So. Damit möchte ich jetzt auch gleich in die Vorlesung einsteigen.
Das heißt, bevor ich hier mit der Topologie beginne,
die wir ja für heute auf dem Programm hatten,
möchte ich ein kleines Experiment mit ihnen machen,
um das mich Frau Dreschler Fischer gebeten hat.
Frau Dreschler Fischer war ja, glaube ich,
in ihrer letzten Vorlesung damit angefangen, ihnen Farben zu erläutern.
Farben allgemein und Farben dann speziell in der Computergrafik,
ich weiß jetzt nicht genau,
wie weit sie da gekommen ist, aber sie meinte,
vielleicht könnten wir heute mal mit einem kleinen Experiment beginnen,
auf das sie sich dann hinterher beziehen kann.
Ich habe hier etwas aus unserer Spielzeugkiste mitgebracht. Ein sogenannter
Farbkreis ist hier dargestellt und darauf sehen Sie die Grundfarben,
die wir in der Computergrafik üblicherweise verwenden und die wir aus der Technik kennen.
Da haben wir zum einen rot, grün und blau.
Das sind die Farben, die bei Bildfirmen als Grundfarben
verwendet werden und aus denen alle anderen Farben gemischt werden.
Und dann haben wir dazu praktisch dazwischen geschoben,
die Farben züren, Magenta und Gelb, das sind die Farben,
die Farbdrucker verwenden, wenn sie Farben mischen.
Und wie dieses Farben-Mission vor sich geht, das sollte ihnen
Frau Breschler Fischer gesagt haben, oder sie wird es ihnen sagen.
Jedenfalls möchte ich da jetzt nicht eingreifen. Ich möchte nur
das kleine Experiment mit ihnen machen und die Farben einmal ganz praktisch mischen.
Was passiert eigentlich, wenn wir die Trägheit unserer Augen nutzen und
unseren Augen nahezu zeitgleich an ein und derselben Stelle im Raum
Diese sechs Farben darstellen. Hätten Sie eine Vorstellung davon?
Das ist ein schönes Experiment, das hat seinerzeit schon der Herr Goethe gemacht.
Johann Wolfgang von Goethe, geheimer Rat in Weimar.
Der hat ja gerne so naturwissenschaftliche Experimente auch gemacht.
Er war ja eben nicht nur Dichter,
sondern eben ein hoher Staatsdiener, unter anderem Bergassessor,
hat sich also mit dem Bergbau in thüringischen beschäftigt.
Und er hat eben auch mit Farben experimentiert und er hat
dieses Experiment auch einmal durchgeführt mit einem seiner Bekannten.
Und er hat ihm also ganz genau erläutert,
was passieren muss, wenn wir diese Farbscheibe ganz schnell drehen,
sodass unser Auge aufgrund seiner Trägheit,
Wahrnehmungsträgheit praktisch alle Farben gleichzeitig am selben Ort sind
Was meinen Sie, was da passiert, was wir wahrnehmen?
Sondern Theorie wäre es wahrscheinlich weißer,
aber der Frank ist wahrscheinlich grauer, sowas zu finden.
Was meinen die anderen? Probieren wir es einfach mal aus.
Ich versuche mal die Scheibe so schnell, ich kann es so drehen.
Und sie starren also mitten auf die Scheibe und versuchen
zu sehen,
was zu sehen ist
Irgendwann wird sie wieder langsamer, dann wird es sowieso langweilig.
Dann kommen sie nach und nach die skillten Farben wieder raus.
Aber irgendwann muss es mal am Anfang relativ schnell sein.
Wie saß im recht schnellen Zustand aus?
Eine gemischte Vaterlette, ja
Also wenn die Farben wirklich die reinen Grundfarben wehren und es mir gelänge,
diese Scheibe mit wahnsinnig hoher Geschwindigkeit zu drehen,
aber das gelingt mir ganz offensichtlich nicht, dann müsste,
wie Sie schon gesagt haben,
eigentlich der Farbeindruck weiß sein.
Dann überlagern sich alle Farben gemeinsam zu weiß.
Faktum ist, das hat, glaube ich,
noch nie jemand geschafft.
Irgendetwas klappt da
immer nicht
In den besten Fällen kommt also ein schöner Grauton dann dabei heraus.
Kein, keine verschommene Mischung aller Farben,
so wie es hier dann leicht passiert.
Also man müsste das als Schwungrad noch ein bisschen stärker ausbilden,
mehr Masse an den Rand bringen, damit es noch schneller dreht,
dann könnte das vielleicht hinkommen, dann müsste es.
Im Idealfall weiß werden,
zumindest aber grau
So, soweit zur Farbmischung. Die Theorie der Farbmischung macht Frau
Dreschler Fischer mit Ihnen. Ich stelle diese schöne Dinge jetzt mal wieder zur Seite.
Und wir wollen jetzt wieder zurückkehren zu der Stelle,
an der wir in der vergangenen Woche aufgehört haben.
Wir haben uns mit der Topologie beschäftigt. Wir haben gesehen,
wir mithilfe der Geometrie, die wir kennengelernt haben,
können wir die Form von Objekten von Gegenständen detailliert beschreiben, exakt beschreiben.
Aber das ist dann in einer relativ unaufgeräumten Formen,
in Anführungsstrichen, wenn wir im Bereich des begrenzungsbasierten Modellierens agieren.
Denn wir haben ja gesehen aus rein praktischen Gründen haben wir
die begrenzenden Oberflächen unserer Objekte in viele kleine Teilflächen zerlegt und
alle diese Teilflächen haben wir jeweils für sich in ihrer Form geometrisch genau beschrieben.
Und damit haben wir also praktisch so einen Berg von individuell beschriebenen Teilflächen Ich glaube,
mir war das Beispiel in der vergangenen Woche der schönen chinesischen Vase eingefallen.
Sie haben also eine schöne chinesische Vase,
das gute Stück fällt Ihnen auf den Fußboden,
zerspringt in hunderte von Färben und Sie haben die Aufgabe dieser vielen Scherben nun zusammenzufügen,
zu einer chinesischen Vase.
Jede Scherbe für sich hat exakt ihre geometrische Form,
die Sie haben soll, aber es ist trotzdem schwierig,
das Gesamte daraus wieder zusammenzusetzen,
wenn wir nur von der Form ausgehen
Ja, dann müssen wir also Seesorg sorgfältig detailform mit Detailform vergleichen und sehen, was passt eigentlich vorhin.
Ein recht komplexes Puzzle. Und wenn wir jetzt zusätzliche Informationen mit hineinnehmen,
praktisch Informationen, die uns beim Aufräumen,
beim Lösen des Puzzles hilft, dann können wir sehen,
aha, diese Scherbe passt an dem Rand zu der Scherbe.
Und diese Informationen schreiben wir zu den einzelnen Scherben dazu. Das heißt also,
unsere Topologie beschreibt die Nachbarschaftsbeziehungen zwischen den einzelnen Elementen,
die wir in unserer Objektbeschreibung bisher verwendet haben und sagt,
zum Beispiel, welches Flächenelement ist, welchem Flächenelement benachbart,
an welcher Kante stoßen, welche Flächenelemente zusammen,
welche Kanten bilden gemeinsam die Umrandung einer Fläche,
welcher Punkt ist anfangs- beziehungsweise Endpunkt von welchen anderen Kanten und alle diese Informationen stecken,
können wir in unserer Nachbarschaftsdoppologie unterbringen und damit können wir praktisch unseren Färbenhaufen aufräumen.
Das heißt also, wenn wir den Färbenhaufen finden,
brauchen wir uns nur noch an der Topologie zu orientieren und darauf vertrauen,
dass das stimmt und dann können wir die einzelnen Teile
wieder zusammensetzen und hinterher haben wir die Gesamtform unserer schönen,
wertvollen chinesischen Vase wiederhergestellt.
So, wir können die topologischen Beziehungen zwischen den einzelnen Elementen
in Form von Wertepaaren notieren und in einer Matrix aufschreiben.
