Wir hatten uns das letzte Mal schon gefühlt. Der Ergebnisaktiv hat erlebt,
die ganze Welt in den medizinischen Bildverarbeitung, der Materialprüfung und
so weiter, wo wir auch mehr dimensionale Bilder haben.
Aber wir gehen zunächst mal davon aus, unsere Bilder, sein Ebene, Objekte.
Und dann haben wir eben Funktionen aus der Bildebene,
gegeben durch X und Y im R-Kreuz,
auf ein Intensitäts- oder Helligkeitswert und über die verschiedenen Möglichkeiten,
wie wir die Farben im Bild, in Farbräumen darstellen können,
haben wir ja schon gesprochen.
Entweder sehen wir die Farben oder Intensitäten hier als einen Vektor
ausgedruckt in einem Farbsystem oder eben die andere Möglichkeit,
dass wir uns ein Bild vorstellen als ein Vektor von Einzelbildern für jede Komponente des Farbwertes, ein eigenes Bild.
Das hatten wir das letzte Mal schon kurz angesprochen,
also dass wir die zweite Sicht auf die Bilder.
Wir hatten auch schon angesprochen,
dass wir uns eben eine Bilder gut vorstellen können als Graumwertgebirge,
dass wir uns sie vorstellen als ein Eine Funktion, einen Verlauf aufgetragen über der XY-Ebene.
Und das, was wir an Algorithmen ansprechen werden,
wird sie vor allem darauf beziehen, wie wir versuchen,
uns in dieser Gebirgslandschaft zurückzufinden, zurechtzufinden, um eben Bildstrukturen zu finden.
Gut, wäre gut. Schönes Beispiel, der Buchstabentafel angeschaut und überlegt,
wie Bildverarbeitung denn aussehen kann, wie wir dieses Grauwertgebirge interpretieren können,
um eben Die Abstraktionsleistung zu bringen, zu sagen,
ja, wir sehen hier Klammern, Zeichen und so weiter.
Ich hoffe, dieses Bild macht ihnen deutlich,
dass es eine recht anspruchsvolle Aufgabe ist, aus dem Graubheitgebirge,
weil es das einzige ist, was wir über das Bild haben,
die Funktion vom Sensor aufgezeichnet, zu sagen,
ja, hier sind Objekte, der Buchstabe S,
der Buchstabe T, wir haben das Rauschen,
die Grenzen der Buchstaben sind nicht ganz klar.
Und es kommt noch eine ganze Menge mehr dazu,
worüber wir reden sollten
Hatten wir schon dieses Bild angeschaut? Letztem Mann, nein.
Das, was wir eben gesehen hatten, ist etwas,
was man schon fertig kaufen kann in Applikationen. Als ich studiert habe,
war tatsächlich die Frage, können wir Buchstaben erkennen in Bildern,
Forschungsgebiete, man träumte von OCA-Lesern, die es können inzwischen,
kommt es bei jedem Scanner, den sie kaufen,
kostenlos mit dem Programm, was ganz gut tut.
Andere Arten von Bildern sind schwieriger zu interpretieren. Wer hat
denn eine Idee, was uns diese Bildfunktion hier zeigt?
Bin ich gerade das Skript aufgeschlagen hat
Gibt es irgendetwas, was vertraut vorkommt,
wo man sieht, naja,
sonst müssen wir es so tun wie ein Bildverarbeitungsprogramm und uns überlegen,
was bedeutet es denn, was wir hier sehen?
Hier sind tiefe Schluchten. Wenn wir uns jetzt vorstellen,
okay, das Bild diskodiert als Intensitätswert.
Denn wir haben diese tiefen Schluchten hier dunkle,
schwarze Balken, die im Bild vorhanden sind.
Im Wesentlichen haben wir hier intensive Helligkeitswechsel von hell
nach dunkel und wir haben hier etwas größere Flächen
Die einigermaßen hell sind, umgeben von dunklen Schatten oder was immer es ist.
Und dunklen Flecken drauf. Was könnte das sein? Ja,
ich verrate mal, das ist ein ähnliches Objekt,
nur aus einer anderen Richtung betrachtet.
Ja, es sind Gesichter. Und wenn man das Bild
sich dann mal anschaut, das Original dazu wäre dieses Bild.
Also hier sind die Ebenen plattours, die ich gezeigt hatte,
die dunklen Schluchten da drin
Der Abgrund, der sich drüber auftut, ist eben,
dass die schwarze Haarpracht. Und die dunklen Balken,
die wir gesehen haben, in der Grauwertfunktion für diese hier.
Also das ist ungefähr das, was man rauskriegen muss,
wenn man Bildverarbeitung macht.
Das Programm muss den Verlauf des Grauwertgebirges analysieren in Versuchen,
dass im Zusammenhang zu bringen mit eben Objekten,
die wir im Bild sehen.
Also in irgendeiner Weise erkennen und feststellen.
Gut. Noch ein weiterer Begriff. Wir sprechen von Multispektralbildern,
wenn wir nicht nur ein reines Fabbelt haben mit den klassischen Farbauszügen rot-grün-blau oder Zyren,
Magenta, Gelb, sondern wenn wir eine beliebige Dimension hier haben und das ist das ganz typische für Bilder aus dem Bereich der Fernerkundung,
wenn wir Satellitenbilder aufnehmen, da war lange Jahre so der Standard,
zwölf verschiedene Kanäle werden aufgezeichnet,
inzwischen Können wir auch von Satelliten bis zu 200 Kanälen bekommen,
wenn es das Spektrum sehr fein,
hoch hochauflösend abgetastet wird.
Oder von Überfliegen mit Flugzeugen, Sensoren, die das können.
Also weil möglichst Spektralbildern werden wir, die Kanäle im Sensor so wählen,
dass die typisch sind für die Materialien, die man erkennen will.
Also wenn ein Satellit oder ein anderer Sensor beispielsweise Vegetation überwachen soll,
wird man dafür sorgen, dass genau die Spektrallinien,
bei denen Chlorophyll sich deutlich abzeichnet,
dabei sind,
also im nahen Infrarot und im grünen Bereichen
Die Kanäle gewählt werden, wo man, Wasser,
Landübergänge gut finden kann und ähnliches. Das ist mal ein Bild,
ein Bereich aus Kalifornien, will dann dieser Sensor,
das haben wir sehr viel gearbeitet, das ist der Dedalus-Scanner,
der war sowohl eingesetzt in den Landsatzsatelliten, als auch in Flugzeugen,
die DFVL, hieß das damals noch,
deutsche Versuchsanstalt für Luft- und Raumfahrt.
Inzwischen heißen die Kürze DLR, weiß ich kein Mensch, deren Namen merken konnte.
Also die hatten in ihren Flugzeugen genau auch diesen Scanner Was wir hier sehen,
ist quer durchs Spektrum des Lichtes, so von den Ultraviolett bis Infrarot-Bereichen,
wie sich ein bestimmter Teil der Artoberfläche ist,
sein Papplobby, Kalifornien, nettes Weinbaugebiet abzeichnet.
Und was man jetzt gut erkennen kann, denke ich,
ist, dass je nachdem, in welchem Spektral auszug,
man schaut bei solchen Bildern unterschiedliche Dinge gut zu sehen sind.
Also im Infrarot-Bereich sehen wir Die Wasserflächen sehr schön deutlich als schwarze Bereiche,
die sich abheben, auch die Salzmaschgebiete, die es hier gibt.
Wir sehen die Flüsse ganz gut. In anderen Bereichen sieht man mehr,
was im Wasser los ist, was so an Dreck und Ähnlichem eingeleitet wird.
Es sind anderen Spektralbereichen sehr viel besser zu sehen.
In den Bereichen zeichnen sich auch Ortschaften ganz anders ab als hier.
Die erscheinen sie grau, da sind sie weiß.
Und mit solchen Bildern arbeitet man dann typischerweise so,
dass man den Vector anschaut, an jedem Pixel,
was sehe ich in den einzelnen Kanälen und dann versucht,
darauf ein Klassifikate laufen zu lassen oder ähnliches.
Und wenn wir bestimmte Strukturen suchen, also sagen wir mal,
was ein Landübergang mit den konzentriert man sich eben auf den Auszug,
wo das genau am deutlichsten zu sehen ist.
Guck mal, was habe ich hier noch ein paar Markierungen angezeichnet?
Zum Beispiel hier ist Flughafengebiet, ihr müsst man erwarten,
dass man Landebahnen gut sehen kann, in dem Gebiet ist der Fluss.
Der ist Hier praktisch gar nichts zu sehen,
aber wenn wir im Blaubereich gucken, wird er deutlicher,
eine Frihwede aus der Stadt kommt, ist gut zu sehen.
Ja, und es gibt doch nochmal einen Blick auf Volumenbilder,
so typische Magnetrand, Magnettomogramme oder Patch.
Irgendwie enden die Folien hier etwas unvermutet unten, na gut.
Ja, du bist so die typische Art, wie es gemacht wird.
Wir haben einen Sensor, der um das Objekt herum rotiert,
dabei ein Strahl durch das Gewebe schießt.
Und dann wird natürlich die ganze Gewebeschicht, durch die er durchgeht,
entlang des Strahls, gemeinsam eine Signatur haben.
Aber wenn man das einmal quer um den Körper herum macht und sich dann die Integrale anschaut,
die man entlang dieses Abteststrahls kriegt,
kann man rückwärts rausrechnen, welche Materieverteilung, dichte Verteilung,
diese einzelnen Integrale entlang der Strahle ergibt,
es sind halben Rechenaufwand.
Trotzdem kann man auf diese Weise
eben einzelne Schichten zurückrechnen
Sich, die dann gestapelt übereinander vorstellen wie hier und kann damit
einen Film durch ein Gehirn bekommen zum Beispiel. Gut,
man kann in der Vorlesung natürlich nicht fremde medizinische Bilder zeigen,
also habe ich in ausnahmsweise mal einen Blick in mein eigenes Gehirn gegeben.
So, dann haben wir hier jetzt Noch zwei wichtige Begriffe,
die für die mathematische Behandlung der Bildfunktionen wichtig sind. Also diejenigen,
die Bildverarbeitung, die Bildverarbeitung eines Vorlesungen schon gehört haben,
kennen das aus dem FF oder eben auch die,
die spektrale Signalevorlesung, ja, wollt ihr dimensionale, multispektrale Signalevorlesung.
