In der vergangenen Woche hatten wir versucht,
uns ein wenig dem Konzept der begrenzungsbasierten Modellierung zu nähern.
Und wir hatten gesehen, im Gegensatz zu den volumenbasierten Methoden,
die wir vorher kennengelernt haben,
geht das bei der begrenzungsbasierten Methode darum, dass man sagt,
jedes Objekt ist irgendwo gegen etwas anderes abgegrenzt.
Also ein Gegenstand, ein Objekt, wir, ich,
bin abgegrenzt durch meine Oberfläche, gegen diesen Raum.
Das Mobiliar ist abgegrenzt durch die Oberfläche, gegen den Raum.
Da haben wir also
eine Begrenzung
Das zeigt, wo ein Gegenstand aufhört und der nächste Gegenstand anfängt.
Und das kann man dann etwas konsequenter weitertreiben,
wenn wir sagen, die Objekte,
mit denen wir uns im Bereich des geometrischen Modellierens beschäftigen,
die sind durch ihre Oberflächen, gegen die Umwelt abgegrenzt,
dann können wir in einem nächsten Schritt noch weitergehen und sagen,
wie können wir die Oberflächen beschreiben.
Und wir hatten das anhand einiger Beispiele gesehen,
zum Beispiel
mein altes Auto
Da können wir es sehen, die Gesamtoberfläche eines Autos können wir unterteilen in Teilflächen.
Und die Teilflächen sind dann Oberflächen funktionaler Einheiten,
wie zum Beispiel die Oberfläche der Windflugsreibe, die Oberfläche der Tür,
die Oberfläche eines Scheinwerfers, die Oberfläche der Motorhaube,
das sind dann Teilflächen, die alle gemeinsam rechtlich zusammengesetzt,
die Gesamtoberfläche, unseres Automobils ausmachen.
Und da können wir dann wieder konsequent in der Konzeption der begrenzungsblasierten Modellierung weitergehen und sagen,
wie ist das jetzt mit den einzelnen Teilflächen?
Die Teilflächen sind ihrerseits begrenzt durch Kanten.
Die Kanten bilden die Grenze zwischen zwei aneinander, grenzenden Teilflächen.
Und so können wir dann praktisch diese Konzeption immer konsequenter
von einer Dimension zur nächst niedrigen Dimension weitertreiben.
Eine Fläche ist etwas topologisch, zweidimensionales.
Eine Fläche ist begrenzt durch ihre Kanten oder ihre Umrandung.
Diese Umrandung ist eine Kurve, topologisch eindimensional. Und diese
Umrandung in ihrerseits sind auch begrenzt. Wir können also hier zum Beispiel sehen bei den Kotflügeln,
hier Fahne, an der Ecke ist es ganz eindeutig zu erkennen,
da ist ein Punkt, der das Ende dieser Kante,
die gemeinsame Kante von Kotflügeln und Motorhaube ist, der Punkt markiert das Ende dieser gemeinsamen Kante.
Der Punkt als nulldimensionales Element ist also die Begrenzung einer Kante,
die ihrerseits ein eindimensionales Element ist und die Kanten,
begrenzt eine Fläche, die ein zweidimensionales Element ist.
Und die Fläche begrenzt, das Volumen des Oblates,
das ein 3dimensionales Element ist.
Wir haben also eine Hierarchie von Dimensionen
Könnt immer das Konzept der Begrenzung betrachten. Punkt, begrenzt, kannte, begrenzt Fläche, begrenzt Volumen. Ja,
und wir hatten das also anhand dieses Beispieles betrachtet,
wenn wir so einen Avatar basteln können wie einen menschlichen Körper auf die Weise,
beschreiben,
das heißt seine Oberfläche beschreiben,
die Schiffbauer haben das schon seit undenklichen Zeiten so gemacht,
sie haben die Form der Schiffe beschrieben,
anhand von begrenzenden Kanten,
den Spannlinien und den Wasserlinien und dadurch entsteht so ein Netz von
Kanten und das Netz teilt also die Gesamtoberfläche in ein Raster von einzelnen Maschen auf und die einzelnen Maschen sind dann eben die Oberflächenelemente des Schiffes,
die es dann eben auch geometrisch zu beschreiben gilt.
So, dann hatten wir uns Gedanken darüber gemacht,
wie können wir das mit der Beschreibung jetzt machen und wir hatten unterschiedliche mathematische Beschreibungsformen, Notationsformen kennengelernt bzw. rekapituliert.
Wir kennen sie ja schon auch seit langen Zeiten,
die explizite Farm Y gleich F&X, die implizite Farm,
F&X und Y ist gleich konstant und die parametrische Form,
in der die drei Raumrichtungen oder wenn wir in der Ebene arbeiten,
die beiden Raumrichtungen X und Y, jeweils beschrieben werden,
über zwei voneinander unabhängige Funktionen von einem gemeinsamen Parameter Tee.
Und dieses ist die Notationsform,
die in der Regel auch im Bereich des geometrischen modellierens verwendet
wird und da am weitesten verbreitet ist und mit dieser Notationsform
Denn die im Bereich des geometrischen Modellierens angewendet werden.
Zunächst einmal gehen wir wieder davon aus, wir wollen eine Kurve,
wir eine Fläche begrenzt, eine Kurve,
beschreiben in dreidimensionalen eukletischen Raum in der Vektorwertigen parametrischen Notationsform.
Und dann wäre also unsere Kurve in Abhängigkeit von Kurvenparameter Tee beschrieben als ein Vektor.
K mit den drei Elementen der drei Raumrichtungen XY und Z.
Und das sind dann eben drei voneinander unabhängige Funktionen vom gemeinsamen Parameter Tee.
Und der gemeinsame Parameter Tee ist dann praktisch die unabhängige Variable,
die wir vom Prinzip her in der expliziten Notationsform ja auch kennen.
Wir könnten uns also vorstellen, dass eine Kurve in Vektorwertiger,
parametrischer Notation, die Bewegung eines Punktes durch den dreidimensionalen Raum beschreibt,
in Abhängigkeit von der Zeit. Und als Parameter,
das ist also so eine ganz allgemeine Vorstellung,
da hatten wir in der vergangenen Woche auch schon die Überlegung angestellt,
dass das relativ willkürlich ist und dass wir also durch beliebige Parametersierung
im Grunde genommen immer wieder eine und dieselbe Kurve beschreiben können.
Ja, ich hatte Ihnen, glaube ich, das Beispiel genannt.
Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Skiläufer,
ein Swallumläufer,
der steht
Am Startpunkt an der Pfüste, dann fällt der Startschuss,
der saust da runter, um die ganzen Pinderlisse herum und kommt dann irgendwann auf der Ziellinie an.
Und interessant ist ja dann, herauszufinden, wie lange hat er dafür gebraucht.
Und dafür wird die Zeit gemessen. Das heißt also,
es wird automatisch gemessen, die Zeit von dem Augenblick,
in dem der Startschuss gefallen ist,
bis zu dem Augenblick und dem der Skifahrer, die Ziellinie überquert.
Dann kann man sehen, in der und der Zeit
hat der Skifahrer diese Slalom-Strecke zurückgelegt. Man kann dann,
im Prinzip, wenn man das aufzeichnen würde,
auch zu jeder beliebigen Zeit feststellen, wo der Skifahrer dann gewesen ist.
Das heißt also, man kann in Abhängigkeit von der Zeit,
es sind Art, rekonstruieren, an dem der Skifahrer zu diesem Zeitpunkt gewesen ist.
Das heißt, man hat also eine unmittelbare Beziehung festgelegt zwischen der Zeit,
die auf der laufenden Stopp wohl gemessen wird und dem Ort,
an dem sich der Skifahrer zu jeder Zehntelhundertste oder was auch immer Sekunde befindet.
So, ich denke, das Beispiel bis dahin kennen wir alle. Und dann hatte ich gesagt,
und was passiert jetzt, wenn ich persönlich nicht darauf warten will,
bis mir die offizielle Experten gemessene Zeit angegeben wird,
sondern einfach auf meine Armbanduhr sehe und in dem Augenblick,
in dem der Startschuss fällt, gucke ich hier hin und sehe,
aha, zu der Zeit, Sekunde, Estre ist losgefahren,
dann fährt er und irgendwann seh ich, erfährt über die Ziele und ich sehe wieder auf meine Armbanduhr.
Da sind schon einige Latenzzeiten zwischen, weil ich nicht so
schnell gucken kann, wie die Geräte messen. Ja,
bei mir ist das also eine Sache von einigen Zehntel Sekunden,
die da jeweils vergehen, wie ich das Signal,
das akustische Signal übertragen habe, und die Korrelation gesetzt habe,
zu dem, was sich auf meine Uhr.
Und umgekehrt, wenn ich, dann den Siel,
seh ich, die sehelie, ich, Eine Uhr zu sehen.
Das sind also schon Ungenauigkeiten. Dann kann ich nicht dafür
garantieren, dass meine Uhr wirklich richtig geht und ähnliches.
Wir haben also jetzt zwei Zeitabläufe. Wir haben die Zeit der Experten,
Stoppuhr, die startet mit dem Zeitpunkt 0 und zählt die 100. Sekunden,
bis der Skifahrer die Zili überquert hat.