Die Wertepaare sehen so aus, dass das erste Symbol des Wertepaares
immer ein Bezugselement darstellt und das zweite Symbol eine ihm benachbarte Gruppe.
Die Bezeichnungen, die wir verwenden wollen, sind P für Eckpunkt oder Eckpunkte,
K für Kante oder Kanten und F für Fläche.
Und wenn wir das in einer solchen Matrix notieren,
dann haben wir also praktisch hier zeilenweise in der ersten Zeile dasselbe Bezugselement,
nämlich den Punkt und die jeweilige benachbarte Gruppe sind
entweder Punkte oder Kanten oder Flächen
Zugselement, die Kante und als benachbarte Gruppe wieder Punkte,
Kanten oder Flächen. Und analog in der dritten Zeile das Ganze für
das Bezugselement Fläche. Und wenn wir das spaltenweise betrachten,
dann haben wir immer die gleichen benachbarten Gruppen,
untereinander stehen und das Bezugselement wechselt von Hierarchitsstufe zu Hierarchivstufe,
von Punkt über Kante Zufläche.
Ja, wir gesellschaftsbeziehung Die Punkte in Bezug auf einen Punkt,
das heißt also, welche Punkte sind einem Punkt benachbart,
schließen also über eine Kante an diesem Punkt an.
Oder direkt, welche Kanten sind an einem Punkt angeschlossen oder
welche Flächen sind Flächen, die einen Eckpunkt gemeinsam haben.
Und ganz analog für die anderen topologischen Elemente kannten und Flächen.
Wir müssen darauf achten, ja. Also eine Nachbarschaft von
Flächenflächen. Das kann ich mir jetzt irgendwie nur vorstellen,
ich habe ein Viereck und ich habe halt so einen Beschaffer,
der muss ja quasi wohl auch Projekte sind.
Ich bin dann auch die diagonalen aufgenacht hat oder nur halt
die rechts, links und oben, unten weggehen.
Es sind die benachbart, die eine gemeinsame Kante haben.
In der Regel. Ja, genau. Wenn Sie zum Beispiel an einen Würfel denken,
den Würfel von einer Seite ansehen, meinetwegen den Würfel,
ich habe jetzt keinen mitgebracht, aber ich denke,
einen Würfel haben Sie alle vor Augen.
Sie sehen die Seite an, auf der die 6 ist
, dann sind benachbarte Flächen. Die 2,
die 3, die 4 und die 5. Ja,
das sind dann die benachbarten Flächen dieser 6. Fläche.
Und die Fläche mit der 1, die liegt auf der
anderen Seite des Würfels, die ist nicht benachbart.
Also benachbart sind immer die Flächen,
die mit einer betrachteten Fläche eine gemeinsame Kante haben
Schreibt mal das Ganze meistens in einer Kurzform. Zum Beispiel,
wenn ich die Flächen in irgendeiner Form bezeichnet habe,
zum Beispiel die, wenn ich einen Würfel betrachte,
die Fläche mit der Sechs,
dann würde ich die mit F, Index 6 bezeichnen,
könnte ich also diese Konvention wählen und dann frage ich,
welche Flächen sind dieser Fläche benachbart und dann schreibe ich einfach eine Liste der Flächen die in dieser Fläche benachbart sind.
Und das wären dann zum Beispiel F2, F3,
F4 und F5. Wäre also die Liste der Flächen,
die der Fläche sechs benachbart sind.
Muss ich mal eben überlegen. Zwei. Ne, ist richtig,
ne? Zwei. Ja. Die Liste der Flächen,
die dann der Fläche sechs benachbart sind. Und das,
wenn ich das also generell für ein Objekt,
ein polyerdisches Objekt, aufschreiben würde, dann würde ich schreiben,
ich suche für die Flächen des Objektes, die Flächen,
die ihm benachbart sind.
Und schreibe die in eine entsprechende Liste. So,
wichtig ist bei der Topologie immer, dass die Beschreibung,
die da drin steckt, ausreichend ist.
Wir brauchen in der Regel für die topologische Beschreibung eines Modells oder eines Gegenstandes
gar nicht die komplette Matrix, die wir hier gesehen haben.
Das heißt, wir müssen nicht alle diese Nachbarschaftsbeziehungen notieren,
um die Nachbarschaftsbeziehungen in dem Gegenstand,
in dem Objekt oder in dem Modell, vollständig zu beschreiben.
Die Frage ist, was ist vollständig,
was ist eine ausreichende Beschreibung
Auch unterscheiden wir zwischen der theoretisch ausreichenden Beschreibung und der praktisch ausreichenden Beschreibung.
Und der Unterschied ist, dass wir sagen,
theoretisch ausreichend ist das absolute Minimum an Informationen,
dass wir benötigen, um die Nachbarschaftsbeziehungen vollständig und eindeutig zu repräsentieren.
Theoretisch ausreichend also das absolute Minimum. Das kann eine einzige
oder zwei von diesen Nachbarschaftsbeziehungen schaffen. Dazu brauchen wir nicht alle.
In der Praxis nimmt man in der Regel noch mehr mit dazu,
noch andere Nachbarschaftsbeziehungen mit dazu, die also über das absolute Minimum hinausgehen.
Denn da kann es durchaus passieren, zum Beispiel,
wenn man im Rahmen eines geometrischen Modelliersystems interaktiv arbeiten muss,
dass bestimmte Nachbarschaftsbeziehungen sehr häufig angefragt werden.
Und dann sollten die explizit abgelegt sein, auch wenn man
sie himplizit praktisch aus anderen Nachbarschaftsbeziehungen, die man beschrieben hat, deduzieren könnte. Ja,
das heißt also, wir packen da ein bisschen Redundanz mit hinein,
damit man, besonders wenn man viele tausend von Elementen hat,
deren Nachbarschaftsbeziehungen man untersuchen muss, dann packen wir da Redundanz mit hinein,
sodass diese häufig nachgefragten Nachbarschaftsbeziehungen auch direkt gefunden werden können,
ohne dass man sie noch einmal ableiten muss aus anderen Nachbarschaftsbeziehungen,
die schon gegeben sind.
Und das ist also das,
was wir als praktisch ausreichende
So, ich möchte jetzt einmal auf die dopologischen Elemente im Einzelnen
eingehen und versuchen Sie, ein kleines bisschen zu definieren.
Dazu wollen wir zunächst einmal einen Begriff einführen,
der in der angelsächsischen Literatur meistens unter der Bezeichnung Solid Objects oder einfach Solids kursiert.
Solid hört sich irgendwie sehr solide an,
also sowas wie ein Ziegelstein oder irgendein Gegenstand,
bei dem man also merkt, wenn man darüber stolpert,
dann tut es kräftig weh im Fuß.
Das hört sich solid an. Das muss nicht unbedingt sein.
Ich habe das mal, das wäre also so etwas wie ein fester Körper.
Ich habe das Fest bewusst in Anführungsstriche geschrieben. Ich würde also einfach sagen,
das sind realisierbare Gegenstände, das sind Objekte mit zusammenhängenden,
geschlossenen und orientierbaren Oberflächen. Also so eine schöne,
dicke Kumulus-Wolke am blauen Sonnerhimmel würde ich in dem Sinne dann auch als ein Solid betrachten,
als einen solchen festen Körper in dem Sinne,
in dem wir uns damit beschäftigen, obwohl das Ding so fest nicht ist,
das merkt man spätestens, wenn man aus dem Flugzeug aussteigt,
dass oberhalb der Wolke gerade fliegt und runterfällt und hofft,
dass die Wolke einen sanft auffällt.
Sie wird das nicht tun
Das heißt also, da ist es sehr leicht,
dass man dann durch einen solchen festen Körper hindurch fällt und
gar nicht so recht bemerkt, dass er überhaupt da gewesen ist.
Aber optisch, von hier unten aus betrachtet,
am schönen blauen Sommer hin, können wir große, schöne Gumulus-Walken sehen.
Und die sehen dann so aus, wie Objekte mit Zusammenhängenden und Orientierbaren Oberflächen. Orientierbar,
den Begriff hatten wir auch schon kennengelernt, bedeutet,
dass wir bei dem Objekt anhand seiner Oberfläche oder an der Oberfläche des Objektes sehen können,
was innen und was außen so ist.
