losgehen. Das war jetzt hier nochmal die Folie vom letzten Abschnitt,
wo wir eine Kripke-Struktur für dieses kleine Programm nach Peterson Dicstra
entwickelt hatten, die also den wechselseitigen Ausschluss realisiert.
Und das war ja der Einstieg in die temporale Logik.
Haben Sie dazu noch eine Frage? Wir hatten ja hier
schon den ersten temporalen Operator, diese Raute kennengelernt.
Ja, dafür steht später, gilt eben irgendwas in
diesem Fall
Ja, das war nochmal ein Ablauf, der dann motivierte,
dass wir die, eine Fairness-Regel brauchten,
über die wir jetzt in der Logik noch nicht gesprochen hatten,
kommt später.
Das wäre die Fairness-Regel und das ist sozusagen die Einblendung zur temporalen Logik,
wo wir neben dieser Raute auch das Quadrat haben und das also für immer steht.
Also immer gilt, heißt das und irgendwann mal gilt oder
später gilt die Raute. Gut, dann kommen wir zur
temporalen Logik gekommen, hatte ich Ihnen was zur Literatur gesagt
Und dann die Stellung der Temperallogik im Verhältnis zur Prädikatenlogik,
Aussagen, Logik und Modallogik. Dann die Möglichkeit,
ein in der Prädikatenlogik auch temporäre Temporale, Aussagen,
Prädikate zu formulieren und man dann eben diese Variable Tee braucht,
was dann in diesem Beispiel des Aufzuges in dieser Formel
oder in dieser Anforderung mit dieser Formel realisiert wurde.
Das müssen Sie nicht weiter kennen,
das ist nur zur Veranschaulichung,
wie es
auch in der Prädikatenlogik gehen würde
Und das war die zweite Anforderung mit einer etwas komplizierteren Formel.
Wobei eben nur wichtig war, dass es hier darum geht,
um Zeitpunkte, früher oder später, was wir in der Temperallogik,
also direkt durch diese temporallogischen Quantoren darstellen.
So, und dann ging es los mit der Linearzeitlogik,
kurz LTL, wo wir den irgendeinen Malen Operator gelernt haben,
der so semantisch interpretiert wird,
dass irgendwann mal in der Zeitachse angefangen vom Jetzt-Zeitpunkt eben diese Aussage P oder auch die kompliziertere Formel,
die dort stehen könnte, gelten soll.
Und das zweite Duale dazu ist, dass der immer Operator,
der also vom Ausgangspunkt immer gelten sollte.
Ja, wir hatten das dann ein bisschen problematisiert,
indem wir ihm erkannt haben,
dass dieses Kombination von irgendwann mal und
immer unendlich oft bedeutet
Während die Vertauschten-Darstellung, also immer irgendwann mal, bedeutet,
unendlich auch, ich glaube,
ihr habt gerade was Falsches gesagt, hier nicht,
das hier oben bedeutet, ab einem bestimmten Zeitpunkt immer.
Und hier unten haben wir jetzt das unendlich oft.
So, dann die Syntax. Da war zu beantragt,
dass wir eben gewissermaßen parallel auch die andere Notation benutzen,
wofür denn immer Operator,
auch das steht und dann irgendwann mal Operator in das F,
Beide Formen kommen in der Literatur vor.
Deswegen wird in dieser Vorlesung, in diesen Übungen beides eben benutzt.
Nee, das war ein Beispiel für so eine Formel,
wo wir außer dem G und dem F auch noch das U und ein X sehen.
Was wir dann hier in der syntaktischen Beschreibung wiederfinden,
nicht also eine Formel besteht aus Truh oder False oder einer atomaren Aussage.
Und dann kann die Formel inkrementell aufgebaut werden mit Negationen,
Konjunktionen, Dysjunktionen, Implikationen und so weiter,
was wir hier nicht dargestellt haben,
kann man aber wie in der Aussagen-Logik darauf zurückführen.
Dann das X, das F und G,
was wir schon kennen und das
Ja, und im Einzelnen bedeutet folgendes das X, bedeutet,
dass wir im nächsten Schritt davon ausgehen oder behaupten, dass eben P gilt.
Und in der anderen Schreibweise gibt es dafür auch noch diesen Kreis. Ja,
das F hatten wir schon mal, wofür also die Raute auch steht,
irgendwann mal gilt, im Englischen eventually, in the future,
nicht an dem F kann man das sich vielleicht merken.
Und das G für General oder Globaly. Und das Uhm war dann jetzt
neu an dieser Stelle. Es gibt eben eine Folge,
in dem Kuh gilt und vor dieser Emma das P. Das hatten wir dann nochmal hier visualisiert,
wo wir hier dieses Kuh haben und vorher immer das P. Ja,
im Zweifelsfalle, wenn sie irgendeine Formel haben,
kommt man mit dieser Definition nicht aus,
weil doch Spielraum für Interpretationen gibt.
Deswegen brauchen wir eine exaktere semantische Definition,
die wir mit Hilfe dieses Operators definieren,
dieser Exponent
Und der bedeutet schlicht, dass von dieser einer unendlichen Folge,
die wir ja immer betrachten, die ersten E-Folgenmitglieder weglassen,
sodass wir dann an die Stelle I kommen und dort eben Aussagen oder Definitionen treffen können.
So, das benutzen wir jetzt an dieser Stelle zunächst mal an einem Beispiel.
Das war unser Gripgestruktur des Müllenofen und auch noch mal wichtig für Sie,
dass Sie die Folge sehen, die an einem Beispiel,
die hier immer gemeint ist, das sind ja Folgen von Aussagenmengen.
Diese AI sind Mengen und diese Mengen, die sehen Sie hier in der Gripgestruktur,
wobei immer nur die positiven atomaren Aussagen aufgeschrieben werden.
Das fängt also Und das ist jetzt so eine gedachte, unendliche Folge.
Und wenn wir die mit Alpha hoch 3 nehmen, heißt das,
dass über die ersten drei Folgenglieder weglassen und nur den Rest eben nehmen.
Ja, dass wir dann jetzt zur Weiterführung der Definition zunächst mal die klassischen Aussagen logischen,
semantischen Definitionen, wobei wir dieses Zeichen für erfüllt oder gültig haben,
Ja, dann hier an Stelle 3, 4,
5 und 6 auch noch Aussagenlogik.
Und bei 7 haben wir heute erst die in den ersten temporallogische Definitionen.
XF soll eben gelten, wenn F im zweiten Schritt gilt.
Also das erste Folgenglied abgeschnitten. Ja, Großelf-Klein-Eff gilt entsprechend,
wenn wir K-Folgenglieder abschneiden. Und GF gilt, wenn wir nacheinander
alle Folgenglieder abschnitten Und immer F behaupten. Das heißt also,
wir führen diese Temporalo, geh ich in Operatoren auf Prätykaten,
logische zurück, wobei wir dieses hier auch durchaus umgangssprachlich mathematisch meinen und wir nicht den Forbalismus unbedingt meinen.
Ja, dann das Antel, das bedeutet dann,
es gibt ein K, sodass in der Kartenstelle das F2
gilt und vorher immer das F1. Ja, dazu nochmal das Bild.
Da haben wir das K, wo das F2 gilt.
Hinterher ist egal und vorher für alle J vor 0
bis k minus 1 gilt also das F1. Wobei eben wichtig ist,
dass das J auch nicht... Anfang gilt, dann gilt die gesamte Antil-Formel eben auch.
Wichtig war bei dem Antil ja, dass sie sicher gefordert wird.
Es gibt auch noch das schwache Antil,
wo das F-2 nicht gefordert wird,
wo dann das F-1 permanent gelten muss,
aber für das normale Antil hätten wir dann die Äquivalenz,
dass dies gleichbedeutend ist mit Groß-F-Klein-F,
weil das ja dann auf dieselbe Definition herausläuft,
das Klein-F
keine Rolle spielt
Hast du dann jetzt noch eine weitere Äquivalenz, die zeigt,
dass wir die Negation über so ein Quantor schieben können und der sich dann umkehrt.
Nicht, das wird gerne dazu benutzt,
um die Quantoren zu wechseln,
also wenn sie zum Beispiel mit sowas hier anfangen,
mit einem GF, da zwei Negationszeichen da reinschreiben,
dann können sie das eine reinziehen und hätten dann eine Formel für dafür,
die Äquivalent ist und die das F benutzt.
Nicht, so können sich das ja auch entstanden denken,
sie schreiben hier Tor, ziehen die Rechte rein,
das Großgeg wird zum Groß-F und sie haben diese Formel hier.
Ja, sieht man auch daran, diese Dualität,
die ja dann auch schon gilt für die normale Prädikatenlogik,
da haben wir dieselben Verhältnisse.
Das heißt also, wenn sie diese Regel hier auf der
rechten Seite anwenden, überträgt sich die auf die Linke.
So, jetzt habe ich im Vergleich zum letzten Mal noch
ein Beispiel aus der Informatik hinzugenommen. Da haben wir jetzt,
benutzen wir jetzt diese Notation mit Kreis, Antel und Raute,
ich habe das nochmal hier drunter geschrieben, damit sie beides nebeneinander haben.
Und das erste Beispiel sagt eben, es wird spezifiziert,
es gilt immer, 3-to-Send, impliziert, next delivered.
Das heißt also, es gilt,
egal wo ich mich auf der Zeitachse bewege,
wenn ein solches 3-to-Cent gibt,
dann soll im nächsten Schritt das
auch abgesandt werden
Das ist also eine sehr enge Bindung und eine lockerere Bindung erhalten wir mit dem Antel.
Wenn wir also nicht fordern können oder wollen,
dass das im nächsten Schritt das Cent ausgeführt wird,
benutzen wir das Antel, was sich ja so liest,
egal, wo wir uns auf der Zeitachse befinden,
wenn ein 3-to-Cent kommt, dann wird irgendwann mal später diese Sendung abgeschickt,
also delivered.
