Ton fehlt noch.
Da? Ach so
Ich bin auch. Ich zeige es wegen des Basketballnetzes.
Achtet mal auf das Netz
Tschüss, tschüss, tschüss, tschüss, tschüss,
tschüss, tschüss, tschüss, tschüss, tschüss,
tschüss, tschüss, tschüss, tschüss, tschüss, tschüss,
tschüss, tschüss, tschüss, tschüss, tschüss, tschüss, tschüss, tschüss, tschüss, tsch, tschüss, tschüs, tsch, tsch, tsch, Die Bitte?
Ich habe gerne noch Filme gemacht, die South Park Figuren. Ja,
also das war seine Wiederholungstat, nachdem wir im ersten Teil
Stipt Kenny gemacht hat, um den Schein zu kriegen,
hat er das irgendwie einfach nochmal so als Einwertteam mitgemacht.
Also wir lieben uns wirklich Lust hat,
man darf hier so oft mitmachen, wie man will.
Ja, wir waren bei der Frage angekommen, wie modellieren
wir Texturen? Und ich hatte schon versucht zu motivieren,
dass Texturen für die Szene wirklich wichtig sind.
Also wir müssen in der Lage sein,
Oberflächen unregelmäßig zu strukturieren, am tiefen Eindruck zu bekommen,
um die Materialart in der Interaktion mit dem Licht deutlich zu machen,
dass Leder wie Leder aussieht und Metall wie Metall.
Ja, und ein Weg dahin eben für natürliche Materialien
wie Blätter, Gras, Landschaft sind Fraktale.
Da haben wir das letzte Mal schon angefangen,
mit diskreten Praktalen, den Teil möchte ich jetzt nicht wiederholen
Vielleicht an der Stelle einsteigen, wo wir das erste Fraktal konstruiert hätten.
Ich erinnere uns an das letzte Woche erinnern. Wir hatten gesehen,
dass der Weg für diskrete Fraktale so beginnt,
dass wir ein Grundelement nehmen, eben Stück gerade.
Und ein Iterator haben, der das ersetzt, in jedem Zug immer wieder. Und haben gesehen,
das kann dazu führen, wenn wir das Imphinitum wiederholen,
dass wir auf diese Weise kurben, kochen mit beliebigiger,
länger erzeugen können und so etwas im Raum der Geometrie dieser Linien bestimmte Begriffe keinen Sinn mehr machen,
wie eben Länge der Kurve, ja, festen,
auffällig mit solchen Generatoren erzeugten Figuren, ist oft,
dass sie eine Selbstähnlichkeit haben.
Also wenn wir reinzoomen, immer wieder sehen wir eine ähnliche Figur.
Ergibt sie aus der Generatoreigenschaft. In der Iterationsschritten später
weiter unten sehen wir immer wieder unseren kleinen Generator.
Das Merkwürdige ist, die Kurven sind überall stetig,
weil wir sie ja bewusst so zusammenfügen.
Also es gibt hier
keine Lücken
Aber wir können nirgendwo Tangenten feststellen, die sind nirgendwo differenzierbar.
Und zwischen zwei beliebigen Längen haben wir eben unendlich eine unendliche Länge.
Gut. Okay, da hatten wir oft gehört, das letzte Mal.
Heute sogar Methoden dann. Ich hatte der anderen Gruppe
schon gezeigt, wie wir mit Garageband Töne eingeben können.
Also der Soundtrack ist schlichtweg ein medifiling
Garageband eingegeben
Ja, noch nicht sehr aufregend. Da können wir auch
noch genauere Sachen machen. Diese Kochkurven gibt es in
vielen Ausprägungen, genauso lüpflich ist die quadratische.
Wenn wir einen Vierer-Iterator haben und dann immer jedes,
in jedem Iterationsstück ein Stück gerade ersetzen durch ein solche zackige Linie.
Dann können wir eben sowas wie Spitzen
mit produzieren
Und wir können es auch in 2D, 3D, 4D machen.
Und das ist da, wo der Bereich,
wo es wirklich eingesetzt in der Computergrafik zu modellieren.
Ein Beispiel, der hat Surpinski-Teppich, der eignet sich
sehr schön, wenn man den Generator noch rangumerisiert.
Also der zufällig die Stellen auswählt, wo man in jedem
Iterationsschritt hier ein blaues Quadrat durch eins mit Loch ersetzt.
Wenn man das statistisch leicht verschickt, entstehen auf diese Weise
sehr natürliche Oberflächen. Und das ist ein ganz typischer faktaler
Konstruktor, um sowas wie Gesteinsschichten oder so
zu machen
Ich meine, dasselbe im 3D macht,
dann würde man einen Würfel zerlegen, indem man immer drittelt.
Und dann in jedem Schritt jeden, der Teilwürfel,
die wir hier in der Fläche haben,
durch einen ersetzt, der wieder genauso viel Teilwürfel hatte,
wie man es im Schritt davor hatte.
Das ist dann der länger Schwamm. Auch mal einen IVC-Beitrag
von einem Team, dass sie den Rechenaufwand deutlich unterschätzt hatte
Das ist ganz dunkel. Ja. Also das sollte eigentlich
nur der Vorspann zum Film werden.
Fürs Projekt, den sie hatten.
Gehst du
nur hergebracht
Wow. Okay, wir, wie gesagt,
es sollte eigentlich, jetzt solltet ihr eigentlich filmen,
als folgender bei Semester zu Ende,
der Rechenaufwand,
wenn man in diese Baumrekursion mit den vielen Flächen einsteigt und
das ungeschickt macht im Popfre,
der bringt den Rechner zum Explodieren
Das ist, also das wird sich einen sehr geschickten Algorithmus überlegen, um das hinzukriegen.
Als ich zum allerersten Mal versucht habe, den Mengerschwamm zu motivieren,
hat die auch noch zusätzlich intransparent gemacht, damit man reingucken kann.
Also das hat drei Monate gedauert. Nee, den hatten wir
schon, gut. Den können wir auch mal wegmachen.
Okay. Ja, weshalb spricht man im Zusammenhang von Fraktalen
, von der Dimension. Ich möchte ganz kurz motivieren,
den man zum Dimensionsbegriff allgemein kommt und was die Dimensionen bei Objekten sein kann.
Aber wir hatten, als es um Visualisieren von höheren Dimensionen
schon mal ganz kurz über die Dimensionen im alklidischen Raum gesprochen.
Wir erinnern uns, Punkt, können wir sagen, hat eine Dimension Null.
Und wenn wir einen endimensionales Objekt senkrecht zu allen Dimensionen,
Achsen verschieben, also senkrecht zu dem Vektor Dreibein, Vierbein,
Sechsbein, was den Raum aufspannt, senkrecht zu allen verschieben,
kriegen eine neue Dimension.
Also durch Transferation eines Punktes kriegen wir erstmal
ein eindimensionales Objekt gerade
Dann senkrecht dazu, kriegen wir eine Rechtecke,
wenn wir die gerade verschieben und das Rechteck,
dann kriegen wir einen Kubus und statt verlassen uns die Dimensionen,
die wir so kennen, eigentlich schon, ja.
Für vierdimensionales Objekt müssen wir uns eben vorstellen,
wie wir unseren Würfel nehmen und in Senkrecht zu allen seinen Rechnungen
Richtungen verschieben und dann sind wir bei M4-dimensionalen Würfeln und dessen Seitenflächen
sind dann eben alle jeweils solche Würfe,
sind die Seitenflächen des 4D-Würfels.
Wenn man hier reinschaut und den animiert und dreht,
dann sieht man auch,
dass jede Fläche als in unserem Raum
tatsächlich dann als Würfel
zu sehen ist
So, die Hausdorfdimension wurde jetzt eingeführt,
um Dimensionen in gebrochen dimensionalen Räumen beschreiben zu können.
Also wenn wir weder zwei noch dreidimensional sind,
sondern irgendwo dazwischen, sind wir einen m-dimensionalen Raum haben,
dann können wir den Dimensionsbegriff uns so vorstellen,
dass wir das basierend auf der Überdeckungsmenge beschreiben.
Wir stellen uns Elemente der niedrigeren Dimensionen vor und
der um eins niedrigeren und überdecken damit die Fläche.
Und wenn wir uns dann anschauen,
wir sind jetzt bei Dimension 2 und kennst du Dimension 3?
Wie wächst die Zahl der Einheitskugeln, die wir brauchen,
um die Fläche zu überdecken? Wenn sie ganz zahlig wächst,
dann sind wir in unserem klitschen Raum mit seinen Dimensionen, die wir sie kennen.
Wenn sie aber nicht ganz zahlig wächst, die Menge der Einheitskugeln,
mit denen wir das Objekt im Raum drunter rüber überdecken können,
dann haben wir die gebrochene Dimension.
Also wir haben eine Menge im M-dimensionalen Raum und haben da Ende von Äpzilan.