Das heißt also, welche Seite der Oberfläche ist die Seite,
die zur Außenwelt hingerichtet ist.
Das Objekt also nach außen hin abgrenzt und welche Seite der
Oberfläche ist praktisch zur Innenseite, zur Materie des Objektes hingewandt.
Das ist orientierbar. So, solche Oberflächen dürfen in unserer Definition,
in der wir diese Objekte, die Solid Objects betrachten,
sich nur an den Grenzen benachbarter Flächen schneiden.
Das heißt also, die einzelnen Oberflächenelemente sind begrenzt durch ihre
Kanten und da stoßen sie zusammen.
Und ansonsten gibt es keine mathematische Schnittlinie zwischen diesen Objekten,
zwischen den Teilen dieser Flächen, die wir für die Gesamtoberfläche unseres Gegenstandes verwenden.
Das heißt also, wir lassen keine Selbstdurchdringung der Flächen zu.
Nicht eine Fläche, die also irgendwie so verläuft,
dann sich selber trifft und auf der anderen Seite dieser Kante dann weiterläuft,
die gibt es nicht.
Die ist nicht zugelassen für unsere Objekte
Flächen dürfen aber einfach oder mehrfach zusammenhängend sein. Wichtig ist,
dass jeder die Umgebung eines jeden Punktes der Fläche in eine Ebene abbildbar ist.
Das heißt also, sie muss zweidimensional mannigfaltig sein.
Und einzelne Flächenelemente keine Griffe haben, das heißt also,
da darf keine irgendwie geartete Schlaufe aus einem Flächenelement herauskommen und wieder im Flächenelement verschwinden.
So, und kannten schneiden sich auch nur an gemeinsamen Endpunkten,
das heißt also eine Kante,
kann an eine zweite Kante anstoßen, in einem wohldefinierten Endpunkt.
Eine Kante darf nicht so etwas machen. Da
noch ein Schnittpunkt mit sich selbst haben oder zwei Kanten,
die so verlaufen, dürfen auch keinen Schnittpunkt haben,
der nicht als Punkt explizit definiert ist.
So, in diesem Sinne ist eine kleinste Flasche
keine Fläche dieser Definition
Wer hat noch keine kleinische Flasche gesehen?
Okay. Hat schon mal jemand einen Möbius-Band gesehen?
Okay, wir hatten noch keinen Möbius-Band gesehen. Okay,
dann müssten wir noch solche Dinge vielleicht auch noch mal kurz
ansehen für diejenigen, die es noch nicht gesehen haben.
Also, der Herr Klein war Mathematiker und er hat sich auch mit Topologie
sehr intensiv beschäftigt und nach ihm ist eine Fläche benannt,
Genau diese Eigenschaften nicht hat.
Die kleinste Flasche ist eine Fläche, die nicht orientierbar ist.
Und die kleinste Flasche ist eine Fläche, die sich selbst durchdringt.
Und wir können uns eine kleinste Flasche so vorstellen,
dass wir eine normale, sagen wir so, eine bauchige Flasche nehmen.
Ach, ich habe ein Foto davon gemacht von unserer Ölflasche.
In unserer Akquise. Wir nehmen so eine bauchige Flasche
Mit einem langen Hals, nur weil es praktisch ist,
dass er schon so ein bisschen lang ist.
Denn wenn der so schön lang ist, dann ziehen wir
noch ein bisschen dran, ziehen den also immer länger.
Und dann biegen wir ihn um und stecken ihn seitwerts,
seitwärts durch die Flaschenwand hindurch und schieben dann die Öffnung
des Flaschenhalses hier unten auf den flaschen Boden.
Und wenn wir da angekommen sind,
dann piepen wir da unten in den Flaschenboden auch noch ein Loch,
sodass diese Öffnung von unten zugänglich ist
Und das Ergebnis ist eine kleine Schiffflasche. Können Sie mal ausprobieren,
wenn Ihre Eltern zu Hause auch seine Ölflasche haben,
können Sie es mal ausprobieren. Vielleicht machen Sie sich Ärger
damit. Ich habe das nicht mit unserer Ölflasche gemacht.
Dieses Foto habe ich woanders gefunden. So. Diese Flasche,
diese Fläche, hat die Ausdehnung, die dicke,
null, es ist ja einfach nur eine Fläche,
hat also die dicke null.
Die Fläche hat offensichtlich die Eigenschaft,
die sie sich selbst durchdringt
Ja? Dieser Flaschenhals durchdringt die Flaschenwand. Und diese Fläche
hat die Eigenschaft, dass sie nicht orientierbar ist.
Es gibt so eine schöne Grafik von dem Künstler Escher,
auf dem er ein Möbiusband darstellt.
Auf diesem Möbiusband laufen Ameisen in Längsrichtung herum. Und wir können,
wenn wir den Ameisen folgen, sehen,
dass die Ameisen mal auf der Oberseite mal auf der Unterseite dieser Fläche sind,
ohne dass sie irgendwo Mal durch die Fläche hindurch, die fundiert sind.
Etwas Ähnliches passiert hier, wenn wir uns vorstellen,
wir fangen am Flaschenboden an und betreten vom Flaschenboden her den Hals der Flasche.
Dann sind wir also im Inneren des Flaschenhalses.
Wir gehen im Inneren des Flaschenhalses hoch und landen im Inneren
der Flasche
Vorher waren wir außerhalb. Wir sind also außerhalb am Boden
des Flaschenhalses von außen, in den Flaschenhals hineingegangen.
Und sind auf einmal im Inneren der Flasche,
ohne dass wir in dem Sinne die Flaschenwand durchbrochen hätten.
Aber da die Fläche einander durchdringen,
sind wir praktisch der durchdringenden Fläche gefolgt und sind innen gelandet.
Genauso können wir jetzt praktisch hier außen auf dem Flaschenhals entlang wandern und hier weitergehen.
Und dann sind wir auf einmal wieder außerhalb der Flasche.
Das heißt also, wir können praktisch ständig wechseln zwischen der
einen Seite dieser Fläche und der anderen Seite dieser Fläche,
ohne in dem Sinne die Fläche zu durchstoßen.
Das bedeutet also, die Kleinschiffflasche ist eine nicht orientierbare Fläche.
Es gibt in dem Sinne keine Innen- und keine Außenseite.
Hier habe ich nochmal eine Kleinschiffflasche gebastelt als Bisblein-Flasche.
Wir haben ja Bisblein-Flächen schon kennengelernt in der vorigen Woche.
Da habe ich diese Stützpolygon vorgegeben und dazu die passende Bisblein-Fläche berechnet.
Und das ergibt dann diese Fläche,
die vom Prinzip her auch der Fläche der Kleinschiffflasche entspricht.
So, jetzt möchte ich einmal die topologischen Elemente im Einzelnen durchgehen,
wie wir sie für solche Solid-Objects, für solche festen Körper verwenden.
Da wäre zum Ersten einmal das Modell,
das Modell ist eigentlich in dem Sinne kein topologisches Element,
sondern für uns als Informatikerinnen und Informatiker praktisch die Wurzel eines Baumes,
der Aufbewahrungsort aller anderen topologischen Elemente,
die wir in einem geometrischenmodell verwenden wollen,
die darin enthalten sind.
Ein solches Modell, die besteht aus mindestens einer Rego.
Und das ist eigentlich in dem Sinne
Davon gibt es in einem Modell mindestens eins,
wenn unser Modell ansonsten noch völlig leer ist und nichts weiter enthält,
dann enthält es aber ein Raumvolumen, nämlich das unendliche Universum.
Das ist das Raumvolumen, das immer da ist,
mit dem wir immer anfangen.
Und dann legen wir in dieses unendliche Universum unser erste Region,
die gegen diese Außenwelt abgegrenzt ist.