Das eine ist der Ortsraum, was wir bisher besprochen haben,
gegebene Bildebene und darüber einen Funktionsverlauf als Graubertgebirge.
Da sagen wir eben, welchen Wert unsere Bildfunktion angegebenen Ortskoordinaten hat,
XY, Z, egal wie viele Dimensionen das Bild hat
Heißt, sie sind im Ortsraum definiert als Funktionen von Koordinaten,
direkt in der Bildebene oder im Bild von Volumen.
Typischerweise nehmen wir noch die Zeitachse dazu, wenn wir filmen
oder ähnliches betrachten wollen. Die zweite Sicht auf Bilder,
dass die, die den meisten ein bisschen mehr Mühe macht,
als sich das mathematisch vorzustellen, ist der Frequenzraum.
Dann betrachten wir das Bild als Reinentwicklung über einen Satz für ein Basisfunktionen und in der Bildverarbeitung
sind eben solche Basisfunktionen wichtig, die periodisch sind.
Das ist gut und weder zu analysieren,
die in irgendeiner Weise periodische Eigenschaften haben oder um Digitalisierungsartefakte zu bekämpfen.
Da werden wir noch ein bisschen drüber reden müssen. Also wäre gut,
wenn Sie so für den nächsten Teil der Vorlesung
ein bisschen Ihr Kenntnis über die für die Reihenentwicklung,
für Hier-Transformation ein bisschen auffrischen, dass Kindern ganz gelegen.
Wir brauchen vor allem diesen Schritt, dass wir es im
Frequenzraum betrachten, gegeben.
Anteile in der Foyer-Reihenentwicklung im Frequenzraum
eben für Fragen
Der Diskretisierung, wie komme ich von den analogen Bildern zu
den Digitalbildern und für schnelle Bildverarbeitung, effiziente Algorithmen,
weil die sind oft auf der Ebene der Folier transformierten Bilder
viel schneller und einfacher und leichter als der Miss im Ortsraum machen wollen.
Als nächstes erst mal den Schritt, wie kommen wir von den analogen Bildfunktionen zum Digitalbild.
Und da haben wir zwei Zeitprobleme, Rastern und Quanteln.
Das Rastern ist eben zerlege das Bild in Zellen,
sodass ich diskrete einhalten habe. Und das sind die Pixel,
an die man inzwischen gewöhnt ist, dass sie existieren.
Und das Quanteln heißt, die Intensitätswerte, die vorkommen,
um sie aus dem Raum der reellen Zahlen,
der positiven Reellen Zahlen in diskrete,
natürliche Zahlen zu bringen und da auf einen begrenzten Bereich.
Gut, also die Rasterung ist das Diskretisieren im Definitionsbereich.
Wir verteilen unsere Bildebene in einzelne Zellen und das Quanteln,
das Diskretisieren im Wertebereich,
also die Helligkeitswerte,
Farbwerte auf diskrete Werte abbilden
Bei der Diskretisierung einfach zur Terminologie mit Rasterom, meinen wir,
das ist das Auswählen der Stellen im Bild,
an denen wir Proben nehmen, um festzustellen,
was ist an diesem Element hier in diesem Pixel.
Der Wert, das Abtasten ist der Vorgang, dass wir,
wenn wir uns entschieden haben, okay, diese Zelle ist interessant,
dass wir da den Wert nehmen und den dann nehmen als Repräsentant für das Bild an der Stelle.
Und das Quanteln besteht daran, ist,
wenn wir hier jetzt eben einen Wert bekommen,
irgendwie eine krumme Zahl, reell hertigt, dass wir die in einem,
einen ganz zahligen Wert verwandeln und sagen, okay,
das ist der Repräsentant, den wir da nehmen.
Alle drei Probleme müssen optimal durchgeführt werden, sonst haben wir
ein Problem und das können wir uns an ein paar Beispielen dann mal anschauen.
Also erstmal Restaurant eines Bildes wählen einen Satz von Zellen,
an denen wir den Bildwert durch eine einzige Zahl repräsentieren wollen oder durch einen einzigen Farbvektor.
Und Die erste Frage ist, wie groß machen wir die Zellen?
Also man sieht schon, wenn der die zu groß machen,
kriegen wir Probleme, dann haben wir nämlich verschiedene Objekte,
die sich eine Zelle teilen und wir stehen vor dem sogenannten Mischpixel-Problem.
Was wollen wir denn an dieser Stelle nehmen, den Wert für den blauen Himmel,
für die weißen Wolken oder für den braunen Palmen stammen?
Wenn wir Bilder genau und präzise darstellen wollen, müssen unsere Zellen
möglichst klein werden. Und wenn wir in den Bereich gehen,
so mit sündhaft teuren Kameras, die man heutzutage kaufen kann,
60 Megapixel oder mehr, Ein einzelnes Bild braucht schon 60 Megapixel,
dann kriegen wir auf der anderen Seite neue Probleme.
Nicht erstens, dass man da nicht mit dem Kaufen vom Plattenspeicher hinterher kommen kann.
Dass die Speicherkarten mit dem Fotografieren schnell voll werden.
Und zweitens, dass wir auch den Brechenaufwand aufbringen müssen,
diese Riesenbilder durchzurechnen. Also irgendwo ist da ein sinnvoller Kompromiss gefragt.
Bei der Größe der Zellen, die wir hier nehmen.
Also wenn wir, wie gesagt,
wenn sie zu groß sind und wir nehmen jetzt hier die Mittelwerte,
dann sieht man schon, ja,
für manche Aufgaben könnte das reichen und für andere eben nicht.
Das ist für die Frage, Was ist das für eine Szene?
Würden Sie beim Anblick dieses Bildes sofort auf die Idee kommen,
Strand mit Palm? Vermutlich nicht,
aber wenn es nur um die Aufgabe geht,
ist das Bild im Büro aufgenommen worden oder im Freien.
Die Frage könnte man dann an dem Bild schon im gegebenen Kontext beantworten.
Es kommt vor allem auf den Kontext an, was man braucht.
Ein bisschen feiner gerastert, Zahl der Pixel hat sie hier
vervierfacht, leider. Aber jetzt könnte man schon sagen,
okay, erstens da sind Palmen und zweitens für viele.
Man kann auch feststellen, wo der Horizont ist.
Das Rastern ist inzwischen etwas,
was in Echtzeit geht
Früher hat sowas Echtzeit gekostet und zwischen ist Echtzeitverarbeitung leicht.
Das ist jetzt kein Video, sondern was im Hintergrund läuft,
ist das Programm Crowds Composer, was eben in Echtzeitvideos erstellt.
Und die Zahl, die wir einwenden, ist die Seitenlänge der Pixel. So,
ich mache viele von den Videos,
die ich hier zeige, eigentlich als Squats Compositions,
auf diese Weise spare ich auf meiner Platte Platz,
weil die Bilder ja erst errechnet werden,
wenn das Ganze gezeigt werden muss, das Problem ist natürlich,
wenn ich sie dann ins Internet stelle mit dem Skript zusammen und verlinke,
dass es sieht, nur die werden anschauen können,
die auch ein Mac haben auf dem Forzkomposer läuft.
Okay. Ja, die Sebastians-Technik ist ziemlich alt,
also die Besterhaltung Bilder aus der Uhrzeit der Menschheit sind eigentlich die,
die mit dieser Mosaik-Technik gemacht worden sind,
dass sie aus dem sechsten Jahrhundert Akkusti zum Beispiel eben einen USA-Ick,
dass genau die Methode zeigt.
Wie der Bildpunkt wird ersetzt durch eine kleine Fläche und die
hat eine bestimmte Farbe und dann mal nur einen endlichen Vorrat
und dann sehen wir, wir haben hier ein schönes Digitalbild.
Dieses Bild zeigt auch, dass man nicht notwendigerweise seine Pixel
quadratisch machen muss oder zumindestens rechteckig und sie auch nicht Achseln parallel ausrichten.
Die Bilder sehen viel schicker aus, wenn man in der Wahl
der Pixelform freier ist. Und es gibt auch Kameras,
die so arbeiten, dass sie unterschiedliche Pixel haben.
Wie gesagt, das meiste, was die Digitalkameras,
die sie sich heute so kaufen können,
als Hobbykamera für unterwegs machen, sind Varianten der Matrix-Rasterung,
dann hat ein Bild Zeilen und Spalten.
Und typischerweise sind diese Pixel hier nicht unbedingt quadratisch,
sondern eher rechteckig, haben eine beliebige Seiten- und Spaltenverhältnis.
Also die rechteckigen Pixel mehr so im DIN-A4-Format oder in der DIN-Reihe eingeordnet,
die kommen irgendwie aus der Zeit des Fernsehens von Fernsehbild,
was breiter als hoch war,
trotzdem mehr Zeilen hatte als Spalten
Gut, endlich mal die Definition Pixel,
also die Elemente einer Bildmatrix heißen Pixel.
Und das ist eine Verballordnung vom englischen Wort Picture Element.
Die zweite beliebte Restaurant in der Bildverarbeitung ist die Hexagonalrastaurant.
Und die hat eine Reihe von Vorteile. Sie wird von
einem ganzen reinen Kollegen tapfer eingesetzt und es sind auch Kameras
gebaut worden, die diese Rastaurant haben.
So ähnlich den Waben eines Insektenauges.
Hier sind die Pixel nicht Quadrate oder Rechtecke,
sondern gleichzeitige Sechsecke
Und das hat den entscheidenden Vorteil,
dass so ein Sechseck deutlich kreisähnlicher ist als ein Quadrat.
Weil gegebenen Mittelpunkt die Entfernung zum Rand des Pixels variiert nicht
so stark, wie wenn wir hier ein Quadrat hätten.
Das heißt, der Mittelpunkt des Pixels ist ein
besserer Repräsentant für die Punkte, die es repräsentieren soll.
Das ist der eine Vorteil und der zweite entscheidende Vorteil ist,
dass man keine Zusammenhangsprobleme bekommt. Wenn wir nochmal auf die Rechterkraste rumschauen hier,
Und wenn wir uns mal die Frage stellen,
was sind die Nachbarn eines Pixels?
Dann hat so ein Pixel zwei verschiedene Arten von Nachbarn,
nämlich die, mit denen es über eine gemeinsame Kante verbunden ist, da von Netz 4.
Und es hat noch vier, die nur über eine Ecke verbunden sind.