Und wir haben die Zeit,
die ich mir angesehen habe und die startet um 12 Uhr
27 und 33 Sekunden und endet dann
irgendwelche Sekunden später
Beides können wir hier als Parameter Tee verwenden. Aber wir
sehen, dieser Parameter Tee hat offensichtlich vollkommen unterschiedliche Räume,
Definitionsintervalle und die Inkremente dieses Parameters Tee sind auch unterschiedlich.
Trotzdem hatten wir uns geeinigt, ist der Skifahrer,
der von der offiziellen automatischen Stoppuhr gestoppt worden ist und der Skifahrer,
den ich gesehen habe und den ich mit meiner Armbandtour gestoppt habe,
ein und der selbe Skifahrer und diese beiden Feef,
dieser ein und derselbe Skifahrer,
ist auch ein und dieselbe Bahn
Den Abhang hinuntergefahren. Das heißt, die Kurve ist ein und dieselbe.
Obwohl sie unterschiedlich parametrisiert ist. Okay. Das heißt,
wir können also sehen, wir können die Parametrisierung relativ willkürlich durchführen.
Wir hatten ein anderes Beispiel gesehen bei den... Bei
der Parametrisierung des Kreises hatte ich Ihnen dieses Beispiel angegeben.
Wir können den Kreis beschreiben, als ich es gleich...
Herr, mal T und Y gleich Ärmel,
Woods las 1-T-Quadrat
Genauso gut könnten wir genau denselben Kreis beschreiben mit den Funktionen X
gleich lang, weil Sinuste und Y gleich eher mal Cosindustrie.
Das beschreibt denselben Kreis. Wir haben aber offensichtlich unterschiedliche Funktionen
verwendet, unterschiedliche Parametisierung verwendet. Das heißt also,
die Parametisierung ist relativ willkürlich und neben einem Parameter,
den wir uns, so ähnlich wie die Zeit vorstellen können,
wird auch ein anderer Parameter gerne verwendet, häufig verwendet.
Das ist das Weginkrament. Wir können genauso gut sagen,
wir beschreiben eine Kurve in Abhängigkeit von der Strecke,
die auf der Kurve zurückgelegt wird. Ja,
das heißt also, wir könnten uns genauso vorstellen,
wenn wir jetzt den Skifahrer durch einen Radfahrer ersetzen würden,
mit Spikes, dann lassen ihn also den Radfahrern die Piste runterfahren und um die Hindernisse herumfahren.
Und wir messen dann die Umdrehung, sagen wir, des Förderers.
Und beziehen die Strecke und beziehen die Kurve,
die der Radfahrer da über die Piste zurücklegt,
einfach auf den Parameter Umdrehung des Förderwaldes
Ja, das ist genauso, beschreibt genau die gleiche Bahn,
wie wenn wir den Radfahrer mit der Stopp rüberstochen würden oder mit unterschiedlichen Stoppbohren stoppen würden,
die Bahn ändert sich dadurch nicht,
aber wir haben einen vollkommen anderen Parameter gewählt.
Ja, so, das also zunächst einmal dazu. Wir brauchen Kurven,
um die Begrenzungen der Oberflächenelemente beschreiben zu können. Und nun müssen wir uns überlegen,
wie können wir eigentlich solche Kurven,
die ja manchmal recht komplexe Formen haben können, beschreiben,
in der Praxis gibt es da ein paar Verfahren,
die sich da eingebürgert haben, das eine Verfahren ist die Beschreibung,
eine Kurvenform mithilfe des Verfahrens von Herrn Besier.
Herr Besier war ein Mathematiker und hat für eine namhafte französische Automobilfirma
gearbeitet und er hatte dort genau die Aufgabe, Verfahren zu entwickeln,
mit deren Hilfilmern, Kurven und Flächen in beliebiger Form beschreiben kann.
Alternativ dazu, weil man bald festgestellt hat,
dass das Verfahren von Herrn Besier so an einigen Stellen nicht unbedingt
die eleganteste Lösung liefert und hier und da ein wenig schwer zu handhaben ist,
haben andere Wissenschaftler, die Wiesblein-Kurvenbeschreibung entwickelt.
Und wenn wir uns diese beiden Beschreibungsformen einmal ansehen, dann sehen wir,
so großscheinlich der Unterschied zwischen den beiden überhaupt nicht zu sein.
Denn Herr B. Sie hat die Kurve beschrieben über die Summe,
über die Punkte, die approximiert werden sollen,
Und jeder Punkt wird gewichtet durch eine Funktion.
Die Bisbleienkurven werden im Prinzip ganz genauso beschrieben. Wir summieren die Punkte,
die approximiert werden sollen und wichten jeden der Punkte mit einer individuellen Funktion,
wie diese Funktionen aussehen, werden wir später noch genauer sehen im Fall der Dessier-Approximation,
werden dafür die Bernstein-Polynome verwendet.
Die Bernstein-Polynome kennen Sie möglicherweise noch aus der Stapastik,
wenn Sie das in der Mathematik gemacht haben
Können Sie sich vielleicht noch daran erinnern, die Beastblind-Kurven werden mit Hilfe,
da werden die Punkte mit Hilfe, sogenannter Bisblind-Basisfunktionen, gewichtet.
Das ist also zunächst mal der wesentliche Unterschied und wir werden
uns gleich noch trotz ansehen,
wie die Bernsteinvolleynome aussehen und wie die Bisblind-Basisfunktionen aussehen.
So, was bedeutet eigentlich eine solche Approximation?
Kennt jemand den Begriff? Oder fragen wir umgekehrt,
wer kennt den Begriff noch nicht?
Hat ihn noch nie gehört, hat noch nie da mit
zu tun gehabt
Nicht ehrenrührig. Man hört alles zum ersten Mal, der nimmt man im Leben.
Welchen Begriff? Approximation? Ja. Okay,
also die alle, die es gehört haben,
es gibt so einzelne, die noch nicht gehört haben,
die alle, die es gehört haben,
bei denen dafür man freiwillig mal eben kurz erklären,
was wir uns unter einer Apportimation vorstellen.
Ja. Sowas wie eine Abschätzung. Was vielleicht nicht ganz genau weiß,
da war halt ein Grenzen auf alte Bereiche. Ja,
und wenn wir uns das in Bezug auf eine Kurve vorstellen,
die Vorbild definieren solche Punkte, Man möchte halt,
mit der ich möge jetzt genau diesen Programm nähern,
eine möglichst sinnvolle, ich muss sagen, richtig gut.
Ja, genau. Wir geben also eine Folge von Punkten
vor. Und wir suchen eine gut aussehende Kurve,
die möglichst nah an diese Punkte herankommt.
Wir fordern nicht, dass unsere Kurve die Punkte tatsächlich trifft.
Sie sollte möglichst nah an diese Punkte herankommen und vor
allen Dingen soll sie gut auch sehen.
Das heißt, sie soll keine Knicke aufweisen
Sie soll keine Staaten Schwingungen aufreißen. Sie soll also irgendwie nett,
sagen wir mal, so verlaufen. Dann ist sie also irgendwo,
bleibt sie in der Nähe der Punkte,
die Punkte haben also ganz offensichtlich Einfluss auf den Verlauf der Kurve,
aber die Punkte bestehen nicht darauf, dass die Kurve sie tatsächlich trifft.
Und das ist das, was wir bei der Kurvenbeschreibung machen, mit unseren Freiformverfahren. Wir gehen davon aus,
wir geben eine Folge von Punkten vor und wir suchen eine Kurve,
die jetzt möglichst nah an diese Punkte herankommt und die wir dann sehr schön manipulieren können,
weil wir dann nämlich sagen können,
wir könnten theoretisch einen der Punkte verschieben, eineswegen da oben hin.
Und dann wird er sicherlich die Kurve hinter sich herziehen.
Er wird sie nicht so furchtbar stark beeinflussen,
er wird sie also nicht so stark hinter sich herziehen,
dass die Kurve ihn dann trifft, sondern da das Verfahren so ausgelegt ist,
dass die Kurve immer in der Nähe der Punkte bleibt,
aber nicht unbedingt durch die Punkte hinläuft, läuft,
haben wir da eine flexible Handhabe.
Und das ist also unser Wunsch, bei den Verfahren
der Freiform, Kurven und später auch der Flächengestaltung.
Und das können wir sehr schön hinkriegen mit diesem Verfahren von
BC bzw. mit Hilfe der Bisblein-Apokzennation. Und die Punkte,
die wir hier vorgeben, die sind repräsentiert durch die Arztvektoren PI,
die wir hier in unsere Formel einsetzen.
Und wir sehen, jeder der Punkte wird jetzt praktisch multipliziert
mit einem Funktionswert unserer Richtungsfunktion,
entweder B oder
Wir haben also gesehen, der Index i taucht sowohl bei
dem Punkt als auch bei der Wettungsfunktion auf.
Das heißt also, die Wichtungsfunktionen sind individuell. Wir haben
unterschiedliche Richtungsfunktionen für die einzelnen Punkte. Und die sorgen jetzt
dafür, dass die Kurve an dem Punkt herangezogen wird.
Wir können uns das im Prinzip so vorstellen,
diese Wichtungsfunktionen, wie... Eine Feder,
die an dem Punkt angebracht ist und an der Kurve zieht.