Und bis dahin bleibt also dieser 3-Wunsch erhalten,
könnte ja auch so sein, dass der immer mal wieder aufgehoben wird,
das wird hiermit also ausgeschlossen.
Nicht so können Sie also sehen,
dass dieses Antel sozusagen eine Abschwächung dieses Next-Operators ist
Ja, nicht? Und etwas in das Schema passt auch,
dass irgendwann mal, da haben wir jetzt 3 to Cent impliziert,
irgendwann mal delivered. Das heißt, wir fordern hier nicht,
dass diese Bedingungen 3 to Cent aufrechterhalten wird,
sondern nur, dass irgendwann mal abgesandt wird.
Das ist soweit, klar? Gut, nicken alle prima
. Ja, und dann habe ich noch weitere Beispiele hier
Wir haben ja jetzt gesehen, dass wir diese LTL-Formeln auf Pfaden interpretieren.
Und diese Folgen können natürlich von einer Kripke-Struktur kommen.
Da haben wir jetzt ein Beispiel einer solchen Kripke-Struktur.
Und wir wollen jetzt mal folgenden Pfad betrachten, also S0,
S1 und dann MNS2. Das würde grafisch das folgende bedeuten.
Und wir fragen jetzt, ob gewisse Formeln gehen. Also die Folge,
die wir betrachten, Umsetzung auf die Etikette,
nicht was auch als Trace bezeichnet wird,
dass Trace von P oder die Etikettenfolge, so ist die Sprachregelung im Skriptoria.
Am Anfang haben wir ja das A,
dann sind wir in S1, da haben wir Falls,
also die leere Menge und dann haben wir A,
B und das bleibt immer A, B, also Hochomega.
Also erste Frage an Sie, gilt für diesen Pfad,
diese Formel A nur? Ne,
das müsste jetzt ganz schnell bei Ihnen gehen,
weil wir können auch noch viele Formeln haben,
ist ja auch einfach,
also ja oder nein
Nicht was, was heißt das? Das heißt ja,
hatten wir gesehen, wenn nichts davor steht, es gilt im ersten Schritt.
Gilt im ersten Schritt das A, gucken wir nur hier hin,
ja, und da sehen wir das auch. Da haben wir also ein Jahr,
weil das aus einem anderen Kontext jetzt genauer nicht dieses L von S0,
das sind die Etikette, also Englisch Label, das Label,
also das Etikett von S0 ist also A. Zweites Beispiel,
da kommt jetzt dieser Next-Operator,
das heißt,
gilt im zweiten Schritt Schritt nicht A und nicht
Frage, ja oder nein? Ja,
nicht im zweiten Schritt haben wir ja die leere Menge nicht.
Und wenn wir als Grundmenge A und B haben,
heißt ja die leere Menge, wir haben A und B negiert,
weil wir das ja dann in der Schreibweise erinnern sich an den Mikrowellenofen weglassen.
So, für Sie jetzt vielleicht neu ist,
dass wir das Next natürlich auch wiederholen können.
Das würde dann entsprechend bedeuten, im Wachen zwei Schritte.
Das heißt also, gilt jetzt in dritten Folgeglied,
also 1, 2, 3,
also in dem S2 gilt da A und B. Ja,
immerhin ein Nicken, danke.
Da haben wir ja das Etikett, das Label von S2
ist A und B. So, jetzt kommen wir zu dem Antel.
Ein Beispiel, wir haben nicht B,
Antel A und B. Das heißt, wir fragen zuerst mal,
ob irgendwann mal A und B gilt.
Ja, das sehen wir hier. Und ist die Frage,
ob auf dem Weg dahin in der Folge immer nicht b gilt.
Ja oder nein? Ja, danke. Weil wir
in S0 und S1 nicht B haben und in S2
haben wir eine A und
So, und nun haben wir hier noch eine Verkomplizierung,
in dem wir hier nicht B, Antel,
immer A und B haben.
Ja, das ist ja nur die Variante,
dass wir nicht nur einmal A und B fordern,
sondern immer A und B und das gilt dann entsprechend auch.
Nun, wir sehen hier eben auch schon,
wie solche Verschachtungen auftreten, nicht,
wir hatten bis jetzt immer ja nur das immer vor
diesem Antel und das kann natürlich auch nach der Syntaxdefinition innen
drin auftreten
Gut, jetzt kommen wir wieder zu dem, was wir letzte Stunde schon hatten.
Nämlich, wir können jetzt zu einer solchen Formel die Menge
der unendlichen Folgen definieren, die diese Formel erfüllen.
Das nennen wir dann auch die Sprache von Alpha.
Das sind also so, eben waren ja gerade,
hatten wir Formeln und Etikettenfolgen und das waren alles Beispiele,
die zu der jeweiligen Sprache eben gehört hatten.
So, die nächste Folien hatten wir auch das letzte Mal schon.
Und da hatten sie mich, glaube ich, gebeten,
das nochmal aufzuschlüsseln, weil da so ein bisschen viel Text auf dem Mal ist.
Und das habe ich auch gemacht. Und zwar fängt das
ja an mit der Definition von dieser Äquivalenz.
Was sehen wir da? Da haben wir eine Kripke-Struktur M
und eine solche unendliche Folge F. P. Und dieses Gültigkeitszeichen F. Das heißt,
wir wollen definieren, wann eine Formel F für eine Kripke-Struktur M
eine unendliche Folge dieser Krypto-Struktur, Pie eben gilt.
Und die Definition ist die, dass eben die Etikettenfolge,
wenn wir also die Bezeichner der Zustände durch ihre Etikette ersetzen,
wenn wir doch die Gültigkeit für F haben,
das haben wir ja bisher immer gemacht.
Nochmal ein Beispiel. Nicht, das war ja die
betrachtete Folge vorhin in der Mikrowellenofen.
Das wäre die Krypto-Struktur M in diesem Beispiel.
Und jetzt nehmen wir mal
Die entsprechende Folge, die diesem roten Faden spricht,
das wäre also 1, 3,
6, 7 und dann bleiben wir immer in 4.
Und dann könnten wir zum Beispiel als Formel nehmen,
gilt immer, dass irgendwann mal Heat gilt,
das war ja die Formulierung für, es fehlt auf dieser Formel,
unendlich oft Heat.
Und jetzt Frage an Sie,
trifft das jetzt zu oder trifft das nicht zu
Beim ersten Nicken breche ich ab, ja, okay.
Weil nämlich die entsprechende Etikettenfolge zu diesem P ist ja,
die eins hat die leere Menge, die drei,
das Klos und so weiter.
Und bei dem Vier haben wir ja Heat ein Klos,
wie man hier sieht. Das heißt also,
in dieser Schleife haben wir unendlich oft Heat,
was also diese Definition eben erfüllt.
Ist dieser Teil soweit klar geworden, ja?
Gut. Der nächste Teil von dieser größeren Definition
vorher war ja Folgendes
Wir wollten jetzt hier dieses definieren. Sie sehen den,
der Unterschied zu dem hier ist,
statt der vorgegebenen Folge P steht jetzt hier ein Zustand,
wie man an der Wahl der Variablen S eben schon sieht.
Das heißt also, wir haben ja bis jetzt immer gesagt,
ja, wir beziehen die RTL-Formeln auf Fahrt.
Jetzt steht da auf einmal ein Zustand, nicht großes Entsetzen,
was machen wir da? Ja, aber das Naheliegende ist,
dass auf alle Pfade zu beziehen, die es in diesem Zustand beginnen.
Und das steht da auch hoffentlich. Das heißt, das gilt,
wenn für alle Pfade P in der Zustandsfolge von M,
die in S beginnen, diese entsprechende Formel dann eben gilt.
Das heißt, in unserem Beispiel wäre das,
könnten wir hier den Anfangszustand nehmen oder wir könnten auch drei
oder sechs oder sieben oder vier nehmen und das Beispiel würde funktionieren.
Nee, würde nicht unbedingt funktionieren. Wir müssten ja alle,
müssten ja alle Pfade nehmen, die davon dort eben ausgehen. Also nochmal,
wenn wir hier jetzt essgleich eins nehmen,
dann hätten wir zwar einerseits hier diesen Pfad hier,
wo das gilt, aber die Definition sagt ja,
wir fordern, dass das für alle Pfade,
die bei eins ausgehen und da hätten wir auch zum Beispiel den unendlichen Pfad,
der hier lang geht,
wo wir Heat nicht unendlich oft haben
Ist, also die Übertragung von einem Pfad auf einen Zustand.
Hoffentlich klar und dann, ja, das nochmal,
doch hervorgehofen. Und das wird natürlich gerne dazu benutzt,
um für dieses S jetzt den Anfangszustand hier zu nehmen. Oder,
da wir in Krippe gestrukturen, ja mehrere Anfangszustände haben können,
hätten wir ja da den Konflikt, fordern wir,
dass das für einen Anfangszustand geht oder für allen,
aber da wir ja uns da ein System vorstellen,
dass in irgendeinem Anfangszustand startet und dessen Spezifikation wir hier angeben.
Es ist naheliegend, das so festzulegen, dass das dann
für alle Anfangszustände gelten soll. Das heißt also,
wenn wir hier oben den Zustand wegstreichen und hier unten den Anfangs,
einen Anfangszustand nehmen,
dann sollten wir hier das so interpretieren,
dass das dann für alle Zustände
eben gilt
Gut, das wäre dann also die Definition,
wann jetzt eine solche Formel für die Kripgetrukture, für die Kripgestruktur gilt.
Das heißt also, ich sage es nochmal,
also die Formel oder die Kripgestruktur erfüllt die Formel oder die Formel gilt für die Kripgestruktur,
wenn für jede unendliche Folge von Etiketten,
die in einem Anfangszustand beginnt, die Formel gültig ist nach der Definition,
die wir vorher hatten.
Ja, ist das klar oder sollst du nochmal wiederholen?
