses Waffelmuster, das ist genau das,
was ich Ihnen an der Rechteckfunktion gezeigt hatte,
die Gezacke, wenn hohe Frequenzen fehlen, ja,
dann bekommen wir genau dieses Waffelmuster hier auf konstanten Hintergründen.
Und okay, warum? Worauf,
wenn wir jetzt noch kurz ein paar Minuten sprechen sollten,
sind Anbemerkungen aus der Nachrichtentechnik, wenn man mit dem Foyerspektren arbeitet,
Dann versucht man, möglichst Manipulationen im Frequenzraum,
dass man die signifikanten Merkmale findet in Form von linearen Bausteinen zusammenzusetzen.
Idee, Signal rein, Filter, Signal raus.
Und mathematisch versucht man, solche Filter zu finden,
die ein lineares Verhalten haben, sodass man sie entsprechend so kombinieren kann.
Und die Rechenregeln für die Foyertransformation,
die wir gesehen haben, die unterstützt genau diesen Ansatz,
dass wir uns die Verarbeitung von Bildern als Filtern im Frequenzraum vorstellen können,
mit linearen Bausteinen,
weil die Foyertransformation so ausgelegt ist,
dass das
richtig gut geht
Also das ist im Wesentlichen Gegenstand der Vorlesung, multimodale Signale.
Ja, da wird man sich explizit mit diesen Filtern befassen.
Und was man versuchen muss, rauszukriegen, ist gegeben,
irgendein Filter, was wir haben, dass wir aus Bild stecken,
wie verhält es sich in Bezug auf Phasenverschiebung,
verschiebt es die Schwingung,
sodass sie ein bisschen später anfängt und dämpft es sie in irgendeiner Weise.
Das werden wir hier natürlich nicht so kompliziert machen können,
aber wir schauen immer typische Anwendungen an. Das eine ist eben,
dass wir Wenn wir ein Bild weich zeichnen wollen,
die hohen Frequenzen haben wir ja gesehen,
die sorgen dafür, dass die steilen Übergänge steiler werden.
Wir wollen sie schön sanft haben. Für Anti-Allee sind Grenzfrequenzen heruntersetzen und so weiter.
Das ist eine Idee, wir nehmen das optimale Tiefpassfilter.
Wir lassen nur die niedrigen Frequenzen durch und die hohen ab
der Grenzfrequenzen werden nicht mehr wollen, schneiden wir ab.
Also der Name optimaler Tiefpass für dieses Filter ist total daneben.
Es ist der schlimmste Tiefpass, den man wählen kann.
Er ist in keiner Weise optimal. Aber die Idee ist eben
mit Tiefpassfiltern Und da drücken wir das Rauschen im Bild,
das Rauschen ist etwas, was schnell variiert,
wenn wir es wegfiltern nehmen, was die hohen Frequenzen wegmacht,
ist das Rauschen auch weg.
Grenzfrequenz fürs Abtasten herstellen, ganz wichtig. Und das führt eben dazu,
dass wir tatsächlich, wenn wir nur einen geringen Teil abschneiden,
dass das Bild insgesamt ein bisschen weicher gezeichnet aussieht,
wenn wir noch mehr abschneiden, sind die Kanten noch weniger steil.
Aber Wir kriegen dieses Ringing dir rein. Das ist ein
extrem unangenehmes Phänomen, wenn man abrupt abschneidet.
Und wenn man das Impfen der hohen Frequenzen übertreibt,
na gut, dann sieht es irgendwann aus,
als würde unser Publikum meinen Seetest machen müssen.
Besser, um das Ringing zu vermeiden,
sind die Exponential-Tiefpässe, wo wir nicht abrupt abschneiden,
sondern eben eine gaussster Glockenform nehmen und das dann mit dämpfen.
Und das ist eigentlich das, was in allen Bildverarbeitungssystemen eingebaut
ist, wenn wir Glättungsfilter nehmen.
Solche Exponential-Tiefpässe. Und dann mal reingucken
Das macht das Bild. Weicher, ja. Okay. Hier mal
mit verschiedenen Stufen, wo wir die Grenzfrequenz abschneiden, gerechnet.
Das sind Sachen, die Bildverarbeitung heutzutage schon in Echtzeit machen kann,
ne? Okay. Gut, ich denke mal,
die Zeit ist schon gut abgelaufen.
Ich werde an dieser Stelle Schluss machen und die weiteren Filter
in des nächsten Mittwoch vorstellen.