Ja, das heißt, die Fehlkraft bestimmt wie dicht
die Kurve an den Punkt herangezogen wird.
Und die Federkraft wirfte präsentiert durch die entsprechende Funktion. So,
wenn wir uns die Pessierkurven einmal ein kleines bisschen näher ansehen,
dann stellen wir, sehen wir folgendes. Alle Pessierkurve,
dritten Grades, ist eine Kurve, die praktisch vier Punkte approximiert.
Und diese vier Punkte werden durch ihre individuellen Bernstein-Polynome gewichtet.
Der Punkt, der erste Punkt, unser Punkt P0,
der wird gewichtet durch dieses Bernstein-Polynom, dessen Graf so aussieht.
Der zweite Punkt, P1 wird gewichtet durch ein Bernstein-Polynom,
dessen Graf Graf so aussieht.
Der Punkt P2 wird gewichtet
So aussieht. Und der Punkt P3 durch ein ganzes Fanpolegon, dessen Graf so aussieht.
Ja. Und wenn wir genau hinsehen, sehen wir,
dass diese Grafen symmetrisch sind. Ja, das heißt also,
wir können den Grafen, die Kurve, das Bernsteinpolenom,
das zum ersten Punkt wichtigt, praktisch aller Achse umdrehen.
Und dann landen wir hier. Und beim zweiten ist es
genauso in Bezug auf den Döppen.
Und hätten wir fünf Punkte, die Gewichte würden,
dann käme hier in die Mitte ja auch noch ein Bernstein volle Nomen,
das den mittleren Punkt wichtigt.
Und das wäre in sich komplett symmetrisch. So,
wenn wir uns die Grafen der Bernstein-Polynome genau ansehen,
dann fällt uns etwas ganz Besonderes auf.
Sieht es jemand, so auch den ersten Blick?
Wir Zeitpunkt sind ein bisschen gemein
Das ist richtig. Wir haben es nämlich schon sehr scharf
hingeschaut. Wenn wir für irgendeinen beliebigen Parameter wert,
hier unser Parameter Tee, wird auf der horizontalen Achtse abgetragen.
Wenn wir für irgendeinen beliebigen Parameter wert, den Funktionswert unseres Bernsteinverlinums betrachten.
Und dazu agieren die Funktionswerte der anderen Bernstein-Polynome für denselben Parameter
wert, dann ist die Summe immer gleich eins.
Und da zum Beispiel unsere Bernstein-Polynome Alle,
bis auf das erste, am Anfang den Funktionswert null haben,
muss das erste am Anfang den Funktionswert 1 haben.
Von umgekehrt gilt das Gleiche für das Letzte.
So, wenn wir mit solchen Polynomen unsere Punkte wichtig.
Welche Konsequenz hat das? Das können wir auch in dem
kleinen Grafen dann drunter singen. Unsere Kurve im Anfangspunkt für T-Leicht-T-0
Ergibt sich durch die Summe in unserem Beispielfall der vier Punkte P0 bis P3,
jeweils multipliziert mit dem zugehörigen Bernstein-Polynom, wie N0 bis BN3.
Und dem Funktionswert des Bernstein-Polynoms für Teegleich T0,
also für den Anfangswert. Und wir haben gesehen,
das ist die überall gleich Null,
das heißt also diese Punkte haben überhaupt keinen Einfluss auf
den Verlauf der Kurve
Und nur für den ersten Punkt ist der Funktionswert des Bernstein-Polyloms gleich eins.
Das heißt also, der geht praktisch in voller Größe ein.
Und die Konsequenz ist, dass der erste Punkt tatsächlich interpoliert wird.
Der wird genau getroffen. Und gegen die nachfolgenden Punkte zunächst
einmal nicht getroffen werden. Nur, da das Ganze ja symmetrisch ist,
die Bernstein-Polylom ist symmetrisch sind, gilt natürlich ganz analog.
Das, was für den ersten Punkt am Kurvenanfang galt,
auch für den letzten Punkt am Kurvenende,
auch der wird hinter verliert
So, das ist also eine ganz besondere Eigenschaft, der BC-Appropsimation.
Wir geben eine Folge von Funken vor, die kann beliebig lang sein.
Es wird immer automatisch der erste Punkt interpoliert und der letzte
Punkt interpoliert und die dazwischen liegenden Punkte werden, abfossioniert.
Da trifft die Kurve also die Punkte in der Regel nicht.
So, die Eigenschaft, die Sie bemerkt haben durch scharfes Hinsehen.
Dass die Summe der Funktionswerte für einen gegebenen Parameter wird,
immer gleich eins ist, die hat auch eine ganz bestimmte Konsequenz.
Weiß das zufällig jemand? Hat sich jemand schon mal mit Physikkurven auseinandergesetzt? Dadurch,
dass die Summe der Funktionswerte immer gleich eins ist, ist gewährleistet,
dass die Kurve nie die Komplexelhülle der vorgegebenen Punkte verlässt.
Das heißt also, die Kurve ist immer ausgesprochen gutmütig.
Wenn wir also eine Folge von Punkten angeben, dann wissen wir genau,
wo vom Prinzip her die Kurve sich in Bezug auf diese Punkte aufhält.
Wenn Sie eine Polynom, eine Polynom-Interpolation durchführen würden.
Bei einer gegebenen Folge von Punkten. Und mit der Anzahl
der Punkte, dann natürlich auch der Polynom-Grad steigt.
Dann kann es Ihnen passieren, dass Ihre Kurve irgendwie so aussieht. Ja,
das heißt also, Sie haben keine Vorstellung am Anfang davon,
wohin dieser Extremer Wenn Sie eine solche Approximation durchführen,
wissen Sie immer, dass die Kurve sich sehr gutmütig,
in der Nähe der Punkte aufhalten wird.
Und zwar, wie man sagt, in der konvexen Hülle.
Da kennt ihr den Begriff Konvex zur Hülle nicht.
Das sind ja schon einige. Was ist da eine komplexe Hülle?
Das heißt, es gibt ja einige, die es wissen.
Es ist eine Anhänger von dem an jedem Punkt,
zehn anderen mit einer Graben finden kann,
ohne dass man diese Verlänger belässt.
Das heißt, wenn wir uns das Ganze in der Ebene ansehen,
können wir eine beliebige Menge von Punkten vorgeben. Und wenn wir zwei beliebig,
zwei Punkte aus dieser Menge mit einer geraden verbinden, dann,
wir hatten es sich noch so schön gesagt, Ja,
dann ist die Kondexe Hülle die Grenze, die dafür sorgt,
dass diese gerade oder dass es keinen Punkt gibt,
der dann außerhalb dieser Hülle ist.
Wir können uns das ganz einfach vorstellen. Stellen Sie sich
vor, Sie markieren diese Punkte da auf der Tafel-Ebene.
Dann nehmen Sie kleine Nägelchen und hauen für jeden Punkt einen
Nagel in die Tafel und lassen sich nicht vom Außenmeister erwischen.
Und dann nehmen Sie einen Gummiband und ziehen das um diese Punktmenge herum.
Dann erhalten Sie so etwas. Und das bedeutet
alle Punkte liegen in der von Gummiband umgrenzten Fläche.
Und das Gummiband hat nirgendwo einen Knick nach innen hin.
Ja, also es passiert nirgendwo
so etwas
Das wäre dann nicht mehr die kontexte Höhle.
Die Gnadeverbindung außenrum ist dieser und das fällt dann weg.
Wir können uns das noch anders vorstellen. Diese kontexte Hülle
wird durch eine beliebige Gerade genau zweimal geschnitten. Ja,
es gibt also zwischen der komplexen Hülle und einer beliebigen Gerade
nicht mehr als zwei Schnittpunkte.
Damit haben wir also die Konflexelhülle für eine beliebige Punktmenge
Die Seekurven haben also die nette Eigenschaft,
dass sie sich immer in der komplexen Hülle der vorgegebenen Punkte,
der zu adroximierenden Punkte bewegen.
So, für uns spenden wir auch einfach andere. Ja,
Sie könnten dann natürlich andere Funktionen als Richtungsfunktionen verwenden, aber...
Aber das finde ich ja nicht gewesen, die Formeln,
die nicht mehr löst haben. Das würde durchaus funktionieren,
da könnten Sie also diese Formel durchaus weiterverwenden,
nur ist dann nicht garantiert, dass die Apoximationskurve dann tatsächlich so gutmütig verhält.
Das ist eine besondere Eigenschaft, eben der Bernstein-Polinome,
dass der Funktionswert oder die Summe der Funktionswerte für einen Gegebenenparameterwert immer gleich eins ist.
Ja, und diese Eigenschaft der Bernstein-Polinome wird, nutzte sich,
Herr, bis jeder auch um diese Kurven zu generieren.
Ja, ich sehe noch nicht den Zusammenhang zwischen immer,
dass die Summe immer eins ist und ist konlexibiert.
Ich freue mich, dass... Können Sie beweisen,
aber darauf verzichte ich heute. So,
jetzt wollte ich Ihnen noch einen weiteren Kurven-Typ vorstellen,
der im Grunde genommen eine Spezialisierung oder eine Erweiterung genau genommen,
der Bisblein-Kurven ist, das sind die sogenannten Nerbskurven.