Und dann haben wir also
zwei Regionen mit einer begrenzenden Fläche zwischen den beiden
Also eine Region ist ein Raumvolumen. Davon haben wir eins
, mindestens im Modell. Und wenn wir ein Objekt erzeugen
in unserem Modell, dann haben wir mindestens zwei Regionen,
nämlich eins für das Objekt eins für die Umgebung.
So, und eine solche Region hat in der Regel
eine Begrenzung und diese Begrenzung nennen wir eine Schale.
Ich habe mal eine Region fotografiert. Dieser Golfball wäre ein
Modell, das besteht aus zwei Regionen und zwei Schalen.
Die eine Region ist die Materie des Golfballs,
die andere Region ist das Universum um den Golfball herum.
Und die eine Schale begrenzt den Golfball gegen das Universum, gegen die Außenwelt.
Und die andere Schale begrenzt die Außenwelt gegen den Golfball. Ja,
wir müssen ja gerecht sein, wenn wir den Golfball wegnehmen,
dann muss an der Stelle zunächst mal noch ein Loch bleiben.
So, hier habe ich dann das Schalenkonzept mal ein bisschen detaillierter dargestellt.
Wir haben hier drei Darstellungen. Einmal haben wir eine Region
mit einer Schale. Hier haben wir eine Region mit zwei
Schalen. Da habe ich nämlich keine massive Presse
Google dargestellt. Diese hohle Kugel hat eine Schale nach außen hin,
zur umgebenden Welt und eine Schale nach innen zu dem Hohlraum,
den sie in ihrem Inneren hat.
Und wenn ich jetzt in diese hohle Kugel,
diese blaue Google hineinstecke, dann, also dieses hier ist eine geschlossene,
hohle Kugel, ich habe die nur aufgeschnitten,
damit wir sehen können, dass sie ihnen hohl ist.
Das ist eine geschlossene, hohle Kugel. Wenn ich jetzt in
den Innenraum dieser geschlossenen, hohlen Google die blaue Kugel hineinstecke,
dann habe ich zwei Regionen, nämlich die geschlossene,
hohle, rote Kugel und da drin die massive blaue Kugel.
Und ich habe insgesamt drei Schalen, nämlich die äußere Schale der roten Kugel,
die innere Schale der roten Kugel und die äußere Schale der blauen Kugel.
Das heißt also, ich habe da zwei Regionen mit drei Schalen.
Ich habe dabei jetzt das Universum nicht mehr berücksichtigt,
sondern erst mal nur mein Augenmerk gerichtet auf diese drei Kugeln beziehungsweise hohl Kugel.
Okay. Hier habe ich noch so einen Gegenstand.
Wenn wir das Ganze als ein Modell betrachten,
bei dem wir eine gläserne Kugel haben,
in der sich dieser Laubfrosch aufhält, dann haben wir ein Modell,
bestehend aus drei Regionen und vier Schalen.
Warum? Hier habe ich noch so einen Regionen,
müsste ich das empfehlen, dass es möglich ist,
die Kugel der 1-Region,
die macht das Universum als Geldregion
Cool. Und eine Kuppel gegen Frosch jeweils mit zwei Strahlen begrenzt.
Also einmal schaut er auf den ganzen Blick in die Kugeln
, ein großartiges Universum, genau.
Genau. Ja? Ja. Das ist ein Beispiel,
wo einem eben mehr als zwei Schalen.
Ja, kann sich hier mal so ein Objekt vorstellen,
das mehr als zwei Schalen hatten kann
Zum Beispiel. Ja. Wobei wir darauf achten müssen,
wie die verteilt sind. Also, ein typisches Objekt,
das mehr als zwei Schalen hat, wäre so ein Leib ementaler Käse.
Ja. Da haben wir die äußere Schale,
das ist das, was man in der Regel auch nicht mitisst,
wenn man den These aufschneidet.
Und dann wissen wir ja alle, so ein Käseleib,
spezielle Ammentaler-Käse, der zeichnet sich da durchaus,
dass er mehr oder weniger große Gasblasen in seinem Inneren hat
Die da irgendwie ungleichmäßig verteilt sind. Und das sind jeweils
für sich individuelle Schalen des gesamten Käses. Das sind dann,
in dem, ja genau, das kommt jetzt darauf an,
wie wir den Inhalt dieser Gasblase betrachten. Wenn wir sagen,
wir packen da, um es uns einfach vorzustellen,
einen Gegenstand hinein, meinetwegen eine Plastikkugel oder so,
was sind jede dieser klar, dann sind es auf jeden Fall zwei.
Aber wir können natürlich auch sagen, dass Gas in dieser Blase
hat auch ein eigenes Recht, einen Körper zu bilden.
Und das hat natürlich dann auch eine Oberfläche, eine Schale.
So, damit sind wir also, haben wir den Begriff der Schale geklärt.
Die Schale ist also die orientierte Begrenzung jeder Region.
Wir sehen damit auch gleich, dass die kleinste Flasche eben
nicht als Schale in dem Sinne dienen kann,
weil sie eben nicht orientierbar ist.
Dann haben wir schon gesehen anhand des Emmentaler Käses,
dass eine einzelne Region auch mehr als eine Schale haben kann.
Also zum Beispiel eine äußere Schale und diverse innere Schalen.
Der nächste Begriff, mit dem wir zu tun haben,
in der Topologie ist der Begriff der Fläche oder des Flächenelementes,
eine Fläche ist ein begrenzter Teil einer Schale
Wenn Sie jetzt wieder an das Beispiel denken, das ich
ganz am Anfang in der Einführung der begrenzungsbasierten Modellierung genannt habe.
Da habe ich Ihnen ein Bild von meinem alten Auto gezeigt.
Und wir haben da die Oberfläche des Autos aufgeteilt in Teilflächen
und haben gesagt, diese Aufteilung geschieht aus funktionalen Gründen.
Die Windschutzscheibe zum Beispiel bildet eine funktionale Einheit.
Die Motorhaube bildet eine andere funktionale Einheit.
Die Motorhaube hat eine gemeinsame Kante mit der Windschutzscheibe.
Das heißt, die beiden schließen also aneinander an
Und alle zusammen bilden natürlich die Schale, die Außenhaut meines Automobils.
Das heißt, wir haben also unterschiedliche Flächen, Windschutzscheibe,
Motorhaube, Kotflügel, Dach und so weiter.
Das sind jeweils begrenzte Teile der gesamten Schale und alles,
was man von außen sehen kann,
ist also praktisch die Schale meines Automobils.
Eine solche Fläche, eine Teilfläche,
ein begrenzter Teil einer Schale,
hat natürlich
auch eine Orientierung
Damit kann ein Möbius-Band keine Fläche sein. Wir wollen gleich
den Begriff des Möbius-Bandes auch nochmal ansehen. Und was auch
noch wichtig ist, eine Fläche enthält ihre Begrenzung nicht.
Eine Fläche als Fläche in der Dopologie bezeichnen wir nur,
dieses Flächige Ding. Und die Grenze der Fläche,
also die Kante, die die Fläche gegen ihre Nachbarfläche abgrenzt,
ist nicht Bestandteil der Fläche.
Die Begrenzung der Fläche ist ein eigenes opologisches Element, das wir die Umrandung nennen.
Und eine Umrandung ist eine orientierte und zusammenhängende Begrenzung einer Fläche.
Damit haben wir also die beiden sorgfältig voneinander getrennt.
Die Fläche ist ein Ding, ihre Begrenzung ist ein anderes Ding.
Genauso, wie wir das Volumen von seiner äußeren Schale getrennt haben.
Die Region ist eintopologisches Ding, ein dreidimensionales Ding,
die Begrenzung der Region, die Schale ist ein anderes topologisches Element,
ein zweidimensionales topologisches Element.
So, jetzt war aber hier irgendwo noch vorhin
ein Finger hochgegangen
Wenn ihr jetzt auch mal schreibt,
jetzt ging um eine zweite Erforderung und hättet ihr abgestehenden Kugelherrn.
Warte mal vor. Da war nämlich die erste Erwichtigung,
da habe ich noch eine Schale. Und wir haben uns jetzt leider frei einig,
da haben wir ja gesagt, das ist meine OP,
nehmen wir zwei Schalen, draußen und nach hinten,
es gibt, glaube ich, ein Universum.