Und wenn viele Bildverarbeitungsalgorithmen haben die Nachbarschaftsrelation als Basis,
auf der gerechnet wird. Und für diese Nachbarschaftsrelation ist es einfacher,
wenn die Nachbarschaft robust festgestellt werden kann,
da keine Übereck-Zusammenhänge berücksichtigt werden müssen,
sondern wenn jeder Nachbar als mindestens ein gemeinsames Stück Kante hat.
Und das ist beim Sechsecke gegeben. Es gibt keine Möglichkeit,
dass ein Pixelnacht mal zu einem Sechseck ist und nicht wenigstens eine gemeinsame Kante hat.
Ja? Was ist mit acht Ecken?
Ich kenne keinen, der das technisch hier probiert hätte.
Aber beim Achteck bekommt man keine Uniformelfazzalierung.
Kinder hätte man einen Wechsel zwischen acht Ecken und Dreiecken.
Ja, man kann ja... Dafür kann man so gerade
nie machen, so schließeweise. Genau. Sack,
zack, zack, wenn man doch eben gehen will.
Ja, da versuchen wir mal acht Eck zu zeichnen
So. Moment, es hat das acht Ecken, ja,
ne? Das Problem sind diese Bereiche hier,
man kriegt hier kein zweites Achterkreines. Also man muss dann
zwei unterschiedliche gemetrische Formen nehmen, um die zusammenzusetzen.
Also die, als Basis braucht man Figuren,
die des Lückenlos im selben Format abdecken.
Also was auch Dinge wären, Dreiecke, ja,
wenn Dreiecken würde sich nur die Orientierung ändern
Und die werden noch weniger kreisinnlich als Vierecke. Gut,
man kann aus dem Rechtecklast, was der sich leichten Nexar-Konalraster machen,
indem man fürs Rechnen einfach jede zweite Bildzahl ein Stück verschiebt.
Und dann bekommen wir hier eben,
müssen wir uns diese Rechtecke hier als Sechsercke denken in ihrer Repräsentation,
aber einfach durch Verschieben jeder zweiten Zeile kommt man zu
einem Sechseckraster,
Okay. Ja. Also jetzt können wir uns vorstellen,
wir hätten ein Digitalbild gemacht. Wir haben uns entschieden,
das Bild ist gerastet, haben überall Punkte gewählt.
Haben wir Repräsentanten aufgetragen. Und so saß in den Bildverarbeitungsbüchern aus,
nachdem ich-Bildverarbeitung gelernt habe. Das Bild wurde dann dargestellt,
indem man es nicht als Digitalbild gedruckt hat,
weil die Drucktechnik war damals noch gar nicht so weit,
sondern man hat einfach den Intensitätswert an die Stelle geschrieben.
Und zwar einfach dargestellt durch eine Zahl, einen Zeichner,
die haben seine Tabelle von Zeichen. Familie, also ein
wunderschönes Digitalbild aus dem alten Buch von Duda und Hart aufgenommen.
Und das ist wie beim Malen nach Zahlen, gleiche Buchstaben bedeuten gleiche Händigkeit.
Und sie sind auch so gewählt, dass die Menge an Drückerschwärze,
die für einen Buchstaben gebraucht wird, in ungefähr der Sensität entspricht.
Gut. Ja, also das ist jetzt genau das,
was wir in der Bildverarbeitung vor uns haben,
wenn wir im Bild analysieren wollen.
Jedes Pixuelle jeden Pixel steht, so ein Quantenwert.
Was stellt dieses Bild denn dar
Das ist schon ein richtiger Format, oder?
Ja. Okay. Es ist ziemlich hoch komprimiert,
also er hat nur noch wenige Pixel. Also was man
vielleicht sehen kann, also es gibt hier so eine Struktur,
die etwas heller ist, in unserem Bereich.
Ja, ich habe es jetzt verkehrt drum gesagt.
Also hier ist hier weniger Punkte, desto schwärzer ist es
an der Stelle. Es ist genau verkehrt drum,
Grauwert dargestellt. Also ich löse das Rätseln mal auf,
wenn es das Originalbild sind,
wenn sie wahrscheinlich immer noch nicht wissen,
was es ist
So. Also diese einzelnen Punkte, die wir sehen,
wenn man zum Beispiel dieser tiefschwarze Bereich hier, ja?
Ja, ein schwarzer Bereich. Vielleicht noch ein Tipp,
um das Bild zu deuten,
so ungefähr so muss es ausgesehen haben, als Galileo,
Galilee zum ersten Mal sein selbst gebautes Fernrohr auf dem Himmel
richtete und in diese Richtung geguckt hat.
Und dann als erster tatsächlich eine Theorie entwickelt hat,
was das ist, was man da sieht.
Der Beobachtungseintrag von Galilee an dem Tag war Der Planet Saturn
ist eine Kugel umgeben von einem Ring.
Ja? Also der Galileo war der erste, der tatsächlich gesehen hat,
dass ein ringförmiger Kreis um den Planeten Saturn herumkreiste.
Ja. Und man sieht hier an dem Beispiel auch ganz gut,
was so an der Grenze der Auflösung geschieht,
dass man da ganz schön raten muss.
Gut, kommen wir mal zu einem der schwierigen Probleme bei
der Abtastung, nämlich das Diskritisieren der Grauwerte.
Dann haben wir gesehen, die Bildfunktion,
so wie sie vom Sensor kommt,
stammen wir ein analoges Signal zunächst mal
Helligkeit variiert. Wir hatten angenommen, dass es keine Intensitäten
kleiner als nur gibt. Das brauchen wir jetzt,
ja, also keine negative Energie im Bild.
Und das ist, dass die Bildfunktion begrenzt ist,
dass für einen Wert gehen Max haben.
Also können wir hier jetzt erstmal aus den reellen Zahlen
das Intervall rausschneiden, von gehen null.
Das ist jetzt, setzen wir mal gleich null.
Also wir wissen, es gibt als unteren Grenze keine Intensitäten
kleiner als nur. Und hier oben den höchsten Grauwert,
den wir annehmen, ausgrund der Annahme,
eine Bildfunktion ist begrenzt
Und jetzt haben wir festgestellt, okay,
unsere Rechner-Architektur eignet sich ganz gut für acht Bitbytes.
Nehmen wir mal Grauwerte von 256. 0 bis 255,
also 600, 2056 Grauwertentabelle brauchen wir.
Und teilen hier unseren Strahl auf im Intervall,
die jeweils für eine bestimmten Helligkeitswert stehen sollen,
den wir dann wählen,
um das Intervall im Intensitätsbereich
zu repräsentieren
Ach, die Grauwehr hat ja,
die kriegen ja alle einen netten kleinen Index,
0 bis N und soll sagen, okay,
das ist die Grenze des Intervalls, entlang der verfügbaren Intensitäten.
Und irgendwo in diesem Bereich wählen wir jetzt einen Quantenwert und sagen,
den hier nehmen wir, um dies Intervall von Helligkeiten,
die vorkommen können, am besten zu repräsentieren.
Und die taufen wir Q0 für Quantenwert 0,
bis eben Quantenwert N minus 1. Also wenn wir hier Endgrenzen haben,
wissen wir, dass wir eben N minus 1 mitten dazwischen finden können.
Und das muss nicht notwendigerweise die Mitte sein.
Das Optimierungsproblem
Besteht darin, dass wir versuchen wollen, jetzt diese Intervallgrenzen
hier hin und her zu schieben und so zu wählen.
Und die Quantenwerte für die Intervalle so zu wählen,
dass wir in der quantisierten Form das Bild noch möglichst gut approximieren.
Also wir wollen möglichst wenig Informationen wegschmeißen bei dem Übergang von
analog zu digital. Das ist die erste Frage,
die wir uns
dann stellen sollen
Was stecken wir an Annahmen darüber rein, um überhaupt die
Frage formulieren zu können, was ist optimale Verfahren ist.
Wenn wir überhaupt nichts über das Bild wissen,
nichts über die Häufigkeitsverteilung,
welche Grauwerte kommen wir oft vor und so,
dann können wir eigentlich nur raten und dann tut man typischerweise das hier.
Das ist die Uniform mit Quantelung. Also wir wissen nicht,
ist das Bild aufgenommen,
an einem schneeweißen Schneetag und wir sehen überhaupt eine weiße Mäuse
in Schnee oder wir sehen schwarze Schornsteinfeger in einem dunklen Kellerloch
oder was weiß ich
Blicken irgendwo in eine dunkle Höhle rein oder wir haben ein Bild mit hohen Kontrasten,
wo eben dunkle Figuren vor allem hellen Hintergrund stehen.
Also mit nichts der gleichen Wissenden sagen wir, na gut,
wenn so keiner was sagt, selbst schuld,
wir teilen den Strahlen hier gleich vor mich auf.
Das ist die uniforme Quantillung und nehmen dann genau
die Mitte dazwischen für unsere Quantenwerte und gut ist.
Das ist, was die meisten Kameras automatisch machen.
Wir können aber auch sagen, wir haben ein statistisches Modell der Grauwertverteilung.
Wir wissen, das Bild ist aufgenommen worden,
an einem strahlenden Sonnenschein beim Wintersport und wir haben im Wesentlichen
weißen Schnee und der zwischen ein paar dunkle Tupfen
Und wir wollen jetzt erstens das so quantisieren,
dass der weiße Schnee das Bild nicht überstrahlt,
dass man vielleicht dann noch ein paar Details drin sehen kann und die dunklen Tupfen,
die unsere Freunde im Schnee waren,
die wollen wir gut auflösen und ja die Details sehen können.
Also werden wir überall in dem Bereich, wo es
sehr dunkel ist, hier unsere Kaufwettgrenzen ganz eng beieinanderlegen.
Und da aber der weiße Schnee ist nur noch ein paar Nehmen,
wie Schnee aussieht, weiß jeder, das braucht man nicht feiner aufzulösen.
Also dafür eine solche optimale Quandelung brauchen wir ein statistisches Modell
der Grauwerte
im Bild
Bruder, wir kennen die Eigenschaften des Senders,
die das Bild aufgezeichnet hat. Und wenn wir wissen,
dass der gar nicht linear arbeitet, dann kann man natürlich
die Kennenlinie des Bildwandlers, des Bild aufgenommen hat.
Mit einbeziehen und sehen, dass wir das mit berücksichtigen.
Gucken wir mal zur optimalen Quantisierung. Das Erste,
was man braucht, wenn man optimieren will, ist,
dass man mathematisch formuliert, was denn gut ist.
Dass man eben sich sagt, ja,
was ist das, was ich reduzieren will?