Nerbs ist eine Abkürzung für nicht-uniforme, rationale Bisblein-Kurven.
Und diese Nicht-Uniformen- rationalen Bisblein-Kurven werden also noch weiterverwendet als die
normalen Bisblein-Kurven, die ich Ihnen hier gezeigt habe.
Sie unterscheiden sich dadurch, dass sie also praktisch über
einen solchen prozenten definiert sind. Und wir sehen,
wenn wir uns diesen Kootienten genau ansehen
Im Zähler praktisch das Gleiche steht,
wie in der Definition der normalen Display-Porten, ist auf einen kleinen Unterschied,
nämlich hier gibt es noch für jeden Punkt,
den wir approximieren, ein zusätzliches, konstantes Gewicht.
Und das sorgt dafür, dass ein Punkt individuelle,
individuell stärker gewichtet werden kann
als andere Punkte
Und wenn dieses Gedicht groß ist,
dann wird die Kurve sehr stark an den Punkt herangezogen,
wenn es klein wird, geht sie entsprechend weiter daran vorbei.
Und das Interessante ist, wenn diese WI alle gleich eins sind,
dann haben wir wieder den Fall dieser ganz normalen Isbain-Kurve, der nicht rationalen Bisbaden-Kurve.
Das liegt auch an der Eigenschaft der Bisbleien-Basis-Funktionen, die da mit den Bernstein-Polynomen übereinstimmen,
denn Die Summe der Beastbline-Basisfunktionen, der Funktionswerte, der Bisbleien-Basisfunktionen,
für einen gegebenen Parameterwert, ist immer gleich eins.
Und wenn unsere Zusatzgewichte auch immer gleich eins sind,
dann dividieren wir praktisch dieses hier oben durch eins und damit
ist unsere Kurve eine ganz normale Bisbleienkurve.
So, diese Nerbskurven, die sind erfunden worden,
um Kegelschnitte zum Beispiel auch exakt abbilden zu können.
Die normalen Bisplein-Kurven sind dazu nicht in der Lage.
Sie können also keine normale Bisplein-Kurve definieren, die einen exakten Kreis,
eine exakte Ellipse beschreibt, mit den Napskurven können sie das.
In geometrischen Modellieren möchte man aber gelegentlich solche exakten Formen beschreiben,
weil man ja zum Beispiel so etwas wie Formen, die durch Fertigungsprozesse entstanden sind,
beschreiben möchte. Wenn sie also ein Bohrloch beschreiben wollen,
und da dann nicht plötzlich die Konstructive Salituarmetrie wieder durch die Hintertür einführen wollen und sagen,
okay, dann nehme ich jetzt einen Zylinder raus,
sondern dass innerhalb ein und derselben Flächenumgebung beschreiben wollen,
dann können sie das nur machen,
können sie das mit den normalen Wiesbleimkurvenflächen nicht machen,
aber mit den Norbskurven beziehungsweise Nerbsflächen sitzt sie dazu in der Lage,
exakte Kreise, exakte Ellipsen zu beschreiben und damit auch exakte Zylinder.
So, damit haben wir ein paar Verfahren kennengelernt,
die es uns gespatten, Kurven zu beschreiben durch Approximation von Punktfolgen.
Diese Kurven können jetzt als Begrenzung von Flächen verwendet werden,
von Flächenelementen in unserem Begrenzungsbasierten Modeliersystem. Und nun müssen wir uns noch überlegen,
wie können wir jetzt eigentlich, denken Sie,
haben das Beispiel Schiffbaus, eine Fläche finden,
für die wir die begrenzenden Kurven beschrieben haben.
Und dann komme ich jetzt zu einem Verfahren,
das ich Ihnen vorstellen möchte, von einem Herrn Kuhns.
Entwicklungswaden ist. Vielleicht haben Sie den Namen auch schon mal gehört.
Die kunstlichen Flächen sind also in geometrischen Modellieren auch sehr weit verbreitet gewesen.
Herr Kuhns war ebenfalls Mathematiker. Und Herr Kuhns hat für
einen großen amerikanischen Flugzeugkonzern gearbeitet und hatte da ähnliche Aufgaben
wie Herr Bizé in Frankreich bei dem Automobilkonzern.
Herr Kuhns hatte eben die Aufgabe, sich zu überlegen,
wie man die Oberfläche eines Flugzeuges exakt beschreiben kann
Wenn man die Spanntlilinien kennt, und die entsprechenden Linien,
die Analogien zu den Wasserlinien in Längsrichtung des Flugzeuges kennt,
wie kann man dann die Gesamtoberfläche des Flugzeuges praktisch flächenelementweise genau bestimmen?
Ja, da hat sich Herr Kunz
also entsprechende Gedanken gemacht und hat gesagt, okay,
ich habe also im allgemeinen Fall eine Masche in meinem Liniengitter.
Und die Masche ist begrenzt von vier Kurven
Die ihrerseits begrenzt sind von Eckkunden. Und ich habe das
hier mal wirklich ganz allgemein so gemalt,
dass man das auf dem Flugzeug wahrscheinlich nicht wiederfinden kann.
Wir haben eine Kurve, die geht von diesem Punkt zu dem Punkt.
Wir haben eine gegenüberliegende Kurve, die geht von diesem Punkt
zu dem Punkt. Dann haben wir eine dritte Kurve,
die geht von dem Punkt zu dem Punkt.
Und mit der Bibelkurve einfach mein Kaderhaus durchgezogen, dass sie sehen,
dass du die Kurven können wirklich beliebige Formen haben.
Und wir haben eine vierte Kurve, der gegenüberliegend,
die geht von dem Punkt zu dem Punkt.
Das wäre also zwischen diesen Vier Eckpunkten. Während das also vier Kurven,
die diese Punkte jeweils miteinander verbinden und damit dieses Flächenelement begrenzen.
Und Herr Kunz hat sich also nun Gedanken darüber gemacht,
wie kann ich die Form dieses Flächenelementes beschreiben?
Und ich möchte diese Form jetzt auch wieder beschreiben hin,
Vektor wertiger, parametrische Notation.
Ich hatte ja vorhin schon gesagt, Kurven sind eindimensional,
darum kommt man bei der Beschreibung von Kurven mit einem Parameter
Flächen sind zweidimensional. Darum brauchen wir für die Beschreibung von Flächen zwei Parameter.
Und in der Praxis werden da häufig die Parameter UNV verwendet.
Und ansonsten können wir uns also flächend im Prinzip so etwas vorstellen,
wie eine Schar von Kurven, die irgendwie nebeneinander hier laufen.
Wenn wir uns also vorstellen, wir hatten gesagt,
eine Kurve, in vektorwärtiger, parametischer Notation beschreibt,
die Bewegung eines Bündnis durch den dreidimensionalen Raum und Abhängigkeit von der Zeit,
Und dann könnten wir das Bild, zum Beispiel Fieläufers,
des Slalom-Fahrers, das ich vorhin verwendet habe.
Und jetzt etwas Verallgemeinerter vorstellen, stellen wir es einfach vor.
Wir alle zusammen sind Skifahrer. Und wir wollen gemeinsam eine schöne Piste herunterfahren.
Und diese Piste ist also ein irgendwie schön welliges Gelände an einem steilen Hang.
Dann stellen wir uns alle zunächst einmal oben am Hang nebeneinander auf.
Und damit wir einander nicht verloren gehen,
halten wir uns bei den Händen, setzt voraus,
dass wir gut Ski fahren können und keine Strecken mehr benutzen,
dass uns das nicht durcheinander bringt,
dass wir rechts und links einen Nachbarn haben,
den wir an den Händen festhalten.
So, dann fällt der Startschuss,
wir fahren alle los und in Abhängigkeit von der Geländebeschaffenheit wird der eine
mal ein bisschen weiter nach links gedrückt oder ein bisschen weiter nach rechts.
Das heißt also, wir fahren garantiert nicht parallel den Hang runter.
Und da das Gelände eben ein bisschen willig beschaffen ist,
kann es also durchaus sein,
dass ich gerade durch meine Bodenmunde fahre, während jemand,
der so zwei oder drei Handarmlängen von mir entfernt ist,
gerade über einen kleinen Hügel fährt.
Wir haben also damit eine wirklich sehr stark artikulierte Fläche,
die wir da hinunterfahren. So,
und jetzt können wir uns vorstellen, der eine Parameter,
den wir hier haben, der repräsentiert wieder die Zeit,
die wir unterwegs sind, von dem Augenblick,
in dem da oben der Startschuss gefallen ist.
Und der zweite Parameter, der repräsentiert praktisch irgendwie so den Abfall zwischen den Einzelnen.
Oder die Länge der Menschenkette, die da so nebeneinander ist.
Und wenn wir uns das Ganze hinterher, die Spur,
unsere Spuren auf dem Gelände, von einem Hubschrauber aus ansehen,
dann sehen wir da eine schöne, räumlich,
sehr strukturiert gekrümmte Fläche.
Und in dieser Fläche sind die Bahnen,
die wir individuell mit unseren beiden Brettern da in den Schnee gezogen haben.
Und das Gesamte bildet also eine schöne Flächenform. So,
und das ist also eine Fläche invektorwertiger parametrischer Notation,
die Herr Kunst da beschrieben hat.