Äpzilan ist ein Skalierungsfaktor, mit dem wir die Größe der Kugeln,
demen wir die Fläche abdecken wollen, beschreiben.
Ich stelle es mir immer als eins vor für Einheitskugeln.
Durchmesser-Äpzilan. Wir überdecken unsere Menge X. Und dann hat dieses X
eben die Hausdorf-Dimension D. Wenn jetzt die Zahl der Kugeln,
die wir brauchen, in der bestimmten Weise variiert,
wenn wir die Länge anders skalieren.
Also, Die haben die Dimension, D,
wenn die Zahl der Kugeln proportional ist, so länger hoch minus D.
So, und diesen Ausdruck, der die Dimension definiert,
den formen wir jetzt einfach mal um,
um tatsächlich die Dimensionen ausrechnen zu können.
Das kann man bei Feldern nachlesen. Also das Proportionalitätszeichen ersetzen
wir mal einfach erst mal durch ein Proportionalitätsfaktor.
Ja, und das sagt dasselbe. Und jetzt wollen wir
die Dimension D ausrechnen. Also logaritieren wir das Ganze.
Und ja, wenn wir einen Logarithmus davon nehmen,
kriegen wir eben diese Faktoren hier
In den Ländern, um das Minus loszuwerden,
müssen wir durch Lugarithmus von minus epsilon teilen.
Und wir sehen dann, dass die Dimension proportional ist,
zum Lugarithmus unserer Skalierungslänge, minus Lugarithmus der Konstante.
Für das C wählen wir uns irgendetwas aus,
was bequem ist, um es auszurechnen.
Und dann bleiben wir eben einfach nur bei dem,
wenn wir das Ziel gleich eins wählen,
haben wir ein einfaches Verhältnis der Lugarithmen.
Und jetzt können wir mal die Formel überprüfen,
erstmal den Dimensionen,
die wir schon kennen und gewohnt sind
Einer Graden. Wenn wir als Skalierung hier einen Halt nehmen,
also wir halbieren sie in jedem Schritt, wenn Äpzilon eineinhalb,
dann haben wir eben um den ganzen Raum zu überdecken,
ein N von zwei.
Und wenn wir da jetzt einen zäh wählen,
dass ein Logarithmus von Null hat, dann ist das Rechnen einfacher.
Also wir nehmen einen Zeh von eins. Ihr bleibt hier einfach
ein Verhältnis von Log-N von et durch minus Log von Äpzilon.
Äpzilon ist
Jetzt müssen wir uns überlegen, welchen Lugarithmus wir nehmen.
Wir haben netterweise im Zähler, nennen er denselben,
Logarhythmus stehen. Also können wir uns fürs Lucarith mieren,
die Basis aussuchen, bei der es am einfachsten ist.
Und wenn wir es hier metallbieren, zu tun haben,
würde ich den Zweierlugarithmus vorschlagen. Logarhythmus, du alles. Okay,
und dann kommen wir hier einfach auf eine Dimension von eins,
weil eben der Lugarithmus von 0,5, ein Zweierlugarithmus minus zwei ist.
Und landen damit bei einer Dimension von eins
Oder hier beim Quadrat dasselbe Spielchen nochmal,
dann ist es mit einem Zweier-Luberhythmus noch einfacher,
weil wir jetzt sind positiven Bereich kommen,
kommen wir auf ein Ende von 4 und ein D von 2 oder beim Kubas
eben auf ein Ende von 8 und landen dann beim D von 3,
ja.
Sollen wir das so machen? Ja. Woher weiß man,
das fällt ja nicht die Dimension, wer weiß es nicht.
Also wir gehen davon aus, dass wir eine Figur haben,
die wir kennen und vor allem deren Dimensionen messen,
ja.
Und dann müssen wir einfach
nur zählen
Entscheiden uns für einen Skalierungsfaktor, schauen uns unser Objekt an und sagen,
wie viel brauchen wir, um die Fläche zu füllen?
Und da brauchen wir bei der gerade eben,
wenn wir die Skalierung halb wählen, zwei beim Quadrat,
passen vier drauf, mit dem Würfel acht.
Wir brauchen acht Unterwürfel, weil das ist irgendwie sechsmal vier Quadratmeter.
Also das ist schlichtweg die Definition,
dass man es mit Kugeln überdeckt, also die,
dass wir von einem Einheits-Würfelobjekt in dem Raum ausgehen und es mit kleineren, skalierten Einheiten überdecken wollen.
Deshalb landen wir hier eben, wenn wir sagen,
die Skalierung ist ein Halt, wir teilen jede Länge,
die wir haben, die wir abmessen können in unserem Raum,
durch ein Halb und sehen dann, ah,
dann kriegen wir vier Objekte nach einem halben Jahren.
Oder hier kriegen wir acht, weil wir in die Tiefe
das Ganze nochmal verdoppeln.
Wir machen das noch vier Tage Quadrat. Dieses Quadrat,
wir sind im zweidimensionalen Raum,
da haben wir
nur Quadrate
Genau, und das sind zwei Dinge. Ja,
also ich würfel immer im Sinn von Hyperwürfel,
bezogen auf die Dimensionen, in der wir sind.
Also wir haben hier jetzt einen zweidimensionalen Raum,
da ist eben das Objekt, was wir abgrenzen können,
wenn wir in jeder Dimension Grenzen einziehen, skaliert um halb,
dann landen wir bei kleineren Quadraten.
Ja, und hier landen wir eben bei halb so großen Würfeln.
Also gegeben einen Würfel, wie viel haben wir,
wenn wir die Seitenlänge halbieren?
Und dann sind wir hier eben bei acht.
Es ist nichts ganz einfach. Gut,
dass Sie gefragt haben
Dann sehen wir, dass sich die Dimensionen eben aus
dem Verhältnis der Logarithmen ergibt und mit dem Zeilen durch.
Minuslygarithmus, du alles von Hype, sind wir,
teilen wir durch zwei und sind dann.
Bei einer Dimension von drei. So, das Ganze ist eigentlich erst spannend,
wenn wir bei jedem Ersetzungsschritt diese fraktalen Kurven kriegen. Da ist der Fall eben anders,
wenn wir die Skalierung hier so wählen, dass wir sagen,
in jedem Ersetzungsschritt Gehen wir so weit,
dass wir hier einen Faktor von vier Reihenschulen,
wir haben im Normalraum vier Abschnitte und ersetzen das durch diese neue Kurve,
die jetzt, Moment, ein, zwei, drei,
vier, fünf, sechs, sieben, acht Elemente hat,
dann bekommen wir mit einmal andere Verhältnisse und dadurch entsteht eben diese faktale Dimension.
Wir können das D hier nochmal Bezogen auf einen Skalierungsfaktor,
um Rechnen der Skalierungsfaktor. Ist hier jetzt wieder die Anzahl der Kugeln
zum Beispiel ursprünglich vier und dann nach der Ersetzung haben wir
in dem Beispiel der fraktalen Kurve nur acht, ja.
Dann können wir die Dimension schlichtweg so ausrechnen,
dass wir die Zahl der Kugeln, die wir vorher haben,
vier Teile durch den Logarithmus, dass wir da einsetzen.
Ja, ganz simple Formel. Und jetzt rechnen wir
das Ganze mal um für unseren Generator hier.
Bei der quadratischen Kochkurve haben wir hier nach dem Ersetzen
acht Elemente, ja, aber vorher haben wir vier.
So, und dann können wir schlichtweg rechnen,
den Logarithmus von acht durch den Logarithmus von vier,
nehmen wir wieder den Logarithmus-Duales, zweier Logarithmus haben wir,
das wäre hier oben drei hier unten zwei.
Gibt ein Verhältnis von drei durch zwei, 1,5. Das heißt,
nach all dem hin und her, mit dieser simplen Formel hier,
landen wir für unsere diskreten Kochkurven mit den kochschen Iteratoren bei gebrochenen Dimensionen.
Ja, wenn wir den Dimensionsbegriff nehmen,
wie wir ihn kennen und übertragen auf diese fraktalen Ersetzungen,
ändern der Skalierung, einmal mehr iterieren, reinschauen und wir landen bei gebrochenen Dimensionen.
Und das steckt im Namen Fraktalia, Fractal,
Gebrochene der Menschen, Fractal der Menschen.
So, also noch ein Beispiel, an dem man mal
das Berechnen der fraktalen Dimensionen ausrechnen kann,
dieser Pinsky Gasket
zum Beispiel
In jedem Iterationsschritt standen wir hier ein Loch rein.
Und dann wird aus einem Dreieck werden drei, die übrig bleiben.
Und da sind wir dann bei einer fraktalen Dimension von 1,58.