Okay, mache ich mal weiter.
Die nächste Folien, die hieß Trennschärfe von LTL
Das bezieht sich auf die Frage,
ob wir schon vorher sagen können,
wenn wir zwei Gripgestrukturen haben, ob da sozusagen alle Formeln gleichgültig,
gleich gelten in beiden Gripgesturen oder ob es Formeln gibt,
die in der einen gelten oder in der andere nicht.
Das heißt also, diese beiden Formeln wären ja semantisch Äquivalent,
wenn für alle Grippgesturkripbestrukturen sie entweder gelten oder nicht gelten.
Das heißt, ich kann sie dann nicht durch ein Beispiel
einer Gripgestruktur in ihrer Semantik trennen
Nö, und jetzt, nach dem,
was wir jetzt gesehen haben, ist es naheliegend,
dass diese nicht unter Scheidbarkeit genau dann gilt,
wenn die beiden Kripke-Strukturen dieselben Folgen von Etiketten haben.
Weil ja das LTL nur auf den Folgen der Etiketten oder
den Traces definiert wird, wäre dann diese Ununterscheidbarkeit eben gegeben.
Und das steht hier nochmal formuliert. Sind die etikettierten Zustandsfolgen,
also die Traces, zweier Kripke-Strukturen M1 und M2 gleich?
Ich sage, wir können, mit anderen Worten können wir auch sagen,
wir interpretieren die Kripke-Struktur als Automat, als Ski-Automat, ohne Endzustände.
Und wenn die akzeptierte Sprache gleich ist, dann ist es unmöglich,
diese beiden Automaten oder Gripge-Strukturen durch eine LTFL-Formel zu unterscheiden.
Das heißt, jede LTL-Formel PC gilt genau dann in M1,
wenn sie in M2 gilt. Naja, hier unten diese Rechnung,
die bringt das nochmal in eine Formel. Nicht,
wo wir hier in dem hervorgehobenen Teil gerade ausnutzen, die Voraussetzung,
dass sie die beiden die gleichen Folgen von Etiketten eben haben.
Ja? Gut
Der nächste Punkt war der von wichtigem Äquivalenzen. Ich hatte letztes Mal ja
ein bisschen schneller das Ganze durchgemacht und deswegen mache ich es umgekehrt ein bisschen langsamer,
weil gerade bei diesem Thema muss man irgendwie mal,
wenn man sie von diesem Thema überhaupt noch nie was gehört haben,
erstmal ein Gefühl dafür kriegen, worum es geht.
Das ist manchmal dann besonders schwierig,
weil man sehr langsam vorgeht und sich alle möglichen formalen oder
nicht formalen Definitionen anhört und weiß gar nicht,
was der Fokus eben ist.
Und dafür ist es günstig, dass, denke ich,
erstmal ein bisschen schneller zu machen und dann nochmal langsamer,
sodass man
die einzelnen Definitionen wirklich besser verstehen kann
Ja, und jetzt haben wir also solche Äquivalenzen,
wo wir also sagen, wann zwei Formen äquivalent sind.
Also hier haben wir zwei solche Formeln.
Und diese drei Striche wäre also die Äquivalent,
die also gerade nur das formalisiert, was wir vorher hatten,
dass die beiden Formeln ununterscheidbar sind durch Kriegsstrukturen.
Also hier vorne dieses Quadrat ist nur das Aufzählungszeichen dieser Darstellung
Ja, und da haben wir eben das,
was wir schon eben erwähnt haben,
wenn wir das Negationszeichen hier reinziehen,
dann wird aus dem GNF und aus dem FNG,
aber bei dem X ändert sich nicht.
Da hatten wir letztes Mal schon drüber gesprochen.
Das ist häufig günstig ein paar von diesen Formeln zu kennen,
wenn sie Aufgaben machen oder damit arbeiten. Identpotenz sagt,
mehrere Gs bringen nichts, genauso wie mehrere Fs oder Antils.
Dann Absorptionen wäre auch, dass Wiederholungen nicht bringen in
diesem Falle, wenn sie im Wechsel auftreten
Dann Distributivität von U, hier unten ist vielleicht klarer nicht,
dass ich hier dieses Vieh hier rein erzielen kann und hier eben auch in das U reinziehen.
Und dazu passt eben, dass ich dieses X hier über
das Gate ziehen kann, ohne dass etwas ändert.
Ich habe hier so ein bisschen gezögert,
weil für die ersten Beispiele passt die Überschrift Distributivität nicht so richtig,
weil Distributé sagt ja, wenn ich A mal,
Klammer auf, B plus C mache,
ist das selbe wie AB plus BC,
das passt dann eher zu dem dritten
als zu den ersten beiden
Ja, und dann haben wir auch noch sowas hier.
Nicht, dass wir das F rüberziehen können bei einem Ober
und das G rüberziehen bei einem Mund. Aber nicht,
wenn wir das oder und das und in diesen beiden Zeilen vertauschen.
Okay. Gut, machen wir weiter mal mit Beispielen.
Jetzt haben wir mal zur Abwechslung diese Gripre-Struktur,
vielleicht sogar dieselbe, wie eben ein bisschen anders.
Wir betrachten jetzt auch den Pfad,
der jetzt aus der ständigen Alternierung von S0 und S1
bezieht.
Also die Etikettenfolge wäre dann
Leere Menge und das Ganze immer wiederholt. So,
erste Frage, gilt jetzt für diese unendliche Folge Pi,
gilt da A, Antil B.? Nämlich die erste Frage
war ja beim Antil immer, gilt das B irgendwann mal?
Tut es das? Nein, nicht? Denn das ist,
hier wird ja auf die Folge bezogen, dass das B
hier hinten gilt, ist für diese Frage nicht relevant.
Wenn wir das auf den Zustand beziehen würde,
müssten wir auch die anderen Pfade mit einbeziehen
Also das gilt nicht. Dafür haben wir sozusagen den Strich
durch dieses semantische Gültigkeitszeichen. Und die Begründung ist,
dass dieses B nirgends auf diesem Pfad eben geht.
Nächste wäre irgendwann mal, wenn irgendwann mal Begelt, dann gilt auch A, Antilbe.
Also dasselbe, wo wir hier noch eine Prämisse haben.
Und die das irgendwann mal bezieht,
sich nur auf das B, nicht auf das Ganze,
weil sonst müsste da ja eine Klammer nochmal stehen.
Also gilt das oder gilt das nicht
Ja, bitte? Ja, nicht wie das war,
ja so ähnlich wie was wir schon mal hatten,
wenn die Prämisse nicht gilt, gilt die ganze Formel und deswegen gilt die Implikationen.
Nächster ist nochmal was mit zwei Next-Operatoren, das heißt,
gilt nach zwei Schritten Nicht B, das heißt,
wir gucken hier hin, 1,
2 und das heißt also, wir gucken wieder nach S0.
Da haben wir A und da gilt nicht B,
also B kommt ja nicht Rind vor, das Interpretieren so.
Denn werde es noch was Einfaches, gilt immer A,
natürlich auch nicht, weil wir ja zwischendurch immer das S1 haben.
Und dann jetzt unser bekanntes, unendlich oft.
Unendlich oft gilt ja A auf diesem Pfad,
sodass auch die ganze Geschichte gilt.
Und wenn wir das vertauschen, bedeutete das ja irgendwann mal,
gilt A immer und das tut es offensichtlich
eben nicht
Ja, und dann hatten wir ja die Beispiele an Mikrowellenofen betrachtet,
die ich auch dann mit diesem Tool Mord vorgeführt hatte.
Das mache ich jetzt nicht mehr so intensiv. Das haben wir
ja letztes Mal intensiv gemacht. Da hatten wir gesehen,
das überprüfen wir zum Beispiel darum,
wenn die Kripke-Struktur etwas unübersichtlicher ist wie es hier,
indem wir erst die entsprechenden Zustände markieren für die Bestandteile
und dann die entsprechende Überlegung machen,
ob das Ganze erst ohne dem Imoperator gilt und dann
auch noch mit
So, dann, das war also die nächste Formel,
wo wir auch entsprechend vorgegangen sind.
Da hatten wir ja vorher das unendlich oft.
Und dann bei diesem Beispiel hatten wir dann ein Gegenbeispiel kennengelernt,
was uns auch das Tool geliefert hat.
Worin das Gegenbeispiel so ausgegeben wurde, dass dieses Komma das Anfangsstück von der Schleife unterscheidet.
Dazu wäre nur noch zu sagen, es kann natürlich unendliche Folgen geben,
die ich nicht durch eine solche Form darstellen kann.
Die stellen sich denen nur vor,
dass sie zum Beispiel ein Anfangsstück haben und dann kommt eine Schleife A
und dann eine Schleife B und dann zweimal eine Schleife A
und B und nicht und dieses Abwechseln der verschiedenen Schleifen kann höchst komplex sein,
aber da wir sozusagen eine endliche Gripgestruktur haben,
könnten wir so eine komplexe Ablauf auch darauf reduzieren,
dass es ein Gegenbeispiel gibt in dieser einfachen Form
Machen diese Tools, die das also immer auf diese Form bringt,
dass das Gegenbeispiel immer besteht aus einem Anfangsstück und aus
einer Schleife für die unendliche Form. Ja,
das war ein anderes Beispiel und dann hatte ich ja extra nochmal ein komplizierteres Beispiel ausgewählt,
um zu zeigen, dass dann auch,
also das Beispiel war nicht direkt komplizierter,
aber die Antwort kommt komplizierter,
wo wir ein längeres Anfangsstück hatten und auch eine längere Schleife,
die dann jetzt hier dann nochmal als Pfad erscheint
So, das war das Anfangsstück und jetzt kommt die Schleife mit Unterstrichen.
Das war das. Ja, das hatten wir ja ausführlicher besprochen.
Deswegen mache ich das jetzt kürzer und jetzt kommt wieder was Neues.