Und was ist jetzt vorgegeben? Da habe ich jetzt an
die einzelnen Kurven schon so ein paar kryptische Betreibungen geschrieben.
Wir haben hier, so etwas wie eine Fremdung.
Auch ein vektorwertiger parametrischer Notation,
die Herr Kunst da beschreibt.
Und was ist jetzt vorgegeben
Praktisch eine Kurvenbeschreibung, entweder nach Busy, Bisblein,
Nerbs-Verfahren oder auch einfach irgendeine andere Form der parametrischen Beschreibung.
Das Gleiche gilt dann für den Gegenüberliegenden Rand,
auch dessen Form habe ich dann so beschrieben.
Und das packe ich hier in diese Funktion. So,
analog für diese beiden Wände habe ich die Form der Randkurven geschrieben.
Die Form der Randkurve alleine Reicht aber in der Regel nicht aus,
um eine Aussage über die Form der daraus resultierenden Fläche zu machen.
Denn sie können sich vorstellen, ein und
dieselbe Folge von Randkurven kann durchaus in unterschiedlichen Flächen resultieren.
Stellen Sie sich einfach vor, Sie hätten,
sagen wir, so etwas wie den Drahtwürfel,
den ich vorige Woche noch mit hatte
Sie hätten den Drahtwürfel. Und wir spannen um den Drahtwürfel herum.
Eine Gummihaut. Wir stecken also den Drahtwürfel in einen Luftballon innen rein.
Wie wir das fabriziert haben, soll außen vor bleiben,
aber sie stellen sich einfach vor, wir hätten das geschafft,
werdende Drahtwürfel in einen Luftballon gepackt und der Luftballon,
der umspannt jetzt richtig abendlich den Drahtwürfel.
Welche Form haben die einzelnen Luftballongummi heute
Ich bevor wir das sonst gerade machen. Und zwar?
Quadratische Quadrate, ja. Okay. Die haben dann
die Kantenlänge des Würfels. Ja, ist richtig.
Und sie sind eben. Flächen sind nicht unbedingt eben.
Denn jetzt kommt der, denn jetzt kommt der Trick.
Yes, puste ich diesen Luftballon? Ein ganz,
ganz kleines bisschen auf.
Licht für die
So, ein ganz kleines bisschen. Die Drähte,
fangen weiterhin jede einzelne Fläche auf. Das heißt,
sie dreht, die Drähte sind weiterhin in ihrer vollen Länge
in Kontakt mit der gummelnden Bran.
Und ich habe ein kleines bisschen da reingepostet.
Wie sehen die Flächen dann aus, diese Quadrate?
Ich glaube, es sind so,
es wäre im Prinzip
auch anders
Und ganz genau, ganz genau mathematisch beschreiben müssen sie es nicht.
Nur so auch vom Prinzip her. Nach außen gewölbt,
ja. Mir fachten wir damit. Das heißt also,
der Unterschied zum vorherigen Fall ist, das ist jetzt ein
kleines bisschen der Außengewaltprief, wenn sie die Backen aufblasen.
So, natürlich kann ich umgekehrt auch so ein ganz kleines
bisschen oder nahezu beliebig Luft heraussaugen aus dem Luftbrellern.
Und dann sind die Flächen natürlich entsprechend nach innen gewölbt
In Abhängigkeit davon, wie viel Luft ich herausgesorgt habe.
Das heißt, meine begrenzenden Kanten, in dem Fall
einfache Graden zwischen Elektropunkten des Würfels, behalten ihre Form.
Und trotzdem sind die Flächen unerschiedlich. Das heißt,
die reine Formbeschreibung der Kanten hat nicht ausgereicht, um die Form der Flächen zu bestimmen.
Welche Informationen müsste ich da noch zu packen?
Damit ich Einfluss auf die Form der Flächen habe,
damit die Flächen nicht einfach Ebeneflächen bleiben,
sondern tatsächlich ihre Wölbung nach außen oder ihre Wölbung nach innen aufnehmen,
wenn ich so etwas da mit drin haben möchte.
Ja, das kann eine Wölffunktion, die in einem Punkt
der Fläche erlöst wird. Dann müsste ich in die Fläche
hineingehen und praktisch für jeden Punkt der Fläche so etwas angehen.
Das möchte ich aber nicht. Herr Kunz hatte die Aufgabe,
hier sind die Spannten und die Längslinien für das Flugzeug.
Und nun sehen wir es zu, dass du darüber eine schöne Flugzeugoberfläche findest,
die schön glatt über die volle Länge läuft. Und die nicht,
wenn wir uns das zum Beispiel im Querschnitt einmal ansehen und sagen,
hier ist die Folge der Spannten, an der Oberkante des Flugzeuges entlang,
habe ich hier gespannt und dann kriege ich eine Fläche,
auch im Querschnitt dargestellt, die sieht so aus.
Wie so eine Gelande hängt, die dann zwischen diesen einzelnen Spannten.
Das wäre ein Flugzeug, das kauft dem keiner an.
Ja, das sollte also möglichst glatt sein,
aber den Herrn Kunz ist gesagt worden
Und ansonsten gehen wir nicht in die flächeigen Meinungen,
dann noch zusätzliche Informationen zu geben. Also das machen ja
noch so zehn Auktionen, zum Beispiel die Steigerung.
Ganz genau. Ja, das genau. Man könnte hier
also sagen, Gefläche soll natürlich hier immer so laufen.
Ja. Oder wenn es nicht so schön gerade ausgehen soll,
wir hätten also irgendwo da vorne den Bereich des Flugzeuges,
wo wir praktisch so die Nase haben und hier oben die Windschutzscheibe da bei der Pilotenkanzel und so,
da müssen wir dann entsprechend andere Steigerungen angeben,
dann ist hier die Steigung so, da die Steigung so.
Und die Fläche muss sich da entsprechend einpassen. Das heißt,
wir geben dann an jedem Rand noch an,
wie die Fläche an diesem Rand geneigt ist,
an diesem Rand entlang geneigt ist.
Also praktisch ihre Steigung quer zu dem Rand. Und eventuell auch noch,
wie Sie gesagt haben, die Steigung der Steigung,
also praktisch so etwas wie die zweite Ableitung,
geben wir an, an jedem Rand.
Und das kann der Wind
auch noch weitergehen
Cardern, dass bestimmte Eigenschaften in der Ableitung bis zu einer
höheren Ableitung eingehalten werden und man kann diese Eigenschaften dann eben
auch in vergleichbarer funktionaler Form vorgeben,
hier wird das hier mit unseren vektorwertigen Beschreibungen
der Und das ist das Verfahren,
das Herr Gunz entwickelt hat und sehr elegant gelöst hat.
Und er ist dann auf diese schöne Farm gekommen,
dass eine nach ihm benannte Fläche, die Kuh und Führfläche beschreibt.
Und hier sehen wir im Prinzip, hat er etwas Ähnliches genutzt,
wie er das von dem Bisplein-Kurven und BC-Kurven auch schon kennen.
Er hat nämlich etwas Vorgegebenes,
bei den Kurven waren das Punkte
Den Flächen sind des Kurves, gegebener Kurven,
einfach mit Wichtungsfunktionen versehen und dadurch Einfluss auf die Form der resultierenden Fläche genommen.
So. Da Herr Kuhns interpoliert hat, jeweils zwischen zwei einander
gegenüberliegenden Koren, muss er das zweimal machen.
Das heißt also, er hat die eine Kurve auf der
einen Seite und die andere Kurve auf der gegenüberliegenden Seite,
das wird über das Li gesteuert
Und dann beschreibt er sowohl die Randkurve in ihrer Form als
auch die Steigung der Flächen entlang der Randkurve,
quer zur Randkurve, als auch die Steigung der Steigung,
wie Sie so schön gesagt haben, der Fläche,
entlang der Randkurve, quer dazu.
Und das kann er im Prinzip
bis zu einem beliebig hohen Grad der Ableitung machen.
Und das wird gesteuert über den zweiten Index in der
zweiten Summe
So, das Ganze läuft zum einen von dem einen Rand,
zu dem gegenüberliegenden Rand.
Nun haben wir ja vier Randkurven vorgegeben. Das heißt,
wir müssen also von quer dazu auch noch einmal das Ganze machen.
Und das ist das, was wir hier mit reinbringen.
In dem zweiten Term. Und dann hat Herr Kunz festgestellt,
wenn wir das einfach so machen, dann produzieren wir einen Überschuss,
den wir nicht haben wollen.
Und den Überschuss zieht er mit diesem Term
wieder ab
Latte nämlich festgestellt, wenn wir hier zum Beispiel nur die
Kurven hätten und nur die lokale Interpolation von der einen Randkurve
zur anderen und quer dazu von der einen zur anderen durchführen wollten,
dann kriegen wir hinterher einen Überfluss heraus,
der unsere Eckpunkte doppelt berücksichtigt, unsere Viereckpunkte.
Und die lineare Verbindung zwischen den Eckpunkten auch doppelt berücksichtigt.
Das müssen wir wieder abziehen. Das ist in dem Therm.
Das Gleiche gilt dann natürlich auch für die Ableitungen unserer Fläche
quer zu den Randkurven. Auch hier würden wir in den
Eckpunkten unseres Flächenelementes praktisch die Gemischten passiellen Ableitungen doppelt reinbringen,
die müssten dann auch wieder abgezogen werden.