Der Serpinski-Teppich, das wird er vorher gesehen hatten,
so diesen Schweizer Käse mit immer neuen Löchern reingestanden,
sind wir bei 1,89. Der Männerschwamm in jedem Iterationsschritt kriegen wir
27 Würfel beim Unterteilen und davon verschwinden sieben.
So, dann landen wir da bei einer fraktalen Dimension
von knapp
unter dreidimensional
Die... Warum wollen wir fraktale Dimensionen überhaupt ausrechnen können?
In der Bildverarbeitung wird fraktale Dimensionen gerne genommen als ein Maß für Textur.
Ja, das ist ein ganz beliebtes Texturmaß. Man versucht,
dasjenige fraktal zu finden, was die Unregelmäßigkeiten am besten beschreibt
und nimmt dann die fraktale Dimension direkt als Maß für die Klassifikation.
Deshalb ist die Zahl so wichtig. Und in der Computergrafik,
der umgekehrte Weg, wenn wir Szenen beschreiben wollen,
die mit Materie gefüllt sind,
aber die Materie ist nicht sehr dicht verteilt oder doch etwas stichter verteilt,
dann versuchen wir eben das Fraktal zu finden,
dessen fraktale Dimension genauer passend ist.
Also für locker verteilte Märten. Materie,
sehr niedrige Fraktale, Dimensionen für dichtere Materie höre.
Wir modellieren damit Gebirge, Flüsse, Küsten,
Wolken,
Pflanzen,
Oberflächenrauigkeiten dafür
Wird es sehr häufig eingesetzt. Also in Pavre sind die Texturen,
die für natürliche, raue Oberflächen gedacht sind, eigentlich alle fraktal.
Und man verwendet es für die Datenkompressionen noch da, lohnt es sich, das einzusetzen.
Wir hatten es eingesetzt in Projekten, wo wir versucht haben,
in der Fernerkundung festzustellen, wie sich durch Organisierung die Landschaft verändert hat.
Überhaupt durch menschlichen Einfluss in die Landschaft, wie sich die Rauchhaltigkeit der Natur verändert hat. Und das ist das Thema Umweltschutz. Zum Beispiel,
wenn man sich schlichtweg versucht, die Flüsse,
die man auf Luftaufnahmen sehen kann, zu beschreiben durch Fraktale,
wird man feststellen, wenn die Menschen stark in die Natur eingegriffen haben,
dann landet man bei mittrigen Fraktalen Dimensionen,
wenn man das als Kochkurve beschreibt, dagegen,
wenn der Fluss noch relativ natürlich ist,
dann landet man bei höheren fraktalen Dimensionen,
weil durch Selbstähnlichkeit immer tiefere Schlenker entstehen, ja.
Also genauso die Render von Wäldern, von Feldern und so weiter,
Je höher die fraktale Dimension der Kurven ist,
die wir im Bild finden, desto natürlicher.
Das ließ sich ganz gut belegen in den Aufnahmen, die
wir untersucht hatten. Um physikalische Prozesse zu beschreiben, festgestellt,
dass Rauschen bei Radioübertragungen, die Boss, die so auftauchen.
Die haben ganz typische hohe fraktale Dimension, wenn das Signal
stark gestört ist. Defusionsprozesse sind damit beschrieben worden.
Und vor ein paar Jahren hatte ich auch gesehen,
dass die Verteilung der Galaxienhaufen im Weltall, dass die Auch typisch fraktal ist.
Wenn man rein zoomt, wird man in immer wieder
selbstähnliche Gruppen von Galaxien einen Haufen finden.
Und diese Verteilung kann man, wenn man sie nachmachen will,
eben ganz gut durch ein Fraktal erzeugen.
Und Modulierung von Gebirgen und das Ersetzen,
wir sehen hier praktisch eine Abwandlung des Serpinsky-Geskets.
Wenn Sie in Cinema 4D eine Landschaft machen,
die macht es eigentlich genau nach der Methode.
Man sieht es nicht mehr, dass es so gemacht wird,
aber es ist die Wirkungsweise.
Man beginnt mit einem Stück Fläche und der
teilt es
An zufälligen Stellen, also wo hier der Unterteilungspunkt gewählt wird,
lässt man mit einer Normalverteilung irgendwie um einen Mittelwert wandeln.
Und kriegt dann, und macht dann auch ein Anheben
der Punkte, hebt sie höher, auch zufällig.
Wir hatten wieder normal verteilt oder ähnlich.
Und jedes der Dreiecke, die dann entstehen werden,
wieder durch zufälliges Anheben der Eckpunkte angehoben.
Und letztendlich hat man am Ende durch sukzessives Teilen mit
zufällig gewählten Punkten ein wunderschönes,
künstliches Gebirge
Und das ist so ein Gebirgsmodell, wie es entstehen könnte,
durch sukzessives Teilen. Das hat ein relativ hohe fraktale Dimension.
Und schon nach acht und Erteilungsiterationen, da konnte man meinen,
man wäre ein Alpen, ne? Bisschen Nebel rein,
um die Täler zu füllen und man hat gewonnen, ja.
Das ist die primitivste Art,
wie man diese Gebirge in Cinema 4D, in der Version,
die ich auf meinem Rechner habe, machen kann.
Also das ist nur eine relativ alte Version.
Zumindest in Cinema 4D, ein Gebirge erzeugen will,
nimmt man aus dem Menü, wo Objekte sind,
ein Gebirge packt es in die Landschaft rein und dann
fasst man mit der Maus hier auf auf die Insel und
zieht es in die Höhe, solange bis der Berg hoch genug ist.
Oberflächenrauigkeiten, fraktal modelliert. Geht über die Idee da. Kantorbalken,
also Kanterbalken sind Objekte mit einer fraktalen Dimension zwischen 0 und 1.
Wenn wir die Linie ohne Löcher durchziehen, sind wir bei eindimensional.
Aber wenn wir beim Übergang von nulldimensional zu eindimensional Dinge auslassen,
dann sind wir eben im Bereich der fraktalen Dimension
Was man mit solcher Linie machen kann,
die eben nur so aus kleinen, einzelnen Abschnitten besteht,
dass eben, wie gesagt, einmal die Burss bei der Radioübertragung,
damit würde man sowas erzeugen.
Oder wenn wir uns die eine Geschichte vorstellen, dann sehen wir das,
wenn die Dimensionen immer höher werden und für uns gegen Begrenze der Oberfläche nähern,
dass wir dann immer mehr kleine Unterteilungen haben.
Und das ist dann eben die Oberflächenrauigkeit, die wir kriegen.
Und beim Übergang von einer Ebene zur anderen sollte man randomisieren,
um eben das an keiner Stelle exakt gleich aussehen zu lassen wie vorher,
aber eben ähnlich.
Damit können wir dann so ein Oberflächenmodell zum Beispiel
Wir können auf diese Weise, ganze fraktale Bilder erzeugen, die Connagetechnik.
Und dabei ist der Weg, dass man für jeden Iterationsschritt,
das nicht nur kleiner macht und skaliert,
sondern noch andere affine Transformationen dazu nimmt,
wie zum Beispiel Rotation, Scherung und so weiter.
Und das ist die Grundidee der Datenkompression mit Fraktalen.
Ja, wir versuchen ein Bild zu beschreiben,
indem wir
eine Grundfigur nehmen
Und sagen, wie diese Grundfigur in jedem Iterationsschritt zu komplexeren Strukturen zusammengesetzt wird.
Und für jeden Iterationsschritt geben wir einen Satz von affinen Transformationen an,
die eben sagt, wie es verschoben wird,
wie es skaliert wird, wie es gedreht wird.
Und vielleicht verformt. Und damit können wir das Bild dann
beschreiben durch die Grundfigur plus dem Satz der Transformationen von einem Bild zum nächsten.
Und damit können wir Bäume oder Blätter machen,
mit dieser Collagetechnik entsteht zum Beispiel aus dieser Grundfigur hier bis
schöne fraktale Ahanblatt,
Oder fraktale Schneeflocken. Oder wenn man es in 3D macht,
dasselbe Prinzip von fraktaler Fliederstrauß. Ja. Bei der Datenkompression
nehmen wir schlichtweg die Folge der Koeffizienten der affinen Transformationen,
die benutzt wurden und beschreiben damit das Bild.
Und ja, ist ein uralten Informatikbuch von Niklas Wirth über Oberon,
habe ich das übernommen, Reiser an Fürth.
Wir programmieren in Oberon, dann mit einem kleines Pascal-Programm,
was nicht mehr gemacht hat,
als diese beiden Kurzeilen ausrechnen
Nee, nicht Passquart-Programm, sondern oberen Programmieren.
Und mit dieser Tabelle beschreibt komplett das Bild eines Fahnenmädels,
ja, die koffizienten für Rotationsskalierung, Translation.
Und damit kann man genau dieses Bild hier zeichnen.
Pascal Code von drei Zeilen für ein fraktales Bild eines Fahrens.