Nochmal so eine Übung. Diesmal haben wir jetzt
diesen Pfad hier. Das ist das Beispiel von vorher,
aber jetzt gehen wir auch in den Zustand.
RS2 und wir fragen, ob jetzt sowas hier eben gilt.
Das sagt ja, im nächsten Bett, also wenn wir Hier, zehn.
B, bis wir irgendwann mal A und B treffen. Und es gilt,
weil wir ja in der Tat auf A und B treffen und
vorher in S1 gilt nicht A und nicht B. Nicht die Formel würde aber nicht gelten,
wenn wir hier dieses Next nicht hatten,
weil wir ja dann auch das S0 einbeziehen würden,
wo A eben gilt.
Das wäre jetzt also die Begründung. Dann dieses hier,
es gilt Irgendwann mal immer a genau dann, wenn biggelt.
Jetzt sind Sie mal wieder dran. Ist das richtig oder nicht
? Hier vorne ein Necken, hinten auch. Ja,
danke. Weil wir ja irgendwann mal nach S2 kommen,
da bleiben wir immer und da gelten A und B immer gleichzeitig.
Das Nächste wäre, wir haben also ein A und irgendwann mal gilt nicht B
Also A, Antel und irgendwann mal wird behauptet,
gilt nicht, B, Antel, A,
das ist also insofern schon etwas schwieriger, weil wir zweimal dieses Antilten haben.
Das heißt, wir gucken jetzt,
hier haben wir dieses A und dann haben wir ja hier dieses Nicht-B,
Antil A, das heißt also nach dem,
was ich vorher erklärt hatte, gucken wir erstmal,
ob das zweite Argument gilt.
Das zweite Argument wäre irgendwann nicht B, Antil A.
Da gucken wir dann auch wieder,
ob irgendwann mal das A gilt,
nehmen wir das hier vielleicht mal und vorher hätten wir ja
das Nicht-B hier
Und wenn wir hier in S1 anfängen, fangen,
hätten wir bis zu diesem Punkt das A. Sodass wir jetzt also begründen können,
das gilt, weil eben in S0 das A gilt,
in S1 das Nicht-B, hier von dem zweiten,
Antil und hinterher kommt das A,
wobei die Geschichte dann eben eingelöst ist.
Ja, das ist jetzt wieder vielleicht was für sieben.
Das sagt ja irgendwann mal, gilt immer,
wenn nicht A gilt, dann gilt irgendwann mal später auch
nicht RB.
Gilt das oder gilt das nicht
Ja, nicht? Weil nämlich, machen wir gleich die Begründung,
nicht wenn wir immer in S2 sind, haben wir ja immer A,
also gilt die ganze Implikation nicht, weil die Prämisse nicht gilt.
So, und das Letzte auf dieser Folie ist das hier,
es gilt immer, wird behauptet, nicht B,
impliziert im nächsten Schritt A, gilt das,
das ist also etwas, was man am Anfang gelten muss.
Nicht am Anfang haben wir ja A, also nicht B und im nächsten Schritt,
naja im nächsten Schritt haben wir Nicht A, also sieht das schlecht aus.
Und gilt in der Tat nicht. So,
und jetzt kommt der große Schritt,
in dem wir jetzt bei der, wo wir vielleicht,
oder sie, die bei der Definition,
die ich vorhin auseinandergenommen hatte, die Schwierigkeit hatten,
weil es zu schnell ging.
Wenn wir jetzt das Ganze jetzt auf die Kripri-Struktur übertragen.
Nicht jetzt haben wir ja gefragt, wann gilt eine solche
Formel für einen solche, unendliche Folge von Etiketten, ein Trace.
Und jetzt fragen wir, ob es für die Kripri-Struktur gilt,
die jetzt auf dieser Folie jetzt hier Tee oder Tau oder
wie man das interpretiert, ihr Geld.
Wir haben jetzt also eine Krippestruktur, wieder die gleiche wie vorher.
Und wir haben als atomare Aussagen wieder A und B. Und wir fragen,
jetzt gilt für diese Krippestruktur eben A. Das heißt,
wir haben jetzt keinen Pfad spezifiziert.
Und wir müssen also prüfen, ob das jetzt für alle
Pfade aus allen Anfangszuständen gilt. Und sie dürfen nicht übersehen,
dass wir in diesem Beispiel hier zwei Anfangszustände hatten.
Hatten wir eben, glaube ich, nicht.
Oder beziehungsweise eben war das gegen die standslos,
weil wir ja den Pfad betrachtet hatten
Also, gilt das für alle unendlichen Pfade von Etiketten,
die in irgendeinem Anfangszustand anfangen, am Anfang A gilt,
ja oder nein, ja, ne?
Denn in S0 und in S2 gilt ja A. So,
jetzt ein bisschen komplizierter, da haben wir jetzt wieder,
dass irgendwann mal gilt immer A,
gilt für alle unendlichen Folgen von Etiketten, also Traces,
dass wenn ich in einem beliebigen Anfangszustand anfange,
Irgendwann mal immer A-Geld.
Nein, nicht? Warum nicht? Ich kann eigentlich noch mal
was sagen. Ja, bitte, das ist hinten,
ja? Genau, hier können wir das, also in
diesem Anfangszustand hätten wir das ja, aber hier eben nicht.
Auch der Pfad, der von S0 S1 hier rübergeht,
würde das erfüllen, aber eben nicht alle,
wie Sie richtig sagen,
der unendliche Vater immer zwischen S0 und S1 hin und her
gilt,
der erfüllt das eben nicht
Nächstes Beispiel sagt jetzt Folgendes, wir haben jetzt das hier,
was wir gerade hatten, allerdings mit B,
noch mit einer Dissonktion verbunden, mit dem hier,
wo wir haben, wie dann unendlich oft gilt,
nicht A und nicht B. Ja, das heißt ja,
wir gucken mal, wenn wir hier hinten anfangen, dann,
also bei oder braucht ja nur eine der Bedingungen gelten,
wenn wir hier hinten anfangen würden,
dann hätten wir ja unendlich auf das B. Wenn wir hier vorne anfangen,
hätten wir wieder den Fall,
dass wir nur hier vorne bleiben,
Dann hätten wir auch unendlich oft nicht A,
immer wenn wir in S1 bleiben.
Und wenn wir nicht hier vorne bleiben,
würden wir ja auf den anderen Fall wieder zurückkommen, nicht?
Also müsste das eben gelten, nicht? Wir haben ja in S2,
gilt das B und in S1 gilt nicht A und B,
wie ich das gerade gesagt habe.
Nächstes Beispiel sagt jetzt aus oder behauptet, wenn wir,
es gilt immer, wenn wir A haben,
dann gilt im nächsten Schritt nicht A oder B.
Das heißt also, es bezieht sich jetzt auf wieder
alle Folgen in allen Anfangszuständen.
Und wir gucken, ob A gilt und dann was im
nächsten Schritt ist.
Also ja oder nein
Ja, wieder ein Nicken.
Denn in S2 haben wir das B und in S0,
das nicht A. Das heißt also, wenn wir A haben,
also hier, dann gilt im nächsten Schritt hier nicht A.
Wenn wir in S1 sind,
ist die Prämisse nicht erfüllt und hier hinten gilt ja dann
eben B hinterher
Ja, das waren jetzt konkrete Beispiele.
Das nächste, dient vielleicht auch, der Erklärung.
Nämlich, wir betrachten jetzt mal eine Aussage. Jemand behauptet,
für jeden unendlichen Pfad, jetzt sind wir wieder bei dem Faden,
gilt, eine Form, ein solcher Pfad,
ein Pi erfüllt Vieh oder er erfüllt nicht Vieh.
Würden Sie da zustimmen oder nicht zustimmen? Würden zustimmen,
nicht denn die Definition war ja gerade so,
dass die Nichtgültigkeit über die Negation definiert wird.
So, und das Entscheidende jetzt an dieser Folie ist,
aber ich mache dasselbe jetzt mal für Zustände.
Sie erinnern sich für Zustände, behaupten wir,
entsprechendes für alle Vater, die in dem Zustand gelten.
Kann man dann auch wieder sagen, wenn in diesem Zustand fegelt,
es gilt immer, dass im Zustand fegelt oder nicht viel Geld.
Da nicken sie nicht so schnell, das ist auch richtig,
weil wir nämlich folgende Situationen haben können. Nicht,
wenn wir mal hier so einen Zustand S haben wollen,
alternativ nach A oder nach Leer gehen können,
dann erfüllt er dieser Zustand nicht irgendwann mal A,
weil das ja für alle Pfade gelten soll nicht.
Ich kann ja hier auch nach rechts gehen und es erfüllt auch nicht,
dass irgendwann mal A gilt, wo ich ja auch nach da rechts gehen kann.
Also da haben so ein Gegenbeispiel dazu. Ja,
das wäre jetzt der Teil zu dem LTL und dann
hatte ich ja jetzt noch mal einen kleinen Zwischenteil eingeschoben,
um jetzt wieder auf die Automaten zu kommen.
Und das Ergebnis zitiert, dass also wir die LTL-Formeln beschreiben können
durch akzeptierte Sprachen von Büchi-Automaten. Nicht als von großer Bedeutung,
weil praktisch alle Tools so arbeiten, die erzeugen,
ein Büchi-Automaten bzw. interpretieren, die Kripke-Struktur als Büchi-Automaten und wenden Algorithmen an,
die in der Forschung für Büchi-Automaten entwickelt worden ist.
Das heißt also, im Text zu jeder Informel L kann
eine Kripke-Struktur oder ein Büchi-Automat konstruiert werden, Die genaue,
die für elfgültigen Folgen akzeptiert. Das wäre ja das L-Ho-Ho-Homeca von M,
wäre die akzeptierte Sprache der Gripre-Struktur, des Büchi-Automaten.