All das berücksichtigt ja mit diesem dritten Termin. So. Dann hat er sich noch Gedanken dazu gemacht,
wie diese Verbindungsfunktionen oder Blending Functions aussehen müssen und er hat eine allgemeine Definition für diese,
für die Eigenschaften der Verbindungsfunktionen gegeben und dazu gehört unter anderem
auch die Eigenschaft dass die Summe der Funktionswerte unserer Verbindungsfunktionen für einen gegebenen Parameter wird,
immer gleich eins ist.
Deswegen auch da haben wir die gleichen Eigenschaften, wie wir
sie bei dem Bernstein-Polynomen und bei dem Dienstleim-Basisfunktionen kennengelernt haben.
Denn auch hier ist es wichtig, dass unsere resultierende Fläche,
die wir als Winter verlieren, der Fläche zwischen unseren vier Randkurven,
finden, dass diese resultierende Fläche auch tatsächlich innerhalb der konvexen Hülle unserer Randkurven bleibt und nicht daraus ausbützt.
Das heißt also,
wenn wir zum Beispiel wieder an unseren Würfel denken,
an unseren Drahtwürfel und die Gummihaut da drüber zieh,
dann erwarten wir,
dass wenn wir keinerlei Einfluss über die Tangenten an die Gummihaut in den vier Rändern nehmen,
dass dann unsere Rand,
unsere Fläche auch tatsächlich eine Ebenefläche bleibt und nicht in irgendeiner
Richtung gewölbt ist,
um damit also
die komplexe Hülle verlässt
Eine kleine Anwerkung zur grafischen Darstellung von Flächen. Wir können
in der einfachsten Form eine Darstellung mithilfe von Liniengrafiken durchführen.
Ich glaube, man kann das halbwegs sehen. Das ist
ein bisschen schwachsinnig gerade. Aber vom Prinzip her können wir
also eine solche Fläche darstellen, indem wir uns vorstellen,
wir generieren sie ja in vektorwertiger parametrischer Notation.
Das heißt also, eine Fläche in Abhängigkeit von den beiden
Flächenparametern U und V. Und wir können uns vorstellen,
dass wir jetzt einen der Parameter auf einem konstanten Wert halten,
zum Beispiel bei den kunschen Flächen,
variieren die beiden im Einheitsintervall von 0 bis 1. Das heißt,
wir lassen also den einen Parameter U zunächst mal auf 0 und variieren den Parameter V zwischen 0 und 1.
Lassen Sie ihn also von 0 auf 1 langsam implementieren und werden dann die Flächenformel aus.
Dann erhalten wir eine Kurve. Dann implementieren wir unseren Parameter U,
um eine kleine Einheit und lassen unseren Parameter V
wieder von 0 bis Mainz in kleinen Inkrementen variieren,
erhalten wir eine zweite Kurve und so weiter.
Bis unser V auch den, auch den Parameter wird 1 erhalten.
Und das Ganze können wir in Querrichtung nochmal genauso machen und
dann erhalten wir eine grafische Darstellung, die vom Prinzip her so aussieht.
Das heißt also so ein Netz von Parameterlinien,
einer der Parameter wird immer konstant gehalten,
der andere variiert und darum nennt man ein solches Netz von
So, und im nächsten Schritt könnte man sagen,
okay, dadurch habe ich ja die Eckpunkte der einzelnen Massen,
dieser grafischen Darstellung, ermittelt.
Ich habe in jeder Mal für vier Eckpunkte und ich könnte
daraus zwei Dreiecke machen, die jeweils eben sind.
Und diese Dreiecke füttere ich in irgendeinen einfachen Felder. Flat Felding,
Gore-Shading, Fong Shading, wir werden diese Felding-Verfahren noch näher kennenlernen.
Und dann wird mir die Gesamtfläche entsprechend diesem Felding-Verfahren als eine
kontinuierlich fatierte Fläche dargestellt. So, das nächste,
womit wir uns beschäftigen, Entschuldigung von Flächen.
Wir haben also jetzt eine Flächenbeschreibungsverfahren kennengelernt mit den Kunschenflächen,
dass praktisch so ein interpolierendes Verfahren ist. Wir geben vor,
ein Liniengitter von Kurven und wir suchen eine Fläche,
die dieses Liniengitter möglichst glatt interpoliert. Das ist das,
was Herr Kunz gemacht hat und das ist also eine typische Anwendung für Flugzeugbau, Schiffbau und ähnliche Aufgaben.
Wenn wir aber jetzt wie zum Beispiel im Automobilbau,
Flächen ganz beliebiger Form gestalten wollen,
dann kann es durchaus sein,
dass wir gar nicht solche Kurven vorgeben,
so ein Liniengitter von Kurven vorgeben und in diesen Linien geht er von Kurven dann auch die Neigungen der einzuhängenden Flächenelemente quer zu diesen Kurven und so weiter,
sondern dass wir mit den Flächen etwas Ähnliches machen wollen,
wie wir das mit den Queifarmkurven, sprich mit den Besehkurven,
Bisbleinkurven,
Napstkurvenzonen gemacht haben
Geben einfach Punkte vor und sagen, wir suchen eine Puppe
an eine Fläche, die dieseln Punkte, möglichst gut annähert.
Und damit sind wir wieder bei den Approximationsverfahren und können damit eine Approximation durchführen,
wie wir sie bei den Kurven kennengelernt haben,
eine bishere Porzimation oder eine Bisblei-Approximation.
Und im Prinzip gehen wir das ganz analog vor. Anfälle einer Folge,
einer eindimensionalen Folge von Einzelnen Punkten geben wir ein Netz von Punkten an.
Dass wir approximieren wollen. Das heißt also,
hier geben wir eine Punktfolge von P00 P01,
P10 und so weiter bis PN0 vor.
Dann geben wir benachbart dazu, P01,
P02 und so weiter bis zum Ende vor.
Und das Ganze machen wir also in der einen Richtung
und dadurch entsteht in der Querrichtung die entsprechende Verbinde PN00,
PN01, PN und 2 bis P00M.
Und wir haben also so ein Netz von Punkten aufgespannt.
Wir können uns das so vorstellen,
dass wir Dass wir so ein kariertes Netz uns zunächst einmal vorgeben und dann sagen,
wir können jeden Kreuzungspunkt der Massen in diesem Netz jetzt bewegen und ihm eine Raumposition geben.
Das heißt, wir können denen also ein Stück aus der Tafel-Ebene
herausziehen oder ein Stück in die tafel-Ebene hinter die Tafel-Ebene hineinschieben.
Wir können ihnen dann auch noch kreuz und quer bewegen,
sodass er also eine beliebige Position im Raum hat.
Wichtig ist, dass es eine Nachbarschaft zu seinen Nachbarn beibehält. Das heißt also,
der Punkt, dieser Punkt bleibt immer mit dem Punkt,
mit dem Punkt, mit dem Punkt, mit dem Punkt verbunden.
Das ist das Wichtige an einer solchen Netzstruktur. Und wenn
wir da beliebig unsere Punkte verschieben, dann erhalten wir etwas,
das dann am Ende so aussieht. Und das,
was da dann entsteht, das können wir mit Hilfe eines Flächenbeschreibungsverfahrens,
wie dem BSC-Festfahren oder dem Bissblein-Verfahren,
wieder aproximieren und eine Fläche finden,
deren Ränder ich hier mal so eingezeichnet habe,
die dann diese Punkte, dieses Netz von Punkten möglichst gut annähert,
aber auch da diese Punkte nicht unbedingt treffen muss.
Und dieses Verfahren, wenn wir das also ganz allgemein
auf BSC oder Wiesbleinflächen, also auch sogenannte Freifahrmflächen anwenden,
das eignet sich dann in dieser Beschreibungsform, um die Fläche zu beschreiben.
Wir haben also wieder eine vektorwertige Invektor, wertiger,
pharametrischer Notation, eine Fläche, F von UNV.
Und wir haben in der einen Richtung 0 bis Hennpunkte in
unserem Raster und in der anderen Richtung 0 bis M-Punkte, N&M müssen nicht gleich sein.
Und hier haben wir die Je nach Richtung,
mit entsprechenden Richtungssunktionen wieder gewichtet und diese Richtungsfunktionen,
das können dann entweder, wie es beim Basisfunktionen sein,
wenn wir Bisplainflächen auf diese Weise beschreiben wollen oder Bernstandpolynome,
wenn wir Bussierflächen beschreiben wollen.
So, ich hatte Ihnen versprochen, dass ich die Definition
der Bernsteinpolynome Ihnen auch noch einmal verrate. Ein Bernsteinpolynom vom Graf N,
das den Eatenpunkt in unserer Folge von Punkten wichtigt,
es ist definiert, als Ent über I,
mal Uhochi, mal 1 minus U-Hochen minus I,
und unser Parameter U variiert im Definitionsintervall von 0 bis 1.
Das ist die übliche Definition der Bernsteinpolynome für die Verwendung als Richtungsfunktion bei der Bussier-Approximation,
und zwar sowohl bei der Kurven als auch bei der Flächenerkopfenmasse.