Ein Konzept für den Fehler entwickeln.
Und wenn einem nichts Besseres anfällt, nimmt man
die kleinste quadratische Abweichung
Die, dass die mathematisch gut bandeln.
Und damit kommt man meistens ganz gut über die Runden.
Und das werden wir jetzt auch machen. Wir sagen,
wir haben die bestmögliche Position von diesen Quanten auf dem Zahlenstrahl gefunden und die bestmögliche Position der Intervallgrenzen,
wenn die Abweichung von den Repräsentanten,
die so ein Stück auf dem Zahlenstrahl repräsentieren sollen,
von dem jeweiligen Grauwert zum Quadrat, wenn die klein ist.
Und jetzt wollen wir aber nicht Anlegt, kleinen Werte gleich behandeln,
sondern es ist noch ein bisschen Gewichten. Warum? Also wenn,
in unserem Bild, jenseits hier von diesem Wert G2 bis GN,
überhaupt keine Pixel vorkommen, die diesen Wert haben,
dann können wir uns in diesem Bereich große Fehler leisten,
weil ja fast keinen Pixel diesen Wert hat.
Dagegen, wo wir sagen,
also die meisten unserer Pixel liegen in diesem Bereich,
geh 1 bis G2. Ja, da liegen 99 Prozent der Pixel.
Da wollen wir, wenn die Wahrscheinlichkeit dessen Pixel diesen Grauwert hat,
Da wollen wir es möglichst genau hinkriegen und da sollte der Fehler klein sein.
Und deshalb gewichten wir den Fehler eben hier mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
für die einzelnen Grauwerte. Ja, also Grauwerte,
die selten sind, da darf die Differenz ruhig größer werden.
Grauwerte, die sehr oft vorkommen, da sollte diese Differenz klein sein.
Und das machen wir über das ganze Intervall von G1SGN plus 1.
In dem Bereich betrachten wir eben für jeden Grauwert,
wie weit ist er von seinem QN weg, Radriens,
Gewichtens mit der Wahrscheinlichkeit, dass er überhaupt auftritt.
Und das Ganze summieren wir auf über alle Intervalle,
die wir haben
So, jetzt haben wir hier einen Ausdruck, der sieht
relativ harmlos aus, ist numerisch aber ganz schön dritti.
Warum? Weil da so entsetzlich viele Variablen hat,
die man in der Optimierung gegeneinander verschieben kann.
Gucken wir uns mal an, wo wir hier überall Variable finden.
Also wir wollen ja erstens rauskriegen, wo sollen unsere QNs sitzen?
Also von 0 bis N minus 1,
diese QNs sind Unbekannte
Deren Position wir verschieben können. Und genauso diese Intervallgrenzen,
die wir hier in dem Integral haben.
Also auch die sind ja die Unbekannten, nach denen wir suchen.
Wo legen wir die Intervallgrenzen hin? Und wo wählen wir die Quantenwerte? Das heißt,
wir werden bei einem gegebenen Löquentisierungsproblem mit 256 Intervallen,
die dazu beachten, der Grauwerten, also 255 Intervallen,
auf 500 Unbekannte haben, die wir durch diese Optimierung rauskriegen müssen.
Das ist bestimmt viel. Und deshalb gucken wir uns erstmal an,
wo man überhaupt Lösungen erwarten kann und wie die aussehen
Ach so, bevor wir jetzt differenzieren, schauen wir uns die Formel nochmal an.
Versuchen Sie uns einzuprägen. Also was wir hinkriegen wollen ist,
alle DENs hier und alle QNs so zu wählen,
dass dieses Fehlermaßdelta Quadrat möglichst klein ist.
Und wenn wir jetzt etwas für etwas ein Minimum suchen,
dann ist es eine Frage, wir suchen einen extremen Wert.
Und das macht man typischerweise ja durch Differenzieren. Wir differenzieren
den Ausdruck und suchen die Stellen, wo wir horizontale Tangenten haben,
da haben wir extremen Werte gefunden und hoffen,
dass wir extrem wert,
den wir finden.
Minimum ist so
kein Maximum
So. Also geht es darum, wir müssen dieses Fehlermaß hier differenzieren,
und zwar nach allen Unbekannten, die wir suchen,
nach den QNs und nach den GNs.
So, und das steht hier, also wir bilden hiervon
die partiellen Ableitungen. Also wenn wir nach den,
die Ängste differenzieren, wird es ableiten,
jetzt nicht selbst machen, wir Spaß und differenzieren,
hat, kannst du mal selbst machen und versuchen nachzuvollziehen,
dann bleiben eben Therme übrig,
wo die GN-Kuren zum Quadrat gewichtet mit den Wahrscheinlichkeitsdichten für
die Grauberte hier
Wo das Ganze eben null ergeben muss für zwei benachbarte Werte.
Und die zweite Arten von Ableitungen, wenn wir nach
den QNs differenzieren, dann bleiben diese Integrale übrig.
Und dann bekommen wir Integrale über diese Differenzen ge-ku-en-gewichtet mit PVNG und
davon auch recht viele. So, ein bisschen sparen wir.
Ja, es ist bei wenig tröstlich. Also,
wir brauchen natürlich nicht nach PN0 und nach GNs zu differenzieren,
weil die Werte kennen wir, die haben wir vorgegeben.
Wieso muss die erste Gleichung
gleich los sein
Die, Moment, können wir mal dahin? Die,
Moment, gehen, jetzt bin ich wieder im richtigen Film,
die müssen beide gleich neu sein, das fehlt hier nur.
Wir auch, ja? Das ist schlichtweg, was wir,
wir differenzieren und wir suchen die Extremwerte und wir wollen Extremwerte vorliegt,
haben die ersten Ableitungen im Wert null.
Ja, okay. Das ist das typische Kurvendiskussion, ne?
Wir suchen einen extremen Wert der Kurve. Das heißt also,
jede erste Ableitung, die wir hier gefunden haben,
partielle Ableitung nach einer der Variablen, muss null sein,
wenn wir eine optimale Lösung haben.
Und was wir hier bekommen, bis jetzt,
hätte ich mal so überschlägig aufgerechnet, mit 256 Intervallen,
haben wir auf diese Weise hier 500 Gleichungen stehen,
die alle gleich null sind.
Das Tröstmuse ist bei 500 Unbekannten,
bekommen wir auch 500 Gleichungen, das könnte aufgehen.
Ja, man kann es, also wir versuchen aufzulösen.
Und das ist genau das, was wir hinkriegen müssen.
Wir versuchen es jetzt mal aufzulösen und Aus diesen Gleichungen abzuleiten,
was dann GN und Co-End ist. Also im Netz,
schade, es passt nicht alles gleichzeitig auf eine Folie.
Sind wir jetzt diese GM-Gleichung neben,
die wir gesehen haben, wo die Differenz entstanden?
Differenz gleich null? Bin noch mal zurück, ja.
Diese Differenz gleich. Und wir lösen das jetzt nach GN auf.
Da muss man dir hier auf die andere Seite bringen und dann,
weil wir es zweimal stehen haben, halbieren und so weiter,
kommen wir zu einer Gleichung,
die uns sagt,
dass uns
unsere Werte GN
optimal sind
Wenn Sie genau in der Mitte zwischen den Quantenwerten N-Minus 1 und N liegen.
Ja? Einen Halb. Das ist die Lösung fürs GN.
So. Und wenn wir jetzt die zweite Gleichung formen und die nach unseren QNs,
die wir suchen, auflösen, dann stellen wir fest,
okay, QNs liegen gut, wenn wir ein Integral haben,
wo wir über das Produkt ausgeben, weil Pfannier integrieren,
für jedes der Intervalle.
Und das normiert, indem wir das durchs Integral
der Wahrscheinlichkeitsdichte teilen
Wirst du komplizierter aus, aber beide Gleichungen haben eine einfache Interpretation.
Also das hier sagt, wenn die Lösung richtig ist,
liegt der Grauwert genau in der Mitte zwischen den Quantenwerten.
Also wenn wir zwei Kontenwerte haben,
dann müssen wir dann mit, wir den kleinsten Fehlern machen,
muss der die Grenze des Intervalls genau in der Mitte dazwischen sein.
Und dieser Ausdruck sagt uns, dass der Quantenwert an einer Stelle liegen muss,
wo wir die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichte unserer Grauwelt Grauwerte hier anschaut.
Also diese rote Kurve soll mal sagen, wie wahrscheinlich ist es,
dass sich ein Grauwert mit der Helligkeit Gilhe habt, mit der Wahrscheinlichkeit,
hier ist kurz ist die Wahrscheinlichkeitsdichte all der Grauwerte und das sagt uns,
wo im Bild die Helligkeiten am häufigsten sind.
Ja, welche Helligkeiten am häufigsten auftreten. So, und dieser Ausdruck,
das ist genau der Schwerpunkt der Fläche unter der Kurve,
wenn wir das Intervall von G1 bis G2 betrachten und dies
hier ausrechnen für G1 bis G2. Ich habe sie nicht genau getroffen,
den Mittelwert, aber das sagt uns,
wenn wir genau in den Flächenschwerpunkt dieser Fläche gehen,
dann haben wir den optimalen Quantenwert.
Also anschaulich und eine überzeugende Lösung. Uhr ist nur nicht
das Endresultat. Das Endresultat ist es einfach deshalb nicht,
weil wenn wir,
um jetzt die Position von Q1 hier berechnen zu können,
brauchen wir die G1 und um die G1 und G2 hier berechnen zu können,
brauchen wir die Werte Q0 und Q1.
Das heißt, unsere Lösungen hier sind wechselseitig voneinander abhängig und
auch nicht die vollständige Antwort. Es gibt für diese beiden Gleichungen
hier Kenne ich bisher nur überhaupt eine einzige analytische Lösung.
Und das ist der Fall, wo die Wahrscheinlichkeitsdichte,
hier die Gleichverteilung ist. Da kommt genau das raus,
was man nur eine große mathematische Theorie ohnehin machen würde,
den Zahlen strahlend gleiche Intervalle unterteilen und die Mitte nehmen.
Das ist die einzige analytische Lösung, die ich kenne und die existiert.
Für die Fälle, wo es keine analytische Lösung gibt,
muss man es numerisch machen. Und da gibt es ein
bewährtes Iterationsverfahren, was genau auf diesen beiden Gleichungen hier aufsetzt.
Ich meine, Gut ist, kann man versuchen,
analytische Lösungen für weitere Fälle zu finden.