Ich habe hier das Universum weggelassen. Ja, ich habe
also hier nicht ein Modell. In diesem Fall,
im nächsten Schritt habe ich wieder gesagt, hier habe ich ein Modell.
Ja, und da kommt das Universum natürlich mit ins Spiel.
Hier habe ich jetzt nur die Schalen für sich betrachtet und
die Regionen für sich betrachtet.
Ein Möbiusband, wer kannte das Möbiusband nicht?
Okay. Ich habe einen Möbius-Band mal mitgebracht. Das heißt,
ich habe kein Möbiusband mitgebracht, sondern ich habe einfach einen rechteckigen Papierstreifen mitgebracht.
Und diesen rechteckigen Papierstreifen kann man in ein Möbiusband verwandeln.
Indem man die Enden dieses Papierstreifens zusammenfügt. Wenn ich die
Enden so zusammenfüge, Dann habe ich eine zylinder Schifffläche.
Ja. Diese Fläche ist orientiert. Sie hat ein Außen
und ein Innen. Diese Fläche hat zwei Ränder,
einen Rand hier herum und einen Rand auf der anderen Seite daherum.
Das ist kein Möbius-Band. Wenn ich aber jetzt
diese beiden Enden um 180 Grad gegeneinander verdrehe und zusammenfüge
Dann habe ich diese Fläche. Und diese Fläche ist ein
Möbiusband. Nach Herrn Möbius, einem anderen Mathematiker benannt.
Und diese Fläche hat wie die kleinste Fläche die Eigenschaft,
dass sie nicht orientiert ist oder nicht orientierbar ist.
Und diese Fläche hat also der Herr Escher ein Grafikkünstler,
mal zur Grundlage genommen, eines seiner skurrilen Bilder zu malen.
Er hat da so große Ameisen so ungefähr in Relation zu der Fläche,
so große Ameisen draufgesetzt, um zu zeigen,
Wenn hier eine Armeise sitzt, hier oben auf diesem Möbiusband,
und hier runterwandert auf dem Band,
kommt sie also irgendwann hier unten an,
wandert da weiter.
Und ist da auf einmal da oben an der Unterseite.
Es ist immer auf der Fläche gewandert.
Sie ist nie über den Rand hinweg gekrabbelt.
Sie ist nie durch die Fläche hindurchgestanzt,
sondern sie ist einfach nur immer auf der Fläche weitergelaufen.
Ich laufe jetzt nochmal hier weiter
Dann bin ich auf einmal da und es muss ich
mich langsam verbiegen und komme da oben wieder an
und bin also wieder auf der Oberseite.
Das heißt also, wir können die beiden Seiten,
die wir zu sehen glauben, eigentlich nicht voneinander unterscheiden.
Es ist ein und dieselbe Seite der Fläche.
Noch eine Frage. Wie viele Ränder hat das Möbiusband?
Bei dem Zylinder,
den ich vorher gebastelt habe,
bei dieser Fläche hier
Haben wir gesehen, die hat Zweirände,
einen Rand auf der Seite und einen Rand auf der Seite.
Eindeutig zwei voneinander getrennte Wände. Wenn wir ein Möbiusband machen,
wie viele Ränder diese Fläche?
Wer bietet mir? Ich nenne die selbst auch eins
an.
Nein. Ein. Ja, das können wir auch wieder leicht sehen,
wenn ich hier auf dem Rand hier oben beginne,
immer auf dem Rand entlang zu gehen.
Hup, Entschuldigung. Dann lande ich hier auf dem quasi
anscheinend gegenüberliegenden Rand. Gehe ich weiter? Komme ich wieder
an der gleichen Stelle raus, an der ich gestartet habe.
Ja, das heißt also, wenn ich scheinbar zweimal um
diese Fläche herumgehe, komme ich an meinem Ausgangspunkt wieder heraus.
So, ich habe es Ihnen auch nochmal in die Folien mitgebracht,
damit Sie sich auch zu Hause nochmal ansehen können.
So, die Umrandung, die Umrandung besteht normalerweise aus einer
alternierenden Folge von Punkten und Kanten.
Es gibt auch Sonderfälle, in denen eine Flächenumrandung nur aus
einem einzigen Punkt besteht
Und so wie wir vorhin im dreidimensionalen gesehen haben,
dass eine Region eine oder mehrere Schalen haben kann,
so kann eine Fläche auch eine oder mehrere Umrandungen haben. Ja,
wenn wir wieder zu unserem Beispiel mit dem Emmentaler Käse,
ich hoffe,
sie haben alle schon Mittag gegessen und in Knott jetzt nicht der Magen,
wenn wir die ganze Zeit über Delikaten emmentaler Käse sprechen,
wenn wir an unser Beispiel von dem Emmentaler Käse wieder zurückdenken,
wir nehmen so ein Käseleib und schneiden ihn
schön gerade bei euch
Euch. Dann erhalten wir eine Schnittfläche. Und diese Schnittfläche hat eine äußere Umrandung.
Da, wo wir die äußere Winde unseres Käses geschnitten haben.
Und sie hat eine ganze Reihe von inneren Umrandungen,
überall da, wo wir Gasblasen getroffen haben.
Und eine solche Fläche, die also neben der äußeren Umrandung
auch noch innere Umrandungen von Löchern, von Aussparungen haben,
eine solche Fläche nennen wir, eine mehrfach zusammenhängende Fläche.
Eine solche Fläche hat also mehrere Umrandungen. So,
das nächste topologische Element ist die Kante. Die Kante ist
ein begrenzendes Kurvensegment, ein Stück einer Umrandung und eine Kante
ist ihrerseits dann wieder begrenzt an jedem Ende durch einen Punkt.
Und da kann es im Prinzip auch sein,
dass eine Kante an ihren beiden Enden durch einen und denselben
Punkt begrenzt ist, dann haben wir einen solchen Fall.
Hier beginnt sie, unterendet sie. Das ist durchaus denkbar und legitim. So,
wenn wir die topologischen Elemente, die wir jetzt kennengelernt haben,
noch einmal geordnet zusammenfassen, dann sehen wir, wir haben hier Grundelemente,
Kanteflächen, Regionen und hier ganz offensichtlich begrenzende Elemente,
nämlich Punkte, Umrandungen, Schalen.
Die Punkte begrenzen, kannten oder umgekehrt, die Kanten sind
begrenzt durch Punkte, die Umrandungen sind zusammengesetzt aus einzelnen Kanten.
Das kann eine Kante sein, können auch mehrere Kanten sein.
Es könnte sogar null Kanten sein, hatten wir ja vorhin gesehen,
wenn wir eine Flächenbegrenzung haben, die nur aus einem Punkt besteht.
Wir werden uns nachher so ein Beispiel ansehen.
Die Umrandungen ihrerseits begrenzen Flächen, das heißt,
Flächen sind begrenzt durch Umrandungen.
Flächen,
setzen und element
Dann sind wir also dann nochmal in nett aufgeräumter Form,
die topologischen Elemente in den unterschiedlichen Dimensionen, nudimensional,
eindimensional, zweidimensional und die Region dann dreidimensional betrachten.
So, ob innerhalb eines Modelles, dass man mit einem Geometriemodellierer bastelt,
die Topologie stimmt, das kann man mit einer Formel überprüfen,
die unabhängig voneinander Herren Euler und Frankaré entwickelt haben.
Und die im einfachen Fall, wenn wir also einfach zusammenhängende,
feste Körper betrachten, also einfach zusammenhängende Solids, so aussieht,
die Menge der Punkte, minus Menge der Kanten, plus Menge der Flächen ist gleich zwei.
Und wir werden gleich mal anhand von Beispielen prüfen, ob diese Formel stimmt. Wenn unser Objekt durchgehende Aussparungen hat,
wie zum Beispiel ein Torus, oder mein Teebecher,
oder meine Espresso-Tasse, dann wird diese Formel ein wenig erweitert,
dann ist nämlich die Menge der punkte-menge der Kanten,
plus Menge der Flächen, gleich zweimal 1-minus Genus,
und Genuss ist also so ein norphologisches Klassifizierungsmerkmal, das uns sagt,
wie viele durchgehende Aussparungen in meinem Objekt zu finden sind.