Die Bisplain-Basisfunktionen sind rekursiv definiert, das heißt,
eine Bisplain-Basisfunktion der Ardnung K, die einen Punkt,
die in unserer Folge von Punkten richtet,
ist definiert über die Summe Zweier, Bisplain-Basisfunktionen der Ardnung K,
die einen Punkt, die in unserer Folge von Punkten richtet,
ist definiert,
In den Potienten haben wir stehen, unseren Kurvenparameter.
Oder Flächenparameter, also unseren Parameter, allgemeinen Parameter.
Und dann haben wir noch solche indizierten Elemente da drin stehen,
Differenzen von solchen indizierten Elementen. Und dieses sind Elemente eines Vektors,
der unseren Parameterraum in Intervalle unterteilt. Das heißt,
hier haben wir also konkrete Parameterwerte von U0 bis Umax,
die unseren Parameterraum U in einzelne Unterwalle hinterweisen
Bis zum Ende wird von Dateien. Und wenn wir uns
diese schöne Definition der Bisplan-Basisfunktion noch einmal ansehen,
sie ist rekursiv gegeben,
dann fragen wir uns als Informatikerinnen und Informatiker natürlich,
wie kriegen wir das hin,
dass eine solche schöne Definition eine rekursive Berechnung unserer Parameter,
unserer Funktionswerte irgendwie dran auch terminiert.
Dazu müssen wir die Endebedingungen betrachten, die ergibt sich,
wenn der Index Kat durch diese Reduzierung auf eins runtergegangen ist.
Und in dem Fall ist die Bislein-Basis-Funktion für einen Punkt PI,
die an Punkt PI richtet. Sie hat den Funktionswert 1,
wenn unser Parameter wird, in dem Intervall zwischen UI und UI
plus 1 liegt und sie hat auch den Funktionswert 1,
wenn unser Parameter wird U,
dem Maximalwert erreicht hat
Aber nur für den letzten Punkt,
wenn unsere Funktion den letzten Punkt PN lichtet und in allen
anderen Fällen ist der Funktionswert unserer Bisblein-Basis-Funktion vielleicht nur.
So, was muss man noch beachten? Man muss noch beachten,
dass der Kozient 0 durch 0 per Definition im Bleich 0 ist.
Denn das kann hier durchaus mal passieren,
dass sich bei diesen Potienten sowohl im Zähler als auch im Nenner
eine Null ergibt und dann darf unser Programm nicht elendiglich graffieren,
sondern es muss irgendwie weitergehen.
Und das macht es, wenn wir sagen,
wenn das der Fall ist, dann fangen wir das ab und sagen,
dann ist dieser Prozent gleich nun.
So, und damit haben wir also die Beast-Bline-Basis-Funktionen,
alles Richtungsfunktionen für die Beast-Bline-Approximation. Definiert.
So, noch ein kleines bisschen Terminologie zu den Beast-Blines.
Das hatte ich Ihnen schon gesagt. Wir haben also unsere Parameter,
der laritiert in den Grenzen von einen Minimalwert,
den wir mit U0 bezeichnen und einen Maximalwert,
den wir hier mit Bug Max bezeichnen.
Das ist also unser Definitionsintervall. Die UI, die wir da
drin als diskrete Punkte definieren, die nennen wir parametrische Knoten.
Die parametrischen Knoten können wir in Form eines sogenannten Knotenvektors notieren.
Und wichtig ist, dass die Elemente dieses Knotenvektors aufsteigend sortiert sind.
Das heißt, es gilt immer UIs,
kleiner gleich,
UI plus
So, wenn der Abstand zwischen zwei Elementen unseres Knoten Vektors größer Null ist,
dann entstehen periodische Wiesblein-Basisfunktionen, wenn da Punkte parametrische Knoten aufeinanderfallen,
dann haben wir Mehrfachknoten und dann werden unsere Biestblein-Basisfunktionen nicht periodisch.
Ich habe Ihnen mal ein paar Beispiele für Biesblein-Basisfunktionen hier grafisch dargestellt.
Wir sehen hier die Situation, in dem unsere Biesblein-Ordnung K gleich eins ist.
Das heißt, wir haben also hier die Biesblein-Basisfunktion N-0 mit dem Index 1.
Der zweite Index bezeichnet also in der Notation,
die ich gewählt habe, immer die Ordnung der Biesblein-Basisfunktionen.
Und wir sehen, der Funktionswert ist in einem Segment bis zum Parameter-Wert Q1
immer konstant gleich eins und dann danach ist der gleich Null. Denn unsere Ordnung,
unsere Biesblein, Ordnung der Displain-Basisfunktionen gleich zwei ist,
also Pargleich zwei,
dann ist unsere Bisblein-Basisfunktion in zwei Segmenten von Null verschieben und der Graf der Funktion sieht so aus,
dass er von Null auf eins ansteigt,
an der Segmentfanze zwischen den beiden Segmenten und dann bis zur nächsten Segmentgrenze wieder linear abfällt auf Null und danach bleibt es wieder gleich Null.
Denn unsere Biesblein-Basisfunktion, die Ordnung 3 hat,
dann haben wir drei Segmente in unserer Biesblein-Basisfunktion,
die von Null verschieben sind und der Graf der Funktion steigt von Null an,
bis auf den Funktionswert einhalb an der Segärstensegmentgrenze,
hat dann in der Mitte des zweiten Segmentes
sein Maximum fällt dann wieder
Ein Halb an der Grenze zum dritten Segment und dann auf
den Funktionswert Null, am Ende des dritten Segmentes.
So, und dieses hier ist absolut symmetrisch,
wenn wir diese Segmente gleich groß wählen, und das ist das,
was in der Praxis in der Regel auch gemacht wird.
So, das Ganze können wir jetzt also beliebig fortsetzen,
wir können das also immer weiter auswerten,
hier habe ich es nochmal für Tag gleich vier gemacht,
da sieht das so aus und wir können das jetzt
mit Hilfe der Definitionsform die Wichtelein-Asis-Funktion mit der rekursiven Definition.
Jetzt beliebig weitertreiben und bis zu beliebig hohen Ordnungen der Wichtelein-Basis-Funktionen,
die entsprechenden Grafen berechnen.
In der Praxis werden in der Regel die Ordnungen 3 und 4
verwendet, höhere treten relativ selten auf.
Die Ordnung 2 ist vielleicht ganz interessant. Wie mag eine
Baseblein-Kurve aussehen? Die Baseblein-Basis-Funktionen der Atem- und 2 verwendet für
die Approximation einer Folge von Punkten
Denn die Punkte einfach nur miteinander verbunden. Ganz genau.
Da werden die Punkte linear miteinander verbunden. Das heißt,
wir haben also nichts weiter als den Polygonzug, der die Punkte linear miteinander verbindet.
Das sehen wir hier ran an dem Grafen unserer Bisblein-Basisfunktion,
die also ganz offensichtlich eine lineare Interpolation jeweils zwischen zwei Punkten definieren.
So, wenn wir eine Folge von Punkten approximieren,
dann Verwenden wir dann natürlich eine entsprechende Folge von Diesblein-Basisfunktionen,
die die einzelnen Punkte wichtigten.
Und ich habe ihn hier dann einfach mal exemplarisch im Parameterraum
drei aufeinander folgende Wiesblein-Basisfunktionen der Ordnung 3 dargestellt,
die eine Folge von 3 Punkten apoximieren.
Und interessant ist hier, da können Sie das auch gleich wiedersehen,
dass Sie für einen beliebigen Parameter wird, die Funktionswerte der Diesblein-Basisfunktionen aufsummieren kann.
Und Sie erhalten dann auch als Grenze den Wert eins.
Das heißt, die Summe der Diesblein-Basisfunktionen für einen beliebigen Parameter wird es gleichteils.
So, ähnlich wie wir die Apoximation eines Netzes von Punkten
durch Bisbleinflächen und Bussierflächen beschrieben haben,
können wir natürlich ein solches Punktnetz auch mit Hilfe von Nerdsflächen beschreiben.
Und ich habe hier mal eine Formel gewählt,
die so ein kleines bisschen ähnlich ist wie die,
die ich für die Bisbleinflächen und Bussierflächen schon gewählt habe.
Hier habe ich dann als Wichtungsfunktion eine solche rationale Funktion,
die, wenn wir sie austreiben, dann so aussieht.
Und da haben wir dann wieder unseren ganz normalen Durst
bei Basisfunktionen drin für die beiden Richtungen des Netzes.
U und V und die individuellen Richtungsfaktoren für die einzelnen Punkte. So,
hier habe ich Ihnen noch mal eine kleine Abbildung mitgebracht,
wenn wir die Fläche, die wir da absorptioniert haben,
über ihre ISO-Parameterlinien rechnen und Direktpunkte, die Eckpunkte der Maschen des Netzes,
unserer ISO-Parameterlinien berechnen und da Dreiecke reinlegen und das Ganze durch ein Flirt-Faining-Verfahren füllen.
Dann erhalten wir eine grafische Darstellung, die in der deutschen
Einen gewissen ersten Eindruck von der Form einer solchen Fläche gibt,
der allerdings alles andere als fotorealistisch ist.
Und wie er dann aussehen würde, das werden wir dann später in dieser Vorlesung noch sehen.