Vielleicht heutzutage Mathematiker geht es schneller. So,
also halten wir fest, was uns die Lösung gesagt hat.
Wir sind gut. Wenn jede Intervallgrenze genau in der Mitte
zwischen den Quantenwerten liegt. Und wenn der Quantenwert seinerseits
die Flächenschwerpunktskoordinate der Fläche unter der Kurve ist.
Das ist das, was wir jetzt so gesehen haben.
Und die numerische Lösungsprozedur ist einfach Versuch und Irrtum
Also der Algorithmus ist so alt,
dass er immer noch in Form von Flussdiagrammen mit Sprüngen beschrieben wird,
weil das eben stammt aus der Zeit der Forttransprogrammierung.
Also wir beginnen damit, dass wir den ersten Quantenwert Q0 wählen.
Also wir gehen davon aus, unser Zahlenstrahl, wir kennen die G.
An einem Ende, die GN am Ende und jetzt saugen wir
uns aus den Fingern einen ersten Quantenwert G0, um loszulegen.
Und dann berechnen wir, so jetzt das Gemüll haben und
das Q0, Können wir jetzt den Wert G1 berechnen?
Die nächste Grenze, weil wir haben ja die Regel,
Kundull muss genau in der Mitte zwischen G1 und G0ll liegen.
Also an der Stelle, in meinem ersten Quantenwert haben und die linke Grenze,
können wir jetzt das erste G1 berechnen. So,
und wenn wir jetzt einen Quantenwert haben und die linke Grenze davon,
dann können wir über die Flächenschwerkungskoordinate das nächste Geh berechnen,
das G2. Und so hangeln wir uns entlang des Strahls fort.
Also immer, wenn wir ganz rechts Spanntenwert kennen,
berechnen wir mit Hilfe dergleichung 2. Das nächste geht,
den nächsten Grauwert. Wenn wir nur den Grauwert haben,
berechnen wir den nächsten Quantenwert, in dem wir den Mittelwert
wieder bilden und so hangeln wir uns fort.
Und wenn wir am Ende des Zahlenstreits entkommen,
an nicht des Strahl zu nennen, bei unserem GN,
beim letzten Grauwert, das wir als Grenzwert haben wollen,
zählen danach, haben wir genug Intervalle bekommen.
Ja, sind wir bei unserer 255 Intervallen,
die wir brauchen und haben wir den Rand gut getroffen.
Und wenn das erfüllt ist, wir sind also erfolgreich angekommen,
dann sagen wir Lösung
Wenn nicht, gucken wir nachficken, welche Weise wir den
Brand verfehlt haben. Sind wir drüber hinausgeschossen? Oder sind wir
davor stehen geblieben? Wenn wir da verstehen geblieben sind,
dann verschieben wir unser Kunull ein bisschen Richtung höhere Werte.
Wenn wir drüber hinausgeschossen sind, verschieben wir das Kunull nach links.
Und das machen wir so lange, bis wir am Ende angekommen sind.
Und das funktioniert erstaunlich gut. Und damit können wir dann
optimale Quantisierungskurven berechnen. Was drinsteckt,
essentiell und wodurch es nur funktioniert, ist,
dass wir tatsächlich annehmen, wir kennen die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Helligkeitsverteilung im Bild.
Und da jetzt mal Denksportfrage in die Runde. Wo kriegen
wir das Ding eigentlich her? Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Verteilung
der Grauwerte im Bild hängt ja eigentlich von der Szene ab,
die wir gerade betrachten.
Was würden Sie machen, um eine solche Wahrscheinlichkeitsdichte zu kriegen?
Was lernt man heutzutage in der Storastikvorlesung
Mhm. Wenn ich so ein Histogramm erstelle.
Ja, das ist es. Genau, das Histogramm.
Wir brauchen irgendeine Schätzung dafür, dass dann die Wahrscheinlichkeitsverdichte ist.
Und wenn das Einzige ist, was für unser Bild haben,
dann schauen wir uns einfach an und zählen einmal im Bild,
wie wahrscheinlich ist jeder Helligkeitswert. Ja, und nehmen das als Ausgangspunkt,
um zu sagen, okay, das ist unsere Dichte,
die wir reinstecken, haben wir eben eine meerische Dichte,
wenn wir hier diese Werte brauchen, die PVGI.
Ja. Beste, was wir kriegen können. Es sei denn,
wir wissen mehr über die Szene,
Wir haben zehn spezifisches Wissen und haben über Jahrhunderte beobachtet,
wie die Helligkeit da so ist und nehmen das, ne?
Okay. Also typische Anwendungen für sowas sind Umkodierung von Bildern präquantisieren von Bildern, ja?
Wenn wir einen Kontrast verbessern wollen, dann wird eigentlich genau das gemacht.
Wir nehmen ein Bild auf mit einer unglaublich guten Intensitätsauflösung.
Also all diese Verfahren sind eigentlich nur dann anwendbar,
wenn sie in ihrer Kamera nicht gleich angestellt haben.
Schieße JPEG mit mittlerer Auflösung,
sodass alle Bilder des Urlaubs auf eine Speicherkarte passen,
sondern wenn sich Sätze durchringen, zu sagen, naja,
ich habe eine gute Kamera investiert.
Ich nehme das Rohr-Bildformat, also direkt vom Sensor ohne Umrechnung
in der Kamera und dann möglichst mit 16-Bit pro Pixel.
Oder 12-Bit pro Pixel, jedenfalls deutlich mehr Bits pro Pixel,
als sie letztendlich am Ende brauchen. Aber nur dann funktioniert
Bildverarbeitung auf den Bildern. Also nehmen wir mal an,
wir haben Unsere Bilder aufgenommen in einem gängigen Rohrformat und haben immerhin vielleicht
zwölf Bits pro Pixel investiert und wollen jetzt letztendlich unsere Bilder dann speichern.
Mit einer verbesserten Kontrast, sodass man Details gut sehen kann,
aber dann nur noch acht Bit, ja.
Und das ist genau der Fallreduktion von Karstrich Bitsbupixeln auf K, kleiner Karstrich.
Denn hat eventuell der Rolkenwerter unseres Bildverarbeitungsprogramms kennt auch genau,
die kennen den in der Kamera, mit denen wir aufgenommen haben,
kann berücksichtigen, wenn die Grauwerte die gemessenen betrachtet werden,
wie ist die Kennenlinie der Kamera, nimmt sie,
arbeitet sie linear oder eher lucarhythmisch.
Und dann können wir loslegen und versuchen, das eben so zu tun,
als wir an unsere zwölf Bit-Pixel tatsächlich Zahlen aus dem reellen Raum,
wie wir es uns eben vorgestellt haben.
Und das soll komprimiert werden auf eine geringere Zahl von Pixeln.
Damit haben wir dann Intervalle. Kontrastveränderung bedeutet zum Beispiel so was,
dass wenn unser Bild im Wesentlichen matschig,
grau in grau ist und der Farbwert schwarz wird, überhaupt nicht genutzt,
dass wir den Helligkeitsbereich strecken und das Ganze dahin bringen,
dass dann das, was vorher grau war, ja,
dass das tatsächlich auf schwarz abgebildet wird.
Gibt bessere Kontraste im Bild. Es ist alles deutlicher zu sehen,
kann aber dazu führen, dass Details verloren gehen,
wenn sie sich das mal anschauen,
vorher waren vielleicht noch ein Hauch von Struktur in den Gesichtern zu erkennen.
Jetzt sind die konstant weiß geworden oder hier auch in diesen T-Shirts,
Schlafanzüge, immer diese Uniformkombinationen sein sollen,
sind auch kaum noch Details zu sehen
Ja, einfach weil die Grauwerte jetzt anders verteilt sind und das,
was vorher hier in dem Bereich feinen Feinen aufgelöst war,
ist hier eben nicht mehr.
Mit veränderten Kennenlinien und Quantisierungen. Oder wir wollen wieder eine Farbe reinbringen.
Die Bilder habe ich mal beim Schnorcheln in Malediven aufgenommen.
Also ganz so schlimm, wie sie hier aussehen.
Es ist nicht, wir müssen immer ein bisschen dunkler
machen.
So eine Beleuchtung
Also das Problem ist, so hat mir bestimmt ein Wassertiefe,
sind überhaupt keine Farben mehr zu erkennen,
aufgrund all der des Streunigtes und so weiter.
Wenn man da unten ist, sieht man,
dass dieser Fisch hier der Zitronenfalterfisch genannt wird,
dass der tatsächlich hier knallleg, gelb ist.
Wenn wir jetzt das Farbspektrum etwas besser nutzen wollen,
kann man jetzt genau im Farbraum das Spielchen durch exerzieren,
was sich eben für 2D gezeigt hat und versuchen,
das immerhin so zu trimmen, dass ein bisschen mehr Farbe hier reinkommt.
Oder man auch machen, indem man einen Vice-Abgleich benutzt und
so, all das arbeitet eigentlich mit diesen Kennlinien.
Ja. Okay. Gehen wir davon aus,
wir haben also unsere Bilder optimal quantisiert, haben mit den Distrogrammen herumgespielt,
uns angeschaut, wie wir die Grauwerte verteilen wollen.
Jetzt müssen wir die Bilder irgendwie auf unserer Platte unterbringen und
mit der will ich mal ganz kurz über die verschiedenen Speicherformate für Bilder nachdenken.
Die Bildmatrizen haben ja einen hohen Speicherbedarf, wenn man tatsächlich
jedes Pixel explizit repräsentiert aber eben auch sehr viel Redundanz.
So typischerweise nimmt man Bilder so oft, dass benachbarte Pixel
etwa ähnliche Helligkeitswerte haben. Und um die Bilder jetzt besser
speichern zu können oder sie auch besser übertragen zu können,
wenn es um Streaming von Bildern geht, braucht man Kompressionstechniken.
Also wenn das Bild unkomprimiert ist, dann ist der Speicherbedarf natürlich
proportional zur Zahl der Pixel und zum Speicherbedarf für den Pappwert eines Pixels.
Und das kann ganz schnell groß werden.
Wenn wir Animationen haben, zusätzlich auch noch proportional zur Länge
der Bildfolge
Ich habe noch ein paar Zeilen durchgerechnet. Wenn wir
sehr kleine Bilder haben, wirklich eigentlich nur bilden.
Briefmarken auf dem Bildschirm und dann noch ein Binärbild. Das heißt,
wir haben unser Ende bei der Quantisierung so gewählt,
dass es nur die Werte schwarz oder weiß gibt und sonst nichts.