Oder dasselbe übertragen auf 3D, das ist jetzt wieder aus
dem Computergrafikbuch, kann man nicht bei Niklas Word nachlesen,
da können wir solche Fahnenwedel mitmachen. Das heißt also,
der Effekt der Datenkompression ist sicherlich sehr gut zu sehen,
mit wenigen Koffizienten können wir ein ganzes Bild beschreiben,
was sonst sehr komplex wäre.
Das Ersetzen, Generator nehmen, in dem nächsten Bild erzeugen,
kann man jetzt mit allem machen,
was man in den formalen Grundlagen der Informatik lernt für Erzeugendensysteme.
Ich habe einen Satz von Bögeln und mache etwas anderes draus.
Max Brauer hat vor ein paar Jahren in seiner Bachelor-Arbeit ein System geschrieben,
wie er mit Lindenmeier ein System,
Pafrimodelle erzeugen kann,
um eben die Welt mit fraktalen Pflanzen
zu bevölkern
Sind Bilder aus seiner Bachelorarbeit, wo er genau diese Generatoren nachgemacht hat?
In jedem Schritt werden eben weitere Bäume eingeplagt und wir haben dann schöne Bilder.
Das ist die Kochschekurve, das 3D-Objekt. Okay,
also ein Hauptproblem bei den Fraktalen ist,
wir haben die Generatoren, wir sitzen da,
wir können sie zusammensetzen und haben die Vision,
wir könnten damit
einen Baum machen
Ja, oder einen Fahnwedel. Es ist erstaunlich schwer,
von selbst auf die perfekte Folge von Koeffizienten zu kommen,
um genau das Bild zu kriegen, was man haben will.
Weil die ersten Schritte kann man noch gut abschätzen,
wie es ausgehen wird, aber irgendwann wird meistens die Substitution dann chaotisch.
Also die meisten schönen Bilder, die man in den Lehrbüchern findet,
die sagen, wie toll Fraktale sind, ja,
die sind entstanden durch Versuch und Irrtum oder zufällige Entdeckung.
Man hat versucht, ein fraktales Modell für einen Croissant
zu finden und das bei einem für Zuckerwatte gewendet.
Na gut, und dann hat man
seine Zuckerwattebibliothek getan
Es hat lange, lange gedauert,
bis überhaupt ein Verfahren gab, wo man gesagt hat,
das Bild will ich kriegen, gib mir die flaktal.
Fraktale. Das ist von Barnsley gefunden worden, so vor
ungefähr 15 Jahren. Also Bunsley kann ein Bild nehmen,
sich das anschauen und dann eine Grundfigur finden und eine Folge
von affinen Transformationen, um genau das Bild zu erzeugen.
Und das war dann eben die Basis,
dass man damit natürlich dann Datenkompressionen betreiben konnte.
Gut, also nicht alle natürlichen Objekte sind fraktal.
Das wird die Aussage, alles ist fraktal,
ist glatt gelogen. Und manchmal gibt es einfach nichts,
was man finden könnte,
um es hinzukriegen
Was wir jetzt gesehen haben, für diesen Teil der Vorlesung erst mal,
das sind die Fraktale, die auf Iteratoren zurückgehen,
wo wir diskrete Objekte immer wieder ersetzen.
Der zweite Teil für fraktale leitet sich aus der typologischen Dynamik ab.
Und da können wir versuchen, nicht diskrete Generatoren zu verwenden,
sondern analytische Kurven beschreiben, um diese Beschreibung, um diese Ersetzungen zu machen.
Und was wir der Computergrafik gern genutzt wird,
ist darauf zurückgehend einmal Julia Mengen und die Mandelbrotmenge als Index für alle möglichen fraktalen Objekte,
die sich als chaotische Folgen auch selten, topologischen Dynamik ergeben könnten.
Gut. Also die Idee,
dass wir für die topologische Dynamik ist, dass wir wissen,
dessen Iterieren über simple Grundgleichung schon dazu führen kann,
dass wir total unvorhersehbare Resultate bekommen für Wendepunkten,
von Kurven,
für Konvergenz von Kurven
und so weiter
Und das passiert schon bei simpelsten Generatoren. Also dies hier ist jetzt zu lesen,
nicht als eine Gleichung, sondern als ein Generator,
wo wir in einem Iterationsschritt einen XN haben und daraus ein
neues errechnen und dann eine Folge von Werten X bekommen wollen.
Also ganz simples Polynom hier. Wir multiplizieren 1 minus XN mit
viermal XN. Und schon dieser Generator ist überraschend widerspenstig.
Wenn das ganze Chaos fängt, einfach Es zeigt sich darin,
dass es für sehr ähnliche Startwerte in kurzer Zeit ein extrem divergentes Verhalten gibt.
Also wir beginnen mal mit ähnlichen Startwerten, die unterscheiden sich
hier nur an der zweiten Stelle nach dem Komma.
X1 gleich 0,2. Und zweiter Werten von 0,21. Für 0,2 würden wir
hier in vier Iterationen bei einem Wert von 0,559 sein.
Und wenn wir mit einer ganz leicht verschiedenen Anfangswert beginnen,
landen wir bei 0,962. Also viel praktisch sticht an 1
dran und hier sind wir bei der Hälfte
So. Für das Bevölkerungswachstum sind Abwandlungen dieser Grundgleichung beliebt,
wo wir noch einen quadratischen Thermen drin haben.
Und gucken wir uns mal einen in der,
für diese Gleichung in dem Buch von Mandelbrot verwendet wurde.
Also wir beginnen mit einer Gleichung, die uns sagen sollen,
was erwarten wir im nächsten Jahr an Bevölkerung gegeben,
Verhältnis von Geburtenrate zur Sterberate.
Und dann müssen wir ja eben immer gucken, gegebene Bevölkerung,
wie viel werden neu geboren, gegebene Bevölkerung, wie viel sterben.
Und es gehen eben... Und wir müssen das,
was neu dazukommt, nehmen, kriegen wir den Faktor K mal XN.
Und subtrahieren, die sterben. So, und kriegen damit
fürs nächste Jahr wieder eine gewisse Zahl und es wird iteriert,
kommen wieder neue dazu, sterben welche und so weiter.
Ja, was immer die Gleichung da jetzt aussagen soll.
Wenn man sich das anschaut,
dann hängt es eben jetzt tatsächlich von diesem Wert K an,
wie sich das Ganze entwickeln wird
Nehmen wir mal an, wir haben kleine Werte von X. Ja,
bei kleinen Werten von X. Da ist dieser Teil hier dominant,
weil für X Kleiner 1 würde, dieser Term kam ja ex Quadrat,
nur dazu führen, dass wenig abgezogen wird.
Der Liniejahre Term ist dann sehr wichtig,
wenn wir ein X haben, was so kleiner eins ist.
Wenn wir jetzt aber große Werte von X haben,
dann ist der Teil natürlich dominant. Also wenn X größer,
eins ist, dann wird ein X-Quadrat hier stark eingehen.
Und dann hängt es jetzt davon ab, wie der Wert von K ist,
ob die Bevölkerungszahl exponentiell wächst oder gegen Null geht.
Aber bei großen Werten von X wird er
nicht linde Jahre Thermen, das Wachstum offenendlichen Wert begrenzen.
Und das ist auch typischerweise das, was auf der Welt
so geschieht. Gucken wir uns mal die Iterationen des Generators
an,
was so passiert
Kannst du vielleicht noch mal einen Tick dunkler machen,
dass man die Farben hier erkennen kann.
Ich hoffe, jetzt können alle hier die hellblaue Linie sehen.
Und die Grüne. Die anderen sind wahrscheinlich nicht ganz
so schlimm. Beginnen wir mal mit N gleich 1,
dass wir, also diese lindgrüne Linie hier, ja,
wenn wir noch gar nicht iteriert haben,
dann sehen wir hier schlichtweg die quadratische Kurve durchgezogen.
So. Wenn wir einmal iterieren, für N gleich 2,
dann kriegen wir hier zwei Wendepunkte rein und zwei Mackfirma mit N
Weitere Wendepunkte und so weiter, N gleich 4,
was jetzt auffällt bei dieser Kurve ist, dass es Punkte gibt,
wo sich alle Kurven schneiden, wo wir Fixpunkte haben.
Ja, egal wie oft wir iterieren, diese Punkte bleiben
an denselben Stellen. Für Ende gleich 20 letztendlich,
dann sind wir hier in einem Bereich,
wo wir... Ja, ein großes Gezeppelkriegen,
in gleich 21 haben wir auch nur noch bestimmte Fenster hier.
Also wichtig, was man hier sehen sollte,
es gibt bei denen sich die Werte nicht verändern.
Fixpunkte der Iteration. Und je höher wir iterieren,
desto mehr dieser möglichen Fixpunkte kommen dazu.
Wo die Fixpunkte herkommen, kann man sich leicht vorstellen.
Wenn wir uns mal einfach grafisch aufzeichnen, wie man iterieren könnte.