Also wie viele, wenn wir so wollen, Griffe meine Tasse hat. So,
wenn wir dann auch noch weiterhin berücksichtigen, dass wir kannten,
zu Umrandungen zusammenfügen können, das heißt,
dass Umrandungen aus einer Folge von Kanten bestehen,
dass wir Schalen haben, die unsere Regionen begrenzen,
dass also Flächen zu Schalen zusammengesetzt werden können,
dann können wir diese Euler-Pornca-Reformel noch ein Stück weiter fassen,
und dann ist die Menge der punkte-menge der Kanten plus Menge der Flächen,
minus Differenz aus Umrandungen und Flächen gleich zweimal Anzahl der Schalen-Anzahl
der des Genuss
So. Mehrfach zusammenhängende Flächen,
wenn wir die in dieser Form betrachten wollen,
das Umrandungsprinzip also nicht mit berücksichtigen,
dann können wir mehrfach zusammenhängende Flächen so betrachten,
dass wir sagen,
wir haben eine äußere Umrandung,
wir haben unsere Aussparungen im Inneren der Fläche
und wir verbinden diese Aussparungen im Inneren der Fläche mit den
Äußeren Umrandungen
Das heißt also, diese Umrandung dieser Aussparung, die hängen wir da so dran?
Die Umrandung dieser Aufsparung hängen wir da so dran und die
Umrandung dieser Aussparung hängen wir praktisch indirekt an die Äußere,
indem wir sie hier dranhängen.
Damit wird diese Fläche einfach zusammenhängend,
denn wir können jetzt an irgendeinem äußeren Eckpunkt beginnen,
die Fläche umwandern und die Materie der Fläche immer auf derselben Seite behalten.
Wenn ich also da beginne, hierhin wandere,
dann ist Das ist die Fläche links von mir.
Hierhin wandere, ist die Fläche links von mir.
Dann wandere ich hier rein, die Fläche bleibt weiter links von mir,
wandere hierhin, sodass die Fläche links von mir bleibt.
Und da wieder raus. Und dann gehe ich
so weiter und das Gleiche mache ich hier hinten.
Und sie sehen, auf die Weise,
um wandere ich die Aussparungen im Entgegengesetzten Wandersinn meiner Äußeren Umrandung.
Die äußere Umrandung, die bin ich praktisch
mathematisch positiv umfahren
Die inneren Umrandungen, die umlaufe ich, mathematisch,
negativ, damit die Fläche immer auf derselben Seite bleibt.
Das ist das Wichtige. So, ein paar Beispiele.
Untertitel der Amara.org-Community So, ich habe Ihnen die Heuler Porncaree-Formel
in Ihren unterschiedlichsten Ausprägungen noch einmal an die Tafel geschrieben.
Und wir wollen die einmal betrachten für den ersten Fall der Kugel.
Wie viele Punkte haben wir?
Eine ist geboten
Sie bieten auch einen. Zwei bieten ein.
Wer bietet mehr? Gar keiner? Okay. Wenn Sie
einen bieten, wie kommen Sie auf einen?
Was eigentlich ist und ich hoffe, ich keine Kante habe,
deswegen, dass ich es verheben muss.
Irgendeine Begrenzung muss eine Fläche haben. Nicht,
da die Fläche enthält ja das Doppologische Element Fläche,
enthält ihre Begrenzung nicht, hatten wir gesehen.
Das heißt,
wir brauchen eine Begrenzung
Die Begrenzung ist eine Umrandung, die Umrandung in unserem Fall
ist ganz klein, nämlich ein Punkt.
Also die Anzahl der Punkte ist eins, die Anzahl der Kanten.
Es geht um Ramen, was er kannte, dann auch ein.
Ja, aber die ist nicht da. Das heißt,
die Umrandung, wir hatten gesagt, die Umrandung kann auch
aus einem Punkt bestehen, dann brauchen wir die Kante nicht.
Null. Wie viele Flächen? Wer kann das im Kopf? So,
wir sehen in dem schönen einfachen Fall einer Kugel haben,
sowohl Herr Eule als auch Herr Pornkerw-Wecht.
Wie sieht es mit dem Würfel aus? Wie viele Punkte hat
der Würfel? Ach. Okay. Wie viele Kanten?
Haben Sie schnell gezählt. Bitte? Achso, okay.
Wie viele Flächen? Klicks. Ah, okay. Sieht aus, als wäre das auch richtig, ne? Ja,
ja, ja, ja, ja, ja,
ja, ja.
Also für diejenigen, die es nicht gut sehen können
Pyramide auf quadratischer Basis. Fünf, ja. Kannten.
Flächen? Fünf. Macht? Sieht auch richtig aus,
ne? So, das nächste soll ein Toros sein.
Wie viele Punkte hat ein Boris? Ich habe ihn da
schon so kleine Hilfsmarkierungen reingemalt,
damit wir
den Toros zerlegen können
Ein Punkt, okay. In dem Fall, in dem
wir einen Punkt annehmen, wie viele Kanten hat er dann?
Den Punkt sehen Sie alle. Theater. Der Schnittpunkt dieser
beiden gelben Linien. Wie viele Kanten hat er dann?
Okay, hier werden zwei geboten. Sie nicken alle wohlgefällig
. Die gelben. Bitte? Die ist genauso da oder
nicht da, wie dieser Punkt. Die Google hat,
die haben wir nicht weiter aufgelöst. Wir haben gesagt,
die Kugel ist begrenzt. Die Kugelfläche ist begrenzt durch hierer
Umrandung. Und als Umrandung haben wir einen Punkt gewählt.
Das ist also konsistent mit unseren Definitionen. Beim Tourus geht
das nicht, weil der Tourus eine durchgehende Öffnung hat.
Das heißt also, wir müssen diese durchgehende Öffnung irgendwie auflösen.
Also zwei Tanten sind geboten.
Gleich. Ich nehme an, das haben Sie auch alle
ausgerechnet, oder? Wir müssen zwei Nullkanten fallen.
Was ist die richtige Begründung dafür für dieses Ergebnis?
Geben Sie es ein, sollen wir ein Loch haben,
also nutzen wir die andere Form,
wir sammen zweimal eins minus G,
Genau. Das Genuss in diesem Fall ist eins, weil wir
eine durchgehende Öffnung haben. Und damit gilt also die zweite Form,
da steht dann auf der rechten Seite zweimal 1-g,
gehe es gleich eins, also zweimal null, ist null,
das heißt also, unsere Euler-Porn-KW-Formel stimmt auch.
So, das nächste muss ich vielleicht ein kleines bisschen erklären,
die nächste Reihe von Objekten
Da haben wir einfach diesen Würfel genommen und ein wenig herausgestanzt.
Im ersten Fall haben wir aus dem Würfel praktisch von vorne nach hinten
ein Quader herausgeschoben. Ist das vorstellbar? Ich habe also
praktisch so ein quadratisches Loch hier reingesägt, in die vordere Fläche,
in die hintere Fläche ebenfalls und dann den Würfel Teil,
der dazwischen steckt, nach hinten rausgeschoben, der ist weg.
Damit habe ich, wenn ich so will, etwas,
das topologisch gleichwertig diesen Torus ist.
Ich habe einen Gegenstand des Genuss 1. Einen Gegenstand mit einer durchgehenden Aussparung.
Damit entspricht das also einem Torus oder meinem Teebecher oder meine Espressotasse.
Wenn wir diesen Gegenstand betrachten und ihn der passenden Euler Porn-Karif-Farmel unterwerfen.
Wir sehen ja die Formel in der ersten Zeile,
die erste Farm der Farmel gilt hierfür nicht,
weil wir eben einen Genuss haben, das größer Null ist.
Das heißt also die zweite Formel gilt jetzt.