Dann können wir solche Masken hier 118 zum Quadrat
ziemlich leicht ablegen und brauchen nicht so sehr viel.
Also bei kleinen Seitenlängen Wird es aber schon beim Multispektralbildern,
haben wir schon einen deutlichen Speicherbedarf.
Zehn Kanäle, 256 Graustufen zum Beispiel. Auch Farbbilder brauchen
deutlich mehr. Zu der Bildverarbeitung war lange Zeit die Tradition,
512 Bilder zum Quadrat, weil das war das,
was so bis Mitte der 90er Jahre überhaupt im Bildschirm möglich waren.
Also größere Bildschirme waren illusorisch. Inzwischen sind Bildschirme so gut,
dass selbst eine Seitenlänge von 1024 nicht für Formatfüllende
Bilder ausreicht
Aber ein Multi-Spektralbild beim Satelliten aufgenommen, mit einer Seitenlänge von 1024,
erfordert schon zehn Megapixel, um das abzulegen. Und das,
was wir typischerweise haben und womit wir unseren Speicher vollmüllen,
sind eher Seitenlängen von 8000. Ja, sind wir bei.
Knapp unter einem Gigabyte pro Bild. Im Komprimiert.
Um es jetzt zu komprimieren, sind verschiedene Techniken beliebt
Das eine ist die Quantelung von Farben, der Farbpalettenraum.
Das ist eine Technik, die eingesetzt wird für PNGs oder GIFs.
Wir geben es einfach ein Menü an Farben voren, die verwendet werden dürfen.
Und können damit dann einfach das Bild beschreiben durch einen Index
in die Farbtabelle und brauchen nicht alle drei Farbwerte anzugeben.
Das spart ungemein. Und wenn man hier diese Repräsentanten eben optimal wählt,
entsprechend des Verfahrens, was sich eben gezeigt hat,
dann kann man es hinkriegen,
dass das Bild immer noch überzeugend aussieht,
dass man in die Farbpalette
klein macht
Wenn man sich vertut und bei der Optimierung eben den Fehlerwert nicht richtig einschätzt,
dann kann es leicht geschehen mit der falschen Farbtabelle,
dass unser Kind so aussieht, als müsste es dringend in Behandlung.
Hier, das sieht nach Herzfehler aus und das nach Gelbsucht.
Also das Optimierungsverfahren soll einem eben helfen,
dass man die Repräsentanten hier, die man aus der vollen Farbtabelle nimmt,
so optimal wählt, dass der Approximationsfehler am pflanzen ist.
Das ist genau das, was bei dieser Palettentechnik geschieht.
Jan? Weil PNG nicht gesagt hat, dass es
verlustfrei ist
Ja, es ist verlustfrei, wenn man vorher schon ein diskretes Bild hat.
Aber wenn man von einem reellwertigen Bild ausgeht, kann es nicht
verlustfrei sein, weil die Werte können sie gar nicht speichern.
Das ist... Ich meine jetzt bei der Kompassion.
Ja, natürlich, die gegeben ein Digitalbild,
dann wird es komprimiert gegenüber dem Stand, den man vorher als Digitalbild hatte.
Aber wenn man dabei die Intensitätsauflösung reduziert, geht es schlichtweg nicht.
Wenn man von 12 Bit auf 8 Bit runtergeht,
irgendwo muss man ja
Sparen, das kann nicht gehen. Die PNG Gift,
die sind alle behaupten von sich, verlustfrei zu sein,
wenn mit einem Digitalbild beginnt und das komprimiert.
Also das, ja, einfach die gegeben, die Bildmatik,
dann wird versucht, die möglichst verlustfrei zu komprimieren. Aber man hat natürlich Verluste,
wenn man bei dem Schritt vom Originalbild, was man hat,
mit sehr hoher Auflösung zu der etwas kleineren Bildmatrix mit kleineren Werten,
Gut, es gibt nur eine Möglichkeit,
wenn man nicht zu viele Farben hat,
dass man sich schlichtweg durch Dyshering darstellt.
Also wenn man überhaupt nur die Werte rot-grün-blau vorgeben will,
dann kann man benachten, kann man die Mischfarben eben dadurch darstellen,
dass man benachbarte Pixel unterschiedlich einfärbt und hofft,
das Auge wird getäuscht und mischt das alles.
Dass dann additive Mischtechnik, die viel im Zeitungsdruck verwendet wurde.
Gut, kommen wir mal zu diesem, ja?
Wenn wir eine kurze Zwischenfrage bringen. Wie funktioniert das
so mit Rawbuildern
Ja komplett komplett verlustfrei liegt. Also auf Technik. Ja
, aber das ist kein Unterschied. Schon das Rohrbild,
was wir kriegen, wenn die Kamera im Rohr fotografiert,
ist immerhin schon mein Digitalbild. Und das heißt,
um das umzurechnen in ein gängiges Bild,
Format muss man vor allem erstmal vom Kamerahersteller,
alle technischen Daten über die Kamera haben,
um zu wissen, das Ganze bedeutet.
Deshalb braucht man für jede Kamera einen eigenen Rohrkernwerte.
Und dann wird tatsächlich bei der hohe Entwicklung,
je nachdem, welches Programm man verwendet, geguckt,
welche Verzerrungen kommen durch die Linse.
Und die Bilder umgerechnet entweder in ein Tiff.
Wir sprechen gleich nochmal über die anderen möglichsten Bildformate.
Tiff wäre auch verlustfrei, aber es wird zumindest die Kamerakennenlinie reingerechnet,
wenn man das Tiff erstellt. Und bei der LZW-Kompression,
die uns Tiff dann noch angehängt wird für die typische Tiff-Kompression genommen.
Also eigentlich ist das Rohr-Format genau das Ausgehen von der Bildmatrix,
wie wir es eben besprochen haben.
Wir haben qualitisierte Werte, die auf dem Chip
genommen werden,
der Chip
Macht das, dass er uns die Werte abtastet,
entsprechend Vorgabe in der Kamera und das auf dieses Intervall auslegt.
Und man sollte eben,
solange man überhaupt kein weiteres Programm verwendet in der Kamera,
sondern nur das Rohr sieht und weitergibt, versuchen,
dass man das schon bei der Aufnahme möglichst gut belichtet und den Helligkeitsbereich gut ausschöpft und so weiter.
Dass du uns mal kurz auf die anderen Kompressionsverfahren eingehen,
dann kommen wir da vielleicht nochmal hin zurückgehen.
Also die externen Kompressionsverfahren reversibel, nicht reversibel.
Das haben wir ja eben schon angesprochen bei der Frage,
reversibel heißt das, ich das,
was ich komprimiert habe, eindeutig wieder zurückkriege.
Und bei nicht reversibel kriege ich hoffentlich sowas ähnliches.
Die Formate, die gängig sind, ist Kameraspezifische Rohr,
haben wir schon angesprochen. Das nächstbessere,
was man kriegen kann, was nicht Kameraspezifisch ist,
sondern von vielen Bildverarbeitungsprogrammen
geöffnet werden kann,
ist das Schiff
Tech-Image-File formelt. Ja, und das wird für wissenschaftliche Bilddaten genommen,
wo man bei der Aufnahme möglichst viel Protokoll mit ins Bild
schreiben muss, wie das Bild entstanden ist.
Damit reproduzierbar ist, wie das Bild zustande gekommen ist.
Ja, da wird sie das Wort Check eben.
Das Format lässt zu, dass wir ziemlich viel da reinschreiben können.
Und ansonsten versucht es, die Bildmatrix eins zu eins wiederzugeben,
mit verlustarme Kompressionen, wenn der LZW-Kompression mit dran denkt.
Auch das Giftformat behauptet von sich verlustfrei zu sein
Ist es aber natürlich nicht, weil es sich an irgendeiner Stelle
entscheiden muss, wie groß ist die Farbpalette macht. Ja,
wenn die Farbpalette nun mal kleiner ist als die Zahl der Bitze,
das Bild ursprünglich hatte, kann es nicht verlustfrei sein,
weil die, und wenn in der endlichen Zahl an Palettenwerten haben.
Deshalb, es ist eben für Grafiks gedacht, nicht für Kamerabilder,
sondern für Grafiken, die eben mit Zeichenstiften erzeugt wurden.
Denn das PNG-Format, das ist ja eigentlich als Konkurrenz zu GIF
entstanden, weil GIF immer wieder mit Urheberrechten versehen war.
Und PNG ist schlichtweg das entsprechende freie Format. Und was
eigentlich auch besser ist, das hat in gleicher Weise,
wie es GIF, die Paillettentechnik und verlustfreie Kompression immer gegeben.
Es kommen nicht so viele Werte im Bild vor,
dass die Paillette, die vorgesehen ist, ausreichen kann,
um alle Farben darzustellen.
Denn das DPEG, es ist nur das beliebteste,
nicht reversible
Nicht verlustfreie Format. Und Jeepback ist wirklich für Fotos erfunden worden.
Also TÜV ist für Fotos und für Grafiken, GIF und PNG
zielt vor allem auf synthetisch erzeugte Bilder, Grafiken aufgenommen.
Grafiken erstellt mit einem Zeichenprogramm. Jeepback zielt auf Bilder,
die aufgenommen wurden, mit einer Kamera,
von einem Sensor kommen und man möchte die unendlich vielen Werte,
die vorkommen können, so komprimieren,
dass man keine Palette vorgeben muss, sondern macht es eben,
indem man das Bild Durch eine Reihenentwicklung darstellt und dadurch komprimiert,
dass man nur die Koeffizienten dieser Reihenentwicklung speichert.
Und das macht es dann einfach, dass man sagt,
wie hoch soll der Verlust sein,
wenn man bei der Reihenentwicklung einfach das Restlied der Reihe abschätzt und sagt,
okay, so viel habe ich jetzt weggeschmissen,
wenn die nur bis zu dem mit dem Koeffizienten gehe.
Wenn wir gefragt werden, bei der JPEG kommt passieren,
welchen Qualitätsfaktor, wenn wir den Buch setzen bis auf zwölf,
dann sagen wir,
du darfst gar nichts wegschmeißen,
entwickle die Reihe bis unendlich
Und wenn wir auf 8 gehen oder so,
dann wird ein merkliches Restbild weggeschmissen.
Ja, und wir kriegen dann eben die Seepad-Artefakte da,
wo die Reihe nicht mehr ganz so hinkommt.