Das Iterieren besteht ja immer darin,
wir nehmen die Grundkurve, dass nämlich hier einmal unsere Parabel.
Und müssen für ein gegebenes X den Wert einsetzen
Ja, und wir müssen ihn an einer anderen Stelle in unsere Gleichung einsetzen.
Und das können wir machen mit einmal unserer Parabel und einer
zweiten Hilfsgröße der Dioriginale hier, also die Identitätsabbildung ist.
Also wir legen mal los und wollen für einen Startwert.
Also für x gleich 0,3. Den nächsten Iterationswert ausrechnen.
Machen wir nur mit 0,3 losmarschieren. Und bis wir auf
die Parabel treffen, dann nehmen wir den Wert. So,
und jetzt muss der Wert, den wir hier haben,
auf die X-Achse gebracht werden, um es neu einsetzen zu können.
Die, wenn wir jetzt Lust marschieren, bis zu unserer Identität,
um ihn eben auch von der Achse auf diese Achse zu bringen,
dann landen wir hier. Wir können wir wieder einsetzen,
laufen bis zur Parabel, laufen bis zur Diagonalen.
Und den Fixpunkt sieht man hier sehr schön. Es gibt
eine Stelle, über die kommen wir einfach nicht hinaus.
Hier sind wir gefangen. Von der Stelle kommen wir nicht
wieder weg. Also für bestimmte Stadtwerte,
wenn wir hier gefangen zwischen der Diagonalen und unserer Parabel.
Und selbst wenn wir hier mit 0,8 loslegen,
wir werden genau an diese Stelle hingeführt in dem Bereich,
hängen wir fest
Da kommen wir nicht weiter. Dahin scheint es
für einen bestimmten Wertebereich zu konvergieren. Dagegen,
wenn wir mit einer anderen Stelle losmarschieren,
dann wird dieses Einsetzen anfangen zu assoziieren und eben nicht uns gegen einen Wert leiten.
Und das sind genau die Stellen, wo es chaotisch wird.
Also wenn wir einen anderen Wert von K haben.
Das K, was wir eben hatten, hat dazu geführt,
dass alles nett konvergiert.
Der neue Wert von K gleich
Der führt dazu, dass, wenn wir hier losmarschieren,
wir immer im Rechteck herumgeschleudert werden in diesem Bereich und immer zwischen zwei Werten springen.
Hängt von der Stelle ab, wo wir sind.
Hier bricht das Chaos aus, wir springen zwischen zwei Werten.
Wenn wir versuchen, nach demselben Dreck immer wieder diese Einsetzung zu machen.
Ausgehend von einem anderen Wert, landen wir in demselben Bereich.
Und dieses Sprungverhalten, das Ganze nicht konvergiert,
Wenn man in bestimmten Bereichen der Parameter ist,
das ist das, was der Chaos-Theorie ihren Namen gegeben hat.
Wenn wir unseren Wertpaar nehmen, also für ein K von
0 bis 3, dann konvergiert das gegen einen Fixpunkt.
Und das kann mit der Gleichung gut arbeiten.
Wenn wir einen Wert von K haben zwischen 3,2 und 3,3,
dann sieht man das Recht, was wir eben gesehen haben.
Die Werte oszillieren heftigst zwischen zwei Werten.
Und die liegen weit auseinander. Das ist nicht etwa ein
kleines Rauschen, sondern das kann ein großer Wertebereich sein
Wenn Karl noch größer wird, dann hat die Kurve mit einmal
vier solche Fixpunkte zwischen denen der Wert ausstalliert, ja.
Und jenseits von Karl gleich 3,6, der explodiert die Zahl
der Punkte, zwischen denen hin und her gesprungen wird.
Das wird oft dargestellt, im Biforkationsdiagramm. Also in
diesem Bereich konvergiert alles gegen Null kein Problem, ja.
Bis 3,2 haben wir gesehen,
haben wir einen Fixpunkt und da kann man mit der Gleichung
gut arbeiten
Ab 3,2 haben wir die zwei Fixpunkte,
die ich gezeigt habe,
wo es im Rechteck immer hin und her springt,
in diesem Einsetzungsdiagramm, wenn wir kein größer machen,
da haben wir mit einmal vier und ab dem Bereich hier hat es selbst mit dem Plattprogramm versagt,
es konnte die Zahl der Fixpunkte gar nicht mehr zeichnen,
zwischen denen hin und her gesprungen wird.
Gut. Für viele analytische Probleme würde ich
dies Verhalten der Mathematik als seinen Bug bezeichnen.
Das ist einfach lästig, hindert einen dran,
analytische Lösungen zu finden
und ist extrem unangenehm
Der Computergrafik machen wir aus dieser Not eine Tugend und verwenden es als Feature,
um damit eben einfach schöne Diagramme zu machen und Unregelmäßigkeiten auszudrücken.
Also da drehen wir es ins Positive. Und das,
was Mandelbrot, wenn auch vorgeschlagen hat, wir können diese Diagramme nehmen,
um damit fraktale Bilder zu erzeugen. Die Bereiche,
wo diese Folgen von Zahlen, wenn wir zwei Objekt,
zwei, die Objekt 2, die Funktionen 3D-Funktionen, 4D-Funktionen nehmen,
wo die Konvergenz zeigen, in dem Bereich hier,
ja, für das Bifokationsdiagramm ausrastet.
Also genau der Bereich interessiert uns. Da haben wir eine schöne Unregelmäßigkeit,
die regelmäßig ist. Und den Bereich nutzen wir jetzt ganz proaktiv.
Für eben 2D3D, 4D-Funktionen und betrachten die Bereiche,
wo es divergent ist, wo es in Variante ist,
wo es konvergent ist, wenn wir solche Ersetzungen nehmen.
Und das führt zu fraktalen Bildern, ja.
Also wir nehmen eine Transformation gegeben als Generatorfunktion F, ja.
Unser Generator ist auf der sei mal auf der komplexen Zahlenebene definiert.
Also diese Z-Quadrat-Argumente seien komplexe Zahlen und wir haben eine
additive Konstante und betrachten jetzt den Generator,
der während des Itterierens aus jedem Z ein neues Set erzeugt.
Zunächst der simpelste Fall, wo wir noch kein Chaos sehen werden,
wenn wir die Konstante hier gleich null machen,
also einen Ursprung haben, dann ist das Verhalten nicht sehr überraschend.
Das, was wir bekommen an Ersetzungen,
es ist für Betrag von Z größer eins wird das Ganze divergieren.
Die Zahlen werden wachsen. Wenn Z exakt gleich eins ist,
dann ist es innen Variant gegen den Generator,
also Z-Betrag gleich eins, konvergent für Z-Betrag kleiner Null.
Was wir damit beschrieben haben, ist ein Generator für Kreise.
Wenn wir genau auf die Stelle schauen,
wo der Wert in Variant gegen den Generator ist.
Also solange wir das Z gleich Null haben,
haben wir nicht weg diese Bereiche, den Einheitskreis um einen Ursprung,
da wo es Z-Betrag größer eins.
Es sind wir in dem Bereich, wo es divergiert.
Hier sind wir im Bereich, wo es konvergiert und hier,
wo es in Variante ist. So, Diagramm mit dieser Art
werden wir jetzt nehmen, um fraktale Kurven zu bezeichnen.
Wir suchen die Stellen, wo es weder divergiert noch konvergiert.
Also diesen Rand, den suchen wir.
Oder um Flächen zu beschreiben, werden wir versuchen,
diese Generatoren zu nehmen und dann als unsere fraktale Figur das beschreiben,
was im Inneren ist, wo das Ganze konvergiert.
Also das soll uns jetzt
Formen definieren
Das ist einmal die Julia-Menge. Das ist die Menge aller Zahlen,
die bezüglich dieses Generators jetzt mit einem C verschieden von null.
Innenvariant ist. Ja, also genau der Rand der Figur
, so was eben beim Kreis gesehen haben.
Wir unterscheiden dabei zwischen Julia Kurven und Kantor Mengen.
Also wenn die Kurven, die wir bekommen, zusammenhängend sind.
So wie bei dem Kreis eben, der es zusammenhängt.
Dann ist Nimmen wir das eine Drachenkurve und wenn es nicht zusammenhängt,
ist, dann nehmen wir das ganze Kantorstab.
Wir können es ja auch vorstellen, eben gerade aufgrund dieses chaotischen Verhaltens,
was wir gesehen haben, im Bevokationsdiagramm,
dass wir nicht darauf vertrauen können, dass wir immer zusammenhängende Kurven bekommen.
Wenn Sie nicht zusammenhängend sind, nennen wir es Kantormengen.
Und Beispiel für Julia Kurven, die entstehen können in der geschicktes C finden.
Ja, das zum Beispiel. Wir sehen hier überall diese kleinen Haargebutten-ähnliche Dinge,
die auch Apfelmännchen genannt werden, liebevoll, ne?