Und das wären ja die entsprechenden Folgen dieser Formel. Dann hatten wir auch gesehen,
dass dieses extrem komplex ist, denn dieser Automat hat eben ein,
oder der Algorithmus hat eine Größe,
die exponentiell ist in der Größe der Formel, wo nur der Trost darin besteht,
dass die Formel vielleicht mal nicht so grob ist.
Gut, dann hatten wir eben auch solche Beispiele gesehen,
wie wir hier diese beiden Grundoperatoren jetzt durch Omega-reguläre Ausdrücke darstellen konnten.
Und jetzt danach kommt wieder was sich jetzt für diese Sitzung
hier neu eingefügt habe, nämlich die Frage,
wie es mit der Umkehrung ist.
Nicht, denn wir hatten ja gesagt,
für jede LTL-Formel finden wir ein Bücherautomaten und die umgekehrte Frage wäre,
wenn wir ein Büschi-Automat haben,
können wir die akzeptierte Sprache auch durch ein LTL-Formel
eben darstellen
Da habe ich ja zunächst nur nochmal die Definition,
die wir eben gerade hatten,
nicht diese Sprache dieser Formel wäre ja die Menge aller unendlichen Folgen,
die eben das F erfüllen oder für die eben gültig ist.
Und ja, das Interessante daran ist,
aus meiner Sicht, dass das nicht der Fall ist,
wusste ich schon länger, aber ich dachte immer,
dass seine ganz komplizierte Angelegenheit und erst im Sommersemester hatte ich irgendwo gelesen,
dass man das an einem ganz einfachen Beispiel zeigen kann.
Und das wollte ich Ihnen jetzt dann
auch mal mitteilen
Es gibt nämlich einen Büchi-Automaten-M, für den es keine LTL-Formel gilt,
die das Gleiche akzeptiert. Und das Gegenbeispiel gilt so,
wir nehmen als Menge der atomaren Formeln nur das A,
also ein Elementic. Und wir betrachten jetzt,
als diese Sprache, die doch eben die beiden Modelle sozusagen trennt,
die Menge aller unendlichen Folgen, nee, von Teilmengen,
von Elementen der Potenzmenge, dergestellt, dass diese Bedingung gilt.
Und diese Bestimmung sagt ja eben, dass A,
in allen geraden Folgegliedern gilt, das heißt,
in allen Folgengliedern mit geradem Index
Kann man sowas durch ein Bücherautomaten akzeptieren? Ja, das
ist ganz schlecht. Da kann man also sowas schreiben,
wobei dieses Truh nur eine Abkürzung dafür ist,
dass ich jetzt alle Möglichkeiten der Potenzmenge habe,
also A, die einer Menge und die leere Menge,
nicht andere Elemente habe ich ja da nicht in der Potenzmenge über diesen automaren Ausdrücken.
Ja, diesen Endzustand hätte ich ja gar nicht gebraucht.
Das Endzustände betrachten wir ja
gar nicht
So, nicht das Ganze kann ich hier jetzt natürlich auch darstellen,
indem ich hier es vielleicht jetzt in unserem Kontext günstiger,
indem ich hier zwei Rückkanten eben habe. Ja,
und wir sehen jede unendliche Folge,
die also jetzt hier möglich ist, die gilt ja,
dass sozusagen hier im ersten Schritt das A gilt und dann
im zweiten Schritt kann A und nicht A gelten und im zweiten wieder,
das heißt in allen geraden Schritten haben wir das A. So,
und sehen Sie jetzt ein,
dass man sowas Einfaches nicht durch eine LTL-Formel darstellen kann?
Sie sehen das ein
Aber wie ist denn das mit der Formel hier? Ich sage,
am Anfang habe ich A und dann gilt immer,
gilt wieder A und zwei Schritte, weiter geht wieder A.
Das ist doch ein Gegenargument, ne? Nicht, ich kann ja,
ich kann ja mit meinen LTL-Formeln und dem Nächstoperator zwar nicht sagen,
mit dem Nextoperator irgendwann mal später, aber jede endliche Zeitpunkt,
der eine endliche Anzahl von Schritten später liegt,
kann ich ja angesprochen werden,
indem ich das Next entsprechend iteriere und hier also zweimal.
Nicht, und das heißt doch gerade, es gilt A,
Und da es immer gilt, wenn a. gilt,
also am Anfang gilt im zweiten auch a.
Und dann im vierten. Und dann im sechsten und so
weiter. Ja, bitte. Richtig, das ist,
genau, das ist der Punkt. Das haben sie
ganz genau gesehen. Nicht, also diese Formel hier nicht.
Wenn ich das zweite Folgeglied auch a. mache,
dann erfüllt das diese Formel Eben nicht, warum nicht?
Weil ja, wenn ich dieses zweite A kann ich,
ist ja nicht verboten, aber zwei Schritte weiter habe ich es nicht mehr.
Aber umgekehrt habe ich, dass diese Folge in dem Gripgestruktur
hier möglich ist. Ich habe hier also A, A,
A und dann leere Menge und dann wieder entsprechend kann ich mit Arbeiter machen.
Also dass jetzt nur ein, als eine kleine Ergänzung zu dem, was wir bisher hatten. Ja,
aber der wichtige Punkt ist natürlich der,
dass wir von der Formel zum Büchie-Automat immer kommen,
weil eben die Spezifikation in der temporalen Logik erfolgen und dann
die Algorithmen dann den Büschi-Automaten erzeugen und da drin eben erarbeiten,
sodass also die umgekehrte Richtung nur mehr vom akademischen Interesse ist.
Ja, wir kommen später nochmal auf LTL zurück,
wenn wir nämlich das mit CTL vergleichen.
Und CTL wäre, ist jetzt die andere Logik,
die wir jetzt kennenlernen oder letztes Mal auch schon angefangen haben.
Nämlich, und CTL kommt von dem Begriff Computational Three Logic
und wie sie das letzte Mal schon gesehen haben,
hat das was mit Bäumen zu tun.
Nicht, wo wir hier so einen Baum eben haben
Und das Neue daran ist, dass wir andere Quantoren haben,
die jetzt mit A und E geschrieben werden und die sich dann jetzt auf alle Pfade beziehen,
die von einem gegebenen Zustand eben ausgehen.
Wenn ich das hatten wir zwar eben schon bei LTL,
aber wir haben da sozusagen immer nur auf den Anfangszustand bezogen.
Und hier haben wir jetzt die Möglichkeit,
auch in späteren Zuständen dieses A oder E eben anzuwenden.
Und das können wir ja mal an diesem Beispiel hier uns anschauen.
Ich habe also extra mal einen späteren Zustand genommen,
weil das im Anfangszustand ja so ähnlich aussehen würde, wie wir eben das bei LTL haben.
Und wenn ich in diesem späteren Zustand jetzt AGP fordern würde,
heißt das, dass ja immer das P gelten muss,
ausgehend von diesem Zustand, egal in welchen Pfad ich eben wähle.
Und wenn ich das in LTL darstellen wollte,
dann müsste ich sozusagen ja,
erstmal müsste ich hier anfangen und dann mich irgendwie geistig in diesem Zustand versetzen,
aber in LTL habe ich keine Möglichkeit, hier noch Abzweigungen zu betrachten,
sondern da lege ich ja am Anfang die Pfade fest,
auch wenn ich alle festlege, habe ich aber nicht die Möglichkeit,
jetzt vom Zustand aus S die verschiedenen Pfade zu berücksichtigen,
sodass man jetzt also jetzt schon ahnen kann,
dass diese Ausdrucksmöglichkeiten etwas anders sind.
So, und das wäre also jetzt der Fall für die erste Definition,
dass AP bedeutet, alle Pfade,
die von einem gegebenen Zustand es ausgelten, gilt die Formel P,
die jetzt in diesem Fall hier als GP auftritt.
Also dieses P muss jetzt in dieser Definition nicht atomar sein,
sondern kann auch eine ganze Formel eben sein
So, und das Zweite wäre das Analoge, aber jetzt mit dem Existenzquanto.
Das heißt, von diesem Zustand aus wird nur gefordert,
dass es einen Pfad gibt. Da haben wir jetzt,
also jetzt in dem zweiten Baum, nehmen wir mal da den Anfangszustand.
Und wenn wir da EGP nehmen, dann würde nur gefordert,
dass es einfach wie der Rot hervorgehobene gilt,
wo immer das P eben gelten muss.
Und auch das ist jetzt wieder ein Unterschied zum LTL,
denn da war es ja nun wiederum so,
dass ich im Anfangszustand das eben nur für alle Pfade fordern konnte.
Also wenn ich es auf die Krippestruktur beziehe,
musste das für alle Pfade eben gelten. Gut,
mit solchen kleinen Beispielen können wir jetzt mal die verschiedenen Varianten ausprobieren,
wenn ich unterm Prädikat, unserer atomare Aussage ist,
jetzt nicht, ist jetzt tot, um das grafisch darzustellen.
Nicht, das wäre das AG Rot. Das heißt,
beginnen vom Anfangszustand, der immer an der Spitze jetzt liegt,
gilt für alle Pfade immer rot.
Okay, entsprechend für alle Pfade, irgendwann mal rot,
könnt ihr so aussehen. Nicht da wir mit betrachten,
also immer wieder unendliche Pfade,
das heißt, die Pünktchen muss man sich weiterdenken,
dass es irgendwie so weitergeht
Das wäre, es gibt einen Pfad,
der irgendwann mal rot gilt. Und das entsprechende,
es gibt einen Pfad, sodass immer rot gilt.
Und dann haben wir ja nur noch das Antel.
Es gibt einen Vater, das grün gilt bis rot.
Das heißt, wir suchen einen Pfad,
wo irgendwann mal rot gilt und davor immer grün.
Das ist hier der Fall. Und das Entsprechende mit A
, würde bedeuten, für alle Pfade gilt das.