Gut, dann haben wir noch das XPM-Format.
Das für eins, was ich richtig geliebt habe,
weil damit konnte man seine Bilder im Aski-Editor schreiben.
X-Pixe-Mac-Icons war für eigens gedacht, ne? Schade,
das Bild habe ich jetzt gar nicht mehr drin.
Also es war schlichtweg das XPM-Format war ein Stück C-Code,
wo ich eine Matrix deklariert wurde,
die im C-Programm das Bild erzeugt.
So hat man
sein Bild geschrieben
Konnte damit von Hand im IMAX-Aditor oder sonst wie eben Bildverarbeitung machen.
Gut. Okay. Jetzt, also der große Sprung in den Frequenzraum,
können ja schon mal reinschauen, wofür wir ihn brauchen.
Und das ist die Mathematik, denn das nächste Mal etwas gründlicher machen.
Aber sie kann dann eine Chance, sich anzuschauen,
welchen Teil der Mathematik sie oft polieren müssen.
Also die Idee ist,
dass wir den Frequenzraum jetzt als erstes mal einführen,
um den Schritt der Abtastung des Bildes mathematisch zu formalisieren.
Die eben die Frage zu beantworten, wie viel Brauche ich denn,
damit ich das Bild gut erkennen kann?
Und die haben wir jetzt eine ziemlich lange Pixel-Seitenlänge genommen,
128 der Originalpixel. Das reicht noch nicht ganz 16.
So, ab jetzt könnte man es schon erkennen.
Ist ein bisschen Scannen von einem Zeitschriftenartikel oder Zeitschriftenheft,
das ich wirklich geliebt habe, zu lesen.
Das ist von zuvor ungefähr 15 Jahren rausgekommen, hier im iTriple-E-Computer.
Und der war der schöne Artikel No Silver Bullet,
das war von Fred Brooks
eine Rückbesinnung auf die
Geschichte der Softwareentwicklung und hat man nach so und so vielen Jahren
Software-Engineering-Studium endlich Land in Sicht, um das vernünftig zu machen.
Die mit der Silberkugel ist gemeint,
wir haben in der Softwaretechnik zu dem Zeitpunkt immer noch nichts in der Hand gehabt,
um mit den Werwölfen, die einem diese Bugs in den Programmen,
mit schlechter Softwaretechnik dazufügen, erlegen zu können.
Avoid and Corras in the Software-Engineering process. Das Heft ist
immer noch lesenswert und deshalb lasse ich es hier drin.
Ich glaube, wir sind immer noch nicht so recht weitergekommen.
Da ist noch viel
zu tun
Gut. Ja, was ist das Problem bei der optimalen Rasterung?
Wenn wir uns vorstellen, hier, dieses Gezückezacke hier,
das sei das Bildsignal, was wir haben. Ja,
und wir haben uns jetzt entschieden, so wie wir vorhin vorgestellt,
wir wollen das Bild abtasten und sagen, na gut,
versuchen wir doch mal einfach nur an dieser festen Zahl von Stellen unsere Pixel zu legen.
Wie mache ich das, damit diese endliche Zahl von Werten ausreicht,
die ich dann bekomme, um den genauen Verlauf der Kurve,
auch zwischen den Stellen, ich jetzt nicht abgetastet habe.
Ich kann ja dazwischendurch überall abtasten. Da habe ich unendlich viele Pixel.
Geht nicht. Ich kann mir nur eine endliche Zahl leisten
für ein Digitalbild. Aber ich möchte es so machen,
dass die wenigen Pixel, die ich hier abgetastet habe,
mir den Verlauf der Kurve exakt wiedergeben und sich daraus rekonstruieren kann,
inklusive, dass ich weiß, hier ging es bis hier runter,
auch wenn ich nur diese beiden Pixel gesehen habe.
Das ist die Herausforderung des Abtastens. Erstmal die Frage,
ja, meinen Sie, dass es überhaupt gehen kann?
Ein Bild mit endlichen Werten so abtasten,
dass wir Wirklich den genauen Verlauf rekonstruieren können,
auch für die Stellen, an denen wir keine Abtastwerte genommen haben.
Also zumindestens sehe ich sehr viel Skepsis. Die überraschende Antwort
ist, das geht. Mit gewissen Einschränkungen und eben unter
gewissen Beaussetzungen. Und das war die Großtat von Shannon,
das bewiesen zu haben im Thumblings-Theorie, wenn wir geschickt abtasten, können wir wirklich.
Auch das hier wieder rekonstruieren und das, das heißt,
das analoge Bild exakt rekonstruieren aus einer endlichen Anzahl von Abtaststellen.
Man muss es nur richtig machen
Das funktioniert ja auch nicht mal,
wenn ich das Bild völlig ändere oder sowas,
dann kann man ja nochmal nachablassen, sondern man merkt irgendwie,
an der Stelle müsste man genauer werden.
Ja, also wir müssen vorher wissen, wie die Aufnahmebedingungen sind.
Es ist festlegen, die festlegen, richtig abtesten und dann
wird es gehen. Ja, das ist ja auch schon,
dass man wieder, warum das eigentlich ist.
Also wir brauchen eine gewisse Annahme über die Szene und die werden wir
jetzt formal fassen und dann die Auflösung das nächste Mal besprechen.
Also zunächst mal ist plausibel, also je stärker
die Funktion hier variiert
Desto mehr müssen wir abpassen. Wir müssen auf jeden Fall
einen Mars dafür haben, wie stark die Funktion variiert.
Und davon abhängig machen, mit wie viel Abteilsstellen wir loslegen,
um das Bild richtig abzutasten.
Also die Kurve, die wir hier sehen,
habe ich treu und brav nach den Vorgaben von Shannon abgetastet.
Und diese Abdarstellen sind also die,
die mir die Theorie gesagt hat, die ich nehmen muss.
Und daraus rekursiert rekonstruiert, habe ich den Verlauf der Kurve
und so war sie tatsächlich in Realitär gewesen.
Man sieht, mein Abtasten hat die wesentlichen Änderungen hier getroffen
und das hat ausgereicht, um diese Beule zu rekonstruieren.
Und diese Beule, die tatsächlich im Original vorhanden waren.
Die Frage ist, woran es liegt.
Also wie viele Abtastzellenstellen sind für eine optimale Abtastung nötig?
Antwort ist eben das Something Syrium von Shannon.
Das basiert auf einer Zerlegung der Bildfunktion in Sinus und Cosinus-Bestandteile.
Und das freuen wir uns jetzt mal zu Gemüte führen.
Something Theory bekannt aus den Hardware-Vorlesungen. Nee. War früher
immer drin. Na gut. Also, umso besser,
wenn es nicht drin war, dann ist es jetzt hier
nicht eine Wiederholung, sondern haben echt was Neues.
Also, wir nehmen mal an, wir haben eine periodische Funktion.
Ja, das ist überhaupt die Annahme, die dahinter steckt.
Das Ganze gilt für periodische Funktionen.
Und was heißt periodisch? Das heißt, wenn GVT,
also wir trachten jetzt hier einfach mal die Zeitachse,
Das Tee sei jetzt die Zeit. Wenn ihr eine Periode habt,
dann gibt es einen Wert Groß-Tee, eben die Periode,
sodass wir von Tee gleich, geh von Tee plus Groß-Tee ist.
Und hier haben wir mal eine solche periodische Funktion aufgetragen und hier ist das Tee gleich 2P.
Also dieser Bereich hier wiederholt sich immer wieder und wieder ist zum Ermüden.
Und das stellen wir jetzt da als reine Entwicklung von den Sinusfunktionen.
Wenn wir uns so einen typischen Sinus anschauen, dann sind die Parameter,
die wir so sehen, in ihrer Wirkung bekannt.
Also zum einen wir einen Skalierungsfaktor. D, das ist die Amplitude,
die uns eben sagt, wie stark schwingt das Ding.
Und snormiert ist der Sinus auf eins,
aber wenn die Funktion jetzt eben stärker schwingt,
dann haben wir den Faktor größer als eins davor.
Und dann haben wir hier den Winkel,
den wir nehmen als Basis und den Winkel stellt man immer,
verlegt uns zwei Komponenten da.
Nämlich einmal in die Phasenlage, wo bezogen auf die Nullpunkte im Zahlenstrahl
beginnt der Sinus zu schwingen. Und dieses Gandal hier,
wenn es null ist, dann beginnt die Schwingung im Ursprung,
wenn es größer ist,
ein bisschen weiter
Links verschoben. So, und dann haben wir hier ein Omega,
das ist die Kreisfrequenz, überstimmt, wie schnell das Ding schwingt.
Und da haben wir noch ein D0, wenn das Ganze
nach oben oder unten gegenüber der Y gleich null Achse verschoben ist.
Also mit diesen Parametern können wir sagen, wie so ein Sinus schwingt.
Und wir können jetzt eine periodische Funktion, simpel dadurch darstellen,
dass wir sie als Reiheentwicklung von solchen Sinustermen einfach hier eben Amplitudentherme und sagen,
wie statt mische ich diesen speziellen Sinus dabei und wie viel
muss er verschoben sein und wie schnell muss er schwingen.
Und das Ganze hier noch mit dem Additiven der Null versehen,
um es nach oben oder unten dazu zu tun.
Also die Hilfe dieser Art, können wir jede periodische Funktion
darstellen, ist die Behauptung. Jetzt ein paar Mutationsvereinfachungen,
die werden im Moment vielleicht ein bisschen ermüdend sein,
aber machen uns sind ja das Leben leichter.
Also wir haben ja gesagt, das G ist Periodisch.
Und deshalb muss dieser periodische Faktor, Amagath Carpe, hier,
das Ding hier, damit das Ganze überperiodisch sein kann,
muss das ein Vielfaches am Kreis der Periode der Funktion sein.
Das muss so ausgelegt sein, dieser Thermen-Omega-K,
der eben dafür führt, dass alle Komponenten sich in bestimmter Periode wiederholen.
Und deshalb können wir das so umschreiben, dass wir sagen,
dass Omega-K, Muss durch die Grundfrequenz ausgedrückt werden.
Wir haben einmal eine Grundfrequenz, über die ganze Breite,
in die der Sino schwingt, zwei P durch C.,
kriegen wir eine Schwingung und alle weiteren müssen Vielfache davon sein
und da kommt jetzt eben das K hier herein.
Dieser Verknöcker, der sagt,
und wir tun noch weitere Schwingungen rein,
die aber alle immer in ihrer vollen Länge in dieses Intervalltee reinpassen müssen.