Also hier sind die Koffizienten von C minus 0.12 plus 0,74i
und ja, im zweiten Fall minus 0.56, naja,
plus auch einen kleinen Imaginäranteil in der komplexen Zahlenebene.
Aber die sind zusammenhängend, ja, ob man es glaubt
oder nicht, also Julia Korb.
Und erweitere. Also wir können sehen,
dass wir mit diesen Figuren sehr mit diesen Generatorfunktionen wirklich schöne Figuren zeichnen können,
die eben diese Eigenschaften haben über so von Vegetationen kennen,
Wie gesehen an den Fahnwedeln oder Ahornblättern.
Immer wieder selbstähnliche Teile, die man sieht beim Rheinsummen.
Gut, dieser Generator, hier wird das Squaring Generator genannt.
Und das, was dann an Kurven rauskommt,
da ist im Englischen dann Self-Squared-Curves. Gut, was jetzt
die Mandelbrotmenge. Das Wandelbrotmenge ist eine Lösung für die Frage,
wo finde ich denn nur zusammenhängende Kurven?
Also was man gern haben möchte,
ist gegeben
irgendeinen Wert von
Können wir vorhersagen, wie die Kurve aussehen wird, die wir dann bekommen, ja?
Und vor allem kriegen wir eine Julia-Kurve oder kriegen wir keinen Durchstaub.
Und das ist das, was die Mandelbrotmenge uns sagt.
Also die Mandelbrotmenge ist definiert für diese Generatorfunktion,
als die Menge aller Punkte für die gilt,
dass der Grenzwert für den Generator,
wenn wir für die Zahlenfolge Z von N,
wenn wir N gegen unendlich gehen lassen, beschränkt bleibt.
Also wir, es gibt eine obere Grenze und es wird eben nicht gen unendlich gehen.
So. Und das ist wichtig jetzt um diese Mandelbrotmenge schnell zu finden.
Das war so die wichtigste Leistung von Mandelbrot, ist,
dass er festgestellt hat, dass Julia Kurven mit dieser Self-Squaring Funktion,
dass die genau dann zusammenhängend sind, wenn sie in der Mandelbrotmenge liegen.
Also wir kriegen eine zusammenhängende Kurve, wenn dieser Generator nicht divergiert.
Okay. Und eine beliebte Darstellung dieser Menge ist eben dieser wazige Schneemann,
wird er genannt. Er versuchen sich gerade vorzustellen,
ich drehe meinen Rechner auf die Seite, der steht aufrecht.
Also eine englische Literatur steht erst. Snowman with a bed case of wards.
War sehr warzenbehaftet. Wenn wir in die Warzen,
die reinschauen, werden wir immer wieder sehen,
da immer wieder fraktal, selbstähnlich, so ein Schneemann auftaucht.
Also es ist eine selbstähnliche Figur. Apfelmännchen heißt ja,
wir können uns hier einen Stil vorstellen und dann wäre das im Wesentlichen Hirnapfel, ja.
Wir können uns jetzt, das in verschiedener Weise anfügen,
also dieses Schwarz-Weiß-Diagramm zeigt uns nur, wo es schwarz ist,
konvergiert, wo es für einen gegebenen WRC,
habe ich das vernünftig erklärt?
Also dieses Diagramm ist hier die komplexe Zahlenlebene für die konstante C in der Self-Squaring Function.
Aber erzähl, was wir dazu addieren. Also hier wäre
das C00 in dem Bereich Und hier haben wir eben Realteil im Maginärteil,
zwei verschiedene Werte. Überall, wo es schwarz ist,
konvergiert es, wo es weiß, es konvergiert es.
Divergiert es. Und der Rand ist jetzt wieder eine zusammenhängende Gulia-Kurve.
Und wenn wir jetzt die Konvergenzgeschwindigkeit, wie oft müssen wir iterieren,
bis wir wissen, ob es konvergieren wird oder nicht,
nehmen, dann können wir dem Ganzen Farbe geben.
Ja, und das ist das, was eben gern gemacht
wird, um die Bilder bunt zu kriegen.
Wenn wir in die Kontur reinschauen, dann werden wir Wenn
wir reinzoomen an vielen Stellen, immer wieder dieses Apfelmännchen finden.
Egal, wie oft wir terriert, haben wir tief wir reinschauen.
Überall wird unser Apfelmännchen wieder auftauchen in verschiedenen Formen.
Wenn man in die Nachbarschaft reinschaut, dann sieht man solche
netten Dinge wie Seepferdchen, Amoniten und was weiß ich.
So, aber wie können wir sie überhaupt ausrechnen?
Also für jeden Wert C müssen wir prüfen,
ob die Menge, die wir bekommen, zusammenhängend ist oder nicht.
Das ist ein bisschen mühsam, weil erstens ist die Ebene
voll unendlich groß
Und das Abklappern eines unendlich großen Faktals, um zu sehen,
ob es zusammenhängt, es geht eigentlich auch nicht.
Und da kommt der Satz von Habbat und Huradi zu Hilfe.
Kurz die Rechtberechnung etwas ab. Für diese Selfsquaring
Function ist die Julia Menge genau dann zusammenhängend,
wenn die Folge der ZI für den Startwert null beschränkt bleibt.
Das heißt, wir müssen es nicht für jeden Startwert prüfen,
sondern es reicht,
dass für einen einzigen Startwert zu prüfen,
ob die Folge beschränkt bleibt oder nicht
Und damit haben wir tatsächlich jetzt einen Schlüssel, um auszurechnen,
wie die gegebenen, wie für einen gegebenen WRC, die Mantelbrotmenge aussieht.
Also für jeden Punkt der komplexen Zahlenebene prüfen wir, ob das konvergiert oder nicht.
Und wie prüft man das eigentlich? Das, was man üblicherweise macht,
ist eine gewisse Ungenauigkeit in Kauf nehmen und schlichtweg nur eine
endliche Zahl von Iterationen zu machen und zu sehen,
hat sich der Wert in letzter Zeit verändert oder nicht?
Also alle Darstellungen der Mandelbrot-Männer, die wir sehen,
sind Approximativ. Weil erstens, sie ist in fraktal,
sie ist nicht bandbeschränkt und sie kann nicht mit der endlichen Zahl von Stichproben abgetastet werden.
Wenn jemand das Sumpling-Theorium schon kennt, ist das genau das,
was gesagt werden muss. Und zum Zweiten,
dass viel lange iteriert werden muss, ist auch nicht klar.
Also wir geben irgendwann auf und sagen, okay,
ab jetzt glauben wir, es konvergiert oder nicht.
Ja, alle Darstellungen, die sie je gesehen haben, sind Approximativ.
Der praktische Nutzen, dieser Menge ist ein Wegweise eine Landkarte für Fraktale.
Das ist Mandelbrotsbehauptung und, also alles, ich habe stichprobenartig überprüft,
in meisten Fällen kommt es ganz gut hin.
Also wir nehmen diese Mandelbrotmenge mit,
die gezeichnet in die komplexe Zahlenebene, Realteil, Imaginärteil.
Und wir sind jetzt auf der Suche nach einer fraktalen Struktur für Antennen.
Dann sagt Mandelbrot, wir schauen uns einfach nur das Apfelmännchen an.
Und so wie es an der Stelle aussieht, bei dem koeffizienten C,
So werden letztendlich die Fraktale aussehen, die wir generieren,
wenn wir die Julia Mengen berechnen, mit diesem Koeffizienten.
Wann habt ihr das herausgefunden? Das Mandelbrot hat das in
den 70er Jahren gemacht. Da sind die ersten Bücher.
Ja, es hat gedauert. Also da gab es die
ersten Farbbildschirme für Computer immerhin, ja. Vorher hat es keiner die Bilder angeguckt,
aber es ist die ersten Farbmonitore gab,
die arbeiten selbst, du war die und so weiter,
die sind sehr viel älter, auf denen er aufgebaut hat,
aber er war der Erste,
der die Sachen aus dem Jahrhundert davor aufgegriffen hat,
weil es anfing,
genug reichen
Power zu geben
Dernten. Also wir haben hier diesen Index. Wenn wir
in diesem Bereich gucken, hier sehen wir Antennen,
kriegen wir Julia Fraktale, die wir Antennen aussehen.
Hier sind so ein paar Warzen. Wenn wir uns hier einen Koeffizienten wählen,
können wir darauf hoffen, dass wir solche watzigen Gebilde kriegen.
Hier kriegen wir solche Einschnürungen in dem Bereich.
Also so ist das etwa zu verstehen, hier,
wo wir am Apfelstil sind, da kriegen wir diese schönen Gebilde.