Egal wie wir hier durchlaufen,
wir treffen immer auf rot und vorher gilt grün
Ja, jetzt würden Sie sagen, sagen Sie, mit Recht,
ja, das sind ja keine Kripke-Strukturen, zumindest Spezialfälle.
Und von den Kripke-Strukturen kommen wir zu diesen Bildern durch eine
sogenannte Abwicklung. Nicht die betrachten jetzt mal hier eine solche
Kripke-Struktur mit drei Zuständen. Und jetzt Frage an Sie,
ist Ihnen der Begriff Abwicklung aus der Programmierung geläufig?
Nein. Ihnen ja? Was könnte das bedeuten?
Ja, nicht
Tafel ist weg, mittlerweile, ne? Also,
dann mache ich es mal mit Zeichen. Also,
stellen Sie sich mal vor, wir haben eine Waldschleife.
Ich fange an und dann geht es zurück, Waldschleife und dann geht es raus.
So, jetzt möchte ich gerne mein Programm so abändern,
dass die ersten drei Schritte in der Schleife ich was anderes
mache und danach mache ich die Schleife so wie vorher.
Das mache ich dadurch, indem ich die Schleife abwickle,
das heißt, anstatt beim ersten Mal zum Durchlaufen gehe ich weiter,
zweite, dritte Mal und dann mache ich die Schleife.
Das ist so ähnlich,
wie wenn Sie eine Zwirnsrolle haben und den Faden anfassen,
dran ziehen und
der Faden rollt ab
Dieses so erhaltene Programm, diese Abwicklung hat immer noch dieselbe Semantik,
macht immer noch dasselbe, aber sie haben sozusagen
das Anfangsstück verlängert und da können sie dann jetzt rummanipulieren.
Das versteht man in der Programmierung unter Abwicklung und das
machen wir jetzt hier mit der Kripke-Struktur.
Das heißt, die Abwicklung sieht jetzt so aus,
ich fange im Anfangszustand an und jetzt habe ich ja
einen Übergang nach Schwachs und einen Übergang nach Rot.
Den trage ich hier ein. Das ist noch nichts Neues
. Aber von dem Rot hier komme ich hier nach Grün
und nach Schwarz
Und in der Abwicklung male ich dazu aber neue Zustände.
Also hier das Grün und das Rot. Wir gehen hier
nicht zurück zu dem Grünen oder dem Schwarz wieder zurück,
sondern wir machen neue Zustände und so weiter.
Und Sie sehen, wir bekommen dann zwar eine unendliche Struktur,
aber wir sehen die Pfade alle viel besser.
Also zum Beispiel der Pfad hier,
wo wir immer so rumlaufen, grün, rot,
grün, rot, würde diesem Pfad hier entsprachen.
Oder dem Pfad,
wo wir hier rot und dann immer schwarz,
würde dem Pfad hier entsprechend schwarz
immer rot und immer schwarz
Ja, und das nennt man jetzt eine Abwicklung.
Und diese Vorstellung ist günstig für das Arbeiten mit CTL-Formeln.
Nicht diese Abwicklung kommen natürlich auch nicht in den Tools vor,
weil das ja unendliche Strukturen sind, aber für die Vorstellung,
wie gesagt, ist das sinnvoll.
So, jetzt gibt es eine Sonderheit, weil CTL,
die enorm wichtig ist, ich könnte ja jetzt diese Quantoren,
die ich vorher in LTL hatte und die jetzt in CTL neu hinzugekommen sind,
beliebig mischen.
Das ist ja semantisch sinnvoll. Das führt aber doch dann
zu Komplexitäten, die sich in der Praxis als nicht tragbar
herausgestellt haben
Aber trotzdem in der Theorie betrachtet werden, die ganze Logik
heißt dann CTL Stern. Was in der Praxis vorkommt,
ist, dass sozusagen magere CTL, das besteht darin,
dass ich nicht alles zulasse, sondern immer dafür sorge,
dass die beiden Arten von Quantoren immer nur zusammen auftreten,
und zwar in der folgenden Form.
Also, syntags von CTL-Formeln. Wir haben wieder eine Menge AP von AP
logisch Atomen. Und dann ist die Syntax von sogenannten ZDL-Zustandsformeln,
die beziehen sich also auf Zustanden, folgendermaßen definiert,
dass ich also von G nach True Falls und Aussagen habe und dann nach E-EF.
Und dieses F hier ist nicht dieses G hier vorne,
sondern das bezieht sich jetzt hier auf die zweite Zeile,
die ich dann CDL-Pfad-Formel nenne.
Und die sieht die Pfadformeln sehen dann genauso aus,
wie wir das in LTL eben schon kennen. Und Ja,
das bedeutet, dass eben in CTL diese beiden Quantoren,
also die nennen das jetzt auch mal Zustandsquantoren und Fahrtquantoren,
immer in Kombination auftreten.
Und zwar immer der Zustandsquantor, also hier A und E.
Und dann hatten wir ja vier von diesem Pfadquantoren XF,
G und U, also insgesamt acht.
Es gibt also nur diese acht Kombinationen,
die werden in CTL zugelassen und der Grund ist eben
die der Komplexität und auch der Handhabbarkeit,
weil das andere auch manchmal doch sehr schwer zu mir
durchschauen ist
Ja, betrachten wir uns jemanden mal, zum Beispiel
dieses Beispiel in der Syntax-Definition. Das würde ja bedeuten,
das geht hier mit dem E los und von dem kleinen F
gehe ich dann hier in die zweite Zeile,
suche mir da das Groß-F und gehe wieder hier zu dem
G zurück und auf diese Art und Weise nicht,
habe ich so eine doppelte Rekursion in dieser Definition und auf
diese Art und Weise,
wären jetzt diese möglichen CTL-Formeln dann also definiert
Ja, also nochmal,
wir haben also als CDL-Formeln nur diese acht Möglichkeiten,
die man sich aber so gut merken kann.
Es gibt immer nur A und E in der ersten Stelle
und XFG und U in der zweiten Kombination.
Aber diese können natürlich jetzt wieder zu größeren Formen aufgebaut bleiben,
aber sie bleiben immer zusammen, das heißt nichts trennt sie mehr.
Ja, diese Semantik wird dann wieder ganz genauso definiert,
wie wir das vorher hatten
Nicht, also hier wäre sozusagen der Aussagen logische Teil,
da ändert sich nix. Aber hier,
bei dem EF heißt, es gibt einen im S-beginnenden Pfad
und hier unten für alle in S-beginnenden Pfade, gilt das entsprechend.
Und das XFG und U werden wie vorher definiert. Ja,
das müssen wir uns jetzt nochmal wieder konkret am Beispiel anschauen.
Nehmen wir uns mal diese Kritik. Und die Frage wäre
, gilt das hier? Nicht, das heißt,
im Zustand 1 fragen wir, gilt da AFQ,
das heißt, gilt für alle Pfade,
dass wir irgendwann mal auf Kuh treffen,
Untertitel der Amara.org-Community Schaltet, jetzt geht's wieder, genau.
So, vielen Dank für die Nothilfe. Also,
ich war an der Stelle ja stehen geblieben,
daran zu erinnern, dass das ja eine Situation ist,
die wir vorher in LTL schon hatten,
weil wir die LTL-Formel ja auf alle Pfade des Anfangs,
der Anfangszustandes bezogen eben hatten
Also wir überlegen ähnliches, gilt eben für alle Pfade,
dass irgendwann mal Kuh gilt.
Können Sie auch mal gucken, ja oder nein?
Ja, nicht. Denn ich kann hier oben rumgehen und unten rumgehen.
Und hier treffe ich schon auf Kuh und hier im Zustand 3 auf Kuh.
Nächstes Beispiel wäre ein Nicht-EG-EP. Das heißt, es gibt
keinen von drei ausgehenden Pfad, der immer P. eben erfüllt.
Da haben wir also mal ein Beispiel, wo wir nicht
vom Anfangszustand aus was betrachten, nämlich von drei.
Und es wird behauptet, es gibt keinen von drei ausgehenden
Pfad, der immer P eben erfüllt
Gebt das so oder gilt das nicht? Wie ist es
denn mit dem Pfad, der hier in drei immer bleibt?
Wie bitte? Ja, ne? Das heißt,
wenn wir das Negationszeichen wegnehmen würden,
dann würde das im Zustand treiben eben gelten,
dann halten wir ja diesen Pfad,
wo wir hier immer in drei bleiben.
Aber was ist denn,
wenn wir hier runtergehen
Darm, er gilt dann auch, immer Peter,
das heißt, den könnten wir für den anderen Fall auch nehmen.
Nächste Beispiel bezieht sich jetzt wieder auf die gesamte Grippstruktur,
das heißt also wieder die formale Definition hatten wir jetzt noch nicht,
aber sinngemäß wieder auf die Anfangszustanden.
Da haben wir jetzt diese Kombination,
die wir jetzt bis jetzt noch nicht gesehen haben,
AGA11, das liest sich so, für alle unendlichen Faden,
die im Anfangszustand beginnen,
gilt immer,
dass von dort aus für alle Pfade irgendwann
mal eben R-Geld
Nicht, und wie wir schon hier eingeblendet ist, ist,
dass jetzt sozusagen die CTL-Formulierung für unendlich oft gilt R. Und wie ist das,
wenn wir hier unten rumlaufen, da haben wir,
müssen wir hier immer immer ärmen, weil hier drin bleibt,
auch, und das sollte dann eben gelten.
Dann hier nochmal AG, ohne das Zweite mit P oder Q,
das heißt jetzt auch wieder für jeden unendlichen Vater im Anfangszustand gilt,
gilt immer, ach so, ja, das heißt,
da haben wir genommen, müssen wir natürlich auch sehen,
dass das hier gilt,
aber in vier haben wir P und in zwei haben wir auch P,
also dass wir das immer Geld und den Preis sowieso,
haben wir Kuh.