Wie sieht es dann aus? Wie viele Punkte hat dieser
Würfe? Im Gegensatz zu dem, den wir in der
zweiten Zeile beschrieben haben
16? Auch 16? Okay. Wie viele kannten?
24,
wer bietet mehr
Wir öffnen das doch weiter. Wenn wir die zweite Form
der Euler Borncari-Formel anwenden wollen. Wie viele Tanten hat dann dieser Würfel?
32. Oder die schrägen Kanten, der gar nicht gezählt war.
Ja, aber wie viele davon brauchen wir?
Wir fahren viel. Warum so viele? Jetzt haben wir
kokale Flächen. Sonst glaube ich, dass das ein Problem ist.
Das ist kein Problem. Wir fahren zweimal vorn mit. Ich glaube,
die Fläche sind nicht selbst überschneidet, kann man eine Katze nehmen,
kann sie vereinbaren zu Armor geben und die da stehen, kann keiner machen.
Ja, genau. Also wir brauchen vorne und hinten eine extra Kante,
die es uns gestattet, die Fläche aufzuschneiden,
damit wir diese Förderfläche und die entsprechende Fläche auf der Rückseite aufzuschneiden,
damit wir praktisch die Fläche einfach zusammenhängend machen.
Also 26. Flächen? Und da haben wir zwar gar nicht mehr schön.
Wir haben hier eine nicht einfach zusammenhängende Fläche zunächst mal,
eine Fläche mit einer Aussparung.
Wenn wir diese Fläche durch eine einzige Umrandung begrenzen wollen,
müssen wir eine Hilfskante einfügen,
damit wir einmal so rumlaufen können und dann nach innen kommen und da auch rumlaufen können.
Ja, und das Gleiche eben auf der gegenüberliegenden Seite auch
20. Und wie viele Flächen? Vielleicht erzählen, weil das ist mir gerade...
Warum nur eine? Weil ich muss ja nur einmal nach hinten hauen,
kann ich glaube da auch mal wieder meine Kanten zeichnen.
Aber auf der gegenüberliegenden Fläche musste ich das ja auch machen können.
Aber ich kann mich erinnern, dass ich auch noch einmal
reingehe und dann in die Tiefe eine Kante hier zeichnete.
Okay, ja, es geht mir nicht nur darum,
dass ich das zeichne, wie dieses Haus vom Nikolaus,
sondern es geht mir darum, dass sich die Fläche individuell
auflöse und aus einer mehrfach zusammenhängenden Fläche eine einfach zusammenhängende Fläche machen.
Das heißt also, ich muss auch aus der gleichen Fläche
auf der Rückseite eine Fläche machen,
die ich in einem Zug umfahren kann.
So, Ergebnis. Okay, ne? So,
die anderen Objekte hier, bei denen überlasse ich das Ihnen,
dass Sie da zu Hause noch
ein kleines bisschen mitspielen
Es werden einfach die Kanten offensichtlich mehr, die Flächen mehr,
die Eckpunkte mehr und das Genuss verändert sich.
Zum Genuss noch ein kleiner Hinweis. Bei der
zweiten Fläche unten ist es ja noch relativ einfach.
Ich glaube, ich einfach zu sehen. Ich habe
so etwas Ähnliches gemacht wie hier. Nur zweistöckig. Ich
habe also in diese Forderbefläche zwei rechteckige Aussparungen reingesägt.
Das Ganze analog auf der Rückseite. Und dann habe ich
da zwei Quader aus dem Ganzen herausgeschoben,
aus dem Würfel
Okay. Damit habe ich also einen Würfel mit zwei durchgehenden Aussparungen.
Das heißt, dass Genuss von diesem Objekt ist zwei.
Wie sieht es mit dem Nächsten aus?
Da habe ich im Prinzip dieses Objekt genommen und habe aus
der Kopfplatte da oben eine quadratischen Ausschnitt herausgenommen.
Genau wie das,
was hier herausgenommen ist
Wie wird dann
das Genuss
Ich gebe zu,
ich stelle da schon etwas höhere Anforderungen an ihr Vorstellungsvermögen,
an ihr geometrisches Vorstellungsvermögen
Ja, zum letzten. Es ist einmal im ersten ein Haus genommen und
dann wurde es oben, ein Qualhausen rund um Vaters 3.
Es wurde im ersten Schritt einer rausgenommen. Ja,
dann haben wir den Link, wie im ersten Fall,
wie im linken Fall.
Und dann haben wir oben noch einen Quader rausgenommen.
Richtig? Nee, unten habe ich keinen rausgenommen.
Wir sind jetzt hier in diesem Fall. Das sind natürlich
zwei bei der dritten schon. Ja. Zwei. Okay
, sie sagen, das Genuss ist zwei.
Ich hätte auch, ich hätte gesagt,
es wären trotzdem drei
Einmal so wie beim ersten Grade durchkamen.
Wir können einmal von links unten nach rechts oben.
Und dann haben wir von hinten unten nach voll oben raus.
Es geht aus der 3. Ja, hier kam das
wichtige Schlüssel, war der Henkel oder der Griff?
Wie viele Griffe habe ich an dem Gegenstand
Wir können uns dieses hier, wir hatten ja mal gesagt,
die Topologie ist unabhängig von jeder geometrischen Verformung.
Wir können uns diesen Gegenstand da mal vorstellen.
Wir haben einen solchen Quader. Nehmen wir erstmal einen
ganz normalen Quader. Und wir nehmen die oberen vier Eckpunkte
und ziehen die in Richtung der diagonalen immer weiter weg.
Ist das vorstellbar? Ich habe so einen Würfel und die oberen vier Eckpunkte,
die ziehe ich in Richtung der diagonalen meines Quadrates da oben,
ganz weit auseinander, sodass ich ein riesengroßes Quadrat erhalte.
Sodass also die Kantenlänge dieses riesengroßen Quadrates groß ist gegenüber der Höhe
meines Würfels. Wird es da nicht annähernd im Pyramiden?
Ist doch das DO nicht ganz spitz ist, sondern.
Ja, das ist richtig. Aber eine Pyramide und ein Würfel
sind topologisch gleichwertig. Ich habe eine reine geometrische Verfarmung durchgeführt. Reine geometrische,
die behalten sogar, also der Pyramidenstumpf und der Würfel,
die behalten sogar die Anzahl der Kannten und Flächen und Punkte.
Da ändert sich gar nichts dran. Also topologisch bleibt das
vollkommen identisch. So, und jetzt stellen wir uns vor,
die obere Fläche, die wir so weit auseinandergezogen haben,
die enthält diese obere Aussparung.
Und dann haben wir noch die Aussparung auf dieser Seite
und die Aussparung von der Seite.
Wie sieht das Endergebnis aus? Das ist doch etwas
Dass vom Prinzip her so aussieht, wenn wir dann von oben drauf gucken.
Ja? Und das ist nichts weiter als ein Gegenstand mit zwei Griffen.
Also zwei durchgehende Aussparungen, Genuss 2. Und Frau,
ich habe die Gefühle von dem Griff,
einfach noch nicht irgendwie dann abwandelndes Reskript, bis sie nicht justen.
Wenn Sie das von der Mitte auch machen wollten, dann können,
argumentieren Sie im Prinzip so, wie wenn Sie sagen würden,
ich kann doch einen Torus von zwei Seiten anfassen,
dann habe ich doch auch zwei Griffe.
Aber dann ist doch nichts mehr in der Mitte dazwischen.
Also irgendwo muss in der Mitte dazwischen ja auch noch was
übrig bleiben, was ich damit mit meinen Griffen festhalte.
Dieses hier ist jetzt topologisch gesehen ein Gegenstand,
der gleichwertig meinen Teebechern mit zwei Griffen ist
Hier ist der Becher, das sind die beiden Töffel.
Einfach einmal drüber und keinen Kraftsucher. Und ich habe einen
besseren Stein. Bei dem dann, ne? Den ich
so auseinandergezerrt habe jetzt. Ja, im Prinzip ja,
aber das wäre eben das gleiche Argument, wie wenn Sie sagen würden,
ich habe einen Torus und den kann ich ja hier festhalten und da festhalten.