Wenn wir hier reingehen. So, wie nutzen wir sie
in Pafre? Pafre hat die Mändelbrotmenge eingebaut als fraktales Muster
. Wir hatten schon gesehen, es gibt das Mustermandel
Wenn wir das verwenden, dann zeichnet es uns genau dieses Apfelmännchen.
Wir bekommen ein Objekt durchgefärbt mit diesem Apfelmännchen. Und wenn wir da reinzoomen,
dann können wir damit eben genau diese Strukturen aus der Mandelbrotmänner erzeugen.
Und wir können es einfärben mit der Zahl der Iterationen,
die gemacht werden, das Konvergenz festgestellt wird.
Oder einfach den, ja genau, wir geben eine Farbtafel
vor, mit der die Konvergenz festgelegt wird.
Also wie genau die Abschnitte sind, in die wir reingehen und hier sagen,
wie oft wir insgesamt, na danke, iteriert haben.
Genau. Oder das zweite Muster, was wir haben,
ist dieses Granit, hat dir schon gesagt,
das ist auch so ein fraktales Muster.
Ja. Also hier sehen wir unser Mandelrotmännchen, Apfelmännchen, mit dem Mustermandel.
Wir sehen, wir kriegen es einfach durchgefärbt, so als Prisma.
Wenn jemand eine Säule haben möchte mit fraktaler Oberfläche,
dann kann man genau dieses Muster nehmen aus dem Bereich,
um ein Stück Oberfläche damit so aus wahrzigem Schneemann-Dingen herauszukriegen.
Ja, und das Granit ist diese Gesteinstextur,
die besteht mehr aus diesem Random-Walk-Löcher rausnehmen. Wir können aber auch
direkt Julia-Kurven nehmen und das eine vierdimensionale Analagon und damit fraktale Volumina erstellen.
Also wir erweitern die Algebra, der kommt komplexen Zahlen auf vier Dimensionen.
Mandelbrotmenge haben wir ja nur in der imaginäre Alltagenebene.
Wenn wir jetzt noch zwei Dimensionen dazu nehmen und mit Quartern Jun,
der mit Hyperkomplexen Zahlen rechnen, dann können wir auch da solche Self-Squaring-Generators definieren.
Und damit dann Volumen errechnen. Was immer wir da nehmen,
Quartern Jun oder Hyperkomplexe Zahlen. Wir haben dann einfach vier Komponenten.
Und eben eine Algebra, die uns sagt, wie diese vier Komponenten,
Imaginärteile, koeffizienten, miteinander multipliziert werden müssen, ja.
Also wenn wir mit Quartanion rechnen, gelten diese Rechenregeln,
die mit J multipliziert, gibt den nächsten koeffizienten K, ja.
Und J mit K multifiziert, er gibt eh und minus K,
mal J und so weiter und so weiter.
Für die Quartanion und für die hyperkomplexen Zahlen ähnliche Rechenregeln.
Auch da haben wir eine Zahl, die aus vier Komponenten besteht, mit diesen Basisvektoren.
Egal was wir nehmen, Diese Darstellung eignen sich alle gut,
um Fraktale zu erzeugen und im Poffre sind Quatanionen und hyperkomplexe Zahlen eingebaut für solche Objekte.
Wenn wir es jetzt im 3D zeigen und rendern wollen,
müssen wir diese 4D-Objekte nehmen und sie mit einer Hyperebene schneiden,
um damit einen dreidimensionalen Schnitt herauszubekommen.
Also wir können zunächst Julia Mengen erzeugen,
indem wir eine solche Generatorfunktion vorgeben im 4D,
dann definieren wir einen Durchschnitt mit dem 4D-Objekt,
was wir haben, und in der Schnittebene haben wir unser Objekt.
Ja, und was wir da rauskriegen,
es sind Objekte, die entweder zusammenhängt oder nicht.
Aber Pafre kann sie rendern, und darauf kommt es an.
So ein Julia Fraktal mit Quatanion. Dies hier oben soll
nur zum Einfärben sein, ja.
Ich habe einfach um die diagonale im 3D-Farbwürfel einen Farbwektor rotiert,
in Abhängigkeit von der Uhr. Ja, und den normalisiert ist,
wenn Einheitswektor kriegen, damit habe ich einen Uhrzeitabhängigen Farbwektor.
Mehr steckt da nicht hinter
Objekt soll ein bisschen spannend aussehen und seine Farbe ändern.
Jetzt definieren wir in Pofrey einen Julia-Fraktal. Wir sind jetzt
im 4D, also ist der die additive konstante C,
die wir angeben wollen hier. Eine 4-dimensionale Zahl. Wir
sagen oft, wir iterieren wollen. Wir sagen hier,
ob wir ein Quartal Union haben wollen oder Hyperkomplexe Zahl.
Als Funktion nehmen wir Square, also in Squaring Generator,
in jedem Iterationsschritt quadrieren, müssen wir Genauigkeit vorgeben.
Ich weiß nicht genau, wie sie wirkt,
tut mir leid
Kann auch mal im Handbuch nachgucken. Und dann gebe ich
die Ebene an, mit der geschnitten werden soll.
Und die wird angegeben, durch einen normalen Vektor zur Ebene.
Also das hier ist jetzt die vierte Achse im 4D. Und den Abstand vom Ursprung,
und den mache ich hier abhängig von der Uhrzeit,
zweimal klopp minus eins.
So, und dann geben wir unserem Fraktal hier noch
ein bisschen Farbe. Das Pigment wird mit der Kalanau,
die wir da oben ausgerechnet haben, eingefärbt.
Und es soll ein bisschen metallisch aussehen.
Macht es
etwas fetziger
Und was wir da auf diese Weise kriegen, ist ein fraktales Croissant.
Ja, ein sehr lockeres Gebilde mit vielen Löchern und
vielen Haaren hier. So eine feine, faserige Strukturen,
das liegt an der Wahl der Koeffizienten in dem Fall, ne?
Oder wenn das ein Quartal Union machen wollen, ja,
selber Trick, selbe Parameter, der einzige Unterschied ist,
wir schreiben hier Quartanien hin.
So. Anderes Croissant, ja. Okay, weiteres Julia,
Gut, und wir können jetzt ja unsere Ebene einfach mal durchs Objekt durchschießen lassen.
Also in der vierten Dimension durch unser Objekt fahren.
Also unsere Hyper-Ebene läuft einfach mit der Glocke entlang dieser Entfernung
und wir sehen verschiedene Schnitte durch das Objekt hier.
Sehen den Farbwerk da rotieren Musik So, jetzt,
das eine war mit Quattern, Juden,
das andere muss super komplexen Zahlen gerechnet.
Zweite Art Koffizienten genommen. Also wir können mit denen
sehr lockere Materie erzeugen, ja? Keine faserige Strukturen.
Okay, gut, der hat genug von dem Film.
Jetzt fahren wir mal durch das Teil durch. Also das,
was ich hier zeige, das kostet unglaubliche Rechenzeit,
wenn wir in so ein Fraktal hineinfahren, ja?
Dann wird der Rechner heiß und lauter unangenehme Seiteneffekte.
Man sieht auch Abtastungsprobleme. Ich hatte Fraktale einfach mal genommen,
um bei der Animation des Weltalls so was wie galaktische Nebel
und so ein bisschen feiner zu strukturieren, ne?
Ja, das nächste Thema, was wir hier in
der Vorlesung ansprechen,
In reellen Farbvektor rot-grün-blau gibt, ja. Typisch in der
Bildverarbeitung ist, dass man als erstes mal klären muss,
welches Koordinatensystem haben wir eigentlich, wenn wir über Bildfunktionen sprechen.
In sieben, durch vielen Fällen wird stillschweigend vorausgesetzt,
wir haben ein Koordinatensystem mit dem Ursprung links oben,
X-Achse nach rechts,
Y-Achse wächst nach unten
Wenn man sich mit einem Koordinatensystem geirrt hat,
sieht man es meistens sofort,
wenn man sich die Bilder mal anschaut, die stehen im Kopf.
Also das ist ja das Angenehme in der Bildverarbeitung,
man sieht auf einen Blick, dass man Fehler gemacht hat.
Man weiß nicht, was der Fehler ist,
aber das sind Fehler, da ist es meistens leicht zu sehen.
So für die Werte, auf die abgebildet wird,
gibt es auch zwei mögliche Interpretationen.
Wir verwenden in der Bildverarbeitung entweder das additive Farbsystem,
dann sind Bildfunktionen so definiert,
dass wir hohe Werte der Bildfunktionen haben,
wo das Bild hell ist
Dunkle, wo es dunkel ist. Dass es eigentlich Bildfunktionen,
die dann genutzt werden, wenn wir etwas auf dem Bildschirm zur Anzeige bringen wollen.
Wir müssen eben den Elektronenstrahl, das zum Leuchten bringt oder
die Leuchtdiode, voll aufdrehen, um was zu sehen.