Zum Abschluss will ich mich heute noch mit einem anderen Gebiet der Mathematik beschäftigen,
das wir für das geometrische Modellieren auch brauchen,
das ich in der vergangenen Woche schon angesprochen habe,
nämlich die Topologie für das geometrische Modellieren in dem Umfeld,
wie wir es einsetzen, brauchen wir eine Topologie,
die die Nachbarschaftsbeziehungen zwischen den einzelnen Elementen unserer Begrenzungsbasierten Beschreibung unserer Objekte wiedergibt.
Das heißt also, die Nachbarschaftsbeziehung zwischen einzelnen Flächensegmenten,
welche Flächensegmente grenzen über welche Tanten,
an welche anderen Flächensegmente an,
welche Punkte begrenzen welche Kanten und ähnliches
Für dich noch einführen möchte und ein bisschen bildhaft machen möchte.
Wir kommen zu der Erläuterung dann gleich noch.
Ich habe hier einmal Abbildungen von meinen Tassen gemacht,
meinen Teebecher auf der rechten Seite. Das Pressetässchen auf der
linken Seite, topologisch gesehen sind diese beiden Objekte gleichwertig.
Topologisch gesehen unterscheiden die sich nicht voneinander,
obwohl sie ganz offensichtlich geometrisch nicht unbedingt gleich sind.
Vielleicht so auf den ersten Blick, aber man kann sehen,
das eine ist also offensichtlich kleiner, das Espresso-Testchen ist offensichtlich kleiner.
Und es hat eine andere Form, mein Teedächer ist zylindrisch
und das Espresso-Tässchen hat die Form eines Kegelstumpfes.
Trotzdem sind sie topologisch gleichfertig und wir können sogar einen extremen Schritt weitergehen.
Auch diese beiden Objekte sind topologisch gleichwertig. Obwohl die ganz offensichtlich,
so rein geometrisch, gar nicht mehr übereinstimmen,
topologisch gesehen sind sie gleichwertig.
Und wir werden da zu der Erklärung gleich noch kommen.
Wenn wir Geometrie gegen Topologie ein kleines bisschen abgrenzen und uns überlegen,
was habt, bietet uns eigentlich die Geometrie und wozu brauchen wir die Topologie?
Dann können wir sagen, die Formbeschreibung, die exakte Formbeschreibung,
die wird über die Geometrie geliefert.
Das heißt also die Geometrie beschreibt exakt von Volk
Vielen Stand des Objektes, das ich modellieren möchte.
Da steckt im Prinzip die gesamte Information drin, die ich benötige. Das Problem ist,
vor allen Dingen, wenn ich begrenzungsbasiert arbeite und so vorgehe,
wie wir das gemacht haben,
dass ich die Geometrie praktisch in einzelne Elemente auflöse,
Flächenelemente, Kantenelemente und so weiter, auflöse,
dass ich da sehr schöne,
präzise,
individuelle Beschreibungen für alle einzelne Elemente habe,
aber ich musste hinterher
in irgendeiner Form aufbauen
Träumen könnte ich natürlich über die Geometrie machen. Und ich könnte dann eben herausfinden,
hier habe ich ein Flächenelement, das ist durch diese Gruppe,
die in dieser Form beschrieben ist, begrenzt.
Und ich suche ein anderes Flächenelement, das auch eine Begrenzung hat,
die exakt die gleiche Form hat. Das heißt, wo
die Geometrik dann übereinstimmt. Und dann weiß ich, die beiden passen dann wohl zusammen. Das ist also,
wie wenn sie ein Puzzle haben,
das nicht wie ein konventionelles Passen aus lauter gleichartigen Steinchen besteht und wo sie sich dann anhand des Musters,
das darauf gedruckt ist, orientieren können und sehen können,
wie am Ende das Bild aussehen wird, sondern sie haben ein Puzzlen,
das dadurch entstanden ist, dass sie, sagen wir,
eine schöne chinesische Vase aus Versehen haben fallen lassen und dann einen Scherbenhaufen vor sich haben.
Und diese Scherben dann zusammensetzen, um die Vase zu rekonstruieren.
Sie haben mit diesem Scherbenhaufen die komplette Geometrie der Föhnen chinesischen Vase,
aber das ist wahnsinnig aufwendig,
aus dieser kompletten Geometrie die Form der Gesamtvase zu rekonstruieren.
Wenn Sie jetzt für jede Scherbe an Liegenrand irgendwie eine kleine Information stehen hätten,
die Nachbarscherbe hat den und den Rand und die gehören da und dahin.
Dann hätten Sie das Ganze im Prinzip schon aufgeräumt,
dann wäre das Rekonstruieren der Vase einfacher. Und diese Information,
die passen wir praktisch in diese Topologie in die Nachbarschaftsdopologie.
Das heißt, wir geben also für jedes Element an,
woran es grenzt, begrenzungsbasiert arbeiten wir.
Welches ist der Nachbar, dieses Flächenelementes, an welcher Kante
dieses Flächenelementes grenzt dieser Nachbar an und so weiter.
Und damit bringen Das ist auch nun eine gewisse Organisation in
unseren färben Haufen und können ordentlich aufräumen und die Form unseres Gegenstandes richtig rekonstruieren.
Und sie können sich jetzt vorstellen, in die Topologie reinpacken,
ziemlich gleichgültig ist, welche Form jedes einzelne Elementchen in Bezug auf seine Geometrie hat.
Ob da nun eine Scherbe ist,
die in der Mitte noch eine dicke Bäude hat oder nicht,
ist der Nachbarschaftsbeziehung, die wir abstrakt in die Dopologie stecken,
vollkommen und gleichgültig.
Das heißt also, unsere Topologie gibt praktisch eine Menge von Eigenschaften wieder,
die, die wir sagen,
invariant sind,
gegenüber geometrischen Transformationen
Und darum ist der Torus hier und diese Tasse,
die sind topologisch gleichwertig, obwohl sie geometrisch sich sehr drastisch voneinander unterscheiden.
Denn sie haben eine wesentliche gemeinsame Eigenschaft.
Sie haben einen Griff. Und hier hat der Griff auf
dieser Seite zufällig noch so eine dicke zylindrische Beule
Und in dieser dicken zylindrischen Bäule ist von oben her auch noch so
eine Öffnung in diesen, in diese Bäule hinein gedrückt worden.
Aber das ist rein geometrisch. Das ist eine reine Formangelegenheit
. Das Wichtige ist, beide Dinge haben einen Test.
Ich könnte hier ja auch den Torus so aufblasen,
dass an einer Seite eine Beule entsteht. Ich weiß nicht,
ob denen da schon mal beim Fahrradfahren passiert ist,
dass der Fahrradschlauch an einer Stelle so irgendwo aus dem Mantel
herausgefrollen ist
Radfahrer unter ihnen werden das sicherlich kennen, entweder aus eigener Erfahrung oder von Freunden.
Nicht, dass der Schlauch irgendwo aus dem Mantel rausquillt und
auf einmal so dick wäre, dann aufpumpen.
Es ist immer noch der Fahrradschlauch. Und wenn wir zum Beispiel
auf dem Fahrradschlauch an Liniengitter gemalt hätten, am Anfang,
bevor wir den Schlauch in den Mantel gesteckt haben,
dann wäre dieses Liniengitter, das wir darauf gemalt haben,
mit einem Filmschreiber, auch nachher noch vorhanden.
Selbst wenn der Sonde die Gebäude rausgedrückt worden ist,
wir könnten auf dieser Beule genau das Liniengitter erkennen und jedes Flächenelement auf dem Liniengitter,
hätte genau die gleichen Nachbarn, die es vorher auch gehabt hat.
Und wenn wir jetzt in die Gebäude,
die sich da nach außen rausgestülpt hat,
von einer Seite nochmal eine Beule nach innen reindrücken,
ist es immer noch der gleiche Schlauch.
Und tochologisch hat er sich nicht verändert.
Nur seine Frau nicht dafür ändern. Und das ist also
praktisch der Unterschied zwischen meinem Teebecher und dem Tores.
Das ist eine einfache Verformung eines Stores. Ganz im Gegensatz dazu
ist dieses hier nicht gleichwertig. Obwohl diese beiden Teebecher nahezu identisch aussehen,
das ist der, den ich tagsüber benutze,
das ist der, den ich spät abends benutze,
wenn meine eine Hand nicht mehr so ruhig ist und ich muss einen beiden festhalten,
damit ich den Tee nicht verschüttel.
Dann benutze ich einen solchen Teebecher, der ist topologisch nicht mehr gleichwertig.
Denn, der wesentliche Unterschied ist der Zweigriffer. Da habe
ich etwas verändert. Das nicht mehr rein geometrisch ist,
das ist keine reine Formveränderung mehr,
sondern ich habe etwas darannt gemacht, was das Ganze verändert.
Ich habe einen neuen Griff ich bin zugefückt. So,
und ein kleines, ein bisschen über die Geheimnisse,
wir bleiben, darat, ein bisschen über die Geheimnisse der Torpologie,
wollen wir uns dann in der nächstenten noch ansehen.
Und dann wollen wir in der nächsten deln d.
Und uns einige nützliche, graf, geheometische, alt,
grafämen, d. Und dan.
Ihr. Ihre. Ihr. Ihr. Das de.
Und d. Und d. Und möt.