Und da ist sich Junge, lasse sich um an.
Und da sich um einen Kreis handelt dabei, um einen kreisförmigen Gegenstand,
kann ich Ihnen an beliebig vielen Stellen ringsherum festhalten.
Damit wird aber das Gendos nicht unendlich.
Sondern es bleibt eine einzige Öffnung, die durchgeht.
Also die Definition ist eigentlich, wie viele durchgehende Öffnungen gibt es.
Und hier gibt es genau zwei durchgehende Öffnungen.
Hier gibt es genau eine durchgehende Öffnung.
Aber beim Popos habe ich ja eine Fläche
noch nicht angefasst
Du bist ja schon mal so single.
Bei dem Ding habe ich aber einfach so viele Flächen,
dass ich auch mehr direkt runterzählen kann.
Nein? Ja. Ist das denn so, dass man,
wenn man ruhig gucken muss, auf einmal sehen, intus?
Fußball, es war dann 3 sehen kann,
die kann man schon weiter. Ja, also topologisch gesehen
, richtig. Man muss dann das so verformen,
dass man durch alle vorhandenen Öffnungen durchsehen kann.
Das ist ja das, was ich hier gemacht habe.
Ich habe das so auseinandergezerrt, dass ich durch alle vorhandenen
Öffnungen durchsehen kann. Und diese Anzahl der damit vorhandenen Öffnungen
definiert das Genuss
Ja. Also sind die, ist die Anzahl der durchgehenden Öffnungen.
Nicht die Anzahl der Stellen, an denen ich das Ding anfassen könnte.
Griffmäßig. Die Anzahl der durchgehenden Öffnungen, ja?
Ja. Da sehe ich auch drei durchgehende Öffnungen.
Einmal so einmal. Nein, ich habe sie jetzt extra mal,
das ist der gleiche Gegenstand. Darauf hatten wir uns vorhin geeinigt.
Ich habe diesen Würfel jetzt mal so verzerrt, geometisch,
so verzerrt, dass er aber topologisch sich nicht verändert,
sodass wir durch alle Öffnungen
gleichzeitig durchsehen können
Ja, das könnte ich auch,
wenn ich da oben perspektivisch praktisch oben durch den Deckel gucke,
dann kann ich rechts runter und links runter gucken.
Oder vorne und hinten runter gucken. Das sind aber zwei Öffnungen,
durch die ich sehe. Du weißt, wie schieße ich
? Ich verstehe für Seven. Ich würde auf einmal,
was fehlt. Haben die da mal was kurz zusammengedrückt?
Wo fehlt das? Da fehlt das Loch. Da fehlen
höchstens so ein paar Kanten zu markieren oder so.
Die Kanten habe ich nicht markiert. Das Ganze könnte
ja aus Knetmasse hergestellt worden sein,
die Kanten fallen weg
Wichtig ist. Wichtig ist, kann ich auch Venus mögen.
Nein, wichtig ist. Wichtig ist, dass ich
herausfinden kann, wie viele durchgehende Öffnungen hat das Ding?
Das heißt, durchgehende Öffnungen. Ich bin ganz froh.
Von der einen Seite zur anderen durchgucken. Ich bin auch
nicht gerade einmal von vorne nach den Videos gucken.
Dann kann ich einmal von vorne nach oben durchgucken,
wenn ich kaufe, nach oben durchgucken stehen,
in diesem Bereich
besser hingehen
Ja, und das hätte ich relevant. Ich kenne ja auch
eine Tasse mit 20 Hänkeln dran machen und dann dreiviertel den
Hänkel hinter der Taste und dann sehe ich die Hänke nicht.
Nein, Moment mal. Aber sie können bei einer Tasse mit
zwei Hänkeln, ne? Nehmen wir mal die Tasse mit zwei Hänkeln.
Und jetzt stellen sie die Henkel nicht einander gegenüber,
sich vor, sondern einfach nur um, sagen wir mal,
60 Grad gegeneinander versetzt.
Das ist doppologisch immer noch eine gleichartige Tasse, ne?
Sie hat zwei Henkel. So, durch diese beiden Henkel
könnten sie jetzt von da nach dadurch beide gleichzeitig durchgucken.
Sie können zwischen den beiden Henkeln durch,
einmal durch die und einmal
durch die gucken
Das ist die gleiche Situation, wie Sie sie hier haben.
Trotzdem ist es immer noch popologisch gesehen dieselbe Tasse,
nämlich sie hat zwei Henkelung, nicht mehr.
Was bei mir aussieht, dass du mit zwei Henkeln
dann folgst. Zwei, zwei, zwei, zwei.
Ja. Die sind jetzt nicht da. Ja. Man
kann auch einmal durchschauen und wer hat noch Ginos eins.
Ja, aber sie können ja, sie können dreimal,
sie können dreimal durchschauen. Also das mit dem Durchschauen,
das ist immer, das ist alles zu weich.
Das ist zu weich von der Definition her. Wie viele
eindeutige Durchgehende Öffnungen gibt es. Und hier können wir das
sehen, wenn wir das einfach mal geometrisch so verformen.
Es gibt genau diese zwei Öffnungen. Das kann ich dir
schon noch so verformen, weil es wieder eine Tasse auskommt,
das soll sich nicht so vorstellen.
Daraus können wir dann hinterher die Tasse machen. Das ist
kein Problem. Da diskutieren wir auch nicht mehr so lange her.
Okay, dann gehen wir jetzt noch eben schnell zum letzten Fall.
Zu diesem hier. Bei dem habe ich einfach dieses Objekt genommen
und habe aus dem Boden auch noch so eine Quader herausgestanzt.
Wände sind noch gar nicht. Die Wände rechts und links
sind noch da. Ja, das heißt also,
wenn ich das Ganze jetzt wieder hierhin überführe,
in meine Verformung hier überführe, dann habe ich etwas,
das hier auch noch eine Aussparung hat.
Ist das dann ganz leiblich? Das ist Genuss 3.
Wie viel hängt gleich das Ding? 3. Das hat drei
durchgehende Aussparungen. Lassen wir die Henkel lieber raus.
Wir sind mit den Henkeln ja nur mit meinen Teebechern angefangen.
Genuss von 3 ist das. Ja,
das hat einen Genuss von 3. Also, das Letzte.
Das ist ja gar nicht so leiblich. Ich bin gerade 4.
So, damit haben wir die Formen dieser Objekte geklärt.
Und sie haben die kleine Hausaufgabe, sich einmal zu überlegen,
wie sie die Euler von KW-Formel auf die anwenden und ob die dann auch stimmt.
Ja? Und in einem nächsten Schritt sehen Sie sich doch
bitte alle Objekte noch einmal an. Unter dem Gesichtspunkt.
Das sind die ausführlichere Heuler-Porn-Kari-Formel anwenden, dass sie also annehmen,
wir haben so etwas wie Schalen und um Randungen.
Wenn wir Umrandungen haben, können wir uns die Hilfranten
Haben wir also bei mehrfach zusammenhängenden Flächen, keine Hilfskanten mehr.
Dann fallen die weg, stattdessen kommen Umrandungen da rein und dann
können sie einmal ausprobieren, wie das aussieht mit der Euler-Porn-KW-Formel.
In den Fällen. Einfach mal so als kleines Vorstellungstraining.
Ich habe also jetzt gesehen,
dass es doch gewisse Anforderungen an die geometrische und popologische Vorstellungskraft stellt und da finde ich,
ist das eine nette Freizeitbeschäftigung in der U-Bahn,
im Bus oder so,
sich mal eines dieser Objekte vorzunehmen
Und darüber nachzudenken, wie viele Punkte Kantenflächen umrandungen und Schalen hat das.
Und wie stimmt das dann mit der Euler-Porn-KW-Formel überein? So,
an der Stelle möchte ich für heute dann Schluss machen.
Sie mit dieser kleinen Aufgabe in die Woche schicken.
Ich wünsche Ihnen noch eine schöne Woche.
Und wir sehen uns dann nächste Woche Montag,
dann aber drüben in House F. Raum 132.