Also dann passt diese Darstellung, Adelivis-Farbsystem. Wenn wir die Bilder drucken,
wird meistens das subtraktive genommen, dann beschreibt die Bildfunktion,
wie viel Druckerschwärze aus Papier muss an der Stelle.
Dann haben wir das subtraktive Modell. Wenn wir Bildfunktionen lesen wollen und ein Bild als Datum bekommen,
sind also die Grundfragen, die wir erklären müssen,
wie liegt das Koordinatensystem und wie rum sind die Werte,
die die Funktionen liefert, zu verstehen, additiv oder subtraktiv.
Es gibt auch Darstellungen oder Repräsentationen von Bildern in der Bild-Files bekommen,
wo unsere Farbvektoren nicht als Vektor gesehen werden, sondern wir schlichtweg drei Einzelbilder bekommen.
Denn haben wir ein Bild als ein Vektor von drei Auszügen,
rot aus zu grün aus zu blau auszug und nicht an Einzelpixeln zusammengefasst, jetzt den Farbvektor.
Wir werden in der Vorlesung jetzt so lang den Dingen wir besprechen,
im Wesentlichen von Intensitätsbildern ausgehen und von reinen Grauturenbildern,
so über Farbe werden wir erstmal nicht so intensiv reden.
Das Bild hatten wir schon gesehen, als wir über Farbfehlsichtigkeit gesprochen haben. Also die Sicht,
ein Bild besteht aus drei separaten Wildern,
ist typisch für die TÜV-Repräsentation, TÜV-Compressionen für Bilder,
da werden eben die verschiedenen Auszüge einzeln nebeneinander in den Bildfall reingelegt,
dass deshalb, weil das TÜV ausgelegt ist dafür,
dass man Multikanal, Multispektralbilder haben kann.
Also Satellitenbilder mit zwölf verschiedenen Farbauszügen sind keine Seltenheit und
deshalb hat meinem TÜV gern die Bilder alle einzeln.
Wenn wir Bildverarbeitung betreiben werden, werden wir im Wesentlichen,
also was für Kurvendiskussionen machen, an der Bildfunktion dargestellt als Grauwertgebirge.
Wir stellen uns vor,
die Bildfunktion mit den Intensitätswerten aufgetragen über der XY-Grundebene und die Strukturen,
die im Bild sind, erkennen wir daran,
dass wir hier maximal und minimal der Bildfunktion haben,
wenn sie über dieser Grundebene aufgetragen ist
Wir decken eine ganz wichtige Annahme hinein für alle Mathematik,
die wir mit Bildern betreiben werden. Und diese Annahme ist,
dass wir davon ausgehen, Wildfunktionen werden aufgenommen durch einen physikalischen Sensor.
Die werden sich nicht computergrafisch technisch aus den Fingern gesaugt und frei erfunden,
sondern es sind, die Bilder entstehen,
indem man einen Sensor in die Szene hält,
ein Signal bekommt und das Signal aufzeichnet.
Und dann können wir Folgendes annehmen.
Die Bildfunktion gehe von XY
ist beschränkt
Der Funktionswert kann nicht kleiner als null sein.
Und es gibt einen maximal größten Wert. Warum können wir
das annehmen, wenn Bilder mit einem Sensor aufgezeichnet werden?
Weil unsere Videokamera in die Szene ist unser Kabel,
das geht in analog Digitalkonvert, das Bild wird aufgezeichnet.
Darum können wir annehmen, es gibt einen GMAX und null
ist die unterste Grenze
Ja, kann man so sagen. Kannst du anders formulieren
? Bestimmt. Hab Augen zur Verfügung und wir können nicht
heller als ganz hell und nicht dunkler, volle Sättigung.
Das machen wir den beschränkten Farbräumen, wenn wir davon ausgehen,
dass es beschränkt ist.
Das ist jetzt das gegenteilige Argument. Schlichtweg die Frage der Energie,
die ich zum Aufzeichnen von Signalen zur Verfügung steht, ja.
Erstmal, es gibt keine Möglichkeit, dass wir negatives Licht messen durch die Kamera.
Also entweder haben wir gar nichts, aber Ich kenne keine Kamera,
bei der die Umgebung aus der Kamera die Energie abzieht.
Also negativ geht es schon mal nicht. Das Zweite ist,
das geht Max mit all der Energie,
die im Weltall zur Verfügung ist, muss es einfach eingeben,
Max geben, mehr Energie kann nicht reinkommen.
Das ist die verfügbare Energie, die wir haben,
die in endlicher Zeit auf unseren Sensor treffen kann,
die es einfach beschränkt.
Sonst, was wir auf unserer Erde zur Verfügung haben,
beschränken wir es mal auf unseren Planeten.
Ja, da ist einfach nur endlich viel vorhanden.
Also es ist physikalisch unmöglich,
Bilder mit unendlicher Energie
zu erzeugen
Und das heißt, wir haben eine Beschränkung und für alle unsere Bildfunktionen werden wir annehmen.
Es gibt einen maximalen Wert, es gibt einen minimalen Wert,
der ist null. Und der letzte Satz,
den habe ich von Bernd Neumann von seinen Folien abgeschrieben,
weil ich den nett fand und überhaupt mathematisch problemlos.
Nunmit gemeint, es ist Bildfunktionen sind stetig,
sie sind differenzierbar und was immer wir uns an Eigenschaft wünschen,
ist gegeben. Denken Sie über zu Hause drüber nach,
warum man bei Signalen, die physikalisch aufgenommen werden,
davon ausgehen können sollte,
dass sie
stetig differenzierbar sind
Ja, das ist etwas, was wir einfach jetzt mal postulieren.
Und hier ist jetzt ein Bild aufgenommen, das wir im
Bild verarbeitungspraktikum häufig verwendet haben, so für erste Versuche.
Und wir sehen die erste Bildfunktion,
ich habe sie mit Pofrey hier dargestellt,
Pofrey kann ja ein Bild nehmen,
eine Bildfunktion und das in ein Höhengebirge oder wir verwandeln.
Ja, also das können Sie sehr gut nehmen,
um raue Oberflächen zu erzeugen.
Nehmen Sie irgendeinen GIF und lassen sich das als Hatefield darstellen.
Also das ist genau das,
Sie bekommen eine physikalische Objektoberfläche,
die die Höhe der Intensität
im Bild zeigt
Ja. Gut, jetzt sehen wir also hier das Bild.
Also hier unten sind die Werte. Null. Und
nach hier werden sie immer intensiver. Hier geht das Bild
jetzt in die Tiefe. Was stellt das Bild dar?
Ja. So ein paar Buchstaben ist im Alphabet.
Darum kann man High-J-Ta-Erden dauern. Mit der SDUV. So
ist es. Hoffen wir uns. Seetests bestanden. Vielleicht,
das können wir vielleicht alle erkennen, hier ist das kaufmännische und.
Ja. Hier ist öffnende Klammer, schließende Klammer.
Hier ein U, ein
Hier ist das S und das weiß ich jetzt gar nicht
mehr in Tee, ne? Ja. Das ist ein
Phabet eben. H-E. So, und hier inten wird's diffus.
Also hier sind wir in einem Teil des Bildes,
wo die Werte alle mit einem Mal niedriger sind,
was wir darin im Graubertgebirge gut sehen können, sind Beleuchtungsprobleme.
Bei der Aufnahme ist geschlampt worden. Die Kamera hat
das Bild nicht überall gleich hell ausgeleuchtet. Ja,
und man sitzt dann eben sofort, dass wir im Bild
hier hinten viel geringere Intensitäten haben, als wir fahren.
Und wir haben hier noch was. Unsere Buchstaben sind an
der Oberfläche im Graubertgebirge, alle so seltsam gesprenkelt.
Was ist das
Ja. Genau. Was wir hier sehen, ist das
Signalrauschen, ne? Weil wir eben einen echten Sensor haben,
das bildet mich computergrafisch generiert,
haben wir schlichtweg das Rauschen aus der Anlage vom Verstärker her.
Und vom Sensor selbst, der auch zufällige Variationen erzeugt.
Typischerweise, wenn wir Sensoren mit einer hohen Empfindlichkeit haben,
aber das Signal, was ankommt,
sehr gering ist,
sehen wir häufig
ein solches starkes Rauschen
Also wenn zu wenig Licht in der Szene ist,
dann ist der Anteil, das ist der Rauschanteil zum Signal
sehr viel höher und das macht das Interpretieren des Bildes dann schwieriger.
Okay, das ist das Original. Die Tafel,
die wir aufgenommen haben, ich habe hier das negativ gerendert,
um das null Plateau in Pafrit zu kriegen.
Und sie können hier vielleicht erkennen,
deshalb das Grauwerk übrigens in diese Richtung abgefallen ist,
hier ist es Grau statt Weiß,
in dem Bereich haben wir schön Weiß und da ist wenig Licht hingekommen.
Okay, damit Schluss für heute,
danke für die Aufmerksamkeit