Und damit können wir unser Bier von Tir jetzt ein bisschen anders schreiben,
indem wir statt des Omekakas hier eben zwei Picard reinsetzen
Ansonsten sieht es gleich aus. So, und jetzt sehen wir,
dass wir hier drin eine Summe, zwei Werte stehen haben.
Ja, und das Ganze drückt einen Winkel aus und wir
haben davon den Sinus. Und mit einem Sinas Winkelsummensatz können wir
diesen Ausdruck Gamerkap plus den Thermen zerlegen in zwei Teile.
Nämlich einmal einen Teil, der den Sinus Alpha Macosinus Better
ist und einmal einen Cosinus, mal Sinus Therm.
Und damit haben wir jetzt
eine reine Darstellung für unsere
Die Funktionen, die sowohl Cosinistherme enthält, als auch Sinastherme.
Können wir uns mal kurz überlegen, was die Rolle sein kann,
wenn wir irgendeine Funktion damit approximieren wollen.
Die Kurvenuss-Funktion erinnern Sie sich, die hat ihr Maximum direkt
bei null und ist symmetrisch zur Y-Achse. Das heißt,
diese Therme hier in der reinen Entwicklung, die werden später,
wenn wir Bildfunktionen betrachten, werden die Kursinustherme die Teile enthalten,
die eben spiegelbildlich, symmetrisch zu Öpsylan-Achse sind.
Und diese Therme hier werden Ich bin unsymmetrischen Teil beschreiben und
vor allem die Phasenlage unseres Bildes. Dieser Sinus-Term hier.
Also jetzt haben wir hier zwei Sätze von Koeffizienten bekommen,
AK und BK, die jeweils diese Winkelsummen hier beschreiben.
Okay. Wir haben jetzt eine kontinuierliche Funktion haben,
lassen wir uns noch eine kleine Vereinfachung,
damit man nicht so viel schreiben muss, steckt sonst in Land,
steckt nicht viel dahinter.
Ich weiß nicht, ob Ihnen Physikvorlesungen und so schon die Eulerformel begegnet ist.
Wir können Cosinus und Sinus sehr schön ausdrücken über Exponentialfunktionen.
Mit Event-Exponentialfunktionen nehmen, mit imaginären Indizes. Also der Cosinus X
lässt sich schreiben als Eulerzahl hoch i-X plus Eulerzahl hoch minus i-X und der Sinus.
Das Ganze eins durch zwei i, mal i-hoch minus,
weil i-X minus e hoch minus e-X. Also zwei Arten,
wie wir durch Exponentialfunktionen Cosinus und Sinus ausdrücken können.
Und Damit können wir diese Reihe dann eben statt durch Sinus und Cosinus
ausdrücken durch die Eulezahl hier. Nehmen wir diese Ersetzungen vornehmen,
die kriegen wir hier einen Satz AKBK-Koeffizienten und zwei Cosinus-Therme hier oben.
Quatsch, Exponentialfunktionstherme, die jetzt hier imaginär zahlen im Exponenten haben.
War auch drauf, die Periode auf. Und Das sieht jetzt
ein bisschen mühsam aus. Wir rechnen jetzt tatsächlich mal aus,
welche Werte denn nun die AKBK haben sollten.
Und fassen das zu einem gemeinsamen koeffizienten zusammen. Ja,
wir haben jetzt ja hier diese unsymmetrischen Therme vorstehen, aka-ibeka.
Und taufen diesen ganzen Wust, der uns das Leben hier
schwer macht, jetzt einfach mal CK und 10-K.
Also CK wäre das, das wird Minusk.
Und diese beiden Therme, die sehen jetzt
sehr schön symmetrisch aus
Und die fassen wir jetzt zusammen in einer Summe,
in einer Reihe, die anders läuft.
Also bisher haben wir begonnen bei Karl gleich eins bis unendlich oft zu summieren.
Und jetzt erweitern wir diese Reihe einfach, in denen wir bei minus unendlich beginnen.
Und wenn wir das so schreiben, dann deckt der Minus,
der Teil von minus unendlich bis minus eins, sehr nett,
diese Koeffizienten ab und der Teil von eins bis plus unendlich,
dann diese Koeffizienten
Und wir kriegen auch noch kostenlos ein 10-0
mit für den Additiventern mir außen vor.
Also nach all diesen Umformungen sieht unsere Foyer-Reihe einer periodischen Funktion so aus,
dass eine Summe von minus unendlich bis plus unendlich über diesen CEK-Koffizienten mit E-Hoch-I-2-P-K-T durch Tee.
Das ist eine periodische Schwingung mit der Periode Tee.
Und mit der wollen wir jetzt losrechnen. Also Behauptung ist
, werde ich nicht beweisen, die glaube ich einfach.
Für jede Funktion mit einer Periode Tee und der Eigenschaft,
dass das Integral über den Betrag der Funktion begrenzt ist,
gibt es diese Reihenentwicklung.
Das funktioniert also nicht, wenn wir da Funktionen haben,
die nicht beschränkt sind. Für Bildfunktionen hat mir die Beschränktheit angenommen.
Gleich, als wir zum ersten Mal Bildfunktionen gesprochen haben.
Also wir haben jetzt praktisch alle Forderungen, die wir
an Bildfunktionen gestellt haben, schon gebraucht, erstens Beschränktheit.
Dass sie nicht negativ werden kann und so weiter.
Und jetzt auf der nächsten Folie haben wir jetzt mal einfach in
Sinus Cosios Integralen ausgedrückt, was hinter diesen Koeffizienten jetzt steckt.
Die können wir erst mal vergessen. Die spiegeln im Wesentlichen
Funktionen wieder. Gucken wir uns das mal an für eine Funktion, die Rechteckfunktionen zum Beispiel.
Die können wir entwickeln nach dieser Formel mit dem Thermen für AK gleich null,
nur die B-Karterme werden gebraucht als eins durch eins plus 2K
und letztendlich kommt da eine Reihe heraus von K gleich null bis unendlich,
über eins durch eins, zwei K, Sinus 2 Cap plus 1 mal X.
Wir können an dem Beispiel dieser Funktion schon mal sehen,
Ja, später uns die Folienbetrachtung der Bilder sagen wird über die Art der Bildsignale.
Die möchte die Therme in der Reihe hier,
bis der wir hier so ein perfektes Rechtselb bekommen,
beginnen zunächst mal damit, dass wir ein,
hier einen Berg in der Funktion haben,
der nach unten geht, einen, der nach oben geht,
die versuchen überhaupt Grob dieses Gewackel der Rechtecke nachzuzeichnen.
Und jeder weitere Thermen, der dazu kommt,
dient dazu, dass wir hier
diese Lücken auffüllen
Jetzt die nächste Periode, wir hatten ja gesagt,
dieser Faktor K. sorgt dafür,
dass wir ganz zahlige Schwingungen jeweils in den Bereichen haben,
der führt immer diesen einen kleinen Werk dazu,
hier etwas, was von der Mitte abzieht,
dann wieder einen, der dazukommt und so weiter.
Und all diese Komponenten, die dazukommen, schneiden sich in den Stellen,
wo wir hier die Wiederholung in der Periode haben.
Wir sehen aber auch, um tatsächlich ein perfektes Rechteck rauszubekommen,
müssen wir die Reihe bis unendlich entwickeln
Solange wir das nicht tun, haben wir hier immer ein Geschlinge.
Und ganz typische Bildverarbeitungsfehler, die man sieht,
also wenn man sieht, mit dem Bild ist irgendwas passiert.
Und man sieht diese Muster, die solche Wellenbewältigungen auf Flächen,
die eigentlichen konstanten Graubert haben sollen, dann weiß man sofort,
dass da irgendetwas mit dem Bild passiert ist,
was man im Frequenzraum gut erklären kann, dass irgendwas dazu geführt hat,
dass das Bild gefiltert wurde und hohe Frequenzen verschwunden sind.
Das, was hier im Wesentlichen für die gesamte Energie
im Bild sorgt, dafür sorgt,
dass schwarze Bereiche schwarz und weiße
weiß werden
Das sind die niedrigen Therme der Reihenentwicklung. Und das,
was dafür sorgt, dass die Kanten hier steil werden,
dass wir stelle, steile, kontrastreiche Übergänge von Hell nach Dunkel kriegen,
das sind die hohen Thermen in der Reihenentwicklung.
Also wenn ein Bild ausgewaschen ist, wir haben die dunklen Flächen,
sind nicht dunkel, die Hellen sind Michael,
dann liegt es daran, dass im Frequenzraum was passiert ist,
was die langperiodischen Schwingungen aus der Reihenentwicklung hier weggenommen hat.
Und wenn das Bild unscharf ist, dann haben wir ein Clipping,
Diese schnell schwingenden Frequenzteile rausgenommen hat und das Bild kann eben keine steilen Kanten kriegen.
Das sind ganz typische Fehler und die sieht man sofort,
man kann sich vorstellen, was ist im Frequenzraum bedeutet.
Will nicht zurück. Will nicht normal. Ja,
na gut, dann müssen wir die jetzt mal zum schwingen.
Bring die Dreiecksfunktion. Also was wir hier unten in dem Filmchen sehen,
ist die des Addieren der verschiedenen Therme. Was auffallen sollte,
ist, dass solange der nur die langperiodischen Komponenten haben,
dass die Kanten nicht steil sind, nicht gerade sind,
dass keine perfekten Teile da sind und die höheren Therme führen dazu,
dass der Anstieg steiler wird.
Bei der Rechteckfunktion dauert es sehr lange,
bis wir überhaupt einen halbwegs senkrechten Bereich bekommen haben,
bei der Dreiecksfunktion, die konvergiert schneller zu dem Bereich,
wo wir tatsächlich sehen, schon nach drei, vier Thermen,
sie als Dreiecksfunktion erkennbar, einfach deshalb,
weil die nicht senkrecht nach oben geht, sondern so schräg liegt.
Und für eben nicht senkrechte Kanten von 0 auf 100,
da reichen wenige Therme der Reihenentwicklung. Sieht man an Jeve-Pack-Buildern gut,
also J-Pack-Builder, die sich gut entwickeln lassen,
sind genau die, wo uns die Foyer-Reihe sagt,
ja, die ersten drei Therme reichen,
den Rest kannst du vergessen.
Ich mache hier für heute immer Schluss.
Danke für die Aufmerksamkeit