So, und dann haben wir ja noch was. Ach ja,
das Ante ist natürlich auch nochmal wichtig zu sehen,
das ist zu sagen, das Ante, was wir schon kennen,
aber jetzt wird das für jeden Pfad gefordert, der im Anfangszustand beginnt.
Das heißt, egal,
wo wir hinlaufen, wir treffen irgendwann mal auf Kuh,
hier schon oder hier und auf dem Weg dahin gilt vorher MAP
hier und also hier beim Weg obenrum in 1 und 2 und beim Weg unten in 1,
das gilt also
Okay. So, jetzt habe ich hier Formeln, noch mal im Folien,
die zeigen eigentlich noch mal dasselbe, was wir schon mal hatten,
aber vielleicht zur Gewöhnung habe ich die noch mal drin gelassen,
jetzt noch mal auf diese Bäume, auf die Abwicklungen bezogen.
Das wäre jetzt also, wären die Bilder dafür,
dass ein E-X und das A-X, also in die zweite,
ach so, das hatten wir eben in der Kripke-Struktur,
glaube ich, noch nicht, das X. Das X bedeutet ja,
im nächsten Zustand gilt irgendwas und A-X heißt dann, für alle Pfade,
die S0 beginnen, gilt im nächsten Zustand eben, gehe wie in diesem Bild hier.
Und das Duale dazu ist, da ist EX,
da braucht das nur in einem zu gelten.
Das hier, das hatten wir schon,
das wäre sozusagen das EF, irgendwann mal,
nur auf einem Fahrt muss das Geh gelten und das wäre das mit dem Alquan-Tor.
Und das hatten wir auch schon, das wäre das EEG,
es gibt einen Pfad, wo immer das Kleingeh gilt und das,
wo es überall gilt.
Das EEG ist sozusagen die Forderung,
egal was passiert,
das gilt immer klein
Ja, und das Antil hatten wir ja auch schon,
das sah ja auch vorher so aus, wie hier, hier.
Es gibt eben einen Pfad, wo wir auf Rot kommen,
war das ja das, was hier Sk2 hier und vorher
gilt immer grün, was hier aus G1 ist.
Und dieser Pfad würde da keine Rolle spielen.
Im Gegensatz zu dem, wenn das A da steht,
ist, dann muss das für alle eine Pfade eben gelten.
Gut, dann haben wir jetzt auch wieder Äquivalenzen.
Das ist aber zum Glück nicht sehr viel anders als in LTL.
Also wenn ich hier zum Beispiel zweimal das Negationszeichen davor schreibe und dann eins reinziehe,
dann wechselt das A in ein E und das X bleibt,
sodass dieses zweite Negationszeichen bei dem Geben ankommt und wir diese Äquivalenz haben.
Das ist also ähnlich, wie wir das in ein LTL haben.
Aber so ganz selbstverständlich ist es natürlich nicht,
weil sich das ja eben auf alle Pfade bezieht.
Dann, was wir auch wiedererkennen, ist Folgendes,
nicht wenn sie sich das E hier mal wegdenken,
dann ist das ja die entsprechende Äquivalenz,
die wir in LTL haben.
Nicht, dass das TU Antil G Äquivalent ist zu dem F,
groß F-Klein G. Und die Aussage ist hier also,
das bleibt erhalten, wenn ich da
ein E vorschreibe
So, das nächste ist jetzt wieder,
was wir auch jetzt schon mehrfach eben hatten.
Nicht, dass hier, also, wenn wir hier beispielsweise
zwei Negationen Zeichen davor schreiben. Das Zweite hier reinziehen,
dann wird aus dem ANE und aus dem GNF
und das zweite Negationszeichen kommt dann beim kleinen G an und
die Formeln sind also dann entsprechend
Ja, und das wäre das Entsprechende jetzt für das AF statt dem AG mit derselben Argumentation.
Ja, und das Letzte haben wir sowas auch fürs Antel,
dass wir sie sehen, sieht aber eine komplizierter aus,
das arbeiten wir wohl vermutlich in der Vorlesung hier eben nicht mit.
Ja, warum ist sowas wichtig? Zunächst mal kann man ja sagen,
prinzipiell, um in der Logik da Umformungen zu machen,
aber in diesem Falle kann man sogar noch einen dristigeren Grund nehmen,
denn Wenn wir ein Tool bauen, dann ist es natürlich günstig,
wenn wir nur wenige unabhängige Operatoren haben,
weil wir die nur realisieren müssen.
Und alle anderen, die wir dadurch ausdrücken können,
können wir dann darauf zurückführen. Das ist ja eine allgemeine Beobachtung,
die Sie auch in der Logik vielleicht schon gemacht haben.
Sie können ja immer einen Satz von Logik finden,
der minimal ist, oder einen anderen Satz,
der zwar Äquivalent ist, aber noch mehr Axiome beispielsweise hat.
Beides hat Vorteile. Nicht wenig Axiome haben den Vorteil,
wenn man Beweise führt,
dann muss man die nur auf diese wenigen Axiome beziehen
Aber wenn ich irgendwelche Dinge semantisch ausdrücken will,
dann sind sozusagen Hilfsaktionen, die ich ableiten kann,
günstig, weil ich die immer wieder einsetzen kann.
Ähnlich wie Prozeduren in der Programmierung,
die ich einmal programmiere und dann immer wieder einsetzen kann.
Nicht so, dass also beides, es ist vorgehenden Vorteil haben.
Und hier ist es so, dass viele oder einige von
diesen Kombinationen abhängig sind und wir die dann nur realisieren müssen.
Ich kann euch schon mal verraten, in welcher Größenordnung das ist.
Wir hatten ja acht Kombinationen in der Kombinationen in CDL.
Und wir brauchen davon nur drei realisieren,
weil wir die anderen alle ausdrücken können
Kommt aber später. Ja, was haben wir jetzt jetzt
hier noch wieder, solche Gesetze? Nicht,
das kennen wir auch schon, ich weiß nicht,
hatten wir, glaube ich, auch vorher, nicht disributiv Gesetze.
Wenn wir diese Konjunktion haben und mit AG, dann können wir das reinziehen.
Und hier unten mit EEF, mit dem Oder.
Das ist natürlich kein Zufall, dass hier bei dem G,
das und und bei dem F das Oder steht,
nicht, weil ja G ist ja sowas wie,
es gilt immer, was man als große Konjunktion interpretieren kann.
Es gilt im Zustand, im ersten Zustand, im zweiten,
dritten und so weiter. Nicht während das F heißt,
ja, es gilt im ersten oder im zweiten oder im dritten.
Das heißt, wenn ich da wieder und, und,
oder fatarische, dann gilt es nicht. Nicht,
dass es jetzt hier auf der rechten Seite nochmal ausgedrückt,
wenn ich jetzt das EG hier mit dem Und habe und dann reinziehe,
dann gilt das entsprechend eben nicht.
Okay. So, jetzt kommen wir zu diesem Punkt,
den ich eben schon erwähnt habe.
Das läuft jetzt hier unter dem unter der Überschrift Normalisierung von CTL-Formeln
Also wir haben ja gesehen, es gibt acht Kombinationen,
die hier da stehen und auf der,
aufgrund dieser Äquivalenzen kann man die zurückführen auf drei von diesen Kombinationen,
nämlich auf EX, EG und EU.
Und ja, das wird auch in den Aufgaben vorkommen. Das heißt,
wenn sie, also das halt nochmal anders ausgedrückt, der Algorithmus,
der Modelchecking-Algorithmus, den wir am Ende ja kennenlernen,
der wird nur diese drei Operatoren realisieren.
Und wenn Sie also eine Formel haben,
wo Eine von den anderen fünf vorkommt,
dann müssen die das erst so umformen,
dass nur noch die drei da sind.
Und das macht man typischerweise so, indem man zum Beispiel
doppeltes Negationszeichen davor schreibt, das reinzieht und dann so weit,
dass nur diese drei dann übrig bleiben.
Die Frage an Sie, Sie können sich auch vorstellen,
man hätte natürlich auch andere drei nehmen können,
zum Beispiel solche, wo statt dem E ein A steht.
Können Sie sich jetzt schon vorstellen,
warum das E für die Meutel-Checking-Algorithmen günstiger ist
als das A
Ja, bitte. Genau. Nicht. Einen finden ist
immer einfacher, als alle finden.
Und dann arbeitet man lieber mit den Negationszeichen an einer Stelle
und sucht ihr das kompliziert und das komplizierte Suchen eines unendlichen Pfades.
Da hat man dann nur einmal durchzuführen. Ja,
als nächstes habe ich jetzt nochmal eine Formulierung, die wir jetzt,
wo ich jetzt also keine Darstellung habe, bildliche Darstellung habe,
die aber, was wir dann noch mal nachziehen.
Wir hatten ja gesehen, dass wenn wir zwei Gripge-Strukturen haben,
die dieselben Folgen von Etiketten haben, dann sind sie durch LTL-Formeln nicht mehr unterscheidbar.
Das gilt nicht für CTL-Formeln für CTL-Formeln, gilt aber was Analoges,
wo anstelle der Folgenäquivalenz die Relation der B-Simulation kommt.
Nicht, dass werde ich dann später noch mal darauf zurückkommen,
um das auch zu veranschaulichen
Was wir vorher machen, ist noch eine kleine Bemerkung jetzt zu CTL-Stern.
Hatte ich ja schon erwähnt. Das wäre sozusagen die temporale Logik,
wo ich unbeschränkt kombinieren darf. Das heißt also,
solche Zustandsformeln und Pfadformeln, da habe ich dann beliebig kombiniert.
Ich habe jetzt keine Tafel,
sonst würde ich Ihnen da mal so ein Beispiel aufschreiben,
also zunächst mal schreibe ich da auch noch mal so
eine CTL-Formel rein,
die weder eine LTL-Formel
noch eine CTL-Formel ist
Ja, bevor wir zu dem Model-Checking kommen,
haben wir jetzt nochmal einen kleinen Abschnitt, wo wir jetzt LTL und CTL miteinander vergleichen.
Und das geht jetzt folgendermaßen an. Links in Grün betrachten wir
jetzt LTL, also die Linearzeit-Logik und rechts das CDL.
Nicht die also auch manchmal Branching-Time-Logic heißt,
weil wir in den Zuständen dann eben verzweigen können.
Ja, Syntax haben wir gelernt. Da haben wir nur diese Pfadquantoren,
X-FG und U. Aber wir haben ja gesagt,
eine LTL-Formel gilt für eine Kripke-Struktur, wenn sie für alle Pfade aus den Anfangszuständen gilt.
Das heißt, jetzt, nachdem wir CTL können,
erkennen, können wir das auch so ausdrücken,
dass wir da vorne ein A davor schreiben,
weil das A sagt ja, es gilt für alle Pfade.
Ja, das macht man in LTL noch nicht,
weil wir da dieses A noch nicht kennengelernt haben,
macht man auch später nicht, weil man sich so denkt,
aber um das logisch klar zu machen,
gedacht ist bei einer LTL-Formel immer ein A davor,
aber natürlich nirgendwo zwischendrin.
Das darf man nur bei CTL machen, ne? Ja,
ne, bei CTL haben wir also als Syntax diese acht Kombinationen,
wo immer ein Zustandsquantor kommt und danach ein Pfadquantor.
Da kann das A auch am Anfang stehen, aber nie
wie in der, nie wie in LTL zum Beispiel alleine.
Gut. Und jetzt betrachten wir mal ein folgende Aufgabe
Gegeben seien die beiden Folgen Gripke-Strukturen M1 und M2 in A und B.
Nicht, wo wir hier PQ in beiden haben.
Und dann haben wir hier das P und die leere Menge unter das Kuh.
Und hier oben haben wir die Verzweigung schon im Frühjahr.
Und die Frage ist jetzt, gibt es jetzt LTL-Formeln,
die die Strukturen unterscheiden?
Also das war diese Trendschärfe. Das heißt,
die nur in einem Modell gelten und
das Gleiche jetzt für CTL
Ja, haben Sie da schon mal eine Idee nach dem,
was wir jetzt gesehen haben? Oder können Sie schon mal
was denken, worauf das hinausläuft? Betrachten Sie mal diese,
also das geht hier irgendwie noch weiter, was wir jetzt so sagen,
mal nicht betrachten und wo wir auch jetzt keine großen Unterschiede mal erwarten.
Wenn Sie diese beiden Kripke-Strukturen betrachten und jetzt an die Folgen,
die Folgen untersuchen, die in beiden möglich sind,
dann haben wir ja links Erst PQ, dann P,
dann die leere Menge und dann irgendwie weiter.
Oder wir haben PQ und dann P und dann Kuh und dann irgendwie weiter.
Und hier rechts haben wir PQ und dann P,
dann die Leerenhänge und dann irgendwie weiter.
Und hier haben wir PQ, P und Kuh und dann irgendwie weiter.
Und das irgendwie weiter sei bei beiden also gleich.
Also was sehen wir? Die sind folgenäquivalent. Ja,
bezogen auf die Etiketten haben wir dieselben Folgen.
Und was haben wir früher gesagt, wenn wir Folgenäquivalenz haben,
können wir die nicht durch die LTL-Formel unterscheiden.
Das heißt, die erste Frage, Wird dann negativ ausgehen?
Umgekehrt sehen wir aber, das war ja das typische Beispiel für
Gegenbeispiel für B-Simulation oder mit dem Getränkeautomat war das nur eingebaut.
Am Anfang sah das so aus, nicht wo ich die Münze,
wie wir das Münze eingeworfen habe und dann ist dann erst
die Verzweigung später oder dann früher hatte, das war nicht B-Similar.
Und wir hatten eben gesehen, jetzt ohne Beispiel,
und das haben wir jetzt, dass wir bei CTL diese Ununterscheidbarkeit haben,
nur wenn die beiden B-Similar sind.
Also wird die Frage A, Positiv oder negativ ausgehen,
kann man nicht unterscheiden und B wird positiv ausgehen, kann man unterscheiden.
Und das gucken wir jetzt mal im Einzelnen an.
Also, links haben wir jetzt erstmal LTL in Grün.
Und da haben wir jetzt stehen,
haben wir die beiden Folgen, PP und so weiter,
gerade was ich eben schon erklärt habe, nochmal aufgeschrieben.
Und wir nehmen jetzt mal eine Formel als Beispiel für alle,
nicht in LTL dürfen wir das A ja ganz am Anfang davor schreiben.
Es gilt PQ am Anfang und im nächsten Schritt
gilt P und Haben wir ja hier nicht.
Und im nächsten Schritt gilt nicht, Kuh oder Kuh.
Ich habe jetzt die Negation jetzt hier noch mal zugeschrieben,
weil wir ja diejenigen hätten atomaren Aussagen uns dazudenken,
wenn sie da nicht eben stehen.
So, nicht? Und die Aus- und wir fragen dann,
ob jetzt diese Formel, die jetzt hier links gilt,
ob die auch rechts gilt. Das heißt,
ihr Links gilt ja, wir haben Anfang PQ,
im nächsten Schritt haben wir P und davon im nächsten Schritt
haben wir entweder Kuh oder Nicht-Kuh
Und die Frage ist, ob das rechts für die Kripke-Strukturen
rechts eben auch geht. Und da wir ja da dieselben
Folgen hatten, brauchen wir gar nicht mehr viel nachzudenken.
Und das heißt, das gilt genauso. Das heißt also,
eine solche Formel kann die beiden Kripke-Strukturen nicht unterscheiden.
So, machen wir dasselbe jetzt mal für CTL.
Da müssen wir uns natürlich was anderes einfallen lassen.
Da nehmen wir mal sowas hier.
Da haben wir hier am Anfang PKU
Und jetzt können wir ja nicht X schreiben wie hier oben,
sondern es war A-X zum Beispiel schreiben.
Egal was passiert. Am Anfang haben wir ja nur einen Nachfolgezustand,
also ist das sinnvoll. Im nächsten Zustand gilt P,
das ist wieder so ähnlich wie hier oben.
Und dann sagen wir, danach im nächsten Zustand,
also es ist eine weitere Bedingung, die danach gilt, gilt wieder.
Nicht Kuh und ja, nicht Kuh und Kuh,
was ja dann ganz analog ist, wie oben.
So, und wenn wir das jetzt auf die Rechte
Kripke-Strukturen eben anwenden, was sehen wir da?
Da haben wir am Anfang auch wieder PQ
Im nächsten Schritt haben wir P, egal ob wir dahin gehen oder dahin gehen.
Hier steht ja, für alle Pfade, die beginnen,
betrachten wir das im nächsten Schritt. Aber jetzt wird ja behauptet,
im übernächsten Schritt gilt eben nicht Kuh und Kuh.
Und je nachdem, wo wir dann hier gerade sind,
gilt eins natürlich da nicht. Das heißt also,
diese Formel geht für diese zweite Kripristruktur M2 nicht.
Das heißt, die trennt diese beiden oder die Modelle
trennen,
diese Formel
Und sie sehen die Argumentation ist, oder die Vorstellung ist ganz ähnlich,
wie wir das bei der B-Simulation eben hatten.
Nicht, dass wir hier eine Entscheidung gewissermaßen früher schon treffen,
die wir zu einem späteren Zeitpunkt nicht mehr zurückholen können.
Wir hatten das damals zu sagen mit der Möglichkeit des Deadlocks motiviert,
wo wir links dem Deadlock ausweichen können, rechts nicht mehr.
Und hier ist es eben so, dass wir eben in CTL,
wo wir nach den Verzweigungsmöglichkeiten in den Zustanden fragen,
dieser Unterschied auftritt
Während wir in LTL, wo wir das immer auf die
gesamten Folgen beziehen und diese Folgen gar nicht mehr zu formulieren erlauben,
was ich im zweiten Schritt, wo ich im zweiten Schritt abzweige,
dass in diesem Sinne, dass in LTL nicht unterscheidbar ist.
Ja? Okay. Ja, deswegen kann man jetzt natürlich
fragen, wie liegt denn jetzt LTL und CTL zueinander?
Da mache ich jetzt gleich mal Schluss,
indem ich mal diese Formel hier zeige
Diese hier, naja, das ist mal zu weit.
Dieses hier. Nicht, es ist also so,
dass wir hier CTL haben und ein LTL.
Und es gibt natürlich Formeln in CTL und LTL,
die gleich mächtig sind, die dasselbe ausdrückt.
Nicht so taktisch unterscheiden sie sich natürlich.
Meistens. Aber es gibt eben auch Formeln,
wie diese zum Beispiel, die in CTL möglich ist,
die aber keinen semantischen Äquivalent hier in LTL hat.
Und auch diese Formel,
das ist ja eine LTL-Formel jetzt mit dem A geschrieben,
zu der gibt es keines semantisches Äquivalent auf der anderen Seite
Und wenn ich die beiden dysjunktiv verbinde, wie hier unten,
dann habe ich ein Beispiel in CTL-Stern, die,
was weder in CTL noch in LTL liegt,
und wir sehen hier auch jetzt mal, wie so eine CTL-Stern-Formel aussehen können,
nicht die erfüllt weder die Bedingungen von LTL,
weil ich dieses A nicht nur am Anfang habe, und außerdem,
weil ich hier zum Beispiel Ja, hier nach dem,
hier nach dem, hier haben wir nicht die typische CTL-Form,
wo sich also die Zustandsformeln und die Pfadformeln unterscheiden müssen.
Nicht damit,
also nächste Stunde mache ich dann auch wieder die Wiederholung und
wir befassen uns dann mit diesen Formeln hier und überlegen uns,
warum das tatsächlich so geht,
worum die in der einen Menge sind und nicht in der andere.
Gut,
dann bedanke ich mich für heute